ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ (Οκτ. 2013) Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας πολιτικών μηχανικών

Transcript

1 ΝΤΩΣΤΣ ΔΗΗΤΡΙΣ ΣΤΙΧΕΙ ΘΕΩΡΙΣ ΠΡΣΤΤΙΗΣ (κτ. ) Πνειστήμιο Θεσσλίς ολιτικών μηχνικών δεύτερη ροολή του II δεύτερη ροολή III M '' O + z M '' + + x όστση I IV M υψόμετρο M ' ρώτη ροολή του - x + z O M '' υψόμετρο x - z όστση M '

2 ΠΡΛΕΣ ΣΗΝΤΙ: λόκληρη η δουλειά μς θ γίνετι μέσ στον Προολικό χώρο. Όμως ο Προολικός χώρος θ μς ενδιφέρει όχι γι τις μθημτικές του ιδιότητες, λλά κυρίως γι ν μς δίνει σχεδόν ενοοιημένες ντήσεις γι το ώς ροάλλοντι τ σχήμτ του συνηθισμένου μς (Ευκλείδειου) χώρου. εντρική ροολή (ροοτική) Πρότση : Η κεντρική ροολή ευθείς ου διέρχετι ό το κέντρο της ροολής είνι το ίχνος της. Σχήμ (ε) M O () M' ίχνος της (ε) ' Σχήμ (ε) Φ (ε) I=I' () Πρότση : Το ίχνος κάθε ευθείς ροάλλετι στον ευτό του. Πρότση : Η κεντρική ροολή ευθείς ( ε ) ου δεν διέρχετι ό το κέντρο της ροολής είνι ευθεί ( ) ου διέρχετι το ίχνος της ( ε ). Η ( ) ροκύτει ως τομή του ειέδου ροολής με το είεδο ου ορίζετι ό το κι την ( ε ). Πρότση : Το ε άειρον σημείο κάθε ευθείς ροάλλετι στο σημείο φυγής Φ ( ε ) της ( ε ) δηλδή το σημείο τομής του ( ) με την ευθεί ό το την ράλληλη ρος την ( ε ). (Σχήμ ) Πρότση 5: Η κεντρική ροολή ευθείς ( ε ) ου δε διέρχετι ό το κέντρο λλά είνι ράλληλη ρος το είεδο ροολής ( ), είνι () ευθεί ράλληλη ρος την ( ε ) (στην ερίτωση ου η ( ε ) κι το δεν ορίζουν είεδο ράλληλο στο ( )) () η ε άειρον ευθεί του ( ) (στην ερίτωση ου η ( ε ) κι το ορίζουν είεδο ράλληλο στο ( )). Πρότση 6: ν η κεντρική ροολή μις ευθείς ( ε ) είνι ράλληλη ρος την ( ε ), τότε η ( ε ) είνι ράλληλη ρος το είεδο ροολής. Πρότση 7: Η κεντρική ροολή οοισδήοτε ευθείς ράλληλης ρος δοσμένη διεύθυνση διέρχετι ό στθερό σημείο, (το σημείο φυγής της διεύθυνσης). Πρότση 8: Η κεντρική ροολή οοισδήοτε ευθείς διερχόμενης ό το δοσμένο σημείο (διφορετικό του ) είνι ράλληλη στην ευθεί ν κι μόνο ν η είνι ράλληλη στο είεδο της ροολής (Σχήμ ). μ ντίζυγη του (ρ) Σχήμ Σχήμ ρ () () O (ε ) M (ε ) Άσκηση : Σχεδιάσετε τ σημεί του ( ) ου οτελούν ροολές των ε άειρον σημείων κάοιων δοσμένων ευθειών ενός τυχίου ειέδου ( ρ ). Φ (KL) Φ (ρ) Ευθεί φυγής του (ρ) Λ Λ' (ε ) (ε ) ' (Λ')

3 Πρότση 9: Η κεντρική ροολή τυχίς ευθείς του ειέδου του ράλληλου στο ( ) ό το, είνι η ε άειρον ευθεί του ειέδου ροολής (εκτός κι ν διέρχετι ό το οότε είνι έν ε άειρον σημείο). Πρότση : Έν φργμένο σχήμ () s ου νήκει σε κάοιο είεδο έχει φργμένη ροολή ν κι μόνο ν το () s δεν έχει σημεί υθιρέτως κοντά την ντίζυγη ευθεί του ειέδου του. ε Σχήμ 5 Σχήμ 6 c ε ' c M c' c' A' M' Σχήμ 7 A B c c' A' (ε) O Γ Λ Δ (ζ) ε c' Γ ' () (ε) Γ Δ Γ' Δ' Σχήμ 8 [δ] () (ε) I=I' [δ] B' Δ' Πράλληλη (λάγι κι ορθή) ροολή. Πρότση : Η ράλληλη ροολή ευθείς (ε) ου δεν είνι ράλληλη στη διεύθυνση ροολής [ δ ], είνι κριώς η ευθεί τομής του ειέδου ( ) με το είεδο ου διέρχετι ό την (ε) κι είνι ράλληλο ρος τη [ δ ]. Πρότση : Η ράλληλη ροολή ράλληλων ευθειών είνι ευθείες ράλληλες. Πρότση : Η ράλληλη ροολή διτηρεί τον λόγο των τμημάτων μις ευθείς. (Π.χ. στο Σχήμ 8, γι την ευθεί (ε) είνι ' = Γ Γ ' ). Πρότση : Στην ράλληλη ροολή, ο λόγος του μήκους ενός τμήμτος μις ευθείς ρος το μήκος του ρολλόμενου τμήμτος είνι στθερός (φυσικά μορεί ν λλάζει γι διφορετικές ευθείες). (Π.χ. στο Σχήμ 8, γι την ευθεί (ε) είνι Γ Γ = = ' ' Γ ' ' Γ ' ' ). Πρότση 5: Στην ράλληλη ροολή, η ροολή ευθύγρμμου τμήμτος ράλληλου ρος το είεδο ροολής είνι ευθύγρμμο τμήμ ίσου μήκους. Γενικότερ, η ροολή σχήμτος ράλληλου ρος το είεδο ροολής, είνι σχήμ ίσο με υτό. Είσης οι ράλληλες ροολές δύο γωνιών ου έχουν ράλληλες κι ομόρροες τις λευρές τους είνι ίσες. Πράδειγμ. : Σχήμ 9. () ()

4 Σχήμ 9 Σχήμ Δ' Δ ' Ν' θ Γ' Γ τάκλιση κι νάκλιση ειέδου (Σχήμ ). KMM ' = κλισιμετρικό τρίγωνο του ( ) ως ρος το ( ). Λ' κτ = κτάκλιση του (δηλδή = κτ κι ε κτ ). ε A Γ θ Γ' M κτ ' = ροολή του (δηλδή ε ). Είνι ευθεί ευθεί κτ.

