Εδαφικές Μετακινήσεις Πάνω από Ρηχές Σήραγγες. Πρόταση Ορισμού του Στατικού Συστήματος σε Μεθόδους Αριθμητικής Ανάλυσης
|
|
- Κύρος Μαλαξός
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Εδφικές Μετκινήσεις Πάνω πό Ρηχές Σήργγες. Πρότση Ορισμού του Σττικού Συστήμτος σε Μεθόδους Αριθμητικής Ανάλυσης Ground Movements Above Shallow Tunnels. Proposal for Boundary Distance and Conditions in Numerical Methods ΜΑΡΑΓΚΟΣ, Ν. Χ. ρ. Πολιτικός Μηχνικός, MSc, Α.Π.Θ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ: Η εργσί νφέρετι σε μεθόδους ριθμητικής νάλυσης κι στοχεύει στον τρόπο ορισμού του σττικού συστήμτος που πρέπει ν χρησιμοποιείτι στις μεθόδους υτές ότν ζητείτι ο προσδιορισμός των κθιζήσεων που δημιουργούντι πάνω πό ρηχές σήργγες (σκάφες κθιζήσεων). Με μί μέθοδο πεπερσμένων στοιχείων εφρμόζοντι σχετικές νλύσεις κι τ ποτελέσμτ τους κτλήγουν σε γενική πρότση ορισμού του σττικού συστήμτος. ABSTRACT: The paper refers to numerical analysis methods aiming at the definition of the static system that must be used in these methods when the definition of the settlements created over shallow tunnels (settlement troughs) is demanded. Through a finite element method, relative analyses are applied and their results lead to a general proposal for static system definition.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η εφρμογή μεθόδων ριθμητικής νάλυσης γι τον προσδιορισμό των εδφικών μετκινήσεων που δημιουργούντι πάνω πό υπόγει νοίγμτ προϋποθέτει τον ορισμό του σττικού συστήμτος: Τον ορισμό της πόστσης των πλευρικών ορίων πό τον άξον της σήργγς κι των συνθηκών στήριξης που επικρτούν σε υτά. Ο ορισμός του σττικού συστήμτος δεν είνι εύκολος. ιφορετικές θεωρήσεις νφορικά με τ κριτήρι ορισμού της πόστσης των πλευρικών ορίων κι των συνορικών συνθηκών οδηγούν σε ποτελέσμτ τ οποί προυσιάζουν μεγάλες διφορές. Αυτό επισημίνετι εξάλλου κι σε σχετική έρευν η οποί έγινε πό την ομάδ COST (). Σν γενικός κνόνς ισχύει ότι οι θέσεις των ορίων κι οι συνορικές συνθήκες στήριξης των κόμων πρέπει ν επιλέγοντι κτά τέτοιο τρόπο ώστε τ ποτελέσμτ της νάλυσης ν ρίσκοντι κοντά στις πρτηρήσεις πεδίου. Η εργσί υτή στοχεύει στον ορισμό ενός τέτοιου σττικού συστήμτος. Οι σχετικές διερευνήσεις γίνοντι με μί μέθοδο πεπερσμένων στοιχείων, τον Κώδικ Plaxis, Version.. Η ΕΠΙ ΡΑΣΗ ΣΤΗ ΣΚΑΦΗ ΚΑΘΙΖΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΘΕΣΗΣ ΤΩΝ ΟΡΙΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΣΥΝΟ- ΡΙΑΚΩΝ ΣΥΝΘΗΚΩΝ Θ εξετάσουμε ρχικά πώς η πόστση των πλευρικών ορίων κι οι συνορικές συνθήκες στήριξης επιδρούν στη σκάφη κθιζήσεων (οι κθιζήσεις που προκλούντι εξιτίς της διάνοιξης κυκλικής σήργγς σχημτίζουν μι κμπύλη η οποί ονομάζετι σκάφη κθιζήσεων). Ο σχετικός έλεγχος γίνετι γι ποστάσεις των ορίων, οι οποίες επιλέγοντι υθίρετ ως πολλπλάσιες της κτίνς της σήργγς κι γι δύο διφορετικές συνθήκες στήριξης: ) γι πλήρη πρεμπόδιση των κινήσεων στ όρι κι ) γι πρεμπόδιση της κίνησης μόνο στην οριζόντι διεύθυνση (μερική πρεμπόδιση). Στο Σχήμ πεικονίζετι το σττικό σύστημ με τις δύο διφορετικές θεωρήσεις που γίνοντι γι τις συνθήκες στήριξης που χρκτηρίζουν τις θέσεις των ορίων. ο Πνελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριλλοντικής Μηχνικής, ΤΕΕ, 9/9 /, Βόλος
2 Εξετάζοντι περιπτώσεις ποστάσεων των πλευρικών ορίων πό τον άξον της σήργγς ίσων με r i, r i, r i, 7r i κι r i. Η νάλυση ε- φρμόζετι σε τέσσερις κυκλικές σήργγες άθους είκοσι έως εικοσιπέντε μέτρων κι διμέτρου τεσσάρων έως πέντε μέτρων οι οποίες κτσκευάζοντι σε τέσσερ διφορετικά εδάφη: Σε τρεις ργίλους: c, c, c με διφορετικές τιμές μηχνικών πρμέτρων κι σε μί άμμο, s. Οι μηχνικές πράμετροι των τεσσάρων εδφών επιλέγοντι έτσι ώστε ν ντιπροσωπεύουν ικνή γκάμ εδφών. Εξετάζοντι συντελεστές ποτόνωσης λ ίσοι με, κι,7. Η S. r i L Σχήμ. Σττικό σύστημ ) μερικής πρεμπόδισης, ) πλήρους πρεμπόδισης των κινήσεων. Figure. ) Horizontal displacements restrain of vertical boundary, b) fully fixed displacements restrain. Στον Πίνκ προυσιάζοντι οι μηχνικές πράμετροι των εδφών, στον Πίνκ γι κάθε μί σήργγ το άθος της, η κτίν της κι ο συντελεστής ποτόνωσης λ. Γι ν διευκολυνθεί η προυσίση των - ποτελεσμάτων, οι τέσσερις περιπτώσεις σηράγγων χρκτηρίζοντι με κωδικούς: Κάθε σήργγ χρκτηρίζετι με ένν κωδικό ο οποίος περιλμάνει ) τ γεωμετρικά της χρκτηριστικά κι το συντελεστή ποτόνωσης κι ) το Η S r i L Πίνκς. Πράμετροι κι συμολισμοί των εδφών. Table. Parameters and soil symbols. c c c s γ kn/m E kn/m ν,,,, c kn/m, φ ο Πίνκς. Κωδικοί κι χρκτηριστικά σηράγγων. Table. Codes and tunnel characteristics. σήργγ κωδικός H r i λ m m mc,7 mc, mc, ms, είδος του εδάφους που την περιάλλει. Ο συμολισμός των γεωμετρικών χρκτηριστικών κι του συντελεστή ποτόνωσης λ γίνετι με το γράμμ m (model): Ο συμολισμός m νφέρετι στην πρώτη σήργγ, άθους H=m, κτίνς r i =m κι λ=,7 (λ. Πίνκ ). Ο συμολισμός m νφέρετι στις υπόλοιπες τρεις σήργγες άθους H=m, κτίνς r i =m κι λ=,. Τ ποτελέσμτ της νάλυσης προυσιάζοντι στ Σχήμτ έως. Τ διγράμμτ στο ριστερό μέρος της Σελίδς νφέροντι σε συνθήκες πρεμπόδισης της κίνησης μόνο στην οριζόντι διεύθυνση, τ διγράμμτ που ρίσκοντι στο δεξιό μέρος σε συνθήκες πρεμπόδισης της κίνησης κι στις δύο διευθύνσεις. Σύμφων με τ πρπάνω κι γι τ ε- δάφη c, c, c, s που περιάλουν τις σήργγες οι κωδικοί των τεσσάρων σηράγγων είνι: mc, mc, mc, ms (Πίνκς ). r i r i r i 7r i mc r i r i r i 7r i mc m Σχήμ. Περίπτωση mc. Σκάφες κθιζήσεων γι όρι πολλπλάσι της κτίνς κι γι συνθήκες μερικής () κι πλήρους () πρεμπόδισης των κινήσεων. Figure. Case mc. Settlement troughs for vertical boundary position multiple of the radius and (a) for horizontal and (b) for both horizontal and vertical displacements restrain of vertical boundary. m ο Πνελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριλλοντικής Μηχνικής, ΤΕΕ, 9/9 /, Βόλος
3 mc mc m r i r i r i r i r i 7r i 7r i m Σχήμ. Περίπτωση mc. Σκάφες κθιζήσεων γι όρι πολλπλάσι της κτίνς κι γι συνθήκες μερικής () κι πλήρους () πρεμπόδισης των κινήσεων. Figure. Case mc. Settlement troughs for vertical boundary position multiple of the radius and (a) for horizontal and (b) for both horizontal and vertical displacements restrain of vertical boundary. mc m r i r i r i 7r i Σχήμ. Περίπτωση mc. Σκάφες κθιζήσεων γι όρι πολλπλάσι της κτίνς κι γι συνθήκες μερικής () κι πλήρους () πρεμπόδισης των κινήσεων. Figure. Case mc. Settlement troughs for vertical boundary position multiple of the radius and (a) for horizontal and (b) for both horizontal and vertical displacements restrain of vertical boundary. r i r i r i 7r i mc m ms m r i r i r i 7r i r i r i r i 7r i ms m Σχήμ. Περίπτωση ms. Σκάφες κθιζήσεων γι όρι πολλπλάσι της κτίνς κι γι συνθήκες μερικής () κι πλήρους () πρεμπόδισης των κινήσεων. Figure. Case ms. Settlement troughs for vertical boundary position multiple of the radius and (a) for horizontal and (b) for both horizontal and vertical displacements restrain of vertical boundary. ο Πνελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριλλοντικής Μηχνικής, ΤΕΕ, 9/9 /, Βόλος
