Ετήσια Αξία (Annual Worth)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ετήσια Αξία (Annual Worth)"

Transcript

1 1. Κεφάλαιο 7 Ετήσια Αξία (Annual Worth) 7.1 Εισαγωγή Η µέθοδος της ετήσιας αξίας έχει το µεγάλο πλεονέκτηµα να γίνεται αµέσως κατανοητή µε µια απλή ανάγνωση από απλό κόσµο. Απλά σηµαίνει ετήσιο κέρδος στην περίπτωση όπου η ετήσια αξία είναι θετική και ετήσια ζηµία στην περίπτωση που είναι αρνητική. Όπως στη µέθοδο της παρούσας αξίας, η χρήση της δεν απαιτεί πολύπλοκους χειρισµούς και γι αυτό ο προγραµµατισµός της σε ηλεκτρονικούς υπολογιστές είναι σχετικά απλός. Επειδή οι πληροφορίες που συλλέγονται από λογιστικές καταχωρήσεις έχουν συνήθως ετήσιο χρονικό ορίζοντα, η µέθοδος αυτή χρησιµοποιεί δεδοµένα µε τις ελάχιστες δυνατές αλλαγές. Το µειονέκτηµά της είναι η ακαµψία της όταν τα ετήσια κόστη και έσοδα δεν είναι σταθερά κάθε χρόνο, πράγµα που θα διαφανεί στο επόµενο κεφάλαιο. Το ερώτηµα που γεννάται είναι: Γιατί να χρησιµοποιείται ο όρος ετήσια αξία όταν όροι όπως κέρδος και ζηµία µπορούν εξ ίσου να χρησιµοποιηθούν? Ο λόγος είναι ότι η ετήσια αξία περιλαµβάνει µέσα στα όριά της και µια άλλη έννοια - την οµοιοµορφία. Όταν µιλάµε για ετήσια αξία εννοούµε οµοιόµορφη ετήσια αξία, που σηµαίνει ότι πέραν της χρονικής περιόδου στην οποία αναφερόµαστε, το κέρδος και η ζηµία θα είναι σταθερά από έτος σε έτος. Συχνά τα παραπάνω εκφράζονται ως εξής: Ισοδύναµο Οµοιόµορφο Ετήσιο Όφελος (ΙΟΕΟ) ή Κόστος (ΙΟΕΚ). Αν και η ετήσια αξία µπορεί να περιγραφεί σ ένα πρώτο επίπεδο µε βάση την έννοια του κέρδους ή της ζηµίας, υπάρχει επίσης µια άλλη έννοια, αυτή της ετήσια αξίας που δεν κουβαλάει την έννοιας του επιθυµητού (κέρδος) και του αποφευκταίου (ζηµία). Ένα ισοδύναµα οµοιόµορφο ετήσιο κόστος µπορεί απλά να είναι ένας τρόπος έκφρασης του κόστους µιας εφ άπαξ επένδυσης σε ετήσιο ή γενικότερα περιοδικό χρονικό ορίζοντα. Για παράδειγµα, αγοράζει κάποιος ένα ψυγείο χωρίς άµεση πληρωµή, αλλά σε συµφωνία µε τον πωλητή υποχρεούται να πληρώνει ένα συγκεκριµένο ποσό κάθε µηνιαίως. Το εφ άπαξ κόστος, δηλαδή το συνολικό κόστος µετρητοίς του ψυγείου, έχει αντικατασταθεί από µια µηνιαία αποπληρωµή - που για τον αγοραστή µεταφράζεται σαν ένα περιοδικό κόστος που συνεπάγεται η αγορά του ψυγείου. Προσέξτε ότι αυτό το περιοδικό κόστος δεν λογίζεται σαν ζηµιά. Ως εργαλείο λήψης αποφάσεων, η µέθοδος ετήσιας αξίας, χρησιµοποιεί τη σύγκριση µεταξύ ετησίων αξιών διαφορετικών τρόπων δράσης για να αποφασιστεί ποιος θα προτιµηθεί. Εάν υπάρχουν δυο διαφορετικές δυνατότητες επένδυσης, θα προτιµηθεί εκείνη µε την µεγαλύτερη ετήσια αξία. Μ άλλα λόγια, θα δεχθούµε την εναλλακτική εκείνη λύση της οποίας η διαφορά µεταξύ του ετήσιου οφέλους και του ετήσιου κόστους είναι µεγαλύτερη. Εάν έχουµε να κάνουµε µόνο µε ετήσια κόστη, που πρακτικά σηµαίνει ότι τα ετήσια οφέλη κάθε τρόπου δράσης είναι τα ίδια, τότε θα διαλέξουµε εκείνη την εναλλακτική λύση

2 Ετήσια Αξία της οποίας το ετήσιο κόστος είναι µικρότερο. Ας υποθέσουµε για παράδειγµα, ότι προσπαθούµε να διαλέξουµε µεταξύ δυο αυτοκινήτων των οποίων τα οφέλη σε σχέση µ εµάς είναι τα ίδια, δηλαδή εµφάνιση, µηχανικές επιδόσεις, κατανάλωση καυσίµου κ.α. Θα βασίσουµε την απόφασή µας στην διαφορά του περιοδικού κόστους µεταξύ των δυο µοντέλων. Θα διαλέξουµε δηλαδή εκείνο µε τις χαµηλότερες δόσεις αποπληρωµής. 7.2 Ανάλυση Ετήσιας Αξίας Η ετήσια αξία, όπως προαναφέρθηκε, είναι η διαφορά µεταξύ του ετήσιου οφέλους (εσόδου) και του ετήσιου κόστους. Συµβολικά : AW = B A - C A Όπου Β α είναι το ετήσιο όφελος και C Α είναι το ετήσιο κόστος. Ως εργαλείο λήψης απόφασης παίρνει τη µορφή : B A - C A 0 (1) Ως εναλλακτική πρόταση έχουµε : Β 1 = Β 2 = = Β Ν = B A C 1 = C 2 = = C N = C A Τελικά επιλέγεται η εναλλακτική όπου B A - C A είναι µεγαλύτερο. Για να χρησιµοποιήσουµε τον τύπο της εξίσωσης (1), πρέπει να µετασχηµατίσουµε όλες τις εφ άπαξ πληρωµές ή οφέλη σε ισοδύναµες οµοιόµορφες περιοδικές χρησιµοποιώντας τον δείκτη ανάκτησης κεφαλαίου (capital recovery factor) (Α/P, i, N ). H διαδικασία αυτή φαίνεται στο επόµενο παράδειγµα : Παράδειγµα Σκεφτόµαστε να πραγµατοποιήσουµε µια επένδυση σε κατάστηµα µε αυτόµατα πλυντήρια. Τα πλυντήρια και τα στεγνωτήρια θα κοστίσουν και θα τα κρατήσουµε για 3 χρόνια χωρίς ουσιαστική αξία µεταπώλησης µετά το πέρας αυτής της περιόδου. Το ενοίκιο, η εργασία των υπαλλήλων και η συντήρηση θα πλησιάσουν τα ετησίως. Τα συνολικά έσοδα εκτιµώνται σε το χρόνο. Ο χρονικός ορίζοντας της επιχείρησης είναι 3 χρόνια. Το κόστος κεφαλαίου της ευκαιρίας (opportunity cost of capital) για µια επένδυση µε ρίσκο είναι 20% πριν από τους φόρους. Προς το παρόν αγνοούνται τα πληθωριστικά αποτελέσµατα ως παράγοντας για τη λήψη της απόφασης. Θα έπρεπε ή όχι να γίνει η επένδυση; Παρατηρούµε ότι το κόστος κεφαλαίου της ευκαιρίας πρέπει να είναι γνωστό προκειµένου να λυθεί το πρόβληµα. Το cash flow φαίνεται στο διάγραµµα

3 Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας ιάγραµµα 7-1Χρηµατοροές επένδυσης Όλα τα έσοδα είναι εκφρασµένα σε ετήσια ποσά εκτός από αυτό της η οποία είναι µια πληρωµή την χρονική στιγµή µηδέν. Το άλλο κόστος, τα είναι µια ετήσια πληρωµή. Το πρόβληµα συνεπώς είναι να µετασχηµατίσουµε το από κόστος που πληρώνεται µια φορά, σε ετήσιο κόστος προσθέτοντας παράλληλα τους κατάλληλους τόκους. Αυτό γίνεται µε τον δείκτη ανάκτησης κεφαλαίου : Ετήσιο κόστος = Κόστος επένδυσης x είκτης ανάκτησης κεφαλαίου Α = P (A/P,i, N ) A = ( A/P, 20, 3 ) A = ( 0,47473 ) = To συνολικό ετήσιο έσοδο είναι και το συνολικό ετήσιο κόστος είναι το άθροισµα των και των δηλ Η ετήσια αξία είναι και είναι το καθαρό κέρδος ιάγραµµα 7-2 ιάγραµµα ετησίου κόστους για την επένδυση 7.3 Ετήσια Ανάλυση Κόστους Μια ειδική περίπτωση ανάλυσης ετήσιας αξίας είναι αυτή όπου έχουµε µόνο κόστη. Το πρόβληµα λύνεται πάλι εκφράζοντας τα κόστη σαν ετήσια ποσά. 81

4 Ετήσια Αξία Παράδειγµα Έστω ότι έχουµε αγοράσει ένα αυτοκίνητο αξίας σε µετρητά. Θέλουµε να το κρατήσουµε για 8 χρόνια και µετά να το παραχωρήσουµε (έστω σε κάποιο συγγενικό πρόσωπο χωρίς πληρωµή ). Το κόστος κεφαλαίου της ευκαιρίας είναι 10%. Ποιο θα είναι το ισοδύναµο ετήσιο οµοιόµορφο κόστος του αυτοκινήτου; Τα είναι µια στιγµιαία πληρωµή στην χρονική στιγµή µηδέν που πρέπει να µετατραπεί σε οµοιόµορφο ετήσιο κόστος (Σχήµα 8-3). Αυτό επιτυγχάνεται χρησιµοποιώντας τον δείκτη ανάκτησης κεφαλαίου. Α = P(A/P, i, N ) A = ( A/P, 10, 8 ) A = ( 0,18744 ) A = ιάγραµµα 7-3 : ΙΟΕΚ για ένα αυτοκίνητο Το αυτοκίνητο δηλαδή είναι σαν να µας κοστίζει το χρόνο. Αυτό το κόστος είναι στην πραγµατικότητα το κόστος της ευκαιρίας που πληρώνεται δεσµεύοντας στην αγορά ενός αυτοκινήτου και µη επενδύοντας το ποσό π.χ στην τράπεζα µε 10% απόδοση. Συχνά οι υπολογισµοί του ετήσιου κόστους είναι οι µόνοι που πρέπει να γίνουν γιατί τα έσοδα ( ή γενικότερα οφέλη) είναι τα ίδια σε όλες τις εναλλακτικές. 7.4 Αξία Μεταπώλησης Αξία µεταπώλησης είναι το ποσό στο οποίο ένα περιουσιακό στοιχείο µπορεί να πωληθεί όταν έχει τελειώσει η οικονοµική του ζωή για τον παρόντα ιδιοκτήτη του. υο, γενικά, µέθοδοι υπολογισµού της αξίας µεταπώλησης υπάρχουν στα πλαίσια της µεθόδου ετήσιας αξίας. Η πρώτη απαιτεί την αξία µεταπώλησης S να λογίζεται σαν µέρος της αρχικής επένδυσης το οποίο θα επιστραφεί στο τέλος της ζωής της επένδυσης. Γι αυτό η αξία µεταπώλησης προσθέτει στο ετήσιο κόστος τον ετήσιο τόκο έπ αυτού. Η όλη ιδέα µπορεί να φανεί καθαρά στον τύπο του ετήσιου κόστους: Ετήσιο κόστος = (P-S) (A/P, i, N) + Si (2) H αναλογία του κόστους επένδυσης που χρησιµοποιείται ως είχε είναι το (P-S) και το τοκιζόµενο κεφάλαιο και ο τόκος πρέπει να υπολογιστούν εκεί πάνω. Παρατηρούµε ότι και τα δυο µέρη του δεξιού µέλους της εξίσωσης είναι κόστη, και για το σκοπό της εξίσωσης αυτής αναφέρονται ως θετικές ποσότητες. 82

5 Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας Ένας άλλος τρόπος χειρισµού της αξίας µεταπώλησης στους υπολογισµούς της ετήσιας αξίας είναι παρατηρώντας ότι η επένδυση µπορεί να εκφραστεί σαν ετήσιο κόστος πολλαπλασιάζοντας µε τον δείκτη ανάκτησης κεφαλαίου. Μ άλλα λόγια, το κόστος επένδυσης µπορεί να διαχυθεί στο σύνολο της ζωής ενός περιουσιακού στοιχείου. Η αξία µεταπώλησης, η οποία εµφανίζεται τώρα µε αρνητικό πρόσηµο, γιατί µειώνει το ετήσιο κόστος, µπορεί να διαχυθεί παρελθοντικά στη ζωή ενός στοιχείου πολλαπλασιάζοντας τη µε το δείκτη απώλειας αξίας ( sinking fund factor ): Ετήσιο κόστος = P( A/P, i, N ) - S( A/F, i, N) (3) Και οι δύο αυτές εξισώσεις για το ετήσιο κόστος θα δώσουν το ίδιο αποτέλεσµα. Η αξία µεταπώλησης είναι γνωστή και ως υπολειµµατική αξία. εν είναι δεδοµένη αξία, οριζόµενη ως αρχικό κόστος συσσώρευσης µε την ελάχιστη υποτίµηση, γιατί µια τέτοια αξία είναι απλά ένα νούµερο που αναφέρεται στα λογιστικά βιβλία και αντιπροσωπεύει, αν και συχνότερα συµβαίνει το αντίθετο, την ονοµαστική αξία του στοιχείου. Η ονοµαστική αξία έχει άλλες χρήσεις που θα φανούν στο κεφάλαιο που αναφέρεται στη φορολογία εισοδήµατος Παράδειγµα Ποιο είναι το ετήσιο κόστος µιας ραπτοµηχανής της οποίας η τιµή αγοράς είναι και η τιµή µεταπώλησης µετά από οικονοµική ζωή 4 ετών; Η ραπτοµηχανή χρησιµοποιείται από µια εταιρεία ρουχισµού µε κόστος κεφαλαίου ευκαιρίας 25% προ φόρων µη λαµβάνοντας υπ όψη τον πληθωρισµό. Το σχήµα 7-4 δείχνει την όλη κατάσταση ιάγραµµα χρηµατοροών Η σχέση (2) θα χρησιµοποιηθεί πρώτη : Ετήσιο κόστος = (P-S) (A/P, i, N) + Si = = ( ) (A/P,25,4) (0,25)= = (0,42344) (0,25)= =

6 Ετήσια Αξία 7.5 Άνισοι χρόνοι ζωής: Το µεγάλο πλεονέκτηµα της ετήσιας αξίας Η µέθοδος της ετήσιας αξίας έχει ένα µεγάλο πλεονέκτηµα σε σχέση µε τις άλλες µεθόδους : Αποφεύγει την επανάληψη των κύκλων ζωής. Ας θυµηθούµε άτι η λογική τυποποίηση της σύγκρισης µεταξύ αµοιβαίως αποκλειόµενων εναλλακτικών προϋποθέτει ίσους κύκλους ζωής. Είδαµε ότι όταν οι κύκλοι ζωής δεν είναι ίσοι, πρέπει να επέλθει ισότητα τους επαναλαµβάνοντας τα cash flows και των δυο εναλλακτικών ή παρουσιάζοντας µια εικονική αξία µεταπώλησης. Αυτό γίνεται χωρίς καµιά υπόθεση ότι εµείς πραγµατικά σχεδιάζουµε την αγορά του ίδιου υλικού στην ίδια τιµή. Αυτό που κάνουµε εµείς είναι απλά να θέσουµε µια συνθήκη που θα ικανοποιεί τις λογικές αναγκαιότητες της µαθηµατικής λύσης. Παράλληλα η ετήσια αξία δεν παραβιάζει την θεώρηση των ίσων χρόνων ζωής. Αντίθετα βασίζεται σε αυτή. Η µέθοδος δεν µπορεί να αποστασιοποιηθεί από αυτή την υπόθεση γεγονός που όπως θα δούµε πιο κάτω καθιστά αδύνατη τη χρήση της σε προβλήµατα προϋπολογισµών κεφαλαίων. Ένα απλό Παράδειγµα δίνεται για να φωτιστεί το σηµείο αυτό : Παράδειγµα Αγοράς φορτηγού κατασκευαστικής εταιρείας Μια κατασκευαστική εταιρεία ενδιαφέρεται να αγοράσει ένα φορτηγό. Τα δεδοµένα είναι στον ακόλουθο πίνακα: Μάρκα Mercedes Benz Ford Κόστος ( δρχ. ) Ετήσια συντήρηση ( δρχ. ) Οικονοµική ζωή ( έτη ) 10 5 Αξία µεταπώλησης ( δρχ. ) ιάγραµµα 7-5: Πίνακας εδοµένων για τις 2 εναλλακτικές Το κόστος ευκαιρίας του κεφαλαίου για την εταιρεία είναι 25 %. Ποια λύση πρέπει να επιλεγεί ; Στο σχήµα 7-6 φαίνονται οι χρηµατοροές για 10 έτη. 84

7 Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας FORD ιάγραµµα 7-6 : Χρηµατοροές για το Ford για 10 χρόνια MERCEDES BENZ ιάγραµµα 7-7 : Χρηµατοροές για το Mercedes Benz για 10 χρόνια Ο κύκλος για το Ford εµφανίζεται δύο φορές ενώ για το Mercedes - Benz µία. Επειδή τα οφέλη δεν διαφέρουν µια και οι δύο µάρκες κάνουν την δουλειά το ίδιο καλά, δεν λαµβάνονται υπ όψη. Εποµένως, µια λύση µε ετήσια αξία είναι αποδεκτή. Για τον πρώτο κύκλο του Ford η ετήσια αξία είναι : AC 1 = ( ) ( A/P, 25,5) ( 0,25) = = ( 0,37185) (0,25) = = = δρχ. Για τον δεύτερο κύκλο έχουµε : AC 2 = ( ) ( A/P, 25,5) ( 0,25) = = δρχ. Παρατηρούµε ότι είναι ακριβώς ο ίδιος µε τον πρώτο κύκλο. Το κόστος του πρώτου και του δεύτερου κύκλου είναι ακριβώς το ίδιο. Εξαιτίας του γεγονότος αυτού, δεν µας χρειάζεται να υπολογίσουµε το κόστος του δεύτερου κύκλου ή να γράψουµε την εξίσωσή του ή ακόµα και να σχεδιάσουµε την χρηµατοροή του. 85

8 Ετήσια Αξία Η ετήσια αξία για το Mercedes - Benz είναι : AC = ( ) (A/P, 25,10) ( 0,25 ) = = ( 0,28007) = = = δρχ. Επιλέγεται το Ford. Αυτό που θέλουµε να δείξουµε µε το παράδειγµα αυτό είναι ότι µε την µέθοδο της ετήσιας αξίας, οι ζωές των εναλλακτικών δεν χρειάζεται να γίνουν ίσα. Υποχρεωτικό είναι µόνο να υπολογιστεί η ετήσια αξία του πρώτου κύκλου κάθε εναλλακτικής λύσης. 7.6 Οριακή ανάλυση στην ετήσια αξία Η οριακή ανάλυση δουλεύει το ίδιο καλά για την ετήσια αξία όπως και µε τις υπόλοιπες µεθόδους, αλλά είναι πιο δύσκολο να την χειριστούµε από ότι είναι η ανάλυση χρηµατοροών, διότι οι ζωές των εναλλακτικών πρέπει να εξισωθούν πριν την σύγκριση. Έτσι η µέθοδος της ετήσιας αξίας χάνει το βασικό της πλεονέκτηµα. Αυτό φαίνεται καλύτερα µε ένα παράδειγµα : Παράδειγµα σύγκρισης αντλιών νερού Θέλουµε να συγκρίνουµε δύο τύπους αντλιών νερού για τον σχεδιασµό ενός συστήµατος επεξεργασίας και καθαρισµού νερού. Οι δύο τύποι που συγκρίνουµε έχουν τα ακόλουθα χαρακτηριστικά: Μάρκα JOHNSON SILVER ιάρκεια ζωής ( έτη ) Αρχικό κόστος ( δρχ. ) Ετήσιο κόστος συντήρησης (δρχ.) Κέρδος εξοικονόµησης νερού ( δρχ./έτος ) ιάγραµµα 7-8 : Πίνακας χαρακτηριστικών αντλιών νερού Το κόστος ευκαιρίας είναι 10 %. Θεωρήστε φόρους αµελητέους. Με χρήση της µεθόδου ετήσιου κόστους ποιο µοντέλο πρέπει να επιλεγεί; Οι δύο εναλλακτικές φαίνονται στα σχήµατα 7-9 και 7-10: 86

9 Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας JOHNSON ιάγραµµα 7-9 : Χρηµατοροές για τις αντλίες JOHNSON SILVER ιάγραµµα 7-10 : Χρηµατοροές για τις αντλίες SILVER JOHNSON ιάγραµµα 7-11 : Χρηµατοροές για τις αντλίες JOHNSON για 60 χρόνια 87