5 ΠΡΣΤΣΕΙΣ ΣΕ ΕΝ ΕΠΙΠΕΔ (Υψομετρική Προολή, δηλδή ροολή σε έν είεδο με υψόμετρ, δηλδή συνολικές υψομετρικές κτόψεις) Πράστση σημείου (Σχήμ ) B (ε) () άνω στο (): μηδενικά υψόμετρ O M (ε) ω M' θετικός ημιχώρος: θετικά υψόμετρ Πράστση ευθείς (Σχήμ ) Έστω ω η γωνί κλίσης της (ε) ως ρος το (). Τότε εφ(ω) = κλίση της (ε) ως ρος το (). ς είνι το σημείο τομής της (ε) με το (). Η () είνι άξονς με ρχή το, θετική φορά υτή κτά την οοί υξάνουν τ υψόμετρ των σημείων της (ε), κι μονάδ μέτρησης την ργμτική μονάδ μέτρησης (δηλδή τη σχεδιστική μονάδ στο χρτί μς). Θ τον συμολίζουμε < >. Ισχύει: ' = σφ(ω)υ όου η ύλ άνω ό το μήκος υοδηλώνει λγερική τιμή στον άξον ή μηδενικές τιμές σύμφων με τις συμάσεις μς. τύος υτός διάζετι κι ως: ληθινό μήκος στον άξον () - -σφω A [ ] ω O A' B' () σφ(ω) σφ(ω) - ρνητικός ημιχώρος: < > ρνητικά υψόμετρ Σχήμ Σχήμ < >, κι το υψόμετρο υ λμάνει θετικές, ρνητικές, < > = στθερός ριθμός εί υ. ότε η () μορεί ν θεωρηθεί ως. Εφόσον ο στθερός άξονς κι με έν δεύτερο τρόο, διτηρώντς την ρχή, κι δηλώνοντς οστάσεις ό το όσο λένε τ ριθμός είνι ο σφ(ω) κι < ω < 9 θ έχουμε σφ(ω) >, οότε η θετική φορά του νέου άξον τυτίζετι με την λιά. Ενώ στον λιό άξον η λγερική όστση ενός σημείου της ευθείς (ε), έστω του (υ) ό την ρχή ήτν ' = σφ(ω)υ, στο νέο ' άξον είνι υ =. Θ συμολίζουμε την () ως άξον με τον νέο τρόο ως []. Έτσι σημεί του < > με λγερικές τιμές σφ(ω) (ληθινές ροσημσμένες οστάσεις)..., σφ(ω),, σφ(ω), σφ(ω),... έχουν ντιστοίχως λγερικές τιμές στον [] :...,,,,,... Γι την σφ(ω) ου ονομάζετι κι ήμ ή θμίδ της ευθείς () έχουμε (δες Σχήμ ) τον εξής γενικότερο τύο: σφ(ω) = υ υ όου, είνι δύο τυχί σημεί της ευθείς. ν λοιόν γι δύο σημεί (υ ),(υ ) της () είνι υ υ =, τότε σφ(ω) =, δηλδή όσο κι η ργμτική τους ροσημσμένη (εί του < > ) όστση. Συνεώς ν ξεκινώντς ό το, σημειώσουμε διδοχικά σημεί εί της (), ου έχουν (νά δύο διδοχικά) ροσημσμένη (εί του < >) όστση σφ(ω), τ σημεί υτά θ είνι εκείν με υψόμετρ...,,,,,..., δηλδή τ σημεί της () ου ροκύτουν ως ροολές σημείων της (ε) με κέρι υψόμετρ. Τ σημεί υτά της (ε) τ ονομάζουμε συντόμως κέρι σημεί της, ενώ τις ροολές τους τις ονομάζουμε κέρι σημεί του άξον []. άξονς [] με σημειωμέν τ κέρι σημεί του, ονομάζετι υψομετρική κλίμκ της ( ε ). ριθμός σφ(ω) ονομάζετι ήμ ή θμίδ της (ε). Η υψομετρική κλίμκ μις ευθείς ονομάζετι κι ράστσή της στην ρσττική με μί ροολή με υψόμετρ. υ ω υ (ε) υ = = υ - υ () σφ(ω) = / = / (υ -υ )

6 Εύρεση κλίμκς ευθείς (δηλδή της ράστσής της) ό τις ρστάσεις σημείων της (Σχήμ ) (') (ος τρόος) (ε κτάκλιση) ' Δεδομέν (υ ) (υ ) σφ(ω) (ος τρόος) = σφ(ω)υ Υψόμετρο σημείου ριστμένης ευθεί ς, ότν είνι γνωστή η ροολή του (Σχήμ ) (ος τρόος) Ευθείες συμτές κι σύμτες Πρότση : ι ευθείες (ε), (ζ) είνι ράλληλες ν κι μόνο ν οι υψομετρικές τους κλίμκες [],[ζ '] είνι ισοδύνμες (δηλδή οι (ε), (ζ) έχουν ράλληλες ροολές με ίσες θμίδες κι τ υψόμετρά τους υξάνουν ομορρόως). (Σχήμ 5,) Πρότση : ι ευθείες (ε), (ζ) τέμνοντι ν κι μόνο ν οι ευθείες του ειέδου ροολής () ου ενώνουν σημεί ίσων υψομέτρων των [ ], [ζ '] είνι ράλληλες. (Σχήμ 5γ,δ) (ε) ( ) Δεδομέν Σχήμ 5 γ δ Άσκηση : Στο εόμενο σχήμ (Σχήμ 6) δίνοντι οι ροολές δύο σημείων A'(), () μις ευθείς (ε) κθώς κι οι ροολές Γ'(), Δ'() μις ευθείς (ζ). ε κτκλίσεις των (ε ), (ε ) ν διιστώσετε ως οι δύο ευθείες είνι σύμτες. (Ν γίνουν σκέψεις στην ερίτωση ου το σημείο του εόμενου σχήμτος ρίσκετι εκτός χρτιού σχεδίσης). [] σφ(ω)= / (υ - υ ) = / (υ - υ ) υ = υ + / (υ - υ ) ' σφ(ω) (υ ) ' υ (υ ) (ζ) - '(ζ ' ) [ ] - () εδομέν () [ζ ' ] Γ'() '() ( ) (ε) ' ' ' (ζ) ' (ζ ' ) ' ζ ' ζ '' Γ' = Γ'' ' '' ' ' υ (') υ υ υ [ ] - ' άρ (ε),(ζ) σύμτες (ος τρόος) [ζ ' ] Σχήμ 6 [] - [] Σχήμ Σχήμ 5

7 Πράστση ειέδου ιχνοκάθετος του (ρ) () ' η' (ρ) η θ ι υ Γ ζ υ υ ' Γ ' ζ ' θ' Γ" ι' ε ιχνοράλληλη του (ρ) - [ι ' ] ρ[ι ' ] Σχήμ 7 Πρότση : ι ροολές των ιχνορλλήλων άνω στο () είνι ράλληλες ευθείες ου διέρχοντι ό τ σημεί της υψομετρικής κλίμκς [ ι '] με το ντίστοιχο υψόμετρο. (Σχήμ 7) Πρότση : Oι ευθείες του () ου διέρχοντι ό ροολές ισοϋψών σημείων των υψομετρικών κλιμάκων δύο ιχνοκθέτων του (ρ), είνι ευθείες ράλληλες κι οτελούν τις ροολές των ιχνορλλήλων του (ρ) ου ρίσκοντι σε υψόμετρο όσο δηλώνουν τ υψόμετρ των κλιμάκων. (Σχήμ 7) Άσκηση : θορισμός υψομετρικής κλίμκς (δηλ. ράστσης) ειέδου (ρ) ό τις υψομετρικές κλίμκες [],[ζ '] δύο ευθειών του (ε),(ζ). (Σχήμ 8) Έλεγχος γι το ν ριστάμενο σημείο ή ευθεί νήκει σε ριστάμενο είεδο (Σχήμ 8,γ) Άσκηση : θορισμός υψομετρικής κλίμκς (δηλ. ράστσης) ειέδου (ρ) ό τις ρστάσεις τριών σημείων του, όως.χ. των A'(.),B'(.),Γ'(.8). (Σχήμ 9) Άσκηση : Ν ρστθεί είεδο το οοίο διέρχετι ό δοσμένη ριστάμενη ευθεί (Σχήμ ). [ ] - [ι ' ] - - ρ[ι ' ] [ζ ' ] [ι ' ] [ι ' ] υ (υ υ ) υ (υ) Σχήμ 8 Λ' (υ ) ρ[ι ' ] ρ[ι ' ] [] (ρ) υ= υ υ = υ (ε) (ρ) υ = υ (λγερικά) = / = / (.-.) = / =... Δεδομέν [ ζ ' ] = Γ' / (.-(-.8)) = Γ' / =... B'(.) '() Λ'() [ ] Έστω '(),Λ'() εί της [ ] Ν'() (.) () ' / (. - ) = ' =. =... 'Λ' = =... / x Σχήμ 9 Γ'(-.8) Γ' Έστω (),Ν'() εί της [ ] μ / (. - ) = =. =... μ / = x / ρ[ι ' ] Ν' = =... x =. Όχι ρίτητο στην = ' Άσκηση ετούτη (μοίως γι το ) () Πρότση 5: (Σχ. ) Στη γενική ερίτωση, η γωνί ευθείς (ε) κι ειέδου () είνι η μικρότερη γωνί ου σχημτίζει η (ε) με οοιδήοτε ευθεί του () ου διέρχετι ό το ίχνος της (ε). () Πρότση 6: (Σχ. ) Στη γενική ερίτωση, η γωνί ειέδου (ρ) με το είεδο () είνι η μεγλύτερη γωνί ου δημιουργεί οοιδήοτε ευθεί του (ρ) με το είεδο () (κι ομοίως, είνι η μεγλύτερη γωνί ου δημιουργεί οοιδήοτε ευθεί του () με το είεδο (ρ) ). γ (Γεωμετρικά) 6

