Limita postupnosti II.

Transcript

1 JKPo09-T List Limita postuposti II. Mgr. Jaa Králiková U: Pojem ity by si už mal pozať. Teraz si zopakujeme a rozšírime aše pozatky. Ž: Ak máme daú postuposť {a } =, ktorej hodoty sa blížia k ejakému číslu a, tak práve toto číslo a azývame ita postuposti. U: Dobre. Potrebujeme ale upresiť, čo to zameá, že čley postuposti sa blížia k ejakému a. To vyjadruje defiícia ity postuposti: Postuposť {a } = má itu a R práve vtedy, keď ku každému číslu ε > 0 existuje také číslo 0 N, že pre všetky prirodzeé čísla 0 platí Zapisujeme to takto: a a < ε. a = a. a = a ε > 0 0 N, 0 : a a < ε U: Vieš ako sa ájde ita ejakej postuposti? Ž: Áo. Najprv sa vypočítajú hodoty iekoľkých prvých čleov postuposti alebo sa arysuje graf a odhade sa, k akému číslu sa asi čley blížia. U: Ale to astačí. Je potrebé aj dokázať, že odhaduté číslo a je aozaj itou postuposti. Ž: Teto dôkaz sa robí pomocou defiície tak, že sa rieši erovica a a < ε. U: Prese tak. Hľadá sa, pre ktoré prirodzeé číslo je táto erovosť spleá. Pri hľadaí ity sa však dá postupovať aj iak. Ž: Nebolo by od veci vedieť aj ejaký jedoduchší postup. U: Dobre je pozať dve veci:. ity iektorých základých postupostí,. vlastosti, ktoré umožňujú upraviť daú postuposť a iektorú základú. Ž: A ktoré sú to tie základé postuposti? U: Zatiaľ to bude koštatá postuposť {k} = a postuposť prevráteých hodôt { }. = Ž: Všetky čley koštatej postuposti majú rovakú hodotu k, takže táto hodota bude aj itou koštatej postuposti. A prevráteé hodoty prirodzeých čísel sa pre rastúce blížia k ule, takže ita postuposti prevráteých hodôt je 0. U: Výbore. Platí k = k a = 0.

2 JKPo09-T List Ž: A teraz ešte tie vlastosti, pomocou ktorých vypočítam itu každej postuposti. U: Každej určite ie. Aby si mohol vypočítať itu ejakej postuposti musia byť spleé určité predpoklady. Ž: A už sa to zamotáva. U: Ai ie. Tie predpoklady sú takéto: Nech sú daé dve kovergeté postuposti {a } = a {b } =. Na pojem kovergetosť sa ešte pamätáš? Ž: Kovergetá postuposť je taká, ktorá má koečú itu. U: Dobre. Tak ech a = a a b = b, pričom a, b R. Potom sú kovergeté aj postuposti {a + b } =, {a b } =, {c a } =, {a b } = a platí: Limita súčtu dvoch kovergetých postupostí sa rová súčtu ich ít. (a + b ) = a + b = a + b Limita rozdielu dvoch kovergetých postupostí sa rová rozdielu ich ít. (a b ) = a b = a b Limita ásobku kovergetej postuposti sa rová ásobku jej ity. (c a ) = c a = c a, c R Limita súčiu dvoch kovergetých postupostí sa rová súčiu ich ít. (a b ) = a b = a b Ak avyše platí, že každý čle postuposti {b } = je rôzy od uly a aj jej ita je rôza od uly, tak: Limita podielu dvoch kovergetých postupostí sa rová podielu ich ít. a = b a b = a b, N : b 0, b 0 Ž: Ako mi takéto pravidlá pomôžu pri výpočte ít? U: Ukážeme si to a príkladoch: Vypočítaj itu postuposti {a } =, ak: a) a = 3 +, b) a =.

3 JKPo09-T List 3 Ž: a) Zapíšem si čo mám vypočítať: U: Výraz 3 + Ž: To je jedoduché: rozdeľ a dva zlomky. 3 + ( 3 = + ) ( = 3 + ) U: Máš vypočítať itu súčtu dvoch kovergetých postupostí - koštatej postuposti a postuposti prevráteých hodôt. Ž: Limita súčtu sa rová súčtu ít, takže: = 3 + = = 3. U: Dobre. Rovako by si postupoval, keby si mal v čitateli rozdiel. Le by si využil pravidlo pre itu rozdielu. Poďme si ukázať výpočet druhej ity. Ž: b) Zapíšem si čo mám vypočítať: U: Toto je postuposť druhých mocí prevráteých hodôt. A mocia ie je ič ié ako súči. Ž: Aha, takže to zapíšem ako súči dvoch rovakých čiiteľov a využijem pravidlo pre itu súčiu: ( = ) = = 0 0 = 0. U: Správe. Pravidlo pre súči si mohol využiť, pretože sa ásobili dve kovergeté postuposti. Rovako by si postupoval, keby jede čiiteľ bol koštatou postuposťou. Ž: Vtedy by sme využili pravidlo pre itu ásobku kovergetej postuposti. U: Správe. A ešte jeda pripomieka: Pravidlo pre itu súčtu sa dá rozšíriť a ľubovoľý koečý počet sčítacov. Pravidlo pre itu súčiu sa dá rozšíriť a ľubovoľý koečý počet čiiteľov. Príklady a výpočty rôzych ít ájdeš v riešeej časti. U: Pozáš aritmetickú a geometrickú postuposť? Ž: Pravdaže. Aritmetická postuposť {a } = je daá prvým čleom a a difereciou d. Každý jej čle sa dá vypočítať podľa vzorca: a = a + ( ) d. U: Dobre. Kedy je aritmetická postuposť kovergetá? Ž: Uf. To eviem.

