Postupnosti. Definícia :

Transcript

1 Postuposti Defiícia : Postuposť je fukcia, ktorej defiičým oborom je možia všetkých prirodzeých čísel alebo jej podmožia typu { 1,,3... k }. Postuposť defiovaú a možie všetkých prirodzeých čísel, azývame ekoečá postuposť. Postuposť defiovaá a možie k prirodzeých čísel idúcich za sebou, azývame koečá postuposť. Čley postuposti sú jedotlivé fukčé hodoty fukcie, ktorá je postuposťou. Spôsoby určeia postuposti: a) vymeovaím všetkých čleov takto môže byť určeá iba koečá postuposť s malým počtom čleov; b) vzorcom a výpočet -tého čleu postuposti (pomocou -tého člea): - ekoečú postuposť zapisujeme v tvare {a }, - koečú postuposť, ktorá má k čleov, v tvare {a } k, pričom amiesto a píšeme vzorec a výpočet -tého člea, apr. { + 5} c) rekuretým určeím (rekurete) - vzťahom a výpočet asledujúceho člea postuposti pomocou jedého alebo viacerých predchádzajúcich čleov d) graficky - v súradicovej sústave ako fukciu graf tvoria izolovaé body, ktorých súradice sú v tvare [; a ], - a číselej osi tak, že zázoríme iba hodoty čleov postuposti. Príklad 1: Zázorite a) v súradicovej sústave b) a číselej osi prvých 6 čleov postuposti {4/}. Riešeie : Čley postuposti sú a 1 = 4, a =, a 3 = 4/3 = 1,333..., a 4 = 1, a 5 = 4/5 = 0,8, a 6 = 4/6 = 0,

2 Pri rekuretom určeí postuposti (lat. recurrere = bežať späť) je daý jede alebo iekoľko prvých čleov postuposti, a pre ďalšie čley je daý predpis, ako vypočítame +1-vý čle z -tého člea alebo viacerých predchádzajúcich čleov. Jeho evýhodou je, že ak potrebujeme zistiť hodotu ľubovoľého člea postuposti, musíme vypočítať všetky predchádzajúce čley. Príklad : Napíšte rekureté určeie a vypočítajte iekoľko začiatočých čleov ekoečej postuposti, ktorej prvý čle je 8 a každý asledujúci čle je o jeda väčší, ako polovica predchádzajúceho člea. Riešeie : Pre daú postuposť platí : a 1 = 8 a a +1 = a / + 1, N. Ďalšie čley postuposti sú a =a 1 :+1 = 8:+1 = 5; a 3 =a :+1 = 5:+1 = 3,5; a 4 =a 3 :+1 = = 3,5:+1 =,75 atď. Niektoré rekurete určeé postuposti ie je možé vyjadriť vzorcom a výpočet -tého člea. Ak je postuposť určeá rekurete, tak môžeme iba apísať iekoľko začiatočých čleov a z ich vzorec uháduť... Postuposti zadaé vzorcom a výpočet -tého člea je možé vždy určiť aj rekurete. Stačí použiť asledový postup : 1. vypočítame 1. čle postuposti. zo vzorca vyjadríme -tý čle a +1-vý čle a upravíme 3. z rozdielu ( alebo podielu ) +1-vého a -tého čleu vyjadríme +1-vý čle. Príklad 3: Určte rekurete asledujúce postuposti: a) {6 } b) {3 } 7 Riešeie : a) a = 6 a +1 = 6 ( +1 ) a +1 a = 6 ( +1 ) ( 6 ) = 1 a +1 = a 1, a 1 = 5, N. b) b = 3 b +1 = 3 +1 b+1 / b = 3 +1 / 3 = 3 b +1 = 3.b, b 1 = 3, { 1,,3,...,7 }. Fiboacciho postuposť Fiboacci, pôvodým meom Leoardo z Pisy ( asi ), bol jedým z popredých stredovekých matematikov. Jeho otec, colý úradík, bol vyslaý do severej Afriky. Tam sa jeho sy obozámil s počítaím v desiatkovej pozičej číselej sústave, ktorá sa v arabských krajiách beže používala. Bolo to v čase, keď sa v Európe ešte stále počítalo rímskymi číslicami ( a deleie patrilo k vyššej matematike ). Fiboacci rozpozal výhody idicko-arabského spôsobu počítaia stal sa jeho eúavým propagátorom. V roku 10 apísal kižku o používaí arabských číslic Liber Abaci. Táto kižka o. i. obsahovala aj asledujúcu úlohu : Párik králikov ( samca a samicu ) vysadíme a opusteý ostrov, a ktorom je dosť potravy pre králiky a ežijú tam žiade dravce. Králiky

