Παρούσα αξία (Present worth ή Net Present Value)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Παρούσα αξία (Present worth ή Net Present Value)"

Transcript

1 . Κεφάλαιο 5 Παρούσα αξία (Present worth ή Net Present Value) Η παρούσα αξία έχει πολύ πρακτική χρήση σε εκτιµήσεις πραγµατικής ιδιοκτησίας (real property appraisal). Η παρούσα αξία που έχουν τα καθαρά οριακά οφέλη µείον το οριακό κόστος ενός κοµµατιού ιδιοκτησίας για όλη τη ζωή, είναι η αξία του στην αγορά. Η µέθοδος της καθαρής παρούσας αξίας που εκτιµάει την ιδιοκτησία κερδίζει ολοένα και µεγαλύτερη αποδοχή µε την πάροδο του χρόνου. 5. Παράδειγµα Ένας φίλος που προσπαθεί να εξοικονοµήσει ένα µικρό εστιατόριο σου δίνει ποσά των 0.6,.2 και 2. εκατοµµυρίων δραχµών στο τέλος του κάθε έτους εδώ και τρία χρόνια ώστε να ξεπληρώσει ένα δάνειο 3 εκατοµµυρίων δραχµών. Θα τον χρεώσετε µε τόκο 0%, που θα είχατε βγάλει αν τα είχατε καταθέσει, σαν χάρη γι αυτόν. Αυτό είναι µικρό αν σκεφτούµε το µεγάλο ρίσκο του εστιατορίου σε σχέση µε τις καταθέσεις και τον πιθανή πληθωρισµό στα επόµενα τρία χρόνια. Θα πρέπει να του δανείσετε τα χρήµατα µε τους όρους επιστροφής που προσφέρει; Ένας άλλος τρόπος που τίθεται το ερώτηµα είναι: Προσφέρει το σχέδιο επιστροφής µια παρούσα αξία µε επιτόκιο 0% τουλάχιστον ίση µε 3 εκατοµµύρια δραχµές Το σχήµα 5. δείχνει το διάγραµµα χρηµατοροών: Λύση Εφαρµόζοντας την εξίσωση: N Σ Bj Cj P F i j j= ( )( /,, ) 0 () (0-3)(P/F, 0,0)+(0.6-0)(P/F,0, )+(.2-0)(P/F,0,2)+(2.-0)(P/F, 0, 3) =-3+0.6(0.909)+.2(0.8264)+2.(0.753) = = +0.

2 Παρούσα Αξία 0,6,2 2, ιάγραµµα 5-: Επιστροφή 3 εκατοµµυρίων δραχµών Επειδή το ποσό είναι µεγαλύτερο από 0, οι τρεις επιστροφές είναι αποδεκτές. Συχνά συµβαίνει το Bj -Cj να είναι σταθερό για όλα τα j εκτός από αυτά που είναι ίσα µε 0. Όταν συµβαίνει αυτό η εξίσωση () γράφεται: -P+( Bj -Cj) N Σ j= (P/F), i, j)>0 όπου P είναι το κόστος τη στιγµή 0. Αλλά N Σ (P/F, i, j)= (P/A, i, N) j= γιατί όπως ξέρουµε όταν όλες οι µελλοντικές επιστροφές είναι ίσες, τότε µπορεί να χρησιµοποιηθεί µια άλλη έκφραση του συντελεστή παρούσας αξίας µοναδικού ποσού. Οπότε για ειδική περίπτωση η εξίσωση () γίνεται: -P+(BN-CN)(P/A, i, N) 0 (2) 5.2 Παράδειγµα Μια στοά για πεζούς ανάµεσα σε δύο υπάρχοντες σταθµούς υπογείου θα κοστίσει 240 εκατοµµύρια δραχµές. Τα οφέλη για τα επόµενα 50 χρόνια θα είναι 2 εκατοµµύρια δραχµές ετησίως σε χρόνους επιβατών. Τα ετήσια κόστη θα είναι 3 εκατοµµύρια δραχµές για φωτισµό και συντήρηση. Πρέπει να κατασκευαστεί η στοά εάν το κόστος ευκαιρίας του αρχικού κεφαλαίου είναι 0%; Λύση Το σχήµα 5.2 δείχνει το διάγραµµα χρηµατοροών. Εφαρµόζοντας την εξίσωση (2) έχουµε -240+(2-3)(P/A, 0, 50) -50 Οπότε το τούνελ δεν πρέπει να χτιστεί. Στο παράδειγµα αυτό επιλέχθηκε η αρνητική εναλλακτική, που είναι η εκδοχή να µην χτιστεί η στοά. 40

3 Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας Οριακή ανάλυση ιάγραµµα 5-2 Χρηµατοροή για την στοά των πεζών Η οριακή ανάλυση γίνεται συγκρίνοντας τα έξτρα οφέλη µιας ενέργειας µε τα έξτρα έξοδα. Η λέξη οριακή είναι συνώνυµη µε τις λέξεις extra και marginal. Εάν τα οριακά οφέλη είναι µεγαλύτερα από τα οριακά έξοδα, τότε η ενέργεια είναι δικαιολογηµένη. Η οριακή ανάλυση προχωράει σε βήµατα και για αυτό είναι απαραίτητο πρώτα να τακτοποιήσουµε τις εναλλακτικές µε το χαµηλότερο κόστος. Στα παραδείγµατα που είδαµε, η σειρά που είπαµε έγινε αυτόµατα γιατί η εναλλακτική της απραξίας ήταν η πρώτη εναλλακτική. Γιατί είναι η οριακή ανάλυση απαραίτητη; Η κοινή λογική απαντά ότι είναι λογικό να µετράµε το οριακά και όχι τα ολικά. Ο οριακός χρόνος που σπαταλά ένας φοιτητής για ένα µάθηµα θα αποζηµιωθεί µε τον υψηλότερο βαθµό; Ο οριακός χρόνος που σπαταλά ένας οδηγός παίρνοντας ένα άλλο δρόµο για τη δουλειά ισοφαρίζει την ενόχληση που κερδίζει αποφεύγοντας την κυκλοφοριακή συµφόρηση; Ισοφαρίζει το οριακό κόστος που θα κοστίσει η πρόσθεση ενός δωµατίου στο σπίτι µε την άνεση που θα προσφέρει; Ακόµα, σε µια βιοµηχανική κατάσταση µπορούµε να ρωτήσουµε Ισοφαρίζει το οριακό κόστος ενός νέου αυτόµατου πιεστικού µηχανήµατος που θα αντικαταστήσει το παλιό µε την οικονοµία που θα γίνει; Ένας άλλος λόγος βρέθηκε στον κανόνα που αναφέρθηκε προηγουµένως και αυτός είναι µόνο οι διαφορές στις εναλλακτικές που είναι σχετικές µε την σύγκριση ανάµεσα τους. Η οριακή ανάλυση κάνει σαφείς τις διαφορές ανάµεσα στις εναλλακτικές και τις µετρήσεις αυτών των διαφορών για να βρει εάν η διαφορά αντισταθµίζεται µε τη διαφορά των οφελών. Αν προσθέσουµε την ιδέα της τακτοποίησης των εναλλακτικών ξεκινώντας από το χαµηλότερο κόστος τότε έχουµε την ιδέα της οριακής ανάλυσης. (Στη συνέχεια θα δούµε ότι η οριακή ανάλυση έχει κάποιες εξαιρέσεις). Η εξίσωση που παρουσιάζει την ιδέα της οριακής ανάλυση για την παρούσα αξία είναι: N Σ [(B j -C j ) 2 -(B j -C j ) ](P/F, i, j) 0 (3) j= όπου τα σύµβολα είναι ίδια µε τις εξισώσεις () και (2) και οι δείκτες αναφέρονται στις εναλλακτικές προτάσεις. Όταν το οριακό cash-flow αποτελείται από κόστη ίσων περιόδων ή οφέλη ίσων περιόδων, τότε ο συντελεστής παρούσας αξίας (P/A, i, N) µπορεί να χρησιµοποιηθεί αντί για τον (P/F, i, j). 3 4

4 Παρούσα Αξία 5.4 Παράδειγµα Για ένα σιδηρόδροµο, του οποίου η τοποθεσία είχε καθοριστεί πριν ένα αιώνα, προτάθηκε ένα πρόγραµµα επανατοποθέτησης στη κυβέρνηση ώστε να υπάρξει χρηµατοδότηση. Ένα µέρος µπορεί να επανατοποθετηθεί µε δύο ευθείες µε χαρακτηριστικά : Θέση 2 Αρχικό κόστος (δισεκατοµ. δραχµές) Ετήσια εργασία και συντήρηση (δισεκατοµ. δραχµές) Ετήσια κέρδος (δισεκατοµ. δραχµές) Οικονοµική ζωή Τελική αξία 0 0 ιάγραµµα 5-3 Πίνακας Χρηµατοροών για επανατοποθέτηση σιδηροδρόµου Το κόστος ευκαιρίας είναι 2%. Ποια από τις δυο θέσεις είναι πιο οικονοµική ή πρέπει να εγκαταλειφθεί το πρόγραµµα; Λύση 6 ιάγραµµα 5-4 : Χρηµατοροές για τις εναλλακτικές προτάσεις και 2, και το οριακό cash-flow ανάµεσα στις εναλλακτικές προτάσεις και

5 Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας Το σχήµα 5.4 δείχνει το διάγραµµα χρηµατοροών για κάθε εναλλακτική και το οριακό cash-flow ανάµεσα στις εναλλακτικές και 2. Το οριακό cash-flow ανάµεσα στην εναλλακτική και στην εγκατάλειψη του προγράµµατος - δηλαδή, να συνεχίσει η ισχύουσα κατάσταση - είναι το cash-flow για την εναλλακτική. Η εξέταση της εναλλακτικής σε σχέση µε την µηδενική εναλλακτική εφαρµόζοντας την εξίσωση 3 είναι: (6-.2)(P/A, 2, 40)= = (8.244)= = = =+9 Αυτή υποστηρίζεί την εναλλακτική. είχνει ότι η είναι καλύτερη από την υπάρχουσα θέση. Η εξέταση της 2 σε σχέση µε την δίνει απάντηση στην ερώτηση Είναι το οριακό cash-flow 2- οικονοµικό; Το οριακό αρχικό κόστος είναι -42-(-30.6)=-.4 Το οριακό όφελος είναι: (+6-.2)=+2.4 και εποµένως έχω: (P/A, 2, 40)= = (8.244)= = = =+8.4 Αυτό το αποτέλεσµα δείχνει ότι η εναλλακτική 2 είναι καλύτερη από την εναλλακτική γιατί το οριακό όφελος της 2 συγκρινόµενο µε την ισορροπεί το οριακό κόστος, όπως φαίνεται από την θετική παρούσα αξία του οριακού cash-flow. Ή αλλιώς, η οριακή επένδυση στην εναλλακτική 2 φέρνει µεγαλύτερη επιστροφή από 2%. Τι θα γινόταν αν το τελευταίο ποσό ήταν + αντί Τότε η απάντηση θα ήταν ίδια αν και έχουµε µικρότερο κέρδος. Τι θα γινόταν αν η σύγκριση ανάµεσα στην εναλλακτική και τη µηδενική εναλλακτική ήταν -5 αντί +9. Η εναλλακτική δεν θα ήταν πιο οικονοµική. Το επόµενο βήµα θα ήταν να συγκρίνουµε την εναλλακτική 2 µε την µηδενική εναλλακτική. Θετικό ή µηδενικό αποτέλεσµα στην εξίσωση παρούσας αξίας θα σήµαινε αποδοχή της εναλλακτικής 2 αντί της ισχύουσας κατάστασης. Ένα αρνητικό αποτέλεσµα θα σήµαινε συνέχιση της παρούσας κατάστασης. Μια ερώτηση που µπορεί να εξαχθεί από το παράδειγµα είναι: Γιατί να διαλέξουµε την 2 που έχει καθαρή παρούσα αξία +8.4 και όχι την που έχει µεγαλύτερη καθαρή παρούσα αξία +9; Η απάντηση είναι ότι +8.4 είναι ή οριακή καθαρή παρούσα αξία της 2 σε σχέση µε την και όχι το καθαρό όφελος της 2. 43

