VaFu18-T List 1. Mocninové funkcie. RNDr. Beáta Vavrinčíková
|
|
- Μελπομένη Δουμπιώτης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 VaFu8-T List Mocninové funkcie RNDr. Beáta Vavrinčíková U: V tejto téme sa budeme zaoberať jednou celou skupinou funkcií. Pripomeňme si, že funkcia popisuje určitú závislosť medzi dvoma veličinami. Na úvod mi povedz, ako závisí obsah štvorca od dĺžk stran štvorca. Ž: To je triviálne, platí S = a. Pritom S je obsah štvorca, a je jeho strana. U: Zrejme ľahko zvládneš aj závislosť objemu kock od dĺžk jej hran. Ž: Samozrejme, je daná vzťahom kde V je objem kock, a je jej hrana. V = a, U: Výborne. Toto sú dve ukážk funkcií, s ktorými sa pomerne často stretávame. Ak prejdeme k obvklému označeniu pomocou a, tak ich predpis môžeme vjadriť takto: =, =. Ž: Dosť sa podobajú, nemohlo b ďalej ísť = 4? U: Mohlo, dokonca b som povedal, že si vstihol mšlienku. Budeme sa zaoberať funkciami, ktoré môžeme vjadriť rovnicami tpu = n. Pretože sú vjadrené v tvare mocnin so základom, nazývame takéto funkcie mocninové. Vlastnosti týchto funkcií sa líšia podľa toho, aké číslo zvolíme za eponent n. Preto sa v ďalšom budeme zaoberať dvoma tpmi mocninových funkcií. Najprv si povieme niečo o mocninových funkciách s prirodzeným eponentom a potom o mocninových funkciách so záporným celočíselným eponentom. Ž: Mocninové funkcie s prirodzeným eponentom budú určite tie, v ktorých je n prirodzené číslo. U: Samozrejme. Aký je ich definičný obor? Ž: Keď sa pozriem na funkcie = a =, tak vidím, že za môžem dosadiť akékoľvek číslo. Teda definičným oborom je celá množina reálnch čísel. U: Môžem teda povedať definíciu: Mocninovou funkciou s prirodzeným eponentom nazývame každú funkciu danú rovnicou f : = n, kde n N. Jej definičný obor je množina R. Pre n = dostávame špeciáln prípad, lineárnu funkciu =.
2 VaFu8-T List Ž: A pre n = zase kvadratickú funkciu =. U: Osobitné pomenovanie máme ešte aj pre funkciu s rovnicou =. Nazýva sa kubická funkcia. Ž: Ako vzerá jej graf? U: To si o chvíľu ukážeme. Ab sme mohli porovnávať vlastnosti mocninových funkcií, pripravme si do tabuľk niektoré funkčné hodnot. A to hneď pre prvých šesť funkcií, teda pre = n, ak n {; ; ; 4; 5; 6}. Ž: Vezmem si na pomoc kalkulačku a vpĺňam. Niektoré hodnot musím zaokrúhliť. V rámčeku je celá tabuľka.,5,5,5,5 =,5,5,5,5 = 4,5,65,65,5 4 = 8,5,56,56,5 8 = 4 6,65,9,9,65 6 = 5,,9,9, = 6 64,56,,,56 64 U: Na základe tejto tabuľk skús objaviť niektoré vlastnosti mocninových funkcií. Ž: Hneď som si všimol, že v riadkoch =, = 4, = 6 nie sú záporné hodnot. U: Vedel b si vsvetliť prečo? Ž: Pravdaže, druhá mocnina ľubovoľného reálneho čísla je číslo nezáporné. To isté platí aj pre štvrtú a šiestu mocninu. A vlastne pre každú párnu mocninu. U: Tým si zdôvodnil, že obor hodnôt mocninovej funkcie s párnm prirodzeným mocniteľom je množina všetkých nezáporných čísel. Ž: Zatiaľ čo pre funkcie s nepárnm mocniteľom sú v tabuľke aj kladné aj záporné hodnot. Mslím si, že oborom hodnôt tu bude celá množina reálnch čísel. U: Máš pravdu. Vzhľadom na uvedené odlišnosti si pripravme dva obrázk. Do prvého zostrojíme graf funkcií =, = 4, = 6. Budeme hľadať ďalšie spoločné vlastnosti týchto funkcií pomocou nasledujúceho obrázka.
3 VaFu8-T List = 6 5 = 4 = 4 Ž: Tak teraz to už pekne vidno! Graf sú veľmi podobné. Všetk krivk sa stretávajú v bodoch [; ], [; ] a [ ; ]. Všetk funkcie sú najprv klesajúce na intervale ( ; a potom rastúce na intervale ; ). U: Veľmi dobre, tým si zvládol monotónnosť funkcií, čo ďalej? Ž: Ďalej vidím, že všetk funkcie majú v bode nula lokálne minimum a sú zdola ohraničené. U: Sú prosté? Ž: Nie sú, pretože napríklad v bodoch a majú rovnaké hodnot. Všimol som si ale niečo iné všetk graf sú súmerné podľa osi. Teda b to mali bť párne funkcie. U: Áno, a nie je ťažké to zdôvodniť. Pre ľubovoľné z definičného oboru je aj z definičného oboru. Keďže eponent n je párne číslo, tak platí f( ) = ( ) n = n = f(). Môžeme prejsť ku druhej skupinke, k funkciám s nepárnm prirodzeným mocniteľom. Najprv sa pozrime na graf funkcií =, =, = 5.
