ZOBRAZOVACIE METÓDY ROVNOBEŽNÉHO PREMIETANIA
|
|
- Διδώ Αλεβίζος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 BRVCI MTÓD RVNBŽNÉH PRMITNI Výhodou Mongovho obrni určni pôdorsu nársu, ktoré s použív njmä n tchnických výkrsoch j jdnoduchosť mrni romrov útvrov. Nvýhodou tjto obrovcj mtód j, ž ískné primt sú málo náorné, t.j. strác s pristorová informáci o útvr. Práv týchto dôvodov, k potrbujm ískť vic pristorových informácií o útvr, j vhodné voliť k obrovniu útvru mtódu onomtri, ktorá ponúk náorné obrni útvru, všk n úkor mrni. onomtri Princíp obrovcj mtód snttický prístup Nch j v pristor 3 prvouhlý trojhrn, ktorého hrn,, určujú tri rovin rovin π =, ν = µ = tv. stn trojhrnu. s µ ϕ s ν π ε Určím:. rovinu ε, ktorá ninciduj s bodom, prtín hrn trojhrnu v bodoch = ε, = ε, = ε stn trojhrnu v primkch = π ε, = ν ε, = µ ε. Rovin ε s nýv onomtrická primtň trojuholník onomtrický trojuholník. smr prmitni {s}, ktorý j rônobžný s onomtrickou primtňou ε s rovinmi π, ν, µ. nčím odchýlku ϕ = s, ε, uhol ϕ j ostrý lbo rovnobžný primt bodu do primtn ε : s ε, s { s} =, ktorý nývm onomtrický primt bodu ončím indom. Bod j vnútorným bodom onomtrického trojuholník 4. rovnobžný primt hrán,,, sú primk,,, ktoré incidujú s onomtrickým primtom bodu vrcholmi onomtrického trojuholník. Útvr v primtni ε nývm onomtrický osový kríž.
2 s s ε s Nch bod 3, π, ν, µ, ε, bod j kolmý primt bodu do rovin π = (pôdors bodu). Určím onomtrické primt bodov: = s ε, s s, obrni : { } : s ε s { s} =. Pltí :, 3 φ : ε ε, ktoré bodu primtni ε tk, ž, j bijkci.. 3 prirdí usporidnú dvojicu bodov (, ) v obrni φ nývm mtód onomtri v primtni ε. obrovciu mtódu onomtri nývm mtódou prvouhlj ( kolmj ) onomtri k smr prmitni {s} j kolmý n primtňu t.j. ϕ = 90, ink hovorím o mtód kosouhlj ( šikmj ) onomtri t.j. ϕ j ostrý uhol. onomtrická súrdnicová sústv Nch j rovnká jdnotk mrni n hrnách,, t.j. bod,, s bodom vtvori štvorstn = = =, kd. Prvouhlý trojhrn s vnčnými bodmi,,, j krtiánskou súrdnicovou sústvou pristor 3. s ε
3 Určím rovnobžný primt štvorstn do primtn ε : j to útvr, ktorý nvm onomtrická súrdnicová sústv dĺžk =, =, = - nvm onomtrické jdnotk polprimk =, =, = nvm - onomtrické osi. V primtni ε j určná krtiánsk súrdnicová sústv P, ktorú v nákrsni štndrtn obrujm: P onomtrickú súrdnicovú sústvu v nákrsni P umistnim tkto:, = = = J to štndrtné umistnni pr prvotočivú báu. nčím uhl pri vrchol : ξ =, η =, ζ =. Čsto s dáv onomtrický osový kríž práv pomocou týchto uhlov. Nch v nákrsni P j dný onomtrický osový kríž. hľdisk istnci onomtri j vhodné vsvtliť možno onomtrickú súrdnicovú sústvu v nákrsni voliť ľubovoln ξ ko súvisí voľb onomtrických jdnotik,, so smrom prmitni {s}. K vsvtlniu prvj čsti uvdim Pohlkho vtu, ktorj rôn formuláci sú uvdné v litrtúr [Skl.,Kr]. Pr ďlši nltické vjdrni j vhodná formuláci vt: Vt Pohlkho: Úsčk,, v rovin, ktoré lži n troch rônch primkch,, so spoločným bodom možno povžovť rovnobžné primt troch hodných, kolmých úsčik,,. nmná to, ž k ni sú vslovné ďlši požidvk ( npr. ϕ = 90 ) môžm podľ Pohlkho vt v primtni voliť onomtrické jdnotk =, =, = ľubovoľn. Vžd istuj v pristor krtiánsk sústv s tkou jdnotkou η ζ
4 = = =, ž dná onomtrická sústv primtom. j jj rovnobžným Pr vsvtlni druhj čsti potrbujm určiť uhol ϕ. Tn j s jdnotkmi,,, viný prdpisom + + = + cot g ϕ () Čísl u =, v =, w = nývm koficint mn (skrátni lbo prdĺžni) n onomtrických osich. Td uhol ϕ ávisí od voľbonomtrickj súrdnicovj sústv prostrdníctvom koficintov mn. k pr koficint mn pltí: tri koficint mn sú rovnké, j onomtri iomtriou: u:v:w = :: práv dv koficint mn sú rovnké, j onomtri dimtriou: u:v:w = ::w, u:v:w = :v:, u:v:w = u:: nijké dv koficint mn sú rovnké, j onomtri trimtriou. Pri výbr polohonomtrickj primtn ε vhľdom n prvouhlý trojhrn sm prdpokldli, ž rovin ε prtn hrn trojhrnu v bodoch, ktoré vtvori onomtrický trojuholník. Tkúto onomtriu nývm jdnoduchá onomtri. V tchnickj pri ( njmä n stvbných výkrsoch) l j pdgogickom procs (voľné rovnobžné prmitni ) j výhodné stotožniť onomtrickú primtňu s niktorou o stin π =, ν = µ = trojhrnu. V tomto prípd onomtrický trojuholník s dgnruj onomtriu nývm dgnrovná onomtri. Dgnrovné onomtri Vojnská onomtri onomtrická primtň ε j totožná s rovinou π = prvouhlého trojhrnu odchýlk ϕ = s, ε = 45. π = ε = = = = = = Pltí: onomtrické primt, hrán, sú kolmé pr onomtrické jdnotk = = = k., k>0, t.j. u:v:w = :: V primtni ε stotožnnj s nákrsňou so súrdnicovou sústvou P j umistnni onomtrickj sústv pr vojnskú onomtriu:
5 = ζ =90, ξ <35,65 >. Výbr uhl ξ uvdného intrvlu ponúk vic možností ískni onomtrického primtu útvru. ončujú polohu bodov,, n onomtrických primtoch hrán,, Vojnská onomtri j vhodná njmä n tchnických výkrsoch urbnistického rišni sídlisk, intriérov btov objktov s komplikovným pôdorsom. nltické vjdrni : prmtr otoční: θ = 80 +, η = 90 +, 5,60 θ = 0 prmtr prmitni: ϕ = 45 ( výbr tvoricj primk j určný v otoční R (θ )) V nákrsni so súrdnicovou sústvou P, k ξ = 35, η = 35, tk pr bod (,, ) vpočítm: = = Ponámk: komplnjši vjdrni bud v nltickom vjdrní onomtri
6 Šikmé obrni onomtrická primtň ε j totožná s rovinou ν = prvouhlého trojhrnu odchýlk ϕ = s, ε, j určná pr uhol ϕ < 45,90 ). = s ν = ε = = = = Pltí: onomtrické primt, hrán, sú kolmé pr onomtrické jdnotk = = k., k>0, =. cotgϕ (cot g ϕ = v) = = t.j. u:v:w = :v:. Td npríkld k ϕ = 60, tk v = 3 3 u:v:w = : 3/3: ϕ = 63,4, tk v = / u:v:w = :/: ϕ = 45, tk v = u:v:w = :: V primtni ε stotožnnj s nákrsňou so súrdnicovou sústvou P j umistnni onomtrickj sústv pr šikmé obrni: = = η =90, ξ = 90 +ω, njčstjši ω = 45, ω =35. Výbr uhl ξ uvdného intrvlu ponúk vic možností ískni onomtrického primtu útvru. ončujú polohu bodov,, n onomtrických primtoch hrán,,. k uhol ω = 45 nývm primt útvru v šikmom obrní ndhľd ľv, k uhol ω = 35 ískný primt útvru nývm ndhľd sprv. Pri výbr smru prmitni {s}k:
7 odchýlk ϕ = s, ε = 45 uhol ω = 45 rsp. ω = 35 nývm šikmé obrni kvlirn onomtri. = odchýlk ϕ = s, ε = 63.4 potom j koficint mn v = cotg 63.4 = / pr uhol ω = 45 rsp. ω = 35 j ískný primt útvru obrný ko vo voľnom rovnobžnom prmitní to v ndhľd ľv rsp. sprv. N tomto mist j vhodné upoorniť n skutočnosť ko s ískv rovnobžný primt kock používný v stromtrii. = = obrovci mtód šikmé obrni s vužív njmä pri obrovní stvbných objktov s komplikovným nársom. Primo nársu možno vtihnuť onomtriu objktu. nltické vjdrni : prmtr otoční: θ = 80 θ = 90 prmtr prmitni: ϕ 45,90 ), výbr tvoricj primk ndhľd ľv, ndhľd sprv V nákrsni so súrdnicovou sústvou P, k ξ = 35, η = 90, tk pr bod (,, ) vpočítm pr rôn hodnot uhl ϕ 45,90 ) súrdnic šikmého primtu bodu: = cot gϕ.
8 = cot gϕ. Ponámk: komplnjši vjdrni bud v nltickom vjdrní onomtri Dgnrovné onomtri mjú výhodu rýchlj konštrukci onomtri útvru buď dného pôdorsu ( vojnská onomtri ) lbo nársu ( šikmé obrni ). Rdukci jdnotk njvic v jdnom smr ( súrdnicová os ) mnni polohonomtrickj súrdnicovj sústv j dosť ohrničné. Vhnúť s tomuto obmdniu možno ln v jdnoduchj onomtrii.
9 Jdnoduché onomtri Nch onomtrická primtň ε ni j totožná so židnou o stin prvouhlého trojhrnu. Potom primtň prtín hrn trojhrnu v bodoch,,, ktoré vtvárjú v primtni onomtrický trojuholník (ostrouhlý). Po urční primtn potrbujm pr rovnobžné prmitni dť smr prmitni, npríkld pomocou odchýlk ϕ = s, ε, k uhol ϕ j ostrý budm prcovť so obrovcou mtódou kosouhlá ( šikmá ) onomtri. k uhol ϕ j prvý, tk obrovci mtód bud prvouhlá ( kolmá ) onomtri. Kosouhlá ( šikmá ) onomtri Vstupnými prvkmi tjto obrovcj mtód j prvouhlý trojhrn, primtň ε incidujúc bodmi,,. Smr prmitni {s} primtň vtvárjú ostrý uhol ϕ = s, ε. Pohlkho vt nám umožňuj v nákrsni, ktorá j totožná s primtňou ε voliť onomtrickú súrdnicovú sústvu ľubovoľn ískť informáciu o vľkosti uhl ϕ j možné pomocou vťhu + + = + cot g ϕ. Pr používtľ, ktorý nmá skúsnosti s touto obrovcou mtódou j výhodné ponúknuť konkrétn dni, ktoré sú odskúšné ovrné v pri pri krslní onomtrických primtov objktov. Nsldovná ponuk bud rodlná n kosouhlú iomtriu, dimtriu trimtriu t.j. podľ pomru koficintov skrátni u, v, w rsp.onomtrických jdnotik,, n jdnotlivých onomtrických súrdnicových osich. Nch =, potom = u, = v, = w. Primt bodov,, n onomtrických primtoch hrán,, sú n ilustrčných obrákoch ončné. Ponuk intrvlov nmná výbr rônch tvoricich primok k dnému smru prmitni {s}. Kosouhlá iomtri : u:v:w = :: V nákrsni P j určná onomtrickým osovým krížom : ξ = 0, η = 35, = = =. =
10 Kosouhlá dimtri : u:v:w = :3/4: V nákrsni P j určná onomtrickým osovým krížom : ( 0,5 ), η ( 0,0 ) ξ, = =, = 3/ 4 = u:v:w = :/3: V nákrsni P j určná onomtrickým osovým krížom : ( 0,35 ), η ( 95,05 ) ξ, = =, = / 3 = Kosouhlá trimtri : u:v:w = 9: 5:0 V nákrsni P j určná onomtrickým osovým krížom : ξ 0,35, η 95,05, = 9 /0, = /, = ( ) ( ) = u:v:w = 5/7: 4/7:6/7 V nákrsni P j určná onomtrickým osovým krížom : ξ = 30, η = 0, = 5 / 7, = 4 / 7, = 6 / 7 =
11 Prvouhlá ( kolmá ) onomtri Vstupnými prvkmi j prvouhlý trojhrn, primtň ε, ktorá prtn hrn,, v bodoch,,. K ískniu onomtri útvru s dobrou náornosťou j výhodné voliť smr prmitni kolmý n primtňu ε t.j. odchýlk ϕ = s, ε = 90. Mtód onomtri pr túto voľbu uhl s nýv prvouhlá (kolmá,ortogonáln) onomtri. Pr niktorých používtľov nmusí bť dôlžité ponť dni tjto obrovcj mtód v nákrsni, l potrbuj n ákld určitých požidvik umistniť túto primtňu ε vhľdom n prvouhlý trojhrn potom násldn rliovť kolmé prmitni. týchto dôvodov uvdim vic prístupov k jdnončnému určniu kolmj onomtri. Jdnotlivé prístup sú podrobn sprcovné v [Kr,Kl], v tomto tt j urobný prhľd uvdné sú numrické vjdrni, s ktorými s násldn prcuj.. Voľb primtn nčm δ, δ, δ uhl primtn ε s hrnmi,, prvouhlého trojhrnu. δ ε δ V prvouhlj onomtrii primtň ε vtvár s osmi trojhrnu ostré uhl δ, δ, δ práv vtd kď: cos δ + cos δ + cos δ = () Pr prktické plikáci j výhodné o vťhu () určiť, ž pr prvouhlú onomtriu j dosttočná podmink, k súčt ľubovoľnj dvojic uhlov j ostrý uhol: δ + δ < 90, δ + δ < 90, δ + δ < 90 () To nmná, ž pri konkrétnom návrhu poloh primtn ε dávjú s ln dv uhl pri splnní podmink (). prktických skúsností k vtvárniu rlistických primtov útvrov odporúč s výbr uhl δ < 0 [Kl]. Prmtr otoční: určujú s pomocou uhlov imut, lváci (náv krtogrfi). δ
12 sinδ Ndvänosť n uhl δ, δ, δ možno písť : = δ, cos = cosδ Potom pr otočni: θ = 80 +, θ = 90 δ. ε. Určni v primtni Pr onomtrické jdnotk pltí: =.cos δ, =.cos δ, =.cosδ. δ ε δ Potom pr koficint skrátni u = cos δ, v = cos δ, w = cosδ v prvouhlj onomtrii pltí: u + v + w = rsp. u + v > w, u + w > v, v + w > u, ktoré povžujm trojuholníkové nrovnosti. Kždý trojuholník, ktorý j podobný trojuholníku so strnmi dĺžok u, v, w nývm trojuholník skrátni prvouhlj onomtri. Vužitím trojuholník skrátni ( podrobný postup [Kl]) vim určiť koficint skrátni u, v, w pomocou uhlov mdi onomtrickými súrdnicovými osmi: ξ =, η =, ζ = cosξ cosη cosς u =, v =, w = sinη sinς sinξ sinς sinξ sinη δ
13 nminko - v čittli j kvôli tupým uhlom ξ, η,ζ pri voľb = dostnm = u, = v, = w. Nch ponám onomtrický trojuholník, potom jho výšk sú onomtrické súrdnicové osi,, jho vnútorné uhl λ, λ, λ pri vrcholoch,, vpočítm pomocou kosínovj vt. λ λ λ Uhl ξ, η ζ mdi onomtrickými súrdnicovými osmi,,,, určím: ξ = 80 λ, η = 80 λ, ζ = 360 ξ η. Príkld: Ilustráci uvdných súvislostí mdi jdnotlivými dnimi prvouhlj onomtri. Primtň ε vtvár hodné uhl s hrnmi trojhrnu potom :. δ = δ = δ = δ = 35 5'47'' = 35 5'47'', = 45. = = = ( u: v : w = ::) ξ = η = ζ = 0 rovnostrnný onomtrický trojuholník. Pri snttickom prístup k tjto obrovcj mtód j väčšinou prvouhlá onomtri určná v primtni pomocou onomtrického trojuholník lbo onomtrickým osovým krížom. V prvouhlj onomtrii nmôžm voliť onomtrické jdnotk ľubovoľn. J nutné ich včísliť. k používtľ s chc vhnúť tomuto včísľovniu môž použiť tito odporúčné hodnot pr prvouhlú onomtriu to iomtriu, dimtriu trimtriu:
14 Prvouhlá iomtri ξ η = 0 = 0 = 0.8 = 0.8 = 0.8 = Prvouhlá dimtri ξ = 97 0' η = 3 5' = 0.47 = 0.94 = 0.94 = ξ = 6 50' η = 06 0' = 0.88 = 0.66 = 0.88 = Prvouhlá trimtri ξ = 0 η = 95 = 0.9 = 0.47 = 0.98 = ξ = 0 η = 05 = 0.86 = 0.65 = 0.9 =
15 obrovci mtód : onomtri -nltické vjdrni. V nákrsni so súrdnicovou sústvou P sm kždú onomtriu rprntovli onomtrickou súrdnicovou sústvou t.j. uhlmi ξ, η onomtrickými jdnotkmi,,. = Nch bod 3 má súrdnic (,, ) jho pôdors (,,0). V onomtrii 3 φ : ε ε j obrom bodov, usporidná dvojic bodov (, ), pr ktorú. Vhľdom n onomtrickú súrdnicovú sústvu súrdnic (,,0), (,, ). mjú bod, Včíslim súrdnic bodu (, ) vhľdom n súrdnicovú sústvu nákrsn P. Pltí: = cos( ξ 90 ) cos( η 90 ) = sin( η 90 ) sin( ξ 90 ) Potom ápis v homogénnch súrdnicich pomocou mtíc: cos( η 90 ) sin( η 90 ) 0 0 cos( ξ 90 ) sin( ξ 90 ) 0 0 ( 3 W ) = ( ) kd ončni konkrétnho bodu j vnchné osttné prmtr dáv používtľ podľ výbru onomtri. Litrtúr [Kl] Klpk, J.: Dskriptivní gomtri,vtn,prh 95 [Kr] Krmr,.: obrovcí mtod, SPN Prh 99
Margita Vajsáblová. ρ priemetňa, s smer premietania. Súradnicová sústava (O, x, y, z ) (O a, x a, y a, z a )
Mrgit Váblová Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 101 Zákldné pom v onometrii Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 102 Definíci 1: onometri e rovnobežné premietnie bodov Ε 3 polu prvouhlým úrdnicovým
Διαβάστε περισσότερα, ktorú nazveme afinnou súradnicovou sústavou. Pomocou tejto trojice priradíme každému bodu X roviny E 2 jeho polohový vektor
GEMETRICKÉ TRANSFRMÁCIE a TRIEDY SÚRADNICE BDU Základným útvarom gomtri j bod a prto j dôlžité opísať tnto gomtrický útvar pomocou čísl Najskôr sa budm aobrať rovinnou gomtriou a tda budm hovoriť o rovinnj
Διαβάστε περισσότεραDESKRIPTÍVNA GEOMETRIA
EKRIÍN GEERI meódy zobrzovni priesorových úvrov do roviny (premieni) mericé polohové vzťhy priesorových úvrov riešené v rovine bsh predmeu G Zobrzovcie meódy: olohové mericé úlohy: ongeov projeci Rezy
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότεραMatematika NPS. Výraz. je pre všetky xy, R splňujúce podmienky. xy 0 rovný: (B) 1 (E) (A) 56 (B) 144 (C) 512 (D) (E) Také čísla neexistujú.
Mtemtik NPS. n + n ( ) Postupnosť = =, n+ = =, n+ n = n je zhodná s postupnosťou:. Výrz + y y =, n+ = =, n+ = n +. n+ =, = n n Dávid hrá kždý všedný deň futbl v sobotu i v nedeľu chodí do posilňovne. Dnes
Διαβάστε περισσότερα5 DIFERENCIÁLNY POČET FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH
5 DIFERENCIÁLNY POČET FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH 5. Oák Dfinj pojm fnkcia prmnných. Dfinj pojm hladinoá krika. Dfinj pojm parciáa driácia. Dfinj pojm úpý difrnciál. Dfinj pojm loká maimm fnkci prmnných.
Διαβάστε περισσότεραPríklady a úlohy z krivkových integrálov
Príkldy úlohy z krivkových integrálov Riešené príkldy Príkld Vypočítjme krivkový integrál prvého druhu ds, pričom y = {(, y) R : ; y = e + e }. Riešenie. rivk s dá prmetrizovť npr. nsledujúcim spôsobom
Διαβάστε περισσότεραMatematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA v NITRE FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED GEOMETRIA V
UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA v NITRE FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED GEOMETRIA V Kužeľosečk kvdrtické ploch Ondrej Šedivý Dušn Vllo Vdné v Nitre 0 Fkultou prírodných vied Univerzit Konštntín Filozof v Nitre
Διαβάστε περισσότεραObjem a povrch ihlanov
M-Te-0-T List 1 Objem povrch ihlnov RNr. Mrián Mcko U: ko by si chrkterizovl n-boký ihln? Ž: Ihln je teleso, ktoré je určené jednou význčnou stenou vrcholom, ktorý v rovine tejto steny neleží. U: ýznčnú
Διαβάστε περισσότεραPovrch a objem ihlana
Povrch a objem ihlana D. Daný je mnohouholník (riadiaci alebo určujúci útvar) a jeden bod (vrchol), ktorý neleží v rovine mnohouholníka. Ak hraničnými bodmi mnohouholníka (stranami) vedieme polpriamky
Διαβάστε περισσότεραΠ Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α
Α Ρ Χ Α Ι Α Ι Σ Τ Ο Ρ Ι Α Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Σ η µ ε ί ω σ η : σ υ ν ά δ ε λ φ ο ι, ν α µ ο υ σ υ γ χ ω ρ ή σ ε τ ε τ ο γ ρ ή γ ο ρ ο κ α ι α τ η µ έ λ η τ ο ύ
Διαβάστε περισσότερα22 Špeciálne substitúcie, postupy a vzorce používané pri výpočte
Špeciálne substitúcie, postupy vzorce používné pri výpočte niektorých ďlších typov neurčitých integrálov. Pomocou vhodnej substitúcie tvru t = n + b (potom = tn b, = n tn dt) vypočítjte neurčitý integrál
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότεραPDF created with pdffactory Pro trial version ZOBRAZOVANIE LOMOM. ŠOŠOVKY AKO ZOBRAZOVACIE SÚSTAVY alebo O spojkách a rozptylkách
PedDr. Joze Beňušk jbenusk@nextr.sk ZBRAZVANIE LMM ŠŠVKY AK ZBRAZVACIE SÚSTAVY lebo spojkách rozptlkách ptická sústv -je sústv optických prostredí ich rozhrní, ktorá mení smer chodu svetelných lúčov. Šošovk
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA. (zbierka úloh) Matematika. 2. ročník. PaedDr. K. Petergáčová
(Té) MATEMATIKA (ziek úloh) Vzelávi olsť Peet Ročník, tie Mtetik pá s infoáii Mtetik očník Tetiký elok Vpovl PeD K Petegáčová Dátu Moené vzelávnie pe veoostnú spoločnosť/pojekt je spolufinnovný zo zojov
Διαβάστε περισσότεραA MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1
A MATEMATIKA (.5.., treći kolokvij). Zdn je z 3 + os. () Izrčunjte ngib plohe u pozitivnom smjeru -osi. (b) Izrčunjte ngib pod ) u točki T(, ). () Izrčunjte z u T(, ). (5 bodov). Zdn je z 3 ln. () Izrčunjte
Διαβάστε περισσότεραΔιαφορικά Αόριστα Ολοκληρώµατα Κανόνες Ολοκλήρωσης. Γιάννης Σαριδάκης Σχολή Μ.Π.Δ., Πολυτεχνείο Κρήτης
10 η Διάλεξη Διαφορικά Αόριστα Ολοκληρώµατα Κανόνες Ολοκλήρωσης 18 Οκτωβρίου 2016 Γιάννης Σαριδάκης Σχολή Μ.Π.Δ., Πολυτεχνείο Κρήτης ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ, ΤΟΜΟΣ Ι - Finney R.L. / Weir M.D. / Giordano
Διαβάστε περισσότερα1.1. POJEM FUNKCIE - DEFINIČNÝ OBOR, OBOR HODNÔT
.. POJEM FUNKCIE - DEFINIČNÝ OBOR OBOR HODNÔT De. : Funkciou n množine A s nýv predpis ktorým je kždému prvku množiny A prirdené práve jedno reálne číslo. Množin A s nýv deiničný obor unkcie D(. Je to
Διαβάστε περισσότεραObjem a povrch hranolov
M-Te-01-T List 1 Objem povrch hrnolov RNDr. Mrián Mcko U: ko by si chrkterizovl n-boký hrnol? Ž: Je to teleso, ktoré má dve význčné steny, ktorými sú zhodné n-uholníky. Leži v nvzájom rovnobežných rovinách.
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) ( ) ( ) λ = 1 + t t. θ = t ε t. Continuum Mechanics. Chapter 1. Description of Motion dt t. Chapter 2. Deformation and Strain
Continm Mechanics. Official Fom Chapte. Desciption of Motion χ (,) t χ (,) t (,) t χ (,) t t Chapte. Defomation an Stain s S X E X e i ij j i ij j F X X U F J T T T U U i j Uk U k E ( F F ) ( J J J J)
Διαβάστε περισσότεραFormulario Básico ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( 2) ( 2) λ = 1 + t t. θ = t ε t. Mecánica de Medios Continuos. Grado en Ingeniería Civil.
Mecánica e Meios Continos. Gao en Ingenieía Ciil. Fomlaio Básico Tema. Descipción el moimiento χ (,) t χ (,) t (,) t χ (,) t t t Tema. Defomación s S X E X e i ij j i ij j F X X U F J T T T U U i j Uk
Διαβάστε περισσότεραZADANIE 1_ ÚLOHA 3_Všeobecná rovinná silová sústava ZADANIE 1 _ ÚLOHA 3
ZDNIE _ ÚLOH 3_Všeobecná rovinná silová sústv ZDNIE _ ÚLOH 3 ÚLOH 3.: Vypočítjte veľkosti rekcií vo väzbách nosník zťženého podľ obrázku 3.. Veľkosti známych síl, momentov dĺžkové rozmery sú uvedené v
Διαβάστε περισσότερα7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότεραNormálové rezy a geodetická čiara na referenčnom elipsoide
0 Normálové rezy geodetická čir n referenčnom elipsoide Medzi dvom odmi n referenčnom elipsoide P P s rôznymi geodetickými šírkmi dĺžkmi existujú dv normálové rezy (or 9) Or 9 Normálové rezy n elipsoide
Διαβάστε περισσότεραŠtátny pedagogický ústav, Pluhová 8, Bratislava CIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z MATEMATIKY
Štátny pedgogický ústv Pluhová 8 830 00 Brtislv CIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z MATEMATIKY Brtislv 008 ÚVOD Cieľové požidvky z mtemtiky sú rozdelené vo väčšine kpitol n čsti Obsh
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότεραVšeobecná teória stability
Všeobecná teór stblty Defníc stblty podľ Ljpunov V teór nelneárnych sústv s dnes tkmer vždy použív defníc stblty podľ Ljpunov. Estuje zásdný rozdel medz stbltou lneárnej sústvy medz stbltou podľ Ljpunov,
Διαβάστε περισσότεραΓιάνναρος Μιχάλης. 9x 2 t 2 7dx 3) 1 x 3. x 4 1 x 2 dx. 10x. x 2 x dx. 1 + x 2. cos 2 xdx. 1) tan xdx 2) cot xdx 3) cos 3 xdx.
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Ασκηση. Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: ( ) 6e ) ( + ) ) 3) ( + ) 3 + + ( 5) 3 5 ) + 3 6) + 3 ( + ) Ασκηση. Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: ) cos sin ) cos ( 3) cos sin
Διαβάστε περισσότεραMatematika test M-2. M O N I T O R 2001 pilotné testovanie maturantov. forma A MONITOR EXAM, Bratislava. Realizácia projektu:
M O N I O R 00 pilotné testovnie mturntov MONIOR 00 Mtemtik test M- form A Odborný grnt projektu: Relizáci projektu: Štátn pedgogický ústv, Brtislv EXAM, Brtislv (00) Štátn pedgogický ústv EXAM Mtemtik
Διαβάστε περισσότεραΑ Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913
Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913 ΠΡΑΞΗ ΚΑΤΑΘΕΣΗΣ ΟΡΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Σ τ η ν Π ά τ ρ α σ ή μ ε ρ α σ τ ι ς δ ε κ α τ έ σ σ ε ρ ι ς ( 1 4 ) τ ο υ μ ή ν α Ο κ τ ω β ρ ί ο υ, η μ έ ρ α Τ ε τ ά ρ τ η, τ ο υ έ τ ο υ ς δ
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija i linearna algebra. Kartezijev trodimenzionalni pravokutni koordinatni sustav čine 3 međusobno okomite osi: Ox os apscisa,
Alitičk geoetrij i lier lger Vektori KOORDINATNI SUSTAV Krteijev prvokuti koorditi sustv Krteijev trodieioli prvokuti koorditi sustv čie eđusoo okoite osi: O os pscis O os ordit O os plikt točk O ishodište
Διαβάστε περισσότερα4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i
Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A. 1. písomná práca z matematiky Skupina B
. písoá pác z tetik Skpi A. Zjedodšte výz : ) z 8 ) c). Doplňte, pltil ovosť : ) ). Vpočítjte : ) ) c). Vpočítjte : ) ( ) ) v v v c). Upvte výz ovete spávosť výsledk pe : 6. Zostojte tojholík ABC, k c
Διαβάστε περισσότερα23. Zhodné zobrazenia
23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:
Διαβάστε περισσότεραC 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1,
1 1., BD 1 B 1 1 D 1, E F B 1 D 1. B = a, D = b, 1 = c. a, b, c : (1) 1 ; () BD 1 ; () F; D 1 F 1 (4) EF. : (1) B = D, D c b 1 E a B 1 1 = 1, B1 1 = B + B + 1, 1 = a + b + c. () BD 1 = BD + DD 1, BD =
Διαβάστε περισσότεραITU-R SA (2010/01)! " # $% & '( ) * +,
(010/01)! " # $% & '( ) * +, SA ii.. (IPR) (ITU-T/ITU-R/ISO/IEC).ITU-R 1 1 http://www.itu.int/itu-r/go/patents/en. (http://www.itu.int/publ/r-rec/en ) () ( ) BO BR BS BT F M P RA S RS SA SF SM SNG TF V
Διαβάστε περισσότερα24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Διαβάστε περισσότεραSúradnicová sústava (karteziánska)
Súradnicová sústava (karteziánska) = sú to na seba kolmé priamky (osi) prechádzajúce jedným bodom, na všetkých osiach sú jednotky rovnakej dĺžky-karteziánska sústava zavedieme ju nasledovne 1. zvolíme
Διαβάστε περισσότεραStereometria Základné stereometrické pojmy Základné pojmy: Základné vzťahy: (incidencie) Veta 1: Def: Veta 2:
Stereometria 1. K úlohe č.1 v príklade vidíte sklenenú kocku, na ktorej je natiahnutý drôt. Vedľa vidíte 3 pohľady na túto kocku zhora, spredu a z pravého boku. Pre ďalšie kocky nakreslite takéto 3 pohľady.
Διαβάστε περισσότεραŠtátny pedagogický ústav, Pluhová 8, Bratislava CIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z MATEMATIKY ÚROVEŇ B
Štátny pedgogický ústv, Pluhová 8, 830 00 Brtislv CIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z MATEMATIKY ÚROVEŇ B Brtislv 004 ÚVOD Cieľové požidvky z mtemtiky sú rozdelené vo väčšine kpitol
Διαβάστε περισσότεραMatematika Test M-1, 1. časť
M O N I T O R pilotné testovnie mturntov MONITOR Mtemtik Test M-,. čsť form A Odborný grnt projektu: Relizáci projektu: Štátn pedgogický ústv, Brtislv EXAM, Brtislv () Štátn pedgogický ústv EXAM Mtemtik
Διαβάστε περισσότερα< h < +. σ (t) = (sin t + t cos t, cos t t sin t, 3), σ (t) = (2 cos t t sin t, 2 sin t t cos t, 0) r (t) = e t j + e t k. σ (t) = 1 2 t 1 2 k
ΛΥΣΕΙΣ 1. Οι ασκήσεις από το βιβλίο των Marsden - Tromba. 1. 3.1(3)(a) Είναι r (t) = sin ti + 2 cos(2t)j, r (t) = cos ti 4 sin(2t)j για κάθε t, r (0) = 2j, r (0) = i. Η εξίσωση της εφαπτομένης στο r(0)
Διαβάστε περισσότερα2. Α ν ά λ υ σ η Π ε ρ ι ο χ ή ς. 3. Α π α ι τ ή σ ε ι ς Ε ρ γ ο δ ό τ η. 4. Τ υ π ο λ ο γ ί α κ τ ι ρ ί ω ν. 5. Π ρ ό τ α σ η. 6.
Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α 1. Ε ι σ α γ ω γ ή 2. Α ν ά λ υ σ η Π ε ρ ι ο χ ή ς 3. Α π α ι τ ή σ ε ι ς Ε ρ γ ο δ ό τ η 4. Τ υ π ο λ ο γ ί α κ τ ι ρ ί ω ν 5. Π ρ ό τ α σ η 6. Τ ο γ ρ α φ ε ί ο 1. Ε ι σ α γ ω
Διαβάστε περισσότερα9 Planimetria. 9.1 Uhol. Matematický kufrík
Matematický kufrík 89 9 Planimetria 9.1 Uhol Pojem uhol patrí k najzákladnejším pojmom geometrie. Uhol môžeme definovať niekoľkými rôznymi spôsobmi, z ktorých má každý svoje opodstatnenie. Jedna zo základných
Διαβάστε περισσότεραibemo Kazakhstan Republic of Kazakhstan, West Kazakhstan Oblast, Aksai, Pramzone, BKKS office complex Phone: ; Fax:
Διαβάστε περισσότερα
5 Ι ^ο 3 X X X. go > 'α. ο. o f Ο > = S 3. > 3 w»a. *= < ^> ^ o,2 l g f ^ 2-3 ο. χ χ. > ω. m > ο ο ο - * * ^r 2 =>^ 3^ =5 b Ο? UJ. > ο ο.
728!. -θ-cr " -;. '. UW -,2 =*- Os Os rsi Tf co co Os r4 Ι. C Ι m. Ι? U Ι. Ι os ν ) ϋ. Q- o,2 l g f 2-2 CT= ν**? 1? «δ - * * 5 Ι -ΐ j s a* " 'g cn" w *" " 1 cog 'S=o " 1= 2 5 ν s/ O / 0Q Ε!θ Ρ h o."o.
Διαβάστε περισσότεραdužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor
I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto
Διαβάστε περισσότεραAlgebraické výrazy I.
. Kontrolná prác z mtemtik 9. ročník A form Algebrické výrz I.. Zjednodušte zpíšte, ked výrz nemá zmsel : ) ( k ) s b) k k s s. Určte njmenší spoločný násobok výrzov : ) b ; b ; b) ; ; c) ; ;. Vpočítjte
Διαβάστε περισσότεραOdred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.
Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),
Διαβάστε περισσότεραSpecijalna vrsta nepravih integrala jesu oni koji sadrze potencije ili geometrijski red u podintegralnoj funkciji.
Mt Vijug: Rijsni zdci iz vis mtmti 9. NEPRAVI INTEGRALI 9. Opcnito o nprvim intgrlim Intgrl oli f d s nziv nprviln o: ) jdn ili oj grnic intgrcij nisu oncn vc soncn:, ) pod intgrln funcij f j prinut u
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότεραŠTÁTNY PEDAGOGICKÝ ÚSTAV CIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z MATEMATIKY
ŠTÁTNY PEDAGOGICKÝ ÚSTAV CIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z MATEMATIKY BRATISLAVA 009 ÚVOD Cieľové požidvky z mtemtiky sú rozdelené n čsti Obsh Požidvky n vedomosti zručnosti. Tet
Διαβάστε περισσότερα4. Zapiši Eulerjeve dinamične enačbe za prosto osnosimetrično vrtavko. ω 2
Mehanikateoretičnavprašanjainodgovori 1/12 Newtonovamehanika 1. Določiravninogibanjatočkevpoljucentralnesile. Ravninagibanjagreskozicentersileinimanormalovsmerivrtilne količine 2. Zapišiperiodogibanjapremočrtnegagibanjapodvplivompotenciala
Διαβάστε περισσότερα#%" )*& ##+," $ -,!./" %#/%0! %,!
-!"#$% -&!'"$ & #("$$, #%" )*& ##+," $ -,!./" %#/%0! %,! %!$"#" %!#0&!/" /+#0& 0.00.04. - 3 3,43 5 -, 4 $ $.. 04 ... 3. 6... 6.. #3 7 8... 6.. %9: 3 3 7....3. % 44 8... 6.4. 37; 3,, 443 8... 8.5. $; 3
Διαβάστε περισσότεραZÁKLADNÉ GEOMETRICKÉ TELESÁ. Hranolová plocha Hranolový priestor Hranol
II. ZÁKLADNÉ GEOMETRICKÉ TELESÁ Hranolová plocha Hranolový priestor Hranol Definícia II.1 Nech P n je ľubovoľný n-uholník v rovine α a l je priamka rôznobežná s rovinou α. Hranolová plocha - množina bodov
Διαβάστε περισσότεραPriamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
Διαβάστε περισσότεραZ = 1.2 X 1 + 1, 4 X 2 + 3, 3 X 3 + 0, 6 X 4 + 0, 999 X 5. X 1 X 2 X 2 X 3 X 4 X 4 X 5 X 4 X 4 Z = 0.717 X 1 + 0.847 X 2 + 3.107 X 3 + 0.420 X 4 + 0.998 X 5. X 5 X 4 Z = 6.56 X 1 + 3.26 X 2 + 6.72 X 3
Διαβάστε περισσότεραITU-R P (2009/10)
ITU-R.38-6 (009/0 $% #! " #( ' * & ' /0,-. # GHz 00 MHz 900 ITU-R.38-6 ii.. (IR (ITU-T/ITU-R/ISO/IEC.ITU-R http://www.itu.int/itu-r/go/patents/en. (http://www.itu.int/publ/r-rec/en ( ( BO BR BS BT F M
Διαβάστε περισσότεραM6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické funkcie
Goniometrické funkcie Oblúková miera Goniometrické funkcie sú funkcie, ktoré sa používajú pri meraní uhlov (Goniometria Meranie Uhla). Pri týchto funkciách sa uvažuje o veľkostiach uhlov udaných v oblúkovej
Διαβάστε περισσότεραBasic Formulas. 8. sin(x) = cos(x π 2 ) 9. sin 2 (x) =1 cos 2 (x) 10. sin(2x) = 2 sin(x)cos(x) 11. cos(2x) =2cos 2 (x) tan(x) = 1 cos(2x)
Bsic Formuls. n d =. d b = 3. b d =. sin d = 5. cos d = 6. tn d = n n ln b ln b b cos sin ln cos 7. udv= uv vdu. sin( = cos( π 9. sin ( = cos ( 0. sin( = sin(cos(. cos( =cos (. tn( = cos( sin( 3. sin(b
Διαβάστε περισσότεραPri stredovom premietaní je dôležitý stred premietania S : bod, z ktorého premietame do priemetne ε a stred S neleží v priemetni ε
PEMIETANIE Proce vialiácie útvarov U trojromerného prietor v dvojromernej rovine ( výkre, monitor počítača, tlačiareň ) a íka potpnoťo operácií. K obraovani útvarov vyžívame premietanie tredové rovnobežné
Διαβάστε περισσότερα.. ntsets ofa.. d ffeom.. orp ism.. na s.. m ooth.. man iod period I n open square. n t s e t s ofa \quad d ffeom \quad orp ism \quad na s \quad m o
G G - - -- - W - - - R S - q k RS ˆ W q q k M G W R S L [ RS - q k M S 4 R q k S [ RS [ M L ˆ L [M O S 4] L ˆ ˆ L ˆ [ M ˆ S 4 ] ˆ - O - ˆ q k ˆ RS q k q k M - j [ RS ] [ M - j - L ˆ ˆ ˆ O ˆ [ RS ] [ M
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 D (, ) :9 0, 4 0 (, ) :
Διαβάστε περισσότεραstereometria - študuje geometrické útvary v priestore.
Geometria Geometria (z gréckych slov Geo = zem a metro = miera, t.j. zememeračstvo) je disciplína matematiky prvýkrát spopularizovaná medzi starovekými grékmi Tálesom (okolo 624-547 pred Kr.), ktorý sa
Διαβάστε περισσότεραΤο άτομο του Υδρογόνου
Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες
Διαβάστε περισσότεραL A TEX 2ε. mathematica 5.2
Διδασκων: Τσαπογας Γεωργιος Διαφορικη Γεωμετρια Προχειρες Σημειωσεις Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών Σάμος Εαρινό Εξάμηνο 2005 στοιχεοθεσια : Ξενιτιδης Κλεανθης L A TEX 2ε σχεδια : Dia mathematica
Διαβάστε περισσότερα14 ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ
SECTION 4 ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 4. Γενικοί Ορισµοί Η θέση ενός σηµείου P στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο µπορεί να καθορισθεί µε ορθογώνιες καρτεσιανές συντεταγµένες (x y οι οποίες µετριώνται
Διαβάστε περισσότεραOpćenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom:
Otporost mterijl. Zdtk ZDTK: U točki čeliče kostrukije postvlje su tri osjetil z mjereje deformij prem slii. ri opterećeju kostrukije izmjeree su reltive ormle (dužiske deformije: b ( - b 3 - -6 - ( b
Διαβάστε περισσότερα16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh
16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh Kružnica k so stredom S a polomerom r nazývame množinou všetkých bodov X v rovine, ktoré majú od pevného bodu S konštantnú vzdialenosť /SX/ = r, kde r (patri)
Διαβάστε περισσότερα= df. f (n) (x) = dn f dx n
Παράγωγος Συνάρτησης Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) Ορισμός Cauchy: f (ξ) = lim x ξ g(x, ξ), g(x, ξ) = f(x) f(ξ) x ξ ɛ > 0 δ(ɛ, ξ) > 0
Διαβάστε περισσότεραMatematika Test M-1, 1. časť
M O N I T O R pilotné testovnie mturntov MONITOR Mtemtik Test M-,. čsť form A Odborný grnt projektu: Relizáci projektu: Štátn pedgogický ústv, Brtislv EXAM, Brtislv () Štátn pedgogický ústv EXAM Mtemtik
Διαβάστε περισσότεραHASLIM112V, HASLIM123V, HASLIM136V HASLIM112Z, HASLIM123Z, HASLIM136Z HASLIM112S, HASLIM123S, HASLIM136S
PROUKTOVÝ LIST HKL SLIM č. sklad. karty / obj. číslo: HSLIM112V, HSLIM123V, HSLIM136V HSLIM112Z, HSLIM123Z, HSLIM136Z HSLIM112S, HSLIM123S, HSLIM136S fakturačný názov výrobku: HKL SLIMv 1,2kW HKL SLIMv
Διαβάστε περισσότερα6. Mocniny a odmocniny
6 Moci odoci Číslo zýve oceec (leo zákld oci), s zýv ociteľ (leo epoet) Číslo s zýv -tá oci čísl Moci s piodzeý epoeto pe ľuovoľé eále číslo pe kždé piodzeé číslo je v ožie eálch čísel defiová -tá oci
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότεραο ο 3 α. 3"* > ω > d καΐ 'Ενορία όλις ή Χώρί ^ 3 < KN < ^ < 13 > ο_ Μ ^~~ > > > > > Ο to X Η > ο_ ο Ο,2 Σχέδι Γλεγμα Ο Σ Ο Ζ < o w *< Χ χ Χ Χ < < < Ο
18 ρ * -sf. NO 1 D... 1: - ( ΰ ΐ - ι- *- 2 - UN _ ί=. r t ' \0 y «. _,2. "* co Ι». =; F S " 5 D 0 g H ', ( co* 5. «ΰ ' δ". o θ * * "ΰ 2 Ι o * "- 1 W co o -o1= to»g ι. *ΰ * Ε fc ΰ Ι.. L j to. Ι Q_ " 'T
Διαβάστε περισσότερα1. Trojuholník - definícia
1. Trojuholník - definícia Trojuholník ABC sa nazýva množina takých bodov, ktoré ležia súčasne v polrovinách ABC, BCA a CAB, kde body A, B, C sú body neležiace na jednej priamke.. Označenie základných
Διαβάστε περισσότεραΤύπος TAYLOR. f : [a, b] R f (n 1) (x) συνεχής x [a, b] f (n) (x) x (a, b) ξ μεταξύ x και x 0. (x x 0 ) k k! f(x) = f (k) (x 0 ) + R n (x)
Τύπος TAYLOR f : [a, b] R f (n 1) (x) συνεχής x [a, b] f (n) (x) x (a, b) f(x) = ξ μεταξύ x και x 0 n 1 (x x 0 ) k f (k) (x 0 ) + R n (x) R n (x) = (x ξ)n p (x x 0 ) p p(n 1)! f (n) (ξ) υπόλοιπο Sclömlich-Roche
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah rovinných útvarov
Obvod a obsah rovinných útvarov Z topologického hľadiska bod môže byť vnútorný, hraničný a vonkajší vzhľadom na nejaký rovinný útvar. D. Bod je vnútorný, ak môžeme nájsť taký polomer r, že kruh so stredom
Διαβάστε περισσότεραιανύσµατα A z A y A x 1.1 Αλγεβρικές πράξεις µεταξύ διανυσµάτων 1.2 Εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων ca = ca x ˆx + ca y ŷ + ca z ẑ
1 ιανύσµατα Ο ϕυσικός χώρος µέσα στον οποίο Ϲούµε και κινούµαστε είναι ένας τρισδιάστατος ευκλείδειος γραµµικός χώ- ϱος. Ισχύουν λοιπόν τα αξιώµατα της Γεωµετρίας του Ευκλείδη, το πυθαγόρειο ϑεώρηµα και
Διαβάστε περισσότεραT : g r i l l b a r t a s o s Α Γ Ί Α Σ Σ Ο Φ Ί Α Σ 3, Δ Ρ Α Μ Α. Δ ι α ν ο μ έ ς κ α τ ο ί κ ο ν : 1 2 : 0 0 έ ω ς 0 1 : 0 0 π μ
Α Γ Ί Α Σ Σ Ο Φ Ί Α Σ 3, Δ Ρ Α Μ Α g r i l l b a r t a s o s Δ ι α ν ο μ έ ς κ α τ ο ί κ ο ν : 1 2 : 0 0 έ ω ς 1 : 0 π μ Δ ι α ν ο μ έ ς κ α τ ο ί κ ο ν : 1 2 : 0 0 έ ω ς 0 1 : 0 0 π μ T ortiyas Σ ο υ
Διαβάστε περισσότερα3 Geometrické transformácie v priestore
3 Geomerické rnsformácie v priesore Jedným pilierov počíčovej grfik je počíčová geomeri (compuionl geomer). Počíčová geomeri s oberá riešením geomerických úloh n počíči. Jej ákld vorí nlická geomeri korá
Διαβάστε περισσότεραMesh Parameterization: Theory and Practice
Mesh Parameterization: Theory and Practice Kai Hormann, Bruno Lévy, Alla Sheffer To cite this version: Kai Hormann, Bruno Lévy, Alla Sheffer. Mesh Parameterization: Theory and Practice. This document is
Διαβάστε περισσότεραPodnikateľ 90 Mobilný telefón Cena 95 % 50 % 25 %
Podnikateľ 90 Samsung S5230 Samsung C3530 Nokia C5 Samsung Shark Slider S3550 Samsung Xcover 271 T-Mobile Pulse Mini Sony Ericsson ZYLO Sony Ericsson Cedar LG GM360 Viewty Snap Nokia C3 Sony Ericsson ZYLO
Διαβάστε περισσότερα2. UHLY. Zapisovanie uhlov 1. spôsob pomocou troch bodov. Pri zápise uhla pomocou troch bodov je VRCHOL VŽDY V STREDE ZÁPISU.
2. UHLY 2.1 ZÁPIS A OZNAČOVANIE UHLOV Dve polpriamky VA, VB, ktoré majú spoločný začiatok v bode V delia rovinu na dve časti. Tieto časti nazývame uhly. UHOL je časť roviny ohraničená dvoma polpriamkami,
Διαβάστε περισσότεραTECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH MATEMATIKA II. Dušan Knežo, Miriam Andrejiová, Zuzana Kimáková
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH S T R O J N Í C K A F A K U L T A MATEMATIKA II Dušn Knežo, Mirim Andrejiová, Zuzn Kimáková RECENZOVALI: prof. RNDr. Jozef Doboš, CSc. RNDr. Ján Buš, CSc. c doc. RNDr.
Διαβάστε περισσότεραRešenja A/2 kolokvijuma iz predmeta MERNI SISTEMI U TELEKOMUNIKACIJAMA 10. januar 2006.
šnj A/ kolokvijum iz prdmt MENI SISEMI U ELEKOMUNIKACIJAMA. jnur. Zdtk. D i prikznim urđjm mogl mriti mplitud čtvrtog hrmonik u mmorijki lok tr d ud upin ditrovn zin unkcij ( t) y co π Izlz iz urđj j td
Διαβάστε περισσότερα3. ročník. 1. polrok šk. roka 2016/2017
Príklady z MAT 3. ročník 1. polrok šk. roka 016/017 GONIOMETRIA 1. Načrtnite grafy daných funkcií na intervale 0, : f: y= tg x, g: y = -3.cos x, h: y = sin (x + ) -1. Určte hodnoty ostatných goniometrických
Διαβάστε περισσότερα3. Striedavé prúdy. Sínusoida
. Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa
Διαβάστε περισσότεραΜΑΣ002: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση)
ΜΑΣ: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση) ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ:. Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα: 5 d d csc cot d (β) Απάντησεις: C (β) ln C C. Να υπολογιστούν τα ορισμένα ολοκληρώματα: d csc( ) C C d d (β) /5
Διαβάστε περισσότεραE.E. Παρ. Ill (I) 429 Κ.Δ.Π. 150/83 Αρ. 1871,
E.E. Πρ. ll () 429 Κ.Δ.Π. 50/ Αρ. 7, 24.6. Αρθμός 50 ΠΕΡ ΤΑΧΥΔΡΜΕΩΝ ΝΜΣ (ΚΕΦ. 0 ΚΑ ΝΜ 42 ΤΥ 96 ΚΑ 7 ΤΥ 977) Δάτγμ δνάμ τ άρθρ 7() Τ Υπργκό Σμβύλ, σκώντς τς ξσίς π πρέχντ Κ»>. 0. σ' τό δνάμ τ δφί τ άρθρ
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότεραd dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n 1
d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n1 x dx = 1 2 b2 1 2 a2 a b b x 2 dx = 1 a 3 b3 1 3 a3 b x n dx = 1 a n +1 bn +1 1 n +1 an +1 d dx d dx f (x) = 0 f (ax) = a f (ax) lim d dx f (ax) = lim 0 =
Διαβάστε περισσότεραΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΑΝΥΣΤΕΣ. Το δέλτα του Kronecker. Το σύµβολο µετάθεσης. Χρήσιµες σχέσεις ΟΡΙΣΜΟΙ (3.133) = 1 =+1. εijk. αν ijk = 123 ή 231 ή 312 (3.
ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΑΝΥΣΤΕΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Το δέλτα του Konece δ δ + 1 αν 0 αν (3.133 Το σύµβολο µετάεσης ε +1 ε 1 ε 0 αν 13 ή 31 ή 31 αν 13 ή 13 ή 31 αν οποιοιδήποτε δείκτες είναι ίδιοι (3.134 Χρήσιµες σχέσεις εεh
Διαβάστε περισσότεραCertifikačný test z matematiky
Meno: Priezvisko: ertifikčný test z mtemtiky eloslovenské testovnie žikov 9. ročník ZŠ T9-011 Milí žici, máte pred seou testz mtemtiky.testoshuje 0 testových úloh. Kždá správn odpoveď ude hodnotená 1 odom.
Διαβάστε περισσότεραChapter 1 Fundamentals in Elasticity
D. of o. NU Fs s ν ss L. Pof. H L ://s.s.. D. of o. NU. Po Dfo ν Ps s - Do o - M os - o oos : o o w Uows o: - ss - - Ds W ows s o qos o so s os. w ows o fo s o oos s os of o os. W w o s s ss: - ss - -
Διαβάστε περισσότερα12 Το αόριστο ολοκλήρωµα
Το αόριστο ολοκλήρωµα. Αντιπαράγωγοι Εστω ότι η y = f ( ορίζεται στο διάστηµα I, οποιουδήποτε τύπου. Αν µια δεύτερη συνάρτηση y = F(, που ορίζεται στο ίδιο διάστηµα I, έχει την ιδιότητα F ( = f (, για
Διαβάστε περισσότεραZI. NEODREðENI INTEGRALI
ZI. Nodrđni intgrali 7 ZI. NEODREðENI INTEGRALI. Antidrvacij. Pronañi tri antidrivacij funkcij.. Odrdi sv antidrivacij funkcij.. Pronañi dvij antidrivacij funkcij.. Pronañi antidrivaciju funkcij za koju
Διαβάστε περισσότερα