10 Ετήσια Αξία SILVER ιάγραµµα 7-12 : Χρηµατοροές για τις αντλίες SILVER για 60 χρόνια Υπολογίζοντας ξεχωριστά τις ετήσιες αξίες, εδώ ετήσια κόστη, έχουµε : AC (J) = ( P - L )( A/P,i,N ) + Si + MC = ( )(A/P,10,15) (0,10) = = ( 0,13147) = δρχ. AC (S) = ( P - L )( A/P,i,N ) + Si + MC = ( )(A/P,10,20)+10000(0,10) +5000= = 90000(0,11746) = δρχ. Επιλέγουµε την SILVER καθότι το ετήσιό της κόστος είναι µικρότερο από της JOHNSON. Παρατηρούµε βέβαια ότι έχουµε κάνει οριακή επιλογή µια και η διαφορά των ετησίων κοστών είναι µικρή. Αν θέλαµε να πάρουµε την οριακή ανάλυση από την αρχή, θα έπρεπε να εξισώσουµε τις ζωές. Το οριακό διάγραµµα χρηµατοροών είναι πολύ δύσκολο να υπολογιστεί και για αυτόν τον λόγο, οι αναλυτές αποφεύγουν την οριακή ανάλυση στην ετήσια αξία. Είναι πολύ πιο εύκολο να υπολογίσουµε την παρούσα αξία της κάθε πληρωµής, να τις αθροίσουµε αλγεβρικά και να τις απλώσουµε χρησιµοποιώντας τον συντελεστή ανάκτησης κεφαλαίου ( capital recovery factor ). Αυτή η διαδικασία είναι και ο λόγος για τον οποίο προτιµάται η µέθοδος της παρούσας αξίας για τέτοιου είδους χρηµατοροές. PW = ( ) [(P/F,10,15)+(P/F,10,30)+(P/F,10,45)] -( )[(P/F,10,20)+(P/F,10,40)]+3000(P/F,10,60) = = (0,2394+0,0573+0,013) ,1486+0,0221) 3000(0.0033) = = (0,3097) ( 0,1707 ) +9,9 = = , ,9 = = Τώρα είναι δυνατόν να απλώσουµε την παρούσα αξία και να της προσθέσουµε το ετήσιο όφελος των 3000 δρχ. AC = (A/P,10,60 )+3000 = (0,10033)+3000= -2592, = 407,27 88

11 Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας Έτσι επισηµάναµε ότι η ξεχωριστή σύγκριση των ετησίων κοστών βασίζεται σε ίσες ζωές και ακολουθεί την αρχή της οριακής ανάλυσης. 7.7 Συνεχείς / Άπειρες ( PERPETUAL) ζωές στην ετήσια αξία Όπως και στην ανάλυση παρούσας αξίας, οι επενδύσεις συνεχούς ζωής θεωρηµένες µε προσανατολισµό ετήσιας αξίας, χρησιµοποιούν τους ίδιους τύπους : A = P i Το ετήσιο κόστος µιας επένδυσης µε άπειρη ζωή είναι A, δεδοµένου ότι P είναι το αρχικό κόστος. Ο συντελεστής ανάκτησης κεφαλαίου (A/P, i, ) είναι i. Αν θεωρήσουµε το Α ως τον βαθµό απόδοσης της επένδυσης του Ρ, η ετήσια αξία της επένδυσης είναι : P i. Με άλλα λόγια, το Α είναι το ίδιο είτε το θεωρήσουµε ως όφελος, είτε σαν ετήσιο κόστος ευκαιρίας Παράδειγµα Αν θεωρήσουµε αµελητέους φόρους και πληθωρισµό, τι ποσό αναµένουµε να πάρουµε συνεχώς ανά έτος αν καταθέσουµε µε τόκο 15%? ( σηµ.: εδώ Α= όφελος ) Παράδειγµα A = P i = ( ) ( 0,15 ) = ανά έτος. Το άνοιγµα ενός δρόµου σε µια αγροτική περιοχή θα κοστίσει δρχ. Υπολογίζεται ότι 60 % του ποσού θα κοστίσουν τα βασικά έργα ανοίγµατος του δρόµου, 20% τα έργα καθαρισµού της επιφάνειας του και 20% τα έργα αποστράγγισης των υδάτων που βρίσκονται στο έδαφος. Τα βασικά έργα έχουν άπειρη ζωή, ο καθαρισµός της επιφάνειας του εδάφους έχει ζωή 10 ετών και τα έργα αποστράγγισης έχουν ζωή 20 ετών. Το κόστος συντήρησης ανά έτος υπολογίζεται σε δρχ.. Αν θεωρήσουµε ικανοποιητικό βαθµό απόδοσης το 10% πόσο είναι το αναµενόµενο ετήσιο κόστος του δρόµου? Θεωρήστε αµελητέα επίδραση του πληθωρισµού και µηδέν φόρους µια και το έργο είναι δηµόσιο. (σηµ. εδώ Α= ετήσιο κόστος) Ο υπολογισµός των ετήσιων κοστών κατά εργασία και ο υπολογισµός του συνολικού ετήσιου κόστους φαίνονται στον παρακάτω πίνακα : 89

12 Ετήσια Αξία Αρχικό κόστος (δρχ.) Ν ( Α/Ρ,10,Ν ) Ετήσιο κόστος (δρχ.) Βασικό έργο , Καθάρισµα επιφάνειας , Αποστράγγιση , Συντήρηση ιάγραµµα 7-13 : Πίνακας ετήσιων κόστων κατά εργασία Βλέπουµε ότι το αναµενόµενο ετήσιο κόστος είναι δρχ. ΣΥΝΟΛΟ : Περίληψη Η ετήσια αξία µπορεί να θεωρηθεί σαν κέρδος ή ζηµιά όπου έχουµε να κάνουµε µε οφέλη και µε κόστη ταυτόχρονα. Αν έχουµε µόνο κόστη τότε έχουµε την µέθοδο του ετησίου κόστους. Το κριτήριο επιλογής είναι είτε το µεγαλύτερο ετήσιο κέρδος, είτε το µικρότερο ετήσιο κόστος. Σε περίπτωση που έχουµε άνισες ζωές, είναι προτιµότερο να χρησιµοποιήσουµε την µέθοδο ετήσιας αξίας. Η υπόθεση ότι οι ζωές είναι ίσες υπάρχει σιωπηρά µέσα στην µέθοδο, γεγονός που της δίνει µεγάλο πλεονέκτηµα υπολογιστικής ευκολίας έναντι των υπολοίπων µεθόδων που χρησιµοποιούνται. Η µέθοδος ετήσιας αξίας, όπως και όλες οι υπόλοιπες, βασίζεται στην οριακή ανάλυση. Συχνά βέβαια είναι ευκολότερο να συγκρίνουµε ξεχωριστά κάθε ετήσια αξία παρά να υπολογίζουµε τις οριακές χρηµατοροές και να τις χρησιµοποιούµε για υπολογισµό της οριακής ετήσιας αξίας µεταξύ των εναλλακτικών. Οι συνεχείς ζωές δεν παρουσιάζουν πρόβληµα στην µέθοδο ετήσιας αξίας. Κλείνοντας, συµπεραίνουµε ότι η µέθοδος ετήσιας αξίας είναι εύκολο να γίνει κατανοητή από οποιονδήποτε µια και υπολογίζει τα δεδοµένα µε µεγαλύτερη ευκολία από οποιαδήποτε άλλη µέθοδο. 7.9 Προβλήµατα Πρόβληµα αγοράς κονσόλας Ένας ραδιοφωνικός σταθµός αγόρασε µία νέα κονσόλα και πλήρωσε δρχ. Ο ιδιοκτήτης θέλει να ξέρει πόσο του κοστίζει η κονσόλα ετησίως αν η οικονοµική της ζωή είναι 5 έτη και η αξία µεταπώλησης της σε 5 χρόνια είναι δρχ. ίνεται ότι το κόστος ευκαιρίας για τα επόµενα 5 χρόνια είναι 15 % και ότι φόροι και πληθωρισµός αγνοούνται. 90

13 Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας Το διάγραµµα χρηµατοροών είναι το ακόλουθο : ιάγραµµα Χρηµατοροών Το ετήσιο κόστος της κονσόλας είναι: ( ) (Α/Ρ,15,5) (0,15) = δρχ Πρόβληµα αγοράς µεταχειρισµένου αµαξιού Κάποιος αγοράζει ένα µεταχειρισµένο αµάξι δρχ. Θέλει να ξέρει ποιο είναι το οµοιόµορφο ετήσιο κόστος του αυτοκινήτου αν η οικονοµική του ζωή είναι 5 χρόνια και η αξία µεταπώλησης του µετά από 5 χρόνια είναι δρχ. Τα σταθερά ετήσια έξοδα για το αυτοκίνητο είναι : δρχ. τον χρόνο έξοδα συντήρησης και 60200δρχ. τον χρόνο έξοδα ασφάλειας. ίνεται κόστος ευκαιρίας 9 % και οι φόροι θεωρούνται αµελητέοι ιάγραµµα Χρηµατοροών για το αυτοκίνητο Το οµοιόµορφο ετήσιο κόστος είναι : ( ) (Α/Ρ,9,5 ) (0,09) = ( 0,25709 ) = δρχ. 91

14 Ετήσια Αξία Πρόβληµα αγοράς µικρού φούρνου Ένας φοιτητής θέλει να αγοράσει ένα φουρνάκι. Έχει καταλήξει σε δύο µοντέλα και θέλει να δει ποίο από τα δύο τον συµφέρει περισσότερο. Οι πληροφορίες που έχει για τα µοντέλα είναι οι εξής : ΜΟΝΤΕΛΟ Α Β Αρχικό κόστος ( δρχ. ) Κατανάλωση ρεύµατος (δρχ./ έτος) Αξία µεταπώλησης ( δρχ. ) Οικονοµική ζωή ( έτη ) 6 7 ιάγραµµα 7-16 : Πίνακας πληροφοριών για τα διαθέσιµα µοντέλα Αν ο ελάχιστος ενδιαφέροντας βαθµός απόδοσης είναι 20% και αγνοήσουµε πληθωρισµό και φόρους, ποιο µοντέλο συµφέρει να επιλεγεί; Το ετήσιο κόστος για το µοντέλο Α είναι : ( )(Α/Ρ,20,6) ( 0,20 ) = ( 0,30071 ) = 19028,4 δρχ. Το ετήσιο κόστος για το µοντέλο Β είναι : ( )(Α/Ρ,20,7) ( 0,20 ) = ( 0,27742 ) = 19483,9 δρχ. Άρα επιλέγουµε το µοντέλο Α Τα αντίστοιχα διαγράµµατα χρηµατοροών είναι : Μοντέλο Α ιάγραµµα χρηµατοροών µοντέλου Α 92