4 VaFu8-T List 4 = 5 = = Ž: Krivk = a = 5 sú veľmi podobné, len tá priamka = tam nesedí. U: Je to jediná priamka, všetk ďalšie graf mocninových funkcií s nepárnm prirodzeným mocniteľom sú krivk podobného tvaru. Vlastnosti však majú všetk rovnaké. Ž: Áno, všetk sú to rastúce funkcie, neohraničené, bez etrémov. Sú prosté a graf prechádzajú bodmi [; ], [; ], [ ; ]. Zabudol som na niečo? U: Ešte párnosť alebo nepárnosť. Ž: Aha. Graf sú súmerné podľa bodu [; ], teda sú to nepárne funkcie. To sa bude ľahko pamätať pre párne n sú funkcie párne a pre nepárne n sú nepárne. U: Tu kdesi tkvie aj pôvod pomenovania. Napokon v nasledujúcom prehľade zhrnieme všetko, čo sme zistili o mocninových funkciách s prirodzeným mocniteľom.
5 VaFu8-T List 5 Vlastnosti mocninovej funkcie = n, n N: n párne n nepárne = 6 = 4 = = 5 = = 5 4. definičný obor D = R;. obor hodnôt H = ; );. párna; 4. je rastúca na intervale ; ), klesajúca na intervale ( ; ; 5. má minimum v bode = ; 6. je zdola ohraničená; 7. nie je prostá; 8. f() =, f() =, f( ) =.. definičný obor D = R;. obor hodnôt H = R;. nepárna; 4. je rastúca; 5. nemá etrém; 6. nie je ohraničená; 7. je prostá; 8. f() =, f() =, f( ) =. U: Teraz sa zaoberajme druhou veľkou skupinou, mocninovými funkciami so záporným celočíselným eponentom. Ž: Sú to funkcie ako = alebo =? U: Presne tak. Čo b si vedel povedať o ich definičnom obore?
6 VaFu8-T List 6 Ž: Podľa pravidiel pre počítanie s mocninami môžem zapísať, že = =. Takisto = =. Odtiaľ už je jasné, že za nemôžem dosadiť nulu. Takže definičným oborom týchto funkcií bude množina všetkých reálnch čísel okrem nul. U: Správne. Zhrniem definíciu: Mocninovou funkciou so záporným celočíselným eponentom nazývame každú funkciu danú rovnicou f : = n, kde n Z. Definičným oborom je množina R {}. Ž: Sú aj tu nejaké špeciálne prípad? U: Áno, pre n = dostávame nepriamu úmernosť =. Ab sme sa mohli ďalej rozprávať o vlastnostiach týchto funkcií, pripravme si do tabuľk niektoré funkčné hodnot. Urobme tak pre prvých šesť funkcií, teda pre = n, ak n { ; ; ; 4; 5; 6}. Ž: Zase si pomôžem kalkulačkou, budem aj zaokrúhľovať. V rámčeku je tabuľka so šiestimi hodnotami pre každú funkciu.,5,5 =,5,5 =,5 4 4,5 =,5 8 8,5 = 4,6 6 6,6 = 5,, = 6, ,6 Ž: Z tabuľk je jasné, že inak sa správajú funkcie s párnm a inak s nepárnm mocniteľom. U: Máš pravdu, preto si aj ich graf rozdelíme. Pomocou hodnôt v tabuľke najprv zostrojme graf funkcií =, = 4, = 6. Máme ich na nasledujúcom obrázku.
7 VaFu8-T List 7 = 6 = 4 = U: Z grafu urč vlastnosti týchto mocninových funkcií s párnm záporným celočíselným mocniteľom. Ž: Funkcie nadobúdajú iba kladné hodnot. Na intervale ( ; ) sú rastúce, na intervale (; ) sú klesajúce. Ďalej sú ohraničené zdola, nemajú etrém. Nie sú prosté, zato sú párne. To sa ale dalo čakať, keď hovoríme o párnom eponente. U: Môžeme si všimnúť aj polohu grafov voči súradnicovým osiam. Ž: Graf sa približujú k obom osiam, ale nikd sa ich nedotknú. U: Presne tak. Osi -ovej sa nedotknú preto, lebo naše funkcie nie sú definované pre =. Osi -ovej sa nedotknú preto, lebo prevrátená hodnota kladného čísla nie je nikd rovná nule. V takomto prípade hovoríme, že súradnicové osi predstavujú asmptot grafu funkcie. Ešte sa pozri, či vidíš nejaké význačné bod, ktorými prechádzajú všetk graf. Ž: Ale áno, sú to bod [; ] a [ ; ]. U: Ostáva nám posledná skupina mocninové funkcie so záporným nepárnm celočíselným mocniteľom. Najprv si pripravíme obrázok s grafmi funkcií =, =, = 5. = = 5 =
8 VaFu8-T List 8 Ž: Tak sa môžem pustiť do vlastností. Oborom hodnôt je celá množina reálnch čísel s výnimkou nul. Všetk funkcie sú nepárne, klesajúce na intervaloch ( ; ) a (; ). Ďalej sú prosté, nie sú ohraničené a nemajú etrém. Všetk prechádzajú bodmi [; ] a [ ; ]. U: Zvládol si to vnikajúco. Už len dodám, že obidve súradnicové osi opäť predstavujú asmptot. Všetko, čo sme povedali o mocninových funkcách so záporným celočíselným eponentom, zhrnieme v nasledujúcom prehľade. Vlastnosti mocninovej funkcie = n, n Z : n párne n nepárne = 6 = 4 = = 5 = =. definičný obor D = R {};. obor hodnôt H = (; );. párna; 4. je rastúca na intervale ( ; ), klesajúca na intervale (; ); 5. nemá etrém; 6. je zdola ohraničená; 7. nie je prostá; 8. f() =, f( ) = ; 9. súradnicové osi sú asmptot.. definičný obor D = R {};. obor hodnôt H = R {};. nepárna; 4. je klesajúca na intervaloch ( ; ) a (; ); 5. nemá etrém; 6. nie je ohraničená; 7. je prostá; 8. f() =, f( ) = ; 9. súradnicové osi sú asmptot.
