Grupuri de simetrii. Oana Constantinescu
|
|
- Φοίβη Αποστόλου
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1
2 Rolul grupurilor de transformari in denirea unei geometrii Felix Klein ( ) a dorit sa aplice conceptul de grup pentru a caracteriza diferitele geometrii ale timpului. In discursul inaugural de la Universitatea Erlangen (1872) - Tendinte recente in cercetarea geometrica - Klein spune: ind data o varietate si in ea un grup de transformari, sarcina noastra este sa investigam acele proprietati ale unei guri din varietate care nu se schimba prin transformarile grupului. Se da o multime M si S M grupul permutarilor lui M. Orice subgrup G al lui S M este un grup de transformari ale lui M. Se studiaza acele proprietati ale gurilor care sunt invariate de toate elementele lui G. Deci, apriori, M nu are proprietati geometrice, acestea sunt dictate de grupul G. O geometrie este notata prin (M, G).
3 Rolul grupurilor de transformari in denirea unei geometrii Felix Klein ( ) a dorit sa aplice conceptul de grup pentru a caracteriza diferitele geometrii ale timpului. In discursul inaugural de la Universitatea Erlangen (1872) - Tendinte recente in cercetarea geometrica - Klein spune: ind data o varietate si in ea un grup de transformari, sarcina noastra este sa investigam acele proprietati ale unei guri din varietate care nu se schimba prin transformarile grupului. Se da o multime M si S M grupul permutarilor lui M. Orice subgrup G al lui S M este un grup de transformari ale lui M. Se studiaza acele proprietati ale gurilor care sunt invariate de toate elementele lui G. Deci, apriori, M nu are proprietati geometrice, acestea sunt dictate de grupul G. O geometrie este notata prin (M, G).
4 Geometria euclidiana (plana) Geometria euclidiana se ocupa de acele proprietati pastrate de izometrii: lungimea segmentelor si congruenta lor, masura unghiurilor si congruenta acestora, coliniaritatea, raportul simplu al punctelor. Fie P un plan euclidian, inzestrat cu o functie distanta d : P P R : d(a, B) 0, A, B P; d(a, B) = 0 A = B; d(a, B) = d(b, A); d(a, B) d(a, C) + d(c, A), A, B, C P; d(a, B) = d(a, C) + d(c, A) A C B. Denition Se numeste izometrie a planului P o aplicatie f proprietatea : P P cu d (f (A), f (B)) = d(a, B), A, B P. Se poate demonstra ca orice izometrie a planului este o aplicatie bijectiva.
5 Geometria euclidiana (plana) Geometria euclidiana se ocupa de acele proprietati pastrate de izometrii: lungimea segmentelor si congruenta lor, masura unghiurilor si congruenta acestora, coliniaritatea, raportul simplu al punctelor. Fie P un plan euclidian, inzestrat cu o functie distanta d : P P R : d(a, B) 0, A, B P; d(a, B) = 0 A = B; d(a, B) = d(b, A); d(a, B) d(a, C) + d(c, A), A, B, C P; d(a, B) = d(a, C) + d(c, A) A C B. Denition Se numeste izometrie a planului P o aplicatie f proprietatea : P P cu d (f (A), f (B)) = d(a, B), A, B P. Se poate demonstra ca orice izometrie a planului este o aplicatie bijectiva.
6 Grupul izometriilor Theorem Multimea izometriilor planului formeaza un grup in raport cu compunerea functiilor. Grupul izometriilor cu un punct x este izomorf cu grupul ortogonal O(2). O(2) = { A M 2 (R) AA t = A t A = I 2 } = { A Gl(2, R) A 1 = A t} Clasicare Izometrii de specia I: translatia, rotatia Izometrii de specia a II-a: simetria ortogonala axiala, compunerea dintre o simetrie axiala si o translatie de vector paralel cu axa simetriei
7 Grupul izometriilor Theorem Multimea izometriilor planului formeaza un grup in raport cu compunerea functiilor. Grupul izometriilor cu un punct x este izomorf cu grupul ortogonal O(2). O(2) = { A M 2 (R) AA t = A t A = I 2 } = { A Gl(2, R) A 1 = A t} Clasicare Izometrii de specia I: translatia, rotatia Izometrii de specia a II-a: simetria ortogonala axiala, compunerea dintre o simetrie axiala si o translatie de vector paralel cu axa simetriei
8 Grupul izometriilor Theorem Multimea izometriilor planului formeaza un grup in raport cu compunerea functiilor. Grupul izometriilor cu un punct x este izomorf cu grupul ortogonal O(2). O(2) = { A M 2 (R) AA t = A t A = I 2 } = { A Gl(2, R) A 1 = A t} Clasicare Izometrii de specia I: translatia, rotatia Izometrii de specia a II-a: simetria ortogonala axiala, compunerea dintre o simetrie axiala si o translatie de vector paralel cu axa simetriei
9 Izometriile planului
10 Simetriile unei guri Odata xata o geometrie cu un grup de automorsme G, se poate studia subgrupul automorsmelor care invariaza o gura xata F. Aceste automorsme se numesc simetrii ale gurii respective. Denition Fie F P o gura xata a planului P. Se numeste simetrie a lui F o izometrie a planului, f : P P, care invariaza gura F: f (F) = F. Theorem Multimea simetriilor gurii F P este un subgrup al grupului izometriilor planului P.
