8. ÁÂÅÂÁÉÏÔÇÔÁ (ÓÖÁËÌÁ) ÌÅÔÑÇÓÇÓ. 7.5 ÌéêñïûðïëïãéóôÞò óå óõíäõáóìü ìå öùôïðýëåò. Åñãáóôçñéáêüò ïäçãüò
|
|
|
- Ἀπόλλων Γιάγκος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Åñãáóôçñéáêüò ïäçãüò ÌéêñïûðïëïãéóôÞò óå óõíäõáóìü ìå öùôïðýëåò Óôç äéüôáîç ôçò åéêüíáò ï ìéêñïûðïëïãéóôþò ìðïñåß íá ìåôñþóåé ôï ñïíéêü äéüóôçìá ðïõ ñåéüæåôáé ãéá íá äéáíýóåé ôï áìáîßäéï ôçí áðüóôáóç ìåôáîý ôùí äýï öùôïðõëþí. Ï õðïëïãéóôþò åßíáé äõíáôüí åðßóçò íá ðñïãñáììáôéóôåß, þóôå íá õðïëïãßóåé êáé íá åìöáíßóåé ôçí ôéìþ ôçò åðéôü õíóçò óôçí ïèüíç. Åéêüíá ÁÂÅÂÁÉÏÔÇÔÁ (ÓÖÁËÌÁ) ÌÅÔÑÇÓÇÓ Êáìßá ìýôñçóç öõóéêïý ìåãýèïõò äåí åßíáé áðüëõôá áêñéâþò. Ôï áñéèìçôéêü áðïôýëåóìá êüèå ìýôñçóçò åßíáé ðüíôïôå ìéá ðñïóýããéóç. Ç äéáöïñü (áðüêëéóç) ôïõ áñéèìçôéêïý áðïôåëýóìáôïò ìéáò ìýôñçóçò áðü ôçí ðñáãìáôéêþ ôéìþ ðïõ Ý åé ôï ìýãåèïò ïíïìüæåôáé áâåâáéüôçôá (Þ óöüëìá) ôçò ìýôñçóçò. Ãéá íá ãßíïõí åõêïëüôåñá êáôáíïçôü ôá ðáñáðüíù, áò èåùñþóïõìå ôï óþìá Ó, ôïõ ïðïßïõ èýëïõìå íá âñïýìå ôï ìþêïò (Åéê. 8.1). Ãéá ôï óêïðü áõôü ôç ìßá Üêñç Á ôïõ óþìáôïò ôç öýñíïõìå óå åðáöþ ìå ôç áñáãþ ìçäýí (0) ôïõ êáíüíá êáé åðéæçôïýìå íá åêôéìþóïõìå ôç èýóç êáôü ìþêïò ôïõ êáíüíá ôçò Üëëçò Üêñçò Â. Ç ôå íéêþ ôçò ìýôñçóçò åíüò ìþêïõò êáôáëþãåé ðüíôïôå óôçí åýñåóç ôçò èýóçò ìéáò áñáãþò êáôü ìþêïò ìéáò õðïäéáéñåìýíçò êëßìáêáò. Åßíáé öáíåñü üôé ãéá íá åßíáé ç ìýôñçóç áêñéâþò ðñýðåé á) ç ìßá Üêñç Á íá Ýñèåé óå ôýëåéá óýìðôùóç ìå ôï ìçäýí ôçò êëßìáêáò êáé â) ç èýóç ôçò Üêñçò Â êáôü ìþêïò ôïõ êáíüíá íá âñåèåß ìå ôýëåéá áêñßâåéá. Åßíáé ðñïöáíýò üôé êáé ôá äýï äåí åðéôõã Üíïíôáé áêñéâþò, Üñá åéóüãåôáé óöüëìá óôç ìýôñçóç ôïõ ìþêïõò ôïõ óþìáôïò.
2 32 Åñãáóôçñéáêüò ïäçãüò Ôï ìþêïò ôïõ óþìáôïò âñßóêåôáé ßóï ìå 14,5mm ùñßò üìùò íá åßìáóôå âýâáéïé ãé áõôü. Åêåßíï ãéá ôï ïðïßï åßìáóôå âýâáéïé åßíáé üôé ç áêñéâþò èýóç ôçò Üêñçò  âñßóêåôáé ìåôáîý 14 êáé 15mm. ÁëëÜ äåí ãíùñßæïõìå, áí åßíáé 14,1 Þ 14,2 Þ 14,3 êôë. Ãé áõôü åßíáé ðéï óùóôü íá ãñüöïõìå ùò áðïôýëåóìá ôï: (14,5 ± 0,5)mm. Ôá óöüëìáôá (áâåâáéüôçôåò) ìðïñåß íá ïöåßëïíôáé åßôå óôç ñçóéìïðïéïýìåíç ìýèïäï, åßôå óôçí áôýëåéá ôùí ïñãüíùí, åßôå óôçí áäåîéüôçôá ôïõ ðáñáôçñçôþ. Ôá óöüëìáôá äéáêñßíïíôáé óå óõóôçìáôéêü êáé ôõ áßá. Ôá óõóôçìáôéêü óöüëìáôá ïöåßëïíôáé óå ìüíéìç áéôßá êáé åðçñåüæïõí ôï áðïôýëåóìá ôçò ìýôñçóçò ðüíôïôå êáôü ôïí ßäéï ôñüðï. ÓõíÞèùò ïöåßëïíôáé óå áôýëåéåò Þ âëüâåò ôùí ïñãüíùí ìýôñçóçò. ôóé, Ýíá ü é óùóôü âáèìïëïãçìýíï èåñìüìåôñï, áíáêñéâþ óôáèìü, Þ Ýíáò æõãüò ðïõ ï äåßêôçò ôïõ äåí äåß íåé ôï ìçäýí ôçò êëßìáêáò üôáí ïé äßóêïé ôïõ åßíáé êåíïß, ðñïêáëïýí óõóôçìáôéêü óöüëìáôá. Åðßóçò, áí Ýíá äõíáìüìåôñï ùñßò öüñôéóç ( ùñßò åîüóêçóç äýíáìçò) äåí äåß íåé ôï ìçäýí ôçò êëßìáêüò ôïõ, ôüôå üëåò ïé ìåôñþóåéò ðïõ ãßíïíôáé ìå áõôü èá ðåñéý ïõí óõóôçìáôéêü óöüëìá ìçäåíüò. Èá ðñýðåé íá åðéäéþêïõìå ôïí ðñïóäéïñéóìü ôïõ óöüëìáôïò ìçäåíüò üðïõ åßíáé äõíáôüí êáé íá ðñïâáßíïõìå óå äéüñèùóç ôçò ôéìþò ôïõ ìåôñïýìåíïõ ìåãýèïõò (Åéê. 8.2) Ôá ôõ áßá óöüëìáôá ðñïýñ ïíôáé áðü ü é ìüíéìç áéôßá êáé åðçñåüæïõí ôï áðïôýëåóìá áêáíüíéóôá (ôõ áßá). ÁõôÜ ïöåßëïíôáé åßôå óôçí ðåñéïñéóìýíç áêñßâåéá ôùí ïñãüíùí ìýôñçóçò åßôå óôçí áóôüèåéá ôùí åîùôåñéêþí óõíèçêþí ðïõ ìðïñïýí íá åðçñåüóïõí ôï ðåßñáìá (üðùò ð.. ç áðüôïìç ìåôáâïëþ ôçò èåñìïêñáóßáò óôçí äéüñêåéá ôïõ ðåéñüìáôïò) åßôå óôïí ðáñáôçñçôþ. Ôõ áßï óöüëìá åßíáé ð.. ôï óöüëìá ðáñüëëáîçò (Åéê. 8.3á). Óôçí åéêüíá 8.3â öáßíåôáé ç óùóôþ èýóç ðáñáôþñçóçò. Åéêüíá 8.3
3 Åñãáóôçñéáêüò ïäçãüò 33 Óôá ôõ áßá óöüëìáôá ðåñéëáìâüíïíôáé êáé ôá áêïýóéá ëüèç ðáñáôþñçóçò êáé ãñáöþò. ôóé, åíþ ìåôñüìå ìþêïò ßóï ìå 12mm, ãñüöïõìå 12cm Þ åíþ äéáâüæïõìå 35,2g ãñüöïõìå 3,52g êôë. Ôá ëüèç áõôü ìðïñïýí íá åîáëåéöèïýí, áí åßìáóôå ðñïóåêôéêïß. Óå ìéá åñãáóôçñéáêþ Üóêçóç ìðïñïýìå íá ðåñéïñßóïõìå ôá ôõ áßá óöüëìáôá óôç ìýôñçóç åíüò öõóéêïý ìåãýèïõò, áí ôï ìåôñþóïõìå ðïëëýò öïñýò êáé êáôüðéí õðïëïãßóïõìå ôç ìýóç ôéìþ ôïõ (ôï ìýóï üñï ôùí ôéìþí ôïõ). Ç ìýóç ôéìþ õðïëïãßæåôáé ìå ôçí ðñüóèåóç üëùí ôùí ôéìþí ôùí ìåôñþóåùí êáé ôç äéáßñåóç ôïõ áèñïßóìáôïò äéá ôïõ áñéèìïý ôùí ìåôñþóåùí. Ãéá ðáñüäåéãìá, ìåôñüìå 4 öïñýò ôï ñüíï ðïõ ñåéüæåôáé Ýíá áìáîüêé ãéá íá äéáôñýîåé ìþêïò 1m åðüíù óå êåêëéìýíï åðßðåäï. Ïé ôéìýò ôùí äéáäï éêþí ìåôñþóåùí ôïõ ñüíïõ åßíáé t 1 =1,4s, t 2 =1,5s, t 3 =1,6s, t 4 =1,5s. H ìýôñçóç ôïõ ñüíïõ êßíçóçò ôïõ áìáîéïý åßíáé t1 Г t2 Г t3 Г t4 1, 4 Г 1, 5 Г 1, 6 Г 1, 5 tì s 4 4 t ì =1,5s. H ìýóç ôéìþ ðïõ õðïëïãßæïõìå ìå ôïí ôñüðï áõôü äåí åßíáé ç ðñáãìáôéêþ (ç áêñéâþò) ôéìþ ôïõ ìåôñïýìåíïõ ìåãýèïõò. Åßíáé üìùò ìßá ðïëý êáëþ ðñïóýããéóþ ôçò. ¼óï ìåãáëýôåñïò åßíáé ï áñéèìüò ôùí ìåôñþóåùí ôüóï ìåãáëýôåñç åßíáé ç ðéèáíüôçôá íá âñßóêåôáé ç ìýóç ôéìþ ðëçóéýóôåñá óôçí ðñáãìáôéêþ ôéìþ. 9. ÓÇÌÁÍÔÉÊÁ ØÇÖÉÁ - ÓÔÑÏÃÃÕ- ËÏÐÏÉÇÓÇ 9.1 ÌåôñÞóåéò êáé óçìáíôéêü øçößá Ç áêñßâåéá êüèå ìýôñçóçò ðåñéïñßæåôáé áðü ôçí áêñßâåéá ôïõ ïñãüíïõ ìýôñçóçò, ðïõ äåí åßíáé ðïôý áðüëõôá áêñéâýò (áîéüðéóôï). Ãéá ðáñüäåéãìá, áò õðïèýóïõìå üôé ìåôñüìå ìå âáèìïëïãçìýíï Üñáêá ôï ìþêïò ìéáò ìåôáëëéêþò îýóôñáò ìïëõâéþí (Åéê ). Ï Üñáêáò Ý åé õðïäéáéñýóåéò áíü 1 ôïõ åêáôïóôïìýôñïõ 10 (äçëáäþ áíü Ýíá éëéïóôüìåôñï). Ìå ôï Üñáêá áõôü äåí ìðïñïýìå íá ðáñáôçñþóïõìå áðïóôüóåéò ìéêñüôåñåò áðü Ýíá éëéïóôüìåôñï. Ç áêñßâåéá ðïõ ìáò äßíåé åßíáé 0,1cm. Âñßóêïõìå Ýôóé, üôé ç îýóôñá Ý åé ìþêïò 2,6cm. Ìå Ýíá äéáóôçìüìåôñï (ðáñüãñáöïò 3.3) ìðïñïýìå íá ìåôñþóïõìå ôï ìþêïò åíüò ìéêñïý áíôéêåéìýíïõ ìå áêñßâåéá 0,01cm. ñçóéìïðïéþíôáò ëïéðüí äéáóôçìüìåôñï âñßóêïõìå
4 34 Åñãáóôçñéáêüò ïäçãüò üôé ôï ìþêïò ôçò îýóôñáò åßíáé 2,58cm. ËÝìå üôé ç ôéìþ 2,6 Ý åé äýï óçìáíôéêü øçößá (2 êáé 6) åíþ ç ôéìþ 2,58 Ý åé ôñßá óçìáíôéêü øçößá (2,5 êáé 8). Ôá øçößá ôïõ áñéèìçôéêïý áðïôåëýóìáôïò ìéáò ìýôñçóçò, ãéá ôá ïðïßá åßìáóôå áðüëõôá âýâáéïé (üôé åßíáé óùóôü) ïíïìüæïíôáé óçìáíôéêü øçößá. Åðßóçò ìå Ýíáí çìéáíáëõôéêü æõãü ðïõ æõãßæåé ìå áêñßâåéá 1 10 ôïõ ãñáììáñßïõ âñßóêïõìå üôé ç ìüæá åíüò áíôéêåéìýíïõ (ð.. ôçò îýóôñáò) åßíáé 8,6g. Ç ôéìþ áõôþ Ý åé äýï óçìáíôéêü øçößá. Áí ç ßäéá ìüæá õðïëïãéóôåß ìå Üëëï ðéï áêñéâþ æõãü 1 ðïõ æõãßæåé ìå áêñßâåéá ôïõ ãñáììáñßïõ âñßóêïõìå 100 ùò ôéìþ 8,63g. Ôþñá ç ôéìþ ôçò ìüæáò ôçò îýóôñáò Ý åé ôñßá óçìáíôéêü øçößá (ôï 8, ôï 6 êáé ôï 0). Ôï ôåëåõôáßï øçößï åßíáé áñêåôü óùóôü êáé åããõüôáé üôé ôá äýï ðñïçãïýìåíá øçößá åßíáé óßãïõñá óùóôü. 9.2 Óôñïããõëïðïßçóç áñéèìçôéêïý áðïôåëýóìáôïò Óå Ýíá áñéèìçôéêü áðïôýëåóìá ðïõ ðñïýêõøå áðü ôç ìýôñçóç åíüò öõóéêïý ìåãýèïõò äåí ðñýðåé íá ãñüöïõìå ðåñéóóüôåñá øçößá áðü üóá ìáò ðáñý åé ç áêñßâåéá ôïõ ïñãüíïõ (Þ ôçò ìåèüäïõ). ÐñÝðåé íá áíáãñüöïõìå ìüíï åêåßíá ãéá ôá ïðïßá åßìáóôå âýâáéïé üôé åßíáé óùóôü, äçëáäþ ôá óçìáíôéêü øçößá. Åßíáé ðñïöáíýò üôé ç áíáãñáöþ ðñüóèåôùí øçößùí ðýñá áðü ôá óçìáíôéêü äåí Ý åé êáìßá óçìáóßá. Ôá åðéðëýïí øçößá ü é ìüíï óõíéóôïýí áðþëåéá ñüíïõ áëëü ìðïñïýí íá ïäçãþóïõí êáé óå ðáñáðëüíçóç åêåßíïõò ðïõ ôá ñçóéìïðïéïýí êáé ôá åìðéóôåýïíôáé. Áõôü ðñýðåé íá ôï Ý ïõìå éäéáßôåñá õðüøç ìáò, üôáí åêôåëïýìå áñéèìçôéêýò ðñüîåéò ìå ôçí áñéèìïìç áíþ (õðïëïãéóôþ ôóýðçò Þ êïìðéïõôåñüêé). Óôçí ïèüíç åìöáíßæïíôáé ôüôå 8 Þ ðåñéóóüôåñá øçößá, áðü ôá ïðïßá ôá ôåëåõôáßá äåîéü åßíáé ùñßò áîßá. Åßíáé áíüãêç ôýôïéá áñéèìçôéêü áðïôåëýóìáôá íá ôá óôñïããõëïðïéïýìå óôï ðëçóéýóôåñï äåêáäéêü øçößï, þóôå üëá ôá øçößá íá åßíáé óçìáíôéêü óôçí áðüíôçóþ ìáò. íáò áñéèìüò óôñïããõëïðïéåßôáé óôïí åðéèõìçôü áñéèìü óçìáíôéêþí øçößùí, áí ðáñáëåßøïõìå Ýíá Þ ðåñéóóüôåñá øçößá áðü ôá äåîéü. ¼ôáí ôï ðñþôï (áðü ôá äåîéü) øçößï ðïõ ðáñáëåßðåôáé åßíáé ìåãáëýôåñï ôïõ 5, ôüôå óôï ôåëåõôáßï øçößï ðïõ áðïìýíåé ðñïóèýôïõìå ôç ìïíüäá: ð.. ï áñéèìüò 3,1416 ãßíåôáé 3,142. ¼ôáí ôï ðñþôï øçößï ðïõ ðáñáëåßðåôáé åßíáé ìéêñüôåñï ôïõ 5, ôüôå ôï ôåëåõôáßï øçößï ðáñáìýíåé áìåôüâëçôï.
5 Åñãáóôçñéáêüò ïäçãüò 35 ð.. ï áñéèìüò 3,142 ãßíåôáé äéáäï éêü 3,14, 3,1 êáé 3. ¼ôáí ôï øçößï ðïõ ðáñáëåßðåôáé åßíáé áêñéâþò 5, ôüôå ðñïóèýôïõìå ôç ìïíüäá áí ôï ôåëåõôáßï øçößï åßíáé ðåñéôôü áëëéþò ðáñáëåßðåôáé. ð.. ôï ìþêïò 23,75cm ãßíåôáé 23,8cm ôï ìþêïò 23,65cm ãßíåôáé 23,6cm ôï ìþêïò 23,85cm ãßíåôáé 23,8cm ¼ôáí ðñáãìáôïðïéïýìå ðñïóèýóåéò (Þ áöáéñýóåéò) ðñýðåé ìåôü ôçí åêôýëåóç ôçò ðñüîçò íá óôñïããõëïðïéïýìå ôï áðïôýëåóìá. ÊáôÜ ôçí ðñüóèåóç (Þ ôçí áöáßñåóç) ðñýðåé ôï Üèñïéóìá (Þ ç äéáöïñü) íá äéáôçñþóåé ôüóá äåêáäéêü øçößá üóá ï áñéèìüò ìå ôá ëéãüôåñá äåêáäéêü øçößá. Ãéá ðáñüäåéãìá: 4, 1 1,63 0,014 5,744 Ôï áñéèìçôéêü áõôü áðïôýëåóìá óôñïããõëïðïéåßôáé óôïí áñéèìü 5,7 äçëáäþ ìå Ýíá ìüíï äåêáäéêü øçößï. ¼ôáí ðñáãìáôïðïéïýìå ðïëëáðëáóéáóìïýò Þ äéáéñýóåéò, ôï áðïôýëåóìá ðñýðåé íá óôñïããõëïðïéåßôáé Ýôóé, þóôå íá ðåñéý åé ìüíï üóá óçìáíôéêü øçößá Ý åé ï ëéãüôåñï áêñéâþò áñéèìüò. ð.. óôïí ðïëëáðëáóéáóìü 8,37 cm 2,3 cm, ôï áðïôýëåóìá ðñýðåé íá äïèåß ìå äýï óçìáíôéêü øçößá. Åßíáé 8,37cm. 2,3cm=19,251cm 2 êáé ìåôü ôç óôñïããõëïðïßçóç ôï åîáãüìåíï ãñüöåôáé 19cm 2. Óçìåßùóç: ÕðÜñ ïõí áñéèìïìç áíýò ðïõ åêôüò áðü ôéò áñéèìçôéêýò ðñüîåéò ðñáãìáôïðïéïýí êáé óôñïããõëïðïéþóåéò ôùí áðïôåëåóìüôùí. 