4 JKPo09-T List 4 U: A vieš ako závisí mootóosť a ohraičeosť aritmetickej postuposti od diferecie d? Ž: Takto: - ak je d > 0, tak je postuposť rastúca, zdola ohraičeá prvým čleom a zhora eohraičeá. - ak je d < 0, tak je klesajúca, zhora ohraičeá prvým čleom a zdola eohraičeá. U: Áo. V oboch týchto prípadoch je postuposť divergetá. Ostala ešte jeda možosť. Ž: - ak je d = 0, tak je aritmetická postuposť koštatá a ohraičeá zhora aj zdola. U: Áo. A každá koštatá postuposť je kovergetá. Limitou je vtedy hodota prvého člea. Pozri si asledujúce zhrutie: Pre aritmetickú postuposť platí: a = + pre d > 0, a = pre d < 0, a = a pre d = 0. U: A teraz sa porozprávame o geometrickej postuposti. Ž: Geometrická postuposť {a } = je daá prvým čleom a a kvocietom q. Každý jej čle sa dá vypočítať podľa vzorca: a = a q. U: S mootóosťou a ohraičeosťou geometrickej postuposti je to trošku komplikovaejšie. Povieme si le, kedy je kovergetá a kedy divergetá. Ž: Kovergetá je určite vtedy, ak je kvociet q =. Vtedy je geometrická postuposť koštatá. U: Správe. Kovergetá je aj vtedy, ak q (, +). Hodoty čleov sa blížia k ule - buď le z jedej stray, ak je kvociet ezáporý alebo z oboch, ak je záporý. Ž: A čo ostaté hodoty kvocieta? U: Geometrická postuposť je divergetá pre q >. Diverguje do plus ekoeča, ak má kladý prvý čle alebo diverguje do míus ekoeča, ak má záporý prvý čle. Ž: Rozumiem. Ak je prvý čle kladý a kvociet je väčší ako, tak všetky ďalšie hodoty budú stále väčšie a väčšie. Preto je evlastá ita plus ekoečo. A ak je prvý čle záporý a budem postupe ásobiť kladým kvocietom, väčším ako, tak všetky čley budú záporé a budú sa blížiť hodote míus ekoečo. U: Ostala ám možosť, že q. V takom prípade čley postuposti striedajú zamieka a ita postuposti eexistuje. Ž: Prečo? U: Ak je a 0 a q =, tak čley postuposti adobúdajú le dve možé hodoty a a a. Postuposť je divergetá a emá itu. A ak je q <, tak čley postuposti majú stále väčší a väčší rozptyl, vzďaľujú sa od hodoty prvého člea a obe stray. Postuposť je tiež divergetá a emá itu.

5 JKPo09-T List Ž: Mohli by sme si to zhrúť? U: Samozrejme. Pozri si asledujúci rámček: Ž: To je sila! Ako to využijem? Pre geometrickú postuposť platí: a = + pre q >, a > 0, a = pre q >, a < 0, a = a pre q =, a = 0 pre q <, a eexistuje pre q. U: Aritmetická postuposť je, čo sa ít týka, málo zaujímavá. Ale vďaka pozatkom o geometrickej postuposti budeš vedieť vypočítať ity expoeciálych výrazov. Ukážeme si to. Zisti, či ( je ) postuposť {a } = kovergetá alebo divergetá, ak: a) a =, ( ) b) a =. Ž: a) Postuposť je kovergetá, ak má itu. Pokúsim sa ju vypočítať: ( ) U: Postuposť je geometrická, s prvým čleom a = a kvocietom q =. Hodota kvocietu je z itervalu (, +). V takom prípade je ita postuposti rová ule. Ž: Takže ( ) = 0. Postuposť má itu, teda je kovergetá. A to je všetko? U: Áo. Hodoty čleov sa predsa stále zmešujú, blížia sa k ule. Ž: b) Opäť si zapíšem čo mám vypočítať: ( ) Je to ako v príklade a). Kvociet je q =, takže postuposť je kovergetá. U: To ie je pravda. Postuposť je daá úple iak. Uprav si ajprv výraz ( ) tak, aby jeho expoet ebol záporé ale prirodzeé číslo.