11 Simetriile unei guri Odata xata o geometrie cu un grup de automorsme G, se poate studia subgrupul automorsmelor care invariaza o gura xata F. Aceste automorsme se numesc simetrii ale gurii respective. Denition Fie F P o gura xata a planului P. Se numeste simetrie a lui F o izometrie a planului, f : P P, care invariaza gura F: f (F) = F. Theorem Multimea simetriilor gurii F P este un subgrup al grupului izometriilor planului P.
12 Grupurile de simetrii ale unor poligoane: grupul lui Klein: grupul simetriilor unui dreptunghi diferit de patrat grupurile diedrale: grupul simetriilor unui poligon regulat subgrupurile acestora formate din rotatii Reciproc: dat un grup de simetrii, sa determinam un poligon care sa aiba drept grup de simetrii pe cel initial Determinarea tuturor grupurilor nite de simetrii: teorema lui Leonardo
13 Grupul lui Klein V 4 = {Id, σ a, σ b, σ O } = < σ a, σ O = ρ O,π > Id σ a σ b σ O Id Id σ a σ b σ O σ a σ a Id σ O σ b σ b σ b σ O Id σ a σ O σ O σ b σ a Id
14 Grupul simetriilor patratului Notatii: ρ rotatia de centru O si unghi π 2 σ simetria axiala in raport cu axa orizontala h Sunt exact opt simetrii Putem genera toate simetriile pornind de la ρ si σ
15 Grupul diedral D 4 { Id, σ h, σ r, σ v, σ l, ρ O, π 2, ρ O, 2π 2 = σ O, ρ O, 3π 2 D 4 = { ρ, ρ 2, ρ 3, ρ 4 = Id, ρσ, ρ 2 σ, ρ 3 σ, σ } } σ 2 = ρ 4 = Id σ 1 = σ ρ 1 = ρ 3 ρ 2 = ρ 2 ρ 3 = ρ σ r = ρσ σ v = ρ 2 σ σ l = ρ 3 σ σ v σ = ρ 2 σ l σ = ρ 3
16 Grupul diedral D 4 { Id, σ h, σ r, σ v, σ l, ρ O, π 2, ρ O, 2π 2 = σ O, ρ O, 3π 2 D 4 = { ρ, ρ 2, ρ 3, ρ 4 = Id, ρσ, ρ 2 σ, ρ 3 σ, σ } } σ 2 = ρ 4 = Id σ 1 = σ ρ 1 = ρ 3 ρ 2 = ρ 2 ρ 3 = ρ σ r = ρσ σ v = ρ 2 σ σ l = ρ 3 σ σ v σ = ρ 2 σ l σ = ρ 3
17 Grupul diedral D 4 { Id, σ h, σ r, σ v, σ l, ρ O, π 2, ρ O, 2π 2 = σ O, ρ O, 3π 2 D 4 = { ρ, ρ 2, ρ 3, ρ 4 = Id, ρσ, ρ 2 σ, ρ 3 σ, σ } } σ 2 = ρ 4 = Id σ 1 = σ ρ 1 = ρ 3 ρ 2 = ρ 2 ρ 3 = ρ σ r = ρσ σ v = ρ 2 σ σ l = ρ 3 σ σ v σ = ρ 2 σ l σ = ρ 3
18 Grupul diedral D 4 Compunerea dintre o simetrie axiala fata de dreapta d si o rotatie cu centrul apartinand dreptei d este o simetrie fata de o dreapta ce trece prin centrul rotatiei. Deci σρ, σρ 2, σρ 3 sunt simetrii fata de drepte ce trec prin O, deci sunt aplicatii involutive. σρ = (σρ) 1 = ρ 1 σ 1 = ρ 3 σ, σρ 2 = (σρ 2 ) 1 = ρ 2 σ 1 = ρ 2 σ, σρ 3 = (σρ 3 ) 1 = ρ 3 σ 1 = ρσ.
19 Grupul diedral D 4 Id ρ ρ 2 ρ 3 σ ρσ ρ 2 σ ρ 3 σ Id Id ρ ρ 2 ρ 3 σ ρσ ρ 2 σ ρ 3 σ ρ ρ ρ 2 ρ 3 Id ρσ ρ 2 σ ρ 3 σ σ ρ 2 ρ 2 ρ 3 Id ρ ρ 2 σ ρ 3 σ σ ρσ ρ 3 ρ 3 Id ρ ρ 2 ρ 3 σ σ ρσ ρ 2 σ σ σ ρ 3 σ ρ 2 σ ρσ Id ρ 3 ρ 2 ρ ρσ ρσ σ ρ 3 σ ρ 2 σ ρ Id ρ 3 ρ 2 ρ 2 σ ρ 2 σ ρσ σ ρ 3 σ ρ 2 ρ Id ρ 3 ρ 3 σ ρ 3 σ ρ 2 σ ρσ σ ρ 3 ρ 2 ρ Id C 4 = { Id, ρ, ρ 2, ρ 3} =< ρ > subgrupul rotatiilor
20 Grupul diedral D 4 Id ρ ρ 2 ρ 3 σ ρσ ρ 2 σ ρ 3 σ Id Id ρ ρ 2 ρ 3 σ ρσ ρ 2 σ ρ 3 σ ρ ρ ρ 2 ρ 3 Id ρσ ρ 2 σ ρ 3 σ σ ρ 2 ρ 2 ρ 3 Id ρ ρ 2 σ ρ 3 σ σ ρσ ρ 3 ρ 3 Id ρ ρ 2 ρ 3 σ σ ρσ ρ 2 σ σ σ ρ 3 σ ρ 2 σ ρσ Id ρ 3 ρ 2 ρ ρσ ρσ σ ρ 3 σ ρ 2 σ ρ Id ρ 3 ρ 2 ρ 2 σ ρ 2 σ ρσ σ ρ 3 σ ρ 2 ρ Id ρ 3 ρ 3 σ ρ 3 σ ρ 2 σ ρσ σ ρ 3 ρ 2 ρ Id C 4 = { Id, ρ, ρ 2, ρ 3} =< ρ > subgrupul rotatiilor
21 Poligoane care au ca grup de simetrii C 4
22 Grupul diedral D 3 σ = σ h ρ = ρ O, 2π 3 σ 2 = ρ 3 = Id D 3 = { Id, ρ, ρ 2, σ, ρσ, ρ 2 σ } σρ = (σρ) 1 = ρ 1 σ 1 = ρ 2 σ σρ 2 = (σρ 2 ) 1 = ρ 2 σ 1 = ρσ
23 Grupul diedral D 3 Id ρ ρ 2 σ ρσ ρ 2 σ Id Id ρ ρ 2 σ ρσ ρ 2 σ ρ ρ ρ 2 Id ρσ ρ 2 σ σ ρ 2 ρ 2 Id ρ ρ 2 σ σ ρσ σ σ ρ 2 σ ρσ Id ρ 2 ρ ρσ ρσ σ ρ 2 σ ρ Id ρ 2 ρ 2 σ ρ 2 σ ρσ σ ρ 2 ρ Id C 3 = { Id, ρ, ρ 2}
24 Poligoane cu C 3 drept grup de simetrii
25 Grupul diedral D 6 D 6 = { Id, ρ 2, ρ 3, ρ 4, ρ 5, σ, ρσ, ρ 2 σ, ρ 3 σ, ρ 4 σ, ρ 5 σ }, ρ = ρ O, π3
26 Poligon cu grup de simetrii C 6 C 6 = {Id, ρ 2, ρ 3, ρ 4, ρ 5 }
27 Grupul diedral D n si subgrupul rotatiilor C n Avand un poligon regulat cu n laturi, ecare varf V i poate dus printr-o simetrie intr-unul din cele n varfuri ale poligonului, de exemplu V k. Atunci un varf vecin lui V i poate dus prin acea simetrie intr-unul din varfurile vecine ale lui V k. Deci in total avem 2n posibilitati. Cum imaginea poligonului regulat printr-o simetrie este determinata atunci cand se cunosc imaginile a doua varfuri vecine prin acea simetrie, rezulta ca exista cel mult 2n simetrii pentru poligonul respectiv. Fie h una din axele de simetrie ale poligonului regulat. Notam cu σ simetria axiala in raport cu h si cu ρ rotatia de centru O (centrul de simetrie al poligonului, situat la intersectia axelor sale de simetrie) si unghi orientat 2π n. { Id, ρ, ρ 2,, ρ n 1, ρσ, ρ 2 σ,, ρ n 1 σ } sunt 2n simetrii ale poligonului, deci acestea sunt toate simetriile posibile. In consecinta D n =< ρ, σ > si subgrupul rotatiilor sale este grupul ciclic C n =< ρ > de ordin n.
