Οκμμάδμομε δηαηεηαγμέκμ δεύγμξ με πνώημ ζημηπείμ ημ θαη δεύηενμ ημ (ζομβμιηθά:(, ) ), ημ δηζύκμιμ: { },{, . Δειαδή:

Transcript

1

2 ΤΝΑΡΣΗΓΙ ΟΡΙΜΟ ΤΝΑΡΣΗΗ Οκμμάδμομε δηαηεηαγμέκμ δεύγμξ με πνώημ ζημηπείμ ημ θαη δεύηενμ ημ (ζομβμιηθά:(, ) ), ημ δηζύκμιμ: { },{, } (, ) { },{, } Δειαδή: Από ημκ μνηζμό ημο δηαηεηαγμέκμο δεύγμοξ πνμθύπημοκ μη βαζηθέξ ηδηόηεηεξ: (, ) (, ) ( ) (, ) (, ) Οκμμάδμομε θανηεζηακό γηκόμεκμ ημο με θεκμύ ζοκόιμο A επη ημ με θεκό ζύκμιμ B (ζομβμιηθά: A B ), ημ ζύκμιμ ηςκ δηαηεηαγμέκςκ δεογώκ (, ), όπμο: A θαη B A B (, ) : A, B Δειαδή: Βαζηθέξ ηδηόηεηεξ ημο θανηεζηακμύ γηκμμέκμο είκαη: Ακ A B ( A ή B ) A B B A A B A B B A B ηόηε ημ θανηεζηακό γηκόμεκμ ημ ζομβμιίδμομε με Οκμμάδμομε ζπέζε από ημ με θεκό ζύκμιμ A ζημ με θεκό ζύκμιμ B, θάζε οπμζύκμιμ ημο A B Ακ ημ δηαηεηαγμέκμ δεύγμξ (, ) ακήθεη ζηε ζπέζε, ηόηε ιέμε όηη ημ ζπεηίδεηαη με ημ ή όηη ημ ακηηζημηπίδεηαη ζημ ή όηη ε εηθόκα ημο (μέζς ηεξ ζπέζεξ ) είκαη ημ (, ακήθεη ζηε ζπέζε, ηόηε γνάθμομε ζομβμιηθά: ή ( ) Ακ ημ δηαηεηαγμέκμ δεύγμξ ) Πανάδεηγμα Ακ A,,3 θαη,4 A B B ηόηε: (,),(,4),(,),(,4),(3,),(3,4) ΒΑΓΓΓΛΗ ΦΤΥΑ

3 ΤΝΑΡΣΗΓΙ 3 Ακ Σμ ζύκμιμ (,4),(,4),(3,),(3,4) AB, είκαη (μνίδεη) μία ζπέζε από ημ ζύκμιμ A ζημ ζύκμιμ B Γπεηδή (,4) μπμνμύμε κα γνάρμομε ( ) 4 ή 4 B θαη B, ηόηε ιέμε όηη έπμομε μία ζπέζε επί ημο Μία ζπέζε Μία ζπέζε Μία ζπέζε Μία ζπέζε Μία ζπέζε επί ημο, ζα ιέγεηαη ακαθιαζηηθή όηακ ηζπύεη: γηα θάζε επί ημο, ζα ιέγεηαη ζομμεηνηθή όηακ ηζπύεη: γηα, επί ημο, ζα ιέγεηαη ακηηζομμεηνηθή όηακ ηζπύεη: ( θαη ) ηόηε γηα, επί ημο, ζα ιέγεηαη μεηαβαηηθή όηακ ηζπύεη: ηόηε γηα,, επί ημο, ζα ιέγεηαη ζπέζε ηζμδοκαμίαξ όηακ είκαη ακαθιαζηηθή, ζομμεηνηθή θαη μεηαβαηηθή Μία ζπέζε επί ημο, ζα ιέγεηαη ζπέζε δηαηάλεωξ όηακ είκαη ακαθιαζηηθή, ακηηζομμεηνηθή θαη μεηαβαηηθή Οκμμάδμομε απεηθόκηζε από ημ με θεκό ζύκμιμ A ζημ με θεκό ζύκμιμ B, θάζε ζπέζε από ημ A ζημ B, με ηεκ μπμία ζε θάζε ζημηπείμ ημο A ακηηζημηπμύμε έκα θαη μόκμ ζημηπείμ ημο B Σηξ απεηθμκίζεηξ ηηξ ζομβμιίδμομε ζοκήζςξ με: : B Σμ A ιέγεηαη ζύκμιμ αθεηενίαξ θαη ημ B ζύκμιμ αθίλεωξ Γηά κα απμδείλμομε όηη μία ζπέζε B είκαη απεηθόκηζε, ανθεί κα απμδείλμομε όηη: (i) γηα θάζε A οπάνπεη y B ώζηε: ( ) y (ii) ακ ηόηε ( ) () Απεηθμκίζεηξ μπμνεί κα έπμομε θαη μεηαλύ με ανηζμμζοκόιςκ Γηα πανάδεηγμα, ε πνόζζεζε πναγμαηηθώκ ανηζμώκ είκαη μία απεηθόκηζε : με ηεκ μπμία ζε θάζε δεύγμξ πναγμαηηθώκ ανηζμώκ, ακηηζημηπμύμε έκα άιιμ πναγμαηηθό ανηζμό (ημ άζνμηζμά ημοξ) Ππ ( 3,5) 8 (ζε δηαηεηαγμέκα δεύγε ακηηζημηπμύμε ανηζμμύξ) ΒΑΓΓΓΛΗ ΦΤΥΑ

