Σώμα του Hilbert, Μιγαδικός Πολλαπλασιασμός και το Jugendtraum του Kronecker

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Σώμα του Hilbert, Μιγαδικός Πολλαπλασιασμός και το Jugendtraum του Kronecker"

Transcript

1 Σώμα του Hilbert, Μιγαδικός Πολλαπλασιασμός και το Jugendtraum του Kronecker Aλ ϵξανδρoς Γ. Γαλανάκης Επιβλέπων καθηγητής: Iωάννης A. Aντ ωνιάδης Πτυχιακή εργασία Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης, Ηράκλειο, Οκτώβριος 015

2 Ευχαριστίες Πριν από κάθε μαθηματική έννοια, απόδειξη και θεωρία που θα αναπτυχθεί σε αυτή την πτυχιακή εργασία είναι αναγκαίο να ευχαριστήσω κάποιους ανθρώπους, οι οποίοι κατά τη διάρκεια της συγγραφής της παρούσας πτυχιακής εργασίας, καθώς και εξ αρχής των σπουδών μου, στάθηκαν αρωγοί στην προσπάθεια αυτή. Έτσι, οφείλω να ευχαριστήσω την οικογένεια μου, τους γονείς μου Γιώργο και Μαριάνθη και την αδελφή μου Αγγελική, της οποίας η στήριξη και η συμπαράσταση είναι αρκετά σημαντική. Η υποστήριξη που έχω από τους γονείς μου δεν ήταν μόνο ψυχολογική, αλλά ήταν κυρίως πνευματική. Στα πρόσωπά τους δε βλέπω μονάχα του ανθρώπους που ακούν υπομονετικά οτιδήποτε επιθυμώ να μοιραστώ, αλλά και τους εκπαιδευτικούς στους οποίους αποδίδω το πάθος γι αυτό που έχω επιλέξει να κάνω. Ιδιαιτέρως, στη μητέρα μου οφείλω τα πρώτα βήματα στο γοητευτικό κόσμο των μαθηματικών, ήδη από την παιδική μου ηλικία. Έχοντας φοιτήσει για τέσσερα χρόνια ως προπτυχιακός φοιτητής στο Πανεπιστήμιο Κρήτης, έχω γνωρίσει αρκετούς επιστήμονες και δασκάλους, στους οποίους αξίζει μνεία, καθότι αυτοί διαμορφώνουν την μαθηματική, και γενικότερα την επιστημονική, προσωπικότητα των πνευματικών τους απογόνων. Έτσι, είναι αρκετά δύσκολο να προσδιορίσω πλήρως όλους όσους, έστω και με μία συμβουλή, με βοήθησαν έως εδώ. Για το λόγο αυτό, δε θα αναφερθώ συγκεκριμένα σε πρόσωπα. Μπορώ, όμως, να διακρίνω έναν άνθρωπο, του οποίου η συμβολή στη μέχρι τώρα ακαδημαϊκή ζωή υπήρξε, και συνεχίζει να είναι, κομβική. Πρόκειται για τον επιβλέποντα καθηγητή της παρούσας πτυχιακής εργασίας κ. Ιωάννη Αντωνιάδη, ο οποίος επανειλημμένα στάθηκε στο πλευρό μου, είτε ως επιστήμονας και έμπειρος ερευνητής, είτε ως άνθρωπος. Πέραν της μαθηματικής γνώσεως που απέκτησα και η οποία αποδίδεται στην εξαιρετική διδασκαλία του ανθρώπου αυτού, με την αρωγή του είχα την τύχη να φοιτήσω εκτός Ελλάδος και να γνωρίσω εξέχουσες προσωπικότητες της παγκόσμιας μαθηματικής διανόησης. Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω τον κ. Νίκο Τζανάκη και τον κ. Αριστείδη Κοντογεώργη ως μέλη της κριτικής επιτροπής της πτυχιακής αυτής εργασίας. Εκτιμώ και σέβομαι τον κ. Τζανάκη, καθότι εξαιρετικός δάσκαλος, αφοσιωμένος και καταξιωμένος ερευνητής. Από την άλλη, στον κ. Κοντογεώργη αναγνωρίζω τον υποδειγματικό ακαδημαϊκό, μιας και είναι νέος με διάθεση για δουλειά και πλούσιο ερευνητικό έργο. Αισθάνομαι τυχερός που στο μονοπάτι αυτό της γνώσης βρέθηκαν άτομα που βοήθησαν ουσιαστικά ώστε να συνεχίσω να το διάβα μου. Έτσι ως φοιτητής, αλλά κυρίως ως άνθρωπος, οφείλω να ευχαριστήσω τους ευεργέτες των προσπαθειών μου. Αλέξανδρος Γαλανάκης, ΤΜΕΜ, Πανεπιστήμιο Κρήτης. 1

3

4 Εισαγωγή Σκοπός της παρούσας πτυχιακής εργασίας είναι η επίλυση του Jugendtraum του Kronecker. Η λέξη Jugendtraum είναι η γερμανική μετάφραση του νεανικού ονείρου. Πράγματι, ο Kronecker σε γράμμα του προς τον Dedekind, χαρακτηρίζει ως νεανικό του όνειρο την εύρεση συναρτήσεων, των οποίων συγκεκριμένες τιμές θα μπορούσαν να παράγουν αβελιανές επεκτάσεις τυχόντων αλγεβρικών σωμάτων αριθμών. Όταν το σώμα που επιλέγουμε είναι το Q, η απάντηση στο πρόβλημα αυτό είναι το θεώρημα των Kronecker και Weber. Αυτό μας πληροφορεί ότι κάθε αβελιανή επέκταση του Q περιέχεται σε ένα κυκλοτομικό σώμα. Με άλλα λόγια, κάθε αβελιανή επέκταση του Q περιέχεται σε σώμα που προκύπτει από επισύναψη στο Q συγκεκριμένης τιμής της εκθετικής συνάρτησης. Το Jugendtraum είναι η γενίκευση του θεωρήματος των Krοnecker και Weber στην περίπτωση κατά την οποία το αλγεβρικό σώμα που επιλέγεται δεν ειναι το Q, αλλά ένα τυχαίο τετραγωνικό μιγαδικό σώμα αριθμών. Η προσπάθεια για τη λύση του εν λόγω προβλήματος οδήγησε στην ανάπτυξη κλάδων των μαθηματικών όπως η θεωρία του μιγαδικού πολλαπλασιασμού και η θεωρία κλάσεων σωμάτων. Leopold Kronecker ( ) Από τα παραπάνω γίνεται φανερό ότι η μελέτη του Jugendtraum απαιτεί τη γνώση και το χειρισμό εκλεπτυσμένων μαθηματικών εννοιών και γενικότερα θεωριών. Για το λόγο αυτό, η επιλογή των κεφαλαίων και η παρουσίαση της θεωρίας, δεν αποσκοπεί μονάχα στην επίτευξη του στόχου, ήτοι στην επίλυση του Jugendtraum στην περίπτωση των τετραγωνικών σωμάτων αριθμών, αλλά και στη γνωριμία με αρκετά γοητευτικά μαθηματικά. Ποιητικά μιλώντας, δεν εστιάζουμε μονάχα στην Ιθάκη, αλλά ενδιαφερόμαστε και για το ταξίδι. Προς τούτο ξεκινάμε τη μελέτη μας με κάποια στοιχεία αλγεβρικής θεωρίας αριθμών. Το πρώτο κεφάλαιο έχει ως στόχο την εμβάθυνση στη γνώση των αλγεβρικών σωμάτων αριθμών. Το κεφάλαιο αυτό είναι γραμμένο, με βάση το βιβλίο Θεωρία Αριθμών του κ. Λάκκη, ήτοι το [] της βιβλιογραφίας, γι αυτό και παραπέμπουμε σε αυτό. Πρόκειται για τα στοιχεία αυτά της θεωρίας που πρέπει να γνωρίζει κανείς, ώστε να έχει ολοκληρωμένη γνώση περί των αλγεβρικών αριθμητικών σωμάτων. 3

5 4 David Hilbert ( ) Όπως προαναφέρθηκε, ο στόχος αυτής της πτυχιακής εργασίας αφορά σε τετραγωνικά αριθμητικά σώματα. Έτσι, το δεύτερο κεφάλαιο αφιερώνεται στη μελέτη αυτών. Τα τετραγωνικά σώματα αριθμών αποτελούν αλγεβρικά αριθμητικά σώματα βαθμού. Επομένως, έχοντας ήδη τα εφόδια που χρειάζονται από το πρώτο κεφάλαιο και με προσθήκη νέων στοιχείων θεωρίας, όπως για παράδειγμα της έννοιας των τάξεων τετραγωνικών σωμάτων αριθμών, έχουμε εμβαθύνει αρκετά σε αυτά. Εφόσον απαραίτητη για τη μελέτη μας είναι η θεωρία κλάσεων σωμάτων, το τρίτο κεφάλαιο αναφέρεται σε αυτή. Παρά ταύτα, επειδή πρόκειται για μία θεωρία, της οποίας τα αποτελέσματα ποικίλουν και είναι αδύνατο να παρουσιαστούν στα πλαίσια μίας πτυχιακής εργασίας, επικεντρωνόμαστε σε στοιχεία της θεωρίας διακλαδώσεως του Hilbert και στον ορισμό του σώματος του Hilbert ενός αλγεβρικού σώματος αριθμών. Το τελευταίο διαδραματίζει ουσιαστικό ρόλο στην επίτευξη του στόχου μας. Στο τέταρτο κεφάλαιο εισάγονται οι έννοιες των ελλειπτικών και modular συναρτήσεων, οι οποίες εκ των προτέρων δε φαίνεται να σχετίζονται με όσα μελετήθηκαν στα προηγούμενα κεφάλαια. Παρ όλα αυτά, η θεωρία του κεφαλαίου αυτού είναι ιδιαιτέρως σημαντική και για το λόγο ότι στη μελέτη μας υπεισέρχεται και ο γοητευτικός κλάδος της μιγαδικής αναλύσεως. Το κεφάλαιο αυτό είναι γραμμένο στα πρότυπα του βιβλίου Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory του Tom Apostol, ήτοι το [3] της βιβλιογραφίας. Η συσχέτιση των εννοιών που παρουσιάστηκαν στο τέταρτο κεφάλαιο με αυτές των προηγούμενων κεφαλαίων φανερώνεται στο πέμπτο κεφάλαιο. Σε αυτό αναφέρουμε βασικά στοιχεία των ελλειπτικών καμπυλών και εισάγουμε την έννοια του μιγαδικού πολλαπλασιασμού. Ακόμα, αποδεικνύουμε ότι η J -αναλλοίωτος μίας ελλειπτικής καμπύλης με μιγαδικό πολλαπλασιασμό είναι ακέραιος αλγεβρικός αριθμός. Ύστερα από όλα αυτά, είμαστε έτοιμοι να παρουσιάσουμε το βασικό μας πρόβλημα, ήτοι το Jugendtraum για τετραγωνικά μιγαδικά σώματα αριθμών. Αν και μικρότερο σε μέγεθος, το έκτο και τελευταίο κεφάλαιο της εν λόγω εργασίας παρουσιάζει πλήρως το Jugendtraum και την απόδειξη αυτού. Η προσέγγιση που ακολουθείται στο έκτο κεφάλαιο, βασίζεται στο βιβλίο Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves του Joseph Silverman, ήτοι το [1] της βιβλιογραφίας. Κλείνουμε την εισαγωγή με το σχόλιο ότι υπάρχει αρκετό γόνιμο έδαφος ερευνητικά στον κλάδο της αλγεβρικής θεωρίας αριθμών. Μάλιστα, όπως γίνεται αντιληπτό και από αυτήν την πτυχιακή εργασία, τα μαθηματικά μέσα που χρησιμοποιούνται δεν είναι μόνο αλγεβρικά ή αριθμοθεωρητικά.

