ΔΜΠ ΥΟΛΖ ΔΜΦΔ ΣΟΜΔΑ ΦΤΗΚΖ ΑΚΑΓΖΜΑΪΚΟ ΔΣΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΦΤΗΚΖ-Η, 1 ΟΤ ΔΞΑΜΖΝΟΤ ΥΟΛΖ ΖΛΔΚΣΡΟΛΟΓΩΝ ΜΜΤ Γιδάζκονηες: Η. Ράπηης, Λ. Σζέηζερης, Κ.

Transcript

1 ΔΜΠ ΥΟΛΖ ΔΜΦΔ ΣΟΜΔΑ ΦΤΗΚΖ ΑΚΑΓΖΜΑΪΚΟ ΔΣΟ 1-13 ΜΑΘΖΜΑ: ΦΤΗΚΖ-Η, 1 ΟΤ ΔΞΑΜΖΝΟΤ ΥΟΛΖ ΖΛΔΚΣΡΟΛΟΓΩΝ ΜΜΤ Γιδάζκονηες: Η. Ράπηης, Λ. Σζέηζερης, Κ. Φαράκος ΣΑ ΦΤΛΛΑΓΗΑ ΑΚΖΔΩΝ ΓΗΝΟΝΣΑΗ ΓΗΑ ΣΖΝ ΔΞΑΚΖΖ ΣΩΝ ΠΟΤΓΑΣΩΝ, ΓΔΝ ΓΗΝΟΤΝ BONUS ΣΖΝ ΣΔΛΗΚΖ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΑ ΣΟΤ ΜΑΘΖΜΑΣΟ ΚΑΗ ΓΔΝ ΕΖΣΔΗΣΑΗ ΝΑ ΠΑΡΑΓΟΘΟΤΝ ΟΗ ΛΤΔΗ ΣΟΤ ΣΟΤ ΓΗΓΑΚΟΝΣΔ. 3 η ΔΗΡΑ ΑΚΖΔΩΝ Ηανοσάριος 13 Γ.1 Έλα ζώκα κάδαο m θηλείηαη ζε κία δηάζηαζε (πάλσ ζηνλ άμνλα x) ππό ηελ επίδξαζε ηεο δύλακεο όπνπ k θαη a είλαη ζεηηθέο ζηαζεξέο. Τν ζώκα δέρεηαη επίζεο δύλακε από ειαηήξην ζηαζεξάο k θαη θπζηθνύ κήθνπο 99a. Σην έλα άθξν ηνπ ειαηεξίνπ είλαη δεκέλν ην ζώκα κάδαο m, ελώ ην άιιν άθξν είλαη ζηεξεσκέλν ζην ζεκείν. (α) Πνηά είλαη ε ζπλάξηεζε ηεο δπλακηθήο ελέξγεηαο U(x) ηνπ ζώκαηνο ζην δηάζηεκα, αλ U(a)=; (β) Να ζρεδηαζζεί πξόρεηξα ε U(x) ζην δηάζηεκα θαη λα βξεζνύλ ηα ζεκεία ηζνξξνπίαο ηνπ ζώκαηνο, θαζώο θαη ην είδνο ηζνξξνπίαο ζην θαζέλα. (γ) Αλ ην ζώκα μεθηλήζεη από ηε ζέζε x = κε κεδεληθή αξρηθή ηαρύηεηα, ππνινγίζηε κε πόζε ηαρύηεηα ζα πεξάζεη από ην ζεκείν ηνπ παξαπάλσ δηαζηήκαηνο όπνπ ε δπλακηθή ηνπ ελέξγεηα είλαη πεπεξαζκέλε θαη έρεη ηνπηθό κέγηζην. (δ) Έζησ όηη ην ζώκα αθήλεηαη κε κεδεληθή αξρηθή ηαρύηεηα από ηελ ζέζε,9a. Γείμηε όηη ε θίλεζε πνπ ζα επαθνινπζήζεη είλαη θαηά πξνζέγγηζε αξκνληθή ηαιάλησζε θαη βξείηε ηελ πεξίνδό ηεο. Γ. Οκνγελήο ξάβδνο κάδαο m θαη κήθνπο l ζηέθεηαη αξρηθά θαηαθόξπθα πάλσ ζε δάπεδν πνπ έρεη ζπληειεζηή ζηαηηθήο ηξηβήο μ. Ζ ξάβδνο εθηξέπεηαη ιίγν θαη αθήλεηαη λα πέζεη. (α) Βξείηε ηελ γσληαθή ηαρύηεηα ηεο ξάβδνπ όηαλ απηή ζρεκαηίδεη γσλία θ κε ηελ θαηαθόξπθν (ππνζέηνπκε όηη ε ξάβδνο δελ έρεη νιηζζήζεη). (β) Βξείηε αθόκε ηνλ ζπληειεζηή μ αλ ε νιίζζεζε αξρίδεη γηα θ = 3º. Γ.3 