Η. ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ A ΚΑΙ Α. Στην Άσκηση IV.ΣΤ.14 δείξαµε ότι, κάτω από την υπόθεση οµοιόµορφης κατανοµής των

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Η. ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ A ΚΑΙ Α. Στην Άσκηση IV.ΣΤ.14 δείξαµε ότι, κάτω από την υπόθεση οµοιόµορφης κατανοµής των"

Θέκλα Ζηναις Μάγκας
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Η ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΚΑΙ Α Στην Άσηση IVΣΤ4 είξε ότι, άτω πό την πόθεση οοιόορφης τνοής των + θνάτων σε άθε έτος ηλιίς (UDD, + q Η ισότητ τή είχνει ότι, άτω πό την πόθεση UDD, τ ενιί σφάλιστρ ι ινοποιούν τη σχέση Η σχέση τή έχει εγάλη πρτιή σησί, γιτί στην πράξη ιθέτοε (πό ένν πίν όνο τις ιριτές πιθνότητες q ι, τά σνέπει, είστε ποχρεωένοι ν πολογίσοε το σφάλιστρο Η σχέση προσεγγιστιά πό το σφάλιστρο προφνώς ισχύει ι γι ι πρόσιρη σφάλιση, : (η τεχνιή της Άσησης IVΣΤ εφρόζετι τά τον ίιο τρόπο στο ι στο + εν ισχύει όως ετξύ ι : το σφάλιστρο της πρόσιρης θνάτο, το ίιο ποσό Γι σνήθεις τιές το επιτοίο, το + ι + : επειή ι τ ύο περιέχον, ετός πό : E (πο "χλάει την νλογί" είνι της ίις τάξης εγέθος ε τ + είχν πλιότερ προτθεί (νεξάρτητ το + ι + Τ ε τη λογιή ότι η σφάλιση πο "πληρώνετι έσως" πληρώνετι "τά έσο όρο" στο έσο το σφλιστιού έτος ("ισό έτος νωρίτερ" ι εποένως πιτεί επιβάρνση το σφλίστρο ε τόο ισού έτος, πο είνι στην περίπτωση πλού τόο ι + στην περίπτωση σύνθετο τόο Γι τις σνήθεις τιές τεχνιού επιτοίο, οι τιές ( σηντιά, + ι + εν ιφέρον Θ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Το ποσό 9 θ τβληθεί ε πιθνότητ 3 στο τέλος ετών πό σήερ Το τεχνιό 9 επιτόιο είνι 3% Η προύσ ξί της τβολής είνι (,3 3 ξί της τβολής είνι (,3 ι η νλογιστιή προύσ ίοντι,4,,995,,989 ι 3, 98 Ν βρεθεί η νλογιστιή προύσ ξί ις 3ετούς σφάλισης θνάτο στον ( ε εφάλιο ι το ενιίο θρό σφάλιστρο γι τή την σφάλιση (Απάντηση :,66 ι,66

2 3 Στην Άσηση, ν βρεθεί το ενιίο θρό σφάλιστρο γι ι 3ετή σφάλιση επιβίωσης στον ( (Απάντηση :,873 Ν βρεθεί ό το ενιίο σφάλιστρο ις 3ετούς ιτής σφάλισης στον ( (Απάντηση :, Γι τη σνάρτηση επιβίωσης ( ( + s, ν ειχθεί ότι [ ],, : + + ( + ( + E ι + (όλ νεξάρτητ της ηλιίς, σνάρτηση όνον : + + της ιάρεις Τι άλλο πορούε ν σπεράνοε πό τις τιές των (Απάντηση : ( +, όπο ι ; : 5 Γι την ίι s(, ν ειχθεί ότι (Αξίζει ν σηειωθεί ότι, εφόσον + < (γιτί;, ποείξε τη θητιή νισότητ <! Γι το νόο D Movr, ν ειχθεί ότι ειχθεί ό ότι ριβής ω ω + ι, τά σνέπει, ω ι άρ, στην περίπτωση D Movr, η σχέση ω Ν ω είνι 7 ίοντι,3,,3,, 7 ι,7 Ν ειχθεί ότι, 98 ι, 4 3 : : : 5 : : 3 8 ίοντι,88,,75,, 8 ι, 3 Ν ειχθεί ότι : 5 : : : 5 E + 5,853,,883,,5,,36 ι : 5, 936 : 9 ( Ν πλοποιηθεί + είνι νεξάρτητο το E + ( (Απάντηση : ( Ν ειχθεί ότι + : + : + Αν q,,,,, ν ειχθεί ότι, :, E ι + : (όλ σνρτήσεις όνον το επιτοίο ι της ιάρεις ι νεξάρτητ της ηλιίς

