Λόγος Οφέλους - Κόστους

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Λόγος Οφέλους - Κόστους"

Transcript

1 1. Κεφάλαιο 8 Λόγος Οφέλους - Κόστους 8.1 Μέθοδος λόγος Οφέλους - Κόστους Η µέθοδος Λόγος Οφέλους-Κόστους είναι άλλη µία µέθοδος ανάλυσης και υποστήριξης αποφάσεων στον τοµέα των επενδύσεων. Σηµαντικό της πλεονέκτηµα είναι η εύκολη κατανόησή της, η οποία την καθιστά µία από τις ευρύτερα χρησιµοποιούµενες µεθόδους. Παρ όλα αυτά, ως µειονέκτηµα µπορεί να θεωρηθεί ο υψηλός βαθµός επιλεξιµότητάς της, ο οποίος µερικές φορές οδηγεί στην άτοπη χρήση της. Ο αναγνώστης µπορεί να αναρωτηθεί για ποιο λόγο είναι απαραίτητο να χρησιµοποιήσει µία τόσο δύσχρηστη, όπως από πολλούς θεωρείται, µέθοδος. Όµως αυτή η µέθοδος απαιτείται από κρατικές υπηρεσίες σε πολλές χώρες. Έτσι ο αναλυτής δεν έχει δυνατότητα επιλογής, επειδή πρέπει να χρησιµοποιήσει την µέθοδο την οποία ο πελάτης ή ο εργοδότης ορίζει. Η εγκυρότητά της βασίζεται στην χρονικά µεταβαλλόµενη τιµή των πόρων, όπως και στις µεθόδους Παρούσας Αξίας και Ετήσιας Αξίας. Επίσης οµοιότητα παρουσιάζεται και µε την µέθοδο του Εσωτερικού Βαθµού Απόδοσης, διότι η εφαρµογή και των δύο απαιτεί οριακή ανάλυση. Με άλλα λόγια, η εφαρµογή συνολικής ανάλυσης (δηλ. σύγκρισης των δύο λύσεων) δεν είναι ισοδύναµη µε οριακή ανάλυση. Η ισοδυναµία είναι εφικτή στην περίπτωση των προαναφερόµενων µεθόδων Παρούσας και Ετήσιας Αξίας, διότι υπάρχει γραµµική σχέση µεταξύ οριακών και συνολικών, κατά λύση, υπολογισµών. Σύµφωνα µε την µέθοδο (ή µοντέλο) του Λόγου Οφέλους-Κόστους (ή Λόγου B/C), µία εναλλακτική λύση ικανοποιεί το πρόβληµα εφόσον ο (οριακός) λόγος οφέλους-κόστους είναι µεγαλύτερος ή ίσος από το 1, δηλαδή: B/C 1 όπου: N B = t= 0 B t (P/F,i *,N) N C = t= 0 C t (P/F,i *,N) και: Β t : καθαρό όφελος στην χρονική περίοδο t, 0 t N, C t : καθαρό κόστος που αναµένεται στην χρονική περίοδο t, 0 t N. ηλαδή:

2 Λόγος Οφέλους - Κόστους B t = (B t ) µ (C t ) µ, t, όπου το µ συµβολίζει την έννοια του µικτού µεγέθους. Εφόσον (B t ) µ (C t ) µ έχουµε B t, αντίστροφα (δηλ., (B t ) µ (C t ) µ ), έχουµε C t. Ακόµη, η µέθοδος του Λόγου Β/C σχετίζεται άµεσα µε την µέθοδο της Παρούσας Αξίας, και γι αυτό έχουµε ως εξής: PW = B - C και B - C 0 B C ή B/C 1 δοθέντος ότι εξ ορισµού Β = Β και C = C. 8.2 Σύγκριση Εναλλακτικών λύσεων Έστω οι λύσεις Α και Β διατεταγµένες κατά σειρά αύξησης του αρχικού κόστους επένδυσης: 1. B/C 1 -( Β/ C) B-A 1, επιλέγεται η Β, - ( Β/ C) B-A < 1, επιλέγεται η Α. 2. (Β/C) A < 1 - (B/C) B 1, επιλέγεται η Β, - (B/C) B < 1, δεν επιλέγεται καµία. 3. Αν οπωσδήποτε µία πρέπει να επιλεγεί, τότε καταφεύγουµε άµεσα σε οριακή ανάλυση: Παράδειγµα - ( Β/ C) B-A 1, επιλέγεται η Β, - ( Β/ C) B-A < 1, επιλέγεται η Α. Στο πλαίσιο της κατασκευής ενός εργοστασίου επεξεργασίας απορριµµάτων εξετάζονται δύο εναλλακτικές λύσεις, η Α και η Β. Η πόλη Χ που εξετάζει την επένδυση εκτιµά ότι το κόστος ευκαιρίας της (opportunity cost of capital) είναι 10%. (Ένας διαφορετικός, και ισοδύναµος εννοιολογικά τρόπος έκφρασης του 10% είναι σαν ο ελάχιστος αποδεκτός βαθµός απόδοσης (minimum attractive rate of return, MARR). ιαγραµµατικά οι λύσεις µπορεί να απεικονισθούν ως εξής (ποσά σε εκ. δρχ.): 103

3 Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας Α ιάγραµµα 8-1 : Χρηµατοροές Εναλλακτικής Α Β ιάγραµµα 8-2 : Χρηµατοροές Εναλλακτικής Β Β-Α Λύση ιάγραµµα 8-3: Συνολικές Χρηµατοροές (Β-Α) (B/C) A = [100(P/A,10,20)] / 600 = [100(8,514)] / 600 = 1,419 ( Β/ C) B-A = [50(8,514)] / 300 = 1,419 όπου το P/A υπολογίζεται µε βάση τους Πίνακες Σύνθετου Τόκου, στην περίπτωσή µας για i = 10%. Επιλέγεται, όπως περιµέναµε, η λύση Β. 104

4 Λόγος Οφέλους - Κόστους Παρατηρήσεις: Θα ήταν λάθος να υπολογίσουµε τον λόγο B/C της Β και να τον συγκρίνουµε απ ευθείας µε αυτόν της Α επιλέγοντας έτσι την λύση που µεγιστοποιεί τον λόγο B/C. Στην προκειµένη περίπτωση ο λόγος Β/C της Β είναι ίσος µε 1,419, αλλά η τιµή αυτή δεν µας βοηθά στην σύγκριση των Α και Β. Και αν ακόµη ο λόγος αυτός ήταν µεγαλύτερος από τον αντίστοιχο της Α, θα ήταν τραγικό λάθος να συµπεράνουµε ότι η Β υπερέχει συγκριτικά από την Α, ή αντίστροφα Παράδειγµα Έστω οι αµοιβαία αποκλειόµενες λύσεις Α και Β. Υποθέτοντας ότι το i * = 10%, είναι δυνατόν να επιλεγεί µία από αυτές; Α Β ιάγραµµα 8-4 : Λύση Α ιάγραµµα 8-5 : Λύση Β Λύση Ο λόγος Β/C υπολογίζεται ως εξής: (B/C) A = 400( P / F,10,1) + 300( P / F,10,2) + 200( P / F,10,3) + 100( P / F,10,4) 500 = = 400 0, , , , = 1,66 > 1 όπου τα P/F υπολογίζονται από τον αντίστοιχο Πίνακα Σύνθετου Τόκου. Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζουµε και το (B/C) B = O οριακός λόγος ( Β/ C) B-A ισούται µε 1.305, που σηµαίνει ότι επιλέγουµε την Β αντί της Α, παρ όλο που το (B/C) B έχει τιµή µικρότερη από το (B/C) A Παράδειγµα Έστω οι λύσεις Α και Β. οθέντος ότι i * = 15%, είναι δυνατή η επιλογή µίας εκ των δύο λύσεων; 105

5 Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας Α 450 Β ιάγραµµα 8-6 : Λύση Α ιάγραµµα 8-7 : Λύση Β Λύση (B/C) A = [450(P/A,15,5)] / 1000 = 1.5 > 1 ( Β/ C) B-A = [120(P/A,15,5)] / 300 = 1,3408 > 1 Άρα επιλέγεται η Β, παρ όλο που (B/C) B = 1,47 < 1,5 = (B/C) A Παρατηρήσεις: δηλ. Έστω οι λύσεις I, II διατεταγµένες κατά αύξουσα σειρά αρχικού κόστους επένδυσης, Kριτήριο Παρούσας Αξίας. C O.I < C O.ΙΙ PW I = B 1 C O.I PW II = B 2 C O.II Aν PW II > PW I, τότε PW > 0, διότι εξ ορισµού PW = PW Ι - PW II Kριτήριο λόγου οφέλους-κόστους. Έστω: λ 1 = (Β 1 / C O.I ) και λ 2 = (Β 2 / C O.ΙΙ ) Έστω, επίσης ότι λ 1 > 1 και ότι λ 2 > λ 1. Ο οριακός Β/C λόγος είναι, εξ ορισµού: λ = Β/ C O = (B 2 B 1 ) / (C O.II C O.I ) που σηµαίνει ότι δεν είναι δυνατή η διαµόρφωση άµεσης σχέσης µεταξύ λ, λ 1, λ 2. Όµως: 1. Αν λ 1 1 και λ 1, τότε λ Είναι δυνατόν µε δεδοµένα ότι λ 2 > λ 1 και λ 1 1, η τιµή του λ να είναι µικρότερη της µονάδας. 106

6 Λόγος Οφέλους - Κόστους Παράδειγµα Στα πλαίσια της αυτοµατοποίησης κάποιου τµήµατος ενός εργοστασίου εξετάζονται δυο εναλλακτικές λύσεις Α και Β. Η Α συνοψίζει την αντίληψη να συνεχίσει το εργοστάσιο να λειτουργεί µε τον ίδιο τρόπο (κυρίως χειροκίνητο) µε κάποιες µικρές βελτιώσεις. Θα µπορούσαµε να αποκαλέσουµε την Α, status-quo λύση. Η Β συνοψίζει έναν εναλλακτικό τρόπο λειτουργίας, αρκετά αυτοµατοποιηµένο. Ειδικότερα: Α (χιλ.δρχ.) Β (χιλ.δρχ.) ΕΠΕΝ ΥΣΗ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟ (ετήσιο κόστος) ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ (ετήσια) ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΡΕΥΜΑ (ετήσιο) ΙΑΦΟΡΑ ΦΟΡΟΛΟΓΙΑΣ ΕΙΣΟ ΗΜΑΤΟΣ ιάγραµµα 8-9: Πίνακας κόστων εναλλακτικών (Με την λογική ότι ενώ το Β γλιτώνει χρήµατα, συµβάλει στην αύξηση των κερδών και άρα στην επιδείνωση της φορολογίας λαµβανοµένης υπόψη της επιπρόσθετης απόσβεσης του Β.) Εκτιµάται ότι το σχέδιο Β έχει οικονοµική ζωή 10 χρόνων µε τελική αξία των εµπλεκοµένων µηχανηµάτων ίση προς 800 χιλ. δρχ.. Εκτιµάται ότι και το Α αντέχει 10 χρόνια, χωρίς βέβαια τελική αξία. Ως ελάχιστος αποδεκτός βαθµός απόδοσης (MARR) προσδιορίζεται το 15%. Α Β ιάγραµµα 8-10 : Λύση Α ιάγραµµα 8-11 : Λύση Β 107

7 Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας Β-Α ιάγραµµα 8-12 : ιαφορά Β-Α Λύση Προκειµένου να εφαρµοστεί στην περίπτωση αυτή η µέθοδος του λόγου οφέλουςκόστους, πρέπει να υποτεθεί ότι µία από τις δύο λύσεις πρόκειται να επιλεγεί. Ο υπολογισµός του B/C της λύσης Α (ή Β) δεν είναι δυνατός, αφού σε κάθε περίπτωση δεν υπάρχουν οφέλη. ( Β/ C) B-A = 2650 ( P / A,15,10) ( P / F,15,10) 9500 = 1,42 > 1 Άρα η Β πρέπει να επιλεγεί έναντι της Α. Επίσης, προκύπτει ότι η παρούσα αξία είναι PW = 3,998 και υπενθυµίζεται ότι PW = B C o, άρα Β = PW + C o Παράδειγµα ύο εναλλακτικές λύσεις εξετάζονται στο πλαίσιο της εγκατάστασης ενός συστήµατος διανοµής ηλεκτρικής ενέργειας σε ένα εργοστάσιο. Τα οικονοµικά χαρακτηριστικά των δύο λύσεων, Α και Β, είναι: Α Β ΚΟΣΤΟΣ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΠΕΝ ΥΣΗΣ δρχ δρχ. ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΖΩΗ 10 χρόνια 20 χρόνια ΤΕΛΙΚΗ ΑΞΙΑ (στο τέλος της οικ. ζωής) δρχ. - ΕΤΗΣΙΟ ΚΟΣΤΟΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ & ΣΥΝΤΗΡΗΣΗΣ δρχ δρχ. ιάγραµµα 8-13: Πίνακας Στοιχείων για τις 2 εναλλακτικές εγκατάστασης εργοστασίου ηλεκτρικής ενέργειας 108

8 Λόγος Οφέλους - Κόστους Ο ελάχιστος επιτρεπτός βαθµός απόδοσης (MARR) που απαιτείται είναι 16%. Προτιθέµεθα να επιλέξουµε µία από τις δύο λύσεις. Λύση Παρατηρούµε ότι η οικονοµική ζωή των δύο λύσεων είναι διαφορετική. Για να είναι σωστή (θεωρητικά και πρακτικά) η οποιαδήποτε ανάλυση και σύγκριση πρέπει ο ορίζοντας προγραµµατισµού (planning horizon) να είναι κοινός για όλες τις λύσεις. Πρακτικά, αυτό σηµαίνει ότι δεν είναι σωστό να συγκριθεί η Α (της οποίας η οικονοµική ζωή είναι, στην προκειµένη περίπτωση, 10 χρόνια) µε την Β (της οποίας η οικονοµική ζωή είναι 20 χρόνια). Προκειµένου η σύγκριση της Β µε την Α να είναι δίκαιη, επαναλαµβάνουµε τεχνητά την Α, ώστε οι δύο εµπλεκόµενες οικονοµικές ζωές (economic lives) να εξισωθούν. Α 2000 Β ιάγραµµα 8-14 : Λύση Α ιάγραµµα 8-15 : Λύση Β άρα επιλέγεται η λύση Β Παρατηρήσεις: ( Β/ C) B-A = 1,27 > 1, Προκειµένου να εφαρµοστεί η µέθοδος του λόγου οφέλους-κόστους πρέπει οι δύο λύσεις να έχουν την ίδια οικονοµική ζωή. Είναι δυνατός ο υπολογισµός του λόγου B/C µέσω των αντίστοιχων µεγεθών ετήσιας αξίας; Βεβαίως και είναι δυνατός. Πράγµατι, B/C = N t= 0 N t= 0 * Bt ( P / F, i, t) = * C ( P / F, i, t) t * ( A/ P, i, t) * ( A/ P, i, t) N t= 0 N t= 0 * Bt ( P / F, i, t) =(Σχέση 1) * C ( P / F, i, t) = [ισοδύναµη ετήσια αξία καθ. Οφελών] / [ισοδύναµη ετήσια αξία καθ. Κόστους] Επίσης, παρατηρήστε ότι αν (Β/C) PW 1 και ο υπολογισµός αυτός έχει στηριχθεί στην παρούσα αξία των εµπλεκοµένων µεγεθών, τότε (Β/C) ΑW 1, όπου το AW σηµαίνει την χρησιµοποίηση ετήσιων ισοδύναµων µεγεθών. Πράγµατι, (B/C) PW = (B/C) AW t 109

9 Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας Χρησιµοποιώντας την παρατήρηση αυτή, η λύση του παραδείγµατος 5 µε την µέθοδο της ετήσιας αξίας είναι: Β/ C = (AW B-A ) / (AW B-A του C o )= = [ (0,16867)] / [6000(0,16867)] = 1,27 Πρέπει να σηµειωθεί ότι ο υπολογισµός του B/C µέσω ετησίων µεγεθών δεν συνηθίζεται. 8.3 Νόµος του έλτα Παράδειγµα : Στην πεδιάδα της Θεσσαλίας εξετάζεται η κατασκευή ενός µεγάλου αρδευτικού καναλιού. Το κόστος του έχει εκτιµηθεί στις δρχ.. Τα ετήσια έξοδα συντήρησης αναµένονται να είναι δρχ.. Τα ετήσια οφέλη από την άρδευση εκτιµούνται στις δρχ.. Η τελική αξία στο τέλος της οικονοµικής δεν έχει εκτιµηθεί, και έχει υιοθετηθεί χρονικός ορίζοντας διάρκειας 50 ετών. Ο ελάχιστος επιτρεπτός βαθµός απόδοσης που απαιτείται έχει καθοριστεί στο 7%. Υπολογίστε τον λόγο οφέλους-κόστους µε βάση τις καθαρές χρηµατικές ροές. Λύση Στο πρώτο σχήµα παρουσιάζεται η αρχική κατάσταση και στο αµέσως επόµενο η κατάσταση µε βάση τις καθαρές χρηµατικές ροές. Έτσι έχουµε: B C = A ( P / A, i, N) ( P / A,7,50) (13,801) = = = 0,64 < 1 C Αυτό σηµαίνει ότι η µελέτη αυτή απορρίπτεται ιάγραµµα 8-16 : Χρηµατοροές αρχικής κατάστασης 110

10 Λόγος Οφέλους - Κόστους ιάγραµµα 8-17 : Κατάσταση καθαρών χρηµατικών ροών Η διαδικασία του υπολογισµού των καθαρών χρηµατικών ροών, όπως παραπάνω, συχνά καλείται Νόµος του έλτα ( Rule of Delta ), και πρέπει να προηγείται οποιασδήποτε άλλης. Όταν χρησιµοποιούµε άλλες προσεγγίσεις, διαφορετικές από τον νόµο του δέλτα, ο λόγος οφέλους-κόστους θα διαφέρει. Αν και είναι ένας αξιωµατικός κανόνας, όπως πρέπει να είναι κάθε κανόνας που περιγράφει τον λόγο οφέλους-κόστους, ο νόµος του δέλτα έχει µια διαισθητική έφεση επειδή ακολουθεί την λογική της επαυξητικής ανάλυσης. Το άλλο πλεονέκτηµα του νόµου του δέλτα είναι ότι παρέχει µοναδική λύση ορίζοντας τα οφέλη ως βέλη προς τα πάνω, µετά τον καθορισµό των καθαρών χρηµατικών ροών, και τα κόστη ως βέλη προς τα κάτω. Όταν υπάρχουν δύο εναλλακτικές λύσεις σε ένα πρόβληµα, οι καθαρές χρηµατικές ροές απορρέουν κατ ευθείαν από την εφαρµογή της επαυξητικής ανάλυσης, όπως φαίνεται στο επόµενο παράδειγµα Παράδειγµα Ένας κτηµατοµεσίτης, ο οποίος εργάζεται ως σύµβουλος σε έναν δήµο της Αθήνας, εξετάζει δύο πιθανές χρήσεις µίας αστικής έκτασης, η οποία πρόκειται να υποστεί αναδιαµόρφωση από τον δήµο. Η πρώτη εναλλακτική λύση είναι η κατασκευή ενός πολυώροφου γκαράζ. Η επένδυση είναι της τάξης των δρχ. και τα ετήσια έσοδα εκτιµούνται στις δρχ.. Το ετήσιο κόστος λειτουργίας-συντήρησης αναµένεται να είναι δρχ. και ο χρονικός ορίζοντας 20 χρόνια. Στο τέλος της 20-ετίας το γκαράζ θα πωληθεί στο 100% της αρχικής του αξίας. Η δεύτερη εναλλακτική λύση είναι η κατασκευή ενός κτιριακού συγκροτήµατος το οποίο θα στεγάζει γραφεία. Το κόστος της επένδυσης ανέρχεται στις δρχ. και θα αποφέρει ετήσια έσοδα δρχ. µε ετήσια έξοδα λειτουργίας-συντήρησης δρχ.. Το κτιριακό συγκρότηµα θα πωληθεί δρχ. στο τέλος της 20- ετίας. Ο ελάχιστος επιτρεπτός βαθµός απόδοσης έχει καθοριστεί στο 10%. Ο δήµος απαιτεί την χρησιµοποίηση της µεθόδου B/C, διότι το επικείµενο σχέδιο αναδιαµόρφωσης της έκτασης θα παρουσιαστεί στο Υπουργείο ηµοσίων Έργων, για την χορήγηση σχετικής χρηµατοδότησης. 111

11 Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας Α Λύση ιάγραµµα 8-18 : Χρηµατοροές για πολυώροφο γκαράζ Β ιάγραµµα 8-19 : Χρηµατοροές για κτιριακό συγκρότηµα Β-Α ιάγραµµα 8-20 : Συνολικές χρηµατοροές (Β-Α) Το πρώτο ερώτηµα προς απάντηση είναι αν η πρώτη και φθηνότερη λύση είναι ικανοποιητική ως επένδυση. Ακολουθώντας την µέθοδο, την οποία ο σύµβουλος καλείται να χρησιµοποιήσει, προκύπτει το εξής ερώτηµα: είναι το (Β/C) A µεγαλύτερο ή ίσο της µονάδας;. Στην ουσία, αυτό σηµαίνει ότι η πρώτη εναλλακτική πρέπει να συγκριθεί µε την περίπτωση µη-επένδυσης, δηλαδή της µηδενικής εναλλακτικής. Έτσι έχουµε: ( P / A,10,20) ( P / F,10,20) ( Β/ C) A = = 2,2 >

12 Λόγος Οφέλους - Κόστους Αυτό το αποτέλεσµα υποδεικνύει ότι η εναλλακτική Α, το πολυώροφο γκαράζ, αποτελεί µία οικονοµικά εφικτή επένδυση και είναι καλύτερη από την µη-αναδιάρθρωση της περιοχής. Στην περίπτωση που ο λόγος οφέλους-κόστους θα ήταν µικρότερος της µονάδας, η εναλλακτική Α θα ήταν απορριπτέα και θα είχαµε σύγκριση µεταξύ της εναλλακτικής Β και της µηδενικής, και όχι µεταξύ της Β και της Α. Τώρα είναι απαραίτητο να µελετήσουµε αν η εναλλακτική Β είναι καλύτερη της Α. Θα χρησιµοποιήσουµε, ως συνήθως, επαυξητική ανάλυση. Έτσι έχουµε: ( P / A,10,20) ( P / F,10,20) ( Β/ C) B-A = = 1, 17 > Το αποτέλεσµα καθιστά την εναλλακτική Β καλύτερη από την Α. Σε περίπτωση λανθασµένης προσέγγισης του λόγου οφέλους-κόστους, µε ανεξάρτητο υπολογισµό λόγων για κάθε εναλλακτική και απ ευθείας µεταξύ τους σύγκριση, θα είχαµε: ( P / A,10,20) ( P / F,10,20) (Β/C) B = = 1,8 < 2,2 = (B/C A ) Έτσι αποδεικνύεται ότι, αν ακολουθούσαµε αυτή τη µέθοδο, θα είχαµε οδηγηθεί στην επιλογή της Α, κάτι που είναι εσφαλµένο Παράδειγµα : Σύµφωνα µε τις τιµές του παρακάτω σχήµατος και ξέροντας ότι ο ελάχιστος επιτρεπτός βαθµός απόδοσης είναι 10%, να υπολογίστε τον λόγο οφέλους-κόστους. Λύση : Αρχικό ιάγραµµα χρηµατοροών Θα βρούµε τον λόγο οφέλους-κόστους ως εξής: 7 ( P / F,10,1) + 5 ( P / F,10,2) + 24 ( P / F,10,3) Β/C = = 1, ( P / F,10,0) + 2 ( P / F,10,1) + 8 ( P / F,10,2) + 3 ( P / F,10,3) Ακολούθως, θα υπολογίσουµε τον ίδιο λόγο µε βάση τις καθαρές χρηµατικές ροές. Το διάγραµµα παίρνει την εξής µορφή:

13 Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας : ιάγραµµα καθαρών χρηµατοροών 5 ( P / F,10,1) + 21 ( P / F,10,3) B/C = = 1,629 1, ( P / F,10,0) + 3 ( P / F,10,2) Παρατηρούµε ότι προκύπτει διαφορετική τιµή του λόγου οφέλους-κόστους, λόγω διαφορετικού χειρισµού των κοστών και των οφελών. Καµία από τις δύο λύσεις δεν µπορεί να θεωρηθεί πιο σωστή από την άλλη. Οι αριθµητικές διαδικασίες είναι διαφορετικές και οδηγούν σε διαφορετικά αποτελέσµατα. Επίσης, µπορούν να δοθούν και άλλοι ορισµοί του λόγου κόστους-οφέλους, µε τους οποίους προκύπτουν άλλες αριθµητικές τιµές. 8.4 Σχέση µεταξύ αρνητικού οφέλους και κόστους κατά τον υπολογισµό του λόγου Β/C Αν κάποιο κόστος χαρακτηριστεί σαν αρνητικό όφελος (disbenefit) τότε υπολογίζεται στον αριθµητή του κλάσµατος στην σχέση 1. Π.χ., αν Β =10.000, C o = και disbenefit (αρνητικό όφελος) = Περίπτωση 1: Υπολογισµός του Β/C, λαµβάνοντας υπόψη το σαν αρνητικό όφελος: B/C = ( ) / = 1,80 Περίπτωση 2: Υπολογισµός του B/C, θεωρώντας το Β σαν κόστος: B/C = / ( ) = 1,67 Τελικά, το πώς θα υπολογιστεί το αρνητικό όφελος δεν επηρεάζει το αποτέλεσµα της µεθόδου. (Έστω ότι C d η παρούσα αξία µεγεθών που η κατηγοριοποίηση τους αµφισβητείται µεταξύ κόστους και µη-οφέλους.) Τότε: Αν (B C d ) / C o 1, τότε Β / (C d + C o ) 1 Ο χαρακτηρισµός ενός µεγέθους σαν αρνητικό όφελος (ή disbenefit) είναι θέµα γενικότερης πολιτικής του χρήστη, είτε αυτός είναι οργανισµός, είτε δηµόσια υπηρεσία, είτε ιδιωτική επιχείρηση. Για παράδειγµα, το γεγονός ότι οχήµατα τύπου τρόλεϊ συµβάλουν στην επιδείνωση του κυκλοφοριακού είναι δυνατόν να θεωρηθεί σαν αρνητικό όφελος, ενώ στον τοµέα του κόστους να περιοριστούµε στα λειτουργικά έξοδα και έξοδα συντήρησης των οχηµάτων. 114