28 Grupul diedral D n si subgrupul rotatiilor C n Avand un poligon regulat cu n laturi, ecare varf V i poate dus printr-o simetrie intr-unul din cele n varfuri ale poligonului, de exemplu V k. Atunci un varf vecin lui V i poate dus prin acea simetrie intr-unul din varfurile vecine ale lui V k. Deci in total avem 2n posibilitati. Cum imaginea poligonului regulat printr-o simetrie este determinata atunci cand se cunosc imaginile a doua varfuri vecine prin acea simetrie, rezulta ca exista cel mult 2n simetrii pentru poligonul respectiv. Fie h una din axele de simetrie ale poligonului regulat. Notam cu σ simetria axiala in raport cu h si cu ρ rotatia de centru O (centrul de simetrie al poligonului, situat la intersectia axelor sale de simetrie) si unghi orientat 2π n. { Id, ρ, ρ 2,, ρ n 1, ρσ, ρ 2 σ,, ρ n 1 σ } sunt 2n simetrii ale poligonului, deci acestea sunt toate simetriile posibile. In consecinta D n =< ρ, σ > si subgrupul rotatiilor sale este grupul ciclic C n =< ρ > de ordin n.
29 D n Pentru a completa tabela grupului procedam astfel. Pentru primele n linii folosim ρ n = σ 2 = Id si ecare linie se obtine practic din precedenta prin compunere la stanga cu ρ. Pentru linia corespunzatoare lui σ folosim faptul ca orice compunere dintre o simetrie axiala si o rotatie este o simetrie axiala, deci o aplicatie involutiva. Astfel, (σρ k ) 1 = σρ k, k 1, n 1. Deci σρ k = ρ n k σ, k 1, n 1. Dupa completarea acestei linii, ultimele n 1 linii se obtin ecare din precedenta prin compunere la stanga cu ρ. D 1 =< σ > e grupul simetriilor unui triunghi isoscel neechilateral, iar C 1 = {Id}. D 2 =< σ, ρ O,π = σ O >= V 4, iar C 2 = {Id, ρ O,π } e grupul simetriilor unui paralelogram diferit de romb.
30 D n Pentru a completa tabela grupului procedam astfel. Pentru primele n linii folosim ρ n = σ 2 = Id si ecare linie se obtine practic din precedenta prin compunere la stanga cu ρ. Pentru linia corespunzatoare lui σ folosim faptul ca orice compunere dintre o simetrie axiala si o rotatie este o simetrie axiala, deci o aplicatie involutiva. Astfel, (σρ k ) 1 = σρ k, k 1, n 1. Deci σρ k = ρ n k σ, k 1, n 1. Dupa completarea acestei linii, ultimele n 1 linii se obtin ecare din precedenta prin compunere la stanga cu ρ. D 1 =< σ > e grupul simetriilor unui triunghi isoscel neechilateral, iar C 1 = {Id}. D 2 =< σ, ρ O,π = σ O >= V 4, iar C 2 = {Id, ρ O,π } e grupul simetriilor unui paralelogram diferit de romb.
31 D n Pentru a completa tabela grupului procedam astfel. Pentru primele n linii folosim ρ n = σ 2 = Id si ecare linie se obtine practic din precedenta prin compunere la stanga cu ρ. Pentru linia corespunzatoare lui σ folosim faptul ca orice compunere dintre o simetrie axiala si o rotatie este o simetrie axiala, deci o aplicatie involutiva. Astfel, (σρ k ) 1 = σρ k, k 1, n 1. Deci σρ k = ρ n k σ, k 1, n 1. Dupa completarea acestei linii, ultimele n 1 linii se obtin ecare din precedenta prin compunere la stanga cu ρ. D 1 =< σ > e grupul simetriilor unui triunghi isoscel neechilateral, iar C 1 = {Id}. D 2 =< σ, ρ O,π = σ O >= V 4, iar C 2 = {Id, ρ O,π } e grupul simetriilor unui paralelogram diferit de romb.
32 D n Pentru a completa tabela grupului procedam astfel. Pentru primele n linii folosim ρ n = σ 2 = Id si ecare linie se obtine practic din precedenta prin compunere la stanga cu ρ. Pentru linia corespunzatoare lui σ folosim faptul ca orice compunere dintre o simetrie axiala si o rotatie este o simetrie axiala, deci o aplicatie involutiva. Astfel, (σρ k ) 1 = σρ k, k 1, n 1. Deci σρ k = ρ n k σ, k 1, n 1. Dupa completarea acestei linii, ultimele n 1 linii se obtin ecare din precedenta prin compunere la stanga cu ρ. D 1 =< σ > e grupul simetriilor unui triunghi isoscel neechilateral, iar C 1 = {Id}. D 2 =< σ, ρ O,π = σ O >= V 4, iar C 2 = {Id, ρ O,π } e grupul simetriilor unui paralelogram diferit de romb.
33 Teorema lui Leonardo Pana in acest moment am reusit sa demonstram urmatorul rezultat: Theorem Pentru orice n N, exista cate un poligon care are ca grup de simetrii pe D n si respectiv pe C n. Ne intereseaza rezultatul reciproc: orice grup nit de simetrii al unei guri plane este de tipul D n sau C n? Hermann Weyl ( ) arma in cartea Symmetry, Princeton University Press, 1951, ca Leonardo da Vinci ( ) era preocupat de aceasta problema. Mai exact acesta determina in mod sistematic simetriile unei cladiri centrale si studia cum sa ataseze capele, nise, etc, fara a strica simetria nucleului.
34 Teorema lui Leonardo Pana in acest moment am reusit sa demonstram urmatorul rezultat: Theorem Pentru orice n N, exista cate un poligon care are ca grup de simetrii pe D n si respectiv pe C n. Ne intereseaza rezultatul reciproc: orice grup nit de simetrii al unei guri plane este de tipul D n sau C n? Hermann Weyl ( ) arma in cartea Symmetry, Princeton University Press, 1951, ca Leonardo da Vinci ( ) era preocupat de aceasta problema. Mai exact acesta determina in mod sistematic simetriile unei cladiri centrale si studia cum sa ataseze capele, nise, etc, fara a strica simetria nucleului.
35 Teorema lui Leonardo Pana in acest moment am reusit sa demonstram urmatorul rezultat: Theorem Pentru orice n N, exista cate un poligon care are ca grup de simetrii pe D n si respectiv pe C n. Ne intereseaza rezultatul reciproc: orice grup nit de simetrii al unei guri plane este de tipul D n sau C n? Hermann Weyl ( ) arma in cartea Symmetry, Princeton University Press, 1951, ca Leonardo da Vinci ( ) era preocupat de aceasta problema. Mai exact acesta determina in mod sistematic simetriile unei cladiri centrale si studia cum sa ataseze capele, nise, etc, fara a strica simetria nucleului.
36 Teorema lui Leonardo Theorem Singurele grupuri nite de izometrii sunt C n si D n. Corollary (Leonardo) Dat un poligon oarecare, grupul sau de simetrii este D n sau C n.
37 Teorema lui Leonardo Theorem Singurele grupuri nite de izometrii sunt C n si D n. Corollary (Leonardo) Dat un poligon oarecare, grupul sau de simetrii este D n sau C n.
38 Theorem Singurele grupuri nite de izometrii sunt C n si D n. Demonstratie Fie G un grup nit de izometrii ale planului P. Rezulta ca acesta nu poate contine translatii sau compuneri de translatii cu simetrii axiale, deoarece acestea ar genera un subgrup innit. In consecinta G contine doar rotatii si simetrii axiale. Caz I Presupunem ca G contine doar rotatii: G = C 1 = {Id} ρ A,α G, ρ A,α Id. In aceasta situatie demonstram ca toate rotatiile sunt de centru A. Pp prin reducere la absurd ca ρ B,β G cu A B. Atunci ρ 1 B,β ρ 1 A,α ρ B,βρ A,α G. Dar aceasta compunere de rotatii este o translatie diferita de Id caci suma unghiurilor orientate ale acestor rotatii este 0. Se contrazice astfel ipoteza ca G e grup nit.
39 Deci n N : ρ n A,α = ρ A,nα G si ρ 1 A,α = ρ A, α G. Astfel, toate elementele grupului pot scrise sub forma ρ A,α cu 0 α 2π. Fie α 0 valoarea minima (pozitiva) pe care o poate lua unghiul unei rotatii din G. Se demonstreaza prin reducere la absurd ca ρ A,β G, k N astfel incat β = kα 0. Deci orice rotatie a grupului este de tipul ρ A,kα0 = ρ k A,α 0, pentru un anumit k natural, deci este generata de ρ A,α0. In concluzie G =< ρ A,α0 >= C m, ρ m A,α 0 = Id. Caz II Presupunem ca G contine cel putin o simetrie axiala σ. Deoarece o izometrie si inversa ei sunt de aceeasi specie, iar compunerea a doua izometrii de specia I este o izometrie de specia I, rezulta ca multimea izometriilor de specia I ale lui G formeaza un subgrup al acestuia, ce contine doar rotatii. Conform primului caz, rezulta ca acest subgrup e de tipul C n = {Id, ρ,, ρ n 1 }. Am presupus ca numarul izometriilor de specia I ale lui G este n.
40 Deci n N : ρ n A,α = ρ A,nα G si ρ 1 A,α = ρ A, α G. Astfel, toate elementele grupului pot scrise sub forma ρ A,α cu 0 α 2π. Fie α 0 valoarea minima (pozitiva) pe care o poate lua unghiul unei rotatii din G. Se demonstreaza prin reducere la absurd ca ρ A,β G, k N astfel incat β = kα 0. Deci orice rotatie a grupului este de tipul ρ A,kα0 = ρ k A,α 0, pentru un anumit k natural, deci este generata de ρ A,α0. In concluzie G =< ρ A,α0 >= C m, ρ m A,α 0 = Id. Caz II Presupunem ca G contine cel putin o simetrie axiala σ. Deoarece o izometrie si inversa ei sunt de aceeasi specie, iar compunerea a doua izometrii de specia I este o izometrie de specia I, rezulta ca multimea izometriilor de specia I ale lui G formeaza un subgrup al acestuia, ce contine doar rotatii. Conform primului caz, rezulta ca acest subgrup e de tipul C n = {Id, ρ,, ρ n 1 }. Am presupus ca numarul izometriilor de specia I ale lui G este n.
41 Presupunem ca G contine m 1 izometrii de specia a II-a. Deoarece σ, ρσ, ρ 2 σ,, ρ n 1 σ sunt izometrii de specia a II-a, rezulta ca m n. Dar cele m izometrii de specia a doua, compuse la dreapta cu σ, dau m izometrii de specia I, deci m n. In concluzie m = n OrdG = 2n si G = { Id, ρ,, ρ n 1, σ, ρσ, ρ 2 σ,, ρ n 1 σ }. Pentru n = 1 avem G =< σ >= D 1, iar pentru n > 1, ρ k σ, k 1, n 1 este o simetrie fata de o dreapta ce trece prin centrul A al rotatiei ρ. Deci G = D n.
42 Presupunem ca G contine m 1 izometrii de specia a II-a. Deoarece σ, ρσ, ρ 2 σ,, ρ n 1 σ sunt izometrii de specia a II-a, rezulta ca m n. Dar cele m izometrii de specia a doua, compuse la dreapta cu σ, dau m izometrii de specia I, deci m n. In concluzie m = n OrdG = 2n si G = { Id, ρ,, ρ n 1, σ, ρσ, ρ 2 σ,, ρ n 1 σ }. Pentru n = 1 avem G =< σ >= D 1, iar pentru n > 1, ρ k σ, k 1, n 1 este o simetrie fata de o dreapta ce trece prin centrul A al rotatiei ρ. Deci G = D n.
43 Bibliograe 1 Mircea Ganga, Manual Algebra clasa a XII-a, Mathpress, Ploiesti, George E. Martin, Transformation Geometry, An Introduction to Symmetry, Springer, Liviu Ornea, Adriana Turtoi, O introducere in geometrie, Theta, Bucuresti Ioan Pop, Geometrie ana, euclidiana si proiectiva, Editura Universitatii Al.I.Cuza, Iasi, 1999
Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραX 2, Φ 2 doua K-spatii ane. O conditie necesara si sucienta ca aplicatia f : X 1 X 2 sa e morsm an este:
CURS 4: IZOMETRIILE UNUI SPATIU AFIN EUCLIDIAN 1. Recapitulare morfisme afine In acest curs dorim sa studiem izometriile unui spatiu an euclidian. Vom vedea ca acestea sunt morsme ane cu anumite proprietati
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότερα2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii
GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραGeometrie computationala 2. Preliminarii geometrice
Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,
Διαβάστε περισσότεραVectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.
liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραProfesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
Διαβάστε περισσότεραAlgebra si Geometrie Seminar 9
Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni
Διαβάστε περισσότεραLectia III Produsul scalar a doi vectori liberi
Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:
Διαβάστε περισσότεραConice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
Διαβάστε περισσότεραLectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Διαβάστε περισσότεραCriterii de comutativitate a grupurilor
Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key
Διαβάστε περισσότεραMARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Διαβάστε περισσότεραRĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,
REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραOrice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).
Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra
ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra Adevărul matematic, indiferent unde, la Paris sau la Toulouse, este unul şi acelaşi (Blaise Pascal) Diana-Florina Haliţă grupa 331 dianahalita@gmailcom
Διαβάστε περισσότεραEsalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc =
GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile
Διαβάστε περισσότεραa. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραCercul lui Euler ( al celor nouă puncte și nu numai!)
Cercul lui Euler ( al celor nouă puncte și nu numai!) Prof. ION CĂLINESCU,CNDG, Câmpulung Voi prezenta o abordare simplă a determinării cercului lui Euler, pe baza unei probleme de loc geometric. Preliminarii:
Διαβάστε περισσότεραCriptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba
Διαβάστε περισσότεραOANA CONSTANTINESCU. ( a carei ecuatie matriceala este data in raport cu un reper cartezian R = {O; ē 1,, ē n }.
ELEMENTE DE SIMETRIE ALE UNEI HIPERCUADRICE IN SPATII AFINE EUCLIDIENE OANA CONSTANTINESCU 1. Centru de simetrie pentru o hipercuadrica afina Pentru inceput cadrul de lucru este un spatiu an real de dimensiune
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότεραCurs 7. Definiţia II Un grup G este o mulţime, împreună cu o operaţie binară
Curs 7 II.3 Grupuri II.3.1 Definiţie. Exemple Definiţia II.3.1.1. Un grup G este o mulţime, împreună cu o operaţie binară pe G, notată : G G G, (x, y) x y, astfel încât: (G1) (Asociativitate) (x y) z =
Διαβάστε περισσότεραCERCUL LUI EULER ŞI DREAPTA LUI SIMSON
CERCUL LUI EULER ŞI DREAPTA LUI SIMSON ABSTRACT. Articolul prezintă două rezultate deosebite legate de patrulaterul inscriptibil şi câteva consecinţe ce decurg din aceste rezultate. Lecţia se adresează
Διαβάστε περισσότεραCuprins: Introducere De la geometria absolută la geometria hiperbolică Izometrii în planul hiperbolic, grupul de izometrii...
Cuprins: Introducere... 1. De la geometria absolută la geometria hiperbolică... 2. Izometrii în planul hiperbolic, grupul de izometrii... 3. Grup discret de izometrii în plan, exemple... 4. Bibliografie
Διαβάστε περισσότεραPrincipiul Inductiei Matematice.
Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei
Διαβάστε περισσότεραGeometrie afină. Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea
Geometrie afină Conf Univ Dr Cornel Pintea E-mail: cpintea mathubbclujro Cuprins 1 Săptămâna 13 1 2 Endomorfismele unui spaţiu afin 1 21 Translaţia 1 22 Subspaţii invariante 2 23 Omotetii 2 24 Proiecţii
Διαβάστε περισσότεραO generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013
O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 Marius Tărnăuceanu 1 Aprilie 2013 Abstract În această lucrare vom prezenta un rezultat ce extinde Problema
Διαβάστε περισσότεραBARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότερα3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4
SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei
Διαβάστε περισσότεραSpatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă
Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραLectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi
Orientarea spatiului E 3 Denitia produsului vectorial. Proprietati Rezolvari de ecuatii vectoriale Schimbari de baze ortonormate in spatiu Aplicatii Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi Oana
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότεραCURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.
Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.
Διαβάστε περισσότεραTRIUNGHIUL. Profesor Alina Penciu, Școala Făgăraș, județul Brașov A. Definitii:
TRIUNGHIUL Profesor lina Penciu, Școala Făgăraș, județul rașov Daca, si sunt trei puncte necoliniare, distincte doua câte doua, atunci ( ) [] [] [] se numeste triunghi si se noteaza cu Δ. Orice Δ determina
Διαβάστε περισσότερα3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale
3. Locuri geometrice 3.. Locuri geometrice uzuale oţiunea de loc geometric în plan care se găseşte şi în ELEETELE LUI EUCLID se pare că a fost folosită încă de PLATO (47-347) şi ARISTOTEL(383-3). Locurile
Διαβάστε περισσότεραa) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.
Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραCum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme
Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότεραMatrice. Determinanti. Sisteme liniare
Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice
Διαβάστε περισσότεραProblema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice
Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător
Διαβάστε περισσότεραCUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1
CURS 5 REDUCEREA SISTEMELOR DE FORŢE (CONTINUARE) CUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)...... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 5.1. Teorema lui Varignon pentru sisteme
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011
Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραIII. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul
Metode Numerice Curs 3 III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul III.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi III. 1.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi fără semn (pozitive) Reprezentarea
Διαβάστε περισσότεραDreapta in plan. = y y 0
Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului
Διαβάστε περισσότεραa carei ecuatie matriceala este data in raport cu R.
POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE O HIPERCUADRICA AFINA REALA. TANGENTE SI ASIMPTOTE. OANA CONSTANTINESCU Pentru studiul pozitiei relative a unei drepte fata de o hipercuadrica, remarcam ca nu mai
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 3 TRANSFORMĂRI GEOMETRICE ALE FIGURILOR DIN PLAN ŞI SPAŢIU
CAPITOLUL 3 TRANSFORMĂRI GEOMETRICE ALE FIGURILOR DIN PLAN ŞI SPAŢIU In urma parcurgerii acestui capitol: veţi obţine informaţii generale despre transformări geometrice şi despre predarea lor, veţi reactualiza
Διαβάστε περισσότεραLectia VII Dreapta si planul
Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Lectia VII Dreapta si planul Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VII Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta.
Διαβάστε περισσότεραCURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi
Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială
Διαβάστε περισσότερα1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <
Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότεραEDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE PENTRU GIMNAZIU Partea I (cls. a V a, a VI a, a VII a) Geometrie pentru pregătirea Evaluării Naționale la Matematică
Geometrie pentru pregătirea Evaluării Naționale la Matematică (Cls. a V a, a VI a, a VII a) UNITĂȚI DE MĂSURĂ Lungime rie Volum Capacitate DE REȚINUT! Masă 1hm 1ha 1dam 1ar 1dm 1l 1q 1kg 1t 1kg 1v 1kg
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 9. Geometrie analitică. 9.1 Repere
Capitolul 9 Geometrie analitică 9.1 Repere Vom considera spaţiile liniare (X, +,, R)în careelementelespaţiului X sunt vectorii de pe odreaptă, V 1, dintr-un plan, V sau din spaţiu, V 3 (adică X V 1 sau
Διαβάστε περισσότεραCursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Διαβάστε περισσότεραf(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +
Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,
Διαβάστε περισσότεραCOMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi
OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete
Διαβάστε περισσότεραLaborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Διαβάστε περισσότεραCapitolul II. Grupuri. II.1. Grupuri; subgrupuri; divizori normali; grupuri factor
Capitolul II Grupuri II.1. Grupuri; subgrupuri; divizori normali; grupuri factor Definiţia 1. Fie G o mulţime nevidă şi " " operaţie algebrică pe G. Cuplul (G, ) se numeşte grup, dacă sunt satisfăcute
Διαβάστε περισσότεραCONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar
Διαβάστε περισσότερα5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2
5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării
Διαβάστε περισσότερα7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează
TEMĂ 1 1. În triunghiul ABC, fie D (BC) astfel încât AB + BD = AC + CD. Demonstraţi că dacă punctele B, C şi centrele de greutate ale triunghiurilor ABD şi ACD sunt conciclice, atunci AB = AC. India 2014
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2018 Clasa a V-a. 1. Scriem numerele naturale nenule consecutive sub forma:
CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2018 Clasa a V-a 1. Scriem numerele naturale nenule consecutive sub forma: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,... (pe fiecare
Διαβάστε περισσότεραSă se arate că n este număr par. Dan Nedeianu
Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.
Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică
Διαβάστε περισσότεραAsemănarea triunghiurilor O selecție de probleme de geometrie elementară pentru gimnaziu Constantin Chirila Colegiul Naţional Garabet Ibrãileanu,
Asemănarea triunghiurilor O selecție de probleme de geometrie elementară pentru gimnaziu Constantin Chirila Colegiul Naţional Garabet Ibrãileanu, Iaşi Repere metodice ale predării asemănării în gimnaziu
Διαβάστε περισσότερα3. REPREZENTAREA PLANULUI
3.1. GENERALITĂŢI 3. REPREZENTAREA PLANULUI Un plan este definit, în general, prin trei puncte necoliniare sau prin o dreaptă şi un punct exterior, două drepte concurente sau două drepte paralele (fig.3.1).
Διαβάστε περισσότερα