ОБЛАСТ АТРАКЦИЈЕ РАЗНИХ ПОСТУПАКА

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ОБЛАСТ АТРАКЦИЈЕ РАЗНИХ ПОСТУПАКА"

Transcript

1 УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И ИНФОРМАТИКУ Оља Скакавац ОБЛАСТ АТРАКЦИЈЕ РАЗНИХ ПОСТУПАКА мастер рад Нови Сад, 014.

2 Садржај Предговор 4 1. Уводни део Ознаке Дефиниције Теореме Неки познати поступци 1.1 Халејев поступак Супер Халејев поступак Модификован супер Халејев поступак Кингова фамилија поступака Jarratt-ова фамилија поступака Први случај Други случај Трећи случај Четврти случај Нова фамилија поступака Jarratt-овог типа Експерименти Халејеви поступци Халејев поступак Супер Халејев поступак Модификовани супер Халејев поступак... 1

3 4. Jarratt-ов поступак Први случај Други случај Трећи случај Четврти случај Случајеви од Кингов поступак Нова фамилија Jarratt-овог типа Закључак 5 6. Биографија 6 7. Литература 7 3

4 Предговор Поступци за решавање нелинеарне једначине f x 0 са једном непознатом често се класификују по реду конвергенције, по броју израчунавања вредности функције и њених извода и по индексу ефикасности. У овом мастер раду посматрамо као критеријум за упоређивање поступака област атракције и њену зависност од реда конвергенције. Упоређујемо више поступака реда конвергенције 3 и 4 за израчунавање приближних решења једноструких нула и њихове области атракције. Посебно се упоређују области атракције за поступке истог реда конвергенције и за поступке различитог реда конвергенције. Мастер рад је подељен у четири дела. У уводном делу дајемо ознаке, дефиниције и теореме које ћемо користити у даљем раду. Други део садржи дефиниције Халејевог поступка, супер Халејевог оптималног поступка, модификованог супер Халејевог оптималног поступка, Кингове фамилије поступака и Jarratt-oвог поступка, теореме о конвергенцији и реду конвергенције. У трећем делу посматрамо једну нову двопараметарску фамилију поступака Jarratt-oвог типа. Оригинални део мастер рада представља доказ конвергенције четвртог реда за поменуту двопараметарску фамилију поступака Jarratt-oвог типа, анализа утицаја параметара и поређење области атракције за посматране поступке. У последњем делу рада приказаћемо нумеричке експерименте урађене у програмском пакету Mathematica. Нови Сад, октобар 014. Оља Скакавац 4

5 1. Уводни део 1.1 Ознаке скуп комплексних бројева D a, b D xd f x 0 f D xd f x 0 f D x D x, D, 0 k C, k x, x, a b - скуп k пута непрекидно диференцијабилних функција x низ бројева 0 1 f ( x) u x f ( x) f x f x t x f x x x f x u x f 3 f x u x 3 x 1 f x f x 1 x f x u x f x 3 решење једначине f x 0, односно са њом еквивалентне једначине x x j f C!, j j f j,3, j f x A!, j x j f x j 1,,3, 5

6 p p 1 једначина грешке ek 1 Cek e k где је lim x k, e x, k k k p је ред итеративног поступка, C асимптотска константа грешке e, k 1,, апроксимације асимптотске константе грешке e k 1 p k 1. Дефиниције Скоро све дефиниције, ако није посебно наведено, су из [8]. Дефиниција 1. Једначина непокретне тачке је једначина облика x = φ(x). Дефиниција. Број α је непокретна тачка функције φ ако је α = φ(α). Нека је x произвољан број из интервала [a, b]. Формирамо низ бројева x, x, x, према x = φ(x ), k = 0,1,, Овај низ је могуће формирати само ако φ(x ) [a, b], k = 0,1,, због дефинисаности функције φ на интервалу [a, b]. Очигледно, ако функција φ пресликава интервал [a, b] у самог себе, важи φ(x ) [a, b], k = 0,1,,. Ако је низ x, x, x, добро дефинисан и има граничну вредност, тј. за неко a, b важи 6 lim x = α, онда је α решење једначине φ(x) = x, ако је функција φ непрекидна на интервалу a, b. Наиме, из φ(x) [a, b], за свако x [a, b] следи, због затворености интервала [a, b], да тачка α [a, b], а због непрекидности функције φ следи α = lim x = lim φ(x ) = φ lim x = φ(α). Дакле, ако низ x, x, x, конвергира ка α, тада је његова гранична вредност, α, решење једначине φ(x) = x, а чланови тог низа апроксимирају то решење.

7 Овај поступак, у коме рачунамо вредности x, x, x, према x = φ(x ), је пример итеративног поступка (поступак сукцесивних апроксимација), где је x = φ(x ) итеративно правило, функција φ функција корака, а низ x, x, x, je итеративни низ. Први члан тог низа x je почетна апроксимација (стартна вредност). Када итеративни низ конвергира за произвољну почетну вредност из неког скупа, кажемо да итеративни поступак конвергира. Итеративне поступке можемо поделити у две групе на основу података који они користе у једном итеративном кораку. Тако разликујемо итеративне поступке са и без меморије, [14]. Дефиниција 3. Ако се нова апроксимација x израчунава само помоћу x, тј. ако је x = φ(x ), онда је посматрани поступак без меморије. Њутнов поступак је најпознатији итеративни поступак без меморије. Код овог поступка је x x f x x f (1) Дефиниција 4. Нека је дат конвергентан низ x0, x1, чија је гранична p 1, ред коврегенције тог низа ако је вредност. Кажемо да је x 1 lim k k p xk 1 C, а C је константа различита од нуле. Ако је p 1, онда додатно претпоставњамо да је C 1. Такође, каже се да је ред конвергенције низа x0, x1, најмање p ако дозволимо да константа C може бити једнака нули. Еквивалентни запис претходне дефиниције је следећи. Дефиниција 5. Конвергентан низ x0, x1, чија је гранична вредност, има ред конвергенције p1, природан број n 0 такав да је ако постоје константа C различита од нуле и x k 1 C x k, k n0. p Ако је p 1, онда додатно претпоставимо да је C 1. Познато је да конвергенција поступака за нумеричко решавање једначина зависи, понекад и много, од почетне апроксимације. Да бисмо сагледали прецизније ову зависност, дефинисаћемо област ( базен) атракције. Можемо рећи 7

8 да је област атракције за дату функцију и дати поступак скуп свих почетних вредности за које поступак конвергира свакој нули функције. Функција sin f x x x () има две реалне нуле 1 0 и Скуп свих почетних вредности x 0 за које Њутнов поступак примењен на једначину f x 0 конвергира ка 1 је област атракције за 1. Исто тако, скуп свих почетних вредности x 0 за које Њутнов поступак примењен на једначину f x 0 конвергира ка је област атракције за. Посматрали смо само реалне нуле функције f. Слично поступамо и ако је функција комплексне променљиве. Дефиниција 6. [] Нека је дата функција f дефинисана у комплексној равни и нека су њене нуле 1,,, k, и нека је конвергентни поступак дефинисан са x n1 g x (3) n Област атракције за нулу B k је дефинисан са f, g ( k ) C поступак x n 1 g( x n ) са x0 конвергира ка k (4) Очигледно ако смо довољно близу неке нуле, тада би требало да смо у области атракције за ту нулу. Али то није увек тако, јер итеративни поступак може да скочи са једне тачке и да не конвергира тој нули или уопште да не конвергира, иако је у веома блиској тачки конвергирао посматраној нули. На следећој слици то илуструјемо на примеру функције () и Њутновог поступка. На интервалу,1 посматрамо сваку од 3000 тачака као почетну вредност x 0 и постављамо вертикалне линије у боји према следећој шеми: ако итеративни поступак конвергира са x 0 нули 1 0 линија је светло плава ако итеративни поступак конвергира са x 0 нули линија је зелена ако итеративни поступак не конвергира са x 0 ни ка 1 ни ка онда је линија црвена. 8

9 Слика 1. Област атракције за функцију (), [] Очигледно око сваке нуле имамо широку пругу исте боје. У транзиционим тачкама узане пруге различитих боја се мешају. Значи, ту имамо фракталну структуру. Када се посматрају и комплексне нуле функције добијају се интересантне слике области конвергенције. На примеру функције из [] 4 f x x 1 (5) чије су нуле 1, 1, i, i посматрамо области конвергенције у делу комплексне равни дефинисаном са Одговарајуће боје су 1 црвена i зелена 1 жута i плава R z z x iy, 1.5 x 1.5, 1.5 y 1.5 (6) 9

