II. Analiză matematică 0. 7 Şiruri şi serii numerice 1. 8 Calcul diferenţial pentru funcţii de o variabilă reală 43

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "II. Analiză matematică 0. 7 Şiruri şi serii numerice 1. 8 Calcul diferenţial pentru funcţii de o variabilă reală 43"

Transcript

1

2 Cuprins II. Analiză matematică 7 Şiruri şi serii numerice 8 Calcul diferenţial pentru funcţii de o variabilă reală 43 9 Calcul integral pentru funcţii de o variabilă reală 6 Funcţii de mai multe variabile reale 93 Şiruri şi serii de funcţii: serii Taylor, serii Fourier Funcţii complexe 7 III. Matematici discrete 95 3 Combinatorică şi grafuri 96 4 Aritmetică şi teoria numerelor 3

3 Lucrarea a fost elaborată după cum urmează: Capitolul 7. Vasile Pop, Mircea Olteanu Capitolul 8. Liliana Popa Capitolul 9. Dorian Popa, Vasile Pop Capitolul. Dorian Popa Capitolul. Mircea Olteanu, Radu Strugariu Capitolul. Liliana Popa Capitolul 3. Monica Burlică, Mihai Ispas Capitolul 4. Gabriel Mincu

4 Prefaţă Cartea de faţă a fost elaborată în cadrul proiectului POSDRU/56/./S/3768, Formarea cadrelor didactice universitare şi a studenţilor în domeniul utilizării unor instrumente moderne de predare-învăţare-evaluare pentru disciplinele matematice, în vederea creării de competenţe performante şi practice pentru piaţa muncii. Finanţat din Fondul Social European şi implementat de către Ministerul Educaţiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului, în colaborare cu The Red Point, Oameni şi Companii, Universitatea din Bucureşti, Universitatea Tehnică de Construcţii din Bucureşti, Universitatea Politehnica din Bucureşti, Universitatea din Piteşti, Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi, Universitatea de Vest din Timişoara, Universitatea Dunărea de Jos din Galaţi, Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca, Universitatea Decembrie 98 din Alba-Iulia, proiectul contribuie în mod direct la realizarea obiectivului general al Programului Operaţional Sectorial de Dezvoltare a Resurselor Umane - POSDRU şi se înscrie în domeniul major de intervenţie. Calitate în învăţământul superior. Proiectul are ca obiectiv adaptarea programelor de studii ale disciplinelor matematice la cerinţele pieţei muncii şi crearea de mecanisme şi instrumente de extindere a oportunităţilor de învăţare. Evaluarea nevoilor educaţionale obiective ale cadrelor didactice şi studenţilor legate de utilizarea matematicii în învăţământul superior, masterate şi doctorate precum şi analizarea eficacităţii şi relevanţei curriculelor actuale la nivel de performanţă şi eficienţă, în vederea dezvoltării de cunoştinţe şi competenţe pentru studenţii care învaţă discipline matematice în universităţi, reprezintă obiective specifice de interes în cadrul proiectului. Dezvoltarea şi armonizarea curriculelor universitare ale disciplinelor matematice conform exigenţelor de pe piaţa muncii, elaborarea şi implementarea unui program de formare a cadrelor didactice şi a studenţilor interesaţi din universităţile partenere bazat pe dezvoltarea şi armonizarea de curriculum, crearea unei baze de resurse inovative, moderne şi funcţionale pentru predarea-învăţarea-evaluarea în disciplinele matematice pentru învăţământul universitar sunt obiectivele specifice care au ca răspuns materialul de faţă. Formarea de competenţe cheie în matematică şi informatică presupune crearea de abilităti de care fiecare individ are nevoie pentru dezvoltarea personală, incluziune socială şi inserţie pe piaţa muncii. Se poate constata însă că programele disciplinelor de matematică nu au întotdeauna în vedere identificarea şi sprijinirea elevilor şi studenţilor potenţial talentaţi la matematică. Totuşi, studiul matematicii a evoluat în exigenţe până la a ajunge să accepte provocarea de a folosi noile tehnologii în procesul de predare-învăţare-evaluare pentru a face matematica mai atractivă. În acest context, analiza flexibilităţii curriculei, însoţită de analiza metodelor şi instrumentelor folosite pentru identificarea şi motivarea studenţilor talentaţi la matematică ar putea răspunde deopotrivă cerinţelor de masă, cât şi celor de elită. Viziunea pe termen lung a acestui proiect preconizează determinarea unor schimbări în abordarea fenomenului matematic pe mai multe planuri: informarea unui număr cât mai

5 Prefaţă mare de membri ai societăţii în legătură cu rolul şi locul matematicii în educaţia de bază, în instrucţie şi în descoperirile ştiinţifice menite să îmbunătăţească calitatea vieţii, inclusiv popularizarea unor mari descoperiri tehnice, şi nu numai, în care matematica cea mai avansată a jucat un rol hotărâtor. De asemenea, se urmăreşte evidenţierea a noi motivaţii solide pentru învăţarea şi studiul matematicii la nivelele de bază şi la nivel de performanţă; stimularea creativităţii şi formarea la viitorii cercetători matematicieni a unei atitudini deschise faţă de însuşirea aspectelor specifice din alte ştiinţe, în scopul participării cu succes în echipe mixte de cercetare sau a abordării unei cercetări inter şi multi disciplinare; identificarea unor forme de pregătire adecvată de matematică pentru viitorii studenţi ai disciplinelor matematice în scopul utilizării la nivel de performanţă a aparatului matematic în construirea unei cariere profesionale.

6 Introducere Concursurile de matematică, naţionale şi internaţionale pentru elevi au o tradiţie îndelungată, primul concurs internaţional fiind organizat la iniţiativa României, în România în anul 959 (Olimpiada Internaţională de Matematică). În toţi aceşti ani, la nivelul matematicii preuniversitare s-a ajuns la o programă de concurs comună, unanim acceptată de toate ţările participante la OIM (în prezent peste de ţări) iar concursul reprezintă pentru mulţi dintre participanţi cel mai important test de verificare al nivelului pregătirii matematice şi în acelaşi timp un barometru pentru nivelul matematicii competiţionale al ţării din care provin. Este de dorit ca şi la nivel universitar competiţiile internaţionale să urmeze modelul OIM, în special ca formă de organizare şi ca programă de concurs general acceptată şi cunoscută. La nivel universitar concursurile de matematică s-au desfăşurat foarte mult timp doar la nivel naţional în diverse ţări şi în multe cazuri sporadic. Cea mai veche competiţie naţională cu desfăşurare neîntreruptă este concursul Putnam, organizat în Statele Unite ale Americii începând cu anul 938. În România, Concursul Naţional Studenţesc Traian Lalescu s-a desfăşurat la mai multe discipline, s-a întrerupt în perioada 99-6 şi a fost reluat din 7 la matematică. Cea mai importantă competiţie internaţională de matematică pentru studenţi este IMC (International Mathematics Competition for University Students) care se organizează itinerant din 994 fiind echivalentul Olimpiadei Internaţionale de Matematică la nivel universitar. În ultimii ani la această competiţie participă peste 3 de studenţi din peste 7 de universităţi şi peste 3 de ţări. Competiţia este individuală iar fiecare echipă reprezintă o universitate (nu o ţară). Dificultatea problemelor date în concurs este deosebit de ridicată, iar rezultatul este edificator: concursul se desfăşoară pe durata a două zile şi se dau 5 sau 6 probleme în fiecare zi. Începând din 7 se desfăşoară Concursul Internaţional Studenţesc SEEMOUS (South Eastern European Mathematical Olympiad for University Students), analogul Olimpiadei Balcanice de Matematică pentru elevi, la care au participat în fiecare an studenţi de la universităţi din România (Bucureşti, Cluj-Napoca, Iaşi, Timişoara). Această culegere de probleme a fost gândită pentru a pune la dispoziţia studenţilor din România un material necesar pentru o bună pregătire matematică în vederea ridicării nivelului pregătirii obişnuite la nivel competiţional (naţional sau internaţional). La elaborarea cărţii au fost implicaţi profesori cu experienţă la concursurile naţionale şi internaţionale studenţeşti. În elaborarea programei care stă la baza culegerii am decis, după discuţii cu reprezentanţi ai majorităţii universităţilor din ţară, să folosim curricula concursurilor internaţionale de matematică la care studenţii de la universităţile din România participă cel mai frecvent. Problemele au fost împărţite pe teme în 4 capitole:

7 Introducere Algebră - capitolele şi, Algebră liniară - capitolele 3, 4, 5, Geometrie analitică - capitolul 6, Analiză reală (funcţii de o variabilă) - capitolele 7, 8, 9, Analiză matematică (funcţii de mai multe variabile) - capitolul, Şiruri şi serii de funcţii - capitolul, Funcţii complexe - capitolul, Matematici discrete - capitolele 3 şi 4. Fiecare capitol începe cu o prezentare a noţiunilor şi rezultatelor necesare rezolvării problemelor, urmată de un număr suficient de probleme rezolvate, unele clasice, dar semnificative, altele pentru antrenament şi altele selectate din concursurile internaţionale sau naţionale ale altor ţări ca: Rusia, Franţa, Iran, S.U.A., Ungaria, Cehia, Israel. Culegerea conţine peste 6 de probleme cu rezolvări complete, o listă de peste 5 de titluri bibliografice (cărţi editate în ţară sau în străinătate), precum şi o listă de adrese de Internet ale diverselor concursuri internaţionale studenţeşti. După cunoştinţa autorilor această culegere este prima în lume care tratează o astfel de tematică la modul general, nefiind dedicată doar unui anumit concurs. Fiecare capitol al culegerii a fost elaborat de unul sau doi dintre cei autori şi fiecare a putut contribui cu probleme la orice alt capitol. De coordonarea întregii culegeri şi finalizarea ei s-au ocupat conf. dr. Vasile Pop de la Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca şi conf. dr. Cornel Băeţica de la Universitatea din Bucureşti.

8 Capitolul 7 Şiruri şi serii numerice Definiţii şi rezultate Teorema Stolz-Cesaro. Fie (a n ) n, (b n ) n două şiruri de numere reale cu proprietăţile următoare: ) (b n ) n este strict monoton şi nemărginit; ) există lim Atunci lim n n a n b n = l. a n+ a n b n+ b n = l, l R. Teorema Stolz-Cesaro. Fie (a n ) n, (b n ) n două şiruri de numere reale cu proprietăţile următoare: ) lim a n = lim b n = ; n n ) şirul (b n ) n este strict monoton; a n+ a n 3) există lim = l, l R. n b n+ b n Atunci lim n lim n a n b n = l. Corolar. Fie (a n ) n un şir de numere pozitive cu proprietatea că există a n+ = l, l R. Atunci lim n an = l. a n n Teoremă. Fie (a n ) n un şir de numere pozitive cu proprietatea că există lim n l. Atunci, dacă l < lim n a n =, iar dacă l > Fie a n o serie de numere reale. Şirul (s n ) n, unde s n = sumelor parţiale ale seriei. lim a n =. n Dacă există limita şirului (s n ) n, atunci ea se numeşte suma seriei. a n+ a n = n a k, se numeşte şirul Dacă şirul sumelor parţiale este convergent şi lim s n = s, atunci se spune că seria n a n este convergentă şi se scrie a n = s. Dacă seria a n este convergentă se spune că seria k= a n este absolut conver-

9 gentă. O serie care este convergentă, dar nu este absolut convergentă se numeşte serie semiconvergentă. Observaţii. a) Dintr-o serie dată a n se pot obţine alte serii, prin schimbarea ordinei termenilor ( a σ(n), σ : N N bijectivă) sau prin asocierea unor termeni ( (a f(n)+ + a f(n)+ + + a f(n+) ), unde f : N N este o funcţie strict crescătoare). În general, aceste transformări pot schimba suma seriei şi chiar natura seriilor. În cazul seriilor absolut convergente avem: Teoremă. Dacă într-o serie absolut convergentă schimbăm ordinea termenilor sau asociem secvenţe de termeni, seria obţinută are aceeaşi sumă cu seria iniţială. În cazul seriilor semiconvergente situaţia este complet diferită după cum arată următoarea: Teoremă (Riemann). Într-o serie semiconvergentă se poate schimba ordinea termenilor în aşa fel încât seria să fie divergentă sau să fie convergentă cu suma un număr real arbitrar. b) Pentru fiecare număr natural m N definim seria rest de ordin m prin R m = a n. n=m Seria a n are aceeaşi natură cu orice serie rest a ei. c) Dacă seria a n este convergentă, atunci şirul (a n ) n este convergent la zero. Un criteriu de divergenţă este următorul: C. Dacă şirul (a n ) n nu converge la zero, atunci seria Seria geometrică Dacă q este un număr real, atunci seria a n este divergentă. q n se numeşte seria geometrică de raţie q. Pentru q (, ) seria geometrică este convergentă şi suma ei este n= Pentru q seria este divergentă şi are suma. Pentru q seria este divergentă şi nu are sumă. n= q n = q. Seria armonică generalizată Dacă α este un număr real, atunci seria se numeşte serie armonică generalizată nα de exponent α. Pentru α > seria armonică n α este convergentă şi suma ei se notează n α = ζ(α). Funcţia ζ : (, ) R se numeşte funcţia zeta a lui Riemann. Pentru α seria

10 Şiruri şi serii numerice 3 armonică este divergentă şi are suma. nα Criterii generale de convergenţă C. (Criteriul general al lui Cauchy) Seria a n este convergentă dacă şi numai dacă, pentru orice ε > există un rang N(ε) N astfel ca pentru orice n N(ε) şi orice p să avem: a n+ + a n+ + + a n+p < ε. C. (Criteriul lui Abel-Dirichlet) Dacă seria a n are şirul sumelor parţiale mărginit, iar şirul (b n ) n este descrescător la zero, atunci seria C3. (Criteriul lui Abel) Dacă seria monoton şi mărginit, atunci seria a n b n este convergentă. a n este convergentă iar şirul (b n ) n este a n b n este convergentă. C4. (Criteriul lui Leibniz) Dacă şirul (b n ) n este monoton şi convergent la zero, atunci seria ( ) n b n este convergentă. Criterii de convergenţă pentru serii cu termeni pozitivi În următoarele criterii (C4-C) termenii seriilor care apar sunt strict pozitivi. A. Criterii intrinseci C4. Criteriul raportului (d Alembert) a) Dacă există q (, ) şi N N astfel ca a n+ a n a n este convergentă. b) Dacă există N N astfel ca a n+ este divergentă. a n+ C4. Dacă există limita lim = l atunci: n a n a) pentru l [, ) seria a n este convergentă; b) pentru l (, ) seria n a n este divergentă; a n c) pentru l = criteriul este ineficient. C5. Criteriul radicalului (Cauchy) q pentru orice n > N, atunci seria pentru orice n > N, atunci seria a n

11 4 a) Dacă există q (, ) şi N N astfel ca n a n q pentru orice n > N, atunci seria a n este convergentă. b) Dacă există o infinitate de termeni pentru care n a n atunci seria este divergentă. C5. Dacă există lim n an = l atunci: n a) pentru l [, ) seria a n este convergentă; b) pentru l (, ) seria n a n este divergentă; c) pentru l = criteriul este ineficient. C6. Criteriul Raabe-Duhamel a) Dacă există un număr real c > şi un număr natural N N astfel ca ( ) an n c, pentru orice n N, a n+ atunci seria a n este convergentă. b) Dacă există un număr natural N pentru care ( ) an n, pentru orice n N, a n+ atunci seria a n este divergentă. n ( ) C6. Dacă există limita lim n an = l atunci: n a n+ a) pentru l > seria a n este convergentă; b) pentru l < seria n a n este divergentă; c) pentru l = criteriul este ineficient. Observaţie. În general criteriul Raabe-Duhamel se aplică la serii la care criteriul raportului sau radicalului este ineficient. C7. Criteriul condensării (Cauchy) Dacă şirul (a n ) n este descrescător, atunci seriile (sunt simultan convergente sau divergente). a n şi n a n au aceeaşi natură B. Criterii de comparaţie C8. Dacă există N N astfel ca < a n b n pentru orice n > N, atunci: a) Dacă seria a n este divergentă, atunci seria b n este divergentă.

12 Şiruri şi serii numerice 5 b) Dacă seria b n este convergentă, atunci seria a n este convergentă. C9. Dacă există N N astfel ca a n+ b n+ pentru orice n > N, atunci: a n b n a) Dacă seria a n este divergentă, atunci seria b n este divergentă. b) Dacă seria b n este convergentă, atunci seria a n a n este convergentă. C. Dacă există lim = l atunci: n b n a) pentru l (, ) seriile a n şi b n au aceeaşi natură; b) pentru l = avem implicaţiile: a n divergentă b n divergentă; b n convergentă a n convergentă; c) pentru l = avem implicaţiile: b n divergentă a n divergentă; a n convergentă b n convergentă. Observaţie. În general pentru a decide natura unei serii a n prin criteriul C se folosesc pentru comparaţie serii armonice generalizate. Se obţine criteriul. C. Dacă există α R astfel ca atunci: a) pentru α > seria b) pentru α seria lim n nα a n = l (, ) a n este convergentă; a n este divergentă. Produsul Cauchy a două serii Definiţie. Dacă a n şi b n sunt două serii, atunci seria c n cu termenul general c n = a b n + a b n + a 3 b n + + a n b, n, se numeşte produsul Cauchy al celor două serii. Observaţie. În general produsul Cauchy a două serii convergente nu este neapărat o serie convergentă (a n = b n = ( )n ). n Teoremă (Mertens). Dacă seriile a n şi b n sunt convergente, iar una din ele

13 6 este absolut convergentă, atunci produsul lor Cauchy dacă a n = A, b n = B, atunci c n = AB. c n este o serie convergentă şi Şiruri. Probleme Problema 7. Fie I R şi f : I I. Definim şirul (a n ) n prin relaţia a n+ = f(a n ), n, a I. Să se arate că: ) Dacă f este crescătoare, atunci (a n ) n este monoton; ) Dacă f este descrescătoare, atunci şirurile (a n ) n, (a n+ ) n sunt monotone şi au monotonii diferite. Soluţie. ) Dacă a a rezultă că f(a ) f(a ), adică a a şi apoi prin inducţie se arată că a n a n+ pentru orice n. Dacă a a rezultă analog că şirul este descrescător. ) Avem a n+ = f(a n+ ) = (f f)(a n ), n şi a n+ = f(a n+ ) = (f f)(a n ), n. Cum g = f f este crescătoare, din punctul ) rezultă că (a n ) n şi (a n+ ) n sunt şiruri monotone. Dacă presupunem că (a n ) n este crescător, din relaţia a n a n+ obţinem f(a n ) f(a n+ ) echivalent cu a n+ a n+3, n, ceea ce arată că (a n+ ) n este descrescător. Presupunerea că (a n ) n este descrescător conduce în mod analog la faptul că (a n+ ) n este crescător. Deci şirurile (a n ) n şi (a n+ ) n au monotonii diferite. Problema 7. a) Să se arate că lim b) Să se calculeze lim n n n ( n + + n ) n ( n + + n n ln. ) = ln ; Soluţie. a) Fie c n = ln n, n. Avem n x n = n + + n n ln = (c n c n ) + ln n ln n = = c n c n + ln, de unde obţinem lim x n = ln. n b) Fie y n = n + + n n ln, n, n a n = n + + n n ln, b n = n.

14 Şiruri şi serii numerice 7 Condiţiile celei de-a doua teoreme a lui Stolz-Cesaro sunt îndeplinite şi avem a n+ a n lim lim n + + n + + n + n b n+ b n n n + n = 4 de unde rezultă că lim n y n = 4. Problema 7.3 Fie f : [, ) R o funcţie descrescătoare şi mărginită inferior. Să se arate că şirul (a n ) n de termen general este convergent. a n = f() + f() + + f(n) Soluţie. Studiem monotonia lui (a n ) n. Avem a n+ a n = f(n + ) = f(n + ) n+ n f(x)dx = n+ n+ n n f(x)dx + f(x)dx n f(x)dx = (f(n + ) f(x))dx, ţinând seama că f este descrescătoare. Rezultă că şirul (a n ) n este descrescător. Demonstrăm că şirul este mărginit inferior. Avem a n = = ( f() ) ( f(x)dx + f() 3 ( n ) + f(n ) f(x)dx + f(n) = n (f() f(x))dx + 3 ) f(x)dx + + (f() f(x))dx + + n + (f(n ) f(x))dx + f(n), n de unde rezultă că (a n ) n este mărginit inferior, ţinând seama de monotonia lui f şi de faptul că f este mărginită inferior. Prin urmare şirul (a n ) n este convergent, fiind monoton şi mărginit. Observaţie. Pentru funcţia f : [, ) R, f(x) = x, rezultă imediat că şirul (c n) n, este convergent. c n = n ln n Problema 7.4 Să se calculeze lim n [(n + ) n+ n + n n n].

15 8 Soluţie. Considerăm funcţia f : [n, n+] R, n N, f(x) = x + x, căreia îi aplicăm teorema lui Lagrange. Rezultă că există c n (n, n + ) astfel ca ( cn f(n + ) f(n) = cn + ln c ) n. c n c n Din c n > n rezultă că lim n c n = şi în continuare lim [f(n + ) f(n)] =. n Problema 7.5 Demonstraţi că dacă sin x, atunci şirul (sin nx) n nu are limită. Soluţie. Să presupunem că şirul (sin nx) n este convergent. Din rezultă că lim n cos nx =. Ţinând seama de relaţia cos nx = sin nx = sin(n + )x sin(n )x sin x cos(n + )x cos(n )x sin x deducem că lim sin nx =, prin urmare lim n n (sin nx+cos nx) =, contradicţie. Rezultă că şirul (sin nx) n este divergent. Problema 7.6 Să se determine cel mai mic număr real pozitiv x pentru care şirul (a n ) n, ( a n = + n) n+x este descrescător. ( Soluţie. Considerăm funcţia f : [, ) R, f(t) = (t + x) ln + ), t. Evident t a n = e f(n), n. Avem ( f (t) = ln + ) t + x t t( + t), f (t) = t(x ) + x t ( + t). Dacă x rezultă f (t) pentru orice t, deci f este strict crescătoare pe [, ). Cum lim t f (t) = rezultă f (t) <, t, deci f este descrescătoare pe [, ). Rezultă că (a n ) n este un şir descrescător pentru x. Dacă x <, atunci ecuaţia f x (t) = are rădăcina t = x şi f (t) pentru t t. Rezultă că f este descrescătoare pe [t, ) şi cum lim f (t) = avem f (t) > pentru t t. Prin t urmare şirul (a n ) este crescător pentru n > t. Cel mai mic număr pentru care (a n ) n este descrescător este x =. Problema 7.7 Să se arate că dacă lim n an n = a, lim n bn n = b, a, b >, atunci pentru orice p, q cu p + q =, are loc relaţia lim (pa n + qb n ) n = a p b q. n

16 Şiruri şi serii numerice 9 Soluţie. Arătăm mai întâi că lim n (pa n + qb n ) =. Apoi avem şi în continuare lim n(a n ) = ln a, n lim a n = şi lim b n n n lim n(b n ) = ln b n lim (pa n + qb n ) n = e lim n(pan+qbn ) n = n = e lim [pn(an )+qn(bn )] n = e p ln a+q ln b = a p b q. ) Problema 7.8 Să se calculeze lim (e n+ e n. n Soluţie. Fie c n = n ln n. Avem x n = e n+ e n = e n = e cn+ln n ( e n+ ) = e cn n n + e Rezultă că lim n x n = e c, unde c este constanta lui Euler. =. De aici deducem că (e n+ ) = n+. n + Problema 7.9 Să se arate că următoarele şiruri sunt convergente, folosind problema 7.3. a) a n = ln n; n b) a n = ln + 3 ln ln(ln n); n ln n c) a n = + α + + n α α n α, α (, ); d) a n = + α + + n α, α >. Soluţie. a) Se ia f(x) = x ; b) f(x) = x ln x ; c) f(x) = x α ; d) f(x) = x α. Problema 7. Să se calculeze limitele următoarelor şiruri: a) a n = ( + ln n + + ), n ; ( n b) a n = ln(ln n) ln + 3 ln ), n 3; n ln n c) a n = ( n α + α + + ) n α, α (, ). Soluţie. Se utilizează prima teoremă a lui Stolz-Cesaro obţinându-se: a) lim a n = ; n b) lim a n = ; n c) lim a n = n α.

17 Problema 7. Dacă notăm cu a limitele şirurilor de la exerciţiul 7.9 să se calculeze limitele următoare: a) lim ( n n ) ln n a ; n ( b) lim n ln n n ln + 3 ln ) ln(ln n) a ; ( n ln n c) lim n nα + α + + n α ) α n α a, α (, ); ( d) lim n nα + α + + ) n α a, α >. Soluţie. Se aplică a doua teoremă a lui Stolz-Cesaro. a) x n = n ln n a, y n =, n. Avem n x n x n+ x n lim = lim = lim n y n n y n+ y n n = lim x x R ln(x + ) + ln x x + x + x = lim x x R ln(n + ) + ln n n + n + = n (x + ) x + + x (x + ) + = x b) Se obţine limita ; c) Aplicând teorema a doua a lui Cesaro-Stolz obţinem ( lim n nα + α + + n α ) α n α a = lim n (n + ) α α [(n + ) α n α ] (n + ) α = n α α = lim n [ (n + ) n ( α) nα (n + ) α n α ( ) n + α ] n = ( α)x ( + x) + ( + x) α = lim x x[ ( + x) α = ]( α) x R aplicând regula lui l Hospital de două ori; d) Se obţine limita α. Problema 7. Să se arate că dacă p, q N, p < q, au loc relaţiile: qn a) lim n k = ln q p ; k=pn q n b) lim n n k = ln q p ; k=p n = ;

18 Şiruri şi serii numerice c) lim n d) lim n e) lim n ln n q n n q k=n p k = q p; k ln k = ln k=p n n q k=n p k ln k = ln q p ; ( ) ln q ; ln p Soluţie. Fie (a n ) n un şir de numere reale, s n = a + a + + a n, n şi (b n ) n un şir cu proprietatea că şirul (s n b n ) n este convergent. Dacă (p n ) n, (q n ) n sunt două şiruri de numere naturale, p n q n pentru n, atunci q n k=p n a k = s qn s pn + a pn = (s qn b qn ) (s pn b pn ) + (b qn b pn ) + a pn. De aici obţinem lim n q n în ipoteza că limita din dreapta există. a) p n = pn, q n = qn, b n = ln n, lim n k=p n a k = lim n [(b q n b pn ) + a pn ] ( ln qn ln pn + pn b) p n = p n, q n = q n, a k = k, b n = ln n. Pentru c), d), e) procedăm analog. ) = ln q p. Problema 7.3 Fie (a n ) n şi (b n ) n două şiruri de numere întregi cu proprietatea < a n b n, n. Să se arate că Soluţie. ln a n b n b n e k k=a n = a n lim n b n b n k=a n e k =. b n k=a n k + ln a n ln b n = ( bn ) ( an ) = k ln b n k ln a n + c c + =. a n k= k= Problema 7.4 Demonstraţi că [ + lim n + + ] n = 757. Soluţie. Considerăm şirurile (a n ) n 5, (b n ) n 5, a n = n, b n = n + n.

19 Se arată uşor că (a n ) este crescător, iar (b n ) este descrescător şi a n < b n, n 5, prin urmare deci, 7575 < a 6 < lim n a n < b 6 =, 7579, lim n [ ] n = 757. Problema 7.5 Fie a, b > şi (x n ) n, (y n ) n două şiruri de numere reale cu proprietăţile: x n lim n n a = A, lim y n = B, A, B R. n nb Să se calculeze lim n (x + x + + x n )(y + y + + y n ). n(x y + x y + + x n y n ) Soluţie. (x + + x n )(y + + y n ) n(x y + + x n y n ) = x + + x n n a+ y + + y n n b+ x y + + x n y n n a+b+ şi x + + x n lim n n a+ x y + + x n y n lim n n a+b+ x n+ = lim n (n + ) a+ n a+ = A a +, y + + y n lim n n b+ = B b +, x n+ y n+ = lim n (n + ) a+b+ n a+b+ = = lim n Limita cerută este egală cu x n+ (n + ) a y n+ (n + ) b (n + ) a+b+ n a+b+ (n + ) a+b a + b + (a + )(b + ). = AB a + b +. Problema 7.6 (Transformarea Toeplitz) Fie {c n,k : k n, n } un şir dublu de numere reale cu proprietăţile: i) lim c n,k = pentru orice k N ; n n ii) lim c n,k = ; n k= iii) există c > astfel ca n c n,k c pentru orice n. k= Atunci pentru orice şir convergent de numere reale (a n ) n, şirul (b n ) n definit prin n b n = c n,k a k, n, este convergent şi lim b n = lim a n. n n k=

20 Şiruri şi serii numerice 3 Soluţie. Dacă a n = a pentru orice n, atunci din ii) avem lim b n = a lim n n n c n,k = a. Astfel este suficient să considerăm cazul când şirul (a n ) n converge la zero. Pentru m > şi n m avem n m n () b n = c n,k a k c n,k a k + c n,k a k k= k= Fie ε >. Din lim n a n = rezultă că există n N astfel ca a n < ε c pentru n n. Şirul (a n ) n este mărginit şi presupunem că a n D, pentru orice n. Din i) rezultă că există n N astfel ca pentru n n Punând m = n în (), obţinem n k= n b n D c n,k + ε c k= k= c n,k < ε D. pentru n max{n, n }. Prin urmare lim n b n =. n k=m k=n c n,k < ε + ε = ε Problema 7.7 Să se demonstreze că dacă în exerciţiul precedent c nk >, k n, n, atunci pentru orice şir (x n ) cu limita, rezultă că şi transformata sa Toeplitz, (y n ), are limita. Soluţie. Fie (x n ) cu x n ; se poate presupune ca toţi termenii termenii şirului (x n ) n sunt strict pozitivi. Fie C > ; din condiţia lim c nk =, rezultă că există N N astfel încât: n k= n c nk >, n N. k= Şirul (x n ) fiind nemărginit, există N N astfel încât x n C, n N. Fie N 3 = max{n, N }; atunci, pentru orice n N 3, avem: n N 3 c nk x k = c nk x k + k= k= n k=n 3 c nk x k ceea ce încheie demonstraţia. N 3 c nk x k + C > C, k= Problema 7.8 Demonstraţi că dacă lim n a n = a, a R, atunci na + (n )a + + a n lim n n = a.

21 4 Soluţie. Se aplică teorema lui Toeplitz cu c n,k = Stolz-Cesaro de două ori. (n k + ) n sau se aplică teorema Problema 7.9 Dacă lim n a n = a, lim n b n = b, a, b R, atunci a b n + a b n + + a n b lim n n = ab. Soluţie. Dacă b, luăm c n,k = b n k+ în teorema lui Toeplitz. nb Dacă b =, punând c n,k = + b n k+, avem n a ( + b n ) + a ( + b n ) + + a n ( + b ) lim = a n n a + + a n şi ţinând seama că lim = a rezultă concluzia. n n Problema 7. Presupunem că lim a n = a, a R. Să se calculeze: ( n an a) lim n + a n + + a ) n ; ( a b) lim n + a a ) m ; ( n(n + ) an c) lim n a n + + ( ) n a ) n. Soluţie. Se obţin, aplicând teorema lui Toeplitz, rezultatele: a) a; b) a; c) 3 a. Problema 7. Determinaţi mulţimea punctelor limită ale şirului (a n ) n, unde: a) a n = [ ( )n ] n + n ; ( + 3 b) a n = cos nπ ) n; 3[ ] c) a n = n n 7. 7 Soluţie. a) a n = n + 3, a n+ = n+ + n. Avem lim + 3 a n = şi lim a n+ =, n n deci L(a n ) = {, }; b) L(a n ) = {,, }; c) a 7k =, a 7k+ = 7,..., a 7k+6 =. Se obţine 7 { L(a n ) =, 7, 7, 4 }. 7 Problema 7. Fie (a n ) n un şir de numere reale cu proprietatea că lim n (a n+ a n ) =. Arătaţi că mulţimea punctelor limită ale lui (a n ) n este un interval închis. Soluţie. Fie a < b puncte limită ale şirului (a n ) n şi c (a, b). Vom construi prin recurenţă un subşir (a nk ) k având limita c. Presupunând (a nk ) k ales, fie n N astfel

22 Şiruri şi serii numerice 5 ca a n+ a n < k, pentru n n. Din faptul că a, b sunt puncte limită ale lui (a n ) n, rezultă că există p, q N, p, q > max{n, n k } cu proprietatea că a p < c < a q. Notăm cu n k+ cel mai mare indice cuprins între p şi q astfel ca c < a nk+ +. Rezultă că a nk+ c a nk+ a nk+ + k. Această construcţie arată că mulţimea punctelor limită ale lui (a n ) n este un interval. Fie a o extremitate a acestui interval. Există deci un şir (x n ) n format din puncte limită pentru şirul (a n ) n astfel ca lim n x n = a. Este suficient să alegem un subşir (a nk ) k astfel ca a nk x k. Avem lim k a n n k = a, ceea ce încheie demonstraţia. Problema 7.3 Fie f : R R o funcţie periodică cu perioada T >, continuă în punctul x R. Fie (S n ) n un şir satisfăcând condiţiile: (i) lim n S n = ; (ii) lim n (S n+ S n ) =. Atunci f(x) este un punct limită al şirului (f(s n )) n. Soluţie. Deoarece f este continuă în x, există δ > astfel încât t x < δ implică f(t) f(x) <. Cum lim (S n+ S n ) =, există N N astfel încât pentru orice n N n să avem S n+ S n < δ. Fie k N cu proprietatea că x + k T S N. Din (i) rezultă că există n N, n N, astfel încât S n x + k T < S n +. Avem că x + k T S n < δ şi atunci (S n k T ) x < δ, de unde f(s n ) f(x) = f(s n k T ) f(x) <. Deoarece f este continuă în x, există δ > astfel încât t x < δ implică f(t) f(x) <. Cum lim (S n+ S n ) =, există N N astfel încât pentru orice n N n să avem S n+ S n < δ. Fie k N cu proprietatea că x + k T S max(n,n +). Din (i) rezultă că există n N, n max(n, n + ), astfel încât S n x + k T < S n +. Avem că x + k T S n < δ şi atunci (S n k T ) x < δ, de unde f(s n ) f(x) = f(s n k T ) f(x) <. Continuând procedeul de mai sus vom obţine un şir strict crescător (n p ) p care are proprietatea că f(s np ) f(x) < p şi trecând la limită obţinem lim f(s n p p ) f(x) =, deci şirul (f(s np )) p converge la f(x). Problema 7.4 Fie E n = +! +! + + n!, n. Demonstraţi că: a) < e E n < n n!, n ; b) e Q; c) lim (n!e [n!e]) =. n Soluţie. a) E m+n E n = < (n + )! (n + )! + (n + n)! + + (n + m)! < [ + ] n + + (n + ) + + (n + ) m < Fixând n şi făcând m obţinem e E n (n + )! n + n + < n n!. (n + )! n + n +

23 6 b) Să presupunem că e = p q Q, p, q N, q. Avem < e E q < şi înmulţind q q! cu q! obţinem < p(q )! q!e q < q, contradicţie, pentru că (p(q )! q!e q) Z. c) Din punctul a) rezultă că pentru orice n există θ n ], [ astfel ca deci deci [n!e] = e = E n + θ n n n!, [ n!e n + θ ] n = n!e n, n lim (n!e [n!e]) =. n Problema 7.5 Să se arate că lim n sin(πen!) = π. n ca Avem Soluţie. Din problema 7.4 a) rezultă că pentru orice n N există θ n+ (, ) astfel [ ( n sin π E n + şi cum n!e n N obţinem e = E n+ + θ n+ (n + )(n + )!. [ ( x n = n sin(πen!) = n sin π E n+ + ) ] (n + )! + θ n+ n! = n sin (n + )(n + )! [ ( x n = n sin π (n + )! + θ )] n+ (n + ) deci lim n = π. θ n+ (n + )(n + )! ) ] n! = ( πe n n! + n + + θ n+ (n + ) [ ] sin π( (n+)! + θ n+ ) ( (n+) = ( ) π n π (n+)! + θ n+ n + + nθ n+ (n + ) (n+) Problema 7.6 Fie (a n ) n un şir de numere reale cu proprietăţile: < a n pentru orice n şi lim (a + a + + a n ) =. n a) Să se arate că pentru orice l [, ) { } există o funcţie strict crescătoare L : N N astfel ca a + a + + a L(n+) lim = l. n a + a + + a L(n) b) Să se determine funcţia L pentru a n = n, n. ) ), Soluţie. a) Fie s k = a + + a k, k. Intervalele [s k, s k+ ), k, determină o partiţie a intervalului [a, ).. Dacă l >, atunci pentru orice n există un unic k N astfel ca l n [s k, s k+ ) şi definim funcţia L(n) = k, deci l n [s L(n), s L(n)+ ). Cum l n+ l n > > a L(n)+ rezultă s L(n+) s L(n)+ şi atunci L(n + ) > L(n), deci L este funcţie strict crescătoare. Avem: s L(n) l n < s L(n)+ = s L(n) + a L(n)+ < s L(n) +

24 Şiruri şi serii numerice 7 din care deducem s L(n+) l n+ < s L(n+)+ l n+ l n < s L(n+) s L(n) < ln+ l n, s L(n+) de unde obţinem lim =. n s L(n). Dacă l =, alegem L(n) = n şi obţinem s n+ lim n s n a n+ = + lim =. n s n 3. Dacă l = alegem L(n) astfel ca n n [s L(n), s L(n)+ ) şi avem s L(n+) s L(n) (n + )n+ n n. b) Şirul (a n ) n, a n = n n este convergent. Avem s L(n+) al(n+) = a L(n+) + s L(n) a L(n) +, a L(n) s L(n+) lim n s L(n) Pentru l = alegem L(n) = n. Pentru l > alegem L(n) = [l n ]. Pentru l > alegem L(n) = n n. al(n+) = lim. n al(n) Problema 7.7 Fie a şi b două numere reale astfel încât < a < b. Definim şirurile: a = ab, b = (a + b) a = a b, b = (a + b ) a n = a n b n, b n = (a n + b n ). Să se arate că şirurile a n si b n sunt convergente şi au aceeaşi limită (numită media aritmetico-geometrică a numerelor a şi b). Soluţie. Evident, din inegalitatea mediilor rezultă a n b n, n N şi a < a < b < b. Vom arăta că şirul (a n ) este crescător, iar şirul b n este descrescător. Avem: a n+ a n = a n b n a n = a n(b n a n ) an b n + a n >, n N, b n+ b n = a n + b n b n = a n b n <, n N. Rezultă că şirurile sunt convergente; dacă notăm L = lim a n şi L = lim b n, atunci, n n trecând la limită în relaţia a n+ = (a n + b n ), rezultă L = L.

25 8 Problema 7.8 Fie (x n ) un şir de numere reale astfel încât există L R cu proprietatea: Să se demonstreze că lim n x n = L. lim n (x n+ x n ) = L Soluţia. Fie ε > ; din ipoteză, există N(ε) astfel încât: L ε < x n+ x n < L + ε, n N(ε). Fie n N(ε) fixat şi fie k N; însumând inegalităţile: L ε < x n+ x n < L + ε, n N(ε). Obţinem: (L ε) < 4x n+ x n+ < (L + ε)... k (L ε) < k x n+k k x n+k < k (L + ε), ( k )(L ε) < k x n+k x n < ( k )(L + ε), sau, echivalent (împuarţind la k ): ( k) ( (L ε) < x n+k k x n < k) (L + ε). Alegem acum k astfel încât: k x n < ε şi k (L ± ε) < ε. Atunci, pentru orice p n + k (aleşi ca mai sus), rezultă: ceea ce încheie demonstraţia. Soluţia. Scriem Din teorema Cesaro-Stolz L 3ε < x m < L + 3ε, L = lim (x n+ x n+ n x n n+ x n ) = lim n n n+ n. deci lim n x n = L. n+ x n+ n x n n x n lim n n+ n = lim n n = lim x n, n Problema 7.9 Fie a şi b două numere pozitive. Să se calculeze limita şirului (x n ) definit de relaţia: x n+ = a + bx n, n, x = a. În particular, să se calculeze: lim n , (n radicali).

26 Şiruri şi serii numerice 9 Soluţie. Demonstrăm prin inducţie faptul că (x n ) este mărginit, mai precis: < x n < b + b + 4a, n, numărul b+ b +4a fiind soluţia pozitivă a ecuaţiei x bx a =. Evident, x = a < b+ b +4a ; presupunând că x n < b+ b +4a, rezultă x n+ = a + bx n < a + b b + b + 4a Demonstrăm că x n este strict crescător; este evident că: x = a + b a > a = x. = b + b + 4a. Relaţia x n+ > x n este echivalentă cu x n bx n a <. Ultima inegalitate este adevărată deorece x n (, b+ b +4a ). Şirul (x n ) este deci convergent şi prin trecere la limită în relaţia de recurenţă, rezultă lim x n = b + b + 4a. n Problema 7.3 Să se demonstreze formula lui Ramanujan: = 3 Soluţie. Fie şirul de funcţii f (x) = + x, f (x) = + x + (x + ),..., f n (x) = + x + (x + ) + + (x + n ) + (x + n ) (n radicali) Vom demonstra că şirul (f n (x)) converge pentru orice x. Fie x, fixat; evident, (f n (x)) este crescător. Arătăm în continuare că este mărginit. Evident: f n (x) x x... x x Pentru orice n N şi x, avem: f n (x) (x + ) (x + ) (x + 3)... (x + n) x 3x 4x... (n + )x x 4x 8x... n x = n k= = k n k k= x k 4x.

27 Fie f(x) = lim n f n(x); din inegalitatea f(x) x, rezultă f(x) (x + ) şi deci: Înlocuind x cu x +, rezultă: (x + ) f(x) 4x, x. (x + ) f(x + ) 4(x + ), x. Trecând la limită în relaţia de recurenţa şi apoi ridicând la pătrat, obţinem: Din dubla inegalitate de mai sus rezultă După calcule simple, obţinem: (f(x)) = + xf(x + ) x (x + ) + (f(x)) 4x(x + ) + (x + ) f(x) (x + ) Repetăm procedeul anterior, i.e. scriem inegalitatea anterioară pentru x+, apoi înmulţim cu x şi adunăm : x(x + ) + (f(x)) x(x + ) + şi după calcule rezultă: Iterând de n ori, rezultă: (x + ) f(x) (x + ) n (x + ) f(x) n (x + ), n =,, 3... Trecând la limită (n ) obţinem f(x) = x +. În particular, pentru x =, se obţine formula lui Ramanujan: = 3. Problema 7.3 Să se calculeze limita şirului: Soluţie. Termenul general se scrie: n k= ( k ln ( ) ) k + = ln k n k= ( ( ) ) k + k ln. k (n + ) n 3 5 (n ) e n = ( ) n + n (n) n = ln + ln n 3 5 (n ) e n = ( ) n + n = ln + ln 4n n n n! n (n)! e n Primul termen tinde la ; în al doilea termen înlocuim n! şi (n)! cu expresiile corespunzătoare din formula lui Stirling. În final obţinem limita ln.

28 Şiruri şi serii numerice Serii. Probleme Să se determine sumele seriilor: Problema 7.3 Soluţie. Avem din care rezultă sau deci Suma primilor termeni ai seriei este Deci = (a + )(a + )... (a + n), a >, b > a +. (b + )(b + )... (b + n) (a + )... (a + n) a n = (b + )... (b + n) = a a + n n b + n, a n (a + n) = a n (b + n) a n (a + n) = a n [(a + n + ) + (b a )], a n (a + n) a n (a + n + ) = (b a )a n. S n = n a k = k= b a n (f(n ) f(n)) = k= b a (f() f(n)) = b a (a a a n (a + n + )) = ( a = lim S n = n b a Ultima limită o determinăm astfel: = care are limita zero căci seria Deci b (a + )(a + )... (a + n + ) (b + )... (b + n) a (a + ) lim b(b a ) n (a + )... (a + n + ) (b + )... (b + n) ). (a + )... (a + n + ). (b + )... (b + n) ( + b a ) ( + b a ) (... + b a ) < a + a + a + n + < b a + b a + + b a = a + a + 3 a + n + = b a a + + a a + n + n= a + n a n = = este divergentă (comparând-o cu seria armonică). a b(b a ).

29 Problema 7.33 Soluţie. (suma seriei n k=. n k 3 k= k 3 = n (n + ). Avem S n = 4 = 4 n p= n p= 4 p (p + ) = [ ( p ) + ] p p + (p + ) ( = 8 ) [ ( n + (n + ) n )] lim S n = lim ( + n n + + n ) = π π este n 6 ). Problema 7.34 şi [ ] a + n, a R. n+ Soluţie. Este cunoscută identitatea: [ a + ] = [a] [a], a R. Avem Problema 7.35 [ ] a + n a n = = S n = S n = n+ n k= [ a ] [ a ] n n+, [ a ] a k = [a] n+ { [a], dacă a [a] +, dacă a <. n tg a { ( n, a R \ n π ) } + kπ k, n Z. Soluţie. Avem identitatea tg x = ctg x ctg x şi a n = n tg a n = ( n ctg a n ctg a ) n = = n ctg a n n ctg a n. n S n = a k = n ctg a ctg a, n k= lim S n = ctg a + lim n n n tg a = ctg a + a. n =

30 Şiruri şi serii numerice 3 Problema 7.36 şi ( ) n cos3 3 n a 3 n, a R. n= Soluţie. Avem identitatea 4 cos 3 x = cos 3x + 3 cos x din care: cos 3 3 n a 3 n = [ cos 3 n+ a 4 3 n + cos ] 3n a 3 n Suma primilor n termeni este care este suma seriei. Problema 7.37 arctg Soluţie. din care S n = Problema 7.38 n= S n = 4 n + n+. ( 3 cos a + ( ) n cos ) 3n+ a 3 n lim S n = 3 cos a, n 4 arctg x = arctg x + arctg x + x, n arctg + n+ = arctg n+ arctg n. n (arctg k+ arctg k ) = arctg n+ arctg = arctg n+ k= arctg n=3 lim S n = π n π 4 = π 4. 3 n n. Soluţie. Avem identitatea: arctg a + arctg b = arctg a + b, dacă ab < ab π + arctg a + b, dacă ab > ab 3 a n = arctg n n = arctg 3 + n n = (n + ) (n ) = arctg = arctg (n + ) arctg (n ). + (n + )(n ) n S n = (arctg (k + ) arctg (k )) = k=3 = arctg (n + ) + arctg n + arctg (n ) arctg arctg arctg 3. lim S n = 3 π n π (arctg + arctg 3) = = 3 π π ) (π arctg = 3 π 3 π 4 π + π 4 = π

31 4 Problema 7.39 ( ) n+. n ( Soluţie. S n = ) ( n ) = n ( = ) ln n ( + n + + n ) ln n + ln n ln n = = c n c n + ln, unde c n = n. Şirul (c n) n este convergent la constanta lui Euler c şi atunci lim n S n = c c + ln = ln deci Analog S n+ = S n + n + ln ( ) n+ = ln. n Problema p 4 q + p + + unde p, q N. + p p q + q + 4 4q +..., Soluţie. Notăm cu S(p, q) suma seriei, a n = n şi c n = ln n, n şirul (c n ) n fiind convergent la constanta lui Euler c. Suma primilor n(p + q) termeni ai seriei este S n (p + q) = p + p np ( q + q ) = nq = a np ( p + + np ( q + q nq ) ) = = a np a np a nq = c np + ln(np) (c np + ln(np)) (c nq + ln(nq)) = = c np c np c nq + ln 4n p npnq.

32 Şiruri şi serii numerice 5 Trecând la limită obţinem: S(p, q) = c c c + 4p ln q = 4p ln q Observaţie. ) Dacă q = 4p, atunci S(p, q) =, de exemplu =. Cum { 4p q p, q N } = Q +, mulţimea {ln 4p q p, q N } este densă în R, deci pentru orice l R şi pentru orice ε > se poate alege p, q N astfel ca l ε < S(p, q) < l + ε. ) În seria semiconvergentă ( ) n+ n s-a permutat ordinea termenilor astfel încât s-a obţinut o serie convergentă, dar cu o altă sumă. Astfel s-a exemplificat teorema lui Riemann referitoare la serii semiconvergente. n Problema 7.4 ( ) n ln n n. Soluţie. Şirul cu termenul general x n = ln + ln ln n n ln n este convergent şi notăm limita sa cu l. Avem: S n = n k= ( ) k ln k k = = ln + ln ln ln 4 ln(n ) 4 n ( ln = + ln + ln ln 4 ln(n ) n ( ln + + ln ln(n) ) = n + ln n n = + ln(n) n = x n + x n + ln ( n ) ln n (ln ) ( lim S (ln ) n = l + l + ln c = ln c ln ) n unde c = lim ( n ) ln n este constanta lui Euler. n ) + Problema 7.4 ( ) n n + ( ). n

33 6 ( Soluţie. Arătăm că seria ( ) n + n ) este produsul Cauchy n al seriei ( ) n cu ea însăşi. Termenul general al produsului este n ( c n = ( ) n n + (n ) + + ) n dar deci k(n + k) = ( ) n + k +, n k + ( c n = ( ) n + n ). n + Deoarece seria produs este o serie alternantă iar şirul + + n este descrescător n + spre zero, conform criteriului lui Leibniz, seria produs este convergentă şi atunci suma ei este ( S = ( ) n) n = (ln ). Problema 7.43 Fibonacci). deci n= Soluţie. Pentru matricea A = ( ) n F n F n+, unde F = F =, F n+ = F n + F n, n (şirul lui [ ], [ A n+ = A n + A n şi A n+ Fn+ F = n F n det(a n+ ) = (det A) n+, F n F n+ F n = ( ) n+, n. Suma primilor n termeni ai seriei este n ( ) k n S n = = F k F k+ = n k= din expresia lui F n = 5 k= ( Fk F ) k F k F k+ ( + ) n+ ( 5 lim S n = n k= F n ], F k F k+ F k F k F k+ = = F F + F n F n+ = F n F n+ ) n+ 5 rezultă =.

34 Şiruri şi serii numerice 7 Problema 7.44 Fie F n şirul lui Fibonacci: F = F =, F n+ = F n + F n, n şi fie σ n = n k= F k. Să se calculeze suma seriei: ( ) n. σ n n Soluţie. Vom presupune cunoscute relaţiile (se pot demonstra prin inducţie): ( F n = + ) n+ ( 5 ) n+ 5, n () 5 F n F n+ F n = ( ) n+, n. () Din definiţia lui F k rezultă: F k+ F k = F k + F k F k, k. Însumând egalităţile de mai sus pentru k =,,..., n, obţinem σ n = F n+ F n, n. (3) Din relaţiile () şi (3) obţinem: n ( ) k S n = = σ k k= k= n = k= Aplicând acum (), obţinem suma seriei: n n ( )k F k F k+ = n k= ( Fk F ) k = F n. F k F k+ F n+ ( ) n σ n = + 5. F k F k+ F k F k F k+ = Problema 7.45 arctg F n, unde (F n ) n este şirul lui Fibonacci. Soluţie. Din problema anterioară avem relaţia F n F n+ Fn = ( ) n+ în care înlocuim unul din F n cu F n+ F n şi obţinem: F n F n+ F n (F n+ F n ) = ( ) n+ sau sau Avem arctg F n (F n+ + F n ) F n F n+ = ( ) n+ F n F n+ F n F n+ = ( ) n+ F n+ arctg F n+ = arctg F n+ F n+ F n+ F n+ + =

35 8 deci arctg = arctg F n F n F n+3 = arctg F n+ arctg Adunând relaţiile de la n = obţinem: k= Trecând la limită rezultă F n+3, F n+3 = arctg n+ arctg = arctg arctg F k F arctg F n = arctg F = π 4. F n+ F n+3 Problema 7.46 Fie (x n ) n un şir de numere reale astfel încât există P (, ) { } cu proprietatea: lim ((x + )(x + ) (x n + )) = P. n Să se calculeze suma seriei x n (x + )(x + ) (x n + ). n Soluţie. Descompunem termenul general al seriei: x n (x + )(x + ) (x n + ) = x n + (x + )(x + ) (x n + ) = = (x + )(x + ) (x n + ) (x + )(x + ) (x n + ). Rezultă pentru şirul sumelor parţiale al seriei date formula: S n = (x + )(x + ) (x n + ), deci suma seriei este P (cu convenţia = ). Problema 7.47 Să se studieze convergenţa seriei ( a ) n n!, a >. n n Soluţie. Se aplică criteriul raportului: x n+ lim n x n ( ) n n = lim a = a n n + e Dacă a < e, atunci seria este convergentă; dacă a > e, atunci seria este divergentă. Pentru a = e, aplicăm criteriul lui Raabe-Duhamel: ( ) (( ) lim n xn n + n ) = lim n x n n+ n n e = (( = n + ) n ) n e = ( + n n) e e lim n. n Ultima limită se calculează aplicând regula lui L Hopital: ( + x) x e ( + x) x [x ( + x) ln( + x)] lim = lim x x x x = e ; rezultă că seria este divergentă.

36 Şiruri şi serii numerice 9 Problema 7.48 Să se studieze convergenţa seriei n n p ln q, p >, q >. n Soluţie. Dacă p >, se aplică criteriul comparaţiei: seria converge pentru orice q > deoarece n p ln q n n p. Dacă p =, se aplică criteriul integral: seria converge dacă şi numai dacă q >. Dacă p < se aplică criteriul de condensare: seria are aceeaşi natură cu seria cu termenul general, care este divergentă pentru orice q > (se poate aplica criteriul n q n(p ) ln q raportului). Problema 7.49 Fie (a n ) n un şir de numere reale şi fie, pentru orice x R, seria n an n x. Să se demonstreze că dacă seria dată converge pentru x = x, atunci ea converge pentru orice x x. Soluţie. Vom aplica criteriul lui Abel; seria dată se scrie: a n n x = a n n x n x x n n Şirul n x x este monoton (descrescător) şi mărginit, iar seria n an n x Problema 7.5 În seria convergentă: ( ) n+ = n n este convergentă. să se permute ordinea termenilor astfel încât să se obţină o serie convergentă, dar cu o altă sumă. Soluţie. Seria n ( ) n+ n este convergentă şi suma sa este ln. Fie deci: = ln Înmulţind egalitatea de mai sus cu, rezultă: = ln Însumăm acum cele două egalităţi grupând termenii astfel: ( + + ) + 3 ( ) ( ) ( + 8 ) + ( ) + + = 3 ln. Seria de mai sus este (după efectuarea calculelor din paranteze): = 3 ln, şi este o permutare a seriei iniţiale. Observaţie. Soluţia problemei se poate obţine folosind cazul particular al problemei 7.4 pentru p =, q =.

37 3 Problema 7.5 Să se precizeze natura seriilor: n n a) e n n! n n b) e n n!. ( Soluţie. a) a + ) n n+ n e (n + ) = < ( a n e e + ) = b n+ = b n n n Folosind criteriul de comparaţie C9 pentru seria convergentă, rezultă că seria n este convergentă. b) a n+ a n = ( + n e ) n > ( + ) n n ( + ) n+ = n n +. n Folosind criteriul de comparaţie C9 pentru seria divergentă rezultă că seria este n divergentă. Problema 7.5 Fie a n o serie convergentă cu termeni pozitivi. Să se arate că seria n a a... a n este convergentă şi are loc inegalitatea: n a a... a n < e a n (T. Carleman) Soluţie. (G. Polya) Definim numerele c, c,..., c n,... prin relaţiile c c... c n = (n + ) n pentru orice n N. Avem = = n a a... a n = a c + a c + + a n c n = n(n + ) (a k c k ) n(n + ) = k= k= n=k n a c a c a n c n n + k= a k c k k = (k + ) k a k k k k= < ( ) ( n ) (a k c k ) n(n + ) k= ( n ) n + (a k c k ) n=k k = k= a k e = e a k. k= k= a k ( + k = ) k ( ) < ( )

38 Şiruri şi serii numerice 3 În ( ) s-a folosit inegalitatea mediilor. În ( ) s-a folosit egalitatea: a n ( n k= b k ) = În ( ) s-a folosit faptul că şirul e k = e k < e, k N. ( ) b k a n k= n=k ( + k ) k este crescător cu limita e, deci Problema 7.53 Fie (ɛ n ) n un şir astfel încât ɛ n {,, }, n =,,... şi fie şirul x n = ɛ + ɛ + + ɛ n. (a) Să se demonstreze egalitatea: ( π x n = sin 4 n k= ɛ ɛ ɛ k k (b) Să se demonstreze că şirul (x n ) este convergent. ), n =,,... G. Polya, G. Szegö Soluţie. (a) Dacă ɛ =, atunci relaţia este evident adevărată. Presupunem de aici inainte că ɛ. Demonstrăm egalitatea prin inducţie; dacă n =, egalitatea este verificată. Presupunem acum adevărată relaţia: ( ) π n ɛ ɛ ɛ k x n = sin 4 k. k= Calculăm, aplicând ipoteza de inducţie: ( x π n+ = ɛ + ɛ ɛ n+ = sin 4 = cos ( π + π n+ k= ɛ ɛ 3 ɛ k k ) = cos n+ k= ( n+ π k= ɛ ɛ 3 ɛ k k ɛ ɛ ɛ k k ultima egalitate fiind evidentă pentru ɛ = ; dacă ɛ =, atunci egalitatea rezultă din paritatea funcţiei cosinus. Evident, ipoteza de inducţie a fost aplicată în ipoteza ɛ, altfel egalitatea cerută se verifică imediat: x n = ±. Rezultă deci: şi în concluzie ( n+ x n+ = 4 sin π 4 k= x n+ = sin ( n+ π 4 k= ɛ ɛ ɛ k k ɛ ɛ ɛ k k (b) Din relaţia demonstrată la punctul (a), notând cu S suma seriei (convergente) n ɛ ɛ ɛ ( k π ) k, rezultă lim x n = sin n 4 S. k= ) )., ) ), =

39 3 Problema 7.54 Se consideră şirul (a n ) n definit prin relaţia de recurenţă a n+ = ln( + a n ), n şi a =. a) Să se arate că lim a n =. n b) Să se arate că seria a n este divergentă. c) Să se arate că seria a n este convergentă. Soluţie. a) Prin inducţie se arată că a n >, n N şi din inegalitatea ln( + x) x rezultă că şirul (a n ) n este descrescător (şi mărginit de zero) deci convergent. Dacă lim a n = l atunci din relaţia de recurenţă rezultă l = ln( + l) cu singura soluţie l =. n b) Comparăm seria = lim n a n cu seria a n lim n n = lim n a n a n+ a n a n+ = lim n ln( + x) x = lim x x x ln( + x) = lim x deci seriile au aceeaşi natură (divergente). n. Avem n = lim n a n n + n = a n+ a n a n ln( + a n ) a n ln( + a n ) = lim x x x ln( + x) = lim x = lim x ( + x) = (, ), c) Aplicăm criteriul comparaţiei comparând cu seria a n lim = lim (na n n) = 4 (, ), n n x ln( + x) x ln( + x) = x + x n. Avem: = deci ambele serii sunt convergente. Problema 7.55 Fie seria convergentă cu termeni pozitivi există limita lim n na n, atunci ea este egală cu zero. a n. Să se arate că dacă Soluţie. Fie l = lim n na n, l. Dacă presupunem l >, atunci avem deci seriile a n şi n a n lim n n = l > au aceeaşi natură, deci ambele divergente, contradicţie.

40 Şiruri şi serii numerice 33 Problema 7.56 Să se arate că dacă şirul (a n ) n este descrescător la zero şi seria este convergentă, atunci lim na n =. n a n Soluţie. Fie x n = a + a + + a n na n, n. Şirul (x n ) n este majorat de (S n ) n, şirul sumelor parţiale ale seriei date, deci este mărginit. Avem x n+ x n = n(a n a n+ ), deci şirul (x n ) n este crecător. În concluzie şirul x n = S n na n este convergent. Rezultă că şirul (na n ) n este convergent şi conform problemei 7.55 obţinem că lim n na n =. Problema 7.57 Să se arate că dacă seriile a n b n şi sau (a n + b n ) sunt convergente. Soluţie. Avem din care rezultă Avem: din care a n şi ( n a k b k ) k= n n a k b k n k= a k b k k= ( n ) / ( n (a k + b k ) k= (a k + b k ) k= b n sunt convergente, atunci seriile n a k b k k= k= n a k b k k= k= a k b k k= k= k= a k ) / ( n b k. a k k= k= (S-au folosit inegalităţile Cauchy-Schwartz şi Minkowski.) k= b k ) / Problema 7.58 Să se arate că dacă seria este convergentă. a n este convergentă, atunci seria a n n Soluţie. Luăm în exerciţiul anterior b n = n.

41 34 Problema 7.59 Să se arate că seria este convergentă, dar nu este absolut convergentă. cos n n Soluţie. Dacă luăm a n = cos n şi b n = n, şirul sumelor parţiale ale seriei a n este mărginit, iar şirul (b n ) n este descrescător la zero, deci conform criteriului lui Abel seria este convergentă. cos n Pentru seria valorilor absolute, considerăm funcţia n f(x) = cos x + cos(x + ), f : R [, ), care este continuă şi are un minim diferit de zero, deci f(x) m >, x R (îşi atinge minimul pe intervalul [, π]). Avem: cos + cos + cos cos cos(n ) n + cos n n cos + cos + cos 3 + cos 4 4 m + m m n = m cos(n ) + cos n + + n ( ), n deci şirul sumelor parţiale are limita. Problema 7.6 Fie a n o serie divergentă cu termeni pozitivi şi (S n ) n şirul sumelor parţiale. Să se arate că: a n a) Seria este divergentă. S n a n b) Seria Sn +α este convergentă pentru α >. Soluţie. a) Avem: a n+ S n+ + a n+ S n+ + + a n+p S n+p a n+ + + a n+p S n+p = S n+p S n S n+p. Dar S n+p S n lim =, p S n+p deci şirul sumelor parţiale ale seriei a n lui Cauchy (C). avem: b) Considerăm diferenţa: ln S n ln S n S α n ln S n S α n S α n S n ln S n S α n este divergent conform criteriului general al pentru care aplicăm teorema lui Lagrange şi = (S n S n )f (α n ), α n (S n, S n )

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

1 Serii numerice Definiţii. Exemple... 45

1 Serii numerice Definiţii. Exemple... 45 Analizǎ matematicǎ Chiş Codruţa 2 Cuprins 1 Serii numerice 5 1.1 Definiţii. Exemple....................... 5 1.2 Criterii de convergenţǎ pentru serii cu termeni pozitivi... 8 1.3 Criterii de convergenţǎ

Διαβάστε περισσότερα

Lecţii de Analiză Matematică. Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu

Lecţii de Analiză Matematică. Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu Lecţii de Analiză Matematică Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu 2 Cuprins Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii 7. Şiruri numerice. Noţiuni şi rezultate generale......... 7.2 Şiruri fundamentale.

Διαβάστε περισσότερα

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica. Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 998 Clasa a V-a. La gara Timișoara se eliberează trei bilete de tren: unul pentru Arad, altul pentru Deva și al treilea pentru Reșița. Cel pentru Deva

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

Transformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică

Transformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică Daniel BREAZ Nicolae SUCIU Păstorel GAŞPAR Nicoleta BREAZ Monica PÎRVAN Valeriu PREPELIŢĂ Gheorghe BARBU Transformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică Volumul 1 Funcţii complexe cu

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

8 Intervale de încredere

8 Intervale de încredere 8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2. Integrala stochastică

Capitolul 2. Integrala stochastică Capitolul 2 Integrala stochastică 5 CAPITOLUL 2. INTEGRALA STOCHASTICĂ 51 2.1 Introducere În acest capitol vom prezenta construcţia integralei stochastice Itô H sdm s, unde M s este o martingală locală

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. < Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător

Διαβάστε περισσότερα

MODELE DE TESTE GRILĂ PENTRU ADMITEREA DISCIPLINA: ALGEBRĂ (cls. a IX-a, a X-a, a XI-a)

MODELE DE TESTE GRILĂ PENTRU ADMITEREA DISCIPLINA: ALGEBRĂ (cls. a IX-a, a X-a, a XI-a) Universitatea "Dunărea de Jos" din Galaţi MODELE DE TESTE GRILĂ PENTRU ADMITEREA 01 DISCIPLINA: ALGEBRĂ (cls. a IX-a, a X-a, a XI-a Testele sunt recomandate pentru următoarele domenii de licenţă şi facultăţi:

Διαβάστε περισσότερα

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =.

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =. Copyright c ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician Ministerul Educatiei al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 4 iunie Profilul real Timp

Διαβάστε περισσότερα

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

Inegalitati. I. Monotonia functiilor

Inegalitati. I. Monotonia functiilor Iegalitati I acest compartimet vor fi prezetate diverse metode de demostrare a iegalitatilor, utilizad metodele propuse vor fi demostrate atat iegalitati clasice precum si iegalitati propuse la diferite

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice

Asupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice Educţi Mtemtică Vol. 1, Nr. (5), 59 68 Asupr unei metode pentru clculul unor integrle definite din functii trigonometrice Ion Alemn Astrct In this pper is presented one method of clcultion for the trigonometricl

Διαβάστε περισσότερα

7 Distribuţia normală

7 Distribuţia normală 7 Distribuţia normală Distribuţia normală este cea mai importantă distribuţie continuă, deoarece în practică multe variabile aleatoare sunt variabile aleatoare normale, sunt aproximativ variabile aleatoare

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

Pre-press, tipar digital şi finisare: S.C. ADI CENTER SRL Şos. Ştefan ce Mare, nr. 5 Tel.:

Pre-press, tipar digital şi finisare: S.C. ADI CENTER SRL Şos. Ştefan ce Mare, nr. 5 Tel.: Editura StudIS adicenter@yahoo.com Iasi, Sos. Stefan cel Mare, nr.5 Tel./fax: 3 7.754 Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României COORDONATOR: OCTAVIAN NICOLAE STĂNĂȘILĂ Monica Pîrvan, Mircea Olteanu,

Διαβάστε περισσότερα

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale.

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Definiţie. Fie f : A R n R. i) Un punct a A se numeşte punct de extrem local pentru f dacă diferenţa f(x) f păstrează semn constant pe

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,... 1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale

Διαβάστε περισσότερα

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36 Prefaţă Cartea de faţă a fost elaborată în cadrul proiectului Formarea cadrelor didactice universitare şi a studenţilor în domeniul utilizării unor instrumente moderne de predare-învăţare-evaluare pentru

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n. Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu

Διαβάστε περισσότερα

Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy

Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy Metode Runge-Kutta Radu T. Trîmbiţaş 8 ianuarie 7 Probleme scalare, pas constant Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy y (t) = f(t, y), a t b, y(a) = α. pe o grilă uniformă de (N + )-puncte din [a,

Διαβάστε περισσότερα

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate.

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate. Copyright c 009 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 15 iunie

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri

Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Principiul incluziunii si excluziunii Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente. Recapitulare din cursul trecut

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a V-a

Subiecte Clasa a V-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii

Διαβάστε περισσότερα

Fişier template preliminar

Fişier template preliminar logo.png Contract POSDRU/86/1.2/S/62485 Fişier template preliminar Universitatea Tehnica din Iaşi (front-hyperlinks-colors * 29 iulie 212) UTC.png UTI.png Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi

Διαβάστε περισσότερα

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.

Διαβάστε περισσότερα

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează TEMĂ 1 1. În triunghiul ABC, fie D (BC) astfel încât AB + BD = AC + CD. Demonstraţi că dacă punctele B, C şi centrele de greutate ale triunghiurilor ABD şi ACD sunt conciclice, atunci AB = AC. India 2014

Διαβάστε περισσότερα

APLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL. Material pentru uzul studenţilor de la FACULTATEA DE

APLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL. Material pentru uzul studenţilor de la FACULTATEA DE 1 APLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL Material pentru uzul studenţilor de la FACULTATEA DE MECANICĂ 2 Contents 1 Aplicaţii ale calculului diferenţial 5 1.1 Extreme ale funcţiilor reale de mai multe variabile

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie)

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie) Caracteristica mecanică defineşte dependenţa n=f(m) în condiţiile I e =ct., U=ct. Pentru determinarea ei vom defini, mai întâi caracteristicile: 1. de sarcină, numită şi caracteristica externă a motorului

Διαβάστε περισσότερα

în care suma termenilor din fiecare grup este 0, poate conduce la ideea că valoarea acestei sume este 0. De asemenea, gruparea în modul

în care suma termenilor din fiecare grup este 0, poate conduce la ideea că valoarea acestei sume este 0. De asemenea, gruparea în modul Capitolul 3 SERII NUMERICE Date fiid umerele reale x 0, x,..., x, î umăr fiit, suma lor x 0 + x +... + x se poate calcula fără dificultate, după regulile uzuale. Extiderea oţiuii de sumă petru mulţimi

Διαβάστε περισσότερα

3. Vectori şi valori proprii

3. Vectori şi valori proprii Valori şi vectori proprii 7 Vectori şi valori proprii n Reamintim că dacă A este o matrice pătratică atunci un vector x R se numeşte vector propriu în raport cu A dacă x şi există un număr λ (real sau

Διαβάστε περισσότερα

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE TEST 2.4.1 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. Rezolvare: 1. Alcadienele sunt hidrocarburi

Διαβάστε περισσότερα

1Reziduuri şi aplicaţii

1Reziduuri şi aplicaţii Reziduuri şi aplicaţii În acest curs vom prezenta noţiunea de reziduu, modul de calcul al reziduurilor, teorema reziduurilor şi câteva aplicaţii ale teoremei reziduurilor, în special la calculul unor tipuri

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru examenul licenţă, manual valabil începând cu sesiunea iulie 2013 Specializarea Matematică informatică coordonator: Dorel I.

ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru examenul licenţă, manual valabil începând cu sesiunea iulie 2013 Specializarea Matematică informatică coordonator: Dorel I. ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru exmenul licenţă, mnul vlbil începând cu sesiune iulie 23 Specilizre Mtemtică informtică coordontor: Dorel I. Duc Cuprins Cpitolul. Serii de numere rele. Noţiuni generle 2. Serii

Διαβάστε περισσότερα

Probleme de la Olimpiadele Internationale de Matematica

Probleme de la Olimpiadele Internationale de Matematica Probleme de la Olimpiadele Internationale de Matematica Student Budescu Angela Grupa 13 1 Cuprins 1. Introducere...3. Scopul si durata...4 3. Obiective cadru (Competente generale)...5 4. Obiective specifice

Διαβάστε περισσότερα

Transformata Laplace

Transformata Laplace Tranformata Laplace Tranformata Laplace generalizează ideea tranformatei Fourier in tot planul complex Pt un emnal x(t) pectrul au tranformata Fourier ete t ( ω) X = xte dt Pt acelaşi emnal x(t) e poate

Διαβάστε περισσότερα

, m ecuańii, n necunoscute;

, m ecuańii, n necunoscute; Sisteme liniare NotaŃii: a ij coeficienńi, i necunoscute, b i termeni liberi, i0{1,,..., n}, j0{1,,..., m}; a11 1 + a1 +... + a1 nn = b1 a11 + a +... + an n = b (S), m ecuańii, n necunoscute;... am11 +

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Dorel Fetcu Acest curs este un fragment din manualul D. Fetcu, Elemente de algebră liniară, geometrie analitică şi geometrie diferenţială, Casa Editorială

Διαβάστε περισσότερα

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx + Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.

Διαβάστε περισσότερα

4. Ecuatia asimptotei orizontale la + a graficului functiei f : R R, 7 9x + 8x2 f(x) = 3x 2 + 2x + 5 este.

4. Ecuatia asimptotei orizontale la + a graficului functiei f : R R, 7 9x + 8x2 f(x) = 3x 2 + 2x + 5 este. Copyright c 007 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului atematician 1 inisterul Educatiei si Tineretului Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 14 iunie 007 Profilul real Timp

Διαβάστε περισσότερα

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Subiecte : 1. Proprietăţile mulţimilor. Mulţimi numerice importante. 2. Relaţii binare. Relaţii de ordine. Relaţii de echivalenţă. 3. Imagini directe şi imagini inverse

Διαβάστε περισσότερα

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE . ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE. Eerciţii rezolvte Eerciţiul Stbiliţi dcă următorele şiruri sut fudmetle: ), N 5 b) + + + +, N * c) + + +, N * cos(!) d), N ( ) e), N Soluţii p p ) +p - < şi mjortul este

Διαβάστε περισσότερα

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Nicolae Cotfas ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Introducere Pe parcursul acestei cărţi ne propunem să prezentăm într-un mod cât mai accesibil noţiuni si rezultate de bază

Διαβάστε περισσότερα

Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f : I G R n. Forma generala a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi este: = f(x, y).

Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f : I G R n. Forma generala a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi este: = f(x, y). Ecuaţii diferenţiale Ecuaţii diferenţiale ordinare Ecuaţii cu derivate parţiale Ordinul unei ecuaţii Soluţia unei ecuaţii diferenţiale ordinare Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f

Διαβάστε περισσότερα

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR 1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR a) Să se exprime densitatea apei ρ = 1000 kg/m 3 în g/cm 3. g/cm 3. b) tiind că densitatea glicerinei la 20 C este 1258 kg/m 3 să se exprime în c) Să se exprime în kg/m 3 densitatea

Διαβάστε περισσότερα

TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE. Obiective:

TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE. Obiective: TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE 61 TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE Obiective: Definirea principalelor proprietăţi matematice ale integralelor nedefinite Analiza principalelor proprietăţi matematice ale ecuaţiilor

Διαβάστε περισσότερα

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest

Διαβάστε περισσότερα

Tema/Unitatea: Numere reale. Radicali. Puteri. Logaritmi. Numere complexe. Funcții și ecuații

Tema/Unitatea: Numere reale. Radicali. Puteri. Logaritmi. Numere complexe. Funcții și ecuații Proiect cofinanţat din Fondul Social European prin Programul Operaţional Sectorial Dezvoltarea Resurselor Umane 2007-2013 Axa prioritară 1 Educaţia şi formarea profesională în sprijinul creşterii economice

Διαβάστε περισσότερα

Concursul Gazeta Matematică şi ViitoriOlimpici.Ro Etapa finală Câmpulung Muscel, august 2015 Soluţii şi baremuri Clasa a IV-a

Concursul Gazeta Matematică şi ViitoriOlimpici.Ro Etapa finală Câmpulung Muscel, august 2015 Soluţii şi baremuri Clasa a IV-a Concursul Gazeta Matematică şi ViitoriOlimpici.Ro Etapa finală Câmpulung Muscel, 17-22 august 2015 Soluţii şi baremuri Clasa a IV-a Problema 1. Câte numere naturale de cinci cifre trebuie să scriem pentru

Διαβάστε περισσότερα

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian.

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian. Spaţii vectoriale 1. Spaţii vectoriale. Definiţii şi proprietăţi de bază În continuare prin corp vom înţelege corp comutativ. Dacă nu se precizează altceva, se vor folosi notaţiile standard pentru elementele

Διαβάστε περισσότερα

Dreapta in plan. = y y 0

Dreapta in plan. = y y 0 Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului

Διαβάστε περισσότερα

MULTIMEA NUMERELOR REALE

MULTIMEA NUMERELOR REALE www.webmteinfo.com cu noi totul pre mi usor MULTIMEA NUMERELOR REALE office@ webmteinfo.com 1.1 Rdcin ptrt unui numr nturl ptrt perfect Ptrtul unui numr rtionl este totdeun pozitiv su zero (dic nenegtiv).

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi rezolvabile prin metode elementare

Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi rezolvabile prin metode elementare Capitolul 1 Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi rezolvabile prin metode elementare Definiţia 1.0.1 O ecuaţie diferenţialǎ de ordinul întâi este o relaţie de dependenţǎ funcţionalǎ de forma g(t, x, ẋ)

Διαβάστε περισσότερα

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete

Διαβάστε περισσότερα

Proiectarea algoritmilor: Programare dinamică

Proiectarea algoritmilor: Programare dinamică Proiectarea algoritmilor: Programare dinamică Dorel Lucanu Faculty of Computer Science Alexandru Ioan Cuza University, Iaşi, Romania dlucanu@info.uaic.ro PA 2014/2015 D. Lucanu (FII - UAIC) Programare

Διαβάστε περισσότερα

Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener

Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener 1 Caracteristica statică a unei diode Zener În cadranul, dioda Zener (DZ) se comportă ca o diodă redresoare

Διαβάστε περισσότερα

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4 SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei

Διαβάστε περισσότερα

Circuite electrice in regim permanent

Circuite electrice in regim permanent Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Electronică - Probleme apitolul. ircuite electrice in regim permanent. În fig. este prezentată diagrama fazorială a unui circuit serie. a) e fenomen este

Διαβάστε περισσότερα

Aparate de măsurat. Măsurări electronice Rezumatul cursului 2. MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1

Aparate de măsurat. Măsurări electronice Rezumatul cursului 2. MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1 Aparate de măsurat Măsurări electronice Rezumatul cursului 2 MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1 1. Aparate cu instrument magnetoelectric 2. Ampermetre şi voltmetre 3. Ohmetre cu instrument magnetoelectric

Διαβάστε περισσότερα

Transformări de frecvenţă

Transformări de frecvenţă Lucrarea 22 Tranformări de frecvenţă Scopul lucrării: prezentarea metodei de inteză bazate pe utilizarea tranformărilor de frecvenţă şi exemplificarea aceteia cu ajutorul unui filtru trece-jo de tip Sallen-Key.

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VI-a

Subiecte Clasa a VI-a Clasa a VI Lumina Math Intrebari (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns

Διαβάστε περισσότερα

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare SUBGRUPURI CLASICE. SUBGRUPURI recapitulare Defiiţia. Fie (G, u rup şi H o parte evidă a sa. H este subrup al lui G dacă:. H este parte stabilă a lui G;. H îzestrată cu operaţia idusă este rup. Teorema.

Διαβάστε περισσότερα

Εμπορική αλληλογραφία Ηλεκτρονική Αλληλογραφία

Εμπορική αλληλογραφία Ηλεκτρονική Αλληλογραφία - Εισαγωγή Stimate Domnule Preşedinte, Stimate Domnule Preşedinte, Εξαιρετικά επίσημη επιστολή, ο παραλήπτης έχει ένα ειδικό τίτλο ο οποίος πρέπει να χρησιμοποιηθεί αντί του ονόματος του Stimate Domnule,

Διαβάστε περισσότερα

5.1. Noţiuni introductive

5.1. Noţiuni introductive ursul 13 aitolul 5. Soluţii 5.1. oţiuni introductive Soluţiile = aestecuri oogene de două sau ai ulte substanţe / coonente, ale căror articule nu se ot seara rin filtrare sau centrifugare. oonente: - Mediul

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 2 VECTORI LIBERI. 2.1 Segment orientat. Vector liber

CAPITOLUL 2 VECTORI LIBERI. 2.1 Segment orientat. Vector liber Algebră liniară CAPITOLUL VECTORI LIBERI. Segment orientat. Vector liber Acest capitol este dedicat în totalitate studierii spaţiului vectorilor liberi, spaţiu cu foarte multe aplicaţii în geometrie, fizică

Διαβάστε περισσότερα

Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg

Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg Obiectivele lucrarii analiza spectrului in vizibil emis de atomii de hidrogen si determinarea lungimii de unda a liniilor serie Balmer; determinarea constantei

Διαβάστε περισσότερα

Numere complexe. a numerelor complexe z b b arg z.

Numere complexe. a numerelor complexe z b b arg z. Numere complexe Numere complexe Forma algebrcă a numărulu complex este a b unde a ş b sunt numere reale Numărul a se numeşte partea reală a numărulu complex ş se scre a Re ar numărul b se numeşte partea

Διαβάστε περισσότερα

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2 5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării

Διαβάστε περισσότερα