Α Λυκείου Γεωμετρία. 4 ο ΓΛΧ Μ. Παπαγρηγοράκης Χανιά. Γεωμετρία

Transcript

1 υκείου εωμετρία 4 ο Χ Παπαγρηγοράκης Χανιά εωμετρία

2 Ταξη: ενικού υκείου εωμερία Έκδοση Η συλλογή αυτή διανέμεται δωρεάν σε ψηφιακή μορφή μέσω διαδικτύου προορίζεται για σχολική χρήση και είναι ελεύθερη για αξιοποίηση αρκεί να μην αλλάξει η μορφή της ίλτος Παπαγρηγοράκης αθηματικός MEd Χανιά 015 Ιστοσελίδα:

3 υκείου - εωμετρία 3 1 ΙΣΩΗ ΣΙΣ ΝΟΙΣ.01 ν είναι το μέσο τμήματος και Ο σημείο της ημιευθείας, να αποδείξετε ότι αν: ) Το Ο δεν ανήκει στο τότε Ο Ο Ο ) Το Ο ανήκει στο τότε Ο Ο Ο.0 Σε μια ευθεία ε παίρνουμε τα διαδοχικά ευθύγραμμαα τμήματα,,. ν, Ν είναιι τα μέσα των και αντίστοιχα, να δείξετε ότι Ν.03 Σε μια ευθεία ε παίρνουμε τα διαδοχικά τμήματα,,. ν, Ν είναι τα μέσα τωνν τμημάτων και αντίστοιχα, να δείξετε ότι: Ν.04 Σε μια ευθεία ε παίρνουμε τα διαδοχικά τμήματα,. ν,, είναι τα μέσα των,, αντίστοιχα, να δειχθεί ότι τα, έχουν κοινό μέσο..05 Στο παρακάτω σχήμα τα σημεία Ο,, και είναι συνευθειακά και είναι =3M. Ναα δείξετε ότι: 3Ο=Ο+Ο O.06 Σε μια ευθεία παίρνουμε διαδοχικά τα σημεία K,,,M και ώστε 3M 4M Να δειχθεί ότι: 7KM 3K 4K..08 Σε μιαα ευθεία παίρνουμε διαδοχικά τα σημεία K,,M και ώστε 4M 3M. Να δειχθεί ότι: 7KM 3K 4K..09 πό σημείο σ Ο ευθείας φέρνουμε προς το ίδιο μέρος της τ ημιευθείες Ο, Ο τέτοιες, ώστε οι γωνίεςς ˆΟ, ˆΟ, ˆΟ να είναι εφεξής. ν Ο, Ο είναι οι διχοτόμοι των Ο ˆΟ, ˆΟ αντίστοιχα και ( ˆΟ )=1000, να υπολογιστεί η γωνία ˆΟ...10 ίνεται κυρτή γωνία ˆΟ καιι εσωτερική ημιευθεία της Ο τέτοια, ώστε η διαφορά γωνιών ˆΟ και ˆΟ να είναι 900. ν Ο, Ο είναι οι διχοτόμοι τωνν γωνιών ˆΟ, ˆΟ αντίστοιχα, να δειχτεί ότι ( ΟˆΟ )=45ο...11 Θεωρούμε αμβλείαα γωνία x ˆΟ y και τις ημιευθείες Ο, Ο με ΟΟx και ΟΟy που περιέχονται στη x ˆΟ y. Ναα δειχτεί ότι οι γωνίες x ΟˆΟ y και ˆΟ έχουν την ίδια διχοτόμο και είναι παραπληρωματικές...1 ίνονται οι διαδοχικές γωνίες ˆΟ, ˆΟ, ˆΟ με άθροισμα μέτρωνν μικρότερο των τ 180ο. ν Οx,Oy είναι οι διχοτόμοι των γωνιών ˆΟ, ˆΟ αντίστοιχα, ναα δείξετε ότι: : ˆ xoy Ο ˆ Ο ˆ..13 Να βρείτε το μέτροο μιας γωνίας φ αν.07 Οι ημιευθείες Ο, Ο, Ο, Ο σχηματίζουν τις διαδοχικές γωνίες ˆΟ, ˆΟ, ˆΟ, ˆΟ που έχουν μέτρα ανάλογα με τους αριθμούς 1,, 3, 4. Να υπολογίσετε τις τ γωνίες αυτές και να δείξετε ότι οι ημιευθείεςς Ο και Ο είναι αντικείμενες. γνωρίζουμε ότι το άθροισμα των μέτρων της συμπληρωματικής και τηςς παραπληρωματικής γωνίας της φ είναι ίσο με το εφταπλάσιο του μέτρου της γωνίας φ.

4 4 ΤΡΙΩΝ 3 ΤΡΙΩΝ 3.01 Έστω ισοσκελές τρίγωνο,. Στις προεκτάσεις των πλευρών και προς το παίρνουμε σημεία και ώστε να είναι = αντίστοιχα. ν είναι το μέσον της βάσης να αποδειχτεί ότι =. 3.0 Έστω τρίγωνο και η ημιευθεία χ διχοτόμος της γωνίας.. Πάνω σ αυτήν παίρνουμε σημεία και ώστε να είναι ε = και = αντίστοιχα. Να αποδειχτεί ότι οι γωνίες και είναι ίσες και ότι = 3.03 Έστω ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Στις προεκτάσεις των πλευρών του,, προς τα,, αντίστοιχα παίρνουμε σημεία,, έτσιι ώστε ==. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο ίνεται η οξεία γωνία ΧΟΨ. ατασκευάζουμε τις ορθές γωνίες ΧΟ και ΨΟΤ Τ ώστε η κάθε μία από αυτές να περιέχει την γωνίαα ΧΟΨ. πί των ΟΧ και Ο παίρνουμεε δυο ίσα τμήματα Ο και ΟΝ και επί των ΟΨ και ΟΤ παίρνουμε δυο ίσα τμήματα ΟΡ και ΟΣ. Να αποδειχτεί ότι οι γωνίες ΟΡΝ και ΟΣ είναι ίσες ίνεται τρίγωνο και δύο ίσες γωνίες Χ και Ψ που κάθε μία τους είναι εφεξής με την γωνία. Στις ημιευθείες Χ και Ψ παίρνουμε τα σημεία και ώστε να είναι = και = αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι = Στις πλευρές,, ενός ισοπλεύρου τριγώνου παίρνουμε αντίστοιχα τα σημεία,, ώστε να είναι ==. Να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο ύο ίσα ευθ. τμήματα και τέμνονται στο ώστε να είναι και. ν είναι = να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα και είναι ίσα Στις πλευρές π ΟΧ, ΟΨ γωνίας ΧΟΨ παίρνουμε ταα σημεία, και, αντίστοιχα ώστε να είναιι Ο Ο και Ο =Ο. ν είναι σημείο της διχοτόμου της τότε οι γωνίες και είναι ίσες Έστω ένα ισοσκελές τρίγωνο στο οποίο η βάση είναιι μικρότερη από την πλευρά. Στην προέκταση της πλευρά προς το παίρνουμε τμήμα =- και στην προέκταση της πλευράς προς το παίρνουμε τμήμα =. Να αποδείξετε ότι ι ) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. ) ) η γωνία ισούται με το ημιάθροισμα των γωνιών και ίνονται δυο ίσες οξείες γωνίες και οι οποίεςς έχουν κοινήή την κορυφή και κοινή την γωνία. πίί των καιι παίρνουμε ίσαα ευθ. τμήματα =Ν και επί των και παίρνομε δυο ίσα ευθ. τμήματα Ρ=Σ Να αποδειχτεί α ότι Ρ=ΝΣ Να αποδειχτεί ότιι δύο οξυγώνια τρίγωνα και που έχουν β=β, γ=γ και μβ=μβ είναι ίσα Στις ίσες πλευρές και ενός ισοσκελούς τριγώνου παίρνουμε αντίστοιχα δύο σημεία και ώστε να είναι =. Τα ευθ. τμήματα και τέμνονται στο. Να δείξετε.ότι ) Τα τρίγωνα και είναι ισοσκελή ) ) Η ημιευθεία είναι διχοτόμος της γωνίας ίνεται μια γωνίαα ΧΟΨ. Στην πλευρά ΟΧ παίρνουμε τα τμήματα Ο, Ο και στην πλευρά ΟΨ παίρνουμε τμήματα Ο =Ο και Ο =Ο. Οι ευθείες και τέμνονται στο. Να αποδειχτεί ότιι η Ο είναι διχοτόμος της γωνίας ΧΟΨ.

5 υκείου - εωμετρία ύο ισοσκελή τρίγωνα και μεε κορυφή το έχουν τις γωνίες και ίσες. Να δειχτεί ότι = ή = Έστω ισοσκελές τρίγωνο,, και oι διχοτόμοι των γωνιών και που τέμνονται στο. ν και είναι τα μέσα των και αντίστοιχα, δείξτε ότι = Έστω ένα τρίγωνο με >. Στηνν προέκταση της πλευράς προς το παίρνουμεε σημείο ώστε = και στην προέκταση της πλευράς προς το σημείο ώστε =. Οι ευθείες και τέμνονται στο. Να δειχτεί ότι: ) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. ) Η διχοτόμος της γωνίας διέρχεται από το 3.17 Έστω το μέσο ενός ευθ. τμήματος. Στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την ευθεία που είναι φορέας του παίρνουμε τα σημεία και ώστε να είναι = και =. Να αποδειχτεί ότι οι γωνίες και είναι ίσες Έστω μία κυρτή γωνία ΧΟΨ. Στην πλευρά της ΟΧ παίρνουμε δύο σημεία και και στην πλευρά της ΟΨ δύο σημεία και ώστε να είναι Ο=Ο και Ο=Ο. ν είναι το σημείο τομής των και να αποδειχτεί ότι τα τρίγωνα και είναι ίσα. Στη συνέχεια να αποδείξετε ότι και οι γωνίες Ο και Ο είναι ίσες Στις προεκτάσεις των πλευρών, τριγώνου προς το μέρος του παίρνουμε τμήματα = και = αντιστοίχως. Να δειχτεί ότι ο φορέας της διάμεσους του τριγώνου διέρχεται από το μέσον του 3.0 Θεωρούμε δύο ίσα τρίγωνα και. Η διάμεσος και η διχοτόμος του τριγώνου τέμνονται στο Θ, ενώ η αντίστοιχη διάμεσος και η αντίστοιχη διχοτόμος του τριγώνου τέμνονται στο Θ. Να αποδείξετε ότι Θ=Θ και Θ=Θ Να αποδεχτεί ότι δύο οξυγώνια τρίγωνα και που έχουν β=β, δα=δα και τις γωνίες τους και ίσες είναι ίσα. 3.. Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο και στις ίσες πλευρές και τα σημεία και αντίστοιχα έτσι ώστε =. ν Ο είναι ε τυχαίο εσωτερικό σημείο της διχοτόμου (όχι συνευθειακό με μ τα και ) και οι ευθείες Ο και Ο τέμνουν την ευθεία στα και Η αντίστοιχα, Να αποδείξετε ότι =ΗΗ [ή Η=] Έστω ένα τετράπλευρο και τις γωνίες και ίσες.. Να αποδειχτεί ότι θα είναι ίσες και οι γωνίες και Στις πλευρές π ΟΧ και ΟΨ μιας γωνίας ΧΟΨ παίρνουμε δυο ίσα ευθ. τμήματα Ο= Ο. Στο εσωτερικό της γωνίας ΧΟΨΨ φέρνουμε τις ημιευθείες Ο και ΟΤ έτσιι ώστε να σχηματίζονται δύο ίσες γωνίες ΧΟ και ΨΟΤ που η κάθε μια από αυτές να είναιι μικρότερη από το ήμισυ της γωνίας ΧΟΨ. Στις Ο και ΟΤ παίρνουμε δυο ίσα ευθ. τμήματα Ο= =ΟΝ. ΟΙ ΝΝ και τέμνονται στο Ρ.. Να αποδειχτεί ότι ) τα τρίγωνα Ρ και ΡΝ είναι ίσα και ) ) Το P βρίσκεται στη διχοτόμο της γωνίας ΧΟΨ 3..5 Σε τρίγωνο φέρνουμε τιςς Χ,Ψ κάθετες στις, αντίστοιχα ώστεε οι γωνίες Ψ, Χ να περιέχουν την γωνία. Στις Χ, Ψ παίρνουμε σημεία, ώστε =, = αντίστοιχα. ν Θ, είναι τα μέσα των, να δειχτεί ότι = = και = =Θ 3..6 Σε ισοσκελές τρίγωνο, προεκτείνουμε την κατά τμήματα =. ν, Ν είναι τα μέσα των,, ν αποδειχτεί ότι Ν = Στις πλευρές π,, ισοπλεύρου τριγώνου παίρνουμεε τα τμήματαα == αντίστοιχα. ν,, είναι τα σημεία τομής των,, ανά δύο ν αποδειχτεί ότι το τ τρίγωνο είναι ισόπλευρο με =

6 6 ΤΡΙΩΝ ΙΣΟΤΗΤ ΟΡΘΟΩΝΙΩΝ ΤΡΙΩΝΩΝΝ 3.8 Στο παρακάτω σχήμα ισχύει ===. Να αποδειχθούν: ) =. ) Τα σημεία και ισαπέχουν από τις ευθείεςς και αντίστοιχα. ) ν οι κάθετες από τα και προς τις και αντίστοιχα τέμνονται στο να α αποδείξετε ότι η διχοτομεί τη γωνία 3.9 Έστω ισοσκελές τρίγωνο και. Να αποδείξετε ότι:... με, το μέσο της βάσηςς. πό τοο φέρνουμε τη 3.30 ίνεται ισοσκελές τρίγωνο,. ν τυχαίο σημείοο της διχοτόμου της γωνίας και, τα σημεία τομής των και με τις τ πλευρές και αντίστοιχα, να δείξετε ότι ) = ) = και = ) η διέρχεται από το μέσο του τμήματος 3.31 Στις ίσες πλευρές, ισοσκελούς τριγώνου θεωρούμε τα σημεία, ώστε να είναι =. Να δειχτεί ότι τα, ισαπέχουν από τη και από τα άκρα της. 3.3 Να αποδειχτεί ότι στις ίσες πλευρές δύο ίσων τριγώνων αντιστοιχούν ίσα ύψη Ν αποδειχτεί ότι δύο οξυγώνια τρίγωναα και είναι ίσα όταν έχουν α α, υβ υ β, υγ υγ 3.34 Ν αποδειχτεί ότι δύο οξυγώνια τρίγωναα και είναι ίσα όταν έχουν α μ α μ α α, υα υ α, 3.35 Στην ημιευθεία της διχοτόμου τριγώνου Παίρνουμε τα σημεία σ καιι, έτσι ώστε = και =. Να αποδείξετε ότι = ίνεται ευθύγραμμο τμήμα και από το μέσο του φέρνουμεε τυχαία ευθεία (ε). ν (ε) και (ε) να αποδείξετε ότι = 3.37 ίνεται ισοςκελές τρίγωνο και τα εσωτερικά σημεία του, Ν της τέτοια ώστε =Ν. ν, οι προβολές των, στις, Ν αντίστοιχα να δείξετε ότι το είναι ισοσκελές

7 υκείου - εωμετρία Έστω τρίγωνο με. Στην ημιευθεία θεωρούμε το σημείο τέτοιο ώστε = και στην ημιευθεία το σημείο τέτοιο ώστε =. ποδείξτε ότι: ) Τα Τρίγωνα και είναι ε ίσα ) Το Τρίγωνο είναι ισοσκελές. ) ˆ ˆ ˆ 3.39 ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο, ˆ 90 και η διχοτόμος τουυ. πό Ο το φέρουμε κάθετη στη, που τέμνει την Τρίγωνο είναι ιςοσκελές. στο. Να αποδείξετε ότι το Έστω κύκλος κέντρου και δύο ίσες χορδές του και. Στις και παίρνουμε σημεία και Η ώστε =Η αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: ) = =Η ) οι γωνίες και Η είναι ίσες ) Η απόσταση του σημείου από την είναι ίση με την απόσταση του σημείου από την Η 3.41 Στο σχήμα οι και είναι διάμετροι ι του κύκλου και Ο το κέντρο του. Να αποδείξετε ότι: ) Τα σημεία και ισαπέχουν από την ) Οι χορδές και έχουν ίσα αποστήματα Στο παρακάτω σχήμα η Χ είναι διχοτόμος της γωνίας και η Ν είναι κάθετη στην KΧ. Τοο K είναι το κέντρο του κύκλου. Να αποδείξετεε ότι: ) Π= =Ρ ) Π=ΡΝ ) = =Ν

8 8 ΤΡΙΩΝ 3.4 ίνεται ισόπλευρο τρίγωνο. Στην προέκταση της προς το παίρνουμε τμήμα =. Έστω τυχαίο σημείο της πλευράς και σημείοο της προέκτασης της προς το ώστε =. Να αποδειχτεί ότι =. ν η προέκταση του τέμνει την στο Η, να δειχτεί ότι το τρίγωνο Η είναι ισοσκελές. ν ˆ 0 να υπολογιστεί η γωνία ˆ. Στο διπλανό σχήμα δίνονται τα ισόπλευρα τρίγωνα και όπου τα σημεία, και είναι συνευθειακά. ν το τμήμα τέμνει την πλευρά στο σημείο και το τ τμήμα τέμνει την πλευρά στο σημείο Η. Να αποδείξετε ότι η γωνία Η Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα και είναι ίσα. Να γράψετε τα συμπεράσματαα που προκύπτουν από την ισότητα των τριγώνωνν και. Να αποδείξετε ότι. O 3.43 Έστωω ένα ισοσκελές τρίγωνο Ο (Ο = Ο) και ένα σημείο της πλευράς Ο. Προεκτείνουμε την πλευρά Ο κατά τμήμα =. Το τμήμα τέμνει την στο. Προεκτείνουμ με και την κατά τμήμα =. Να αποδείξετεε ότι: ) = και ˆ ˆ ) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές ) = ίνεται οξυγώνιο τρίγωνο όπου. Φέρνουμε το ύψος. Προεκτείνουμε την προς το και στην προέκταση παίρνουμε τμήμα. Προεκτείνουμε το τμήμα που τέμνει την πλευρά στο. Να αποδείξετε ότι: ) ) Το είναι μέσο της. E

9 υκείου - εωμετρία 9 ΝΙΣΟΤΙΣ ΣΧΣΙΣΣ 3.45 Σε 1 ) τρίγωνο φέρνουμε τη διχοτόμοο. Να αποδείξετε ότι: ) > > ) ν επιπλέον είναι τότε 3.46 ίν νεται τρίγωνο και τυχαίο σημείοο της πλευράς. ν και είναι οι προβολές του στις πλευρές και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: ) < και < ) < ) +< Στο παρακάτω σχήμα να αποδείξετε ότι ˆ ˆ 3.48 ίδεται τρίγωνο ) Mˆ M ˆ με και η διάμεσος του. Να αποδείξετε ότιι ) β γ β γ μα 3.49 Σε ο ορθογώνειο τρίγωνο ˆ Η διχοτόμος της γωνίας ˆ τέμνει την πλευρά 0 ( 90 ) στο. Να αποδειχθεί ότι < Στις κάθετες πλευρές, ορθογώνιου τριγώνου θεωρούμε τα σημεία, αντίστοιχα.να αποδείξετε ότι: ) < ) < < ίδεται τμήμα,σημείο Ρ της μεσοκαθέτου του και μία ευθεία ε που διέρχεται από το. ) Να συγκρίνετε τις αποστάσεις του Ρ από την ευθεία ε και το σημείο. ) Ποια πρέπει να είναι η θέση της ευθείας ε, ώστε οι αποστάσεις αυτές να είναι ίσες; 3.5 ίνεται τρίγωνο =. Να δείξετε ότι: με.θεωρούμε τα σημεία, στις, αντίστοιχα έτσιι ώστε: ) < ) < Έστω, σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας xoy. Φέρνουμε κάθετη κ στην Οx, η οποία τέμνει την Οy στο. Να αποδείξετεε ότι < 3.54 Στο παρακάτω σχήμα τα τρίγωνα και είναι ισοσκελή. Να δείξετε ότι τα τρίγωνα και είναι ίσα.. ν είναι το μέσο της και Ν το μέσοο της, να δείξετε ότι: = Ν.. ν τα τμήματα και Ν τέμνονται τ στοο σημείο, να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

10 10 ΤΡΙΩΝ 3.55 Nα περιπτπωσεις: ΩΤΡΙΟΙ ΤΟΠΟΙ προσδιορίσετε γεωμετρικά το σημείοο που έχει την ιδιότητα που περιγράφεται σε κάθεε μια από τις ) Ισαπέχει από τα σημεία και και βρίσκεται στην ευθεία ε ε ) K Ισαπέχει από τα σημεία και και βρίσκεται στον κύκλο κέντρου y e ) O Ισαπέχει από τις τεμνόμενες ευθείες Οxx και Oy και βρίσκεται στην ευθεία ε x y ) O Ισαπέχει από τις τεμνόμενες ευθείες Οxx και Oy και βρίσκεται στον κύκλο x ) Ισαπέχει από τις κορυφές και και ανήκει α στην C y O K ΣΤ) x Ισαπέχει από τις τεμνόμενες ευθείες Οxx και Oy και απέχει από το K 1cm y O ) K x Ισαπέχει από το σημείο της Οx και την ευθεία Οy και ανήκει στην ευθεία Οx

11 υκείου - εωμετρία 11 ΤΡΙΩΝ - ΥΟΣ 3.56 ίνονται δύο κύκλοι και που εφάπτονται εξωτερικά στο και η κοινή εξωτερική εφαπτομένη. Η κοινή εφαπτομένη στο τέμνει την στο. ποδείξτε ότι: ) = ) ωνία =90ο ) Ο κύκλος διαμέτρου εφάπτεται στηνν 3.57 Σε κ σημεία και αυτής τέτοια ώστε =. Να αποδειχθούν: ) Ο=Ο ) Ο= =Ο ) Τα σημεία, ισαπέχουν από τις Ο,Ο αντίστοιχα 3.58 Σε τρίγωνο φέρνουμε τη τ διχοτόμο. ν η Η τέμνει την στο Θ να δείξετε ότι ˆ ˆΘ 3.59 Να α πλευράς τριγώνου ισαπέχει από τις άλλες πλευρές του, τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές Σε κ κύκλο (Ο,ρ) θεωρούμε χορδή δύο αποδείξετε ότι αν το μέσο μιας κύκλο Ο,R θεωρούμε τρεις χορδές και τα σημεία τους,, έτσι ώστε. είξτε ότι τα,, ανήκουν σε κύκλο με κέντρο το Ο ίνονται δύο ομόκεντροι κύκλοι με κέντρο Ο και ακτίνες R και r με R>r αντίστοιχα. ια ευθεία τέμνει και τους δύο κύκλους στα σημεία, τον ένα και στα, τον άλλο. Να αποδείξετε ότι ι = 3..6 ίνονται δύο ομόκεντροι κύκλοι με κέντρο Ο και ακτίνες R και r με R>r αντίστοιχα. Φέρουμε δύο χορδές του μεγαλύτερου κύκλου, οι οποίες εφάπτονται στον μικρότερο. Να αποδείξετε ότι οι χορδές είναι ίσες Θεωρούμε τους ίσους κύκλουςς (Ο,ρ) και (Ο,ρ) και ευθεία ε που διέρχεται από το τ μέσο του ΟΟ και τέμνει τους κύκλους (Ο,ρ) και (Ο,ρ) στα σημεία, και, αντίστοιχα. Να αποδείξετεε ότι = ν δύο ίσες χορδές, τέμνονται εκτός κύκλου στο, να αποδείξετε ότι = και = ν δύο χορδές και ενός κύκλου (Ο,ρ) τέμνονται σε ένα εσωτερικό σημείο και είναι Ο ˆ Ο Ο ˆ, να αποδείξετε ότι = ίνεται κύκλος (Ο,ρ) και σημεία, εσωτερικά τουυ έτσι ώστε Ο=Ο. Οι Ο, Ο τέμνουν τον κύκλο κ στα,, αντίστοιχα. ν Ν μέσο του τόξου και μέσο του Ο να αποδείξετε ότιι ΟΝ Σε ισοσκελές τρίγωνο (=) προεκτείνουμε τη βάση προς το μέρος του παίρνοντας τμήμα = και προς το μέρος του παίρνοντας τμήμα =. Στη συνέχεια φέρνουμε τις διχοτόμουςς ( σημείο της ) και ( σημείο της ) των εξωτερικών γωνιών και αντίστοιχα του τριγώνου, οι οποίες τέμνονται στο σημείο.. ) Να αποδείξετε ότιι το τρίγωνο είναι ισοσκελές ) ) Να αποδείξετε ότιι οι κύκλοι (,) και (,) τέμνονται

12 1 ΠΡΗΣ ΥΘΙΣ 4 ΠΡΗΣ ΥΘΙΣ 4.01 Στα x, y παράλληλες μεταξύ τους και προς το ίδιοο ημιεπίπεδο «μεταξύ «των x, y να αποδειχτεί ότι η γωνία ισούται με το άθροισμα των γωνιών x και y. 4.0 πό τα άκρα ευθ. Τμήματος φέρνουμε προς το ίδιο ημιεπίπεδο τις παράλληλες x και y. Στο αποδειχτεί ότι η γωνία είναι ορθή. και Ν. Προεκτείνουμε τη κατά τμήμα, ώστε = και τη Ν κατά τμήμα Ν ώστε Ν=Ν. Να αποδείξετε ότι : ) / // ) / / ) Τα σημεία, και είναι συνευθειακά Nα α σημεία και ευθείας ε φέρνουμε τις ως προς την ε. ν τυχαίο σημείο παίρνουμε σημείο, στην χ τμήμαα = και στην Ψ τμήμα =. Ν 4.03 Σε τρίγωνο φέρουμε τιςς διαμέσους αποδείξετε ότι αν η διχοτόμος εξωτερικής γωνίας τριγώνου είναι παράλληλη προς την τρίτη πλευρά του τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές και αντίστροφα πό την τ κορυφή τριγώνου φέρνουμε την ευθεία ε παράλληλη στην που τέμνει τις διχοτόμους των γωνιών, στα σημεία και. Ν αποδειχτεί ότι = Έστω τρίγωνο και η διχοτόμος του. πό σημείο της ευθείας, διαφορετικό από το φέρνουμεε την παράλληλη προς την η οποία τέμνει την τ ευθεία στο και την στο Η. Ν αποδειχτεί ότι το τρίγωνο Η είναι ε ισοσκελές Στο ισοσκελές τρίγωνο φέρνουμε τις διάμεσους και και μια ευθεία ε παράλληληη στη βάση. Να Ν δειχτεί ότι τα τμήματα της ευθείας ε που βρίσκονται μεταξύ των ίσων ί πλευρών και των τ αντίστοιχων διαμέσων είναι ίσα Έστω Ο το σημείο τομής των διχοτόμων των γωνιών και ενός τριγώνου. πό το Ο φέρνουμε παράλληλη προς την πλευρά η οποία τέμνει τις και στα α και αντίστοιχα. να δειχτεί ότι = ίν νεται ισοσκελές τρίγωνο,, η διάμεσος καιι ένα σημείο Η της διαμέσου. Στο Η φέρνουμε κάθετη προς την που τέμνει την στο και την τρίγωνο είναι ισοσκελές. στο. Να αποδείξετε ότιι το 4.10 Σε τρίγωνο με φέρνουμε την εσωτερική διχοτόμο δ και τη διχοτόμο ε της εξωτερικής γωνίας. πό το φέρνουμε 4 ευθείες παράλληλες προς τις δ καιι ε αντίστοιχα οι οποίες τέμνουν τηνν ευθεία στα σημεία και. Να δείξετε ότι: ε 3 1 ) τα τρίγωνα και είναι ισοσκελή ) == = ) ε, δ και ε δ δ

13 υκείου - εωμετρία 13 ΘΡΟΙΣ ΩΝΙΩΝΝ ΤΡΙΩΝΟΥ 4.11 Στο τριγώνου. διπλανό σχήμα να υπολογιστούν οι γωνίες, και του o 130 o Στο διπλανό σχήμα να υπολογίσετε τις γωνίες x και y o 45 x y Να υπολογιστούν οι γωνίες ενός ορθογωνίουυ τριγώνου του οποίου μια γωνία είναι ίση με τα /3 μιας άλληςς γωνίας του Να υ υπολογιστούν τα μέτρα των τ γωνιών ενός τριγώνου αν οι εξωτερικές του γωνίες είναι ανάλογες προς τους αριθμούς, 3 και Να δ δείξετε ότι ένα κυρτό ν-γωνο δεν μπορεί να έχει περισότερες από α 3 εσωτερικές οξείες γωνίες ) Πόσες πλευρές έχει ένα κυρτό πολύγωνο του οποίου το άθροισμα των γωνιών είναι 1080 ο ; ) Υπάρχει κυρτό πολύγωνο που έχει άθροισμα των γωνιών 13 ορθές; 4.17 Η γω ωνία ενός ισοσκελούς τριγώνου τ είναι 78. Στις προεκτάσεις της βάσης του παίρνουμε τμήματα = και = = αντίστοιχα. Να υπολογιστούν οι γωνίες τωνν τριγώνων και Έστω τρίγωνο. Να αποδείξετε ότι η γωνία που σχηματίζεται ) από τις διχοτόμους των γωνιών και είναι ίση με 90 ) από τις διχοτόμους των εξωτερικών γωνιών και ισούται με 90 ) απο τις διχοτόμους της γωνίας και της εξωτερικής γωνίας ιστούταιι με 4.19 Στο σχήμα να υπολογίσετε το άθροισμαα των γωνιώνν E+Z+H+Θ Θ Ν Η Η 4.0 ίν νεται τρίγωνο με ˆ 45.ν τα ύψη και τέμνονται στο Η να αποδείξετε ότι Η=

14 14 ΘΡΟΙ ΩΝΙΩΝΝ ΤΡΙΩΝΟΥ 4.1 Να υ διπλανού σχήματος υπολογίσετε το άθροισμα των γωνιώνν του 4. Σε τρίγωνο με > φέρουμε το ύψος του και τη διχοτόμο τηςς γωνίας Να αποδείξετε ότι : ) Θεωρούμε τρίγωνο με = και στην πλευρά τμήμα ) καιι τη διχοτόμοο του. Σ την τ ημιευθεία παίρνουμε τμήμα =. Ναα αποδειχτεί ότι τα σημεία,, είναι συνευθειακά. 4.4 Σε ευθεία θεωρούμε τα σημεία, και έτσι ώστε = και στο ίδιο ημιεπίπεδο κατασκευάζουμε τα ισόπλευρα τρίγωνα και. ν είναι τοο μέςο του, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο. 4.5 ίν νεται τρίγωνο, στο οποίο = και. Φέρνουμε τη διχοτόμο της γωνίας πουυ τέμνει την στο. ν το μέσο της, να δείξετε ότι: ) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. ) H γωνία είναι ορθή. ) < Στο ο διπλανό σχήμα το τρίγωνο είναι ισοσκελές, και τα σημεία και βρίσκονται στην προέκταση της έτσι ώστε =. ν και Η να αποδείξετεε ότι: ) Η και ) Η. Η 4.7 Σε κύκλο κέντρου Ο θεωρούμε μια ακτίνα Ο, μια χορδή που είναι μεσοκάθετος της ακτίνας αυτής, και μια ακόμη χορδή που σχηματίζει με τηνν Ο γωνία 30ο. είξτεε ότι =. 30 Ο 4.8 ίνεται τρίγωνο στο οποίο είναι ˆ ˆ 90. Να αποδείξετε ότι η διχοτόμος τηςς γωνίας σχηματίζει με την μια γωνία Έστω τρίγωνο και εξωτερικά της κατασκευάζουμε ισόπλευρο. ν η διχοτόμος Ν είναι κάθετη και ίση με την να βρεθούν οι γωνίες του

15 υκείου - εωμετρία Έστω ορθογώνιοο τρίγωνο ( ˆ 90 ).. πό τυχαίο σημείο του υψώνω κάθετη στη που τέμνει την στο. ν η διχοτός της ˆ τέμνει τις, στα,, αντίστοιχα να αποδείξετε ότι ισοσκελές τρίγωνο 4.31 Έστω ορθογώνιοο τρίγωνο ( Â 90 ) και είναι ˆ ˆ. Στο μέσο της υποτείνουσας φέρνουμε μία ευθεία κάθετη στην που τέμνει την στο σημείο. Να αποδείξετεε ότι τα τρίγωνα και είναι ίσα 4.3 πό ό το μέσο της υποτείνουσας ορθογώνιου τρίγωνου ( Â 90 ) και > φέρνουμε κάθετη προς την, η οποία τέμνει τηνν πλευρά στο σημείο. ν τα τρίγωνα και είναι ίσα, να βρείτεε τις γωνίες του τριγώνουυ Σε τετράπλευρο ναα αποδείξετεε ότι ) η γωνία που σχηματίζεται από τις διχοτόμους δύο διαδοχικών γωνών του, είναι ίση με το ημιάθροισμα των δύο άλλων γωνιών του. ) ) οι διχοτόμοι των γωνιών του, σχηματίζουν τετράπλευρο του τ οποίου οι απέναντι γωνίες είναι παραπληρωματικές. ) ) οι διχοτόμοι των εξωτερικών γωνιών του, σχηματίζουν τετράπλευροτ ο του οποίου οι απέναντι γωνίες είναι παραπληρωμπ ματικές. ) ) η γωνία που σχηματίζουν οι διχοτόμοι δύο απέναντι γωνιών του είναι ίση με την ημιδιαφορά των δύο άλλων γωνιών του. ) ) η γωνία που σχηματίζουν οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών εξωτερικών γωνιών τετραπλεύρου είναι ίση με τοο ημιάθροισμα των δύο αυτών (εσωτερικών) γωνιών γ 4.33 Να α αποδείξετε ότι: ) Οι διχοτόμοι δύο γωνιών που έχουν τις πλευρές τους παράλληλες είναι παράλληλες ή κάθετες. ) Οι διχοτόμοι δύο γωνιών που έχουν τις πλευρές τους κάθετες είναι παράλληλες ή κάθετες Να α αποδείξετε ότι όταν δύο απέναντι γωνίες ενός τετραπλεύρου είναι ορθές τότε οι διχοτόμοι των δύο άλλων γωνιών του είναι παράλληλες ίνεται ισόπλευρο τρίγωνο και σημείο της πλευράς. Στην προέκταση της, προς το, παίρνουμε τμήμα =. Να αποδείξετε ότι = = 4.37 Στο. Οι ευθείες ε 1,ε είναι οι εφαπτόμενες του κύκλου στα σημεία και και η ε είναι εφαπτομένη σε σημείο που τέμνει την ε 1 στο και την ε στο. Η Ο είναι η διακεντρική ευθεία του σημείου που τέμνει τηνν ε στο. Να αποδείξετε ότι: 1 ο διπλανό σχήμα δίνεταιι κύκλος (Ο,R) και μια διάμετρός του ε ε 1 O ε ) ο τρίγωνο είναι ισοσκελές. ) Ο

16 16 ΠΡΗΟΡ 5 ΠΡΗΟΡ 5.01 Στο Παραλληλόγραμμο του διπλανού σχήματος να υπολογίσετεε τις γωνίες x και y. 5.0 Θεω ωρούμε παραλληλόγραμμο καιι έστω το μέσο της. Στο φέρουμε μια ευθεία κάθετη στη που τέμνει τη στο, και την ευθεία στο Ν. Να αποδείξετε ότι ό : ) Ν = ) = Έστω τρίγωνο και φέρνουμε το ύψος. Έστω μέσο του και η κάθετη πό το στη τέμνει την στο. Να αποδείξετε ότι = 5.04 ίν νεται ιςοσκελές τρίγωνο, και Σ τυχαίο σημείοο της. Προεκτείνουμε την προς το μέρος του κατά τμήμα Ρ=Σ. ν Σ//, να αποδείξετε ότι: ) τρίγωνο Σ είναι ισοσκελές. ) Τα τρίγωνα Ρ και Σ είναι ίσα ) Η διχοτομεί την ΡΣ. Σ Ρ 5.05 Θεω ωρούμε τρίγωνο και στις προεκτάσεις των διαμέσων του, Ν ταα σημεία, τέτοια ώστε = και Ν=Ν αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι = και ότι τα σημεία, καιι είναι συνευθειακά ίνετε ισοσκελές τρίγωνο ( ) και σημείο στην προέκταση της βάσης προς το μέρος του. πό το φέρουμε παράλληλες προς τις πλευρές και, οι οποίες τέμνουν τις ημιευθείες, στα σημεία και αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι στω τετράπλευρο και τα μέσα, Ν των πλευρών, αντίστοιχαα Στις ημιευθείες, Ν, θεωρούμε τα σημεία, τέτοια ώστε =, Ν=Ν. Να αποδείξετε ότι το είναι παραλληλόγραμμο Σε παραλληλόγρ και παραλληλόγραμμο. ραμμο από τις κορυφές και φέρνουμε. Να αποδείξετε ότι το είναι

17 υκείου - εωμετρία ίνεται παραλληλόγραμμο ν η διχοτόμος τ της γωνίας τέμνει την στο και η διχοτόμος της γωνίας τέμνει την στο Να αποδείξεται ότι : ) Τα τρίγωνα και είναι ισοσκελήή ) Τα τμήματα και τέμνονται κάθετα 5.10 ίνεται παραλληλόγραμμο και έστω το μέσο της πλευράςς. Φέρνουμε την και στη συνέχεια την κάθετη στην στο που τέμνει τιςς πλευρές και του παρ/μου (ή ή τις προεκτάσεις τους) στα σημεία και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: ) και ) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές ) Η είναι διχοτόμος της γωνίας. E 5.11 ίνεται τυχαίο τρίγωνο και η διχοτόμος του. πό το φέρνουμε παράλληλη προς την που τέμνει την στο και από το φέρνουμε παράλληλη προς την που τέμνει την στο. ) Να δικαιολογήσετε οτι το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο. ) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές ) Να αποδείξετε ότι τα τμήματα και είναι ίσα ) ν επιπλέον η γωνία είναι ίση με 86 0, να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου.

18 18 ΠΡΗΟΡ ΟΡΘΟΩΝΙΟ ΡΟΟΣ - ΤΤΡΩΝΟ 5.1 ίνεται ορθογώνιο και το συμμετρικο του ως προς την. Η ευθείαα τέμνει την τ στο. ν Ν είναι η προβολή του στην, να αποδειχθεί ότι τα σημεία, Ν, είναι συνευθεικά 5.13 Το τ τετράπλευρο του διπλανού σχήματος είναι ρόμβος. νν ˆα 3x και β x 7, τότε να υπολογίσετε το x 5.14 Πάν νω στη διαγώνιο ενός τετραγώνουυ υπολογίσετεε τη γωνία παίρνουμε τμήμα =. Να Προ οεκτείνουμε τις πλευρές και τετραγώνου κατά και αντίστοιχα ώστε =. Να αποδείξετε ότι : ) = ) Z 5.16 ίνεται τυχαίο τρίγωνο και η διχοτόμος του. πό το φέρνουμε παράλληλη προςς την πουυ τέμνει την στο και από το φέρνουμε παράλληλη προς την που τέμνει την στο.. α) Να δικαιολογήσετε οτι το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο. β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές. γ) Να αποδείξετε ότι τα τμήματα και είναι ίσα.. δ) ν επιπλέον η γωνία είναι ίση με 86 0, ναα υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ίνεται κύκλος (Ο,R), μια διάμετρος και χορδή =R. Φέρνουμε Ο κάθετη στη που η προέκταση της τέμνει τον κύκλο στο. Να δείξετε ότι =.Ο Να δείξετε ότι το τετράπλευρο Ο είναι ρόμβος. Να αποδείξετε ότι O 60 ο Ο 5.18 Σε π παραλληλόγραμμο, είναι =. Φέρνουμε και κ έστω,νν τα μέσα των, αντίστοιχα. Να δείξετε ότι:. Το τρίγωνο Ν είναι ισοσκελές. Η είναι διχοτόμος της ME ˆ. Το Ν είναι ρόμβος. Η γωνία ˆ = 3 ˆ 5.19 Σε κ κύκλο (Ο, ρ) φέρνουμε χορδή = ρ και παίρνουμε τυχαίο σημείο του υ κυρτογώνιου τόξου.ν,,, είναι τα μέσα των Ο, Ο,,, αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι :. Η γωνία O Το τετράπλευρο είναι ρόμβος.

19 υκείου - εωμετρία Στο παρακάτω σχήμα είναι: ορθογώνιο τρίγωνο με ˆ 90 και ˆ 30 τα και είναι τα μέσα των και αντίστοιχα, =. Να αποδείξετε ότι : /// είναι ρόμβος 5.1 Το τρίγωνο είναι ισοσκελές με βάσηη την και ) ποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές.. ) Να δείξετε τα τρίγωνα και είναι ίσα. ) ν προεκτείνουμε την να αποδείξετε ε ότι διέρχεται από το μέσο της. ) ν =, αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι ρόμβος. 5. ίνεται τετράπλευρο και,,, τα μέσα των,,, αντίστοιχα.. είξτε ότι το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο. ν επιπλέον, να δείξετε ότι το είναι ρόμβος.

20 0 ΠΡΗΟΡ ΤΤΡΩΝΟ 5.3 Σε τετράγωνο παίρνουμε τυχαίο σημείο στην πλευρά.. Η διχοτόμος της γωνίαςς E τέμνει την πλευρά στο σημέιο. πό το σημείο φέρουμε (Η σημείο της ) που τέμνει την στο σημείο Θ και την στο σημέιο Ι. Να αποδείξετεε ότι: Το τρίγωνο ΙΘ είναι ισοσκελές = =Ι Τα τρίγωνα και Θ είναι ίσα = =+ 5.4 Θεωρούμε ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο ο με 90 και =. Στις ίσες πλευρές του και παίρνουμε σημεία και αντίστοιχα, 1 1 έτσι ώστε και 3 3 ν τα και Η είναι τα ίχνη των κάθετων τμημάτων από τα και στην, τότε: Να αποδείξετε ότι το Η είναι ε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Να αποδείξετε ότι το Η είναι ε τετράγωνο. Να αποδείξετε ότι. o την στο αντίστοιχα.να αποδείξεις ότι το Ν είναι επίσης τετράγωνο 5.6 ίνεται τετράγωνο. Προεκτείνουμε τη διαγώνιο προς τοο μέρος του κατά τμήμα =. Έστω το μέσο της και Η το σημείο τομής των ευθειών και. Ναα αποδείξετε ε ότι: 1 = Η. κάθετη στην. 5.7 ίνεται τετράγωνο. Προεκτείνουμ με την πλευρά προς τοο μέρος του κατά τμήμα. Να αποδείξετε ότι: 5.5 ) Η γωνία είναι 45 τα μέσα των και αντίστοιχα ) Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. ) α αποδείξειςς ότι τρίγωνο Ο = τρίγωνο Ο ) Να αποδείξεις ότι το τρίγωνο Ο είναι ισοσκελές υπολογίσεις τις γωνίες του ) Να αποδείξεις ότι = ) ) Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο. ) ν Ο το κέντρο του τετραγώνου και η τέμνει τη στο, να δείξετε ότι το είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου. ίνεται τετράγωνο με Ο το κέντρο του. Έστω τυχαίο σημείο πάνω στην και σημείο πάνω στην τέτοιο τ ώστε ZOE 90. Έστω και Να προεκτείνεις τις Ο και Ο προς τοο Ο οι οποίες τέμνουν την στο Ν και Ο κ o καιι να E

21 υκείου - εωμετρία 1 ΦΡΟΣ ΤΩΝ ΠΡΗΟΡΩΝ 5.8 Σε ισόπλευρο τρίγωνο από το μέσον της φέρνουμε. Να αποδείξετε ότι Στο ο διπλανό σχήμα δίνεταιι τρίγωνο με =3. Τα σημεία και βρίσκονται στην πλευρά έτσι, ώστε ==. ν είναι το τ μέσο του, να αποδείξετε ότι γωνία είναι ορθή ίν νεται τρίγωνο και τυχαίο σημείο της. Φέρουμε και. ν Η και Θ τα μέσα των και αντίστοιχα δείξτε ότι: (Η Θ) Z E Η Θ 5.31 Σε τετράπλευρο είναι 90 ο. ν είναι το μέσο της και Ν το μέσο της να αποδείξετε ότι: ) To τρίγωνο είναι ισοσκελές. ) ) Ν Ν 5.3 Σε ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα θεωρούμε το ύψος και τα μέσα και των και αντίστοιχα. ποδείξτε ότι το : ) ίναι ορθογώνιο. ) Έχει περίμετρο την ημιπερίμετρο του. ) Έχει διάμεσο ίση με ) ν επι πλέον =30ο να αποδείξετε ότι ύο ο κύκλοι (,R) και (,3R) εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο. ν είναι κοινή εξωτερική εφαπτομένη τους να αποδείξετε ότι η γωνία είναι 10ο.

22 ΠΡΗΟΡ 5.34 Σε τρίγωνο φέρνουμε και σημείο Η στην ώστε η γωνία 0 Η 0, γωνία Η 0 40 και γωνία Η 30 0 H ) Να αποδείξετε ότι Η. ) Να υπολογίσετε τη γωνία Η x Σε παραλληλόγραμμο προεκτείνουμε την πλευρά κατά τμήμα =. ν η τέμνειι την στο σημείο και τη στο σημείο Η, να αποδείξετεε ότι: ) Το τ είναι παραλληλόγραμμο. ) Η=Η Η γ) Η Περνάει από το μέσο της Σε ε τρίγωνο η γωνία είναι 45ο. ν και τα δύο ύψη του τριγώνου και το μέσο της να αποδείξετε ότι ME M ίν νεται τρίγωνο με γωνία =45 ο, τα ύψη και που τέμνονται στο Η, το μέσο του ΗΗ και το μέσο Ν του. Να αποδείξετε ότι: ) EN=Ν ) = Η Ν ) Τα τρίγωνα Η και είναι ε ίσα. ) Το τετράπλευρο Ν είναι τετράγωνοο Έσ στω Θ το βαρύκεντρο τριγώνου. ν Θ=, να αποδείξετε ότι Θ Θ. Ν Ξ Θ 5.39 Σε ε κύκλο (Ο,R) προεκτείνουμε τη διάμετρο κατά τμήμα = R και φέρνουμε το εφαπτόμενο τμήμα. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές O

23 υκείου - εωμετρία ίν νεται παραλληλόγραμμο. Η κάθετη προς τη στο και η κάθετη από το προς την τέμνονται στο σημείο. Να αποδείξετε ότι: ). ) ίν νεται οξυγώνιο τρίγωνο, τα ύψη και που τέμνονται στο Η, το μέσο του Η και το μέσο Ν της πλευράς.να αποδείξετε ότι: α) Ν=Ν β) = γ) Ν Η Ν 5.4 Έστω παρ/μο με o 10. Η διχοτόμος της γωνίας την στο μέσο της. ) είξτε ότι: ) είξτε ότι: τέμνει ) ν, είναι τα μέσα των τμημάτων τ και αντίστοιχα δείξτε ότι: 5.43 ίνεται τετράγωνο. Προεκτείνουμεε την πλευρά προς το μέρος του κατά τμήμα =. Να αποδείξετε ότι: ) Η γωνία είναι ) Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. Ο ) Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγρ ραμμο. κ ) ν Ο το κέντρο του τετραγώνου καιι η Ο τέμνει την στο, να δείξετε ότι το είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου Ένα α τρίγωνο έχει =45ο και =15 ο. Στην προέκταση της πλευράς προς το παίρνουμε τμήμα =. Να αποδείξετε ότι =75 ο. E πό ένα εξωτερικό σημείο Ρ, κύκλου (Ο,( R) φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα Ρ, Ρ, οπου Ρ=60 0. Προεκτείνουμε το Ο (προς το μέρος του ) κατά τμήμα = =Ο. ν η ευθεία ΟΡ τέμνει τον κύκλο στο, να αποδείξετε ότι: ) γωνία Ρ=30 0 ) Ρ=RR ) Το τετράπλευρο Ο είναι ρόμβος

24 4 ΠΡΗΟΡ 5.45 ίνεται κύκλος (Ο,R), μια διάμετρος και χορδή =R. Φέρνουμε Ο κάθετη στη που η προέκταση της τέμνει τον κύκλο στο.. Να δείξετε ότι =.Ο. Να δείξετε ότι το τετράπλευρο Ο είναι ρόμβος. Ο 5.46 ίνεται κύκλος με κέντρο Ο και μία διάμετρος του. Φέρουμε τη τ μεσοκάθετο του Ο που τέμνει την Ο στο και τον κύκλο στο. Να αποδείξετε ότι: ) Το τρίγωνο Ο είναι ισόπλευρο ) Η Ο είναι διχοτόμος της γωνίας ) =. O 5.47 ίνεται οξυγώνιο τρίγωνο όπου =. Φέρνουμε το ύψος. Προεκτείνουμε την προς το και στην προέκταση παίρνουμε τμήμα =. Προεκτείνουμε το τμήμα που τέμνει την πλευρά στο. Να αποδείξετε ότιι : ) = ) Το είναι μέσο της. E 5.48 ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο με ( =90 ο ) με =30 ο.ν η μεσοκάθετη της στο μέσο της, τέμνει την στο, να αποδείξετε ότι ) Η είναι διχοτόμος της γωνίας ) = ίνεται κύκλος (Ο,R) και η διάμετρός του. Προεκτείνουμε την διάμετρο προς το μέρος του κατά τμήμαα = R. πό το φέρνουμε την εφαπτομένη του κύκλου. Ναα αποδεί-ξετε ότι:. Τα τρίγωνα και Ο είναι ορθογώνια.. Το τρίγωνο Ο είναι ισόπλευρο.. Τα τρίγωνα Ο και είναι ίσα. Ο

25 υκείου - εωμετρία Σε τετράγωνο κατασκευάζουμε τα ισόπλευρα εσωτερικά και εξωτερικά.. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου. Να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές,. Να υπολογίσετε την γωνία 5.51 Στο παρακάτω σχήμα είναι: ορθογώνιο τρίγωνο με ˆ = 1 και ˆ = 30 ο, τα και είναι τα μέσα των και αντίστοιχα, =. Να αποδείξετε ότι :. = = ονάδες 9. // ονάδες 9. είναι ρόμβος ονάδες Σε τετράπλευρο ονομάζουμε,, Η, Θ τα μέσα των πλευρών,,, και, τα μέσα των διαγωνίων και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι : ) Τα τετράπλευρα Η και Θ είναι παραλληλόγραμμα. ) Οι ευθείες Η, Θ και διέρχονται από το ίδιο σημείο είξτε ότι τα μέσα των πλευρών ορθογωνίου σχηματίζουν ρόμβο,, ενώ τα μέσαα πλευρών τετραγώνου σχηματίζουν τετράγωνο ) πλευρών, τριγώνου διχοτομούνται.,, και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο Ν είναι παραλληλόγραμμο ίνεται παραλληλόγραμμο και στις πλευρές του, τα τ σημεία,, ετσι ώστεε 3 και 1, αντίστοιχα. ν Η το σημείο τομής των ευθειών και να αποδειχθεί ότι Η και 3 Η. Να αποδείξετε ότι η διάμεσος και το ευθύγραμμο τμήμαα που ενώνει τα μέσα των ) Θεωρούμε τετράπλευρο. ν, τα μέσα των, αντίστοιχα και,,, Ν τα τ μέσα των 5.56 ίνεται ισόπλευρο τρίγωνο και στι ημιευθείες, τα σημεία, αντίστοιχα ετσι ώστε. ν το σημείο τομήςς των ευθειώνν και να αποδειχθεί ότι Σε τρίγωνο = είναι ο 90. ν το ύψος του και το μέσο τηςς, δείξτε ότι

26 6 ΠΡΗΟΡ 5.58 ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ( ) και η μεσοκάθετη της τέμνει τοο ύψος στο. ν το συμμετρικό του ως προς το μέσο της και η παρράλληλη από τοο προς τηνν τέμνει την στο, να αποδειχθεί ότι Θεω ο ωρούμε τρίγωνο, τις διαμέσους, Ν και τα συμμετρικά, των, ως προς τα, Ν αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι α) τα,, είναι συνευθειακά β) = 5.60 ίνετε παρ/μο με = 10ο.και η διχοτόμος της γωνίας τέμνει την στο μέσο της. Να αποδείξετε ότι α) = γωνία = =90ο β) = οπου είναι η απόσταση του απόό τη γ) Η 5.61 ίνεται τριγωνο με 45 και < o o 30.ν είναι το μέσοο της να δειχθεί ότι o Σε ένα τρίγωνο είναι =. Έστωω το μέσο της και σημεία σ Ν,Ρ στην πλευρά ώστε Ν=ΝΡ=Ρ. Να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο ΡΡ είναι ορθογώνιο. ίνεται παραλληλόγραμμο με = =. Έστω η προβολή του πάνω στην ευθεία, το μέσο της και το σημείο στο οποίο η ευθεία τέμνει την προέκταση της. Να αποδείξετε ότι: ) τα τρίγωνα και είναι ίσα ) το τρίγωνο είναι ορθογώνιο ) το τρίγωνο είναι ισοσκελές ) 5.63 ίνεται τρίγωνο. Έστω Η το ορθόκεντρό του, Ι,, τα μέσαα των τμημάτων, Η και αντίστοιχα. Να δείξετεε ότι: Τα τρίγωνα και Ι είναι ισοσκελή. Τα σημεία Ι,, είναι συνευθειακά (βρίσκονται στην ίδια ευθεία). Ι H 5.64 ίνεται τετράπλευρο με, ˆ ˆ παραπληρωματικές και ˆ =90. Οι ευθείες και τέμνονται στο και οι και τέμνονται στο. Έστω, και τα μέσα των και αντί-στοιχα. Να δείξετε ότι:. ˆ=9 90 Τα τρίγωνα και είναι ισοσκελή.. Η μεσοκάθετος του K E

27 υκείου - εωμετρία Στο τρίγωνο είναι. ν,,, είναι τα μέσα των,, τότε Να δείξετε ότι // Να δείξετε ότι το Ν είναι ρόμβος. ν το σημείο τομής των Ν και,ναα δικαιολογήσετε ότι =., αντίστοιχα, ίνεται κύκλος με κέντρο Ο και μία διάμετρος του. Φέρουμε τη μεσοκάθετο του Ο που τέμνει την Ο στο και τον κύκλο στο. Να αποδείξετε ότι: ) Το τρίγωνο Ο είναι ισόπλευρο. ) Η Ο είναι διχοτόμος της γωνίας. ) =. O 5.66 ίνεται παραλληλόγραμμο και έστω, τα μέσα των πλευρών, αντίστοιχα. Οι προεκτάσεις των τμημάτων και τέμνονται στο. Να αποδείξετε ότι: ) Τα τρίγωνα και είναι ίσα ) Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο. ) ν η τέμνει τη στο Θ τότε: τ α) Το Θ είναι βαρύκεντρο του τριγώνου. β) 3 Η 5.67 ίνεται παραλληλόγραμμο με γωνία = 10 ο και η διχοτόμος της γωνίας τέμνει την στο μέσο της και, Η τα κάθετα τμήματα από τα σημεία, προς την πλευρά π. είξτε ότι : ) = = ) = =Η ) = = ) το τρίγωνο είναι ορθογώνιο Η

28 8 ΤΡΠΙ ΤΡΠΙ 5.68 Σε ε πεντάγωνο είναι ==== =10ο. ν // να αποδείξετε ότι: ) το τετράπλευρο είναιι ισοσκελές τραπέζιο. ) += Στ το διπλανό σχήμα η ευθεία (ε) είναι τυχαία ευθεία που διέρχεται από την κορυφή του τριγώνου. Οι και είναι κάθετες στην (ε), το είναι μέσο του και τοο Ν μέσο της διαμέσου. Να δείξετε ότι: K ) MN ) Ν ε Σε ορθογώνιοο κέντρου Ο φέρνουμε E και. Να αποδείξετε ότι: ) Το τρίγωνο Ο είναι ισοσκελές. ) Το τετράπλευρο είναι ισοσκελές ι τραπέζιο. Ο 5.70 Στο ο διπλανό σχήμα το είναι ε ύψος του τριγώνου και,,η είναι τα μέσα των, και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: ) =Η ) Οι γωνίες Η και Η είναι ίσες. Z M H 5.71 ίν νεται παραλληλόγραμμο με γωνία διπλάσια της γωνίας. Η διχοτόμος της γωνίας τέμνει την πλευρά στο. Να αποδείξετε ότι τα μέσα,, και Ν των τμημάτων,, και είναι κορυφές ρόμβου. 1 Ν 5.7 ίνεται τραπέζιο ισοσκελές με τη βάση τριπλάσια από τη βάση. ν, είναι τα μέσα των, αντίστοιχα,να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο 5.73 Σε τρίγωνο φέρνουμε το ύψος Η και τη διάμεσο. Στις ημιευθείες η Η και παίρνουμε τα σημεία,, αντίστοιχα, έτσι ώστε Η=Η και =. Να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές Η // Το τετράπλευρο με κορυφές,,,και είναι ισοσκελές τραπέζιο..

29 υκείου - εωμετρία ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( ) και τ μέσα των, και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι:. Το ΝΡ είναι παραλληλόγραμμο.. Ρ = Ρ. Το ΝΡ είναι ισοσκελές τραπέζιο. τυχαίο σημείο της πλευράς. ν,ρ,ν είναι τα 5.75 Σε ο οξυγώνιο τρίγωνο με φέρνουμε το ύψος. ν, Η,, είναι τα μέσα των πλευρών,, και αντίστοιχα, τότε. Να αποδειχθεί ότι α) Tο είναι ισοσκελές τρίγωνο. β) Tο Η ισοσκελές τραπέζιο.. ν επιπλέον η γωνία να αποδείξετε ) ότι 5.76 ίνεται ισοσκελές τραπέζιο (// και =), με =3. ν η είναι η διάμεσος του τραπεζίου που τέμνει τις διαγώνιες και στα σημεία και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι : = =. 3. Το είναι ορθογώνιο 5.77 ίνεται τραπέζιο με //, ο 90, == διαγωνίων και αντίστοιχα, να αποδείξετεε ότι ) = ) ) 3.ν και είναι τα μέσα των 5.78 Σε τραπέζιο (//) φέρουμε τηη διχοτόμο της γωνίας, η οποία τέμνει την πλευρά στο σημείο. ν το σημείο τομής της διχοτόμουυ με τη διάμεσο του τραπεζίου, να αποδείξετε ότι: ) τρίγωνο ισοσκελές και = ) γωνία =90 0 ) διχοτόμος της γωνίας o o 5.79 ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο με 90 και 30. Έστω μέσον του, μέσον του, μέσον του και Η μέσον του. Προεκτείνου υμε το κατά ίσο τμήμαα. Να αποδείξετε ότι:

30 30 ΤΡΠΙ α) Το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. β) Το τετράπλευρο Η είναι ισοσκελές τραπέζιο ίνεται τραπέζιο με Â 0 90, = και κάθετη στη. ) Να αποδειχθεί ότι το είναι ε παραλληλόγραμμο. ˆ ˆ ˆ πό την κορυφή φέρουμε τη ) Το είναι τετράγωνο ) ν Ν το μέσο του και το μέσο τουυ να δειχθεί ότι Ν = Σε τραπέζιο θεωρούμεε την διάμεσοο. Η διχοτόμος της ˆ τέμνει την διάμεσο στο και διέρχεται από την κορυφή και η τέμνει τηνν στο Η. Να αποδείξετε ότι. το τρίγωνο είναι ισοσκελές E M Z. το σημείο είναι μέσο του και το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. το τετράπλευρο Η είναι ρόμβος Η 5.8 ίνεται τρίγωνο. Έστω Η το ορθόκεντρό του, Ι,, τα μέσα των τμημάτων, Η και αντίστοιχα. Να δείξετε ότι:. Τα τρίγωνα και είναι ορθογώνια. Τα τρίγωνα και Ι είναι ισοσκελή.. Τα σημεία Ι,, είναι συνευθειακά Ι H 5.83 ίνεται παραλληλόγραμμο με =. Προεκτείνουμε τη πλευρά και προς τα δύο μέρη και παίρνουμε τα σημεία και έτσι ώστε = =.. Να αποδείξετε ότι τα τετράπλευρα και είναι παραλληλόγραμμα. ν τα και είναι τα κέντρα των και αντίστοιχα να δείξετε ότι το είναι ρόμβος. Να δείξετε ότι

31 υκείου - εωμετρία ίνεται τετράπλευρο με ˆ, ˆ πα αραπληρωματικές και ˆ =90 ο. Οι ευθείες και τέ- μνονται στο και οι και τέμνονται στο. Έστω, και τα μέσα των και αντί-στοιχα. Να δείξετε ότι: α. ˆ =90 ο β. Τα τρίγωνα και είναι ισοσκελή. γ.. δ. Η μεσοκάθετος του E K 5.85 Σε τετράγωνο κατασκευάζουμε τα ισόπλευρα εσωτερικά και εξωτερικά. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου Να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, Να υπολογίσετε την γωνία 5.86 Σε τραπέζιο ( //) φέρουμε τη διχοτόμοο της γωνίας, η οποία τέμνει την πλευρά στο σημείο. ν το σημείο τομής της διχοτόμου με τη διάμεσο του τραπεζίου, τ να αποδείξετεε ότι: ) τρίγωνο ισοσκελές και = ) γωνία =90 0 ) διχοτόμος της γωνίας 5.87 ίνεται το ισοσκελές τραπέζιο (//). ν,,, Ν μέσα των,,, αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: ) Ν= = ) το τετράπλευρο Ν είναι ρόμβος ) αν επιπλέον = =3 τότε το τετράπλευρο Ν είναι ορθογώνιο ίνεται το ορθογώνιο παραλληλόγραμμοο και, τα μέσα των τ πλευρώνν, αντίστοιχα. Φέρνουμε κάθετη στην η οποία τέμνει τηνν στο. Να δείξετε ότι Το είναι παραλληλόγραμμο Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο Το τετράπλετρο είναι ισοσκελές τραπέζιο ίνεται τραπέζιο με // και = +. Η διχοτόμος της γωνίας τέμνει την στο και την προέκταση της στο. Να αποδείξετε τα επόμενα. Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. = Το είναι το μέσο της.

32 3 ΤΡΠΙ Στο τραπέζιο (// ),έχουμε = +. ν το μέσο του και Ν το μέσο του, να αποδείξετε ότι: 1 3 Ν=Ν. Η γωνία είναι ορθή. ν η τέμνει την στο,,να δείξετε ότιι ισοσκελές τρίγωνο. 4. Η είναι διχοτόμος της γωνίας ίνεται τυχαίο τρίγωνο. ν το ύψος του και,, τα μέσα μ των, και αντίστοιχα,να δείξετε ότι ) Το ευθύγραμμο τμήμα είναι ε ίσο με το μισό της πλευράς ) Το είναι τραπέζιο. ) Το είναι ισοσκελές τραπέζιο ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( ) και τυχαίο σημείο της πλευράς. ν,ρ,ν είναι τα μέσα των, και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: Το ΝΡ είναι παραλληλόγραμμο. Ρ = Ρ Το ΝΡ είναι ισοσκελές τραπέζιο. 5.9 ίνεται ισοσκελές τραπέζιο (// και =), με =3. ν η είναι η διάμεσος του τραπεζίου που τέμνει τις διαγώνιες και στα σημεία και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι : 6 = =. Το είναι ορθογώνιο o 5.93 ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο με 90 και o 30. Έστω μέσον του, μέσον του τ, μέσον του και Η μέσον του. Προεκτείνου υμε το κατά ίσο τμήμαα. Να αποδείξετε ότι: ) Το τετράπλευρο είναιι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. ) Το τετράπλευρο Η είναιι ισοσκελές τραπέζιο.

33 υκείου - εωμετρία Σε οξυγώνιοο τρίγωνο με φέρνουμε το ύψος. ν, Η,, είναι τα μέσα των πλευρών,, και αντίστοιχα, τότε. Να αποδειχθεί ότι α) Tο είναι ισοσκελές τρίγωνο. β) Tο Η ισοσκελές τραπέζιο.. ν επιπλέον η γωνία 60 0 να αποδείξετε ότι 5.95 ίνεται τραπέζιο μεε ˆ ˆ 90 0, = και ˆ 45. πό την κορυφή φέρουμε τη κάθετη στη ) Να αποδειχθεί ότι το είναι παραλληλόγραμμο. ) Το είναι τετράγωνο ) ν Ν το μέσο του και το μέσο του να δειχθεί ότι Ν = ίνεται τραπέζιο με //, 90, διαγωνίων και αντίστοιχα, να αποδείξετεε ότι.ν και είναι τα μέσα των ) = ) ) 3 E M Η Z 5.97 Σε τραπέζιο θεωρούμεε την διάμεσοο. Η διχοτόμος της ˆ διέρχεται από την κορυφή και η τέμνει τηνν στο Η. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές το σημείο είναι μέσο του και το τρίγωνο είναι ορθογώνιο το τετράπλευρο Η είναι ρόμβος τέμνει την διάμεσο στο και

34 34 ΝΙΣ ΣΗΣΙΣ ΝΙΣ 5 ΟΥ ΦΙΟΥ 5.98 ί ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο, ˆ 90 Ο. Θ ατασκευάζουμε εξωτερικά του τριγώνου τα τετράγωνα και ΗΘ.. Φέρουμε την κάθετη στη, την Η κάθετη στη και την κάθετη στη. ν είναι το μέσο της Η, να αποδείξετε ότι: ) Τα σημεία, και Η είναι συνευθειακά. ) Τα τρίγωνα και είναι ε ίσα. ) Τα τρίγωνα και Η είναι ε ίσα. ) = ) +Η= Στ) Η γωνία είναι ορθή. ) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές Η 5.99 ίν νεται ορθογώνιο τρίγωνο με ˆ 90 Ο. Φέρνουμε τμήμα και ίσο μεε έτσι ώστε τα σημεία και να βρίσκονται σε διαφορετικά ημιεπίπεδοο σε σχέση με την. ) ποδείξτε ότι η είναι διχοτόμος της γωνίας. ) ν Ν είναι το μέσον του και το μέσον του να αποδείξετε ότι Ν. ) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. ) +=180ο. Ν ίν νεται παραλληλόγραμμο και το συμμετρικό του ως προς τη διαγώνιο. Να δειχθεί ότιι το είναι ισοσκελές τραπέζιο. Σ Έστω τα τμήματα Σ και Σ κάθετα προς τις τ διχοτόμους των παραπάνω γωνιών. Να αποδείξετε ότι: α) Σ 90 β) //xz ω οι εφεξής και παραπληρωματικές γωνίες xoy και yoz. Θεωρούμε τυχαίο σημείο Σ της Oy και 0 Σ y z O x

35 υκείου - εωμετρία 35 6 ΡΝΣ ΩΝΙΣ-ΡΝ ΡΨΙ ΤΤΡΠΥΡ ύο ο κύκλοι και εφάπτονται στο. ύο ευθείες που περνούν από το τέμνουν τον κύκλο στα και και τον κύκλο στα και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι //. 6.0 ύο ο κύκλοι τέμνονται στα σημεία και. ια ευθεία διέρχεται από το και τέμνει τουςς κύκλους σταα σημεία και. Έστω το μέσο του. Η ευθεία τέμνει τους κύκλους στα σημεία και. Να αποδείξετε ότιι τα τρίγωνα και είναι ίσα και ότι ξω ωτερικά ενός ορθογωνίου τριγώνου, ˆ 90 Ο θεωρούμε Τετράγωνο. ν Ο είναι ε το κέντρο του τετραγώνου αυτού, να αποδειχθεί ότι η Ο διχοτομεί τη γωνία. Ο 6.04 Οι κορυφές, και παραλληλογράμμου είναι σημεία του κύκλου με κέντρο Ο. ν είναι το αντιδιαμετρικό σημείο του να αποδείξετε ότι: ) και. Ο ) 6.05 ύο ο ορθογώνια τρίγωνα και έχουν κοινή υποτείνουσα και οι κορυφές και βρίσκονται προς το ίδιο μέρος της. ν και οι προβολές των τ και στην ευθεία να δείξετε = = ίν νονται οι κύκλοι (,R) και (,ρ) που εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο. υθεία που διέρχεται από το τέμνει τους κύκλους στα σημεία και αντίστοιχα. νν ε είναι η εφαπτομένη του κύκλου (,R) στο, να αποδείξετε ότι ε ε

36 36 ΝΙΣ ΣΗΣΙΣ 6.07 ίν νεται κύκλος (Ο,R) και διάμετρος. κατέρωθεν της φέρουμε τυχαίες χορδές και, οι οποίες τέμνουν την εφαπτομένη του κύκλου στα σημεία και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι είναι εγγράψιμο ίν νεται τρίγωνο, ο περιγεγραμμένος κύκλος (Ο,R) και τυχαίο σημείο του τόξου. ν Ν είναι το μέσο του τόξου, οι και Ν τέμνονται στο και οι και Ν τέμνονται στο, να αποδείξετε ότι: ) To τετράπλευρο είναιι εγγράψιμο. ) // Ν 6.09 ίν νεται κύκλος (,R), διάμετρος και η ακτίνα κάθετη στην. Τυχαία ευθεία που διέρχεται από το τέμνει την στο και τον κύκλο στο. ν η εφαπτομένηη του κύκλου στο τέμνει την προέκταση της στο σημείο καιι η κάθετη επί της στο τέμνει την στο σημείο, να αποδείξετε ότι: Τα τετράπλευρα και είναι εγγράψιμα. ε Η γωνία είναι ορθή ίν νεται ορθογώνιο τρίγωνο, ˆ 90. Φέρνουμε τη Ο διχοτόμο της γωνίας,, η οποία τέμνει τη στοο. Στο σημείο H φέρνουμε την κάθετη στην η οποία τέμνει την στο. ν και Η είναι οι αποστάσεις του από τις και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: ) =Η. Z ) Το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο. ) = Έστ τω το μέσον της πλευράς ενός τετραγώνου. Φέρνουμε κάθετη στη. Να αποδείξετε ότι: ) Τα τρίγωνα και είναι ίσα. ) Το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο. ) =

37 υκείου - εωμετρία Ένα α τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο. Στην ημιευθεία παίρνουμε τμήμα = και στη τμήμα Ν Ν=. Να αποδείξετε ότι: ) Τα σημεία,,ν και είναι ομοκυκλικά. ) Ν// ίν νεται τρίγωνο εγγεγραμμένο σε ε κύκλο. πό το φέρνουμε ευθεία κάθετη στην η οποία τέμνει την πλευρά στο σημείο. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο ίν νεται ισοσκελές τραπέζιο με γωνίες ˆ = ˆ =600. Έστω η διάμεσος του και Η το ύψος του. πό το φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην πλευρά που τέμνει την πλευρά στο Θ. Να αποδείξετε ότι: ) Το τετράπλευρο ΗΘ είναι ισοσκελές τραπέζιο. Ι ) ν, Ι είναι τα μέσα των τμημάτων Η, αντίστοιχα Η Θ τότε το τετράπλευρο ΙΗ είναι εγγράψιμο Έστω ορθογώνιοο τρίγωνο ( Â 90 ) κ και η διχοτόμος αυτού. Φέρνουμεε από το κάθετη στη που τέμνει την στο και την στο Ρ. Να αποδείξετε ότι = και Ρ= 6.16 ίνεται κύκλος (,ρ).ν μια χορδή του κύκλου (,ρ) και το τ μέσο του τόξου να αποδείξετε ότι οι αποστάσεις του από τις ακτίνες και είναι ίσες με το μισό του τ μήκους της χορδής 6.17 Έστω ορθογώνιοο τρίγωνο ( Â 90 ) κ και φέρνουμε τη διχοτόμο. ν η κάθετη από το προς τη τέμνει την στο και την στο, να αποδείξετε ότι = και = 6.18 ύκ κλος με κέντρο εφάπτεται σε άλλον κύκλο με κέντρο στο σημείο σ. ια ευθεία (ε) εφάπτεται ε στον κύκλο στο σημείο. ν η τέμνει τον κύκλο στο σημείο, να ν αποδείξετε ότι (ε) Το τρίγωνο είναι γγεγραμμένοο σε κύκλο και η διχοτόμος του τέμνει τον κύκλο στο. Θεωρούμε ακόμη τα ευθύγραμμα τμήματα τ Θ και Η ώστε και. ) ποδείξετε ότι το τρίγωνο είναιι ισοσκελές. ) Να δείξετε την ισότητα. ) ποδείξετε ότι είναι. ) Να δείξετε την ισότητα

38 38 ΝΙΣ ΣΗΣΙΣ 6.0 Στο διπλανό σχήμα, είναι ε διάμετροι και ε εφαπτομένη του κύκλου. Να υπολογίσετε: α) τη γωνία θ β) τη γωνία φ γ) τη γωνία ω. M O E 6.1 πό ό σημείο εξωτερικό κύκλου (Ο, R) φέρνουμε τις εφαπτόμενεςε ς, του κύκλου. ΠροεκτείνουμΠ με το Ο κατά τμήμα =Ο. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνοο ΟE είναιι ισοσκελές. Να αποδείξετε ότι: 3 Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο Ο είναι εγγράψιμο. 6. Στο διπλανό σχήμα δίνονταιι δύο κύκλοιι (, ρ 1 ) και (, ρ ) με ρ >ρ 1, που τέμνονται στα και.. Έστω τυχαίο σημείο του (, ρ 1 ) και η κοινή χορδή. Οι χορδές και προεκτεινόμενες τέμνουν τον κύκλο (, ρ ) στα και αντίστοιχα, η τέμνει τον (, ρ 1 ) στο και η προέκταση της τέμνει την στο Η. Η ) Να αποδείξετε ότι :. ) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΗΗ είναι εγγράψιμο. 6.3 Σε επίπεδο, θεωρούμε ευθ. τμήμα με μήκος 10cm, Ο το μέσο του και ταα σημεία και έτσι ώστε : να βρίσκονται εκατέρωθεν της, Ο = Ο = 5cm ˆ = 1 της ορθής και ˆ = 30 ο. Να δείξετε ότι το είναι εγγράψιμο. = 5cm και = αν το μέσο της τότε Ο ˆ = Ο ˆ = 15 ο.

39 υκείου - εωμετρία Σε ένα τρίγωνο είναι =. Έστω το μέσο της πλευράς. Στην πλευρά παίρνουμε τα σημεία Ν και Ρ έτσι ώστε Ν = ΝΡ = Ρ. Να αποδειχθεί ότι: ) Ρ // Ν ) Η ευθεία Ν διέρχεται από το τ μέσο του ) Η Ν είναι κάθετη στην. ) Η γωνία Ρ είναι ορθή. ) ν η γωνία είναι ίση με 30 ο, τότε Ν = Ρ. 6.5 Έστω (, ρ) κύκλος και σημείο Ρ, στο επίπεδό του, τέτοιο ώστε ΡΡ =ρ. Φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα Ρ και Ρ. Να αποδείξετε ότι: _. ˆ = 30 ο. ˆ = 10 ο. το Ρ είναι ισόπλευρο _K _Ρ _ 6.6 Σε τρίγωνο είναι 3 και ) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ) ν το ύψος του τριγώνου και η διάμεσός του τότε : i) ii) Να αποδείξετε ότι = 30 ο Να αποδείξετε ότι 4 Η Ο 6.7 Στο και. Να δείξετε ότι: η διάμετρος του κύκλου το παραλληλόγραμμο, Το διπλανό σχήμα είναι (Ο,R) ο περιγεγραμμένος στο τρίγωνο, κύκλος,,, τα ύψη του 1, το μέσο της τ

40