Βαγόλη κάδαο m είλαη ζπλδεδεκέλν κέζσ αβαξνύο λήκαηνο κε κάδα m 1 όπσο θαίλεηαη ζην ζρήκα. Τν λήκα είλαη πεξαζκέλν ζε ηξνραιία αθηίλαο R θαη ξνπήο αδξάλεηαο I σο πξνο ην θέληξν ηεο. Τν βαγόλη είλαη αξρηθά αθίλεην θαη ηελ ρξνληθή ζηηγκή t = ην αθήλνπκε ειεύζεξν λα θηλεζεί. Γίλεηαη όηη m = 18 m 1 θαη I = m 1 R. (α) Πξνζδηνξίζηε ηελ επηηάρπλζε ηνπ βαγνληνύ σο πξνο αθίλεην παξαηεξεηή Π θαη σο πξνο παξαηεξεηή Β πνπ κεηέρεη ηεο θίλεζεο ηνπ βαγνληνύ. (β) Μάδα m είλαη ζπλδεδεκέλε ζηελ άθξε θπζηθνύ εθθξεκνύο κήθνπο l ην νπνίν είλαη αλαξηεκέλν από ηελ νξνθή ηνπ βαγνληνύ. Ζ κάδα m είλαη ακειεηέα ζε ζρέζε κε ηελ m. Βξείηε σο πξνο ηνλ παξαηεξεηή Β ηελ ζέζε επζηαζνύο ηζνξξνπίαο ηνπ εθθξεκνύο αθνύ ην βαγόλη αθεζεί ειεύζεξν λα θηλεζεί. (γ) Γείμηε όηη γηα ηνλ Β θαη γηα ρξόλνπο t > t ην εθθξεκέο ζα εθηειεί ηαιάλησζε γύξσ από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ εξσηήκαηνο (β). Δπηρεηξεκαηνινγήζηε όηη κε βάζε ηα δεδνκέλα ηνπ πξνβιήκαηνο ε ηαιάλησζε κπνξεί λα ζεσξεζεί θαηά πξνζέγγηζε αξκνληθή θαη βξείηε ηελ θπθιηθή ηεο ζπρλόηεηα ω. (ΣΖΜΔΗΩΣΖ: Ζ βαζηθή ζρέζε πνπ ζπλδέεη ηελ ζηξνθνξκή κε ηελ ζπλνιηθή

2 ξνπή ηζρύεη θαη γηα ηνλ παξαηεξεηή Β, αξθεί απηόο λα ιάβεη ππόςηλ ηνπ θαη ηηο πξαγκαηηθέο θαη ηηο ηπρόλ ςεπδνδπλάκεηο (αδξαλεηαθέο δπλάκεηο) πνπ πθίζηαληαη ζην ζύζηεκα αλαθνξάο ηνπ). Γ.4 Ζ δπλακηθή ελέξγεηα ζώκαηνο κάδαο m = 1 kg πνπ θηλείηαη πάλσ ζηνλ άμνλα x δίλεηαη από ηε ζπλάξηεζε όπνπ l = 1 m θαη A = 1 J. (α) Βξείηε ηελ δύλακε F(x) πνπ δέρεηαη ην ζώκα ζε ηπραία ζέζε x. Βξείηε επίζεο ηα ζεκεία επζηαζνύο θαη αζηαζνύο ηζνξξνπίαο ηνπ ζώκαηνο. (β) Σρεδηάζηε πξνζεγγηζηηθά ηε ζπλάξηεζε V(x) ζην δηάζηεκα από ην x = έσο ην x = +. Γείμηε πάλσ ζην ζρήκα ηνπιάρηζηνλ κία πεξηνρή γηα ηελ νπνία ε δύλακε είλαη ειθηηθή θαη κία πεξηνρή γηα ηελ νπνία ε δύλακε είλαη απσζηηθή ζε ζρέζε κε ην ζεκείν x =. Γ.5 Τν επίπεδν νκνγελνύο θπθιηθνύ δίζθνπ αθηίλαο R θαη κάδαο M είλαη παξάιιειν πξνο ην θαηαθόξπθν επίπεδν x-z (όπσο θαίλεηαη ζην Σρήκα, ν άμνλαο x είλαη νξηδόληηνο θαη ν άμνλαο ησλ z θαηαθόξπθνο). Ο δίζθνο είλαη αξρηθά αθίλεηνο κέζα ζην νκνγελέο βαξπηηθό πεδίν ηεο Γεο θαη κπνξεί λα πεξηζηξαθεί γύξσ από αθίλεην νξηδόληην άμνλα πνπ είλαη θάζεηνο ζην επίπεδν ηνπ δίζθνπ θαη πεξλάεη από ην θέληξν ηνπ O. Ζ ξνπή αδξάλεηαο ηνπ δίζθνπ γύξσ από απηόλ ηνλ άμνλα είλαη. Βιήκα κάδαο m θηλείηαη ζηνλ άμνλα x κε ηαρύηεηα v σο πξνο αθίλεην παξαηεξεηή θαη θαξθώλεηαη ηε ρξνληθή ζηηγκή t ζην θαηώηεξν ζεκείν ηνπ δίζθνπ. Οη δηαζηάζεηο ηνπ βιήκαηνο είλαη πνιύ κηθξόηεξεο από απηέο ηνπ δίζθνπ. (α) Γξάςηε ηελ δηαθνξηθή εμίζσζε (καδί κε ηηο αξρηθέο ζπλζήθεο) πνπ πεξηγξάθεη ηελ ζέζε ηνπ βιήκαηνο ζε ρξνληθή ζηηγκή t > t κέζσ θαηάιιειεο γσλίαο. (β) Πνην είλαη ην κέγηζην ύςνο h max ζην νπνίν ζα θηάζεη ην βιήκα αλ ζεσξήζνπκε όηη ην θαηώηεξν άθξν ηνπ δίζθνπ είλαη ζε κεδεληθό ύςνο; (γ) Αο ππνζέζνπκε όηη ηα δεδνκέλα ηνπ πξνβιήκαηνο είλαη ηέηνηα ώζηε ην h max λα είλαη πνιύ κηθξόηεξν από ηελ αθηίλα R ηνπ δίζθνπ. Γείμηε ηόηε όηη ην βιήκα ζα εθηειέζεη θαηά πξνζέγγηζε έλαλ ηύπν αξκνληθήο ηαιάλησζεο κεηά ηελ ρξνληθή ζηηγκή t θαη βξείηε ηελ πεξίνδν απηήο ηεο ηαιάλησζεο. Γ.6 Ζ δπλακηθή ελέξγεηα ελόο δηαηνκηθνύ κνξίνπ είλαη ίζε κε a r r a r r U( r) e e, όπνπ r είλαη ε απόζηαζε κεηαμύ ησλ δύν αηόκσλ θαη U θαη a είλαη ζεηηθέο ζηαζεξέο. Έζησ όηη ην έλα άηνκν παξακέλεη αθίλεην ζηε ζέζε r. (α) Σρεδηάζηε ηε ζπλάξηεζε U(r). (β) Βξείηε ηε δύλακε πνπ αζθείηαη ζην ειεύζεξν άηνκν. Δμεγήζηε γηα πνηα r είλαη ε δύλακε ειθηηθή, κεδεληθή, απσζηηθή. (γ) Τν ειεύζεξν άηνκν θξαηείηαη ζηε ζέζε r = 3r / θαη αθήλεηαη λα θηλεζεί, κε κεδεληθή αξρηθή ηαρύηεηα. Βξείηε ηε κέγηζηε ηαρύηεηα πνπ ζα απνθηήζεη. Πεξηγξάςεηε ηελ θίλεζε πνπ ζα επαθνινπζήζεη. (δ) Αλ ηα δύν άηνκα απνκαθξπλζνύλ ζε απόζηαζε x ην έλα από ην άιιν θαη αθεζνύλ ειεύζεξα κε κεδεληθέο ηαρύηεηεο, γηα πνηεο ηηκέο ηνπ x ζα δηαζπαζζεί ην κόξην;

3 Γ.7 Λεπηή ξάβδνο κήθνπο l θαη κάδαο m έρεη γξακκηθή ππθλόηεηα (κάδα αλά κνλάδα m x κήθνπο) πνπ δίλεηαη από ηελ ζρέζε x 1, όπνπ x ε απόζηαζε από ην έλα ηεο 3l l άθξν Ο. Ζ ξάβδνο βξίζθεηαη πάλσ ζε νξηδόληην επίπεδν θαη κπνξεί λα πεξηζηξαθεί γύξσ από θαηαθόξπθν άμνλα πνπ πεξλά από ην Ο. (α) Να ππνινγίζεηε ηε ζέζε ηνπ θέληξνπ κάδαο ηεο ξάβδνπ, θαζώο θαη ηε ξνπή αδξάλεηάο ηεο σο πξνο ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο. (β) Μηα ζεκεηαθή κάδα m ζηεξεώλεηαη ζην ειεύζεξν άθξν ηεο ξάβδνπ. Τελ ρξνληθή ζηηγκή t = ε ζεκεηαθή κάδα εθηνμεύεηαη κε ηε βνήζεηα εζσηεξηθώλ δπλάκεσλ θαη θηλείηαη πάλσ ζην επίπεδν κε ηαρύηεηα v ζε θαηεύζπλζε θάζεηε ζηελ αξρηθή θαηεύζπλζε ηεο ξάβδνπ. Πνηα ζα είλαη ε γσληαθή ηαρύηεηα ηεο ξάβδνπ ακέζσο κεηά ηελ εθηόμεπζε; (γ) Πόζε ελέξγεηα απαηηείηαη γηα ηελ εθηόμεπζε; (δ) Αλ ν ζπληειεζηήο ηξηβήο κεηαμύ ηεο ξάβδνπ θαη ηνπ νξηδόληηνπ επηπέδνπ είλαη μ, βξείηε κεηά ζε πνηα ρξνληθή ζηηγκή ζα αθηλεηνπνηεζεί ε ξάβδνο. Γ.8 (α) Έζησ νκνγελήο ηεηξάγσλε πιάθα κε κήθνο πιεπξάο a θαη νιηθή κάδα Μ. Ξεθηλώληαο από ηνλ νξηζκό ηεο ξνπήο αδξάλεηαο ( I miri r dm), ππνινγίζηε ηελ ξνπή αδξάλεηαο Ι C i ηεο πιάθαο σο πξνο ηνλ άμνλα z πνπ είλαη θάζεηνο ζην επίπεδν ηεο πιάθαο θαη πεξλάεη από ην θέληξν ηεο C. (β) Σε θάζε κηα από ηηο θνξπθέο Α, Β, Γ θαη Γ ηεο πιάθαο δέλεηαη κηα ζεκεηαθή κάδα m = Μ/1 (δειαδή νη κάδεο m δελ κπνξνύλ λα θηλεζνύλ σο πξνο ηελ πιάθα). Ζ πιάθα αξρηθά (γηα t = t = ) είλαη αθίλεηε. Από ηελ ρξνληθή ζηηγκή t θαη κεηά αζθείηαη ζηελ κάδα m ηνπ ζεκείνπ Α εμσηεξηθή δύλακε πνπ έρεη ζηαζεξό κέηξν F θαη θνξά πξνο ηελ γεηηνληθή κάδα m ζην ζεκείν Β. Κάζε κάδα m δέρεηαη αληίζηαζε από ηνλ αέξα ε νπνία έρεη θνξά αληίζεηε ζηελ ηαρύηεηα ηεο m θαη κέηξν bυ, όπνπ b ζεηηθή ζηαζεξά θαη υ ην κέηξν ηεο ηαρύηεηαο ηεο κάδαο m. Ζ πιάθα πεξηζηξέθεηαη γύξσ από ηνλ άμνλα z ππό ηελ επίδξαζε ησλ παξαπάλσ δπλάκεσλ. Βξείηε ην κέηξν ηεο ηαρύηεηαο υ 1 θάζε κάδαο m ηελ ρξνληθή ζηηγκή t 1 > t. (γ) Τελ ρξνληθή ζηηγκή t 1 παύεη λα αζθείηαη ε δύλακε F. Βξείηε ηελ ρξνληθή ζηηγκή t > t 1 θαηά ηελ νπνία ε ηαρύηεηα θάζε κάδαο m είλαη υ = υ 1 /. Γ.9 Λεπηή ξάβδνο κήθνπο L = 1 m πεξηζηξέθεηαη κε γσληαθή ηαρύηεηα ω = 1 rad/s, ζε νξηδόληην επίπεδν, γύξσ από θαηαθόξπθν άμνλα πνπ δηέξρεηαη από ην έλα άθξν ηεο P. Σε εζσηεξηθή νξζνγώληα εζνρή θαη θαηά κήθνο ηεο ξάβδνπ κπνξεί λα θπιά, ρσξίο ηξηβή, ζθαηξίδην κάδαο M = 1 kg. Τν ζθαηξίδην είλαη πξνζαξηεκέλν ζηελ άθξε αβαξνύο ειαηεξίνπ θπζηθνύ κήθνπο L/ θαη ζηαζεξάο k = 1 N/m. Τν άιιν άθξν ηνπ ειαηεξίνπ έρεη θαξθσζεί ζην πεξηζηξεθόκελν άθξν P ηεο ξάβδνπ. Έζησ όηη ηελ ρξνληθή ζηηγκή t = ην ζθαηξίδην βξίζθεηαη ζε απόζηαζε L/3 από ην P θαη έρεη ηαρύηεηα υ = 5 m/s κε θνξά από ην P πξνο ην P. (α) Βξείηε θαη ζρεδηάζηε ηηο δπλάκεηο πνπ δέρεηαη ην ζθαηξίδην γηα t = όπσο απηέο ηηο κεηξάεη αθίλεηνο παξαηεξεηήο Ο. (β) Βξείηε θαη ζρεδηάζηε ηηο δπλάκεηο πνπ δέρεηαη ην ζθαηξίδην γηα t = όπσο απηέο ηηο κεηξάεη παξαηεξεηήο Π πνπ πεξηζηξέθεηαη καδί κε ηελ ξάβδν. (γ) Γείμηε όηη ζύκθσλα κε ηνλ Π ε νιηθή δύλακε πνπ αζθείηαη ζην ζθαηξίδην κεδελίδεηαη όηαλ απηό βξίζθεηαη γηα t = t A > ζε θάπνην ζεκείν Α ηεο ξάβδνπ. (δ) Γείμηε όηη γηα t > ε θίλεζε ηνπ ζθαηξηδίνπ σο πξνο ηνλ παξαηεξεηή Π είλαη αξκνληθή ηαιάλησζε γύξσ από ην ζεκείν Α θαη βξείηε ηελ γσληαθή ηεο

4 ζπρλόηεηα. (ε) Πνηα είλαη ε ειάρηζηε θαη πνηα ε κέγηζηε απόζηαζε από ην θέληξν P θαηά ηελ δηάξθεηα ηεο ηαιάλησζεο; Γ.1 Οκνγελήο επίπεδε πιάθα απνηειείηαη από έλα νξζνγώλην κε πιεπξέο 4a θαη 8a θαη έλα ηεηξάγσλν θελό κε πιεπξέο κήθνπο a, όπσο θαίλεηαη ζην ζρήκα (1). Ζ πιάθα βξίζθεηαη κέζα ζην νκνγελέο βαξπηηθό πεδίν ηεο Γεο, έρεη ζπλνιηθή κάδα Μ (αληηζηνηρεί ζηελ γθξη πεξηνρή ηνπ ζρήκαηνο), θαη αθνπκπάεη αξρηθά κε ηελ πιεπξά ΑΒ πάλσ ζε νξηδόληην δάπεδν. Ο ζπληειεζηήο ζηαηηθήο ηξηβήο κεηαμύ ηεο πιάθαο θαη ηνπ δαπέδνπ είλαη μ. (α) Ξεθηλώληαο από ηνλ νξηζκό ( I miri r dm), ππνινγίζηε ηελ ξνπή i αδξάλεηαο Ι Β ηεο