14 Λόγος Οφέλους - Κόστους Παράδειγµα: Το πρόβληµά µας έγκειται στην αξιολόγηση εναλλακτικών λύσεων στο πλαίσιο της βελτίωσης επαρχιακού δρόµου. Ένα τµήµα ενός επαρχιακού δρόµου βρίσκεται σε άσχηµη κατάσταση, έτσι ώστε κρίνεται αναγκαίο, είτε να επιστρωθεί, είτε να ανοιχθεί σε µια διαφορετική τοποθεσία ένας άλλος δρόµος. Ας υποθέσουµε ότι η παρούσα τοποθεσία του δρόµου είναι η Α και ότι οι δύο πιθανές λύσεις ανοίγµατος ενός νέου δρόµου είναι Β και Γ. Οι Β και Γ συντοµεύουν την διαδροµή σε σύγκριση µε αυτή της Α. Η λύση Γ αναφέρεται σε ένα τµήµα δρόµου που είναι σαφώς µικρότερο από αυτό της Β, όµως προϋποθέτει µία αρκετά µεγαλύτερη επένδυση σε έργα υποδοµής και άλλες κατασκευές. Οι τρεις τοποθεσίες θα συγκριθούν µεταξύ τους χρησιµοποιώντας i = 12% και εξετάζοντάς τις σε µια χρονική περίοδο 20 ετών. Τα οικονοµικά στοιχεία της κάθε λύσης είναι: 1. Λύση Α: Αν η τοποθεσία Α εξακολουθήσει να λειτουργεί, θα απαιτηθεί µία αρχική επένδυση δρχ. προκειµένου να γίνουν βασικές επισκευές. Επίσης εκτιµάται ότι η τοποθεσία του δρόµου Α δεν θα έχει καµία τελική αξία στο τέλος των 20 ετών. Τέλος, εκτιµάται ότι τα ετήσια λειτουργικά έξοδα της Α θα είναι δρχ. 2. Αντίστοιχα µεγέθη για τις τοποθεσίες Β και Γ είναι: Β (σε δρχ.) Γ (σε δρχ.) ΑΡΧΙΚΟ ΚΟΣΤΟΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΤΕΛΙΚΗ ΑΞΙΑ ΕΤΗΣΙΟ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΚΟ ΚΟΣΤΟΣ ΣΥΝΤΉΡΗΣΗΣ ιάγραµµα 8-23 : Πίνακας τοποθεσιών Β και Γ 3. Κυκλοφοριακά στοιχεία: Εκτιµάται ότι η κυκλοφορία αυτό του δρόµου θα είναι ως εξής: Μέση καθηµερινή κυκλοφορία (όλες οι κατευθύνσεις) ΑΥΤΟΚΙΝΗΤΑ (Ι ΙΩΤΙΚΑ, ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΑ) 100 ΦΟΡΤΗΓΑ, ΛΕΩΦΟΡΕΙΑ 50 ιάγραµµα 8-24: Πίνακας καθηµερινής κυκλοφορίας Επίσης εκτιµάται ότι µετά από έναν χρόνο η κυκλοφορία και στις δύο κατηγορίες θα αυξηθεί κατά 5 οχήµατα την ηµέρα, δηλαδή 5 αυτοκίνητα και 5 φορτηγά. Επίσης, εκτιµάται ότι η αύξηση αυτή θα συνεχιστεί µε τον ίδιο ετήσιο ρυθµό µέχρι και τον 10ο χρόνο, οπότε και αναµένεται ότι θα σταθεροποιηθεί. 115

15 Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας 4. Στοιχεία κόστους από την χρήση του δρόµου: ΑΥΤΟΚΙΝΗΤΑ (Ι ΙΩΤΙΚΑ, ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΑ) Κόστος ανά χλµ. * Κόστος ανά χρόνο (λεπτά) ** 7 δρχ. 5 δρχ ΦΟΡΤΗΓΑ, ΛΕΩΦΟΡΕΙΑ 25 δρχ. 12 δρχ. ιάγραµµα 8-25 : Πίνακας κόστους χρήσης δρόµου * Λειτουργικό κόστος κυκλοφορίας οχήµατος. ** Κόστος ευκαιρίας λόγω ενασχόλησης µε την οδήγηση του οχήµατος. 5. Συγκοινωνιακά στοιχεία Εναλλακτική ιαδροµή (χλµ.) Μέση ταχύτητα (όλα τα οχήµατα) (χλµ. ανά ώρα) Χρόνος ταξιδιού (λεπτά) Α Β Γ ,5 ιάγραµµα 8-26 : Πίνακας συγκοινωνιακών στοιχείων 6. Ανάλυση I. Λύση Α: Λειτουργικό κόστος κυκλοφορίας οχηµάτων: Αυτοκίνητα: (7 δρχ. / χλµ.)*(10 χλµ.)*(100 οχήµατα / ηµέρα)*(365) = δρχ. Ετήσια αύξηση: δρχ. Φορτηγά: 25*10*50*365 = δρχ. Ετήσια αύξηση: δρχ. 116

16 Λόγος Οφέλους - Κόστους κυκλοφορία αυτοκινήτων 120 Ο Ο Ο χρονικός ορίζοντας προγραµµατισµού Σήµερα 8-27 ιάγραµµα κυκλοφορίας αυτοκινήτων κυκλοφορία φορτηγών 70 Ο Ο Ο Σήµερα 8-28 ιάγραµµα κυκλοφορίας φορτηγών χρονικός ορίζοντας προγραµµατισµού 117

17 Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας II. Κόστος αναµονής. Αυτοκίνητα: (5 δρχ. ανά λεπτό)*(15 λεπτά)*(100)*(365) = δρχ. Ετήσια αύξηση: (5 δρχ. ανά λεπτό)*(15 λεπτά)*(5)*(365) = δρχ. Φορτηγά: (12 δρχ. ανά λεπτό)*(15 λεπτά)*(50)*(365) = δρχ. Ετήσια αύξηση: (12 δρχ. ανά λεπτό)*(15 λεπτά)*(5)*(365) = δρχ. Αντίστοιχα: 7. Σύγκριση ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΚΟ ΚΟΣΤΟΣ Β (δρχ.) Γ (δρχ.) - αυτοκίνητα Ετήσια αύξηση φορτηγά Ετήσια αύξηση ΚΟΣΤΟΣ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΑΡΧΙΚΗ ΕΠΕΝ ΥΣΗ ΤΕΛΙΚΗ ΑΞΊΑ - αυτοκίνητα Ετήσια αύξηση φορτηγά Ετήσια αύξηση ιάγραµµα 8-29 : Πίνακας κοστών Πίνακας µεγεθών παρούσας αξίας Α Β Γ ΕΞΟ Α ΣΥΝΤΗΡΗΣΗΣ ΚΟΣΤΟΣ ΧΡΗΣΗΣ ΡΟΜΟΥ ΑΠΟ ΑΥΤΟΚΙΝΗΤΙΣΤΕΣ ΣΥΝΟΛΟ ιάγραµµα 8-30 : Πίνακας µεγεθών παρούσας αξίας Προφανώς οι λύσεις (τοποθεσίες) Α και Γ υπερέχουν της Β. 118

18 Λόγος Οφέλους - Κόστους Κατά τη σύγκριση των παραπάνω λύσεων µπορούµε να υποθέσουµε ότι η οποιαδήποτε µείωση του κόστους ευκαιρίας σχετικού µε την χρήση του δρόµου από αυτοκινητιστές αποτελεί όφελος. Επίσης όφελος θεωρείται και µείωση του σχετικού κόστους συντήρησης του δρόµου. Συµβολίζοντας την παρούσα αξία οφέλους και κόστους µε Β και C, αντίστοιχα έχουµε: 1. Σύγκριση Β µε Α. Β = ( ) = C = ( ) + ( ) = Ήταν ήδη γνωστό ότι η Α υπερέχει της Β. 2. Σύγκριση της Α µε την Γ. Β = ( ) = C = ( ) + ( ) = Πρέπει να επιλεγεί η Γ. 8.5 Μελέτη περίπτωσης ίσων αρχικών επενδύσεων Μερικές φορές καλούµαστε να επιλέξουµε µία από δύο αµοιβαίως αποκλειόµενες εναλλακτικές λύσεις, οι οποίες έχουν ακριβώς το ίδιο αρχικό κόστος επένδυσης. Π.χ., θεωρούµε έναν µικροεπενδυτή ο οποίος επενδύει σε κτηµατοµεσιτικές συναλλαγές και διαθέτει δρχ. ως προκαταβολή για την αγορά κάθε σπιτιού, ανεξαρτήτως της συνολικής τιµής του. Άρα, το κόστος επένδυσής του στο χρονικό σηµείο 0 είναι δρχ. για οποιαδήποτε εναλλακτική. Τα έσοδα και τα κόστη µπορεί να διαφέρουν σηµαντικά για τις αντίστοιχες χρονικές περιόδους, αλλά όχι για την χρονική στιγµή 0. Ένα άλλο παράδειγµα αποτελεί η περίπτωση επενδυτή που διαθέτει δρχ. για αγορά µετοχών ή οµολόγων ή συνδυασµού τους. Οποιαδήποτε εναλλακτική και αν επιλεχθεί, την χρονική στιγµή 0 θα υπάρχει ουσιαστικά το ίδιο κόστος, µε ίσως µερικές µικρές διαφορές οι οποίες εξαρτώνται από το ύψος των προµηθειών Παράδειγµα : Για δύο αµοιβαίως αποκλειόµενες εναλλακτικές λύσεις έχουµε τα ακόλουθα δεδοµένα: Χρονιά Α Εναλλακτικές λύσεις ιάγραµµα 8-31: Πίνακας εναλλακτικών λύσεων Β 119

19 Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας Ο ελάχιστος επιτρεπτός βαθµός απόδοσης που απαιτείται είναι 12%. Η επίδραση του πληθωρισµού έχει ήδη συνυπολογιστεί στα οφέλη και στα κόστη. Επίσης, η µηδενική εναλλακτική πρέπει να ληφθεί υπόψη. Χρησιµοποιώντας τον λόγο οφέλους-κόστους, επιλέξτε µία εναλλακτική λύση. Λύση Το σχήµα µας δείχνει τις χρηµατικές ροές. Μέχρι τώρα συνηθίζαµε να αφαιρούµε από το µεγαλύτερο αρχικό κόστος επένδυσης το µικρότερο, στην περίπτωσή όµως, αυτή η επιλογή δεν είναι δυνατή επειδή και τα δύο αρχικά κόστη ισούνται µε 100. Α B ιάγραµµα 8-32 Λύση Α ιάγραµµα 8-33 Λύση Β Α-B 10 5 Β-Α ιάγραµµα 8-34 Συνολικό Α-Β ιάγραµµα 8-35 Συνολικό Β-Α Πρέπει οι εναλλακτικές να είναι έτσι διατεταγµένες, ώστε όταν θα υπολογίσουµε τον λόγο Β/C της διαφοράς τους, η πρώτη χρηµατική ροή να είναι κόστος. Συγκεκριµένα, αυτό συµβαίνει µε την διαφορά Α-Β, οπότε θεωρούµε την εναλλακτική Β ως πρώτη. Άρα: (Β/C) B = 80 ( P / F,12,1) + 40 ( P / F,12,2) + 20 ( P / F,12,3) = = , ,7118 = = 1,176 > Γι αυτό, η εναλλακτική Β είναι αποδεκτή. Στη συνέχεια έχουµε: 120

