Učebný zdroj pre žiakov z predmetu Matematika

Transcript

1 STREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA Komenského 6, 08 7 Lipany Učebný zdroj pre žiakov z predmetu Matematika Odbor: Kozmetik a Pracovník marketingu Autorka: PaedDr. Iveta Štefančínová, Ph.D. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ

2 Názov predmetu Názov a adresa školy Kód a názov ŠVP Názov ŠkVP Kód a názov študijného odboru Stupeň vzdelania Dĺžka štúdia Forma štúdia Vyučovací jazyk Druh školy Matematika Stredná odborná škola, Komenského 6, 08 7 Lipany 64 Ekonomika a organizácia, obchod a služby Obchod a služby pracovník marketingu úplné stredné odborné vzdelanie 4 roky denná slovenský štátna

3 Obsah Úvod Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 5 Úlohy na precvičenie Mocniny... 9 Úlohy na precvičenie.... Výrazy s premennou... 4 Úlohy na precvičenie Percentá, pomer... 9 Úlohy na precvičenie Úrok... Úlohy na precvičenie Výroky... 8 Úlohy na precvičenie Množiny, Vennove diagramy... Úlohy na precvičenie Funkcia a jej vlastnosti Úlohy na precvičenie Lineárna a konštantná funkcia Úlohy na precvičenie Lineárne rovnice, nerovnice, sústavy Úlohy na precvičenie Kvadratická funkcia Úlohy na precvičenie Kvadratické rovnice a nerovnice... 6 Úlohy na precvičenie Goniometrické funkcie... 6 Úlohy na precvičenie Goniometrické rovnice, nerovnice... 7 Úlohy na precvičenie Kombinatorika Úlohy na precvičenie Teória pravdepodobnosti... 8 Úlohy na precvičenie Základy štatistiky Úlohy na precvičenie... 86

4 Úvod Matematika rozvíja u žiakov matematické myslenie, ktoré je potrebné pri riešení rôznych problémov v každodenných situáciách, kedy sa musia používať matematické modely myslenia a prezentácie. Predložená učebná pomôcka je zameraná na niekoľko tematických okruhov: čísla, premenná a počtové výkony s číslami; vzťahy, funkcie, tabuľky, diagramy; kombinatorika, pravdepodobnosť, štatistika; logika, dôvodenia, dôkazy. Matematický obsah je rozčlenený do 6 kapitol, pričom každá kapitola obsahuje stručný teoretický úvod a následne úlohy na precvičenie. Vychádzajúc z učebných osnov pre odbor Kozmetik a Pracovník marketingu sú ponúknuté témy reálne čísla a ich základné vlastnosti; mocniny; výrazy s premennou; percentá a pomer; úrok; výroky; množiny a Vennove diagramy; všeobecne funkcia a jej vlastnosti; lineárna funkcia a jej vlastnosti; lineárne rovnice, nerovnice a sústavy; kvadratická funkcia, rovnica a nerovnica; goniometrická funkcia, rovnica a nerovnica; základy kombinatoriky, teórie pravdepodobnosti a štatistiky. autorka

5 . Reálne čísla a ich základné vlastnosti Zavedieme označenie základných číselných množín: Prirodzené čísla sú čísla,,..... Súčet a súčin prirodzených čísel je prirodzené číslo. N - množina všetkých prirodzených čísel. Celé čísla sú všetky čísla, ktoré môžeme vyjadriť ako rozdiel dvoch prirodzených čísel. Súčet, súčin a rozdiel celých čísel je celé číslo. Z- množina všetkých celých čísel. Racionálne čísla sú všetky čísla, ktoré je možné vyjadriť ako podiel celého a prirodzeného čísla. Súčet, rozdiel, súčin a podiel racionálnych čísel (okrem delenia nulou) je racionálne číslo. Q- množina všetkých racionálnych čísel. Iracionálne čísla sú čísla, ktoré možno vyjadriť v tvare nekonečného neperiodického desatinného zlomku. Napríklad =,44..., π =,46... sú neperiodické desatinné čísla. I- množina všetkých iracionálnych čísel. Zjednotenie množiny racionálnych a iracionálnych čísel tvorí množinu reálnych čísel. R- množina všetkých reálnych čísel. V obore reálnych čísel R je každé reálne číslo znázornené na číselnej osi práve jedným bodom a naopak, každý bod číselnej osi je obrazom jedného reálneho čísla. Z vyššie uvedeného vyplýva, že medzi jednotlivými číselnými množinami platí nasledujúci vzťah: N Z Q R I R Q I = R C N Z R Q -,-,0 4/5 I,,e,π -8i Eistujú aj komplené čísla (C). Je to množina čísel tvaru: a + bi; pričom i = -; a reálna zložka, bi imaginárna zložka

6 Množina reálnych čísel má nasledovné vlastnosti:. Je usporiadaná, pre každé dve reálne čísla a, b platí práve jeden zo vzťahov: a = b, alebo a < b, alebo a > b.. Medzi dvomi ľubovoľnými reálnymi číslami a, b, pre ktoré platí a < b, eistuje aspoň jedno reálne číslo c tak, aby a < c < b.. Je uzavretá vzhľadom na súčet, rozdiel, súčin a podiel, t.j. súčet, rozdiel, súčin a podiel reálnych čísel je reálne číslo. 4. Množinu reálnych čísel je možné znázorniť na číselnej osi. 5. Ku každému reálnemu číslo eistuje jeho absolútna hodnota. 6. Každé nezáporné reálne číslo má druhú odmocninu, ktorá je tiež reálne číslo. Naopak, žiadne záporne reálne číslo nemá druhú odmocninu, ktorá by bola reálne číslo. Pre každé a, b, c є R platí:. Komutatívny zákon: a + b = b + a a. b = b. a. Asociatívny zákon: (a + b ) + c = a + ( b + c ) (a. b). c = a. (b. c). Distributívny zákon: a. (b + c ) = a.b + a. C 4. a. b = 0 <=> (a = 0 V b = 0) 5. a/b = 0 <=> (a = 0 ^ b 0) 6. vlastnosť 0, a + 0 = a a. = a 7. monotónnosť sčítania vzhľadom k nerovnosti: a < b, tak a + c < b + c 8. tranzitívnosť a < b a b < c, tak a < c Vzdialenosť obrazu reálneho čísla od počiatku číselnej osi udáva absolútnu hodnotu reálneho čísla a, ktorá je definovaná: a 0, a = a a < 0, a = - a

7 Vlastnosti absolútnej hodnoty:. Pre každé reálne číslo a platí a 0, - a = a, a a, a -a. Pre každé dve reálne čísla a, b platí: a. b = a. b a / b = a / b a + b a + b, b 0 Každé iracionálne číslo je vyjadrené nekonečným neperiodickým desatinným rozvojom. V prai určujeme iracionálne číslo pomocou jeho aproimácie, predpisom, ktorý umožní vypísať číslicu na ľubovoľnom mieste desatinného rozvoja, popr. pracujeme so zaokrúhlenou hodnotou reálneho čísla alebo s odmocninami. Zaokrúhľovanie čísla a na jednotky daného rádu k (na desatiny, tisíciny, stovky,...) robíme nasledovne: všetky číslice nižších rádov vynecháme a vypustené číslice nahradíme nulami ostatné číslice ponecháme s prípadnou zmenou podľa pravidiel zaokrúhľovania: ak je prvá z vypustených číslic menšia ako 5, potom sa posledná číslica nemení hovoríme o zaokrúhľovaní nadol ak je prvá z vypustených číslic väčšia ako 5, potom sa posledná číslica zväčší o hovoríme o zaokrúhľovaní nahor. Veľmi veľké čísla alebo malé čísla vieme zapísať zjednodušeným zápisom a.0 n, kde a <0, n R.

8 Úlohy na precvičenie. Na číselnej osi znázornite reálne čísla:. Ktoré z nasledujúcich čísel sú racionálne:. Usporiadajte dané trojice čísel: 4. Napíšte kladné racionálne číslo menšie ako 0, a kladné racionálne číslo menšie ako 0, Zistite, či platia nerovnosti: 6.Zapíšte čísla ako mocninu so základom 0: stotisíc, miliardy, 5 miliónov, 8 biliónov, tisíc, biliardy, tristotisíc, 9 miliónov, 00 miliónov, milión 80 tisíc. 7. Zapíšte v tvare a.0 n : Pri Galapágach narazil tanker do skaly a spôsobil obrovskú ekologickú katastrofu. Do oceánu vytieklo ton ropy a ton vykurovacieho oleja. Pri Brazílii sa potopila do mora najväčšia ropní plošina na svete, ktorej hmotnosť bola aaž 000 ton a na jej palube bolo litrov ropy, ktorá začala unikať do vody. Ozónová diera nad Antarktídou má km. 8. Vypočítajte:

9 . Mocniny Definícia Pre každé a R a n N platí: a n a. a. a... a. nkrát n a - mocnina a základ mocniny n mocniteľ (eponent) Vety o mocninách: Pre každé a R a r, s N platí: a r s rs. a a. Pre každé 0 a R a r, s N platí: a a r s rs a. Pre každé Pre každé a R a r s N a, b R a N a r r. s, platí: s a. r platí: r r r a. b a. b. Pre každé a, b R, b 0 a r N platí: Pre každé a R, a 0 a platí: a 0. a b r r r a. b m Pre každé a R, a 0 a pre každé m N platí: a. m a Pre každé 0 a, b R a z Z platí: a b z z b. a Definícia Druhá odmocnina z nezáporného reálneho čísla a je také nezáporné číslo, pre ktoré platí: a. Píšeme a. N je prirodzené číslo. N-tá odmocnina z nezáporného reálneho čísla a je také nezáporné číslo b, pre ktoré platí n n a. Píšeme b n a. a - základ odmocniny n - odmocniteľ

10 Vety o odmocninách Pre všetky nezáporne čísla a, b a pre každé prirodzené číslo n platí: n a. n n. b a b. Pre všetky nezáporne čísla a, b (b 0) platí: n n a a n. b b Pre každé celé číslo s, každé kladné reálne číslo a a každé prirodzené číslo n platí: s n n s a a. Pre všetky prirodzené čísla m, n a pre každé reálne nezáporné číslo a platí: m n n m m. n a a a. Pre všetky prirodzené čísla m, n, p a pre každé nezáporné číslo a platí: p. m p. n a m a n. Pre každé kladné reálne číslo a, pre každé prirodzené číslo n platí: n a n a. Pre každé kladné reálne číslo a, pre každé celé číslo m, pre každé prirodzené číslo n platí: m n m n a a.

11 Úlohy na precvičenie. Usmernite zlomok: a) b) c) d) 5. Najprv čiastočne odmocnite a potom vypočítajte: a) b) Pomocou viet o mocninách a odmocninách vypočítajte a výsledok uveďte v tvare mocniny aj odmocniny. a) 4. y 7 6 y b) c) Určte pre aké b má výraz zmysel: 7b 4 5. Vypočítajte: a) : b) c) 6. Základy mocnín rozložte na prvočísla, potom zlomky kráťte: a) b) n n n n4 n n Vypočítajte bez použitia kalkulačky: a) 5.

12 b) c). d) Upravte a výsledok zapíšte pomocou mocnín prvočísel: a) b) 8 64 : Upravte a určte podmienky: 4 5 d c b a d c b 4a 0. Upravte: 4 9. Čiastočne odmocnite: 4 a 5 b 48. Usmernite: a a. Upravte s podmienkami a) 4 b a b a b a

13 b) Vypočítajte a upravte výraz, zapíšte s jednou odmocninou: 5 0,

14 . Výrazy s premennou Algebraický výraz zápis obsahujúci čísla, premenné, znaky operácií a zátvorky. množinový výraz: (A Ç B) Ç C. číselný výraz:. s premennou: 8 4. lomený výraz 5/ Úprava výrazu nahradenie výrazu iným výrazom, ktorý sa mu na dane j množine rovná a má žiadaný tvar. Môže mať tvar súčinu, neobsahuje odmocninu v menovateli. Zjednodušenie výrazu úprava na základný tvar (čo najmenší počet premenných, zátvoriek, a operácií) Definičný obor výrazu množina hodnôt premenných, pre ktoré má daný výraz zmysel. Mnohočlen = polynóm n-tého stupňa výraz tvaru: a n n + a n - n a + a 0 ; kde a n, a n-,..., a, a 0 R; n N n = stupeň polynómu a n = koeficient napr = 0 a 5 = a = 0 a 4 = 0 a = 0 a = -4 a0 = Pri počítaní s mnohočlenmi využívame tieto vzorce: (a + b) = a +ab+b (a b) = a ab + b (a + b) = a + a b + a b + b (a b) = a - a b + ab - b a b = (a + b)(a - b) a b = (a b)(a + ab + b ) a + b = (a + b)(a - ab + b ) a 4 b 4 = (a b)(a + a b + ab + b )

15 Úlohy na precvičenie. Úprava výrazov pomocou vzorcov a b a) u v b) 5 c) 0 y d) 4 y a 5c e) f) ab cd g) u v h) 4 i) 8 y j) y c 5d k) ab cd. Umocnite podľa príslušného vzorca: l) a) b) y 7y c) y d) y e) z f) g) 6y yz Správnosť overte dosadením za, y, z h). Napíšte ako druhú mocninu dvojčlena: a) 6y 9y b) a 4a 49 c) y yz z 4 9 d) 0,0 0,04c 0,04c 4. Doplňte výrazy tak, aby každý výraz predstavoval druhú mocninu dvojčlena: a) a ab * b) * c) 4 * d) 9u * 6 e) 49 4e * f) * 4mn n

16 g) * 0v 5 h) * 4cd d i) c * 64a j) * 6y 9y k) 4m * s l) k * 4d m) c * 9d n) 8u 6uv * o) * 4rs s 5. Doplňte na vynechané miesta výrazy tak, aby platila rovnosť: a) a * a 6a * b) a * * 4ab * 4 c) * y 5z * * * * 4 * 6y 4 d) 6. Zistite, či platí rovnosť: y y a) b a b) a b y c) y 7. Vypočítajte: a a a a) d c b) d c y c) y z z 4 d) 4 y y 8. Vypočítajte neznámu, ak platí: a) b) c) 0 d) 4 0, 0, 9. Rozložte na súčin: a) p p b) p 4p 4 c) d) e) f) g) 4 4y y 6y 9y 6m 8mn n 5m 70mn 49n 9 r 4r

17 h) 8 08r 6r i) u v 4uv 44 j) 9u v 6uv k) a b abc c l) a b 6abc 9c m) 6 56y 49 y n) 00 y 0yz 6z o) m 5m 6, 5 p) q) r) 4 r 4r s 4s 0,0p 0, prs r s 4 9s r s 4r 0. Z daných výrazov vyjmite a upravte na súčin: a) 6 9 b) y 0y 5 c) 9m 4mn 6n d) 49p 6pq 8q. Určte hodnotu výrazu pre a = : = a a. Určte hodnotu výrazu pre r = a r = 6 : r r r r r r r r 4 =. Určte hodnotu výrazu pre = : 4 4 = 4. Zjednodušte výraz: a b a b b a b a b b. = a b a b b b 5. Upravte: : = Upravte: y y y y y y = 7. Upravte: n n 4n 4n n :. n n n

18 8. Zjednodušte: y y. y y Zjednodušte: 0. Upravte výraz: 4 m m m m a : a a a. Upravte výraz: 9 4 : Určte definičný obor výrazu: a) 5 b) c) z. Pre z, sa výraz 4z z rovná výrazu a) -z b) z - c) z d) z e) z z

19 4. Percentá, pomer Pomer je vzťah medzi dvomi veličinami, ktorý nám vyjadruje podiel medzi veľkosťami týchto veličín. Z pomeru vieme povedať koľkokrát je jedna veličina väčšia resp. menšia ako druhá. Dve čísla (veličiny) môžeme porovnať iba v prípade, ak sú uvedené v rovnakých jednotkách: Percento (%) z určitého vymedzeného množstva predstavuje jednu stotinu (/00) z tohto množstva ak si rozdelíme jablkový koláč na 00 častí, tak jedna časť z tohto koláča predstavuje jedno percento Pri percentách rozlišujeme nasledovné základné pojmy: základ: štandardne v literatúre označovaný ako z je hlavná časť, resp. zadaný celok, z ktorého budeme počítať počet percent. Platí preň vzťah: základ = časť základu/počet percent časť základu: je to v číslach vyjadrené určité množstvo zo základu, resp. je to množstvo základu vypočítané na základe príslušného počtu percent. V literatúre ho štandardne nájdeme označené ako č. Platí preň vzorec: časť základu = základ * počet percent počet percent: nám hovorí, akú časť z hlavného základu máme. V literatúre ho štandardne nájdeme označené ako p. Platí preň vzťah: počet percent = časť základu / základ Percentá môžeme vyjadrovať troma spôsobmi, a to ako zlomok = ½ desatinné číslo = 0,5 stonásobok desatinného čísla [%] = 00*0,5 = 50%

20 Úlohy na precvičenie. Pomer hrán podstavy kvádra a : b = :. Pomer kratšej hrany podstavy a výšky b : c = : 5. Aký je pomer dlhšej hrany podstavy a výšky? A. 4 : 5 B. : 5 C. 5 : 4 D. 4 : 6. Dĺžka úsečky AB je 5 m. Nájdi vzdialenosť medzi stredom úsečky AB a bodom, ktorý ju delí v pomere :. A.,5 m B.,5 m C.,5 m D. 4,5 m. Mierka mapy je : Turista kráčajúci rýchlosťou 6 km / h prejde trasu, ktorá je na mape dlhá,5 cm, za čas: A. 0, hod. B. / hod. C. 5/ hod. D. 0,05 hod. 4. Aby maliar dostal takú farbu, akú potrebuje, musí zmiešať zelenú a žltú farbu v pomere 4 : 7. Ak má 8 litrov zelenej farby, koľko litrov žltej farby by mal do nej pridať? A. B. 6 C. 49 D Detské ihrisko má rozmery 50 m a 4 m. Na pláne je toto ihrisko zobrazené ako obdĺžnik s obvodom 7,4 cm. V akej mierke je plán mesta? A. :00 B. : 000 C. : 000 D. : Danka a Janka si rozdelili balíček cukríkov v pomere 5 : 7. Janka tak dostala o 4 cukríky viac ako Danka. Koľko cukríkov bolo v balíčku? 7. Záhrada v tvare obdĺžnika má na pláne mierky : rozmery 8 mm a mm. Aká je skutočná výmera záhrady? A. 950 m B. 00 m C m D. 500 m 8. Turistická mapa má mierku : Skauti sa nachádzajú na stanovišti A. Najbližšie stanovište B je na mape vzdialené 4 cm. Za aký čas sa k nemu dostanú ak prejdú 7 km za hodinu? A. 0,0 hod. B. 0 min. C. hod. D. 0, hod. 9. Rozdeľ 48 orechov v pomere : : 4 : Akú mierku mapy treba zvoliť, aby sme mohli na nej úsek dĺžky 5 km zobraziť úsečkou dĺžky cm?. Mierka mapy je : Trasu, ktorá je na mape dlhá 6 cm, prejde turista za 6 minút. Aká je jeho rýchlosť v km / hod.?. Výkony dvoch kopírovacích strojov sú v pomere : 4. Stroj s väčším výkonom namnoží za hodinu 7 00 kópií. Koľko kópií namnožia spolu za 5 hodín?. Tri skupiny odborníkov si rozdelili zárobok v pomere : :. Vypočítaj, koľko zarobila každá skupina, ak druhá a tretia dostala spolu eur?

21 4. Petrove a Mišove vreckové bolo v pomere 5 : 7. Peter minul na darček 5 eur, Mišo 9 eur a zvyšok ich peňazí bol v pomere :. Koľko mal pôvodne každý z nich? 5. Peter, Jozef a Lenka si rozdelili 0 00 eur. Sumy, ktoré si rozdelili Peter a Jozef boli v pomere : 4. Sumy, ktoré si rozdelili Jozef a Lenka, boli v pomere 5 : 4. Koľko eur dostal Peter? 6. Banka si účtuje za poskytnutie služieb svojim klientom,5% z hodnoty poskytovaných služieb. V akej hodnote poskytla služby, ak v danom období inkasovala banka v hotovosti ? 7. Nominálna hodnota jubilejnej česko-slovenskej striebornej mince je. Na numizmatickej burze ju majiteľ predal za. Vypočítajte zisk predávajúceho v %. 8. Pri výrobe bavlnenej priadze sa použilo 66 kg bavlny. Pri spracovaní bol %-ný odpad. Koľko kg bavlny bol odpad? 9. Ťažné lano visutej lanovky sa predlžuje ťahom asi o,4%. O koľko metrov sa predĺži plne zaťažené lano dlhé 98 m? 0. Pri výrobe bavlnenej konfekcie je predpokladaný,5% odpad. Koľko kilogramov tvoril odpad, ak na spracovanie zákazky bolo objednaných kg bavlnenej tkaniny.. V obchode s potravinami predali v januári tovar za Vo februári sa zvýšili ich tržby o,5%. O koľko sa zvýšili tržby v obchode s potravinami vo februári?. Vo fľaši je 900g sirupu, ktorý obsahuje 50% cukru, 5% malinovej, 0% čučoriedkovej a 5% jablkovej šťavy. Koľko gramov jednotlivých druhov štiav je vo fľaši?. Výrobca predal podnikateľovi tovar za Dohodli sa, že podnikateľ dostane 0% odmeny z ceny predaného tovaru. Koľko zarobí podnikateľ, ak predá všetok tovar? 4. Ročná odpisová sadzba danej skupiny hmotného investičného majetku je 5%. Vypočítajte ročný odpis hmotného investičného majetku, ktorý má obstarávaciu cenu Zásielka tovaru vrátane obalu má hmotnosť 86 kg. Aká je hmotnosť obalu v kg? Tara je,5% z bruto hmotnosti. 6. Z celkovej produkcie cementárne pripadá na vývoz do zahraničia 7,%. V bežnom mesiaci sa epedovalo do zahraničia 5 8 t cementu. Aká bola mesačná produkcia cementu? 7. Zemiaky obsahujú 76,% škrobu. Koľko zemiakov potrebujeme, ak chceme získať,5 kg škrobu? 8. Zomletím pšenice dostaneme 8,5% múky. Koľko pšenice treba zomlieť, aby sme získali,5 t pšeničnej múky.

22 9. Pri výrobe konfekcie bol dovolený,4%-ný odpad, ktorý mal hmotnosť 96 kg. Koľko kg materiálu sa muselo vyrobiť, aby boli z neho mohli vyrobiť kvalitné konfekčné výrobky? 0. Hmotnosť obalu (tara) je 64,5 kg, čo je,4% z hrubej (bruto) hmotnosti zásielky. Aká je hmotnosť zásielky?. Škola od začiatku septembra vyčerpala na učebné pomôcky 6 580, čo predstavuje 7,6% ročného rozpočtu. Koľko sa rozpočtovalo na učebné pomôcky na obdobie celého roka?. Z predaného tovaru si podnikateľ odčítal,5% odmeny v sume 658. Aká veľká bola jeho tržba v?. V kg bronzu na výrobu ložísk je 5 g olova, 85 g cínu a zvyšok je meď. Vyjadrite obsah olova, cínu a medi v %. 4. Skutočné náklady na výrobu istého výrobku sú spolu Z celkového objemu skutočných nákladov sú mzdové náklady Koľko percent tvoria mzdové náklady z celkového objemu skutočných nákladov? 5. Obstarávacia cena jedného solárneho kolektora bola 5. Pri rekonštrukcii budovy ich použili 0 ks. Vypočítajte koĺko % z ceny kolektorov boli inštalačné náklady vyčíslené sumou 80.

23 5. Úrok Úrok je čiastka, ktorú peňažné ústavy vyplácajú z peňazí, ktoré si do nich uložíme. Napríklad, ak si uložím do banky napr. 000, banka môže s nimi hospodáriť narábať, za čo mi vyplatia spomínaný úrok. Aký veľký bude úrok závisí od viacero faktorov, a to od: veľkosti vkladu dĺžky doby, počas ktorej vklad v peňažnom ústave (banka, sporiteľňa) necháme druhu vkladu (z ktorého sa úrok vypláca) istiny Pri počítaní s percentami sme si zaviedli pojmy ako základ, počet percent, a percentová časť. Ak si tieto pojmy premietneme do úrokovania, môžeme povedať, že: základom je istina finančná čiastka, ktorá je uložená v banke počet percent úroková miera určitý počet % z istiny percentová časť percentová časť teda čiastka, ktorá sa, zvyčajne jeden krát ročne pripočíta k istine Pri výpočtoch budeme používať tieto symboly: istina...z úroková miera...p úrok...ú úrokové obdobie...t Pre výpočet úroku (pre jednoduché úrokovanie) platí tento vzťah: Pri výpočtoch možno používať i trojčlenkou.. Pani Kováčová si do banky uložila 400, pri ročnej úrokovej miere %. Koľko eur jej banka po roku pripíše na účet? Koľko peňazí bude mať pani Kováčová po roku na účte? Riešenie: Dané je: istina z úroková miera...%...p úrokové obdobie... rok...t úrok ú I. výpočet pomocou vzťahu: ú = II. výpočet pomocou trojčlenky: 00% %...

24 = Po roku banka pani Kováčovej pripíše na účet, teda, po roku bude mať na účte 4.. Koľko eur si pán Svitek uložil do banky, ak po roku, pri ročnej úrokovej miere,8%, mal na účte 076? Riešenie: úroková miera...,8% úrokové obdobie... rok istina...? Keďže nevieme úrok (ú), budeme počítať pomocou trojčlenky: ,8%...00% = 000 Pán Svitek si na začiatku úrokovacieho obdobia vložil do banky Andrej dostal na narodeniny peniaze. Rozmýšľal, že ak si ich uloží v banke, neminie ich a po roku mu nejaké peniaze k tým čo dostal, ešte pribudnú. Pri ročnej úrokovej miere % mu po roku k uloženým peniazom pribudli. Koľko peňazí dostal k narodeninám? (za predpokladu, že si ich všetky uložil do banky). Riešenie: p......% ú... t... rok z...? zo vzťahu pre výpočet úroku so vyjadríme z: Teda: z = (. 00) : (. ) z = 00

25 Andrej k narodeninám dostal Z vkladu 500 banka pani Novákovej pripísala na účet roku,50. Akou úrokovou mierou banka vklad úročila? Riešenie: základ (z) úrok (ú)...,5 úrokové obdobie (t)... rok úroková miera (ú)...? % I. Výpočet pomocou vzorca zo vzťahu pre jednoduché úrokovanie si vyjadríme p: Teda: p = (,5. 00) : (500. ) p =,5% II. Výpočet trojčlenkou: %,5... % =,5% Pani Nováková si vložila svoje peniaze na účet s ročnou úrokovou mierou,5%. Daň z úroku Doteraz sme počítali s predpokladom, že k účtu sa po určitom úrokovom období pripíše celá vypočítaná suma. V skutočnosti to však funguje tak, že každý príjem štát zdaňuje, a teda aj úrok. To znamená, že z vypočítaného úroku banka určitú čiastku odvedie štátu. Na Slovensku je v súčasnosti daň z úroku 9%. Vráťme sa teda napríklad k príkladu, kde si pani Kováčová do banky uložila 400 a po roku (pri % úrokovej miere) úrok, ktorý sme vypočítali, bol. V skutočnosti ale pani Kováčová nemala po roku na účte 4, ale zo sumy banka ešte 9% odviedla štátu. Koľko eur teda mala p. Kováčová po roku na účte? úrok... daň z úroku (9%)... úrok po zdanení %...9%

26 =,8 úrok po zdanení: -,8 = 9,7 Banka po roku pripísala pani Kováčovej na účet 9,7, na účte po roku mala teda 409,7.

27 Úlohy na precvičenie. O koľko eur vzrastie istina 7 80 za 7 mesiacov a dní (0,60), ak úroková miera je % p.a.?. Koľko eur zaplatíme, ak k dlhu musíme pripočítať 9 % úrok za 8 mesiacov a 4 dní (0,60)?. Vypočítajte 8 % úrok z 860 za : a) roky, b) 7 mesiacov, c) 45 dní (kal,65), d) 45 dní (0,60) 4. Vypočítajte úrok z istiny 600 za 48 dní pri úrokovej miere 5 % p.a. Úlohu riešte za podmienky (0,60) aj (kal,65). 5. Koľko eur úroku vynesie istina pri jednoduchom úrokovaní za 5 rokov? Úroková miera je 5 % p.a. 6. Určte úrok z kapitálu pri ročnej úrokovej sadzbe 0,08 za obdobie od do Aký úrok v eurách zaplatí dlžník, ktorý si na pol roka požičal pri % p.a.? 8. Aký kapitál bol vložený na vkladnú knižku, ak pri 4 % p.a. za roky do nej vpísali úrok 684? 9. Pri úrokovej miere 6% p.a. zaplatil dlžník za 5 dní úrok 060. Aká veľká bola pôžička? 0. Koľko eur investoval klient na účte úročenom 8 % p.a, ak za 9 mesiacov mu bol pripísaný úrok 000? ( ). Aká je výška kapitálu, ktorý vynesie pri jednoduchom úrokovaní za 5 rokov úrok 6 805? Úroková miera je 5 % p.a.

28 6. Výroky Výroky oznamovacie vety, ktorými sa vyjadruje niečo, čo je buď pravdivé alebo nepravdivé. Pravdivostná hodnota za pravdivostnú hodnotu výroku považujeme pravdivosť a nepravdivosť výroku. Pravdivý výrok: P(V) = Nepravdivý výrok: 0 P(V) = 0 pravdivostná hodnota výroku V: P(V) Výroky označujeme tlačenými veľkými písmenami abecedy. A,B,C,...,Z napr. Paríž je hlavným mestom Talianska. nepravda, P(V) = 0 Hypotéza výrok, ktorého pravdivostnú hodnotu sme doteraz neurči, domnienka, napr. Na Marse je život. Aióma elementárne tvrdenie o vlastnostiach základných pojmov tvrdenia, ktoré považujeme za očividné P(V) =, nemusíme ich dokazovať, platí to vždy, napr. Priamky na seba rovnobežné nepretínajú Operácie s výrokmi z jednoduchých výrokov môžeme prostredníctvom spojok vytvárať súvetia, ktoré považujeme za zložené výroky logické spojky: a ( ); alebo ( ); ak, tak ( ); práve vtedy, keď ( ). Negácia výroku negácia výroku V: (V`) ku každému výroku V môžeme sformulovať výrok, ktorý popiera pravdivosť tvrdenia obsiahnutého vo výroku V napr. V: Dnes ráno pršalo. V`: Nie je pravda, že dnes ráno pršalo. alebo V`: Dnes ráno nepršalo. Výrok Negácia Každý... je... Aspoň jeden... nie je... Aspoň jeden... je... Ani jeden (žiaden, nijaký)... nie je... Aspoň dva sú... Najviac jeden je... Aspoň tri sú... Najviac dva sú.... Konjukcia

29 zložený výrok: A a B označujeme ho A B, napr. Mrzne a sneží.. Disjunkcia = alternatíva zložený výrok: A alebo B označujeme: A B, napr. Prší alebo padá sneh. 4. Implikácia zložený výrok: ak A, tak B označujeme: A B, napr. Ak mi nepomôžeš, tak si ma nepraj. 5. Ekvivalencia zložený výrok: A práve vtedy, keď B označujeme A B, napr. Šunku kúpim práve vtedy, keď nedostanem salámu. Tabuľka s pravdivostnými hodnotami P(A) P(B) P(A B) P(A B) P(A B) P(A B) Kvantifikovaný výrok každý výrok, ktorý obsahuje kvantifikátory eistenčný kvantifikátor, : eistuje napr. V: N; > V : N; všeobecný kvantifikátor - : pre všetky, pre každý napr. V: R; +>0 V : R; + 0

30 Úlohy na precvičenie. Na večierok bolo pozvaných 5 kamarátov Karol, Laco, Milan, Tomáš, Peter. Ich odpovede na pozvanie možno vyjadriť výrokmi: a) Príde Karol a príde Laco. b) Príde Laco alebo príde Milan. c) Ak príde Milan, potom príde aj Tomáš. d) Peter príde práve vtedy, keď príde Milan. Pre nepriaznivé počasie neprišiel nikto z nich. Rozhodnite, ktorý z pozvaných neporušil sľub, teda, ktoré z výrokov a) až d) sú pravdivé.. Riešte úlohy s právnickou problematikou. Ktoré z nasledujúcich viet sú negáciou vety? a) Niekto nemá právo na vzdelanie. Všetci majú právo na vzdelanie. Niektorí majú právo na vzdelanie. Nikto nemá právo na vzdelanie. Každý má právo na vzdelanie. b) Niektoré školy sa členia na fakulty. Niektoré školy sa nečlenia na fakulty. Žiadne školy sa nečlenia na fakulty. Všetky školy sa členia na fakulty. Každá škola sa člení na fakulty.. Ktoré z nasledujúcich viet možno považovať za výroky? Výrokom priraďte pravdivostnú hodnotu a) Prší? b) Choď a prines loptu! c) Bratislava je hlavné mesto Slovenskej republiky d) Bratislava je hlavné mesto Rakúska e) Riešte nerovnicu! f) Eistuje snežný muž Yetti g) Základy matematickej logiky h) Ktoré čísla sú deliteľmi nuly? i) Narysuj pravouhlý trojuholník, keď sú dané jeho odvesny. j) Susedné strany pravouhoníka sú zhodné. (Pravouholník má všetky vnútorné uhly sú pravé) (Pozor na rozhodnutie, najprv si prečítajte nasledujúce vety, a potom sa zamyslite, či táto oznamovacia veta spĺňa vlastnosti výroku, či je jednoznačne formulovaná) k) Eistuje pravouholník, ktorého dve susedné strany sú zhodné. l) V každom pravouholníku sú každé dve susedné strany zhodné. m) Nie je tu. n) ( + ) = + o) Niekde vo vesmíre eistujú iné formy života. p) Obchod s tetilom q) Národná banka Slovenska r) Zajtra bude v Dubnici pršať.

31 4. Nasledujúcim výrokom priraďte pravdivostnú hodnotu pravda, nepravda symbolmi: p ( ), n ( 0 ) a) Matematika je veda. b) Každý štvorec je štvoruholník. c) Každý štvoruholník je štvorec. d) sin 0 =. e) Ludolfovo číslo je racionálne číslo. f) ( ) = 5. Sformulujte negácie výrokov a určte ich pravdivostné hodnoty. a) + 7 = 0 b) + c) Číslo 05 je druhou mocninou prirodzeného čísla. d) Nie je pravda, že 4 je dvojnásobkom 6. e) Hodnota výrazu 5 pre číslo = 7 je V nasledujúcich súvetiach možno nájsť časti, ktoré sú výrokmi. Nájdite tieto čiastkové výroky a slová, ktoré ich spojujú alebo uvádzajú. a) Anna sa učí a Viera hrá. b) 0 a 0 c) Nie je pravda, že 9 = d) Toto lietadlo letí z Košíc do Bratislavy priamo alebo ( toto lietadlo) pristáva iba na Sliači. e) Keď číslo je párne, potom 65 je párne číslo f) Číslo 00 je deliteľné práve vtedy, keď číslo 4 je deliteľné. 7. Zostavte vety, ktoré nie sú z rôznych dôvodov výrokmi. Potom rozhodnite, či sú tieto vety výrokmi: a) Zotri tabuľu a choď si sadnúť. b) Keď nemáš čo povedať, mlč. c) Keď nechceš ísť do kina, pôjdeš už domov? 8. Vyjadrite pomocou logických spojok obsah týchto správ o počasí. a) Neprší ani nefúka vietor. b) Je zamračené, ale neprší. c) Dnes sneží, zatiaľ čo včera pršalo. d) Oteplilo sa, ale napriek tomu je mráz. e) Husto prší, dokonca aj hrmí. f) Dážď ustal, ale stále mrholí. 9. Svedok vyslovil na súde výrok: Ak je obžalovaný A vinný, potom je vinný i obžalovaný B. Predstavte si štyri možné výroky o vine obžalovaných A a B a) A je vinný, B je vinný b) A je vinný, B nie je vinný c) A nie je vinný, B je vinný d) A nie je vinný, B nie je vinný V ktorých prípadoch a) až d) priznáte svedkovi, že povedal pravdivý výrok a že ho nemožno upodozrievať z nepravdivého svedectva?

32 0. Mama povedala svojmu synovi Petrovi: Ak budeš dobrý, dostaneš zmrzlinu. Sú štyri možnosti: a) Peter bol dobrý, dostal zmrzlinu b) Peter bol dobrý, nedostal zmrzlinu c) Peter nebol dobrý, dostal zmrzlinu d) Peter nebol dobrý, nedostal zmrzlinu V ktorých prípadoch a) až d) vyslovila mama pravdivý výrok?. Nájdite v nasledujúcich vetách kvantifikátory. Doplňte tieto vety vhodnými kvantifikátormi tak, aby boli pravdivými výrokmi. a) Niektoré prirodzené čísla sú prvočísla b) Žiadny trojuholník nemá dva tupé uhly. c) Každému trojuholníku možno opísať práve jednu kružnicu. d) Eistuje aspoň jedno párne prvočíslo. e) Ťažnice trojuholníka sa pretínajú v jednom bode. f) V kružnici sú zhodné všetky jej priemery. g) Štvoruholníky, ktoré majú zhodné uhlopriečky, sú rovnobežníky.. Sformulujte negáciu výrokov: a) Nikto mu nezávidí. f) Všetci sme odišli. b) Ktosi nám závidí. g) Nikto učený z neba nespadol. c) Každý sa mýli. h) Všetci sme nepoučiteľní. d) Nič sme nespozorovali. i) Ktokoľvek môže odísť. e) Niekto prehovoril. j) Nikto nikoho nevidel.

33 7. Množiny, Vennove diagramy Pojem množina je jeden zo základných pojmov modernej matematiky. Množina je súbor navzájom rôznych (rozlíšiteľných) matematických alebo iných objektov. množina všetkých prirodzených čísel, množina všetkých celých čísel menších ako 7, množina všetkých žiakov vašej školy nosiacich okuliare, Množiny sa väčšinou označujú veľkými písmenami, napr. A, B, N a ich obsah (objekty) sa zapisujú do zložených zátvoriek. Napr. množinu A obsahujúcu práve dva objekty a, b zapíšeme A = {a, b}. Objekty, ktoré patria do danej množiny nazývame prvky množiny. Obvykle ich označujeme malými písmenami, y, c,. Množinu môžeme považovať za určenú jedine vtedy, ak o každom objekte vieme jednoznačne povedať, či do danej množiny patrí alebo nie. Rovnosť množín: Množiny A a B sa rovnajú, keď každý prvok množiny A patrí množine B a každý prvok množiny B patrí množine A. A = B ( : A B) Inklúzia množín: Množina A je podmnožinou množiny B práve vtedy, ak všetky prvky množiny A patria zároveň aj množine B. A B ( : A B) Zjednotenie množín: Zjednotením množín A a B nazývame množinu A B, ktorá obsahuje prvky patriace aspoň do jednej z množín A, B, teda obsahuje prvky, ktoré patria do množiny A alebo do množiny B a okrem nich neobsahuje žiadne iné prvky. A B ( A B) Prienik množín: Prienikom množín A a B nazývame množinu A B, ktorá obsahuje všetky prvky patriace súčasne do oboch množín A, B. Ak je prienikom množín A, B prázdna množina (A B= ), nazývame množiny A, B disjunktnými. A B ( A B) Rozdiel množín: Rozdielom množín A a B nazývame množinu A B (A \ B), ktorá obsahuje tie prvky množiny A, ktoré súčasne nepatria do množiny B. A B ( A B) Doplnok (komplement) množiny: Doplnok množiny A vzhľadom na množinu U je množina A U všetkých prvkov množiny U, ktoré nepatria do množiny A. A U = U A A U ( U A) Na názornú predstavu množín, množinových vzťahov a operácií medzi množinami sa používajú ich grafické znázornenia v rovine, tzv. množinové diagramy.

34 Základná množina Z sa znázorňuje spravidla obdĺžnikom a jej podmnožiny A, B, ako kruhy alebo iné zvyčajne oválne obrazce vnútri obdĺžnika. Tieto grafické znázornenia sa nazývajú Vennove diagramy. K znázorneniu množín reálnych čísel sa zvyčajne používa číselná os. Úloha Daná je základná množina Z = {,,,,9} a jej podmnožiny A = {,,,4,5} a B = {,6,9}. Znázornite pomocou Vennovych diagramov a zapíšte vymenovaním prvkov nasledovné množiny: a) doplnok množiny A vzhľadom k množine Z b) A B c) A B d) A-B Riešenie a) Doplnok množiny A vzhľadom k množine Z tvoria všetky prvky patriace množine Z a zároveň nepatriace množine A, čiže: A Z ={6,7,8,9} b) A B={ } c) A B={} d) A-B={..4.5}

35 Úlohy na precvičenie. Charakteristickou vlastnosťou určte množinu: A = {, 4, 6, 8, 0,...}.. Zistite, ktoré čísla sú prvkami množiny A = { Z; + }.. Dané sú množiny: A = { Z; < 0}, B = { N; < 7}, C = { Z; =. < 5}. Vymenovaním prvkov určte množiny A, B, C, A B, B C, CA. 4. Určte vzťahy medzi množinami A, B, C, D. Množiny a vzťahy medzi nimi znázornite pomocou Vennovych diagramov. A = {,,, 4, 5}, B = {, 4, 6}, C = {, 5}, D = {6,, 4}. 5. A, B sú dve podmnožiny množiny M, pričom A je nekonečná množina a B je konečná množina. Ktorý z nasledujúcich výrokov je potom nepravdivý? a) A B je nekonečná množina b) A M = M c) A B M je nekonečná množina d) A B je konečná množina e) A M = M 6. Čo najjednoduchšie zapíšte množiny: a) (, 6) 4, b) (, 6) (0, ) c) (, 6) 4, ) d) (, ) (0, ) e) (, ) (6, ) f) doplnok intervalu (, v množine R g) zjednotenie doplnku intervalu (5, ) v množine R s intervalom 0, 0 h) prienik doplnku intervalu, 5 v množine R s intervalom, 0 i) prienik zjednotenia intervalov (, ), 0, 5 v množine R. 7. Pomocou intervalov zapíšte množinu: a) A = { R; }, b) B = { R; 8 5 < 9}, c) C = { R; < }, d) D = { R; 4} 8. Charakteristickou vlastnosťou zapíšte množinu: a) A = (, 5, c) C = (, (, +), b) B = (, 7, d) D = {,, 0,, }. 9. Dané sú množiny A =, 7, B = (0, 0, C = { R; > }. Pomocou intervalov zapíšte množiny: A B, A B, A C, B C, A R, C R. 0. Určte tieto množiny: a) ; ; b) ; 4;5 c) N; 0 R; 6. Na Vennovom diagrame znázornite tieto množiny: a) A BA B b) A C B. Pomocou Vennových diagramov overte rovnosť množín: a) A B, A B b) A B C, A B AC

36 . V triede je 8 žiakov, 6 z nich pretekalo v behu, 0 v plávaní. Žiadneho z týchto pretekov sa nezúčastnilo 0 žiakov. Koľko žiakov behalo aj plávalo? 4. Z 5 žiakov dochádza vlakom 8 žiakov, autobusom 0 žiakov a žiakov nedochádza ani vlakom ani autobusom. Koľko žiakov dochádza aj vlakom aj autobusom? 5. Po maturitách sa ukázalo, že 4 študentov dostalo jednotku aspoň z jedného z predmetov matematiky, fyziky. Osem z nich malo jednotku z fyziky a traja z oboch predmetov. Koľko percent študentov malo jednotku z matematiky? 6. Zapíšte množiny pomocou intervalov: a) b) c) A = A = A = B = B = B = A B = A B = A B = A B = A B A B A B = A B = A B = B A = B A = B A = 7. Načrtnite na číselnej osi a určte: a) b) c) P = ( 4 P = 5 ) P = 4 0 ) Q = ( 6 ) Q = 7 ) Q = ( 6 9 P Q = P Q = P Q = Q P = 8. Na Vennových diagramoch vyznačte množinu X. a) X = A B b) X = B C c) X = A C

37 d) X = A B e) X = B C f) X = A C g) X = A h) X = B i) X = C 9. Na Vennových diagramoch vyznačte množinu G. a) G = A B b) G = A B c) G = A B

38 d) G = A B e) G = A B f) G = A B 0. Na Vennových diagramoch vyznačte množinu Y. a) Y = A B C b) Y = A B C c) Y = ( A C ) B d) Y = ( A B ) C e) Y = A ( B C ) f) Y = ( A B ) ( B C )

39 g) Y = ( C A ) B h) ( A B ) i) ( A - C ) B 0. Na recepcii každý ovláda aspoň jeden cudzí jazyk, 5 ľudí hovorí po anglicky, po nemecky a 7 obidvoma jazykmi. Z koľkých ľudí sa skladá táto spoločnosť, ak v spoločnosti nikto iný jazyk neovláda?. Z 5 žiakov odoberá denník SME 8 žiakov, Pravdu 0 žiakov, žiakov neodoberá žiadne z týchto novín. Koľko žiakov odoberá obidvoje noviny?. Za jeden deň opravili v autodielni na 46 autách 4 chýb na brzdách a 6 chýb na motore. Koľko áut malo chybu len na brzdách a koľko len na motore?. Prieskum čitateľských záujmov ukázal, že 60% žiakov číta časopis A, 50% časopis B, 50% časopis C, 0% časopis A aj B, 0% časopis B aj C, 0% časopis A aj C a 0% všetky tri časopisy. Koľko % žiakov číta práve dva časopisy a koľko % nečíta ani jeden z týchto časopisov?

40 8. Funkcia a jej vlastnosti Funkcia je jeden z najdôležitejších matematických pojmov. Používa sa nielen v matematike, ale aj vo fyzike a ďalších technických a iných oboroch. Fyzikálne zákony sa vyjadrujú vo forme funkčnej závislosti jednej veličiny (tzv. závislá premenná) na druhej veličine (tzv. nezávislá premenná). Často sa jednoducho hovorí: Prvá veličina je funkciou druhej veličiny, napr. dráha je funkciou času, a pod. Funkčnou závislosťou vo fyzike rozumieme jednoznačný vzťah medzi fyzikálnymi veličinami, kým v matematike je to len jednoznačné priradenie medzi číselnými hodnotami premenných. Nech A, B sú neprázdne množiny reálnych čísel (A R, B = R). Ak ku každému číslu A priradíme PRÁVE JEDNO y B, tak dostaneme množinu f usporiadaných dvojíc [, y] reálnych čísel, ktorá sa nazýva reálna funkcia reálnej premennej. premenná resp. argument funkcie f; nezávislá premenná y hodnota premennej resp. argumentu; často hovoríme i funkčná hodnota v bode (alebo hodnota funkcie f v bode ), závislá premenná a označujeme ju i f() alebo používame zápis y = f(). D(f) resp. D f označuje definičný obor funkcie f, čo je množina všetkých hodnôt premennej, teda v našom prípade množiny A. H(f) resp. H f označuje obor hodnôt funkcie f, čo je množina všetkých hodnôt funkcie f. Funkcia môže byť daná a) analyticky vzorcom, t.j. rovnicou v tvare y = f(), kde f() je výraz s premennou, napr. y = 7 aleboy = + b) graficky grafom funkcie c) vymenovaním usporiadaných dvojíc spravidla vo forme tabuľky. Tento spôsob je použiteľný jedine pre funkcie, ktorých definičným oborom je konečná množina. Pri niektorých funkciách môžeme hovoriť, že majú určité spoločné vlastnosti a podľa týchto vlastností ich aj nazývame. Na základe týchto vlastností teda hovoríme o párnych a nepárnych funkciách periodických funkciách funkciách, ktoré sú zdola alebo zhora ohraničené etrémoch funkcií maimálnych a minimálnych hodnotách monotónnych funkciách (rastúce, klesajúce, nerastúce a neklesajúce) prostých funkciách inverzných funkciách

41 Nech pre funkcie f s definičným oborom D(f)) platí: D(f) a zároveň - D(f) V takom prípade rozlišujeme dva významné typy funkcií: párnu funkciu a nepárnu funkciu. Párna funkcia: Funkciu f nazývame párnou práve vtedy, keď pre každé D(f) platí: f(-) = f() Funkciu f nazývame nepárnou práve vtedy, keď pre každé D(f) platí: f(-) = -f() Ako zistíme, či je funkcia párna alebo nepárna, ak poznáme iba jej graf? Funkcia je párna, ak jej graf je osovo súmerný podľa osi y. Napríklad:

42 Funkcia je nepárna, ak jej graf je stredovo súmerný podľa bodu [0, 0]. O dvoch funkciách f a g hovoríme, že sú si rovné práve vtedy, keď definičný obor funkcie f a definičný obor funkcie g sú tie isté množiny a pre každé D(f) platí: f()=g(). Rovnosť dvoch funkcií f a g zapisujeme: f = g O funkciách, ktoré nie sú si rovné hovoríme, že sú rôzne a zapisujeme f g. Funkciu f nazývame periodická funkcia práve vtedy, keď eistuje také reálne číslo p 0, že pre každé D(f) je aj ± p D(f) a platí: f( ± p) = f() Číslo p nazývame perióda funkcie f. Vo fyzike sa perióda označuje T. Ak má daná funkcia f periódu p, ľahko dokážeme, že pre každé celé číslo k platí: f( + kp) = f(). Teda daná funkcia má i periódu kp. Monotónnos ť rastúca rastúca na množine M, ak pre každé dve, D(f): < a f( )<f( ) klesajúca klesajúca na množine M, ak pre každé dve, D(f): < a f( )>f( ) nerastúca nerastúca na množine M, ak pre každé dve, D(f): < a f( ) f( ) neklesajúca neklesajúca na množine M, ak pre každé dve, D(f): < a f( ) f( )

43 konštantná konštantná na množine M, ak pre každé dve, D(f): < f( ) = f( ) konštantná funkcia máľubovolnú periódu je periodická Ak funkcia LEN rastie alebo LEN klesá je rýdzo monotónna. Prostá funkcia funkcia je prostá ak pre každé dve, D(f): tak f( ) f( ) napr. y = eistuje inverzná funkcia ohraničenosť: zhora: h R, D(f): f() h zdola: d R, D(f): f() d funkcia je ohraničená, ak je súčasne ohraničená zhora aj zdola d f() h napr. y= sin (h =, d = -) najmenšie horné ohraničenieje suprémum lokálne etrémy: nech funkcia f je definovaná v okolí bodu a: maimum: maimum v bode a má funkcia, ak eistuje také okolie O bodu a; O: f() f(a) minimum: minimum v bode a má funkcia,

44 Úlohy na precvičenie. Rozhodnite, ktorá z uvedených tabuliek jej zadaním funkcie. U zistenej funkcie určte definičný obor a obor hodnôt. a) b) c) - - y y y Rozhodnite, ktorá z uvedených množín jej zadaním funkcie. U zistenej funkcie určte definičný obor a obor hodnôt. a),,,,,, 6,, 5,, 4,0 b),, 0,0,,,,,,, 4,4 c),5,,4,,5,,,,, 4,0. Rozhodnite, ktorá z uvedených rovníc jej zadaním funkcie. U zistenej funkcie určte definičný obor a obor hodnôt. a) = y 6 b) y = c) y = - 4. Rozhodnite, ktoré z grafov sú grafmi funkcie. Zapíšte definičný obor a obor hodnôt týchto funkcií. a) b) c) d) e) 5. Určte definičný obor funkcie danej rovnicou. a) f : y 4 b) f : y c) d) f 4 : y e) f 5 : y f) 5 ( 4)( 7) f : y f 6 : y

45 g) j) f 7 : y h) f 8 : y 4 i) 7 5 f 0 : y k) f : y l) m) f : y ( )(5 ) *n) 6. Dané sú funkcie: a) Určte ich definičné obory: f : y f : y f : y ( )( ) f4 : y o) f f 5 y 4 9 : f : y 5 5 : y b) Rozhodnite či platí: H( f f ), 5 H( f),4 H( f ), H( f ),7,5 H( f ), H( f),50 H( 7. Vypočítajte funkčné hodnoty f() pre dané hodnoty premennej, ak je daná funkcia. a) f : y 6 f (-) =? f (5) =? f (0) =? b) f : y 4 f (-) =? f (0) =? f () =? c) f : y 7 4 f =? f (-) =? f (5) =? d) f : y.( ) f ( 0) =? f (-4) =? f (8) =? e) f : y f (-7) =? f (0) =? f () =? 8. Graficky zistite funkčné hodnoty, ak je daná funkcia f. a) f (-) =? b) f (-) =? c) f (-) =? f (4) =? f (6) =? f (7) =? ) a) b) c) 9.Vypočítajte súradnice priesečníkov grafu funkcie f so súradnicovými osami, ak je funkcia daná rovnicou. a) f : y b) : 6 f y c) f : y 4 d) f 4 : y e) f 5 : y 4

46 0. Graficky zistite, či eistuje hodnota premennej, pre ktorú je dané číslo f() hodnotou funkcie f. Ak áno, určte ju z grafu. a) f( ) =, f( ) = - b) f( ) = -, f( ) = 4 c ) f( ) = -, f( ) = d) f( ) = 0, f( ) = -. Rozhodnite, či sa funkcie rovnajú: 4 a) f : y f : y b) g : y : g y c) h : y h : y d) i : y i : y e) j : y j : y f) k : y k : y. Ktorá z uvedených funkcií sa rovná funkcii f: y = ( 4 )/( 5 )? Zostrojte grafy funkcií. a) y = / b) y = c) y = ( 7 )/( 6 ) d) y=( )/( 4 ). Na obrázku je graf funkcie g. Funkcia f, ktorá je časťou funkcie g je určená definičným oborom D(f). Z grafu určte jej obor hodnôt H(f) a zistite, či sú pravdivé tvrdenia o funkčných hodnotách funkcie f. a) D (f) =,4 H (f) =? f (-) = f (0) = - b) D (f) =,6 H (f) =? f () = f (5) = - c) D (f) = 6, 4 H (f) =? f () = - f (-4) = d) D (f) =,0 H (f) =? f () = f () = 4. Zistite či funkci je párna, nepárna resp. ani párna ani nepárna. Využite: párna: f( ) = f(); nepárna: f(-) = -f(); resp. neplatí ani jedna z možností

47 a) f() = 4 b) f() = 4 e) f() = f) f() = c) f() = + d) f() = 4 5 g) f() = h) f() = Dokreslite graf funkcie tak, aby funkcia bola párna. a) b) c) d) e) f) 6. Dokreslite graf funkcie tak, aby funkcia bola nepárna. a) b) c) d) e) f) 7. Rozhodnite na základe grafu, ktoré funkcie sú párne, a ktoré nepárne. a) f : y b) f : y c) f : y

48 d) f 4 : y e) f 5 : y f) f 4 6 : y 4 g ) f 7 : y h) f 8 : y Ktoré z daných funkcií sú prosté? Danú vlastnosť zistite z grafu funkcie. Určte inverznú funkciu k prostým funkciam. a) f : y b) f : y c) f : y d) f 4 : y e) 5 f 5 : y f) f 6 : y 9. Graf funkcie f je súmerný podľa osi y a v intervale, 0 je takáto funkcia rastúca. V ktorom bode intervalu, nadobúda funkcia f najmenšiu funkčnú hodnotu. 0. Zistite definičný obor, obor hodnôt a intervaly monotónnosti, ohraničenosť, etrémy funkcie f danej grafom. a) b) c) d) e)

49 9. Lineárna a konštantná funkcia Lineárna funkcia je každá funkcia určená predpisom y = a + b, kde a,b R a a Grafom lineárnej funkcie je priamka. a > 0, b = 0 a < 0, b = 0 a) b) D(f) = R, H(f) = R D(f) = R, H(f) = R - rastúca - klesajúca Na to, aby sme mohli zostrojiť graf lineárnej funkcie stačí poznať dva body so súradnicami, ktoré jej patria.

50 Konštantná funkcia konštantnej funkcie f ak D(f) = R je priamka. R. Grafom každej Vlastnosti funkcie : D(f) = R, H(f) = b - nie je prostá - je ohraničená - R má maimum aj minimum.

51 Úlohy na precvičenie. Uveďte príklady lineárnych funkcií, ktorých grafom je: a) priamka b) polpriamka c) úsečka. Nájdite aspoň dve usporiadané dvojice celých čísel, ktoré patria funkcii danej predpisom. 6 a) f ( ) b) f ( ) 5 4 c) f ( ). Výpočtom nájdite funkčnú hodnotu y alebo premennú, tak aby, y f. a) f ( ) 5, b) ( ) f c) f ( ) 4, 4. Zistite, či usporiadaná dvojica čísel patrí funkcii. a) f ( ) 7, 4,,9 b) f ( ), 0 4,4 4, 5. Nájdite obor hodnôt funkcie f, ak je daný definičný obor. a) f ( ) 5 D ( f ) (, ) b) f ( ) D( f ) N c) f ( ) 4 D ( f ),0,,, d) f ( ) D ( f ) 0, 4 6. Vypočítajte priesečníky grafu lineárnej funkcie so súradnicovými osami, ak je funkcia daná predpisom. 5 a) f ( ) 6 b) f ( ) c) f ( ) 7. Určte rovnicu lineárnej funkcie, ktorej graf prechádza danými bodmi.,6 0, 0,0 4,,6 F 4, 8 a) A B b) C D c) E 8. Určte rovnicu lineárnej funkcie, ktorá vyhovuje podmienkam. a) f(4) = -, f() = -4 b) y = a +, f(4) = - c) y = +b, graf pretína os v bode d) y = 0,5 +b, f(-4) = e) ) y = a 5, graf prechádza bodom C 4, f) y = a, graf prechádza bodom B, 9. Určte rovnice lineárnych funkcií, ktoré sú dané graficky. a) b) c)

52 0. Výpočtom zistite, či niektorý z bodov A0,, B,0, C,0, D 5,0 4 5, leží na grafe funkcie: a) y =. Graf lineárnej funkcie prechádza bodmi: A, 4 b) y = 4. a) Zostavte predpis funkcie f. b) Určte priesečníky grafu funkcie f s osami súradnicovej sústavy., B,. Graf funkcie f: y = a súradnicové osi určujú trojuholník. Aký je jeho obsah.. Určte lineárnu funkciu g, ktorej graf je rovnobežný s grafom funkcie f: y = X 0,5 a prechádza bodom 4. Určte inverznú funkciu k danej funkcii. Nájdite ej definičný obor a obor hodnôt oboch funkcií. 5 a) f : y 7 b) f : y 4 c) f : y 5. K daným grafom dokreslite graf inverznej funkcie., F a) b) c) d) e) f)

53 g) h) 6. Uvažujme o funkcii f: y = 0,5 +, (-4,). Určte definičný obor funkcie inverznej k tejto funkcii.

54 0. Lineárne rovnice, nerovnice, sústavy Lineárnou rovnicou s neznámou nazývame každú rovnicu tvaru a + b = 0, kde a, b sú reálne čísla a a 0. Pri riešení môžu nastať tri prípady: ak a 0, potom a = -b a rovnica má práve jeden koreň = -b/a; ak a = b = 0, po úprave dostaneme 0 = 0 a to je pravdivý výrok (rovnosť), takže pôvodná rovnica má nekonečne veľa riešení resp. koreňom tejto rovnice je každé reálne číslo; ak a = 0, b 0, po úprave dostaneme 0 = -b, a keďže b 0, tak sme dostali nepravdivú rovnosť pôvodná rovnica nemá žiadne riešenie. Lineárnu rovnicu možno riešiť aj graficky. Grafické riešenie spočíva v tom, že si pomocou ekvivalentných úprav upravíme rovnicu na tvar f ()=f () alebo na tvar f()=0. V prvom prípade zostrojíme grafy funkcií f, f, kde -ové súradnice priesečníkov grafov predstavujú približné riešenie danej rovnice závislé od presnosti rysovania. V druhom prípade zostrojíme graf funkcie f() a približným riešením danej rovnice budú priesečníky s osou. V prípade lineárnej funkcie je samozrejme jednoduchšie využiť algebraické riešenie. Lineárna nerovnica s neznámou R je každá nerovnica tvaru a + b < 0, a + b 0, a + b > 0, a + b 0, kde a, b sú ľubovoľné reálne čísla. Riešenie lineárnej nerovnice: Nerovnicu upravíme tak, že odčítame b od oboch strán nerovnice, čím ju upravíme na tvar a < -b, a -b, a > -b, a -b. Pri riešení môžu potom nastať tri prípady: Ak a < 0, potom z nerovnosti a < -b dostaneme > resp. z nerovnosti a > -b dostaneme < ; Ak a > 0, potom z nerovnosti a > -b dostaneme > resp. z nerovnosti a < -b dostaneme < ; Ak a 0 potom 0 < -b alebo 0 > -b. Táto nerovnica je splnená buď pre všetky R alebo pre žiadne R.

55 Ekvivalentné úpravy nerovníc:. vzájomná výmena strán nerovnice so súčasnou zmenou znaku nerovnosti na obrátený;. nahradenie ľubovoľnej strany nerovnice výrazom, ktorý sa jej rovná v celom obore riešenia nerovnice, pričom znak nerovnosti sa nezmení;. pripočítaním toho istého čísla alebo výrazu s neznámou, ktorý je definovaný v celom obore riešenia, k obom stranám nerovnice, pričom znak nerovnosti sa nemení; 4. vynásobenie oboch strán nerovnice kladným číslom alebo výrazom s neznámou, pričom znak nerovnosti sa nemení; 5. vynásobenie oboch strán nerovnice záporným číslom nebo výrazom s neznámou, pritom znak nerovnosti sa zmení v obrátený; 6. umocnenie oboch strán nerovnice prirodzeným mocniteľom, ak sú obe strany nerovnice nezáporné, pritom znak nerovnosti sa nemení; 7. odmocnenie oboch strán nerovnice prirodzeným odmocniteľom, ak sú obe strany nerovnice nezáporné, pričom znak nerovnosti sa nemení; 8. zlogaritmovaní oboch strán nerovnice pri tom istom základe väčšom ako, ak sú obe strany nerovnice kladné, pritom znak nerovnosti sa nemení.

56 Úlohy na precvičenie. Riešte v obore reálnych čísel rovnice: a) 6 = ( ) + 9( ) + b) 7 7 = c) d) Riešte v R rovnice s neznámou v menovateli: a) 4 b) c) 6 5 d) 4. Riešte v N nerovnicu: Riešte v ZZ sústavu rovníc: ) y y y y a ) y y y y b 5. Riešte v R sústavu nerovníc: ) a ) b 7. Riešte rovnice: a) 8 + = v množine R b) = 0 v Z c) + 6 = 5 v R 8. Určte všetky reálne čísla, pre ktoré dané zlomky nadobúdajú kladné hodnoty: a) 7 b) 5 0. Riešte v R nerovnice: a) b) c) (+).(-9).(-+)>0 d) (-6+).(-5-).(4-) 0 e) riešte aj v množine Z. Otec je o 8 rokov starší než trojnásobok synovho veku. O 0 rokov bude otec dvakrát taký starý ako jeho syn. Koľko rokov má otec a koľko syn?

57 . Sumu 440 eur rozdeľte na tri časti tak, aby 40% prvej časti sa rovnalo 50% druhej časti a súčet druhej a tretej časti sa rovnal prvej časti.. V izbe je 8 štvornohých a trojnohých stoličiek. Spolu je v izbe 65 nôh. Koľko je trojnohých a koľko štvornohých stoličiek?

58 . Kvadratická funkcia Kvadratická funkcia je funkcia daná rovnicou: kde a, b a c sú reálne konštanty, a 0. Definičný obor je R. Grafom kvadratickej funkcie je parabola, ktorej os je rovnobežná s osou y a má vrchol v bode. Vrchol paraboly je zároveň: minimum funkcie (tzn. parabola je otvorená smerom nahor), ak a > 0 maimum funkcie (tzn. parabola je otvorená smerom nadol), ak a < 0.

59 Úlohy na precvičenie. Nájdite vrchol paraboly, zostrojte grafy kvadratických funkcií, ak je daná rovnica funkcie a zapíšte rovnicu osi paraboly. a) y = ( + ) b) y = ( 4) 6 c) y = 0,5(-4) + d) y = -( + ) - e) y = f) y= g) y = - 0, Určte chýbajúce hodnoty premennej alebo funkčné hodnoty y tak, aby, y f. a) y =, b) y = + 5 -, y c) y = - -0,0 d) y = + 5,9. Zistite, či usporiadaná dvojica patrí funkcii,6,5,0, a) y = b) y = c) y = - - 0,, 6 d) y = - 0, 4, 5 4. Nájdite súradnice vrcholu paraboly, zostrojte graf a na základe grafu určte vlastnosti kvadratickej funkcie a priesečníky so súradnicovými osami. a) y = - b) y = 4 c) y = - d) y = 4 - e) y = f) y = - g) y = - - h) y = + +5 i) y = j) y = Na grafe kvadratickej funkcie vyznačte definičný obor funkcie a nájdite príslušný obor hodnôt funkcie, určte maimum a minimum, ak eistuje. a) D ( f ), 4 D 0, b) D ( ), f D, c) ( f ) 6, D D ( ), d) ( ), f D D ( f ),, f 6. Nájdite parametre a, b, c v rovnici kvadratickej funkcii, pre ktorú platí: a) f (0) = f () = f () = 6 b) f () = - f (4) = f () = - c) f (-) = f () = 4 f (0) = 5

60 7. Určte parametre p a q v rovnici f : y p q, ak graf funkcie prechádza bodmi: a) 0,,4 b),5 5, c) 4,7,5 6, 7, d) 8. Vypočítajte súradnice priesečníkov grafu kvadratickej funkcie so súradnicovými osami: a) y = 0 6 b) y = -0 c) y = d) y = + + e) y = 5-5 f) y = g) y = ( - ) - h) y = ( + 4) 9. Nájdite rovnicu kvadratickej funkcie s danými vlastnosťami a zostrojte jej graf: a) Graf funkcie pretne os v obrazoch čísel, -, koeficient kvadratického člena je a = b) Graf funkcie pretne os y v obraze čísla - 6, os v obrazoch čísel - a -. c) Graf funkcie pretne os v obrazoch čísel -4 a 6, koeficient lineárneho člena je b = -4 d) f () = -, jej os má rovnicu + = 0, jej maimálna hodnota je - e) Je párna,, f, jej minimálna hodnota je zistite, pre ktoré hodnoty premennej nadobúda funkcia nezáporné hodnoty. a) y = 0,5 b) y = 8 0,5 c) y = d) y = + + e) y = f) y = g) y = ( + ) - h) y = ( + 6) + 9. zistite, pre ktoré hodnoty premennej nadobúda funkcia záporné hodnoty. a) y = 6 b) y = c) y = + -0 d) y = - + e) y = 0, f) y = -. Do jedného obrázka zostrojte grafy daných funkcií. Ako súvisí graf kvadratickej funkcie s koeficientmi v určitej rovnici. a) f : y f : y f : y f : y 4. Určte predpis funkcie, ktorej grafom je parabola s vrcholom V[; -] prechádzajúca bodom A[0;]. Parabolu načrtnite a určíte jej nulové body.

61 . Kvadratické rovnice a nerovnice Kvadratickou rovnicou s neznámou nazývame každú rovnicu tvaru a + b + c = 0, kde a, b, c sú reálne čísla a je premenná, pričom a 0. Členy kvadratického trojčlena a + b + c nazývame: a kvadratický člen, b lineárny člen, c absolútny člen kvadratickej rovnice. Špeciálne prípady kvadratickej rovnice: ak b = 0, tak kvadratická rovnica má tvar a + c = 0 a nazýva sa rýdzokvadratická rovnica; ak c = 0, tak kvadratická rovnica má tvar a + b = 0 a nazýva sa kvadratická rovnica bez absolútneho člena; ak upravíme kvadratickú rovnicu a + b + c = 0 na tvar + p + q = 0, kde p = b/a a q=c/a, tak hovoríme o normovanom tvare kvadratickej rovnice. Riešiť kvadratickú rovnicu a + b + c = 0 možno pomocou výrazu: D = b 4ac, ktorý nazývame diskriminant. Platí: ak D > 0, tak daná kvadratická rovnica má rôzne reálne korene ak D = 0, tak daná kvadratická rovnica má dva rovnaké reálne korene, čiže tzv. dvojnásobný reálny koreň ak D < 0, tak daná kvadratická rovnica nemá riešenie v obore reálnych čísel (v obore komplených čísel má dva imaginárne komplene združené korene) -b ± D -b ± (b 4ac), = a resp., = a

62 Úlohy na precvičenie. Riešte v R rovnice: a) 9 b). Riešte v R rovnicu a) = Riešte v Z rovnicu: b 7 ) Vhodnou substitúciou riešte rovnicu: a) b) Riešte v R: a) b) V množine reálnych čísel vyriešte: 0 7. Riešte v R: a) 4. 0 b) c) 4 0 d) 5 8. V rovnici c = 0 je jeden koreń 4. Určte parameter c druhý koreň. 9. S využitím grafov kvadratickej funkcie riešte nasledujúce nerovnice: a) b) + 8 > 0 c) d) < 0 0. Riešte nerovnice: a) ( ) 4 b) Obvod obdĺžnika má 8 m, dĺžka jeho uhlopriečky je 9 m. Určite rozmery obdĺžnika.. Obvod pravouhlého trojuholníka má 84 cm, prepona 7 cm. Vypočítajte dĺžky odvesien.. Na obdĺžnikovej ploche s rozmermi m a 0 m chceme mať taký obdĺžnikový kvetinový záhon s rozlohou 8 m, aby jeho okraje boli rovnako vzdialené od okrajov plochy.

63 . Goniometrické funkcie Funkcie sínus a kosínus sa pôvodne definovali pomocou pravouhlého trojuholníka s uhlom ( 90 ) takto: sin je pomer protiľahlej odvesny tohto uhla a prepony, cos je pomer priľahlej odvesny k tomuto uhlu a prepony tg je pomer sin a cos cotg je prevrátená hodnota tg. Funkcia sínus Definícia: Funkcia sínus sa nazýva funkcia, ktorá na množine R pre všetky є R priraďuje y M. Píšeme: y = sin. Pozn: Pri použití jednotkovej kružnice funkciu sínus určujeme na osi y. Môžeme to odôvodniť aj definíciou funkcie sínus z pravouhlého trojuholníka: sin α = protiľahlá odvesna / prepona = y / = y Grafom funkcie sínus je sínusoida. (Jednotková kružnica je kružnica, ktorej polomer je jednotka, jej dĺžka je π. radián je uhol, ktorý na jednotkovej kružnici s vrcholom v strede kružnice vytína oblúk dĺžky, platí rad = 57 7, čo je jednotka oblúkovej miery).

64 Vlastnosti funkcie y = sin :. D(f) = R. H(f) = -,. monotónnosť: rastúca -π/ +kπ, π/+kπ klesajúca π/+kπ, π/+kπ, k є Z 4. párnosť - nepárnosť: funkcia je nepárna sin (-) = - sin, (graf je súmerný podľa počiatku) 5. ohraničenosť: funkcia je ohraničená na celom D(f) hodnotami -, 6. etrémy: minimum má funkcia v bode -π/ +kπ maimum má funkcia v bode π/ +kπ 7. Spojitosť: spojitá v R 8. Periodickosť: funkcia je periodická s základnou periódou p = π, platí sin = sin (+kπ) Funkcia kosínus Definícia: Funkcia kosínus sa nazýva funkcia, ktorá na množine R pre všetky є R priraďuje M. Píšeme: y = cos, cos : M Pozn: Pri použití jednotkovej kružnice funkciu kosínus určujeme na osi. Môžeme to odôvodniť aj definíciou funkcie kosínus z pravouhlého trojuholníka: cos α = priľahlá odvesna / prepona = / =

65 Grafom funkcie kosínus je kosínusoida. Vlastnosti funkcie y = cos :. D(f) = R. H(f) = -,. monotónnosť: rastúca π +kπ, π +kπ klesajúca kπ, π +kπ, k є Z 4. párnosť-nepárnosť: funkcia je párna cos (-) = cos, (graf je súmerný podľa osi y) 5. ohraničenosť: funkcia je ohraničená na celom D(f) hodnotami -, 6. etrémy: minimum má funkcia v bode π +kπ maimum má funkcia v bode kπ 7. Spojitosť: spojitá v R 8. Periodickosť: funkcia je periodická s základnou periódou p = π, platí cos = cos (+kπ) Funkcia tangens Definícia: Funkcia tangens sa nazýva funkcia daná rovnicou y = sin / cos, je rôzne od π/+kπ. Píšeme: y = tg Pozn: Pri použití jednotkovej kružnice funkciu tangens určujeme na priamke rovnobežnej s osou y a prechádzajúcou alebo - na osi. Podľa definície z jednotkovej kružnice je funkcia tangens daná: tg α = AB / = AB

66 Grafom funkcie kosínus je tangentoida. Vlastnosti funkcie y = tg :. D(f) = R - {(k+)π/}; k є Z. H(f) = R. monotónnosť: rastúca na intervaloch (-π/ + kπ, π/ + kπ) 4. párnosť - nepárnosť: funkcia je nepárna tg (-) = - tg (graf je súmerný podľa počiatku) 5. ohraničenosť: funkcia nie je ohraničená na celom D(f) 6. etrémy: na D(f) neeistujú 7. Spojitosť: nie je definovaná pre (k+)π/ 8. Periodickosť: funkcia je periodická s základnou periódou p = π, platí tg = tg (+kπ) Funkcia kotangens Definícia: Funkcia kotangens sa nazýva funkcia daná rovnicou y = cos / sin, je rôzne od kπ. Píšeme: y = cotg

67 Pozn: Pri použití jednotkovej kružnice funkciu kotangensnurčujeme na priamke rovnobežnej s osou a prechádzajúcou alebo - na osi y. Podľa definície z jednotkovej kružnice je funkcia tangens daná cotg α = BC / = BC. Grafom funkcie kosínus je kotangentoida. Vlastnosti funkcie y = cotg : Platí:. D(f) = R - {kπ}; k є Z. H(f) = R. monotónnosť: klesajúca na intervaloch (kπ, π + kπ) 4. párnosť - nepárnosť: funkcia je nepárna cotg (-) = - cotg, (graf je súmerný podľa počiatku) 5. ohraničenosť: funkcia nie je ohraničená na celom D(f) 6. etrémy: na D(f) neeistujú 7. Spojitosť: nie je definovaná pre kπ 8. Periodickosť: funkcia je periodická s základnou periódou p = π, platí cotg = cotg (+kπ).

68

69 Úlohy na precvičenie. Dokážte, že platí: a) sin 0 = sin 740 b) cos 54 = cos(06 ) c) sin 80 = sin(000 ) d) cos(750 ) = cos 50 e) tg 75 = tg(05 ) f) cotg(54 ) = cotg 59 M ; 0,45; 4,;0,8; 0,56; 5,6;,09; ;.Daná je množina. Ktorý z jej prvkov môže byť hodnotou funkcie? a) y = sin b) y = cos c) y = tg d) y = cotg. Do ktorého z intervalov 0 ;, ;, ;, ; patrí, pre ktoré platí: a) sin = 0,8 a zároveň cos < 0; b) sin 0 a zároveň cos = 0,; c) tg > 0 a zároveň sin > 0; d) cotg < 0 a zároveň cos > 0; e) sin < 0 a zároveň cotg < 0; f) tg < 0 a zároveň cos < Rozhodnite o pravdivosti nasledovných výrokov: 5 a) sin < sin b) sin < c) cos 6 > 0 d) cos > cos 8 9 e) tg > tg f) sin < sin Vypočítajte: 9 g b) 8 a) cot. tg.cot g. tg 7 6. Usporiadajte podľa veľkosti čísla: a) sin 60º, cos 60º, tg 60º, cotg 60º 0 tg, cot g, sin, cos 7. V intervale, načrtnite grafy funkcií: b) tg.cot g 4 4 sin.cos 4 a) y = cos b) y =.sin c) y = sin d) y = cos e) y sin 4 f) y sin g) y sin h) y cos i) y.cos 0, Vypočítajte hodnoty ostatných goniometrických funkcií, ak:

70 a) cos = 0,6;, ; b) sin = ; 0, ; c) cotg = ;, ; 4 4 d) tg = ;,.

71 4. Goniometrické rovnice, nerovnice Goniometrické rovnice sú rovnice, ktoré okrem konštánt obsahujú neznámu alebo výrazy s neznámou ako argumentmi niektorej z goniometrických funkcií; f(sin, cos c, tg, cotg ) = 0 Základnou goniometrickou rovnicou s neznámou je rovnica v tvare f()= c, kde f je goniometrická rovnica, c je reálne číslo. Možnosti riešenia:. numericky (najčastejšie). graficky Rozlišujeme rôzne typy goniometrických rovníc:. Základné goniometrické rovnice v tvare F() = d. Goniometrické rovnice riešené substitúciou prechodom na základnú rovnicu (lineárnu rovnicu).. Goniometrické rovnice riešené substitúciou prechodom na kvadratickú rovnicu 4. Iné typy rovníc f() = c. Základné goniometrické rovnice v tvare F() = d Riešte: sin = - ½ 0 = π/6 mínusová hodnota mi hovorí, že výsledný uhol bude v III. A IV. Kvadrante III. kvadrant: = π + π/6 = 7π/6 + kπ IV. kvadrant: = π - π/6 = π/6 + kπ K = {7π/6 + kπ, π/6 + kπ}. Goniometrické rovnice riešené substitúciou prechodom na základnú rovnicu (lineárnu rovnicu). f(+d) = c

72 Riešte: sin (+0 ) = / Použijeme substitúciu a výraz v zátvorke nahradíme inou neznámou. Subst: +0 = y sin y = / y 0 = 45 Kladná hodnota nám určuje že výsledok bude v I. a II. Kvadrante. I. kvadrant: y = 45 + k = 45 +k.60 = 5 + k. 60 II. kvadrant y = 5 + k = 5 +k.60 = 05 + k. 60 K = {5 + k. 60, 05 + k. 60 }. Goniometrické rovnice riešené substitúciou prechodom na kvadratickú rovnicu pri tomto type rovníc prevediem zložitejšiu goniometrickú rovnicu na kvadratickú rovnicu. po vyriešení kvadratickej rovnice dostaneme čiastkové výsledky pre neznámu y, následne sa vrátime do substitúcie a vypočítame hodnotu neznámej.. obsahujúce jednu goniometrickú funkciu Riešte: cos + 7cos + = 0 Subst. cos = y y +7y + = 0 - riešime klasickú kvadratickú rovnicu D = b 4ac = = 5 y, = (-b ± D) / a = (-7 ± 5) /. y = -

73 y = -/ cos = - - nie je definované cos = -/ 0 = 60 Mínus nám indikuje druhý a tretí kvadrant. II. kvadrant: = = 0 + k.60 III. Kvadrant. = = 40 + k.60 K = {0 + k.60, 40 + k. 60 } 4. obsahujúca viac goniometrických funkcií Pozn: Pri počítaní takejto rovnice sa snažíme rovnicu upraviť tak, aby sme dostali rovnicu iba s jednou funkciou. Riešte: sin cos -4 sin + = 0 Snažíme sa úpravami (pomocou goniometrických vzorcov) dostať v rovnici iba jednu funkciu. V tomto prípade môžeme využiť vzťah sin + cos = (cos = - sin ) sin ( - sin ) -4 sin + = 0 sin - 4 sin + = 0 Subst: sin = y y -4y + = 0 y = y = / sin = = 90 + k.60 sin = / kladné znamienko indikuje I. a II. kvadrant I. kvadrant: = 9 8 +k.60 II. kvadrant: = 60 +k.60 K = {90 + k.60, k. 60, 60 +k60 } 5. Iné typy rovníc- napr. goniometrické rovnice v súčinovom a podielovom tvare získané úpravami

74 Riešte: sin = cos. sin sin cos. sin = 0 - rovnicu nemožno deliť výrazom sin, pretože by sa zúžil obor pravdivosti o koreň. sin. ( cos ) = 0 - daná rovnica sa bude rovnať nule, ak prvá alebo druhá časť sa bude rovnať nule. sin = 0 Λ cos = 0 subst: = y = z sin y = 0 cos z = 0 cos z = y = k.π z = kπ = kπ = kπ = kπ / = kπ / K = { kπ /, kπ /} Goniometrické nerovnice nazývame nerovnice, ktoré okrem konštánt obsahujú neznámu alebo výrazy s neznámou, ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií. Pri riešení nerovníc postupujeme ako pri riešení goniometrických rovníc. Výsledkom je nejaký interval alebo skupina intervalov, ktoré zjednotíme. Postupujeme buď numericky alebo graficky. Na grafické riešenie goniometrických nerovníc používame jednotkovú kružnicu alebo graf danej funkcie. Riešte: sin / Transformujeme nerovnicu na rovnicu sin = ½. Jej korene sú = π/6 a = 5π/6. Vyznačíme ich na jednotkovej kružnici. Na jednotkovej kružnici hľadáme hodnoty funkcie sínus, ktoré sú väčšie alebo rovné ako ½. Riešením nerovnice sú hodnoty z intervalu π/6, 5π/6. Hodnoty sa opakujú s periódou kπ, preto riešením danej nerovnice je interval π/6 +kπ, 5π/6+kπ Tento príklad môžeme riešiť i graficky pomocou grafu goniometrickej funkcie sínus. - na osi y vyznačíme ½. - keďže podľa zadania hodnoty majú väčšie alebo rovné ako ½, potom nás zaujíma tá časť grafu, ktorá sa nachádza nad úrovňou ½, teda to sú intervaly od π/6 po 5π/6, opakujúce sa s periódou kπ - riešením tejto nerovnice je π/6 +kπ, 5π/6+kπ

75 Platí:

76 Úlohy na precvičenie. Riešte v R rovnicu: a).tg = b) sin c) cos = d) sin ( ) 0 e) tg ( ) f) sin ( ) = g) cos ( ) = 0,5 h) cotg ( 4 ) = i) tg ( + ). Riešte v R: a). cotg ( + ) = b) 5 sin sin c) cotg = cotg d).tg = e) 4.cos 4.cos = 0 f) sin + sin =. Riešte v R : a) sin + cos = 0 b) sin cos = 0 c).sin = cos d) tg cotg = 0 4. Riešte v intervale, : a). cos cos = 0 b).sin +. cos = 0 c) tg + cotg = d) tg +. cotg = 4 5. Použitím jednotkovej kružnice určte všetky R, ktoré vyhovujú nerovnici: a) sin b) cos c) tg d) cotg <

77 5. Kombinatorika Permutácie Permutácia n prvkov je každá usporiadaná n tica vytvorená z týchto prvkov. Každý z n prvkov sa v tejto n-tici vyskytuje práve raz. Jednotlivé permutácie sa od seba líšia len poradím prvkov. P(n) = n! Permutácie s opakovaním n počet rovnakých prvkov. druhu n - počet rovnakých prvkov. druhu n - počet rovnakých prvkov. druhu n j - počet rovnakých prvkov j-tého druhu Platí : n + n + n n j = n Variácie Variácia k-tej triedy z n prvkov je každá usporiadaná k-tica rôznych prvkov, vybraných z n- prvkovej množiny. V k-tici záleží na poradí prvkov. V k-tici sa ani jeden z prvkov neopakuje. Počet variácií: Variácie s opakovaním Variácia k-tej triedy z n prvkov s opakovaním je každá usporiadaná k-tica prvkov vybraných z n-prvkovej množiny. V k-tici sa môžu prvky ľubovoľne opakovať. Počet variácií s opakovaním: V*(k,n) = n k Kombinácie k-tej triedy z n prvkov (bez opakovania) Kombinácie k-tej triedy z n prvkov (bez opakovania) je každá k-tica rôznych prvkov vybraných z n prvkovej množiny (v k-tici nezáleží na poradí prvkov). Kombinácie k-tej triedy z n prvkov (s opakovaním)

78 Kombinácie k-tej triedy z n prvkov (s opakovaním) je každá k-tica prvkov vybraných z n- prvkovej množiny (v k-tici nezáleží na poradí prvkov a môžu sa v nej prvky ľubovoľne opakovať). Faktoriál a kombinačné číslo Binomická veta Pre ľubovoľné a, b є R, n є N platí: Pascalov trojuholník

79 Platí:

80 Úlohy na precvičenie. Koľko rôznych 5 ciferných čísel je možné vytvoriť z číslic,,, 4, 5, aby sa každá opakovala iba raz?. Koľko rôznych ciferných čísel je možné vytvoriť z číslic,,, 4, 5, tak, aby sa každá opakovala iba raz?. Koľkými spôsobmi je možné vytvoriť trojzvuk zo siedmych tónov? 4. Koľkými spôsobmi je možné odmeniť prvou, druhou a treťou cenou trinásť účastníkov súťaže? 5. Na lavičke sedí 6 dievčat. a) Koľkými spôsobmi sa môžu presadiť? b) Koľkokrát sa môžu presadiť ak dve chcú vždy sedieť vedľa seba? 6. Koľkými spôsobmi si môže zhromaždenie 0 ľudí zvoliť svojho predsedu, podpredsedu a pokladníka? 7. Koľko trikolór možno zostaviť z farieb : biela, modrá, červená a zelená?. Každá farba sa môže vyskytovať iba raz. 8. V škole je desať rôznych predmetov. Denne sa vyučuje 5 rôznych predmetov. Koľkými spôsobmi je možné zostaviť rozvrh hodín? 9. Koľko rôznych 5 ciferných čísel je možné vytvoriť z číslic,,, 4, 5, 6 (číslice sa v číslach nebudú opakovať) tak, aby: a) Všetky začínali jednotkou a končili šestkou. b),,, boli vždy vedľa seba, ale v ľubovoľnom poradí. c) Aby boli deliteľné. 0. Koľko päťprvkových podmnožín je možné vytvoriť z množiny všetkých cifier? a) Koľko z nich obsahuje cifru 7? b) Koľko z nich neobsahuje cifru? c) Koľko z nich neobsahuje ani ani 7?. Koľko číslic väčších ako je možné vytvoriť z číslic 0,,,, 5, 8, za predpokladu, že sa žiadna z číslic neopakuje? Koľko z nich je nepárnych?. Tréner futbalového mužstva má k dispozícii brankárov, 5 obrancov, 8 záložníkov a 0 útočníkov. Koľko rôznych jedenástiek z nich môže zostaviť, ak vyberá brankára, obrancov, 4 záložníkov a 4 útočníkov?. Zjednodušte:

81 4. Riešte rovnicu v N:

82 6. Teória pravdepodobnosti zaoberá sa určovaním pravdepodobnosti náhodných udalostí ak má nejaký pokus n rovnako pravdepodobných možných výsledkov a pre k z nich nastane udalosť A, tak hovoríme, že pravdepodobnosť udalosti A je isté udalosti také čo nastanú vždy (napr. každé ráno vyjde slnko) náhodné udalosti také udalosti, o ktorých s menšou/väčšou istotou môžeme predpokladať že sa stanú (napr. v piatok pôjdem k dedkovi) nemožné udalosti také, o ktorých vieme že nemôžu nastať (napr. 4 ročné dieťa nedostane vodičský preukaz) relatívna početnosť danej udalosti: podiel početnosti určitej udalosti a celkového počtu náhodných pokusov (napr. 0 hodím kockou urč relatívnu početnosť udalosti padla trojka!)

83 Úlohy na precvičenie. Z osemnástich lístkov očíslovaných - 8 vytiahneme náhodne jeden lístok. Aká je pravdepodobnosť, že na vytiahnutom lístku bude: a) párne číslo b) číslo deliteľné c) prvočíslo d) deliteľné 6. Aká je pravdepodobnosť že pri hode dvoma kockami (červenej a modrej) padne: a) súčet 8 b) súčet, ktorý je deliteľný piatimi c) súčet, ktorý bude párny. Dlhodobé výskumy na istom území ukázali, že zo detí sa 8 70 dožije 40 rokov a 7 90 sa dožije 70 rokov. Aká je pravdepodobnosť, že človek, ktorý sa dožije 40 rokov, dožije sa aj 70 rokov? 4. V meste sú štyri križovatky so svetelnými semafórmi. Každý z nich uvoľňuje alebo uzatvára dopravu s rovnakou pravdepodobnosťou 0,5. Aká je pravdepodobnosť, že auto: a) prejde prvou križovatkou bez zdržania b) prejde prvými dvomi križovatkami bez zdržania c) prejde všetkými štyrmi križovatkami bez zdržania. 5. V hracích kartách sú 4 esá a figúr (4 králi, 4 horníci a 4 dolníci). Aká je pravdepodobnosť, že náhodne vytiahnutá jedna karta bude eso alebo figúra? 6. V šestnástich fľašiach sú minerálky. Vieme, že v 0 fľašiach je Slatina a v 6 fľašiach je Baldovská. Aká je pravdepodobnosť, že medzi 4 náhodne vybratými fľašami sú Slatiny a Baldovské?

84 7. Základy štatistiky Štatistický súbor súbor ktorý je predmetom štatistického zisťovania, čo je určenie pozorovaných skutočností, (javov, udalostí), z hľadiska napr. druhu či číselnej veľkosti a pod. Rozsah súboru - počet prvkov súboru Štatistické jednotky jednotlivé prvky štatistického súboru. Štatistický znak spoločná vlastnosť prvkov súboru (jej premennosť skúmame). Hodnoty znaku môžu byť kvantitatívne (vyjadrené sú číslom napr. výška 0 cm) alebo kvalitatívne (slovné vyjadrenie napr. farba vlasov čierna). Početnosť znaku môže byť absolútna a relatívna (z 0 hodov kockou padla šestka absolútna početnosť: ; relatívna početnosť: /0). Ak štatistický súbor rozdelíme do menších, rovnorodých častí - tried, hovoríme o štatistickom triedení. Štatistická tabuľka - je tabuľka, do ktorej zapisujeme zistené údaje pri štatistickom skúmaní. Medián prostredná hodnota; (hodnota znaku prostredného prvku súboru, ak sú tieto prvky usporiadané podľa veľkosti) Modus najčastejšie sa vyskytujúca hodnota v štatistickom súbore. Aritmetický priemer je súčet všetkých hodnôt vydelený ich počtom. Zisťujeme ním priemernú hodnotu. Geometrický priemer - na rozdiel od aritmetického priemeru používa na koeficienty, napr. pri výpočte priemerného rastu: Vyššie uvedené charakteristiky nazývame charakteristiky polohy. Charakteristiky variability a) Variačné rozpätie R = ma - min b) Rozptyl (disperzia) c) Smerodajná odchýlka

85 Na ilustráciu výsledkov používame okrem tabuliek i rôzne grafy napr. histogram stĺpcový diagram, ktorý znázorňuje rozloženie početností. Grafické znázornenie nám umožní rýchlejšie a ľahšie pochopenie súvislostí.

86 Úlohy na precvičenie. Dvojičky Karolínka a Jakub si zaznačili do tabuľky svoje školské známky, ktoré dostali počas celého polroka z určitých predmetov : Vypočítajte výslednú známku súrodencov z daných predmetov. Z koľkých predmetov dostala na vysvedčení Karolínka lepšiu známku ako jej brat Jakub?. Pri meraní 6 žiakov boli zistené nasledujúce údaje o výške a príslušnom počte žiakov: Určte aritmetický priemer, medián, modus, rozptyl a smerodajnú odchýlku výšky žiakov.. Meraním v laboratóriu boli zistené nasledujúce dĺžky valčeka (v milimetroch): {0; 0; ; 0; ; 8; 05; 09; 0; 09}. Vypočítajte aritmetický, geometrický priemer, modus a medián. 4. U 0 pracovníkoch sa zisťoval mesačný zárobok v eurách. Vypočítajte aritmetický priemer mesačných zárobkov všetkých pracovníkov. Využite nasledujúcu tabuľku.