4. JEDNODUCHÉ KVANTOVO-MECHANICKÉ SYSTÉMY - FYZIKÁLNY PRÍSTUP

Transcript

1 4. JEDNODUCHÉ KVANTOVO-MECHANICKÉ SYSTÉMY - FYZIKÁLNY PRÍSTUP Samozdružený operátor  sa dá napísať pomocou jeho vlastných čísiel a j a jeho vlastných stavov a j ako  = a j a j a j, (4.1) j kde súčet beží cez všetky vlastné stavy. Vlastné vektory tvoria v Hilbertovom priestore bázu, tj. ket ψ každého stavu sa dá zapísať ako konečná alebo nekonečná lineárna kombinácia vlastných stavov ψ = j c j a j. (4.2) Dohoda 4.1. Pre skrátené vyjadrenie budeme najčastejšie hovoriť o ketoch ψ stavu ψ priamo ako o stavu. Pokiaľ nepovieme iné, budeme predpokladať, že vlastné stavy a j sú normované, tj. a j = a j a j = 1. Zistenie vlastných čísiel a j a vlastných stavov a j je jednou zo základných úloh kvantovej mechaniky. Vlastné čísla a j a vlastné stavy a j sa získajú riešením úlohy  ψ = λ ψ. (4.3) Táto úloha sa najčastejšie rieši v súradnicovej reprezentácii, kde rovnica (4.3) predstavuje lineárnu diferenciálnu rovnicu. Cieľom tejto kapitoly je štúdium techniky zostavenia tzv. Schrödingerovej rovnice, ktorá je rovnicou pre vlastné hodnoty operátoru energie, tj. Ĥ ψ = E ψ. (4.4) Tejto rovnici hovoríme tiež bezčasová Schrödingerova rovnica. K riešeniu tejto úlohy sú nutné aj okrajové podmienky, ktoré získame z určitých fyzikálnych predstáv. Zostavenie okrajových podmienok patrí k technike riešenia úloh o vlastných hodnotách. Debata 4.1. Albert: Ak tomu správne rozumiem, tak výsledky riešenia napr. Schrödingerovej úlohy závisí od schopnosti zostaviť okrajové podmienky. Čo sú tie okrajové podmienky? Niels: Napríklad, ak uzavrieme elektrón do nejakej krabice, tak prijateľná predstava je, že elektrón sa nenachádza v stene krabice. Vyjadrí sa to tým, že hustota pravdepodobnosti výskytu elektrónu v stene krabice je nulová, tj. vlnová funkcia je v stene krabice nulová. Albert: Ako mám matematicky vyjadriť to, že elektrón nie je v stene nejakej krabice? Ako vyjadrím tú stenu? Niels: Predstavme si, že stenami krabice sú steny kocky. Tie vieme určiť pomocou súradníc. V týchto súradniciach je vlnová funkcia nulová. Albert: Aha. To je korektný postup? Také krabice nemôžu byť, kde by elektrón mohol mať na stene

2 Jednoduché systémy 2 krabice nenulovú vlnovú funkciu? Tj. také krabice, kde by sa elektrón v stene vyskytol nenulovou pravdepodobnosťou? Niels: Je to zložitá otázka. Matematický aparát kvantovej mechaniky dokáže vylúčiť mnohé možnosti, ktoré by človeka napadli. Súvisí to so samozdruženosťou operátorov. Samozdruženosť povie, že existuje určité množstvo okrajových podmienok, ktoré sú prijateľné a z tých potom vyberáme nejaké, ktoré by mohli zodpovedať určitej prijateľnej interpretácii. Je s tým spojená ale komplikovaná matematická teória. Zvládnuteľná, ale komplikovaná. Krásne na celom je, že prijateľné fyzikálne predstavy dávajú okrajové podmienky, ktoré sú matematickými kritériami samozdruženosti dovolené. Albert: Akoby príroda kódovala prijateľné okrajové podmienky do podmienky samozdruženosti? A preto správne fyzikálne predstavy vedú k správnym okrajovým podmienkam? Niels: Ano. Nech je to ale akokoľvek, aj keby sme začali matematickou teóriou, nakoniec musíme s farbou von a musíme povedať aké sú naše fyzikálne predstavy o riešeniach Schrödingerovej rovnice. Mohli by sme povedať, že matematické kritériá zakazujú len totálne nezmysli. Albert: Takže to je niečo také, ako keby som ja prišiel za nejakým šéfkuchárom, že chcem raňajky z vajíčok. On sa ma spýta, čo by to malo byť a ja poviem praženica. On prikývne a urobí, aj keď tie vajíčka by vedel pripraviť sto ďalšími spôsobmi. Niels: Nejako tak, aj keď je to úsmevné. Podmienka samozdruženosti je šéfkuchár, ktorý pozná všetky realizovateľné recepty. My sme zatiaľ sedláci (v dobrom slova zmysle), so zdravým apetítom, ktorých budú zaujímať tie praktické a jednoduché recepty. 4.1 Elektrón uväznený na úsečke Pod úsečkou budeme rozumieť rovný tenký vodič dĺžky l. Vo vnútri sa elektrón pohybuje voľne, tj. nepôsobí na ňu žiadna sila a preto má konštantnú potenciálnu energiu, ktorú si môžeme zvoliť za nulovú (V (x) 0). Elektrón sa nemôže nachádzať mimo vodič, ani v jeho koncových bodoch. V súradnicovej reprezentácii túto podmienku vyjadríme tým, že na vlnovú funkciu ψ(x) kladieme podmienku ψ(0) = ψ(l) = 0. (4.5) Energia voľného elektrónu pozostáva len z kinetickej energie, preto Hamiltonián má tvar Ĥ = ˆp2 2m, (4.6) kde ˆp je operátor hybnosti (jednorozmerný, lebo elektrón sa môže pohybovať len pozdĺž vodiča) a m je hmotnosť elektrónu. Schrödingerova rovnica (4.4) má v súradnicovej reprezentácii tvar 1 2m ( i d ) 2 ψ(x) = Eψ(x), (4.7) dx kde E je hľadaná energia elektrónu. Vlnová funkcia ψ(x) je prvkom Hilbertovho priestoru, ktorú v tomto prípade tvoria funkcie kvadraticky integrabilné na intervale [0, l], ktoré označujeme L 2 (0, l). Od vlnových funkcií požadujeme, aby boli absolútne spojité a mali absolútne spojitú deriváciu an intervale [0, l] ψ, ψ AC(0, l). (4.8) Riešenie Schrödingerovej rovnice (4.4) je riešením diferenciálnej rovnice (4.7) s okrajovými podmienkami (4.5), tj. Po úprave 2 2m ψ (x) = Eψ(x), pričom ψ(0) = ψ(l) = 0. (4.9) ψ (x) = λ 2 ψ(x) kde λ 2 = 2mE 2. (4.10)

3 Jednoduché systémy 3 Fundamentálny systém rovníc je ψ 1 (x) = e iλx, ψ 2 (x) = e iλx (4.11a) a všeobecné riešenie má tvar Okrajové podmienky (4.5) nadobudnú tvar Pokiaľ matica M ψ(x) = C 1 ψ 1 (x) + C 2 ψ 2 (x), C 1, C 2 C. (4.11b) C 1 + C 2 = 0, (4.12a) C 1 e iλl + C 2 e iλl = 0. (4.12b) M = ( ) 1 1 e iλl e iλl (4.13) systému rovníc s neznámymi C 1, C 2 je regulárna (det M 0), existuje jediné riešenie koeficientov C 1 a C 2 C 1 = C 2 = 0. (4.14) Vlnová funkcia ψ(x) je potom identická nula na celom intervale [0, l] a zodpovedá stavu žiadny elektrón 1. Takému riešeniu hovoríme triviálne riešenie. Nás budú evidentne zaujímať netriviálne riešenia, keď detm = 0 Riešením tejto rovnice je detm = Vlastné stavy sú dané vlnovou funkciou e iλl e iλl = e iλl e iλl = 2 sin(λl) = 0. (4.15) λl = πn, kde n je celé číslo, tj. n Z. (4.16) ψ n (x) = C 1 ( e i πn l Normovaný tvar vlnovej funkcie ψ n (x) je ψ n (x) = x πn i e l x ) ( πn ) = 2C sin x. (4.17) l 2 l ( πn ) sin x. (4.18) l Úloha 4.2. Ukážte, že normovaný tvar vlnovej funkcie ψ n (x) je daný vzťahom (4.18). Vlastným číslam prislúcha vlastná energia Všimnime so toho, že λ n = πn l (4.19) E n = 2 2m λ2 n = π2 2 2ml 2 n2. (4.20) E n = E n. V takýchto prípadoch je treba vyšetriť príslušné vlnové funkcie a presvedčiť sa o tom, či nepopisujú ten istý stav. V našom prípade (pozri (4.18)) ψ n (x) = ψ n (x). 1 hustota pravdepodobnosti ρ(x) = ψ(x) 0 0 na celom intervale; 2 Tu využijeme toho, že z rovnice (4.12a) plynie C 2 = C 1. Nakoľko det M = 0 sú rovnice (4.12a) a (4.12b) od seba závislé a iná možnosť ani neexistuje.

4 Jednoduché systémy 4 vlnové funkcie sa líšia len násobným faktorom ( 1), preto popisujú ten istý stav. Naviac pre n = 0 dostávame triviálne riešenie ψ(x) 0. Riešením Schrödingerovej rovnice (4.9) sú preto vlnové funkcie 2 ( πn ) ψ n (x) = sin x, (4.21a) l l prislúchajúce vlastným hodnotám energie tj. kvantové čísla n sú prirodzené čísla. E n = π2 2 2ml 2 n2, kde n N, (4.21b) Debata 4.2. Albert: Môžeme urobiť krátku pauzu? Už som myslel, že viem všetko, aby som krvopotne, ale rozumiac tomu, niečo spočítal. Namiesto toho sa zase musím pýtať. Čo to znamená absolútne spojitá funkcia a kde tá podmienka absolútnej spojitosti vznikla? Hovorili sme o tom, že funkcie kvadraticky integrabilné na intervale (a, b) (čísla a a b môžu byť aj ± ) tvoria Hilbertov priestor a že ich značíme L 2 (a, b). V našom príklade hovoríme o Hilbertovom priestore L 2 (0, l). Doteraz ale nepadlo ani slovo o spojitosti, dokonca absolútnej spojitosti. Jedná sa o zamlčaný princíp? Niels: Nie je to zamlčaný princíp a medzi princípy vôbec nepatrí. Doteraz sme pracovali s abstraktnými priestormi, lebo kvantová mechanika potrebuje len tie ich vlastnosti, ktoré majú rovnaké. Už tam sme však povedali, že konkrétny fyzikálny stav môže byť zrovna tak dobre popísaný ketom ψ ako ketom φ = c ψ. Povedali sme síce, že L 2 (0, l) je Hilbertov priestor, ale to, že čím sa líšia funkcie, ktoré popisujú ten istý fyzikálny stav, sme nepovedali Albert: K pojmu vlnová funkcia ψ(x) sme dospeli pomocou špeciálnych ketov x, ktoré tvoria niečo ako bázu pre súradnicovú reprezentáciu. Vlnová funkcia je ψ(x) = x ψ. Z toho vyplýva, že ak ψ(x) popisuje konkrétny fyzikálny stav, potom ten istý stav musí popisovať aj vlnová funkcia φ(x) = x φ = c x ψ = cψ(x), pokiaľ c 0 samozrejme (ešte aby sme na to zabudli). Niels: To je správny záver, ale v prípade Hilbertového priestoru kvadraticky integrabilných funkcií to nie je všetko. Predstav si, že máme dve funkcie ψ(x) a ψ(x), ktoré sa rovnajú všade, okrem jediného bodu, kde majú odlišnú hodnotu. Bude norma týchto dvoch funkcií rovnaká, alebo odlišná? Albert: Povedal by som, že rovnaká, lebo pri integrovaní ψ(x) 2 počítam plochu pod ich grafom a ten sa líši v jedinom bode. Niels: Keď budem počítať skalárny súčin funkcií ψ(x) alebo ψ(x) s ľubovoľnou kvadraticky integrabilnou funkciou α(x), bude sa výsledok líšiť? Albert: Ak porovnám tieto skalárne súčiny, tak vlastne robím nasledujúcu vec α (x)ψ(x)dx α (x) ψ(x)dx = α (x)[ψ(x) ψ(x)]dx. Rozdiel ψ(x) ψ(x) = 0 okrem jediného bodu. Povedal by som, že rozdiel sa bude rovnať nule. Niels: To ale znamená, že amplitúdy prechodu zo stavu ψ do stavu α sú vždy rovnaké ako amplitúdy prechodu zo stavu ψ do stavu α a naopak. Tie dva stavy sa nedajú rozlíšiť! Albert: Aha. Takže keď hodnota dvoch vlnových funkcií sa líši len v jedinom bode, tak popisujú ten istý fyzikálny stav. Evidentne situácia bude rovnaká, aj keď sa budú líšiť len v dvoch bodoch. Kde to má koniec? V koľkých bodoch sa môžu líšiť aby popisovali stále tú istú funkciu? Niels: Tých bodov môže byť nekonečne mnoho, ale nie tak moc, aby na ich čislovanie nestačili prirodzené čísla. Takej množine bodov hovoríme, že je množinou miery nula. Existuje dokonca termín na vyjadrenie toho, že funkcia má určité vlastnosti na celom intervale až na množinu miery nula. Hovoríme skoro všade. Albert: Takže ψ(x) a ψ(x) popisujú ten istý stav, pokiaľ sa rovnajú skoro všade?

5 Jednoduché systémy 5 Niels: Presne tak. Albert: Dobre, ale čo to má spoločného so spojitosťou a čo je tá absolútna spojitosť? Niels: Ak zoberieme všetky kvadraticky integrabilné funkcie, ktoré popisujú ten istý stav a nahádžeme ich do jedného vreca, namiesto jednotlivých funkcií budeme mať vrecá so vzájomne ekvivalentnými funkciami. Vreciam hovoríme učene trieda ekvivalencií. V každej triede ekvivalencií existuje funkcia, ktorá je absolútne spojitá. Albert: Aha. A čo je tá absolútna spojitosť? Niels: Jednoducho povedané je to ekvivalentné podmienke, že existuje derivácia tej funkcie na tom intervale skoro všade. Vo väčšine prípadov na celom intervale. Albert: Takže ona podmienka o spojitosti vlastne je len prípadom hľadať také funkcie z vreca (pardon, z triedy ekvivalencie), pre ktoré existuje derivácia. Ale prečo? Niels: Treba si všimnúť toho, že napr. Schrödingerova rovnica (4.9) je diferenciálna rovnica, platí pre funkcie, ktoré majú deriváciu. My nutne potrebujeme vybrať funkcie, ktoré majú deriváciu. Albert: Dokonca musia mať druhú deriváciu! Preto musí byť absolútne spojitá aj derivácia ψ. Niels: Skutočne tomu tak je, to je ten dôvod. Albert: A v tom vreci (triede ekvivalencií) je vždy aj funkcia, ktorá má aj druhú deriváciu (jej derivácia je absolútne spojitá). Niels: Nie. Ale s touto otázkou sa nemusíme zaoberať. Existujú na to komplikované matematické vety, ktoré v tom urobia poriadok, ale nám stačí vedieť to, že riešenia Schrödingerovej rovnice by mali byť vždy spojité a so spojitou deriváciou. Albert: Dobre, som ochotný Ti veriť. V každom prípade vidím, že špeciálne Hilbertove priestory môžu mať špecifické vlastnosti, na ktoré sa nesmie zabúdať. Podmienka spojitosti v prípade kvadraticky integrabilných funkcií zužuje výber z triedy ekvivalencie. Príklad 4.3. Určte silu, ktorou pôsobí elektrón vo vlastnom stave ψ n na konce drôtu dĺžky l. Riešenie. Ak elektrón pôsobí na koniec drôtu silou F, potom zmenšením jeho voľného priestoru dĺžky l na l l musíme vykonať prácu A = F l. Táto energia sa nestratí, ale zvýši energiu elektrónu vo vlastnom stave ψ n o E n = A = F l. Zmenu energie E n elektrónu môžeme pomocou vzťahu (4.21b) vyjadriť ako E n = π2 2 n 2 2m ( 1 (l l) 2 1 l 2 kde členy úmerné vyšším mocninám l sme mohli zanedbať 3. Elektrón pôsobí na konce drôtu silou F = π2 2 ml 3 n2 = 2E l ) = π2 2 n 2 2m 2 l l 3, (4.22). (4.23) Debata 4.3. Albert: Mne sa zdá, že sme túto úlohu mohli riešiť aj iným spôsobom. Niels: Ako? Albert: Energia elektrónu sa javí ako potenciálna energia systému a preto zo známej poučky F = E n l 3 Využili sme vzťahu (1 x) a = 1 ax + O(x 2 ), pre x 1. (l l) 2 l 2 = l 2 1 l 2 1 l. = 2 l l 3

