ειναι η υπαρξη σημειων ευσταθειας (stationary points) που αναλυονται παρακατω. f ειναι παραγωγισιμη, τοτε η ( x)

Transcript

1 4 Κλασσικες Μεθοδοι Βελτιστοοιησης Στο κεφαλαιο αυτο αρουσιαζονται τα ροβληματα βελτιστοοιησης: () χωρις εριορισμους, () με εριορισμους ισοτητας, () με εριορισμους ανισοτητας, και (4) με Rewto-Rapso.. Προβλημα Χωρις Περιορισμους.. Ορισμος Το γενικο ροβλημα χωρις εριορισμους οριζεται ως εξης: mi οου οιαδηοτε γραμμικη ή μη γραμμικη συναρτηση. Αν η ειναι αραγωγισιμη, η ικανη και αναγκαια συνθηκη για την υαρξη ελαχιστου ροκυτει αο τη θεωρια του μαθηματικου λογισμου (calculus). Αναγκαια και ικανη συνθηκη για την υαρξη ελαχιστου ή μεγιστου της ειναι η υαρξη σημειων ευσταθειας (statioay poits) ου αναλυονται αρακατω... Παραγωγος Συναρτησης Ορισμος Η συναρτηση Α R ειναι αραγωγισιμη στο συνολο ΕC Α αν ειναι αραγωγισιμη σε καθε σημειο του συνολου Ε. Αν ΕΑ η ειναι αραγωγισιμη : με y Προταση Αν η συναρτηση : Α R με y ειναι αραγωγισιμη, τοτε η ειναι συνεχης. Παρατηρησεις Οταν η ειναι αραγωγισιμη στο τοτε υαρχει το οριο της κλισης στο σημειο και ειναι εερασμενος αριθμος. \\eps_sv\7-tua\-academia-emp\books\systems optimizatio\4-klassikes-metodoi\4-klassikes metodoi.doc //---9:5 ΠΜ/ΜΜ Μοναζουντας (ΕΜΠ) Σελιδα αο

2 , τοτε υαρχει το οριο της κλισης στο και μορει να ειναι ενας οοιοσδηοτε ραγματικος αριθμος, ή. Οταν η εχει αραγωγο στο Οταν η εχει αραγωγο στο, δεν σημαινει οτι οωσδηοτε ειναι αραγωγισιμη στο σημειο αυτο. Παραγωγισιμη ειναι μονον οταν το οριο της κλισης στο ειναι εερασμενος αριθμος. Συμερασμα Η συναρτηση ειναι αραγωγισιμη στο, οταν και μονον οταν το αρακατω οριο υαρχει και ειναι εερασμενος αριθμος ( ) lim 4.. Τοικο Μεγιστο και Ελαχιστο Προταση : Πρωτο Κριτηριο Υαρξης Ακροτατων Θεωρουμε την συναρτηση : Α R, ου ειναι συνεχης στο εσωτερικο σημειο του Α ε, ε, με ε > εκτος ισως αο και αραγωγισιμη σε καθε σημειο της εριοχης το.. αν ( ε ): ' και ( ε ): ', τοτε η, > αρουσιαζει τοικο μεγιστο στο., <. αν ( ε ): ' και ( ε ): ', τοτε η, > αρουσιαζει τοικο ελαχιστον στο. Παρατηρησεις, < Η ροηγουμενη ροταση δινει συνθηκες ικανες για την υαρξη τοικων ακροτατων. Το αντιστροφο δεν ισχυει. Για να ισχυει η ροηγουμενη ροταση, δεν ειναι ααραιτητο η να ειναι αραγωγισιμη στο. Παραδειγμα Να βρεθουν τα ακροτατα της συναρτησης 9 5 R Η ειναι συνεχης και αραγωγισιμη σε ολο το R και R, ' 8 σημεια ακροτατων θα αναζητηθουν μεταξυ των ριζων της αραγωγου.. Αρα τα \\eps_sv\7-tua\-academia-emp\books\systems optimizatio\4-klassikes-metodoi\4-klassikes metodoi.doc //---9:5 ΠΜ/ΜΜ Μοναζουντας (ΕΜΠ) Σελιδα αο

3 ' 8 ( 6) Οοτε ριζες της ' ειναι οι και 6. Εξεταζεται το ροσημο εκατερωθεν των ριζων (, ), ' > (,6), ' < και ( 6, ), ' > Εομενος για υαρχει τοικο μεγιστο το () 5 και για 6 τοικο ελαχιστο το () ' Παραδειγμα Να βρεθουν (αν υαρχουν) τα ακροτατα της συναρτησης Η ειναι συνεχης αραγωγισιμη με [,5] και ' [,5] Παρατηρειται οτι [,5] και ' > Συμφωνα με την αρατηρηση οτι αν η συναρτηση :[ α, β ] R ειναι αραγωγισιμη και αν η ' εχει σταθερο ροσημο τοτε τα α,β ειναι σημεια ακροτατων, το ειναι θεση τοικου ελαχιστου και το 5 θεση τοικου μεγιστου. Δηλαδη: () y mi και yma () 5 Προταση : Δευτερο Κριτηριο Υαρξης Ακροτατων Εστω η συναρτηση : Α R και σημειο εσωτερικο ενος διαστηματος I CΑ. Εστω εισης οτι η ειναι δυο φορες αραγωγισιμη στο Ι με δευτερη αραγωγο συνεχη στο και ' ενω ''( ). Τοτε : \\eps_sv\7-tua\-academia-emp\books\systems optimizatio\4-klassikes-metodoi\4-klassikes metodoi.doc //---9:5 ΠΜ/ΜΜ Μοναζουντας (ΕΜΠ) Σελιδα αο

4 . Αν ' > η. Αν ''( ) < η Παρατηρηση Οι συνθηκες ', ''( ) Παραδειγμα αρουσιαζει τοικο ελαχιστο στο. αρουσιαζει τοικο μεγιστο στο. δεν ειναι αναγκαιες για την υαρξη ακροτατου στο. Η συναρτηση 6 R αρουσιαζει στο ελαχιστο εφοσον R, λην ομως '() και ''() Παραδειγμα 4 Για την συναρτηση 9 4 R εχουμε R, ' 8 4 οοτε μοναδικες ριζες της ' ειναι οι και 4. Εειδη η ' ειναι αραγωγησιμη, 6 8 R, '' Παρατηρειται οτι η ' ειναι συνεχης στα σημεια,4 και '' '' () < ( 4) > Αρα το ειναι θεση τοικου μεγιστου και το 4 θεση τοικου ελαχιστου. Ειναι: yma () και ymi () Συνθηκες Ευσταθειας Ορισμος Η υαρξη συνθηκων ευσταθειας (statioay coditios) ειναι αναγκαια αλλα οχι ικανη για την υαρξη τοικου ελαχιστου μιας συναρτησης. Ευσταθη σημεια (statioay poits) ειναι εκεινα στα οοια η συναρτηση αοκτα ελαχιστο, μεγιστο ή καμη (ilectio). Αναγκαιες Συνθηκες Ευσταθειας Αναγκαια συνθηκη για να ειναι το σημειο η αραγωγος της [η κλιση της ευσταθες για την συναρτηση ειναι ] στο να ειναι ιση με μηδεν, ή \\eps_sv\7-tua\-academia-emp\books\systems optimizatio\4-klassikes-metodoi\4-klassikes metodoi.doc //---9:5 ΠΜ/ΜΜ Μοναζουντας (ΕΜΠ) Σελιδα 4 αο

5 \\eps_sv\7-tua\-academia-emp\books\systems optimizatio\4-klassikes-metodoi\4-klassikes metodoi.doc //---9:5 ΠΜ/ΜΜ Μοναζουντας (ΕΜΠ) Σελιδα 5 αο οου:. Εφοσον ισχυει (αληθευει) αυτο για μια θεση ελαχιστου, μεγιστου και καμης της συναρτησης, οι συνθηκες ειναι αναγκαιες αλλα οχι ικανες για την υαρξη ελαχιστου Ικανες Συνθηκες Ελαχιστου και Μεγιστου Ικανη συνθηκη για να αντιστοιχει το σημειο σε τοικο ελαχιστο της συναρτησης ειναι το συμμετρικο μητρωο Hess να ειναι θετικα ορισμενο: [ ] H Αναγκαια και ικανη συνθηκη για να ειναι το μητρωο Hess θετικα ορισμενο ειναι οι ελασσονες οριζουσες του H να ειναι θετικες (θεωρημα Sylveste). Αντιστοιχα, η ικανη συνθηκη για την υαρξη μεγιστου ειναι το μητρωο Hess να ειναι αρνητικα ορισμενο. Αναγκαια και ικανη συνθηκη για να ειναι το μητρωο Hess αρνητικα ορισμενο ειναι ολες οι εριττης ταξης ελασσονες οριζουσες να ειναι αρνητικες, ενω ολες οι αρτιας ταξης ελασσονες οριζουσες να ειναι θετικες. Παραδειγμα 5

6 Για την αναζητηση του ελαχιστου ισχυει mi ( ) ( ) ( ) και ( ) Τα ευσταθη σημεια (σημεια σταθεροτητας) ειναι εκεινα για τα οοια, δηλαδη τα και. Ειναι δε,, Εομενως το μητρωο Hess γραφεται: H,, Η ρωτη ελασσονα οριζουσα εχει την τιμη >, και η δευτερη την τιμη 4>. Συνεως το εχει ελαχιστο στο σημειο μητρωο Hess ειναι θετικα ορισμενο και η συναρτηση (, ). Οι αραανω αναγκαιες και ικανες συνθηκες ελαχιστου ή μεγιστου δεν ισχυουν για ροβληματα βελτιστοοιησης με εριορισμους. 4. Προβλημα με Περιορισμους Ισοτητας 4.. Ορισμος Το γενικο ροβλημα με εριορισμους ισοτητας οριζεται ως εξης: s.t.(subject to, με εριορισμους) mi g j j,,,m \\eps_sv\7-tua\-academia-emp\books\systems optimizatio\4-klassikes-metodoi\4-klassikes metodoi.doc //---9:5 ΠΜ/ΜΜ Μοναζουντας (ΕΜΠ) Σελιδα 6 αο

7 Η ειναι συνεχης και διαφορισιμη και οι g j, j,, m εχουν συνεχεις ρωτες αραγωγους. Η μαθηματικη εκφραση των αραανω ειναι: οου: C C C και C συνολο συνεχων συναρτησεων, και g j j,,,m συνολο συναρτησεων με συνεχη διαφορικα ρωτης ταξης.???? Αν το σετ των εριορισμων ειναι γραμμικο, δηλαδη τα g j,j,,,m ειναι γραμμικες συναρτησεις, τοτε οι συναρτησεις αυτες μορουν να τοοθετηθουν καταλληλα στην αντικειμενικη συναρτηση ωστε να ροκυψει ροβλημα βελτιστοοιησης χωρις εριορισμους. 4.. Συναρτηση Lagage Δυο Μεταβλητων Το ροβλημα μορφωνεται για δυο μεταβλητες, ως εξης: με: mi, s.t. (, ) ( ) b g, και g, C, C C : συνολο συνεχων συναρτησεων C :συνολο συναρτησεων με συνεχη διαφορικα ης ταξης Οι εριορισμοι μορουν να γραφουν ως εξης: g(, ) b Οριζουμε την συναρτηση L (Lagagia uctio) L (,, λ) (, ) λ[ g( ) b], οου λ ο ολλαλασιαστης Lagage (Lagage multiplie). Αν για τα g, b,, ισχυει \\eps_sv\7-tua\-academia-emp\books\systems optimizatio\4-klassikes-metodoi\4-klassikes metodoi.doc //---9:5 ΠΜ/ΜΜ Μοναζουντας (ΕΜΠ) Σελιδα 7 αο