10 Слика. Област атракције за Њутнов поступак примењен на функцију (5) Видимо да режњеви који се јављају дуж дијагоналних линија које раздвајају област атракције садрже све четири боје. Веће подобласти увек садрже и друге две нуле, тј. дуж дијагонале која раздваја 1 од i (црвену од зелене) веће подобласти су плава и жута. Приметимо да режњеви као и подобласти имају фракталне ивице и да се смањују дуж дијагонала. Посматрали смо област атракције Њутновог поступка. Питање које се појављује јесте да ли су исте или сличне области атракције и код других поступака. Посматраћемо Халејев, супер Халејев, модификовани супер Халејев Jarratt-oв поступак да бисмо упоредили област атракције за исту функцију и у истој области комплексне равни. 1.3 Теореме Скоро све теореме, ако није посебно наведено, су из [8]. Итеративни поступак се може користити и код решавања једначина облика f(x) = 0. Ако тражимо нуле функције f на интервалу [a, b] потребно је одредити функцију φ тако да су једначине x = φ(x) и f(x) = 0 еквивалентне на интервалу [a, b]. Услов еквивалентности ових једначина нам даје следећа теорема. да је Теорема 1. Нека је функција g ограничена на интервалу [a, b] и нека је g(x) 0 за x [a, b]. Тада су једначине f(x) = 0 и x = φ(x) са φ(x) = x g(x)f(x) еквивалентне на интервалу [a, b]. Под претпоставком да је итеративни поступак x x конвергентан, n1 n lim x n и да је функција довољан број пута непрекидно n диференцијабилна, важи следећа теорема, [1] 10

11 Теорема. [1] Ред конвергенције једнокорачног поступка x n, n 1 x, 0,1, n је позитиван цео број. Овај поступак има ред конвергенције p ако и само ако је, j 0, j 1,,, p 1, p 0. 11

12 . Неки познати поступци.1 Халејев поступак Халејев поступак се први пут појавио у [10]. Овај поступак се често појављује и као специјалан случај других поступака, [7], [9], [1]. Постоје и бројне модификације овог поступка, а најпознатије су супер Халејев поступак и модификовани супер Халејев поступак. Ред Халејевог поступка је p 3. У раду [7] приказана је фамилија поступака трећег реда ковергенције за решавање нелинеарних једначина. Показано је да овој фамилији припадају неки већ познати поступци: Халејев поступак и поступак из рада [16] и супер Халејев поступак из рада[15]. Халејев поступак може се записати и на следећи начин xn n n f x f x f x f x f x n 1 xn, x n 1 x n n f n xn f x t x n n, где је t x. f x f x f x Под претпоставкама које су сличне оним које постављамо за Њутнов поступак, у раду [7] дат је доказ глобалне монотоне конвергенције трећег реда за једну фамилију поступака. Фамилија поступака се дефинише на следећи начин. Нека је x n1 Fk x, n 0,1,, n 1

13 где су функције F облика k x f Fk x x k t x f x, k 1,, сa t x f x f x f x и функцијама k дефинисаним са s s 0 1, k s, k 1,,. k 1 s Функције k се лако рачунају. Наводимо првих осам k s, k 1,,,8: s 4 4s 4 6s s (4 8s 3 s ),,,, s (1 s) 4 6s s 4 8s 3s 8 0s 1s s t 1 t t 8( 6 5 ) , s s s, s s s s 4( 6t 5 t t ) 16 56s 60s 0s s 16 64s 84s 40s 5s Лако се види да су Њутнова и Халејева итеративна функција специјални случајеви са F 0 и F 1 респективно. Њутнов поступак не припада овој фамилији поступака трећег реда, али се може посматрати као гранични случај када s 0. Теорема 3. [7] Претпоставимо да f C 3 a, b, f a 0 f b и f x 0, f x 0, f x 0, за x a, b. Тада за свако x0 a, b такво да је f x0 0 итеративни поступак x n1 Fk xn конвергира монотоно ка решењу једначине f x 0. Ако је још Онда важи f a f b (7) x x x (8) n1 n1 n за свако n 0,1,, и све k 1,,. 13

14 . Супер Халејев поступак Супер Халејев поступак је дефинисан у [15] и његов ред конвергенције је p 3. Овај поступак је облика x n1 F xn, n 0,1,, где је F x x u x t x 1 t x (9).3 Модификован супер Халејев поступак Модификован супер Халејев поступак је дат у [1] и његов ред је p 4. У раду [3] је доказано да је овај поступак исти као раније публиковани Jarratt-ов поступак, [19]. И овај поступак је облика x n1 F xn, n 0,1,, где је x 1 F x x u x 1 1 x x (10).4 Кингова фамилија поступака Кингов поступак је једнопараметарски и дат је у [0]. Његов ред је p 4 и има облик x F x, n 0,1, n1 n, где је x F x x u x 1 4 ( ) x x (11).5 Jarratt-ова фамилија поступака где је Jarratt-oв поступак из [18] је реда 4 p. Облика је x F x n,, 0,1, n1 n F x x u x a 1 1 a f x f x f x u x b f x b f x u x После смене f x u x 3 1 f 3 x x добијамо F x x u x J x (1) 14

15 где је J 3a b (3 ) b a 1 (13) Као што је показано у [18] параметри (13) су 39 8a 9 10a a 64a a b b 1, 1, a 3 4a 3 4a (14) Видимо да један параметар, a, остаје слободан. За различите изборе тог параметра добијамо поступке реда конвергенције 4. Приказаћемо оне поступке који се посебно посматрају и у [18]..5.1 Први случај 1 a 0 a1, b1 1, b 3 J (1 ) (15).5. Други случај 9 a a1 0, b1 5, b J 6 5 (16) Трећи случај a a1 1, b1, b 3 3 J (17).5.4 Четврти случај a a1, b1, b J (18) 15

16 3. Нова фамилија поступака Jarratt-овог типа Двопараметарска фамилија је облика x F x где су функције k, n 0,1, n1 n (1 ) m, где је F x x u x x x (19) i елементи скупа z 8 4 z( ) 1 z 8 4 z z ( ) 4 z(4 ) 8,,,, 8 4 z z (4 ) (0) а и су параметри које ћемо одредити тако да ред конвергенције поступка буде 4. Конвергенцију посматраних поступака ћемо доказати користећи се следећом теоремом, која је последица теореме. Теорема 4. Нека је I околина једноструког корена α јеначине f(x) = 0. Претпоставимо да функција f има непрекидне изводе све до четвртог реда на I. Онда je rед конвергенције поступка x = F(x ), n = 0,1, четири ако је α = F(α), F () = 0, j = 1,,3, F () 0. Асимптотска константа грешке је F () /4!. Интересују нас само комбинације које имају оба параметра и. То су следеће три групе комбинација за које (19) даје четврти ред конвергенције k, m 3,, k, m 4,, k, m 5, k, m 3,1, k, m 4,1, k, m 5,1 Одговарајући изводи су респективно 16

17 F W1 c 6 F W 1 1 c 6 На основу претходне теореме добијамо везу параметара која гарантује F добијамо везу параметара и. четврти ред конвергенције. Из услова 0 На следећим сликама приказујемо ту везу. Слика 3. 0 Слика Одговарајуће асимптотске константе грешке су a) За 0 3 c4 (1 ) c cc3, 9 k 3, m 4 3 c4 5 c cc3, 9 k 4, m 3 c4 5 c cc3, 9 k 5, m b) За c4 c cc3, 9 k 3, m c4 c cc3, 9 k 4, m 1 3 c4 (4 ) c cc3, 9 k 5, m 1 17

18 4. Експерименти У овом делу прво посматрамо поступак (19) за k 3, m 1 и ( 1 ) 1,. Приказаћемо нумеричке вредности за једначину чије је решење / 6. 1 sin x 0 Сва рачунања су урађена у програмском пакету Mathematica 8. Прецизност је повећана на 0000 цифара са SetPrecision функцијом. Користили смо следећи излазни критеријум: x α < ε i f(x ) < ε где је α тачно решење посматране једначине и конвергенције ord је рачунат према Нумерички ред ord = ln ( x α / x α ), k = 1,, ln ( x α / x α ) и представља апроксимацију реда конвергенције p, а апроксимације C асимптотске константе грешке C рачунате су према Код свих поступака Ck 4. C = x α, k = 1,, x α Резултати решавања посматране једначине дати су у следећој табели. 18