3 dospievajú ako dvojmesačé, potom každý mesiac vrhe samica párik mláďat. Ďalšie geerácie králikov sa rozmožujú rovakým spôsobom. Koľko králikov bude a ostrove po dvoch rokoch? Riešeie: Na koci 1. mesiaca sa pária, ale a poli je stále ešte le jede pár králikov. Na koci. mesiaca samička porodí ový pár, čím sú teraz a poli dva páry králikov. Na koci 3. mesiaca pôvodá samička porodí druhý pár, čím sú teraz a poli tri páry králikov. Na koci 4. mesiaca pôvodá samička porodí ďalší ový pár a samička arodeá pred dvomi mesiacmi porodí svoj prvý pár, čím je teraz a poli päť párov králikov. a + = a +1 + a Fiboacciho postuposťou sa azýva každá postuposť, v ktorej zvolíme prvé dva čley a každý ďalší čle vypočítame ako súčet dvoch predchádzajúcich čleov. Fiboacciho postuposť, má le rekureté určeie, edá sa vyjadriť vzorcom pre -tý čle. 3

4 Vlastosti postuposti Nakoľko postuposti sú fukcie, majú aj iektoré vlastosti fukcií, apr.: sú rastúce ( klesajúce ), ohraičeé (ohraičeé le zdola, ohraičeé le zhora ), prosté. Defiícia : Postuposť {a } sa azýva rastúca (klesajúca), ak N platí : a +1 > a ( a +1 < a ), t.j. ak platí: a +1 a > 0 ( a + a < 0 ). Úloha : Vymyslite podobé defiície eklesajúcej postuposti, erastúcej postuposti, koštatej postuposti a prostej postuposti. Defiícia : Postuposť {a } sa azýva zdola (zhora) ohraičeá, ak d R ( h R ), že pre všetky čley postuposti platí : a d ( a h ). Postuposť ohraičeá zdola aj zhora sa azýva ohraičeá. Príklad 4: Dokážte, že postuposť {5/} je klesajúca a ohraičeá. Riešeie : N platí : a +1 a = = ( + 1) ( + 1) = 5. ( + 1) < 0 post. je klesajúca. Každá klesajúca postuposť je ohraičeá zhora ( hodotou 1. člea ). Všetky zlomky tvaru 5/, pre N majú kladú hodotu a s arastajúcou hodotou ich hodota klesá a blíži sa k ule postuposť je ohraičeá zdola reálym číslom d 0. 4

5 Úlohy: 1. Zapíšte prvých päť čleov postuposti a posledý čle postuposti ( ak existuje ): 1 b) { } a) si π { log 10 f) }8 e) 9-6 c) d) { } { } g) { -3 3 h) }4. Odhadite, ktoré postuposti z predchádzajúcej úlohy sú rastúce ( klesajúce ), ohraičeé ( zdola alebo zhora ), prosté. 3. Zapíšte vzorcom a výpočet -tého čleu postuposti : a) všetkých párych prirodzeých čísel b) epárych prirodzeých čísel meších ako 15 c) všetkých prirodzeých mocí čísla 10 d) všetkých prirodzeých čísel, ktoré po deleí troma dávajú zvyšok e) všetkých zlomkov, ktorých čitateľ aj meovateľ sú prirodzeé čísla a meovateľ je o väčší ako čitateľ f) hodôt fukcie síus, pre všetky uhly z itervalu 0o,360o, ktoré sú celočíselým ásobkom 30o. 4. Zapíšte vzorcom a výpočet -tého čleu postuposti : ,,,,... a) b) 1,,4,8,16... c) 3,9, 7,81, 43, ,,,,... d) e),0,,0,,0... f) tg 30o, tg 60o, tg 90o, tg 10o, tg 180o. Postuposti v úlohách c) a f) sú koečé, ostaté sú ekoečé postuposti. 5. Zistite, či je číslo a) 7 čleom postuposti { } { - +1 c) 81 čleom postuposti } { 4 - } b) 0 čleom postuposti d) 5 čleom postuposti { log (3 + ) }10 6. Zázorite v súradicovej sústave aj a číselej osi iekoľko prvých čleov postuposti 9-6 { } b) a) { } 3 3 c) d) { 1-( -1) } 7. Vypočítajte prvých šesť čleov asledujúcich ekoečých postupostí : a) a 1 = 1, a +1 = a + b) a 1 =, a +1 = ( ).a c) a 1 = 1, a +1 = ( ).a + 1 a +1 = a d) a 1 = 5, a a +1 = a a +1 = e) a 1 = 16, f) a 1 = 4, Napíšte rekureté určeie asledujúcich postupostí a vypočítajte iekoľko začiatočých čleov každej z daých postupostí : a) Prvý čle postuposti je a každý asledujúci čle je o jeda meší, ako trojásobok predchádzajúceho čleu..