πιάθαο σο πξνο ηνλ άμνλα ΒΒ πνπ είλαη θάζεηνο ζην επίπεδν ηεο πιάθαο θαη πεξλάεη από ηελ θνξπθή ηεο Β. (β) Έζησ όηη εθηξέπνπκε ηελ πιάθα από ηελ αξρηθή ηεο ζέζε (1) πεξηζηξέθνληάο ηελ θαηά γσλία θ γύξσ από ηνλ άμνλα ΒΒ, όπσο θαίλεηαη ζην ζρήκα (). Αλ αθήζνπκε ειεύζεξε ηελ πιάθα από ηελ ζέζε ηνπ ζρήκαηνο (), γηα πνηεο ηηκέο ηεο γσλίαο εθηξνπήο θ ε πιάθα ζα αξρίζεη λα πεξηζηξέθεηαη γύξσ από ηνλ άμνλα ΒΒ θαη ζύκθσλα κε ηνπο δείθηεο ηνπ ξνινγηνύ; (γ) Σηελ πεξίπησζε πνπ ε αξρηθή γσλία εθηξνπήο είλαη ηέηνηα ώζηε λα επαθνινπζήζεη πεξηζηξνθή γύξσ από ηνλ ΒΒ θαη ζύκθσλα κε ηνπο δείθηεο ηνπ ξνινγηνύ, βξείηε ηελ γσληαθή ηαρύηεηα πεξηζηξνθήο ω σο ζπλάξηεζε ηεο γσλίαο εθηξνπήο θ. Σηα εξσηήκαηα (β) θαη (γ) ππνζέηνπκε όηη ν ζπληειεζηήο ηξηβήο μ είλαη ηέηνηνο ώζηε ην ζεκείν επαθήο Β λα κελ νιηζζαίλεη. Γ.11 Πξνθεηκέλνπ λα αλεβάζνπκε ζώκα κάδαο m, από ην νξηδόληην επίπεδν ΑΒ ζην νξηδόληην επίπεδν ΓΓ, (ηα νπνία απέρνπλ θαηαθόξπθε απόζηαζε Ζ θαη νξηδόληηα απόζηαζε L), κπνξνύκε λα ην ζπξώμνπκε, είηε θαηά κήθνο θεθιηκέλνπ επηπέδνπ ΑΔΓ, είηε θαηά κήθνο θπθιηθνύ ηόμνπ ΑΕΓ, ην νπνίν γξάθεηαη κε θέληξν Κ, (πνπ πξνθύπηεη από ηελ ηνκή ηεο ΚΑ ΑΒ κε ηελ ΚΔ ε νπνία είλαη κεζνθάζεηνο ζην ΑΓ), θαη αθηίλα R=(L +H )/H, είηε θαηά κήθνο ηνπ νξηδνληίνπ επηπέδνπ, κέρξη ηελ θαηαθόξπθε πξνβνιή ηνπ ζεκείνπ Γ, θαη ζηελ ζπλέρεηα αλπςώλεηαη. Καη νη ηξεηο δηαδξνκέο έρνπλ ηνλ ίδην ζπληειεζηή θηλεηηθήο ηξηβήο κ, (κε εμαίξεζε ηελ αλύςσζε ηεο ηξίηεο δηαδξνκήο, θαηά ηελ νπνία δελ έξρεηαη ζε επαθή κε ην θαηαθόξπθν επίπεδν). (α) Να ππνινγίζεηε ην ζπλνιηθό έξγν πνπ παξάγεη ε δύλακε πνπ εθαξκόδνπκε ζην ζώκα θαηά ηελ δηαδξνκή ΑΔΓ, θαηά ηελ δηαδξνκή ΑΕΓ, θαη θαηά ηελ ηξίηε δηαδξνκή. (β) Να εθθξάζεηε ηα ζπλνιηθά έξγα ηνπ εξσηήκαηνο (α) ζπλαξηήζεη ησλ m, g, κ, H θαη L, θαη λα ηα ζπγθξίλεηε. Δίλαη ε ηξηβή δηαηεξεηηθή δύλακε; Δμεγήζηε. g A K θ Δ KA=ΚΕ=ΚΓ=R Ε L Γ H Γ B

5 Γ.1 Ζ δύλακε πνπ αζθείηαη πάλσ ζε έλα ζώκα είλαη (ζε Ν όηαλ ηα κήθε είλαη ζε m) F( x, y, z) ( y xz)ˆ x (xy z )ˆ y (yz x ) zˆ. (α) Γείμηε όηη ε δύλακε είλαη δηαηεξεηηθή. (β) Θεσξώληαο όηη είλαη U (,, ), δείμεηε όηη ε δπλακηθή ελέξγεηα ηνπ ζώκαηνο είλαη U( x, y, z) ( xy yz zx ). Υπόδεημε: Οινθιεξώζηε μερσξηζηά ηηο ζρέζεηο: Fx, Fy, Fz. x y z Γ.13 Σώκα κάδαο m αλαξηάηαη από ειαηήξην, νπόηε, ζε θαηάζηαζε εξεκίαο, ην ζπλνιηθό κήθνο ηνπ ειαηεξίνπ είλαη δηπιάζην ηνπ θπζηθνύ ηνπ κήθνπο. Τν ζύζηεκα κπνξεί λα εθηειέζεη ηαιαληώζεηο κηθξνύ πιάηνπο είηε ζηελ νξηδόληηα είηε ζηελ θαηαθόξπθε δηεύζπλζε. (α) Να ππνινγηζζεί ν ιόγνο ησλ ζπρλνηήησλ ησλ ηαιαληώζεσλ απηώλ. (β) Βξείηε ηε κάδα M, ζε ζρέζε κε ηελ m, πνπ πξέπεη λα αλαξηεζεί από ην αλσηέξσ ειαηήξην ώζηε ν ιόγνο ησλ δύν ζπρλνηήησλ λα είλαη ; Γ.14 Σεκεηαθή κάδα m είλαη ζπλδεδεκέλε ζε αθιόλεην ζηήξηγκα κε ειαηήξην ζηαζεξάο s θαη κεραληζκό πνπ αζθεί ηξηβή ηεο κνξθήο Fηξ rπ, κε r ηέηνην ώζηε λα έρνπκε θξίζηκε απόζβεζε. Τν ζύζηεκα μεθηλά ηελ θίλεζή ηνπ ηελ ρξνληθή ζηηγκή t, κε αξρηθή απνκάθξπλζε x θαη αξρηθή ηαρύηεηα π. (α) Γείμηε όηη ην ζύζηεκα, πξηλ εξεκήζεη (γηα t ), κπνξεί λα πεξάζεη ην πνιύ κία θνξά από ηελ ζέζε ηζνξξνπίαο, x, ππό ηελ πξνϋπόζεζε όηη ε αξρηθή απνκάθξπλζε x θαη ε αξρηθή ηαρύηεηα π ηθαλνπνηνύλ κία π νξηζκέλε ζρέζε. (β) Σηελ πεξίπησζε πνπ σ x, όπνπ σ : ε θπζηθή ζπρλόηεηα ηαιάλησζεο ηνπ ζπζηήκαηνο αλ δελ ππήξραλ ηξηβέο, δείμηε όηη ην ζύζηεκα δηέξρεηαη από ηελ 1 ζέζε ηζνξξνπίαο ηελ ρξνληθή ζηηγκή t, θαη ππνινγίζηε ηελ ηαρύηεηα δηέιεπζεο. (γ) Τη σ πνζνζηό ηεο αξρηθήο ελέξγεηαο ηνπ ζπζηήκαηνο έρεη απνξξνθεζεί από ηελ ηξηβή, κέρξη ηε ρξνληθή ζηηγκή t. Γ.15 Απιόο αξκνληθόο ηαιαλησηήο ρσξίο απόζβεζε, κε κάδα m θαη ζηαζεξά ειαηεξίνπ s, δηεγείξεηαη από κία δύλακε F=F sin(ωt). (α) Να ππνινγίζεηε ηε κεηαηόπηζε x=x(t), ζηελ πεξίπησζε πνπ νη αξρηθέο ζπλζήθεο είλαη x(t=)= θαη x (t=)=υ. (β) Γηα ζπρλόηεηεο δηέγεξζεο θνληά ζηε ζπρλόηεηα σ = s, ζεσξείζηε όηη ω=ω m +Δω (όπνπ Δω κηθξό θαη ηέηνην ώζηε Δω t 1). Αλαπηύζζνληαο ηε ιύζε ηνπ εξσηήκαηνο (α) γύξσ από ην ω, λα δείμεηε όηη ην πιάηνο ηεο κεηαηόπηζε απμάλεη γξακκηθά κε ην ρξόλν. Γ.16 Σώκα κάδαο m βξίζθεηαη ζε νξηδόληην επίπεδν θαη ζπλδέεηαη κε (νξηδόληην) ειαηήξην ην άιιν άθξν ηνπ νπνίνπ είλαη αθιόλεην. Τν ζώκα πθίζηαηαη ημώδε ηξηβή ηεο κνξθήο rυ, θαη επί ηνπ ζπζηήκαηνο γίλνληαη νη εμήο παξαηεξήζεηο: i) Αλ ζπξώμνπκε ην ζώκα νξηδόληηα κε δύλακε mg, ην ειαηήξην ζπκπηέδεηαη ζηαηηθά θαηά h. ii) Οηαλ ην ζώκα θηλείηαη κε ηαρύηεηα κέηξνπ u, πθίζηαηαη ηξηβή κέηξνπ mg. Γηα ην αλσηέξσ ζύζηεκα:

6 (α) Γξάςηε ηελ δηαθνξηθή εμίζσζε θίλεζεο ε νπνία δηέπεη ηελ νξηδόληηα θίλεζε ηνπ ζώκαηνο, ζπλαξηήζεη ησλ παξακέηξσλ, m, g, h, θαη u. Σηελ πεξίπησζε πνπ u=3(gh) 1/, απαληήζηε ηα παξαθάησ εξσηήκαηα: (β) Πνηά είλαη ε ζπρλόηεηα απνζβελόκελσλ ηαιαληώζεσλ; (γ) Σε πόζν ρξνληθό δηάζηεκα, [ζε κνλάδεο (gh) 1/ ], κεηώλεηαη ε ελέξγεηα ηνπ ζπζηήκαηνο θαηά έλα παξάγνληα 1/e; (δ) Τν ζώκα, ελώ βξίζθεηαη ζε εξεκία, δέρεηαη κία ζηηγκηαία ώζεζε, πεπεξαζκέλνπ κέηξνπ, ηε ρξνληθή ζηηγκή t=. Αλ ε θίλεζή ηνπ, ζπλαξηήζεη ηνπ ρξόλνπ, πεξηγξάθεηαη από κία ζρέζε ηεο κνξθήο x(t)=ae -(γt/) cos(ωt-δ), ππνινγίζηε ηελ ηηκή ηεο θάζεο δ, θαη ζρεδηάζηε ην x σο ζπλάξηεζε ηνπ t, γηα κεξηθέο πεξηόδνπο ηεο θίλεζήο ηνπ. Γ.17 Τν πιάηνο ησλ ηαιαληώζεσλ απινύ εθξεκνύο κε κήθνο L=1m ειαηηώλεηαη θαηά έλα παξάγνληα e, θαηά ηε δηάξθεηα 5 πιήξσλ ηαιαληώζεσλ. Τν ζεκείν αλάξηεζεο ηνπ εθθξεκνύο ηίζεηαη ζε απιή αξκνληθή ηαιάλησζε πιάηνπο 1mm, αλαγθάδνληαο θαη ην εθθξεκέο λα δηεγεξζεί. (α) Γείμηε όηη, αλ ε απνκάθξπλζε από ηελ θαηάζηαζε εξεκίαο είλαη ξ, γηα ην ζεκείν αλάξηεζεο, θαη x γηα ηε κάδα ηνπ εθθξεκνύο, ηόηε ην εθθξεκέο ηθαλνπνηεί x γx σ x g L μ. (β) Πξνζδηνξίζηε ηα (θαηά πξνζέγγηζε) κία εμίζσζε ηεο κνξθήο γ θαη ω. (γ) Δπηιύζηε ηελ εμίζσζε γηα ηελ κόληκε θαηάζηαζε, αλ ξ=ξ cos(ωt). (δ) Σε πνηά ζπρλόηεηα δηέγεξζεο ω, ην πιάηνο ηαιάλησζεο ππνδηπιαζηάδεηαη σο πξνο ην πιάηνο ζπληνληζκνύ.