6 Jednoduché systémy 6 Niels: Takto je to pravda tiež. 4.2 Elektrón uväznený v krabici Uvažujme o elektróne, ktorý je uväznený v krabici tvaru hranola s dĺžkou strán l x, l y a l z. Jedná sa o trojrozmernú úlohu, ktoré má mnoho spoločného s dvojrozmernou úlohou elektrónu uväzneného na úsečke konečnej dĺžky. Elektrón je aj v tomto trojrozmernom prípade vo vnútri krabice voľný a predpokladáme, že vlnová funkcia je nulová na hraniciach krabice. Ak hovoríme o úlohe, štandardne máme na mysli riešenie Schrödingerovej rovnice Ĥ ψ = E ψ a je tomu tak aj v tomto prípade. Hamiltonián má tvar (jedná sa o voľný elektrón) Ĥ = ˆp 2m = ˆp2 x + ˆp 2 y + ˆp 2 z 2m kde ˆp predstavuje operátor vektoru rýchlosti a ˆp x, ˆp y, ˆp z zase jeho zložky. Schrödingerova rovnica v súradnicovej reprezentácii má tvar kde, (4.24) 2 ψ(r) = Eψ(r), (4.25) 2m 2 x y z 2 (4.26) je Laplaceov operátor a vlnová funkcia ψ(r) je funkciou polohového vektora r so zložkami x, y, z. Schrödingerovu rovnicu aj v tomto prípade prepíšeme do tvaru 2 ψ(r) x ψ(r) y ψ(r) z 2 = λ 2 ψ(r). (4.27a) kde λ 2 = 2mE 2 (4.27b) Pri riešení parciálnej diferenciálnej rovnice (4.27) použijeme metódu separácie premenných, tj. vlnovú funkciu predpokladáme v tvare ψ(r) X(x)Y (y)z(z). (4.28) Po dosadení vlnovej funkcie v tomto tvare do Shchrödingerovej rovnice (4.27a) a predelení celej rovnice funkciou ψ(r) obdržíme X (x) + Y (y) + Z (z) = λ 2. (4.29) X(x) Y (y) Z(z) V týchto rovniciach znak derivácie značí vždy deriváciu podľa argumentu, tj. v prípade funkcie X (x) podľa x, v prípade Y (y) podľa y a v prípade Z (z) podľa z. Význam tejto procedúry spočíva v tom, že časť X (x) X(x) môže byť jedine konštantou, alebo funkciou premennej x, ale nemôže byť funkciou premenných y a z. Obdobné tvrdenie platí pre Y (y) Z (z) a Y (y) Z(z).

7 Jednoduché systémy 7 Nakoľko tieto časti by neboli schopné vzájomne kompenzovať závislosť od premennej x, y alebo z, a ich súčet je konštanta, všetky jednotlivé časti musia byť konštanty sami o sebe. Tým parciálna diferenciálna rovnica (4.29) sa rozpadá na tri od seba nezávisle obyčajné diferenciálne rovnice X (x) X(x) Y (y) Y (y) Z (z) Z(z) = λ 2 x, (4.30a) = λ 2 y, (4.30b) = λ 2 z, (4.30c) kde λ x, λ y, λ z sú zatiaľ bližšie neurčené (vo všeobecnosti komplexné) konštanty. V dôsledku špeciálneho tvaru oblasti, do ktorého je elektrón uzavretý (krabica v tvare hranola), nulovosť vlnovej funkcie ψ(r) na hranici tejto oblasti (steny hranola) prechádza na od seba nezávislé podmienky X(0) = X(l x ) = 0, (4.31a) Y (0) = Y (l y ) = 0, (4.31b) Z(0) = Z(l z ) = 0. (4.31c) Naprostá podobnosť s úlohou elektrónu uzavretého na úsečke nám dovolí okamžite napísať vlnovú funkciu ψ(r) vlastného stavu v tvare ψ n (r) = ( ) ( 8 V sin πnx πny x sin l x l y ) ( πnz y sin l z ) z, V = l x l y l z, (4.32a) ktorý prislúcha vlastnej energii E n = π2 2 2m ( n 2 x l 2 x + n2 y l 2 y + n2 z l 2 z ) (4.32b) kde Príslušný stav môžeme značiť aj ako n, alebo n x, n y, n z, tj. n = (n x, n y n z ) a n x, n y, n z N. (4.32c) ψ n (r) = r n Úloha 4.4. Ukážte, že vlnová funkcia ψ n (r) daná vzťahom (4.32a) je normovaná k jednotke. Príklad 4.5. Aký tlak vyvíja elektrón v stave ψ n na povrch kocky s dĺžkou strany a. Riešenie. V smere x pôsobí elektrón na stenu silou F x, ktorú vieme spočítať podľa postupu z príkladu 4.2 na strane 5 ako (pozri tiež nasledujúcu debatu) F x = E n a = π2 2 n 2 x ma 3, (4.33) kde sme využili výsledok (4.32b) pre kocku s dĺžkou strany a. Veľkosť tlaku potom je P = F x a 2 = π2 2 n 2 x ma 5. (4.34) Definícia 4.6. Najmenšiu možnú energiu systému nazývame základnou energiou a príslušný stav základným stavom.

8 Jednoduché systémy 8 Úloha 4.7. Ukážte, že elektrón uzavretý v krabici s konštantným objemom má v základnom stave najmenšiu energiu, ak má tvar kocky. [Nápoveda: V základnom stave je energia nejmenšia, ale na veľkosť tejto energie vplýva tvar hranola, tj. pomer strán. Pomer strán hranola pri konštantnom objeme treba zvoliť tak, aby energia v základnom stave bola minimálna.] Úloha 4.8. Ukážte, že elektrón uzavretý v krabici v tvare hranola s konštantným objemom v stave n x, n y, n z má pomer strán l x : l y : l z = n x : n y : n z. Debata 4.4. Albert: Beriem túto časť, ako precvičovanie techniky riešenia Schrödingerovej úlohy bez hlbšieho fyzikálneho významu. Takýmto úlohám sa hovorí akademické, že? Niels: Až tak akademické úlohy to zase nie sú. Albert: Chcel by som vidieť ten materiál, ktorý umožňuje uzavretie elektrónu do krabice. Dobre, povedali sme si, že vodič, ktorý elektrón nemôže opustiť môže byť onou krabicou. Ale ak spočítam napríklad tlak pre vodič v tvare kocky s jedným milimetrom kubickým, dostanem v základnom stave tlak 1, Pa. To je tak mizerne malý tlak, že nestojí za reč. Ak by to mal mať nejaký fyzikálny význam, veľkosť tej krabice by sa musel rovnať veľkosti atómu a z čoho by sa potom tie steny vyrobili? Niels: Čo si teraz povedal, tak to vôbec nie je nezmysel. Ak vyjdeme z toho, že napríklad hliník má hustotu 2, 7 g cm 3 a atómová hmotnosť hliníku je 27, dostaneme, že atóm hliníku zaberá v kove kocku s dĺžkou strany 2, m. Predstavme si, že vodivý elektrón v základnom stave môže vyplniť takýto priestor, potom podľa našich výpočtov musí pôsobiť na steny tejto kocky tlakom 1, Pa. Táto hodnota je mimoriadne blízko hodnote Youngovho modulu pružnosti E = 0, Pa. Albert: No moment. To je snáď len náhoda. Niels: Nad takými náhodami je treba vždy uvažovať. Ak tie vodivé elektróny sú v základnom stave, tak žiadne dva z nich nemôžu byť v tej istej časti priestoru. Inými slovami, objem vodiča si rozdelia na malé časti priestoru, kde sú len oni. Tomu hovoríme Pauliho vylučovací princíp a ten platí pre fermióny všeobecne. Elektrón je fermión. Krabica je na svete. Albert: Znie to zaujímavo, ale musím pouvažovať nad zmyslom modulu pružnosti. Zatiaľ mi povedz iný príklad. Niels: Určite si už počul o hviezdach, ktoré nazývajú bielymi trpaslíkmi. Albert: Ano, sú to hviezdy, ktoré vyčerpali svoje zásoby termonukleárneho paliva, sú z väčšej časti zo železa a majú obrovskú hustotu. Napríklad naše Slnko, až dohorí, premení sa (po štádiu červeného obra) na bieleho trpaslíka. Bude mať stále rovnakú hmotnosť ako teraz, len sa scvrkne na veľkosť malej planéty. Niels: Čo ho k tomu prinúti? Albert: Jeho vlastná gravitácia. Niels: Prečo to neurobí už teraz? Prečo ju gravitácia nestlačí na rozmer planéty už teraz? Albert: Lebo aj pre Slnko platí termodynamika. Je ako plyn a má obrovskú teplotu, pri ktorej tlak plynu odoláva gravitácii, ktorá sa ju snaží stlačiť. Keby ju stlačila, tak sa zvýši teplota aj tlak a znova sa začne rozpínať. Niels: Prečo to môže urobiť v prípade bieleho trpaslíka? Albert: To sme už povedali. Biely trpaslík spotreboval svoje zásoby termojadrovej energie. Hviezda svoju energiu neustále vyžaruje do svojho okolia a termojadrové procesy túto energiu dopĺňajú. Keď dojdú zásoby, hviezda vychladne a tlak plynov klesne, nedokáže odolávať gravitácii. Niels: Môže vychladnúť až na teplotu absolútnej nuly. Albert: Na teplotu absolútnej nuly celkom nie. Existuje niečo ako žiarenie pozadia, ktoré má teplotu

