επιπεδη τριγωνομετρια

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "επιπεδη τριγωνομετρια"

Transcript

1 ειεδη τριγωνομετρια ο μερος Ш τακης τσακαλακος

2 ... Θυμηθηκα τα αλια. Μια ροσεγγιση σε θεματα Τριγωνομετριας, σαφως ε ηρεασμενος α'τους Δασκαλους μου (Συρο Κανελλο -Παναγιωτη Μαγειρα). Πιστευω να ειναι χρησιμα...

3 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Δ ι α ν υ σ μ α τ α ο ρ ι σ μ ο ς Δ ι α ν υ σ μ α λεμε το τμημα ΟΑ μιας ευθειας (ε), ου εχει αρχη το Ο και ερας (τελος) το Α. Συμβολιζεται: Μ η δ ε ν ι κ ο Δ ι α ν υ σ μ α Ειναι το διανυσμα του οοιου η αρχ η και το τελος συμιτουν. Συμβολιζεται 0 η. Η εικονα του ειναι ενα σημειο του ειεδου. Μ ε τ ρ ο Δ ι α ν υ σ μ α τ ο ς ΑΒ Λεγεται το μηκος του ευθ. τμη ματος ΑΒ. Συμβολιζεται ΑΒ και ροφανως ειναι ΑΒ 0. Ισχυει = 0. Το διανυσμα οριζεται ληρως αν ειναι γνωστα: ο φ ο ρ ε α ς (η ευθεια, ανω στην οοια βρισκεται το διανυσμα και οριζει τη διευθυνση του) η φ ο ρ α (η εννοια της κινηση; α'το Ο ρος το Α) τ ο μ ε τ ρ ο (ο αριθμος ου εκφραζει το μηκος του ευθυγραμμου τμηματος ΟΑ) ΣΧΟΛΙΟ Διανυσματα ου εχουν φορεις αραλληλους, εχουν την ιδια διευ - θυνση Ο φορεας και η φορα, λεγονται με μια λεξη: κ α τ ε υ θ υ ν σ η Μ ο ν α δ ι α ι ο δ ι α ν υ σ μ α ειναι το διανυσμα ου εχει μετρο ισο με τη μοναδα και φορα θετικη. Ο μ ο ρ ρ ο α δ ι α ν υ σ μ α τ α λεμε δυο η ερισσοτερα διανυσματα ου εχουν τον ιδιο φορεα και την ιδια φορα. Α ν τ ι ρ ρ ο α δ ι α ν υ σ μ α τ α λεμε δυο η ερισσοτερα διανυσματα ου εχουν τον ιδιο φορεα και την Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 3

4 αντιθετη φορα. Ι σ α δ ι α ν υ σ μ α τ α λεμε δυο η ερισσοτερα διανυσματα ου ειναι ομορροα και εχουν ισα μετρα. Α ν τ ι θ ε τ α δ ι α ν υ σ μ α τ α λεμε δυο διανυσματα ου ειναι αντιρροα και εχουν ισα μετρα. Γ ω ν ι α Δ ι α ν υ σ μ α τ ω ν Λεγεται η θετικη και κυρτη γωνια ου σχηματιζουν δυο διανυσματα με κοινη αρχη. Συμβολιζουμε με (a, b) η (b, a) με 0 0 θ 80 0 Τα ομορροα διανυσματα σχηματιζουν γωνια 0 0 Τα αντιροα διανυσματα σχηματιζουν γωνια 80 0 Αν θ = 90 0 τα διανυσματα λεγονται καθετα η ορθογων ια Το μηδενικο διανυσμα (0 0 θ 80 0 ) με καθε αλλο διανυσμα. 0 σχηματιζει οοιαδηοτε γωνια θ Π ρ ο σ α ν α τ ο λ ι σ μ ε ν η ε υ θ ε ι α λεμε καθε ευθεια για την οοια εχει ορισθει θετικη (αρνητικη) φορα. Α ξ ο ν α ς Ειναι μια ευθεια x'x στην οοια εχει ορισθει ενα σημειο Ο για αρχη και ενα μοναδιαιο διανυσμα ΟΑ = i στη διευθυνση της ημιευθειας Οx. Θετικος ημιαξονας ειναι η ημιευθεια Οx, ενω αρνητικος η ημιευθεια Οx'. Για καθε σημειο Μ του αξονα υαρχει μοναδικο x, τετοιο ωστε ΟΜ= x. i Αντιστροφα, για καθε x, υαρχει στον αξονα σημειο Μ, τετοιο ωστε ΟΜ= x. i Οx λεγεται τ ε τ μ η μ ε ν η του σημειου Μ. Κ α ρ τ ε σ ι α ν ο Ε ι ε δ ο Ειναι δυο καθετοι αξονες x'x, y'y με κοινη αρχη Ο στους οοιους ε- χουν οριστει τα μοναδιαια διανυσματα a και b. Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 4

5 Ο x'x ειναι ο αξονας των τετμημενων, ενω ο y'y ο αξονας των τεταγμενων. Το συστημα των δυο αξονων λεγεται και Καρτεσιανο ειεδο. Καθε σημειο Μ του ειεδου αντιστοιχιζεται σ'ενα ζευγος (x,y) ραγματικων αριθμων ου λεγονται σ υ ν τ ε τ α γ μ ε ν ε ς του σημειου Μ. Το x ειναι η τ ε τ μ η μ ε ν η του σημειου Μ, ενω το y ειναι η τ ε τ α γ μ ε ν η του σημειου Μ. Το σημειο Μ συμβολιζεται: Μ(x,y) η (x,y). Αντιστροφα, καθε ζευγος (x,y) ραγματικων αριθμων αντιστοιχιζεται σ'ενα σημειο Μ του ειεδου. ΚΥΚΛΟΣ Π ρ ο σ α ν α τ ο λ ι σ μ ε ν ο ς κ υ κ λ ο ς Ειναι ο κυκλος στον οοιον εχει ειλεγει η θετικη (σχημα) η η αρνη - τικη φορα. Π ρ ο σ α ν α τ ο λ ι σ μ ε ν ο τ ο ξ ο Θεωρουμε το ροσανατολισμενο κυ - κλο (C) και δυο σημεια του Α και Μ. Το τμημα του κυκλου ΑΜ αοτελει τοξο του κυκλου (Γεωμετρια) και συμβολιζεται. Το αραανω τοξο λεγεται ροσα - νατολισμενο αν ειναι γνωστα: η αρχη του (εδω το Α) το ερας του (εδω το Μ) η φορα του (εδω θετικη) το ληθος των εριφε ρειων ου εριεχει (κ R, R ακτινα κυκλου, R μηκος κυκλου, κ ) Μ ο ν α δ ι α ι ο τ ο ξ ο ειναι το τοξο ενος ροσανατολισμενου κυκλου ( C) ου θεωρειται ως μοναδα (αυθαιρετα) ειναι θετικο Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 5

6 Μ ε τ ρ ο ρ ο σ α ν α τ ο λ ι σ μ ε ν ο υ τ ο ξ ο υ Μετρο ροσανατολισμενου τοξου, με μοναδιαιο τοξο λεμε το μετρο του τοξου (αο Γεωμετρια) με το ροσημο "+" η " -" αν αυτο ειναι θετικο η αρνητικο, αντιστοιχα. ΣΧΟΛΙΟ Η αντιστοιχη του ροσανατολισμενου τοξου εικεντρη γωνια ω, θεωρειται και αυτη ροσανατολισμενη και το μετρο της ειναι ισο με το μετρο του αντιστοιχου τοξου. ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΟΞΩΝ - ΓΩΝΙΩΝ Μ ο ν α δ ε ς μ ε τ ρ η σ η ς γ ω ν ι ω ν - τ ο ξ ω ν Μ ο ι ρ α : Ειναι το 360 τοξου ισου με κυκλο. Συμβολιζεται με ( 0 ), δηλαδη, μ μοιρες = μ 0 Υοδιαιρεσεις: λετο ('), δευτερολετο ('') Ισχυει: 0 =60' =60 60'' Α κ τ ι ν ι ο : Ειναι τοξο κυκλου με μηκος ισο με την ακτινα του κυκλου. Συμβολιζεται με rad, δηλαδη, a ακτινια = α rad Β α θ μ ο ς : Ειναι το τοξου ισου με κυκλο. 400 Συμβολιζεται με ( g ), δηλαδη, β βαθμοι = β g Υοδιαιρεσεις: δεκατο, εκατοστο, χιλιοστο Αν μ, α, β ειναι τα μετρα του (ιδιου) τοξου σε μοιρες, ακτινια, βαθμους αντιστοιχα, ροκυτει η ισοτητα Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 6

7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ O ρ ι σ μ ο ς Ειναι ο κυκλος ου ειναι ροσανατολισμενος θετικα (αντιθετα της φορας των δεικτων του ρολογιου) η ακτινα του θεωρειται μο - ναδα μηκους εχει οριστει σημειο του (Α) (σημειο τομης του κυκλου και του θετικου ημιαξονα Οχ του ορθοκανονικου συ - στηματος αξονων Ox, Oy (Ο το κεντρο του κυκλου)) ως αρχη τω ν τοξων. ΣΧΟΛΙΟ Το διανυσμα με μετρο οσο το μηκος της ακτινας και αρχη το κεντρο Ο (μοναδιαιο), αναφε - ρεται ως δ ι α ν υ σ μ α τ ι κ η α κ τ ι ν α του τριγωνομετρικου κυκλου. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 7

8 ΗΜΙΤΟΝΟ O ρ ι σ μ ο ς Ημιτονο του τοξου ΑΜ ή της αντιστοιχης εικεντρης γωνιας ω, λεγεται η αλγεβρικη ροβολη της τελικης διανυσματικης ακτινας ΟΜ ανω στον αξονα Oy (αξονας των ημιτονων). Στο σχημα : ημω=(οκ) ΣΧΟΛΙΟ Στον ορισμο αναφερεται η λεξη "τελικης" γιατι η διανυσματικη ακτινα (κατα συνεεια και το ημιτονο) δεν μεταβαλλεται, αν το αντιστοιχο τοξο αυξηθει ή ελαττωθει κατα ακεραιο ληθος εριφερειων. Εναλλακτικα, θα μορουσαμε να ορισουμε σαν ημ ιτονο του τοξου ΑΜ την τεταγμενη του σημειου Μ στο ορθοκανονικο συστημα αξονων Oχ, Oy. Το ημιτονο ειναι θετικο στο ο και ο τεταρτημοριο και αρνητικο στο 3ο και 4ο τεταρτημοριο. H συναρτηση f(x)=ημχ Πεδιο ορισμου: Α= Συνολο τιμων: f(α)=[-,] Περιοδος: Τ= Συμμετρια: Εχει κεντρο συμμετριας το σημειο Ο(0,0) (εριττη) Μονοτονια - ακροτατα: η f ειναι γνησιως αυξουσα στα δια- στηματα 3 0,,, η f ειναι γνησιως φθινουσα στο διαστημα η f αρουσιαζει 3, μεγιστο στη θεση ελαχιστο στη θεση με τιμη και 3 χ= με τιμη -. Γραφημα: Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 8

9 ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟ O ρ ι σ μ ο ς Συνημιτονο του τοξου ΑΜ ή της αντιστοιχης εικεντρης γωνιας ω, λεγεται η αλγεβρικη ροβολη της τελικης διανυσματικης ακτινα ς ΟΜ ανω στον αξονα Oχ (αξονας των συνημιτονων). Στο σχημα : συνω=(ολ) ΣΧΟΛΙΟ Εναλλακτικα, θα μορουσαμε να ορισουμε σαν συνημιτονο του τοξου ΑΜ την τετμημενη του σημειου Μ στο ορθοκανονικο συστημα αξονων Oχ, Oy. το συνημιτονο τοξου ΑΜ δεν μεταβαλλεται, αν το ΑΜ αυξηθει ή ελαττωθει κατα ακεραιο ληθος εριφερειων. Το συνημιτονο ειναι θετικο στο ο και 4ο τεταρτημοριο και αρνητικο στο ο και 3ο τεταρτημοριο. H συναρτηση f(x)=συνχ Πεδιο ορισμου: Α= Συνολο τιμων: f(α)=[-,] Περιοδος: Τ= Συμμετρια: Εχει αξονα συμμετριας τον αξονα y'y (αρτια) Μονοτονια - ακροτατα: η f ειναι γνησιως φθινουσα στο δια - στημα [ 0, ] γνησιως αυξουσα στο δια- στημα [,] Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 9

10 η f αρουσιαζει ελαχιστο στη θεση χ= με τιμη - και μεγιστο στη θεση χ=0, χ= με τιμη. Γραφημα: Συμφωνα με τα αραανω ΣΥΝΕΠΕΙΑ Για το ημιτονο και συνημιτονο, οοιουδηοτε τοξου, ισχυει ή και ή ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ O ρ ι σ μ ο ς Εφατομενη του τοξου ΑΜ ή της αντιστοιχης εικεντρης γωνιας ω, λεγεται η αλγεβρικη τιμη του διανυσματος, ου εχει αρχη την αρχη των τοξων Α και ερας το σημειο τομης της τελικης διανυσματικης ακτινας ΟΜ με τον αξονα των εφατομενων. Στο σχημα : εφω=(αγ) ΣΧΟΛΙΟ Εναλλακτικα, θα μορουσαμε να ορισουμε σαν εφατομενη του τοξου ΑΜ το ηλικο της τεταγμενης ρος την τετμημενη του σημειου Μ στο ορθοκανονικο συστημα αξονων Oχ, Oy. η εφατομενη τοξου ΑΜ δεν μεταβαλλεται, αν το ΑΜ αυξηθει ή ελαττωθει κατα ακεραιο ληθος εριφερειων. Η εφατομενη ειναι θετικη στο ο και 3ο τεταρτημοριο και αρνητικη στο ο και 4ο τεταρτημοριο. Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 0

11 H συναρτηση f(x)=εφχ Πεδιο ορισμου: Α={χ / Συνολο τιμων: f(α)= Περιοδος: Τ= Συμμετρια: χ κ +, κ Εχει κεντρο συμμετριας το σημειο Ο(0,0) (εριττη) Μονοτονια: η f ειναι γνησιως αυξουσα για καθε Ασυμτωτες: οι κατακορυφες ευθειες Γραφημα : } χ κ +, κ χ κ +, κ Σχεση μεταξυ των ημχ, συνχ και εφχ Θεωρουμε το τριγωνομετρικο κυκλο, το τοξο ΑΜ (και τη γωνια ω) και την εφατομενη του τοξ ου ΑΜ. Αο την ομοιοτητα των τριγωνων ΟΑΓ και ΟΛΜ ροκυτει: (ΑΓ) (ΟΑ) = (ΛΜ) (ΟΛ) ή ή () Ομως, οι αριθμοι ημω, συνω και εφω ειναι θετικοι στο ο τεταρτημοριο οι δυο ειναι αρνητικοι και ο ενας ειναι θετικος στα αλλα τρια τεταρτημορια Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08

12 Eτσι, για καθε ω κ +, κ, η () δινει η ΒΑΣΙΚΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ, για καθε ΣΥΝΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ O ρ ι σ μ ο ς Συνεφατομενη του τοξου ΑΜ ή της αντιστοιχης εικεντρης γωνιας ω, λεγεται η αλγεβρικη τιμη του διανυσματος, ου εχει αρχη το ερας του ρωτου τεταρτημοριου Β και ερας το σημειο τομης της τελικης διανυσματικης ακτινας ΟΜ με τον αξονα των συνεφατομενων. Στο σχημα : σφω=(βδ) ΣΧΟΛΙΟ Εναλλακτικα, θα μορουσαμε να ορισουμε σαν συνεφατομενη του τοξου ΑΜ το ηλικο της τετμημενης ρος την τεταγμενη του σημειου Μ στο ορθοκανονικο συστημα αξονων Oχ, Oy. η συνεφατομενη τοξου ΑΜ δεν μεταβαλλεται, αν το ΑΜ αυξηθει ή ελαττωθει κατα ακεραιο ληθος εριφερειων. Η συνεφατομενη ειναι θετικη στο ο και 3ο τεταρτημοριο και αρνη - τικη στο ο και 4ο τεταρτημοριο. Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08

13 H συναρτηση f(x)=σφχ Πεδιο ορισμου: Α={χ / χ κ, κ } Συνολο τιμων: f(α)= Περιοδος: Τ= Συμμετρια: Εχει κεντρο συμμετριας το σημειο Ο(0,0) (εριττη) Μονοτονια: η f ειναι γνησιως αυξουσα για καθε χ κ, κ Ασυμτωτες: οι κατακορυφες ευθειες χ κ, κ Γραφημα : Σχεση μεταξυ των ημχ, συνχ και σφχ Θεωρουμε το τριγωνομετρικο κυκλο,το τοξο ΑΜ (και τη γωνια ω) και την συνεφατομενη του τοξου ΑΜ. Αο την ομοιοτητα των τριγωνων ΟΑΓ και ΟΛΜ ροκυτει: (ΒΔ) (ΟΒ) = (ΚΜ) (ΟΚ) ή ή () Ομως, οι αριθμοι ημω, συνω και εφω ειναι θετικοι στο ο τεταρτημοριο οι δυο ειναι αρνητικοι και ο ενας ειναι θετικος στα αλλα τρια τεταρτημορια Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 3

14 Ετσι, για καθε ω κ, κ, η () δινει η ΒΑΣΙΚΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ, για καθε ΣΥΝΕΠΕΙΑ Αφου ημω εφω= συνω, για καθε ω κ +, κ συνω σφω= ημω, για καθε ω κ, κ και 3η ΒΑΣΙΚΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ, για καθε ΣΧΟΛΙΟ Η συναρτηση f(x)=ρ ημ(ω χ)+μ (g(x)=ρ συν(ω χ)+μ) με ρ,ω>0 εχει εριοδο: Τ= ω ελαχιστη τιμη -ρ+μ και μεγιστη τιμη ρ+ μ Η συναρτηση f(x)=εφ(ω χ) (g(x)=σφ(ω χ)) με ω 0 εχει εριοδο: Τ= ω Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 4

15 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΟΞΕΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ Θεωρουμε οξεια γωνια χ Oy=ω και τα σημεια Α, Α,..., Α της λευρας Οχ, α'τα οοια φερ - νουμε καθετες ου τεμνουν τη λευρα της Oy στα σημεια Β, Β,..., Β αντιστοιχα (σχημα). ν Αο τη Γεωμετρια ισχυουν: Α Β Α Β ΑΒ... ΟΒ ΟΒ ΟΒ ν ν ΟΑ ΟΑ ΟΑ... ΟΒ ΟΒ ΟΒ ν Α Β Α Β ΑΒ... ΟΑ ΟΑ ΟΑ ν ν Ειναι φανερο οτι οι λογοι τητοι της θεσης του σημειου ν ν ν ν Α Β ΟΑ Α Β,, ΟΒ ΟΒ ΟΑ Α αραμενουν σταθεροι, ανεξαρ - Αν ομως αρουμε οξεια γωνια xoy=φ ω, οι νεοι λογοι αραμε - νουν σταθεροι, αλλα δεν ειναι ισοι με τους ροηγουμενους. Δηλαδη οι αραανω λογοι εξαρτωνται μονο αο τη γωνια. Στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ ο ρι- ζουμε: ημβ= αεναντι λευρα ΑΓ υοτεινουσα ΒΓ, β ημω= α ροσκειμενη λευρα ΑΒ συνβ=, υοτεινουσα ΒΓ γ συνω= α εφβ= αεναντι λευρα ΑΓ ροσκειμενη λευρα ΑΒ, β εφω= γ σφβ= ροσκειμενη λευρα ΑΒ αεναντι λευρα ΑΓ, γ εφω= β Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 5

16 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Θεωρουμε το τριγωνομετρικο κυκλο, και το τοξο ΑΜ (γωνια ω). Συμφωνα με τους ορισμους ημιτονου και συνημιτονου ημω=(οκ) συνω=(ολ) Ισχυει: OK O O O OK O (OK) +(OΛ) = Ετσι, εκτος α'τις τρεις αραανω βασικες τριγωνομετρικες ταυτοτητες εχουμε και 4η ΒΑΣΙΚΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ, για καθε ΣΧΟΛΙΟ Χρησιμη ειναι η αραλλαγη της αραανω ταυτοτητας: ημ ω=-συν ω ή συν ω=-ημ ω 5η ΒΑΣΙΚΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ και, με Α ο δ ε ι ξ η Διαιρουμε τα δυο μελη της ταυτοτητας και ροκυτει: ημ ω+συν ω= με ημ ω συν ω + = εφ ω+= συν ω= συν ω συν ω συν ω συν ω εφ ω Θετουμε στη ταυτοτητα και ροκυτει: ημ ω+συν ω= οου συν ω= συν ω 0 εφ ω Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 6

17 ημ ω+ = ημ ω= - ημ ω= εφ ω εφ ω εφ ω εφ ω εφ ω ημ ω= Α λ λ ι ω ς εφ ω ημ ω συν ω+ημ ω εφ ω= + = = συν ω= συν ω συν ω συν ω εφ ω συν ω ημ ω+συν ω σφ ω= + = = ημ ω= ημ ω ημ ω ημ ω σφ ω εφ ω εφ ω εφ ω ημ ω= ημ ω= ημ ω= εφ ω εφ ω ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ ΚΑΙ... ΧΡΗΣΙΜΟ Δίνονται οι συναρτήσεις f(χ)=ημχ και g(χ)=συνχ, για κάθε χ και α) f(χ) + g(χ)= 0 ` ημχ + συνχ=0 ` ημχ =- συνχ () β) f(χ) - g(χ)= 0 ` ημχ - συνχ=0 ` ημχ = συνχ () και στις δύο εριτωσεις, ισχύει ημχ 0 και συνχ 0 Πραγματι Αν συνχ=0, τ οτε αο την () η () εχουμε και ημχ=0, ατοο αφου ημ χ + συν χ=`0=, ου δεν ισχυει Δηλαδ η, δεν υαρχει γωνια φ ωστε τα ημφ και συνφ να μηδεν ιζουν ταυτοχρονα. Στο σχημα (σε μια εριοδο) βλεουμε οτι τα γραφ ηματα των f, g δεν τ ε- μνονται οτε ανω στον αξονα x'x Ετσι, η () δ ινει : εφχ = -`... και η () δινει: εφχ = `... Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 7

18 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΒΑΣΙΚΩΝ ΓΩΝΙΩΝ ΣΧΟΛΙΟ η αραανω τετραδες (μαυρα) αντιστοιχουν σε (ημ, συν, εφ, σφ) το "ΔΟ" σημαινει "δεν οριζεται" αν θεωρηθει δυσκολη η αομνημονευση των αραανω, ααραιτητο ειναι να γνωριζουμε τις τετραδες του ου τεταρτημοριου (και μετα την εομενη ενοτητα "αναγωγη στο ο τεταρτημοριο" μετατρεουμε...) Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 8

19 ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ Η γωνια ω ειναι οξεια τοξο: -ω ημ -ω = συνω συν -ω = ημω εφ -ω = σφω σφ -ω = εφω τοξο: +ω ημ +ω = συνω συν +ω =-ημω εφ +ω =-σφω σφ +ω =-εφω τοξο: -ω ημ(-ω)=ημω συν(-ω)=-συνω εφ(-ω)=-εφω σφ(-ω)=-σφω Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 9

20 τοξο: +ω ημ(+ω)=-ημω συν(+ω)=-συνω εφ(+ω)=εφω σφ(+ω)=σφω τοξο: 3 -ω 3 ημ -ω =-συνω 3 συν -ω =-ημω 3 εφ -ω = σφω 3 σφ -ω = εφω τοξο: 3 + ω 3 ημ +ω =-συνω 3 συν +ω = ημω 3 εφ +ω =-σφω 3 σφ +ω =-εφω Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 0

21 τοξο: -ω ημ(-ω)=-ημω συν(-ω)=συνω εφ(-ω)=-εφω σφ(-ω)=-σφω τοξο: -ω ημ(-ω)=-ημω συν(-ω)=συνω εφ(-ω)=-εφω σφ(-ω)=-σφω Μια... διαφορετικη αρουσιαση, ιο συγκεντρωτικη. Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08

22 Ο αραανω ινακας μορει να αντικατασταθει με τον αρακατω μνημονικο κανονα: Για γωνια 0<ω< Ο τριγωνομετρικος αριθμος γωνιας -ω, (+ω), (-ω), (+ω), (-ω) (ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ σε κλασμα το ) αραμενει ιδιος με γωνια ω (το ημ αραμενει ημ, το συν αραμενει συν, η εφ..., η σφ...) αιρνει το ροσημο (+) η (-) αν ειναι θετικος η αρνητικος αντιστοιχα στο τεταρτημοριο ου ανηκει η αρχικη γωνια του. α ρ α δ ε ι γ μ α ημ(-ω)=ημω (αραμενει ημ και "+" αφου ημ θετικος στο ΙΙ τεταρτημοριο) συν(+ω)=-συνω (αραμενει συν και " -" αφου συν αρνητικος στο ΙΙΙ τεταρτημοριο),, 3 -ω, 3 +ω (ΕΙΝΑΙ σε κλασμα το ) αλλαζει (το ημ γινεται συν, το συν γινεται ημ, η εφ γινεται σφ, η σφ γινεται εφ) με γωνια ω αιρνει το ροσημο (+) η ( -) αν ειναι θετικος η αρνητικος αντιστοιχα στο τεταρτημοριο ου ανηκ ει η αρχικη γωνια του. α ρ α δ ε ι γ μ α συν =-ημω (γινεται ημ και " -" αφου συν αρνητικος στο ΙΙ τεταρτημοριο) εφ 3 -ω =σφω (γινεται σφ και "+" αφου εφ θετ ικη στο ΙΙΙ τεταρτημοριο) ΣΧΟΛΙΟ Ισχυουν για κ : ημ(κ + α) = ημα συν(κ + α) = συνα εφ(κ + α) = εφα σφ(κ + α) = σφα Αν η γωνια δεν εχει μια α τις ιο ανω μορφες, την τροοοιουμε καταλληλα ωστε να αοκτησει μια α αυτες τις μορφες. Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08