9 VaFu8-T List 9 U: Hovorili sme o funkciách tpu = n, ak n bolo kladné alebo záporné celé číslo. Porozmýšľaj, ako b to dopadlo, ak b bolo n =. Ž: Vznikla b funkcia s rovnicou =. To je ľahké. Keďže =, vznikla konštantná funkcia a jej grafom je priamka. U: Veruže nemáš úplnú pravdu. Mocnina s eponentom nula je totiž definovaná iba pre nenulové čísla. Preto definičným oborom funkcie = je R {}. Ž: Potom ale grafom musí bť priamka bez jedného bodu, na obrázku je znázornený prázdnm krúžkom. =
10 VaFu8- List Príklad :. Určte číselnú hodnotu koeficienta a, pre ktorú graf funkcie f : = a prechádza bodom [; ].. Pre funkciu g : = 4 určte všetk hodnot premennej, pre ktoré platí g() = 8. U: V prvej úlohe je daná kubická funkcia f : = a. Hodnotu koeficienta a máš určiť tak, ab graf tejto funkcie prechádzal bodom [; ]. Ž: To b nemalo bť ťažké, pretože ak graf prechádza bodom [; ], tak do rovnice funkcie dosadím za číslo a za číslo. Dostávam takúto rovnicu: = a. Teda odkiaľ = a 8, a = 5 4. U: Výborne. V druhej časti je daná mocninová funkcia g : = 4. Máš určiť všetk hodnot premennej, pre ktoré platí g() = 8. Ž: Začnem zápisom g() = 8, ktorý prepíšem do tvaru 4 = 8. A hneď vidím, že riešením je číslo, pretože 4 = 8. U: Počkaj, počkaj, priveľmi si sa rozbehol. Súhlasím s tým, že 4 = 8, je to však jediné riešenie? Vráťme sa pekne k rovnici 4 = 8 a začnime ju upravovať. Najprv prenesieme číslo 8 na ľavú stranu. Ž: Dostanem rovnicu 4 8 =. Čo ďalej? U: Použi znám vzorec A B = (A + B)(A B).
11 VaFu8- List Ž: Teda ľavú stranu rozložím na súčin ( + 9)( 9) =. Ešte raz použijem ten istý vzorec a dostávam ( + 9)( + )( ) =. Rovnica + 9 = ale nemá reálne korene. Preto vznikli len dve riešenia = a =. U: Tentoraz to je v poriadku. Eistujú dve hodnot reálnej premennej, pre ktoré funkcia g nadobúda hodnotu 8. Úloha : Pre funkciu f : = určte všetk hodnot premennej, pre ktoré platí: a) f() = 64 b) f() = 8. Výsledok: a) 4; b)
12 VaFu8- List Príklad :. V továrni na hračk vrábajú kock z borovicového dreva s hustotou ϱ =,5 g cm. Zapíšte funkciu, ktorá vjadruje závislosť hmotnosti kock od dĺžk jej hran. Načrtnite jej graf.. V továrni na konzerv vrábajú valcové plechovk s objemom 5 ml. Zapíšte funkciu, ktorá vjadruje závislosť výšk v plechovk od polomeru r jej podstav. Načrtnite jej graf. Ž: V prvej úlohe je reč o drevených kockách z dreva s hustotou,5 g cm. Ak si dobre pamätám, tak hustota ϱ sa počíta podľa vzťahu kde m je hmotnosť a V je objem telesa. ϱ = m V, U: Pamätáš si to dobre. Ž: To som rád. V našom prípade potrebujeme objem kock. Ten je daný vzťahom V = a, kde a je dĺžka hran kock. Ak to spojím, dostanem vjadrenie ϱ = m a. Odtiaľ m = ϱ a. Hustotu borovicového dreva máme danú, preto hľadaná funkcia je m =,5 a. U: Zdôrazním, že hrana kock je v tomto prípade daná v centimetroch a hmotnosť kock v gramoch. Získali sme kubickú funkciu, máš načrtnúť jej graf. Najprv si však uvedom, aký je definičný obor tejto funkcie. Ž: Zrejme hrana kock nemôže bť záporné číslo a ani nula. Teoretick b hrana kock mohla bť ľubovoľne veľká, ale praktick... U: Máš pravdu, veľmi veľké kock b nikto nevrábal, už aj pre ich hmotnosť. Nám však stačí teoretický pohľad. Ž: Tak si pripravím do tabuľk niekoľko hodnôt, uvedené sú v rámčeku. a [cm],8,5,5 m =,5 a [g],56,5,69 4 7,8,5 Hodnot z tabuľk potom nanesiem do súradnicovej sústav a zostrojím graf funkcie. Tu to je:
13 VaFu8- List m [g] m =,5 a a [cm] U: Zvládol si to veľmi dobre, poďme na druhú časť. Ž: Tentokrát sú to plechovk v tvare valca s objemom 5 ml. Viem, že objem valca sa počíta podľa vzťahu V = πr v, kde r je polomer podstav a v je výška valca. U: Asi b bolo vhodné použiť iné jednotk pre objem. Ž: Ak b polomer aj výška boli dané v centimetroch, tak objem bude v cm. Lenže mililitre a centimetre kubické predstavujú to isté. Preto naše plechovk majú objem 5 cm. U: Dobre. Vráťme sa k vzorcu na výpočet objemu valca. Tvojou úlohou je vjadriť výšku valca ako funkciu polomeru. Ž: To nie je ťažké, v = V πr. Ešte dosadím za objem valca danú hodnotu a mám výsledok: v = 5 πr. U: Opäť poznamenajme, že táto funkcia je definovaná len pre kladné čísla. Ž: Aký je to tp funkcie?
