ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι

Transcript

1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι 1. Έλα ζώκα κάδαο =3kgr θηλείηαη ζην επίπεδν ΦΟΧ έηζη ώζηε: x=5t 2-1, y=3t Να βξείηε ην κέηξν ηεο ζπληζηάκελεο δύλακεο πνπ αζθείηαη ζην ζώκα ηε ρξνληθή ζηηγκή t=2sec. Λύζε: Οη ζπληζηώζεο ηεο ηαρύηεηαο είλαη: νη ζπληζηώζεο ηεο επηηάρπλζεο είλαη αληίζηνηρα: Δπνκέλσο νη ζπληζηώζεο ηεο ζπληζηακέλεο δύλακεο είλαη: Τε ρξνληθή ζηηγκή t=2sec νη F x F y έρνπλ κέηξν:. Άξα ην κέηξν ηεο ζπληζηακέλεο δύλακεο είλαη: 2. Οη εμηζώζεηο θίλεζεο ελόο πιηθνύ ζεκείνπ είλαη x=3t 2 +4, y=4t 2 +3 (S.I.). Να απνδεηρηεί όηη ε θίλεζή ηνπ είλαη επζύγξακκε νκαιά κεηαβαιιόκελε λα βξεζεί ε ηηκή ηεο επηηάρπλζεο. Λύζε: Αξθεί λα δείμνπκε όηη ην πιηθό ζεκείν θηλείηαη ζε επζεία ε επηηάρπλζή ηνπ είλαη ζηαζεξή. Γηα λα βξνύκε ηελ εμίζσζε ηεο ηξνρηάο απαιείθνπκε ην ρξόλν από ηηο εμηζώζεηο θίλεζεο: είλαη ε εμίζσζε ηεο ηξνρηάο ηνπ πιηθνύ ζεκείνπ πνπ είλαη εμίζσζε επζείαο, άξα ε θίλεζε είλαη επζύγξακκε. Γηα λα βξνύκε ηελ επηηάρπλζε ηώξα βξίζθνπκε πξώηα ηηο ζπληζηώζεο ηεο ηαρύηεηαο: νπόηε νη ζπληζηώζεο ηεο επηηάρπλζεο είλαη αληίζηνηρα:

2 Τν δηάλπζκα ηεο επηηάρπλζεο επζύγξακκε νκαιά κεηαβαιιόκελε. Τν κέηξν ηεο επηηάρπλζεο είλαη είλαη ζηαζεξό, επνκέλσο ε θίλεζε είλαη 3. Κηλεηό δηαγξάθεη θπθιηθή ηξνρηά αθηίλαο R=3 κε γσληαθή επηηάρπλζε α γ =2t-10 (S.I.). Αλ ηε ρξνληθή ζηηγκή t=0 έρεη γσληαθή ηαρύηεηα σ 0 =25rad/sec, λα βξεζεί κεηά από πόζν ρξόλν ζα ζηακαηήζεη ζηηγκηαία. Να βξεζνύλ ε επηηξόρηνο α ε ε θεληξνκόινο α θ επηηάρπλζε εθείλε ηε ζηηγκή. Τν θηλεηό ζηακαηά ζηηγκηαία ηε ζηηγκή πνπ κεδελίδεηαη ε γσληαθή ηνπ ηαρύηεηα. Άξα πξέπεη λα πξνζδηνξίζνπκε ηε γσληαθή ηαρύηεηα ζα ζπλάξηεζε ηνπ ρξόλνπ σ(t). Από ηνλ νξηζκό ηεο γσληαθήο επηηάρπλζεο έρνπκε : Από ηελ έθθξαζε πνπ βξήθακε πξνθύπηεη όηη ε σ κεδελίδεηαη (ην θηλεηό ζηακαηά ζηηγκηαία) γηα t=5sec. H επηηξόρηνο επηηάρπλζε είλαη : H θεληξνκόινο επηηάρπλζε είλαη :. Αιιά άξα α θ (t=5sec) = Έλα ζώκα κάδαο =5kgr πνπ είλαη αξρηθά αθίλεην, αξρίδεη λα θηλείηαη πάλσ ζηνλ άμνλα Οx θάησ από ηελ επίδξαζε ηεο δύλακεο (S.I.). Να βξεζεί ην έξγν πνπ παξάγεη ε δύλακε F ζηα πξώηα 2sec ηεο θίλεζεο ε ηαρύηεηα ηνπ ζώκαηνο ηε ρξνληθή ζηηγκή t=2sec. Λύζε: Τν έξγν dw γηα κηα ζηνηρεηώδε κεηαηόπηζε ηνπ ζώκαηνο είλαη ην εζσηεξηθό γηλόκελν. Η έρεη ηελ ίδηα δηεύζπλζε θνξά κε ηε κεηαηόπηζε άξα ην εζσηεξηθό ηνπο γηλόκελν ηζνύηαη κε ην γηλόκελν ησλ κέηξσλ ηνπο. Άξα: Γελ γλσξίδνπκε πώο εμαξηάηαη ε F από ην r, γηαηί ε F δίλεηαη ζα ζπλάξηεζε ηνπ ρξόλνπ. Γη απηό αιιάδνπκε κεηαβιεηή νινθιήξσζεο σο εμήο :

3 Άξα νπόηε έρνπκε Έρνπκε βξεη Ιζνδύλακα κπνξνύκε λα βξνύκε ηε u από ην ΘΜΚΔ : 5. Η εμίζσζε θίλεζεο ελόο πιηθνύ ζεκείνπ είλαη. Να απνδεηρηεί όηη ην πιηθό ζεκείν εθηειεί αξκνληθή ηαιάλησζε. Πξέπεη λα δείμνπκε όηη ε ζπληζηακέλε δύλακε πνπ αζθείηαη ζην πιηθό ζεκείν είλαη ηεο κνξθήο F = - D x, όπνπ D είλαη ζηαζεξά. Γηα ην ζθνπό απηό, από ηελ εμίζσζε θίλεζεο πξνζδηνξίδνπκε ηελ επηηάρπλζε : Άξα F=α=-ω 2 x=-dx, που είναι η ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε ην πιηθό ζεκείν να εκτελεί αξκνληθή ηαιάλησζε. 6. Να πξνζδηνξηζηεί ε ξνπή αδξάλεηαο νκνγελνύο θπιηλδξηθήο ξάβδνπ κήθνπο L κάδαο σο πξνο άμνλα (ε) θάζεην ζηε ξάβδν (i) (ii) πνπ δηέξρεηαη από έλα άθξν ηεο πνπ δηέξρεηαη από ην θέληξν κάδαο ηεο. (ε) dx S Κ x=0 x Ο x x=l Η ξνπή αδξάλεηαο νξίδεηαη από ηε ζρέζε. Θεσξνύκε ζηνηρεηώδε κάδα d, κήθνπο dx πνπ βξίζθεηαη ζε απόζηαζε x από ην έλα άθξν ηεο ξάβδνπ. Αλ S είλαη ε δηαηνκή ηεο ξάβδνπ ξ ε ππθλόηεηά ηεο ηόηε d=ξsdx, νπόηε έρνπκε. Τα όξηα ηεο νινθιήξσζεο εμαξηώληαη από ην ζεκείν πνπ ζα ζεσξήζνπκε σο αξρή ηνπ άμνλα x. Δπηιέγνπκε σο αξρή x=0 ηε ζέζε πνπ βξίζθεηαη ν άμνλαο σο πξνο ηνλ νπνίν ππνινγίδνπκε ηε ξνπή αδξάλεηαο ηεο ξάβδνπ.

4 (i) Έηζη ζηελ πξώηε πεξίπησζε (πνπ θαίλεηαη ζην ζρήκα), ε αξρή x=0 βξίζθεηαη ζην άθξν ηεο ξάβδνπ απ ην νπνίν δηέξρεηαη ν άμνλαο, άξα ην x κεηαβάιιεηαη από 0 έσο L, νπόηε ηα όξηα ηεο νινθιήξσζεο είλαη από 0 έσο L: όπνπ έρνπκε ιάβεη ππ όςε καο όηη ε ζπλνιηθή κάδα ηεο ξάβδνπ ηζνύηαη κε =ξsl. (ii) Όηαλ ν άμνλαο δηέξρεηαη από ην θέληξν κάδαο Ο «ζπκθέξεη» λα ζεσξήζνπκε σο αξρή x=0 ην ζεκείν Ο, νπόηε ηα όξηα ηεο νινθιήξσζεο είλαη από L/2 σο L/2: 7. Σσκάηην κάδαο θηλείηαη κε ηαρύηεηα π 1 ζπγθξνύεηαη ειαζηηθά κε αθίλεην όκνην ζσκάηην. Να δεηρηεί όηη κεηά ηελ θξνύζε νη ηαρύηεηεο ησλ δύν ζσκαηηδίσλ ζρεκαηίδνπλ γσλία 90. Σε θάζε θξνύζε εθαξκόδνπκε ηελ Αξρή Γηαηήξεζεο ηεο Οξκήο : Η θξνύζε είλαη ειαζηηθή επνκέλσο δηαηεξείηαη ε θηλεηηθή ελέξγεηα : (1) (2) Υςώλνπκε ηε ζρέζε (1) ζην ηεηξάγσλν : πξηλ κεηά π 1 π 2 =0

5 8. Γύν ζσκάηηα κε ηελ ίδηα κάδα ηελ ίδηα ά κέηξν ηαρύηεηα ζπγθξνύνληαη κεηά θηλνύληαη ζαλ έλα ζώκα κε ηαρύηεηα κέηξνπ ίζνπ κε ην κηζό ηεο αξρηθήο. Να βξεζεί ε γσλία ησλ αξρηθώλ δηεπζύλζεσλ θίλεζεο. πξηλ κεηά ζ 2 Η θξνύζε είλαη πιαζηηθή άξα ηζρύεη κόλν ε αξρή δηαηήξεζεο ηεο νξκήο : 9. Σθαίξα, θύιηλδξνο δαθηύιηνο, ίδηαο κάδαο ίδηαο αθηίλαο, αθήλνληαη ηαπηόρξνλα από ηελ θνξπθή θεθιηκέλνπ επηπέδνπ, ύςνπο h γσλίαο θιίζεσο ζ. Τα ζώκαηα θπιάλε ρσξίο λα νιηζζαίλνπλ. (i) (ii) Πνην από ηα ηξία ζα θηάζεη πξώην ζηε βάζε; Πόζε είλαη ε ηαρύηεηα θάζε ζώκαηνο όηαλ θηάλεη ζηε βάζε ηνπ θεθιηκέλνπ επηπέδνπ; Γίλνληαη νη ξνπέο αδξαλείαο ησλ ηξηώλ ζσκάησλ :, Σε θάζε ζώκα αζθνύληαη 3 δπλάκεηο : Τν βάξνο ηνπ g, ε θάζεηε αληίδξαζε Ν ε ηξηβή f.