8 τοτε: L,, λ, οου λ ο βελτιστος (optimal) ολλαλασιαστης Lagage. Αρα για τις τιμες τιμη της Lagagia L ειναι η ιδια με αυτη της αντικειμενικης. Αναγκαιες συνθηκες για ευσταθες σημειο της L ειναι: L (,, λ), η L L L λ ή αναλυτικοτερα: L g λ L g λ L g b λ Το ροβλημα ειναι ισοδυναμο με τρεις εξισωσεις με τρεις αγνωστους,, λ.η λυση του συστηματος αυτου μας δινει τα ευσταθη σημεια,, και το λ. Αν οι ικανες συνθηκες για miimum ικανοοιουνται, τοτε τα (, συναρτηση (, ). 4.. Συναρτηση Lagage Πολλων Μεταβλητων, λ ) καθιστουν ελαχιστη την Για το ακολουθο μη γραμμικο ροβλημα βελτιστοοιησης με εριορισμους ισοτητης: οου: (, ) mi,...,,..., s.t. b j g j, j,,,m X \\eps_sv\7-tua\-academia-emp\books\systems optimizatio\4-klassikes-metodoi\4-klassikes metodoi.doc //---9:5 ΠΜ/ΜΜ Μοναζουντας (ΕΜΠ) Σελιδα 8 αο

9 η συναρτηση Lagage γραφεται L C g j, j,,,m m j [ ] (, λ) λ; g, b j οου: (,,..., ) Τ λ, m ( λ, λ λ ) Αναγκαιες συνθηκες για ευσταθη σημεια της L L i ή m g j i λj j I,,, L λ κ ή λκ λ j ( g ) m j b j j λκ κ,,,m Παρατηρειται οτι: λ j λκ δκj οου: δ j κ για j κ για jk Παραδειγμα 6 Να εκτιμηθει η ακτινα και το υψος δεξαμενης νερου κλειστου κυλινδρικου σχηματος, με δοθεντα ογκο V, ωστε η ειφανεια της να ειναι η ελαχιστη δυνατη. Ειφανεια δεξαμενης: S Ογκος δεξαμενης: V Αντικειμενικη συναρτηση mi, {, } s.t. \\eps_sv\7-tua\-academia-emp\books\systems optimizatio\4-klassikes-metodoi\4-klassikes metodoi.doc //---9:5 ΠΜ/ΜΜ Μοναζουντας (ΕΜΠ) Σελιδα 9 αο

10 \\eps_sv\7-tua\-academia-emp\books\systems optimizatio\4-klassikes-metodoi\4-klassikes metodoi.doc //---9:5 ΠΜ/ΜΜ Μοναζουντας (ΕΜΠ) Σελιδα αο,, V g V g Συναρτηση Lagage L L [ ],,,, V V g λ λ λ Αναγκαιες συνθηκες για το ελαχιστο V L g L g L λ λ λ Αο αντικατασταση των αραανω αραγωγων g g Προκυτουν οι σχεσεις V V λ λ λ λ Αο την ειλυση του συστηματος ροκυτει λ 4 V V

11 V 4 V, V ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ LAGRANGE Η χρησιμοτητα της συναρτησης Lagage εγκειται τοσο στο γεγονος οτι ειτρεει την ταυτοχρονη βελτιστοοιηση της ικανοοιωντας τους εριορισμους g j b j, αλλα και στο οτι το αραανω ειτυγχανεται εφαρμοζοντας την συμβατικη μεθοδο υολογισμου ακροτατων στην συναρτηση Lagage. Δηλαδη, αφου μορφωσουμε την συναρτηση Lagage, ουσιαστικα δεν λαμβανουμε λεον υοψην τους εριορισμους ισοτητας ου υαρχουν στο ροβλημα και μορουμε να το ειλυσουμε με αλες μεθοδους διαφορικου λογισμου (calculus). Η μονη διαφορα βρισκεται στο οτι εχουμε ρος ειλυση j ειλεον εξισωσεις, μια για καθε ολλαλασιαστη Lagage, ου ροκυτουν αο τους j εριορισμους του ροβληματος. Στην ορολογια των οικονομικων ειστημων, ο ολλαλασιαστης Lagage ειναι γνωστος και ως "σκιωδης τιμη" (sadow pice) του εριορισμου. Ο χαρακτηρισμος αυτος οφειλεται σε μια ιδιοτητα του ολλ/στη Lagage ου δεν φαινεται με μια ρωτη ματια, αλλα δινει σημαντικοτατες ληροφοριες στον μελετητη του συστηματος σχετικα με την ευαισθησια των αοτελεσματων σε μεταβολες των δεδομενων του ροβληματος. Ποιο συγκεκριμενα, στο βελτιστο σημειο, ο ολλ/στης Lagage λ j ισουται με τον ρυθμο μεταβολης της βελτιστης αντικειμενικης συναρτησης καθως μεταβαλλεται ο εριορισμος b g. Πραγματι, αν θεωρησουμε την μερικη αραγωγο της συναρτησης Lagage j j θα εχουμε: L / b j λ j, για καθε j. Ομως στο βελτιστο σημειο ισχυει: L καθε j. και εομενως / b j L / b j λ j, για Εομενως, «η σκιωδης τιμη» εκφραζει την μεταβολη της βελτιστης αντικειμενικης συναρτησης για μοναδιαια μεταβολη του εριορισμου b j. Προκειται, ουσιαστικα, για εναν οσοτικο δεικτη, ου υοδεικνυει κατα οσον αξιζει τον κοο να ικανοοιηθει ενας εριορισμος κατα ως εχει. Ετσι, οι ολλαλασιαστες Lagage υοβοηθουν εναν μελετητη συστηματων (.χ. ενος δικτυου υδρευσης) να διακρινει κατα οσον οι εριορισμοι του συστηματος εχουν νοημα ή εαν η ικανοοιηση τους συνεαγεται δυσαναλογο κοστος, οοτε ειναι ροτιμοτερο ειτε να μην ληφθουν υοψην ειτε να μετατραουν αναλογα. 4. Προβλημα με Περιορισμους Ανισοτητας Οι γενικευμενοι ολλαλασιαστες Lagage (γνωστοι και σαν ολλαλασιαστες Ku- Tucke) χρησιμευουν στην ειλυση μη γραμμικων ροβληματων με εριορισμους ανισοτητας. Η γενικευμενη θεωρια Ku-Tucke μη γραμμικου ρογραμματισμου δεν αναλυεται στο τευχος αυτο. Δινεται μονο μια ρωτη εαφη με το ακολουθο ροβλημα. \\eps_sv\7-tua\-academia-emp\books\systems optimizatio\4-klassikes-metodoi\4-klassikes metodoi.doc //---9:5 ΠΜ/ΜΜ Μοναζουντας (ΕΜΠ) Σελιδα αο

12 ΚΛΑΣΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ mi, s.t. ( ) g, α (, ) Αο μετατροη της δευτερης ανισοτητας σε ισοτητα και εισαγωγη της μεταβλητης ου οριζεται ως α οι εριορισμοι γραφονται Η συναρτηση Lagage γραφεται: L (, ) b g b α ( λ λ ) λ [ ] λ,,,,, g, b α Αναγκαιες συνθηκες για ευσταθη σημεια ειναι L g λ λ L g λ L λ L g b L, α, λ ϑ λ ϑ Η τελευταια συνθηκη οδηγει στο διαχωρισμο δυο εριτωσεων για το λ ϑ Περιτωση : θ οοτε α Η λυση σε αυτη την εριτωση βρισκεται στο οριο και ο εριορισμος θεωρειται δεσμευτικος. Συχνα ενας δεσμευτικος εριορισμος δηλαδη α, θεωρειται ενεργος εριορισμος. Τοτε το λ δεν ειναι ααραιτητα ισο με το μηδεν. Σε αυτη την εριτωση ( λ ) και η τιμη της αντικειμενικης συναρτησης μορει να αυξηθει ή να μειωθει αλλαζοντας καταλληλα τον ροορισμο. Περιτωση : λ οοτε ϑ \\eps_sv\7-tua\-academia-emp\books\systems optimizatio\4-klassikes-metodoi\4-klassikes metodoi.doc //---9:5 ΠΜ/ΜΜ Μοναζουντας (ΕΜΠ) Σελιδα αο

13 Η λυση δεν βρισκεται στο οριο, δηλαδη ο εριορισμος δεν θεωρειται δεσμευτικος. Γενικως οι μη δεσμευτικοι εριορισμοι δεν εηρεαζουν την βελτιστη τιμη της αντικειμενικης συναρτησης. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7 Θεωρουμε το μαθηματικο ροβλημα: Maimize: g X X X X Subject to: ( ) ^ ( ) ^ 5 X 4 Μετατρεουμε τις ανισοτητες σε ισοτητες χρησομοοιωντας μεταβλητες αοκλισης (slack vaiables): Η συναρτηση Lagage θα ειναι: ( X ) ^ ( X ) ^ S^ 5 X S 4 ^ λ S 5 λ L 4 S Οι συνθηκες Ku-Tucke μας δινουν τις αρακατω σχεσεις: L ( ) λ λ () L ( ) λ () 5 () 4 (4) λ S λs (5) λ, λ (6) Η συνθηκη (5) ειναι η λεγομενη «συνθηκη συμληρωματικης αοκλισης» (complemetay slackess coditio). Αο αυτη την συνθηκη θα εχουμε: Αν 4 αο (4). Αντικαθιστωντας ομως στην () αιρνουμε > 5. ~ \\eps_sv\7-tua\-academia-emp\books\systems optimizatio\4-klassikes-metodoi\4-klassikes metodoi.doc //---9:5 ΠΜ/ΜΜ Μοναζουντας (ΕΜΠ) Σελιδα αο

14 Αρα αδυνατο. Εομενως S και λ Εισης θα ειναι λ ή S. Αο την σχεση () συμεραινουμε λ, εομενως S. Αο τις ρωτες δυο σχεσεις αιρνουμε λ ( ) ( ) ή Αντικαθιστωντας στην 5 με S αιρνουμε: ~ 5 5 Εομενως ή οοτε λ ή 4 λ / Ομως λ εομενως η μονη δυνατη βελτιστη λυση ειναι για λ 4 : λ,, 4 και g 4 ~ 4.4 Μεθοδος Newto-Rapso 4.4. Γενικα Η αραγραφος αυτη εριγραφει τη μεθοδο χειρισμου μη γραμμικων εξισωσεων και αοτελει μεθοδολογια ειλυσης ροβληματων μη γραμμικου ρογραμματισμου με συγχρονη γραμμικοοιηση του ροβληματος. Μια μεθοδος για την ειλυση Ν μη γραμμικων εξισωσεων με Μ αγνωστους ειναι η Newto-Rapso. Παρακατω γινεται ρωτα αναφορα στο μονοδιαστατο ροβλημα, δηλαδη στη ευρεση των ριζων μιας μη γραμμικης εξισωσης με ενα αγνωστο και στη συνεχεια αρουσιαζεται το γενικο ροβλημα. 4.. Μονοδιαστατο Προβλημα Το μονοδιαστατο ροβλημα οριζεται με την διαδοχικη αναζητηση λυσης της μη γραμμικης εξισωσης θεωρηθει μονοτονη-φθινουσα για ολα τα και κυρτη.αν η (δηλαδη '' > ) τοτε η ριζα της ειναι κοινη, δηλαδη '(). Το δεν ειναι σημειο ακροτατου. < [ µε > ] η την αρακατω γραμμικη συναρτηση του ου εριεχει την κλιση της Αν η αρχικη ροσεγγιση της ριζας με ροσεγγιζεται με.(αγνοουνται οι λοιοι μη γραμμικοι οροι της ανατυξης σε σειρα Taylo): στο σημειο \\eps_sv\7-tua\-academia-emp\books\systems optimizatio\4-klassikes-metodoi\4-klassikes metodoi.doc //---9:5 ΠΜ/ΜΜ Μοναζουντας (ΕΜΠ) Σελιδα 4 αο

15 ( ) ( ) ' Καλυτερη ροσεγγιση της ριζας αοκταται ειλυοντας την αραανω γραμμικη εξισωση ως ρος Ετσι αοκταται η δευτερη ροσεγγιση ( ) ( ) '( ) ( ) '( ) ( ) ( ) με '( ) '( ) Η διαδικασια εαναλαμβανεται αναλογα και ροκυτει ο εαναλητικος αλγοριθμος ( ) με '( ) ' ( ) οου ο δεικτης συμβολιζει την εαναληψη. Η γραφικη αρασταση της εαναλητικης διαδικασιας φαινεται στο Σχημα 4-. Παρατηρειται οτι αν η ροηγουμενη διαδικασια συγκλινει, τοτε συγκλινει τετραγωνικα. οου k ειναι ανεξαρτητο του. Παραδειγμα 7 Να βρεθει η τετραγωνικη ριζα του. K Το ροβλημα ειναι ισοδυναμο με την αναζητηση της λυσης της εξισωσης Εστω: Ο εαναλητικος αλγοριθμος δινει ή ( ) ' ( ) Αν αοτελει την ρωτη ροσεγγιση της λυσης τοτε: \\eps_sv\7-tua\-academia-emp\books\systems optimizatio\4-klassikes-metodoi\4-klassikes metodoi.doc //---9:5 ΠΜ/ΜΜ Μοναζουντας (ΕΜΠ) Σελιδα 5 αο

16 Παραδειγμα 8.44 () ( / ) ( / ) (Λυση) Να γινει γραφικος εντοισμος των λυσεων της εξισωσης e και να βρεθει ροσεγγιστικα με τη μεθοδο Newto-Rapso η θετικη λυση (Σχημα 4-) Εχουμε: Παραδειγμα 9 e '( ) e... e..74. e Να δοθει ο γραφικος εντοισμος των ραγματικων λυσεων της εντοιστει η θετικη λυση με τη μεθοδο Newto-Rapso. Δεχομεθα και να οοτε: ( ) Πολυδιαστατο Προβλημα \\eps_sv\7-tua\-academia-emp\books\systems optimizatio\4-klassikes-metodoi\4-klassikes metodoi.doc //---9:5 ΠΜ/ΜΜ Μοναζουντας (ΕΜΠ) Σελιδα 6 αο

17 \\eps_sv\7-tua\-academia-emp\books\systems optimizatio\4-klassikes-metodoi\4-klassikes metodoi.doc //---9:5 ΠΜ/ΜΜ Μοναζουντας (ΕΜΠ) Σελιδα 7 αο Στην αραγραφο αυτη δινεται ο εαναλητικος αλγοριθμος για τις ριζες συστηματος με Ν εξισωσεις και Ν αγνωστους,...,,...,,..., I,,,, ή σε διανυσματικη μορφη Αν η αρχικη ροσεγγιση, τοτε J οου J το Jacobia μητρωο εκτιμημενο για :... j J J J J J με J Οριζεται η ακολουθος εαναλητικη σχεση J οου J 4.5 Εφαρμογες

18 4.5. Εφαρμογη -Κατασκευη Δοχειου Δινεται λαμαρινα σχηματος τετραγωνου λευρας α. Να κατασκευαστει κουτι και να υολογιστει το μηκος της εγκοης ωστε ο ογκος του κουτιου να ειναι μεγιστος. και V υ υ ( a ) α ( α ) ( ) ( α ) 4( α ) 4.5. Εφαρμογη - Διαστασεις Πισινας με α 6 Να υολογιστουν οι διαστασεις ισινας ογκου V m και τετραγωνικου υθμενα, ωστε η ειφανεια ου θα εενδυθει με λακακια να ειναι ελαχιστη. Εαν οι διαστασεις του υθμενα και το υψος της ισινας τοτε ο ογκος της ειναι V m Η ειφανεια ου θα εενδυθει με λακακια, αοτελειται αο τον υθμενα και τις τεσσερις λευρες, ή Αρα Ε Ε ή Ε (μηκους υθμενα) 4.5. Εφαρμογη Συστημα Αφαλατωσης Νησιωτικο συγκροτημα αφαλατωσης μορει να αραγει οσιμο νερο μια φορα καθε μερες ( φορες το μηνα). Οι αναγκες για οσιμο νερο του νησιου ειναι 5 μοναδες στο τελος της ρωτης εριοδου, μοναδες στο τελος της δευτερης εριοδου και 5 μοναδες στο τελος της τριτης εριοδου. Το κοστος αραγωγης μοναδων ανα εριοδο ειναι. Ποσιμο νερο μορει να αραχθει σε διαφορες οσοτητες ανα εριοδο ετσι ωστε να καλυτονται και οι αναγκες των εομενων εριοδων, αλλα το κοστος αοταμιευσης σε δεξαμενη ειναι μοναδες κοστους (.χ. ECU) ανα μοναδα αραγωγης. Αν υοθεσουμε ως η δεξαμενη αδειαζει στο τελος του μηνα ( εριοδοι), να εκτιμηθουν οι μοναδες οσιμου νερου ου ρεει να αραγει το συστημα αφαλατωσης ανα εριοδο. Λυση \\eps_sv\7-tua\-academia-emp\books\systems optimizatio\4-klassikes-metodoi\4-klassikes metodoi.doc //---9:5 ΠΜ/ΜΜ Μοναζουντας (ΕΜΠ) Σελιδα 8 αο

19 Αν με,, η αραγωγη οσιμου νερου αντιστοιχα στις τρεις εριοδους τοτε το συνολικο κοστος θα ειναι ισο με το κοστος αραγωγης και το κοστος αοταμιευσης. Αναγκες Παραγωγη /κερδος Κοστος αοταμιευσης (Κ.Α.) ( ECU ) (Περισσεια) για καθε εριοδο Πρωτη εριοδος ΚΑ (εχω ριν αο το μηνα V ) Δευτερη εριοδος ΚΑ ( 5) (αραγωγη νερου) Τριτη εριοδος ΚΑ ( 5) Αντικειμενικη Συναρτηση (Συνολικο Κοστος ),, ( 5) ( 5) s. t 5 5, Το ροβλημα βελτιστοοιησης ειναι το (,, ) εριορισμους. mi,, με τους αραανω Πρωτος τροος ειλυσης του ροβληματος ειναι να αγνοηθουν οι ανισοτικοι εριορισμοι, να χρησιμοοιηθει η τεχνικη Lagage και στη συνεχεια να γινει ελεγχος λυσεων εαν ληρουν τους αραανω εριορισμους. Δηλαδη Συναρτηση Lagage L mi (, ) g, s.t,, λ ( 5) ( 5) λ( ), Αναγκαιες συνθηκες για ελαχιστο ειναι οι \\eps_sv\7-tua\-academia-emp\books\systems optimizatio\4-klassikes-metodoi\4-klassikes metodoi.doc //---9:5 ΠΜ/ΜΜ Μοναζουντας (ΕΜΠ) Σελιδα 9 αο

20 L λ 4 λ L λ λ L λ Λυση Συστηματος 66 4 λ λ λ 6 λ λ 9,, ECU8 Ο ελεγχος του αοτελεσματος για "ικανη συνθηκη" γινεται οταν με αντικατασταση των,, στους τελευταιους εριορισμους αρατηρειται οτι εξακολουθουν να ισχυουν, και εφοσον συνεχιζουν να ισχυουν και οι ρωτοι εριορισμοι η λυση ειναι ικανη και αναγκαια και κατ εεκταση η ορθη. Ο Δευτερος τροος ειλυσης κανει χρηση των slack μεταβλητων. Προσθετοντας ή αφαιροντας slack μεταβλητες (μεταβλητες αοκλισης ) στις ανισοτητες, δηλαδη τις, 4, 5 και 6 σχηματιζεται ρωτα η συναρτηση Lagage L με λ, λ,..., λ5 και στη συνεχεια γινεται υολογισμος των L / λ, L / λ,..., L / για την αναζητηση της λυσης ου ροκυτει ιδια με αυτη του ρωτου τροου. \\eps_sv\7-tua\-academia-emp\books\systems optimizatio\4-klassikes-metodoi\4-klassikes metodoi.doc //---9:5 ΠΜ/ΜΜ Μοναζουντας (ΕΜΠ) Σελιδα αο