14 VaFu8- List 4 U: Môžeme ju zaradiť medzi mocninové funkcie. Jej rovnicu zapíšem v tvare v = 5 π r. Potom je zrejmé, že je to mocninová funkcia so záporným celočíselným mocniteľom, ktorá však obsahuje navše koeficient 5. Ten spôsobí, že graf sa bude trochu líšiť od grafu π funkcie =. Ž: Tak si za pomoci kalkulačk pripravím tabuľku s niekoľkými hodnotami: r [cm] v = 5 π r [cm] 59, 9,79 9,95 4,4,49,59 U: Ostáva nám už len graf, je na nasledujúcom obrázku: v [cm] 4 v = 5 π r r [cm]
15 VaFu8- List 5 Príklad : Pomocou grafu funkcie f : = zostrojte graf funkcií f : =, f : = ( ), f : = a f 4 : =. U: Pri riešení tejto úloh môžeš šikovne vužiť svoje vedomosti o transformáciách funkcií. Ž: Graf funkcie f : = poznám, je to mocninová funkcia s nepárnm prirodzeným mocniteľom. Jej graf prechádza bodom [; ] a je na nasledujúcom obrázku: 4 f : = 4 U: Dobre, a teraz skús do toho istého obrázka prikresliť graf funkcie f : =. Ž: To nie je ťažké, pretože funkcia f priradí každému reálnemu číslu hodnotu o menšiu než funkcia f. To znamená, že graf funkcie f vznikne posunutím grafu funkcie f o dielik nadol pozdĺž osi -ovej. Vzerá to takto:
16 VaFu8- List 6 4 = = 4 U: Veľmi dobre. Ktorú transformáciu použiješ pri zostrojovaní grafu funkcie f : = ( )? Ž: Tentokrát posuniem graf funkcie f v smere osi -ovej. Ak v predpise funkcie f nahradím výrazom, tak dostanem predpis funkcie f. To znamená, že graf funkcie f dostanem tak, že posuniem o dva dielik doprava graf červenej funkcie. U: Čiže graf funkcie f nebude prechádzať bodom [; ], ale bodom [; ]. O tom sa môžeme ľahko presvedčiť dosadením do predpisu funkcie. Ž: Na ďalšom obrázku už je zostrojený modrý graf funkcie f : = =( )
17 VaFu8- List 7 U: Tretia funkcia v poradí má pomerne jednoduchý predpis f : =. Ž: Od funkcie f sa líši iba znamienkom. To znamená, že všetk hodnot funkcie f budú opačné čísla k hodnotám funkcie f. To, čo bolo kladné, bude záporné a naopak. Preto sa celý graf preklopí podľa osi. Čo bolo nad ňou, bude pod ňou a naopak. U: Dôjde teda k zobrazeniu grafu funkcie f v osovej súmernosti podľa -ovej osi. Ž: Výsledok je na obrázku: = = U: Ostáva nám ešte posledný graf pre funkciu f 4 : =. Ž: Výraz sa nachádza v absolútnej hodnote. To spôsobí, že tá časť grafu funkcie f, ktorá leží nad osou sa nezmení. To preto, lebo absolútna hodnota kladného čísla je to isté číslo. U: Zatiaľ uvažuješ veľmi dobre. Ako to bude so zápornými hodnotami? Ž: Viem, že absolútna hodnota záporného čísla je číslo k nemu opačné. Preto tá časť grafu funkcie f, ktorá ležala pod osou, sa zobrazí nahor v osovej súmernosti podľa osi. U: Áno. Mohli b sme to povedať aj tak, že graf funkcie f 4 : = je zložený z dvoch častí. Pre nezáporné z grafu funkcie f : = a pre záporné z grafu funkcie f : =. Výsledok je na poslednom obrázku:
18 VaFu8- List 8 = = Úloha : Pomocou grafu funkcie f : = zostrojte graf funkcie g : =. Výsledok: = =
19 VaFu8-4 List 9 Príklad 4: Rozhodnite o pravdivosti nasledovných tvrdení: a) funkcia f : = je párna; b) funkcia g : = nemá etrém; c) funkcia h : = 4 je zhora ohraničená; d) funkcia i : = 5 je prostá. U: V tejto úlohe máš rozhodnúť o niektorých vlastnostiach mocninových funkcií. Ž: V časti a) je daná funkcia f : =. Mám zistiť, či je párna. Ak b tam nebola absolútna hodnota, tak b to bola určite nepárna funkcia. Ale takto neviem. U: Poďme na to cez definíciu. Ak má bť funkcia f párna, musia bť splnené dve podmienk. Prvá o tom, že pre každé z definičného oboru aj patrí do definičného oboru. Ž: To platí, pretože definičným oborom funkcie f je množina všetkých reálnch čísel. U: Druhá podmienka hovorí o tom, že pre každé z definičného oboru má platiť f( ) = f(). Over to. Ž: Použijem jednoduché úprav, uvedené sú v rámčeku. Všlo to, takže funkcia f je párna. U: V časti b) máme tvrdenie, že funkcia nemá etrém. f( ) = ( ) = = = f(). g : = Ž: Toto je prípad mocninovej funkcie so záporným celočíselným mocniteľom a tie nikd nemajú etrém. Takže je to pravda. U: Overiť si to môžeme na grafe tejto funkcie:
20 VaFu8-4 List = Ž: V časti c) mám rozhodnúť, či funkcia h : = 4 je zhora ohraničená. Najprv začnem funkciou = 4. Je to mocninová funkcia s párnm prirodzeným mocniteľom a tie sú vžd zdola ohraničené. U: Vedel b si povedať hodnotu dolného ohraničenia? Ž: Je to číslo nula, pretože párna mocnina akéhokoľvek reálneho čísla je vžd číslo nezáporné. Lenže vo funkcii h je v predpise ešte mínus. Preto všetk hodnot tejto funkcie budú čísla menšie nanajvýš rovné nule. To znamená, že funkcia h : = 4 je zhora ohraničená číslom nula. U: Výborne. Ostáva posledná funkcia i : = 5. Máš rozhodnúť, či je prostá. Ž: Je, pretože všetk mocninové funkcie s nepárnm mocniteľom sú prosté. Úloha 4: Rozhodnite o pravdivosti nasledovných tvrdení: a) funkcia f : = 7 je nepárna; b) funkcia g : = nemá etrém; c) funkcia h : = 4 je zdola ohraničená; d) funkcia i : = 5 je klesajúca; e) funkcia i : = je prostá. Výsledok: a) áno; b) áno; c) áno; d) nie; e) nie
21 VaFu8-5 List Príklad 5: Porovnajte podľa veľkosti nasledujúce dvojice čísel. Vužite pri tom graf mocninových funkcií. a),5, (,5) ; b) ( 5, ( 4) 5; 5) c) (7,) 4, (7,) 4 ; d) ( 4,8), (4,8). Ž: Mám vužiť graf mocninovej funkcie na porovnanie čísel,5 a (,5). Bude to graf funkcie =? U: Áno, pretože obe čísla sú v tvare tretej mocnin. Uvažujeme preto o mocninovej funkcii s nepárnm prirodzeným eponentom, na obrázku je jej graf. 4 = 4 Ž: Je to rastúca funkcia. Preto z nerovnosti vplýva nerovnosť,5 >,5,5 > (,5). U: Súhlasím. Mohli sme to zdvôvodniť aj tým, že táto kubická funkcia pre kladné nadobúda kladné hodnot, ale pre záporné záporné hodnot. A tie ako vieme sú menšie než kladné. Poďme na ďalšiu dvojicu, čísla ( 4) 5 a ( 5) 5.
22 VaFu8-5 List Ž: Teraz si pomôžem funkciou = 5. Je to opäť mocninová funkcia s nepárnm prirodzeným mocniteľom, preto jej graf je veľmi podobný grafu funkcie =. Nemusím ho ani kresliť, stačí zase vužiť skutočnosť, že je to rastúca funkcia. A keďže 4 < 5, tak platí ( 5 ( < 4) 5. 5) U: Pokračujeme treťou dvojicou čísel (7,) 4 a (7,) 4. Ž: Obidve čísla sú umocnené na mínus štvrtú. Preto si vezmem na pomoc funkciu = 4. U: Správne. Je to mocninová funkcia so záporným párnm eponentom, jej graf je na nasledujúcom obrázku. = 4 Ž: Mám porovnať hodnot v číslach 7, a 7,. To sú čísla kladné a vidím na grafe, že tam je táto funkcia klesajúca. Preto síce je ale po umocnení bude 7, < 7,, (7,) 4 > (7,) 4. U: Veľmi dobre, ostala posledná dvojica čísel ( 4,8) a (4,8). Ž: Postupujem analogick. Začnem od grafu funkcie =.
23 VaFu8-5 List = Tentoraz mám do činenia s mocninovou funkciou s nepárnm zápornm eponentom. Vidím na grafe, že pre záporné nadobúda záporné hodnot, ale pre kladné nadobúda kladné hodnot. Preto platí ( 4,8) < (4,8). Úloha 5: Porovnajte podľa veľkosti nasledujúce dvojice čísel. Vužite pri tom graf mocninových funkcií. a) ( 5, ( 5; ) 7) b) (,5), (,5) ; c) (,) 4, (,) 4 ; d) ( 4,8), 4,8. Výsledok: a) ( 5 ( ) > 5; 7) b) (,5) = (,5) ; c) (,) 4 > (,) 4 ; d) ( 4,8) < 4,8
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότεραMatematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότεραOhraničenosť funkcie
VaFu05-T List Ohraničenosť funkcie RNDr. Beáta Vavrinčíková U: V bežnom živote sa často stretávame s funkciami, ktorých hodnot sú určitým spôsobom obmedzené buď na celom definičnom obore D alebo len na
Διαβάστε περισσότεραRovnosť funkcií. Periodická funkcia.
VaFu7-T List Rovnosť funkcií. Periodická funkcia. RNDr. Beáta Vavrinčíková U: Začnem jednoduchou otázkou. Ked sa podľa teba dve funkcie rovnajú? Ž: No čo ja viem, asi keď majú úplne rovnaké graf. U: S
Διαβάστε περισσότεραFunkcie - základné pojmy
Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότεραTECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA 1. Funkcia jednej premennej a jej diferenciálny počet
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA časťa Funkcia jednej premennej a jej diferenciáln počet Dušan Knežo, Miriam Andrejiová, Zuzana Kimáková 200 RECENZOVALI: prof. RNDr. Jozef
Διαβάστε περισσότεραVaFu02-T List 1. Graf funkcie. RNDr. Beáta Vavrinčíková
VaFu0-T List Graf funkcie RNDr. Beáta Vavrinčíková U: Vieme, že funkcia vjadruje určitú závislosť medzi dvoma veličinami. Akým spôsobom b mohla bť funkcia zadaná? Ž: Stretol som sa najmä srovnicami, napríklad
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické nerovnice
Ma-Go--T List Goniometrické nerovnice RNDr. Marián Macko U: Problematiku, ktorej sa budeme venovať, začneme úlohou. Máme určiť definičný obor funkcie f zadanej predpisom = sin. Máš predstavu, s čím táto
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότερα4 Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti
Reálna unkcia reálnej premennej a jej vlastnosti Táto kapitola je venovaná štúdiu reálnej unkcie jednej reálnej premennej. Pojem unkcie patrí medzi základné pojmy v matematike. Je to vlastne matematický
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE. Funkcia základné pojmy. Graf funkcie
FUNKCIE Funkcia základné pojm. Graf funkcie V prai sa často stretávame so skúmaním závislosti veľkosti niektorých veličín od veľkosti iných veličín, napríklad dĺžka kružnice l závisí od jej priemeru d
Διαβάστε περισσότεραPREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz
KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)
Διαβάστε περισσότεραGrafy funkcií tangens a kotangens
Ma-Go-8-T List Graf funkcií tangens a kotangens RNDr. Marián Macko U: Dobrú predstavu o grafe funkcie f : = tg získame z jednotkovej kružnice prenesením hodnôt funkcie tangens pre niekoľko zvolených hodnôt
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότεραMotivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
Διαβάστε περισσότεραLogaritmus operácie s logaritmami, dekadický a prirodzený logaritmus
KrAv11-T List 1 Logaritmus operácie s logaritmami, dekadický a prirodzený logaritmus RNDr. Jana Krajčiová, PhD. U: Najprv si zopakujme, ako znie definícia logaritmu. Ž: Ja si pamätám, že logaritmus súvisí
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραSmernicový tvar rovnice priamky
VoAg1-T List 1 Smernicový tvar rovnice priamk RNDr.Viera Vodičková U: Medzi prevratné objav analtickej geometrie patrí to, že s priamkou nenarábame ako s geometrickým objektom, ale popisujeme ju rovnicou.
Διαβάστε περισσότεραTREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT. k predmetu Matematika pre
TREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT k predmetu Matematika pre 2. ročník SOŠ v Strážskom, študijný odbor 3760 6 00 prevádzka a ekonomika dopravy Operačný program: Vzdelávanie Programové obdobie:
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Διαβάστε περισσότερα7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Διαβάστε περισσότεραGrafy funkcií sínus a kosínus
Ma-Go-5-T List Graf funkcií sínus a kosínus RNDr. Marián Macko U: Pozoroval si nieked, ako sa správa vodná hladina na jazere, ak tam hodíš kameň? Ž: Vlní sa. U: Svojím tvarom v jednej vbranej línií pripomína
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραÚlohy o kvadratických funkciách
VaFu7-T List Úloh o kvadratických funkciách RNDr. Beáta Varinčíková U: V prai sa neraz stretávame s úlohami vžadujúcimi nájsť optimálne riešenie. Napríklad naplánovať výrobu podniku v snahe dosiahnuť maimáln
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότεραZákladné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií
Ma-Go-2-T List Základné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií RNDr. Marián Macko U: Predstav si, že ti zadám hodnotu jednej z goniometrických funkcií. Napríklad sin x = 0,6. Vedel by si určiť
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότεραDefinícia funkcie sínus a kosínus
a-go-0-t List Definícia funkcie sínus a kosínus RNDr. arián acko U: Dnešnú podobu goniometrickým funkciám dal až v 8. storočí Leonard Euler. Skúmal ich hodnot ako čísla, nie ako úsečk, ako sa to robilo
Διαβάστε περισσότερα4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti
4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti Výroková funkcia (forma) ϕ ( x) je formálny výraz (formula), ktorý obsahuje znak x, pričom x berieme z nejakej množiny M. Ak za x zvolíme
Διαβάστε περισσότεραNUMERICKÁ MATEMATIKA. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ. Fakulta elektrotechniky a informatiky
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ NUMERICKÁ MATEMATIKA Fakulta elektrotechniky a informatiky Štefan Berežný Táto publikácia vznikla za finančnej podpory
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότεραMIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
Διαβάστε περισσότεραReálna funkcia reálnej premennej
(ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice riešené substitúciou
Ma-Go-10-T List 1 Goniometrické rovnice riešené substitúciou RNDr. Marián Macko U: Okrem základných goniometrických rovníc, ktorým sme sa už venovali, existujú aj zložitejšie goniometrické rovnice. Metódy
Διαβάστε περισσότεραTechnická univerzita v Košiciach. Zbierka riešených a neriešených úloh. z matematiky. pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach
Technická univerzita v Košiciach Zbierka riešených a neriešených úloh z matematiky pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach Martin Bača Ján Buša Andrea Feňovčíková Zuzana Kimáková Denisa Olekšáková Štefan
Διαβάστε περισσότεραPriamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότεραTomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Διαβάστε περισσότερα1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy
1. Rovnice, nerovnice a ich sústavy Osah Pojmy: rovnica, nerovnica, sústava rovníc, sústava nerovníc a ich riešenie, koeficient, koreň, koreňový činiteľ, diskriminant, doplnenie do štvorca, úprava na súčin,
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότεραJán Buša Štefan Schrötter
Ján Buša Štefan Schrötter 1 KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1 1.1 Pojem komplexného čísla Väčšine z nás je známe, že druhá mocnina ľubovoľného reálneho čísla nemôže byť záporná (ináč povedané: pre každé x R je x 0). Ako
Διαβάστε περισσότεραDefinícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.
Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [
Διαβάστε περισσότερα24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Διαβάστε περισσότερα23. Zhodné zobrazenia
23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:
Διαβάστε περισσότεραPríklady na precvičovanie Fourierove rady
Príklady na precvičovanie Fourierove rady Ďalším významným typom funkcionálnych radov sú trigonometrické rady, pri ktorých sú jednotlivé členy trigonometrickými funkciami. Konkrétne, jedná sa o rady tvaru
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότεραObjem a povrch rotačného valca
Ma-Te-03-T List 1 Objem a povrch rotačného valca RNDr. Marián Macko Ž: Prečo má valec prívlastok rotačný? U: Vysvetľuje podstatu vzniku tohto telesa. Rotačný valec vznikne rotáciou, čiže otočením obdĺžnika
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické substitúcie
Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať
Διαβάστε περισσότεραDeliteľnosť a znaky deliteľnosti
Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a
Διαβάστε περισσότεραEkvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότεραIntegrovanie racionálnych funkcií
Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické funkcie
Goniometrické funkcie Oblúková miera Goniometrické funkcie sú funkcie, ktoré sa používajú pri meraní uhlov (Goniometria Meranie Uhla). Pri týchto funkciách sa uvažuje o veľkostiach uhlov udaných v oblúkovej
Διαβάστε περισσότεραSúradnicová sústava (karteziánska)
Súradnicová sústava (karteziánska) = sú to na seba kolmé priamky (osi) prechádzajúce jedným bodom, na všetkých osiach sú jednotky rovnakej dĺžky-karteziánska sústava zavedieme ju nasledovne 1. zvolíme
Διαβάστε περισσότεραM6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
Διαβάστε περισσότεραJKPo10-T List 1. Nekonečné rady. Mgr. Jana Králiková
JKPo0-T List Nekonečné rady Mgr. Jana Králiková U: Ernest Hemingway povedal: Najľahší spôsob ako stratiť dôveru a úctu mladých je dávať im nekonečné rady. Ž: Poskytnete mi nekonečné rady o nekonečných
Διαβάστε περισσότερα,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,
Farba skupiny: zelená Označenie úlohy:,zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Úloha: Zistiť, ako závisí účinnosť zohrievania vody na indukčnom variči od priemeru použitého hrnca. Hypotéza: Účinnosť
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8
Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................
Διαβάστε περισσότεραx x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Διαβάστε περισσότεραRiešenia. Základy matematiky. 1. a) A = { 4; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3}, b) B = {4; 9; 16}, c) C = {2; 3; 5},
Riešenia Základy matematiky 1. a) A = { ; ; ; 1; 0; 1; ; }, b) B = {; 9; 16}, c) C = {; ; 5}, d) D = { 1}, e) E =.. B, C, D, F (A neobsahuje prvok 1, E obsahuje navyše prvok 1, G neobsahuje prvok 1)..
Διαβάστε περισσότεραDIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c)
Prírodovedecká fakulta Univerzity P. J. Šafárika v Košiciach Božena Mihalíková, Ivan Mojsej Strana 1 z 43 DIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c) 1 Obyčajné diferenciálne rovnice 3 1.1 Úlohy
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICKÁ ANALÝZA 1
UNIVERZITA PAVLA JOZEFA ŠAFÁRIKA V KOŠICIACH Prírodovedecká fakulta Ústav matematických vied Božena Mihalíková, Ján Ohriska MATEMATICKÁ ANALÝZA Vysokoškolský učebný text Košice, 202 202 doc. RNDr. Božena
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICKÁ OLYMPIÁDA
S MATEMATICÁ OLYMPIÁDA skmo.sk 2008/2009 58. ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh IMO. Nech n je kladné celé číslo a a,..., a k (k 2) sú navzájom rôzne celé čísla z množiny {,..., n} také, že n
Διαβάστε περισσότερα3. Striedavé prúdy. Sínusoida
. Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa
Διαβάστε περισσότεραFakulta riadenia a informatiky Žilinskej univerzity
Fakulta riadenia a informatik Žilinskej univerzit Riaditeľ siete stravovacích zariadení dal pokn, že do každej reštaurácie, v ktorej stúpne počet hostí o viac ako 3 %, musia prijať najmenej dvoch nových
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I. Základy diferenciálneho počtu. Návody k cvičeniam pre odbory VSVH a STOP. Andrea Stupňanová, Alexandra Šipošová
MATEMATIKA I. Základy diferenciálneho počtu Návody k cvičeniam pre odbory VSVH a STOP Andrea Stupňanová, Alexandra Šipošová MATEMATIKA I. Základy diferenciálneho počtu Návody k cvičeniam pre odbory VSVH
Διαβάστε περισσότεραObyčajné diferenciálne rovnice
(ÚMV/MAN3b/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 14.3.2013 Úvod patria k najdôležitejším a najviac prepracovaným matematickým disciplínam. Nielen v minulosti, ale aj v súčastnosti predstavujú
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. (prednáška pre 1. roč. iai) V. Balek
Matematika prednáška pre. roč. iai) V. Balek . Definícia derivácie Č o j e t o m a t e m a t i c k á a n a l ý z a? Matematická analýza je náuka o deriváciach diferenciáln počet) a integráloch integráln
Διαβάστε περισσότεραZložené funkcie a substitúcia
3. kapitola Zložené funkcie a substitúcia Doteraz sme sa pri funkciách stretli len so závislosťami medzi dvoma premennými. Napríklad vzťah y=x 2 nám hovoril, ako závisí premenná y od premennej x. V praxi
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium
Imrich Pokorný Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Strana 1 z 48 1 Nepresnosť numerického riešenia úloh 4 1.1 Zdroje chýb a ich klasifikácia................... 4 1.2 Základné pojmy odhadu
Διαβάστε περισσότεραJKTc01-T List 1. Číselné množiny. Mgr. Jana Králiková
JKTc01-T List 1 Číselné množiny Mgr. Jana Králiková U: Čo si predstavuješ pod pojmom množina? Ž: Skupinu nejakých vecí. U: Presnejšie by sa dalo povedať, že množina je skupina (súbor, súhrn) navzájom rôznych