3 Αν στην Άσηση ποθέσοε ότι η σχέση λλά γι όλ τ (πργτιά, ν ειχθεί ότι Άσηση 4 ισχύει, όχι όνο γι,,,, l l + (Υπόειξη : ( l, βλ ι Ν ειχθεί ότι, ε επιτόιο, (ν εξηγηθεί ι θητιά ι λετιά Το ίιο ισχύει γι τ των ι : ι : ότν ; :, όχι όως γι τ : + ι : : Γιτί τό ι ποιες οι τιές 3 ( Η ροπογεννήτρι της q,,,,, στην Άσηση είνι M( Με βάση τό το γεγονός, ν ειχθεί ότι (Υπόειξη : M( ( Ν ειχθεί ότι l στην Άσηση η ντίστοιχη ροπογεννήτρι είνι M(, άρ l l l + ω 4 ( Γι το νόο D Movr, η ροπογεννήτρι είνι M ( + ( ω, άρ ( ω ( ω ( ω ( ω στην Άσηση 6 η ροπογεννήτρι γι την ω ω ( ω ω ω ( ω ω ω ω (βλ ι Άσηση 6 ( Ν ειχθεί ότι q είνι ( ( ω M 5 ηλώνοε ε M ( τη ροπογεννήτρι της + ι ε M ( Ν ειχθεί ότι M ( M ( σε γλώσσ ροπογεννητριών" της σχέσης : + : E + 6 Ν εφροσθεί η τεχνιή της Άσησης 5 γι ν ειχθεί η τιή το ω ι εποένως + τη ροπογεννήτρι της (Η σχέση τή είνι "ετάφρση στην Άσηση 4 : 7-9 Τ ι των Ασήσεων 4, 5 ι 6 είνι, όπως ξέροε, θητιές ελπίες Ν βρεθούν οι ντίστοιχες ισπορές (Υπόειξη : ν γίνει χρήση ροπογεννητριών Απντήσεις : γι την, + + ισπορά πο ντιστοιχεί στο η ισπορά πο ντιστοιχεί στο ι ( ( ω ω, γι D Movr ω ω ι + + ( ( ω ω ω ω η

4 - Στις Ασήσεις ι 3 πολογίσε ενιί σφάλιστρ ορισένων 3ετών σφλίσεων Ν βρεθούν οι ντίστοιχες ισπορές (Απάντηση :,59 γι την πρόσιρη,,397 γι την επιβίωση ι,35 γι τη ιτή -3 Ν βρεθούν οι ισπορές πο ντιστοιχούν στο της Άσησης ι στο Άσησης (Απάντηση : l ι l + l + της 4 ( Ν βρεθεί η ισπορά της νλογιστιής προύσς ξίς της σφάλισης ε ενιίο σφάλιστρο E (Απάντηση : q (τ Broull! ( Αν,4 ι, 8, ν βρεθεί το σφάλιστρο E, η ισπορά της νλογιστιής προύσς ξίς της σφάλισης επιβίωσης ι ο λόγος τπιής πόλισης προς το σφάλιστρο (Απάντηση :,3,,56 ι,5 (το τελετίο πλά ίσο ε q ( Αν y, : y ι y E, ν ειχθεί ότι ι : y ( Αν,3,,5,,8,,5 ι, 8, ν ειχθεί ότι, y : y y : y E 6 Η θητιή ελπί ις (θετιής τ Τ ίετι ι πό f ι πό [ F( ] ( s, όπο f, F ι s η σππ, η σ ι η σνάρτηση επιβίωσης της Τ ντίστοιχ (Η πόειξη γίνετι ε ολολήρωση τά πράγοντες Ν ειχθεί ότι η T K E είνι ίση ε, η ε E ( + είνι ίση ε ( + (βλ τέλος Πργράφο ΣΤ 7 Αν θέλοε ν προγρτίσοε τον πολογισό το σφλίστρο χρησιοποιώντς όνον τιές πό τον πίν (ι όχι τ "πράγωγ" q ή, το σφάλιστρο είνι q + + l ( + l ίσο ε q q 8 Αν E,5 ι, ε χρήση της προσέγγισης, είνι, 3 ι : : :,653, ν ειχθεί ότι, ( 9 Ν πλοποιηθεί : 3 3 : 3 3 (Απάντηση : E 5

5 3 ( Η ξί ις ονάς τβλητές στο τέλος άθε έτος όσο ζει ο ( είνι Με τι ισούτι το άθροισ τό ότν ; Με τι ισούτι το ολολήρω ότν ; o (Απάντηση :, ( Με τι ισούτι το ολολήρω ( ; (Απάντηση : ( Το ολολήρω είνι θητιή ελπί της ορφής F (εφόσον είνι σνάρτηση επιβίωσης Αν θέλοε ν γράψοε την ίι θητιή ελπί χρησιοποιώντς τη ορφή, ηλή, ν ειχθεί ότι I I [ (] (( f ( 3 Έστω ότι, ε επιτόιο, είνι +,,,, Ν ειχθεί ότι, ε ηενιό + : + επιτόιο,! + ( + ι q ( + Οι ύο πράγωγοι (ρνητιή το, θετιή το q είχνον το τονόητο : το φθίνει ι το q ξάνει ε την ηλιί 3 Ν ειχθεί ότι ( 33 Ν ειχθεί ότι : + E ι E ( + + E Εποένως, : E, το οποίο ν επληθεθεί ι χωρίς την άθροιση των ύο προηγούενων πργώγων Γιτί η πρώτη πό τις τρεις πργώγος είνι θετιή ι οι άλλες ύο είνι ρνητιές; + 34 Ν ειχθεί ότι ( "έσ στο ολολήρω" σπερίνοε ότι γενιά + σε άθε ηλιί (Υπόειξη : πργώγιση ως προς την πράετρο + Από το γεγονός ότι το + ξάνει ε την ηλιί > Γι εθετιή σνάρτηση, η πράγωγος είνι ηέν ι + 35 Με τερτιή ηλιί ι επιτόιο, ποι η τιή το θροίστος (Απάντηση : : E ;

6 36 Η έντση θνησιότητς είνι στθερή ι ίση ε την έντση ντοισού ( Ν ειχθεί ότι, T < ι ότι η ντίστοιχη ισπορά είνι ( Αν Z, ν ειχθεί ότι, T Var ( Z ( E Z ( T < Pr ι ( E( Z ( E Z ( T Pr, T T 37 ( ίετι q ι η τ Z, < T < + m Ν βρεθούν τ E(Z ι Var(Z ω, + m T + m ( + m + m (Απάντηση : ι ( Ποι τ όρι lme( Z ι lm Var( Z ; ( ω ( ω ( ω m m( ω m (Απάντηση : ι ω ω ( 38 Αν q, β ι q γ, ποι η νλογιστιή προύσ ξί της τβολής ις χρητιής ονάς τις χρονιές στιγές,,, 3 πό τον όρο ότι ο ( ζει τότε; (Απάντηση : + + β + β γ ( ( Ο σντελεστής προεξόφλησης είνι ι,,, 3, Ν ειχθεί ότι η νλογιστιή προύσ ξί ις ιηνεούς ληξιπρόθεσης ράντς τβλητές ε τις 6 πιθνότητες είνι 9 9 ι ότι η ντίστοιχη ισπορά είνι ( ( 4 Με τι ισούτι το ολολήρω l ; (Απάντηση : l + ; (Υπόειξη : ολολήρωση τά πράγοντες Απάντηση : (, + + l l Το ολολήρω 4 Αν s ν βρεθεί το ενιίο σφάλιστρο ισόβις σφάλισης πο τβάλλει τη στιγή το θνάτο το ποσό 4 Γι το νόο D Movr, ( I (Απάντηση : ( 3 ( I + ω ω 43 Αν το ποσό πο θ τβληθεί τη στιγή το θνάτο οποτεήποτε είνι b c, ν ειχθεί ότι, άτω πό UDD, το ενιίο θρό σφάλιστρο είνι ίσο ε, όπο όλ τ σύβολ είνι πολογισέν ε σντελεστή προεξόφλησης c

7 44 Το εφάλιο θνάτο ις πρόσιρης σφάλισης θνάτο ε ιάρει ι τβολή στο τέλος το έτος το θνάτο είνι,,,, Ν ειχθεί ότι το ενιίο σφάλιστρο, το οποίο γράφοε ( D, είνι ίσο ε ( ( I : : : b + 45 Ν ειχθεί ότι b + b b (όπο b ( + ολολήρωση τά πράγοντες Η σχέση σνέει σφάλιση ετβλητού εφλίο ετβλητής όσης ( I b b (Υπόειξη : b b Με b, πίρνοε τη γνωστή σχέση b, b ε ράντ Με

Σχετικά έγγραφα

Ζ. ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΓΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΡΑΝΤΕΣ. d A. A δ. α βασίζεται στην απλούστερη σχέση. + και 1 & : ( )

Ζ. ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΓΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΡΑΝΤΕΣ Υποθέτοντς UDD γράφοµε s s I. Όπως είµε η σχέση είνι οριή περίπτωση ( της. Ένς εολότερος τρόπος ν τλήξοµε στην UDD προσέγγιση γι βσίζετι στην πλούστερη σχέση ι εµετλλεύετι