Cap. I NOŢIUNI FUNDAMENTALE DESPRE VECTORI

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Cap. I NOŢIUNI FUNDAMENTALE DESPRE VECTORI"

Transcript

1 Cap. I NOŢIUNI FUNDAMENTALE DESPRE VECTORI In mecanică există mărimi scalare sau scalari şi mărimi vectoriale sau vectori. Mărimile scalare (scalarii) sunt complet determinate prin valoarea lor numerică un număr pozitiv sau negative urmată de unitatea de măsură. Exemple: timpul (10 sec.), distanţa dintre două puncte (2 m), aria unei suprafeţe (25m 2 ), masa (50kg.), temperatura (-10ºC), lucrul mecanic (Nm), puterea mecanică (W), energie mecanică (Jouli), etc. Mărimile vectoriale (vectorii) sunt complet determinate prin modul (mărime sau intensitate), direcţie, sens şi uneori punct de aplicaţie sau origine. Exemple: viteza v, acceleraţia a, impulsul H, momentul cinetic K, forţa F, etc. Vectorii se notează fie printr-o literă cu o bară deasupra ( v,a,f ), fie prin două litere cu o bară deasupra lor ( AB,MN ), prima literă indicând punctul de aplicaţie (originea) vectorului, a doua literă extremitatea lui. De exemplu un vector AB este caracterizat prin următoarele elemente: - modulul (mărimea sau intensitatea) vectorului, AB, este dat de numărul care reprezintă lungimea segmentului AB; - dreapta suport sau suportul vectorului este dreapta determinată de punctele A şi B; - sensul vectorului este dat de sensul de parcurs de la A la B; - punctul de aplicaţie sau originea vectorului este punctul A; - extremitatea vectorului este punctul B.

2 Clasificarea vectorilor în funcţie de punctul lor de aplicaţie: 1º.Vectori liberi, la care punctul de aplicaţie poate ocupa orice poziţie în spaţiu, menţinându-se aceleaşi: mărimea, direcţia şi sensul, fără ca efectul vectorului să se modifice. Aceşti vectori se caracterizează prin modul, direcţie şi sens. (Exemple: vitezele şi acceleraţiile unui corp în mişcarea de translaţie, momentul unui cuplu de forţe.) 2º.Vectori alunecători, la care punctul de aplicaţie se poate deplasa numai pe suportul vectorului, menţinându-se acelaşi modul şi sensul vectorului. Aceşti vectori se caracteriză prin modul, direcţie,sens şi dreapta suport. (Exemple: forţele aplicate unui corp rigid). 3º.Vectori legaţi, la care punctul de aplicaţie este bine determinat. Aceşti vectori se caracerizează prin modul, direcţie, sens şi punct de aplicaţie. (Exemple: momentele polare, forţele aplicate unui punct material). Versorul sau vectorul unitate este vectorul de modul egal cu unitatea. Dacă u reprezintă versorul vectorului F, adică are modulul egal cu unitatea, aceeaşi direcţie şi acelaşi sens cu F, între vector şi versorul său există relaţiile: F F F u sau u (1.1) F F u versf F Prin orientarea sa un versor poate caracteriza direcţia şi sensul unei axe; axa este o dreaptă pe care se alege un sens pozitiv de parcurs, indicat uneori printr-o săgeată.

3 Echivalenţa vectorilor. Echivalenţa a doi vectori F 1 şi F 2 se exprimă prin egalitatea: F F (1.2) 1 2 Cei doi vectori se numesc echivalenti între ei sau echipolenţi. Aceşti vectori sunt caracterizaţi prin aceleaşi elemente, egale între ele, în funcţie de tipul vectorilor: - Doi vectori liberi sunt echipolenţi dacă au: - mărimi egale, - suporturi paralele, - acelaşi sens. Punctul de aplicaţie al vectorilor nu trebuie precizat deoarece operaţiile de adunare şi înmulţire între vectori liberi pot fi efectuate în orice punct arbitrar din spaţiu. - Doi vectori alunecatori sunt echipolenţi dacă au: - mărimi egale, - suport comun, - acelaşi sens. Punctul de aplicaţie poate fi oriunde pe suportul vectorilor, poziţia suportului trebuie să fie precizată. - Doi vectori legaţi sunt echivalenţi între ei dacă au: - mărimi egale, - suporturi confundate, - sensuri identice, - acelaşi punct de aplicaţie. În acest capitol se vor prezenta operaţiile cu vectori liberi: - adunarea (suma) - scaderea (diferenţa)

4 - înmulţirea, şi relaţii care au la bază aceste operaţii vectoriale. Se menţionează că nu există noţiunea şi operaţia de împărţire vectorială. Se mai fac următoarele precizări: Toate operaţiile ce vor fi definite pentru vectorii liberi vor putea fi extinse şi în cazul vectorilor alunecătorii şi legaţi în anumite condiţii. Exp.: operaţiile cu vectori legaţi vor trebui efectuate în punctul comun de aplicaţie al vectorilor respectivi; operaţiile cu vectori alunecători cu suporturile concurente vor trebui efectuate în punctul de concurenţă al suporturilor. În operaţiile cu vectori, aceştia vor reprezenta mărimi fizice de acelaşi tip. Adunarea sau suma geometrică a vectorilor. Suma a doi sau mai mulţi vectori este prin definiţie un vector obţinut prin metodele prezentate în continuare. Se menţionează că definiţia pentru suma vectorilor este dată pentru vectorii alunecători cu suporturile concurente (vectorii se construiesc cu punctele de aplicaţie în punctul de concurenţă al suporturilor) şi pentru vectorii legaţi în punctul de aplicatie comun. În cazul vectorilor alunecători care nu au suporturile concurente şi a vectorilor legaţi care nu au punctul de aplicaţie comun, se adună vectorii echipolenţi corespunzători iar vectorul sumă obţinut se defineşte ca vector liber. Suma vectorială a doi vectori a şi b este vectorul c a b, care se obţine aplicând regula paralelogramului sau regula triunghiului.

5 Regula paralelogramului (fig. 1.1.a.): se construieşte un paralelogram care are ca laturi cei doi vectori a şi b cu punctul de aplicaţie comun; diagonala care uneşte punctul de aplicaţie comun al celor doi vectori cu vârful opus al paralelogramului reprezintă vectorul sumă c ab. Regula triunghiului (fig. 1.1.b.): vectorul b se construieşte cu punctul de aplicaţie în extremitatea vectorului a ; suma celor doi vectori este vectorul care uneşte punctul de aplicţie al primului vector cu extremitatea celui de-al doilea vector. Suma vectorială a trei vectori necoplanari ( cu orientări oarecare în spaţiu ) a, b,c se obţine aplicând regula paralelipipedului (fig. 1.1.c.): se construieşte un paralelipiped care are drept muchii cei trei vectori cu punctul de aplicaţie comun.vectorul sumă d abc este reprezentat de diagonala care uneşte punctul de aplicaţie comun al celor trei vectori cu vârful opus al paralelipipedului. Suma a n vectori, F (i 1,2...n) se efectuează aplicând regula poligonului (se aplică succesiv de mai multe ori regula paralelogramului sau regula triunghiului) (fig. 1.1.d): i n R F i (1.3) i1 În cazul în care extremitatea ultimului vector din poligon coiencide cu punctul de aplicaţie al primului vector, vectorul sumă R este nul (R 0).

6 b c c a b b a a b) a) c b d F n R F F 1 F 1 2 F 2 a F 3 c) Fig. 1.1 F i d) Proprietăţile adunării vectorilor comutativitatea: a b ba asociativitatea vectorilor: (a b) c a (bc).. asociativitatea cu un scalar: a b a b (1.4) existenţa unui vector opus: a a a a 0. Existenţa elementului nul: a 0 0a a.

7 Modul de definire a sumei vectorilor face posibilă descompunerea unui vector după două direcţii necoliniare în plan sau după trei direcţii necoplanare în spaţiu. Operaţia de adunare vectorială a doi vectori intervine şi la diferenţa a doi vectori. Diferenţa a doi vectori a şi b este vectorul a b, care se obţine adunând vectorul a cu opusul vectorului b, aplicând fie regula paralelogramului (fig. 1.2.a), fie regula triunghiului (fig. 1.2.b): d a b a b (1.5) b b a) d a Fig. 1.2 d ab b) a b Produsul dintre un vector şi un scalar. Se consideră vectorul a şi scalarul, Prin înmulţirea vectorului a cu scalarul, se obţine un vector b a, cu următoarele caracteristici: - modulul, b a. - direcţia, aceeaşi cu a vectorului a. - sensul, acelaşi cu a vectorului a, dacă 0, sens contrar Expresia: dacă 0 b a (1.6)

8 reprezintă relaţia de coliniaritate a vectorilor a şi b. Proprietăţi: 1, b a 1, b a 1.7 a a a a aa ab ab. Mărimea algebrică a unui vector paralel cu o axă. Se consideră vectorii F1 şi F2 paraleli cu axa de versorul u (fig. 1.3). Intre aceşti vectori şi versorul u există următoarele relaţii: F u sau F F u F u, F u sau F F u F u, < Pentru un vector F F, de versor u, se poate scrie: unde F este mărimea algebrică a vectorului F. F Fu F u 1.8 Mărimea algebrică a vectorului F paralel cu axa este egală cu plusmodulul sau minusmodulul vectorului, dupa cum F are acelaşi sens cu axa F 1 0 u sau sens contrar: Fig. 1.3 F 2 1 2

9 F pentru F F pentru u F u F Descompunerea unui vector dupa direcţii concurente Descompunerea unui vector după direcţii concurente este operaţia inversă compunerii vectorilor concurenţi şi dă o soluţie unică în următoarele cazuri: 1º. Descompunerea unui vector F după două direcţii coplanare cu vectorul respectiv (fig. 1.4). Se descompune vectorul F după două direcţii coplanare cu el, date de vectorii a şi b, construind un paralelogram pe laturile a şi b, în care vectorul F este diagonală. b F 2 F şi a Fig. 1.4 F 1 Vectorii F 1 şi F 2 sunt componentele vectoriale ale vectorului F; F 1 este coliniară cu a, F 2 este coliniară cu b, adică: F F F 1 2 şi fiind doi scalari. F a ; F b, 1 2 Se obţine expresia vectorială: F ab 1.9

10 care reprezintă relaţia de coplanaritate, între vectorii a, b şi F. spaţiu: 2º.Descompunerea unui vector după trei direcţii concurente în c F F 3 a F 2 b F 1 Se descompune vectorul F după trei direcţii concurente cu el, date de vectorii necoplanari a,b,c, dupa regula paralelipipedului (fig. 1.5). Se construieşte un paralelipiped cu muchiile orientate după vectorii a,b,c în care vectorul F este diagonala paralelipipedului (din originea şi extremitatea lui F se duc plane paralele cu planele determinate de direcţiilea, b,c luate două câte două). Componentele vectoriale ale lui F sunt dirijate după muchiile paralelipipedului: F F1F2 F 3 Între componentele lui F{ F 1 ;F 2 ;F 3 } relaţia (1.6) de coliniaritate: F a; F b; F νc. de unde: Fig şi vectorii a,b,c se poate aplica F abc (1.10)

11 Proiecţia unui vector pe o axă. Se consideră vectorul AB F şi axa( ) de versor u (fig. 1.6) u B A 0 u A B Fig. 1.6 Ducând perpendiculare din extremităţile vectorului AB pe axa ( ), al cărui - AA ' ; BB' - se obţine pe axa( ) vectorul A 'B' scalar (sau mărime algebrică) se defineşte a fi proiecţia pe axa vectorului AB (sau F). Notaţii: pr. AB respectiv pr. F sau F. sau Formula matematică de calculare a proiecţiei: pr. AB AB cos AB cos AB,u ( ) a F F cos F cos F,u 1.11 unde este unghiul format de vector cu axa de versor u. Proiecţia unui vector pe o axă este egală cu produsul dintre mărimea vectorului şi cosinusul unghiului format de vector cu axa F Fcos. Proiecţia unui vector pe o axă este egal cu produsul scalar dinte vector şi versorul axei F Fu.

12 Proiecţia unui vector pe o axă este o mărime algebrică al cărui semn depinde de orientarea vectorului faţă de axă; dacă 0, 2, proiecţia este pozitivă, dacă, 2, proiecţia este negativă iar dacă 2, proiecţia este nulă. În cazul proiecţiei vectorului F : pentru 0, F 0 2, F 0 2 F 0 2 Cazuri particulare în proiecţia unui vector pe o axă. 1º. Dacă un vector este paralel cu o axă, atunci vectorul se proiectează în mărime naturală pe acea axă, proiecţia este egală cu mărimea lui algebrică, adică cu plus modulul sau minus modulul vectorului după cum acesta are acelaşi sens cu axa sau nu F F F. În relaţia (1.10) de calcul a proiecţiei F, pentru u F, 0º, cos0 1, F F, u pentru F,, cos 1, F F. 2º. Dacă un vector este perpendicular pe o axă, proiecţia lui pe acea axă este nulăf 0. În relaţia (1.11)de calcul a proiecţiei F,

13 pentru F u,, cos 0, F Expresia analitică a unui vector. Se consideră vectorul F care se proiectează pe axele sistemului cartezian triortogonal drept (R) Oxyz, de versori i, j,k. Proiecţiiele vectoruluifpe axele de coordonate Ox, O y, O z sau coordonatele lui în reperul Oxyz sunt F x, F y şi F z (fig. 1.7). (R) z F x F x o i k j F y y Fig. 1.7 Expresia analitică a vectorului F în reperul Oxyz este de forma: F F i F j F k (1.12) x y z În cazul plan (fig. 1.8), când F Oxy, expresia analitică este de forma: F F i F j (1.13) x y

14 y F y F j o i F x x Fig. 1.8 În cazul în care se cunosc proiecţiile vectorului pe axele de coordonate, F{Fx, F y, F z }, se vor putea calcula: - modulul vectorului: şi x y z F F F F (în cazul spaţial) (1.14) 2 2 x y F F F (în cazul plan) - orientarea lui: cos(f, i) F x 2 x 2 y 2 z F F F cos(f,k) Fy ; co s(f, j) ; F F F F z 2 x 2 y 2 z F F F x y z (1.15) Expresia analitică a sumei vectorilor Pentru a a x iayjazk şi b b x ibyjbzk, vectorul sumă c ab are următoarea expresie analitică: c a b (a b ) i (a b )j (a b )k c i c j c k (1.16) x x y y z z x y z În cazul sumei geometrice a n vectori:

15 F F,F,F. i 1,2...n i ix iy iz este următoarea:, expresia analitică a vectorului sumă R n n n n R Fi F ix i Fiy j Fiz k R x i Ryj Rzk (1.17) i1 i1 i1 i1 F F,F. i 1,2...n : În cazul vectorilor coplanari, i ix iy n n n R Fi F ix i Fiy j R x i Ryj (1.18) i1 i1 i1 Expresia analitică a diferenţei a doi vectori: Vectorul diferenţă dab, are următoarea expresie analitică: d a b a b i a b j a b k d i d j d k (1.19) x x y y z z x y z (fig. 1.9): Vectorul de poziţie (raza vectoare) a unui punct. Poziţia unui punct arbitrar A în reperul Oxyz se poate determina - scalar, prin coordonatele punctului A: x, abscisa, y, ordonata şi z, cota; - vectorial, prin vectorul OA r, numit vector de poziţie sau rază vectoare; acest vector are punctul de aplicaţie în polul axelor şi extremitarea în punctul A. Proiecţiile vectorului de poziţie pe axele de coordonate sunt chiar coordonatele punctului a cărui poziţie o determină: de forma: rx x, ry y, rz z. Deci expresia analitică a vectorului de poziţie r a punctului A este

16 r x i yj zk z (1.20) rz z r A(x,y,z) rx x ry y y x Fig. 1.9 Calculul proiecţiilor unui vector când se cunoaşte versorul său. Metoda se utilizează în cazul în care se cunosc coordonatele a două puncte situate pe suportul vectorului. x z o r B B xb, yb, z B F u r A A x, y, z A A A y Fig Se consideră vectorul spaţial F, de mărime cunoscută F, u versorul său şi coordonatele punctelor A x,y,z şi Bx,y,z A A A B B B situate pe suportul vectorului respectiv (fig. 1.10).

17 Se cunoaşte relaţia între vector şi versorul său: F F u (1.21) În relaţia de mai sus, modulul F se consideră cunoscut şi trebuie să se determine expresia versorului u. În fig se observă că u este şi versorul vectorului delimitat de punctele A şi B: AB AB AB u, u (1.22) AB Se exprimă vectorul AB în funcţie de vectorii de poziţie ai punctelor A şi B: AB r r x x i y y j z z k (1.23) B A B A B A B A modulul care reprezintă distanţa dintre punctele A şi B, având expresia: AB x x y y z z (1.24) B A B A B A Se obţine astfel expresia analitică a versorului u : xb x A i yb ya j zb za k u (1.25) x x y y z z B A B A B A care, introdusă în relaţia (1.20), furnizează expresia analitică a vectorului F: xb x A i yb ya j zb za k F F (1.26) x x y y z z B A B A B A

18 Proiecţiile vectorului F pe axele de coordonate vor fi: F x F x B x 2 2 x x y y z z B A B A B A A 2 ; y y F F ; (1.27) y B A B A B A B A x x y y z z F z F z B z 2 2 x x y y z z B A B A B A A 2. Produse de vectori. Produsul scalar a doi vectori. Produsul scalar a doi vectori a şi b este un scalar s definit prin relaţia: s ab a b cos a,b (1.28) cu a,b 180 º. În relaţia (1.28), cosa,b indică semnul produsului scalar s ; Scalarul s este pozitiv, negativ sau nul, după cum unghiul format de cei doi vectori este ascuţit, obtuz sau drept. În ultimul caz vectorii a şi b sunt ortogonali. Proprietăţile produsului scalar: 1º. Comutativitatea: ab ba (1.29)

19 2º. Asociativitatea în raport cu un scalar: ab a b a b (1.30) 3º. Distributivitatea în raport cu suma vectorilor: a b c ab ac (1.31) zero: 4º. Condiţia de ortogonalitate pentru doi vectori a şi b diferiţi de ab 0 (1.32) cos a,b cos90 0 5º. Produsul scalar a doi vectori este egal cu produsul dintre mărimea unui vector şi proiecţia celuilalt vector pe direcţia primului vector: ab a b cos a,b a pr b b pr a (1.33) a b 6º. În cazul cazul coincidenţei celor doi vectori care se în mulţesc scalar a b, produsul lor reprezintă pătratul mărimii vectorului: aa a a cos0 a (1.34) 7º. Proiecţia unui vector pe o axă este egală cu produsul scalar dintre vector şi versorul axei: au a cos a,u a u, versorul axei (1.35)

20 8º. Calculul unghiului dintre doi vectori a şi b : ab cosa,b (1.36) ab Produsul scalar al versorilor sistemului de axe Oxyz: i i jj kk 1 ij jk k i 0 i j k i j k (1.37) Expresia analitică a produsului scalar. Cunoscându-se expresiile analitice ale vectorilor a şi b : a a ia ja k şi b b i b j b k, (1.38) x y z x y z produsul scalar al celor doi vectori se calculează înmulţind expresiile (1.38) ca două polimoane: ab a i a j a k b i b j b k (1.39) x y z x y z ţinând cont de produsele scolare ale versorilor date fie de relaţiile (1.39), fie din tabela (1.37). Se obţine: ab a b a b a b (1.40) x x y y z z Produsul scalar a doi vectori este egal cu suma produselor proiecţiilor vectorilor pe aceleaşi axe.

21 de unde: Cu ajutorul relaţiilor (1.40) se pot determina: mărimea unui vector în funcţie de proiecţiile sale pe axele de coordonate: 2 aa a a a a 2 2 x y 2 z a a a a (1.41) x y z În baza relaţiei de mai sus se defineşte versorul unui vector: a a x iayjazk ia vers.a (1.42) a ax ay az Condiţia de ortogonalitate a doi vectori a 0 şi b 0 : ab a b a b a b 0 (1.43) x x y y z z Expresia unghiului dintre doi vectori a şi b. ab x x ab y y ab z z cos a,b (1.44) ax ay az bx by bz Produsul vectorial a doi vectori. Produsul vectorial a doi vectori a şi b este prin definiţie un vector p ab cu următoarele elemente (fig. 1.11): - direcţia este perpendiculară pe planul determinat de cei doi vectori;

22 - sensul este astfel încât vectorii a,b,p să formeze în această ordine un triedru drept (se aplică regula burghiului drept); - mărimea este egală cu aria paralelogramului format de vectorii a şi b : p a b a b sin a,b A (1.45) Deci produsul vectorial a doi vectori este determinat prin relaţia: p a b a b sin a,b i 1.46 unde i p este versorul lui p şi p a,b 180 º. p b A a Fig Proprietăţile produsului vectorial: 1º. Anticomutativitatea: a b b a º. Asociativitatea în raport cu un scalar: a b a b a b º.Distributivitatea faţă de adunarea vectorilor (la dreapta sau la stânga):

23 a b c a b a c 1.49 a b c a c b c 4º. Relaţia de coliniaritate sau paralelism (în cazul vectorilor nenuli,a 0,b 0): a b 0 a b 1.50 în cazul vectorilor identici: sin a,b sin180 0 sin0 0 a a Produsul vectorial al versorilor sistemului de axe Oxyz z x k o j i Fig y Aplicând definniţia produsului vectorial a doi vectori pentru perechile de versori i,j,k din fig. 1.12, se obţin următoarele expresii: i i 0 ; ij k ; j i k j j 0 ; jk i ; k j i 1.52 k k 0 ; k i j ; ik j

24 Adesea produsele vectoriale ale versorilor i,j,k date de relaţiile (1.52) sunt prezentate şi sub forma tabelară: i j k (1.53) i 0 k j j k 0 i k j i 0 Expresia analitică a produsului vectorial. Cunoscându-se expresiile analitice ale vectorilor a şi b date de relaţiile (1.38), produsul vectorial al celor doi vectori se poate calcula în două moduri: Se înmulţesc cele două expresii analitice ca două polinoame: p ab a ia ja k b ib jb k x y z x y z ab i iab ijab ik x x x y x z a b j i a b jj a b jk 1.54 y x y y y z a b k ia b kja b kk, z x z y z z se înlocuiesc produsele vectoriale ale versorilor cu rezultatele conţinute în tabela (1.53) sau cele din relaţiile (1.52), se reduc termenii asemenea, obţinându-se în final următoarea expresie analitică a vectorului produs vectorial: y z z y z x x z x y y x x y z p a b a b i a b a b j = a b a b k p i p j p k 1.55

25 Se dezvoltă după elementele primei linii determinantul de ordinul 3 care conţine următoarele elemente: - prima linie: versorii i, j,k, - a doua linie: proiecţiile pe axe ale primului vector din produs a a,a,a, x y z - a treia linie: proiecţiile pe axe ale celui de-al doilea vector din produs, bb x,b y,bz. i j k p a b a a a a b a b i a b a b j a b a b k x y z y z z y z x x z x y y x b b b x y z p i p j p k x y z Produsul mixt a trei vectori Produsul mixt a trei vectori a,b,c este prin definiţie produsul scalar dintre vectorul a şi produsul vectorial b c : m a b c m a b c ap a p cos a,p a b c sin b,c cos a,p 1.57 b,c 180, a,p 180 unde

26 În relaţia (1.57), cos a,p indică semnul produsului mixt, adică scalarul m este pozitiv, negativ sau nul, după cum unghiul dintre a şi p este ascuţit, obtuz sau drept. În ultimul caz vectorii din produsul mixt sunt coplanari. Ansamblul de vectori a,b,c luaţi intr-o ordine stabilită,formează un triedru drept sau stâng după cum produsul lor mixt este pozitiv sau negativ. Ca semnificaţie geometrică,produsul mixt este egal cu volumul algebric al paralelipipedului construit pe cei trei vectori din produs,aplicaţi în acelaşi punct şi consideraţi drept muchii pentru paralelipiped.(fig. 1.13) m a b c ap V (1.58) p a h c Următoarele relaţii conduc la afirmaţia de mai sus: p bc,p A (1.59) A fiind aria paralelogramului care are ca laturi vectorii b si c (fig. 1.13) ap p prp a A h V (1.60) proiecţia vectorului a pe vectorul p este înălţimea algebrică ±h a paralelipipedului (fig. 1.13): b Fig. 1.13

27 +h, dacă a,p 90º (ansamblul de vectori a,b,c formează un `triedru drept: a fiind de aceeaşi parte cu p faţă de planul definit de b si c ). -h, dacă 90º ap 180º(ansamblul de vectori a,b,c formează un triedru stâng,a fiind de partea opusă lui definit de b si c ). p faţă de planul Relaţia (1.60) exprimă faptul că volumul algebric ±V al paralelipipedului din fig.(1.13) este egal cu produsul dintre A= p, aria bazei paralelipipedului şi ±h= pr a, înălţimea paralelipipedului normală la p bază determinată de b şi c. Deci, volumul V al paralelipipedului format de vectorii a,b si c este dat de modulul produsului mixt al celor trei vectori: (1.61) coplanari. (1.63) V a bc a pcos a,p p pr a Ah p Dacă volumul paralelipipedului este nul, rezultă că vectorii sunt Proprietăţile produsului mixt: 1º. Comutativitatea ciclică: abc bca cab 2º. Asociativitatea în raport cu un scalar: abc abc abc abc 3º. Distributivitatea faţă de adunarea vectorilor: (1.62)

28 a bc d ac d bc d (1.64) 4º. Relaţia de coplanaritate în cazul vectorilor nenuli: ab c 0 p bc p b,p c; dacă ap 0 p a (1.65) Caz particular: dacă doi vectori sunt coliniari sau identici,produsul a ab 0 ; a ba 0. mixt este nul Expresia analitică a produsului mixt. Se consideră cunoscute expresiile analitice ale celor trei vectori: a).se calculează produsul vectorial p b c : i j k pbc bx by bz bc y z bc z yibc z x bc x zjbc x y bc y xk c c c (1.67) x y z p i p j p k (1.66) x y z Se calculează produsul scalar ap : map a p a p a p a b c b c x x y y z z x y z z y a b c b c a b c b c y z x x z z x y y x ax ay a m a bc b b b b). x x y c c c y z z z (1.68)

29 Produsul dublu vectorial a trei vectori: Produsul dublu vectorial a trei vectori a,b,c este prin definiţie un vector d egal cu produsul vectorial dintre vectorul a si produsul b c : d a b c (1.69) Proprietăţile produsului dublu vectorial. 1º. Asociativitatea în raport cu un scalar: a bc a bc a bc c bc (1.70) 2º. Coplanaritatea vectorilor b,c şi d,exprimată prin relaţia ( ): dbc (1.71) (Vectorul d este perpendicular pe a si b c,ceea ce înseamnă că e coplanar cu vectorii b si c ). vectorială: 3º. Descompunerea produsului dublu vectorial îintr-o diferenţă a bc ac b ab c Expresia analitică a produsului dublu vectorial. (1.72) Se consideră cunoscute expresiile analitice ale celor trei vectori. a) Se calculează produsul vectorial b c :

30 i j k p bc b b b b c b c i b c b c j x y z y z z y z x x z c c c x y z bxcy bycxk pxi pyj pzk 1.73 Se calculează produsul vectorial a p : i j k dap a a a a p a p i x y z y z z y p p p x y z a p a p j a p a p k d i d j d k, 1.74 z x x z x y y x x y z obţinându-se astfel expresia analitică a vectorului d. b). Se aplică relaţia (1.72) de descompunere a produsului dublu vectorial care se transcrie analitic: da bc ac b ab c ac x x ac y y ac z zbi x byj bk z axbx ayby azbzcxi cyj czk, 1.75 iar după efectuarea calculelor se obţine expresia analitică a vectorului dublu produs vectorial de forma: d d i d j d k 1.76 x y z * * *

31 În încheiere sunt prezentate două relaţii cunoscute, consecinţe ale operaţiiilor algebrice definite în acest capitol: 1º. Identitatea lui Poisson. 2º. Identitatea lui Lagrange. 1º. Identitatea lui Poisson. Fiind daţi vectorii a,b,c există următoarea relaţie: a b c b c a c a b cunoscută sub numele de identitatea lui Poisson. Relaţia se verifică uşor aplicând pentru fiecare produs dublu vectorial formula (1.72) de descompunere a unui produs dublu vectorial sub formă de diferenţă: acb abc bac bca cba cab º. Identitatea lui Lagrange. Identitatea lui Lagrange se exprimă prin următoarea relaţie: ab a b a b 1.79 Prin aplicarea formulelor de definire a produsului scalar (1.28) şi a produsului vectorial (1.46), se scriu următarele relaţii cunoscute: ab a b cos a,b ; ab a b cos a,b ab a b sin a,b ; ab a b sin a,b.

32 a b cos a,b a b sin a,b a b adică a,b a b a b 1.80

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest

Διαβάστε περισσότερα

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4 SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1

CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 CURS 3 SISTEME DE FORŢE (continuare) CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 3.1. Momentul forţei în raport cu un punct...2 Test de autoevaluare

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VII Dreapta si planul

Lectia VII Dreapta si planul Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Lectia VII Dreapta si planul Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VII Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta.

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 2. Sisteme de forţe... 1 Cuprins..1

CUPRINS 2. Sisteme de forţe... 1 Cuprins..1 CURS 2 SISTEME DE FORŢE CUPRINS 2. Sisteme de forţe.... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 2.1. Forţa...2 Test de autoevaluare 1...3 2.2. Proiecţia forţei pe o axă. Componenta forţei

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 2 VECTORI LIBERI. 2.1 Segment orientat. Vector liber

CAPITOLUL 2 VECTORI LIBERI. 2.1 Segment orientat. Vector liber Algebră liniară CAPITOLUL VECTORI LIBERI. Segment orientat. Vector liber Acest capitol este dedicat în totalitate studierii spaţiului vectorilor liberi, spaţiu cu foarte multe aplicaţii în geometrie, fizică

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Dorel Fetcu Acest curs este un fragment din manualul D. Fetcu, Elemente de algebră liniară, geometrie analitică şi geometrie diferenţială, Casa Editorială

Διαβάστε περισσότερα

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

CURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR

CURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR CURS 10+11 MECANICA CONSTRUCŢIILOR Conf. Dr. Ing. Viorel Ungureanu CINEMATICA SOLIDULUI RIGID In cadrul cinematicii punctului material s-a arătat ca a studia mişcarea unui punct înseamnă a determina la

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE. Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 20, 2009, Iaşi

GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE. Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 20, 2009, Iaşi GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 0, 009, Iaşi Cuprins 1 SPAŢIUL VECTORILOR LIBERI. STRUCTURA AFINĂ 4 SPAŢIUL VECTORILOR LIBERI.

Διαβάστε περισσότερα

ALGEBRĂ LINEARĂ, GEOMETRIE. Valeriu Zevedei, Ionela Oancea

ALGEBRĂ LINEARĂ, GEOMETRIE. Valeriu Zevedei, Ionela Oancea ALGEBRĂ LINEARĂ, GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Valeriu Zevedei, Ionela Oancea April 9, 005 CUPRINS 1 CALCUL VECTORIAL 7 1.1 Vectori legaţi,vectori liberi... 7 1. Operaţiilinearecuvectori... 9 1..1

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 6 GEOMETRIE LINIARĂ ÎN SPAŢIU Sisteme de coordonate în plan şi în spaţiu. I. Coordonate carteziene

CAPITOLUL 6 GEOMETRIE LINIARĂ ÎN SPAŢIU Sisteme de coordonate în plan şi în spaţiu. I. Coordonate carteziene Geometrie liniară în spaţiu CAPITOLUL 6 GEOMETRIE LINIARĂ ÎN SPAŢIU 6.. Sisteme de coordonate în plan şi în spaţiu I. Coordonate carteziene În cele ce urmează, notăm cu E 3 spaţiul punctual tridimensional

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

Dreapta in plan. = y y 0

Dreapta in plan. = y y 0 Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

Vectori liberi-seminar 1

Vectori liberi-seminar 1 Vectori liberi-seminar ) Determinati α R astfel incat vectorii ā = m+ n si b = m+α n sa fie coliniari, unde m, n sunt necoliniari. ) Demonstrati ca urmatorii trei vectori liberi sunt coplanari: ā = ī j

Διαβάστε περισσότερα

Cuprins. I Geometrie Analitică 9

Cuprins. I Geometrie Analitică 9 Prefaţă Cartea de faţă a fost elaborată în cadrul proiectului POSDRU/56/1.2/S/32768, Formarea cadrelor didactice universitare şi a studenţilor în domeniul utilizării unor instrumente moderne de predareînvăţare-evaluare

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB =

y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB = Elemente de geometrie analiticã. Segmente. DistanŃa dintre douã puncte A(, ), B(, ): AB = ) + ( ) (. Panta dreptei AB: m AB = +. Coordonatele (,) ale mijlocului segmentului AB: =, =. Coordonatele punctului

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Departamentul de Informaticǎ. Simina Mariş Simona Epure Ioan Rodilǎ

Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Departamentul de Informaticǎ. Simina Mariş Simona Epure Ioan Rodilǎ Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Departamentul de Informaticǎ Liliana Brǎescu Eva Kaslik Simina Mariş Simona Epure Ioan Rodilǎ CURS DE GEOMETRIE Timişoara 2007

Διαβάστε περισσότερα

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează TEMĂ 1 1. În triunghiul ABC, fie D (BC) astfel încât AB + BD = AC + CD. Demonstraţi că dacă punctele B, C şi centrele de greutate ale triunghiurilor ABD şi ACD sunt conciclice, atunci AB = AC. India 2014

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

2. CALCULE TOPOGRAFICE

2. CALCULE TOPOGRAFICE . CALCULE TOPOGRAFICE.. CALCULAREA DISTANŢEI DINTRE DOUĂ PUNCTE... CALCULAREA DISTANŢEI DINTRE DOUĂ PUNCTE DIN COORDONATE RECTANGULARE Distanţa în linie dreaptă dintre două puncte se poate calcula dacă

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 1. Noțiuni Generale. 1.1 Definiții

Capitolul 1. Noțiuni Generale. 1.1 Definiții Capitolul 1 Noțiuni Generale 1.1 Definiții Forța este acțiunea asupra unui corp care produce accelerația acestuia cu condiția ca asupra corpului să nu acționeze şi alte forțe de sens contrar primeia. Forța

Διαβάστε περισσότερα

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător

Διαβάστε περισσότερα

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale 3. Locuri geometrice 3.. Locuri geometrice uzuale oţiunea de loc geometric în plan care se găseşte şi în ELEETELE LUI EUCLID se pare că a fost folosită încă de PLATO (47-347) şi ARISTOTEL(383-3). Locurile

Διαβάστε περισσότερα

cateta alaturata, cos B= ipotenuza BC cateta alaturata AB cateta opusa AC

cateta alaturata, cos B= ipotenuza BC cateta alaturata AB cateta opusa AC .Masurarea unghiurilor intr-un triunghi dreptunghic sin B= cateta opusa ipotenuza = AC BC cateta alaturata, cos B= AB ipotenuza BC cateta opusa AC cateta alaturata AB tg B=, ctg B= cateta alaturata AB

Διαβάστε περισσότερα

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica. Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

7. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE 7.1. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL

7. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE 7.1. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL 7. RETEE EECTRICE TRIFAZATE 7.. RETEE EECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINSOIDA 7... Retea trifazata. Sistem trifazat de tensiuni si curenti Ansamblul format din m circuite electrice monofazate in

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan

CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU 81 Curbe în plan I Definiţia analitică a curbelor plane În capitolul 7 am studiat deja câteva eemple de curbe plane, amintim aici conicele nedegenerate: elipsa, hiperbola

Διαβάστε περισσότερα

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian.

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian. Spaţii vectoriale 1. Spaţii vectoriale. Definiţii şi proprietăţi de bază În continuare prin corp vom înţelege corp comutativ. Dacă nu se precizează altceva, se vor folosi notaţiile standard pentru elementele

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 998 Clasa a V-a. La gara Timișoara se eliberează trei bilete de tren: unul pentru Arad, altul pentru Deva și al treilea pentru Reșița. Cel pentru Deva

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR 1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR a) Să se exprime densitatea apei ρ = 1000 kg/m 3 în g/cm 3. g/cm 3. b) tiind că densitatea glicerinei la 20 C este 1258 kg/m 3 să se exprime în c) Să se exprime în kg/m 3 densitatea

Διαβάστε περισσότερα

Circuite electrice in regim permanent

Circuite electrice in regim permanent Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Electronică - Probleme apitolul. ircuite electrice in regim permanent. În fig. este prezentată diagrama fazorială a unui circuit serie. a) e fenomen este

Διαβάστε περισσότερα

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. < Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie

Διαβάστε περισσότερα

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2 5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării

Διαβάστε περισσότερα

4. METODELE GEOMETRIEI DESCRIPTIVE

4. METODELE GEOMETRIEI DESCRIPTIVE 4. METODELE GEOMETRIEI DESCRIPTIVE 4.1. GENERALITĂŢI În general corpurile geometrice sunt în poziţii oarecare faţă de planele de proiecţie. Prin metodele geometriei descriptive proiecţiile acestor corpuri

Διαβάστε περισσότερα

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

Liviu BERETEU FUNDAMENTE DE INGINERIE MECANICA

Liviu BERETEU FUNDAMENTE DE INGINERIE MECANICA Liviu BERETEU FUNDAMENTE DE INGINERIE MECANICA 200 .Momentul unei forţe în raport cu un punct şi în raport cu o axă. Cuplu de forţe Momentul unei forţe F în raport cu un punct O se defineşte ca fiind produsul

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a V-a

Subiecte Clasa a V-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii

Διαβάστε περισσότερα

ALGEBRĂ LINIARĂ, GEOMETRIE. Culegeredeprobleme. Emil STOICA şi Mircea NEAGU

ALGEBRĂ LINIARĂ, GEOMETRIE. Culegeredeprobleme. Emil STOICA şi Mircea NEAGU ALGEBRĂ LINIARĂ, GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Culegeredeprobleme Emil STOICA şi Mircea NEAGU Cuprins 1 Spaţii vectoriale. Spaţii euclidiene 1 1.1 Elementeteoreticefundamentale................ 1

Διαβάστε περισσότερα

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx + Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.

Διαβάστε περισσότερα

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Nicolae Cotfas ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Introducere Pe parcursul acestei cărţi ne propunem să prezentăm într-un mod cât mai accesibil noţiuni si rezultate de bază

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,... 1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale

Διαβάστε περισσότερα

Geometria diferenţială a curbelor în spaţiu

Geometria diferenţială a curbelor în spaţiu Geometria diferenţială a curbelor în spaţiu A. U. Thor 0.1 Generalităţi Definitia 1.1 Se numeşte curbă înspaţiu dată parametric mulţimea punctelor M (x, y, z) din spaţiuacăror coordonate sunt date de x

Διαβάστε περισσότερα

Lucrul mecanic şi energia mecanică.

Lucrul mecanic şi energia mecanică. ucrul mecanic şi energia mecanică. Valerica Baban UMC //05 Valerica Baban UMC ucrul mecanic Presupunem că avem o forţă care pune în mişcare un cărucior şi îl deplasează pe o distanţă d. ucrul mecanic al

Διαβάστε περισσότερα

4.Inversul lui z=a+bi este nr.complex, z cu proprietatea ca zz =1, rezulta z =a/(a 2 +b 2 ) (bi)/(a 2 +b 2 ) si notam z =z -1

4.Inversul lui z=a+bi este nr.complex, z cu proprietatea ca zz =1, rezulta z =a/(a 2 +b 2 ) (bi)/(a 2 +b 2 ) si notam z =z -1 Numere complexe 1.Multimea numerelor complexe este C=RxR={(a;b)/a,b R} cu operatiile: z 1 =(a 1 ;b 1 ), z 2 =(a 2 ;b 2 ) a 1 ;b 1 ;a 2 ;b 2 R, z 1 +z 2 = (a 1 +a 2 ; b 1 +b 2 ), z 1 z 2 = (a 1 a 2 - b

Διαβάστε περισσότερα

Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy

Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy Metode Runge-Kutta Radu T. Trîmbiţaş 8 ianuarie 7 Probleme scalare, pas constant Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy y (t) = f(t, y), a t b, y(a) = α. pe o grilă uniformă de (N + )-puncte din [a,

Διαβάστε περισσότερα

2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice...

2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice... Geometrie Afină Contents 1 Spaţii vectoriale 3 1.1 Spaţii vectoriale peste un corp K........................ 3 1.2 Exemple de spaţii vectoriale........................... 4 1.3 Dependenţă liniară de vectori..........................

Διαβάστε περισσότερα

1. Introducere in Fizică

1. Introducere in Fizică FIZICA se ocupă cu studiul proprietăţilor şi naturii materiei, a diferitelor forme de energie şi a metodelor prin care materia şi enegia interacţionează în lumea în care ne înconjoară.. Introducere in

Διαβάστε περισσότερα

6.CONUL ŞI CILINDRUL. Fig Fig. 6.2 Fig. 6.3

6.CONUL ŞI CILINDRUL. Fig Fig. 6.2 Fig. 6.3 6.CONUL ŞI CILINDRUL 6.1.GENERALITĂŢI Conul este corpul geometric mărginit de o suprafaţă conică şi un plan; suprafaţa conică este generată prin rotaţia unei drepte mobile, numită generatoare, concurentă

Διαβάστε περισσότερα

Determinarea momentului de inerţie prin metoda oscilaţiei şi cu ajutorul pendulului de torsiune. Huţanu Radu, Axinte Constantin Irimescu Luminita

Determinarea momentului de inerţie prin metoda oscilaţiei şi cu ajutorul pendulului de torsiune. Huţanu Radu, Axinte Constantin Irimescu Luminita Determinarea momentului de inerţie prin metoda oscilaţiei şi cu ajutorul pendulului de torsiune Huţanu Radu, Axinte Constantin Irimescu Luminita 1. Generalităţi Există mai multe metode pentru a determina

Διαβάστε περισσότερα

Numere complexe. a numerelor complexe z b b arg z.

Numere complexe. a numerelor complexe z b b arg z. Numere complexe Numere complexe Forma algebrcă a numărulu complex este a b unde a ş b sunt numere reale Numărul a se numeşte partea reală a numărulu complex ş se scre a Re ar numărul b se numeşte partea

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

Reflexia şi refracţia luminii.

Reflexia şi refracţia luminii. Reflexia şi refracţia luminii. 1. Cu cat se deplaseaza o raza care cade sub unghiul i =30 pe o placa plan-paralela de grosime e = 8,0 mm si indicele de refractie n = 1,50, pe care o traverseaza? Caz particular

Διαβάστε περισσότερα

Unitatea atomică de masă (u.a.m.) = a 12-a parte din masa izotopului de carbon

Unitatea atomică de masă (u.a.m.) = a 12-a parte din masa izotopului de carbon ursul.3. Mării şi unităţi de ăsură Unitatea atoică de asă (u.a..) = a -a parte din asa izotopului de carbon u. a.., 0 7 kg Masa atoică () = o ărie adiensională (un nuăr) care ne arată de câte ori este

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PENTRU GIMNAZIU Partea I (cls. a V a, a VI a, a VII a) Geometrie pentru pregătirea Evaluării Naționale la Matematică

GEOMETRIE PENTRU GIMNAZIU Partea I (cls. a V a, a VI a, a VII a) Geometrie pentru pregătirea Evaluării Naționale la Matematică Geometrie pentru pregătirea Evaluării Naționale la Matematică (Cls. a V a, a VI a, a VII a) UNITĂȚI DE MĂSURĂ Lungime rie Volum Capacitate DE REȚINUT! Masă 1hm 1ha 1dam 1ar 1dm 1l 1q 1kg 1t 1kg 1v 1kg

Διαβάστε περισσότερα

Transformata Laplace

Transformata Laplace Tranformata Laplace Tranformata Laplace generalizează ideea tranformatei Fourier in tot planul complex Pt un emnal x(t) pectrul au tranformata Fourier ete t ( ω) X = xte dt Pt acelaşi emnal x(t) e poate

Διαβάστε περισσότερα

5.1. Noţiuni introductive

5.1. Noţiuni introductive ursul 13 aitolul 5. Soluţii 5.1. oţiuni introductive Soluţiile = aestecuri oogene de două sau ai ulte substanţe / coonente, ale căror articule nu se ot seara rin filtrare sau centrifugare. oonente: - Mediul

Διαβάστε περισσότερα

Cursul de recuperare Algebra. v n. daca in schimb exista coecienti λ 1, λ 2,..., λ n nu toti nuli care satisfac relatia (1), de exemplu λ i 0 = A =

Cursul de recuperare Algebra. v n. daca in schimb exista coecienti λ 1, λ 2,..., λ n nu toti nuli care satisfac relatia (1), de exemplu λ i 0 = A = Matrice, determinanti Un punct de vedere liniar independent "A judeca matematic nu înseamn a gândi losoc, a judeca losoc nu înseamn a liber, a gândi liber nu înseamn a losof " Blaise Pascal Liniar independenta:

Διαβάστε περισσότερα

TOPOGRAFIE - CARTOGRAFIE LP. 5. Elemente de cartometrie

TOPOGRAFIE - CARTOGRAFIE LP. 5. Elemente de cartometrie TOPOGRAFIE - CARTOGRAFIE LP. 5 Elemente de cartometrie Cartometria este acea parte a cartografiei care se ocupă cu procedeele şi instrumentele necesare aprecierii cantitative a diferitelor obiecte sau

Διαβάστε περισσότερα

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate.

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate. Copyright c 009 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 15 iunie

Διαβάστε περισσότερα

a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R.

a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R. POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE O HIPERCUADRICA AFINA REALA. TANGENTE SI ASIMPTOTE. OANA CONSTANTINESCU Pentru studiul pozitiei relative a unei drepte fata de o hipercuadrica, remarcam ca nu mai

Διαβάστε περισσότερα

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Subiecte : 1. Proprietăţile mulţimilor. Mulţimi numerice importante. 2. Relaţii binare. Relaţii de ordine. Relaţii de echivalenţă. 3. Imagini directe şi imagini inverse

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE TEST 2.4.1 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. Rezolvare: 1. Alcadienele sunt hidrocarburi

Διαβάστε περισσότερα

Polarizarea tranzistoarelor bipolare

Polarizarea tranzistoarelor bipolare Polarizarea tranzistoarelor bipolare 1. ntroducere Tranzistorul bipolar poate funcţiona în 4 regiuni diferite şi anume regiunea activă normala RAN, regiunea activă inversă, regiunea de blocare şi regiunea

Διαβάστε περισσότερα

A1. Valori standardizate de rezistenţe

A1. Valori standardizate de rezistenţe 30 Anexa A. Valori standardizate de rezistenţe Intr-o decadă (valori de la la 0) numărul de valori standardizate de rezistenţe depinde de clasa de toleranţă din care fac parte rezistoarele. Prin adăugarea

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 6. Centre de greutate... 1 Cuprins..1

CUPRINS 6. Centre de greutate... 1 Cuprins..1 URS 6 ENTRE DE GREUTATE UPRINS 6. entre de greutate...... 1 uprins..1 Introducere modul.1 biective modul....2 6.1. entre de greutate......2 6.2. Momente statice...4 Test de autoevaluare 1...5 6.3. entre

Διαβάστε περισσότερα

Prof. univ. dr. Ion CRĂCIUN Departamentul de Matematică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi CALCUL DIFERENŢIAL

Prof. univ. dr. Ion CRĂCIUN Departamentul de Matematică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi CALCUL DIFERENŢIAL Prof. univ. dr. Ion CRĂCIUN Departamentul de Matematică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi ANALIZĂ MATEMATICĂ CALCUL DIFERENŢIAL IAŞI 2011 Cuprins 1 Noţiuni fundamentale de teoria mulţimilor

Διαβάστε περισσότερα

Laborator biofizică. Noţiuni introductive

Laborator biofizică. Noţiuni introductive Laborator biofizică Noţiuni introductive Mărimi fizice Mărimile fizice caracterizează proprietăţile fizice ale materiei (de exemplu: masa, densitatea), starea materiei (vâscozitatea, fluiditatea), mişcarea

Διαβάστε περισσότερα

Clasa a IX-a, Lucrul mecanic. Energia

Clasa a IX-a, Lucrul mecanic. Energia 1. LUCRUL MECANIC 1.1. Un resort având constanta elastică k = 50Nm -1 este întins cu x = 0,1m de o forță exterioară. Ce lucru mecanic produce forța pentru deformarea resortului? 1.2. De un resort având

Διαβάστε περισσότερα

Lucrul si energia mecanica

Lucrul si energia mecanica Lucrul si energia mecanica 1 Lucrul si energia mecanica I. Lucrul mecanic este produsul dintre forta si deplasare: Daca forta este constanta, atunci dl = F dr. L 1 = F r 1 cos α, unde r 1 este modulul

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VI-a

Subiecte Clasa a VI-a Clasa a VI Lumina Math Intrebari (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns

Διαβάστε περισσότερα

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale.

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Definiţie. Fie f : A R n R. i) Un punct a A se numeşte punct de extrem local pentru f dacă diferenţa f(x) f păstrează semn constant pe

Διαβάστε περισσότερα

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =.

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =. Copyright c ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician Ministerul Educatiei al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 4 iunie Profilul real Timp

Διαβάστε περισσότερα