codf = B. h (g f) = (h g) f id B f = f και f id A = f

Transcript

1 ΕΞΙΣΩΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Η λογική βρίσκει εφαρμογή στην πληροφορική μέσω συγκεκριμένων λογικών συστημάτων, όπως η εξισωτική λογική (equational logic), η πρωτοβάθμια λογική (first-order logic), η χρονική λογική (temporal logic) κ.α. Τόσο η χρήση λογικών συστημάτων όσο και ο αριθμός εκείνων που αξιοποιούνται από την πληροφορική αναπτύσσεται ταχύτατα. Η εξισωτική λογική συγκεκριμένα, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την προδιαγραφή και επαλήθευση δηλωτικών προγραμμάτων. Επίσης, η εξισωτική απαγωγή είναι σημαντικά απλούστερη συγκριτικά με την πρωτοβάθμια απαγωγή και έχει πολλά πλεονεκτήματα σχετικά με τις ενδεχόμενες εφαρμογές της στην πληροφορική. Η εξισωτική λογική χρησιμοποιείται ήδη για πολλά προβλήματα στις προδιαγραφές υλικού και λογισμικού. Μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί σαν μια μεταγλώσσα για την περιγραφή άλλων λογικών συστημάτων. Κάτι τέτοιο έχει γίνει ήδη για το λογικό πλαίσιο 2OBJ σψστεμ, ένα μετα-λογικό σύστημα που υποστηρίζει απαγωγές σε όλα τα λογικά συστήματα που μπορούν να κωδικοποιηθούν στην εξισωτική λογική. Ιδιαίτερο λόγο στη σχέση πληροφορικής και λογικής παίζει η άλγεβρα. Η θεωρία πεδίων (domain theory), η θεωρία κατηγοριών (category theory), ο σχεσιακός λογισμός (relational calculus) και οι άλγεβρες Boole (Booleanalgebras) αποτελούν χαρακτηριστικά παραδείγματα εφαρμοσμένων αλγεβρικών θεωριών που σχετίζονται άμεσα με τη λογική και έχουν βρει σημαντικές εφαρμογές στην πληροφορική. Πριν παρουσιάσουμε, λοιπόν, τη θεωρία της εξισωτικής λογικής θα κάνουμε μια εισαγωγή στη θεωρία κατηγοριών και τις εφαρμογές της στη λογική της πληροφορικής, που θα μας φανεί ιδιαίτερα χρήσιμη στην ουσιαστική κατανόηση της εξισωτικής λογικής και των εφαρμογών της. *Η ΛΟΓΙΚΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΟΙ ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ θεωρία των κατηγοριών [14, 15] προτείνει μια ιδιαίτερη οπτική αναφορικά με την περιγραφή των μαθηματικών αντικειμένων. Σύμφωνα με αυτή οι ιδιότητες των μαθηματικών δομών προκύπτουν μέσα από τη μελέτη των μορφισμών που τις διατηρούν. Η προαναφερθείσα μέθοδος επεκτείνεται και στη συμβολική λογική εξαιτίας της μαθηματικής φύσης της τελευταίας. Ετσι, η θεωρία των κατηγοριών έχει εφαρμοστεί σε περιοχές της λογικής όπως η θεωρία αλγορίθμων, η θεωρία τύπων, η θεωρία αποδείξεων, η αφηρημένη θεωρία μοντέλων και η εξισωτική λογική. Οι εφαρμογές αυτές 55

2 τοποθετούνται σε μια ολόκληρη σχολή έρευνας που σκοπό της έχει την αλγεβροποίηση της συμβολικής λογικής. Τα τελευταία χρόνια η κατηγοριακή προσέγγιση της συμβολικής λογικής έχει γνωρίσει ιδιαίτερη άνθιση κυρίως λόγω των ευρύτατων εφαρμογών της στη θεωρητική πληροφορική. Η θεωρία κατηγοριών μπορεί να μας βοηθήσει να απαντήσουμε το ερώτημα: Σε τι συνίσταται ένα λογικό σύστημα; Στο τέλος αυτής της ενότητας παρουσιάζονται συνοπτικά οι δύο πιο σημαντικές σχετικές θεωρίες: η κατηγορική λογική (categorical logic) κατά J. Lambek η αφηρημένη θεωρία μοντέλων κατά J. Goguen και R.Burstall, ή θεωρία θεσμών (theory of institutions) αφού πρώτα παρουσιαστούν οι βασικές έννοιες και κατασκευές της θεωρίας κατηγοριών. Οι έννοιες από τη θεωρία κατηγοριών που χρησιμοποιούμε αποκτούν περιεχόμενο συμβατό με τη συμβολική λογική μόνο όταν ερμηνευτούν και ονομαδοτηθούν κατάλληλα. Ετσι, για παράδειγμα, μια κατηγορία μπορεί άλλοτε να ερμηνευτεί ως κατηγορία προτάσεων και άλλοτε ως κατηγορία μοντέλων ενός λογικού συστήματος, ανάλογα με το πώς θα ονομαστούν τα αντικείμενα και οι μορφισμοί της. Θεωρία Κατηγοριών : Ορισμοί - Βασικές Κατασκευές. Ορισμός. Μία κατηγορία C αποτελείται από: (1) μία συλλογή από αντικείμενα (2) μία συλλογή από μορφισμούς (3) τελεστές που επισυνάπτουν σε κάθε μορφισμό f ένα αντικείμενο domf (πεδίο ορισμού του f) και ένα αντικείμενο codf (πεδίο τιμών του f). Συμβολίζουμε με f : A B, ή A B τους μορφισμούς f με domf = A και codf = B. (4) έναν τελεστή σύνθεσης που επισυνάπτει σε κάθε ζεύγος μορφισμών f και g με codf = domg τη σύνθεσή τους, έτσι ώστε να ικανοποιείται η προσεταιριστική ιδιότητα, δηλαδή για κάθε f : A B, g : B C και h : C D να ισχύει ότι: h (g f) = (h g) f (5) έναν ταυτοτικό μορφισμό id A : A A για κάθε αντικείμενο A που ικανοποιεί τον ταυτοτικό νόμο, δηλαδή για κάθε μορφισμό f : A B, ισχύει ότι: id B f = f και f id A = f Παράδειγμα. Η κατηγορία των συνόλων Set, που έχει ως αντικείμενα σύνολα και ως μορφισμούς τις γνωστές συνολοθεωρητικές συναρτήσεις. Ο τελεστής σύνθεσης 56

3 είναι η συνολοθεωρητική σύνθεση συναρτήσεων και οι ταυτοτικοί μορφισμοί είναι οι ταυτοτικές συναρτήσεις. Παράδειγμα. Η κατηγορία των μερικά διατεταγμένων συνόλων ΡοΣετ. Μια μερική διάταξη P σε ένα σύνολο P είναι μια σχέση με τις εξής ιδιότητες: (1) p p (2) p p p p p για κάθε p, p, p P (3) p p και p p p = p για κάθε p, p P Μια συνάρτηση f : P Q από το (P, P ) στο (Q, P ) ονομάζεται συνάρτηση που διατηρεί τη μερική διάταξη εάν ισχύει ότι: Εάν p P p τότε f (p) Q f (p ) Η κατηγορία PoSet έχει ως αντικείμενα μερικά διατεταγμένα σύνολα και ως μορφισμούς συναρτήσεις που διατηρούν τη μερική διάταξη (αύξουσες συνρτήσεις). Πιο συγκεκριμένα, ένας μορφισμός f : (P, P ) (Q, Q )στην PoSet είναι μία συνάρτηση από το P στο Q που διατηρεί τη διάταξη του P, δηλαδή εάν p P p f (p) Q f (p ). domf = (P, P ) codf = (Q, Q ) f P oset((p, P ), (Q, Q )) Επίσης, για κάθε μερική διάταξη (P, P ) η ταυτοτική συνάρτηση id P διατηρεί τη διάταξη στο P και ικανοποιεί τον ταυτοτικό νόμο. Η σύνθεση δύο συναρτήσεων που διατηρούν τη μερική διάταξη είναι μια συνάρτηση που διατηρεί τη μερική διάταξη. Πράγματι, έστω οι συναρτήσεις f : P Q, g : Q R που διατηρούν τη μερική διάταξη. Τότε εάν p P p, επειδή η f διατηρεί τη μερική διάταξη, ισχύει ότι f (p) Q f (p ) και επειδή η g διατηρεί κι αυτή τη μερική διάταξη έχουμε g (f (p)) Q g (f (p )) Άρα η σύνθεσή τους g f διατηρεί τη μερική διάταξη. Παράδειγμα. Η κατηγορία των μονοειδών (μονοιδς) Mon με αντικείμενα τα μονοειδή και μορφισμούς τους ομομορφισμούς μεταξύ μονοειδών. Ορισμός. Ενα μονοειδές (M,, e) αποτελείται από ένα σύνολο M, μια διμελή πράξη και ένα ουδέτερο στοιχείο e τέτοια ώστε να ισχύει: x (y z) = (x y) z για κάθε x, y, z M 57

4 και e x = x = x e για κάθε x M Ενας ομομορφισμός μονοειδών από το (M,, e) στο (M,, e ) είναι μια συνάρτηση f : M M τέτοια ώστε f (e) = e και f (x y) = f (x) f (y). Παράδειγμα. Κατηγορική Λογική (categorical logic) Θεωρούμε μια κατηγορία της οποίας τα αντικείμενα αντιστοιχούν σε προτάσεις και οι μορφισμοί σε αποδείξεις. Ενας μορφισμός f : A B είναι στην ουσία η «απόδειξη» του B από το A. Επίσης εάν f : A B και g : B C τότε ισχύει ότι g f : A C. Εστω μια απλή συναρτησιακή γλώσσα προγραμματισμού με τους εξής τύπους: Int Real Bool U nit integers (ακέραιοι) reals (πραγματικοί) truth values (αληθοτιμές) a one element type (μονοσύνολο) τους εξής τελεστές: iszero : Int Bool έλεγχος εάν κάτι είναι μηδέν not : Bool Bool άρνηση succ Int : Int Int επόμενος ακέραιος succ Real : Real Real «επόμενος» πραγματικός toreal : Int Real μετατροπέας των ακεραίων σε πραγματικούς και τις παρακάτω σταθερές: zero : true : false : unit : Int Bool Bool Unit Με βάση τα παραπάνω σχηματίζεται η κατηγορία FPL, που έχει ως αντικείμενα τους τύπους Int, Real, Bool και U nit και μορφισμούς τους τελεστές iszero, not, succ Int, succ Real. 58