6 Παρούσα Αξία 5.5 Οριακή ανάλυση εναντίον ατοµική ανάλυσης όθηκε µεγάλη έµφαση στην οριακή ανάλυση µέχρι τώρα και θα συνεχιστεί. Αλλά κάποιοι αναγνώστες µπορεί να αναρωτηθούν, κυρίως αφού λάβουν υπόψη τους την εξίσωση 3 εάν θα ήταν σωστό ή όχι να αναλύσουµε κάθε εναλλακτική χωριστά, να υπολογίσουµε την εναλλακτική µε το µεγαλύτερο πλεονέκτηµα, δηλαδή τη µεγαλύτερη τιµή της καθαρής παρούσας αξίας (NPV). Στην περίπτωση της µεθόδου της παρούσας αξίας και της ετήσιας αξίας, προκύπτουν τα ίδια αποτελέσµατα συγκρίνοντας τις ατοµικές αξίες και επιλέγοντας την υψηλότερη, αλλά στην περίπτωση του λόγου οφέλους / κόστους και του εσωτερικού βαθµού απόδοσης, η ανάλυση των ατοµικών εναλλακτικών δεν δίνει σωστή απάντηση. Στην παρούσα και ετήσια αξία, η σύγκριση των ατοµικών αξιών είναι βασικά µια οριακή ανάλυση και είναι σωστή γιατί σε αυτές τις δύο περιπτώσεις το σηµείο της διαδικασίας στο οποίο γίνεται η σύγκριση δεν έχει σηµασία. Στη µέθοδο λόγο οφέλους / κόστους και στον εσωτερικό βαθµό απόδοσης όµως έχει σηµασία. Μια µαθηµατική απάντηση σε αυτή την ερώτηση είναι, ξεκινώντας από την εξίσωση 3. N NPV 2- = Σ[( Bj Cj) 2 ( Bj Cj) ]( P/ F, i, j) = N j= = Σ (Bj-C j ) 2 (P/F, i, j) - Σ [(Bj-C j ) (P/F, i, j) = j= =NPV 2 -NPV N j= Ακόµα, ο κανόνας της παρούσας αξίας µπορεί να εκφραστεί σαν: N NPV 2 -NPV = Σ (Bj-C j ) 2 (P/F, i, j) - Σ (Bj-C j ) (P/F, i, j) 0 (4) 5.5. Παράδειγµα j= N j= Οι καταστάσεις του παραδείγµατος είναι ίδιες όπως στο παράδειγµα 5.3. Η ατοµική παρούσα αξία κάθε εναλλακτικής πρότασης θα προσδιοριστεί και θα συγκριθεί µε την εφαρµογή της εξίσωσης 4. Λύση Εξετάζοντας την σε σχέση µε τη µηδενική εναλλακτική δίνει το ίδιο αποτέλεσµα όπως στο παράδειγµα 5.3, µια παρούσα αξία +9 που σηµαίνει αποδοχή της από το να µην κάνεις τίποτα. Όµοια +9 είναι το αποτέλεσµα του δεύτερου όρου της εξίσωσης 4. Τώρα πρέπει να βρούµε την παρούσα αξία της 2: NPV 2 =(BN-CN) 2 (P/A, i, N)= = -42+( )( P/A, 2, 40)= = (8.244)= = +7.4 Συγκρίνοντας την παρούσα αξία της, +9 και την παρούσα αξία της 2, +7.4, δείχνει ότι η 2 προτιµάται και µε κέρδος (+7.4)-(+9)=+8.4 που είναι η ίδια απάντηση που πήραµε 44

7 Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας υπολογίζοντας την οριακή παρούσα αξία της 2 συγκρινόµενη µε την. Έτσι, στην περίπτωση της παρούσας και ετήσιας αξίας αλλά µόνο σε αυτές τις δύο µεθόδους, η οριακή ανάλυση και η ατοµική ανάλυση καταλήγουν στο ίδιο αποτέλεσµα. 5.6 Εναλλακτικές προτάσεις µε διαφορετική οικονοµική ζωή Παράδειγµα Φανταστείτε δύο εναλλακτικές προτάσεις για ένα αστικό σύστηµα µεταφοράς. Το πρώτο έχει ορίζοντα παροχής υπηρεσιών 20 χρόνια, το δεύτερο 40 χρόνια. Τα αρχικά κόστη των συστηµάτων µεταφοράς είναι 30 δισεκατοµµύρια και 45 δισεκατοµµύρια αντίστοιχα. Τα καθαρά κέρδη και των δύο ανέρχονται στο ποσό των 9 δισεκατοµµυρίων ετησίως. Το επιτόκιο ευκαιρίας είναι 2%. Καµία τελική αξία δεν λαµβάνει χώρα. Λύση ιάγραµµα 5-5 Οι δυο προτάσεις των αστικών µέσων µεταφοράς Έχοντας σκοπό να εξισωθούν οι ορίζοντες παροχής υπηρεσιών, η πρώτη επένδυση εικονικά επαναλαµβάνεται για άλλα 20 χρόνια. Οι χρηµατοροές εµφανίζονται στο διάγραµµα

8 Παρούσα Αξία Για την εναλλακτική πρόταση έχω: NPV = 9 (P/A,2,40)-30(P/F,2,20)-30 = =9(8.244)-30(0.04)-30 = = = =+4 Η πρώτη εναλλακτική πρόταση είναι αποδεκτή. NPV 2- =30(P/F,2,20)-5 = =30(0.04)-5 = = -.9 Η δεύτερη εναλλακτική πρόταση δεν είναι αποδεκτή και τελικά επιλέγεται η πρώτη. Το νόηµα της οριακής διαφοράς µεταξύ της και της 2 εναλλακτικής πρότασης είναι ότι δεν αξίζει να επενδυθούν επιπλέον 5 δισεκατοµµύρια για να αποφευχθεί µία επιπλέον επένδυση της τάξης των 30 δισεκατοµµυρίων στο τέλος της 20ετίας. 5.7 Τελική αξία (Salvage values) Συχνά, µια επένδυση διατηρεί κάποια αξία µετά το τέλος της οικονοµικής ζωής της η οποία πρέπει να ληφθεί υπόψη σαν κέρδος. Πολύ σπάνια, µια επένδυση έχει αρνητική αξία στο τέλος της οικονοµικής ζωής της, που αντιπροσωπεύει την τελική αξία. Ένα πρόσφατο παράδειγµα είναι ένας παλαιός αυτοκινητόδροµος που αντικαθίσταται από ένα ποιο σύγχρονο. Κάποια λεφτά πρέπει να ξοδευτούν για να αφαιρεθούν τα πεζοδροµία και οι γέφυρες που υπάρχουν. Είναι λοιπόν πιθανόν µελλοντικά να χρειαστεί να καταργηθεί κάποιος δρόµος για να υπάρξει αποκατάσταση του εδάφους. Το κόστος αυτό πρέπει να αποφασίζει ο µελετητής αν θα το εισάγει ή όχι στην µελέτη του. Το σύµβολο που χρησιµοποιείται για την τελική αξία είναι το S Παράδειγµα Η κατασκευή µιας γέφυρας πάνω από ένα ποτάµι έχει αρχικό κόστος 500 εκατοµµύρια δραχµές. Τα κέρδη υπολογίζονται να είναι 240 εκατοµµύρια δραχµές ανά έτος για 30 χρόνια. Η τελική αξία στο τέλος της οικονοµικής ζωής της γέφυρας πιστεύεται να είναι 5 εκατοµµύρια δραχµές. Μία άλλη πρόταση είναι η κατασκευή ενός πλοίου. Το αρχικό κόστος θα είναι 60 εκατοµµύρια δραχµές. Τα κέρδη θα είναι 8 εκατοµµύρια δραχµές ανά έτος για 0 χρόνια και µε µια τελική αξία 6 εκατοµµύρια δραχµές. Εάν το κόστος ευκαιρίας είναι 5% ποια εναλλακτική πρόταση πρέπει να επιλεγεί; Λύση Πλοίο

9 Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας 240 Γέφυρα (Γ-Π) ιάγραµµα 5-6 Χρηµατοροές για πλοίο και γέφυρα Λύνοντας το παραπάνω πρόβληµα πρέπει να ληφθούν υπόψη οι τελικές αξίες και να εξισωθούν οι οικονοµικές ζωές των δύο προτάσεων. Στο διάγραµµα 5.5 φαίνονται τα δύο σηµεία. Η εναλλακτική πρόταση του πλοίου εµφανίζεται πρώτη διότι έχει χαµηλότερο αρχικό κόστος. Η τελική του αξία εµφανίζεται σαν βέλος µε φορά προς τα πάνω στα 0 χρόνια. Για να εξισωθεί η οικονοµική ζωή του πλοίου και της εναλλακτικής πρότασης της γέφυρας, δύο έξτρα φανταστικοί κύκλοι χρησιµοποιούνται για να ικανοποιήσουν µια λογική εξισορρόπηση οικονοµικών ζωών µε µαθηµατικό τρόπο. Με την µέθοδο της παρούσας αξίας η πρόταση του πλοίου συγκρίνεται µε την µηδενική εναλλακτική πρόταση, η οποία είναι η ίδια µε το να υπολογίσουµε την ατοµική καθαρή παρούσα αξία NPV. NPV =-60+8(P/A, 5, 30)+(-60+6)(P/F, 5, 0)+(-60+6)(P/F, 5, 20)+6(P/F, 5, 30)= = -60+8(6.566)-54(0.2472)-54(0.06)+6(0.05)= = = = Επειδή το είναι θετικό η κατασκευή του πλοίου υπερτερεί της πρότασης να µην γίνει τίποτα. Αναλύοντας την οριακή χρηµατοροή του σχεδίου της γέφυρας σε σχέση µε του πλοίου, έχω: 47

10 Παρούσα Αξία NPV = (P/A, 5, 30)+54(P/F, 5, 0)+54(P/F, 5, 20)+9(P/F, 5, 0)= = (6.566)+54(0.2472)+54(0.06)+9(0.05)= = = Το θετικό αποτέλεσµα των 34.5 εκατοµµυρίων δραχµών φανερώνει ότι η πρόταση της γέφυρας είναι αποδεκτή σε βάρος της πρότασης του πλοίου. Στο ίδιο συµπέρασµα θα καταλήγαµε εάν υπολογίζαµε την ατοµική καθαρή παρούσα της εναλλακτικής πρότασης της γέφυρας και την συγκρίναµε µε αυτή του πλοίου. Πράγµατι: NPV = (P/A, 5, 30)+5(P/F, 5, 30)= = (6.566)+5(0.05)= = = Συγκρίνοντας τα 76.3 εκατοµ. δραχµές µε τα 4.6 εκατοµ. δραχµές διαλέγουµε το µεγαλύτερο από τα δύο ποσά και είναι αυτό πού αντιστοιχεί στην πρόταση της γέφυρας. Η διαφορά των δύο ποσών είναι εκατοµ. δραχµές που είναι η τιµή της οριακής χρηµατοροής του σχεδίου της γέφυρας σε σχέση µε του πλοίου. 5.8 Σταδιακή επένδυση (Deferred investments ) Μια ερώτηση που απασχολεί συχνά τους µηχανικούς είναι, εάν ένα έργο πρέπει να χτιστεί και να σχεδιαστεί µε την µέγιστη δυνατότητα, ή αν πρέπει να διαφοροποιήσουµε το κόστος µέχρι η µέγιστη ικανότητα του να είναι αναγκαία; Η ερώτηση είναι απαντηµένη χρησιµοποιώντας την ανάλυση της παρούσας αξίας για εναλλακτικές προτάσεις Παράδειγµα ύο εναλλακτικές προτάσεις εξετάζονται από την St. Francis Water Authority για την αντικατάσταση ενός υπάρχοντος δικτύου ύδρευσης. Η πρώτη εναλλακτική πρόταση είναι να εγκατασταθεί ένας κύριος αγωγός 0 inch τώρα και µετά από 0 χρόνια ένας επιπρόσθετος αγωγός ίδιας διαµέτρου κατά µήκος του πρώτου. Το αρχικό κόστος για κάθε αγωγό των 0 inch είναι 37.5 εκατοµµύρια δραχµές. Η συνολική οικονοµική ζωή και των δύο αγωγών είναι 40 χρόνια. Καµία τελική αξία δεν προσµένετε. Η δεύτερη εναλλακτική πρόταση είναι η εγκατάσταση ενός και µοναδικού αγωγού διαµέτρου 26 inch τώρα, το κόστος του οποίου ανέρχεται στα 60 εκατοµµύρια δραχµές. Καµία τελική αξία δεν προβλέπεται στο τέλος της οικονοµικής ζωής του, που είναι 40 χρόνια. Εάν το κόστος ευκαιρίας αυτής της επένδυσης, µετά που λήφθηκε υπόψη και ο πληθωρισµός, είναι 8%, ποια εναλλακτική πρόταση πρέπει να επιλεγεί. 48

