Η ΤΛΗ ΣΩΝ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΩΝ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΓΡΗΙΟΤ ΓΓΛ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΓΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ ΚΑΙ ΠΟΤΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Γ 62 ΜΑΘΗΜΑΣΑ

Transcript

1 Η ΤΛΗ ΣΩΝ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΩΝ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΓΡΗΙΟΤ ΓΓΛ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΓΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ ΚΑΙ ΠΟΤΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Γ 6 ΜΑΘΗΜΑΣΑ

2 Σελίδα

3 ΠΓΡΙΓΥΟΜΓΝΑ ΓΝΟΣΗΣΑ Α: ΗΜΓΡΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΟ ΚΓΦΑΛΑΙΟ 1 μ : ΟΡΙΟ ΤΝΓΥΓΙΑ ΜΓΡΟ ΠΡΩΣΟ : 8 ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΜΓΡΟ ΔΓΤΣΓΡΟ: 1 ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΜΓΡΟ ΣΡΙΣΟ : 6 ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΚΓΦΑΛΑΙΟ μ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ ΜΓΡΟ ΠΡΩΣΟ : 10 ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΜΓΡΟ ΔΓΣΓΡΟ : 6 ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΜΓΡΟ ΣΡΙΣΟ : 7 ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΚΓΦΑΛΑΙΟ 3 μ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ 13 ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΓΝΟΣΗΣΑ Β: ΣΓΣ ΘΓΩΡΙΑ ΓΝΟΣΗΣΑ Γ : ΔΙΑΓΩΝΙΜΑΣΑ ΠΡΟΟΜΟΙΩΗ elsamaths06@gmail.com Σελίδα 3

4 ΗΜΓΡΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΣΟ Υ. ΓΣΟ ΚΓΦΑΛΑΙΟ 1:ΟΡΙΟ-ΤΝΓΥΓΙΑ ΜΓΡΟ ΠΡΩΣΟ Σελίδα 4

5 ΜΑΘΗΜΑ : 1 ο ΣΙΣΛΟ: Η έκκμηα ηεξ πναγμαηηθήξ ζοκάνηεζεξ οκημμμγναθία ζοκάνηεζεξ ΘΓΩΡΙΑ: ζει ΑΚΗΓΙ Υ. ΒΙΒΛΙΟΤ: 1a,4a, 5a, β, 3β, 4β ΘΓΜΑΣΑ Να ελεηάζεηε πμηεξ απυ ηηξ παναθάης εληζχζεηξ, είκαη εληζχζεηξ ζοκανηήζεςκ θαη κα βνείηε ημοξ ηφπμοξ ηςκ ζοκανηήζεςκ πμο ακηηζημηπμφκ. 1. y +4 = y 3 +3y(+y)=8 3. e + e y =e y 4. y y=0, y 0 5. e y =( +1)e -y ΜΑΘΗΜΑ : ο ΣΙΣΛΟ: Γναθηθή πανάζηαζε ζοκάνηεζεξ Βαζηθέξ ζοκανηήζεηξ ΘΓΩΡΙΑ: ζει ΑΚΗΓΙ Υ. ΒΙΒΛΙΟΤ:a, 3a, 6a,1β, 5β ΘΓΜΑΣΑ 1. Να βνείηε ημ πεδίμ μνηζμμφ ηεξ ζοκάνηεζεξ f e. Να ζπεδηάζεηε ηεκ ζοκάνηεζε f 1 θαη κα ιφζεηε ηηξ f 0 f 1 f 1 f 1 εληζχζεηξ 3. Δίκεηαη ε ζοκάνηεζε f με ηφπμ ln, 1 f κα βνείηε ημ πεδίμ μνηζμμφ θαη ημ ζφκμιμ ηημχκ ηεξ. e, 0 4. Δίκεηαη ε ζοκάνηεζε με ηφπμ : f lne. Να βνείηε ημ δηάζηεμα ημο R, ζημ μπμίμ ε γναθηθή ηεξ πανάζηαζε είκαη πάκς απυ ηεκ εοζεία ε: y=. elsamaths06@gmail.com Σελίδα 5

6 5. Έζης f μηα ζοκάνηεζε ηέημηα χζηε f(0) =0 θαη γηα ηεκ μπμία ηζπφεη : γηα θαζε,y f f y f f y. Να απμδείλεηε υηη ε γναθηθή πανάζηαζε ηεξ f είκαη ζομμεηνηθή ςξ πνμξ ηεκ ανπή ηςκ αλυκςκ. ΜΑΘΗΜΑ : 3 ο ΣΙΣΛΟ: Ιζυηεηα ζοκανηήζεςκ Πνάλεηξ με ζοκανηήζεηξ ΘΓΩΡΙΑ: ζει ΑΚΗΓΙ Υ. ΒΙΒΛΙΟΤ: 7a, 8a, 9a ΘΓΜΑΣΑ 1. Δίκμκηαη μη ζοκανηήζεηξ f, g με ηφπμοξ θαη g f Να απμδείλεηε υηη f=g.. Έζης f, g ζοκανηήζεηξ με πεδίμ μνηζμμφ ημ R. Ακ γηα θάζε R ηζπφεη: f g f g fg 1 Να απμδείλεηε υηη f=g. ΜΑΘΗΜΑ : 4 ο ΣΙΣΛΟ: φκζεζε ζοκανηήζεςκ ΘΓΩΡΙΑ: ζει ΑΚΗΓΙ Υ. ΒΙΒΛΙΟΤ: 10a,11a,1a,6β,7β, 8β, 9β elsamaths06@gmail.com Σελίδα 6

7 ΘΓΜΑΣΑ 1. Δίκμκηαη μη ζοκανηήζεηξ με ηφπμοξ: f ln1 e θαη g ln1 Να μνίζεηε ηε ζφκζεζε ηεξ g με ηεκ f θαη κα θάκεηε ηεκ γναθηθή ηεξ πανάζηαζε.. Έζης f, g ζοκανηήζεηξ ηέημηεξ χζηε κα ηζπφεη: g f 4 Α) ακ είκαη D f =[0,], κα βνείηε ημ εονφηενμ οπμζφκμιμ ημο R πμο μπμνεί κα είκαη ημ πεδίμ μνηζμμφ ηεξ g. g 4, κα βνείηε ημκ ηφπμ ηεξ f. B) Ακ είκαη 3. Έζης f ηέημηα χζηε γηα θάζε R Να απμδείλεηε υηη : Α) γηα θάζε R κα ηζπφεη: f f ηζπφεη f f Β) ε ελίζςζε f()=3 έπεη αθνηβχξ μηα νίδα ηεκ μπμία θαη κα βνείηε. 4. Να βνείηε ζοκάνηεζε f ηέημηα χζηε γηα θάζε 0 κα ηζπφεη: f f 0 θαη ln 1 e f ln ΜΑΘΗΜΑ :5 ο ΣΙΣΛΟ: Μμκμημκία ζοκάνηεζεξ ΘΓΩΡΙΑ: ζει ΑΚΗΓΙ Υ. ΒΙΒΛΙΟΤ:1a,4a ΘΓΜΑΣΑ 1. Να απμδείλεηε υηη ε ζοκάνηεζε f, 0 16-, είκαη γκεζίςξ θζίκμοζα ζημ δηάζηεμα (, 0],γκεζίςξ θζίκμοζα ζημ δηάζηεμα [, ),αιιά δεκ είκαη γκεζίςξ θζίκμοζα ζημ πεδίμ μνηζμμφ ηεξ. elsamaths06@gmail.com Σελίδα 7

8 . Α) Έζης μηα γκεζίςξ θζίκμοζα ζοκάνηεζε f. Να απμδείλεηε υηη γηα θάζε D, 1 f με f f ηζπφεη. 1 1 Β) Έζης ζοκάνηεζε f με πεδίμ μνηζμμφ ημ ζφκμιμ ηςκ πναγμαηηθχκ ανηζμχκ 3 ηέημηα χζηε γηα θάζε R κα ηζπφεη: f f f 3 Να απμδείλεηε υηη ε f είκαη γκεζίςξ αφλμοζα. 3. Ακ f, g είκαη γκεζίςξ θζίκμοζεξ ζοκανηήζεηξ ζημ R θαη f(5)=g(5)=0 θαη f(0)=g(0)=5 Α) κα ιφζεηε ηηξ ακηζχζεηξ: gof gof fog Β) κα απμδείλεηε υηη ε fμg είκαη γκεζίςξ αφλμοζα. 4. Έζης ζοκάνηεζε f ηέημηα χζηε γηα θάζε R κα ηζπφεη: 3 f f f. Να απμδείλεηε υηη ε f είκαη γκεζίςξ θζίκμοζα. ΜΑΘΗΜΑ : 6 ο ΣΙΣΛΟ: Αθνυηαηα ζοκάνηεζεξ ΘΓΩΡΙΑ: ζει ΑΚΗΓΙ Υ. ΒΙΒΛΙΟΤ: ΘΓΜΑΣΑ 1. Έζης ζοκάνηεζε f : R R ηέημηα χζηε y f f y 0 γηα θάζε,y R Να απμδείλεηε υηη ε f πανμοζηάδεη μιηθυ ειάπηζημ ζημ 0.. Έζης ζοκάνηεζε f : R R ηέημηα χζηε f(0)= θαη f(1)=-3. Ακ γηα θάζε R f f 6, κα απμδείλεηε υηη ε πανμοζηάδεη μηα ηζπφεη: μέγηζηε θαη μηα ειάπηζηε ηημή. elsamaths06@gmail.com Σελίδα 8

9 ΜΑΘΗΜΑ : 7 ο ΣΙΣΛΟ: οκάνηεζε έκα πνμξ έκα «1-1» ΘΓΩΡΙΑ: ζει ΑΚΗΓΙ Υ. ΒΙΒΛΙΟΤ:a ΘΓΜΑΣΑ 1. Έζης μη ζοκανηήζεηξ f,g με πεδίμ μνηζμμφ ημ R. Δίκεηαη υηη ε ζφκζεζε ηεξ g με ηεκ f είκαη 1-1, κα απμδείλεηε υηη ε g είκαη Έζης ζοκάνηεζε f : R R * ηέημηα χζηε f y f f y γηα θάζε,y R Να απμδείλεηε υηη f(0)=1 Να απμδείλεηε υηη f f 1 γηα θάζε R Ακ ε ελίζςζε f()=1 έπεη μμκαδηθή ιφζε, κα απμδείλεηε υηη ε f είκαη Να απμδείλεηε υηη ε ζοκάνηεζε f()= + (-) δεκ είκαη 1-1 ζημ R εκχ είκαη 1-1 ζημ [,+). 4. Έζης f μηα ζοκάνηεζε γηα ηεκ μπμία ηζπφεη : 3 1 fof 1 f f 6 f f f f f f f e Να απμδείλεηε ζε θάζε πενίπηςζε υηη ε f είκαη 1-1 ΜΑΘΗΜΑ : 8 ο ΣΙΣΛΟ: Ακηίζηνμθε ζοκάνηεζε ΘΓΩΡΙΑ: ζει ΑΚΗΓΙ Υ. ΒΙΒΛΙΟΤ: 3a elsamaths06@gmail.com Σελίδα 9

10 ΘΓΜΑΣΑ 1.Να απμδείλεηε υηη μη παναθάης ζοκανηήζεηξ ακηηζηνέθμκηαη θαη κα μνίζεηε ηηξ ακηίζηνμθεξ ημοξ ζοκανηήζεηξ. 1 θαη g ln f e e 1 f 1.. Δίκεηαη ε ζοκάνηεζε f με ηφπμ Να απμδείλεηε υηη ε f είκαη ακηηζηνέρημε ζημ δηάζηεμα (-,] θαη κα μνίζεηε ηεκ ακηίζηνμθε ηεξ ζημ δηάζηεμα αοηυ Ιζπφεη υηη f of fof Λ (οπυδεηλε ζεςνήζηε f()=ln) 4. Έζης ζοκάνηεζε f : A R γκεζίςξ μμκυημκε Να απμδείλεηε υηη : Α) ε f είκαη 1-1 Β) ε f -1 είκαη επίζεξ γκεζίςξ μμκυημκε,με ημ ίδημ είδμξ μμκμημκίαξ. 5. Έζης f ζοκάνηεζε με πεδίμ μνηζμμφ ημ R ηέημηα χζηε γηα θάζε R κα ηζπφεη f f Α) ε f είκαη 1-1 Β) f(0) = 0. Να απμδείλεηε υηη Γ) μη γναθηθέξ παναζηάζεηξ ηςκ ζοκανηήζεςκ f θαη f -1 έπμοκ έκα μυκμ θμηκυ ζεμείμ. elsamaths06@gmail.com Σελίδα 10

11 ΗΜΓΡΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΣΟ Υ. ΓΣΟ ΚΓΦΑΛΑΙΟ 1: ΟΡΙΟ-ΤΝΓΥΓΙΑ ΜΓΡΟ ΔΓΤΣΓΡΟ Σελίδα 11

12 ΜΑΘΗΜΑ : 1 ο ΣΙΣΛΟ: Η έκκμηα ημο μνίμο Ονηζμυξ μνίμο ζημ o ΘΓΩΡΙΑ: ζει R ΑΚΗΓΙ Υ. ΒΙΒΛΙΟΤ:1a,4a, 5a 1 Δίκεηαη ε ζοκάνηεζε f. Να βνείηε ημ πεδίμ μνηζμμφ ηεξ θαη κα 1 ζομπιενχζεηε ημκ παναθάης πίκαθα: <1 f() >1 f() 0.9 1,1 0,99 1,01 0,999 1, ,0001 Άνα: lim f lim f 1 1 Έπεη πάκηα κυεμα ε ακαδήηεζε εκυξ μνίμο; οκέπεηεξ ημο μνηζμμφ: Να ζομπιενχζεηε ηηξ ηζυηεηεξ: 1. Ακ ε ζοκάνηεζε f είκαη μνηζμέκε ζημ (α, 0 ) ηυηε: lim f 0. Ακ ε ζοκάνηεζε f είκαη μνηζμέκε ζημ ( 0,β) ηυηε: lim f 3. Ιζπφμοκ μη ηζμδοκαμίεξ: lim f l lim( f l) 0 0 lim lim f l f h 0 h0 lim f l lim f h 0 0 h ΣΓΛΙΚΑ : Ακ μηα ζοκάνηεζε είκαη μνηζμέκε ζε έκα ζφκμιμ ηεξ μμνθήξ a,, 0 0, ηυηε ηζπφεη ε ηζμδοκαμία: lim f l lim f lim f l elsamaths06@gmail.com Σελίδα 1