8 - [ ] - - σ[ζ ' ] ειρί λύσεων ρ[ι ' ] () ω ι (ρ) ι = ιχνοκάθετος του (ρ) ως ρος το () ι' = ιχνοκάθετος του () ως ρος το (ρ) ι' Σχήμ () θ φ ' z x ημθ=x/ ημφ=z/ z > x ημφ > ημθ ( < θ,φ < 9 ) φ>θ...σφω > σφφ ω < φ ( < θ,φ < 9 ) γ Άσκηση 5: Ν ρστθεί ευθεί (ε) ου νήκει σε δοσμένο είεδο ρ[ι '], η οοί διέρχετι ό δοσμένο σημείο M'(υ) του ρ κι έχει δοσμένη γωνί κλίσης ω ως ρος το είεδο ροολής (Σχήμ ). Ν γίνει διερεύνηση. Δεδομέν ζ ρ[ι ' ] ω ε ε σφ(ω) ε θμίδ του ρ υ+ υ ρ[ι ' ] Άσκηση 6: Ν ρστθεί είεδο ρ[ι '] ου δημιουργεί δοσμένη γωνί ω με το είεδο ροολής κι ου διέρχετι ό δοσμένη ευθεί [] (Σχήμ ). Ν γίνει διερεύνηση. Πρότση 7: Δύο είεδ είνι ράλληλ ν κι μόνο ν οι κλίμκές τους είνι ισοδύνμες (θυμηθείτε ως υτό σημίνει ότι είνι ευθείες ράλληλες κι ομόρροες, με τις ίδιες θμίδες). Πρότση 8 (Ειεδομετρίς): Δύο ράλληλοι άξονες στο είεδο είνι ομοιόθετοι. Άσκηση 7: Ν ρστθεί η τομή δύο ειέδων ρ [ι '] κι ρ [ι '] (Σχήμ ). Ν γίνει διερεύνηση. (Διερεύνηση: Γι ρ ρ δεν υάρχει τομή στο σχέδιό μς. Γι ρ,, ρ με μη ράλληλες κλίμκες δες Σχήμ. Γι ρ,, ρ με ράλληλες κλίμκες δες Σχήμτ,γ,. Γι ρ, ρ δες Σχήμ. ) [ ] ρ ω φ ι εδομέν ω (i' ) σφω [ι ' ] σφφ - σφω - ι' ρ[ι ' ] Σχήμ [ ] σφω > σφφ ω < φ ( < θ,φ < 9 ) [ ] ρ [i' ] (i' ) ρ [i' ] Σχήμ 7

9 ρ [ι ' ] ρ όχι ράλληλο στο ρ όχι ράλληλο στο [ ] ρ [ι ' ] ρ [ι ' ] ι ' ' ι ' x' x' ' Ε' Γ ' ( ) Δίχως υψομετρική κλίμκ, με κάθε σημείο της σε υψόμετρο υ, όου το υ υολογίζετι ως εξής: ρ [ι ' ] ν η () τέμνει την (ι ' )στο ', τότε υ είνι η λγερική τιμή του ' στον άξον [ι ' ]. ορούμε ομοίως ν χρησιμοοιήσουμε την (ι ' ) ντί της (ι ' ) ρ [ι ' ] ρ, ρ με ράλληλες κλίμκες ος τρόος ρ, ρ με ράλληλες κλίμκες ος τρόος ρ [ι ' ] ι ' Σχήμ γ ι ' ι ' ρ [ι ' ] ρ [ι ' ] A ε ρ ι ι ρ A' Λ Σχήμ (ρ )// () ι ' σε (δοσμένη ) όστση υ ι ' Άσκηση 8: Ν ρστθεί η τομή ευθείς [] κι ειέδου ρ[ι '] (Σχήμ 5). Ν γίνει διερεύνηση. Άσκηση 9: Ν ρστθεί ευθεί [] ράλληλη ρος δοσμένη διεύθυνση (δ), η οοί τέμνει δοσμένες σύμτες ευθείες ['] κι ['] (Υόδειξη: Δοσμένη διεύθυνση (δ) σημίνει ως είνι γνωστή η ράστση [ζ '] μις ευθείς ζ της διεύθυνσης υτής. Πρώτ ρστήστε τ είεδ ρ,ρ ου είνι ράλληλ στην (δ) κι εριέχουν ντιστοίχως τις ευθείες,. τόιν ρστήστε την τομή ε των ρ,ρ η οοί είνι κι η ζητούμενη ευθεί.) Άσκηση : Ότν δύο είεδ ρ,ρ ου δεν είνι ράλληλ μετξύ τους ούτε στο είεδο ροολής είνι ισοκλινή ως ρος υτό, ν δείξετε τότε ως η ροολή της τομής των ρ,ρ διχοτομεί τη μί ό τις γωνίες ου δημιουργούν οι ροολές μις τυχίς ιχνορλλήλου του ενός κι μις τυχίς ιχνορλλήλλου της άλλης με το ίδιο υψόμετρο. (Δουλέψτε είτε με χωρικό σχέδιο, είτε με ροολικό). Πρότση 7: ί ευθεί ε είνι κάθετη σε έν είεδο ρ ν κι μόνο ν οι κλίμκές τους είνι ντίρροες κι οι θμίδες τους ντίστροφες. (Δηλδή ν το ρ ριστάνετι ως ρ[ζ '] τότε [] [ζ '] κι ε ρ = ε ζ = ). Άσκηση : Δίνετι είεδο ρ[ι '], οι ροολές, δύο σημείων του κι όως άντ η γρφική κλίμκ. () Ν ρεθεί το ληθές μέγεθος του τμήμτος. () Ν σημειωθεί η θέση ', ' των, μετά ό κτάκλιση του ρ εί του ειέδου ροολής με στροφή γύρω ό την κοινή τους ευθεί, κι ν ντήσετε κι άλι το ερώτημ () χρησιμοοιώντς τις κτκλίσεις ', '. (Σχήμ 5) ρ [ι ' ] Δεδομέν [ ] ρ [ι ' ] (υ) [ζ ' ] [ ] όου υ =... Σχήμ 5 Δεδομέν ρ [ι ' ] ρ [ι ' ] υ Γι το (): (λγερικά, δίχως κτάκλιση) υ υ ( ) Δίχως υψομετρική κλίμκ, με κάθε σημείο της σε υψόμετρο υ Πρώτ υολογίζουμε κτά τ γνωστά τ υ, υ. Γι τη θμίδ της ευθείς έχουμε: = / (υ - υ ) Έστω ω η γωνί κλίσης της ως ρος το είεδο ροολής. Είν: ημω = = + σφ ω + κι ημω = υ - υ / AB οότε =... 8