11 Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας Λύση 2 σωλήνες 0 inch σωλήνας 26 inch σωλήνας 26 inch -2 σωλήνες των 0 inch ιάγραµµα 5-7 Σταδιακή επένδυση σε ένα δίκτυο ύδρευσης Στο σχεδιάγραµµα φαίνονται οι δύο εναλλακτικές προτάσεις. Εάν χρησιµοποιήσουµε την οριακή ανάλυση, θα δούµε ότι είναι αδύνατο να συγκρίνοµε το χαµηλότερο κόστος των εναλλακτικών προτάσεων µε το να µην γίνει τίποτα ή αλλιώς τη µηδενική εναλλακτική πρόταση διότι κανένα κέρδος δεν γίνεται σαφής. Με άλλα λόγια τα κέρδη είναι τα ίδια και για τις δύο εναλλακτικές προτάσεις και η µηδενική εναλλακτική πρόταση δεν υπάρχει. Η St. Francis είναι αποφασισµένη να κατασκευάσει το ένα ή το άλλο δίκτυο ύδρευσης και το µόνο που έχει να κάνει είναι να αποφασίσει ποια εναλλακτική πρόταση θα εφαρµόσει. ΝPV= (P/F, 8, 0) = = (0.4632) = = = = -5.3 Η επιπλέον επένδυση στη σωλήνα των 26 inch δεν είναι δικαιολογηµένη και για το λόγο αυτό είναι καλύτερο να περιµένουµε 0 χρόνια πριν εγκατασταθεί η δεύτερη σωλήνα των 0 inch. 5.9 ιαρκής επένδυση (Perpetual investments) Εάν επενδυθούν 30 εκατοµµύρια δραχµές µε επιτόκιο 9% χωρίς να µεταβάλλεται το αρχικό κεφάλαιο αλλά απλά να λαµβάνονται οι τόκοι, τότε θα µπορούσε κάποιος να έχει ένα εισόδηµα των 2.7 εκατοµµυρίων δραχµών ετησίως από την πηγή αυτή. Αυτό συµβολικά δίνεται από τον τύπο: 49

12 Παρούσα Αξία A=Pi (5) Φαίνεται ότι ο ρυθµός επιστροφή κεφαλαίου, (A/P, i, ), είναι απλά ίσος µε το i, τον ρυθµό απόδοσης. Εάν αντιθέτως θέλαµε να υπολογίσοµε πόσα λεφτά χρειάζεται να καταθέσοµε µε επιτόκιο 9% ώστε να λαµβάνοµε το χρόνο ένα εισόδηµα των 2.7 εκατοµµυρίων δραχµών, η απάντηση θα είναι : P= A i = A i 5.9. Παράδειγµα (6) Ένας µεγαλοκτηµατίας αποφασίζει να δηµιουργήσει ένα οικογενειακό κέρδος που θα µοιράζει 75 εκατοµµύρια δραχµές στα παιδιά του και στους απογόνους του. Μπορεί να επένδυση µε σιγουριά λαµβάνοντας υπόψη και τον πληθωρισµό, µε επιτόκιο 4%. Πόσο κεφάλαιο χρειάζεται για να εκπληρώσει την επιθυµία του. Λύση Εφαρµόζοντας την εξίσωση (6) έχω: P= A i = A =75(/0.04)=875 εκατοµµύρια δραχµές i 5.0 Κεφαλαιοποιηµένο κόστος (Capitalized cost) Η ιδέα του κεφαλαιοποιηµένου κόστους είναι όµοια µε αυτή που περιέχεται στην εξίσωση (6), όπου η παρούσα αξία σε µία ετήσια διαχρονική πληρωµή είναι δεδοµένή. Έχουµε µία περισσότερο πολύπλοκη χρηµατοροή, που ένα κεφάλαιο δεν µπορεί να κρατήσει διαχρονικά αλλά πρέπει να αντικαθίσταται κατά διαστήµατα Παράδειγµα Η St. Francis εταιρεία ύδρευσης θα εγκαταστήσει ένα νέο αγωγό που θα παρέχει νερό και στο µακρινό µέλλον. Θα κοστίσει 3 δισεκατοµµύρια και θα είναι αναγκαία η αντικατάσταση του κάθε 50 χρόνια. Εάν η εταιρεία απαιτεί ένα ρυθµό επιστροφής 8% για την επένδυση, ποιο θα είναι το κεφαλαιοποιηµένο κόστος του καινούργιου αγωγού. 50

13 Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας Λύση ιάγραµµα 5-8 Κεφαλαιοποιηµένο κόστος Στα παραπάνω διάγραµµα 5.8 περιγράφεται η κατάσταση. Στο πρώτο διάγραµµα τα 3 δισεκατοµµύρια επαναλαµβάνονται κάθε 50 χρόνια. Στο µεσαίο διάγραµµα δείχνει τα 3 δισεκατοµµύρια στη παρούσα στιγµή να µετατρέπονται ως εξής: Α =(Α/P, i, N)= =3(A/P, 8, 50)= =3(0.0874)= =0.25 Τα 0.25 δισεκατοµµύρια δραχµές επανέρχονται σε κάθε επαναλαµβανόµενο κύκλο επένδυσης των 3 δισεκατοµµυρίων δραχµών. Το πρόβληµα τώρα επαναλαµβάνεται υπολογίζοντας το κεφαλαιοποιηµένο κόστος των 0.25 δισεκατοµµυρίων δραχµών ετησίως για πάντα. Η εξίσωση (6) µας δίνει την απάντηση: P=A/i= =0.25(/0.08)= =3.25 5

14 Παρούσα Αξία 5. Σύγκριση Εναλλακτικών Λύσεων Η Παρούσα Αξία (P.W.) και η µέθοδος της Ετήσιας Αξίας (A.W.) παρουσιάζουν το πλεονέκτηµα έναντι των δύο άλλων µεθόδων (B/C και IROR: * Λόγος Οφέλους - Κόστους και Εσωτερικός Βαθµός Απόδοσης, αντίστοιχα) ότι η εφαρµογή τους δεν απαιτεί την διεξαγωγή οριακής ανάλυσης, διότι ισοδύναµα αποτελέσµατα είναι δυνατόν να εξαχθούν και µε συνολική σύγκριση των λύσεων. οθέντων δύο λύσεων των οποίων η οικονοµική ζωή είναι ίση, η PW εφαρµόζεται µε τον ακόλουθο τρόπο : a) Υπολογισµός της PW της λύσης που συνεπάγεται το µικρότερο κόστος αρχικής επένδυσης, έστω της Α. b) Αν PW A 0, η Α ικανοποιεί το πρόβληµα αρχικά. c) Υπολογισµός της PW B. d) Αν PW A < 0 και PW B < 0 καµµία λύση δεν επιλέγεται. e) Αν PW A < 0 και PW B >0 επιλέγεται η Β. f) στ. Αν PW A 0 και PW B > PW A επιλέγεται η Β, ( δηλαδή PW = PW B-A 0). g) Αν PW B > 0 και PW A PW B επιλέγεται η Α, ( δηλαδή PW = PW B-A < 0). Παράδειγµα 5.. Στα πλαίσια της κατασκευής ενός εργοστασίου επεξεργασίας απορριµάτων εξετάζονται δύο εναλλακτικές λύσεις, η Α και η Β. Η πόλη Χ που εξετάζει την επένδυση εκτιµά ότι το κόστος ευκαιρίας της (opportunity cost of capital) είναι 0%. ('Ενας διαφορετικός, και ισοδύναµος εννοιολογικά, τρόπος έκφρασης του 0% είναι σαν ο ελάχιστος αποδεκτός βαθµός απόδοσης -minimum attractive rate of return, MARR). Τέλος, κανένα από τα δύο σχέδια Α και Β δεν αναµένεται να έχει κάποια τελική αξία, (salvage value) στο τέλος της περιόδου ανάλυσης της επένδυσης (οικονοµικού ορίζοντα ή ορίζοντα προγραµµατισµού -- planning horizon). ιαγραµµατικά οι λύσεις µπορεί να απεικονισθούν ως εξής : (ποσά σε εκατοµ. ρχ.) 52

15 Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας 00 A B B-A a. PW A = (P/A, 0, 20) = (8.54) = 25.4 'Αρα η λύση Α ικανοποιεί το πρόβληµα b. PW B = (8.54) = 377. Και η λύση Β ικανοποιεί το πρόβληµα. Επιπλέον η PW B > PW A πράγµα που σηµαίνει ότι πρέπει να επιλεγεί η Α, ceteris paribus. Παρατηρήσεις. Προφανώς PW = PW B-A = = PW B-A = (P/A, 0, 20) = (8.54) = Λόγω της γραµµικής σχέσης που υπάρχει µεταξύ PW και επιµέρους PW δεν χρειάζεται να γίνεται η εφαρµογή της οριακής µεθόδου (incremental analysis) προφανής (explicit). Με άλλα λόγια, και όταν δεν εφαρµόζεται οριακή ανάλυση η φύση της σύγκρισης των Α και Β (από την σκοπιά των PW A και PW B ) είναι ισοδύναµη µε οριακή σύγκριση (δηλαδή, PW B-A ). Εδώ ίσως θά πρεπε να υπενθυµίσουµε ότι η Τεχνολογική Οικονοµική εφαρµόζει τον βασικό κανόνα της οικονοµικής ανάλυσης:... µία δραστηριότητα (ή επένδυση) είναι αυξάνεται µέχρι το σηµείο όπου τα οριακά της οφέλη (marginal or incremental benefits) είναι µεγαλύτερα ή ίσα από το οριακό κόστος (marginal or incremental cost) της προσπάθειας αύξησης της επένδυσης καθ αυτής... 53

16 Παρούσα Αξία Παράδειγµα 5..2 Στα πλαίσια της αυτοµατοποίησης κάποιου τµήµατος ενός εργοστασίου εξετάζονται δύο εναλλακτικές λύσεις Α και Β. Η Α συνοψίζει την αντίληψη να συνεχίσει το εργοστάσιο να λειτουργεί µε τον ίδιο τρόπο (κύρια χειροκίνητο) µε κάποιες µικρές βελτιώσεις. Θα µπορούσαµε να αποκαλέσουµε την Α, status-quo λύση. Η Β συνοψίζει ένα εναλλακτικό τρόπο λειτουργίας αρκετά αυτοµατοποιηµένο. Ειδικώτερα : Α (χιλ. δρχ.) Β - Επένδυση 500 0,000 - Προσωπικό (ετήσιο κόστος) 7,000 3,500 - Συντήρηση (ετήσια) Ηλεκτρικό Ρεύµα (ετήσια) ιαφορά φορολογίας εισοδήµατος* 300 (* Με την λογική ότι το ενώ Β "γλυτώνει" χρήµατα συµβάλλει στην αύξηση των κερδών και άρα στην επιδείνωση της φορολογίας -- λαµβανοµένης υπόψη της επιπρόσθετης απόσβεσης του Β). Εκτιµάται ότι το σχέδιο Β έχει οικονοµική ζωή 0 χρόνων µε τελική αξία των εµπλεκοµένων µηχανηµάτων ίση προς δρχ. Εκτιµάται ότι και το Α "αντέχει" 0 χρόνια, χωρίς βέβαια τελική αξία. Σαν ελάχιστος αποδεκτός βαθµός απόδοσης (MARR) προσδιορίζεται το 5 %. (A) (B) , B-A: 0 0 Ïñéáêü cash-flow 9,500 54

17 Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας Πρόκειται για κλασσικό τύπο προβλήµατος όπου εξετάζεται, από οικονοµική σκοπιά, η εφαρµοστικότητα νέας τεχνολογίας στο χώρο της παραγωγής. Συγκρίνοντας την παρούσα αξία του κόστους της κάθε λύσης : PW A = ,250 (P/A, 5, 0) = ,250 (5.09) = 36,888 PW B = 0, (P/A, 5, 0) (P/F, 5, 0) = 0, (5.09) (0.2472) = 32,890 Το σχέδιο Β είναι οικονοµικότερο και πρέπει να επιλεγεί, ceteris paribus. Παρατηρήσεις: Ας υποθέσουµε ότι τα δεδοµένα του προβλήµατος είναι τέτοια ώστε ένα από τα δύο σχέδια που προτείνονται (Α και Β) ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΕΠΙΛΕΓΕΙ. Στην περίπτωση αυτή δεν χρειάζεται να εξετάσουµε κανένα επιµέρους PW (αυτό αποτελεί γενικό κανόνα). Υπολογίζεται η PW του οριακού cash-flow (π.χ. Β-Α) και αν PW B-A > 0 επιλέγεται η Β αν PW B-A < 0 επιλέγεται η Α, ceteris paribus. Στη προκειµένη περίπτωση είναι προφανές ότι PW B-A = + 3,998 > 0, δηλ. η Β πρέπει να επιλεγεί, αποτέλεσµα που είναι σύµφωνο µε την προηγούµενη ανάλυση (όπως θάπρεπε να είναι!!), ceteris paribus. Παράδειγµα 5..3 ύο εναλλακτικές λύσεις εξετάζονται στα πλαίσια της εγκατάστασης ενός συστήµατος διανοµής ηλεκτρικής ενέργειας σ'ένα εργοστάσιο. Τα οικονοµικά χαρακτηριστικά των δύο λύσεων, Α και Β είναι : - Κόστος Αρχικής επένδυσης Οικονοµική Ζωή 0 χρόνια 20 χρόνια - Τελική Αξία (στο τέλος της οικ. ζωής) Ετήσιο Κόστος λειτουργίας & συντήρησης Ο ελάχιστος επιτρεπτός βαθµός απόδοσης (MARR) που απαιτείται είναι 6%. Προτιθέµεθα να επιλέξουµε µία από τις δύο λύσεις. Πρέπει να υπολογίσουµε την PW του οριακού cash-flow, δηλαδή του Β-Α : PW B-A. 'Oµως η οικονοµική ζωή των δύο λύσεων είναι διαφορετική. Η περίπτωση αυτή είναι ενδεικτική µιας κατηγορίας προβληµάτων όπου οι εµπλεκόµενες εναλλακτικές λύσεις έχουν διαφορετικές οικονοµικές ζωές (economic lives). Για να είναι σωστή (θεωρητικά και πρακτικά) η οποιαδήποτε ανάλυση και σύγκριση πρέπει ο ορίζοντας προγραµµατισµού (planning horizon) να είναι κοινός για όλες τις λύσεις. Πρακτικά αυτό σηµαίνει ότι δεν είναι σωστό να συγκριθεί η Α (της οποίας η οικονοµική ζωή είναι, στην προκειµένη περίπτωση 0 χρόνια) µε την Β (της οποίας η οικονοµική ζωή είναι 20 χρόνια). Το θέµα της ανισότητας µεταξύ οικονοµικών ζωών θα µας απασχολήσει αρκετά στα πλαίσια της παρουσίασης µεθόδων και τεχνικών της Τ.Ο. και εξετάζεται και σε επόµενα κεφάλαια του βιβλίου αυτού. 'Οπως έχει ήδη ξεκαθαριστεί η οικονοµική ζωή, σαν µεταβλητή του προβλήµατος, δεν είναι πάντοτε σταθερή. Επιχειρώντας µια πρώτη προσέγγιση στο πρόβληµα θα εξετάσουµε ένα τρόπο χειρισµού της ανισότητας στηριζόµενοι σε υπολογιστικά κριτήρια. ηλαδή, δεν αναζητούµε επιπλέον πληροφορίες γύρω από το πρόβληµα. 55

18 Παρούσα Αξία Η πρώτη αυτή προσέγγιση στηρίζεται στην παρατήρηση ότι προκειµένου η σύγκριση της Β µε την Α να είναι "δίκαιη", επαναλαµβάνουµε τεχνητά την Α ώστε οι δύο εµπλεκόµενες οικονοµικές ζωές να εξισωθούν. ηλαδή "επαναλαµβάνουµε" την Α µία ακόµη φορά ως έχει. Σηµαίνει αυτό ότι επιλέγοντας την Α (αν τελικά επιλεγεί αυτή) ή ότι προγραµµατίζοντας την Α σαν εναλλακτική λύση είµαστε υποχρεωµένοι να την επαναλάβουµε µετά το πέρας της δεκαετίας; Ασφαλώς όχι. Ούτε σηµαίνει ότι και άν ακόµη σκεπτόµασταν να την επαναλάβουµε θα περιµέναµε ότι θα είχε τα ίδια αναµενόµενα οικονοµικά χαρακτηριστικά. Τότε γιατί την "επαναλαµβάνουµε"; Η επανάληψη της Α έχει ένα και µόνο σκοπό : να διαµορφώσει ένα ενιαίο πλαίσιο αξιολόγησης των δύο λύσεων σε µια περίοδο 20 χρόνων. Γίνεται για υπολογιστικούς και µόνον σκοπούς. Η προσέγγιση αυτή της εξίσωσης των οικονοµικών ζωών δεν είναι λάθος από οικονοµική σκοπιά. Αν τελικά επιλεγεί η Α το τί θα γίνει µετά από 0 χρόνια αποτελεί θέµα άλλης µελλοντικής, ανάλυσης. Το τελευταίο είναι γενικώτερης σηµασίας θέµα. Σε κάθε περίπτωση η επιλογή µιας λύσης που αναµένεται να έχει µια οικονοµική ζωή, ας πούµε Ν, δεν σηµαίνει ότι είµαστε υποχρεωµένοι να διατηρήσουµε την εφαρµογή της λύσης αυτής για Ν χρόνια. Η εξέλιξη της υλοποίησης της κάθε λύσης υπόκειται σε µια συνεχή και δυναµική διαδικασία και ο µηχανικός που έχει αναλάβει την εκπόνηση κάποιας µελέτης πρέπει να "κοιτάει πάντα µπροστά" αγνοώντας κόστος και έξοδα βυθισµένα (sunk cost) στο παρελθόν. Τονίζεται ότι επιλέγοντας µια λύση απλά και µόνο εκδηλώνουµε την πρόθεσή µας (intention) να υλοποιήσουµε την λύση αυτή στην διάρκεια µιας χρονικής περιόδου (προγραµµατισµός). Τίποτα παραπάνω. Αλλά ας γυρίσουµε στο συγκεκριµένο παράδειγµα : PW Β-Α = - 6,000 +,000 (P/A, 6, 20) + 0,000 (P/F, 6, 0) - 2,000 (P/F, 6, 0) - 2,000 (P/F, 6, 20) = - 6, (5.929) ( 2267) ( 054) = ,84-03 =,640 ηλαδή πρέπει να επιλεγεί η Β, ceteris paribus. Παρατηρήσεις: Το θέµα της "εξίσωσης" οικονοµικών ζωών είναι γενικικώτερο και αφορά όλες τις εµπλεκόµενες λύσεις. Αν η οικονοµική ζωή της Α ήταν 4 χρόνια και της Β, 7 τότε (σύµφωνα µε την υπόθεση που κάναµε) θά έπρεπε να καθορισθεί (τονίζεται : τεχνητά) ένας χρονικός ορίζοντας 28 χρόνων, που σηµαίνει ότι η Α θα "επαναλαµβανόταν" 7 φορές και η Β, αντίστοιχα, 4 φορές. Φαντασθείτε την περίπτωση (που αρκετές φορές είναι περισσότερο ρεαλιστική απ'ότι φαίνεται αρχικά) όπου η οικονοµική ζωή των Α και Β είναι 0 και χρόνια, αντίστοιχα. Το πρόβληµα πρέπει να αναλυθεί για µια περίοδο 0 χρόνων!! 56

19 Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας 0 (Á) (Â) A ÏÑÉÁÊÇ ÁÍ ÁËÕÓÇ B B-A Εκτός του ότι για να αποφύγουµε την άµεση εξίσωση ζωών µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την µέθοδο της Ετήσιας Αξίας (Annual Worth), υπάρχει και ένα πρακτικό όριο όσον αφορά το "πόσο µακρυά" πρέπει να πάει κανείς. Μπορούµε να το ονοµάσουµε σαν όριο του %. 57

20 Παρούσα Αξία Προσδιορίζεται από την ανισότητα: (P/F, i, N) 0.0 (5.3) Π.χ. αν το i = 20% η παρούσα αξία οποιουδήποτε ποσού µετά από 25 χρόνια (ή και περισσότερο) θα είνα ίση (ή µικρότερη) από το % της ονοµαστικής τιµής του ποσού αυτού διότι : (P/F, 20, N) 0.0, όταν Ν 25 χρόνια i Káìðýëç ôéìþí (P/F,i,N) = N Παράδειγµα 5..4 Σχόλιο : Σε πολλά προβλήµατα της Τ.Ο. ο µηχανικός (ή αναλυτής) έρχεται αντιµέτωπος µε την σύγκριση δύο (ή και περισσοτέρων) λύσεων όπου η µία αντιµετωπίζει το πρόβληµα συνολικά ενώ η άλλη συνεπάγεται ένα σταδιακό και χρονικά διαρθρωµένο τρόπο του προβλήµατος, π.χ. εισαγωγής νέας τεχνολογίας επίλυσης στον χώρο της παραγωγής. Ενα κλασσικό παράδειγµα ενός τέτοιου τύπου προβλήµατος είναι η ανάπτυξη και εγκατάσταση ενός συστήµατος µηχανογράφησης. Ας υποθέσουµε ότι προτείνονται οι εξής δύο λύσεις : A. Αγορά hardware και software σταδιακά. Συνήθως αυτό σηµαίνει ότι η τελική αρχιτεκτονική του συστήµατος είναι κατανεµηµένη (distributed processing). B. Aγορά ενός κεντρικού συστήµατος που εκτιµάται ότι µπορεί να καλύψει τις πληροφοριακές ανάγκες του οργανισµού στην χρονική περίοδο που ενδιαφέρει (δηλ., κατά την διάρκεια του ορίζοντα προγραµµατισµού). 'Εστω ότι οι πληροφοριακές ανάγκες του συγκεκριµένου οργανισµού εκφράζονται µέσω του αδιάστατου δείκτη Π. Ο δείκτης αυτός είναι συνάρτηση των επιµέρους πληροφοριακών αναγκών (information processing, analysis, retrieval and storage requirements). Στα πλαίσια της χρονικής περιόδου Ν που µας ενδιαφέρει η συνάρτηση του Π = Π(Ν) είναι δυνατόν να προσδιορισθεί (έστω και σαν συνάρτηση τυχαίων µεταβλητών - random variables). Περιγραφή Προβλήµατος Ελάχιστος αποδεκτός βαθµός απόδοσης : i* = 5 %, N = 5 χρόνια Λύση Α : Το τελικό Σύστηµα (Σ) είναι το "άθροισµα" τριών επί µέρους συστηµάτων : Σ = σ + σ 2 + σ 3 58

21 Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας Αγορά σ τώρα, του σ 2 σε 5 χρόνια από σήµερα, και του σ 3 σε 0 χρόνια από σήµερα. Αγοράζοντας τα σ, σ 2, σ 3 µε τον τρόπο αυτό κάθε φορά καλύπτουµε τις πληροφοριακές ανάγκες του οργανισµού (µέχρι την επόµενη αγορά, αν υπάρχει). Αν ο δείκτης λ j συµβολίζει τις δυνατότητες του συστήµατος σ j, αντίστοιχα (j =,2,3) και είναι συγκρίσιµος µε τον Π = Π(Ν), τότε ισχύει ότι : Π (ο) λ Π (4), Π (5) λ 2 Π (9), Π (0) λ 3 Π (5) επίσης ισχύει ότι ( Π / Ν) 0 (χιλιάδες δρχ.) σ σ 2 σ 3 Σ - Κόστος επένδυσης 5,000 4,500 6,000 - Ετήσιο Κόστος λειτουργίας Τελική Αξία (Salvage or residual value) 4,000 Λύση Β. Προφανώς προσφέρει ένα λ 2 όπου Π (ο) λ 2 Π (5) - Κόστος Επένδυσης 2,000 (οικονοµία κλίµακας) - Ετήσιο Κόστος λειτουργίας,500 - Τελική Αξία,000 Συνοπτικά έχουµε : 'Εστω ότι η επιλογή µιας εκ των δύο λύσεων είναι σίγουρη (One is certain to be chosen). PW Β-Α = (P/A, 5, 5) (P/F, 5, 5) - 00 (P/A, 5, 5) (P/F, 5, 5) (P/F, 5, 0) (P/A, 5, 5) (P/F, 5, 0) (P/F, 5, 5) = (3.352) (0.4972) - 00 (3.352) (0.4972) (0.2472) (3.352) (0.2472) (0.229) = - 5,93) Η λύση Α πρέπει να επιλεγεί, ceteris paribus. 59

22 Παρούσα Αξία 4000 Á Â Â-Á Παρατηρήσεις. Ας υποθέσουµε ότι µας λείπουν προβλέψεις σχετικά µε τα σ 2 και σ 3 κοµµάτια του Σ (και συνεπώς της λύσης Α). Τότε προκειµένου να αξιολογηθούν οι δύο λύσεις, δηλαδή η Α (που σηµαίνει σ µε τελική αξία έστω,000) και η Β το οριακό cash-flow είναι : 60

