1.1. POJEM FUNKCIE - DEFINIČNÝ OBOR, OBOR HODNÔT

Transcript

1 .. POJEM FUNKCIE - DEFINIČNÝ OBOR OBOR HODNÔT De. : Funkciou n množine A s nýv predpis ktorým je kždému prvku množiny A prirdené práve jedno reálne číslo. Množin A s nýv deiničný obor unkcie D(. Je to množin ktorej môžme dosdovť do predpisu unkcie čísl. De.: Oborom hodnôt unkcie - H( - s nýv množin všetkých yr ku ktorým eistuje spoň jedno tké D( že y = (. Hodnot unkcie pre dné číslo = unkčná hodnot = y y = ( De.: Grom unkcie s nýv množin všetkých bodov X[ (] kde D( Funkci môže byť určená : predpisom b určením niekoľkých usporidných dvojíc [ (] c grom d určitou vlstnosťou Dná je množin M = {... }. Rohodnite či nsledujúce predpisy deinujú unkciu : prirďuje prvku M jeho tretiu mocninu b prirďuje prvku M jeho druhú odmocninu c prirďuje prvku M jeho prevrátenú hodnotu. Pri unkciách určite j obor deinície obor hodnôt. Určite deiničný obor unkcie: : y = + b g : y c h : y d i : y e y y Nech je unkci deinovná n množine celých kldných čísel tk že kždému Z + prirdí unkčnú hodnotu podľ predpisu :. Vypočítjte ( 9 (. b Určite hodnoty premennej pre ktoré unkci ndobúd hodnoty ( = ( = ( = ( =. c Nčrtnite gr unkcie. e Eistujú nejké celé kldné čísl ktoré neptri do oboru hodnôt unkcie? Ak áno uveďte príkld. Určite obor hodnôt unkcie. g Nčrtnite gr unkcie. Zistite či s unkcie : y g : y rovnjú. Ak vyhodíme kmeň kolmo hore rýchlosťou v m.s jeho mimáln výšk bude približne vyjdrená vťhom h = v v. Vypočítjte polovicu mimálnej výšky ktorú kmeň dosihne k bol vyhodený postupne rýchlosťmi m.s m.s m.s. b Akou rýchlosťou má byť kmeň vrhnutý kolmo hore k má dosihnúť vdilenosť od bodu vrhu spoň m?

2 Rohodnite ktorý grov náornených n nsledujúcom obráku je grom unkcie. Pri unkciách určite j obor deinície obor hodnôt. Akou unkciou čsu je dráh teles. ktoré s pohybuje rovnomerne tk že jednu sekundu prejde dráhu cm b m c km Vyjdrite ávislosť veľkosti uhl o ktorý s otočí veľká b mlá hodinová ručičk od čsu t. Do gule s polomerom r je vpísný rotčný kužeľ. Vyjdrite jeho plášť Q ko unkciu jeho strny s. V ktorom intervle premennej s je Q deinovné? N prevod teploty t C Celiovej stupnice n teplotu vo Fhrenheitovej stupnici pltí vťh 9 t F tc. Akou unkciou teploty v Celiovej stupnici je teplot odmerná vo Fhrenheitovej stupnici? Rohodnite či je dná ávislosť unkciou: Závislosť množstv vody v nádrži od čsu k do nádrže pritečie kždú hodinu hektolitrov vody. b Závislosť veku človek od jeho telesnej výšky. M Funkcie.ročník sivá: str. / Pr. úlohy..... str. / Pr. M.ročník elená: str.9 / cv.... M / : str. / cv. 7 9

3 .. LINEÁRNA FUNKCIA.. Deinovť lineárnu unkciu ponť jej obor deinície obor hodnôt Dné sú unkcie : :. Určte H( n k D( n = R b D( n = Z c D( n = N d D( n = ; K unkciám g určeným predpisom jedným oborov: Určite druhý obor. b Nčrtnite gr. c Vypočítjte priesečníky gru unkcie so súrdnicovými osmi. Vyjdrite ávislosť veľkosti uhl u (v stupňoch o ktorý s otočí veľká hodinová ručičk b mlá hodinová ručičk od čsu t (v minútch... Nčrtnúť gr unkcie y = k + q n áklde geometrického výnmu prmetrov k q. Nčrtnite gry nsledujúcich unkcií : b g : c h : y d + y = e y = y = g y = ; Nčrtnite gr lineárnej unkcie ktorá prechád bodom [; ] so súrdnicovou osou vier rovnký uhol ko gr unkcie y = +. Dné sú unkcie: ; Rohodnite ktoré gry sú prvkmi toho istého väku primok so stredom n súrdnicovej osi y (primky ptri do toho istého väku primok k prechádjú spoločným bodom - stredom väku. Dokážte gricky že nsledujúce sústvy rovníc nemjú riešenie: y y y y b c 7 y y Dokážte gricky že nsledujúce sústvy rovníc mjú nekonečne mnoho riešení: y y y b c y y y.. Nájsť k dnému rgumentu unkčnú hodnotu k dnej unkčnej hodnote rgument Dná je unkci : y = + Určite ( ( ( (8. b Určite pre ktoré s ( = ( =. c Určite priesečníky gru unkcie so súrdnicovými osmi y. d Nčrtnite gr unkcie. Podľ údjov výrobcu spotreb ut Vivce je l benínu n km pri rýchlosti 8 km/h 8 l pri rýchlosti km/h. Odhdnite jeho spotrebu pri rýchlosti 9 km/h

4 N výrobu jednej skrutky spotrebuje utomt mm tyče ktorá má n čitku dĺžku metre. Funkci d =.p p N p udáv ávislosť dĺžky vyšnej čsti tyče od počtu hotovených skrutiek. Určite dĺžku vyšnej čsti tyče po vyrobení kusov skrutiek. b Určite počet vyrobených skrutiek k vyšná čsť tyče má dĺžku mm mm mm mm mm. Dná je unkci k : y. Určite k( k( k( k(. b Určite k k( = k( = k( = k( = k( =... Rohodnúť o monotónnosti lineárnej unkcie podľ hodnoty prmetr k Dokážte že unkci y = je n svojom deiničnom obore rstúc. Dné sú unkcie: ; Rohodnite ktoré dných unkcií sú rstúce (klesjúce. b Rohodnite ktoré gry sú nvájom rovnobežné primky. Určite niekoľko konkrétnych hodnôt prmetr R tk by unkci y = + b bol rstúc n množine R b bol klesjúc n množine R c ni nerástl ni neklesl n množine R... Nájsť predpis lineárnej unkcie k sú dné jej body Určite všetky lineárne unkcie ktoré mjú D( = R ktorých prvkmi sú usporidné dvojice: [; ] [; ] b [; ] [ ; ] c [; ] [; ] d [; ] [; ] Určite predpis unkcie ktorej grom je primk prechádjúc bodom [; ] rovnobežná s primkou y =... Zostrojiť gr lineárnej unkcie s bsolútnymi hodnotmi Zostrojte gry unkcií: y = b y = c y = Rohodnite o párnosti resp. nepárnosti unkcie : y nkreslite gr opíšte jej vlstnosti. Nčrtnite gr unkcie y Nčrtnite gr unkcie y 7. ;

5 .. KVADRATICKÁ FUNKCIA.. Deinovť kvdrtickú unkciu ponť jej obor deinície obor hodnôt Určite unkciu ktorá vyjdruje ávislosť obshu rovnostrnného trojuholník od dĺžky jeho strny. Určite j obor deinície obor hodnôt tejto unkcie. Nájdite unkciu ktorá vyjdruje ávislosť objemu vlc od priemeru jeho podstvy k výšk v = cm. Určite j obor deinície obor hodnôt tejto unkcie. Pri vislom vrhu teles smerom nhor s výšk s (v metroch nd istým miestom menil s čsom t (v sekundách podľ vťhu s = + t t. Určite mimálnu výšku do ktorej teleso vystúpilo i čs trvni tohoto výstupu. Určite obor deinície obor hodnôt unkcie: b c d e 9.. Nájsť k dnému rgumentu unkčnú hodnotu k dnej unkčnej hodnote rgument Dná je unkci : y = + 8. Určite ( ( (. b Určite hodnoty premennej pre ktoré pltí že ( = ( = 8 ( = c Určite priesečníky gru unkcie so súrdnicovými osmi. Dná je unkci : y =. Určite ( (7 (. b Určite hodnoty premennej pre ktoré pltí že ( = 9 ( = c Určite priesečníky gru unkcie so súrdnicovými osmi. Určite všetky kvdrtické unkcie s D( = R ktorých prvkmi sú usporidné dvojice [; ] [; ] [ ] b [; 8] [; ] [; ] Ktorá kvdrtická unkci má tú vlstnosť že ( = ( = ( =?.. Vysvetliť geometrický výnm prmetrov c v súvislosti s grmi unkcií y = y = + b + c Nčrtnite gry dných unkcií pokúste s chrkteriovť ich vájomný vťh: : y : y : y : y b g : y g : y g : y g : y c h : y h : y h : y h : y d k : y k : y k : y 9 k : y 9 Nčrtnite gr unkcie : y = opíšte jej vlstnosti.

6 Nčrtnite gry unkcií: : y b g : y Aký má predpis kvdrtická unkci ktorej gr je prbol s osou v osi +y vrcholom v čitku sústvy súrdníc? Ako nie rovnic tejto prboly keď je jej vrchol posunutý: o dve jednotky v smere osi y b o jednu jednotku v smere osi c o tri jednotky v smere osi y do štyri jednotky v smere osi. Ako bude nieť rovnic prboly v prípdoch c d k os prboly je rovnobežná s osou y?.. Nájsť vrchol os prboly ktorá je grom kvdrtickej unkcie určiť jej nulové body nčrtnúť ju Nájdite súrdnice vrcholu prboly y 7 Zostrojte gr unkcie : y = + 8 opíšte jej vlstnosti. Nčrtnite gr unkcie h : nájdite jej etrémy. Určte predpis unkcie ktorej grom je prbol s vrcholom V[; ] prechádjúc bodom A[; ]. Prbolu nčrtnite určíte jej nulové body... Určiť podľ nčrtnutého gru obor hodnôt intervly monotónnosti Rohodnite či je unkci : y ohrničená nájdite jej intervly monotónnosti i H(. Nčrtnite gr unkcie : y = - - ;. Určte jej H( intervly monotónnosti. Dné sú unkcie: 9 Nčrtnite ich gry určíte obory hodnôt. b Určte intervly monotónnosti etrémy. c Zistite kedy mjú jednotlivé unkcie unkčné hodnoty kldné kedy áporné. Nčrtnite gr unkcie : y = 8 opíšte jej vlstnosti. 7 Nčrtnite gr unkcie : y = +. Nájdite intervly monotónnosti tejto unkcie... Vysvetliť n konkrétnych príkldoch súvislosť medi hodnotmi diskriminntu kvdrtickej rovnice + b + c = grom unkcie y = + b + c Dný je prmetrický systém unkcií y = + c kde c R. Slovne opíšte vájomnú polohu všetkých unkcií dného prmetrického systému. Určte c tk by táto unkci neml spoločný bod s osou b ml práve jeden spoločný bod s osou c ml práve dv spoločné body s osou. Dná unkci je unkci : y =. Vysvetlite ko či ávisí počet prienikov gru s - ovou osou od prmetr. Určte hodnoty prmetrov b c predpisu kvdrtickej unkcie y = + b + c hodnotu diskriminntu D kvdrtickej rovnice + b + c = tk by grom unkcie bol prbol ktorá je: obrátená "nhor" (má mimum pretín os b obrátená "nhor" (má mimum dotýk s osi c obrátená "nhor" (má mimum nepretín os d obrátená "ndol" (má minimum pretín os e obrátená "ndol" (má minimum dotýk s osi obrátená "ndol" (má minimum nepretín.

7 .. PÁRNOSŤ A NEPÁRNOSŤ FUNKCIE De.: Funkci s nýv párn práve vtedy k súčsne pltí :. D( j -D(. D( pltí: ( = (- Gr párnej unkcie je súmerný podľ osi y. De.: Funkci s nýv nepárn práve vtedy k súčsne pltí :. D( j -D(. D( pltí: -( = (- Gr nepárnej unkcie je súmerný podľ počitku súrdnicového systému. M unkcie sivá : str. 9 / Pr. Zistite ktoré dných unkcií sú párne nepárne.: : y = - b : y = c : y = / d : y = : ( + M unkcie sivá : str. /.8 Zistite ktoré dných unkcií sú párne nepárne.: : y = + b : y = / ( + c : y = / d : y = / e : y = + : y = + Určte intervly monotónnosti etrémy unkcií náornených n obráku. Rohodnite o párnosti resp. nepárnosti nsledujúcich unkcií (os je symptot Rohodnite o párnosti resp. nepárnosti unkcií y b y c y

8 Rohodnite ktoré unkcií náornených n obrákoch sú párne lebo nepárne. Čo môžete povedť o hodnote ( k je náme že je unkci párn b nepárn? Doplňte gry n obráku tk by náorňovli párne unkcie b nepárne unkcie N obráku je náornený gr unkcie. Určite jej vlstnosti (obor deinície obor hodnôt intervly monotónnosti. b Uprvte čsť gru tk by nová unkcie bol n intervle <; > nepárn. c Uprvte čsť gru tk by nová unkcie bol n intervle <; > párn.

9 .. RASTÚCA A KLESAJÚCA FUNKCIA Funkci je n množine M D( rstúc k pre M pltí ( (. Funkci je n množine M D( klesjúc k pre M pltí ( (. Funkci je n množine M D( nerstúc k pre M pltí ( (. Funkci je n množine M D( neklesjúc k pre M pltí ( (. VLASTNOSTI FUNKCIÍ :. Deiničný obor. Obor hodnôt. Nulové body. Monotónnosť unkcie. Márnosť nepárnosť unkcie. Kldná áporná unkci 7. Ohrničenosť unkcie 8. Mimum minimum unkcie 9. Spojitosť unkcie. Funkci prostá neprostá.. ÚLOHY O FUNKCIÁCH

10 OHRANIČENOSŤ FUNKCIE Funkci je n D( ohrničená dol k eistuje tké číslo d R že pre D( pltí: ( d. Funkci je n D( ohrničená hor k eistuje tké číslo h R že pre D( pltí: h (. Funkci je n D( ohrničená k je ohrničená hor j dol. KLADNÁ ZÁPORNÁ FUNKCIA Funkci je n množine M D( kldná k pre M pltí (. Funkci je n množine M D( áporná k pre M pltí (. MAXIMUM MINIMUM FUNKCIE Funkci má v bode n množine M D( lokálne mimum práve vtedy k pre M pltí ( (. Funkci má v bode b n množine M D( lokálne minimum práve vtedy k pre M pltí ( (b. Funkci má v bode n množine D( globálne mimum práve vtedy k pre D( pltí ( (. Funkci má v bode b n množine D( globálne minimum práve vtedy k pre D( pltí ( (b. Funkci má v bode n množine M D( lokálne ostré mimum práve vtedy k pre M pltí ( (. Funkci má v bode b n množine M D( lokálne ostré minimum práve vtedy k pre M pltí ( (b. SPOJITOSŤ FUNKCIE Funkci je spojitá n D( k je spojitá v kždom bode tohto intervlu. Funkci je spojitá v bode c k je deinovná (c. PROSTÁ FUNKCIA Funkci je n množine M D( prostá práve vtedy k pre M pltí: k tk ( (. Kždá rstúc lebo klesjúc unkci je prostá.

11 .7. MOCNINOVÉ FUNKCIE : y = n nn n párne b n nepárne n = špeciálny prípd kvdrtická unkci n = špeciálny prípd lineárn unkci : y = -n nn c n párne d n nepárne n párne n nepárne -n párne -n nepárne D( R R (-( (-( H( R ( (-( monotónnosť klesjúc (- rstúc rstúc R rstúc (- klesjúc ( klesjúc (-( spojitosť spojitá spojitá nespojitá nespojitá párnosť párn nepárn párn nepárn prostá nie je prostá prostá nie je prostá prostá mimum nemá nemá nemá nemá minimum = (= nemá nemá nemá

12 .. Deinovť mocninovú unkciu (y = n n Z ponť jej obor deinície Dné sú unkcie: ; ; ; ; ; ; ;. Rodeľte ich do skupín podľ rovnkého oboru deinície. Určite obor deinície nsledujúcich unkcií: ; ; ; 7 b ; ; ; c ; ; ; d ; ;. Mjme prmetrický systém unkcií (vhľdom n n y = n kde n Z R. Bude s medi týmito unkcimi nchádť j tká ktorej grom je celá primk? Koľko bude tkých unkcií pri kom n? Bude medi nimi j unkci y =?.. Opísť n príkldoch vlstnosti mocninových unkcií s párnym(nepárnym n Dné sú unkcie: ; ; ; ; 7 8 ; ; ; Rodeľte ich do skupín podľ rovnkého oboru unkčných hodnôt. b Rodeľte ich do skupín podľ toho či sú párne lebo nepárne. c Rodeľte ich do skupín podľ toho či sú prosté lebo neprosté. d Určite ich intervly monotónnosti. e Určite ktoré nich sú ohrničené dol ktoré hor. Určite ich mimum resp. minimum. Nčrtnite gr unkcie y = b y istite jej vlstnosti. Nčrtnite gr opíšte vlstnosti nsledujúcich unkcií: ; ; ; b ; ;. Určte invernú unkciu k unkcii : y (k eistuje nájdite jej deiničný obor i obor hodnôt porovnjte ich s oborom deinície oborom hodnôt dnej unkcie... Opísť n príkldoch vlstnosti mocninových unkcií s kldným (áporným n Dné sú unkcie: ; ; ; ; ; ; ;. 7 8 Rodeľte ich do skupín podľ rovnkého oboru unkčných hodnôt. b Rodeľte ich do skupín podľ toho či sú párne lebo nepárne. c Rodeľte ich do skupín podľ toho či sú prosté lebo neprosté. d Určite ich intervly monotónnosti. e Určite ktoré nich sú ohrničené dol ktoré hor. Určite ich mimum resp. minimum. Nčrtnite gr opíšte vlstnosti nsledujúcich unkcií: ; ; ; b ; ;. Nčrtnite gr opíšte vlstnosti nsledujúcich unkcií: ; ; ; b ; ;.

13 .. LINEÁRNE LOMENÁ FUNKCIA Rcionáln unkci : R b b b b N n m b b b b y m m m m m m m m m m m m : Lineárne lomená unkci : c R H c d R D d bc c R d c b d c b y lebo R b b b b y ( ( :. : Kždú LLF možno uprviť n tvr : y O kde k y y je čitok posunutej súrdnicovej sústvy Grom LLF je posunutá hyperbol. ( ( : : O y O y O [ ] O [-]

14 . Pr. Určite deiničný obor obor hodnôt unkcie urobte náčrt unkcie : : y. Postup :. D( : + -/. H( : y. (+ = -.y + y =.y- = - y. (y = - y y - y /. Gr : : y = - b : y = /. - c otočenie okolo -ovej osi d posunutie v smere o / v smere y o /... : y Pr. Určite deiničný obor obor hodnôt unkcie urobte náčrt unkcie :... : y. : y 7. : y. : y : y. : y 8. : y. : y : y. : y 9. : y. : y.... Pr. Určite deiničný obor obor hodnôt unkcie urobte náčrt unkcie :... : y. : y. : y. : y : y. : y. : y. : y : y. : y. : y. : y : y. : y. : y. : y : y. : y. : y. : y : y. : y. : y. : y : y 7. : y 7. : y 7. : y : y 8. : y 8. : y 8. : y : y 9. : y 9. : y 9. : y : y. : y. : y. : y....

15 .. Nčrtnúť n áklde ponni gru unkcie y = ( gry unkcií y = ( y = ( + k y = ( y = ( + q y = ( + q + k Dná je unkci ( = y =. Nčrtnite jej gr i gr unkcie: y = ( b y = ( + c y = ( d y = ( e y = ( + Nčrtnite gr unkcie ktorej D ; 7 ; H. Potom nčrtnite j gr unkcie: y = ( b y = ( + c y = ( d y = ( e y = ( +.. Deinovť lineárne lomenú unkcie. opísť vťh medi lineárne lomenou unkciou neprimou úmernosťou Nčrtnite v tej istej súrdnicovej sústve gry unkcií: 7 Určite j obor deinície obor hodnôt kždej tejto unkcie. Obsh S prvouhlého trojuholník je cm. Určite unkciu ktorá vyjdruje ávislosť medi jeho odvesnmi. Pri konštntnom npätí je prúd neprimo úmerný odporu vodič. Nájdite unkciu ktorá udáv túto ávislosť k viete že pri odpore Ω je prúd ma. Obdĺžniková prcel s romermi = m b = m s má vymeniť stvebné miesto obdĺžnikového tvru rovnkej výmery to s jedným romerom. m b m c 9 m. Určite druhý romer. Dná je unkci. Nčrtnite gr unkcie: g b g. c g d g e g g.. Nájsť k dnému rgumentu unkčnú hodnotu k dnej unkčnej hodnote rgument Doplňte tbuľku hodnôt pre unkcie: ( ; ; ; ; ; ; Pri stálej sile (F = N je súčin tlku (v P plochy (v m n ktorú sil pôsobí konštntný. Doplňte tbuľku: ploch v m tlk v P Dná je unkci. Určte: pre ; ; ;; ; pre ; ; ; ; ;... Určiť obor deinície ľubovoľnej lineárnej lomenej unkcie Pumpou čerpjúcou litr vody sekundu s vyčerpá stvebná jm hodín. Ako dlho bude čerpť vodu tejto jmy pump ktorá vyčerpá sekundu 7 (; ; litrov vody? Určite j obor deinície tejto unkcie. Určite obor deinície unkcie: 7

16 8 ; b ; 7 c ; 9 d ; e ;. Viete určiť j obor hodnôt jednotlivých unkcií? Určite obor deinície unkcie: ; b ; 7 c ; 9 d ; e ;. Viete určiť j obor hodnôt jednotlivých unkcií?.. Určiť nulové body gru ľubovoľnej lineárnej lomenej unkcie Určite všetky D( pre ktoré je ( >. ; b ; 7 c ; 9 d ; e ;. Určite všetky D( pre ktoré je ( <. ; b ; 7 c ; 9 d ; e ;. Nčrtnite gr unkcie... Určiť symptoty gru ľubovoľnej lineárnej lomenej unkcie Určite symptoty unkcie: ; b ; 7 c ; 9 d ; e ;. Určite symptoty unkcie: ; b ; 7 c ; 9 d ; e ;. Určite symptoty unkcie pomocou nich s pokúste určiť obor hodnôt dnej unkcie: ; b ; c ; 9 d ; e ;.

17 .8. PROSTÉ FUNKCIE - DEFINÍCIA.9. PROSTÉ FUNKCIE - GRAF.. PROSTÉ FUNKCIE - RIEŠENIE ÚLOH PROSTÁ FUNKCIA Funkci je n množine M D( prostá práve vtedy k pre M pltí: k tk ( (. Kždá rstúc lebo klesjúc unkci je prostá. Gry prostých unkcií :.lineárne unkcie y = y y = + y = -.mocninová unkci pre n nepárne y = y = -. lineárne lomená unkci Pr. Určite ktoré dných unkcií sú prosté : Pr. Nkreslite niekoľko prostých unkcií niekoľko unkcií ktoré nie sú prosté. 9

18 .. INVERZNÁ FUNKCIA - VLASTNOSTI.. INVERZNÁ FUNKCIA - GRAF.. ÚLOHY NA INVERZNÚ FUNKCIU De.: Nech je prostá unkci n množine A nech B je jej obor hodnôt ((A=B. Funkciu - množiny B do množiny A deinovnú predpisom - (b = nývme invernou unkciou k unkcii práve vtedy k ( = b. Gr invernej unkcie - je symetrický s grom unkcie podľ osi y =. Pr. : y 8 y.( 8 y 8y y 8y ( y 8y 8y y D( R H ( R 8 : y D( R H ( R Pr. Nájdite inverné unkcie k unkciám určíte D( H( D( - H( - nkreslite gry unkcií - : : y = - b :y = - c :y = -+ d y = - e : y = /(- :y = /(- g :y = -/(+ h y = -/(- + Pr..roč. M / str/9 Ktoré lineárne unkcie sú smy k sebe inverné? Tie ktorých gry sú kolmé n os y = to nmená tie ktoré mjú smernicu k = - smotná os y = ted : y = -+b : y =. Pr..roč. M / str/ Ktoré lineárne lomené unkcie sú smy k sebe inverné? Tie pre ktoré pltí D( = H(. Pr..roč. M / str/ Pr..roč. M / str/ 7 Pr..roč. M / str/ 8 Dokážte že inverná unkci ku klesjúcej unkcii je klesjúc unkci. Dôk: klesjúc unkci : < ( ( nech ( ( / (.( klesjúc unkci - : < - ( - ( Dú : Dokážte že inverná unkci k rstúcej unkcii je rstúc unkci. Dôk: rstúc unkci : < ( < ( nech ( ( / (.( rstúc unkci - : < - ( < - ( Pr. Npíšte rône kvdrtické unkcie. Nech D( = V b D( = (- V ( V -ová súrdnic vrchol prboly. Nkreslite gr kvdrtických unkcií ich inverných unkcií. Npr: : y = b : y = - + +

19 Pr. Určte invernú unkciu k unkcii y = Nčrtnite gr invernej unkcie k unkcii. R. y Určte invernú unkciu (k eistuje k unkcii nájdite deiničný obor i obor hodnôt dnej j invernej unkcie: : y ; b : y K dnej unkcii určíte invernú unkciu. Nčrtnite j gry oboch unkcií v tej istej sústve súrdníc. : y ; b : y c : y ; d : y (.. SYSTEMATIZÁCIA VLASTNOSTÍ FUNKCIÍ. Npíšte inverné unkcie - k dným unkciám určíte D( - H( - nčrtnite gr invernej unkcie. : y =. D( = R b : y = -. D( = R + c : y = --. D( = (- ; >. Npíšte inverné unkcie - k dným unkciám určíte D( - H( - nčrtnite gr invernej unkcie. : y = D( = ( ; > b : y = - D( = (- ; -> c : y = -+ D( = < ; > d : y = (- D( = < ; > e : y = -( + D( = (- ; -> : y = -( D( = < ; >. Npíšte inverné unkcie - k dným unkciám určíte D( - H( - nčrtnite gr invernej unkcie. : y = - D( = R b : y = + - D( = (-;u (;> c : y = -- - D( = <-;u (;> d : y = D( = ( ; > e : y = -- ( - - D( = (- ; : y = -+( + - D( = <- ; > -{-}. Npíšte inverné unkcie - k dným unkciám určíte D( - H( - nčrtnite gr invernej unkcie. : y = D( = R b : y = - D( = (- ; > c : y = -+ D( = <- ; > d : y = - + D( = ( ; > e : y = ( - D( = (- ; > : y = -+( + D( = <- ; >

20

21 .. EXPONENCIONÁLNA FUNKCIA ZAVEDENIE POJMU.. VLASTNOSTI EXPONENCIONÁLNEJ FUNKCIE De: Nech je ľubovoľné reálne kldné číslo rône od. Eponenciálnou unkciou nývme unkciu s predpisom : y = kde R + - {}. Vlstnosti : H= ( H= ( rstúc n (- prostá kldná n (- spojitá klesjúc n (- prostá kldná n (- spojitá ohrničená dol d = ohrničená dol d = nemá m ni min nemá m ni min Vlstnosti : : y : y : y : y : y : y : y Určte deiničné obory obory unkčných hodnôt unkcie nkreslite ich gry y = b y = c y = d y = Určte deiničné obory obory unkčných hodnôt unkcie y = b y = 7 c y = d y = 7 Dné čísl porovnjte s číslom : ; ; ; ; 8 ;. Doplňte tbuľku hodnôt unkcie ( =. ( -/8-7/

22 . Nkreslite gr unkcie : : y = b : y = + c : y = - d : y = + e : y = : y = - g : y = -+ h : y = - i : y = - j : y = - - k : y = - - l : y = - -. Ktoré nsledujúcich mocnín sú väčšie ko : 7. Čo pltí pre eponenty m n k pltí : 8. Ktorý o vťhov < < > pltí k :.. Nčrtnúť n áklde ponni gru unkcie y = ( gry unkcií y = ( y = ( + k y = ( y = ( + q y = ( + q + k 9. Dná je unkci : A ( : y = B ( : y = - C ( : y = - D ( : y = - - Nčrtnite jej gr i gr unkcie: y = ( b y = ( + c y = ( d y = ( e y = ( +. Určte m R pre ktoré je m m y : rstúc pre ktoré klesjúc unkci.. Určte m R pre ktoré je m y : rstúc unkci.. Určte R pre ktoré je y : klesjúc unkci ( ( (8 b n m n m n m n m n m n m e d c b > > < > < < h g e d c b < > < < < < > <

23 .7. EXPONENCIONÁLNE ROVNICE.8. ZÁKLADNÉ EXPONENCIONÁLNE ROVNICE Určte počet riešení rovnice v množine R: = b Riešte rovnice v množine R: = b 7 e = c 8 Riešte nerovnice v množine R: c g 9 d d 8 h > 8 b < c > d < e. Riešte rovnice : = d = g = /8 j - = 8 b = e = h = 8 - k 8 - = 7 c = = / i m = - n = o > 7 l - = p. Riešte rovnice : - = b + = c - = + d - = 8 e (+.(- = g. = h = /8 i ( j. =. - k 7.+ = l.-- = m = Riešte rovnice : 9 7. b 9 c. d g j k v v 7. Riešte eponenciálne rovnice: - = b ( - - = c -. =. - { } d - + = 8 {8} 8 Riešte v R nerovnice: 9 e h 8 > 8 b. l 9 i < e. = {} = / {-} g = 8 {9} h +. = {} < c > d e >

24 .9. ZLOŽITEJŠIE EXPONENCIONÁLNE ROVNICE. Riešte ložitejšie eponenciálne rovnice použite substitučnú metódu: = 8 {} b + = - {--} c + -. = {/} d. {7} 7 e g.. + = h /. / + = {}. {}. Riešte rovnice (použite substitučnú metódu : + = 9 b - = c + + = 8 d - =8 - e = +. - = g. = 89 h = 8 i =. Riešte rovnice (použite substitučnú metódu :. - - = {} b. - -= + {-} c 9.. {/-/}. Riešte rovnice : 7 c {/} b = 7 {} {} d. + 7 = {} e 7 9 {} {/ }

25 Výsledky :. {} b{} c{-} d{-} e{- -/} {} g{} h{+}. {} b{-} c{} d{} e{-} {}. { } b{} c{- } d{ } e{-} {}. {} b{} c{/} d{}. {} b{}. {} b{-} c{} d{-}

26 .. LOGARITMIACKÁ FUNKCIA ZAVEDENIE POJMU.. VLASTNOSTI LOGARITMICKEJ FUNKCIE De: Nech je ľubovoľné reálne kldné číslo rône od. Logritmickou unkciou nývme unkciu s predpisom : y = log pričom pltí = y. Ak = log s nýv dekdický logritmus Ak = e = 788 log = ln s nýv prirodený logritmus Vlstnosti : log = : y = ln : y = log > : y = log < < R= ( H= R R= ( H= R rstúc n ( prostá kldná n ( áporná n ( spojitá klesjúc n ( Prostá kldná n ( áporná n ( spojitá prostá neohrničená nemá m ni min prostá neohrničená nemá m ni min Inverná k eponenciálnej unkcii VETY O LOGARITMOCH. log (r. s = log r + log s. log (r : s = log r - log s. log r s = s. log r. log = ln / ln. ln = log / log e e = log = Dné sú unkcie. Určte ich unkčné hodnoty pre. b Nčrtnite ich gry opíšte vlstnosti. c Nčrtnite gry unkcií ktoré sú k dným unkciám inverné (k eistujú. d Určte predpis inverných unkcií opíšte ich vlstnosti. Zistite deiničné obory unkcií: log b log c d log log

27 .. LOGARITMUS ( DEKADICKÝ PRIRODZENÝ Tbuľk hodnôt dekdických logritmov : log log log log log log log 7 log 8 log 9 log Pomocou nkov nerovností porovnjte logritmy : log log 8 b log log 8 c log 7 log 8 d log 9 log 8 e log log log 7 9 log 8 g log log 8 h log 9 log 8.Pomocou nkov nerovností porovnjte logritmy : log log 8 b log log 8 c log 7 log 8 d log 9 log 8 e log log log log g log log h log log.ktoré uvedených čísel sú kldné : log b log c log 7 d log 9 e -log log g log 7 8 h log i -log j log k -log 8 l -log.nájdite všetky pre ktoré pltí : log > log 8 b log > log c log 7 < log 7 d log 9 log e log > log log log g log < log 9 h log > log. Určte deiničné obory unkcií : y = log (- b y = log (- c y = log (- d y = log 7 (-- e y = log (-+ y = log g y = log( y = log (-. Vypočítjte : log 9 b log c log 7 7 d log 8 e log log 7 g log h log i log 8 j log k log 7 l log 7. Vypočítjte : log b log c log d log e log log g log h log i log j log k log l log

28 .. VETY O LOGARITMOCH VÝRAZY S LOGARITMAMI 8. Určte logritmy čísel pomocou vlstností logritmov : VZOR : log = log (. = log + log = log +.log = +. = log 7 b log c log d log 8 e log log g log h log i log j log k log l log m log 7 n log o log p log 8 r log s log 9. Určte logritmy čísel : log 7 9 b log c log d log e log log g log h log 9. Logritmujte výr : = :b.c b = (.b.c c = (.b /c.d d =.7 / (. e =.b. c = (.b.c g = (.b /c.d h =.7 / (.. Odlogritmujte : log = log - log b +.log c b log =.(log + /. log b c log =.log.log b +/.log c d log = -.log +.log b /.log c.určte k : log = ¼.log - log.log b b log = y.(log + log logb.určte hodnotu výru : log log log b log log log 9. Určte k log log log b log c d log.log b b. log log b log b log log log b log c e log.log n log b c log.log. log b. Určte log k. tg b. c b. b c d e n n. m b. m. n. p. Určte hodnotu výru : log log. log b.log 7 log log log 7

29 .. LOGARITMICKÉ ROVNICE.Nájdite číslo k pltí: log b log c log d log e log log g log h log.určte pre ktorý ákld pltí: log b log c log d log 8 7 e log log g log h log n n. Určte k pltí: log = b log 8 = c log = d log =. Určte k pltí: log = b log 7 = c log d log. Určte k pltí: log 8 = b log 7 = c log = d log 8 = e log = log =

30 .. ZÁKLADNÉ LOGARITMICKÉ ROVNICE. Vypočítjte : log = b log = c log 7 = 7 d log = e log = log = - g log = h log = - i log 8 = - j log = - k log 7 = - l log = 8 m log = n log = - o log = -. Vypočítjte : log 8 + log - log 7 = b.log + log 8.log = c log 8 + log - log 7 = d.log + log 8.log = e log + log - log =.log + (log 8.log = g log + log - log 8 = h log - (log.log = i.log - (.log.log = j ½.log8 +.(log 8.log =. Riešte rovnice : log = - log b ½.log =.log c log ( + = log ( d log + ½.log(+ =. Riešte rovnice podľ voru : VZOR : log ( - - log ( - = - log D : > > > > / (súčsne > log (- / - = log log log (- / - = log / (- / - = - = (- - = = neptrí do D( - úloh nemá riešenie log ( + log ( = 77 b.log ( - =.(log log c log ( -7 = log ( + d log ( - + log (8 + = e log ( + + log ( + = log + ( log - = g + log = / log h log + ( log - = i.log( =.log log j.log + log log = k log (+ /- = l log ( - + log ( + =.log ( - m + log =.(-log n log ( + + log ( -- log ( = log 8 o log ( + + log ( - = log ( - 9 p log ( + + log ( - = log ( + 9 r log (7 + = + log ( - s.log (- = log (-. Riešte rovnice : log (- = log - log b.log =.log c log(+ =.log(+ d.log(- = log(- 7. Riešte rovnice : - = / b = c + = 8 d = / e - = e + - = 8.Riešte rovnicu : Riešenie: - = log( - = log( (-log = log log-log = log (log log = log = log9 : (log log = 9 : ( =

31 .. ZLOŽITEJŠIE LOGARITMICKÉ ROVNICE.. Aplikovť vlstnosti eponenciálnych logritmických unkcií (prostosť monotónnosť pri riešení eponenciálnych logritmických rovníc Riešte v R: + = 9 b - = 8 - c = d +. - = e. + 9 =. = g + + = 8 h = Riešte v R: log ( + = log ( b log ( 7 = log ( + c log( + + log( =.log( + d log ( log ( = e log( + 9.log + log( = log log + log = Riešte v R: (log.log = b.log = + Riešte v R rovnicu: log( =.log log( log c + log = log... Vysvetliť riešenie eponenciálnej rovnice pomocou jej logritmovni Riešte rovnice s nenámou R : c b 7 Riešte rovnice s nenámou u R : u u u b d 8 logu u logu c u 8 d u e = {} g log = { } t u.log {log9 / log = } Vorec m m. T vyjdruje ávislosť hmotnosti m rádioktívnej látky pri jej rádioktívnej premene od čsu t. Počitočná hmotnosť látky je m polčs ropdu (t.j. čs ktorý s hmotnosť menší n polovicu pôvodnej hodnoty je T. Aká strá je drevená sošk k obshuje 8% pôvodného množstv rádioktívneho uhlík C ktorého polčs ropdu je 7 rokov? K dnej unkcii určíte unkciu invernú. Určte j vlstnosti dnej k nej invernej unkcie: b log c d log

32 Výsledky : 9. {7} b{} c{-} d{} e{/8} {} g{/8} h{/}. {-} b{} c{- } d{}. {} b{} c{} d{} e{/} {} g{} h{} i{/} j{/} k{} l {}. {9/} b{/} c{} d{/}. {} b{/} c{/9} d{}. { /8} b{8 /} c{-/ } d{-/ }

33 GONIOMETRICKÉ FUNKCIE.. STUPŇOVÁ A OBLÚKOVÁ MIERA r A[cos] -uhol v stupňovej miere určujeme v stupňoch vyjdruje čsť roviny ohrničenej rmenmi uhl -uhol v oblúkovej miere určujeme v rdiánoch vyjdruje dĺžku kružnicového oblúk medi rmenmi uhl Pltí : = = /7 = 8 Mier : stupňová o o o 9 o o o o 8 o o o o 7 o o o o o oblúková / / / / / / / 7/ / / / / 7/ / Prevody : stupeň = /8 rdiánov rdián = 8/ stupňov Prevod uhl v stupňovej miere n uhol v oblúkovej miere : ( rd rd 8 8 o o o 8 8 Prevod uhl v oblúkovej miere n uhol v stupňovej miere : ( Príkldy :. Koľko rdiánov je : o o o o o 8 o 7 o o o o 8 o o. Koľko stupňov je : / rd / rd / rd /8 rd /9 rd / rd / rd /8 rd. Dĺžk kružnicového oblúk n jednotkovej kružnici je cm cm cm cm cm cm. Koľko je to rdiánov?. Dĺžk kružnicového oblúk n kružnici s polomerom cm je cm cm cm cm cm cm. Koľko je to rdiánov?. Koľko stupňov je : /7 rd /7 rd / rd 7/ rd / rd / rd /7 rd / rd Výsledky :. /9 / /8 / /8 7/9 7/ / / / /9 /. 7 o o 7 o o o o o 7 o. rd rd rd rd rd rd. o 7 o o 7 9 o o o 8 o 8 o

34 . ZOBRAZENIE MNOŽINY REÁLNYCH ČÍSEL DO JEDNOTKOVEJ KRUŽNICE Dné reálne číslo náorníme n jednotkovej kružnici tk že ho vyjdríme v stupňovej miere. (reálne číslo vyjdruje veľkosť uhl ktorý je vyjdrený v oblúkovej miere. Pr. Znáornite n jednotkovej kružnici číslo : 8 o rd Nrysujeme jednotkovú kružnicu (môže byť j v mierke väčšenej b Nrysujeme uhol o c Priesečník rmen uhl s kružnicou náorňuje polohu čísl n jednotkovej kružnici r = Pr. Znáornite n jednotkovej kružnici nsledujúce čísl : b

35 .. FUNKCIA SÍNUS De. : (podľ prvouhlého trojuholník Nech je dný prvouhlý trojuholník ABC s preponou c. Funkci sínus ostrého uhl je pomer protiľhlej odvesny prepony prvouhlého trojuholník. De. : (podľ jednotkovej kružnice Pre ľubovoľné reálne číslo druhú prvouhlú súrdnicu obru čísl n jednotkovej kružnici nývme sínus čísl. : y = Deiničný obor unkcie sínus: R Obor hodnôt unkcie sínus: <-;> II. I. - cos III. IV. A[cos ] Tbuľk hodnôt unkcie sínus pre ; ( o o o o o 9 o o o o 8 o o o o 7 o o o o o - (rd / / / / / / / 7/ / / / / 7/ / / / / / / / -/ -/ -/ - -/ -/ -/ Príkldy:. Pomocou jednotkovej kružnice odhdnite: ; 8; ; ; ; ;. Pomocou jednotkovej kružnice odhdnite: /; /; /; /; /;. Pomocou jednotkovej kružnice určíte riešenie rovnice: = ; = ; = ; = ; = 8;. Určte nmienko unkcie sínus k uhly s rovnjú : / /8 9/8 / / /7 / /7 /8 9/ 7/8 /7 /9 / / / / /7.. Pomocou klkulčiek určíte: /7; /; /7; /; /7;. Pomocou klkulčiek určíte: o ; 98 o ; 97 o ; 9 o ; o ; 8

36 .. FUNKCIA SÍNUS GRAF A VLASTNOSTI Vlstnosti unkcie sínus :. deiničný obor: R. je nepárn : (- = -. je periodická s periódou : = (+k k Z. nie je prostá. je ohrničená : d h = -. lokálne mimá : = / + k kz lokálne minimum: = k kz 7. je spojitá 8. rstúc : -/ + k +k klesjúc : / + k /+k 9. obor hodnôt : -. kvdrnt I. II. III. IV Dná je množin HGF ;; ;; ;; ;;. Be použiti uhlomer tbuliek ostrojte uhol α k α HGF. Dná je množin HGF ; ; ; 8; ; ;9; ;. Ktorý jej prvkov môže byť hodnotou unkcie y = 9

37 .7. FUNKCIA KOSÍNUS De. : (podľ prvouhlého trojuholník Nech je dný prvouhlý trojuholník ABC s preponou c. Funkci kosínus ostrého uhl je pomer priľhlej odvesny prepony prvouhlého trojuholník. De. : (podľ jednotkovej kružnice Pre ľubovoľné reálne číslo prvú prvouhlú súrdnicu obru čísl n jednotkovej kružnici nývme kosínus čísl. : y = cos Deiničný obor unkcie sínus: R Obor hodnôt unkcie sínus: <-;> II. I. - cos III. IV. X[cos ] Tbuľk hodnôt unkcie kosínus pre ; ( o o o o o 9 o o o o 8 o o o o 7 o o o o o - (rd / / / / / / / 7/ / / / / 7/ / cos / / / -/ -/ -/ - -/ -/ -/ / / / Príkldy:. Pomocou jednotkovej kružnice odhdnite cos; cos 8; cos ; cos ; cos ; cos. Pomocou jednotkovej kružnice odhdnite cos/; cos /; cos /; cos /; cos/. Pomocou jednotkovej kružnice určíte riešenie rovnice: cos =; cos = ; cos = ; cos = ; cos = 8;. Určte nmienko unkcie kosínus k uhly s rovnjú : / /8 9/8 / / /7 / /7 /8 9/ 7/8 /7 /9 / / / / /7.. Pomocou klkulčiek určíte: cos /9; cos /7; cos /8; cos /; cos 9/7;. Pomocou klkulčiek určíte: cos o ; cos 9 o ; cos 87 o ; cos o ; cos o ; Učebnic M : str. str. -. e -. C str cd -. eg -. bd - 8.

38 .8. FUNKCIA KOSÍNUS GRAF A VLASTNOSTI Vlstnosti unkcie kosínus :. deiničný obor: R. je párn : cos(- = cos. je periodická s periódou : cos = cos(+k k Z. nie je prostá. je ohrničená : d h = -. lokálne mimá : = k kz lokálne minimum: = + k kz 7. je spojitá 8. rstúc : + k + k klesjúc : + k + k 9. obor hodnôt : -. kvdrnt I. II. III. IV. cos Dná je množin HGF ;; ;; ;; ;;. Be použiti uhlomer tbuliek ostrojte uhol α k cos α HGF. Dná je množin HGF ; ; ; 8; ; ;9; ;. Ktorý jej prvkov môže byť hodnotou unkcie y = cos Do ktorého intervlov ; ; ; ; ptrí pre ktoré pltí: = 8 ároveň cos < ; b ároveň cos = ;

39 .9. FUNKCIA TANGENS De. : (podľ prvouhlého trojuholník Nech je dný prvouhlý trojuholník ABC s preponou c. Funkci tngens ostrého uhl je pomer protiľhlej odvesny k priľhlej odvesne prvouhlého trojuholník. De. : (podľ jednotkovej kružnice Pre ľubovoľné reálne číslo rône od čísel (k+./ = /+k pričom k je celé číslo má podiel :cos mysel. Tento podiel nývme tngens. : y = tg = / cos X[cos ] Deiničný obor unkcie sínus: R- {/ + k.} II. I. Obor hodnôt unkcie sínus: R - cos III. IV. Tbuľk hodnôt unkcie tngens pre ; ( o o o o o 9 o o o o 8 o o o o 7 o o o o o - (rd / / / / / / / 7/ / / / / 7/ / tg / N - - -/ / N - - -/ Príkldy:. Pomocou jednotkovej kružnice odhdnite tg ; tg 8; tg ; tg ; tg ; tg. Pomocou jednotkovej kružnice odhdnite tg /; tg /; tg /; tg /; tg /. Pomocou jednotkovej kružnice určíte riešenie rovnice: tg = ; tg = ; tg = ; tg = ; tg = 8;. Určte nmienko unkcie tngens k uhly s rovnjú : / /8 9/8 / / /7 / /7 /8 9/ 7/8 /7 /9 / / / / /7.. Pomocou klkulčiek určíte: tg /9; tg /7; tg /8; tg /; tg 9/7;. Pomocou klkulčiek určíte: tg o ; tg 9 o ; tg 87 o ; tg o ; tg o ; Učebnic M : str. / Pr. Učebnic M : str. / Pr. 8

40 .. FUNKCIA TANGENS GRAF A VLASTNOSTI Vlstnosti unkcie tngens :. deiničný obor: R {/+k}. je nepárn : tg(- = -tg. je periodická s periódou : tg = tg( + k kz. nie je prostá n R je prostá n -/ + k + k. nie je ohrničená :. nemá lokálne mimum : nemá lokálne minimum: 7. nie je spojitá 8. rstúc : -/ + k + k klesjúc : nie je 9. obor hodnôt : R. kvdrnt I. II. III. IV. tg Dná je množin ostrojte uhol α k HGF 7 ;; ;; ;; ;;. Be použiti uhlomer tbuliek tg α HGF. Dná je množin HGF ; ; ; 8; ; ;9; ;. Ktorý jej prvkov môže byť hodnotou unkcie: y = tg

41 .. FUNKCIA KOTANGENS De. : (podľ prvouhlého trojuholník Nech je dný prvouhlý trojuholník ABC s preponou c. Funkci kotngens ostrého uhl je pomer priľhlej odvesny k protiľhlej odvesne prvouhlého trojuholník. De. : (podľ jednotkovej kružnice Pre ľubovoľné reálne číslo rône od čísel.k pričom k je celé číslo má podiel cos : mysel. Tento podiel nývme tngens. : y = cotg = cos / X[cos ] Deiničný obor unkcie kotngens: R- {k.} II. I. Obor hodnôt unkcie kotngens: R - cos III. IV. Tbuľk hodnôt unkcie kotngens pre ; - ( o o o o o 9 o o o o 8 o o o o 7 o o o o o (rd / / / / / / / 7/ / / / / 7/ / cotg N / -/ - - N / -/ - - N Príkldy:. Pomocou jednotkovej kružnice odhdnite tg ; tg 8; tg ; tg ; tg ; tg. Pomocou jednotkovej kružnice odhdnite tg /; tg /; tg /; tg /; tg /. Pomocou jednotkovej kružnice určíte riešenie rovnice: tg = ; tg = ; tg = ; tg = ; tg = 8;. Určte nmienko unkcie tngens k uhly s rovnjú : / /8 9/8 / / /7 / /7 /8 9/ 7/8 /7 /9 / / / / /7. Učebnic M : str. / Pr. Učebnic M : str. / Pr. 8

42 .. FUNKCIA KOTANGENS GRAF A VLASTNOSTI Vlstnosti unkcie cotngens :. deiničný obor: R {k}. je nepárn : cotg(- = -cotg. je periodická s periódou : cotg = cotg( + k kz. nie je prostá n R je prostá n + k + k. nie je ohrničená :. nemá lokálne mimum : nemá lokálne minimum: 7. nie je spojitá 8. rstúc : nie je klesjúc : + k + k 9. obor hodnôt : R. kvdrnt I. II. III. IV. cotg Dná je množin HGF ;; ;; ;; ;;. Be použiti uhlomer tbuliek ostrojte uhol α k cotg α HGF. Dná je množin HGF ; ; ; 8; ; ;9; ;. Ktorý jej prvkov môže byť hodnotou unkcie: y = cotg? Vypočítjte: 9 g b 8 cot. tg.cot g. tg 7 Usporidjte podľ veľkosti čísl: tg.cot g.cos º cos º tg º cotg º b tg cot g cos

43 .. ZLOŽENÉ FUNKCIE. Určte deiničné obory : y = / b y = /(+ c y = / ( / d y = / (/+ y = -/ y = /(-+ y = / (- / y = / (-/+ y = -/ y = /(- y = / ( /+ y = / (-/ -. Určte deiničné obory : y = /cos b y = /(+ cos c y = /( / cos d y = /(/+ cos y = -/cos y = /(-+ cos y = /(- / cos y = /(-/+cos y = -/cos y = /(- cos y = /( / + cos y = -/(-/-cos. Určte deiničné obory : y = /tg b y = /(+ tg c y = / ( tg d y = / ( / + tg y = -/tg y = /(-+ tg y = / (- tg y = / ( / + tg y = -/tg y = /(- tg y = / ( + tg y = / (- / + tg. Určte deiničné obory : y = /cotg b y = /(+ cotg c y = /( cotg d y = / ( / + cotg y = -/cotg y = /(-+ cotg y = /(- cotg y = / ( / + cotg y = -/cotg y = /(- cotg y = /( + cotg y = /(- / + cotg Určte obor deinície unkcie: y b y. cos.cos c y tg d y cot g

44 .. GRAFY ĎALŠÍCH GONIOMETRICKÝCH FUNKCIÍ. Nčrtnite gry unkcií ž 9. Určte periódu vypočítjte priesečníky gru unkcie s osou y určíte obor unkčných hodnôt: : y = : y = 7 : y = : y = + : y = : y = (- : y = (+ : y = -(- 9 : y = /. Nčrtnite gry unkcií g ž g 9. Určte periódu vypočítjte priesečníky gru unkcie s osou y určíte obor unkčných hodnôt: g : y = cos g : y = cos(-/ g 7 : y = cos(/-/ g : y = cos -/ g : y = /cos(-/ g 8 : y = -/cos g : y = /-cos g : y = -cos(/- g 9 : y = cos /. Nčrtnite gry unkcií ž 9. Určte deiničný obor periódu vypočítjte priesečníky gru unkcie s osou y určíte obor unkčných hodnôt: : y = tg : y = tg 7 : y = tg : y = tg + / : y = -tg + 8 : y = tg (- : y = tg (+/ : y = -tg(- 9 : y = tg / 7

45 . Nčrtnite gry unkcií g ž g 9. Určte deiničný obor periódu vypočítjte priesečníky gru unkcie s osou y určíte obor unkčných hodnôt: g : y = cotg g : y = cotg(-/ g 7 : y = cotg(/-/ g : y = cotg - / g : y = cotg(/- g 8 : y = -/cotg g : y = /-cotg g : y = /cotg(-/ g 9 : y = cotg. Nčrtnite gry unkcií ž g ž g podľ obrákov rohodnite ktorá dvojic unkcií s nvájom rovná. : y = (+/ : y = (-/ g : y = g : y = - : y = cos(+/ : y = cos(-/ g : y = cos g : y = -cos. Nčrtnite gry unkcií ž g ž g podľ obrákov rohodnite ktorá dvojic unkcií s nvájom rovná. : y = tg(+/ : y = tg (-/ g : y = tg g : y = -tg : y = cotg(+/ : y = cotg(-/ g : y = cotg g : y = -cotg 8

46 .-. VZŤAHY MEDZI GONIOMETRICKÝMI FUNKCIAMI. + cos =. tg. cotg =. I.periodickosť : ( + k = tg( + k = tg cos( + k = cos cotg( + k = cotg II.periodickosť : (9 o ± = +cos (8 o ± =-+ cos (7 o ± =-cos cos(9 o ± = -+ cos(8 o ± = -cos cos(7 o ± = ± tg(9 o ± = -+cotg tg(8 o ± = ±tg tg(7 o ± = -+cotg cotg(9 o ± = -+tg cotg(8 o ± = ±cotg cotg(7 o ± = -+tg. áporný rgument : (- = - tg(- = - tg cos(- = cos cotg(- = cotg Pr.. M / Pr... M - / Cv.. M - 8/ Cv. - 9/cv. 9

47 .7. SÚČTOVÉ A ROZDIELOVÉ VZORCE G.FUNKCIE SÚČTU : G.FUNKCIE ROZDIELU : ( + y =. cos y + y. cos cos( + y = cos. cos y. y tg( + y = (tg + tg y : ( tg. tg y cotg( + y = (cotg. cotg y - : (cotg y + cotg ( - y =. cos y y. cos cos( - y = cos. cos y +. y tg( - y = (tg - tg y : ( + tg. tg y cotg( - y = (cotg. cotg y + : (cotg y - cotg Pr. M - 9/ cv.. Vypočítjte hodnoty goniometrických unkcií cos tg cotg pre uhly : o 7 o o o o o 9 o.. Vypočítjte hodnoty goniometrických unkcií cos tg cotg pre uhly : 7 o o 7 o.. Vypočítjte hodnoty goniometrických unkcií cos tg cotg pre uhly : / / /.. Vypočítjte 9 o k 9 o =. b Vypočítjte cos 7 o k cos o = 978. c Vypočítjte tg 8 o k tg o = 87. d Vypočítjte tg 7 o k o = 7. e Vypočítjte cotg 8 o k cos o = str.8/.9

48 .8. GONIOMETRICKÉ FUNKCIE PREMENNÝCH =.. cos cos = cos =. =.cos..cos.tg tg cos cos cos cos tg tg tg.cos..cos.tg.tg cos cos cos cotg tg cotg cotg..cos.cos.cotg cotg tg cotg.cotg.tg Pr.. Odvoďte vťhy pre tg cotg.. Vypočítjte 8 o k 9 o =. b Vypočítjte cos 7 o k cos o = 89. c Vypočítjte tg 8 o k tg o = 9. d Vypočítjte tg 7 o k o = 7. e Vypočítjte cotg 8 o k cos o = 7.. Vyjdrite pomocou. b vyjdrite cos pomocou cos..9. GONIOMETRICKÉ FUNKCIE PREMENNÝCH / cos =. = (- cos : cos cos cos =.cos cos = (cos + : tg cos cos cos cos cos cos cos. Odvoďte vťhy pre tg cotg.. Vypočítjte cos tg k : = / cos <.. str./. Zjednodušte : cos +.tg =. str./.7.8 tg cos cos cos

49 .. SÚČET HODNÔT GONIOMETRICKÝCH FUNKCIÍ + y =.( + y/. cos( - y/ cos + cos y =.cos( + y/. cos( - y/.. ROZDIEL HODNÔT GONIOMETRICKÝCH FUNKCIÍ - y =.cos( + y/. ( - y/ cos - cos y = -.( + y/. ( - y/ Pr.. / Mtemtik pre.roč./funkcie.. / -

50 9. JEDNODUCHÉ GONIOMETRICKÉ ROVNICE.-. ZLOŽITEJŠIE GONIOMETRICKÉ ROVNICE.9/78./ Goniometrické rovnice. Riešte v R: d cos b e tg c cos cot g. Riešenie nsledujúcich rovníc vyjdrite v stupňovej miere: b cos c tg. Riešte v R: cos.cos.. cos b. c cos d cos cos cos. Riešte rovnice v intervle použitím klkulčky lebo tbuliek. (Výsledky píšte v stupňovej miere s presnosťou n minúty. cos b tg c. cot g. Riešte v R: c e g tg d cot g h.cos b cos cos. Riešte v R:.cos cos c. cos e.. cos g. i cos k tg cot g b d h..cos 8.cos.. cos.cos j tg tg l tg.cot g...

51 7. Riešte v R: 8. Riešte v R: 9. Riešte v R:. Riešte v R:. Riešte v R:. Riešte v R:. Riešte v R: tg tg d c b cos.cos..cos.. cot.cos.cos..cos.cos.cos.cos..cos. cot.cot.cot.cot.cos..cos..cos cos.cos. g j tg i h g g g g g e tg d c b j i h g e d c b cos cos.cos. cos cos.cos cos cos..cos cos cos.cos d tg c b cos cos.cos cos 8 cos cos. d c b cos cos cos cos cos cos e d c b.cos. cos cos tg tg e d c b o o o

52 ŠTANDARDY.7. Deinovť goniometrické unkcie sínus kosínus tngens kotngens ponť ich deiničné obory obory hodnôt gry periódy Rohodnite či je unkci : y ohrničená. 7 Dná je množin HGF ;; ;; ;; ;;. Be použiti uhlomer tbuliek ostrojte uhol α k α HGF b cos α HGF c tg α HGF d cotg α HGF Dokážte že pltí: = 7 b cos = cos( c 8 = ( d cos(7 = cos e tg 7 = tg( cotg( = cotg 9. Dná je množin HGF ; ; ; 8; ; ;9; ;. Ktorý jej prvkov môže byť hodnotou unkcie: y = b y = cos c y = tg d y = cotg? Do ktorého intervlov ; ; ; ; ptrí pre ktoré pltí: = 8 ároveň cos < ; b ároveň cos = ; c tg > ároveň > ; d cotg < ároveň cos > ; e < ároveň cotg < ; tg < ároveň cos <..7. Nájsť k dnému rgumentu unkčnú hodnotu k dnej unkčnej hodnote rgument Určte obor deinície unkcie: y b y. cos.cos c y tg Doplňte tbuľku: º º 78º º º º cos tg cotg Vypočítjte: 9 g b 8 b cot. tg.cot g. tg 7 Usporidjte podľ veľkosti čísl: d y cot g tg.cot g.cos º cos º tg º cotg º b tg cot g cos

53 Určte v oblúkovej miere všetky vyhovujúce rovnici: = pre M b cos = pre M c tg = pre M d cotg = pre M.7. Nčrtnúť gr goniometrickej unkcie tvru y =.(b + c + d V intervle nčrtnite gry unkcií: y = cos b y =. c y = d y = cos e y = y =.cos + g y cos h y V intervle nčrtnite gry unkcií: y b y c y.cos d y cos e y.cos y.cos g y. tg V intervle nčrtnite gry unkcií: y. b y. c y. d y Aktívne ovládť vorce: cos tg.cot g y.cos y cos. y cos y cos.cos y. y Be použiti tbuliek i klkulčky vypočítjte hodnoty osttných goniometrických unkcií k: cos = ; ; b = ; ; c cotg = ; ; d tg = ;. Be použiti tbuliek i klkulčky určte: cos 7º b º c cos º d e k = cos k cos = 8 g ( + y k = y = Uprvte: cos tg b c tg.cos cos cos d cos