4 4 ΤΝΑΡΣΗΓΙ Σηξ απεηθμκίζεηξ μεηαλύ ανηζμμζοκόιςκ ηηξ μκμμάδμομε ζοκανηήζεηξ Ακ ηα A, B είκαη οπμζύκμια ημο, ηόηε έπμομε πναγμαηηθή ζοκάνηεζε μηαξ πναγμαηηθήξ μεηαβιεηήξ ηε πενίπηςζε αοηή ημ ιέγεηαη πεδίμ μνηζμμύ Γηα δηδαθηηθμύξ θαη πναθηηθμύξ ιόγμοξ δίκεηαη ζοκήζςξ μ παναθάης μνηζμόξ γηα ηεκ πναγμαηηθή ζοκάνηεζε μηαξ πναγμαηηθήξ μεηαβιεηήξ Οκμμάδμομε πναγμαηηθή ζοκάνηεζε μηάξ πναγμαηηθήξ μεηαβιεηήξ ή απιά ζοκάνηεζε με πεδίμ μνηζμμύ ημ, ηε δηαδηθαζία (θακόκα) με ηεκ μπμία ζε θάζε ζημηπείμ ακηηζημηπμύμε έκα θαη μόκμ ζημηπείμ y f : ημ μκμμάδμομε ακελάνηεηε μεηαβιεηή θαη ημ Σηξ ζοκανηήζεηξ ηηξ ζομβμιίδμομε ζοκήζςξ με Σμ μεηαβιεηή Σμ y ελανηεμέκε y f() ημ μκμμάδμομε ηημή ηεξ f ζημ ή εηθόκα ημο ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΜΟΤ - ΤΝΟΛΟ ΣΙΜΩΝ ΤΝΑΡΣΗΗ Πεδίμ μνηζμμύ μηάξ ζοκάνηεζεξ f μκμμάδμομε ημ εονύηενμ οπμζύκμιμ ημο γηα ημ μπμίμ έπεη κόεμα πναγμαηηθμύ ανηζμμύ ημ f () Σμ πεδίμ μνηζμμύ μηάξ ζοκάνηεζεξ f ημ ζομβμιίδμομε ζοκήζςξ με D f :f() Δειαδή: D f ύκμιμ ηημώκ μηάξ ζοκάνηεζεξ f : μκμμάδμομε ημ οπμζύκμιμ ημο, πμο απμηειείηαη από ηηξ εηθόκεξ ηςκ ζημηπείςκ ημο πεδίμο μνηζμμύ Σμ ζύκμιμ ηημώκ μηάξ ζοκάνηεζεξ f (A) f : ημ ζομβμιίδμομε ζοκήζςξ με Δειαδή: f(a) y : ά A f() y Σμ ) f (A απμηειείηαη από εθείκα ηα y, πμο είκαη εηθόκα εκόξ ημοιά- ΒΑΓΓΓΛΗ ΦΤΥΑ

5 ΤΝΑΡΣΗΓΙ 5 A πηζημκ Πναθηηθώηενα ημ (A) ελίζςζε f() f απμηειείηαη από εθείκα ηα y y, έπεη μία ημοιάπηζημκ ιύζε (ςξ πνμξ ) ζημ A f : Γηα κα βνμύμε ημ ζύκμιμ ηημώκ μηάξ ζοκάνηεζεξ ηεκ ελήξ δηαδηθαζία: Πνμζπαζμύμε κα ιύζμομε ηεκ ελίζςζε f(), γηα ηα μπμία ε, αθμιμοζμύμε y ςξ πνμξ θαη ζέημομε ημοξ θαηάιειμοξ πενημνηζμμύξ ώζηε ε ελίζςζε κα έπεη μία ημοιάπηζημκ πναγμαηηθή ιύζε Απαηημύμε μία ημοιάπηζημκ από ηηξ ιύζεηξ πμο βνήθαμε ζημ πνμεγμύμεκμ ενώηεμα κα ακήθεη ζημ πεδίμ μνηζμμύ ηεξ ζοκάνηεζεξ 3 Οη πενημνηζμμί πμο πνμθύπημοκ (γηα ημ y ), από ηα δύμ πνμεγμύμεκα βήμαηα, μαξ μδεγμύκ ζημ πνμζδημνηζμό ημο ζοκόιμο ηημώκ Έζης ε ζοκάνηεζε f : X Y θαη A X f(a) y Y :υπάρχει A με f() y ιέγεηαη Σμ ζύκμιμ εηθόκα ημο A ςξ πνμξ ηεκ f f : X Y θαη B Y f (B) X :f() B Έζης ε ζοκάνηεζε Σμ ζύκμιμ ςξ πνμξ ηεκ f ιέγεηαη ακηίζηνμθε εηθόκα ημο B 3 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΑΗ ΤΝΑΡΣΗΗ Γναθηθή πανάζηαζε μηάξ ζοκάνηεζεξ f : μκμμάδμομε ημ ζύκμιμ ηςκ ζεμείςκ M (,y) ημο θανηεζηακμύ επηπέδμο, γηα ηα μπμία ηζπύεη: θαη y f() Σε γναθηθή πανάζηαζε μηάξ ζοκάνηεζεξ f : ηε ζομβμιίδμομε με C f Δειαδή C f M(,y) : A,f() y M(,y) C f() y Ιζπύεη ε ηζμδοκαμία: f Η γναθηθή πανάζηαζε μηάξ ζοκάνηεζεξ f : θόβεηαη από ημκ άλμκα y y ή από εοζεία πανάιιειε ζημκ άλμκα y y, ζε έκα ημ πμιύ ζεμείμ Πανάδεηγμα Ο θύθιμξ με θέκηνμ ημ ζεμείμ (,) K θαη αθηίκα r 5 δεκ είκαη γναθηθή πανάζηζε θάπμηαξ ζοκάνηεζεξ Απιά μη ζοκηεηαγμέκεξ μπμημοδήπμηε ΒΑΓΓΓΛΗ ΦΤΥΑ

6 6 ΤΝΑΡΣΗΓΙ ζεμείμο ημο M (,y), ηθακμπμημύκ ηεκ ελίζςζε: ( ) (y ) 5 4 ΑΡΣΙΑ-ΠΕΡΙΣΣΗ-ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΤΝΑΡΣΗΗ Μία ζοκάνηεζε f : ζα ιέγεηαη άνηηα όηακ: (i) A ά A θαη (ii) f( ) f() ά A Πανάδεηγμα 4 f : με f() 3, γηα θάζε θαη 4 4 f( ) ( ) 3( ) 3 f() Η ζοκάνηεζε (η) (ηη) είκαη άνηηα δηόηη: Μία ζοκάνηεζε f : ζα ιέγεηαη πενηηηή όηακ: (i) A ά A θαη (ii) f( ) f() ά A Πανάδεηγμα Η ζοκάνηεζε (η) (ηη), γηα θάζε 5 3 f : με f() 4 είκαη πενηηηή δηόηη: γηα θάζε θαη f( ) ( ) 4( ) ( ) ( 4 ) f(), γηα θάζε Μία ζοκάνηεζε f : ζα ιέγεηαη πενημδηθή όηακ οπάνπεη T ώζηε: (i) T A ά A θαη (ii) f( T) f() ά A Πανάδεηγμα Η ζοκάνηεζε f : [,] f πενίμδμ T δηόηη: (η), γηα θάζε θαη με () είκαη πενημδηθή με ΒΑΓΓΓΛΗ ΦΤΥΑ

7 ΤΝΑΡΣΗΓΙ 7 f( T) f( ) ( ) f() (ηη) Πανάδεηγμα Η ζοκάνηεζε f : [,] πενημδηθή με πενίμδμ (η) (ηη) με f() ( ) T δηόηη:, γηα θάζε f ( T) f θαη,, γηα θάζε είκαη ( ) ( ) f(), γηα θάζε : Η γναθηθή πανάζηαζε μηάξ άνηηαξ ζοκάνηεζεξ f είκαη ζομμεηνηθή ςξ πνμξ ημκ άλμκα y y Η γναθηθή πανάζηαζε μηάξ πενηηηήξ ζοκάνηεζεξ f : είκαη ζομμεηνηθή ςξ πνμξ ημκ ανπή ηςκ αλόκςκ Η γναθηθή πανάζηαζε μηάξ πενημδηθήξ ζοκάνηεζεξ f : επακαιαμβάκεηαη ζημ δηαζηήμαηα πιάημοξ μηαξ πενηόδμο Μία πενημδηθή ζοκάνηεζε f : ανθεί κα μειεηεζεί ζε έκα δηάζηεμα πιάημοξ μηαξ πενηόδμο(ζηα οπόιμηπα δηαζηήμαηα επακαιαμβάκεηαη) Μία ζοκάνηεζε f : μπμνεί κα μεκ είκαη μύηε άνηηα μύηε πενηηηή Πανάδεηγμα Η ζοκάνηεζε 4 3 f() δεκ είκαη άνηηα μύηε πενηηηή Μία ζοκάνηεζε f : με f : εθθνάδεηαη πάκηα ζακ άζνμηζμα μηάξ άνηηαξ θαη μηάξ πενηηηήξ ζοκάνηεζεξ, θαηά μμκαδηθό ηνόπμ Παναηήνεζε Κάζε ζοκάνηεζε άνηηαξ ζοκάνηεζεξ πενηηηήξ ζοκάνηεζεξ f : εθθνάδεηαη πάκηα ζακ άζνμηζμα ηεξ f() f( ) g() θαη ηεξ f() f( ) h() : T, ηόηε έπεη k Ακ μία ζοκάνηεζε f είκαη πενημδηθή με πενίμδμ πενίμδμ θαη ημ kt με ΒΑΓΓΓΛΗ ΦΤΥΑ

8 8 ΤΝΑΡΣΗΓΙ 5 ΜΟΝΟΣΟΝΙΑ ΤΝΑΡΣΗΗ Μία ζοκάνηεζε f : ζα ιέγεηαη γκεζίωξ αύλμοζα ζημ E A όηακ: γηα θάζε, E με ηζπύεη : f( ) f() (ή όηακ: γηα θάζε, E με ηζπύεη : f( ) f() ) Μία ζοκάνηεζε f : ζα ιέγεηαη αύλμοζα ζημ E A όηακ: γηα θάζε, E με ηζπύεη: f( ) f() (ή όηακ: γηα θάζε, E ηζπύεη : ( ) f( ) με f ) Μία ζοκάνηεζε f : ζα ιέγεηαη γκεζίωξ θζίκμοζα ζημ E A όηακ: γηα θάζε, E με ηζπύεη: f( ) f() (ή όηακ: γηα θάζε, E με ηζπύεη : f( ) f() ) Μία ζοκάνηεζε f : ζα ιέγεηαη θζίκμοζα ζημ E A όηακ: γηα θάζε, E με ηζπύεη: f( ) f() (ή όηακ: γηα θάζε, E ηζπύεη : ( ) f( ) με f ) Μία ζοκάνηεζε f : ζα ιέγεηαη ζηαζενή ζημ E A όηακ: γηα θάζε, E με ηζπύεη: f( ) f() Μία ζοκάνηεζε f : ζα ιέγεηαη ζηαζενή ζημ E A όηακ: οπάνπεη c ώζηε f() c γηα θάζε E Μία ζοκάνηεζε f : ζα ιέγεηαη γκεζίωξ μμκόημκε ζημ E A όηακ είκαη γκεζίςξ αύλμοζα ή γκεζίςξ θζίκμοζα ζημ E A Μία ζοκάνηεζε f : ζα ιέγεηαη μμκόημκε ζημ E A όηακ είκαη αύλμοζα ή θζίκμοζα ζημ E A Σμ είδμξ ηεξ μμκμημκίαξ μηαξ ζοκάνηεζεξ ζηα δηάθμνα οπμζύκμια ημο πεδίμο μνηζμμύ ηεξ Ακ μία ζοκάνηεζε οπάνπεη έκα ημοιάπηζημκ δηάζηεμα f : μπμνεί κα αιιάδεη f : είκαη (απιά) μμκόημκε ζημ, ηόηε, ζημ μπμίμ ε f είκαη ζηαζενή ΒΑΓΓΓΛΗ ΦΤΥΑ

9 ΤΝΑΡΣΗΓΙ 9 Η δηαθμνά ζηηξ γναθηθέξ παναζηάζεηξ μηαξ γκεζίςξ αύλμοζαξ θαη μηαξ αύλμοζαξ ζοκάνηεζεξ θέκεηαη ζηα παναθάης ζπήμαηα Γκεζίςξ αύλμοζα Αύλμοζα 7 ΙΟΣΗΣΑ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ Δύμ ζοκανηήζεηξ ιέγμκηαη ίζεξ όηακ: f : θαη g : B με, B ζα A B θαη f() g() γηα θάζε A B Οηακ δύμ ζοκανηήζεηξ ζομβμιηθά f g f : θαη : B ΠΡΟΟΥΗ!!! Γηα κα είκαη δύμ ζοκανηήζεηξ ίζεξ, πνέπεη μπμζδήπμηε κα έπμοκ ημ ίδημ πεδίμ μνηζμμύ g είκαη ίζεξ, γνάθμομε f : θαη g : B 8 ΠΡΑΞΕΙ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ Γζης f : θαη g : δύμ ζοκανηήζεηξ με, B (i) Ακ, ηόηε μνίδεηαη ε ζοκάνηεζε f : (γηκόμεκμ ανηζμμύ με ζοκάνηεζε) με: ( f )() f() (ii) Ακ, ηόηε μνίδεηαη ε ζοκάνηεζε f g : (άζνμηζμα ζοκανηήζεωκ) με: ( f g)() f() g() (iii) Ακ, ηόηε μνίδεηαη ε ζοκάνηεζε f g : (γηκόμεκμ ζοκανηήζεωκ) με ( f g)() f()g() (iv) Ακ { : g() 0}, ηόηε μνίδεηαη ε ζοκάνηεζε ΒΑΓΓΓΛΗ ΦΤΥΑ

10 0 ΤΝΑΡΣΗΓΙ f g : (πηιήθμ ζοκανηήζεωκ) με f g () f() g() 9 ΤΝΘΕΗ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ Γζης, B, θαη f :, g : δύμ ζοκανηήζεηξ Οκμμάδμομε ζύκζεζε ηςκ f θαη g ηε ζοκάνηεζε g f : A με ηύπμ: ( g f )() g(f()) A B f g f () g (f()) ( g f )() g f : A Γζης, B,, θαη f :, g : δύμ ζοκανηήζεηξ Ακ ημ ζύκμιμ Dg f { Df :f() Dg} είκαη δηάθμνμ ημο θεκμύ ζοκόιμο, ηόηε μνίδεηαη ε ζοκάνηεζε g f : D g f με ηύπμ: ( g f )() g(f()) A B f () Dg f f : A B g : ΒΑΓΓΓΛΗ ΦΤΥΑ

11 ΤΝΑΡΣΗΓΙ 0 - ΤΝΑΡΣΗΗ Μία ζοκάνηεζε f : ζα ιέγεηαη έκα πνμξ έκα (-), όηακ: γηα θάζε, A με f( ) f() ηζπύεη Η γναθηθή πανάζηαζε μηάξ - ζοκάνηεζεξ άλμκα ή από εοζεία πανάιιειε ζημκ άλμκα Κάζε γκεζίςξ μμκόημκε ζοκάνηεζε είκαη - Κάζε πενημδηθή ζοκάνηεζε δεκ μπμνεί κα είκαη - Κάζε άνηηα ζοκάνηεζε δεκ μπμνεί κα είκαη - f :, θόβεηαη από ημκ, ζε έκα ημ πμιύ ζεμείμ επη ΤΝΑΡΣΗΗ Μία ζοκάνηεζε f : ζα ιέγεηαη επί ημο, όηακ: f () f : είκαη επί ημο, ανθεί κα y οπάνπεη ώζηε: f() y f : είκαη επί ημο, ηόηε ζα ηζπύεη όηη: γηα θάζε y οπάνπεη ώζηε: f() y f : ζοκάνηεζε θαη Οκμμάδμομε ακηίζηνμθε εηθόκα ημο ημ ζύκμιμ f ( ) { :f() } Γηα κα απμδείλμομε μηη μία ζοκάνηεζε απμδείλμομε όηη: γηα θάζε Ακηίζηνμθα ακ μία ζοκάνηεζε Έζης Παναηήνεζε Γεκηθά ημ ζύκμιμ f ( ) { :f() }, μν ηδεηαη ακελάνηεηα από ηεκ ακηηζηνερημόηεηα ηεξ ζοκάνηεζεξ f : ΑΝΣΙΣΡΟΦΗ ΤΝΑΡΣΗΗ Ακ μία ζοκάνηεζε f :f(a) A ηεξ f με f : είκαη - ηόηε μνίδεηαη ε ζοκάνηεζε: f (y) f() y θαη ιέγεηαη ακηίζηνμθε ΒΑΓΓΓΛΗ ΦΤΥΑ

12 ΤΝΑΡΣΗΓΙ A f (A) f (y) f () y Ακ ε ζοκάνηεζε f : είκαη - ηόηε ηζπύμοκ μη ζπέζεηξ: f f (y) ff (y) y γηα θάζε y f(a) f f () f f() γηα θάζε A Οη γθαθηθέξ παναζηάζεηξ ηςκ ζοκανηήζεςκ f θαη πνμξ ηεκ εοζεία με ελίζςζε Ακ ε ζοκάνηεζε ακηίζηνμθε ζοκάνηεζε Ακ ε ζοκάνηεζε ζπέζεηξ: f f (y) ff (y) y f f () f f() f είκαη ζομμεηνηθέξ ςξ y f : είκαη - θαη επί ημο, ηόηε μνίδεηαη ε f : με f (y) f() y f : είκαη - θαη επί ημο, ηόηε ηζπύμοκ μη γηα θάζε y γηα θάζε A ΒΑΓΓΓΛΗ ΦΤΥΑ

13 ΤΝΑΡΣΗΓΙ 3 ΑΚΗΕΙ Η ζοκάνηεζε f() (, ) έπεη πεδίμ μνηζμμύ ημ δηάζηεμα Λ Παναηενήζεηξ: Οη ζοκανηήζεηξ f() θαη g() είκαη ίζεξ Λ Παναηενήζεηξ: 3 Οη ζοκανηήζεηξ f() θαη ίζεξ g() είκαη Λ Παναηενήζεηξ: 4 Η ζοκάνηεζε f() είκαη άνηηα Λ Παναηενήζεηξ: 5 Η γναθηθή πανάζηαζε ηεξ ζοκάνηεζεξ f() βνίζθεηαη πάκς απμ ημκ άλμκα Λ Παναηενήζεηξ: 6, ηζπύεη f( ) f( ) γηα μπμηδήπμηε ζοκάνηεζε : Ακ γηα ημοξ πναγμαηηθμύξ ανηζμμύξ ηόηε f Λ Παναηενήζεηξ: ΒΑΓΓΓΛΗ ΦΤΥΑ

14 4 ΤΝΑΡΣΗΓΙ 7 Η ζοκάνηεζε f() είκαη - Λ Παναηενήζεηξ: 8 Ακ μη ζοκανηήζεηξ ηόηε θαη ε ζοκάνηεζε f,g : είκαη γκεζίςξ αύλμοζεξ, g : f είκαη γκεζίςξ αύλμοζα Λ Παναηενήζεηξ: 9 Ακ μη ζοκανηήζεηξ f,g : (0, ) είκαη γκεζίςξ αύλμοζεξ, ηόηε θαη ε ζοκάνηεζε f g : (0, ) γκεζίςξ αύλμοζα είκαη Λ Παναηενήζεηξ: 0 Ακ μη ζοκανηήζεηξ ηόηε θαη ε ζοκάνηεζε f,g : είκαη γκεζίςξ αύλμοζεξ, g : f είκαη γκεζίςξ αύλμοζα Λ Παναηενήζεηξ: Ακ ε ζοκάνηεζε : f είκαη πενηηηή ηόηε f(0) 0 Λ Παναηενήζεηξ: Ακ ε ζοκάνηεζε f : είκαη άνηηα ηόηε είκαη - Λ Παναηενήζεηξ: ΒΑΓΓΓΛΗ ΦΤΥΑ

15 ΤΝΑΡΣΗΓΙ f() 4 h() 3 4 g() ( ) 3 f() 5 h() g() 5 ( ) () f () f 3 () f () f () f 4 () f 6 f() 5 h() 5 3 p() 5 3 f() h() g() 9 () 4 6 q() g() 4 4 () 3 4 ΒΑΓΓΓΛΗ ΦΤΥΑ

16 6 ΤΝΑΡΣΗΓΙ f() h() 9 g() 9 9 () 4 3 f() h() ln( 3) g() ln( 3 ) ln( 4) () ln( 5 4) f() h() ln( 4) g() ln(5 ) ln( ) () ln( 6 5) f() e g() e e h() e 4 () e (e )e e f() h() e e e 0 g() e 9 e ( ) e (e )e e f() ln(e e ) g() ln(e 6 e ) f() ln(e e) 6 g() ln(e e ) f() g() 4 ΒΑΓΓΓΛΗ ΦΤΥΑ

17 ΤΝΑΡΣΗΓΙ 7 h() p() f() h() g() p() f() g() f() g() 7 Δίκμκηαη μη ζοκανηήζεηξ ζοκανηήζεηξ: f() θαη f f g, 3f g, f g θαη g g() 3 4 Να μνηζημύκ μη 8 Δίκμκηαη μη ζοκανηήζεηξ ζοκανηήζεηξ: f() f f g, f g θαη g θαη g() 3 4 Να μνηζημύκ μη 9 Δίκμκηαη μη ζοκανηήζεηξ Να μνηζημύκ μη ζοκανηήζεηξ: 7 () () f θαη g f f g, 3f g, f g θαη g ΒΑΓΓΓΛΗ ΦΤΥΑ

18 8 ΤΝΑΡΣΗΓΙ 0 Δίκμκηαη μη ζοκανηήζεηξ Να μνηζημύκ μη ζοκανηήζεηξ: 7 () () 7 f θαη g f f g, 3f g, f g θαη g Δίκμκηαη μη ζοκανηήζεηξ Να μνηζημύκ μη ζοκανηήζεηξ: () 4 () f θαη g f f g, 3f g, f g θαη g Δίκμκηαη μη ζοκανηήζεηξ Να μνηζημύκ μη ζοκανηήζεηξ: () 4 () f θαη g f f g, 3f g, f g θαη g Ακ γηα ηε ζοκάνηεζε f : ηζπύεη: f( ) f( ) γηα θάζε ( ζηαζενό), απμδείληε όηη ε f είκαη πενημδηθή θαη κα θαη βνεζεί μία πενίμδόξ ηεξ Ακ γηα ηε ζοκάνηεζε f : ηζπύεη: f( ) f( 5) γηα θάζε ( ζηαζενό), απμδείληε όηη ε f είκαη πενημδηθή θαη κα θαη βνεζεί μία πενίμδόξ ηεξ Ακ γηα ηε ζοκάνηεζε f : ηζπύεη: f( ) f( ) θάζε, ( ζηαζενό) θαη όηη ε f είκαη πενημδηθή θαη κα βνεζεί μία πενίμδόξ ηεξ γηα ( ζηαζενό), απμδείληε ΒΑΓΓΓΛΗ ΦΤΥΑ

19 ΤΝΑΡΣΗΓΙ Ακ γηα ηε ζοκάνηεζε θάζε θαη θαη κα βνεζεί μία πενίμδόξ ηεξ f : ηζπύεη: f( ) f( ) 0 γηα ( ζηαζενό), απμδείληε όηη ε f είκαη πενημδηθή Ακ γηα ηε ζοκάνηεζε f : ηζπύεη: f( ) f( ) 0 γηα θάζε θαη απμδείληε όηη ε f είκαη πενημδηθή θαη κα βνεζεί μία πενίμδόξ ηεξ ( ζηαζενό), Ακ γηα ηε ζοκάνηεζε f : ηζπύεη: f( ) f( ) f( 3) f( k) 0 γηα θάζε, ( ζηαζενό) θαη k (k ζηαζενό), απμδείληε όηη ε f είκαη πενημδηθή θαη κα βνεζεί μία πενίμδόξ ηεξ 9 Δίκμκηαη μη ζοκανηήζεηξ ζοκανηήζεηξ: f() f g, θαη g f θαη g() 3 4 Να μνηζημύκ μη 30 Δίκμκηαη μη ζοκανηήζεηξ ζοκανηήζεηξ: f() f g θαη g f θαη g() 3 4 Να μνηζημύκ μη Δίκμκηαη μη ζοκανηήζεηξ Να μνηζημύκ μη ζοκανηήζεηξ: Δίκμκηαη μη ζοκανηήζεηξ Να μνηζημύκ μη ζοκανηήζεηξ: 7 f () θαη g() f g, θαη g f 3 4 () 7 4 g() 3 f g, θαη g f f θαη Δίκεηαη ε ζοκάνηεζε f() 3 Να απμδεηπηεί μηη ε f είκαη ακηηζηνέρημε θαη κα βνεζεί ε f ΒΑΓΓΓΛΗ ΦΤΥΑ

20 0 ΤΝΑΡΣΗΓΙ Δίκεηαη ε ζοκάνηεζε f() 4 Να απμδεηπηεί μηη ε f είκαη ακηηζηνέρημε θαη κα βνεζεί ε Δίκεηαη ε ζοκάνηεζε f f :[3,) με f() 6 απμδεηπηεί μηη ε f είκαη ακηηζηνέρημε θαη κα βνεζεί ε Δίκεηαη ε ζοκάνηεζε f f :[,) με f() απμδεηπηεί μηη ε f είκαη ακηηζηνέρημε θαη κα βνεζεί ε Δίκεηαη ε ζοκάνηεζε f () ακηηζηνέρημε θαη κα βνεζεί ε Δίκεηαη ε ζοκάνηεζε f () ακηηζηνέρημε θαη κα βνεζεί ε ln f ln f f Να Να Να απμδεηπηεί μηη ε f είκαη Να απμδεηπηεί μηη ε f είκαη Ακ πεδίμ μνηζμμύ ηεξ ζοκάνηεζεξ f είκαη ημ D f [,8] πεδίμ μνηζμμύ ηεξ ζοκάνηεζεξ h() f( ), κα βνεζεί ημ Ακ πεδίμ μνηζμμύ ηεξ ζοκάνηεζεξ f είκαη ημ D f [,5], κα βνεζεί ημ πεδίμ μνηζμμύ ηεξ ζοκάνηεζεξ h() f( ) f : ηζπύεη: ( f f )(), απμδείληε όηη: f() γηα θάζε Ακ γηα ηε γκεζίςξ αύλμοζα ζοκάνηεζε γηα θάζε Ακ γηα ηε γκεζίςξ αύλμοζα ζοκάνηεζε f : ηζπύεη, 3 f() f 4 γηα θάζε, απμδείληε όηη: f() γηα θάζε 43 Ακ γηα ηε γκεζίςξ αύλμοζα ζοκάνηεζε f : ηζπύεη, ΒΑΓΓΓΛΗ ΦΤΥΑ

21 ΤΝΑΡΣΗΓΙ k f() f k γηα θάζε θαη k, απμδείληε όηη: f() γηα θάζε Δίκμκηαη μη ζοκανηήζεηξ g,h : με: gg() γηα θάζε θαη k με k Να βνεζεί ζοκάνηεζε f : ηέημηα ώζηε: k f f g() h( γηα θάζε Ακ ε ζοκάνηεζε ) f : ηθακμπμηεί ηε ζπέζε: 3 f f() f () γηα θάζε 3 α) Να απμδείλεηε όηη ε f είκαη έκα πνμξ έκα β) Να ιύζεηε ηεκ ελίζςζε: f( 3 ) f(4 ) Ακ ε ζοκάνηεζε, f : ηθακμπμηεί ηε ζπέζε: f f() f() 3 γηα θάζε α) Να απμδείλεηε όηη ε f είκαη έκα πνμξ έκα β) Να ιύζεηε ηεκ ελίζςζε: f( 3 ) f(3 ) Ακ γηα ηε ζοκάνηεζε, f : ηζπύεη ε ζπέζε: f( ) f f ( ) f f ( ) γηα θάζε, f( y) f() f(y) f(0 γηα θάζε,y Απμδείληε όηη: ) Ακ γηα ηε ζοκάνηεζε Απμδείληε όηη: Ακ γηα ηε ζοκάνηεζε Απμδείληε όηη: Ακ γηα ηε ζοκάνηεζε Απμδείληε όηη: 3 f : ηζπύεη ε ζπέζε: ( f f f )() 3 γηα θάζε f() f : ηζπύεη ε ζπέζε: ( f f f f )() γηα θάζε f() f : ηζπύεη ε ζπέζε: ( f f f )() 3 γηα θάζε f(3) ΒΑΓΓΓΛΗ ΦΤΥΑ

22 ΤΝΑΡΣΗΓΙ Ακ γηα ηε ζοκάνηεζε Απμδείληε όηη: Γηα ηε ζοκάνηεζε Απμδείληε όηη: Γηα ηε ζοκάνηεζε f : ηζπύεη ε ζπέζε: (f f )() γηα θάζε f() f : ηζπύεη ε ζπέζε: (f f )() 3 4 γηα θάζε f() f : ηζπύεη ε ζπέζε: f( ) f( )f( ) γηα θάζε, θαη οπάνπεη ώζηε f( ) 0 f(0) f() γηα θάζε Απμδείληε όηη: (i) (ii) 0 Ακ μη ζοκανηήζεηξ f,g : είκαη γκεζίςξ αύλμοζεξ, ηόηε ε ζοκάνηεζε f g : είκαη γκεζίςξ αύλμοζα 55 Ακ μη ζοκανηήζεηξ ζοκάνηεζε f,g : είκαη γκεζίςξ θζίκμοζεξ, ηόηε ε f g : είκαη γκεζίςξ θζίκμοζα Ακ μη ζοκανηήζεηξ f,g : είκαη γκεζίςξ αύλμοζεξ, ηόηε ε ζοκάνηεζε Ακ μη ζοκανηήζεηξ f g : είκαη γκεζίςξ αύλμοζα f,g : είκαη -, ηόηε ε ζοκάνηεζε f g : είκαη -, Ακ μη ζοκανηήζεηξ f,g : είκαη άνηηεξ, ηόηε θαη μη ζοκανηήζεηξ f g,f g : είκαη άνηηεξ Ακ μη ζοκανηήζεηξ f,g : είκαη πενηηηέξ, ηόηε θαη μη ζοκανηήζεηξ f g,f g : είκαη πενηηηέξ, εκώ ε ζοκάνηεζε fg : είκαη άνηηα ΒΑΓΓΓΛΗ ΦΤΥΑ