5 Φιγυρε Κατηγορία FPL Οι σταθερές zero, true, false, και unit είναι μορφισμοί από το αντικείμενο Unit στα αντικείμενα Int, Bool, Bool, και Unit αντίστοιχα, οι οποίοι συνδέουν το μοναδικό στοιχείο του U nit με τα αντίστοιχα στοιχεία αυτών των τύπων. Ο παρακάτω πίνακας περιέχει μερικές βασικές κατηγορίες: Κατηγορία Αντικείμενα Μορφισμοί Set σύνολα συναρτήσεις Pfn σύνολα μερικές συναρτήσεις FinSet πεπερασμένα σύνολα πεπερασμένες συναρτήσεις Mon μονοειδή ομομορφισμοί μονοειδών PoSet μερικά διατεταγμένα σύνολα μονότονες συναρτήσεις Grp ομάδες ομομορφισμοί ομάδων Ω Alg Ω άλγεβρες Ω ομομορφισμοί CPO πλήρεις μερικές διατάξεις συνεχείς συναρτήσεις Vect διανυσματικοί χώροι γραμμικοί μετασχηματισμοί Top τοπολογικοί χώροι συνεχείς συναρτήσεις Ταβλε 1 Παράδειγμα. Μια ομάδα (G,, 1, e) είναι ένα σύνολο G μαζί με μία δυαδική πράξη, ένα μοναδιαίο τελεστή 1, και ένα διακεκριμένο στοιχείο e τέτοια ώστε: (x y) z = x (y z) για κάθε x, y, z G e x = x e για κάθε x G x x 1 = e = x 1 x για κάθε x G Δείξτε ότι μια ομάδα μπορεί να θεωρηθεί ως κατηγορία. 59

6 Διαγράμματα - Γραφική Αναπαράσταση Ιδιοτήτων. Ορισμός. Ενα διάγραμμα σε μια κατηγορία C είναι μια συλλογή από «ακμές» και «κόμβους» που αντιστοιχούν σε μορφισμούς και αντικείμενα της C με συνεπή τρόπο. Αυτό σημαίνει ότι εάν μια «ακμή» σε ένα διάγραμμα αντιστοιχεί σε ένα μορφισμό f και αυτός έχει τη μορφή f : A B τότε οι κόμβοι αυτής της ακμής είναι το A και το B. Σχόλιο. Τα διαγράμματα χρησιμοποιούνται για να τεθούν και να αποδειχθούν ιδιότητες κατηγορικών κατασκευών. Ορισμός. Ενα διάγραμμα σε μια κατηγορία C ονομάζεται μεταθετικό εάν για κάθε ζεύγος από κόμβους X και Y, όλα τα «μονοπάτια» στο διάγραμμα από το X στο Y είναι ίσα, με την έννοια ότι κάθε μονοπάτι καθορίζει ένα μορφισμό και αυτοί οι μορφισμοί είναι ίσοι στη C. Φιγυρε Για παράδειγμα, λέγοντας ότι το παραπάνω διάγραμμα είναι μεταθετικό, εννοούμε ότι f g = g f. Αντίστοιχα, λέγοντας ότι το παρακάτω διάγραμμα είναι μεταθετικό, εννοούμε ότι h f = h g (αυτό δε σημαίνει ότι f = g). Φιγυρε Παράδειγμα. Στην κατηγορία Set τα αντικείμενα είναι οι μορφισμοί f : A B της κατηγορίας Set. Ενας Set μορφισμός από τον f : A B στον f : A B είναι ένα ζεύγος (a, b) από Set μορφισμούς ώστε το παρακάτω διάγραμμα να είναι μεταθετικό στην Set (κατηγορία των συνόλων). Παράδειγμα. Η σύνθεση των Set μορφισμών (a, b) : (f : A B) (f : A B ) (a, b ) : (f : A B ) (f : A B ) 60

7 Φιγυρε για την οποία ισχύει ότι (a, b ) (a, b) = (a a, b b) αντιστοιχεί στο παρακάτω διάγραμμα, το οποίο θα πρέπει να είναι μεταθετικό. Φιγυρε Πρόταση. Εάν και τα δύο εσωτερικά τετράγωνα είναι μεταθετικά, τότε το αυτό συμβαίνει και με το εξωτερικό παραλληλόγραμμο. Φιγυρε Προοφ. Εστω τα εσωτερικά τετράγωνα όπως στο σχήμα. Εχουμε ότι (g g) a = g (g a) προσεταιριστική ιδιότητα = g (b f) μεταθετικότητα 1 ου τετραγώνου = (g b) f προσεταιριστική ιδιότητα = (c f ) f μεταθετικότητα 2 ου τετραγώνου = c (f f) προτεταιριστική ιδιότητα 61

8 Παράδειγμα. Στην κατηγορία FPL το παρακάτω διάγραμμα είναι μεταθετικό. Φιγυρε Αυτό σημαίνει ότι στην κατηγορία FPL το αποτέλεσμα του μετασχηματισμού ενός ακεραίου σε πραγματικό αριθμό και του υπολογισμού του επόμενου πραγματικού είναι ταυτόσημο με τον υπολογισμό του επόμενου ακεραίου και το μετασχηματισμό του σε πραγματικό αριθμό. Δηλαδή η διάταξη στη σύνθεση των μορφισμών δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα. Μονομορφισμοί - Επιμορφισμοί - Ισομορφισμοί. Ορισμός. Ενας μορφισμός f : B C σε μια κατηγορία C είναι ένας μονομορφισμός εάν για κάθε ζεύγος C μορφισμών g : A B και h : A B η ισότητα f g = f h συνεπάγεται ότι g = h. Πρόταση. Στην κατηγορία των συνόλων Set οι μονομορφισμοί είναι οι (1 1) συναρτήσεις (δηλαδή οι συναρτήσεις f για τις οποίες ισχύει ότι f (x) = f (y) x = y). Ορισμός. Ενας μορφισμός f : A B είναι επιμορφισμός εάν για κάθε ζεύγος μορφισμών g : B C και h : B C, η ισότητα g f = h f συνεπάγεται ότι g = h. Πρόταση. Στην κατηγορία Set οι επιμορφισμοί είναι οι επί συναρτήσεις. (Μία συνάρτηση f : A B είναι επί εάν για κάθε b B υπάρχει ένα a A τέτοιο ώστε f (a) = b). Ορισμός. Ενας μορφισμός f : A B είναι ισομορφισμός εάν υπάρχει ένας μορφισμός f 1 : A B (αντίστροφος του f) τέτοιος ώστεf 1 f = id A και f f 1 = id B. Δύο αντικείμενα A και B είναι ισομορφικά εάν υπάρχει ένας ισομορφισμός μεταξύ τους. Αρχικά και Τελικά Αντικείμενα. Ορισμός. Ενα αντικείμενο O καλείται αρχικό, εάν για κάθε αντικείμενο A υπάρχει ένας ακριβώς μορφισμός από το O στο A. Ενα αντικείμενο 1 καλείται 62

9 τελικό εάν για κάθε αντικείμενο A υπάρχει ακριβώς ένας μορφισμός από το A στο 1(συμβολικά γράφουμε A! 1. Παράδειγμα. Στην Set το κενό σύνολο {} είναι το μόνο αρχικό αντικείμενο για κάθε σύνολο S και η κενή συνάρτηση είναι ο μόνος μορφισμός από το {} στο S. Κάθε σύνολο με ένα μόνο στοιχείο {x} είναι ένα τελικό αντικείμενο, αφού για κάθε σύνολο S υπάρχει συνάρτηση από το S στο {x} που στέλνει κάθε στοιχείο του S στο x και αυτή είναι ο μοναδικός μορφισμός από το S στο {x}. Παράδειγμα. Στην κατηγορία Ω Alg των αλγεβρών με χαρακτηριστική Ω, το αρχικό αντικείμενο είναι η αρχική άλγεβρα (ή άλγεβρα όρων), της οποίας οι φορείς αποτελούνται από όλα τα πεπερασμένα δένδρα όπου κάθε κόμβος αντιστοιχεί σε ένα τελεστή από το Ω. Ο μοναδικός ομομορφισμός από την άλγεβρα όρων σε μια άλλη Ω άλγεβρα συνιστά μια συνάρτηση σημασιολογικής ερμηνείας. Γινόμενα. Το καρτεσιανό γινόμενο δύο συνόλων A και B ορίζεται ως εξής: A B = {(a, b) a A & b B} Τα στοιχεία ενός συνόλου S μπορούν να αναπαρασταθούν από μορφισμούς που στέλνουν τα μονοσύνολα του S στο S, οι οποίοι είναι βέβαια σε (1 1) αντιστοιχία με τα στοιχεία του συνόλου S: {x : {x} S x S} Δηλαδή εάν x είναι ένα στοιχείο του S με x : 1 S, 1: σύνολο με ένα στοιχείο και f : S T, τότε το στοιχείο f (x) είναι το μοναδικό στοιχείο του T που είναι στην εικόνα της σύνθετης συνάρτησης f x. Χρειαζόμαστε ένα χαρακτηρισμό των γινομένων μέσα από μορφισμούς μεταξύ αντικειμένων. Οταν ορίζουμε το γινόμενο μεταξύ δύο συνόλων A και B, ορίζουμε επίσης τις συναρτήσεις προβολής π 1 : A B A και π 2 : A B B. Στην ουσία, ορίζουμε επίσης τριάδες της μορφής (A B, π 1, π 2 ). Εάν ορίσουμε όλες τις τριάδες (X, f 1, f 2 ) που αποτελούνται από ένα σύνολο X και δύο συναρτήσεις f 1 : X A και f 2 : X B, τότε η τριάδα (A B, π 1, π 2 ) είναι ο «βέλτιστος αντιπρόσωπος» αυτών των συνόλων με την εξής έννοια: Ας υποθέσουμε ότι για κάποιο σύνολο C, υπάρχουν δύο συναρτήσεις f : C A και g : C B. Τότε, σχηματίζουμε μια συνάρτηση γινόμενο f, g : C A B, 63

10 που ορίζεται ως εξής: f, g (x) = (f (x), g (x)) όπου f = π 1 f, g και g = π 2 f, g Η συνάρτηση f, g είναι η μόνη συνάρτηση από το C στο A B με αυτή την ιδιότητα. Ορισμός. Ενα γινόμενο (προδυςτ) δύο αντικειμένων A και B είναι ένα αντικείμενο A B, μαζί με δύο μορφισμούς προβολής π 1 : A B A και π 2 : A B B, τέτοιους ώστε για κάθε αντικείμενο C και ζεύγος μορφισμών f : C A και g : C B υπάρχει ακριβώς ένας ενδιάμεσος μορφισμός f, g : C A B ο οποίος κάνει το παρακάτω διάγραμμα μεταθετικό, Φιγυρε έτσι ώστε π 1 f, g = f και π 2 f, g = g Εάν μια κατηγορία C έχει ένα γινόμενο A B για κάθε ζεύγος αντικειμένων λέμε ότι η κατηγορία έχει γινόμενα. Ορισμός. Εάν A C και B D είναι δύο γινόμενα, τότε για κάθε ζεύγος από μορφισμούςf : A B και g : C D, η απεικόνιση γινόμενο f g : A C B D είναι η απεικόνιση-μορφισμός f π 1, g π 2 Η δυϊκή έννοια του γινομένου είναι το συν-γινόμενο (ςο-προδυςτ). Ορισμός. Ενα συν-γινόμενο (ςο-προδυςτ) δύο αντικειμένων A και B είναι ένα αντικείμενο A + B, μαζί με δύο μορφισμούς i 1 : A A + B 64

11 και i 2 : B A + B τέτοιους ώστε για κάθε αντικείμενο C και ζεύγος μορφισμών f : A C και g : B C υπάρχει ακριβώς ένας μορφισμός [f, g] : A + B C που κάνει το παρακάτω διάγραμμα μεταθετικό. Φιγυρε Ορισμός. Ενα γινόμενο μιας οικογένειας (A i ) από αντικείμενα ( ( ) ) π i : A i A i i I αποτελείται από ένα αντικείμενο A i και μια οικογένεια από προβολικούς μορφισμούς ( ( ) ) i I π i : A i A i τέτοια ώστε για κάθε αντικείμενο C και κάθε οικογένεια i I i I μορφισμών (f i : C A) i I υπάρχει ένας μοναδικός μορφισμός ( ) f i i I : C A i έτσι ώστε το παρακάτω διάγραμμα να είναι μεταθετικό για κάθε i I. i I i I Φιγυρε

12 Ορισμός. Εστω f, g : A B. Ενας μορφισμός e : X A καλείται εξισωτής (εχυαλιζερ) των f, g αν (1) f e = g e (2) e : X A τέτοιο ώστε f e = g e,!k : X X με e k = e. Παράδειγμα. Θεωρούμε τις συναρτήσεις f : R R R, f (x, y) = x 2 y 2 g : R R R, g (x, y) = 1 ως μορφισμούς της κατηγορίας Set και τον μοναδιαίο κύκλο X = { (x, y) x 2 + y 2 = 1 } Τότε ο μορφισμός i : X R R είναι εξισωτής των f, g. Πρόταση. Κάθε εξισωτής είναι μονομορφισμός. Φιγυρε Προοφ. Εστω e h = e k = 1.Τότε f 1 = f (e h) = (f e) h = (g e) h = g (e h) = g 1 δηλαδή!m : C X τέτοιο ώστε e m = 1 (e : εξισωτής), που σημαίνει ότι m = h = k. Πρόταση. Εστω e : X A, e : X A εξισωτές των f, g : A B. Τότε υπάρχει μοναδικός ισομορφισμός j : X X τέτοιος ώστε: e j = e. Φιγυρε

13 Προοφ.!j : X X τέτοιος ώστε e = e j (e : εξισωτής),!j : X X τέτοιος ώστε e = e j (e : εξισωτής). e j j = e j = e = e id X δηλαδή j j = id X. Ομοίως j j = id X, δηλαδή ο j είναι ισομορφισμός. Πρόταση. Ενας εξισωτής που είναι επιμορφισμός είναι και ισομορφισμός. Φιγυρε Προοφ. f e = g e [e : εξισωτής] f = g [e : επιμορφισμός] f id A = g id A!k : A X τέτοιο ώστε e k = id A e k e = id A e = e = e id X k e = id X [e : μονομορφισμός] Ορισμός. Εστω f, g : A B. Ενας μορφισμός e : B C καλείται συνεξισωτής (coequalizer) των f, g αν και μόνο εάν: (1) e f = e g (2) e : B B τέτοια ώστε e f = e g,!k : C D τέτοιο ώστε k e = e. Φιγυρε Ορισμός. Εφέλκυση (πυλλβαςκ) των μορφισμών f : A C, g : B C καλείται ένα αντικείμενο P με μορφισμούς f : P B, g : P A τέτοιο ώστε f g = g f και αν i : X A, j : X B είναι τέτοια ώστε f i = g j τότε υπάρχει μοναδικό k : X P τέτοιο ώστε i = g k, j = f k. 67

14 Φιγυρε Φιγυρε Παράδειγμα. Αντίστροφη εικόνα συνόλου: Παράδειγμα. Τομή A, B C Φιγυρε Παράδειγμα. Περιορισμένο γινόμενο P op = {(a, b) A B f (a) = g (b)} Φιγυρε

15 Παράδειγμα. Εστω C κατηγορία με τελικό αντικείμενο 1. διάγραμμα είναι εφέλκυση, τότε P = A B, g = π 1, f = π 2. Αν το παρακάτω Φιγυρε Παράδειγμα. Εστω τυχούσα κατηγορία C. εφέλκυση, τότε e εξισωτής των f, g. Αν το παρακάτω διάγραμμα είναι Φιγυρε Λήμμα. Εφέλκυσης Εστω το ακόλουθο μεταθετικό σχήμα. Φιγυρε (1) Αν τα εσωτερικά τετράγωνα I και II είναι εφελκύσεις, τότε κα το εξωτερικό τετράγωνο είναι εφέλκυση. (2) Αν το εξωτερικό τετράγωνο και το δεξί τετράγωνο είναι εφελκύσεις τότε και το αριστερό τετράγωνο είναι εφέλκυση Προοφ. Άσκηση. Πρόταση. Εστω εφέλκυση και g ομομορφισμός. Τότε g μονομορφισμός. Παράδειγμα. Επαλήθευση προγραμμάτων (Φλοψδ-Ηοαρε λογική). (1) {x < 3} προσυνθήκη (2) xx

16 Φιγυρε (3) x < 24 μετασυνθήκη, ασθενέστερη προσυνθήκη: {x < 23}. Για κάθε μετασυνθήκη υπάρχει ασθενέστερη προσυνθήκη. Φιγυρε Καθολικές Κατασκευές. Μια καθολική κατασκευή (universal construction) περιλαμβάνει μια κλάση αντικειμένων και μορφισμών που τα συνοδεύουν, τα οποία χαρακτηρίζονται από μια κοινή ιδιότητα και επιλέγει τα αντικείμενα τα οποία είναι «τελικά» όταν αυτή η κλάση θεωρηθεί σαν κατηγορία. Για παράδειγμα, ο ορισμός των γινομένων των A και B στη C περιγράφει μία κλάση τριάδων (X, x 1, x 2 ), με x 1 : X A και x 2 : X B. Φιγυρε Οι τριάδες (X, x 1, x 2 ) μπορούν να θεωρηθούν ως αντικείμενα μιας κατηγορίας με μορφισμούς m : (W, w 1, w 2 ) (X, x 1, x 2 ), που είναι C μορφισμοί m : W X τέτοιοι ώστε w 1 = x 1 m και w 2 = x 2 m. Ενα τελικό αντικείμενο σε αυτή την κατηγορία είναι η τριάδα (P, p 1, p 2 ): Το αντικείμενο P γράφεται συνήθως A B, ενώ τα βέλη p 1, p 2 γράφονται π 1, π 2. Ο μοναδικός μορφισμός από την τριάδα (W, w 1, w 2 ) στην (A B, π 1, π 2 ), του οποίου 70

17 Φιγυρε Φιγυρε η ύπαρξη είναι εξασφαλισμένη από το γεγονός ότι (A B, π 1, π 2 ) είναι τελικό αντικείμενο, γράφεται w 1, w 2. Οι μορφισμοί που ορίζονται με μια καθολική κατασκευή ονομάζονται καθολικοί, ή λέμε ότι ικανοποιούν την καθολική ιδιότητα. Μία συν-καθολική κατασκευή (co-universal construction) έχει την ίδια μορφή με μια καθολική κατασκευή, με τη διαφορά ότι τα βέλη αντιστρέφονται και διαλέγει το αρχικό - αντί του τελικού - αντικείμενο με την καθορισμένη ιδιότητα. Ορια. Οι μέχρι τώρα έννοιες που εξετάσαμε - αρχικά και τελικά αντικείμενα, εξισωτές, συν-εξισωτές, εφελκύσεις και εξωθήσεις - αποτελούν παραδείγματα καθολικών κατασκευών. Αποτελούν δε ειδικές περιπτώσεις των πιο γενικών εννοιών του ορίου και του συν ορίου ενός διαγράμματος. Ορισμός. Εστω C μια κατηγορία και D ένα διάγραμμα στη C. Ενας κώνος (ςονε) του D είναι ένα C αντικείμενο X και οι μορφισμοί f i : X D i (ένας για κάθε αντικείμενο D i στο D) τέτοιοι ώστε για κάθε μορφισμό g στο D, το ακόλουθο διάγραμμα να είναι μεταθετικό. Χρησιμοποιούμε το σύμβολο {f i : X D i } για τους κώνους. Ορισμός. Ενα όριο για το διάγραμμα D είναι ένας κώνος {f i : X D i } με την ιδιότητα ότι εάν {f i : X D i } είναι ένας άλλος κώνος για το D τότε υπάρχει ένας μοναδικός μορφισμός k : X X έτσι ώστε το διάγραμμα να είναι μεταθετικό για κάθε D i D. 71

18 Φιγυρε Φιγυρε «Οι κώνοι για ένα διάγραμμα Δ αποτελούν μια κατηγορία». Ενα όριο είναι ένα τελικό αντικείμενο σε αυτή την κατηγορία. Παράδειγμα. Εστω δύο C αντικείμενα A και B, και έστω D το διάγραμμαμε δύο κορυφές (A, B) και καθόλου ακμές Ενας κώνος γιάυτό το διάγραμμα είναι ένα αντικείμενο X με δύο μορφισμούς f και g της μορφής: Φιγυρε Ενας κώνος όριο των παραπάνω είναι ένα γινόμενο των A και B. Παράδειγμα. Εστω D το παρακάτω διάγραμμα με τρεις κόμβους και δύο ακμές. Φιγυρε Ενας κώνος για το D είναι ένα αντικείμενο R και τρεις μορφισμοί f, g και h τέτοια ώστε το διάγραμμα του σχήματος να είναι μεταθετικό. Επειδή f g = h = g f, το διάγραμμα του σχήματος είναι ισοδύναμο με αυτό του σχήματος

19 Φιγυρε Φιγυρε Ορισμός. Ενας συν-κώνος (ςο-ςονε) για ένα διάγραμμα D μιας κατηγορίας C είναι ένα C αντικείμενο X μαζί με μια συλλογή από μορφισμούς f i : D i X τέτοιους ώστεf i g = f i για κάθε g στο D. Ενα συν-όριο (ςολιμιτ), ή αντίστροφο όριο, για το D είναι τότε ένας συν-κώνος f i : D i X με την συν-καθολική ιδιότητα ότι για κάθε άλλο συν-κώνο f i : D i X υπάρχει ένας μοναδικός μορφισμός k : X X τέτοιος ώστε το διάγραμμα Φιγυρε να είναι μεταθετικό για κάθε D i D. Ορισμός. Διακριτές κατηγορίες είναι οι κατηγορίες με μόνους μορφισμούς τους ταυτοτικούς. Θεώρημα. (Ορίων) Εστω D ένα διάγραμμα σε μια κατηγορία C, με V το σύνολο των ακμών και E το σύνολο των κορυφών. Εάν κάθε E οικογένεια από αντικείμενα στη C έχει ένα γινόμενο και κάθε ζεύγος μορφισμών στη C έχει έναν εξισωτή, τότε το D έχει ένα όριο. 73

20 Εκθετικότητα. Η έννοια της εκθετικότητας δίνει τη θεωρητική ερμηνεία του ςυρρψινγ (μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα καρτεσιανό γινόμενο A B ανάγεται σε μια συνάρτηση που έχει πεδίο ορισμού το A ή το B). Εάν τα A και B είναι σύνολα, η συλλογή B A = {f : A B} όλων των συναρτήσεων από το A στο B είναι ένα σύνολο. Εάν θέλουμε να χαρακτηρίσουμε το B A με τη βοήθεια μορφισμών, τότε έχουμε ότι σε κάθε B A αντιστοιχεί ένας μορφισμός eval : ( B A A ) B eval (f, a) = f (a) Δηλαδή, για f : A B και a A συνεπάγεται ότι f (a) B. Η eval ικανοποιεί την καθολική ιδιότητα μεταξύ όλων των συναρτήσεων g : (C A) B. Για κάθε g, υπάρχει ακριβώς μια συνάρτηση curry (g) : C B A τέτοια ώστε το ακόλουθο διάγραμμα να είναι μεταθετικό: Φιγυρε g c (a) = g (c, a) curry (g) (c) = g c Δηλαδή για κάθε (c, a) C A ισχύει: (eval (curry (g) id A )) (c, a) = eval (curry (g) (c), a) = eval (g, a) = g c (a) = g (c, a) Ετσι το διάγραμμα είναι μεταθετικό. Ορισμός. Εστω C μια κατηγορία με γινόμενα A και B αντικείμενα στη C. Ενα αντικείμενο B A είναι ένα εκθετικό αντικείμενο (εξπονεντιαλ οβθεςτ) εάν υπάρχει ένας μορφισμός eval AB : (B A A) B τέτοιος ώστε για κάθε αντικείμενο 74

21 C και μορφισμό g : (C A) B υπάρχει ένας μοναδικός μορφισμός curry (g) : C B A που κάνει το ακόλουθο διάγραμμα μεταθετικό: Φιγυρε δηλαδή υπάρχει μοναδικό curry (g) τέτοιο ώστε: eval AB (curry (g) id A ) = g Ορισμός. Μια καρτεσιανά κλειστή κατηγορία είναι μια κατηγορία με: τελικό αντικείμενο (δυαδικό) γινομενο εκθετικότητα Παράδειγμα. Η κατηγορία Set είναι καρτεσιανά κλειστή, με B A = Set(A, B). Η κατηγορία CPO διατάξεων και συνεχών συναρτήσεων είναι καρτεσιανά κλειστή, με B A το μερικά διατεταγμένο σύνολο των συνεχών συναρτήσεψν από το A στο B. Συναρτητές. Ορισμός. Εστω B 1 και B 2 δύο κατηγορίες. Τότε, ένας συναρτητής (φυνςτορ) F : B 1 B 2 αποτελείται από: (1) μια απεικόνιση F O : O 1 O 2, που στέλνει κάθε o 1 από το B 1 στο F O (o 1 ) του B 2, (2) και μια απεικόνιση F A : I 1 I 2, που στέλνει κάθε μορφισμό f : o 1 o 2 του B 1 σε ένα μορφισμό F A (f) : F A (o 1 ) F A (o 2 ) του B 2, έτσι ώστε: (α) F A (1 o ) = 1 Fo(o)και (β) F A (g f) = F A (g) F A (f), όταν ορίζεται η σύνθεση μορφισμών g f. Παράδειγμα. Δοθέντος ενός συνόλου S, μπορούμε να σχηματίσουμε το σύνολο List(S) από πεπερασμένες λίστες με στοιχεία από το S. Η απεικόνιση List μπορεί να θεωρηθεί ως συνάρτηση που στέλνει αντικείμενα από το Set στο Set (στέλνει σύνολα σε σύνολα από πεπερασμένες λίστες συμβόλων). Επίσης, κάθε συνάρτηση f : S S αντιστοιχεί σε μια συνάρτηση List(f) : List(S) List(S ) η οποία δοθείσης μιας λίστας L = [s 1, s 2,..., s n ], την απεικονίζει στην List(f)(L) = [f(s 1 ), f(s 2 ),..., f(s n )]. 75

22 Η Κατηγορική Λογική κατά Θ.Λαμβεκ. Η κατηγοριακή λογική κατά J. Lambek αποτελεί μια από τις πιο γενικές θεωρίες απόδείξεων. Ασχολείται με λογικές παραγωγές (δεδυςτιονς) της μορφής : A 1 A 2... A n A n+1, όπου οι τύποι (φορμυλας) A 1... A n (δηλαδή οι υποθέσεις) παράγουν λογικά το A n+1. Παρακάτω παρουσιάζεται ένα σύστημα κανόνων λογικής παραγωγής τύπου Γεντζεν, με τη βοήθεια της κατηγοριακής λογικής του Θ.Λαμβεκ. Ορισμός. Ενα πολυγράφημα (μυλτιγραπη αποτελείται από: (1) μια κλάση A από βέλη (αρροως), που θα τα καλούμε επίσης λογικές παραγωγές, (2) μια κλάση O από αντικείμενα (οβθεςτς), που θα τα καλούμε επίσης τύπους και (3) δύο απεικονίσεις: (α) θ 0 : A O (β) θ 1 : A O Η θ 0 ονομάζεται αρχή (δομαιν) και η θ 1 τέλος (ςοδομαιν). Το O αποτελείται από λίστες της μορφής A i1 A i2... A ik, όπου A i1 A i2... A ik O. Ετσι, για κάθε βέλος του πολυγραφήματος έχουμε ότι f : A 1 A 2... A n A n+1 θ 0 (f) = A 1 A 2... A n και θ 1 (f) = A n+1 Ορισμός. Ενα σύστημα λογικής παραγωγής (deductive system) κατά J. Lambek είναι ένα πολυγράφημα, τέτοιο ώστε για κάθε αντικείμενο A υπάρχει ένας ταυτοτικός μορφισμός 1 A : A A και για κάθε δύο μορφισμούς f : Θ f:γaa B f i :ΓA B A και g : ΓA B, υπάρχει ένας μορφισμός g (f) : ΓΘ B έτσι ώστε να ισχύει: f : Θ Ag : ΓA B g (f) : ΓΘ B Η παραπάνω ιδιότητα καλείται τομή κατά Gentzen. Εάν ένα λογικό σύστημα κατά Λαμβεκ εμπλουτιστεί και με τους εξής τρεις κανόνες: (1) f:γab C f i :ΓBA C (2) f:γaa B f i :ΓA B f:γ B (3) f i :ΓA B (εναλλαγή - ιντερςηανγε) (συστολή - ςοντραςτιον) (εκλέπτυνση - τηινινγ) τότε καλείται σύστημα κατά Γεντζεν. Ο Αλγεβρικός Προγραμματισμός. Είναι ιδιαίτερα επιθυμητό, δεδομένης και της πληθώρας των λογικών συστημάτων που εμφανίζονται στην πληροφορική, να υπάρχει μια κοινή μεθοδολογία που να αντιμετωπίζει 76

23 πολλές από τις σημαντικές εφαρμογές με τρόπο ανεξάρτητο από ένα συγκεκριμένο λογικό σύστημα. Η παραπάνω ιδέα οδήγησε τους J. Goguen και R.Burstall να εισάγουν την αφηρημένη θεωρία μοντέλων στην πληροφορική, υπό τη μορφή της θεωρίας θεσμών (theory of institutions). Η θεωρία θεσμών προτείνει μια γενική έννοια λογικού συστήματος η οποία μας επιτρέπει την ανάπτυξη μιας σειράς εφαρμογών της πληροφορικής ανεξάρτητα από ένα συγκεκριμένο λογικό σύστημα. Η θεωρία θεσμών προτείνει καταρχήν ένα αλγεβρικό ορισμό της αφηρημένης έννοιας του λογικού συστήματος. Οι θεσμοί είναι δηλαδή μια αλγεβρική συνεισφορά στο ανοικτό φιλοσοφικό ζήτημα του ορισμού μιας έννοιας αφηρημένου λογικού συστήματος. Στη φιλοσοφία βέβαια, η πιο διαδεδομένη απάντηση στο παραπλήσιο ερώτημα τι είναι η λογική είναι εκείνη που υποστηρίζει πως λογική είναι η επιστήμη που έχει ως αντικείμενο μελέτης το συλλογισμό και τους νόμους της λογικής παραγωγής (deduction). Άλλες απαντήσεις είναι πιο ειδικές δίνοντας μεγαλύτερη έμφαση σε συγκεκριμένες συλλογιστικές πρακτικές ή ορισμούς λογικών συστημάτων, ή υποστηρίζουν πως η λογική συνδέεται με πτυχές του φαινομένου της αντίληψης και της συνείδησης (ψυχολογισμός - psychologism). Πολλές φορές στην πληροφορική υπάρχει η ανάγκη χρησιμοποίησης περισσότερων από ένα λογικών συστημάτων ταυτόχρονα, κατά τρόπο παράλληλο και οργανωμένο σ αυτό που διαισθητικά αντιλαμβανόμαστε σαν δομή ή σύστημα. Ειδικά στην περίπτωση των προδιαγραφών είναι επιθυμητή η χρησιμοποίηση περισσότερων από ένα λογικών συστημάτων μια και έτσι μπορούν να αξιοποιηθούν τα ξεχωριστά πλεονεκτήματα που έχει το καθένα, με σκοπό τη βελτιστοποίηση της προδιαγραφής του συστήματος που μας ενδιαφέρει. Ακόμα, τα οργανωμένα με αυτό τον τρόπο λογικά συστήματα μας επιτρέπουν και τη δυνατότητα ορθής μετάφρασης προδιαγραφών από ένα λογικό σύστημα σε ένα άλλο. Η θεωρία θεσμών προσφέρει κατάλληλο μαθηματικό πλαίσιο για την αξιοποίηση από την τεχνολογία λογισμικού περισσοτέρων του ενός λογικών συστημάτων. Συνοψίζοντας, μπορεί να διακρίνει κανείς τρεις τουλάχιστον φάσεις στη σχέση λογικής και πληροφορικής: (1) Πρώτη φάση: Οι έννοιες του αλγορίθμου, οι άλγεβρες του Βοολε, η λ- ορισιμότητα, οι μηχανές Τυρινγ και τα αυτόματα του JohnvonN eumann παίζουν ξεχωριστό ρόλο. (2) Δεύτερη φάση: Η πληροφορική αξιοποιεί συγκεκριμένα λογικά συστήματα όπως αυτά της λογικής του Horn, της εξισωτικής λογικής, του λ-λογισμού, κ.τ.λ. 77

24 (3) Τρίτη φάση: Εδώ τον κύριο ρόλο παίζει μια αφηρημένη έννοια λογικού συστήματος (π.χ. ένας θεσμός). Τα συγκεκριμένα λογικά συστήματα αντιμετωπίζονται σαν ειδικές περιπτώσεις αυτής της αφηρημένης έννοιας, ενώ οι εφαρμογές διατυπώνονται στη μέγιστη δυνατή γενικότητά τους. Η Θεωρία Θεσμών. Η θεωρία θεσμών αποτελεί γενίκευση της αφηρημένης θεωρίας μοντέλων του Barwise με καταρχήν στόχο να καλύψει όλο το εύρος των λογικών συστημάτων που χρησιμοποιούνται στην πληροφορική. Ομως, παρά τη γενετική σχέση τους, η αφηρημένη θεωρία μοντέλων και η θεωρία θεσμών κάθε άλλο παρά έχουν την ίδια φιλοσοφία. Πιο συγκεκριμένα, τα βασικά συστατικά στοιχεία ενός λογικού συστήματος (συντακτικό, σημασιολογία, σχέση αλήθειας) σύμφωνα με την αφηρημένη θεωρία μοντέλων κινούνται μέσα στο πνεύμα της πρωτοβάθμιας ή της δευτεροβάθμιας λογικής. Αντίθετα, τα ίδια στοιχεία αντιμετωπίζονται από τη θεωρία θεσμών στο επίπεδο γενικότητας της θεωρίας κατηγοριών. Η παρατήρηση ότι πολλές από τις πιο σημαντικές εφαρμογές της πληροφορικής είναι ανεξάρτητες από κάθε συγκεκριμένο λογικό σύστημα η ανάγκη ορθών μεταφράσεων των προτάσεων ενός λογικού συστήματος σε προτάσεις ενός άλλου συστήματος ο μεγάλος αριθμός λογικών συστημάτων που χρησιμοποιείται από την πληροφορική και η συνακόλουθη ανάγκη οργάνωσης και ταξινόμησής τους μέσα σε ένα ενιαίο λογικό πλαίσιο η ανάγκη για σύνθεση νέων λογικών συστημάτων από τη συνένωση δύο ή και περισσότερων άλλων παλαιοτέρων, όπως έχουν αποδείξει ότι απαιτούν οι ανάγκες της πληροφορικής. Οι θεσμοί προσπαθούν να συμπεριλάβουν ως ειδικές περιπτώσεις όλα τα λογικά συστήματα που χρησιμοποιούνται στην πληροφορική καθώς και όλα εκείνα που είναι πιθανόν να χρησιμοποιηθούν στο μέλλον. *ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΤΥΠΩΝ Καθολική Άλγεβρα. ε αυτή την υπό-ενότητα θα παρουσιάσουμε τις βασικές αρχές της Καθολικής Άλγεβρας (GeneralAlgebra) [11, 12, 13], που είναι η βάση της Άλγεβρας με πολλούς Τύπους και Διάταξη (OrderSortedAlgebra). Μια άλγεβρα Birkhof f αποτελείται από ένα σύνολο (μη κενό), που καλείται φορέας της άλγεβρας και από μία οικογένεια από συναρτήσεις ορισμένες πάνω σε καρτεσιανά γινόμενα του φορέα και τιμές στο φορέα. Πιο συγκεκριμένα: 78

25 Ορισμός. Μία άλγεβρα Birkhoff είναι κάθε ζεύγος (A, B), όπου A είναι ένα μη κενό σύνολο και B είναι μία οικογένεια συναρτήσεων της μορφής f : A A... A A Πολλές από τις πιο γνωστές αλγεβρικές δομές ικανοποιούν τον παραπάνω ορισμό, όπως οι ομάδες, τα σώματα, οι δακτύλιοι και οι ημιομάδες. Από την άλλη μεριά όμως είναι φανερό ότι άλλες αλγεβρικές δομές, για παράδειγμα τα αυτόματα (ακολουθιακές μηχανές), ή τα modules ( διανυσματικοί χώροι πάνω σε δακτύλιο ) δεν είναι άλγεβρες. Ακολουθούν μερικοί προκαταρκτικοί ορισμοί. Ορισμός. Εστω S ένα μη κενό σύνολο (το σύνολο των τύπων). Ονομάζουμε τότεs σύνολο κάθε οικογένεια συνόλων της μορφής {A s s S}, όπου σε κάθε στοιχείο s του S αντιστοιχεί και ένα σύνολο A. Παράδειγμα. Εστω S = {Nat, Real}, όπου Nat είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών (Νατυραλ Νυμβερς) και Real το σύνολο των πραγματικών αριθμών (Ρεαλ Νυμβερς) (η πιο συνήθης περίπτωση στην καθολική άλγεβρα είναι το S να αποτελείται από ονόματα ή συντμήσεις ονομάτων γι αυτό και πολλές φορές ονομάζεται και σύνολο ονομάτων) και A Nat = N (το σύνολο των φυσικών αριθμών) B Real = R (το σύνολο των πραγματικών αριθμών) Ορισμός. Μια S συνάρτηση F : A B μεταξύ δύο S συνόλων A και B, είναι μια οικογένεια f s s S από συναρτήσεις της μορφής f s : A s B s. Εστω δύο S συναρτήσεις F : A B και g : B C. Ορίζουμε σαν σύνθεσή τους την οικογένεια συναρτήσεων f s g s s S όπου f s g s είναι η συνήθης σύνθεση των συναρτήσεων f s και g s. Η ταυτοτική S συνάρτηση 1 A : A A ορίζεται ως ένα σύνολο 1 As s S από ταυτοτικές συναρτήσεις. Μία S συνάρτηση f : A B λέγεται (1 1) (αντ. επί) εάν κάθε f s : A s B s είναι (1 1) (αντ. επί). Ορισμός. Καλούμε S χαρακτηριστική (S σορτεδ σιγνατυρε) Σ κάθε S S οικογένεια όπου S είναι το σύνολο που αποτελείται από όλες τις (πεπερασμένες) λίστες στοιχείων του S (δηλαδή w = s1... sn, όπου s1,..., sn S). Τα στοιχεία σ w,s των Σ w,s ονομάζονται συναρτησιακά σύμβολα τύπου W, S. Τα στοιχεία των Σ [,]S (όπου [, ] η κενή λίστα) ονομάζονται σταθερές τύπου s. Ορισμός. Εστω Σ μια S χαρακτηριστική. Τότε μια Σ άλγεβρα (many sortedalgebra) A αποτελείται από ένα S σύνολο {A s s S} (τα στοιχεία του καλούνται φορείς της άλγεβρας) και μια S S οικογένεια a = {a w,s w S, s S} όπου a w,s είναι απεικονίσεις της μορφής A w,s : Σ w,s [A w A s ] 79

26 (οι απεικονίσεις αυτές λέγονται και ερμηνείες των συναρτησιακών συμβόλων) και A w = A s1... A sn όπουw = s1... sn, ενώ [A w A s ] είναι το σύνολο όλων των συναρτήσεων από το A w στο A. Θα συμβολίσουμε με σ A το a w,s (σ). Παράδειγμα. Αυτόματα Ενα αυτόματο αποτελείται από τρία σύνολα X, S, Y, τα οποία καλούμε σύνολο εισόδου, σύνολο καταστάσεων και σύνολο εξόδου αντίστοιχα, ένα στοιχείο s 0 S που καλείται αρχική κατάσταση και δύο συναρτήσεις f : X S S και g : S Y τις οποίες ονομάζουμε συνάρτηση μεταφοράς και συνάρτηση εξόδου αντίστοιχα. Εστω S AUT = {Input (Είσοδος), State(Κατάσταση), Output ( Εξοδος) } το σύνολο των ειδών. Τότε η S AUT χαρακτηριστική Σ AUT ορίζεται ως εξής: Σ AUT [,],State = {S 0} (Η S 0 καλείται αρχική κατάσταση) Σ AUT Input,State,State = {f} Σ AUT State,Output = {g} και Σ w,s = για όλα τα άλλα w S AUT και s S AUT Συνεπώς τα αυτόματα είναι Σ AUT άλγεβρες. Παράδειγμα. M odules Εστω Σ MOD είναι μία S MOD χαρακτηριστική με S MOD = { 1, 2 }, όπου 1 :Δακτύλιος και 2 :Διανύσματα και Σ MOD 1, 2 = {+,, 0,, 1}, Σ MOD 1, 2 = {+,, 0}, Σ MOD 1, 2, 3 = {ν}, (βαθμωτό γινόμενο) Τότε ένα module πάνω στο δακτύλιο R είναι μια Σ MOD άλγεβρα M όπου M 1 = R και M 2 = V (ένα σύνολο διανυσμάτων). Άλλα παραδείγματα αλγεβρών πολλαπλών τύπων είναι τα γραφήματα (γραπης), οι φυσικοί αριθμοί κατά Πεανο, τα μονοειδή δρώντα επί συνόλων και άλλα. Σχόλιο. Εάν A και B είναι Σ άλγεβρες, τότε A B σημαίνει A s B s για όλα τα s S. Ορισμός. Μια Σ άλγεβρα B θα καλείται υποάλγεβρα της Σ άλγεβρας A εάν A B για όλα τα s S και για κάθε σ Σ ισχύει σ A (a 1,..., a n ) = σ B (a 1,..., a n ) όπου a i A si με i = 1,..., n. Ορισμός. Εστω A και B δύο Σ άλγεβρες, τότε ένας Σ ομομορφισμός h : A B είναι μια οικογένεια συναρτήσεων {h s : A s B s } s S τέτοια ώστε 80

27 (1) Εάν σ Σ [s],s τότε h s (σ A ) = σ B, και (2) Εάν σ Σ s1...s n,s και a 1,..., a n A s1... A sn τότε h s [σ A (a 1,..., a n )] = σ B [h s1 (a 1 ),..., h sn (a n )] Ενας Σ ομομορφισμός h : A B θα καλείται (1Γ1) (αντ. h s : A s B s είναι (1Γ1) (αντ. επί) για κάθε s S. επί) όταν κάθε Η σύνθεση δύο ομομορφισμών είναι επίσης ομομορφισμός. Μάλιστα η σύνθεση ομομορφισμών είναι προσεταιριστική. Ο ταυτοτικός ομομορφισμός από μια Σ άλγεβρα στον εαυτό της είναι η ταυτοτική συνάρτηση από το φορέα A στον εαυτό του. Είναι προφανές πως μια κλάση C αποτελούμενη από Σ άλγεβρες μαζί με την κλάση όλωνσ ομομορφισμών μεταξύ αυτών έχουν τη δομή κατηγορίας. Ας ονομάσουμε αυτή την κατηγορία C. Ορισμός. Μια Σ άλγεβρα A καλείται αρχική (ινιτιαλ) σε σχέση με μια κατηγορία Σ πολυειδών αλγεβρών C εάν και μόνο εάν για κάθε Σ πολυειδή άλγεβρα B της C υπάρχει ένας και μόνο ένας ομομορφισμός h : A B. *Η Κατασκευή της Άλγεβρας των Λέξεων στω μια S χαρακτηριστική Σ. Τότε ορίζουμε τα σύνολα T Σ,S όλων των Σ όρων τύπου s ως εξής: (1) Σ [s],s T Σ,S για κάθε s S και (2) σ (t 1,..., t n ) T Σ,S για κάθε σ Σ S1...S n,s και t i T Σ,S για i = 1, 2,..., n. Η S οικογένεια T = T Σ,S s S συνιστά μια Σ άλγεβρα που καλείται άλγεβρα λέξεων ή σύμπαν κατά Herbrand. Οι συναρτήσεις ερμηνείας a w,s για κάθε σ Σ και w = [] στέλνουν τις n άδες (t 1,..., t n ) από το (T Σ ) w στον όρο σ (t 1,..., t n ) T. Στην περίπτωση δε που w = [] στέλνουν τα σ Σ στο σύμβολο σ T. Το ακόλουθο θεώρημα έχει ιδιαίτερη σημασία. Θεώρημα. Η άλγεβρα T Σ είναι αρχική στην κατηγορία AlgΣ όλων των Σ αλγεβρών. Προοφ. Η S οικογένεια T γράφεται και ως εξής: T Σ = T [n] [n] Σ, όπου τα T Σ n ορίζονται αναδρομικά ως εξής: T [0] Σ = Σ [,],S s S T [n+1] Σ = T [0] Σ { ( σ (t 1,..., t n ) σ Σ S1...S n,s, t i 81 T [n] Σ ) s } i = 1,..., n, s 1,..., s n S s S

28 Εστω μία τυχαία Σ άλγεβρα A και δύο ομομορφισμοί h, h : T Σ A. Θα δείξουμε ότι h = h δια της επαγωγής επί του n. Οταν n = 0 οι ομομορφισμοί h και h ταυτίζονται επειδή h (σ) = σ = h (σ). Ας υποθέσουμε ότι οι ομομορφισμοί h και h ταυτίζονται επί του T [n] Σ. Τότε επειδή h (σ (t 1,..., t n )) = σ (h (t 1 ),..., h (t n )) = h (σ (t 1,..., t n )), οι ομομορφισμοί h και h ταυτίζονται επί του T Σ. ταυτίζονται και επί του T [n+1] Σ. Συνεπώς οι h και h Η ύπαρξη του ομομορφισμού h εξασφαλίζεται πάλι δια της επαγωγής επί του n. Είναι προφανές ότι μπορούμε να ορίσουμε τον h τόσο επί του T [0] Σ σαν h (σ) = σ όσο και επί του T [n+1] Σ αφού h (σ (t 1,..., t n )) = σ (h (t 1 ),..., h (t n )) και έχουμε υποθέσει λόγω επαγωγής ότι ο h έχει ήδη ορισθεί επί του T [n] Σ. Η παρακάτω πρόταση έχει οδηγήσει στον ορισμό της ιδιαίτερα σημαντικής για την πληροφορική έννοιας του αφηρημένου τύπου δεδομένων (abstractdatatype). Ο ορισμός οφείλεται στην ομάδα ADJ. Πρόταση. Εστω δύο Σ άλγεβρες A και A. Εάν και οι δύο είναι αρχικές σε σχέση με την κατηγορία AlgΣ όλων των Σ αλγεβρών, τότε οι A και A είναι ισόμορφες. Εάν μια άλγεβρα A στην AlgΣ είναι ισόμορφη με μια άλγεβρα A που είναι αρχική σε σχέση με την AlgΣ, τότε και η A θα είναι επίσης αρχική. Προοφ. Αφού οι άλγεβρες A και A είναι αρχικές σε σχέση με την κατηγορία AlgΣ όλων των Σ αλγεβρών, έπεται ότι υπάρχουν δύο (μοναδικοί) ομομορφισμοί h : A A και h : A A. Κατά συνέπεια και εξαιτίας της μοναδικότητας τους h : h = 1 A : A A. Ομοίως h = 1 A : A A. Άρα ο h είναι ένας ισομορφισμός. Εστω h : A A ένας ισομορφισμός με αντίστροφο g : A A και A αρχική στην AlgΣ. Εστω A μια τυχαία Σ πολυειδής άλγεβρα. Επειδή η A είναι αρχική έπεται ότι υπάρχει h : A A και κατά συνέπεια έχουμε ένα ομομορφισμό h = h g : A A. Εάν υπάρχει ομομορφισμός h : A A τότε h f : A A και h f = h. Επίσης h f = h. Κατά συνέπεια h f = h έτσι ώστε h f g = h άρα h = h. Δηλαδή η A είναι αρχική. Είναι προφανές ότι οι ισομορφισμοί ορίζουν μια σχέση ισοδυναμίας επί της κλάσης των Σ αλγεβρών. Καλούμε κλάση ισομορφισμού Σ αλγεβρών κάθε κλάση ισοδυναμίας Σ αλγεβρών που προκύπτει από τους ισομορφισμούς. Ορισμός. Καλούμε αφηρημένο τύπο δεδομένων (αβστραςτ δατα τψπε) κάθε κλάση ισομορφισμού που περιλαμβάνει μια αρχική άλγεβρα από την κατηγορία AlgΣ των Σ αλγεβρών. 82

29 *Άλγεβρα με πολλούς Τύπους και Διάταξη άλγεβρα με πολλούς τύπους και διάταξη (ordersortedalgebra), [1, 2, 3, 4, 5] αποτελεί τη βάση για τον ορισμό της κρυφής άλγεβρας (ηιδδεν αλγεβρα) που είναι ο φορμαλισμός των τεχνικών αλγεβρικών προδιαγραφών. Συγκεκριμένα η κρυφή άλγεβρα αποτελεί μια επέκταση της άλγεβρας με πολλούς τύπους και διάταξη η οποία επτιρέπει τον διαχωρισμό μεταξύ τύπων δεδομένων και καταστάσεων μίας αφηρημένης μηχανής, επιτρέποντας έτσι τον ορισμό μίας νέας έννοιας ικανοποιησιμότητας που διευκολύνει σε μεγάλο βαθμό - όπως θα δούμε - την επαλήθευση των προδιαγραφών, επιτρέπει την ιεραρχική σύνθεση προδιαγραφών και αποδείξεων και τέλος επιτρέπει τη φυσική έκφραση του μη-ντετερμινισμού. Η Άλγεβρα με διάταξη και Τύπους (OrderSortedAlgebra) αποτελεί μία γενίκευση της γενικής άλγεβρας που είδαμε στη προηγούμενη υποενότητα. Η γενίκευση αυτή επιτυγχάνεται με την εισαγωγή μίας σχέσης διάταξης στους τύπους (sorts) της γενικής άλγεβρας. Μέσω αυτής της γενίκευσης μπορούμε να δώσουμε τυπική σημασιολογία σε τύπους δεδομένων με πολλαπλά επίπεδα κληρονομικότητας (υπο την έννοια της κληρονομικότητας του αντικειμενοστρεφούς προγραμματισμού) καθώς και διάφορες μορφές πολυμορφισμού, να ορίσουμε μή ολικούς τελεστές (partialoperators) και σημασιολογία με βάση την αναγραφή όρων. Παράδειγμα. [Η χαρακτηριστική της Λίστας Ακεραίων] Υποθέτουμε ότι ο τύπος των ακεραίων (Int) είναι ήδη ορισμένος. Ορίζουμε τον List για λίστες και τον υποτύπο (συβσορτ) N elist για τις μη-κενές λίστες έτσι ώστε να μπορέσουμε να ορίσουμε τους κλασσικούς τελεστές, κεφαλή(head) και ουρά(tail), ως ολικούς αντί για μερικούς τελεστές. Εχουμε λοιπόν ότι S = {Int, N elist, List} και ορίζουμε την < ώς Int < NeList < List. Μπορούμε τώρα να ορίσουμε τους τελεστές ως F = {concat, head, tail} όπου head F NeList Int και tail F NeList List. Μία χαρακτηριστική Σ θα καλείται κανονική αν και μόνο αν για κάθε σ F w1 s 1 αν w 0 w 1 τότε υπάρχει ένα ελάχιστο < w, s > S S τέτοιο ώστε w 0 w και σ F w s. Δεδομένης μιας χαρακτηριστικής (S, F, ) μια (S, F, )-άλγεβρα Α, είναι απλά μια (S, F )-άλγεβρα για την οποία ισχύουν οι ακόλουθες συνθήκες: Αν s s τότε A s A s Αν σ Σ w1 s 1 Σ w2 s2 και w 1 w 2 τότε A σ : A w1 A s1 είναι ίσο με το A σ : A w2 A s2 πάνω στο w 1. Οπως και στη περίπτωση χωρίς διάταξη έτσι και εδώ θα ορίσουμε τώρα τα μοντέλα μας, δηλαδή τις άλγεβρες, ώστε να ερμηνεύσουμε τα σύμβολα τελεστών με πραγματικές συναρτήσεις και τους τύπους με σύνολα. 83

30 Εστω (S, F, ) είναι μια χαρακτηριστική. Τότε μία (S, F, )-άλγεβρα Α είναι και πάλι μία οικογένεια από σύνολα {A s s S} τα οποία καλούμε φορείς του Α και μία οικογένεια συναρτήσεων {A σ : A w A s σ F w s } όπου w = s 1... s n και A w = A s1 A sn, τέτοια ώστε: (1) αν s s τότε A s A s (2) αν σ Σ w1 s 1 Σ w2 s 2 και w 1 w 2 τότε η A σ : A w1 A w2 ταυτίζεται με την A σ : A w2 A s2 στο A w1. Με παρόμοιο τρόπο θα επεκτείνουμε τώρα και τους ορισμούς για τους ομομορφισμούς ανάμεσα σε δύο άλγεβρες. Ενας (S,, F )-ομομορφισμός ανάμεσα σε δύο άλγεβρες Α και Β, h : A B, ορίζεται απλά ώς ένας (S, F )-ομομορφισμός ο οποίος ικανοποιεί την ακόλουθη συνθήκη μονοτονίας: Αν s s και a A s τότε ισχύει ότι h s (a) = h s(a) Και πάλι οι (S, F, )-άλγεβρες ως αντικείμενα και οι (S, F, )-ομομορφισμοί ως βέλη ορίζουν μία κατηγορία η οποία συμβολίζεται με OSAlg (S,F, ). Οι άλγεβρες των όρων ορίζονται με παρόμοιο τρόπο και στην ΑΔΤ: Εστω λοιπόν μια χαρακτηριστική Σ = (S, F, ) η άλγεβρα των Σ-όρων T Σ ορίζεται ως η ελάχιστη οικογένεια {T Σ,s s S} η οποία ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες: F [] s T Σ,s για κάθε s S T Σ,s T Σ,s αν s s Αν σ F w s και t i T Σ,si με w = s 1... s n τότε σ(t 1... t n ) T Σ,s. για κάθε σ F w s ορίζουμε την T σ : T Σ,w T Σ,s που απεικονίζει τα t 1... t n στη (συμβολοακολουθία) σ(t 1... t n ) Είναι προφανές ότι η T Σ είναι μία ΑΔΤ. Ομως στη γενική περίπτωση δεν ισχύει ότι T Σ,s = T Σ,s ούτε καν ότι T Σ,s = s s T Σ,s. Επίσης είναι πιθανόν ότι T Σ,s = για κάποιο τύπο s, δηλαδή να μην ορίζονται επίπεδοι όροι γι αυτόν τον τύπο. Το ακόλουθο αποτέλεσμα αποτελεί γενίκευση αυτού της γενικής άλγεβρας με πολλούς τύπους. Θεώρημα. Αν Σ = (S, F, ) είναι μία χαρακτηριστική τότε η T Σ αποτελεί μια πρωταρχική ΑΔΤ Σ-άλγεβρα. Ο ορισμός της συνάρτησης απονομής παραμένει ο ίδιος με αυτόν της γενικής άλγεβρας χωρίς διάταξη. Ο ορισμός μιας εξίσωσης στην ΑΔΤ τροποποιείται ελάχιστα εξαιτίας της ταξινόμησης των τύπων. Ετσι μία εξίσωση χωρίς συνθήκες μίας (S, F, )- χαρακτηριστικής ορίζεται ως μία τριάδα X, t, t, την οποία συμβολίζουμε ως ( X)t = t, τέτοια ώστε τα t και t να συνδέονται με μία σχέση υποτύπου, δηλαδή είτε t t είτε t t. Ομοίως επεκτείνεται και ο ορισμός στη περίπτωση των εξισώσεων υπό-συνθήκη καθώς και της ικανοποιησιμότητας μίας εξίσωσης από μια άλγεβρα. Παρόλο που οι 84

31 ορισμοί αυτοί είναι διαισθητικά σωστοί χρειάζεται προσοχή γιατί η ικανοποιησιμότητα δεν είναι κλειστή ως προς τον ισομορφισμό. Παράδειγμα. Εστω S = {A, B, C}, F = {a, b, c} με a F A, b F B και c F c, B < AC και τέλος έστω η εξίσωση ( )a = c. Τότε, από την άλγεβρα των όρων T Σ έχουμε ότι (T Σ ) A = {a, b}, (T Σ ) C = {c, b} και (T Σ ) B = {b}. Τότε είναι προφανές ότι η T Σ δεν ικανοποιεί την εξίσωση a = c. Παρόλ αυτά μία νέα ΑΔΤ η H με H A = H C = {b, d} και H B = {b} η οποία ερμηνεύει τις σταθερές ως d, b, d ικανοποιεί την εξίσωση παρόλο που ο ομομορφισμός h : T Σ H είναι ισομορφισμός. Για να απαλλαγούμε από τέτοιες ανωμαλίες ορίζουμε πότε μία ΑΔΤ είναι συνεπής(ςοηερεντ) και στη συνέχεια θα υποθέτουμε ότι ασχολούμαστε μόνον με τέτοιες Σ-άλγεβρες. Ενα σύνολο με διάταξη (S, ) λέγεται ότι είναι (προς τα επάνω) φιλτραρισμένο ανν για κάθε δύο στοιχεία s, s S υπάρχει ένα τρίτο s S τέτοιο ώστε s, s s. Το S λέγεται τοπικά φιλτραρισμένο αν και μόνο αν τα συνδεδεμένα στοιχεία του είναι φιλτραρισμένα. Μία χαρακτηριστική λέγεται συνεπής ανν το (S, ) είναι τοπικά φιλτραρισμένο και κανονικό. Πρόταση. Αν η χαρακτηριστική Σ είναι συνεπής και Α και Β δύο ισομορφικές Σ-άλγεβρες με διάταξη τότε η Α ικανοποιεί την εξίσωση ( X)t = t ανν την ικανοποιεί και η Β. Εχοντας απαλλαγεί από τις ανωμαλίες αυτές μπορούμε τώρα να ορίσουμε τους κανόνες επαγωγής νέων εξισώσεων από ήδη υπάρχουσες, δηλαδή τη λογική της ΑΔΤ. Εστω λοιπόν μία χαρακτηριστική Σ η οποία είναι συνεπής και Ε ένα σύνολο Σ- εξισώσεων. (1) Ανακλαστικότητα. Η εξίσωση ( X)t = t επάγεται πάντα (2) Συμμετρία. Αν η εξίσωση ( X)t = t επάγεται, τότε επάγεται και η ( X)t = t (3) Μεταβατικότητα. Αν επάγονται οι εξισώσεις ( X)t = t και ( X)t = t, τότε επάγεται η εξίσωση ( X)t = t. (4) Ισοδυναμία. Αν επάγονται οι εξίσωσεις ( X)t i = t i όπου t i, t i (T Σ) si, i = 1... n τότε για κάθε σ F w s με w = s 1... s n, επάγεται η εξίσωση ( X)σ(t 1... t n ) = σ(t 1... t n) (5) Αντικαταστασιμότητα. Εστω η εξίσωση ( Y )t = t αν t 1 = t 1,... t n = t n στο Ε και έστω μία αντικατάσταση θ : Y T Σ τέτοια ώστε για κάθε i = 1,... n να επάγεται ότι ( X)θ (t i ) = θ (t i ). Τότε επάγεται και η εξίσωση ( X)θ (t) = θ (t ). *Κρυφή Άλγεβρα (HiddenAlgebra) 85

32 ι Προδιαγραφές Συμπεριφοράς (ΠΣ) παρέχουν μία νέα κατεύθυνση στις συνηθισμένες αλγεβρικές προδιαγραφές. Η διαφορά τους έγκειται στο ότι οι ΠΣ χαρακτηρίζουν το πώς διάφορα συστήματα (ή αντικείμενα) συμπεριφέρονται και όχι το πώς υλοποιούνται. Αυτό το επίπεδο αφαίρεσης είναι ιδιαίτερα χρήσιμο όταν επιθυμούμε να αναλύσουμε τη συμπεριφορά συστημάτων λογισμικού γιατί μας επιτρέπει να χρησιμοποιήσουμε με φυσικό τρόπο έννοιες όπως μη-ντετερμινισμός, αντικειμενοστράφεια, παραλληλισμός κτλ. Ο λογικός φορμαλισμός με βάση τον οποίο ορίζονται οι ΠΣ είναι η Κρυφή Άλγεβρα με πολλούς τύπους και διάταξη [6, 7, 8, 9, 10] (OrderSortedHiddenAlgebra), η οποία είναι μία επέκταση της γενικής άλγεβρας με διάταξη και πολλούς τύπους. Για λόγους απλότητας των συμβολισμών όμως θα περιοριστούμε στην χωρίς διάταξη Κρυφή Άλγεβρα με πολλούς τύπους, ή πιο απλά κρυφή άλγεβρα. Αυτός ο διαχωρισμός προέκυψε από μία στοιχειώδη παρατήρηση: οι τύποι των δεδομένων ενός συστήματος πρέπει να είναι διαφορετικοί από τους τύπους των καταστάσεών τους. Αυτή η προφανής διατύπωση χαρίζει σε αυτό το φορμαλισμό μία διαφορετική έννοια ισοδυναμίας και ικανοποιησιμότητας όπως θα δούμε, την καλούμενη συμπεριφοριακή ισότητα (behaviouralequivalence) και συμπεριφοριακή ικανοποιησιμότητα (behaviouralsatisf action). Ορισμός. [Κρυφή Χαρακτηριστική] Υποθέτουμε ένα σύνολο τύπων V και μία χαρακτηριστική για αυτούς την οποία θα συμβολίζουμε με Ψ. Ακόμα υποθέτουμε ότι υπάρχει μία V -άλγεβρα με πολλούς τύπους D. Τέλος έστω H ένα σύνολο τύπων τέτοιο ώστε V H =. Τότε μία κρυφή χαρακτηριστική Σ, ορίζεται ως μία τριάδα (Ψ, D, Σ) την οποία συνήθως θα συμβολίζουμε με Σ, όπου: Σ είναι μία V H-χαρακτηριστική η οποία επεκτείνει την Ψ, έτσι ώστε κάθε τελεστής της Σ του οποίου το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών είναι εξολοκλήρου στην Ψ ανήκει κι αυτός στη Ψ. Τους τύπους του H τους ονομάζουμε κρυφούς τύπους (hiddensorts) και αυτούς του V ορατούς (visiblesorts). Τα στοιχεία που είναι κρυφού τύπου δηλώνουν καταστάσεις ενός συστήματος αυτού του τύπου, ενώ τα στοιχεία ορατού τύπου τιμές κάποιου τύπου δεδομένων. Στην συνέχεια για τεχνικούς λόγους υποθέτουμε ότι για κάθε στοιχείο d D υπάρχει και ένα σύμβολο σταθεράς στη Ψ το οποίο πάλι θα συμβολίζουμε με d. Τους τελεστές της Σ με ένα στοιχείο του πεδίου ορισμού τους στο H και τύπο του συνόλου τιμής στο V θα τους καλούμε παρατηρήσεις (ή ιδιότητες) και αυτούς με με ένα στοιχείο του πεδίου ορισμού τους στο H και τύπο του συνόλου τιμής στο H μεθόδους (ή τελεστές πράξης). Τέλος αυτούς που έχουν πεδίο ορισμού εξολοκλήρου στο V και τύπο συνόλου τιμών στο H θα τους λέμε κρυφές σταθερές. Μία κρυφή υπό-χαρακτηριστική της Σ ορίζεται απλά ώς μία κρυφή χαρακτηριστική (Ψ, D, Γ) τέτοια ώστε Γ Σ. 86

33 Ορισμός. [Σ-προδιαγραφή] Δεδομένου ενός συνόλου Ε από Σ-εξισώσεις μία Σ-προδιαγραφή (ή Σ-θεωρία) ορίζεται ως η τριπλέτα (Σ, Γ, E) όπου Σ είναι μία κρυφήχαρακτηριστική και Γ είναι μία υπό-χαρακτηριστική της Σ. Οι τελεστές στο Γ \ Ψ καλούνται συμπεριφοριακοί τελεστές (βεηα ιοραλ οπερατιονς). Οσο αφορά τα μοντέλα των κρυφών χαρακτηριστικών έχουμε ότι μία κρυφή Σ- άλγεβρα είναι απλά μία Σ-άλγεβρα Α με πολλούς τύπους τέτοια ώστε AΨ = D. Η διαίσθηση πίσω από τους συμπεριφοριακούς τελεστές είναι ότι αυτοί ορίζουν διάφορα «πειράματα» που επιστρέφουν αποτελέσματα ορατού τύπου και μέσω των αποτελεσμάτων των πειραμάτων αυτών μπορούμε να ορίσουμε ισότητες στις καταστάσεις του συστήματός μας. Δηλαδή, δεν μας ενδιαφέρει τόσο η εσωτερική κατάσταση ενός συστήματος όσο η συμπεριφορά που μπορούμε εμείς να παρατηρήσουμε. Παράδειγμα. [Σ-προδιαγραφή ενός συνόλου φυσικών αριθμών] Υποθέτουμε ότι έχουμε δύο ορατές θεωρίες, μία για τους φυσικούς αριθμούς την οποία θα συμβολίσουμε με Nat και μία για την άλγεβρα Bool που θα συμβολίσουμε με Bool. Τότε μπορούμε να ορίσουμε τη Σ-προδιαγραφή ενός συνόλου από φυσικούς αριθμούς. Οι ορατοί τύποι λοιπόν θα είναι V = {Nat, Bool} ενώ οι κρυφοί H = {Set}. Γιά σύμβολα τελεστών έχουμε Sigma = {0, s, in, empty, add, union, and, or, implies, true, false} με 0 Σ Nat, s Σ Nat Nat, in Σ NatSet Bool, empty Σ Set, add Σ NatSet Set, union Σ SetSet Set. Ενώ οι εξισώσεις της Σ-προδιαγραφής του συνόλου ακεραίων οριζονται ως: ( N Nat)N in empty = false, ( N, N Nat, S Set) N in add(n, S) = (N = N ) or (N in S), ( N Nat, S, S Set) N in union(s, S ) = N in S or N in S. Ετσι λοιπόν μπορούμε να προδιαγράψουμε ένα σύνολο φυσικών αριθμών όχι με βάση το ποια είναι η εσωτερική δομή του (δηλαδή, από ποιά στοιχεία αποτελείται) αλλά με βάση το τι μπορούμε εμείς να παρατηρήσουμε γι αυτό (δηλαδή με βάση το πότε ένα στοιχείο ανήκει σε αυτό). Παρατηρήστε ότι με βάση αυτή τη προδιαγραφή δεν μπορούμε να διακρίνουμε το S από το δυναμοσύνολο του. Στη συνέχεια επεκτείνουμε τον ορισμό το περιεχομένου, C[z], σε περιεχόμενο πάνω σε μία υπό-χαρακτηριστική. Αυτός ο ορισμός θα μας χρησιμεύσει στη συνέχεια για τον ορισμό της συμπεριφοριακής ισοδυναμίας. Ορισμός. [Γ-περιεχόμενο] Εστω μία κρυφή χαρακτηριστική Σ και μία υπόχαρακτηριστική της Γ. Ενα Γ-περιεχόμενο τύπου s, είναι ένας οποιοσδήποτε ορατού τύπου όρος από την άλγεβρα των όρων που μπορούμε να παράγουμε από το Γ, T Γ ({z} X), c[z] ο οποίος έχει μία μοναδική εμφάνιση της μεταβλητής z που είναι τύπου s. Στη συνέχεια θα συμβολίζουμε με C Γ [z : s] όλα τα Γ-περιεχόμενα τύπου s και με var(c) το πεπερασμένου πλήθους σύνολο μεταβλητών του c εκτός της z. 87