9 Jednoduché systémy 9 okolo 2, 7 K. Na túto teplotu sa môže ochladiť (to je ako s izbou: ak teplota stien je 20 C, horúca polievka môže znížiť svoju teplotu len na teplotu 20 C.) Niels: Takže biely trpaslík sa nescvrkne do jediného bodu len preto, lebo bude mať aspoň teplotu žiarenia pozadia? Teplotu okolo 2,7 K? Albert: To nie. Je tam asi ešte iný mechanizmus... snaď nie tlak ktorý vytvárajú elektróny? Niels: Ale ano. Je to tlak elektrónov, ktorý odoláva gravitácii, presne tým mechanizmom, ktorý sme popísali. Ten tlak tam bude aj pri teplote absolútnej nuly. Podľa klasickej kinetickej teórie plynov tlak pri nulovej teplote by sa rovnal prakticky nule. Kvantová mechanika hovorí, že nie Ten tlak tam bude obrovský, lebo elektróny sú na seba "namačkané" a Pauliho vylučovací princíp nedovolí aby liezli jeden druhému do jeho časti priestoru. Albert: To je krásny mechanizmus. Tá kvantová mechanika nie je úplne od veci. Ten Pauliho vylučovací princíp by ma zaujímal. Niels: Tomu verím. Poviem Ti to ale až medzi štyrmi očami, mám tušenie, že nás práve niekto pozoruje. 4.3 Kvantová kružnica - degenerované stavy Uvažujme časticu, ktorá sa môže voľne pohybovať len na kružnici, naviac kružnicu nemôže opustiť. Hamiltonova funkcia takej častice v klasickej fyzike je H = p2 φ 2mR 2, (4.35) kde R je polomer kružnice, p φ je zovšeobecnená hybnosť prislúchajúca uhlovej premennej φ, ktorá popisuje polohu častice na kružnici. Zovšeobecnená hybnosť p φ hrá v klasickej mechanike úlohu momentu hybnosti. Úloha 4.9. Ukážte, že v klasickej fyzike je Lagrangeova funkcia vyššie popísaného systému L(φ, φ) = 1 2 mr2 φ2, (4.36a) zovšeobecnená hybnosť je daná ako p φ = mr 2 φ (4.36b) a Hamiltonova funkcia má potom tvar (4.35). [Nápoveda H(q, p q ) = p q q L(q, q).] Ak vlnové funkcie budeme vyjadrovať ako funkcie zovšeobecnených súradníc, potom zovšeobecnená hybnosť (moment hybnosti) v tejto reprezentácii (φ reprezentácia) má tvar p φ = i φ. (4.37) Úloha Ukážte, že {φ, p φ } P = 1 a zbytok úvah je rovnaká, ako v prípade x reprezentácie. Schrödingerova rovnica nadobudne tvar alebo po úprave 2 2 ψ(φ) 2mR 2 φ 2 = Eψ(φ), (4.38a) ψ (φ) = λ 2 ψ(φ), kde λ 2 = 2mER2 2. (4.38b) Okrajové podmienky majú tvar ψ(0) ψ(2π) = 0, (4.38c) ψ (0) ψ (2π) = 0. (4.38d)

10 Jednoduché systémy 10 Táto okrajová podmienka vyjadruje rovnocennosť každého bodu kružnice, tj. vlnová funkcia je spojitá a má spojitú deriváciu všade a preto musí mať aj tam, kde uhlová premenná ju popisuje dvomi rôznymi hodnotami a predsa je to ten istý bod kružnice (bod zodpovedajúci súradnici φ = 0 a φ = 2π). Systém fundamentálnych riešení je potom a všeobecné riešenie má tvar Pokiaľ matica M = ψ 1 (φ) = e iλφ (4.39a) ψ 1 (φ) = e iλφ (4.39b) ψ(φ) = C 1 e iλφ + C 2 e iλφ (4.40) ( (1 e i2πλ ) (1 e i2πλ ) iλ(1 e i2πλ ) iλ(1 e i2πλ ) ) (4.41) M systému rovníc s neznámymi C 1, C 2 je regulárna, znova máme len triviálne riešenie. Netriviálne riešenia obdržíme z nulovosti determinantu matice M, tj. detm = (1 e i2πλ ) (1 e i2πλ ) iλ(1 e i2πλ ) iλ(1 e i2πλ ) = 2iλ(1 ei2πλ )(1 e i2πλ ) Vlastné hodnoty λ sú kde druhé riešenie plynie z riešenia rovnice = 2iλe i4πλ (1 e i2πλ ) 2 = 0 (4.42) λ = 0 (4.43a) λ = n, n Z, (4.43b) (1 e i2πλ ) = 1 cos(2πλ) 2i sin(2πλ) = 0, ktorá predstavuje dve samostatné rovnice, jednu pre reálnu a jednu pre imaginárnu časť cos(2πλ) = 1 2πλ = 2πn, sin(2πλ) = 0 2πλ = πn. Spoločné riešenie je λ = n, pre celé n, ako je to dané v (4.46b). Toto riešenie v sebe zahrňuje aj riešenie λ = 0. Energia elektrónu je potom E n = 2 2mR 2 n2. (4.44) Podobne ako v prípade elektrónu na úsečke dostávame, že E n = E n a vzniká povinnosť presvedčiť sa o tom, či príslušné vlnové funkcie ψ n (φ) popisujú odlišné stavy, alebo nie. Všimnime si, že ak v matici M (pozri (4.45)) za λ dosadíme celé číslo, dostaneme nulovú maticu, preto žiadny vzťah podobný vzťahu medzi koeficientmi C 1 a C 2, ako v prípade elektrónu na úsečke, nevznikne. Všeobecné riešenie má tvar (4.40) ψ 0 (φ) = C 0, pre n = 0, ψ n (φ) = C n1 e inφ + C n2 e inφ, pre Z \ {0}. Pre pevne zvolené nenulové n platí: ψ n (φ) ψ n (φ). Ku každej vlastnej hodnote E n energie (okrem E 0 ) priraďujeme dvojrozmerný podpriestor 4 Hilbertovho priestoru. Vlastné vektory ψ 1,n (φ) = e inφ a ψ 2,n (φ) = e inφ tvoria bázu v tomto dvojrozmernom 4 Prísne vzato sa nejedná o podpriestor, lebo neobsahuje nulový vektor, podobne ako lúč neobsahuje nulový vektor. Všímanie si tejto jemnosti prenecháme na čitateľa.

11 Jednoduché systémy 11 podpriestore, ale rovnako dobrú bázu tvoria aj funkcie ψ s,n (φ) = cos(nφ) a ψ a,n (φ) = sin(nφ). 5 Tento dvojrozmerný podpriestor je pre E n a E n identický. Stačí si uvedomiť, že ψ 1,n (φ) ψ 2, n. Majme teraz špeciálny operátor ˆP, ktorý pôsobí tak, že zrkadlí vlnovú funkciu podľa začiatku súradnej sústavy, tj. ˆPψ(x) = ψ( x), ˆPψ(x) = ψ( x), ˆPψ(φ) = ψ( φ) (4.45) a podobne. Všimnime si, že ak za bázu v spomínaných dvojrozmerných podpriestoroch si zvolíme funkcie kde N 0 je množina prirodzených čísiel rozšírená o 0, potom ψ s,n (φ) = cos(nφ), kde n N 0, (4.46a) ψ a,n (φ) = sin(nφ), kde n N, (4.46b) ˆPψ s,n (φ) = (+1)ψ s,n (φ), (4.47a) ˆPψ a,n (φ) = ( 1)ψ a,n (φ). (4.47b) Tento operátor nazývame operátorom parity a jeho vlastné čísla (ktoré môžu byť ±1) paritou. Energia a parita tvoria pre elektrón na kružnici (kvantovej kružnici) ÚMP. Príslušné vlastné stavy by sme mohli značiť tiež ako n, + a n,. Definícia Ak vlastnej energii E n prislúcha viac neekvivalentných vlastných stavov ψ n,1, ψ n,2,..., ψ n,d, povieme, že hodnota energie je degenerovaná. Ak vzájomne nezávislých stavov je d, povieme, že vlastná energia E n je degenerovaná d násobne. Obdobne hovoríme aj o degenerácii vlastných hodnôt iných fyzikálnych veličín. Ak vlastné hodnoty energie sú degenerované, potom energia nemôže tvoriť ÚMP a existuje ďalšia (prípadne aj viac) fyzikálnych veličín, ktoré stavom patriacim tej istej degenerovanej hodnote energie priradia odlišné hodnoty inej fyzikálnej veličiny. V našom prípade tieto fyzikálne veličiny je energia a parita. Príklad Nájdite normovaný tvar stavov ψ 1,n a ψ 2,n ak a) mierou integrácie dµ = dφ, b) mierou integrácie je dµ = Rdφ. Riešenie. a) Ak mierou integrácie je dµ = dφ, potom musí platiť kde sme využili toho, že e inφ = 1. Potom 2π 2π C 2 ψ 1,n (φ) dφ = C 2 dφ = C 2 2π = 1, 0 0 C = 1 2π a normovaný tvar môžeme zvoliť tak, že C je reálne a ψ 1,n = 1 2π e inφ. Analogicky sa rieši aj funkcia ψ 2,n (φ).b) V tomto prípade je mierou integrovania dµ = Rdφ, preto 2π 2π C 2 ψ 1,n (φ) Rdφ = C 2 Rdφ = C 2 2πR = 1, a normovaný tvar môžeme zvoliť tak, že C je reálne a 0 ψ 1,n = 1 2πR e inφ. 0 Analogicky sa rieši s rovnakým výsledkom aj funkcia ψ 2,n (φ). 5 Stačí si uvedomiť, že e inφ = cos(nφ) + i sin(nφ) a e inφ = cos(nφ) isin(nφ).

