Примјена модела вредновања капиталне активе у функцији одређивања очекиваних приноса предузећа на тржишту капитала Републике Српске

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Примјена модела вредновања капиталне активе у функцији одређивања очекиваних приноса предузећа на тржишту капитала Републике Српске"

Transcript

1 ACTA ECONOMICA Година XIV, број 4 / фебруар 016. ISSN X, e ISSN 3 738X СТРУЧНИ ЧЛАНАК УДК: DOI: /ACE164191J COBISS.RS-ID Драган Јањић 1 Примјена модела вредновања капиталне активе у функцији одређивања очекиваних приноса предузећа на тржишту капитала Републике Српске Application of Capital Asset Pricing Model in the function of determination of expected yield of companies in the capital markets Republic of Srpska Резиме Након што је Хери Маркович (енгл. Harry Markowitz) поставио прве темеље развоја портфолио теорије, Вилиам Шарп (енгл. William Sharpe), Џон Линтнер (енгл. John Lintner) и Јан Мосин (енгл. Jan Mossion) су почетком 60 их година 0. вијека развили модел вредновања капиталне активе (енгл. Capital Asset Pricing Model - САРМ). Први пут га је представио Вилиам Шарп објављивањем рада под називом Модел вредновања капитала: теорија тржишне равнотеже у условима ризика (енгл. Capital asset prices: a theory of market equilibrium under conditions of risk), који је године добио Нобелову награду за економију. Модел вредновања капиталне активе омогућава прецизно предвиђање односа између ризика и приноса одговарајућег финансијског инструмента. На развијеним тржиштима капитала инвеститори га често користе приликом израчунавања очекиване стопе приноса одговарајућег финансијског инструмента. Такође, модел се може користити и у друге сврхе, а све у циљу да инвеститорима олакша доношење важних пословних одлука. Иако модел није емпиријски потврђен и подложан је критикама појединих аутора, његова примјена је широка, искључиво због прецизног одређива- 1 Топлана а.д. Бања Лука, 191

2 Acta Economica, година XIV, број 4 / фебруар ња односа између ризика и приноса појединих финансијских инструмената и довољне тачности за многе важне примјене. 19 Кључне ријечи: очекивани принос, ризик, бета коефицијент, тржиште капитала. Summary When is Harry Markowitz made the frst foundations of the development of portfolio theory, William Shape, John Lintner and Jan Mossion in the early 60s of the 0th century are developed a Capital Asset Pricing Model - CAPM. The first time it was presented by William Shape, publication work entitled Capital asset prices: a theory of market equilibrium under conditions of risk, which in 1990 won the Nobel Prize for economy. Capital Asset Pricing Model allows accurate prediction of the relationship between risk and yield adequate financial instrument. In developed market equity investors often used this model when calculating the expected return of the corresponding financial instrument. Also, the model can also be used for other purposes, and in order to facilitate the investors making important business decisions. Although the model is not empirically verified and it is the subject of critiques by some authors, its use is broad because of precise determination of risk and yield relation in financial instruments and his appropriate accuracy. Увод Keywords: expected yield, risk, beta coefficient, the capital market. Примарни циљ сваког инвеститора (било да је индивидуални или институционални) приликом улагања у хартије од вриједности јесте да максимизира принос, уз прихватљив ризик улагања. Такође, један од важнијих циљева инвеститора јесте да утврди адекватан однос између ризика и приноса, како би на најбољи начин креирао свој инвестициони портфолио хартија од вриједности и инвестирао свој капитал. Међутим, овдје је потребно направити разлику између оствареног и очекиваног приноса инвеститора. Остварен принос приликом улагања у хартије од вриједности представља историјски принос, који показује колико је инвеститор зарадио у прошлости на основу посједовања одговарајуће хартије од вриједности. Очекивани принос се односи на будућност и он показује колико би инвеститор требао да заради у будућности по основу држања одговарајуће хартије од вриједности. Основна разлика између оствареног и очекиваног приноса је та што се остварени принос односи на прошлост, а док се очекивани принос одно-

3 Драган Јањић Примјена модела вредновања капиталне активе у функцији одређивања очекиваних приноса предузећа на тржишту капитала Републике Српске си на будући временски период. Један од највећих проблема за инвеститоре јесте да прогнозирају и израчунају очекивани принос улагања у хартије од вриједности. Модел на основу којег се на најбољи начин може квантитативно приказати и предвидјети очекивани принос приликом улагања у хартије од вриједности јесте модел вредновања капиталне имовине (енгл. Capital Asset Pricing Model - САРМ). Кроз овај рад ће бити приказана примјена модела вредновања капиталне имовине на тржишту капитала Републике Српске. Дакле, у фокусу овог рада је израчунавање очекиваног приноса акција 16 предузећа чије акције котирају на Бањалучкој берзи, а које улазе у састав БИРС-а, примјеном модела вредновања капиталне имовине. Након израчунавања очекиваног приноса на акције предузећа чије акције котирају на Бањалучкој берзи, инвеститори у Републици Српској ће моћи да упореде да ли је предвиђени очекивани принос акције већи или мањи од реалног приноса за утврђен ризик улагања. 1. Појам и основне карактеристике модела вредновања капиталне активе Модел вредновања капиталне имовине или САРМ модел (енгл. Capital Asset Pricing Model), темељи се на односу између ризика и очекиваних приноса на ризичну активу. Модел вредновања капитала полази од тога да ће се инвеститори одлучити на улагање у безризичну активу и у портфолио ризичне активе. Улагање у безризичну активу није ништа друго него куповина хартија од вриједности (у даљем тексту: ХоВ) које су емитоване од стране државе која ужива висок кредитни рејтинг (ААА), а то су најчешће трезорски записи. Инвеститори улагањем у безризичну активу не преузимају никакав ризик. Ризична актива представља улагање у ризичне хартије од вриједности које имају одговарајући степен ризика у погледу очекиваних приноса (Јањић, 013). На слици број 1. приказан је скуп свих могућих портфолиа приликом улагања у ризичну активу. O(P) C A B Слика 1. Ефикасна граница σ 193

4 Acta Economica, година XIV, број 4 / фебруар Црвена линија на слици 1. показује ефикасну границу скупа свих могућих портфолија приликом улагања у ризичну активу, гдје се на апсциси налази ризик, а на ординати очекивани принос. Тачке на тој линији се могу одредити мијењањем структуре и израчунавањем очекиваног приноса и ризика, који се мјери стандардном девијацијом. Сви улагачи преферирају сјеверозападне портфолије, јер они нуде највећи очекивани принос уз минималан ризик. Кривуља која повезује најсјеверозападније портфолије се назива ефикасна граница. Ако се слиједе ти критеријуми, портфолији се могу компарирати на сљедећи начин: портфолио А ће бити пожељнији од портфолија В, јер портфолио А има већи принос уз мањи ризик, док портфолио В има мањи принос уз већи ризик. Према томе, услови ефикасне границе се математички могу приказати на сљедећи начин: ( ) OP ( ) OP A B и σa σb Сваки од портфолија који задовољава ове математичке услове се назива ефикасни портфолио. Дакле, портфолио А представља портфолио са минималним ризиком (минималном варијансом). Стога, овдје се може закључити да се сви порфтолији који се налазе испод тачке А (која показује портфолио А) могу одбацити јер су неефикасни. Сагласно томе, сви они портфолији који се налазе на узлазном дијелу кривуље су доминатнији у односу на све оне протфолије који се налазе директно испод њих јер имају већи очекивани принос уз исти ризик. Избор између портфолија који се налазе на узлазном дијелу кривуље зависи искључиво од улагачевих преференција према ризику. То практично значи да ће они улагачи који су толерантнији према ризику бирати оне портфолије који су ближе тачки C, док ће они улагачи који су мање толерантни према ризику бирати оне портфолије који су ближи тачки A. Амерички економиста Џејмс Тобин сматра да под одређеним условима Марковичев модел подразумијева да се процес инвестиционог избора може подијелити у двије фазе: прва, избором јединственог оптимума комбинација ризичне активе; и друга посебан избор у вези расподјеле средстава између такве комбинације ризичне активе (Tobin, 1958). Међутим, ако се проблем алокације прошири са улагањем у неризичну имовину, добија се линија тржишта капитала (енгл. Capital Market Line CМL). Линија тржишта капитала представља скуп свих инвестиционих алтернатива између очекиваног приноса и ризика који је мјерен стандардном девијацијом. Дакле, добијају се два могућа правца линије тржишта капитала, што је приказано на слици. 194

5 Драган Јањић Примјена модела вредновања капиталне активе у функцији одређивања очекиваних приноса предузећа на тржишту капитала Републике Српске O(P) CAL C CAL 1 P f A Слика. Скуп свих могућих портфолија у случају улагања у ризичну активу и два правца линије алокације капитала Упоређујући двије линије тржишта капитала намеће се закључак да је већи однос награде и варијабилности приноса линије тржишта капитала која пролази кроз тачку С него оне која пролази кроз портфолио са минималном варијансом. Математички посматрано, разлог томе је већи нагиб линије тржишта капитала која пролази кроз тачку С. Са друге стране, економским рјечником, комбинација портфолија С и неризичне имовине нуде веће очекиване приносе за све висине ризика од комбинације портфолија А и неризичне имовине. Сходно томе, овдје се намеће сљедеће питање: Да ли је портфолио С најбоље рјешење за инвеститора? Ако се линија тржишта капитала заокрене тако да додирује ефикасну границу добија се оптимални портфолио. Оптимални портфолио приказан је на слици 3. σ O(P) CAL 3 O CAL P f C A CAL 1 σ Слика 3. Скуп свих могућих портфолија у случају улагања у ризичну активу и два правца линије алокације каптала Оптимални портфолио у тачки О представља најбољу могућу комбинацију ризичне имовине. Дакле, математички у тачки О је највећи нагиб 195

6 Acta Economica, година XIV, број 4 / фебруар линије тржишта капитала који обезбјеђује највећи однос награде и варијабилности. Економски речено: комбинација оптималног портфолија О и неризичне имовине нуде најбоље очекиване приносе за све висине ризика, односно портфолио О нуди највећи принос по једној јединици ризика. Међутим, одлука о куповини портфолија О може се посматрати као инвестициона одлука, док се одлука о давању или узимању у зајам безризичне активе може сматрати као финансијска одлука. Према томе, према теорији сепарације и агресивни и конзервативни инвеститори ће посједовати исти портфолио микс ризичне активе у тачки О, док ће давањем или узимањем у зајам безризичне активе заузети жељену позицију на прихватљивом нивоу ризика и приноса. Дефакто, сви инвеститори ће имати исти портфолио ризичне активе, који у равнотежном стању представља тржишни портфолио. Изостанак неке од хартија од вриједности из овог портфолија довео би до пада цијене и раста очекиваног приноса дотичне хартије од вриједности до нивоа када би однос њеног ризика и очекиване стопе приноса био такав да може бити укључен у портфолио, те се портфолио О због тога назива ефикасни тржишни портфолио (Шошкић, 006). Доња граница линије тржишта капитала је стопа приноса на безризичне хартије од вриједности (P f ), док је горња граница тачка О, која представља оптималну портфолио комбинацију могућих ризичних хартија од вриједности. На графику се може уочити да је линија тржишта капитала тангента на укупан скуп ризичних хартија од вриједности. Разлика између стопе приноса оптималног портфолија ризичних хартија од вриједности и стопе приноса на безризична улагања (трезорске записе) назива се ризико премија. Према томе, очекивана стопа приноса портфолија i представља збир стопе приноса на безризична улагања и саме ризико премије. Сходно тој констатацији, линија тржишта капитала математички се може приказати на сљедећи начин (Esch, Kieffer and Lopez, 005): OP ( O) Pf OP ( i) = Pf + σ i σ O Гдје је: O(P i ) - очекивана стопа приноса ефикасног портфолија i, P f - стопа приноса на безризична улагања, σ о - стандардна девијација тржишног (ризичног) портфолија и σ i - стандардна девијација портфолија А. Елементе једначине CМL можемо посматрати засебно (Шошкић, 006). Као што је већ наведено, O(P i ) је очекивана стопа приноса портфолија i, P f је стопа приноса на безризична улагања, односно цијена времена или награда инвеститора за чекање, а представља цијену ризика који OP ( O) Pf σ O 196

7 Драган Јањић Примјена модела вредновања капиталне активе у функцији одређивања очекиваних приноса предузећа на тржишту капитала Републике Српске нам показује колики је процентуални раст приноса ако се ризик повећа за један проценат. Цијена ризика уједно дефинише нагиб (угао) линије тржишта капитала. У финансијској литератури овај израз се назива Шарпов индекс (енгл. Sharpe ratio), који је добио име по нобеловцу Вилиаму Шарпу. И на крају, σ i показује ризик портфолија који је мјерен стандардном девијацијом. Сходно томе, очекивана стопа приноса портфолија i може се приказати као збир цијене времена са једне стране и умношка ризика портфолија и цијене ризика са друге стране. CМL полази од тога да се укупни ризик састоји из системског и несистемског ризика. Међутим, предмет посматрања САРМ јесте само системски ризик који се мјери бета коефицијентом (β), јер се несистемски ризик може елиминисати кроз процес ефикасне диверсификације. Кроз диверсификацију неки од ризика који је својствен средству се може избећи, тако да укупан ризик очигледно нема релевантни утицај на цијену (Sharpe, 1964). Према томе, САРМ претпоставља да ће инвеститори захтијевати очекивани принос као компензацију за системски ризик мјерен бетом, као дио укупног ризика. Оно што представља проблем за инвеститоре јесте израчунавање системског ризика као дијела укупног ризика за инвеститоре. На основу претходно изложеног, долазимо до констатације да хартије од вриједности које имају висок ниво системског ризика (чији је бета коефицијент висок), имају већи очекивани принос. Али тражња за хартијама од вриједности које имају висок системски ризик је веома ниска, па је самим тим и цијена нижа. Наравно, хартије од вриједности које имају изразито низак системски ризик (чији је бета коефицијент низак), имају и ниже очекиване приносе, тражња за тим хартијама од вриједности је изразито висока, па је и цијена тих хартија од вриједности висока. Према томе, основна тврдња САРМ модела јесте да хартије од вриједности или друге инвестиционе активе које имају исти системски ризик морају да имају и исте очекиване стопе приноса. Као и друге теорије, тако и модел вредновања капиталне имовине се темељи на одговарајућим претпоставкама. Сходно томе, полазне претпоставке САРМ модела су (Шошкић, 006): 1. На тржишту капитала се одлуке доносе на основу процјене ризика и приноса. Овдје је важно истаћи да инвеститори имају одбојност према ризику и исти мјере стандардном девијацијом.. Инвеститори имају исти инвестициони хоризонт у погледу доношења инвестиционих одлука. Ова констатација је битна са аспекта упоредивости, јер би на тај начин очекивања свих инвеститора била упоредива. 197

8 Acta Economica, година XIV, број 4 / фебруар Сви инвеститори имају хомогена очекивања о будућим стопама приноса, ризицима и корелацији хартија од вриједности, портфолија или било које инвестиционе активе у свијету. Дакле, инвеститори при избору хартија од вриједности за свој портфолио се руководе само објективно различитим нивоима системских ризика посматраних хартија од вриједности и сопственом склоношћу према ризику. 4. Тржишта капитала су перфектна, ефикасна и у равнотежи. Перфектна тржишта су она на којим нема трансакционих трошкова, нема пореза, нема инфлације, нема промјена у каматним стопама, гдје су трансактивне активе перфектно дјељиве. Ефикасна тржишта су она код којих сваки инвеститор посједује ефикасан портфолио, па је самим тим и сума свих портфолија ефикасна. Модел вредновања капиталне имовине има своју вишеструку примјену у пракси. Према томе, модел вредновања капиталне активе се може користити (Шошкић, 006): за одређивање очекиваних стопа приноса на хартије од вриједности, процјењивању тржишне стопе приноса ризичних обвезница, приликом одређивања цијене властитог капитала код предузећа, при буџетирању капиталних инвестиција у предузећу, при оцјени инвестиционих пројеката на бази садашње вриједности. У претходном параграфу су приказани само неки од начина примјене модела вредновања капиталне имовине у пракси. Рад ће у наставку бити базиран на првој тачки, односно на примјени модела вредновања капиталне имовине у функцији одређивања очекиваног приноса на акције код предузећа у Републици Српској чије акције котирају на Бањалучкој берзи Бета коефицијент и његова основна функција Бета коефицијент је мјера системског ризика и у финансијској литератури се често дефинише као степен промјене (варијације) приноса појединачне ХоВ или портфолија ХоВ у односу на промјену приноса који одбацује тржишни портфолио. Уколико је степен варијације већи, самим тим већи је и системски ризик ХоВ и обрнуто. Бета коефицијент (β) се може математички представити на сљедећи начин (Esch, Kieffer and Lopez, 005): ( i, t) ( ) Cov r r ρit, σ ri β i =, или βi = Var r σ r t ( ) ( ) t Гдје је: βi - системски ризик ХоВ i, Cov(r i,r t ) - коваријанса између приноса на ХоВ i и приноса на тржишни портфолио t, Var(r t ) - варијанса приноса

9 Драган Јањић Примјена модела вредновања капиталне активе у функцији одређивања очекиваних приноса предузећа на тржишту капитала Републике Српске тржишног портфолија (тржишта) t, ρ i,t - коефицијент корелације између приноса на ХоВ i и приноса на тржишни портфолио t, σ(r t ) - стандардна девијација приноса на тржишни портфолио t и σ(r i ) - стандардна девијација приноса на ХоВ i. Коефицијент корелације је статистички модел који показује у ком смјеру се крећу двије величине (у нашем случају то је стопа приноса на ХоВ i и стопа приноса тржишног портфолија t) и која је јачина везе између те двије величине. Коефицијент корелације се креће у интервалу од -1 до +1. Када се величине крећу у истом смјеру (расте једна величина и расте друга величина), тада се коефицијент корелације налази у интервалу од 0 до +1, а када се величине крећу у супротним смјеровима (једна величина расте, а друга опада), тада се коефицијент корелације налази у интервалу од 0 до -1. Када је коефицијент корелације 0, тада се двије величине крећу независно једна од друге. Што је коефицијент корелације ближи екстремним вриједностима, односно +1 и -1, то је јача веза између двије величине (Fibel, 003). Сходно томе, бета коефицијент може да буде мањи, већи или једнак 1. Кад је бета коефицијент ХоВ i већи од 1 (β>1), тада ће повећање или смањење приноса на тржишни портфолио t за један проценат, имати за посљедицу повећање или смањење приноса на ХоВ i или портфолио ХоВ за више од једног процента. У том случају, принос на појединачну ХоВ или портфолио ХоВ има веће варијације у односу на принос који одбацује тржишни портфолио, што значи да је улагање у ХоВ ризичније у односу на улагање у тржишни портфолио (тржиште) и има већи системски ризик. Са друге стране, ако је бета коефицијент ХоВ мањи од 1, тада ће повећање или смањење приноса на тржишни портфолио t за један проценат, имати за посљедицу повећање или смањење приноса на ХоВ i или портфолио ХоВ за мање од једног процента. У том случају ће принос на појединачну ХоВ или портфолио ХоВ имати мање варијације у односу на принос који одбацује тржишни портфолио, што значи да ће улагање у ХоВ бити мање ризично у односу на улагање у тржишни портфолио (тржиште) и имаће мањи системски ризик. Ако је бета коефицијент једнак јединици, у том случају принос на ХоВ i или портфолио ХоВ и принос тржишног портфолија t имају исте варијације, односно исти системски ризик. Односно, када је бета једнака приближно 1, то указује да стопа приноса фонда (у овом случају то је принос на ХоВ i или портфолио ХоВ) варира заједно са репром (у овом случају то је принос који одбацује тржишни портфолио t) (Fibel, 003). Да би бета била једнака јединици, коефицијент корелације између приноса ХоВ i или портфолиа ХоВ и приноса тржишног портфолија t мора да буде једнак јединици (савршено позитивна корелација), а поред тога мора да постоји једнакост између Бета коефицијент тржишта, односно тржишних портфолија, увијек је једнак јединици. 199

10 Acta Economica, година XIV, број 4 / фебруар стандардне девијације приноса на ХоВ i или портфолио ХоВ и стандардне девијације приноса тржишног портфолија t (тржишта), што је у пракси заиста риједак случај. У тржишно оријентисаним и развијеним привредама, за стопу приноса на ХоВ i или портфолио ХоВ узима се стопа дивиденде на обичне акције, а за стопу приноса коју одбацује тржишни портфолио најчешће се узима стопа приноса групе предузећа или принос групе предузећа која су обухваћена индексима S&P (Standard and Poor s) у САД, FTSE (индекс који објављује Financial Times) у Великој Британији, франкфуртском DAX u у Њемачкој, итд. (Микеревић, 009). 1.. Карактеристична линија Бета коефицијент је могуће посматрати са аспекта анализе линеарне регресије приноса на ХоВ i или портфолио ХоВ и приноса који одбацује тржишни портфолио t. Сходно томе, линија која показује принос на ХоВ i или портфолио ХоВ, као функцију приноса тржишног портфолија t (тржишта) назива се карактеристична линија (енгл. Characteristic Line-CL). Карактеристичну линију можемо математички записати на сљедећи начин (Jorion, 003): R = α+ βr + e i t R i је зависна варијабла и представља принос на ХоВ i или портфолио ХоВ у посматраном периоду. Алфа (α) представља пресјек линије регресије који показује колики је принос на ХоВ i или портфолио хартија од вриједности изнад приноса који одбацује тржишни портфолио t (тржиште), односно колики је додатни принос на ХоВ i или портфолио хартија од вриједности. 3 Бета коефицијент описује системски ризик и дефинише нагиб карактеристичне линије. R t је независна варијабла и показује принос на тржишни портфолио ХоВ t. Параметар е је резидуал, а дефинише се као одступање приноса на ХоВ i или портфолио хартија од вриједности од регресионе линије. По дефиницији, ови резидуали су једнаки нули. Карактеристичну линију можемо видјети на слици број 4. (Sharpe, 1964). 3 Математички посматрано α показује колики је Ri када је Rt једнак 0. 00

11 Драган Јањић Примјена модела вредновања капиталне активе у функцији одређивања очекиваних приноса предузећа на тржишту капитала Републике Српске Принос на ХоВ i е А α β Принос на тржишни портфолио ХоВ t Слика 4. Карактеристична линија Бета коефицијент показује везу између приноса на ХоВ i или портфолио хартија од вриједности и приноса на тржишни портфолио t. Када је бета коефицијент висок, тј. већи од 1, тада је и нагиб карактеристичне линије већи и обрнуто. Карактеристичан правац не представља стварне величине (приносе). Стварне величине представљају тачке на дијаграму расипања, које се готово никада не налазе на карактеристичној линији (Радивојац, 007). Удаљеност тачака од карактеристичне линије показује реакције приноса на ХоВ i или портфолио хартија од вриједности везане на новости и догађаје који су утицали на саму ХоВ, али не и на цјелокупно тржиште. Односно, принос на ХоВ i или портфолио хартија од вриједности се може подијелити на два дијела: први дио је објашњен тржишном стопом и бета коефицијентом, а док други дио зависи од новости које су специфичне за саму ХоВ i. Флуктуације у првом дијелу одражавају тржишни ризик, док флуктуације у другом дијелу одражавају специфични ризик који је везан за саму ХоВ. Дакле, карактеристична линије показује системски ризик, док тачке на дијаграму расипања представљају специфични или несистемски ризик. Да би се тачке налазиле на карактеристичној линији, као што је нпр. тачка А, коефицијент корелације између стопе приноса на ХоВ i или портфолио хартија од вриједности и стопе приноса коју одбацује тржишни портфолио t мора да буде једнак 1. 4 Будући да се тачке расипања готово никад не налазе на карактеристичном правцу, та разлика, односно то одступање се често назива резидуалом, а у финансијској литератури се означава са е. Када се тачка налази изнад регресионе линије, тада је принос на ХоВ i или портфолио хартија од вриједности био бољи него што се могло предвидјети регресионом линијом. У супротном случају, када се тачка налази испод регресионе линије, тада је принос на ХоВ i или портфолио хартија од вриједности лошији него што се могло предвидјети на основу познавања 4 Када је коефицијент корелације +1, тада се ради о савршено позитивној корелацији. 01

12 Acta Economica, година XIV, број 4 / фебруар тржишног приноса. Важно је још напоменути да што је коефицијент корелације ближи јединици, то су тачке на дијаграму расипања ближе карактеристичној линији. Дакле, што је мањи распон, корелација је већа и обрнуто, а то се графички може приказати сљедећи начин. Карак ерис ична линија и ачке на ија раму раси ања ка а је коефицијен корелације ближи 1 Приноса на појединачну ХоВ i Карак ерис ична линија и ачке на ија раму раси ања ка а је коефицијен корелације ближи 0 Приноса на појединачну ХоВ i Стопа приноса тржишног портфолија t Стопа приноса тржишног портфолија t Слика 5. Карактеристична линија у зависности од коефицијента корелације Према томе, што је удаљеност тачака од карактеристичне линије већа, то је несистемски ризик акција већи, а то значи да принос на ХоВ i или портфолио хартија од вриједности даје значајно мању корелацију са приносом који одбацује тржишни портфолио ХоВ t. Са друге стране, што је дисперзија мања, корелација је већа, а несистемски ризик је мањи. Међутим, модел вредновања капиталне активе полази од тога да се несистемски ризик може елиминисати кроз процес ефикасне диверсификације. Већ je констатовано, да када је бета једнака један, тада ХоВ има исти системски ризик као и цијело тржиште. Међутим, када је бета коефицијент већи од један (нагиб карактеристичне линије је већи од један), то практично значи да се додатни принос на ХоВ i или портфолио хартија од вриједности брже мијења од додатног приноса који одбацује тржишни портфолио ХоВ t. У том случају, ХоВ има већи системски ризик него цијело тржиште, а такве ХоВ се у финансијској литератури називају агресивне ХоВ. Са друге стране, када је бета коефицијент приноса на ХоВ i или портфолио хартија од вриједности мањи од један (нагиб карактеристичне линије је мањи од један), то значи да се додатни принос на ХоВ i или портфолио хартија од вриједности спорије мијења од додатног приноса на тржишни портфолио ХоВ t. У том случају, ХоВ има мањи системски ризик него цијело тржишта, а такве ХоВ се називају дефанзивне ХоВ. То се графички може приказати на сљедећи начин (Van Horne and Wachowicz, 00): 0

13 Драган Јањић Примјена модела вредновања капиталне активе у функцији одређивања очекиваних приноса предузећа на тржишту капитала Републике Српске Принос на ХоВ i Агресивне ХоВ, β>1 β=1 Дефанзивне ХоВ, β<1 Стопа приноса тржишног портфолија t Слика 6. Нагиб карактеристичне линије Приликом рачунања бета коефицијента, као и линеарне регресије приноса на ХоВ i и приноса на тржишни портфолио ХоВ t, морамо донијети три битне одлуке (Damoaran, 007): 1. Дужину периода процјене код већине процјена користе се петогодишњи подаци,. Интервали приноса који могу бити: дневни, седмични, мјесечни, годишњи, 3. Избор тржишног индекса који ће се користи у регресији. Бета коефицијент, као мјеру системског ризика, математички можемо изразити и примјеном одговарајућих тригонометријских функција, односно функција углова. Карактеристичну линију у тригонометријској кружници можемо видјети на слици број 7. Y 1 ctg δ D β B sin δ C tg δ δ -1 O cos δ A 1 X -1 Слика 7. Приказ карактеристичне линије у тригонометријској кружници 5 5 У тригонометријској кружници карактеристична линија је приказана под углом од 45 степени (δ =45 ), искључиво због бољег приказа и лакше презентације података у оквиру тригонометријске кружнице. 03

14 Acta Economica, година XIV, број 4 / фебруар Сива линија у тригонометријској кружници представља карактеристичну линију. 6 Према томе, на основу слике 7. бета коефицијент можемо изразити сљедећим тригонометријским обликом: 7 β= sinδ = tgδ односно cosδ cosφ β= ctgφ= = ctg( 90 δ) sinφ Међутим, већ је констатовано да је бета коефицијент тржишног портфолија једнак један, што значи да је угао карактеристичног правца тржишног портфолија 45 степени, односно π/4. 8 Сходно тој констатацији, вриједи сљедећи математички облик: β = sin45 = tg45 = 1 cos45 Према томе, анализом тригонометријске кружнице можемо да закључимо, да ће: бета коефицијент бити позитивне вриједности, када се угао карактеристичне линије креће у интервалу између 0 и 90, бета коефицијент бити негативне вриједности када се угао карактеристичне линије креће у интервалу између 90 и 180. Висина бета коефицијента је директно условљена стандардном девијацијом приноса на појединачну ХоВ i или портфолио ХоВ, стандардном девијацијом приноса тржишног портфолија ХоВ t и коефицијентом корелације приноса. Уколико пођемо од теоријске претпоставке да постоји савршено позитивна корелација приноса и уколико је стандардна девијација приноса на ХоВ i већа од стандардне девијације приноса тржишног портфолија t (тржишта), тада ће угао делта бити већи од 45 степени (δ >45 ), а тангенс угла делта ће бити већи од 1 (tgδ > 1). У том случају, системски ризик ХоВ i ће бити већи од системског ризика цијелог тржишта. Са друге 6 Пуни дио карактеристичне линије представља угао од 45 степени, док испрекидани дио линије представља угао од 5 степени. Подјела карактеристичне линије је урађена због карактеристика тригонометријске кружнице, иако је нагиб остао исти (β=1). 7 Под условом да су именици различити од нуле. 8 Синус и косинус угла од 45 степени износи износи 04., док синус и косинус угла од 5 степени

15 Драган Јањић Примјена модела вредновања капиталне активе у функцији одређивања очекиваних приноса предузећа на тржишту капитала Републике Српске стране, уколико постоји савршено позитивна корелација приноса и уколико је стандардна девијација приноса на ХоВ i мања од стандардне девијације приноса тржишног портфолија t (тржишта), тада ће угао делта бити мањи од 45 степени (δ<45 ), а тангенс угла делта ће бити мањи од 1 (tgδ<1). Сагласно тим претпоставкама, системски ризик ХоВ i ће бити мањи од системског ризика цијелог тржишта Извођење модела вредновања капиталне имовине Извођење модела вредновања капиталне имовине се може посматрати са математичког и економског аспекта, а у наставку текста ћемо приказати извођење модела са оба аспекта Математичка интерпретација извођења модела вредновања капиталне имовине Да би приступили извођењу модела вредновања капиталне имовине математичким путем, потребно је математичком формулом приказати нагиб линије тржишта капитала. Нагиб линије тржишта капитала можемо представити сљедећим математичким обликом: OP ( ) B P f SB = σ B Овај нагиб је максималне вриједности када је А једнако В, што можемо видјети на основу слике 8. (Изведено према: Esch, Kieffer and Lopez, 005). О(P) A B P f 0 Слика 8. Линија тржишта капитала σ Сходно томе, може се констатовати да када је A=B, у том контексту, максимална вриједност S је S. Дакле, ако различите акције које чине тржи- B A 05

16 Acta Economica, година XIV, број 4 / фебруар шни портфолио (на основу пропорција) изразимо са X 1, X,..., X sn, (X si = 1), имаћемо (Изведено према: Esch, Kieffer and Lopez, 005): ( SA ) Xk ' = 0 k= 1,,...,N Односно, N N OP ( ) P= XOP ( ) X P= X OP ( ) P N N σ A= XX i j j= 1 j= 1 ( ) A f j j j f j j f j= 1 j= 1 На основу претходног математичког израза, слиједи: S ( OP ( ) P ) ( ) ( ) j A f A f j= 1 A = = N N σ A XX i j j= 1 j= 1 N X OP P Према томе, у односу на X k, слиједи наредни математички облик (Изведено према: Esch, Kieffer and Lopez, 005): ( SA) xk' ( OP P) ( OP P) σ ( OP P) N N N X( OP ( ) P) ( OP ( ) P) σ X( OP ( ) P) Xσ = σ = j A f k f A j A f j kj j= 1 j= 1 j= 1 N ( )( ) σ ( ) OP ( ) P OP ( ) P OP ( ) P Xσ A f k f A A f j kj j= 1 4 A 4 A ( σ ) ( ) ( ) ( ) = σ A f k f A A f ka Односно у коначном облику: ( ) ka OP ( k) Pf = OP ( A) P σ f σ A 4 A σ 06

17 Драган Јањић Примјена модела вредновања капиталне активе у функцији одређивања очекиваних приноса предузећа на тржишту капитала Републике Српске Стопу очекиваног приноса ХоВ k можемо записати и на сљедећи начин: σ OP ( k) = Pf + βk( OP ( A) Pf ), гдје је: βk = σ Гдје је: О(P k ) стопа очекиваног приноса ХоВ k, β k - системски ризик ХоВ k, P f стопа приноса код неризичних улагања, О(P A ) стопа приноса тржишног портфолија А, σ A - варијанса приноса тржишног портфолија А и σ ka коваријанса између стопе приноса на ХоВ k и стопе приноса тржишног портфолија А (тржишта). Претходни математички израз представља модел вредновања капиталне имовине који је изведен математичким путем Економска интерпретација извођења модела вредновања капиталне имовине Након математичке интерпретације модела вредновања капиталне имовине, слиједи за нас економисте, много битнија, економска интерпретација модела. Дакле, полази се од претпоставке да се потенцијални инвеститор налази у стању тржишне равнотеже, гдје има три солуције. Прва солуција је да читав свој капитал уложи у тржишни портфолио ХоВ t који одбацује очекивану стопу приноса О(Р t ), гдје ћемо имати системски ризик једнак тржишном системском ризику, а то је један. Друга солуција је инвеститор свој капитал уложи у безризичну активу, уз одговарајућу стопу приноса P f, гдје нема системског ризика. И трећа солуција је да свој капитал инвеститор једним дијелом инвестира у тржишни портфолио ХоВ t, а другим дијелом у безризичне хартије од вриједности. У том случају, очекивана стопа приноса ће се кретати између владајуће очекиване стопе приноса коју одбацује тржишни портфолио акција О(Р t ) 9 и стопе приноса код безризичних ХоВ P f. 10 Ако се претпостави да је инвеститор Y капитала уложио у тржишни портфолио ХоВ t, и да је β i системски ризик предузећа i, онда је: ( 1 Y) β = Y β + β i t f гдје је, β = 1, a β = 0, слиједи да је β = Y β i β = Y i t t f 9 У литератури се често умјесто очекиване стопе приноса коју одбацује тржишни портфолио може срести назив владајућа очекивана стопа приноса на тржишту капитала. 10 Очекивана стопа приноса ХоВ или портфолија ХоВ ће се кретати између очекиваног приноса тржишног портфолија и стопе приноса безризичних хартија од вриједности, уколико је P f >(О(P t ) P f ) и уколико је бета мања од 1, а уколико је P f <(О(P t ) P f ) и када је бета већа од 1, тада ће очекивана стопа приноса ХоВ или портфолија ХоВ бити изнад О(P t ) ka A 07

18 Acta Economica, година XIV, број 4 / фебруар Претходном једначином је доказано да системски ризик искључиво зависи од улагања у тржишни портфолио ХоВ, јер уколико би цјелокупни капитал инвеститор уложио у безризичну активу, системски ризик би био једнак нули, а очекивана стопа приноса би била једнака стопи приноса код безризичних хартија од вриједности. Према томе, очекивана стопа приноса ХоВ i O(P i ) се добије као пондерисана аритметичка средина очекиване стопе приноса тржишног портфолија ХоВ t O(P t ) и стопе приноса код безризичних улагања Pf, што се може приказати на сљедећи начин (Шошкић, 005). OP ( ) = (1 Y) P+ YOP ( ) i f t а из претходне формуле је β i = Y, слиједи да је OP ( i) = (1 βi) Pf + βiop ( t) OP ( ) = P β P+ βop ( ) i f i f i t ( ) OP ( ) = P+ β OP ( ) P i f i t f Посљедњи израз представља модел вредновања капиталне активе, односно САРМ модел гдје је: О(P i ) стопа очекиваног приноса ХоВ или потрфолија ХоВ i, β i системски ризик ХоВ или портфолија ХоВ i, P f стопа приноса код неризичних улагања, О(P t ) очекивана стопа приноса тржишног портфолија t. Графички приказ који показује однос између очекиваног приноса ХоВ или портфолија ХоВ i и бета коефицијента, као мјере системског ризика ХоВ i, називамо линијом тржишта хартија од вриједности (Security Market Line - SМL). Линија тржишта ХоВ је приказана на слици 9. (Esch, Kieffer and Lopez, 005). P i α SML или CAРМ P t B β i (О(P t ) P f ) P f 0 дефанзивна β=1 агресивна β Слика 9. Тржишна линија ХоВ а или САРМ Сива линија је линија тржишта хартија од вриједности, односно линија модела вредновања капитала. На слици 9. се може уочити да је нагиб ли- 08

19 Драган Јањић Примјена модела вредновања капиталне активе у функцији одређивања очекиваних приноса предузећа на тржишту капитала Републике Српске није тржишта ХоВ одређен ризико премијом β i (О(P t ) P f ). Ризико премија представља умножак цијене ризика (О(P t ) P f ) и количине системског ризика који је мјерен бетом β i. То практично значи, што је већа цијена ризика, самим тим је и нагиб линије тржишта ХоВ већи. У стању тржишне равнотеже, све ХоВ се налазе тачно на линији тржишта ХоВ. Оне ХоВ које се налазе изнад линије тржишта ХоВ су потцијењене ХоВ, као што је нпр. ХоВ А, јер при истом системском ризику ХоВ А нуди много већи очекивани принос него што се може предвидјети линијом тржишта капитала. Та разлика између стварне и фер очекиване стопе приноса обиљежили смо са α. Са друге стране, оне ХоВ које се налазе испод линије тржишта ХоВ су прецијењене ХоВ, као што је нпр. ХоВ В, јер при истом системском ризику ХоВ В нуди много мањи очекивани принос него што се може предвидјети линијом тржишта капитала.. Примјена модела вредновања капиталне активе приликом оређивања очекиваног приноса акција на тржишту капитала Републике Српске У оквиру практичног дијела рада, примијениће се теоријски постулати модела вредновања капиталне имовине на тржишту капитала Републике Српске. Користићемо податке о кретању дневних приноса Берзанског индекса Републике Српске (у даљем тексту БИРС), у периоду од до године, као и кретању дневних приноса акција шеснаест предузећа чије акције котирају на Бањалучкој берзи, а које улазе у састав БИРС-а, у истом периоду. БИРС је цјеновни индекс који је креиран године. Почетна вриједност БИРС-а је 1000 индексних поена и као такав БИРС не укључује исплате дивиденде, а максимално учешће једног емитента на дан формирања и ревизије је 5% (тежина компоненти у индексу је ограничена на 5% у односу на укупну тржишну капитализацију индекса). У састав БИРС-а могу бити укључене акције од 5 до 30 емитената, а тренутно их има 0 (Извор: Бањалучка берза, 015). У овом истраживачком раду БИРС представља тржишни портфолио и послужиће при формирању очекиване стопе приноса тржишног прортфолија. Кретање БИРС-а у периоду од до године се може видјети на слици бр. 10. (Извор: Бањалучка берза, 015). 09

20 Acta Economica, година XIV, број 4 / фебруар Слика 10. Кретање БИРС-а у периоду од до године Према томе, просјечни дневни принос БИРС-а у периоду од до године износи 0,0749%, уз ризик од 0,60930%, који је мјерен стандардном девијацијом приноса. 11 Као стопа приноса на неризична улагања кориштена је стопа приноса на трезорске записе Републике Српске који су емитовани године, а доспијевају године. Јединствена равнотежна стопа приноса за наведени период износи 1,90% (Извор: Бањалучка берза, 015). Међутим, у оквиру истраживања су кориштени дневни приноси, па сходно томе дневна стопа приноса на трезорске записе Републике Српске, примјеном комфорне методе, износи 0,0103%. Сходно томе, може се приступити рачунању Шарповог индекса на сљедећи начин. OP ( t) Pf 0,0769% 0,0103% =,8655% σ = t 0,60930% Шарпов индекс показује да ће се са повећањем ризика БИРС-а за један процентни поен очекивани принос БИРС-а повећати за,86%. 1 Након дефинисања и израчунавања очекиваног приноса БИРС-а, као и стопе приноса на неризична улагања може се приступити рачунању бета 11 Ово практично значи да ће се очекивани принос БИРС-а кретати у интервалу између 0,63679% и -0,58181% у 68,66% свих могућих приноса, односно, између 1,4609% и -1,19111% у 95,44% свих могућих приноса. 1 Анализом Шарповог индекса инвеститор одлучује како ће креирати свој инвестициони портфолио. Уколико је Шарпов индекс мањи од 1, инвеститори повећањем улагања у безризичну активу процентуално више утичу на смањење ризика комплетног портфолија, него на смањење приноса комплетног портфолија и обрнуто. 10

21 Драган Јањић Примјена модела вредновања капиталне активе у функцији одређивања очекиваних приноса предузећа на тржишту капитала Републике Српске коефицијента према формули која је приказана у теоријском дијелу (нпр. за Телеком Српске а.д. Бања Лука): β ТЛКМ ( ) 0,114 0,75 % ( ) = ρ σ ТЛКМ, r БИРС ТЛКМ σ r =, % = 0, БИРС Користећи исту методологију, израчунат је бета коефицијент за шеснаест предузећа чије акције котирају на Бањалучкој берзи, што је приказано у наредној табели. Табела 1. Бета коефицијент Ред. бр. Ознака емитента (ознака ХоВ) Бета коефицијент Коефицијент корелације између дневног приноса БИРС-а и емитента Стандардна девијација приноса Трејенеров рацио 1. ТЛКМ-Р-А 0,603 0,114 0,75% 0,07%. БОКС-Р-А 0,158 0,0877 0,87% 0,14% 3. БВРУ-Р-А 1,063 0,1936 3,34% 0,0% 4. ЦИСТ-Р-А 0,499 0,0861 1,77% 0,07% 5. ЕКБЛ-Р-А 0,473 0,1143,8% 0,04% 6. ЕЛБЈ-Р-А 0,3574 0,1045,08% 0,05% 7. ЕЛДО-Р-А 0,0093 0,0077 0,73% 1,86% 8. ХЕДР-Р-А 0,6034 0,803 1,31% 0,03% 9. ХЕЛВ-Р-А 0,9795 0,438,45% 0,0% 10. ХЕТР-Р-А,6754 0,6459,5% 0,01% 11. ИПБЛ-Р-А 7,9847 0, ,31% 0,00% 1. КРЈН-Р-А 0,000 0,0053 0,3% 8,83% 13. НОВБ-Р-Е 0,3015 0,1484 1,4% 0,06% 14. РТЕУ-Р-А 1,4360 0,718 3,% 0,01% 15. ЗЕРС-Р-А 0,150 0,0 4,18% 0,11% 16. БЛПВ-Р-А 0,158 0,0877 0,87% 0,14% Анализом претходне табеле може се закључити да се дневни приноси на акције посматраних предузећа и БИРС-a крећу у истом правцу, односну имају позитиван коефицијент корелације, па је и бета коефицијент позитивне вриједности. Највећи коефицијент корелације са кретањем дневног приноса БИРС-а има дневни принос на акције Хидроелектране на Требишњици а.д. Требиње који износи 0,6459. Карактеристичан правац приноса на акције предузећа Хидроелектране на Требишњици а.д. Требиње се може видјети на сљедећој слици. 11

22 Acta Economica, година XIV, број 4 / фебруар Хидроелектране на Требишњици а.д. 0% 15% 10% 5% 0% -4% -3% -% -1% 0% 1% % 3% 4% -5% -10% -15% -0% Слика 11. Карактеристичан правац приноса на акције предузећа Хидроелектране на Требишњици а.д. Једначина за карактеристичну линију која показује принос на акције предузећа Хидроелектране на Требишњици а.д. Требиње, као функцију приноса БИРС-а је приказана сљедећим математичким обрасцем: OP ( ) =,6754 OP ( ) 0,000 HETR BIRS Карактеристичан правац је позитивног нагиба искључиво због позитивне вриједности бета коефицијента. Позитивна бета је директна посљедица позитивног коефицијента корелације. То практично значи да се приноси на акције предузећа Хидроелектране на Требишњици а.д. Требиње и приноси БИРС-а крећу у истом смјеру, односно, да у посматраном периоду раст приноса на акције предузећа Хидроелектране на Требишњици а.д. Требиње прати раст БИРС-а и обрнуто. Јенсенова алфа износи -0,000 и показује да је принос на акције предузећа Хидроелектране на Требишњици а.д. Требиње у просјеку био нешто нижи од приноса који одбацује БИРС. Сходно томе, користећи исту методологију може се приказати карактеристична линија приноса на акције свих предузећа који су обухваћени овим истраживањем, као и приноса на акције свих других предузећа чије акције котирају на Бањалучкој берзи. Након израчунавања карактеристичног правца, приступиће се рачунању очекиваних приноса примјеном формуле модела вредновања капиталне имовине, која је приказана у теоријском дијелу (нпр. за предузеће Хидроелектране на Требишњици а.д. Требиње). 1

23 Драган Јањић Примјена модела вредновања капиталне активе у функцији одређивања очекиваних приноса предузећа на тржишту капитала Републике Српске ( ) OP ( ХЕТР Р А) = 0, 0103% +, ,0749% 0, 0103% OP ( ) = 0, 05641% 006, % ХЕТР Р А Према томе, користећи исту методологију, израчунат је очекивани принос за шеснаест предузећа чије акције котирају на Бањалучкој берзи. Поређење очекиваног приноса и оствареног приноса у периоду године је приказано у наредној табели. Табела. Очекивани принос и остварен принос Ред. бр. Ознака ХоВ Емитент Очекивана стопа приноса Просјечна остварена дневна стопа приноса за период године 1. ТЛКМ-Р-А Телеком Српске а.д. Бања Лука 0,01% 0,0%. БОКС-Р-А Боксит а.д. Милићи 0,01% 0,14% 3. БВРУ-Р-А ЗТЦ Бања Врућица а.д. Теслић 0,03% 0,05% 4. ЦИСТ-Р-А Чистоћа а.д. Бања Лука 0,01% 0,08% 5. ЕКБЛ-Р-А Електрокрајина а.д. Бања Лука 0,0% -0,18% 6. ЕЛБЈ-Р-А Електро-Бијељина а.д. Бијељина 0,0% -0,14% 7. ЕЛДО-Р-А Електро-Добој а.д. Добој 0,01% -0,0% 8. ХЕДР-Р-А Хидроелектране на Дрини а.д. Вишеград 0,0% -0,10% 9. ХЕЛВ-Р-А Хидроелектране на Врбасу а.д. Мркоњић Град 0,03% 0,0% 10. ХЕТР-Р-А Хидроелектране на Требишници а.д. Требиње 0,06% -0,17% 11. ИПБЛ-Р-А Индустријске плантаже а.д. Бања Лука 0,15% -0,57% 1. КРЈН-Р-А Крајина ГП а.д Бања Лука 0,01% 0,00% 13. НОВБ-Р-Е Нова Банка а.д. Бања Лука 0,0% -0,4% 14. РТЕУ-Р-А РИТЕ Угљевик а.д. Угљевик 0,04% -0,15% 15. ЗЕРС-Р-А Жељезнице РС а.д. Добој 0,01% 0,00% 16. БЛПВ-Р-А Бањалучка пивара а.д. Бања Лука 0,01% 0,15% У претходној табели приказане су дневне стопе приноса за шеснаест предузећа чије акције котирају на Бањалучкој берзи, а које се могу очекивати у наредних четири до пет мјесеци. Поредећи остварене и очекиване стопе приноса на тржишту капитала Републике Српске, на основу узорака од 16 предузећа чије акције котирају на Бањалучкој берзи, може се закључити да се очекивани дневни приноси на акције предузећа крећу у 68,66% свих могућих приноса. Примјењујући исту методологију може се израчунати очекивана стопа приноса на акције било ког предузећа на тржишту 13

24 Acta Economica, година XIV, број 4 / фебруар капитала Републике Српске. Према томе, овим радом је показано и доказано да се модел вредновања капиталне имовине, у функцији одређивања очекиваних приноса на акције предузећа, може примјењивати као добра аналитичка основа приликом доношења пословних одлука при инвестирању на тржишту капитала Републике Српске. Закључак На развијеним тржиштима капитала (тако и на слабије развијеним тржиштима капитала) модел вредновања капиталне имовине је један од примарних модела који инвеститори користе за израчунавање очекиваног приноса приликом улагања у ХоВ. Према томе, модел вредновања капиталне имовине се темељи на односу између ризика и очекиваних приноса на ризичну активу. САРМ модел полази од тога да ће се инвеститори одлучити на улагање у безризичну активу и у портфолио ризичне активе. Са аспекта ризика улагања у ХоВ, предмет посматрања САРМ јесте само системски ризик, јер се несистемски ризик може елиминисати кроз процес ефикасне диверсификације. Кроз диверсификацију неки од ризика који је својствен средству се може избећи, тако да укупан ризик очигледно нема релевантни утицај на цијену. Сходно томе, системски ризик се квантитативно може изразити кроз бета коефицијент који представља степен промјене приноса појединачне ХоВ или портфолија ХоВ у односу на промјену приноса који одбацује тржишни портфолио. Примјена модела вредновања капиталне имовине у пракси је вишеструка. У оквиру овог рада модел вредновања капиталне имовине је посматран у функцији одређивања очекиваних приноса предузећа на тржишту капитала Републике Српске. Дакле, кориштени су подаци о кретању дневних приноса Берзанског индекса Републике Српске, у периоду од до године, као и кретању дневних приноса акција шеснаест предузећа чије акције котирају на Бањалучкој берзи, а које улазе у састав БИРС-а, у истом периоду. Као стопа приноса на неризична улагања кориштена је стопа приноса на трезорске записе Републике Српске који су емитовани године, а доспијевају године. Након израчунавања остварених дневних приноса, приступило се рачунању бета коефицијента и очекиваних стопа приноса на акције предузећа. Поредећи очекиване приносе на акције предузећа, са просјечним оствареним приносима у периоду од до године, може се закључити да се очекивани дневни приноси посматраних предузећа крећу у 68,66% свих могућих приноса. Овим радом је показано да се да се модел вредновања капиталне имовине, у функцији одређивања очекиваних приноса на акције предузећа, може 14

25 Драган Јањић Примјена модела вредновања капиталне активе у функцији одређивања очекиваних приноса предузећа на тржишту капитала Републике Српске примјењивати као добра аналитичка основа приликом доношења пословних одлука при инвестирању на тржишту капитала Републике Српске. Литература Бањалучка берзе хартија од вриједности. (015). Кретање дневних приноса акција у периоду од до године. Преузето године са Бањалучка берзе хартија од вриједности. (015). Кретање дневних приноса акција у периоду од до године. Преузето године са Bodie, Z.; Kane, A.; Marcus, Ј. А. (009). Osnovi investicija. 6 izd. Beograd: Data Status. Brealey, А. R.; Myers, C. S.; Marcus, J. A. (007). Osnove korporativnih finansija. Zagreb: Mate. Black, F. (197). Capital Market Equilibrium with Restricted Borrowing. Journal of Business, No 45. Van Horne, C. J. и Wachowicz, M. J. (00). Osnove financijskog menadžmenta. 9. izd. Zagreb: Mate d.o.o. Zagreb. Damodaran, A. (007). Korporativne finansije: teorija i praksa. Podgorica: MODUS centar za statistička istraživanja i prognoze. Esch, L.; Kieffer, R. and Lopez, T. (005). Asset and Risk Management. John Wiley & Sons Ltd. Јањић, Д. (013). Примјена САРМ модела приликом одређивања цијене акцијског капитала у Републици Српској. Acta Economica, 19, стр Јањић, Д. (013). Могућност примјене портфолио теорије на тржиштима капитала Средње и Југоисточне Европе. Финансинг, 03/13, стр Tobin, J. (1958). Liquidity Preference as Behavior Towards Risk. The Review of Economic Studies, XXV (February, 1958), рр Jorion, P. (003). Financial Risk Manager Handbook, Second Edition. New Jersey: John Wiley & Sons, Inc. Микеревић, Д. (010). Напредни стратешки финансијски менаџмент.. измијењено и допуњено изд. Бања Лука: Економски факултет и Финрар. Микеревић, Д. (009). Финансијски менаџмент.. измијењено и допуњено изд. Бања Лука: Економски факултет и Финрар. Радивојац, Г. (013). Изазови и перспективе инвестирања на финансијским тржиштима у развоју. Бања Лука: Економски факултет и Финрар. Feibel, J. B. (003). Investment Performance measurement. New Jersey: John Wiley & Sons, Inc. Шошкић, Д. (006). Хартије од вредности: управљање портфолиом и инвестициони фондови. 6 изд. Београд: Центар за издавачку делатност Економског факултета у Београду. 15

налазе се у диелектрику, релативне диелектричне константе ε r = 2, на међусобном растојању 2 a ( a =1cm

налазе се у диелектрику, релативне диелектричне константе ε r = 2, на међусобном растојању 2 a ( a =1cm 1 Два тачкаста наелектрисања 1 400 p и 100p налазе се у диелектрику релативне диелектричне константе ε на међусобном растојању ( 1cm ) као на слици 1 Одредити силу на наелектрисање 3 100p када се оно нађе:

Διαβάστε περισσότερα

1.2. Сличност троуглова

1.2. Сличност троуглова математик за VIII разред основне школе.2. Сличност троуглова Учили смо и дефиницију подударности два троугла, као и четири правила (теореме) о подударности троуглова. На сличан начин наводимо (без доказа)

Διαβάστε περισσότερα

КРУГ. У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице.

КРУГ. У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице. КРУГ У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице. Архимед (287-212 г.п.н.е.) 6.1. Централни и периферијски угао круга Круг

Διαβάστε περισσότερα

предмет МЕХАНИКА 1 Студијски програми ИНДУСТРИЈСКО ИНЖЕЊЕРСТВО ДРУМСКИ САОБРАЋАЈ II ПРЕДАВАЊЕ УСЛОВИ РАВНОТЕЖЕ СИСТЕМА СУЧЕЉНИХ СИЛА

предмет МЕХАНИКА 1 Студијски програми ИНДУСТРИЈСКО ИНЖЕЊЕРСТВО ДРУМСКИ САОБРАЋАЈ II ПРЕДАВАЊЕ УСЛОВИ РАВНОТЕЖЕ СИСТЕМА СУЧЕЉНИХ СИЛА Висока техничка школа струковних студија у Нишу предмет МЕХАНИКА 1 Студијски програми ИНДУСТРИЈСКО ИНЖЕЊЕРСТВО ДРУМСКИ САОБРАЋАЈ II ПРЕДАВАЊЕ УСЛОВИ РАВНОТЕЖЕ СИСТЕМА СУЧЕЉНИХ СИЛА Садржај предавања: Систем

Διαβάστε περισσότερα

7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ

7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ 7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ 7.1. ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ху = n (n N) Диофантова једначина ху = n (n N) има увек решења у скупу природних (а и целих) бројева и њено решавање није проблем,

Διαβάστε περισσότερα

Предмет: Задатак 4: Слика 1.0

Предмет: Задатак 4: Слика 1.0 Лист/листова: 1/1 Задатак 4: Задатак 4.1.1. Слика 1.0 x 1 = x 0 + x x = v x t v x = v cos θ y 1 = y 0 + y y = v y t v y = v sin θ θ 1 = θ 0 + θ θ = ω t θ 1 = θ 0 + ω t x 1 = x 0 + v cos θ t y 1 = y 0 +

Διαβάστε περισσότερα

г) страница aa и пречник 2RR описаног круга правилног шестоугла јесте рац. бр. јесу самерљиве

г) страница aa и пречник 2RR описаног круга правилног шестоугла јесте рац. бр. јесу самерљиве в) дијагонала dd и страница aa квадрата dd = aa aa dd = aa aa = није рац. бр. нису самерљиве г) страница aa и пречник RR описаног круга правилног шестоугла RR = aa aa RR = aa aa = 1 јесте рац. бр. јесу

Διαβάστε περισσότερα

Теорија електричних кола

Теорија електричних кола др Милка Потребић, ванредни професор, Теорија електричних кола, вежбе, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 7. Теорија електричних кола i i i Милка Потребић др Милка Потребић, ванредни професор,

Διαβάστε περισσότερα

b) Израз за угиб дате плоче, ако се користи само први члан реда усвојеног решења, је:

b) Израз за угиб дате плоче, ако се користи само први члан реда усвојеног решења, је: Пример 1. III Савијање правоугаоних плоча За правоугаону плочу, приказану на слици, одредити: a) израз за угиб, b) вредност угиба и пресечних сила у тачки 1 ако се користи само први члан реда усвојеног

Διαβάστε περισσότερα

СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ

СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ 8.. Линеарна једначина с две непознате Упознали смо појам линеарног израза са једном непознатом. Изрази x + 4; (x 4) + 5; x; су линеарни изрази. Слично, линеарни

Διαβάστε περισσότερα

ОБЛАСТИ: 1) Тачка 2) Права 3) Криве другог реда

ОБЛАСТИ: 1) Тачка 2) Права 3) Криве другог реда ОБЛАСТИ: ) Тачка ) Права Jov@soft - Март 0. ) Тачка Тачка је дефинисана (одређена) у Декартовом координатном систему са своје две коодринате. Примери: М(5, ) или М(-, 7) или М(,; -5) Jov@soft - Март 0.

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ УПУТСТВО ЗА ОЦЕЊИВАЊЕ ОБАВЕЗНО ПРОЧИТАТИ ОПШТА УПУТСТВА 1. Сваки

Διαβάστε περισσότερα

6.2. Симетрала дужи. Примена

6.2. Симетрала дужи. Примена 6.2. Симетрала дужи. Примена Дата је дуж АВ (слика 22). Тачка О је средиште дужи АВ, а права је нормална на праву АВ(p) и садржи тачку О. p Слика 22. Права назива се симетрала дужи. Симетрала дужи је права

Διαβάστε περισσότερα

2. Наставни колоквијум Задаци за вежбање ОЈЛЕРОВА МЕТОДА

2. Наставни колоквијум Задаци за вежбање ОЈЛЕРОВА МЕТОДА . колоквијум. Наставни колоквијум Задаци за вежбање У свим задацима се приликом рачунања добија само по једна вредност. Одступање појединачне вредности од тачне вредности је апсолутна грешка. Вредност

Διαβάστε περισσότερα

Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама r и ϕ.

Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама r и ϕ. VI Савијање кружних плоча Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама и ϕ слика 61 Диференцијална једначина савијања кружне плоче је: ( ϕ) 1 1 w 1 w 1 w Z, + + + + ϕ ϕ K Пресечне

Διαβάστε περισσότερα

Први корак у дефинисању случајне променљиве је. дефинисање и исписивање свих могућих eлементарних догађаја.

Први корак у дефинисању случајне променљиве је. дефинисање и исписивање свих могућих eлементарних догађаја. СЛУЧАЈНА ПРОМЕНЉИВА Једнодимензионална случајна променљива X је пресликавање у коме се сваки елементарни догађај из простора елементарних догађаја S пресликава у вредност са бројне праве Први корак у дефинисању

Διαβάστε περισσότερα

ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА. k, k 0), осна и централна симетрија и сл. 2, x 0. У претходном примеру неке функције су линеарне а неке то нису.

ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА. k, k 0), осна и централна симетрија и сл. 2, x 0. У претходном примеру неке функције су линеарне а неке то нису. ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА 5.. Функција = a + b Функционалне зависности су веома значајне и са њиховим применама често се сусрећемо. Тако, већ су нам познате директна и обрнута пропорционалност ( = k; = k, k ),

Διαβάστε περισσότερα

Tестирање хипотеза. 5.час. 30. март Боjана Тодић Статистички софтвер март / 10

Tестирање хипотеза. 5.час. 30. март Боjана Тодић Статистички софтвер март / 10 Tестирање хипотеза 5.час 30. март 2016. Боjана Тодић Статистички софтвер 2 30. март 2016. 1 / 10 Монте Карло тест Монте Карло методе су методе код коjих се употребљаваjу низови случаjних броjева за извршење

Διαβάστε περισσότερα

5.2. Имплицитни облик линеарне функције

5.2. Имплицитни облик линеарне функције математикa за VIII разред основне школе 0 Слика 6 8. Нацртај график функције: ) =- ; ) =,5; 3) = 0. 9. Нацртај график функције и испитај њен знак: ) = - ; ) = 0,5 + ; 3) =-- ; ) = + 0,75; 5) = 0,5 +. 0.

Διαβάστε περισσότερα

Упутство за избор домаћих задатака

Упутство за избор домаћих задатака Упутство за избор домаћих задатака Студент од изабраних задатака области Математике 2: Комбинаторика, Вероватноћа и статистика бира по 20 задатака. Студент може бирати задатке помоћу програмског пакета

Διαβάστε περισσότερα

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ предмет: ОСНОВИ МЕХАНИКЕ студијски програм: ЗАШТИТА ЖИВОТНЕ СРЕДИНЕ И ПРОСТОРНО ПЛАНИРАЊЕ ПРЕДАВАЊЕ БРОЈ 2. Садржај предавања: Систем сучељних сила у равни

Διαβάστε περισσότερα

Скрипта ријешених задатака са квалификационих испита 2010/11 г.

Скрипта ријешених задатака са квалификационих испита 2010/11 г. Скрипта ријешених задатака са квалификационих испита 00/ г Универзитет у Бањој Луци Електротехнички факултет Др Момир Ћелић Др Зоран Митровић Иван-Вања Бороја Садржај Квалификациони испит одржан 9 јуна

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 013/014. година ТЕСТ

Διαβάστε περισσότερα

6.5 Површина круга и његових делова

6.5 Површина круга и његових делова 7. Тетива је једнака полупречнику круга. Израчунај дужину мањег одговарајућег лука ако је полупречник 2,5 сm. 8. Географска ширина Београда је α = 44 47'57", а полупречник Земље 6 370 km. Израчунај удаљеност

Διαβάστε περισσότερα

Тангента Нека је дата крива C са једначином y = f (x)

Тангента Нека је дата крива C са једначином y = f (x) Dbić N Извод као појам се први пут појављује крајем XVII вијека у вези са израчунавањем неравномјерних кретања. Прецизније, помоћу извода је било могуће увести појам тренутне брзине праволинијског кретања.

Διαβάστε περισσότερα

Вектори vs. скалари. Векторске величине се описују интензитетом и правцем. Примери: Померај, брзина, убрзање, сила.

Вектори vs. скалари. Векторске величине се описују интензитетом и правцем. Примери: Померај, брзина, убрзање, сила. Вектори 1 Вектори vs. скалари Векторске величине се описују интензитетом и правцем Примери: Померај, брзина, убрзање, сила. Скаларне величине су комплетно описане само интензитетом Примери: Температура,

Διαβάστε περισσότερα

Анализа Петријевих мрежа

Анализа Петријевих мрежа Анализа Петријевих мрежа Анализа Петријевих мрежа Мере се: Својства Петријевих мрежа: Досежљивост (Reachability) Проблем досежљивости се састоји у испитивању да ли се може достићи неко, жељено или нежељено,

Διαβάστε περισσότερα

ТРАПЕЗ РЕГИОНАЛНИ ЦЕНТАР ИЗ ПРИРОДНИХ И ТЕХНИЧКИХ НАУКА У ВРАЊУ. Аутор :Петар Спасић, ученик 8. разреда ОШ 8. Октобар, Власотинце

ТРАПЕЗ РЕГИОНАЛНИ ЦЕНТАР ИЗ ПРИРОДНИХ И ТЕХНИЧКИХ НАУКА У ВРАЊУ. Аутор :Петар Спасић, ученик 8. разреда ОШ 8. Октобар, Власотинце РЕГИОНАЛНИ ЦЕНТАР ИЗ ПРИРОДНИХ И ТЕХНИЧКИХ НАУКА У ВРАЊУ ТРАПЕЗ Аутор :Петар Спасић, ученик 8. разреда ОШ 8. Октобар, Власотинце Ментор :Криста Ђокић, наставник математике Власотинце, 2011. године Трапез

Διαβάστε περισσότερα

TAЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА

TAЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА TЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА Два тачкаста наелектрисања оптерећена количинама електрицитета и налазе се у вакууму као што је приказано на слици Одредити: а) Вектор јачине електростатичког поља у тачки А; б) Електрични

Διαβάστε περισσότερα

2. EЛЕМЕНТАРНЕ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ

2. EЛЕМЕНТАРНЕ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ 2. EЛЕМЕНТАРНЕ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ 2.1. МАТЕМАТИЧКИ РЕБУСИ Најједноставније Диофантове једначине су математички ребуси. Метод разликовања случајева код ових проблема се показује плодоносним, јер је раздвајање

Διαβάστε περισσότερα

Универзитет у Крагујевцу Факултет за машинство и грађевинарство у Краљеву Катедра за основне машинске конструкције и технологије материјала

Универзитет у Крагујевцу Факултет за машинство и грађевинарство у Краљеву Катедра за основне машинске конструкције и технологије материјала Теоријски део: Вежба број ТЕРМИЈСКА AНАЛИЗА. Термијска анализа је поступак који је 903.год. увео G. Tamman за добијање криве хлађења(загревања). Овај поступак заснива се на принципу промене топлотног садржаја

Διαβάστε περισσότερα

Слика 1. Слика 1.2 Слика 1.1

Слика 1. Слика 1.2 Слика 1.1 За случај трожичног вода приказаног на слици одредити: а Вектор магнетне индукције у тачкама А ( и ( б Вектор подужне силе на проводник са струјом Систем се налази у вакууму Познато је: Слика Слика Слика

Διαβάστε περισσότερα

ACTA ECONOMICA. УДК 33, ISSN X, e ISSN X

ACTA ECONOMICA. УДК 33, ISSN X, e ISSN X ACTA ECONOMICA УДК 33, ISSN 1512-858X, e ISSN 2232 738X ACTA ECONOMICA Научни часопис за економију Излази двапут годишње ИЗДАВАЧ: Економски факултет Универзитета у Бањој Луци БиХ, РС, 78000 Бања Лука Мајке

Διαβάστε περισσότερα

3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни

3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни ТАЧКА. ПРАВА. РАВАН Талес из Милета (624 548. пре н. е.) Еуклид (330 275. пре н. е.) Хилберт Давид (1862 1943) 3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни Настанак геометрије повезује

Διαβάστε περισσότερα

Аксиоме припадања. Никола Томовић 152/2011

Аксиоме припадања. Никола Томовић 152/2011 Аксиоме припадања Никола Томовић 152/2011 Павле Васић 104/2011 1 Шта је тачка? Шта је права? Шта је раван? Да бисмо се бавили геометријом (и не само геометријом), морамо увести основне појмове и полазна

Διαβάστε περισσότερα

ТРЖИШНИ РИЗИК - ВАР МЕТОДОЛОГИЈА. ВАР МЕТОДОЛОГИЈА НА ПРИМЕРУ УПРАВЉАЊА РИЗИКОМ ПРОМЕНА ЦЕНА ХоВ

ТРЖИШНИ РИЗИК - ВАР МЕТОДОЛОГИЈА. ВАР МЕТОДОЛОГИЈА НА ПРИМЕРУ УПРАВЉАЊА РИЗИКОМ ПРОМЕНА ЦЕНА ХоВ ТРЖИШНИ РИЗИК - ВАР МЕТОДОЛОГИЈА У оквиру савремених финансијских тржишта финансијске институције су изложене бројним ризицима, од којих је тржишни ризик један од значајнијих. Према дефиницији Банке за

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Решавање линеарних једначина с једном непознатом

2.3. Решавање линеарних једначина с једном непознатом . Решимо једначину 5. ( * ) + 5 + Провера: + 5 + 0 5 + 5 +. + 0. Број је решење дате једначине... Реши једначину: ) +,5 ) + ) - ) - -.. Да ли су следеће једначине еквивалентне? Провери решавањем. ) - 0

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ПРОБНИ ЗАВРШНИ ИСПИТ школска 016/017. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ПРЕГЛЕДАЊЕ

Διαβάστε περισσότερα

Количина топлоте и топлотна равнотежа

Количина топлоте и топлотна равнотежа Количина топлоте и топлотна равнотежа Топлота и количина топлоте Топлота је један од видова енергије тела. Енергија коју тело прими или отпушта у топлотним процесима назива се количина топлоте. Количина

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 01/01. година ТЕСТ

Διαβάστε περισσότερα

ЗБИРКА РИЈЕШЕНИХ ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ

ЗБИРКА РИЈЕШЕНИХ ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Универзитет у Источном Сарајеву Електротехнички факултет НАТАША ПАВЛОВИЋ ЗБИРКА РИЈЕШЕНИХ ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Источно Сарајево,. године ПРЕДГОВОР Збирка задатака је првенствено намијењена

Διαβάστε περισσότερα

Хомогена диференцијална једначина је она која може да се напише у облику: = t( x)

Хомогена диференцијална једначина је она која може да се напише у облику: = t( x) ДИФЕРЕНЦИЈАЛНЕ ЈЕДНАЧИНЕ Штa треба знати пре почетка решавања задатака? Врсте диференцијалних једначина. ДИФЕРЕНЦИЈАЛНА ЈЕДНАЧИНА КОЈА РАЗДВАЈА ПРОМЕНЉИВЕ Код ове методе поступак је следећи: раздвојити

Διαβάστε περισσότερα

10.3. Запремина праве купе

10.3. Запремина праве купе 0. Развијени омотач купе је исечак чији је централни угао 60, а тетива која одговара том углу је t. Изрази површину омотача те купе у функцији од t. 0.. Запремина праве купе. Израчунај запремину ваљка

Διαβάστε περισσότερα

I Тачка 1. Растојање две тачке: 2. Средина дужи y ( ) ( ) 2. II Права 1. Једначина прамена правих 2. Једначина праве кроз две тачке ( )

I Тачка 1. Растојање две тачке: 2. Средина дужи y ( ) ( ) 2. II Права 1. Једначина прамена правих 2. Једначина праве кроз две тачке ( ) Шт треба знати пре почетка решавања задатака? АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА У РАВНИ I Тачка. Растојање две тачке:. Средина дужи + ( ) ( ) + S + S и. Деоба дужи у односу λ: 4. Површина троугла + λ + λ C + λ и P

Διαβάστε περισσότερα

УНИВЕРЗИТЕТ У КРАГУЈЕВЦУ ЕКОНОМСКИ ФАКУЛТЕТ. Миљан Лековић САВРЕМЕНА ПОРТФОЛИО ТЕОРИЈА И ОЦЕНА ИНВЕСТИЦИОНИХ ПЕРФОРМАНСИ

УНИВЕРЗИТЕТ У КРАГУЈЕВЦУ ЕКОНОМСКИ ФАКУЛТЕТ. Миљан Лековић САВРЕМЕНА ПОРТФОЛИО ТЕОРИЈА И ОЦЕНА ИНВЕСТИЦИОНИХ ПЕРФОРМАНСИ УНИВЕРЗИТЕТ У КРАГУЈЕВЦУ ЕКОНОМСКИ ФАКУЛТЕТ Миљан Лековић САВРЕМЕНА ПОРТФОЛИО ТЕОРИЈА И ОЦЕНА ИНВЕСТИЦИОНИХ ПЕРФОРМАНСИ Докторска дисертација Крагујевац, 2017. година ИДЕНТИФИКАЦИОНА СТРАНИЦА ДОКТОРСКЕ

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 011/01. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

6.1. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре

6.1. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре 0 6.. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре У обичном говору се често каже да су неки предмети симетрични. Примери таквих објеката, предмета, геометријских

Διαβάστε περισσότερα

4.4. Паралелне праве, сечица. Углови које оне одређују. Углови са паралелним крацима

4.4. Паралелне праве, сечица. Углови које оне одређују. Углови са паралелним крацима 50. Нацртај било које унакрсне углове. Преношењем утврди однос унакрсних углова. Какво тврђење из тога следи? 51. Нацртај угао чија је мера 60, а затим нацртај њему унакрсни угао. Колика је мера тог угла?

Διαβάστε περισσότερα

8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х 2 + у 2 = z 2

8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х 2 + у 2 = z 2 8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х + у = z Један од најзанимљивијих проблема теорије бројева свакако је проблем Питагориних бројева, тј. питање решења Питагорине Диофантове једначине. Питагориним бројевима или

Διαβάστε περισσότερα

7.3. Површина правилне пирамиде. Површина правилне четворостране пирамиде

7.3. Површина правилне пирамиде. Површина правилне четворостране пирамиде математик за VIII разред основне школе 4. Прво наћи дужину апотеме. Како је = 17 cm то је тражена површина P = 18+ 4^cm = ^4+ cm. 14. Основа четворостране пирамиде је ромб чије су дијагонале d 1 = 16 cm,

Διαβάστε περισσότερα

Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске

Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске слика. У свакој тачки посматране средње површи, у општем случају, постоје два компонентална померања: v - померање у правцу тангенте на меридијалну

Διαβάστε περισσότερα

ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Јун 2003.

ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Јун 2003. Природно-математички факултет 7 ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Јун 00.. Одредити све вредности параметра m за које су оба решења једначине x x + m( m 4) = 0 (a) реална; (b) реална и позитивна. Решење: (а) [ 5, + (б) [

Διαβάστε περισσότερα

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x,

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x, РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x, Већи број: 1 : 4x + 1, (4 бода) Њихов збир: 1 : 5x + 1, Збир умањен за остатак: : 5x = 55, 55 : 5 = 11; 11 4 = ; + 1 = 45; : x = 11. Дакле, први број је 45

Διαβάστε περισσότερα

ПОГЛАВЉЕ 3: РАСПОДЕЛА РЕЗУЛТАТА МЕРЕЊА

ПОГЛАВЉЕ 3: РАСПОДЕЛА РЕЗУЛТАТА МЕРЕЊА ПОГЛАВЉЕ 3: РАСПОДЕЛА РЕЗУЛТАТА МЕРЕЊА Стандардна девијација показује расподелу резултата мерења око средње вредности, али не указује на облик расподеле. У табели 1 су дате вредности за 50 поновљених одређивања

Διαβάστε περισσότερα

АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА. - удаљеност између двије тачке. 1 x2

АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА. - удаљеност између двије тачке. 1 x2 АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА d AB x x y - удаљеност између двије тачке y x x x y s, y y s - координате средишта дужи x x y x, y y - подјела дужи у заданом односу x x x y y y xt, yt - координате тежишта троугла

Διαβάστε περισσότερα

ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ 2 (13Е013ЕП2) октобар 2016.

ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ 2 (13Е013ЕП2) октобар 2016. ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ (3Е03ЕП) октобар 06.. Батерија напона B = 00 пуни се преко трофазног полууправљивог мосног исправљача, који је повезан на мрежу 3x380, 50 Hz преко трансформатора у спрези y, са преносним

Διαβάστε περισσότερα

ПОВРШИНа ЧЕТВОРОУГЛОВА И ТРОУГЛОВА

ПОВРШИНа ЧЕТВОРОУГЛОВА И ТРОУГЛОВА ПОВРШИНа ЧЕТВОРОУГЛОВА И ТРОУГЛОВА 1. Допуни шта недостаје: а) 5m = dm = cm = mm; б) 6dm = m = cm = mm; в) 7cm = m = dm = mm. ПОЈАМ ПОВРШИНЕ. Допуни шта недостаје: а) 10m = dm = cm = mm ; б) 500dm = a

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 014/01. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

Факултет организационих наука Центар за пословно одлучивање. PROMETHEE (Preference Ranking Organization Method for Enrichment Evaluation)

Факултет организационих наука Центар за пословно одлучивање. PROMETHEE (Preference Ranking Organization Method for Enrichment Evaluation) Факултет организационих наука Центар за пословно одлучивање PROMETHEE (Preference Ranking Organization Method for Enrichment Evaluation) Студија случаја D-Sight Консултантске услуге за Изградња брзе пруге

Διαβάστε περισσότερα

РЈЕШЕЊА ЗАДАТАКА СА ТАКМИЧЕЊА ИЗ ЕЛЕКТРИЧНИХ МАШИНА Електријада 2004

РЈЕШЕЊА ЗАДАТАКА СА ТАКМИЧЕЊА ИЗ ЕЛЕКТРИЧНИХ МАШИНА Електријада 2004 РЈЕШЕЊА ЗАДАТАКА СА ТАКМИЧЕЊА ИЗ ЕЛЕКТРИЧНИХ МАШИНА Електријада 004 ТРАНСФОРМАТОРИ Tрофазни енергетски трансформатор 100 VA има напон и реактансу кратког споја u 4% и x % респективно При номиналном оптерећењу

Διαβάστε περισσότερα

6.3. Паралелограми. Упознајмо још нека својства паралелограма: ABD BCD (УСУ), одакле је: а = c и b = d. Сл. 23

6.3. Паралелограми. Упознајмо још нека својства паралелограма: ABD BCD (УСУ), одакле је: а = c и b = d. Сл. 23 6.3. Паралелограми 27. 1) Нацртај паралелограм чији је један угао 120. 2) Израчунај остале углове тог четвороугла. 28. Дат је паралелограм (сл. 23), при чему је 0 < < 90 ; c и. c 4 2 β Сл. 23 1 3 Упознајмо

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 0/06. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

Теорија одлучивања. Анализа ризика

Теорија одлучивања. Анализа ризика Теорија одлучивања Анализа ризика Циљеви предавања Упознавање са процесом анализе ризика Моделовање ризика Монте-Карло Симулација Предности и недостаци анализе ризика 2 Дефиниција ризика (квалитативни

Διαβάστε περισσότερα

6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c

6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c 6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c Ако су а, b и с цели бројеви и аb 0, онда се линеарна једначина ах + bу = с, при чему су х и у цели бројеви, назива линеарна Диофантова једначина. Очигледно

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ОЦЕЊИВАЊЕ ОБАВЕЗНО ПРОЧИТАТИ ОПШТА УПУТСТВА 1. Сваки

Διαβάστε περισσότερα

1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1

1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1 1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1 Метод разликовања случајева је један од најексплоатисанијих метода за решавање математичких проблема. У теорији Диофантових једначина он није свемогућ, али је сигурно

Διαβάστε περισσότερα

Теорија електричних кола

Теорија електричних кола Др Милка Потребић, ванредни професор, Теорија електричних кола, вежбе, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 7. Теорија електричних кола Милка Потребић Др Милка Потребић, ванредни професор,

Διαβάστε περισσότερα

ОДЛУКУ. I Народна скупштина Републике Српске усваја Измјене и допуне Развојног програма Републике Српске, година.

ОДЛУКУ. I Народна скупштина Републике Српске усваја Измјене и допуне Развојног програма Републике Српске, година. 1102 На основу члана 70. став 1. тачка 2. Устава Републике Српске, члана 183. и члана 187. ст. 1. и 2. Пословника Народне скупштине Републике Српске - Пречишћени текст ( Службени гласник Републике Српске,

Διαβάστε περισσότερα

ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ СА РЕШЕНИМ ПРИМЕРИМА, са додатком теорије

ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ СА РЕШЕНИМ ПРИМЕРИМА, са додатком теорије ГРАЂЕВИНСКА ШКОЛА Светог Николе 9 Београд ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ СА РЕШЕНИМ ПРИМЕРИМА са додатком теорије - за II разред IV степен - Драгана Радовановић проф математике Београд СТЕПЕНОВАЊЕ И КОРЕНОВАЊЕ

Διαβάστε περισσότερα

РЕШЕНИ ЗАДАЦИ СА РАНИЈЕ ОДРЖАНИХ КЛАСИФИКАЦИОНИХ ИСПИТА

РЕШЕНИ ЗАДАЦИ СА РАНИЈЕ ОДРЖАНИХ КЛАСИФИКАЦИОНИХ ИСПИТА РЕШЕНИ ЗАДАЦИ СА РАНИЈЕ ОДРЖАНИХ КЛАСИФИКАЦИОНИХ ИСПИТА 006. Задатак. Одредити вредност израза: а) : за, и 69 0, ; б) 9 а) Како је за 0 и 0 дати израз идентички једнак изразу,, : : то је за дате вредности,

Διαβάστε περισσότερα

Семинарски рад из линеарне алгебре

Семинарски рад из линеарне алгебре Универзитет у Београду Машински факултет Докторске студије Милош Живановић дипл. инж. Семинарски рад из линеарне алгебре Београд, 6 Линеарна алгебра семинарски рад Дата је матрица: Задатак: a) Одредити

Διαβάστε περισσότερα

ТАНГЕНТА. *Кружница дели раван на две области, једну, спољашњу која је неограничена и унутрашњу која је ограничена(кружницом).

ТАНГЕНТА. *Кружница дели раван на две области, једну, спољашњу која је неограничена и унутрашњу која је ограничена(кружницом). СЕЧИЦА(СЕКАНТА) ЦЕНТАР ПОЛУПРЕЧНИК ТАНГЕНТА *КРУЖНИЦА ЈЕ затворена крива линија која има особину да су све њене тачке једнако удаљене од једне сталне тачке која се зове ЦЕНТАР КРУЖНИЦЕ. *Дуж(OA=r) која

Διαβάστε περισσότερα

Математика Тест 3 Кључ за оцењивање

Математика Тест 3 Кључ за оцењивање Математика Тест 3 Кључ за оцењивање ОПШТЕ УПУТСТВО ЗА ОЦЕЊИВАЊЕ Кључ за оцењивање дефинише начин на који се оцењује сваки поједини задатак. У општим упутствима за оцењивање дефинисане су оне ситуације

Διαβάστε περισσότερα

4. Троугао. (II део) 4.1. Појам подударности. Основна правила подударности троуглова

4. Троугао. (II део) 4.1. Појам подударности. Основна правила подударности троуглова 4 Троугао (II део) Хилберт Давид, немачки математичар и логичар Велики углед у свету Хилберту је донело дело Основи геометрије (1899), у коме излаже еуклидску геометрију на аксиоматски начин Хилберт Давид

Διαβάστε περισσότερα

Примена првог извода функције

Примена првог извода функције Примена првог извода функције 1. Одреди дужине страница два квадрата тако да њихов збир буде 14 а збир површина тих квадрата минималан. Ре: x + y = 14, P(x, y) = x + y, P(x) = x + 14 x, P (x) = 4x 8 Први

Διαβάστε περισσότερα

ТРОУГАО. права p садржи теме C и сече страницу. . Одредити највећи угао троугла ако је ABC

ТРОУГАО. права p садржи теме C и сече страницу. . Одредити највећи угао троугла ако је ABC ТРОУГАО 1. У троуглу АВС израчунати оштар угао између: а)симетрале углова код А и В ако је угао код А 84 а код С 43 б)симетрале углова код А и В ако је угао код С 40 в)између симетрале угла код А и висине

Διαβάστε περισσότερα

ОБВЕЗНИЦЕ КАО БЕРЗАНСКА РОБА

ОБВЕЗНИЦЕ КАО БЕРЗАНСКА РОБА УНИВЕРЗИТЕТ СИНГИДУНУМ ДЕПАРТМАН ЗА ПОСЛЕДИПЛОМСКЕ СТУДИЈЕ МАСТЕР РАД ОБВЕЗНИЦЕ КАО БЕРЗАНСКА РОБА Ментор: Проф. др Милорад Унковић Студент: Александар Ј. Рашета Број индекса: 400394/2009 Београд, 2010.

Διαβάστε περισσότερα

УТИЦАЈ РАЧУНОВОДСТВЕНИХ ИНФОРМАЦИЈА НА ОДАБИР АКЦИЈА НА ТРЖИШТУ КАПИТАЛА У БОСНИ И ХЕРЦЕГОВИНИ

УТИЦАЈ РАЧУНОВОДСТВЕНИХ ИНФОРМАЦИЈА НА ОДАБИР АКЦИЈА НА ТРЖИШТУ КАПИТАЛА У БОСНИ И ХЕРЦЕГОВИНИ ACTA ECONOMICA (Online), год. 10, бр. 16 / фебруар 2012. УДК 339.137:336.763.1, e ISSN 2232 738X ПРЕГЛЕДНИ ЧЛАНАК DOI: 10.7215/ACE1216247D Миро Џакула 1 УТИЦАЈ РАЧУНОВОДСТВЕНИХ ИНФОРМАЦИЈА НА ОДАБИР АКЦИЈА

Διαβάστε περισσότερα

Концепт параметра вриједности при ризику и контрола ризика у Црној Гори

Концепт параметра вриједности при ризику и контрола ризика у Црној Гори ACTA ECONOMICA Година XII, број 21 / јул 2014. ISSN 1512-858X, e ISSN 2232 738X СТРУЧНИ ЧЛАНАК УДК: 347.518:368.212.03 DOI: 10.7251/ACE1421105C COBISS.SIID 4502808 Јулија Церовић 1 Концепт параметра вриједности

Διαβάστε περισσότερα

Висока техничка школа струковних студија Београд Математика 2 Интервали поверења и линеарна регресија предавач: др Мићо Милетић

Висока техничка школа струковних студија Београд Математика 2 Интервали поверења и линеарна регресија предавач: др Мићо Милетић Математика Интервали поверења и линеарна регресија предавач: др Мићо Милетић Интервали поверења Тачкасте оцене параметара основног скупа могу се сматрати као приликом обраде узорка. Њихов недостатак је

Διαβάστε περισσότερα

I Линеарне једначине. II Линеарне неједначине. III Квадратна једначина и неједначина АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ

I Линеарне једначине. II Линеарне неједначине. III Квадратна једначина и неједначина АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ Штa треба знати пре почетка решавања задатака? АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ I Линеарне једначине Линеарне једначине се решавају по следећем шаблону: Ослободимо се разломка Ослободимо се заграде Познате

Διαβάστε περισσότερα

Теорија друштвеног избора

Теорија друштвеног избора Теорија друштвеног избора Процедура гласања је средство избора између више опција, базирано на подацима које дају индивидуе (агенти). Теорија друштвеног избора је студија процеса и процедура доношења колективних

Διαβάστε περισσότερα

Писмени испит из Теорије површинских носача. 1. За континуалну плочу приказану на слици одредити угиб и моменте савијања у означеним тачкама.

Писмени испит из Теорије површинских носача. 1. За континуалну плочу приказану на слици одредити угиб и моменте савијања у означеним тачкама. Београд, 24. јануар 2012. 1. За континуалну плочу приказану на слици одредити угиб и моменте савијања у означеним тачкама. dpl = 0.2 m P= 30 kn/m Линијско оптерећење се мења по синусном закону: 2. За плочу

Διαβάστε περισσότερα

Скупови (наставак) Релације. Професор : Рака Јовановић Асиситент : Јелена Јовановић

Скупови (наставак) Релације. Професор : Рака Јовановић Асиситент : Јелена Јовановић Скупови (наставак) Релације Професор : Рака Јовановић Асиситент : Јелена Јовановић Дефиниција дуалне скуповне формуле За скуповне формулу f, која се састоји из једног или више скуповних симбола и њихових

Διαβάστε περισσότερα

Динамика. Описује везу између кретања објекта и сила које делују на њега. Закони класичне динамике важе:

Динамика. Описује везу између кретања објекта и сила које делују на њега. Закони класичне динамике важе: Њутнови закони 1 Динамика Описује везу између кретања објекта и сила које делују на њега. Закони класичне динамике важе: када су објекти довољно велики (>димензија атома) када се крећу брзином много мањом

Διαβάστε περισσότερα

Разлика потенцијала није исто што и потенцијална енергија. V = V B V A = PE / q

Разлика потенцијала није исто што и потенцијална енергија. V = V B V A = PE / q Разлика потенцијала Разлика потенцијала између тачака A и B се дефинише као промена потенцијалне енергије (крајња минус почетна вредност) када се наелектрисање q помера из тачке A утачку B подељена са

Διαβάστε περισσότερα

Од површине троугла до одређеног интеграла

Од површине троугла до одређеног интеграла Природно-математички факултет, Универзитет у Нишу, Србија http://www.pmf.i.ac.rs/mii Математика и информатика (4) (5), 49-7 Од површине троугла до одређеног интеграла Жарко Ђурић Париске комуне 4-/8, Врање

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Тест Математика Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 00/0. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

СТАБИЛНОСТ МАТРИЦЕ КОВАРИЈАНСЕ И ПРОБЛЕМ ОПТИМИЗАЦИЈЕ ПОРТФОЛИЈА

СТАБИЛНОСТ МАТРИЦЕ КОВАРИЈАНСЕ И ПРОБЛЕМ ОПТИМИЗАЦИЈЕ ПОРТФОЛИЈА УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И ИНФОРМАТИКУ Светлана Миловановић СТАБИЛНОСТ МАТРИЦЕ КОВАРИЈАНСЕ И ПРОБЛЕМ ОПТИМИЗАЦИЈЕ ПОРТФОЛИЈА - мастер рад - Ментор:

Διαβάστε περισσότερα

Флукс, електрична енергија, електрични потенцијал

Флукс, електрична енергија, електрични потенцијал Флукс, електрична енергија, електрични потенцијал 1 Електрични флукс Ако линије поља пролазе кроз површину A која је нормална на њих Производ EA је флукс, Φ Генерално: Φ E = E A cos θ 2 Електрични флукс,

Διαβάστε περισσότερα

НЕПАРАМЕТАРСКИ ТЕСТОВИ. Илија Иванов Невена Маркус

НЕПАРАМЕТАРСКИ ТЕСТОВИ. Илија Иванов Невена Маркус НЕПАРАМЕТАРСКИ ТЕСТОВИ Илија Иванов 2016201349 Невена Маркус 2016202098 Параметарски и Непараметарски Тестови ПАРАМЕТАРСКИ Базиран на одређеним претпоставкама везаним за параметре и расподеле популације.

Διαβάστε περισσότερα

ИЗВОД ИЗ ИЗВЕШТАЈА О ЦЕНАМА КОМУНАЛНИХ УСЛУГА - УДРУЖЕЊЕ ЗА КОМУНАЛНЕ ДЕЛАТНОСТИ -

ИЗВОД ИЗ ИЗВЕШТАЈА О ЦЕНАМА КОМУНАЛНИХ УСЛУГА - УДРУЖЕЊЕ ЗА КОМУНАЛНЕ ДЕЛАТНОСТИ - ИЗВОД ИЗ ИЗВЕШТАЈА О ЦЕНАМА КОМУНАЛНИХ УСЛУГА - УДРУЖЕЊЕ ЗА КОМУНАЛНЕ ДЕЛАТНОСТИ - ЦЕНЕ ПРОИЗВОДЊЕ И ДИСТРИБУЦИЈЕ ВОДЕ И ЦЕНЕ САКУПЉАЊА, ОДВОђЕЊА И ПРЕЧИШЋАВАЊА ОТПАДНИХ ВОДА НА НИВОУ ГРУПАЦИЈЕ ВОДОВОДА

Διαβάστε περισσότερα

ТЕЗИ ОПШТА В Ш Т 1 - Е М Ј Е Д Н А Ч И Н «Л Р В О Г А Р Ш ФИЛ030ФСК0Г ФАКУЛТЕТА УНИВЕРЗИТЕТА У A Ù y'..' Х СИМЕ М. МАРКОВИЋА ПРИМЉЕНА ЗА

ТЕЗИ ОПШТА В Ш Т 1 - Е М Ј Е Д Н А Ч И Н «Л Р В О Г А Р Ш ФИЛ030ФСК0Г ФАКУЛТЕТА УНИВЕРЗИТЕТА У A Ù y'..' Х СИМЕ М. МАРКОВИЋА ПРИМЉЕНА ЗА ОПШТА В Ш Т 1 - Е М Ј Е Д Н А Ч И Н «Л Р В О Г А Р Ш ТЕЗИ СИМЕ М. МАРКОВИЋА ПРИМЉЕНА ЗА Д О КТО РСКИ и с п и т НА СЕДНИЦИ ФИЛ030ФСК0Г ФАКУЛТЕТА УНИВЕРЗИТЕТА У БЕОГРАДУ ОД 5. ЈУНА 1913. ГОД. ПРЕМА РЕфЕРАТУ

Διαβάστε περισσότερα

F( x) НЕОДРЕЂЕНИ ИНТЕГРАЛ

F( x) НЕОДРЕЂЕНИ ИНТЕГРАЛ НЕОДРЕЂЕНИ ИНТЕГРАЛ Штa треба знати пре почетка решавања задатака? Дефиниција: Интеграл једне функције је функција чији је извод функција којој тражимо интеграл (подинтегрална функција). Значи: f d F F

Διαβάστε περισσότερα

Осцилације система са једним степеном слободе кретања

Осцилације система са једним степеном слободе кретања 03-ec-18 Осцилације система са једним степеном слободе кретања Опруга Принудна сила F(t) Вискозни пригушивач ( дампер ) 1 Принудна (пертурбациона) сила опруга Реституциона сила (сила еластичног отпора)

Διαβάστε περισσότερα

НЕМАТЕРИЈАЛНА ИМОВИНА ПРИВРЕДНОГ ДРУШТВА

НЕМАТЕРИЈАЛНА ИМОВИНА ПРИВРЕДНОГ ДРУШТВА Марина Стефановић, dipl. ecc master Финансијски директор, Globaling Niš UDK: 005.336.4/.5 Апстракт: У данашњем свету је тешко замислити предузеће, па и друге пословне субјекте који у свакодневном пословању

Διαβάστε περισσότερα

Теорија електричних кола

Теорија електричних кола Др Милка Потребић, ванредни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 07. Вишефазне електричне системе је патентирао српски истраживач Никола Тесла

Διαβάστε περισσότερα

ЗАШТИТА ПОДАТАКА Шифровање јавним кључем и хеш функције. Diffie-Hellman размена кључева

ЗАШТИТА ПОДАТАКА Шифровање јавним кључем и хеш функције. Diffie-Hellman размена кључева ЗАШТИТА ПОДАТАКА Шифровање јавним кључем и хеш функције Diffie-Hellman размена кључева Преглед Биће објашњено: Diffie-Hellman размена кључева 2/13 Diffie-Hellman размена кључева први алгоритам са јавним

Διαβάστε περισσότερα

МЕТОДОЛОГИЈА ЗА ИЗРАДУ ИЗВЕШТАЈА ПРОПИСАНИХ ОДЛУКОМ О ИЗВЕШТАВАЊУ О АДЕКВАТНОСТИ КАПИТАЛА БАНКЕ ПРИЛОГ 1. Извештај о капиталу банке Образац КАП

МЕТОДОЛОГИЈА ЗА ИЗРАДУ ИЗВЕШТАЈА ПРОПИСАНИХ ОДЛУКОМ О ИЗВЕШТАВАЊУ О АДЕКВАТНОСТИ КАПИТАЛА БАНКЕ ПРИЛОГ 1. Извештај о капиталу банке Образац КАП СЕКТОР ЗА КОНТРОЛУ ПОСЛОВАЊА БАНАКА Датум последњег ажурирања: 12.1.2017. МЕТОДОЛОГИЈА ЗА ИЗРАДУ ИЗВЕШТАЈА ПРОПИСАНИХ ОДЛУКОМ О ИЗВЕШТАВАЊУ О АДЕКВАТНОСТИ КАПИТАЛА БАНКЕ Овом методологијом се детаљно објашњавају

Διαβάστε περισσότερα

ЗБИРКА РЕШЕНИХ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ ИЗ МАТЕМАТИКЕ

ЗБИРКА РЕШЕНИХ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ ИЗ МАТЕМАТИКЕ Универзитет у Крагујевцу Машински факултет Краљево ЗБИРКА РЕШЕНИХ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ ИЗ МАТЕМАТИКЕ Краљево, март 011. године 1 Публикација Збирка решених задатака за пријемни испит из математике

Διαβάστε περισσότερα