6 b) Prvý čle postuposti je 4 a každý asledujúci čle je opačé číslo k predchádzajúcemu čleu. c) Prvý čle postuposti je 10 a asledujúci čle vypočítame tak, že od čísla 10 odčítame predchádzajúci čle. d) Prvý čle postuposti je 1, druhý čle je a každý asledujúci čle je súčiom dvoch predchádzajúcich čleov. 9. Vypočítajte prvých päť čleov týchto postupostí ( v každej N ) : a) b 1 = 3, b =, b +1 = b b 1, b) b 1 = 1, b = 1, b +1 =.b b 1, c) b 1 =, b = 1, b +1 = b 1 : b, d) b 1 = 1, b =, b 3 = 3, b +1 = b + b 1 + b. 10. Napíšte rekureté určeie postupostí : 1 b) { } a) { 3-3 f) }4 { } e) 9-6 c) g) d) { } { log 10 h) } Doplňte do tvrdeí chýbajúce vlastosti, resp. pojmy kladý ( záporý, páry ap. ): a) Každá rastúca postuposť je ohraičeá... b) Ak je postuposť rastúca ( klesajúca ), tak je aj... a c) Postuposť { } d) Postuposť { a } je rastúca práve vtedy, keď rozdiel a+1 a je pre všetky N... je klesajúca práve vtedy, keď rozdiel a+1 a je pre všetky N... e) Každá koečá postuposť je Zistite a dokážte, ktoré z asledujúcich postupostí sú rastúce ( alebo klesajúce ), ohraičeé, prosté: 9-6 { } b) a) { } e) { log } 13. Doplňte asledujúce tvrdeia : Ak sú všetky čley postuposti { a } a a c) d) +1 kladé a zároveň pre všetky N je podiel... (...), tak postuposť je rastúca (klesajúca). 14. Využite tvrdeia z predchádzajúcej úlohy a zistite a dokážte vlastosti fukcií : { } { 3-3} a) b) 1 d) c) 1 +1 e) 6

7 Aritmetická postuposť Defiícia : Postuposť {a } sa azýva aritmetická (AP) práve vtedy, ak d R, že pre všetky čley postuposti platí a +1 = a + d. Číslo d sa azýva diferecia (rozdiel) postuposti. Z defiície vyplýva, že aritmetickou postuposťou je teda každá postuposť, v ktorej rozdiel každých dvoch po sebe idúcich čleov (asledujúceho a predchádzajúceho ) je koštatý a +1 a = d. Vzťah medzi prvým a ľubovoľým - tým čleom AP: Úvaha vytvoreá pomocou defiície AP: a = a 1 + d a 3 = a + d = a 1 + d +d = a 1 + d a 4 = a 3 + d = a 1 +d +d = a 1 + 3d atď hypotéza: a = a 1 + ( 1)d Veta 1. Postuposť {a } je AP N platí: a = a 1 + ( 1)d. Vzťah medzi ľubovoľými dvoma člemi AP: Veta. Postuposť {a } je AP r, s N platí: a r = a s + (r s)d. Dôkaz vety : podľa vety 1: a r = a 1 + (r 1)d a s = a 1 + (s 1)d Po odčítaí rovíc dostaeme: a r a s = a 1 + (r - 1)d - a 1 - (s - 1)d = rd sd = (r s)d, odtiaľ: a r = a s + (r s)d. Súčet prvých - čleov AP: ozačme: S = a 1 + a + a a - súčet prvých čleov postuposti apríklad: S 3 = a 1 + a + a 3, S 5 = a 1 + a + a 3 + a 4 + a 5 K.F. Gauss: ( ) ak o 8 ročý bez sčítaia všetkých čísel zistil, že = Ako a to prišiel? 7