6 JKPo09-T List 6 Ž: To sa prevráti hodota zlomku, ktorý umocňujem: ( ) = ( ) = A teraz čo? U: Toto je geometrická postuposť s prvým čleom a = a kvocietom q =. Takáto postuposť je divergetá, jej čley divergujú do plus ekoeča. Ž: Takže itu má, evlastú: = +. Ž: Na čo sú ám vlaste ity potrebé? U: Vo vyššej matematike sa ity vyskytujú často. V difereciálom a itegrálom počte, pri zisťovaí ohraičeosti fukcií, pri riešeí priebehu fukcií... To všetko sa ešte le budeš učiť. Ale spomeiem ti dve veci, o ktorých si už určite počul: π a e. Ž: Číslo π sa volá Ludolfovo číslo. Má približú hodotu 3, Používa sa a výpočet obvodov a obsahov okrúhlych útvarov. Číslo e sa azýva Eulerovo číslo a je to základ prirodzeých logaritmov. Jeho približá hodota je, U: Obe hodoty sú zaujímavé tým, že ich desatiý rozvoj je ekoečý a eperiodický. Takéto čísla azývame iracioále. Ž: A ako s tým súvisí ita? U: Obvod jedotkovej kružice k, teda takej, ktorej polomer je, sa vypočíta podľa vzorca O k = π. Ak sa do tejto kružice vpisujú pravidelé -uholíky, tak ich obvody tvoria pre rastúce rastúcu a ohraičeú postuposť. Ž: Áo, zdola je ohraičeá obvodom rovostraého trojuholíka vpísaého do kružice a zhora obvodom samotej kružice. U: Prese tak. Rovako si môžeš vytvoriť postuposť obvodov pravidelých -uholíkov opísaých tejto kružici. Dostaeš klesajúcu a ohraičeú postuposť. Ž: Zhora ohraičeú obvodom rovostraého trojuholíka. Každý ďalší -uholík bude mať vždy meší obvod. Zdola je táto postuposť ohraičeá obvodom kružice. U: Hodota π je itou postuposti obvodov pravidelých vpísaých -uholíkov aj pravidelých opísaých -uholíkov. Samoté číslo π je polovicou tejto ity: π = O vp = O op. Ludolfovo číslo je pomeovaé podľa holadského matematika Ludolpha va Zeulea, ale s myšliekou vpísaých a opísaých -uholíkov prišiel už staroveký matematik a fyzik Archimedes. Preto sa mu iekedy hovorí Archimedovo číslo. Ž: Peké. A čo Eulerovo číslo? U: Svoj ázov má podľa švajčiarskeho matematika Leoharda Eulera a je defiovaé takto: ( e = +. )

7 JKPo09-T List 7 Ž: Chcel by som byť ako Leohard alebo Ludolph a vymyslieť ejakú očú moru pre študetov. U: Nič ti v tom ebrái. V dvoch častiach tejto témy (Limita postuposti I. a Limita postuposti II.) sme si priblížili pojem, defiíciu, výpočty ít postupostí a ich využitie. Odporúčam ti pozrieť sa aj a príklady v riešeej časti.

8 JKPo09- List 8 Príklad : Nech a = 4 a b = 7. Použitím viet o operáciách s itami vypočítajte: a) (a b ), b) (a b + 8), c) 4a b, d) a b +. U: Aké vety o operáciách s itami pozáš? Ž: Viem, že ita súčtu, rozdielu, súčiu, ásobku a aj podielu dvoch postupostí sa rová súčtu, rozdielu, súčiu, ásobku alebo podielu ít týchto dvoch postupostí. U: Zabudol si a jede dôležitý predpoklad. Limity tých dvoch postupostí musia existovať. Ž: Aha, áo. Postuposti musia byť kovergeté. U: A ak chceš použiť pravidlo pre itu podielu, musíš mať zaručeé, že všetky čley postuposti v meovateli, aj jej ita, sú eulové. Môžeme prejsť a príklady. Ž: a) Postuposti {a } = a {b } = sú kovergeté, ich ity sú daé koečé čísla. Dosadím si čísla 4 a 7 do výrazu (a b ) a vypočítam jeho hodotu. U: A za čo budeš dosadzovať? Ž: Predsa za a a b. U: Čísla 4 a 7 ale epredstavujú hodoty -tých čleov a a b, ale hodoty ít jedotlivých postupostí. Ž: Tak čo mám robiť? U: Použitím vety pre itu rozdielu postupostí ajprv dostaeš: Teraz využiješ vetu pre itu ásobku: (a b ) = a b = a b Tieto ity sú daé. Teraz už môžeš dosadzovať: = 4 7 = 6. Ž: b) Mám vypočítať (a b + 8). Zvládem to sám. Najprv použijem pravidlo pre itu súčtu a potom pravidlo pre itu súčiu: (a b + 8) = (a b ) + 8 = a b + 8

9 JKPo09- List 9 Hodoty ít sú daé, môžem ich dosadiť. Limita koštatej postuposti sa rová koštate 8: = = 36. U: Výbore. Prejdime a ďalší príklad. 4a Ž: c) Mám vypočítať. Predpokladám, že postuposť {b } = má le eulové čley, b jej ita je tiež eulová, takže môžem použiť pravidlo pre itu podielu: 4a = b 4a b teraz v čitateli aj meovateli zlomku použijem pravidlo pre itu ásobku a potom už dosadím hodoty ít: 4 a = = 4 4 b 7 = 8. U: Veľmi dobre. Ostala ám posledá ita. a Ž: d) Mám vypočítať. To bude ľahké. Najprv použijem pravidlo pre itu podielu, b + v čitateli potom využijem pravidlo pre itu rozdielu a v meovateli pre itu súčtu. U: Ukáž mi to radšej rovo a príklade. Ž: Takže: a b + = (a ) (b + ) = U: V meovateli máš ešte itu ásobku. Ž: A to je ásobok ity, takže pokračujem: a b + U: Šlo ti to veľmi dobre. = a b + = 4 7+ =. Úloha : Daé sú také kovergeté postuposti {a } = a {b } =, že a = 0 a b =. Vypočítajte: a) (a ) 3, b) (a + b ), a b c). a b Výsledok: a) 000, b) 64, c) 3.

10 JKPo09- List 0 Príklad : Použitím vhodých úprav a viet o operáciách s itami vypočítajte: a) 3 +, b) U: Aké pravidlá pre počítaie s itami pozáš? Ž: Viem, že ita súčtu, rozdielu, súčiu, ásobku a aj podielu dvoch postupostí sa rová súčtu, rozdielu, súčiu, ásobku alebo podielu ít týchto dvoch postupostí. Pri podieli musíme mať v meovateli postuposť s eulovými člemi a eulovou itou. U: Zabudol si a jede dôležitý predpoklad. Limity tých dvoch postupostí musia existovať. Ž: Aha, áo. Postuposti musia byť kovergeté. U: Pri výpočte ít sa iekedy tieto pravidlá edajú použiť priamo, ale až po vhodej algebraickej úprave predpisu postuposti. Ž: A to už prečo? U: Práve kvôli tomu, že v predpise postuposti ie sú kovergeté postuposti. Ukážeme si to a príklade. Ž: a) Mám vypočítať. Ak použijem pravidlá pre ity dostaem: 3 + ( ) 3 + = = (3 + ) 3 + = 3 +. U: To je prese to, o čom som hovoril. V čitateli aj v meovateli zlomku si došiel až k ite z rastúcej a eohraičeej postuposti {} =. Ž: Tá je divergetá, diverguje do plus ekoeča. Takže sa daá ita edá vypočítať? U: Dá. Ale ajprv musíme urobiť úpravu, ktorá sa používa pri výpočte ít v tvare podielu mohočleov s premeou. Ž: Čo sa už dá urobiť so zlomkom? Veď sa už edá viac zjedodušiť. 3 + U: Čitateľ aj meovateľ zlomku vydelíme ajvyššou mociou premeej, ktorá sa v zlomku achádza. Ž: V ašom prípade to bude? U: Áo. Vyásobíme teda celý zlomok 3 + zlomkom s hodotou v tvare : 3 + = 3 + = 3 + = 3 + Ž: Vydelili ste každý čle v čitateli aj v meovateli premeou. Nezdá sa mi, že by sa to ejak zjedodušilo.

11 JKPo09- List U: Cieľom ie je výraz zjedodušiť, ale upraviť ho tak, aby obsahoval predpisy le kovergetých postupostí. Ž: A to už máme? U: Pozri sa sám. V čitateli je súčet koštaty a postuposti prevráteých hodôt. V meovateli je rozdiel koštaty 3 a ásobku postuposti prevráteých hodôt. Ž: Samé kovergeté postuposti. U: Takže teraz už pravidlá pre počítaie s itami môžeš použiť. Ž: Dostaem: 3 + = 3 + = 3 + = 3 + U: Zatiaľ dobre. Limita postuposti prevráteých hodôt je ula, takže môžeš vyčísliť aj to. Ž: = = = 3. U: Výbore. Le zopakujem, že sme použili úpravu, pri ktorej sme čitateľa aj meovateľa vydelili ajvyššou mociou premeej. Budeš to potrebovať aj v asledujúcom príklade. + 3 Ž: b) Mám vypočítať, ale mám tam ejaké divergeté postuposti U: Vydeľ čitateľa aj meovateľa ajvyššou mociou premeej, ktorá sa tam achádza. Ž: To je : = = = U: Áo. Teraz máš v čitateli aj v meovateli už le kovergeté postuposti. Postuposť prevráteých hodôt prirodzeých čísel je ulová a jej ásobok alebo kladá mocia je tiež ulovou postuposťou. Ich ita je teda 0. Ž: Takže využijem pravidlá pre počítaie s itami a dostaem: U: Správe. = = = 4 =. Úloha : Vypočítajte Výsledok:.

12 JKPo09-3 List Príklad 3: Použitím vhodých úprav a viet o operáciách s itami vypočítajte: a) ( + ), b) ( + + ). U: Aké vety o operáciách s itami pozáš? Ž: Viem, že ita súčtu, rozdielu, súčiu, ásobku a aj podielu dvoch postupostí sa rová súčtu, rozdielu, súčiu, ásobku alebo podielu ít týchto dvoch postupostí. Pri podieli musíme mať v meovateli postuposť s eulovými člemi a eulovou itou. U: Zabudol si a jede dôležitý predpoklad. Limity tých dvoch postupostí musia existovať. Ž: Aha, áo. Postuposti musia byť kovergeté. U: Pri výpočte ít sa iekedy tieto pravidlá edajú použiť priamo, ale až po vhodej algebraickej úprave predpisu postuposti. Ukážeme si to a príklade. Ž: a) Mám vypočítať ( + ). Naozaj emôžem použiť žiade pravidlo, lebo apríklad ( ) =. Ako mám teda postupovať? U: Ukážeme si úpravu používaú pre postuposť s iracioálymi výrazmi s premeou pod odmociou. Ž: Prese to tam mám. U: Celá úprava smeruje k odstráeiu druhej odmociy vo výraze +. Pomôže ti zámy vzorec (A B) (A + B) = A B. Ž: Vzorec pozám, ale eviem ako mi pomôže. U: Môžeš ho zapísať v tvare A B = A B A + B. Ak teraz položíš A = + a B =, tak druhú odmociu odstráiš. Skús to! Ž: ( ( + + ) ) + = = = ++. Veď je to ešte horšie, odmociu mám teraz v meovateli! U: Neboj sa. Použijeme úpravu vhodú pri výpočte ity postuposti v tvare podielu mohočleov s premeou. Vydelíme čitateľa aj meovateľa zlomku ajvyššou mociou premeej, ktorá sa tam vyskytuje. Ž: V ašom zlomku je ajvyššia mocia. U: Veruže ie. Druhú mociu tam síce máš, ale pod odmociou. Takže ajvyššou mociou premeej je le prvá mocia. Ž: Takže vydelím čitateľa aj meovateľa zlomku premeou : = + + = + + = + + Pri deleí odmociy v meovateli som využil to, že =.

13 JKPo09-3 List 3 U: Dobre. Teraz už môžeme použiť pravidlá pre počítaie s itami. = Ž: Ďalší príklad už skúsim sám. ) = ( + + = =. Ž: b) Mám vypočítať ( + + ). Opäť využijem vzorec A B = A B A + B, pričom A = + a B = + : ( ) ( + ) ( + ) + + = == U: A už le posledá úprava. Vydeľ čitateľa aj meovateľa ajvyššou mociou premeej. Ž: To je teraz? U: Nie. Premeú máš pod odmociou. Takže jej ajvyššia mocia má expoet. Ž: Najvyššia mocia je teda vlaste druhá odmocia. No dobre: = = U: Ak si teraz uvedomíš, že postuposti { }, { = majú itu rovú ule, tak môžeš dopočítať itu takto: = } = a { = 0. = } = sú postuposti, ktoré Úloha : Vypočítajte ( 4 + ). Výsledok:.

14 JKPo09-4 List 4 Príklad 4: Použitím vhodých úprav a viet o operáciách s itami vypočítajte: 3 a) + 3, b) 4. + U: Aké pravidlá pre počítaie s itami pozáš? Ž: Viem, že ita súčtu, rozdielu, súčiu, ásobku a aj podielu dvoch postupostí sa rová súčtu, rozdielu, súčiu, ásobku alebo podielu ít týchto dvoch postupostí. Pri podieli musíme mať v meovateli postuposť s eulovými člemi a eulovou itou. U: Zabudol si a jede dôležitý predpoklad. Limity tých dvoch postupostí musia existovať. Ž: Aha, áo. Postuposti musia byť kovergeté. U: Pri výpočte ít sa iekedy tieto pravidlá edajú použiť priamo, ale až po vhodej algebraickej úprave predpisu postuposti. Ukážeme si to a príklade. Ž: a) Mám vypočítať sú plus ekoečo. Zameá to, že aj Postuposti { } = a {3 } = sú divergeté, ich ity = +? U: Nie, zameá to le, že pravidlá pre operácie s itami emôžeš použiť. Ale môžeš si výraz upraviť tak, aby ho tvorili predpisy le kovergetých postupostí. Ž: Ako? U: Čitateľa aj meovateľa zlomku si vydeľ -tou mociou väčšieho základu. Ž: V ašom prípade je to 3. Takže: = = = 3 + U: Dobre. Ďalej využi pravidlo pre podiel mocí s rovakým expoetom. Dostaeš tak výraz, v ktorom sú predpisy le kovergetých postupostí. Budeš môcť využiť pravidlá pre počítaie s itami. Ž: Tak ajprv podiel mocí s rovakým expoetom sa rová mocie podielu: = ( ) = + 3 ) + ( 3 = 0 + =. U: Výbore. Využil si, že postuposť {( } 3) je kovergetá, jej ita je 0. Okrem ej = bol v zlomku už le predpis koštatej postuposti {} =. Jej ita je. Prejdi a príklad b).

