ΕΠΙΡΡΟΗ ΕΥΤΕΡΟΓΕΝΩΝ ΣΤΡΕΠΤΙΚΩΝ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒ ΩΝ ΤΥΧΟΥΣΑΣ ΙΑΤΟΜΗΣ

Transcript

1 ΕΠΙΡΡΟΗ ΕΥΤΕΡΟΓΕΝΩΝ ΣΤΡΕΠΤΙΚΩΝ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒ ΩΝ ΤΥΧΟΥΣΑΣ ΙΑΤΟΜΗΣ Ε.Ι. Σαπουνζάκης Αναπληρωής Καθηγηής Σχολή Πολιικών Μηχανικών, Εθνικό Μεσόβιο Πολυεχνείο Πολυεχνειούπολη Ζωγράφου, Αθήνα 15780, Ελλάδα Β.Ι. Τσίπηρας Υποψήφιος ιδάκωρ Σχολή Πολιικών Μηχανικών, Εθνικό Μεσόβιο Πολυεχνείο Πολυεχνειούπολη Ζωγράφου, Αθήνα 15780, Ελλάδα Β.Γ. Μώκος ρ. Πολιικός Μηχανικός Σχολή Πολιικών Μηχανικών, Εθνικό Μεσόβιο Πολυεχνείο Πολυεχνειούπολη Ζωγράφου, Αθήνα 15780, Ελλάδα 1. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Σην παρούσα εργασία διερευνάαι η επιρροή δευερογενών σρεπικών παραµορφώσεων σην ανάλυση µεαλλικών ράβδων υχούσας διπλά συµµερικής διαοµής. Αρχικά διαυπώνεαι η διευρυµένη θεωρία ανοµοιόµορφης σρέψης µε επιρροή δευερογενών σρεπικών παραµορφώσεων και προσδιορίζοναι οι σρεπικοί διορθωικοί συνελεσές διάµησης για πλήθος πρόυπων µεαλλικών διαοµών ανοικού ή κλεισού σχήµαος. Η µεθοδολογία προσδιορισµού βασίζεαι σε ενεργειακή θεώρηση ενώ ο αριθµηικός υπολογισµός πραγµαοποιείαι µε η Μέθοδο Συνοριακών Σοιχείων (BEM). Η αναπυσσόµενη εχνική δεν βασίζεαι σις παραδοχές ης Θεωρίας Λεπόοιχων διαοµών (ΘΛ ), εποµένως µπορούν να αναλυθούν διαοµές υχόνος σχήµαος. Προσδιορίζοναι α όρια αξιόπισης χρήσης ης ΘΛ για ον προσδιορισµό ων σρεπικών γεωµερικών σαθερών. Επιπλέον, επιλύοναι παραδείγµαα ιδιαίερου πρακικού ενδιαφέρονος µέσα από α οποία κααδεικνύεαι η επιρροή ων δευερογενών σρεπικών παραµορφώσεων σε ράβδους ανοικών και κλεισών διαοµών. Τέλος, ποσοικοποιούναι οι συνέπειες ης αγνόησης ων φαινοµένων σρέβλωσης σε κοίλες λεπόοιχες διαοµές που επιρέπει απλοποιηικά ο EC3 - µέρος ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε καασκευές Πολιικού Μηχανικού συνανάαι συχνά η ανάλυση µεαλλικών ραβδωών µελών φορέα υποβαλλόµενων σε σρεπική φόριση. Έσι, καµπύλες γέφυρες,

2 δοκοί υποβαλλόµενες σε έκκενρη φόριση, υποσυλώµαα οποθεηµένα έκκενρα σε κάοψη είναι οι πλέον συχνά συνανώµενες περιπώσεις, σις οποίες απαιείαι η επίλυση ου προβλήµαος σρέψης. Σην οµοιόµορφη σρέψη, που προκύπει από ην επιβολή δύο ισόποσων σρεπικών ροπών σα άκρα ης ράβδου µε ην αυόχρονη απαίηση να µην παρεµποδίζεαι η αναπυσσόµενη σρέβλωση ων διαοµών, αναπύσσοναι αποκλεισικά πρωογενείς διαµηικές άσεις (πρωογενής σρεπική ροπή), ενώ η σρέβλωση είναι σαθερή καά µήκος ης ράβδου. Σε περίπωση υχούσας φόρισης ή συνοριακών συνθηκών, η σρέψη χαρακηρίζεαι ως ανοµοιόµορφη, ση ράβδο αναπύσσοναι επιπλέον όσο ορθές όσο και δευερογενείς διαµηικές άσεις λόγω σρέβλωσης (δίρροπο σρέβλωσης και δευερογενής σρεπική ροπή), ενώ η σρέβλωση µεαβάλλεαι καά µήκος ης ράβδου. Σην «κλασική» θεωρία ανοµοιόµορφης σρέψης [1], η σρέβλωση λαµβάνεαι ως ανάλογη ης συσροφής θ, µε συνέπεια η επιρροή ων δευερογενών σρεπικών παραµορφώσεων να αγνοείαι σην καθολική ισορροπία ης ράβδου. Η επιρροή αυή µπορεί να ληφθεί υπόψιν µε υιοθέηση πρόσθεου ανεξάρηου κινηµαικού µεγέθους που δίδει ο µέγεθος ης σρέβλωσης ης διαοµής (πρωογενής συσροφή ή ανεξάρηη παράµερος σρέβλωσης η ) [2-5]. H προκύπουσα «διευρυµένη» θεωρία ανοµοιόµορφης σρέψης παρουσιάζει πλήρη αναλογία µε η µη γραµµική θεωρία 2ης άξης καµπόµενων ράβδων Τimoshenko [4]. Συνεπώς, προκύπει κα αναλογία η ανάγκη διόρθωσης ης δευερογενούς σρεπικής ανίσασης µε χρήση καάλληλου διορθωικού συνελεσή διάµησης [5-6]. Ο EC3 - µέρος 1.1 (παρ. (6.2.7(7)) επιρέπει απλοποιηικά ην αγνόηση ων επιρροών ης σρέβλωσης σε κοιλοδοκούς, οι οποίες εξάλλου προσοµοιώνοναι βάσει ης θεωρίας οµοιόµορφης σρέψης καά ην ρέχουσα µελεηική πρακική. Πρόσφαα ερευνηικά αποελέσµαα [3-5] ωσόσο, υποδεικνύουν ην ανάγκη θεώρησης ων φαινοµένων σρέβλωσης όχι µόνο σε ανοικές αλλά και σε κλεισές λεπόοιχες διαοµές. Εξάλλου και ο EC9 - µέρος 1.1 δεν περιέχει ην προαναφερθείσα απλοποιηική θεώρηση. Επιπρόσθεα, ονίζεαι όι α φαινόµενα δευερογενών σρεπικών παραµορφώσεων (που αγνοούναι σα πλαίσια ης κλασικής θεωρίας ανοµοιόµορφης σρέψης) πρέπει να λαµβάνοναι υπόψιν σην ανάλυση ράβδων κλεισής διαοµής [3-5]. Ο προσδιορισµός ης δευερογενούς σρεπικής ανίσασης και ων υπόλοιπων γεωµερικών σαθερών που υπεισέρχοναι ση διευρυµένη θεωρία ανοµοιόµορφης σρέψης πραγµαοποιείαι σην ερευνηική βιβλιογραφία [3-5, 7] κυρίως µε η ΘΛ, η αξιοπισία ης οποίας εξαράαι κυρίως από ο λόγο µήκος/πάχος ων πλακοειδών σοιχείων ης διαοµής. Εξ όσων γνωρίζουν οι συγγραφείς, οι γεωµερικές σαθερές προσδιορίζοναι µέσω ης διαύπωσης καάλληλων προβληµάων συνοριακών ιµών (ΠΣΤ) και επίλυσης ους µε αριθµηικές µεθόδους µόνο σις εργασίες ων Kraus [6] (FEM) και apounzakis & Mokos [5] (BEM). Σην παρούσα εργασία διερευνάαι η επιρροή δευερογενών σρεπικών παραµορφώσεων σην ανάλυση µεαλλικών ράβδων υχούσας διπλά συµµερικής διαοµής. Προσδιορίζοναι οι σρεπικοί διορθωικοί συνελεσές διάµησης για πλήθος πρόυπων µεαλλικών ανοικών και κλεισών διαοµών. Σα παραδείγµαα που επιλύοναι κααδεικνύεαι η επιρροή ων δευερογενών σρεπικών παραµορφώσεων σε ράβδους ανοικών και κλεισών διαοµών, ενώ ποσοικοποιούναι οι συνέπειες ης αγνόησης ων φαινοµένων σρέβλωσης σε κοίλες διαοµές που επιρέπει απλοποιηικά ο EC3-µέρος ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Θεωρούµε ευθύγραµµη, πρισµαική, οµογενή ράβδο, υχούσας διπλά συµµερικής διαοµής που κααλαµβάνει ο χωρίο Ω απλής ή πολλαπλής συνοχής ου επιπέδου y,z

3 και περικλείεαι από ις K+ 1 µηµαικώς λείες καµπύλες Γ i (i=0,1,,k) (Σχ. 1). Το υλικό ης ράβδου είναι ελασικό µε µέρα ελασικόηας και διάµησης E και G, ανίσοιχα, ενώ υποβάλλεαι σε υχούσες συγκενρωµένες ή/και καανεµηµένες m m m = m περί ον διαµήκη σρεπικές ροπές = και δίρροπα σρέβλωσης άξονα ης (Σχ. 1α). z,w l C y,v m( ) : κένρο συσροφής C: γεωµερικό κένρο m w( ),u w y s w (Ω) Γ 1 Γ Κ C Γ 0 β n z : Κένρο συσροφής C: Γεωµερικό κένρο (α) (β) Σχ. 1: Πρισµαική ράβδος υποβαλλόµενη σε υχούσα σρεπική φόριση (α) υχούσας διπλά συµµερικής διαοµής που κααλαµβάνει ο διδιάσαο χωρίο Ω (β) εδοµένης ης προαναφερθείσας φόρισης, διαυπώνεαι η υπόθεση όι ο πεδίο µεαοπίσεων ης ράβδου δίδεαι, ως (βλ. Σχ. 1α) = η φ v(, y,z) = zθ ( ) w(, y,z) yθ ( ) u, y,z y,z = (1,2,3) όπου θ είναι η σρεπική γωνία σροφής, η είναι ανεξάρηη παράµερος σρέβλωσης και φ είναι η πρωογενής συνάρηση σρέβλωσης ως προς ο σηµείο [8]. Σην περίπωση διαύπωσης ης «κλασικής» θεωρίας ανοµοιόµορφης σρέψης ίθεαι η = θ ση σχ. (1). Κάνονας χρήση ων σχέσεων παραµορφώσεων-µεαοπίσεων και ων καασαικών σχέσεων ης ρισδιάσαης ελασικόηας (θεωρία µικρών µεαοπίσεων), προκύπουν οι άσεις που κααπονούν η ράβδο ως σ = Eη φ (4α) y = G z + G y :πρωογενείς y :δευερογενείς θ ( η θ ) y y z = Gθ + y + G( η θ ) z z z :πρωογενείς z :δευερογενείς (4β,γ) Σε περίπωση αγνόησης ων φαινοµένων σρέβλωσης (θεωρία οµοιόµορφης σρέψης), οι συνισώσες άσεων σ, y, z αγνοούναι. Τα εναικά µεγέθη ης ράβδου (πρωογενής σρεπική ροπή σρέβλωσης M w M, δευερογενής σρεπική ροπή M και δίρροπο ) ορίζοναι ανάλογα µε αυά ης κλασικής θεωρίας ανοµ. σρέψης ως M = y z z y dω GI Ω + + = θ (6α) y z M = y + z dω = GI ( η θ ) M Ω y z w = σ φ dω = ECη (6β,γ) Ω όπου I (δευερογενής σρεπική σαθερά) και C (σαθερά σρέβλωσης) δίδοναι ως

4 2 2 I = k + dω Ω y z C 2 φ ενώ σηµειώνεαι όι = dω (7α,β) Ω I είναι η πρωογενής σρεπική σαθερά [8] και όι η συνολική σρεπική ροπή προκύπει ως άθροισµα ων M, M. Κα αναλογία µε η θεωρία καµπόµενων ράβδων Timoshenko, ση δευερογενή σρεπική σαθερά εισάγεαι ο σρεπικός διορθωικός συνελεσής k προκειµένου να διορθωθεί σε επίπεδο καθολικής ισορροπίας ης ράβδου ο σφάλµα από ην καανοµή ων δευερογενών διαµηικών άσεων ων σχ. (4β,γ), η οποία οδηγεί σε παραβίαση ης ισορροπίας καά µήκος ης ράβδου σε επίπεδο υλικού σηµείου. Για ον ίδιο λόγο, η καανοµή ων διαµηικών άσεων ων σχ. (4β,γ) διορθώνεαι ως y = Gθ z G( η θ ) y z = Gθ + y G( η θ ) (8α,β) y z z πρωογενείς δευερογενείς πρωογενείς δευερογενείς προκειµένου να ικανοποιηθεί η προαναφερθείσα εξίσωση ισορροπίας σε επίπεδο υλικού σηµείου καθώς και η ανίσοιχη συνοριακή συνθήκη. Σις παραπάνω εξισώσεις, φ= φ y,z είναι η δευερογενής συνάρηση σρέβλωσης ως προς ο η οποία προσδιορίζεαι, όπως και η φ, µέσω ΠΣΤ [5, 8]. Επιπλέον, σην παρούσα εργασία, ο προσδιορισµός ου k βασίζεαι σε ενεργειακή θεώρηση (εξίσωση προσεγγισικής και ακριβούς έκφρασης ελασικής ενέργειας λόγω διάµησης ανά µονάδα µήκους ης ράβδου) θ η και υπολογίζεαι συναρήσει ων φ, φ ( k < 1) [5]. Οι εξισώσεις καθολικής ισορροπίας ης ράβδου µπορούν να προκύψουν χρησιµοποιώνας ην Αρχή υναών Έργων και έπεια από κάποια άλγεβρα διαυπώνοναι ως G I + I + GI = m EC η + GI ( η θ ) = m (9α,β) w ενώ υπόκειναι σις πλέον γενικές σρεπικές και σρεβλωικές συνοριακές συνθήκες α1m+ α2θ = α3 β1m w+ β2η = β3 (10α,β) όπου οι σαθερές ai, β i (i=1,2,3) καθορίζοναι καάλληλα προκειµένου να προσοµοιωθούν ορθά οι συνθήκες σήριξης και φόρισης σα άκρα ης ράβδου. 4. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Η αριθµηική επίλυση ου ΠΣΤ ων σχ. (9-10), ων ΠΣΤ ων φ, φ, και η εύρεση ων γεωµερικών σαθερών και ου k πραγµαοποιούναι µε η BEM (βλ. [5, 8]). Προκειµένου να διαπισωθεί η ακρίβεια ης αναπυχθείσας µεθόδου και να προσδιορισεί ο σφάλµα ης ΘΛ σε διαοµές ανοικού σχήµαος, σον πίνακα 1 παρουσιάζοναι οι γεωµερικές σαθερές I, C για πλήθος πρόυπων ανοικών λεπόοιχων διαοµών. Παραηρείαι πολύ καλή συµφωνία ων αποελεσµάων ης παρούσας µεθόδου µε ις ιµές που προκύπουν από ην επίλυση ων σχεικών ΠΣΤ µε Πεπερασµένα Σοιχεία (ΠΣ) [6]. Επίσης, προκύπει όι ο σφάλµα ης ΘΛ [3] είναι σε όλες ις περιπώσεις µικρόερο από 9%, ενώ παραηρείαι όι ο σφάλµα ης σαθεράς C εξαράαι από ο πάχος ων πλακοειδών σοιχείων ης διαοµής. Προκειµένου να προσδιορισεί ο σφάλµα

5 ης ΘΛ σε διαοµές κλεισού σχήµαος, σον ίδιο πίνακα συγκρίνοναι οι ιµές ων I, C για διαοµές ορθογωνικής µορφής (RH, βλ. EN :2006) που προκύπουν από ην παρούσα µεθοδολογία και η ΘΛ [7]. Παραηρείαι όι ο σφάλµα ης ΘΛ για ον υπολογισµό ων I, C εξαράαι από ο πάχος ων πλακοειδών σοιχείων ης διαοµής, ενώ σε ορισµένες περιπώσεις προσεγγίζει ο 20%. Τέλος, προκειµένου να κααδειχθεί ο εύρος εφαρµογών ης µεθόδου, σον ίδιο πίνακα παρουσιάζοναι και οι ιµές ων σαθερών I, C για πρόυπες οβάλ διαοµές (EH, βλ. EN :2006), έσι όπως προκύπουν µε εφαρµογή ης παρούσας µεθόδου. Σον ίδιο πίνακα αναφέροναι και οι ιµές ης C που προκύπουν από ην χρήση ου εµπορικού λογισµικού ΠΣ. Συµπεραίνεαι η πολύ καλή συµφωνία µεαξύ ων ιµών αυών και ων ιµών ης παρούσας µεθόδου όσο για ις RH όσο και για ις EH διαοµές. Προκειµένου να διερευνηθεί η επιρροή ων δευερογενών σρεπικών παραµορφώσεων σε ράβδους ανοικής διαοµής, αναλύοναι µεαλλικοί ράβδοι διαφόρων µηκών, διαοµής HEB100 ( E= ka, G= ka, I = m, αρισερό άκρο πακωµένο, σρεπική ροπή M = 10kNm και µη παρεµπόδιση σρέβλωσης σο δεξί άκρο). Σον πίνακα 2 παρουσιάζοναι οι µέγισες ιµές χαρακηρισικών κινηµαικών και εναικών µεγεθών που υπολογίζοναι µε βάση ην κλασική [8] και η διευρυµένη θεωρία ανοµοιόµορφης σρέψης. Όπως αναµενόαν, οι δευερογενείς σρεπικές παραµορφώσεις προκαλούν µείωση ης σιβαρόηας ης ράβδου, µε η διαφορά ων κινηµαικών µεγεθών µεαξύ ων δύο θεωριών να είναι σηµανική ωσόσο µόνο για πολύ κονές ράβδους (µε λόγους b / f = h / w 2 ). Παραηρείαι επίσης όι η διαφορά ων εναικών µεγεθών µεαξύ ων δύο θεωριών δεν ξεπερνά ο 2.6% για όλα α µήκη που εξεάσηκαν. Παρόµοια συµπεράσµαα έχουν διαυπωθεί για ράβδους ανοικής διαοµής υπό ανοµοιόµορφη σρέψη και σην πρόσφαη ερευνηική βιβλιογραφία [3-5]. Προκειµένου να διερευνηθεί η επιρροή ων δευερογενών σρεπικών παραµορφώσεων σε ράβδους κλεισής διαοµής, αναλύοναι µεαλλικοί ράβδοι ( E= ka, 7 G= ka ) διάφορων µηκών, συνοριακών συνθηκών και φόρισης, διαοµής 6 4 RH ( I = m, πακωµένο αρισερό άκρο, σρεπική ροπή M = 10kNm και µη παρεµπόδιση σρέβλωσης σο δεξί άκρο), RH ( I = m, πακωµένα άκρα, σρεπική ροπή M 4 4 = 10kNm σο µέσο ης ράβδου) και EH ( I = m, πακωµένα άκρα, καανεµηµένη σρεπική ροπή m= 10kNm / m σε όλο ο µήκος ης ράβδου). Οι υπολογισµοί πραγµαοποιούναι µε βάση η θεωρία οµοιόµορφης σρέψης, η οποία επιρέπεαι να εφαρµόζεαι σε κοιλοδοκούς (βλ. EC3-µέρος 1.1) και µε βάση η διευρυµένη θεωρία ανοµοιόµορφης σρέψης, µιας και η επιρροή δευερογενών σρεπικών παραµορφώσεων είναι σηµανική σε ράβδους κλεισής διαοµής [3-5]. Σον πίνακα 2 παρουσιάζοναι οι µέγισες ιµές χαρακηρισικών κινηµαικών και ασικών µεγεθών ράβδων µε ις προαναφερθείσες διαοµές. Όπως αναµενόαν, η διευρυµένη θεωρία ανοµοιόµορφης σρέψης προβλέπει αύξηση ης σιβαρόηας ης ράβδου συγκριικά µε η θεωρία οµοιόµορφης σρέψης, η οποία είναι αξιοσηµείωη µόνο σε κονές ράβδους (µε λόγο l/ma(h,b) 5 ). Ωσόσο η επιρροή ων δευερογενών σρεπικών παραµορφώσεων σα ασικά µεγέθη (Von Mises άσεις σ VM και πρωογενείς διαµηικές άσεις 2 2 n y z = + ) είναι πολύ σηµανικόερη: Παραηρείαι µεγάλη αύξηση (>24%) ων 8

6 µέγισων ιµών ων άσεων σ VM σε όλα α µήκη ράβδων που µελεήθηκαν, συγκριικά µε α αποελέσµαα ης θεωρίας οµοιόµορφης σρέψης, η οποία µάλισα είναι ανεξάρηη ου µήκους ης ράβδου. ιαοµή BEM FEM ΘΛ IE100 (b/f=9.6, h/w=24.4) IE220 (b/f=12.0, h/w=37.3) IE400 (b/f=13.3, h/w=46.5) HEA100 (b/f=12.5, h/w=19.2) HEA260 (b/f=20.8, h/w=33.3) HEA900 (b/f=10.0, h/w=55.6) HEB100 (b/f=10.0, h/w=16.7) HEB260 (b/f=14.9, h/w=26.0) HEB900 (b/f=8.6, h/w=48.6) I ( cm 4 ) C( cm 6 ) σφάλµα ΘΛ (%) BEM FEM ΘΛ σφάλµα ΘΛ (%) RH60405 (b/=8.0, h/=12.0) RH (b/=12.7,h/=25.4) RH (b/=31.3,h/=56.3) EH (b/=25.0,h/=50.0) EH (b/=12.5,h/=25.0) Πίν. 1. Γεωµερικές σαθερές I, C ανοικών και κλεισών διαοµών µε βάση ην παρούσα µέθοδο (BEM), η ΜΠΣ (FEM - [6] και NATRAN) και η ΘΛ [3] 5. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ i. Το σφάλµα ης ΘΛ σον υπολογισµό ων σρεπικών γεωµερικών σαθερών είναι σε ορισµένες περιπώσεις σηµανικό, ιδίως σε κλεισές διαοµές. ii. Η επιρροή ων δευερογενών σρεπικών παραµορφώσεων σε ράβδους ανοικής διαοµής είναι µικρή, ενώ αυξάνεαι όσο µικρόερο είναι ο µήκος ης ράβδου. iii. Οι δευερογενείς σρεπικές παραµορφώσεις έχουν µικρή επιρροή ση σιβαρόηα και κινηµαικά µεγέθη ράβδων κλεισής διαοµής. Ωσόσο επηρεάζουν αισθηά εναικά και ασικά µεγέθη, προκαλώνας αύξηση ων µέγισων άσεων Von Mises.

7 HEB100 RH RH EH Μήκος ράβδου (m) Κλασική θεωρία ανοµ.σρέψης[8] ιευρυµ. θεωρία ανοµ. σρέψης ma M ( w 2) ma M maθ knm ( knm ) ( rad) ma M ( w 2) ma M maθ knm ( knm ) ( rad) 5.0 (l/b=l/h=50.0) (l/b=l/h=10.0) (l/b=l/h=5.0) (l/b=l/h=1.0) Θεωρία οµοιόµορφης σρέψης [8] ιευρυµ. θεωρία ανοµ. σρέψης maσ VM ma maθ n maσ VM ma maθ n Μήκος ράβδου (m) Ma Ma rad Ma Ma rad 10.0 (l/b=125,l/h=62.5) (l/b=12.5, l/h=6.25) (l/b=2.5, l/h=1.25) (l/b=40, l/h=22.2) (l/b=8.0, l/h=4.44) (l/b=2.0, l/h=1.11) (l/b=50, l/h=25.2) (l/b=10.0, l/h=5.0) (l/b=2.5, l/h=1.25) Πίν. 2. Ma ιµές ων M, M και w, θ σε ράβδους διαοµής HEB100 και ma ιµές ων σ VM, θ σε ράβδους διαοµής RH , και EH n 6. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ [1] VLAOV V. Thin-walled Elasic Beams, Isr. rog. for cien. Transl., Jerusalem, [2] ROIK K. and EDLACEK G. Theorie der Wölbkraforsion uner Berücksichigung der sekundären chubverformungen Analogieberachung zur Berechnung des querbelaseen Zugsabes, ahlbau, Vol. 35, 1966, pp [3] RUBIN H. Wölbkraforsion von Durchlaufrägern mi konsanem Querschni uner Berücksichigung sekundärer chubverformungen, ahlbau, Vol. 74, 2005 pp [4] MURIN J. and KUTI V. An effecive finie elemen for orsion of consan crosssecions including warping wih secondary orsional momen deformaion effec, Engineering rucures, Vol. 30, 2008, pp [5] AOUΝTZAKI E. and MOKO V. econdary Torsional Momen Deformaion Effec by BEM, roc. of 10h Ιner.Conf. of Adv. in BETEQ, Ahens, Greece, 2009, pp [6] KRAU M. Compuerorieniere Besimmung der chubkorrekurfakoren gewalzer I- rofile, Fesschrif Rolf Kindmann, haker Verlag, 2007, pp [7] RUBIN H. Torsions-Querschniswere für recheckige Hohlprofile nach EN :2006 und EN :2006, ahlbau, Vol. 76, 2007, pp [8] AOUΝTZAKI E. and MOKO V. Warping hear resses in Nonuniform Torsion by BEM, Compuaional Mechanics, Vol. 30, 2003, pp

8 ECONDARY TWITING MOMENT DEFORMATION EFFECT ON THE ANALYI OF BAR OF ARBITRARILY HAED CRO ECTION Evangelos J. apounzakis Associae rofessor chool of Civil Engineering, Naional Technical Universiy of Ahens Zografou Campus, GR , Ahens, Greece Vasileios J. Tsipiras hd uden chool of Civil Engineering, Naional Technical Universiy of Ahens Zografou Campus, GR , Ahens, Greece Vasileios G. Mokos Dr Civil Engineer chool of Civil Engineering, Naional Technical Universiy of Ahens Zografou Campus, GR , Ahens, Greece UMMARY In his paper he secondary wising momen deformaion effec (TMDE) is invesigaed on he nonuniform orsional analysis of seel bars of arbirarily shaped doubly symmeric secion. A firs, he eended nonuniform orsion heory is formulaed aking ino accoun he TMDE and orsional shear correcion facors are evaluaed for a large number of sandard, open- or closed-shaped seel secions. The evaluaion mehodology is based on an energy approach, while he numerical soluion is performed using Boundary Elemen Mehod (BEM). The developed procedure does no rely on he assumpion of Thin Tube Theory (TTT), herefore cross secions of arbirary shape may be analyzed. The limis of reliable use of TTT are deermined regarding o he evaluaion of orsional geomerical parameers. Moreover, numerical eamples of grea pracical ineres are worked ou hrough which he TMDE is demonsraed on open- and closed-shaped secion bars. Finally, he consequences of ignoring orsional warping effecs on hollow secion bars, ha EC3 - par 1.1 allows as a simplificaion, are quanified.