8 Veta 3. Postuposť {a } je AP N platí: S = ( a + a ). Dôkaz vety 3: S = a 1 +a +a a = a 1 +[a 1 +d]+[a 1 +d]+...+[a 1 +(-1)d] alebo S = a +a a +a 1 = [a 1 +(-1)d]+[a 1 +(-)d]+...+[a 1 +d]+ a 1 1 Sčítaím oboch rovostí dostaeme:. S = a 1 +[a 1 +(-1)d] + a 1 +[a 1 +(-1)d] + a 1 +[a 1 +(-1)d] a 1 +[a 1 +(-1)d] = (a 1 + a ). S = ( a + a ). 1 Príklad 1: Zistite, či postuposť a) { } = Riešeie : b) + 5 = 1 je aritmetická. a) N: a +1 a = 3.( + 1) + 4 (3 + 4) = 3 koštata daá postuposť je aritmetická b) N: a +1 a = =... = ( + ) ( + )(. + 6) 5 koštata 5 (hodota závisí od ) daá postuposť ie je aritmetická. Príklad : Medzi čísla 8 a 16 vložte tri čísla tak, aby všetky spolu tvorili 5 po sebe idúcich čleov AP. Riešeie : a 1 = 8, a =?, a 3 =?, a 4 =?, a 5 = 16 a 5 a 1 = (5 1).d = 4.d... d = 5... a = = a 3 = = a 4 = = 164 Príklad 3: V AP platí: a 1 = 6, d = 3. Určte súčet prvých 16 čleov. Riešeie : a 16 = a d = = S 16 = ( ).16 = 456 8

9 Príklad 4: Môžu dĺžky strá pravouhlého trojuholíka tvoriť tri po sebe idúce čley AP? Ak áo, aký je vzťah medzi difereciou tejto postuposti a dĺžkou dlhšej odvesy? Riešeie : Nech a, b, c R + sú dĺžky strá takéhoto trojuholíka s vlastosťou a < b < c. Potom platí: AP : a = x, b = x + d, c = x + d, x, d R + ABC: a + b = c, t.j. x + (x + d) = (x + d)... x + x + dx + d = x + 4dx + 4d... x dx 3d = 0 D = ( d) 4.1.( 3d ) = 16d. Pre d R + platí D R +, t.j. daá kvadratická rovica má vždy dve riešeia: d ± 4d 3d x1, = = z ktorých úlohe vyhovuje le x = 3d, akoľko d R +. d Záver: a = 3d, b = 4d, c = 5d, d R +. Dlhšia odvesa (b) je 4-ásobkom diferecie d. Úlohy : 1. Ktoré z asledujúcich postupostí sú aritmetické? Zistite ich difereciu a prvý čle. 9-6 { } b) a) { } 4 - c) { } 7 + d) +1 { log } e). Vypočítajte prvý šesť čleov aritmetickej postuposti, v ktorej : a) a 1 = 5 a d = b) b 1 = 4,5 a d = 0,5 c) c 1 = 1 a d = 7 Vyjadrite v každej z daých postupostí 8. čle ( stý čle, -tý čle ) pomocou prvého čleu a diferecie. 3. Vypočítajte prvý čle a difereciu aritmetickej postuposti {a }, ak a) a = 7 a a 3 = 8,5 b) a 4 = 5 a a 6 = 15 c) a 1 = 3 a a 3 = 1 d) a 3 =.a 4 a a = a 8 e) a a 1 = 6 a a 0 a 18 = 15 f) a 4 + a 5 = 4 a a 4. a 5 = 5 4. Aká podmieka musí platiť pre difereciu aritmetickej postuposti, aby postuposť bola rastúca ( klesajúca )? Ktoré aritmetické postuposti z predchádzajúcich úloh sú rastúce ( klesajúce )? 9