15 JKPo09-4 List Ž: b) Mám vypočítať. V čitateli aj v meovateli mám predpisy samých 4 + divergetých postupostí, takže ajprv použijem ejakú algebraickú úpravu. Leže, mám tam iele rôze základy ale aj rôze stupe mocí. Čím mám teraz deliť? U: Stále platí, že delíš mociou s ajväčším základom. A čo sa stupňa mociy týka, môžeš si vybrať či to bude, alebo +. Ja ti odporúčam vybrať si te ajižší stupeň. Ž: Dobre. Vydelím teda čitateľa aj meovateľa mociou 4 : = 4 + Niečo sa mi vykráti a dostaem: = = = = A teraz čo? U: Uprav si čitatele a meovatele malých zlomkov tak, aby obsahovali rovaký stupeň mociy. Potom využi pravidlo pre podiel mocí. Ž: Pokúsim sa. = ( ) ( ) = ( ) = ( ) ) }, {6} = a U: V tomto výraze máš predpisy už le kovergetých postupostí { ( Ž: {} =. Môžeš použiť pravidlá pre počítaie s itami. Úloha : Vypočítajte: = a), b) 3 4 Výsledok: a), b) 3. ( ) 6 + ( ) = = =

16 JKPo09- List 6 Príklad : Použitím vhodých úprav a viet o operáciách s itami vypočítajte: a), [ b) ( + ) + 3 ( + ) + ( + ) + + ( + ) U: Aké pravidlá pre počítaie s itami pozáš? Ž: Viem, že ita súčtu, rozdielu, súčiu, ásobku a aj podielu dvoch postupostí sa rová súčtu, rozdielu, súčiu, ásobku alebo podielu ít týchto dvoch postupostí. Pri podieli musíme mať v meovateli postuposť s eulovými člemi a eulovou itou. U: Zabudol si a jede dôležitý predpoklad. Limity tých dvoch postupostí musia existovať. Ž: Aha, áo. Postuposti musia byť kovergeté. U: Pri výpočte ít sa iekedy tieto pravidlá edajú použiť priamo, ale až po vhodej úprave predpisu postuposti. Ukážeme si to a príklade Ž: a) Mám vypočítať. to je veľmi jedoduché. Ak si rozdelím daý zlomok a súčet malých zlomkov , tak dostaem súčet predpisov samých kovergetých postupostí prevráteých hodôt. Ich ity sú uly, takže aj výsledá ita je ula. Hotovo. U: To bolo rýchle a espráve. Ž: Prečo? Veď som le využil pravidlo pre itu súčtu kovergetých postupostí. U: Áo, ale toto pravidlo platí le pre súčet koečého počtu kovergetých postupostí. V daom príklade je ale počet zlomkov ekoečý. Ž: A teraz čo? U: Teraz treba použiť ejakú úpravu, ktorá ti daý výraz zmeí tak, aby si pravidlá pre počítaie s itami mohol použiť. Ž: Tak už ma eapíajte. U: Všimi si čitateľa zlomku. Máš v ňom súčet prvých prirodzeých čísel. Vieš ho vypočítať? Ž: Jasé. Použijem vzorec pre súčet prvých čleov aritmetickej postuposti s prvým čleom a difereciou : ] = ( + ). U: Výbore. Nahraď teda v ite súčet výrazom ( + ). Ž: ( + ) + = = ( = + )

17 JKPo09- List 7 Vykrátim a môžem využiť pravidlá pre počítaie s itami: ( = + ) = + = + = + 0 =. [ Ž: b) Mám vypočítať ]. Teraz sa už achytať e- ( + ) + 3 ( + ) + + ( + ) dám. Nemôžem itu celého výrazu rozdeliť a súčet ít z jedotlivých zlomkov, lebo tých sčítacov je ekoeče veľa. U: To je veľmi rozumý začiatok. Ako teda budeš postupovať? Ž: Zlúčil by som to všetko a spoločého meovateľa a potom v čitateli sčítam čísla: [ ( + ) + 3 ( + ) + + ] ( + ) = ( + ) A teraz si upravím čitateľa. Opäť tam mám súčet prvých čleov aritmetickej postuposti s prvým čleom, ale s difereciou. Využitím vzorca pre súčet prvých čleov dostávam: = ( + ) = =. U: Veľmi dobre. Môžeš pokračovať vo výpočte ity. Ž: = ( + ) = + + U: Ako sa počítajú ity výrazov v tvare podielu mohočleov? Ž: Najprv vydelím čitateľa aj meovateľa ajvyššou mociou premeej: = + + = + + = + + U: Teraz už máš vo výraze le predpisy kovergetých postupostí, takže môžeš využiť pravidlá pre počítaie s itami. Ž: Úloha : Vypočítajte Výsledok:. = = =.

18 JKPo09-6 List 8 Príklad 6: Použitím vhodých úprav a viet o operáciách s itami vypočítajte: U: Aké vety o operáciách s itami pozáš? Ž: Viem, že ita súčtu, rozdielu, súčiu, ásobku a aj podielu dvoch postupostí sa rová súčtu, rozdielu, súčiu, ásobku alebo podielu ít týchto dvoch postupostí. Pri podieli musíme mať v meovateli postuposť s eulovými člemi a eulovou itou. U: Zabudol si a jede dôležitý predpoklad. Limity tých dvoch postupostí musia existovať. Ž: Aha, áo. Postuposti musia byť kovergeté. U: Pri výpočte ít sa iekedy tieto pravidlá edajú použiť priamo, ale až po vhodej algebraickej úprave predpisu postuposti. Ukážeme si to a príklade Ž: Mám vypočítať. Mohol by som čitateľa aj meovateľa vydeliť mociou väčšieho základu. Bolo by to. V čitateli aj v meovateli by som tak dostal súčty predpisov už le kovergetých postupostí. U: A koľko sčítacov by tie súčty mali? Ž: Predsa. U: Leže premeá sa blíži do ekoeča. A pravidlo platí le pre súčet koečého počtu kovergetých postupostí. V daom príklade by bol v čitateli aj v meovateli počet zlomkov ekoečý. Ž: A teraz čo? U: Teraz treba použiť ejakú úpravu, ktorá ti daý výraz zmeí tak, aby si pravidlá pre počítaie s itami použiť mohol. Ž: Tak už ma eapíajte. U: V čitateli aj v meovateli máš súčet čleov geometrických postupostí. Vyjadri teto súčet vzorcom. Ž: V čitateli je geometrická postuposť s prvým čleom a = a kvocietom q =. Jej súčet sa vypočíta takto: s = a q q = =. V meovateli je geometrická postuposť s prvým čleom a = a kvocietom q =. Jej súčet je: s = a q q = =. 4 U: Dobre. Teraz môžeš tieto výsledky dosadiť do pôvodého predpisu. Ž: = 4 = 4

19 JKPo09-6 List 9 U: Teraz využi úpravu, ktorú si chcel urobiť a začiatku. Vydeľ čitateľa aj meovateľa mociou. Ž: Takže: = 4 = 4 U: A môžeš využiť pravidlá pre počítaie s itami. Ž: Hotovo. = 4 ( ) Úloha : Vypočítajte Výsledok:. = 4 ( ( ) ( ( ) ) = = 0. ( ) )

20 JKPo09-7 List 0 Príklad 7: Vypočítajte ity: a) 3 4, 3 4 b), 4 3 c). Ž: Všetky tri príklady sú veľmi podobé. Na výpočet ít použijem asledujúcu úpravu vydelím čitateľa aj meovateľa zlomku ajvyššou mociou premeej. Vo všetkých troch príkladoch to bude. U: Dobre. Ukáž mi to ajprv a prvom príklade. Ž: a) 3 4 = 3 4 = 3 4 Keďže v čitateli aj v meovateli mám už le kovergeté postuposti, môžem ďalej písať: = 3 4 = = 0. U: Výbore. Postuposť je kovergetá a jej itou je číslo 0. Ž: b) Druhá postuposť je prevráteá k tej prvej. To bude tiež ľahké: = 3 4 = = 3 4 = = 3 0. A teraz čo? Nulou sa deliť edá. U: Výsledok, ktorý si dostal zameá, že kladé číslo 3 v čitateli si delil stále meším a meším kladým číslom. Limitou meovateľa je ula. Výsledok zlomku bude teda stále väčšie a väčšie kladé číslo. Limitou celého zlomku bude plus ekoečo: 3 4 = +. Postuposť je divergetá a má evlastú itu +. Ž: c) Tretia postuposť sa od druhej líši le opačými zamiekami v čitateli. Som zvedavý, čo to urobí s výsledkom: = = 4 3 = 4 3 = = 3 0.