10 ΠΡΣΤΣΕΙΣ ΣΕ ΔΥ ΕΠΙΠΕΔ (έθοδος Monge: κτόψεις κι ροσόψεις με ορθοκνονικό σύστημ νφοράς) Πράστση σημείου (Σχήμ ): δεύτερη ροολή του II δεύτερη ροολή III M '' O + z M '' + όστση + x I IV M υψόμετρο M ' ρώτη ροολή του M '' - x + z υψόμετρο - + O + x - z όστση M ' Σχήμ Γράφουμε ( ', ''). ε είεδο σύμτωσης είεδο συμμετρίς δεύτερο ίχνος της ε Σ '' Σ δεύτερη ροολή της ε Σ '' '' ' '' '' '' ' ' Σ '' Σ ' Σ ρώτο ίχνος της ε Σ ' I IV II III Σ '' Σ ' ' Σ ' ρώτη ροολή της ε Σχήμ Σχήμ Άσκηση : Ν ρστθούν τ σημεί του χώρου A(,,), B(,,), Γ (,,), Δ (,, ), Ε(,, ). Άσκηση : Πρότι έν σημείο κθορίζετι ό τις δύο ροολές του, δείξτε ως έν σχήμ εν γένει δεν κθορίζετι ριτήτως ό τις δύο ροολές του. Άσκηση : Δείξετε ως η ροολή του σημείου M(x,,z) στ είεδ συμτώσεως κι συμμετρίς είνι ντιστοίχως τ x z z x x+ z x+ z M(,, ), M(,, ). Πρότση : Γι ν ρίσκετι σημείο του χώρου στο ρώτο (δεύτερο) είεδο ροολής ρέει κι ρκεί η ροολή του ν Πράστση ευθείς (Σχήμτ, ): Ευθεί (ε) με ρώτη κι δεύτερη ροολής της εί των ( ),( ) τις (), (') ντιστοίχως. Γράφουμε ε(, ') κι λέμε ως η (ε) ριστάνετι ό τις ροολές της (), ('). Πρότση : () Ότν η () ε νήκει σε είεδο κάθετο στον (), τότε οι δύο ροολές της τυτίζοντι κι είνι κάθετες στον (). ί τέτοι ευθεί () ε δεν κθορίζετι ό τις ροολές της. () ν κι ' είνι δύο ευθείες του ( ) κμιά εκ των οοίων δεν είνι κάθετη στον άξον (), τότε υάρχει μονδική ευθεί (ε) με ρώτη κι δεύτερη ροολή τις κι ' ντιστοίχως. Η (ε) δεν είνι κάθετη σε κνέν ό τ ( ),( ) (κι κθορίζετι ό τις ροολές της). 9

11 Πρότση : Σημείο M(M',M'') νήκει σε ευθεί εε ( ', ') ν κι μόνο ν ' κι '' ' (Σχήμ 5). Άσκηση : Ελέγξτε ν ριστάμενο σημείο ( ', ") νήκει σε ριστάμενη ευθεί ε(, '). Λύση: Άσκηση 5: Δίνετι ριστάμενη ευθεί ε(, '). Ν ρστθούν τ κοινά της σημεί κι με τ είεδ συμτώσεως κι συμμετρίς (Σχήμ 6). Άσκηση 6: Δίνοντι τ σημεί ( ', '') κι ( ', '') εγκάρσις ευθείς ε. Ν ρστθεί η ευθεί κι τ ίχνη της Σ( Σ', Σ''), Σ( Σ', Σ '') (Σχήμ 7). κτκόρυφη ρόσθι Σ '' εγκάρσι ' Σ ' ' οριζόντι Σ '' μετωική ' ράλληλη στον ' χήμ Σ '' Σ ' ' Σ ' ' Σ '' Σ '' Σ ' γ δ Σ ' ε Σ '' Σ ' ζ ' ' ' '' '' Σχήμ 5 Σχήμ 6 Λ ' '' ' ζ ε ' Σχήμ 7 Σ '' Σ '' Σ '' '' '' Σ B' ' Τ Σ ε '' Σ '' Σ ' Ε Δ A' Σ Τ ' ' Σ ' ' ε Πρότση : Δύο μη εγκάρσιες ευθείες τέμνοντι ν κι μόνο ν τ σημεί τομής των ομώνυμων ροολών τους ορίζουν ευθεί κάθετη στον άξον (Σχήμ 8). Πρότση 5: Δύο μη εγκάρσιες ευθείες είνι ράλληλες ν κι μόνο ν οι ομώνυμες ροολές τους είνι ράλληλες (Σχήμ 8). ' Σ '

12 ζ '' Σχήμ 8 ' ' ζ '' ζ ' ζ ' οι ε,ζ τέμνοντι οι ε,ζ είνι ράλληλες οι ε,ζ είνι σύμτες γ Πράστση ειέδου (Σχήμτ 9, ). σ σ '' κτκόρυφο σ '' ρόσθιο σ '' εγκάρσιο σ '' οριζόντιο σ '' ράλληλο στον σ '' τυχίο (γενική θέση) σ '' σ '' σ ' σ ' σ σ ' σ ' σ ' σ ' σ ' μετωικό σ ' Σχήμ 9 Σχήμ Γράφουμε ρ(σ ',σ ''). Σχετικές θέσεις σημείων, ευθειών κι ειέδων. Σχήμ Σ σ Σ '' Σχήμ σ '' ' Σ '' ' ' Σ '' ε Σ ' Σ Σ ' σ σ ' Σ '' ' Σ ' Σ ' Πρότση 6: Ευθεί κείτετι εί ειέδου, ν κι μόνο ν τ ίχνη της κείτοντι εί των ομώνυμων ιχνών του ειέδου (Σχήμτ, ). Πρότση 7: Σημείο κείτετι εί ειέδου ν κι μόνο ν οι ροολές του κείτοντι εί των ντίστοιχων ροολών μις ευθείς του ειέδου (Σχήμτ, ). Πρότση 8: Δύο είεδ είνι ράλληλ ν κι μόνο ν τ ομώνυμ ίχνη τους είνι ράλληλ. Άσκηση 7: Δίνετι είεδο (σ,σ ) κι η ρώτη ροολή ευθείς ε(, ') ου νήκει στο (). Ν ρεθεί η δεύτερη ροολή ' της ευθείς. (Σχήμ ).

13 Άσκηση 8: Δίνετι είεδο (σ,σ ) κι η ρώτη ροολή ' σημείου ( ', '') ου νήκει στο (). Ν ρεθεί η δεύτερη ροολή '' του σημείου. (Σχήμ ). Άσκηση 9: Ν κτσκευστούν τ ίχνη ειέδου του οοίου είνι γνωστές οι ρστάσεις δύο ευθειών του ε (ε,ε ) κι ε (ε,ε ). (Σχήμ ). Άσκηση : Ν κτσκευστούν τ ίχνη ειέδου του οοίου είνι γνωστή η ράστση μις ευθείς του ε(, ') κθώς κι ενός σημείου του ( ', '') το οοίο δεν νήκει στην (ε). (Σχήμ ). Σχήμ ' ' O ζ'' '' ' ' ' 9 = τυχί ευθεί ό το ου τέμνει την ε. Δηλδή τυχί ευθεί του ζητούμενου ειέδου ου διέρχετι ό το. σ' ζ' σ' Ιχνοράλληλοι κι ιχνοκάθετοι ειέδου. Δ σ σ '' A ι '' ι ε ι '' '' ι = =η ιχνοράλληλος // σ // ( i =οριζόντι) ε = =η ιχνοκάθετος σ ι = Γ=η ιχνοράλληλος // σ // ( i =μετωική) ε M ε = Δ=η ιχνοκάθετος σ = ρώτο ίχνος B Γ ι ι ' σ σ ' ' ι ' ' = δεύτερο ίχνος σ 'Δ σ Σχήμ Πρότση 9: Έστω σημείο ( ', '') ενός ειέδου (σ,σ ). Τότε: Η ρώτη ιχνοράλληλος ι (ι, ι ) του () ό το (Σχήμ 5) έχει: ' ' Πρώτη ροολή ι την ευθεί ου διέρχετι ό το ' κι είνι ράλληλη στην σ. Δεύτερη ροολή ι '' την ευθεί ου διέρχετι ό το '' κι είνι ράλληλη στον άξον (). Η δεύτερη ιχνοράλληλος ι (ι, ι ) του () ό το (Σχήμ 5) έχει: Πρώτη ροολή ι ' την ευθεί ου διέρχετι ό το ' κι είνι ράλληλη στον άξον (). '' '' Δεύτερη ροολή ι την ευθεί ου διέρχετι ό το '' κι είνι ράλληλη στην σ. Η ρώτη ιχνοκάθετος ε (ε,ε ) του () ό το (Σχήμ 5) έχει: ρώτη ροολή ε ' την ευθεί ου διέρχετι ό το ' κι είνι κάθετη στην Η δεύτερη ιχνοκάθετος ε (ε,ε ) του () ό το (Σχήμ 5) έχει: δεύτερη ροολή ε '' ευθεί ου διέρχετι ό το '' κι είνι κάθετη στην ' σ (λόγω Θεωρήμτος τριών κθέτων). '' σ (λόγω Θεωρήμτος τριών κθέτων).

14 ' '' σ '' ι '' ι '' Δ'' A ε '' '' σ '' Γ'' Γ' ' ι ' ι ' σ ' ' Δ' ε ' ' ε ' H Θ ε '' Σχήμ 5 Γ σ ' Άσκηση : Σχεδιάστε τις ρώτες κι δεύτερες ροολές των δύο ιχνοκθέτων ειέδου σημείο του ( ', ''). (Σχήμ 5 ) Άσκηση : Σχεδιάστε τ ίχνη της ρώτης κι της δεύτερης ιχνορλλήλου ειέδου (σ,σ ) οι οοίες διέρχοντι ό δοθέν (σ,σ ) οι οοίες διέρχοντι ό δοθέν σημείο του ( ', ''). (Σχήμ 5 ) Άσκηση : Σχεδιάστε τ ίχνη ειέδου () ότν δίνετι μι ιχνοκάθετός του ε(, ') (είτε ρώτη είτε δεύτερη). (Σχήμ 5) Άσκηση : Εξηγήστε γιτί η γνώση μις ιχνορλλήλου (είτε ρώτης είτε δεύτερης) ενός ειέδου, δεν κθορίζει τη θέση του ειέδου στο χώρο. (Σχήμ5 ) Άσκηση 5: Σχεδιάστε τ ίχνη ειέδου () ότν δίνοντι δύο ιχνοράλληλοί του ι (ι,ι ) κι ι (ι,ι ). (Σχήμ 5) (Υόδειξη: Εξετάστε δύο εριτώσεις: στην ρώτη ερίτωση δίνοντι δύο ρώτες ή δύο δεύτερες ιχνοράλληλοι. Στη δεύτερη ερίτωση δίνοντι μι ρώτη κι μι δεύτερη ιχνοράλληλος). Άσκηση 6: Δίνετι η ρώτη ιχνοράλληλος ι (ι,ι ) κι η δεύτερη ιχνοράλληλος ι (ι,ι ) ειέδου (), κθώς κι η ρώτη ροολή ' σημείου ( ', '') ου νήκει στο (). Ν ρεθεί η δεύτερη ροολή '' του σημείου. (Δε χρειάζετι ν δίνετι η θέση του άξον ούτε κι το σημείο τομής των ιχνών του ειέδου εντοίζετι εντός του σχεδίου, δες Σχήμ 6). Άσκηση 7: Δίνετι η ρώτη ιχνοράλληλος ι (ι,ι ) κι η δεύτερη ιχνοράλληλος ι (ι,ι ) ειέδου (), κθώς κι η ρώτη ροολή ευθείς ε(, ') ου νήκει στο (). Ν ρεθεί η δεύτερη ροολή ' της ευθείς ε. (Σχήμ 6). Γενικότερ οι ι,ι μορούν ν είνι τυχίες ευθείες του (). ι '' 5 M'' 7 6 ι '' ι '' ι ' ι '' ' M' ι ' Σχήμ 6 ι ' ι ' Τομή δύο ειέδων (Σχήμτ 7 9).

15 () Τ είεδ δίνοντι με τ ίχνη τους: (σ,σ ) κι p(σ,σ ), ότν τ ίχνη υάρχουν (Σχήμτ 7 8). p κτκόρυφο p οριζόντιο ' ' (ομοίως γι p ρόσθιο) (ομοίως γι p μετωικό) Σχήμ 7 σ'' σ'' ' σ'' σ'' σ'' σ'' ' ' ' σ' σ' σ' σ' σ' σ'() γ Σχήμ 8 σ' //σ' μοίως γι σ'' //σ'' σ'' O σ'' ' ' σ' σ'' 6 Τ,p τέμνουν τον σ'' άξον στο ίδιο ' σημείο Δ'' σ'' ' '' ' Γ'' Δ' ' B' ' Γ' σ' 5 σ' σ' H (ε) έχει ίχνη εκτός σχεδίου O Γ'' ' Γ' σ' σ'' ' σ'' '' ' ' Δ'' ' Δ' σ' O σ' γ () Το () ορίζετι ό τις ευθείες ε (ε,ε ), ε (ε,ε ) κι το (p) ό τις ευθείες ε (ε,ε ), ε (ε,ε ) (Σχήμ 9). ' ε ε Χρησιμοοιούμε κι το κτκόρυφο ό την ε Τ '' Τ '' ' p Λ K ε Τ ε Τ τκόρυφο ό την ε Λ'' Τ '' Τ '' '' ' ' Τ ' Τ ' Τ ' Τ ' = Τ ' Σχήμ 9 Τ ' ' Πρότση : άθε ευθεί ε(, ') κτκόρυφου ειέδου (σ,σ ) έχει ρώτη ροολή το ρώτο ίχνος σ του. Είεδο p(s ',s '') ράλληλο σε δοθέν είεδο (σ ',σ '') ό δοσμένο σημείο (,'). () Το είεδο ορίζετι ό δύο ευθείες του ε (ε,ε ) κι ε (ε,ε ) (Σχήμ ). () Το είεδο ορίζετι ό τ ίχνη του: (σ,σ ) (Σχήμ ). Είεδο σ (, σ ) ράλληλο σε δοσμένη ευθεί ε (,') κι διερχόμενο ό δοσμένη ευθεί ε(, ε ''). (Σχήμ ). Λ'

16 ' s'' ' σ'' Τ'' Σ'' s'' ' ' '' Λ'' Τ' Σ' s' ' s' σ' Σχήμ Λ' Τομή ευθείς κι ειέδου. () Το είεδο ορίζετι ό τ ίχνη του: (σ,σ ) (Σχήμ ). () Το είεδο ορίζετι ό δύο ευθείες του ε (ε,ε ) κι ε (ε,ε ) (Σχήμ ). Άσκηση 8: Ν κτσκευστεί η τομή χρησιμοοιώντς ρόσθιο είεδο διερχόμενο ό την ευθεί ε(, '). Άσκηση 9: Ν κτσκευστεί η τομή ότν οι ευθείες ε (ε,ε ) κι ε (ε,ε ) του ειέδου είνι ράλληλες μετξύ τους. Λ σ'' Λ σ'' σ' ' ' ' ' σ' Σχήμ σ'' ' σ'' ' ' ' ' 5 '= '=5 ' ' σ' ' = (Έν τουλάχιστον ίχνος της ε ρίσκετι εντός σχεδίου) ' 6 Τ ίχνη της ε ρίσκοντι εκτός σχεδίου ' =6 ' ' =' ευθεί(,') = τομή των ειέδων (σ',σ'') κι p(,'') p = κτκόρυφο είεδο διερχόμενο ό την ευθεί (,') Σχήμ σ' ευθεί(,') = τομή των ειέδων (σ',σ'') κι p p = κτκόρυφο είεδο διερχόμενο ό την ευθεί (,') ' Σχήμ = 5

17 ΤΠΓΡΦΙ Ισοκλινείς κμύλες ειφνειών ως ρος το οριζόντιο είεδο. Υψομετρικές κμύλες ειφάνεις. Σγμτικά σημεί ειφάνεις (Σχήμ ). Τοογρφικό διάγρμμ εριοχής (Σχήμ,γ). Σχήμ γ σγμτικό σημείο ύψωμ (κορυφή) κοίλωμ A B Στο τοογρφικό μι εριοχής (Σχήμ ) ς είνι c,c u u + δύο διδοχικές υψομετρικές, c = μι ισοκλινής κμύλη γωνίς θ ως ρος το οριζόντιο είεδο, κι M,M u u + οι τομές της c με τις c,c u u + ντιστοίχως. ν η μονάδ μέτρησης ργμτικών μηκών είνι μικρή, τότε ο ευθύγρμμ τμήμ MM u u + ροσεγγίζει ικνοοιητικά το ληθινό κομμάτι c της c μετξύ των u,u+ c,c u u +, οότε η γωνί του MM u u + ως ρος το οριζόντιο είεδο είνι ροσεγγιστικά η θ. Τότε: M u+ μ μ μ εφθ = = Au = u ' u+ = A A εφθ εφθ Άσκηση : Στο τοογρφικό του σχήμτος ν χρχθεί ό το η ροολή ισοκλινούς κλίσης u u ως ρος το οριζόντιο. 6

18 M u+ Σχήμ M u θ c u A c u+ Σχήμ ροσεγγιστικά η c' μετξύ M' u κι M' u+ B Γ c' u+ σχ.μ.= σχ.μ./εφ( ) c' u+ M' u c' u M' u+ c' u+ c' u A Άσκηση : Στο τοογρφικό του σχήμτος ν σημειώσετε με ικνοοιητική ροσέγγιση την ροολή του κοινού μέρους του λόφου κι του δρόμου (ευθεί (ε) ). Λύση: Δες Σχήμ 5. Σχήμ 56 m 555 m 56 m 565 m [] K Λ Ν Π 8 9 Ρ p[ι'] () Σχήμ 5 Η ζητούμενη ροολή είνι το τμήμ. Άσκηση : ρτότητ δύο σημείων. Στο τοογρφικό του Σχήμτος 6 ριστάνοντι δύο σημεί A,B του χώρου υψομέτρου m κι 9m ντιστοίχως. Ελέγξτε ν υάρχει ορτότητ μετξύ τους. Λύση: Έστω c η κμύλη της ειφάνεις του εδάφους μετξύ των A,B κι άνω στο κτκόρυφο είεδο p το διερχόμενο ό την ευθεί AB. Τ A,B έχουν ορτότητ μετξύ τους ν κι μόνο ν η ευθεί AB δεν έχει άλλ κοινά σημεί με την c ρά τ A,B. Γι ν ελέγξουμε ν υτό συμίνει, κτκλίνουμε το p εί του ειέδου ροολής γύρω ό την κοινή τους ευθεί, κι έστω c η θέση της c. Γι σχεδιστική ευκολί, θεωρούμε ως είεδο ροολής το οριζόντιο σε υψόμετρο 9m. ρχικά κτκλίνουμε τ A,B κι όλ τ σημεί K,L,... της c εί των ισοϋψών, έστω στ A,B = B,K,L,.... τόιν ροσεγγίζουμε την c ως την ολυγωνική γρμμή AKL...Bου συνδέει διδοχικά τ σημεί υτά κι ελέγχουμε ν η γρμμή υτή τέμνει ή όχι το ευθύγρμμο τμήμ AB. Στο σχήμ μς το τέμνει, οότε τ A,B δεν έχουν ορτότητ μετξύ τους. [] 5 m A Σχήμ 6 c S K L B B S L A K 9 5 m 98 m Σχήμ 7 Άσκηση : Ίδι εκφώνηση με την Άσκηση, λλά γι το Σχήμ 7. 7

19 5 ΞΝΕΤΡΙ Θεώρημ (Polhke - Schwarz): Γι οοιδήοτε τέσσερ δικεκριμέν σημεί του ειέδου O',X',Y',Z' υάρχουν άντοτε τέσσερ σημεί O,X,Y,Z του χώρου ώστε τ OX,OY,OZ ν είνι ίσ κι κάθετ μετξύ τους κι οι ροολές τους σε κτάλληλη διεύθυνση [δ] ν είνι τ O'X',O'Y',O'Z' ντιστοίχως. νάλογ με τη σχετική θέση των O',X',Y',Z' υάρχουν ό μί έως τέσσερις τέτοιες τετράδες σημείων O,X,Y,Z κι διεύθυνση [δ] (μη θεωρώντς διφορετικές τις θέσεις μις τέτοις τετράδς κθώς υτή μετκινείτι στο χώρο ράλληλ στην [δ] ). x A(,,γ) x X Z Y z [δ] Λ z x' X' μ x Z' O' μ μ z Y' ' z' x' K' μ x O' μλ' ' γμ z Σχήμ Σχήμ Σχήμ Γ Γ' Δ Δ' [δ] A Γ B Γ' ' Σχήμ ορθή μονορμετρική :: z' ορθή διμετρική :: z' θ ' 5'' θ 7 ' 5'' ορθή τριμετρική 5:9: θ z' θ 8 6' 6'' θ 5 ' '' θ x' O' ' θ x' θ O' O' ' ' Σχήμ 6 Σχήμ 7 Σχήμ 5 z' Σχήμ 8 μετωική :: θ x' O' θ = ή ή θ = 6 ' θ = 5 οριζόντι Άσκηση : Ν ρεθεί η ξονομετρική ροολή κύου ΓΔΛΝ (Λ διγώνιος) σε είεδο ( ) κάθετο στην Λ, διεύθυνση ροολής ράλληλη στην Λ κι τρισορθογώνιο σύστημ συντετγμένων τοοθετημένο στη στερεά τρίεδρη γωνί του κύου με άξονες ν συμίτουν με τις κμές του κύου ό το : () δουλέψτε σν σε ράλληλη ροολή, () δουλέψτε ξονομετρικά λμάνοντς υόψην τις συντετγμένες του συστήμτος. (άντηση στο Σχήμ ). :: θ O' x' θ = ή ή ' θ = 5 θ = 6 Σχήμ 9 8

20 Γ Λ Γ ' Λ' A' :: Δ' Ν Δ Σχήμ Άσκηση : Θεωρούμε κυικό δωμάτιο ΓΔΕΖΗΘ σκεσμένο με στέγη ισοκλινών εδρών σε κάθε κμή της οροφής του ΛΝ. () Δεδομένου του εριγράμμτος ΛΝ της στέγης, ν χρχθεί η κάτοψή της. (Σχήμ ) () Το ερώτημ () φνερώνει ως η στέγη είνι λώς μι υρμίδ με κορυφή Τ τοοθετημένη στην οροφή του κύου. Δεδομένου του ορθοκνονικού συστήμτος συντετγμένων Oxz ν ρστήσετε με ροολές σε δύο είεδ τις κορυφές κι κμές του ολυέδρου υρμίδς-κύου ότν οι λευρά του κύου είνι με συντετγμένες κορυφών A(,,),B(,5,),Γ(,5,),Δ(,,), (,, ), Λ(,5, ), (,5,), Ν(,,), κι υοθέτοντς ως οι έδρες της στέγης έχουν κτάλληλη κλίση ώστε Τ(,,). (Σχήμ ) (γ) Ν ρστθεί ξονομετρικά το σύστημ υρμίδς κι κύου του ερωτήμτος (), δεδομένων των ξονομετρικών συστημάτων ',μ x,μ,μz στο Σχήμ. (ις κι η λύση σς δίνετι, ν τοοθετήσετε σε κάθε ερίτωση τις ξονομετρικές μονάδες μ x,μ,μ z στο σωστό άξον, κι ν σημειώσετε με δικεκομμένες τις γρμμές ου ροσκότοντι ό την όρσή μς, δηλδή όσες ρίσκοντι ίσω ό έδρες του δωμτίου-οροφής ή των ειέδων Ox,z,Ozx ). ' N' Τ '' ' Τ ' Λ' '' Ν'' Λ'' ' Ν' μ z μ x O μ A'' Δ'' A' ' B'' Γ'' B' Λ' Σχήμ Δ' Ν' Τ ' Γ' 9

21 μ x μ z μ Τ Λ Ν Δ Γ Σχήμ