10. ÃÑÁÖÉÊÅÓ ÐÁÑÁÓÔÁÓÅÉÓ 10.1 Ðùò êáôáóêåõüæïõìå ìéá ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ÊáôÜ ôç ìåëýôç åíüò öáéíïìýíïõ óôï åñãáóôþñéï êáôáãñüöïõìå ôá áðïôåëýóìáôá ôùí ðáñáôçñþóåùí êáé ôùí ìåôñþóåþí ìáò óå ðßíáêåò. Ïé ðßíáêåò áõôïß ìáò äßíïõí ìßá óåéñü áðü ðëçñïöïñßåò ãéá ôçí åîýëéîç ôïõ öáéíïìýíïõ. Ìðïñïýìå íá Ý ïõìå ìßá áðëþ êáé ðáñáóôáôéêþ åéêüíá ôçò ó Ýóçò (áëëçëïåîüñôçóçò) äýï öõóéêþí ìåãåèþí, áí ìå âüóç ôïí ðßíáêá ôéìþí êáôáóêåõüóïõìå ôçí áíôßóôïé- ç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç. Ãéá íá êáôáóêåõüóïõìå ôç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò ó Ýóçò äýï öõóéêþí ìåãåèþí - ìåôáâëçôþí, åñãáæüìáóôå ùò åîþò:
6 36 Åñãáóôçñéáêüò ïäçãüò áñüóóïõìå óå áñôß, óõíþèùò éëéïóôïìåôñéêü (ìéëéìåôñý) äýï çìéåõèåßåò êüèåôåò ìåôáîý ôïõò (ôïõò Üîïíåò óõíôåôáãìýíùí). Óôïí ïñéæüíôéï Üîïíá (Üîïíá ôùí ôåôìçìýíùí) ôïðïèåôïýìå ôçí áíåîüñôçôç ìåôáâëçôþ ãñüöïíôáò ôï üíïìá (Þ ôï óýìâïëï) ôïõ öõóéêïý ìåãýèïõò ìáæß ìå ôçí ìïíüäá óôçí ïðïßá ìåôñþèçêå. Óôïí êáôáêüñõöï Üîïíá ôïðïèåôïýìå ôçí åîáñôçìýíç ìåôáâëçôþ. Âáèìïíïìïýìå êáôüðéí ôïõò äýï Üîïíåò. Èåùñïýìå ùò óçìåßï ìçäýí ãéá ôïí êüèå Üîïíá ôï óçìåßï ôïìþò ôïõò (áñ Þ ôùí óõíôåôáãìýíùí). ùñßæïõìå ôïí ïñéæüíôéï Üîïíá óå ßóá äéáóôþìáôá Ýôóé, þóôå ôï êáèýíá íá áíôéðñïóùðåýåé ôç ìïíüäá Þ ßóï áñéèìü ìïíüäùí ôçò áíåîüñôçôçò ìåôáâëçôþò. Óå êüèå õðïäéáßñåóç ôïõ Üîïíá óçìåéþíïõìå ôçí áíôßóôïé ç ôéìþ (áñéèìü ìïíüäùí ìýôñçóçò) ôçò áíåîüñôçôçò ìåôáâëçôþò. ôóé åðüíù óôïí ïñéæüíôéï Üîïíá ó çìáôßæåôáé ìßá âáèìïíïìçìýíç êëßìáêá. ¼ìïéá åñãáæüìáóôå ãéá íá âáèìïíïìþóïõìå ôïí êáôáêüñõöï Üîïíá. ÌåôÜ ôç âáèìïíüìçóç óçìåéþíïõìå óôï åðßðåäï ôùí áîüíùí ôá ðåéñáìáôéêü óçìåßá êáôü ôï ãíùóôü áðü ôá ÌáèçìáôéêÜ ôñüðï. Óå êüèå æåýãïò ôéìþí ôïõ ðßíáêá ìåôñþóåùí áíôéóôïé åß Ýíá ðåéñáìáôéêü óçìåßï. Äéá ìýóïõ ôùí óçìåéùìýíùí ðåéñáìáôéêþí óçìåßùí áñüóóïõìå ôçí êáëýôåñç ãñáììþ, äçëáäþ ôçí ïìáëþ ãñáììþ ðïõ ðñïóåããßæåé ðåñéóóüôåñï ôá óçìåßá Þ äéýñ åôáé áðü áõôü. ÐÉÍÁÊÁÓ ñüíïò Áðüóôáóç t (s) (m) ,5 2 2,0 3 4,5 4 8,0 H ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò áðüóôáóçò óõíáñôþóåé ôïõ ñüíïõ t óå ìßá åõèýãñáììç ïìáëü åðéôá õíüìåíç êßíçóç Óçìåßùóç 1 ç : ÅðÜíù óå êüèå Üîïíá óçìåéþíïõìå ôéò ôéìýò ôçò êëßìáêáò ü é üìùò êáé ôéò ôéìýò ôùí ðåéñáìáôéêþí ìåôñþóåùí. Óçìåßùóç 2 ç : Ç åêëïãþ ôùí êëéìüêùí ãéá ôïõò äýï Üîïíåò ðñýðåé íá åßíáé ôýôïéá, þóôå ôá ðåéñáìáôéêü óçìåßá íá êáëýðôïõí üóï ôï äõíáôüí ìåãáëýôåñï ìýñïò áðü ôï áñôß ó åäßáóçò. Óçìåßùóç 3 ç : Ç êüèå õðïäéáßñåóç ôçò êëßìáêáò óôïõò Üîïíåò ðñýðåé íá åßíáé ßóç Þ áêýñáéï ðïëëáðëüóéï ôùí áñéèìþí 1,2,5,10.
7 Åñãáóôçñéáêüò ïäçãüò 37 ÁõôÞ ç åðéëïãþ ìáò äéåõêïëýíåé íá ðñïóäéïñßæïõìå ôá óçìåßá ðïõ áíôéóôïé ïýí óå ôéìýò åíäéüìåóåò áðü áõôýò ðïõ Ý ïõí óçìåéùèåß. Óçìåßùóç 4 ç : ÓõíäÝïõìå ôá ðåéñáìáôéêü óçìåßá ìå ïìáëþ ãñáììþ êáé ü é ôåèëáóìýíç. ¼ôáí äåí ìðïñïýìå íá öýñïõìå ïìáëþ ãñáììþ ðïõ íá äéýñ åôáé áðü ôá óçìåßá, ôüôå áñüóóïõìå ôçí ïìáëþ ãñáììþ ðïõ ôá ðñïóåããßæåé êáé ôá êáôáíýìåé éóüññïðá áðü ôç ìéá êáé ôçí Üëëç ðëåõñü ÃñáöéêÝò ðáñáóôüóåéò ìåñéêþí áðëþí óõíáñôþóåùí ÃñáöéêÞ ðáñüóôáóç åõèýùò áíáëüãùí ðïóïôþôùí Óôïí ÐÉÍÁÊÁ öáßíåôáé üôé, üôáí ç ìåôáâëçôþ (áíåîüñôçôç ìåôáâëçôþ) äéðëáóéüæåôáé, ôüôå êáé ç ìåôáâëçôþ y (åîáñôçìýíç ìåôáâëçôþ) äéðëáóéüæåôáé, üôáí ç ôñéðëáóéüæåôáé, ôüôå êáé ç y ôñéðëáóéüæåôáé ê.ï.ê. ËÝìå üôé ç y åßíáé åõèýùò áíüëïãç ôçò Þ óõìâïëéêü y. Éó ýåé y k üðïõ k åßíáé ç óôáèåñü áíáëïãßáò Þ y=k ÐÉÍÁÊÁÓ y Ãéá ìßá åîßóùóç, üðùò ç y=k, ç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç åßíáé åõèåßá ç ïðïßá äéýñ åôáé áðü ôçí áñ Þ ôùí áîüíùí. Ðáñáäåßãìáôá ÃñáöéêÞ ðáñüóôáóç ôçò ó Ýóçò ìåôáîý äýíáìçò êáé åðéìþêõíóçò åëáôçñßïõ (Íüìïò ôïõ Hooke) ÃñáöéêÞ ðáñüóôáóç ôçò ó Ýóçò ìåôáîý ôüóçò êáé Ýíôáóçò çëåêôñéêïý ñåýìáôïò (Íüìïò ôïõ Ohm).
