Εσωτερικός Βαθµός Απόδοσης (ΕΒΑ)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εσωτερικός Βαθµός Απόδοσης (ΕΒΑ)"

Transcript

1 . Κεφάλαιο 9 Εσωτερικός Βαθµός Απόδοσης (ΕΒΑ) (Internal Rate of Return - IROR) 9. Γενικά Ο ΕΒΑ είναι η τελευταία από τις τέσσερις µεθόδους αξιολόγησης αµοιβαία αποκλειόµενων εναλλακτικών λύσεων. Αν και θεωρείται η πιο δύσκολη από όλες τις µεθόδους, σε περίπτωση που εφαρµοστεί χωρίς τη χρήση Η/Υ, χρησιµοποιείται ευρέως. Ο λόγος είναι ότι η µέθοδος αυτή παρουσιάζει το ποσοστό (%) της απόδοσης ως µεταβλητή απόφασης. Τα ποσοστά (%) που συνοδεύουν µια χρηµατοοικονοµική δραστηριότητα (δανεισµός, αποταµίευση, ρύθµιση χρεών κ.τ.λ.) τα συναντάµε καθηµερινά στη ζωή µας και κυρίως στις συναλλαγές µας µε τις τράπεζες. Το γεγονός αυτό βοηθάει ώστε η µέθοδος του ΕΒΑ να γίνεται εύκολα κατανοητή, τόσο στον επιχειρηµατικό χώρο, όσο και στον απλό κόσµο, σε αντίθεση µε τις υπόλοιπες µεθόδους οι οποίες παρουσιάζουν δυσκολίες ως προς την ερµηνεία τους. 9.2 Ορισµός Ο ΕΒΑ είναι η τιµή του επιτοκίου i για την οποία η εξίσωση της παρούσας αξίας (present worth) ενός χρηµατο-χρονοδιαγράµµατος (cash flow) µηδενίζεται: PW = B t (P/F,i,t) - C t (P/F,i,t) = 0 () Επίσης ο ΕΒΑ µπορεί να ορισθεί και ως το ποσοστό (%) που εξισώνει την παρούσα αξία των κερδών µε την παρούσα αξία των κοστών ενός χρηµατο-χρονοδιαγράµµατος. B t (P/F,i,t) = C t (P/F,i,t) (2) Μια λύση ικανοποιεί οικονοµικά το πρόβληµα εφόσον ο ΕΒΑ είναι µεγαλύτερος ή ίσος µε το κόστος ευκαιρίας του κεφαλαίου (ή τον ελάχιστο αποδεκτό βαθµό απόδοσης) i*, δηλαδή εφόσον: i i* (3) 9.3 Άµεσος υπολογισµός του ΕΒΑ 9.3. Παράδειγµα Ένα πακέτο µετοχών µιας ασφαλιστικής εταιρείας αποκτήθηκε στις Νοεµβρίου του 978 στο ποσό του δρχ. Πωλήθηκε στην ίδια ηµεροµηνία µετά από δύο χρόνια

2 Εσωτερικός Βαθµός Απόδοσης για δρχ. Ποιος ήταν ΕΒΑ της επένδυσης; Φόροι και πληθωρισµός δεν λαµβάνονται υπόψη. Το χρηµατο-χρονοδιάγραµµα του προβλήµατος είναι το ακόλουθο: ιάγραµµα 9- : Χρηµατοροές πακέτου µετοχών Χρησιµοποιώντας την σχέση (3) έχουµε: B t (P/F,i,t) = C t (P/F,i,t) ( )(P/F,i,2) = ( )(P/F,i,0) (P/F,i,2) = 0,8437 Ένας τρόπος να βρεθεί προσεγγιστικά απάντηση για το i είναι να συµβουλευτεί κάποιος τους πίνακες στη γραµµή 2 και στην στήλη (P/F) για να βρει τις τιµές που προσεγγίζουν το 0,8437 και τα ποσοστά που τις συνοδεύουν. Αυτές είναι : 0,847 µε 9% 0,8573 µε 8% Ο ΕΒΑ είναι περίπου 9% διότι το 0,8437 είναι πιο κοντά στο 0,847 απ ότι στο 0,8573. Μια γραµµική παρεµβολή (interpolation) θα µας δώσει πιο ακριβή απάντηση; P/F % 0, ,8437 ; 0, ιάγραµµα 9-2: Πίνακας δεδοµένων 0, , 847 i = 9,0 - (, 90 80,) 0, , 847 i = 8,872 29

3 Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας εν µπορούµε να είµαστε σίγουροι για το πόσο ακριβής είναι αυτή η λύση διότι η interpolation θεωρεί µια γραµµική σχέση µεταξύ P/F και i. Γνωρίζουµε ότι αυτές οι δύο ποσότητες συνδέονται µε τον ακόλουθο τύπο : (P/F,i,t) = t ( + i) Για να βρούµε µια ακριβή τιµή του i, αρκεί να αντικαταστήσουµε τα δεδοµένα: 0,8437 = (+i) 2 = ( +i ) 0, 8437 i = 0, i = 8,869% Η τιµή αυτή διαφέρει κατά 0,003 από τη τιµή που βρήκαµε µε την γραµµική παρεµβολή. Η γραµµική προσέγγιση γενικά γίνεται λιγότερο ακριβής όταν η διαφορά µεταξύ των τιµών προσέγγισης γίνεται µεγαλύτερη. Για παράδειγµα στο πρόβληµά µας εφαρµόζοντας interpolation µε τις τιµές του παρακάτω πίνακα θα έχουµε : P/F % 0, ,8437 ; 0,907 5 ιάγραµµα 9-3 : Πίνακας δεδοµένων Παρατηρούµε ότι τώρα η διαφορά είναι 0,058 περίπου 9 φορές µεγαλύτερη από την πρώτη προσέγγιση. Όπως βλέπουµε στο Σχήµα 2, αν εφαρµόζαµε προσέγγιση µεταξύ του 0% και του 25% το σφάλµα θα ήταν περίπου 2% Συµπερασµατικά: Όταν χρησιµοποιείται η προσέγγιση για την εύρεση του ΕΒΑ µέσω πινάκων θα πρέπει το αποτέλεσµα που προκύπτει από τις τιµές προσέγγισης να είναι µέσα στα όρια σφάλµατος του ΕΒΑ. 9.4 Υπολογισµός του ΕΒΑ µέσω δοκιµής και σφάλµατος (Trial-and-error-computation of the IROR) 9.4. Παράδειγµα Μια εταιρεία αγόρασε πριν 3 χρόνια εξοπλισµό σε Η/Υ αξίας 60 εκατοµ. δρχ. Το καθαρό κέρδος εκτιµήθηκε στα 30 εκατοµ. δρχ. ανά έτος της οικονοµικής του ζωής, η οποία θεωρήθηκε 0 χρόνια. Τώρα ο εξοπλισµός έχει µηδέν τιµή µεταπώλησης και είναι έτοιµος 2 30

4 Εσωτερικός Βαθµός Απόδοσης προς παροπλισµό. Η εταιρεία θα αποκτήσει νέο εξοπλισµό αξίας 05 εκατοµ. δρχ. και οικονοµικής ζωής 5 χρόνων. Το καθαρό κέρδος θα είναι 32, εκατοµ. δρχ. για το πρώτο έτος και 64,2 εκατοµ. δρχ. για καθ ένα από τα επόµενα τέσσερα. Αν αυτό το σύστηµα έχει µηδέν τιµή µεταπώλησης, ποιος είναι ο βαθµός απόδοσης; Φόροι και πληθωρισµός να µην ληφθούν υπ όψη Λύση Το πρόβληµα εισάγει τη χρήση µερικών εννοιών από προηγούµενα κεφάλαια, συγκεκριµένα τα (sunk cost). Ο εξοπλισµός αξίας 60 εκατοµ. δρχ. ο οποίος αποκτήθηκε πριν από 3 χρόνια, καθώς και όλα τα ποσά που συνδέονται µ αυτόν είναι τώρα βυθισµένο κόστος (sunk cost) και περασµένα κέρδη και δεν έχουν καµία σχέση µε το πρόβληµα. Εποµένως το χρηµατο-χρονοδιάγραµµα του προβλήµατος είναι το ακόλουθο : ιάγραµµα χρηµατοροών Χρησιµοποιώντας την εξίσωση () έχουµε: PW = B t (P/F,i,t) - C t (P/F,i,t) = 0 PW = ( )(P/F,i,) + ( )(P/A,i,4) (P/F,i,) = 0 (4) Οι δύο άγνωστοι, (P/F,i,) και (P/A,i,4) κάνουν αδύνατη τον άµεσο υπολογισµό του i. Ο µόνος τρόπος επίλυσης είναι η µέθοδος δοκιµής-σφάλµατος. Η διαδικασία της µεθόδου αυτής είναι να γίνουν δοκιµές σε διάφορες τιµές δεικτών ώστε να βρεθούν οι δύο που θα προσεγγίζουν µια τιµή του ΕΒΑ, η οποία να βρίσκεται µέσα στα επιθυµητά όρια. Ο πραγµατικός ΕΒΑ βρίσκεται µεταξύ του 40% και 45%. i PW 40% i* 0 45% Πίνακας 9-5 3

5 Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας Το γράφηµα της γραµµικής παρεµβολής φαίνεται στο παρακάτω σχήµα: x x ιάγραµµα 9-6 : γραµµική παρεµβολή x = 5 x x =,44 Ο ΕΒΑ είναι 4,44% ή 4% κατά προσέγγιση. Για την επίλυση παρόµοιων προβληµάτων, µπορεί να χρησιµοποιηθεί το πρόγραµµα EXCEL το οποίο διαθέτει περισσότερες από 50 έτοιµες συναρτήσεις για χρήση σε κάθε οικονοµική ανάλυση. Ετσι υπολογίζουµε γρήγορα και µε ακρίβεια δείκτες και οικονοµικά µεγέθη. Οι οικονοµικές συναρτήσεις του EXCEL βρίσκονται στο path: Insert / Function / Financial. Επίσης µπορούµε να κατασκευάσουµε γραφικές παραστάσεις για µια εποπτική εικόνα της εξέλιξής τους. Οσον αφορά το συγκεκριµένο παράδειγµα, δοκιµάστε αφού τοποθετήσετε στα κελιά τα δεδοµένα του προβλήµατος να υπολογίσετε τον ΕΒΑ: Γράφετε σε άλλα κελιά τις τιµές του i. Αρχίζοντας τις δοκιµές από µια τιµή i=0% και ανεβαίνοντας διαδοχικά έως το 45% παρατηρείτε ότι η εξίσωση της παρούσας αξίας µηδενίζεται για i µεταξύ 4 και 42% και κατόπιν παίρνει αρνητική τιµή. Αυτό βρίσκεται πολύ γρήγορα εάν για κάθε i ορίσετε να υπολογίζεται η παράσταση : -αρχική επένδυση+pv(i, εύρος τιµών). Καλώντας το υποπρόγραµµα κατασκευής διαγραµµάτων κατασκευάζετε τη σχετική γραφική παράσταση: 32

6 Εσωτερικός Βαθµός Απόδοσης et present value % 20% 30% 40% 4% 42% 45% opportunity cost 9.5 Σύγκριση εναλλακτικών λύσεων Όπως είπαµε και στον ορισµό του ΕΒΑ, µια λύση ικανοποιεί οικονοµικά το πρόβληµα εφόσον ο ΕΒΑ είναι µεγαλύτερος ή ίσος µε το κόστος ευκαιρίας του κεφαλαίου (ή τον ελάχιστο αποδεκτό βαθµό απόδοσης) i* i i* όπου i: ΕΒΑ i*: κόστος ευκαιρίας κεφαλαίου Περισσότερες από µια εναλλακτικές περιλαµβάνουν και την µηδενική (null) εναλλακτική. Για παράδειγµα η ερώτηση στο πρόβληµα (2) θα µπορούσε να ήταν: Θα πρέπει η εταιρεία να αγοράσει εξοπλισµό Η/Υ αν ο ελάχιστος ελκυστικός δείκτης είναι 30%. Τότε θα έπρεπε να συγκρίνουµε τις εναλλακτικές της αγοράς ή µη του εξοπλισµού. Επειδή 4% >= 30% η απόφαση θα ήταν να γίνει η αγορά. Επειδή στην πράξη ακολουθείται µια συγκεκριµένη µικροοικονοµική διαδικασία θα γίνουν επιλογές εναλλακτικών λύσεων δοκιµαστικά, ξεκινώντας µε αυτή που έχει τη χαµηλότερη αρχική επένδυση. Υπολογίζουµε τον ΕΒΑ αυτής της εναλλακτικής και τον συγκρίνουµε µε το κόστος ευκαιρίας του κεφαλαίου. Αν εγκριθεί τότε δηµιουργούµε το χρηµατο-χρονοδιάγραµµα της οριακής ανάλυσης αφαιρώντας το χρηµατο-χρονοδιάγραµµα της εναλλακτικής µε τη χαµηλότερη επένδυση (πρώτη) από αυτό της εναλλακτικής µε την υψηλότερη επένδυση (δεύτερη). Στη συνέχεια συγκρίνω τον οριακό ΕΒΑ, i µε το κόστος ευκαιρίας του κεφαλαίου. Αν ο i είναι µεγαλύτερος ή ίσος µε το κόστος ευκαιρίας, τότε η εναλλακτική µε την υψηλότερη επένδυση (δεύτερη) γίνεται αποδεκτή, εάν όχι, απορρίπτεται και γίνεται δεκτή η εναλλακτική χαµηλότερης επένδυσης. Συνοψίζοντας τα παραπάνω έχουµε: 33

7 Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας Έστω οι λύσεις Α και Β διαταγµένες κατά σειρά αύξησης του αρχικού κόστους επένδυσης (a) Έστω ότι (ο ΕΒΑ της Α) και έστω ότι: i A i* (b) Αν i i* ( i: ο ΕΒΑ του Β-Α ) τότε επιλέγεται η Β (c) Αν i < i* επιλέγεται η Α (d) Αν πρέπει οπωσδήποτε µια από τις δύο να επιλεγεί, καταφεύγουµε άµεσα σε οριακή ανάλυση: i i* επιλέγεται η Β (δεύτερη), i < i* επιλέγεται η Α (πρώτη) Η οριακή ανάλυση στον ΕΒΑ είναι απαραίτητη όταν εξετάζονται αµοιβαία αποκλειόµενες εναλλακτικές λύσεις (mutually exclusive alternatives). Από αυτή την άποψη η µέθοδος του ΕΒΑ είναι ανάλογη µε εκείνη του λόγου κόστος / κέρδος Παράδειγµα Τα στοιχεία δύο µετα-φόρων και πληθωρισµού χρηµατο-χρονοδιαγραµµάτων αµοιβαία αποκλειόµενων εναλλακτικών είναι τα ακόλουθα: Χρόνια Πίνακας 9-7 :Στοιχεία χρηµατο-χρονοδιαγραµµάτων των 2 λύσεων Η µηδενική (null) εναλλακτική θα πρέπει να ληφθεί υπ όψη a) Με 30% κόστος ευκαιρίας κεφαλαίου και χρησιµοποιώντας τη µέθοδο του ΕΒΑ, ποια εναλλακτική, αν υπάρχει κάποια, θα να επιλεγεί; b) Με 35% c) Με 40% d) Με 45% Όλα τα ποσοστά θα πρέπει να στρογγυλοποιούνται στο πλησιέστερο ακέραιο. Λύση () ιάγραµµα 9-8 : Εναλλακτική 34

8 Εσωτερικός Βαθµός Απόδοσης (2) ιάγραµµα 9-9 : Εναλλακτική 2 (2-) ιάγραµµα 9-0 : Συνολικό (2-) a) Επειδή πρέπει να ληφθεί υπ όψη η µηδενική εναλλακτική, η χαµηλότερου αρχικού κόστους εναλλακτική θα πρέπει να συγκριθεί µε αυτή. χρησιµοποιώντας την εξίσωση () στην πρώτη εναλλακτική του Σχήµατος 4 έχουµε: PW = (P/A,i,5) = 0 (P/A,i,5) = 2,000 Χρησιµοποιώντας τους πίνακες βρίσκουµε ότι i = 4%. Επειδή: 4% > 30% η εναλλακτική θα πρέπει να γίνει αποδεκτή σύµφωνα µε την σχέση (3). Τώρα δοκιµάζουµε την εναλλακτική 2 χρησιµοποιώντας την οριακή ανάλυση (2-) του διαγράµµατος 9-0: PW = (P/A,i,5) = 0 (P/A,i,5) = 2,3333 i = 32% Επειδή: 32% > 30% η εναλλακτική 2 επιλέγεται έναντι της b) ουλεύοντας όπως και στο α) έχουµε: i = 4% > 35% επιλέγεται η και i (2-) =32% < 35% η 2 απορρίπτεται και επιλέγουµε την c) Οµοίως i =4% > 40% η γίνεται αποδεκτή και i (2-) =32% < 40% η γίνεται αποδεκτή d) Εδώ έχουµε: i = 4% < 45% η απορρίπτεται 35

9 Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας Τώρα η 2 πρέπει να συγκριθεί µε τη µηδενική: PW = (P/A,i,5) = 0 (P/A,i,5) = 2,43 Η προσέγγιση βρίσκει i = 37%.Επειδή 37% < 45% η 2 επίσης απορρίπτεται και η µηδενική γίνεται αποδεκτή. Αυτό σηµαίνει ότι η επένδυση είναι 45%. Ο παρακάτω πίνακας δείχνει την διαδικασία: Κόστος Ευκαιρίας (%) (%) (%) i I (2-) Απόφαση (2-0) Πίνακας συγκρίσεων µε βάση τα δεδοµένα 9.6 ΕΒΑ και η µέθοδος της παρούσας αξίας Η µέθοδος του ΕΒΑ αµφισβητήθηκε από αρκετούς, διότι τα αποτελέσµατα της δεν συµφωνούσαν πάντα µε αυτά της µεθόδου της παρούσας αξίας. Η λανθασµένη αυτή εκτίµηση οφείλεται στο γεγονός της µη σωστής χρήσης της µεθόδου. Η διαδικασία επιλογής µιας εναλλακτικής µε βάση το µεγαλύτερο ΕΒΑ θα οδηγήσει σε εσφαλµένη απόφαση. Όπως είδαµε και προηγούµενα, όταν εξετάζουµε αµοιβαία αποκλειόµενες εναλλακτικές λύσεις, είναι απαραίτητη η οριακή ανάλυση Παράδειγµα Έστω δύο αµοιβαία αποκλειόµενες λύσεις Α και Β: Α Β ιάγραµµα 9-2 : Λύση Α ιάγραµµα 9-3 : Λύση Β 36

10 Εσωτερικός Βαθµός Απόδοσης Ο ΕΒΑ της Α είναι: i A = 27,2%, ενώ αντίστοιχα της Β είναι: i B = 23,%, και του οριακού Β-Α χρηµατο-χρονοδιαγράµµατος είναι: i (B-A) = 20%. Αν υποθέσουµε ότι το κόστος ευκαιρίας του κεφαλαίου είναι: i* = 0%, τότε ποια από τις δύο λύσεις πρέπει να επιλεγεί; Λύση Πολύ εύκολα κάποιος µπορεί να επιλέξει την Α διότι έχει µεγαλύτερο ΕΒΑ, όµως αυτή η απόφαση θα ήταν λάθος. Αυτό το βλέπει κανείς από το γεγονός ότι για i*=0% η παρούσα αξία της Β είναι µεγαλύτερη από αυτή της Α: PW B =,983 > PW A =,6 Το λάθος έγινε διότι αγνοήσαµε τον ΕΒΑ του οριακού µεταξύ τους χρηµατοχρονοδιαγράµµατος, δηλαδή του Β-Α, όπως θα έπρεπε. Πράγµατι, ο ΕΒΑ του Β-Α είναι:20%. Αυτό σηµαίνει ότι εφόσον η Α ικανοποιεί το πρόβληµα, δηλαδή i A =27,2% > 0%, και εφόσον i (B-A) =20%>0% η Β πρέπει τελικά να επιλεγεί. Παρατηρούµε ότι το αποτέλεσµα είναι σύµφωνο και µε το κριτήριο της παρούσας αξίας αφού PW 0%= 0,867 > 0. Άρα δεν τίθεται θέµα υπεροχής της µιας µεθόδου έναντι της άλλης, όπως εσφαλµένα, υποστηρίζεται από πολλούς συγγραφείς. 9.7 Η περίπτωση ίσων αρχικών επενδύσεων Για την εφαρµογή της µεθόδου του ΕΒΑ σε αµοιβαία αποκλειόµενες λύσεις ίσων αρχικών επενδύσεων, απαιτούνται κάποιοι ειδικοί χειρισµοί. Έχει παρατηρηθεί, ότι εάν οι εναλλακτικές ληφθούν µε µια σειρά, η απόφαση θα είναι σωστή. Αν ληφθούν µε διαφορετική σειρά, η απόφαση θα είναι λανθασµένη. Ο D.R.Bergmann απέδειξε πώς στις περιπτώσεις αυτές οι λύσεις θα πρέπει να διατάσσονται µε τέτοιο τρόπο ώστε κατά την οριακή σύγκριση τους να προκύπτει χρηµατοχρονοδιάγραµµα όπου η πρώτη χρηµατοροή θα είναι αρνητική Παράδειγµα Έστω δύο λύσεις Α και Β: Y A B B-A A-B Πίνακας δεδοµένων Ας υποθέσουµε ότι το κόστος ευκαιρίας είναι: i*=0%.ποιά λύση θα πρέπει να επιλεγεί; 37

11 Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας Λύση Αν εφαρµόσουµε τη µέθοδο του ΕΒΑ και ξεκινήσουµε από την Α θα έχουµε: i A =27% > 0%. Επίσης: i (B-A) =% Άρα θα πρέπει να επιλεγεί η Β. Αν τώρα ξεκινήσουµε από την Β θα έχουµε: i B =36% > 0% και i (Α-Β) =% > 0% Άρα θα πρέπει να επιλεγεί η Α. Αν, τέλος, επιλέξουµε την Β επειδή έχει µεγαλύτερο ΕΒΑ δεν είµαστε σύµφωνοι µε το κριτήριο της παρούσας αξίας, αφού PW A για 0%=50,9 ενώ PW B για 0%=48,4 που σηµαίνει ότι πρέπει να επιλέξουµε την Α. Εφαρµόζοντας τον κανόνα του Bergmann στη προκειµένη περίπτωση βλέπουµε ότι πρέπει να ξεκινήσουµε από την Β καταλήγοντας στο συµπέρασµα ότι επιλέγουµε την Α. Το αποτέλεσµα αυτό είναι σύµφωνο µε εκείνο που προκύπτει από την εφαρµογή της παρούσας αξίας. 9.8 Βαθµός απόδοσης ενός οµολόγου Η αγορά ενός οµολόγου γίνεται συχνά σε µια τιµή χαµηλότερη από την ονοµαστική του. Όταν αυτό συµβαίνει, ο βαθµός απόδοσης του οµολόγου δεν είναι ο ίδιος µε τον εσωτερικό βαθµό απόδοσης της επένδυσης του οµολόγου. Κάνοντας την ερώτηση: Θα πρέπει να αγοράσω αυτό το οµόλογο; είναι ίδια µε: Πώς ο ΕΒΑ του οµολόγου συγκρίνεται µε το προσωπικό κόστος ευκαιρίας του κεφαλαίου για επενδύσεις µε τον ίδιο κίνδυνο; 9.8. Παράδειγµα Σκεφτόµαστε την αγορά ενός οµολόγου στην τιµή του δρχ. Το οµόλογο έχει ονοµαστική τιµή δρχ. και απόδοση 0%, µε επιτόκιο που αποδίδεται εξαµηνιαίως σε χρονικό ορίζοντα 20 ετών. Ποιος ο ΕΒΑ του οµολόγου; Λύση Το χρηµατο-χρονοδιάγραµµα του οµολόγου είναι το ακόλουθο: ιάγραµµα 9-5 Χρηµατο-χρονοδιάγραµµα οµολόγου Ο ΕΒΑ βρίσκεται µε την µέθοδο δοκιµής-σφάλµατος και έχουµε: (P/A,i,40) (P/F,i,40) = 0 38

12 Εσωτερικός Βαθµός Απόδοσης i =4,26% Αυτός είναι ο ΕΒΑ ανά περίοδο. Η ονοµαστική τιµή του ΕΒΑ ανά έτος είναι: r = (2)(4,26) = 8,53% µικρότερο του 0%. Άρα η επένδυση του οµολόγου απορρίπτεται. 9.9 Πολλαπλοί βαθµοί απόδοσης (Multiple Rates of Return) Υπάρχουν περιπτώσεις όπου σ ένα χρηµατο-χρονοδιάγραµµα, εµφανίζονται περισσότερες από µια τιµές του ΕΒΑ. Για αρκετό καιρό το φαινόµενο αυτό εξεταζόταν σε θεωρητικό επίπεδο, καθώς οι πρακτικές του εφαρµογές περιορίζονταν κυρίως σε περιπτώσεις εξορυκτικών έργων. Τελευταία έχει αναγνωριστεί πως το θέµα των πολλαπλών ΕΒΑ έχει ευρεία εφαρµοστικότητα. Πιθανές περιπτώσεις εµφάνισης πολλαπλών ΕΒΑ είναι ακόµα κατά την οριακή ανάλυση λύσεων και την σεναριακή εξέταση µιας επένδυσης. Έχει παρατηρηθεί ότι σ ένα χρηµατο-χρονοδιάγραµµα υπάρχουν τόσοι ΕΒΑ (θετικοί, αρνητικοί, φανταστικοί), όσες είναι οι διακυµάνσεις του σήµατος του. Για Παράδειγµα παρατηρούµε ότι στο χρηµατο-χρονοδιάγραµµα (Α) του σχήµατος που ακολουθεί, έχουµε δυο αλλαγές σήµατος, άρα πρέπει να περιµένουµε και δυο τιµές του ΕΒΑ. Στο χρηµατο-χρονοδιάγραµµα (Β), αντίστοιχα θα υπάρχουν τρεις τιµές του ΕΒΑ. Το δίληµµα είναι τώρα ποιος από αυτούς θα πρέπει να επιλεγεί. (Α) (Β) ιάγραµµα 9-6 : Λύση Α ιάγραµµα 9-7 : Λύση Β 9.9. Ο κανόνας των σηµείων του Descartes Η εξίσωση της παρούσας άξιας ενός χρηµατο-χρονοδιαγράµµατος είναι: ή PW= -P+ A t (P/F,I,t) 39

13 Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας -P+A + A A =0 + i + i + i όπου Αj, j=,2,..ν µπορεί να είναι θετικά ή αρνητικά ποσά, ενώ το P είναι η αρχική επένδυση, P >0. Αν αντικαταστήσουµε το /(+i)=x τότε η παραπάνω εξίσωση γράφεται: -P+ A x+ A 2 x A x = f(x) Ο κανόνας του Descartes µας πληροφορεί ότι: αν σε µια εξίσωση f(x) υπάρχει µια αλλαγή πρόσηµου τότε υπάρχει µόνο µια θετική (πραγµατική) λύση. Γενικά:. Αν το έχει 2m+, µ=0,,2, αλλαγές πρόσηµου, είναι δυνατόν να έχει:,3,,2m+ θετικές λύσεις. 2. Αν το f(x) έχει 2m+2, m=0,,2, αλλαγές πρόσηµου, είναι δυνατόν να έχει: 0,2,4,,2m+2 θετικές λύσεις Παρατηρήσεις. Η περίπτωση µιας αλλαγής πρόσηµου είναι η πιο συνηθισµένη. 2. Παρατηρούµε ότι θετική τιµή του x δεν σηµαίνει και θετική τιµή για το.i =(-x)/x 3. Ο κανόνας του Descartes αφορά πολυώνυµα και όχι χρηµατοχρονοδιαγράµµατα Η συνθήκη του ostrom Ο ostrom απέδειξε ότι ένα διάγραµµα µε συντελεστές (P,A,A 2,,A ) µε συσσωρευτικό διάγραµµα (P,P+A,P+A +A 2..+P+ Ai) έχει µια µοναδική θετική λύση ΕΒΑ, εφόσον το συσσωρευτικό διάγραµµα έχει µια αλλαγή πρόσηµου και ο τελευταίος του συντελεστής είναι µη µηδενικός, δηλαδή: P+ Ai=0 Η παραπάνω συνθήκη είναι µόνο ικανή και όχι αναγκαία Παράδειγµα Θεωρούµε το ακόλουθο χρηµατο-χρονοδιάγραµµα 40

14 Εσωτερικός Βαθµός Απόδοσης ιάγραµµα 9-8 : Χρηµατοροές Παρατηρούµε ότι το διάγραµµα αυτό ικανοποιεί τη συνθήκη του ostrom αφού: Αρχικό διάγραµµα: -6,,,,,,,,,,9,,,,,,,,,,- Συσσωρευτικό: -6,-4,-3,-2,-,0,,0,,2,3,4,5,6,7,8,9,20,2,20=0 9.0 Παράδειγµα Η παραπάνω ευκαιρία παρουσιάζεται σ'ένα Μηχανικό Ορυκτών Πόρων (ΜΟΠ) : Υπογραφή σύµβασης βάσει της οποίας αναλαµβάνει την υποχρέωση κατά τα επόµενα δύο χρόνια να ασχοληθεί µε την εξόρυξη κάποιου ορυκτού από ένα ορυχείο που είναι από χρόνια εγκαταλελειµένο. Ο ιδιοκτήτης του ορυχείου είναι διατεθειµένος να διαθέσει προς τον ΜΟΠ άµεσα 00 εκατ. δρχ. Σ'αντάλλαγµα ζητά πληρωµή 400 εκατ. δρχ. σ'ένα χρόνο και τίποτα άλλο. Επίσης στα πλαίσια της συµφωνίας αυτής ο ιδιοκτήτης παραχωρεί µετά την λήξη του πρώτου χρόνου το ορυχείο στον ΜΟΠ. Εδώ θάπρεπε να τονισθεί ότι εκτός από τα 400 εκατ. ο ΜΟΠ προσδιορίζει ότι θα του στοιχίσει άλλα 400 εκατ. η λειτουργία του ορυχείου κατά τον πρώτο χρόνο (µείον τις εισπράξεις). Τέλος, ο ΜΟΠ εκτιµά ότι κατά τον δεύτερο χρόνο θα µπορέσει να αποκοµίσει καθαρό κέρδος 200 εκατ. από εισπράξεις και πώληση του ορυχείου. Ποιός είναι ο ΕΒΑ της συµφωνίας αυτή; Το χρηµατο-χρονοδιάγραµµα (Χ - Χ) είναι : Υ Χ - Χ (εκατ. δρχ.) ,200 Το προφίλ (της παρούσας αξίας) του παραπάνω χρηµατο-χρονοδιαγράµµατος είναι: 4

15 Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας PW i Προφανώς υπάρχουν δύο τιµές επιτοκίου για τις οποίες PW = 0, i = 00% και i 2 = 500%.Τί σηµαίνουν όµως; Τί θάπρεπε να κάνει ο ΜΟΠ; Πριν συνεχίσουµε θάπρεπε να παρατηρήσουµε ότι ο ΜΟΠ δεν προσδιορίζει a-priori κόστος ευκαιρίας κεφαλαίου (opportunity cost of capital) - i*. Αυτή είναι πολύ σηµαντική παρατήρηση διότι µη υπάρχοντος i* υπολογισµός της Παρούσας ή Ετήσιας Αξίας (και κατά συνέπεια του λόγου οφέλους/κόστους ή του ΕΒΑ) δεν έχει νόηµα ή µε άλλα λόγια δεν είναι δυνατόν να παρέχει σηµαντική για το πρόβληµα πληροφορία. Πέρα απ'αυτό και αφού οι "άγνωστοι του προβλήµατος είναι δύο" θα καταφύγουµε στην λογική µε την οποία µπορεί να λυθεί η εξίσωση x+y=a (άγνωστοι x, y). Ο µόνος τρόπος λύσης της εξίσωσης αυτής είναι η παραµετρική προσέγγιση του ενός αγνώστου σαν συνάρτηση του άλλου, π.χ. x=a-y. Πράγµατι θα µπορούσαµε να θεωρήσουµε τα 00 εκατ. δρχ. που εισπράττει ο ΜΟΠ µε την υπογραφή της συµφωνίας σαν δάνειο (µε την έννοια ότι δεν χρειάζεται να δανεισθεί τα χρήµατα αυτά από αλλού). Αν υποθέσουµε ότι το ανώτερο επιτόκιο δανεισµού που θα ήταν αποδεκτό από τον ΜΟΠ είναι 25% (το y της υπόθεσης) τότε η οριακή απόδοση της συµφωνίας που πρόκειται να εµπλακεί ο ΜΟΠ είναι 78% που υπολογίζεται ως εξής : 42

16 Εσωτερικός Βαθµός Απόδοσης 00 00(+0.25) ÖÁÓÇ "ÄÁÍ ÅÉÓÌ Ï Õ" ÖÁÓÇ "ÅÐÅÍ ÄÕÓÇÓ" (+0.25) = (P/F,i,)=0 Þ / (+i) = Þ i = 78 % Ο ΜΟΠ θάπρεπε να εµπλακεί µε την συµφωνία εφόσον θεωρεί ότι η απόδοση του 78% είναι ικανοποιητική. Π.χ., θάπρεπε να συγκρίνει την συµφωνία αυτή µε µία εναλλακτική επιλογή απασχόλησης, ας πούµε έναντι 2,000,000 τον χρόνο (καθαρές αποδοχές). Από την άλλη µεριά στο τέλος των δύο χρόνων θα έχει συσσωρεύσει :,200 χιλ. ρχ. µείον (800-96) (*υποθέτουµε ότι καταναλίσκει 2 εκατ. ρχ. τον χρόνο) µείον 76 (25% τόκος στις που πρέπει να δανεισθεί),συνολο: 320 εκατ. δρχ. 200 / Προκύπτει επιτόκιο δανεισµού 4%. 43

17 Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας =4 Το πρόβληµα θα µπορούσε να λυθεί και αντίστροφα ξεκινώντας από το τέλος, δηλ. την φάση της επένδυσης. Πράγµατι, ας υποθέσουµε ότι ο ΜΟΠ προσδιορίζει ελάχιστο βαθµό απόδοσης 75%. Στην περίπτωση αυτή ο ΜΟΠ θα επιλέξει την συµφωνία εφόσον το επιτόκιο δανεισµού που προκύπτει είναι µικρότερο από το ανώτερο που είναι διατεθειµένος να επωµισθεί. 9. Παράδειγµα Εξετάζεται το ενδεχόµενο επένδυσης όπου σύµφωνα µε την εξέλιξη ενός σεναρίου "να πάνε όλα άσχηµα" το χρηµατοχρονοδιάγραµµα και το προφίλ αναµένεται ότι θα είναι : 25, ,000 25,000 PW 400 i 25-4,000 44

18 Εσωτερικός Βαθµός Απόδοσης Ας υποθέσουµε ότι το κόστος ευκαιρίας κεφαλαίου i* της εταιρείας που εξετάζει την επένδυση είναι 30%. Προφανώς το 30% αντιπροσωπεύει και το µέγιστο αποδεκτό επιτόκιο εσωτερικού δανεισµού µέσα στην επιχείρηση. Εφόσον υπάρχουν εναλλακτικές ευκαιρίες επένδυσης µέσα στην επιχείρηση το 30% αντιπροσωπεύει το επιτόκιο δανεισµού κεφαλαίων µέσα στην επιχείρηση. Η λογική που διέπει την ανάλυση αυτή είναι ότι δεν έχει νόηµα να "δανεισθεί" ένας τοµέας της επιχείρησης κεφάλαια µε επιτόκιο µεγαλύτερο από 30% διότι αυτό είναι το κόστος ευκαιρίας κεφαλαίου της επιχείρησης που σηµαίνει ότι τα διαθέσιµα κεφάλαια µπορεί να επενδυθούν µε 30%. Πράγµατι, 25,000 9,800 Ðñï ê ýðôåé åðéôüê éï äáíåéóìïý ßóï ìå 26 % 0 2 4,000 4,000 (+0.3) "ÅÐÅÍ ÄÕÓÇ " "ÄÁÍ ÅÉÓÌ Ï Ó" 25,000 Η επένδυση ακόµη "και όταν όλα πάνε άσχηµα" είναι οικονοµικά συµφέρουσα. Αν αναλύαµε την κατάσταση ξεκινώντας από την φάση του ανεισµού έχουµε : 45

19 Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας 5,769 25, ,000 25,000 / (+0.30) "ÅÐÅÍ ÄÕÓÇ" "ÄÁÍ ÅÉÓÌ Ï Ó" 25,000 Τώρα προκύπτει οριακή απόδοση του επενδεδυµένου κεφαλαίου ίση µε 44%. Και πάλι η επένδυση είναι οικονοµικά συµφέρουσα. Ποιό θα ήταν το αποτέλεσµα αν το i* αντί 30% ήταν (α) 20%, (β) 50%, (γ) 200. Τα αποτελέσµατα θα ήταν (ξεκινώντας από την φάση της επένδυσης) : i* Προκύπτον επιτόκιο δανεισµού Απόφαση 20% 24% ΟΧΙ 50% 32% ΝΑΙ 200% 92% ΝΑΙ Παρατηρείστε ότι τα παραπάνω αποτελέσµατα είναι σύµφωνα και µε τα αντίστοιχα που προκύπτουν µε την εφαρµογή της µεθόδου της Παρούσας Αξίας, όπως φαίνεται και από το προφίλ του χρηµατοχρονοδιαγράµµατος. Πράγµατι, PW για 20% = -528 PW για 30% = 438 PW για 50% =,556 PW για 200% =,556 Τελικά τί συµπέρασµα µπορεί να βγάλει κανείς διευρύνοντας τα αποτελέσµατα των παραδειγµάτων 8.5 & Εφόσον δεν υφίσταται i* (κόστος ευκαιρίας κεφαλαίου) το προφίλ του χρηµατοχρονοδιαγράµµατος δεν παρέχει χρήσιµες για την λύση του προβλήµατος πληροφορίες. Αυτό ισχύει γενικώτερα, δηλαδή και σε περιπτώσεις διαγραµµάτων µε µία αλλαγή προσήµου. Η οποιαδήποτε απόφαση θα στηριχθεί στις παρακάτω συγκρίσεις : Η επένδυση είναι οικονοµικά συµφέρουσα εφόσον : α. {Η οριακή απόδοση} {Αναµενόµενη ελάχιστη απόδοση} ή β. {Το προκύπτον επιτόκιο δανεισµού} {Μέγιστο επιτρεπόµενο απόδοση} 2. Εφόσον υπάρχει i* (κόστος ευκαιρίας κεφαλαίου) το προφίλ του διαγράµµατος αποτελεί οδηγό για τη λύση του προβλήµατος. Αν για λόγους απλοποίησης της παρουσίασης 46

20 Εσωτερικός Βαθµός Απόδοσης περιοριστούµε στην περίπτωση όπου υπάρχουν 2 λύσεις i και i 2 και σε αντιστοιχία µε τις παρακάτω δύο περιπτώσεις έχουµε : Η λύση είναι αποδεκτή εφόσον : 0 i* i και i 2 ι* PW (á) i i i 2 Η λύση είναι αποδεκτή εφόσον : i i* i 2 PW (â) i i 2 i 3. Σύµφωνα µε την παραπάνω θεώρηση παρατηρείτε ότι οι µέθοδοι της Παρούσης Αξίας και του ΕΒΑ συµφωνούν απόλυτα µεταξύ τους. Πάλι, λοιπόν, δεν τίθεται θέµα "υπεροχής" της µιας έναντι της άλλης. 9.2 Προβλήµατα 9. Υποστηρίζεται από πολλούς συγγραφείς ότι το ελάχιστο ζητούµενο προκειµένου µια επένδυση να είναι οικονοµικά συµφέρουσα είναι η Παρούσα Αξία της για i* = 0 να είναι θετική. Συµφωνείτε; Γιατί, γιατί όχι. 9.2 Να λυθεί το Παράδειγµα 5..2 µε την µέθοδο του ΕΒΑ. 9.3 Να λυθεί η 'Ασκηση 5.2 µε την µέθοδο του ΕΒΑ. 9.4 Να λυθεί η 'Ασκηση 8.6 µε την µέθοδο του ΕΒΑ. 47

21 Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας 9.5 Στα πλαίσια της σύναψης συµβολαίου ετήσιας συντήρησης ενός υπολογιστικού συστήµατος για τα επόµενα έξι χρόνια υπάρχουν δύο προτάσεις (µεταξύ τους τεχνικά ισοδύναµες). Αν το i* = 5% ποιά πρόταση θάπρεπε να επιλεγεί. Χρησιµοποιήσατε την µέθοδο του ΕΒΑ. (χιλιάδες δρχ.) Χρόνος ΠΡΟΤΑΣΗ Α ΠΡΟΤΑΣΗ Β Στα πλαίσια της χάραξης πολιτικής για την εξόρυξη κάποιου µετάλλου προτείνονται δύο λύσεις, Α και Β, για τα επόµενα 0 χρόνια (=ορίζοντας προγραµµατισµού). (εκατ. δρχ.) Χρόνος Α Β Χρησιµοποιείστε την µέθοδο του ΕΒΑ. Ποιά από τις δύο λύσεις θάπρεπε να επιλεγεί αν : () i* = 0%, (2) i* = 25%, (3) i* = 50%. 48

Εκτίµηση και Οµόλογα. Κεφάλαιο. 6.1 Εκτίµηση και Κόστος Ευκαιρίας Κεφαλαίου

Εκτίµηση και Οµόλογα. Κεφάλαιο. 6.1 Εκτίµηση και Κόστος Ευκαιρίας Κεφαλαίου 1. Κεφάλαιο 6 Εκτίµηση και Οµόλογα 6.1 Εκτίµηση και Κόστος Ευκαιρίας Κεφαλαίου Είναι καµιά φορά δύσκολο να εξηγήσει κανείς τι σηµαίνει παρούσα αξία σε κάποιον που δεν το έχει µελετήσει. Αλλά, όπως έχει

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Α.Α.Δράκος,Αναπλ.Καθηγητής Χρηµατοδοτικής Διοίκησης Δρ. Β. Γ. Μπαµπαλός, ΠΔ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΩΝ ΣΤΗ ΧΡΗΜΑΤΟΔΟΤΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ 1

Δρ. Α.Α.Δράκος,Αναπλ.Καθηγητής Χρηµατοδοτικής Διοίκησης Δρ. Β. Γ. Μπαµπαλός, ΠΔ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΩΝ ΣΤΗ ΧΡΗΜΑΤΟΔΟΤΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ 1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Δρ. Α.Α.Δράκος,Αναπλ.Καθηγητής Χρηµατοδοτικής Διοίκησης Δρ. Β. Γ. Μπαµπαλός, ΠΔ 407 2016-2017 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΩΝ ΣΤΗ ΧΡΗΜΑΤΟΔΟΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγός Οικονοµικής Ανάλυσης: Οικονοµική Αξιολόγηση των Επιλογών Καθαρότερης Παραγωγής

Οδηγός Οικονοµικής Ανάλυσης: Οικονοµική Αξιολόγηση των Επιλογών Καθαρότερης Παραγωγής Οδηγός Οικονοµικής Ανάλυσης: Οικονοµική Αξιολόγηση των Επιλογών Καθαρότερης Παραγωγής. Τι Προσφέρει ο Οδηγός; Καθοδήγηση σχετικά µε την οικονοµική ανάλυση των επιλογών καθαρότερης παραγωγής o Εισαγωγή:

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρµογή στην αξιολόγηση επενδύσεων

Εφαρµογή στην αξιολόγηση επενδύσεων Εφαρµογή στην αξιολόγηση επενδύσεων Τα απλούστερα κριτήρια PV IRR Επένδυση: είναι µια χρηµατοροή σε περιοδικά σηµεία του χρόνου t,,,,ν, που εµφανίζονται ποσά Χ,Χ,,Χ Ν, που είναι µη αρνητικά Χ,,, Ν, κατά

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Αξιολόγηση Επενδύσεων. Διάλεξη 3 Μέθοδοι Αξιολόγησης Επενδύσεων Δράκος και Καραθανάσης, Κεφ 3 και Κεφ 4

Αξιολόγηση Επενδύσεων. Διάλεξη 3 Μέθοδοι Αξιολόγησης Επενδύσεων Δράκος και Καραθανάσης, Κεφ 3 και Κεφ 4 Αξιολόγηση Επενδύσεων Διάλεξη 3 Μέθοδοι Αξιολόγησης Επενδύσεων Δράκος και Καραθανάσης, Κεφ 3 και Κεφ 4 1 Περίγραμμα Διάλεξης Η Καθαρή Παρούσα Αξία (ΚΠΑ) Ο Εσωτερικός Βαθμός Απόδοσης (ΕΒΑ) Ο Χρόνος Επανείσπραξης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α: ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΚΙΝ ΥΝΟΥ ΚΑΙ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ

ΜΕΡΟΣ Α: ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΚΙΝ ΥΝΟΥ ΚΑΙ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Α: ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΚΙΝ ΥΝΟΥ ΚΑΙ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ Κεφάλαιο 1: Το θεωρητικό υπόβαθρο της διαδικασίας λήψεως αποφάσεων και η χρονική αξία του χρήµατος Κεφάλαιο 2: Η καθαρή παρούσα αξία ως κριτήριο επενδυτικών

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΑΞΕΙΣ Εισαγωγική εισήγηση Νο1

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΑΞΕΙΣ Εισαγωγική εισήγηση Νο1 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΑΞΕΙΣ Εισαγωγική εισήγηση Νο1 ΒΑΣΙΚΑ ΒΗΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ Είναι η επένδυση συμφέρουσα; Ποιός είναι ο πραγματικός χρόνος αποπληρωμής της επένδυσης; Κατά πόσο επηρεάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ Ε.ΜΙΧΑΗΛΙΔΟΥ - 1 ΤΟΜΟΣ Β ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ Ε.ΜΙΧΑΗΛΙΔΟΥ - 1 ΤΟΜΟΣ Β ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ Ε.ΜΙΧΑΗΛΙΔΟΥ - 1 ΤΟΜΟΣ Β ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ Κεφάλαιο 1 Η ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ Επιτόκιο: είναι η αμοιβή του κεφαλαίου για κάθε μονάδα χρόνου

Διαβάστε περισσότερα

Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1)

Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1) Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1) Το εσωτερικό ποσοστό απόδοσης (internal rate of return) ως κριτήριο αξιολόγησης επενδύσεων Προβλήµατα προκύπτουν όταν υπάρχουν επενδυτικές ευκαιρίες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6ο ΠΡΟΫΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6ο ΠΡΟΫΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6ο ΠΡΟΫΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Όταν μια επιχείρηση εξετάζει την περίπτωση ανάληψης ενός επενδυτικού προγράμματος, θα πρέπει να πάρει δύο ειδών αποφάσεις. Η πρώτη απόφαση αναφέρεται στα

Διαβάστε περισσότερα

( p) (1) (2) ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Α.Α.Δράκος

( p) (1) (2) ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Α.Α.Δράκος ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΑ ΣΤΗ ΧΡΗΜΑΤΟΔΟΤΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ Δράκος 4-5 4.) ΠΛΗΘΩΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΙΝΔΥΝΟΣ ΣΤΗΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ 4.. ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Σπουδών: Διοίκηση Επιχειρήσεων & Οργανισμών Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ 41 Αγορές Χρήματος & Κεφαλαίου. Ακαδημαϊκό έτος:

Πρόγραμμα Σπουδών: Διοίκηση Επιχειρήσεων & Οργανισμών Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ 41 Αγορές Χρήματος & Κεφαλαίου. Ακαδημαϊκό έτος: Πρόγραμμα Σπουδών: Διοίκηση Επιχειρήσεων & Οργανισμών Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ 41 Αγορές Χρήματος & Κεφαλαίου Ακαδημαϊκό έτος: 2017 2018 Ασκήσεις 3 ης ΟΣΣ Άσκηση 1 η. Έστω οι προσδοκώμενες αποδόσεις και ο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση. ( µον.). Έστω z ο µιγαδικός αριθµός z i, µε, R. (α) ίνεται η εξίσωση: z

Διαβάστε περισσότερα

α) Η γενική εξίσωση του αρµονικού κύµατος είναι. Συγκρίνοντάς την µε µία από τις δύο εξισώσεις των τρεχόντων κυµάτων, έστω την εξίσωση

α) Η γενική εξίσωση του αρµονικού κύµατος είναι. Συγκρίνοντάς την µε µία από τις δύο εξισώσεις των τρεχόντων κυµάτων, έστω την εξίσωση Λύση ΑΣΚΗΣΗ 1 α) Η γενική εξίσωση του αρµονικού κύµατος είναι. Συγκρίνοντάς την µε µία από τις δύο εξισώσεις των τρεχόντων κυµάτων, έστω την εξίσωση, προκύπτει: και Με αντικατάσταση στη θεµελιώδη εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Άσκηση 1. Έστω ότι η συνάρτηση f: R R είναι γνησίως αύξουσα στο R και η γραφική της παράσταση τέµνει τον άξονα y y στο. Να λύσετε την ανίσωση: f(x 9)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ:

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ: ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ: Ιανουάριος-Φεβρουάριος 7 ΜΑΘΗΜΑ: Αριθµητική Ανάλυση ΕΞΑΜΗΝΟ: ο Ι ΑΣΚΩΝ: Ε Κοφίδης Όλα τα ερωτήµατα είναι ισοδύναµα Καλή επιτυχία! Θέµα ο α Χρησιµοποιείστε

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Για ποιες τιµές του, αν υπάρχουν, ισχύει κάθε µία από τις ισότητες α. log = log( ) β. log = log γ. log 4 log = Να λυθεί η εξίσωση 4 log ( ) + = 0 6 α) Θα πρέπει > 0 και > 0,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2017 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3

ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2017 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2017 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΜΑΝΑΤΖΜΕΝΤ ΕΠΕΝΔΥΤΙΚΕΣ ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΧΡΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΤΟΚΙΟ ΠΛΗΘΩΡΙΣΜΟΣ ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ ΔΑΝΕΙΑ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΒΑΣΙΚΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΤΩΝ ΜΕΘΟΔΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Πληθωρισµός. Κεφάλαιο. 11.1 Γενικά

Πληθωρισµός. Κεφάλαιο. 11.1 Γενικά 1. Κεφάλαιο 11 Πληθωρισµός 11.1 Γενικά Ο πληθωρισµός (inflation) εκφράζει την αύξηση των τιµών, ενώ αντίθετα ο αντιπληθωρισµός τη µείωση. Έτσι για παράδειγµα λέγοντας 2% αύξηση του πληθωρισµού το µήνα

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

2.4 ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ . ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Κλασµατική εξίσωση : Ονοµάζουµε κλασµατική εξίσωση κάθε εξίσωση η οποία έχει τον άγνωστο σ έναν τουλάχιστον παρονοµαστή. ΣΧΟΛΙΟ ιαδικασία επίλυσης : i) Αναλύουµε τους παρονοµαστές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΕΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΕΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΙΟΙΚΗΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΕΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ ιδάσκων:

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ . Η ΕΝΝΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση πρώτου βαθµού µε αγνώστους και νοµάζεται κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ. Άγνωστοι είναι το και το. Τα α, β και γ λέγοντα συντελεστές. Ειδικότερα το γ

Διαβάστε περισσότερα

3. Η παρακάτω συνάρτηση παραγωγής παρουσιάζει φθίνουσες, σταθερές, ή αύξουσες οικονοµίες κλίµακας; παραγωγής παρουσιάζει σταθερές αποδόσεις κλίµακας.

3. Η παρακάτω συνάρτηση παραγωγής παρουσιάζει φθίνουσες, σταθερές, ή αύξουσες οικονοµίες κλίµακας; παραγωγής παρουσιάζει σταθερές αποδόσεις κλίµακας. 1. Μια επιχείρηση έχει συνάρτηση παραγωγής την f(k,l), όπου Κ είναι οι µονάδες κεφαλαίου και L είναι οι µονάδες εργασίας που χρησιµοποιεί. Αν ξέρουµε ότι το οριακό προϊόν της εργασίας είναι θετικό, αλλά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Η τεχνική της Καθαρής Παρούσας Αξίας ( Net Present Value)

Η τεχνική της Καθαρής Παρούσας Αξίας ( Net Present Value) Η τεχνική της Καθαρής Παρούσας Αξίας ( Net Present Value) Σύμφωνα με αυτή την τεχνική θα πρέπει να επιλέγουμε επενδυτικά σχέδια τα οποία έχουν Καθαρή Παρούσα Αξία μεγαλύτερη του μηδενός. Συγκεκριμένα δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.

Διαβάστε περισσότερα

Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης

Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης 1. Για να υπολογίσουµε µια ποσότητα q = x 2 y xy 2, µετρήσαµε τα µεγέθη x και y και βρήκαµε x = 3.0 ± 0.1και y = 2.0 ± 0.1. Να βρεθεί η ποσότητα q και η αβεβαιότητά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

Αξιολόγηση Επενδύσεων ιαχρονική Αξία Χρήµατος

Αξιολόγηση Επενδύσεων ιαχρονική Αξία Χρήµατος Αξιολόγηση Επενδύσεων ιαχρονική Αξία Χρήµατος Βασικά Σηµεία ιάλεξης Ορισµός Επένδυσης Μελλοντική Αξία Επένδυσης Παρούσα Αξία Επένδυσης Αξιολόγηση Επενδυτικών Έργων Ορθολογικά Κριτήρια Μέθοδος της Καθαρής

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ 31 1 η γραπτή εργασία Τελική έκδοση με παρατηρήσεις

ΔΕΟ 31 1 η γραπτή εργασία Τελική έκδοση με παρατηρήσεις ΔΕΟ 31 1 η γραπτή εργασία 2013-14 - Τελική έκδοση με παρατηρήσεις ΠΡΟΣΟΧΗ! Αποτελεί υποδειγματική λύση. απάντηση! 1 Μελετήστε τη λύση και δώστε τη δική σας ΘΕΜΑ 1 Ο Επένδυση Α Για την επένδυση Α γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

6. Οικονοµική Αξιολόγηση Ενεργειακών Επενδύσεων

6. Οικονοµική Αξιολόγηση Ενεργειακών Επενδύσεων ιαχείριση Ενέργειας και Περιβαλλοντική Πολιτική 6. Οικονοµική Αξιολόγηση Ενεργειακών Επενδύσεων Καθηγητής Ιωάννης Ψαρράς Εργαστήριο Συστηµάτων Αποφάσεων & ιοίκησης Γρ. 0.2.7. Ισόγειο Σχολής Ηλεκτρολόγων

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβλίου αθηµατικών Προσαναταλισµού Β Λυκείου. Η έννοια του διανύσµατος. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Οκτωβρίου 00) Η Εργασία χωρίζεται σε µέρη: Το πρώτο Ασκήσεις - περιλαµβάνει

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1. Να διερευνήσετε την εξίσωση. Ισχύει: Διακρίνουμε τώρα τις περιπτώσεις: Αν τότε: ΘΕΩΡΙΑ Απάντηση Επομένως, αν η εξίσωση έχει ακριβώς μία λύση, την. Αν, τότε η εξίσωση γίνεται,

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0 Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με, y V και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

15 εκεµβρίου εκεµβρίου / 64

15 εκεµβρίου εκεµβρίου / 64 15 εκεµβρίου 016 15 εκεµβρίου 016 1 / 64 Αριθµητική Ολοκλήρωση Κλειστοί τύποι αριθµητικής ολοκλήρωσης Εστω I(f) = b µε f(x) C[a, b], τότε I(f) = F(b) F(a), όπου F(x) είναι το αόριστο ολοκλήρωµα της f(x).

Διαβάστε περισσότερα

Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις

Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Από την Θεωρία Θνησιµότητας Συνάρτηση Επιβίωσης : Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Η s() δίνει την πιθανότητα άτοµο ηλικίας µηδέν, ζήσει πέραν της ηλικίας. όταν s() s( ) όταν o

Διαβάστε περισσότερα

Έτος 1 Έτος 2 Έτος 3 Έτος 4 Έτος 5 Εισπράξεις 270.000 300.000 350.000 500.000 580.000

Έτος 1 Έτος 2 Έτος 3 Έτος 4 Έτος 5 Εισπράξεις 270.000 300.000 350.000 500.000 580.000 Θέμα 1 0 Η εταιρία ΑΒΓ σχεδιάζει να επενδύσει σήμερα (στο έτος 0), σε ένα έργο το οποίο θα έχει αρχικό κόστος 00.000, διάρκεια ζωής 5 έτη και αναμένεται να δώσει τις ακόλουθες εισπράξεις: Έτος 1 Έτος 2

Διαβάστε περισσότερα

Τι ενδιαφέρει τον ιδιώτη

Τι ενδιαφέρει τον ιδιώτη ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΠΜΣ «Επιστήµη και Τεχνολογία Υδατικών Πόρων» Οικονοµικά του Περιβάλλοντος και των Υδατικών Πόρων Αξιολόγηση επενδύσεων Τι ενδιαφέρει τον ιδιώτη Πόσα χρήµατα θα επενδύσω; Πότε

Διαβάστε περισσότερα

Εσωτερικός βαθμός απόδοσης

Εσωτερικός βαθμός απόδοσης Εσωτερικός βαθμός απόδοσης Διεθνώς ονομάζεται internal rate of return, και συμβολίζεται με IRR. Με τη μέθοδο αυτή δεν χρησιμοποιούμε επιτόκιο υπολογισμού της αξίας της επένδυσης, αλλά υπολογίζουμε το επιτόκιο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

Thanasis Xenos ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΗΜΑΘΙΑΣ

Thanasis Xenos ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΗΜΑΘΙΑΣ thanasisenos@yahoo.gr Thanasis Xenos )Αν µια συνάρτηση f είναι, τότε είναι γνησίως µονότονη; Η πρόταση δεν αληθεύει, διότι για παράδειγµα η συνάρτηση, f ( ) = είναι - και δεν είναι γνησίως µονότονη., >

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο xο. 0, τότε

Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο xο. 0, τότε Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο ο Ιδιότητες των ορίων Όριο και διάταξη ΘΕΩΡΗΜΑ ο Αν f >, τότε f > κοντά στο Αν f

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

2 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ και. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8

2 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ και. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8 5 και Ρ(Β) = Ρ(Α ). Αν τα Α, Β είναι ασυµβίβαστα, να εξετάσετε αν είναι ασυµβίβαστα και τα Α, Β 5 i είξτε ότι Ρ(Α Β)=

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ 1 4. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1. Η γενική µορφή του τριωνύµου µε µεταβλητή x R i) α x + βx + γ, α 0 ii) β α x + α 4α, α 0. Ειδικές µορφές του τριωνύµου Όταν > 0 τότε α x + βx + γ α(x x 1 )(x x ), όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Πρόβληµα µεταφοράς Η ανάπτυξη και διαµόρφωση του προβλήµατος µεταφοράς αναπτύσσεται στις σελίδες 40-45 του βιβλίου των

Διαβάστε περισσότερα

1. ** α) Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι. β α. = [f (x) ηµx] - [f (x) συνx] β α. ( )

1. ** α) Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι. β α. = [f (x) ηµx] - [f (x) συνx] β α. ( ) Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** α) Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι β ( f () f () ) + α ηµ d β α = [f () ηµ] - [f () συν] β α. ( ) β) Αν f () = ηµ, να αποδείξετε ότι f () + f ()

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ ο 2.5 µονάδες ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις 2 Σεπτεµβρίου 2005 5:00-8:00 Σχεδιάστε έναν αισθητήρα ercetro

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ ΠΟΥ ΕΠΗΡΕΑΖΟΥΝ ΤΙΣ ΤΙΜΕΣ ΤΩΝ ΙΚΑΙΩΜΑΤΩΝ ΠΡΟΑΙΡΕΣΗΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ARBITRAGE

ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ ΠΟΥ ΕΠΗΡΕΑΖΟΥΝ ΤΙΣ ΤΙΜΕΣ ΤΩΝ ΙΚΑΙΩΜΑΤΩΝ ΠΡΟΑΙΡΕΣΗΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ARBITRAGE ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ ΠΟΥ ΕΠΗΡΕΑΖΟΥΝ ΤΙΣ ΤΙΜΕΣ ΤΩΝ ΙΚΑΙΩΜΑΤΩΝ ΠΡΟΑΙΡΕΣΗΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ARBITRAGE 8.1. Γενικά Εδώ εξετάζουµε τους παράγοντες που επηρεάζουν τις τιµές των δικαιωµάτων προαίρεσης. Όπως θα δούµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Λυγάτσικας Ζήνων Πειραµατικό Γενικό Λύκειο Βαρβακείου Σχολής 6 Ιανουαρίου 013 1 Ασκήσεις 1.1 Ασκήσεις Επανάληψης 1. είξτε ότι : ηµ x + 3συν y 5.. Να αποδείξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31.

4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. Οι µηνιαίες αποδοχές, σε, ν υπαλλήλων είναι x, x,, x ν και αυτές αποτελούν οµοιογενές δείγµα µε µέση τιµή 000. Αν το 8% έχει µισθό Α, το 6% Β και οι υπόλοιποι Γ : Να βρείτε το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΧΡΗΣΕΩΝ ΓΗΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΧΡΗΣΕΩΝ ΓΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΧΡΗΣΕΩΝ ΓΗΣ Όταν εξετάζουµε µία συγκεκριµένη αγορά, πχ. την αστική αγορά εργασίας, η ανάλυση αυτή ονοµάζεται µερικής ισορροπίας. Όταν η ανάλυση µας περιλαµβάνει

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι Αξιολόγησης Επενδύσεων:

Μέθοδοι Αξιολόγησης Επενδύσεων: TΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΠΑΡΑ ΟΣΕΙΣ V. Βασικές Μέθοδοι Αξιολόγησης Επενδύσεων. ιδάσκων, Μακρυγιωργάκης Μάριος BSc, ΜΒΑ, MSc, PhD-c. Μέθοδοι Αξιολόγησης Επενδύσεων: Οι επενδυτικές αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Α.Α.Δράκος,Αναπλ.Καθηγητής Χρηµατοδοτικής Διοίκησης Δρ. Β. Γ. Μπαµπαλός, ΠΔ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΩΝ ΣΤΗ ΧΡΗΜΑΤΟΔΟΤΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ 1

Δρ. Α.Α.Δράκος,Αναπλ.Καθηγητής Χρηµατοδοτικής Διοίκησης Δρ. Β. Γ. Μπαµπαλός, ΠΔ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΩΝ ΣΤΗ ΧΡΗΜΑΤΟΔΟΤΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ 1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Δρ. Α.Α.Δράκος,Αναπλ.Καθηγητής Χρηµατοδοτικής Διοίκησης Δρ. Β. Γ. Μπαµπαλός, ΠΔ 47 216-217 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΩΝ ΣΤΗ ΧΡΗΜΑΤΟΔΟΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Ο Ι ΚΟ Ν Ο Μ Ι Κ Α / Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Ο Ι ΚΟ Ν Ο Μ Ι Κ Α / Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ο Ι ΚΟ Ν Ο Μ Ι Κ Α / Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ χ ε τ ι κ ά μ ε τ ι ς ε κ τ ι μ ή σ ε ι ς - σ υ ν ο π τ ι κ ά Σεμινάριο Εκτιμήσεων Ακίνητης Περιουσίας, ΣΠΜΕ, 2018 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σ Χ Ε Τ Ι Κ Α Μ Ε Τ Ι Σ Ε Κ Τ Ι Μ

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακά Μαθηματικά (1)

Επιχειρησιακά Μαθηματικά (1) Τηλ:10.93.4.450 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Α Επιχειρησιακά Μαθηματικά (1) ΑΘΗΝΑ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 01 Τηλ:10.93.4.450 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής Ορισμός : Συνάρτηση f μιας πραγματικής

Διαβάστε περισσότερα

3.3 ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ

3.3 ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ . ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Μέθοδοι επίλυσης : Οι βασικές µέθοδοι αλγεβρικής επίλυσης ενός γραµµικού συστήµατος δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους είναι δύο η µέθοδος της αντικατάστασης

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα (1 ο σετ) Διανυσματικοί Χώροι

Παραδείγματα (1 ο σετ) Διανυσματικοί Χώροι Παραδείγματα ( ο σετ) Διανυσματικοί Χώροι Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με y, V και του πολλαπλασιασμού:

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟ 2 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟ 2 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟ 2 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Έστω συνάρτηση ζήτησης με τύπο Q = 200 4P. Να βρείτε: α) Την ελαστικότητα ως προς την τιμή όταν η τιμή αυξάνεται από 10 σε 12. 1ος τρόπος Αν P 0 10 τότε Q 0 200 410

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 25 Μαΐου 2010 ΕΚΠΑ

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 25 Μαΐου 2010 ΕΚΠΑ Αριθµητική Ανάλυση Κεφάλαιο 9. Αριθµητική Ολοκλήρωση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 5 Μαΐου 010 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι)

Διαβάστε περισσότερα

4. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ I

4. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ I Χρηματοοικονομική Διοίκηση I 4. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ I 1 Είδη Επενδύσεων Χρηματιστηριακές και Επενδύσεις Παγίων Είναι κάθε τοποθέτηση διαθεσίμων κεφαλαίων σε ενεργητικά στοιχεία μακράς χρονικής

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 15 Μαΐου 2013 Ασκηση 1. Εστω n 3 ακέραιος.

Διαβάστε περισσότερα

Ετήσια Αξία (Annual Worth)

Ετήσια Αξία (Annual Worth) 1. Κεφάλαιο 7 Ετήσια Αξία (Annual Worth) 7.1 Εισαγωγή Η µέθοδος της ετήσιας αξίας έχει το µεγάλο πλεονέκτηµα να γίνεται αµέσως κατανοητή µε µια απλή ανάγνωση από απλό κόσµο. Απλά σηµαίνει ετήσιο κέρδος

Διαβάστε περισσότερα

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone Hµέθοδος Stepping Stoneείναι µία επαναληπτική διαδικασία για τον προσδιορισµό της βέλτιστης λύσης σε ένα πρόβληµα µεταφοράς.

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογίες παρεµβολής σε DTM.

Μεθοδολογίες παρεµβολής σε DTM. Μάθηµα : Αλγοριθµικές Βάσεις στη Γεωπληροφορική ιδάσκων : Συµεών Κατσουγιαννόπουλος Μεθοδολογίες παρεµβολής σε DTM.. Μέθοδοι παρεµβολής. Η παρεµβολή σε ψηφιακό µοντέλο εδάφους (DTM) είναι η διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

Αξιολόγηση Επενδυτικών Σχεδίων

Αξιολόγηση Επενδυτικών Σχεδίων Αξιολόγηση Επενδυτικών Σχεδίων Ενότητα 3: Κριτήρια Αξιολόγησης Επενδύσεων Δ. Δαμίγος Μ. Μενεγάκη Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο Μέσο Σταθµισµένο Κόστος Κεφαλαίου (WACC), Ελεύθερες Ταµειακές Ροές (FCF) και Αποτίµηση (Valuation)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο Μέσο Σταθµισµένο Κόστος Κεφαλαίου (WACC), Ελεύθερες Ταµειακές Ροές (FCF) και Αποτίµηση (Valuation) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο Μέσο Σταθµισµένο Κόστος Κεφαλαίου (WACC), Ελεύθερες Ταµειακές Ροές (FCF) και Αποτίµηση (Valuation) 9.1. Εισαγωγή Μέχρι τώρα αναφερθήκαµε στο κόστος κεφαλαίου µε τη γενικότερη µορφή του και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ολοκλήρωση

Αριθµητική Ολοκλήρωση Κεφάλαιο 5 Αριθµητική Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή Για τη συντριπτική πλειοψηφία των συναρτήσεων f (x) δεν υπάρχουν ή είναι πολύ δύσχρηστοι οι τύποι της αντιπαραγώγου της f (x), δηλαδή της F(x) η οποία ικανοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ - ΤΟΜΕΑΣ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ: Οικονομική Ανάλυση Βιομηχανικών Αποφάσεων

ΣΧΟΛΗ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ - ΤΟΜΕΑΣ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ: Οικονομική Ανάλυση Βιομηχανικών Αποφάσεων 25-9-2012 ΣΧΟΛΗ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ - ΤΟΜΕΑΣ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ: Οικονομική Ανάλυση Βιομηχανικών Αποφάσεων Θέμα 1: Προσδιορίστε ποιές από τις παρακάτω διατυπώσεις είναι σωστές (Σ) ή τεκμηριώνοντας με σαφήνεια την

Διαβάστε περισσότερα

, όταν ο χρόνος αντιστοιχεί σε ακέραιες περιόδους

, όταν ο χρόνος αντιστοιχεί σε ακέραιες περιόδους Τμήμα Διεθνούς Εμπορίου Οικονομικά Μαθηματικά Καλογηράτου Ζ. Μονοβασίλης Θ. ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ 4.. Εισαγωγή Στον σύνθετο τόκο (ή ανατοκισμό), στο τέλος κάθε περιόδου, ο τόκος και το κεφάλαιο αθροίζονται και το

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΑΜΕΙΑΚΩΝ ΡΟΩΝ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΑΜΕΙΑΚΩΝ ΡΟΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΑΜΕΙΑΚΩΝ ΡΟΩΝ 1 ΚΑΘΑΡΗ ΤΑΜΕΙΑΚΗ ΡΟΗ Καθαρή Ταμειακή Ροή: Η διαφορά μεταξύ της ταμειακής εισροής και της ταμειακής εκροής που απορρέει από μια επενδυτική πρόταση. Το βασικό χαρακτηριστικό της ΚΤΡ

Διαβάστε περισσότερα

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας 7 Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας Συζευγµένες ταλαντώσεις Βιβλιογραφία F S Crawford Jr Κυµατική (Σειρά Μαθηµάτων Φυσικής Berkeley, Τόµος 3 Αθήνα 979) Κεφ H J Pai Φυσική των ταλαντώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ όπου α + β 0 ( α, β όχι συγχρόνως 0) παριστάνει ευθεία. (Η εξίσωση λέγεται : ΓΡΑΜΜΙΚΗ) ΕΙ ΙΚΑ γ Αν α = 0 και β 0έχουµε =. ηλαδή µορφή = c.

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 5 Προσέγγιση Συναρτήσεων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών,

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 5 Προσέγγιση Συναρτήσεων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Αριθµητική Ανάλυση Ενότητα 5 Προσέγγιση Συναρτήσεων Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 1 / 55 Παρεµβολή Ας υποθέσουµε ότι δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

α έχει μοναδική λύση την x α

α έχει μοναδική λύση την x α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες είναι λάθος.. H εξίσωση ( α)( β) ( β)( γ) έχει τις ίδιες λύσεις με την εξίσωση α γ για οποιεσδήποτε τιμές των

Διαβάστε περισσότερα

Slide 8.1. ΤΕΙ Πειραιά Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Λογιστική και Χρηματοοικονομική. Δευτέρα 27 Ιανουαρίου & Τετάρτη 29 Ιανουαρίου

Slide 8.1. ΤΕΙ Πειραιά Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Λογιστική και Χρηματοοικονομική. Δευτέρα 27 Ιανουαρίου & Τετάρτη 29 Ιανουαρίου Slide 8.1 ΤΕΙ Πειραιά Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Λογιστική και Χρηματοοικονομική Δευτέρα 27 Ιανουαρίου & Τετάρτη 29 Ιανουαρίου Slide 8.2 Η μέθοδος λήψης αποφάσεων για αξιολόγηση επενδυτικών πλάνων Μετά το

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 10 Νοεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Να ϐρεθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 8 Ιουνίου 005 Από τα κάτωι Θέµατα καλείσε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Ζήτηση για Ασφάλιση. Πλήρη κάλυψη.

4.1 Ζήτηση για Ασφάλιση. Πλήρη κάλυψη. 4. Ζήτηση για Ασφάλιση. Πλήρη κάλυψη. Η αγορά ασφαλιστικών συµφωνιών είναι µία ιδιαίτερη περίπτωση αγοράς δικαιωµάτων. Αντικείµενο της αγοράς αυτής είναι να δώσει την ευκαιρία µεταβίβασης εισοδήµατος από

Διαβάστε περισσότερα

x - 1, x < 1 f(x) = x - x + 3, x

x - 1, x < 1 f(x) = x - x + 3, x Σελίδα από 4 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Του Αντώνη Κυριακόπουλου Εισαγωγή Στην εργασία αυτή παραθέτω χρήσιµες επισηµάνσεις στις βασικές έννοιες των πραγµατικών συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Α5. Όταν η ζήτηση για ένα αγαθό είναι ελαστική, τότε πιθανή αύξηση της τιµής του, θα οδηγήσει σε µείωση της καταναλωτικής δαπάνης για αυτό το αγαθό

Α5. Όταν η ζήτηση για ένα αγαθό είναι ελαστική, τότε πιθανή αύξηση της τιµής του, θα οδηγήσει σε µείωση της καταναλωτικής δαπάνης για αυτό το αγαθό ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΕΩΝ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 (για άριστα διαβασµένους) ΟΜΑ Α Α Να απαντήσετε στις επόµενες ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής A1. Σε γραµµική ΚΠ της µορφής Y =

Διαβάστε περισσότερα