Grupuri de simetrii. Oana Constantinescu

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Grupuri de simetrii. Oana Constantinescu"

Transcript

1

2 Rolul grupurilor de transformari in denirea unei geometrii Felix Klein ( ) a dorit sa aplice conceptul de grup pentru a caracteriza diferitele geometrii ale timpului. In discursul inaugural de la Universitatea Erlangen (1872) - Tendinte recente in cercetarea geometrica - Klein spune: ind data o varietate si in ea un grup de transformari, sarcina noastra este sa investigam acele proprietati ale unei guri din varietate care nu se schimba prin transformarile grupului. Se da o multime M si S M grupul permutarilor lui M. Orice subgrup G al lui S M este un grup de transformari ale lui M. Se studiaza acele proprietati ale gurilor care sunt invariate de toate elementele lui G. Deci, apriori, M nu are proprietati geometrice, acestea sunt dictate de grupul G. O geometrie este notata prin (M, G).

3 Rolul grupurilor de transformari in denirea unei geometrii Felix Klein ( ) a dorit sa aplice conceptul de grup pentru a caracteriza diferitele geometrii ale timpului. In discursul inaugural de la Universitatea Erlangen (1872) - Tendinte recente in cercetarea geometrica - Klein spune: ind data o varietate si in ea un grup de transformari, sarcina noastra este sa investigam acele proprietati ale unei guri din varietate care nu se schimba prin transformarile grupului. Se da o multime M si S M grupul permutarilor lui M. Orice subgrup G al lui S M este un grup de transformari ale lui M. Se studiaza acele proprietati ale gurilor care sunt invariate de toate elementele lui G. Deci, apriori, M nu are proprietati geometrice, acestea sunt dictate de grupul G. O geometrie este notata prin (M, G).

4 Geometria euclidiana (plana) Geometria euclidiana se ocupa de acele proprietati pastrate de izometrii: lungimea segmentelor si congruenta lor, masura unghiurilor si congruenta acestora, coliniaritatea, raportul simplu al punctelor. Fie P un plan euclidian, inzestrat cu o functie distanta d : P P R : d(a, B) 0, A, B P; d(a, B) = 0 A = B; d(a, B) = d(b, A); d(a, B) d(a, C) + d(c, A), A, B, C P; d(a, B) = d(a, C) + d(c, A) A C B. Denition Se numeste izometrie a planului P o aplicatie f proprietatea : P P cu d (f (A), f (B)) = d(a, B), A, B P. Se poate demonstra ca orice izometrie a planului este o aplicatie bijectiva.

5 Geometria euclidiana (plana) Geometria euclidiana se ocupa de acele proprietati pastrate de izometrii: lungimea segmentelor si congruenta lor, masura unghiurilor si congruenta acestora, coliniaritatea, raportul simplu al punctelor. Fie P un plan euclidian, inzestrat cu o functie distanta d : P P R : d(a, B) 0, A, B P; d(a, B) = 0 A = B; d(a, B) = d(b, A); d(a, B) d(a, C) + d(c, A), A, B, C P; d(a, B) = d(a, C) + d(c, A) A C B. Denition Se numeste izometrie a planului P o aplicatie f proprietatea : P P cu d (f (A), f (B)) = d(a, B), A, B P. Se poate demonstra ca orice izometrie a planului este o aplicatie bijectiva.

6 Grupul izometriilor Theorem Multimea izometriilor planului formeaza un grup in raport cu compunerea functiilor. Grupul izometriilor cu un punct x este izomorf cu grupul ortogonal O(2). O(2) = { A M 2 (R) AA t = A t A = I 2 } = { A Gl(2, R) A 1 = A t} Clasicare Izometrii de specia I: translatia, rotatia Izometrii de specia a II-a: simetria ortogonala axiala, compunerea dintre o simetrie axiala si o translatie de vector paralel cu axa simetriei

7 Grupul izometriilor Theorem Multimea izometriilor planului formeaza un grup in raport cu compunerea functiilor. Grupul izometriilor cu un punct x este izomorf cu grupul ortogonal O(2). O(2) = { A M 2 (R) AA t = A t A = I 2 } = { A Gl(2, R) A 1 = A t} Clasicare Izometrii de specia I: translatia, rotatia Izometrii de specia a II-a: simetria ortogonala axiala, compunerea dintre o simetrie axiala si o translatie de vector paralel cu axa simetriei

8 Grupul izometriilor Theorem Multimea izometriilor planului formeaza un grup in raport cu compunerea functiilor. Grupul izometriilor cu un punct x este izomorf cu grupul ortogonal O(2). O(2) = { A M 2 (R) AA t = A t A = I 2 } = { A Gl(2, R) A 1 = A t} Clasicare Izometrii de specia I: translatia, rotatia Izometrii de specia a II-a: simetria ortogonala axiala, compunerea dintre o simetrie axiala si o translatie de vector paralel cu axa simetriei

9 Izometriile planului

10 Simetriile unei guri Odata xata o geometrie cu un grup de automorsme G, se poate studia subgrupul automorsmelor care invariaza o gura xata F. Aceste automorsme se numesc simetrii ale gurii respective. Denition Fie F P o gura xata a planului P. Se numeste simetrie a lui F o izometrie a planului, f : P P, care invariaza gura F: f (F) = F. Theorem Multimea simetriilor gurii F P este un subgrup al grupului izometriilor planului P.

11 Simetriile unei guri Odata xata o geometrie cu un grup de automorsme G, se poate studia subgrupul automorsmelor care invariaza o gura xata F. Aceste automorsme se numesc simetrii ale gurii respective. Denition Fie F P o gura xata a planului P. Se numeste simetrie a lui F o izometrie a planului, f : P P, care invariaza gura F: f (F) = F. Theorem Multimea simetriilor gurii F P este un subgrup al grupului izometriilor planului P.

12 Grupurile de simetrii ale unor poligoane: grupul lui Klein: grupul simetriilor unui dreptunghi diferit de patrat grupurile diedrale: grupul simetriilor unui poligon regulat subgrupurile acestora formate din rotatii Reciproc: dat un grup de simetrii, sa determinam un poligon care sa aiba drept grup de simetrii pe cel initial Determinarea tuturor grupurilor nite de simetrii: teorema lui Leonardo

13 Grupul lui Klein V 4 = {Id, σ a, σ b, σ O } = < σ a, σ O = ρ O,π > Id σ a σ b σ O Id Id σ a σ b σ O σ a σ a Id σ O σ b σ b σ b σ O Id σ a σ O σ O σ b σ a Id

14 Grupul simetriilor patratului Notatii: ρ rotatia de centru O si unghi π 2 σ simetria axiala in raport cu axa orizontala h Sunt exact opt simetrii Putem genera toate simetriile pornind de la ρ si σ

15 Grupul diedral D 4 { Id, σ h, σ r, σ v, σ l, ρ O, π 2, ρ O, 2π 2 = σ O, ρ O, 3π 2 D 4 = { ρ, ρ 2, ρ 3, ρ 4 = Id, ρσ, ρ 2 σ, ρ 3 σ, σ } } σ 2 = ρ 4 = Id σ 1 = σ ρ 1 = ρ 3 ρ 2 = ρ 2 ρ 3 = ρ σ r = ρσ σ v = ρ 2 σ σ l = ρ 3 σ σ v σ = ρ 2 σ l σ = ρ 3

16 Grupul diedral D 4 { Id, σ h, σ r, σ v, σ l, ρ O, π 2, ρ O, 2π 2 = σ O, ρ O, 3π 2 D 4 = { ρ, ρ 2, ρ 3, ρ 4 = Id, ρσ, ρ 2 σ, ρ 3 σ, σ } } σ 2 = ρ 4 = Id σ 1 = σ ρ 1 = ρ 3 ρ 2 = ρ 2 ρ 3 = ρ σ r = ρσ σ v = ρ 2 σ σ l = ρ 3 σ σ v σ = ρ 2 σ l σ = ρ 3

17 Grupul diedral D 4 { Id, σ h, σ r, σ v, σ l, ρ O, π 2, ρ O, 2π 2 = σ O, ρ O, 3π 2 D 4 = { ρ, ρ 2, ρ 3, ρ 4 = Id, ρσ, ρ 2 σ, ρ 3 σ, σ } } σ 2 = ρ 4 = Id σ 1 = σ ρ 1 = ρ 3 ρ 2 = ρ 2 ρ 3 = ρ σ r = ρσ σ v = ρ 2 σ σ l = ρ 3 σ σ v σ = ρ 2 σ l σ = ρ 3

18 Grupul diedral D 4 Compunerea dintre o simetrie axiala fata de dreapta d si o rotatie cu centrul apartinand dreptei d este o simetrie fata de o dreapta ce trece prin centrul rotatiei. Deci σρ, σρ 2, σρ 3 sunt simetrii fata de drepte ce trec prin O, deci sunt aplicatii involutive. σρ = (σρ) 1 = ρ 1 σ 1 = ρ 3 σ, σρ 2 = (σρ 2 ) 1 = ρ 2 σ 1 = ρ 2 σ, σρ 3 = (σρ 3 ) 1 = ρ 3 σ 1 = ρσ.

19 Grupul diedral D 4 Id ρ ρ 2 ρ 3 σ ρσ ρ 2 σ ρ 3 σ Id Id ρ ρ 2 ρ 3 σ ρσ ρ 2 σ ρ 3 σ ρ ρ ρ 2 ρ 3 Id ρσ ρ 2 σ ρ 3 σ σ ρ 2 ρ 2 ρ 3 Id ρ ρ 2 σ ρ 3 σ σ ρσ ρ 3 ρ 3 Id ρ ρ 2 ρ 3 σ σ ρσ ρ 2 σ σ σ ρ 3 σ ρ 2 σ ρσ Id ρ 3 ρ 2 ρ ρσ ρσ σ ρ 3 σ ρ 2 σ ρ Id ρ 3 ρ 2 ρ 2 σ ρ 2 σ ρσ σ ρ 3 σ ρ 2 ρ Id ρ 3 ρ 3 σ ρ 3 σ ρ 2 σ ρσ σ ρ 3 ρ 2 ρ Id C 4 = { Id, ρ, ρ 2, ρ 3} =< ρ > subgrupul rotatiilor

20 Grupul diedral D 4 Id ρ ρ 2 ρ 3 σ ρσ ρ 2 σ ρ 3 σ Id Id ρ ρ 2 ρ 3 σ ρσ ρ 2 σ ρ 3 σ ρ ρ ρ 2 ρ 3 Id ρσ ρ 2 σ ρ 3 σ σ ρ 2 ρ 2 ρ 3 Id ρ ρ 2 σ ρ 3 σ σ ρσ ρ 3 ρ 3 Id ρ ρ 2 ρ 3 σ σ ρσ ρ 2 σ σ σ ρ 3 σ ρ 2 σ ρσ Id ρ 3 ρ 2 ρ ρσ ρσ σ ρ 3 σ ρ 2 σ ρ Id ρ 3 ρ 2 ρ 2 σ ρ 2 σ ρσ σ ρ 3 σ ρ 2 ρ Id ρ 3 ρ 3 σ ρ 3 σ ρ 2 σ ρσ σ ρ 3 ρ 2 ρ Id C 4 = { Id, ρ, ρ 2, ρ 3} =< ρ > subgrupul rotatiilor

21 Poligoane care au ca grup de simetrii C 4

22 Grupul diedral D 3 σ = σ h ρ = ρ O, 2π 3 σ 2 = ρ 3 = Id D 3 = { Id, ρ, ρ 2, σ, ρσ, ρ 2 σ } σρ = (σρ) 1 = ρ 1 σ 1 = ρ 2 σ σρ 2 = (σρ 2 ) 1 = ρ 2 σ 1 = ρσ

23 Grupul diedral D 3 Id ρ ρ 2 σ ρσ ρ 2 σ Id Id ρ ρ 2 σ ρσ ρ 2 σ ρ ρ ρ 2 Id ρσ ρ 2 σ σ ρ 2 ρ 2 Id ρ ρ 2 σ σ ρσ σ σ ρ 2 σ ρσ Id ρ 2 ρ ρσ ρσ σ ρ 2 σ ρ Id ρ 2 ρ 2 σ ρ 2 σ ρσ σ ρ 2 ρ Id C 3 = { Id, ρ, ρ 2}

24 Poligoane cu C 3 drept grup de simetrii

25 Grupul diedral D 6 D 6 = { Id, ρ 2, ρ 3, ρ 4, ρ 5, σ, ρσ, ρ 2 σ, ρ 3 σ, ρ 4 σ, ρ 5 σ }, ρ = ρ O, π3

26 Poligon cu grup de simetrii C 6 C 6 = {Id, ρ 2, ρ 3, ρ 4, ρ 5 }

27 Grupul diedral D n si subgrupul rotatiilor C n Avand un poligon regulat cu n laturi, ecare varf V i poate dus printr-o simetrie intr-unul din cele n varfuri ale poligonului, de exemplu V k. Atunci un varf vecin lui V i poate dus prin acea simetrie intr-unul din varfurile vecine ale lui V k. Deci in total avem 2n posibilitati. Cum imaginea poligonului regulat printr-o simetrie este determinata atunci cand se cunosc imaginile a doua varfuri vecine prin acea simetrie, rezulta ca exista cel mult 2n simetrii pentru poligonul respectiv. Fie h una din axele de simetrie ale poligonului regulat. Notam cu σ simetria axiala in raport cu h si cu ρ rotatia de centru O (centrul de simetrie al poligonului, situat la intersectia axelor sale de simetrie) si unghi orientat 2π n. { Id, ρ, ρ 2,, ρ n 1, ρσ, ρ 2 σ,, ρ n 1 σ } sunt 2n simetrii ale poligonului, deci acestea sunt toate simetriile posibile. In consecinta D n =< ρ, σ > si subgrupul rotatiilor sale este grupul ciclic C n =< ρ > de ordin n.

28 Grupul diedral D n si subgrupul rotatiilor C n Avand un poligon regulat cu n laturi, ecare varf V i poate dus printr-o simetrie intr-unul din cele n varfuri ale poligonului, de exemplu V k. Atunci un varf vecin lui V i poate dus prin acea simetrie intr-unul din varfurile vecine ale lui V k. Deci in total avem 2n posibilitati. Cum imaginea poligonului regulat printr-o simetrie este determinata atunci cand se cunosc imaginile a doua varfuri vecine prin acea simetrie, rezulta ca exista cel mult 2n simetrii pentru poligonul respectiv. Fie h una din axele de simetrie ale poligonului regulat. Notam cu σ simetria axiala in raport cu h si cu ρ rotatia de centru O (centrul de simetrie al poligonului, situat la intersectia axelor sale de simetrie) si unghi orientat 2π n. { Id, ρ, ρ 2,, ρ n 1, ρσ, ρ 2 σ,, ρ n 1 σ } sunt 2n simetrii ale poligonului, deci acestea sunt toate simetriile posibile. In consecinta D n =< ρ, σ > si subgrupul rotatiilor sale este grupul ciclic C n =< ρ > de ordin n.

29 D n Pentru a completa tabela grupului procedam astfel. Pentru primele n linii folosim ρ n = σ 2 = Id si ecare linie se obtine practic din precedenta prin compunere la stanga cu ρ. Pentru linia corespunzatoare lui σ folosim faptul ca orice compunere dintre o simetrie axiala si o rotatie este o simetrie axiala, deci o aplicatie involutiva. Astfel, (σρ k ) 1 = σρ k, k 1, n 1. Deci σρ k = ρ n k σ, k 1, n 1. Dupa completarea acestei linii, ultimele n 1 linii se obtin ecare din precedenta prin compunere la stanga cu ρ. D 1 =< σ > e grupul simetriilor unui triunghi isoscel neechilateral, iar C 1 = {Id}. D 2 =< σ, ρ O,π = σ O >= V 4, iar C 2 = {Id, ρ O,π } e grupul simetriilor unui paralelogram diferit de romb.

30 D n Pentru a completa tabela grupului procedam astfel. Pentru primele n linii folosim ρ n = σ 2 = Id si ecare linie se obtine practic din precedenta prin compunere la stanga cu ρ. Pentru linia corespunzatoare lui σ folosim faptul ca orice compunere dintre o simetrie axiala si o rotatie este o simetrie axiala, deci o aplicatie involutiva. Astfel, (σρ k ) 1 = σρ k, k 1, n 1. Deci σρ k = ρ n k σ, k 1, n 1. Dupa completarea acestei linii, ultimele n 1 linii se obtin ecare din precedenta prin compunere la stanga cu ρ. D 1 =< σ > e grupul simetriilor unui triunghi isoscel neechilateral, iar C 1 = {Id}. D 2 =< σ, ρ O,π = σ O >= V 4, iar C 2 = {Id, ρ O,π } e grupul simetriilor unui paralelogram diferit de romb.

31 D n Pentru a completa tabela grupului procedam astfel. Pentru primele n linii folosim ρ n = σ 2 = Id si ecare linie se obtine practic din precedenta prin compunere la stanga cu ρ. Pentru linia corespunzatoare lui σ folosim faptul ca orice compunere dintre o simetrie axiala si o rotatie este o simetrie axiala, deci o aplicatie involutiva. Astfel, (σρ k ) 1 = σρ k, k 1, n 1. Deci σρ k = ρ n k σ, k 1, n 1. Dupa completarea acestei linii, ultimele n 1 linii se obtin ecare din precedenta prin compunere la stanga cu ρ. D 1 =< σ > e grupul simetriilor unui triunghi isoscel neechilateral, iar C 1 = {Id}. D 2 =< σ, ρ O,π = σ O >= V 4, iar C 2 = {Id, ρ O,π } e grupul simetriilor unui paralelogram diferit de romb.

32 D n Pentru a completa tabela grupului procedam astfel. Pentru primele n linii folosim ρ n = σ 2 = Id si ecare linie se obtine practic din precedenta prin compunere la stanga cu ρ. Pentru linia corespunzatoare lui σ folosim faptul ca orice compunere dintre o simetrie axiala si o rotatie este o simetrie axiala, deci o aplicatie involutiva. Astfel, (σρ k ) 1 = σρ k, k 1, n 1. Deci σρ k = ρ n k σ, k 1, n 1. Dupa completarea acestei linii, ultimele n 1 linii se obtin ecare din precedenta prin compunere la stanga cu ρ. D 1 =< σ > e grupul simetriilor unui triunghi isoscel neechilateral, iar C 1 = {Id}. D 2 =< σ, ρ O,π = σ O >= V 4, iar C 2 = {Id, ρ O,π } e grupul simetriilor unui paralelogram diferit de romb.

33 Teorema lui Leonardo Pana in acest moment am reusit sa demonstram urmatorul rezultat: Theorem Pentru orice n N, exista cate un poligon care are ca grup de simetrii pe D n si respectiv pe C n. Ne intereseaza rezultatul reciproc: orice grup nit de simetrii al unei guri plane este de tipul D n sau C n? Hermann Weyl ( ) arma in cartea Symmetry, Princeton University Press, 1951, ca Leonardo da Vinci ( ) era preocupat de aceasta problema. Mai exact acesta determina in mod sistematic simetriile unei cladiri centrale si studia cum sa ataseze capele, nise, etc, fara a strica simetria nucleului.

34 Teorema lui Leonardo Pana in acest moment am reusit sa demonstram urmatorul rezultat: Theorem Pentru orice n N, exista cate un poligon care are ca grup de simetrii pe D n si respectiv pe C n. Ne intereseaza rezultatul reciproc: orice grup nit de simetrii al unei guri plane este de tipul D n sau C n? Hermann Weyl ( ) arma in cartea Symmetry, Princeton University Press, 1951, ca Leonardo da Vinci ( ) era preocupat de aceasta problema. Mai exact acesta determina in mod sistematic simetriile unei cladiri centrale si studia cum sa ataseze capele, nise, etc, fara a strica simetria nucleului.

35 Teorema lui Leonardo Pana in acest moment am reusit sa demonstram urmatorul rezultat: Theorem Pentru orice n N, exista cate un poligon care are ca grup de simetrii pe D n si respectiv pe C n. Ne intereseaza rezultatul reciproc: orice grup nit de simetrii al unei guri plane este de tipul D n sau C n? Hermann Weyl ( ) arma in cartea Symmetry, Princeton University Press, 1951, ca Leonardo da Vinci ( ) era preocupat de aceasta problema. Mai exact acesta determina in mod sistematic simetriile unei cladiri centrale si studia cum sa ataseze capele, nise, etc, fara a strica simetria nucleului.

36 Teorema lui Leonardo Theorem Singurele grupuri nite de izometrii sunt C n si D n. Corollary (Leonardo) Dat un poligon oarecare, grupul sau de simetrii este D n sau C n.

37 Teorema lui Leonardo Theorem Singurele grupuri nite de izometrii sunt C n si D n. Corollary (Leonardo) Dat un poligon oarecare, grupul sau de simetrii este D n sau C n.

38 Theorem Singurele grupuri nite de izometrii sunt C n si D n. Demonstratie Fie G un grup nit de izometrii ale planului P. Rezulta ca acesta nu poate contine translatii sau compuneri de translatii cu simetrii axiale, deoarece acestea ar genera un subgrup innit. In consecinta G contine doar rotatii si simetrii axiale. Caz I Presupunem ca G contine doar rotatii: G = C 1 = {Id} ρ A,α G, ρ A,α Id. In aceasta situatie demonstram ca toate rotatiile sunt de centru A. Pp prin reducere la absurd ca ρ B,β G cu A B. Atunci ρ 1 B,β ρ 1 A,α ρ B,βρ A,α G. Dar aceasta compunere de rotatii este o translatie diferita de Id caci suma unghiurilor orientate ale acestor rotatii este 0. Se contrazice astfel ipoteza ca G e grup nit.

39 Deci n N : ρ n A,α = ρ A,nα G si ρ 1 A,α = ρ A, α G. Astfel, toate elementele grupului pot scrise sub forma ρ A,α cu 0 α 2π. Fie α 0 valoarea minima (pozitiva) pe care o poate lua unghiul unei rotatii din G. Se demonstreaza prin reducere la absurd ca ρ A,β G, k N astfel incat β = kα 0. Deci orice rotatie a grupului este de tipul ρ A,kα0 = ρ k A,α 0, pentru un anumit k natural, deci este generata de ρ A,α0. In concluzie G =< ρ A,α0 >= C m, ρ m A,α 0 = Id. Caz II Presupunem ca G contine cel putin o simetrie axiala σ. Deoarece o izometrie si inversa ei sunt de aceeasi specie, iar compunerea a doua izometrii de specia I este o izometrie de specia I, rezulta ca multimea izometriilor de specia I ale lui G formeaza un subgrup al acestuia, ce contine doar rotatii. Conform primului caz, rezulta ca acest subgrup e de tipul C n = {Id, ρ,, ρ n 1 }. Am presupus ca numarul izometriilor de specia I ale lui G este n.

40 Deci n N : ρ n A,α = ρ A,nα G si ρ 1 A,α = ρ A, α G. Astfel, toate elementele grupului pot scrise sub forma ρ A,α cu 0 α 2π. Fie α 0 valoarea minima (pozitiva) pe care o poate lua unghiul unei rotatii din G. Se demonstreaza prin reducere la absurd ca ρ A,β G, k N astfel incat β = kα 0. Deci orice rotatie a grupului este de tipul ρ A,kα0 = ρ k A,α 0, pentru un anumit k natural, deci este generata de ρ A,α0. In concluzie G =< ρ A,α0 >= C m, ρ m A,α 0 = Id. Caz II Presupunem ca G contine cel putin o simetrie axiala σ. Deoarece o izometrie si inversa ei sunt de aceeasi specie, iar compunerea a doua izometrii de specia I este o izometrie de specia I, rezulta ca multimea izometriilor de specia I ale lui G formeaza un subgrup al acestuia, ce contine doar rotatii. Conform primului caz, rezulta ca acest subgrup e de tipul C n = {Id, ρ,, ρ n 1 }. Am presupus ca numarul izometriilor de specia I ale lui G este n.

41 Presupunem ca G contine m 1 izometrii de specia a II-a. Deoarece σ, ρσ, ρ 2 σ,, ρ n 1 σ sunt izometrii de specia a II-a, rezulta ca m n. Dar cele m izometrii de specia a doua, compuse la dreapta cu σ, dau m izometrii de specia I, deci m n. In concluzie m = n OrdG = 2n si G = { Id, ρ,, ρ n 1, σ, ρσ, ρ 2 σ,, ρ n 1 σ }. Pentru n = 1 avem G =< σ >= D 1, iar pentru n > 1, ρ k σ, k 1, n 1 este o simetrie fata de o dreapta ce trece prin centrul A al rotatiei ρ. Deci G = D n.

42 Presupunem ca G contine m 1 izometrii de specia a II-a. Deoarece σ, ρσ, ρ 2 σ,, ρ n 1 σ sunt izometrii de specia a II-a, rezulta ca m n. Dar cele m izometrii de specia a doua, compuse la dreapta cu σ, dau m izometrii de specia I, deci m n. In concluzie m = n OrdG = 2n si G = { Id, ρ,, ρ n 1, σ, ρσ, ρ 2 σ,, ρ n 1 σ }. Pentru n = 1 avem G =< σ >= D 1, iar pentru n > 1, ρ k σ, k 1, n 1 este o simetrie fata de o dreapta ce trece prin centrul A al rotatiei ρ. Deci G = D n.

43 Bibliograe 1 Mircea Ganga, Manual Algebra clasa a XII-a, Mathpress, Ploiesti, George E. Martin, Transformation Geometry, An Introduction to Symmetry, Springer, Liviu Ornea, Adriana Turtoi, O introducere in geometrie, Theta, Bucuresti Ioan Pop, Geometrie ana, euclidiana si proiectiva, Editura Universitatii Al.I.Cuza, Iasi, 1999

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. < Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie

Διαβάστε περισσότερα

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate.

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate. Copyright c 009 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 15 iunie

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

3. Vectori şi valori proprii

3. Vectori şi valori proprii Valori şi vectori proprii 7 Vectori şi valori proprii n Reamintim că dacă A este o matrice pătratică atunci un vector x R se numeşte vector propriu în raport cu A dacă x şi există un număr λ (real sau

Διαβάστε περισσότερα

Structura matematicii

Structura matematicii Structura matematicii Oana Constantinescu March 21, 2014 Contents 1 Teorie deductiva. Generalitati 1 2 Geometria plana bazata pe notiunea de distanta 4 2.1 Motivatie............................... 4 2.2

Διαβάστε περισσότερα

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx + Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.

Διαβάστε περισσότερα

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor Note de curs În prima parte a cursului, vom prezenta câteva clase remarcabile de domenii de integritate şi legăturile dintre acestea A doua parte

Διαβάστε περισσότερα

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Subiecte : 1. Proprietăţile mulţimilor. Mulţimi numerice importante. 2. Relaţii binare. Relaţii de ordine. Relaţii de echivalenţă. 3. Imagini directe şi imagini inverse

Διαβάστε περισσότερα

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport

Διαβάστε περισσότερα

2 Variabile aleatoare

2 Variabile aleatoare Variabile aleatoare În practică, variabilele aleatoare apar ca funcţii ce depind de rezultatul efectuării unui anumit experiment. Spre exemplu, la aruncarea a două zaruri, suma numerelor obţinute este

Διαβάστε περισσότερα

APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR. Călinici Tudor 2016

APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR. Călinici Tudor 2016 APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR Călinici Tudor 2016 OBIECTIVE EDUCAŢIONALE Prezentarea conceptelor fundamentale ale teoriei calculului probabilitaţilor Evenimente independente Probabilități

Διαβάστε περισσότερα

1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE

1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE 1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR MARCARE DIRECTĂ PRIN

Διαβάστε περισσότερα

Tehnici de Optimizare

Tehnici de Optimizare Tehnici de Optimizare Cristian OARA Facultatea de Automatica si Calculatoare Universitatea Politehnica Bucuresti Fax: + 40 1 3234 234 Email: oara@riccati.pub.ro URL: http://riccati.pub.ro Tehnici de Optimizare

Διαβάστε περισσότερα

11.2 CIRCUITE PENTRU FORMAREA IMPULSURILOR Metoda formării impulsurilor se bazează pe obţinerea unei succesiuni periodice de impulsuri, plecând de la semnale periodice de altă formă, de obicei sinusoidale.

Διαβάστε περισσότερα

11.3 CIRCUITE PENTRU GENERAREA IMPULSURILOR CIRCUITE BASCULANTE Circuitele basculante sunt circuite electronice prevăzute cu o buclă de reacţie pozitivă, folosite la generarea impulsurilor. Aceste circuite

Διαβάστε περισσότερα

Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg

Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg Obiectivele lucrarii analiza spectrului in vizibil emis de atomii de hidrogen si determinarea lungimii de unda a liniilor serie Balmer; determinarea constantei

Διαβάστε περισσότερα

CURSUL AL IV-LEA. Tabelul 1 Greutatea corporală a 1014 pacienţi cu diferite afecţiuni, pe clase din 5kg în 5kg

CURSUL AL IV-LEA. Tabelul 1 Greutatea corporală a 1014 pacienţi cu diferite afecţiuni, pe clase din 5kg în 5kg CURSUL AL IV-LEA 1 Reprezentarea grafică a datelor statistice - Consideraţii generale Sunt două metode de bază în statistică: numerică şi grafică. Folosind metoda numerică putem calcula statistici ca media

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI

Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI 61 ECUAŢIA GENERALĂ A MIŞCĂRII RECTILINII A AUTOVEHICULULUI FRÂNAT Se consideră un autovehicul care se deplasează cu viteză variabilă pe un drum cu

Διαβάστε περισσότερα

Continue. Answer: a. 0,25 b. 0,15 c. 0,1 d. 0,2 e. 0,3. Answer: a. 0,1 b. 0,25 c. 0,17 d. 0,02 e. 0,3

Continue. Answer: a. 0,25 b. 0,15 c. 0,1 d. 0,2 e. 0,3. Answer: a. 0,1 b. 0,25 c. 0,17 d. 0,02 e. 0,3 Concurs Phi: Setul 1 - Clasa a VII-a Logout e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a VII-a» Attempt 1 1 Pentru a deplasa uniform pe orizontala un corp de masa m = 18 kg se actioneaza asupra lui

Διαβάστε περισσότερα

Tema I FORMAREA IMAGINII

Tema I FORMAREA IMAGINII Tema I FORMAREA IMAGINII Nevoia de imagini a omului modern creste de la zi la zi. In general, functiile imaginilor sunt urmatoarele : - functia documentara - prezinta concret, imaginea unor termeni si

Διαβάστε περισσότερα

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36 Prefaţă Cartea de faţă a fost elaborată în cadrul proiectului Formarea cadrelor didactice universitare şi a studenţilor în domeniul utilizării unor instrumente moderne de predare-învăţare-evaluare pentru

Διαβάστε περισσότερα

PROBLEME DE ELECTRICITATE

PROBLEME DE ELECTRICITATE PROBLEME DE ELECTRICITATE 1. Două becuri B 1 şi B 2 au fost construite pentru a funcţiona normal la o tensiune U = 100 V, iar un al treilea bec B 3 pentru a funcţiona normal la o tensiune U = 200 V. Puterile

Διαβάστε περισσότερα

Tema: şiruri de funcţii

Tema: şiruri de funcţii Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..

Διαβάστε περισσότερα

Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală

Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală Laborator 3 Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală 3.1 Tema Înţelegerea conceptului de funcţie de matrice şi însuşirea principalelor metode şi algoritmi de calcul al funcţilor de matrice.

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n. Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu

Διαβάστε περισσότερα

i R i Z D 1 Fig. 1 T 1 Fig. 2

i R i Z D 1 Fig. 1 T 1 Fig. 2 TABILIZATOAE DE TENINE ELECTONICĂ Lucrarea nr. 5 TABILIZATOAE DE TENINE 1. copurile lucrării: - studiul dependenţei dintre tensiunea stabilizată şi cea de intrare sau curentul de sarcină pentru stabilizatoare

Διαβάστε περισσότερα

DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG

DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" BUCUREŞTI DEPARTAMENTUL DE FIZICĂ LABORATORUL DE FIZICA ATOMICA SI FIZICA NUCLEARA BN-03A DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG. Scopul lucrării Determinarea

Διαβάστε περισσότερα

LUCRAREA NR. 9 STUDIUL POLARIZĂRII ROTATORII A LUMINII

LUCRAREA NR. 9 STUDIUL POLARIZĂRII ROTATORII A LUMINII LUCRAREA NR. 9 STUDIUL POLARIZĂRII ROTATORII A LUMINII Tema lucrării: 1) Determinarea puterii rotatorii specifice a zahărului 2) Determinarea concentraţiei unei soluţii de zahăr 3) Determinarea dispersiei

Διαβάστε περισσότερα

Seminar electricitate. Seminar electricitate (AP)

Seminar electricitate. Seminar electricitate (AP) Seminar electricitate Structura atomului Particulele elementare sarcini elementare Protonii sarcini elementare pozitive Electronii sarcini elementare negative Atomii neutri dpdv electric nr. protoni =

Διαβάστε περισσότερα

( ) Recapitulare formule de calcul puteri ale numărului 10 = Problema 1. Să se calculeze: Rezolvare: (

( ) Recapitulare formule de calcul puteri ale numărului 10 = Problema 1. Să se calculeze: Rezolvare: ( Exemple e probleme rezolvate pentru curs 0 DEEA Recapitulare formule e calcul puteri ale numărului 0 n m n+ m 0 = 0 n n m =0 m 0 0 n m n m ( ) n = 0 =0 0 0 n Problema. Să se calculeze: a. 0 9 0 b. ( 0

Διαβάστε περισσότερα

DESEN TEHNIC GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ

DESEN TEHNIC GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ DESEN TEHNIC GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ CUPRINS PARTEA I - NOTIUNI GENERALE DE DESEN TEHNIC CAPITOLUL 1 INFORMAŢII TRANSMISE PRIN INTERMEDIUL DESENULUI TEHNIC CAPITOLUL 2 REPREZENTAREA PIESELOR ÎN PROIECŢIE

Διαβάστε περισσότερα

Electronică Analogică. Redresoare -2-

Electronică Analogică. Redresoare -2- Electronică Analogică Redresoare -2- 1.2.4. Redresor monoalternanţă comandat. În loc de diodă, se foloseşte un tiristor sau un triac pentru a conduce, tirisorul are nevoie de tensiune anodică pozitivă

Διαβάστε περισσότερα

Figura 1. Caracteristica de funcţionare a modelului liniar pe porţiuni al diodei semiconductoare..

Figura 1. Caracteristica de funcţionare a modelului liniar pe porţiuni al diodei semiconductoare.. I. Modelarea funcţionării diodei semiconductoare prin modele liniare pe porţiuni În modelul liniar al diodei semiconductoare, se ţine cont de comportamentul acesteia atât în regiunea de conducţie inversă,

Διαβάστε περισσότερα

Clasa a X-a, Producerea si utilizarea curentului electric continuu

Clasa a X-a, Producerea si utilizarea curentului electric continuu 1. Ce se întămplă cu numărul de electroni transportaţi pe secundă prin secţiunea unui conductor de cupru, legat la o sursă cu rezistenta internă neglijabilă dacă: a. dublăm tensiunea la capetele lui? b.

Διαβάστε περισσότερα

Προσωπική Αλληλογραφία Επιστολή

Προσωπική Αλληλογραφία Επιστολή - Διεύθυνση Andreea Popescu Str. Reşiţa, nr. 4, bloc M6, sc. A, ap. 12. Turnu Măgurele Jud. Teleorman 06102. România. Ελληνική γραφή διεύθυνσης: Όνομα Παραλήπτη Όνομα και νούμερο οδού Ταχυδρομικός κώδικας,

Διαβάστε περισσότερα

AMPLIFICATORUL OPERAŢIONAL REAL - EFECTE DE CURENT CONTINUU

AMPLIFICATORUL OPERAŢIONAL REAL - EFECTE DE CURENT CONTINUU Cuprins CAPITOLUL 4 AMPLIFICATORUL OPERAŢIONAL REAL - EFECTE DE CURENT CONTINUU...38 4. Introducere...38 4.2 Modelul la foarte joasă frecvenţă al amplficatorului operaţional...38 4.3 Amplificatorul neinversor.

Διαβάστε περισσότερα

DESEN TEHNIC. Suport electronic de curs

DESEN TEHNIC. Suport electronic de curs DESEN TEHNIC Suport electronic de curs 2011 CUPRINS 1. NOŢIUNI INTRODUCTIVE. STANDARDE GENERALE UTILIZATE ÎN DESENUL TEHNIC 1.1. NOŢIUNI INTRODUCTIVE 1.1.1.Scopul, obiectul şi importanţa desenului tehnic

Διαβάστε περισσότερα

De exemplu multimea oamenilor care cintaresc de kg nu are nici un element.

De exemplu multimea oamenilor care cintaresc de kg nu are nici un element. 1.Multimi Definitie Multimea este o colectie de obiecte/simboluri. Fiecare obiect dintr-o multime este un element al multimii si este scris/specificat o singura data. Mutimile se noteaza, de obicei cu

Διαβάστε περισσότερα

Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva

Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva Notaţii si noţiuni preliminare Variabila aleatoare: X,Y,U,V,etc., descrisă de funcţie de repartiţie. Variabila aleatoare este asaociată unei populaţii statistice;

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICI SPECIALE. Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU. Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB

MATEMATICI SPECIALE. Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU. Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB MATEMATICI SPECIALE Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB Mai există erori care vor fi corectate în versiunea finală) Capitolul Introducere

Διαβάστε περισσότερα

Circuite cu diode în conducţie permanentă

Circuite cu diode în conducţie permanentă Circuite cu diode în conducţie permanentă Curentul prin diodă şi tensiunea pe diodă sunt legate prin ecuaţia de funcţionare a diodei o cădere de tensiune pe diodă determină valoarea curentului prin ea

Διαβάστε περισσότερα

DESEN TEHNIC - Note de curs şi aplicaţii practice -

DESEN TEHNIC - Note de curs şi aplicaţii practice - UNIVERSITATEA din BACĂU FACULTATEA DE INGINERIE FLORIN MACARIE IONEL OLARU DESEN TEHNIC - Note de curs şi aplicaţii practice - EDITURA ALMA MATER BACĂU 2007 1 Cuprins Capitolul 1. Norme generale de desen

Διαβάστε περισσότερα

Exercitii : Lecţia 1,2,3

Exercitii : Lecţia 1,2,3 Exercitii : Lecţia 1,2,3 1.Notarea câmpurilor Tabla de şah are 64 de pătrăţele numite câmpuri. Fiecare câmp poate fi identificat de coloana şi linia pe care se află, orice câmp se află la intersecţia dintre

Διαβάστε περισσότερα

Maşina sincronă. Probleme

Maşina sincronă. Probleme Probleme de generator sincron 1) Un generator sincron trifazat pentru alimentare de rezervă, antrenat de un motor diesel, are p = 3 perechi de poli, tensiunea nominală (de linie) U n = 380V, puterea nominala

Διαβάστε περισσότερα

formate, elemente grafice, linii, scrierea, indicatorul şi tabelul de componenţă desenul de ansamblu

formate, elemente grafice, linii, scrierea, indicatorul şi tabelul de componenţă desenul de ansamblu Desen tehnic Noţiuni generale formate, elemente grafice, linii, scrierea, indicatorul şi tabelul de componenţă desenul de ansamblu Reprezentarea pieselor în proiecţie ortogonală reprezentarea în vedere,

Διαβάστε περισσότερα

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Electronică - Probleme Capitolul Diode semiconductoare 3. În fig. 3 este preentat un filtru utiliat după un redresor bialternanţă. La bornele condensatorului

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 5 DINAMICA TRACŢIUNII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI

Capitolul 5 DINAMICA TRACŢIUNII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI Capitolul 5 DINAMICA TRACŢIUNII AUTOEHICULELOR CU ROŢI 5.1 ECUAŢIA GENERALĂ A MIŞCĂRII RECTILINII A AUTOEHICULELOR ŞI CONDIŢIA DE ÎNAINTARE A ACESTORA Se consideră cazul general al unui autovehicul care

Διαβάστε περισσότερα

Termostat pentru acvarii

Termostat pentru acvarii Termostat pentru acvarii Pentru pastrarea in interiorul acvariilor a unei temperaturi de +26±1 C se poate realiza o schema electronica simpla, sigura in functionare si in acelasi timp ieftina. Alimentata

Διαβάστε περισσότερα

GENERATOR DE IMPULSURI DREPTUNGHIULARE. - exemplu de proiectare -

GENERATOR DE IMPULSURI DREPTUNGHIULARE. - exemplu de proiectare - GENERATOR DE IMPULSURI DREPTUNGHIULARE - exemplu de proiectare - Presupunem ca se doreste obtinerea unui oscilator cu urmatoarele date de proiectare: Frecventa de oscilatie reglabila in intervalul 2 5

Διαβάστε περισσότερα

UTILIZAREA CIRCUITELOR BASCULANTE IN NUMARATOARE ELECTRONICE

UTILIZAREA CIRCUITELOR BASCULANTE IN NUMARATOARE ELECTRONICE COLEGIUL UCECOM SPIRU HARET BUCURESTI UTILIZAREA CIRCUITELOR BASCULANTE IN NUMARATOARE ELECTRONICE Elev : Popa Maria Clasa :a-xi-a A Indrumator:prof.Chirescu Emil APLICATII PRACTICE CE POT FI REALIZATE

Διαβάστε περισσότερα

ΟΔΗΓΟΣ ΓΛΩΣΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΟΔΗΓΟΣ ΓΛΩΣΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΤΙΚΗΣ ΟΔΗΓΟΣ ΓΛΩΣΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΤΙΚΗΣ ÑÏÕÌÁÍÉÁ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑΣ Εισαγωγή Η Δημοκρατία της Ρουμανίας έχει έκταση 238.000 χλμ² και πληθυσμό ο οποίος ξεπερνά τα 21 εκατομμύρια κατοίκους. Το επίσημο νόμισμά της

Διαβάστε περισσότερα

Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M2 CLASA A XI-A

Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M2 CLASA A XI-A Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M CLASA A XI-A Filiera teoretic`, profilul real, specializarea ]tiin\ele naturii (TC + CD) Filiera tehnologic`, toate calific`rile

Διαβάστε περισσότερα

Continue. Answer: a. Logout. e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a X-a» Attempt 1. 1 of 2 4/14/ :27 PM. Marks: 0/1.

Continue. Answer: a. Logout. e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a X-a» Attempt 1. 1 of 2 4/14/ :27 PM. Marks: 0/1. Concurs Phi: Setul 1 - Clasa a X-a 1 of 2 4/14/2008 12:27 PM Logout e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a X-a» Attempt 1 1 Un termometru cu lichid este gradat intr-o scara de temperatura liniara,

Διαβάστε περισσότερα

4. POLARIZAREA TRANZISTOARELOR BIPOLARE

4. POLARIZAREA TRANZISTOARELOR BIPOLARE 4 POLAZAA ANZSOALO POLA ircuitul de polarizare are rolul de a poziţiona într-un punct de pe caracteristica statică, numit Punct Static de uncţionare (PS) ezultă că circuitul de polarizare trebuie să asigure

Διαβάστε περισσότερα

STABILIZATOARE DE TENSIUNE REALIZATE CU CIRCUITE INTEGRATE ANALOGICE

STABILIZATOARE DE TENSIUNE REALIZATE CU CIRCUITE INTEGRATE ANALOGICE Cuprins CAPITOLL 8 STABILIZATOARE DE TENSINE REALIZATE C CIRCITE INTEGRATE ANALOGICE...220 8.1 Introducere...220 8.2 Stabilizatoare de tensiune realizate cu amplificatoare operaţionale...221 8.3 Stabilizatoare

Διαβάστε περισσότερα

[Iulian Stoleriu] Statistică Aplicată

[Iulian Stoleriu] Statistică Aplicată [Iulian Stoleriu] Statistică Aplicată Statistică Aplicată (C1) 1 Elemente de Statistic teoretic (C1) Populaµie statistic O populaµie (colectivitate) statistic este o mulµime de elemente ce posed o trasatur

Διαβάστε περισσότερα

EPSICOM CIRCUIT DE AVERTIZARE DESCĂRCARE ACUMULATOR EP 0006... Ready Prototyping. Cuprins. Idei pentru afaceri. Hobby & Proiecte Educationale

EPSICOM CIRCUIT DE AVERTIZARE DESCĂRCARE ACUMULATOR EP 0006... Ready Prototyping. Cuprins. Idei pentru afaceri. Hobby & Proiecte Educationale EPSICOM Ready Prototyping Coleccț ția Home Automation EP 0006... Cuprins Prezentare Proiect Fișa de Asamblare 1. Funcționare 2 2. Schema 2 3. PCB 2 4. Lista de componente 2 5. Tutorial Dioda Zenner 3-8

Διαβάστε περισσότερα

Statisticǎ - notiţe de curs

Statisticǎ - notiţe de curs Statisticǎ - notiţe de curs Ştefan Balint, Loredana Tǎnasie Cuprins 1 Ce este statistica? 3 2 Noţiuni de bazǎ 5 3 Colectarea datelor 7 4 Determinarea frecvenţei şi gruparea datelor 11 5 Prezentarea datelor

Διαβάστε περισσότερα

. TEMPOIZATOUL LM.. GENEALITĂŢI ircuitul de temporizare LM este un circuit integrat utilizat în foarte multe aplicaţii. În fig... sunt prezentate schema internă şi capsulele integratului LM. ()V+ LM Masă

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ. 2. Τακτικά αριθμητικά

ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ. 2. Τακτικά αριθμητικά ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ Σύμφωνα με τη Γραμματική της Ρουμανικής Γλώσσας, τα αριθμητικά διακρίνονται σε: 1. Απόλυτα αριθμητικά α. Απλά: unu, doi, trei... (ένα, δύο, τρία) κ.λπ. β. Σύνθετα: doisprezece, treizeci...

Διαβάστε περισσότερα

Proiectarea unui amplificator

Proiectarea unui amplificator Proiectarea unui amplificator sl. dr. Radu Damian Notă importantă. În acest document nu există "informaţia magică" ascunsă în două rânduri de la mijlocul documentului. Trebuie parcurs pas cu pas fără a

Διαβάστε περισσότερα

Coduri grup - coduri Hamming

Coduri grup - coduri Hamming Capitolul 5 Coduri grup - coduri Hamming 5. Breviar teoretic Dacăîn capitolul precedent s-a pus problema codării surselor pentru eficientiezarea unei transmisiuni ce se presupunea a nu fi perturbată de

Διαβάστε περισσότερα

OSCILOSCOPUL ANALOGIC

OSCILOSCOPUL ANALOGIC OSCILOSCOPUL ANALOGIC 1. Scopul aplicaţiei Se urmăreşte studierea osciloscopului analogic HM303-6 al firmei germane HAMEG. Lucrarea prezintă principiul de funcţionare al osciloscopului la nivel de schemă

Διαβάστε περισσότερα

prof. Busuioc Gianina Elena

prof. Busuioc Gianina Elena Şcoala Gimnazială Nr. 6 Vaslui prof. Busuioc Gianina Elena 1 La realizarea acestui proiect au colaborat elevii: Baciu Dragoş, Barbu Călina, Burdujanu Robert, Cobzaru Albert, Epure Mălina, Fuşneică Angel,

Διαβάστε περισσότερα

ALGORITMI ŞI STRUCTURI DE DATE. Note de curs. (draft v1.1)

ALGORITMI ŞI STRUCTURI DE DATE. Note de curs. (draft v1.1) ALGORITMI ŞI STRUCTURI DE DATE Note de curs (draft v1.1) Prefaţă Când dorim să reprezentăm obiectele din lumea reală într-un program pe calculator, trebuie să avem în vedere: modelarea obiectelor din

Διαβάστε περισσότερα

PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ. Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache

PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ. Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache 2 * Prefaţă Textul de faţă este construit pe scheletul subiectelor date la examenul de Analiză Matematică în perioada

Διαβάστε περισσότερα

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE . ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE. Eerciţii rezolvte Eerciţiul Stbiliţi dcă următorele şiruri sut fudmetle: ), N 5 b) + + + +, N * c) + + +, N * cos(!) d), N ( ) e), N Soluţii p p ) +p - < şi mjortul este

Διαβάστε περισσότερα

Senzori de temperatură de imersie

Senzori de temperatură de imersie 1 781 1781P01 Symaro Senzori de temperatură de imersie QAE21... Senzori pasivi pentru determinarea temperaturii apei în conducte sau vase. Utilizare Senzorii de temperatură de imersie QAE21 sunt destinaţi

Διαβάστε περισσότερα

Emil Budescu. BIOMECANICA GENERALã

Emil Budescu. BIOMECANICA GENERALã Emil Budescu BIOMECANICA GENERALã IASI 03 C U P R I N S pag. I. Introducere în biomecanica 3. Obiectul de studiu 3. Terminologie 7 3. Aspecte de baza ale biomecanicii 4. Aspecte de baza ale anatomiei si

Διαβάστε περισσότερα

P = {(Uadc / sqr(2)) * Rap]^2}/50 [W]

P = {(Uadc / sqr(2)) * Rap]^2}/50 [W] Aceasta versiune de SWR metru este una de sine-statatoare si este destinata celor care doresc sa-si construiasca un aparat separat de masurare a SWR-ului si a puterii de radiofrecventa. Acest model de

Διαβάστε περισσότερα

FIZICA CAPITOLUL: ELECTRICITATE CURENT CONTINUU

FIZICA CAPITOLUL: ELECTRICITATE CURENT CONTINUU FIZICA CAPITOLUL: LCTICITAT CUNT CONTINUU. Curent electric. Tensiune electromotoare 3. Intensitatea curentului electric 4. ezistenţa electrică; legea lui Ohm pentru o porţiune de circuit 4.. Dependenţa

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru examenul licenţă, manual valabil începând cu sesiunea iulie 2013 Specializarea Matematică informatică coordonator: Dorel I.

ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru examenul licenţă, manual valabil începând cu sesiunea iulie 2013 Specializarea Matematică informatică coordonator: Dorel I. ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru exmenul licenţă, mnul vlbil începând cu sesiune iulie 23 Specilizre Mtemtică informtică coordontor: Dorel I. Duc Cuprins Cpitolul. Serii de numere rele. Noţiuni generle 2. Serii

Διαβάστε περισσότερα

4 Metode clasice de planificare şi control a activităţilor şi resurselor proiectului

4 Metode clasice de planificare şi control a activităţilor şi resurselor proiectului 4 Metode clasice de planificare şi control a activităţilor şi resurselor proiectului 4.1 Metoda Drumului Critic (C.P.M. Critical Path Metod) 4.1.1 Consideraţii generale Metodele şi tehnicile utilizate

Διαβάστε περισσότερα

Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie

Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Biofizică Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Capitolul II. Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Acest capitol are drept scop familiarizarea cititorului cu cele mai importante noţiuni

Διαβάστε περισσότερα

Studiul unui variator static de tensiune alternativa echipat cu un triac, care este, comandat cu un circuit integrat PA 436

Studiul unui variator static de tensiune alternativa echipat cu un triac, care este, comandat cu un circuit integrat PA 436 Laborator: Electronică Industrială Lucrarea nr:... Studiul unui variator static de tensiune alternativa echipat cu un triac, care este, comandat cu un circuit integrat PA 4. Funcţionarea variatorului de

Διαβάστε περισσότερα

LUCRAREA 2 REDRESOARE ŞI MULTIPLICATOARE DE TENSIUNE

LUCRAREA 2 REDRESOARE ŞI MULTIPLICATOARE DE TENSIUNE CRAREA REDRESOARE ŞI MTIPICATOARE DE TENSINE 1 Prezentare teoretică 1.1 Redresoare Prin redresare înţelegem transformarea curentului alternativ în curent continuu. Prin alimentarea circuitelor electronice

Διαβάστε περισσότερα

AMPLIFICATOARE DE MĂSURARE. APLICAŢII

AMPLIFICATOARE DE MĂSURARE. APLICAŢII CAPITOLL 4 AMPLIFICATOAE DE MĂSAE. APLICAŢII 4.. Noţiuni fundamentale n amplificator este privit ca un cuadripol. Dacă mărimea de ieşire este de A ori mărimea de intrare, unde A este o constantă numită

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 1 Introducere în MATLAB

Laborator 1 Introducere în MATLAB MATLAB este unul dintre cele mai răspândite programe, în special în teoria reglării automate, pentru calculul ştiinţific şi numeric. Pe lângă calculul efectiv, MATLAB oferă şi posibilităţi de reprezentare

Διαβάστε περισσότερα

Energii regenerabile

Energii regenerabile Energii regenerabile Parteneriat LEONARDO da VINCI "DISCOVER A NEW WORKING FIELD" 2012-1-TR1-LEO04-35470-1 Partea 1 Acest proiect a fost finantat cu sprijinul Comisiei Europene. Aceasta publicatie reflecta

Διαβάστε περισσότερα

Lucrarea Nr. 7 Tranzistorul bipolar Caracteristici statice Determinarea unor parametri de interes

Lucrarea Nr. 7 Tranzistorul bipolar Caracteristici statice Determinarea unor parametri de interes Lucrarea Nr. 7 Tranzistorul bipolar aracteristici statice Determinarea unor parametri de interes A.Scopul lucrării - Determinarea experimentală a plajei mărimilor eletrice de la terminale în care T real

Διαβάστε περισσότερα

PROCESE TEHNOLOGICE ȘI PROTECȚIA MEDIULUI

PROCESE TEHNOLOGICE ȘI PROTECȚIA MEDIULUI PROCESE TEHNOLOGICE ȘI PROTECȚIA MEDIULUI Tema 3. Distilarea și extracția. Obiectivele cursului: În cadrul acestei teme vor fi discutate următoarele subiecte: - operația unitară de concentrare a amestecurilor

Διαβάστε περισσότερα

PicoScope 6. Software-ul PC Osciloscop. Ghidul utilizatorului. psw.ro r41 Copyright Pico Technology Ltd. Toate drepturile rezervate.

PicoScope 6. Software-ul PC Osciloscop. Ghidul utilizatorului. psw.ro r41 Copyright Pico Technology Ltd. Toate drepturile rezervate. PicoScope 6 Software-ul PC Osciloscop Ghidul utilizatorului Manual de utilizare PicoScope 6 I Cuprins 1 Bun venit...1...2 2 Privire de ansamblu PicoScope 6 3 Introducere...3 1 Declaraţie legală...3 2

Διαβάστε περισσότερα

Lucrarea 5. Sursa de tensiune continuă cu diode

Lucrarea 5. Sursa de tensiune continuă cu diode Cuprins I. Noţiuni teoretice: sursa de tensiune continuă, redresoare de tensiune, stabilizatoare de tensiune II. Modul de lucru: Realizarea practică a unui redresor de tensiune monoalternanţă. Realizarea

Διαβάστε περισσότερα

Test de evaluare Măsurarea tensiunii şi intensităţii curentului electric

Test de evaluare Măsurarea tensiunii şi intensităţii curentului electric Test de evaluare Măsurarea tensiunii şi intensităţii curentului electric Subiectul I Pentru fiecare dintre cerinţele de mai jos scrieţi pe foaia de examen, litera corespunzătoare răspunsului corect. 1.

Διαβάστε περισσότερα

FILTRELE SI UTILIZAREA LOR

FILTRELE SI UTILIZAREA LOR Tema XII-a FILTRELE SI UTILIZAREA LOR 12.0 Descriere, generalitati Filtrele, sunt elemente optice auxiliare, montate in drumul razelor de lumina, in scopul schimbarii caracteristicilor acestora. Filtrele

Διαβάστε περισσότερα

1. PROBLEMELE REZISTENŢEI MATERIALELOR

1. PROBLEMELE REZISTENŢEI MATERIALELOR . PROBLEMELE REZISTENŢEI MATERIALELOR.. Obiectul şi problemele reistenţei materialelor Reistenţa materialelor este o disciplină de cultură tehnică generală, situată între ştiinţele fiico-matematice şi

Διαβάστε περισσότερα

Για την κωδικοποίηση της αρμανικής. Prof. Dr. Thede KAHL POLIS ART CAFE ΑΘΗΝΑ 23 IAN 2014

Για την κωδικοποίηση της αρμανικής. Prof. Dr. Thede KAHL POLIS ART CAFE ΑΘΗΝΑ 23 IAN 2014 Για την κωδικοποίηση της αρμανικής Prof. Dr. Thede KAHL POLIS ART CAFE ΑΘΗΝΑ 23 IAN 2014 Τάσεις και περίοδοι στην κωδικοποίηση της αρμανικής 1. Ελληνοποίηση (1700-1840) 2. Ρουμανική προπαγάνδα (1820-1945)

Διαβάστε περισσότερα

De la problemă la algoritm

De la problemă la algoritm De la problemă la algoritm Procesul dezvoltării unui algoritm, pornind de la specificaţia unei probleme, impune atât verificarea corectitudinii şi analiza detaliată a complexităţii algoritmului, cât şi

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας ρυθμίσεων στο χώρο εγκατάστασης

Πίνακας ρυθμίσεων στο χώρο εγκατάστασης 1/8 Κατάλληλες εσωτερικές μονάδες *HVZ4S18CB3V *HVZ8S18CB3V *HVZ16S18CB3V Σημειώσεις (*5) *4/8* 4P41673-1 - 215.4 2/8 Ρυθμίσεις χρήστη Προκαθορισμένες τιμές Θερμοκρασία χώρου 7.4.1.1 Άνεση (θέρμανση) R/W

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme mecanice de criptare

Sisteme mecanice de criptare Prelegerea 3 Sisteme mecanice de criptare Sistemele de criptare pot fi aduse la un grad mai mare de complexitate şi securitate dacă se folosesc mijloace mecanice de criptare. Astfel de mecanisme special

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" DIN BUCUREŞTI DEPARTAMENTUL DE FIZICĂ LABORATORUL DE TERMODINAMICA SI FIZICA STATISTICA

UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN BUCUREŞTI DEPARTAMENTUL DE FIZICĂ LABORATORUL DE TERMODINAMICA SI FIZICA STATISTICA UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" DIN BUCUREŞTI DEPARTAMENTUL DE FIZICĂ LABORATORUL DE TERMODINAMICA SI FIZICA STATISTICA BN 9 TERMISTORUL 2005 TERMISTORUL. Scopul lucrării a. Verificarea legii dependenţei rezistenţei

Διαβάστε περισσότερα

METROLOGIE CONTINUT CURS

METROLOGIE CONTINUT CURS A. MASURAREA MĂRIMILOR ELECTRICE METROLOGIE CONTINUT CURS I. NOŢIUNI FUNDAMENTALE ALE MĂSURĂRII 1.1 Introducere 1. Mărimi fizice 1.3. Măsurarea 1.4. Sistemul legal de unităţi de măsură 1.5. Mijloace electrice

Διαβάστε περισσότερα

CAP. 2 DIODE SEMICONDUCTOARE ŞI APLICAłII

CAP. 2 DIODE SEMICONDUCTOARE ŞI APLICAłII CAP. 2 DIODE SEMICONDUCTOAE ŞI APLICAłII 2.1 NOłIUNI FUNDAMENTALE DESPE DIODE Dioda semiconductoare (sau mai simplu, dioda) are la bază o joncńiune pn, joncńiune care se formează la contactul unei regiuni

Διαβάστε περισσότερα

LANSAREA PROGRAMULUI Executati clic pe butonul Start, mergeti cu mouse-ul pe Programs, pozitionati-va pe Microsoft Excel si faceti clic.

LANSAREA PROGRAMULUI Executati clic pe butonul Start, mergeti cu mouse-ul pe Programs, pozitionati-va pe Microsoft Excel si faceti clic. PRELUCRARI DE DATE CU PROGRAMUL MICROSOFT EXCEL LANSAREA PROGRAMULUI Executati clic pe butonul Start, mergeti cu mouse-ul pe Programs, pozitionati-va pe Microsoft Excel si faceti clic. Lansati programul

Διαβάστε περισσότερα

MICROSOFT EXCEL. Pentru a lansa in execuţie programul Microsoft Excel utilizaţi una dintre procedurile următoare:

MICROSOFT EXCEL. Pentru a lansa in execuţie programul Microsoft Excel utilizaţi una dintre procedurile următoare: 1 2 Fiind o aplicaţie din pachetul Microsoft Office, Microsoft Excel prezintă o interfaţă asemănătoare cu editorul de text Microsoft Word având aceeaşi organizare a sistemului de meniuri şi a barelor de

Διαβάστε περισσότερα