10 5. Súčet prvých troch čleov aritmetickej postuposti je 60, ich súči je Určte difereciu a prvý čle tejto postuposti. 6. Z aritmetickej postuposti {a } vytvoríme postuposť {b } tak, aby pre všetky jej čley platilo : a) b = 6 + a b) b = 6.a c) b = 6 a d) b je prevráteé číslo k a V ktorých prípadoch bude aj postuposť {b } aritmetická? 7. Vypočítajte súčet prvých čleov aritmetickej postuposti, ak a) = 1, a 1 = 7 a d = 0,5 b) = 5, b 1 = 70 a d = 5 c) = 100, c 1 = 15 a d = 0,1. 8. Koľko čleov postuposti {a } z predchádzajúcej úlohy musíme sčítať, aby súčet bol 5? 9. Najviac koľko čleov postuposti {b } z úlohy 9. môžeme sčítať, aby ich súčet bol kladý? 10. Koľko čleov postuposti {c } z úlohy 9. treba sčítať, aby súčet bol aspoň 1000? 11. Vypočítajte súčet všetkých a) epárych dvojciferých čísel b) trojciferých čísel deliteľých Teplota Zeme pribúda do hĺbky približe o 1 C a každých 33 metrov. Aká teplota bude a de bae hlbokej 1090 m, ak v hĺbke 100 m je teplota 11 C? 13. Pre aritmetickú postuposť doplňte tabuľku : a 1 d a S ,

11 Geometrická postuposť Motivačá úloha : Vo chvíli, keď zazvoilo a začiatok veľkej prestávky, achádzala sa študetka Zuzaa Klebetá v kacelárii riaditeľa školy. Počula ako sekretárka hovorí riaditeľovi, že práve telefooval okresý hygieik a vyhlásil chrípkové prázdiy. Zuzka si túto dôležitú iformáciu eechala pre seba a v priebehu troch miút ju povedala trom spolužiačkam. Každá z trojice to tiež povedala v priebehu troch miút trom ďalším žiakom, z ktorých každý tiež do troch miút povedal správu trom ďalším, ktorí ju ešte epočuli atď. Je možé, aby sa týmto spôsobom do koca prestávky, ktorá trvá 0 miút dozvedeli všetci žiaci školy ( cca 500 žiakov ) o vyhláseí chrípkových prázdi? Defiícia: Postuposť {a } sa azýva geometrická (GP) práve vtedy, ak q R - {0}, že pre všetky čley postuposti platí a +1 = a. q. Číslo q sa azýva kvociet (podiel) postuposti. Z defiície vyplýva, že geometrickou postuposťou je teda každá postuposť, v ktorej podiel každých dvoch po sebe idúcich čleov (asledujúceho a predchádzajúceho ) je koštatý a +1 / a = q. Príklad 1: Zistite a dokážte, či daé postupostí sú geometrické: a) {3. } b) {3. } Riešeie: a) 6, 1, 4, 48,... ; q = (?) hypotéza: postuposť je GP s kvocietom q = N: a +1 / a = / 3. = 3.. / 3. = koštata daá postuposť je geometrická. b) 3, 1, 7, 48,... ; q = 4... q = 9/4... q = 16/9... eexistuje číslo q postuposť ie je GP N: a +1 / a = 3.(+1) / 3. = (+1) / koštata (hodota závisí od ) daá postuposť ie je geometrická. 11

12 Vzťah medzi prvým a ľubovoľým - tým čleom GP: Úvaha vytvoreá pomocou defiície GP: a = a 1.q a 3 = a.q= a1.q. q = a 1.q a 4 = a3.q = a1.q.q = a 1.q 3 atď ( 1) hypotéza: a = a 1. q Veta 1. Postuposť {a } je GP N platí: a = a 1. q 1. Príklad : Vzťah medzi ľubovoľými dvoma člemi GP: Veta. Postuposť {a } je GP r, s N platí: a r = a s.q r s. Dôkaz vety : podľa vety 1: a r = a 1.q r 1 a s = a 1.q s 1 Podielom rovíc dostaeme: a r / a s = a 1.q r 1 / a 1.q s 1 = q r / q s = q r s, odtiaľ: a r = a s.q r s. 1