19 1 sin x 0, 6 k x k xk ord k. Ck (-8) (-3) (-17) (-507) (-06) Табела 1. Сличне резултате добијамо и за друге вредности параметара и друге комбинације функција,. k m У другом делу ове главе приказаћемо резултате наших експеримената са описаним поступцима. Сва рачунања су урађена у Mathematica-и 8 помоћу програма датог Help-у Mathematica-е. Одређена прилагођавања програма за бржи рад урадио је проф. др Ђорђе Херцег. Приказаћемо слике са областима атракције, а у закључку ћемо дати коментаре тих слика. Сви примери су посматрани са 5 итерација као максималним бројем итерација. Тиме смо утицали и на интензитет боја, за све примере једнако. функције су Посматрали смо једначину 3 3 z 1 0, тј. функцију f z z 1. Нуле ове i i 1 1 1, 1 3, 1 3 (1) Области атракције ћемо посматрати за Халејев поступак, супер Халејев поступак, модификовани супер Халејев поступак, Кингове и Jarratt-ове поступке. 19

20 Слика 5. Нуле функције 3 f z z 1 Слика 6. Области атракције и нуле 3 функције f z z Халејеви поступци Халејев поступак Слика 7. Област атракције Халејевог поступка 0

21 4.1. Супер Халејев поступак Слика 8. Област атракције супер Халејевог поступка Модификовани супер Халејев поступак Слика 9. Области атракције модификованогсупер Халејевог поступка Слика 10. Области атракције Халејевих поступака 1

22 4. Jarratt-ов поступак 4..1 Први случај Слика 11. Jarratt-ов поступак за a Други случај 9 Слика 1. Jarratt-ов поступак за a 10

23 4..3 Трећи случај 3 Слика 13. Jarratt-ов поступак за a 4..4 Четврти случај 7 Слика 14. Jarratt-ов поступак за a Случајеви од 1-4 a a a a 10 Слика 15. Jarratt-ови поступци 7 5 3

24 4.3 Кингов поступак Слика Слика Слика Слика Слика 0. 3 Слика Нова фамилија Jarratt-овог типа k 4, m 4, 0, 1 k 5, m 1, 0, 1 k 5, m 1, 4 Слика. 4

25 5. Закључак У овом мастер раду посматрамо као критеријум за упоређивање поступака област атракције и њену зависност од реда конвергенције. Упоређујемо више поступака реда конвергенције 3 и 4 за израчунавање приближних решења једноструких нула и њихове области атракције. Посебно се упоређују области атракције за поступке истог реда конвергенције и за поступке различитог реда конвергенције. Разматра се и могућност упоређивања различитих поступака на основу области атракције. Њутнов поступак је реда конвергенције 3, Халејев и супер Халејев су такође реда 3, а остали посматрани поступци су реда конвергенције 4. Када посматрамо њихове области атракције руководимо се идеалном ситуацијом. Наиме, у идеалном случају области атракције би требало да су раздвојене правим линијама. Ниједан поступак нема ту карактеристику. У посматраним случајевима томе је најближи Халејев поступак, какоје наглашено и у [], [17], [4]. Поступци са параметрима би требало да пруже шансу да се погодним избором параметара добију лепше раздвојене области атракције. Међутим, то није увек случај, како показују и наше слике за Кингов и Jarratt-ов поступак, као и за нову фамилију Jarratt-овог типа. Слична запажања за Кингов и Jarratt-ов поступак налазимо и у [17], [4]. Ипак, како слика показује, има смисла варирати комбинације функција у поступку (19) и у избору параметара. Тамнија боја означава велики број итерација у односу на предвиђени максимални број итерација. Црна боја значи да са максимално предвиђеним бројем итерација нисмо добили апроксимације са жељеном прецизношћу. У том погледу видимо да параметри доприносе побољшању слике области атракције. 5

26 6. Биографија Рођена сам године у Новом Саду. Основну школу,, Јован Поповић завршила сам 001.године у Новом Саду, као носилац дипломе Вук Караџић. Гимназију,,Исидора Секулић у Новом Саду, друштвенојезички смер, завршила сам 005.године као носилац дипломе Вук Караџић. Исте године уписала сам Природно-математички факутет у Новом Саду, смер дипломирани математичарпрофесор математике а завршила 010.године. Током студија била сам стипендиста Министарства просвете Републике Србије и добитник факултетске и универзитетске награде. Као студент завршне године факултета, била сам међу 1000 најбољих студената и самим тим стипендиста Фонда за младе таленте Министарства омладине и спорта Републике Србије. Уписала сам мастер академске студије математике, модул настава математике. Текуће године положила сам све испите предвиђене наставним планом и програмом и стекла право за одбрану мастер рада. Запослена сам у Гимназију,,Исидора Секулић у Новом Саду, где предајем математику ученицима природно-математичког и друштвено језичког смера већ четири године. Нови Сад, октобар 014. Оља Скакавац 6

27 7. Литература [1] A. Ralston, A., A First Course in Numerical Analysis, Tokyo [etc.]: McGraw- Hill Kogakusha, Ltd., [] A.M. Ostrowski, Solution of Equations and Systems of Equations, Academic Press Inc., [3] B. Neta, C. Chun, M. Scott, A note on the modified super-halley method, Applied Mathematics and Computation 18 (01) [4] B. Neta, M. Scott, C. Chun, Basins of attraction for several methods to finnd simple roots of nonlinear equations, Appl. Math. Comput. 18 (01) [5] C. Chun, M.Y. Lee, B. Neta, J. Džunić, On optimal fourth-order iterative methods free from second derivative and their dynamics, Applied Mathematics and Computation 18 (01) [6] D. Herceg, Đ. Herceg, Means based modifications of Newton s method for solving nonlinear equations, Appl. Math. Comput., 19,11,(013), [7] Đ. Herceg, D. Herceg, On a third order family of methods for solving nonlinear equations, International Journal of Computer Mathematics, 010, 1-9. [8] D. Herceg, N. Krejić, Numerička analiza, Univerzitet u Novom Sadu, Stylos, Novi Sad, [9] E. Habsen, E., Patrick, M., A family of root finding methods, Numer. Math. 7(1977), [10] E. Halley, E., A new and general method of finding the roots of equations, Philos. Trans. Roy. Soc. London 18 (1694), [11] H.T. Kung, J.F. Traub, Optimal order of one-point and multipoint iteration, J. Assoc. Comput. Mach. 1 (1974) [1] J. Kou, Y. Li, A family of modified super-halley methods with fourth-order convergence, Applied Mathematics and Computation 189 (007) [13] J. Kou, Y. Li, X. Wang, A variant of super-halley method with accelerated fourth-order convergence, Applied Mathematics and Computation 188 (007), [14] J.F. Traub, Iterative Methods for the Solution of Equations, Prentice Hall, Clifford, NJ, [15] J.M. Gutierrez, M. A. Hernandez, An acceleration of Newton s method: super- Halley method, Applied Mathematics and Computation 117(001) [16] M. Basto, V. Semiao, F.L. Calheiros, A new iterative method to compute nonlinear equations, Applied Mathematics and Computation 173(006),

28 [17] M. Scott, B. Neta, C. Chun, Basin attractors for various methods, Appl. Math. Comput. 18 (011) [18] P. Jarratt, Some efficient fourth order multipoint methods for solving equations, BIT 9 (1969) [19] P. Jarratt, Some Fourth Order Multipoint Iterative Methods for Solving Equations, Mathematics of Computation, Vol. 0, No. 95 (1966), [0] R.F. King, A family of fourth-order methods for nonlinear equations, SIAM Numer. Anal. 10 (1973) [1] W. Gander, On Halley s iteration method, Amer. Math. Monthly 9(1985) [] J. F. Epperson, An Introduction to Numerical Methods and Analysis, John Wiley & Sons Inc, New York, 013. Supplementary material for An Introduction to Numerical Methods and Analysis, (Second Edition), by James F. Epperson 8

29 УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И ИНФОРМАТИКУ КЉУЧНА ДОКУМЕНТАЦИЈСКА ИНФОРМАЦИЈА Редни број: РБР Идентификациони број: ИБР Тип докумнтације: Монографска документација ТД Тип записа: Текстуални штампани материјал ТЗ Врста рада: Мастер рад ВР Аутор: Оља Скакавац АУ Ментор: др Драгослав Херцег МН Наслов рада: Област атракције разних поступака НР Језик публикације: српски (ћирилица) ЈП Језик извода: српски и енглески ЈИ Земља пуибликовања: Србија ЗП Уже географско подручје: Војводина УГП Година: 014. ГО Издавач: Ауторски репринт ИЗ Место и адреса: Нови Сад, Трг Доситеја Обрадовића 3. МА Физички опис рада: (4 поглавља/ 3 стране /1 табела / литературе ) ФО Научна област: Математика НО Научна дисциплина: Нумеричка анализа НД Кључне речи: итеративни поступак, област атракције КР Чува се: У библиотеци Департмана за математику и информатику ЧУ Важна напомена: нема ВН Извод: У мастер раду посматрамо као критеријум за упоређивање поступака област атракције и њену зависност од реда конвергенције. Упоређујемо више поступака реда конвергенције 3 и 4 за израчунавање приближних решења једноструких нула и 9