20 Λόγος Οφέλους - Κόστους ( Β/ C) A-B = 10 ( P / F,12,2) + 5 ( P / F,12,3) = = 2,583 > 1 5 ( P / F,12,1) Γι αυτό, η εναλλακτική Α πρέπει να επιλεχθεί σε σχέση µε την Β. Αν είχαµε επιλέξει την εναλλακτική Α ως πρώτη, θα είχαµε: (Β/C) Α = 75 ( P / F,12,1) + 50 ( P / F,12,2) + 25 ( P / F,12,3) = = , ,7118 = = 1,25 > Από εδώ φαίνεται ότι η εναλλακτική Α είναι, τουλάχιστον, αποδεκτή. Λαµβάνοντας υπόψη ότι ο λόγος ( Β/ C) B-A ισούται µε τον αντίστροφο του λόγου ( Β/ C) A-B, έχουµε: ( Β/ C) B-A = 1 / 2,583 = 0,387 Αυτό σηµαίνει ότι πρέπει να επιλεχθεί η Α, όπως και προηγουµένως. Στην ανάλυση του λόγου οφέλους-κόστους, η διάταξη των εναλλακτικών δεν παίζει κανένα ρόλο όσον αφορά την τελική απόφαση. 8.6 Εµφάνιση µηδενικών στον λόγο οφέλους - κόστους Υπάρχουν δύο περιπτώσεις εµφάνισης µηδενικών. Αν το µηδενικό εµφανιστεί στον παρονοµαστή, τότε, σύµφωνα µε τους νόµους της Άλγεβρας ο λόγος δεν ορίζεται, διότι η διαίρεση µε το 0 δεν είναι αποδεκτή πράξη. Άρα ο λόγος οφέλους-κόστους δεν είναι η κατάλληλη µέθοδος για τον χειρισµό του συγκεκριµένου προβλήµατος και µία άλλη µέθοδος, όπως αυτή της παρούσας αξίας, χρησιµοποιείται στην θέση της. Αν το µηδενικό εµφανιστεί στον αριθµητή του λόγου, τότε το αποτέλεσµα είναι 0. Επειδή το 0 είναι µικρότερο της µονάδας, η συγκεκριµένη εναλλακτική λύση δεν γίνεται δεκτή. 8.7 Επίδραση της γωνίας θεώρησης (viewpoint) στην ανάλυση Η επιλογή της γωνίας θεώρησης είναι καθοριστική. Πράγµατι, η ανάλυση των εναλλακτικών τοποθεσιών δρόµων (Α,Β,Γ) σε προηγούµενο παράδειγµα θα ήταν διαφορετική αν η γωνία θεώρησης (viewpoint) ήταν άλλη. Συγκεκριµένα, η γωνία θεώρησης που υιοθετήθηκε ήταν αυτή του εθνικού κοινωνικού συνόλου. Έτσι, σωστά χαρακτηρίσαµε όλα τα µεγέθη σαν κόστος. Αλλά ας δούµε πιο αναλυτικά, και γενικότερα συνάµα, ποιες είναι οι διαφορές που µπορεί να προκύψουν από την αλλαγή στην υιοθέτηση της γωνίας θεώρησης. 121

21 Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας Για επενδύσεις του ιδιωτικού τοµέα, ο διαχωρισµός είναι, τις περισσότερες φορές, σαφής. Μια βιοµηχανία δεν υπολογίζει σαν κόστος την µόλυνση του περιβάλλοντος εφόσον το τελευταίο δεν είναι νοµικά κατοχυρωµένο καθ οποιοδήποτε τρόπο. Εφόσον υπάρχει σχετική νοµοθεσία του φυσικού περιβάλλοντος, η βιοµηχανία θα λάβει µέτρα (καθαρισµός, φίλτρα, κλπ.) των οποίων το οριακό κόστος είναι το πολύ ίσον µε το επιβαλλόµενο από την Πολιτεία πρόστιµο. Όµως, στην περίπτωση δηµοσίων επενδύσεων (social benefit-cost analysis) όπως αυτή του προαναφερόµενου παραδείγµατος η ανάλυση είναι πιο περίπλοκη. Έστω η περίπτωση ανάλυσης κάποιας επένδυσης σε δηµόσιο έργο από µία ηµαρχεία. Εδώ, ο αναλυτής της ηµαρχίας θα θεωρήσει οφέλη και κόστος από την σκοπιά της ηµαρχίας και µόνο. Θα εξετάσουµε την περίπτωση αναφερόµενοι στην παρακάτω εικόνα. εθνικό σύνολο 1 πόλη ιάγραµµα 8-36 : περιγραφή διαφορετικών γωνιών θεώρησης Έστω ότι το βέλος 1 περιγράφει την πράξη επιδότησης κάποιου έργου της ηµαρχίας από το πρόγραµµα δηµοσίων επενδύσεων. Από την γωνία θεώρησης της πόλης (δηλαδή της ηµαρχίας) η επιδότηση αυτή είναι όφελος. Όµως, από την µεριά του εθνικού συνόλου, η επιδότηση προσδιορίζει µία µεταφορά πόρων (transfer of funds) µέσα στο ίδιο το σύνολο, η οποία δεν πρέπει να υπεισέλθει στην ανάλυση. Το βέλος 2 συµβολίζει την βελτίωση της θέσης (welfare) των κατοίκων της πόλης επειδή (έστω, σαν αποτέλεσµα του έργου) µειώνεται η ατµοσφαιρική ρύπανση. εν αφορά µία συνδιαλλαγή στα πλαίσια του εθνικού κοινωνικού συνόλου, αλλά µία πραγµατική αύξηση (ή βελτίωση) στην ποιότητα ζωής των κατοίκων. Το βέλος 3 αναπαριστά αποπληρωµή της αρχικής επιδότησης (βέλος 1) από την πόλη προς το εθνικό σύνολο. Πρόκειται για µεταφορά πόρων. Τέλος, το βέλος 4 συµβολίζει το (ή τα) ηµεροµίσθιο που θα πληρωθούν από την πόλη στα πλαίσια της εκτέλεσης του έργου. Αντανακλά ένα πραγµατικό κόστος, αφού αφαιρείται η δυνατότητα (ευκαιρία) χρησιµοποίησης του προσωπικού αυτού σε εναλλακτικά έργα. Ο αναγνώστης θα παρατηρήσει ότι στην διατύπωση του µεγέθους του κόστους, που το βέλος 4 αναπαριστά, πρέπει να έχει ξεκαθαριστεί ποιος είναι ο εναλλακτικός τρόπος χρησιµοποίησης των διαθέσιµων πόρων. Μια πιο σωστή προσέγγιση του θέµατος είναι να διατυπωθεί το 122

22 Λόγος Οφέλους - Κόστους κόστος αυτό (βέλος 4) οριακά λαµβάνοντας υπόψη την επόµενη δυνατή (δηλαδή εφικτή) επιλογή χρησιµοποίησης των πόρων αυτών. Παράδειγµα 8.4.1(συνέχεια) Προφανώς, η γωνία θεώρησης που υιοθετήθηκε είναι αυτή του ευρύτερου κοινωνικού συνόλου. Αν συγκρίνουµε τις λύσεις Γ και Α µέσω του οριακού λόγου οφέλους-κόστους (Γ- Α), έχουµε: ( Β/ C) Γ-Α = =[( ) + ( )]/( )= 1,779 Επιβεβαιώνεται η ορθότητα επιλογής της Γ αντί της Α. Παρατηρήστε ότι δεν έχει καµία σηµασία (όσον αφορά την σύγκριση µέσω του ( Β/ C) Γ-Α ) αν τοποθετήσουµε το κόστος συντήρησης στον παρονοµαστή. Πράγµατι, ( Β/ C) Γ-Α = =( ) / [ ( )]= 1,530 Άρα η Γ πρέπει να επιλεγεί. Όµως, η πρώτη προσέγγιση του λόγου Β/ C ( = 1,799) είναι σωστότερη. Και αυτό διότι, αφού εξεταστούν οι λύσεις οριακά, αναγνωρίζονται οφέλη και κόστος. Τα µεν πρώτα υπολογίζονται στον αριθµητή, τα δε δεύτερα στον παρονοµαστή. Αναλυτικά, χρησιµοποιώντας µεγέθη Παρούσας Αξίας, έχουµε: Γ συγκρινόµενη µε την Α, οριακά Οφέλη Κόστος ΑΡΧΙΚΗ ΕΠΕΝ ΥΣΗ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΗΣΗ ΡΟΜΟΥ Πίνακας 8-37 Σύγκριση Α και Γ Παράδειγµα Λίγο πριν την εκβολή του στην θάλασσα, ο χείµαρρος Κοιλιάρης διασχίζει µια κατοικηµένη περιοχή. Επειδή κατά το παρελθόν υπήρξαν πληµµύρες µε συνέπεια να καταστραφούν σπίτια και άλλες ιδιοκτησίες, καθώς και καλλιεργήσιµη γη (ευτυχώς δεν χάθηκαν ανθρώπινες ζωές, παρά µόνο πνίγηκαν πρόβατα και άλλα κατοικίδια ζώα) εξετάζεται η περίπτωση κατασκευής κάποιου αντιπληµµυρικού έργου. Η επιλογή θα βασιστεί σε δύο εναλλακτικές λύσεις. Έστω λύση Α, αφορά έργα διαµόρφωσης της κοίτης του Κοιλιάρη. Η δεύτερη, έστω Β, αφορά την κατασκευή φράγµατος και τεχνητής λίµνης. Η οικονοµική ανάλυση θα βασιστεί σε οικονοµική ζωή 50 ετών µε µηδενικές τελικές αξίες (salvage values) και κόστος ευκαιρίας κεφαλαίου i * = 8%. 123

23 Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας Τα έργα διαµόρφωσης της κοίτης του Κοιλιάρη θα στοιχίσουν δρχ. µε εκτιµώµενο κόστος ετήσιας συντήρησης δρχ.. Από την άλλη µεριά, η κατασκευή φράγµατος και λίµνης θα στοιχίσει δρχ. µε ετήσιο κόστος συντήρησης και λειτουργίας να ισούται µε δρχ.. Όµως, η κατασκευή του φράγµατος και της λίµνης θα έχει ορισµένες αρνητικές επιπτώσεις: την απώλεια καλλιεργήσιµης γης, η οικονοµική απόδοση της οποίας εκτιµάται ότι είναι δρχ. το έτος, και ελάττωση της παραγωγικότητας κάποιων ιχθυοκαλλιεργειών που ήδη υπάρχουν και υπολογίζεται ότι θα είναι ίση µε δρχ. το έτος. Εκτιµάται ότι αν συνεχιστεί η παρούσα κατάσταση, το µέσο ετήσιο κόστος (µε την στατιστική έννοια του όρου) των πληµµύρων θα είναι δρχ.. Αναµένεται ότι η διαµόρφωση της κοίτης του Κοιλιάρη θα περιορίσει το κόστος αυτό στα δρχ, ενώ η κατασκευή φράγµατος και λίµνης θα το περιορίσει στα δρχ.. Προφανώς, κάποιες χρονιές δεν θα υπάρξουν καθόλου ζηµιές, ενώ σε κάποιες άλλες οι ζηµιές αυτές θα είναι σηµαντικές. Τα παραπάνω νούµερα εκφράζουν µέσους όρους. Λύση Υπολογισµός οριακών Β/ C λόγων: a) Λύση Α (συγκρινόµενη µε την παρούσα κατάσταση) δρχ.: Μεγέθη εκφρασµένα σε ετήσια ισόποσα ισοδύναµα (annual worths) σε χιλιάδες Β = = C = (A/P,8,50) = Β C = ( Β/ C) A = / = 1,38 > 1 Η λύση Α ικανοποιεί οικονοµικά το πρόβληµα. b) Σύγκριση λύσεων Β και Α. Β = ( ) ( ) = C = (A/P,8,50) = Β C = Β/ C = / = 0,06 < 1 Η λύση Α πρέπει να επιλεγεί. 8.8 Αποδοτικότητα κόστους (Cost Effectiveness) Ο όρος αποδοτικότητα κόστους στην οικονοµική αποδοτικότητα της επένδυσης. Ένα πρόγραµµα που είναι αποδοτικό ως προς το κόστος είναι οικονοµικά αποδοτικό. Συγκεκριµένα, η ποσοτικοποίηση της αποδοτικότητας κόστους αναφέρεται σε έναν δείκτη, συνήθως µία αναλογία της οποίας ο αριθµητής είναι ένα ασύµµετρο (incommensurable) όφελος και ο παρονοµαστής είναι το απαιτούµενο κόστος για την επίτευξη αυτού του οφέλους. Χρησιµοποιείται για την σύγκριση µεταξύ εναλλακτικών 124

24 Λόγος Οφέλους - Κόστους λύσεων των οποίων τα οφέλη είναι δύσκολο, ή ακόµα και αδύνατο, να µετρηθούν σε νοµισµατικές µονάδες. Για παράδειγµα, τα οφέλη από την κατασκευή ενός καινούριου δρόµου προς ένα χωριό της ορεινής Αρκαδίας είναι δύσκολο να ποσοτικοποιηθούν νοµισµατικά. Τα οφέλη είναι: - µείωση του κόστους µεταφοράς για ανθρώπους και αγαθά, - ευκολότερη πρόσβαση στην εκπαίδευση και στην εργασία, - ευκολότερη και ταχύτερη νοσοκοµειακή περίθαλψη, τα οποία φάνταζαν εξαιρετικά δυσπρόσιτα και απόµακρα για τον καταφρονηµένο και παραµεληµένο πληθυσµό του κοµµατιού αυτού της ορεινής Ελλάδας. Γενικότερα, πρέπει να αναφερθεί ότι ο νέος δρόµος θα επιφέρει την βελτίωση των κοινωνικών και οικονοµικών δεσµών µε την υπόλοιπη περιφέρεια µε όλες τις συνέπειες σε µια τόσο ασαφή, αλλά σηµαντική έννοια, όπως είναι η εθνική ενότητα. Ως κόστη θεωρούνται η κατασκευή και η συντήρηση του δρόµου. Αν προταθούν πολλά προγράµµατα για κατασκευές δρόµων και δεν υπάρχουν οι απαιτούµενοι πόροι - η συνηθισµένη οικονοµική πραγµατικότητα - ένα σύστηµα προτεραιοτήτων πρέπει να θεσπιστεί, έτσι ώστε να βελτιστοποιηθεί η χρήση των διαθέσιµων κεφαλαίων. Άρα, πρέπει να δηµιουργηθεί ένας δείκτης αποδοτικότητας κέρδους. Την περίπτωσή µας, ο δείκτης µπορεί να δηµιουργηθεί χρησιµοποιώντας ως αριθµητή τον αριθµό των ατόµων που θα εξυπηρετούνται από τον δρόµο, ο οποίος προσοµοιώνει όλα τα οφέλη που είναι τόσο δύσκολο να µετρηθούν, και ως παρονοµαστή την παρούσα αξία του κόστους του δρόµου. Το αποτέλεσµα είναι ένας δείκτης αποδοτικότητας κόστους, κατάλληλος για την θέσπιση προτεραιοτήτων στην κατασκευή δρόµων, ο οποίος διευκολύνει την λήψη της απόφασης για το ποιοι δρόµοι θα κατασκευαστούν και ποιοι όχι. Οι δείκτες αποδοτικότητας κόστους χρησιµοποιούνται στις προµήθειες στρατιωτικού υλικού, στα προγράµµατα κοινωνικής πρόνοιας, στα προγράµµατα ελέγχου της µόλυνσης του περιβάλλοντος (environmental pollution control planning), και σε πολλές άλλες εφαρµογές. Παρ όλο που συνήθως χρησιµοποιούνται σε προγράµµατα κοινής ωφελείας, οι δείκτες αποδοτικότητας κόστους µπορούν επίσης να χρησιµοποιηθούν και από ιδιωτικές εταιρίες, όπου εµφανίζεται η ίδια δυσκολία ποσοτικοποίησης των οφελών. Χαρακτηριστικό παράδειγµα τέτοιου είδους οφέλους είναι η φήµη (prestige) µιας εταιρίας, το οποίο, αν και εξαιρετικά σηµαντικό, δεν µπορεί να εκτιµηθεί σε δραχµές Παράδειγµα : Το Υπουργείο Εθνικής Αµύνης της Ελλάδος έχει υπό ανάλυση ένα εξοπλιστικό πρόγραµµα. Τα σµήνη επιθετικών ελικοπτέρων, τα οποία ειδικεύονται στην καταστροφή tank βαρέου τύπου, µπορούν να εξοπλιστούν µε έναν αριθµό οπλικών συστηµάτων ικανών να καταστρέφουν tank. Αυτά όµως, έχουν διαφορετικό κύκλο ζωής. Ο κύκλος ζωής είναι η παρούσα αξία του αρχικού, λειτουργικού, κόστους συντήρησης, κατά τη διάρκεια της οικονοµικής ζωής. Την χρονική περίοδο δοκιµής αποτέλεσε η άσκηση Παρµενίων, η οποία είχε διάρκεια 3 εβδοµάδες. Τα τρία οπλικά συστήµατα τα οποία εξετάζονται είναι: 125

25 Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας 1) Ζευγάρι πυροβόλων τύπου Gattling, τοποθετηµένο σε κάθε πλευρά του ελικοπτέρου. Το πυροβόλο αυτού του τύπου χαρακτηρίζεται από την υψηλή επαναληπτικότητά του. 2) Ζευγάρι συµβατικών πυροβόλων. 3) Ζευγάρι αντιαρµατικών ρουκετών. Αρκετά απλοποιηµένα, το αποτέλεσµα της άσκησης έδωσε τον ακόλουθο πίνακα οφελών, ο οποίος εκφράζει τον αριθµό των tank που καταστράφηκαν κατά την διάρκεια των τριών εβδοµάδων. Το κόστος (σε εκατοµµύρια δρχ.) αντιπροσωπεύει τον κύκλο ζωής του εξοπλισµού σε κατάσταση ετοιµότητας. Η διάρκεια ζωής των ελικοπτέρων είναι 10 έτη. Απαιτείται η ανάλυση αποδοτικότητας κόστους. ΟΠΛΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΟΦΕΛΟΣ (κατεστραµµένα tanks) ΚΟΣΤΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΖΩΗΣ (σε τρισεκ. δρχ.) , , , Συγκριτικός Πίνακας οπλικών συστηµάτων Λύση Παρατηρήστε ότι τα οπλικά συστήµατα είναι διατεταγµένα από το υψηλότερο προς το χαµηλότερο κόστος. Το πρόβληµα πρέπει να προσεγγιστεί από το χαµηλότερο προς το υψηλότερο κόστος, γεγονός που σηµαίνει ότι πρέπει να αρχίσουµε µε το οπλικό σύστηµα 3. Ένας από τους πιο σηµαντικού κανόνες της οικονοµικής ανάλυσης εφαρµόζεται εδώ: το επιπλέον όφελος ως αποτέλεσµα επιπλέον κόστους είναι καθοριστικό. Με άλλα λόγια, η επαυξητική ανάλυση πρέπει να χρησιµοποιηθεί. Στο πρόβληµά µας δεν υπάρχει η µηδενική εναλλακτική, διότι σίγουρα ένα οπλικό σύστηµα πρέπει να επιλεγεί. Ακόµα και αν ήταν δυνατή η απόρριψη όλων των εναλλακτικών, το να συγκρίνουµε την φθηνότερη εναλλακτική µε την µηδενική δεν είναι εφικτό, λόγω της έλλειψης νοµισµατικών οφελών. Μόνο ένας αυθαίρετα ορισµένος δείκτης, ο οποίος απορρέει από την υποκειµενική κρίση έµπειρων αξιωµατούχων, µπορεί να χρησιµοποιηθεί. Όπως θα φανεί ακολούθως, µία τέτοια υποκειµενική κρίση δεν µπορεί να αποφευχθεί. Το οπλικό σύστηµα 3 έχει δείκτη αποδοτικότητας κόστους 556 καταστραµµένα tanks για κάθε τρισεκατοµµύριο δραχµές. Το επιπλέον κόστος των 0,45 τρισεκ. δρχ. του οπλικού συστήµατος 2 συγκρινόµενο µε το επιπλέον όφελος των 500 tanks οδηγεί σε έναν δείκτη αποδοτικότητας κόστους ίσον µε Ο δείκτης του οπλικού συστήµατος 1 είναι: = 667 2,7 2,25 Σε µία αµοιβαίως αποκλειόµενη εναλλακτική κατάσταση, όπως αυτή, µόνο η υποκειµενική κρίση µπορεί να αποφασίσει βασιζόµενη στην λογική της ανάλυσης. Αν πούµε 126

26 Λόγος Οφέλους - Κόστους ότι 100 tanks στο 1 τρισεκ. δρχ. είναι ένα αποδεκτό νούµερο, τότε η εναλλακτική 1, η πιο ακριβή, πρέπει να επιλεγεί, διότι και τα 3 συστήµατα ξεπερνούν το κατώφλι που έχουµε ορίσει κατά την επαυξητική έννοια. 8.9 Προβλήµατα 8.1 Να λυθεί το παράδειγµα µε την µέθοδο του λόγου Β/C. 8.2 Να λυθεί το παράδειγµα µε την µέθοδο του λόγουβ/c. 8.3 Να λυθεί η 'Ασκηση 5.1 µε την µέθοδο του λόγου Β/C. 8.4 Να λυθεί η 'Ασκηση 5.2 µε την µέθοδο του λόγου Β/C. 8.5 Στα πλαίσια του Παραδείγµατος 8.7.1, θεωρείστε ότι το αντιπληµµυρικό έργο είναι δυνατόν να χρηµατοδοτηθεί από τον εµπλεκόµενο Οργανισµό Τοπικής Αυτοδιοίκησης (ΟΤΑ). 'Οµως το έργο της διαµόρφωσης της κοίτης µπορεί να επιδοτηθεί µε 250 εκατ. δρχ., ενώ αντίστοιχα η κατασκευή της λίµνης και του φράγµατος µε 700 εκατ. δρχ. Ποιά λύση πρέπει να επιλεγεί αν α) Ληφθεί υπόψη σαν γωνία θεώρησης του προβλήµατος ο ΟΤΑ, ή β) Ληφθεί υπόψη το ευρύτερο κοινωνικό σύνολο. Υπολογίσατε τους κατάλληλους Β/C λόγους. Υποθέστε ότι σε κάθε περίπτωση ο ΟΤΑ δεν είναι υποχρεωµένος να πληρώσει πίσω (δηλαδή να επιστρέψει) την επιδότηση. 8.6 Καταστρώσατε µοντέλο υπολογισµού αποζηµιώσεων προς αυτούς που γίνονται δέκτες των αρνητικών επιπτώσεων από την κατασκευή του φράγµατος και της λίµνης, Παράδειγµα Εξετάζονται δύο λύσεις για την διαµόρφωση του εσωτερικού χώρου ενός αεροσκάφους Β-747. Η λύση Α θα στοιχίσει 51.2 εκατ. δρχ. και θα περιλαµβάνει 18 καθίσµατα πρώτης θέσης και 420 καθίσµατα τουριστικής θέσης. Η λύση Β θα στοιχίσει 65 εκατ. δρχ. και θα περιλαµβάνει 18 καθίσµατα πρώτης θέσης, 50 καθίσµατα Business Class και 320 καθίσµατα τουριστικής θέσης. Το αεροσκάφος υπολογίζεται ότι θα καλύπτει 4.2 εκατ. χιλιόµετρα το χρόνο ενώ τα καθαρά έσοδα ανά χιλιοµετρικό-επιβάτη (net RPK - net revenue passenger kilimeter) καθώς και τα στοιχεία πληρότητας (load - factor) κατά κατηγορία θέσης είναι : Πρώτη Θέση Business Class Tουριστική Πληρότητα 75% 75% 90% ΝΕΤ - RPK 5.5 δρχ. 4.0 δρχ. 3 δρχ. Η οικονοµική ζωή των καθισµάτων κάθε κατηγορίας είναι ίση µε 10 χρόνια µε µηδενική τελική αξία. Επίσης η εταιρεία προσδιορίζει ότι το κόστος ευκαιρίας του κεφαλαίου της είναι ίσο µε 16%. Ποιά από τις δύο λύσεις πρέπει να επιλεγεί; 127

Εκτίµηση και Οµόλογα. Κεφάλαιο. 6.1 Εκτίµηση και Κόστος Ευκαιρίας Κεφαλαίου

Εκτίµηση και Οµόλογα. Κεφάλαιο. 6.1 Εκτίµηση και Κόστος Ευκαιρίας Κεφαλαίου 1. Κεφάλαιο 6 Εκτίµηση και Οµόλογα 6.1 Εκτίµηση και Κόστος Ευκαιρίας Κεφαλαίου Είναι καµιά φορά δύσκολο να εξηγήσει κανείς τι σηµαίνει παρούσα αξία σε κάποιον που δεν το έχει µελετήσει. Αλλά, όπως έχει

Διαβάστε περισσότερα

Εσωτερικός Βαθµός Απόδοσης (ΕΒΑ)

Εσωτερικός Βαθµός Απόδοσης (ΕΒΑ) . Κεφάλαιο 9 Εσωτερικός Βαθµός Απόδοσης (ΕΒΑ) (Internal Rate of Return - IROR) 9. Γενικά Ο ΕΒΑ είναι η τελευταία από τις τέσσερις µεθόδους αξιολόγησης αµοιβαία αποκλειόµενων εναλλακτικών λύσεων. Αν και

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγός Οικονοµικής Ανάλυσης: Οικονοµική Αξιολόγηση των Επιλογών Καθαρότερης Παραγωγής

Οδηγός Οικονοµικής Ανάλυσης: Οικονοµική Αξιολόγηση των Επιλογών Καθαρότερης Παραγωγής Οδηγός Οικονοµικής Ανάλυσης: Οικονοµική Αξιολόγηση των Επιλογών Καθαρότερης Παραγωγής. Τι Προσφέρει ο Οδηγός; Καθοδήγηση σχετικά µε την οικονοµική ανάλυση των επιλογών καθαρότερης παραγωγής o Εισαγωγή:

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΡΓΩΝ Α Ξ Ι Ο Λ Ο Γ Η Σ Η Ε Ρ Γ Ω Ν. ΡΟΜΠΟΓΙΑΝΝΑΚΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ, PhD.

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΡΓΩΝ Α Ξ Ι Ο Λ Ο Γ Η Σ Η Ε Ρ Γ Ω Ν. ΡΟΜΠΟΓΙΑΝΝΑΚΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ, PhD. ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΡΓΩΝ Α Ξ Ι Ο Λ Ο Γ Η Σ Η Ε Ρ Γ Ω Ν ΡΟΜΠΟΓΙΑΝΝΑΚΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ, PhD. ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΡΓΩΝ Κάθε έργο αποτελεί ένα οικονομικό μηχανισμό, ο οποίος αναλώνει, αλλά και παράγει χρήμα. Οι εμπλεκόμενοι στο έργο

Διαβάστε περισσότερα

Η τεχνική της Καθαρής Παρούσας Αξίας ( Net Present Value)

Η τεχνική της Καθαρής Παρούσας Αξίας ( Net Present Value) Η τεχνική της Καθαρής Παρούσας Αξίας ( Net Present Value) Σύμφωνα με αυτή την τεχνική θα πρέπει να επιλέγουμε επενδυτικά σχέδια τα οποία έχουν Καθαρή Παρούσα Αξία μεγαλύτερη του μηδενός. Συγκεκριμένα δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Ετήσια Αξία (Annual Worth)

Ετήσια Αξία (Annual Worth) 1. Κεφάλαιο 7 Ετήσια Αξία (Annual Worth) 7.1 Εισαγωγή Η µέθοδος της ετήσιας αξίας έχει το µεγάλο πλεονέκτηµα να γίνεται αµέσως κατανοητή µε µια απλή ανάγνωση από απλό κόσµο. Απλά σηµαίνει ετήσιο κέρδος

Διαβάστε περισσότερα

Παρούσα αξία (Present worth ή Net Present Value)

Παρούσα αξία (Present worth ή Net Present Value) . Κεφάλαιο 5 Παρούσα αξία (Present worth ή Net Present Value) Η παρούσα αξία έχει πολύ πρακτική χρήση σε εκτιµήσεις πραγµατικής ιδιοκτησίας (real property appraisal). Η παρούσα αξία που έχουν τα καθαρά

Διαβάστε περισσότερα

Ανεξάρτητες Εναλλακτικές

Ανεξάρτητες Εναλλακτικές Κεφάλαιο 15 Ανεξάρτητες Εναλλακτικές 15.1 Εισαγωγή Στο κεφάλαιο 1, στις σελίδες 5 και 6, προσδιορίστηκαν και εξηγήθηκαν, µε παραδείγµατα οι αµοιβαίες αποκλειόµενες και αλληλένδετες επενδύσεις. Ο αναγνώστης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΑΜΕΙΑΚΩΝ ΡΟΩΝ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΑΜΕΙΑΚΩΝ ΡΟΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΑΜΕΙΑΚΩΝ ΡΟΩΝ 1. ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΜΟΣ ΑΡΧΙΚΟΥ ΚΟΣΤΟΥΣ Άσκηση 1 Η εταιρεία Αλεξάνδρου Α.Ε. σχεδιάζει να αντικαταστήσει παλαιά µηχανήµατα µε νέα. Τα νέα µηχανήµατα κοστίζουν 100.000. Τα µηχανήµατα αυτά

Διαβάστε περισσότερα

η αποδοτική κατανοµή των πόρων αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα Οικονοµία των µεταφορών Η ανεπάρκεια των πόρων &

η αποδοτική κατανοµή των πόρων αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα Οικονοµία των µεταφορών Η ανεπάρκεια των πόρων & 5 η αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα: Η αποτελεί θεµελιώδες πρόβληµα σε κάθε σύγχρονη οικονοµία. Το πρόβληµα της αποδοτικής κατανοµής των πόρων µπορεί να εκφρασθεί µε 4 βασικά ερωτήµατα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3: Στρατηγική Οικονομοτεχνικών Αποφάσεων

Κεφάλαιο 3: Στρατηγική Οικονομοτεχνικών Αποφάσεων Κ3.1 Μέθοδο της παρούσας αξίας Η παρούσα αξία έχει μεγάλη πρακτική αξία σε περιπτώσεις εκτίμησης ιδιοκτησίας (ακίνητης περιουσίας, κλπ.). Υπολογίζουμε την παρούσα αξία που αντιπροσωπεύουν τα καθαρά οριακά

Διαβάστε περισσότερα

Πληθωρισµός. Κεφάλαιο. 11.1 Γενικά

Πληθωρισµός. Κεφάλαιο. 11.1 Γενικά 1. Κεφάλαιο 11 Πληθωρισµός 11.1 Γενικά Ο πληθωρισµός (inflation) εκφράζει την αύξηση των τιµών, ενώ αντίθετα ο αντιπληθωρισµός τη µείωση. Έτσι για παράδειγµα λέγοντας 2% αύξηση του πληθωρισµού το µήνα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α: ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΚΙΝ ΥΝΟΥ ΚΑΙ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ

ΜΕΡΟΣ Α: ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΚΙΝ ΥΝΟΥ ΚΑΙ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Α: ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΚΙΝ ΥΝΟΥ ΚΑΙ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ Κεφάλαιο 1: Το θεωρητικό υπόβαθρο της διαδικασίας λήψεως αποφάσεων και η χρονική αξία του χρήµατος Κεφάλαιο 2: Η καθαρή παρούσα αξία ως κριτήριο επενδυτικών

Διαβάστε περισσότερα

Τι ενδιαφέρει τον ιδιώτη

Τι ενδιαφέρει τον ιδιώτη ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΠΜΣ «Επιστήµη και Τεχνολογία Υδατικών Πόρων» Οικονοµικά του Περιβάλλοντος και των Υδατικών Πόρων Αξιολόγηση επενδύσεων Τι ενδιαφέρει τον ιδιώτη Πόσα χρήµατα θα επενδύσω; Πότε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200 ΑΣΚΗΣΗ Η εταιρεία logistics Orient Express έχει αναλάβει τη διακίνηση των φορητών προσωπικών υπολογιστών γνωστής πολυεθνικής εταιρείας σε πελάτες που βρίσκονται στο Hong Kong, τη Σιγκαπούρη και την Ταϊβάν.

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ Ε.ΜΙΧΑΗΛΙΔΟΥ - 1 ΤΟΜΟΣ Β ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ Ε.ΜΙΧΑΗΛΙΔΟΥ - 1 ΤΟΜΟΣ Β ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ Ε.ΜΙΧΑΗΛΙΔΟΥ - 1 ΤΟΜΟΣ Β ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ Κεφάλαιο 1 Η ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ Επιτόκιο: είναι η αμοιβή του κεφαλαίου για κάθε μονάδα χρόνου

Διαβάστε περισσότερα

Προσφορά και κόστος. Κατηγορίες κόστους. Οριακό κόστος και µεγιστοποίηση του κέρδους. Μέσο κόστος. TC MC = q TC AC ) AC

Προσφορά και κόστος. Κατηγορίες κόστους. Οριακό κόστος και µεγιστοποίηση του κέρδους. Μέσο κόστος. TC MC = q TC AC ) AC Μέσο κόστος µέσο συνολικό κόστος (AC) 3 Προσφορά και κόστος µέσο µεταβλητό κόστος (AVC) µέσο σταθερό κόστος (AFC) Το µέσο σταθερό κόστος µειώνεται, διότι το συνολικό σταθερό κόστος κατανέµεται σε περισσότερη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΕΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΕΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΙΟΙΚΗΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΕΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ ιδάσκων:

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ - ΤΟΜΕΑΣ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ: Οικονομική Ανάλυση Βιομηχανικών Αποφάσεων

ΣΧΟΛΗ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ - ΤΟΜΕΑΣ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ: Οικονομική Ανάλυση Βιομηχανικών Αποφάσεων 25-9-2012 ΣΧΟΛΗ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ - ΤΟΜΕΑΣ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ: Οικονομική Ανάλυση Βιομηχανικών Αποφάσεων Θέμα 1: Προσδιορίστε ποιές από τις παρακάτω διατυπώσεις είναι σωστές (Σ) ή τεκμηριώνοντας με σαφήνεια την

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 Ε_3.Αλ3Ε(ε) ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ / ΕΠΙΛΟΓΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 4 Μαΐου 2014 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α ΠΡΩΤΗ Α1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε φθηνότερη διαδροµή µε µη γραµµικό κόστος

Κίνηση σε φθηνότερη διαδροµή µε µη γραµµικό κόστος υποδο?ών?εταφράζεταισε?ίαγενικότερηεξοικονό?ησηπαραγωγικώνπόρωνγιατηκοινωνία. τεχνικέςυποδο?ές,όπωςείναιαυτοκινητόδρο?οι,γέφυρεςκ.λ.π.ηκατασκευήτέτοιων Μιααπ τιςβασικέςλειτουργίεςτουκράτουςείναιοεφοδιασ?όςτηςκοινωνίας?εβασικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2017 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3

ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2017 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2017 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΜΑΝΑΤΖΜΕΝΤ ΕΠΕΝΔΥΤΙΚΕΣ ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΧΡΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΤΟΚΙΟ ΠΛΗΘΩΡΙΣΜΟΣ ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ ΔΑΝΕΙΑ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΒΑΣΙΚΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΤΩΝ ΜΕΘΟΔΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Πρόβληµα µεταφοράς Η ανάπτυξη και διαµόρφωση του προβλήµατος µεταφοράς αναπτύσσεται στις σελίδες 40-45 του βιβλίου των

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

( p) (1) (2) ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Α.Α.Δράκος

( p) (1) (2) ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Α.Α.Δράκος ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΑ ΣΤΗ ΧΡΗΜΑΤΟΔΟΤΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ Δράκος 4-5 4.) ΠΛΗΘΩΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΙΝΔΥΝΟΣ ΣΤΗΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ 4.. ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

2.4 ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ . ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Κλασµατική εξίσωση : Ονοµάζουµε κλασµατική εξίσωση κάθε εξίσωση η οποία έχει τον άγνωστο σ έναν τουλάχιστον παρονοµαστή. ΣΧΟΛΙΟ ιαδικασία επίλυσης : i) Αναλύουµε τους παρονοµαστές

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΟΔΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΟΔΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΟΔΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Η υπάρχουσα οδική σύνδεση μεταξύ δύο πόλεων έχει κατασκευαστεί πριν πολλά χρόνια και παρουσιάζει σήμερα αυξημένο κόστος συντήρησης καθώς και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Μεγιστοποιώντας τον ψυκτικό χώρο Ράλφ Τέιτορ, Συστήµατα Προηγµένης Τεχνολογίας, Εταιρεία Περιορισµένης Ευθύνης

Μεγιστοποιώντας τον ψυκτικό χώρο Ράλφ Τέιτορ, Συστήµατα Προηγµένης Τεχνολογίας, Εταιρεία Περιορισµένης Ευθύνης Μεγιστοποιώντας τον ψυκτικό χώρο Ράλφ Τέιτορ, Συστήµατα Προηγµένης Τεχνολογίας, Εταιρεία Περιορισµένης Ευθύνης Υπάρχουν δύο τρόποι για να αυξήσετε την αµιγή χωρητικότητα του αποθηκευτικού χώρου, ο πρώτος

Διαβάστε περισσότερα

1. ** α) Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι. β α. = [f (x) ηµx] - [f (x) συνx] β α. ( )

1. ** α) Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι. β α. = [f (x) ηµx] - [f (x) συνx] β α. ( ) Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** α) Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι β ( f () f () ) + α ηµ d β α = [f () ηµ] - [f () συν] β α. ( ) β) Αν f () = ηµ, να αποδείξετε ότι f () + f ()

Διαβάστε περισσότερα

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone Hµέθοδος Stepping Stoneείναι µία επαναληπτική διαδικασία για τον προσδιορισµό της βέλτιστης λύσης σε ένα πρόβληµα µεταφοράς.

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικές Έννοιες (Υπολογισμός Χρηματοοικονομικού κινδύνου και απόδοσης, διαχρονική αξία του Χρήματος)

Στατιστικές Έννοιες (Υπολογισμός Χρηματοοικονομικού κινδύνου και απόδοσης, διαχρονική αξία του Χρήματος) Στατιστικές Έννοιες (Υπολογισμός Χρηματοοικονομικού κινδύνου και απόδοσης, διαχρονική αξία του Χρήματος) 1. Ποιος είναι ο αριθμητικός μέσος όρος ενός δείγματος ετησίων αποδόσεων μιας μετοχής, της οποίας

Διαβάστε περισσότερα

6. Οικονοµική Αξιολόγηση Ενεργειακών Επενδύσεων

6. Οικονοµική Αξιολόγηση Ενεργειακών Επενδύσεων ιαχείριση Ενέργειας και Περιβαλλοντική Πολιτική 6. Οικονοµική Αξιολόγηση Ενεργειακών Επενδύσεων Καθηγητής Ιωάννης Ψαρράς Εργαστήριο Συστηµάτων Αποφάσεων & ιοίκησης Γρ. 0.2.7. Ισόγειο Σχολής Ηλεκτρολόγων

Διαβάστε περισσότερα

Τιµή, αξία (πρόθεση για πληρωµή) και µέτρα ευηµερίας του καταναλωτή

Τιµή, αξία (πρόθεση για πληρωµή) και µέτρα ευηµερίας του καταναλωτή 3: Μέτρα ευηµερίας του καταναλωτή Τιµή, αξία (πρόθεση για πληρωµή) και µέτρα ευηµερίας του καταναλωτή (Πλεόνασµα καταναλωτή Ισοδύναµη µεταβολή και µεταβολή αποζηµίωσης) Ο ορισµός της κοινωνικής ευηµερίας

Διαβάστε περισσότερα

11.1.2 Κριτήρια αξιολόγησης επενδύσεων

11.1.2 Κριτήρια αξιολόγησης επενδύσεων Επιχειρησιακό Πρόγραμμα Εκπαίδευση και ια Βίου Μάθηση Πρόγραμμα ια Βίου Μάθησης ΑΕΙ για την Επικαιροποίηση Γνώσεων Αποφοίτων ΑΕΙ: Σύγχρονες Εξελίξεις στις Θαλάσσιες Κατασκευές Α.Π.Θ. Πολυτεχνείο Κρήτης

Διαβάστε περισσότερα

Έτος 1 Έτος 2 Έτος 3 Έτος 4 Έτος 5 Εισπράξεις 270.000 300.000 350.000 500.000 580.000

Έτος 1 Έτος 2 Έτος 3 Έτος 4 Έτος 5 Εισπράξεις 270.000 300.000 350.000 500.000 580.000 Θέμα 1 0 Η εταιρία ΑΒΓ σχεδιάζει να επενδύσει σήμερα (στο έτος 0), σε ένα έργο το οποίο θα έχει αρχικό κόστος 00.000, διάρκεια ζωής 5 έτη και αναμένεται να δώσει τις ακόλουθες εισπράξεις: Έτος 1 Έτος 2

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο Μέσο Σταθµισµένο Κόστος Κεφαλαίου (WACC), Ελεύθερες Ταµειακές Ροές (FCF) και Αποτίµηση (Valuation)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο Μέσο Σταθµισµένο Κόστος Κεφαλαίου (WACC), Ελεύθερες Ταµειακές Ροές (FCF) και Αποτίµηση (Valuation) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο Μέσο Σταθµισµένο Κόστος Κεφαλαίου (WACC), Ελεύθερες Ταµειακές Ροές (FCF) και Αποτίµηση (Valuation) 9.1. Εισαγωγή Μέχρι τώρα αναφερθήκαµε στο κόστος κεφαλαίου µε τη γενικότερη µορφή του και

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΓΣΠ

Εισαγωγή ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΓΣΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΓΣΠ Τα τελευταία 25 χρόνια, τα προβλήµατα που σχετίζονται µε την διαχείριση της Γεωγραφικής Πληροφορίας αντιµετωπίζονται σε παγκόσµιο αλλά και εθνικό επίπεδο µε την βοήθεια των Γεωγραφικών

Διαβάστε περισσότερα

Το κόστος του κεφαλαίου

Το κόστος του κεφαλαίου Κεφάλαιο 16 Το κόστος του κεφαλαίου 16.1 Ορισµοί Το κεφάλαιο (capital) θεωρείται συχνά σαν ένα ποσό χρηµάτων διαθέσιµο για επένδυση., ή ένα ποσό χρηµάτων δεσµευµένο σε µια επιχείρηση. Το κεφάλαιό µου σε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ ΠΟΥ ΕΠΗΡΕΑΖΟΥΝ ΤΙΣ ΤΙΜΕΣ ΤΩΝ ΙΚΑΙΩΜΑΤΩΝ ΠΡΟΑΙΡΕΣΗΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ARBITRAGE

ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ ΠΟΥ ΕΠΗΡΕΑΖΟΥΝ ΤΙΣ ΤΙΜΕΣ ΤΩΝ ΙΚΑΙΩΜΑΤΩΝ ΠΡΟΑΙΡΕΣΗΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ARBITRAGE ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ ΠΟΥ ΕΠΗΡΕΑΖΟΥΝ ΤΙΣ ΤΙΜΕΣ ΤΩΝ ΙΚΑΙΩΜΑΤΩΝ ΠΡΟΑΙΡΕΣΗΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ARBITRAGE 8.1. Γενικά Εδώ εξετάζουµε τους παράγοντες που επηρεάζουν τις τιµές των δικαιωµάτων προαίρεσης. Όπως θα δούµε

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 2η:Επιλογή Έργου

Διάλεξη 2η:Επιλογή Έργου Τµ. Διοίκησης Επιχειρήσεων/Μεσολόγγι ΤΕΙ Δυτ. Ελλάδας Διαχείριση Έργων Πληροφορικής Διάλεξη 2η:Επιλογή Έργου Β. Βασιλειάδης Τµ. Διοικ. Επιχειρήσεων, ΤΕΙ Δυτ. Ελλάδας Μελέτη Σκοπιµότητας Ø Τι είναι: Ø Τεκµηρίωση

Διαβάστε περισσότερα

Π.Α.Σ.Π. Ο..Ε. ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ 2 (ΑΣΚΗΣΕΙΣ) 5ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΒΙΒΛΙΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΙΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο

Π.Α.Σ.Π. Ο..Ε. ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ 2 (ΑΣΚΗΣΕΙΣ) 5ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΒΙΒΛΙΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΙΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΒΙΒΛΙΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΙΙ ΑΣΚΗΣΗ 1 / ΣΕΛΙ Α 158 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Υπολογίσατε τη λογιστική αξία των µετόχων της ανώνυµης εταιρίας Α, η οποία έχει την ακόλουθη καθαρή περιουσία : Κοινές

Διαβάστε περισσότερα

Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις

Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Από την Θεωρία Θνησιµότητας Συνάρτηση Επιβίωσης : Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Η s() δίνει την πιθανότητα άτοµο ηλικίας µηδέν, ζήσει πέραν της ηλικίας. όταν s() s( ) όταν o

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΤΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ. 9.1 Εισαγωγή

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΤΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ. 9.1 Εισαγωγή ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΤΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ 9.1 Εισαγωγή Η βιώσιµη ανάπτυξη είναι µία πολυδιάστατη έννοια, η οποία αποτελεί µία εναλλακτική αντίληψη της ανάπτυξης, µε κύριο γνώµονα το καθαρότερο περιβάλλον και επιδρά στην

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ I Διδάσκων: Δρ. Κ. Αραβώσης 5. Οικονοµική αξιολόγηση επενδυτικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ- ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ

ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ- ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ- ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ Η ταχύτητα συνήθως δεν παραµένει σταθερή Ας υποθέσουµε ότι ένα αυτοκίνητο κινείται σε ευθύγραµµο δρόµο µε ταχύτητα k 36. Ο δρόµος είναι ανοιχτός και ο οδηγός αποφασίζει

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΑΞΕΙΣ Εισαγωγική εισήγηση Νο1

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΑΞΕΙΣ Εισαγωγική εισήγηση Νο1 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΑΞΕΙΣ Εισαγωγική εισήγηση Νο1 ΒΑΣΙΚΑ ΒΗΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ Είναι η επένδυση συμφέρουσα; Ποιός είναι ο πραγματικός χρόνος αποπληρωμής της επένδυσης; Κατά πόσο επηρεάζεται

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Χρηματοοικονομική Διοίκηση

Χρηματοοικονομική Διοίκηση Χρηματοοικονομική Διοίκηση Ενότητα 6: Τεχνικές επενδύσεων IV Γιανναράκης Γρηγόρης Τμήμα Διοίκηση Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Α5. Όταν η ζήτηση για ένα αγαθό είναι ελαστική, τότε πιθανή αύξηση της τιµής του, θα οδηγήσει σε µείωση της καταναλωτικής δαπάνης για αυτό το αγαθό

Α5. Όταν η ζήτηση για ένα αγαθό είναι ελαστική, τότε πιθανή αύξηση της τιµής του, θα οδηγήσει σε µείωση της καταναλωτικής δαπάνης για αυτό το αγαθό ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΕΩΝ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 (για άριστα διαβασµένους) ΟΜΑ Α Α Να απαντήσετε στις επόµενες ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής A1. Σε γραµµική ΚΠ της µορφής Y =

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑΣ Εισαγωγή

ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑΣ Εισαγωγή 1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑΣ Εισαγωγή Η ανάλυση ευαισθησίας μιάς οικονομικής πρότασης είναι η μελέτη της επιρροής των μεταβολών των τιμών των παραμέτρων της πρότασης στη διαμόρφωση της τελικής απόφασης. Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνοοικονομική Μελέτη

Τεχνοοικονομική Μελέτη Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τεχνοοικονομική Μελέτη Ενότητα 9: Κόστος κεφαλαίου - Χρηματορροές Σκόδρας Γεώργιος, Αν. Καθηγητής gskodras@uowm.gr Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακά Μαθηματικά (1)

Επιχειρησιακά Μαθηματικά (1) Τηλ:10.93.4.450 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Α Επιχειρησιακά Μαθηματικά (1) ΑΘΗΝΑ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 01 Τηλ:10.93.4.450 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής Ορισμός : Συνάρτηση f μιας πραγματικής

Διαβάστε περισσότερα

Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1)

Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1) Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1) Το εσωτερικό ποσοστό απόδοσης (internal rate of return) ως κριτήριο αξιολόγησης επενδύσεων Προβλήµατα προκύπτουν όταν υπάρχουν επενδυτικές ευκαιρίες

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΩΣΗ ΘΕΣΕΩΝ ΗΜΟΣΙΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΚΑΙ ΝΟΜΙΚΩΝ ΠΡΟΣΩΠΩΝ ΤΟΥ ΗΜΟΣΙΟΥ TOMEΑ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΕ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: «OIKONOMIKH»

ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΩΣΗ ΘΕΣΕΩΝ ΗΜΟΣΙΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΚΑΙ ΝΟΜΙΚΩΝ ΠΡΟΣΩΠΩΝ ΤΟΥ ΗΜΟΣΙΟΥ TOMEΑ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΕ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: «OIKONOMIKH» ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΩΣΗ ΘΕΣΕΩΝ ΗΜΟΣΙΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΚΑΙ ΝΟΜΙΚΩΝ ΠΡΟΣΩΠΩΝ ΤΟΥ ΗΜΟΣΙΟΥ TOMEΑ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΕ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: «OIKONOMIKH»

Διαβάστε περισσότερα

Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών ιαχείριση Ενέργειας και Περιβαλλοντική Πολιτική

Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών ιαχείριση Ενέργειας και Περιβαλλοντική Πολιτική ιαχείριση Ενέργειας και Περιβαλλοντική Πολιτική 5. Οικονομική Αξιολόγηση Ενεργειακών Επενδύσεων Καθηγητής Ιωάννης Ψαρράς Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων & ιοίκησης Γρ. 0.2.7. Ισόγειο Σχολής Ηλεκτρολόγων

Διαβάστε περισσότερα

«Ο ΗΓΟΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ ΓΙΑ ΦΩΤΟΒΟΛΤΑΪΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ» TEXNOOIKONOMIKH ΜΕΛΕΤΗ Για την καλύτερη κατανόηση της οικονοµικότητας και της απόδοσης µιας φωτοβολταϊκής εγκατάστασης, θα παρουσιαστεί µία τεχνοοικονοµική

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι Αξιολόγησης Επενδύσεων:

Μέθοδοι Αξιολόγησης Επενδύσεων: TΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΠΑΡΑ ΟΣΕΙΣ V. Βασικές Μέθοδοι Αξιολόγησης Επενδύσεων. ιδάσκων, Μακρυγιωργάκης Μάριος BSc, ΜΒΑ, MSc, PhD-c. Μέθοδοι Αξιολόγησης Επενδύσεων: Οι επενδυτικές αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ Προεξοφλητικό επιτόκιο Η χρονική αξία του χρήματος είναι το κόστος ευκαιρίας του κεφαλαίου της επιχείρησης. Το προεξοφλητικό επιτόκιο ή επιτόκιο αναγωγής σε παρούσα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

4. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ I

4. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ I Χρηματοοικονομική Διοίκηση I 4. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ I 1 Είδη Επενδύσεων Χρηματιστηριακές και Επενδύσεις Παγίων Είναι κάθε τοποθέτηση διαθεσίμων κεφαλαίων σε ενεργητικά στοιχεία μακράς χρονικής

Διαβάστε περισσότερα

3. Παίγνια Αλληλουχίας

3. Παίγνια Αλληλουχίας 3. Παίγνια Αλληλουχίας Τα παίγνια αλληλουχίας πραγµατεύονται περιπτώσεις όπου οι κινήσεις των παικτών διαδέχονται η µια την άλλη, σε αντίθεση µε τα παίγνια όπου οι αποφάσεις των παικτών γίνονται ταυτόχρονα

Διαβάστε περισσότερα

Συγκριτική οικονοµική αξιολόγηση, επιλογή επενδύσεων.

Συγκριτική οικονοµική αξιολόγηση, επιλογή επενδύσεων. ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ I Διδάσκων: Δρ. Κ. Αραβώσης 6. Συγκριτική οικονοµική αξιολόγηση,

Διαβάστε περισσότερα

Γενικές Παρατηρήσεις. Μη Κανονικές Γλώσσες - Χωρίς Συµφραζόµενα (1) Το Λήµµα της Αντλησης. Χρήση του Λήµµατος Αντλησης.

Γενικές Παρατηρήσεις. Μη Κανονικές Γλώσσες - Χωρίς Συµφραζόµενα (1) Το Λήµµα της Αντλησης. Χρήση του Λήµµατος Αντλησης. Γενικές Παρατηρήσεις Μη Κανονικές Γλώσσες - Χωρίς Συµφραζόµενα () Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Υπάρχουν µη κανονικές γλώσσες, π.χ., B = { n n n }. Αυτό

Διαβάστε περισσότερα

ιευθύνων Σύµβουλος της ΑΝΟΣ ιεθνείς Σύµβουλοι & Εκτιµητές Ακινήτων

ιευθύνων Σύµβουλος της ΑΝΟΣ ιεθνείς Σύµβουλοι & Εκτιµητές Ακινήτων ιευθύνων Σύµβουλος της ΑΝΟΣ ιεθνείς Σύµβουλοι & Εκτιµητές Ακινήτων Υπερπροσφορά ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ «υπερπροσφορά» (Investopedia) Η υπερβολική ποσότητα ενός αγαθού ή µιας υπηρεσίας. Η Υπερπροσφορά προκύπτει,

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 2η:Επιλογή Έργου

Διάλεξη 2η:Επιλογή Έργου Τµ. Διοίκησης Επιχειρήσεων/Μεσολόγγι ΤΕΙ Δυτ. Ελλάδας Διαχείριση Έργων Πληροφορικής Διάλεξη 2η:Επιλογή Έργου A. Στεφανή Τµ. Διοικ. Επιχειρήσεων, ΤΕΙ Δυτ. Ελλάδας Μελέτη Σκοπιµότητας Ø Τι είναι: Ø Τεκµηρίωση

Διαβάστε περισσότερα

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.)

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.) 3 Οριακά θεωρήµατα Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (ΚΟΘ) Ένα από τα πιο συνηθισµένα προβλήµατα που ανακύπτουν στη στατιστική είναι ο προσδιορισµός της κατανοµής ενός µεγάλου αθροίσµατος ανεξάρτητων τµ Έστω Χ Χ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ. ΑΣΚΗΣΗ 1 η Μέθοδος Κόστους-Οφέλους Κοινωνικο-Οικονομική Αξιολόγηση Έργου Γέφυρας Ρίου Αντιρρίου

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ. ΑΣΚΗΣΗ 1 η Μέθοδος Κόστους-Οφέλους Κοινωνικο-Οικονομική Αξιολόγηση Έργου Γέφυρας Ρίου Αντιρρίου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Μέθοδος Κόστους-Οφέλους Κοινωνικο-Οικονομική

Διαβάστε περισσότερα

ηµόσια Οικονοµική Βασίλης Ράπανος, Γεωργία Καπλάνογλου µόνο Τµήµα Ι.

ηµόσια Οικονοµική Βασίλης Ράπανος, Γεωργία Καπλάνογλου µόνο Τµήµα Ι. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Ακαδηµαϊκό έτος 2013-2014 Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Εξεταστική περίοδος Απριλίου Εξέταση στο µάθηµα: ηµόσια Οικονοµική ιδασκαλία: Βασίλης Ράπανος, Γεωργία Καπλάνογλου Η εξέταση αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Εσωτερικός βαθμός απόδοσης

Εσωτερικός βαθμός απόδοσης Εσωτερικός βαθμός απόδοσης Διεθνώς ονομάζεται internal rate of return, και συμβολίζεται με IRR. Με τη μέθοδο αυτή δεν χρησιμοποιούμε επιτόκιο υπολογισμού της αξίας της επένδυσης, αλλά υπολογίζουμε το επιτόκιο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ / ΕΠΙΛΟΓΗΣ Α1. α. Λάθος β. Σωστό γ. Σωστό δ. Λάθος ε. Σωστό Α2. δ Α3. β Ηµεροµηνία: Κυριακή 4 Μαΐου 2014 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΟΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµός. (neighboring) καταστάσεων. ηλαδή στην περίπτωση αλυσίδας Markov. 1.2 ιαµόρφωση µοντέλου

Ορισµός. (neighboring) καταστάσεων. ηλαδή στην περίπτωση αλυσίδας Markov. 1.2 ιαµόρφωση µοντέλου 200-04-25. ιαδικασίες γεννήσεων-θανάτων. Ορισµός Οι διαδικασίες γεννήσεων-θανάτων (birth-death rocesses) αποτελούν µια σπουδαία κλάση αλυσίδων Markov (διακριτού ή συνεχούς χρόνου). Η ιδιαίτερη συνθήκη

Διαβάστε περισσότερα

Συνολικός Χάρτης Πόλης

Συνολικός Χάρτης Πόλης Στα πλαίσια εφαρµογής της οδηγίας 2002/49/ΕΚ, για την αντιµετώπιση των σοβαρών περιβαλλοντικών προβληµάτων που αντιµετωπίζουν οι πόλεις, εξαιτίας του οδικού Θορύβου, µε σοβαρές επιπτώσεις στην ανθρώπινη

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Σύντοµες Σηµειώσεις. Γιώργος Μανής

Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Σύντοµες Σηµειώσεις. Γιώργος Μανής Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό Σύντοµες Σηµειώσεις Γιώργος Μανής Νοέµβριος 2012 Αλγόριθµοι και Λογικά ιαγράµµατα Αλγόριθµος λέγεται µία πεπερασµένη διαδικασία καλά ορισµένων ϐηµάτων µου ακολουθείται για

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις - Εφαρμογές. Διάλεξη 7 η. Οικονομική Αξιολόγηση Έργων και Πολιτικών

Ασκήσεις - Εφαρμογές. Διάλεξη 7 η. Οικονομική Αξιολόγηση Έργων και Πολιτικών Ασκήσεις - Εφαρμογές Διάλεξη 7 η Οικονομική Αξιολόγηση Έργων και Πολιτικών ΑΣΚΗΣΗ 1 Μια χώρα καλλιεργεί δύο αγαθά, Α και Β. Οι ανταγωνιστικές προσφορές δίνονται ως P A 4 A, όπου Α είναι η ποσότητα του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΧΡΗΜΑΤΟΡΡΟΕΣ ΥΠΟΘΕΤΙΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΕΓΓΥΗΣΗΣ ΕΣΟ ΩΝ

ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΧΡΗΜΑΤΟΡΡΟΕΣ ΥΠΟΘΕΤΙΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΕΓΓΥΗΣΗΣ ΕΣΟ ΩΝ Αθήνα 13.01.2006 ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΧΡΗΜΑΤΟΡΡΟΕΣ ΥΠΟΘΕΤΙΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΕΓΓΥΗΣΗΣ ΕΣΟ ΩΝ σύµφωνα µε το δηµοσιευµένο σχέδιο του τεύχους διακήρυξης του διαγωνισµού "για τη σύναψη συµβάσεων διαθεσιµότητας ισχύος νέας

Διαβάστε περισσότερα

Αξιολόγηση Επενδύσεων ιαχρονική Αξία Χρήµατος

Αξιολόγηση Επενδύσεων ιαχρονική Αξία Χρήµατος Αξιολόγηση Επενδύσεων ιαχρονική Αξία Χρήµατος Βασικά Σηµεία ιάλεξης Ορισµός Επένδυσης Μελλοντική Αξία Επένδυσης Παρούσα Αξία Επένδυσης Αξιολόγηση Επενδυτικών Έργων Ορθολογικά Κριτήρια Μέθοδος της Καθαρής

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΚΜΗΡΙΩΣΗ ΕΙΚΤΩΝ ΒΑΣΕΩΝ (ΑΝΑΘΕΩΡΗΜΕΝΗ)

ΤΕΚΜΗΡΙΩΣΗ ΕΙΚΤΩΝ ΒΑΣΕΩΝ (ΑΝΑΘΕΩΡΗΜΕΝΗ) ΤΕΚΜΗΡΙΩΣΗ ΕΙΚΤΩΝ ΒΑΣΕΩΝ (ΑΝΑΘΕΩΡΗΜΕΝΗ) Η πρόβλεψη των βάσεων είναι ένα δύσκολο και παρακινδυνευµένο εγχείρηµα, κάθε χρόνο, διότι αν και υπάρχουν τα βασικά βαθµολογικά και άλλα στοιχεία δεν είναι γνωστές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ http://www.economics.edu.gr 1 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ( τρόποι επίλυσης παρατηρήσεις σχόλια ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ο πίνακας παραγωγικών δυνατοτήτων µιας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ 1ο Παράδειγµα κριτηρίου αξιολόγησης (µάθηµα της ηµέρας) Σκοπός της εξέτασης: Η αξιολόγηση της γνώσης του µαθητή σχετικά µε το περιεχόµενο της παραγράφου 1.6:

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Α.Α.Δράκος 2014-2015

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Α.Α.Δράκος 2014-2015 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΑ ΣΤΗ ΧΡΗΜΑΤΟΔΟΤΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ 1 3.) ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΘΑΡΩΝ ΤΑΜΕΙΑΚΩΝ ΡΟΩΝ Α.Α.Δράκος 2014-2015 Α. Εισαγωγικά Oι Καθαρές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

Επιλογή και επανάληψη. Λογική έκφραση ή συνθήκη

Επιλογή και επανάληψη. Λογική έκφραση ή συνθήκη Επιλογή και επανάληψη Η ύλη που αναπτύσσεται σε αυτό το κεφάλαιο είναι συναφής µε την ύλη που αναπτύσσεται στο 2 ο κεφάλαιο. Όπου υπάρχουν διαφορές αναφέρονται ρητά. Προσέξτε ιδιαίτερα, πάντως, ότι στο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ Κασαπίδης Γεώργιος Μαθηµατικός Στο άρθρο αυτό µελετάµε την πιο χαρακτηριστική ιδιότητα του συνόλου R των πραγµατικών αριθµών. ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Ένα σύνολο Α από πραγµατικούς

Διαβάστε περισσότερα

(α) Πόση ποσότητα θα επιµεριζόταν στην πρώτη περίοδο και πόση στη δεύτερη, όταν το προεξοφλητικό επιτόκιο είναι 0,1;

(α) Πόση ποσότητα θα επιµεριζόταν στην πρώτη περίοδο και πόση στη δεύτερη, όταν το προεξοφλητικό επιτόκιο είναι 0,1; Εξέταση: Οικονοµική του Περιβάλλοντος (ενδεικτικές απαντήσεις) Προσοχή: Η εξέταση έχει συνολικά 9 ερωτήσεις (υπολογίζοντας και τις υπό-ερωτήσεις) µε ίδια βαρύτητα στην βαθµολογία. Απαντήστε και τις 9.

Διαβάστε περισσότερα

στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας

στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : Εισαγωγή δειγµατοληψία Τα στοιχεία που απαιτούνται τόσο για την ανάλυση των µεταφορικών συστηµάτων και όσο και για την ανάπτυξη των συγκοινωνιακών µοντέλων

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ΣΣΤΗΜΤ ΜΜΩΝ ΞΣΩΣΩΝ Μ ΝΩΣΤΣ ΣΩΣ ΝΝΣ ρισµός: Μια εξίσωση της µορφής αχ+βψ=γ ονοµάζεται γραµµική εξίσωση µε δυο αγνώστους. ύση της εξίσωσης αυτής ονοµάζεται κάθε διατεταγµένο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ I ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ I ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ I ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Λέκτορας Ι. Γιαννατσής Καθηγητής Π. Φωτήλας ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ Οικονομική Επιστήμη: Η κοινωνική επιστήμη που ερευνά την οικονομική δραστηριότητα

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 10 o -11 ο -12 ο 13 ο

Μάθημα 10 o -11 ο -12 ο 13 ο Μάθημα 10 o -11 ο -12 ο 13 ο Οικονομική Ανάλυση με Συνυπολογισμό Φόρων - Αποσβέσεις / Μέθοδοι Απόσβεσης - Φορολογία Εισοδήματος / Φορολογικός Συντελεστής - ΧΧΠΦ-ΧΧΜΦ Πληθωρισμός Πολλαπλές Εναλλακτικές

Διαβάστε περισσότερα

3. ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΜΗΚΩΝ

3. ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΜΗΚΩΝ 3. ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΜΗΚΩΝ 3. Διαφορά μετρήσεων από εκτιμήσεις μετρήσεων. Όταν επιλύοµε ένα αντίστροφο πρόβληµα υπολογίζοµε ένα διάνυσµα παραµέτρων est m το οποίο αντιπροσωπεύει

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗΣ Η καταµετρηση ενος συνολου µε πεπερασµενα στοιχεια ειναι ισως η πιο παλια µαθηµατικη ασχολια του ανθρωπου. Θα µαθουµε πως, δεδοµενης της περιγραφης ενος συνολου, να µπορουµε να ϐρουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΕΠΙΛΟΓΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 25 ΜΑΪΟΥ 2016 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α ΠΡΩΤΗ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΕΠΙΛΟΓΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 25 ΜΑΪΟΥ 2016 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΕΠΙΛΟΓΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 25 ΜΑΪΟΥ 2016 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α ΠΡΩΤΗ Α1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας,

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εργασία 1 Χρηματοδοτική Διοίκηση. Γενικές οδηγίες

Γραπτή Εργασία 1 Χρηματοδοτική Διοίκηση. Γενικές οδηγίες ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ 31 Χρηματοοικονομική Διοίκηση Ακαδημαϊκό Έτος: 2009-10 Γραπτή Εργασία 1 Χρηματοδοτική Διοίκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 1) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 1 Οκτωβρίου 007 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 9 Νοεµβρίου 007. Πριν από την λύση κάθε άσκησης

Διαβάστε περισσότερα