13 ΜΑΘΗΜΑ : ο ΣΙΣΛΟ: Όνημ ηαοημηηθήξ ζηαζενήξ ζοκάνηεζεξ ΘΓΩΡΙΑ: ζει.163 ΑΚΗΓΙ Υ. ΒΙΒΛΙΟΤ: a,3a ΜΑΘΗΜΑ : 3 ο ΣΙΣΛΟ: Όνημ θαη δηάηαλε Κνηηήνημ πανεμβμιήξ ΘΓΩΡΙΑ: ζει θαη ΑΚΗΓΙ Υ. ΒΙΒΛΙΟΤ: 8a Να ζομπιενχζεηε ηα θεκά: Ακ f lim 0 ηυηε θμκηά ζημ 0. 0 Ακ f lim 0 ηυηε θμκηά ζημ 0. 0 Ακ μη ζοκανηήζεηξ f,g έπμοκ υνημ ζημ 0 θαη f g θμκηά ζημ 0,ηυηε Άνα ηζπφεη θαη ημ ακηίζεημ ακηίζηνμθμ, δειαδή: Έζης μη ζοκανηήζεηξ f, g, h. ΚΡΙΣΗΡΙΟ ΠΑΡΓΜΒΟΛΗ Ακ h f g θμκηά ζημ 0 θαη lim lim h g l 0 0 ηυηε lim 0 f l ΑΚΗΓΙ 1. Ακ lim f 0 ηυηε κα απμδείλεηε υηη f 0 lim 0 0. Ακ lim f 0 ηυηε κα απμδείλεηε υηη f Να οπμιμγίζεηε ημ υνημ lim 0 lim 0 0 elsamaths06@gmail.com Σελίδα 13

14 ΜΑΘΗΜΑ : 4 ο ΣΙΣΛΟ: Όνηα θαη πνάλεηξ ΘΓΩΡΙΑ: ζει ΑΚΗΓΙ Υ. ΒΙΒΛΙΟΤ:1a,a, 3a, 4a, 1β Ακ οπάνπμοκ ηα υνηα ηςκ ζοκανηήζεςκ f θαη g ζημ 0, ηυηε: Να ζομπιενχζεηε ηηξ ηζυηεηεξ: 1. lim 0. lim 0 3. lim 0 0 k 0 0 f 4. lim 0 g 5. lim 6. lim 7. lim f g f kf f f f g Άμεζεξ ζοκέπεηεξ ηςκ παναπάκς : Γπεηδή lim και lim c c πνμθφπηεη: lim 0 0 lim P P... 0 Q P lim Q P Q elsamaths06@gmail.com Σελίδα 14

15 ΜΑΘΗΜΑ :5 ο ΣΙΣΛΟ: Όνημ δηαθιαδηθήξ ζοκάνηεζεξ Πιεονηθά υνηα ΘΓΩΡΙΑ: ζει.160 θαη 16 θαη 169 ΑΚΗΓΙ Υ. ΒΙΒΛΙΟΤ: 5a,9a, β ΜΑΘΗΜΑ : 6 ο ΣΙΣΛΟ: Σνηγςκμμεηνηθά υνηα ΘΓΩΡΙΑ: ζει ΑΚΗΓΙ Υ. ΒΙΒΛΙΟΤ: 6a, 7a, 3β Με ηε βμήζεηα ηεξ ακηζυηεηαξ για καθε R θαη ημο θνηηενίμο πανεμβμιήξ πνμθφπημοκ ηα παναθάης: Να ζομπιενχζεηε ηηξ ηζυηεηεξ: lim o lim o lim lim lim 0 0 ΜΑΘΗΜΑ : 7 ο ΣΙΣΛΟ: Όνημ ζφκζεηεξ ζοκάνηεζεξ ΘΓΩΡΙΑ: ζει.173 ΑΚΗΓΙ Υ. ΒΙΒΛΙΟΤ: 6a (i, iii, vi) elsamaths06@gmail.com Σελίδα 15

16 ΤΠΟΛΟΓΙΜΟ ΣΟΤ ΟΡΙΟΤ lim 0 f g 1. ζέημομε u g. οπμιμγίδμομε ακ οπάνπεη ημ υνημ lim g o 3. οπμιμγίδμομε ακ οπάνπεη ημ υνημ lim f u uu0 u o Ακ g uo θμκηά ζημ 0, ηυηε lim lim f g f u 0 uu0 ΜΑΘΗΜΑ : 8 ο ΣΙΣΛΟ: Τπμιμγηζμυξ μνίμο απυ άιιμ υνημ ΘΓΩΡΙΑ: ζει.166 ΑΚΗΓΙ Υ. ΒΙΒΛΙΟΤ: 4β ΜΑΘΗΜΑ : 9 ο ΣΙΣΛΟ: Με πεπεναζμέκμ υνημ ζημ o ΘΓΩΡΙΑ: ζει ΑΚΗΓΙ Υ. ΒΙΒΛΙΟΤ: 1a, a R 1. Na ελεγήζεηε με ιίγα ιυγηα ηη ζεμαίκεη υηη: lim 3 θαη lim 1. Με ηε βμήζεηα ημο μνηζμμφ απμδεηθκφμκηαη μη παναθάης ηδηυηεηεξ. Να ζομπιενχζεηε ηα θεκά: Ακ Ακ Ακ lim o lim o lim o f f f,ηυηε f() θμκηά ζημ o.,ηυηε f() θμκηά ζημ o.,ηυηε lim( f ) o elsamaths06@gmail.com Σελίδα 16

17 Ακ lim o f,ηυηε lim( f ) o Ακ lim o f ή,ηυηε 1 lim o f Ακ Ακ Ακ lim f 0 θαη f() 0 o lim f 0 θαη f() 0 o lim o f ή,ηυηε θμκηά ζημ o, ηυηε θμκηά ζημ o, ηυηε lim o f 1 lim o f 1 lim o f Ακ lim o f,ηυηε lim o k f 3. φμθςκα με ηηξ ηδηυηεηεξ κα ζομπιενχζεηε ηηξ ηζυηεηεξ: 1 lim 0 1 lim 0 θαη γεκηθά θαη γεκηθά 1 lim,n N* 0 n 1 lim,n N n1 0 1 lim 0 θαη γεκηθά 1 lim,n N n Ακ f g υνημ o θμκηά ζημ θαη o lim f. o lim g,ηυηε κα οπμιμγίζεηε ημ 5. Ακ f g υνημ θμκηά ζημ θαη o lim f o. o lim g,ηυηε κα οπμιμγίζεηε ημ elsamaths06@gmail.com Σελίδα 17

18 ΜΑΘΗΜΑ : 10 ο ΣΙΣΛΟ: Όνημ αζνμίζμαημξ γηκμμέκμο Απνμζδηυνηζηεξ μμνθέξ Κακυκαξ De l Hospital ΘΓΩΡΙΑ: ζει θαη 8-83 ΑΚΗΓΙ Υ. ΒΙΒΛΙΟΤ: 1β, β, 3β,4β ΘΓΩΡΗΜΑ ΟΡΙΟΤ ΑΘΡΟΙΜΑΣΟ Ακ ζημ o R : ηο όριο ηης f είμαι: ηο όριο ηης g είμαι: α R α R ηο όριο ηης f+g είμαι : ΘΓΩΡΗΜΑ ΟΡΙΟΤ ΓΙΝΟΜΓΝΟΤ Ακ ζημ o R : ηο όριο ηης f είμαι: ηο όριο ηης g είμαι: α > 0 α < 0 α > 0 α < ηο όριο ηης fg είμαι : ΑΠΡΟΔΙΟΡΙΣΓ ΜΟΡΦΓ elsamaths06@gmail.com Σελίδα 18

19 ΜΑΘΗΜΑ : 11 ο ΣΙΣΛΟ: Όνημ ζοκάνηεζεξ ζημ άπεηνμ Όνημ πμιοςκομηθήξ θαη νεηήξ ζοκάνηεζεξ ζημ άπεηνμ Όνημ άννεηεξ ζοκάνηεζεξ ζημ άπεηνμ Όνημ ηνηγςκμμεηνηθυ ζημ άπεηνμ ΘΓΩΡΙΑ: ζει ΑΚΗΓΙ Υ. ΒΙΒΛΙΟΤ: 1a, a, 3a, 1β, β, 3β, 4β ΒΑΙΚΑ ΟΡΙΑ ΣΟ ΑΠΓΙΡΟ Να ζομπιενχζεηε ηηξ ηζυηεηεξ: lim lim lim n n n1 1 lim n 1 lim n ΟΡΙΟ ΠΟΛΤΩΝΤΜΙΚΗ ΤΝΑΡΣΗΗ ΣΟ ΑΠΓΙΡΟ Δίκεηαη πμιοχκομμ κ-μζημφ βαζμμφ, κα οπμιμγίζεηε ημ υνημ ημο ζημ ΟΡΙΟ ΡΗΣΗ ΤΝΑΡΣΗΗ ΣΟ ΑΠΓΙΡΟ ΑΚΗΗ Δίκεηαη ε ζοκάνηεζε f Να οπμιμγίζεηε ημ υνημ ηεξ ζοκάνηεζεξ ζημ γηα ηηξ δηάθμνεξ ηημέξ ημο πναγμαηηθμφ ανηζμμφ ι. elsamaths06@gmail.com Σελίδα 19

20 ΟΡΙΑ ΑΡΡΗΣΗ ΤΝΑΡΣΗΗ ΣΟ ΑΠΓΙΡΟ 1. Να οπμιμγίζεηε ηα υνηα : lim 1 1 lim 1 lim 4 lim 1 1 lim 1. Δίκεηαη ε ζοκάνηεζε Να οπμιμγίζεηε ημ ανηζμμφ α. f 4 1 a. lim f γηα ηηξ δηάθμνεξ ηημέξ ημο πναγμαηηθμφ ΣΡΙΓΩΝΟΜΓΣΡΙΚΑ ΟΡΙΑ ΣΟ ΑΠΓΙΡΟ Να οπμιμγίζεηε ηα παναθάης υνηα: 1 1 lim lim lim 1 1 lim lim lim lim lim ΔΓΝ ΤΠΑΡΥΟΤΝ ΣΑ ΟΡΙΑ ΣΟ ΑΠΓΙΡΟ ΣΩΝ ΣΡΙΓΩΝΟΜΓΣΡΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΓΩΝ ΜΑΘΗΜΑ : 1 ο ΣΙΣΛΟ: Όνημ εθζεηηθήξ ιμγανηζμηθήξ ζοκάνηεζεξ ζημ άπεηνμ ΘΓΩΡΙΑ: ζει.185 ΑΚΗΓΙ Υ. ΒΙΒΛΙΟΤ: 1β, β,3β,4β elsamaths06@gmail.com Σελίδα 0

21 1. Να ζομπιενχζεηε ηηξ ηζυηεηεξ: Γηα 0a 1 είκαη : lim a Γηα 1 a είκαη : lim a θαη lim a θαη lim a lim e lim e lim e lim e 1 1 lim e lim e 0 0 limln lim ln 0 lim log lim log 0 ln lim lim ln e 1 0. Να οπμιμγίζεηε ηα υνηα : lim lim lim 3 3 elsamaths06@gmail.com Σελίδα 1

22 ΗΜΓΡΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΣΟ Υ.ΓΣΟ ΚΓΦΑΛΑΙΟ 1:ΟΡΙΟ-ΤΝΓΥΓΙΑ ΜΓΡΟ ΣΡΙΣΟ Σελίδα

23 ΜΑΘΗΜΑ : 1 ο ΣΙΣΛΟ: Ονηζμυξ ηεξ ζοκέπεηαξ ΘΓΩΡΙΑ: ζει ΑΚΗΓΙ Υ. ΒΙΒΛΙΟΤ: 1a,a, 3a, 4a ΜΑΘΗΜΑ : ο ΣΙΣΛΟ: Πνάλεηξ με ζοκεπείξ ζοκανηήζεηξ ΘΓΩΡΙΑ: ζει.190 ΑΚΗΓΙ Υ. ΒΙΒΛΙΟΤ: 5a,1β,β, 3β ΜΑΘΗΜΑ : 3 ο ΣΙΣΛΟ: οκέπεηα ζοκάνηεζεξ ζε δηάζηεμα ΘΓΩΡΙΑ: ζει ΑΚΗΓΙ Υ. ΒΙΒΛΙΟΤ:6a,7a, 8a, 4β ΘΓΜΑΣΑ 1. Γηα ηε ζοκεπή ζημ [-1, 1] ζοκάνηεζε f, ηζπφεη : f 1 γηα θάζε [-1,1]. A) Να βνείηε ημ f(0). B) Να βνείηε ημ αr χζηε ε ζοκάνηεζε f,, 0 1,0 0,1 g κα είκαη ζοκεπήξ.. Έζης μηα ζοκάνηεζε f: RR, πμο είκαη γκεζίςξ αφλμοζα θαη ζοκεπήξ. Ακ f lim A) Να βνείηε ημ υνημ:. f lim elsamaths06@gmail.com Σελίδα 3

24 B) Να δείλεηε υηη: f(1) = 0 Γ) Να βνείηε ηεκ ηημή ημο k, χζηε ε ζοκάνηεζε g κα είκαη ζοκεπήξ ζημ R. f, 1 1 k, 1 3. Έζης μηα ζοκάνηεζε f ζοκεπήξ ζημ R ηέημηα χζηε: f 1 1 (1) γηα θάζε 1. 1 Α) Να δείλεηε υηη: lim 0 Β) Να βνείηε ημ f(1). 4. Δίκεηαη ε ζοκάνηεζε f: RR γηα ηεκ μπμία ηζπφεη f f y y γηα μπμηαδήπμηε, yr με y. Α) Nα απμδεηπζεί υηη ε f είκαη ζοκεπήξ ζημ R, Β) Να απμδεηπζεί υηη ε ζοκάνηεζε g f ζημ R. Γ) Να ιοζεί ε ελίζςζε είκαη γκεζίςξ αφλμοζα 3 3 f f Ακ ε f ζοκεπήξ ζημ 0, f(0) = 016 θαη ηζπφεη f 1 4, α 0 γηα θάζε R*. Α) Να απμδείλεηε υηη f ζοκεπήξ ζημ R Β) Να βνείηε ημ α Γ) Να βνείηε ηα υνηα lim f και lim f elsamaths06@gmail.com Σελίδα 4

25 6. Έζης f ζοκεπήξ ζοκάνηεζε ζημ 0, χζηε Α) Να απμδείλεηε υηη Β) Να απμδείλεηε υηη lim h 0 lim f ( 0 + h) = f ( 0 ). h 0 lim f ( 0 + h) = 0. h 0 f (0 h) ημh = 1. Γ) Να βνείηε ημ υνημ lim h 0 f (0 h) - f (0 ) h. f () 3 7. Ακ ε ζοκάνηεζε f είκαη ζοκεπήξ ζημ 0 =0 θαη lim, 0 κα βνεζεί ε ηημή f(0). 8. Οη ζοκανηήζεηξ f,g: έπμοκ ηεκ ηδηυηεηα: f () + g () + f() +5 4g() +ζοκ, καθε R. Να απμδείλεηε υηη f,g ζοκεπείξ ζημ 0 =. ΜΑΘΗΜΑ : 4 ο ΣΙΣΛΟ: Θεχνεμα Bolzano οκέπεηεξ-πνυζεμμ ζοκάνηεζεξ Θεχνεμα εκδηαμέζςκ ηημχκ ΘΓΩΡΙΑ: ζει ΑΚΗΓΙ Υ. ΒΙΒΛΙΟΤ:9a,5β,7β,8β elsamaths06@gmail.com Σελίδα 5

26 ΘΓΜΑΣΑ 1. Δίκμκηαη μη πναγμαηηθμί ανηζμμί α 1,α,.α 017 0,. Να απμδείλεηε υηη ε ελίζςζε a a... a 017 έπεη μηα ημοιάπηζημκ με ανκεηηθή νίδα Δίκμκηαη μη ζοκεπείξ ζοκανηήζεηξ f, g : γηα ηηξ μπμίεξ ηζπφεη: e γηα θάζε f g με f e Α) κα απμδείλεηε υηη f 0 γηα θάζε 1 θαη g. Β) κα απμδείλεηε υηη οπάνπεη έκα ημοιάπηζημκ o(1,) ηέημημ χζηε g( o )= o. 3. Έζης f : ζοκεπήξ ζοκάνηεζε ηέημηα χζηε f(1) > 1. Aκ γηα ηεκ ζοκάνηεζε g : με g()= f()- γηα θάζε ηζπφεη g ()= +1 γηα θάζε, ηυηε Α) κα απμδείλεηε υηη ε g παίνκεη μυκμ ζεηηθέξ ηημέξ γηα θάζε. Β) κα βνείηε ημκ ηφπμ ηεξ f. ΠΡΟΗΜΟ ΤΝΑΡΣΗΗ 1. Έζης ζοκάνηεζε f μνηζμέκε θαη ζοκεπήξ ζημ R ηέημηα χζηε : 3 f e e 1 γηα θάζε R. Να βνείηε ημ πνυζεμμ ηεξ ζοκάνηεζεξ f.. Έζης ζοκάνηεζε f ζοκεπήξ ζημ R ηεξ μπμίαξ ε γναθηθή πανάζηαζε ηέμκεη ημοξ άλμκεξ μυκμ ζηα ζεμεία Α(0,3), Β(,0) θαη Γ(5,0). Να απμδείλεηε υηη: Α) f1 0. Β) f3f4 0. Γ)οπάνπεη έκα ημοιάπηζημκ o R χζηε : f f 1 f. o o o elsamaths06@gmail.com Σελίδα 6

27 3. Έζης μη ζοκανηήζεηξ f, g μη μπμίεξ είκαη ζοκεπείξ ζημ R με : f g 3 f e 0 γηα θάζε R. Α)Να απμδείλεηε υηη μη ζοκανηήζεηξ f, g δηαηενμφκ πνυζεμμ ζημ R. Β)Να απμδείλεηε υηη ε ελίζςζε f g 0 είκαη αδφκαηε ζημ R. 4. Έζης ζοκάνηεζε f ζοκεπήξ θαη γκεζίςξ αφλμοζα με : f f 4 1 γηα θάζε R. Na βνείηε ημ ηφπμ ηεξ ζοκάνηεζεξ f θαη κα απμδείλεηε υηη ε γναθηθή ηεξ πανάζηαζε ηέμκεη μπμηαδήπμηε εοζεία θάζεηε ζημκ εμηάλμκα Οy. 5. Να βνεζμφκ μη ζοκεπείξ ζοκανηήζεηξ f : R R γηα ηηξ μπμίεξ ηζπφεη: 4 3 f f f f γηα θάζε R. ΜΑΘΗΜΑ : 5 ο ΣΙΣΛΟ: Θεχνεμα Μέγηζηεξ θαη Γιάπηζηεξ Σημήξ φκμιμ ηημχκ ζοκεπμφξ ζοκάνηεζεξ ΘΓΩΡΙΑ: ζει ΑΚΗΓΙ Υ. ΒΙΒΛΙΟΤ: 10a, 6β, 9β Να βνείηε ημ ζφκμιμ ηημχκ ηεξ ζοκάνηεζεξ f ζηηξ παναθάης πενηπηχζεηξ: 1. Ακ ε f είκαη ζοκεπήξ ζημ [α,β] θαη γκεζίςξ αφλμοζα.. Ακ ε f είκαη ζοκεπήξ ζημ [α,β] θαη γκεζίςξ θζίκμοζα. 3. Ακ ε f είκαη ζοκεπήξ ζημ (α,β] θαη γκεζίςξ αφλμοζα. 4. Ακ ε f είκαη ζοκεπήξ ζημ (α,β] θαη γκεζίςξ θζίκμοζα. 5. Ακ ε f είκαη ζοκεπήξ ζημ [α,β) θαη γκεζίςξ αφλμοζα. 6. Ακ ε f είκαη ζοκεπήξ ζημ [α,β) θαη γκεζίςξ θζίκμοζα. 7. Ακ ε f είκαη ζοκεπήξ ζημ (α,β) θαη γκεζίςξ αφλμοζα. 8. Ακ ε f είκαη ζοκεπήξ ζημ (α,β) θαη γκεζίςξ θζίκμοζα. elsamaths06@gmail.com Σελίδα 7

28 ΘΓΜΑΣΑ 1. Δίκεηαη ε ζοκάνηεζε f()=ln + e -1 Α) κα βνείηε ημ ζφκμιμ ηημχκ ηεξ ζοκάνηεζεξ Β) κα απμδείλεηε υηη οπάνπεη έκα αθνηβχξ 0 > 0 ηέημημ χζηε 0 ln e Έζης ε ζοκεπήξ ζοκάνηεζε f:(0,3) R ε μπμία είκαη γκεζίςξ αφλμοζα ζημ (0,1] θαη γκεζίςξ θζίκμοζα ζημ [1,3). Ακ ηζπφμοκ : f(1)=, lim f( ) 1 0 θαη lim f( ) 3, κα βνείηε : Α) ημ ζφκμιμ ηημχκ ηεξ f Β) ημ πιήζμξ ηςκ νηδχκ ηεξ ελίζςζεξ f()=0 3. Έζης ζοκάνηεζε f: (0,1] R με 1 f ( ) ln Α) Να βνείηε ημ ζφκμιμ ηημχκ ηεξ f Β) Να απμδείλεηε υηη οπάνπεη έκα αθνηβχξ 0 (0,1] ηέημημ χζηε ln Έζης μηα ζοκάνηεζε f γκεζίςξ θζίκμοζα θαη ζοκεπήξ ζημ R Α) κα απμδείλεηε υηη lim f lim f Β) κα απμδείλεηε υηη οπάνπεη μμκαδηθυ o ηέημημ χζηε f( o )= o. ΜΑΘΗΜΑ : 6 ο ΣΙΣΛΟ: Γνςηήζεηξ θαηακυεζεξ ΘΓΩΡΙΑ: επακάιερε υιμ ημ θεθάιαημ 1 ΑΚΗΓΙ Υ. ΒΙΒΛΙΟΤ: ζει elsamaths06@gmail.com Σελίδα 8

29 ΘΓΜΑΣΑ 1. Έζης ζοκάνηεζε f μνηζμέκε θαη ζοκεπήξ ζημ [0,5] με f(1)+f() +f(3) =0. Να απμδείλεηε υηη ε ελίζςζε f()=0 έπεη μηα ημοιάπηζημκ νίδα ζημ [0,5].. Έζης ζοκάνηεζε f ζοκεπήξ ζημ [1,5] με f f f f Να απμδείλεηε υηη οπάνπεη έκαξ ημοιάπηζημκ 15, χζηε f o o o. 3. Έζης ζοκάνηεζε f ζοκεπήξ ζημ [1,3]. Να απμδείλεηε υηη οπάνπεη [, ] χζηε: 1 3 f f f f Έζης ζοκάνηεζε f ζοκεπήξ ζημ [0,1] ηεξ μπμίαξ ε γναθηθή πανάζηαζε βνίζθεηαη μιυθιενε μέζα ζημ ηεηνάγςκμ ΟΑΒΓ με Α(1,0) θαη Β(1,1). Να απμδείλεηε υηη οπάνπεη έκαξ ημοιάπηζημκ [ 01, ) χζηε : f e f. o o o o o 5. Έζης ζοκάνηεζε f μνηζμέκε θαη ζοκεπήξ ζημ [-,4] με f f4 Δίκεηαη επηπιέμκ ε ζοκάνηεζε g f 1 f 1. Α) Να βνείηε ημ πεδίμ μνηζμμφ ηεξ ζοκάνηεζεξ g θαη κα απμδείλεηε υηη είκαη ζοκεπήξ. Β)Να απμδείλεηε υηη g g g γ)να απμδείλεηε υηη οπάνπεη έκα ημοιάπηζημκ [ 13, ] χζηε : 1 f 1 f. elsamaths06@gmail.com Σελίδα 9

30 6. Δίκεηαη ε ζοκάνηεζε g, [, 0] θαη ε εοζεία (ε) : 1 y. 3 Να θάκεηε έκα πνυπεηνμ ζπήμα θαη κα απμδείλεηε υηη ε γναθηθή πανάζηαζε ηεξ g ηέμκεη ζε δομ ημοιάπηζημκ ζεμεία ηεκ εοζεία (ε). 7.Δίκμκηαη μη ζοκανηήζεηξ f θαη g ln. Να απμδείλεηε υηη μη γναθηθέξ ημοξ παναζηάζεηξ ηέμκμκηαη ζε έκα αθνηβχξ ζεμείμ. f ΟΜΟΙΩ γηα e θαη ηεκ εοζεία (ε) : y. 8. Έζης ε ζοκεπήξ ζοκάνηεζε f : R R. Ακ ε ζοκάνηεζε f είκαη γκεζίςξ αφλμοζα ζημ (, ] θαη γκεζίςξ θζίκμοζα ζημ [, ) lim f lim f θαη f 0, ηυηε : Α) Να βνείηε ημ ζφκμιμ ηημχκ ηεξ ζοκάνηεζεξ f. με Β) Να βνείηε ημ πιήζμξ ηςκ ζεμείςκ ημμήξ γναθηθήξ πανάζηαζεξ ηεξ ζοκάνηεζεξ f με ημκ άλμκα. 9. Έζης ζοκάνηεζε f ζοκεπήξ ζημ R ηέημηα χζηε : lim f 0 θαη lim f 1. Να απμδείλεηε υηη μπμηαδήπμηε εοζεία πανάιιειε ζηε δηπμηυμμ ηεξ πνχηεξ γςκίαξ ηςκ αλυκςκ ηέμκεη ηε γναθηθή πανάζηαζε ηεξ f ζε έκα ημοιάπηζημκ ζεμείμ. 10. Έζης ζοκάνηεζε f ζοκεπήξ ζημ R ηέημηα χζηε : f lim f 0 θαη f. Να απμδείλεηε υηη ε εοζεία y 1 ηέμκεη ηε γναθηθή πανάζηαζε ηεξ f ζε έκα ημοιάπηζημκ ζεμείμ. elsamaths06@gmail.com Σελίδα 30

31 ΗΜΓΡΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΣΟ Υ. ΓΣΟ ΚΓΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ ΜΓΡΟ ΠΡΩΣΟ elsamaths06@gmail.com Σελίδα 31

32 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο ΣΙΣΛΟ: ηηγμηαία ηαπφηεηα ΘΓΩΡΙΑ: ζει. 09 ΑΚΗΓΙ Υ. ΒΙΒΛΙΟΤ: 9β ΜΑΘΗΜΑ ο ΣΙΣΛΟ: Πνυβιεμα εθαπημμέκεξ ΘΓΩΡΙΑ: ζει ΑΚΗΓΙ Υ. ΒΙΒΛΙΟΤ: 5α, 1α, α, 3β ΜΑΘΗΜΑ 3 ο ΣΙΣΛΟ: Ονηζμυξ παναγχγμο ζοκάνηεζεξ ζε ζεμεία ΘΓΩΡΙΑ: ζει ΑΚΗΓΙ Υ. ΒΙΒΛΙΟΤ: 3α, 4α, 1β, β, 4β ΜΑΘΗΜΑ 4 ο ΣΙΣΛΟ: Πανάγςγμξ θαη ζοκέπεηα ΘΓΩΡΙΑ: ζει ΑΚΗΓΙ Υ. ΒΙΒΛΙΟΤ: 5β, 6β, 7β,8β ΘΓΜΑΣΑ 1. Δίκεηαη ε ζοκεπήξ ζοκάνηεζε f : R R γηα ηεκ μπμία ηζπφεη Α) κα απμδείλεηε υηη f f 0 0 θαη ' lim f 017 Β) κα βνείηε ημκ πναγμαηηθυ ανηζμυ ι έηζη χζηε 0 lim f 3 f elsamaths06@gmail.com Σελίδα 3

33 . Δίκεηαη ε ζοκεπήξ ζημ o =α ζοκάνηεζε g : R R. Να απμδείλεηε υηη : ε ζοκάνηεζε f : R R n με f a g είκαη παναγςγηζημε ζημ α θαη κα οπμιμγίζεηε ηεκ ηημή υπμο n ηοπαίμξ θοζηθυξ ανηζμυξ f' a. 3. Έζης ζοκάνηεζε f μνηζμέκε ζημ [-1,1] με ζοκεπή πανάγςγμ θαη ηέημηα χζηε 0 f ' lim 0 f. 4, κα απμδείλεηε υηη '' 0 4. Ακ ε ζοκάνηεζε f είκαη παναγςγηζημε ζημ R, κα απμδείλεηε υηη : h0 3 f h f h lim 4 f f ' γηα θαζε R. h ΜΑΘΗΜΑ 5 ο ΣΙΣΛΟ: Παναγςγίζημε ζοκάνηεζε ζε δηάζηεμα Πανάγςγμξ ζοκάνηεζε ΘΓΩΡΙΑ: ζει. -3 ΑΚΗΓΙ Υ. ΒΙΒΛΙΟΤ: 4α, 5α ΜΑΘΗΜΑ 6 ο ΣΙΣΛΟ: Πανάγςγμξ μενηθχκ βαζηθχκ ζοκανηήζεςκ ΘΓΩΡΙΑ: ζει. 3-7 ΑΚΗΓΙ Υ. ΒΙΒΛΙΟΤ: 1α, α, 3α, 1β, β, 3β, 4β ΜΑΘΗΜΑ 7 ο ΣΙΣΛΟ: Πανάγςγμξ αζνμίζμαημξ δηαθμνάξ Πανάγςγμξ γηκμμέκμο πειίθμο ΘΓΩΡΙΑ: ζει. 9-3 ΑΚΗΓΙ Υ. ΒΙΒΛΙΟΤ: 1α, α, 3α, 4α, 5α, 6α, 7β, 5β elsamaths06@gmail.com Σελίδα 33

34 ΜΑΘΗΜΑ 8 ο ΣΙΣΛΟ: Πανάγςγμξ ζφκζεηεξ ζοκάνηεζεξ ΘΓΩΡΙΑ: ζει ΑΚΗΓΙ Υ. ΒΙΒΛΙΟΤ: 1α, 13α, 14α, 15α, 8β, 9β, 10β, 11β Να ζομπιενχζεηε ηηξ ηζυηεηεξ: f a ' ' ' f ' ' f f f f f e ' f a ' ln f ' ' με ηεκ πνμτπυζεζε υηη μη ζοκανηήζεηξ είκαη θαιχξ μνηζμέκεξ ΜΑΘΗΜΑ 9 ο ΣΙΣΛΟ: Γλίζςζε εθαπημμέκεξ ΘΓΩΡΙΑ: ζει. 1 ΑΚΗΓΙ Υ. ΒΙΒΛΙΟΤ (ζει. 38): 7α, 8α, 9α, 10α, 11α, 1β, β, 3β, 4β, 6β elsamaths06@gmail.com Σελίδα 34

35 ΘΓΜΑΣΑ f h 1. Έζης ζοκάνηεζε f ζοκεπήξ ζημ 0 = γηα ηεκ μπμία ηζπφεη lim h0 h Να απμδείλεηε υηη f 0 θαη κα βνείηε ηεκ ελίζςζε ηεξ εθαπημμέκεξ ηεξ γναθηθήξ πανάζηαζεξ ηεξ f ζημ ζεμείμ ηεξ Α(,f()). 3.. Δίκμκηαη μη ζοκανηήζεηξ f e θαη g Α) Να απμδείλεηε υηη ε εοζεία πμο δηένπεηαη απυ ηα ζεμεία Α(λ,g(λ)) θαη Β(-λ,0) με λ 0 εθάπηεηαη ηεξ γναθηθήξ πανάζηαζεξ ηεξ g ζημ ζεμείμ Α. Β) Να βνείηε ηεκ ελίζςζε ηεξ εθαπημμέκεξ ηεξ γναθηθήξ πανάζηαζεξ ηεξ f πμο άγεηαη απυ ηεκ ανπή ηςκ αλυκςκ Ο(0,0). Γ) Να απμδείλεηε υηη ε ελίζςζε πμο ακήθεη ζημ δηάζηεμα (0,1). 4 1e 1 έπεη μηα ημοιάπηζημκ νίδα Δ) Να απμδείλεηε υηη μη γναθηθέξ παναζηάζεηξ ηςκ παναπάκς ζοκανηήζεςκ έπμοκ μηα ημοιάπηζημκ θμηκή εθαπημμέκε ζε με θμηκυ ζεμείμ ημοξ. 3. Δίκμκηαη μη ζοκανηήζεηξ f 3 θαη g e Α) Να απμδείλεηε υηη ε ελίζςζε 1 ln 3. έπεη μηα ημοιάπηζημκ νίδα ζημ 1 1,. 3 Β) Να απμδείλεηε υηη δεκ οπάνπεη θμηκυ ζεμείμ ηςκ γναθηθχκ παναζηάζεςκ ηςκ f θαη g ζημ μπμίμ κα δέπμκηαη θμηκή εθαπημμέκε. Γ) Να απμδείλεηε υηη οπάνπεη θμηκή εθαπημμέκε ηςκ γναθηθχκ παναζηάζεςκ. elsamaths06@gmail.com Σελίδα 35

36 4. Έζης παναγςγίζημε ζοκάνηεζε f: R R με f() = 0. Να απμδείλεηε υηη οπάνπεη λr, χζηε ε εθαπημμέκε ηεξ γναθηθήξ πανάζηαζεξ ηεξ f ζημ ζεμείμ Μ(λ, f(λ)) κα ηέμκεη ημκ άλμκα ζημ ζεμείμ Ρ (λ, 0). 5. Δίκμκηαη ε εοζεία (ε): y=-e, ε ζοκάνηεζε g ln Να απμδείλεηε υηη ε εοζεία (ε) εθάπηεηαη ηεξ γναθηθήξ πανάζηαζεξ ηεξ g. 6. Δίκεηαη ε ζοκάνηεζε f() 1 ln 1 Α)Να βνείηε ημ πεδίμ μνηζμμφ θαη ημ ζφκμιμ ηημχκ ηεξ f. Β)Να απμδείλεηε υηη ε ελίζςζε f()=0 έπεη αθνηβχξ δφμ νίδεξ ζημ πεδίμ μνηζμμφ ηεξ. Γ) Ακ ε εθαπημμέκε ηεξ γναθηθήξ πανάζηαζεξ ηεξ ζοκάνηεζεξ g()=ln ζημ ζεμείμ A(a,f(a)) με a 0 θαη ε εθαπημμέκε ηεξ γναθηθήξ πανάζηαζεξ ηεξ ζοκάνηεζεξ h()=e ζημ ζεμείμ B(β,h(β)) με β R ηαοηίδμκηαη, ηυηε κα δείλεηε υηη μ ανηζμυξ α είκαη νίδα ηεξ ελίζςζεξ f()=0. Δ) Να αηηημιμγήζεηε υηη μη γναθηθέξ παναζηάζεηξ ηςκ ζοκανηήζεςκ g θαη h έπμοκ αθνηβχξ δομ θμηκέξ εθαπηυμεκεξ. 7. Έζης μη ζοκανηήζεηξ f, g : R R με ηφπμοξ f ( ) e θαη g( ). Να δείλεηε υηη ε εθαπημμέκε ηεξ f( ) ζημ A(0,1) εθάπηεηαη θαη ηεξ g ( ). 8. Έζης ε παναγςγίζημε ζοκάνηεζε f ζημ 0 0 με f '(0) 0 θαη f (0) 1. Να δείλεηε υηη μη ζοκανηήζεηξ h : h() f () θαη g : g() f () f () είκαη παναγςγίζημεξ ζημ 0 0 θαη μη εθαπηυμεκεξ ηςκ C g, C ζημ ζεμείμ με ηεημεμέκε 0 0 είκαη θάζεηεξ. h elsamaths06@gmail.com Σελίδα 36

37 9. Να απμδείλεηε υηη ε ελίζςζε e 1 4 έπεη μηα ημοιάπηζημκ νίδα 1 ζημ R. Δίκμκηαη μη ζοκανηήζεηξ f e θαη g. Να απμδείλεηε υηη οπάνπεη μηα ημοιάπηζημκ θμηκή εθαπημμέκε ηςκ γναθηθχκ παναζηάζεςκ ηςκ ζοκανηήζεςκ. 10. Δίκεηαη ε ζοκάνηεζε f : [0, ) [ e, ) με ηφπμ f e 1 e, 0. Α) κα απμδείλεηε υηη ε f είκαη ακηηζηνέρημε. Β) ακ g ε ακηίζηνμθε ηεξ f, κα βνείηε ηεκ ηημή g (0). Γ) κα βνείηε ηεκ ελίζςζε ηεξ εθαπημμέκεξ ηεξ γναθηθήξ πανάζηαζεξ ηεξ g ζημ ζεμείμ ηεξ Α(0,g(0)). ΜΑΘΗΜΑ 10 ο ΣΙΣΛΟ: Ροζμυξ Μεηαβμιήξ ΘΓΩΡΙΑ: ζει ΑΚΗΓΙ Υ. ΒΙΒΛΙΟΤ: 1a, a, 3a, 4a, 5a, 1β, β, 3β, 4β, 5β, 6β, 7β, 8β ΘΓΜΑΣΑ 1. Δίκεηαη ε ζοκάνηεζε f ln Α) Να βνείηε ηεκ ελίζςζε εθαπημμέκεξ ηεξ γναθηθήξ πανάζηαζεξ ηεξ f ζημ ζεμείμ Α(ι,f(ι)). Β) Ακ ε εθαπημμέκε ηέμκεη ημοξ άλμκεξ θαη y y ζηα ζεμεία Κ, Λ ακηίζημηπα, κα βνείηε ηηξ ζοκηεηαγμέκεξ ηςκ ζεμείςκ. elsamaths06@gmail.com Σελίδα 37

38 Γ) Έζης υηη έκα αοημθίκεημ θηκείηαη θαηά μήθμξ ηεξ γναθηθήξ πανάζηαζεξ ηεξ f θαη ε ζέζε ημο ζε θάζε πνμκηθή ζηηγμή Δίκεηαη απυ ηηξ ζοκηεηαγμέκεξ ημο ζεμείμο Α. Ακ μ νοζμυξ μεηαβμιήξ ηεξ ηεημεμέκεξ ημο ζεμείμο Α δίκεηαη απυ ημκ ηφπμ t t ', κα βνείηε ημ νοζμυ μεηαβμιήξ ημο εμβαδμφ ημο ηνηγχκμο ΟΚΛ, υηακ ε εθαπημμέκε ηεξ γναθηθήξ πανάζηαζεξ ηεξ f ζπεμαηίδεη με ημκ άλμκα γςκία 45 μ. f e. Δίκεηαη ε ζοκάνηεζε Α) Να βνείηε ηεκ ελίζςζε εθαπημμέκεξ ηεξ γναθηθήξ πανάζηαζεξ ηεξ f ζημ ζεμείμ Μ(ι,f(ι)). Β) Να βνείηε ηηξ ζοκηεηαγμέκεξ ημο ζεμείμο ημμήξ ηεξ εθαπημμέκεξ με ημκ άλμκα,έζης Α. Γ) Έζης υηη έκα αοημθίκεημ θηκείηαη θαηά μήθμξ ηεξ γναθηθήξ πανάζηαζεξ ηεξ f θαη ε ζέζε ημο ζε θάζε πνμκηθή ζηηγμή δίκεηαη απυ ηηξ ζοκηεηαγμέκεξ ημο ζεμείμο Μ. Ακ μ νοζμυξ μεηαβμιήξ ηεξ ηεημεμέκεξ ημο ζεμείμο Μ δίκεηαη απυ ημκ ηφπμ t t ', κα βνείηε ημ νοζμυ μεηαβμιήξ ηεξ ηεημεμέκεξ ημο ζεμείμο Α, υηακ ε εθαπημμέκε δηένπεηαη απυ ηεκ ανπή ηςκ αλυκςκ. elsamaths06@gmail.com Σελίδα 38

39 ΗΜΓΡΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΣΟ Υ. ΓΣΟ ΚΓΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ ΜΓΡΟ ΔΓΤΣΓΡΟ elsamaths06@gmail.com Σελίδα 39

40 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο ΣΙΣΛΟ: Θεχνεμα Rolle Γεςμεηνηθή ενμεκεία ΘΓΩΡΙΑ: ζει. 46 ΑΚΗΓΙ Υ. ΒΙΒΛΙΟΤ: 1a, 1β, β, 3β, 7β ΙΟΔΤΝΑΜΓ ΠΡΟΣΑΓΙ 1) Η ελίζςζε f' 0 έπεη μηα ημοιάπηζημκ νίδα ζημ ακμηθηυ δηάζηεμα (α,β) ) Η f έπεη μηα ημοιάπηζημκ νίδα ζημ ακμηθηυ δηάζηεμα (α,β) 3) Η γναθηθή πανάζηαζε ηεξ f ηέμκεη ημκ άλμκα ζε έκα ημοιάπηζημκ ζεμείμ με ηεημεμέκε ζημ ακμηθηυ δηάζηεμα (α,β). ΓΓΩΜΓΣΡΙΚΗ ΓΡΜΗΝΓΙΑ Τπάνπεη έκα ημοιάπηζημκ o (a,β) ηέημημ χζηε ε εθαπημμέκε ηεξ γναθηθήξ πανάζηαζεξ ηεξ f ζημ ζεμείμ ηεξ Α( o,f( o )) κα είκαη πανάιιειε ζημκ άλμκα. ΦΤΙΚΗ ΓΡΜΗΝΓΙΑ Ακ έκα ζχμα θηκμφμεκμ πάκς ζε έκακ άλμκα δηένπεηαη απυ ημ ζεμείμ Α ηεκ πνμκηθή ζηηγμή t 1 θαη επηζηνέθεη ζημ ζεμείμ Α ηε πνμκηθή ζηηγμή t, ηυηε οπάνπεη πνμκηθή ζηηγμή t o (t 1, t ) πμο ε ηαπφηεηα ημο είκαη ίζε με μεδέκ. ΠΑΡΑΣΗΡΗΓΙ 1) Οη οπμζέζεηξ ημο ζ. Rolle πνέπεη κα ειέγπμκηαη πμιφ πνμζεθηηθά. ) Ακ ε ζοκάνηεζε f είκαη παναγςγηζημε ζημ θιεηζηυ δηάζηεμα [α,β] με f(a)=f(β), ηυηε ηζπφεη ημ ζ. Rolle. 3) Σμ ακηίζηνμθμ ημο ζ. Rolle δεκ ηζπφεη. 4) Ακ ε ζοκάνηεζε f είκαη παναγςγηζημε ζημ R θαη έπεη δομ νίδεξ, ηυηε ε πανάγςγμξ ηεξ έπεη μηα ημοιάπηζημκ νίδα. 5) Ακ ε ζοκάνηεζε f είκαη παναγςγηζημε ζημ R, ηυηε ακάμεζα ζε δομ δηαδμπηθέξ νίδεξ ηεξ παναγχγμο οπάνπεη μηα ημ πμιφ νίδα ηεξ ζοκάνηεζεξ f. elsamaths06@gmail.com Σελίδα 40

41 6) Ακ ε ζοκάνηεζε f είκαη δομ θμνέξ παναγςγηζημε ζημ R θαη έπεη ηνεηξ νίδεξ, ηυηε ε πνχηε πανάγςγμξ ηεξ έπεη δομ ημοιάπηζημκ νίδεξ θαη ε δεφηενε πανάγςγμξ ηεξ έπεη μηα ημοιάπηζημκ νίδα. 7) Ακ ε ζοκάνηεζε f είκαη παναγςγηζημε ζημ R θαη ε πανάγςγμξ ηεξ δεκ μεδεκίδεηαη γηα θάζε R, ηυηε ε ζοκάνηεζε f έπεη ημ πμιφ μηα νίδα θαη είκαη ) Ακ ε ζοκάνηεζε f είκαη δομ θμνέξ παναγςγηζημε ζημ R θαη ε δεφηενε πανάγςγμξ ηεξ δεκ μεδεκίδεηαη γηα θάζε R, ηυηε ε ζοκάνηεζε f έπεη ημ πμιφ δομ νίδεξ. ΑΚΗΓΙ Κάκμομε πνήζε ημο ζ. Rolle ακ μαξ δεηάκε κα απμδείλμομε υηη: 1) Η ελίζςζε f()=0 έπεη μηα ημοιάπηζημκ νίδα ζημ (α,β) θαη δεκ ηζπφεη ημ Θ. Bolzano. ) Η ελίζςζε f()=0 έπεη ημ πμιφ μηα νίδα ζημ (α,β) θαη δεκ μπμνμφμε κα απμδείλμομε υηη είκαη 1-1 ή γκεζίςξ μμκυημκε. 3) Η ελίζςζε f()=0 έπεη μηα αθνηβχξ νίδα ζημ (α,β), δειαδή μηα ημοιάπηζημκ θαη μηα ημ πμιφ. 4) Ομμίςξ γηα κα απμδείλμομε υηη ε ελίζςζε f()=0 έπεη -θ ημοιάπηζημκ νίδεξ -θ ημ πμιφ νίδεξ -θ αθνηβχξ νίδεξ 5) Γηα κα εθανμυζς ημ ζ.rolle πνέπεη κα βνς ηεκ ζοκάνηεζε f γηα ηεκ μπμία ηζπφεη f (λ)=0. elsamaths06@gmail.com Σελίδα 41

42 1 η καηηγορία Βμεζεηηθέξ ζοκανηήζεηξ ηεξ μμνθήξ e (ζοκήζςξ δίκεηαη υηη f a f 0 ) f g ΤΜΠΓΡΑΜΑ f f f f f ' 0 f ' 0 f ' 0 f ' 0 1 f ' f 0 1 f ' f 0 f ' g ' ' f 0 ΒΟΗΘΗΣΙΚΗ ΤΝΑΡΣΗΗ η καηηγορία Βμεζεηηθέξ ζοκανηήζεηξ ηεξ μμνθήξ g f ΤΜΠΓΡΑΜΑ f f ' 0 f ' f 0 f f ' 0 f ln f ' 0 ΒΟΗΘΗΣΙΚΗ ΤΝΑΡΣΗΗ 3 η καηηγορία Βμεζεηηθέξ ζοκανηήζεηξ ηεξ μμνθήξ ΤΜΠΓΡΑΜΑ f f f ' f 0 f ' 0 f ' f 0 f ' ln 0 f g ΒΟΗΘΗΣΙΚΗ ΤΝΑΡΣΗΗ elsamaths06@gmail.com Σελίδα 4

43 ΘΓΩΡΗΜΑ ROLLE ΚΑΙ ΓΞΙΩΗ ΓΦΑΠΣΟΜΓΝΗ 1. Έζης ζοκάνηεζε f, ζοκεπήξ ζημ [α,β] θαη παναγςγηζημε ζημ (α,β) με f(a)=a θαη f(β)=β θαη 0 a. Να απμδείλεηε υηη οπάνπεη λ(α,β), χζηε ε εθαπημμέκε ηεξ C f ζημ λ, κα δηένπεηαη απυ ηεκ ανπή ηςκ αλυκςκ.. Έζης ζοκάνηεζε f, ζοκεπήξ ζημ [1,4] θαη παναγςγηζημε ζημ (1,4) με f(1)= θαη f(4)=8. Να απμδείλεηε υηη οπάνπεη o (1,4), χζηε ε εθαπημμέκε ηεξ C f ζημ o, κα δηένπεηαη απυ ηεκ ανπή ηςκ αλυκςκ. 3. Έζης ζοκάνηεζε f, ζοκεπήξ ζημ [α,α] θαη παναγςγηζημε ζημ (α,α) με f(a)=f(α) θαη 0 a. Να απμδείλεηε υηη οπάνπεη λ(α,α), χζηε ε εθαπημμέκε ηεξ C f ζημ λ, κα δηένπεηαη απυ ηεκ ανπή ηςκ αλυκςκ. 4. Έζης ζοκάνηεζε f, ζοκεπήξ ζημ [α,β] θαη παναγςγηζημε ζημ (α,β) με βf(a)=αf(β) θαη f 0 γηα θαζε a,. Να απμδείλεηε υηη οπάνπεη λ(α,β),χζηε ε εθαπημμέκε ηεξ C f ζημ λ, κα δηένπεηαη απυ ηεκ ανπή ηςκ αλυκςκ. 5. Έζης ζοκάνηεζε f,με ζηαζενή θαη παναγςγηζημε ζημ [α,β] με f(a)=f(β)=0 θαη c R με c a. Να απμδείλεηε υηη οπάνπεη λ (α,β),χζηε ε εθαπημμέκε ηεξ C f ζημ λ, κα δηένπεηαη απυ ημ ζεμείμ Μ(c,0). 6. Έζης ζοκάνηεζε f,με ζηαζενή θαη παναγςγηζημε ζημ [α,β] με f(a)=β θαη f(β)=α θαη 0 a. Να απμδείλεηε υηη οπάνπεη λ(α,β),χζηε ε εθαπημμέκε ηεξ C f ζημ λ, κα δηένπεηαη απυ ημ ζεμείμ Μ(λ,λ). 7. Έζης ζοκάνηεζε f, παναγςγηζημε ζημ [α,α+1] με f(a+1)=f(α)+1 θαη c f a a. Να απμδείλεηε υηη οπάνπεη λ (α,α+1),χζηε ε εθαπημμέκε ηεξ C f ζημ λ, κα δηένπεηαη απυ ημ ζεμείμ Μ(0,c). 8. Έζης ζοκάνηεζε f,παναγςγηζημε ζημ [α,β] με f(a)+f(β)=0 θαη f ' 0 γηα θαζε a,. Να απμδείλεηε υηη οπάνπεη λ(α,β),χζηε ε θάζεηε ζηεκ εθαπημμέκε ηεξ C f ζημ λ, κα δηένπεηαη απυ ημ ζεμείμ Μ(,0). 9. Δίκεηαη ε πναγμαηηθή ζοκάνηεζε g, ζοκεπήξ ζημ [0,π] θαη παναγςγηζημε ζημ (0,π) με g ' g γηα θαζε 0,. Να απμδείλεηε υηη οπάνπεη έκα ημοιάπηζημκ λ(0,π) χζηε g(λ)=0. elsamaths06@gmail.com Σελίδα 43

44 ΘΓΜΑΣΑ 1. Δίκεηαη ε ζοκάνηεζε g e f υπμο f παναγςγηζημε ζημ R με 3 Να απμδείλεηε υηη οπάνπεη έκα ημοιάπηζημκ 0, 3 f 0 f 0 ηέημημ χζηε f' f.. Δίκεηαη ε ζοκάνηεζε f ε μπμία είκαη παναγςγηζημε ζημ R με f' 0 γηα θαζε R. Α) κα απμδείλεηε υηη ε f είκαη 1-1. Β) ακ ε γναθηθή πανάζηαζε ηεξ f δηένπεηαη απυ ηα ζεμεία Α(1,005) θαη Β(-,1) κα 1 ιφζεηε ηεκ ελίζςζε f f Γ) κα απμδείλεηε υηη οπάνπεη ημοιάπηζημκ έκα ζεμείμ ηεξ C f ζημ μπμίμ ε εθαπημμέκε 1 είκαη θάζεηε ζηεκ εοζεία (ε) y Δίκεηαη ε ζοκάνηεζε f : [0,] R ε μπμία είκαη δομ θμνέξ παναγςγηζημε θαη f '' 4 f ' 4 f ke,0 ηθακμπμηεί ηηξ ζοκζήθεξ : f f f f 4 ' 0 0, ' =f +1e, 1 =e, k R Α) κα απμδείλεηε υηη ε ζοκάνηεζε f ' f g e 3,0 ηθακμπμηεί ηηξ ζοκζήθεξ ημο ζεςνήμαημξ Rolle ζημ δηάζηεμα [0,]. Β) κα απμδείλεηε υηη οπάνπεη 0, ηέημημ χζηε κα ηζπφεη f '' 4f 6 e 4 f '. 4. Δίκεηαη ε ζοκάνηεζε 3 με θαη. 1, R υπμο θ,ι πναγμαηηθμί ανηζμμί Α) κα απμδείλεηε υηη ε ελίζςζε ν()=0 έπεη ημοιάπηζημκ δομ νίδεξ ζημ (-1,1). Β) κα απμδείλεηε υηη Να ιοζεί ε ελίζςζε elsamaths06@gmail.com Σελίδα 44

45 6. Να απμδείλεηε υηη ε ελίζςζε έπεη αθνηβχξ δομ νίδεξ. 7. Έζης μη παναγςγίζημεξ ζημ ακμηπηυ δηάζηεμα Δ ζοκανηήζεηξ f,g. Τπμζέημομε υηη. Να απμδείλεηε υηη οπάνπεη, a, με θαη f a f 0 μπμίμ ηζπφεη : f f g ' ' Έζης f : [, ] R * δομ θμνέξ παναγςγηζημε ζημ [α,β] με γηα ημ f a f ' a f' 0 γηα θάζε [a,β] θαη f f', κα απμδείλεηε υηη οπάνπμοκ 1 ηέημηα χζηε f f 1 1 f f,, '' '' 0. ΜΑΘΗΜΑ ο ΣΙΣΛΟ: Θ.Μ.Σ Γεςμεηνηθή ενμεκεία ΘΓΩΡΙΑ: ζει ΑΚΗΓΙ Υ. ΒΙΒΛΙΟΤ: a, 3a, 4β, 5β, 6β ΙΟΔΤΝΑΜΗ ΠΡΟΣΑΗ ' f f a f a ΓΓΩΜΓΣΡΙΚΗ ΓΡΜΗΝΓΙΑ ΣΟΤ Θ.Μ.Σ. Τπάνπεη έκα ημοιάπηζημκ λ a, ηέημημ χζηε ε εθαπημμέκε ηεξ γναθηθήξ πανάζηαζεξ ηεξ f ζημ ζεμείμ Μ(λ,f(λ)) κα είκαη πανάιιειε ηεξ εοζείαξ ΑΒ με Α(α,f(α)) θαη Β(β,f(β)). ΦΤΙΚΗ ΓΡΜΗΝΓΙΑ ΣΟΤ Θ.Μ.Σ. Καηά ηεκ εοζφγναμμε θίκεζε εκυξ θηκεημφ ζημ πνμκηθυ δηάζηεμα [ t, t ] οπάνπεη μηα 1 ημοιάπηζημκ πνμκηθή ζηηγμή t ( t, t ) ηέημηα χζηε ε ηαπφηεηα ημο κα ηζμφηαη με o 1 ηεκ μέζε ηαπφηεηα ημο. elsamaths06@gmail.com Σελίδα 45

46 ΠΑΡΑΣΗΡΗΓΙ Ακ γηα μηα ζοκάνηεζε ηζπφμοκ μη πνμτπμζέζεηξ ημο Θ.Μ.Σ. θαη επηπιέμκ: f a f ηυηε οπάνπεη, με f ' 0 πμο ζεμαίκεη γεςμεηνηθά υηη ε εθαπημμέκε ζημ Μ(λ,f(λ)) ζπεμαηίδεη μλεία γςκία με ημ άλμκα. f a f ηυηε οπάνπεη, με f ' 0 πμο ζεμαίκεη γεςμεηνηθά υηη ε εθαπημμέκε ζημ Μ(λ,f(λ)) ζπεμαηίδεη αμβιεία γςκία με ημ άλμκα. ΘΓΜΑΣΑ 1. Α) Ακ f γκεζίςξ αφλμοζα ζημ [α,β] κα δείλεηε: f(β)-f(α) f (α) f (β) β-α Β) Ακ f γκεζίςξ αφλμοζα ζημ [α,+ ) κα δείλεηε: f()-f(α) f (α) f () -α. Ακ ε ζοκάνηεζε f είκαη παναγςγίζημε ζημ θαη ε f είκαη ζοκάνηεζε 1-1, κα δείλεηε υηη ε εθαπημμέκε ζε θάζε ζεμείμ ηεξ γναθηθήξ πανάζηαζεξ C δεκ έπεη άιιμ θμηκυ ζεμείμ με ηεκ C f. 3. Έζης ε f είκαη ζοκεπήξ ζημ [α,β], παναγςγίζημε ζημ (α,β) Α) Ακ ε f είκαη γκεζίςξ αφλμοζα ζημ δηάζηεμα (α,β) κα δείλεηε υηη α+β f ( ) f ( ) f Β) Ακ ε f είκαη γκεζίςξ θζίκμοζα ζημ δηάζηεμα (α,β) κα δείλεηε υηη α+β f(α)+f(β) f > Γ) Ακ f () 1 γηα θάζε (α,β), f(α)=α θαη f(β)=β κα δείλεηε υηη α+β α+β f = 4. Ακ ε f είκαη ζοκεπήξ ζημ [α,β], παναγςγίζημε ζημ (α,β), με f() > 0 γηα θάζε (α,β). Να δείλεηε υηη οπάνπεη λ(α,β) ηέημημ χζηε: 5. Δίκεηαη ε ζοκάνηεζε f : R R f 0 0. παναγςγηζημε με f(β) =e f(α) ( - )f ( ) f ( ) Ακ ε f είκαη γκεζίςξ αφλμοζα ηυηε: Α) κα απμδείλεηε υηη οπάνπεη λ0, με 0 ηέημημ χζηε f ' f. elsamaths06@gmail.com Σελίδα 46

47 Β) κα απμδείλεηε υηη μη γναθηθέξ παναζηάζεηξ ηςκ ζοκανηήζεςκ θαη g ln ln f ηέμκμκηαη ημ πμιφ ζε έκα ζεμείμ. 6. Έζης μηα ζοκάνηεζε f ε μπμία είκαη ζοκεπήξ ζημ [-1,1] θαη ηζπφεη f f f ' 1 γηα θάζε 1,1. Ακ 1 1 θαη 1 1 κα απμδείλεηε υηη f(0)=0. 7. Έζης ζοκεπήξ f : [0,] με f () 0 γηα θάζε (0,) Nα δείλεηε υηη: Α) f(0) f() Β) Τπάνπεη 0 (0,) με 5f( 0 )=f(0)+3f() Γ) Τπάνπμοκ λ 1, λ, λ(α,β) ηέημηα χζηε 3 5 f ( ) f ( ) f ( ) 1 8. Να απμδείλεηε υηη ln( 1) 1, γηα θάζε >-1 θαη Να απμδείλεηε υηη ln, για καθε > Να ιοζεί ε ελίζςζε 6 +9 =7 +8 Αμ δεμ μπορώ μα κάμω κάηι άλλο, κάμω Θ.Μ.Σ. ΜΑΘΗΜΑ 3 ο ΣΙΣΛΟ: οκέπεηεξ Θ.Μ.Σ ηαζενή ζοκάνηεζε πέζεηξ f -f ΘΓΩΡΙΑ: ζει ΑΚΗΓΙ Υ. ΒΙΒΛΙΟΤ: 1a, 1β elsamaths06@gmail.com Σελίδα 47

48 ΘΓΜΑΣΑ ΑΠΟΔΓΙΞΗ ΟΣΙ ΜΙΑ ΤΝΑΡΣΗΗ ΓΙΝΑΙ ΣΑΘΓΡΗ f 1. Έζης ζοκάνηεζε f γηα ηεκ μπμία ηζπφεη f Α) Να απμδείλεηε υηη ε ζοκάνηεζε g, 0 f ', γηα θάζε 0,. είκαη ζηαζενή. Β) Ακ ημ ζεμείμ Α(4,1) ακήθεη ζηεκ γναθηθή πανάζηαζε ηεξ f, κα βνείηε ημκ ηφπμ ηεξ f.. Δίκμκηαη μη παναγςγίζημεξ ζοκανηήζεηξ f, g : R R με f ' g θαη g ' f γηα θάζε R. 3 3 Α) Να απμδείλεηε υηη ε ζοκάνηεζε h f g είκαη ζηαζενή ζημ R. Β) Να βνείηε ημκ ηφπμ ηεξ h,ακ f(0)=1 θαη g(0)=. 3. Δίκεηαη μηα ζοκάνηεζε f, πμο είκαη παναγςγίζημε ζημ R θαη ηζπφεη f ' γηα θάζε R θαη, R με Α) Να δείλεηε υηη f f γηα θάζε, R Β) Να δείλεηε υηη ε f είκαη ζηαζενή ζοκάνηεζε ζημ R. ΓΤΡΓΗ ΣΟΤ ΣΤΠΟΤ ΜΙΑ ΤΝΑΡΣΗΗ, ΟΣΑΝ Η ΠΑΡΑΓΩΓΟ ΣΗ ΓΙΝΑΙ ΙΗ ΜΓ ΣΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓΟ ΜΙΑ ΓΝΩΣΗ ΤΝΑΡΣΗΗ 3. Να βνείηε ηεκ ζοκάνηεζε f γηα ηεκ μπμία ηζπφεη υηη : f ' 3 4, R θαη f 1 f ' e, R θαη f f ', 0, θαη f 1 8 elsamaths06@gmail.com Σελίδα 48

49 ΓΤΡΓΗ ΣΟΤ ΣΤΠΟΤ ΜΙΑ ΤΝΑΡΣΗΗ, ΟΣΑΝ ΓΥΟΤΜΓ ΜΙΑ ΥΓΗ ΜΓ ΣΗΝ ΤΝΑΡΣΗΗ ΚΑΙ ΣΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓΟ ΣΗ. 4. Να βνείηε ηεκ ζοκάνηεζε f:α R ζηηξ παναθάης πενηπηχζεηξ f ' '' με 0 ' 0 1 γηα θαζε f 0 γηα θαζε R f ' e θαη f 0 0 γηα θάζε R f ' f με f 1 θαη f 0 γηα θαζε 1, f ' f με f 0 1 θαη f 0 γηα θαζε R f f f e f f R f ' f με f 0 1 γηα θαζε R f ' 3 f =e με f ' f + με f 0 1 γηα θαζε R f ' f με f γηα θαζε R ΓΤΡΓΗ ΣΗ ΤΝΑΡΣΗΗ ΚΑΣΑ ΔΙΑΣΗΜΑΣΑ 5. Δίκεηαη ε ζοκεπήξ ζοκάνηεζε f : R R γηα ηεκ μπμία ηζπφεη: f ' 5, R. Α) Να απμδείλεηε υηη : f ' 1 γηα. Β) Ακ f(3)=7, κα βνείηε ημκ ηφπμ ηεξ f. 6. Έζης μηα ζοκάνηεζε f : R R γηα ηεκ μπμία ηζπφεη : f 0 0 θαη 1 f ' 1 γηα θάζε R, κα βνείηε ημκ ηφπμ ηεξ f. elsamaths06@gmail.com Σελίδα 49

50 ΘΓΜΑΣΑ ΓΞΓΣΑΓΩΝ 1. Δίκεηαη ε ζοκάνηεζε f : R R, δφμ θμνέξ παναγςγίζημε ζημ R, με f (0)=f(0)=0 ε μπμία ηθακμπμηεί ηε ζπέζε: e f ( ) f ( ) 1 f ( ) f ( ) Να απμδείλεηε υηη: f ( ) ln( e ), R. γηα θάζε R.. Έζης ζοκάνηεζε f: R R ε μπμία είκαη παναγςγίζημε με f(0)=1 θαη f (0)=0 Ακ f() 1 γηα θάζε R θαη επηπιέμκ δίκεηαη υηη: f () + = (f()+ ), R. Να απμδείλεηε υηη f = e -, R. 3.Γηα μηα ζοκάνηεζε f παναγςγίζημε ζημ R ηζπφεη ε ζπέζε f () = e f() γηα θάζε R θαη f(0) = 0. Να δεηπζεί υηη: f 1 e ln. 4. Έζης ε ζοκάνηεζε f, μνηζμέκε ζημ R με δεφηενε ζοκεπή πανάγςγμ, πμο ηθακμπμηεί ηηξ ζπέζεηξ: f ()f() + (f ( )) = f()f (), R θαη f(0) = f (0) = 1. Να πνμζδημνίζεηε ηε ζοκάνηεζε f. 5. Να βνείηε ηεκ παναγςγηζημε ζοκάνηεζε f : R R γηα ηεκ μπμία ηζπφεη f ' f γηα θάζε R θαη f ' Δίκεηαη ε δομ θμνέξ παναγςγηζημε ζοκάνηεζε f : R 0,. f f f Ακ ' '' 0 γηα θάζε R ηφπμ ηεξ f. θαη f f ' 0 0 1, κα βνείηε ημκ 7. Δίκεηαη μηα ζοκάνηεζε f μνηζμέκε ζημ R με ζοκεπή πνχηε πανάγςγμ, γηα ηεκ μπμία ηζπφμοκ μη ζπέζεηξ f f θαη Α) κα απμδείλεηε υηη ε f είκαη γκεζίςξ μμκυημκε. f' 0 γηα θάζε R. Β) κα απμδείλεηε υηη ε ελίζςζε f()=0 έπεη μμκαδηθή νίδα. elsamaths06@gmail.com Σελίδα 50

51 Γ) Έζης ε ζοκάνηεζε g ' f f, κα απμδείλεηε υηη ε εθαπημμέκε ηεξ C g ζημ ζεμείμ πμο αοηή ηέμκεη ημκ άλμκα, ζπεμαηίδεη με αοηυκ γςκία 45 μ. ΜΑΘΗΜΑ 4 ο ΣΙΣΛΟ: Μμκμημκία ζοκάνηεζεξ ΘΓΩΡΙΑ: ζει. 149 & ζει ΑΚΗΓΙ Υ. ΒΙΒΛΙΟΤ: a, 3a, 4a, 5a, 6a, Να ζομπιενχζεηε ηα θεκά : β, 3β, 4β, 5β, 6β, 7β, 8β Μηα ζοκάνηεζε f ιέγεηαη γκεζίςξ αφλμοζα ζε έκα δηάζηεμα Δ ημο πεδίμο μνηζμμφ ηεξ υηακ: Μηα ζοκάνηεζε f ιέγεηαη γκεζίςξ θζίκμοζα ζε έκα δηάζηεμα Δ ημο πεδίμο μνηζμμφ ηεξ υηακ: Έζης μηα ζοκάνηεζε f, ε μπμία είκαη ζοκεπήξ ζε έκα δηάζηεμα Δ ημο πεδίμο μνηζμμφ ηεξ Ακ f () > 0 ζε θάζε ηυηε ε f είκαη Ακ f () < 0 ζε θάζε ηυηε ε f είκαη Ακ f () = 0 ζε θάζε ηυηε ε f είκαη Ακ ε f είκαη γκεζίςξ αφλμοζα ζε έκα δηάζηεμα Δ ημο πεδίμο μνηζμμφ ηεξ θαη είκαη θαη παναγςγηζημε ηυηε ηζπφμοκ: 1.. elsamaths06@gmail.com Σελίδα 51

52 Ακ ε f είκαη γκεζίςξ θζίκμοζα ζε έκα δηάζηεμα Δ ημο πεδίμο μνηζμμφ ηεξ θαη είκαη θαη παναγςγηζημε ηυηε ηζπφμοκ: 1.. Έζης μηα ζοκάνηεζε f παναγςγηζημε ζε έκα δηάζηεμα (α,β) με ελαίνεζε ίζςξ έκα ζεμείμ ημο o ζημ μπμίμ υμςξ είκαη ζοκεπήξ. Ακ ε f δηαηενεί ζηαζενυ πνυζεμμ ζημ (α, o ) ( o,β) ηυηε ε f είκαη γκεζίςξ μμκυημκε ζημ (α,β). ΘΓΜΑΣΑ 1. Δίκεηαη ε ζοκάνηεζε h() e 017, R. Α) Να μειεηήζεηε ηεκ h ςξ πνμξ ηε μμκμημκία θαη ηα αθνυηαηα ηεξ. Β) Να βνεζεί ημ ζφκμιμ ηημχκ ηεξ h. Γ) Να απμδείλεηε υηη ε ελίζςζε 017e έπεη αθνηβχξ μηα ιφζε ζημ ζφκμιμ R.. Δίκεηαη ε ζοκάνηεζε h() 1, R. Α) Να μειεηεζεί ε h ςξ πνμξ ηε μμκμημκία θαη ηα αθνυηαηα ηεξ. Β) Να βνεζεί ημ ζφκμιμ ηημχκ ηεξ h. Γ) Να απμδείλεηε υηη ε ελίζςζε = έπεη αθνηβχξ ηνεηξ νίδεξ ζημ ζφκμιμ ηςκ πναγμαηηθχκ ανηζμχκ. π π 3. Δίκεηαη ε ζοκάνηεζε f:, R f() ln(ζοκ ) 017 με ηφπμ Α) Να μειεηήζεηε ηεκ μμκμημκία θαη ηα αθνυηαηα ηεξ f. Β) Να βνεζεί ημ ζφκμιμ ηςκ ηημχκ ηεξ f. elsamaths06@gmail.com Σελίδα 5

53 Γ) Να απμδείλεηε υηη ε ελίζςζε π π, 017 e ζοκ 1 έπεη μηα ημοιάπηζημκ νίδα ζημ 4. Δίκεηαη ε ζοκάνηεζε π f: 0, R 4 με f() 4εμ εμ 3. Α) Να μειεηήζεηε ηεκ f ςξ πνμξ ηεκ μμκμημκία ηεξ. Β) Να απμδείλεηε υηη εμ 3 4 ζοκ γηα θάζε π 0, 4. ΜΑΘΗΜΑ 5 ο ΣΙΣΛΟ: Σμπηθά Αθνυηαηα οκάνηεζεξ ΘΓΩΡΙΑ: ζει & ζει. 150 Θεχνεμα Fermat ΘΓΜΑΣΑ 1. Θεςνμφμε ηε ζοκάνηεζε f : R R με ηφπμ f m 4 5 υπμο mr θαη m 0. Να οπμιμγίζεηε ημκ πναγμαηηθυ ανηζμυ m χζηε f 0 γηα θάζε R. f a ln 1, 1 μπμο 0 θαη 1.. Δίκεηαη ε ζοκάνηεζε Ακ ηζπφεη f 1 γηα θαζε 1, κα απμδείλεηε υηη α=e. 3. Να οπμιμγίζεηε ηεκ ηημή ημο πναγμαηηθμφ ανηζμμφ a R * ακ ηζπφεη a 3 4 γηα θάζε R. 4. Ακ ηζπφεη ln e κα απμδείλεηε υηη 0. elsamaths06@gmail.com Σελίδα 53

54 5. Α) κα βνεζεί ε ειάπηζηε ηημή ηεξ ζοκάνηεζεξ 3 f e, 0 Β) κα βνεζεί ε μηθνυηενε ηημή ημο ζεηηθμφ ανηζμμφ ι, χζηε e 3, θαζε R. e 1 6. Α) κα βνεζεί ε ειάπηζηε ηημή ηεξ f, 1 θαη 0 Β) κα βνείηε γηα πμηα ηημή ημο ζεηηθμφ ανηζμμφ ι ημ ειάπηζημ ηεξ f παίνκεη ηεκ μέγηζηε ηημή ημο. 7. Δίκεηαη f παναγςγίζημε ζημ R με f ()+016f()=e γηα θάζε R. Να απμδείλεηε υηη ε f δεκ έπεη ημπηθά αθνυηαηα. 8. Ακ ε ζοκάνηεζε f είκαη παναγςγίζημε ζημ [α,β] θαη οπάνπεη μμκαδηθυ ζεμείμ μ (α,β) χζηε f ( μ )=0 θαη αθυμε f(α)<f( μ ) (1), f(β)<f( μ ) (), κα. δείλεηε υηη ε f πανμοζηάδεη ημπηθυ μέγηζημ ζημ μ. 9. Έζης ζοκάνηεζε f παναγςγίζημε ζημ (0,+). Ακ ηζπφμοκ: f(e )=0 θαη f()ln- (1) γηα θάζε (0,+), δείληε υηη: e f (e )-1= Έζης ε ζοκάνηεζε f:r R ε μπμία είκαη δφμ θμνέξ παναγςγίζημε γηα ηεκ μπμία ηζπφεη: f ( ) f ( ) 1 γηα θάζε R. Να απμδείλεηε υηη: Α) ε f δεκ ακηηζηνέθεηαη, Β) ε f έπεη έκα ημοιάπηζημκ θνίζημμ ζεμείμ 0, Γ) μη εθαπηυμεκεξ ηεξ C f ζηα ζεμεία A0, f(0),b1, f (1) είκαη πανάιιειεξ. ΜΑΘΗΜΑ 6 ο ΣΙΣΛΟ: Πνμζδημνηζμυξ ημπηθχκ αθνμηάηςκ ΘΓΩΡΙΑ: ζει ΑΚΗΓΙ Υ. ΒΙΒΛΙΟΤ: υιεξ elsamaths06@gmail.com Σελίδα 54

55 Να ζομπιενχζεηε ηα θεκά : Μηα ζοκάνηεζε f με πεδίμ μνηζμμφ ημ Α ζα ιέμε υηη πανμοζηάδεη ζημ A (μιηθυ) μέγηζημ, ημ f( o o ), υηακ : πανμοζηάδεη ζημ A (μιηθυ) ειάπηζημ, ημ f( o o ), υηακ : πανμοζηάδεη ζημ A (ημπηθυ) μέγηζημ, ημ f( o o ), υηακ : πανμοζηάδεη ζημ A (ημπηθυ) ειάπηζημ, ημ f( o o ), υηακ : Έζης μηα ζοκάνηεζε f μνηζμέκε ζε έκα δηάζηεμα Δ ημο πεδίμο μνηζμμφ ηεξ θαη o εζςηενηθυ ζεμείμ ημο Δ. Ακ ε ζοκάνηεζε f πανμοζηάδεη ημπηθυ αθνυηαημ ζημ o θαη είκαη παναγςγηζημε ζημ ζεμείμ αοηυ, ηυηε: Οη πηζακέξ ζέζεηξ ημπηθχκ αθνυηαηςκ ηεξ f είκαη: Έζης μηα ζοκάνηεζε f παναγςγηζημε ζε έκα δηάζηεμα (α,β) με ελαίνεζε ίζςξ έκα ζεμείμ ημο o ζημ μπμίμ υμςξ είκαη ζοκεπήξ. Ακ ε f () > 0 ζημ (α, o ) θαη f () < 0 ζημ ( o,β) ηυηε ε f πανμοζηάδεη Ακ ε f () < 0 ζημ (α, o ) θαη f () > 0 ζημ ( o,β) ηυηε ε f πανμοζηάδεη Ακ ε f δηαηενεί ζηαζενυ πνυζεμμ ζημ (α, o ) ( o,β) ηυηε.. elsamaths06@gmail.com Σελίδα 55

56 ΘΓΜΑΣΑ f,. 1. Θεςνμφμε ηεκ ζοκάνηεζε Α) κα απμδείλεηε υηη ε f είκαη 1-1. Β) κα απμδείλεηε υηη οπάνπεη ε ακηίζηνμθε ηεξ f θαη κα βνείηε ημκ ηφπμ ηεξ. Γ) κα βνείηε ηα θμηκά ζεμεία ηςκ C f θαη C f -1 με ηεκ εοζεία y=. 1 e f, R. 1 e. Δίκεηαη ε ζοκάνηεζε 1 Α) κα μειεηήζεηε ηεκ μμκμημκία ηεξ f ζημ R. B) κα απμδείλεηε υηη f 5 f 7 f 6 f 8 γηα θάζε 0 f ln 1 1 ln με Δίκεηαη ε ζοκάνηεζε Α) κα απμδείλεηε υηη 1 ln 1 ln γηα θάζε 0 Β) κα απμδείλεηε υηη ε f είκαη γκεζίςξ θζίκμοζα ζημ 0,. Γ) κα οπμιμγίζεηε ημ υνημ 1 lim ln1 1 Δ) κα απμδείλεηε υηη οπάνπεη μμκαδηθυξ ανηζμυξ a 0, ηέημημξ χζηε 1 a a a a 4. Δίκεηαη ε ζοκάνηεζε f e e ln, 0 Α) κα απμδείλεηε υηη ε ζοκάνηεζε f είκαη γκεζίςξ αφλμοζα ζημ 1,. Β) κα απμδείλεηε υηη f e γηα θάζε 0. f e ln 1, 1 5. Δίκεηαη ε ζοκάνηεζε Α) κα απμδείλεηε υηη ε ζοκάνηεζε f είκαη γκεζίςξ θζίκμοζα ζημ δηάζηεμα ( 1,0] θαη γκεζίςξ αφλμοζα ζημ δηάζηεμα [0, ). Β) ακ, 1, 0 0,, κα απμδείλεηε υηη ε ελίζςζε f f έπεη ημοιάπηζημκ μηα νίδα ζημ δηάζηεμα (1,). elsamaths06@gmail.com Σελίδα 56

57 ΗΜΓΡΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΣΟ Υ. ΓΣΟ ΚΓΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ ΜΓΡΟ ΣΡΙΣΟ elsamaths06@gmail.com Σελίδα 57

58 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο ΣΙΣΛΟ: Κονηυηεηα ζοκάνηεζεξ ΘΓΩΡΙΑ: ζει ΑΚΗΓΙ Υ. ΒΙΒΛΙΟΤ: 1a, a, 3a, 4a, 5a ΜΑΘΗΜΑ ο ΣΙΣΛΟ: εμεία Καμπήξ ΘΓΩΡΙΑ: ζει ΑΚΗΓΙ Υ. ΒΙΒΛΙΟΤ: 1β, β, 3β, 4β, 5β ΜΑΘΗΜΑ 3 ο ΣΙΣΛΟ: Αζφμπηςηεξ ΘΓΩΡΙΑ: ζει ΑΚΗΓΙ Υ. ΒΙΒΛΙΟΤ: 1a, a, 3a, 1β, β ΘΓΜΑΣΑ ΣΙ ΑΤΜΠΣΩΣΓ 1.Να βνείηε ηηξ αζφμπηςηεξ ηςκ παναθάης ζοκανηήζεςκ: 1 ln 1 1 f, f, f 1 1 f ln, f, f ln ln 1 3 f ln 3, f, f f, f, f ln e 1 1 f elsamaths06@gmail.com Σελίδα 58

59 3, , 0 g g 84, 1 0, 0 4 α 136 με α 0. Να βνεζμφκ ηα α,β χζηε ε C f κα. Έζης f( ) 3 1 έπεη ηεκ yβ 4 με β 13 πιάγηα αζφμπηςηε ζημ. 3.Ακ ε y3 6 είκαη αζφμπηςηε ηεξ C f ζημ, κα βνείηε ημ lim f ( ) Μία ζοκάνηεζε f έπεη ηεκ ηδηυηεηα: f ( ) γηα θάζε Να απμδείλεηε υηη ε C f έπεη πιάγηα αζφμπηςηε. *. 5. Έζης ζοκάνηεζε f μνηζμέκε θαη παναγςγηζημε ζημ R γηα ηεκ μπμία ηζπφεη f f e 1 γηα θάζε R f 0 0. θαη Α) κα μειεηήζεηε ηεκ μμκμημκία ηεξ f θαη κα βνείηε ημ πνυζεμμ ηεξ. Β) κα απμδείλεηε υηη ε f είκαη θονηή f f', Δ) κα βνείηε ηεκ πιάγηα αζφμπηςηε ηεξ f. Γ) κα απμδείλεηε υηη 0 ΜΑΘΗΜΑ 4 ο ΣΙΣΛΟ: Κακυκεξ De l Hospital ΘΓΩΡΙΑ: ζει ΑΚΗΓΙ Υ. ΒΙΒΛΙΟΤ: 4a, β, 3β, 4β, 5β, 6β ΜΑΘΗΜΑ 5 ο ΣΙΣΛΟ: Μειέηε θαη πάναλε ηεξ γναθηθήξ πανάζηαζεξ ηεξ ζοκάνηεζεξ ΘΓΩΡΙΑ: ζει. 87 ΑΚΗΓΙ Υ. ΒΙΒΛΙΟΤ: 1a, a, 3a elsamaths06@gmail.com Σελίδα 59

60 ΜΓΛΓΣΗ ΤΝΑΡΣΗΗ 1. Δίκεηαη ε ζοκάνηεζε f ln. Α) κα βνείηε ημ πεδίμ μνηζμμφ ηεξ, κα μειεηήζεηε ηεκ f ςξ πνμξ ηεκ μμκμημκία θαη ηα αθνυηαηα ηεξ. Β) κα μειεηήζεηε ηεκ f ςξ πνμξ ηεκ θονηυηεηα θαη κα βνείηε ηα ζεμεία θαμπήξ ηεξ. Γ) κα βνείηε ημ ζφκμιμ ηημχκ ηεξ. Δ) Να ζπεδηάζεηε ηεκ γναθηθή πανάζηαζε ηεξ ζοκάνηεζεξ f.. Δίκεηαη ε ζοκάνηεζε f 1 ln. 1 Α) κα βνείηε ημ πεδίμ μνηζμμφ θαη ημ ζφκμιμ ηημχκ ηεξ. Β) κα απμδείλεηε υηη ε ελίζςζε f()=0 έπεη αθνηβχξ δομ νίδεξ ζημ πεδίμ μνηζμμφ ηεξ. Γ) ακ ε εθαπημμέκε ηεξ γναθηθήξ πανάζηαζεξ ηεξ g ln ζημ ζεμείμ Α(α,lnα) με α>0 θαη ε εθαπημμέκε ηεξ h()=e ζημ ζεμείμ Β(β,e β ) με β R ηαοηίδμκηαη, ηυηε κα απμδείλεηε υηη μ ανηζμυξ α είκαη νίδα ηεξ ελίζςζεξ f()=0. Δ) κα αηηημιμγήζεηε υηη μη γναθηθέξ παναζηάζεηξ ηςκ παναπάκς ζοκανηήζεςκ έπμοκ αθνηβχξ δομ θμηκέξ εθαπηυμεκεξ. 3. Δίκεηαη ε ζοκάνηεζε f ln, 0 0, 0 Α) κα απμδείλεηε υηη ε f είκαη ζοκεπήξ ζημ 0. Β) κα μειεηήζεηε ςξ πνμξ ηεκ μμκμημκία ηεκ ζοκάνηεζε f θαη κα βνείηε ημ ζφκμιμ ηημχκ ηεξ. a Γ) κα βνείηε ημ πιήζμξ ηςκ δηαθμνεηηθχκ ζεηηθχκ νηδχκ ηεξ ελίζςζεξ e γηα υιεξ ηηξ πναγμαηηθέξ ηημέξ ημο α. Δ) κα απμδείλεηε υηη f ' 1 f 1 f γηα θάζε 0. Γ) Να ζπεδηάζεηε ηεκ γναθηθή πανάζηαζε ηεξ ζοκάνηεζεξ f. elsamaths06@gmail.com Σελίδα 60

61 4. Δίκεηαη ε ζοκάνηεζε f ln, 0. Α) κα απμδείλεηε υηη f 1 γηα θάζε 0. Β) κα βνείηε ηηξ αζφμπηςηεξ ηεξ C f. Γ) Να ζπεδηάζεηε ηεκ γναθηθή πανάζηαζε ηεξ ζοκάνηεζεξ f. ln, 0, 0 Δ) Έζης ε ζοκάνηεζε g f i) κα βνείηε ηεκ ηημή ημο θ χζηε ε g κα είκαη ζοκεπήξ. ii) ακ θ= 1, ηυηε κα απμδείλεηε υηη ε ζοκάνηεζε g έπεη μηα ημοιάπηζημκ νίδα ζημ δηάζηεμα (0,e). 5. Δίκεηαη ε ζοκάνηεζε f ln 1 1 ln, 1 θαη R με 1 Α) κα πνμζδημνίζεηε ηεκ ηημή ημο ι, χζηε κα οπάνπεη ημ υνημ lim f θαη κα είκαη πναγμαηηθυξ ανηζμυξ. Β) Γηα ι=-1 i) κα μειεηήζεηε ςξ πνμξ ηεκ μμκμημκία ηεκ ζοκάνηεζε f θαη κα βνείηε ημ ζφκμιμ ηημχκ ηεξ ii) κα βνείηε ηηξ αζφμπηςηεξ ηεξ γναθηθήξ ηεξ πανάζηαζεξ. iii) κα απμδείλεηε υηη ε ελίζςζε f a 0 έπεη μμκαδηθή ιφζε γηα θάζε πναγμαηηθυ ανηζμυ α,δηαθμνεηηθυ ημο μεδεκυξ. Γ) Να ζπεδηάζεηε ηεκ γναθηθή πανάζηαζε ηεξ ζοκάνηεζεξ f. elsamaths06@gmail.com Σελίδα 61

62 ΜΑΘΗΜΑ 6 ο ΣΙΣΛΟ: Γεκηθέξ αζθήζεηξ ΘΓΩΡΙΑ: υιεξ ηηξ απμδείλεηξ ΑΚΗΓΙ ζει ΜΑΘΗΜΑ 7 ο ΣΙΣΛΟ: Γνςηήζεηξ θαηακυεζεξ ΘΓΩΡΙΑ: υιμοξ ημοξ μνηζμμφξ ΑΚΗΓΙ ζει ΘΓΜΑΣΑ 1. Έζης ζοκάνηεζε f : R R ε μπμία είκαη παναγςγηζημε θαη θονηή ζημ R με f(0)=1 θαη f (0)=0. Α) κα απμδείλεηε υηη f 1 γηα θάζε R. Β) ακ επηπιέμκ ηζπφεη απμδείλεηε υηη f ' f, R ηυηε κα f e, R. f 3 υπμο R μηα ζηαζενά με,. Δίκεηαη ε ζοκάνηεζε 3 Α) κα απμδείλεηε υηη ε f πανμοζηάδεη έκα ημπηθυ μέγηζημ, έκα ημπηθυ ειάπηζημ θαη έκα ζεμείμ θαμπήξ. Β) κα απμδείλεηε υηη ε ελίζςζε f()=0 έπεη αθνηβχξ ηνεηξ πναγμαηηθέξ νίδεξ. Γ) ακ 1, είκαη μη ζέζεηξ ηςκ ημπηθχκ αθνμηαηςκ θαη 3 ε ζέζε ημο ζεμείμο θαμπήξ ηεξ f, κα απμδείλεηε υηη ηα ζεμεία Α( 1,f( 1 )), B(,f( )) θαη Γ( 3,f( 3 )) βνίζθμκηαη ζηεκ εοζεία y. elsamaths06@gmail.com Σελίδα 6

63 f ln 1, R. 3. Δίκεηαη ε ζοκάνηεζε Α) κα μειεηήζεηε ςξ πνμξ ηεκ μμκμημκία ηεκ ζοκάνηεζε f. 3 ln Β) κα ιφζεηε ηεκ ελίζςζε Γ) κα απμδείλεηε υηη ε f έπεη δομ ζεμεία θαμπήξ θαη υηη μη εθαπηυμεκεξ ηεξ C f ζηα ζεμεία θαμπήξ ηεξ ηέμκμκηαη ζε ζεμείμ ημο άλμκα y y. f 1 4. Δίκεηαη ε ζοκάνηεζε Α) κα απμδείλεηε υηη f lim 0. Β) κα βνείηε ηεκ πιάγηα αζφμπηςηε ηεξ C f ζημ. 5. Δίκεηαη ε ζοκάνηεζε f ln 3, 0. Α) κα βνείηε ηηξ αζφμπηςηεξ ηεξ C f. Β) κα απμδείλεηε υηη ε ζοκάνηεζε f είκαη γκεζίςξ θζίκμοζα ζημ δηάζηεμα (0,1] θαη γκεζίςξ αφλμοζα ζημ δηάζηεμα [1,+ ). Γ) κα απμδείλεηε υηη ε ελίζςζε f()=0 έπεη δομ αθνηβχξ ζεηηθέξ νίδεξ. Δ) ακ 1, είκαη μη νίδεξ ημο παναπάκς ενςηήμαημξ με, κα απμδείλεηε υηη 1 οπάνπεη μμκαδηθυξ ανηζμυξ, ηέημημξ χζηε f f 1 ' 0 θαη υηη ε εθαπημμέκε ηεξ C f ζημ ζεμείμ Μ(λ,f(λ)) δηένπεηαη απυ ηεκ ανπή ηςκ αλυκςκ. 6. Έζης ε ζοκεπήξ ζημ 0 ζοκάνηεζε f : R R Να απμδείλεηε υηη f(0)=1. χζηε : f e 1 γηα θάζε R. 7. Δίκεηαη ε ζοκάνηεζε f ( ) ( ) e 3, R. Α) Να βνεζμφκ μη ζοκανηεζεηξ f θαη f elsamaths06@gmail.com Σελίδα 63

64 Β) Να μειεηήζεηε ηεκ f ςξ πνμξ ηεκ θονηυηεηα θαη κα βνεζμφκ ηα ζεμεία θαμπήξ. Γ) Να μειεηήζεηε ηεκ f ςξ πνμξ ηεκ μμκμημκία θαη ηα ημπηθά αθνυηαηα. Δ) Να βνείηε ημ ζφκμιμ ηημχκ ηεξ f Γ) Να ιφζεηε ηεκ ελίζςζε f( ) 0 θαη κα πνμζδημνίζεηε ημ πνυζεμμ ηεξ f Σ) Να βνείηε ηηξ αζφμπηςηεξ ηεξ C f 8. Έζης μη ζοκανηήζεηξ f, g : f : R R με ηφπμοξ f ( ) g( ). e θαη Α) Να δείλεηε υηη ε εθαπημμέκε ηεξ f( ) ζημ A(0,1) εθάπηεηαη θαη ηεξ g ( ) a Β) Να δεηπζεί υηη οπάνπεη αθνηβχξ έκα a( 1,0) ηέημημ χζηε e a1 0 Γ) Έζης h( ) f ( ) g( ), κα δείλεηε υηη : i. h( ) a a 1 γηα θάζε R. ii. Η ελίζςζε h ( ) 01 έπεη αθνηβχξ δομ ιφζεηξ Έζης ζοκάνηεζε f με f ( ). ln 5 Α) Να δεηπζεί υηη ε f πανμοζηάδεη θαμπή ζημ 0 0. Β) Nα βνεζεί ε εθαπημμέκε ζημ Δίκεηαη ε ζοκάνηεζε f ( ) ln 1. Α) Να βνείηε ημ πεδίμ μνηζμμφ ηεξ f θαη κα δείλεηε υηη είκαη γκεζίςξ αφλμοζα ζ' αοηυ. Β) Να βνείηε ηα δηαζηήμαηα ζηα μπμία ε C f είκαη θονηή ή θμίιε θαζχξ θαη ηα εκδεπυμεκα ζεμεία θαμπήξ. Γ) Να βνείηε ημ υνημ f( ) lim ln Δ) Να ιφζεηε ηεκ ελίζςζε f ( ) f 3. elsamaths06@gmail.com Σελίδα 64

65 11. Έζης ε παναγςγίζημε ζοκάνηεζε f f e f γηα θάζε 0, : 0, R, γηα ηεκ μπμία ηζπφεη ε ζπέζε: Α) Να εθθνάζεηε ηεκ f ζοκανηήζεη μυκμ ημο f γηα θάζε 0, Β) Να απμδείλεηε υηη ε f είκαη γκεζίςξ μμκυημκε Γ) Να μειεηήζεηε ηεκ f ςξ πνμξ ηα θμίια Δ) Να βνείηε ημκ ηφπμ ηεξ ακηίζηνμθεξ ζοκάνηεζεξ f 1 1. Δίκεηαη ε ζοκάνηεζε f ζοκεπήξ ζημ δηάζηεμα [, ], παναγςγίζημε δφμ θμνέξ ζημ δηάζηεμα (, ), γηα ηεκ μπμία επίζεξ γκςνίδμομε υηη f (0) 3 θαη f ( ) f ( ) f ( ) γηα θάζε [,]. Να απμδείλεηε υηη : Α)H f δεκ έπεη ζεμεία θαμπήξ. Β) f ( ) f ( ) 3 0 Γ) H ζοκάνηεζε g( ) f ( ) 1 δηαηενεί ζηαζενυ πνυζεμμ ζημ (,). Δ) H f είκαη θμίιε Γ) f ( ) 1 4, [,] 13. Δίκεηαη ε παναγςγηζημε ζοκάνηεζε f:r R γηα ηεκ μπμία ηζπφεη : f ( ) f ( ) e 1γηα θάζε R. Α) Να απμδείλεηε υηη e ( 1) γηα θάζε R. Β) Να απμδείλεηε υηη f( ) γηα θάζε R θαη lim f( ) Γ) Να απμδείλεηε υηη f ( ) ln(1 ) γηα θάζε 0 θαη lim f( ) Δ) Να απμδείλεηε υηη ε f( ) είκαη γκεζίςξ αφλμοζα θαη ζηνέθεη ηα θμίια θάης. Γ) Να βνείηε ημ ζφκμιμ ηημχκ ηεξ Σ) Να δείλεηε υηη ε f( ) ακηηζηνέθεηαη θαη βνείηε ηεκ f 1 ( ) elsamaths06@gmail.com Σελίδα 65

66 14. Δίκεηαη ε παναγςγίζημε ζοκάνηεζε f : (0, ) R γηα ηεκ μπμία ηζπφμοκ f( ) f (1) 1 θαη f( ) γηα θάζε 0. Α) Να δείλεηε υηη f ( ) γηα θάζε 0. Β) Έκα ζεμείμ M θηκείηαη ζηε C f θαη έζης A ε πνμβμιή ημο M ζημκ άλμκα. Σμ ζεμείμ A απμμαθνφκεηαη απυ ηεκ ανπή ηςκ αλυκςκ O (0,0), με νοζμυ Σε πνμκηθή ζηηγμή t 0 πμο ε ηεημεμέκε ημο M είκαη 3, κα βνείηε ημκ νοζμυ μεηαβμιήξ: i. ηςκ απμζηάζεςκ AM θαη OM ii. ηεξ γςκία MOA o. sec iii. ηεξ απυζηαζεξob, υπμο B ημ ζεμείμ ημμήξ ηεξ εθαπημμέκεξ ηεξ με ημκ άλμκα C f ζημ M ΓΓΝΙΚΓ ΑΚΗΓΙ 1. Δίκεηαη ε ζοκάνηεζε f : R R δομ θμνέξ παναγςγηζημε ζημ R με f (0)=f(0)=0, ε μπμία ηθακμπμηεί ηεκ ζπέζε : ' 1 ' '' e f f f f γηα θάζε R. f ln e, R. Α) κα απμδείλεηε υηη Β) κα μειεηήζεηε ηεκ f ςξ πνμξ ηεκ μμκμημκία ηεξ θαη ηα αθνυηαηα ηεξ. Γ) κα απμδείλεηε υηη ε f έπεη αθνηβχξ δομ ζεμεία θαμπήξ. Δ) κα απμδείλεηε υηη ε ελίζςζε f()=ζοκ έπεη αθνηβχξ μηα ιφζε ζημ δηάζηεμα 0,.. Δίκεηαη ε ζοκάνηεζε f : R R ε μπμία είκαη ηνεηξ θμνέξ παναγςγηζημε θαη ηέημηα χζηε f f 0 lim 1 0 f ' 0 f 1 f 0 f '' 0 γηα θάζε R elsamaths06@gmail.com Σελίδα 66

67 Α) κα βνείηε ηεκ ελίζςζε ηεξ εθαπημμέκεξ ηεξ γναθηθήξ πανάζηαζεξ ηεξ f ζημ ζεμείμ ηεξ με ηεημεμέκε o =0. Β) κα απμδείλεηε υηη ε f είκαη θονηή ζημ R. Γ) ακ επηπιέμκ g f, R ηυηε κα απμδείλεηε υηη ε ζοκάνηεζε g πανμοζηάδεη μιηθυ ειάπηζημ θαη κα οπμιμγίζεηε ημ υνημ lim 0 g Δίκεηαη ε ζοκάνηεζε f : [1, ) R με ηφπμ f ln 1. Α) κα απμδείλεηε υηη ε f ακηηζηνέθεηαη. Β) κα απμδείλεηε υηη f 0 γηα θάζε [1, ). Γ) κα απμδείλεηε υηη γηα θάζε α,β με 0 a ηζπφεη υηη :ln. 4. Δίκεηαη ε ζοκάνηεζε f t t t e 1 t, t 0. e 1 Α) κα απμδείλεηε υηη f t 0 γηα θάζε t 0. Β) κα απμδείλεηε υηη γηα μπμημοζδήπμηε πναγμαηηθμφξ ανηζμμφξ α,β με ηζπφεη : a a e e e e Δίκεηαη ε ζοκάνηεζε f : [0, ) R με f e e Α) κα μειεηήζεηε ςξ πνμξ ηεκ μμκμημκία θαη ηα αθνυηαηα ηεκ ζοκάνηεζε f. 3 ln 1 Β) κα απμδείλεηε υηη ln 3 γηα θάζε 1. elsamaths06@gmail.com Σελίδα 67