6 Περιεχόμενα Εισαγωγή 3 1 Στοιχεία Αλγεβρικής Θεωρίας Αριθμών Αλγεβρικοί και ακέραιοι αλγεβρικοί αριθμοί Αλγεβρικά σώματα αριθμών Συζυγείς αριθμοί, norm και ίχνος και κύριο πολυώνυμο Διακρίνουσα και βάση ακεραιότητας Μονάδες και ανάλυση σε γινόμενο πρώτων αριθμών Ιδεώδη Norm ακέραιου ιδεώδους Βάσεις ιδεώδους Πρώτα ιδεώδη Ανάλυση ιδεωδών σε γινόμενο πρώτων ιδεωδών Αριθμός κλάσεων ιδεωδών Διακλάδωση και νόμος ανάλυσης Τετραγωνικά Αριθμητικά Σώματα 33.1 Εισαγωγικά στοιχεία Μονάδες Υπολογισμός του αριθμού κλάσεων ιδεωδών Νόμος ανάλυσης για τετραγωνικά αριθμητικά σώματα Τάξεις τετραγωνικών αριθμητικών σωμάτων Θεωρία διακλαδώσεως και σώμα του Hilbert Σχετικές επεκτάσεις αλγεβρικών σωμάτων αριθμών Στοιχεία θεωρίας διακλαδώσεως του Hilbert Το σύμβολο του Artin για αβελιανές σχετικές επεκτάσεις Θεωρία κλάσεων σωμάτων Το σώμα κλάσεων Hilbert Ελλειπτικές και Modular Συναρτήσεις Διπλά περιοδικές συναρτήσεις Ελλειπτικές συναρτήσεις Η συνάρτηση του Weierstrass J - αναλλοίωτος και unimodular μετασχηματισμοί

7 6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 4.5 Τα αναπτύγματα Fourier των g, g 3, και J Η modular ομάδα Γ και η θεμελιώδης περιοχή R Γ Modular συναρτήσεις Ελλειπτικές Καμπύλες και Μιγαδικός Πολλαπλασιασμός Εισαγωγικά στοιχεία Ελλειπτικές καμπύλες και η συνάρτηση του Weierstrass Ελλειπτικές καμπύλες με μιγαδικό πολλαπλασιασμό J -συνάρτηση ελλειπτικών καμπυλών με μιγαδικό πολλαπλασιασμό Το Jugendtraum του Kronecker Ιστορική αναφορά Εισαγωγικά στοιχεία To βασικό θεώρημα Η περίπτωση του Q( 163) Βιβλιογραφία 133

8 Κεφάλαιο 1 Στοιχεία Αλγεβρικής Θεωρίας Αριθμών 1.1 Αλγεβρικοί και ακέραιοι αλγεβρικοί αριθμοί Έστω πολυώνυμο f(x) με ρητούς αριθμούς ως συντελεστές. Από το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας τα σημεία μηδενισμού του πολυωνύμου αυτού περιέχονται στο C. Θωρούμε το σύνολο Q που περιέχει όλα τα σημεία μηδενισμού μη τετριμμένων πολυωνύμων με ρητούς συντελεστές. Τα στοιχεία του συνόλου αυτού ονομάζονται αλγεβρικοί αριθμοί. ΟΡΙΣΜΟΣ O α C θα καλείται αλγεβρικός, εάν υπάρχει μη τετριμμένο μονικό πολυώνυμο f(x) Q[X] με σημείο μηδενισμού το α, ήτοι f(α) = 0. Εύκολα προκύπτει ότι Q Q C, αφού κάθε ρητός αριθμός α είναι σημείο μηδενισμού του πολυωνύμου X α Q[X], αλλά κάθε μιγαδικός αριθμός δεν είναι αλγεβρικός. Για παράδειγμα, οι αριθμοί π και e δεν είναι αλγεβρικοί. Θεωρούμε ένα στοιχείο α Q. Τότε υπάρχει ένα μονικό πολυώνυμο στο Q[X] με το α ως σημείο μηδενισμού και τον ελάχιστο βαθμό. Βάσει αυτής της επιλογής το πολυώνυμο αυτό είναι ανάγωγο στο Q[X]. Το πολυώνυμο αυτό το καλούμε ανάγωγο πολυώνυμο του α ή ελάχιστο πολυώνυμο του α και το συμβολίζουμε με Irr(α, Q). Ακόμα αν υποθέσουμε ότι το β είναι ένα διάφορο του α σημείο μηδενισμού του Irr(α, Q), τότε το Irr(α, Q) είναι και ελάχιστο πολυώνυμο του β, δηλαδή Irr(β, Q) = Irr(α, Q). Πράγματι, εφόσον το β είναι σημείο μηδενισμού του Irr(β, Q), τότε θα ισχύει ότι Irr(β, Q) Irr(α, Q). Κι αφού εξ ορισμού του ελαχίστου πολυωνύμου αυτό είναι ανάγωγο, τότε ισχύει κατ ανάγκη η ισότητα. ΠΡΟΤΑΣΗ Αν α Q τότε το Irr(α, Q) έχει απλά σημεία μηδενισμού. Απόδειξη. Έστω ότι το p(x) := Irr(α, Q) έχει το β ως σημείο μηδενισμού πολλαπλότητας > 1. Τότε Irr(β, Q) = Irr(α, Q) = p(x) και η παράγωγος p (X) Q[X] έχει το β ως σημείο μηδενισμού και βαθμό μικρότερο από αυτόν του p(x). Αυτό, όμως, αντίκειται στον ορισμό του Irr(β, Q). Αν, επομένως, ισχύει ότι α, β Q τα ελάχιστα πολυώνυμα αυτών θα έχουν τη μορφή: p α (X) = Irr(α, Q) = (X α 1 )(X α ) (X α m ) p β (X) = Irr(β, Q) = (X β 1 )(X β ) (X β n ), 7

9 ΑΛΓΕΒΡΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΛΓΕΒΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ όπου χ.β.τ.γ. θεωρούμε ότι α 1 = α και β 1 = β και α i, β j Q, για κάθε 1 i m και 1 j n. Αν ορίσουμε τα πολυώνυμα m,n i,j=1 (X (α i β j )), m,n i,j=1 (X (α i β j )) και X m p α ( 1 X τότε αυτά έχουν ως σημεία μηδενισμού τους αριθμούς α β, αβ και α 1, αντίστοιχα. Μάλιστα, από τους τύπους Vieta έπεται ότι έχουν ρητούς συντελεστές, επομένως, α β, αβ, α 1 Q. Κι εφόσον Q C, ισχύει η παρακάτω πρόταση: ΠΡΟΤΑΣΗ Το σύνολο Q είναι υπόσωμα του C. Ιδιαιτέρως, είναι η αλγεβρηκή θήκη του Q. Είμαστε, τώρα, έτοιμοι να εισάγουμε την έννοια του ακέραιου αλγεβρικού αριθμού. Για το λόγο αυτό, αναφέρουμε το παρακάτω λήμμα: ΛΗΜΜΑ (Gauss). Αν ένα μονικό πολυώνυμο f(x) Z[X] αναλύεται γνήσια στο Q[X] σε γινόμενο δύο άλλων μονικών πολυωνύμων, έστω g(x) και h(x), τότε κατ ανάγκη θα έχουμε ότι g(x), h(x) Z[X]. ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω α Q. Τα παρακάτω είναι ισοδύναμα: (1) Irr(α, Q) Z[X] () Υπάρχει μονικό πολυώνυμο f(x) Z[X] με σημείο μηδενισμού το α. Απόδειξη. (1) () Προφανές. () (1) Έστω μονικό πολυώνυμο f(x) Z[X] με την ιδιότητα ότι f(α) = 0. Θέτουμε g(x) := Irr(α, Q) Q[X]. Τότε υπάρχει πολυώνυμο h(x) Q[X], τέτοιο ώστε: f(x) = g(x)h(x). Το h είναι επίσης μονικό. Επομένως το συμπέρασμα προκύπτει άμεσα από το λήμμα του Gauss. ΟΡΙΣΜΟΣ Ο αριθμός α Q λέγεται ακέραιος αλγεβρικός αριθμός, όταν πληρεί μία από τις δύο, και συνεπώς και τις δύο, συνθήκες του θεωρήματος Ισχύει κάτι πιο γενικό από το θεώρημα 1.1.5, το οποίο μας δίνει ένα επιπλέον κριτήριο για το πότε ένας αριθμός είναι ακέραιος αλγεβρικός. ΠΡΟΤΑΣΗ Αν ο αριθμός α είναι σημείο μηδενισμού ενός μονικού πολυωνύμου f(x) με ακέραιους αλγεβρικούς συντελεστές, τότε είναι και ο ίδιος ακέραιος αλγεβρικός. Απόδειξη. Έστω ότι το πολυώνυμο f γράφεται υπό τη μορφή f(x) = f 0 + f 1 X + + f n 1 X n 1 + X n, όπου τα f i είναι ακέραιοι αλγεβρικοί αριθμοί, και έστω ρ 1, ρ,..., ρ n τα σημεία μηδενισμού αυτού. Θεωρούμε τα σημεία μηδενισμού ρ (1), ρ (),..., ρ (m 0) του Irr(ρ 1, Q), τα σημεία μηδενισμού ρ (m 0+1), ρ (m 0+),..., ρ (m 0+m 1 ) του Irr(ρ, Q) και συνεχίζοντας κατ αυτό τον τρόπο, τα σημεία μηδενισμού ρ (m 0+m m n +1), ρ (m 0+m m n +),..., ρ (m 0+m m n +m n 1 ) του Irr(ρ n, Q). Θέτουμε, ακόμα, r = m 0 + m m n 1. ),

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΡΙΘΜΩΝ 9 Κατασκευάζουμε το πολυώνυμο g(x) = ( ρ (σ(1)) + ρ (σ()) X + + ρ (σ(n)) X n 1 + X n), σ S r όπου S r είναι η ομάδα των μεταθέσεων των r στοιχείων του συνόλου {1,,..., r}. Προφανώς, ο α είναι σημείο μηδενισμού του μονικού πολυωνύμου g(x). Εύκολα επίσης προκύπτει από τους τύπους Vieta ότι οι συντελεστές του g(x) είναι ακέραιοι αριθμοί. Συνεπώς, ο α είναι εξ ορισμού ακέραιος αλγεβρικός. Το σύνολο όλων των ακέραιων αλγεβρικών αριθμών το συμβολίζουμε ως Z. Προφανώς ισχύει ότι Z Q. Μάλιστα, εάν θεωρήσουμε δύο στοιχεία α, β Z, τότε α β, αβ Z, οπότε ισχύει το παρακάτω αποτέλεσμα: ΠΡΟΤΑΣΗ To σύνολο Z με πράξεις την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό αποτελεί ακέραια περιοχή με σώμα κλασμάτων το Q. Ιδιαίτερα, ισχύει ότι Z Q = Z 1. Αλγεβρικά σώματα αριθμών ΟΡΙΣΜΟΣ Αλγεβρικό σώμα αριθμών ονομάζεται κάθε πεπερασμένη επέκταση του Q, η οποία περιέχεται στο C. Κάθε στοιχείο ενός αλγεβρικού σώματος αριθμών είναι αλγεβρικός αριθμός. Πράγματι, εάν υποθέσουμε ότι το K είναι ένα αλγεβρικό σώμα αριθμών βαθμού [K : Q] = n και θ ένα στοιχείο αυτού, τότε οι αριθμοί 1, θ,..., θ n 1 είναι γραμμικώς εξαρτημένοι, άρα υπάρχουν a 0, a 1,..., a n Q, όχι όλα μηδέν, ώστε a a 1 θ + + a n θ n = 0, ήτοι ο αριθμός θ είναι σημείο μηδενισμού του μη μηδενικού πολυωνύμου f(x) = a 0 + a 1 X + + a n X n, άρα και αλγεβρικός. Για να κατανοήσουμε την έννοια του αλγεβρικού σώματος αριθμών θα κάνουμε αναφορά σε μερικά στοιχεία θεωρίας σωμάτων. Για το τυχαίο θ, το οποίο ανήκει σε μία επέκταση του Q, ορίζουμε την ακέραια περιοχή Q[θ] = {f(θ) f(x) Q[X]} και το σώμα κλασμάτων αυτής Q(θ) = { f(θ) g(θ) f(x), g(x) Q[X] με g(θ) 0}. Προφανώς ισχύει ότι Q[θ] Q(θ). Στην περίπτωση που ο θ είναι αλγεβρικός αριθμός ισχύει ότι Q(θ) = Q[θ]. Υποθέτουμε ότι p(x) = Irr(θ, Q) και deg(p(x)) = n. Εάν το a είναι στοιχείο του σώματος Q(θ), τότε υπάρχει πολυώνυμο g(x) Q[X] με την ιδιότητα a = g(θ). Έστω, λοιπόν, g(x) = q(x)p(x) + r(x), όπου r 0 ή deg(r(x)) < n. Τότε a = g(θ) = r(θ). Κι εφόσον το r(θ) είναι ένας Q-γραμμικός συνδυασμός των 1, θ,..., θ n 1 και αυτά είναι Q-γραμμικώς ανεξάρτητα, τότε παράγουν το Q(θ) ως Q-διανυσματικό χώρο. Συνεπώς λαμβάνουμε ότι [Q(θ) : Q] = deg(p(x)). Από τα παραπάνω προκύπτει και ότι μία πεπερασμένη επέκταση του Q είναι και πεπερασμένα παραγόμενη.

11 ΑΛΓΕΒΡΙΚΑ ΣΩΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΘΕΩΡΗΜΑ 1... Ένα σώμα K είναι αλγεβρικό σώμα αριθμών εάν, και μόνο εάν ισχύει ότι K = Q(θ) για κάποιο αλγεβρικό αριθμό θ. Απόδειξη. ( ) Άμεσο εξ ορισμού του αλγεβρικού σώματος αριθμών. ( ) Έστω K ένα αλγεβρικό σώμα αριθμών. Τότε αυτό είναι μία πεπερασμένη επέκταση του Q. Έστω, λοιπόν, K = Q(α 1, α,..., α n ), όπου το α είναι το ελάχιστο πλήθος στοιχείων για το οποίο ισχύει αυτό. Υποθέτουμε ότι n > 1 και ότι p α1 (X) = Irr(α 1, Q) = (X α 1 (1) )(X α 1 () ) (X α 1 (r) ) με α 1 (1) = α 1 p α (X) = Irr(α, Q) = (X α (1) )(X α () ) (X α (s) ) με α (1) = α. Τα πολυώνυμα αυτά έχουν απλά σημεία μηδενισμού, επομένως για κάθε i = 1, και j 1 j ισχύει ότι α i (j 1) α i (j ). Αυτο σημαίνει ότι υπάρχει το πολύ ένας ρητός αριθμός b για τον οποίο έχουμε α 1 (i) + bα (j) = α 1 (1) + bα (1), i j {1,,..., r} {1,,..., s}. Το πλήθος, όμως, των εξισώσεων αυτών είναι πεπερασμένο, οπότε κατά συνέπεια υπάρχει ρητός αριθμός c για τον οποίο ισχύει α 1 (i) + cα (j) α 1 (1) + cα (1) = α 1 + cα, i j {,..., r} {1,,..., s}. Έστω β = α 1 + cα. Θα δείξουμε ότι Q(β) = Q(α 1, α ). Ο εγκλεισμός Q(β) Q(α 1, α ) είναι προφανής. Επιδιώκουμε να δείξουμε τον αντίστροφο εγκλεισμό. Ορίζουμε το πολυώνυμο f(x) = p α1 (β cx) Q(β)[X], που έχει ως σημείο μηδενισμού το α. Συνεπώς τα πολυώνυμα p α (X) και f(x) έχουν ως κοινό σημείο μηδενισμού το α, το οποίο λόγω της σχέσης α 1 (i) + cα (j) α 1 + cα α 1 + cα cα (i) α 1 (j), j = 1,,..., r είναι μοναδικό. Με άλλα λόγια ισχύει ότι (p α (X), f(x)) = X α, άρα: Irr(α, Q(β)) p α και Irr(α, Q(β)) f(x) Irr(α, Q(β)) X α Irr(α, Q(β)) = X α Q(β)[X] α Q(β), οπότε α 1 Q(β) Q(α 1, α ) Q(β). Έτσι αποδείξαμε την ισότητα των δύο συνόλων. Αυτό, όμως, μας δίνει ότι Q(α 1, α, α 3,..., α n ) = Q(β, α 3,..., α n ), που είναι αντίφαση στην επιλογή του n άρα και στην υπόθεση n > 1. Εάν θεωρήσουμε κάποιο στοιχείο a K, το ανάγωγο πολυώνυμο αυτού f(x) := Irr(α, Q) = f 0 + f 1 X + + f n 1 X n 1 + X n και το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο e f των παρονομαστών ( των ) συντελεστών του f, τότε ο αριθμός e f α είναι σημείο μηδενισμού του πολυωνύμου (e f ) n f X, το οποίο είναι μονικό με ακέραιους ef συντελεστές. Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός γ = e f α είναι ακέραιος αλγεβρικός. Άρα αποδείξαμε το εξής: ΠΡΟΤΑΣΗ Κάθε αλγεβρικός αριθμός ενός αλγεβρικού σώματος αριθμών K μπορεί να γραφεί ως πηλίκο ενός ακέραιου αλγεβρικού αριθμού δια ενός φυσικού αριθμού. Από αυτό το σημείο θα συμβολίζουμε ως R K το σύνολο που περιέχει όλους τους ακέραιους αλγεβρικούς αριθμούς του σώματος K. Κατ αντιστοιχία με την περίπτωση όπου K = Q, που ο δακτύλιος των ακέραιων αλγεβρικών αριθμών είναι ο Z, ισχύει ότι ΠΡΟΤΑΣΗ Το σύνολο R K, με πράξεις την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό αποτελεί ακέραια περιοχή με σώμα κλασμάτων το K.

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΡΙΘΜΩΝ Συζυγείς αριθμοί, norm και ίχνος και κύριο πολυώνυμο. Θεωρούμε ένα αλγεβρικό αριθμητικό σώμα K = Q(θ) βαθμού [K : Q] = n και έστω p(x) = Irr(θ, Q). Τότε το p(x) έχει n διακεκριμένα σημεία μηδενισμού, έστω τα θ (1) = θ, θ (),..., θ (n). Συνεπώς ισχύει ότι [Q(θ (i) ) : Q] = n για κάθε i = 1,,..., n. Άρα κάθε στοιχείο a Q(θ (i) ) έχει τη μορφή: n 1 a = a k θ (i)k. Εάν ορίσουμε τις απεικονίσεις: k=0 σ i : Q(θ) Q(θ (i) ) n 1 n 1 a k θ k a k θ (i)k, i = 1,,..., n k=0 k=0 τότε προφανώς, για κάθε a, b Q(θ) ισχύουν οι σχέσεις σ i (a + b) = σ i (a) + σ i (b), σ i (ab) = σ i (a) + σ i (b), σ i (θ) = θ (i). Μάλιστα, κάθε ρητός αριθμός παραμένει αναλλοίωτος από τη δράση της σ i. Αυτό σημαίνει ότι οι σ i είναι Q-ομομορφισμοί¹, διακεκριμένοι ανά δύο. Προφανώς, καθένας από τους σ i είναι μονομορφισμός. Θεωρώντας έναν τυχαίο Q-μονομορφισμό σ, παρατηρούμε ότι 0 = σ(p(θ)) = p(σ(a)), ήτοι στέλνει το σημείο μηδενισμού θ του p(x) σε κάποια άλλο σημείο μηδενισμού. Είναι, με άλλα λόγια, κάποιος από τους σ i. Άρα οι μοναδικοί Q-μονομορφισμοί του σώματος K = Q(θ) είναι οι σ i και προσδιορίζονται πλήρως από την εικόνα τους στο θ. ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω αλγεβρικό σώμα αριθμών K = Q(θ). Τα σώματα σ i (K) = Q(θ (i) ), για κάθε i = 1,,..., n, θα καλούνται συζυγή σώματα του K. Αν ο a είναι τυχόν στοιχείο του K, τότε οι αριθμοί a (i) = σ i (a), για κάθε i = 1,,..., n, θα λέγονται συζυγείς αριθμοί του a. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Τονίσαμε ότι το Irr(θ, Q) έχει διακεκριμένα σημεία μηδενισμού, ήτοι οι συζυγείς αριθμοί του θ διαφέρουν ανά δύο. Κάτι τέτοιο δεν ισχύει εν γένει, αφού για παράδειγμα, όλοι οι συζυγείς ενός ρητού αριθμού ταυτίζονται με αυτόν. Έστω, ότι το p(x) έχει r 1 πραγματικά σημεία μηδενισμού και r μιγαδικά ήτοι [K : Q] = r 1 + r. Τότε λαμβάνουμε r 1 πραγματικούς ομομορφισμούς, τους οποίους θα καλούμε πραγματικές εμφυτεύσεις του K, και r μιγαδικούς ομομορφισμούς, που θα τους ονομάζουμε μιγαδικές εμφυτεύσεις του Κ. Μάλιστα, το ζεύγος (r 1, r ) το ονομάζουμε υπογραφή του αλγεβρικού σώματος αριθμών K. ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω a Q(θ). Τότε ως ίχνος και ως norm του a ορίζουμε τους αριθμούς T r K (a) = a (1) + a () + + a (n) και N K (a) = a (1) a () a (n) αντίστοιχα, όπου ως a (i) συμβολίζουμε τους συζυγείς αριθμούς του a. ¹Με τον όρο Q-ομομορφισμός εννοούμε έναν ομομορφισμό δακτυλίων που περιέχουν το Q και αφήνει τα στοιχεία αυτού αναλλοίωτα.

13 ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΑΡΙΘΜΟΙ, NORM ΚΑΙ ΙΧΝΟΣ ΚΑΙ ΚΥΡΙΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ. Σύμφωνα με τον ορισμό αυτό, για τους αριθμούς a, b Q(θ) και α, β Q ισχύουν οι ισότητες T r K (αa + βb) = αt r K (a) + βt r K (b), T r K (α) = nα N K (ab) = N K (a)n K (b), N K (α) = α n. ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω a K = Q(θ).Θεωρούμε τον ενδομορφισμό του K φ a : K K x ax. Ως κύριο ή χαρακτηριστικό πολυώνυμο του a ορίζουμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του φ a και το συμβολίζουμε ως χ a (X). Υπενθυμίζουμε ότι ως χαρακτηριστικό πολυώνυμο του ενδομορφισμού φ a ορίζουμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα του φ a όταν αυτός ειδωθεί ως γραμμική απεικόνιση μεταξύ διανυσματικών χώρων. Με άλλα λόγια, από τις σχέσεις λαμβάνουμε την ισότητα πινάκων όπου φ a (1) = a = a 11 + a 1 θ + + a 1n θ n 1, φ a (θ) = aθ = a 1 + a θ + + a n θ n 1,. φ a (θ n 1 ) = aθ n 1 = a n1 + a n θ + + a nn θ n 1, (A ai n )Θ = 0, n 1 a 1 a a n A :=. θ....., Θ :=. a n1 a n a nn και ως I n και 0 συμβολίζουμε το μοναδιαίο και το μηδενικό πίνακα αντίστοιχα. Επομένως το σύστημα (A ai n )X = 0 έχει μη τετριμμένη λύση, οπότε κατ ανάγκη ισχύει ότι det(a ai n ) = 0. Άρα το a είναι σημείο μηδενισμού του πολυωνύμου χ a (X) = ( 1) n det(a XI n ), το οποίο είναι και το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του a. Μάλιστα, μπορούμε να αποδείξουμε (βλ. [10], σελ. 59, Θεώρ..1.) ότι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του a είναι μία δύναμη του Irr(a, Q). Από το γεγονός αυτό εξάγουμε δύο συμπεράσματα. Κατά πρώτον, το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του a έχει τη μορφή θ n 1 χ a (X) = ( (X a (1) )(X a () ) (X a (n) ) ) k, όπου k N και a (1) = a, a (),..., a (n) είναι οι συζυγείς αριθμοί του a και κατά δεύτερον, αν Irr(a, Q) = a 0 + a 1 X + + a m 1 X m 1 + X m, τότε T r K (a) = n m a m 1 και N K (a) = ( 1) n a 0 s. Εν γένει, λοιπόν, το ίχνος και η norm ενός αλγεβρικού αριθμού είναι ρητοί αριθμοί. Αν, επιπροσθέτως, ο αριθμός a είναι ακέραιος αλγεβρικός, τότε T r K (a), N K (a) Z Z. Από όσα αναφέρθηκαν για το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του a προκύπτει ένα κριτήριο ισότητας δύο αλγεβρικών σωμάτων αριθμών. ΠΡΟΤΑΣΗ Για κάποιο a Q(θ) ισχύει ότι Q(θ) = Q(a) εάν, και μόνο εάν οι συζυγείς αριθμοί του a είναι διακεκριμένοι μεταξύ τους.

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΡΙΘΜΩΝ Διακρίνουσα και βάση ακεραιότητας Πριν περάσουμε στα αποτελέσματα αυτής της παραγράφου υπενθυμίζουμε ένα αποτέλεσμα περί γραμμικής ανεξαρτησίας. Ένα αλγεβρικό σώμα αριθμών είναι μία επέκταση του Q άρα και ένας Q-διανυσματικός χώρος. Έστω αλγεβρικό σώμα αριθμών K = Q(θ) και n στοιχεία αυτού a i = n a ij θ j 1, με a ij Q και i = 1,,...., n. j=1 Τότε το σύνολο {a i i = 1,,..., n} είναι Q-γραμμικά ανεξάρτητο τότε, και μόνο τότε, όταν ) det ((a ij ) i,j {1,,...,n} 0. ΟΡΙΣΜΟΣ Θεωρούμε τους n αριθμούς a 1, a,..., a n K. Τους n συζυγείς του a i, τους συμβολίζουμε με a (j) i, όπου j = 1,,..., n. Τότε ως διακρίνουσα των αριθμών a 1, a,..., a n, ορίζουμε το τετράγωνο της ορίζουσας: ) det ((a (j) i ) i,j {1,,...,n}, και τη συμβολίζουμε ως d(a 1, a,..., a n ), ήτοι ( d(a 1, a,..., a n ) = det ( (a j ) ) a (1) 1 a () 1 a (n) 1 i ) i,j {1,,...,n} = det a (1) a () a (n) a (1) n a () n a (n) n Μάλιστα, αν A = (a i (j) ) i,j {1,,...,n}, τότε από τη σχέση det(a) = det(a t ), προκύπτει άμεσα ότι T r K (a 1 ) T r K (a 1 a ) T r K (a 1 a n ) d(a 1, a,..., a n ) = det T r K (a a 1 ) T r K (a ) T r K (a a n ) T r K (a n a 1 ) T r K (a n a ) T r K (a n ) Αυτό μας πληροφορεί ότι εν γένει ισχύει d(a 1, a,..., a n ) Q. Αν, επιπρόσθετα, οι a 1, a,..., a n είναι ακέραιοι αλγεβρικοί, τότε d(a 1, a,..., a n ) Z. Στον ορισμό της διακρίνουσας μίας n-άδας αλγεβρικών αριθμών, βασίζεται και ο ορισμός της διακρίνουσας αλγεβρικού αριθμού. ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε διακρίνουσα ενός a K, και τη συμβολίζουμε με d(a), την διακρίνουσα των αριθμών 1, a,..., a n 1, ήτοι d(a) = d(1, a,..., a n 1 ) Εξ ορισμού προκύπτει ότι d(a) = i>j ( a (i) a (j)), οπότε αμέσως βλέπουμε ότι d(θ) 0, διότι γνωρίζουμε πως οι συζυγείς του θ είναι διακεκριμένοι ανά δύο. Άρα μία αναδιατύπωση της προτάσεως είναι η παρακάτω. ΠΡΟΤΑΣΗ Ισχύει ότι K = Q(a), όπου a K εάν, και μόνο εάν, d(a) 0.

15 ΔΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑ ΚΑΙ ΒΑΣΗ ΑΚΕΡΑΙΟΤΗΤΑΣ Επομένως στην περίπτωση κατά την οποία K Q(a), ήτοι Q(a) K και deg(irr(a, Q)) < [K : Q], λαμβάνουμε ότι d(a) = 0. Αν ισχύει η ισότητα των βαθμών, τότε οι συζυγείς a (1) = a, a (),..., a (n) του a, είναι διακεκριμένοι ανά δύο. Συμβολίζοντας ως p(x) το Irr(a, Q), παρατηρούμε ότι p(x) = (X a (1) )(X a () ) (X a (n) ) n n n p (X) = (X a (j) ) p (a (i) ) = (a (i) (a (j) ). i=1 j=1 j i Άρα δείξαμε την κατωτέρω πρόταση. ΠΡΟΤΑΣΗ Για τη διακρίνουσα ενός στοιχείου a K ισχύει ότι: { d(a) = ( 1) n(n 1) / N K (p (a)), αν deg(p(x)) = [K : Q] 0, αν deg(p(x)) < [K : Q], όπου p(x) := Irr(a, Q). ΠΡΟΤΑΣΗ Οι αριθμοί a 1, a,..., a n είναι γραμμικά ανεξάρτητοι εάν, και μόνο εάν, ισχύει ότι d(a 1, a,..., a n ) 0. j=1 j i Απόδειξη. Πράγματι, εάν υποθέσουμε μία σχέση γραμμικής εξάρτησης: λ 1 a 1 + λ a + + λ n a n = 0, όπου λ i Q, i = 1,,..., n και εφαρμόσουμε διαδοχικά όλους τους Q-ομομορφισμούς σ i, όπως αυτοί ορίστηκαν στο 1.3, τότε λαμβάνουμε το σύστημα των εξισώσεων λ 1 σ 1 (a 1 ) + λ σ 1 (a ) + + λ n σ 1 (a n ) = 0 λ 1 σ (a 1 ) + λ σ (a ) + + λ n σ (a n ) = 0. λ 1 σ n (a 1 ) + λ σ n (a ) + + λ n σ n (a n ) = 0 λ 1 a (1) 1 + λ a (1) + + λ n a (1) n = 0 λ 1 a () 1 + λ a () + + λ n a () n = 0.. λ 1 a (n) 1 + λ a (n) + + λ n a (n) n = 0 Επομένως η ύπαρξη μοναδικής λύσης, της τετριμμένης, ισοδυναμεί με τη συνθήκη d(a 1, a,..., a n ) 0. Η παρακάτω πρόταση, της οποίας την απόδειξη θα παραλείψουμε, συνδυάζει τη διακρίνουσα οποιασδήποτε n-άδας στοιχείων του K = Q(θ) με την διακρίνουσα του στοιχείου θ. ΠΡΟΤΑΣΗ Για τους αριθμούς a i = n a ij θ j 1, i = 1,,..., n j=1 ισχύει ότι d(a 1, a,..., a n ) = ( ( )) det (a ij ) i,j {1,,...,n} d(θ).

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΡΙΘΜΩΝ 15 ΠΡΟΤΑΣΗ Aν ω 1, ω,..., ω n είναι μία βάση της επέκτασης K/Q, τότε για τους αριθμούς n a i = a ij ω j, i = 1,,..., n j=1 ισχύει ότι: d(a 1, a,..., a n ) = ( ( )) det (a ij ) i,j {1,,...,n} d(ω1, ω,..., ω n ). ΟΡΙΣΜΟΣ Οι ακέραιοι αλγεβρικοί αριθμοί ω 1, ω,..., ω n K καλούνται βάση ακεραιότητας του K εάν είναι γραμμικά ανεξάρτητοι και κάθε στοιχείο a K γράφεται υπό τη μορφή a = n a i ω i, όπου a i Z. i=1 Η έκφραση αυτή, λόγω του ότι τα ω i αποτελούν βάση του Q-διανυσματικού χώρου K, είναι μονοσήμαντη. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Η έννοια της βάσης ακεραιότητας ενός αλγεβρικού σώματος αριθμών εμπεριέχει την έννοια της βάσης Q-διανυσματικού χώρου. Έτσι, όταν γνωρίζουμε ότι μία n-άδα στοιχείων του K είναι βάση ακεραιότητας αυτού, τότε είναι και βάση του αν το σώμα K ειδωθεί ως Q-διανυσματικός χώρος. Το αντίστροφο δεν ισχύει. Ιδιαίτερα, εάν K = Q(θ) και το θ δεν είναι ακέραιος αλγεβρικός αριθμός, τότε οι αριθμοί 1, θ,..., θ n 1 αποτελούν βάση, αλλά όχι βάση ακεραιότητας μιας και δεν είναι όλοι ακέραιοι αλγεβρικοί. Θα αποδείξουμε τώρα την ύπαρξη βάσης ακεραιότητας για κάθε αλγεβρικό σώμα αριθμών. Προτού όμως το δείξουμε αυτό, διατυπώνουμε ένα κριτήριο, με το οποίο αποφασίζουμε πότε μία δοθείσα n-άδα αριθμών αποτελεί βάση ακεραιότητας. ΛΗΜΜΑ Έστω R K ο δακτύλιος των ακέραιων αλγεβρικών αριθμών του σώματος K, βαθμού n. Αν οι ω 1, ω,..., ω n R K είναι γραμμικά ανεξάρτητοι και ο αριθμός d(ω 1, ω,..., ω n ) είναι ο ελάχιστος δυνατός, τότε οι αριθμοί αυτοί αποτελούν βάση ακεραιότητας. Απόδειξη. Προφανώς κάθε αλγεβρικός αριθμός a της μορφής a = n a i ω i, όπου a i Z i=1 είναι ακέραιος αλγεβρικός. Η ιδέα της απόδειξης είναι ότι αν ένας τουλάχιστον από τους συντελεστές a i δεν είναι ακέραιος, τότε ο a δεν είναι ακέραιος αλγεβρικός. Ας υποθέσουμε χ.β.τ.γ. ότι ο a 1 δεν είναι ακέραιος. Τότε θα γράφεται υπό τη μορφή a 1 = [a 1 ] + a 1, 0 < a 1 < 1, όπου ως [a 1 ] συμβολίζουμε το ακέραιο μέρος του a 1. Θεωρούμε τον αριθμό Τότε θα ισχύει ότι b := a [a 1 ]ω 1 = a 1ω a n ω n. a 1 a a 3 a n d(b, ω,..., ω n ) = det d(ω 1,..., ω n ) = a 1 d(ω1,..., ω n )

17 ΔΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑ ΚΑΙ ΒΑΣΗ ΑΚΕΡΑΙΟΤΗΤΑΣ Άρα 0 < d(b, ω,..., ω n ) < d(ω 1, ω,..., ω n ). Συνεπώς οι αριθμοί b, ω,..., ω n είναι γραμμικά ανεξάρτητοι και ο b δεν είναι ακέραιος αλγεβρικός αριθμός καθώς έχουμε υποθέσει ότι η d(ω 1, ω,..., ω n ) είναι ελάχιστη. Επομένως ούτε και ο a = b + [a 1 ]ω 1 είναι ακέραιος αλγεβρικός. Άρα κάθε αριθμός a R K έχει τη μορφή a = n i=1 a iω i, όπου a i Z, και για να είναι ακέραιος αλγεβρικός θα πρέπει κατ ανάγκη όλα τα a i να είναι ακέραιοι. Άρα οι ω 1, ω,..., ω n είναι βάση ακεραιότητας. ΘΕΩΡΗΜΑ (Ύπαρξη βάσης ακεραιότητας). Κάθε αλγεβρικό σώμα αριθμών K έχει μία τουλάχιστον βάση ακεραιότητας. Απόδειξη. Ορίζουμε το σύνολο Ω, το οποίο περιέχει όλες τις n-άδες γραμμικά ανεξάρτητων στοιχείων του R K, όπου n = [K : Q]. Το Ω είναι προφανώς μη κενό, αφού εάν K = Q(θ), τότε {1, θ,..., θ n 1 } Ω. Αν θεωρήσουμε τις απόλυτες τιμές των διακρινουσών των στοιχείων του Ω, τότε αυτές είναι φυσικοί αριθμοί, άρα μπορούμε να βρούμε στοιχείο του Ω με την ελάχιστη απόλυτη διακρίνουσα, σύμφωνα με το λήμμα Το στοιχείο αυτό θα είναι και η ζητούμενη βάση ακεραιότητας, ΠΡΟΤΑΣΗ Όλες οι βάσεις ακεραιότητας ενός αλγεβρικού σώματος αριθμών K έχουν ίσες διακρίνουσες. Απόδειξη. Εάν υποθέσουμε ότι τα σύνολα {ω 1, ω,..., ω n } και {ω 1, ω,..., ω n} αποτελούν δύο βάσεις ακεραιότητας, τότε βάσει του.1.4 οι διακρίνουσες τους έχουν ίδιο πρόσημο και μάλιστα υπάρχουν πίνακες A και B με στοιχεία ακέραιους αριθμούς τέτοιοι, ώστε Από τις σχέσεις αυτές έπεται ότι d(ω 1,..., ω n ) = ( det(a) ) d(ω 1,..., ω n) d(ω 1,..., ω n) = ( det(b) ) d(ω1,..., ω n ). d(ω 1,..., ω n) d(ω 1,..., ω n ) d(ω 1,..., ω n ) d(ω 1,..., ω n). Άρα ισχύει η ισότητα των διακρινουσών. ΟΡΙΣΜΟΣ Την κοινή διακρίνουσα των βάσεων ακεραιότητας ενός αλγεβρικό σώματος αριθμών K, την ονομάζουμε διακρίνουσα του σώματος K και τη συμβολίζουμε ως d K. ΠΡΟΤΑΣΗ Αν υποθέσουμε ότι η {ω 1, ω,...., ω n } είναι μία βάση ακεραιότητας και ο 11 1 a 1n 1 a a n A = a n1 a n a nn είναι ένας πίνακας με στοιχεία ακέραιους αριθμούς, τότε για να είναι οι αριθμοί n ω i = a ij ω j, i = 1,,..., n j=1 βάση ακεραιότητας θα πρέπει det(a) = ±1. ΠΡΟΤΑΣΗ Η διακρίνουσα μίας n-άδας γραμμικά ανεξάρτητων στοιχείων του R K ενός αλγεβρικού σώματος αριθμών K, είναι ίση με το γινόμενο του d K επί το τετράγωνο ενός φυσικού. Συνεπώς, η διακρίνουσα του K διαιρεί οποιαδήποτε διακρίνουσα προκύπτει από n γραμμικά ανεξάρτητα στοιχεία του R K. ΠΟΡΙΣΜΑ Εάν η διακρίνουσα μίας n-άδας ακεραίων αλγεβρικών αριθμών του σώματος K είναι αριθμός ελεύθερος τετραγώνου, τότε η n-άδα αυτή αποτελεί βάση ακεραιότητας για το σώμα K.

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΡΙΘΜΩΝ Μονάδες και ανάλυση σε γινόμενο πρώτων αριθμών ΟΡΙΣΜΟΣ Ένας ακέραιος αλγεβρικός αριθμός ε ενός αλγεβρικού σώματος αριθμών K θα καλείται μονάδα, αν ο αντίστροφος αυτού είναι επίσης ακέραιος αλγεβρικός. Με άλλα λόγια, ο ε καλείται μονάδα όταν ε U K := R K. Πως όμως, διαπιστώνουμε αν ένας αριθμός είναι μονάδα ή όχι; Στο ερώτημα αυτό απαντούν τα παρακάτω αποτελέσματα. ΠΡΟΤΑΣΗ Αν ο αλγεβρικός αριθμός ε K είναι σημείο μηδενισμού ενός μονικού πολυωνύμου f(x) Z[X] με f(0) = ±1, τότε αυτός είναι μονάδα. Αντιστρόφως, αν ο αριθμός ε είναι μονάδα του αλγεβρικού σώματος αριθμών K, τότε το ελάχιστο πολυώνυμο αυτού έχει ακέραιους συντελεστές και ως σταθερό όρο το ±1. Απόδειξη. ( ) Έστω ότι το ε είναι σημείο μηδενισμού του πολυωνύμου f(x) = ±1 + f 1 X + + f n 1 X n 1 + X n, όπου f i Z, = 1,,..., n. Τότε εξ ορισμού ο ε είναι ακέραιος αλγεβρικός. Ο ε 1 είναι σημείο μηδενισμού του X n f( 1 X ), συνεπώς και ο ε 1 είναι επίσης ακέραιος αλγεβρικός. Άρα ο ε είναι μονάδα. ( ) Θεωρούμε, τώρα, ότι o ε είναι μονάδα. Τότε Irr(ε, Q) = a 0 + a X + + a n 1 X n 1 + X n Z[X]. Τότε, ο ε 1 είναι σημείο μηδενισμού του πολυωνύμου και άρα και του 1 + a n 1 X + + a 0 X n g(x) = 1 a 0 + a n 1 a 0 X + + X n, a i Z, το οποίο είναι ανάγωγο, αφού και το Irr(ε, Q) είναι ανάγωγο. Άρα g(x) = Irr(ε 1, Q). Κι εφόσον ε 1 R K, τότε Irr(ε 1, Q) Z[X], οπότε και 1 a 0 Z, δηλαδή a 0 = ±1. Γενικότερα, ισχύει ότι: ΠΡΟΤΑΣΗ Αν ο αριθμός ε είναι σημείο μηδενισμού ενός μονικού πολυωνύμου με ακέραιους αλγεβρικούς συντελεστές και μονάδα στο σταθερό όρο, τότε είναι μονάδα. ΠΟΡΙΣΜΑ Ο αλγεβρικός αριθμός ε K είναι μονάδα, αν είναι ακέραιος αλγεβρικός αριθμός και επιπρόσθετα ισχύει ότι N K (ε) = ±1. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Το αντίστροφο του παραπάνω θεωρήματος δεν είναι εν γένει αληθές. Επι παραδείγματι, ο αριθμός 3+4i 5 Q(i) έχει norm ίση με 1, αλλά δεν είναι μονάδα καθώς Irr( 3+4i 5, Q) = X 6 5 X + 1 Z[X]. Μία εύκολη παρατήρηση για την ομάδα των μονάδων ενός αλγεβρικού σώματος αριθμών K, είναι ότι η ομάδα των ριζών της μονάδας που ανήκουν στο K είναι υποομάδα αυτής. Ιδιαίτερα, ισχύει το παρακάτω θεώρημα, το οποίο θα διατυπώσουμε εδώ στη γενική του μορφή, και θα το αποδείξουμε στο επόμενο κεφάλαιο στην ειδική περίπτωση των τετραγωνικών σωμάτων αριθμών.

19 ΜΟΝΑΔΕΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΕ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΠΡΩΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΘΕΩΡΗΜΑ (Dirichlet). Έστω K ένα αλγεβρικό σώμα αριθμών διακρίνουσας d K. Υποθέτουμε ότι (r 1, r ) είναι η υπογραφή του K και r := r 1 +r 1. Τότε υπάρχουν μονάδες ε 1, ε,..., ε r K, τις οποίες καλούμε θεμελιώδεις, και μία ρίζα της μονάδας ζ μέγιστης τάξης m, με m d K, έτσι ώστε, κάθε άλλη μονάδα ε του K γραφεται υπό τη μορφή ε = ζ s ε 1 s 1 ε s e r s r, 0 s m, s i Z. Από το θεώρημα Dirichlet προκύπτει ότι η ομάδα των μονάδων του αλγεβρικού σώματος αριθμών K είναι μία πεπερασμένα παραγόμενη αβελιανή ομάδα βαθμίδας (rank) n και, μάλιστα, ισχύει ότι U K = ζ ε1 ε r, δηλαδή, η ομάδα των μονάδων είναι το ευθύ γινόμενο μίας κυκλικής ομάδας πεπερασμένης τάξης με πεπερασμένες στο πλήθος κυκλικές ομάδες άπειρης τάξης. Τέλος, γνωρίζουμε από το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής ότι κάθε ακέραιος αριθμός γράφεται ως προσημασμένο γινόμενο πρώτων αριθμών, ήτοι ως γινόμενο μίας μονάδας του Z και πρώτων του Z. Εγείρεται συνεπώς το ερώτημα, αν κάτι τέτοιο είναι αληθές και για το δακτύλιο R K. ΟΡΙΣΜΟΣ Ένα μη μηδενικό στοιχείο a του δακτυλίου R των ακέραιων αλγεβρικών αριθμών του σώματος K θα καλείται πρώτο ή ανάγωγο στοιχείο της R, εάν δεν είναι μονάδα του R και δεν αναλύεται σε γινόμενο της μορφής a = αβ, όπου τα α και β δεν είναι μονάδες.². ΘΕΩΡΗΜΑ Στο δακτύλιο R K, είναι πάντα δυνατή η ανάλυση σε γινόμενο πρώτων στοιχείων Απόδειξη. Θεωρούμε ένα μη μηδενικό στοιχείο α R K. Θα δείξουμε το ζητούμενο εφαρμόζοντας επαγωγή στην απόλυτη τιμή της norm του α. Εάν N K (α) = 1, τότε γνωρίζουμε ότι α U K οπότε το συμπέρασμα του θεωρήματος είναι αληθές. Υποθέτουμε τώρα, ότι το συμπέρασμα ισχύει για όλα τα στοιχεία του R K, τα οποία έχουν norm N K (α). O α πλέον δεν είναι μονάδα. Ακόμα, δεν είναι ούτε πρώτος, αφού σε αντίθετη περίπτωση το θεώρημα θα ίσχυε τετριμμένα. Επομένως, υπάρχουν β, γ R K U K, με την ιδιότητα α = βγ. Άρα απ όπου προκύπτουν οι ανισότητες N K (α) = N K (β)n K (γ) και N K (α) > 1, N K (α) > 1, 1 < N K (β) < N K (α) και 1 < N K (γ) < N K (α). Για τους β και γ το θεώρημα είναι αληθές λόγω της επαγωγική υπόθεσης, άρα γράφονται ως γινόμενο πρώτων αριθμών. Κι εφόσον γράφονται οι β και γ ως γινόμενο πρώτων παραγόντων, το αυτό ισχύει και για το γινόμενό τους. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Η μονοσήμαντη παραγοντοποίηση εν γένει δεν ισχύει. Επί παραδείγματι, ας υποθέσουμε το αλγεβρικό σώμα αριθμών K = Q( 6). Ο δακτύλιος των ακέραιων αλγεβρικών αριθμών του K είναι ο R K = Z[ 6]. Τότε έχουμε το εξής: 6 = 3 = ( 6) ( 6). Θα δείξουμε ότι καθένας από τους αριθμούς, 3, 6 και 6 είναι πρώτος στο δακτύλιο R K. Ας υποθέσουμε ότι το δεν είναι πρώτος αριθμός στο δακτύλιο R K, ήτοι έχει ανάλυση της μορφής = (α + β 6)(γ + δ 6), ²Εν γένει, οι έννοιες πρώτο και ανάγωγο στοιχείο δακτυλίου διαφέρουν, παρά ταύτα όταν κάνουμε λόγο για δακτυλίους ακεραίων αλγεβρικών αριθμών οι έννοιες ταυτίζονται καθώς, όπως θα δούμε στη συνέχεια, είναι περιοχές Noether.

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΡΙΘΜΩΝ 19 όπου κανένας από τους αριθμούς α + β 6 και γ + δ 6 δεν είναι μονάδα του R K. Τότε παίρνοντας norm έχουμε (α + 6β )(γ + 6δ ) = 4. Κι εφόσον θέλουμε κανένας από τους α + β 6 και γ + δ 6 να μην είναι μονάδα θα πρέπει να ισχύει ότι α + 6β 1 γ + 6δ. Όμως οι norm ακέραιων αλγεβρικών αριθμών είναι ακέραιοι αριθμοί. Επομένως ισχύει ότι Ας ασχοληθούμε με την εξίσωση α + 6β = γ + 6δ =. α + 6β =. Εάν ο β είναι μη μηδενικό, τότε 6β 6 >. Αυτό σημαίνει ότι α < 0, το οποίο είναι άτοπο. Άρα β = 0. Σε αυτή την περίπτωση έχουμε α = α Z, όποτε ξανά καταλήγουμε σε άτοπο. Έχουμε, λοιπόν, αντίφαση στην υπόθεση ότι ο δεν είναι πρώτος αριθμός. Ομοίως αποδεικνύουμε και ότι το 3 και το 6 είναι πρώτοι αριθμοί. Αυτό σημαίνει ότι για το 6 στο δακτύλιο R K = Z[ 6] βρήκαμε δύο παραγοντοποιήσεις σε πρώτους αριθμούς. 1.6 Ιδεώδη Η μέχρι τώρα μελέτη μας για τα αλγεβρικά σώματα αριθμών έχει αναδείξει μία μεγάλη διαφορά που έχουν αυτά συγκριτικά με το Q. Αυτή είναι, όπως αναφέρεται και στην παρατήρηση 1.5.9, ότι για τους δακτυλίους των ακεραίων αλγεβρικών αριθμών δεν ισχύει εν γένει η μονοσήμαντη ανάλυση σε γινόμενο πρώτων στοιχείων. Η απάντηση στο πρόβλημα αυτό είναι η εισαγωγή της έννοιας των ιδεωδών του σώματος K, από τον Kummer στα μέσα του 19ου αιώνα. Τα ιδεώδη ενός σώματος έχουν μεν τις ιδιότητες των συνήθων ιδεωδών που γνωρίζουμε από τη θεωρία δακτυλίων, παρ όλα αυτά δεν πρέπει να ταυτίζουμε τις δύο έννοιες. ΟΡΙΣΜΟΣ Ένα μη κενό υποσύνολο A του αλγεβρικού σώματος αριθμών K θα καλείται ιδεώδες αυτού, αν ικανοποιούνται οι παρακάτω συνθήκες: (i) A {0}³. (ii) Αν a 1, a A, τότε a 1 a A, ήτοι το A με την πράξη της πρόσθεσης αποτελεί ομάδα. (iii) Αν a A και r R K, τότε ra A. (iv) Υπάρχει δ 0 στο K, ώστε δa R K. Όταν A R K, το A ονομάζεται ακέραιο ιδεώδες, αλλιώς αν R K A K τότε το A καλείται κλασματικό ιδεώδες. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Μπορούμε να βελτιώσουμε τη συνθήκη (iv) του ορισμού. Χ.β.τ.γ. μπορούμε να υποθέσουμε ότι δ R K, διότι αν δ = δ 1 /m, όπου δ 1 R K και m N, τότε δ 1 A = δma δa R K. Μάλιστα, παρατηρούμε ότι εάν έχουμε ένα κλασματικό ιδεώδες A του K, τότε υπάρχει ένας δ R K, τέτοιος ώστε δa =: B R K A = δ 1 B, ισότητα που αιτιολογεί τον όρο κλασματικό ιδεώδες. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Τα ακέραια ιδεώδη του σώματος K αποτελούν ιδεώδη του δακτυλίου R K με τη συνήθη έννοια. Έτσι, εάν το A είναι ακέραιο ιδεώδες του K τότε θα γράφουμε A R K. ³Το μηδενικό ιδεώδες, στα πλαίσια της αλγεβρικής θεωρίας αριθμών δεν το λαμβάνουμε υπόψιν.

21 ΙΔΕΩΔΗ Πρέπει σε αυτό το σημείο να τονίσουμε ότι εάν επιλέξουμε ένα στοιχείο a K, τότε αυτό παράγει ένα κύριο ιδεώδες, το a = ar K, το οποίο είναι ιδεώδες του K. Μονάχα στην περίπτωση που ισχύει a R K το ιδεώδες a είναι ακέραιο. Προφανώς εάν εξασφαλίσουμε ότι ένα ιδεώδες A του K περιέχει μία μονάδα του K, τότε θα περιέχει ολόκληρο τον R K. Θα μπορούσε επομένως να είναι αυτός ο ορισμός του κλασματικού ιδεώδους. Αν από την άλλη A R K και το A περιέχει μία μονάδα του K, τότε κατ ανάγκη A = R K. Στην πορεία πρόκειται να χρησιμοποιήσουμε την έννοια του αθροίσματος και του γινομένου ιδεωδών του K. Αυτά ορίζονται ως εξής: A + B = {α + β α A, β B} AB = { πεπ. αβ α A, β B}, όπου A και B ιδεώδη του K. Ο λόγος είναι ότι τα ιδεώδη αυτά ενδεχομένως να είναι και ακέραια οπότε βάσει της παρατήρησης 1.6.3, οι ορισμοί πρέπει να συμφωνούν με αυτούς της θεωρίας των δακτυλίων. Για τον ίδιο ακριβώς λόγο, ορίζουμε την έννοια του διαιρείν δύο ιδεωδών του K, ως εξής: το A διαιρεί το B A B B 0 (mod A) B A. Θα λέμε ακόμα ότι το ιδεώδες A διαιρεί τον αριθμό α K, όταν A α. Επί τη βάσει αυτού ισχύει ότι α β r R K : α = rβ και α = β ε U K : α = εβ. Προκύπτει επίσης ότι, εάν A, B R K, τότε ε.κ.π.(a, B) = A B και µ.κ.δ.(a, B) = A + B. Υποθέτοντας επιπροσθέτως ότι A + B = R K, τα A και B καλούνται πρώτα μεταξύ τους. Μάλιστα, το να είναι τα A και B πρώτα μεταξύ τους, είναι ισοδύναμο συμπέρασμα με αυτό της ύπαρξης στοιχείων α A και β B, με την ιδιότητα α + β = 1 RK. Για τα ακέραια ιδεώδη A και B ισχύει ο συνολοθεωρητικός εγκλεισμός AB A B, με την ισότητα να ισχύει όταν τα ιδεώδη είναι πρώτα μεταξύ τους. Ο εν λόγω εγκλεισμός γενικεύεται για οποιαδήποτε n-άδα, ανά δύο πρώτων μεταξύ τους, ιδεωδεών του K, ήτοι A 1 A 1 A n A 1 A A n. ΠΡΟΤΑΣΗ Κάθε ιδεώδες A του αλγεβρικού σώματος αριθμών K περιέχει μη μηδενικούς φυσικούς αριθμούς. Απόδειξη. Έστω δ R K τέτοιος ώστε δa R K. Αν υποθέσουμε ένα στοιχείο 0 a A, τότε ισχύει ότι δa R K και κατά συνέπεια 0 N K (δa) Z. Όμως N K (δa) = (δa) (1) (δa) () (δa) (n), όπου (δa) (i), με i = 1,,..., n είναι οι συζυγείς αριθμοί του (δa) (1) = δa. Αλλά οι συζυγείς ακέραιου αλγεβρικού αριθμού είναι επίσης ακέραιοι αλγεβρικοί, άρα Άρα από τη σχέση b = (δa) () (δa) (3) (δa) (n) R K. N K (δa) = δab Z, έπεται ότι b K, αφού δa K. Συνεπώς εφόσον N K (δa) = δab, λαμβάνουμε ότι N K (δa) A άρα και ότι N K (δa) A. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Η παραπάνω πρόταση, όπως φανερώνει η απόδειξή της, μας δίνει ένα ενδιαφέρον αποτέλεσμα. Αν έχουμε ένα στοιχείο a A, όπου A ιδεώδες του K, τότε N K (a) A.

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΡΙΘΜΩΝ Norm ακέραιου ιδεώδους Αν υποθέσουμε ένα ιδεώδες A R K, τότε μέσω της σχέσης ισοδυναμίας a b : a b A, ορίζεται ο πηλικοδακτύλιος R K /A, ο οποίος καλείται δακτύλιος κλάσεων υπολοίπων (mod A). ΠΡΟΤΑΣΗ Αν A R K, τότε ο R K /A έχει πεπερασμένου πλήθους στοιχεία. Απόδειξη. Έστω m N ο ελάχιστος μη μηδενικός φυσικός αριθμός που ανήκει στο A, την ύπαρξη του οποίου εξασφαλίζει η πρόταση Αν υποθέσουμε ότι το σύνολο {ω 1, ω,..., ω n } είναι μία βάση ακεραιότητας του K, τότε κάθε στοιχείο a K γράφεται υπό τη μορφή μορφή a = a 1 ω 1 + a ω a n ω n. Θεωρούμε τους φυσικούς αριθμούς a 1, a,..., a n με την ιδιότητα Τότε, αν ισχύει 0 a i < m και a i a i (mod m). a = a 1ω 1 + a ω a nω n a a = (a 1 a 1)ω 1 + (a a )ω + + (a n a n)ω n = mb, όπου b είναι κάποιος ακέραιος αλγεβρικός του K. Άρα a a = mb A. Η τυχούσα, λοιπόν, κλάση ισοδυναμίας (mod A) έχει αντιπρόσωπο κάποιο a, του οποίου όμως η επιλογή, συνίσταται στην επιλογή των a i. Λόγω, όμως, της ανισότητας 0 a i < m, για το a έχουμε m n επιλογές, άρα # (R K /A) < +. ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω A R K. Ορίζουμε ως norm του ακέραιου ιδεώδους A, και τη συμβολίζουμε με N K (A), τον πληθάριθμο του πηλικοδακτυλίου R K /A, ήτοι N K (A) := # (R K /A). Χωρίς απόδειξη αναφέρουμε το παρακάτω αποτέλεσμα το οποίο είναι γενίκευση της παρατήρησης ΠΡΟΤΑΣΗ Για κάθε ακέραιο ιδεώδες A του R K ισχύει ότι: 1.8 Βάσεις ιδεώδους N K (A) A. ΟΡΙΣΜΟΣ Οι αριθμοί a 1, a,..., a n A, όπου το A είναι ιδεώδες του αλγεβρικού σώματος αριθμών K, βαθμού [K : Q] = n, θα αποτελούν βάση του ιδεώδους A, αν είναι γραμμικά ανεξάρτητοι και επιπλέον ισχύει ότι A = a 1 Z + a Z + + a n Z, ήτοι κάθε αριθμός του A γράφεται υπό τη μορφή n a = b i a i, b i Z. i=1 Προφανώς η παράσταση αυτή είναι μονοσήμαντη.

23 1.8. ΒΑΣΕΙΣ ΙΔΕΩΔΟΥΣ ΘΕΩΡΗΜΑ 1.8. (Ύπαρξη βάσης ιδεώδους). Κάθε ιδεώδες A του αλγεβρικού σώματος αριθμών έχει τουλάχιστον μία βάση. Απόδειξη. Κατ αρχάς θεωρούμε ότι το ιδεώδες A είναι ακέραιο. Αν η {ω 1, ω,..., ω n } είναι μία βάση ακεραιότητας του K και 0 a K, τότε οι αριθμοί aω i, όπου i = 1,,..., n είναι γραμμικά ανεξάρτητοι. Θεωρούμε το γραμμικά ανεξάρτητο σύνολο {a 1, a,..., a n } με την ελάχιστη διακρίνουσα. Θα δείξουμε ότι η n-άδα αυτή είναι, πράγματι, βάση του ιδεώδους A. Κάθε αριθμός της μορφής n b i a i, b i Z, i=1 είναι στοιχείο του A. Αρκεί, λοιπόν, να δείξουμε ότι κάθε αριθμός του A είναι αυτής της μορφής. Έστω ότι υπάρχει a A της μορφής n b i a i, b i Q, i=1 όπου τουλάχιστον ένας από τους b i δεν είναι ακέραιος αριθμός. Επιθυμούμε να αποδείξουμε ότι αν υπάρχει ένας συντελεστής ο οποίος δεν είναι ακέραιος, τότε a A. Έστω ότι b 1 Q Z. Αν θέσουμε b 1 = b 1 [b 1 ], όπου με [b 1 ] συμβολίζουμε την απόλυτη τιμή του b 1, και τότε θα έχουμε: β = a [b 1 ]a 1 = b 1a 1 + b a + + b n a n, b 1 b b n d(β, a,..., a n ) = det..... d(a 1, a,..., a n ) = (b 1) d(a 1, a,..., a n ) < d(a 1, a,..., a n ). Επειδή η διακρίνουσα d(β, a,..., a n ) είναι μη μηδενική, οι αριθμοί β, a,..., a n είναι γραμμικά ανεξάρτητοι. Και λόγω της σχέσης d(β, a,..., a n ) < d(a 1, a,..., a n ), έπεται ότι β A a = β + [b 1 ]a 1 A. Απομένει η περίπτωση κατά την οποία το A δεν είναι ακέραιο. Τότε υπάρχει δ R K τέτοιο ώστε το δa να είναι ακέραιο και τότε, αν τα δa 1, δa,..., δa n από τελούν βάση του δa, τότε τα a 1, a,..., a n είναι βάση του A. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Το θεώρημα αυτό μας λέει ότι κάθε ιδεώδες του R K είναι πεπερασμένα παραγόμενο, γεγονός το οποίο μας πληροφορεί ότι ο R K είναι δακτύλιος της Noether, ή αλλιώς περιοχή Noether. Ποία είναι η σχέση της διακρίνουσας μίας βάσης ακεραιότητας του αλγεβρικού σώματος αριθμών K, με τη διακρίνουσα μίας βάσης οποιουδήποτε ιδεώδους του; Αν υποθέσουμε ότι τα ω 1, ω,..., ω n είναι βάση ακεραιότητας του K και τα a 1, a,..., a n βάση του ιδεώδους A του K, τότε Μάλιστα, αν τα a i είναι της μορφής d(a 1, a,..., a n ) = N K (A) d(ω 1, ω,..., ω n ). a i = n a ij ω j, a ij Z, i = 1,,..., n, j=1

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΡΙΘΜΩΝ 3 τότε N K (A) = det ( (a ij ) 1 i,j n ). Αυτό μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι για τον αριθμό a R K ισχύει ότι Επιπροσθέτως, αν a Z, τότε N K (a) = N K ( a ). N K ( a ) = a n. Για να έχουν νόημα οι ανωτέρω υπολογισμοί πρέπει το ιδεώδες a να είναι ακέραιο, το οποίο σημαίνει ότι ο αριθμός a είναι κατ ανάγκη στοιχείο του δακτυλίου R K. 1.9 Πρώτα ιδεώδη Υπενθυμίζουμε σε αυτό το σημείο την παρατήρηση Αυτή μας υποδεικνύει ότι μπορούμε να ορίσουμε πρώτα και μεγιστικά ιδεώδη του R K, με τον ίδιο τρόπο που τα ορίζουμε για οποιοδήποτε μεταθετικό δακτύλιο με μοναδιαίο στοιχείο. Έτσι, δοθέντος ιδεώδους P ⁴R K, τότε αυτό είναι πρώτο εάν, και μόνο εάν P αβ P α ή P β, όπου α, β R K. Γνωρίζουμε ότι P R K είναι πρώτο τότε, και μόνο τότε, όταν ο πηλικοδακτύλιος R K /P είναι ακέραια περιοχή. Επιλέγουμε τώρα, ένα άλλο ιδεώδες M R K. Τότε αυτό, θα το καλούμε μεγιστικό εάν, και μόνο εάν, ισχύει ότι A R K : M A R K A = M ή A = R K. Κατ αντιστοιχία με τα πρώτα ιδεώδη, το να είναι μεγιστικό το M είναι ισοδύναμο με το να είναι ο πηλικοδακτύλιος R K /M σώμα. Μάλιστα, σημειώνουμε ότι εφόσον ο R K /P αποτελείται από πεπερασμένου πλήθους στοιχεία, οι έννοιες πρώτο και μεγιστικό ιδεώδες ταυτίζονται. Εύκολα προκύπτει ότι τα μόνα ακέραια ιδεώδη του R K, τα οποία διαιρούν ένα πρώτο ιδεώδες P, είναι τα 1 = R K και το P. Επομένως ισχύει ότι κάθε A R K έχει ένα πρώτο διαιρέτη P. Όλα αυτά είναι γενικά αποτελέσματα της θεωρίας δακτυλίων, τα οποία προσαρμόζουμε στην περίπτωση του δακτύλιου των ακέραιων αλγεβρικών του K. ΘΕΩΡΗΜΑ Κάθε πρώτο ιδεώδες P του R K περιέχει ακριβώς ένα πρώτο αριθμό p P για τον οποίο μάλιστα ισχύει ότι N K (P ) = p f, όπου f N {0}. Απόδειξη. Ο R K /P είναι σώμα. Κι εφόσον #(R K /P ) < +, είναι πεπερασμένο σώμα. Ας υποθέσουμε ότι char(r K /P ) = p P. Για το λόγο αυτό, το σώμα F p περιέχεται ισόμορφα στο R K /P. Μπορούμε επομένως να ορίσουμε την επέκταση σωμάτων (R K /P )/F p και να επιλέξουμε μία βάση αυτής, έστω την ω 1, ω,..., ω n. Έτσι, το τυχόν στοιχείο a R K /P έχει τη μορφή: a = f a i ω i, a i F p. i=1 Από τον τύπο αυτό συμπεραίνουμε ότι για το a έχουμε p f επιλογές, ήτοι N K (P ) = p f. ⁴Με το σύμβολο αυτό, εννοούμε ότι P R K και P R K.

25 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΔΕΩΔΩΝ ΣΕ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΠΡΩΤΩΝ ΙΔΕΩΔΩΝ Επειδή δε ισχύει ότι N K (P ) P, βάσει της πρότασης λαμβάνουμε ότι p f P p P, μιας και το P είναι πρώτο. Θα δείξουμε τη μοναδικότητα του πρώτου αριθμού p. Αν υποθέσουμε ότι ο m N είναι ο ελάχιστος ο φυσικός που ανήκει στο P, τότε p = ml + r, 0 r < m. Ομως, θα πρέπει να ισχύει ότι r = 0, διότι διαφορετικά θα είχαμε r P και r < m, το οποίο είναι άτοπο. Ακόμα ισχύει ότι m 1, καθώς διαφορετικά το P = R K δε θα ήταν πρώτο ιδεώδες. Άρα από τη σχέση p = ml προκύπτει ότι p = m. Αυτό σημαίνει ότι ο p είναι ο ελάχιστος φυσικός που ανήκει στο ιδεώδες P. Έστω τώρα q P, ο οποίος ανήκει στο P. Αν υποθέσουμε ότι q = pl + r, 0 r < p, τότε λόγω ιδιότητας του p θα πρέπει r = 0, συνεπώς q = pl. Κατ ανάγκη λοιπόν ισχύει ότι l = 1 q = p. Άρα ο p είναι ο μοναδικός πρώτος που ανήκει στο P. Εάν θεωρήσουμε έναν πρώτο αριθμό p, τότε το ιδεώδες p έχει ένα πρώτο διαιρέτη, έστω το P. Για το ιδεώδες αυτό και τον πρώτο αριθμό p ισχύει ότι p P. Για κάθε πρώτο αριθμό p, λοιπόν, αντιστοιχεί ένα πρώτο ιδεώδες P που το περιέχει. Ακόμα, παρατηρούμε ότι για τα p, q P με p q, τα ιδεώδη P και Q, για τα οποία p P και q Q, είναι κατ ανάγκη διαφορετικά, λόγω του θεωρήματος Επομένως έχουμε αποδείξει το κατωτέρω αποτέλεσμα. ΠΡΟΤΑΣΗ Υπάρχουν άπειρα πρώτα ιδεώδη του αλγεβρικού σώματος αριθμών K. ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω P, ένα πρώτο ιδεώδες του αλγεβρικού σώματος αριθμών K. Ορίζουμε ως βαθμό του πρώτου ιδεώδους P, το βαθμό f της επέκτασης σωμάτων (R K /P )/F p. Με άλλα λόγια, και, μάλιστα, ισχύει ότι f := [R K /P : F p ] N K (P ) = p f, όπου p είναι ο μοναδικός πρώτος αριθμός που ανήκει στο P Ανάλυση ιδεωδών σε γινόμενο πρώτων ιδεωδών Μετά από όλα αυτά, είμαστε έτοιμοι να εισάγουμε το βασικό αποτέλεσμα που μας επιτρέπει να κάνουμε αριθμητική με ιδεώδη και να υπερπηδήσουμε το εμπόδιο της μονοσήμαντης παραγοντοποίησης στα στοιχεία του δακτυλίου των ακέραιων αλγεβρικών αριθμών ενός αλγεβρικού σώματος αριθμών. Πριν όμως περάσουμε στο βασικό θεώρημα, αναφέρουμε κάποια προκαταρκτικά αποτελέσματα. ΛΗΜΜΑ Αν A R K, τότε υπάρχουν πρώτα ιδεώδη P 1, P,..., P r με την ιδιότητα Απόδειξη. (βλ. [], σελ.11, Λημ. 13.) ΛΗΜΜΑ Για κάθε A R K, το σύνολο P 1 P P r A. A 1 = {x K xa R K }, αποτελεί ιδεώδες του K και μάλιστα, αν A R K, τότε R K A 1. Απόδειξη. (βλ. [], σελ.1, Λημ. 13.3)

a b b < a > < b > < a >.

a b b < a > < b > < a >. Θεωρια Δακτυλιων και Modules Εαρινο Εξαμηνο 2016 17 Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Επανάληψη: Προσθετικές ομάδες, δακτύλιοι, αντιμεταθετικοί δακτύλιοι, δακτύλιοι με μοναδιαίο στοιχείο, παραδείγματα. Συμφωνήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό θα υπενθυμίσουμε τις βασικές έννοιες που αφορούν πρότυπα πάνω από ένα δακτύλιο Θα περιοριστούμε στα πλέον απαραίτητα για αυτά που ακολουθούν στα άλλα κεφάλαια Η κατευθυντήρια

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιμοποιώντας τανυστικά γινόμενα και εφαρμόζοντας το θεώρημα των Wedderbur-Art ( 33) θα αποδείξουμε δύο θεμελιώδη θεωρήματα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες *

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάμε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων Αυτές συνδέονται μεταξύ τους με την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιμοποιώντας τανυστικά γινόμενα και εφαρμόζοντας το θεώρημα των Wedderbur-rt ( 33) θα αποδείξουμε δύο θεμελιώδη θεωρήματα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο.

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο. Κεφάλαιο Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο Ορισμοί και Παραδείγματα Παραδοχές Στo βιβλίο αυτό θα κάνουμε τις εξής παραδοχές Χρησιμοποιούμε προσθετικό συμβολισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρμογή: Το θεώρημα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρμογή: Το θεώρημα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρμογή: Το θεώρημα του Bursde a b Θα αποδείξουμε εδώ ότι κάθε ομάδα τάξης pq ( p, q πρώτοι) είναι επιλύσιμη Το θεώρημα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιμοποίησε τη νέα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Ημιαπλοί Δακτύλιοι Είδαμε στο κύριο θεώρημα του προηγούμενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισμα απλών προτύπων Εδώ θα χαρακτηρίσουμε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή )

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή ) Θεωρία Galos Πρόχειρες σημειώσεις 0- (εκδοχή -7-0) Περιεχόμενα 0 Υπενθυμίσεις και συμπληρώματα Ανάγωγα πολυώνυμα Ανάγωγα πολυώνυμα και σώματα Χαρακτηριστική σώματος Απλές ρίζες πολυωνύμων Ασκήσεις 0 Επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο Αλγεβρικές Δομές ΙΙ 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο C(R) = {a R/ax = xa, για κάθε x R} είναι υποδακτύλιος του R, και λέγεται κέντρο του δακτυλίου R. Ά σ κ η σ η 1.2

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 0. Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη

Κεφάλαιο 0. Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη Κεφάλαιο 0 Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη Το κεφάλαιο αυτό έχει προπαρασκευαστικό χαρακτήρα Θα καθιερώσουµε συµβολισµούς και θα υπενθυµίσουµε ορισµούς και στοιχειώδεις προτάσεις για δακτύλιους και ιδεώδη

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη. Τσουκνίδας Ι.

Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη. Τσουκνίδας Ι. Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη Τσουκνίδας Ι. 2 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή στα πεπερασμένα σώματα 5 1.1 Μάθημα 1..................................... 5 1.1.1

Διαβάστε περισσότερα

a = a a Z n. a = a mod n.

a = a a Z n. a = a mod n. Αλγεβρα Ι Χειμερινο Εξαμηνο 2017 18 Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Πράξεις: Πράξεις στο σύνολο S, ο πίνακας της πράξης, αντιμεταθετικές πράξεις. Προσεταιριστικές πράξεις, το στοιχείο a 1 a 2 a n. Η πράξη «σύνθεση

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

s G 1 ). = R, Z 2 Z 3 = Z6. s, t G) s t = st. 1. H = G 4. [G : H] = a G ah = Ha.

s G 1 ). = R, Z 2 Z 3 = Z6. s, t G) s t = st. 1. H = G 4. [G : H] = a G ah = Ha. Αλγεβρα ΙΙ Εαρινο Εξαμηνο 2017 18 Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Ομάδες-Πηλίκο: Κρατήσαμε σταθερή μια ομάδα G με ταυτοτικό το ι και μια υποομάδα H της G. Συμβολίσαμε με G 1 το G/H (το σύνολο των αριστερών συμπλόκων

Διαβάστε περισσότερα

G 1 = G/H. I 3 = {f R : f(1) = 2f(2) ή f(1) = 3f(2)}. I 5 = {f R : f(1) = 0}.

G 1 = G/H. I 3 = {f R : f(1) = 2f(2) ή f(1) = 3f(2)}. I 5 = {f R : f(1) = 0}. Αλγεβρα ΙΙ, Εαρινο Εξαμηνο 2017 18 Ασκησεις που συζητηθηκαν στο φροντιστηριο Φροντιστήριο 1. 1. Δίνεται η ομάδα G = Z 4 Z 8, το στοιχείο a = (1, 2) της G, και η υποομάδα H =< a > της G. Εστω G 1 = G/H.

Διαβάστε περισσότερα

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 2. όπου a (4 i) (1 2 i), b i. Στη συνέχεια βρείτε κάθε τέτοιο d. b. Δείξτε ότι [ i] (4 i)

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 2. όπου a (4 i) (1 2 i), b i. Στη συνέχεια βρείτε κάθε τέτοιο d. b. Δείξτε ότι [ i] (4 i) 6 Δακτύλιοι και Πρότυπα 016-17 Ασκήσεις Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα, Περιοχές κυρίων ιδεωδών. 1. Θεωρούμε το δακτύλιο [ i]. a. Βρείτε ένα d [ i] με ( a, b) d, όπου a (4 i) (1 i), b 16 1 i.

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών 1.3. Ι Π Ι. Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0}, < n καθώς και ότι:

1.3 Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών 1.3. Ι Π Ι. Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0}, < n καθώς και ότι: 13 Ι Π Ι Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0}, < n καθώς και ότι: n N {0}, ( ) + n = = n + ( ) και ( ) + ( ) = (**) Ονομάζουμε επικεφαλής συντελεστή ενός μη μηδενικού πολυωνύμου f, τον συντελεστή f(i)

Διαβάστε περισσότερα

Δώδεκα Αποδείξεις του. Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας

Δώδεκα Αποδείξεις του. Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας Δώδεκα Αποδείξεις του Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας Mία εκδοχή της αρχικής απόδειξης του Gauss f ( z) = T ( z) + iu ( z) T = r cos φ + Ar 1 cos(( 1) φ + α) + + L cosλ U = r si φ + Ar 1 si(( 1) φ

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών 13 Ι Π Ι Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0},

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να αναγνωρίζει πότε μια αλγεβρική παράσταση της πραγματικής μεταβλητής x, είναι πολυώνυμο και να διακρίνει τα στοιχεία του: όροι, συντελεστές, σταθερός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Στο κεφάλαιο αυτό μελετάμε δακτυλίους του Art χρησιμοποιώντας το ριζικό του Jacobso. Ως εφαρμογή αποδεικνύουμε ότι κάθε δακτύλιος του Art είναι και της Noether. 4.1. Δακτύλιοι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιµοποιώντας τανυστικά γινόµενα και εφαρµόζοντας το θεώρηµα των Wedderbur-rt ( 33) θα αποδείξουµε δύο θεµελιώδη θεωρήµατα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες *

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015.

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες άρα

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Δομές Ι. 1 Ομάδα I

Αλγεβρικές Δομές Ι. 1 Ομάδα I Αλγεβρικές Δομές Ι 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω G μια προσθετική ομάδα S ένα μη κενό σύνολο και M(S G το σύνολο όλων των συναρτήσεων f : S G. Δείξτε ότι το σύνολο M(S G είναι ομάδα με πράξη την πρόσθεση

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Τα πρώτα μαθήματα, σχεδόν σε όλους τους κλάδους των μαθηματικών, περιέχουν, ή θεωρούν γνωστές, εισαγωγικές έννοιες που αφορούν σύνολα, συναρτήσεις, σχέσεις ισοδυναμίας, αλγεβρικές δομές, κλπ.

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασμένων Ομάδων Ι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασμένων Ομάδων Ι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασμένων Ομάδων Ι Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Weddebu για ημιαπλούς δακτυλίους, αναπτύσσουμε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασμένων

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) n = a k b n k, k. (a + b) p = a p + b p. k=0. n! k! (n k)! k =

(a + b) n = a k b n k, k. (a + b) p = a p + b p. k=0. n! k! (n k)! k = ΒΑΣΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συμπληρωματικές Ασκήσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2016 Χρήστος Α. Αθανασιάδης Συμβολίζουμε με Z m το δακτύλιο των ακεραίων modulo m, με ā Z m την κλάση (mod m) του a Z και με M n (R) το δακτύλιο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 17 Οκτωβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 17 Οκτωβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Οκτωβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 5 Νοεμβρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες ΙΙ. ιδάσκουσα : Χ. Χαραλάµπους. Θέµατα προηγουµένων ετών

Αλγεβρικες οµες ΙΙ. ιδάσκουσα : Χ. Χαραλάµπους. Θέµατα προηγουµένων ετών Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων Τµηµα Μαθηµατικων Αλγεβρικες οµες ΙΙ ιδάσκουσα : Θέµατα προηγουµένων ετών 1 Θέµατα Πολλαπλής Επιλογής Στις ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής, εάν

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z).

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z). Παράρτηµα Α 11.1 Εισαγωγή Οπως έχει αναφερθεί ήδη προοδευτικά στο δεύτερο µέρος του παρόντος συγγράµµατος χρησιµοποιούνται ϐασικές έννοιες άλγεβρας. Θεωρούµε ότι οι έννοιες αυτές είναι ήδη γνωστές από

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων

9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων 4ο Κεφάλαιο 9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμοί Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής ν αx όπου α R, * ν N και x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

Το Θεώρημα CHEVALLEY-WARNING

Το Θεώρημα CHEVALLEY-WARNING Το Θεώρημα CHEVALLEY-WARNING Ανθή Ζερβού Διδάσκων: Ιωάννης Αντωνιάδης 3/02/2015 1 ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΩΜΑΤΑ Ορισμός. Εστω Κ σώμα. Χαρακτηριστική του Κ, συμβολίζεται ch(k), είναι ο ελάχιστος φυσικός αριθμός n

Διαβάστε περισσότερα

Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες και 30 λεπτά

Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες και 30 λεπτά Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Αλγεβρικές οµές ΙΙ 1. Εστω ότι R Z 3 [x]. Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες 30 λεπτά (αʹ) Να αποδείξετε ότι ο R είναι περιοχή

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Αλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 1 Εισαγωγή Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπισ τήμιο Κρήτης 19/2/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 1 19/2/ / 13

Γραμμική Αλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 1 Εισαγωγή Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπισ τήμιο Κρήτης 19/2/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 1 19/2/ / 13 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 1 Εισαγωγή Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης 19/2/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 1 19/2/2014 1 / 13 Εισαγωγή Τι έχουμε μάθει; Στο πρώτο μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Η Γραμμική Άλγεβρα είναι ένα σημαντικό συστατικό στο πρόγραμμα σπουδών, όχι μόνο των Μαθηματικών, αλλά και άλλων τμημάτων, όπως είναι το τμήμα Φυσικής, Χημείας, των τμημάτων του Πολυτεχνείου,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΣ121: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ I Εαρινό εξάμηνο , Διδάσκων: Γιώργος Γεωργίου ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, Διάρκεια: 2 ώρες 18 Νοεμβρίου, 2017

ΜΑΣ121: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ I Εαρινό εξάμηνο , Διδάσκων: Γιώργος Γεωργίου ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, Διάρκεια: 2 ώρες 18 Νοεμβρίου, 2017 ΜΑΣ: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ I Εαρινό εξάμηνο 07-08, Διδάσκων: Γιώργος Γεωργίου ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, Διάρκεια: ώρες 8 Νοεμβρίου, 07 Δίνονται 4 προβλήματα που αντιστοιχούν σε 0 μονάδες με άριστα το 00! ΟΝΟΜΑ: Αρ.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

bca = e. H 1j = G 2 H 5j = {f G j : f(0) = 1}

bca = e. H 1j = G 2 H 5j = {f G j : f(0) = 1} Αλγεβρα Ι, Χειμερινο Εξαμηνο 2017 18 Ασκησεις που συζητηθηκαν στο φροντιστηριο Το [Α] συμβολίζει το φυλλάδιο ασκήσεων που θα βρείτε στην ιστοσελίδα του μαθήματος επιλέγοντας «Άλλες Ασκήσεις». 1. Πόσες

Διαβάστε περισσότερα

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες

Διαβάστε περισσότερα

V (F ) = {(u 1, u 2, u 3 ) P 2 K F (u 1, u 2, u 3 ) = 0}

V (F ) = {(u 1, u 2, u 3 ) P 2 K F (u 1, u 2, u 3 ) = 0} 1 Θεώρημα BEZOU T Ο δακτύλιος K[x 1,..., x n ] είναι περιοχή μονοσήμαντης ανάλυσης. Άρα κάθε πολυώνυμο f K[x 1,..., x n ] (που δεν είναι σταθερά, δηλαδή f / K) αναλύεται σε γινόμενο αναγώγων πολυωνύμων,

Διαβάστε περισσότερα

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 6. Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα6, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα.

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 6. Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα6, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα. Δακτύλιοι και Πρότυπα 0-7 Ασκήσεις Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα Βρείτε τη ρητή κανονική μορφή και μια κανονική μορφή Jorda του M( ) 0 0 Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Δευτέρα 13 Ιανουαρίου 2014

Α Δ Ι. Δευτέρα 13 Ιανουαρίου 2014 Α Δ Ι Α - Φ 9 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Δευτέρα 13 Ιανουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Θεωρία Sylow. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Θεωρία Sylow. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Θεωρία Sylow Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 2 Θεωρία Sylow 21 Τα Θεωρήματα Sylow Ορισμός 211 Μια ομάδα (G, ) τάξης p α, όπου

Διαβάστε περισσότερα

Séminaire Grothendieck

Séminaire Grothendieck Séminaire Grothendieck in memoriam 28 March 928 3 November 204 Αριστείδης Κοντογεώργης 7 Φεβρουαρίου 205 Συνιστώμενη βιβλιογραφία. J.S Milne, Étale Cohomology 2. P. Deligne, SGA 4 2 Cohomologie étale Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

βαθμού 1 με A 2. Υπολογίστε τα χαρακτηριστικά και ελάχιστα πολυώνυμα των

βαθμού 1 με A 2. Υπολογίστε τα χαρακτηριστικά και ελάχιστα πολυώνυμα των Ασκήσεις 6 Ασκήσεις Ελάχιστο Πολυώνυμο Βασικά σημεία Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου πίνακα και ιδιότητές του Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου γραμμικής απεικόνισης και ιδιότητές του Κριτήριο διαγωνισιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

* * * ( ) mod p = (a p 1. 2 ) mod p.

* * * ( ) mod p = (a p 1. 2 ) mod p. Θεωρια Αριθμων Εαρινο Εξαμηνο 2016 17 Μέρος Α: Πρώτοι Αριθμοί Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Διαιρετότητα: Διαιρετότητα, διαιρέτες, πολλαπλάσια, στοιχειώδεις ιδιότητες. Γραμμικοί Συνδυασμοί (ΓΣ). Ενότητα 2. Πρώτοι

Διαβάστε περισσότερα

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 3. Στις παρακάτω ασκήσεις κάθε δακτύλιος είναι μη τετριμμένος μεταθετικός δακτύλιος. N ( a)

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 3. Στις παρακάτω ασκήσεις κάθε δακτύλιος είναι μη τετριμμένος μεταθετικός δακτύλιος. N ( a) 11 Δακτύλιοι και Πρότυπα 2016-17 Ασκήσεις 3 Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα3, Ελεύθερα πρότυπα Στις παρακάτω ασκήσεις κάθε δακτύλιος είναι μη τετριμμένος μεταθετικός δακτύλιος 1 Δείξτε ότι το

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3 Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Αʹ. Στοιχεία από την Άλγεβρα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Αʹ. Στοιχεία από την Άλγεβρα ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Αʹ Στοιχεία από την Άλγεβρα Στο Παράρτημα αυτό, το οποίο παρατίθεται για να συμβάλει στην αυτοδυναμία του βιβλίου, ο αναγνώστης θα μπορεί να προστρέχει για αρωγή σε έννοιες και αποτελέσματα που

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 15 Νοεμβρίου Ασκηση 1. Να ευρεθεί η τάξη τού στοιχείου a τής ομάδας (G, ), όπου. (4) a = ( 1 + i 3)/2, (G, ) = (C, ),

Α Δ Ι. Παρασκευή 15 Νοεμβρίου Ασκηση 1. Να ευρεθεί η τάξη τού στοιχείου a τής ομάδας (G, ), όπου. (4) a = ( 1 + i 3)/2, (G, ) = (C, ), Α Δ Ι Α - Φ 4 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 15 Νοεμβρίου

Διαβάστε περισσότερα

A N A B P Y T A ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. 1 (α + β + γ) [(α-β) 2 +(α-γ) 2 +(β-γ) 2 ] και τις υποθέσεις

A N A B P Y T A ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. 1 (α + β + γ) [(α-β) 2 +(α-γ) 2 +(β-γ) 2 ] και τις υποθέσεις ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΑΣΚΗΣΗ η Αν α +β +γ = αβγ και α + β + γ, να δείξετε ότι το πολυώνυμο P()=(α β) +(β γ) + γ α είναι το μηδενικό πολυώνυμο. Από την ταυτότητα του Euler α +β +γ -αβγ = (α + β + γ)[(α-β)

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου

Διαβάστε περισσότερα

Βασική Άλγεβρα. Ασκήσεις (εκδοχή )

Βασική Άλγεβρα. Ασκήσεις (εκδοχή ) Βασική Άλγεβρα Ασκήσεις 05-6 (εκδοχή 8--05) Βασική Άλγεβρα Ασκήσεις Υποδείξεις/Απαντήσεις Περιεχόμενα σελίδα Ασκήσεις Διαιρετότητα στους ακέραιους, ισοτιμίες Ασκήσεις Ακέραιοι odulo, Θεώρημα του Euler

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς Σημειώσεις Ανάλυσης Ι 1. Οι ρητοί αριθμοί Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς 1, 2, 3, και τις πράξεις (πρόσθεση - πολλαπλασιασμό)μεταξύ αυτών. Οι φυσικοί αριθμοί είναι επίσης διατεταγμένοι με κάποια

Διαβάστε περισσότερα

A, και εξετάστε αν είναι διαγωνίσιμη.

A, και εξετάστε αν είναι διαγωνίσιμη. Ασκήσεις 6 Ασκήσεις Ελάχιστο Πολυώνυμο Βασικά σημεία Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου πίνακα και ιδιότητές του Θεώρημα (Κριτήριο διαγωνισιμότητας) Ένας είναι διαγωνίσιμος αν και μόνο αν ( x) γινόμενο διακεκριμένων

Διαβάστε περισσότερα

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Κεφάλαιο 7 Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουµε τις απλές επεκτάσεις σωµάτων και τις συγκρίνουµε µε τις επεκτάσεις Galois. Επίσης εξετάζουµε τις αλγεβρικά κλειστές επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

πυθαγόρειες τριάδες, τριγωνομετρία και υπολογισμός ολοκληρωμάτων.

πυθαγόρειες τριάδες, τριγωνομετρία και υπολογισμός ολοκληρωμάτων. πυθαγόρειες τριάδες, τριγωνομετρία και υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Αριστείδης Κοντογεώργης -Τμήμα Μαθηματικών ΕΚΠΑ Πρότυπο Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης 21 Οκτωβρίου 2015 1 το τελευταίο θεώρημα του

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Παρεμβολή και Παρεκβολή Εισαγωγή Ορισμός 6.1 Αν έχουμε στη διάθεσή μας τιμές μιας συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις1 Πολυώνυμα. x x c. με το. b. Να βρεθούν όλες οι τιμές των a, Να βρεθεί ο μκδ και το εκπ τους

Ασκήσεις1 Πολυώνυμα. x x c. με το. b. Να βρεθούν όλες οι τιμές των a, Να βρεθεί ο μκδ και το εκπ τους Aσκήσεις1 1 Βασικά σημεία Ευκλείδεια διαίρεση πολυωνύμων Ορισμός και ιδιότητες μκδ και εκπ Ιδιότητες σχετικών πρώτων πολυωνύμων Τα ανάγωγα πολυώνυμα στο [ ] και [ ] Ασκήσεις1 Πολυώνυμα Ανάλυση πολυωνύμου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

(ii) X P(X). (iii) X X. (iii) = (i):

(ii) X P(X). (iii) X X. (iii) = (i): Θεωρία Συνόλων Χειμερινό Εξάμηνο 2016 2017 Λύσεις 1. Δείξτε ότι ισχύουν τα ακόλουθα: (i) ω / ω (με άλλα λόγια, το ω δεν είναι φυσικός αριθμός). (ii) Για κάθε n ω, ισχύει ω / n. (iii) Για κάθε n ω, το n

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος 3. Εισαγωγή 7

Πρόλογος 3. Εισαγωγή 7 Πρόλογος Η σύγχρονη Άλγεβρα είναι ένα σημαντικό και ουσιαστικό κομμάτι της μαθηματικής εκπαίδευσης σε όλα τα πανεπιστήμια του κόσμου. Αυτό δεν οφείλεται μόνο στο γεγονός ότι πολλοί άλλοι κλάδοι των μαθηματικών,

Διαβάστε περισσότερα

,..., v n. W πεπερασμένα παραγόμενοι και dimv. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα f είναι ισομορφιμός. f είναι 1-1. f είναι επί.

,..., v n. W πεπερασμένα παραγόμενοι και dimv. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα f είναι ισομορφιμός. f είναι 1-1. f είναι επί. Γραμμική Άλγεβρα Ι, 07-8 Ασκήσεις7: Γραμμικές Απεικονίσεις Βασικά σημεία Ορισμός και παραδείγματα γραμμικών απεικονίσεων Σύνθεση γραμμικών απεικονίσεων, ισομορφισμοί Κάθε γραμμική απεικόνιση f : V W, όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Bursde Θα αποδείξουµε εδώ ότι κάθε οµάδα τάξης a q b (, q πρώτοι) είναι επιλύσιµη. Το θεώρηµα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιµοποίησε τη νέα τότε

Διαβάστε περισσότερα

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0.

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0. Ασκήσεις4 46 Ασκήσεις 4 Τριγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις, Θεώρημα των Cayley-Hamilton Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Κριτήριο τριγωνισιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

a pn 1 = 1 a pn = a a pn a = 0,

a pn 1 = 1 a pn = a a pn a = 0, Θεωρία Galois Θεοδώρα Θεοχαρη-Αποστολιδη Χαρά Χαραλαμπους Οι σημειωσεις αυτες θα συμπληρωνονται κατα τη διαρκεια των μαθηματων. 14 Ιανουαρίου 2015 Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη, Χ. Χαραλάμπους, Θεωρία Galois 60

Διαβάστε περισσότερα

1. a. Έστω b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του A Έστω A και ( x) [ x]

1. a. Έστω b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του A Έστω A και ( x) [ x] σκήσεις Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Ιδιόχωροι, διάσταση ιδιόχωρου, εύρεση βάσης ιδιόχωρου Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Δείξτε ότι ο V R εφοδιασμένος με τις ακόλουθες πράξεις (, a b) + (, d) ( a+, b+ d) και k ( ab, ) ( kakb,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα.

Ασκήσεις3 Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα. Ασκήσεις 0 Ασκήσεις Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα o H -στήλη του P P είναι E αν και μόνο αν η -στήλη του P είναι ιδιοδιάνυσμα του που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή

Διαβάστε περισσότερα

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή,

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή, Φίλη μαθήτρια φίλε μαθητή Η εργασία αυτή έγινε με σκοπό να συμβάλει στην κατανόηση στην εμπέδωση και στην εμβάθυνση των μαθηματικών εννοιών που αναπτύσσονται στην Άλγεβρα της Β Λυκείου. Η ύλη είναι γραμμένη

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Η χρησιμότητα της Γραμμικής Άλγεβρας είναι σχεδόν αυταπόδεικτη. Αρκεί μια ματιά στο πρόγραμμα σπουδών, σχεδόν κάθε πανεπιστημιακού τμήματος θετικών επιστημών, για να διαπιστώσει κανείς την παρουσία

Διαβάστε περισσότερα

Βασική Άλγεβρα. Ασκήσεις (εκδοχή )

Βασική Άλγεβρα. Ασκήσεις (εκδοχή ) Βασική Άλγεβρα Ασκήσεις 0-4 (εκδοχή 5--04) Βασική Άλγεβρα Ασκήσεις Υποδείξεις/Απαντήσεις Περιεχόµενα σελίδα Ασκήσεις ιαιρετότητα στους ακέραιους, ισοτιµίες Ασκήσεις Ακέραιοι odulo, Θεώρηµα του Euler 7

Διαβάστε περισσότερα

1. Για καθένα από τους ακόλουθους διανυσματικούς χώρους βρείτε μια βάση και τη διάσταση. 3. U x y z x y z x y. {(,, ) } a b. c d

1. Για καθένα από τους ακόλουθους διανυσματικούς χώρους βρείτε μια βάση και τη διάσταση. 3. U x y z x y z x y. {(,, ) } a b. c d Γραμμική Άλγεβρα Ι, 07-8 Ασκήσεις6: Βάση και Διάσταση Βασικά σημεία Βάση διανυσματικού χώρου (ορισμός, παραδείγματα, μοναδικότητα συντελεστών) Θεώρημα (ύπαρξη, πρώτη μορφή) Έστω V K μη μηδενικός με K πεπερασμένο

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Προκαταρκτικές Έννοιες 1.1 Δακτύλιοι,

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμένες σελίδες του βιβλίου

Ορισμένες σελίδες του βιβλίου Ορισμένες σελίδες του βιβλίου 7. Θεωρούμε το σύνολο αναφοράς 0,,. Να οριστούν τα σύνολα: Α. των τριψηφίων αριθμών που σχηματίζουν τα στοιχεία του Ω. Β. των τριψηφίων αριθμών με διαφορετικά ψηφία Γ. των

Διαβάστε περισσότερα

Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη, Χ. Χαραλάμπους, Θεωρία Galois 2 2

Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη, Χ. Χαραλάμπους, Θεωρία Galois 2 2 Θεωρία Galois Θεοδώρα Θεοχαρη-Αποστολιδη Χαρά Χαραλαμπους Οι σημειωσεις αυτες θα συμπληρωνονται κατα τη διαρκεια των μαθηματων. 11 Νοεμβρίου 2014 Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη, Χ. Χαραλάμπους, Θεωρία Galois 2

Διαβάστε περισσότερα

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x) [] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει

Διαβάστε περισσότερα

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ .0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Έστω διανύσματα που ανήκουν στο χώρο δ i = ( a i, ai,, ai) i =,,, και έστω γραμμικός συνδυασμός των i : xδ + x δ + + x δ = b που ισούται με το διάνυσμα b,

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 4: Πολυώνυμα τετάρτου και μεγαλύτερου βαθμού

Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 4: Πολυώνυμα τετάρτου και μεγαλύτερου βαθμού Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 4: Πολυώνυμα τετάρτου και μεγαλύτερου βαθμού Ράπτης Ευάγγελος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Πολυώνυμα τετάρτου και μεγαλυτέρου βαθμού 4.1 Εξίσωση τετάρτου

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015.

Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015. Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Γραμμικοί Κώδικες. 2.1 Η έννοια του Γραμμικού κώδικα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Γραμμικοί Κώδικες. 2.1 Η έννοια του Γραμμικού κώδικα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Γραμμικοί Κώδικες 2.1 Η έννοια του Γραμμικού κώδικα Μέχρι τώρα θεωρούσαμε έναν κώδικα C με παραμέτρους (n, M, d) απλώς ως ένα υποσύνολο του συνόλου A n, όπου A είναι ένα αλφάβητο. Είχαμε, όμως,

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 11: Αριθμητική υπολοίπων-δυνάμεις Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα