d) Rovnici < 0 nevyhovuje žiadne prirodzené íslo.

Transcript

1 . A Výroky a operácie s výrokmi. Negácia kvatifikovaých a zložeých výrokov.. Rozhodite o pravdivosti: a) íslo je druhou mociou prirodzeého ísla. b) Eistuje aspo jedo páre prvoíslo. c) Riešeím rovice ( ) = () je íslo, pre ktoré platí, že 0,4. d) 6 < 8 6 = 8 e) /6 4/6 4 f) < < Urte egáciu: a) íslo 90 je deliteé dvomi a tromi. b) Nikto efají. c) Každý de je dôvod k radosti. 7 0 d) Rovici < 0 evyhovuje žiade prirodzeé íslo Daým výrokom prirate pravdivostú hodotu: a) Pre objem V a pláš Q každého rotaého kužea platí: V = r v ( Q = r v) b) Pre každé prirodzeé íslo = ()(), kde N platí, 4 / alebo 5 /. c) Pre trojuholík, v ktorom a = 5 jedotiek džky, b = 4 j. džky, γ = 60 platí pre obsah trojuholíka S =0 j. džky. 4. Overte asledujúce tvrdeia: a) Rovica = 0 má tri celoíselé riešeia. b) Výška pravouhlého trojuholíka v = 4 cm delí prepou a úseky c = cm, c = 7,5 cm. c) Postupos 5. Urte egáciu: a) Nikto ie je doma. b) N; < 0 = je rastúca.

2 c) Všetky ásobky ísla 7 sú aj ásobkami ísla 5. d) Práve traja žiaci sú chorí. e) (4 = 5) (4 > ) 6. Urte pravdivostú hodotu a egáciu výrokov: a) = 0 = 4 b) 6 / 9 / c) R; 5 < 0 d) Defiiým oborom fukcie y = log 5 sú všetky reále ísla. 7. Zistite, i formula je tautológia: ( A B ) ( A B ) 8. Urte obmey viet a ich egácie: a) N; 5 / 5 / b) N; ( / / ) 6 / c) Ak ubovoá postupos { } = a má limitu, tak je ohraieá.

3 . B Epoeciále a logaritmické rovice. Riešte v R:. log ( 4) log ( ) = 6. log 6 log 4 log = = log 4 log 8 log 5 log (5),5 = log 4. ( ) 5. ( ) = = = = 0 9. Riešte v R sústavu: y =. = 4 y 5 y log( ) = log6 0,5.log 4 4. Riešte v R sústavu: log 4 log y = 0 5y 4 = 0. log (4. 6) log (9 6) = = log8 log log log.5 = 400

4 . A Možiy. Základé pojmy, vlastosti a operácie s možiami, íselé možiy.. Daé sú možiy A = { R; ( 5) < 4}, B = { N; 4}. Urte A B.. Urte defiiý obor fukcie: f : y = log 9 8. Možiy A, B, C, D zázorite graficky a íselej osi a urte A C, B D. A = { R; < 8} B = { R; } C = { R; = } D = { R; > } 4. Urte A B, A B ak: a) A = ( ; > B = R b) A = ( R; } B = { R, 8 < 0} 5. Nartite graf karteziáskeho súiu moží A, B ak: A = { R, 0} B = { y R, y = } 6. Urte graficky A B, ak: A = {[, y] R ; y 4 0} B = {[, y] R ; y 0} 7. Zo sto študetov sa uilo 0 emiu, 8 špaieliu, 4 fracúzštiu, 8 špaieliu a emiu, 0 špaieliu a fracúzštiu, 5 emiu a fracúzštiu, všetky jazyky. Koko študetov eštudovalo ijaký z uvedeých predmetov? 8. Zo 9 študetov prvého roíka iterátej školy chodí pravidele do jedále a obed alebo veeru 6 študetov, 6 študetov echodí a obed alebo echodí a veeru. Pritom a obedy ich chodí o 47 viac ako a veeru. Koko z ich chodí a obedy aj veere, koko le a obedy, koko le a veere?

5 . B Kužeoseky. Ureie základých parametrov, zakresleie v súradicovej sústave.. Dokážte, že rovica 9 4y 8 8y = 0 je rovica hyperboly. Nartite ju. Je vzdialeos ohísk jedotiek džky?. Urte ohisko, vrchol a riadiacu priamku paraboly 9y 6 9 = 0.. Napíšte rovicu kružice, ktorá prechádza bodmi A[, ], B[0, ], C[, ]. Zistite jej stred a polomer. 4. Urte stred a polomer guovej plochy daej rovicou y z 4 6y = Urte defiiý obor, graf a obor hodôt fukcie: f : y = 4 6. Daá je fukcia f : y = 8. Urte jej graf, defiiý obor a obor hodôt. 7. Urte graf fukcie f : y = 6 a apíšte rovicu dotyice v jeho bode T ; y Pre ktorú a R je rovica vyjadreím kružice? y a 6y 5a 5 = 0 9. Urte defiiý obor a artite v súradicovej sústave graf fukcie: f : y = 0 6 Je táto fukcia ohraieá? 0. Napíšte rovicu kružice, ktorá prechádza bodmi A [, 5], B [, 6] a stred má a priamke p: y 4 0..

6 . A Reála fukcia jedej premeej. Defiiý obor, obor hodôt, vlastosti fukcií. log( 4). Daá je fukcia fuká hodota. f : y = log ( 6). Urte jej defiiý obor a zistite, i íslo je. Urte defiiý obor fukcie f : y = 0, 0, Zistite, i fukcia f : y = 5 je pára. Urte jej obor hodôt. 4. Urte graf fukcie g : y = a popíšte vlastosti fukcie Daé sú fukcie f : y = 8, g: y = 7.. Urte možiu tých R, pre ktoré platí f() = g(). 6. Urte D(f) a zistite, pre ktoré R je f() 0 ak: f 5 6 y = 4 : 7. Daá je fukcia f 6 : y = ( 0,) reále ísla adobúda kladé hodoty. 5. Urte jej defiiý obor a zistite, pre ktoré 8. Urte defiiý obor, graf a popíšte vlastosti fukcie f : y = f. 9. Urte defiiý obor fukcie : y = log( ) 0. Urte defiiý obor, graf a popíšte vlastosti fukcie: f : y =

7 . B Rady. Využitie ekoeého geometrického radu pri riešeí úloh.. Urte podmieku kovergecie a zistite pre ktoré R platí rovos: ( ) ( ) ( )...( ) =. Riešte v R rovicu =. Riešte v R rovicu = Zistite, i rovici vyhovuje prirodzeé íslo: 4 8 a) log log log log... = b) = 5. Zapíšte periodické ísla v tvare zlomku,4, 0, 6. Zistite, pre ktoré ísla možo uri súet radu a urte: si cos si 4 cos 4 si 6 cos Meší kore rovice 5 = 0 sa rová prvému íslu ekoeého kovergetého geometrického radu, väší kore sa rová jeho sútu. Urte kvociet radu. 8. Daý je štvorec so straou a. Spojice stredov jeho strá utvoria opä štvorec at. až do ekoea. Vypoítajte k akej hraici sa blíži súet obvodov a k akej hraici súet obsahov týchto štvorcov. 9. Riešte v R rovicu ( 4 ) ( 4 ) ( 4 )... = 0 0. Špirála sa skladá z polkružíc. Pritom polomer každej asledujúcej je o jedu tretiu meší ako polomer predchádzajúcej polkružice. Urite džku špirály, ak polomer prvej polkružice je r.

8 4. A Polyomická fukcia. Polyóm, polyomická rovica, polyomická fukcia I. a II. stupa.. Nájdite všetky kvadratické fukcie s defiiým oborom R, pre ktoré platí: f() = f( ) = 9 f(0) =.. Urte rovicu tej kvadratickej fukcie s defiiým oborom R, kde c R y = 6c, ktorej graf prechádza bodom Q [5; 5]. Aké sú prieseíky so súradicovými osami?. Urte graf fukcie a popíšte vlastosti: y = 4. Daá je kvadratická fukcia y = a bc, kde a 0 a, b, c R. Odvote vzah pre súradice vrcholu paraboly, ktorá je grafom daej fukcie. Urte obor hodôt daej fukcie. 5. Štvorce ABCD s rozmermi 0 0 má stred v poiatku súradicovej sústavy a stray rovobežé s osami, y. Akú rovicu má parabola prechádzajúca bodmi C, D s vrcholom v strede stray AB? 6. Urte graf fukcie 7. Urte graf fukcie 4 f : y =. 4 f : y =. 8. Kvadratická fukcia y = pp premeej adobúda pre = hodotu y =. Urte jej obor hodôt. 9. V rovici c = 0 urte všetky c R tak, aby jede kore bol prevráteou hodotou druhého korea. 0. V rovici 9 8t 8t 6 = 0 urte všetky t R tak, aby jede kore rovice bol dvakrát väší ako druhý.

9 4. B Stereometria. Vzájomá poloha základých geometrických útvarov, urovaie prieikov, rezy útvarov roviou, prieik priamky s povrchom kocky.. Urte rez kocky ABCDEFGH so straou a = 5cm roviou ρ = MNP hray EF, N DC tak, že DC : CN = 5:, P FB za bodom B, FB = 7 cm., ak M je stred. Dokážte, že uhlopriey rez AA'CC'kocky ABCDA'B'C'D'je obdžik. Urte uhol uhloprieok.. Kocke je opísaá gua s polomerom r. Vypoítajte povrch a objem kocky. 4. Za aký as sa aplí ádrž tvaru kvádra, ak sú jej rozmery a = 8 m, b = 5 m, c = 4 m, ak priteká do ej každú miútu 50 l vody? 5. Sta tvaru ihlaa má podstavu dreveý štvorec, ktorého hraa má džku m, výška strau je,8 m. Koko m pláta treba a jeho zhotoveie, ak 5% povrchu sa poíta a zošitie? 6. Obsah podstavy rotaého kužea sa má k plášu ako :5. Jeho telesová výška je 4 cm. Vypoítajte povrch a objem kužea. 7. Všetky boé hray štvorbokého ihlaa majú džku l = dm a zvierajú s roviou podstavy uhol = 60. Jeho základa je obdžik, ktorého uhloprieky zvierajú uhol = 60. Nájdite objem ihlaa. 8. Vypoítajte vzdialeos vrcholu A pravidelého štvorbokého ihlau ABCDV od priamky p = VC, ak AB = a, AV = b. 9. Daý je pravidelý štvorboký ihla ABCDV. Body M, N sú po rade stredy hrá BV a CV. Zostrojte prieseicu roví a) ACV, BDN b) ABN, CDM 0. Zostrojte rez kocky ABCDEFGH roviou daou troma bodmi: a) K AE bližšie ku A, L GF v strede, M GH bližšie ku H b) K AE v strede, L BF mimo kocky pod bodom B, M v zadej stee pri vrchole D c) K AE, L DH, M HG mimo kocky apravo od vrcholu G

10 . Zostrojte rez kocky roviou daou troma bodmi:

11 5. A Mociová fukcia, epriama úmeros, lieára lomeá fukcia. 4. Urte súradice stredu hyperboly, ktorá je grafom fukcie f : y =.. Urte graf fukcie f : y =.. Riešte graficky erovicu. 4. Nartite grafy fukcií f : y = 4, g : y = 4 a urte ich vlastosti Nartite graf fukcie f : y = a vypoítajte obsah obrazca ohraieého krivkou y = f(), osou v itervale <4; 6>. 6. Riešte graficky rovicu 4 = a erovicu 4 >. 7. Urte graf fukcie f : y = a apíšte rovicu dotyice grafu v prieseíku s osou. 8. Urte graf fukcie f : y = zistite, i je fuká hodota. 9. Urte obsah obrazca, ktorý je ohraieý grafom fukcií f: y =, g: y =. 0. Daé sú fukcie: 4 f ( ) = ; f ( ) = ; f ( ) = ; f ( ) = ; f ( ) = ; f ( ) = ; f ( ) = ; f ( ) = a) Rozdete ich do skupí poda rovakého oboru fukých hodôt. b) Rozdete ich do skupí poda toho, i sú páre alebo epáre. c) Rozdete ich do skupí poda toho, i sú prosté alebo eprosté. d) Urte ich itervaly mootóosti. e) Urte, ktoré z ich sú ohraieé zdola, ktoré zhora. f) Urte ich maimum, resp. miimum.

12 5. B Poítaie s kompleými íslami. Kvadratická rovica s kompleými koremi. Biomická rovica. Moivreova veta. a. Ak a = i, b = i, urte, ab ab. b. Pre aké z C platí rovos:. ( i) z iz = i i 4. Urte modul, t.j. a, ak a = i. i 5. Daé sú kompleé ísla: a = i, b = 4 i, c = 4i I. Vyjadrite v algebrickom tvare: a) a b, a c, b c b) a.b, b. c, a, b c) a : b, c : a d) a, b, c, a. a, b. b II. Vypoítajte: a, b, c III. V Gaussovej rovie zobrazte kompleé ísla: a, b, c, a b, b c, a. b 4i 6. Prepíšte do goiometrického tvaru b = a urte b 50 b 5. 4 i 7. Urte kompleú odmociu 5 i π π 8. Ak c = i, d = cos isi, urte c, c.d, c 8 c,. 4 4 d 9. Urte (i ) Kompleé ísla a = a.b, b a. i, b = i prepíšte do goiometrického tvaru a urte i. Kompleé ísla a = (cos algebraickom tvare.. Riešte: π π i si ), b = cos 5 i si 5 zapíšte v 6 6 a) = b) = 8 c) 4 = 8 d) 4 =

13 e) 6 = 64 f) 6 = g) 8 = h) 5 =. Riešte: a) = 6i b) = i c) = 8i d) 6 = 64i e) 4 = 0,5 i.0,5 f) 5 = i

14 6. A Epoeciála fukcia. Vlastosti epoeciálych fukcií, mociy s reálym epoetom.. Pre ktoré a R je fukcia a a y f = : rastúca?. Pre ktoré a R je zápis a a y = epoeciála fukcia?. Urte defiiý obor fukcie 4 6 : = y f 4. Urte graf fukcie a) : = y f b) : = y f 5. Pre ktoré a R platí vzah a) a a < b) 7 4 a a < 6. Aký je vzah medzi íslami m, ak platí erovos a) m < b) m Upravte ( ) b a b a 8. Porovajte daé ísla s íslom : , 5, 4 5, 9. Upravte a mociu so základom : 8. 0, Urte iverzú fukciu k f: y =

15 6.B Aritmetická postupos a jej použitie pri riešeí úloh.. Rozmery kvádra a, b, c tvoria po sebe idúce ley aritmetickej postuposti. Súet džok všetkých hrá je 96 cm. Povrch je 4 cm. Urte objem kvádra.. V divadle je v prvom rade 4 sedadiel a v posledom rade je 50 sedadiel, priom každý asledujúci rad má o sedadlá viac ako rad predchádzajúci. Koko sedadiel je v divadle?. Urte súet všetkých avzájom rôzych prirodzeých ísel vyhovujúcich erovici Urte s, a v aritmetickej postuposti, pre ktorú platí: a a 7 = 8, a 5 a 0 = Rozmery kvádra tvoria tri za sebou idúce ley aritmetickej postuposti. Urte ich vekos, ak ich súet je 4 cm a objem kvádra je cm. 6. Koko leov aritmetickej postuposti v ktorej a =, d = musíme ajmeej síta, aby súet presiahol 000? 7. Súet prvých leov aritmetickej postuposti je s = 4. Urte jej tý le. 8. Osem ísel tvorí aritmetickú postupos. Urte ich, ak viete, že súet prostredých leov je 4 a súet krajých je Džky strá pravouhlého trojuholíka tvoria tri za sebou idúce ley aritmetickej postuposti. Aké sú džky týchto strá, ak obsah trojuholíka je 6 dm? 0. Štvrtý le aritmetickej postuposti je 4, ôsmy je 4. Koko leov treba síta, aby ich súet bol 90?

16 7. A Logaritmická fukcia. Vlastosti logaritmickej fukcie, vety pre poítaie s logaritmami, dekadický a prirodzeý logaritmus.. Urte graf fukcie y = log ( ), popíšte vlastosti.. Riešte v R erovicu log ( 6 ) log ( ) 0.. Urte defiiý obor fukcií m: y = log : y = log f : y = 4 log g : y = log log 0, 0, ( ) 4. Urte podmieky a zistite pre ktoré R platí: log (6 ) = 5. Pre ktoré hodoty parametra a R je fukcia y = log klesajúca. 6. Daá je fukcia hodota. 7. Pre aké a R platí: a) log a 7 > log a 9 b) log a 0, log a 5 f : y f : a. Urte iverzú fukciu a zistite, i je fuká = 8. Urte defiiý obor f : y log a zistite pre aké a R je fukcia klesajúca. = 4 9. Riešte v R: log [. log ( )] = 0 0. Riešte v R: log = 0 log

17 7. B Kombiaé ísla Rovice a erovice s kombiaými íslami, biomická veta.. Ak viete, že a =, b = 4, urte 4, 4,.. Dokážte, že pre N platí: = 4. Riešte rovicu pre N 0 : = Riešte v N 0 : 4 4 = 5. Riešte v N erovicu: 9 6 < 6. Urte íslo R tak, aby štvrtý le biomického rozvoja výrazu 8 4, kde 0, sa roval íslu Ktorý le biomického rozvoja výrazy 8 0, obsahuje 7? 8. Urte le biomického rozvoja 5, ktorý eobsahuje. 9. Urte ( ) Urte siedmy le rozvoja 9. Eistuje absolúty le rozvoja?

18 8. A Goiometrické fukcie orietovaého uhla. Defiícia fukcií síus, kosíus, vlastosti, grafy.. Nájdite ísla a, b R tak, aby graf fukcie f: y = a si b prechádzal bodmi [0; ], π ; a artite graf.. Nartite grafy fukcií: f: y =. si π g: y =. cos ( ) m: y = si 4 -. Urte defiiý obor fukcie : ( si cos ) f y =. 4. Urte poet koreov rovice si = tg v itervale <0; π). 5. Overte pravdivos výroku: Ak si = a tg =, potom hodota cos je z itervalu <0; 6>. 6. Koko riešeí má rovica (si cos ) = 0 v itervale ( π; π)? 7. Urte cos, si, ak 5 tg = a 0; π. π π 8. Vypoítajte: si, cos, cos (- ) 6 9. Urte podmieky a zjedodušte: 0. Urte podmieky a zjedodušte: - si cos si si cos - si cos si

19 8. B Dôkazy v matematike. Priamy dôkaz, epriamy dôkaz, epriamy dôkaz sporom.. Dokáže, že N; edelí ( ) /.. S využitím podobosti pravouhlých trojuholíkov dokážte Euklidove vety.. Dokážte platos vzahov a = a ( )d, kde a je prvý le aritmetickej postuposti, d je diferecia; a = a.q, kde a je prvý le geometrickej postuposti, q je kvociet, pre výpoet tých leov týchto postupostí ak N. 4. Dokážte, že N; / ( ). 5. Dokážte epriamo, že body A[; 5; ], B[ 7; ; ], C[; ; 5] urujú trojuholík ABC. 6. V aritmetickej postuposti { } = a = a ( )d; s ( a ) a = a dokážte, že platia vzahy: 7. Odvote vzah pre súet kovergetého geometrického radu za predpokladu, že postupos sútov { s } geometrických postupostí { } = = a je kovergetá. 8. Dokážte priamo, že N; 5 / 5 /. Vytvorte k tejto vete obmeu a egáciu.

20 9. A Postuposti a rady. Vlastosti postuposti, kovergetá postupos, podmieka kovergecie geometrického radu.. Od ktorého lea poúc platí pre postupos postupos ohraieá? =, že a < 0? Je. Postupos je daá rekurete a =. a, priom hodota prvého lea postuposti udáva prirodzeé íslo vyhovujúce erovici Urte prvých 5 leov postuposti.. Je daá postupos { 7 } = < Urte možiy hodôt, pre ktoré je daá postupos rastúca resp. klesajúca. Je to mootóa postupos? 4. Zistite, i postupos = je ohraieá a rastúca. 5. Zistite, pre ktoré ísla možo uri súet radu a urte teto súet ak: ( 4) ( 4) ( 4) ( 4) V ktorej aritmetickej postuposti s 5 = s 6 = 60? 7. Upravte: Urte džku špirály, ktorá sa skladá z polkružíc tak, že prvá má polomer r a každá asledujúca má polomer rový predchádzajúceho polomeru. 9. Medzi ísla a b a a b vložte ísla tak, aby s daými íslami tvorili 5 leov aritmetickej postuposti. Vypíšte ley tejto postuposti. 0. Urte limitu postuposti 8 =. Je postupos rastúca a ohraieá?

21 9. B Riešeie všeobecého trojuholíka. Výpoty obsahov a obvodov trojuholíka. Euklidova a Pytagorova veta.. Z veže vysokej 0 m a vzdialeej od rieky 0 m sa šírka rieky javí pod uhlom 5 0'. Aká široká je rieka?. Vypoítajte obsah trojuholíka ABC, ak AB = 0 cm, vekos uhla BAC je 45 a vekos uhla ACB je 60.. Urte obsah trojuholíka ABC ak jeda z jeho strá má džku 0 cm a uhly k ej priahlé majú vekos 0 a V pravouhlom trojuholíku ABC s pravým uhlom pri vrchole C sú daé vekosti ažíc t a = 5, t b = 0. Vypoítajte vekosti strá trojuholíka ABC a polomer kružice opísaej tomuto trojuholíku. 5. Trojuholík ABC má vrcholy A[; ], B[; ], C p, priom p: y = 0. Obsah trojuholíka je 8. Urte súradice bodu C. 6. Vypoítajte vekosti uhloprieok v rovobežíku ABCD, ak AB = 5, BC = 6, vekos uhla ABC = Vypoítajte vekosti ajväšieho vútorého uhla v trojuholíku ABC, ktorého džky strá sú C, C, C, kde C R. 8. Vypoítajte obvod a obsah rovobežíka, ak sú daé vekosti jeho uhloprieok e = cm, f = 6 cm a ich odchýlka je Medzi vútorými uhlami v trojuholíku ABC platia vzahy α = β, β = γ. Urte ich.

22 0. A Geometrická postupos a jej použitie pri riešeí úloh.. Medzi koree rovice 9 8 = 0 vložte dve ísla tak, aby vzikli štyri za sebou idúce ley geometrickej postuposti. Urte ich.. Urte také íslo, ktoré postupe zväšeé o 7,, 7 dáva tri za sebou idúce ley geometrickej postuposti.. V geometrickej postuposti štyroch leov je súet krajých dvoch leov 95 a súet vútorých dvoch leov 60. Urte túto postupos. 4. Akú postupos tvoria logaritmy leov geometrickej postuposti s prvým leom a >0 a s kvocietom q>0? 5. Povrch kvádra je 78 cm, súet rozmerov cm. Urte objem, ak rozmery tvoria za sebou idúce ley geometrickej postuposti. 6. Riešte v R rovicu: = 0, Pre aké R platí rovos aa a...a = (a)(a ) (a 4 ) (a 8 ), kde a je reály parameter. 8. Pôvodá cea stroja bola Sk. Akú ceu bude ma stroj po 0 rokoch, ak sa každoroe odpisuje amortizácia 0%. 9. O koko percet roe treba poas 0 rokov zvyšova výrobu, aby sa o 0 rokov pri koštatom percetuálom prírastku zvýšila dvojásobe? 0. Stray trojuholíka a, b, c, tvoria tri po sebe idúce ley geometrickej postuposti. Urte obsah trojuholíka, ak jeho obvod je 4 cm a straa b = 8 cm.

23 0. B Vektor a operácie s vektormi. Reály ásobok vektora, skaláry, vektorový a zmiešaý súi a ich aplikácie.. Zistite, i body A[; 0; 5], B[; ; 4], C[6,, 5] urujú trojuholík ABC. Urte súradice bodu D tak, aby ABCD bol rovobežík s daým poradím vrcholov.. Daé sú vektory a = (; ; ), b = (; ; ), c = (; ; ). Urte súradice vektora, kde a b. c = 6.. Nájdite súradice bodov P, Q, ktoré delia úseku AB, kde A[0; ; ], B[ 5; 4; 6] a rovaké asti. 4. Vypoítajte obsah a obvod trojuholíka KLM, kde K[4; ; ], L[5; ; ], M[0, 0, 0]. 5. Daý je pravidelý štvorboký ihla ABCDV. Podstavá hraa a = 6 cm a výška tohto kolmého ihlaa je. Zvote vhode súradicovú sústavu 0yz s umiesteím tohto ihlaa v ej a riešte úlohy: a) vypoítajte AV b) dokážte, že AV CV c) urte vekos uhla boých hrá AV, CV. 6. Nájdite vektor u, ktorý je kolmý a vektor v = (; 4) a ktorého vekos je Vypoítajte vekosti strá a vútorých uhlov trojuholíka ABC, ak A[; ; ], B[ ; ; ], C[ ; ; ]. 8. Daé sú vektory u = (; ; ), v = (; 4; ). Nájdite všetky vektory, ktoré sú a dva daé vektory kolmé. 9. Daé sú vektory a = (; ), b = ( ; 5). Urte vektor c, pre ktorý platí a. c = 7, b. c =. 0. Daé sú body A [-,, 4], B [-, 0, ], C [-4,, 6], D [-, -, -5]. a) Vypoítajte objem štvorstea ABCD b) Urte vektor kolmý a steu ABC c) Vypoítajte obsah stey ABC

24 . A Limita postuposti. Limita fukcie. Vety o limitách, výpoet limít.. Urte defiiý obor a graf fukcie 6 f : y =.. Urte lim 6.. Eistuje limita fukcie 4. Vypoítajte limity f : y = v bode =? a) lim 5 b) lim 6 5 tg si c) lim 0 d) e) f) g) lim 4 lim si cos lim π cos si 4 si 4 lim Urte lim. 6. Rozhodite, ktoré z uvedeých postupostí sú kovergeté; v kladom prípade vypoítajte ich limity: a) = b) = c) e) {,0 } = = d) 5 4 f) { 0,4 } = =

25 . B Iracioále rovice a erovice a ich riešeie.. Riešte v R rovicu 9. 0 = 5. Ktoré prirodzeé íslo je riešeím rovice =?. Zistite, i kore rovice je ásobkom deviatich. = 4 4. Overte tvrdeie: Koree rovice = 4 sú opaé ísla. 5. Riešte v R rovicu = Riešte v R rovicu = 7. Riešte v R erovicu >. Koko prirodzeých ísel vyhovuje erovici? 8. Koko celých ísel je riešeím erovice <? 9. Overte tvrdeie: Súet všetkých celých ísel, ktoré sú riešeím erovice 8 > 6 je Riešte rovicu ( ) = 0 a) v R b) v N

26 . A Pojem derivácie fukcie. Derivácia fukcie v bode, vety pre derivovaie fukcie.. Napíšte rovicu dotyice ku grafu f: y = v prieseíkoch s osou.. Napíšte rovicu dotyice ku grafu fukcie f : y = v T[8; y T ].. Urte itervaly rastu a klesaia fukcie 4 f : y =. 4. Napíšte rovicu dotyice krivky 9 y 9 4y = 0 v jej bode T[; y T ]. 5. Urte deriváciu fukcie f: y = l ( ) a itervaly, a ktorých sú f aj f' defiovaé. 6. Urte defiiý obor fukcie g : y = si a jej deriváciu a <0; π>. Akú smericu má dotyica ku grafu g v bode 5 π? 6 7. Urte lokále etrémy fukcie f: y =. 8. Urte priebeh fukcie f: y = 4 a jej vlastosti. 9. Aký je smerový uhol a uhol dotyíc ku grafu fukcie f: y = si v bodoch = 0 a = π. 0. Nájdite valec, ktorý má pri daom objeme miimály povrch.

27 . B Výpoty objemov a povrchov telies.. Tri oloveé gule s polomermi r = cm, r = 4 cm, r = 5 cm zliali do jedej gule. Vypoítajte jej polomer r, objem a povrch.. Pravidelý štvorboký ihla má objem dm, boá hraa zviera s výškou uhol = 0. Vypoítajte povrch ihlaa.. Vypoítajte objem a povrch pravidelého štvorbokého ihlaa s podstavou hraou džky a, ak uhol boej stey s roviou podstavy má vekos α. 4. Do pravidelého 6-bokého ihlaa je vpísaý aj opísaý kuže. Zistite rozdiel v objemoch opísaého a vpísaého kužea, ke je daý polomer R = dm opísaého kužea a jeho výška je h = dm. 5. Profil ásypu vysokého m má tvar rovorameého lichobežíka, ktorého kratšia základa je,6 m a boé stey majú od vodorovej roviy odchýlku 4. Koko m zeme obsahuje meter ásypu? Rozmery kvádra sú v pomere : : a jeho telesová uhloprieka má džku 9 cm. 4 Vypoítajte objem a povrch kvádra. 7. Urte povrch a objem pravidelého trojbokého ihlaa, ke džka podstavej hray je cm a boej hray 5 cm. 8. Priemer parabolického automobilového reflektora je 4 cm, hbka reflektora je cm. Urte objem reflektora. 9. Rovostraému valcu je vpísaá gua a kuže. Podstava kužea je zhodá s podstavou valca, vrchol kužea je v strede druhej podstavy. Urte pomer objemov týchto telies. 0. Rovostraý kuže je preatý roviou rovobežou s podstavou tak, že prechádza stredom výšky. Urte povrchy oboch telies.

28 . A Defiícia euritého itegrálu. Základé pravidlá a metódy poítaia euritého itegrálu. Urovaie základých primitívych fukcií. cos. Vypoítajte d. si cos. Urte krivku, ktorá prechádza bodom A[; ] a jej dotyica v ubovoom bode má smericu.. Urte defiiý obor fukcie fukcii a defiiom obore. f : y = a primitívu fukciu k tejto 6 4. Zavedeím substitúcie urte d 5. Metódou per partes urte l d. 6. Zavedeím substitúcie urte d.. 7. Urte krivku, ktorá má v každom bode svojho defiiého oboru smericu dotyice a prechádza bodom A[; ]. 8. Metódou per partes urte si d. 9. Vypoítajte: si d cos( ) d tg d

29 . B Riešeie rovíc a erovíc, rovice a erovice s absolútou hodotou.. Zistite, i súet prirodzeých ísel vyhovujúcich erovici > je rový ôsmim. 4. Riešte v R erovicu 5 <.. Koko celých ísel vyhovuje erovici Urte graficky poet riešeí rovice si = a itervale ( π; π). 5. Urte defiiý obor fukcie f : y = Riešte v R erovicu < Urte defiiý obor fukcie : ( 6 ) 8 6 adobúda fukcia ezáporé hodoty Riešte v R erovicu > Urte všetky celé ísla, pre ktoré platí: 9 a) < b) > ( ) 0. Riešte v R erovicu.5 < 0,. (0 ). f y = a zistite pre aké R

30 4. A Kombiatorika. Kombiácie, variácie, permutácie. 6. Riešte v N erovicu < 7.. Ak sa zväší poet prvkov o, zväší sa poet permutácií krát. Poet prvkov uruje íslo N 0, ktoré je prvoíslom. Overte tvrdeie.. Koko eistuje prirodzeých ísel meších ako 000, ktorých íslice sú avzájom rôze? 4. Ak sa poet prvkov zväší o, zväší sa poet variácií tretej triedy bez opakovaia o 84. Urte poet prvkov. 5. Zo sady kariet áhode vyberieme karty. Kokými spôsobmi možo z ich vytiahu aspo esá? 6. Z kokých prvkov možo vytvori 5040 variácií štvrtej triedy bez opakovaia prvkov? 7. Na poliku treba rozostavi veda seba zeleé, erveé a žlté hreky. Koko rôzych spôsobov rozostaveia môže vzikú? 8. Koký le rozvoja výrazu eobsahuje? 6 9. Koko prirodzeých ísel meších ako možo vytvori z cifier 0,,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9? 0. Koko rôzych trojciferých prirodzeých ísel s rôzymi ciframi môžeme utvori z íslic 0,,,, 4. Koko je z ich epárych?. Urte poet všetkých šesciferých prirodzeých ísel, ktorých ciferý súet je 4.. Na hokejový turaj vyslalo Slovesko hokejistov brakárov, 8 obracov, útoíkov. Koko je takých šestíc, v ktorých je brakár, obracovia a útoíci?. Koko slov možo vytvori zo slova ZMRZLINA zmeou poradia písme bez ohadu a zmysel slova?

31 4. B Grafy fukcií s absolútymi hodotami.. Urte graf fukcie 4 f : y = a popíšte jej vlastosti.. Urte graf fukcie f: y = 4 a itervaly rastu a klesaia.. Urte graficky defiiý obor fukcie f : y = cos. 4. Urte graf fukcie f: y = a zistite, i f() =. 5. Urte graf fukcie f: y = log ( ) a rozhodite o ohraieosti fukcie. 6. Urte graf fukcie f: y = si si. 7. Zostrojte graf fukcie g: y = ( ).

32 5. A Kompleé ísla. Defiícia algebraického a goiometrického tvaru kompleého ísla, operácie s kompleými íslami.. Kompleé íslo a = ; prepíšte do algebraického a goiometrického tvaru.. Vyjadrite súi a podiel kompleých ísel a = π π cos i si, b = 5 cos π i si π. Vypoítajte vzdialeos obrazov kompleých ísel a, a v 4 4 rovie kompleých ísel.. Vypoítajte ( ) ( ) i i ( i) ( i) 4. Riešte v C rovicu z z = i. 5. Vypoítajte 4 i 6. Riešte v C rovicu z z z = Urte i v obore kompleých ísel. 8. Ak a = i, b = 4i, urte. 9. Riešte v C rovicu 8 7 = 0 rozkladom a súi. 0. Urte ( i) 4.. a b ab. Prepíšte íslo a do goiometrického tvaru.

33 5. B Riešeie sústavy rovíc a erovíc. Grafické riešeie sústav rovíc a erovíc.. Riešte v R sústavu: 5 y 4 = y 4 = 6. Riešte v R sústavu rovíc: yz = 4 yz = 5 y z = 4. Urte rovicu, ktorou je ureá kvadratická fukcia f s defiiým obor R, ktorej graf prechádza bodom A[; ], B[ ; 5], C[; 0]. 4. Urte graficky možiu všetkých bodov pre súradice ktorých platí: y = 8 y 8 5. Riešte graficky erovice a) < b) 6. Urte pre ktoré, y R platí sústava erovíc: y 0 y y< 5 y Urte vzájomú polohu priamky p a roviy ρ ak: p: = t, y = 4t, z = t; t R ρ: 6yz 5 = 0 8. Urte všetky [; y] R pre ktoré platí: y = 7 y = 9. Riešte v R :. y = y. = 8 0. Údržbár sa zaviazal, že urobí opravárske práce v závode za 4 dí. Dostal a výpomoc robotíka, s ktorým urobili všetky opravy za a / da. Ako dlho by trvala práca le robotíkovi?

34 6. A Vektor a operácie s vektormi. Skladaie vektorov, lieára kombiácia vektorov.. Daé sú body A[; ], B[; ], C[; ]. a) Dokážte, že body A, B, C sú vrcholy trojuholíka. b) Vypoítajte vekosti strá trojuholíka c) Urte vekosti vútorých uhlov v ABC.. Daé sú vektory m = (; ; 5), = (; 0; ), u = (4; ; ), v = (; 5; 8). Rozhodite, ktorý z vektorov u, v je lieárou kombiáciou vektorov m,.. Urte súradice bodov P, R, ktoré delia úseku AB, ak A[ ; ; 5], B[8; ; 7] a rovaké asti. Aká je džka úseky AB? 4. Urte vzdialeos bodu A[; ; 5] od priamky p ak: p: = 5 y, y = t; z = t; t R. 5. Nech u v, priom u = (u ; u ), v = (v ; v ) a u = v. Rozhodite, i a b ke a = u v, b = u v. 6. Nech a = (; ; ); b = (; ; 4), c = (5; ; ). Urte w = a b c, a. c, a b. 7. Daé sú body A[; 0; 0], B[; 4; 0], C[; ; 5 ]. a) Urte bod D tak, aby štvoruholík ABCD s daým poradím vrcholov bol rovobežík. b) Vypoítajte vekos uhla DAB. 8. V stredovej súmerosti je obrazom bodu A[/, /5, 7/0] bod A [,;,6;,8]. Urte súradice stredu súmerosti. 9. Pre ktoré hodoty parametrov a, b R ležia body A[5; ; a], B[; b; 0], C[; 0; ] a jedej priamke? 0. Daé sú body K[,, 4], L[, 6, 5], M[4,, 0]. Vypoítajte súradice bodu N, ak platí: L K = u, NM =.u.

35 6. B Zložeá fukcia. Urovaie defiiých oborov fukcií, grafy, derivácia zložeej fukcie.. Urte defiiý obor fukcie 5 6 f : y = log a zistite pre D(f) je f() >0. log log. Urte defiiý obor fukcie f : y = 0 a zistite pre aké D(f) platí že f() = 0.. Urte defiiý obor fukcie f : y =. 4. Urte defiiý obor fukcie f : y = 4cos. 5. Urte defiiý obor fukcie f : y = 6, jej graf a vlastosti. 6. Daá je fukcia f : y = log ( ). Urte defiiý obor fukcie, graf fukcie f a graf iverzej fukcie k tejto fukcii. 7. Daá je fukcia f : y = 4. Urte jej defiiý obor a apíšte rovicu dotyice jej krivky v bode T[; y 0 ]. 8. Daá je fukcia f : y = 8. Urte jej defiiý obor a graf. Napíšte dotyice ku grafu fukcie v bode T[6; y 0 ]. 9. Daá je fukcia f: y = log (tg ). Urte jej defiiý obor a smericu dotyice v bode π = Zistite, i fukcia f: y = si je epára a urte y ' π.

36 7. A Aalytické vyjadreie priamky v rovie a priestore. asti priamky, vzájomá poloha a uhol dvoch priamok.. Daé sú body A[; 4], B[; ]. Napíšte a) parametrické vyjadreie priamky b) všeobecú rovicu priamky AB c) smericový tvar rovice priamky AB. Napíšte rovicu priamky, ktorá prechádza bodom M[ ; ] a je rovobežá s priamkou p: y9 = 0. Aké je vzdialeos priamok p, q?. Napíšte všeobecú rovicu priamky, ktorá prechádza bodom P[; osou uhol 0. ] a zviera s 4. Napíšte všeobecú rovicu priamky prechádzajúcej bodmi A[; ], B[ ; 4] a vypoítajte džku úseky AB. 5. Daé sú body A[; 5; ], B[; ; ] - apíšte rovicu priamky AB, polpriamky AB, úseky AB. 6. Urte vzájomú polohu priamok AB, CD ak A[; ; ], B[4; ; 0], C[ 4; 5; 4], D[ ; ; ]. Aká je vzdialeos stredov úseiek AB, CD? 7. Urte vzájomú polohu priamok p, q ak: p: 6 5y 5 = 0; q: = 5 5t, y = 6t; t R. Aké úseky vytía priamka q a súradicových osiach, y? 8. Rozhodite o vzájomej polohe priamok p, q ktorých parametrické vyjadreie je: p: = t; y = t; z = t; t R q: = s; y = s; z = 9s; s R 9. Vypoítajte obvod trojuholíka, ak rovice jeho strá sú 7 4y = 0; y7 = 0; y4 = Napíšte všeobecú rovicu priamky, ktorej smerica k = a prechádza prieseíkom priamok p: y8 = 0; q: 5y = 0. Aké je uhol priamok p, q?

37 7. B Urovaie lokálych etrémov fukcií, itervalov mootóosti, vyšetrovaie priebehu fukcií. a b. Napíšte podmieky pre parameter a, b, c, d lieárej lomeej fukcie f : y = a c d derivovaím tejto fukcie ukážte, že emá lokále etrémy.. Urte itervaly mootóosti a lokále etrémy fukcie f: y = Vyšetrite priebeh fukcie f : y = a akreslite jej graf. 4. Nájdite lokále etrémy fukcie f: y = cos v itervale (0; π) 5. Nájdite valec, ktorý má pre daá povrch maimály objem. Porovajte výšku a polomer tohto valca. 6. Vekos dráhy, ktorú koá teleso, sa meí v závislosti od asu poda rovice s = t t. V ktorom ase má teleso ulovú rýchlos a kedy má ulové zrýchleie? 7. Na priamke p: y = 6 urte bod, pre ktorý je súet druhých mocí vzdialeostí od bodov A[; 5], B[; 5] miimála. 8. Má fukcia f : y = lokály etrém? 9. Vyšetrite priebeh fukcie f : y = a urte graf.

38 8. A Aalytické vyjadreie roviy. Parametrická a všeobecá rovica roviy, vzájomá poloha roví, uhol roví.. Daé sú body A[; 0; ], B[0; ; ], C[4; 0; 0]. Napíšte aalytické vyjadreie roviy ABC a) parametrické b) všeobecé. Urte vzájomú polohu roví α: yz = 0, β: yz = 0 Majú roviu α, β spoloú prieseicu? Ak áo, apíšte jej aalytické vyjadreie.. Akú vzájomú polohu majú roviy ρ, σ ak: ρ: y z 6 = 0 σ: = rs; y = s; z = rrs; [r, s] R 4. Urte uhol roviy ρ prechádzajúcej bodom R[; ; ] kolmo a priamku AB, A[ ; ; ], B[ ; ; ] a roviy τ ureej parametricky: τ: = r z; y = rs; z = 4r; [r; s] R 5. Daé sú roviy α: y z = 0; β:yz 5 = 0. Vypoítajte uhol týchto roví a smerový vektor ich prieseice. 6. Napíšte všeobecú rovicu roviy ureej bodom M[; ; ] a priamkou p: = t; y = t; z = t; t R. 7. Napíšte všeobecú rovicu roviy, ktorá prechádza bodmi M[; ; 4]; N[7; ; ] a je rovobežá s osou. 8. Rozhodite, i priamky p: = 8 4t; y = 48t; z = t; t R; q: = s; y = 6s; z = 9s; s R urujú roviu a apíšte jej parametrické vyjadreie. 9. Urujú priamky p: = t; y = y; z = t; t R; q: = s; y = s; z = 9s; s R roviu? Napíšte jej všeobecú rovicu. 0. Napíšte parametrické vyjadreie roviy daej bodmi A[ ; ; 0], B[; ; ], C[; ; ].

39 8. B Vzahy medzi goiometrickými fukciami.. Zjedodušte si( y) si( y) si( y) si( y). S využitím goiometrických vzorcov vyjadrite cos v závislosti a cos. Urte hodoty si, tg, cotg ak cos = 4 π, π 5 4. Zjedodušte výraz a urte pre ktoré R je defiovaý: cos si si cos 5. Dokážte, že pre prípusté hodoty premeej R platí rovos: si si cos cos : = cos cos si si 6. Zjedodušte fuký predpis fukcie cos f : y = a urte jej defiiý obor. cos tg 7. S využitím goiometrických vzorcov vyjadrite si 75, cos 5, (cos 5 cos 45 ) 8. Dokážte idetitu = (si cos ) a urte podmieky, pre ktoré platia tg cotg úpravy. 9. Zjedodušte si si si5 cos cos cos5 π 5 0. Urte si (y), cos (y) ak cos = ;π a si y = y π; π 5

40 9. A Vzájomé polohy priamok a roví. Vzdialeos dvoch bodov, bodu od priamky a roviy, vzdialeosti rovobežých priamok a roví, uhly priamok a roví.. Zistite vzájomú polohu priamky p = AB, ak A[; ; 4], B[ ; ; 5] a roviy ρ: yz = 0. Urte vekos uhla priamky PQ, kde P[; 0; ], Q[ ; ; ] a roviy ρ = ABC, ak A[; ; ], B[0; ; ], C[ ; ; 0].. Bodom Q[6; 9; ] vete roviu rovobežú s roviou ρ: 7yz 9 = 0. Urte vzdialeos týchto roví. 4. Urte vzdialeos bodu M[; ; 4] od priamky AB, ak A[0; ; ], B[; ; 0]. 5. Na priamke y 5 = 0 ájdite bod, ktorý má od priamky 4y 5 = 0 vzdialeos v =. 6. Vypoítajte vzdialeos bodu A od roviy ρ = KLM, ak K[; ; 4], L[; 0; ], M[5; ; 0], A[ ; ; 4]. 7. Vypoítajte džku výšky v c v trojuholíku ABC, ak A[; ], B[ ; 0], C[4; ]. Akú džku má ažica t a? 8. Daá je priamka p: = t, y = t, z = t; t R a rovia ρ: = 5 r s, y = 6r s, z = 4r; [r, s] R. Urte uhol priamky p a roviy ρ. 9. Nájdite všeobecú rovicu roviy, ktorá prechádza bodmi A[; ; ], B[ ; ; ] a je kolmá a roviu ρ: yz 6 = Urte vzájomú polohu roviy y z 4 = 0 a priamky, ktorá je prieseicou roví y z = 0, y 4z 7 = 0

41 9. B Riešeie lieárych rovíc a erovíc s parametrom.. Riešte v R rovicu s reálym parametrom b: = b b 4 b ( b ). Riešte v R rovicu s reálym parametrom : =. V rovicu yc = 0 urte všetky c R tak, aby uvažovaá priamka a kružica y = 4 mali práve spoloý bod. 4. Urte všetky hodoty parametra a R, pre ktoré má rovica = a aspo jede a záporý kore. 5. Urte pre ktoré hodoty parametra q R je priamka y = q seicou elipsy y = Riešte v R rovicu s reálym parametrom m a ezámou : m = m() 7. Riešte v R rovicu a ( ) ( ) =, ak a je reály parameter. 8. Pre koko prirodzeých ísel a má rovica a( ) = 5(4) riešeie z itervalu <; )? 9. Riešte rovicu s parametrom b: b 4 = b b 0. Vypoítajte všetky hodoty reáleho parametra m, pre ktoré je epoeciála fukcia m f() = rastúca. m

42 0. A Kružica, kruh, guová plocha. Aalytické vyjadreie, vzájomá poloha priamky a kružice. Stredový a obvodový uhol.. Úseka AB, A[; ], B[0; 4] je priemerom kružice. Urte rovicu kružice a prieseíky kružice so súradicovými osami.. Urte stred a polomer kružice y 6 0y9 = 0.. Napíšte rovicu priamky, ktorá prechádza stredmi kružíc y 4 = 0; y 6y = Napíšte rovicu kružice, ak je daý jej stred S[; ] a rovica priamky 85y = 0, ktorej sa kružica dotýka. 5. Akú dlhú tetivu vytía priamka y 6 = 0 a kružici y 4 5y = 0? 6. Napíšte rovicu dotyice t ku kružici y = 5 rovobežú s priamkou p: 4y = Urte stred a polomer kružice y 60y4 = 0 a apíšte rovicu dotyice daej kružice v jej bode T[ 0 ; ]. 8. Urte stred a polomer guovej plochy y z 40y z 4 = Napíšte rovicu kružice, ktorá prechádza bodmi M[5; ], N[6; ] a jej stred leží a priamke p: 4y = Pre akú hodotu parametra d má guová plocha ( ) y z d = 0 s priamkou p: = t; y = t ; z = t; t R práve jede spoloý bod?. Napíšte rovicu guovej plochy, ktorá má stred S[4; ; ] a dotýka sa roviy 6yz5 = 0. Zistite, i bod A[0; ; ] je bodom guovej plochy. Má guová plocha prieseíky s osou?. Dokážte, že spojica bodov vyzaujúcich a ciferíku hodí a 5 je kolmá a spojicu bodov a 0.

43 0. B Riešeie rovíc vyšších stupov v R a C. Riešeie týchto rovíc pomocou substitúcie. Biomické rovice.. V obore kompleých ísel riešte rovicu = 0.. Urte obsah obrazca, ktorý tvoria obrazy koreov rovice z 4 = 6 v Gaussovej rovie kompleých ísel.. Riešte v C rovicu 6 64 = 0 a) rozkladom b) ako biomickú 4. Riešte v R rovicu ( 5) = Riešte v R rovicu si 4 cos = 6. Obrazy z, z koreov biomickej rovice z 6 = 0 urujú v Gaussovej rovie kompleých ísel priamku p. Vypoítajte vzdialeos obrazu korea z 4 od priamky p. 7. Riešte v R rovicu 550 = 0 a apíšte ju ako súi koreových iiteov. 8. Urte defiiý obor fukcie f y = : Rozložte a koreové iitele rovicu = Riešte rovicu: a) = 0 b) = 0. Riešte: a) = b) = 8 c) 4 = 8. Riešte: a) 6 = 64i b) 4 = 0,5 i.0,5 c) 5 = i.

44 . A Parabola. Aalytické vyjadreie, vzájomá poloha priamky a paraboly.. Napíšte aalytické vyjadreie paraboly, ktorá má daé ohisko F[ ; 8] a riadiacu priamku d: y4 = 0.. Urte súradice ohiska, vrcholu a rovicu riadiacej priamky paraboly y 8y 6 = 0.. Nartite a urte súradice ohiska, vrcholu a rovicu riadiacej priamky paraboly y 9 6y 9 = Urte rovicu paraboly, ktorá má vrchol V[6; ], prechádza bodom B[; 5] a má os rovobežú s osou y. 5. Akú dlhú tetivu vytía parabola y 8 = 0 a priamke y = 0? Urte parameter paraboly. 6. Daá je parabola y = 4 a bod M[0; 5]. Urte rovicu všetkých priamok, ktoré majú s parabolou práve jede spoloý bod a prechádzajú bodom M. 7. Urte súradice ohiska paraboly 4 4y8 = 0 a zistite polohu bodov A[; ], B[ ; 5], C[ ; ] vzhadom a daú parabolu a jej vútorú a vokajšiu oblas. 8. Daá je parabola y = 0. Urte rovice všetkých dotyíc paraboly rovobežých s priamkou y7 = Urte vzájomú polohu krivky k a daých priamok. V prípade eprázdeho prieiku urte súradice spoloých bodov. k : y = 4; p : y = 0, q: y = 0 0. Daá je krivka k a priamka p. Urte hodotu parametra c R tak, aby priamka p bola dotyicou krivky k. Urte aj súradice dotykového bodu: k : y 4y 8 = 0, p: 4y c = 0

45 . B Úpravy algebraických výrazov.. Upravte a urte podmieky: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b a b a b a b a b a b a b a b a.. Zostrojte kvadratickú rovicu, ktorej koree sú: = 7 0 = 6 0. Upravte výrazy a urte podmieky: a) ( ) ( ) ( ).. y y y y b) 4 4. Zjedodušte výrazy a) ( ) b) 4 9 a a 5. Upravte: a) ( ) 8 8 : b) Upravte: a) b) ab b a b b a a 7. Riešte v R erovicu 4 4 y y y y. 8. Upravte výraz:

46 9. Zjedodušte výraz a urte defiiý obor výrazu: 4 : 0. Upravte a urte podmieky: ( ) ( ) ( ) 4!!

47 . A Elipsa. Aalytické vyjadreie, vzájomá poloha priamky a elipsy.. Nartite graf fukcie f : y = 9 4 a urte jej vlastosti.. Elipsa, ktorej osi sú rovobežé so súradicovými osami má stred S[; ]. Napíšte jej aalytické vyjadreie, ak hlavá poloos má džku a vzdialeos ohísk je 0.. Napíšte aalytické vyjadreie elipsy, ktorá má ohiská F = [ ; ], F [5; ] a hlavú poloos o džke Urte súradice stredu, ohísk, hlavých a vedajších vrcholov elipsy 9 5y 54 00y 44 = Overte, že rovica 4y 4 8y = 0 je aalytickým vyjadreím elipsy a zistite, pre ktoré reále íslo a je priamka ya = 0 dotyicou elipsy. 6. Napíšte rovicu elipsy, ktorá má vrcholy [ ; 0], [; 0] a vzdialeos ohísk je 8. Osi elipsy sú rovobežé so súradicovými osami. 7. Zistite, i eistuje elipsa, ktorá má osi rovobežé so súradicovými osami, stred S[; ] a prechádza bodmi A[ ; 0], B[0; ]. 8. Napíšte rovicu dotyice elipsy 4y = 0 v jej dotykovom bode T[; y 0 ] a urte jej odchýlku s osou. 9. Daá je elipsa 6y = 8 a bod M[4; ]. a) Dokážte, že M je bodom vokajšej oblasti elipsy. b) Napíšte rovicu dotyice elipsy prechádzajúcej bodom M. 0. Charakterizujte kužeoseku 4y = 0. Vypoítajte vekos stray štvorca opísaého do daej kužeoseky.

48 . B Fukcia a fukcia k ej iverzá. Predpis fukcií, grafy, defiié obory a obory hodôt.. Iverzá fukcia k fukcii f: y = 0 je fukcia f : A: y = log B: y = log ( ) C: y = log() D: y = log () E: žiada z odpovedí A D ie je správa.. Daé sú fukcie f:y = 4 ; g: y = 5. Urte ich defiié obory, obory hodôt a rozhodite, ku ktorej z ich eistuje iverzá fukcia. Urte jej fuký predpis.. Urte graf fukcie f: y = a rozhodite, i eistuje k ej iverzá fukcia. Urte fuký predpis f a jej vlastosti. 4. Iverzá fukcia k fukcii f: y = je f : A: y = B: y = C: y = 9 D: y = E: y =. 5. Daé sú fukcie y = tg ; y = cos. Urte ich defiié obory tak, aby k im boli defiovaé iverzé fukcie. Urte ich fuké predpisy. 6. Nartite graf fukcie g: y = ; <0; ). Urte graf g, D(g ), H(g ). 7. Nartite graf fukcie f : y =. Urte fuký predpis f -, D( f - ), H(f - ). 8. Daá je fukcie f: y = log (). Urte k ej iverzú fukciu. 9. Nartite graf fukcie h: y = 4 <; ). Urte fuký predpis h -, D(h - ), H(h - ) K fukcii f : y = urte iverzú fukciu. 0 0

49 . A Hyperbola. Aalytické vyjadreie, vzájomá poloha priamky a hyperboly.. Hyperbola má hlavú os a osi, vedajšiu os a osi y a prechádza bodmi M[4; ], N[; 0 ]. Napíšte jej rovicu.. Vrcholmi hyperboly sú body A[; ], B[8; ] a jej ecetricita má džku 5. Urte aalytické vyjadreie tejto hyperboly.. Daá je hyperbola 4 9y = 6. Ktorá z asledujúcich priamok má s daou hyperbolou práve spoloý bod? 5 A: p: y = 0 B: q: y = 0 C: z: y =. 4. Hyperbola má stred v poiatku súradicového systému, osi rovobežé s osami, y a jedo z jej ohísk má súradice [ 5 ; 0]. Bod A[ ; ] je bodom hyperboly. Napíšte jej rovicu. 5. Urte možiu bodov, ktorej aalytické vyjadreie je 9 6y 6 96y 5 = Napíšte rovice všetkých dotyíc hyperboly 4 y = 6, ktoré sú rovobežé s priamkou 5 y7 = 0. Aká je vzdialeos ohísk a vrcholov hyperboly? 7. Na hyperbole 9 4y = 4 ájdite bod ajbližší k priamke 5 4y 60 = Napíšte rovicu hyperboly, ktorej vrcholy sú ohiskami a ohiská vrcholmi elipsy 6 5y = Napíšte rovicu hyperboly, ktorej hlavá os je rovobežá so súradicovou osou y, ak S[, ], a =, b = 0. Napíšte rovicu hyperboly, ak pozáte vrcholy A[, ], B[7, ] a džku vedajšej poloosi b =.

50 . B Goiometrické rovice.. Riešte v R rovicu si5 = cos si. Riešte rovicu pre <0; π> si cos = si. Riešte v R rovicu: si si si = Riešte v R rovicu si 5 cos = Urte defiiý obor fukcie f : y = tg cotg 6. Riešte v R rovicu 4 cos 4 cos cos (π) = 0 7. Riešte v R: si. cos = si Zistite, koko riešeí má rovica a itervale < π; π>. 8. Riešte v R rovicu si cos = Urte poet riešeí rovice si 4 = cos 4 pre <0; π>. 0. Riešte v R: si cos =

51 4. A Zhodé zobrazeia v rovie. Druhy zhodých zobrazeí. Osová a stredová súmeros. Skladaie osových súmerostí.. Daý je lichobežík ABCD. V ureom zobrazeí artite obrazy útvarov: V súmerosti S poda stredu O zobrazte ACD S A'C'D', kde O BC BC = OC.. Zobrazeie Z vzike skladaím osových súmerosti S o S v tomto poradí: Súmeros S je ureá priamkou y = 0, súmeros S priamkou y =. Urte výsledé zobrazeie Z. V zobrazeí Z urte obrazy asledujúcich útvarov: a) priamky p: = b) bodu R[; ] c) krivky k: ( 4) y = 4. Daý je rovobežík ABCD, v ktorom platí AB > BC. Zobrazte daý rovobežík v osových súmerostiach S ureých priamkami: a) BC b) AC c) o vziká zložeím osových súmerostí S ( BC ) o S ( AC ). 4. V súmerosti poda stredu S sa bod A[; 4] zobrazí do bodu A'[4; 4]. Urte súradice stredu súmerosti S a v uvažovaej stredovej súmerosti zobrazte daé útvary: a) k: ( ) (y ) = 4 b) q: y = 0 5. Daá je kružica k: y 9 y 4 = 0. Zobrazte daú kružicu v osových súmerostiach ureých a) osou b) osou y c) osou I. a III. kvadratu. 6. Na priamke y 5 = 0 ájdite bod, ktorý má od priamky 4y 5 = 0 vzdialeos v =. 7. Nájdite rovicu kružice súmerej s kružicou ( ) (y ) = vzhadom a priamku y = Daé sú rôzobežky p, q a bod C, ktorý a ich eleží. Zostrojte všetky rovostraé trojuholíky ABC tak, aby bod A p B q.

52 9. Daé sú rôzobežky p, q a bod S, pre ktorý platí S p S q. Zostrojte všetky štvorce KLMN so stredom S tak, aby K p M q.

53 4. B Riešeie rovíc metódou substitúcie.. Metódou substitúcie riešte v R rovice: a) = 0 b) = 0 c) 4 = 0 d) ( ).( ) = 5 e) =. Vhodou substitúciou riešte v R rovice: a) = 8 b) = 0 4 c) = 0. Metódou substitúcie riešte v R rovice: 4 a) log log = 0 b) c) log = 0 log 6 = 0 log log log d) log0 = 0( ) 4. Metódou substitúcie riešte v R rovice: π a) tg ( ) = 6 π b). si ( ) = c).si si = d) tg cotg =

54 5. A Podobé zobrazeia v rovie. Podobos trojuholíkov a mohouholíkov.. Dvojmetrová zvislá ty vrhá tie v džke 7,5 dm. Súase bol odmeraý tie stromu, ktorého džka je 0 cm. Aký vysoký je strom?. Pre ABC a KBL platí: ABC KBL, kde A[; ], B[4; ], K[; ]. Urte pomer obvodov a pomer obsahov týchto trojuholíkov.. Daé sú esústredé kružice k (S ; r ), k (S ; r ) a bod M, ktorý leží vo vokajšej oblasti obidvoch kružíc. Zostrojte všetky rovorameé trojuholíky KLM so základou KL tak, aby K k L k vekos uhla KML = Daý je všeobecý ABC. Do tohto trojuholíka vpíšte štvorec KLMN tak, aby KL AB, M BC, N AC. 5. Na obrázku je dvojica podobých trojuholíkov. Vypoítajte džky chýbajúcich strá., 6. Na obrázku sú asti dvoch trojuholíkov. Jede má strau dlhú 4 a vekosti uhlov k ej priahlých sú 65 a 85. O druhom z ich vieme, že oproti uhlu s vekosou 0 leží straa s džkou 5. Uhol priahlý k tejto strae má vekos 85. O týchto dvoch trojuholíkoch môžeme s istotou tvrdi, že A sú zhodé 5 B sú podobé, ale ie sú zhodé 85 C sú zhodé, ale ie sú podobé D ie sú podobé 4 0 E emožo rozhodú, pokia evidíme celé trojuholíky

55 7. Rovorameý lichobežík rozdeujú uhloprieky a štyri trojuholíky. Ktoré z týchto trojuholíkov sú podobé a ktoré sú zhodé? 8. Rovobežky so straami rovobežíka idúce zvoleým bodom a uhloprieke rozdeujú daý rovobežík a štyri rovobežíky. Tie dva rovobežíky, ktorými prechádza uhloprieka, sú podobé, zvyšé majú rovaký obsah. Dokážte to! 9. Nádoba má tvar zrezaého rotaého kužea s priemermi podstáv d = 6 dm, d = 8 dm a výška ádoby je 5 dm. Koko litrov vody sa približe do ádoby zmestí?

56 5. B Základy teórie ísel. Operácie v rôzych íselých oboroch. Urovaie D(a, b), (a, b). Odmocia v R a C.. Urte 4 8 i8. Riešte rovicu = 0 v R a C.. Rozkladom a súi riešte v C rovicu = Daé sú výrazy A() = 4, B() = 4. Urte ajväší spoloý delite a ajmeší spoloý ásobok výrazov A(), B(). 5. Urte delitele ísel 58, 96. omu sa rová ajväší spoloý delite, teda D(58, 96)? 6. Vhodou metódou urte ajväšie spoloé delitele a ajmešie spoloé ásobky ísel 48, Daé sú iracioále ísla a = 0,5 0,5 0,5 0,5, b = 5. Urte a ukážte, že a = b. a 8. Riešte v C (možie kompleých ísel): a) c = 0 b) d 0 = 0 c) e 4e 5 = 0 d) 4f 8f 5 = Urte a Q tak, aby sa zlomok a 0. Upravte dal kráti. a) b) ( ) ( ) c)

57 6. A Pojem pravdepodobos. Druhy pravdepodobosti, výpoet pravdepodobosti.. Z deby, v ktorej je 0 súiastok a z ich sú chybé, vyberieme áhode 5 súiastok. Aká je pravdepodobos, že medzi imi budú práve chybé?. Z deby, v ktorej je 0 súiastok a z ich sú chybé, vyberieme áhode 5 súiastok. Aká je pravdepodobos, že medzi imi budú ajviac chybé?. V triede je 0 žiakov. Sedem z ich emá domácu úlohu. Uite vyvolá áhode 6 žiakov. Aká je pravdepodobos, že aspo 4 z ich vypracovali domácu úlohu? 4. Hádžeme trikrát kockou. Aká je pravdepodobos, že prvýkrát pade páre íslo, druhýkrát íslo väšie ako 4 a tretíkrát epáre íslo? 5. Automat a cestové lístky sa pokazil. V polovici prípadov po vhodeí mice evypade z eho i. V desatie prípadov vypade spä korua aj s cestovým lístkom. V ostatých prípadoch s rovakou pravdepodobosou vypade cestový lístok, ale korua ie, resp. vypade korua, ale ie cestový lístok. Aká je pravdepodobos toho, že po vhodeí mice vypade z automatu cestový lístok alebo cestový lístok i korua? 6. V obchodom dome majú zo 00 televízorov prvej akosti a 5 druhej akosti. Prvých desa kupujúcich dostalo televízor prvej akosti. Aká je pravdepodobos, že jedeástemu kupujúcemu predvedú televízor druhej akosti? 7. Aká je pravdepodobos, že zo skupiy 7 študetov aspo dvaja majú arodeiy v te istý de? 8. Strelec striea so spoahlivosou (iže s pravdepodobosou zásahu) 0,9. Aká je pravdepodobos, že zasiahe cie dvakrát za sebou? 9. Je pri hode kockami pravdepodobejší súet (jav A), i súet (jav B)?

58 6. B Goiometrické fukcie - Defiícia fukcií tages, kotages, vlastosti, grafy.. Urte hodotu výrazu 7 9 si π.tg π 4 7 cos π.cotg 6 ( 00 ). Pre ktoré hodoty argumetu platí f() = 0, ak : y = tg. cos f. Urte poet koreov rovice si = tg v itervale <0; π). 4. Overte pravdivos výroku: Ak si = a 5. Nartite graf fukcie tg =, potom hodota cos je z itervalu <0; 6>. tg f : y =. tg 6. Urte cos, si, cotg ak 5 tg = a 0; π. 7. Urte cos, si, cotg ak si =, ;. 5 π 5π tg cot g π π 7 8. Vypoítajte: tg cotg 6 6 π cot g 4 4π 6 tg 9. Dokážte, že pre všetky prípusté hodoty platí: tg = tg cot g tg = tg si

59 7. A Základy matematickej štatistiky modus, mediá, smerodajá odchýlka.. V tabuke je uvedeý poet obyvateov v ašej republike v rokoch a poet živo arodeých detí v jedotlivých rokoch: Poet obyvateov Poet ovorodecov Vypoítajte priemerý poet arodeých detí v jedom roku, a vypoítajte poet arodeých detí a 000 obyvateov v jedotlivých rokoch a priemer tejto hodoty.. V asledujúcej tabuke sú uvedeé poty pracovíkov s vysokoškolským vzdelaím v jedotlivých vekových kategóriách: Vek,5 7,5,5 7,5 4,5 47,5 5,5 57,5 6,5 Poet pracovíkov Vypoítajte modus, mediá a aritmetický priemer veku pracovíkov s vysokoškolským vzdelaím.. Vypoítajte aritmetický priemer ísel,,,... 5, ak sa íslo vyskytuje medzi imi 5krát, íslo 7 sa vyskytuje 8krát a ísla 0 a raz. Vypoítajte aj smerodajú odchýlku opísaého zaku. 4. Výko gymastky a bradlách ohodotilo 5 rozhodcov týmito zámkami: 9,; 9,5; 8,9; 9,; 9,. Aké je jej priemeré hodoteie vypoítaé z troch prostredých zámok (ajvyššia a ajižšia zámka sa do hodoteia ezapoitáva)? 5. Pri opakovaých meraiach istej fyzikálej veliiy sme dostali tieto výsledky:,;,0;,09;,;,0;,0;,0;,05;,05. Vypoítajte priemer a smerodajú odchýlku tohto meraia. 6. V šachtiteskom ústave áhode vybrali z úrody jabk 50 kusov a zistili ich hmotos. Rozdeleie poetosti jabk je uvedeé v tabuke.

60 Hmotos (g) Poet jabk Vypoítajte priemerú hmotos jabk, modus, mediá, rozptyl a smerodajú odchýlku. 7. Pri príprave ajovej zmesi zmiešali 5 kg aju v cee 50 Sk za kilogram a 5 kg aju po 90 Sk za kilogram. Aká by mala by cea kg zmesi?

61 7. B Zhodé zobrazeia v rovie. Posuutie a otoeie. Skladaie zhodých zobrazeí.. Daý je lichobežík ABCD. V ureých zobrazeiach artite obrazy útvarov: a. v posuutí T ureom dvojicou bodov [A; C] zobrazte BD: BD T B'D' b. v otáaí R ureom R(C; π ) zobrazte DA R D'A'. Posuutie T je daé [A; B], kde A[0; ], B[0; ]. V uvažovaom zobrazeí T urte obrazy asledujúcich útvarov: a. priamky q : y = b. úseky CD, kde C[ ; ], D[; ] c. krivky y = 4( ). Na priamke y 5 = 0 ájdite bod, ktorý má od priamky 4y 5 = 0 vzdialeos v =. 4. Daé sú rôzobežky p, q a bod C, ktorý a ich eleží. Zostrojte všetky rovostraé trojuholíky ABC tak, aby bod A p B q. 5. Daé sú rôzobežky p, q a bod S, pre ktorý platí S p S q. Zostrojte všetky štvorce KLMN so stredom S tak, aby K p M q.

62 8. A Síusová veta a jej použitie.. Dve priame cesty sa križujú a zvierajú uhol = 5. Na jedej z ich stoja dva stpy, jede a križovatke, druhý vo vzdialeosti 500m od ej. Ako aleko treba ís od križovatky po druhej ceste, aby sme videli oba stpy v zorom uhle = 5?. V trojuholíku ABC je b = 8,4 cm, c = 6,9 cm, α = 56. Vypoítajte vekos stray a.. Urte džky všetkých strá a vekosti všetkých uhlov trojuholíka ABC, ak je daé: a =,6 dm, c = 9 dm, α = Vypoítajte vekos ajväšieho vútorého uhla trojuholíka, ak jeho stray majú džku: a) 4 mm, 47 mm, 50 mm b) a, a, a (a > 0) 5. Rozhodite, i trojuholík ABC, ktorého stray sú a) a = 4 cm, b = cm, c = 6 cm b) a = 5 cm, b = 6 cm, c = 7 cm c) a = cm, b = 4 cm, c = 8 cm je tupouhlý. 6. Vrchol veže, ktorá stojí a rovie, vidíme z uritého miesta A vo výškovom uhle = 9. Ak sa priblížime smerom k jeho päte o 50m a miesto B, vidíme z eho vrchol veže vo výškovom uhle = 58. Ako vysoká je veža? 7. Na vrchole hory stojí hrad, ktorý má vežu vysokú v = 0m. Križovatku ciest v údolí vidíme z vrcholu veže a od jej päty v hbkových uhloch a 0. Ako vysoko je vrchol hory ad križovatkou? 8. Z vrchu kostolej veže vido kostolú bráu a poštovú schráku, akoby ležali a jedej priamke. Bráa je 65 metrov od základov veže a hbkový uhol je 60 od vrcholu veže. Hbkový uhol od vrcholu veže ku schráke je 8. Vypoítajte vzdialeos medzi bráou a schrákou. 9. Lo pláva z bodu A 4,5 km a smeríku 07 smerom k bodu B. Od bodu B lo pláva a smeríku 4 do bodu C. C je 6 km východe vzdialeý od bodu A. Vypoítajte, ako aleko lo plávala od bodu B ku bodu C. 0. Muž výšky,6 m stojí a veži. Z tejto pozície vid loptu, ktorá je vo vzdialeosti 0 m od základov veže. Uhol sklou k lopte je 6. Vypoítajte výšku veže.