8 38 Åñãáóôçñéáêüò ïäçãüò ÃñáöéêÞ ðáñüóôáóç ðïóïôþôùí ðïõ ìåôáâüëëïíôáé ãñáììéêü áëëü ü é åõèýùò áíüëïãá Ç ó Ýóç ìåôáîý ôùí ìåôáâëçôþí êáé y åßíáé y = k +c üðïõ k êáé c åßíáé óôáèåñýò ðïóüôçôåò. Ãéá ôç óõíüñôçóç áõôþ ç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç åßíáé åõèåßá, ç ïðïßá äåí äéýñ åôáé áðü ôçí áñ Þ ôùí áîüíùí. Ç áñ Þ ôçò åõèåßáò åßíáé ôï óçìåßï (0, c) ÐáñÜäåéãìá Óôçí åõèýãñáììç ïìáëü åðéôá õíüìåíç êßíçóç ìå áñ éêþ ôá ýôçôá õ 0 éó ýåé ç åîßóùóç õ = õ 0 +át üðïõ õ ç ôá ýôçôá ôïõ êéíçôïý êáôü ôç ñïíéêþ óôéãìþ t, õ 0 ç áñ éêþ ôïõ ôá ýôçôá êáé á ç åðéôü õíóþ ôïõ. Ç ãñáöéêþ ðáñüóôáóþ ôçò åßíáé åõèåßá. Ç áñ Þ ôçò åõèåßáò åßíáé ôï óçìåßï (0, õ 0 ). ÃñáöéêÞ ðáñüóôáóç áíôéóôñüöùò áíáëüãùí ðïóïôþôùí Óôïí ÐÉÍÁÊÁ öáßíåôáé üôé, üôáí ç ÐÉÍÁÊÁÓ ìåôáâëçôþ äéðëáóéüæåôáé, ôüôå ç y y ãßíåôáé ç ìéóþ, üôáí ç ìåôáâëçôþ 1 12 ôñéðëáóéüæåôáé, ôüôå ç y ãßíåôáé 2 6 ôï 1/3 ê.ï.ê. ËÝìå üôé ç y åßíáé 3 4 áíôéóôñüöùò áíüëïãç ôçò Þ óõìâïëéêü y ÅðåéäÞ óôéò áíôéóôñüöùò áíüëïãåò ðïóüôçôåò ôï ãéíüìåíï äýï áíôßóôïé ùí ôéìþí åßíáé óôáèåñü, ìðïñïýìå íá ãñüøïõìå. y = k üðïõ k åßíáé ìßá óôáèåñü 1 Þ y k Ç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò y óõíáñôþóåé ôçò åßíáé ìßá êáìðýëç. Áí üìùò èåùñþóïõìå ùò áíåîüñôçôç ìåôáâëçôþ ôçí ðïóüôçôá 1, ôüôå ç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ðïõ èá ðñïêýøåé åßíáé åõèåßá ðïõ äéýñ åôáé áðü ôçí áñ Þ ôùí áîüíùí. ÐáñÜäåéãìá Ãéá óôáèåñþ äýíáìç F, ç åðéôü õíóç á ðïõ áðïêôü Ýíá óþìá åßíáé áíôéóôñüöùò áíüëïãç ôçò ìüæáò ôïõ. á F m 1
9 Åñãáóôçñéáêüò ïäçãüò Ç êëßóç ôçò ãñáììþò óå ìßá ãñáöéêþ ðáñüóôáóç Êëßóç ãñáììéêþò óõíüñôçóçò Áò èåùñþóïõìå ôç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ìéáò ãñáììéêþò óõíüñôçóçò ð.. ôçò y = á, ç ïðïßá åßíáé åõèåßá. Ãéá íá âñïýìå ôçí êëßóç ôçò åõèåßáò, ó åäéüæïõìå Ýíá ìåãüëï ïñèïãþíéï ôñßãùíï ÁÂÃ, üðùò öáßíåôáé óôçí åéêüíá. Âñßóêïõìå ôéò ôéìýò ôùí äýï êüèåôùí ðëåõñþí ôïõ óôéò áíôßóôïé åò ìïíüäåò ôùí áîüíùí. ÁÂ = Äy = y 2 -y 1 êáé ÃÁ = Ä = 2-1 Õðïëïãßæïõìå Ýðåéôá ôçí êëßóç ôçò ãñáöéêþò ðáñüóôáóçò áðü ôï ëüãï ôùí äýï áõôþí ðëåõñþí ôïõ ôñéãþíïõ Êëßóç ÁÂ ÃÁ Äy Ä y y ÖõóéêÞ óçìáóßá ôçò êëßóçò óå ãñáöéêýò ðáñáóôüóåéò Ç êëßóç ãñáöéêþò ðáñüóôáóçò Ý åé óå ðïëëýò ðåñéðôþóåéò êüðïéá öõóéêþ óçìáóßá: åßíáé ßóç ìå ôçí ôéìþ êüðïéïõ öõóéêïý ìåãýèïõò. Ç êëßóç óôç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò åðéìþêõíóçò óõíáñôþóåé ôçò äýíáìçò åßíáé ßóç ìå ôï áíôßóôñïöï ôçò óôáèåñüò k ôïõ åëáôçñßïõ y F 1 k H êëßóç óôç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò åðéôü õíóçò óõíáñôþóåé ôçò äýíáìçò åßíáé ßóç ìå ôï áíôßóôñïöï ôçò ìüæáò m ôïõ óþìáôïò á F 1 m Ç êëßóç óôç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò áðüóôáóçò óõíáñôþóåé ôïõ ñüíïõ óôçí åõèýãñáììç ïìáëþ êßíçóç åßíáé ßóç áñéèìçôéêü ìå ôçí ôá ýôçôá ôïõ êéíçôïý Ä 2 1 õ Ät t t 2 1
10 40 Åñãáóôçñéáêüò ïäçãüò Ç êëßóç óôç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò ôá ýôçôáò óõíáñôþóåé ôïõ ñüíïõ óôçí åõèýãñáììç ïìáëü åðéôá õíüìåíç êßíçóç åßíáé ßóç áñéèìçôéêü ìå ôçí åðéôü õíóç ôïõ êéíçôïý Äõ Ät õ õ0 t á Êëßóç óå ìç ãñáììéêþ óõíüñôçóç ¼ôáí ç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç åßíáé êáìðýëç ãñáììþ ìðïñïýìå íá õðïëïãßóïõìå ôçí êëßóç ôçò ãéá äýï óçìåßá ôçò Þ ãéá Ýíá. Ç êëßóç óôç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò áðüóôáóçò óõíáñôþóåé ôïõ ñüíïõ ãéá äýï óçìåßá ôçò êáìðýëçò åßíáé ßóç ìå ôçí áñéèìçôéêþ ôéìþ ôçò ìýóçò ôá ýôçôáò õ ì ôïõ êéíçôïý. ÁÂ ÃÁ Ä Ät t t Ç êëßóç óôç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò áðüóôáóçò óõíáñôþóåé ôïõ ñüíïõ óå Ýíá óçìåßï (äçëáäþ óå ìéá ñïíéêþ óôéãìþ t 1 ) âñßóêåôáé, áí öýñïõìå ôçí åöáðôïìýíç óôï óçìåßï áõôü êáé ó çìáôßóïõìå Ýíá ïñèïãþíéï ôñßãùíï ÁÂÃ. Ç êëßóç ôçò åöáðôïìýíçò åßíáé ßóç ìå ôçí ôéìþ ôçò óôéãìéáßáò ôá ýôçôáò ôïõ êéíçôïý. ÁÂ ÃÁ Ä Ät B Ät õ 10.4 Ôï åìâáäüí ãñáöéêþò ðáñüóôáóçò Óå ðïëëýò ðåñéðôþóåéò ôï åìâáäüí ðïõ ïñßæåôáé áðü ôç ãñáììþ ôçò óõíüñôçóçò y=f(), áðü ôïí Üîïíá ôùí ôåôìçìýíùí êáé ôá üñéá ìåôáâïëþò ôçò ôåôìçìýíçò Ý åé áîéïóçìåßùôç öõóéêþ óçìáóßá. Óå êüèå äéüãñáììá ôï åìâáäüí åßíáé ßóï áñéèìçôéêü ìå ôçí áðüóôáóç ðïõ äéþíõóå ôï êéíçôü. Óå êüèå äéüãñáììá ôï åìâáäüí åßíáé ßóï áñéèìçôéêü ìå ôï Ýñãï W ðïõ ðáñþãáãå ç äýíáìç F.
10. ÃÑÁÖÉÊÅÓ ÐÁÑÁÓÔÁÓÅÉÓ Ðùò êáôáóêåõüæïõìå ìéá ãñáöéêþ ðáñüóôáóç
0. ÃÑÁÖÉÊÅÓ ÐÁÑÁÓÔÁÓÅÉÓ 0. Ðùò êáôáóêåõüæïõìå ìéá ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ÊáôÜ ôç ìåëýôç åíüò öáéíïìýíïõ óôï åñãáóôþñéï êáôáãñüöïõìå ôá áðïôåëýóìáôá ôùí ðáñáôçñþóåùí êáé ôùí ìåôñþóåþí ìáò óå ðßíáêåò. Ïé ðßíáêåò
3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x. (iv) f(x, y, z) = sin x 2 + y 2 + 3z Íá âñåèïýí ôá üñéá (áí õðüñ ïõí): lim
3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x (i) f(x, y) = sin 1 2 (x + y) (ii) f(x, y) = y 2 + 3 (iii) f(x, y, z) = 25 x 2 y 2 z 2 (iv) f(x, y, z) = z +ln(1 x 2 y 2 ) 3.2 (i) óôù f(x, y, z) =
2.4 ñçóéìïðïéþíôáò ôïí êáíüíá áëõóßäáò íá âñåèåß ç dr
2.1 i) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = 2 + t)i + 1 2t)j + 3tk ôýìíåé ôï åðßðåäï xz. ii) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = ti + 1 + 2t)j 3tk ôýìíåé
ÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ. 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ)
44 ÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ) Óå äéüöïñåò öõóéêýò åöáñìïãýò õðüñ ïõí ìåãýèç ôá ïðïßá ìðïñïýí íá áñáêôçñéóèïýí ìüíï ìå Ýíá áñéèìü. ÔÝôïéá ìåãýèç, üðùò ãéá ðáñüäåéãìá, ç èåñìïêñáóßá
( ) ξî τέτοιο, + Ý åé ìßá ôïõëü éóôïí ñßæá óôï äéüóôçìá ( ) h x =,να δείξετε ότι υπάρχει ( α,β) x ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ
. Äßíåôáé ç óõíüñôçóç : [, + ) R óõíå Þò óôï äéüóôçìá [,+ ) êáé ðáñáãùãßóéìç óôï äéüóôçìá (,+ ), ãéá ôçí ïðïßá éó ýåé ( ) = α. óôù üôé õðüñ åé κî R, þóôå íá éó ýåé ( ) κ ãéá êüèå Î (,+ ). Íá äåßîåôå üôé
Ðñïêýðôïõí ôá ðáñáêüôù äéáãñüììáôá.
ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ Ãéá Ýíá óþìá ðïõ åêôåëåß åõèýãñáììç ïìáëü ìåôáâáëëüìåíç êßíçóç éó ýïõí ïé ôýðïé: õ=õ ï +á. t x=õ. ï t+ át. ÅÜí ôï óþìá îåêéíüåé áðü ôçí çñåìßá, äçëáäþ ç áñ éêþ ôá ýôçôá åßíáé õ ï =0, ôüôå ïé
3.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ
.1 Ç Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò 55.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò Åñþ ôçóç 1 Ôé ëýãåôáé óõíüñôçóç; ÁðÜíôçóç Ç ó Ýóç åêåßíç ðïõ êüèå ôéìþ ôçò ìåôáâëçôþò x, áíôéóôïé ßæåôáé óå ìéá ìüíï ôéìþ ôçò ìåôáâëçôþò y ëýãåôáé
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôá Üñôéá óôïé åßá êáôáëáìâüíïõí ôéò ôåëåõôáßåò
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôï óôïé åßï âñßóêåôáé óå êüðïéá áðü ôéò
å) Íá âñåßôå ôï äéüóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï êéíçôü êáôü ôï ñïíéêü äéüóôçìá áðü ôï ðñþôï Ýùò ôï Ýâäïìï äåõôåñüëåðôï ôçò êßíçóþò ôïõ.
ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÁ ÃÅÍÉÊÇÓ ÐÁÉÄÅÉÁÓ Ã ËÕÊÅÉÏÕ È Å Ì Á 1 ï 3 ï Ä É Á Ã Ù Í É Ó Ì Á á êéçôü êéåßôáé ðüù óôï Üîïá x~x. Ç èýóç ôïõ êüèå ñïéêþ óôéãìþ t äßåôáé áðü ôç 3 óõüñôçóç x(t) = t 1t + 60t + 1, üðïõ ôï t ìåôñéýôáé
Ó ÅÄÉÁÓÌÏÓ - ÊÁÔÁÓÊÅÕÇ ÓÔÏÌÉÙÍ & ÅÉÄÉÊÙÍ ÅÎÁÑÔÇÌÁÔÙÍ ÊËÉÌÁÔÉÓÌÏÕ V X
V X A B+24 AEROGRAMÌI Ïé äéáóôüóåéò ôùí óôïìßùí ôçò óåéñüò Å öáßíïíôáé óôï ðáñáêüôù ó Þìá. Áíôßóôïé á, ïé äéáóôüóåéò ôùí óôïìßùí ôçò óåéñüò ÂÔ öáßíïíôáé óôï Ó Þìá Å. Ãéá ôïí ðñïóäéïñéóìü ôçò ðáñáããåëßáò
16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò.
55 16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò. A ÌÝñïò 1. Íá êáôáóêåõüóåéò óôï Function Probe ôç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò y=çìx. Óôïí ïñéæüíôéï Üîïíá íá ïñßóåéò êëßìáêá áðü ôï -4ð
ÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ. 3.1 ÅéóáãùãÞ
28 ÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ 3.1 ÅéóáãùãÞ Ãéá êüèå ôåôñáãùíéêü ðßíáêá A áíôéóôïé åß Ýíáò ðñáãìáôéêüò áñéèìüò ï ïðïßïò êáëåßôáé ïñßæïõóá êáé óõíþèùò óõìâïëßæåôáé ìå A Þ det(a). ÌåôáèÝóåéò: Ìéá áðåéêüíéóç ôïõ
ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ. Åõèýãñáììç êßíçóç. ôçò ìåôáôüðéóþò ôïõ êáé íá âñåßôå ôçí ôéìþ ôçò. Ðüóï åßíáé ôï äéüóôçìá ðïõ äéüíõóå ôï êéíçôü óôç äéáäñïìþ áõôþ;
63 63 ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ 1. Íá áíáöýñåôå ðïéá áðü ôá óþìáôá ðïõ öáßíïíôáé óôçí åéêüíá êéíïýíôáé A. Ùò ðñïò ôç Ãç B. Ùò ðñïò ôï áõôïêßíçôï. 5. íá êéíçôü ìåôáôïðßæåôáé áðü ôç èýóç Ì 1 óôç èýóç Ì 2. Íá ó åäéüóåôå
ÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò
ÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò Áíôþíçò Ïéêïíüìïõ aeconom@math.uoa.gr ÌáÀïõ óêçóç (Ross, Exer. 4.8) Áí E[X] êáé V ar[x] 5 íá âñåßôå. E[( + X) ],. V ar[4 + X]. óêçóç (Ross, Exer. 4.64)
ÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ. 5.1 ÅéóáãùãÞ. 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ
55 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ ÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ 5.1 ÅéóáãùãÞ Ïñéóìüò: íá óýíïëï V êáëåßôáé äéáíõóìáôéêüò þñïò Þ ãñáììéêüò þñïò ðüíù óôïí IR áí (á) ôï V åßíáé êëåéóôü ùò ðñïò ôç ðñüóèåóç,
Íá èõìçèïýìå ôç èåùñßá...
ÇËÅÊÔÑÉÊÏ ÐÅÄÉÏ Íá èõìçèïýìå ôç èåùñßá....1 Ôé ïíïìüæïõìå çëåêôñéêü ðåäßï; Çëåêôñéêü ðåäßï ïíïìüæïõìå ôïí þñï ìýóá óôïí ïðïßï áí âñåèåß Ýíá çëåêôñéêü öïñôßï èá äå èåß äýíáìç. Ãéá íá åîåôüóïõìå áí óå êüðïéï
ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ
66 ÊåöÜëáéï 3 ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ 3.1 ÅéóáãùãÞ óôù üôé S åßíáé Ýíá óýíïëï áðü óçìåßá óôïí n äéüóôáôï þñï. Ìéá óõíüñôçóç (ðïõ ïñßæåôáé óôï S) åßíáé ìéá ó Ýóç ç ïðïßá ó åôßæåé êüèå óôïé åßï ôïõ
1.1 ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò óôï 3-äéÜóôáôï þñï
ÊåöÜëáéï 1 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 1.1 ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò óôï 3-äéÜóôáôï þñï óôù ç ôñéüäá (a, b, c). Ôï óýíïëï ôùí ôñéüäùí êáëåßôáé 3-äéÜóôáôïò þñïò êáé óõìâïëßæåôáé ìå IR 3. Åéäéêüôåñá ç ôñéüäá (a, b, c) ïñßæåé
Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí
Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí Çëßáò Ê. Óôáõñüðïõëïò Ïêôþâñéïò 006 1 Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß ÎåêéíÜìå äéáôõðþíïíôáò ôïõò ïñéóìïýò ôùí ðýíôå ãíùóôþí áóõìðôùôéêþí óõìâïëéóìþí: Ïñéóìüò
ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â
ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â 464 ÅÊÙÓ 000 - Ó ÏËÉÁ ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ Â.1 ÁÓÕÌÌÅÔÑÏ ÓÕÓÔÇÌÁ Η N / ( 0. + 0.1 η) 0.6 ν ν, η 3, η > 3...
Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò
50. Βήµα ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις ã) Ùò ðñïò ôçí áñ Þ ôùí áîüíùí, áí êáé ìüíï áí Ý ïõí áíôßèåôåò óõíôåôáãìýíåò. ÄçëáäÞ: á = á êáé â = â ÂÞìá Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò ä) Ùò ðñïò ôç äé ïôüìï ôçò çò êáé
1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç
1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç 7 1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç Åñþ ôçóç 1 Ðïéïé áñéèìïß ïíïìüæïíôáé öõóéêïß; Ðþò ôïõò óõìâïëßæïõìå êáé ðþò ùñßæïíôáé;
Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
ÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ
ÌÜèçìá 7 ÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèåß ç Ýííïéá ôïõ ïñßïõ ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò ìå ôñüðï ðñïóáñìïóìýíï óôéò áðáéôþóåéò ôùí äéáöüñùí åöáñìïãþí, ðïõ áðáéôïýíôáé óôçí åðéóôþìç ôïõ.
ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
30 ÊåöÜëáéï 2 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 2.1 ÅéóáãùãÞ ¼ðùò êáé óôïí IR 2, Ýôóé êáé óôïí IR 3 ìðïñïýìå íá ïñßóïõìå ìéá êáìðýëç ðáñáìåôñéêü. ÄçëáäÞ, íá Ý åé ôç ìïñöþ x = x(t), y = y(t), z = z(t), üðïõ t åßíáé
1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) 2. Íá âñåèåß ç ãåíéêþ ëýóç ôçò äéáöïñéêþò åîßóùóçò (15 ìïí.)
ÔÅÉ ËÜñéóáò, ÔìÞìá Ìç áíïëïãßáò ÌáèçìáôéêÜ ÉI, ÅîÝôáóç Ðåñéüäïõ Éïõíßïõ 24/6/21 ÄéäÜóêùí: Á éëëýáò Óõíåöáêüðïõëïò 1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) (3x 2 + 6xy 2 )dx + (6x 2 y + 4y 3 )dy = 2. Íá
1. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï
5. ÐÑÏÏÄÏÉ 7 5. ÁñéèìçôéêÞ ðñüïäïò Á ÏìÜäá. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï á = 7 êáé äéáöïñü ù = 3. Óõíåðþò
ÅðåéäÞ ïé äõíüìåéò F 1 êáé F 2 åßíáé ïìüññïðåò (ó Þìá) èá éó ýåé: F ïë = F 1 + F 2. ÔåëéêÜ: F ïë = 1.500Í.
ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ Ç äýíáìç áëëçëåðßäñáóçò äýï çëåêôñéêþí öïñôßùí ìðïñåß íá õðïëïãéóôåß ìå âüóç ôïí íüìï ôïõ Coulomb. Óôï ðáñüäåéãìá ìáò âñßóêåôáé ç óõíéóôáìýíç äýíáìç ðïõ åíåñãåß óôï öïñôßï q áðü äýï Üëëá öïñôßá
ÌåôñÞóåéò êáé ÓöÜëìáôá
ÌåôñÞóåéò êáé ÓöÜëìáôá ÅðéìÝëåéá : Ê. ÊáñáôÜóïò ÁñéóôïôÝëåéï ÐáíåðéóôÞìéï Èåóóáëïíßêçò ÔìÞìá çìéêþí Ìç áíéêþí - ÅñãáóôÞñéï ÖõóéêÞò çìåßáò 1 Åõóôï ßá êáé Áêñßâåéá 3 2 Åßäç Ðåéñáìáôéêþí ÓöáëìÜôùí 4 2.1 Áêïýóéá
Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Åñãáóôçñéáêüò ïäçãüò ÅÑÃÁÓÔÇÑÉÁÊÏÓ ÏÄÇÃÏÓ ÖÕÓÉÊÇÓ ÃÅÍÉÊÇÓ ÐÁÉÄÅÉÁÓ A ÔÁÎÇÓ ÅÍÉÁÉÏÕ ËÕÊÅÉÏÕ
Åñãáóôçñéáêüò ïäçãüò 1 ÅÑÃÁÓÔÇÑÉÁÊÏÓ ÏÄÇÃÏÓ ÖÕÓÉÊÇÓ ÃÅÍÉÊÇÓ ÐÁÉÄÅÉÁÓ A ÔÁÎÇÓ ÅÍÉÁÉÏÕ ËÕÊÅÉÏÕ 2 Åñãáóôçñéáêüò ïäçãüò ÕÐÅÕÈÕÍÏÓ ÔÇÓ ÓÕÃÃÑÁÖÉÊÇÓ ÏÌÁÄÁÓ Ðáíáãéþôçò Â. Êüêêïôáò, ÊáèçãçôÞò ôçò ÄéäáêôéêÞò ôùí
4.5 ÁóêÞóåéò çìéêþò éóïññïðßáò ìå åðßäñáóç óôç èýóç éóïññïðßáò
4.5 ÁóêÞóåéò çìéêþò éóïññïðßáò ìå åðßäñáóç óôç èýóç éóïññïðßáò Óôéò áóêþóåéò ìå åðßäñáóç óôç èýóç ìéáò éóïññïðßáò ãßíåôáé áíáöïñü óå ðåñéóóüôåñåò áðü ìßá èýóåéò éóïññïðßáò. Ïé èýóåéò éóïññïðßáò åßíáé äéáäï
Chi-Square Goodness-of-Fit Test*
Chi-Square Goodness-of-Fit Test* Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü fsiannis@mathuoagr February 6, 2009 * Áðü ôéò óçìåéþóåéò "ÓôáôéóôéêÞ Óõìðåñáóìáôïëïãßá" ôïõ Ô ÐáðáúùÜííïõ êáé ôá âéâëßá
1ï ÊñéôÞñéï Áîéïëüãçóçò
1ï ÊñéôÞñéï Áîéïëüãçóçò óå üëç ôçí ýëç ÖõóéêÞò. à ôüîç ÊáèçãçôÞò: ¼íïìá: Âáèìüò: ÈÅÌÁ 1ï Åéê. 1 A. -2ìC ç Á êáé +2ìC ç  -1ìC ç Á êáé -1ìC ç  -9ìC ç Á êáé -9ìC ç  D. +1ìC ç Á êáé +1ìC ç  ÅðéëÝîôå ôç
ÓÔÁÔÉÊÏÓ ÇËÅÊÔÑÉÓÌÏÓ Ðåñéå üìåíá
ÓÔÁÔÉÊÏÓ ÇËÅÊÔÑÉÓÌÏÓ Ðåñéå üìåíá Íüìïò ôïõ Coulomb Çëåêôñéêü Ðåäßï - íôáóç ÄõíáìéêÝò ÃñáììÝò Äõíáìéêü - ÄéáöïñÜ Äõíáìéêïý ÐõêíùôÝò ÃéÜííçò Ãáúóßäçò - ÅÊÖÅ ßïõ Äéáôýðùóç ôïõ Íüìïõ F F - F r F Ç HëåêôñïóôáôéêÞ
ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ
ÌÜèçìá 6 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ ÅéóáãùãÞ 1Ç ðñïóýããéóç ôçò ôéìþò ôçò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò ñçóéìïðïéåßôáé êõñßùò: i) üôáí ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò ìïñöþò ôïõ ôýðïõ ôçò åßíáé áäýíáôïò ï èåùñçôéêüò õðïëïãéóìüò
Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας
Åõèýãñáììç êßíçóç. 1.1 Åõèýãñáììç êßíçóç
33 c m y k Åõèýãñáììç êßíçóç 33 1.1 Åõèýãñáììç êßíçóç c m y k 34 34 Åõèýãñáììç êßíçóç Ðþò èá ìðïñïýóå íá ðåñéãñáöåß ç êßíçóç åíüò áãùíéóôéêïý áõôïêéíþôïõ; Ðüóï ãñþãïñá êéíåßôáé ç ìðüëá ðïõ êëþôóçóå Ýíáò
ΜΑΘΗΜΑ 1. Βαρυτικές και Μαγνητικές Μέθοδοι Γεωφυσικής Διασκόπησης ΝΟΜΟΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ NEWTON ΓΗΙΝΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΜΕΤΡΟΥΜΕΝΑ ΜΕΓΕΘΗ -
ΜΑΘΗΜΑ 1 Βαρυτικές και Μαγνητικές Μέθοδοι Γεωφυσικής Διασκόπησης ΝΟΜΟΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ NEWTON ΓΗΙΝΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΕΣ ΠΕΤΡΩΜΑΤΩΝ- ΟΡΥΚΤΩΝ ΜΕΤΡΟΥΜΕΝΑ ΜΕΓΕΘΗ - ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΣΤΡΕΠΤΟΣ ΖΥΓΟΣ- ΕΚΚΡΕΜΕΣ
ÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÇ ÐÁÑÅÌÂÏËÇ
ÌÜèçìá 3 ÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÇ ÐÁÑÅÌÂÏËÇ 3.1 ÅéóáãùãÞ Åßíáé ãíùóôü üôé óôá äéüöïñá ðñïâëþìáôá ôùí åöáñìïãþí ôéò ðåñéóóüôåñåò öïñýò ðáñïõóéüæïíôáé óõíáñôþóåéò ðïõ ðåñéãñüöïíôáé áðü ðïëýðëïêïõò ôýðïõò, äçëáäþ ôýðïõò
Συντακτική ανάλυση. Μεταγλωττιστές. (μέρος 3ον) Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μεταγλωττιστές Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας Συντακτική ανάλυση (μέρος 3ον) Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Estimation Theory Exercises*
Estimation Theory Exercises* Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü fsiannis@math.uoa.gr December 22, 2009 * Áðü ôéò óçìåéþóåéò "ÓôáôéóôéêÞ Óõìðåñáóìáôïëïãßá" ôïõ Ô. ÐáðáúùÜííïõ, ôéò óçìåéþóåéò
ÓÅÉÑÅÓ TAYLOR ÊÁÉ LAURENT
ÊåöÜëáéï 7 ÓÅÉÑÅÓ TAYLOR ÊÁÉ LAURENT 7. Áêïëïõèßåò ¼ðùò êáé ãéá ôïõò ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò, ìéá (Üðåéñç) áêïëïõèßá ìðïñåß íá èåùñçèåß ùò óõíüñôçóç ìå ðåäßï ïñéóìïý ôïõò èåôéêïýò áêýñáéïõò. ÄçëáäÞ, ìéá
Óõíå Þ êëüóìáôá & Áöáéñåôéêüò Åõêëåßäåéïò áëãüñéèìïò
Óõíå Þ êëüóìáôá & Áöáéñåôéêüò Åõêëåßäåéïò áëãüñéèìïò Áããåëßíá ÂéäÜëç åðéâëýðùí êáèçãçôþò: ÃéÜííçò Ìïó ïâüêçò Q 13 Éïõíßïõ, 2009 ÄïìÞ äéðëùìáôéêþò åñãáóßáò 1o êåö. ÅéóáãùãÞ óôá óõíå Þ êëüóìáôá 2ï êåö. Ëßãç
ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí
ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí ñþóôïò ÊïíáîÞò, A.M. 200416 ìðë 30-06-2005 óêçóç 1. óôù R N n ; n 1. ËÝìå üôé ç R åßíáé "áñéèìçôéêþ" áí õðüñ åé ôýðïò ö(x 1 ; : : : ; x n ) ôçò Ã1 èá ôýôïéïò ðïõ
¼ñãáíá Èåñìïêñáóßáò - ÓõóêåõÝò Øõêôéêþí Ìç áíçìüôùí
¼ñãáíá Èåñìïêñáóßáò - ÓõóêåõÝò Øõêôéêþí Ìç áíçìüôùí ÈåñìïóôÜôçò ÓõíôÞñçóçò REF-DF-SM ÅëÝã åé Ýíá èåñìïóôïé åßï PTC Êëßìáêá èåñìïêñáóßáò: -19? +99 C ëåã ïò áðüøõîçò - dfrst Ôñßá ñåëý: óõìðéåóôþò (30Á, 2ÇÑ),
Τυπικές Γλώσσες. Μεταγλωττιστές. (μέρος 1ο) Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μεταγλωττιστές Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας Τυπικές Γλώσσες (μέρος 1ο) Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο
ΠΕΙΡΑΜΑ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΥ. 2. Βασικοί Ορισμοί. P / A o. Ονομαστική ή Μηχανική Τάση P / A. Πραγματική Τάση. Oνομαστική ή Μηχανική Επιμήκυνση L o
ΠΕΙΡΑΜΑ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΥ 1. Εισαγωγή Σε ένα πείραμα εφελκυσμού, ένα δοκίμιο μήκους L και εγκάρσιας διατομής A υφίσταται συνεχώς αυξανόμενη μονοαξονική επιμήκυνση [συνήθως χρησιμοποιώντας σταθερή ταχύτητα v (crss-head
Ç íýá Ýííïéá ôïõ ýðíïõ!
ΑΞΕΣΟΥΑΡ Ç íýá Ýííïéá ôïõ ýðíïõ! ÅããõÜôáé ôçí áóöüëåéá êáé õãåßá ôïõ ìùñïý êáôü ôç äéüñêåéá ôïõ ýðíïõ! AP 1270638 Õðüóôñùìá Aerosleep, : 61,00 AP 125060 ÊÜëõììá Aerosleep, : 15,30 ÁóöáëÞò, ðüíôá áñêåôüò
ÐÉÍÁÊÅÓ ÔÉÌÙÍ ÁÍÔÉÊÅÉÌÅÍÉÊÙÍ ÁÎÉÙÍ
ÕÐÏÕÑÃÅÉÏ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ÏÉÊÏÍÏÌÉÊÙÍ ÃÅÍÉÊÇ ÄÉÅÕÈÕÍÓÇ ÄÇÌÏÓÉÁÓ ÐÅÑÉÏÕÓÉÁÓ & ÅÈÍÉÊÙÍ ÊËÇÑÏÄÏÔÇÌÁÔÙÍ ÄÉÅÕÈÕÍÓÇ ÔÅ ÍÉÊÙÍ ÕÐÇÑÅÓÉÙÍ & ÓÔÅÃÁÓÇÓ ÔÌÇÌÁ ÁÍÔÉÊÅÉÌÅÍÉÊÏÕ ÐÑÏÓÄÉÏÑÉÓÌÏÕ ÖÏÑÏËÏÃÇÔÅÁÓ ÁÎÉÁÓ ÁÊÉÍÇÔÙÍ
Cel animation. ÅöáñìïãÝò ðïëõìýóùí
ÅöáñìïãÝò ðïëõìýóùí Cel animation Ç ôå íéêþ áõôþ óõíßóôáôáé óôçí êáôáóêåõþ ðïëëþí ó åäßùí ðïõ äéáöýñïõí ìåôáîý ôïõò óå óõãêåêñéìýíá óçìåßá. Ôá ó Ýäéá áõôü åíáëëüóóïíôáé ôï Ýíá ìåôü ôï Üëëï äßíïíôáò ôçí
ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÅËÁ ÉÓÔÙÍ ÔÅÔÑÁÃÙÍÙÍ
ÌÜèçìá 5 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÅËÁ ÉÓÔÙÍ ÔÅÔÑÁÃÙÍÙÍ 5.1 ÄéáêñéôÞ ðñïóýããéóç 5.1.1 ÅéóáãùãÞ Óôï ÌÜèçìá ÐïëõùíõìéêÞ ðáñåìâïëþ åîåôüóôçêå ôï ðñüâëçìá ôçò åýñåóçò ôïõ ðïëõùíýìïõ ðáñåìâïëþò, äçëáäþ ôïõ ðïëõùíýìïõ ðïõ
ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ. ÄõíáìéêÞ óå ìßá äéüóôáóç. 1. Íá áíáöýñåôå ðáñáäåßãìáôá áðü ôá ïðïßá íá öáßíåôáé üôé ç äýíáìç åßíáé äéáíõóìáôéêü
101 c m y k ÄõíáìéêÞ óå ìßá äéüóôáóç 101 ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ 1. Íá áíáöýñåôå ðáñáäåßãìáôá áðü ôá ïðïßá íá öáßíåôáé üôé ç äýíáìç åßíáé äéáíõóìáôéêü öõóéêü ìýãåèïò. 2. ÐåñéãñÜøôå áðëü ðåßñáìá áðü ôï ïðïßï íá öáßíåôáé
ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
ÌÜèçìá 17 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 17.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò 17.1.1 Ïñéóìüò äéáíõóìáôéêþò óõíüñôçóçò 1 Õðåíèõìßæåôáé ï ïñéóìüò ôçò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò ìéáò ðñáãìáôéêþò ìåôáâëçôþò, ðïõ ãéá åõêïëßá óôç
ΕΛΕΝΗ ΓΕΡΟΥΛΑΝΟΥ. Εικονογράφηση ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟΥ ΛΗΔΑ ΒΑΡΒΑΡΟΥΣΗ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟΥ ΕΛΕΝΗ ΓΕΡΟΥΛΑΝΟΥ Εικονογράφηση ΛΗΔΑ ΒΑΡΒΑΡΟΥΣΗ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ Ï ðéï ìåãüëïò êáé ï ðéï óçìáíôéêüò ðáéäáãùãéêüò êáíüíáò äåí åßíáé ôï íá
Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ
ÌÜèçìá 8 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ 8.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Åßíáé Þäç ãíùóôü óôïí áíáãíþóôç üôé ç åðßëõóç ôùí ðåñéóóüôåñùí ðñïâëçìüôùí ôùí èåôéêþí åðéóôçìþí ïäçãåß óôç ëýóç ìéáò äéáöïñéêþò
Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Χημεία Θετικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ
Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Χημεία Θετικής Κατεύθυνσης 2o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ 1.1. ÓùóôÞ áðüíôçóç åßíáé ç Ä. ΘΕΜΑ 1ο 1.2. ñçóéìïðïéïýìå ôçí êáôáíïìþ ôùí çëåêôñïíßùí óå áôïìéêü ôñï éáêü óýìöùíá
[ ] ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò 1. Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò B êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ A (Á.
![[ ] ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò 1. Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò B êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ A (Á.](/thumbs/61/46104077.jpg "[ ] ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò 1. Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò B êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ A (Á.")
ÐÁÑÁÑÔÇÌÁÔÁ 76 77 ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ f( (Á. üôáí ãéá êüèå êáíïíéêü ïñèïãþíéï ôáíõóôþ Q éó
ÅÍÏÔÇÔÁ 6ç ÑÏÍÏÓ-ÄÉÁÄÏ Ç
Ενότητα 6 Μάθημα 45 Πρώτος-τελευταίος 1. Íá êáôáíïþóïõí ôéò Ýííïéåò ðñþôïò êáé ôåëåõôáßïò. 2. Ná ìüèïõí íá ñùôïýí êáé íá áðáíôïýí ó åôéêü ìå ôï ñüíï êáé ôç äéáäï Þ ãåãïíüôùí. 1. Íá áêïýóïõí ôï ðáñáìýèé
ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÏËÏÊËÇÑÙÓÇ
ÌÜèçìá 7 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÏËÏÊËÇÑÙÓÇ ÅéóáãùãÞ ¼ìïéá, üðùò êáé óôï ÌÜèçìá ÐñïóÝããéóç Ðáñáãþãùí, ç ðñïóåããéóôéêþ ôéìþ ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò ñçóéìïðïéåßôáé êõñßùò, üôáí I(f) = f(x) dx i) ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò
ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ
ÌÜèçìá 18 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ 18.1 ÅéóáãùãÞ 1 Óôï ìüèçìá áõôü äßíïíôáé ïé âáóéêýò Ýííïéåò ôïõ Äéáíõóìáôéêïý Äéáöïñéêïý Ëïãéóìïý, ðïõ åßíáé ó åôéêýò ìå ôéò âáèìùôýò Þ ôéò äéáíõóìáôéêýò óõíáñôþóåéò
ÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ. 8.1 ÃåíéêÝò Ýííïéåò êáé ïñéóìïß
ÌÜèçìá 8 ÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ ¼ìïéá, üðùò êáé óôï ÌÜèçìá ÏñéáêÞ ôéìþ óõíüñôçóçò, äßíïíôáé ðåñéëçðôéêü ïé âáóéêüôåñïé ïñéóìïß êáé èåùñþìáôá ðïõ áíáöýñïíôáé óôç óõíý åéá ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò, åíþ ï
ÃËÙÓÓÁÑÉ. ÃëùóóÜñé. Áëëçëåðßäñáóç: ÏíïìÜæåôáé ç äéáäéêáóßá Üóêçóçò äõíüìåùí ìåôáîý äýï óùìüôùí.
291 c m y k ÃëùóóÜñé 291 ÃËÙÓÓÁÑÉ Á ÁäñÜíåéá Þ áäñüíåéá ôùí óùìüôùí Þ áäñüíåéá ôçò ýëçò ïíïìüæåôáé ç éäéüôçôá ðïõ Ý ïõí ôá óþìáôá íá áíôéóôýêïíôáé óôç ìåôáâïëþ ôçò êéíçôéêþò ôïõò êáôüóôáóçò. ÁäñáíåéáêÞ
Åîéóþóåéò 1ïõ âáèìïý
algevra-a-lykeiou-kef-07-08.qxd 9/8/00 9:00 Page 00 7 Åîéóþóåéò ïõ âáèìïý Ç åîßóùóç áx + â = 0 áx = â (ìå á 0) (ìå á = â = 0) â Ý åé áêñéâþò ìßá ëýóç, ôç x =. á áëçèåýåé ãéá êüèå ðñáãìáôéêü áñéèìü x (ôáõôüôçôá
ÐÏËËÁÐËÁ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÁ
ÌÜèçìá 9 ÐÏËËÁÐËÁ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÁ 9. ÄéðëÜ ïëïêëçñþìáôá 9.. ÅéóáãùãÞ Ãéá ôçí êáëýôåñç êáôáíüçóç ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò ìéáò óõíüñôçóçò äýï ìåôáâëçôþí, äçëáäþ ôïõ äéðëïý ïëïêëçñþìáôïò, êñßíåôáé áðáñáßôçôï
ÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
ÌÜèçìá 5 ÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 5.1 ÅéóáãùãÞ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé âáóéêüôåñåò Ýííïéåò ôùí ìéãáäéêþí óõíáñôþóåùí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá ôïõ ìáèþìáôïò
Union of Pure and Applied Chemistry).
.5 Ç ãëþóóá ôçò çìåßáò Ãñáö çìéêþí ôýðùí êáé åéóáãùã óôçí ïíïìáôïëïãßá ôùí áíüñãáíùí åíþóåùí..5.1 ÃåíéêÜ. Ç çìåßá Ý åé ôç äéê ôçò äéåèí ãëþóóá, ç ïðïßá êáèïñßæåôáé áðü êáíüíåò ðïõ Ý ïõí ðñïôáèåß êáé ðñïôåßíïíôáé
ÅñùôÞóåéò ÓõìðëÞñùóçò êåíïý
ÅñùôÞóåéò ÓõìðëÞñùóçò êåíïý Çëåêôñéêü ðåäßï.10 Ôé ïíïìüæïõìå çëåêôñéêü ðåäßï; Çëåêôñéêü ðåäßï ïíïìüæïõìå ôïí.. ìýóá óôïí ïðïßï áí âñåèåß..... öïñôßï äý åôáé......11 íá óçìåéáêü çëåêôñéêü öïñôßï äçìéïõñãåß
ÅÍÏÔÇÔÁ 5ç ÔÁ Ó ÇÌÁÔÁ
Ενότητα 5 Μάθημα 38 Ο κύκλος 1. Ná êáôáíïþóïõí ôçí Ýííïéá ôïõ êýêëïõ. 2. Ná ìüèïõí íá ñùôïýí êáé íá áðáíôïýí ó åôéêü ìå ôïí êýêëï. 1. Íá ðáßîïõí êáé íá ôñáãïõäþóïõí ôï «Ãýñù-ãýñù üëïé» êáé «To ìáíôçëüêé».
Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας
ιαδικασία åãêáôüóôáóçò MS SQL Server, SingularLogic Accountant, SingularLogic Accountant Ìéóèïäïóßá
1.1 ÃåíéêÝò ðëçñïöïñßåò ãéá ôçí Express Ýêäïóç ôïõ SQL Server... 3 1.2 ÃåíéêÝò ðëçñïöïñßåò ãéá ôçí åãêáôüóôáóç... 3 2.1 ÅãêáôÜóôáóç Microsoft SQL Server 2008R2 Express Edition... 4 2.1 Åíåñãïðïßçóç ôïõ
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 8: Προσέγγιση ολοκληρωμάτων Μέρος ΙΙ Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του
Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 12: Αόριστο Ολοκλήρωμα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα : Αόριστο Ολοκλήρωμα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Ç áñ Þ äéáôþñçóçò ôçò åíýñãåéáò
ÊåöÜëáéï 4 Ç áñ Þ äéáôþñçóçò ôçò åíýñãåéáò 4.1 Ôï Ýñãï óôù ìéá óôáèåñþ äýíáìç F äñü åðß åíüò óùìüôéïõ ðïõ êéíåßôáé åõèýãñáììá üðùò öáßíåôáé óôï Ó Þìá 4.1. Ôï Ýñãï ðïõ ðáñüãåé (Þ êáôáíáëþíåé) ç äýíáìç êáôü
SPLINES. ÌÜèçìá ÓõíÜñôçóç spline Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá
ÌÜèçìá 4 SPLINES 4.1 ÓõíÜñôçóç spline 4.1.1 Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá Óôï ÌÜèçìá ÐïëõùíõìéêÞ ðáñåìâïëþ åîåôüóôçêå ôï ðñüâëçìá ôçò åýñåóçò ôùí ðïëõùíýìùí ðáñåìâïëþò, äçëáäþ ðïëõùíýìùí ðïõ óõíýðéðôáí
Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 5: Μιγαδικές Συναρτήσεις. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Μιγαδικές Συναρτήσεις Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
ÐïëëÝò åôáéñßåò ðñïóöýñïõí õðçñåóßåò
Ferral Ferral Της Πηνελόπης Λεονταρά Σήμανση CE: Πως γίνεται ο έλεγχος της παραγωγικής Ï êáèïñéóìüò ôïõ åëýã ïõ ðáñáãùãþò óå Ýíá êáôáóêåõáóôéêü óýìöùíá ìå ôéò ôå íéêýò ðñïäéáãñáöýò ãéá ôá êïõöþìáôá, óôçí
Hypothesis Testing Exercises
Hypothesis Testing Exercises Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü fsiannis@math.uoa.gr January 28, 2011 1. Óôá ðëáßóéá åíüò ðñïãñüììáôïò ãéá ôïí Ýëåã ï ôçò öõìáôßùóçò, ó åäéüóôçêå ï øåêáóìüò
Μηχανική του Συνεχούς Μέσου
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μηχανική του Συνεχούς Μέσου Κινηματική Διδάσκων : Καθηγητής Β. Καλπακίδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
2.6 Áðüëõôç Þ ðñáãìáôéêþ ðßåóç
2.6 Áðüëõôç Þ ðñáãìáôéêþ ðßåóç Ç ðßåóç ðïõ åîáóêåß Ýíá õãñü Þ Ýíá áýñéï óôï þñï ðïõ âñßóêåôáé, õðïëïãßæåôáé ìå Ýíá üñãáíï ôï ïðïßï ïíïìüæåôáé ìáíüìåôñï. Áí ïñßóïõìå, ëïéðüí, ùò áðüëõôç ðßåóç, ôçí ðñáãìáôéêþ
ÌÅÑÏÓ 3 ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗΣ ΤΗΣ ΚΛΙΝΙΚΗΣ ΠΡΑΞΗΣ ÁÐÁÉÔÇÓÅÙÍ ÕÐÇÑÅÓÉÙÍ. Υπηρεσίες Ιατρικής Πληροφορικής και Τηλεϊατρικής 9 ÂÁÓÉÊÅÓ ÊÁÔÅÕÈÕÍÓÅÉÓ
138 Υπηρεσίες Ιατρικής Πληροφορικής και Τηλεϊατρικής ÌÅÑÏÓ 3 ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗΣ ΤΗΣ ΚΛΙΝΙΚΗΣ ΠΡΑΞΗΣ 9 ÂÁÓÉÊÅÓ ÊÁÔÅÕÈÕÍÓÅÉÓ 10 ÌÏÍÔÅËÏ ÁÐÏÔÉÌÇÓÇÓ ÔÙÍ ÁÐÁÉÔÇÓÅÙÍ 11 ÔÏÌÅÉÓ ÅÖÁÑÌÏÃÇÓ ÔÙÍ ÕÐÇÑÅÓÉÙÍ 139
ÓÅÉÑÁ FOURIER. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò
ÌÜèçìá 13 ÓÅÉÑÁ FOURIER 13.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Ïé ðåñéïäéêýò óõíáñôþóåéò óõíáíôþíôáé óõ íü óå äéüöïñá ðñïâëþìáôá åöáñìïãþí. Ç ðñïóðüèåéá íá åêöñáóôïýí ïé óõíáñôþóåéò áõôýò ìå üñïõò áðëþí ðåñéïäéêþí óõíáñôþóåùí,
ÈÅÌÁ 1ï. ÈÅÌÁ 2ï. ÈÅÌÁ 3ï. Óåë. 1 ÃÕÌÍÁÓÉÏ ÈÅÌÁÔÁ ÃÑÁÐÔÙÍ ÅÎÅÔÁÓÅÙÍ ÐÅÑÉÏÄÏÕ ÌÁÚÏÕ-ÉÏÕÍÉÏÕ Ó ÏËÉÊÏ ÅÔÏÓ ÔÁÎÇ: Â ÌÁÈÇÌÁ: ÖÕÓÉÊÇ ÅÉÓÇÃÇÔÇÓ:
ÃÕÌÍÁÓÉÏ ÈÅÌÁÔÁ ÃÑÁÐÔÙÍ ÅÎÅÔÁÓÅÙÍ ÐÅÑÉÏÄÏÕ ÌÁÚÏÕ-ÉÏÕÍÉÏÕ Ó ÏËÉÊÏ ÅÔÏÓ ÔÁÎÇ: Â ÌÁÈÇÌÁ: ÖÕÓÉÊÇ ÅÉÓÇÃÇÔÇÓ: Çì/íßá: ÈÅÌÁ 1ï Äýï áõôïêßíçôá Á êáé Â êéíïýíôáé ìå ìýóåò ôá ýôçôåò 60km/h êáé 90km/h êáé äéáíýïõí
ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ
ÌÜèçìá 1 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ 11 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò 111 Ïñéóìïß Êñßíåôáé áñ éêü áðáñáßôçôï íá ãßíåé óôïí áíáãíþóôç õðåíèýìéóç ôùí ðáñáêüôù âáóéêþí ìáèçìáôéêþí åííïéþí: Ïñéóìüò 111-1 (åîßóùóçò) ËÝãåôáé
ÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò ÐáñÜãïõóá óõíüñôçóç
ÌÜèçìá 0 ÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ 0. ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé êõñéüôåñïé êáíüíåò ïëïêëþñùóçò, ðïõ êýñéá åìöáíßæïíôáé óôéò ôå íïëïãéêýò åöáñìïãýò. Äéåõêñéíßæåôáé üôé áêïëïõèþíôáò ìßá áõóôçñü
B i o f l o n. Ãéá åöáñìïãýò ìåôáöïñüò çìéêþí
B i o f l o n Ãéá åöáñìïãýò ìåôáöïñüò çìéêþí Ç åôáéñåßá Aflex, ç ïðïßá éäñýèçêå ôï 1973, Þôáí ç ðñþôç ðïõ ó åäßáóå ôïí åýêáìðôï óùëþíá PTFE ãéá ôç ìåôáöïñü çìéêþí õãñþí ðñßí áðü 35 ñüíéá. Ï åëéêïåéäþò
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 6: Προσέγγιση παραγώγων Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 11: Προσέγγιση μερικών διαφορικών εξισώσεων - Παραβολικές Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 7: Προσέγγιση ολοκληρωμάτων Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
ÅñùôÞóåéò ÓõìðëÞñùóçò êåíïý
ÅñùôÞóåéò ÓõìðëÞñùóçò êåíïý 1.6 Äýï..... çëåêôñéêü öïñôßá áëëçëåðéäñïýí ìå äýíáìç F, ðïõ ïíïìüæåôáé äýíáìç çëåêôñéêþò áëëçëåðßäñáóçò Þ, áðëü, äýíáìç Coulomb. Ôï ìýôñï ôçò äýíáìçò Coulomb åßíáé... ìå ôï
V 1 V 2 = P 2 , V 2
55. 4.3 Íüìïé ôùí áåñßùí Áðáñáßôçôåò ãíþóåéò Èåùñßáò ¼ëåò ïé ïõóßåò óôçí áýñéá öõóéêþ êáôüóôáóç óõìðåñéöýñïíô áé ìå ôïí ßäéï ôñüðï êáé éäéáßôåñá üóïí áöïñü ôçí óõìðåñéöïñü ôïõò óôéò ìåôáâïëýò ôçò ðßåóçò,
à ËÕÊÅÉÏÕ ÈÅÌÁÔÁ ÖÕÓÉÊÇÓ ÈÅÔÉÊÇÓ ÊÁÉ ÔÅ ÍÏËÏÃÉÊÇÓ ÊÁÔÅÕÈÕÍÓÇÓ. ÈÅÌÁ 1ï
1 Ã ËÕÊÅÉÏÕ ÈÅÌÁÔÁ ÖÕÓÉÊÇÓ ÈÅÔÉÊÇÓ ÊÁÉ ÔÅ ÍÏËÏÃÉÊÇÓ ÊÁÔÅÕÈÕÍÓÇÓ ÈÅÌÁ 1ï Óôéò åñùôþóåéò 1 4 íá ãñüøåôå óôï ôåôñüäéü óáò ôïí áñéèìü ôçò åñþôçóçò êáé äßðëá ôï ãñüììá ðïõ áíôéóôïé åß óôç óùóôþ áðüíôçóç. 1.
ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ
ÌÜèçìá 6 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ Ç ðñïóýããéóç ôçò ôéìþò ôçò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò ñçóéìïðïéåßôáé óôéò ðáñáêüôù êõñßùò ðåñéðôþóåéò: i) üôáí ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò ìïñöþò ôïõ ôýðïõ ìéáò óõíüñôçóçò åßíáé áäýíáôïò
L s Ìå âüóç ôïõò óõíôåëåóôýò ôçò áíôßäñáóçò ðñïêýðôåé ç ðáñáêüôù ó Ýóç ìåôáîý ôùí ôá- õôþôùí ôùí óùìüôùí óôçí áíôßäñáóç: Ät =0,02mol
3.1 ÃÅÍÉÊÁ ÃÉÁ ÔÇ ÇÌÉÊÇ ÊÉÍÇÔÉÊÇ ÊÁÉ ÔÇ ÇÌÉÊÇ ÁÍÔÉÄÑÁÓÇ ÔÁ ÕÔÇÔÁ ÁÍÔÉÄÑÁÓÇÓ ÅñùôÞóåéò ïõ èýìáôïò ìå áéôéïëüãçóç 3.1. Ã éá ôçí áíôßäñáóç 3Á (g) + Â (g) Ã (g) + Ä (g), óôï ñïíéêü äéüóôçìá [10 s, 0 s], õðïëïãßóôçêå
Ï ÁíäñÝáò, ï Âáóßëçò êáé ï Ãéþñãïò åßíáé ôñåéò ößëïé óôïõò ï ðïßïõò, åêôüò áðü ôçí ðïäçëáóßá, áñýóåé êáé ç áêñßâåéá. ÊÜèå ÊõñéáêÞ îåêéíïýí ìå ôá ðïäþë
Ïé ðïäçëüôåò Óýíôïìç ðåñéãñáöþ ôçò äñáóôçñéüôçôáò Ïé ðïäçëüôåò åßíáé Ýíá ðñüâëçìá óôï ïðïßï äßíåôáé ç åõêáé ñßá óôïõò ìáèçôýò íá óõíäýóïõí ôï óõíôåëåóôþ äéåýèõíóçò ìéáò åõèåßáò ìå Ýíá öõóéêü ìýãåèïò (ôá
Êáëþò Þëèáôå. Ïäçãüò ãñþãïñçò Ýíáñîçò. ÓõíäÝóôå. ÅãêáôáóôÞóôå. Áðïëáýóôå
Êáëþò Þëèáôå Ïäçãüò ãñþãïñçò Ýíáñîçò ÓõíäÝóôå ÅãêáôáóôÞóôå Áðïëáýóôå Ôé õðüñ åé óôç óõóêåõáóßá Áêïõóôéêü DECT 122 Óôáèìüò âüóçò DECT 122 ÌïíÜäá çëåêôñéêþò ôñïöïäïóßáò Ôçëåöùíéêü êáëþäéï Åðáíáöïñôéæüìåíåò