, ktorú nazveme afinnou súradnicovou sústavou. Pomocou tejto trojice priradíme každému bodu X roviny E 2 jeho polohový vektor

Transcript

1 GEMETRICKÉ TRANSFRMÁCIE a TRIEDY SÚRADNICE BDU Základným útvarom gomtri j bod a prto j dôlžité opísať tnto gomtrický útvar pomocou čísl Najskôr sa budm aobrať rovinnou gomtriou a tda budm hovoriť o rovinnj súradnicovj sústav Súradnic bodu v rovin Afinná súradnicová sústava, afinné súradnic Zvolím v rovin E bod a vo vktorovom pristor V(E ) báu u1, u Vtvorím trojicu, u1, u, ktorú navm afinnou súradnicovou sústavou Pomocou tjto trojic priradím každému bodu X rovin E jho polohový vktor = X = X = u + u (1) 1 u 1 X u u u 1 Čísla, určné podminkou (1) naývam afinnými súradnicami bodu X v afinnj súradnicovj sústav, u1, u Afinná súradnicová sústava j bijktívn obrani bodov rovin na množinu usporiadaných dvojíc rálnch čísl Zápis (, ) j kvivalntný s podminkou (1) a vjadruj, ž bod X má súradnic, v afinnj súradnicovj sústav Súradnic vktora v afinnj súradnicovj sústav, u1, u roumim jho súradnic v bá u1, u Tda ápis = (, ) j kvivalntný s rovnosťou: = u1 + u Priamk = + u 1, = + u sú súradnicové osi tjto sústav Kartiánska súradnicová sústava, kartiánsk súradnic Afinnú súradnicovú sústavu, u1, u navm kartiánskou súradnicovou sústavou ak vktor u 1, u tvoria ortonormálnu báu [1]

2 u 1 X=[,] u u u 1 Kartiánsk súradnic bodu X = (, ) i vktora = (, ) sú jho súradnic v kartiánskj súradnicovj sústav bá u1, u prislúchajúcj k tjto sústav budm prdpokladať, ž j pravotočivá Homogénn súradnic bodu Doplním uklidovskú rovinu E o nvlastné bod Nvlastný bod j určný priamkou Dv priamk určujú rovnaký nvlastný bod práv vtd kď sú rovnobžné Rošírnú uklidovskú rovinu ískam uklidovskj rovin doplnním o nvlastné bod Bod uklidovskj rovin sa naývajú vlastné bod jj rošírnia Bod rošírnj uklidovskj rovin j jj vlastným albo nvlastným bodom Nch, u1, u j afinná súradnicová sústava v uklidovskj rovin Usporiadanú trojicu čísl (X, Y,W), W 0, navm homogénn (rošírné afinné ) súradnic vlastného bodu, ak pr jho afinné súradnic platí X Y =, W = W Usporiadanú trojicu čísl (X, Y, 0), navm homogénn (rošírné afinné ) súradnic nvlastného bodu Každý vlastný aj nvlastný bod pomocou homogénnch súradníc môžm vjadriť nkončn vľa spôsobmi: Nch (, ) sú afinné súradnic vlastného bodu a r 0 j ľubovoľné číslo, potom (rx, ry, rw) = r(x, Y, W) sú homogénn súradnic tohto bodu Nch (, ) sú afinné súradnic nnulového smrového vktora a priamk a v rovin a r 0 j ľubovoľné číslo, potom (r, r ) sú súradnic smrového vktora ra priamk a a (r, r, 0) = (X, Y, 0) sú homogénn súradnic nvlastného bodu Viualiácia modlu rošírnia Rošírné afinné súradnic (X, Y,1) vlastného bodu sú špciáln prípad jho homogénnch súradníc Bod A v homogénnch súradniciach r( X A, Y A, W A ), r 0, j bodom priamk prchádajúcj ačiatkom so smrovým vktorom ( X A, Y A, W A ) v pristor X, Y, W

3 1 W u u 1 ( A, A ) ( A, A,1 ) = W = 1 ( rx A, ry A, rw A ) ( A, A, A ) A X Y W A A X Y 0 Y X Afinné súradnic bodu určím ako prinik priamk {X = t X A, Y = t Y A, W = t W A } s nadrovinou pristoru X, Y, W, ktorou j rovina s rovnicou W = 1 Prto položím 1= t W A, určím hodnotu paramtra t = 1 W A A A X Y a afinné súradnic sú,,1 A A W W Často budm pracovať s bodmi v trojromrnom pristor E Súradnic bodu v pristor Afinná súradnicová sústava, afinné súradnic V pristor E volím bod a vo vktorovom pristor V(E ) báu 1,, Štvorica, 1,, j afinnou súradnicovou sústavou v pristor Pomocou tjto štvoric priradím každému bodu X pristoru E jho polohový vktor = X = X = + + () X

4 Čísla,, určné podminkou () naývam afinnými súradnicami bodu X v afinnj súradnicovj sústav, 1,, Afinná súradnicová sústava j bijktívn obrani bodov rovin na množinu usporiadaných trojíc rálnch čísl Zápis (,,) j kvivalntný s podminkou () a vjadruj, ž bod X má súradnic,, v afinnj súradnicovj sústav volnj v pristor E Súradnic vktora v afinnj súradnicovj sústav, 1,, roumim jho súradnic v bá 1,, Zápis = (,, ) a rovnosť = sú kvivalntné Priamk = + 1, = +, = + sú súradnicové osi Kartiánska súradnicová sústava, kartiánsk súradnic Afinnú súradnicovú sústavu, 1,, navm kartiánskou súradnicovou sústavou ak vktor 1,, tvoria ortonormálnu báu [1] X=(,,) 1 Kartiánsk súradnic bodu X = (,, ) i vktora = (,, ) sú jho súradnic v kartiánskj súradnicovj sústav, 1,, Báu 1,, uvažujm pravotočivú [1] Grafická ilustrácia ortonormálnj bá 1,, a pravouhlého trojhranu so súradnicovými osami,, :

5 Homogénn súradnic bodu Doplním uklidovský pristor E o nvlastné bod Nvlastný bod priamk nahradím pojmom smr Rovnobžné priamk majú spoločný smr incidujú s nvlastným bodom Rošírný uklidovský pristor ískam uklidovského pristoru E doplnním o nvlastné bod Tra bod uklidovského pristoru E navm vlastný bod jho rošírnia a bod rošírného uklidovského pristoru j jho vlastným albo nvlastným bodom V uklidovskom pristor j daná afinná súradnicová sústava, 1,, Usporiadanú štvoricu čísl (X, Y, Z, W ), W 0, navm homogénn (rošírné afinné ) súradnic vlastného bodu, ak pr jho afinné súradnic platí X Y Z =, =, = W W W Usporiadanú trojicu čísl (X, Y, Z, 0) navm homogénn (rošírné afinné ) súradnic nvlastného bodu Každý vlastný aj nvlastný bod pomocou homogénnch súradníc môžm vjadriť nkončn vľa spôsobmi: Nch (,, ) sú afinné súradnic vlastného bodu a r 0 j ľubovoľné číslo, potom (rx, ry, rz, rw) = r(x, Y, Z, W) sú homogénn súradnic tohto bodu Nch (,, ) sú afinné súradnic nnulového smrového vktora a priamk v pristor a r 0 j ľubovoľné číslo, potom (r, r, r ) sú súradnic smrového vktora ra tjto priamk a (r, r, r, 0) = (X, Y, Z,0) sú homogénn súradnic nvlastného bodu Z bodov budm vtvárať gomtrické útvar v rovin albo v pristor: Gomtrické útvar Gomtrickým útvarom j súvislá podmnožina pristoru E rsp E, ktorú analtick rprntujm bodovými funkciami n-prmnných Tito funkci sú spojitým obraním súvislj oblasti Ω Znám gomtrické útvar v rovin E rsp v pristor E opisujm vhľadom na kartiánsk súradnicové sústav: 0-paramtrický útvar: A A, A, A, A v E - konštantná bodová funkcia bod ( ) v E rsp ( ) 1-paramtrický útvar:, ( ) ( ) čiara ( u) ( u ) v E rsp ( ), ( ), ( ) u Ω -paramtrický útvar:,,, ( ) u u u v E - bodová funkcia jdnj prmnnj ( ) oblasť ( u v) ( u v ) v E rsp (, ), (, ), (, ) u v u v u v v E - bodová funkcia dvoch prmnných u, v Ω -paramtrický útvar: u, v, w, u, v, w, u, v, w v E bodová funkcia troch prmnných u, v, w Ω ( ) tlso ( ) ( ) ( )

6 GEMETRICKÉ TRANSFRMÁCIE Gomtrický útvar U j rprntovaný ako množina bodov danj vlastnosti Tnto útvar U potrbujm posunúť, otočiť, mniť mirku tj urobiť s útvarom transformáci Nch E = E n a E =E m sú uklidovské pristor dimni n a m Zobrani L: E E navm afinné obrani, ak pr vštk bod A, B pristoru E a pr ráln čísla t R platí L( A + t(b - A)) = A + t(b - A ) kd A =L(A), B =L(B) sú obra bodov A, B V prípad, ž pristor E = E ( obrani do sba ), tak afinné obrani L sa naýva afinná transformácia Afinné transformáci v rovin Afinná transformácia L: E E L(,) = (a + c + m, b + d + n) kd a, b, c, d, m, n sú ráln čísla ( dtrminant a b c d 0) Maticový ápis a b 0 ' ' ( X Y 1) = ( X Y 1) c d 0 m n 1 = X/1, =Y/1, = X /1, =Y /1 a b 0 ' ' ( 1) = ( 1) c d 0 m n 1 Matica (,) sa naýva matica gomtrickj transformáci L a onačím ju G Súradnic bodov obrau U gomtrického útvaru U ískam o súradníc bodov voru vnásobním maticou G: U =U G Prhľad najčastjši používaných afinných transformácií v rovin pr počítačovú gomtriu Návštva intraktívnch appltov j na : Časť: Transformáci v D Ponámka: Intraktívn applt dopĺňajú tt, v ktorom sú použité niktoré iné onačnia, al i vsvtlnia Táto linka j určná výlučn ln pr grafickú ilustráciu príslušnj transformáci

7 Idntická transformácia I= Vor U a obra U sú totožné = I ápis: ( ' ' 1) ( 1) Posunuti o vktor (m,n) T(m,n)= m n 1 ' ' 1 = 1 T ( m, n) ápis: ( ) ( ) Ilustrácia: : applt 7 točni okolo ačiatku súradnicovj sústav o uhol ϕ ϕ >0 pr otáčani proti smru hodinových ručičik cosϕ sinϕ 0 R(ϕ)= sinϕ cosϕ 0 ápis: ( ' ' 1) = ( 1 ) R ( ϕ) Ilustrácia: : applt 74 Škálovani vhľadom na ačiatok súradnicovj sústav s, s škálovaci faktor mirk pr súradnicové osi, s 0 0 S(s, s)= 0 s 0 ápis: ( ' ' 1) = ( 1 ) S ( s, s) Matica škálovania S(s,s) môž bť rprntovaná aj maticou

8 s 0 0 S(s,s, sw)= 0 s sw a afinné súradnic dostanm: s 0 0 X ' Y ' W ' X Y 1 0 s sw vtd ( ) = ( ) s s ' = X ' = Y sw sw Ilustrácia: : applt 75 Súmrnosť vhľadom na súradnicové osi Súradnicová os Z()= Súradnicová os ' ' 1 = 1 Z ( ) ápis: ( ) ( ) Z()= ' ' 1 = 1 Z ( ) ápis: ( ) ( ) Ilustrácia: : applt 76 Skosni v smr súradnicovj osi, koficint skosnia Súradnicová os a koficint skosnia c E(,c)= c 1 0 ápis: ( ' ' 1) = ( 1 ) E (, c) Súradnicová os a koficint skosnia b 1 b 0 E(,b)= ápis:( ' ' 1) = ( 1 ) E (, b) Ilustrácia: : applt 77

9 Skladani transformácií v rovin V linárnj algbr sa používa oprácia skladania, v ktorj ϕ ψ namná, ž sa raliuj ϕ po ψ tj A = ϕ( ψ ( A)) = ϕ ψ ( A) Vhľadom na to, ž budm skladať aj viac transformácií G i, i=1,,n, mali b sm používať ápis napr: A = ( G( G ( G 1( A)))) Z dôvodu, ž analtické vjadrni ložnj afinnj transformáci j určné súčinom analtických vjadrní skladaných transformácií budm naďalj používať opráciu potom, al apíšm A = A G1 G G n, čo namná, ž na bod A najskôr aplikujm transformáciu G 1, potom G až G n Skladani transformácií ni j komutatívn, to načí, ž álží na poradí v akom sa transformáci vtvárajú Väčšinou uskutočním súčin matíc rprntujúcich príslušnú transformáciu a na gomtrický útvar aplikujm maticu G = G G G 1 n Príklad: Nch G 1 = R( ϕ) a G = T( m,n ) sú dv transformáci, potom cosϕ sinϕ 0 G1 G = R( ϕ) T( m, n) = sinϕ cosϕ 0 = G m n 1 Výsldok: pr ϕ =π/ a T(, ) má matica G výsldnj transformáci tvar Invrné transformáci v rovin K transformácii L : E E určím jj invrnú transformáciu L 1 : E E, pr tito 1 1 transformáci platí: L L = I = L L, kd I j idntická transformácia Z algbr vim, ž transformácia L, ktorá má invrnú transformáciu L -1 sa naýva rgulárna transformácia Invrné transformáci k uvdným afinným transformáciam: posunuti T(m,n) invrná transformácia T(m,n) -1 = T(-m,-n) rotácia R(ϕ) invrná transformácia R(ϕ) -1 = R(-ϕ ) škálovani S(s,s) invrná transformácia S(s,s) = S, s s Príklad: Rotácia okolo bodu A( A, A ) o uhol ϕ : R(( A, A ), ϕ) Rišni: A A A A A A R((, ), ϕ) = T(, ) R( ϕ) T(, ) Výsldok: cosϕ sinϕ 0 sinϕ cosϕ 0 kd m = - A cos ϕ + A sinϕ + A, n = - A sin ϕ - A cosϕ + A m n 1

10 Afinné transformáci v pristor Afinná transformácia L: E E L(,, ) = (a + d + g + l, b + + i + m, c + f + j + n) a b c kd a, b, c, d,, f, g, i, j, l, m, n sú ráln čísla (dtrminant d f 0 ) Maticový ápis ( X Y Z 1) = ( X Y Z 1) ( 1) = ( 1) g i j a b c 0 d f 0 g i j 0 l m n 1 a b c 0 d f 0 g i j 0 l m n 1 Matica (4,4) j maticou gomtrickj transformáci L v pristor a onačím ju G Súradnic bodov obrau U gomtrického útvaru U ískam o súradníc bodov voru vnásobním maticou G: U =U G Návštva intraktívnch appltov j na : Časť: Transformáci v D Ponámka: Intraktívn applt dopĺňajú tt, v ktorom sú použité niktoré iné onačnia, al i vsvtlnia ( napr v appltoch otoční j ľavotočivá súradnicová sústava) Táto linka j určná výlučn ln pr grafickú ilustráciu príslušnj transformáci Idntická transformácia I= = I ápis: ( 1) ( 1) Posunuti o vktor (l,m,n,) T(l,m,n)= l m n 1 1 = 1 T ( l, m, n) ápis: ( ) ( )

11 točni okolo súradnicových osí Základné rotáci Použijm pravotočivú kartiánsku súradnicovú sústavu, voľba uhlov otočnia j kladná θ θ θ -otočni okolo súradnicovj osi o uhol θ cosθ sinθ 0 ( θ ) = 0 sinθ cosθ = 1 R ( θ ) R ápis:( ) ( ) Ilustrácia: : applt 78 -otočni okolo súradnicovj osi o uhol θ cosθ 0 sinθ ( θ ) = sinθ 0 cosθ = 1 R ( θ ) R ápis:( ) ( ) Ilustrácia: : applt 79 -otočni okolo súradnicovj osi o uhol θ cosθ sinθ 0 0 sinθ cosθ 0 0 ( θ ) = = 1 R ( θ ) R ápis:( ) ( ) Ilustrácia: : applt 710 Uhl θ, θ, θ pri ákladných rotáciách sú nám ako Eulrov uhl

12 Škálovani vhľadom na ačiatok súradnicovj sústav s, s, s škálovaci faktor mirk pr súradnicové osi,, s S(s, s, s)= s ápis:( 1) = ( 1 ) S ( s, s, s) 0 0 s Matica škálovania S(s,s,s) môž bť rprntovaná aj maticou s S(s,s, s, sw)= s 0 0 s sw Vtd s s 0 0 ( X Y Z W ) = ( X Y Z 1) 0 0 s sw a afinné súradnic bodu dostanm: ' = s X ' = s Y = s Z sw sw sw Skladani transformácií v pristor ( ) ( ) 1 1 = 1 G G Gi i určuj poradi transformáci v pristor Príklad: Nch G 1 = R (θ ) a G = T(0,0,n ) sú dv transformáci, potom cosθ sinθ 0 0 sinθ cosθ 0 0 G1 G = R ( θ ) T(0,0, n) = n 1 Výsldok: skrutkový pohb v smr súradnicovj osi, onačni SP Invrné transformáci v pristor Postup určnia invrnj transformáci L 1 : E E k danj transformácii L : E E v pristor j analogický ako v rovin Prto uvdim invrné transformáci k týmto afinným transformáciam v pristor: Invrné transformáci k uvdným afinným transformáciam: posunuti T(l,m,n) invrná transformácia T(l,m,n) -1 = T(-l,-m,-n) rotácia R (θ ) invrná transformácia R (θ ) -1 = R (-θ ) R (θ ) invrná transformácia R (θ ) -1 = R (-θ ) R (θ ) invrná transformácia R (θ ) -1 = R (-θ ) škálovani S(s,s,s) invrná transformácia S(s,s,s) = S,, s s s

13 TRIEDY GEMETRICKÝCH TRANSFRMÁCIÍ Vtvoriť prdstavu o pohb útvaru U o jho prmistňovaní sa v rovin či v pristor môžm abpčiť tak, ž nahradím gomtrickú transformáciu G množinou gomtrických transformácií G1 G Gi toho istého tpu a navm ju trida gomtrických transformácií Trid gomtrických transformácií v rovin Trida gomtrických transformácií v rovin j množinou transformácií toho istého tpu rprntovaná maticou a( t) b( t) 0 G( t) = c( t) d( t) 0 m( t) n( t) s( t) ktorj prvk sú ráln funkci jdnj prmnnj t, vštk dfinované, spojité a aspoň ra difrncovatľné na intrval I = 0,1 Trida translácií Príklad: T 1 0 0, = t 0,1 t m t n 1 ( t m t n) 1Nch gomtrický útvar U j bod A so súradnicami ( A, A ), potom ( A, A, 1) T ( t m, t n) = ( A + t m, A + t n, 1) j úsčka U so ačiatočným bodom A( A, A ) a koncovým bodom ( A A A + m, + n) A = U U A Nch gomtrický útvar U j úsčka AB = ( u) = A + u( B A ), ( u) = A + u( B A ), u 0,1 potom { } ( ( u), ( u),1) T ( t m, t n) = ( ( u, t), ( u, t),1) u, t 0,1 0,1 a obra U j oblasť v rovin tj štvoruholník a jho vnútro B U A U

14 Nch gomtrický útvar U j oblasť - štvoruholník a jho vnútro tj U = ( ( u, v), ( u, v)), u, v Ω potom ( ( u, v), ( u, v),1) T ( t m, t n) = ( ( u, v, t), ( u, v, t),1) u, v, t Ω 0,1 U U Hovorím, ž -paramtrický útvar vjadruj mnu poloh -paramtrického útvaru v čas t a to j práv prvok jdnoduchj animáci Trida rotácií okolo ačiatku súradnicovj sústav Trida škálovaní cos t ϕ sin t ϕ 0 R ( t ϕ) = sin t ϕ cos t ϕ 0 t 0, t s 0 0 S ( t s, t s ) = 0 t s 0 t 0, Trid gomtrických transformácií v pristor Trida gomtrických transformácií v pristor j množinou transformácií toho istého tpu Analtick j určná maticou a( t) b( t) c( t) 0 d( t) ( t) f ( t) 0 G( t) = t 0,1 g( t) i( t) j( t) 0 l( t) m( t) n( t) s( t) Prvk matic sú ráln funkci jdnj prmnnj t, vštk dfinované, spojité a aspoň ra difrncovatľné na intrval I = 0,1

15 Trida translácií Trida rotácií T ,, = t 0, t l t m t n 1 ( t l t m t n) t-otočni okolo súradnicovj osi o uhol tθ cos t θ sin t θ 0 R ( t θ ) = t 0,1 0 sin t θ cos t θ t-otočni okolo súradnicovj osi o uhol tθ cos t θ 0 sin t θ R ( t θ ) = t 0,1 sin t θ 0 cos t θ t-otočni okolo súradnicovj osi o uhol tθ cos t θ sin t θ 0 0 sin t θ cos t θ 0 0 R ( t θ ) = t 0, Príklad: 1Nch gomtrický útvar U j bod A Výsldný útvar j čiara K ( t) α A S θ K ( t) A

16 Nch gomtrický útvar j čiara K ( t) Výsldný útvar j plocha R ( u, t) θ R ( u, t) Trida skrutkového pohbu Skrutkový pohb v smr súradnicovj osi - SP Trida k tjto gomtrickj transformácii, j rprntovaný maticou SP cos t θ sin t θ 0 0 sin t θ cos t θ 0 0 = t 0, t n 1 ( t θ ) Príklad: Nch gomtrický útvar U j bod A so súradnicami ( A, A, A ), potom ( A, A, A, 1) SP ( t θ ) = ( A cos t θ A sin t θ, A sin t θ + A cos t θ, A + t n, 1) t 0,1, θ = π A Výsldok j pristorová krivka skrutkovica