Πτυχιακή Μελέτη. «ιερεύνηση πρακτικών εφαρµογών µετάδοσης θερµότητας από ενεργειακή σκοπιά» Εισηγητής: Κτενιαδάκης Μιχ. Επιµέλεια: Στρατάκη Ανθούλα

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Πτυχιακή Μελέτη. «ιερεύνηση πρακτικών εφαρµογών µετάδοσης θερµότητας από ενεργειακή σκοπιά» Εισηγητής: Κτενιαδάκης Μιχ. Επιµέλεια: Στρατάκη Ανθούλα"

Transcript

1 P TS TS P Τεχνολογικό Εκπιδευτικό Ίδρυµ Κρήτης Πρόγρµµ Σπουδών Επιλογής ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Πτυχική Μελέτη «ιερεύνηση πρκτικών εφρµογών µετάδοσης θερµότητς πό ενεργεική σκοπιά» Εισηγητής: Κτενιδάκης Μιχ. Επιµέλει: Στρτάκη Ανθούλ V ΙΙ I Rr x Πυρίνς ροής Σύνορ ορικού στρώµτος u-/4µ f*d p/dx*(r -r ) (πρβολίκή κτνοµή D u Στρωτ υπόστρω Τυρβώδης πυρρήνς????? Περιοχή εισόδου x 3 e Πλήρως νεπτυγµένη περιοχή L Κολυµβητική δεξµενή πέτσµ Ηράκλειο Ιούνιος 005

2 Πρόλογος Αυτή η πτυχική εργσί ποτελείτι πό δεκπέντε (5) νεξάρτητες µελέτες στις οποίες προυσιάζοντι µερικές εφρµογές των φινοµένων της Μετάδοσης Θερµότητς, που διερευνώντι όµως πό την άποψη κυρίως της επίδρσής των φινοµένων υτών κι των πρµέτρων που τ διέπουν στην κτνάλωση ενέργεις. Επίσης, στις περισσότερες περιπτώσεις εξετάζετι κι η οικονοµική επίπτωση (όφελος ή ζηµί) που προκύπτει, λόγω της µετβολής κάποις πρµέτρου (π.χ. θερµοκρσίς) ή µις επέµβσης (π.χ. της ύξησης του πάχους µόνωσης). Γι τους υπολογισµούς της µετφοράς θερµότητς στις διάφορες επιφάνειες θ εφρµοστούν οι θεµελιώδεις µθηµτικές εξισώσεις, που περιγράφουν το ντίστοιχο φινόµενο. Γι την ξιολόγηση οικονοµικά µις επένδυσης, που φορά την εξοικονόµηση ενέργεις, θ χρησιµοποιηθούν συγκεκριµένες µεθοδολογίες. Αυτές στηρίζοντι στην χρήση οικονοµοτεχνικών κριτηρίων που κθορίζουν την βιωσιµότητ µις επένδυσης. Στο κείµενο περιέχετι επρκές υλικό κι θεωρητικό υπόβθρο γι την σωστή κτνόηση της διδικσίς επίλυσης της κάθε µελέτης. Ωστόσο µι µικρή επφή µε την Μηχνική Ρευστών ίσως βοηθήσει στην κλύτερη κτνόηση κάποιων σηµείων. Η προυσίση κάθε µελέτης κολουθεί µι κλσική γρµµή, επεξηγώντς τις εξισώσεις που φορούν την µετφορά θερµότητς µε γωγή, συνγωγή κι κτινοβολί κι εφρµόζοντάς τις κάθε φορά νάλογ µε την περίπτωση. Αρκετές πό τις µελέτες πιτούν, γι ν επιλυθούν, την χρήση επνλµβνόµενων προσεγγίσεων (υποθέσεων), πέρν των βσικών πρδοχών της µελέτης. ηλδή υποθέτουµε έν στοιχείο, µε την βοήθει του οποίου προκύπτουν κάποι ποτελέσµτ. Σωστή είνι η υπόθεση το ποτέλεσµ της οποίς ικνοποιεί µι συγκεκριµένη συνθήκη. Κτά µήκος του κειµένου τοποθετούντι πίνκες κι διγράµµτ γι την προυσίση των λύσεων. Στο τέλος υπάρχει έν συνοπτικό Πράρτηµ, που προυσιάζει τις περισσότερες εξισώσεις που χρησιµοποιήθηκν, κθώς κι Πίνκες µε τ πρίτητ τεχνικά κλπ στοιχεί που χρησιµοποιήθηκν στην εργσί. Οι δεκπέντε µελέτες της πτυχικής έχουν κτηγοριοποιηθεί µε τον πρκάτω τρόπο : η Ενότητ : Μετάδοση θερµότητς µε γωγή κι συνγωγή σε οριζόντι επίπεδ κι κυλινδρικά τοιχώµτ.. Μονωµένες κι µόνωτες οροφές προσττευµένες ή εκτεθειµένες - Τεχνικοοικονοµική διερεύνηση.. Θερµικές πώλειες οροφής (µε ψευδοροφή) ιερεύνηση γι το βέλτιστο πάχος µόνωσης. 3. ιµόρφωση δπέδου σε δπεδοθέρµνση Θερµικές ροές προς τ πάνω κι προς τ κάτω Βέλτιστη θερµοµόνωση. 4. Μονωµέν κι µόνωτ επίπεδ τοιχώµτ Τεχνοοικονοµική διερεύνηση. 5. Θερµοµόνωση σωληνώσεων ζεστού νερού Η επίδρση του πάχους µόνωσης σε σχέση µε τη διάµετρο Βέλτιστο πάχος µόνωσης σωληνώσεων.

3 η Ενότητ : Συνλλγή θερµότητς µε κτινοβολί κι ηλική κτινοβολί. 6. Πίστ πγοδροµίου Μείωση πωλειών κτινοβολίς Εξοικονόµηση Ενέργεις. 7. Μπλκονόπορτ µε διπλά τζάµι Μείωση πωλειών κτινοβολίς. 8. Κολυµβητική δεξµενή Μείωση πωλειών κτινοβολίς Εξοικονόµηση Ενέργεις. 9. Οροφή ψυκτικού θλάµου υπό την επίδρση κι της ηλικής κτινοβολίς. 3 η Ενότητ : Υπολογισµός συντελεστή µετβίβσης θερµότητς Αξιολόγηση µόνωσης. 0. Αµόνωτη ή µονωµένη κυλινδρική δεξµενή ζεστού νερού Υπολογισµός συντελεστή µετβίβσης θερµότητς Οικονοµική ξιολόγηση µόνωσης.. Θερµοµόνωση επιφάνεις ξηρντηρίου Υπολογισµός συντελεστών µετβίβσης της θερµότητς Τεχνικοοικονοµική ξιολόγηση µόνωσης. 4 η Ενότητ : Ενλλάκτες θερµότητς.. Βυθισµένος ενλλάκτης θερµότητς επνάψυξης νερού Βελτίωση του COP ψύκτη. 3. Ενλλάκτης νάκτησης θερµότητς κυσερίων Υπολογισµός του συνολικού συντελεστή µετάδοσης θερµότητς. 4. Προθερµντήρς µζούτ κι υπολογισµός θερµικών πωλειών του. 5. Πλκοειδής ενλλάκτης Επίπτωση της θερµοκρσίς εισόδου θερµντικού µέσου κι της επικάθισης των λάτων. Η πρώτη ενότητ περιλµβάνει κυρίως εφρµογές σε οριζόντι (οροφές, δάπεδ) κι κυλινδρικά (σωληνώσεις) τοιχώµτ. Σε κάθε ξεχωριστή µελέτη εφρµόζουµε τις µθηµτικές εκφράσεις που νλογούν σε κάθε φινόµενο µετάδοσης θερµότητς, κυρίως µονοδιάσττη γωγή µε την τυτόχρονη επίδρση κι της συνγωγής. Στην συνέχει µέσω κριτηρίων ξιολόγησης όπως η Κθρά Προύσ Αξί κι η Έντοκη Περίοδος Αποπληρωµής, εξετάζουµε κτά πόσο οι επεµβάσεις µε την προσθήκη µονώσεων είνι οικονοµικά βιώσιµες. Τέλος µε την βοήθει διγρµµάτων προκύπτουν τ νάλογ συµπεράσµτ. Στην δεύτερη ενότητ εξετάζουµε φινόµεν µετάδοσης θερµότητς µε κτινοβολί. Ο τρόπος µετάδοσης θερµότητς µε κτινοβολί διφέρει σε δύο σηµντικά σηµεί πό τους τρόπους µετφοράς θερµότητς µε γωγή κι συνγωγή ) ότι δεν πιτείτι µέσο (ύλη) κι β) η µετφορά ενέργεις είνι νάλογη προς την τέτρτη δύνµη της θερµοκρσίς των εµπλεκόµενων σωµάτων. Στηριζόµενοι στις µθηµτικές εξισώσεις που νφέροντι στην κτινοβολί µπορούµε ν υπολογίσουµε την θερµική ισχύ που µετβιβάζετι µέσω κτινοβολίς. Βσικοί µέθοδοι µείωσης της µετβιβζόµενης µε κτινοβολί ισχύος είνι η χρήση νκλστικών επιστρώσεων ή/κι πετσµάτων. Με τ προηγούµεν οικονοµικά κριτήρι µπορούµε πάλι ν κρίνουµε κτά πόσο οι επεµβάσεις υτές είνι εφικτές κι συµφέρουσες. Στην τρίτη ενότητ σχολούµστε κυρίως µε την µετφορά θερµότητς σε ρευστά των οποίων η κίνηση οφείλετι σε πρόσδοση εξωτερικού έργου, δηλδή έχουµε

4 εξνγκσµένη συνγωγή, στρωτή ή τυρβώδη. Εκτός πό την εξνγκσµένη συνγωγή σχολούµστε κι µε την φυσική ή ελεύθερη συνγωγή, όπου το ρευστό κινείτι υπό την επίδρση νοδικών δυνάµεων προερχόµενων πό µετβολές στην πυκνότητ, λόγω θερµοκρσικών διφορών. Οι σχέσεις υπολογισµού του συντελεστή συνγωγής (µετβίβσης της θερµότητς) που νφέροντι στην βιβλιογρφί είνι γι συγκεκριµένες γεωµετρικές διµορφώσεις. Επιλέγοντι βάσει κάποιων κριτηρίων, όπως ο ριθµός Prandtl κι Rayleigh. Εκτός πό τον υπολογισµό του συντελεστή µετβίβσης σ υτήν την ενότητ βρίσκουµε την εξοικονόµηση ενέργει που επιτυγχάνουµε µε την προσθήκη µονωτικών υλικών στις συγκεκριµένες εφρµογές. Αυτό γίνετι συγκρίνοντς την κτάστση πριν κι µετά, κι ξιολογώντς οικονοµικά το όφελος που προκύπτει σε σχέση µε το κόστος που είχε η επένδυση. Στην τέτρτη ενότητ σχολούµστε κι µελετούµε διάφορους τύπους ενλλκτών θερµότητς, σε σχέση κι µε την ενεργεική τους συµπεριφορά. Αρχικά βρίσκουµε τους συντελεστές συνγωγής µε την βοήθει συγκεκριµένων υπολογιστικών σχέσεων, όπως κάνµε κι στην προηγούµενη ενότητ. Βσικά ζητούµεν σ υτές τις µελέτες είνι ο συνολικός συντελεστής µετάδοσης θερµότητς του ενλλάκτη κθώς κι το πιτούµενο εµβδόν της επιφάνεις, ώστε ν µετφέρετι θερµότητ µε έν δεδοµένο ρυθµό γι δεδοµένες θερµοκρσίες κι ρυθµούς ροής ρευστών. Ακόµ βλέπουµε πως επηρεάζετι η λειτουργί του ενλλάκτη µε λλγές στις συνθήκες, οι θερµικές πώλειες πό την προσθήκη µονώσεων, κθώς κι πως οι επικθίσεις λάτων επηρεάζουν την ποδοτικότητ του ενλλάκτη. Ως συµβουλευτικά βοηθήµτ χρησιµοποιήθηκν, κυρίως οι Σηµειώσεις πρδόσεων του κ. Κτενιδάκη Μιχ., τ λιγοστά ελληνικά συγγράµµτ κθώς κι ρκετά ξέν (γγλικά) βιβλί Μετάδοσης Θερµότητς. Ευχριστώ όλους όσους βοήθησν, µε οποιοδήποτε θετικό ή ρνητικό σχόλιο κι προτάσεις, στην περίωση κι ρτιότερη εµφάνιση της πτυχικής. Α. Στρτάκη

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΜΕ ΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΥΝΑΓΩΓΗ ΣΕ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΕΠΙΠΕ Α ΚΑΙ ΚΥΛΙΝ ΡΙΚΑ ΤΟΙΧΩΜΑΤΑ Μελέτη η. Μονωµένες κι µόνωτες οροφές, προσττευόµενες ή εκτεθειµένες Τεχνικοοικονοµική διερεύνηση Λύση:...6 Ερώτηµ Α:...8 Ερώτηµ Β:... Ερώτηµ Γ:... Συµπέρσµ:...9 Μελέτη η. Θερµικές πώλειες οροφής ( Με ψευδοροφή) ιερεύνηση γι το βέλτιστο πάχος µόνωσης... 0 Ερώτηµ Α:... Ερώτηµ Β:...4 Ερώτηµ Γ:...5 Ερώτηµ :...7 Ερώτηµ Ε....9 Συµπέρσµ:...3 Μελέτη 3 η. ιµόρφωση δπέδου σε δπεδοθέρµνση Θερµικές ροές προς τ πάνω κι προς τ κάτω Βέλτιστη θερµοµόνωση Λύση:...34 Ερώτηµ Α:...34 Ερώτηµ Β:...36 Ερώτηµ Γ:...37 Ερώτηµ :...38 Ερώτηµ Ε:...39 Συµπέρσµ:...4 Μελέτη 4 η Μονωµέν κι µόνωτ επίπεδ τοιχώµτ Τεχνοοικονοµική διερεύνηση.43 Λύση:...44 Ερώτηµ Α:...44 Ερώτηµ Β:...45 Ερώτηµ Γ:...49 Ερώτηµ :...5 Συµπέρσµ:...54 Μελέτη 5 η. Θερµοµόνωση σωληνώσεων ζεστού νερού Η επίδρση του πάχους µόνωσης σε σχέση µε τη διάµετρο Βέλτιστο πάχος µόνωσης σωληνώσεων Λύση:...57 Ερώτηµ Α:...57 Ερώτηµ Β:...58 Ερώτηµ Γ:...60 Ερώτηµ :...67 Συµπέρσµ:...7

6 . ΣΥΝΑΛΛΑΓΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΜΕ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ ΚΑΙ ΗΛΙΑΚΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ....7 Μελέτη 6 η Πίστ πγοδροµίου - Μείωση πωλειών κτινοβολίς - Εξοικονόµηση Ενέργεις... 7 Λύση :...73 Ερώτηµ Α:...73 Ερώτηµ Β:...75 Ερώτηµ Γ:...76 Ερώτηµ Ε:...79 Συµπέρσµ:...83 Μελέτη 7 η Μπλκονόπορτ µε διπλά τζάµι µείωση πωλειών κτινοβολίς Λύση:...84 Ερώτηµ Α:...85 Ερώτηµ Β:...86 Ερώτηµ Γ:...87 Ερώτηµ :...88 Συµπέρσµ:...90 Μελέτη 8 η. Κολυµβητική δεξµενή µείωση πωλειών κτινοβολίς Εξοικ. Ενέργεις.9 Λύση:...93 Ερώτηµ Α:...93 Ερώτηµ Β:...95 Ερώτηµ Γ:...99 Ερώτηµ :...0 Συµπέρσµ:...0 Μελέτη 9 η. Οροφή ψυκτικού θλάµου υπό την επίδρση κι της ηλικής κτινοβολίς 03 Λύση:...04 Ερώτηµ Α:...04 Ερώτηµ Β:...05 Υποερώτηµ Β...05 Υποερώτηµ Β...07 Ερώτηµ Γ:...08 Συµπέρσµ: ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΜΕΤΑΒΙΒΑΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΜΟΝΩΣΗΣ... 6 Μελέτη 0 η. Αµόνωτη ή µονωµένη κυλινδρική δεξµενή ζεστού νερού Υπολογισµός συντελεστή µετβίβσης θερµότητς Οικονοµική ξιολόγηση µόνωσης.. 6 Λύση:...7 Ερώτηµ Α:...7 Ερώτηµ Β:...7 Ερώτηµ Γ:...8 Ερώτηµ :...35 Συµπέρσµ:...37

7 Μελέτη η. Θερµοµόνωση επιφάνεις ξηρντήριου Υπολογισµός συντελεστών µετβίβσης της θερµότητς Τεχνικοοικονοµική ξιολόγηση µόνωσης Λύση:...40 Ερώτηµ Α:...40 Ερώτηµ Β:...46 Ερώτηµ Γ:...5 Συµπέρσµ: EΝΑΛΛΑΚΤΕΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ Μελέτη η Βυθισµένος ενλλάκτης θερµότητς Επνάψυξης νερού Βελτίωση του COP ψύκτη Λύση:...56 Ερώτηµ Α:...56 Ερώτηµ Β:...58 Ερώτηµ Γ:...59 Ερώτηµ :...60 Συµπέρσµ:...66 Μελέτη 3 η. Ενλλάκτης νάκτησης θερµότητς κυσερίων Υπολογισµός του συνολικού συντελ. µετάδοσης θερµότητς Λύση:...68 Ερώτηµ Α, Β:...68 Ερώτηµ Γ:...84 Ερώτηµ :...9 Συµπέρσµ:...93 Μελέτη 4 η. Προθερµντήρς µζούτ κι υπολογισµός θερµικών πωλειών του Λύση:...95 Ερώτηµ Α:...95 Ερώτηµ Β:...07 Ερώτηµ Γ:...0 Συµπέρσµ:...8 Μελέτη 5 η. Πλκοειδής ενλλάκτης - Επίπτωση της θερµοκρσίς εισόδου θερµντικού µέσου κι της επικάθισης των λάτων... 9 Λύση:...0 Ερώτηµ Α:...0 Ερώτηµ Β:...4 Ερώτηµ Γ:...6 Συµπέρσµ:...30 Πράρτηµ. Επεξηγήσεις εξισώσεων Επεξήγηση εξισώσεων Μετάδοσης Θερµότητς Μετάδοση θερµότητς µε γωγή συνγωγή Μετάδοση θερµότητς µε κτινοβολί Σχέσεις υπολογισµού συντελεστών συνγωγής γι φυσική συνγωγή Σχέσεις υπολογισµού συντελ. συνγωγής γι εξνγκσµένη συνγωγή Σχέσεις υπολογισµού γι ενλλάκτες θερµότητς Επεξήγηση εξισώσεων Εξοικονόµησης ενέργεις

8 Πράρτηµ. Πίνκες Πίνκς A. Συντελεστές θερµική γωγιµότητς υλικών...46 Πίνκς A. Συντελεστές θερµικής µετάβσης (πό έρ σε οικοδοµικό τοίχωµ κι ντίστροφ )...5 Πίνκς A3. Τιµές του συντελεστή µετβίβσης της θερµότητς ( i, ο )...5 Πίνκς A4. Θερµοκρσιών κι άλλων στοιχείων πόλεων Πίνκς A5. Συντελεστής ολικής εκποµπής ( κτινοβολίς ) διφόρων επιφνειών Πίνκς Α6. Συντελεστής πορρόφησης διφόρων επιφνειών ως προς την ηλική κτινοβολί( s )...60 Πίνκς Α7. Θερµογόνος δύνµη κυσίµων Πίνκς Α8. Πυκνότητ υγρών κι έριων κυσίµων....6 Πίνκς Α9. Συντελεστές µεττροπής µονάδων ενέργεις....6 Πίνκς Α0. Συντελεστές µεττροπής µονάδων ισχύος....6 Βιβλιογρφί ιδικτυκοί Τόποι

9 . ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΜΕ ΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΥΝΑΓΩΓΗ ΣΕ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΕΠΙΠΕ Α ΚΑΙ ΚΥΛΙΝ ΡΙΚΑ ΤΟΙΧΩΜΑΤΑ. Μελέτη η. Μονωµένες κι µόνωτες οροφές, προσττευόµενες ή εκτεθειµένες Τεχνικοοικονοµική διερεύνηση. Στο πρκάτω σχήµ δείχνετι η οροφή ισόγεις κτοικίς σε τοµή.(οι διστάσεις σε c.) η κτοικί βρίσκετι στην Αθήν κι θερµίνετι έτσι ώστε η θερµοκρσί των χώρων της ν είνι 0 C. 5 οπλισµένο σκυρόδεµ Β5 επίχρισµ Αρχικά η οροφή βρίσκετι εκτεθειµένη στο εξωτερικό περιβάλλον, διότι ο ιδιοκτήτης σκοπεύει ν συνεχίσει µελλοντικά την νέγερση ορόφου, ο οποίος θ θερµίνετι πό την ίδι εγκτάστση. Ο ιδιοκτήτης προβληµτίζετι ν πρέπει ν προχωρήσει σε µι πλή θερµοµόνωση της οροφής, προκειµένου ν περιοριστούν οι θερµικές πώλειες επί όσο χρονικό διάστηµ δεν θ υπάρχει ο όροφος. Η θερµοµόνωση θ γίνει µε επικάλυψη της οροφής µε διογκωµένη πολυουρεθάνη, σε πάχος 4c κι τελική επικάλυψη γρµπιλοσκυροδέµτος 700 kg/ 3, σε πάχος 5c. Α. Ν υπολογισθεί η µείωση των πωλειών θερµότητς πό την οροφή κι της κτνλισκόµενης ντίστοιχ ετήσις ποσότητς πετρελίου (diesel), φού προηγουµένως υπολογισθούν (µε προσέγγιση χιλιοστού) όλοι οι πιτούµενοι συντελεστές θερµοπερτότητς. Υποθέστε: -Συνολικό βθµό πόδοσης της εγκτάστσης θέρµνσης 80%. Β. Ν βρεθεί γι πόσ (τουλάχιστον) χρόνι ν κθυστερήσει η νέγερση του ορόφου θ είνι συµφέρουσ η τοποθέτηση της µόνωσης. Υποθέστε: - Κόστος της µόνωσης 35 /. - Επιτόκιο δνεισµού (ποπληθωρισµένο) 5%. - Κόστος κυσίµου 0,60 /L. Γ. N επνληφθούν τ ερωτήµτ Α κι Β, λλά γι την περίπτωση που η οροφή είνι τύπου Z llner, όπως στο πρκάτω σχήµ (Οι διστάσεις σε c). οπλισµένο σκυρόδεµ Β µονωτικό υλικό επίχρισµ 5

10 Λύση: Αρχικά πρέπει ν υπολογίσουµε τους συντελεστές θερµοπερτότητς που θ έχουµε στην περίπτωση µόνωτης οροφής κι τον συντελεστή θερµοπερτότητς στην περίπτωση που υπάρχει µόνωση πάνω πό την οροφή. ) Περίπτωση: Χωρίς µόνωση. θ 5 οπλισµένο σκυρόδεµ Β5 θ επίχρισµ Σχήµ. Τοµή της οροφής χωρίς την προσθήκη µονωτικού υλικού. Στρώσεις d () λ (kcal/ h ο C). Οπλισµένο σκυρόδεµ Β5 0,5,75. Ασβεστοτσιµεντοκονίµ 0,0 0,75 Οι συντελεστές θερµικής γωγιµότητς βρίσκοντι πό τον Πίνκ Α του πρρτήµτος. ροφής (Εξίσωση ) δ δ λ λ i i : Εσωτερικός συντελεστής θερµικής µετάβσης kcal/h C 0: Εξωτερικός συντελεστής θερµικής µετάβσης kcal/h C δ : Πάχος στρώµτος οπλισµένου σκυροδέµτος δ : Πάχος στρώµτος σβεστοτσιµεντοκονιάµτος Αντικθιστώντς στην εξίσωση () προκύπτει: δ λ 0 ροφής 0 0,0 0, kcal / h, δ + λ λ kcal / h kcal / h δ + λ,75 C C, C + δ i 0,5 kcal / h C ροφής 0 0,5 + +,75 0,0 0,75 οροφής + 7 3,76 3,76 kcal/h kcal / h C C 6

11 β) Περίπτωση: Με µόνωση. θ 5 4 γρµπιλοσκυροδέµ διογκωµένη πολυουρεθάνη 5 οπλισµένο σκυρόδεµ Β5 επίχρισµ θ Σχήµ. Τοµή της οροφής µε την προσθήκη µονωτικού υλικού. Στρώσεις d () λ (kcal/ h C). Γρπιλοσκυρόδεµ 700 kg/ 3 0,05 0,70. ιογκωµένη πολυουρεθάνη 0,04 0, Οπλισµένο σκυρόδεµ Β5 0,5,75 4. Ασβεστοτσιµεντοκονίµ 0,0 0,75 ροφής (Εξίσωση ) δ δ δ3 δ λ λ λ 3 λ 4 i i : Εσωτερικός συντελεστής θερµικής µετάβσης kcal/h C 0: Εξωτερικός συντελεστής θερµικής µετάβσης kcal/h C δ : Πάχος στρώµτος γρπιλοσκυροδέµτος 700 kg/ 3 δ : Πάχος στρώµτος διογκωµένης πολυουρεθάνης δ 3 : Πάχος στρώµτος οπλισµένου σκυροδέµτος δ 4 : Πάχος στρώµτος σβεστοτσιµεντοκονιάµτος Αντικθιστώντς στην εξίσωση () προκύπτει: δ λ λ λ λ i ροφής 0 0,04 0,70 0,035 0,75, kcal / h, δ + λ δ kcal / h kcal / h kcal / h kcal / h kcal / h 3 δ + λ 0,0 C C, C, C, C, C, δ + λ δ 0,05, 3 3 δ + λ δ ,5, i ροφής 0 + 0,05 0,70 0,658kcal / h 0, ,035 ο C 0,0 0,75 + 0,5, οροφής 0,658 kcal/h C 7

12 Ερώτηµ Α: Οι πώλειες θερµότητς που θ έχουµε νά της οροφής θ βρεθεί µε την χρήση του πρκάτω τύπου. Συγκρίνοντς τις πώλειές που έχουµε χωρίς την µόνωση κι µε την ύπρξη της µόνωσης βρίσκουµε την µείωση των πωλειών. q οροφής (θ -θ ) (Εξίσωση 3) q: Οι πώλειες θερµότητς της οροφής kcal/h Κ ορ. : Συντελεστής θερµοπερτότητς οροφής kcal/h C θ : Εσωτερική θερµοκρσί χώρου C θ : Θερµοκρσί περιβάλλοντος C Η εσωτερική θερµοκρσί του χώρου σύµφων µε τ δεδοµέν είνι ίση µε θ 0 C ενώ η θερµοκρσί περιβάλλοντος γι την περιοχή της Αθήνς σύµφων µε τον Πίνκ Α4 του πρρτήµτος είνι + C. Αντικθιστώντς στην εξίσωση (3) γι κάθε περίπτωση ντίστοιχ προκύπτει: ) Περίπτωση: Χωρίς µόνωση. q Κ θ Κ οροφής 0 οροφής 3,76 C, (θ θ θ kcal / h C ) C β) Περίπτωση: Με µόνωση. q 3,76 (0 ) 6,4 kcal / h q 6,4 kcal/h q θ β Κ Κ οροφής 0 οροφής 0,658 C, (θ θ θ kcal / h C ) C q β 0,658 (0 ),50 kcal / h β q,50 Η µείωση θερµικής ισχύος εξιτίς τοποθέτηση της µόνωσης είνι ίση µε: q q -q β (Εξίσωση 4) Αντικθιστώντς στην εξίσωση (4) προκύπτουν τ εξής ποτελέσµτ: kcal/h q q q q β q 6,4,50 β kcal / h kcal / h q 6,4,50 49,74 Το ποσοστό µείωσης των πωλειών είνι: kcal / h q 49,74 kcal/h 8

13 P q 49,74 q q q 6,4 kcal / h kcal / h P 49,74 6,4 0,799 P% 80 % Γι ν βρούµε την µείωση της ποσότητς πετρελίου που θ έχουµε εξιτίς της τοποθέτησης της µόνωσης θ πρέπει πρώτ ν βρούµε τη θερµική ενέργει που κτνλώνετι σε κάθε περίπτωση. Στη συνέχει µπορούµε ν βρούµε την ενέργει που εξοικονοµούµε λόγω της τοποθέτησης της µόνωσης. Η ολικές ενεργεικές πώλειες χωρίζοντι στις θερµικές πώλειες λόγω θερµοπερτότητς (γωγιµότητς) κι στις θερµικές πώλειές λόγω ερισµού. Ε ολ. Ε +Ε (Εξίσωση 5) Ε ολ. : Ολική ενεργεική πώλει. Ε. : Θερµικές ενεργεικές πώλειες λόγω γωγιµότητς Ε : Θερµικές ενεργεικές πώλειες λόγω ερισµού Θερµικές πώλειες λόγω γωγιµότητς: Ε Κ ορ F ολ DD h 4 (Εξίσωση 6) Ε. : Θερµικές ενεργεικές πώλειες λόγω γωγιµότητς kcal/y Κ ορ : Συντελεστής θερµοπερτότητς kcal/h C. F ολ. : Συνολική επιφάνει DD h : Βθµοηµέρες θέρµνσης C day Θερµικές ενεργεικές πώλειες λόγω ερισµού: Q DD h 4 Ε (Εξίσωση 7) θ Ε. : Θερµικές ενεργεικές πώλειες λόγω ερισµού kcal/y Q. : Απώλειες ερισµού kcal/h DD h : Βθµοηµέρες θέρµνσης C day θ: Θερµοκρσική διφορά C Γι ν έχουµε θερµικές πώλειες λόγω ερισµού πρέπει ν υπάρχουν νοίγµτ έτσι ώστε η είσοδος έρ πό της χρµάδες τους ν υξάνει τις πώλειες. Στην περίπτωση µς η οροφή δεν διθέτει νοίγµτ, άρ δεν υπάρχουν πώλειες λόγω ερισµού (ή ν υπάρχουν είνι όµοι στις δύο περιπτώσεις). Αντικθιστώντς στην εξίσωση (6) κι νά µονάδ επιφάνεις της µόνωσης προκύπτουν οι πρκάτω πώλειες λόγω γωγιµότητς γι κάθε περίπτωση: 9

14 ) Περίπτωση: Χωρίς µόνωση. E F ολ. Κ DD 4 Κ ορ. 3,76 kcal / h DD 00 C d / y h ορ. h C E F ολ. 3, ,4 kcal/ y β) Περίπτωση: Με µόνωση. E F β ολ. Κ DD 4 Κ ορ. 0,658 kcal / h DD 00 Cd / y h ορ. h C E F β ολ. 0, , E kcal/ Fολ. kcal / y y Η εξοικονοµούµενη ενέργει είνι ίση µε: E β 737 kcal/ F ολ. y Ε Ε - Ε β (Εξίσωση 8) Αντικθιστώντς στην προηγούµενη εξίσωση προκύπτει: Ε Ε Ε Ε β Ε β kcal / kcal / y y Ε kcal / y Ε 695 kcal/ y Γι την µείωση της ετήσις κτνάλωσης πετρελίου θ πρέπει ν γίνει χρήση του πρκάτω τύπου: Ε G n Θ κ (Εξίσωση 9) G. : Εξοικονόµηση κυσίµου kg/ y Ε. : Εξοικονόµηση ενέργεις kcal/ y Θ κ : Κτωτέρ θερµογόνος δύνµη κυσίµου kcal/ kg n: Ολικός βθµός πόδοσης της εγκτάστσης Αντικθιστώντς στην εξίσωση (9) προκύπτουν τ πρκάτω ποτελέσµτ: 0

15 Ε G n Θ Ε 695 n 0,80 Θ κ κ 050 kcal / kcal / kg y 695 G 0, ,43 kg / y G 8,43 kg/ y Όµως η πυκνότητ του diesel είνι ίση µε 0,84 kg /L, έτσι: G 8,43 kg / y 0,04 L / y G 0 L/ y 0,84 kg / L Ερώτηµ Β: Γι ν είνι συµφέρουσ η τοποθέτηση της µόνωσης θ πρέπει ν έχουµε κερδίσει πίσω τ χρήµτ που ξοδέψµε γι υτή την επένδυση πριν την νέγερση του πάνω ορόφου. Το χρονικό υτό διάστηµ, κι γι έν συγκεκριµένο ποπληθωρισµένο επιτόκιο θ µς το δώσει η Εντοκή Περίοδος Αποπληρωµής (Ε.Π.Α). Το χρονικό διάστηµ στο οποίο µηδενίζετι η Κθρά Προύσ Αξί (Κ.Π.Α) είνι η Ε.Π.Α. Ο τύπος που θ µς δώσει την Ε.Π.Α. είνι ο πρκάτω: Κι το ΕΟΟ ισούτι µε: ΑΚΕ ln[ r ] ΕΠΑ ΚΕΟΟ (Εξίσωση 0) ln( + r) ΕΟΟ G τ κ (Εξίσωση ) ΕΠΑ. : Έντοκη Περίοδος Αποπληρωµής years r. : Αποπληθωρισµένο επιτόκιο ΑΚΕ: Αρχικό Κόστος Επένδυσης Ευρώ ΚΕΟΟ: Κθρό Ετήσιο Οικονοµικό Όφελος Ευρώ/y τ κ. : Τιµή κυσίµου /L Εποµένως ντικθιστώντς στην εξίσωση () προκύπτει: EOO G τ κ G 0 L / τ 0,60 / L κ y EOO 0 0,60 6 / y EOO 6 / y Επειδή δεν έχουµε άλλ έξοδ λειτουργίς, συντήρησης το ΕΟΟ είνι κι ΚΕΟΟ. Το κθρό ετήσιο οικονοµικό όφελος είνι ίσο µε ΚΕΟΟ 6 / y. Το ΑΚΕ πό τ δεδοµέν µς είνι ίσο µε 35 /.

16 Αντικθιστώντς στην εξίσωση (0) προκύπτει: ΑΚΕ ln[ r ] EΠΑ ΚΕΟΟ ln( + r) r 0,05 AE 35 / EOO 6 / y ΕΠΑ 35 ln[ 0,05 ] 6 7,06years ln( + 0,05) Ερώτηµ Γ: ΕΠΑ 7,06 years Γι το τρίτο ερώτηµ θ πρέπει ν υπολογίσουµε συντελεστή θερµοπερτότητς ότν η οροφή είνι τύπου Z llner κι τον συντελεστή θερµοπερτότητς που θ έχουµε ότν σ υτόν τον τύπο οροφής προστεθεί επιπλέον µόνωση. Η διδικσί υπολογισµού υτών των συντελεστών νλύετι πρκάτω. ) Περίπτωση: Οροφή τύπου Z llner. θ ΙΙ I οπλισµένο σκυρόδεµ Β ιογκωµένη πολυουρεθάνη επίχρισµ θ Σχήµ 3. Τοµή της οροφής τύπου Z llner. Στρώσεις Ι d () ΙΙ d () λ (kcal/ h C). Οπλισµένο σκυρόδεµ Β5 0, 0,,75. ιογκωµένη πολυουρεθάνη - 0,0 0, Ασβεστοτσιµεντοκονίµ 0,0 0,0 0,75 Γι το κοµµάτι της οροφής που δεν έχει µόνωση Ι: Κ Ι (Εξίσωση ) δ δ λ λ i 0 Γι το κοµµάτι της οροφής που έχει µόνωση ΙΙ: Κ ΙΙ (Εξίσωση 3) δ δ δ λ λ λ i 3 0

17 Ο συντελεστής θερµοπερτότητς της οροφής τύπου Z llner µε υτές τις διστάσεις της µόνωσης ισούτι µε: z 0 40 Κ Ι + Κ ΙΙ (Εξίσωση 4) Αντικθιστώντς στην εξίσωση () τ δεδοµέν που έχουµε προκύπτουν τ πρκάτω ποτελέσµτ: Κ λ λ i Ι 7 i,75 0,75 δ + λ δ + λ kcal / h kcal / h C, kcal / h + C δ C, 0 δ 0, 0,0 0 0 kcal / h Κ C Ι 7 +,896 0,,75 0, ,75 kcal / h C 0 Κ Ι,896 kcal/ h C Αντικθιστώντς στην εξίσωση () τ δεδοµέν που έχουµε προκύπτουν τ πρκάτω ποτελέσµτ: Κ λ λ λ i 3 0 IΙ 7,75 0,035 0,75 0 i δ + λ kcal / h δ + λ kcal / h kcal / h kcal / h kcal / h δ λ 3 0 C, δ 0, C δ 0,0 Κ C δ3 0,0 C C ΙI 7 + 0,38 0,,75 0, ,035 kcal / h C 0,0 0, Κ ΙI 0,38 kcal/ h C Ο συντελεστής της οροφής τύπου Z llner σύµφων µε την εξίσωση (4) προκύπτει στην περίπτωση µς ίσος µε: 3

18 Κ Κ z Ι ΙΙ 0 50 Κ,896 0,38 40 Ι + Κ 50 kcal / h kcal / h C C ΙΙ z 0 50, ,38 0,833 kcal / h C z 0,833 kcal/h C β) Περίπτωση: Οροφή τύπου Z llner µε επιπλέον µόνωση. ΙΙ θ I 5 Γρµπιλοσκυρόδεµ. 4 ιογκωµένη πολυουρεθάνη οπλισµένο σκυρόδεµ Β ιογκωµένη πολυουρεθάνη επίχρισµ θ Σχήµ 4. Τοµής της οροφής τύπου Z llner µε την επιπλέον προσθήκη µόνωσης. Στρώσεις Ι d () ΙΙ d () λ (kcal/ h C). Γρµπιλοδκυρόδεµ 700 kg/ 3 0,05 0,05 0,70. ιογκωµένη πολυουρεθάνη 0,04 0,04 0, Οπλισµένο σκυρόδεµ 0, 0,,75 4. ιογκωµένη πολυουρεθάνη - 0,0 0, Ασβεστοτσιµεντοκονίµ 0,0 0,0 0,75 Γι το κοµµάτι της οροφής που δεν έχει διπλή µόνωση Ι: Κ ΙΙ (Εξίσωση 5) δ δ δ3 δ λ λ λ λ i Γι το κοµµάτι της οροφής που έχει διπλή µόνωση: Κ ΙΙ (Εξίσωση6) δ δ δ3 δ 4 δ λ λ λ λ λ i Ο συντελεστής θερµππερτότητς της οροφής κι σε υτή την περίπτωση θ δοθεί πό την εξίσωση (4). Αντικθιστώντς στην εξίσωση (5) προκύπτει: 4

19 Κ λ λ λ λ i 3 5 Ι 7 0,70 0,035 i,75 0,75 δ + λ δ + λ kcal / h kcal / h kcal / h kcal / h C, kcal / h δ + λ C C C δ 3 3 C δ δ δ + λ 0,05 5 δ 0 0, , 0,0 0 0 kcal / h Κ C Ι 7 + 0,64 0,05 0,70 + kcal / 0,04 0,035 + h C 0,,75 + 0,0 0,75 + Κ Ι 0,64 kcal/ h C 0 Αντικθιστώντς στην εξίσωση (6) προκύπτει: Κ λ λ λ λ λ i IΙ 7 0,70 0,035,75 0,035 0,75 0 i δ + λ δ + λ kcal / h kcal / h kcal / h kcal / h kcal / h kcal / h kcal / h C, δ3 + λ C C C C δ C δ C 3 δ δ + λ 0,05 4 δ δ δ + λ 0,04 3 0, 0, , Κ ΙI 7 + 0,9 0,05 0,70 + 0,04 0,035 kcal / 0, + +,75 h C 0,0 0, ,0 0,75 Κ ΙI 0,9 kcal/ h C + 0 Ο συντελεστής της οροφής τύπου Z llner σύµφων µε την εξίσωση (4) προκύπτει στην περίπτωση µς ίσος µε: Κ Κ z Ι ΙΙ 0 Κ 50 0,64 0,9 Ι kcal / h kcal / h Κ ΙΙ C C z , ,9 0,3 kcal / h C z 0,3 kcal/h C 5

20 Έχοντς τους συντελεστές θερµοπερτότητς γι την οροφή τύπου Z llner κι µε την επιπλέον µόνωση µπορούµε ν βρούµε την µείωση της πυκνότητς θερµορροής λόγω της τοποθέτησης της επιπλέον µόνωσης. ) Περίπτωση: Η πυκνότητ θερµορροής γι την οροφή τύπου Z llner δίνετι πό την πρκάτω σχέση. q z z (θ -θ ) (Εξίσωση 7) Αντικθιστώντς στην εξίσωση (7) προκύπτουν τ εξής ποτελέσµτ: q θ z z z 0,833 0 (θ C, θ θ ) kcal / h C C q z 0,833 (0 ) 5,83 kcal / h q 5,83 z kcal/h β) Περίπτωση: Η πυκνότητ θερµορροής γι την οροφή τύπου Z llner µε επιπλέον µόνωση δίνετι πό την πρκάτω σχέση. q zµ zµ (θ -θ ) (Εξίσωση 8) Αντικθιστώντς στην εξίσωση (8) προκύπτουν τ εξής ποτελέσµτ: q θ zµ zµ 0 zµ 0,3 C, (θ θ θ kcal / h ) C C q zµ 0,3 (0 ) 5,9 kcal / h q zµ 5,9 kcal/h Η µείωση πυκνότητς θερµορροής εξιτίς τοποθέτηση της µόνωσης είνι ίση µε: q q z -q zµ (Εξίσωση 9) Αντικθιστώντς προκύπτει: q q q q z zµ z q 5,83 5,9 zµ kcal / h kcal / h q 5,83 5,9 9,9 kcal/h q 9,9 kcal/h Το ποσοστό µείωσης των πωλειών είνι: P q q q 9,9 kcal / h q z 5,83 kcal / h 9,9 P 5,83 z 0,66 P% 6,7 % 6

21 Οι θερµικές πώλειες λόγω γωγιµότητς δίνοντι πό την πρκάτω εξίσωση: Ε Κ F ολ DD h 4 (Εξίσωση 0) Ε. : Θερµικές πώλειες λόγω γωγιµότητς kcal/y Κ: Συντελ. θερµοπερτότητς χωρίς ή µε επιπλέον µόνωση kcal/h C. F ολ. : Συνολική επιφάνει DD h : Βθµοηµέρες θέρµνσης C day Αντικθιστώντς στην εξίσωση (0) γι τις δύο υτές περιπτώσεις, κι νά µονάδ επιφάνεις της µόνωσης προκύπτουν τ πρκάτω ποτελέσµτ : ) Περίπτωση: Χωρίς επιπλέον µόνωση. E Κ z DD h 4 Fολ. Κ z 0,833 kcal / h DD ο 00 Cd / y h C E F ολ. 0, kcal/ y β) Περίπτωση: Με επιπλέον µόνωση. E 99 kcal/ F ολ. y E F β ολ. Κ DD 4 Κ zµ 0,3 kcal / h DD 00 Cd / y h zµ h C E F β ολ. 0, kcal/ y E β F ολ. 80 kcal/ y Η εξοικονοµούµενη ενέργει σύµφων µε την εξίσωση (8) προκύπτει ίση µε: Ε Ε Ε Ε β Ε β kcal / kcal / y y Ε kcal / y Ε 378 kcal/ y Η µείωση της ετήσις κτνάλωσης πετρελίου σύµφων µε την εξίσωση (9) προκύπτει ίση µε: 7

22 Ε G n Θ Ε 378 n 0,80, Θ κ Κι: κ 050 kcal / kcal / kg y 378 G,68 0, kg / y G,68 kg/ y G,68Κg / 0,84Lt / Κg y Lt / y G Lt/ y Σύµφων µε την εξίσωση () το ετήσιο οικονοµικό όφελος που θ έχουµε πό την επιπλέον προσθήκη µόνωσης στην οροφή τύπου Z llner θ είνι: EOO G τ κ G Lt / τ 0,60 / Lt κ y EOO 0,60, / y EOO, / y Άρ το Κθρό Ετήσιο Οικονοµικό Όφελος είνι ίσο Κ.Ε.Ο.Ο., / y Η Έντοκη Περίοδος Αποπληρωµής θ είνι ίση µε: ΑΚΕ ln[ r ] EΠΑ ΚΕΟΟ ln( + r) r 0,05, AE 35 /, EOO, / y ΕΠΑ 35 ln[ 0,05 ], ln( + 0,05) ΕΠΑ year 8

23 Συµπέρσµ: Με την συγκεκριµένη άσκηση διπιστώνουµε ότι η προσθήκη µονωτικού υλικού σε µι εκτεθειµένη οροφή µπορεί ν µειώσει την πυκνότητ θερµορροής κόµη κι κτά 80 %. Συγκρίνοντς το οικονοµικό όφελος που έχουµε πό την προσθήκη µονωτικού υλικού σε έν κτίριο που βρίσκετι στην Αθήν σε σχέση µε το κόστος γι την προσθήκη υτή, βλέπουµε ότι κάνουµε πόσβέση (µε έν ποπληθωρισµένο επιτόκιο 5%) του ρχικού κόστους επένδυσης σε 7 περίπου χρόνι. Αν η οροφή σε λιγότερο διάστηµ πό τ 7 χρόνι έχει πάψει ν είνι εκτεθειµένη, λόγω νέγερσης ενός επιπλέον ορόφου, τότε η προσθήκη µόνωσης χάνει την χρησιµότητά της, άρ δεν κτφέρνουµε ν ποσβέσουµε το ρχικό κόστος της επένδυσης. Στην περίπτωση όµως που η προσθήκη µόνωσης γίνετι σε µι οροφή όπου υπάρχει ήδη µόνωση τοποθετηµένη µέσ στο οπλισµένο σκυρόδεµ, (τύπου Z llner) τότε η µείωση της πυκνότητς θερµορροής είνι περίπου ίση µε 63 %. Το κόστος που θ έχει τώρ η επιπλέον προσθήκη µόνωσης σε σχέση µε το οικονοµικό όφελος που θ έχουµε είνι πολύ µεγλύτερο, µε ποτέλεσµ ο χρόνος στον οποίο θ κάνουµε πόσβεση ν είνι πολύ µεγάλος. Γι το λόγο υτό δεν δικιολογείτι η επιπλέον µόνωση σε µι οροφή που υπάρχει ήδη µόνωση, διότι η επιπλέον εξοικονόµηση σε σχέση µε το κόστος της επένδυσης είνι πολύ µικρή. 9

24 Μελέτη η. Θερµικές πώλειες οροφής ( Με ψευδοροφή) ιερεύνηση γι το βέλτιστο πάχος µόνωσης. Στην γορά διτίθεντι προκτσκευσµένες θερµοµονωµένες πλάκες - πάνελ (Θ/Π), γι χρησιµοποίησή τους στην κτσκευή ψευδοροφών (εσωτ. Χώρου). Οι πλάκες ποτελούντι πό έν στρώµ ελφρού σκυροδέµτος (µε νάµικτ δρνή), πάχους c πάνω στο οποίο έχει κτάλληλ επικολληθεί διογκωµένο µονωτικό υλικό, πάχους 3 c. Οι Θ/Π τοποθετούντι ως ψευδοροφή, σε θερµινόµενο κτάστηµ, εµβδού 00 (η πλευρά µε το ελφρό σκυρόδεµ προς τον χώρο). Η θερµοκρσί του χώρου θ διτηρείτι στους 0 C, ότν η θερµοκρσί του εξωτερικού περιβάλλοντος είνι,5 C. Ν µελετηθεί η θερµική συµπεριφορά των Θ/Π στις πρκάτω περιπτώσεις κι συγκεκριµέν: Α. εχόµστε ότι το κενό πάνω πό τις Θ/Π είνι έρς φυσικά κινούµενος (περίπου όπως κι µέσ σ έν δωµάτιο), που έχει στθερή θερµοκρσί 5 C. Ζητούντι οι πώλειες θερµότητς πό την οροφή κθώς κι η θερµοκρσί στη διχωριστική επιφάνει των δύο υλικών των Θ/Π. [Χρησιµοποιείστε τους συντελεστές µετβίβσης της θερµότητς (συνγωγής) πό τον σχετικό Πίνκ]. Β. εχόµστε ότι το κενό πάνω πό τις Θ/Π είνι έρς στθερής θερµοκρσίς πάλι 5 C, λλά θεωρούµε ότι υτός κινείτι σηµντικά κι, γι υτό το λόγο, εκτιµούµε ότι ο συντελεστής µετβίβσης της θερµότητς (συνγωγής) πό το θερµοµονωτικό υλικό προς τον έρ υτόν θ έχει τιµή 4 W/. Ζητούντι οι νέες πώλειες θερµότητς πό την οροφή. Γ. Στην πργµτικότητ πάνω πό τις πλάκες υπάρχει διάκενο - στρώµ σχετικά ήρεµου έρ, πάχους 0 c, κι πάνω π υτό υπάρχει η τελική πλάκ της οικοδοµής, πό οπλισµένο σκυρόδεµ (Β5), πάχους 5c. Ζητούντι οι πργµτικές πώλειες θερµότητς πό την οροφή κθώς κι η µικρότερη θερµοκρσί στο διάκενο έρ. Ποι πό τις πρδοχές ήτν πλησιέστερ στην πργµτικότητ : η Α ή η Β; θ 5 C φυσική κίνηση έρ θ 0 C θ 5 C ρεύµ έρ θ 0 C θπ,5 C θ 0 C Θ/Π Θ/Π δικενο ήρεµου έρ Θ/Π 5 0 0

25 . Στην περίπτωση Γ, ν γίνει το διάγρµµ µετβολής των θερµικών πωλειών, σε συνάρτηση µε το πάχος του διογκωµένου µονωτικού υλικού των πλκών. (Πάχος πό 0 έως 7 c-νάc). Γι ποιο πάχος µονωτικού ικνοποιείτι η πίτηση του Κνονισµού Θερµοµόνωσης Κτηρίων, ως προς τον συντελεστή θερµοπερτότητς της οροφής; Ε. Στην περίπτωση Γ, θεωρείστε ότι το κτάστηµ είνι δυντόν ν βρίσκετι στο Ηράκλειο ή στην Αθήν ή στη Θεσσλονίκη. Ν γίνει διεύρηνση γι το οικονοµικό πάχος του διογκωµένου µονωτικού υλικού των πλκών, σε κάθε πόλη, λµβάνοντς υπόψη: - Κόστος των µονωτικών πλκών, τοποθετηµένων : 3+4 x ( / ), όπου x το πάχος του µονωτικού υλικού σε c. - Επιτόκιο δνεισµού (ποπληθωρισµένο) 7%. - Κόστος κυσίµου 0,60 /L. - Βθµός πόδοσης της εγκτάστσης θέρµνσης 80%. - ιάρκει τεχνολογικής ζωής της θερµοµόνωσης Ν 5 έτη Ερώτηµ Α: θ 5 C φυσική κίνηση έρ θ Θ/Π θ 0 C ) θ 5 C Φυσική κίνηση έρ 3 ιογκωµένο µονωτικό υλικό Ελφρύ σκυρόδεµ θ Θ/Π θ 0 C β) Σχήµ. )Τοµή της οροφής µε µε φυσική κίνηση έρ µετξύ της θερµοµονωµένης πλάκς - πάνελ κι της οροφής, β)λεπτοµέρι (τοµή) της Θ/Π. Οι πώλειες θερµότητς της οροφής θ υπολογισθούν σύµφων µε τον τύπο: Q οροφής οροφής F (θ θ ) (Εξίσωση ) Q: Απώλειες θερµότητς οροφής kcal/ h Κ οροφής : Συντελεστής θερµοπερτότητς οροφής kcal/ h C F: Επιφάνει οροφής κτστήµτος θ : Θερµοκρσί στο χώρο του κτστήµτος C θ : Θερµοκρσί κινούµενου έρ C

26 Στην περίπτωση υτή νάµεσ στην θερµοµονωµένη πλάκ - πάνελ κι την οροφή υπάρχει φυσικά κινούµενος έρς θερµοκρσίς 5 C. Λόγω της ύπρξης υτής οι πώλειες της οροφής θ στηρίζοντι στην θερµοκρσική διφορά που υπάρχει µετξύ της θερµοκρσίς στο χώρο του κτστήµτος κι της θερµοκρσίς µετξύ της Θ/Π κι της οροφής. Επίσης ο συντελεστής θερµοπερτότητς που θ υπολογιστεί θ φορά µόνο την Θ/Π διότι είνι το µόνο υλικό που πρεµβάλλετι µετξύ του χώρου του κτστήµτος κι του κενού που υπάρχει. Ο συντελεστής θερµοπερτότητς θ υπολογιστεί σύµφων µε την πρκάτω σχέση: ροφής (Εξίσωση ) δ δ λ λ i Στρώσεις d () λ (kcal/ h C). ιογκωµένο µονωτικό υλικό 0,03 0,035. Ελφρύ σκυρόδεµ (νάµικτ δρνή) 0,0 0,50 Οι συντελεστές θερµικής γωγιµότητς βρίσκοντι πό τον πίνκ Α του πτήµτος. i : Εσωτερικός συντελεστής θερµικής µετάβσης kcal/ h C 0 : Συντελεστής θερµικής µετάβσης στο κενό πάνω πό την Θ/Π kcal/ h C δ : Πάχος στρώµτος διογκωµένου συνθετικού υλικού δ : Πάχος στρώµτος ελφρού σκυροδέµτος µε νάµικτ δρνή λ, : Συντελεστής θερµικής γωγιµότητς ντίστοιχων υλικών kcal/h C Από τον Πίνκ Α3 του πρρτήµτος βρίκµε ότι i 7 kcal/ h C κι 0 7 kcal/ h C. Αντικθιστώντς στην εξίσωση () τ δεδοµέν µς προκύπτουν τ πρκάτω: 0 δ λ λ i 0 ροφής 7 0,03 0,035 0,50 7 i kcal /, δ + λ δ kcal / h kcal / h kcal / h 0,0 h δ + λ C, C C, C, + 0 ροφής 7 0, ,035 0,0 0, ,860 kcal/ h C οροφής 0,860 kcal/ h C

27 Οι πώλειες της οροφής σύµφων µε την εξίσωση () είνι: Q οροφής F οροφής 0,860 Fοροφής 00, θ 5 C οροφής (θ θ ) h C θ 0 C kcal / Q 0, (0 5) 580 kcal / h Q 580 kcal/h Η θερµοκρσί στην διχωριστική επιφάνει των δύο υλικών των Θ/Π θ βρεθεί πό την πρκάτω σχέση λύνοντς ως προς θ. (θ θ ) Fοροφής Q (Εξίσωση 3) δ + i λ Q: Απώλειες θερµότητς οροφής kcal/h θ : Θερµοκρσί στο χώρο του κτστήµτος C θ : Θερµοκρσί στη διχωριστική επιφάνει των υλικών της Θ/Π C F: Επιφάνει οροφής κτστήµτος i : Εσωτερικός συντελεστής θερµικής µετάβσης kcal/ h C δ : Πάχος στρώµτος ελφρού σκυροδέµτος µε νάµικτ δρνή λ : Συντελεστής θερµικής γωγιµότητς ελφρού σκυροδέµτος kcal/h C Λύνοντς ως προς το θ κι ντικθιστώντς στην εξίσωση (3) κτλήγουµε στ πρκάτω ποτελέσµτ. δ Fοροφής θ Q ( + ) λ i θ F οροφής ο Fοροφής 00, θ 0 C θ Q 580 kcal/h, δ 0,0 ο λ 0,50 kcal/h C ο 7 kcal/h C i ( ,0 ) 0,50 7,90 θ C 7,90 C 3

28 Ερώτηµ Β: θ 5 C ρεύµ έρ θ Θ/Π θ 0 C Σχήµ. Τοµή της οροφής µε ρεύµ έρ µετξύ της θερµοµονωµένης πλάκς - πάνελ κι της οροφής. Στο περίπτωση υτή νάµεσ στην θερµοµονωµένη πλάκ - πάνελ κι την οροφή υπάρχει ρεύµ έρ θερµοκρσίς 5 C. Επειδή δεν είνι φυσικά κινούµενος έρς χρκτηρίζετι πό διφορετικό συντελεστή µετβίβσης της θερµότητς. Σύµφων µε τ δεδοµέν ο συντελεστής µετβίβσης της θερµότητς εκτιµάτι ίσος µε : 0 4 W/ ή 0,04 kcal/h C Ο συντελεστής θερµοπερτότητς σύµφων µε την εξίσωση () είνι ίσος µε: δ λ λ i 0 ροφής 7 0,03 0,035 0,50 kcal /,04 i, δ + λ δ h kcal / h kcal / h kcal / δ + λ C, 0,0 C, h C, + C 0 ροφής 7 + 0,907 0,03 0,035 kcal/ 0, ,50 h C,04 ροφής 0,907 kcal/ h C Οι πώλειες θερµότητς της οροφής θ υπολογισθούν σύµφων µε την εξίσωση () κι γι τ δεδοµέν υτής της περίπτωσης προκύπτουν τ πρκάτω ποτελέσµτ: Q οροφής F οροφής 0,907 Fοροφής 00, θ 5 C οροφής (θ θ ) h C θ 0 C kcal / Q 0, (0 5) 7 kcal / h Q 7 kcal/h 4

29 Η θερµοκρσί στην διχωριστική επιφάνει των δύο υλικών των Θ/Π θ βρεθεί λύνοντς ως προς το θ την εξίσωση (3) κι ντικθιστώντς. θ F Q 7 λ F οροφής οροφής 00 0,50 θ F, kcal/h, Q ( οροφής kcal/h θ δ C i δ + λ 0 C 0,0 i 7 ) kcal/h θ C ( ,0 ) 0,50 7,78 C Ερώτηµ Γ: θ 7,8 C θ3 θ3,5 C 5 δικενο ήρεµου έρ 0 Θ/Π θ 0 C Σχήµ 3. Τοµή της οροφής µε διάκενο ήρεµου έρ φυσική κίνηση έρ µετξύ της θερµοµονωµένης πλάκς - πάνελ κι της οροφής. Στην περίπτωση υτή έχουµε διάκενο ήρεµου έρ το οποίο χρκτηρίζετι πό µι συγκεκριµένη ντίστση θερµοδιφυγής κι δεν έχει στθερή θερµοκρσί. Έτσι η θερµοκρσική διφορά που θ δηµιουργεί τις πώλειες θερµότητς θ είνι µετξύ της θερµοκρσίς στο εσωτερικό του κτστήµτος κι της θερµοκρσίς του περιβάλλοντος. Ο συντελεστής θερµοπερτότητς θ υπολογιστεί σύµφων µε την πρκάτω σχέση: ροφής (Εξίσωση 4) δ δ δ3 δ λ λ λ λ i Στρώσεις d () λ (kcal/ h C). Οπλισµένο σκυρόδεµ Β5 0,5,75. ιάκενο (πό πίνκ Κ.Θ.Κ) 0,0 δ/λ0,9( h C/kcal) 3. ιογκωµένο µονωτικό υλικό 0,03 0, Ελφρύ σκυρόδεµ (νάµικτ δρνή) 0,0 0,

30 i : Εσωτερικός συντελεστής θερµικής µετάβσης kcal/ h C 0 : Συντελ. θερµικής µετάβσης εξωτερικά πάνω πό την οροφή kcal/ h C δ : Πάχος στρώµτος οπλισµένου σκυροδέµτος δ : Πάχος διάκενου δ 3 : Πάχος στρώµτος διογκωµένο µονωτικού υλικού δ 4 : Πάχος στρώµτος ελφρού σκυροδέµτος (νάµικτ δρνή) λ,,3,4 Συντελεστές θερµικής γωγιµότητς ντίστοιχων υλικών kcal/h C Ο εσωτερικός συντελεστής θερµικής µετάβσης είνι ίσος µε i 7 kcal/ h C κι ο εξωτερικός συντελεστής 0 0 kcal/ h C (Από Πίνκ Α του πρρτήµτος ). Αντικθιστώντς στην εξίσωση (4) προκύπτει: δ δ λ λ λ i ροφής ,5 0,03,75 0,035 0,50 0 i kcal/h,, δ δ kcal/h kcal/h kcal/h kcal/h δ + + λ C, /λ 0,0 4 C C, 0,9 C δ λ C, δ λ 3 h δ 4 λ C/kcal ροφής 7 + 0,5,75 0,03 + 0, ,035 0,743 kcal/h C οροφής 0,743 kcal/ 0,0 0,50 + h C 0 Οι πώλειες θερµότητς της οροφής θ υπολογισθούν κι σε υτή την περίπτωση σύµφων µε την εξίσωση () έτσι προκύπτουν τ πρκάτω ποτελέσµτ: Q οροφής Fοροφής (θ θ ) οροφής 0,743 kcal / h C Fοροφής 00, θ 0 C θ θ 3,5 C Q 0, (0,5) 749 kcal / h Q 749 kcal/h Η µικρότερη θερµοκρσί στο διάκενο έρ είνι η θερµοκρσί που έχει το οπλισµένο σκυρόδεµ πό την πλευρά που είνι το διάκενο. Η θερµοκρσί υτή θ βρεθεί πό την πρκάτω σχέση λύνοντς ως προς θ 3. 6

31 Q (θ θ ) F 3 3 (Εξίσωση 5) δ + 0 λ Q: Απώλειες θερµότητς οροφής kcal/h θ 3 : Θερµοκρσί πάνω στην εσωτερική πλευρά του σκυροδέµτος C θ 3 : Θερµοκρσί περιβάλλοντος C F: Επιφάνει οροφής κτστήµτος 0 : Εξωτερικός συντελεστής θερµικής µετάβσης kcal/ h C δ : Πάχος στρώµτος οπλισµένου σκυροδέµτος λ : Συντελεστής θερµικής γωγιµότητς οπλισµένου σκυροδέµτος kcal/h C Η θερµοκρσί πάνω στην εσωτερική πλευρά του σκυροδέµτος θ βρεθεί πό την εξίσωση (5) λύνοντς ως προς το θ 3 κι ντικθιστώντς: θ F Q 749 δ λ 3 0 (F οροφής 0,5,75 0 οροφής 00 kcal/h, θ 3) + Q ( θ 3 kcal/h kcal/h F, οροφής,5 C C C 0 δ + ) λ θ (00,5) ( ,5 ),75 3,37 C θ 3 3,4 C Η πρδοχή που ήτν πλησιέστερ στην πργµτικότητ πό τις δύο περιπτώσεις ήτν η περίπτωση Β. Ερώτηµ : Στο ερώτηµ πρέπει ν γίνει το διάγρµµ µετβολής των θερµικών πωλειών σε συνάρτηση µε το πάχος του διογκωµένου µονωτικού υλικού µετβάλλοντς το πό 0 έως 6c - νά c. Το διάγρµµ υτό θ γίνει εφρµόζοντς τ δεδοµέν της Γ περίπτωσης. Γι ν προκύψει το πρκάτω διάγρµµ θ πρέπει ν βρίσκουµε κάθε φορά το συντελεστή θερµοπερτότητς σύµφων µε την εξίσωση 4 κι λλάζοντς το πάχος του µονωτικού πό 0 έως 7 c - νά c. Στην συνέχει θ βρίσκουµε γι κάθε συντελεστή θερµοπερτότητς τις ντίστοιχες πώλειες σύµφων µε την εξίσωση (). Ο πίνκς που προκύπτει κι το διάγρµµ προυσιάζοντι πρκάτω. 7

32 δ (c) (kcal/ h C) Q (kcal/ h) 0,00, ,0, ,0 0, ,03 0, ,04 0, ,05 0,5 93 0,06 0, ,07 0, Πίνκς.Υπολογισµού των θερµικών πωλειών γι πάχος µονωτικού υλικού πό 0 έως 7 c - νά c. ιάγρµµ µετβολής θερµικών πωλειών σε συνάρτηση µε το πάχος του µονωτικου υλικού Θερµικές πώλειες Q (kcal/h) ,00 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 Πάχος του µονωτικού υλικού () ιάγρµµ. Μετβολή των θερµικών πωλειών σε συνάρτηση µε το πάχος του µονωτικού υλικού. Οι τιµές που δίνουµε στο πάχος του µονωτικού υλικού είνι πό 0 έως 7c - νά c. Σύµφων µε των Κνονισµό Θερµοµόνωσης Κτιρίων ο συντελεστής θερµοπερτότητς της οροφής νεξάρτητ πό την ζώνη πρέπει ν είνι ίσος µε Κ οροφ. 0,4 kcal/ h C. Από τον πίνκ βλέπουµε ότι το πάχος του µονωτικού γι το οποίο το Κ οροφ. 0,4 kcal/ h C είνι τ 7 c. 8

33 Ερώτηµ Ε. Στο ερώτηµ ζητείτι ν διερευνήσουµε ποιό είνι το βέλτιστο πάχος µόνωσης νάλογ µε την τοποθεσί που θ µπορούσε ν βρίσκετι το κτάστηµ. Η πιό ξιόπιστη µέθοδος που θ µς οδηγούσε σε σφλέστερ συµπεράσµτ είνι η χρήση της Κθράς Προύσς Αξίς (Κ.Π.Α.).Ο τύπος που θ µς δώσει την Κ.Π.Α. είνι ο πρκάτω: Ν ( + r) Κ.Π.Α Α.Κ.Ε + Ν r ( + r) Κ.Ε.Ο.Ο (Εξίσωση 6) Κ.Π.Α: Κθρά Προύσ Αξί Α.Κ.Ε: Αρχικό Κόστος Επένδυσης r: Αποπληθωρισµένο επιτόκιο δνεισµού Ν: Έτη Κ.Ε.Ο.Ο: Κθρό Ετήσιο Οικονοµικό Όφελος Το ρχικό κόστος επένδυσης σύµφων µε τ δεδοµέν της άσκησης, θ δίνετι πό την σχέση x ( / ), όπου x το πάχος του µονωτικού σε c, πολλπλσιάζοντς το κάθε φορά µε το εµβδόν της οροφής. Ο µόνος άγνωστος που µένει στον πρπάνω τύπο είνι το Κθρό Ετήσιο Οικονοµικό Όφελος. Γι ν µπορέσουµε ν το βρούµε θ κολουθούµε κάθε φορά την πρκάτω διδικσί: Θ βρίσκουµε τις πώλειες της οροφής χωρίς την τοποθέτηση µόνωσης κι µε την τοποθέτηση της µόνωσης. Οι ολικές ενεργεικές πώλειες της οροφής χωρίζοντι στις θερµικές πώλειες λόγω θερµοπερτότητς (γωγιµότητ) κι στις θερµικές πώλειές λόγω ερισµού. Ε ολ. Ε +Ε (Εξίσωση 7) Ε ολ. : Ολική ενεργεική πώλει. Ε. : Θερµικές ενεργεικές πώλειες λόγω γωγιµότητς Ε : Θερµικές ενεργεικές πώλειες λόγω ερισµού Στην περίπτωση υτή επειδή η οροφή δεν έχει νοίγµτ δεν έχουµε πώλειες λόγω ερισµού. Θερµικές ενεργεικές πώλειες λόγω γωγιµότητς χωρίς την τοποθέτηση µόνωσης: Ε Κ ορ F ολ DD h 4 (Εξίσωση 8) Ε. : Θερµικές ενεργεικές πώλειες λόγω γωγιµ. χωρίς µόνωση kcal/y Κ ορ : Συντελεστής θερµοπερτότητς χωρίς την ύπρξη µόνωσης kcal/h C. F ολ. : Συνολική επιφάνει οροφής DD h : Βθµοηµέρες θέρµνσης της πόλης που βρίσκετι το κτίριο C day 9

34 Θερµικές ενεργεικές πώλειες λόγω γωγιµότητς µε την τοποθέτηση µόνωσης: Ε Κ ορ F ολ DD h 4 (Εξίσωση 9) Ε. : Θερµικές ενεργεικές πώλειες λόγω γωγιµ. µε την µόνωση kcal/y Κ ορ : Συντελεστής θερµοπερτότητς µε την ύπρξη µόνωσης kcal/h C. F ολ. : Συνολική επιφάνει DD h : Βθµοηµέρες θέρµνσης της πόλης που βρίσκετι το κτίριο C day Η διφορά των πωλειών υτών θ µς δώσει την εξοικονοµούµενη ενέργει Ε που έχουµε τον χρόνο. Το εξοικονοµούµενο κύσιµο θ βρίσκετι πό την πρκάτω σχέση: Ε G n Θ κ (Εξίσωση 0) G. : Εξοικονόµηση κυσίµου kg/y Ε. : Εξοικονόµηση ενέργεις kcal/ y Θ κ : Κτωτέρ θερµογόνος δύνµη κυσίµου kcal/ kg n: Ολικός βθµός πόδοσης της εγκτάστσης Η κτωτέρ θερµογόνος δύνµη (Από τον Πίνκ Α7 του πρρτήµτος ) του κυσίµου σε kcal /L είνι ίση µε: Θ κ 050 kcal/kg 0,84 kg/l 860 kcal/l. Θ κ 860 kcal/l Το ετήσιο οικονοµικό όφελος θ προκύπτει πό τον πολλπλσισµό του κύσιµου που εξοικονοµούµε επί την τιµή του κυσίµου πό τ δεδοµέν µς. Τ ποτελέσµτ που προκύπτουν είνι τ πρκάτω. Γι το Ηράκλειο οι βθµοηµέρες θέρµνσης είνι: DD h 78 Cd/y. d Κ οροφ οροφ E E Ε G τ κ EEO A.Κ.Ε Κ.Π.Α () (kcal/ h C) (kcal/ h C) (kcal/y) (kcal/y) (kcal/y) (Lt/y) ( /Lt) ( /y) ( ) ( ) 0,0,047, ,4 0,60 46, ,9 0,0,047 0, ,6 0,60 360, ,57 0,03,047 0, ,6 0,60 46, ,86 0,04,047 0, ,5 0,60 468, ,57 0,05,047 0, ,0 0,60 498, ,86 0,06,047 0, , 0,60 50, ,86 0,07,047 0, ,4 0,60 537, ,43 0,08,047 0, ,3 0,60 55, ,7 0,09,047 0, ,3 0,60 56, ,00 Πίνκς. Υπολογισµός Κθράς Προύσς Αξίς γι την πόλη του Ηρκλείου. 30

35 Γι την Αθήν οι βθµοηµέρες θέρµνσης είνι: DD h 0 Cd/y. d Κ οροφ οροφ E E Ε G τ κ EEO A.Κ.Ε Κ.Π.Α () (kcal/ h C) (kcal/ h C) (kcal/y) (kcal/y) (kcal/y) (Lt/y) ( /Lt) ( /y) ( ) ( ) 0,0,047, ,0 0,60 350, ,7 0,0,047 0, ,0 0,60 5, ,00 0,03,047 0, ,7 0,60 605, ,00 0,04,047 0, , 0,60 665, ,43 0,05,047 0, ,6 0,60 707, ,86 0,06,047 0, , 0,60 739, ,7 0,07,047 0, ,4 0,60 763, ,9 0,08,047 0, ,9 0,60 78, ,86 0,09,047 0, ,5 0,60 798, ,9 Πίνκς. Υπολογισµός Κθράς Προύσς Αξίς γι την πόλη της Αθήνς. Γι την Θεσσλονίκη οι βθµοηµέρες θέρµνσης είνι: DD h 75 Cd/y. d () Κ οροφ οροφ (kcal/ h C) (kcal/ h C) E (kcal/y) E (kcal/y) Ε (kcal/y) G (Lt/y) τ κ EEO A.Κ.Ε ( /Lt) ( /y) ( ) Κ.Π.Α ( ) 0,0,047, ,6 0,60 544, ,43 0,0,047 0, , 0,60 796, ,4 0,03,047 0, ,5 0,60 940, ,7 0,04,047 0, ,8 0,60 034, ,43 0,05,047 0, , 0,60 099, ,4 0,06,047 0, ,9 0,60 48, ,43 0,07,047 0, ,4 0,60 86, ,4 0,08,047 0, ,9 0,60 6, ,00 0,09,047 0, ,6 0,60 40, ,9 Πίνκς 3. Υπολογισµός Κθράς Προύσς Αξίς γι την πόλη της Θεσσλονίκης Συµπέρσµ: Οι συνθήκες του έρ που βρίσκετι µετξύ οροφής κι της ψευδοροφής επηρεάζουν σηµντικά τις πώλειες που έχουµε πό το χώρο. Συγκρίνοντς την περίπτωση που ο έρς κινείτι φυσικά µε την περίπτωση που ο έρς κινείτι σν ρεύµ έρ βλέπουµε ότι περισσότερες πώλειες έχουµε ότν ο έρς κινείτι σν ρεύµ έρ. Αυτό συµβίνει διότι ο συντελεστής µετβίβσης θερµότητς ότν ο έρς κινείτι είνι µεγλύτερος. Οι πργµτικές συνθήκες όµως που επικρτούν είνι πολύ διφορετικές σε σχέση µε τις δύο προηγούµενες περιπτώσεις που συγκρίνµε. Οι πώλειες που έχουµε στις πργµτικές συνθήκες είνι κόµ µεγλύτερες κι πό την περίπτωση που είχµε κίνηση του έρ σν ρεύµ, που είνι κι η πλησιέστερη περίπτωση πό τις δύο στην πργµτικότητ. Αυτό συµβίνει διότι πρά την ντίστση θερµοδιφυγής που προσθέτει το διάκενο του έρ υτό δεν ντιστθµίζετι µε την µεγάλη θερµοκρσική διφορά που έχουµε (εσωτερικού κι εξωτερικού χώρου), την µικρή 3

36 ντίστση θερµοδιφυγής του σκυροδέµτος κι τον συντελεστή µετβίβσης θερµότητς του περιβάλλοντος που είνι υξηµένος. ιερευνώντς πως επηρεάζοντι οι πώλειες πό την οροφή σε συνάρτηση µε το πάχος του µονωτικού υλικού που προσθέτουµε προκύπτει το ιάγρµµ (). Aπό το ιάγρµµ () βλέπουµε ότι η µείωση των πωλειών είνι νάλογη της ύξησης του µονωτικού υλικού. Γι ν τηρείτι ο Κ.Θ.Κ. που ορίζει συντελεστή θερµοπερτότητς γι την οροφή Κ οροφ. 0,4 kcal/ h C (νεξάρτητ πό ζώνη στην οποί βρίσκετι η οροφή) θ πρέπει ν τοποθετήσουµε 7 c µονωτικού υλικού. Στην συνέχει διερευνώντς ποιο είνι το βέλτιστο πάχος της µόνωσης γι πόλεις που βρίσκοντι στις τρεις διφορετικές κλιµτολογικές ζώνες που χρκτηρίζουν την Ελλάδ κι µε κριτήριο την Κ.Π.Α. (Η Κ.Π.Α. έχει υπολογιστεί γι 5 χρόνι τεχνολογικής ζωής του µονωτικού υλικού κι ποπληθωρισµένο επιτόκιο 7%) βλέπουµε ότι: Α). Γι το Ηράκλειο, µι πόλη που βρίσκετι στην Α ζώνη, η µέγιστη Κ.Π.Α. άρ κι το βέλτιστο πάχος µονωτικού υλικού επιτυγχάνοντι γι 3 c µονωτικού υλικού (Κ.Π.Α ,86 ). Β). Γι την Αθήν, µι πόλη που βρίσκετι στην Β ζώνη, η µέγιστη Κ.Π.Α. άρ κι το βέλτιστο πάχος µονωτικού υλικού επιτυγχάνοντι γι 4 c µονωτικού υλικού (Κ.Π.Α ,43 ). Γ). Γι την Θεσσλονίκη, µι πόλη που βρίσκετι στην Γ ζώνη, η µέγιστη Κ.Π.Α. άρ κι το βέλτιστο πάχος µονωτικού υλικού επιτυγχάνοντι γι 5 c µονωτικού υλικού (Κ.Π.Α..3,4 ). Γι ν τηρείτι ο Κ.Θ.Κ πρέπει ν έχουµε όµως 7 c µονωτικού υλικού νεξάρτητ πό την ζώνη. Η Κ.Π.Α. γι 7 c µονωτικού υλικού είνι ρκετά µικρότερη τόσο γι το Ηράκλειο όσο κι γι την Αθήν κι την Θεσσλονίκη..000 ιάγρµµ Κ.Π.Α. µε το ντίστοιχο πάχος µονωτικού υλικόυ γι το Ηράκλειο, την Αθήν, κι την Θεσσλονίκη Ηράκλειο Αθήν Θεσσλονίκη Κ.Π.Α. ( ) Πάχος µονωτικού υλικού (c) ιάγρµµ. Κ.Π.Α. µε το ντίστοιχο πάχος µονωτικού υλικού γι το Ηράκλειο, την Αθήν, κι την Θεσσλινίκη. 3

37 Μελέτη 3 η. ιµόρφωση δπέδου σε δπεδοθέρµνση Θερµικές ροές προς τ πάνω κι προς τ κάτω Βέλτιστη θερµοµόνωση. Το δάπεδο του σχήµτος νήκει σε κτίριο που θερµίνετι µε εγκτάστση θέρµνσης δπέδου (δπεδοθέρµνση). Μέσ στο ενδιάµεσο στρώµ, πάχους 6, έχουν τοποθετηθεί κτάλληλ οι πλστικοί σωλήνες κυκλοφορίς του θερµντικού νερού. Έτσι, το στρώµ υτό ποκτά ενιί σ όλη τη µάζ του θερµοκρσί, οπότε θερµότητ µετβιβάζετι τόσο προς τον θερµινόµενο χώρο (ωφέλιµη) όσο κι προς το έδφος (πώλει). Σ υτές τις θερµάνσεις, η µέγιστη επιτρεπόµενη θερµοκρσί της επιφάνεις του δπέδου είνι 9 C, ενώ ο ολικός συντελεστής µετβίβσης της θερότητς πό το δάπεδο στο θερµινόµενο χώρο λµβάνετι,67 W/. ίνοντι: - Συντελ. θερµικής γωγιµότητς πλστικού : 0,35 W/ - Συντελ. θερµικής γωγιµότητς θερµοµπετόν :,38 W/ - Θερµοκρσί χώρου : 0 C - Θερµοκρσί εδάφους : 3 C - Πλστικοί σωλήνες θερµού νερού : Εξωτ. διάµετρος 6 Πάχος - Συντελεστής εκποµπής του πλστικού PVC : 0,90 Ζητούντι : Α. Η (µέγιστη) πυκνότητ θερµορροής που µπορεί ν µετβιβσθεί πό το σύστηµ προς το χώρο, η θερµοκρσί στην άνω πλευρά του θερµοµπετόν κι η θερµοκρσί που ποκτά το στρώµ τοποθέτησης των θερµντικών σωλήνων. Β. Πόσο ποσοστό πό την πυκνότητ θερµοροής (του Α. ερωτήµτος) µετβιβάζετι στο χώρο µε κτινοβολί. (θεωρείστε ότι τ τοιχώµτ του χώρου έχουν την ίδι θερµοκρσί µε τον έρ του χώρου). Γ. Αν επιθυµούµε η πυκνότητ θερµορροής προς το έδφος ν είνι το 0% της θερµοροής προς το χώρο, πόσο πρέπει ν είνι το πάχος του µονωτικού υλικού (κάτω πό το στρώµ τοποθέτησης των θερµντικών σωλήνων).. Ν γίνει το διάγρµµ µετβολής του ποσοστού πωλειών προς το έδφος σε συνάρτηση µε το πάχος του µονωτικού υλικού. (Τιµές πό έως 0 c νά c). E. Ν βρεθεί το βέλτιστο πάχος της µόνωσης υτής, µε το δεδοµένο ότι το θερµό νερό της εγκτάστσης πράγετι σε λέβητ µε κυστήρ πετρελίου ντίζελ, µε βθµό πόδοσης 80%. Το κόστος πετρελίου είνι 0,55 ευρώ/l κι η εγκτάστση λειτουργεί 000 ώρες το έτος. Θεωρείστε µικτό (ποπληθωρισµένο) ετήσιο επιτόκιο 8% κι διάρκει ζωής 5 έτη. Το κόστος της µόνωσης είνι 6+5 x /, όπου x το πάχος του µονωτικού σε c. 33

38 Πλστικό PVC Θερµοµπετόν Στρώµ θερµ. σωλήνων x Θερµοµονωτικό υλικό (σύνθετο διογκωµένο) Έδφος Σχήµ. Τοµή εγκτάστσης δπέδου θέρµνσης (οι διστάσεις σε ). Λύση: q θ 3 θ 0 C q ax θ θ 0ax 9 C Πλστικό PVC Θερµοµπετόν Στρώµ θερµ. σωλήνω θ 3 C qεδφ. x Θερµοµονωτικό υλικό (σύνθετο διογκωµένο) Έδφος Σχήµ. Τοµή εγκτάστσης δπέδου θέρµνσης κι συνθήκες που επικρτούν στο χώρο. Ερώτηµ Α: Η µέγιστη πυκνότητ θερµορροής που θ µετβιβστεί πό το σύστηµ προς το χώρο είνι υτή που θ φύγει πό την επιφάνει του πλστικού ότν υτό έχει την µέγιστη θερµοκρσί 9 C κι θ µετδοθεί µέσω της συνγωγής στο χώρο. Η πυκνότητ θερµορροής υτή θ δοθεί πό την πρκάτω εξίσωση. q ax (θ 0 θ ) (Εξίσωση ) q ax: Η µέγιστη πυκνότητ θερµορροής πό το σύστηµ στο χώρο W/ : Ολικός συντ. µετβίβσης θερµότητς πό το δάπεδο στο χώρο W/ Κ θ 0 : Θερµοκρσί πάνω στην επιφάνει του πλστικού C θ : Θερµοκρσί χώρου C Αντικθιστώντς στην εξίσωση () προκύπτει: 34

39 q ax (θ 0 θ ),67 W/ θ 0 9 C, θ 0 C q ax,67 (9 0) 05,03 W/ q 05 ax W/ Η θερµοκρσί που ποκτά η άνω επιφάνει του θερµοµπετόν θ βρεθεί πό τον πρκάτω τύπο µετάδοσης µε γωγή γι επίπεδ τοιχώµτ λύνοντς ως προς θ. q θ θ 0 ax (Εξίσωση ) δ λ q ax : Η µέγιστη πυκνότητ θερµορροής πό το σύστηµ στο χώρο W/ θ : Θερµοκρσί πάνω στην άνω πλευρά του θερµοµπετόν C θ 0: Θερµοκρσί πάνω στην επιφάνει του πλστικού C δ : Πάχος του πλστικού λ : Συντελ. θερµικής γωγιµότητς πλστικού W/Κ Λύνοντς την εξίσωση () ως προς θ κι ντικθιστώντς προκύπτει: θ q ax (q ax 05 δ ) + θ λ W/ λ 0,35 W/,, 0 δ θ 0 0,004 9 C, θ (05 0,004 ) 0, C θ 3 C Η πυκνότητ θερµορροής µπορεί ν δοθεί κι πό την πρκάτω σχέση λµβάνοντς υπ όψιν την γωγή µετξύ των τοιχωµάτων κι την συνγωγή πό το σύστηµ στο χώρο. q θ θ 3 ax (Εξίσωση 3) δ δ + + λ λ q ax : Η µέγιστη πυκνότητ θερµορροής πό το σύστηµ στο χώρο W/ : Ολικός συντ. µετβ. θερµότ. πό το δάπεδο στον χώρο W/ θ 3 : Θερµοκρσί στρώµτος τοποθέτησης των σωλήνων C θ : Θερµοκρσί χώρου C δ : Πάχος του πλστικού λ : Συντελ. θερµικής γωγιµότητς πλστικού W/Κ δ : Πάχος του θερµοµπετόν λ : Συντελ. θερµικής γωγιµότητς του θερµοµπετόν W/Κ Λύνοντς ως προς θ 3 την εξίσωση (3) κι ντικθιστώντς προκύπτει: 35

40 θ q δ ( + λ δ + λ ) + θ 3 ax q ax 05 W/,,67 W/, δ 0,004 δ 0,045, λ 0,35 W/ λ,38 W/, θ 0 C Ερώτηµ Β: θ 3 05 (,67 0,004 0, ) , C 0,35,38 θ 3 34, C Γι ν βρούµε το ποσοστό της πυκνότητς θερµορροής που µετβιβάζετι στο χώρο µε κτινοβολί θ χρησιµοποιήσουµε την πρκάτω εξίσωση. 4 4 q ε Cµ (Θ0 Θ ) (Εξίσωση 4) q : Η πυκνότητ θερµ. µε κτινοβολί πό το πλστικό στο χώρο W/ ε : Συντελεστής εκποµπής του πλστικού Τ 0 : Απόλυτη θερµοκρσί πλστικού (Θ 0 Τ 0 /00) Κ Τ : Απόλυτη θερµοκρσί περιβάλλοντος (Θ Τ 0 /00) Κ Το Θ 0 είνι ίσο µε: Θ θ 0 0 θ Θ 9 C ,0 00 Θ 0 3,0 Κι το Θ είνι ίσο µε: θ + 73 Θ 00 Θ θ 0 C ,93 00 Θ,93 Αντικθιστώντς στην εξίσωση (4) προκύπτει: q ε Θ ε Cµ (Θ 0 Θ ) 0,90 Cµ 5,67 W/ 3,0, Θ,93 4 q 0,90 5,67 (3,0 4 4,93 ) 48,4 W/ q 48,4 W/ Το ποσοστό της πυκνότητς θερµορροής που µετβιβάζετι στο χώρο µε κτινοβολί θ δοθεί πό την σχέση: 36

41 q P % q ax (Εξίσωση 5) P%: Το ποσοστό της θερµορροής που µετβιβάζετι µε κτινοβολί % q : Η πυκνότητ θερµ. µε κτινοβολί πό το πλστικό στο χώρο W/ q ax : Η µέγιστη πυκνότητ θερµορροής που µετβιβάζει το σύστηµ W/ Αντικθιστώντς στην εξίσωση (5) προκύπτει: q P% q q ax 48,4 W/ q ax 05 W/ P% 48,4 0,46 05 P% 46 % Ερώτηµ Γ: Αν θέλουµε η πυκνότητ θερµορροής προς το έδφος ν είνι το 0% του ρεύµτος θερµότητς προς το χώρο τότε θ την βρούµε πό την πρκάτω εξίσωση. q εδφ. χωρ. q 0% (Εξίσωση 6) Αντικθιστώντς στην προηγούµενη εξίσωση προκύπτει: q q εδφ. χωρ. q χωρ. 05 0% W/ q εδφ. 05 0% 0,5 W/ q 0,5 εδφ. W/ Το πάχος που θ πρέπει ν έχει το µονωτικό υλικό γι ν έχουµε πώλειες προς το έδφος ίσες µε το 0% της πυκνότητ θερµορροής προς το χώρο θ βρεθεί πό την πρκάτω εξίσωση λύνοντς ως προς δ µ. q θ 3 εδφ. (Εξίσωση 7) δµ λ θ µ q εδφ. : Η πυκνότητ θερµορροής προς το έδφος W/ θ 3 : Θερµοκρσί στο στρώµ των θερµντικών σωλήνων C θ : Θερµοκρσί εδάφους C λ µ : Συντελεστής θερµικής γωγιµότητς µονωτικού W/ δ µ : Πάχος µονωτικού υλικού Λύνοντς την εξίσωση (7) ως προς δ µ κι ντικθιστώντς προκύπτει: 37

Θέρµανση Ψύξη ΚλιµατισµόςΙΙ

Θέρµανση Ψύξη ΚλιµατισµόςΙΙ Θέρµνση Ψύξη ΚλιµτισµόςΙΙ Ψυχροµετρί Εργστήριο Αιολικής Ενέργεις Τ.Ε.Ι. Κρήτης ηµήτρης Αλ. Κτσπρκάκης Ξηρόςκιυγρός τµοσφιρικόςέρς Ξηρόςκιυγρόςτµοσφιρικός έρς Ξηρός τµοσφιρικός έρς: ο πλλγµένος πό τους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ Κεφάλιο 2 ΤΟ ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ SOOW-SWAN Εισγωγή Η νάλυση της θεωρίς της οικονομικής μεγέθυνσης θ ξεκινήσει νλύοντς το πιο πλό δυνμικό υπόδειγμ

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i.

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i. . Πολυώνυμ η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βσικές έννοιες του πολυωνύμου. Ποιες πό τις πρκάτω πρστάσεις είνι πολυώνυμ του i. ii. iii. iv. v. vi. 5 Σύμφων με τον ορισμό πολυώνυμ του είνι οι πρστάσεις i,

Διαβάστε περισσότερα

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση.

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση. . Εθύγρµµη κίνηση - - ο ΓΕΛ Πετρούπολης. Χρονική στιγμή t κι χρονική διάρκει Δt Χρονική στιγμή t είνι η μέτρηση το χρόνο κι δείχνει πότε σμβίνει έν γεγονός. Χρονική διάρκει Δt είνι η διφορά δύο χρονικών

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ερωτήσεις - 4 κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.. Η ρχή της επλληλίς

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ. Τίτλος Διπλωματικής Εργασίας

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ. Τίτλος Διπλωματικής Εργασίας ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Τίτλος Διπλωμτικής Εργσίς «Οικονομοτεχνική ξιολόγηση της ενεργεικής νβάθμισης συμβτικών κτιρίων, με την εφρμογή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΥΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΕΙΣΟ ΗΜΑΤΟΣ

ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΥΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΕΙΣΟ ΗΜΑΤΟΣ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΚΕ ΟΝΙΣ ΤΜΗΜ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΘΗΗΤΗΣ ΚΩΣΤΣ ΕΛΕΝΤΖΣ ΣΧΕΤΙΚ ΜΕ ΤΙΣ ΚΜΠΥΛΕΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΙ Τ ΠΟΤΕΛΕΣΜΤ ΥΠΟΚΤΣΤΣΗΣ ΚΙ ΕΙΣΟ ΗΜΤΟΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ η: Συνρτήσεις ζήτησης κτά arshall Υπόθεση: Το χρηµτικό

Διαβάστε περισσότερα

Q T Q T. pdv. παραγόµενο έργο κατά την εκτόνωση αερίου: Μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας αέρα χωρίς µεταβολή όγκου και παραγωγή έργου.

Q T Q T. pdv. παραγόµενο έργο κατά την εκτόνωση αερίου: Μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας αέρα χωρίς µεταβολή όγκου και παραγωγή έργου. Ο 1 ος ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗΣ ΣΤΗΝ ΑΤΜΟΣΦΑΙΡΑ-1 σχετίζει τη µετβολή της θερµοκρσίς ενός ερίου µετηµετφορά ενέργεις µετξύ του ερίου κι του περιβάλλοντός του κι το πργόµενο/ποδιδόµενο έργο Q U W Q * *

Διαβάστε περισσότερα

Περιεκτικότητα στα εκατό κατά βάρος (% W/W): εκφράζει τα γραµµάρια της διαλυµένης ουσίας που περιέχονται σε 100 g διαλύµατος.

Περιεκτικότητα στα εκατό κατά βάρος (% W/W): εκφράζει τα γραµµάρια της διαλυµένης ουσίας που περιέχονται σε 100 g διαλύµατος. 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο 1. ΙΑΛΥΜΑΤΑ (ΠΕΡΙΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ - ΙΑΛΥΤΟΤΗΤΑ) Όπως νφέρµε διάλυµ είνι έν οµογενές µίγµ που ποτελείτι πό δύο ή περισσότερες χηµικές ουσίες. Περιεκτικότητ διλύµτος είνι η ποσότητ της διλυµένης

Διαβάστε περισσότερα

W W Q Q W + W + Q = = = = 1 α C.O.P. C.O.P. = + + = + C.O.P = = = 1 α C.O. H2 H2 C1 C2 C C C C Ψ1

W W Q Q W + W + Q = = = = 1 α C.O.P. C.O.P. = + + = + C.O.P = = = 1 α C.O. H2 H2 C1 C2 C C C C Ψ1 Αντλίες θερµότητς έρος-νερού υψηλών θερµοκρσιών δυο κυκλωµάτων συµπίεσης (σύστηµ cascade). (Από τον Νικόλο Γ. Τσίτσο. Νυπηγό Μηχνολόγο Ε.Μ.Π. Κθηγητ στην Ακδηµί Εµπορικού Νυτικού Ασπροπύργου) εν νκλύψµε

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΜΘΗΜ / ΤΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙ: 15/0/015 ΘΕΜ 1 ο Οδηγί: Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ερωτήσεις 1-4 κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Φυσικής Τμήματος Πληροφορικής και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λαμίας

Εργαστήριο Φυσικής Τμήματος Πληροφορικής και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λαμίας Εργστήριο Φυσικής Τμήμτος Πληροφορικής κι Τεχνολογίς Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λμίς Ηλεκτρικό φορτίο Εισγωγή στην έννοι του Ηλεκτρικού Φορτίου Κάθε σώμ περιέχει στην φυσική του κτάστση ένν πάρ πολύ μεγάλο ριθμό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΥΟ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΥΟ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΥΟ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Στην προηγούµενη ενότητ συζητήσµε µετσχηµτισµούς της µορφής Y g( µίς τυχίς µετβλητής Όµως σε έν πολυµετβλητό φινόµενο ενδέχετι ν θέλουµε ν µετσχηµτίσουµε τις ρχικές

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Στις ερωτήσεις -4 ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθµό της ερώτησης κι δίπλ σε κάθε ριθµό το γράµµ που ντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto. 1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11 Διαγράμματα Φάσεων

Κεφάλαιο 11 Διαγράμματα Φάσεων Κεφάλιο 11 Διγράμμτ Φάσεων Συχνά, σε πολλές διεργσίες, νμιγνύουμε δύο ή κι περισσότερ διφορετικά υλικά, κι πρέπει ν πντήσουμε στο ερώτημ: ποιά θ είνι η φύση του υλικού που θ προκύψει πό υτή την νάμιξη:

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλιο 5: Θεωρήμτ κυκλωμάτων Οι διφάνειες κολουθούν το ιλίο του Κων/νου Ππδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177 5 Θεωρήμτ κυκλωμάτων

Διαβάστε περισσότερα

3.3 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ

3.3 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ . ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Η γενική µορφή της β βάθµις εξίσωσης + β + γ 0, 0. Οι λύσεις της β βάθµις εξίσωσης β 4γ Η εξίσωση + β + γ 0, 0 Ότν > 0 Έχει δύο ρίζες άνισες, τις, Ότν 0 Έχει µί διπλή ρίζ,

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση. Μετρικές σχέσεις στ τρίγων Α Μετρικές σχέσεις σε ορθογώνιο τρίγωνο Α Προβολή σηµείου σε ευθεί Ορθή προβολή Α ονοµάζετι το ίχνος της κάθετης που φέρνουµε

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ Α) Προβλήμτ ευθύγρμμης ομλά επιτχυνόμενης κίνησης. ) Απλής εφρμογής τύπων Ακολουθούμε τ εξής βήμτ: i) Συμβολίζουμε τ δεδομέν κι ζητούμεν με τ ντίστοιχ σύμβολ που θ χρησιμοποιούμε.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Α. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Α. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ. ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ ΣΚΗΣΗ Ο πρκάτω πίνκς περιέχει τ πρόσηµ των λγεβρικών τιµών της τχύτητς κι της επιτάχνσης. Σµπληρώστε τον πρκάτω πίνκ. >, > >, <

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΦΥΡΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΓΕΦΥΡΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΓΕΦΥΡΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στη µέτρηση της ωµικής λλά κι της σύνθετης ντίστσης µε υψηλή κρίβει χρησιµοποιούντι οι γέφυρες µέτρησης. Γι τη µέτρηση της ωµικής ντίστσης η πηγή τροφοδοσίς της γέφυρς

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 13 Ε_3.ΦλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνί: Κυρική 8 Απριλίου 13 ιάρκει Εξέτσης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις Α1 Α4

Διαβάστε περισσότερα

Αριστοτέλειο Πνεπιστήµιο Θεσσλονίκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµ Πολιτικών Μηχνικών Μετπτυχικό πρόγρµµ σπουδών «Αντισεισµικός Σχεδισµός Τεχνικών Έργων» Μάθηµ: «Αντισεισµικός Σχεδισµός Θεµελιώσεων, Αντιστηρίξεων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 008 Μρτίου 008 Θεωρητικό Μέρος Θέμ o B Λυκείου. Έν δοχείο με διβτικά τοιχώμτ περιέχει μονοτομικό ιδνικό έριο με σχετική μορική μάζ M r κι ενώ κινείτι

Διαβάστε περισσότερα

Α) Να επιλέξετε την σωστή απάντηση. Αν η επίδραση του αέρα είναι αμελητέα τότε το βάρος Β του σώματος θα έχει μέτρο: F α) F β) 3F γ) 3

Α) Να επιλέξετε την σωστή απάντηση. Αν η επίδραση του αέρα είναι αμελητέα τότε το βάρος Β του σώματος θα έχει μέτρο: F α) F β) 3F γ) 3 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΘΕΜΑ 376/Β. Σε έν σώμ μάζς m που ρχικά ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο σκούμε κτκόρυφη στθερή δύνμη μέτρου F, οπότε το σώμ κινείτι κτκόρυφ προς τ πάνω με

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ- ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ÑÏÌÂÏÓ

ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ- ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ÑÏÌÂÏÓ ΘΕΜ 1ο ΘΕΜΤ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ- ΤΕΧΝΟΛΟΙΚΗΣ ΚΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - 000 Στις ερωτήσεις 1-4 ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθµό της ερώτησης κι δίπλ το γράµµ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση. 1. Ένς νεµιστήρς

Διαβάστε περισσότερα

V v= (1) n. i V. = n. (2) i (3) (4) (5) (7) (8) (9) = (6)

V v= (1) n. i V. = n. (2) i (3) (4) (5) (7) (8) (9) = (6) Μερικός γρµµοµορικός όγκος Ο όγκος είνι µι κύρι εκττική ιδιότητ θερµοδυνµικών συστηµάτων. Γρµµοµορικός όγκος δηλ. ο όγκος νά γρµµοµόριο είνι η ενττική ιδιότητ συστήµτος ενός συσττικού η οποί ορίζετι πό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς

Διαβάστε περισσότερα

Πέµπτη, 25 Μαΐου 2006 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ

Πέµπτη, 25 Μαΐου 2006 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 006 Πέµπτη, 5 Μΐου 006 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΜΑ 1 Στις ερωτήσεις 1-4 ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθµό της ερώτησης κι δίπλ το γράµµ, που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.

Διαβάστε περισσότερα

Άτομα μεταβλητή Χ μεταβλητή Y... Ν XN YN

Άτομα μεταβλητή Χ μεταβλητή Y... Ν XN YN Ν6_(6)_Σττιστική στη Φυσική Αγωγή 08_Πλινδρόμηση κι συσχέτιση Γούργουλης Βσίλειος Κθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. Σε ορισμένες περιπτώσεις πιτείτι η νίχνευση της σχέσης μετξύ δύο ποσοτικών μετβλητών

Διαβάστε περισσότερα

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Ορισμός. Αν η f είνι ολοκληρώσιμη στο διάστημ [ a, ) ή στο διάστημ (,], τότε ονομάζουμε γενικευμένο ολοκλήρωμ είδους το ολοκλήρωμ της μορφής f() d ή - f() d Ορισμός. Το σημείο

Διαβάστε περισσότερα

δίνει την πυκνότητα νετρονίων ανά μονάδα ενέργειας. Αναφέρεται συνήθως στη βιβλιογραφία απλά ως «πυκνότητα νετρονίων» ενώ η

δίνει την πυκνότητα νετρονίων ανά μονάδα ενέργειας. Αναφέρεται συνήθως στη βιβλιογραφία απλά ως «πυκνότητα νετρονίων» ενώ η ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Π2.2 Γι ν δούμε με ποιο τρόπο ο τύπος των τεσσάρων συντελεστών προκύπτει πό την (2.2.1) χρειάζετι πρώτ τ γενικεύσουμε τις έννοιες της πυκνότητς κι της ροής νετρονίων. ε κάθε θέση r της κρδιάς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ Σ Ο ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΡΟΟ ΟΣ ΣΤΟ ΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ Εαρινό Εξάµηνο , 1 Ιουνίου 2000

ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ Σ Ο ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΡΟΟ ΟΣ ΣΤΟ ΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ Εαρινό Εξάµηνο , 1 Ιουνίου 2000 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ Σ Ο ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΡΟΟ ΟΣ ΣΤΟ ΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ Ερινό Εξάµηνο 1999-2000, 1 Ιουνίου 2000 Α Οδηγίες: Απντήστε όλες τις ερωτήσεις. Ν επιστρέψετε τ θέµτ. 1. (65 µόρι) ίνετι ο κόλουθος πίνκς πιτούµενων

Διαβάστε περισσότερα

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ.

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Ιόνιο Πνεπιστήμιο - Τμήμ Πληροορικής Μθημτικός Λογισμός Ενότητ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Πνγιώτης Βλάμος Αδειες Χρήσης Το πρόν εκπιδευτικό υλικό υπόκειτι σε άδειες χρήσης Cativ Commo

Διαβάστε περισσότερα

α Κατά τη μεταφορά με δεξαμενή φορτωμένη 15% του συνολικού όγκου. Λ γ Κατά την εκφόρτωση υπό πίεση. Λ

α Κατά τη μεταφορά με δεξαμενή φορτωμένη 15% του συνολικού όγκου. Λ γ Κατά την εκφόρτωση υπό πίεση. Λ ΚΕΦΑΑΙΟ 1: ΔΕΞΑΜΕΝΗ 30 Τ κπάκι των νθρωποθυρίδων μπορούν ν πρμένουν νοικτά: Κτά τη μετφορά με δεξμενή φορτωμένη 15% του συνολικού όκου. Κτά τις ερσίες κθρισμού της δεξμενής (gasfree). Κτά την εκφόρτωση

Διαβάστε περισσότερα

3.3 Άριστο Επίπεδο Αποθεµάτων

3.3 Άριστο Επίπεδο Αποθεµάτων 3.3 Άριστο Επίπεδο Αποθεµάτων - ο λογισµός της επιχείρησης εκτείνετι σε δύο χρονικές περιόδους. - έχει την δυντότητ ν δηµιουργήσει ποθέµτ την πρώτη περίοδο τ οποί θ πουλήσει την δεύτερη. - Η πόφση πργωγής

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 0 Οδηγία: Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΘΕΜΑ 1 0 Οδηγία: Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8//6 ΘΕΜΑ Οδηγί: Στις ερωτήσεις -4 ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό της ερώτησης κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.. Η

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόµενες Ασκήσεις στα Στοιχεία δύο Ακροδεκτών

Προτεινόµενες Ασκήσεις στα Στοιχεία δύο Ακροδεκτών Προτεινόµενες Ασκήσεις στ Στοιχεί δύο Ακροδεκτών πό το βιβλίο «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωµάτων», Ν. Μάργρη Πρόβληµ. Σ' έν πηνίο µε υτεπγωγή =5H το ρεύµ έχει τη µορφή του Σχ.. Σχεδιάστε την τάση στ άκρ του

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων Ο3 Γενικά περί φκών. Γενικά Φκός ονοµάζετι κάθε οµογενές, ισότροπο κι διφνές οπτικό µέσο που διµορφώνετι πό δυο σφιρικές επιφάνειες (ή πό µι σφιρική κι µι επίπεδη). Βσική () () Σχήµ. ιτάξεις πρισµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ Φυσική Κτεύθυνσης Β Λυκείου ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµ ο κ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α. (Βάλτε σε κύκλο το γράµµ µε τη σωστή πάντηση) Αν υξήσουµε την πόστση µετξύ δύο ετερόσηµων σηµεικών ηλεκτρικών φορτίων,. η δυνµική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9. ΘΕΜΑ ο Α. Έστω, Δ. Δικρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν =, τότε f( ) = f( ). Αν

Διαβάστε περισσότερα

Το υπόδειγµα Άριστης Οικονοµικής Μεγέθυνσης µε Παραγωγικές Εξωτερικότητες Κεφαλαίου (Romer-type externalities)

Το υπόδειγµα Άριστης Οικονοµικής Μεγέθυνσης µε Παραγωγικές Εξωτερικότητες Κεφαλαίου (Romer-type externalities) Το υπόδειγµ Άριστης Οικονοµικής Μεγέθυνσης µε Πργωγικές Εξωτερικότητες Κεφλίου Romer-ype exernales Α. Αποκεντρωµένη Οικονοµί Υποθέστε µί κλειστή οικονοµί η οποί πρτίζετι πό πλήθος νοικοκυριών κι πλήθος

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Μθηµτικά Ιβ Σελίδ πό 7 Μάθηµ 7 ο ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΗ ΒΑΣΗ ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Θεωρί : Γρµµική Άλγεβρ : εδάφιο 6, σελ. (µέχρι Πρότση 4.6), εδάφιο 7, σελ. 5 (όχι την πόδειξη της Πρότσης 4.9). πρδείγµτ που ντιστοιχούν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΔΙΑΣΠΑΣΗΣ ΣΙΛΑΝΙΟΥ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΕΚΚΕΝΩΣΕΙΣ ΕΝΑΠΟΘΕΣΗΣ ΠΥΡΙΤΙΟΥ. Γ. Αλεξίου, Α. Καλαμπούνιας, Ε. Αμανατίδης, Δ. Ματαράς

ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΔΙΑΣΠΑΣΗΣ ΣΙΛΑΝΙΟΥ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΕΚΚΕΝΩΣΕΙΣ ΕΝΑΠΟΘΕΣΗΣ ΠΥΡΙΤΙΟΥ. Γ. Αλεξίου, Α. Καλαμπούνιας, Ε. Αμανατίδης, Δ. Ματαράς ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΔΙΑΣΠΑΣΗΣ ΣΙΛΑΝΙΟΥ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΕΚΚΕΝΩΣΕΙΣ ΕΝΑΠΟΘΕΣΗΣ ΠΥΡΙΤΙΟΥ Γ. Αλεξίου, Α. Κλμπούνις, Ε. Αμντίδης, Δ. Μτράς Εργστήριο Τεχνολογίς Πλάσμτος, Τμήμ Χημικών Μηχνικών, Πνεπιστήμιο Πτρών ΠΕΡΙΛΗΨΗ

Διαβάστε περισσότερα

Ηλώ σεις. 1 Άσκηση. 2 Άσκηση

Ηλώ σεις. 1 Άσκηση. 2 Άσκηση ΠΜΣ : Σχεδισμός & κτσκευή υπογείων έργων Ακδ. Έτος: 2013-2014 ΜΑΘΗΜΑ: Μέτρ Υποστήριξης Σηράγγων Διδάσκων : Κθηγητής Α.Ι. ΣΟΦΙΑΝΟΣ Επιμέλει σκήσεων: Π. Γιούτ Ηλώ σεις 1 Άσκηση Σχεδιάστε τη μέγιστη πίεση

Διαβάστε περισσότερα

β. CH 3 COOK γ. NH 4 NO 3 δ. CH 3 C CH. Μονάδες Ποιο από τα παρακάτω ζεύγη ενώσεων όταν διαλυθεί σε νερό δίνει ρυθµιστικό διάλυµα.

β. CH 3 COOK γ. NH 4 NO 3 δ. CH 3 C CH. Μονάδες Ποιο από τα παρακάτω ζεύγη ενώσεων όταν διαλυθεί σε νερό δίνει ρυθµιστικό διάλυµα. ΘΕΜΑ ο Στις ερωτήσεις. έως.4, ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθµό της ερώτησης κι δίπλ το γράµµ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση... Το πλήθος των τοµικών τροχικών στις στιβάδες L κι Μ είνι ντίστοιχ:. 4

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 2005. Κυριακή 10-4-2005

ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 2005. Κυριακή 10-4-2005 ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 2005 ΚΛΑ ΟΣ ΠΕ 70 ΑΣΚΑΛΩΝ EΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ «Γνωστικό Αντικείµενο» Κυρική 10-4-2005 Α.

Διαβάστε περισσότερα

Ένα εξαιρετικό υποψήφιο 3 ο ή 4 ο θέµα. Να µελετηθεί προσεκτικά. µιγαδικό επίπεδο είναι σηµεία του κύκλου. z z z z

Ένα εξαιρετικό υποψήφιο 3 ο ή 4 ο θέµα. Να µελετηθεί προσεκτικά. µιγαδικό επίπεδο είναι σηµεία του κύκλου. z z z z Έν εξιρετικό υποψήφιο ο ή 4 ο θέµ Ν µελετηθεί προσεκτικά ίνοντι οι µη µηδενικοί µιγδικοί ριθµοί,, των οποίων οι εικόνες A, Β, Γ στο µιγδικό επίπεδο είνι σηµεί του κύκλου y ( ( ( Ν ποδείξετε ότι Ν ποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

B Λυκείου. 22 Μαρτίου Συνοπτικές λύσεις των θεµάτων. Θεωρητικό Μέρος Θέµα 1o. 1 mv 2 =nc v Τ (όπου m η µάζα του αερίου) 2. 1 mv 2 m.

B Λυκείου. 22 Μαρτίου Συνοπτικές λύσεις των θεµάτων. Θεωρητικό Μέρος Θέµα 1o. 1 mv 2 =nc v Τ (όπου m η µάζα του αερίου) 2. 1 mv 2 m. Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 008 Πνεπιστήµιο Αθηνών Εργστήριο Φυσικών Επιστηµών, Τεχνολογίς, Περιβάλλοντος Μρτίου 008 Θεωρητικό Μέρος Θέµ o Λυκείου Συνοπτικές λύσεις των θεµάτων.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) (5 + ) + 5 = (...).(...) ι) + (5 ) 5 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 5 0 (Μονάδες ) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7 = (0 + ) (Μονάδες,5) Θέμ ο Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΡΗΤΟ - ΑΡΡΗΤΟ Αν >0, μ κέριος κι ν θετικός κέριος, τότε ορίζουμε: Επιπλέον, ν μ,ν θετικοί κέριοι, ορίζουμε: 0 =0. Πρδείγμτ: 4 4,, 5 5, 4 0 =0. Γενικότερ μπορούμε ν ορίσουμε δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 4η Θεωρία Γραφηµάτων

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 4η Θεωρία Γραφηµάτων ικριτά Μηµτικά κι Μηµτική Λογική ΠΛΗ Ε ρ γ σ ί 4η Θεωρί Γρφηµάτων Α π ν τ ή σ ε ι ς Ε ρ ω τ η µ ά τ ω ν Ερώτηµ. ίετι το ένρο του πρκάτω σχήµτος. e d f b l i a k m p c g h n o Θεωρώντς σν ρίζ του ένρου

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕΡΟΣ Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 7. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε τετργωνική ρίζ ενός θετικού ριθμού τον θετικό ριθμό (ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: ) που ότν υψωθεί στο τετράγωνο μς δίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. Ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))

Διαβάστε περισσότερα

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i Οι Κτνομές χ, t κι F Οι Κτνομές χ, t κι F Σε υτή την ενότητ προυσιάζουμε συνοπτικά τρεις συνεχείς κτνομές οι οποίες, όπως κι η κνονική κτνομή, είνι πολύ χρήσιμες στη Σττιστική Συμπερσμτολογί Είνι ξιοσημείωτο,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές

Θεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές Θεωρήμτ, Προτάσεις, Εφρμογές Μιγδικοί Ιδιότητες συζυγών: Αν z i κι z γ δi είνι δυο μιγδικοί ριθμοί, τότε: Μέτρο: z z z z z z z z 3 z z z z 4 z z z z Αν z, z είνι μιγδικοί ριθμοί, τότε z z z z z z z z 3

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις Α Ψ του σχολικού βιβλίου [1]

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις Α Ψ του σχολικού βιβλίου [1] ΛΓΕΒΡ ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις του σχολικού βιβλίου [] Εισγωγικό Κεφάλιο. 9 3 Γι = - 3, η υπόθεση είνι ληθής, ενώ το συμπέρσμ ψευδές Το σύνολο λήθεις της υπόθεσης είνι το = 3, 3, ενώ του συμπεράσμτος είνι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΟΤΕΧΝΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΘΕΡΜΟΜΟΝΩΣΗΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΟΤΕΧΝΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΘΕΡΜΟΜΟΝΩΣΗΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΤΕΧΝΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΘΕΡΜΟΜΟΝΩΣΗΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Κρμάνος Α.Κ.*, Γκόγκος Σ. κι Ππδόπουλος Α.Μ. Εργστήριο Μετάδοσης Θερμότητς κι Περιβλλοντικής Μηχνικής, Τμήμ Μηχνολόγων Μηχνικών, Αριστοτέλειο

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Εξετάσεων Φεβρουαρίου 2011:

Θέματα Εξετάσεων Φεβρουαρίου 2011: ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ: ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Θέμτ Εξετάσεων Φεβρουρίου : ΘΕΜΑ μονάδες Πρέπει με κυβικές b-splnes ν πρεμβάλετε, κτά σειρά, τ εξής σημεί:,,,,,,,8, 7, κι,. Ας είνι

Διαβάστε περισσότερα

τετραγωνικό εκατοστόµετρο 1 cm 2 1 10000 m2 =

τετραγωνικό εκατοστόµετρο 1 cm 2 1 10000 m2 = 3.5 ΜΟΝΑ ΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ. Μονάδες µέτρησης µήκους Βσική µονάδ το µέτρο. Συµβολίζετι m Υποδιιρέσεις του µέτρου : δεκτόµετρο dm = 0 m = 0, m Πολλπλάσιο του µέτρου : εκτοστόµετρο cm = 00 m = 0,0 m χιλιοστόµετρο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία και Πολιτική της. Οικονομικής Μεγέθυνσης. Πανεπιστημιακές Παραδόσεις. Θεόδωρος Παλυβός

Θεωρία και Πολιτική της. Οικονομικής Μεγέθυνσης. Πανεπιστημιακές Παραδόσεις. Θεόδωρος Παλυβός Πνεπιστήμιο Μκεδονίς Τμήμ Οικονομικών Επιστημών Θερί κι Πολιτική της Οικονομικής Μεγέθυνσης Πνεπιστημικές Πρδόσεις Θεόδρος Πλυβός Ενότητ Εισγγή στη Γενική Ισορροπί κι την Οικονομική της Ευημερίς Mare-Esrt-Léon

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΓ ΓΔ

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΓ ΓΔ ΠΥΘΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜ Στο διπλνό ορθοώνιο τρίωνο, έχουμε φέρει πλά το ύψος που κτλήει στην υποτείνουσ. Είνι προφνές ότι, με υτό τον τρόπο, το μεάλο ορθοώνιο τρίωνο χωρίστηκε σε δύο μικρότερ ορθοώνι, τ κι. Σε

Διαβάστε περισσότερα

«Ανάλυση χρονολογικών σειρών»

«Ανάλυση χρονολογικών σειρών» Διτμημτικό Πρόγρμμ Μετπτυχικών Σπουδών των Τμημάτων Μθημτικών κι Μηχνικών Η/Υ & Πληροφορικής «Μθημτικά των Υπολογιστών κι των Αποφάσεων». (Κτεύθυνση: Σττιστική Θεωρί Αποφάσεων κι Εφρμογές). Διπλωμτική

Διαβάστε περισσότερα

τριγώνου ΑΒΓ είναι κυκλώστε το γράµµα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντηση σας. Με βάση την τριγωνική ανισότητα για

τριγώνου ΑΒΓ είναι κυκλώστε το γράµµα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντηση σας. Με βάση την τριγωνική ανισότητα για 3.0 3. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδς 57-58 Ερωτήσεις Κτνόησης. Χρκτηρίστε ( Σ ) σωστή ή λάθος ( ) κάθε µί πό τις επόµενες προτάσεις i) Η εξωτερική γωνί ˆ εξ τριγώνου είνι µεγλύτερη πό την ˆ ii) Η εξωτερική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ Κεφάλιο 2 ΤΟ ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ SOOW-SWAN Εισγωγή Η νάλυση της θεωρίς της οικονοµικής µεγέθυνσης θ ξεκινήσει εξετάζοντς το πιο πλό δυνµικό υπόδειγµ

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώττο Εκπιδευτικό Ίδρυμ Πειριά Τεχνολογικού Τομέ Συστήμτ Αυτομάτου Ελέγχου II Ενότητ #3: Ευστάθει Συστημάτων - Αλγεβρικό Κριτήριο Routh Δημήτριος Δημογιννόπουλος Τμήμ Μηχνικών Αυτομτισμού

Διαβάστε περισσότερα

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης Ανισότητες Διάτξη πργμτικών ριθμών Ιδιότητες της διάτξης Διάτξη (σύγκριση) δύο ριθμών. Πώς μπορούμε ν συγκρίνουμε δύο ριθμούς κι ; Απάντηση Ο ριθμός είνι μεγλύτερος του (συμολικά > ), ότν η διφορά είνι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 05 ΘΕΜΑ Α. Γι μι συνεχή συνάρτηση f ν γράψετε τις τρείς κτηγορίες σημείων, τ οποί εινι πιθνές θέσεις τοπικών κροτάτων. (6 Μονάδες). Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΡΑΔΙΕΝΕΡΓΕΣ ΥΛΕΣ ΚΛΑΣΗ 7

ΡΑΔΙΕΝΕΡΓΕΣ ΥΛΕΣ ΚΛΑΣΗ 7 ΧΟΗ ΕΠΑΓΓΕΜΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΡΤΙΗ ΜΕΤΑΦΟΡΕΩΝ ΕΚOMEE (ΑDR) ΘΕΑΙΑ & ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΑΔΟ ΓΡΑΦΕΙΑ & ΑΙΘΟΥΕ ΔΙΔΑΚΑΙΑ: ΚΟΥΤΑΡΕΙΑ 12 ΜΕΙΑOΝΟ (ΑΠΕΝΑΝΤΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΠΕΙΡΑΙΩ) Τ.Κ.: 38333 ΒΟΟ ΤΗ.: 24210 34944 / 6977 280182

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων & Φωτογραµµετρία

Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων & Φωτογραµµετρία ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Σχολή Αγρονόµων κι Τοπογράφων Μηχ. Τοµές Τοπογρφίς Μέθοδος Ελχίστων Τετργώνων & Φωτογρµµετρί Φωτογρµµετρική Οπισθοτοµί Υποδειγµτικά λυµένη άσκηση εδοµέν Ν συvτχθεί πρόγρµµ Η/Υ

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Α - Kεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Α.7.8. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό

Μέρος Α - Kεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Α.7.8. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό Μέρος Α - Kεφάλιο 7ο - Θετικοί κι Αρνητικοί Αριθμοί - 37 - Α.7.8. Δυνάμεις ρητών ριθμών με εκθέτη φυσικό ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ Ένς υπολογιστής μολύνθηκε πό κάποιο ιό, ο οποίος είχε την ιδιότητ ν κτστρέφει τ ηλεκτρονικά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών:... β) του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:...

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών:... β) του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:... ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ Μι νθοδέσμη έχει 5 λευκά κι 15 κόκκιν γρύφλλ. Τι μπορούμε ν πρτηρήσουμε; ότι τ κόκκιν είνι κτά δέκ περισσότερ πό τ λευκά, λλά κι ότι τ κόκκιν γρύφλλ είνι τρεις φορές περισσότερ πό τ λευκά Η μέτρηση

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη Γ. Κεφάλαιο. Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου Θεωρία-Μεθοδολογία-Ασκήσεις. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τάξη Γ. Κεφάλαιο. Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου Θεωρία-Μεθοδολογία-Ασκήσεις. Ολοκληρωτικός Λογισμός Τάξη Γ Κεφάλιο Ολοκληρωτικός Λογισμός Θεωρί-Μεθοδολογί-Ασκήσεις Κεφάλιο 3 Ολοκληρωτικός Λογισμός Σε κάθε μί πό τις πρκάτω περιπτώσεις ορίζετι πό τη γρφική πράστση μις τουλάχιστον συνάρτησης κι πό κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1.

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1. Δύο μηχνικά κύμτ ίδις συχνότητς διδίδοντι σε ελστική χορδή. Αν λ 1 κι λ 2 τ μήκη κύμτος υτών των κυμάτων ισχύει: ) λ 1 λ 2 γ) λ 1 =λ 2 Δικιολογήστε την πάντησή

Διαβάστε περισσότερα

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1.

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1. Εκθετική συνάρτηση Αν θετικός πργμτικός ριθμός, σε κάθε ντιστοιχεί η δύνμη. Έτσι ορίζετι η συνάρτηση : f : με f, 0 η οποί ονομάζετι εκθετική συνάρτηση με βάση. Αν, τότε έχουμε τη στθερή συνάρτηση f. Ας

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 1 ης Εργασίας 1. Γράψτε και σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγραµµα καθένα από τα επόµενα

Λύσεις 1 ης Εργασίας 1. Γράψτε και σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγραµµα καθένα από τα επόµενα Λύσεις ης Εργσίς. Γράψτε κι σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγρµµ κθέν πό τ επόµεν v δινύσµτ στη µορφή x y : () Το διάνυσµ που συνδέει την ρχή του συστήµτος συντετγµένων µε το σηµείο Ρ(,-). () Το διάνυσµ

Διαβάστε περισσότερα

1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι

1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι Έςτω :RR, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη κι,,cr Αποδείξτε ότι ) d d β) d d γ) d c c d c c δ) d c c c d ε) d στ) d Απάντηση:, εάν η είνι περιττή d, εάν η είνι άρτι Πρόκειτι γι πολύ βσική άσκηση, που είνι εφρμογή της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΒΟΛΗ -- ΕΛΛΕΙΨΗ -- ΥΠΕΡΒΟΛΗ

ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΒΟΛΗ -- ΕΛΛΕΙΨΗ -- ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΒΟΛΗ -- ΕΛΛΕΙΨΗ -- ΥΠΕΡΒΟΛΗ II.ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΛΛΕΙΨΗ - ΥΠΕΡΒΟΛΗ Α. ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1. Εύρεση Εξίσωσης Προλής

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση F(x)= 13/3/2010 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν f είναι συνάρτηση συνεχής σε διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ, τότε

Η συνάρτηση F(x)= 13/3/2010 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν f είναι συνάρτηση συνεχής σε διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ, τότε Μθημτικός Η συνάρτηση F()= //200 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν f είνι συνάρτηση συνεχής σε διάστημ Δ κι είνι έν σημείο του Δ, τότε η συνάρτηση F()=, Δ είνι μι πράγουσ της f στο Δ. Δηλδή ισχύει: = f() γι κάθε Δ. (H πργώγιση

Διαβάστε περισσότερα

1) Υπόδειγµα Εντολέα - Εντολοδόχου, η περίπτωση του Ηθικού Κινδύνου.

1) Υπόδειγµα Εντολέα - Εντολοδόχου, η περίπτωση του Ηθικού Κινδύνου. ) Υπόδειγµ Εντολέ - Εντολοδόχου, η περίπτωση του Ηθικού Κινδύνου. Έστω ότι ο εντολοδόχος ελέγχει µί επιχείρηση της οποίς ιδιοκτήτες είνι διάφοροι µέτοχοι (ο εντολές). Στην γενική περίπτωση, ο εντολοδόχος

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα Να βρεθούν οι ευθείες οι οποίες διέρχονται από το σημείο Α(1,2) και απέχει από το σημείο Β(3,1) απόσταση d=2.

Ενότητα Να βρεθούν οι ευθείες οι οποίες διέρχονται από το σημείο Α(1,2) και απέχει από το σημείο Β(3,1) απόσταση d=2. Ευθεί Ενότητ 7. Απόστση σημείου πό ευθεί Εμβδόν τριγώνου Εφρμογές 7.1 Ν βρεθεί η πόστση: i) του σημείου Μ(1,3) πό την ευθεί (ε) με εξίσωση 3x-4y- 11=0, ii) του σημείου Ρ(,-3) πό την (η) με εξίσωση 5x+1y-=0.

Διαβάστε περισσότερα

f(x)dx = f(c)(b a) f(t)dt = f(c)(x a). c(x) a 1 = x a 2

f(x)dx = f(c)(b a) f(t)dt = f(c)(x a). c(x) a 1 = x a 2 Σελίδ 1 πό 10 Περίληψη Μερικά συµϖεράσµτ ϖάνω στ θεωρήµτ µέσης τιµής του διφορικού κι ολοκληρωτικού λογισµού Μϖάµϖης Στεργίου Σεϖτέµβριος 009 Το ϖρκάτω άρθρο γράφηκε µε φορµή τ όσ νφέροντι στις δύο σηµντικές

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. n 1 2 n. Για τη σύγκλιση της σειράς διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις: (i) Αν υπάρχει το lim σ n

ΣΕΙΡΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. n 1 2 n. Για τη σύγκλιση της σειράς διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις: (i) Αν υπάρχει το lim σ n ΣΕΙΡΕΣ Έστω. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ μι κολουθί πργμτικών ριθμών. Η κολουθί ( σ ) με γενικό όρο: σ + + + i ονομάζετι κολουθί μερικών θροισμάτων της κολουθίς ( ), ή σειρά των ριθμών,,,, κι σημειώνετι με i + + +

Διαβάστε περισσότερα

ν = 2, από τους οποίους όμως γνωρίζουμε μόνο 5, αυτούς που προκύπτουν για

ν = 2, από τους οποίους όμως γνωρίζουμε μόνο 5, αυτούς που προκύπτουν για 165 4.5 ΠΡΩΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Εισγωγή Δύο πό τ σημντικότερ ποτελέσμτ σχετικά με τους πρώτους ριθμούς ήτν γνωστά ήδη πό την ρχιότητ. Το γεγονός ότι κάθε κέριος νλύετι με μονδικό τρόπο ως γινόμενο πρώτων εμφνίζετι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟΣ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΣΧΕ ΙΟ ΞΕΝΟΚΡΑΤΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΤΟΥ ΣΕΙΣΜΙΚΟΥ ΚΙΝ ΥΝΟΥ. ρ. Στυλιανός Γ. Λόζιος

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟΣ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΣΧΕ ΙΟ ΞΕΝΟΚΡΑΤΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΤΟΥ ΣΕΙΣΜΙΚΟΥ ΚΙΝ ΥΝΟΥ. ρ. Στυλιανός Γ. Λόζιος ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟΣ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΣΧΕ ΙΟ ΞΕΝΟΚΡΑΤΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΤΟΥ ΣΕΙΣΜΙΚΟΥ ΚΙΝ ΥΝΟΥ ρ. Στυλινός Γ. Λόζιος Επ. Κθηγητής του Τµήµτος Γεωλογίς του Εθνικού & Κποδιστρικού Πνεπιστηµίου Αθηνών Το εφρµοσµέν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Δίνετι η εκθετική συνάρτηση: f a Γι ποιες τιμές του η ) γνησίως ύξουσ; β) γνησίως φθίνουσ; ( ) είνι:. Δίνοντι οι

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 4 IOYNIOY 2014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α.1.

Διαβάστε περισσότερα

3.1. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 144 146 Α ΟΜΑ ΑΣ

3.1. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 144 146 Α ΟΜΑ ΑΣ 1 3.1 σκήσεις σχ. ιλίου σελίδς 144 146 Ο Σ 1. Έν κουτί έχει τρεις µπάλες, µι άσπρη, µι µύρη κι µι κόκκινη. άνουµε το εξής πείρµ : πίρνουµε πό το κουτί µι µπάλ, κτγράφουµε το χρώµ της κι την ξνάζουµε στο

Διαβάστε περισσότερα

Ευθύγραμμες Κινήσεις (Συμπυκνωμένα)

Ευθύγραμμες Κινήσεις (Συμπυκνωμένα) Εθύγρμμες Κινήσεις (Σμπκνωμέν) Χρήση Λελεδάκης Κωστής ( koleygr@gmailcom ) Οι σημειώσεις πεθύνοντι σε κάποιον πο θέλει ν μάθει ή ν θμηθεί τ βσικά στοιχεί των εθύγρμμων κινήσεων (χωρίς πργώγος κι ολοκληρώμτ)

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo. Ορισμός συντελεστή διεύθυνσης ευθείς Έστω συνάρτηση κι M, έν σημείο της γρφικής της πράστσης. υπάρχει το κι είνι πργμτικός ριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφπτομένη της στο σημείο M, την ευθεί (ε) που διέρχετι

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 η δεκάδ θεµάτων επνάληψης 1. Ν ποδείξετε ότι το εµβδόν κάθε τριγώνου δίνετι πό τον τύπο Ε τρ, όπου τ η ηµιπερίµετρος του τριγώνου κι ρ η κτίν του εγγεγρµµένου κύκλου Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΡΕΥΣΗΣ ΑΠΟΧΕΤΕΥΣΗΣ ΜΕΙΖΟΝΟΣ ΠΕΡΙΟΧΗΣ ΒΟΛΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ: Κωνσταντά 141 Τ.Κ. 382 21, ΒΟΛΟΣ Τηλ. 24210 75126 FAX: 24210 75135 Α Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α

ΥΔΡΕΥΣΗΣ ΑΠΟΧΕΤΕΥΣΗΣ ΜΕΙΖΟΝΟΣ ΠΕΡΙΟΧΗΣ ΒΟΛΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ: Κωνσταντά 141 Τ.Κ. 382 21, ΒΟΛΟΣ Τηλ. 24210 75126 FAX: 24210 75135 Α Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α ΑΔΑ:Β5ΤΜΟΕΠΘ-ΖΒ ΔΗΜΟΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ ΥΔΡΕΥΣΗΣ ΑΠΟΧΕΤΕΥΣΗΣ ΜΕΙΖΟΝΟΣ ΠΕΡΙΟΧΗΣ ΒΟΛΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ: Κωνστντά 4 Τ.Κ. 38, ΒΟΛΟΣ Τηλ. 4 756 FAX: 4 7535 ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ Α Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α πό τ Πρκτικά της 3ης

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Θερµοδυναµικής. Καταστατικές Εξισώσεις Πρώτος Θερµοδυναµικός Νόµος

Ασκήσεις Θερµοδυναµικής. Καταστατικές Εξισώσεις Πρώτος Θερµοδυναµικός Νόµος Φυσικοχηµεί Ι / Β. Χβρεδάκη Ασκήσεις Θερµοδυνµικής Κτσττικές Εξισώσεις Πρώτος Θερµοδυνµικός Νόµος. Ν ποδειχθεί ότι σε ιδνικό έριο: / κι κ Τ /Ρ όπου ο συντελεστής διστολής κι κ ο ισόθερµος συντελεστής συµπιεστότητς..

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Ν ρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: ) έχει κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ) έχει κέντρο το σηµείο (3, - 1) κι κτίν 5 γ) έχει κέντρο το σηµείο (-, 1) κι διέρχετι πό το

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = α 0 α β = ( ) β α = α ( α β)( α β)

ν ν = α 0 α β = ( ) β α = α ( α β)( α β) Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ν 0 ν = 1 = β β ν 1= ν µ = ν + µ ν ν µ 1 µ = ν = ν ( ν ) µ ν ν = ν µ β = β ( β) ν = ν βν ν > 0 τότε 2 = β = β β = β Ιδιότητες υνάµεων ν > β τότε + γ > β+ γ. ν > β κι γ > δ τότε + γ > β+ δ.

Διαβάστε περισσότερα