15 Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας Μοντέλο Β ιάγραµµα χρηµατοροών µοντέλου Β Πρόβληµα µηχανογράφησης Μια µικροµεσαία επιχείρηση στις ΗΠΑ θέλει να εγκαταστήσει ένα σύστηµα µηχανογράφησης. Απευθύνεται λοιπόν σε δύο εταιρείες υπολογιστών ( Χ και Υ ) και παίρνει 2 προσφορές. Τα χαρακτηριστικά καθεµιάς φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα : ΕΤΑΙΡΕΙΑ Χ Υ Αρχικό κόστος ( $ ) Οικονοµική ζωή ( έτη ) Ετήσια συντήρηση ( $ ) Αξία µεταπώλησης ( $ ) ιάγραµµα 7-19 : Πίνακας Οικονοµικά Χαρακτηριστικά προσφορών Η εταιρεία υπολογίζει προ πληθωρισµού και φόρων έναν δείκτη απόδοσης 30% ανά έτος. Χρησιµοποιώντας την µέθοδο ετήσιου κόστους, βρείτε ποια από τις λύσεις είναι η οικονοµικότερη. Το ετήσιο κόστος για την εταιρεία Χ είναι: ( )(Α/Ρ,30,10) ( 0,30 ) = =3600 ( 0,32346 ) = 1584,46 δρχ. Το ετήσιο κόστος για την εταιρεία Υ είναι : ( )(Α/Ρ,30,15) ( 0,30 ) = =5400 ( 0,30598 ) = 19482,29 δρχ. Άρα επιλέγουµε το σύστηµα που µας προτείνει η εταιρεία Χ Τα αντίστοιχα διαγράµµατα χρηµατοροών είναι: 93

16 Ετήσια Αξία ΕΤΑΙΡΕΙΑ Χ ιάγραµµα 7-20 : Πρόταση εταιρείας Χ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Υ ιάγραµµα 7-21: Πρόταση εταιρείας Υ Πρόβληµα αγοράς αυτοκινήτου Κάποιος θέλει να αγοράσει ένα καινούριο αυτοκίνητο. Έχει καταλήξει ανάµεσα στην BMW 318i και την MERCEDES C200. Τα στοιχεία που έχει µαζέψει φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα. ΜΟΝΤΕΛΟ BMW 318I MERCEDES C200 Αρχικό κόστος ( δρχ. ) Οικονοµική ζωή ( έτη ) Αξία µεταπώλησης ( δρχ. ) Ετήσια συντήρηση ( δρχ. ) Πίνακας 7-22 Στοιχεία εναλλακτικών 94

17 Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας Με βάση το ετήσιο κόστος ποιο αµάξι πρέπει να επιλέξει ο αγοραστής; ( Κόστος ευκαιρίας = 25% ) Τα διαγράµµατα χρηµατοροών είναι : BMW 318i ιάγραµµα 7-23: χρηµατοροές µοντέλου BMW 318i MERCEDES C ιάγραµµα 7-24 : χρηµατοροές µοντέλου MERCEDES C200 Το ετήσιο κόστος για την BMW 318i είναι : ( )(Α/Ρ,25,15) ( 0,25 ) = = ( 0,25912 ) = = δρχ. Το ετήσιο κόστος για την MERCEDES C200 είναι : ( )(Α/Ρ,25,25) ( 0,25 ) = ( 0,25095 ) = = Άρα επιλέγουµε την BMW 318I 95

18 Ετήσια Αξία 7.10 Ανακεφαλαίωση και Παραδείγµατα Η ετήσια αξία (annual worth -- AW) προκύπτει από την αφαίρεση των ετησίων εξόδων από τα ετήσια οφέλη. Μία εναλλακτική λύση ικανοποιεί το πρόβληµα εφόσον η ετήσια αξία της είναι µη - αρνητική, δηλ. AW 0 (6.1) ή B A - C A 0 (6.2) όπου B A = B 1 = B 2 =... = B N, ετήσιο όφελος και, C A = C 1 = C 2 =... = C N, ετήσιο κόστος Με άλλα λόγια, δοθέντος ενός χρηµατο-χρονοδιαγράµµατος (cash-flow) µετατρέπουµε οφέλη, έξοδα, αρχικό κόστος ή επένδυση, και τελική αξία σε οµοιόµορφα κατανεµηµένα ποσά χρησιµοποιώντας κατάλληλα τους µετασχηµατιστές : (A/P, i, N), (A/F, i, N), και (A/G, i, N) Σύγκριση Εναλλακτικών Λύσεων 'Εστω οι λύσεις Α και Β, διαταγµένες κατά σειρά αύξησης του αρχικού κόστους επένδυσης α. AW A 0 τότε α.1 AW B AW A, επιλογή Β α.2 AW B < AW A, επιλογή Α β. AW A < 0 τότε β.1 AW B 0, επιλογή Β β.2 AW B < 0, δεν επιλέγεται καµµία Αν οπωσδήποτε µία πρέπει να επιλεγεί, τότε καταφεύγουµε άµεσα σε οριακή ανάλυση. Παράδειγµα Τα δεδοµένα είναι ίδια µ'αυτά του Παραδείγµατος AW A = - 600(A/P, 10, 20) = - 600( ) = 'Αρα η λύση Α ικανοποιεί το πρόβληµα AW B = ( ) = 44.3 Και η λύση Β ικανοποιεί το πρόβληµα. Επιπλέον, AW B > AW A, δηλ. η Β πρέπει να επιλεγεί, ceteris paribus. Προφανώς AW = AW B-A = = ( ) ή Εναλλακτικά : AW B-A = ( 11746) + 50 α. αφού AW A 0, και β. ΑW = AW B-A 0, η Β πρέπει να επιλεγεί. Καταλήγουµε, όπως θάπρεπε ή όπως επιβάλλεται λόγω των εµπλεκοµένων οικονοµικών αρχών, στο ίδιο συµπέρασµα. 96

19 Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας Ετήσιο Κόστος και Τελική Αξία Πολλές είναι οι περιπτώσεις όπου εξετάζονται εναλλακτικές λύσεις της ακόλουθης µορφής : L 0 1 N A ηλαδή, περιλαµβάνουν µια αρχική επένδυση P, ένα ετήσιο κόστος Α και τελική αξία (salvage value) ίση µε L. Στην περίπτωση αυτή η ετήσια αξία ή καλύτερα το ετήσιο κόστος (annual cost ή equivalent uniform anuual cost), ΑC υπολογίζεται ως εξής : AC = P(A/P, i, N) + A - L(A/F, i, N) όµως έτσι (A/P, i, N) = (A/F, i, N) + i AC = P(A/P, i, N) + A - L [(A/P, i, N) - 1] ή AC = (P - L) (A/P, i, N) + A + Li (6.3) Παράδειγµα Τα δεδοµένα είναι ίδια µ'αυτά του Παραδείγµατος Συγκρίνοντας τις δύο λύσεις έχουµε : AC A = 500(A/P, 15, 10) + 7,250 = 500 ( ) + 7,250 = 7,350 AC B = ( ) ( ) (0.15) = 6,553 Καταλήγουµε στο συµπέρασµα ότι πρέπει να επιλεγεί η Β. Προφανώς : AC B-A ή AW B-A = 797, που επιβεβαιώνει την απόφαση επιλογής της Β αντί της Α Ετήσια Αξία και Οικονοµική Ζωή Η µέθοδος της Ετήσιας Αξίας (ΑW) παρουσιάζει το σηµαντικό συγκριτικό πλεονέκτηµα έναντι των τριών άλλων µεθόδων στο ότι για υπολογιστικούς σκοπούς δεν χρειάζεται να εξισωθούν οι οικονοµικές ζωές των εµπλεκοµένων εναλλακτικών λύσεων. Παράδειγµα Τα δεδοµένα είναι ίδια µ'αυτά του Παραδείγµατος Συγκρίνοντας τις δύο λύσεις έχουµε : ΑC A(1-10) = (10,000-2,000) (A/P, 16, 10) (0.16) = 8000( ) = 3,975 "Επαναλαµβάνοντας" την Α για 10 ακόµη χρόνια : ΑC A(10-20) = 10,000 (A/P, 16, 10) (A/F, 16, 10) = 3,975 Το ετήσιο κόστος κατά τον δεύτερο κύκλο επανάληψης της Α είναι ίδιο µ'αυτό του πρώτου κύκλου. 'Αρα δεν χρειάζεται να επαναλάβουµε (έστω και τεχνητά) την Α. Είναι προφανές ότι το ετήσιο κόστος (ή γενικώτερα η ετήσια αξία) δεν θα µεταβληθεί διότι 97

20 Ετήσια Αξία επαναλαµβάνοντας το ίδιο χρηµατο - χρονοδιάγραµµα το ετήσιο αποτέλεσµα δεν µεταβάλλεται. Επ'αυτού θα συνεχίσουµε...'οµως, AC B(1-20) = 16,000(A/P, 16, 20) + 1,000 = 3,699 'Οπως αναµένετο καταλήγουµε στο ίδιο συµπέρασµα, δηλαδή ότι η Β είναι συµφερώτερη (ή προτιµώτερη) από την Α. Παρατηρήσεις Το γεγονός ότι δεν χρειάζεται και υπολογιστικά να εξισώσουµε τις εµπλεκόµενες οικονοµικές ζωές καθιερώνοντας έτσι ένα κοινό ορίζοντα προγραµµατισµού (planning horizon), δεν σηµαίνει ότι η µέθοδος της ετήσιας αξίας παραβιάζει την βασική αρχή της Τ.Ο. περί κοινού για όλες χρονικού πλαισίου αξιολόγησης εναλλακτικών λύσεων. Ενώ η µέθοδος της ΑW υπακούει στη βασική αυτή αρχή (κοινός ορίζοντας προγραµµατισµού) αποφεύγει τις υπολογιστικές της δυσκολίες εξετάζοντας κάθε εναλλακτική λύση στην βάση των ετήσιων αποτελεσµάτων της. Είναι αρκετά ξεκάθαρο και προφανές. Πέραν τούτου µπορεί να αποδειχθεί και υπολογιστικά. Πρόταση Η Ετήσια Αξία του χρηµατο -χρονοδιαγράµµατος της Εικόνας α είναι ίδια µ'αυτήν του χρηµατο - χρονοδιαγράµµατος της Εικόνας β. A A 1 N 1 N 2N P (á) P AW α = P(A/P, i, N) + A AW β = P(A/P, i, 2N) + P(P/F, i, N) (A/P, i, 2N) + A 'Εστω ότι ισχύει AW α = AW β, δηλαδή : (A/P, i, N) = (A/P, i, 2N) [1 + (P/F, i, N)] (A/P, i, N) / (A/P, i, 2N) = 1 + (P/F, i, N) (P/A, i, 2N) / (P/A, i, N) = 1 + (P/F, i, N) ; Η τελευταία σχέση ισχύει, διότι : (P/A, i, N) - (P/A, i, N-n) = (P/A, i, n) (P/F, i, N-n) (Προφανώς n N) Υπόδειξη : Αντικαταστείστε Ν = 2Ν και n = Ν. Συγκρίνοντας δύο λύσεις µε οικονοµική ζωή 10 και 11 χρόνια, αντίστοιχα µε την µέθοδο της AW ναι µεν δεν χρειάζεται να εκτείνουµε την ανάλυση µας υπολογιστικά για 110 χρόνια (όπως θα κάναµε εφαρµόζοντας την µέθοδο της Παρούσας Αξίας) αλλά αυτό δεν σηµαίνει ότι δεν έχουµε κοινό ορίζοντα προγραµµατισµού για σύγκριση. Εκµετταλευόµενοι το γεγονός ότι κάθε επανάληψη συνεπάγεται την ίδια ετήσια αξία ανάγουµε την σύγκριση σε ετήσια µεγέθη, δηλ. Β Α και C Α. Με τον τρόπο αυτό ο κοινός ορίζοντας σύγκρισης είναι το έτος (ή, γενικώτερα, η κάθε χρονική περίοδος). Αν θέλαµε να εξετάσουµε το πρόβληµα (π.χ., Παράδειγµα 6.3) οριακά (incremental analysis) τότε πρέπει να υπολογίσουµε την AW του οριακού χρηµατο-χρονοδιαγράµµατος : P (â) 98