30 њихове области атракције. Посебно се упоређују области атракције за поступке истог реда конвергенције и за поступке различитог реда конвергенције. ИЗ Датум прихватања теме од стране НН већа: ДП Датум одбране: ДО Чланови комисије: КО Председник: др Хелена Зарин, редовни професор Природноматематичког факултета у Новом Саду Члан: др Ђорђе Херцег, редовни професор Природно-математичког факултета у Новом Саду Ментор: др Драгослав Херцег, редовни професор Природноматематичког факултета у Новом Саду 30

31 UNIVERSITY OF NOVI SAD FACULTY OF SCIENCE DEPARTMENT OF MATHEMATICS AND INFORMATICS KEY WORDS DOCUMENTATION Serial number: SNO Identification umber: INO Document type: Monograph type DT Type of record: Printed text TR Contents Code: Master s theses CC Author: Olja Skakavac AU Mentor: dr Dragoslav Herceg MN Title: Basin attractors for various methods TI Language of text: Serbian (Cyrillic) LT Language of abstract: s/en LA Country of publication: Serbia CP Locality of publication: Vojvodina LP Publication year: 014. PY Publisher: Author's reprint PU Publ. place: Novi Sad, Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science Trg Dositeja Obradovića 3. PP Physical description: (4 chapters, 3 pages, 1 chaptrs, references) PD Scientific field: Mathematics SF Scientific discipline: Numerical analysis SD Key words: iterative method, basin attractors UC Holding data: Library of Department of Mathematics and Informatics HD Note: Abstract: In the master work we consider area attractions and its dependence on the order of convergence as a criterion for comparison procedures. We compare several methods convergence order 3 and 4 for calculating approximate solutions of single zero and their area attractions. Especially 31

32 comparing the areas attractions for the actions of the same order of convergence and convergence among different methods. AB Accepted by the Scientific Board on: ASB Defended: President: Member: Member: dr Helena Zarin, Full Proffessor, Faculty of Science, University of Novi Sad dr Đorđe Herceg, Full Proffessor, Faculty of Science, University of Novi Sad dr Dragoslav Herceg, Full Proffessor, Faculty of Science, University of Novi Sad 3

ЊУТНОВ ПОСТУПАК И ЊЕГОВЕ МОДИФИКАЦИЈЕ ТРЕЋЕГ РЕДА КОНВЕРГЕНЦИЈЕ

ЊУТНОВ ПОСТУПАК И ЊЕГОВЕ МОДИФИКАЦИЈЕ ТРЕЋЕГ РЕДА КОНВЕРГЕНЦИЈЕ УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И ИНФОРМАТИКУ Дара Бошковић ЊУТНОВ ПОСТУПАК И ЊЕГОВЕ МОДИФИКАЦИЈЕ ТРЕЋЕГ РЕДА КОНВЕРГЕНЦИЈЕ мастер рад Нови Сад, Садржај Предговор

Διαβάστε περισσότερα

2. Наставни колоквијум Задаци за вежбање ОЈЛЕРОВА МЕТОДА

2. Наставни колоквијум Задаци за вежбање ОЈЛЕРОВА МЕТОДА . колоквијум. Наставни колоквијум Задаци за вежбање У свим задацима се приликом рачунања добија само по једна вредност. Одступање појединачне вредности од тачне вредности је апсолутна грешка. Вредност

Διαβάστε περισσότερα

Једна фамилија оптималних поступака четвртог реда за решавање нелинеарних једначина

Једна фамилија оптималних поступака четвртог реда за решавање нелинеарних једначина УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И ИНФОРМАТИКУ Катарина Лолић Једна фамилија оптималних поступака четвртог реда за решавање нелинеарних једначина мастер рад

Διαβάστε περισσότερα

1.2. Сличност троуглова

1.2. Сличност троуглова математик за VIII разред основне школе.2. Сличност троуглова Учили смо и дефиницију подударности два троугла, као и четири правила (теореме) о подударности троуглова. На сличан начин наводимо (без доказа)

Διαβάστε περισσότερα

налазе се у диелектрику, релативне диелектричне константе ε r = 2, на међусобном растојању 2 a ( a =1cm

налазе се у диелектрику, релативне диелектричне константе ε r = 2, на међусобном растојању 2 a ( a =1cm 1 Два тачкаста наелектрисања 1 400 p и 100p налазе се у диелектрику релативне диелектричне константе ε на међусобном растојању ( 1cm ) као на слици 1 Одредити силу на наелектрисање 3 100p када се оно нађе:

Διαβάστε περισσότερα

Теорија електричних кола

Теорија електричних кола др Милка Потребић, ванредни професор, Теорија електричних кола, вежбе, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 7. Теорија електричних кола i i i Милка Потребић др Милка Потребић, ванредни професор,

Διαβάστε περισσότερα

г) страница aa и пречник 2RR описаног круга правилног шестоугла јесте рац. бр. јесу самерљиве

г) страница aa и пречник 2RR описаног круга правилног шестоугла јесте рац. бр. јесу самерљиве в) дијагонала dd и страница aa квадрата dd = aa aa dd = aa aa = није рац. бр. нису самерљиве г) страница aa и пречник RR описаног круга правилног шестоугла RR = aa aa RR = aa aa = 1 јесте рац. бр. јесу

Διαβάστε περισσότερα

СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ

СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ 8.. Линеарна једначина с две непознате Упознали смо појам линеарног израза са једном непознатом. Изрази x + 4; (x 4) + 5; x; су линеарни изрази. Слично, линеарни

Διαβάστε περισσότερα

6.2. Симетрала дужи. Примена

6.2. Симетрала дужи. Примена 6.2. Симетрала дужи. Примена Дата је дуж АВ (слика 22). Тачка О је средиште дужи АВ, а права је нормална на праву АВ(p) и садржи тачку О. p Слика 22. Права назива се симетрала дужи. Симетрала дужи је права

Διαβάστε περισσότερα

b) Израз за угиб дате плоче, ако се користи само први члан реда усвојеног решења, је:

b) Израз за угиб дате плоче, ако се користи само први члан реда усвојеног решења, је: Пример 1. III Савијање правоугаоних плоча За правоугаону плочу, приказану на слици, одредити: a) израз за угиб, b) вредност угиба и пресечних сила у тачки 1 ако се користи само први члан реда усвојеног

Διαβάστε περισσότερα

КРУГ. У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице.

КРУГ. У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице. КРУГ У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице. Архимед (287-212 г.п.н.е.) 6.1. Централни и периферијски угао круга Круг

Διαβάστε περισσότερα

предмет МЕХАНИКА 1 Студијски програми ИНДУСТРИЈСКО ИНЖЕЊЕРСТВО ДРУМСКИ САОБРАЋАЈ II ПРЕДАВАЊЕ УСЛОВИ РАВНОТЕЖЕ СИСТЕМА СУЧЕЉНИХ СИЛА

предмет МЕХАНИКА 1 Студијски програми ИНДУСТРИЈСКО ИНЖЕЊЕРСТВО ДРУМСКИ САОБРАЋАЈ II ПРЕДАВАЊЕ УСЛОВИ РАВНОТЕЖЕ СИСТЕМА СУЧЕЉНИХ СИЛА Висока техничка школа струковних студија у Нишу предмет МЕХАНИКА 1 Студијски програми ИНДУСТРИЈСКО ИНЖЕЊЕРСТВО ДРУМСКИ САОБРАЋАЈ II ПРЕДАВАЊЕ УСЛОВИ РАВНОТЕЖЕ СИСТЕМА СУЧЕЉНИХ СИЛА Садржај предавања: Систем

Διαβάστε περισσότερα

ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА. k, k 0), осна и централна симетрија и сл. 2, x 0. У претходном примеру неке функције су линеарне а неке то нису.

ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА. k, k 0), осна и централна симетрија и сл. 2, x 0. У претходном примеру неке функције су линеарне а неке то нису. ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА 5.. Функција = a + b Функционалне зависности су веома значајне и са њиховим применама често се сусрећемо. Тако, већ су нам познате директна и обрнута пропорционалност ( = k; = k, k ),

Διαβάστε περισσότερα

5.2. Имплицитни облик линеарне функције

5.2. Имплицитни облик линеарне функције математикa за VIII разред основне школе 0 Слика 6 8. Нацртај график функције: ) =- ; ) =,5; 3) = 0. 9. Нацртај график функције и испитај њен знак: ) = - ; ) = 0,5 + ; 3) =-- ; ) = + 0,75; 5) = 0,5 +. 0.

Διαβάστε περισσότερα

7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ

7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ 7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ 7.1. ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ху = n (n N) Диофантова једначина ху = n (n N) има увек решења у скупу природних (а и целих) бројева и њено решавање није проблем,

Διαβάστε περισσότερα

Tестирање хипотеза. 5.час. 30. март Боjана Тодић Статистички софтвер март / 10

Tестирање хипотеза. 5.час. 30. март Боjана Тодић Статистички софтвер март / 10 Tестирање хипотеза 5.час 30. март 2016. Боjана Тодић Статистички софтвер 2 30. март 2016. 1 / 10 Монте Карло тест Монте Карло методе су методе код коjих се употребљаваjу низови случаjних броjева за извршење

Διαβάστε περισσότερα

Упутство за избор домаћих задатака

Упутство за избор домаћих задатака Упутство за избор домаћих задатака Студент од изабраних задатака области Математике 2: Комбинаторика, Вероватноћа и статистика бира по 20 задатака. Студент може бирати задатке помоћу програмског пакета

Διαβάστε περισσότερα

Аксиоме припадања. Никола Томовић 152/2011

Аксиоме припадања. Никола Томовић 152/2011 Аксиоме припадања Никола Томовић 152/2011 Павле Васић 104/2011 1 Шта је тачка? Шта је права? Шта је раван? Да бисмо се бавили геометријом (и не само геометријом), морамо увести основне појмове и полазна

Διαβάστε περισσότερα

Први корак у дефинисању случајне променљиве је. дефинисање и исписивање свих могућих eлементарних догађаја.

Први корак у дефинисању случајне променљиве је. дефинисање и исписивање свих могућих eлементарних догађаја. СЛУЧАЈНА ПРОМЕНЉИВА Једнодимензионална случајна променљива X је пресликавање у коме се сваки елементарни догађај из простора елементарних догађаја S пресликава у вредност са бројне праве Први корак у дефинисању

Διαβάστε περισσότερα

ТРАПЕЗ РЕГИОНАЛНИ ЦЕНТАР ИЗ ПРИРОДНИХ И ТЕХНИЧКИХ НАУКА У ВРАЊУ. Аутор :Петар Спасић, ученик 8. разреда ОШ 8. Октобар, Власотинце

ТРАПЕЗ РЕГИОНАЛНИ ЦЕНТАР ИЗ ПРИРОДНИХ И ТЕХНИЧКИХ НАУКА У ВРАЊУ. Аутор :Петар Спасић, ученик 8. разреда ОШ 8. Октобар, Власотинце РЕГИОНАЛНИ ЦЕНТАР ИЗ ПРИРОДНИХ И ТЕХНИЧКИХ НАУКА У ВРАЊУ ТРАПЕЗ Аутор :Петар Спасић, ученик 8. разреда ОШ 8. Октобар, Власотинце Ментор :Криста Ђокић, наставник математике Власотинце, 2011. године Трапез

Διαβάστε περισσότερα

(1) Дефиниција функције више променљивих. Околина тачке (x 0, y 0 ) R 2. График и линије нивоа функције f: (x, y) z.

(1) Дефиниција функције више променљивих. Околина тачке (x 0, y 0 ) R 2. График и линије нивоа функције f: (x, y) z. Дефиниција функције више променљивих Околина тачке R График и линије нивоа функције : Дефиниција Величина се назива функцијом променљивих величина и на скупу D ако сваком уређеном пару D по неком закону

Διαβάστε περισσότερα

Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама r и ϕ.

Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама r и ϕ. VI Савијање кружних плоча Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама и ϕ слика 61 Диференцијална једначина савијања кружне плоче је: ( ϕ) 1 1 w 1 w 1 w Z, + + + + ϕ ϕ K Пресечне

Διαβάστε περισσότερα

Теорија електричних кола

Теорија електричних кола Др Милка Потребић, ванредни професор, Теорија електричних кола, вежбе, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 7. Теорија електричних кола Милка Потребић Др Милка Потребић, ванредни професор,

Διαβάστε περισσότερα

ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Јун 2003.

ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Јун 2003. Природно-математички факултет 7 ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Јун 00.. Одредити све вредности параметра m за које су оба решења једначине x x + m( m 4) = 0 (a) реална; (b) реална и позитивна. Решење: (а) [ 5, + (б) [

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Решавање линеарних једначина с једном непознатом

2.3. Решавање линеарних једначина с једном непознатом . Решимо једначину 5. ( * ) + 5 + Провера: + 5 + 0 5 + 5 +. + 0. Број је решење дате једначине... Реши једначину: ) +,5 ) + ) - ) - -.. Да ли су следеће једначине еквивалентне? Провери решавањем. ) - 0

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ УПУТСТВО ЗА ОЦЕЊИВАЊЕ ОБАВЕЗНО ПРОЧИТАТИ ОПШТА УПУТСТВА 1. Сваки

Διαβάστε περισσότερα

2. EЛЕМЕНТАРНЕ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ

2. EЛЕМЕНТАРНЕ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ 2. EЛЕМЕНТАРНЕ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ 2.1. МАТЕМАТИЧКИ РЕБУСИ Најједноставније Диофантове једначине су математички ребуси. Метод разликовања случајева код ових проблема се показује плодоносним, јер је раздвајање

Διαβάστε περισσότερα

МАСТЕР РАД УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ. Тема: ГОРЊА И ДОЊА ГРАНИЧНА ВРЕДНОСТ НИЗА И НИЗА СКУПОВА И ЊИХОВЕ ПРИМЕНЕ У РЕЛНОЈ АНАЛИЗИ

МАСТЕР РАД УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ. Тема: ГОРЊА И ДОЊА ГРАНИЧНА ВРЕДНОСТ НИЗА И НИЗА СКУПОВА И ЊИХОВЕ ПРИМЕНЕ У РЕЛНОЈ АНАЛИЗИ УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ МАСТЕР РАД Тема: ГОРЊА И ДОЊА ГРАНИЧНА ВРЕДНОСТ НИЗА И НИЗА СКУПОВА И ЊИХОВЕ ПРИМЕНЕ У РЕЛНОЈ АНАЛИЗИ МЕНТОР: КАНДИДАТ: Проф. др Драгољуб Кечкић Милинко Миловић

Διαβάστε περισσότερα

УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМСАДУ ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И

УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМСАДУ ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМСАДУ ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И ИНФОРМАТИКУ Зорана Томић ГРАНИЧНЕ ВРЕДНОСТИ ФУНКЦИЈА Мастер рад Нови Сад, 2012. Предговор... 3 1. Увод... 4 Појам функције...

Διαβάστε περισσότερα

ОБЛАСТИ: 1) Тачка 2) Права 3) Криве другог реда

ОБЛАСТИ: 1) Тачка 2) Права 3) Криве другог реда ОБЛАСТИ: ) Тачка ) Права Jov@soft - Март 0. ) Тачка Тачка је дефинисана (одређена) у Декартовом координатном систему са своје две коодринате. Примери: М(5, ) или М(-, 7) или М(,; -5) Jov@soft - Март 0.

Διαβάστε περισσότερα

3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни

3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни ТАЧКА. ПРАВА. РАВАН Талес из Милета (624 548. пре н. е.) Еуклид (330 275. пре н. е.) Хилберт Давид (1862 1943) 3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни Настанак геометрије повезује

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 011/01. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

Ознаке: f и. Парцијални изводи, парцијалних извода су парцијални изводи другог реда функције z = f (x, y): 2. извод другог реда по x 2 2

Ознаке: f и. Парцијални изводи, парцијалних извода су парцијални изводи другог реда функције z = f (x, y): 2. извод другог реда по x 2 2 Довољан услов за M M Дефинисати парцијалне изводе I реда и II реда функције I реда: Ако постоје коначне граничне вредности количника парцијалних прираштаја функције у тачки са одговарајућим прираштајима

Διαβάστε περισσότερα

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x,

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x, РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x, Већи број: 1 : 4x + 1, (4 бода) Њихов збир: 1 : 5x + 1, Збир умањен за остатак: : 5x = 55, 55 : 5 = 11; 11 4 = ; + 1 = 45; : x = 11. Дакле, први број је 45

Διαβάστε περισσότερα

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ предмет: ОСНОВИ МЕХАНИКЕ студијски програм: ЗАШТИТА ЖИВОТНЕ СРЕДИНЕ И ПРОСТОРНО ПЛАНИРАЊЕ ПРЕДАВАЊЕ БРОЈ 2. Садржај предавања: Систем сучељних сила у равни

Διαβάστε περισσότερα

Хомогена диференцијална једначина је она која може да се напише у облику: = t( x)

Хомогена диференцијална једначина је она која може да се напише у облику: = t( x) ДИФЕРЕНЦИЈАЛНЕ ЈЕДНАЧИНЕ Штa треба знати пре почетка решавања задатака? Врсте диференцијалних једначина. ДИФЕРЕНЦИЈАЛНА ЈЕДНАЧИНА КОЈА РАЗДВАЈА ПРОМЕНЉИВЕ Код ове методе поступак је следећи: раздвојити

Διαβάστε περισσότερα

8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х 2 + у 2 = z 2

8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х 2 + у 2 = z 2 8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х + у = z Један од најзанимљивијих проблема теорије бројева свакако је проблем Питагориних бројева, тј. питање решења Питагорине Диофантове једначине. Питагориним бројевима или

Διαβάστε περισσότερα

6.1. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре

6.1. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре 0 6.. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре У обичном говору се често каже да су неки предмети симетрични. Примери таквих објеката, предмета, геометријских

Διαβάστε περισσότερα

Испитвање тока функције

Испитвање тока функције Милош Станић Техничка школа Ужицe 7/8 Испитвање тока функције Испитивање тока функције y f подразумева да се аналитичким путем дође до сазнања о понашању функције, као и њеним значајним тачкама у координантном

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 013/014. година ТЕСТ

Διαβάστε περισσότερα

1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1

1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1 1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1 Метод разликовања случајева је један од најексплоатисанијих метода за решавање математичких проблема. У теорији Диофантових једначина он није свемогућ, али је сигурно

Διαβάστε περισσότερα

6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c

6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c 6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c Ако су а, b и с цели бројеви и аb 0, онда се линеарна једначина ах + bу = с, при чему су х и у цели бројеви, назива линеарна Диофантова једначина. Очигледно

Διαβάστε περισσότερα

Анализа Петријевих мрежа

Анализа Петријевих мрежа Анализа Петријевих мрежа Анализа Петријевих мрежа Мере се: Својства Петријевих мрежа: Досежљивост (Reachability) Проблем досежљивости се састоји у испитивању да ли се може достићи неко, жељено или нежељено,

Διαβάστε περισσότερα

Тангента Нека је дата крива C са једначином y = f (x)

Тангента Нека је дата крива C са једначином y = f (x) Dbić N Извод као појам се први пут појављује крајем XVII вијека у вези са израчунавањем неравномјерних кретања. Прецизније, помоћу извода је било могуће увести појам тренутне брзине праволинијског кретања.

Διαβάστε περισσότερα

4. ЗАКОН ВЕЛИКИХ БРОЈЕВА

4. ЗАКОН ВЕЛИКИХ БРОЈЕВА 4. Закон великих бројева 4. ЗАКОН ВЕЛИКИХ БРОЈЕВА Аксиоматска дефиниција вероватноће не одређује начин на који ће вероватноће случајних догађаја бити одређене у неком реалном експерименту. Зато треба наћи

Διαβάστε περισσότερα

TAЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА

TAЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА TЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА Два тачкаста наелектрисања оптерећена количинама електрицитета и налазе се у вакууму као што је приказано на слици Одредити: а) Вектор јачине електростатичког поља у тачки А; б) Електрични

Διαβάστε περισσότερα

7.3. Површина правилне пирамиде. Површина правилне четворостране пирамиде

7.3. Површина правилне пирамиде. Површина правилне четворостране пирамиде математик за VIII разред основне школе 4. Прво наћи дужину апотеме. Како је = 17 cm то је тражена површина P = 18+ 4^cm = ^4+ cm. 14. Основа четворостране пирамиде је ромб чије су дијагонале d 1 = 16 cm,

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Тест Математика Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 00/0. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

Количина топлоте и топлотна равнотежа

Количина топлоте и топлотна равнотежа Количина топлоте и топлотна равнотежа Топлота и количина топлоте Топлота је један од видова енергије тела. Енергија коју тело прими или отпушта у топлотним процесима назива се количина топлоте. Количина

Διαβάστε περισσότερα

Решења задатака са првог колоквиjума из Математике 1Б II група задатака

Решења задатака са првог колоквиjума из Математике 1Б II група задатака Решења задатака са првог колоквиjума из Математике Б II група задатака Пре самих решења, само да напоменем да су решења детаљно исписана у нади да ће помоћи студентима у даљоj припреми испита, као и да

Διαβάστε περισσότερα

РЕШЕНИ ЗАДАЦИ СА РАНИЈЕ ОДРЖАНИХ КЛАСИФИКАЦИОНИХ ИСПИТА

РЕШЕНИ ЗАДАЦИ СА РАНИЈЕ ОДРЖАНИХ КЛАСИФИКАЦИОНИХ ИСПИТА РЕШЕНИ ЗАДАЦИ СА РАНИЈЕ ОДРЖАНИХ КЛАСИФИКАЦИОНИХ ИСПИТА 006. Задатак. Одредити вредност израза: а) : за, и 69 0, ; б) 9 а) Како је за 0 и 0 дати израз идентички једнак изразу,, : : то је за дате вредности,

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 014/01. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ СА РЕШЕНИМ ПРИМЕРИМА, са додатком теорије

ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ СА РЕШЕНИМ ПРИМЕРИМА, са додатком теорије ГРАЂЕВИНСКА ШКОЛА Светог Николе 9 Београд ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ СА РЕШЕНИМ ПРИМЕРИМА са додатком теорије - за II разред IV степен - Драгана Радовановић проф математике Београд СТЕПЕНОВАЊЕ И КОРЕНОВАЊЕ

Διαβάστε περισσότερα

Семинарски рад из линеарне алгебре

Семинарски рад из линеарне алгебре Универзитет у Београду Машински факултет Докторске студије Милош Живановић дипл. инж. Семинарски рад из линеарне алгебре Београд, 6 Линеарна алгебра семинарски рад Дата је матрица: Задатак: a) Одредити

Διαβάστε περισσότερα

Вектори vs. скалари. Векторске величине се описују интензитетом и правцем. Примери: Померај, брзина, убрзање, сила.

Вектори vs. скалари. Векторске величине се описују интензитетом и правцем. Примери: Померај, брзина, убрзање, сила. Вектори 1 Вектори vs. скалари Векторске величине се описују интензитетом и правцем Примери: Померај, брзина, убрзање, сила. Скаларне величине су комплетно описане само интензитетом Примери: Температура,

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 01/01. година ТЕСТ

Διαβάστε περισσότερα

2.1. Права, дуж, полуправа, раван, полураван

2.1. Права, дуж, полуправа, раван, полураван 2.1. Права, дуж, полуправа, раван, полураван Човек је за своје потребе градио куће, школе, путеве и др. Слика 1. Слика 2. Основа тих зграда је често правоугаоник или сложенија фигура (слика 3). Слика 3.

Διαβάστε περισσότερα

ЗБИРКА РЕШЕНИХ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ ИЗ МАТЕМАТИКЕ

ЗБИРКА РЕШЕНИХ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ ИЗ МАТЕМАТИКЕ Универзитет у Крагујевцу Машински факултет Краљево ЗБИРКА РЕШЕНИХ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ ИЗ МАТЕМАТИКЕ Краљево, март 011. године 1 Публикација Збирка решених задатака за пријемни испит из математике

Διαβάστε περισσότερα

Cook-Levin: SAT је NP-комплетан. Теодор Најдан Трифунов 305M/12

Cook-Levin: SAT је NP-комплетан. Теодор Најдан Трифунов 305M/12 Cook-Levin: SAT је NP-комплетан Теодор Најдан Трифунов 305M/12 1 Основни појмови Недетерминистичка Тјурингова машина (НТМ) је уређена седморка M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0,, ) Q коначан скуп стања контролног механизма

Διαβάστε περισσότερα

6.5 Површина круга и његових делова

6.5 Површина круга и његових делова 7. Тетива је једнака полупречнику круга. Израчунај дужину мањег одговарајућег лука ако је полупречник 2,5 сm. 8. Географска ширина Београда је α = 44 47'57", а полупречник Земље 6 370 km. Израчунај удаљеност

Διαβάστε περισσότερα

ДИФЕРЕНЦИЈАЛНИ И ИНТЕГРАЛНИ РАЧУН РАЗЛОМЉЕНОГ РЕДА

ДИФЕРЕНЦИЈАЛНИ И ИНТЕГРАЛНИ РАЧУН РАЗЛОМЉЕНОГ РЕДА Универзитет у Београду Математички факултет Virul Librry of Fculy of Mhemics - Uiversiy of Belgrde elibrry.mf.bg.c.rs ДИФЕРЕНЦИЈАЛНИ И ИНТЕГРАЛНИ РАЧУН РАЗЛОМЉЕНОГ РЕДА Мастер рад студент: Петар Чукановић

Διαβάστε περισσότερα

Предмет: Задатак 4: Слика 1.0

Предмет: Задатак 4: Слика 1.0 Лист/листова: 1/1 Задатак 4: Задатак 4.1.1. Слика 1.0 x 1 = x 0 + x x = v x t v x = v cos θ y 1 = y 0 + y y = v y t v y = v sin θ θ 1 = θ 0 + θ θ = ω t θ 1 = θ 0 + ω t x 1 = x 0 + v cos θ t y 1 = y 0 +

Διαβάστε περισσότερα

Скупови (наставак) Релације. Професор : Рака Јовановић Асиситент : Јелена Јовановић

Скупови (наставак) Релације. Професор : Рака Јовановић Асиситент : Јелена Јовановић Скупови (наставак) Релације Професор : Рака Јовановић Асиситент : Јелена Јовановић Дефиниција дуалне скуповне формуле За скуповне формулу f, која се састоји из једног или више скуповних симбола и њихових

Διαβάστε περισσότερα

Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске

Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске слика. У свакој тачки посматране средње површи, у општем случају, постоје два компонентална померања: v - померање у правцу тангенте на меридијалну

Διαβάστε περισσότερα

Примена првог извода функције

Примена првог извода функције Примена првог извода функције 1. Одреди дужине страница два квадрата тако да њихов збир буде 14 а збир површина тих квадрата минималан. Ре: x + y = 14, P(x, y) = x + y, P(x) = x + 14 x, P (x) = 4x 8 Први

Διαβάστε περισσότερα

Писмени испит из Теорије површинских носача. 1. За континуалну плочу приказану на слици одредити угиб и моменте савијања у означеним тачкама.

Писмени испит из Теорије површинских носача. 1. За континуалну плочу приказану на слици одредити угиб и моменте савијања у означеним тачкама. Београд, 24. јануар 2012. 1. За континуалну плочу приказану на слици одредити угиб и моменте савијања у означеним тачкама. dpl = 0.2 m P= 30 kn/m Линијско оптерећење се мења по синусном закону: 2. За плочу

Διαβάστε περισσότερα

Скрипта ријешених задатака са квалификационих испита 2010/11 г.

Скрипта ријешених задатака са квалификационих испита 2010/11 г. Скрипта ријешених задатака са квалификационих испита 00/ г Универзитет у Бањој Луци Електротехнички факултет Др Момир Ћелић Др Зоран Митровић Иван-Вања Бороја Садржај Квалификациони испит одржан 9 јуна

Διαβάστε περισσότερα

Површине неких равних фигура

Површине неких равних фигура Природно-математички факултет, Универзитет у Нишу, Србија http://www.pmf.ni.ac.rs/mii Математика и информатика 3() (5), -6 Површине неких равних фигура Жарко Ђурић Париске комуне 4-/8, Врање zarkocr@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ОЦЕЊИВАЊЕ ОБАВЕЗНО ПРОЧИТАТИ ОПШТА УПУТСТВА 1. Сваки

Διαβάστε περισσότερα

ЗАВРШНИ РАД КЛИНИЧКА МЕДИЦИНА 5. школска 2016/2017. ШЕСТА ГОДИНА СТУДИЈА

ЗАВРШНИ РАД КЛИНИЧКА МЕДИЦИНА 5. школска 2016/2017. ШЕСТА ГОДИНА СТУДИЈА ЗАВРШНИ РАД КЛИНИЧКА МЕДИЦИНА 5 ШЕСТА ГОДИНА СТУДИЈА школска 2016/2017. Предмет: ЗАВРШНИ РАД Предмет се вреднује са 6 ЕСПБ. НАСТАВНИЦИ И САРАДНИЦИ: РБ Име и презиме Email адреса звање 1. Јасмина Кнежевић

Διαβάστε περισσότερα

Висока техничка школа струковних студија Београд Математика 2 Интервали поверења и линеарна регресија предавач: др Мићо Милетић

Висока техничка школа струковних студија Београд Математика 2 Интервали поверења и линеарна регресија предавач: др Мићо Милетић Математика Интервали поверења и линеарна регресија предавач: др Мићо Милетић Интервали поверења Тачкасте оцене параметара основног скупа могу се сматрати као приликом обраде узорка. Њихов недостатак је

Διαβάστε περισσότερα

I Линеарне једначине. II Линеарне неједначине. III Квадратна једначина и неједначина АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ

I Линеарне једначине. II Линеарне неједначине. III Квадратна једначина и неједначина АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ Штa треба знати пре почетка решавања задатака? АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ I Линеарне једначине Линеарне једначине се решавају по следећем шаблону: Ослободимо се разломка Ослободимо се заграде Познате

Διαβάστε περισσότερα

π[a, b] = π[a=x 0 ξ 1 x 1 ξ 2 x 2... x n-1 ξ n x n =b]

π[a, b] = π[a=x 0 ξ 1 x 1 ξ 2 x 2... x n-1 ξ n x n =b] Дефиниција одређеног интеграла Дефинисати: поделу одсечка одговарајућу броју e потподелу дијаметар поделе Дефинисати одређени интеграл Формулисати и доказати теорему о вези непрекидности и интеграбилности

Διαβάστε περισσότερα

МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА

МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА Београд, 21.06.2014. За штап приказан на слици одредити најмању вредност критичног оптерећења P cr користећи приближан поступак линеаризоване теорије другог реда и: а) и један елемент, слика 1, б) два

Διαβάστε περισσότερα

Математика Тест 3 Кључ за оцењивање

Математика Тест 3 Кључ за оцењивање Математика Тест 3 Кључ за оцењивање ОПШТЕ УПУТСТВО ЗА ОЦЕЊИВАЊЕ Кључ за оцењивање дефинише начин на који се оцењује сваки поједини задатак. У општим упутствима за оцењивање дефинисане су оне ситуације

Διαβάστε περισσότερα

САДРЖАЈ ЗАДАТАК 1...

САДРЖАЈ ЗАДАТАК 1... Лист/листова: 1/1 САДРЖАЈ ЗАДАТАК 1... 1.1.1. Математички доказ закона кретања мобилног робота 1.1.2. Кретање робота по трајекторији... Транслаторно кретање... Кретање по трајекторији ромбоидног облика...

Διαβάστε περισσότερα

Вежба 4. Графика. Наредба има облик plot(x,y) Аргументи x и y су вектори, који морају имати исти број елемената.

Вежба 4. Графика. Наредба има облик plot(x,y) Аргументи x и y су вектори, који морају имати исти број елемената. Вежба Графика У МATLAB-у постоји много команди за цртање графика. Изглед графика може се подешавати произвољним избором боје, дебљине и врсте линија, уношењем мреже, наслова, коментара и слично. У овој

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 0/06. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

ТЕЗИ ОПШТА В Ш Т 1 - Е М Ј Е Д Н А Ч И Н «Л Р В О Г А Р Ш ФИЛ030ФСК0Г ФАКУЛТЕТА УНИВЕРЗИТЕТА У A Ù y'..' Х СИМЕ М. МАРКОВИЋА ПРИМЉЕНА ЗА

ТЕЗИ ОПШТА В Ш Т 1 - Е М Ј Е Д Н А Ч И Н «Л Р В О Г А Р Ш ФИЛ030ФСК0Г ФАКУЛТЕТА УНИВЕРЗИТЕТА У A Ù y'..' Х СИМЕ М. МАРКОВИЋА ПРИМЉЕНА ЗА ОПШТА В Ш Т 1 - Е М Ј Е Д Н А Ч И Н «Л Р В О Г А Р Ш ТЕЗИ СИМЕ М. МАРКОВИЋА ПРИМЉЕНА ЗА Д О КТО РСКИ и с п и т НА СЕДНИЦИ ФИЛ030ФСК0Г ФАКУЛТЕТА УНИВЕРЗИТЕТА У БЕОГРАДУ ОД 5. ЈУНА 1913. ГОД. ПРЕМА РЕфЕРАТУ