21 JKPo09-7 List Keďže delím záporé číslo 3 malými kladými číslami blízkymi k ule, tak výsledok bude záporý. Čím meší bude meovateľ, tým väčšia bude absolúta hodota celého zlomku: 4 3 =. U: Správe. Postuposť je divergetá a má evlastú itu. Úloha : Vypočítajte ity: 0 a), b) Výsledok: a) +, b).

22 JKPo09-8 List Príklad 8: Zistite, či je ohraičeá postuposť { }. 3 = U: Ako by si zistil, či postuposť je ohraičeá? Ž: Vypočítal by som si iekoľko prvých čleov a odhadol by som, akými číslami sú asi ohraičeé. Potom by som dokázal, že tie čísla sú aozaj ohraičeiami celej postuposti. U: A ako by si to dokázal? Ž: Vyriešil by som dve erovice jedu pre dolé a jedu pre horé ohraičeie. Ak čísla sú ohraičeiami, tak mi z erovice vyplyie ejaký pravdivý výrok. U: Tak mi to predveď a daej postuposti Ž: Takže ajprv zopár čleov: a = U: Postačujú ti prvé tri čísla a odhad ohraičeosti? Ž: Áo. Zdola bude ohraičeím určite číslo 0, lebo čley postuposti sú le kladé čísla. Mohol by som asi zvoliť aj hodotu, ale ula postačí tiež. 3 U: Takže dolé ohraičeie d = 0. Čím je asi postuposť ohraičeá zhora? Ž: Aj to peke vidieť. Hodoty sa blížia k dvojke. Horé ohraičeie h =. U: Vyslovil si hypotézu, poď ju dokázať. Ž: Dokážem, že pre každý čle a ašej postuposti platí: d a h. Teda, že pre každé N platí: - ak d = 0 tak , - ak h = tak U: Dobre. Ďalej by si riešil tieto dve erovice. Pomôžem ti s imi. Prvá je jasá. Sám si povedal, že čley postuposti sú le kladé čísla. Ž: Áo. V oboch zlomkoch a ľavej strae erovice mám le kladé čísla, takže aj ich súčet bude kladý. Prvá erovica teda platí pre každé prirodzeé číslo. U: Správe. Druhá erovica má tvar: , odtiaľ po úpravách dostaeme Ž: A teraz čo? U: Vyriešiš kvadratickú erovicu. Ak by si mal kvadratickú rovicu x 4x + = 0, tak pomocou vzorca pre jej koree dostaeš: x, = ( 4) ± ( 4) 4 = 4 ± = ± 3. takže x = 3. = 0, 3 a x = + 3. = 3, 7.

23 JKPo09-8 List 3 Ž: Tomu vôbec erozumiem. Čo mi to vlaste vyšlo? U: Parabola, ktorá je grafom kvadratickej fukcie f : y = x 4x+ pretía os x približe v bodoch 0, 3 a 3, 7. Fukčé hodoty pre čísla x =,, 3 sú pod osou x a ad osou x sú fukčé hodoty pre ostaté prirodzeé čísla. Ž: Nerovica bola v tvare Takže táto erovosť je spleá le pre =,, 3? U: Áo. Číslo zhora ohraičuje le prvé tri čley. Nie je ohraičeím celej postuposti. Ž: Uff. Takže musím vypočítať hodoty viacerých čleov, urobiť ový odhad horého ohraičeia a dokázať jeho platosť. U: Mám lepší ápad. Pri teórii ít sme si uviedli a dokázali vetu (alebo vlastosť ak chceš), že každá kovergetá postuposť je ohraičeá. Nepomohlo by ti to? Ž: Ak ájdem itu, tým mám zabezpečeú ohraičeosť? U: Áo. Nájsť itu by emal byť problém. Ž: To ie. Vydelím oba zlomky ajvyššou mociou premeej. Sledujte: ( ) ( = ) ( = ) 3 U: Dobre. V čitateli aj v meovateli oboch zlomkov máš teraz predpisy už le samých kovergetých postupostí. Môžeš použiť pravidlá pre počítaie s itami. Ž: Vykoám: = = = = = = 7 3. Postuposť má koečú itu, takže je kovergetá a teda je ohraičeá. To bol oveľa jedoduchší postup. Nabudúce už budem zisťovať ohraičeosť pomocou ity. U: Vedel by si mi teraz povedať čo je horým ohraičeím ašej postuposti? Ž: Na začiatku som si myslel, že je to číslo. Ale ukázalo sa, že je to málo. Teraz vidím, že horým ohraičeím je číslo 7 3. U: Áo. Postuposť je rastúca a jej hodoty sa blížia k číslu 7. Toto číslo alebo ľubovoľe 3 väčšie číslo je horým ohraičeím. Úloha : Zistite, či je ohraičeá postuposť Výsledok: Postuposť je ohraičeá. { }. =