12 Jednoduché systémy 12 Úloha Nájdite normovaný tvar stavov ψ s,n a ψ a,n ak a) mierou integrácie dµ = dφ, b) mierou integrácie je dµ = Rdφ. Príklad Nájdite strednú hodnotu momentu hybnosti v stave ψ 1,n (φ) v súradnicovej reprezentácii použitím integračnej miery dµ = Rdφ. Riešenie. Stredná hodnota operátoru momentu hybnosti je daná vzťahom ) e inφ Rdφ ˆP φ ψn,1 = 2π ( ) ( 0 e inφ i d dφ 2π 0 (e inφ ) e inφ Rdφ = n. Úloha Nájdite strednú hodnotu momentu hybnosti v stave ψ 1,n (φ) v súradnicovej reprezentácii použitím integračnej miery dµ = dφ. Úloha Nájdite strednú hodnotu momentu hybnosti v stave ψ s,n (φ) v súradnicovej reprezentácii použitím integračnej miery dµ = dφ. Poznámka Bohrov model atómu vodíka vychádzal z predstavy, že elektrón obieha okolo jadra po kružnicovej trajektórii a má kvantovaný moment hybnosti. Hodnota momentu hybnosti sa mohol v jeho modele rovnať celočíselnému násobku. Ako vidíme, táto podmienka je v naprostej zhode s kvantovou mechanikou. Debata 4.5. Albert: Konečne tu máme nejakú fundamentálnu odlišnosť od klasickej mechaniky. Niels: Na čo myslíš? Albert: Na začiatku, keď sme sa bavili o ÚMP a o tom, že koľko je tam operátorov, tak sme si vyjasnili, že počet operátorov súvisí so stupňami voľnosti. Počet stupňov voľnosti nekvantového a kvantového systému sa však nemusia rovnať. Kvantový systém môže mať svoje vnútorné stupne voľnosti, ktoré nemajú analógiu v klasickej mechanike. Teraz vidím, že je tu fyzikálna veličina, ktorá sa nazýva parita. Tá dokáže rozlíšiť stavy, ktoré majú rovnakú energiu a mali rovnakú aj v klasickej mechanike. Tam som sa s niečim takým ako parita ale nestretol. V klasickej fyzike sa o veličine parita nehovorí. Niels: Čiastočne máš pravdu, čiastočne nie. Parita sa ako fyzikálna veličina objavuje až v kvantovej mechanike. Nemáš pravdu v tom, že by v tomto prípade bola spojená s vnútornými (kvantovými) stupňami voľnosti. Albert: To som nemohol vedieť... a vôbec, odkiaľ si si taký istý, že v tomto prípade tomu tak nie je. Veď kvantový počet stupňov voľnosti je 2, kým klasický len 1. Niels: Je to výborný príklad, ktorý poukáže aj na komplikovanosť tejto otázky.riešme teraz nie Schrödingerovu úlohu, hľadajme nie vlastné hodnoty a stavy energie, ale inej fyzikálnej veličiny. momentu hybnosti p φ. Albert: Budeme riešiť rovnicu ˆp φ ψ(φ) = λψ(φ)? Niels: Presne tak. Riešime znova v súradnicovej reprezentácii (vo φ reprezentácii), kde má tvar i ψ(φ) φ = lψ(φ), (4.48a) a l je hľadaná hodnota momentu hybnosti. Samozrejme aj v tomto prípade požadujeme, aby funkcie boli spojité, tj. aby platilo ψ(0) ψ(2π) = 0. (4.48b) Albert: Len sa tak spýtam, že prečo teraz nepožadujeme spojitosť derivácií? Niels: Preto, lebo diferenciálna rovnica je len prvého rádu a neskôr aj tak uvidíme, že je splnená

13 Jednoduché systémy 13 automaticky. Albert: Ak dovolíš, tak to dokončím ja. Diferenciálnu rovnicu (4.48a) prepíšem do tvaru ψ (φ) = iλψ(φ), kde λ = l. (4.49) Niels: Vidím, že rutinu si sa naučil rýchlo. Albert: Riešením tejto diferenciálnej rovnice je ψ(φ) = Ce iλφ (4.50a) a podmienka spojitosti (4.48b) nadobudne tvar C(1 e i2πλ ) = 0. (4.50b) Netriviálne riešenia sú len 2πλ = 2πn, kde n Z. (4.51) Možné hodnoty momentu hybnosti sú teda l = n, n Z. (4.52) Niels: Je jasne viditeľné, že vlastné hodnoty l momentu hybnosti p φ nie sú degenerované a preto príslušné stavy sú si vzájomne kolmé. Albert: Ano. Spomínam si. To je veta o rôznych hodnotách samozdružených operátorov a kolmosti príslušných vlastných vektorov. Ak sú si vzájomne kolmé, tak nemôžu byť od seba závislé. Niels: Teraz už vidíš, že moment hybnosti tvorí sám o sebe ÚMP. Albert: Ano. A bázu tvoria vlastné stavy To je úplne tá istá báza ako predtým. ψ n (φ) = e inφ, n Z. (4.53) Niels: Ano, ale tieto vlastné stavy neboli vlastnými stavmi operátoru parity. Na druhú stranu, moment hybnosti je klasická veličina a v klasickom prípade je spojená s pohybom elektrónu v jednom alebo v druhom smere. Albert: Preto si povedal, že tá parita v tomto prípade nie je spojená s vnútorným stupňom voľnosti? Niels: Ano. Hovorí sa tiež o orbitálnej parite. Ale to je len terminológia. Elementárne častice však majú aj svoju vnútornú paritu, takú, ktorá nie je spojená s žiadnou klasickou analógiou pohybu. Naviac existuje aj parita časová. Albert: Ako to má ale vedieť taký chudáčik, ako ja, ktorý sa s kvantovou mechanikou len práve zoznamuje, ako má vedieť, či má čo do činenia s kvantovými alebo klasickými stupňami voľnosti? Niels: To nikto ani nechce! To, že to dnes vieme, je dôsledkom dlhodobej práce mnohých ľudí, ktorí takéto výsledky obdržali a dlho uvažovali nad tým, ako ich interpretovať. Potom svoje predstavy skúsili vyložiť experimentátorom, aby mohli overiť, či sú správne, alebo nie. Dnes sú od toho učebnice, aby sa o nich človek dozvedel bez väčšej námahy. Albert: No ďakujem pekne. Niels: Sú to veci, ktoré sa patrí vedieť, ale povinné to nie je. Je to niečo ako vzdelanosť. Ak teraz začuješ parita, tak sa Ti už aspoň niečo vybaví. Alebo nie? Albert: Existuje ešte nejaký taký zvláštny, ale jednoduchý operátor, s ktorým sme sa v klasickej fyzike

14 Jednoduché systémy 14 nestretli? Niels: Samozrejme. Napríklad operátor transpozície. Albert: Čo to je? Niels: Vymení polohu dvoch častíc. Albert: K čomu je to dobré? Niels: Jeho pomocou sa dá ukázať pôvod Pauliho vylučovacieho princípu! Albert: Hoppá! To začína byť zaujímavé. Povedz prosím Ťa, že to nie je zložité a vysvetlíš to! Niels: Zložitosť a komplikovanosť je vec relatívna. Ale keď chceš počuť len to, tak / nie je to zložité a vysvetlím Ti to". Albert: Tak spusť! Niels: Na začiatok si treba uvedomiť, že žiadny elektrón na sebe nemá žiadny čiarkový kôd, alebo niečo, ako Made in... Jeden elektrón je zrovna taký, ako druhý. Do nejakej krabice hodíme jeden elektrón zprava a jeden zľava a počkáme, než sa k sebe dostanú, potom už neexistuje spôsob, akým by sme ich odlíšili od seba. Ak jeden elektrón z krabice vyberiem, nedokážem povedať, či to je ten, ktorý som do krabice hodil zľava, alebo zprava. Albert: To je prijateľné. Niels: Majme teraz systém, v ktorom máme dvojicu elektrónov (číslujme ich 1 a 2). Vlnová rovnica systému bude ψ 12 (x 1, x 2 ) (4.54) a ψ 12 (x 1, x 2 ) 2 udáva hustotu pravdepodobnosti toho, že v bode x 1 je elektrón 1 a v bode x 2 elektrón 2. Ak nechám pôsobiť operátor transpozície ˆP 12 na tento stav, dostanem vlnovú funkciu ψ 21 (x 1, x 2 ) = ˆP 12 ψ 12 (x 1, x 2 ), (4.55) ktorá popisuje ten istý systém, ale elektróny (častice) 1 a 2 si vymenili úlohu. Hustota pravdepodobnosti ψ 12 (x 1, x 2 ) 2 je rovnaká ako predtým, len udáva hustotu pravdepodobnosti toho, že častica 2 je v bode x 1 a častica v bode x 2. Položím otázku. Môžem písať ak častice 1 a 2 boli v tom istom stave? ψ 21 (x 1, x 2 ) = ψ 12 (x 1, x 2 ) Albert: Tá funkcia je slepá, tá nevie o ničom, mi ale vieme, že fyzikálne sme vymenili akurát dvojicu častíc, pričom hustota pravdepodobnosti sa nezmenila. No samozrejme že nie. Že vôbec váham! Ak boli v tom istom stave, tak vlnové funkcia ψ 12 (x 1, x 2 ) a ψ 21 (x 1, x 2 ) síce popisujú ten istý fyzikálny stav, ale môžu sa líšiť o násobný konštantný faktor. Ja vlastne môžem písať len rovnosť kde C je nenulová komplexná konštanta. ψ 21 (x 1, x 2 ) = Cψ 12 (x 1, x 2 ), (4.56) Niels: Výborne. Nechajme teraz pôsobiť operátor transpozície na stav ψ 21 (x 1, x 2 ). Dostaneme stav ψ 12 (x 1, x 2 ). Povedali sme si, že častice 1 a 2 sú identické, potom musí platiť, že Konštanta C musí spĺňať podmienku ψ 12 (x 1, x 2 ) = Cψ 21 (x 1, x 2 ) = C 2 ψ 12 (x 1, x 2 ). (4.57) C 2 = 1, teda C = ±1. (4.58) Albert: Čo to vlastne znamená?

15 Jednoduché systémy 15 Niels: Znamená to, že dvojica identických častíc sa môže správať pri výmene jedine tak, že ich vlnová funkcia mení alebo nemení znamienko. Tie prvé sú fermióny a tie druhé bozony. Albert: Z toho plynie Pauliho vylučovací princíp? Niels: Ano. Pre fermióny. Nakoľko pre dvojicu identických fermiónov je ψ 12 (x, x) = ψ 21 (x, x) = ψ 12 (x, x), (4.59) tak vlnová funkcia v bodoch x = x 1 = x 2 musí byť identicky rovná nule! Albert: Prvá rovnosť je zrejmá, tá vznikla výmenou častíc. A tá druhá? Niels: Častice sú nerozlíšiteľné a v tom istom bode, tak ktorá je ktorá? Nedá sa povedať, ak ich prečíslujem, tak stále je to tá istá situácia. Albert: To je pravda. Funkcia ψ 12 (x, x) 2 je hustotou pravdepodobnosti toho, že aj jedna, aj druhá častica je v tom istom bode, ale tá je nulová to sme práve ukázali. Pauliho vylučovací princíp teda skutočne hovorí, že: dve identické častice nikdy nemôžu byť v spoločnej časti priestoru. Hustota pravdepodobnosti takého prípadu je 0. Buď je v danej časti priestoru prvá častica a druhá nie, alebo je tam druhá a prvá nie, prípadne tam nie je ani jedna z nich. Nikdy však tam nesmú byť obidve naraz. Ale čo elektróny v elektrónovom obale toho istého atómu? Niels: Líšia sa vždy aspoň v jednej hodnote nejakej fyzikálnej veličiny. Albert: No jasné! To je ten školská formulácia Pauliho vylučovacieho princípu: v atóme nemôžu byť dva elektróny, ktoré by mali všetky kvantové čísla rovnaké. Niels: V dvoch identických, ale v priestore oddelených atómoch však elektróny môžu mať rovnaké kvantové čísla. Samozrejme jeden z tých elektrónov je v jednom a druhý v druhom atóme. Albert: Teraz už vidím, že príklady s tými elektrónmi v krabiciach neboli neužitočné. Elektrónové obaly nemôžu preniknúť jeden cez druhý. Keď sa snačíme do seba natlačiť elektrónové obali dvoch atómov, stretávajú sa elektróny s rovnakými kvantovými čislami. Zmenšujeme ich priestor (ich "krabice") a vyvíjajú tak protitlak. Preto sa môžeme posadiť na stoličku a tá nás udrží. To funguje v podstate na tom istom princípe ako biely trpaslík. Niels: Podstata je skutočne rovnaká. 4.4 Lineárny harmonický oscilátor Lineárny harmonický oscilátor hrá v kvantovej teórii ešte dôležitejšiu úlohu, než v klasickej mechanike. V klasickej mechanike reálny systém speje do stabilnej rovnováhy. Prakticky to znamená, že sa snaží zaujať stav s minimálnou potenciálnou energiou. Nakoľko v reálnom svete sa ukazuje, že význam majú len potenciály V (x), ktoré sú popísané spojitou funkciou, v blízkosti minima sa dá taký potenciál napísať ako kvadratická funkcia (bez újmy na všeobecnosti si môžeme položiť začiatok súradnej sústavy do bodu, kde potenciálna energia má minimum) V (x) = V (0) + V (0) x2 2! + V (0) x3 3! + (4.60) Pokiaľ kinetická energia systému je dostatočne malá, potom sa pohyb v klasickej fyzike obmedzí na veľmi malé okolie minima. Tam sa jeho pohyb dá s dostatočnou presnosťou popísať pomocou lineárneho harmonického oscilátoru. Potenciálnu energiu linieárneho harmonického oscilátoru predstavujú prvé dva členy (4.60), ostatné členy sú v malom okolí rovnovážnej polohy zanedbateľné. Zrovna tak to platí aj pre kvantovú mechaniku. Lineárne oscilátory hrajú mimoriadnu úlohu v kvantovej teórii poľa, ktorá popisuje elementárne častice a interakcie medzi nimi. Ukazuje sa, že energie, na ktorých sme schopní študovať elementárne častice sú v prírodnom merítku tak malé, že tento popis elementárnych častíc pomocou lineárnych harmonických oscilátorov je stále postačujúci a dáva teoretické výsledky vo vynikajúcej zhode s experimentami.

16 Jednoduché systémy Súradnicová reprezentácia Hamiltonova funkcia jednorozmerného lineárneho oscilátoru v kartézskych súradniciach je H = p2 2m + k 2 x2. (4.61) Poznámka Pripomíname, že poloha s minimálnou energiou sa dá zvoliť vždy tak, že je zhodná so začiatkom súradnej sústavy. Systém bude kmitať okolo rovnovážnej polohy (x = 0) a kruhová frekvencia kmitov ω bude daná ako k ω = m. (4.62) V klasickej mechanike potom celková energia systému závisí jednak od energie kmitov, ale taktiež od amplitúdy kmitov a môže byť, v princípe, aj nulová. Vyšetrime jednorozmerný lineárny harmonický oscilátor v kvantovej mechanike. Hamiltonián je daný ako Ĥ = ˆp2 2m + k 2 ˆx2 = ˆp2 2m + mω2 ˆx 2, (4.63) 2 kde namiesto koeficientu k sme zaviedli mω 2. Schrödingerovu rovnicu v súradnicovej reprezentácii obdržíme v tvare diferenciálnej rovnice 2 2m Po malej úprave môžeme túto rovnicu prepísať do tvaru kde d 2 mω2 ψ(x) + ψ(x) = Eψ(x). (4.64) dx2 2 ψ (x) + (E λ 2 x 2 )ψ(x) = 0, x R, (4.65a) λ = mω, (4.65b) E = 2mE 2. (4.65c) V prvom kroku sa predpokladá riešenie v tvare Po dosadení do (4.65a) dostaneme ψ(x) = e ax2 φ(x). (4.66) Vhodnou voľbou konštanty a e ax2 { φ (x) 4axφ (x) + (E λ 2 x 2 + 4a 2 x 2 )φ(x) } = 0 (4.67) a = λ 2 = mω 2 môžeme z rovnice odstrániť členy úmerné x 2 a po (vykrátení nenulovým členom e ax2 ) obdržíme (4.68) φ (x) 2λxφ (x) + (E λ)φ(x) = 0. (4.69) Našou úlohou je, nájsť také hodnoty E (a tým energie), aby funkcia ψ(x) = e ax2 φ(x) bola kvadraticky integrabilná a φ(x) riešila diferenciálnu rovnicu (4.69) vyššie. Všimnime si, že φ(x) 1 vyhovuje tejto požiadavke, pokiaľ E = λ. Prvé riešenie dostávame v tvare E 0 = E2 2m = Ω (4.70a) 2 psi 0 (x) = e mω 2 x2 (4.70b) Riešením diferenciálnej rovnice (4.69) sú známe Hermitove polynómy, ktoré patria medzi špeciálne funkcie. Jednotlivé Hermitove polynómy dokážeme obdržať z diferenciálnej rovnice, ak riešenie (4.69) predpokladáme v tvare polynómu stupňa n. Ukážeme si to v prípade polynómu prvého stupňa.

17 Jednoduché systémy 17 Príklad Nájdite Hermitov polynóm φ 1 (x) = H 1 (x), ktorý je polynómom prvého stupňa a nájdite tiež príslušnú vlastnú energiu lineárneho harmonického oscilátoru. Riešenie. Riešenie predpokladáme v tvare Po dosadení do diferenciálnej rovnice (4.69) dostaneme φ 1 (x) = x + A. (4.71) 2λx + (E λ)(x + A) = 0. (4.72) Rovnosť však musí nastať pre všetky x, preto rovnica (4.72) predstavuje dve nezávislé podmienky Vlastná hodnota energie plynie z rovnice (4.73a) E 3λ = 0, (4.73a) A = 0. (4.73b) E = 3 2 Ω (4.74a) a príslušný vlastný stav je psi 1 (x) = xe mω 2 x2. (4.74b) Úloha Nájdite Hermitov polynóm druhého stupňa a ukážte, že príslušná hodnota vlastnej energie je E 2 = 5 2 Ω. Úloha Ukážte, že vlastná energia prislúchajúca Hermitovmu polynómu n ho stupňa je ( E n = n + 1 ) Ω. (4.75) 2 Týmto postupom je možné obdržať všetky vlastné stavy lineárneho harmonického oscilátoru. Debata 4.6. Albert: Vidím, že sme poriadne pritvrdili. Toto sa človek asi musí naučiť. Existuje na to nejaký spôsob ako takéto triky odhaliť? Predpokladám, že nejaký spôsob, metodika riešenia musí existovať. Niels: Skutočne existuje, ale tá námaha za to na našej úrovni nestojí. Naviac aj pomocou špeciálnych funkcií vieme riešiť len úzku triedu lineárnych diferenciálnych rovníc (ktorých koeficienty nie sú konštanty). Všeobecného postupu sa dotkneme pri riešení atómu vodíka. Tieto všobecné postupy sú v podstate existenčné vety, ktoré hovoria, že ako vypadajú riešenia za určitých dosť všeobecných predpokladov (napr. Fuchsova veta). Pri týchto všeobecných postupoch sa riešenia nachádzajú vo forme nekonečných súčtových radov. Albert: To je smutné. Niels: Žiaľ je to tak, že exaktne riešiteľných úloh v kvantovej mechanike máme skutočne len pár. Tie práve preberáme. Potom existujú ešte také, ktoré využívajú špeciálne funkcie, ale tých sa dotkneme len okrajovo. Dôležité však je, že lineárny harmonický oscilátor je jedna z najzávažnejších úloh a táto úloha sa dá riešiť aj mimoriadnou eleganciou, ktorú si ukážeme. To je druhý dôvod, prečo sme sa venovali riešeniu v súradnicovej reprezentácii tak stručne. Išlo nám hlavne o to, aby sme ukázali, že postup zostavenia Hamiltoniánu je stále rovnaký a riešenia sú relatívne podobne (pokiaľ odhľiadneme od schopnosti riešiť diferenciálne rovnice špeciálnehoo tvaru). Albert: Všimol som si ale jedného rozdielu. Nikde sme nepožadovali spojitosť riešení.

18 Jednoduché systémy 18 Niels: Nikde sme to nevypisovali, ale existencia druhej derivácie to samozrejme vyžaduje. Túto podmienku budeme zdôrazňovať len v špeciálnych prípadoch. Albert: Všimol som si tiež, že neboli použité žiadne okrajové podmienky. Niels: Tak to je omyl. Okrajovou podmienkou bolo, že riešenie musí byť kvadraticky integrabilná funkcia. V prípade, že sme sa pohybovali na konečnom intervale, nám to spojitosť riešenia zabezpečila automaticky (ako je funkcia spojitá, na okrajoch intervalu konečná, tak na konečnom intervale je obmedzená zdola aj zhora, preto je aj kvadraticky integrabilná). My sa ešte stretneme s inými úlohami, kde to bude zrejmé Posúvacie operátory Riešenie úlohy lineárneho harmonického oscilátora vo všeobecnom formalizme, vo formalizme, ktorý nie je závislý od konkrétnej reprezentácie, má obrovský význam. Poukazuje na použiteľnosť Diracovho abstraktného formalizmu a na možnosť plnohodnotnej formulácie kvantovej teórie vo formalizme nezávislej od súradnicových reprezentácií. Základnou ideou predloženej techniky je, že Hamiltonov operátor takzvane diagonalizujeme, vyjadríme ho ako súčin operátoru a jeho združeného operátoru. Tieto operátory nájdeme ako vhodnú lineárnu kombináciu operátoru hybnosti ˆp a operátoru polohy ˆx. Najprv urobíme tento krok. Definujme operátor â vzťahom â = αˆp + iβˆx, (4.76a) kde α a β sú reálne čísla. Združený operátor bude mať tvar â + = αˆp iβˆx, (4.76b) nakoľko operátor hybnosti ˆp a operátor polohy ˆx sú samozdružené operátory. Všimnime si, že â + â = (αˆp + iβˆx)(αˆp iβˆx) = α 2ˆp 2 + β 2ˆx 2 + iαβ(ˆxˆp ˆpˆx). (4.77) Využitím komutačných vzťahov medzi operátorom súradnice ˆx a operátorom hybnosti ˆp dostaneme â + â = α 2ˆp 2 + β 2ˆx 2 αβ. (4.78) Vhodnou voľbou koeficientov α a β získame Hamiltonián lineárneho harmonického operátoru. Položíme kde α a β zvolíme kladné a dostávame, že α 2 = β 2 = mω2 2 â + â = 1 2m ˆp2 + mω m, α > 0 (4.79a) β > 0, Hamiltonián vyjadrený pomocou operátorov â + a â má (diagonálny) tvar (4.79b) ˆx Ω = Ĥ 1 Ω. (4.80) 2 Ĥ = â + â Ω (4.81) Ďalším krokom riešenia je, že sa ukáže: možné hodnoty energie sú zdola obmedzené, dokonca kladné. Hovoríme, že spektrum Hamiltoniánu je kladný. 6 Podstatné pritom je, že je zdola obmedzené. Stredná hodnota energie v ľubovoľnom normovanom stave ψ je E ψ = ψ Ĥ ψ = ψ â+ â ψ + 1 Ω ψ ψ. (4.82) 2 6 Pod spektrom operátoru sa vždy rozumie množina všetkých vlastných hodnôt.

19 Jednoduché systémy 19 Ak označíme potom podľa základných pravidiel Pre strednú hodnotu E ψ potom dostávame â ψ = φ, ψ â + = φ. (4.83a) (4.83b) E ψ = φ φ Ω ψ ψ +1 Ω ψ ψ > 0, (4.84) 2 kde sme využili toho, že φ φ = φ 2 0 (nulovosť vektoru φ vylúčiť nemôžeme) a následne toho, že ψ = 1. Poznamenajme, že Ω je kladné, nie je ani nulové (v prípade nulovosti by Hamiltonián zodpovedal voľnej častici). V nasledujúcom kroku sa ukáže, že operátory â + a â (okrem toho, že diagonalizujú Hamiltonián, pomocou čoho sme ukázali, že energia je zdola obmedzená) majú ďalšiu užitočnú vlastnosť. Ak ψ je vlastným stavom s energiou E, potom vlastným stavom je aj â + ψ resp. â ψ. Príslušné vlastné čísla energie sú E + Ω resp. E + Ω. Z dolnej obmedzenosti spektra Hamiltoniánu ale vyplýva, že postupnou a opakovanou aplikáciou operátoru â na ľubovoľný vlastný stav ψ musíme dostať nulový vektor, lebo v opačnom prípade by spektrum Hamiltoniánu nemohlo byť zdola obmedzené (kladné, ako sme ukázali vyššie). Nech ψ je vlastným stavom Hamiltoniánu, a príslušná vlasntá energia nech je E, tj. potom â ψ je vlastným stavom, alebo nulovým vektorom. Ukážme si to. Spočítajme komutátor [Ĥ, â] Ĥ ψ = E ψ, (4.85) Ĥâ ψ = âĥ ψ + [Ĥ, â] ψ. (4.86) [Ĥ, â] = [â+ â, â] Ω[ˆ1, â] = [â + â, â] = â + [â, â] + [â +, â]â = [â +, â]â. (4.87) Zostáva spočítať komutátor [â +, â]. [â +, â] = [αˆp + iβˆx, αˆp iβˆx] = iαβ([ˆx, ˆp] [ˆp, ˆx]) = 2iαβ[ˆx, ˆp] = Ω. (4.88) Postupným spätným dosadením dostávame výsledok [Ĥ, â] = Ω (4.89) a konečne Ĥâ ψ = Eâ ψ Ωâ ψ = (E Ω)â ψ. (4.90) Pre ket â 2 ψ by sme dostali energiu E 2Ω, pre â 3 ψ by sme dostali energiu E 3Ω, atď.. Tento rad ale niekde končiť musí, lebo ako sme ukázal (pozri vzťah (4.84)), tak vlastná energia nemôže byť záporná. Musí preto existovať stav φ, pre ktorý â φ = 0. (4.91) Poznámka Podmienka, že E = nω, kde n je celé by nič neriešilo. Ak príslušný vlastný stav je φ, postupnou aplikáciou operátoru â by sme sa dostali k vlastnej hodnote 0 s prislúchajúcim stavom ψ. Ak ďalšia aplikácia na stav ψ by nedal nulový vektor, nový vektor by bol vlastným stavom s energiou Ω, čo nemôže byť. Teraz zostrojíme všetky stavy. Najprv ukážeme, že operátor â + mení jeden vlastný stav na ďalší s vlastnou energiou väčšou o Ω. To nám dovolí nájsť všetky vlastné stavy vychádzajúc z vlastného stavu s najnižšou energiou (základného stavu). Stačí si uvedomiť, že z každého vlastného stavu sa musíme postupným použitím operátoru â dostať do základného stavu (označme tak) ψ 0, pre ktorý už â ψ 0 = 0. Ukážeme, že ak ψ je vlastným stavom s energiou E, potom stav â + ψ je vlastným stavom s energiou E + Ω. Postup je rovnaký ako v predchádzajúcom prípade.

20 Jednoduché systémy 20 Úloha Ukážte, že Použitím (4.92) dostávame [Ĥ, â+ ] = Ωâ +. (4.92) Ĥâ + ψ = â + Ĥ ψ + [Ĥ, â+ ] ψ = (E + Ω) ψ. (4.93) Označme základný stav ako ψ 0 a nech je normovaný. Pre základný stav platí (ako sme ukázali vyššie), že â ψ 0 = 0. (4.94) Z tejto vlastnosti určíme energiu E 0 základného stavu nasledovne E 0 = ψ 0 Ĥ ψ 0 = ψ 0 â + â ψ Ω ψ 0 ψ 0 = 1 2 Ω ψ 0 ψ 0 = 1 2 Ω. (4.95) Všetky ostatné vlastné energie sú väčšie a líšia sa celočíselným násobkom nω (n je prirodzené číslo). Ak základný stav budeme chápať ako nultý, potom n tá vlastná energia je ( E n = n + 1 ) Ω, (4.96) 2 čo je presne výsledok, ktorý sme obdržali v súradnicovej reprezentácii. Príslušný základný stav je ψ n = (â + ) n ψ 0 (4.97a) Na druhú stranu â ψ n = Ω ψ n 1, n N. (4.97b) Z uvedeného dôvodu nazývame operátory â a â + posúvacími operátormi. Nami použitý formalizmus dovoľuje počítať aj stredné hodnoty, bez toho, že by sme boli nútení prejsť do súradnicovej reprezentácie. Spôsob ukážeme až na záver, teraz však odvodíme tvar vlnovej funkcie ψ 0 (x) základného stavu. Podmienku základného stavu (4.94) môžeme písať ako â ψ 0 = (αˆp iβˆx) ψ 0 = 0, ktorá v x reprezentácii bude mať tvar ( iα ) x iβx ψ 0 (x) = 0. (4.98a) (4.98b) Po malej úprave ψ 0(x) = γxψ 0 (x), kde γ = β α = mω. (4.98c) Túto diferenciálnu rovnicu vieme riešiť separáciou ako Vlnovou funkciou základného stavu je funkcia dψ 0 ψ 0 = γdx lnψ 0 (x) = γ 2 x2 + lnc (4.99) ψ 0 (x) = Ce γ 2 x2, (4.100) čo je presne to, čo sme obdržali priamym výpočtom v súradnicovej reprezentácii. Vlnovú funkciu stavu ψ 1 obdržíme aplikáciou operátoru â + v súradnicovej reprezentácii na vlnovú funkciu ψ 0 (x) základného stavu â + ψ 0 = ψ 1, (4.101a)

21 Jednoduché systémy 21 čo v súradnicovej reprezentácii je ( ψ 1 (x) = iα ) x iβx ψ 0 (x) = i(αψ 0(x) + βψ 0 (x)) = ic(αγx + βx)e γ 2 x2 = 2iCαxe γ 2 x2. (4.101b) Úloha Nájdite vlnovú funkciu druhého a tretieho stavu lineárneho harmonického oscilátoru. Úloha Nájdite normovanú vlnovú funkciu základného stavu, ak viete, že e x2 dx = π. (4.102) Príklad Nájdite normovaný tvar 1 stavu ψ 1. Riešenie. Stav ψ 1 je daný ako â + ψ 0. Normovaný stav 1 = C ψ 1 spĺňa podmienku Pomocou komutačných relácií operátorov â + a â môžeme písať 1 1 = C 2 ψ 1 ψ 1 = ψ 0 ââ + ψ 0. (4.103) ψ 0 ââ + ψ 0 = ψ 0 (â + â + Ω) ψ 0 = Ω, kde sme využili toho, že â ψ 0 = 0 a základný stav je normovaný, tj. ψ 0 ψ 0 = 1. Z uvedeného vyplýva, že normovaný stav 1 má tvar 1 1 = (Ω) 1/2 â+ ψ 0. (4.104) Úloha Ukážte, že normovaný tvar 2 stavu ψ 2 je 2 = 1 2Ω (â + ) 2 ψ 0. (4.105) Úloha Ukážte, že normovaný tvar n stavu ψ n je n = 1 n!(ω) n (â+ ) 2 ψ 0. (4.106) [Nápoveda: Indukciou.] Úloha Vyjadrite operátor polohy ˆx a operátor hybnosti ˆp pomocou posúvacích operátorov â a â +. Debata 4.7. Albert: Tu by som ani žiadne doplňujúce otázky nemal. Je to skutočne elegantné a keď nepočítam ten nápad vytvoriť posúvacie operátory, tak sme žiadne triky podobné riešeniu špeciálnych diferenciálnych rovníc nepotrebovali. Nedajú sa takétoo posúvacie operátory vytvoriť pre každú úlohu? Niels: Nepoznáme veľa úloh, kde to možné je. Lineárny harmonický oscilátor je ale veľmi dôležitým prípadom. Dáva návod ako postupovať v prípade kvantovej teórie poľa, keď máme čo do činenia s viac, než jednou časticou, ktoré medzi sebou aj interagujú. Albert: Vlastne ano, niekde na začiatku sa povedalo, že kvantová mechanika popisuje vždy len jedinú časticu, alebo viac, ale vzájomne neinteragujúcich časticíc. To znamená, že kvantová mechanika nie je schopná popísať zrážku dvoch elektrónov? Niels: Skutočne nie je schopná. Sme síce schopní riešiť určité typy tzv. rozptylových úloh. V týchtoprípadoch sa ale nejedná o rozptyl častice na častici, ale o rozptyl častice na nejakom potenciále (ktorý