Διαβάστε περισσότερα

ЗБИРКА РИЈЕШЕНИХ ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ

ЗБИРКА РИЈЕШЕНИХ ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Универзитет у Источном Сарајеву Електротехнички факултет НАТАША ПАВЛОВИЋ ЗБИРКА РИЈЕШЕНИХ ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Источно Сарајево,. године ПРЕДГОВОР Збирка задатака је првенствено намијењена

Διαβάστε περισσότερα

ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ПРЕГЛЕДАЊЕ

ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ПРЕГЛЕДАЊЕ Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ ЗА УЧЕНИКЕ СА ПОСЕБНИМ СПОСОБНОСТИМА ЗА ИНФОРМАТИКУ

Διαβάστε περισσότερα

ВОЈИСЛАВ АНДРИЋ МАЛА ЗБИРКА ДИОФАНТОВИХ ЈЕДНАЧИНА

ВОЈИСЛАВ АНДРИЋ МАЛА ЗБИРКА ДИОФАНТОВИХ ЈЕДНАЧИНА ВОЈИСЛАВ АНДРИЋ МАЛА ЗБИРКА ДИОФАНТОВИХ ЈЕДНАЧИНА ВАЉЕВО, 006 1 1. УВОД 1.1. ПОЈАМ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ У једној земљи Далеког истока живео је некад један краљ, који је сваке ноћи узимао нову жену и следећег

Διαβάστε περισσότερα

Нумеричко решавање парцијалних диференцијалних једначина и интегралних једначина

Нумеричко решавање парцијалних диференцијалних једначина и интегралних једначина Нумеричко решавање парцијалних диференцијалних једначина и интегралних једначина Метода мреже за Дирихлеове проблеме Метода мреже се приближно решавају диференцијалне једначине тако што се диференцијална

Διαβάστε περισσότερα

Од површине троугла до одређеног интеграла

Од површине троугла до одређеног интеграла Природно-математички факултет, Универзитет у Нишу, Србија http://www.pmf.i.ac.rs/mii Математика и информатика (4) (5), 49-7 Од површине троугла до одређеног интеграла Жарко Ђурић Париске комуне 4-/8, Врање

Διαβάστε περισσότερα

ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ 2 (13Е013ЕП2) октобар 2016.

ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ 2 (13Е013ЕП2) октобар 2016. ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ (3Е03ЕП) октобар 06.. Батерија напона B = 00 пуни се преко трофазног полууправљивог мосног исправљача, који је повезан на мрежу 3x380, 50 Hz преко трансформатора у спрези y, са преносним

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2010/2011. година ТЕСТ 3 МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

4. Троугао. (II део) 4.1. Појам подударности. Основна правила подударности троуглова

4. Троугао. (II део) 4.1. Појам подударности. Основна правила подударности троуглова 4 Троугао (II део) Хилберт Давид, немачки математичар и логичар Велики углед у свету Хилберту је донело дело Основи геометрије (1899), у коме излаже еуклидску геометрију на аксиоматски начин Хилберт Давид

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ПРОБНИ ЗАВРШНИ ИСПИТ школска 016/017. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ПРЕГЛЕДАЊЕ

Διαβάστε περισσότερα

Мастер рад. Гребнерове базе. Аутор: Јелена Јовичић Број индекса: 1033/2008. Ментор: Доцент др Зоран Петровић. Математички факултет Београд 2010.

Мастер рад. Гребнерове базе. Аутор: Јелена Јовичић Број индекса: 1033/2008. Ментор: Доцент др Зоран Петровић. Математички факултет Београд 2010. Мастер рад Гребнерове базе Аутор: Јелена Јовичић Број индекса: /8 Ментор: Доцент др Зоран Петровић Математички факултет Београд. Резиме Рад пред вама је мастер рад судента Математичког факултета у Београду,

Διαβάστε περισσότερα

Штампарске грешке у петом издању уџбеника Основи електротехнике, 1. део, Електростатика

Штампарске грешке у петом издању уџбеника Основи електротехнике, 1. део, Електростатика Штампарске грешке у петом издању уџбеника Основи електротехнике део Страна пасус први ред треба да гласи У четвртом делу колима променљивих струја Штампарске грешке у четвртом издању уџбеника Основи електротехнике

Διαβάστε περισσότερα

Универзитет у Београду. Математички факултет. Мастер рад. Тема: Геометријски случајни процеси

Универзитет у Београду. Математички факултет. Мастер рад. Тема: Геометријски случајни процеси Универзитет у Београду Математички факултет Мастер рад Тема: Геометријски случајни процеси Ментор: Проф др Слободанка Јанковић Кандидат: Радојка Станковић дипл математичар Београд 2012 Садржај Садржај

Διαβάστε περισσότερα

7. Модели расподела случајних променљивих ПРОМЕНЉИВИХ

7. Модели расподела случајних променљивих ПРОМЕНЉИВИХ 7. Модели расподела случајних променљивих 7. МОДЕЛИ РАСПОДЕЛА СЛУЧАЈНИХ ПРОМЕНЉИВИХ На основу природе појаве коју анализирамо, често можемо претпоставити да расподела случајне променљиве X припада једној

Διαβάστε περισσότερα

Теорија друштвеног избора

Теорија друштвеног избора Теорија друштвеног избора Процедура гласања је средство избора између више опција, базирано на подацима које дају индивидуе (агенти). Теорија друштвеног избора је студија процеса и процедура доношења колективних

Διαβάστε περισσότερα

Универзитет у Крагујевцу Факултет за машинство и грађевинарство у Краљеву Катедра за основне машинске конструкције и технологије материјала

Универзитет у Крагујевцу Факултет за машинство и грађевинарство у Краљеву Катедра за основне машинске конструкције и технологије материјала Теоријски део: Вежба број ТЕРМИЈСКА AНАЛИЗА. Термијска анализа је поступак који је 903.год. увео G. Tamman за добијање криве хлађења(загревања). Овај поступак заснива се на принципу промене топлотног садржаја

Διαβάστε περισσότερα

F( x) НЕОДРЕЂЕНИ ИНТЕГРАЛ

F( x) НЕОДРЕЂЕНИ ИНТЕГРАЛ НЕОДРЕЂЕНИ ИНТЕГРАЛ Штa треба знати пре почетка решавања задатака? Дефиниција: Интеграл једне функције је функција чији је извод функција којој тражимо интеграл (подинтегрална функција). Значи: f d F F

Διαβάστε περισσότερα

ГЕОМЕТРИJСКА СВОJСТВА АНАЛИТИЧКИХ ФУНКЦИJА

ГЕОМЕТРИJСКА СВОJСТВА АНАЛИТИЧКИХ ФУНКЦИJА УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ МАСТЕР РАД ГЕОМЕТРИJСКА СВОJСТВА АНАЛИТИЧКИХ ФУНКЦИJА Аутор Бобан Карапетровић Ментор проф. Миодраг Матељевић Jул, 04. Садржаj Увод Ознаке Schwarz-ова лема на

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2011/2012. година ТЕСТ 3 МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

4.4. Паралелне праве, сечица. Углови које оне одређују. Углови са паралелним крацима

4.4. Паралелне праве, сечица. Углови које оне одређују. Углови са паралелним крацима 50. Нацртај било које унакрсне углове. Преношењем утврди однос унакрсних углова. Какво тврђење из тога следи? 51. Нацртај угао чија је мера 60, а затим нацртај њему унакрсни угао. Колика је мера тог угла?

Διαβάστε περισσότερα

I Тачка 1. Растојање две тачке: 2. Средина дужи y ( ) ( ) 2. II Права 1. Једначина прамена правих 2. Једначина праве кроз две тачке ( )

I Тачка 1. Растојање две тачке: 2. Средина дужи y ( ) ( ) 2. II Права 1. Једначина прамена правих 2. Једначина праве кроз две тачке ( ) Шт треба знати пре почетка решавања задатака? АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА У РАВНИ I Тачка. Растојање две тачке:. Средина дужи + ( ) ( ) + S + S и. Деоба дужи у односу λ: 4. Површина троугла + λ + λ C + λ и P

Διαβάστε περισσότερα

I Наставни план - ЗЛАТАР

I Наставни план - ЗЛАТАР I Наставни план - ЗЛААР I РАЗРЕД II РАЗРЕД III РАЗРЕД УКУО недељно годишње недељно годишње недељно годишње годишње Σ А1: ОАЕЗНИ ОПШЕОРАЗОНИ ПРЕДМЕИ 2 5 25 5 2 1. Српски језик и књижевност 2 2 4 2 2 1.1

Διαβάστε περισσότερα