23 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ... ΧΩΡΙΣ ΛΟΓΙΑ Σ'ενα τριγωνο ΑΒΓ, η γωνια Α ειναι 3χ μοιρων, η γωνια Β ειναι χ βαθ - μων και η γωνια Γ ειναι ακτινιω ν. Να υολογισετε τις γω νιες του τριγωνου σε μοιρες. Εχουμε 80α μ= μ α β = = β 9β μ= μ= 00 0 Ετσι χ βαθμοι= 9χ 0 χ 300 ακτινια = Ομως μοιρες ~Β= 80 3 χ χ 0 μοιρες 3 5 μοιρες ~Γ= 3χ 9χ Α+Β+Γ=80 0 ~ 3χ Συνεως Α=3 40=0 0 Β= =36 0 Γ= = χ 5 μοιρες Αν η ελαχιστη θετικη γωνια ΑΟΜ ροσανατολισμε νου κυκλου (οου Α αρχη των τοξων) ειναι ω=30 μοιρες, να βρεθει η γωνια ΑΟΜ ου εριεχεται μεταξυ 700 και 800 μοιρων. Αν θεωρησουμε φ τη ζητουμενη γωνια, τοτε εχουμε φ=κ+30 (ή φ=360κ+30), κ Συμφωνα με τα δοσμενα 700<φ<800~700<360κ+30<800~670<360κ<770~ ή κ= Για κ=: φ=360+30=390 αορριτεται (φ<700) Για κ=: φ=70+30=750 δεκτη (αφου 700<φ<800) Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 3

24 Το ρολοι δειχνει ακριβως (ωροδεικτης και λετοδεικτης συμι - τουν). Τι ωρα θα συμεσουν ξανα οι δεικτες για δευτερη φορα; Σε μια ωρα ο ωροδεικτης διανυει τοξο 6 ακτινια ο λετοδεικτης διανυει τοξο ακτινια Ετσι, αν μετα t ωρες θα συμεσουν οι δυο δεικτες, ισχυει κ t- t= κ t- t= κ t= κ t= 6 6 6, κ φυσικος Οι δυο δεικτες θα συμεσουν για δευτερη φορα αν κ=, δηλαδη μετα αο χρονο 4 t= ωρες Τοτε το ρολοι θα δειχνει και 0 λετα και 55 δευτερο λετα. Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 4

25 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ - ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤ Α ΕΥΡΕΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΓΝΩΣΤΟ ημχ ή συνχ) Βρισκουμε το συνx (ημx) α τη σχεση : ημ x + συν x = η. Μια α τις ιο ανω τιμες του συνx (ημ x) ειναι δεκτη, αναλογα με το ου οριζεται το x, δηλαδη ου ειναι θετικο η αρνητικο το συνx (ημ x) Βρισκουμε την εφx α τη σχεση :. Βρισκουμε την σφx α τη σχεση :. Ειναι ημ x+συν x= - +συν x= +συν x= συν x= συν x= συνx=± ημx = = 5 3 εφx = συνx < x < συνx < 0 4 συνx=- 5 4 σφx= = = εφx Π α ρ α τ η ρ η σ η Τη σφx μορουμε να την υολογισουμε αντιστρεφοντας την εφx. Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 5

26 ΕΥΡΕΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΓΝΩΣΤΗ εφχ) Βρισκουμε την σφx α τη σχεση :. Βρισκουμε το συνx α τη σχεση : ) Μια α τις ιο ανω τιμες του συνx ειναι δεκτη, αναλογα με το ου οριζεται το x ( δηλαδη ου ειναι θετικο η αρνητικο το συνx ). Βρισκουμε τ ο ημx α τη σχεση : ημ x + συν x = η. Ειναι. 3 3 σφx= = =- = - 3 εφx εφ x συν x= = = = = = συνx=± 3 συνx=± < x < συνx < 0 συνx=- 3 ημx εφx= ημx= εφx συνx ημx=- - ημx= συνx 3 6 ημx= Ειναι 3 3 σφx= = =- = - 3 εφx Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 6

27 3 3 +εφ x συν x= = = = = = συνx=± 3 συνx=± < x < συνx < 0 συνx=- 3 ημx εφx= ημx= εφx συνx ημx=- - ημx= συνx 3 6 ημx= Ετσι ημx- 3 συνx Α= = = = = εφx σφx (- 3) 3 3 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 7

28 ΕΥΡΕΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΓΝΩΣΤΗ σφχ) Βρισκουμε την εφx α τη σχε ση :. Βρισκουμε το συνx α τη σχεση : ) Μια α τις ιο ανω τιμες του συνx ειναι δεκτη, αναλογα με το ου οριζεται το x ( δηλαδη ου ειναι θετικο η αρνητικο το συνx ). Βρισκουμε τ ο ημx α τη σχεση : ημ x + συν x = η. Ειναι εφx= = = = σφx εφx= 0 < x < 4 συν x= = = = συνx=± συνx > 0 +εφ x συνx= + 3 ημx 5 εφx= ημx= εφx συνx= συνx 3 5 ημx= 3 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 8

29 ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΕΣ (ΩΣ ΠΡΟΣ ΜΙΑ ΓΩΝΙΑ) Ειτε ξεκινωντας α τη ρος αοδειξη ισοτητα και με ραξεις (χρησιμοοιωντας και ιδιοτητες των τριγωνομετρικων αριθμων), καταληγουμε σε αληθη ισοτητα. Ειτε ξεκινωντας α το ιο ' ολυλοκο μελος της ρος αοδειξη ισοτητας και με ραξεις (χρησιμοοιωντας και ιδιοτητες των τρι - γωνομετρικων αριθμων), καταληγουμε στο αλλο μελος. Να αοδειξετε οτι συνx συνx + = συνx + = - ημx + ημx συνx - ημx + ημx συνx ου ισχυει +ημx+-ημx συνx = (- ημx)(+ ημx) συνx συνx = - ημ x συνx συν x= -ημ x ημ x+συν x= Α λ λ ι ω ς συνx συνx + = συνx + -ημx +ημx -ημx +ημx +ημx+-ημx = συνx (-ημx)(+ημx) = συνx -ημ x = συνx = συνx x Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 9

30 ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΕΣ (ΩΣ ΠΡΟΣ ΔΥΟ ΓΩΝΙΕΣ) Μετασχηματιζουμε τους τριγωνομετρικους αριθμους στο ''ολυλοκο μελος ου δεν αναφερονται στ ο αλλο μελος. Να αοδειξετε οτι εφα+σφβ = εφβ+σφα εφα+ εφβ εφα εφβ+ εφβ εφα εφβ+ εφβ+ εφα εφα εφα εφβ ΜΕΓΙΣΤΟ ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ Α τη σχεση -ºημαº η -ºσυναº με καταλληλες ραξεις κατασκευαζουμε τη αρασταση, της οοι ας το μεγιστο-ελαχιστο ζητουμε στο μεσαιο μελος. Ευκολα ρσδιοριζεται το μεγιστο η ελαχιστο. Ειναι + - ημα - ημα - + ημα + - Α 3 Αρα, Α =- και Α = 3 min max.(-) συνα - συνα - - συνα 3-3- συνα συνα 4 αντιστροφη 4 3- συνα Αρα, Β = και Β = min max 3- συνα συνα Β Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 30

31 ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ (ΓΩΝΙΕΣ ΜΙΚΡΟΤΕΡΕΣ ) Μετατρεουμε τη γωνια του τριγωνομετρικου αριθμου σε αθροισμα η διαφορα της μορφης : ±θ (360±θ), ±θ (80±θ), ±θ (90±θ), ±θ (70±θ) Μετασχηματιζουμε το δοσμενο τριγωνομετρικο αριθμο σε τριγω - νομετρικο αριθμο γωνιας θ, συμφωνα με τον ινακα στη θεωρια. Να αλοοιησετε την αρασταση Να υολογισετε το τριγωνομετρικο αριθμο συν35 0. Ειναι συν(70 0 +α)= ημα 0 (70 :"αλλαζει" και συν θετικο στο 4ο τεταρτημοριο) συν(80 0 +α)=- συνα 0 (80 : "δεν αλλαζει" και συν αρνητικο στο 3ο τετα ρτημοριο) ημ( α)=- ημα 0 (360 : "δεν αλλαζει" και ημ αρνητικο στο 4ο τεταρτημοριο) ημ(90 0 +α)= συνα 0 (90 : "αλλαζει" και ημ θετικο στο ο τεταρτη μοριο) Ετσι 0 0 συν(70 + α) συν(80 + α) ημα (- συνα) = = = 0 0 ημ(360 - α) ημ(90 +α) - ημα συνα Ειναι συν =συν( )=- ημ45 = η συν35 = συν(80-45 )=- συν45 = - Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 3

32 ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ (ΓΩΝΙΕΣ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΕΣ ) Μετατρεουμε τη γωνια του τριγωνομετρικου αριθμου σε αθροισμα η διαφορα της μορφης : κ ±θ (κ 360±θ), ± θ (λ 4 90±θ), οου θ< Διαγραφουμε τα : κ, κ 360,, λ 4 90 (εαναληψη του τριγωνομετρικου κυκλου). Λυνουμε οως στη ροηγουμενη εριτωση. Ειναι 0 0 συν( )= συν( ) εφ + = εφ ημ640 = ημ( ) Ετσι συν( )= συν( )= συν(+ 30 ) ΙΙΙ 0 = - συν30 =- συν < 0 3 εφ + = εφ 0+ + = εφ = εφ ΙΙ = - σφ =- 4 εφ < ημ640 = ημ( )= ημ0 = ημ( ) 3 ΙΙ 0 = συν30 = ημ > 0 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 3

33 ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ (ΜΟΡΦΗ ΣΕΙΡΑΣ) Μετασχηματιζουμε τη αρασταση σε αρασταση ζευγαριων τριγω - νομετρικων αριθμων ου οι γωνιες τους εχουν αθροισμα 90 0 η 80 0 η Σε καθε ζευγαρι, αντικαθιστουμε την ι δ ι α γωνια σαν διαφορα της αλλης αο το 90 0 η 80 0 η Χρησιμοοιουμε ιδιοτητες τριγωνομετρικων αριθμων και αοδει - κνυουμε. Α = εφ εφ... εφ89 = =(εφ εφ89 ) (εφ εφ88 )... (εφ44 εφ46 ) εφ45 = 44 ζευγη =[εφ εφ(90 - )] [εφ εφ(90 - )] [εφ44 εφ(90-44 )] 44 οροι 0 εφ(90 - α) = σφα 0 εφ45 = εφασφα= =(εφ σφ ) (εφ σφ )... (εφ44 σφ44 ) εφ45 = =... = 0 εφ45 = ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ (ΓΩΝΙΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ή ΓΝΩΣΤΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΩΝΙΩΝ) Στο γνωστο αθροισμα γωνιων, μεταφερουμε μια γωνια στο μελος με τον αριθμητικο ορο. Θεωρουμε τα δυο μελη της ισοτητας ου ροεκυψε, σαν δυο ισες γωνιες και αιρνουμε τους τριγωνομετρικους αριθμους τους, ανα - λογα με το ζητουμενο. Μετασχηματιζουμε την ισοτητα ου ροκυτει, συμφωνα με τα ροηγουμενα. Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 33

34 Ειναι Α Β Γ Α Γ Β Α+Γ Β Α+Β+Γ= + + = + = - ημ = ημ - ημ - α = συνα Α+Γ Β ημ = συν () Οοτε () ημ α + συν α = Β Α+Γ Β Β ημ +ημ =ημ +συν = ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗΣ ΑΝΙΣΟΤΙΚΗΣ ΣΧΕΣΗΣ Με μετασχηματισμους στη δοσμενη τριγων ομετρικη ανισοτητα καταληγουμε σε ροφανες. Ειναι ημα εφα> (- συνα) ημα ημα > - συνα συνα ημ α > -συνα 0 < α < συνα > 0 συνα ημ α> συνα- συν α - συν α> συνα- συν α +συν α-συνα> 0 (-συνα) > 0 ου αληθευει αφου συνα< (α 0). Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 34

35 ΓΙΑ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ 0. Να υολογισετε σε μοιρες, βαθμους και ακτινια, τη γωνια ου σχηματιζουν οι δεικτες ενος ρολογιου, οταν αυτο δειχνει δωδεκα και τε - ταρτο ακριβως. 0. Αν 5 7 Α= 3ημω+4συνω ημω- 4συνω να υολογιστει η τιμη της αραστασης: 03. Να βρεθει μια γωνια, αν ειναι γνωστο οτι η διαφορα των μετρων της σε μοιρες και βαθμους ειναι ιση με το μετρο της σε ακτινια διαιρεμενο με Αν ημx=- και < x<, τοτε να υολογισετε τη τιμη της αρα- 5 ημx+συνx στασης: Α= εφx-σφx 05. Αν 3 συνx=- και <x<, τοτε να υολογ ισετε τους αλλους τριγω- 5 νομετρικους αριθμους. 06, 3 Αν σφx= 3 και <x<, τοτε να υολογ ισετε τη τιμη της αραστασης : x x x x 07. x- Αν x>, 0< α< και ημα=, τοτε να δειξετε οτι: x εφα= x- Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 35

36 08. Αν x, x ειναι ριζες της εξισωσης (-συνα)x -(-συν α)x-ημ α-συνα+= 0, α κ να δειξετε οτι: x + x +x x = 09. Aν ημx+3συνx= 3, τοτε να δειξετε οτι: (3ημx-συνx) = 0. Να δειξετε οτι για οοιαδηοτε γωνια α, ισχυει: -σφ α -= ημ α +σφ α. Να αοδειξετε οτι: 5 ημ50 + εφ συν σφ +ημ =. 4x- Αν x>, 0< α< και συνα=, τοτε να δειξετε οτι: 4 4x σφα= 4x- 3x- 3x- Αν x>, 0< α<, 0< β<, ημα= και εφβ=, 3 3x τοτε να δειξετε οτι: α= β 3, Αν x, x ειναι ριζες της ε ξισωσης: (+ημα)x -(+ημ α)x+(-ημα)ημα= 0, με ημα - να δειξετε οτι: x + x +x x = Αν εφ x= +εφ y, τοτε να δειξετε οτι: συν y= συν x Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 36

37 4. Aν 3ημx+5συνx= 5, τοτε να δειξετε οτι: (3συνx-5ημx) = 9 Aν συνx-ημx= ημx, τοτε να δειξετε οτι: συνx+ημx= συνx 5. Να δειξετε οτι για οοιαδηοτε γωνια α, ισχυει: -εφ α = -ημ α +εφ α (+ημα+συνα) συν α (+εφ α)+ημ α (+σφ α)= ημ α - = συνα +συνα ημ α +σφα= +συνα = (+συνα)(+ημα) ημα 6. Να βρειτε τη μεγιστη και ελαχιστη τιμη των αραστασεων: Α= 3+συνα Β= Γ= 4+5συν α 7-3συνα 7. Να αοδειξετε οτι: εφ εφ4... εφ88 = εφ5 +συν690 εφ = εφ405 + ημ570 Δινονται οι αραστασεις: ημ(- x) εφ(5+x) συν +x σφ(-x) Α= 5 5 συν(3-x) εφ +x ημ -x 3 ημ(-x) συν(+x) σφ -x Β= 5 3 συν +x συν +x ημ(+x) 3 Να αοδειξετε οτι Α= Β. Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 37

38 8. Να αοδειχτει οτι: 0 0 ημ(90 + ω)ημω+ συν(90 + ω)συνω= σφ(90 + ω)εφω+ σφ(90 - ω)εφω= συνω+ημ(70 +ω)-ημ(70 -ω)+συν(80 +ω)= σφω+εφ(80 +ω)+εφ(90 +ω)+εφ(360 -ω)= ημ50 συν40 - συν300 ημ0 = σφ5 εφ35 -σφ εφ5 = 0 9. Να γράψετε σε αλούστερη μορφή τις αραστάσεις: εφ(+x) συν(-x) ημ(9+x) Α= 7 3 σφ x - συν(x - )συν - x συν +α ημ +α συν -α Β= 5 7 εφ +α ημ -α εφ 3+α ημ(-x) εφ(5+ x) συν + x σφ(- χ) 5 5 συν(3-x) εφ +x ημ -x 3 ημ(- x) συν(+x) σφ - x 5 3 συν +x συν +x ημ +x 0. Να αοδειξετε οτι σε καθε τριγωνο ΑΒΓ ισχυει: ημa= ημ(b+γ) ημ A+συν (B+Γ)=. Να αοδειξετε οτι σε καθε κυρτο τετραλευρο ΑΒΓΔ ισχυει: A+Β Γ+Δ A+Γ Β+Δ A+Δ Β+Γ ημ = ημ εφ =- εφ συν =- συν Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 38

39 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x)=ρημ(ωχ)+μ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x)=ρ ημχ, ρ>0... οως η f(χ)=ημχ με Περιοδο : Τ= Ακροτατα η f αρουσιαζει μεγιστο στο ελαχιστο στο με τιμη ρ και 3 χ= με τιμη -ρ Συνολο τιμων f(α)=[-ρ,ρ] ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x)=ημ(ωχ), ω 0... οως η f(χ)=ημχ με Περιοδο : Τ= Ακροτατα ω η f αρουσιαζει μεγιστο στο χ= ω με τιμη και ελαχιστο στο 3 χ= ω με τιμη - Συνολο τιμων f(α)=[-,] ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x)=ημ(χ+α)... οως η f(χ)=ημχ με Περιοδο : Τ= Ακροτατα η f αρουσιαζει μεγιστο στο ελαχιστο στο με τιμη 3 χ= με τιμη - Συνολο τιμων f(α)=[-,] Μια μετατοιση του γραφηματος της f(χ)=ημχ κατα α, δεξια αν α<0 η αριστερα αν α>0 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 39

40 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x)=ημχ+μ... οως η f(χ)=ημχ με Περιοδο : Τ= Ακροτατα η f αρουσιαζει μεγιστο στο ελαχιστο στο με τιμη μ+ 3 χ= με τιμη μ- Συνολο τιμων f(α)=[μ-,μ+] Μια μετατοιση του γραφηματος της f(χ)=ημχ κατα μ, κατω αν μ<0 η ανω αν μ>0 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x)=ρ ημ(ωχ), ω 0... οως η f(χ)=ημχ με Περιοδο : Τ= Ακροτατα ω η f αρουσιαζει μεγιστο στο χ= ω με τιμη ρ και ελαχιστο στο 3 χ= ω με τιμη -ρ Συνολο τιμων f(α)=[-ρ,ρ] ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x)= ρ ημ(ωχ)+μ, ω 0... οως η f(χ)=ημχ με Περιοδο : Τ= Ακροτατα ω η f αρουσιαζει μεγιστο στο χ= ω με τιμη μ+ρ ελαχιστο στο 3 χ= ω με τιμη μ-ρ Συνολο τιμων f(α)=[μ-ρ,μ+ρ] Μια μετατοιση του γραφηματο ς της f(χ)=ρ ημ(ωχ) κατα μ, κατω αν μ<0 η ανω αν μ>0 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 40

41 ... με αναλογο τροο και ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x)=ρσυν(ωχ)+μ, ω 0... οως η f(χ)=συνχ με Περιοδο : Τ= ω Ακροτατα η f αρουσιαζει ελαχιστο στο χ= με τιμη μ-ρ μεγιστο στα χ=0, 3 χ= ω με τιμη μ+ρ Συνολο τιμων f(α)=[μ-ρ,μ+ρ] Μια μετατοιση του γραφηματος της f(χ)=ρ συν(ωχ) κατα μ, κατω αν μ<0 η ανω αν μ>0 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x)=ρεφ(ωχ)+μ, ω 0... οως η f(χ)=εφχ με Περιοδο : Τ= Ακροτατα ω η f δεν αρουσιαζει ακροτατα Συνολο τιμων f(α)= Μια μετατοιση του γραφηματος της f(χ)=ρ συν(ωχ) κατα μ, κατω αν μ<0 η ανω αν μ>0 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x)=ρ ημ(ωχ+α), ω 0... γινεται f(x) α ω, ω 0 Μια μετατοιση του γραφηματος της α f(χ)=ρ ημ(ωχ) κατα, δεξια αν α<0 ω η αριστερα αν α>0... και αει... λεγοντας! Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 4

42 ΣΧΟΛΙΟ Στο τριγωνομετρικο κυκλο, θεωρουμε σημειο M(x,x ) τετοιο ωστε MOx Τοτε ( ) x x x ημχ+x συνχ=συναημχ+ ημασυνχ= ημ(χ+α) x x Δηλαδη, μορουμε να μελετησουμε τη συναρτηση f(x)=ημ(χ+α) αντι τ ης συνα ρτ ησης f(x) x ημχ+x συνχ με x,x 0 Το αραανω ισχυει για οοιοδηοτε Μ ου βρισκεται ανω στο φορεα της τελικης διανυσματικης ακτινας. Για το τυχαιο Μ(κ,λ) τοτε ρ=(ομ)= κ +λ,ημα=, συνα= και θα ισχυει κ ημχ+λ συνχ=ρ ημ(χ+α) Συνεως Αν κ,λ 0 και χ τοτε οου, και α με Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 4

43 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ... Πεδιο ορισμου: Α= Η συναρτηση f γραφεται: f(x)= 3ημ x- 8 αρτηση g(χ)=3ημχ. ου ροκύτει α'τη συν - Το γραφημα της f ροκυτει αο μετατοιση του γραφηματος της g αν το τελευταιο μετατοιστει κατα Για τη g(χ)=3ημχ Συνολο τιμων: g(α)=(-ρ,ρ)=[-3,3] Περιοδος: Τ= = Ακροτατα: η g αρουσιαζει 8 μοναδες δεξια και μοναδα κατω. μεγιστο στη θεση με τιμη 3 και ελαχιστο στη θεση 3 χ= 4 με τιμη -3 4 Για τη f(x)= 3ημ x- 8 Συνολο τιμων: f(α)=(-ρ-,ρ-)=[-4,] Περιοδος: Τ= Ακροτατα: η f ειναι 3 μεγιστο στη θεση με τιμη και ελαχιστο στη θεση χ= με τιμη Το ζητουμενο γ ραφημα φαινεται διλα Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 43

44 Να ροσδιοριστει ο τυος της συναρτησης ου το γραφημα της φαινεται στο διλανο σχημα αν ειναι της μορφης: f(x)=ρημ(ωχ+α)+μ Ειναι (-ρ+μ, ρ+μ)=(-3,3) ετσι f(x)=3ημ(ωχ+α) -ρ+μ 3(+) μ 0 μ 0 ρ+μ 3 ρ+μ 3 ρ 3 ομως f(x)=3ημ(ωχ+α)= 3ημ(ω(χ+ )) αρατηρουμε οτι το γραφημα της f ειναι μετατοισμενο κατα (α<0) ενω η εριοδος της f ειναι Τ= ετσι Τ Τελικα, f(x)= 3ημ χ δεξια Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 44

45 0. Να βρεθει η εριοδος και τα ακροτατα των αρακατω συναρτησεων και να γινουν τα αντιστοιχα γραφηματα: f(x)= ημχ g(x)= συν3x h(x)= 3συν χ+ 4 χ h(x)= ημ Να ροσδιορισετε τους τυου των συναρτησεων ου τα γραφηματα τους φαινονται αρακ ατω 03. Να βρεθει η εριοδος, η μεγιστη και ελαχιστη τιμη των συναρτησεων: χ f(x)= 4ημ x g(x)= - 6 h(x)= ημ(- χ) φ(x)= 3ημ(4χ) Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 45

46 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚOI ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ -ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΓΩΝΙΩΝ Θεωρουμε τις γωνιες α και β ου οι τελικες τους λευρες τεμνουν τον τριγωνομετρικο κυκλο στα ση- μεια Μ, Μ Προφανως Μ ΟΜ αντιστοιχα (σχημα ) συνεταγμενες του Μ τετμημενη : συνα τεταγμενη : ημα συνεταγμενες του τετμημενη : συνβ τεταγμενη : ημβ Ετσι εχουμε: Μ (Μ Μ ) (ημα- ημβ) +(συνα- συνβ) ημ α+ ημ β- ημαημβ + συν α+ συν β- συνασυνβ - (ημαημβ +συνασυνβ) ( ) Θεωρουμε τη γωνια α-β ου η τελικη της λευρα τεμνει τον τριγωνομετρικο κυκλο στ ο σημειο Μ (σχημα ). Εχουμε εριστρεψει τους αξονες του σχηματος δε - ξιοστροφα, οοτε τ ο σημειο Μ συμιτ ει με την αρχη των τοξων (Α) ενω το Μ συμιτει με τ ο ση- μεια Μ και ροκυτει το σχημα. συνεταγμενες του Μ τετμημενη : συν(α-β) τεταγμενη : ημ(α-β) συνεταγμενες του Α τετμημενη : τεταγμενη : 0 Ετσι εχουμε: (ΑΜ) =(συν(α- β)- ) +(ημ(α- β)- 0) συν (α- β) +-συν(α-β)+ ημ (α-β) -συν(α-β) () Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 46

47 Ειναι Μ ΟΜ (Μ Μ ) (ΑΜ) Συνεως - (ημαημβ + συνασυνβ) - συν(α- β) συν(α-β)=ημαημβ+συνασυνβ Η αραανω ισοτητα ισχυει για οοιεσδηοτε γωνιες α και β (θετικες η αρνητικες με οοιοδηοτε μετρο), συνεως αν αντικαταστησουμε τη γωνια β με τη γωνια -β στη αραανω ισοτητα, ροκυτει συν(α-(-β))=συνασυν(-β)+ημαημ(-β) και αφου συν(-β)=συνβ, ημ(-β)=-ημβ ΗΜΙΤΟΝΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ -ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΓΩΝΙΩΝ Ειναι ημ(α+β) ημω=συν -ω = συν -(α+β) συν -α -β) = συν -α συνβ+ημ -α ημβ συν(α-β)=συνασυνβ+ημαημβ Συνεως ημω=συν -ω = ημασυνβ+συναημβ και αν θεσουμε οου β το -β ημ(α +(-β)) = ημασυν(-β) +συναημ(-β) ημ(α- β) = ημασυνβ +συνα(-ημβ) Συνεως ημ(-ω)=-ημω συν(-ω)=συνω Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 47

48 ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ -ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΓΩΝΙΩΝ Με τη ρουοθεση συνα 0, συνβ 0, συν(α+β) 0 (για να οριζονται οι εφα, εφβ και εφ(α+β)) εχουμε εφ(α+β) ημω εφω= συνω ημ(α+β) = συν(α+β) ημασυνβ+συναημβ συνασυνβ- ημαημβ διαιρουμε με συνασυνβ 0 ημα συνβ συνα ημβ + συνα συνβ συνα συνβ συνα συνβ ημα ημβ - συνα συνβ συνα συνβ εφα+εφβ -εφαεφβ Συνεως και αν θεσουμε οου β το -β εφ(-ω)=-εφω εφα +εφ(-β) εφα- εφβ εφ(α+(-β))= εφ(α-β)= - εφαεφ(-β) - εφα(-εφβ) Συνεως ΣΥΝΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ -ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΓΩΝΙΩΝ Με τη ρουοθεση ημα 0, ημβ 0, ημ(α+β) 0 (για να οριζονται οι σφα, σφβ και σφ(α+β)) εχουμε σφ(α+β) -εφαεφβ = = εφ(α+β) εφα+εφβ εφωσφω= εφωσφω= - σφασφβ + σφα σφβ σφασφβσφασφβ σφβ+σφα σφασφβ σφασφβ- σφβ+σφα Συνεως Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 48

49 και αν θεσουμε οου β το -β σφασφ - -σφασφ σφ(α+(-β))= σφ(α-β)= σφα +σφ(-β) σφα- σφβ Συνεως σφ(-ω)=-σφω (-β) β- ΣΧΟΛΙΟ Με τους αραανω τυους αθροισματος διαφορας και αφου ειναι γνω - στοι οι τριγωνομετρικοι α ριθμοι των γωνιων 30 0, 45 0, 60 0, 90 0 μορουμε να υολογισουμε ευκολα τριγωνομετρικους αριθμους γωνιων ου ειναι αθροισμα ή διαφορα δυο γωνιων αο τις αραανω. Παραδειγμα, ευκολα υολογιζουμε τους τριγωνομετρικους αριθμους της γωνιας 75 0, αφου 75=45+30 κ αι... Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 49

50 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚOI ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΙΠΛΑΣΙΟΥ ΤΟΞΟΥ ΗΜΙΤΟΝΟ ΔΙΠΛΑΣΙΟΥ ΤΟΞΟΥ (ΓΩΝΙΑΣ α) Ισχυει ημ(α+β)=ημασυνβ+συναημβ και αν θεσουμε οου β το α ημ(α+α)=ημασυνα+συναημα ημα=ημασυνα Συνεως ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟ ΔΙΠΛΑΣΙΟΥ ΤΟΞΟΥ (ΓΩΝΙΑΣ α) Ισχυει συν(α+β)=συνασυνβ-ημαημβ και αν θεσουμε οου β το α συν(α+α)= συνασυνα-ημαημα συνα= συν α-ημ α ημ α=-συν α συνα = συν α-(- συν α) = συν α- + συν α= συν α- συνα = συν α-= (-ημ α)-= -ημ α-= - ημ α Συνεως συν α=-ημ α ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΔΙΠΛΑΣΙΟΥ ΤΟΞΟΥ (ΓΩΝΙΑΣ α) Ισχυει εφ(α+β)= εφα+εφβ - εφαεφβ και αν θεσουμε οου β το α εφ(α+α)= Συνεως εφα +εφα φα= εφα - εφαεφα - εφ α Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 50

51 ΣΥΝΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΔΙΠΛΑΣΙΟΥ ΤΟΞΟΥ (ΓΩΝΙΑΣ α) Ισχυει σφ(α+β)= σφασφβ- σφα+σφβ και αν θεσουμε οου β το α σφ(α+α)= Συνεως σφασφα- σφ α- σφα+σφα σφα= σφα ΣΧΟΛΙΟ Αν στους τυους του συνα θεσουμε οου α το ροκυτουν οι τυοι υοδιλασιασμου τοξου (γωνιας α α α συν = -ημ ημ συνεως ) α α α συν = συν συν συνεως α α α εφ και σφ α συνεως Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 5

52 Οι τριγωνομετρικοι αριθμοι του διλασιου τοξου α εκφραζονται σε συναρτηση με την εφα Πραγματι ημασυνα ημασυνα ημα= ημασυνα= = = συνεως εφα +εφ α ημ α+συν α συν α ημασυνα συν α ημ α συν α + συν α συν α συν α- ημ α συν α συνα= συν α- ημ α= = συνεως ημ α+συν α συν α συν α ημ α συν α + ημ α συν α συν α συν α -ε φα +ε φα ειναι εφα εφα= -εφ α συνεως Αν στους τυους του αθροισματος εχουμε για γωνιες τις α, α θα ροκυψουν οι τριγωνομετρικοι αριθμοι του τριλασιου τοξου Ετσι Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 5

53 ημ3α=ημ(α+α) = ημασυνα + συναημα = ημασυν α +(- ημ α)ημα = ημα(- ημ α) +(- ημ α)ημα 3 3 = ημα-ημ α+ημα-ημ α = 3ημα- 4ημ 3 α συν3α=συν(α+α) = συνασυνα- ημαημα =(συν α- )συνα- ημασυναημα =(συν α- )συνα- ημ ασυνα =(συν α-)συνα-(-συν α)συνα 3 3 = συν α-συνα-συνα+ συν α 3 = 4συν α- 3συνα Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 53

54 0. Να υολογιστουν οι αραστασεις: Α= συν75 +σφ Β= ημ συν +ημ συν 7 7 Γ= συν80 συν70 - ημ80 ημ Να αοδειξετε οτι: εφ 4α-εφ α =εφ5α εφ3α -εφ 4α εφ α εφ5α- εφ8α- εφ7α= εφ5α εφ8α εφ7α - = σφ4α εφ3α+εφα σφ3α+σφα συνα+ημα εφ( +α)= 4 συνα- ημα ημ α- ημ β εφ(α+β)= ημα συνα-ημβ συνβ 03. Να αλοοιηθουν οι αραστασεις: Α= συν5xσυν4x+ημ5xημ4x Β= ημxσυν -x +ημ -x συνx 4 4 Γ= συν -x +συν +x Να δειξετε οτι: Αν συν(α-β)= ημα ημβ, τοτε: ημ (α+β)= συν α+συν β Αν ημα- ημβ= κ- λ και συνα+συνβ= κ+λ, τοτε: συν(α+β)= κ +λ Σε καθε τριγωνο ΑΒΓ να δειξετε οτι: ημα ημ(β-γ)+ημβ ημ(γ-α)+ημγ ημ(β-α)= 0 συνγ συν(α-β)-συνα συν(γ-β)= ημβ ημ(α-γ) Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 54

55 06. 0 Να δειξετε οτι το τριγωνο ΑΒΓ ειναι ορθογωνιο (Α= 90 ), αν: συνα+συν(β+γ)-συνβ συνγ +σφβ= 0 ημα+ημ(β-γ) 07. Να αοδειξετε οτι: Αν α+β+γ=, τοτε: σφα+σφβ+σφγ= σφα σφβ σφγ Αν α+β+γ=, τοτε: εφα εφβ+εφβ εφγ+εφγ εφα= Αν α+β=, τοτε: (+εφα) (+εφβ)= 4 Αν α-β=, τοτε: (σφα- 3) (σφβ+ 3)=- 4 6 Αν α+β+γ=, τοτε: σφα σφβ+σφβ σφγ+σφγ σφα= Αν α+β+γ=, τοτε: εφα+εφβ+εφγ= εφα εφβ εφγ 08. Να αοδειχτει οτι: -συνα+ημα =εφα +συνα+ημα +ημα + εφα = συνα - εφα +εφα εφα= συνα εφ -α = - ημα 4 + ημα +ημα σφ -α = 4 συνα 09. Να αοδειξετε οτι: σφα= σφ α- σφα εφα+σφα= ημα Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 55

56 0. Να αοδειξετε οτι: εφ = -ημα 4 +ημα +εφα+εφα= συνα. Αν γνωριζουμε οτι εφ 3, υολογισετε τους τριγωνομετρικους αριθμους ημα, συνα, εφα, σφα, υολογισετε τον τριγωνομετρικο αριθμο εφ. Να αοδειχτει οτι υαρχουν κ, λ τετοιοι ωστε να ισχυει: σφα+λσφα για καθε τιμη του του τοξου α. 3. α β γ Αν α+β+γ= και σφ, σφ, σφ ειναι διαδοχικοι οροι αριθμητικης α γ ροοδου, να αοδειξετε οτι: σφ σφ = 3 4. Να αοδειξετε οτι το τριγωνο ΑΒΓ ειναι ισοσκελες (ΑΒ= ΑΓ) αν για τις γωνιες Β και Γ ισχυει: Β 3 Γ Γ 3 Β ημ συν = ημ συν Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 56

57 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Στο διλανο σχημα βλεουμε τους τριγωνομετρικους αριθμους της γωνιας ω. Για το ημιτονο, αρατηρουμε οτι οι γωνιες ου δινουν το ημω ειναι οι κ+ω και (κ+) -ω, Ετσι εχουμε την ισοδυναμια ημx= ημθ x= κ+θ, κ x=(κ+ )- θ Για το συνημιτονο, αρατηρουμε οτι οι γωνιες ου δινουν το συνω ειναι οι κ+ω και κ -ω, Ετσι εχουμε την ισοδυναμια συνx= συνθ x= κ+θ, κ x= κ-θ Για την εφατομενη, αρατηρουμε οτι οι γωνιες ου δινουν την εφω ειναι οι κ+ω και (κ+)-ω, δηλαδη ειναι οι γωνιες κ+ω. Ετσι εχουμε την ισοδυναμια εφx= εφθ ΣΧΟΛΙΟ x=κ+θ, κ Προκειμενου να λυσουμε μια εξισωση της μορφης ημχ=α, συνχ=β, εφχ=γ και να χρησιμοοιησουμε τιας αραανω ισοδυναμιες,ας εχουμε υοψιν τα οι α, β, γ ειναι ημ, συν, εφ καοιας γνωστης γωνιας, αντιστοιχα. ρεει α [-,] και β [-,] γιατι σε διαφορετικη εριτωση η εξισω - ση ειναι αδυνατη. Γραφικα, για τη λυση των αραανω εξισωσεων, αναζητουμε τις τε - τμημενες των κοινων σημειων των ευθειων y=α, y=β, y=γ και των γραφηματων ημ. συν, εφ αντιστοιχα. Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 57

58 Προκειμενου να λυσουμε μια εξισωση της μορφης σφχ=δ, δ με την ισοδυναμη της εφx= δ 0, λυνου- Γνωστες ισοδυναμιες (σχημα) με κ κ 0 ή χ= κ (κ+) 0 ή χ= κ κ 0 ή χ= κ (κ+) κ+ κ κ 4 κ- χ=(κ+) κ 4 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 58

59 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ - ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤ Α ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ: ΜΟΡΦΗ ημχ=α ή συνχ=β ή εφχ=γ Φερνουμε την εξισωση σε μορφη : ημx = α, συνx = β, εφx = γ. Μετασχηματιζουμε τα α, β, γ με -ºα,β,γº, σε ημιτονο, συνημιτονο, εφατομενη γνωστων γωνιων (θ) αντιστοιχα. Βρισκουμε το x α τις σχεσεις : Π α ρ α τ η ρ η σ η Αν η εξισωση ειναι δευτεροβαθμια ως ρος εναν α τους αραανω τριγωνομετρικους αριθμους, τοτε ειτε αραγοντοοιουμε το τριωνυμο και εχουμε ενα γινομενο βασικων τριγωνομετρικων εξισωσεων ισο με το μηδεν ειτε αντικαθιστουμε τον τριγωνομετρικο αριθμο με y, βρισκουμε τις ριζες της δευτεροβαθμιας και ροκυτουν δυο εξισω σεις της αραανω μορφης. Ειναι συν x+ = συν x+ = 4 4 συν x+ = συν 4 3 x+ = κ+ 4 3, κ x+ = κ- 4 3 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 59

60 x= κ+ - x= κ+ 3 4, κ, κ 7 x= κ- - x= κ ημ x- =- 3 ημ x- = ημ x- = ημ x- = κ+ 4 3, κ 4 x- = κ x= κ , κ 4 x= κ x= κ+, κ x= κ- εφ x-(+ 3)εφx+ 3 = 0 εφ x- εφx- 3εφx+ 3 = 0 εφx(εφx- )- 3(εφx- )= 0 (εφx- )(εφx- 3)= 0 εφx-= 0 εφx- 3 = 0 εφx= εφx= 3 εφx= εφ 4 εφx= εφ 3 x=κ+ 4, κ x=κ+ 3 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 60

61 ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ: ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Μετατρεουμε την εξισωση στον ιδιο τριγωνομετρικο αριθμο, με - τασχηματιζοντας τον αλλο συμφωνα με : Τους τυους συμληρωματικων γωνιων (χ ημ x = συν(90 0 -x)). Τις σχεσεις : εφx σφx = ημ x + συν x = Συνεχιζουμε οως στη ροηγουμενη εριτωση. Ειναι συν x+ = ημ συν x+ = συν συν x+ = συν 4 6 x+ = κ+ 4 6, κ x+ = κ- 4 6 x= κ , κ x= κ x=κ- 4 5 x=κ- 4 εφx εφx= εφx= εφx εφx= σφx εφx= εφ -x x= κ+ -x, κ Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 6

62 3x= κ+, κ κ x= +, κ 3 6 (ημx- συνx) = - ημ x ημ x- ημxσυνx+ συν x= - ημ x -ημxσυνx= -ημ x ημ x- ημxσυνx= 0 ημx(ημx- συνx)= 0 ημx= 0 ημx-συνx= 0 ημx= ημ0 συνx= ημx ημx= ημ0 συνx= συν -x x= κ η x= κ+, κ x= κ+ -x η x= κ- +x η η, κ x= κ x= κ+ x= κ+ 4 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 6

63 ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ: ΣΥΓΚΕΚΡΙΜΕΝΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΓΩΝΙΩΝ Λυνουμε συμφωνα με τα ροηγουμενα Προσδιοριζουμε τον κ, α τη διλη ανισοτητα με ακρα μελη, τα ακρα του δοσμενου διαστηματος και μεσαιο μελος τη γενικη λυση της ε - ξισωσης (εριεχει τον κ). Ειναι εφ 4x- =- 3 εφ 4x- =- εφ 4x- = ( 3) 3 3 εφ 4x- =- εφ 4x- =- 3 εφ 4x- = εφ x- = κ+,κ 4x= κ+ +, κ 4x= κ+, κ κ x= +, κ 4 4 Ομως 3 κ 3 κ 3 x< + < < κ κ 5 < κ< 5 κ< 5 κ=,,3, Για κ= x= + = Για κ= x= + = Για κ= 3 x= + = 4 4 το συνολο λυσεων ειναι: 3 5,,, Για κ= 4 x= + = Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 63

64 ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ: ΜΟΡΦΗ κημχ+λσυνχ=μ, κ,λ,μ Αντικαθιστουμε τα ημχ, συνχ συμφωνα με τους τυους και και ροκυτει δευτεροβαθμια εξισωση ως ρος δηλαδη Ειναι (+ 3)ημχ+(- 3)συνχ= + 3 χ χ εφ - εφ (+ 3) +(- 3) = + 3 χ χ +εφ + εφ χ χ χ (+ 3)εφ +(- 3)(- εφ )=(+ 3) + εφ χ χ χ (+ 3)εφ (- 3)εφ = + 3 +(+ 3)εφ χ εφ (+ 3)εφ χ Vieta εφ (+ 3)εφ χ χ χ χ εφ ή εφ 3 χ χ χ εφ εφ χ= κ+, κ 4 4 χ χ χ 3 εφ 3 εφ χ= κ+, κ 3 ΣΧΟΛΙΟ Η αραανω μεθοδος αντιμετωιζεται και με βοηθητικη γωνια. Διαιρουμε με κ, θετουμε εφθ= () και μετα αο ραξεις ροκυτει η εξισωση: ημ(χ+θ)= συν θ (υολογιζουμε ρωτα το θ αο ()) και... Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 64

65 ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ: ΜΟΡΦΗ f(ημχ, ημχ,...συνχ, συνχ,...)=0 Αντικαθιστουμε τα ημχ,... συνχ,... συμφωνα με τους τ υους διλασιου, τριλασιου,... τοξου, και ροκυτει εξισωση ως ρος ημχ, συνχ. Στη συνεχεια λυνουμε κατα τα γνωστα Ειναι y = ημ χ 3 4 ημχ ημ3χ= ημχ (3ημχ-4ημ χ)= 8ημ χ-6ημ χ+= y 6y 0 y Για y= : ημ χ= ημχ=- ημχ= χ= κ+ 5 4 ημχ= ημ 4 5 χ= κ+- 4 ημχ= ημ 4 χ= κ+ 4 χ= κ+- 4 χ= κ- 4 3 χ= κ+ 4 Για y= : 4 ημ χ= 4 χ= κ- 6 ημχ=- ημχ= ημ 6 χ= κ++ 6 χ= κ+ 6 ημχ= ημχ= ημ 6 χ= κ χ= κ+ 6 5 χ= κ+ 6 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 65

66 ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ: ΜΟΡΦΗ αημχ+βσυνχ=0 α,β 0 Ειναι ημχ 0 και συνχ 0 (δες σελ. 7) οοτε διαιρουμε την εξισω ση με συνχ, και ροκυτει η εξισωση Στη συνεχεια λυνουμε κατα τα γνωστα Ειναι συνχ 0 ημχ συνχ 3ημχ- 3 συνχ= = 0 συνχ συνχ 3εφχ- 3 = 0 εφχ= 3 3 εφχ = εφ 6 χ = κ+, κ 6 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 66

67 0. Να λυθουν οι εξισωσεις: 4x x 3 0 (3 x 3)( x 3)( x ) 0 ( x )( x ) 0 ημ x- 3ημx=- ημx = εφx+εφ +x =- 4 εφ x+ = εφ x Να λυθουν οι εξισωσεις: x 3 x 3x x 0 x x 4 x x 3 x 3 3ημx= συν x Να λυθουν οι εξισωσεις στα αντιστοιχα διαστηματα : ημ x- =- στο (0,) 3 x+ στο, 6 εφ x- =εφ x+ στο (0,) 3 6 ημ = στο (0, 4 ) 4 3 στο 0, 3 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 67

68 04. Να λυθουν οι εξισωσεις: ημx 3 x x 3 x ημx x x x 05. Να λυθουν οι εξισωσεις: χ συνx= ημ συνx= 3 ημ3χ=8ημ χ εφ3χ=ημ6χ ημ3χ=3συνχ+ συν3χ 06. Να λυθουν οι εξισωσεις: ημx+ συνx= συνχ- 3 ημχ= 0 ημx+ συνx=0 ημx+ συνx=0 ημ x- = 3συν x- 3 3 ημx+ συνx=0 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 68

69 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 69

70 τακης τσακαλακος 08

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής ου έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα ρέει: Να γνωρίζει την έννοια της εριοδικής συνάρτησης,και να μορεί να σχεδιάζει τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων y= αημ(ωx), y=ασυν(ωx). Να μορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. 1.Να βρείτε τους αριθμούς: i)ημ ii)συν( ) ΛΥΣΗ i)διαιρώντας το 1125 με το 360 βρίσκω.

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. 1.Να βρείτε τους αριθμούς: i)ημ ii)συν( ) ΛΥΣΗ i)διαιρώντας το 1125 με το 360 βρίσκω. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Να βρείτε τους αριθμούς: i)ημ5 0 ii)συν(-660 0 ) i)διαιρώντας το 5 με το 60 βρίσκω και εομένως 0 0 0 5 60 5 5 60 5 5 0 0 0 0 0 ii) ( 660 ) ( 70 60 ) ( 60 60 ) 0 (60 ) Να

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ 1. Τι ονομάζουμε εριοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση ƒ με εδίο ορισμού το Α λέγεται εριοδική όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ, Τ > 0 τέτοιος ώστε για κάθε χ Α να ισχύει α) χ+τ Α, χ -

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΩΝΙΕΣ Π ΟΥ Σ ΥΝΔΕΟΝΤΑΙ Μ ΕΤΑΞΥ Τ ΟΥΣ

Γ ΩΝΙΕΣ Π ΟΥ Σ ΥΝΔΕΟΝΤΑΙ Μ ΕΤΑΞΥ Τ ΟΥΣ Γ ΩΝΙΕΣ Π ΟΥ Σ ΥΝΔΕΟΝΤΑΙ Μ ΕΤΑΞΥ Τ ΟΥΣ Γωνίες με την ίδια τελική λευρά Γωνίες με άθροισμα 180 - Γωνίες με διαφορά 180 - Γωνίες αντίθετες Γωνίες με άθροισμα 90 - Γωνίες με διαφορά 90 Γωνίες με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας

3.1 Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας . Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας αέναντι κάθετη λευρά ημβ υοτείνουσα ημγ ΑB ροσκε ίμενη κάθετη λευρά συνβ υοτείνουσα συνγ αέναντι κάθετη λευρά εφβ ροσκε ίμενη κάθετη

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οποιασδήποτε γωνίας. . Τότε ορίζουμε: ί ά ά.

Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οποιασδήποτε γωνίας. . Τότε ορίζουμε: ί ά ά. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Αό το Γυμνάσιο ξέρουμε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: ημβ = = έάά ί Γ συνβ = = ίάά ί β α εφβ = = έάά ίάά Τριγωνομετρικοί

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις 6 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις 1. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Περιοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού Α λέγεται εριοδική, όταν υάρχει T τέτοιος ώστε για κάθε x A να

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΤΟ ΒΑΣΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ: ημ χ+συν χ= ημ χ=-συν χ συν χ=- ημ χ εφχ + σφ χ = εφχ ημχ συνχ = σφχ = ημ χ εφχσφχ σφχ = = συνχ ημχ + εφ χ = συν χ Γωνία χ Τριγωνομετρικοί Αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου ογελ ΣΥΚΕΩΝ ο ΓΕΛ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ Ειμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής ου έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα ρέει: Να γνωρίζει την έννοια της εριοδικής συνάρτησης,και να μορεί να σχεδιάζει τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων y= αημ(ωx), y=ασυν(ωx). Να μορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Πρόσημο τριγωνομετρικών αριθμών Το ρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας (ή τόξου) καθ αό το τεταρτημόριο στο οοίο βρίσκεται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β E.M.E. (τεύχος 4) ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κώστα Βακαλόουλου ΕΙΣΑΓΩΓΗ Αν κάοιος θέλει να άψει να φοβάται το κεφάλαιο της Τριγωνομετρίας, ρέει ν αοφασίσει να διαβάσει ροσεκτικά τους

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί

Ασκήσεις Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί Ασκήσεις Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â =90 ο ) φέρουµε το ύψος Α. Ν.δ.ο. Γ ηµβ σφγ =. ΑΒ. Να υολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας 5 ο. 3. Να υολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις

1.1 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις 11 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Ποια συνάρτηση ονομάζουμε εριοδική; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού το σύνολο Α λέγεται εριοδική, όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ > 0 τέτοιος, ώστε για κάθε x A

Διαβάστε περισσότερα

1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας v.5 «Αυτό το ρόβλημα, τούτ η μεγάλη συμφορά για να λυθεί χρειάζεται, δίχως αμφιβολία, όως κοιτάζω α τη δική σου την λευρά, να δεις κι εσύ α τη δική μου τη γωνία».. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΘΕΩΡΙΑ. 3.1 Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Γωνίας

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΘΕΩΡΙΑ. 3.1 Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Γωνίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΘΕΩΡΙΑ Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, με Α = 90 ο, κάθετες πλευρές β, γ και οξεία γωνία ω. απέναντι κάθετη Ορίζουμε, ημω = υποτείνουσα συνω = προσκείμενη

Διαβάστε περισσότερα

Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις

Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις. Ονομασίες Ορισμοί Ο τριγωνομετρικός κύκλος έχει ακτίνα R. Αρχή μέτρησης των τόξων (γωνιών) είναι το Α, είτε κατά τη θετική φορά (αριστερόστροφα)

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ (Γ ΟΜΑ ΑΣ) Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ (Γ ΟΜΑ ΑΣ) Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ (Γ ΟΜΑ ΑΣ) Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 1 1 1. Σε τρίγωνο ΑΒΓ το ύψος του Α είναι ίσο µε το µισό της λευράς ΒΓ. να αοδείξετε ότι ισχύει εφβ + εφγ εφβ εφγ και σφβ +

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Κεφάλαιο 3 ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. τριγωνομετρικοι αριθμοι γωνιασ Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Έστω οξεία γωνία ω. Αν άνω στη μία αό τις δύο λευρές της γωνίας άρουμε τυχαία σημεία Μ και Ν και φέρουμε τις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις Κεφάλαιο ο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα Α ΟΜΑΔΑΣ Έχουμε: y i 6 + y + y y Άρα, η λύση του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία .0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία Εύρεση τριγωνομετρικών αριθμών οξείας γωνίας σε ορθογώνιο τρίγωνο. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α= 90 0 ). Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας οξείας γωνίας ορίζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. εφχ = εφθ χ = κ + θ χ = κ π + θ ( τύποι λύσεων σε ακτίνια )

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. εφχ = εφθ χ = κ + θ χ = κ π + θ ( τύποι λύσεων σε ακτίνια ) ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ηµχ = ηµθ χ = 0 0 κ + θ ή χ = 0 0 κ + 80 0 - θ ( τύοι λύσεων σε µοίρες ) χ = κ + θ ή χ = κ + - θ ( τύοι λύσεων σε ακτίνια ) κ ακέραιος συνχ = συνθ χ = 0 0 κ ± θ ( τύοι λύσεων

Διαβάστε περισσότερα

Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία. Μάκος Σπύρος. Πανούσης Γιώργος. Παπαθανάση Κέλλυ. Ραμαντάνης Βαγγέλης.

Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία. Μάκος Σπύρος. Πανούσης Γιώργος. Παπαθανάση Κέλλυ. Ραμαντάνης Βαγγέλης. Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σύρος Πανούσης Γιώργος Πααθανάση Κέλλυ Ραμαντάνης Βαγγέλης Σαμάνης Νίκος Τόλης Ευάγγελος -1-01 18808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών: Το ακτίνιο (ή rad) είναι η γωνία που, όταν γίνει επίκεντρη κύκλου (Ο, ρ), βαίνει σε τόξο που έχει μήκος ίσο με την ακτίνα

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Β ημφ, εφφ σφφ Μ Δ συνφ Α www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 1 N Β, 90 ο Α, ο H O 1ο 3ο E Σ Δ, 180 ο 360 ο Ν, 70 ο 4ο 1 ο Τεταρτημόριο

Διαβάστε περισσότερα

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία 0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία Ένας αρατηρητής βρίσκεται σε μια όχθη ενός οταμού και βλέει στην αέναντι όχθη ένα δέντρο υό γωνία ύψους 60 ο Αν αομακρυνθεί κατά 40m, βλέει το ίδιο δέντρο υό γωνία

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ Χαρακτηριστικά μεγέθη της αλής αρμονικής ταλάντωσης είναι: Α) Αομάκρυνση (x ή y): ονομάζεται η αόσταση του σώματος κάθε χρονική στιγμή αό την θέση ισορροίας (x= ή y=) Β) Το λάτος της

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 3ος

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 3ος Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος 3ος Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανειστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παασταυρίδης Στάυρος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

α) Αν ονομάσουμε x το πλάτος του Νείλου στην συγκεκριμένη θέση ΑΒ έχουμε: Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ εφ45 o = 1 = ΒΓ = x

α) Αν ονομάσουμε x το πλάτος του Νείλου στην συγκεκριμένη θέση ΑΒ έχουμε: Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ εφ45 o = 1 = ΒΓ = x ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΗ η Αιγύτιοι μηχανικοί, για να ροσδιορίσουν το λάτος του οταμού Νείλου μεταξύ δύο σημείων A και B, ροσδιόρισαν με το θεοδόλιχο μια διεύθυνση κάθετη ρος την

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 3ο Κεφάλαιο - Τριγωνομετρία - Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες. , να βρεθούν

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 3ο Κεφάλαιο - Τριγωνομετρία - Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες. , να βρεθούν ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ B Λυκείου Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3ο - Φ Υ Λ Λ Ο Νο ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Αν 3 και < x < 3, να βρεθούν οι ΠΡΟΣΟΧΗ : Βασικές Τριγωνομετρικές Ταυτότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ - ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ http://mathhmagic.blogspot.com/ Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί (Εαναλητικά) Ε ί εδη γωνία είναι η κλίση µεταξύ δυο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ 16968, 1765, 17656, 17663, 17664, 17681, 1769, 17699, 17704, 1775, 17736, 17739, 17741 ΘΕΜΑΤΑ 4 17837, 17838,

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ TΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι Ο ρ ι σ μ ο ι. Να δειχτει οτι α + α. Ποτε ισχυει το ισον; Ονομαζουμε ημx την τεταγμενη π/ του Μ (εντονο. Aν μπλε) α, β θετικοι, να συγκρινεται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 2o Θέμα. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (26/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 2o Θέμα. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (26/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου o Θέμα Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση 1 η (6/11/014) Οι ααντήσεις και οι λύσεις είναι αοτέλεσμα συλλογικής δουλειάς των Ειμελητών των φακέλων του

Διαβάστε περισσότερα

Απόδειξη Αποδεικνύουμε το θεώρημα στην περίπτωση που είναι f (x) 0.

Απόδειξη Αποδεικνύουμε το θεώρημα στην περίπτωση που είναι f (x) 0. Αόδειξη Αοδεικνύουμε το θεώρημα στην ερίτωση ου είναι f () 0. Έστω, με. Θα δείξουμε ότι f( ) f( ). 1 1 1 Πράγματι, στο διάστημα [, ] η f ικανοοιεί τις ροϋοθέσεις του Θ.Μ.Τ. δηλαδή 1 είναι συνεχής στο 1,.

Διαβάστε περισσότερα

= συν. Μάθηµα 9. Κεφάλαιο: Τριγωνοµετρία. Θεµατικές Ενότητες: 1. Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί Αθροίσµατος Γωνιών. Εισαγωγή

= συν. Μάθηµα 9. Κεφάλαιο: Τριγωνοµετρία. Θεµατικές Ενότητες: 1. Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί Αθροίσµατος Γωνιών. Εισαγωγή Μάθηµα 9 Κεφάλαιο: Τριγωνοµετρία Θεµατικές Ενότητες: 1 Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί Αθροίσµατος Γωνιών Εισαγωγή Γνωρίζουµε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς των 30 0, όως και των 45 0 Είναι δυνατόν, µέσω αυτών,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 2o Θέμα. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 2 η (2/12/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 2o Θέμα. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 2 η (2/12/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου o Θέμα Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (/1/014) Οι ααντήσεις και οι λύσεις είναι αοτέλεσμα συλλογικής δουλειάς των Ειμελητών των φακέλων του Λυκείου

Διαβάστε περισσότερα

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Ελευθέριος Πρωτοαάς Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Δεκέμβριος 04 Περιεχόµενα o Θέμα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα 6950 8 6954 9

Διαβάστε περισσότερα

Β Γενική Τριγωνομετρία

Β Γενική Τριγωνομετρία Β Γενική Τριγωνομετρία 40 Γενικευμένη γωνία - Γενικευμένα τόξα - Το ακτίνιο Τριγωνομετρικός κύκλος - Τριγωνομετρικοί αριθμοί γενικευμένης γωνίας 1. Η γωνία ω του παρακάτω σχήματος είναι θετική. α) Συνδέστε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Α. Τριγωνοµ ετρικοί αριθµ οί οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Α. Τριγωνοµ ετρικοί αριθµ οί οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Α Τριγωνοµ ετρικοί αριθµ οί οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου 18 Τριγωνοµετρικοί αριθµοί που συνδέονται µε τις οξείες γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου 1. α) Με βάση το διπλανό σχήµα να χαρακτηρίσετε

Διαβάστε περισσότερα

Bbs. ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΝΟΛΑ Σύνολο Φυσικών αριθμών: N = {0,1,2, } Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Z = {,-2,-1,0,1,2, } Σύνολο Ρητών αριθμών: Q = {

Bbs. ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΝΟΛΑ Σύνολο Φυσικών αριθμών: N = {0,1,2, } Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Z = {,-2,-1,0,1,2, } Σύνολο Ρητών αριθμών: Q = { ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΝΟΛΑ Σύνολο Φυσικών αριθμών: N = {0,1,2, } Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Z = {,-2,-1,0,1,2, } Σύνολο Ρητών αριθμών: Q = { Άρρητοι αριθμοί A: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών αριθμών R=

Διαβάστε περισσότερα

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση 1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 15) (Μονάδες 12)

(Μονάδες 15) (Μονάδες 12) ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκε ί ου τ ράε ζ αθε μάτ ων( 1ηέ κδοση) θέ μαδε ύτ ε ροκαιτ έ τ αρτ ο Κόμβ οςατ σι οούλου01415 δης Ει μέ λε ι α:εμμανουήλκ.σκαλί Αντ ώνηςκ.αοστ όλου Άσκηση 1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1 Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1 Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1 Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Έστω ΑΒΓ ένα ορθογώνιο τρίγωνο Είναι γνωστό ότι: ( ΑΒ) ηµ Γ= ( ΒΓ ) ( ΑΓ) συν Γ= ( ΒΓ ) ( ΑΒ) εφ Γ= ( ΑΓ ) ( ΑΓ)

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρία. Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο

Τριγωνομετρία. Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο Τριγωνομετρία Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο Να προσέχεις: ημ(-x)= - ημx εφ(-x)= - εφx σφ(-x)= - σφx συν(-x)= συνx να θυμάμαι όταν έχω - συνx γράφω συν(π-x) δηλαδή συν(π-x)= - συν x ημ(π-x)=ημx δηλαδή ημ10=ημ60

Διαβάστε περισσότερα

Νίκος Ζανταρίδης. Χρήσιμες γνώσεις Τριγωνομετρίας. Λυμένες Ασκήσεις. Προτεινόμενες Ασκήσεις

Νίκος Ζανταρίδης. Χρήσιμες γνώσεις Τριγωνομετρίας. Λυμένες Ασκήσεις. Προτεινόμενες Ασκήσεις Νίκος Ζανταρίδης ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΜΕ ΤΗΝ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Χρήσιμες γνώσεις Τριγωνομετρίας Λυμένες Ασκήσεις Προτεινόμενες Ασκήσεις Αύγουστος 04 Πρόλογος Στο μικρό αρόν όνημα καταβλήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν

Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α 16950 16954

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ. ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ. ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ου ΒΑΘΜΟΥ α + β + γ 0, α 0 β 4 αγ Αν >0, τότε η εξίσωση έχει δύο πραγµατικές ρίζες: 1, β ± α Αν 0, τότε η εξίσωση έχει µια ρίζα διπλή: β

Διαβάστε περισσότερα

Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ

Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ Κ Κ α α ι ι τ τ ο ο Λ Λ υ υ σ σ α α ρ ρ ι ι............ Α Α λ λ λ λ ι ι ω ς ς!!!!!! Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ Ε ι μ ε λ ε ι α Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς w w w. d r

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκείου ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων : α) συν π 18 συνπ 9 - ηµ π. 18 ηµπ 9. β) συν18 ο συν27 ο - ηµ18 ο ηµ27 ο

ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκείου ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων : α) συν π 18 συνπ 9 - ηµ π. 18 ηµπ 9. β) συν18 ο συν27 ο - ηµ18 ο ηµ27 ο ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκείου Γενικής Παιδείας Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ο - Φ Υ Λ Λ Ο Νο 6 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων : α) συν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ α ) η μ + συν = γ ) εφ + =, ¹ κπ+ sun hm β ) εφ =, ¹ κπ+ sun sun δ ) σφ =, ¹

Διαβάστε περισσότερα

Tριγωνομετρικές εξισώσεις

Tριγωνομετρικές εξισώσεις Tριγωνομετρικές εξισώσεις Εχουμε μάθει να λύνουμε εξισώσεις ρώτου βαθμού και δευτέρου βαθμού ου είναι ισότητες ου εριέχουν έναν άγνωστο και ροσαθούμε να βρούμε για οιά (ή οιές) τιμές αυτού του αγνώστου

Διαβάστε περισσότερα

Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο

Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο ΑΛΓΕΒΡΑ ΒΛ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 1-1. -175663 Βασικές Τριγωνομετρικές ταυτότητες Αν 0

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία Παραδείγματα Ασκήσεις...

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία Παραδείγματα Ασκήσεις... ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία... 16 Παραδείγματα... 6 Ασκήσεις... 33 ΕΝΟΤΗΤΑ : ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ... 39 Θεωρία... 39 Ερωτήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η απόσταση του σώµατος

1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η απόσταση του σώµατος 1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η αόσταση του σώµατος αό το έδαφος (σε cm), δίνεται αό την συνάρτηση f(t)=1ηµ t +13, όου t ο χρόνος σε ώρες. α) Να βρείτε την ερίοδο της ταλάντωσης.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 78 Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: 1ο ΣΧΕ ΙΟ Η γενικευµένη γωνία Το ηµίτονο και το συνηµίτονό της ιάρκεια: Ολιγόλεπτο Θέµατα: ΘΕΜΑ 1ο 8 µονάδες 1. Με βάση το

Διαβάστε περισσότερα

1 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

1 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 008 α). Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το πρωτοβάθμιο πολυώνυμο x ρ ισούται με την αριθμητική τιμή του Ρ(x) για x =

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο. Συστήµατα. 1. Να λύσετε γραφικά τα παρακάτω συστήµατα: 2. Να λύσετε τα παρακάτω συστήµατα µε τη µέθοδο της αντικατάστασης:

1ο Κεφάλαιο. Συστήµατα. 1. Να λύσετε γραφικά τα παρακάτω συστήµατα: 2. Να λύσετε τα παρακάτω συστήµατα µε τη µέθοδο της αντικατάστασης: Άλγεβρα Β Λυκείου 0-0.. Γραµµικά συστήµατα ο Κεφάλαιο Συστήµατα Α. Γραµµικό σύστηµα Χ. Να λύσετε γραφικά τα αρακάτω συστήµατα: α) ψ= + β) ψ= γ) -ψ= ψ= -ψ= + ψ=. Να λύσετε τα αρακάτω συστήµατα µε τη µέθοδο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί 5 Έστω w i w wi, όου w i,, R α. Να ρεθούν τα Rw και Im w. Να ρεθεί ο γεωμετρικός τόος των σημείων Μw στο μιγαδικό είεδο γ. Να ρεθεί τ

ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί 5 Έστω w i w wi, όου w i,, R α. Να ρεθούν τα Rw και Im w. Να ρεθεί ο γεωμετρικός τόος των σημείων Μw στο μιγαδικό είεδο γ. Να ρεθεί τ ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί i Δίνεται ο μιγαδικός και έστω w α. Να ρεθεί ο μιγαδικός w όταν w. Να δείετε ότι w i γ. Αν η εικόνα του κινείται στον κύκλο κέντρου, και ακτίνας και Μ είναι η εικόνα του w στο μιγαδικό

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

ΟΙ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΟΙ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ ΣΗΝ ΡΙΓΩΝΟΜΕΡΙΑ Νικ. Ιωσηφίδης, Μαθηµατικός Φροντιστής, ΒΕΡΟΙΑ e-mail: iossifid@yahoo.gr Η εργασία αυτή γράφτηκε για τους µαθητές της Β Λυκείου όταν (δεκαετία 98-990) η ριγωνοµετρία δεν

Διαβάστε περισσότερα

δίου ορισμού, μέσου του τύπου εξαρτημένης μεταβλητής του πεδίου τιμών που λέγεται εικόνα της f για x α f α.

δίου ορισμού, μέσου του τύπου εξαρτημένης μεταβλητής του πεδίου τιμών που λέγεται εικόνα της f για x α f α. 3.1 Η έννοια της συνάρτησης Ορισμοί Συνάρτηση f από ένα συνόλου Α σε ένα σύνολο Β είναι μια αντιστοιχία των στοιχείων του Α στα στοιχεία του Β, κατά την οποία κάθε στοιχείο του Α αντιστοιχεί σε ένα μόνο

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ (Επαναλήψεις Συμπληρώσεις) Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

1.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ (Επαναλήψεις Συμπληρώσεις) Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας . ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ (Επαναλήψεις Συμπληρώσεις) Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Έστω οξεία γωνία ω. Αν πάνω στη μία από τις δύο πλευρές της γωνίας πάρουμε τυχαία σημεία Μ και Ν και φέρουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΛΙΓΟ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ)

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΛΙΓΟ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ) Ελευθέρις Πρωταάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΛΙΓΟ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ) Να βρείτε την τιµή των αραστάσεων: o o συν 90 + ηµ 0 -σφ75 α) A =, ηµ o o 0 + συν 80

Διαβάστε περισσότερα

3.4 Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις

3.4 Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις 3.4 Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις Περιοδικές συναρτήσεις Ορισμός Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού το Α λέγεται εριοδική, όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ>0 τέτοιος ώστε για κάθε Α να ισχύει: ( T)A και

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών

Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών ΜΕΡΟΣ Β. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΩΝ ΓΩΝΙΩΝ 491. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΩΝ ΓΩΝΙΩΝ Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών 8 Μ(x,y) 6 ρ 4 180-ω -10-5 5 Ο ω - -4 Οι παραπληρωματικές

Διαβάστε περισσότερα

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ klzxcvλοπbnαmqwertyuiopasdfghjklz ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ xcvbnmσγqwφertyuioσδφpγρaηsόρ

Διαβάστε περισσότερα

3.9 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αηµx + βσυνx

3.9 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αηµx + βσυνx 1.9 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αηµx + βσυνx Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 11 11 A Oµάδας 1.i) Να βρείτε την ερίοδο, τη µέγιστη τιµή και την ελάχιστη τιµή της αρακάτω συνάρτησης και στη συνέχεια να την αραστήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ο ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Κεφάλαιο 2 ο ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο ο ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Σε προηγούμενες τάξεις γνωρίσαμε την έννοια της συνάρτησης και μελετήσαμε ορισμένες βασικές συναρτήσεις. Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε στη γενική τους μορφή ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 4

Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 4 Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μθηµτικός ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Μορφές: Α. ηµ x, συνx, εφx, σφx. Β. ηµ x συνx, εφx σφx. Ν λυθούν οι εξισώσεις: ηµ x ( συνx + ) (συν x 3)εφx ηµ 3 x ηµ x συν x 3 3 3 x σφ x εφx óõí çì x 3 3 3εφ x

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ. ,δηλαδή ορίζεται τουλάχιστον σ ένα από τα σύνολα (α, x. lim. lim g(x) , λ σταθερά lim g(x) (ισχύει και για περισσότερες από 2

ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ. ,δηλαδή ορίζεται τουλάχιστον σ ένα από τα σύνολα (α, x. lim. lim g(x) , λ σταθερά lim g(x) (ισχύει και για περισσότερες από 2 ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ Έστω μια συνάρτηση f η οοία ορίζεται όσο κοντά θέλουμε στο,δηλαδή ορίζεται τουλάχιστον σ ένα αό τα σύνολα (α, ) (,β) ή (α, ) ή (,β). Όταν οι τιμές της f()ροσεγγίζουν όσο θέλουμε τον ραγματικό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ορίζω: Ορίζω: ηµω= y ρ. x x

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ορίζω: Ορίζω: ηµω= y ρ. x x 1 ΤΡΙΓΩΝΜΕΤΡΙΑ [1].Τυολόγιο τριγνοµετρίας (Εαναλήψεις) α. Τριγνοµετρικοί αριθµοί σε ορθογώνιο τρίγνο αέναντι Γ Α β υοτείνουσα α γ ροσκείµενη ρίζ: β. Τριγνοµετρικοί αριθµοί σε σύστηµα συντεταγµένν ηµβ=

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 2ος

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 2ος Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος ος Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παπασταυρίδης Στάυρος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος 2ος 1η ΕΚΔΟΣΗ

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος 2ος 1η ΕΚΔΟΣΗ Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος ος 1η ΕΚΔΟΣΗ Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παπασταυρίδης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017 Στασίνου 6, Γραφ., Στρόβολος, Λευκωσία Τηλ. 57-78 Φαξ: 57-79 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Παρασκευή, 9/5/7 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΜΕΡΟΣ Α ln( x). Να υολογίσετε

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 3ος 1η ΕΚΔΟΣΗ

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 3ος 1η ΕΚΔΟΣΗ Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος 3ος 1η ΕΚΔΟΣΗ Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανειστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παασταυρίδης

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΓΩΝΙΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΓΩΝΙΩΝ Υπολογισμός παραστάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΓΩΝΙΩΝ. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων : 4 6 6 4 δ) ε) 4 6 4. Να υπολογίσετε τις τιμές των

Διαβάστε περισσότερα

Ημερομηνία: Σάββατο 29 Δεκεμβρίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Ημερομηνία: Σάββατο 29 Δεκεμβρίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Ημερομηνία: Σάββατο 29 Δεκεμβρίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ερωτήσεις Α1 Α2 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις των θεμάτων των εξετάσεων Επεξεργασμένες ενδεικτικές απαντήσεις Ενδεικτική κατανομή μονάδων ανά ερώτημα

Εκφωνήσεις των θεμάτων των εξετάσεων Επεξεργασμένες ενδεικτικές απαντήσεις Ενδεικτική κατανομή μονάδων ανά ερώτημα . Εκφωνήσεις των θεμάτων των εξετάσεων Εεξεργασμένες ενδεικτικές ααντήσεις Ενδεικτική κατανομή μονάδων ανά ερώτημα Εεξεργασία: Δημήτριος Σαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Συντονιστής βαθμολογητών

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2017

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2017 Πανελλαδικές Εξετάσεις 7 Μαθηματικά Προσανατολισμού 9/6/7 ΘΕΜΑ Α Προτεινόμενες λύσεις Α. Έστω, Δ, με

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΥ Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΛΙΚΥ ΒΙΒΛΙΥ Σχολικό βιβλίο: Απαντήσεις Λύσεις Κεφάλαιο ο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα Α ΜΑΔΑΣ Έχουμε: = 4 i = 6 = + = + = = Άρα, η λύση του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΙΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί Α. 7. 1 1. Τι είναι τα πρόσημα και πως χαρακτηρίζονται οι αριθμοί από αυτά; Τα σύμβολα

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ονομάζεται ένα σύστημα από δύο κάθετους άξονες με κοινή αρχή στους οποίους οι μονάδες έχουν το ίδιο μήκος. Υπάρχουν περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Έργο του καλλιτέχνη Άγγελου Γεωργίου

Έργο του καλλιτέχνη Άγγελου Γεωργίου ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Έργο του καλλιτένη Άγγελου Γεωργίου ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ Η ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ γράφτηκε σαν ένα ξεωριστό εγειρίδιο γιατί αφ ενός η τριγωνοµετρία

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου.

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου. Άλγεβρα Β Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Το φυλλάδιο αυτό δημιουργήθηκε για να χρησιμοποιηθεί ως επέκταση του σχολικού βιβλίου και όχι αυτόνομα δ έκδοση 0--06 Συστήματα Γραμμικές Εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ ΣΠΑΡΤΗ 2008

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ ΣΠΑΡΤΗ 2008 ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ ΣΠΑΡΤΗ 008 Κάθε γνήσιο αντίτυπο έχει την ιδιόχειρη υπογραφή του συγγραφέα Γενική επιμέλεια : Στράτης Αντωνέας Copyright : Στράτης Αντωνέας e-mail: stranton@otenet.gr Τηλέφωνα επικοινωνίας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΡΟΣ Α ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών. Ονομάζεται αλγεβρική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Ημερομηνία: Πέμπτη 29 Δεκεμβρίου 2016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Ημερομηνία: Πέμπτη 29 Δεκεμβρίου 2016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ 8//06 ΕΩΣ 0/0/06 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ημερομηνία: Πέμτη 9 Δεκεμβρίου 06 Διάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A. Να αοδείξετε ότι ημ ω συν ω Α. Να δώσετε τον ορισμό της εριοδικής

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΘΕΩΡΙΑ. Β. Να συμπληρώσετε στο γραπτό σας τις παρακάτω σχέσεις ώστε να προκύψουν ταυτότητες:

ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΘΕΩΡΙΑ. Β. Να συμπληρώσετε στο γραπτό σας τις παρακάτω σχέσεις ώστε να προκύψουν ταυτότητες: ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΣΑΞΗ: Γ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α. Τι λέγεται ταυτότητα; Β. Να συμπληρώσετε στο γραπτό σας τις παρακάτω σχέσεις ώστε να προκύψουν ταυτότητες: Γ. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β Λσκείοσ. Τριγωμομετρία. Στέλιος Μιταήλογλοσ. Εσάγγελος Τόλης

Άλγεβρα Β Λσκείοσ. Τριγωμομετρία.  Στέλιος Μιταήλογλοσ. Εσάγγελος Τόλης Άλγεβρα Β Λσκείοσ Τριγωμομετρία Στέλιος Μιταήλογλοσ Εσάγγελος Τόλης www.askisopolis.gr 1. ΤΙΓΩΝΟΜΕΤΙ 1.1. ΒΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΤΙΓΩΝΟΜΕΤΙ Οι αρακάτω έννοιες ου θα αναφέρουµε συµεριλαµβάνονται στη διδακτέα

Διαβάστε περισσότερα

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 1 η δεκάδα θεµάτων εανάληψης 1. ίνεται το ολυώνυµο Ρ(x) = x 3 x 2 4x + 4 Να αοδείξετε ότι ο αριθµός ρ = 1 είναι ρίζα του ολυωνύµου i Να βρείτε το ηλίκο της διαίρεσης του ολυωνύµου Ρ(x) µε το ολυώνυµο

Διαβάστε περισσότερα

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Τριγωνομετρικοι αριθμοι οξειων γωνιων

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Τριγωνομετρικοι αριθμοι οξειων γωνιων Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Τριγωνομετρικοι αριθμοι οξειων γωνιων 22 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 Κλίση ευθείας Όλοι έχουμε στο δρόμο τα παρακάτω σήματα, που από την εμπειρία μας καταλαβαίνουμε ότι πλησιάζουμε σε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ 1 Να υολογίσετε τα όρια: 9 i) ii) ( ) 9 iii) 1 1 1 iv) 7 10 5 15 t t t 1 v) vi) t (t )(t ) 1 1 9 i) (ημ συν) ) 1 7 συν vii) 1 ημ viii) 1 5 i) ii) ημ 6 1 009, άν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύου «Σωστό - Λάθος». * Αν = α + βi, α, β R και = 0, τότε α = 0 και β = 0. Σ Λ. * Αν = α + βi και αβ 0, τότε = α β i. Σ Λ. * Αν = κ + λi κ, λ R, τότε Re () =

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες

2.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες ΜΕΡΟΣ Β.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ 97.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες 8 6 y Μ(x,y) ρ Ο ω x 1 Σ ε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 48 Α. Τι λέγεται τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α και πώς συμβολίζεται αυτή; Β. Ποιος αριθμός ονομάζεται άρρητος;. Πώς ορίζονται οι πραγματικοί αριθμοί; Α. Τι λέγεται ημίτονο μιας

Διαβάστε περισσότερα

4 ΤΥΠΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Στο δι λανό Έστω η συνάρτηση f(x) = l n Αν f( x) = x+ x + 1. Να α οδείξετε ότι

4 ΤΥΠΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Στο δι λανό Έστω η συνάρτηση f(x) = l n Αν f( x) = x+ x + 1. Να α οδείξετε ότι Γ Λυκείου - Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 4 ΤΥΠΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 4. Έστω η συνάρτηση () l n A) Βρείτε το εδίο ορισµού της B) Λύστε την εξίσωση + Γ) Λύστε την ανίσωση < ) Να δείξετε ότι + ( ) συν

Διαβάστε περισσότερα

συν 2α = συν α ηµ α = 1 2ηµ α = 2συν α εφα+ εφα 2εφα Μάθηµα 10 Κεφάλαιο: Τριγωνοµετρία Θεµατικές Ενότητες: 1. Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί της Γωνίας 2α

συν 2α = συν α ηµ α = 1 2ηµ α = 2συν α εφα+ εφα 2εφα Μάθηµα 10 Κεφάλαιο: Τριγωνοµετρία Θεµατικές Ενότητες: 1. Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί της Γωνίας 2α Μάθηµ 0 Κεφάλιο: Τριγωνοµετρί Θεµτικές Ενότητες:. Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί της Γωνίς Εισγωγή Χρησιµοοιώντς τους τύους ου υολογίζουν τους τριγωνοµετρικούς ριθµούς του θροίσµτος (ροηγούµενο µάθηµ), ροσδιορίζουµε

Διαβάστε περισσότερα