23 Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας Â-Á Είναι προφανές ότι καταφύγαµε στην υπόθεση (assumption) που εξετάζεται στο Παράδειγµα 5.3 περί επανάληψης και εξίσωσης οικονοµικής ζωής. Περισσότερο προφανές είναι ότι PW Β-Α < 0 (και i* = 5 %) και ότι πρέπει να επιλεγεί η Α. Παίρνουµε δηλαδή το ίδιο αποτέλεσµα µε πριν.υπάρχει όµως µια ουσιαστική διαφορά. Στην δεύτερη περίπτωση και εφόσον προβλέψεις περί σ 2 και σ 3 δεν υπάρχουν, επιλογή της Α σηµαίνει ότι η χρονική εµβέλεια του προγράµµατός µας είναι 5 χρόνια. Η επιπρόσθετη γνώση των σ 2 και σ 3 (µαζί µε το σ, περίπτωση πρώτη) σηµαίνει ότι στα πλαίσια της επιλογής της Α η χρονική εµβέλεια του προγράµµατός µας είναι 5 χρόνια. Παράδειγµα 5..5 Σχόλιο : Μια ακόµη µορφή προβλήµατος ανάλογη µ'αυτή που περιγράφεται στο Παράδειγµα 5.4 είναι η περίπτωση της σύγκρισης δύο λύσεων όπου η οικονοµική ζωή της µίας εκτείνεται στο άπειρο ενώ η άλλη επαναλαµβάνεται. 'Εστω η ακόλουθη περίπτωση : Στο πλαίσιο της κατασκευής κερκίδων για το γήπεδο ενός Λυκείου εξετάζονται δύο λύσεις, Α και Β. Η λύση Α περιλαµβάνει την κατασκευή µόνιµης κερκίδας από µπετόν, η οικονοµική ζωή της οποίας εκτιµάται ότι είναι απεριόριστη. Η λύση Β περιλαµβάνει την κατασκευή κερκίδων από ξύλο πάνω σε σκελετό από σίδερα. Λόγω της φύσης της κατασκευής εκτιµάται ότι η τεχνική της διάρκεια είναι περιορισµένη στα 20 χρόνια. Αυτό σηµαίνει ότι κάθε 20 χρόνια θα πρέπει να "ξανακατασκευάζεται". Ειδικώτερα στοιχεία των Α και Β έχουν ως εξής : Α Β Αρχικό Κόστος Επένδυσης Κόστος Ετήσιας Συντήρησης Τελική Αξία - - ιάρκεια Ζωής 20 χρόνια Το εµπλεκόµενο Λύκειο προσδιορίζει ότι σαν ελάχιστο αποδεκτό βαθµό απόδοσης θεωρεί το 2 %. Αφού δεν λαµβάνεται υπόψη ο τιµάριθµος εκτιµάται ότι το κόστος "ξανακατασκευής" της Β παραµένει σταθερό. 6

24 Παρούσα Αξία Κατασκευάζουµε τα διαγράµµατα χρηµατοροών (cash-flow) της κάθε λύσης. Για να συγκριθούν η Α και Β µεταξύ τους µεταξύ τους πρέπει να προσδιορισθεί ένας κοινός και για τις δύο ορίζοντας προγραµµατισµού (planning horizon). Λαµβάνοντας υπόψη τα δεδοµένα του προβλήµατος, ο κοινός και για τις δύο λύσεις ορίζοντας είναι το, κάτι που είναι θεωρητικά χρήσιµο αλλά πρακτικά δύσκολο να χρησιµοποιηθεί. Παρατηρούµε ότι (P/F, 2, 40) = και ότι (P/F, 2, N) 0.0 για Ν 40 Â Á 0 inf 'Ετσι για πρακτικούς λόγους µπορούµε να περιορίσουµε την ανάλυσή µας στα 40 χρόνια. PW Β = (P/F, 2, 20) + 5 (P/A, 2, 40) = (0.2567) + 5 (8.244) = 230 PW Α = (8.244) = 57 Προφανώς η Β είναι προτιµότερη. Στο ίδιο συµπέρασµα θα είχαµε καταλήξει αν είχαµε εφαρµόσει οριακή ανάλυση. Αφού και οι δύο λύσεις περιγράφουν κόστος είναι σχεδόν αυτονόητο ότι συγκρίνοντάς τες σκοπεύουµε να επιλέξουµε αυτήν που το κόστος της (λαµβάνοντας υπόψη την διαχρονική αξία του χρήµατος) είναι ελάχιστο. 'Αρα µία από τις δύο είναι αυτονόητο ότι θα επιλεγεί. Οριακό χρηµατο-χρονοδιάγραµµα (cash-flow) Α - Β : PW = PW Α-Β = (P/A, 2, 40) + 50 (P/F, 2, 20) = (8.244) + 50 (0.2567) =

25 Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας Παρατήρηση. Τυχόν αποδοχή της λύσης B (ξύλινη κατασκευή) θα σήµαινε ότι και µετά από 20 χρόνια είµαστε υποχρεωµένοι να την επαναλάβουµε; Ασφαλώς όχι. Το τί θα γίνει µετά από 20 χρόνια είναι αποτέλεσµα µιας διαφορετικής διαδικασίας λήψης αποφάσεων. ( ες επίσης Παράδειγµα 5..3). Σηµείωση: Η παρούσα αξία ενός ετήσιου ισόµορφα κατανεµηµένου ποσού Α που εκτείνεται στο άπειρο είναι PW = A ( / i ) (5.4) (P/A, i, ) = lim N (P/A, i, N) = / i Παράδειγµα 5..6 : Αξιολόγηση Οµόλογου (Bond) Στοιχεία Οµόλογου : - Ηµεροµηνία 'Εκδοσης - Ηµεροµηνία Λήξης - Ονοµαστική Αξία (καταβάλλεται στον κάτοχο µε την λήξη του οµόλογου) - Καταβολή επιτοκίου (καταβάλλεται στον κάτοχο τόκος επί της ονοµαστικής αξίας του οµόλογου µέρισµα, συνήθως, εξαµηνιαία). Ας υποτεθεί ότι εξετάζεται η αγορά (δηλ. επένδυση) ενός οµολόγου διάρκειας 20 ετών, ονοµαστικής αξίας δρχ. που υπόσχεται καταβολή ετήσιου επιτοκίου 4 % σε εξαµηνιαία βάση. Αν υποτεθεί ότι ο εµπλεκόµενος επενδυτής προσδιορίζει ότι το κόστος ευκαιρίας του κεφαλαίου του είναι 8 % και ότι το συγκεκριµένο οµόλογο προσφέρεται αντί δρχ. πιστεύετε ότι πρέπει να το αγοράσει; Γιατί, γιατί όχι; i* = 8 % / έτος ή i* = (8/2) = 9 % εξάµηνο Το σχετικό χρηµατο-χρονοδιάγραµµα (cash-flow) είναι : Εξαµηνιαία καταβολή τόκου :,000,00 * (4 / 2) = 70,000 δρχ. NPW = (P/A, 9, 40) (P/F, 9, 40) = (0.757) (0.038) = Το οµόλογο δεν πρέπει να αγορασθεί. Σχόλιο : Τί σηµαίνει η προηγούµενη ανάλυση για κάποια εταιρεία που σκοπεύει να εκδόσει κάποιο οµόλογο; Σηµαίνει ότι ο επενδυτής µε i* = 8 % δεν θα το αγοράσει. 'Αρα η αποδοχή του οµόλογου από υποψήφιους επενδυτές είναι άµεση συνάρτηση του κόστους ευκαιρίας κεφαλαίου (opportunity cost of capital) των τελευταίων, δηλαδή του i* (ή του ελάχιστου βαθµού απόδοσης -- minimum attractive rate of return). Για κάθε i* υπάρχει µια οριακή τιµή πώλησης του οµόλογου. 63

26 Παρούσα Αξία H εξίσωση της καθαρής παρούσας αξίας (net present worth) του οµόλογου που εξετάζουµε είναι : NPW = (P/A, i*, 40) (P/F, i*, 40) 'Εστω ότι η τιµή πώλησης, µαζί µε το i* αποτελούν παράµετρους του προβλήµατος, δηλ. NPW = - Π + 70 (P/A, i*, 40) (P/F, i*, 40) ή NPW = ΝPW (Π, i*) Οριακές τιµές του Π, δηλαδή τιµές που προσδιορίζουν το ανώτατο ποσό που, δοθέντος κάποιου i*, θα ήταν πρόθυµος να καταβάλλει ένας υποψήφιος επενδυτής προκύπτουν όταν : NPW (Π, i*) = 0 ή Π = 70 (P/A, i*, 40) (P/F, i*, 40) Ð i*(%) (P/A, i*, 40) (P/F, i*, 40) Π , , , , Êáì ðýëç Ï ñéáêþí Ôéì þ í Ð (åîáì çí éáßá âüóç) i* Η παραπάνω καµπύλη βοηθά στον προσδιορισµό της κατάλληλης τιµής Π, πώλησης ενός οµόλογου. 64

27 Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας 5.2 Προβλήµατα 5. ύο εναλλακτικές λύσεις για την κατασκευή του οδοστρώµατος ενός δρόµου εξετάζονται όπου το κόστος ανά χλµ είναι ως εξής : -Αρχική Επένδυση δρχ δρχ. -Χρονική περίοδος µέχρι την επόµενη επιστρωµάτωση 0 χρόνια 5 χρόνια -Κόστος επιστρωµάτωσης Ετήσιο Κόστος Συντήρησης οδοστρώµατος H επιστρωµάτωση απευθύνεται στην εξωτερική επιφάνεια του οδοστρώµατος. Αφορά δηλαδή την αντικατάσταση της εξωτερικής και µόνο επιφάνειας και όχι της βάσης του οδοστρώµατος. Υποθέτοντας ότι σε κάθε περίπτωση η τελική αξία (Salvage Value) είναι µηδενική και ότι το i* = 0 % συγκρίνετε τους δύο τύπους Α και Β, χρησιµοποιώντας το µοντέλο της Παρούσας Αξίας, για µια περίοδο 30 χρόνων. 5.2 ύο δοµικές µηχανές εξετάζονται για αγορά από µία κατασκευαστική εταιρεία. Και οι δύο µηχανές ανταποκρίνονται στις τεχνικές προδιαγραφές λειτουργίας, εκτιµάται όµως ότι ο ΚΡΟΝΟΣ έχει πολύ µεγαλύτερη αντοχή από τον ΑΡΗ, και συνεπώς µακρύτερη οικονοµική ζωή. Τα συγκεκριµένα οικονοµικά στοιχεία είναι : ΑΡΗΣ ΚΡΟΝΟΣ Αρχικό Κόστος Παράδοσης Κόστος Λειτουργίας και Συντήρησης κατά τον πρώτο χρόνο λειτουργίας της µηχανής Ετήσιο ποσό αύξησης του λειτουργ. και κόστους συντήρησης µετά τον πρώτο χρόνο Τελική Αξία Επίσης, ο ΑΡΗΣ θα χρειασθεί µία σηµαντική επισκευή µετά από 2 χρόνια λειτουργίας που εκτιµάται ότι θα στοιχίσει ενώ αντίστοιχα ο ΚΡΟΝΟΣ θα χρειασθεί µια αντίστοιχη επισκευή µετά από 3 χρόνια λειτουργίας που θα στοιχίσει δρχ. Τέλος, εκτιµάται ότι η οικονοµική ζωή του ΑΡΗ είναι 4 χρόνια ενώ, αντίστοιχα, του ΚΡΟΝΟΥ 6 χρόνια. Βασιζόµενοι στο µοντέλο της Παρούσας Αξίας συγκρίνατε τις δύο µηχανές λαµβάνοντας υπόψη ότι το i* = 5 % (ελάχιστος αποδεκτός βαθµός απόδοσης). 65

Εκτίµηση και Οµόλογα. Κεφάλαιο. 6.1 Εκτίµηση και Κόστος Ευκαιρίας Κεφαλαίου

Εκτίµηση και Οµόλογα. Κεφάλαιο. 6.1 Εκτίµηση και Κόστος Ευκαιρίας Κεφαλαίου 1. Κεφάλαιο 6 Εκτίµηση και Οµόλογα 6.1 Εκτίµηση και Κόστος Ευκαιρίας Κεφαλαίου Είναι καµιά φορά δύσκολο να εξηγήσει κανείς τι σηµαίνει παρούσα αξία σε κάποιον που δεν το έχει µελετήσει. Αλλά, όπως έχει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3: Στρατηγική Οικονομοτεχνικών Αποφάσεων

Κεφάλαιο 3: Στρατηγική Οικονομοτεχνικών Αποφάσεων Κ3.1 Μέθοδο της παρούσας αξίας Η παρούσα αξία έχει μεγάλη πρακτική αξία σε περιπτώσεις εκτίμησης ιδιοκτησίας (ακίνητης περιουσίας, κλπ.). Υπολογίζουμε την παρούσα αξία που αντιπροσωπεύουν τα καθαρά οριακά

Διαβάστε περισσότερα

Ετήσια Αξία (Annual Worth)

Ετήσια Αξία (Annual Worth) 1. Κεφάλαιο 7 Ετήσια Αξία (Annual Worth) 7.1 Εισαγωγή Η µέθοδος της ετήσιας αξίας έχει το µεγάλο πλεονέκτηµα να γίνεται αµέσως κατανοητή µε µια απλή ανάγνωση από απλό κόσµο. Απλά σηµαίνει ετήσιο κέρδος

Διαβάστε περισσότερα

Η τεχνική της Καθαρής Παρούσας Αξίας ( Net Present Value)

Η τεχνική της Καθαρής Παρούσας Αξίας ( Net Present Value) Η τεχνική της Καθαρής Παρούσας Αξίας ( Net Present Value) Σύμφωνα με αυτή την τεχνική θα πρέπει να επιλέγουμε επενδυτικά σχέδια τα οποία έχουν Καθαρή Παρούσα Αξία μεγαλύτερη του μηδενός. Συγκεκριμένα δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Πληθωρισµός. Κεφάλαιο. 11.1 Γενικά

Πληθωρισµός. Κεφάλαιο. 11.1 Γενικά 1. Κεφάλαιο 11 Πληθωρισµός 11.1 Γενικά Ο πληθωρισµός (inflation) εκφράζει την αύξηση των τιµών, ενώ αντίθετα ο αντιπληθωρισµός τη µείωση. Έτσι για παράδειγµα λέγοντας 2% αύξηση του πληθωρισµού το µήνα

Διαβάστε περισσότερα

Λόγος Οφέλους - Κόστους

Λόγος Οφέλους - Κόστους 1. Κεφάλαιο 8 Λόγος Οφέλους - Κόστους 8.1 Μέθοδος λόγος Οφέλους - Κόστους Η µέθοδος Λόγος Οφέλους-Κόστους είναι άλλη µία µέθοδος ανάλυσης και υποστήριξης αποφάσεων στον τοµέα των επενδύσεων. Σηµαντικό

Διαβάστε περισσότερα

Τι ενδιαφέρει τον ιδιώτη

Τι ενδιαφέρει τον ιδιώτη ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΠΜΣ «Επιστήµη και Τεχνολογία Υδατικών Πόρων» Οικονοµικά του Περιβάλλοντος και των Υδατικών Πόρων Αξιολόγηση επενδύσεων Τι ενδιαφέρει τον ιδιώτη Πόσα χρήµατα θα επενδύσω; Πότε

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΕΑΠ ΔΕΟ 31 www.frontistiria-eap.gr ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΔΕΟ 31 ΤΟΜΟΣ Β ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΕΑΠ ΔΕΟ 31 www.frontistiria-eap.gr ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΔΕΟ 31 ΤΟΜΟΣ Β ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΔΕΟ 31 ΤΟΜΟΣ Β ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΘΗΝΑ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 01 1 ΤΟΜΟΣ ΚΑΘΑΡΑ ΠΑΡΟΥΣΑ ΑΞΙΑ Η καθαρή Παρούσα Αξία ισούται με το άθροισμα προεξοφλημένων καθαρών ταμειακών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΑΜΕΙΑΚΩΝ ΡΟΩΝ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΑΜΕΙΑΚΩΝ ΡΟΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΑΜΕΙΑΚΩΝ ΡΟΩΝ 1. ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΜΟΣ ΑΡΧΙΚΟΥ ΚΟΣΤΟΥΣ Άσκηση 1 Η εταιρεία Αλεξάνδρου Α.Ε. σχεδιάζει να αντικαταστήσει παλαιά µηχανήµατα µε νέα. Τα νέα µηχανήµατα κοστίζουν 100.000. Τα µηχανήµατα αυτά

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: Αξία του Χρήματος

Κεφάλαιο 2: Αξία του Χρήματος Κεφάλαιο 2: Αξία του Χρήματος Κ2.1 Βασικές έννοιες Μέθοδοι λήψης οικονομοτεχνικών αποφάσεων Οι βασικές μέθοδοι για να παρθεί μια απόφαση με βάση οικονομοτεχνικά κριτήρια είναι: 1. Η μέθοδος της παρούσας

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ Ε.ΜΙΧΑΗΛΙΔΟΥ - 1 ΤΟΜΟΣ Β ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ Ε.ΜΙΧΑΗΛΙΔΟΥ - 1 ΤΟΜΟΣ Β ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ Ε.ΜΙΧΑΗΛΙΔΟΥ - 1 ΤΟΜΟΣ Β ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ Κεφάλαιο 1 Η ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ Επιτόκιο: είναι η αμοιβή του κεφαλαίου για κάθε μονάδα χρόνου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Ακαδημαϊκό έτος 2012-2013 Τμήμα Οικονομικών Επιστημών

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Ακαδημαϊκό έτος 2012-2013 Τμήμα Οικονομικών Επιστημών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Ακαδημαϊκό έτος 2012-2013 Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Χειμώνας-Άνοιξη Μάθημα: Δημόσια Οικονομική Διδασκαλία: Βασίλης Θ. Ράπανος Γεωργία Καπλάνογλου Ημερομηνία παράδοσης: Ερωτήσεις πολλαπλών

Διαβάστε περισσότερα

Το κόστος του κεφαλαίου

Το κόστος του κεφαλαίου Κεφάλαιο 16 Το κόστος του κεφαλαίου 16.1 Ορισµοί Το κεφάλαιο (capital) θεωρείται συχνά σαν ένα ποσό χρηµάτων διαθέσιµο για επένδυση., ή ένα ποσό χρηµάτων δεσµευµένο σε µια επιχείρηση. Το κεφάλαιό µου σε

Διαβάστε περισσότερα

Slide 8.1. ΤΕΙ Πειραιά Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Λογιστική και Χρηματοοικονομική. Δευτέρα 27 Ιανουαρίου & Τετάρτη 29 Ιανουαρίου

Slide 8.1. ΤΕΙ Πειραιά Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Λογιστική και Χρηματοοικονομική. Δευτέρα 27 Ιανουαρίου & Τετάρτη 29 Ιανουαρίου Slide 8.1 ΤΕΙ Πειραιά Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Λογιστική και Χρηματοοικονομική Δευτέρα 27 Ιανουαρίου & Τετάρτη 29 Ιανουαρίου Slide 8.2 Η μέθοδος λήψης αποφάσεων για αξιολόγηση επενδυτικών πλάνων Μετά το

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο Μέσο Σταθµισµένο Κόστος Κεφαλαίου (WACC), Ελεύθερες Ταµειακές Ροές (FCF) και Αποτίµηση (Valuation)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο Μέσο Σταθµισµένο Κόστος Κεφαλαίου (WACC), Ελεύθερες Ταµειακές Ροές (FCF) και Αποτίµηση (Valuation) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο Μέσο Σταθµισµένο Κόστος Κεφαλαίου (WACC), Ελεύθερες Ταµειακές Ροές (FCF) και Αποτίµηση (Valuation) 9.1. Εισαγωγή Μέχρι τώρα αναφερθήκαµε στο κόστος κεφαλαίου µε τη γενικότερη µορφή του και

Διαβάστε περισσότερα

Χρονική Αξία του Χρήµατος

Χρονική Αξία του Χρήµατος ΤΕΙ ΑΘΗΝΑΣ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ι ΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ email: thkazanas@teiath.gr Χρονική Αξία του Χρήµατος Α. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ Η αξία του χρήµατος (όπως λ.χ. ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΘΡΟ: Επισκεφθείτε το Management Portal της Specisoft:

ΑΡΘΡΟ: Επισκεφθείτε το Management Portal της Specisoft: Specisoft ΑΡΘΡΟ: Επισκεφθείτε το Management Portal της Specisoft: NPV & IRR: Αξιολόγηση & Ιεράρχηση Επενδυτικών Αποφάσεων Από Αβραάμ Σεκέρογλου, Οικονομολόγo, Συνεργάτη της Specisoft Επισκεφθείτε το Management

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ FV Η συνάρτηση αυτή υπολογίζει την μελλοντική αξία μιας επένδυσης βάσει περιοδικών, σταθερών πληρωμών και σταθερού επιτοκίου. =FV(επιτόκιο; αριθμός περιόδων; δόση αποπληρωμής; παρούσα

Διαβάστε περισσότερα

1. ΑΝΟΙΚΤΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΣΤΗ ΜΑΚΡΟΧΡΟΝΙΑ ΠΕΡΙΟΔΟ

1. ΑΝΟΙΚΤΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΣΤΗ ΜΑΚΡΟΧΡΟΝΙΑ ΠΕΡΙΟΔΟ 1. ΑΝΟΙΚΤΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΣΤΗ ΜΑΚΡΟΧΡΟΝΙΑ ΠΕΡΙΟΔΟ Το διάγραμμα κυκλικής ροής της οικονομίας (κεφ. 3, σελ. 100 Mankiw) Εισόδημα Υ Ιδιωτική αποταμίευση S Αγορά συντελεστών Αγορά χρήματος Πληρωμές συντελεστών

Διαβάστε περισσότερα

Απόθεµα περιουσιακών στοιχείων. Χρήσιµο για τις συναλλαγές. Μία µορφή πλούτου. Επάρκεια. Χωρίς Χρήµα. Ανταλλακτική Οικονοµία (Barter economy)

Απόθεµα περιουσιακών στοιχείων. Χρήσιµο για τις συναλλαγές. Μία µορφή πλούτου. Επάρκεια. Χωρίς Χρήµα. Ανταλλακτική Οικονοµία (Barter economy) Απόθεµα περιουσιακών στοιχείων Χρήµα Χρήσιµο για τις συναλλαγές Μία µορφή πλούτου Χωρίς Χρήµα Επάρκεια Ανταλλακτική Οικονοµία (Barter economy) 1 Λειτουργίες του Χρήµατος Μέσο διατήρησης της αξίας Μονάδα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Αξιολόγηση Επενδύσεων ιαχρονική Αξία Χρήµατος

Αξιολόγηση Επενδύσεων ιαχρονική Αξία Χρήµατος Αξιολόγηση Επενδύσεων ιαχρονική Αξία Χρήµατος Βασικά Σηµεία ιάλεξης Ορισµός Επένδυσης Μελλοντική Αξία Επένδυσης Παρούσα Αξία Επένδυσης Αξιολόγηση Επενδυτικών Έργων Ορθολογικά Κριτήρια Μέθοδος της Καθαρής

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Κόστους Κύκλου Ζωής

Ανάλυση Κόστους Κύκλου Ζωής Ανάλυση Κόστους Κύκλου Ζωής ρ Γ. Γιαννακίδης Εισαγωγή Στόχοι και Οφέλη Ανάλυση Κόστους Κύκλου Ζωής Life Cycle Cost Analysis - LCCA Μέθοδος οικονοµικής σύγκρισης εναλλακτικών επενδύσεων που βασίζεται στο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

Μικροοικονοµική Θεωρία

Μικροοικονοµική Θεωρία Μικροοικονοµική Θεωρία Ειδικά Θέµατα της Θεωρίας της Συµπεριφοράς του Καταναλωτή Το Συνολικό Αποτέλεσµα. Το Αποτέλεσµα Υποκατάστασης. Το Εισοδηµατικό Αποτέλεσµα. Κανονικά Αγαθά. Κατώτερα Αγαθά. Παράδοξο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΙ ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΖΕΙ ΤΗ ΖΗΤΗΣΗ ΓΙΑ ΑΓΑΘΑ ΚΑΙ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ; Y = C + I + G + NX. απάνες Κατανάλωσης από τα νοικοκυριά

ΤΙ ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΖΕΙ ΤΗ ΖΗΤΗΣΗ ΓΙΑ ΑΓΑΘΑ ΚΑΙ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ; Y = C + I + G + NX. απάνες Κατανάλωσης από τα νοικοκυριά ΤΙ ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΖΕΙ ΤΗ ΖΗΤΗΣΗ ΓΙΑ ΑΓΑΘΑ ΚΑΙ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ; Συνολική Ζήτηση για εγχώριο προϊόν (ΑΕΠ/GDP) απαρτίζεται από Y = C + I + G + NX απάνες Κατανάλωσης από τα νοικοκυριά Επενδυτικές απάνες από τα νοικοκυριά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α: ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΚΙΝ ΥΝΟΥ ΚΑΙ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ

ΜΕΡΟΣ Α: ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΚΙΝ ΥΝΟΥ ΚΑΙ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Α: ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΚΙΝ ΥΝΟΥ ΚΑΙ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ Κεφάλαιο 1: Το θεωρητικό υπόβαθρο της διαδικασίας λήψεως αποφάσεων και η χρονική αξία του χρήµατος Κεφάλαιο 2: Η καθαρή παρούσα αξία ως κριτήριο επενδυτικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΑΡΧΕΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ, ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΑΡΧΕΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ρ. ΑΠΟΣΤΟΛΟΣ ΑΣΙΛΑΣ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Το µάθηµα αυτό έχει σκοπό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

0-942,000 5-578,000 10 267,000 15 0 20 232200 25 435,000 30 613,500 1000 2,868,600

0-942,000 5-578,000 10 267,000 15 0 20 232200 25 435,000 30 613,500 1000 2,868,600 1. Κεφάλαιο 12 άνεια 12.1 Εισαγωγή Όταν κάποιος δανείζεται λεφτά από κάποιον τρίτο για οποιοδήποτε σκοπό, σηµαίνει ότι ο δανειζόµενος αποκτά πλεονέκτηµα στην αρχή της περιόδου δανεισµού (time-zero) και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Games)

Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Games) Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Gaes) Το δίληµµα των φυλακισµένων, όπως ξέρουµε έχει µια και µοναδική ισορροπία η οποία είναι σε αυστηρά κυρίαρχες στρατηγικές. C N C -8, -8 0, -10 N -10,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΣΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Κόστος κεφαλαίου κόστος ευκαιρίας των κεφαλαίων Υποθέσεις υπολογισμού Στάδια υπολογισμού Πηγές χρηματοδότησης (κεφαλαίου)

ΚΟΣΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Κόστος κεφαλαίου κόστος ευκαιρίας των κεφαλαίων Υποθέσεις υπολογισμού Στάδια υπολογισμού Πηγές χρηματοδότησης (κεφαλαίου) ΚΟΣΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Κόστος κεφαλαίου Ορισμός: είναι το κόστος ευκαιρίας των κεφαλαίων που έχουν όλοι οι επενδυτές της εταιρείας (μέτοχοι και δανειστές) Κόστος ευκαιρίας: είναι η απόδοση της καλύτερης εναλλακτικής

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ, E.M.Π ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΓΓΕΙΟΒΕΛΤΙΩΤΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ Υ ΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: Υ ΡΑΥΛΙΚΑ ΕΡΓΑ ΕΞΑΜΗΝΟ: 8 ο

ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ, E.M.Π ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΓΓΕΙΟΒΕΛΤΙΩΤΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ Υ ΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: Υ ΡΑΥΛΙΚΑ ΕΡΓΑ ΕΞΑΜΗΝΟ: 8 ο ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ, E.M.Π ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΓΓΕΙΟΒΕΛΤΙΩΤΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ Υ ΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: Υ ΡΑΥΛΙΚΑ ΕΡΓΑ ΕΞΑΜΗΝΟ: 8 ο Άσκηση Οικισµός ΑΒΓ Α υδροδοτείται από δεξαµενή µέσω

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Ακαδημαϊκό έτος 2012-2013 Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Εξέταση στο μάθημα: Δημόσια Οικονομική Διδασκαλία: Γεωργία Καπλάνογλου

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Ακαδημαϊκό έτος 2012-2013 Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Εξέταση στο μάθημα: Δημόσια Οικονομική Διδασκαλία: Γεωργία Καπλάνογλου ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Ακαδημαϊκό έτος 2012-2013 Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Εξέταση στο μάθημα: Δημόσια Οικονομική Διδασκαλία: Γεωργία Καπλάνογλου Εξεταστική περίοδος Φεβρουαρίου Η εξέταση αποτελείται από

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

ΖΗΤΗΣΗ, ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΚΑΙ ΙΣΣΟΡΟΠΙΑ ΑΓΟΡΑΣ

ΖΗΤΗΣΗ, ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΚΑΙ ΙΣΣΟΡΟΠΙΑ ΑΓΟΡΑΣ 1 ΚΦΑΛΑΙΟ 6 ΖΗΤΗΣΗ, ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΚΑΙ ΙΣΣΟΡΟΠΙΑ ΑΓΟΡΑΣ Οι καµπύλες ζήτησης και προσφοράς είναι αναγκαίες για να προσδιορίσουν την τιµή στην αγορά. Η εξοµοίωσή τους καθορίζει την τιµή και τη ποσότητα ισορροπίας,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΕΟΝΑΣΜΑ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΗ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Το πλεόνασµα του καταναλωτή είναι ωφέλεια που προκύπτει από το γεγονός

ΠΛΕΟΝΑΣΜΑ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΗ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Το πλεόνασµα του καταναλωτή είναι ωφέλεια που προκύπτει από το γεγονός ΠΛΕΟΝΑΣΜΑ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΗ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Β.1. Το Πλεόνασµα του Καταναλωτή Το πλεόνασµα του καταναλωτή είναι ωφέλεια που προκύπτει από το γεγονός ότι κάποιοι καταναλωτές πληρώνουν για ένα αγαθό λιγότερο από αυτό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερη συχνή, αφού πλήθος προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν µε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ http://www.economics.edu.gr 1 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ( τρόποι επίλυσης παρατηρήσεις σχόλια ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ο πίνακας παραγωγικών δυνατοτήτων µιας

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Αρχών Οικονοµικής Θεωρίας Επιλογής Γ' Λυκείου 2001

Θέµατα Αρχών Οικονοµικής Θεωρίας Επιλογής Γ' Λυκείου 2001 Θέµατα Αρχών Οικονοµικής Θεωρίας Επιλογής Γ' Λυκείου 2001 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α Α Στις προτάσεις, από Α.1. µέχρι και Α.6, να γράψετε τον αριθµό της καθεµιάς και δίπλα σε κάθε αριθµό την ένδειξη Σωστό, αν η

Διαβάστε περισσότερα

Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις

Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Από την Θεωρία Θνησιµότητας Συνάρτηση Επιβίωσης : Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Η s() δίνει την πιθανότητα άτοµο ηλικίας µηδέν, ζήσει πέραν της ηλικίας. όταν s() s( ) όταν o

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

1 ου πακέτου. Βαθµός πακέτου

1 ου πακέτου. Βαθµός πακέτου ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Χειµώνας-Άνοιξη Μάθηµα: ηµόσια Οικονοµική ιδασκαλία: Βασίλης Θ. Ράπανος Γεωργία Καπλάνογλου Μετά και το 4 ο πακέτο, πρέπει να στείλετε

Διαβάστε περισσότερα

2 η ΕΝΟΤΗΤΑ. Αξιολόγηση Επενδύσεων

2 η ΕΝΟΤΗΤΑ. Αξιολόγηση Επενδύσεων η ΕΝΟΤΗΤΑ Αξιολόγηση Επενδύσεων Ορισμός Επένδυσης Με τον όρο επένδυση εννοούμε μια σειρά (ακολουθία) καθαρών ταμειακών ροών (ΚΤΡ) παραγωγικές επενδύσεις: διαφορά μεταξύ εισπράξεων από πωλήσεις και πληρωμών

Διαβάστε περισσότερα

Επιτόκιο & Μετασχηµατιστές P/F

Επιτόκιο & Μετασχηµατιστές P/F Κεφάλαιο 4 Επιτόκιο & Μετασχηµατιστές P/ 4. Εισαγωγή Όπως έχει αναλυθεί µέχρι τώρα, το χρήµα έχει διττή αξία, ήτοι την αριθµητική τιµή του καθώς και την χρονική στιγµή κατά την οποία αναφερόµαστε. Γύρω

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ 34 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΟΜΟΣ 1 ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

ΔΕΟ 34 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΟΜΟΣ 1 ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΕΑΠ ΔΕΟ 34 Ν. ΠΑΝΤΕΛΗ ΔΕΟ 34 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΟΜΟΣ 1 ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ & ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΘΗΝΑ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 2012 1 ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΕΑΠ ΔΕΟ 34 ΚΟΣΤΗ Ν.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΚΕ ΟΝΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜ ΕΦΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙ ΠΙΓΝΙΩΝ Εξετάσεις 13 Φεβρουαρίου 2004 ιάρκεια εξέτασης: 2 ώρες (13:00-15:00) ΘΕΜ 1 ο (2.5) α) Για δύο στρατηγικές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

η αποδοτική κατανοµή των πόρων αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα Οικονοµία των µεταφορών Η ανεπάρκεια των πόρων &

η αποδοτική κατανοµή των πόρων αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα Οικονοµία των µεταφορών Η ανεπάρκεια των πόρων & 5 η αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα: Η αποτελεί θεµελιώδες πρόβληµα σε κάθε σύγχρονη οικονοµία. Το πρόβληµα της αποδοτικής κατανοµής των πόρων µπορεί να εκφρασθεί µε 4 βασικά ερωτήµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Να απαντήσετε τα παρακάτω θέματα σύμφωνα με τις οδηγίες των εκφωνήσεων. Η διάρκεια της εξέτασης είναι 3 (τρεις) ώρες.

Να απαντήσετε τα παρακάτω θέματα σύμφωνα με τις οδηγίες των εκφωνήσεων. Η διάρκεια της εξέτασης είναι 3 (τρεις) ώρες. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών ΜΠΣ Χρηματοοικονομικής και Τραπεζικής για Στελέχη Μάθημα: Οικονομική για Στελέχη Επιχειρήσεων Εξέταση Δεκεμβρίου 2007 Ονοματεπώνυμο: Να απαντήσετε τα παρακάτω θέματα σύμφωνα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Πρόγραµµα Μεταπτυχιακών Σπουδών ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ (ΡΑ ΙΟΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΕΡΕΥΝΑΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΑΠΑΣΧΟΛΗΣΗ ΤΩΝ ΑΠΟΦΟΙΤΩΝ ΤΟΥ Π.Μ.Σ.

Διαβάστε περισσότερα

Slide 5.1. ΤΕΙ Πειραιά Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Λογιστική και Χρηματοοικονομική. Παρασκευή 24 Ιανουαρίου

Slide 5.1. ΤΕΙ Πειραιά Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Λογιστική και Χρηματοοικονομική. Παρασκευή 24 Ιανουαρίου Slide 5.1 ΤΕΙ Πειραιά Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Λογιστική και Χρηματοοικονομική Παρασκευή 24 Ιανουαρίου Slide 5.2 Αποτίμηση Επενδύσεων: χρηματοροές Θα δούμε ότι μόνο χρηματοροές που προσαυξάνουν τα ποσά θα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Α.1. Όταν η Κ.Π.Δ. είναι γραμμική τότε το κόστος ευκαιρίας είναι πάντοτε σταθερό και ίσο με τη μονάδα.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Α.1. Όταν η Κ.Π.Δ. είναι γραμμική τότε το κόστος ευκαιρίας είναι πάντοτε σταθερό και ίσο με τη μονάδα. ΟΜΑΔΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Στις παρακάτω προτάσεις, από Α.1 μέχρι και Α.5 να γράψετε τον αριθμό της καθεμιάς και δίπλα του την ένδειξη: Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. Α.1.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΚΟΣΤΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. Κεφάλαιο 10. Το κόστος παραγωγής. ! Οι επιχειρήσεις επιθυµούν να παράγουν µεγαλύτερη ποσότητα, όσο υψηλότερη είναι η τιµή

ΤΟ ΚΟΣΤΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. Κεφάλαιο 10. Το κόστος παραγωγής. ! Οι επιχειρήσεις επιθυµούν να παράγουν µεγαλύτερη ποσότητα, όσο υψηλότερη είναι η τιµή ΤΟ ΚΟΣΤΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Κεφάλαιο 10 Το παραγωγής! Ο Νόµος της προσφοράς:! Οι επιχειρήσεις επιθυµούν να παράγουν µεγαλύτερη ποσότητα, όσο υψηλότερη είναι η τιµή! Ως εκ τούτου, η καµπύλη προσφοράς έχει αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εργασία 1 Χρηματοδοτική Διοίκηση. Γενικές οδηγίες

Γραπτή Εργασία 1 Χρηματοδοτική Διοίκηση. Γενικές οδηγίες ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ 31 Χρηματοοικονομική Διοίκηση Ακαδημαϊκό Έτος: 2009-10 Γραπτή Εργασία 1 Χρηματοδοτική Διοίκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΜΕΘΟΔΩΝ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗΣ ΑΚΙΝΗΤΩΝ

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΜΕΘΟΔΩΝ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗΣ ΑΚΙΝΗΤΩΝ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΜΕΘΟΔΩΝ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗΣ ΑΚΙΝΗΤΩΝ Η επιλογή της κατάλληλης εκτιμητικής μεθόδου ακινήτων αποτελεί μία «λεπτή» διαδικασία που εξαρτάται κυρίως από τη φύση και τις προοπτικές του κάθε ακινήτου.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΟΜΑΔΑ Α

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΟΜΑΔΑ Α ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΟΜΑΔΑ Α Στις προτάσεις, από Α.1. μέχρι και Α.5., να γράψετε τον αριθμό της καθεμιάς και δίπλα σε κάθε αριθμό την ένδειξη Σωστό, αν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί.

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί. Κεφάλαιο : ιατάξεις και Συνδυασµοί. Περιεχόµενα Εισαγωγή Βασική αρχή απαρίθµησης ιατάξεις µε και χωρίς επανατοποθέτηση Συνδυασµοί Ασκήσεις Εισαγωγή Μέχρι το τέλος αυτού του κεφαλαίου ϑα ϑεωρούµε πειράµατα

Διαβάστε περισσότερα

5.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΟΣΟΣΤΑ

5.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΟΣΟΣΤΑ 1 5. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΟΣΟΣΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. ύο υπάλληλοι έχουν µηνιαίο µισθό 1500. Στον έναν από τους δύο έγινε αύξηση % και στον άλλο µείωση 5% πάνω στις αποδοχές του πρώτου υπαλλήλου όπως αυτές διαµορφώθηκαν

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Εισαγωγή Το πρόβλημα του Σχεδιασμού στη Χημική Τεχνολογία και Βιομηχανία. Το συνολικό πρόβλημα του Σχεδιασμού, από μαθηματική άποψη ανάγεται σε ένα πρόβλημα επίλυσης συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΜAΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ Α ΜΕΡΟΣ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ και ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜAΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ Α ΜΕΡΟΣ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ και ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜAΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ Α ΜΕΡΟΣ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ και ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΘΗΝΑ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2014 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ - ΣΥΝΤΑΞΗ ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΝΙΚΟΣ 1 ΜAΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΑΕΠ ΑΠΟ ΤΗΝ ΠΛΕΥΡΑ ΤΗΣ ΤΕΛΙΚΗΣ ΔΑΠΑΝΗΣ Y = C + I + G + ( X M) Y

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 18 Μηχανική Μάθηση Ένα φυσικό ή τεχνητό σύστηµα επεξεργασίας πληροφορίας συµπεριλαµβανοµένων εκείνων µε δυνατότητες αντίληψης, µάθησης, συλλογισµού, λήψης απόφασης, επικοινωνίας και δράσης

Διαβάστε περισσότερα

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Ένα πολυσταδιακό πρόβλημα που αφορά στον τριμηνιαίο προγραμματισμό για μία βιομηχανική επιχείρηση παραγωγής ελαστικών (οχημάτων) Γενικός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ-ΔΕΟ41-ΙΟΥΝΙΟΣ 2007

ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ-ΔΕΟ41-ΙΟΥΝΙΟΣ 2007 1 Πειραιεύς, 23 Ιουνίου 20076 ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ-ΔΕΟ41-ΙΟΥΝΙΟΣ 2007 Απαντήστε σε 3 από τα 4 θέματα (Άριστα 100 μονάδες) Θέμα 1. Α) Υποθέσατε ότι το trading desk της Citibank ανακοινώνει τα ακόλουθα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3 ΑΣΚΗΣΗ 1 Δύο επιχειρήσεις Α και Β, μοιράζονται το μεγαλύτερο μερίδιο της αγοράς για ένα συγκεκριμένο προϊόν. Καθεμία σχεδιάζει τη νέα της στρατηγική για τον επόμενο χρόνο, προκειμένου να αποσπάσει πωλήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΘΕΩΡΙΑ ΖΗΤΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΘΕΩΡΙΑ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΘΕΩΡΙΑ ΖΗΤΗΣΗΣ Οι τιµές Στην οικονοµία οι τιµές παίζουν βασικό ρόλο. Κατανέµουν τους παραγωγικούς πόρους στις τοµείς όπου υπάρχει µεγαλύτερη ζήτηση µε το πιο αποτελεσµατικό τρόπο. Αυτό το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή και ανάλυση ευαισθησίας προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. υϊκότητα. Παραδείγµατα.

Εισαγωγή και ανάλυση ευαισθησίας προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. υϊκότητα. Παραδείγµατα. Η ανάλυση ευαισθησίας και η δυϊκότητα είναι σηµαντικά τµήµατα της θεωρίας του γραµµικού προγραµµατισµού και εν γένει του µαθηµατικού προγραµµατισµού, αφού αφορούν την ανάλυση των προτύπων και την εξαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Ας δούµε τώρα πως το εν λόγω υπόδειγµα µεταχειρίζεται τη συσσώρευση κεφαλαίου.

Ας δούµε τώρα πως το εν λόγω υπόδειγµα µεταχειρίζεται τη συσσώρευση κεφαλαίου. Το υπόδειγµα οικονοµικής µεγέθυνσης του Solow σχεδιάστηκε προκειµένου να δείξει πως η µεγέθυνση του κεφαλαίου, του εργατικού δυναµικού αλλά και οι µεταβολές στην τεχνολογία αλληλεπιδρούν σε µια οικονοµία,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και το Κόστος

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και το Κόστος ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Κεφάλαιο 3 ο : Η Παραγωγή της Επιχείρησης και το Κόστος ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΝΙΚΟΣ Χ. ΤΖΟΥΜΑΚΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΣ Παραγωγή: είναι η διαδικασία με την οποία οι διάφοροι παραγωγικοί συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Σπουδών: Διοίκηση Επιχειρήσεων & Οργανισμών Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ 34 Οικονομική Ανάλυση & Πολιτική

Πρόγραμμα Σπουδών: Διοίκηση Επιχειρήσεων & Οργανισμών Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ 34 Οικονομική Ανάλυση & Πολιτική ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: Διοίκηση Επιχειρήσεων & Οργανισμών Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ 34 Οικονομική Ανάλυση & Πολιτική Γραπτή Εργασία # 4 (Δημόσια Οικονομική) Ακαδ. Έτος: 2006-7 Οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα

είναι η καµπύλη συνολικής ζήτησης εργασίας από τις επιχειρήσεις και η καµπύλη S

είναι η καµπύλη συνολικής ζήτησης εργασίας από τις επιχειρήσεις και η καµπύλη S 3 Ασκήσεις πολλαπλής επιλογής στην 5 η ενότητα: Αµοιβές των ΠΣ διανοµή εισοδήµατος βασικά µακροοικονοµικά µεγέθη θεωρία κατανάλωσης και επένδυσης ισορροπία εισοδήµατος. Ο πραγµατικός µισθός των εργαζοµένων

Διαβάστε περισσότερα

www.onlineclassroom.gr

www.onlineclassroom.gr Ερώτηση 1 Την 30 η Σεπτεμβρίου 2013, τα επιτόκια ενός έτους του γιεν Ιαπωνίας και της λίρας Αγγλίας είναι αντιστοίχως i = 1% και i = 4%, ενώ η ισοτιμία όψεως είναι 150 ανά λίρα (S 30-9-13 = 150/ ). Οι

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. www.arnos.gr κλικ στη γνώση info@arnos.co.gr. ΣΟΛΩΜΟΥ 29 ΑΘΗΝΑ 210.38.22.157 495 Fax: 210.33.06.463

Εισαγωγή. www.arnos.gr κλικ στη γνώση info@arnos.co.gr. ΣΟΛΩΜΟΥ 29 ΑΘΗΝΑ 210.38.22.157 495 Fax: 210.33.06.463 Εισαγωγή Η ελαχιστοποίηση του περιβαλλοντικού κόστους μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως κριτήριο για τον προσδιορισμό της βέλτιστης τιμής της συγκέντρωσης C του ρυπαντή στο περιβάλλον ή στο σημείο εκροής από

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ.

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ. Λυµένη Άσκηση στην οµαδοποιηµένη κατανοµή Στην Γ τάξη του Ενιαίου Λυκείου µιας περιοχής φοιτούν 4 µαθητές των οποίων τα ύψη τους σε εκατοστά φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα. 7 4 76 7 6 7 3 77 77 7 6 7 6

Διαβάστε περισσότερα

Πως μπορούμε να αξιολογήσουμε την κερδοφορία ενός νέου προγράμματος. Του Φατούρου Γ. Ιωάννη, Ph.D.

Πως μπορούμε να αξιολογήσουμε την κερδοφορία ενός νέου προγράμματος. Του Φατούρου Γ. Ιωάννη, Ph.D. Πως μπορούμε να αξιολογήσουμε την κερδοφορία ενός νέου προγράμματος Του Φατούρου Γ. Ιωάννη, Ph.D. Σαν fitness directors καλούμαστε να αξιολογήσουμε την οικονομική επιτυχία νέων προγραμμάτων που ενσωματώνονται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Δίνεται ο παρακάτω πίνακας : Α. Να σχεδιάσετε την καμπύλη ζήτησης Β. Να βρεθεί η εξίσωση ζήτησης Γ.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Δίνεται ο παρακάτω πίνακας : Α. Να σχεδιάσετε την καμπύλη ζήτησης Β. Να βρεθεί η εξίσωση ζήτησης Γ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Δίνεται ο παρακάτω πίνακας : ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ P Α 24 80 Β 35 64 Γ 45 50 Δ 55 36 Ε 60 29 Ζ 70 14 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 Α. Να σχεδιάσετε την καμπύλη

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

Ερώτηση Α.1 (α) (β) www.arnos.gr info@arnos.co.gr

Ερώτηση Α.1 (α) (β) www.arnos.gr info@arnos.co.gr Ερώτηση Α.1 Σε μια κλειστή οικονομία οι αγορές αγαθών και χρήματος βρίσκονται σε ταυτόχρονη ισορροπία (υπόδειγμα IS-LM). Να περιγράψετε και να δείξετε διαγραμματικά το πώς θα επηρεάσει την ισορροπία των

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραµµα Σπουδών: ΤΡΑΠΕΖΙΚΗ Θεµατική Ενότητα: ΤΡΑ-61 Στρατηγική Τραπεζών Ακαδηµαϊκό Έτος: 2012-2013

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραµµα Σπουδών: ΤΡΑΠΕΖΙΚΗ Θεµατική Ενότητα: ΤΡΑ-61 Στρατηγική Τραπεζών Ακαδηµαϊκό Έτος: 2012-2013 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραµµα Σπουδών: ΤΡΑΠΕΖΙΚΗ Θεµατική Ενότητα: ΤΡΑ-61 Στρατηγική Τραπεζών Ακαδηµαϊκό Έτος: 2012-2013 Τρίτη Γραπτή Εργασία Γενικές οδηγίες για την εργασία Όλες οι ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Λυκειου, Γενικής Παιδείας 1ο Φυλλάδιο - Οριζόντια Βολή

Φυσική Β Λυκειου, Γενικής Παιδείας 1ο Φυλλάδιο - Οριζόντια Βολή Φυσική Β Λυκειου, Γενικής Παιδείας - Οριζόντια Βολή Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, M Sc Φυσικός http://perifysikhs.wordpress.com 1 Εισαγωγικές Εννοιες - Α Λυκείου Στην Φυσική της Α Λυκείου κυριάρχησαν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ- ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Εργασία για το σεµινάριο «Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην ψυχοπαιδαγωγική(β06σ03)» ΤΙΤΛΟΣ: «ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Εγχειρίδιο Χρήσης My Plan 2

Εισαγωγή. Εγχειρίδιο Χρήσης My Plan 2 Εγχειρίδιο Χρήσης Εισαγωγή Το δηµιουργήθηκε µε στόχο να αποτελέσει υποστηρικτικό εργαλείο για τον επαγγελµατία Ασφαλιστικό ιαµεσολαβητή, ο οποίος χρειάζεται να διευκρινίζει και να αναλύει τις ασφαλιστικές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΚΙΝΔΥΝΟΣ ΕΠΙΤΟΚΙΩΝ ΚΑΙ ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΗΣ ΛΗΚΤΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΚΙΝΔΥΝΟΣ ΕΠΙΤΟΚΙΩΝ ΚΑΙ ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΗΣ ΛΗΚΤΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΚΙΝΔΥΝΟΣ ΕΠΙΤΟΚΙΩΝ ΚΑΙ ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΗΣ ΛΗΚΤΟΤΗΤΑΣ Εισαγωγή Ο κίνδυνος επιτοκίων προέρχεται τόσο από τη διαφορά ληκτότητας που υπάρχει μεταξύ των στοιχείων του ενεργητικού και του παθητικού, όσο

Διαβάστε περισσότερα

Ζήτηση, Προσφορά και Ισορροπία στην Ανταγωνιστική Αγορά

Ζήτηση, Προσφορά και Ισορροπία στην Ανταγωνιστική Αγορά Ζήτηση, Προσφορά και Ισορροπία στην Ανταγωνιστική Αγορά - Ορισμός: Η αγορά ενός αγαθού είναι η διαδικασία (θεσμικό πλαίσιο) μέσω της οποίας έρχονται σε επικοινωνία οι αγοραστές και οι πωλητές του συγκεκριμένου

Διαβάστε περισσότερα

Δομή του δημοσίου χρέους στην Ελλάδα Σύνθεση και διάρκεια λήξης

Δομή του δημοσίου χρέους στην Ελλάδα Σύνθεση και διάρκεια λήξης Δομή του δημοσίου χρέους στην Ελλάδα Σύνθεση και διάρκεια λήξης Στην Ελλάδα η μη ρεαλιστική πρόβλεψη του ταμειακού ελλείμματος κατά το έτος 2009, εξαιτίας της υπερεκτίμησης των εσόδων και της αύξησης των

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ. Κωδικός: Δ2-02-Ε-03

ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ. Κωδικός: Δ2-02-Ε-03 ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Κωδικός: Δ2-02-Ε-03 Έκδοση 01 9/1/2009 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΕΝΩΣΗ ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εργασία 3 Παράγωγα Αξιόγραφα. Γενικές οδηγίες

Γραπτή Εργασία 3 Παράγωγα Αξιόγραφα. Γενικές οδηγίες ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΕΟ 31 Χρηματοοικονομική ιοίκηση Ακαδημαϊκό Έτος: 2011-2012 Γραπτή Εργασία 3 Παράγωγα Αξιόγραφα Γενικές

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα