ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΚΛΑΣΙΚΕΣ ΘΕΩΡΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΕΥΘΥ & ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΒΑΘΙΑΣ ΚΑΘΙΖΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΙ

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΚΛΑΣΙΚΕΣ ΘΕΩΡΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΕΥΘΥ & ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΒΑΘΙΑΣ ΚΑΘΙΖΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΙ. ΚΑΘΙΖΗΣΗ ΜΕΓΑΛΗΣ ΚΛΙΜΑΚΑΣ - ΟΡΙΣΜΟΙ Τ υπόγει έργ (Πολιτικού Μηχνικού ή άλλ γεωτεχνικά) είνι ο λόγος νκτνοµής των τάσεων κι πρµορφώσεων στη µάζ των γεωϋλικών. Το ποτέλεσµ της νκτνοµής είνι η κθίζηση στην επιφάνει της γης, η οποί δηµιουργεί νεπιθύµητες συνέπειες γι τη λειτουργί των κτσκευών. (Εικ. -). Εικ. - Συνέπειες κθιζήσεων Οι πρπάνω συλλογισµοί δηµιουργούν τ κόλουθ ερωτήµτ: - Πώς ν προβλεφθεί η επίδρση των υπόγειων εργσιών στην επιφάνει της γης; - Πώς ν εκτελεστούν οι υπόγειες εργσίες (σχήµτ κι διστάσεις των έργων) έτσι ώστε τ υπάρχοντ κτίρι κι εξοπλισµοί στην επιφάνει ν µπορούν ν διτηρήσουν την ύπρξη κι την λειτουργί τους; Αυτά είνι τ προβλήµτ τ οποί θ µελετηθούν σε υτή την εργσί. Οι λύσεις των προβληµάτων που δίνοντι πρκάτω µπορεί ν χρησιµοποιηθούν γι τις ποσοτικές κι τις ποιοτικές µελέτες µερικών φυσικών φινοµένων. Γι πράδειγµ, ότν η λάβ εκρήγνυτι πό τον κρτήρ ενός ηφιστείου, σχηµτίζοντι κενά στη µάζ της λάβς, σν ποτέλεσµ της εξάπλωσης του ερίου. Εικ. - Εδφική νύψωση Εικ. -3 Εδφική νύψωση

2 Ακολούθως, κάτω πό το βάρος των υπερκείµενων βράχων υτά τ κενά µπορεί ν κτρρεύσουν προκλώντς έτσι κτπτώσεις στην επιφάνει της γης που οι γεωλόγοι ονοµάζουν «calderas». Η πτύχωση που δηµιουργείτι στην επιφάνει της γης κάτω πό την επίδρση των κτκόρυφων (προς τ πάνω) κινήσεων στη βάση, επίσης νήκει σε υτή την σειρά των φινοµένων που νάγοντι στ πρπάνω περιγρφόµεν θέµτ προς µελέτη (Εικ. -). Οι σεισµοί συνοδεύοντι πό µετκινήσεις εδφικών στρωµάτων άρ κι µετκινήσεων στην επιφάνει της γης. Από το µέγεθος τους κάποιος µπορεί ν κρίνει σχετικά µε µερικά φινόµεν τ οποί έχουν συµβεί στην σεισµική εστί ή µπορούν ν χρησιµεύσουν σν σηµάδι επερχόµενης κτστροφής (Εικ. -3). Επίσης ξίζει ν νφερθεί ότι οι επιχειρήσεις διάσωσης στο Τσερνοµπίλ περιελάµβνν τη κτσκευή σήργγς κάτω πό το στθµό του πυρηνικού στθµού, ο οποίος τότε ήτν γεµάτος µε σκυρόδεµ (συµπγής - άκµπτο). Η έλλειψη γνώσης σχετικά µε την επίδρση της σήργγς (υπόγειος δρόµος) στην επιφάνει της γης θ µπορούσε ν οδηγήσει σε κόµ περισσότερο κτστροφικές συνέπειες. Αυτό το γεγονός µόνο τονίζει την σπουδιότητ των προβληµάτων που µελετούντι σε υτή την εργσί. Εικ. -4 Τοµή εδάφους υπό κθίζηση Στις γεωκτσκευές πρτηρούντι οι ζώνες, που εµφνίζοντι στην Εικόν -4 (η κάθετη όψη στην Εικόν υποθέτετι ν είνι πείρως µκριά). Πρέπει ν σηµειωθεί ότι - Ότν η κτάπτωση συµβίνει σε µικρό βάθος πό την επιφάνει της γης ζώνη κτάπτωσης µπορεί ν φτάσει την επιφάνει όπου σχηµτίζοντι τάφροι. - Ότν η κτάπτωση συµβίνει σε µεγάλο βάθος εµφνίζετι η ζώνη κθίζησης. Ότν οι υπόγειες εργσίες εκτελούντι κάτω πό τ 50µ., η εικόν της επιρροής των υπογείων εργσιών στην κτάστση της µάζς της γεωκτσκευής κι την επιφάνει της προυσιάζετι στην Εικ. -5. Τρεις ζώνες δικρίνοντι []:. Κεντρική ζώνη (νάµεσ στ σηµεί Ε κι G) - η κθίζηση είνι µέγιστη ( w max ), λλά οµοιόµορφη κι σφλής γι τ κτίρι κι τον εξοπλισµό.. Εσωτερική συνορική γρµµή (EC, DG) - η κθίζηση είνι µικρότερη w max < w < w max, λλά νοµοιόµορφη κι επικίνδυνη γι τ σηµεί της

3 3 επιφάνεις οι οποίες υποβάλλοντι σε έντση: δισυνδετικοί γωγοί, σιδηροδροµικές γρµµές κ.λ.π. υπόκειντι σε πρµορφώσεις - µετκινήσεις. Εικ. -5 Ζώνες επιφνεικής κθίζησης 3. Εξωτερική συνορική γρµµή (CF, DH) - η κτάπτωση δεν είνι w ξιοσηµείωτη max > w > 0, λλά είνι νώµλη, η κµπύλη είνι κυρτή κι το έδφος υποβάλλετι σε έντση που δηµιουργεί κίνδυνο γι τ σηµεί της επιφάνεις. Γι ν χρκτηρίσουµε τις πρµορφώσεις του εδάφους (µέγιστη κθίζηση, πότοµη κλίση, µεγάλη κµπυλότητ, οριζόντιες πρµορφώσεις - µετκινήσεις κ.λ.π.) είνι πρίτητο ν γνωρίζουµε την κµπύλη κτνοµής των κτκόρυφων µετκινήσεων W x, y W = W x, y, z (τρισδιάσττο πρόβληµ). W = ( ) (µονοδιάσττο πρόβληµ) ή ( ). ΕΥΘΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΚΛΑΣΙΚΕΣ ΘΕΩΡΙΕΣ.. Η θεωρί του Litwiniszyn Ευθύ πρόβληµ Στην Εικόν.6 εµφνίζετι µί κάθετη τοµή του φλοιού της γης το οποίο έχει υποστεί κτάπτωση στη βάση µίς περιοχής του σε µεγάλο βάθος πό την επιφάνει, το ονοµζόµενο ως πρόβληµ θυροπετάσµτος κθίζησης. Θεωρώντς τον άξον z πράλληλο στην διεύθυνση της βρυτικής δύνµης, µε ντίθετη φορά πό υτήν, τότε κτά µήκος του άξον z σχηµτίζοντι ζώνες κθίζησης, τις οποίες θ µελετήσουµε. Θεωρούµε στο επίπεδο z=z τη κµπύλη (, ) z = z (.) w x z όπου η συνάρτηση ( x, ) w z υπολογίζει την κθίζηση (κτκόρυφες µετκινήσεις) ή την ονοµζόµενη κµπύλη των κθιζήσεων 3 ως προς το επίπεδο z = z. Η κµπύλη κθιζήσεων Μ προκλεί στο επίπεδο z = z > z το συµβάν της κµπύλης Μ µε Αγγλ. trap door sbsidence Αγγλ. trap door problem 3 Αγγλ. sbsidence trogh

4 άγνωστες συντετγµένες ( z x ) w. Υποθέτουµε ότι η συνάρτηση w = w ( z, ), είνι το ποτέλεσµ µίς µθηµτικής πράξης στην συνάρτηση x 4 Εικ..6 Επίπεδ κθίζησης z ( z, x ) T w( z, ) w = (.) z x Σύµφων µε τη θεωρί του Litwiniszyn [] υποθέτουµε ότι ο τελεστής Τ ικνοποιεί τ κόλουθ ξιώµτ: Αξίωµ. Ο τελεστής T είνι γρµµικός, δηλ. T + [aw(x,z ) + bw(x,z )] = atw(x,z ) btw(z, x ) (.3) Αξίωµ. Ο τελεστής T είνι µη-ρνητικός κι συνεχής. Αξίωµ 3. Ο τελεστής T είνι µονδικός. Αξίωµ 4. Ο τελεστής T ικνοποιεί την προϋπόθεση γι σύγκλιση στις ρχικές συνθήκες, δηλ. lim Tw x x ( x,z ) = w( x,z ) (.4) Από το Αξίωµ 3 η εξίσωση συνρτησικών (µετβτικότητ του τελεστή) προκύπτει z z z z z (,z ) T w( x, z ) 3 3 T T w x = (.5) z Χρησιµοποιώντς τ ξιώµτ κι κι τη θεωρί των κτνοµών [3] µπορούµε ν ποδείξουµε τ κόλουθ Θεώρηµ []. ΈστωT ένς ολοκληρωτικός τελεστής της µορφής

5 5 w + ( x, z ) w( z, x ) ( z, x;z, x ) dx = (.6) ϕ x είνι συνάρτηση κτνοµής πυκνότητς. Από τις δύο τελευτίες εξισώσεις η ολοκληρωτική εξίσωση των στοχστικών µεθόδων (Smolchowski-Einstein-Kolmogorov) προκύπτει όπου = ϕ( z, x ;z, ) ϕ = ϕ + ( z, x,z 3, x 3 ) = ϕ( z, x ;z 3, x 3 ) ϕ( z, x;z, x ) dx (.7) όπου x = + ϕ (,z ;x,z ) dx (.8) Υπό προϋποθέσεις που περιγράφοντι σε επόµενη πράγρφο τ πρπάνω οδηγούν στην µερική διφορική εξίσωση Einstein Kolmogorov []: z ( x, z) = [B( z, x) w( z, x) ] [A( z, x) w( z, x)] Οι συντελεστές A ( z, x) κι ( z, x) (.9) B χρκτηρίζουν τις ιδιότητες των γεωϋλικών. Έτσι, ότν το συνεχές µέσο είνι ετερογενές µόνο κτά µήκος του άξον z η τελευτί εξίσωση πίρνει τη µορφή (εξίσωση θερµότητς δι γωγής του Forier): z w ( z, x) = B( z) ( z, x) (.0) κτά την οποί, ότν λύνουµε συγκεκριµέν προβλήµτ πρέπει ν προσθέτοντι κτάλληλες ρχικές κι συνορικές συνθήκες. Στην τριδισττική περίπτωση η τελευτί εξίσωση πίρνει τη µορφή z w w ( z, x, y) = B( z) ( z, x, y) + ( z, x, y) y (.) Προτείνετι γι πεπερσµένες κτκόρυφες µετκινήσεις, οι οριζόντιες ( x, z) ( x, z) κι υ ν υπολογίζοντι πό τις εµπειρικές εξρτηµένες σχέσεις του S. G. Aversin [] = (.) ( x, y, z) B( z) υ ( x, y, z) = B( z) (.3) y

6 6 Είνι ενδιφέρον ότι η ολοκληρωτική εξίσωση του M.Smolchowski είνι µη γρµµική ενώ η ντίστοιχη διφορική εξίσωση των Einstein-Kolmogorov είνι γρµµική, όπως επίσης ότι ενώ όλες οι λύσεις στην εξίσωση των Einstein- Kolmogorov είνι λύσεις της ολοκληρωτικής εξίσωση του M.Smolchowski, το ντίθετο δεν συµβίνει γενικά. Χρησιµοποιώντς τους πρπάνω συλλογισµούς ο J.Litwiniszyn πέδειξε [] ότι η συνάρτηση (, z) = ( πz) ϕ ρ ρ.exp z (.4) είνι κι λύση στην ολοκληρωτική εξίσωση του M.Smolchowski κι θεµελιώδης λύση στο πρόβληµ του Cachy γι την εξίσωση θερµικής γωγιµότητς δηλδή περιέχετι στην κλάση των λύσεων της εξίσωσης των Einstein-Kolmogorov, ενώ η συνάρτηση z ϕ ( ρ, z) = (.5). π z + ρ z είνι µί λύση στην ολοκληρωτική εξίσωση του M.Smolchowski λλά δεν περιέχετι στην κλάση των λύσεων της εξίσωσης των Einstein-Kolmogorov. Αυτή η συνάρτηση είνι ο πυρήνς της λύσης του προβλήµτος συνορικών τιµών Dirichlet γι την διφορική εξίσωση Laplace... Η θεωρί των J. Litwiniszyn S.G.Aversin Υποθέτουµε τ πρκάτω ξιώµτ []: Αξίωµ. Τ γεωϋλικά είνι συµπίεστ συνεχή µέσ, δηλδή ισχύει z ( x, z) + ( x, z) = 0 (.6) Αξίωµ. Η κόλουθη σχέση υπάρχει νάµεσ στις µεττοπίσεις οριζόντι () κι κάθετη (w) (S.G.Aversin) = (.7) ( x, z) B( z) ( x, z) όπου B = B() z είνι έν χρκτηριστικό µέγεθος των γεωϋλικών το οποίο µπορεί ν υπολογιστεί πό τοπολογικές πρτηρήσεις. Από τ ξιώµτ κι προκύπτει η εξίσωση που πρέπει ν ικνοποιεί τις κάθετες µεττοπίσεις κθιζήσεις z w = B() z (.8)

7 7 η οποί είνι γνωστή ως εξίσωση S.G. Aversin J.Litwiniszyn. Με υτόν τον τρόπο, το πρόβληµ του προσδιορισµού εξίσωσης γι τις κµπύλες κθιζήσεων γι µι δεδοµένη κτάπτωση στη βάση. w ( x,0) ϕ( x) = (.9) κι δεδοµένη B = B() z, µεττρέπετι στο πρόβληµ του Cachy γι την εξίσωση του Forier. Πρέπει ν σηµειώσουµε ότι υπάρχουν διάφορες προτάσεις σχετικά µε τη µορφή της συνάρτησης B = B() z. Έτσι, σύµφων µε τον S.G.Aversin είνι µί γρµµική συνάρτηση σύµφων µε τον W.Bdryk είνι πρβολή. Σε υτή την εργσί γι λόγους πλοποίησης των προβληµάτων που κολουθούν λµβάνετι ως στθερά. 3. ΜΗ-ΚΑΛΩΣ ΟΡΙΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ- ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 3.. Εισγωγή Μη-κλώς ορισµέν προβλήµτ Οι πιτήσεις οι οποίες έθεσε ο J. Hadamard στις λύσεις των προβληµάτων ρχικών κι συνορικών τιµών της µθηµτικής φύσης είνι:. Η λύση πρέπει ν υπάρχει. Η λύση πρέπει ν είνι µονδική 3. Η λύση πρέπει ν είνι ευστθής Προβλήµτ των οποίων οι λύσεις ικνοποιούν τις νωτέρω νφερόµενες συνθήκες ονοµάζοντι κλώς ορισµέν 3 σύµφων µε τον Hadamard. Αν κάποι πό τις πρπάνω νφερόµενες συνθήκες δεν ισχύει τότε ονοµάζουµε το πρόβληµ µη κλώς ορισµένο σύµφων µε τον Hadamard. Θ µπορούσε ν ειπωθεί, γι πράδειγµ, ότι το πρόβληµ του Cachy γι την εξίσωση Laplace = ( x, y), + = 0, y > 0 (.0) y ( x,0) = 0, ( x,0) y = a sin( nx), x [0, π] (.) είνι µη-κλώς ορισµένο επειδή υπάρχει µί µονδική λύση Αγγλ. trap door sbsidence Αγγλ. ill-posed problems (improperly posed problems) 3 Αγγλ. well-posed

8 8 a ( x, y) = sinh(ny).sin( nx) a, n - const. (.) n λλά δεν είνι στθερή. Γι την κρίβει, γι κάθε ε > 0, c > 0 κι y > 0 µπορεί ν επιλεγεί µε τέτοιο τρόπο ώστε οι νισότητες a sin nx a < ε, sinh( ny).sin( nx) > c (.3) n ν ισχύουν. Μέχρι τ µέσ της δεκετίς του 970, υποθέτοντν ότι τ µη-κλώς ορισµέν προβλήµτ δεν έχουν φυσική έννοι, ότι η δεύτερη ρχή της θερµοδυνµικής πρβλέπετι κ.λ.π. Κτά τη διάρκει της τελευτίς δεκετίς, κυρίως οφειλόµενο στις έρευνες του A.N.Tychonoff, έγινε ξεκάθρο ότι τ µη κλώς ορισµέν προβλήµτ µπορεί ν έχουν σηµσί κι η σπουδιότητά τους είνι ξιοσηµείωτη επειδή υπάρχουν σηµντικά προβλήµτ της φυσικής όπου η λύση τους νάγετι στην επίλυση µη κλώς ορισµένων προβληµάτων (π.χ. γεωφυσικά). Ιδιίτερη σηµσίς έχουν τ ονοµζόµεν ντίστροφ προβλήµτ, στ οποί, το ποτέλεσµ δίνετι κι υτό που ζητείτι είνι το ίτιο. Αυτά τ προβλήµτ είνι συνήθως µη-κλώς ορισµέν. Σε υτό τη πράγρφο, δίνουµε, µετά πό µι γενική εξέτση του ζητήµτος των «ντίστροφων προβληµάτων», πρδείγµτ διφόρων τάξεων ντίστροφων προβληµάτων που νπτύσσοντι σε ποικίλ πεδί εφρµογών. Όπως θ δούµε, γρµµικά ντίστροφ προβλήµτ τείνουν σε ολοκληρωτικές εξισώσεις πρώτου τύπου, το οποίο είνι ο λόγος που τέτοιες εξισώσεις πίζουν σηµντικό ρόλο στην µελέτη των ντίστροφων προβληµάτων. Από την άλλη µεριά, πολλά βσικά ντίστροφ προβλήµτ είνι ισχυρώς µη γρµµικά κόµ κι ότν η ντιστοιχί σε ευθύ πρόβληµ είνι γρµµική. Ότν χρησιµοποιείτε ο όρος ντίστροφο πρόβληµ, µέσως µς προκλείτι η ερώτηση «ως προς τι ντίστροφο;». Ακολουθώντς τον J.B.Keller [3], κάποιος ποκλεί δύο προβλήµτ ντίστροφ µετξύ τους ότν η διτύπωση του ενός λύνει το άλλο. Κυρίως γι ιστορικούς λόγους, ποκλούµε το έν πρόβληµ (συνήθως το πλούστερο ή υτό το οποίο µελετήθηκε πρώτο) ευθύ πρόβληµ κι το άλλο ντίστροφο πρόβληµ. Aν υπάρχει έν πργµτικό πρόβληµ πίσω πό το υπό εξέτση µθηµτικό πρόβληµ τότε στις περισσότερες περιπτώσεις υπάρχει µι σφής διάκριση στο ευθύ κι το ντίστροφο πρόβληµ. Γι πράδειγµ, εάν κάποιος θέλει ν προβλέψει την µελλοντική συµπεριφορά ενός φυσικού συστήµτος πό την γνώση της προύσς κτάστσης κι των φυσικών νόµων (συµπεριλµβνοµένων συγκεκριµένων ξιών όλων των σχετικών φυσικών πρµέτρων), κάποιος θ το ονόµζε υτό ευθύ πρόβληµ. Πιθνόν τ ντίστροφ προβλήµτ είνι ο προσδιορισµός της προύσς κτάστσης του συστήµτος πό µελλοντικές πρτηρήσεις (δηλ. πλιότερ ο υπολογισµός της εξέλιξης του συστήµτος) ή η νγνώριση των φυσικών πρµέτρων πό πρτηρήσεις της εξέλιξης του συστήµτος (υπολογισµός πρµέτρου). Υπάρχουν, πό άποψη εφρµογής, δύο διφορετικοί τρόποι µελέτης τέτοιων ντίστροφων προβληµάτων: ) θ πρέπει ν γνωρίζουµε πλιότερες κτστάσεις ή πρµέτρους ενός φυσικού συστήµτος. β) θ πρέπει ν νκλύψουµε πως Αγγλ. Inverse problems

9 9 µπορούµε ν επηρεάσουµε έν σύστηµ µέσω της προύσς κτάστσης του ή µέσω πρµέτρων ώστε ν µπορέσουµε ν το εξετάσουµε κλύτερ σε έν επιθυµητό επίπεδο στο µέλλον. Έτσι, κάποιος θ µπορούσε ν πει ότι τ ντίστροφ προβλήµτ συνδέοντι µε την εύρεση ιτιών γι έν πρτηρούµενο ποτέλεσµ. Τ ντίστροφ προβλήµτ τις περισσότερες φορές δεν ικνοποιούν την ορθότητ κτά Hadamard. Είνι πιθνό ν µην έχουν µι λύση µε την κριβή έννοι του όρου, µπορεί ν µην υπάρχει µι κι µονδική λύση ή/κι µπορεί ν µην εξρτώντι συνεχώς πό τ δεδοµέν. Τ µθηµτικά προβλήµτ που έχουν υτά τ µη επιθυµητά στοιχεί ονοµάζοντι µη κλώς ορισµέν προβλήµτ κι δηµιουργούν (περισσότερο λόγω της µη εξάρτησης των λύσεων πό τ δεδοµέν) µεγάλες ριθµητικές δυσκολίες. Όσο η µελέτη των συγκεκριµένων ντίστροφων προβληµάτων συχνά εµπλέκει το ερώτηµ πώς ν ενδυνµωθεί η µονδικότητ µε πρόσθετες πληροφορίες ή υποθέσεις, δεν µπορούν ν λεχθούν πολλά σχετικά µε υτό σε έν γενικό ντικείµενο. Η άποψη της έλλειψης της ευστάθεις κι της ποκτάστσης της µε κτάλληλες µεθόδους (µέθοδοι κνονικοποίησης), πρόλ υτά, µπορεί ν ντιµετωπιστεί γενικά. Η θεωρί των µεθόδων κνονικοποίησης είνι κλά νεπτυγµένη γι τ γρµµικά ντίστροφ προβλήµτ κι ελάχιστ γι τ µη γρµµικά προβλήµτ. Πρκάτω, προυσιάζοντι ενδεικτικά µέθοδοι γι ν λύνουµε µη-κλώς ορισµέν προβλήµτ όπως η µέθοδος της οιονεί-ντιστροφής κ.λ.π Αντίστροφ προβλήµτ στη Θεωρί των J. Litwiniszyn S. Aversin Ότν είνι πρίτητη η κτσκευή ενός υπογείου έργου κάτω πό κτοικηµένες περιοχές ή περιοχές σηµντικών υλικών ή µηχνηµάτων, τότε η κµπύλη κθίζησης στην επιφάνει της γης κθορίζετι υστηρά πό τους κτσκευστικούς κνονισµούς. Τότε η ερώτηση που τίθετι είνι πώς θ βρεθεί µί τέτοι µέθοδος υποσκφής, έτσι ώστε η επιθυµητή κµπύλη κθιζήσεων ν πργµτοποιηθεί. Αυτό το πρόβληµ µπορεί ν διτυπωθεί µε έννοιες της θεωρίς των Litwiniszyn-Aversin [], ως κολούθως: Ανσχηµτίζουµε την ρχική συνθήκη w ( x,0) ϕ( x) = (.4) του προβλήµτος (.8)-(.9) κι χρησιµοποιούµε το πρκάτω πρόβληµ γι επίλυση z w = B() z (.5) ( x, H) f ( x) w = (.6) που είνι ισοδύνµο στο πρόβληµ του προσδιορισµού της κτνοµής ( x) ολοκληρωτική εξίσωση Fredholm πρώτου είδους: ϕ πό την Με τον όρο Ορθότητ ονοµάζετι ο έλεγχος ενός µθηµτικού προβλήµτος ως προς την τοποθέτηση του δηλ. ν είνι κλώς ορισµένο ή µη-κλώς ορισµένο

10 0 π 0 H () B s ds. + exp 4 ( x s) H B() s 0 ϕ ds () s ds = f ( x) (.7) γι δεδοµένες συνρτήσεις f = f ( x) κι B = B() z. Το πρόβληµ (.5)-(.6) κι το ισοδύνµο του γι τον προσδιορισµό του ϕ = ϕ( x) πό την σχέση (.7) είνι µη-κλώς ορισµένο σύµφων µε τον Hadamard κι λύνετι πό τη µέθοδο της οιονεί-ντιστροφής [4] Η µέθοδος των οιονεί-λύσεων Ορισµός. Λέµε ότι η εξίσωση του τελεστή Af = F (.8) έχει στο σύνολο πρκάτω M M, µί οιονεί-λύση f M ν γι το λύση f ισχύουν τ ( Af, F) = inf (Az, F) ρ (.9) ρ f M Αν µπορεί ν δειχθεί ότι το f είνι έν τέτοιο στοιχείο του M του οποίου η εικόν A f είνι το πιο «κοντινό» στοιχείο στο F πάνω στο σύνολο A M, τότε ισχύουν τ κόλουθ θεωρήµτ: Θεώρηµ []. Έστω οι χώροι Banach Ε κι Ε, όπου το Ε κυρτό κι Α ένς συνεχής έν προς έν, γρµµικός τελεστής. Τότε το πρόβληµ εύρεσης οιονεί-λύσης στην εξίσωση του τελεστή (.8) στο κυρτό συνεκτικό M είνι κλώς ορισµένο σύµφων µε τον Hadamard. Θεώρηµ []. Αν κάτω πό τις συνθήκες του θεωρήµτος επιλέξουµε έν σύστηµ κυρτών συνεκτικών, έτσι ώστε U M i = M 0 (.30) (η ένωση σηµίνει την κάλυψη του συνόλου), τότε οι οιονεί-λύσεις τείνουν στην οιονεί-λύση f ( F, ) f = γι n. M 0 () i f ( F, M ) f = 0 Πράδειγµ. Πρέπει ν εφρµόσουµε την µέθοδο που περιγράφετι γι ν επιτύχουµε µί λύση στην εξίσωση του τελεστή. Af = F (.3) Αγγλ. qasi-soltion

11 Ας θεωρήσουµε µέσ στο χώρο L έν ορθοκνονικό σύστηµ συνρτήσεων () t,..., () t ϕ (.3) ϕ n Ζητάµε µί λύση πάνω στο συνεκτικό Μ: = () = c M f : f t kϕ k () t, k (.33) k k= όπου το c είνι στθερό. Κτά µήκος του συνεκτικού M, µελετάµε το συνεκτικό n c M n = f : f () t = kϕ k () t, k (.34) k = k Σύµφων µε το Θεώρηµ, η οιονεί-λύση ( F, M n ) λύση ( F, M) f γι µεγάλο n προσεγγίζει τη f κι µπορεί ν ληφθεί ως λύση της ρχικής εξίσωσης Η µέθοδος του J.Lions της οιονεί-ντιστροφής Έστω η περιοχή D είνι πεπερσµένη µέσ στο τριδιάσττo Ευκλείδειο χώρο κι t ο = x, y, z, t του προβλήµτος (ευθύ πρόβληµ). χρόνος, θεωρούµε τη λύση ( ) = 0 t { x D, t 0} G = > (.35) ( x, t) 0 = x S (.35β) ( x,0) ϕ( x) = (.35γ) όπου S είνι η επιφάνει-σύνορο του χώρου D κι ο τελεστής Laplace = + y + z. Η λύση = ( x, y, z, t) στο ευθύ πρόβληµ υπάρχει, είνι µονδική κι ευστθής. x, y, z, t Η λύση του ντίστροφου προβλήµτος, µε ρχικές συνθήκες τη λύση ( ) υπολογίζοντς την ϕ ( x), µπορεί ν µην υπάρχει κν. Ονοµάζουµε «γενικευµένη λύση» του ντίστροφου προβλήµτος, τη συνάρτηση ϕ ( x) ως προς την οποί επιτυγχάνετι = ϕ C f inf ( φ ) 0 (.36) Αγγλ. qasi-reversibility

12 όπου ( ϕ) = ( x, t; ϕ) ψ( x) D f dx (.37) γι κθορισµένο T > 0 κι ψ ( x) (ορισµένο στο D), ψ ( x) L. Από την ύπρξη της κλάσης των γενικευµένων συνρτήσεων ϕ ( x) στις οποίες f 0 = 0, το πρόβληµ εύρεσης προσεγγιστικής τιµής f 0 µε έν κθορισµένο λάθος προσέγγισης µπορεί ν ντιµετωπισθεί. Το πρόβληµ τότε διτυπώνετι ως κολούθως: γι έν δεδοµένο ριθµό ε>0, ν βρεθεί συνάρτηση ϕ ε ( x) γι την οποί ν ισχύει f ( ϕ ε ) ε. Στη λύση υτού του προβλήµτος νφέρετι η µέθοδος της οιονεί-ντιστροφής του Lions [5]. Το πρόβληµ νάγετι στο ν βρεθεί ένς τελεστής B κοντά στον τελεστή () () t γι τον οποίο (πρόβληµ µε ντίστροφο χρόνο) B = 0, x D, t < T, > 0 (.38) ( x,t) = ψ( x) (.38β) ( x, t) = 0, x S, t T < (.38γ) Το πρπάνω πρόβληµ είνι κλώς ορισµένο κτά Hadamard. Η επίλυση του πρπάνω προβλήµτος νφέρετι σύµφων µε τ προηγούµεν σε ϕ ( x) = ( x,0). Συνήθως ο B λµβάνετι στην µορφή t κι το «ευθύ» πρόβληµ είνι t = 0, x D, t < T, > 0 (.39) ( x,t) = ψ( x) (.39β) ( x, t) = 0, x S, 0 < t T (.39γ) = 0, x S, 0 < t T (.39δ) θέτοντς ( x) = ( x,0) ϕ.

13 3 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ. Dimova, V.L., Some Direct and Inverse Problems in Applied Geomechanics, University of Mining & Geology, Sofia, Litwiniszyn, J., Stochastic Methods in the Mechanics of Granlar Bodies. Springer-Verlag, Wien, Carleman, T., Les Fnctions qasi analytics, Paris Keller, J., Inverse problems, Amer. Math. Monthly 83, Lattés, R. and Lions, J.L. The method of qasi-reversibility. American Elsevier Pb. Co., New York, 969

14 4