4 Οι σκάφες κθιζήσεων που προυσιάζοντι στ διγράμμτ των Σχημάτων υτών σχολιάζοντι ως εξής:. Συνθήκες μερικής πρεμπόδισης: Μί πρώτη, γενικού χρκτήρ πρτήρηση είνι η μη ρελιστική εικόν των ποτελεσμάτων. Η πρτήρηση υτή ισχύει γι όλ τ εδάφη που εξετάζοντι κι προκύπτει εύκολ εάν θυμηθούμε τη γνωστή εμπειρική κωδωνοειδή κμπύλη κι τη συγκρίνουμε με τις κμπύλες που προυσιάζοντι στ ριστερά διγράμμτ των Σχημάτων έως. Ειδικότερ πρτηρούμε τ εξής: Η ε- πιρροή της θέσης των ορίων, στην περίπτωση που γίνει η θεώρηση της οριζόντις μόνο πρεμπόδισης της κίνησης, είνι κθοριστική: Χρκτηριστικό της μεγάλης επιρροής είνι οι σχετικά υψηλές τιμές των κθιζήσεων στις θέσεις των ορίων, κόμη κι ότν υτά τοποθετούντι σε μεγάλη πόστση πό τον άξον. Οι τιμές των κθιζήσεων στην περιοχή που περιλμάνετι νάμεσ στ όρι εξρτώντι πό την πόστση στην οποί τοποθετούμε τ όρι. Όσο πιο κοντά στον άξον επιλέγοντι τ όρι τόσο περισσότερο υξάνοντι οι κθιζήσεις. Αυτό το οποίο πρκτικά δεν λλάζει με την πόστση των ορίων είνι ο όγκος της σκάφης κθιζήσεων ο οποίος φίνετι ν πρμένει πρκτικά ο ί- διος. Γι ύξηση της πόστσης των ορίων πό r i σε r i η τιμή της μέγιστης κθίζησης s max μειώνετι, νάλογ με το είδος του εδάφους κτά έως %. Γι τις τέσσερις περιπτώσεις που εξετάζοντι, η μείωση υτή φτάνει σε ποσοστό 7 % κτά μέσο όρο.. Συνθήκες πλήρους πρεμπόδισης: Η θεώρηση της πλήρους πρεμπόδισης οδηγεί σε κλειστή μορφή σκάφης η οποί θ μπορούσε ν θεωρηθεί ότι προσεγγίζει την εμπειρική μορφή εάν ο όγκος της σκάφης δεν άλλζε έντον με την πόστση των ορίων. Η επιρροή της πόστσης των ορίων είνι λοιπόν κι στην περίπτωση της πλήρους πρεμπόδισης σημντική. Ειδικότερ πρτηρούμε τ εξής: Το κεντρικό μέρος των σκφών, κι συγκεκριμέν το τμήμ που πρεμάλλετι νάμεσ στον άξον κι μέχρι μί πόστση ίση με r i περίπου πό υτόν δε διφοροποιείτι πρκτικά με την πόστση στην οποί τοποθετούντι τ όρι. Μετά πό την πόστση των r i οι σκάφες ρχίζουν όλο κι περισσότερο ν διφοροποιούντι μετξύ τους μέχρις ότου οι κθιζήσεις μηδενιστούν στις θέσεις των ντίστοιχων πλευρικών ορίων. Οι κμπύλες κθιζήσεων που νφέροντι στ εδάφη c κι s, προυσιάζουν έν «άλμ» κοντά στο όριο (Σχήμτ κι ). Τ ε- δάφη υτά χρκτηρίζοντι πό χμηλή συνοχή. Στις σκάφες των εδφών c κι c στ οποί η συνοχή είνι σχετικά μεγάλη δεν πρτηρείτι κάτι τέτοιο (Σχήμτ κι ). Το άλμ οφείλετι πιθνόν σε εντονότερη (γι εδάφη μειωμένης συνοχής) επίδρση του κτνγκσμού που προκλεί η πρεμπόδιση της οριζόντις μετκίνησης των κόμων που ρίσκοντι στο πλευρικό όριο. Από την ξιολόγηση των ποτελεσμάτων της διερεύνησης που έγινε μέχρι τώρ προκύπτουν τ εξής συμπεράσμτ: ) Η επιρροή που σκεί η θέση των ορίων του σττικού συστήμτος είνι μεγάλη κι γι τις δύο θεωρήσεις των συνθηκών στήριξης. ) Η θεώρηση ελεύθερης κίνησης στην κτκόρυφη διεύθυνση στις θέσεις των πλευρικών ο- ρίων οδηγεί σε λιγότερο ρελιστικά ποτελέσμτ. Προτείνετι έτσι η εφρμογή συνθηκών πλήρους πρεμπόδισης των κινήσεων στ όρι. γ) Θ πρέπει ν ρεθεί τρόπος με τη οήθει του οποίου ν είμστε σε θέση (γι δεδομένη σήργγ: γεωμετρί, εδφικές πράμετροι κ.λπ) ν ορίζουμε εκ των προτέρων την πόστση των πλευρικών ορίων την οποί κλείτι ο χρήστης ν εισάγει στον Κώδικ: Ο ορισμός της θέσης των ορίων ν είνι τέτοιος ώστε το ποτέλεσμ της νάλυσης ν είνι κοντά στην πργμτικότητ. Στο πρόλημ υτό κτλυτικό ρόλο φίνετι ν μπορεί ν πίξει η εμπειρί. Τίθετι λοιπόν το ερώτημ κτά πόσο υτό θ μπορούσε ν γίνει με την εφρμογή των εμπειρικών προτάσεων που νφέροντι στο εγκάρσιο εύρος της σκάφης. Η διερεύνηση που κολουθεί στρέφετι στην κτεύθυνση υτή.. ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΟΡΙΣΜΟΥ ΤΩΝ ΠΛΕΥΡΙ- ΚΩΝ ΟΡΙΩΝ ΜΕ ΕΜΠΕΙΡΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Στη διερεύνηση υτή θεωρούμε ότι τ πλευρικά όρι ρίσκοντι εκεί όπου εκτιμούμε ότι οι κθιζήσεις της επιφάνεις του εδάφους είνι μηδενικές. Ανάγουμε με τον τρόπο υτόν τον ορισμό των ορίων του σττικού συστήμτος στην εμπειρική προσέγγιση της περιοχής μέσ στην οποί πργμτοποιούντι κθιζήσεις της επιφάνεις του εδάφους. Είδμε ότι η περιοχή υτή, η σκάφη κθιζήσεων, προσεγγίζετι με προτάσεις οι οποίες νφέροντι στον τρόπο προσδιορισμού του ημιπλάτους L της σκάφης. Οι προτάσεις υτές διφέρουν σημντικά μετξύ τους: Σε ορισμένες πό υτές το ημιπλάτος L συνδέετι με τη γεωμετρί της σήργγς, σε άλλες με την πράμετρο i x. Οι προτάσεις υτές, οι οποίες νφέροντι στη διεθνή Βιλιογρφί συνοψίζοντι στη δεύτερη στήλη του Πίνκ. Στη δεύ- ο Πνελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριλλοντικής Μηχνικής, ΤΕΕ, 9/9 /, Βόλος
5 Πρτηρούμε τόσο στον Πίνκ όσο κι στ πρπάνω Σχήμτ ότι, γι τον ίδιο τύπο εδάφους κι την ίδι γεωμετρί της σήργγς, η εφρμογή των εμπειρικών προτάσεων όσον φορά την πλευρική εξάπλωση της σκάφης οδηγεί σε σημντικές διφορές. Φίνετι συνεπώς εκ πρώτης όψεως δύσκολη η οριοθέτηση των πλευρικών ορίων με τις προτάσεις που νφέροντι στην εμπειρική εκτίμηση του ημιπλάτους της σκάφης. Πρόσθετο, πολύ σικό εμπειρικό στοιχείο τερη στήλη του Πίνκ δίνοντι οι σχέσεις με Πίνκς. Εμπειρικός προσδιορισμός του L. τις οποίες προσδιορίζετι η πράμετρος i x. Table. Empirical determination of L. Η διερεύνηση γίνετι γι όρι που ορίζοντι με επτά κι πέντε διφορετικές εμπειρι- πρότση ερευνητής L/r i mc mc mc ms κές προτάσεις ντίστοιχ γι τις περιπτώσεις L=(π) των ργίλων κι της άμμου: Οι τιμές των ο- i x, 7,7 7,7,79 L=D/+Htan ρίων που προσδιορίζοντι με τις προτάσεις, κοκκώδη* υτές προυσιάζοντι γι κάθε μί πό τις L=D/+Htan τέσσερις περιπτώσεις σηράγγων (mc,,,, ργιλικά** mc, mc, ms) σε όρους L/r i στον Πίνκ Steinfeld, L=(Η+,D)tan, τ ποτελέσμτ της νάλυσης προυσιάζοντι στ Σχήμτ κι 7. 9 ο,9,9,9,9 Terzaghi, 9 Aversi n Limanov Oteo, 997 L=,7D+,Η,9,,, L=, i x,,, L= i x,,7,7 7,,,, * κοκκώδη:,<tan<, ** ργιλικά:,<tan<, Σημείωση: Ο προσδιορισμός του L ότν χρησιμοποιείτι η τιμή του i x γίνετι με τη μέση τιμή του i x (Πίνκς ). Πίνκς. Εμπειρικός προσδιορισμός της πρμέτρου i x Table. Empirical determination of i x parameter ερευνητής πρότση τύπος i x εδάφους mc mc mc ms Peck, 99 ιάγρμμ Peck 7,,,, Attewell, 977 i x =,H ργιλικό,,, Attkison & Potts, 977 i x =,7H+,D άμμος, πυκνή προφορτισμένη Attkison & Potts, 977 i x =,H+,D άμμος, πυκνή προφόρτιστη 7, O Reilly & New, 9 i x =,H+, ργιλικό 9,7,, O Reilly & New, 9 i x =,H-, μμώδες,9 Clough & Schmidt, 9 i x =D/(H/D), ργιλικό,7 9,9 9,9 Sagaseta, 97 i x =,7H ργιλικό,,7,7 Oteo, 997 ιάγρμμ Oteo,,, Μέση τιμή, i xm 9,,,, 7, 7 Terzaghi, 9 Steinfeld, 9 Limanov Aversin L=D/+Htan L=i xm π mc,,, Terzaghi, 9 Steinfeld, 9 Limanov L=D/+Htan Aversin L=i xm π mc m, m Σχήμ. Περιπτώσεις mc, mc. Σκάφες κθιζήσεων γι πλευρικά όρι που ορίζοντι με διάφορες εμπειρικές προτάσεις κι συνορικές συνθήκες πλήρους πρεμπόδισης της κίνησης. Figure. Cases mc, mc. Settlement troughs for vertical boundary position determined through several empirical proposals and boundary conditions fixed both in horizontal and vertical direction. ο Πνελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριλλοντικής Μηχνικής, ΤΕΕ, 9/9 /, Βόλος
6 , 7,,,, Terzaghi, 9 Steinfeld, 9 Limanov L=D/+Htan Aversin L=i xm π mc,,, Terzaghi, 9 L=i xm π L=D/+Htan Steinfeld, 9 Oteo ms, m, m Σχήμ 7. Περιπτώσεις mc, ms. Σκάφες κθιζήσεων γι πλευρικά όρι τ οποί ορίζοντι με διάφορες εμπειρικές προτάσεις κι συνορικές συνθήκες πλήρους πρεμπόδισης της κίνησης. Figure 7. Cases mc, ms. Settlement troughs for vertical boundary position determined through several empirical proposals and boundary conditions fixed both in horizontal and vertical direction. ποτελεί η μορφή της σκάφης: Η εγκάρσι κτνομή των επιφνεικών κθιζήσεων μέσ στην περιοχή της σκάφης. Σύμφων με την ε- μπειρί η κτνομή υτή κολουθεί την Gauss κτνομή. Το στοιχείο υτό θ επιστρτεύσουμε στη συνέχει γι ν κρίνουμε κτά πόσο ενδείκνυτι η εφρμογή των εμπειρικών προτάσεων γι το σκοπό υτό. Γνωρίζουμε ότι γι τον προσδιορισμό της Gauss κτνομής χρειζόμστε τις τιμές s max κι i x. Γνωρίζουμε επίσης ότι τόσο η s max όσο κι η i x μπορούν ν προσδιοριστούν με περισσότερους τρόπους. Στη διερεύνηση που κολουθεί: Η πράμετρος i x προσδιορίζετι ως η μέση τιμή των i x που ορίζουν οι διάφορες εμπειρικές προτάσεις: i xm. Η s max προσδιορίζετι με τους εξής τέσσερις διφορετικούς τρόπους:. Η s max προσδιορίζετι ως η μέση τιμή των s max που προκύπτουν πό την εφρμογή του Κώδικ γι ποστάσεις ορίων σύμφων με τις επτά διφορετικές εμπειρικές προτάσεις.. Με άση την τιμή του συντελεστή ποτόνωσης λ προσδιορίζετι ρχικά με τον Κώδικ η τιμή της κτινικής σύγκλισης της πρειάς u iπρ. Ο προσδιορισμός της μέσης υτής σύγκλισης μς δίνει τη δυντότητ, εφρμόζοντς τις σχέσεις που διτίθεντι στη Βιλιογρφί, ν υπολογίσουμε την s max (μέσω της πώλεις εδφικού όγκου κι την πρδοχή της ισόογκης συμπεριφοράς).. Υπολογίζετι ρχικά ο πλός συντελεστής υπερφόρτισης OFS κι μέσω του διγράμμτος που συνδέει τον OFS με τη σχετική πώλει όγκου κι την πρδοχή της ισόογκης συμπεριφοράς υπολογίζουμε τον όγκο της σκάφης κι την τιμή της s max.. Υπολογίζετι ο συντελεστής OFS κι πό την εμπειρική σχέση των Clough & Schmidt, 9 προσδιορίζετι ο όγκος της σκάφης V s πό την τιμή του οποίου υπολογίζετι τελικά η τιμή της s max. Στ Σχήμτ έως προυσιάζοντι συγκριτικά γι κάθε περίπτωση σήργγς οι κμπύλες Gauss οι οποίες προσδιορίζοντι σύμφων με τους τρόπους,,, (ντίστοιχες κμπύλες G, G, G, G) κι οι σκάφες που προκύπτουν πό την εφρμογή του Κώδικ με όρι οριζόμεν με τις επτά διφορετικές εμπειρικές προτάσεις. Το Σχήμ νφέρετι στην περίπτωση mc, το Σχήμ 9 στην περίπτωση mc, το Σχήμ στην mc, το Σχήμ στην ms. Στις περιπτώσεις mc κι ms δεν σχεδιάστηκν οι κμπύλες G κι G επειδή η τιμή του OFS υπολογίζετι πολύ υψηλή κι δεν υπάρχουν νάλογες συσχετίσεις. Η σύγκριση των κμπυλών Gauss με τις σκάφες που προσδιορίζοντι πό την εφρμογή 7 G Terzaghi, 9 Steinfeld, 9 G Limanov Aversin L=D/+Htan L=i xm π G Gauss s max =, i xm =9, G Gauss s max =, i xm =9, mc m Σχήμ. Σύγκριση των κμπυλών G κι G με τις εμπειρικές σκάφες. Περίπτωση mc. Figure. Comparison of G and G curves with empirical troughs. Case mc. ο Πνελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριλλοντικής Μηχνικής, ΤΕΕ, 9/9 /, Βόλος
7 G G G G mc m Σχήμ 9. Σύγκριση των κμπυλών G, G, G, G με τις εμπειρικές σκάφες. Περίπτωση mc. Figure 9. Comparison of G, G, G, G curves with empirical troughs. Case mc., G Σχήμ. Σύγκριση των κμπυλών G, G, G, G με τις εμπειρικές σκάφες. Περίπτωση mc. Figure. Comparison of G, G, G, G curves with empirical troughs. Case mc. 7 Terzaghi, 9 Steinfeld, 9 Limanov L=D/+Htan Aversin L=i xm π G Gauss s max =, i xm =, G Gauss s max =,9 i xm =, G Gauss s max =, i xm =, G Gauss s max =, i xm =9,9, G Terzaghi, 9 Steinfeld, 9 Limanov L=D/+Htan Aversin L=i xm π, G Gauss s max =, i xm =, G G Gauss s max =,9 i xm =, G Gauss s max =, i xm =,, G Gauss s max =, i xm =9,9 mc G m 7,,,, G Terzaghi, 9 L=i xm π L=D/+Htan Steinfeld, 9 Oteo G Gauss s max =, i xm =, G Gauss s max =, i xm =, ms G m Σχήμ. Σύγκριση των κμπυλών G κι G με τις εμπειρικές σκάφες. Περίπτωση ms. Figure. Comparison of G and G curves with empirical troughs. Case ms. του Κώδικ με όρι οριζόμεν με τις διφορετικές εμπειρικές προτάσεις οδηγεί στ εξής: ) Οι κμπύλες G προσεγγίζουν κλύτερ τις σκάφες του Κώδικ. ) Ιδιίτερ κλή είνι η προσέγγιση η οποί πρτηρείτι μετξύ των κμπυλών G κι των σκφών που τ όρι τους ορίζοντι με τη σχέση: L=i xm (π) ½. γ) Τ όρι τ οποί θ χρησιμοποιούντι κτά την εφρμογή του Κώδικ θ ορίζοντι με την εμπειρική σχέση L=i xm (π) ½. Το i xm θ υπολογίζετι ως ο μέσος όρος των εμπειρικών προτάσεων που νφέροντι στο είδος του εδάφους κι στη γεωμετρί της σήργγς. δ) Θ εφρμόζοντι συνθήκες πλήρους πρεμπόδισης. ε) Σε θέμτ εφρμογών η σκάφη κθιζήσεων G G Gauss s max =, i xm =9, Κώδικς, L=i xm π,,,, G G Gauss s max =, i xm =, Κώδικς, L=i xm π mc πόστση πό τον άξον της σήργγς m, mc m Σχήμ. Σκάφη κθιζήσεων με L=i xm (π) ½ κι ντικτάστση με την κμπύλη G. Περιπτώσεις mc, mc. Figure. Settlement trough for L=i xm (π) ½ and correction by G-curve. Cases mc, mc. ο Πνελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριλλοντικής Μηχνικής, ΤΕΕ, 9/9 /, Βόλος 7
8 ,, G,,, G G Gauss s max =, i xm =, Κώδικς, L=i xm π,,, G Gauss s max =, i xm =, Κώδικς, L=i xm π, mc m, ms m Σχήμ. Σκάφη κθιζήσεων με L=i xm (π) ½ κι ντικτάστση με την κμπύλη G. Περιπτώσεις mc, ms. Figure. Settlement trough for L=i xm (π) ½ and correction by G-curve. Cases mc, ms. που θ προκύπτει ως ποτέλεσμ του Κώδικ θ ντικθίσττι πό κμπύλη Gauss, με πρμέτρους s max ίσο με το s max που προσδιορίζετι με τον Κώδικ κι τυπική πόκλιση ίση με το μέσο όρο των εμπειρικών προτάσεων i xm. Τ ποτελέσμτ εφρμογής των πρπάνω προυσιάζοντι στ Σχήμτ κι.. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Στην εργσί υτή εξετάζοντι η επίδρση στη σκάφη κθιζήσεων της θέσης των πλευρικών ορίων κι των συνορικών συνθηκών που εισάγοντι σε μεθόδους ριθμητικής νάλυσης. Εξετάζοντι συνθήκες πλήρους πρεμπόδισης των κινήσεων των κόμων κι συνθήκες ελεύθερης κίνησης τους μόνο κτά την κτκόρυφη διεύθυνση, γι ποστάσεις ορίων οι οποίες ορίζοντι με εμπειρικά κριτήρι ή ως πολλπλάσιες της κτίνς της σήργγς. Οι σχετικές διερευνήσεις γίνοντι με μί δισδιάσττη μέθοδο πεπερσμένων στοιχείων, τον Κώδικ Plaxis, Version η οποί εφρμόζετι σε τέσσερις διφορετικές περιπτώσεις σηράγγων που τοποθετούντι σε διφορετικά είδη εδφών. Τ συμπεράσμτ της διερεύνησης οδηγούν σε πρότση η οποί συνοψίζετι ως εξής: ) Η πόστση των πλευρικών ορίων πό τον άξον της σήργγς ν ορίζετι με την εμπειρική σχέση L=i xm (π). Η τυπική πόκλιση i xm ν υπολογίζετι ως ο μέσος όρος των εμπειρικών προτάσεων που νφέροντι στο είδος του εδάφους κι στη γεωμετρί της σήργγς. ) Ν εφρμόζοντι συνθήκες πλήρους πρεμπόδισης μετκίνησης των κόμων στις θέσεις των ορίων. γ) Σε θέμτ εφρμογών η σκάφη κθιζήσεων που θ προκύπτει ως ποτέλεσμ της νάλυσης, ν διορθώνετι με ντικτάστσή της πό κμπύλη Gauss, με πρμέτρους s max ίση με το s max που προσδιορίζετι με την νάλυση κι τυπική πόκλιση ίση με το μέσο όρο των εμπειρικών προτάσεων: i xm.. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Atkinson, J.H. & Potts, D. M., (977), Stability of shallow circular tunnel in cohesionless soil, Geotechnique 7, No. Attewell P.B., (977), Ground movements caused by tunneling in soil, Proc. Int. Conf. Large Ground Mov. and Structures, Cardiff, pp. -9. Clough W., Schmidt B., (9), Design and performance of excavations and tunnels in soft clay, Soft Clay Engineering, Elsevier, Amsterdam, pp. -. COST (Co-operation in Science and Technology), (), Guidelines for the use of advanced numerical analysis, European Commission, T. Telford Publishing, London. O Reilly M.P., New B.M., (9), Settlement above tunnels in the United Kingdom- their magnitude and prediction, Tunneling, London. Oteo S.C., (997), General report session : Urban tunnels in hard soils, Geotechnical Engineering of Hard Soils-Soft Rocks, Balkema, Rotterdam, pp. -9. Peck R.B., (99), Deep Excavation and Tunneling in Soft Ground, 7 th Int. Conf., Mexico. Plaxis Manual, Version, (), Balkema. Tokyo. Sagaseta C., (97), Analysis of undrained soil deformation due to ground loss, Geotechnique, vol. 7, no., pp. -. Steinfeld K., (9), Gutachten zur Bemessung des Tunnels, Hamburg. Terzaghi K., (9), Shield Tunnels of the Chicago Subway, J. Boston Soc. Civ. Engr., V. 9. ο Πνελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριλλοντικής Μηχνικής, ΤΕΕ, 9/9 /, Βόλος
Επιδράσεις των θεωρήσεων της ισόογκης και της διασταλτικής συμπεριφοράς της πλαστικής ζώνης στην προσέγγιση του συντελεστή αποτόνωσης
Επιδράσεις των θεωρήσεων της ισόογκης κι της διστλτικής συμπεριφοράς της πλστικής ζώνης στην προσέγγιση του συντελεστή ποτόνωσης Effects of the assumption of volume constancy and dilation behavior of the
Διαβάστε περισσότεραΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ
ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς
Διαβάστε περισσότεραΑριστοτέλειο Πνεπιστήµιο Θεσσλονίκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµ Πολιτικών Μηχνικών Μετπτυχικό πρόγρµµ σπουδών «Αντισεισµικός Σχεδισµός Τεχνικών Έργων» Μάθηµ: «Αντισεισµικός Σχεδισµός Θεµελιώσεων, Αντιστηρίξεων
Διαβάστε περισσότεραΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ
ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ Κεφάλιο 2 ΤΟ ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ SOOW-SWAN Εισγωγή Η νάλυση της θεωρίς της οικονομικής μεγέθυνσης θ ξεκινήσει νλύοντς το πιο πλό δυνμικό υπόδειγμ
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων
Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλιο 5: Θεωρήμτ κυκλωμάτων Οι διφάνειες κολουθούν το ιλίο του Κων/νου Ππδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177 5 Θεωρήμτ κυκλωμάτων
Διαβάστε περισσότεραΚΙΝΗΤΙΚΗ ΔΙΑΣΠΑΣΗΣ ΣΙΛΑΝΙΟΥ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΕΚΚΕΝΩΣΕΙΣ ΕΝΑΠΟΘΕΣΗΣ ΠΥΡΙΤΙΟΥ. Γ. Αλεξίου, Α. Καλαμπούνιας, Ε. Αμανατίδης, Δ. Ματαράς
ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΔΙΑΣΠΑΣΗΣ ΣΙΛΑΝΙΟΥ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΕΚΚΕΝΩΣΕΙΣ ΕΝΑΠΟΘΕΣΗΣ ΠΥΡΙΤΙΟΥ Γ. Αλεξίου, Α. Κλμπούνις, Ε. Αμντίδης, Δ. Μτράς Εργστήριο Τεχνολογίς Πλάσμτος, Τμήμ Χημικών Μηχνικών, Πνεπιστήμιο Πτρών ΠΕΡΙΛΗΨΗ
Διαβάστε περισσότεραΘέματα Εξετάσεων Φεβρουαρίου 2011:
ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ: ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Θέμτ Εξετάσεων Φεβρουρίου : ΘΕΜΑ μονάδες Πρέπει με κυβικές b-splnes ν πρεμβάλετε, κτά σειρά, τ εξής σημεί:,,,,,,,8, 7, κι,. Ας είνι
Διαβάστε περισσότεραEstimation of Ground Surface Settlements due to Tunnelling in Weak Rock Conditions based on Tunnel Stability Factor
Eκτίµηση των Επιφανειακών Καθιζήσεων λόγω της διάνοιξης Σηράγγων σε συνθήκες Ασθενούς Βραχόµαζας µέσω του είκτη Ευστάθειας Υπόγειου Ανοίγµατος (Tunnel Stability Factor) Estimation of Ground Surface Settlements
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑ Ι 63
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑ Ι 6 ΑΣΚΗΣΗ. ύο σφίρες φορτίου q κι µάζς m g, κρέµοντι πό το ίδιο σηµείο µε νήµτ µήκους 40cm. Αν οι σφίρες ισορροπούν ότν τ νήµτ σχηµτίζουν γωνί φ 60 ο, ν ρεθεί το φορτίο q. ίνοντι g 0m/s
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 11 Διαγράμματα Φάσεων
Κεφάλιο 11 Διγράμμτ Φάσεων Συχνά, σε πολλές διεργσίες, νμιγνύουμε δύο ή κι περισσότερ διφορετικά υλικά, κι πρέπει ν πντήσουμε στο ερώτημ: ποιά θ είνι η φύση του υλικού που θ προκύψει πό υτή την νάμιξη:
Διαβάστε περισσότεραΣχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων
Ο3 Γενικά περί φκών. Γενικά Φκός ονοµάζετι κάθε οµογενές, ισότροπο κι διφνές οπτικό µέσο που διµορφώνετι πό δυο σφιρικές επιφάνειες (ή πό µι σφιρική κι µι επίπεδη). Βσική () () Σχήµ. ιτάξεις πρισµάτων
Διαβάστε περισσότεραΆτομα μεταβλητή Χ μεταβλητή Y... Ν XN YN
Ν6_(6)_Σττιστική στη Φυσική Αγωγή 08_Πλινδρόμηση κι συσχέτιση Γούργουλης Βσίλειος Κθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. Σε ορισμένες περιπτώσεις πιτείτι η νίχνευση της σχέσης μετξύ δύο ποσοτικών μετβλητών
Διαβάστε περισσότεραΒιολογία Προσανατολισμού ΣΥΝΔΕΔΕΜΕΝΑ ΓΟΝΙΔΙΑ
ΣΥΝΔΕΔΕΜΕΝ ΓΟΝΙΔΙ Σημείωση: Τ συνδεδεμέν γονίδι νφέροντι στο ιλίο σε έγχρωμο πράθεμ στη σελίδ 80 του σχολικού ιλίου κι άσει του Φ.Ε.Κ. που νφέρει την εξετστέ ύλη, τ έγχρωμ πρθέμτ είνι εκτός εξετστές ύλης.
Διαβάστε περισσότεραπου έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση.
. Εθύγρµµη κίνηση - - ο ΓΕΛ Πετρούπολης. Χρονική στιγμή t κι χρονική διάρκει Δt Χρονική στιγμή t είνι η μέτρηση το χρόνο κι δείχνει πότε σμβίνει έν γεγονός. Χρονική διάρκει Δt είνι η διφορά δύο χρονικών
Διαβάστε περισσότερα2. ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΤΗΣ ΒΡΑΧΟΜΑΖΑΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 2. ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΤΗΣ ΒΡΑΧΟΜΑΖΑΣ 2.1 Γενικά Η εκτίµηση των µηχνικών πρµέτρων ντοχής κι πρµορφωσιµότητς της βρχόµζς είνι έν πό τ σηµντικότερ προβλήµτ κτά το σχεδισµό της διάνοιξης κι υποστήριξης
Διαβάστε περισσότεραΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. Ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση
Διαβάστε περισσότεραΟνοματεπώνυμο. Τμήμα
Ηλεκτρομγνητισμός (6-7-9) Ονομτεπώνυμο Τμήμ ΘΕΜΑ 1 A. Έν σωμάτιο με φορτίο -6. n τοποθετείτι στο κέντρο ενός μη γώγιμου σφιρικού φλοιού εσωτερικής κτίνς c κι εξωτερικής 5 c. Ο σφιρικός φλοιός περιέχει
Διαβάστε περισσότεραΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΥΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΕΙΣΟ ΗΜΑΤΟΣ
ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΚΕ ΟΝΙΣ ΤΜΗΜ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΘΗΗΤΗΣ ΚΩΣΤΣ ΕΛΕΝΤΖΣ ΣΧΕΤΙΚ ΜΕ ΤΙΣ ΚΜΠΥΛΕΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΙ Τ ΠΟΤΕΛΕΣΜΤ ΥΠΟΚΤΣΤΣΗΣ ΚΙ ΕΙΣΟ ΗΜΤΟΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ η: Συνρτήσεις ζήτησης κτά arshall Υπόθεση: Το χρηµτικό
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ερωτήσεις - 4 κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.. Η ρχή της επλληλίς
Διαβάστε περισσότεραν = 2, από τους οποίους όμως γνωρίζουμε μόνο 5, αυτούς που προκύπτουν για
165 4.5 ΠΡΩΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Εισγωγή Δύο πό τ σημντικότερ ποτελέσμτ σχετικά με τους πρώτους ριθμούς ήτν γνωστά ήδη πό την ρχιότητ. Το γεγονός ότι κάθε κέριος νλύετι με μονδικό τρόπο ως γινόμενο πρώτων εμφνίζετι
Διαβάστε περισσότεραf(x) dx ή f(x) dx f(x) dx
ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Ορισμός. Αν η f είνι ολοκληρώσιμη στο διάστημ [ a, ) ή στο διάστημ (,], τότε ονομάζουμε γενικευμένο ολοκλήρωμ είδους το ολοκλήρωμ της μορφής f() d ή - f() d Ορισμός. Το σημείο
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟΣ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΣΧΕ ΙΟ ΞΕΝΟΚΡΑΤΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΤΟΥ ΣΕΙΣΜΙΚΟΥ ΚΙΝ ΥΝΟΥ. ρ. Στυλιανός Γ. Λόζιος
ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟΣ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΣΧΕ ΙΟ ΞΕΝΟΚΡΑΤΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΤΟΥ ΣΕΙΣΜΙΚΟΥ ΚΙΝ ΥΝΟΥ ρ. Στυλινός Γ. Λόζιος Επ. Κθηγητής του Τµήµτος Γεωλογίς του Εθνικού & Κποδιστρικού Πνεπιστηµίου Αθηνών Το εφρµοσµέν
Διαβάστε περισσότεραΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1.
ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1. Δύο μηχνικά κύμτ ίδις συχνότητς διδίδοντι σε ελστική χορδή. Αν λ 1 κι λ 2 τ μήκη κύμτος υτών των κυμάτων ισχύει: ) λ 1 λ 2 γ) λ 1 =λ 2 Δικιολογήστε την πάντησή
Διαβάστε περισσότεραΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. α,α,,α, ή συνοπτικά με. * n. α α λ, για κάθε. n και υπάρχει. (αντ. αn αn 1
ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ Ακολουθί στοιχείων ενός συνόλου Ε ονομάζετι κάθε πεικόνιση : Ε Στην πεικόνιση υτή η εικόν του θ σηιώνετι κι θ ονομάζετι γενικός ή -οστός όρος της κολουθίς Η κολουθί υτή θ σηιώνετι
Διαβάστε περισσότερα5 Θεωρήματα κυκλωμάτων 5.3 Θεωρήματα Thevenin και Norton
Έχουμε δει ότι η χρήση ισοδύνμων κυκλωμάτων σε πολλές περιπτώσεις πλοποιεί την νάλυση ενός κυκλώμτος: Αντιστάσεις συνδεδεμένες με ειδικό τρόπο (σειρά, πράλληλ, σε στέρ ή τρίγωνο) μπορούν ν ντικτστθούν
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015
ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 05 ΘΕΜΑ Α. Γι μι συνεχή συνάρτηση f ν γράψετε τις τρείς κτηγορίες σημείων, τ οποί εινι πιθνές θέσεις τοπικών κροτάτων. (6 Μονάδες). Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις
Διαβάστε περισσότεραPhysics by Chris Simopoulos
ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ Α) Προβλήμτ ευθύγρμμης ομλά επιτχυνόμενης κίνησης. ) Απλής εφρμογής τύπων Ακολουθούμε τ εξής βήμτ: i) Συμβολίζουμε τ δεδομέν κι ζητούμεν με τ ντίστοιχ σύμβολ που θ χρησιμοποιούμε.
Διαβάστε περισσότεραΕπιδράσεις στο σχεδιασμό υπόγειων έργων των απλουστευτικών θεωρήσεων του αβαρούς δίσκου και των συνθηκών φόρτισης του
Επιδράσεις στο σχεδιασμό υπόγειων έργων των απλουστευτικών θεωρήσεων του αβαρούς δίσκου και των συνθηκών φόρτισης του Effects on underground construction design of the simplified assumption of the weightless
Διαβάστε περισσότερα2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i.
. Πολυώνυμ η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βσικές έννοιες του πολυωνύμου. Ποιες πό τις πρκάτω πρστάσεις είνι πολυώνυμ του i. ii. iii. iv. v. vi. 5 Σύμφων με τον ορισμό πολυώνυμ του είνι οι πρστάσεις i,
Διαβάστε περισσότερα3.4 Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. Ορισμός Υπερβολής
6 3. Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ορισμός Υπερολής Έστω E κι Ε δύο σημεί ενός επιπέδου. Ονομάζετι υπερολή με εστίες τ σημεί E κι Ε ο εωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου των οποίων η πόλυτη τιμή της διφοράς των ποστάσεων
Διαβάστε περισσότεραΑ) Να αποδείξετε ότι η νιοστή παράγωγος της συνάρτησης f µπορεί να πάρει. )e όπου α ν, β ν είναι συντελεστές
. ίνετι η συνάρτηση f() e. Α) Ν ποδείξετε ότι η νιοστή πράγωγος της συνάρτησης f µπορεί ν πάρει τη µορφή (ν) f () ( + ν + ν )e όπου ν ν είνι συντελεστές εξρτηµένοι πό το ν τους οποίους κι ν υπολογίσετε.
Διαβάστε περισσότερα, οπότε α γ. y x. y y άξονες. τα σημεία της υπερβολής C βρίσκονται έξω από την ταινία των ευθειών x α
YΠΡΒΛΗ ρισμός: Υπερολή με εστίες κι λέγετι ο γεωμ. τόπος των σημείων του επιπέδου των οποίων η πόλυτη τιμή της διφοράς των ποστάσεων πό τ κι είνι στθερή κι μικρότερη του Έ. Τη στθερή υτή διφορά τη συμολίζουμε
Διαβάστε περισσότεραΟδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.
ΜΘΗΜ / ΤΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙ: 15/0/015 ΘΕΜ 1 ο Οδηγί: Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ερωτήσεις 1-4 κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 1 0 Οδηγία: Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.
ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8//6 ΘΕΜΑ Οδηγί: Στις ερωτήσεις -4 ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό της ερώτησης κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.. Η
Διαβάστε περισσότεραΤάξη Β Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Ερωτήσεις Θεωρίας και απαντήσεις από το σχολικό βιβλίο Καθηγητής: Ν.Σ. Μαυρογιάννης
Τάξη Β Θετική κι Τεχνολογική Κτεύθυνση Ερωτήσεις Θεωρίς κι πντήσεις πό το σχολικό ιλίο Κθηγητής: ΝΣ Μυρογιάννης Πότε δύο µη µηδενικά δινύσµτ AB κι Γ λέγοντι πράλληλ ή συγγρµµικά; Απάντηση: Ότν έχουν τον
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Α. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ
ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ. ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ ΣΚΗΣΗ Ο πρκάτω πίνκς περιέχει τ πρόσηµ των λγεβρικών τιµών της τχύτητς κι της επιτάχνσης. Σµπληρώστε τον πρκάτω πίνκ. >, > >, <
Διαβάστε περισσότεραΗ σημασία εφαρμογής του απλού συντελεστή υπερφόρτισης στην προσέγγιση των εδαφικών μετακινήσεων πάνω από ρηχές σήραγγες
Η σημασία εφαρμογής του απλού συντελεστή υπερφόρτισης στην προσέγγιση των εδαφικών μετακινήσεων πάνω από ρηχές σήραγγες The importance of the simple overload factor in estimation of soil movements above
Διαβάστε περισσότεραΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ. 2 Με τον ίδιο υπονοούμενο τρόπο η έννοια της συνάρτησης εμφανίζεται στους λογαριθμικούς πίνακες που κατασκευάστηκαν
1 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 191 Η έννοι της συνάρτησης ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Η έννοι της συνάρτησης, ως έκφρση μις εξάρτησης νάμεσ σε δύο συγκεκριμένες ποσότητες, εμφνίζετι μ ένν υπονοούμενο τρόπο ήδη πό την
Διαβάστε περισσότεραΕυθύγραμμες Κινήσεις (Συμπυκνωμένα)
Εθύγρμμες Κινήσεις (Σμπκνωμέν) Χρήση Λελεδάκης Κωστής ( koleygr@gmailcom ) Οι σημειώσεις πεθύνοντι σε κάποιον πο θέλει ν μάθει ή ν θμηθεί τ βσικά στοιχεί των εθύγρμμων κινήσεων (χωρίς πργώγος κι ολοκληρώμτ)
Διαβάστε περισσότεραΤα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.
1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι
Διαβάστε περισσότεραΒρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»
Η συνάρτηση f() =, 0 Υπερβολή Δύο ποσά λέγοντι ντιστρόφως νάλογ, εάν μετβάλλοντι με τέτοιο τρόπο, που ότν οι τιμές του ενός πολλπλσιάζοντι με ένν ριθμό, τότε κι οι ντίστοιχες τιμές του άλλου ν διιρούντι
Διαβάστε περισσότεραΕργαστήριο Φυσικής Τμήματος Πληροφορικής και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λαμίας
Εργστήριο Φυσικής Τμήμτος Πληροφορικής κι Τεχνολογίς Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λμίς Νόμοι Νεύτων - Δυνάμεις Εισγωγή στην έννοι της Δύνμης Γι ν λύσουμε το πρόβλημ του πως θ κινηθεί έν σώμ ότν ξέρουμε το περιβάλλον
Διαβάστε περισσότεραsin x F(x) x 2 3 x παραγουσών προσθέτοντας σταθερές. Το καλούμε αόριστο ολοκλήρωμα της f(x) και το παριστάνουμε με: f(x)dx
I. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ.Ορισμένο ολοκλήρωμ.πράγουσ.θεμελιώδες Θεώρημ.Βσικά ολοκληρώμτ 5.Γρμμικότητ 6.Ολοκλήρωση με λλγή μετλητής ή με ντικτάστση 7.Ολοκλήρωση κτά μέρη 8.Ολοκληρώμτ ρητών 9.Ολοκληρώμτ τριγωνομετρικών.γενικευμένο
Διαβάστε περισσότεραENA ΣΧΗΜΑ ΜΕ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΥΣΕΣ ΠΡΟΕΚΤΑΣΕΙΣ. Κόσυβας Γιώργος. 1ο Πειραματικό Γυμνάσιο Αθηνών
Σ ENA ΣΧΗΜ ΜΕ ΕΝΙΦΕΡΟΥΣΕΣ ΠΡΟΕΚΤΣΕΙΣ Κόσυβς ιώργος ο Πειρμτικό υμνάσιο θηνών ε υτή την εργσί προυσιάζοντι ορισμένες ξιοσημείωτες πρτηρήσεις πάνω σε έν πλούσιο σχήμ, το οποίο επιτρέπει ποικίλες προσεγγίσεις
Διαβάστε περισσότερα3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΘΕΩΡΙΑ
ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Ποι είνι η εξίσωση του κύκλου με κέντρο το (0,0); ρ (0,0) M(,) C Έστω έν σύστημ συντετγμένων στο επίπεδο κι C ο κύκλος με κέντρο το σημείο (0,0) κι κτίν ρ. Γνωρίζουμε πό
Διαβάστε περισσότεραΕ π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ
Ε π ι μ έ λ ε ι Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Κεφάλιο ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ο Ρ Ι Σ Μ Ο Σ Τι ονομάζετι ορισμένο ολοκλήρωμ μις συνεχούς συνάρτησης f: [, ] πό το έως κι το κι πώς συμολίζετι ; Αν F είνι πράγουσ
Διαβάστε περισσότερα4. ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΚΟΣΤΟΣ ΧΥΤΑ
4. ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΚΟΣΤΟΣ ΧΥΤΑ 4.1 Χωρητικότητ Ο σχεδισμός ενός ΧΥΤΑ πιτεί την επιλογ διφόρων γεωμετρικών (π.χ., ύψος, κλίση πρνών, σχμ βάσεως) κι λειτουργικών πρμέτρων (π.χ., ύψος στρώσεων, πάχος κλύψεων,
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ- ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ÑÏÌÂÏÓ
ΘΕΜ 1ο ΘΕΜΤ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ- ΤΕΧΝΟΛΟΙΚΗΣ ΚΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - 000 Στις ερωτήσεις 1-4 ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθµό της ερώτησης κι δίπλ το γράµµ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση. 1. Ένς νεµιστήρς
Διαβάστε περισσότερα* 4. Οµογενές στερεό σώµ στρέφετι γύρω πό στθερό άξον, υπό την επίδρση στθερής ροπής τ. Συνεπώς όλ τ υλικά σηµεί που το ποτελούν. έχουν την ίδι επιτρό
*! " # $ # # " % $ " " % $ " ( # " ) % $ THΛ: 270727 222594 THΛ: 919113 949422 " % +, Α. Γι τις πρκάτω προτάσεις 1-4 ν γράψετε το γράµµ, β, γ ή δ, που ντιστοιχεί στην σωστή πάντηση 1. Αν στο διπλνό κύκλωµ
Διαβάστε περισσότεραΜέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων & Φωτογραµµετρία
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Σχολή Αγρονόµων κι Τοπογράφων Μηχ. Τοµές Τοπογρφίς Μέθοδος Ελχίστων Τετργώνων & Φωτογρµµετρί Φωτογρµµετρική Οπισθοτοµί Υποδειγµτικά λυµένη άσκηση εδοµέν Ν συvτχθεί πρόγρµµ Η/Υ
Διαβάστε περισσότεραιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 4η Θεωρία Γραφηµάτων
ικριτά Μηµτικά κι Μηµτική Λογική ΠΛΗ Ε ρ γ σ ί 4η Θεωρί Γρφηµάτων Α π ν τ ή σ ε ι ς Ε ρ ω τ η µ ά τ ω ν Ερώτηµ. ίετι το ένρο του πρκάτω σχήµτος. e d f b l i a k m p c g h n o Θεωρώντς σν ρίζ του ένρου
Διαβάστε περισσότεραΘέρµανση Ψύξη ΚλιµατισµόςΙΙ
Θέρµνση Ψύξη ΚλιµτισµόςΙΙ Ψυχροµετρί Εργστήριο Αιολικής Ενέργεις Τ.Ε.Ι. Κρήτης ηµήτρης Αλ. Κτσπρκάκης Ξηρόςκιυγρός τµοσφιρικόςέρς Ξηρόςκιυγρόςτµοσφιρικός έρς Ξηρός τµοσφιρικός έρς: ο πλλγµένος πό τους
Διαβάστε περισσότεραE f (x)dx f (x)dx E. 7 f (x)dx (3). 7 f (x)dx E E E E.
ΘΕΜΑ Α Α i Σχολικό βιβλίο σελίδ 6 ii Σχολικό βιβλίο σελίδ 6 Α Σχολικό βιβλίο σελίδ 85 Α3 Ισχύει ότι 7 3 7 ()d ()d ()d () 3 Στο,3 είνι () οπότε το εμβδό του χωρίου Ω που ορίζετι πό την κι τις ευθείες, 3
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2 ο. Γραμμικά Δικτυώματα
Κεφάλιο 2 ο Γρμμικά Δικτυώμτ Έν ηλεκτρικό κύκλωμ ή δικτύωμ ποτελείτι πό ένν ριθμό πλών κυκλωμτικών στοιχείων, όπως υτά που νφέρθηκν στο Κεφ.1, συνδεδεμένων μετξύ τους. Το κύκλωμ θ περιέχει τουλάχιστον
Διαβάστε περισσότεραΑναλυτική Φωτογραμμετρία
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ανλυτική Φωτογρμμετρί Ενότητ # 4 Μθημτικά μοντέλ Συγγρμμικότητς κι Συνεπιπεδότητς Κθηγήτρι Όλγ Γεωργούλ Τμήμ Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχνικών
Διαβάστε περισσότεραΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΜΑΖΑΣ ΚΑΙ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ
9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΜΑΖΑΣ ΚΑΙ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ Εισγωγή Στο προηγούµενο Κεφάλιο νλύσµε το φινόµενο της µετφοράς µάζς κι θερµότητς πό το κυρίως ρεύµ στην εξωτερική επιφάνει του κτλυτικού κόκκου, ή
Διαβάστε περισσότεραείναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i
Οι Κτνομές χ, t κι F Οι Κτνομές χ, t κι F Σε υτή την ενότητ προυσιάζουμε συνοπτικά τρεις συνεχείς κτνομές οι οποίες, όπως κι η κνονική κτνομή, είνι πολύ χρήσιμες στη Σττιστική Συμπερσμτολογί Είνι ξιοσημείωτο,
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ: Φορολογική μεταχείριση των μερισμάτων που λαμβάνουν νομικά πρόσωπα από την κοινοπραξία στην οποία συμμετέχουν.
ΑΔΑ: 6ΩΗΩΗ 5ΓΡ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Αθήν, 15 Ιουνίου 2015 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΕΣΟΔΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΦΟΡΟΛΟΓΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΑΜΕΣΗΣ ΦΟΡΟΛΟΓΙΑΣ ΤΜΗΜΑ: Β Τχ.
Διαβάστε περισσότεραΣύγχρονες επεμβατικές και μη επεμβατικές τεχνικές laser και άλλων πηγών ενέργειας για την αποκατάσταση ουλών και της φυσικής γήρανσης του δέρματος
224 ΟΜΙΛΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΕΡΜΑΤΟΧΕΙΡΟΥΡΓΙΚΗ Τόμος 6, (4):224-234, 2009 Ελληνική Ετιρεί Δερμτοχειρουργικής 43 η Ετήσι Συνάντηση της Ελληνικής Ετιρείς Δερμτοχειρουργικής Laser κι άλλες πηγές ενέργεις στη Δερμτολογί
Διαβάστε περισσότεραΣυµπληρωµατικά στοιχεία για το µάθηµα της κυκλοφοριακής τεχνικής
Συµπληρωµτικά στοιχεί γι το µάθηµ της κυκλοφορικής τεχνικής. ιευκρινήσεις στην µέθοδο νάλυσης κυκλοφορικής ικνότητς σε οδούς πολλών λωρίδων κυκλοφορίς. Συµπληρωµτικές Ασκήσεις Πρδείγµτ. 4η Άσκηση Όλες
Διαβάστε περισσότεραΤο υπόδειγµα Άριστης Οικονοµικής Μεγέθυνσης µε Παραγωγικές Εξωτερικότητες Κεφαλαίου (Romer-type externalities)
Το υπόδειγµ Άριστης Οικονοµικής Μεγέθυνσης µε Πργωγικές Εξωτερικότητες Κεφλίου Romer-ype exernales Α. Αποκεντρωµένη Οικονοµί Υποθέστε µί κλειστή οικονοµί η οποί πρτίζετι πό πλήθος νοικοκυριών κι πλήθος
Διαβάστε περισσότερα«Ανάλυση χρονολογικών σειρών»
Διτμημτικό Πρόγρμμ Μετπτυχικών Σπουδών των Τμημάτων Μθημτικών κι Μηχνικών Η/Υ & Πληροφορικής «Μθημτικά των Υπολογιστών κι των Αποφάσεων». (Κτεύθυνση: Σττιστική Θεωρί Αποφάσεων κι Εφρμογές). Διπλωμτική
Διαβάστε περισσότερα1) Ποια είναι η αρχική ή παράγουσα; Τι σχέση έχει µε την f. 3) Υπάρχει µια παράγουσα για κάθε συνάρτηση ή περισσότερες;
ΛΟΓΙΣΜΟΣ ) Ποι είνι η ρχική ή πράγουσ; Τι σχέση έχει µε την f. Έστω f µι συνάρτηση ορισµένη σ έν διάστηµ. Αρχική ή πράγουσ της f στο θ ονοµάζετι κάθε συνάρτηση F που είνι πργωγίσιµη στο κι ισχύει F ()
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE
1. Ν ρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: ) έχει κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ) έχει κέντρο το σηµείο (3, - 1) κι κτίν 5 γ) έχει κέντρο το σηµείο (-, 1) κι διέρχετι πό το
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo.
Ορισμός συντελεστή διεύθυνσης ευθείς Έστω συνάρτηση κι M, έν σημείο της γρφικής της πράστσης. υπάρχει το κι είνι πργμτικός ριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφπτομένη της στο σημείο M, την ευθεί (ε) που διέρχετι
Διαβάστε περισσότεραΑ. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ
0 Υπερολή Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Oρισµός Υπερολή ονοµάζετι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου, των οποίων η διφορά των ποστάσεων πό δύο στθερά σηµεί Ε κι Ε είνι στθερή κι µικρότερη πο
Διαβάστε περισσότερα4.3 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν κάνουμε την μελέτη ή την γρφική πράστση μις συνάρτησης ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Ότν μς ζητούν κάνουμε την γρφική πράστση
Διαβάστε περισσότεραΠραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους
0 Πργμτικοί ριθμοί Οι πράξεις & οι ιιότητες τους Βρέντζου Τίν Φυσικός Μετπτυχικός τίτλος ΜEd: «Σπουές στην εκπίευση» 0 1 Πργμτικοί ριθμοί : Αποτελούντι πό τους ρητούς ριθμούς κι τους άρρητους ριθμούς.
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3. Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Πράγουσ συνάρτηση ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω f μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ.
Διαβάστε περισσότεραΥλοποίηση εφαρμογής πολυμέσων
Ασκήσεις Πολυμέσων 47 8 η 9 η Διδκτική Ενότητ λοποίηση εφρμογής πολυμέσων Προλεπόμενες διδκτικές ώρες: 4 έξεις Κλειδιά Ασκήσεις νθεώρηση έργου εσωτερική ξιολόγηση ξιολόγηση τύπου "άλφ" κλείδωμ ξιολόγηση
Διαβάστε περισσότεραΓΕΦΥΡΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΓΕΦΥΡΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στη µέτρηση της ωµικής λλά κι της σύνθετης ντίστσης µε υψηλή κρίβει χρησιµοποιούντι οι γέφυρες µέτρησης. Γι τη µέτρηση της ωµικής ντίστσης η πηγή τροφοδοσίς της γέφυρς
Διαβάστε περισσότεραEIII.7 ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΡΔΟΥΣ Ι
EIII.7 ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΡΔΟΥΣ Ι.Κέρδος ντγωνιστικής πργωγής.κερδοφορί 3.Προσφορά προιόντος.κέρδος μονοπωλίου 5.Κέρδος με συντελεστή πργωγής.ζήτηση γθών στην κτνάλωση 7.Μέγιστο κέρδος. Κέρδος ντγωνιστικής
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ 1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Μονώ νυμ - Πολυώ νυμ Λέμε λγερική πράστση κάθε πράστση που περιέχει μετλητές. π.χ., +, 5, ( + ), +. Λέμε ριθμητική τιμή ( ή πλά τιμή )
Διαβάστε περισσότεραΣυµπληρωµατικά στοιχεία για το µάθηµα της κυκλοφοριακής τεχνικής
Συµπληρωµτικά στοιχεί γι το µάθηµ της κυκλοφορικής τεχνικής 1. ιευκρινήσεις στην µέθοδο νάλυσης κυκλοφορικής ικνότητς σε οδούς πολλών λωρίδων κυκλοφορίς 2. Συµπληρωµτικές Ασκήσεις Πρδείγµτ 3. 4η Άσκηση
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ
ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ
Πρδείγµτ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ συνολική επιφάνει κτιρίου ~ επιφάνει που κλύπτετι πό πράθυρ πλιότητ κτιρίου ~ πώλει θερµικής ενέργεις κτνάλωση ηλεκτρικής ενέργεις κτοικίς ~ κτνάλωση νερού ~ µέγεθος
Διαβάστε περισσότεραΙόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ.
Ιόνιο Πνεπιστήμιο - Τμήμ Πληροορικής Μθημτικός Λογισμός Ενότητ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Πνγιώτης Βλάμος Αδειες Χρήσης Το πρόν εκπιδευτικό υλικό υπόκειτι σε άδειες χρήσης Cativ Commo
Διαβάστε περισσότεραΕπιτάχυνση και ισχύς σε καμπυλόγραμμη κίνηση
Επιτάχυνση κι ισχύς σε κμπυλόγρμμη κίνηση Έν σημεικό σφιρίδιο Σ μάζς m=0,kg είνι δεμένο m στο άκρο βρούς κι μη Σ εκττού νήμτος μήκους =0,m, το άλλο άκρο του οποίου είνι στερεωμένο σε οριζόντι οροφή. Το
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώττο Εκπιδευτικό Ίδρυμ Πειριά Τεχνολογικού Τομέ Συστήμτ Αυτομάτου Ελέγχου II Ενότητ #3: Ευστάθει Συστημάτων - Αλγεβρικό Κριτήριο Routh Δημήτριος Δημογιννόπουλος Τμήμ Μηχνικών Αυτομτισμού
Διαβάστε περισσότεραΟ Ρ Ι Ζ Ο Υ Σ Ε Σ. το σύνολο των μεταθέσεων (βλέπε σελ. 19) Ν. Την μετάθεση p [permutation] την συμβολίζουν ως εξής:
III Ο Ρ Ι Ζ Ο Υ Σ Ε Σ Μετθέσεις Θεωρούμε έν σύνολο Ν με πεπερσμένο το πλήθος ντικείμεν Τ ριθμούμε υτά κτά κάποιο τρόπο, κι στη συνέχει, νφερόμεθ σ υτά με τον ριθμό τους Εστω, λοιπόν, Ν {,,, } το δοσμένο
Διαβάστε περισσότερα114 ασκήσεις ένα ερώτημα - σε όλη την ύλη. x και g x ln 1 2x ln x. ισχύει η σχέση: είναι περιττή και ισχύει ότι. f x x 2 2x, για κάθε x
Ν εξετάσετε ν είνι ίσες οι συνρτήσεις f() N ποδείξετε ότι f g, ότν γι κάθε Η συνάρτηση f : f,. 4 σκήσεις έν ερώτημ - σε όλη την ύλη ln κι g ln ln ισχύει η σχέση: είνι περιττή κι ισχύει ότι 4 Ν οριστεί
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ)
ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ε (ρχή) φορές (πέρς) 1. Τι ορίζετι ως διάνυσµ ; Το διάνυσµ ορίζετι ως έν προσντολισµένο
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)
θ) (5 + ) + 5 = (...).(...) ι) + (5 ) 5 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 5 0 (Μονάδες ) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7 = (0 + ) (Μονάδες,5) Θέμ ο Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις
Διαβάστε περισσότεραΙΔΙΟΤΙΜΕΣ. Λύση. Σχηματίζουμε την εξίσωση (2): x = 0. Οι κολώνες του πίνακα
ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ Σημείωση Προς το πρόν, κινούμεθ στο σώμ R των πργμτικών ριθμών Έν ιδιοδιάνυσμ ή χρκτηριστικό διάνυσμ ενός πίνκ Α, που ντιστοιχεί στην ιδιοτιμή, είνι εκείνο το μη μηδενικό διάνυσμ το οποίο πηροί
Διαβάστε περισσότεραΣΕΙΡΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. n 1 2 n. Για τη σύγκλιση της σειράς διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις: (i) Αν υπάρχει το lim σ n
ΣΕΙΡΕΣ Έστω. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ μι κολουθί πργμτικών ριθμών. Η κολουθί ( σ ) με γενικό όρο: σ + + + i ονομάζετι κολουθί μερικών θροισμάτων της κολουθίς ( ), ή σειρά των ριθμών,,,, κι σημειώνετι με i + + +
Διαβάστε περισσότεραΗλώ σεις. 1 Άσκηση. 2 Άσκηση
ΠΜΣ : Σχεδισμός & κτσκευή υπογείων έργων Ακδ. Έτος: 2013-2014 ΜΑΘΗΜΑ: Μέτρ Υποστήριξης Σηράγγων Διδάσκων : Κθηγητής Α.Ι. ΣΟΦΙΑΝΟΣ Επιμέλει σκήσεων: Π. Γιούτ Ηλώ σεις 1 Άσκηση Σχεδιάστε τη μέγιστη πίεση
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις θεωρίας βασισμένες στο βιβλίο των μαθηματικών της Γ τάξης
Ερωτήσεις θεωρίς βσισμένες στο βιβλίο των μθημτικών της Γ τάξης 1ο ΕΠΑΛ ΣΑΛΑΜΙΝΑΣ 27 Απριλίου 29 2 Μθημτικά Γ Τάξης 1. Τι είνι πληθυσμός, άτομο κι μέγεθος ενός πληθυσμού; Πληθυσμός ονομάζετι το σύνολο
Διαβάστε περισσότερα2. ** Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από το σηµείο (1, 0) και εφάπτεται στις ευθείες 3x + y + 6 = 0 και 3x + y - 12 = 0.
Ερωτήσεις νάπτυξης 1. ** Ν ρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: ) έχει κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ) έχει κέντρο το σηµείο (3, - 1) κι κτίν 5 γ) έχει κέντρο το σηµείο (-,
Διαβάστε περισσότεραΕίναι ένα πιστοποιητικό που επιτρέπει τη μεταφορά επικίνδυνων εμπορευμάτων ακόμα και εάν η μονάδα μεταφοράς δεν είναι κατάλληλη.
ΚΕΦΑΑΙΟ 1: ΝΟΜΟΘΕΤΙΚΟ ΠΑΙΙΟ - ΤΑΞΙΝΟΜΗΗ ΕΠΙΚΙΝΔΥΝΩΝ ΕΜΠΟΡΕΥΜΑΤΩΝ 1 Ποιος έχει την υποχρέωση ν πρδώσει στον οδηό τις ρπτές οδηίες σχετικές με τη μετφερόμενη επικίνδυνη ύλη; Ο πρλήπτης. Η τροχί. Ο ποστολές.
Διαβάστε περισσότεραΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ
ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ Κεφάλιο 2 ΤΟ ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ SOOW-SWAN Εισγωγή Η νάλυση της θεωρίς της οικονοµικής µεγέθυνσης θ ξεκινήσει εξετάζοντς το πιο πλό δυνµικό υπόδειγµ
Διαβάστε περισσότεραΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΠΟΛΥΜΕΡΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΑΓΡAΜΜΑΤΑ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΦΑΣΕΩΝ
ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΠΟΛΥΜΕΡΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΑΓΡAΜΜΑΤΑ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΦΑΣΕΩΝ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΥΣΤΗΜΑ είνι κάθε ντικείµενο (ή γενικότερ το τµήµ του σύµπντος) που υπόκειτι σε µελέτη. ΣΥΣΤΑΤΙΚΑ ενός συστήµτος υλικών είνι
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΚΛΑΣΙΚΕΣ ΘΕΩΡΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΕΥΘΥ & ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΒΑΘΙΑΣ ΚΑΘΙΖΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΙ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΚΛΑΣΙΚΕΣ ΘΕΩΡΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΕΥΘΥ & ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΒΑΘΙΑΣ ΚΑΘΙΖΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΙ. ΚΑΘΙΖΗΣΗ ΜΕΓΑΛΗΣ ΚΛΙΜΑΚΑΣ - ΟΡΙΣΜΟΙ Τ υπόγει έργ (Πολιτικού Μηχνικού ή άλλ γεωτεχνικά) είνι ο λόγος νκτνοµής των
Διαβάστε περισσότεραα β γ δ β γ α α α α α α Α = α α α = α α + α α α α α α α α α D Α
ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ β Έστω πίνκς Α Χ = γ δ Σε κάθε τετργωνικό πίνκα ντιστοιχίζοµε ένν πργµτικό ριθµό τον οποίο ονοµάζοµε ορίζουσ του πίνκ κι ορίζετι ως β Α = = δ β γ Η έννοι της ορίζουσς είνι νγκί προκειµένου ν
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα Να βρεθούν οι ευθείες οι οποίες διέρχονται από το σημείο Α(1,2) και απέχει από το σημείο Β(3,1) απόσταση d=2.
Ευθεί Ενότητ 7. Απόστση σημείου πό ευθεί Εμβδόν τριγώνου Εφρμογές 7.1 Ν βρεθεί η πόστση: i) του σημείου Μ(1,3) πό την ευθεί (ε) με εξίσωση 3x-4y- 11=0, ii) του σημείου Ρ(,-3) πό την (η) με εξίσωση 5x+1y-=0.
Διαβάστε περισσότεραΒασικά γεωμετρικά σχήματα- Μέτρηση γωνίας μέτρηση μήκους - κατασκευές ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΓΕΩΜΕΤΡΙ: Κεφάλιο 1 ο σικά γεωμετρικά σχήμτ- Μέτρηση γωνίς μέτρηση μήκους - κτσκευές ΣΚΗΣΕΙΣ 1. Πάνω στο ευθύγρμμο τμήμ = 6cm, ν πάρετε έν σημείο Γ, τέτοιο ώστε Γ = 2cm κι έν σημείο Δ, τέτοιο ώστε Δ =
Διαβάστε περισσότεραΤ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ
Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Εισγωγή: Όπως στη κθημερινή μς ζωή, γι ν συνεννοηθούμε χρησιμοποιούμε προτάσεις, έτσι κι στ Μθημτικά χρησιμοποιούμε «Μθημτικές» προτάσεις. Γι πράδειγμ στη κθημερινή
Διαβάστε περισσότεραΜέρος Α - Kεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Α.7.8. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό
Μέρος Α - Kεφάλιο 7ο - Θετικοί κι Αρνητικοί Αριθμοί - 37 - Α.7.8. Δυνάμεις ρητών ριθμών με εκθέτη φυσικό ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ Ένς υπολογιστής μολύνθηκε πό κάποιο ιό, ο οποίος είχε την ιδιότητ ν κτστρέφει τ ηλεκτρονικά
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες ( ) Α. Δύο σώματα ίσης μάζας m κινούνται σε οριζόντιο επίπεδο όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
Εισγωγή στις Φυσικές Επιστήμες (7-7-7) Μηχνική Ονομτεπώνυμο Τμήμ ΘΕΜΑ 1 Α. Δύο σώμτ ίσης μάζς m κινούντι σε οριζόντιο επίπεδο όπως φίνετι στο πρκάτω σχήμ. Α υ Β a O = Εάν γι t = το σώμ Α κινείτι με στθερή
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι Άµεσης Απόκρισης
Αλγόριθµοι Άµεσης Απόκρισης Εγχειρίδιο Φροντιστηρικών Ασκήσεων Ιωάννης Κργιάννης Ιούνιος 008 Το πρόν εγχειρίδιο περιέχει σκήσεις κι νοιχτά προβλήµτ σχετικά µε το ντικείµενο του µθήµτος Αλγόριθµοι Άµεσης
Διαβάστε περισσότερα