Διαβάστε περισσότεραObjem a povrch zrezaného ihlana a zrezaného rotačného kužeľa
Ma-Te-06-T List 1 Objem a povrch zrezaného ihlana a zrezaného rotačného kužeľa RNDr. Marián Macko U: Počul si už niekedy o zrezanom rotačnom kuželi? Ž: O rotačnom kuželi som už počul, ale pojem zrezaný
Διαβάστε περισσότεραSpojitosť a limity trochu inak
Spojitosť a limity trochu inak Štefan Tkačik Abstrakt Spojitosť funkcie alebo oblastí je základným stavebným kameňom matematickej analýzy. Pochopenie jej podstaty uľahčí chápanie diferenciálneho a integrálneho
Διαβάστε περισσότεραMetodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 26130130051 číslo zmluvy: OPV/24/2011 Metodicko pedagogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH
Διαβάστε περισσότεραmatematika 1. časť pre 9. ročník základnej školy a 4. ročník gymnázia s osemročným štúdiom
.. B Publikácia bola hradená z finančných prostriedkov Ministerstva školstva, vedy, výskumu a športu Slovenskej republiky. ISBN 978-80-10-02291-5 w w w. s p n - m l a d e l e t a. s k matematika 9 1. časť
Διαβάστε περισσότεραTechnická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II. Zbierka riešených a neriešených úloh
Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II Zbierka riešených a neriešených úloh Anna Grinčová Jana Petrillová Košice 06 Technická univerzita v Košiciach Fakulta
Διαβάστε περισσότεραPovrch a objem ihlana
Povrch a objem ihlana D. Daný je mnohouholník (riadiaci alebo určujúci útvar) a jeden bod (vrchol), ktorý neleží v rovine mnohouholníka. Ak hraničnými bodmi mnohouholníka (stranami) vedieme polpriamky
Διαβάστε περισσότεραALGEBRA. Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov
ALGEBRA Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov Definícia Množinu považujeme za určenú, ak vieme o ľubovoľnom objekte rozhodnúť, či je alebo nie je prvkom množiny. Množinu určujeme
Διαβάστε περισσότερα18. kapitola. Ako navariť z vody
18. kapitola Ako navariť z vody Slovným spojením navariť z vody sa zvyknú myslieť dve rôzne veci. Buď to, že niekto niečo tvrdí, ale nevie to poriadne vyargumentovať, alebo to, že niekto začal s málom
Διαβάστε περισσότερα3. prednáška. Komplexné čísla
3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet
Διαβάστε περισσότεραMargita Vajsáblová. ρ priemetňa, s smer premietania. Súradnicová sústava (O, x, y, z ) (O a, x a, y a, z a )
Mrgit Váblová Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 101 Zákldné pom v onometrii Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 102 Definíci 1: onometri e rovnobežné premietnie bodov Ε 3 polu prvouhlým úrdnicovým
Διαβάστε περισσότεραMa-Te-05-T List 1. Objem a povrch gule. RNDr. Marián Macko
Ma-Te-05-T List 1 Objem a povrch gule RNDr. Marián Macko U: Guľu a guľovú plochu môžeme definovať ako analógie istých rovinných geometrických útvarov. Ž: Máte na mysli kružnicu a kruh? U: Áno. Guľa je
Διαβάστε περισσότεραChí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky
Chí kvadrát test dobrej zhody Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Test dobrej zhody I. Chceme overiť, či naše dáta pochádzajú z konkrétneho pravdep.
Διαβάστε περισσότεραSTREDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY KATEDRA MATEMATIKY A TEORETICKEJ INFORMATIKY STREDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA pre študentov FEI TU v Košiciach Ján BUŠA Štefan SCHRÖTTER Košice
Διαβάστε περισσότεραVLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b
VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR Michal Zajac Vlastné čísla a vlastné vektory Pripomeňme najprv, že lineárny operátor T : L L je vzhl adom na bázu B = {b 1, b 2,, b n } lineárneho priestoru L určený
Διαβάστε περισσότεραu R Pasívne prvky R, L, C v obvode striedavého prúdu Činný odpor R Napätie zdroja sa rovná úbytku napätia na činnom odpore.
Pasívne prvky, L, C v obvode stredavého prúdu Čnný odpor u u prebeh prúdu a napäta fázorový dagram prúdu a napäta u u /2 /2 t Napäte zdroja sa rovná úbytku napäta na čnnom odpore. Prúd je vo fáze s napätím.
Διαβάστε περισσότεραPRÍPRAVNÝ KURZ ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ PRÍPRAVNÝ KURZ ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Strojnícka fakulta Andrea Feňovčíková Gabriela Ižaríková aaaa aaaa Táto
Διαβάστε περισσότεραTematický výchovno - vzdelávací plán. Cvičenia z matematiky. pre 9. ročník
výchovno vzdelávací plán Cvičenia z matematiky pre 9. ročník Počet hodín : 1 hod. týždenne Plán bol vypracovaný podľa: ŠVP pre 2. stupeň ZŠ ISCED 2 Plán vypracoval/a: Mgr. Viera Obložinská Školský rok:
Διαβάστε περισσότεραElektromagnetické pole
Elektromagnetické pole Elektromagnetická vlna. Maxwellove rovnice v integrálnom tvare a diferenciálnom tvare. Vlnové rovnice pre E a. Vjadrenie rýchlosti elektromagnetickej vln. Vlastnosti a znázornenie
Διαβάστε περισσότεραGramatická indukcia a jej využitie
a jej využitie KAI FMFI UK 29. Marec 2010 a jej využitie Prehľad Teória formálnych jazykov 1 Teória formálnych jazykov 2 3 a jej využitie Na počiatku bolo slovo. A slovo... a jej využitie Definícia (Slovo)
Διαβάστε περισσότεραKompilátory. Cvičenie 6: LLVM. Peter Kostolányi. 21. novembra 2017
Kompilátory Cvičenie 6: LLVM Peter Kostolányi 21. novembra 2017 LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov Pôvodne Low Level Virtual Machine
Διαβάστε περισσότεραUčebný zdroj pre žiakov z predmetu Matematika
STREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA Komenského 6, 08 7 Lipany Učebný zdroj pre žiakov z predmetu Matematika Odbor: Kozmetik a Pracovník marketingu Autorka: PaedDr. Iveta Štefančínová, Ph.D. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú
Διαβάστε περισσότεραCieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej transformácie,
Kapitola Riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie, keď charakteritická rovnica má rôzne
Διαβάστε περισσότερα