13 Príklad 3: Súčet prvých - čleov GP: ozačme: S = a 1 + a + a a - súčet prvých čleov postuposti apríklad: S 3 = a 1 + a + a 3, S 5 = a 1 + a + a 3 + a 4 + a 5 Brahmá zo Sissi (či filozof Sessa?) (ale určite vyálezca šachu) chcel za svoju objavú hru od svojho šacha za odmeu toľko zŕ obilia, koľko by dali a pomysleú šachovicu, ak a prvé políčko dajú 1 zriečko, a druhé políčko zrka a aj a každé ďalšie políčko dajú dvojásobok počtu z predchádzajúceho políčka...(políčok a šachovici je 64.) Šach po vymeovaí iekoľkých prvých počtov zŕ: súhlasil s požiadavkou. Veta 3. Postuposť {a } q 1 je GP N platí: S = a1., ak q 1. q 1 Ak q = 1 (GP je koštatá postuposť), potom S =.a 1. Príklad 4: Koľko zŕ ryže chcel múdry filozof zo Sissi? Riešeie: 64 1 a 1 = 1, q =, S 64 = 1. 1 = 64 1 približe 1, zŕ Pri priemerej hmotosti 1 zrka pšeice 0,05 g dostaeme celkovú hmotosť cca 4, g, t.j. 4, to to. Pri svetovej produkcii pšeice (v sezóe rokov 011/01) cca to by sme a vyprodukovaie daého možstva potrebovali cca 687 rokov. 13

14 Úlohy : 1. Ktoré z asledujúcich postupostí sú geometrické? Zistite ich kvociet a prvý čle. 6 { } - + b) 3 ( ) + c) d) { } e) { } a). Vypočítajte prvých päť čleov geometrickej postuposti, v ktorej : a) a 1 = 5 a q = b) b 1 = 64 a q = 0,5 c) c 1 = 1 a q = 7 3. Vypočítajte prvý čle a kvociet geometrickej postuposti {a }, ak a) a = 1,5 a a 5 = 40,5 b) a 4 = 5 a a 6 = 15 c) a 1 = 3 a a 3 = 1 d) a 3 = 48 a a 7 = 3 e) a 1 + a = 4 a a a 4 = 4 f) a.a 3 = 9 a a + a 3 = 10 Návod: e) a 1 + a 1.q = 4 a 1.q a 1.q 3 = 4 a 1 (1 + q) = 4 a 1.q(1 q ) = 4... podielom týchto rovíc dostaeme q.1 ( q ) = 6... q.(1 q) = 6... q 3 q 6 = 0... q 1, = 1+ q 4. Aká podmieka musí platiť pre kvociet geometrickej postuposti, aby postuposť bola rastúca ( klesajúca )? Ktoré geometrické postuposti z predchádzajúcich úloh sú rastúce ( klesajúce )? 5. Medzi čísla 8 a 648 vložte tri čísla tak, aby všetky spolu tvorili 5 po sebe idúcich čleov geometrickej postuposti. 6. Z geometrickej postuposti {a } vytvoríme postuposť {b } tak, aby pre všetky jej čley platilo : a) b = 6 + a b) b = 6.a c) b = log a d) b je prevráteé číslo k a V ktorých prípadoch bude aj postuposť {b } geometrická? 7. Živé orgaizmy prijímajú počas života uhlík, vrátae izotopu 14 C. Te sa po ich odumretí zače rozpadať, pričom za 5570 rokov sa rozpade polovica jeho možstva ( tzv. polčas rozpadu ). To umožňuje datovať archeologické álezy. a) Vypočítajte, po koľkých rokoch budú zvyšky orgaizmu obsahovať štvrtiu ( osmiu, šestástiu... ) pôvodého možstva uhlíku 14 C. b)* Vypočítajte vek archeologického álezu, ak obsahuje 3,15 % ( tretiu, 0 %, 1 % ) pôvodého možstva uhlíku 14 C. 8. Fajčiar prefajčí roče približe 00. Koľko by ašetril za 5 rokov, ak by a) le raz vložil b)* každoroče vkladal túto sumu do baky a termíovaý vklad s ročým úrokom 3 %? 9. Vypočítajte súčet prvých čleov geometrickej postuposti, ak a) = 1, a 1 = 7 a q = b) = 5, b 1 = 70 a q = 5 c) = 10, c 1 = 1500 a q = 0,. 14

15 10. Koľko čleov postuposti {a } z úlohy 9. sme sčítali, ak súčet je 1785? 11. Koľko čleov postuposti {b } z úlohy 9. musíme sčítať, aby ich súčet bol 35470? 1. Koľko čleov postuposti {c } z úlohy 9. treba sčítať, aby súčet bol aspoň 000? 13. Pre geometrickú postuposť doplňte tabuľku : a 1 q a S 90 1/ , Zhrutie pozatkov o AP a GP 15

16 Využitie geometrickej postuposti alebo spočítať peiaze vie predsa každý Fiačá matematika Mladým ľuďom sa zdá, že peiaze sú to ajdôležitejšie v živote. Keď zostarú, vedia to už aisto. Oscar Wild Keď vysypete peňažeku do svojej hlavy, ikto vám ju odtiaľ evezme. Ivestícia do vedomostí priáša vždy ajvyššie úroky. Bejami Frakli Keď le spokoje sedíte, hodota toho, čo máte, klese dosť rýchle a ulu. Bill Gates Motivačé úlohy : 1. Akú sumu budem mať a účte po štyroch rokoch, ak uložím a termíovaý vklad s ročou úrokovou mierou %? Medzitým ebudem ič vyberať ai vkladať a o tom, že treba platiť aj daň z úrokov, zatiaľ euvažujem.. Akú sumu som pred troma rokmi vložil a účet s ročou úrokovou mierou 5 %, ak je teraz a účte suma.315,5? 3. Keď som pred iekoľkými rokmi vložil a termíovaý vklad , získal som za tri roky a úrokoch sumu 1.48,64. Aká bola ročá úroková miera, ak sa počas celého obdobia ezmeila? 4. Istá ivestičá spoločosť sľubuje klietom, že ak ivestujú 5.000, zhodotí ich vklad roče o 10 % a po iekoľkých rokoch im vráti 7.30,50. Koľko rokov budú peiaze klietov viazaé? Predpokladáme, že spoločosť sľuby dodrží. Ak je A 0 počiatočý vklad ( tzv. istia ), p ročá úroková miera ( per aum, skratka p.a. ) vyjadreá v percetách, počet rokov viazaosti vkladu, tak A suma po rokoch sa rová A = a 0 (1 + p/100) Podobosť s geometrickou postuposťou ie je áhodá výsledé sumy po každom roku sú čley geometrickej postuposti so začiatočým ( ultým ) čleom a 0 a kvocietom q = 1 + 0,01.p 16

17 Úlohy : 1. Zo vzorca A = a 0 (1 + p/100) vyjadrite postupe a 0, p a.. Pá Novák uložil do baky vklad v dobe, keď p.a. bola 8 %. Akú sumu mal a účte po 4 rokoch? 3. Akú sumu získam a úrokoch, ak a účet s p.a. 3,6 % uložím.500 a 10 rokov? 4. Poisťovňa pri výpočte škôd predpokladá, že hodota auta klese každý rok o 18 % miuloročej hodoty ( tzv. amortizácia ). Akú hodotu bude mať pre potreby poisťove auto po 4 rokoch, ak jeho pôvodá cea bola 1.900? Návod: A = a 0 (1 p/100) 5. Akú sumu musí pá Novák uložiť, aby pri ročom úroku 8 % mal po piatich rokoch.500? 6. Hodota stroja sa každý rok zíži o 10 % miuloročej hodoty. Aká bola pôvodá cea stroja, ktorý mal po troch rokoch hodotu 1.700? 7. Aká musí byť p.a., aby sme, ak vložíme 500, mali po rokoch a účte 67,0? 8. Počet obyvateľov istého mesta sa za posledých 5 rokov zvýšil z a Vypočítajte s presosťou a desatiy percetuály ročý prírastok. 9. Za koľko rokov sa suma a účte zdvojásobí, ak počas celého obdobia bude p.a. 6 %? 10. Poisťovňa pri výpočte škôd predpokladá, že hodota auta klese každý rok o 18 % miuloročej hodoty. Po koľkých rokoch bude mať pre potreby poisťove auto, ktorého pôvodá cea bola 9.900, iba desatiu pôvodej hodoty? Dobré je vedieť : Z úrokov sa každoroče platí daň z úrokov. Je to cca15 % a preto, ak baka poúka ročý úrok p %, vklady úročí v skutočosti iba úrokom 0,85.p %. Baky často zaokrúhľujú sumy s presosťou a desatié miesta v eprospech klieta, t.j. pri výpočte úrokov z vkladov smerom dolu, ale pri pôžičkách opače. Najmä ebakové spoločosti poskytujúce s obľubou pôžičky používajú mesačú úrokovú mieru per mesem, skratka p.m. Úroky sa potom počítajú každý mesiac, t.j. 1-krát roče. 17