6 N Κ f Ο ζ g εκζ g g ζπλζ h Η θίλεζε θάζε ζώκαηνο είλαη ζύλζεζε δύν θηλήζεσλ : κεηαθνξηθήο πεξηζηξνθηθήο. Δμεηάδνπκε ηελ θάζε θίλεζε ρσξηζηά. Γηα ηε κεηαθνξηθή θίλεζε : Γηα ηελ πεξηζηξνθηθή θίλεζε : Αληηθαζηζηώληαο ηε (2) ζηελ (1) βξίζθνπκε : (1) (2) Αλ αληηαζηήζνπκε ηηο γλσζηέο ξνπέο αδξάλεηαο ησλ ηξηώλ ζσκάησλ πξνθύπηεη, Δπεηδή έπεηαη όηη α ζθ >α θπι >α δαθη, άξα πξώηα θηάλεη ζηε βάζε ε ζθαίξα, κεηά ν θύιηλδξνο ηειεπηαίνο ν δαθηύιηνο. (β) Η κόλε κε δηαηεξεηηθή δύλακε είλαη ε ηξηβή πνπ όκσο δελ παξάγεη έξγν αθνύ ηα ζώκαηα δελ νιηζζαίλνπλ. Δπνκέλσο ε κεραληθή ελέξγεηα δηαηεξείηαη. Δθαξκόδνπκε ηελ αξρή δηαηήξεζεο ηεο κεραληθήο ελέξγεηαο κεηαμύ ησλ ζέζεσλ Κ ζηελ θνξπθή ηνπ θεθιηκέλνπ επηπέδνπ Ο ζηε βάζε ηνπ : Θέηνπκε ω=υ/r αληηθαζηζηνύκε ηε Ι γηα θάζε ζώκα. Γηα ηε ζθαίξα είλαη :

7 Όκνηα βξίζθνπκε : Παρατήρηση: Οη ηαρύηεηεο κπνξνύλ λα ππνινγηζηνύλ από ηηο επηηαρύλζεηο πνπ ππνινγίζηεθαλ ζην (α) εξώηεκα θάλνληαο ρξήζε ηεο ζρέζεο κεηαμύ ηαρύηεηαο κεηαηόπηζεο σο εμήο : 10. Οκνγελήο ξάβδνο κήθνπο L κάδαο M απέρεη απόζηαζε d από ζεκεηαθή κάδα. Να ππνινγηζηεί ε βαξπηηθή έιμε πνπ αζθεί ε ξάβδνο ζηε κάδα. S L d dx x Θεσξνύκε ζηνηρεηώδεο ηκήκα ηεο ξάβδνπ, κήθνπο dx κάδαο d, πνπ βξίζθεηαη ζε απόζηαζε x από ηε ζεκεηαθή κάδα. H βαξπηηθή έιμε κεηαμύ ησλ d είλαη (1) Η ξάβδνο είλαη νκνγελήο (ε κάδα είλαη νκνηόκνξθα αλεκεκέλε ζε όιν ηεο ην κήθνο) άξα: (2) Αληηθαζηζηνύκε ηελ (2) ζηελ (1) :

8 11. Η δπλακηθή ελέξγεηα δύν ζεκεηαθώλ καδώλ πνπ απέρνπλ απόζηαζε x κεηαμύ ηνπο 12 δίλεηαη από ηε ζρέζε U G. Να ππνινγίζεηε ηε δύλακε πνπ αζθεί ε κία κάδα x ζηελ άιιε. 12. Το διάνυσμα θζσης ενός σωματιδίου που κινείται στο επίπεδο xoy είναι (S.I.). Να δείξετε ότι: α) ε ηαρύηεηα είλαη θάζεηε ζην δηάλπζκα ζέζεο β) ε επηηάρπλζε έρεη εύζπλζε πξνο ην θέληξν ηεο ηξνρηάο. (Υπόδεημε: ρξεζηκνπνηείζηε ηηο ηδηόηεηεο ηνπ εζσηεξηθνύ γηλνκέλνπ α) Η ηαρύηεηα είλαη εμ νξηζκνύ: Άξα ην εζσηεξηθό γηλόκελν ηζνύηαη κε : Αιιά β) Η επηηάρπλζε είλαη εμ νξηζκνύ: Βιέπνπκε όηη ε επηηάρπλζε είλαη αληηπαξάιιειε κε ην δηάλπζκα ζέζεο επνκέλσο έρεη εύζπλζε πξνο ην θέληξν ηεο ηξνρηάο.