21 Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας AW Β-Α = -6000(A/P, 16, 20) + 8,000(P/F, 16, 20) (A/P, 16,20) = (A/F, 16, 20) = ( ) (0.2267) ( ) ( ) = 277, επιβεβαιώνοντας την επιλογή της Β αντί της Α Αφού AC Α(1-20) = AC Α(1-10) = 3,975 και AC Β(1-20) = 3,699 Παρατηρείστε ότι AW Β-Α AC Α - AC Β (υπάρχει µια µικρή απόκλιση που οφείλεται στους πίνακες). Επίσης µέσω της τιµής του AW Β-Α µπορούµε να υπολογίσουµε την οριακή παρούσα αξία PW Β-Α. PW Β-Α = AW Β-Α (P/A, 16, 20) = 277(5.929) ισχύει ότι : Παράδειγµα Τα δεδοµένα είναι ίδια µ'αυτά του Παραδείγµατος Συγκρίνοντας τις δύο λύσεις µε την µέθοδο της ετήσιας αξίας, υπολογίζουµε το ετήσιο κόστος σε κάθε περίπτωση : AC Α = 5000(A/P, 15, 15) + 800(P/A, 15, 5) (A/P, 15, 15) + 4,500(P/F, 15, 5) (A/P, 15, 15) (P/A, 15, 5) (P/F, 15, 5) (A/P, 15, 15) (P/F, 15, 10) (A/P, 15, 15) [(P/A, 15, 15) - (P/A, 15, 10)] (A/P, 15, 15) -4000(A/F, 15, 15) 2,520 AC Β : αντί να το υπολογίσουµε κατ'ευθείαν µπορούµε να εκµεταλλευθούµε την τιµή του PW Β-Α = -5,913 ως εξής : AW Β-Α = PW Β-Α (A/P, 15, 15) = -5,913( ) = -1,011 (Επιβεβαιώνεται η επιλογή της Α). 'Οµως AC Β = AC Α - AW Β-Α = 2,520 - (-1,011) = 3,531 Επιλέγεται η Α (πράγµα που ήδη γνωρίζαµε) διότι το ετήσιο κόστος της είναι µικρότερο κατά 2,520,000 δρχ. από το αντίστοιχο της Β. Παράδειγµα Τα δεδοµένα είναι ίδια µ'αυτά του Παραδείγµατος Στην περίπτωση αυτή η εφαρµογή της µεθόδου της ετήσιας αξίας διευκολύνει υπολογιστικά την ανάλυση : AC Β = 150(A/P, 12, 20) + 5 = 150( ) + 5 = εκατ. δρχ. AC Α = 500(A/P, 12, ) + 2 = 500 {1 / (P/A, 12, ) } + 2 = 500(0.12) + 2 = 62 εκατ. δρχ. Καταλήγουµε στο ίδιο, όπως και πριν, συµπέρασµα ότι δηλαδή η λύση Β είναι πιο συµφέρουσα από την Α ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 7.1 Μια ΒΜW 316 στοιχίζει σήµερα δρχ. Τα ετήσια έξοδά της είναι : Καύσιµα δρχ. Συντήρηση " Ασφάλεια " Εγγραφή, κλπ " 1 ή εναλλακτικά : 1400 [(P/A, 15, 5)] (A/P, 15, 15) 99

Κεφάλαιο 3: Στρατηγική Οικονομοτεχνικών Αποφάσεων

Κεφάλαιο 3: Στρατηγική Οικονομοτεχνικών Αποφάσεων Κ3.1 Μέθοδο της παρούσας αξίας Η παρούσα αξία έχει μεγάλη πρακτική αξία σε περιπτώσεις εκτίμησης ιδιοκτησίας (ακίνητης περιουσίας, κλπ.). Υπολογίζουμε την παρούσα αξία που αντιπροσωπεύουν τα καθαρά οριακά

Διαβάστε περισσότερα

Εκτίµηση και Οµόλογα. Κεφάλαιο. 6.1 Εκτίµηση και Κόστος Ευκαιρίας Κεφαλαίου

Εκτίµηση και Οµόλογα. Κεφάλαιο. 6.1 Εκτίµηση και Κόστος Ευκαιρίας Κεφαλαίου 1. Κεφάλαιο 6 Εκτίµηση και Οµόλογα 6.1 Εκτίµηση και Κόστος Ευκαιρίας Κεφαλαίου Είναι καµιά φορά δύσκολο να εξηγήσει κανείς τι σηµαίνει παρούσα αξία σε κάποιον που δεν το έχει µελετήσει. Αλλά, όπως έχει

Διαβάστε περισσότερα

Πληθωρισµός. Κεφάλαιο. 11.1 Γενικά

Πληθωρισµός. Κεφάλαιο. 11.1 Γενικά 1. Κεφάλαιο 11 Πληθωρισµός 11.1 Γενικά Ο πληθωρισµός (inflation) εκφράζει την αύξηση των τιµών, ενώ αντίθετα ο αντιπληθωρισµός τη µείωση. Έτσι για παράδειγµα λέγοντας 2% αύξηση του πληθωρισµού το µήνα

Διαβάστε περισσότερα

Εσωτερικός Βαθµός Απόδοσης (ΕΒΑ)

Εσωτερικός Βαθµός Απόδοσης (ΕΒΑ) . Κεφάλαιο 9 Εσωτερικός Βαθµός Απόδοσης (ΕΒΑ) (Internal Rate of Return - IROR) 9. Γενικά Ο ΕΒΑ είναι η τελευταία από τις τέσσερις µεθόδους αξιολόγησης αµοιβαία αποκλειόµενων εναλλακτικών λύσεων. Αν και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΑΜΕΙΑΚΩΝ ΡΟΩΝ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΑΜΕΙΑΚΩΝ ΡΟΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΑΜΕΙΑΚΩΝ ΡΟΩΝ 1. ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΜΟΣ ΑΡΧΙΚΟΥ ΚΟΣΤΟΥΣ Άσκηση 1 Η εταιρεία Αλεξάνδρου Α.Ε. σχεδιάζει να αντικαταστήσει παλαιά µηχανήµατα µε νέα. Τα νέα µηχανήµατα κοστίζουν 100.000. Τα µηχανήµατα αυτά

Διαβάστε περισσότερα

Παρούσα αξία (Present worth ή Net Present Value)

Παρούσα αξία (Present worth ή Net Present Value) . Κεφάλαιο 5 Παρούσα αξία (Present worth ή Net Present Value) Η παρούσα αξία έχει πολύ πρακτική χρήση σε εκτιµήσεις πραγµατικής ιδιοκτησίας (real property appraisal). Η παρούσα αξία που έχουν τα καθαρά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Λυγάτσικας Ζήνων Πειραµατικό Γενικό Λύκειο Βαρβακείου Σχολής 6 Ιανουαρίου 013 1 Ασκήσεις 1.1 Ασκήσεις Επανάληψης 1. είξτε ότι : ηµ x + 3συν y 5.. Να αποδείξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Τι ενδιαφέρει τον ιδιώτη

Τι ενδιαφέρει τον ιδιώτη ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΠΜΣ «Επιστήµη και Τεχνολογία Υδατικών Πόρων» Οικονοµικά του Περιβάλλοντος και των Υδατικών Πόρων Αξιολόγηση επενδύσεων Τι ενδιαφέρει τον ιδιώτη Πόσα χρήµατα θα επενδύσω; Πότε

Διαβάστε περισσότερα

Προσφορά και κόστος. Κατηγορίες κόστους. Οριακό κόστος και µεγιστοποίηση του κέρδους. Μέσο κόστος. TC MC = q TC AC ) AC

Προσφορά και κόστος. Κατηγορίες κόστους. Οριακό κόστος και µεγιστοποίηση του κέρδους. Μέσο κόστος. TC MC = q TC AC ) AC Μέσο κόστος µέσο συνολικό κόστος (AC) 3 Προσφορά και κόστος µέσο µεταβλητό κόστος (AVC) µέσο σταθερό κόστος (AFC) Το µέσο σταθερό κόστος µειώνεται, διότι το συνολικό σταθερό κόστος κατανέµεται σε περισσότερη

Διαβάστε περισσότερα

Η τεχνική της Καθαρής Παρούσας Αξίας ( Net Present Value)

Η τεχνική της Καθαρής Παρούσας Αξίας ( Net Present Value) Η τεχνική της Καθαρής Παρούσας Αξίας ( Net Present Value) Σύμφωνα με αυτή την τεχνική θα πρέπει να επιλέγουμε επενδυτικά σχέδια τα οποία έχουν Καθαρή Παρούσα Αξία μεγαλύτερη του μηδενός. Συγκεκριμένα δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ Ε.ΜΙΧΑΗΛΙΔΟΥ - 1 ΤΟΜΟΣ Β ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ Ε.ΜΙΧΑΗΛΙΔΟΥ - 1 ΤΟΜΟΣ Β ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ Ε.ΜΙΧΑΗΛΙΔΟΥ - 1 ΤΟΜΟΣ Β ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ Κεφάλαιο 1 Η ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ Επιτόκιο: είναι η αμοιβή του κεφαλαίου για κάθε μονάδα χρόνου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 Ε_3.Αλ3Ε(ε) ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ / ΕΠΙΛΟΓΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 4 Μαΐου 2014 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α ΠΡΩΤΗ Α1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που

Διαβάστε περισσότερα

Αξιολόγηση Επενδύσεων ιαχρονική Αξία Χρήµατος

Αξιολόγηση Επενδύσεων ιαχρονική Αξία Χρήµατος Αξιολόγηση Επενδύσεων ιαχρονική Αξία Χρήµατος Βασικά Σηµεία ιάλεξης Ορισµός Επένδυσης Μελλοντική Αξία Επένδυσης Παρούσα Αξία Επένδυσης Αξιολόγηση Επενδυτικών Έργων Ορθολογικά Κριτήρια Μέθοδος της Καθαρής

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ FV Η συνάρτηση αυτή υπολογίζει την μελλοντική αξία μιας επένδυσης βάσει περιοδικών, σταθερών πληρωμών και σταθερού επιτοκίου. =FV(επιτόκιο; αριθμός περιόδων; δόση αποπληρωμής; παρούσα

Διαβάστε περισσότερα

Φόρος εισοδήµατος. Κεφάλαιο. 10.1 Εισαγωγή

Φόρος εισοδήµατος. Κεφάλαιο. 10.1 Εισαγωγή 10. Κεφάλαιο 10 Φόρος εισοδήµατος 10.1 Εισαγωγή Ο φόρος εισοδήµατος (income tax) αποτελεί συχνά µεγάλο µέρος του συνολικού κόστους µιας ιδιωτικής επένδυσης. Οι επιπτώσεις του στην επιλογή εναλλακτικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. geeconomy@yahoo.com. Γ Ι Ω Ρ Γ Ο Σ Κ Α Μ Α Ρ Ι Ν Ο Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Λ Ο Γ Ο Σ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012

ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. geeconomy@yahoo.com. Γ Ι Ω Ρ Γ Ο Σ Κ Α Μ Α Ρ Ι Ν Ο Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Λ Ο Γ Ο Σ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012 ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Στο παρόν είναι συγκεντρωµένες όλες σχεδόν οι ερωτήσεις κλειστού τύπου που

Διαβάστε περισσότερα

( p) (1) (2) ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Α.Α.Δράκος

( p) (1) (2) ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Α.Α.Δράκος ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΑ ΣΤΗ ΧΡΗΜΑΤΟΔΟΤΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ Δράκος 4-5 4.) ΠΛΗΘΩΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΙΝΔΥΝΟΣ ΣΤΗΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ 4.. ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΠΟΣΟΣΤΑ. 1. Ποσοστό επί τοις εκατό ή απλούστερα ποσοστό λέγεται το σύµβολο ν %, όπου ν ένας Φυσικός αριθµός. Είναι η λογιστική γραφή του κλάσµατος

ΤΑ ΠΟΣΟΣΤΑ. 1. Ποσοστό επί τοις εκατό ή απλούστερα ποσοστό λέγεται το σύµβολο ν %, όπου ν ένας Φυσικός αριθµός. Είναι η λογιστική γραφή του κλάσµατος ΤΑ ΠΟΣΟΣΤΑ 1. Ποσοστό επί τοις εκατό ή απλούστερα ποσοστό λέγεται το σύµβολο ν %, όπου ν ένας Φυσικός αριθµός. Είναι η λογιστική γραφή του κλάσµατος ν 100 80 Από συνήθεια λέµε «80 τοις εκατό» και γράφουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο Μέσο Σταθµισµένο Κόστος Κεφαλαίου (WACC), Ελεύθερες Ταµειακές Ροές (FCF) και Αποτίµηση (Valuation)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο Μέσο Σταθµισµένο Κόστος Κεφαλαίου (WACC), Ελεύθερες Ταµειακές Ροές (FCF) και Αποτίµηση (Valuation) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο Μέσο Σταθµισµένο Κόστος Κεφαλαίου (WACC), Ελεύθερες Ταµειακές Ροές (FCF) και Αποτίµηση (Valuation) 9.1. Εισαγωγή Μέχρι τώρα αναφερθήκαµε στο κόστος κεφαλαίου µε τη γενικότερη µορφή του και

Διαβάστε περισσότερα

5.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΟΣΟΣΤΑ

5.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΟΣΟΣΤΑ 1 5. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΟΣΟΣΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. ύο υπάλληλοι έχουν µηνιαίο µισθό 1500. Στον έναν από τους δύο έγινε αύξηση % και στον άλλο µείωση 5% πάνω στις αποδοχές του πρώτου υπαλλήλου όπως αυτές διαµορφώθηκαν

Διαβάστε περισσότερα

Χρονική Αξία Χρήµατος Στη Χρηµατοοικονοµική, κεφάλαιο ονοµάζουµε εκείνο το χρηµατικό ποσό που µπορούµε να διαθέσουµε σε µια επένδυση για όποιο χρονικό

Χρονική Αξία Χρήµατος Στη Χρηµατοοικονοµική, κεφάλαιο ονοµάζουµε εκείνο το χρηµατικό ποσό που µπορούµε να διαθέσουµε σε µια επένδυση για όποιο χρονικό 2. ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ 1 Χρονική Αξία Χρήµατος Στη Χρηµατοοικονοµική, κεφάλαιο ονοµάζουµε εκείνο το χρηµατικό ποσό που µπορούµε να διαθέσουµε σε µια επένδυση για όποιο χρονικό διάστηµα θέλουµε. Εκτός

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές με Ράντες. 1 Εισαγωγή. 2 Απόσβεση στοιχείων. Σύνοψη Οι βασικές έννοιες αυτού του κεφαλαίου είναι. - Απόσβεση

Εφαρμογές με Ράντες. 1 Εισαγωγή. 2 Απόσβεση στοιχείων. Σύνοψη Οι βασικές έννοιες αυτού του κεφαλαίου είναι. - Απόσβεση Εφαρμογές με Ράντες Σύνοψη Οι βασικές έννοιες αυτού του κεφαλαίου είναι - Απόσβεση - Σύνθετη παραγωγική διάρκεια παγίων - Κεφαλαιοποιημένο κόστος - Καθαρά παρούσα αξία - Εσωτερικός βαθμός απόδοσης - Αξιολόγηση

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ / ΕΠΙΛΟΓΗΣ Α1. α. Λάθος β. Σωστό γ. Σωστό δ. Λάθος ε. Σωστό Α2. δ Α3. β Ηµεροµηνία: Κυριακή 4 Μαΐου 2014 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΟΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΧΡΗΜΑΤΟΡΡΟΕΣ ΥΠΟΘΕΤΙΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΕΓΓΥΗΣΗΣ ΕΣΟ ΩΝ

ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΧΡΗΜΑΤΟΡΡΟΕΣ ΥΠΟΘΕΤΙΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΕΓΓΥΗΣΗΣ ΕΣΟ ΩΝ Αθήνα 13.01.2006 ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΧΡΗΜΑΤΟΡΡΟΕΣ ΥΠΟΘΕΤΙΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΕΓΓΥΗΣΗΣ ΕΣΟ ΩΝ σύµφωνα µε το δηµοσιευµένο σχέδιο του τεύχους διακήρυξης του διαγωνισµού "για τη σύναψη συµβάσεων διαθεσιµότητας ισχύος νέας

Διαβάστε περισσότερα

Ανεξάρτητες Εναλλακτικές

Ανεξάρτητες Εναλλακτικές Κεφάλαιο 15 Ανεξάρτητες Εναλλακτικές 15.1 Εισαγωγή Στο κεφάλαιο 1, στις σελίδες 5 και 6, προσδιορίστηκαν και εξηγήθηκαν, µε παραδείγµατα οι αµοιβαίες αποκλειόµενες και αλληλένδετες επενδύσεις. Ο αναγνώστης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Α.Α.Δράκος 2014-2015

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Α.Α.Δράκος 2014-2015 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΑ ΣΤΗ ΧΡΗΜΑΤΟΔΟΤΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ 1 3.) ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΘΑΡΩΝ ΤΑΜΕΙΑΚΩΝ ΡΟΩΝ Α.Α.Δράκος 2014-2015 Α. Εισαγωγικά Oι Καθαρές

Διαβάστε περισσότερα

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος;

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Για να εξετάσουµε το κύκλωµα LC µε διδακτική συνέπεια νοµίζω ότι θα πρέπει να τηρήσουµε τους ορισµούς που δώσαµε στα παιδιά στη Β Λυκείου. Ας ξεκινήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ ΚΕΦ. 4. άνεια και Χρηµατοροές Επενδύσεων. Ε.Φ. Μαγείρου. Επιµέλεια σηµειώσεων:. Κ. Βασιλάκης

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ ΚΕΦ. 4. άνεια και Χρηµατοροές Επενδύσεων. Ε.Φ. Μαγείρου. Επιµέλεια σηµειώσεων:. Κ. Βασιλάκης ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΠΕΝΥΣΕΩΝ ΕΦ. 4 άνεια και Χρηµατοροές Επενδύσεων Ε.Φ. Μαγείρου Επιµέλεια σηµειώσεων:.. Βασιλάκης 4.1 Γενικά... 3 4.2 Σχέση Μόχλευσης - ινδύνου... 6 4.3 Συµβάσεις αποπληρωµής Εξόφληση δανείων...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ- ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ

ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ- ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ- ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ Η ταχύτητα συνήθως δεν παραµένει σταθερή Ας υποθέσουµε ότι ένα αυτοκίνητο κινείται σε ευθύγραµµο δρόµο µε ταχύτητα k 36. Ο δρόµος είναι ανοιχτός και ο οδηγός αποφασίζει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΕΟΝΑΣΜΑ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΗ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Το πλεόνασµα του καταναλωτή είναι ωφέλεια που προκύπτει από το γεγονός

ΠΛΕΟΝΑΣΜΑ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΗ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Το πλεόνασµα του καταναλωτή είναι ωφέλεια που προκύπτει από το γεγονός ΠΛΕΟΝΑΣΜΑ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΗ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Β.1. Το Πλεόνασµα του Καταναλωτή Το πλεόνασµα του καταναλωτή είναι ωφέλεια που προκύπτει από το γεγονός ότι κάποιοι καταναλωτές πληρώνουν για ένα αγαθό λιγότερο από αυτό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚΑ Α 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚΑ Α 1. Ένα ψυγείο την περίοδο των εκπτώσεων πωλείται µε έκπτωση 18% αντί του ποσού των 779. Να βρείτε πόση ήταν η αξία του ψυγείου πριν τις εκπτώσεις. Αν x ήταν η αξία του ψυγείου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: Αξία του Χρήματος

Κεφάλαιο 2: Αξία του Χρήματος Κεφάλαιο 2: Αξία του Χρήματος Κ2.1 Βασικές έννοιες Μέθοδοι λήψης οικονομοτεχνικών αποφάσεων Οι βασικές μέθοδοι για να παρθεί μια απόφαση με βάση οικονομοτεχνικά κριτήρια είναι: 1. Η μέθοδος της παρούσας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α: ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΚΙΝ ΥΝΟΥ ΚΑΙ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ

ΜΕΡΟΣ Α: ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΚΙΝ ΥΝΟΥ ΚΑΙ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Α: ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΚΙΝ ΥΝΟΥ ΚΑΙ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ Κεφάλαιο 1: Το θεωρητικό υπόβαθρο της διαδικασίας λήψεως αποφάσεων και η χρονική αξία του χρήµατος Κεφάλαιο 2: Η καθαρή παρούσα αξία ως κριτήριο επενδυτικών

Διαβάστε περισσότερα

Επιλογή και επανάληψη. Λογική έκφραση ή συνθήκη

Επιλογή και επανάληψη. Λογική έκφραση ή συνθήκη Επιλογή και επανάληψη Η ύλη που αναπτύσσεται σε αυτό το κεφάλαιο είναι συναφής µε την ύλη που αναπτύσσεται στο 2 ο κεφάλαιο. Όπου υπάρχουν διαφορές αναφέρονται ρητά. Προσέξτε ιδιαίτερα, πάντως, ότι στο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α Ερώτηση Α1 Η ερώτηση Α.1 περιλαμβάνει 2 υπό-ερωτήσεις. α) Υποθέστε ότι η παραγωγική δραστηριότητα μιας επιχείρησης επηρεάζει αρνητικά την παραγωγική δραστηριότητα άλλων επιχειρήσεων. Εξηγήστε,

Διαβάστε περισσότερα

Α. Συντελεστής Ανάκτησης Κεφαλαίου ΣΑΚ = Β. Συντελεστής Συσσώρευσης Κεφαλαίου ΣΣΚ =

Α. Συντελεστής Ανάκτησης Κεφαλαίου ΣΑΚ = Β. Συντελεστής Συσσώρευσης Κεφαλαίου ΣΣΚ = Χρήσιμοι συντελεστές Α. Συντελεστής Ανάκτησης Κεφαλαίου *(1 ) ΣΑΚ = (1 ) 1 Β. Συντελεστής Συσσώρευσης Κεφαλαίου ΣΣΚ = ( 1 ) 1 Κόστος εξοπλισμού Στο κόστος αυτό του εξοπλισμού περιλαμβάνεται (α) το κόστος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ 2008

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ 2008 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ 2008 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α Α Για τις προτάσεις από Α.1 µέχρι και Α.5 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της καθεµιάς και δίπλα σε κάθε αριθµό τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΑΞΕΙΣ Εισαγωγική εισήγηση Νο1

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΑΞΕΙΣ Εισαγωγική εισήγηση Νο1 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΑΞΕΙΣ Εισαγωγική εισήγηση Νο1 ΒΑΣΙΚΑ ΒΗΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ Είναι η επένδυση συμφέρουσα; Ποιός είναι ο πραγματικός χρόνος αποπληρωμής της επένδυσης; Κατά πόσο επηρεάζεται

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Ακαθάριστο Εθνικό Προϊόν (Α.Ε.Π.) - Καθαρό Εθνικό Προϊόν

1.1 Ακαθάριστο Εθνικό Προϊόν (Α.Ε.Π.) - Καθαρό Εθνικό Προϊόν ΜΑΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΔΑΣΚΟΥΣΑ : ΑΡΓΥΡΏ ΜΟΥΔΑΤΣΟΥ 1. ΕΘΝΙΚΟΙ ΛΟΓΑΡΙΑΣΜΟΙ 1.0 Γενικά Αντικείµενο της Μακροοικονοµικής είναι ο καθορισµός (υπολογισµός) των συνολικών µεγεθών της οικονοµίας, πχ. της συνολικής

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

1 ου πακέτου. Βαθµός πακέτου

1 ου πακέτου. Βαθµός πακέτου ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Χειµώνας-Άνοιξη Μάθηµα: ηµόσια Οικονοµική ιδασκαλία: Βασίλης Θ. Ράπανος Γεωργία Καπλάνογλου Μετά και το 4 ο πακέτο, πρέπει να στείλετε

Διαβάστε περισσότερα

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Στην περίπτωση της ταλάντωσης µε κρίσιµη απόσβεση οι δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις εκφυλίζονται (καταλήγουν να ταυτίζονται) Στην περιοχή ασθενούς απόσβεσης ( ) δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι

Διαβάστε περισσότερα

Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών ιαχείριση Ενέργειας και Περιβαλλοντική Πολιτική

Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών ιαχείριση Ενέργειας και Περιβαλλοντική Πολιτική ιαχείριση Ενέργειας και Περιβαλλοντική Πολιτική 5. Οικονομική Αξιολόγηση Ενεργειακών Επενδύσεων Καθηγητής Ιωάννης Ψαρράς Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων & ιοίκησης Γρ. 0.2.7. Ισόγειο Σχολής Ηλεκτρολόγων

Διαβάστε περισσότερα

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

Λόγος Οφέλους - Κόστους

Λόγος Οφέλους - Κόστους 1. Κεφάλαιο 8 Λόγος Οφέλους - Κόστους 8.1 Μέθοδος λόγος Οφέλους - Κόστους Η µέθοδος Λόγος Οφέλους-Κόστους είναι άλλη µία µέθοδος ανάλυσης και υποστήριξης αποφάσεων στον τοµέα των επενδύσεων. Σηµαντικό

Διαβάστε περισσότερα

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού Ο αλγόριθµος είναι αλγεβρική διαδικασία η οποία χρησιµοποιείται για την επίλυση προβληµάτων (προτύπων) Γραµµικού Προγραµµατισµού (ΠΓΠ). Ο αλγόριθµος έχει διάφορες παραλλαγές όπως η πινακοποιηµένη µορφή.

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 2η:Επιλογή Έργου

Διάλεξη 2η:Επιλογή Έργου Τµ. Διοίκησης Επιχειρήσεων/Μεσολόγγι ΤΕΙ Δυτ. Ελλάδας Διαχείριση Έργων Πληροφορικής Διάλεξη 2η:Επιλογή Έργου Β. Βασιλειάδης Τµ. Διοικ. Επιχειρήσεων, ΤΕΙ Δυτ. Ελλάδας Μελέτη Σκοπιµότητας Ø Τι είναι: Ø Τεκµηρίωση

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΟΣ FOURIER ΜΕ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΤΡΟΠΟ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΟΣ FOURIER ΜΕ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΤΡΟΠΟ ΣΧΟΛΗ Ν. ΟΚΙΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΙΙ Σ.Α.Ε. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΟΣ FOURIER ΜΕ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΤΡΟΠΟ ΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 3 ) Αρχικό σήµα ( ) Στο παρακάτω σχήµα φαίνεται ένα περιοδικό σήµα ( ), το οποίο έχει ληφθεί από

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. (iii) ln(0.5) = , (iv) e =

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. (iii) ln(0.5) = , (iv) e = ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να συµπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας 47 48 49 50 5 l 348480 299692 d 43306 q 0.0 0.2 0.5 2 3 4 5 Η ένταση θνησιµότητας µ +t, 0 t, αλλάζει σε µ +t - c, όπου το c είναι θετικός σταθερός αριθµός. Να

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Ένα Ο ισολογισμός και η θεμελιώδης αρχή

Κεφάλαιο Ένα Ο ισολογισμός και η θεμελιώδης αρχή 1 Κεφάλαιο Ένα Ο ισολογισμός και η θεμελιώδης αρχή Στοιχεία Ενεργητικού, Στοιχεία Παθητικού και Ισολογισμοί Ο προσωπικός ισολογισμός της Ιωάννας Ο ισολογισμός μιας εταιρείας Το διάγραμμα του ισολογισμού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. geeconomy@yahoo.com. Γ Ι Ω Ρ Γ Ο Σ Κ Α Μ Α Ρ Ι Ν Ο Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Λ Ο Γ Ο Σ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2015

ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. geeconomy@yahoo.com. Γ Ι Ω Ρ Γ Ο Σ Κ Α Μ Α Ρ Ι Ν Ο Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Λ Ο Γ Ο Σ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2015 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2015 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2015 ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Στο παρόν είναι συγκεντρωµένες όλες σχεδόν οι ερωτήσεις κλειστού τύπου που

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις

Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Από την Θεωρία Θνησιµότητας Συνάρτηση Επιβίωσης : Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Η s() δίνει την πιθανότητα άτοµο ηλικίας µηδέν, ζήσει πέραν της ηλικίας. όταν s() s( ) όταν o

Διαβάστε περισσότερα

η αποδοτική κατανοµή των πόρων αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα Οικονοµία των µεταφορών Η ανεπάρκεια των πόρων &

η αποδοτική κατανοµή των πόρων αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα Οικονοµία των µεταφορών Η ανεπάρκεια των πόρων & 5 η αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα: Η αποτελεί θεµελιώδες πρόβληµα σε κάθε σύγχρονη οικονοµία. Το πρόβληµα της αποδοτικής κατανοµής των πόρων µπορεί να εκφρασθεί µε 4 βασικά ερωτήµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2005

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2005 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2005 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α Α Για τις προτάσεις από Α1 µέχρι και Α5 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της καθεµιάς και δίπλα σε κάθε αριθµό τη λέξη Σωστό,

Διαβάστε περισσότερα

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α . ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Σηµείωση Οι δυνάµεις α του κεφαλαίου έχουν βάση α > 0 και εκθέτη οποιονδήποτε πραγµατικό αριθµό.. Παραδοχή 0 α. Ιδιότητες α + α ( ) α α : α ( ) α α α αβ α β α β α β. Εκθετική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Προσδιορισµός Εισοδήµατος και Επιτοκίου Το Υπόδειγµα IS LM

Κεφάλαιο 4 Προσδιορισµός Εισοδήµατος και Επιτοκίου Το Υπόδειγµα IS LM Κεφάλαιο 4 Προσδιορισµός Εισοδήµατος και Επιτοκίου Το Υπόδειγµα LM Σύνοψη Όταν η επενδυτική δαπάνη εξαρτάται από το επιτόκιο, η συνθήκη ισορροπίας στην αγορά αγαθών θα περιλαµβάνει δύο µεταβλητές το εισόδηµα

Διαβάστε περισσότερα

Δεύτερο πακέτο ασκήσεων. έχει φθίνον τεχνικό λόγο υποκατάστασης (RTS); Απάντηση: Όλες τις τιμές αφού ο RTS = MP 1 MP 2

Δεύτερο πακέτο ασκήσεων. έχει φθίνον τεχνικό λόγο υποκατάστασης (RTS); Απάντηση: Όλες τις τιμές αφού ο RTS = MP 1 MP 2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Ακαδημαϊκό έτος 2013-2014 Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Μάθημα: Μικροοικονομική Ανάλυση της Κατανάλωσης και της Παραγωγής Δεύτερο πακέτο ασκήσεων Προθεσμία παράδοσης Παρασκευή 28 Μαρτίου

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation)

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Μέθοδος Simplex για Προβλήµατα Μεταφοράς Προβλήµατα Εκχώρησης (assignment) Παράδειγµα: Κατανοµή Νερού Η υδατοπροµήθεια µιας περιφέρεια

Διαβάστε περισσότερα

Slide 5.1. ΤΕΙ Πειραιά Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Λογιστική και Χρηματοοικονομική. Παρασκευή 24 Ιανουαρίου

Slide 5.1. ΤΕΙ Πειραιά Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Λογιστική και Χρηματοοικονομική. Παρασκευή 24 Ιανουαρίου Slide 5.1 ΤΕΙ Πειραιά Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Λογιστική και Χρηματοοικονομική Παρασκευή 24 Ιανουαρίου Slide 5.2 Αποτίμηση Επενδύσεων: χρηματοροές Θα δούμε ότι μόνο χρηματοροές που προσαυξάνουν τα ποσά θα

Διαβάστε περισσότερα

Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1)

Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1) Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1) Το εσωτερικό ποσοστό απόδοσης (internal rate of return) ως κριτήριο αξιολόγησης επενδύσεων Προβλήµατα προκύπτουν όταν υπάρχουν επενδυτικές ευκαιρίες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΕΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΕΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΙΟΙΚΗΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΕΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ ιδάσκων:

Διαβάστε περισσότερα

ΖΗΤΗΣΗ, ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΚΑΙ ΙΣΣΟΡΟΠΙΑ ΑΓΟΡΑΣ

ΖΗΤΗΣΗ, ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΚΑΙ ΙΣΣΟΡΟΠΙΑ ΑΓΟΡΑΣ 1 ΚΦΑΛΑΙΟ 6 ΖΗΤΗΣΗ, ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΚΑΙ ΙΣΣΟΡΟΠΙΑ ΑΓΟΡΑΣ Οι καµπύλες ζήτησης και προσφοράς είναι αναγκαίες για να προσδιορίσουν την τιµή στην αγορά. Η εξοµοίωσή τους καθορίζει την τιµή και τη ποσότητα ισορροπίας,

Διαβάστε περισσότερα

1. ΑΝΟΙΚΤΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΣΤΗ ΜΑΚΡΟΧΡΟΝΙΑ ΠΕΡΙΟΔΟ

1. ΑΝΟΙΚΤΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΣΤΗ ΜΑΚΡΟΧΡΟΝΙΑ ΠΕΡΙΟΔΟ 1. ΑΝΟΙΚΤΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΣΤΗ ΜΑΚΡΟΧΡΟΝΙΑ ΠΕΡΙΟΔΟ Το διάγραμμα κυκλικής ροής της οικονομίας (κεφ. 3, σελ. 100 Mankiw) Εισόδημα Υ Ιδιωτική αποταμίευση S Αγορά συντελεστών Αγορά χρήματος Πληρωμές συντελεστών

Διαβάστε περισσότερα

Έτος 1 Έτος 2 Έτος 3 Έτος 4 Έτος 5 Εισπράξεις 270.000 300.000 350.000 500.000 580.000

Έτος 1 Έτος 2 Έτος 3 Έτος 4 Έτος 5 Εισπράξεις 270.000 300.000 350.000 500.000 580.000 Θέμα 1 0 Η εταιρία ΑΒΓ σχεδιάζει να επενδύσει σήμερα (στο έτος 0), σε ένα έργο το οποίο θα έχει αρχικό κόστος 00.000, διάρκεια ζωής 5 έτη και αναμένεται να δώσει τις ακόλουθες εισπράξεις: Έτος 1 Έτος 2

Διαβάστε περισσότερα

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών.

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5.1. Εισαγωγή. Στο Κεφάλαιο αυτό θα δούµε πώς µπορούµε να δηµιουργήσουµε τυχαίους αριθµούς από την οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα [0,1]. Την κατανοµή αυτή, συµβολίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Σύντοµες Σηµειώσεις. Γιώργος Μανής

Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Σύντοµες Σηµειώσεις. Γιώργος Μανής Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό Σύντοµες Σηµειώσεις Γιώργος Μανής Νοέµβριος 2012 Αλγόριθµοι και Λογικά ιαγράµµατα Αλγόριθµος λέγεται µία πεπερασµένη διαδικασία καλά ορισµένων ϐηµάτων µου ακολουθείται για

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ 011 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α ΠΡΩΤΗ Α1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ 1 ο (2.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις 21 Σεπτεµβρίου 2004 ιάρκεια: 3 ώρες Το παρακάτω σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 10. Πόσα υποπαίγνια υπάρχουν εδώ πέρα; 2 υποπαίγνια.

Kεφάλαιο 10. Πόσα υποπαίγνια υπάρχουν εδώ πέρα; 2 υποπαίγνια. Kεφάλαιο 10 Θα δούµε ένα δύο παραδείγµατα να ορίσουµε/ µετρήσουµε τα υποπαίγνια και µετά θα λύσουµε και να βρούµε αυτό που λέγεται τέλεια κατά Nash ισορροπία. Εδώ θα δούµε ένα παίγνιο όπου έχουµε µια επιχείρηση

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα 1 Λυµένες Ασκήσεις Ασκηση 1 Στρίβουµε ένα νόµισµα δύο ϕορές. Υποθέτοντας ότι και τα τέσσερα στοιχεία του δειγµατοχώρου Ω {(K, K, (K, Γ, (Γ, K, (Γ, Γ} είναι ισοπίθανα, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

4. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ I

4. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ I Χρηματοοικονομική Διοίκηση I 4. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ I 1 Είδη Επενδύσεων Χρηματιστηριακές και Επενδύσεις Παγίων Είναι κάθε τοποθέτηση διαθεσίμων κεφαλαίων σε ενεργητικά στοιχεία μακράς χρονικής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΝΑΤΟ ΟΙ ΕΘΝΙΚΟΙ ΛΟΓΑΡΙΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΝΑΤΟ ΟΙ ΕΘΝΙΚΟΙ ΛΟΓΑΡΙΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΝΑΤΟ ΟΙ ΕΘΝΙΚΟΙ ΛΟΓΑΡΙΑΣΜΟΙ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΝΑΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 9.1 Ο Ρόλος των Εθνικών Λογαριασµών 9.2 Τα Μεγέθη των Εθνικών Λογαριασµών 9.2.1 Εθνικό Προϊόν 9.2.2 Εθνικό Εισόδηµα 9.2.3 Εθνική απάνη

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Αρχών Οικονοµικής Θεωρίας Επιλογής Γ' Λυκείου 2001

Θέµατα Αρχών Οικονοµικής Θεωρίας Επιλογής Γ' Λυκείου 2001 Θέµατα Αρχών Οικονοµικής Θεωρίας Επιλογής Γ' Λυκείου 2001 ΟΜΑ Α Α Στις προτάσεις, από Α.1. µέχρι και Α.6, να γράψετε τον αριθµό της καθεµιάς και δίπλα σε κάθε αριθµό την ένδειξη Σωστό, αν η πρόταση είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Αρχών Οικονοµικής Θεωρίας Επιλογής Γ' Λυκείου 2001

Θέµατα Αρχών Οικονοµικής Θεωρίας Επιλογής Γ' Λυκείου 2001 Θέµατα Αρχών Οικονοµικής Θεωρίας Επιλογής Γ' Λυκείου 2001 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α Α Στις προτάσεις, από Α.1. µέχρι και Α.6, να γράψετε τον αριθµό της καθεµιάς και δίπλα σε κάθε αριθµό την ένδειξη Σωστό, αν η

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων 1. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις µόνο µε αριθµούς, λέγεται αριθµητική παράσταση. Παράδειγµα: + + 1 =. είναι µια αριθµητική παράσταση, το αποτέλεσµα των

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ Α. Εισαγωγή Ο σκοπός µιας επένδυσης είναι ανεξάρτητος από το είδος της επένδυσης. Ο σκοπός αυτός είναι η µεγιστοποίηση της αξίας της επένδυσης. Για τον σκοπό

Διαβάστε περισσότερα

Η οικονοµία στην Μακροχρόνια Περίοδο Τι είναι το κλασσικό υπόδειγµα;

Η οικονοµία στην Μακροχρόνια Περίοδο Τι είναι το κλασσικό υπόδειγµα; Η οικονοµία στην Μακροχρόνια Περίοδο Τι είναι το κλασσικό υπόδειγµα; Είναι ένα αρκετά απλό αλλά συνάµα θεωρητικά ισχυρό υπόδειγµα δοµηµένο γύρω από αγοραστές και πωλητές οι οποίοι επιδιώκουν τους δικούς

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ- ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Εργασία για το σεµινάριο «Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην ψυχοπαιδαγωγική(β06σ03)» ΤΙΤΛΟΣ: «ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις - Εφαρμογές. Διάλεξη 7 η. Οικονομική Αξιολόγηση Έργων και Πολιτικών

Ασκήσεις - Εφαρμογές. Διάλεξη 7 η. Οικονομική Αξιολόγηση Έργων και Πολιτικών Ασκήσεις - Εφαρμογές Διάλεξη 7 η Οικονομική Αξιολόγηση Έργων και Πολιτικών ΑΣΚΗΣΗ 1 Μια χώρα καλλιεργεί δύο αγαθά, Α και Β. Οι ανταγωνιστικές προσφορές δίνονται ως P A 4 A, όπου Α είναι η ποσότητα του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΚΙΝΔΥΝΟΣ ΕΠΙΤΟΚΙΩΝ ΚΑΙ ΤΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑΣ (DURATION MODEL)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΚΙΝΔΥΝΟΣ ΕΠΙΤΟΚΙΩΝ ΚΑΙ ΤΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑΣ (DURATION MODEL) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΚΙΝΔΥΝΟΣ ΕΠΙΤΟΚΙΩΝ ΚΑΙ ΤΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑΣ (DURATION MODL) Ορισμός και μέτρηση της διάρκειας H διάρκεια ενός χρηματοοικονομικού προϊόντος είναι ο μέσος σταθμικός χρόνος που απαιτείται

Διαβάστε περισσότερα

Κατανοµές. Η κατανοµή (distribution) µιας µεταβλητής (variable) φαίνεται από το σχήµα του ιστογράµµατος (histogram).

Κατανοµές. Η κατανοµή (distribution) µιας µεταβλητής (variable) φαίνεται από το σχήµα του ιστογράµµατος (histogram). Ιωάννης Παραβάντης Επίκουρος Καθηγητής Τµήµα ιεθνών και Ευρωπαϊκών Σπουδών Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μάρτιος 2010 Κατανοµές 1. Οµοιόµορφη κατανοµή Η κατανοµή (distribution) µιας µεταβλητής (variable) φαίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Slide 8.1. ΤΕΙ Πειραιά Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Λογιστική και Χρηματοοικονομική. Δευτέρα 27 Ιανουαρίου & Τετάρτη 29 Ιανουαρίου

Slide 8.1. ΤΕΙ Πειραιά Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Λογιστική και Χρηματοοικονομική. Δευτέρα 27 Ιανουαρίου & Τετάρτη 29 Ιανουαρίου Slide 8.1 ΤΕΙ Πειραιά Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Λογιστική και Χρηματοοικονομική Δευτέρα 27 Ιανουαρίου & Τετάρτη 29 Ιανουαρίου Slide 8.2 Η μέθοδος λήψης αποφάσεων για αξιολόγηση επενδυτικών πλάνων Μετά το

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κεφάλαιο M4 Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κινηµατική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουµε τη διανυσµατική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης µε περισσότερες λεπτοµέρειες. Θα µελετήσουµε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα