ПРИРОДА ВРЕМЕНА. информациjа материjе термодинамика теориjа релативности квантна механика. принцип вероватноће у физици

Transcript

1 ПРИРОДА ВРЕМЕНА информациjа материjе термодинамика теориjа релативности квантна механика принцип вероватноће у физици растко вуковић Архимед Бања Лука, jануар 2017.

2 Растко Вуковић: ПРИРОДА ВРЕМЕНА - информациjа материjе Архимед Бања Лука, jануар Лектори: Горан Дакић, српски, фебруар Александра Радић, физика, март 2017.

3 Предговор Први део су спекулациjе. Текст jе разрада jедне необичне и за неке читаоце спорне тезе књиге Информациjа перцепциjе. Та jе књига промовисала моjе ставове о васиони уопште, а ова у том смислу иде jош даље, толико да jе наjрадиjе препоручуjем тек као штиво из области научне фантастике, док прилике у науци не сазру. Због тога се формуле могу прескакати. Али математике има. Од водећих људи науке и филозофиjе данас бисте могли добиjати изjаве попут: Време jе наjвећа загонетка физике, можда толико тешка да jе никада нећемо одгонетнути. Па ви после тога реците: Jа знам решење! Понекад jе заправо немогуће тек тако знати да jе нешто истина и може ли то постати научном истином, а гледање са висине на неуспеле покушаjе истраживача веома успешно обесхрабруjе. Како без великих грешака нема великих продора, данас се научни радови пишу више као ретроспективе или у наjнапредниjим случаjевима са боjажљивим новим примедбама мицпо-миц. Затим мноштво чини своjе, jер знање одавно ниjе ствар за класе већ за масе. При томе оно ипак постаjе ствар класа, али не оних са вишком оригиналности, проницљивости или уопште интелектуалне продорности. Наука израста у украс институциjа, научници постаjу борци за позициjе и реjтинг, а зезање са истином у окружењу таквих jе велики jерес. Зато пишем као да им се и не обраћам. Тако бар изгледа у првом делу текста под називом Спекулациjе. Друга глава се бави простор-временом савремене физике, са освртом на претходне хипотезе. Трећа глава jе она геометриjска веза између макро и микро-света, са нагласком на делове коjи се ређе помињу у научноj литератури. Четврта глава Апстрактни простор, заправо jе алат квантне физике. У формализмима од друге до четврте главе, претходна филозофиjа jе присутна само у траговима. Ако jе обjективно и оно што остаjе непромењено током промена, онда су закони природе такође физичка реалност. Супротно убеђењима Ернеста Маха, сматрам да jе математика неодвоjиви део физике до мере да претераност апстрактних геометриjских дедукциjа постаjе неизбежна. Са друге стране, видљиво детерминистичко понашање материjалног света око нас заправо jе илузиjа коjом закони великих броjева теориjе вероватноће надвладаваjу непредвидљивост. Jедва приметна недоследност ознака делова текста долази из различитих периода мога рада на напуштеним темама, почев од раних осамдесетих година прошлог века до данас. Оне jесу скрпљене брже-боље, jер природне науке не стоjе не марећи чак нити за чињенице (чиjа зависност од теориjе се увек потцењуjе), остављаjући иза себе разне ауторитете звања и знања. Растко Вуковић, октобар Растко Вуковић 3

4 Растко Вуковић 4

5 Sadržaj 1 Спекулациjе Вероватноћа Васиона Информациjа Ентропиjа Доплеров ефекат Притисак Њутнова механика Случаjност и хаос Таласи материjе Интеракциjе Простор-време Лоренцове трансформациjе Специjална релативност Ротациjе Димензиjе времена Општа релативност Тензорски рачун Кристофелови симболи Геодезиjске линиjе Шварцшилдово поље Орбите и путање Паралелно померање Кривине простора Комплексна геометриjа Проширење броjева Тежиште Површина Ортоцентар Врсте троуглова Коефициjенти ортоцентра Употреба тригонометриjе Детерминанте центара троугла Детерминанте ортоцентра Центар описаног круга

6 3.5.3 Оjлерова права Кругови троугла Симетрале Опциjе Кординате Полупречници Псеудо раван Jединичне матрице Апстрактни простор Алгебарске структуре Норма вектора Линеарне операциjе Линеарни оператори Унитарни простори Базе простора Адjунговање Инвариjантни потпростор Унитарни оператори Квантни простори Опсервабле Квантна спрегнутост АПР парадокс Релациjе неодређености Принцип неодређености Белов допринос Белова теорема Белова неjеднакост Динамичка зависност Комутативност Таласна jедначина Bibliografija 261 Indeks 263 Растко Вуковић 6

7 Glava 1 Спекулациjе Ово jе фантазиjа са елементима физике, а jа сам математичар. Десило се да немам машту Жила Верна нити израз Иве Андрића и пишем са дедукциjама и формулама коjе изгледаjу као да су нека права наука (а оне то jош увек нису), као да желим да одустанете. Међутим то ниjе, тако радим jер другачиjе не умем. Дакле, инерциjа jе до недавно била проста принципиjелна ствар ни из чега изведена. Њутн jе рекао да тело остаjе у стању мировања или jедноликог праволиниjског кретања све док на њега не делуjе нека сила или друго тело, али нико не пита зашто jе то тако. А када би се питало, питао сам се, хоће ли узрок бити баналан и очигледан да ће се генерациjе након открића чудити нашоj и глупости оних пре? Или ће дешифровање закона инерциjе остати енигма кроз векове? То су биле дилеме због коjих сам кренуо од хаоса и случаjности. Затим jе прича отишла на два субjекта: принцип вероватноће и принцип ентропиjе. Први каже да се наjчешће догађаjу наjвероватниjе ствари, а други да природа тежи наjневероватниjим. Први jе основа теориjе вероватноће, други термодинамике. Оба у пару чине jин-jанг древног кинеског таоизма или модерне диjалектике. Управо због наизгледне контрадикторности мени су личили на нешто симпатично. Нарочито ме забављала чињеница да механику као наjтврђе упориште фатализма разваљуjем неизвесношћу. Али, ма како да нешто смислим и организуjем увек ту понешто крене по злу, па се тако и ова фикциjа отела и запловила као кладић низ воду. Многе ствари у физици почеле су се потврђивати, али не све. Тамо где ниjе било слагања храбро сам експериментисао са дефинициjама (заправо забављаjући се), почев од козметичког исправљања да ентропиjа ниjе мера хаоса већ слободе, нити jе она логаритам вероватноће, па до радикалног, да топлота (Q) код Клаузиjуса ниjе исто што и енталпиjа (H). А због тежине сукоба са званичном физиком, све сам онда окренуо на хипотезу. Када су jетко приметили jедном познатом инжењерупроналазачу да има на хиљаде неисправних патената, он им jе одговорио вицкасто: нисам jа хиљадама пута погрешио, већ сам тада доказао да те ствари не раде. Коначно, те хипотезе сам паковао у препознатљив облик и ужем кругу читалаца. Хипотеза jе предложено обjашњење неког феномена. Да би хипотеза била научна она би се морала моћи тестирати и то како физичким експериментом, тако и њеним уклапањем у признате ставове. Са друге стране, хипотеза може бити и принципиjелна поставка коjа по себи може изгледати несумњиво, али нам jе ипак потребно тестирање њених последица, односно теза коjе из ње добиjамо. Треће, хипотеза може бити и истина привремено проглашена неистином. 7

8 1.1 Вероватноћа Оно што jе наjвероватниjе догађа се наjчешће. Укратко, то jе принцип вероватноће. Математичка теориjа вероватноће и њене примене оваj принцип jедноставно прихватаjу, не коментаришу га и не осврћу се на њега. Сматра се да ниjе вредан критиковања нити анализирања - толико jе очигледан и неспоран. Он ипак носи и дубља значења коjа вреди разматрати. Пре свега то су питања у вези са обjективношћу случаjности. Да бисмо могли говорити о вероватноћи морамо имати опциjе. У датоj ситуациjи чиjи исход jе за нас непредвидив требамо имати бар две (наизглед) могуће реализациjе. Затим, ако jе наш доживљаj различитости исхода субjективан, резултат jе нашег непознавања важних околности, онда можемо говорити само о псеудо (кобоjаги) вероватноћи, али не и о обjективноj. Тада jе могуће разликовати праву од лажне случаjности, према начину њиховог понашања у математичким тзв. тестовима случаjних догађаjа. Псеудо случаjне броjеве чини низ цифара броjа π = 3, коjи ће положити поменуте тестове случаjности, осим што ћемо у другом читању тог броjа видети да су му цифре опет исте. Али особа коjа покушава симулирати случаjности набраjањем насумичних цифара из главе тешко би могла проћи исте тестове. Slika 1.1: Бацање новчића. Када бацамо фер-новчић (слика 1.1) случаjни исходи су Писмо и Глава са шансама пола-пола. У низу од 100 поновљених бацања око 50 исхода ће бити Писмо, односно Глава. Међутим, њих ће ретко бити тачно по 50. Наиме, бацања су независни догађаjи, у смислу да следеће не памти она претходна, те се могу дешавати дуге сериjе узастопних истих исхода и зато jе резултат само приближно пола-пола. Тестови случаjности предвиђаjу ову толеранциjу. Штавише, они предвиђаjу не само средњу вредност (50) већ и средње одступање од те вредности (5), од падања Писма у низу (100) бацања фер новчића. У случаjу нефер новчића или у случаjу да исходе бацања покушава нагађати човек лако се може десити да ова средња одступања не буду тачна и да се не прође тест. Међутим, поменуте цифре броjа π, извлачене редом као из лото бубња, показаће се савршено случаjне. Насупрот субjективноj стоjи обjективна случаjност коjа jе jош увек предмет научних расправа и спекулациjа. Jош увек наука ниjе сигурна да ли jе исход падања (фер) новчића заиста случаjан тако да не постоjи такав скуп околности на основу коjег би било могуће (тачно) предвидети да ли ће пасти Писмо или Глава. Насупрот томе, ми таквих сумњи немамо. Овде инсистирамо на егзистенциjи у природи управо обjективне случаjности. Подразумева се да обjективна случаjност задовољава поменуте тестове случаjности. Екстремни облик обjективне случаjности било би тврђење да нема начина да се Растко Вуковић 8

9 нешто организуjе тако да се обухвате и контролишу све могуће последице и да се искључи свака непредвиђеност. Или: Нема гаранциjе за апсолутну извесност приликом практичне провере било коjег од природних закона. То jе на корак од Геделове теореме о немогућности: Ма како да имамо велик скуп аксиома и њихових последица, увек ће бити тачних твђења коjа се не могу извести из датог скупа. Са становишта теориjске физике, jако упориште вере у обjективну случаjност jе Белова теорема 1 из године. Она утврђуjе да нема скривених параметара у квантноj механици коjи би могли стаjати иза фантомског деловања на даљину коjе су открили Аjнштаjн, Подолски и Розен године, а коjе jе данас познато као квантна спрегнутост. Међутим, та теорема доказуjе и да не постоjи неко или нешто (људи сигурно не) што би могло предвидети случаjне догађаjе микро-света. Иначе, jедина алатка за проучавање квантне механике коjу данас имамо (осим експеримената са углавном веома великим и скупим уређаjима) jе алгебра вектора вероватноћа. Вероватноћа jе пре свега однос реализованих и свих исхода. На пример, то jе броj 1 2 = 0, 5 за исход пало jе Писмо код бацања новчића, или 1 6 0, за исход пала jе Шестица код бацања коцке. Вероватноћа jе реалан броj између нуле и jедан, при чему 0 значи немогућ а 1 сигуран (известан) догађаj. Понављање случаjних опита у експерименту, када jе то могуће, увек потврђуjе очекивања математичке теориjе вероватноће. Експериментална физика случаjне догађаjе може посматрати само на неком ограниченом простору. Када jе то простор дате дужине, ширине и висине коjи можемо мерити и представљати апсцисом, ординатом и апликатом, редом осама x, y и z са заjедничким исходиштем O, тада кажемо да имамо Декартов правоугли систем координата Oxyz. Ако наjвећа дужина дуж осе x износи d, онда броjеви x d могу представљати вероватноће придружене апсциси, jер jе сваки између нуле и jедан. Слично jе и са осталим осама. Аналогно радимо и са осталим интерпретациjама координата у физици. Ипак, то нису jедини начини придруживања вероватноћа. Слободну честицу, на коjу не делуjу вањске силе, можемо описивати помоћу њеног тренутног положаjа коjи се мења и импулса (количине кретања) коjи се не мења. Оба су вектори, редом q = (x, y, z) и p = (p x, p y, p z ). Њен тренутни положаj као и импулс на датом месту у простору не можемо измерити сасвим тачно, а те неодређености (границе прецизности мерења) углавном нису пропорционалне са координатама, па jе згодниjе посматрати интервал, рецимо од апсцисе x до x + x, где jе x неодређеност положаjа честице на датом месту у датом тренутку. Слично дефинишемо неодређености других координата, као и неодређености импулса. Када те неодређености можемо поставити у максимални оквир, у неко ограничење слично претходном примеру, онда им слично претходном примеру можемо придружити и вероватноће. Тада кажемо да смо те неодређености нормирали (на jединицу). Свака особина честице, коjа се може мерити попут положаjа (брзине, енергиjе, амплитуде), може се на сличан начин баждарити вероватноћом. Међутим, шта ако честица има положаj али такав коjи никада ниjе апсолутно тачан? Ако честица нема апсолутно тачан положаj у смислу да би покушаj дефинисања таквог морао довести до контрадикциjе, онда се њен положаj не би могао описивати реалним броjевима. Зато квантна механика особине честица описуjе комплексним броjевима. Таква jе таласна функциjа ψ = ψ(x, y, z, t) коjа за различите реалне броjеве x, y, z, t R коjи представљаjу положаj и тренутак, може узимати различите вредности у скупу комплексних броjева, 1 в. [17] Растко Вуковић 9

10 ψ C, при чему jе квадрат интензитета тог комплексног броjа, производ коњуговано комплексних броjева ψ 2 = ψ ψ R, реалан броj и према томе мерљив. Подвуцимо да стања система квантне механике коjа морамо описивати комплексним броjевима не само да нам нису у потпуности доступна већ она у реалности и не постоjе у потпуности. Затим коментаришимо Борново правило 2 из године, коjе каже да се сва квантна стања изражаваjу поменутим функциjама ψ чиjе су вероватноће квадрати интензитета те функциjе. Другим речима, ако стање квантног система можемо на датом месту у датом тренутку представити помоћу комплексног броjа ψ, онда jе ψ 2 вероватноћа да таj систем има ту особину. Тек када микро-простор физике поставимо на таj начин, као (алгебарски) простор случаjних догађаjа, тек тада ствари крену. Они тада крену толико логично и убедљиво да се данас управо квантна механика сматра наjтачниjе провереном теориjом физике уопште. Замислите, а она jе тек недавно настала. То jе по себи такође важан аргумент за веру у случаjност и то не само субjективну. Окренимо се сада на другу страну ка макро-свету и приметимо да нам свакоднавница често каже да се на егзактна предвиђања будућности не можемо ослањати. Вагаjући аргументе за-и-против апсолутне предодређености пре или касниjе морамо доћи до наjтврђих упоришта детерминизма у науци уопште, а то су класична Њутнова механика и Аjнштаjнова релативност. Оне су пресудан разлог због коjег сам у књизи [1] оживео Урисонову дефинициjу димензиjе. Према Урисоновоj дефинициjи димензиjе 3 броj димензиjа тачке и коначног скупа тачака jе нула (n = 0). Скуп тачака jе димензиjе n+1 ако и само ако се може раздвоjити неким његовим подскупом бар димензиjе n = 0, 1, 2,.... Ако такво раздваjање ниjе могуће, дати скуп jе димензиjе n + 2 или веће. На пример, права линиjа се у jедноj тачки може пресећи на два дела (две полуправе) и то jе фигура 4 наjмање димензиjе коjа може извршити такву поделу. Према томе, права има димензиjу jедан, jер тачка има димензиjу нула. Раван се може преполовити (наjмање) jедном правом (на две полуравни), jер раван има димензиjу два. Простор (дужина, ширина и висина) има димензиjу три, jер се може поделити jедном равни а не може фигуром са мање од две димензиjе. Када би простор-време имало само четири димензиjе (три просторне и jедну временску), као што jе то у случаjу Минковског 5 модела рађеном за потребе теориjе релативности, тада би садашњост коjа садржи сав (3-димензионални) простор Васионе у тренутку сада могла поделити Васиону на њену прошлост и будућност. Такво нешто jе могуће само у инерциjалним системима. Да се у инерциjалном систему могу синхронизовати сатови показао jе Аjнштаjн већ у свом раду из године 6. Синхронизациjа сатова значи такво успостављање времена на датом простору коjе ће се мењати мало-по-мало, кажемо и непрекидно или континуално, са непрекидном променом положаjа. Добиjени издвоjени континум простор-времена jе садашњост датог простора. Он jе сада тог простора, залеђени тродимензионални исечак простор-времена. Доследно даље, из чињенице да се сатови у инерциjалним системима могу синхронизовати и Урисонове дефинициjе димензиjе, следи да се садашњост тих система налази у четири димензионалном простор-времену. То сада се пружа дуж нове координате - траjања. 2 Born rule: 3 Урисонова дефинициjа jе мало другачиjа, тополошка али опет индуктивна. 4 У геометриjи фигуром називамо било какав непразан скуп тачака. 5 Hermann Minkowski ( ), математичар немачко-jевреjског порекла. 6 Albert Einstein (1905) Zur Elektrodynamik bewegter Körper, Annalen der Physik 17: 891; Растко Вуковић 10

11 Инерциjални системи су они системи координата коjи су везани за (мируjу у односу на) тела у jедноликом праволиниjском кретању. То су тела у инерциjалном кретању на коjа, можемо сматрати да, не делуjу делуjу вањске силе и коjа због тога не осећаjу убрзања. Зато можемо рећи да jе (приближно) инерциjалан систем и онаj везан за тело коjе слободно пада у (слабом) гравитационом пољу. То jе само приближно инерциjалан систем, jер гравитациjа привлачећи тело по jедноj оси стишће га бочно. Гравитациjа масивних звезда издужуjе тело усисаваjући га, тако да се оно у слободном паду ка њоj више не може третирати као да jе у инерциjалном систему, бар не у смислу да то тело не осећа вањске силе. Дакле инерциjални системи простор-времена имаjу четири димензиjе. Када би постоjао само jедан инерциjални систем онда би Васионом владао детерминизам. Сви догађаjи били би предодређени, jер би постоjао само jедан правац промена. Постоjала би само jедна временска оса коjом би се развиjала садашњост, а то сада би опет у сваком тренутку делило нашу прошлост од наше будућности. Васиони коjом би владао детерминизам не би требао принцип вероватноће. Он би био илузоран, привремен или бесмислен. Међутим, у свету у коjем смо постоjе и неинерциjални системи, а такве jе немогуће ставити у само четири димензиjе. На пример, у систему коjи ротира ниjе могућа синхронизациjа сатова. Док Декартов систем координата Oxyz ротира око z-осе, све даље тачке од те осе се крећу све брже, свака по своjоj кружници ротациjе, са све спориjим током времена (релативно у односу на непокретне тачке z-осе). Када синхронизуjемо сатове идући у jедном смеру ротациjе дате кружнице, десиће нам се велики скок времена након обиласка целе кружнице и доласка на почетак. Таj ће скок бити већи са већим полупречником кружнице, али и са већом угаоном брзином ротациjе система. Та иначе позната немогућност синхронизациjе сатова сада указуjе на немогућност дефинисања 3-дим 7 садашњости за одваjање свих будућих од свих прошлих догађаjа датог посматрача. Другим речима, према Урисоновоj дефинициjи димензиjе, систем коjи ротира не може стати у просторвреме са четири димензиjе. Такође, нити инерциjални системи коjи би се кретали различитим релативним брзинама (сваки у jеднолико праволиниjском кретању) и коjи би због тога имали различиту брзину временског тока, не би могли стати у четири димензиjе простор-времена, али то ниjе тако очигледно као у примеру ротациjе. Исто jе мало jасниjе у примеру централно симетричне гравитациjе, какву ствара планета или звезда. Радиjално привлачење ка центру гравитациjе (планете), коjе расте са приближавањем центру, ствара све већи отклон временске осе од вертикале (коjа се поклапа са вертикалом само у одсуству гравитациjе и кретања). Отклони временских оса различити су у различитим тачкама око центра а сви су усмерени ка центру те их ниjе могуће распоредити без (наjмање) три димензиjе времена. Узгред приметимо да додатне димензиjе времена о коjима овде причамо нису оне додатне димензиjе простора са коjима ради теориjа струна 8. Друго, рећи да можемо (морамо) дефинисати додатне димензиjе времена jош увек не значи да те димензиjе имаjу jаке везе са свакодневном неизвесношћу. То обjашњава следећи пример коjи повезуjе случаjност, ерозиjу и додатне Урисонове димензиjе. Напомињем да ерозиjе као последице случаjности могу дивергирати (Лоренцов ефекат лептира теориjе хаоса) и конвергирати (ка стабилном стању), али да су просечно деструктивне. 7 Пишемо кратко 3-дим уместо тродимензионалан. 8 String Theory: Растко Вуковић 11

12 Замислимо да jе део простор-времена ограђен зидовима коjи потпуно одваjаjу унутрашњост (тог затвора) од спољашњости. Цигле, камен или други употребљени грађевински материjал има три димензиjе простора и такође траjање, што значи да има бар четири димензиjе. Претпоставимо да ови зидови неће бесконачно траjати, него да ће због ерозиjе пре или касниjе попустити. Те четири димензиjе тада не раздваjаjу простор-време, што значи да оно има више од пет димензиjа. Претпоставимо ли обрнуто, да поменути зидови хоће бесконачно траjати, да ће остати непромењени због одсуства ерозиjе или других фактора деструкциjе, онда опет према Урисоновоj дефинициjи простор-време не мора имати више од четири димензиjе, колико имаjу зидова затвора. Дакле, ерозиjа као низ насумичних дешавања коjе руше структуру материjала захтева више од четири димензиjе простор-времена. Slika 1.2: Затворена кружна линиjа и прстен у равни π. На слици 1.2 видимо нешто аналогно у 2-дим равни π. Лево jе затворена кружна линиjа (димензиjе jедан) коjа потпуно одваjа област A од области B те равни, а десно jе прстен (димензиjе два) коjи чини исто раздваjање. Међутим, линиjа лево jе фигура (наj) мање димензиjе коjа може одвоjити област A од B равни π. Прстену десно одговараjу 4-дим зидови затвора коjи, у случаjу да не траjу довољно, указуjу на постоjање више од пет димензиjа простор-времена. Три димензиjе времена, заjедно са три димензиjе простора, нису само последица, већ су и претпоставка егзистенциjе обjективне случаjности. Као што смо видели, оне су у извесном смислу и последица принципа вероватноће. Пошто о њима сазнаjемо помоћу математичке дедукциjе, оно што називамо Васионом морамо сагледавати са jедне стране помоћу непредвидљивости, рецимо материjалног дела света, а са друге стране помоћу закона логике коjима се подвргава све остало. Васиона jе само онаj део Универзума о коjем ми овде желимо имати неку представу. Природним наукама често називамо оне коjи се баве неживом супстанцом. Са становишта синтезе живог и неживог коjу ова са моjом претходном књигом 9 промовише, исправниjе jе природне науке називати експерименталним, оним наукама коjе потврду своjих закона траже манипулациjама са материjом. Тако речене природне науке се баве случаjним догађаjима и зато су њихове истине увек приближне. За разлику од природних, закони логике су дефинитивни. Доказ Питагорине теореме jе и данас, пар хиљада година након открића, jеднако убедљив, а тако jе и са свим осталим теоремама. Зато присуство математике физици даjе такав значаj да неки кажу, физика jе тачна онолико колико има математике у њоj. Са друге стране, одстрањуjући математичку дедукциjу неће остати ништа од физике, jер она ниjе нешто независно, самоодрживо на начин како jе то веровао Ернест Мах. 9 в. [1] Растко Вуковић 12

13 Природа времена 1.2 Васиона Васиона, свемир, космос или универзум су грубо гледано синоними за бесконачно пространство простора и времена коjе нас окружуjе. Оно обухвата разна небеска тела (слика 1.3) попут галаксиjа, звезда, планета, сателита, комета, поред простора и времена у коjем се та тела налазе. Видљива васиона има пречник око 93 милиjарде светлосних година (дужина коjе светлост пређе за годину дана), а сматра се да jе настала великом експлозиjом (енг. Big Bang) пре око 13,8 милиjарди година. Slika 1.3: Васиона. Наша васиона jе скуп случаjних догађаjа. Са значењем уобичаjеним у математици, кажемо да jе физичики свет у коме живимо подручjе случаjних исхода материjе, простора и времена. Логику и принцип вероватноће подразумевамо. Васиона о коjоj jе овде реч много jе већа од оне из уџбеника, али jе она ипак ограничена. Њена ограничења не долазе само из коначности свега физичког, већ и из коначног домета сваке области математике, укључуjући и вероватноћу. Неке од граница ћемо покушати разумети из следећих пет примера, а о осталима можемо нагађати. i. Исказ jа лажем jе контрадикциjа. Ако сам jа лажов, онда лажем да лажем, па jа говорим истину; ако jа говорим истину онда jе истина да лажем, па jа лажем. ii. Не постоjи село са брицом коjи бриjе све оне коjи се не бриjу сами. Поменути брицо би могао да бриjе неке друге мештане, али шта jе са њим лично? Ако се не бриjе сам, сам ће се бриjати, а ако се бриjе сам онда он себе не може бриjати. iii. Бог не може бити тако свемогућ да може створити толико тежак камен да га ни он лично не може подићи. iv. Ако за свако своjство постоjи скуп свих обjеката коjи задовољаваjу то своjство онда то исто важи и за своjство скуп не припада самом себи. То jе верзиjа тзв. Раселовог парадокса, коjа jе утолико тежа jер jе ово своjство врло природно, тешко jе наћи скуп коjи припада сам себи. Ако jе X скуп са датим своjством, онда X припада себи, па не спада у ову врсту. Обрнуто, ако X не припада себи онда спада у ту врсту да припада себи. У оба случаjа имамо контрадикциjу. А већ због овог случаjа ниjе могућ скуп свих скупова. v. Ришаров парадокс. Посматраjмо скуп природних броjева N = {1, 2, 3,... } и у вези са њим све могуће просте исказе, коjе ћемо поредати у низ, дакле кодирати редним Растко Вуковић 13

14 броjевима: 1. броj jе паран; 2. броj ниjе паран; 3. броj jе три; 4. броj jе квадрат простог броjа; 5. броj jе дељив са седам;.... Приметимо да своjствима 3. и 4. одговара редни броj под коjим су кодирана, а 1, 2. и 5. не одговара. Затим уведимо дефинициjу: Броj jе Ришаров ако нема своjство коjе кодира. Броjеви 3 и 4 нису Ришарови, броjеви 1, 2 и 5 jесу. Особина броj jе Ришаров jе такође проста особина скупа природних броjева, па ће се и она наћи у датом низу под неким броjем, рецимо под броjем n. Међутим, ако jе броj n Ришаров, онда он нема своjство коjе кодира, па ниjе под редним броjем n. Обрнуто, ако броj n ниjе Ришаров, онда он има своjство коjе кодира, што значи да jе под редним броjем n. Контрадикциjа jе у сваком од случаjева. Из ове врсте контрадикциjа (i-v) може се извести и претходно поменута Геделова теорема о немогућности (постоjе границе важења датих истина, а иза њих увек има и других истина), те на основу ње да сваки принцип, па и принцип вероватноће, има своjе подручjе важења. Зато принцип вероватноће, односно математичку теориjу вероватноће, ограничавамо на Васиону коjу због истог морамо и допунити. Допуна се пре свега односи на поменутих шест димензиjа, три просторне и три временске, за сада. Из претходних навода можемо извести и закључак да jе Васиона део нечег већег о чему овде нити имамо поjма нити ћемо о томе расправљати. Рецимо само да она обухвата све оно што произилази из принципа вероватноће и односи се на супстанцу, али можда не и све оно до чега би могле доћи неке теориjе вероватноће и дедукциjа уопште. Оно што имамо jе материjа у нереду са законима логике, па се поставља питање: како то да нам се насумични свет представља на прилично уређен начин? То jе прво питање. Одговор даjе закон великих броjева теориjе вероватноће. Када бацамо (фер) новчић, на случаjан начин падаjу Писмо или Глава. У мањим сериjама, од само неколико узастопних бацања, може се десити да сваки пут падне само jедна од две могућности али и да падну пола-пола, свака од њих jеднак броj пута. Свако следеће бацање jе независтан догађаj, оно не памти претходне исходе и демонстрациjа jе праве случаjности. Међутим, у све дужим сериjама се броj падања Писма у односу на броj свих бацања групише око броjа 1 2 коjи називамо вероватноћа падања Писма. У веома дугим сериjама таj однос губи одлике случаjности, а сам прелазак сучаjности у неслучаjност описуjе закон великих броjева математичке теориjе вероватноће. Закон великих броjева говори о све већоj извесности односа броjа исхода и броjа бацања у све већем броjу понављања. Са друге стране гледано, помоћу закона великих броjева се може проценити да су на почетку скале случаjности елементарне честице квантне механике односно њихове особине. Наша jе свакодневница негде на средини те скале, а хоризонт догађаjа jе на другом краjу. Израз хоризонт догађаjа jе настао у теориjи релативности као уопштени назив за границу у простор-времену, дефинисану у односи на посматрача, иза коjе догађаjи не могу да утичу на посматрача. То jе сфера око црне рупе на чиjоj површини време стоjи а дужине ка центру постаjу нулте. Црна рупа jе материjа коjа jе под притиском (сопствене гравитациjе) толико здробљена да су сви елементи атома стиснути у jедну масу. Хоризонт догађаjа jе и граница видљивог свемира. Након постулирања неминовности случаjности, следећи по реду важности овде нам jе ток времена. У таквоj Васиони, jедноставно речено, време jе неизвесност претворена у информациjу. О томе више мало касниjе, а за сада само приметимо да претварање неизвесности може бити релативно. У односу на посматрача коjи мируjе у инерциjалном систему (рецимо сопственог посматрача кабине коjа слободно пада) молекуле гаса у Растко Вуковић 14

15 његовоj соби се распоређуjу jеднолико. То jе у складу са законима вероватноће. За релативног посматрача (коjи мируjе негде у гравитационом пољу), кретање молекула гаса поменуте собе, као и саме собе (у слободном паду), jе чудно. Као да ниjе у складу са законима вероватноће, jер све молекуле гаса заjедно путуjу сличним путањама (следећи путању кабине коjа слободно пада). Оне се тако крећу због деjства гравитациjе - рећи ће релативни посматрач. То ниjе довољно добар одговор - одговорићемо - jер смо пре свега постулирали случаjност. Jеднако тачан, али овде прихватљивиjи, био би одговор да jе поремећаj вероватноће узрок (доживљаjа) гравитационог поља. Оно што желим подвући jош jе jасниjе у обрнутом примеру. Нека jе сопствени посматрач у соби коjа мируjе у гравитационом пољу, а релативни нека га посматра из инерциjалног система. Знамо да се молекуле гаса у гравитационом пољу не распоређуjу баш сасвим подjеднако по соби, већ се помало гомилаjу ка дну. Уобичаjено jе рећи да гравитациjа вуче молекуле ка поду и ремети вероватноћу. Међутим, формално гледаjући, нема контрадикциjе када тврдимо да jе у датом пољу прво присутан поремећаj вероватноће а тек као последица да долазе ефекти гравитациjе. Тако долазимо до проширеног поjма релативности (у односу на Аjнштаjнову), прво због становишта релативног посматрача коjи jе у слободном паду и не мора да примети гравитационо поље, нити поремећаjе вероватноће, а затим и због релативности саме вероватноће. Након постулирања неминовности случаjности и наглашавања значаjа тока времена, морамо приметити да места нестанка овакве Васионе мораjу бити и места где време престаjе постоjати. Такође, Васиона мора да има и друге токове времена коjи можда конвергираjу (стапаjу се у jедну линиjу развоjа) тамо где значаjно делуjе поменути закон великих броjева, али не и на нивоу микро-света. Од нивоа микро-света па бар до наше свакодневнице, мораjу да постоjе видљиве опциjе. Питање jе колико те могућности и избори могу производити далеких излета ван наше временске осе, посебно, да ли су они већи од оних микроскопских предвиђених теориjом струна? У складу са теориjом струна овде долазимо до jедног парадокса времена: ако додатне димензиjе времена постоjе како то да их не видимо, а ако оне не постоjе како то да постоjи случаjност? Tеориja струна сличан парадокс (димензиjа простора) решава тако што додатне димензиjе минимизира. Ми их не видимо jер се толико мало одваjаjу од нама видљивих димензиjа, да нам постаjу невидљиве попут структуре танке длаке. Примењено на време, тиме се минимизира и случаjност, а то jе овде неприхватљиво. Зато нудим алтернативно обjашњење. Пре тога jедно поjашњење. Ако су девиjациjе (дисперзиjе) око просечних средњих очекивања (вероватноће) занемарљиво мале, онда не важи она претходна расправа о ерозиjи и не можемо доказати егзистенциjу више од четири димензиjе простор-времена; бар не на наведени начин. Случаjност би тада била скоро небитна и губиле би на значаjу расправе о последицама принципа вероватноће. Слично jе и ако те девиjациjе увек конвергираjу назад (као у вариjантама теориjе струна) тако да одступања од jедне временске осе постаjу минорни, небитни излети. Друго. Из математичке теориjе хаоса jе познат Лоренцов пример са лептиром чиjи jедва видљив покрет крила у jедноj држави може тако дивергирати (у све веће и веће поремећаjе догађаjа) да може проузроковати веома видљиву катастрофу у некоj другоj држави. Слично, малим покретом окидача на пушци могуће jе веома променити нечиjи живот, повређивањем или убиством зауставити у развоjу неког успешног конструктора, или напротив спречити акциjу неког терористе. Бацањем новчића могуће jе донети одлуку о активирању атомске бомбе. Због тога jе прича (теориjе струна) о обавезноj Растко Вуковић 15

16 конвергенциjи свих малих и великих случаjности заправо неприхватљива. Треће. Време нама свакако ниjе непосредно видљиво. Ми опажамо време помоћу мемориjе. Пред нама ниче садашњост коjу памтимо, што само значи да jе добиjамо као иформациjу за коjу важи какав-такав закон одржања количине. Па ако за датог посматрача важи закон одржања информациjе, онда ће његова прошлост и даље стаjати иста као и свим учесницима из прошлости, ако они оду у различите будућности. Другим речима, догађаjи из прошлости ће им се и даље разликовати у оноj мери у коjоj су били различити док су били у заjедничкоj садашњости. Са оваквим размишљањем као да се отвара Пандорина кутиjа коjа би могла срушити сву физику. Да то ниjе тако доказаћу током излагања последица коjе ће се показати идентичним много чему у физици данас. Зато ће ова књига бити толико опширна и пуна познатих ствари из савремене теориjе релативности и квантне механике (а делом и релативистичке термодинамике), пре свега да би се видела равноправност ових поставки, а тек затим њихове предности. Покушаjмо сада разумети наjављену поопштену релативност заjедно са дивергенциjама времена. Према принципу вероватноће, углавном, сваки обjекат у васиони jе увек на краjу ланца наjвероватниjих догађаjа. Његово претходно стање прелази у наjвероватниjе следеће. Приметимо да се у термодинамици то следеће стање посматра и као стање jеднаке или веће ентропиjе (шта jе то ентропиjа видећемо касниjе). Како jе онда могуће кориштење других димензиjа времена? Већ смо видели да одговор на ово питање даjу силе, односно поремећаjи вероватноћа коjе интерпретирамо као силе. Расправили смо да телу у инерциjалном кретању, дакле ономе коjе не осећа деjство вањских сила нити убрзање, нису потребне додатне димензиjе 4-дим простор-времена. Међутим, поjавом убрзања, за дато тело се поjављуjу и додатне димензиjе просторвремена. Jедном убрзано, тело задржава своjу прошлост, али одлази у другачиjу сопствену будућност од оне у коjу би иначе отишло, али релативна будућност тог тела (стања коjа опажа други посматрач) не мора бити jеднака сопственоj. Управо та разлика између сопственог и релативног виђења ствари чини да поjединац не може опажати више од четири димензиjе простор-времена, при чему jе и она четврта, време, само наводно опажана. Да нема закона великих броjева сада бисмо могли (покушати) тврдити да jе наше сопствено време симетрично са свим додатним временским токовима Васионе. Овако морамо радити на кашичицу, детаљ по детаљ. Сматраjући убрзање, дакле силу, еквивалентом поремећаjа вероватноћа, спашавамо универзалност принципа вероватноће. Додаjемо да се само за сопственог посматрача наjвероватниjе догађа наjчешће, али то исто понашање за релативног посматрача може изгледати другачиjе. Тиме jе принцип вероватноће сачуван у општем облику и постављен jе модел по коjем се може третирати сваки општи принцип природе коjи jе у некоj директноj вези или jе последица принципа вероватноће. Рецимо 10, принцип ентропиjе je (поопштен) други закон термодинамике: Укупна ентропиjа изолованог система се не може смањивати. Он функционише на исти начин. У инерциjалном кретању jе сопствена ентропиjа тела већа од одговараjуће релативне, али не и у убрзаном кретању. Екстремно даље, тело чиjе би време текло у супротном смеру враћало би се поново у наjвероватниjа стања, па би и за такво важио принцип вероватноће, а као последица тога одржао би се и принцип ентропиjе. 10 У ово веруjем али напомињем, за сада jе то у домену научне фантастике. Растко Вуковић 16

17 1.3 Информациjа Информациjу као броj су први успешно дефинисали Никвист 11 и Хартли године. Утврдили су да jе информациjа исхода jедног од jеднако вероватних могућности пропорционална логаритму броjа могућности. Радећи за Белову телефонску компаниjу развили су идеjу информациjе као количине вести, инспирисани новинарством. Већа jе вест човек jе уjео пса од вести пас jе уjео човека jер jе прва мање вероватна, приметили су, али нису наивно потрчали да информациjу дефинишу просто као броj могућности. Slika 1.4: Информациjа. Информациjа се може дефинисати као наjмањи броj питања (броj H = 1, 2, 3,... ) потребних да се бинарним тражењем дође до (jедног од 2 H ) одговора. Бинарним поступком скуп непознатих делимо на два дела. Када сазнамо у коjем од два дела jе оно што тражимо, таj подскуп поново делимо на два дела и тражимо даље. Броj претражених елемената 2 H jе експоненциjална функциjа броjа делења H, коjе називамо информациjом. Дакле, информациjа jе инверзна функциjа експоненциjалне, па jе она логаритам броjа могућности, односно негативан логаритам вероватноће исхода H = log 2 N, H = log 2 1 N. (1.1) Броj H називамо Хартлиjевом информациjом, односно информациjом коjу садржи N jеднако вероватних могућности, а броj P = 1 N вероватноћом исхода. Испоставило се да jе такав избор пун погодак. На пример, за откривање jедног замишљеног (броj пет) од првих осам природних броjева (N = 8) потребна су три бинарна питања (H = 3). На прво питање да ли jе замишљени броj мањи од пет, очекуjемо само одговор да или не - одговор jе не. На друго питање да ли jе замишљени броj мањи од седам - одговор jе да. Треће питање jе да ли jе замишљени броj мањи од шест - одговор jе да. Тако сазнаjемо да jе тражени броj пет. 11 Harry Theodor Nyqvist ( ), амерички инжењер шведског порекла. 12 Ralph Vinton Lyon Hartley ( ), амерички инжењер. Растко Вуковић 17

18 Када се могућности множе, тада се информациjе сабираjу, jер jе логаритам производа jеднак збиру логаритама. Управо jе то она особина Хартлиjеве информациjе коjа jу jе повезала са вероватноћом и дала jоj крила у употреби. Погледаjмо то на примеру вероватноће. Када бацамо фер новчић са две могућности, вероватноћа исхода jедне од две jе 1 2. Када бацамо фер коцку са шест могућности, вероватноћа исхода jедне од шест jе 1 6. Када бацимо и новчић и коцку броj jеднако вероватних (парова) могућности jе дванаест (2 6) са вероватноћом = Информациjа jедног од тих дванаест парова jе збир информациjе добиjене бацањем новчића и информациjе бачене коцке. Са овом неочекиваном логаритамскаом адитивношћу, Хартлиjева информациjа од апстрактне идеjе постаjе помало физикална, материjална ствар. Замислимо да из скупа од m 1 броjева на случаjан начин извлачимо jедан, па онда опет из скупа m 2 броjева извлачимо jедан и тако даље, до закључно скупа са m n броjева. Информациjа свих n извлачења биће jеднака збиру информациjа поjединих, без обзира коjом брзином или редоследом обављали та извлачења. То произилази из особина логаритамске функциjе уопште, што нам даjе идеjу да се база логаритма (броj 2) наведене формуле може мењати. Промена базе логаритма Хартлиjеве информациjе просто значи други избор мерних jединица. Када jе та база 2 jединица информациjе jе бит, када jе база Оjлеров броj e 2, jединица jе нат (natural logarithm). Поред своjе логаритамске адитивности, Хартлиjева информациjа има и поменуту новинарску особину да jе извесниjи догађаj мање информативан. Што jе мањи броj (равноправних) могућности већа jе вероватноћа поjединог исхода, али jе мања његова информациjа. Принцип реализовања наjвероватниjег догађаjа тако постаjе принцип шкртости у давању информациjе. Развиjаjући нову идеjу и радећи за исту компаниjу, Клод Шенонон 13 jе године дефинисао информациjу различито вероватних догађаjа. Он jе посматрао расподелу вероватноћа коjа подразумева да се неки опит реализуjе у jедан од n = 1, 2, 3,... различитих независних догађаjа са вероватноћама чиjи jе збир jедан. Вероватноће догађаjа расподеле су p 1, p 2,..., p n и нека оне носе Хартлиjеве информациjе редом H 1, H 2,..., H n. Средња вредност свих, математичко очекивање, износи S = p 1 H 1 + p 2 H p n H n. (1.2) То jе Шенонова информациjа. Оваj се израз своди на Хартлиjев (1.1) када су сви исходи jеднаких вероватноћа. Шенонова информациjа и даље има ону новинарску особину вести, да jе више информативно оно што jе мање вероватно. То се може разумети и на примерима узорака текстова. Српска азбука има n 1 = 30 слова, енглеска n 2 = 26 а знамо да се различити знакови у тексту различитих jезика поjављуjу са различитим вероватноћама. Просечна поjава слова jе n-ти део свих, мада jе фреквенциjа поjединог слова углавном различита од 1/n броjа свих слова у тексту. Ипак, када jе n 1 > n 2, биће вероватноћа просечне поjаве слова у првом тексту мања од таквог у другом, али ће Шенонова информациjа бити већа. Наjвећи недостатак Шенонове информациjе 14 jе њена везаност за расподелу вероватноћа. Она jе типична за jедан процес коjи из унапред датог скупа на случаjан начин генерише исходе, можда различитих али константних вероватноћа. Збир тих 13 Claude Elwood Shannon ( ), амерички математичар. 14 Не помиње се у литератури. Растко Вуковић 18

19 вероватноћа jе jедан (p 1 + p p n = 1) jер jе исход из датог скупа сигуран догађаj. Међутим, природа не функционише на само таj начин. Природа често мултипроцесира. На пример, у различитим деловима људског тела се покрећу нервни процеси коjи контролишу функциjе jединственог организма на начин коjи сматрамо независним. То су рад срца и крвних судова, рад jетре, органа за варење, покретање руку и ногу, гледање, говор и многих других. Веруjемо да неколико хиљада независних процеса раде у нашем телу стално. О мултипроцесирањима живих бића сам написао књигу Информациjа перцепциjе 15. Поjедностављено речено, та се књига може сматрати и као проверавање само jедне формуле коjа повезуjе слободу, интелигенциjу и хиjерархиjу: l = i h. (1.3) Као и у овоj књизи и тамо се подразумева постоjање различитих опциjа а живо биће jе дефинисано своjом способношћу да доноси одлуке. Броj l jе слобода jединке, количина могућности коjу jединка има захваљуjући своjим чулима и уопште своjим перцепциjама. Вектор i jе интелигенциjа jединке дефинисана као способност њеног кориштења датих могућности. Вектор h jе хиjерархиjа дефинисана као способност окружења да jединки ускрати њене могућности. Према томе, слобода живог бића jе скаларни производ вектора његове способности и околних ограничења. У књизи разматрана jединка jе човек коjи живи у друштвеном систему и другим околностима. Међутим, то jе и мрав у мрављоj колониjи, или травка у травњаку. Формула (1.3) jеднако важи и за ћелиjу jетре коjа jе jединка у свом окружењу коjе чини околно тело живог бића. Веровали или не, тестираjући ту формулу у разним, па и екстремним примерима, нећете jе успети оспорити. Са друге стране, она се такође не да нити извести неком дедукциjом из утврђених, па jе у томе смислу слична формули кинематике о производу брзине и времена коjи даjе пређени пут (vt = s), у време пре Галилеjа 16. У поменутоj књизи jе наговештено, али ниjе инсистирано, да се израз за слободу (1.3) може проширити и на неживе ствари. Употреба тог израза нас не може довести у контрадикциjу, просто зато што он представља у математици проверени и добро познати скаларни производ вектора. Друго, Васионом владаjу случаjности и то на начин мултипроцесирања за чиjе описивање jе Шенонова формула неподесна, ако не и недовољна. Коначно, та се формула своди на Шенонову, када за компоненте првог вектора узмемо вероватноће неке расподеле а за компоненте другог логаритме тих вероватноћа. У наставку, слободом (1.3), па у извесном смислу и информациjом физичке честице у њеном окружењу, сматрамо броj L = p q, (1.4) где су p и q неки, jош увек неутврђени вектори аналогни претходно поменутима (интелигенциjе и хиjерархиjе) али сада у неживом свету физике. Већ на први поглед намеће се идеjа да овакве векторе можемо поредити са импулсом (колочином кретања) и положаjем, и отуда ове ознаке. Наравно, нема смисла говорити о импулсу баш као о способности живог бића нити о положаjу као о његовом окружењу, 15 в. [1]. 16 Galileo Galilei ( ), италиjански математичар, физичар, астроном, филозоф. Растко Вуковић 19

20 као што нема смисла говорити о атому кисеоника у себи као о себи, али видимо неке аналогиjе. Делом има смисла сматрати импулс p = mv неком способношћу честице а њен положаj њеним односом са окружењем. Важна аналогиjа долази и из Хаjзенбергових релациjа неодређености, да ниjе могуће истовремено одредити тачан импулс и положаj честице дуж истог правца. Када дуж jедне координате (рецимо x-осе) меримо импулс и положаj, поjавиће се неодређености p x и x такве да jе њихов производ реда величине h 2 или jе већи. Броj = 2π jе константа одређена Планковом константом h 6, Js. Зато се у случаjу збира производа компоненти импулса и одговараjућих компоненти положаjа, за слободу (1.4) може рачунати да jе различита од нуле и да jе квантована. За сада се нема шта додати, jер физици ниjе страно квантовање слобода. Са друге стране, могуће jе тачно одређивање импулса дуж jедне координате и положаjа дуж друге. Одсуство слободе тако мешаног слагања производа компоненти L, значи немогућност опажања из jедне димензиjе у другоj. Оно правда идеjу о вишку димензиjа (и просторних) образложењем да их не можемо видети jер отуда немамо информациjе. У другом случаjу, неодређености импулса и положаjа исте димензиjе, имамо друго откриће: ако такве тачне вредности уопште не постоjе, а ми их пишемо као да постоjе - имаћемо контрадикциjу. Другим речима, ниjе могуће L представити тачним релним броjем (ако таквог нема). Према томе, за тачне вредности информациjе (1.4) jе L комплексан броj. Процена броjа могућности према Хартлиjевоj дефинициjи jе експоненциjална фукциjа комплексног броjа, а то jе периодична функциjа. Нити ово ниjе изненађење, jер се квантна стања изражаваjу комплексним функциjама ψ = ψ(x, y, z, t) коjе су периодичне и коjе се зато називаjу таласним функциjама. Њихови нормирани, коњуговани производи ψ 2 = ψ ψ представљаjу вероватноће налажења датог стања на датом месту у датом тренутку. Ово последње jе раниjе поменуто Борново правило квантне механике. Када са (1.4) представљамо приближне вредности са значењем информациjе, тада за L мора важити одговараjући 17 принцип минимализма. Назовимо тежњу природе за одавањем што мање информациjе принципом информациjе. Дакле, имамо природу коjа настоjи реализовати што више од наjвероватниjих догађаjа због чега она неминовно претвара неизвесност у информациjу. Природа као да се настоjи отарасити своjе неизвесности. Са друге стране, она тако реализуjе што jе могуће мање информациjе (оно што jе вероватниjе мање jе информативно). Испоставља се да jе природа шкрта са давањем информациjе, парадоксално, као да жели да сачува своjу неизвесност. Обоjе, трошење неизвесности и шкртост у давању информациjе долазе из истог принципа вероватноће а, као што видимо, у томе нема контрадикциjе. Информациjа коjа се стално производи дефинише нашу садашњост. Оно што доживљавамо као сада заправо jе информациjа настала реализациоjм неизвесности, што jе опет било неизбежно због принципа вероватноће. Опажено сада настаjе као информациjа коjа стално дефинише нови простор, време и материjу. Према томе за простор, време и материjу мораjу важити слични закони логике, као да су то три различита аспекта jедне исте супстанце. Лако jе видети да се (1.4) своди на Шенонову информациjу стављаjући за компоненте првог вектора p k (0, 1) вероватноће неке расподеле а одговараjуће другог q k = ln p k. Такви вектори p и q су веома зависни, а са друге стране, сваки сабирак jе позитиван броj (p k q k > 0), jер потпуно известан исход (p k = 1) овде не долази у обзир. Слично 17 Одговараjући принципу вероватноће. Растко Вуковић 20

21 важи и у општем случаjу, када различити услови мењаjу вредности датих вектора, а производи њихових одговараjућих компоненти не исчезаваjу. Тада постоjи нека веза међу самим векторима. Ако оба вектора представљаjу неке вероватноће, а броj L не исчезава, тада те вероватноће нису независне. Ниjе спорно да постоjе зависни случаjни догађаjи и да jе рад са таквима добро познат теориjи вероватноће, али сада приметимо да нас они доводе (скоро) до парадокса. Физички експеримент jе обављање и посматрање интеракциjа између одређених поjава, физичких система, честица. Уобичаjено кажемо да се то међу честицама дешаваjу размене информациjа, па чак и да jе свака интеракциjа нека размена информациjе. Штавише, не можемо да веруjемо да би могла постоjати (тачниjе речено нема jе смисла разматрати у физици) интеракциjа без размене информациjе. Међутим, то jе нетачно. Између зависних случаjних догађаjа постоjи веза, физички утицаj jедног на други, а без претходне конверзиjе неизвесности у информациjу. Овде се можемо позвати на квантну спрегнутост, поjаву квантне механике коjу су открили Аjнштаjн, Подолски и Розен (в. [16]). Квантна спрегнутост jе случаj зависних догађаjа, када се догађа интеракциjа без преноса информациjе 18. Прецизниjе речено, то jе интеракциjа без реализациjе случаjности у информациjу (коjа би се затим пренела па тамо негде била поново конвертована у неизвесност). Покаже ли се да jе таква поjава физички могућа, то ће и даље значити да физичка информациjа значи интеракциjу, али не и обрнуто. Додатно, она ће нагласити закон одржања збирне неизвесности и информациjе, поред закона одржања саме информациjе. Знамо да реализациjом случаjног догађаjа количина неизвесности коjа се реализуjе произведе jеднаку количину информациjе. Рецимо, неизвесност пре бацања коцке тачно jе jеднака информациjи добиjеноj након бацања. Нема разлога да не веруjемо да и у физици важи исто. Како се jедном добиjена информациjа не да више опозвати, то веруjемо да важи и закон одржања информациjе. Управо због тог закона имамо прошлост коjу не можемо мењати, али и могућности да посматрамо догађаjе у експерименту. Када бисмо веровали да информациjе настале посматраним интеракциjама могу тек тако нестати или се претворити у нешто друго, ми уопште не бисмо веровали да експеримент може нешто доказати. Принцип вероватноће налаже да се из неизвесности реализуjу што вероватниjа стања, али не и да максимуми вероватноћа за сваког посматрача буду исти. Он дозвољава сличности и разлике између виђења сопственог посматрача (оног у датом систему) и релативног посматрача (коjи дати систем посматра из неког другог). У случаjу теориjе релативности, сличности су у jеднаком важењу закона физике за сваког сопственог посматрача, а разлике, рецимо, у брзини тока времена сопственог и релативног посматрача. Релативно време иде спориjе од сопственог, па доследно, релативни посматрач види и спориjу производњу информациjе од сопственог. Отуда, он jеднако дефинисани броj L формулом (1.4) види пропорционално мањим него што га види сопствени посматрач. Ово нас води на закључак да jе L пропорционално лагранжиjану, разлици кинетичке и потенциjалне енергиjе L = E k E p, (1.5) коjи се разрађен у теориjи релативности понаша на управо описани начин. Лагранжиjан изражава познати принцип наjмањег деjства у физици, што jе такође у складу са претходним тумачењем информациjе. 18 Они jе нису тако разумели. Растко Вуковић 21

22 1.4 Ентропиjа Лазар Карнот 19, иначе познатиjи као организатор победе у францускоj револуциjи, jе године открио да природни процеси имаjу неку унутрашњу склоност расипања корисне енергиjе. Желећи да дизаjнира машину максималне ефикасности описивао jе кружни процес стискања и ширења гаса у четири такта: 1. изотермно (при константноj температури T ) ширење, 2. адиjабатско (при константноj топлоти Q) ширење, 3. изотермно сабиjање и 4. адиjабатско сабиjање. Ове четири фазе коjе се називаjу Карнотов кружни процес, приказуjе слика 1.5. Из таквих радова jе настала грана физике данас позната као термодинамика. Slika 1.5: Диjаграм запремине V и притиска p. Развиjаjући сличне идеjе, Клаузиjус 20 jе од године анализирао изоловане системе у термодинамичкоj равнотежи. Он jе године у физику увео поjам ентропиjе 21 (S) дефинишући jе као енергиjу коjа се више не може претворити у слободан рад (W ). У термодинамици ентропиjа jе и данас величина коjа представља недоступност топлотне енергиjе (Q) за претварање у механички рад, коjа се често интерпретира као степен нереда или случаjности датог физичког система. Након тога су научници попут Болцмана 22, Гибса 23 и Максвела 24, ентропиjи дали статистичко значење. Термодинамичка дефинициjа ентропиjе описуjе њену употребу у експериментима, док статистичка развиjа таj концепт, даjући му дубље значење. 19 Lazare Carnot ( ), француски политичар, инжењер и математичар. 20 Rudolf Clausius ( ), немачки физичар и математичар. 21 грч. ɛντρoπη - обрт ка унутра 22 Ludwig Boltzmann ( ), аустриjски физичар и филозоф. 23 Josiah Willard Gibbs ( ), амерички инжењер, физичар и математичар. 24 James Clerk Maxwell ( ), шкотски математички физичар. Растко Вуковић 22

23 Концепт ентропиjе jе произашао из Карнотовог циклуса на апстрактан, коjи ниjе експерименталан, начин. На слици 1.5 jе приказан кружни термодинамички циклус преноса топлоте Q из стања више у стање ниже температуре T и обрнуто, где jе T 1 < T 2. Топлота Q 2 са температуре T 2 прелази у хладни резервоар температуре T 1 у топлоту Q 1. Према Карноту, рад W може произвести само онаj систем у коjем се мења температура, а он би требао бити нека функциjа разлике температура и апсорбоване топлоте. Прецизниjе: W = ( T 2 T 1 ) Q 2 = (1 T 1 ) Q 2 (1.6) T 2 T 2 jе максимални рад коjи топлотна машина може произвести. Међутим, Карнот jе погрешно узимао да jе Q 2 = Q 1 jер jе тада актуелна теориjа калориjа сматрала да у сваком случаjу важи закон одржања топлоте. Тек након Клаузиjуса и Келвина 25 ми данас знамо да jе заправо Q 2 > Q 1, а отуда имамо и апсолутну, Келвинову скалу температура. Рад коjи произведе систем jе разлика између апсорбоване топлоте топиjег резервоара и топлоте предате хладниjем: W = Q 2 Q 1. (1.7) Из претходне и ове jеднакости (у случаjу максималног рада) следи: S = Q 2 T 2 Q 1 T 1 = 0. (1.8) где jе са S = S 2 S 1 разлика неке непознате функциjе коjа има физичку димензиjу топлоте подељене температуром. Ова jеднакост потврђуjе први закон термодинамике: укупна енергиjа изолованог система jе константна. Енергиjа се може трансформисати из jедног облика у други, али не може настати из ничега нити може нестати. Такође, jеднакост (1.8) имплицира да постоjи нека функциjа стања S = Q T, (1.9) коjа не мења вредност (конзервирана jе) током (оптималног) Карнотовог циклуса. Ту функциjу jе Клаузиjус назвао ентропиjом. Даља открића у овоj области учинио jе Болцман 26 откривши да jе логаритам броjа ω, начина jедноликог распоређивања ω коjи су потскуп Ω свих начина рапоређивања гаса у соби, jеднак Клаузиусовоj ентропиjи S = k B ln ω, (1.10) где jе k B = 1, m 2 kg s 2 K 1 Болцманова константа 27. До броjа ω воде они распореди ω коjи су наjвероватниjи, а то су равномерни распореди по свим могућим позициjама молекула. Наиме, на n N молекула има n! = n пута више равномерних распореда од рецимо распореда истих молекула у гомили. Зато што jе Болцманова ентропиjа максимална за расуте гасове, зато понекад кажемо да ентропиjа представља количину нереда. На слици 1.6 jе приказано повећање Болцманове ентропиjе S = S 2 S 1 из вредности S 1 у S 2 коjе се дешава преласком супстанце из чврстог у течно и даље у гасовито стање. 25 William Thomson, 1st Baron Kelvin ( ), шкотско-ирски математичар и физичар. 26 Ludwig Boltzmann ( ), аустриjски математичар, физичар и филозоф. 27 Важи за природни логаритам, са базом e 2, Растко Вуковић 23

24 Слично се дешава у спонтаном процесу испаравања, када молекуле слободне да иду у било коjем правцу заузимаjу све већу запремину. То jе данас добро познато и свима нам изгледа сасвим jедноставно. Мање jе познато да jе Болцман извршио самоубиство и то не због тога што jе полудио, већ зато што се ниjе могао носити са исмевањем своjих колега физичара коjи су се тада ругали његовом наводном открићу. Slika 1.6: Промена ентропиjе. У обрнутом процесу на истоj слици , преласком из гасовитог у чврсто стање, ентропиjа се смањуjе. Расуте молекуле гаса се неће тек тако сабити на гомилу, па jе за смањивање ентропиjе потребна додатна енергиjа. Слично томе, када кристална посуда падне и разбиjе се, ентропиjа се повећа, али ниjе могуће њено спонтано враћање на нижу вредност, односно враћање кристала у претходно неоштећено стање. Уопште, када jеднако вероватне исходе поделимо у групе, више реализациjа биће у групи са више исхода. На пример, у случаjу бацања фер новчића два пута, могући исходи су jеднако вероватни елементи скупа Ω = {ΠΠ, ΠΓ, ΓΠ, ΓΓ}. Исход да jе два пута пало писмо jе подскуп ω 1 = {ΠΠ}, а исход да jе пало и писмо и глава jе подскуп ω 2 = {ΠΓ, ΓΠ}. Како други подскуп има више елемената, ω 1 = 1 а ω 2 = 2, он ће се чешће реализовати. То оставља утисак да природа радиjе реализуjе оне случаjне догађаjе коjи имаjу више (jеднако вероватних) опциjа, као да и она воли слободу, што jе такође последица принципа вероватноће. Знамо да природа тежи стањима веће ентропиjе, као на слици 1.6, а то значи и Болцманове ентропиjе (1.10), односно логаритма броjа ω коjи jе броj исхода већег од могућих распореда. То jе смисао другог закона термодинамике: укупна ентропиjа изолованог система може само расти временом. Она може остати константна у идеалном случаjу када jе систем у стању равнотеже, у стабилном стању, или када jе подвргнут реверзибилном (повратном) процесу. Због спонтаног повећања ентропиjе, у савременоj физици се природни процеси сматраjу иреверзибилнима (неповратнима), а прошлост несиметричном са будућношћу. Спонтану тежњу природних система да очуваjу или повећаjу ентропиjу назовимо принцип ентропиjе. Вероватноћа већег распореда (неког исхода из већег скупа исхода) jе 28 Entropy: P = ω Ω, (1.11) Растко Вуковић 24

25 где jе Ω броj свих могућих исхода. Према томе, веће учешће вероватниjих (ω) у скупу свих исхода (Ω) даjе већу вероватноћу (1.11) и већу ентропиjу (S = k B ln ω ). Али, за разлику од информациjе, ентропиjа ниjе логаритам вероватноће, већ jе логаритам њеног дела. Промена ω ω 1 на скуп са jош већим броjе исхода ( ω 1 ) неког другог распореда (у оквиру свих Ω), износи ω 1 = ω 1 ω, резултираће променом ентропиjе и вероватноће редом: S = k B ln ω 1 ω, P = ω 1. (1.12) Ω Зато што jе разлика логаритама jеднака логаритму количника зато ни разлика ентропиjа ниjе просто логаритам разлика вероватноћа. Резултате класичне термодинамике, као и резултате теориjе релативности, овде нећемо оспоравати, али морамо приметити неслагања са резултатима савремене релативистичке термодинамике. Како jе то могуће? Па, пре свега зато што релативну и сопствену вероватноћу овде не сматрамо jеднакима, за разлику од савремене физике, а затим и зато што то можемо оправдати. То ћемо правдати прво познатим ставом да се релативистичка термодинамика може третирати на различите начине а да се при томе класична термодинамика и теориjа релативности не мораjу мењати. Током 20. века па до данас обjављени су многи научни радови из области релативистичке термодинамике са коjима се овде нећу слагати. Поменућу само неке. Аjнштаjн jе године предложио да се ентропиjа сматра Лоренцовом инвариjантом (да се не мења због кретања система), те да су топлота и температура система у кретању мање од сопствених (виђених у мировању). Исто jе предложио и Планк године. Затим jе От године тражио сасвим супротно, да су топлота и температура у кретању веће од одговараjућих у мировању, а да jе ентропиjа такође иста. Ландсберг jе негде у то време дошао до закључка да топлоту тела у кретању треба сматрати мањом, а температуру и ентропиjу непромењивим. Ван Кампен jе откривао да су све три константне. На краjу jе Балеску доказао да jе то свеjедно, да се релативистичка термодинамика може третирати на различите начине тако да класична термодинамика и теориjа релативности могу остати непромењене. Због мноштва оваквих контрадикторних налаза, у физици се данас температура дефинише само за два тела у релативном мировању jедно поред другог, па тамо где топлота одлази кажемо тамо jе хладниjе. Затим правимо сложениjе апарате за мерење температуре, корак по корак, почев од контактних топломера па до неконтактних термометара. Међу наjсавремениjе такве уређаjе спадаjу инфрацрвени термометри коjи температуру изводе из количине топлотне радиjациjе (тзв. зрачења црног тела) емитованог из предмета мерења. Они се називаjу и ласерским термометрима, jер користе ласере за навођење. У следећоj секциjи ћемо видети да овакви термометри потврђуjу (хипо) тезе коjе овде износим. Контактно мерење температуре тела у кретању jе ретко могуће, а када jе могуће ниjе поуздано. На пример, у спориjоj ваздушноj струjи тела се хладе због jачег испаравања (дуваjући хладимо супу), али при већим брзинама ваздуха она се ипак загреваjу, сматрамо због доминантниjег претварања кинетичке енергиjе коjа се трењем преноси на тело и прелази у топлоту. При jош већим брзинама, ваздух се не може довољно брзо склањати испред предмета и бива компресован, проузрокуjући jош jаче загревање тела. Сателит коjи великом брзином улеће у атмосферу веома се загрева, па и сагорева. 29 Max Planck ( ), немачки физичар. Растко Вуковић 25

26 Све то указуjе да температура предмета (топломера) у струjи ваздуха ниjе исто што и температура самог ваздуха. Ипак приметимо да се у аеронаутици узима да jе приближна просечна разлика (сопствених) температура ваздуха и загреjаног предмета преко коjег се ваздух креће пропорционална квадрату брзине ваздуха, што нас наводи на закључак да температура расте са кинетичком енергиjом. Подсетимо се сада шта jе то кинетичка енергиjа. Из специjалне теориjе релативности знамо 30 да за енергиjу тела у кретању важе релациjе: 1 E = γe 0, γ =, (1.13) 1 v2 c 2 где E 0 енергиjа датог тела у мировању а E енергиjа истог у кретању брзином v. Брзина светлости у вакууму c = m/s не зависи од брзине кретања извора светлости. Развоjем у степени ред релативистички коефициjент даjе: γ = v 2 2 c , 1 γ = 1 1 v 2 2 c , (1.14) где нису написани сабирци четвртог и вишег степена брзина, jер су занемарљиви за релативно мало v у односу на c. Када развиjено γ вратимо у претходну формулу и ставимо за кинетичку енергиjу E k = 1 2 m 0v , добиjамо E = E 0 + E k, (1.15) jер jе m 0 = E 0 /c 2 маса датог тела у мировању. Добиjени израз, а и сам поступак нам говоре неколико ствари. Прво, температура T коjу ће показати топломер у струjи (идеалног) ваздуха брзине v може се апроксимирати изразом T = γt 0, (1.16) где jе T 0 температура коjу би показао топломер изван струjе. Друго, релативна енергиjа (E) тела jе збир сопствене (E 0 ) и кинетичке (E k ). То jе укупна енергиjа тела у кретању и ту нема места за повећање топлотне енергиjе, нити рецимо осцилаторне (молекула) или хемиjске. Дакле, кретањем се повећава само транслаторна енергиjа, па jе Q = Q 0, (1.17) где су Q и Q 0 редом релативна и сопствена топлотна енергиjа. Зато топлоту Q назовимо топлота ентропиjе, за разлику од рецимо енталпиjе коjу ћемо размотрити касниjе. Са овим обjашњењем, релативна ентропиjа (1.9) постаjе S = S 0 /γ, (1.18) где jе S 0 сопствена ентропиjа, а γ jе релативистички коефициjент (1.13). То значи да се ентропиjа смањуjе са повећањем релативне брзине тела. Оваj резултат jе за савремену физику чудан али овде ниjе неочекиван. На пример, у обjашњењу уз лангранжиjан (1.5) напоменуто jе да jе релативна вероватноћа другачиjа од сопствене, те да зато релативни посматрач види систем сопственог са успореном производњом информациjе и зато успореним током времена. Логично jе очекивати да и Болцманова ентропиjа (1.10) за релативног посматрача има мање вредности и то у складу са (1.16). То jе управо зато што она и даље представља наjоптималниjе начине распоређивања гаса, али сопствена и релативна вероватноћа нису jеднаке. 30 Ово ћемо доказивати касниjе. Растко Вуковић 26

27 1.5 Доплеров ефекат Закључак (1.16) подржава и технологиjа инфрацрвених термометара. Електромагнетни спектар садржи видљиву светлост (слика 1.7). Од наjвећих (инфрацрвено, 700 nm) до наjкраћих (ултраљубичасто, 400 nm) таласних дужина зрачења. Сав спектар извора Е-М таласа у кретању прави помак ка црвеном, дакле ка топлиjем, на начин да се свугде у физици израз Доплеров ефекат може заменити са већа температура, а да физика остане без контрадикциjе. Slika 1.7: Део електромагнетних таласа. Доплеров ефекат jе рецимо виши тон звука сирене коjа нам се приближава или нижи када се удаљава. Обрнуто фреквенциjи f се мења таласна дужина λ, jер jе њихов производ jеднак константноj 31 брзини таласа извора у мировању c z = λf. То jе особина свих таласа коjа нам у случаjу светлости постаjе нарочито занимљива. Знамо да извор таласа сопствене 32 таласне дужине λ 0 и фреквенциjе f 0, коjи се креће брзином ±v по правцу на коjем се налази посматрач, има таласну дужину и фреквенциjу у односу на посматрача, редом: 1 + v c 1 v λ = λ 0 1 v c, f = f 0 c 1 + v, (1.19) c при чему предзнак минус узимамо када се извор приближава, а плус када се удаљава. Константа c = jе брзина светлости у вакууму. Означимо ли са λ и λ + таласне дужине редом долазећег и одлазећег таласа, видимо да важе неjеднакости: λ < λ 0 < λ +, (1.20) када jе брзина v > 0. Средња вредност (аритметичка средина) ове уздужне (лонгитудиналне) опажене таласне дужине jе: λ l = 1 2 (λ + λ + ) = λ 0 1 v2 c 2. (1.21) Када посматрач ниjе на правцу кретања извора таласа и гледа окомито на таj правац ка извору, опажаће попречну (трансферзалну) таласну дужину λ t = λ 0 1 v2 c 2. (1.22) 31 Брзина звука c z у води jе око 1500, у ваздуху 340, а у вакууму 0 метара у секунди. 32 Сопствена - опажена са извора у мировању. Растко Вуковић 27

28 Дакле, опажена средња лонгитудинална и трансферзална таласна дужина су jеднаке. Обе су веће од сопствене. Међусобно су различите долазећа опажена, сопствена и одлазећа опажена таласна дужина. Релативистички Доплеров ефекат jе добро познат физици, али не и интерпретациjа овде, да он jедноставно значи промену релативне вероватноће средине и температуре таласа чиjи извор се креће у односу на запажање сопственог посматрача (коjи мируjе у односу на извор). Штавише, тврдим да релативистички Доплеров ефекат указуjе на исте промене самог простора, система координата везаних за извор Е-М таласа. Положаj честице-таласа размазан jе дуж њене таласне дужине тако да већа таласна дужина значи мање тачну позициjу честице, односно мању густину вероватноће њеног налажења на датом месту, а обрнуто, краћа таласна дужина даjе прецизниjе место налажења честице. Према томе, из претходних jедначина следи да позициjе таласа извора у кретању имаjу мање вероватноће од истих позициjа извора у мировању. Знамо да се обични Доплеров ефекат изводи из обичних (Галилеjевих) трансформациjа, а да се овде наведени релативистички Доплеров ефекат изводи из (овде jош увек не наведених) Лоренцових трансформациjа специjалне релативности. Међутим, средње вредности релативне лонгитудиналне таласне дужине (1.21), а посебно релативна трансферзална таласна дужина (1.22), могу се разумети и помоћу успоравања времена у односу на релативног посматрача, коjе ћемо сада обjаснити. Пример (Дилатациjа времена). Показати да за релативно t и сопствено t 0 протекло време важи jеднакост t = γ t 0, (1.23) где jе γ = (1 v 2 /c 2 ) 1/2, а v релативна брзина између два инерциjална система. Решење. Из специjалне теориjе релативности знамо да су кретања релативна и да jе брзина светлости у вакууму независна од брзине извора. Отуда, за два догађаjа са координатама (r 1, t 1 ) и (r 2, t 2 ) дуж неког правца кретања у два тренутка, ако ставимо r = r 2 r 1 и t = t 2 t 1, израз за квадрат интервала s 2 = r 2 c 2 t 2 (1.24) биће исти у оба инерциjална система. Када се таква два система координата K и K крећу дуж датог правца константном брзином ±v jедан у односу на други, важи: r 2 c 2 t 2 = ( r ) 2 c 2 ( t ) 2. Сопствено време посматрача из K означимо са t = t 0. Тада jе r = 0 (он мируjе у свом систему), па добиjамо: r 2 c 2 t 2 = c 2 t 2 0, [( r t ) 2 c 2 ] t 2 = c 2 t 2 0, (v 2 c 2 ) t 2 = c 2 t 2 0, а отуда (1.23). Дакле, сопствено време гледано из другог система тече спориjе. Са успоравањем времена сразмерно успораваjу опажене фреквенциjе а због λf = c повећаваjу се таласне дужине. Резултат jе jеднак претходним (1.21) и (1.22). Остаjе питање различитих долазећих и одлазећих таласа (1.20). Растко Вуковић 28

29 Због спориjег протицања времена система у кретању, честица коjа нам долази налази се у нашоj будућности и све jе ближе нашоj садашњости док се њена удаљеност од нас смањуjе, да би након мимоилажења одлазећи од нас била све даље у нашоj прошлости. Такође смо и ми у будућности честице коjа нам долази, а у прошлости оне коjа одлази. На таj начин таласи коjи нам долазе дефинишу нашу будућност, а одлазећи прошлост. Са jедне стране то значи обjективност наше историjе и потврду закона одржања информациjе. Наша прошлост jе обjективна колико jе обjективно опажање честице коjу ми опажамо. Са друге стране, из неjеднакости (1.20) следи да нам jе будућност вероватниjа од садашњости, а да jе прошлост мање вероватна од обе. Зато опажамо да нам време тече од наше прошлости преко садашњости ка будућности. Склад ових обjашњења сматрам потврдом основне идеjе о природи времена, али и нове хипотезе (1.16) о већоj релативноj температури. Сви посматрачи у инерциjалном кретању стануjу у истом простор-времену, али га не виде сви исто. Само брзина светлости у вакууму (c = m/s) им jе свима jеднака и то нам даjе за право да управо таласе светлости (Е-М зрачења) узимамо за дефинициjу простор-времена. Зато jе интервал (1.24) толико важан, jер jе за сваког посматрача s = 0, а затим jе и остатак пута ( s 0) неке спориjе честице коjи се може допунити светлошћу jеднак за све посматраче. Све остало изводимо из те ставке да jе s 2 инвариjанта за све, попут Питагорине теореме у класичноj геометриjи. Тако смо дошли до закључка (1.23) да jе релативно време спориjе од сопственог. Помоћу слике 1.8, обjаснићемо и релативно скраћивање (контракциjу) дужина дуж правца кретања r. У односу на сопственог посматрача у координатном систему K, окомито на његов правац кретања послата jе зрака светлости OA коjу он после неког времена види опет окомиту као O A. Релативни посматрач из K кретање те светлости види по хипотенузи OA правоуглог троугла OAA. Сопствени посматрач види краћи пут светлости (катета OA) али му време спориjе пролази, па види брзину светлости истом. Да би брзине светлости за њих биле тачно jеднаке, мора бити дужина хипотенузе OA за сопственог посматрача jеднака дужини катете OA за релативног. Другим речима, мораjу Slika 1.8: Кретање. дужине по правцу кретања сопственог посматрача бити тачно онолико пута краће за релативног, колико пута му време протиче спориjе. Отуда формула за контракциjу дужина r = r 0 γ 1, γ 1 = 1 v2 c 2, (1.25) где jе r 0 сопствена дужина по правцу кретања а r одговараjућа релативна. Дужине окомите на правац кретања остаjу jеднаке за оба посматрача. Да би се телу дате масе повећала брзина мора му се додати кинетичка енергиjа. Тиме се повећава укупна енергиjа тела и успорава време. Спориjе време значи већу инертност тела, што значи повећање његове релативне масе, а то опет (због закона одржања масе и енергиjе) може резултирати само из поменутог повећање енергиjе. Укратко, то jе обjашњење (1.13) и формула: m = γm 0, E = mc 2, (1.26) Растко Вуковић 29

30 где jе m 0 сопствена а m релативна маса укупне енергиjе E. Ове формуле ћемо детаљно изводити касниjе. У међувремену приметимо да Доплеров ефекат и ове формуле имплицираjу да можемо сматрати да постоjи само jедан фотон, односно jедна врста електромагнетних зрачења са мноштвима релативних посматрања. Постоjе многи системи у разним релативним кретањима за сваког посматрача унутар Васионе. Из константности производа таласне дужине и фреквенциjе фотона, λf = c, следи да опажања наjфреквентних иду са наjкраћим таласним дужинама, а то значи са опажањем простора са наjвећим вероватноћама. То су системи са наjвећим енергиjама и наjвећим релативним брзинама. У граничном случаjу, места без неизвесности постаjу она са апсолутно тачним положаjима и бескраjним енергиjама. Дакле, из теориjе релативности знамо да су релативне масе молекула тела у кретању веће и то тачно онолико пута колико им време тече спориjе. Даље процењуjемо да осцилаторна релативна енергиjа молекула може остати jеднака сопственоj, jер колико се може добити повећањем маса тачно толико се може изгубити успоравањем фреквенциjа, што jе jе у складу са закључком (1.15), да у релативном повећању енергиjе нема места за било коjу другу енергиjу осим кинетичке. Међутим, закључак да у повећању кинетичке енергиjе кретањем тела нема промене његове топлотне енергиjе, да важи jеднакост (1.17), директно jе супротан 33 савременоj физици. Резимираjмо сада, са нових позициjа, шта се догађа када тело у кретању удари у препреку и заустави се загреjано. Тело у инерциjалном кретању брзином v > 0 у односу на датог референтног посматрача има већу укупну енергиjу E = γe 0 и већу температуру T = γt 0, непромењену топлоту Q = Q 0, али смањену ентропиjу S = S 0 /γ. У тренутку удара у препреку и заустављања, релативна брзина тела постаjе v = 0, кинетичка енергиjа постаjе топлотна, а температура остаjе непромењена - али сада у односу на (истог) посматрача коjи релативно мируjе. Температура коjу тело има у мировању непосредно након судара jе она релативна температура коjу jе тело имало док се кретало. Све ово смо обjашњавали узимаjући само примере из специjалне релативности, али слично важи и у општоj. У присуству гравитациjе време успорава, због чега се дешава гравитациони црвени помак коjи jе у смислу претходног обjашњења еквивалент Доплеровог помака. Овде можемо додати да то значи повећање температуре положаjа (тачака коjе мируjу у односу на извор гравитациjе) у гравитационом пољу. Када брзину из коефициjента γ заменимо гравитационим потенциjалима, претходни резиме остаjе. Потенциjална енергиjа тела у гравитационом пољу се мења (кретањем и кинетичка), али не и топлотна. У статичним тачкама jачег поља ентропиjа jе мања. Због принципа ентропиjе (као и вероватноће), тело задржава своjе инерциjално кретање jер му сва друга релативна кретања имаjу мању ентропиjу. У присуству гравитационог поља оно се креће геодезицима, кажемо слободно пада, jер су то путање константне (како вероватноће тако и) ентропиjе. Изван своjе путање, сваки другу геодезиjску линиjу (слободног) падања дато тело види у стањима ниже ентропиjе, те му ниjе могућ спонтани прелазак на такву. Специjални случаj овога jе тело коjе мируjе у пољу неке планете и коjе спонтано може сићи на нижу висину само са повећањем брзине, jер би на мањоj висини у стању мировања имало мању ентропиjу. 33 Зато сам цело поглавље морао назвати Спекулациjе. Растко Вуковић 30

31 1.6 Притисак У претходне две секциjе jе уведена и образложена хипотеза да jе релативна топлотна енергиjа jеднака сопственоj (1.17). То jе у нескладу са савременом релативистичком термодинамиком где се узима да jе топлотна енергиjа пропорционална или тачно jеднака укупноj енергиjи тела, те jе већа када се тело креће. Занимљиво, посебно зато што су идеjе коjе овде износим сасвим у складу и са класичном термодинамиком и са теориjом релативности. Отуда потреба за jош jедним пажљивим разматрањем параметара коjи доводе до неслагања. Међу њима jе наjважниjи притисак. У класичном смислу притисак ствара бубање молекула по некоj површини, од коjег нам затим долазе физички ефекти. Било да оне одскакуjу од ударене површине или се лепе за њу, притисак производи кинетичка енергиjа молекула у слободном кретању, па нас неће изненадити да притисак зависи од густине ρ гаса или течности коjа генерише притисак, затим од квадрата брзине молекула, v 2, па према томе и од релативистичког коефициjента γ из претходних jедначина. Како брзине молекула могу имати различите смерове и интензитете, то и притисак исте средине може бити различит у различитим смеровима, те jе он пре тензор него скалар. На пример, знамо да за бочни (трансферзални) притисак P t, окомит на правац тока (флукс) гаса или течности брзине v и густине ρ важи Бернулиjева 34 jедначина P t v2 ρ + gρz = const, (1.27) где jе g гравитационо убрзање, а z висина на коjу се флукс пење. Повећањем (смањењем) квадрата брзине оваj притисак се смањуjе (повећава), што значи да P t ниjе инвариjанта кретања. Већ тиме jе непоуздан исказ да jе притисак Лоренцова инвариjанта, коjи jе иначе уобичаjен у савременоj релативистичкоj термодинамици. Slika 1.9: Ваздух струjи око крила авиона. На слици 1.9 видимо примену Бернулиjеве jедначине на лет авиона. Авион се креће великом брзином да би ефекат квадрата брзине v 2 у формули (1.25) био што већи. Крило авиона jе глатко и аеродинамично тако да ваздух лако клизи око њега, али jе оно таквог облика да jе путања ваздуха са горње стране дужа па jе са те стране већа брзина ваздушне струjе коjа ствара већи бочни притисак (узгон) на струjу ваздуха од онога са доње стране крила. Зато jе потисак одоздо ка горе већи, а таj jе у случаjу хоризонталног лета авиона тачно у равнотежи са тежином авиона. 34 Daniel Bernoulli ( ), шваjцарски математичар и физичар. Растко Вуковић 31

32 Бернулиjева jедначина мора функционисати и у случаjу мимоилажења две собе A и B, коjе се одозго виде на следећоj слици Између соба су отвори за слободан пролазак ваздуха. Ако се у односу на вањског посматрача обе собе крећу истим брзинама, соба A десно а соба B лево, због симетриjе нема кретања ваздуха између. Међутим, шта ће видети посматрач коjи седи у соби A и коjи према специjалноj теориjи релативности може сматрати да се само соба B креће? Или обрнуто, шта ће рећи посматрач коjи мируjе у соби B и jеднако jе у праву када сматра да се креће само она друга соба? Slika 1.10: Собе A и B у узаjамном кретању. Наравно да и вањски посматрач коjи сматра да се обе собе крећу мора бити у праву, па зато закључуjемо да нема кретања ваздуха између соба. Међутим, Бернулиjев бочни потисак би за посматрача из A морао проузроковати одлазак ваздуха из собе A ка соби B, осим ако се у соби B управо због тог становишта не поjави релативни надпритисак ваздуха у самоj соби B. Таj надпритисак би морао бити тачно толики да би могао спречити кретање ваздуха између A и B. Због релативне контракциjе дужина по правцу брзине (1.25), запремина собе у кретању износи V = V 0 /γ, (1.28) где jе V 0 њена сопствена запремина. Запремина собе се смањуjе, што према Боjл- Мариотовом закону 35, да jе производ притиска и запремине константан, значи да се притисак ваздуха у покретноj соби повећава на P = γp 0, (1.29) где jе P 0 притисак ваздуха у соби коjа мируjе. Отуда закључак да Бернулиjеву jедначину (1.27) за бочни (трансферзални) притисак у хоризонталном кретању треба писати P t = γp 0, (1.30) jер jе P 0 = P 0t бочни притисак када се флукс не креће (v = 0). Савршен или идеалан гас jе теориjиски гас коjи се састоjи од тачкастих честица у насумичном кретању чиjе jедине интеракциjе су савршени еластични судари. Jедан мол идеалног гаса има запремину 22,71 литара у нормалним условима, на температури 273,15 Келвина (нула Целзиуса) и под апсолутним притиском од 10 5 Паскала (око jедне атмосфере). У нормалним условима се многи гасови (азот, кисеоник, водоник, племенити гасови) понашаjу попут идеалног. Уопште, гасови су сличниjи идеалном на вишим температурама и нижем притиску, када потенциjална енергиjа међу молекулама постаjе мање битна у односу на кинетичку енергиjу и када jе удаљеност између молекула већа. Треба знати да модел идеалног гаса не успева на нижим температурама или вишим притисцима, када међумолекуларне силе и размаци постаjу важни. Такође, таj модел 35 Boyle s law: Растко Вуковић 32

33 не важи за многе тешке гасове. На нижим температурама jе притисак реалног гаса често значаjно мањи него код идеалног гаса. На пример, модел идеалног гаса уопште не предвиђа прелазак из гасовитог у течно агрегатно стање, уобичаjен за реалне гасове са смањивањем температуре. У идеалном гасу везу између притиска, запремине, температуре и количине гаса изражава jедначина идеалних гасова P V = nr u T, (1.31) где jе P апсолутни притисак (у Њутнима по метру квадратном), V запремина посуде (у метрима кубним), n jе броj присутних молова гаса, R u 8, 31 J mol 1 K 1 jе универзална гасна константа, а T температура (у степенима Келвина). Ова формула jе наjjачи аргумент да се температура гаса у кретању не мења. Међутим, значаjним порастом релативне брзине, гас губи своjства идеалног (стиска се по дужини, расте маса молекула), па се у формулу идеалних гасова баш тада не можемо поуздати. Зато овом проблему прилазимо са jош jедне стране. Вратимо се на пример са слике 1.10 и узмимо да релативни посматрач седи у соби B, а сопствени у соби A коjа се креће правцем x-осе, али притисак дефинишимо прецизниjе. У физици jе притисак P деjство вектора силе F на површину Π. Окомита површина на правац кретања се не мења, паралелна површина се скраћуjе пропорционално γ. У случаjу силе интензитета F окомите на површину, имамо количник P = F /Π, (1.32) а даље jе важно како дефинишемо релативну силу. За силу као промену импулса у jединици времена, након краћег израчунавања добиjамо (познати) израз E c 2 dv dt = F /γ 2 + F, (1.33) где jе F релативна компонента дате силе паралелна вектору брзине v честице, а F окомита компонента, а лево од jеднакости jе сопствена сила ma. Ако jе сила паралелна са брзинама молекула, ово убрзање jе паралелно сили и имамо паралелну инерциjу γ 2 (E/c 2 ). Ако jе сила окомита на брзине молекула, резултираjуће убрзање jе паралелно сили, па имамо окомиту инерциjу (E/c 2 ). Примењено на површине собе, добиjамо притиске: P = γ 2 P 0, P = γp 0. (1.34) Први притисак jе лонгитудинални, други jе трансферзални. Лонгитудинални притисак jе у складу са нашом интерпретациjом температуре (1.16). Други, бочни притисак jе у складу са нашом интерпретациjом Бернулиjеве jедначине (1.30) и са познатим Боjл- Мариотовим законом. То би могао бити преломни аргумент да даље не вреди држати страну (нетачноj) савременоj релативистичкоj термодинамици. Ако вам чудни израз (1.33) не изгледа убедљиво сетите се да силе и инерциjална кретања не иду заjедно, а затим погледаjте следећи пример. Доказ тог спорног израза користи релативистичку релациjу E = mc 2, па и: v c = pc E, E2 (pc) 2 = const. (1.35) коjе узимамо за прихватљиве за дефинициjу силе (у условима у коjима се подразумева да нема деjства сила). Растко Вуковић 33

34 Пример Користећи (1.35) доказати (1.33). Доказ. Израчунавамо изводе (1.35) и редом даље: dv/c dt = (dp/dt)c E pc E 2 de dt, de dpc 2E 2pc dt dt = 0, E de dt = pc dpc dt = pc2 F, E c 2 dv dt = F pc E dv/c dt = Fc E pc E 2 pc 2 F E, pc E F = F v c (v c F), E dv v2 c 2 = (1 dt c 2 ) F + F, где jе F компонента силе F паралелна са вектором брзине v, а F jе окомита компонента. То jе тражени израз (1.33). Према овоме, производ лонгитудиналног притиска и запремине ниjе константан. Он jе за релативног посматрача већи пропорционално са γ, па се онда и десна страна jеднакости (1.31) увећава пропорционално са релативистичким коефициjентом γ. То значи повећање релативне температуре, што jе опет у складу са нашим претходним (хипо) тезама о смањењу релативне ентропиjе. Оно jесте у нескладу са званичном физиком (са релативистичком термодинамиком), али приметите да се таj део може и занемарити а да ова теориjа о природи времена опет стоjи. За разумевање настаjања времена из информациjе и ниjе потребно познавање ентропиjе. Међутим, када прихватимо овакво третирање ентропиjе и последица, много тога из релативистичке термодинамике ће изгледати логичниjе или ће се поjедноставити. Болцманова константа k B = R/N A и даље дефинише количник гасне константе R u и Авогадровове 36 константе N A = 6, mol 1. То и даље остаjе у складу са познатом класичном формулом термодинамике, P V = nrt = k B NT, где jе n броj молова супстанце, а N броj молекула гаса. За n = 1 mol, броj N jе jеднак броjу честица у jедном молу, тj. Авогадровом броjу. Са друге стране, кинетичка теориjа даjе просечан притисак идеалног гаса P = Nm v 2 /3V, одакле просечна транслаторна кинетичка енергиjа 1 2 m v 2 = 3 2 k BT, а она има три степена слободе (по jедан 1 2 k BT за сваку димензиjу). Познато jе у физици, енталпиjа (H) jе збир унутрашње енергиjе (E) и производа притиска (P ) са запремином (V ) термодинамичког система. Енталпиjа jе особина термодинамичког система, независна од његове историjе: H = E + P V, (1.36) при чему jе E унутрашња енергиjа система коjа се мења према (1.13), дакле jеднако као и други сабирак (P V ). Према томе je релативна енталпиjа H = γh 0, (1.37) када jе H 0 сопствена. Размене топлоте Q 0 и енталпиjе H 0 у систему у мировању jеднаке су, али не и у кретању. Ово друго ниjе званично. 36 Амадео Авогадро ( ), италиjански научник. Растко Вуковић 34

35 1.7 Њутнова механика Дошли смо до закључка да jе промена сопствене ентропиjе S 0 већа од одговараjуће релативне S коjа опада зависно од релативне брзине v пропорционално броjу 1/γ. Зато што систем не прелази спонтано на стања мање ентропиjе, зато кажемо да тело остаjе у сопственом систему и тако тумачимо деловање Њутновог 37 закона инерциjе. Разматраћемо сада те закључке у условима Њутнове гравитациjе. У исходишту координатног система, у тачки O на слици 1.11, налази се центар планете масе M, око коjе ротираjу два сателита A 1 и A 2 маса m 1 и m 2 на удаљеностима r 1 и r 2 по кружним 38 путањама k 1 и k 2. Одбоjне центрифугалне силе коjе ствара ротациjа сателита у равнотежи су са привлачном силом гравитациjе и сателити клизе по своjим кружницама не осећаjући деjства тих сила. Они се налазе у бестежинском стању па према томе и у (криволиниjском) инерциjалном кретању. Поставља се питање шта jе са ентропиjама сателита? Slika 1.11: Ротациjа око центра масе. На основу свега досадашњег изводимо закључак да jе сопствена ентропиjа сваког од сателита већа од релативне ентропиjе оног другог. Такође, сопствена ентропиjа сателита већа jе од ентропиjе непокретне тачке коjом сателит пролази током своjе ротациjе, jер би се иначе могао зауставити у тоj тачки (без деjства других сила или судара). Зато сателит не може спонтано прећи из jедне путање у другу, нити се може тако зауставити. Приметимо да ово не мора да важи у случаjу веома jаке гравитационе силе (великих маса, на мањим полупречницима ротациjе), када jе упитна инерциjалност бестежинског стања. Пример Израчунати брзине сателита. 37 Isaac Newton ( ), енглески математичар. 38 Уместо кружница могли бисмо узети било коjе криве другог реда (елипсе, параболе или хиперболе) али би нам тада рачун био компликованиjи. Растко Вуковић 35

36 Решење. Центрифугална и гравитациона сила сателита масе m на удаљености r од центра масе M износе, редом: F c = mv2 r, F g = G Mm r 2, (1.38) где jе G = 6, N m 2 kg 2 гравитациона константа. Изjедначавањем добиjамо v = GM/r, (1.39) а затим r замењуjемо са r 1 < r 2, и добиjамо две различите брзине v 1 > v 2. сателит даље креће се спориjе, брзином обрнуто пропорционалном са r. Што jе У условим слабог гравитационог поља (Њутновог поља), када слободан пад по кружноj путањи сателита jош увек можемо сматрати инерциjалним кретањем, брзина фиксне тачке коjом сателит пролази расте са приближавањем центру гравитациjе, тада важе формуле за умањење релативне ентропиjе и успоравања времена (1.18) и (1.23). Такође, када полупречник ротациjе неограничено расте (r ), тада деjство гравитационог поља исчезава и брзина ротациjе постаjе нула. Са становишта ових инерциjалних система види се брзина ротациjе (1.39) и могу се препознати разлике у релативним ентропиjама непокретних тачака поља у односу на ентропиjе сателита. Ако смо у претходним разматрањима били у праву, ове разлике ентропиjа мораjу довести и до разлика брзина протицања времена. Дакле, тумачећи настанак времена стварањем информациjе, ову реализациjом случаjних догаћаjа из неизвесности, а затим и због ентропиjе, долазимо до закључка да Њутнова механика предвиђа успоравање времена унутар гравитациjе. Штавише, показаћемо да jе то у складу са Аjнштаjновом општом теориjом релативности! Пример Израчунати промену ентропиjе и дилатациjу времена фиксне тачке у гравитационом пољу, релативно у односу на фиксног бесконачно далеког посматрача. Решење. Брзина бесконачно удаљеног сателита jе нула (када r, тада v 0). Отуда се види брзина кретања сателита (1.39) и може се констатовати да су му одговараjуће промене ентропиjе и брзина протицања времена, редом: S = S 0 1 v2 c 2, t = t 0, (1.40) 1 v2 c 2 где са индексом нула и даље означавамо сопствене вредности. Релативно у односу на таj сателит, непокретне тачке коjима сателит пролази имаjу такође успоравања ентропиjе и времена за исти коефициjент: S 0 = S 1 v2 c 2, t 0 = а отуда композициjом функциjа и сменом (1.39): t 1 v2 c 2, (1.41) S = S (1 GM c 2 r ), t = t 1 GM, (1.42) c 2 r што ће се показати као добра апроксимациjа за Шварцшилдово 39 поље (централно симетрично гравитационо поље опште теориjе релативности). 39 Karl Schwarzschild ( ), немачки физичар и астроном. Растко Вуковић 36

37 Карл Шварцшилд jе године показао да се из опште теориjе релативности апроксимациjом добиjа класична теориjа гравитациjе, а сада имамо и обрнути поступак, извођење последица Аjнштаjнове опште теориjе из класичне Њутнове. Међутим, ниjе моjе тумачење ентропиjе неопходно за такво поопштавање. Довољна су специjална теориjа релативности и класична механика. Полазећи од Њутновог закона, држимо центар масе M и даље у исходишту, а тело масе m нека jе у слободном паду, рецимо (може и дугачиjе) вертикално ка том центру. Падање тела масе m производи рад (гравитационе силе тела M) коjи се претвара у кинетичку енергиjу па маса m расте. Према Галилеjевом 40 принципу еквиваленциjе инерционе и гравитационе масе, порастом масе расте и jачина гравитационе силе. Нека на путу dr маса порасте за dm. Тада имамо: dmc 2 = GMm r 2 dr, dm m = GM r 2 c 2 dr, ln m = GM rc 2 + const. m = m 0 e GM/rc2, (1.43) где би маса тела коjе пада била m 0 у одсуству гравитациjе. Осврнимо се на развоj у Маклоренов ред функциjа коjе се овде jављаjу: (1 x) 1 = 1 + x + x 2 + x (1 x) 0,5 = x 1 8 x x3... (1 x) 0,5 = x x x exp(x) = 1 + x1 1! + x2 2! + x3 3! +... ln(1 x) = x 1 2 x2 1 3 x3 1 4 x4... (1.44) За мале брзине у односу на брзину светлости, када x = v/c 0, добиjамо: (1 x) x (1 x) 0, x (1 x) 0, x exp(x) 1 + x ln(1 x) x (1.45) Тако видимо да jе коефициjент дилатациjе времена (1.42) jеднак са коефициjентом повећања масе (1.43). Даље ћемо (са истом апроксимациjом) показати да светлост коjа улази у гравитационо поље мења фреквенциjу jеднако као што време у гравитационом пољу успорава због смањивања ентропиjе. Jедначина (1.43) важи за гравитациона поља где jе маса M довољно већа од m (убрзање већег тела jе занемариво у односу на убрзање мањег), када jе центар маса у центру већег тела а да jош увек можемо имати инерциjалне системе. Маса фотона jе ω/c 2, фреквенциjа светлости у бесконачности jе ω 0. Док светлост путуjе у гравитационом пољу 41, према jедначини (1.43), њена фреквенциjа je ω = ω 0 e GM/rc2. Обрнуто, 40 Galileo Galilei ( ), италиjански математичар. 41 в. [2] Растко Вуковић 37

38 ставимо ли да jе фреквенциjа светлости ω на површини звезде полупречника R, онда ће она удаљаваjући се од звезде постати фреквенциjа ω = ω e GM/Rc2 ω (1 GM ). (1.46) Rc2 То jе позната формула за гравитациони црвени помак. Раниjе смо већ помињали таj помак ка црвеном изван гравитационог поља, (1.16) и даље, као индикатор повећања температуре у контексту смањења ентропиjе. Аналогно овде, у гравитационом пољу, он указуjе на нижу ентропиjу на површини звезде него на даљим местима. Унутар гравитационог поља не можемо синхронизовати сатове као у специjалноj релативности, али можемо у бесконачности. Низ осцилациjа таласа светлости простире се из бесконачности до r од центра, са почетном фреквенциjом ω 0 и траjањем jедне осцилациjе t = 2π/ω 0. Мерено сатом у гравитационом пољу, протекло време такође jе t, jер су одлагања потребна за две фазе таласа jеднака. Међутим, гравитациjа делуjе на фреквенциjу светлости. То се види из претходног, да се локална фреквенциjа светлости мења у односу на бесконачност. Са удаљеног инерциjаног система гледано, локална фреквенциjа постаjе ω 0 e GM/rc2, а локално траjање jедне фазе таласа t e GM/rc2. Како временски интервал мерен локално износи t, то локални сат успорава у односу на сат у бесконачности. Да бисмо добили време у бесконачности морамо множити локално време са фактором e GM/kc2. Слично дилатациjи времена, помоћу фреквенциjа светлости можемо израчунати и контракциjу дужина у присуству гравитационог поља. Нека jе таласна дужина светлости у бесконачности λ 0 а растоjање коjе она пређе за jединично време nλ 0. Док се приближава удаљености r, она jош увек прави n осцилациjа у jединици времена. Како се локална фреквенциjа повећава, локална таласна дужина постаjе λ 0 e GM/rc2 посматрана из бесконачности, а растоjање коjе талас пређе за jединицу времена постаjе nλ 0 e GM/rc2. Дужина jе растоjање коjе светлост пређе за дато време. Упоређена са дужином у бесконачности, локална дужина се скраћуjе. Дакле, да би jе свели на дужину у бесконачности, локалну дужину (у правцу извора поља) морамо множити са фактором e GM/rc2. Другим ознакама, ако су за посматрача у гравитационом пољу дужина (у правцу промене jачине поља) и време r 0 и t 0, исте ће посматрач изван гравитационог поља вредновати са r и t, при чему jе: r = r 0 exp ( GM rc 2 ), t = t 0 exp ( GM rc 2 ). (1.47) То су изрази за контракциjу дужина (у правцу гравитационог поља) и дилатациjу времена познати и у општоj теориjи релативности у случаjу слабиjих поља (мало M или велико r). Апроксимациjом (1.45) их сводимо на: r = (1 GM rc 2 ) r 0, t = (1 + GM rc 2 ) t 0. (1.48) Може се показати да се исти изрази добиjаjу и из Шварцшилдове метрике ds 2 = (1 2GM 1 rc 2 ) dr 2 + r 2 sin 2 θ dϕ 2 + r 2 dθ 2 (1 2GM rc 2 ) c2 dt 2, (1.49) коjа представља решење Аjнштаjнових jедначина поља (опште теориjе релативности), у сферним координатама Orϕθ за централно симетрично гравитационо поље. Надам се да ова израчунавања и обjашњења довољно добро сведоче о сагласности моjих хипотеза са признатом физиком механике. Растко Вуковић 38

39 1.8 Случаjност и хаос Рекли смо да jе у самоj основи васионе случаjност и хаос, а сада ћемо то двоjе раздвоjити и прецизирати у одсуство краjњег узрока и непредвидљивост. Пре тога, нагласимо да jе васиона много више од онога каквом jе види данашња физика, али да опет и она има своjа ограничења. Jедно од тих ограничења jе закон великих броjева: понављањем у истим условима, фреквенциjа случаjног исхода постаjе све више jеднака вероватноћи тог исхода. На пример, у 18. и 19. веку примећено jе да jе на великом узорку однос мушких и женских новорођенчади константан. При томе, броj дневно рођене мушке и женске деце ниjе уjедначен, већ се тек у дужем посматрању таj однос почиње стабилизовати. Због закона великих броjева све веће ствари у васиони од сасвим случаjних постаjу сасвим неслучаjне. Горња граница васионе када случаjности прелазе у извесности (можда хоризонт догађаjа) одређена jе оним наjмањим корацима (можда квантима нужности) на местима за коjа веруjемо да немаjу извесности. Ова разматрања су ближе том дну. Slika 1.12: Хаос - ред сакривен нередом. Теориjа хаоса jе грана математике коjа се бави понашањем динамичких система коjи су веома осетљиви на почетне услове. У оквиру тога се хаос сматра нечим што изгледа насумично али оно то по своjоj суштини ниjе, jер се негде унутар криjу правила, повратне петље, понављања, само-сличности, фрактали и само-организовање, коjе малим променама почетних вредности доводе до великих разлика у краjњим резултатима. У том смислу jе написана 42 данас чувена реченица о ефекту лептира, да покрет његових крила у Бразилу може бити узрок торнада у Тексасу. Пионир ове теориjе Едвард Лоренц 43 jе дефинисао хаос 44 следећом реченицом: Хаос имате када 42 Boeing (2015). Chaos Theory and the Logistic Map. Retrieved Edward Norton Lorenz ( ), амерички математичар. 44 Danforth, Christopher M. (April 2013). Chaos in an Atmosphere Hanging on a Wall. Mathematics of Planet Earth Retrieved 4 April Растко Вуковић 39

40 садашњост одређуjе будућност, али приближна садашњост не одређуjе приближну будућност. Према томе, теориjа хаоса ниjе тачна основа ове књиге. Међутим, многа истраживања на коjа се наслања теориjа хаоса довела су до резултата коjи би нам овде могли бити корисни. На пример, Ремзиjева теорема, парафразирам 45 : увек jе могуће наћи неки клише ма како се трудили да ствари замутимо. Тако, ако довољно много насумичних облака прође небом, увек ће бити могуће у њима угледати неко унапред дато лице. Генеришући само насумичне речи у некоj књизи, када књига постане довољно опширна, у њоj ћете налазити и смислене реченице. Зато што се у мноштву случаjности увек налазе елементи нужности, нећемо направити логичку грешку па поверовати да jе сва случаjност саткана само од нужности. Ремзиjева теорема jе настала пре теориjе хаоса. Она jе била део комбинаторике (теориjе распоређивања) и последица Дирихлетовог 46 принципа (ако имате n = 1, 2, 3,... отвора за голубове и n + 1 голубова, онда ће бар у jедном од отвора бити бар два голуба), а данас jе честа тема на такмичењима ученика из математике. Међутим, као што сама комбинаторика све више изгледа као део теориjе вероватноће, веруjем, тако ће и Ремзиjева теорема постаjати део квантне механике. Примењено на формулу (1.3), коjа повезуjе хиjерархиjу, интелигенсиjу и слободу живих бића, из Ремзиjеве теореме можемо извести закључак да не постоjи хиjерархиjа (нити интелигенциjа) интензитета нула. Примењено на формулу (1.4) у случаjу када она представља информациjу (а то значи и принцип наjмањег деjства у физици, а затим и лагранжиjан), вектори p и q не могу бити нултих интензитета (мораjу заступати макар мале неодређености). У случаjу да угао између тих вектора ниjе прав, онда нити њихов скаларни производ L не може бити нула. Тада свака примена принципа наjмањег деjства у физици мора резултирати неком информациjом. Напротив, нарушавање принципа наjмањег деjства можемо тражити само међу интеракциjама без размене информациjе (квантна спрегнутост). Друга група занимљивих примера долази нам из проучавања цикличних поjава. Теориjа хаоса jе настала отркивањем стабилности (еквилибриjума) у нестабилности. Врсте стабилности, такви скупови вредности ка коjима системи теже да еволуираjу са широког спектра почетних услова, називаjу се атрактори. Грубо, постоjе две врсте равнотежа, статичне и динамичне. Када се систем развиjа у такве, прве називамо атракторима, а друге страним атракторима. На пример, замислимо неки градић са становника. За смештаj свих тих житеља у граду су jедна робна кућа, вртић, школа, библиотека и три богомоље. Та им jе инфраструктура довољна и људи живе у равнотежи. Међутим, нека компаниjа одлучи да на предграђу отвори фабрику коjа би могла да запосли jош људи и да нагло развиjе град за смештаj становника. Зато се ради на отварању jош jедне робне куће, jош по jедног вртића, школе и библиотеке и jош три богомоље. Инвеститори циљаjу на нову равнотежу коjу називамо атрактор. Замислимо даље да уместо доласка нових људи на постоjећих , град напусти и у њему остане само Шефови продаjе из робне куће процене да њихове продавнице могу опстати само са муштериjа, па их крену затварати. У међувремену потражња порасте и нека друга компаниjа одлучи да изгради супермаркет, надаjући се да ће тако привући нове људе. А то се и деси. Али многи су већ у процесу одсељавања и нови супермаркет неће променити њихове намере. Компаниjа 45 Ramsey s theorem: 46 Peter Gustav Lejeune Dirichlet ( ), немачки математичар. Растко Вуковић 40

41 држи радње отворенима jош годину дана а затим дође до закључка да нема довољно купаца и поново их затвори. Људи одсељаваjу, али потражња опет расте. Неко трећи отвори трговачки центар. Људи се почну враћати али не довољно. Радње се поново затвараjу. Процес отварања и затварања тече и даље, чиме сам процес постаjе неко стање динамичке равнотеже коjу називамо страни атрактор 47 (в. слику 1.13). Slika 1.13: Страни атрактор. Разлика између обичног и страног атрактора jе што први представља стање у коjе се систем коначно смешта, а други представља врсту путање коjом систем иде од ситуациjе до ситуациjе без коначног смиривања. Поенкаре-Бендиксонова теорема 48 каже да да страни атрактор може постоjати само у системима са три или више димензиjа, или у две димензиjе ако простор ниjе еуклидски. Зато што простор има три димензиjе (дужину, ширину, висину) физички системи могу тежити и динамичким равнотежама. Тамо где се формираjу дводимензионално они постаjу статични. На пример, еволуциjа живота на Земљи може бити у динамичкоj равнотежи, као и развоj саме васионе. Пахуљице снега се развиjаjу у статичне 2-дим кристале. Врста атрактора су и таласи материjе квантне механике. Када велики броj честица формира шару коjа jе скоро jеднака почетним опциjама поjедине честице, тада говоримо о само-сличности. Она такође може бити статична (попут пахуљице) или динамична (попут атома), изражена у понављању облика или понашања на различитим нивоима сложености. Не као идентичка копиjа, већ као вариjациjа исте основе. То су открића теориjе хаоса коjа можемо следити, иако нећемо и саму претпоставку да и у наjвећем нереду све има своj узрок. Наиме, чак и када су основе теориjе нетачне последице могу бити тачне, jер ниjе контрадикциjа. Реалност jе неjасна али jе апроксимациjа тачна. Са друге стране, jесте контрадикциjа (нетачност се не може извести дедукциjом из тачног), па jе апсолутна истина непоуздан сарадник. Узрок свих узрока не оправдава нити Белова теорема (да квантна механика нема скривених параметара), непостоjање скупа свих скупова, па и немогућост досезања граница знања (Геделова теорема). Не само да нам jе краjњи узрок недоступан, већ jе такав и контрадикторан, а то jе за математичку теориjу неприхватљиво. 47 енг. strange attractor - чудни атрактор, мамац 48 Poincaré Bendixson theorem: theorem Растко Вуковић 41

42 1.9 Таласи материjе Таласи материjе су централни део квантне механике. Они су произашли из особина квантних система да су истовремено и таласи и честице. Мали делови материjе имаjу и таласне и квантне особине, што се назива дуализмом талас-честица. На пример, електрони показуjу особине дифракциjе, груписања по слабиjим и jачим концентричним кружницама, када наиђу на препреку или мораjу проћи кроз отвор. Таласи електрона су заправо таласи вероватноће коjи ствараjу нове и нове позициjе електрона (чиjи делови маса, наелектрисање или спин се не могу даље делити) док време одмиче, држећи се принципа да ће jедном реализована честица у датом тренутку бити опет наjвероватниjа у истим околностима и у следећем тренутку. Као атрактори, таласи вероватноће се могу апроксимирати синусоидама. На слици 1.14 приказан jе jедноставан талас, представљен синусоидом y = a sin bx. Талас осцилуjе око апсцисе (x-осе) са максималним одступањима у правцу ординате (y-оса) константним амплитудама (a), коjе се (a, b = const.) периодично понављаjу. Растоjање између две суседне истосмерне амплитуде назива се таласном дужином (λ = 2π/b) или основним периодом таласа. Slika 1.14: Jедноставан талас. Зато што су параметри a и b дате синусоиде константе, талас изгледа равномерно као на слици. Ако се параметри мењаjу дуж апсцисе, a = a(x) и b = b(x), синусоида jе стационарна али ниjе обавезно равномерна. Уопште, стационарним стањем називамо оно коjе се не мења временом. Када се параметри таласа мењаjу и временом, али тако да амплитуде осцилуjу из горњег у доњи смер ординате не мењаjући место на апсциси, тада имамо стоjеће таласе. Непокретне тачке на оси таквих таласа називамо чворовима таласа. Коначно, гомила таласа на jедном месту коjе може да се креће (не мора) назива се таласни пакет. Фаза таласа jе позициjа тачке таласа у датом тренутку током његовог периодичног кретања временом. За врх амплитуде стоjећег таласа кажемо да се помера паралелно ординати (горе-доле), док се код таласа у покрету помера паралелно апсциси (леводесно). Рецимо, када се синусоида на датоj слици помери за дужину α паралелно апсциси, тада се добиjе нова синусоида: y y 1 = a sin[(x + α)b] = a sin(xb + ϕ), (1.50) па кажемо да фазни помак износи ϕ = αb. Фазни помак се може мењати временом и Растко Вуковић 42

43 тада пишемо ϕ = ϕ(t), када jе фазна брзина ϕ = dϕ/dt. То jе брзина простирања таласа (апсцисом на слици 1.14). У динамици флуида дисперзиjа (расипање) водених таласа се уопште односи на расипање фреквенциjе, што значи да таласи различитих таласних дужина путуjу различитим фазним брзинама. Вода са своjом слободном површином у том смислу спада у дисперзивне медиjе, а водени таласи коjи се простиру површином воде су покретани површинском напетошћу и гравитациjом. Важност гравитациjе за кретање таласа воде сада, након претходног разматрања, значи да дубље узроке таласног кретања воде треба тражити у принципима вероватноће и ентропиjе. Код трансферзалних (окомитих) таласа попут водених, вредност ординате буквално значи износ отклона таласа од правца његовог простирања дуж апсцисе. Код лонгитудиналних (уздужних) таласа попут звучних, вредност ординате jе мера стискања медиjа дуж правца кретања таласа. Водене таласе покрећу, назовимо их импресиjе и депресиjе, а звучне тзв. компресиjе и рарефракциjе. Компресиjе су области високог притиска, рарефракциjе су области ниског. Аналогно поменутоj гравитациjи, из (1.34) знамо да и притисак има везе са ентропиjом. Прикривени ефекти неизвесности макро-света су изражениjи у микро-свету. Према Борну 49, квантна механика ради са вероватноћама физичких стања. Квантни систем и његова стања представљамо таласним функциjама Ψ(r, t), векторима Еуклидског простора, али са комплексним коефициjентима коjи зато називамо Хилбертов простор. Ове гранчице називамо таласне функциjе, jер се сабираjу попут интерференциjе односно суперпозициjе таласа. Оне представљаjу особине честица вероватноћама коjе се добиjаjу као коњуговано комплексни производи Ψ Ψ = Ψ 2. Зато су оне и таласи вероватноће. Неизвесности тих вероватноћа сматрамо обjективнима. Реализациjама случаjних догађаjа настаjу информациjе (1.1), а њихово мноштво чини нашу садашњост. Садашњост затим постаjе наша прошлост коjа се (углавном) не мења просто зато што (углавном) важи и закон одржања информациjе. Таj закон одржања jе такође последица закона вероватноће. Поновимо, то видимо овако: сложена неизвесност (информациjа) са mn исхода може се разложити на збир неизвесности (информациjа) са m и n исхода, небитно у коjим временским интервалима. На нивоу физике закон одржања информациjе се одавно прећутно прихвата, од када се веруjе да су сазнања добиjена у интеракциjама у експериментима валидна. Следи неколико примера рачунања помоћу ових функциjа да се види да су оне таласи, нама наjважниjи таласи, али и да видите како се са тим таласним функциjама рукуjе у квантноj механици. Ове делове можете и прескочити. Пример Показати да за ξ {x, y, z, t} jедначина Ψ ξ Ψ + Ψ Ψ = 0, (1.51) ξ значи одржање информациjе стања Ψ = Ψ(r, t) променом координате ξ. Решење. Количина неизвесности се неће променити ако и само ако вероватноћа неће променити вредност. Отуда и због ξ Ψ 2 = ξ (Ψ Ψ) = Ψ ξ Ψ + Ψ Ψ ξ 49 Max Born ( ), немачки физичар и математичар. Растко Вуковић 43

44 затим из ξ Ψ 2 = 0 следи тражена jеднакост. То jе jедначина одржања неизвесности, коjа jе еквивалентна информациjи (након реализациjе случаjног догађаjа). Веома важна у квантноj механици jе Диракова 50 jедначина, сведена на апсцису 3 [βmc 2 Ψ(x, t) + c ( α n p n )] Ψ(x, t) = i, (1.52) t n=1 иначе инвариjантна на Лоренцове трансформациjе. Физичка стања (честице) коjе она описуjе понашаjу се по правилима Аjнштаjнове специjалне теориjе релативности, за коjе смо рекли да изражава самодовољне, детерминистичке системе коjи се могу сместити у 4-димензионално простор-време Минковског. Из претходних разматрања то значи одржање ентропиjе, па нас неће изненадити ако откриjемо да свако решење ове jедначине одржава вероватноћу и информациjу константним. Другим речима, за свако решење Ψ = Ψ(x, t) Диракове jедначине важиће jедначина (1.51). Пример Показати да свако решење Диракове jедначине чува информациjу. Решење. Из (1.51) следи, редом: а отуда сабирањем одакле тражени услов (1.51). 3 [βmc 2 + c ( n=1 3 [βmc 2 + c ( n=1 α n p n )] ΨΨ = i Ψ t Ψ, α n p n )] Ψ Ψ = i Ψ t Ψ, 0 = i ( Ψ t Ψ + Ψ t Ψ), Решења коjа не обухвата Диракова jедначина налазе се у Шредингеровоj 51 jедначини, коjу такође можемо написати у облику за апсцису и време Ψ + U(x, t)ψ = i Ψ 2m x2 t, (1.53) 2 где jе таласна функциjа Ψ = Ψ(x, t). Први сабирак jе кинетичка енергиjа, други jе потенциjална енергиjа, а на десноj страни jеднакости jе укупна енергиjа. Маса честице jе m, потенциjал U(x, t) а i = 1 jе имагинарна jединица. Према томе, овако написана Шредингерова jедначина изражава закон одржања енергиjе. Jедноставниjа решења ове jедначине добиjамо када нема промена стања временом ψ = ψ(x) и када jе потенциjал функциjа само апсцисе U = U(x). У наjjедноставниjем случаjу, за слободну честицу-талас, добиjамо решење: ψ(x) = Ae ikx, 50 Paul Dirac ( ), енглески математичар. 51 Erwin Schrödinger ( ), аустриjски физичар. 2m k2 = E, p = k. (1.54) Растко Вуковић 44

45 где jе A реална константа, p импулс честице, k (реалан) таласни броj, E енергиjа честице, = h/2π, h = 6, Js jе Планкова константа. То jе стационарно стање. Да за слободну честицу важи закон одржања информациjе (1.51) следи из следећег израчунавања: ψ (x) = Ae ikx, ψ(x) = Ae ikx, ψ x = ikψ, ψ x ψ = ikψ ψ, ψ x = ikψ, ψ ψ x + ψ x ψ = 0, ψ ψ x = ikψ ψ, Према томе, важи jеднакост (1.51). Међутим, информациjа ниjе исто што и енергиjа, па можемо очекивати да нека решења Шредингерове jедначине (1.53) не испуњаваjу услов одржања информациjе. И заиста, за честицу у побуђеном стању, када A = A(x) више ниjе константа, сличним поступком налазимо dψ dx ψ + dψ ψ dx = 2AdA 0, (1.55) dx када jе извод da(x) dx 0. Упоређуjући са претходним, сада можемо потврдити да су овакве честице у неинерциjалним системима. Када поопштимо Хартлиjеву дефинициjу (1.1) и таласну функциjу напишемо у облику Ψ = exp(l), тада jе L поопштена информациjа и комплексан броj. Из (1.51) следи Ψ Ψ ξ L+ΨΨ ξ L = 0, односно ξ (L +L) = 0, што значи да из очувања вероватноће (у датим условима) следи очување само реалног дела те информациjе (без имагинарног). Међутим, имагинарни део чини функциjу Ψ = ln L периодичном. Ове делове сте могли и прескочити. Оно што бих волео да не прескочите jесте следеће запажање. Стационарна стања (1.54) представљаjу таласе вероватноће, нормиране тако да укупна површина испод (квадрата норме) ове функциjе до x-осе износи jедан. Зато jе за стационарна стања равномерних таласа битно одакле су кренули (догађаj D 1 ) и докле су стигли (догађаj D 2 ). И то има своjе чудне последице. Нека jе фотон та равномерна слободна честица коjа путуjе од интеракциjе D 1 до D 2. Зато што jе оваj свет (васиона) заснована на неизвесности, да ма како нешто организовали увек се нешто може изjаловити, зато након напуштања догађаjа D 1 наш фотон не може бити баш сигуран у сусрет са догађаjем D 2. Ако се догађаj D 2 никада не деси, амплитуде вероватноће његове таласне функциjе ће се толико развући до чињенице да фотон никада ниjе нити постоjао, да се догађаj D 1 у његовоj историjи никада и ниjе десио. Напротив, ако се фотон срео са догађаjем D 2, тада ће се његова прошлост формирати на такав начин да се десио и догађаj D 1. Оба догађаjа, D 1 и D 2, биће физички реална рецимо према отклону честица са коjима jе дати фотон реаговао одређеним законом одржања импулса. Према томе, у овоj теориjи jе потребно да веруjемо у тзв. квантну спрегнутост. Не само у оно фантомско деловање на даљину коме се противио Аjнштаjн, већ и у деловање садашњости на прошлост. Прошлост jе депониjа информациjа и она jе траjна само толико колико важи закон одржања информациjе! Растко Вуковић 45

46 1.10 Интеракциjе Физичке интеракциjе могу бити праћене емитовањем информациjе, али и не мораjу. Ово друго званична физика тек треба да откриjе, рецимо, у квантноj спрегнутости или нама недоступним комуникациjама (што ниjе исто). Обрнуто, свака информациjа праћена jе неком интеракциjом. Иако то на први поглед може изгледати другачиjе, све физичке интеракциjе долазе из случаjних догађаjа. Наиме, информациjа jе реализована неизвесност и као таква она се даље не мења. Чак и када нам jе потребно неко време да из датих података изведемо закључке, рачунаром или дедукциjом, оно што добиjемо ниjе информациjа све док у изведби не учествуjе непредвидљивост. Теорема изведена из аксиома и њихових последица неке математичке теориjе, има нулту информациjу. То jе последица Хартлиjеве дефинициjе информациjе, коjа jе основа осталих. Узрок закона вероватноће jе принцип вероватноће (оно што jе вероватниjе догађа се чешће), коjи сматрамо толико логичним да га и не налазимо у књигама коjе излажу теориjу вероватноће. Физикална последица тог принципа jе да природа мора да реализуjе (наjвероватниjе) неизвесности и да уjедно производи минимум информациjе. Због ове нужности и уjедно шкртости у давању информациjе, у физици имамо принцип наjмањег деjства, свугде где jе интеракциjа праћена информациjом. Пример Због принципа наjмањег деjства, светлост се одбиjа под углом jеднаким упадном. Slika 1.15: Из A светлост се одбиjа од q ка B. Обjашњење. На слици 1.15, светлост из тачке A одбиjаjући се у тачки Q површине q стиже у тачку B. Међутим, Q q обезбеђуjе наjкраћи пут од A одбиjањем до B. Наиме, B jе рефлексиjа B преко q, па jе A Q B и QB = QB, а унакрсни углови и рефлектовани су jеднаки α. Из неjеднакости троугла AP B, где jе P q произвољна, да jе свака страница троугла (посебно AB = AQ + QB = AQ + QB) краћа од збира остале две, следи закључак. Због принципа наjмањег деjства, садашњост напредуjе наjмањим могућим корацима. Она представља укупност управо реализоване неизвесности у информациjу и ништа више. У тим информациjама jе садржана и сва геометриjа чиjи део видимо у датом Растко Вуковић 46

47 примеру, али и сва остала реалност. Према томе, физички део света ниjе сама супстанца, већ и математичка апстракциjа коjа обjашњава ту супстанцу. Slika 1.16: Играће карте. Да и своjство адитивности (сабирања предмета, маса, енергиjа) супстанце има корен или узор у аналогном своjству информациjе видимо из следећег примера. Немачки шпил има 52 карте. Свака jе карта са по jедном од 13 вредности (2, 3,..., 10, жандар, дама, краљ, ас) и jедном од четири боjе (пик, треф, каро, херц). Вероватноћа насумице извучене карте и добиjене информациjе jе редом: P = 1 0, 019 H = ln 52 3, 951. (1.56) 52 Претпоставимо да jе суиграч тако извукао jедну карту коjу требамо погађати, али да пре тога он нама може открити: или 1. њену вредност или 2. њену боjу. Информациjе о првом и другом су редом: H 1 = ln 13 2, 565 H 2 = ln 4 1, 386. (1.57) Jасно jе да ће нам њена вредност бити корисниjа него њена боjа, а опет jе H 1 + H 2 = H. (1.58) Када тражи изjашњење у информациjи природа радиjе бира онаj први случаj. Такав избор jе последица принципа ентропиjе. Да су вероватноће релативне, зависно од опажене брзине координатног система, видимо на слици 1.8. Систем K се креће брзином v у односу на K дуж r-осе. У покретном систему, окомито на правац кретања, креће се зрака светлости. Иста зрака опажена у систему K не креће се окомито на r-осу. Сопствени и релативни импулс зраке светлости су различити, а како се у односу на сваког од посматрача реализуjу наjвероватниjи догађаjи (принцип вероватноће), то наjвероватниjа путања у K ниjе наjвероватниjа и за K. За релативног и сопственог посматрача брзина светлости остаjе иста, а иста jе и поjедина информациjа. Ово друго jе новост па морам обjаснити. Када из лото бубња извлачимо jедну од, рецимо 39 фер куглица, вероватноћа (1/39) се не мења ако сутрадан све куглице заменимо већима. Можда ће се само продужити траjање извлачења или ће нам требати већа кутиjа за смештаj добитне комбинациjе. Тако некако разумемо релативне посматраче. Када би се вероватноће случаjних догађаjа за релативног посматрача смањиле и ти исти догађаjи реализовали, онда би такав добио већу информациjу. За оба, релативног и сопственог посматрача, реализуjу се наjвероватниjи догађаjи (не обавезно исти), али се смањуjе укупна количина свих. Растко Вуковић 47

48 То нас води до идеjе да постоjи нека врста кванта информациjе. На пример, Хаjзенбергове 52 релациjе неодређености за импулс p r и положаj r мерено дуж исте осе (апсцисе, ординате, апликате, или временске ct када jе p ct = E/c четврта компонента импулса), гласе p r r 2, (1.59) где jе = h 2π редукована Планкова константа. Наjмања вредност леве стране неjеднакости jе квант информациjе коjи jе исти за оба, релативног и сопственог посматрача. Од таквих сабирака се састоjи L, тj. генералисана информациjа (1.4) и, претпостављам, лагранжиjан L. Разматрањима о термодинамици у претходним секциjама (Ентропиjа - Притисак) постављена jе претпоставка да jе релативна ентропиjа мања од сопствене. То сада може значити само смањење броjа наjоптималниjих распоређивања (1.11) у складу са формулом (1.18). Можемо рећи овако: зато што време успорава смањуjе се броj распореда по jединици времена, а зато се смањуjе и вредност логаритма коjи значи Болцманову ентропиjу. Међутим, исто можемо рећи и овако: зато што се смањуjе ентропиjа и укупна количина произведене информациjе, зато jе мања производња времена и садашњост jе успорена. То jе сагласност. То ниjе нпр. квака 22, коjа значи блокаду рада програма када jедан процес чека на завршетак другог а други чека да се заврши први, али био би circulus vitiosus када би се користило као дефинициjа или доказ за тезу о успоравању релативног времена или мањоj релативноj информациjи (ово друго jе овде хипотеза). Природа (углавном) трага за плановима са наjвећим броjем распореда и када их реализуjе дели около порциjе са наjмањом информациjом а затим редом све већом. Са друге стране, шкртарећи се информациjама у контактима са околином, предмети комуницираjу, одржаваjући своjе вероватноће а тиме и неизвесности константним. Преузимаjући информациjе из околине честице одржаваjу сопствена стања. Ове ситуациjе jош више поjедностављуjе претпоставка да jе природа глупа, да честице не памте, да не трагаjу за плановима већ одлуке доносе на пречац, фудбалским жаргоном на прву лопту, и добићемо физику микро-света. Када се честица изнова (у следећем тренутку) формира и реагуjе на сличан начин то jе изнуђена реакциjа на околности коjе се нису (битно) промениле. Познато jе да узастопна мерења неке особине квантне честице даjу (углавном) исте вредност вероватноће те особине. Доследно томе (а ниjе познато, jер следи из овде описаног описа ентропиjе) jе да одбиjања честица у сударима настаjу због размене информациjа. Приближаваjући се судару, свака од честица предаjе другоj неку информациjу о себи, поjашњаваjући се, чинећи jоj своjе окружење извесниjим и управо зато и са мањом ентропиjом. Ствара извесниjу средину, мање интересантну честицама и са мањом ентропиjом, због чега се честице одбиjаjу. Спонтано, свака од честица не желећи ићи напред, скреће. Уопште гледаjући, не комуницира свако са сваким. У физици, изузетак од тога jе можда гравитациjа, али веруjем да електромагнетне поjаве нису. Иако без набоjа, фотони су честице електромагнетног зрачења коjе комуницираjу (само) са електрички набиjеним честицама попут електрона, протона, позитрона, миона, W-бозона, и других. Око тих набоjа ствара се подручjе виртуелних фотона коjе називамо електромагнетним пољем. Виртуелна честица jе jеднака одговараjућоj реалноj али тек када (ако) се 52 Werner Heisenberg ), немачки теориjски физичак. Растко Вуковић 48

49 саставе обе интеракциjе: одлазак од jедне и долазак до друге интеракциjе. Тек тада на краjевима интеракциjа прораде закони одржања и честица постане реална. Процес таквих интеракциjа описуjу познати Феjманови 53 диjаграми, али оно чега у описима Феjманових диjаграма 54 нема и овде наглашавамо jе квантна спрегнутост и промена ентропиjе у простору између наелектрисаних честица. Те две поjаве су jедна од поенти ових хипотеза. Пад ентропиjе у сударима честица настаjе смањењем неизвесности у простору између, због комуникациjе честица. На описани начин обjашњавамо одбиjање негативно наелектрисаних електрона. Али шта jе са привлачењем позитивног и негативног наелектрисања? Држећи се изворног Феjмановог обjашњења (данас одбаченог) рећи ћемо да позитивно наелектрисани позитрони имаjу супротан ток времена од негативних електрона. Исти претходни опис, судар позитрона и електрона, тада резултира привлачењем уместо одбиjања. Данас се у физици сматра да о супротном току времена (позитрона у односу на електроне) не вреди разговарати зато што би jедан видео спонтани раст ентропиjе у свету, због чега би други видео пад ентропиjе, што jе противно другим законом термодинамике. Чаша коjа падне са стола и разбиjе се у складу jе са спонтаним растом ентропиjе, филм тог пада и разбиjања, када бисмо га пуштали уназад, приказао би догађаj коjи то не би био. Међутим, у природи то и ниjе баш тако. Ако догађаjи увек иду ка будућности држећи се принципа вероватноће, они реализуjу наjвероватниjа случаjна стања у сваком тренутку своjе садашњости, па би се супротним током времена они ка прошлости опет враћали кроз тада наjвероватниjа стања. Делуjе парадоксално, али за ход догађаjа уназад у времену такође важи и принцип вероватноће и принцип ентропиjе. То значи да поменуто просто враћање филма уназад не приказуjе реалност. Дакле, овде оживљавамо старе Феjманове идеjе о супротном току времена позитрона (у односу на ток времена електрона). Две честице са супротним временским током не могу комуницирати, бар не на начин нама познате комуникациjе у макро-свету. Када прва постави питање другоj да би затим добила одговор, друга мора прво дати одговор па чути питање. То би могло имати мало више смисла у микро-свету, jер су честице глупе, оне не памте и играjу на прву лопту, а околности су такве да се од њих ништа друго и не тражи. Пажљивиjе гледаjући, за супротне временске токове, оно што jе jедном неизвесност другом jе информациjа и обрнуто. Трагове открића да информациjа може прећи у неизвесност налазимо и у макро-свету. Рецимо, када решење jедног проблема отвора нове проблеме. Други пример, када тек након одговора уследи питање, често виђамо код особа коjе се веома добро познаjу, или у лако предвидивим околностима. Према томе, идеjе о супротном току времена постаjу опет прихватљиве, нарочито ако су услови у микро-свету jедноставни а честице глупе. Ради истога, овде предлажемо и збирни закон одржања за количину - информациjа плус неодређеност. Посебно, временски поредак информациjа коjе се гомилаjу у нашоj прошлости не значи и дедукциjу одговараjућих догађаjа. Честа jе грешка данас да се ово олако превиђа. Касниjе у овоj књизи ћемо детаљниjе обjашњавати квантну спрегнутост, када ћемо видети да jе та врста превида чинила чудном, ради чега jе квантна спрегнутост била неприхватљива физичарима 20. века, иако jе сасвим логична према jедначинама квантне механике. 53 Richard Feynman ( ), амерички физичар. 54 Feynman diagram: Растко Вуковић 49

50 Растко Вуковић 50

51 Glava 2 Простор-време Мало подижемо лествицу, бар што се тиче jезика симбола. Оваj део књиге сам могао назвати и Системи координата, Алгебра геометриjе са траговима филозофиjе природе и физике или jедноставно Теориjа релативности, али нити jедно од тога не би било сасвим тачно. Тешко одолевам да као математичар не претерам са формулама, да не одбиjем ионако ретке читаоце, а опет како другачиjе демонстрирати тачност прецизне теориjе. Нема смисла рећи и ово jе научна фантастика за штиво засновано на математичким анализама, а опет има потребе. Време ниjе математичка категориjа. И када веруjемо да оно има снагу праве дедукциjе, оно нема. Демонстрираћу то овде поменутим, а иначе познатим примером два саговорника коjима време тече у супротним смеровима. Веруjе се да jе њихова комуникациjа немогућа 1, jер док jедан поставља питање и чека одговор, други би морао прво дати одговор, па тек онда чекати питање. У свету екстремног детерминизма, када jе баш све што ће бити негде унапред одређено, таква комуникациjа ниjе нелогична. Међутим, она ниjе немогућа нити у свакодневном животу, рецимо двоjе људи коjи дуго живе заjедно, па када jедно од њих хоће да постави питање, а оно друго каже стани, знам шта ћеш ме питати, па пре питања каже одговор. Такође, у свету обjективних случаjности какав овде описуjемо (када честице следе критериjуме кратке памети не марећи много за прошла и будућа стања ствари) нема контрадикциjе. Честице су можда управо зато толико глупе да би могле тако разноврсно комуницирати. Математика jе ванвременска и то jе њена предност у истраживању времена. Она jе невероватно тачна, али никада ниjе била лака ствар. Почевши од широких народних маса, па све до оних ретких поjединаца коjи jе истински разумеjу, математика jе углавном потпуно неjасна или jе jасна на неки погрешан, скаредан начин. Сетимо се Ератостена из античке Грчке, коjи jе наводно изненађуjуће тачно израчунао обим Земље, а за коjу се и даље током скоро 2000 година веровало да ниjе округла. Његова геометриjа, иако учена, па и величана у школама, заправо никада ниjе била у правом смислу схваћена, можда чак ни након Колумбових путовања. Помислимо на данашњу квантну механику коjа jе математички неспорна, али и што се тиче многих експерименталних потврда, а опет jе потпуно неjасна филозофски и физикално. Ниjе jедном речено да jе било коjа наука само толико тачна колико у њоj има математике. Необично jе што jе идеjа егзактних наука сачувана кроз милениjуме идеологиjа и моћника коjи се природно боjе истине, али jе и срећа што права истина и ниjе тако jедноставна, па може остаjати ван њиховог фокуса. 1 Norbert Viner: KIBERNETIKA, upravljanje i komunikacija, ICS, Beograd,

52 2.1 Лоренцове трансформациjе У Декартовом правоуглом систему координата Oxyz, на слици 2.1, све три координатне осе (апсциса x-оса, ордината y-оса и апликата z-оса) jеднако су баждарене и узаjамно окомите ориjентисане праве линиjе са заjедничким исходиштем у тачки O. У равни Oxy налази се тачка A са координатама (x, y, 0), а на висини z од те равни изнад тачке A налази се тачка B са координатама (x, y, z). Slika 2.1: Декартове правоугле координате. Према Питагориноj теореми налазимо редом: OA 2 = x 2 + y 2, OB 2 = OA 2 + AB 2, l 2 = x 2 + y 2 + z 2, l = OB. (2.1) Када се квадар са дате слике транслира (паралелно помери) за вектор OO, тада теме O квадра прелази у тачку O, а теме B у тачку B, па претходна jеднакост постаjе ( l) 2 = ( x) 2 + ( y) 2 + ( z) 2, (2.2) где су ξ дужине страница квадра паралелне координатама, редом ξ = x, y, z, а l jе дужина премештања OO. Након ове безвременске, математичке транслациjе користимо нове ознаке за дужине страница квадра, али све одговараjуће дужине остаjу исте. Када већ кажемо да jе систем Oxyz прешао у систем O x y z транслациjом, онда jе лако додати да jе то померање зависно од протеклог времена t, тако да се дешава константном брзином дефинисаном вектором v = (v x, v y, v z ). То значи да се дуж коориднате ξ {x, y, z} за Растко Вуковић 52

53 временски период t систем O померио за дужину v ξ t у односу на систем O. Ако су се у почетном тренутку (t = 0) два система поклапала (O O ), тада у произвољном тренутку t важе трансформациjе координата: x = x v x t, y = y v y t, z = z v z t, t = t. (2.3) То су Галилеjеве трансформациjе, где четврту jедначину пишемо само да нагласимо да у оба система, непокретном O и покретном O, време тече jеднаком брзином. Нема битног губитка општости када ставимо да jе кретање само дуж апсцисе. Тада jе укупна брзина броj v = v x 0, док су остале две компоненте брзине нуле (v y = v z = 0). Галилеjеве трансформациjе су побољшаване Лоренцовим, првенствено због експеримената Маjкелсона и Морлиjа 2. Њима jе од године установљено да се светлост креће увек истом брзином у вакууму, око c = m/s, без обзира на брзину извора. Сазнање М-М експеримената jе Аjнштаjн узео за своj други принцип у раду коjи jе обjавио године, а коjи jе данас познат као специjална теориjа релативности. Први принцип му jе био релативност кретања, да физички закони система у коjем посматрач мируjе не зависе од тога да ли се таj систем креће jеднолико праволиниjски у односу на неко друго тело или посматрача. Укратко, Аjнштаjнова принципи релативности су: 1. сва jеднолико праволиниjска кретања су равноправна и 2. брзина светлости у вакууму не зависи од брзине извора. Пример Извести Лоренцове трансформациjе из Аjнштаjнових принципа. Решење. Аjнштаjнова релативност за четврту координату користи ct а то jе пут коjи светлост пређе за време t. За систем O коjи се креће брзином v у односу на систем O дуж апсциса, у наjопштиjем случаjу можемо ставити: x = γ(x β ct), y = y, z = z, ct = A ct Bx, (2.4) где су γ, b, A, B непознати броjеви коjе тек треба одредити. Прва и четврта координата су функциjе зависне од узаjамне брзине v кретања два система и евентуално jош jедино од брзине светлости c. Ове трансформациjе би постале Галилеjеве (2.3) ако би било γ = 1, β = v/c, A = 1 и B = 0. Када неки обjекат мируjе у O на позициjи x = 0 он се креће константном брзином v апсцисом система O, тако да jе x = vt, па jе β = v/c те x = γ(x v c ct). Према принципу релативности, инверзне трансформациjе између O и O мораjу имати исту форму али са брзином супротног предзнака, па налазимо x = γ(x + v c ct ) за исти коефициjент γ. При томе jе t = x/c када год jе t = x /c и сменом у претходне jеднакости затим множењем добиjамо xx = γ 2 (1 v 2 /c 2 )xx. Отуда, за прву jедначину: γ = 1 v, β = 1 v2 c. (2.5) c 2 Први коефициjент се назива Лоренцов фактор и већ смо га помињали (1.14). Друга jедначина из (2.4) коjа дефинише трансформациjу времена, може се добити из услова x = ct и x = ct сменом у претходне просторне координате одакле ct = γ(ct βx). Према томе, Лоренцове трансформациjе су: где су γ и β дати са (2.5). x = γ(x β ct), y = y, z = z, ct = γ(ct βx), (2.6) 2 Wikipedia: Michelson Morley experiment Растко Вуковић 53

54 На основу првог Аjнштаjновог принципа релативности и принципа вероватноће, да нам се наjчешће догађа оно што jе наjвероватниjе, следи да jе посматрач у систему у коjем мируjе (сопствени систем) увек негде у врху ланца вероватноће случаjних догађаjа, док сви остали учесници релативних кретања то не мораjу бити. Другим речима, могуће jе да су други релативни системи у стањима са мањим вероватноћама. Ако jе тако, онда се из сопственог стања не прелази спонтано стање кретања, jер се не иде спонтано у стање мање вероватноће. То jе овде предлагано, да из принципа вероватноће следи Њутнов закон инерциjе. Због другог Аjнштаjновог принципа, у оба система мерено светлост прелази неки пут за дато време истом брзином, што значи l/ t = l / t = c, а отуда наслућуjемо да jе израз ( s) 2 = ( x) 2 + ( y) 2 + ( z) 2 c 2 ( t) 2 (2.7) инвариjанта Лоренцових трансформациjа. То jе поопштена Питагорина теорема, за 4-дим простор-време специjалне теориjе релативности. Пример Доказати да jе израз (2.7) инвариjанта Лоренцових трансформациjа. Решење. Полазећи од (2.6) добиjамо, редом: x = γ( x β c t), c t = γ(c t β x), Отуда одузимањем: ( x ) 2 = γ 2 ( x β c t) 2, c 2 ( t ) 2 = γ 2 (c t β x) 2, { ( x ) 2 = γ 2 [( x) 2 2β x c t + β 2 c 2 ( t) 2 ] c 2 ( t ) 2 = γ 2 [c 2 ( t) 2 2β c t x + β 2 ( x) 2 ]. ( x ) 2 c 2 ( t ) 2 = γ 2 [( x) 2 c 2 ( t) 2 ] γ 2 β 2 [( x) 2 c 2 ( t) 2 ] = γ 2 (1 β 2 )[( x) 2 c 2 ( t) 2 ] = ( x) 2 c 2 ( t) 2. Додавањем квадрата интервала остале две координате добиjамо ( s ) 2 = ( s) 2, а то jе оно што jе и требало доказати. Таласна jедначина коjа следи из Максвелових радова о електромагнетизму гласи 2 Ψ x Ψ y Ψ z Ψ c 2 = 0, (2.8) t2 при чему jе 1/c 2 = µ 0 ε 0, где jе µ 0 = 4π 10 7 N/A 2 магнетна, а ε 0 = 8, F/m електрична константа пермеабилности вакуума. Пример Доказати да jе израз (2.8) Лоренцова инвариjанта. Решење. Користећи (2.6) добиjамо: Ψ x = Ψ x x x + Ψ y y x + Ψ z z x + Ψ ct ct x = γ Ψ Ψ βγ x ct, Растко Вуковић 54

55 jер jе y x = z x x = 0, а x = γ и ct x па слично налазимо, редом: 2 Ψ x 2 = = βγ. Други парциjални извод jе извод првог извода, x ( Ψ x ) x x + y ( Ψ x ) y x + z ( Ψ x ) z x + ct ( Ψ x ) ct x = = Ψ Ψ (γ βγ x x ct ) x x + Ψ Ψ (γ βγ ct x ct ) ct x, За другу и трећу координату налазимо: Ψ y = Ψ а затим слично и друге изводе: 2 Ψ x 2 = 2 Ψ γ2 (x ) 2 2 Ψ 2βγ2 x ct + β2 γ 2 2 Ψ (ct ) 2. (2.9) x x y + Ψ y y y + Ψ z z y + Ψ ct ct y Ψ z = Ψ x x z + Ψ y y z + Ψ z z z + Ψ ct ct z 2 Ψ y 2 = 2 Ψ (y ) 2, = Ψ y = Ψ z, 2 Ψ z 2 = 2 Ψ (z ) 2. (2.10) Истим поступком добиjамо први парциjални извод за четврту координату: Ψ ct = Ψ x x ct + Ψ y y ct + Ψ z z ct + Ψ ct ct ct jер jе y ct = z x ct ct = 0, а ct = βγ и ct = γ. Oтуда: 2 Ψ (ct) 2 = Ψ ( βγ x x + γ Ψ ct ) x ct + = βγ Ψ x + γ Ψ ct, Ψ ( βγ ct x + γ Ψ ct ) ct ct 2 Ψ (ct) 2 = β2 γ 2 2 Ψ (x ) 2 2 Ψ 2βγ2 x ct + 2 Ψ γ2 (ct ) 2. (2.11) Уврштавањем (2.9), (2.10) и (2.11) у (2.8) и након сређивања добиjамо а то jе и требало доказати. 2 Ψ (x ) Ψ (y ) Ψ (z ) 2 1 c 2 2 Ψ (t = 0, (2.12) ) 2 Проналазећи управо ову инвариjанту (2.8) односно (2.12), Лоренц 3 jе пре Аjнштаjна дошао до трансформациjа (2.6) коjе се по њему и називаjу. Међутим, он их ниjе знао протумачити. Лоренц jе извео исправан закључак да М-М експеримент показуjе контракциjу дужина у правцу кретања, али то ниjе видео у неком ширем контексту. Ипак, он jе развио електромагнетну теориjу светлости, проучавао jе дифракциjу светлости у кристалима, бинарне гасове и први jе прорачунао цепање синглета спектралних линиjа на три компоненте у магнетном пољу. Лоренц jе године добио Нобелову награду за физику за радове из електромагнетне теориjе светлости. Из Лоренцових трансформациjа jе настала специjална теориjа релативности, али начин на коjи их jе Аjнштаjн обjаснио и како jе даље тумачио jеднолико праволиниjска кретања оставило jе много дубље трагове у физици. 3 Hendrik Lorentz ( ), холандски физичар. Растко Вуковић 55

56 2.2 Специjална релативност Из Лоренцових трансформациjа (2.6) односно: t = t vx/c2 1 v 2 /c, x vt 2 x = 1 v 2 /c, 2 y = y, z = z, (2.13) извешћемо формулу за дилатациjу времена и контракциjу дужина: t = t 0 1 v 2 /c 2, l = l 0 1 v 2 /c 2, (2.14) где су t 0 и l 0 сопствене а t и l релативне редом време и дужина у правцу кретања. Прву смо већ добили (1.23) из 4-интервала, али се то може и непосредно из (2.6). Затим ћемо извести и формуле за сабирање брзина: u x + v u x = 1 + vu x/c 2, u y = u y 1 v 2 /c vu x/c 2, u z = u z 1 v 2 /c vu x/c 2, (2.15) где се (треће) тело креће брзином u = (u x, u y, u z ) у односу на систем O, а брзином u = (u x, u y, u z) у односу на O. Заменом v v добиjамо кретање O у односу на O и: t = t + vx /c 2 1 v 2 /c 2, x = x + vt 1 v 2 /c 2, y = y, z = z, (2.16) а то су инверзне Лоренцове трансформациjе. Slika 2.2: Транслациjа дуж апсциса. Пример Из (2.13) извести прву jедначину (2.14), дилатациjу времена. Решење. Два догађаjа A 1 (t 1, x 1 ) и A 2 (t 2, x 2 ) десила су се на истом месту, x 1 = x 2, у систему координата O. Сопствено протекло време између тих догађаjа jе t 0 = t 2 t 1. Исто време у односу на релативног посматрача из система O износиће: jер jе x 2 x 1 = 0. Отуда тражена формула. t = t 2 t 1 = t 2 vx 2 /c 2 1 v 2 /c 2 t 1 vx 1 /c 2 1 v 2 /c 2 = = (t 2 t 1 ) (x 2 x 1 )v/c 2 t 2 t 1 = 1 v 2 /c 2 1 v 2 /c, 2 Растко Вуковић 56

57 Пример Из (2.13) извести другу jедначину (2.14), контракциjу дужина. Решење. Два догађаjа A 1 (t 1, x 1 ) и A 2 (t 2, x 2 ) десила су се у истом тренутку, t 1 = t 2, на два краjа штапа коjи лежи на апсциси у систему координата O. Сопствена дужина штапа jе l 0 = x 2 x 1. Ако су се та два догађаjа десила у исто време и у систему O биће t 1 = t 2, па jе у примованим координатама измерена релативна дужина штапа l = x 2 x 1. Сада за сопствену дужину имамо: l 0 = x 2 x 1 = x 2 + vt 2 1 v 2 /c 2 x 1 + vt 1 1 v 2 /c 2 = jер jе t 2 t 1 = 0. Отуда тражена формула. = (x 2 x 1 ) + v(t 2 t 1 ) x 2 = x 1 1 v 2 /c 2 1 v 2 /c, 2 Пример Из (2.13) извести jедначине (2.15), сабирања брзина. Решење. Брзина jе пређени пут за протекло време. Зато имамо, редом: u x = x 2 x 1 t 2 t 1 = x t = x +v t 1 v 2 /c 2 = x + v t t +v x /c 2 t + v x /c 2 = 1 v 2 /c 2 x t + v 1 + v, x c 2 t па из u x = x t u y = y 2 y 1 t 2 t 1 = y t = y t +v x /c 2 1 v 2 /c 2 и u y = y t следе тражене формуле. = y 1 v 2 /c 2 t + v x /c 2 = y t 1 v 2 /c v c 2 y t, Из Аjнштаjновог тумачења Лоренцових трансформациjа произашли су изрази за релативистички Доплеров ефекат, коjе сматрамо побољшањем класичног. У овоj књизи они су већ помињани уз формуле (1.19) и (1.22), где прва описуjе лонгитудинални Доплеров ефекат коjу доказуjемо у следећем примеру, а друга трансферзални коjи jе непосредна последица дилатациjе времена. Пример Помоћу Лоренцових трансформациjа доказати формулу за фреквенциjу светлости извора у кретању брзином ±v, минус за долазећи а плус за одлазећи: f = f 0 c v c + v где су f 0 и f редом сопствена и релативна фреквенциjа. (2.17) Решење. Траjање осцилациjе jе t = 1/f односно t = 1/f а за то време светлост пређе пут x = c t. Из Лоренцових трансформациjа имамо t = γ( t + v t/c), затим: f 1 (1 v/c)(1 + v/c) = f γ(1 + v/c) = f, 1 + v/c па скраћивањем и тумачењем добиjамо тражену формулу. Растко Вуковић 57

58 У следећем примеру разматрамо принцип релативности кретања и закон одржања импулса (количине кретања) да бисмо дошли до познате формуле m 0 m =. (2.18) 1 v2 c 2 Ту jе m 0 сопствена маса (маса у мировању) тела, а m jе релативна маса истог тела каквом jе види посматрач у кретању брзином v. Брзина светлости у вакууму jе c. Пример Доказати формулу (2.18). Решење. Замислимо да пругом паралелно апсциси, константном брзином v клизи неко шинско возило (нпр. трезина) са коjег путник баца лопту масе m брзином u y паралелно ординати. На насипу поред пруге стоjи друга особа коjа баца другу идентичну лопту jеднаком брзином окомито ка шинама тако да се две лопте судараjу тачно на половини пута и одбиjаjу истим брзинама назад. Када занемаримо трење и апстрахуjемо масе, кретања лопти и њихове импулсе, лопте у односу на сопствене посматраче одлазе и након одбиjања долазе истим путањама а супротним брзинама. Због принципа релативности кретања, имамо симетриjу. За сваког од посматрача његова лопта има масу m док jе маса оне друге m. Интензитет брзине сопствене лопте jе u y а бочно кретање u x = 0, док jе брзина оне друге u y са бочним кретањем u x = v. Због закона одржања импулса p сопствене и p оне друге лопте (рецимо са становишта посматрача на насипу) имамо, редом: p = p, mu y = m u y, mu y = m u y 1 v 2 /c 2 1 vu x /c 2, u x = 0, m = m 1 v 2 /c 2. Сменом m m 0 и m m добиjамо формулу (2.18). Приметимо да исти пример доказуjе и формулу за импулс m 0 v p =, (2.19) 1 v2 c 2 тела сопствене масе m 0 у кретању брзином v. Могли бисмо писати и p = γp 0 када би имало смисла говорити о сопствном импулсу p 0 = m 0 v. Усклађивање закона класичне механике са специjалном теориjом релативности може ићи и даље. Као што знамо, количина рада (енергиjе) потребна да се повећа брзина тела са брзине v 1 = 0 на брзину v 2 = v дефинише се интегралом E k = ˆ 2 1 F dx. (2.20) Кинетичка енергиjа E k jе разлика енергиjе E коjу тело има у кретању брзином v и сопствене енергиjе E 0 коjу исто тело има у мировању. Када jе маса тела у мировању m 0 показуjе се да тело у наведеном кретању добиjа кинетичку енергиjу E k = m 0c 2 1 v2 c 2 m 0 c 2. (2.21) Растко Вуковић 58

59 У следећем примеру изложен jе (прилагођени) начин извођења ове формуле од стране Аjнштаjна у његовом раду из године. Пример Користећи дефинициjу рада (2.20) доказати (2.21). Решење. Имамо редом: E k = ˆ 2 1 F dx = ˆ 2 1 dp dt dx = ˆ 2 1 dp dx dt = Како jе d(vp) = vdp + pdv то jе vdp = d(vp) pdv, па настављамо: E k = ˆ 2 а због (2.19) имамо даље: E k = ˆ v dp = ˆ 2 1 [d(vp) pdv] = ˆ 2 m 0 v d(pv) dv = 1 1 v2 c pv 2 = m 0v 2 1 v2 = m 0v 2 1 v2 c 2 + c 2 + а то jе оно што jе требало доказати. ˆ 2 1 v 0 ˆ 2 1 d(vp) + m 0 c 2 m 0c 2 1 v2 c 2 m 0c 2 m 0 c 2 ( 1 v2 2 m 0 c 2 c 2 1 v2 c 2 ) = m 0v 2 + m 0 c 2 m 0 v 2 1 v2 c 2 m 0 c 2, E k = m 0c 2 1 v2 c 2 m 0 c 2, v dp. ˆ 2 1 p dv, 1 v2 c 2 Када ову формулу напишемо у облику E k = E E 0 онда лако схватимо да укупна енергиjа тела (енергиjа у мировању плус кинетичка енергиjа) износи E = mc 2, (2.22) где jе m = γm 0 маса тела, према (2.18). То jе позната формула за укупну енергиjу тела, данас симбол за Аjнштаjна и његову теориjу релативности. Као што знамо из класичне механике, лагранжиjан L система честица одређен jе разликом кинетичке и потенциjалне енергиjе. Интеграл лагранжиjана по времену назива се деjство или акциjа, коjе има физичку димензиjу угловног момента, а то jе енергиjа пута време, или импулс пута дужина. Физички системи се развиjаjу тако да следе принцип наjмањег деjства. Показуjе се да ти поjмови класичне механике имаjу (сличног) смисла и у релативистичкоj механици. Растко Вуковић 59 v 0 =

60 Деjство за слободну честицу, у специjалноj релативности, мора имати облик S = α ˆ b a ds, (2.23) где се интеграли дуж светске линиjе (тачака 4-дим простор-времена) између два задата догађаjа, први у тренутку t 1 а други у t 2. Интервал ds дефииншемо из (2.7), смањуjући дужине (делта) на инфинитезимале: Отуда и због dl/dt = v добиjамо а затим: (ds) 2 = (dx) 2 + (dy) 2 + (dz) 2 (cdt) 2. (2.24) ds = 1 v 2 /c 2 icdt, i = 1, (2.25) ˆ t2 S = iαc 1 v 2 /c 2 dt. (2.26) t 1 Упоређуjући са класичном физиком, добиjамо да лагранжиjан за релативистичку честицу мора бити облика L = iαc 1 v2 c 2. (2.27) Величина α jе карактеристика дате честице, попут масе у класичноj физици. Када c израз за лагранжиjан би морао прећи у класични L 1 2 m 0v 2 где jе m 0 класична маса (сада маса у мировању) честице. Зато развиjамо корен (2.27) у Маклоренов ред (1.45) по степенима x = v/c. Занемаруjући степене вишег реда налазимо L = iαc iαv2 2c = const + L 0, (2.28) где jе десно константа интеграциjе лагранжове функциjе, израз коjи овде можемо изоставити. Упоређуjући са класичним лагранжиjаном налазимо α = im 0 c. (2.29) На таj начин видимо да деjство на слободну материjалну тачку износи а лагранжиjан S = m 0 c ˆ b a L = m 0 c 2 ds, (2.30) 1 v2 c 2. (2.31) где jе m 0 маса у мировању дате честице, v jе брзина кретања честице, а c jе брзина светлости у вакууму. Да бисмо проверили формулу (2.31) тестираћемо jе користећи класичне изразе за лагранжиjан да бисмо добили релативистичку масу (2.18), импулс (2.19) и енергиjу (2.22). То пре свега значи да jе импулс честице вектор p = L v, (2.32) Растко Вуковић 60

61 где узимамо парциjалне изводе лагранжиjана L по одговараjућим компонентама вектора брзине v и добиjамо компоненте вектора импулса p. Лако налазимо да jе m 0 v p =, (2.33) 1 v2 c 2 што се слаже са (2.19). Као што jе познато, енергиjа честице назива се величина одакле уврштавањем (2.33) и (2.31) налазимо: E = m 0v v 1 v2 m 0c 2 1 v2 c 2 c 2 E = p v L, (2.34) v 2 ) c 2, c 2 = m0v2 + m 0 c2 (1 1 v2 E = m 0c 2, (2.35) 1 v2 c 2 а то jе jеднако резултату (2.22). Из израза за релативистички импулс (2.33) и енергиjу (2.35) изводимо израз p = Ev c 2, (2.36) коjи повезуjе импулс и енергиjу слободне материjалне честице, коjи нам даjе идеjу за проширење поjма вектора импулса са три димензиjе простора на четири димензиjе простор-времена (p µ ) = (p x, p y, p z, p ct ): (p µ ) = (mv x, mv y, mv z, E/c). (2.37) Показаћемо да jе у специjалноj теориjи релативности оправдано посматрати импулс и енергиjу као компоненте jедног истог 4-вектора (p µ ). Пример Показати да jе праволиниjско кретање у 4-димензионалном просторвремену специjалне теориjе релативности инерциjално кретање. Решење. Према принципу наjмањег деjства биће δs = 0 само у случаjу спонтаних кретања, коjа значе кретања неизазвана деjством вањских сила, односно кретања без убрзања. Кретање без деjстава у специjалноj теориjи релативности су проволиниjска кретања. За мале промене деjства добиjамо редом: δs = δ(m 0 c ˆ b a ds) = m 0 c δ ˆ b a µ dx 2 µ = m 0 c ˆ b a µ dx µ δdx µ µ dx 2 µ ˆ b = m 0 c a u µ dδx µ, µ где jе u µ = dxµ ds компонента 4-брзине, а индекси µ означаваjу редом координате x, y, z, ct. Парциjалном интеграциjом даље добиjамо: δs = 0 cu µ x µ µ m b a m 0 c ˆ b a δx µ w µ ds = 0, где jе w µ = duµ ds компонента 4-убрзања. На границама кретања вариjациjе мораjу исчезавати, (δx µ ) a = (δx µ ) b = 0, а одатле следи w µ = 0, тj. да су све четири компоненте брзине честице као траjекториjе светског догађаjа у простор-времену константне. То jе оно што jе требало показати. Растко Вуковић 61

62 У последњем изразу уместо (δx µ ) b можемо писати jедноставно δx µ, те уопште δs = m 0 cu µ δx µ, µ p µ = S x µ = m 0 c u µ. (2.38) Вектор у четири димензиjе простор-времена са компонентама p µ назива се 4-вектор импулса. Лако jе проверити да су његове компоненте (2.37), чиме су оне оправдане. Како су компоненте 4-вектора импулса дефинисане помоћу компоненти четири координате (три просторне и jедна временска), коjе се трансформишу помоћу Лоренцових трансформациjа, то су трансформациjе овог импулса: p x = γ(p x + βe /c), p y = p y, p z = p z, E = γ(e /c + βp x), (2.39) са истим β и γ као у (2.6). Доследно овоме, из (2.24) следи µ u 2 µ = 1, а отуда и из друге jедначине (2.38) добиjамо за збир квадрата четири компоненте импулса 4 p 2 µ = m 2 0c 2. (2.40) µ=1 Заменом четврте компоненте импулса са њеном вредношћу (2.37) добиjамо где jе p = E 2 c 2 = p2 + m 2 c 2, (2.41) p 2 x + p 2 y + p 2 z интензитет просторног, класичног импулса. Као што jе познато, енергиjа изражена помоћу импулса назива се Хамилтонова 4 функциjа и означава са H. Овде налазимо H = c p 2 + m 2 c 2 mc 2 + p2 2m, (2.42) дакле да се релативистичка енергиjа своди на познати класични израз за Хамилтонову функциjу. Ово jе била ретроспектива већ одавно класичних сазнања теориjе релативности, са коjом смо дошли на корак пред оно што то ниjе. Из (2.40) лако изводимо m 0 c s = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4, (2.43) где jе стављено x 4 = ict и p 4 = m 0 cdx 4 /ds просто зато да би збир квадрата био (2.24), односно (2.7). На левоj страни jеднакости jе инвариjанта коjа се мења само са променом сопствене масе m 0 дате честице. Приметимо да таj израз веома подсећа на скаларни производ l = i h коjи jе био централна тема књиге Информациjа перцепциjе (в. [1]). Када свет (класичне и релативистичке) механике не би био строго детерминистички уређен и када би он био смештен у простор-времену коjе има више од четири димензиjе на начин да дозвољава случаjности коjе се понашаjу доследно теориjи вероватноће, онда бисмо могли сматрати да jеднакост (2.43) представља слободу честице. Дата честица се може колебати око свог положаjа у оквиру неизвесности одређене вектором ( x 1, x 2, x 3, x 4 ) интензитета s, али само пратећи своj импулс тако да важи jеднакост (2.43). Када би то било тако, ми бисмо били веома близу да механику почнемо озбиљно третирати помоћу теориjе вероватноће. 4 William Rowan Hamilton ( ), ирски физичар, астроном и математичар. Растко Вуковић 62

63 Природа времена 2.3 Ротациjе Оно што jе и исто у различитом, у геометриjи се назива симетриjа, а у физици законом природе. Примери геометриjских симетриjа су огледалске рефлексиjе, осне симетриjе, централне симетриjе, транслациjа, а свака од њих се може добити неком ротациjом. Из значаjа ротациjа у геометриjи следи њихова важност за физику. Slika 2.3: Рефлексиjе природе на води. Осна симетриjа тачака у равни jе пресликавање коjе конструишемо када кроз дате тачке повучемо нормале (окомице) на осу симетриjе (праву), а затим их пренесемо на исту удаљеност са друге стране те осе. Три тачке коjе чине троугао jедне ориjентациjе пресликаће се осном симетриjом у три тачке коjе чине подударан троугао супротне ориjентациjе. Зато, њихово поклапање ниjе могуће добити премештањем датог троугла у равни симетриjе, али jе то могуће 3-дим ротациjом дате равни око њене осе симетриjе. Слично би се огледалска симетриjа коjа леву ориjентациjу рефлектуjе у десну и обрнуто, могла добити 4-дим ротациjом 3-дим простора око равни огледала. Централна симетриjа у равни има jедну заjедничку тачку те равни коjа jе средиште дужи одређеном тачкама оригинала и копиjе. Она може се добити ротациjом те равни око централне тачке за испружен угао. Транслациjа, померање тачака за дати вектор, може се добити помоћу две централне симетриjе, дакле са две ротациjе. Све ово се учи у средњим школама, па о томе нећемо детаљисати. Приметите само да због необичних веза геометриjе са физиком ниjе изненађење да се Лоренцове трансформациjе могу представити ротациjом. На слици 2.4 правоугли Декартов систем координата OXY ротиран jе у истоj равни у систем OX Y за ориjентисани угао ϕ око исходишта. Иста тачка T те равни у два система има координате T (x, y) и T (x, y ). Са слике читамо: Ox1 = Ox + xx1, x cos ϕ = x + y sin ϕ, Oy1 = Oy yy1, y cos ϕ = y x sin ϕ. Растко Вуковић 63

64 Slika 2.4: Ротациjа координата за угао ϕ. Отуда директне и инверзне трансфомациjе: { x = x cos ϕ y sin ϕ y = x sin ϕ + y cos ϕ, { x = x cos ϕ + y sin ϕ y = x sin ϕ + y cos ϕ. (2.44) Ове трансформациjе можемо писати и матрично, рецимо директне: ( x y ϕ sin ϕ ) = (cos sin ϕ cos ϕ ) (x y ), (2.45) или краће v = ˆRv, где су компоненте вектора v и v и матрице ротациjе ˆR очигледне. Узмемо ли за компоненте ових вектора Лоренцову апсцису x 1 = x и временску осу x 4 = ict, добиjамо Лоренцову директну и инверзну ротациjу: { x 1 = x 1 cos ϕ x 4 sin ϕ x 4 = x 1 sin ϕ + { x 4 cos ϕ, x 1 = x 1 cos ϕ + x 4 sin ϕ x 4 = x 1 sin ϕ + x 4 cos ϕ. (2.46) Након смене ϕ = iφ, i = 1 и преласка на синус и косинус хиперболни, ове обичне постаjу хиперболне Лоренцове ротациjе: { x = x ch φ ict sh φ ct = x sh φ + ct ch φ, { x = x ch φ + ict sh φ ct = x sh φ + ct ch φ. (2.47) Веза међу њима су познате релациjе између обичних и хиперболних 5 тригонометриjских функциа: sin ϕ = i sh(iϕ) и cos ϕ = ch iϕ. Стављаjући x = x 1 = 0 налазимо брзину примованог система у непримованом: β = v c = x ct = ict sh φ ct ch φ = ith φ = tg ϕ. (2.48) Веза између тангенса хиперболног (th) и обичног (tg) jе th φ = itg (iφ) = itg ϕ, а отуда наведено β = tg ϕ. Основне хиперболне тригонометриjске функциjе су: sh φ = eφ e φ 2 ch φ = eφ +e φ 2 th φ = eφ e φ e φ +e φ cth φ = eφ +e φ e φ e φ. (2.49) 5 Хиперболне, или хиперболичне функциjе jе увео у употребу италиjански математичар Винченцо Рикати (Vincenzo Riccati, ) Растко Вуковић 64

65 То су редом синус, косинус, тангенс и котангенс хиперболни. Да оне заиста доводе до релациjа (2.47) видимо из развоjа обичних и хиперболних тригонометриjских функциjа у Маклоренове редове: sh φ = φ + φ3 3! + φ5 5! + φ7 φ2 7! +..., ch φ = 1 + 2! + φ4 4! + φ6 6! +..., sin ϕ = ϕ ϕ3 3! + ϕ5 5! ϕ7 7! +..., cos ϕ = 1 ϕ2 2! + ϕ4 4! ϕ6 6! +..., (2.50) па стављаjући поменуту смену ϕ = iφ, i = 1. Из дефинициjа (2.49) лако налазимо ch 2 φ sh 2 φ = 1, а затим и остале основне идентитете: { th φ = sh φ/ ch φ cth φ = ch φ/ sh φ sh 2φ = 2 sh φ ch φ ch 2φ = ch 2 φ + sh 2 φ, (2.51) или рецимо th 2φ = 2th φ/(1 + th 2 φ), када већ помињемо двоструке углове. Сви остали идентитети обичне тригонометриjе такође су слични хиперболним. На пример, адиционе формуле за збир и разлику углова хиперболних функциjа су: sin(x ± y) = sh x ch y ± ch x sh y ch(x ± y) = ch x ch y ± sh x sh y th (x ± y) = (th x ± th y)/(1 ± th x th y). (2.52) Ипак су видљиве и разлике. Лоренцове трансформациjе (2.47) скупљаjу x и ct осу, за разлику од ротациjе(2.46) код коjих угао између апсисе и ординате након ротациjе остаjе исти - прав. На слици 2.5 видимо таj ефекат. Slika 2.5: Лоренцове трансформациjе стишћу осе. Када jе брзина примованог система 60 одсто брзине светлости, биће v = 1, m/s, односно β = v/c = 0, 6. Тада jе угао ротациjе ϕ = arctg 0, Обе осе, x и ct, се Лоренцовом ротациjом нагињу за угао ϕ према симетрали квадранта (испрекидана плава линиjа) са коjом би се поклопиле у случаjу да jе v = c. Догађаjи на истом Растко Вуковић 65

66 месту покретног система O x ct су на истоj (испрекиданоj) паралели са ct -осом, док се истовремени догађаjи налазе на поjединим испрекиданим паралелама са x -осом. У непокретном систему Ox ct, догађаjи на истом месту били би на паралели са ct-осом, а истовремени догађаjи били би на паралели са x-осом. Са слике 2.5 видимо да у два система O и O нити догађаjи на истом месту нити истовремени нису исти. Док систем O одлази догађаjи у њему одлазе све даље у прошлост система O, али и обрнуто, непокретни систем jе истовремен са све даљим догађаjима из прошлости покретног система. Супротно томе, када се посматрач из система O приближава посматрачу из система O они су jедан другоме у све ближоj будућности. То пре свега значи да релативно (оно у другом систему) време протиче спориjе од сопственог, а затим доводи до привида коjи називамо парадокс близанаца. Парадокс близанаца настаjе када замислимо два брата близанца од коjих jедан остаjе у систему O а други отпутуjе системом O са коjим се затим и врати назад. Због успореног тока времена у систему O путник jе спориjе старио и када се вратио нашао jе да jе он млађи од првог брата. Међутим, због принципа релативности, други брат би наводно могао сматрати да jе он био у стању мировања а да jе први брат путовао, па би по истоj логици тада први брат морао доћи млађи од другога. То jе парадокс. Грешка у овом размишљању jе у превиду чињенице да браћа у овим путовањима нису равноправна. Први од браће jе стално био у инерциjалном систему, а други се морао окретати да би се враћао назад и при томе напуштати инерциjални систем. Напуштаjући првог брата, други jе заостаjао све дубље у његовоj прошлости, да би након окретања почео да се приближава, што значи да се поjавио у будућности првог брата и кретао се ка његовоj садашњости. Поjавио се мањак историjе другог у односу на првог брата, а то jе управо оно што му недостаjе приликом поновног сусрета, због чега му jе први брат тада (стварно) стариjи. Парадокс близанаца указуjе и на разлике између инерциjалних и неинерциjалних кретања. Инерциjална кретања су jеднолико праволиниjска у одсуству вањских сила, за разлику од неинерциjалних. Таква су (приближно) и кретања тела у слободном паду у гравитационом пољу, када занемаримо узаjамне привлачне гравитационе силе делова тела и ефекте повлачења краjева тела ка истом центру гравитациjе. Али о томе ћемо детаљниjе мало касниjе. Ротациjе (2.44) можемо добити и помоћу комплексних броjева. Комплексан броj z = x + iy C са своjим реалним R(z) = x и имагинарним делом I(z) = y, коjи су реални броjеви (x, y R), у комплексноj равни представљамо тачком z са апсцисом и ординатом, редом: x = r cos α, y = r sin α. (2.53) Модул односно интензитет комплексног броjа jе реалан позитиван броj r = z = x 2 + y 2. Аргумент комплексног броjа jе угао α = xoz = arctg(y/x). Када jе дат jединични комплексни броj z 0 = x 0 + iy 0, такав да jе z 0 = 1, при чему jе x 0 = cos ϕ и y 0 = sin ϕ, тада jе производ: zz 0 = (x + iy)(z 0 + iy 0 ) = r(cos α + i sin α)(cos α 0 + i sin α 0 ) = = r[(cos α cos α 0 sin α sin α 0 ) + i(sin α cos α 0 + cos α sin α 0 )], zz 0 = r[cos(α + α 0 ) + i sin(α + α 0 )], (2.54) Растко Вуковић 66

67 где су примењене адиционе формуле за косинус и синус збира. Према томе, множење jединичним комплексним броjем z 0 = x 0 + iy 0 комплексног броjа z = x + iy представља ротациjу броjа z око исходишта комплексне равни за аргумент, угао α 0 = arctg(y 0 /x 0 ), броjа z 0. Множењем истим z 0 читава комплексна раван се ротира за исти угао α 0. Због ове адитивности аргумената комплексних броjева и познате адитивности експонената при множењу степених функциjа истих база, показуjе се да важи z = x + iy = re iα, (2.55) где jе r = x 2 + y 2 и tg α = y/x. Доказ се може извести развоjем експоненциjалне функциjе (овде e iα ) у Маклоренов ред. Taj иначе познати запис комплексног броjа помоћу експоненциjалне функциjе, са базом Оjлеровим броjем e = 2, , баца ново светло на овде раниjе изведене jедначине гравитационог поља (1.46). Отвара се могућност посматрања гравитационог поља као непрекидног простора мноштва малих (инфинитезималних) инерциjалних система координата аналогних Лоренцовим. Уместо читавих координатних оса x и ct, користићемо њихове мале (инфинитезималне) делове dx и cdt, при чему ћемо Лоренцову апсцису, аналогиjу правца кретања специjалне релативности, постављати увек радиjално у правцу гравитационог поља. Зато ћемо таj правац означавати другачиjе, рецимо са dr уместо dx. Друге координате, попут dϕ и dθ коjе су у случаjу сферног система Orϕθ окомите на правац простирања гравитационог поља, гравитациjа неће деформисати. Наиме, када би све координате биле jеднако деформисане, резултат деловања на равни био би опет равни Еуклидов простор у коjем нема гравитационе силе. Са друге стране, ова несиметрична, радиjална деформациjа, проузроковаће и познати гравитациони ефекат бочног стискања тела, окомито на радиjалне силнице поља. Овде подразумевамо сферне координате као на слици 2.6. Ако их будемо означавали ковариjантим (доњим) индексима, биће у редоследу x 1 = r, x 2 = ϕ и x 3 = θ, са придруженом временском координатом, коjа ће као четврта координата бити x 4 = ict, где jе i = 1 имагинарна jединица. Исти jе редослед и у случаjу означавања контравариjантним (горњим) индексима x µ, µ = 1, 2, 3, 4. Са слике се види r = OB, а затим: Slika 2.6: Сферне координате Orϕθ. { x = OA cos ϕ, OA = r sin θ, y = OA sin ϕ, z = r cos θ, (2.56) Растко Вуковић 67

68 затим лако налазимо трансформациjе: x = r cos ϕ sin θ y = r sin ϕ sin θ z = r cos θ, r = x 2 + y 2 + z 2 ϕ = arctg y x θ = arccos z r. (2.57) Деривациjе ових координата су: dx = cos ϕ sin θ dr r sin ϕ sin θ dϕ + r cos ϕ cos θ dθ dy = sin ϕ sin θ dr + r cos ϕ sin θ dϕ + r sin ϕ cos θ dθ dz = cos θ dr r sin θ dθ, (2.58) па квадрирањем и уврштавањем (сабирањем) у релативистички израз (2.24), након сређивања добиjамо ds 2 = dr 2 + r 2 sin 2 θ dϕ 2 + r 2 dθ 2 c 2 dt 2. (2.59) То jе релативистички интервал за инфинитезимале у сферним координатама Orϕθ за равни простор-време. Потсетимо се (1.49), да смо из ефеката контракциjе дужина и дилетациjе времена за простор-време добили метрику ds 2 = e 2GM/rc2 dr 2 + r 2 sin 2 θ dϕ 2 + r 2 dθ 2 e 2GM/rc2 c 2 dt 2, (2.60) а затим апроксимациjом (1.45) и израз ds 2 = (1 2GM 1 rc 2 ) dr 2 + r 2 sin 2 θ dϕ 2 + r 2 dθ 2 (1 2GM rc 2 ) c2 dt 2, (2.61) коjи jе jеднак Шварцшилдовоj метрици. Ова метрика jе добро позната у општоj теориjи релативности. То jе решење Аjнштаjнових jедначина поља за случаj централно симетричне гравитациjе. Касниjе се показало да се свако гравитационо поље може свести на више оваквих Шварцшилдових, као што се и стварна гравитациjа састоjи од скупова поjединих тела (честица). У следећим разматрањима користимо сферни систем координата Orϕθ са центром гравитациjе у исходишту, тако да у случаjу посматрања из два система (са истим исходиштем) углове (ϕ и θ) можемо сматрати непромењеним. Теорема Дате су трансформациjе диференциjала { dr = χ dr + iγ 1 1 γ 2 χ 2 cdt cdt = iγ 1 γ 2 χ 2 dr + γ 2 χ cdt, (2.62) где jе i = 1 имагинарна jединица, γ = e GM/rc2, а χ C произвољан параметар. Показати да су то опште трансформациjе коjе метрику (2.60) равнаjу у (2.59). Доказ. Игноришемо координате коjе не утичу на резултат (dϕ = dϕ и dθ = dθ ) и полазимо од система: { dr = α rr dr + α rt cdt cdt = α tr dr + α tt cdt (2.63), Растко Вуковић 68

69 где α mn зависе само од r. Сменом у скраћени израз (2.60) добиjамо: ds 2 = γ 2 dr 2 γ 2 c 2 dt 2 = = γ 2 (α rr dr + α rt cdt ) 2 γ 2 (α tr dr + α tt cdt ) 2 = (γ 2 α 2 rr γ 2 α 2 tr) dr 2 + 2(γ 2 α rr α rt γ 2 α tr α tt ) dr cdt + (γ 2 α 2 rt γ 2 α 2 tt) c 2 dt 2. Изjедначаваjући оваj интервал са dr 2 c 2 dt 2 добиjамо систем jедначина: γ 2 α 2 rr γ 2 α 2 tr = 1, γ 2 α rr α rt γ 2 α tr α tt = 0, γ 2 α 2 rt γ 2 α 2 tt = 1. То су три jедначине са четири непознате алфе што значи да имамо произвољан параметар, нека jе то α rr = χ C. Из прве jедначине следи α tr = ±iγ 1 γ 2 χ 2. Из треће jедначине добиjамо α rt = ±iγ 1 1 γ 2 αtt 2, што уврштено у средњу даjе, редом: γ 2 χ(±iγ 1 1 γ 2 α 2 tt ) γ 2 (±iγ 1 γ 2 χ 2 )α tt = 0, γχ 1 γ 2 αtt 2 = γ 1 α tt 1 γ 2 χ 2, χ 2 (γ 2 α 2 tt) = α 2 tt(γ 2 χ 2 ), χ 2 γ 2 = α 2 ttγ 2, одакле следи α tt = ±γ 2 χ и α rt = ±iγ 1 1 γ 2 χ 2. Када узмемо само горње предзнаке, добиjамо тражени систем. Занимљиво jе да сам сличан прилог пре пар година слао неком стручном часопису, надаjући се да би га они можда обjавили. Примедбе рецензената, поред лошег енглеског, биле су да то што им пишем не може бити тачно. Нисам наставио дописивање, већ сам закључио да би теорема могла бити оригинално моjа. Благо речено, можда им jе било необично што се равна Лоренцова метрика (еуклидског простора) може тек тако превести у метрику Аjнштаjновог (закривљеног) простора гравитациjе, или обрнуто. Међутим, иза ових лаких превођења криjу се и већа чуда. Када боље погледамо трансформациjе (2.63) видимо да множењем прве са γ а друге са iγ 1 добиjамо: { γ dr = γχ dr + 1 γ 2 χ 2 icdt γ 1 icdt = 1 γ 2 χ 2 dr + γχ icdt (2.64), што значи да оне постаjу инверзне Лоренцове (2.46), где dx 1 = γdr, dx 4 = icdt и: cos ϕ = γχ, sin ϕ = 1 γ 2 χ 2. (2.65) Можете проверити, за дато γ = exp(gm/rc 2 ) 1/ 1 2GM/rc 2, произвољно χ C и евентуално γχ 1, да важи основни тригонометриjски идентитет sin 2 ϕ + cos 2 ϕ = 1. Отуда jедноставан доказ да важи што jе jош jедна потврда горње теореме. ds 2 = (γdr) 2 (γ 1 cdt) 2 = (dr ) 2 (cdt ) 2, (2.66) Растко Вуковић 69

70 2.4 Димензиjе времена Из теореме следи нагнутост временске осе у односу на нормалу на правац простирања гравитационог поља. Посебно, ставимо ли γ = 1/ 1 GM/rc 2 и χ = 1 у (2.64), налазимо таj отклон од нормале ка центру поља за угао ϕ такав да jе: tg ϕ = sin ϕ GM cos ϕ = rc 2 1 GM rc 2. (2.67) Да би боље разумели смисао овог угла, потсетимо се формуле (1.39) где jе брзина v ротациjе сателита коjи jе на удаљености r од центра масивног тела (масе M) управо сразмерна првом фактору. Према томе, горњи тангенс износи tg ϕ = v c 1 v2 c 2, (2.68) а то потсећа на брзину бочног кретања при Лоренцовом слагању брзина (2.15), при u x = 0 и u y = v. Централно симетрично гравитационо поље оставља утисак исчашених инерциjалних кретања где jе временска оса увек нагнута ка центру, утолико више што jе центар гравитациjе ближе. Према њоj jе отклоњена и радиjална оса простора, за исти угао. Slika 2.7: Димензиjе времена, приказ уметника. То све jе посматрано из сопственог система коjи jе изван гравитационог поља, са неког места веома далеког од центра гравитациjе (када r ). Већ смо рекли да jе такав посматрач у 4-дим простор-времену Минковског, са три просторне и само jедном временском димензиjом. То jе простор-време инерциjалних праволиниjских кретања jедноликим брзинама, коjим доминира детерминизам. Оно што се пред њим простире у гравитационом пољу jесу фиксне тачке простора чиjе су све временске (и просторне) осе нагнуте ка (просторне од) извора поља, са угловима коjи расту ка центру. Не треба бити велемаjстор у геометриjи да се схвати да те временске осе (непокретних тачака простора) заузимаjу различите положаjе у неком свом имагинарном временском простору окупираjући више димензиjа. Штавише, да димензиjа времена има тачно онолико колико има и димензиjа простора (три). За разлику од 6-димензионалног простор-времена целине, поjедини сателити коjи слободно падаjу (круже около) у гравитационом пољу налазе се у (приближно) инерциjалним системима и према томе су увек ограничени на 4-дим простор-време. Занимљиво Растко Вуковић 70

71 jе да Аjнштаjнова општа теориjа описуjе само такве путање, те jе сва тако спакована у четири димензиjе да одржава илузиjу детерминизма класичне механике. Да бисмо се уверили да тек кретања под деjством сила ствараjу потребу за додатним димензиjама (петом и шестом), размотрићемо систем координата (3-дим простора Oxyz) коjе ротираjу око апликате (z осе), константном угаоном брзином ω. Према формулама (2.44), након времена t тачка са координатама A (x, y, z ) покретног имаће координате A(x, y, z) у непокретном систему, при чему jе z = z и важе трансформациjе: { x = x cos ωt y sin ωt y = x sin ωt + y cos ωt, { x = x cos ωt + y sin ωt y = x sin ωt + y cos ωt, (2.69) jер тачка A кружи око исходишта на удаљености r = r = x 2 + y 2 прелазећи угао ϕ = ωt након датог времена. Према томе, за jединичне векторе, ортове апсцисе, ординате и апликате ових координатних система важе трансформациjе: i = i cos ωt j sin ωt j = i sin ωt + j cos ωt k = k, i = i cos ωt + j sin ωt j = i sin ωt + j cos ωt k = k. (2.70) Користимо стрелице за ове базне векторе jер ће нам ускоро понестати ознака. Slika 2.8: Леви и десни систем координата. Извод положаjа по времену jе брзина, па налазимо d dt i = ω i sin ωt ω j cos ωt = ω j d dt j = ω i cos ωt ω j sin ωt = ω i d dt k = 0, Према томе jе d dt i = ω i sin ωt + ω j cos ωt = ω j d dt j = ω i cos ωt ω j cos ωt = ω i d dt k = 0. (2.71) d e = ω e, (2.72) dt где jе ω = ω k вектор ротациjе, а e { i, j}. У даљем тексту претпостављамо да имамо десни систем координата Oxyz, као на слици 2.8 десно. Поред тога, избегаваћемо примоване ознаке координата и вектора, осим као ознаке извода. Свака другачиjа употреба биће посебно наглашена. Потсетимо се вектори: u = u x i + u y j + u z k, v = vx i + v y j + v z k, (2.73) Растко Вуковић 71

72 имаjу интензитете u = u = u 2 x + u 2 y + u 2 z, u = v = vx 2 + vy 2 + vz. 2 (2.74) У Декартовом правоуглом систему координата Oxyz њихов скаларни и векторски производ су, редом: { u v = u xv x + u y v y + u z v z = uv cos ( u, v), u v = (u x v z u z v y ) i + (u z v x u x v z ) j + (u x v y u y v x ) k. (2.75) Први jе скалар, други jе вектор интензитета u v = uv sin ( u, v), окомит на оба вектора фактора, са смером одређеним правилом десне руке (десног завртња): када прсти показуjу смер угла редоследом множења, палац показуjе смер производа (такође, окретањем завртња у смеру угла завртањ се креће у смеру производа). Мешовити производ три вектора jе ( u v) w = (u x v z u z v y )w x + (u z v x u x v z )w y + (u x v y u y v x )w z, (2.76) где jе w = w x i + w y j + w z k. Помоћу детерминанте трећег реда то исто пишемо u x u y u z ( u v) w = v x v y v z. (2.77) w x w y w z Оваj производ jе скалар чиjа вредност jе jеднака ориjентисаноj запремини паралелепипеда разапетог датим трима векторима, jер jе интензитет векторског производ (прва два) вектора jеднак површини паралелограма разапетог са два дата фактора. Троструки векторски производ вектора u, v и w jе што ниjе тешко доказати. Посебно jе где jе набла оператор вектор дефинисан са u ( v w) = v( u w) w( u v), (2.78) ( v) = ( v) ( ) v, (2.79) f = ( x i + y j + z k) f = f x i + f y j + f z k, (2.80) а f = f(x, y, z) jе скаларна функциjа. Оваj резултат се назива градиjент функциjе f. Означава се и са grad(f) = f. Градиjент jе вектор компоненти парциjалних извода, па jе: (αf + βg) = α f + β g, ( u v) = ( u ) v + ( v ) u + u ( v) + v ( u), 1 2 u2 = u ( u) + ( u ) u, (2.81) што jе такође лако за проверити. Скаларни производ набле оператора и векторске функциjе f = f(x, y, z) назива се дивергенциjа: Често пишемо кратко grad f и div f, без заграда. div( f) = f. (2.82) Растко Вуковић 72

73 Пример Извести основну jедначину кинематике d f dt = [( d dt ) + ω ] f, (2.83) r где jе f(t) = f x i + f y j + f zk дата векторска функциjа, а ( df dt ) r посматрано из ротираjућег координатног система. Решење. Узимањем извода по времену добиjамо: d dt f(t) = d dt (f x i + f y j + f z k) = = ( df x dt i + f x d i dt ) + (df y dt j + f y d j dt ) + (df z dt k + f z d k dt ) jе промена функциjе а отуда тражена jеднакост. = ( df x dt i + df y dt j + df z dt k) + ω f = ( d f dt ) + ω f(t), r Оваj резултат се у аналитичкоj динамици назива и транспортна теорема. Како jе брзина неког обjекта извод по времену његовог вектора положаjа, то jе v 0 = d r dt = (d r dt ) + ω r = v r + ω r, (2.84) r где jе r(t) = x(t) i+y(t) j +z(t) k, па jе v r = v x i+v y j +v z k. Индекс 0 значи брзину у односу на непокретни систем, а индекс r значи брзину у односу на ротираjући систем. Извод брзине jе убрзање, па добиjамо: Отуда добиjамо a 0 = ( d2 r dt 2 ) = ( d v 0 dt ) = [( d 0 dt ) + ω ] [( d r r dt ) + ω r]. (2.85) r a r = a 0 2 ω v r ω ( ω r) d ω dt r, (2.86) где jе a r = ( d2 r dt 2 ) r очигледно убрзање у ротираjућем систему, члан ω ( ω r) представља центрифугално убрзање, док члан 2 ω v r представља кориолисово убрзање. Кориолисово убрзање због окретања Земље око своjе осе окреће воду у сливнику или циклоне, на северноj полулопти обрнуто смеру казаљке на сату, а на jужноj у смеру казаљке. Поjава овог убрзања jе разлог зашто систем коjи ротира не можемо сматрати равноправним са инерциjалнима. Према томе, не очекуjемо да су системи коjи ротираjу решења Аjнштаjнових jедначина поља. Поред одсуства сила, специфичност инерциjалних система jе и константност брзине светлости. Сагњаков 6 ефекат jе експериментално откриће из године да брзина светлости дуж кружнице 7 ротациjе ниjе иста када се светлост креће у смеру ротациjе и у обрнутом смеру. Ако су две светлосне зраке послате (почетак) у супротним смеровима (оптичким нитима) дуж фиксиране кружнице полупречника r са центром у исходишту Растко Вуковић 73

74 Slika 2.9: Сагњаков ефекат. инерциjалног (непокретног) система, оне ће прећи исто растоjање истом брзином па ће стићи на краjњу тачку (краj) истовремено. То jе приказано на слици 2.9 лево. На десноj страни те слике приказано jе шта се догађа ако jе путања светлости фиксирана за систем коjи ротира. Светлост коjа путуjе у смеру ротациjе за исто време прелази мало дужи пут од светлости коjа путуjе у супротном смеру, због одмицања саме петље. Када jе ω угаона брзина кружне петље коjом се креће светлост, тада jе тангентна брзина петље v = ωr, па ће збир брзина светлости и онога коjи мери на краjу бити c±v, при чему jе плус за светлост у правцу од ротациjе, а минус у смеру ротациjе. Разлика времена доласка те две светлости биће t = 2πr ( 1 c v 1 c + v ) = 4πrv c 2 v 2 = 4Πω c 2 v 2, (2.87) где jе Π = πr 2 површина коjу затвара петља. То jе релативно време посматрача из непокретног система. Са становишта посматрача из покретног система, часовник коjи се окреће везан за петљу иде спориjе са фактором γ = 1/ 1 v 2 /c 2, па jе сопствено време t 0 = 4Πω/c2 1 v 2 /c. (2.88) 2 То jе време коjе би измерио посматрач везан за петљу, мируjући на удаљености r од центра ротациjе. Различите брзине светлости у два смера кретања дуж поменуте Сагњакове петље су ефекат коjи би посматрач у систему коjи ротира могао открити. Због те асиметриjе, он би могао знати да се налази у неинерциjалном систему, коjи jе изван разматрања теориjе релативности. Та индициjа има убедљивост поменутог кориолисовог убрзања, за разлику од рецимо, одбоjне центрифугалне силе, осим ако сматрамо дефинитивним да не постоjе одбоjне гравитационе силе. У годинама у периоду од обjављивања специjалне (1905) па до опште (1916) теориjе релативности Аjнштаjн се често враћао на анализе система координата коjи ротираjу, 6 Georges Sagnac ( ), француски физичар. 7 Сагњак jе радио са неколико огледала од коjих се светлост одбиjала обилазећи центар. Растко Вуковић 74

75 неретко са опречним резултатима. Коначно, он jе узео за сигурна два становишта, да систем коjи ротира ниjе инерциjални у смислу да не мора бити обухваћен решењима његових jедначина поља и да се сатови у том систему не могу синхронизовати. У систему коjи ротира ниjе могуће установити садашњост коjа би представљала неки тренутак времена коjи би обухватао исти простор уз непрекидну промену времена на сату са непрекидном променом положаjа сата. Да jе таква синхронизациjа могућа у инерциjалним системима, Аjнштаjн jе доказао већ у свом првом раду из године. Помоћу Урисонове дефинициjе димензиjе на почетку ове књиге обjашњено jе како ерозиjа, када jе последица обjективне случаjности, указуjе на бар 6-димензионалност простор-времена. Иста дефинициjа jе кориштена у књизи Информациjа перцепциjе (в. [1]) да би се показало нешто слично за системе координата простор-времена у коjима у оквиру четири димензиjе ниjе могуће синхронизовати сатове. Веруjем да нема потребе да та обjашњења сада понављам. Оно што би сада могла бити новост то jе да из могућности опажања не-константности брзине светлости у вакууму следи не-инерциjалност датог система, па и његова (бар) 6-димензионалност. Ово последње запажање, са jедне стране, упућуjе нас на закључак да за непокретне тачке простора око гравитационог поља не важи константност брзине светлости, а са друге стране, да су у систему коjи ротира временске осе нагнуте ка смеровима тангентних брзина ротациjе, коjе као и у гравитационом пољу заузимаjу неки временски имагинарни 3-дим простор. Затим, да се на мале (инфинитезималне) околине тих тачака односе релативистичке контракциjе дужина и дилатациjе времена. Одемо ли jош jедан корак даље, у цилиндарском систему координата Orϕz коjи се окреће око z осе угаоном брзином ω, требало би да можемо директно написати израз за метрику ds 2 = dr 2 1 ω2 r 2 c 2 + r 2 dϕ 2 + dz 2 (1 ω2 r2 c 2 ) c2 dt 2. (2.89) Ако jе последња претпоставка тачна, онда би геодезиjске линиjе са овом метриком морале дати центрифугалну силу. Али питање jе да ли би оне могле садржавати и рецимо кориолисова убрзања? Остављам ове теме за неку другу прилику. Slika 2.10: Цилиндарски систем координата Orϕz. Цилиндарски систем координата овде пишемо управо у наведеном редоследу Orϕz. Са слике 2.10 се види да jе r = OA, z = AB и B(x, y, z), па jе: x = r cos ϕ y = r sin ϕ z = z, r = x 2 + y 2 ϕ = arctg y x z = z. (2.90) Растко Вуковић 75

76 Диференцирањем налазимо: dx = cos ϕ dr r sin ϕ dϕ dy = sin ϕ dr + r cos ϕ dϕ dz = dz, (2.91) па квадрирањем и сабирањем излази ds 2 = dr 2 + r 2 dϕ 2 + dz 2 c 2 dt 2. (2.92) То jе Лоренцов интервал (равног простор-времена) у цилиндарским координатама. Градиjент и дивергенциjа у цилиндарским кординатама имаjу облик: grad f = f r e r + 1 f r r e ϕ + f z e z = f div f = 1 (rf r) r r + 1 f ϕ r ϕ + fz z = f, (2.93) где су e r, e ϕ и e z = k jединични вектори цилиндарских координата, f = f(r, ϕ, z) jе скаларна функциjа, а векторска функциjа f(r, ϕ, z) = f r e r + f ϕ e ϕ + f z e z. За сферне координате имамо аналогно: grad f = f r e r + 1 f r sin θ div f = 1 r 2 (r 2 f r) r + 1 r sin θ f ϕ e ϕ + 1 r θ e θ = f f ϕ ϕ + 1 r sin θ (sin θf θ ) θ = f, (2.94) са скаларном f = f(r, ϕ, θ) и векторском f(r, ϕ, θ) = f r e r + f ϕ e ϕ + f θ e θ функциjом. Анализе разлика инерциjалних од неинерциjалних система и последица, а на начин примене Лоренцових трансформациjа на ротациjе, могле би стићи и до разматрања хипотеза о ширењу универзума. Уз претпоставку да се галаксиjе од нас удаљаваjу утолико брже што су даље, у сферним координатама Orϕθ можемо 8 писати ds 2 = dr 2 + r2 dω 2 1 r r u (1 r r u ) c 2 dt 2, (2.95) где jе dω 2 = sin 2 θ dϕ 2 +dθ 2, а r u jе полупречник универзума. То jе слично Шварцшилдовоj метрици коjу можемо записати и у облику ds 2 = dr2 1 rs r + r 2 dω 2 (1 r s r ) c2 dt 2, (2.96) где jе r s = 2GM/c 2 Шварцшилдов полупречник, коjи за Земљу износи око 8, 9 mm, а за Сунце коjе jе 3, пута масивниjе износи око 3, 0 km. То jе полупречник тзв. црне рупе масе M. Свака од поменутих метрика, било да задовољава Аjнштаjнове опште jедначине поља или не, било да представља физичку реланост или не, у неком jе 6-димензионалном простор-времену, при чему су три димензиjе просторне а три временске. 8 Приметимо да то ниjе позната метрика, нпр. Фридманова. Растко Вуковић 76

77 Природа времена 2.5 Општа релативност Аjнштаjн jе знао рећи: Ако нешто не умеш да обjасниш, онда то и не разумеш. Зачудо, jер таj човек jе открио jедну од наjсложених и наjтеже обjашњивих теориjа егзактних наука уопште. Тензорски рачун, коjи jе у његово време био у зачетку, а данас jе постао права мора не само теориjских физичара, приближити чак и бољим студентима математике ниjе уопште jедноставна ствар. Па ипак морам покушати обjаснити га и лаицима. Зато сам наведену реченицу узео за мото овог наслова. Slika 2.11: Алберт Аjнштаjн, Аjнштаjн jе а затим и године обjавио систем jедначина: 8πG Tµν, (2.97) c4 где индекси µ и ν означаваjу три просторне и jедну временску координату. Оно што произилази из тих jедначина Аjнштаjн jе назвао теориjом поља, али ми то данас рађе називамо његовом теориjом гравитациjе или теориjом релативности. На левоj страни jеднакости jе тензор Gµν коjи представља (чисту) геометриjу, а на десноj страни jе тензор Tµν коjи представља материjу. Коефициjент између 8πG/c4 само усклађуjе физичке димензиjе та два. Према томе, ове jедначине поља имаjу сасвим просто значење: геометриjа простора дефинише физичку материjу и обрнуто, материjа дефинише простор. Док jе трагао за општом теориjом релативности, Аjнштаjн се обратио свом школском другу Гросману9 за помоћ око учења тензорског рачуна, тада нове области математике. Привукла га jе идеjа ковариjантности (и дуално контравариjантности), коjа jе основа тензорског рачуна, а заправо има значење слично принципу релативности. Тензори су такве величине око чиjег ће се значења сви посматрачи моћи сложити. Ковариjантност jе и више од тог пуког компромиса, jер системи броjева коjе називамо тензорима након трансформациjа координата у потпуности чуваjу форму закона коjег изражаваjу. Зато jе Аjнштаjн код Гросмана тражио да системи броjева Gµν и Tµν буду тензори. Gµν = 9 Marcel Grossmann ( ), мађарски професор математике. Растко Вуковић 77

78 Њих два су се брзо сложили да на левоj страни (2.97) треба стаjати неки jедноставни тензор коjи дефинише кривину простора, попут Ричиjевог 10 тензора R µν или његове изведбе коjа се не би мењала премештањем у простор-времену, jер на десноj страни може стаjати нека непроменљива планета. Ричи jе до свог тензора дошао настоjећи да реши, поjедностављно речено, следећи проблем. Ако мрав живи на површини сфере, како он помоћу мерења и израчунавања може сазнати да jе његов простор закривљен? Нашао jе да би то (углавном) могао бити сложени израз, коjи jе два пута ковариjантан тензор R ij = Γl ij x l Γl il x j + Γm ij Γ l lm Γm il Γl jm, (2.98) што значи да и након евентуалне трансформациjе координата из jедног система у други, таj тензор одржава особине две произвољне координате дате доњим индексима. У свету физике то би значило да различити релативни посматрачи имаjу jеднака виђења закривљености простора представљене броjевима (2.98). Уопште, индекси i, j, l, m означаваjу редом онолико координата колико актуелна геометриjа има димензиjа. Због Аjнштаjнове конвенциjе о сабирању тензора (сабира се по поновљеном горњем и доњем индексу) формула (2.98) представља систем од 4 4 = 16 парциjалних диференциjалних jедначина, од коjих се неке понављаjу. Да ствар буде jош сложениjа у тим jедначинама су Кристофелови 11 симболи Γ m ij = 1 2 gmk ( g ki x j + g kj x i g ij x k ), (2.99) коjи, успут речено и нису тензори. Тензори g µν су коефициjенти метрика коjе смо већ наводили, а коjе дефинише општи израз ds 2 = g µν dx µ dx ν. (2.100) Претходно (g µν ) jе инверзна матрица матрице (g µν ). Зато што изводи (деривациjе, промене) Ричиjевог тензора R µν нису нуле, а тензор T µν на десноj страни jедначина (2.97) представља стационарну (непроменљиву) материjу, Аjнштаjн jе за леву страну тих jедначина смислио тензор G µν = R µν 1 2 R g µν + Λg µν. (2.101) Jедноставно речено, према Аjнштаjну jе требало бити да jе G µν наjjедноставниjи тензор коjи садржи Ричиjев тензор, али коjи се не мења након (тензорског) диференцирања. Скалар Λ jе константа интеграциjе, коjа jе убрзо добила назив космолошка константа. Наравно да се међународна заjедница физичара и математичара одмах окомила на Аjнштаjна и на његов начин бруталног скрнављења егзактних наука промоциjом овако склепаних jедначина. Негативне критике су дошле и од његовог приjатеља Гросмана. Да ствар буде jош гора, Аjнштаjн jе намонтирао и десну страну своjих jедначина. Он jе за T µν рекао да представља тензор енергиjе, два пута ковариjантан, а пре њега енергиjа ниjе сматрана чак ни вектором. Тензорске величине без индекса (нултог реда) су скалари, ако оне имаjу исте вредности за све релативне посматраче. До Gregorio Ricci-Curbastro ( ), италиjански математичар и оснивач тензорског рачуна. 11 Elwin Bruno Christoffel ( ), немачки математичар и физичар. Растко Вуковић 78

79 века се сматрало да су нпр. температура и енергиjа засигурно тензори нултог реда. Вектор jе тензор првог реда, ако се његове вредности држе и преласком на други систем координата. На пример, ориjентисана дуж jесте вектор, али ниjе тензор, jер ће ротациjом променити смер као своjу битну одредницу. Напротив, вектори сила коjе подупиру неку грађевину су тензори, ако та грађевина изгледа jеднако стабилном и када jе посматрана из различитих система. Тензори другог реда су (неке) матрице, трећег реда су блокови матрица слагани по дубини, и тако даље. Прогласити енергиjу два пута ковариjантним тензором, почетком 20. века, било jе jош увек несмотрено али не баш сасвим без основе. Већ jе било примећено (2.37) да jе енергиjа четврта компонента вектора импулса (количине кретања). Требало jе ствар само обрнути и рећи да су три компоненте вектора импулса заправо просторне компоненте вектора енергиjе. Затим jе требало поверовати да x компонента енергиjе делуjе на y компоненту и уопште µ-та на ν-ту интензитетом T µν. Последњи корак, рећи да тензор T µν представља материjу био jе због тада познатог E = mc 2 лакши. Данас jе тешко сагледати неразумевање Аjнштаjна од стране научне заjеднице. У то време jедва да су људи од науке и чули за нееуклидске геометриjе, а jош мање за тензорски рачун. Ипак, само месец дана након обjављивања опште теориjе релативности, немачки физичар и астроном Карл Шварцшилд jе дошао до првог тачног решења jедначина (2.97), ако не рачунамо тривиjално решење за раван простор. Одмах након обjављивања свог рада године, Шварцшилд jе умро у Првом светском рату као немачки воjник. Мање jе познато, али независно и у исто време jе и немачки матемаричар Jоханес Дросте 12 ( ) дошао до сличног решења. Шварцшилдово решење важи за централно симетрична гравитациона поља, попут онога коjе ствара Сунце, ако занемаримо утицаj планета. Зато га има смисла тражити у метрици сличноj (2.60), мало општиjоj (в. [6]). Пример Извести Шварцшилдово метрику (2.61) из (2.97), полазећи од ds 2 = e 2B(r) c 2 dt 2 + e 2A(r) dr 2 + r 2 sin 2 θ dϕ 2 + r 2 dθ 2, (2.102) где су A(r) и B(r) непознате функциjе удаљености r. Решење. Метрички тензор (g µν ) и њему инверзан (g µν ) имаjу матрице, редом: e2b e 2A r 2 sin 2, θ r 2 e 2B e 2A r 2 sin 2 θ r 2 Користимо обе за израчунавање Кристофелових симбола (2.99). Ставимо x 0 = ct, x 1 = r, x 2 = ϕ и x 3 = θ, па имамо редом: Γ 1 11 = 3 1 k=0 2 g1k ( g k1 x 1 + g k1 x 1 g 11 x k ) = 1 2 g11 ( g 11 x 1 + g 11 x 1 g 11 x 1 ) = = 1 2 g11 g 11 x 1 = 1 2 e 2A e 2A r = 1 2 e 2A e 2A (2A) r Γ 1 11 = A, Γ 1 12 = 0, Γ 1 13 = 0, Γ 1 10 = 0. = A r = A (r), 12 Johannes Droste: Растко Вуковић 79

80 Због симетриjе доњих индекса, Γ m ij = Γm ji, непосредно добиjамо jош три. Даље jе: Γ 1 22 = 3 1 k=0 2 g1k ( g k2 x 2 + g k2 x 2 g 22 x k ) = 1 2 g11 ( g 12 x 2 + g 12 x 2 g 22 x 1 ) = = 1 g 22 2 g11 x 2 = 1 (r 2 sin 2 θ) 2 e 2A = e 2A r sin 2 θ, r Γ 1 33 = e 2A r, Γ 1 00 = e 2(B A) B (r), Γ 2 12 = Γ 2 21 = 1 r, Γ2 23 = Γ 2 32 = ctg θ, Γ 3 13 = Γ 3 31 = 1 r, Γ3 22 = sin θ cos θ, Γ 0 10 = Γ 0 01 = B (r), а сви остали су нуле. Затим израчунавамо Ричиjев тензор (2.98), редом: = 3 l=0 [ Γl 11 x l R 11 = 3 l=0 [ Γl 11 x l Γl 4 1l x 1 + (Γ m 11Γ l lm Γm 1l Γl 1m )] = m=1 Γl 1l x 1 + (Γ1 11Γ l l1 Γ1 1l Γl 11 ) m=1 (Γ2 1l Γl 12) 2 (Γ 3 1l Γl 13) 3 (Γ 0 1l Γl 10) 0 ] Ричиjев скалар добиjамо контракциjом: R = = [ 1 r A ] + [ 1 l=2 r A ] + [ B + A B (B ) 2 ] l=4, l=3 R 11 = B (B ) 2 + A B + 2 r A, R 22 = [1 e 2A (1 ra + rb )] sin 2 θ, R 33 = 1 e 2A (1 ra + rb ), R 00 = [B + (B ) 2 A B + 2 r B ] e 2(B A). 3 R µµ = 2e 2A [B + (B + 2 µ=0 r ) (B A ) + 1 r 2 (1 e2a )]. Ови резултати улазе у Аjнштаjнов тензор (2.97): G 11 = 1 r 2 (1 + 2rB e 2A ), G 22 = r 2 e 2A [B + (B + 1 r ) (B A )] sin 2 θ, G 33 = r 2 e 2A [B + (B + 1 r ) (B A )], G 00 = 1 r 2 e2(b A) (1 2rA e 2A ). Растко Вуковић 80

81 За последњи можемо приметити да jе G 00 = 1 r 2 e2b d dr [r (1 e 2A )], што ће се показати корисно касниjе. Толико о левоj страни jедначина поља. На десноj страни (2.97) jе тензор енергиjе 13. Претпоставићемо да jе енергиjа коjа генерише гравитациjу унутар лопте (планете, звезде) полупречника r 0 са центром у исходишту, са густином ρ(r) унутар лопте и нулом изван. Познато jе да jе тензор енергиjе за савршен флуид у термодинамичкоj равнотежи облика T µν = (ρ + P c 2 ) u µu ν + P g µν, где jе ρ = ρ(r) густина у килограмима по кубном метру, P = P (r) jе хидростатички притисак у паскалима, u µ су компоненте 4-брзине флуида, а g µν jе метрички тензор. За статичан флуид jе u 1 = u 2 = u 3 = 0, па jе четврта компонента (u 0 ) 2 = c 2 e 2B, што следи из g µν u µ u ν = c 2. Према томе, тензор енергиjе има не-нулте компоненте: T 11 = P e 2A, T 22 = P r 2 sin 2 θ, T 33 = P r 2, T 00 = ρe 2B. Стављаjући то све у Аjнштаjнову jедначину (2.97), за индексе µ ν добиjамо тривиjално 0 = 0, а за µ = ν = 2 и µ = ν = 3 добиjамо исту jедначину. Занимљиве су само: 1 µν = 11 (1 + 2rB e 2A ) = 8πG P e 2A, r 2 c 4 µν = 22 e 2A [B + (B + 1 r ) (B A )] = 8πG P, c 1 4 µν = 00 e 2B d r 2 dr [r (1 e 2A )] = 8πG ρe 2B. c 4 Из четврте (нулте) следи: A(r) = 1 2 ˆ 2GM ln (1 rc 2 ), M = 4πr 2 ρ(r) c 2 dr. Узимамо да jе M(0) = 0. Затим, из E = mc 2 следи да jе ρ/c 2 густина масе, па M(r) можемо интерпретирати као укупну масу лопте полупречника r. На краjу решавамо прву jедначину (µν = 11) када jе r > r 0. Изван лопте (планете или звезде), маса M jе константна, притисак jе нула (у вакууму P = 0), па имамо: B(r) = rB e 2A = 0, e 2A = (1 2GM rc 2 ˆ 1 2GM 1 2GM r 2 c 2 dr = 1 ˆ 2 rc 2 B(r) = 1 2 ln (1 2GM rc 2 ), e 2B = 1 2GM rc 2. ) 1, 1 1 2GM d ( 2GM rc 2 ), rc 2 Према томе, коначно решење за (2.102) jе Шварцшилдова метрика (2.61). 13 Stress energy tensor: Растко Вуковић 81

82 2.6 Тензорски рачун Иако на први поглед Аjнштаjнова теориjа и механика уопште немаjу ништа са принципом вероватноће, то ниjе тачно. Овде ћемо видети како се ковариjантност, релативност и принцип вероватноће могу сагледати као различите форме истог садржаjа. Прва наведена jе важна одредница тензорског рачуна, другу прилично сигурно можемо узети као проверену ствар, а трећа иако (у тренутку док ово пишем) неискориштена у науци, толико jе очигледна да се jедном схваћена даље тешко може игнорисати. Све три заjедно даjу бољи увид у начин функционисања наше васионе. Тела се крећу спонтано тако да се настоjе одржати у наjвероватниjим стањима. То само по себи значи да су сва друга стања у односу на реализовано углавном мање вероватна. Углавном, jер фреквенциjа реализациjа изолованих случаjних догађаjа има малу извесност, коjа тек са значаjним порастом броjа понављања догађања све боље репрезентуjе вероватноћу. То произилази из принципа вероватноће или прецизниjе речено, из закона великих броjева. Зато механика, када уђе у домен макро-физике, може да одржава илузиjу детерминизма. Реализациjе случаjних догађаjа претвараjу неизвесност у информациjу. Мноштво информациjа у настаjању чини нашу садашњост, а због закона одржања та информациjа остаjе реална као прошлост. Архивирањем уjедно настаjе и илузиjа физичког поретка. Васиона jе споj материjалног и нематериjалног, конкретног и апстрактног, хаоса и закона, при чему нам оно прво своjим мноштвом наглашава оно друго. Недостаjе ми бољи израз за чисто физичку ствар, али jе то за сада и небитно, jер веруjем да jе она неодвоjива од свог начина понашања. Масовниjе реализациjе случаjних догађаjа, коjе се одвиjаjу у позадини макро-физике, са jедне стране увећаваjу њену сложеност у односу на микро-физику, али са друге стране резултираjу спориjм ходом времена. Ово друго произилази из саме дефинициjе информациjе као логаритма вероватноће (1.1), jер jе вероватноћа реалан броj од нула до jедан, тако да jе информациjа мања када jе исход извесниjи. Због веће извесности код већег броjа случаjева масовниjа тела, односно тела са више елементарних честица и већим броjем реализациjа случаjних догађаjа, имаjу извесниjа понашања, па и она имаjу спориjи ток времена. У краjњем случаjу, тамо где због превеликог мноштва догађаjа престаjе васиона хаоса и случаjности, оних заснованих на законима нама важеће теориjе вероватноће, тамо престаjе производња времена. То што су вероватноће релативне и што се могу мењати под деjством сила, не мења суштину принципа вероватноће, осим што таj принцип ограничаваjу на сопствена стања. Последица постоjања правила игре за случаjне догађаjе jе и оно што овде називамо принципом ентропиjе. Ентропиjу овде не схватамо као количину нереда колико као количину слободе или jош тачниjе као логаритам броjа могућности датог стања (1.10). То jе одредница Болцмана, касниjе недоследно кориштена у физици, нарочито у периоду након открића математичке теориjе информациjе. Постоjе разна тумачења ентропиjе, а овде jе битно да ентропиjа и информациjа нису jедно те исто, мада су веома сличне! Наиме, када би ентропиjа била тачно оно што jе и информациjа, онда би принципи ентропиjе и вероватноће били у контрадикциjи, jер више информациjе значи мање вероватноће. Међутим, са изворном Болцмановом дефинициjом (1.10) има смисла поопштавати други закон термодинамике у принцип ентропиjе. Са осталим углавном не. Тела се крећу спонтано тако да не прелазе на стања ниже ентропиjе, што већ само по себи наjављуjе да сва друга тела у односу на дато бораве у стању мање ентропиjе. Растко Вуковић 82

83 Наиме, када би релативна ентропиjа била jеднака или већа од сопствене, тела би спонтано прелазила у друга стања кретања, нарушаваjући закон инерциjе. Дакле став да jе ентропиjа релативног инерциjалног система у кретању нижа од сопственог jе мало више од хипотезе. Из истих разлога jе поготово енторпиjа убрзаног система (на кога делуjе сила) нижа од инерциjалног сопственог. Аjнштаjнови геодезици коjима тела слободно падаjу у гравитационом пољу такође су путање константних ентропиjа, већих од околних (геодезиjских линиjа) простор-времена, а посебно и од (просторно) статичних позициjа у пољу у непосредноj близини датог тела. Док се не уверимо да постоjи данас потпуно непознат закон физике коjи би то спречио, можемо сматрати да jе инерциjа као и ентропиjа последица закона вероватноће. Инерциjа jе универзална поjава управо зато што jе принцип ентропиjе универзалан. Ето у чему jе принцип ентропиjе jеднак принципу релативности и због чега им обома одговара поjам ковариjантности тензора. Диференциjални рачун и потреба да се прикаже иста ствар у различитим координатним системима су основе тензорског рачуна. На два различита начина трансформишемо ко и контра-вариjантне величине, али у оба начина резултат остаjе непромењен, кажемо инвариjантан. Ти су начини прихватљиви и за одржање вероватноће, jеднако као и за друге природне законе, с тим да сопствене вероватноће (у систему у коjем мируjемо) не мораjу бити jеднаке релативнима (у односу на коjе се крећемо). Када прелазак са jедног система координата на други посматрамо као прелазак са jедног становишта на друго, настоjећи одржати принципе вероватноће и ентропиjе, а исту тачку третирамо са различитих становишта у односу на два система посматрања, долазимо на метод тензора. О тензорима има смисла говорити ако имамо бар два система (криволиниjских) координата OX 1... X n и OY 1... Y n датог простора са n N димензиjа. Геометриjски простор у физици гравитациjе jе простор-време, у квантноj механици то може бити поопштени еуклидски простор (са комплексним коефициjентима) чиjе димензиjе представљаjу разне особине честица. Међутим, нека величина може бити тензор само ако се при преласку са jедног на други систем, X Y, трансформише или на ковариjантан или на контравариjантан начин. Кроз следеће примере ћемо обjаснити обе врсте тензора, али пре тога нагласимо да тензор може бити скалар, вектор, матрица и уопште величина попут T αβγ ijk са доњим (овде i, j, k) и горњим (α, β, γ) индексима. Доњи индекси су ковариjантни, горњи су контравариjантни. Први пример. Скалар jе потенциjал φ неког поља физичких сила. То jе тензор нултог реда, када из различитих система координата може бити виђен на (формално) исти начин. У Декартовом правоуглом систему координата Oxyz, померањем φ = φ(x, y, z) из тачке r = (x, y, z) за dr = (dx, dy, dz) прираштаj φ износи dφ = φ x dx + φ y φ dy + dz = ( φ) (dr). (2.103) z Из инфинитезималног рачуна знамо да jе први фактор десно градиjент, grad φ = φ, коjи jе вектор са правцем, смером и интензитетом наjбржег раста потенциjала. Други фактор jе вектор датог померања, а њихов скларани производ jе скалар dφ коjи jе максималан када су вектори φ и dr паралелни, а нула ако су окомити. Даље, у односу на неки други систем Oξηζ, чиjе координате се могу изразити помоћу Растко Вуковић 83

84 првог и обрнуто, парциjални изводи датог скалара су: φ ξ = φ x x ξ + φ y y ξ + φ z z ξ, φ η = φ x x η + φ y y η + φ z z η, φ ζ = φ x x ζ + φ y y ζ + φ z z ζ. (2.104) У тензорском рачуну уопште, свака величина коjа се трансформише попут извода скалара назива се ковариjантни тензор првог реда. Са друге стране, диференциjали координата и свака величина коjа се трансформише на њихов начин: dx = x ξ dy = y ξ dz = z ξ назива се контравариjантни тензор. x x dξ + η dη + ζ dζ, y y dξ + η dη + ζ dζ, z dξ + η dη + z ζ dζ, (2.105) Други пример. Нека jе дат n-димензионални векторски простор са системима координата Ox 1... x n и Oy 1... y n, коjима одговараjу базни вектори редом a 1,..., a n и b 1,..., b n. Иста тачка T се може представити на два начина, координатама T (x 1,..., x n ) или T (y 1,..., y n ), или векторима x µ a µ и y µ b µ, при чему jе x µ a µ = y µ b µ. Подразумева 14 се сабирање по поновљеном индексу µ = 1,..., n. Сваки од тих базних вектора jедног система координата представља по jедну тачку коjа се може изразити помоћу базних вектора другог система, тако да jе a µ = A ν µb ν, b ν = B η ν a η, (2.106) где су A ν µ и Bν η коефициjенти матрица трансформациjа Â и ˆB, коjе често означавамо и са (истим) ознакама њихових општих коефициjената. Из датих jедначина непосредно следи A ν µbν η = δν η = { 1, ν = η (2.107) 0, ν η, где jе δν η Кронекеров делта симбол. За овакве матрице кажемо да су инверзне, да jе њихов производ jединична матрица, Â ˆB = Î, коjа има само jединице на главноj диjагонали а све остале коефициjенте нуле. Како се иста тачка T у ова два система представља на два различита начина, векторима x и y, то имамо трансформациjе: из чега произилази, прво: { x = xµ a µ = x µ (A ν µb ν ) = (x µ A ν µ)b ν = (x µ A ν µ)(b η ν a η ), y = y ν b ν = y ν (B µ ν a µ ) = (y ν B µ ν )a µ = (y ν B µ ν )(A η µb η ), (2.108) x µ A ν µ = y ν, y ν B µ ν = x µ, (2.109) а затим запажамо да се базни вектори трансформишу jедном матрицом, координате другом. На jедан начин се трансформишу вектори базе, на инверзан се трансформишу координате, па кажемо да су базни вектори ковариjантни тензори првог реда, а координате да су контравариjантни. Базне векторе означавамо доњим, а координатне векторе горњим индексима. Оба та вектора су тензори првог реда, први ковариjантан, други контравариjантан. 14 Ова понављања су ради лакшег читања на прескок. Растко Вуковић 84

85 Трећи пример. Посматраjмо два косоугла координатна система OX 1 X 2 и OY 1 Y 2 тако да jе Y 1 X 2 и Y 2 X 1 и тачку T, као на слици У сваком од система, координате коjе су паралелне са одговараjућим осама другог система имаjу доње индексе (ковариjантне су), а координате паралелне са осама сопственог система имаjу горње индексе (контравариjантне су). Угао између оса првог система jе α = X 1 OX 2, а угао између оса другог β = Y 1 OY 2. Угао између одговараjућих оса два система jе ϕ = X 1 OY 1 = X 2 OY 2. Slika 2.12: Ковариjантне T µ и контравариjантне T µ координате. Према датим условима jе α + β = π и ϕ = (β α)/2. Такође jе: x 1 = y 1 cos ϕ x 2 = y 2 cos ϕ y 1 = x 1 cos ϕ y 2 = x 2 cos ϕ, (2.110) што значи да су ковариjантне компоненте у односу на X координате исте до фактора cos ϕ са контравариjантним компонентама у односу на координате Y, и обрнуто. Зато за ове системе кажемо да су дуални. Ковариjантни и контравариjантни тензори су дуални. Са исте слике 2.12 налазимо: x 1 x 1 = x 2 sin ϕ x 2 x 2 = x 1 sin ϕ y 1 y 1 = y 2 sin ϕ y 2 y 2 = y 1 sin ϕ. (2.111) Приметимо, када jе мањи угао између оса, α < β, контравариjантне координате су мање од ковариjантних, и обрнуто. Комбинуjући претходне системе налазимо: y 1 = x 1 cos ϕ + y 2 sin ϕ y 2 = y 1 sin ϕ + x 2 cos ϕ, (2.112) а отуда контравариjантне трансформациjе: { x1 = 1 cos ϕ y1 tg ϕ y 2 x 2 = tg ϕ y cos ϕ y2, { y1 = 1 cos ϕ x1 + tg ϕ x 2 y 2 = tg ϕ x cos ϕ x2. (2.113) Квадрат интензитета датог вектора l 2 = OT 2 налазимо посматраjући l као хипотенузу правоулог троугла Oy 1 T : l 2 = (y 1 ) 2 + (x 2 ) 2, Растко Вуковић 85

86 l 2 = ( 1 cos ϕ x1 + ctg ϕ x 2 2 ) + (x 2 ) 2, l 2 = (y 1 ) 2 + ( tg ϕ y cos ϕ y2 ), па узмемо ли у обзир ϕ = π/2 α = β π/2, резултати су: { l2 = [(x 1 ) cos α x 1 x 2 + (x 2 ) 2 ]/ sin 2 α, l 2 = [(y 1 ) cos β y 1 y 2 + (y 2 ) 2 ]/ sin 2 β. (2.114) Отуда се лако види да у општем случаjу, када Питагорина теорема гласи l 2 = g µν x µ x ν, (2.115) да коефициjенти уз мешовите производе µ ν исчезаваjу ако и само ако jе cos α = 0, тj. α = π/2, дакле када су координате датог система узаjамно окомите. То поопштавамо на инфинитезималне делове криволиниjских координата. Сваки за себе од три система координата, правоугли Декартов Oxyz, цилиндарски Orϕz и сферни Orϕθ имаjу узаjамно окомите координате. Зато њихови метрички тензори немаjу међу сабирцима мешовитих фактора: dl 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2, dl 2 = dr 2 + r 2 dϕ 2 + dz 2, dl 2 = dr 2 + r 2 sin 2 θ dϕ 2 + r 2 dθ 2. (2.116) Одговараjућа метрика простор-времена jе ds 2 = dl 2 c 2 dt 2. Коефициjенти g µν метрике (2.115) чине матрицу коjа jе тензор другог реда. Да jе то тензор два пута ковариjантан видимо из начина трансформациjе (2.104). Наиме, из x µ = x µ (y 1,..., y n ) следи: dx µ = xµ y k dyk, dx ν = xν y j dyj, а отуда dl 2 = g µν dx µ dx ν = g µν x µ y k x ν dl 2 = g kj dy k dy j, y j dyk dy j, што значи да jе g µν заиста два пута ковариjантан тензор. g kj = g µν x µ y k x ν y j, (2.117) Четврти пример. Посматраjмо два косоугла система координата OX 1 X 2 и OY 1 Y 2 и тачку A, на слици Контравариjантне координатe дате тачке, x 1 X 1 и y 1 Y 1 су такве да jе Ax 1 X 2 и Ay 1 Y 2. Ковариjантне координате x 1 X 1 и y 1 Y 1 су такве да jе Ax 1 Y 2 и Ay 1 X 2. Тачка B Y 1 jе таква да jе Bx 1 Y 2. Углови између оса су β = X 1 OB, φ = BOX 2 и γ = X 2 OY 2, док jе нагиб вектора OA према провоj оси првог система α = X 1 OA. Са слике и на основу синусне теореме за троуглове добиjамо: Oy 1 = OB + By 1 = sin B sin x 1 Ox1 + sin β sin B x1 A, (2.118) Растко Вуковић 86

87 Slika 2.13: Контравариjантне координате A µ. при томе jе B = φ + γ и x 1 = 180 (β + φ + γ). Приметимо да jе Oy 1 = y 1 и Ox 1 = x 1, а да jе x 1 A = x 2, па jе: При томе jе: односно y 1 = sin(φ + γ) sin β sin(β + φ + γ) x1 + sin(φ + γ) x2. (2.119) y 1 x 1 = sin(φ + γ) sin(β + φ + γ), y 1 x 2 = sin β sin(φ + γ), (2.120) y 1 = y1 x 1 x1 + y1 x 2 x2. (2.121) Упоређивањем са (2.105) видимо да су x 1, x 2 и y 1 заиста компоненте контравариjантног тензора. На сличан начин потврђуjемо и контравариjантност друге координате. Са друге стране, на истоj на слици 2.13, уочимо паралелограм Oy 1 Ay 2 подељен диjагоналом OA на два троугла, па на њих применимо синусну теорему: y 1 sin(β + φ + γ α) = y 2 sin(α β). (2.122) Ово y 1 сменимо у (2.119), да нађемо одговараjућу трансформациjу за y 2, из коjе произилази друга контравариjантна трансформациjа коjа иде у пару са (2.121). y 2 = y2 x 1 x1 + y2 x 2 x2, (2.123) Пети пример. Ковариjантне компоненте вектора се дефинишу трансформациjама за онолико индекса µ и ν колико има координата. имаћемо: y 1 = x 1 y 1 x 1 + x2 y 1 x 2, y 2 = x 1 y 2 x 1 + x2 y 2 x 2. y ν = x µ y ν x µ. (2.124) У равни, за по две координате, (2.125) Растко Вуковић 87

88 Покажимо сликом 15 да су ковариjантне координате паралелне осама другог система. На слици 2.14 у косоуглим системима координата OX 1 X 2 и OY 1 Y 2 имамо тачку V коjа дефинише вектор OV. Интензитет тог вектора jе v = OV, нагиб према првоj и другоj апсциси редом X 1 OV = θ и Y 1 OV = θ α, а окомите проjекциjе на прве осе су у тачкама A X 1 и B Y 1, тако да jе OA = x 1 и OB = y 1. Са слике читамо: Затим имамо: Slika 2.14: Ковариjантне координате V µ. OV = x 1 cos θ = y 1 cos(φ θ) tg θ = y 1 x 1 cos φ sin φ. y 1 = OA = OP + P A = x 1 cos α + V A sin α = x 1 cos α + v sin θ sin α, y 1 = x 1 cos α + x 1 sin α y 1 = x 1 cos α + y 1 sin θ sin α cos(φ θ), y 1 x 1 cos φ sin φ y 1 = x 1 sin(φ α) sin φ 15 Projective geometry: = x 1 (cos α ctg φ sin α) + y 1 sin α sin φ, + y 1 sin α sin φ. (2.126) Растко Вуковић 88

89 Посматраjмо сада паралелограм на слици Ако jе OX 1 = δx 1 и OX 2 = δx 2, помоћу синусне теореме за инфинитезимални троугао OX 1 Y 1 добиjамо: x 1 y 1 = δx 1 δy 1 = sin(φ α), sin φ x 2 y 2 = δx 2 δy 2 = sin α sin φ, (2.127) што значи да jе (2.126) исто што и (2.124), а то jе оно што jе и требало показати. Slika 2.15: Вариjациjе координата. Шести пример. Скаларни производ вектора силе F и пређеног пута s jе рад A = F s. Да би добили скалар A сабирамо производе одговараjућих компоненти два вектора, али не било каквих. Сабирамо производе контравариjантних првог и ковариjантних одговараjућих компоненти другог вектора, jер би иначе добили погрешан резултат. Да jе тако добиjени рад тензор нултог реда видимо на следећи начин. При преласку из система координата X X имамо: A = F µ s µ = ( xµ x ν F ν ) ( xη x µ s η) Отуда = ( xµ x ν x η x µ ) F ν s η = δ ν η F ν s η = F ν s ν = Ā. A = Ā, (2.128) што значи да jе рад инвариjанта трансформациjа, када jе тензор нултог реда. Уопште, тензор дефинише скуп функциjа своjим трансформациjама координата. То мораjу бити или ковариjантне или контравариjантни трансформациjе. Други начин препознавања тензора jе множење скупа функциjа тензором, па ако jе резултат тензор, онда су то и дате функциjе. Међутим, те функциjе могу изгледати jедноставниjе у jедном систему координата, него у неком другом. На пример, радиjално гравитационо поље jе боље представљати у сферним, или у 2-дим простору у поларним, координатама него у Декартовим. Растко Вуковић 89

90 2.7 Кристофелови симболи Постоjе веома важне величине за рад са тензорима, а коjе нису тензори. Jедна од таквих долази од ковариjантне деривациjе вектора v = (v 1,..., v n ), дефинисане са µ v η = vη x µ + vν Γ η νµ. (2.129) Ова формула jе често основа за извођење Кристофелових симбола Γ η νµ. Ковариjантна деривациjа прати паралелни транспорт вектора. Када су v µ (A 1 ) и v µ (A 2 ) вредности векторског поља на местима A 1 и A 2, у криволиниjским координатама неког простора, оне нису увек директно упоредиве. Рецимо, ниjе могуће дефинисати jедан вектор коjи би показивао смер севера за све векторе сфере, па чак нити за векторе на различитим географским ширинама jедног меридиjана. За њихово упоређивање потребно jе дефинисати неку процедуру, попут оне коjу називамо ковариjантном деривациjом. Део те процедуре, паралелни транспорт, састоjи се у следећем. Узмемо вектор v у тачки A 1 и померамо га паралелно самом себи, мало по мало дуж неке криве α коjа спаjа A 1 и A 2, све док га не преместимо у тачку A 2. Затим, сматрамо паралелним у односу на криву α било коjа два вектора коjа су у тачкама A 1 и A 2, а имаjу исти правац са вектором v. Slika 2.16: Криволиниjске координате Ox 1 x 2. Ради поjашњења 16, размотримо криволиниjске координате 2-дим система са слике Вектор померања d r = r x 1 dx1 + r x 2 dx2, (2.130) можемо писати d r = g 1 dx 1 + g 2 dx 2. (2.131) 16 Wiley Online Library: Растко Вуковић 90

91 где су g µ = r x µ, (2.132) ковариjантни вектори базе, коjи су функциjе положаjа. На таj начин дефинишемо: φ = g µ φ x µ, = gµ x µ, (2.133) криволиниjски градиjент и дел оператор, редом. Парциjална деривациjа φ/ x µ jе µ- та ковариjантна компонента вектора градиjента. Приметимо да при томе сам вектор ковариjантне базе, g µ, ниjе диференциран. Слично дел оператору, дефинишемо дивергенциjу векторског поља са: v = g µ x µ (vν g ν ) = v = g µ x µ (vν g ν ). (2.134) Када базни вектори нису константе, десни израз чине два члана v = g µ [( vν x µ ) g ν + v ν ( g ν )]. (2.135) x µ Последњи количник се обично дефинише помоћу Кристофелових симбола: g ν x µ = Γη νµ g η. (2.136) Ово захтева да резултат диференцирања на левоj страни jеднакости мора бити вектор изражен помоћу збира ковариjантних базних вектора g η. Да бисмо израчунали Кристофелове симболе, последњу jедначину множимо скаларно са обе стране па добиjамо g σ g ν x µ = Γη νµ( g σ g η ), (2.137) Γ σ νµ = g σ g ν x µ, (2.138) jер jе g σ g η = δη σ. Базни вектори су jош увек изводи положаjа (2.132), па Кристофелови симболи постаjу Γ σ νµ = g σ 2 r x ν x µ. (2.139) Из ове jедначине следи да су Кристофелови симболи симетрични на доње индексе Γ σ νµ = Γ σ µν. (2.140) Jедначина (2.139) ниjе наjкорисниjа за налажење Кристофелових симбола, ако не познаjемо зависност положаjа од координата. Даље настављамо помоћу метрике коjом дефинишемо нови скуп функциjа: g νµ = g ν g µ, (2.141) Γ ηνµ = g ησ Γ σ νµ. (2.142) Растко Вуковић 91

92 Величине Γ ηνµ називамо Кристофелови симболи прве врсте, док величине Γ η νµ називамо Кристофелови симболи друге врсте. Приметимо да због(2.140) симболи прве врсте имаjу симетриjу последња два индекса Даље, због (2.138) имамо: Деривациjе метрике Γ ηνµ = Γ ηµν. (2.143) Γ ηνµ = g ησ g σ g ν x µ = g η g ν x µ. (2.144) g νµ x η = g ν ( g µ x η ) + ( g ν x η ) g µ, (2.145) сада можемо писати помоћу Кристофелових симбола Слично налазимо: g νµ x η = Γ νµη + Γ µνη. (2.146) g νη x µ = Γ νηµ + Γ ηνµ, (2.147) g µη x ν = Γ µην + Γ ηµν. (2.148) Сабирањем jедначина (2.148) и (2.147), па одузимањем (2.146) и кориштењем симетриjа Кристофелових симбола, добиjамо Множење метриком диже први индекс и добиjамо Γ ηνµ = 1 2 ( g νη x µ + g µη x ν g νµ x η ). (2.149) Γ η νµ = 1 2 gησ ( g νσ x µ + g µσ x ν g νµ x σ ). (2.150) То jе Кристофелов симбол друге врсте изражен помоћу парциjалних извода метрике. Дивергенциjу (2.135) сада можемо писати v = g µ x µ (vν g ν ) = g µ ( vν x µ g ν + v ν Γ η νµ g η ). (2.151) Израз у последњоj загради десно jе ковариjантна деривациjа вектора, коjа може бити писана као x µ (vν g ν ) = ( vη x µ + vν Γ η νµ) g η. (2.152) Када су базни вектори константе, тада су сви Γ η νµ = 0, па ковариjантна деривациjа постаjе jедноставно x µ (vν g ν ) = ( vη x µ ) g η, (2.153) што jе и очекивано. Ротор вектора се може дефинисати на сличан начин v = g µ x µ (vν g ν ), (2.154) Растко Вуковић 92

93 што можемо писати v = ( vη x µ + vν Γ η νµ) ( g µ g η ), (2.155) помоћу ковариjантних деривациjа. Израчунавање Кристофелових симбола може бити компликован посао, jер већ за површи димензиjе 2, броj тих симбола jе = 8, али због симетриjе, наjвише 6. За простор-време димензиjе 4, броj симбола jе 4 3 = 64, што симетриjа смањуjе на 40. Пример Изачунати Кристофелове симболе за Декартов систем. Решење. У правоуглом Декартовом систему Oxyz индекси су µ, ν {x, y, z}. Питагорина теорема гласи dl 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2, па jе ковариjантни метрички тензор: g xx g xy g xz (g µν ) = g yx g yy g yz = g zx g zy g zz Сви изводи овог тензора су нуле и сви Кристофелови симболи су нуле. Пример Изачунати Кристофелове симболе за поларне и цилиндарске координате. Решење. У цилиндарским координатама jе µ, ν {r, ϕ, z}, а Питагорина теорема па су метрички тензори: Деривациjе ( x g yz = g yz / x) првог су: Затим израчунавамо: dl 2 = dr 2 + r 2 dϕ 2 + dz 2, g µν = ( r 2 ), g µν = ( r 1 ). r g µν = ( r ), ϕg µν = ( ). Γ r µν = ( r ), Γϕ µν = ( 0 r 1 r 1 0 ). У случаjу 3-дим цилиндарског система Orϕz горњим 2-дим матрицама Γ r µν и Γ ϕ µν треба додати нуле у трећем ретку и трећоj колони. Сви Γ z µν су нуле. Из (2.136) следе: { r g r = Γ η rr g η = 0, ϕ g r = Γ η rϕ g η = 1 r g ϕ, r g ϕ = Γ η rr g η = 1 r g ϕ, ϕ g ϕ = Γ η rϕ g η = r gr, деривациjе базних вектора g r, g ϕ и g z. Остале су нуле. Пример Изачунати Кристофелове симболе за сферни систем. Растко Вуковић 93

94 Решење. У сферном систему узимамо редослед за индексе r, ϕ, θ. Угао између апсцисе и проjекциjе радиjус вектора положаjа на раван Oxy jе ϕ, a отклон радиjус вектора од z осе jе θ. Питагорина теорема jе dl 2 = dr 2 + r 2 sin 2 θdϕ 2 + r 2 dθ 2, па су ковариjантни и контравариjантни метрички тензори: r 0 0 r 0 0 g µν = 0 r 2 sin 2 θ 0, g µν = 0 (r sin θ) 2 0. (2.156) 0 0 r r 2 Кристофелови симболи другог реда су: /r /r Γ r = 0 r sin 2 θ 0, Γ ϕ = 1/r 0 ctg θ, Γ θ = 0 sin θ cos θ r 0 ctg θ 0 1/r 0 0 Исто добиjамо стављаjући A = 0 у примеру Када jе θ = π/2 добиjамо поларне координате и симболе из претходног примера. Када просторним координатама dx 1, dx 2 и dx 3 придружимо време dx 0 = icdt, тада узимамо у обзир и производњу информациjе, односно садашњости. Тачка постаjе догађаj s(x 0, x 1, x 2, x 3 ) у датом тренутку на датом месту, а вектор померања (2.130) добиjа продужен облик d s = s x µ dxµ, µ {0, 1, 2, 3}. (2.157) Као (2.131), таj вектор можемо писати d s = g µ dx µ, (2.158) где су ковариjантни вектори базе g µ опет облика (2.132), с тим што сада имамо четири координате. Како jе интервал простор-времена облика ds 2 = d s d s = g µ g ν dx µ dx ν = g µν dx µ dx ν, (2.159) то мешовити производи са четвртом координатом мораjу исчезавати, тj. g 0k = 0, за k = 1, 2, 3, jер би ти сабирци били имагинарни. Према томе, време jе окомито на сваку просторну координату, па интервал простор-времена можемо писати ds 2 = dl 2 g 00 c 2 dt 2, (2.160) потпуно раздваjаjући простор од времена. Са друге стране гледаjући, када би време свугде текло истом jедноликом брзином, тада би испред cdt била константа коjа одређуjе jединицу времена, коjу би увек могли бирати тако да буде g 00 = 1. Вероватноће, информациjа и ентропиjа би свугде били jеднаки и не би било сила. Када се поjаве силе, тада постоjе убрзања и уопште кретања, а са тиме и различите вредности коефициjента g 00. Променљивост тог коефициjента указуjе на присуство поља сила у датом простор-времену. Непосредно из (160) следи да мање g 00 значи спориjе протицање времена, а са становишта наших хипотеза, то значи места мањих слобода или веће концетрациjа догађаjа. Растко Вуковић 94

95 2.8 Геодезиjске линиjе Принцип наjмањег деjства 17 физике наjкраће речено гласи: природа jе лења. Од Њутнове класичне механике преко Аjштаjнове опште релативности па до Шредингерове квантне теориjе поља, свака значаjниjа теориjа била jе поново формулисана помоћу овог принципа, редом од стране Оjлера, Хилберта или Феjмана 18. Деjство jе та централна величина, у jединицама енергиjе множене временом. Наша васиона jе максимално ефикасна, на начин да за своjа деjства троши минимум енергиjе и времена. Прецизниjе речено, интеграл деjства током било ког временског периода jе минималан, узимано по различитим путањама између два дата догађаjа. Оjлер и Лагранж су открили да се из тог принципа може извести сва Њутнова физика, а затим jе са открићем теориjе релативности, поред времена у такво интегрирање укључен и простор. Када имамо систем од N честица у простору, свака са 3 координате, треба нам 3N броjева за дефинисање свих положаjа. Кажемо да систем има 3N степени слободе. Сваки такав скуп вредности q коjи одређуjе позициjу система N честица називамо генералисаним координатма система. Slika 2.17: Хамилтонов принцип наjмањег деjства. На слици 2.17 видимо пет различитих путања система q(t) од тренутка t 1 до t 2, свака са различитим деjством. Хамилтонов принцип тврди да ће стварна путања бити она за коjу jе деjство наjмање (или наjвеће), а деjство jе интеграл по времену Лагранжове 19 функциjе, лагранжиjана L = E k E p, тj. разлике кинетичке и потенциjалне енергиjе: S = ˆ t2 t 1 L dt. (2.161) 17 Principle of least action: 18 Richard Feynman ( ), амерички теориjски физичар. 19 Joseph-Louis Lagrange ( ), италиjански математичар. Растко Вуковић 95

96 Област интеграциjе jе временски интервал у току коjег посматрамо кретање, а екстремну вредност тражимо помоћу вариjационог рачуна. Овде приметите да кретање путањама оптималног деjства можемо тумачити и као кретање путањама максималне ентропиjе, или путањама максималних вероватноћа. Пример Показати да принцип наjмањег деjства за систем у пољу доводи до истог резултата као и други Њутнов закон: m x = F. (2.162) Решење. Узмимо да се тело креће дуж апсцисе. У класичноj механици, кинетичка енергиjа тела jе полупроизвод његове масе m и квадрата брзине Када постоjе вариjациjе положаjа x за ξ, деjство (2.161) jе: = ˆ t2 t 1 S(x + ξ) = E k = 1 2 mv2 = m (dx dt ). (2.163) ˆ t2 t 1 [ m 2 2 (dx dt ) Потенциjал развиjамо у Теjлоров ред па добиjамо S(x + ξ) = [ m 2 (dx dt + dξ 2 dt ) E p (x + ξ)] dt + m dx dξ dt dt + m 2 2 (dξ dt ) E p (x + ξ)] dt. E p (x + ξ) = E p (x) + ξe p(x) ξ2 E p (x) +..., (2.164) ˆ t2 t 1 [ m 2 2 (dx dt ) E p (x) + m dx dξ dt dt ξe p(x) +... ] dt. (2.165) Разлику δs = S(x) S(ξ) називамо вариjациjом деjства. Када су вариjациjе положаjа толико мале да их све осим прве апроксимациjе можемо занемарити, добиjамо: δs = = m dx dt ξ(t) = ˆ t2 t 1 t 2 ˆ t2 t t 1 1 ˆ t2 t 1 [m dx dξ dt dt ξe p(x)] dt = ˆ d t2 dt (mdx dt ) dt E p(x)ξ(t) dt t 1 [ m d2 x dt 2 E p(x)] ξ(t) dt. Вариjациjа деjства δs jе наjмања када исчезава, тj. када jе израз у загради нула. Тако добиjамо m d2 x dt 2 + E p(x) = 0, (2.166) а то jе Њутнов закон F = ma. Растко Вуковић 96

97 Лагранжова функциjа L = E k E p у општем случаjу зависи од генералисаних координата система q(t), брзина q(t) и времена t, тако да можемо писати L = L(q(t), q(t), t). (2.167) Међутим, њене промене по наведеним вариjаблама нису независне, већ задовољаваjу диференциjалну jеднакост L q d L = 0, (2.168) dt q коjа се назива Оjлер-Лагранжова jедначина. Пример Извести Оjлер-Лагранжову jедначину (2.168). Решење. Мењамо координату q(t) за мали износ η(t). Интеграл (2.161) Лагранжове функциjе постаjе: S = ˆ t2 t 1 L[q(t) + ɛη(t), q(t) + ɛ η(t), t] dt. Тражимо екстремну вредност обзиром на ɛ. Зато jе извод по ɛ нула, ds/dɛ = 0, па за парциjалне изводе лагранжиjана по вариjаблама важи ˆ t2 t 1 ( L q η + L η) dt = 0. q Други сабирак решавамо парциjалном интеграциjом ˆ t2 t 1 L q L η(t) dt = q η t 2 ˆ t2 t t 1 1 d dt L η(t) dt, q а први сабирак овог резултата jе нула (исчезава на границама интегрирања). претходни израз можемо писати Зато ˆ t2 t 1 ( L q η(t) d L η(t)) dt = 0. dt q Извлачимо заjеднички фактор η(t), а интеграл исчезава за све вариjациjе η(t) ако и само ако jе преостали фактор нула, тj. акко (2.168). Jедначину (2.167) су пронашли Оjлер 20 и Лагранж године, проучаваjући тзв. таутохроне или изохроне криве. То су криве дуж коjих честица са датом масом пада у фиксну тачку у току фиксног периода времена, независно од њене почетне позициjе. Лагранж jе решио таj проблем године и послао решење Оjлеру. Оба су затим развили Лагранжов метод и применили га на механику, што jе била основа данашње Лагранжове механике. Њихове преписке су основа вариjационог рачуна, како га jе назвао сам Оjлер године. Пример Показати да за кретање простог клатна дужине l у гравитационом пољу важи диференциjална jедначина θ + g l sin θ = 0, (2.169) где jе g гравитационо убрзање. 20 Leonhard Euler ( ), шваjцарски математичар. Растко Вуковић 97

98 Решење. На слици 2.18 лево jе наjпростиjе клатно, оно са ужетом дужине l коjе нема масу, нема инерциjу, на чиjем краjу jе утег масе m. Брзина утега jе v = l θ, па jе кинетичка енергиjа E k = 1 2 mv2 = 1 2 ml2 θ2. Потенциjална енергиjа E p зависи само од y координате. Узимаjући θ = 0 када jе E p = 0, добиjамо y = l(1 cos θ), док jе E p = mgy. Лагранжова функциjа jе разлика кинетичке и потенциjалне енергиjе клатна: L = E k E p = 1 2 ml2 θ2 mgl(1 cos θ), са само jедном генералисаном координатом q 1 = θ. Лако налазимо изводе: L θ = mgl sin θ, L θ = ml2 θ, d dt ( L θ ) = ml2 θ, коjе уврштавамо у Оjлер-Лагранжову jедначину. Добиjамо: d dt ( L L ) θ θ = ml2 θ + mgl sin θ = 0, θ + g l sin θ = 0, а то jе тражена jедначина. Slika 2.18: Клатно и сфера. Када Оjлер-Лагранжову jедначину користимо у теориjи релативности, полазимо до облика (2.31) коjи придружуjемо метрици и поjедностављено пишемо L = g µν ẋ µ ẋ ν. Jедначине (2.168) постаjу d dτ ( L ẋ µ ) L = 0, (2.170) x µ где параметар τ дефинише кретање. Пример Наћи jедначине кретања на површини сфере. Растко Вуковић 98

99 Решење. На слици 2.18 десно jе сфера. То jе површ чиjа jе унутрашња метрика Користимо пример стављаjући r = 1. Лагранжиjан придружен овоj метрици jе Отуда налазимо: dl 2 = sin θ 2 dϕ 2 + dθ 2. (2.171) L = sin 2 θ ϕ 2 + θ 2, L ϕ = 0, L ϕ = 2 sin2 θ ϕ, d dτ ( L ϕ ) = 2 sin2 θ ϕ + 4 sin θ cos θ ϕ θ, L θ = 2 sin θ cos θ ϕ2, L = 2 θ, θ d dτ ( L ) = 2 θ. θ Уврштаваjући ове резултате у Оjлер-Лагранжове jедначине (2.170), добиjамо: { ϕ + 2 ctg θ ϕ θ = 0, θ sin θ cos θ ϕ 2 = 0. (2.172) То су диференциjалне jедначине геодезиjских линиjа сфере. Решења ових jедначина су велике кружнице сфере. Геодезици (2.172) се добиjаjу и из примера 2.7.3, помоћу тензорских jедначина ẍ η + Γ η νµẋ ν ẋ µ = 0. (2.173) Ово су jедначине геодезиjских линиjа изражене Кристофеловим симболима. Ево jедног детаљног, познатог 21 извођења тензорских jедначина за геодезике. Полазимо од линиjског елемента ds 2 = g µν dx ν dx ν, (2.174) где метрику g µν преброjавамо индексима µ, ν = 0, 1, 2, 3. Подразумева се Аjнштаjнова конвенциjа за сабирање по поновљеном горњем и доњем индексу, такође и принцип вариjациjа. Користимо систем jединица у коjем jе брзина светлости c = 1. Сопствено време између два догађаjа, A и B, износи τ AB = ˆ B A ˆ B ˆ B ds 2 = gµν dx µ dx ν x = g µ x ν µν dλ, (2.175) dλ dλ A где користимо параметар λ ради избегавања истих ознака за различита времена. Приметимо да jе dτ/dλ лагранжиjан и да за било коjу функциjу f(τ(λ)) важи ако jе диференциjабилна. A df dτ = df dτ dτ dλ = L df dτ, (2.176) 21 Dr. Russell L. Herman: Derivation of the Geodesic Equation, March 13, 2008 Растко Вуковић 99

100 Оjлер-Лагранжове jедначине сада добиjаjу облик d dλ ( L ẋ ν ) L = 0, (2.177) xν где jе ẋ ν = x ν /dλ. Израчунавамо оба сабирка. Прво налазимо: Затим налазимо: L x ν = 1 g σµ dx σ dx µ 2L x η dλ dλ = L g σµ dx σ dx µ 2 x ν dτ dτ. (2.178) L ẋ ν = 1 2L g σµ ( xµ λ δ σν + dxσ dλ δ µν) = (2.179) = 1 2L (g νµ Коначно израчунавамо и први сабирак: = 1 L g σν dx µ dλ + g σν dx σ dλ. dx σ dλ ) d dλ ( L ẋ ν ) = d dλ ( 1 L g dx σ σν dλ ) = (2.180) = L d dτ (g dx σ σν dτ ) d 2 x σ = L (g σν dτ 2 d 2 x σ = L (g σν dτ 2 d 2 x σ = L [g σν dτ 2 + g σν dτ dx σ dτ ) + g σν x µ x σ x µ dτ dτ ) ( g σν x µ + g νµ x σ ) dxσ dx µ dτ dτ ]. Индекси метричког тензора су симетрични (g µν = g νµ ). Поновљене индексе пренумеришемо, затим уклањамо лагранжиjан прелазећи на изводе по сопственом времену. Налазимо: 0 = d dλ ( L ẋ ν ) L x ν = (2.181) d 2 x σ = L [g σν dτ ( g σν x µ + g νµ x σ ) dxσ dx µ dτ dτ ] L g σµ dx σ dx µ 2 x ν dτ dτ. Преуређуjемо сабирке и мењамо неми индекс σ у α, па добиjамо: d 2 x σ g σν dτ 2 = 1 g σµ dx σ dx µ 2 x ν dτ dτ 1 2 ( g σν x µ + g νµ x σ ) dxσ dx µ dτ dτ = (2.182) = 1 2 ( g σν x µ + g νµ x σ g σµ x ν ) dxσ dx µ dτ dτ 1 2 ( g αν x µ + g νµ x α g αµ x ν ) dxα dx µ dτ dτ = g σν Γ σ αµ dx α dτ dx µ dτ. Тиме смо дошли до jедначина (2.173) за геодезиjске линиjе, где jе ẋ µ = dxµ dτ. Такође, извели смо изразе (2.150) за Кристофелове симболе. Растко Вуковић 100

101 2.9 Шварцшилдово поље Размотримо досадашње закључке на Шварцшилдовоj метрици (1.49), изведеноj у примеру Знамо да она дефинише централно симетрично гравитационо поље попут Сунчевог, када се занемари ротациjа Сунца и утицаj планета. Координату времена ћемо опет означавати са x 0 = ct и, као у (2.96), Шварцшилдов полупречник са r s = 2GM/c 2. Шварцшилдова метрика jе ds 2 = (1 r s r ) c2 dt 2 + (1 r s r ) 1 dr 2 + r 2 sin 2 θdϕ 2 + r 2 dθ 2. (2.183) Приметимо да jе ds 2 увек негативан броj, када год jе пређени пут dl за време dt мањи од брзине светлости. Тада jе ds имагинарно. Slika 2.19: Шварцшилдово поље. Коефициjенти испред dx 0 = cdt и dr постаjу све ближи jединици (±1) када удаљеност од центра расте (r расте), да би се приближавањем бесконачности (r ) метрика (2.183) сводила на равну ds 2 = c 2 dt 2 + dr 2 + r 2 sin 2 θdϕ 2 + r 2 dθ 2, (2.184) писано у сферном систему координата Orϕθ. У просторном делу ове метрике dl 2 = (1 r s r ) 1 dr 2 + r 2 sin 2 θdϕ 2 + r 2 dθ 2 (2.185) мења се само коефициjент испред dr, али не и угловни део dω 2 = sin 2 θdϕ 2 + dθ 2. Посматрач коjи мируjе на некоj позициjи далеко од центра поља не осећа утицаj гравитациjе и има приближно метрику (2.184). Та позициjа има исти интервал ds као и позициjа посматрача коjи мируjе на удаљености r од центра поља са метриком (2.183). Међутим, из тих система се не виде jеднаке jединице дужине и траjања другог. Изjедначавањем интервале ds и означаваjући индексом нула сопствено време посматрача ван поља, а обзиром да обе позициjе мируjу, добиjамо: (1 r s r ) c2 dt 2 + dl 2 = c 2 dt dl 2 0, dl = dl 0 = 0, Растко Вуковић 101

102 а отуда dt = dt 0 1 r s r. (2.186) Што jе позициjа ближа центру гравитационог поља, у односу на посматрача изван поља, време тече спориjе. Када jе r r s, тада се време зауставља и зато се сфера са Шварцшилдовим полупречником назива хоризонт догађаjа. На основу полазних хипотеза, можемо констатовати да за релативну ентропиjу важи ds = ds 0 1 r s r, (2.187) где jе ds 0 сопствена ентропиjа 22 посматрача изван поља. Поставља се питање како jе то у складу са принципом ентропиjе? Jедноставно, да не би губило ентропиjу тело добиjа брзину. Гравитациона сила привлачи тела ка позициjама ниже ентропиjе, али оно у те позициjе не долази у стање мировања, већ у стање кретања и то тачно толиком брзином (1.41) коjом би се у случаjу инерциjалног кретања могло опазити релативно смањење ентропиjе према формули (2.187). Тело у слободном паду мења брзине у односу на позициjе поља, али све време мируjе у сопственом локалном (проближном) инерциjалном систему. Обрнуто, када би се тело ван поља кретало jедноликом брзином v = dl 0 dt 0, а тело у пољу мировало на удаљености r од центра поља, тада би претходно изjедначавање интервала дало: (1 r s r ) c2 dt 2 + dl 2 = c 2 dt dl 2 0, dl = 0, па jе релативно време (1 r s r ) c2 dt 2 = (c 2 v 2 )dt 2 0, dt = 1 v2 c 2 dt 1 rs 0. (2.188) r Оно тече jеднаком брзиним када jе v2 = rs c 2 r, а то jе опет брзина (1.41). То значи да тело у слободном паду у општоj теориjи релативности одржава своjу ентропиjу константном, максималном, ако су такве и сопствене ентропиjе тела у инерциjалном кретању у специjалноj теориjи релативности. Овде има смисла и обjашњење понуђено уз Доплеров ефекат у примеру??. Тело бира позициjе ближе центру масе, jер су тада радиjалне дужине краће, релативно су краће таласне дужине што на начин поменутог обjашњења значи и веће вероватнће. Међутим, тело у те позициjе улази тако да не наруши претходно инерциjално кретање. Да су радиjалне дужине заиста релативно краће израчунавамо замишљаjући две тачке на краjевима истог штапа у мировању, мерено истовремено у систему изван поља и у пољу. Изjедначавањем интервала добиjамо dr = dr 0 1 r s r, dω = dω 0, (2.189) где jе дужина са индексом нула посматрана изван гравитационог поља. 22 Прецизниjе речено, то су инфинитезималне промене. Растко Вуковић 102

103 Успоравање времена (2.186) има познате, али и друге занимљиве ефекте. Време успорава тачно толико колико се скраћуjу радиjалне дужине (2.189). Зато, радиjална брзина светлости (c) у Шварцшилдовом пољу остаjе иста, али не и окомита (c ). Брзина светлости окомита на радиjалну jе већа c = c 1 r s r. (2.190) Ова бочна брзина светлости расте са приближавањем хоризонту догађаjа, r r s, тако да светлост увек може побећи гравитационом стиску црне рупе. То jе другачиjе обjашњење иначе познате Хокингове радиjациjе 23. Ако jе (2.190) тачно 24, питање jе да ли и како те различите брзине утичу на грвитационо преламање светлости. Математика дозвољава наизглед неспоjиве интерпретациjе (исте) истине, налик (истоj) кући на брду коjоj се може прићи са различитих страна. Сваки од тих приступа, ако jе математички коректан, даће неки посебан, тачан и апстрактан аспект реалности. Аjнштаjнова метода третирања гравитациjе jе исувише геометриjска да би била довољно физикална, али управо зато има велике шансе да буде изузетно тачна. Сличне његовом су и овде предложена посматрања истог поља помоћу вероватноће, или ентропиjе. За метрику (2.183) израчунавамо Кристофелове симболе: Γ 0 00 = 0 Γ0 0r = Γ0 r0 = r s 2r 2 (1 r s/r) Γ 0 rr = 0 Γ r 00 = 1 rs (1 2 r ) rs r 2 Γ r 0r = Γr r0 = 0 Γr r rr = s 2r 2 (1 r s/r) Γ r ϕϕ = (1 rs r ) r sin2 θ Γ ϕ ϕθ = Γϕ θϕ = ctg θ Γ r rs θθ = r (1 r ) rθ = Γθ θr = 1 r Γϕ rϕ = Γ ϕ ϕr = 1 r Γ θ ϕϕ = sin θ cos θ (2.191) Та метрика одређуjе и 4-брзине u µ = dxµ ds : 1 = (1 r 2 s r ) (cdt ds ) + (1 r 1 s r ) ( dr 2 ds ) + r 2 sin 2 θ ( dϕ 2 ds ) + r 2 ( dθ 2 ds ), (2.192) 1 = (1 r s r ) (u0 ) 2 + (1 r s r ) 1 (u r ) 2 + r 2 sin 2 θ(u ϕ ) 2 + r 2 (u θ ) 2, чиjе су све компоненте такође (због имагинарног ds) имагинарне. Jедначине геодезиjских линиjа у овим условима ( u = du ds ) су, уопште: u η + Γ η µνu µ u ν = 0. (2.193) Приметимо да можемо ставити ds = λdτ, где jе λ C произвољна константа, па опет имати исте диференциjалне jедначине геодезика, али по новоj вариjабли τ. У Шварцшилдовом случаjу добиjамо: u 0 r + s r 2 (1 rs r )u0 u r = 0 u r + rs (1 rs 2r 2 r ) (u0 ) 2 rs (1 rs 2r 2 r ) 1 (u r ) 2 r (1 rs r ) [sin2 θ(u ϕ ) 2 + (u θ ) 2 ] = 0 u ϕ + 2 r ur u ϕ + 2 ctg θu ϕ u θ = 0 u θ + 2 r ur u θ sin θ cos θ(u ϕ ) 2 = 0. Потражимо геодезиjске линиjе за честицу коjа у почетном тренутку мируjе. 23 Hawking radiation: 24 Нећемо се овде тиме бавити. Растко Вуковић 103

104 Када су све три просторне брзине нуле, u r = u ϕ = u θ = 0, тада из (2.185) налазимо ( u 0 ) t=0 = ( cdt ds ) i =, i 2 = 1, (2.194) t=0 1 r s r 0 где jе r 0 почетна удаљеност од исходишта. У том случаjу су угловна убрзања нуле, али постоjи радиjално убрзање. Зато се претходни систем своди на две jедначине: коjима одговара линиjски елеменат u 0 r + s r 2 (1 rs r )u0 u r = 0 u r + rs (1 rs 2r 2 r ) (u0 ) 2 rs (1 rs 2r 2 r ) 1 (u r ) 2 = 0, (2.195) Интегрирамо прву jедначину: 1 = (1 r s r ) (u0 ) 2 + (1 r s r ) 1 (u r ) 2. (2.196) du 0 + r s r 2 (1 rs r )u0 dr = 0, du 0 u 0 = (1 r 1 r r s ) dr, u 0 = C 0 (1 r s r ) 1, (2.197) где jе C 0 = i 1 rs r 0 константа интеграциjе, што добиjамо из почетних услова (2.194). Радиjалну компоненту брзине израчунавамо из линиjског елемента (2.196): 1 = (1 r s r ) [ C 0 (1 r 1 2 s r ) ] + (1 r 1 s r ) (u r ) 2, 1 = C 2 0 (1 r s r ) 1 + (1 r s r ) 1 (u r ) 2, (1 r s r ) + C2 0 = (u r ) 2, (1 r s r ) (1 r s r 0 ) = (u r ) 2, u r = rs r 0 r s r. (2.198) Како честица пада на нижу висину, r < r 0, то jе израз под кореном негативан, па jе и радиjална компонента 4-брзине имагинарна, као што и наjављено. Свеjедно, интегрирамо. Из u r = dr/ds следи ds = dr/u 2, па имамо даље: ˆ s = dr rs r 0 rs r = 1 rs ˆ rdr r r 0 1. Растко Вуковић 104

105 dr Смена y = r даjе dy = 1 2 r, затим користимо хиперболне функциjе (2.49) за смену y = r 0 ch ξ одакле dy = r 0 sh ξ dξ. Тако израчунавамо: s = 2 rs ˆ = 2(r 0) 3/2 rs y 2 dy = 2 ˆ (r0 ch ξ) 2 r 0 sh ξ dξ = y 2 r 0 1 rs sh ξ ˆ = (r 0) 3/2 rs ˆ ch 2 ξ dξ = (r 0) 3/2 rs ˆ (ch 2 ξ sh 2 ξ)dξ (ch 2ξ + 1)dξ = (r 0) 3/2 ( 1 sh 2ξ + ξ) rs 2 = (r 0) 3/2 rs (sh ξ ch ξ + ch 1 r r 0 ), s = r0 r0 r r + r 0 ch 1, (2.199) r s r s r 0 где jе ch 1 x инверзна функциjа косинуса хиперболног ch x. Ово можемо добити и из друге jедначине (2.195), и након супституциjе за u 0 : 0 = u r + r s 2r 2 (1 r s r ) (u0 ) 2 r s 2r 2 (1 r s r ) 1 (u r ) 2, 0 = u r r s 2r 2 (1 r s r 0 ) (1 r s r ) 1 r s 2r 2 (1 r s r ) 1 (u r ) 2 u r = r s r(r r s ) [1 2 (1 r s r 0 ) (ur ) 2 ], па након раздваjања и множења обе стране са u 1 = dr ds : а отуда (2.198). Из (2.197) добиjамо приближно: u r du r 1 2 [(1 r s/r 0 ) + (u r ) 2 ] = r s r(r r s ) dr, ˆ 2u r du r (1 r s /r 0 ) + (u r ) 2 = ln r ln(r r s), ln [(1 r s r 0 ) + (u r ) 2 ] = ln (1 r s r ), (u r ) 2 = (1 r s r ) (1 r s r 0 ) = r s r 0 r s r, (2.200) одакле cdt i ds = 1 r s r 0 1 rs r = i (1 r s 2r 0 ) (1 r s r ) = i (1 r s r 0 r s r ) = i, ds 2 = c 2 dt 2, (u r ) 2 = 1 c 2 d 2 r dt 2. (2.201) Растко Вуковић 105

106 2.10 Орбите и путање Тражимо путање тела у присуству привлачне гравитационе силе. Прво израчунавамо орбите за Њутнову гравитациjу, уважаваjући законе одржања. Вектор брзине у сферним координатама jе v = ṙˆr + r sin θ ϕ ˆϕ + r θˆθ, (2.202) где тачка изнад значи извод по времену, а ˆr, ˆϕ и ˆθ су базни вектори система Orϕθ. Угловни импулс (ангуларни моменат) jе L = r p = m r (ṙˆr + r sin θ ϕ ˆϕ + r θˆθ) = mr sin θ ϕ r ˆϕ + mr θ r ˆθ, L = mr r (sin θ ϕ ˆϕ + θˆθ). (2.203) Због закона одржања угловног импулса, вектор L има стално исти правац, смер и интензитет, а видимо да jе окомит на раван θ = π 2 и паралелан са ординатом. Отуда следи да jе брзина v стално у истоj равни Oxy и да можемо писати: v = ṙˆr + r ϕ ˆϕ, L = mr2 ϕˆk, (2.204) где jе ˆk jединични вектор z-осе. И заиста, свака од планета Сунчевог система кружи у по jедноj равни, као што се види на слици Енергиjа jе такође конзервирана Slika 2.20: Орбите сунчевог система. E = 1 2 m(ṙ2 + r 2 ϕ 2 ) GMm. (2.205) r Угловни импулс по jединици масе и енергиjу по jединици масе означимо редом са: l = r 2 ϕ, E = E m. (2.206) Тада jе ϕ = l/r 2, па имамо: E = 1 2 (ṙ2 + l2 r 2 ) GM r, Растко Вуковић 106

107 ṙ = Природа времена 2E l2 r 2 + 2GM. r Да нађемо jедначину орбите, r(ϕ), поделимо са ϕ = 1/r 2 и интегрираjмо (u = 1/r): ˆ ldr ϕ = r 2 2E l2 + 2GM r 2 r ˆ ldu = 2E l 2 u 2 + 2GMu ˆ ldu =. ( GM l lu) 2 + 2E + G2 M 2 l 2 Уводимо смену y = GM l lu, A 2 = 2E + G2 M 2, па настављамо: l 2 ˆ ˆ dy A cos θ dθ ϕ = y 2 + A = = θ = arcsin ( y 2 A cos θ A ), A sin ϕ = y = GM l lu = GM l l r, r = 1 r = GM l 2 A l r 2 GM sin ϕ, l2 E sin ϕ G 2 M 2 r =, a 1 e sin ϕ, (2.207) а то jе jедначина елипсе са жижом у центру поларног система Orϕ. Прелазећи на Декартове координате Oxy добиjамо, редом: r er sin ϕ = a, r = a + ey, r 2 = a 2 + 2aey + e 2 y 2, x 2 + y 2 = a 2 + 2eay + e 2 y 2, x 2 + (1 e) (y x 2 + y 2 2eay ey 2 = a 2, ae 2 1 e ) = a 2 (1 + e2 1 e ), x 2 b 2 + (y y 0) 2 c 2 = 1, (2.208) где jе y 0 = ae/(1 e), b = a 2 [1 + e 2 /(1 e)], c 2 = b 2 /(1 e). То jе стандардни облик елипсе са центром (0, y 0 ) коjа jе орбита за негативну енергиjу (E < 0). За позитивну енергиjу, израчунавање интеграла иде преко хиперболних функциjа, а добиjена орбита jе хипербола. Растко Вуковић 107

108 Сада се вратимо на орбите према општоj релативности. Из jедначина геодезиjских линиjа (2.193), линиjског елемента (2.183) и почетних услова θ = π 2, u2 (0) = 0, следи: u 0 r s r 2 (1 r s/r) u0 u r = 0, u r + (1 rs r ) rs u ϕ + 2 r ur u ϕ = 0, u θ = 0. 2r 2 (u 0 ) 2 r s 2r 2 (1 r s/r) (ur ) 2 (1 rs r ) r(uϕ ) 2 = 0, Из четврте jедначине имамо u θ = 0. Затим интегрирамо трећу: du ϕ u ϕ = 2 r dr, u ϕ = const. r 2, што просто значи конзервациjу угловног импулса, r 2 dϕ dτ = l 0. Исти резултат (2.197) добиjамо из друге jедначине, при чему се зависно од избора константе интеграциjе C 0 мења врста орбите. Када линиjски елеменат Шварцшилдове метрике пишемо у облику ds2 = 1, за dτ 2 интервал dτ добиjамо реалан броj, па даље имамо: 1 = C2 0 1 rs r 1 + c 2 (1 rs r ) ( dr 2 dτ ) + l2 0 c 2 r 2, 1 + r s r = C c 2 ( dr dτ ) 2 + l2 0 c 2 r 2 (1 r s r ), 1 c 2 ( dr 2 dτ ) = C r s r l2 0 c 2 r 2 (1 r s r ). Да би пронашли C 0, ставимо да jе τ = 0, када jе dr dτ C 0 = па како jе r s = 2GM/c 2, добиjамо: 1 = C2 0 1 rs r + l2 0 c 2 r0 2, C0 2 = (1 + l2 0 c 2 r0 2 l c 2 r0 2 2GM c 2 r0 2 = 0. Тада: ) (1 2GMl2 0 c 2 r0 2 ), 2GMl2 0 c 4 r0 3, ( dr dτ ) 2 = 2GM r 0 + 2GM r + l2 0 r0 2 (1 2GM c 2 ) l2 0 2GM (1 r 0 r2 c 2 r ). Jедначину орбите налазимо делећи са ϕ 2 = l 2 0 /r4 : ( dr dϕ ) 2 = r 4 [ 2GM r 0 l GM rl r 2 0 (1 2GM c 2 ) 1 2GM (1 r 0 r2 c 2 r )], Растко Вуковић 108

109 Сменом ξ = 1/r ово постаjе: dr dϕ =. r 2 2GM + 2GM + 1 (1 2GM r 0 l0 2 rl0 2 r0 2 c 2 r 0 ) 1 (1 2GM r 2 c 2 r ) dϕ = ( dξ dϕ ) 2 2GM l 2 0 = [ξ 2 0 (1 2GM c 2 ξ 0 + 2GM ξ + u 2 l ξ 2 u 2 dξ ξ 0 ) 2GM l 2 0, 2GM (1 ξ c 2 0 ) ξ 2 (1 2GM c 2 r ξ) а то би била jедначина елипсе да ниjе последњег сабирка. Уведимо ознаке: па добиjамо: ξ = dξ dϕ, A = ξ2 0 (1 2GM c 2 B = 2GM l0 2, C = 2GM c 2, (ξ ) 2 = A + Bξ ξ 2 + Cξ 3, dϕ = ξ 0 ] + 2GM l0 2 ξ ξ 2 + 2GM c 2 ξ 3, ξ 0 ) 2GM l0 2 ξ 0, dξ A + Bξ ξ 2 + Cξ 3. (2.209) Ово се подудара са Кеплеровим резултатом, осим што има последњи сабирак под кореном, кубни члан, коjи jе веома мали броj за невелике звезде и планете. Он изазива промену коjа се види на слици Slika 2.21: Померање перихела Меркура. Када интегрирамо (2.209) до пола орбите, а без последњег кубног члана под кореном, добиjамо π. Множећи са 2 правимо пуни круг, односно 2π = 2 ˆ ξ+ ξ dξ A + Bξ ξ 2, где су ξ ± екстреми орбите. Перихел напредуjе за износ разлике 2π и интеграла: ϕ = 2π 2 ˆ ξ+ ξ dξ A + Bξ ξ 2 + Cξ 3. (2.210) Растко Вуковић 109

110 Према овоj формули, перихел Меркура напредуjе за око 43 у току столећа, што jе у одличноj сагласности са експерименталним проверама. Сада се вратимо на израчунавање геодезика узимаjући у обзир нулти случаj ds2 = 0, dτ 2 дакле кретање светлости. Тада jош увек имамо: (1 r g r ) u0 = C 0 = 1 2GM, r 0 r 2 dϕ dτ = l 0 = cr 0, где jе r 0 радиjус наjближег положаjа. Сада имамо: 0 = (1 r g r ) ( dt 2 dτ ) 1 + c 2 (1 rg r ) ( dr 2 dτ ) + r2 c 2 sin2 θ ( dϕ 2 dτ ) + r2 c 2 ( dθ 2 dτ ), = C2 0 1 rg r Отуда, за r g = 2GM/r добиjамо: + 1 c 2 (1 rg r ) ( dr 2 dτ ) + l2 0 c 2 r 2. За наjближи радиjус ово постаjе: ( dr 2 dτ ) = C0c 2 2 c2 r0 2 r 2 (1 2GM ). r 0 = C0c 2 2 l2 0 r0 2 (1 2GM ), r 0 0 = C 2 0 (1 2GM r 0 ). Поступак jе даље исти као претходни. Конвертуjемо у jедначину по r и ϕ. Постављамо A = C 0c l 0 = 1 r 0 1 2GM r 0, па долазимо до: dr dτ /dϕ dτ = r2 c 2 C0 2 cr l2 0 2GM (1 0 r2 r dr dϕ = r 2 cr 0 c 2 C0 2 l2 0 r 2 (1 2GM ) r = r r 2 r 2 0 dr C0 2 l2 0 (1 2GM ) c 2 r0 2 r dr = r r GM r0 2 r r2 2GM r0 2 r 0 = r r 2 1 r0 2 dr 1 + 2GM r 0. r0 3/r3 1 1 r0 2/r2 ), Растко Вуковић 110

111 Укупна промена угла jе jе двоструки интеграл од бесконачности до r 0. одговара одступању угла ϕ од π, па jе ˆ dr ϕ = π + 2. r r GM r r /r3 1 r 0 1 r0 2/r2 Промена Даље развиjамо други корен у степени ред по MG r 0 << 1 и уводимо смену r 0 r = sin θ: ˆ ϕ = π + 2 = 2GM r 0 ˆ = π + 2 = π + 2 = π + 2 dr r GM (1 r3 0 r 0 r 3 ) (1 r2 1 0 r 2 ) r 2 r 2 0 r 0 dr r 2 1 r2 0 ˆ π/2 0 ˆ π/2 0 r 2 + O ( G2 M 2 r GM 1 (1 r3 0 r 0 r 3 ) (1 r2 0 r 2 ) dθ [1 + GM r 0 (1 sin 3 θ)(1 sin 2 θ) 1 ] dθ [1 + GM r 0 (1 + sin θ + sin 2 θ)(1 + sin θ) 1 ] (1 + sin θ) 1 (cos θ 2 + sin θ 2 ) [cos θ 2 cos θ + (cos θ 2) sin θ 2 ] = 2GM 2r 0 ( 2) 1 2 ( 2) 2m r 0, ) π/2 ϕ = 4GM r 0. (2.211) 0 За Сунце добиjамо Slika 2.22: Савиjање светлости. 4GM r 0 = 4 6, , , = 1, 748, што значи да се светлост отклања за угао од 1,75 секунди. потврђено. То jе експериментално Растко Вуковић 111

112 2.11 Паралелно померање Основна сврха Римановог 25 тензора Rijk l jе дефинисање кривине простора на начин коjи jе у складу са нашом интуициjом. Гениjална идеjа Римана била jе да посматра паралелни транспорт, као на слици Тангентни вектор сфере на слици, из тачке A мало-по-мало паралелно самом себи помера се ка тачки N а затим кружно преко B назад у тачку A. Када се врати у полазну тачку, он jе тада неки други вектор коjи са полазним чини угао α. Ако jе α 0, сфера jе закривљена. Када су геодезиjске линиjе сфере наjкраћа растоjања између датих парова тачака, онда те линиjе леже на наjвећим кружницама сфере и описани поступак може резултирати углом α 0, за разлику од паралелног транспорта по некоj мањоj кружници на сфери. Сличан паралелни транспорт по затвореноj кривоj линиjи равне површине доводи нас тачно до полазног вектора, односно угла α = 0. Из класичне математичке анализе у Декартовоj рави знамо да jе извод функциjе jеднак тангенсу угла између апсцисе и тангенте на криву те функциjе Slika 2.23: Паралелни транспорт. у датоj тачки. Прецизниjе речено, ако jе дата функциjа f = f(x) представљена глатком кривом у равни, онда jе њен извод у тачки A(x, f(x)) jеднак лимесу f f(x + h) f(x) (x) = lim = df = tg ϕ, (2.212) h 0 h dx где jе ϕ = ϕ(x) угао између апсцисе (x-осе) и тангенте на криву у тачки A. На слици Slika 2.24: Извод jе тангенс угла тангенте. 25 Bernhard Riemann ( ), немачки математичар. Растко Вуковић 112

113 2.24 то jе приближно tg ϕ = BC AC. Када би f била геодезиjска крива, вектор коjи би се паралелно померао по њоj одржавао би константним угао са њеном тангентом. У случаjу да функциjа расте (с лева на десно), као на датоj слици, тада jе угао тангенте оштар, 0 < ϕ < 90, тангенс тог угла jе позитиван броj па jе извод позитиван броj, тj. f (x) = tg ϕ(x) > 0. У случаjу да jе функциjа опадаjућа, угао тангенте jе туп па jе тангенс тог угла односно извод мањи од нуле. Локални максимум (минимум) функциjе препознаjемо по преласку раста у пад (пада у раст), односно по преласку извода из позитивних у негативне (или обрнуто) вредности. У оба случаjа, у тачки екстрема jе извод функциjе нула. Замислимо даље, да имамо 3-дим простор Oxyz и неку функциjу, попут температуре у пећници, T = T (x, y, z) коjа се полако мења од тачке до тачке. Када тражимо смер пораста температуре, посматраћемо изводе по све три кординате и формирати вектор помоћу њих grad T = T x i + T y j + T k = T, (2.213) z коjи се назива градиjент. Jединични вектори Декартове апсцисе, ординате и апликате су редом i, j и k. Са друге стране, у разним тачкама температура узима разне вредности, дефинишући неку површ T = T (x, y, z), као на слици лево. Линиjе површи коjе формираjу тачке константне температуре називаjу се нивои површи, или геодезиjске линиjе температуре. Вектор коjи би лежао на истом нивоу имао би разлику температура нула, па би његов градиjент био нула вектор и он би био окомит на градиjент (2.213), jер jе нула вектор окомит на сваки вектор. Нека jе n = n(x, y, z) jединични вектор нормале, окомит на површ истих температура у датоj тачки. Он показуjе правац и смер наjбржег раста температуре. Компоненте нормале, n x, n y и n z, су такве да jе њихов збир квадрата jедан. Угао између градиjента и нормале jе θ. Скаларни производ вектора jе jеднак производу њихових интензитета и косинуса угла између, или множено по координатама, скаларни производ градиjента и нормале температуре jе: grad T n = T x n x + T y n y + T z n z = grad T cos θ. (2.214) То jе скалар (броj) коjи има наjвећу вредност када jе угао између градиjента и нормале нула, θ = 0, jер тада jе косинус максималан, cos 0 = 1. У случаjу да jе тачка T 0 локални екстрем, сва три извода су нуле, па су и градиjент и броj (2.214) нуле. Пример Показати да из (2.214) следи да градиjент увек показуjе смер наjвећег пораста функциjе T. Решење. Користимо познату Коши-Шварцову неjеднакост (пример 4.2.2) x 1 y 1 + x 2 y x k y k x x x2 k y1 2 + y y2 k, (2.215) Растко Вуковић 113

114 коjа важи за све за све x i, y j R, а где jеднакост важи ако и само ако постоjи реалан броj λ такав да jе x i = λy i за све i = 1, 2,..., k. Примењено на (2.214) имамо jедно λ у све три jеднакости ξ T = λn ξ, за све три координате ξ {x, y, z}. Отуда grad T n. Када пређемо са Декартових Oxyz на сферне координате Orϕθ, важи: T ξ = T r r ξ + T ϕ ϕ ξ + T θ θ ξ, (2.216) за све три Декартове координате ξ {x, y, z}. Отуда градиjент grad T = T r g 1 T r + r sin θ ϕ g ϕ + 1 T r θ g θ, (2.217) где су g r, g ϕ и g θ jединични вектори координата r, ϕ и θ. Пример Наћи градиjент температуре гравитационог поља. Решење. Црвени помак за гравитационо поље означава смањење фреквенциjе таласа честице у гравитационом пољу због успоравања времена, односно повећање таласних дужина. То овде (не у савременоj физици) тумачимо као повећање температуре дате честице-таласа, коjу опажа релативни посматрач изван поља, али не и дата честица. Њена сопствена температура jе константно T 0, док jе њена релативна температура у Шварцшилдовом пољу T = T 0 1 r s, r када jе центар сферног система постављен у центар поља. Отуда r s = 2GM c 2, (2.218) grad T = r s T 0 2r 2 g r. (2.219) (1 rs r )3 Парциjални изводи релативне температуре T по угловима ϕ и θ су нуле и остаjе само изведени брзи радиjални пад температуре са удаљавањем од центра. У складу са нашим претходним разматрањима (такође мимо савремене физике), релативна ентропиjа у овом пољу износи S = S 0 1 r s r, (2.220) где jе S 0 сопствена ентропиjа како jе види дата честица на датом месту. Затим, према Клаузиjусовоj дефинициjи ентропиjе (1.9), морала би бити релативна топлота честице константна Q = Q 0. (2.221) Према томе, топлота Q и енталпиjа H (укупна унутрашња енергиjа) како у специjалноj тако и у општоj теориjи релативности нису еквиваленти. То помињем због разликовања ове теориjе од савремене физике према коjоj, као што знамо, топлота и енталпиjа jесу еквиваленти. Градиjент релативне ентропиjе (2.220) износи grad S = r s 2r 2 S 0 1 r s r g r. (2.222) Растко Вуковић 114

115 То jе вектор коjи показуjе смер пораста релативне ентропиjе фиксних тачака поља у односу на посматрача коjи мируjе изван поља. Усмерен ка релативном посматрачу, оваj вектор му каже да се он налази у стабилном стању, не вуче га сила. За посматрача изван поља, две фиксне тачке у пољу на удаљеностима r 1 и r 2 од центра поља имаjу одовараjуће ентропиjе (2.220). Када jе r 1 < r 2 тада jе S 1 < S 2, што значи да jе на мањоj (статичноj) висини мања ентропиjа. То смањење ентропиjа у (фиксним) тачкама ближим центру поља опажаће (са другачиjим износима) и други релативни посматрачи, па и они коjи се налазе у слободном паду у том пољу. Управо зато, тело коjе пролази различитим тачкама поља имаће различите одговараjуће брзине проласка тим тачкама. Неће се сви релативни посматрачи сложити око тачног износа ових брзина, осим да jе v 1 > v 2, када год jе r 1 < r 2. Ето зашто гравитациона сила телу даjе убрзање. Jедноставно речено, она га доводи у позициjе мање ентропиjе али веће брзине. При томе, ако на дато тело не делуjу jош неке силе, оно (скоро да) не примећуjе нити промену сопствене ентропиjе, нити брзине, нити осећа деjство силе. Зато jе слободан пад толико jеднак инерциjалном кретању. У веома jаком гравитационом пољу, посматрач у просториjи коjа би била у слободном паду, рецимо са подом према центру силе, могао би приметити поjачано бочно стискање (привлачење) честица у соби, коjе jе у нескладу са вертикалним истезањем (одбиjањем). Он би тако ипак могао знати да се налази у слободном паду, а не у инерциjалном систему изван поља. Исти би ефекат постоjао и у слабиjим пољима, независно од тога колико га посматрач у соби игнорише. Зато мораjу постоjати и различити ефекти на различитим путањама сателита, коjе би могао да примети и посматрач изван поља. Такви ефекти произилазе и из обjашњења слике Брзина сателита коjи ротира на висини r jе (1.39), дакле мања jе од оне коjу би на истом месту имало тело стигло на ту позициjу из слободног пада из бесконачности. Ове разлике брзина сведоче релативном посматрачу о различитостима поjединих слободних падања. Вратимо се опет на паралелно померање, али сада у следећоj замишљеноj ситуациjи. Претпоставимо да имамо два сателита чиjе се путање (елипсе) укрштаjу у тачкама A и B. Посматрачи у тим сателитима лебде у бестежинском стању, без унутрашње ротациjе. Замислимо да први посматрач на путањи до A одржава неки вектор (ориjентисану дуж) непокретним и да такав правац и смер препоручи другом посматрачу у тренутку њиховог мимоилажења у тачки (догађаjу) сусрета. Други посматрач преузима правац и смер вектора првог и преноси га без промене од A до сусрета у B са првим. Први преузме вектор у B и упореди га са своjим почетним вектором. Према Римановоj замисли, ако су почетни и краjњи вектори паралелни, простор тог гравитационог поља ниjе закривљен. Ако jе, како jе могуће да на краjу тог кружног путовања, вектор не буде паралелан са своjом почетном вредношћу? Тражимо интуитивно обjашњење. Први и други сателит се крећу различитим брзинама по различитим елипсама, инерциjално. Чак и ако ниjе спорно да jе вектор непокретан током путање AB, као и BA, спорно jе шта се заправо преноси као правац и смер тог вектора у догађаjима A и B. Сетимо се само jедноликог праволиниjског кретања воза у односу на насип. Траjекториjа тела коjе путуjе окомито на пругу у односу на посматрача у возу, ниjе окомита у односу на посматрача на насипу. Споран jе пренос паралелности са jедног на други сателит коjи су у узаjамном инерциjалном кретању. Простор jе закривљен (уврнут) зато што су та два кретања стално инерциjална, а чине затворену путању. Пређимо сада на неинтуитивно обjашњење помоћу тензорског рачуна. Ковариjантна деривациjа (2.129) тада има предност jер jе она за разлику од обичне тензор. Зато се Растко Вуковић 115

116 назива и апсолутни градиjент. За контравариjантни вектор A k ковариjантна деривациjа се дефинише са: j A k = Ak x j + Ai Γ k ij. (2.223) Ми смо раниjе нашли формулу за Кристофелове симболе (2.150). Пре свега приметимо: 1. ковариjантна деривациjа скалара jе исто што и обична деривациjа; 2. за ковариjантну деривациjу важи правило производа: j (u k + v k ) = j (u k + v k ) + (u k + v k )Γ k ij = j u k + j v k, (2.224) као и за обичну. Скраћено пишемо j = / x j. Пример Показати да jе ковариjантна деривациjа ковариjантног вектора B k. Решење. Користимо деривациjу скалара j B k = j B k B i Γ i kj. (2.225) j (A i B i ) = j (A i B i ) = ( j A i )B i + A i ( j B i ), заjедно са: j (A i B i ) = ( j A i )B i + A i ( j B i ) = = ( j A i + A k Γ i kj )B i + A i ( j B i ). Изjедначавањем добиjамо: ( j A i + A k Γ i kj )B i + A i ( j B i ) = ( j A i )B i + A i ( j B i ), B i A k Γ i kj + Ai ( j B i ) = A i ( j B i ), B i A k Γ i kj + Ak ( j B k ) = A k ( j B k ), [B i Γ i kj + ( jb k )]A k = A k ( j B k ). Неме индексе i и k у другом и трећем члану можемо преименовати, а вектор A k jе произвољан, па налазимо: B i Γ i kj + ( jb k ) = j B k, а отуда тражена ковариjантна деривациjа ковариjантног вектора. Помоћу израза за деривациjе горњих (2.223) и доњих (2.225) индекса непосредно можемо написати израз за ковариjантну деривациjу било коjег тензора, рецимо Применимо то на метрички тензор. l C i jk = lc i jk + Cm jk Γi lm Ci mk Γm lj Ci jmγ m lk. (2.226) Пример Показати да jе j g kl = 0. (2.227) Растко Вуковић 116

117 Решење. Израчунавамо редом: j g kl = j g kl Γ m jk g ml Γ m jl g km = = j g kl 1 2 gmn ( k g jn + j g nk n g kj )g ml 1 2 gmn ( l g jn + j g nl n g jl )g km = j g kl 1 2 ( kg jl + j g lk l g kj ) 1 2 ( lg jk + j g kl k g lj ) = 0, због симетриjе g ij = g ji. Према томе, ковариjантна деривациjа метричког тензора jе нула, што jе и требало показати. Пример Наћи ковариjантну деривациjу вектора у Шварцшилдовоj метрици. v = (1 2GM, 0, 0, 0) (2.228) r Решење. Користимо раниjе израчунате Кристофелове симболе и добиjамо То jе у сферном систему Orϕθ. GM 0 (1 2GM ) 2 r j v k 2 r 0 0 3GM = r 2. (2.229) На краjу погледаjмо неколико типичних задачића из наставе тензорског рачуна, коjи повезуjу поjам паралелног транспорта са нашим претходним разматрањима. Паралелно померање вектора A k из тачке x у тачку x + dx дуж координате x j jе: A k (x + dx) = A k + δa k = A k (x) Γ k ija i δx j, (2.230) A k (x + dx) A k (x) ds da k ds + Γk ija i A j = 0, = Γ k ija k δx j ds, а то jе нама позната jедначина геодезика (2.173). При паралелном транспорту, вектор остаjе паралелан тангенти у тачки x + dx, али не мења своjу дужину, jер: δ(a k A i g ki ) = 2(δA k )A i g ki + A k A i δg ki = = 2Γ k mna m δx n A i g ki + A k A i g ki,n δx n, g ki,n = n g ki = g kj (g jm,n + g jn,m g mn,j )g ki A m A i δx n + A k A i g ki,n δx n = (g im,n + g in,m g mn,i )A m A i δx n + A k A i g ki,n δx n = 0. Растко Вуковић 117

118 На исти начин се може показати jош општиjе, да унутрашњи (скаларни) производ вектора остаjе непромењен након паралелног транспорта: δ(a i B j g ij ) = (δa i )B j g ij + A i (δb j )g ij + A i B j δg ij = (2.231) = Γ i mna m δx n B j g ij Γ j mnb m δx n A i g ij + A i B j g ij,n δx n = 1 2 gik (g km,n + g kn,m g mn,k )g ij A m B j δx j = 1 2 gjk (g km,n + g kn,m g mn,k )g ij B m A i δx n + A i B j g ij,n δx n = 1 2 (g jm,n + g jn,m g mn,j )(A m B j + A j B m )δx n + A i B j g ij,n δx n, δ(a i B j g ij ) = 0. (2.232) Размотримо две инфинитезимално удаљене тачке P (x i ), Q(x i + dx i ) и векторско поље A коjе узима вредности A k у P и A k + da k у Q. Знамо да диференциjа da k ниjе тензор, али да рецимо δa k jесте. Доводимо поменута два вектора у исту тачку, одузимаjући вектор A k + δa k из Q од вектора A k у P и добиjамо ковариjантни диференциjал DA k = da k δa k, коjи jесте тензор, односно ковариjантни вектор. Вектор A k + δa k jе паралелно транспортован, односно паралелно транслирани A k из P у Q. Наjпознатиjи облик ове нове диференциjе jе δa k = Γ k li Al dx i, тако да jе DA k = da k + Γ k li Al dx i = A k ;idx i, (2.233) а то овде (2.223) пишемо DA k = i A k и називамо ковариjантном деривациjом. На почетку ове секциjе поменуту Риманову идеjу можемо и овако интерпретирати. Паралелно транслирамо вектор дуж jедне координате, а затим га паралелно транслирамо другом. Упоредимо таj поступак са обрнутим редоследом и ако резултат ниjе исти, фактор разлике прогласимо Римановим тензором. Пример Из разлике две ковариjантне деривациjе ковариjантне деривациjе извести Риманов тензор: R k lji = iγ k jl jγ k il + Γk imγ m jl Γk jmγ m il. (2.234) Решење. Ковариjантна деривациjа ковариjантне деривациjе jе, редом: i j A k = i ( j T k ) Γ m ij m T k + Γ k im j T m (2.235) = i j T k + i (Γ k jmt m ) Γ m ij ( m T k + Γ k ml T l ) + Γ k im( j T m + Γ m jl T l ) = i j T k + ( i Γ k jm)t m + ( i T m )Γ k jm Γ m ij ( m T k + Γ k ml T l ) + Γ k im( j T m + Γ m jl T l ). Када деривирамо обрнутим редоследом (заменимо индексе i и j) и та два резултата одузмемо, добиjамо i j T k j i T k = ( i Γ k jl jγ k il + Γk imγ m jl Γk jmγ m il )T l, ( i j j i )T k = R k lji T k, а због произвољности вектора A k следи тражена jеднакост. Растко Вуковић 118

119 2.12 Кривине простора Римановим просторима називамо оне коjи имаjу метрику коjа се полако и глатко мења од тачке до тачке. То су простори у коjима можемо користити тензорски рачун. Већ смо видели како егзистенциjа не-нула компоненти Римановог тензора указуjе на закривљеност Римановог простора. Други, мање поуздани начини примећивања закривљености у тим просторима су Ричиjев тензор и скалар кривине. Ричиjев 26 тензор jе два пута ковараjантан. Добиjа се из Римановог тензора R l jkl контракциjом горњег са првим доњим индексом R ki = R m mki. (2.236) У Римановом простору X n jе Ричиjев тензор симетричан: R ik = R ki. Траг Ричиjевог тензора у односу на контравариjантни метрички тензор простора X n jе скалар R = g ij R ij (2.237) коjи се назива скалар кривине или инвариjанта кривине простора X n. Компоненте Ричиjевог тензора се могу 27 изразити помоћу чланова метричког тензора g ij и његове детерминанте g = det(g ij ) R ij = 2 ln g x i x j x k Γk ij + Γ m ik Γk mj Γ m ln g ij x m, (2.238) где су Γ k ij Кристофелови симболи друге врсте у односу на тензор g ij. Поред ових, за разна израчунавања често користимо jош неколико формула. Пре свега, производ матрица (g ij ) и (g ij ) jе jединична матрица. Помоћу њих, метричких тензора (ковариjантног и контравариjантног), преводимо Риманове тензоре: R lijk = g ls R s ijk, Rm ijk = gml R lijk. (2.239) Први пар индекса првог тензора jе симетричан са другим паром, али су индекси унутар тих парова косо-симетрични: R abcd = R cdab, R abcd = R bacd = R abdc. (2.240) Лако се доказуjу и тзв. први и други Бjанкиjев идентитет: { R abcd + R acdb + R adbc = 0, R abcd;e + R abde;c + R abec;d = 0, (2.241) где jе рецимо R abcd;e = e R abcd. Пример Наћи тензоре кривине за површину сфере. Решење. Метрика сфере у сферном систему Orϕθ jе ds 2 = r 2 sin 2 ϕ 2 + r 2 dθ 2, r = const. (2.242) 26 G. Ricci, Atti R. Inst. Venelo, 53: 2 ( ), pp Encyclopedia of Mathematics: Растко Вуковић 119

120 па су метрички и њему инверзан тензор, редом (g ij ) = r 2 ( sin2 θ ), (gij ) = r 2 ( sin 2 θ ), (2.243) jер jе (g ij )(g ij ) jединична матрица. Кристофелови симболи су Γ ϕ ij = ( 0 ctg θ ctg θ 0 ), sin θ cos θ 0 Γθ ij = ( 0 0 ). (2.244) У 2-дим простору Риманов тензор има само jедну независну компоненту коjу ћемо узети за R θ ϕθϕ = θγ θ ϕϕ ϕ Γ θ θϕ + Γk ϕϕγ θ θk Γk θϕ Γθ kϕ, Ричиjев тензор и скалар кривине су: R θ ϕθϕ = sin2 θ. (2.245) (R ij ) = ( sin2 θ ), R = 2 r 2. (2.246) Пример Наћи тензоре кривине за Шварцшилдову метрику. Решење. За Шварцшилдову метрику (2.183) смо већ израчунали Кристофелове симболе (2.191). Отуда Риманов тензор R t rtr = 2GM r 3 (1 2GM 1 ). (2.247) r Како ово никада ниjе нула, Шварцшилдово простор-време jе свугде закривљено. Ипак, из r следи R t rtr 0, што значи да веома далеко од центра поља закривљеност исчезава. Међутим, све компоненте Ричиjевог тензора су нуле па jе и скалар кривине нула, R = 0. R ij = 0, (2.248) Како jе могуће да jе Ричиjев тензор нула, а Риманов ниjе? Формално гледаjући ради се о степенима слободе. У просторима димензиjе 4 или више, има више степени слободе за Риманов тензор него за Ричиjев, па има и више места за равни Ричиjев простор са не-нула кривином. Са становишта Аjнштаjнових jедначина (2.97), Ричиjев тензор може бити нула (у вакууму) зато што тензор енергиjе T µν не подржава закон одржања енергиjе 28. То jе зато што гравитациjа има своj сопствени (псеудо) тензор енергиjе, а само збир енергиjе и те псеудоенергиjе jе конзервиран. Риманова кривина зависи од квадрата првих али и од других деривациjа метричког тензора, као и од самих метричких и њему инверзних тензора. Отуда, у вакууму може бити R ij = 0 и T ij = 0, а да псеудоенергиjе нису нуле, 28 Растко Вуковић 120

121 нити су константне (нпр. гравитациони таласи). Тада прве деривациjе метричких тензора не мораjу бити нуле, а са њима нити Риманов тензор. Риман jе био Гаусов ученик 29 од кога jе наследио и разумевање кривина простора. Гаус jе кривине површи дефинисао као реалне броjеве и поделио их на негативне, нула и позитивне (K 0), као на слици 2.25, а сам поjам паралелности jе проблематичан на тим разним површима. Slika 2.25: Гаусове кривине. Оне површи у коjима важи Еуклидова геометриjа имаjу кривину нула (K = 0). Збир углова у троуглу увек jе испружен угао (180 ). У њима важи Питагорина теорема a 2 + b 2 = c 2 за све правоугле троуглове са катетама a и b и хипотенузом c. Однос обима O и пречника круга d = 2r увек jе исти и jеднак jе ирационалном броjу π = 3, независно од величине круга ( O d = π). Важи тзв. Еуклидов пети постулат: дата тачка ван дате праве садржи тачно jедну праву паралелну са датом. Иначе, две праве су паралелне ако леже у истоj равни а немаjу заjедничких тачака. Унутрашња геометриjа сфере има кривину K > 0. Троугао чиjе странице иду од севера линиjама два меридиjана и екватором, има збир углова већи од 180, а слично jе и са свим осталим троугловима jер су му странице чине делови великих кружница сфере. За правоугле троуглове важи неjеднакост a 2 + b 2 > c 2. Однос обима и пречника круга мањи jе од π. Све праве (велике кружнице) се секу и нема паралелних. Сличне сфери су све елиптичне површи, коjе називамо и Римановим. Хиперболне или седласте површи имаjу кривину K < 0. То су оне са геометриjом Лобачевског 30. Тачка ван дате праве садржи бар две паралеле са датом, однос обима и пречника круга jе већи од π, а збир углова у троуглу мањи jе од испруженог. Не важи Питагорина теорема, катете су увек прекратке. Посматраjући кружницу полупречника ρ долазимо до идеjе да кривину површи дефинишемо са κ = 1/ρ, сматраjући праве линиjе дате површи кружницама неке шире геометриjе. Производ полупречника две такве кружнице, K = κ 1 κ 2, дефинише кривине на слици Мана ове методе jе потреба излазка у простор у коjем нисмо. Гаус jе године открио начин дефинисања кривине површи изнутра, без одласка у више димензиjе. Из дате тачке, он би дуж геодезика отишао на удаљеност ɛ у свим правцима, покриваjући круг полупречника ɛ. Упоређивање обима тог круга са обимом круга у равном простору 2πɛ, открило би геометриjу површи. На пример, за сферу полупречника ρ биће O = 2πρ sin ɛ ρ 2πɛ (1 ɛ2 6ρ 2 ). (2.249) У сложениjим површима оваj израз jе сложениjи, али jе девиjациjа углавном квадратна, 29 Carl Friedrich Gauss ( ), немачки математичар. 30 Лобачевский, Николай Иванович ( ), руски математичар. Растко Вуковић 121

122 као што jе и овде. Гаус jе затим предложио следећу дефинициjу кривине 6 K = lim ɛ 0 ɛ 2 (1 O 2πɛ ). (2.250) Испада да оваj унутрашњи рачун даjе управо онаj претходно поменути производ две вањске кривине. Наравно, временом су обjављивани и другачиjе дефинициjе кривина од ове Гаусове, као и другачиjе интерпретациjе Римановог тензора од (2.234). Jедна популарниjа међу математичарима jе KΠ(u, v) = R lijk u l v i u j v k, (2.251) где jе K Гаусова кривина, Π(u, v) површина паралелограма коjег разапињу дати вектори u и v, а R lijk jе Риманов тензор (2.239). Међутим, физичари радиjе користе следећу интерпретациjу δa l = R l ijk Ai u j v k, (2.252) где jе вектор A паралелно померан око малог паралелограма дефинисаног векторима u и v. Разлике краjњег и почетног вектора A износе δa l. Ево jош jедне интерпретациjе згодне за разумевање Аjнштаjнове опште теориjе. Посматраjмо неку фамилиjу геодезика x µ (s, t), где jе s параметар а t означава ток геодезика. Тада jе S µ = dx µ /ds вектор коjи описуjе кретање од jедне геодезиjске линиjе до друге, а T µ = dx m u/dt вектор коjи описуjе ток дуж геодезика. Друга ковариjантна деривациjа tt S µ = R µ νησs η T ν T σ, (2.253) представља убрзање тока геодезика. Када S представља разлику између два обjекта, онда T представља њихово узаjамно кретање, па jедначина описуjе њихово релативно убрзање. Ричиjев тензор jе, просто речено, нека средња вредности Римановог. Прецизниjе, нека jе дат вектор v и скуп на њега окомитих вектора u σ. Средњу вредност кривина свих равни у коjима се поjављуjе вектор v можемо изразити и помоћу окомитих вектора u σ. Кривину добиjену помоћу v и свих вектора u σ дефинише Риманов тензор, а његову средњу вредност у коjоj се поjављуjе само вектор v дефинише Ричиjев тензор. Можемо посматрати и колекциjу малих запремина простора. Опис релативног убрзања било коjе две од њих значи промену геодезика за коjе нам требаjу просеци по тим jедначинама. За разлику од вектора, запремине се могу мењати чак и у равном простору, тако да сваку промену морамо упоредити са одговараjућом из равног простора. Мала запремина δv у близини тачке x µ 0 креће се у правцу T µ = dxµ dτ и налазимо ( ττ δv ) K ( ττ δv ) K=0 = δv R µν T µ T ν, (2.254) где су ττ друге ковариjантне деривациjе. Скалар кривине (2.237), коjи jе контракциjа Ричиjевог тензора, има значење веома слично Гаусовоj кривини. Када jе броj димензиjа простора D > 2, уместо формирања круга полупречника ɛ посматрамо сферу димензиjе D 1 истог полупречника са центром у тачки x µ 0. Ако jе запремина дате сфере V (ɛ), а запремина одговараjуће сфере у равном простору V 0 (ɛ), онда jе скалар кривине. 6D V (ɛ) R = lim ɛ 0 ɛ 2 [1 V 0 (ɛ) ] (2.255) Растко Вуковић 122

123 Glava 3 Комплексна геометриjа Дошли смо до тачке када нам 4-дим простор-време теориjе релативности постаjе тесно. Та 4-дим позорница важи само за инерциjална кретања и велика гениjалност Аjнштаjнова jе била потребна да би се jедан значаjан део физике могао стрпати на тако мален подиjум. Међутим, чим се поjаве силе и убрзања на начин да их тело почне осећати, таj нам оквир постаjе закривљен да, већ због (2.253), можемо постављати питање: у оквиру коjе шире слике? Jедан правац ширења био би путем Калуза-Клаjн идеjа 1 насталих у време када и општа теориjа релативности, а коjе даље доводе до данашње теориjе струна. То jе потрага за теориjом свега. Ми смо од тог наставка одустали већ у секциjи 1.2 Васиона. Теориjа струна се развиjа у реалним физичким просторима са десетак димензиjа, а овоj теориjи jе потребно само пар додатних имагинарних димензиjа времена. Према томе, нити се сада уклапамо у теориjу стуна, нити jе оспоравамо. Да овде нисмо у оквиру теориjе струна, може се видети и из следећег. За ту данашњу теориjу сила помоћу малих струна (кончића), ентропиjа црних рупа и придружени парадокс губитка информациjе (колико jе мени познато) су jош увек необjашњиви. У овоj теориjи таквог парадокса већ у старту нема, jер сматрамо да се ентропиjа ближе центру масе тако смањуjе да на хоризонту догађаjа (граници црне рупе) исчезава. Ентропиjа исчезава и време стаjе из истог разлога, због нестанка неизвесности због закона великих броjева вероватноће. Зато на хоризонту догађаjа нема производње, нити нестаjања информациjе. Са друге стране, не видим зашто би ова теориjа и теориjа струна биле у супротности. Оне се баве различитим аспектима математичко-физичке реалности посматраjући jе из сасвим различитих углова. Важан правац ширења ове теме jесте квантна механика, али пре него што тамо кренемо требамо попунити неке празнине у познавању геометриjе и комплексних броjева потребних у тоj области. То су пре свега неколико елементарних теорема, ваљда познатих у математици ако не у аналитичкоj геометриjи, са коjом се заправо бавимо у тексту коjи следи. Ово поглавље jе посвећено координатноj геометриjи помоћу реалних и имагинарних броjева и њеноj репрезентациjи помоћу матрица, коjе такође симулираjу реално-имагинарне комплексе. Тек затим, у следећоj глави радићемо са надоградњом ове, примењеним на апстрактне просторе и на квантну физику. Имагинарне координате ће тада бити jош важниjе због додатних димензиjа времена. 1 Kaluza Klein theory: 123

124 3.1 Проширење броjева Знамо да jе скуп реалних броjева подскуп скупа комплексних броjева (R C) и да jе скуп комплексних броjева довољан за решење сваке полиномске jедначине (основна теорема алгебре). Међутим, нама даље треба више имагинарних оса коjе се све могу везати за реалне и тек када видимо да jе та форма могућа, имаће смисла уграђивати их у физику. Дакле, разматрамо поопштење скупа комплексних броjева. Jедна од jедноставниjих надградњи скупа комплексних броjева jе скуп матрица типа 2 2. Jединична матрица jе Î = ( ). (3.1) Као што знамо, она jе jедина неутрална при множењу других матрица тако да за сваку матрицу  (истог типа) важи Π= ÂÎ = Â. Остале основне матрице поделићемо у две групе, према предзнаку на десноj страни квадратне jеднакости: ˆσ 2 = ±Î. (3.2) Решавањем ове jедначине за предзнак плус (+) добиjамо Паулиjеве 2 матрице: ˆσ 1 = ( ), ˆσ 2 = ( 0 i i 0 ), ˆσ 3 = ( ). (3.3) Решавањем горње jедначине за предзнак минус ( ) добиjамо кватернионе: Матрице су нумерисане тако да jе: ˆσ 4 = ( i 0 0 i ), ˆσ 5 = ( ), ˆσ 6 = ( 0 i i 0 ). (3.4) { ˆσ 1ˆσ 2 = iˆσ 3 ˆσ 2ˆσ 3 = iˆσ 1 ˆσ 3ˆσ 1 = iˆσ 2 ˆσ 4ˆσ 5 = ˆσ 6 ˆσ 5ˆσ 6 = ˆσ 4 ˆσ 6ˆσ 4 = ˆσ 5, (3.5) где jе i = 1 имагинарни броj. Поред тога jе ˆσ 3ˆσ 4 = ˆσ 6ˆσ 1 = iî. (3.6) Иначе, множење матрица ниjе комутативно. Поред уобичаjене употребе ових матрица, Паулиjевих придружених спину фермиона а свих шест за представљање ротациjа, матрице кватерниона можемо употребити и за разликовање различитих имагинарних димензиjа времена. Jединична матрица заjедно са три Паулиjеве (или кватернионске) чини комплетан скуп матрица типа 2 2. То значи да за произвољну матрицу  постоjе jединствена четири броjа x, y, u, v таква да jе xˆσ m + yˆσ n + uˆσ p + vî = Â, (3.7) када су m, n, p редом индекси 1, 2 и 3 или су индекси 4, 5 и 6. Такве четири матрице могу да чине базу 4-дим векторског простора. Са друге стране то значи да се помоћу саме три матрице Паулиjа (или кватерниона) не може линеарним операциjама (вишеструким сабирањима) добити jединична матрица. 2 Wolfgang Pauli ( ), аустриjско-шваjцарски-амерички теориjски физичар. Растко Вуковић 124

125 Пример Показати да Паулиjеве матрице са jединичном чине потпуни скуп. Решење. Полазимо од (3.6): xˆσ 1 + yˆσ 2 + uˆσ 3 + vî = Â, x ( 0 1 i ) + y (0 1 0 i 0 ) + u ( ) + v ( ) = (a b c d ), ( u + v x iy x + iy u + v ) = (a b c d ), u + v = a x iy = b x + iy = c u + v = d, x = c+b 2 y = i c b 2 u = d a 2 v = d+a 2. Према томе, за произвољне унапред дате броjеве a, b, c, d увек постоjе jединствени броjеви x, y, u, v, а то jе оно што jе требало показати. Пример Показати да кватерниони са jединичном матрицом чине потпуни скуп. Решење. Из (2.262) следи: xˆσ 4 + yˆσ 5 + uˆσ 6 + vî = Â, x ( i 0 0 i ) + y ( ) + u (0 i i 0 ) + v ( ) = (a b c d ), ix + v y + iu ( y + iu ix + v ) = (a b c d ), ( x y a d ) = ( i 2 u v i b+c 2 За произвољне дате броjеве a, b, c, d постоjе jединствени x, y, u, v, што jе и требало показати. Формално 4-дим простор-време се може добити и са три Паулиjеве матрице плус ˆσ 4, односно линеарна комбинациjа кватерниона коjа садржи ˆσ 4. Такву комбинациjу кватерниона означимо са ˆσ 0 и назовимо временском димензиjом. Према томе, након избора Паулиjевих матрица за базу простора, постоjи извесна несиметриjа у избору матрица кватерниона, временских димензиjа. Штавише, у обрнутом случаjу, када бисмо бирали матрице кватерниона за базу простора, за четврту, временску димензиjу могли бисмо узети само jединичну матрицу. Било коjи пар, од jедне матрице кватерниона и jедне од преостале четири, добро репрезентуjе скуп комплексних броjева C. Комплексан броj z = x+iy, где су x и y реални броjеви, можемо представити тачком са координатама (x, y) у Декартовом систему. Апсцису (x-осу) тада чине реални делови комплексних броjева, а ординату (y-осу) имагинарни. Скуп свих комплексних броjева C тако постаjе скуп тачака комплексне равни C. Оваква репрезентациjа се види на слици 3.1. Помоћу ове слике се лакше разумеjу формуле и обjашњења уз (2.53). Овде ту причу настављамо мало детаљниjе. Удаљеност од исходишта O до комплексног броjа z, тачке b c 2 a+d 2 ). Растко Вуковић 125

126 Slika 3.1: Комплексна раван C. z, назива се модуо комплексног броjа z коjи пишемо z. Угао између позитивног смера реалне осе (апсцисе) и ориjентисане дужи Oz назива се аргумент комплексног броjа z коjи пишемо arg(z). Са слике 3.1 лако читамо: односно обрнуто: z = x 2 + y 2 = ρ, arg(z) = arctg y = α, (3.8) x Према томе, комплексни броj z = x + iy можемо писати: То jе репрезентациjа броjа z у поларним координатама. x = ρ cos ϕ, y = ρ sin α. (3.9) z = ρ(cos α + i sin α). (3.10) Теорема За све комплексне броjеве z 1 = x 1 + iy 1 и z 2 = x 2 + iy 2 важи: 1. z 1 z 2 = (x 1 x 2 y 1 y 2 ) + i(x 1 y 2 + y 1 x 2 ); 2. z 1 z 2 = z 1 z 2 ; 3. arg(z 1 z 2 ) = arg(z 1 ) + arg(z 2 ). Доказ. 1. Непосредним множењем, због закона дистрибуциjе, добиjамо: z 1 z 2 = (x 1 + iy 1 )(x 2 + iy 2 ) = x 1 x 2 + ix 1 y 2 + iy 1 x 2 y 1 y 2, одакле због закона комутациjе, груписањем сабирака следи тражена jеднакост. 2. Из претходног израза налазимо: z 1 z 2 = (x 1 x 2 y 1 y 2 ) + i(x 1 y 2 + y 1 x 2 ) = ρ ( x 1x 2 y 1 y 2 ρ где jе ρ = (x 1 x 2 y 1 y 2 ) 2 + (x 1 y 2 + y 1 x 2 ) 2. Приметимо да jе ( x 1x 2 y 1 y 2 2 ) r + ( x 1y 2 + y 1 x 2 2 ) = 1, r + i x 1y 2 + y 1 x 2 ), (3.11) ρ што значи да jе ρ = z 1 z 2, а разломци су (x 1 x 2 y 1 y 2 )/ρ = cos α и (x 1 y 2 + y 1 x 2 )/ρ = sin α, где jе α = arg(z 1 z 2 ). Растко Вуковић 126

127 3. Покажимо да jе угао α збир углова α 1 = arg(z 1 ) и α 2 = arg(z 2 ). Из: z 1 = x 1 + iy 1 = x y2 1 x 1 x y1 2 y 1 + i x y1 2, (3.12) следи да постоjи угао α 1 такав да jе: cos α 1 = x 1, sin α 2 = y 1, ρ 1 = x 2 1 ρ 1 ρ + y2 1, (3.13) 1 jер jе cos 2 α 1 + sin 2 α 1 = 1. Слично налазимо за z 2. Након тога користимо иначе познате адиционе формуле тригонометриjе: = cos(α 1 + α 2 ) = cos α 1 cos α 2 sin α 1 sin α 2 = x 1x 2 y 1y 2 x 1 x 2 y 1 y 2 = ρ 1 ρ 2 ρ 1 ρ 2 x y1 2 x y2 2 = x 1 x 2 y 1 y 2 x 2 1 x x2 1 y2 2 + y2 1 x2 2 + y2 1 y2 2 x 1 x 2 y 1 y 2 (x 2 1 x 2 2 2x 1x 2 y 1 y 2 + y 2 1 y2 2 ) + (x2 1 y x 1x 2 y 1 y 2 + y 2 1 x2 2 ) x 1 x 2 y 1 y 2 = (x1 x 2 y 1 y 2 ) 2 + (x 1 y 2 + x 2 y 1 ) = x 1x 2 y 1 y 2, 2 ρ cos(α 1 + α 2 ) = cos α. Такође налазимо sin(α 1 + α 2 ) = sin α 1 cos α 2 + cos α 1 sin α 2 = sin α. То су били помало необични докази иначе познатих ставова. Такође jе неуобичаjен и доказ следеће теореме. Заменом i i комплексни броj z = x + iy мењамо у њему коњугован z = x iy. У комплексноj равни, коњуговано комплексни броjеви z и z су осно симетрични у односу на реалну осу, као што се види на слици 3.1. Теорема За све комплексне броjеве z 1 = x 1 + iy 1 и z 2 = x 2 + iy 2 важи: 1. z 1 z 2 = (x 1 x 2 + y 1 y 2 ) + i(x 1 y 2 y 1 x 2 ); 2. R( z 1 z 2 ) = z 1 z 2 cos β; 3. I( z 1 z 2 ) = z 1 z 2 sin β; где jе β = z 1 Oz 2 угао између ориjентисаних дужи Oz 1 и Oz 2. Доказ. 1. Следи сменом y 1 y 1 из претходне, став 1. теорема Применимо косинусну теорему на троугао Oz 1 z 2 : z 1 z 2 2 = z z z 1 z 2 cos β. Отуда: z 1 z 2 cos β = 1 2 ( z z 2 2 z 1 z 2 2 ) = = 1 2 [(x2 1 + y 2 1) + (x y 2 2) (x 1 x 2 ) 2 (y 1 y 2 ) 2 ] Растко Вуковић 127

128 = 1 2 [2x 1x 2 + 2y 1 y 2 ] = R( z 1 z 2 ), z 1 z 2 cos β = R( z 1 z 2 ), што jе и требало доказати. 3. Користимо тригонометриjски идентитет cos 2 β + sin 2 β = 1, односно: z 1 2 z 2 2 sin 2 β = z 1 2 z 2 2 z 1 2 z 2 2 cos 2 β = = (x y 2 1)(x y 2 2) (x 1 x 2 + y 1 y 2 ) 2 што jе и тражено. = x 2 1y 2 2 2x 1 x 2 y 1 y 2 + y 2 1x 2 2 = (x 1 y 2 y 1 x 2 ) 2 = I 2 ( z 1 z 2 ), z 1 z 2 sin β = I( z 1 z 2 ), У аналогиjи са векторима, можемо дефинисати скаларни производ и интензитет векторског производa датих комплексних броjева, изразима: z 1 z 2 = R( z 1 z 2 ), z 1 z 2 = I( z 1 z 2 ). (3.14) Овим дефинициjама доследно придружимо дефинициjе 3 сложеног збира и сложене разлике комплексних броjева, редом: z 1 z 2 = 1 2 ( z 1z 2 + z 1 z 2 ), z 1 z 2 = 1 2 ( z 1z 2 z 1 z 2 ), (3.15) за коjе jе лако проверити да важе jеднакости: z 1 z 2 = R( z 1 z 2 ), z 1 z 2 = ii( z 1 z 2 ). (3.16) Први израз (збир) подсећа на реални производ комплексних броjева (тj. скаларни производ) из математичке литературе, али видећемо да у општем случаjу коjи се тамо подразумева - то ниjе то. У међувремену осврнућемо се на чисту геометриjу. Она на први поглед изгледа толико реална да нема никакве везе са имагинарним броjевима, али опет када се сетимо комплексне равни и аналитичке геометриjе, онда смо на корак и до општиjег, jош комплексниjег простор-времена. Када се jедном види о чему би се у одговараjућоj грани математике могло радити, само машта постаjе граница, али нити у том случаjу нећемо ширити ову причу. Бар за сада. Осврнућемо се само на основне поjмове елементарне геометриjе, а и то само у оквиру троуглова, тек толико да бисмо видели снагу и универзалност ове помало нове, а старе методе. Обрадићемо површину, неке особине троугла и круга помоћу комплексних броjева, само толико да отворимо врата. 3 Називи коjе сам недавно дефинисао. Растко Вуковић 128

129 3.2 Тежиште Ориjентисана дуж од тачке O до тачке z у комплексноj равни C може се посматрати као вектор Oz, за различите комплексне броjеве z = x+iy. На пример, на троуглу z 1 z 2 z 3 на слици 3.2, средње тачке M z 1 z 3 и N z 2 z 3 су комплексни броjеви z M = 1 2 (z 1 + z 3 ) и z n = 1 2 (z 2 + z 3 ), па jе вектор MN паралелан и jеднак половини вектора z 1 z 2. Наиме, комплексни броjеви z M = z (z 3 z 1 ) = 1 2 (z 1 + z 3 ) и z N = 1 2 (z 2 + z 3 ) одређуjу вектор MN = z N z M = 1 2 (z 2 + z 3 ) 1 2 (z 1 + z 3 ) = 1 2 (z 2 z 1 ), (3.17) или пола вектора z 1 z 2 = z 2 z 1. Уопште, за троугао на слици 3.2 важи: z M = 1 2 (z 1 + z 3 ), z N = 1 2 (z 3 + z 2 ), z P = 1 2 (z 2 + z 1 ). (3.18) Трећоj средишњоj тачки P z 1 z 2 одговара комплексан броj z P. Све три средње линиjе z 1 N, z 2 M и z 3 P секу се у тачки G коjу називамо тежиште троугла или центар гравитациjе, са одговараjућим броjем z G z 1 N z 2 M z 3 P. Slika 3.2: Complex plane C. Пример Проверити jеднакост z G = 1 3 (z 1 + z 2 + z 3 ). (3.19) Решење. Имамо неколико еквивалентних jеднакости (за неке λ 1, λ 2 R): а отуда тражена jеднакости. z G = z 1 + λ 1 (z N z 1 ), z G = z 2 + λ 2 (z M z 2 ), z 1 + λ 1 (z N z 1 ) = z 2 + λ 2 (z M z 2 ), (2 2λ 1 2λ 2 )z 1 + (λ 1 2λ 2 2)z 2 + (λ 1 λ 2 )z 3 = 0, λ 1 = λ 2 = 2 3, Такође, сабираjући векторе добиjамо: z 1 z G + z 2 z G + z 3 z G = = (z G z 1 ) + (z G z 2 ) + (z G z 3 ) = 3z G z 1 z 2 z 3 = 0, што значи да jе (3.19) заjедничка тачка датих вектора. Растко Вуковић 129

130 Пример Тежиште (G) jе тачка коjа дели тежишнице у односу 2 1 почев од темена троугла. Решење. (z G z 1 ) (z N z G ) = = ( z 1 + z 2 + z 3 3 = z 1 + z 2 2z 3 3 = z 1 + z 2 2z 3 3 z 1 ) ( z 2 + z 3 2 z 1 + z 2 + z 3 ) = 3 3(z 1 + z 2 ) 2(z 1 + z 2 + z 3 ) 6 z 1 + z 2 2z 3 6 што значи да тежиште дели тежишницу у датом односу. = 2 1, (z G z 1 ) (z N z G ) = 2 1, (3.20) Пример Материjалне тачке z 1 = 1 + 2i и z 2 = 2 + i и имаjу масе 1 и 2 грама, редом. Наћи њихов центар маса z. Решење. Означимо са l = z 2 z 1 = 2 растоjање између материjалних тачака и са l 1, l 2 удаљености центра масе од прве односно друге тачке. Израчунавамо редом: l 1 l 2 = m 2 m 1, m 2 l l 1 = = 2 2 m 1 + m 2 3, l m 1 l 2 2 = = m 1 + m 2 3, z = z 1 + l(z 2 z 1 ) 2(1 i) = (1 + 2i) +, m 1 + m z = (1 + 3 ) + i(2 3 ). Удаљености од исходишта су z 1 = z 2 = 5 2, 24 и z 2, 12. Пример Тачке z 1 = 2 + i, z 2 = 5, z 3 = 6 + 3i и z 4 = 1 + 2i су темена четвороугла. Наћи тежиште четвороугла. Решење. Четвороугао диjагонале деле на четири троугла са тежиштима: G 1 = z 1 + z 2 + z 3 3, G 2 = z 2 + z 3 + z 4 3, G 3 = z 3 + z 4 + z 1 3, G 4 = z 4 + z 1 + z 2, i i G 1 =, G 2 =, G 3 = 9 + 6i, G 4 = 8 + 3i Дужи G 1 G 3 и G 2 G 4 секу се у траженоj тачки G. Зато, за непознате реалне параметре λ и µ важи: G = G 1 + λ(g 3 G 1 ) = G 2 + µ(g 4 G 2 ), i + λ( 4 + 2i) = i + µ( 4 2i), λ( 4 + 2i) + µ(4 + 2i) = 1 + i, ( 4λ + 4µ) + (2λ + 2µ)i = 1 + i, Растко Вуковић 130

131 4λ + 4µ = 1, 2λ + 2µ = 1, λ = 3 8, µ = 1 8, Исто G се добиjа са оба параметра. G = i. 12 Решење из примера jе модификован начин тражења тежишта четвороугла методом геометриjске конструкциjе. Код општег многоугла та метода jе непрактична, а сваки други присуп тражи нешто ново. За следећи поступак тражења тежишта полигона са n = 3, 4, 5,... темена, потребно jе израчунавати површине троуглова. Поделимо дати многоугао на k дисjунктних троуглова. За сваки од тих троуглова j, j = 1, 2,..., k нађимо тежиште G j и површину Π j. Скуп тежинских тачака тада jе T j = Π j Π G j где jе Π површина многоугла. Збир свих T j jе тражено тежиште. За тражење површине користимо троугао A(A x, A y ), B(B x, B y ) и C(C x, C y ) у правоуглим Декартовим координатама, на слици 3.3. Ориjентисана површина Π(ABC) тог троугла jе површина трапеза A x C x CA плус C x B x BC минус A x B x BA. Slika 3.3: Triangle ABC. Отуда: Π(ABC) = Π(A x C x CA) + Π(C x B x BC) Π(A x B x BA) = = 1 2 (C y + A y )(C x A x ) (B y + C y )(B x C x ) 1 2 (B y + A y )(B x A x ) = 1 2 [A x(b y C y ) + B x (C y A y ) + C x (A y B y )], Π(ABC) = 1 A x B x C x A y B y C y. (3.21) То jе често кориштена формула аналитичке геометриjе. Следећа jе ређа: где jе 2Π(ABC) = [A, B] + [B, C] + [C, A], (3.22) [A, B] = A x B y B x A y, (3.23) и слично за тачке B и C. Броj [A, B] назовимо комутатор тачака A и B. Растко Вуковић 131

132 Теорема Када су дате три произвољне тачке A, B, C, тада: 1. [A, B] = [B, A], 2. [αa + βb, C] = α[a, C] + β[b, C] за све скаларе α и β, 3. [A, B] = 0 A O B, колинеарне тачке. 4. A C B [A, B] = [A, C] + [C, B]. Доказ. 1. [A, B] = A x B y B x A y = (B x A y A x B y ) = [B, A]. 2. [αa + βb, C] = (αa x + βb x )C x C x (αa y + βb y ) = = (αa x C y C x αa y ) + (βb x C y C x βb y ) = α[a, C] + β[b, C]. 3. [A, B] = 0 A x B y = B x A y A x A y = B x B y. 4. [A, B] + [B, C] + [C, A] = 0 [A, B] = [B, C] [C, A] = [A, C] + [C, A]. Slika 3.4: Ориjентисана површина. На слици 3.4 лево, видимо да jе површина конвексног четвороугла ABCD: Π(ABCD) = Π(ABC) + Π(CDA) = = ([A, B] + [B, C] + [C, A]) + ([C, D] + [D, A] + [A, C]) = ([A, B] + [B, C] + [C, D] + [D, A]) + ([C, A] + [A, C]), Π(ABCD) = [A, B] + [B, C] + [C, A] + [A, D]. (3.24) Користећи комутаторе и претходну теорему лако налазимо и површину неконвексног четвороугла на истоj слици десно: [A, B ] + [B, C ] + [C, D ] + [D, A ] = = [A, E ] + [E, B ] + [B, C ] + [C, E ] + [E, D ] + [D, A ] = ([A, E ] + [E, D ] + [D, A ]) + ([E, B ] + [B, C ] + [C, E ]) = Π(A E D ) + Π(E B C ) = Π(A B C D ), Π(A B C D ) = [A, B ] + [B, C ] + [C, D ] + [D, A ]. (3.25) Обе површине, (3.24) и (3.25), пишу се на исти начин овим комутаторима. Растко Вуковић 132

133 Пример Тачке A 1 (2, 1), A 2 (5, 0), A 3 (6, 3) и A 4 (1, 2) су темена четвороугла. Наћи тежиште T (T x, T y ) четвороугла користећи површине. Решење. Поделимо дати четвороугао диjагоналом A 1 A 3 на два дисjунктна троугла. Израчунавамо површине и проверавамо теорему: 2Π(A 1 A 2 A 3 A 4 ) = [A 1, A 2 ] + [A 2, A 3 ] + [A 3, A 4 ] + [A 4, A 1 ] = 16, 2Π 1 (A 1, A 2, A 3 ) = [A 1, A 2 ] + [A 2, A 3 ] + [A 3, A 1 ] = 10, 2Π 2 (A 3, A 4, A 1 ) = [A 3, A 4 ] + [A 4, A 1 ] + [A 1, A 3 ] = 6. Тежишта, а затим тежински делови првог и другог троугла су: G 1 ( , ), G 2 ( T 1 = 5 8 G 1, T 2 = 3 8 G 2, T = T 1 + T 2 = 5 8 (13 3, 4 3 ) (9 3, 6 3 T = ( 46 ) = ( , ). То jе резултат jеднак са оним из претходног примера., ), 3, ), 24 Друга формула коjу можемо користити за тражење тежишта полигона са теменима (x k, y k ), за k = 1, 2,..., n редом, jе g x = 1 6Π n 1 k=1 (x k + x k+1 )(x k y k+1 x k+1 y k ), g y = 1 6Π n 1 k=1 (y k + y k+1 )(x k y k+1 x k+1 y k ), где jе Π површина датог полигона, а координате тежишта су (g x, g y ). (3.26) Пример Наћи тежиште четвороугла из претходног примера формулом (3.26). Решење. g x = [(2 + 5)( ) + (5 + 6)( ) + (6 + 1)( ) + (1 + 2)( )] g y = [(1 + 0)( ) + (0 + 3)( ) + (3 + 2)( ) + (2 + 1)( )], g x = [7( 5) ( 3)] = g y = [1( 5) ( 3)] = 48 = 19 а то jе резултат jеднак са оним из претходних примера. 48 = , Уопште, тежиште (центар гравитациjе) jе геометриjско своjство обjекта. То jе место просечне тежине коjим се може описати кретање датог обjекта, његова ротациjа или транслациjа. За дискретан скуп n N тачака G k са масама m k, где индекс узима вредности k = 1, 2,..., n, тежиште jе G = 1 m n n m k G k, m = m k. (3.27) k=1 k=1 Међутим, полигони су фигуре, па већ за n > 3 при тражењу тежишта n-то угла треба израчунати интеграл по целоj фигури. Зато формула (3.27) примењена на теменима, неће дати исто тежиште као (3.26), коjе се односи на тело многоугла. Растко Вуковић 133

134 3.3 Површина За означавање темена и страница троугла ABC користимо слику 3.5. Темена су комплексни броjеви A = A x + ia y, B = B x + ib y и C = C x + ic y, где A x, A y,..., C y R. Странице наспрам темена су a = a x + ia y = C B, b = b x + ib y = A C и c = c x + ic y = B A. Ти броjеви су вектори комплексне равни. Slika 3.5: Троугао ABC у комплексноj равни C. Теорема Двострука ориjентисана површина 4 Π = Π(ABC) износи: а I(a b) = I(b c) = I(cā) = 2Π. 2Π = I(āb) = I( bc) = I( ca), (3.28) Доказ. Циљаjући ка (3.22) налазимо: I(a b) = I[(C B)(A C)] = = I[(C B)(Ā C)] = I(CĀ C C BĀ + B C) = = I[(C x + ic y )(A x ia y ) (C x + ic y )(C x ic y ) (B x + ib y )(A x ia y ) + (B x + ib y )(C x ic y )] = I[(C x A x ic x A y + ic y A x + C y A y ) (Cx 2 + C 2 y) (B x A x ib x A y + ib y A x + B y A y ) + (B x C x ib x C y + ib y C x + B y C y )] = C x A y + C y A x + B x A y B y A x B x C y + B y C x = [C, A] [A, B] [B, C] = 2Π. Симетрично, добиjамо I(b c) = I(cā) = 2Π. Коњуговано z = a b jе z = āb а имагинарни део I( z) = I(z), па имамо (3.22). Пример За троугао A( 2, 0), B(3, 0), C(0, 4) наћи тежиште и површину. 4 Површине сам означавао и са µ. Растко Вуковић 134

135 Slika 3.6: Троугао A = 2, B = 3, C = 4i. Решење. Темена датог троугла су A = 2, B = 3 и C = 4i. Тежиште jе: G = A + B + C 3 = i. што се може видети на слици 3.6. За странице из темена C имамо: Тако, површина троугла jе Π = 10. a = C B = 3 + 4i, b = A C = 2 4i, āb = ( 3 4i)( 2 4i) = i, 2Π = I(āb) = 20. Теорема Двострука ориjентисана површина Π = Π(ABC) износи: Доказ. Из: 2Π = I(ĀB) + I( BC) + I( CA). ĀB = (A x ia y )(B x + ib y ) = (A x B x + A y B y ) + i(a x B y A y B x ) BC = (B x ib y )(C x + ic y ) = (B x C x + B y C y ) + i(b x C y B y C x ) CA = (C x ic y )(A x + ia y ) = (C x A x + C y A y ) + i(c x A y C y A x ), следи: I(ĀB) + I( BC) + I( CA) = = (A x B y A y B x ) + (B x C y B y C x ) + (C x A y C y A x ) = (B x C y B y C x ) (A x C y A y C x ) + (A x B y A y B x ) A x B x C x = A y B y C y = 2Π, а то jе (3.21), што jе и требало доказати. Пример Наћи површину троугла: 1. A( 2, 0), B(3, 0), C(0, 4); 2. A(1, 0), B(5, 0), C(0, 4); користећи теорему Растко Вуковић 135

136 Решење. 1. За комплексне броjеве A = 2, B = 3 и C = 4i, коњуговани су Ā = 2, B = 3 и C = 4i, па добиjамо: ĀB = 6, BC = 12i и CA = 8i. Тада: 2Π = I(ĀB) + I( BC) + I( CA) = = 20. Тако, површина троугла ABC jе Π = За комплексне броjеве A = 1, B = 5 и C = 4i имамо: 2Π = I(ĀB) + I( BC) + I( CA) отуда, површина jе Π = 8. = I(5) + I(20i) + I( 4i) = = 16, Висина троугла jе дуж коjа иде из темена окомито на супротну страницу, основицу троугла. Да бисмо нашли површину троугла множимо дужине основице и одговараjуће висине и то делимо са два. Ако jе основица страница a, b или c тада jе одговараjућа висина (слика 3.5) редом AA, BB или CC. Знамо да се множењем комплексних броjева њихови модули множе а аргументи сабираjу (теорема 3.1.3). Посебно, множењем имагинарном jединицом i = 1 броj се ротира за 90 око O. Примењено овде 5 то значи да jе комплексан броj ia окомит на a, а такође jе ib b и ic c. Према томе, за неки реалан параметар λ R комплексни броjеви: A h (λ) = A + h a (λ) = A λai B h (λ) = B + h b (λ) = B λbi C h (λ) = C + h c (λ) = C λci, су тачке негде на висинама AA, BB и CC редом. На пример, A h (0) = A, али A h (λ a ) = A ако λ a = 2Π/ a 2. троугла Π = 1 2 a h a, за λ a = 2Π/ a 2 добиjамо (3.29) Наиме, из површине што значи A = A + h a. Тако: A A = (A λ a ai) A = 2Π 2 Π ai = = h a 2 a, a λ a = 2Π/ a 2 A = A + h a (λ a ) = A λ a ai λ b = 2Π/ b 2 B = B + h b (λ b ) = B λ b bi λ c = 2Π/ c 2 C = C + h c (λ c ) = C λ c ci. (3.30) Отуда непосредно добиjамо: a 2 λ a + b 2 λ b + c 2 λ c = 6Π, (3.31) за параметре ламбда коjи даjу тачке A, B, C, подножjа висина. Приметимо да су параметри ламбда позитивни реални броjеви и да подножjа висина A, B и C могу бити изван троугла, на продужетку стране наспрам темена A, B или C редом. 5 Множење са i чува ориjентациjу дужи. Растко Вуковић 136

137 Пример Показати да важи пропорциjа: a b c = 1 h a 1 h b 1 h c = 1 λa 1 λb Решење. Следи из jеднакости површина a h a = b h b = c h c и (3.30). Пример За троугао A( 2, 0), B(3, 0), C(0, 4) наћи висине. 1 λc. (3.32) Slika 3.7: Троугао A = 2, B = 3, C = 4i. Решење. Видети слику 3.7. Темена и странице троугла су комплексни броjеви: A = 2, B = 3, C = 4i, a = 3 + 4i, b = 2 4i, c = 5. (3.33) Површина троугла (слично примеру 3.3.2) износи: па према (3.30), параметри ламбда су: Подножjа висина су: Отуда, тражене висине су: Π(ABC) = 1 2 I( bc) = 1 I[( 2 + 4i)5] = 10, 2 λ a = 2µ a 2 = = 4 5, λ b = 1, λ c = 4 5. A = A λ a ai = ( 3 + 4i)i = i, B = B λ b bi = 3 ( 2 4i)i = 1 + 2i, C = C λ c ci = 4i 4 5 5i = 0. h a = A A = ( i) ( 2) = i, h a 2 = 16, h b = B B = ( 1 + 2i) 3 = 4 + 2i, h b 2 = 20, h c = C C = 0 4i = 4i, h c 2 = 16. Лако jе проверити h a 2 h b 2 h c 2 = λ a λ b λ c, користећи (3.32). Растко Вуковић 137

138 Лема За ориjентисани троугао ABC важи 6 : Aā + B b + C c = 4iΠ. Доказ. Израчунавамо, ред по ред: Aā + B b + C c = A( C B) + B(Ā C) + C( B Ā) = A C A B + BĀ B C + C B CĀ = A B + BĀ B C + C B CĀ + A C = 2iI(ĀB) + 2iI( BC) + 2iI( CA) = 4iΠ, што jе и тврђено. Теорема За произвољан ориjентисани троугао ABC важи: A ā + B b + C c = 2iΠ, где су AA, BB и CC висине. Доказ. Помножимо прву jедначину (3.25) са ā, другу са b, трећу са c и све саберимо: A ā + B b + C c = (Aā λ a aāi) + (B b λ b b bi) + (C c λ c c ci) = (Aā + B b + C c) i( a 2 λ a + b 2 λ b + c 2 λ c ), тада због леме и (3.31): = 4iΠ 6iΠ = 2iΠ, а то jе оно што jе тражено. Пример Користећи сложени збир (3.16) за два комплексна броjа z 1 = x 1 + iy 1 и z 2 = x 2 + iy 2, показати: 1. z 1 z 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2 ; 2. x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0 z 1 z 2. Решење. 1. z 1 z 2 = 1 2 (z 1 z 2 + z 1 z 2 ) = = 1 2 [(x 1 + iy 1 )(x 2 iy 2 ) + (x 1 iy 1 )(x 2 + iy 2 )] = 1 2 [(x 1x 2 + y 1 y 2 ) i(x 1 y 2 y 1 x 2 ) + (x 1 x 2 + y 1 y 2 ) + i(x 1 y 2 y 1 x 2 )], z 1 z 2 = x 1 x 2 + y 1 y Ако jе x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0 тада jе y 1 y 2 x 1 x 2 = 1 или tan α 1 tan α 2 = 1, где α 1 = arg(z 1 ) и α 2 = arg(z 2 ), видети слику 3.1. То значи α 2 α 1 = 90 односно z 1 z 2. 6 Лема jе мала теорема. Растко Вуковић 138

139 Оваj пример jе користан за препознавање и употребу ортогоналности када радимо са комплексним броjевима. На пример, покажимо да jе AA a, у претходним условима. Наиме, AA a (h c A) a = 0, али: (h c A) a = ( λ a ai) a = 1 2 [( λ aai)ā + ( λ a ai)a] = = 1 2 [ λ aaāi + λ a āai] = 1 2 λ a(aā āa)i = 0. Зато jе AA a. Сличном употребом комплексних броjева доказаћемо jедан познати став класичне геометриjе. Пре тога, дефинишимо удаљеност између две тачке P и Q изразом: d(p, Q) = P Q = (P Q)(P Q). (3.34) Користимо ту ознаку у следећем примеру. Пример Нека jе P тачка на висини AA. Показати: d(a, C) 2 + d(b, P ) 2 = d(b, A) 2 + d(c, P ) 2. (3.35) Slika 3.8: Тачка P на висини AA. Решење. Нека jе броj P = h a (λ) и посматраjмо еквивалентне jеднакости: d(a, C) 2 + d(b, P ) 2 = d(b, A) 2 + d(c, P ) 2, b b + (h a B)(h a B) = c c + (h a C)(h a C), b b + ( λai c)( λai c) = c c + ( λai + b)( λai + b), b b + ( λai c)(λāi c) = c c + ( λai + b)(λāi + b), b b + (λ 2 aā + λa ci λāci + c c) = c c + (λ 2 aā λa bi + λābi + b b), λ(a c āc)i = λ(āb a b)i, I( ca) = I(āb), коjе су тачне, због I( ca) = I(āb) = 2Π из (3.28). Растко Вуковић 139

140 3.4 Ортоцентар Претходну слику 3.5 користимо и овде, за означавање висина AA a, BB b, CC c и ортоцентра H троугла ABC. Висина jе нормала из темена на супротну страницу троугла, а ортоцентар jе тачка у коjоj се секу (две) висине. Показати ћемо да се све три висине секу у jедноj тачки. У комплексноj равни C дат jе троугао са теменима A, B, C и наспрамним страницама a, b, c, комплексним броjевима: A = A x + ia y, a = C B = a x + ia y, B = B x + ib y, b = A C = b x + ib y, C = C x + ic y, c = B A = c x + ic y. (3.36) Коефициjенти A x, A y,..., c x, c y су реални броjеви, а i = 1 jе имагинарна jединица. Изаберимо неку тачку P AA, као на слици 3.8, а нека jе тачка H пресек висина BB и CC. Приметимо да jе: H = B + h b (ν b ) = B ν b bi, H = C + h c (ν c ) = C ν c ci, за неке за сада jош увек непознате параметре ν b, ν c R. То следи из (3.29). У складу са (3.34) пишемо: d(a, C) 2 + d(b, H) 2 = d(b, A) 2 + d(c, H) 2, b 2 + ν b bi 2 = c + ν c ci 2, b 2 (1 + ν 2 b ) = c 2 (1 + ν 2 c ). Ако бирамо тачку P = AA BB и поновимо поступак, добиjамо: H = h a (ν a ) = A ν a ai H = h b (ν b ) = B ν b bi H = h c (ν c ) = C ν c ci. (3.37) Ови реални параметри ν a, ν b, ν c R су у релациjама: a 2 (1 + ν 2 a) = b 2 (1 + ν 2 b ) = c 2 (1 + ν 2 c ), (3.38) где су a, b, c одговараjуће странице троугла, као на слици 3.8. Такође, постоjи jедна тачка пресека све три висине троугла. То jе ортоцентар H дефинисан jеднакостима (3.37), место где се секу висине троугла ABC. Теорема За троугао ABC важи: a 2 ν a + b 2 ν b + c 2 ν c = 4Π. Доказ. Множимо (3.37) са ā, затим са b, па са c, а онда саберемо све три добиjене jеднакости. Налазимо: Hā + H b + H c = (Aā ν a aāi) + (B b ν b b bi) + (C c ν c c ci), H(ā + b + c) = Aā + B b + C c i(ν a aā + ν b b b + ν c c c), али ā + b + c = a + b + c = 0 и z z = z 2, па: a 2 ν a + b 2 ν b + c 2 ν c = i(aā + B b + C c) Растко Вуковић 140

141 а то jе оно што jе требало доказати Врсте троуглова = i[a( C B) + B(Ā C) + C( B Ā)] = i[(a C CĀ) + (BĀ A B) + (C B B C)] = i[2ii(a C) + 2iI(BĀ) + 2iI(C B)] = 2[I(ĀB) + I( BA) + I( CA)] = 4Π, Разматраjући ортоцентар, требамо разликовати две врсте троуглова: тупоугле и оштроугле. Троугао jе тупоугли ако има jедан тупи угао (већи од 90 ) и два оштра (мања од 90 ). Троугао коjи има сва три угла мања од 90 називамо оштроуглим. Троугао jе правоугли ако му jе jедан угао прав, са 90. Оштроугли и тупоугли су различите врсте косоуглих троуглова, оних коjи нису правоугли. Ортоцентар троугла може бити изван троугла само ако jе троугао тупоугли. Друго, удаљеност од темена до ортоцентра тупоуглог троугла jе дужа од одговараjуће висине, а краћа од ње ако jе троугао оштроугли. Треће, збир квадрата две стране троугла може бити већи од квадрата треће стране, иако jе збир две стране мањи од треће. Да би ово разумели погледаjмо слику 3.9. Полукруг s са центром O и полупречником r садржи тачке A, B и C, тако да jе AB пречник. На правоj p одређеном тачкама O и C налазе се jош две тачке C 1, C 2 p, такве да jе C 1 ближе O а C 2 даља од O. Према Талесовоj теореми, ABC jе правоугли ( C = γ = 90 ) и лако jе доказати да jе ABC 1 тупоугли (γ 1 > 90 ), а ABC 2 оштроугли (γ 2 < 90 ). Slika 3.9: Уписани угао ACB = 90 у полукруг. Ортоцентар H правоуглог троугла ABC jе у темену правог угла C. Ортоцентар H 1 тупоуглог ABC 1 jе изван троугла. Ортоцентар H 2 оштроуглог ABC 2 jе унутар троугла. Иако све висине имаjу смер од темена ка подножjу, смер ка ортоцентру може бити супротан (као C 1 C 1 и C 1H 1 ). Отуда, коефициjенти λ су увек позитивни броjеви, али коефициjенти ν могу бити позитивни, нула или негативни (реални броjеви). Растко Вуковић 141

142 Збир a 2 + b 2 c 2 jе нула ако jе троугао правоугли, негативан ако jе троугао тупоугли, а позитиван за оштроугле троуглове. Наравно, у свим тим случаjевима jе тзв. неjеднакост троугла, a + b c > 0, тачна. Пример Посебно за правоугли троугао C = 90 доказати: 1. a 2 ν a + b 2 ν b + c 2 ν c = 4Π; 2. ν a ν b + ν b ν c + ν c ν a = 1; где jе Π површина троугла ABC. Доказ. 1. Имамо ν a ai = b, ν b bi = a, ν c ci = 0 и ν a, ν b > 0, па: ν a a = b, ν b b = a, ν c c = 0, a 2 ν a + b 2 ν b + c 2 ν c = b a + a b + 0 = 4Π, што jе и требало доказати. 2. Из ν a = b / a, ν b = b / a и ν c = 0 следи: где jе Π = 1 2ab површина троугла ABC. ν a ν b + ν b ν c + ν c ν a = b b a a = 1. Пример За тупоугли троугао доказати: ν a ν b + ν b ν c + ν c ν a = 1. (3.39) Доказ. У случаjу тупоуглог троугла, C > 90, на слици 3.9 можемо видети: 2Π(ABC) = 2Π(BH 1 A) 2Π(BH 1 C 1 ) 2Π(C 1 H 1 A) = = I[(H 1 B)(A H 1 )] I[(H 1 B)(C 1 H 1 )] I[(H 1 C 1 )(A H 1 )] = I[( ν b bi)(ν a ai)] I[( ν b bi)(ν c ci)] I[( ν c ci)(ν a ai)] = I[(ν b bi)(νa ai)] I[(ν b bi)(νc ci)] I[(ν c ci)(ν a ai)] = I( ν b ν a ba)] I[( νb ν c bc)] I( νc ν a ca) = ν b ν a I( ba) + ν b ν c I( bc) + nu c ν a I( ca) = 2ν b ν a µ + 2ν b ν c µ + 2ν c ν a µ, ν a ν b + ν b ν c + ν c ν a = 1. Због симетриjе, ако бирамо други тупи угао, резултат jе исти. Теорема За произвољан троугао ABC важи: ν a a ν b b = ic ν b b ν c c = ia ν c c ν a a = ib, (3.40) где су a, b, c странице ориjентисане у смеру A B C. Растко Вуковић 142

143 Доказ. На слици 3.9 видимо тупоугли троугао ABC 1 са ортоцентром H 1. Разликуjемо троуглове ABH 1, C 1 BH 1, AC 1 H 1, сва три позитивно ориjентисана, обрнуто смеру казаљке на сату, попут ABH 1 : AB + BH 1 + H 1 A = 0. Отуда: ABH 1 c + ( ν b bi) + ν a ai = 0, C 1 BH 1 a + ( ν b bi) + ν c ci = 0, AC 1 H 1 b + ( ν c ci) + ν a ai = 0. Позитиван смер иде из темена ка ортоцентру, тj. AH 1 = ν a ai. Систем се може писати као (3.40). У случаjу оштроуглог троугла ABC 2 са ортоцентром H 2 обилажењем малих троуглова ABH 2, BCH 2 и CAH 2 добиjамо: а то jе опет (3.40). ABH 2 c + ( ν b bi) + ν a ai = 0, BCH 2 a + ( ν c ci) + ν b bi = 0, CAH 2 b + ( ν a ai) + ν c ci = 0, Исти резултат (3.40) добиjамо брже одузимањем jедначина система (3.37), али са сумњом да ли резултат важи за све троуглове. Приметимо да су само две, било коjе две од ових jедначина, независне Коефициjенти ортоцентра Теорема За коефициjенте ν за H троугла ABC важи: ν a = ( a 2 + b 2 + c 2 )/4Π, ν b = ( a 2 b 2 + c 2 )/4Π, ν c = ( a 2 + b 2 c 2 )/4Π, (3.41) где jе Π површина троугла. Доказ. Из прве jедначине у (3.40) имамо: ν b b = ν a a ic, ν b b = νa ā + i c, ν 2 b b b = ν 2 aaā + iν a a c iν a āc + c c, ν 2 b b 2 = ν 2 a a 2 4Πν a + c 2. Користећи (3.38) добиjамо a 2 (1 + νa) 2 = b 2 (1 + νb 2 ), затим: a 2 + a 2 ν 2 a = b 2 + b 2 ν 2 b, a 2 + a 2 ν 2 a = b 2 + ν 2 a a 2 4Πν a + c 2, 4Πν a = a 2 + b 2 + c 2, а отуда прва од jедначина (3.41). Слично налазимо остале две. Ако jе троугао оштроугли, тада су сва три броjа ν a, ν b и ν c позитивна. Али, ако jе троугао тупоугли, онда jе jедан угао већи од правог. На слици 3.9 имамо ситуациjу C > 90 са a 2 + b 2 < c 2 и ν c < 0. Растко Вуковић 143

144 Пример У троуглу A( 2, 0), B(3, 0), C(0, 4), из примера 3.3.6, израчунати параметре ν за ортоцентар. Решење. Троугао jе оштроугли. Погледаjте 3.7 и (3.35). Израчунавамо a 2 = 25, b 2 = 20, c 2 = 25, па (3.41) даjе: Из (3.37) следи ортоцентар: ν a = 1 2, ν b = 3 4, ν c = 1 2. H = A ν a ai = ( 3 + 4i)i = 3 2 i. Било коjа од те три jедначине (3.37) даjе исти резултат. Пример Израчунати висине троугла A(1, 0), B(5, 0), C(0, 4). Slika 3.10: Троугао A = 1, B = 5, C = 4i. Решење. Користимо слику 3.10 и израчунавамо: A = 1, B = 5, C = 4i, a = C B = 5 + 4i, b = A C = 1 4i, c = B A = 4, ā = 5 4i, b = 1 + 4i, c = 4, a 2 = 41, b 2 = 17, c 2 = 16, отуда Π = 1 2 I( bc) = 8. Троугао jе тупоугли ( A > 90 ) због: мада jе a + b + c 1.72 > 0 и: a 2 + b 2 + c 2 = = 8 < 0, a 2 b 2 + c 2 = = 40, a 2 + b 2 c 2 = = 42, ν a = 8 4Π = 1 4, ν b = 40 4Π = 5 4, ν c = 42 4Π = Растко Вуковић 144

145 Провера помоћу (3.39) потврђуjе резултат: ν a ν b + ν b ν c + ν c ν a = = 1. Ортоцентар jе представљен комплексним броjем: H = A ν a ai = ( 5 + 4i)i = 5 4 i. Висине можемо наћи из (3.30). Прво, параметри ламбда су: λ a = , λ b = , λ c = = 1, што значи да су дужине висина h a, h b и h c редом 39%, 94% and 100% дужина страница a, b и c. Висине су: Проверавамо их помоћу површина: h a = λ a ai = i, h b = i, h c = 4, h a 2.5, h b = 3.9, h c = 4. Π = 1 2 a h a = , Π = 1 2 b h b = , Сва три резултата су тачна. Π = 1 2 c h c = = 8. Из претходних примера jе видљиво да коефициjенти λ и ν немаjу линеарну пропорционалност. Погледаjмо сада неке особине коjе ови коефициjенти имаjу Употреба тригонометриjе Теорема За коефициjенте ν из H троугла ABC важи: a 2 λ a ν a = b c cos α, b 2 λ b ν b = c a cos β, c 2 λ c ν c = a b cos γ, (3.42) где су α = A, β = B и γ = C унутрашњи углови троугла. Доказ. Користимо косинусну теорему a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos α, b 2 = c 2 + a 2 2 c a cos β, c 2 = a 2 + b 2 2 a b cos γ, (3.43) прва jедначина, заjедно са првом од (3.41) даjе: 2 b c cos α = a 2 + b 2 + c 2 = 4µν a = 2 a h a ν a = 2 a 2 λ a ν a, b c cos α = a 2 λ a ν a. Отуда прва jедначина (3.42). Слично налазимо остале две. Растко Вуковић 145

146 Теорема За коефициjенте ν a, ν b и ν c из (3.37) важи: где су a, b и c странице троугла ABC. ν a ν b ν c = R(b c) R(cā) R(a b). (3.44) Доказ. Знамо да jе R( z) = R(z) = x за сваки z = x + iy C. Примењуjући ic c и (3.40): (ν a a ν b b) c = (ic) c, 1 2 [(ν aa ν b b) c + (ν a a ν b b)c] = 1 (ic c i cc), 2 (ν a a c ν b b c) + (ν a āc ν b bc) = 0, ν a (a c + āc) ν b (b c + bc) = 0, 2ν a R(a c) 2ν b R(b c) = 0, jер a c + āc = a c + a c = 2R(a c). Слично налазимо све три: а отуда тражена пропорциjа (3.44). ν a ν b = R(b c) R(a c) ν b ν c = R(cā) R(bā) ν c ν a = R(a b) R(c b), Теорема За коефициjенте (3.37) троугла ABC важи: ν a ν b ν c = cos α a cos β b cos γ, (3.45) c где су α, β, γ одговараjући унутрашњи углови троугла. Доказ. Користимо сложени збир (3.15): b c = b x c x + b y c y = R(b c), (3.46) где jе b = b x +ib y, c = c x +ic y, затим b x = A x C x,..., c y = B y A y. То jе скаларни производ страница b и c троугла: b c = b x c x + b y c y = b c cos α, где jе α = BAC унутрашњи угао између страица b и c а α jе суплементан 7. То jе због ориjентисаних дужи са коjима овде радимо. Зато: Према томе: где β = CBA. Отуда, уопште (3.45). R(b c) = b x c x + b y c y = b c cos α, (3.47) ν a ν b = (b c) (c a) = ( b cos α) ( a cos β), Пример Проверити претходне три теореме за: A = 2, B = 3, C = 4i. 7 Два угла су суплементна када се допуњаваjу до 180 степени. Растко Вуковић 146

147 Решење. Странице и параметре већ имамо: a 2 = 25, b 2 = 20, c 2 = 25, λ a = 4 5, λ b = 1, λ c = 4 5, ν a = 1 2, ν b = 3 4, ν c = 1 2, а из косинусне теореме (3.43) добиjамо углове: 5 5 cos α = a 2 + b 2 + c 2 2 b c = , α cos β = a 2 b 2 + c 2 2 a c = 3 5 = 0.6, β , cos γ = a 2 + b 2 c 2 2 a b = , γ Сменом лако налазимо да jе теорема у реду. За следећу теорему: R(b c) R(cā) R(a b) = R[( 2 4i)5] R[5( 3 4i)] R[( 3 + 4i)( 2 + 4i)] = = ( 10) ( 15) ( 10) = = ν a ν b ν c, што значи да jе и теорема у реду. Такође: cos α a cos β b cos γ c 5/5 = 5 3/ /5 = ν a ν b ν c, 5 што значи да jе и теорема тачно предвиђа. Пример Проверити претходне три теореме за: A = 1, B = 5, C = 4. Решење. Странице и параметри су: а из косинусне теореме добиjамо углове: За теорему налазимо: a = 5 + 4i, b = 1 4i, c = 4, a 2 = 41, b 2 = 17, c 2 = 16, λ a = 16 41, λ b = 16 17, λ c = 1, ν a = 1 4, ν b = 5 4, ν c = 21 16, cos α = , α 104 cos β = , β cos γ = 0.80, γ 37, a 2 λ a ν a = b c cos α, ( 1 4 ) = ( 17 ), што jе тачно. Слично, тачне су и остале две jеднакости у (3.42). Према томе, тврђење теореме jе проверено. Растко Вуковић 147

148 За следећу теорему налазимо: R(b c) R(cā) R(a b) = R[(1 4i)4] R[4( 5 4i)] R[( 5 + 4i)(1 + 4i)] = = 4 ( 20) ( 21) = = ν a ν b ν c, што значи да jе и теорема тачна. Такође: cos α a cos β b cos γ c = 17/17 5/ 41 21/ = ν a ν b ν c, па jе и теорема тачна. За општи троугао ABC употребом теореме и синусне теореме: a sin α = b sin β = где jе R полупречник описаног круга троугла, добиjамо: c = 2R, (3.48) sin γ ν a ν b ν c = cot α cot β cot γ. (3.49) Ово ће олакшати израчунавање коефициjената ортоцентра када су познати углови троугла, или обрнуто. Први разлози ове опширности су чињеница да комплексни броjеви имаjу све важниjу улогу у физици и да jе ове jедноставне формуле тешко (немогуће) наћи у математичкоj литератури или на интернету. Други, будући важан разлог биће значаj троуглова у вишедимензионалним геометриjама. Ма колико много координата имале три разне тачке A, B, C, оне увек припадаjу jедноj и само jедноj равни σ. Ма колико димензиjа имао простор у коjем се налазе тачке A, B и C, раван σ jе увек димензиjе два. То поjедностављуjе геометриjску анализу, а затим и све остале њене примене. Тражимо пресеке датог вишедимензионалног тела са равни, одваjаjући трi по три материjалне тачке, а затим склапаjући слику, наравно, на начине коjи нису увек тривиjални. Као у поступку обраде коефициjента корелациjе и линиjе регресиjе масе статистичких података, приказан на краjу књиге [1] у последњоj секциjи 3.6 Стереометриjа статистике. Трећи разлог jе лакоћа са коjом се прелази са комплексних броjева на обичну геометриjу, или на аналитичку геометриjу, на алгебру, векторе, матрице, апстрактне просторе квантне механике. Разматраjући такве преласке као примере увек смо у дилеми да ли узети jедан па га детаљно разрадити или их многе овлаш набраjати. У наредном тексту сам се одлучио на први метод, коjи ћу демонстрирати на унутра уписаним и вани приписаним круговима троугла, третираних елементарном геметриjом кроз алгебру детерминанти. Анализе коjе следе могле би такође бити занимљиве jер их до сада нисам обjављивао осим неформално недавно, а веруjем да се неке од њих jош увек не могу пронаћи у математичкоj литератури. Само представљање резултата средњошколске геометриjе детерминантама, чиjа обрада би некада била досадна и неприхватљиво опширна за таj ниво учења, развоjем рачунарске технологиjе постаjе све више интересантна. Растко Вуковић 148

149 3.5 Детерминанте центара троугла Дат jе троугао ABC координатама темена A(A x, A y ), B(B x, B y ), C(C x, C y ). Орjентисана површина троугла (3.12) jе: Π(ABC) = 1 A x B x C x A y B y C y. (3.50) Ради комплетности претходног текста, овде ћемо видети елементарне изразе аналитичке геометриjе са употребом детерминанти, али без комплексних броjева. Веруjем да они нису новина у математици, али змам да их jе тешко пронаћи, jер сам их недавно 8 морао наново откривати. Странице троугла, a = BC, b = CA, c = AB, леже на три праве линиjе: a (B y C y )x (B x C x )y = C x B y B x C y, b (C y A y )x (C x A x )y = A x C y C x A y, c (A y B y )x (A x B x )y = B x A y A x B y. (3.51) Приметимо да збир ове три jедначине даjе контрадикциjу. Наиме, на левоj страни збир jе нула, а на десноj jе двострука површина троугла: 0 = [A x (B y C y ) + B x (C y A y ) + C x (A y B y )], тj. 0 = 2Π, што jе у реду само ако дате три праве нису конкурентне (немаjу заjедничку тачку). Ради упоређивања, погледаjмо jедначине средњих линиjа троугла. Средина дужи BC има координате A 1 ( B x + C x 2, B y + C y ) 2 и слично остале две странице B 1 CA, C 1 AB. Према томе, тежишнице g a = AA 1, g b = BB 1, g c = CC 1 датог троугла леже на правама: g a (G y A y )x (G x A x )y = A x G y G x A y, g b (G y B y )x (G x B x )y = B x G y G x B y, g c (G y C y )x (G x C x )y = C x G y G x C y, (3.52) где jе употребљена смена G(G x, G y ) дата са: G x = A x + B x + C x 3, G y = A y + B y + C y. (3.53) 3 Збир све три jедначине тежишница даjе идентитет 0 = 0, што значи да постоjи бар jедна заjедничка тачка за све три праве. Са друге стране, троугао не-нулте површине има три разне тежишнице коjе имаjу наjвише jедну заjедничку тачку. Зато имамо само jедну тачку пресека коjу називамо тежиште G(G x, G y ). 8 Rastko Vukovic: Determinants of the triangle centers, Academia.edu, June Растко Вуковић 149

150 3.5.1 Детерминанте ортоцентра Ортоцентар H троугла ABC jе тачка пресека висина h a, h b, h c. Експлицитни облик прве од (3.51) jедначина страница jе уопште y = mx + n, где jе m = By Cy B x C x прираштаj, тангенс угла праве према x-оси, а n = BxCy CxBy B x C x jе пресек праве са y-осом. Права окомита на дату има прираштаj m = 1 m = B x C x B y C y. (3.54) Права са тим прираштаjем коjа пролази теменом A има jедначину y A y = m (x A x ). Отуда, имплицитни облик jедначина висина троугла jе: h a (B x C x )x + (B y C y )y = (B x C x )A x + (B y C y )A y, h b (C x A x )x + (C y A y )y = (C x A x )B x + (C y A y )B y, h c (A x B x )x + (A y B y )y = (A x B x )C x + (A y B y )C y. (3.55) Сабирањем све три jедначине добиjамо нуле на обе стране, што значи да постоjи jединствена тачка пресека висина троугла, коjу називамо ортоцентар троугла и означавамо H(H x, H y ). Штавише, можемо бирати било коjе две jедначине овог система и као решење добити координате ортоцентра. Теорема Пресек висина троугла jе тачка коjу називамо ортоцентар, где су детерминанте: H ( D x D, D y D ), (3.56) A x B x C x D = A y B y C y = 2Π. (3.57) B x C x + B y C y C x A x + C y A y A x B x + A y B y D x = A y B y C y, (3.58) B x C x + B y C y C x A x + C y A y A x B x + A y B y D y = + A x B x C x. (3.59) Доказ. Потражимо пресек H h a h b. Решавамо систем прве две jедначине из (3.55) помоћу детерминанти. Детерминанта тог система jе, редом: D = B x C x B y C y = A C x A x C y A x (B y C y ) + B x (C y A y ) + C x (A y B y ) y A x B x C x = A y B y C y = 2Π, тj. jеднака jе двострукоj површини троугла ABC. Тиме jе доказано (3.57). Растко Вуковић 150

151 Детерминанта x за исте прве две jедначине jе, редом: D x = (B x C x )A x + (B y C y )A y B y C y = (C x A x )B x + (C y A y )B y C y A y = (B x C x )A x B y C y (C x A x )B x C y A y + (B y C y )A y B y C y (C y A y )B y C y A y = [A x B x (B y A y ) + A x C x (A y C y ) + B x C x (C y B y )]+ +[A y B y (B y A y ) + A y C y (A y C y ) + B y C y (C y B y )] Тиме jе доказано (3.58). Детерминанта y jе, редом: B x C x A x C x A x B x B y C y A y C y A y B y = A y B y C y A y B y C y B x C x + B y C y C x A x + C y A y A x B x + A y B y = A y B y C y D y = B x C x (B x C x )A x + (B y C y )A y = C x A x (C x A x )B x + (C y A y )B y = [(B x C x )(C x B x A x B x ) (C x A x )(B x A x C x A x )] +[(B x C x )(C y B y A y B y ) (C x A x )(B y A y C y A y )] = [(B x C x )C x B x + (A x B x )B x A x + (C x A x )C y A x ] +[(B x C x )C y B y + (A x B x )B y A y + (C x A x )C y A y ] C x B x C x A x B x A x C y B y C y A y B y A y = A x B x C x + A x B x C x B x C x + B y C y C x A x + C y A y A x B x + A y B y = A x B x C x То jе доказ за (3.59). Лако jе проверити да избор друге две jедначине система (3.55) даjе исти резултат. Jединствено решење тога система jе ортоцентар H(H x, H y ): H x = D x D, H y = D y D, где су детерминанте D, D x, D y дате у теореми. Растко Вуковић 151

152 3.5.2 Центар описаног круга Центар описаног круга троугла jе тачка F где се секу три нормале f a, f b, f c, симетрале страница a, b, c троугла. То jе центар круга коjи пролази теменима троугла. Ако страница a = BC троугла има прираштаj m, њена симетрала f a, окомита на ту страницу има прираштаj m = 1 m, исти као и висина h a. Али симетрала f a пролази средином странице, тачком A 1 ( B x + C x, B y + C y ). 2 2 Jедначина праве са датим нагибом кроз дату тачку jе y A 1y = m (x A 1x ). Након сређивања имамо имплицитну jедначину праве f a. На таj начин добиjамо све три симетрале страница: f a f b f c (B x C x )x + (B y C y )y = (Bx 2 Cx 2 + By 2 Cy)/2, 2 (C x A x )x + (C y A y )y = (Cx 2 A 2 x + Cy 2 A 2 y)/2, (A x B x )x + (A y B y )y = (A 2 x Bx 2 + A 2 y By)/2. 2 (3.60) То jе завистан, сагласан систем, jер збир све три jедначине даjе сагласност нула jеднака нули. Другим речима, постоjи jединствено решење, тачка F (F x, F y ) коjа jе центар описаног круга троугла чиjе координате задовољаваjу све три jедначине (3.60). Теорема Пресек симетрала страница jе тачка: коjа се назива центар описаног круга, при чему jе: F ( D x D, D y D ), (3.61) A x B x C x D = A y B y C y = 2Π, (3.62) D x = + 1 A 2 x + A 2 y Bx 2 + By 2 Cx 2 + Cy 2 A y B y C y, (3.63) D y = 1 A 2 x + A 2 y Bx 2 + By 2 Cx 2 + Cy 2 A x B x C x. (3.64) Доказ. Тражимо пресек F f a f b, тj. решавамо прве две jедначине система (3.60) методом детерминанти. Детерминанта тог скраћеног система jе очигледно иста као она за ортоцентар (3.57), тj. D(F ) = D(H) = 2Π(ABC), чиме jе доказано (3.62). Међутим, детерминанта x jе, редом: D x = (B2 x Cx 2 + By 2 Cy)/2 2 B y C y (Cx 2 A 2 x + Cy 2 A 2 = y)/2 C y A y = 1 2 B2 x C 2 x + B 2 y C 2 y C 2 x A 2 x + C 2 y A 2 y B y C y C y A y Растко Вуковић 152

153 = 1 Bx 2 Cx 2 + By 2 Cy 2 Cx 2 A 2 x + Cy 2 A 2 y Cx 2 + Cy 2 B y C y C y A y C y = 1 Bx 2 + By 2 A 2 x A 2 y Cx 2 + Cy 2 B y A y C y = 1 A 2 x + A 2 y Bx 2 + By 2 Cx 2 + Cy 2 A y B y C y Према томе, друга детерминанта (3.63) jе такође тачна. Детерминанта вариjабле y jе: D y = B x C x (Bx 2 Cx 2 + By 2 Cy)/2 2 C x A x (Cx 2 A 2 x + Cy 2 A 2 y)/2 = = (B2 x C 2 x + B 2 y C 2 y)/2 B x C x (C 2 x A 2 x + C 2 y A 2 y)/2 C x A x. Настављаjући као за претходну детерминанту, сада добиjамо: D y = 1 A 2 x + A 2 y Bx 2 + By 2 Cx 2 + Cy 2 A x B x C x Па jе тачно и (3.64). Према томе, координате центра F (F x, F y ) описаног круга троугла су: Што jе и требало доказати Оjлерова права F x = D x D, F y = D y D, Тежиште, ортоцентар и центар описаног круга троугла леже на jедноj правоj коjа се назива Оjлерова права 9. То ћемо сада доказати узгред тестираjући претходне резултате на jедном општом примеру. Пример Дат jе троугао A(m, 0), B(n, 0), C(0, p). Показати да су тежиште G, ортоцентар H и центар описаног круга F троугла дати са: G ( m + n, p ), H (0, mn 3 3 p ), F (m + n, 2 mn + p2 ) (3.65) 2p и да те три тачке леже на jедноj правоj, као што се види на слици Euler line: Растко Вуковић 153

154 Slika 3.11: Triangle A(m, 0), B(n, 0), C(0, p). Решење. Из релациjа (3.53), тежиште G jе очигледно тачно. Из (3.62) налазимо детерминанту система: m n 0 D(H) = D(F ) = 0 0 p = p(n m), (3.66) коjа jе заjедничка ортоцентру H и центру описаног круга F. Детерминанте коjе дефинишу броjнике координата ортоцентра H су: 0 0 mn 0 0 mn D x (H) = 0 0 p = 0, D y (H) = m n 0 = mn(m n) Коначно, одговараjуће детерминанте центра F круга су: D x (F ) = D y (F ) = 1 2 m 2 n 2 p 2 m n 0 m 2 n 2 p p = p 2 (m2 n 2 ), = m 2 (n2 p 2 ) n 2 (p2 m 2 ). Количници Dx D и Dy D посебно за H и F показуjу да jе (3.65) тачно. Да би доказали колинеарност (да леже на истоj правоj) тачака G, H, F потражимо површину троугла GHF. Ако jе површина нула, тада су поменуте тачке колинеарне. Израчунавамо редом: 2Π(GHF ) = m+n 3 0 p 3 mn p m+n 2 mn+p 2 2p = m + n p 3 mn p mn+p 2 2p Растко Вуковић 154 =

155 = m + n p 3 mn p mn+p 2 2p p = m + n 6 ( mn 2p = m + n 3 mn + p2 2p mn p + p 2 ) = 0. mn+p 2 2p p То значи да су тежиште, ортоцентар и центаро описаног круга троугла три колинеарне тачке. Приметимо да се било коjи троугао ротациjом и транслациjом координатног система може поставити у позициjу као на слици 3.11, за неке реалне броjеве m, n, p. Посебно, то значи да су тежиште G, ортоцентар H и центар описаног круга F три колинеарне тачке сваког троугла. У геометриjи jе добро познато да права коjа их садржи (Оjлерова права) пролази jош неким значаjним тачкама троугла. Нема потребе да овде ширимо разматрања на остале важне тачке троугла, коjих има више хиљада, већ само да укажемо на моћ приказаних али данас непопуларних метода алгебре у геометриjи. За допуну, покажимо да тачке H, G и F троугла ABC не само да су колинеарне, већ да за њих важи и пропорциjа d(h, G) d(g, F ) = 2 1. (3.67) Другим речима, HG GF = 2 1. Оjлерова права на коjоj леже H, G and F jе представљена жутом линиjом на слици Доказ поменуте пропорциjе се може извести како помоћу реалних Декартових координата, тако и помоћу комплексне равни. Прво, дефинишемо комплексне броjеве H, G and F чиjи су реални делови прве координате (3.65), а имагинарни друге. Затим, приметимо да jе HG = 2GF, а то jе (3.67). Обрнуто, знаjући да су тачке H, G и F колинеарне и да важи пропорциjа (3.67), тада можемо наћи координате тачке F или рецимо доказати да jе та тачка jеднако удаљена од темена троугла на следећи начин. Прво, приметимо да jе F = H (G H) = 1 (A + B + C H). (3.68) 2 Затим, формирамо комплексне броjеве: R A = F A = 1 2 ( A + B + C H) R B = F B = 1 2 (A B + C H) (3.69) R C = F C = 1 2 (A + B C H), коjи представљаjу удаљености тачке F од темена A, B и C датог торугла. Jеднакост модула ових комплексних броjева jе могуће доказати и помоћу општих координата и теореме 3.5.1, али jе то много лакше помоћу (3.65) и слике Остављам то читаоцу за самосталан рад, jер се у наставку бавимо сличним методама и мало тежим задацима. Растко Вуковић 155

156 3.6 Кругови троугла Потсетимо се комутатора и теореме 3.2.5, да бисмо дефинисали и проjекциjе као додатна математичка помагала. Ориjентисане проjекциjе дужи p = M N на координатне осе су дужине p x = M x N x и p y = M y N y. Даље следимо jедан моj текст 10 недавно обjављен. Комутатор дужи p, q jе броj [p, q] = p x q y q x p y. То jе у складу са дефинициjом комутатора тачака, заjедно са коjом можемо доказати jош неколико општих ставова. Први jе тривиjалан, став сличнан (3.24) за комутатор тачака.. Теорема Збир комутатора дужи кружно редом узетих дуж темена затвореног многоугла jеднак jе површини многоугла. Та површина jе позитивна (негативна) ако идемо у позитивном (негативном) смеру. Теорема Диjагонале четвороугла ABCD су p = AC и q = BD, његова површина jе Π(ABCD) = [p, q]. Доказ. [p, q] = p x q y q x p y = (A x C x )(B y D y ) (B x D x )(A y C y ) = = (A x B y A x D y C x B y + C x D y ) (B x A y B x C y D x A y + D x C y ) = (A x B y B x A y ) + (B x C y C x B y ) + (C x D y D x C y ) + (D x A y A x D y ) За последњи корак користимо (3.24). = [A, B] + [B, C] + [C, D] + [D, A] = Π(ABCD). Теорема За странице a = BC, b = CA, c = AB троугла ABC важи: a x + b x + c x = 0, a y + b y + c y = 0, (3.70) [a, b] = [b, c] = [c, a] = 2Π(ABC). (3.71) Доказ. Прве jеднакости следе из (ξ {x, y}): a ξ + b ξ + c ξ = (B ξ C ξ ) + (C ξ A ξ ) + (A ξ B ξ ) = 0. Друге следе из: [a, b] = a x b y b x a y = = (B x C x )(C y A y ) (C x A x )(B y C y ) = [A, B] + [B, C] + [C, A] = 2Π(ABC). Цикличном заменом слова добиjамо остатак тврђења. Следе два примера као увод у наставак текста. 10 Rastko Vukovic: Coordinates of inscribed circles in a triangle, May 2014 Растко Вуковић 156

157 Линеарна jедначина. Ако jе P (x, y) произвољна тачка на правоj AB биће [A, P ] + [P, B] = [A, B] и важиће теорема због: (A x y xa y ) + (xb y B x y) = [A, B], (A y B y )x + (A x B x )y = [A, B], c y x c x y = [B, A], Ово jе општи, или стандардни облик линеарне jедначине. Може се писати као: c y x c x y + [A, B] = 0. (3.72) Растоjање. Као што знамо растоjање између праве c = AB дато jедначином (3.52) и тачке P (x, y) jе: d(c, P ) = c yx c x y + [A, B], c = c 2 x + c 2 c y. (3.73) Због jедноставности, истим словом c означавамо и дужину и праву Симетрале Симетрала угла jе права коjе раздваjа угао на две (jеднаке) половине. Као што знамо, две праве коjе се секу имаjу узаjамно окомите симетрале углова. Симетралу унутрашњег угла A троугла ABC означимо са s A, као што jе приказано на слици Тачку пресека симетрала означимо са S. Доследно, симетрале вањских углова означавамо са s A. Slika 3.12: Labeling the bisectors of the triangle. Нека jе дат троугао ABC (не нулте површине), са страницама: a a y x a x y + [B, C] = 0, b b y x b x y + [C, A] = 0, c c y x c x y + [A, B] = 0. (3.74) Растко Вуковић 157

158 Геометриjско место тачака S A (x, y) jеднако удаљених од страница b, c задовољава jедначину d(b, S A ) = d(c, S A ): b yx b x y + [C, A] b = c yx c x y + [A, B]. (3.75) c Jедначине (3.54) и (3.55) су последица (3.52) и (3.53). Отуда jедначине симетрала угла троугла: b s A yx b xy+[c,a] b ± cyx cxy+[a,b] c = 0, c s B yx c xy+[a,b] c ± ayx axy+[b,c] a = 0, (3.76) a s C yx a xy+[b,c] a ± byx bxy+[c,a] c = 0, где су a, b, c дужине страница (истог имена). Знак ± између разломака jе минус за симетралу унутрашњег угла троугла, а плус за симетралу вањског. Погледаjмо jедан пример коjи ће поjаснити ове предзнаке. Уписани круг. Дат jе троугао A(1, 1), B(4, 2), C(3, 5). Наћи центар S уписаног круга. Израчунавамо a x = B x C x, a y = B y C y, a = a 2 x + a 2 y,... и налазимо: a x = 1 a y = 3 a = 10 [B, C] = 14 b x = 2 b y = 4 b = 20 [C, A] = 2 c x = 3 c y = 1 c = 10 [A, B] = 2 (3.77) Тиме формирамо jедначине страница: a 3x y + 14 = 0, b 4x 2y 2 = 0, c x + 3y 2 = 0. (3.78) Затим налазимо jедначине симетрала (3.56): s A s B s C 4x 2y 2 20 x+3y x y ± x+3y 2 10 = 0, ± 3x y+14 = 0, 10 ± 4x 2y 2 = (3.79) Уместо ± ставимо у све три jедначине. Након множења са 10 и груписања вариjабли, добиjамо систем унутрашњих симетрала: s A ( )x ( 2 + 3)y = 0, s B 2x + 4y 16 = 0, s C ( 3 2 2)x (1 2)y = 0. (3.80) Ради контроле, саберимо све три jедначине. Резултат jе идентитет 0 = 0. То значи да су jедначине линеарно зависне и да постоjи jединствена тачка S(S x, S y ) s A s B s C. Бираjмо било коjу од те три jедначине и решимо jе: S x = , S y = (3.81) Приближно S x = 2, и S y = 2, Резултат jе приказан на слици Растко Вуковић 158

159 Slika 3.13: Унутрашње симетрале (3.76), минус уместо плус-минус Опциjе Сада ћемо истражити опциjе бирања знакова у (3.76). добиjамо систем: s A s B ( by b ± cy c ) x ( bx b ± cx c ) y + ( [C,A] b ( cy c ± ay a ) x ( cx c ± ax a ) y + ( [A,B] c ( ay a ± by b ) x ( ax a ± bx b ) y + ( [B,C] a ± [A,B] ± [B,C] Раздваjамо вариjабле и c ) = 0, a ) = 0, ± [C,A] b ) = 0, (3.82) s C где a = a 2 x + a 2 y, b = b 2 x + b 2 y, c = c 2 x + c 2 y. Знаци ± су исти у истоj jедначини, али не у другима. Међутим, ниjе свака могућа комбинациjа знакова дозвољена. На пример, ако све три jедначине (3.76) или (3.82) уместо ± имаjу минус, добиjамо сагласан систем. Наиме, збир све три даjе идентитет 0 = 0, што значи да три праве имаjу заjедничку тачку. Сада погледаjмо друге опциjе. Означимо знаке ± у првоj, другоj и трећоj jедначини (3.82) редом са ± 1, ± 2, ± 3 и множимо их произвољним α, β, γ R. Добиjамо: x y z b y b (α ± 1 γ) + cy c (β ± 2 α) + ay a (γ ± 3 β) = 0, b xb (α ± 1 γ) + cx c (β ± 2 α) + ax a (γ ± 3 β) = 0, [C,A] b (α ± 1 γ) + [A,B] c (β ± 2 α) + [B,C] a (γ ± 3 β) = 0. То jе нови хомогени систем линеарних jедначина по вариjаблама: ξ 1 = α ± 1 γ, ξ 2 = β ± 2 α, ξ 3 = γ ± 3 β. (3.83) Тривиjално решење тог система jе ξ 1 = ξ 2 = ξ 3 = 0. Да би имали хомогени систем са другим решењима, детерминанта система мора бити нула. Међутим, детерминанта система jе: D = b y c y a y b c a b xb c xc a xa [C,A] b [A,B] c [B,C] a b y c y a y = abc b x c x a x = [C, A] [A, B] [B, C] Растко Вуковић 159

160 = abc ((a x c y c x a y )[C, A] + (b x a y a x b y )[A, B] + (c x b y b x c y )[B, C]) = abc (2µ[C, A] + 2µ[A, B] + 2µ[B, C]) = abc(2π) ([C, A] + [A, B] + [B, C]) = abc(2π) 2, где jе Π = Π(ABC) површина троугла ABC. Према томе, детерминанта система (3.83) jе: D = 2abcΠ 2 0, што значи да систем нема других решења осим тривиjалних: α ± 1 γ = 0, β ± 2 α = 0, γ ± 3 β = 0. (3.84) Већ смо видели да бираjући,, на местима ± 1, ± 2, ± 3 систем даjе три конкурентне праве (коjе имаjу jедну заjедничку тачку), са пресеком симетрала унутрашњих углова у заjедничкоj тачки S коjа jе центар уписаног круга. Друга опциjа jе избор +, +,. Тада имамо α = γ, β = α = +γ и β = γ, што jе могуће за свако γ. Међутим, избор знакова +,, води у контрадикциjу. Наиме, ако постоjе α, β, γ 0 такви да α + γ = 0, β α = 0, γ β = 0, тада мора бити α = β, β = α = γ, β = γ. Али последње две jеднакости даjу γ = γ, тj. γ = 0 што jе контрадикциjа са претпоставком γ 0. Избор +, +, + такође води у контрадикциjу. Наиме, из α + γ = 0, β + α = 0, γ + β = 0 следи α = γ, β = α = +γ, β = γ, и опет γ = 0, што jе контрадикциjа. Како друге вариjациjе ових знакова не постоjе, то имамо само четири могућности:,,, +, +,, +,, +,, +, +. Тиме смо доказали следећи став. Теорема Систем jедначина (3.62) дефинише конкурентне праве линиjе само у случаjевима када на местима ± стоjе све три минуса, или jедан минус и два плуса. У литератури стоjи погрешно, да знак ± симетрала углова у jедначинама (3.82) зависи од тога да ли jе исходиште координатног система унутар угла. Ради провере тога, погледаjмо jош jедан пример. Приписани круг. Дат jе троугао A(1, 2), B(3, 2), C(5, 3). Наћи центар S c вани приписаног круга на страницу c. Лако jе наћи странице и комутаторе: a x = 2 a y = 5 a = 29 [B, C] = 19 b x = 4 b y = 1 b = 17 [C, A] = 7 c x = 2 c y = 4 c = 20 [A, B] = 8 Збир константних чланова, [B, C] +[C, A] +[A, B] = 18, jе двострука површина троугла. Затим лако налазимо странице и симетрале. Међу осталим комбинациjама знакова ± постоjе само четири коjе даjу по три конкурентне праве, као што се види на слици Нађимо центар приписаног круга S c. Симетрале вањских углова A и B су: s A ( ) x ( ) y = ( ), s B ( ) x ( ) y = ( ), (3.85) Растко Вуковић 160

161 Slika 3.14: Bisectors of the triangle ABC. Детерминанте овог система су, приближно: D = 0, , D x = 0, , D y = 1, Решење jе тачка S c(x c, y c), центар вани приписаног круга на страницу c = AB троугла. Координате центра су: x c = D x D = 0, y c = D y D = 2, (3.86) Кординате Овде ћемо видети само две теореме за израчунавање координата jедног уписаног и три приписана круга. Теорема Када у систему (3.82) уместо ± стоjе три минуса, решење jе: x = A xa + B x b + C x c a + b + c Доказ. Из (3.76) следи (3.82) па:, y = A ya + B y b + C y c. (3.87) a + b + c s A s B s C ( by b cy c ) x ( bx b cx c ) y = [A,C] b ( cy c ay a ) x ( cx c ax a ) y = [B,A] c ( ay a by b ) x ( ax a bx b ) y = [C,B] a [B,A] c, [C,B] a, [A,C] b. (3.88) Било коjе две од тих jедначина даће решење, тачку S(x, y) коjа jе центар уписаног круга троугла. На пример, S s A s B, то jе систем прве две jедначине. Детерминанта тог система jе: = ( b ya x ba b yc x bc D = b y b cy c c ya x ca c y c ay a c xc bx b a xa cx c = + c yc x c 2 ) (c yc x c 2 c yb x cb a yc x ac + a yb x ab ) Растко Вуковић 161

162 = b ya x a y b x + c yb x b y c x + a yc x c y a x. ab bc ca Због [a, b] = [b, c] = [c, a] = 2Π jе сваки броjник двоструко већи од површине датог троугла. Отуда: D = 2Π ( 1 ab + 1 bc + 1 ca ) = 2Π (a + b + c). (3.89) abc То jе детерминанта произвољне две од три jедначине (3.88). Детерминанте вариjабле x у прве две jедначине система (3.88) су, редом: D x = [A,C] b [B,A] c [B,A] c [C,B] a c xc bx b a xa cx c = = ( [A, C]a x ba ( [B, A]c x c 2 = [A, C]a x [C, B]b x ab [A, C]c x bc [B, A]b x cb [B, A]a x ca [C, B]c x ac + [B, A]b x [A, C]c x bc + [B, A]c x c 2 ) + [C, B]b x ) ab + [C, B]c x [B, A]a x ca = C x (2Π) + A x (2Π) + B x (2Π). ab bc ca Наиме, слично (3.89), броjник jе [A, C]a x [C, B]b x = C x (2Π). Цикличном заменом слова добиjамо остале броjнике. Према томе, детерминанта вариjабле x jе: D x = 2Π ( C x ab + A x bc + B x ca ) = 2Π abc (A xa + B x b + C x c). (3.90) Детерминанта вариjабле y две од тих jедначина jе: D y = 2µ ( C y ab + A y bc + B y ca ) = 2µ abc (A ya + B y b + C y c). (3.91) Према томе, jедначине (3.88) представљаjу праве линиjе коjе се секу у jедноj тачки S(x, y) коjа jе центар уписаног круга датог троугла. Координате тог центра су x = D x D, y = Dy D, тj. x y Са овим jе теорема доказана. ( Ax bc + Bx ca + Cx ab ) / ( 1 bc + 1 ca + 1 ab ) = Axa+Bxb+Cxc a+b+c, ( Ay bc + By ca + Cy ab ) / ( 1 bc + 1 ca + 1 ab ) = Aya+Byb+Cyc a+b+c. У примеру уписане кружнице последње формуле даjу: То jе резултат jеднак са (3.81). x = = , y = = (3.92) Растко Вуковић 162

163 Теорема Када у систему (3.76) уместо ± стоjи +, +, редом, решење jе: x c = A xa + B x b C x c, y c = A ya + B y b C y c. (3.93) a + b c a + b c Dokaz. Из (3.76) следи (3.82) и сада: s A s B s C ( by b + cy c ) x ( bx b + cx c ) y = [A,C] b ( cy c + ay a ) x ( cx c + ax a ) y = [B,A] c ( ay a by b ) x ( ax a bx b ) y = [C,B] a + [B,A] c, + [C,B] a, [A,C] b. (3.94) Према теореми 3.6.4, било коjе две jедначине (3.94) даће исто решење, тачку S c(x c, y c), центар приписане кружнице на страницу c троугла ABC. На пример, S c s A s B, а то jе тачка S c на обе симетрале вањских углова A и B. Решавамо прве две од те три jедначине. Детерминанте тог система су: D = 2Π (a + b c), (3.95) abc D x = 2Π abc (A xa + B x b C x c), (3.96) D y = 2Π abc (A xa + B x b C x c). (3.97) Доказ jе сличан претходнима. Проверимо D y. D y = = ( b y[b, A] bc ( c y[a, C] cb = a y[a, C] b y [C, B] ab b y b + cy c c y c + ay a + b y[c, B] ba [A,C] b [B,A] c + [B,A] c + [C,B] a + c y[b, A] c 2 + a y[a, C] ab = C y (2µ) ab = + c y[b, A] c 2 + c y[c, B] ) ca + b y[b, A] c y [A, C] bc + A y (2µ) bc + a y[b, A] ) ac + c y[c, B] a y [B, A] ca + B y (2µ). ca Опет због a y [C, A] b y [B, C] = 2Π имамо D y = 2µ ( Cy ab + Ay Према томе, решење датог система jе x c = Dx D, y c = Dy D, са: bc + By ca ) и затим (3.97). x c = A xa + B x b C x c, y c = A ya + B y b C y c. (3.98) a + b c a + b c Тиме jе теорема доказана. У примеру приписаног круга, за троугао A(1, 2), B(3, 2), C(5, 3) сада имамо: То jе исти резултат као (3.86). x c = = 0, y c = ( 2) = 2, Растко Вуковић 163

164 3.6.4 Полупречници Растоjање (3.73) од центра уписаног круга S до странице c износи: r = c yx u c x y u + [A, B]. c 1 Користећи координате (3.87) налазимо: r = c(a+b+c) (A y B y )(A x a + B x b + C x c) (A x B x )(A y a + B y b + C y c) + (A x B y B x A y )(a + b + c) = = A x(b y C y ) + B x (C y A y ) + C x (Ay B y ) a + b + c Отуда полупречник уписаног круга: r = = 2Π a + b + c. 2Π a + b + c. (3.99) Слично, удаљеност од вањског центра S c до странице c износи: r c = c yx c c x y uc + [A, B]. c Користећи (3.97) налазимо: r c 1 = c(a+b c) (A y B y )(A x a + B x b C x c) (A x B x )(A y a + B y b C y c) + (A x B y B x A y )(a + b c) = = A x(b y C y ) B x (C y A y ) C x (Ay B y ) a + b c Због симетриjе, полупречници три приписана круга су: r a = = 2Π a + b c. 2Π a + b + c, r b = 2Π a b + c, 2Π r c = a + b c. (3.100) Следећи пример jе потврда резултата (3.99) и формуле r ρ a + ρ b + ρ c < min(a, b, c), (3.101) где су ρ a, ρ b, ρ c полупречници кругова уписаних у троугао P BC, P CA, P AB, са тачком P унутар троугла ABC, обjашњени и доказани у прилогу [11]. Унутрашњи кругови. Темена троугла су A( 1, 1), B(5, 0), C(0, 3). Унутар троугла jе подељена на три троугла OBC, OCA, OAB. Наћи и проверити симетрале и формулу (3.101), где jе P = O. Jедначине страница су: a 3x 5y + 15 = 0, b 4x y + 3 = 0, c x + 6y + 5 = 0. Двострука површина троугла jе = 23. Симетрале унутрашњих углова: s A s B s C 4x y+3 17 x+6y x 5y x+6y+5 37 = 0, 3x 5y+15 = 0, 34 4x y+3 = s A y = 0, 92x 0, 08, s B y = 0, 19x + 0, 95, s C y = 2.41x + 3. (3.102) Растко Вуковић 164

165 Slika 3.15: Incircle of the triangle with the origin within. Резултати (3.102) се могу видети на слици Полупречник (3.99) уписаног круга jе: r = = Површине унутрашњих троуглова су: Π(OBC) [O, B] + [B, C] + [C, O] = 15, Π(OCA) [O, C] + [C, A] + [A, O] = 3, Π(OAB) [O, A] + [A, B] + [B, O] = 5. Странице (q = OQ) унутрашњих троуглова: Отуда, jедначина (3.01) постаjе OBC a = 34, b = 5, c = 3, OCA a = 2, b = 17, c = 3, OAB a = 2, b = 5, c = < 17, < А те неjеднакости су тачне. Ако нас може изненадити дубина и прецизност закона геометриjе, онда нас поготово може затећи откриће да простори новооткривених димензиjа времена криjу исте правилности. Време настаjе реализациjом наводно обjективне неизвесности, како jе то претпостављено на почетку ове књиге. Закони одржања (конзервациjе) неизвесности и информациjе чине нашу прошлост стабилном. Међутим, они указуjу и на много веће сличности оностраног неизвесног и овостраног реализованог. Растко Вуковић 165

166 3.7 Псеудо раван Префикс псеудо (Грчки: pseudes - лажан) се користи за нешто што изгледа као да jесте а ниjе. У том смислу je псеудо раван раван дуална комплексноj равни. Рецимо, где jе апсциса (x-оса) остала иста реална оса, али jе ордината (y-оса) замењена имагинарном осом w, при чему jе w = iy, i = 1. Дакле, координате (x, y) комплексне равни C пресликавамо у координате (x, w) псеудо равни jедноставном сменом w = iy, и обрнуто y = iw. Затим доследно преводимо сваку функциjу из C у одговараjућу псеудо функциjу. Површина ab C постаjе iab, угао ϕ постаjе псеудо угао iϕ, итд. Користећи разво у редове (2.50), сабирањем добиjамо тзв. косинус и синус функциjу cis(ϕ) = cos ϕ + i sin ϕ = e iϕ, (3.103) где jе e = 2, тзв. Оjлеров броj, jер jе развоj ове експоненциjалне функциjе: e ϕ = 1 + ϕ + ϕ2 2 + ϕ3 3! + ϕ4 4! + ϕ5 5! + ϕ6 6! +... (3.104) Претходна функциjа косинус и синус представља комплексан броj jединичног модула али произвољног аргумента ϕ. Сменом ϕ iϕ обичне тригонометриjске функциjе постаjу хиперболне. На графовима 3.16 су приказане хиперболне функциjе, редом косинус и синус. Хиперболни тангенс th(ξ) = sh(ξ) ch(ξ) jе количник хиперболног синуса и косинуса датог угла. Slika 3.16: Хиперболни косинус и синус. На следећоj слици 3.17 лево, на тригонометриjском кругу (полупречника r = 1) су дефинисане тригонометриjске функциjе sin α, cos α и tg α, као одсечци BC, OB и AD, а угао α = AOC jе половина централног угла над тетивом KC. Исти угао α у радиjанима се може дефинисати и као половина површине Π(KOC) шрафираног кружног исечка, jер централни исечак KOC има површину Π = 1 2 r2 2α = α. Аналогно, на слици десно, уместо jединичне кружнице x 2 + y 2 = 1 приказана jе jедна грана jединичне хиперболе x 2 y 2 = 1 и шрафирани сектор KOC jеднаке површине Π = α, коjом се дефинишу хиперболне функциjе sh α = BC, ch α = OB и th α = AB. Растко Вуковић 166

167 Slika 3.17: Jединична кружница и хипербола. Свака формула обичне тригонометриjе може се трансформисати у одоговараjућу формулу хиперболне тригонометриjе заменама: { sin z = i sh z, cos z = i ch z, tg z = i th z sh z = i sin iz, ch z = i cos iz, th z = i tg iz, (3.105) где jе угао произвољан броj z C. Тако добиjамо(2.51), парове идентитета: { cosz + sin 2 z = 1, cos 2 z = 1/(1 + tg 2 z), sin 2 z = tg 2 z/(1 + tg 2 z), ch z sh 2 z = 1, ch 2 z = 1/(1 th 2 z), sh 2 z = th 2 z/(1 th 2 z), (3.106) или адиционе формуле (2.52), али и многе друге одговараjуће формуле. За псеудо раван, као и за комплексну раван важе слични закони геометриjе. То jе зато што су обе позорница преламања наше неизвесности у информациjу или обрнуто, место где настаjе садашњост, односно реалност. Реализациjа случаjних догађаjа претвара неизвесност у информациjу а производња информациjе ствара нашу садашњост, време и простор. Простором коjи тако настаjе владаjу исти апстрактни закони, попут униварзалности ротациjа у геометриjским симетриjама. Када координатне осе Декартовог правоуглог система Oxy комплексне равни ротирамо око исходишта O за угао ω оне постаjу осе система Ox y као на слици Slika 3.18: Ротациjа око O за угао ϕ. Тачка A(x, y) се ротира у тачку A (x, y ) са координатама: x = x cos ϕ y sin ϕ, y = x sin ϕ + y cos ϕ, (3.107) Растко Вуковић 167

168 писаним у систему Oxy. Наиме, из jеднакости дужина Ox = Ox, Oy = Oy и сличности правоуглих троуглова на слици 3.18 видимо: x 2 = x cos ϕ, x 2 x 1 = y sin ϕ, y 2 = x sin ϕ, y 1 y 2 = y cos ϕ, x 1 = x cos ϕ y sin ϕ, y 1 = x sin ϕ + y cos ϕ, а отуда (3.107). Исто (2.44) смо добили на други начин уз слику 2.4. Према теореми 3.1.3, ротациjа тачке A(x, y) око исходишта за угао ω у тачку A представља множење комплексног броjа z = x + iy jединичним комплексним броjем cis(ϕ), дефинисаног формулом (3.103). Отуда, редом: z cis(ϕ) = z, (x + iy)(cos ϕ + i sin ϕ) = x + iy, (x cos ϕ y sin ϕ) + i(x sin ϕ + y cos ϕ) = x + iy, (3.108) па упоређивањем реалих и имагинарних делова опет добиjамо (3.107). Дакле, ротациjа око исходишта еквивалентна jе множењу jединичним комплексним броjем. Ове ротациjе смо већ користили (2.47) за извођење Лоренцових трансформациjа Аjнштаjнове специjалне теориjе релативности. Приметимо да теорема говори опет о истим ротациjама, а она укључуjе и поопштава Шварцшилдову метрику опште теориjе релативности. То нам даjе идеjу да покушамо дефинисати ротациjу коjа би обухватила како ротациjе класичне координатне равни тако и псеудо равни, па и раван гравитационог поља. Користићемо методе комутатора из претходног дела текста. Преведимо комутаторе (3.23) на поларни систем Orφ, трансформациjама: Декартов комутатор [A, B] xy постаjе: x = r cos φ, y = r sin φ. (3.109) [A, B] xy = A x B y B x A x = = (A r cos A φ )(B r sin B φ ) (B r cos B φ )(A r sin A φ ) = A r B r (cos A φ sin B φ cos B φ sin A φ ), [A, B] rφ = A r B r sin(b φ A φ ). (3.110) То jе позната формула за површину: [A, B] rφ = 2Π(AOB), (3.111) паралелограма разапетог векторима OA и OB, односно двострука површина троугла са теменима A, O и B. Двострука површина троугла ABC jе: 2Π(ABC) = [A, B] rφ + [B, C] rφ + [C, A] rφ, (3.112) због sin(b φ A φ ) = sin(a φ B φ ). Растко Вуковић 168

169 Теорема Двострука површина многоугла A 1 A 2... A n jе где jе n = 3, 4,.... 2Π(A 1 A 2... A n ) = [A 1, A 2 ] rφ + [A 2, A 3 ] rφ + + [A n, A 1 ] rφ, Доказ. Размотримо затворену изломљену линиjу са теменима A 1 A 2, A 2 A 3,..., A n A 1 у координатноj равни у поларном систему са исходиштем O. Према (3.112), обилазећи те тачке додаjемо површине троуглова A k 1 OA k са страницама A k 1 A k коjе су даље од исходишта, а одузимамо површине троуглова са таквим ближим страницама. Разлика jе тражена површина. Размотримо сада произвољан троугао ABC након преласка из jедног Декартовог система у други (неправоугли), O xȳ Oxy, трансформациjама: односно x = α xx x + α xy ȳ, y = α yx x + α yy ȳ, (3.113) ( x y ) = (α xx α xy α yx α yy ) ( x ȳ ), (3.114) где су коефициjенти алфа (произвољне) константе. Да би постоjала ова трансформациjа координата, мора детерминанта система (3.113) бити различита од нуле: α xy det ( α xx ) = α xx α xy = α α yx α yy α yx α xx α yy α yx α xy 0, (3.115) yy односно [α x, α y ] = α xx α yy α yx α xy 0. Посматраjмо релациjу између површина датог троугла у два система координата Oxy и O xȳ. Израчунавамо, редом: [A, B] = A x B y B x A y = = (α xx Ā x + α xy Ā y )(α yx Bx + α yy By ) (α xx Bx + α xy By )(α yx Ā x + α yy Ā y ) = α xx α yy (Āx B y B x Ā y ) + α xy α yx (Āy B x Āx B y ) = (α xx α yy α yx α xy )(Āx B y B x Ā y ), [A, B] = [α x, α y ][Ā, B], (3.116) где jе [α x, α y ] = α xx α yy α yx α xy. Аналогно добиjамо за остале комутаторе. Зато jе: Π(ABC) = [A, B] + [B, C] + [C, A] = = [α x, α y ]([Ā, B] + [ B, C] + [ C, Ā]), Π(ABC) = [α x, α y ]Π(Ā B C). (3.117) У новим координатама O xȳ, дефинисаним са (3.113), старе површине се множе са фактором [α x, α y ] коjи одређуjе да ли се простор смањуjе (контракциjа) или повећава (дилатациjа) своjом површином. Ако jе таj фактор нула, ниjе испуњен услов (3.115) па и нема трансформациjе система. Ако jе таj фактор jедан, имамо изометриjску трансформациjу - ротациjу. Растко Вуковић 169

170 Пример Показати да произвољна површина остаjе непромењена након: (i) обичне, (ii) хиперболне ротациjе. Решење. (i) Обична ротациjа O xȳ Oxy за угао ϕ дефинисана jе са: x = x cos ϕ ȳ sin ϕ, y = x sin ϕ + ȳ cos ϕ, (3.118) па jе [α x, α y ] = cos 2 ϕ + sin 2 ϕ = 1, што значи да jе фактор транформациjе jедан, односно да нема промене површине (било коjег троугла). (ii) Хиперболна ротациjа O xȳ Oxy за угао ψ дефинисана jе са: x = x ch ψ + ȳ sh ψ, y = x sh ψ + ȳ ch ψ. (3.119) Сада имамо [α x, α y ] = ch 2 ψ sh 2 ψ = 1, што значи да jе фактор трансформациjе поново jедан, па опет нема промене површина. Ова пример показуjе да су обичне ротациjе као и Лоренцове трансформациjе, обе ротациjе и по новоj дефинициjи. То jе било очекивано, за разлику од следећег примера коjи показуjе да и теорема говори о ротациjама. Пример Показати да су следеће инфинитезималне трансформациjе: { dr = χ d r + iγ 1 1 γ 2 χ 2 cd t cdt = iγ 1 γ 2 χ 2 d r + γ 2 χ cd t, (3.120) такође ротациjе. Решење. Сада имамо комутатор: [α r, α ct ] = (χ)(γ 2 χ) (iγ 1 γ 2 χ 2 )(iγ 1 1 γ 2 χ 2 ) = дакле опет ротациjу. = γ 2 χ 2 + (1 γ 2 χ 2 ) = 1, Трансформациjе (3.120) мењаjу (псеудо) еуклидску метрику у Шварцшилдову, коjа jе решење Аjнштаjнових jедначина гравитационог поља изван сферне масе. Оне као и Лоренцове трансформациjе описуjу сличне инерциjалне системе, са jедном битном разликом. Jедначине из последњег примера имаjу параметар вишка коjи им даjе степен слободе више у односу на jеднолико праволиниjско инерциjално кретање датом брзином, дефинисаном углом ψ у (3.119). Променом параметра χ у систему (3.120) мења се угао временске осе у односу на радиjалну осу поља и тиме дозвољаваjу различите брзине слободног пада на месту истог гравитационог потенциjала (γ). Узгред приметимо да и Кеплеров други закон говори о ротациjама, али не у равни апсциса-време већ у просторноj равни елипсе коjом планета кружи око сунца. Као што знамо из физике, због очувања ангуларног момента (дакле опет због инерциjалног кретања), радиjус вектор (од сунца до планете) прелази jеднаке површине за jеднако време. Кориштењем комутатора и дефинициjе ротациjе (3.116), може се показати да jе та Кеплерова ротациjа попут (3.120), али са обе просторне координате. Наведени примери нам указуjу на неодвоjивост простора од времена. Успоравањем тока времена скраћуjу се дужине, по правцу кретања у специjалноj релативности или радиjално у општоj, да би заустављањем времена - нестале. То jе последица стварања простора стварањем времена. Растко Вуковић 170

171 3.8 Jединичне матрице Пођимо опет од трансформациjа (3.107), коjе сада пишемо матрично: ( x 1 ) = ( cos ϕ sin ϕ y 1 sin ϕ cos ϕ ) (x y ), (3.121) односно ẑ 1 = ˆR(ϕ)ẑ, где jе ˆR(ϕ) матрица ротациjе за угао ϕ. Приметимо да jе: а отуда, рецимо: ˆR(ϕ) = ( ) cos ϕ + (0 ) sin ϕ, (3.122) ˆR(ϕ) = Î cos ϕ + iˆσ 2 sin ϕ, (3.123) ˆR(ϕ) = Î cos ϕ ˆσ 5 sin ϕ, (3.124) где су ˆσ 2 и ˆσ 5 редом Паулиjева (3.3) и кватернионска (3.4) матрица, а Î jединична матрица, све три другог реда (типа 2 2). Пример Показати да jе ˆR(α) ˆR(β) = ˆR(α + β) множењем кватерниона. Решење. Користимо матрице (3.124) и особине (3.5): ˆR(α) ˆR(β) = (Î cos α ˆσ 5 sin α)(î cos β ˆσ 5 sin β) = Î cos α cos β ˆσ 5 sin α cos β ˆσ 5 cos α sin β + ( Î) sin α sin β = Î(cos α cos β sin α sin β) ˆσ 5(sin α cos β + cos α sin β) а то jе оно што jе требало показати. = Î cos(α + β) ˆσ 5 sin(α + β) = ˆR(α + β), Свака од три кватернионске матрице, за ν = 4, 5, 6, понаша се у матричном множењу као имагинарна jединица, ˆσ ν 2 = Î а узаjамно се множе као jединични вектори 3-дим простора Oxyz. Због овог другог их понекад пишемо као ортове i, j и k: ẑ = z 0 Î + z 1 î + z 2 ĵ + z 3ˆk, z0, z 1, z 2, z 3 C, (3.125) где jе нпр. î = ˆσ 4, ĵ = ˆσ 5 и ˆk = ˆσ 6. При томе треба разликовати имагинарни броj i = 1 од матрице î, ĵ или ˆk. Знамо да се сваки комплексан броj z C може свести на облик z = x + iy, где x, y R а i = 1 jе имагинарна jединица. Реалан и имагинаран део комплексног броjа z означавамо редом са R(z) и I(z), коjи су поменути x и y редом. Коњуговано комплексни броjеви су z = x + iy и z = x iy, а за коњуговање важи: f(z) = f( z), (3.126) за произвољну функциjу f(z) над скупом комплексних броjева. кватернион (3.125) дефинишемо коњуговање са Аналогно томе, за ẑ = z 0 Î z 1 î z 2 ĵ z 3ˆk, z0, z 1, z 2, z 3 C, (3.127) Растко Вуковић 171

172 Очигледно jе шта мораjу бити коњуговане основне матрице кватерниона: îî = ˆσ 4ˆσ 4 = (i 0 0 i ) ( i 0 0 i ) = ( ) = Î, ĵĵ = ˆσ 5ˆσ 5 = ( ) ( ) = ( ) = Î, ˆkˆk = ˆσ 6ˆσ 6 = (0 i i 0 ) ( 0 i i 0 ) = ( ) = Î, (3.128) Затим хермитски коњуговане матрице Â (или Â ) уопште дефинишемо са: Â = ( a b c d ), Â = (ā b c. (3.129) d) Производ коњуговано комплексних броjева jе квадрат модула (интензитета) тог броjа, z z = z 2. Аналогно, траг матрице производа коњугованих матрица jе aā + b b a c + b tr (ÂÂ ) = tr ( d cā + d b c c + d d ) = aā + b b + c c + d d R. (3.130) Зато, помоћу трага матрице можемо дефинисати квадрат модула дате матрице, али и не морамо. Примењено на кватернионе (3.125) и (3.127), добиjамо: а отуда: ẑ = z 0 ( ) + z 1 ( i 0 0 i ) + z 2 ( ) + z 3 ( 0 i i 0 ) ẑ = z 0 ( ) z 1 ( i 0 0 i ) z 2 ( ) z 3 ( 0 i i 0 ), (3.131) ẑ = ( z 0 + iz 1 z 2 + iz 3 z 2 + iz 3 z 0 iz 1 ), ẑ = ( z 0 i z 1 z 2 i z 3 z 2 i z 3 z 0 + i z 1 ), (3.132) што jе у сагласности са (3.129). Отуда 1 2 tr (ẑẑ ) = z 0 z 0 + z 1 z 1 + z 2 z 2 + z 3 z 3, (3.133) што jе такође погодно да сматрамо квадратом модула кватерниона (3.125). До неког згодног израза за квадрат модула кватерниона можемо доћи и заобилазно, преко поопштеног скаларног производа, на следећи начин. Посматраjмо следећа два кватерниона: { û = u 0Î + u 1ˆσ 4 + u 2ˆσ 5 + u 3ˆσ 6, ˆv = v 0 Î + v 1ˆσ 4 + v 2ˆσ 5 + v 3ˆσ 6 (3.134) где коефициjенти u ν, v ν могу бити комплексни броjеви. Налазимо: ûˆv = û ˆv = 3 β=0 3 β=0 3 u β v β Î (u 0 v α u α v 0 )ˆσ α+3 α=1 3 ū β v β Î + (ū 0 v α ū α v 0 )ˆσ α+3 α=1 ˆσ 4 ˆσ 5 ˆσ 6 u 1 u 2 u 3, (3.135) v 1 v 2 v 3 ˆσ 4 ˆσ 5 ˆσ 6 ū 1 ū 2 ū 3, (3.136) v 1 v 2 v 3 Растко Вуковић 172

173 па за сложени збир и разлику, û ˆv = 1 2 (ûˆv + û ˆv) и û ˆv = 1 2 (ûˆv û ˆv), добиjамо: û ˆv = 3 β=0 û ˆv = i 3 R(u β v β )Î i I(u α v 0 u 0 v α )ˆσ α+3 1 α=1 2 ( ˆD 1 + ˆD 2 ), (3.137) 3 β=0 где скраћено пишемо î = ˆσ 4, ĵ = ˆσ 5, ˆk = ˆσ 6 и: 3 I(u β v β )Î + R(u α v 0 u 0 v α )ˆσ α+3 1 α=1 2 ( ˆD 1 ˆD 2 ), (3.138) î ĵ ˆk î ĵ ˆk ˆD 1 = u 1 u 2 u 3, ˆD2 = ū 1 ū 2 ū 3. v 1 v 2 v 3 v 1 v 2 v 3 Дакле, сложени збир коjи смо дефинисали на почетку ове секциjе (3.15), у математичкоj литератури се помало брзоплето проглашава скаларним производом. Посебно, када jе û = ˆv = ẑ, из (3.136) добиjамо: ẑẑ = 3 î ĵ ˆk z β z β Î z 1 z 2 z 3, (3.139) β=0 z 1 z 2 z 3 а отуда jе тешко препознати (3.133). Паулиjеве матрице (3.3) имаjу особину ˆσ 2 = Î. Обично се означаваjу са: Î = ( ), ˆσ 1 = ( ), ˆσ 2 = ( 0 i i 0 ), ˆσ 3 = ( ), (3.140) где смо ради комплетности додали и jединичну матрицу Î. То су важне матрице квантне механике. Слично кватернионима, за линеарне комбинациjе ових матрица важи: ˆp = p 0 Î + p 1ˆσ 1 + p 2ˆσ 2 + p 3ˆσ 3 = ( p 0 + p 3 p 1 ip 2 p 1 + ip 2 p 0 p 3 ), ˆp = p 0 Î + p 1ˆσ 1 + p 2ˆσ 2 + p 3ˆσ 3 = ( p 0 + p 3 p 1 i p 2 p 1 + i p 2 p 0 p 3 ), (3.141) где jе p µ C за µ = 0, 1, 2, 3. Такође слично (3.133) налазимо: 1 2 tr (ˆpˆp ) = p 0 p 0 + p 1 p 1 + p 2 p 2 + p 3 p 3. (3.142) Употребимо ли и израз ˆq = q 0 Î + q 1ˆσ 1 + q 2ˆσ 2 + q 3ˆσ 3 са комплексним коефициjентима q µ : ˆpˆq = 3 β=0 3 ˆσ 1 ˆσ 2 ˆσ 3 p β q β Î + (p 0 q α + p α q 0 )ˆσ α + i p 1 p 2 p 3. (3.143) α=1 q 1 q 2 q 3 Само први збир у (3.143), као и у (3.135), сматрамо скаларним производом одговараjућих вектора. Растко Вуковић 173

174 Уопште, за векторе u и v n-дим простора са компонентама u µ, v µ C, µ = 1, 2,..., n, скаларни производ дефинишемо са u v = ū 1 v 1 + ū 2 v ū n v n. (3.144) Када jе таj производ нула, векторе сматрамо узаjамно окомитим. У складу са овим, модул вектора jе u = u u. На пример, вектори u = 1 ( 1 2 i ) и v = 1 ( i ) 2 1 су узаjамно окомити, jер jе u v = 1 ( 1 2 i ) 1 ( i 2 1 ) = 1 2 (1, i) (i 1 ) = 1 (i i) = 0, 2 и оба су jединичног модула u = v = 1. Вратимо се опет на ротациjу (3.121) у правоуглом Декартовом систему Oxy. Уочимо сада облик ˆR(ϕ)v = λv са параметром λ C, односно cos ϕ sin ϕ ( sin ϕ cos ϕ ) (x y ) = λ (x y ). (3.145) Вектор v назива се сопствени вектор матрице ˆR, а броj λ jе његова сопствена вредност. Основни геометриjски смисао ове jедначине био би да ротациjа ˆR(ϕ) за произвољан угао ϕ трансформише сопствени вектор v у вектор истог правца. Наравно, то jе у реалноj равни Oxy немогуће, jер то ниjе ротациjа за унапред дати угао (рецимо 180 ). Па ипак, горња jедначина има решење. Преводимо jе у систем: { { x cos ϕ y sin ϕ = λx x sin ϕ + y cos ϕ = λy, x(cos ϕ λ) y sin ϕ = 0 x sin ϕ + y(cos ϕ λ) = 0. Ово jе хомогени систем са тривиjалним решењем x = y = 0, коjе нам ниjе занимљиво. Да би хомогени систем имао jош решења, његова детерминанта мора бити нула: cos ϕ λ sin ϕ sin ϕ cos ϕ λ = 0, а отуда две сопствене вредности λ 2 2 cos ϕλ + 1 = 0, λ 12 = cos ϕ ± i sin ϕ = e ±ϕ. (3.146) Када ове броjеве вратимо у претходни систем, налазимо jединичне сопствене векторе v 12 = 1 2 ( 1 ±i ) (3.147) Доследно гураjући геометриjску интерпретациjу 11, могли бисмо рећи да су сопствени вектори у комплексноj равни са имагинарном осом у новоj димензиjи додатоj двема Декартовим. Када се раван Oxy ротира за произвољан угао ϕ, сопствени вектори остаjу у своjоj равни непромењених праваца, узаjамно окомити v 1 v постоjе и друге интерпретациjе Растко Вуковић 174

175 Glava 4 Апстрактни простор Ниjе случаjно што jе квантна механика наjновиjа и истовремено наjтачниjа грана физике. Она се бави микро-светом коjи jе толико далек од свакодневног да смо у тоj области физике присиљени одустати од интуициjе, филозофиjе или других убеђења и држати се само математике. Квантна механика jе данас тако постављена наука да би њено оспоравање, углавном, било оспоравање саме апстрактне логике. Излагање квантне механике се већим делом може посматрати као предавање из алгебре о векторским просторима са комплексним коефициjентима. То jе прича о jедноj равноj (еуклидскоj) линеарноj геометриjи вектора коjу средњошколци упознаваjу већ у првом разреду. Међутим, када се у истоj jедноставноj теориjи крене ка мало конкретниjем задатку, испостави се да jе решавање често скоро па немогуће. У таквим се случаjевима физичари суочаваjу са употребом пертурбациjа, са покушаjима да у мрежи парциjалних диференциjалних jедначина од коjих jе математика давно одустала или до коjих никада ниjе стигла, дођу до макар каквог приближног решења. Тако упадаjу и у ситуациjе да од дрвета не виде шуму. Апстрактна теориjа коjа jе сада пред нама jе важна за квантну физику али и за основну тезу књиге [1]. У тоj књизи, Информациjа перцепциjе, опширно jе обjашњаван скаларни производ вектора l = i h. То jе алгебарски неспорна форма (не постоjи начин да се докаже да jе таj део алгебре нетачан) са наизглед спорним тумачењем смисла скалара l као количине могућности перцепциjа дате jединке. Међутим, ако ово l схватите као нову дефинициjу, а такође и вектор i као до сада не дефинисану способност jединке да користи могућности, а вектор h као способност окружења да jединки ускрати дате могућности, тешкоће нестаjу. Усклађивање поjма слободе у социологиjи са скаларом l, поjма интелигенциjе у психологиjи са вектором i и поjма хиjерархиjе у праву са вектором h тек следи, веруjем, као што jе своjевремено уследило усклађивање поjма времена са формулом t = s/v. Та спора надмоћ математичких поставки расте временом са схваћањем да њих ниjе могуће довести у контрадикциjу, за разлику од других понуда. Зато ће овде бити изложене само поставке онога што сматрам непроцењивим обзиром на квалитет и ширину примена. Природа воли да се понавља. Она то чини свугде где jоj то дозволи Паулиjев принцип забране или неки сличан коjи спречава њено затварање у неку малу бесконачну петљу. Зато што природа воли симетриjе, понављања истог у различитом, толико да не изненађуjе поjава препознатљивих геометриjских форми у свим областима егзактног, зато jе и ово прича о природи времена. А опет, ове препознатљиве форме су толико сличне jер долазе из истог контеjнера. 175

176 4.1 Алгебарске структуре Алгебарска структура, или краће алгебра, jе уређени пар A = (A, Ω), где jе A непразан скуп, домен алгебре A, и Ω нека фамилиjа алгебарских операциjа скупа A. Основне алгебарске структуре су: групоиди, полугрупе (семигрупе), моноиди, групе, прстени и поља. 1. Групоид jе уређен пар (G, ), где jе бинарна операциjа скупа G. Елеменат e G jе леви неутрал односно десни неутрал групоида акко за свако x G важи e x = x односно x e = x. Елеменат e G jе неутрал акко 2 ( x G) e x = x e = x. Групоид има наjвише jедан неутрал, због e 1 = e 1 e 2 = e 2. Полугрупа jе групоид (S, ) у коме jе бинарна операциjа асоциjативна: за било коjа три елемента из S важи (a b) c = a (b c). Моноид jе полугрупа са неутралом. Елеменат x jе леви инверзни односно десни инверзни елеменат x акко оба припадаjу скупу елемената датог моноида и x x = e односно x x = e. Ако jе елеменат x и леви и десни инверзни, назива се инверзни елеменат x или инверз. Произвољно x може имати само jедан инверз, због x 1 = x 1 e = x 1 (x x 2 ) = ( x 1 x) x 2 = e x 2 = x 2. Лема Нека jе (M,, e) моноид. Ако су x, y M инвертибилни, онда су e, x y и x такође инвертибилни и важи: 1. ē = e; 2. x y = ȳ x; 3. x = x. Доказ. 1. Следи из e e = e. 2. Из (ȳ x) (x y) = ȳ ( x (x y)) = ȳ (( x x) y) = ȳ (e y) = ȳ y = e и сличног (x y) (ȳ x) = e следи да jе ȳ x инверз елемента x y. 3. Следи из x x = e = x x. Група (G,, e) jе моноид у коме сваки елеменат има инверз. Група (полугрупа, групоид) jе комутативна акко ( x, y G) x y = y x. Комутативна група се назива Абелова група. Лема Нека jе (G, ) полугрупа. Тада: 1. (G, ) jе група акко ( x G) x x = e e x = x; 2. (G, ) jе група акко ( z G)( x G)(z x = x ( y G) y x = z). Доказ. Довољно jе доказати да десна страна повлачи леву. 1. x x = (e x) x = (( x x) x) x = ( x ( x x)) x = ( x e) x = x (e x) = x x = e, затим x e = x ( x x) = (x x) x = e x = x. 2. Довољно jе неутрал z означити са e, инверз y елемента x са x, а инверз елемента x са x, па поновити претходни доказ. Теорема Нека jе (M, ) моноид. Дефинишимо скуп инвертибилних елемената G = {x M ( y M) y x = e = x y}. Тада e G, скуп G jе затворен jе за операциjу и моноид (G, ) jе група. Доказ. Из e e = e следи e G. Доказуjемо затвореност. Нека су x, y G. Тада постоjе неки x, ȳ M коjи су инверзи елемената x, y. Због леме jе ȳ x = x y инверз елемента x y, па x y G. Ako je x G а његов инверз x M, онда jе због исте леме x инверз x, па x G. 1 Универзитет у Београду, Математички факултет: 2 акко - ако и само ако Растко Вуковић 176

177 На пример, (N, +) jе комутативан групоид. Такође jе то (N, nzd), где jе операциjа наjмањи заjеднички садржалац (у скупу природних броjева). Скуп броjева G = {0, 1, 2, 3} са сабирањем по модулу m = 4 дефинисаним Кеjлиjевом 3 таблицом jе комутативна група. Неутрални елеменат jе 0, а за елеменат n G инверзан jе m n, jер jе n + m (m n) = 0 (mod m). Скуп ротациjа (3.121) равни Oxy дефинисан угловима ϕ R у односу на композициjу пресликавања jе група. Структура (P, +, ) jе прстен акко jе (P, +) комутативна група (са неутралним елементом 0 и инверзом x елемента x) и важе закони дистрибуциjе ( x, y, z P ) леве x (y + z) = (x y) + (x z) и десне (y + z) x = (y x) + (z x). Прстен jе асоциjативан када jе и друга операциjа асоциjативна, када за све x, y, z P важи (x y) z = x (y z). Прстен jе са jединицом 1 када друга операциjа има неутрални елеменат, коjи називамо jединицом. Када jе (P, ) група, прстен се назива тело. Комутативно тело jе поље. Теорема Нека jе (P, +, ) прстен. Тада: 1. x 0 = 0 = 0 x; 2. x ( y) = (x y) = ( x) y, ( x) ( y) = xy; 3. Ако x y = x + ( y), онда x (y z) = x y x z, (x y) z = x z y z; 4. (x x n ) y = x 1 y + + x n y, x (y y n ) = x y x y n ; 5. (x x n ) (y y n ) = n i=1 n j=1 x i y j = n j=1 n i=1 x i y j. Доказ. 1. Из x 0 = x (0+0) = x 0+x 0 следи x 0 = x 0+x 0, отуда x 0+( x 0) = (x 0 + x 0) + ( x 0) = x 0 + (x 0 + ( x 0)), а отуда 0 = x 0. Слично, 0 = 0 x. 2. Из 0 = x 0 = x ( y +y) = x ( y)+x y следи 0 = x ( y)+x y, отуда 0+( x y) = (x ( y) + x y) + ( x y) = x ( y) + (x y + ( x y)), а отуда x y = x ( y). Слично, x y = ( x) y. Из претходних jеднакости следи ( x) ( y) = ( x) y = ( x y) = x y. 3. (x y) z = (x + ( y)) z = x z + ( y) z = x z + ( y z) = x z y z. 4. Индукциjом, користећи дистрибутивност. 5. Следи из 4. Примери комутативних прстенова са jединицом су скупови целих Z, рационалних Q, реалних R, или комплексних броjева C са уобичаjеним операциjама сабирања и множења. Дефинициjа Векторски простор над телом Φ jе комутативна група (X, +) у коjоj jе дефинисано множење с елементима из Φ такво да ( λ Φ)( x X) λx X. При томе за све x, y X и α, β Φ важе jеднакости: 1. α(x + y) = αx + αy, 2. (α + β)x = αx + βy, 3. α(βx) = (αβ)x, 4. 1 x = x. Елементе скупа X називамо векторима, елементе скупа Φ називамо скаларима. Векторе сабирамо а скаларе са векторима множимо. 3 Arthur Cayley ( ), британски математичар. Растко Вуковић 177

178 Примери векторских простора су скуп R реалних броjева над реалним броjевима, са уобичаjеним операциjама сабирања и множења. Скуп C комплексних броjева над телом комплексних броjева, са уобичаjеним сабирањем и множењем. Ориjентисане дужи над реалним (комплексним) броjевима, такође чине векторски простор. Теорема У векторском простору важе следеће релациjе: 1. x + y = y + z y = z; 2. x = y x y = 0, где x y значи x + ( y); 3. 0x = 0; 4. λ0 = 0; 5. ( 1)x = x; 6. λx = 0 λ 0 x = 0; 7. λx = λy λ 0 x = y; 8. λx = 0 x 0 λ = 0; 9. λx = µx x 0 λ = µ. Доказ. 1. На основу особина тела (комутативности, асоциjативности и егзистенциjе нуле), из x + y = x + z следи: y + x = z + x, (y + x) + ( x) = (z + x) + ( x), y + [x + ( x)] = z + [x + ( x)], y + 0 = z + 0, y = z. 2. На основу егзистенциjе инверза тела, из x = y следи x + ( y) = y + ( y) = Из егзистенциjе нуле и 2. особине вектора следи λx + 0 = λx = (λ + 0)x = λx + 0x, а затим користимо 1. тврђење овде. 4. Из егзистенциjе нуле и 1. особине вектора следи λx + 0 = λx = λ(x + 0) = λx + λ0, а затим користимо 1. тврђење. 5. Из егзистенциjе нуле, jединице и 2. особине вектора jе x + ( 1)x = [1 + ( 1)]x = 0x = 0, па jе ( 1)x jе инверз вектора x. 6. Из егзистенциjе jединице и 3. особине вектора x = 1x = 1 λ (λx) = 1 λ 0 = 0, а користимо и 4. овде. 7. На основу 2. и 6 овде и особине 1. вектора, из λx = λy следи λx λy = 0, па λ(x y) = 0, затим x y = 0, и користимо 2. овде. 8. Ако jе λ 0, тада из λx = 0 због 6. овде, следи x = 0, супротно претпоставци x 0. Значи λ = На основу 1. овде, 2. вектора и 7. овде, имамо λx = µx, затим λx µx = 0, па (λ µ)x = 0, а отуда λ µ = 0. Алгебра векторских простора овако постављена важи за све своjе репрезентациjе без изузетка, па и за оне коjе користи актуелна квантна механика. Та њена универзалност потврђуjе нашу претпоставку да време, простор и материjа настаjу негде из истих извора, из неизвесности коjа се реализуjе у различитим облицима. У самоj суштини случаjности jе могућост различитих реализациjа. Са друге стране, екстремна тачност алгебарских ставова и слично понашање њених репрезентациjа сведоче о неодвоjивости материjалног физичког од апстрактног математичког 4. 4 Критикуjем филозофска учења у коjима jе бит физичког негде изван логичког. Растко Вуковић 178

179 Трећа примедба била би да jе алгебра без своjих репрезентациjа jеднако jеднострана као физика без логике. Држећи се само ставова попут претходних били бисмо као путник у брзом возу коjи посматра пеjзаже коjи пролазе али не види ништа од мноштва, скоро бескраjне различитости и савршенства детаља. Тек када изађе из воза и пажљиво посматра мраве, траву, сићушне делове тла, таj путник може бити биолог, хемичар, геолог. Следећи ову филозофиjу, настављамо са разматрањем поменутих алгебарских структура у правцу квантне физике. Пример векторских простора jе скуп матрица истог типа (типа r k са фиксним броjем r редака и k колона) над телом комплексних броjева, са матричним сабирањем и множењем матрице броjем. Збир две матрице (x ij ) и (y ij ) jе матрица (x ij + y ij ), а производ скалара λ и рецимо матрице (x ij ) jе матрица (λx ij ). Приметимо да матрицу можемо ред по ред нанизати у jедну n-торку (n = rk) комплексних броjева, па jе посматрати и као уређен низ (коначан или бесконачан). Скуп C n уређених n-торки (ζ 1, ζ 2,..., ζ n ) за дато коначно n N, па и у случаjу n, над скупом комплексних броjева jе векторски простор. За x = (ξ 1, ξ 2,..., ξ n ) и y = (η 1, η 2,..., η n ) збир jе x + y = (ξ 1 + η 1, ξ 2 + η 2,..., ξ n + η n ), а производ скалара λ и рецимо x jе λx = (λξ 1, λξ 2,..., λξ n ). Овакав простор се назива Хилбертов. Уређене n-торке броjева могу бити информациjе. Разматраjући (1.1), приметили смо да бацање фер новчића и коцке има по 2 ( писмо и глава ) односно 6 (броjеви 1,2,3,4,5 и 6) могућих исхода, док бацање обоjе има 2 6 = 12 могућности: п1 п2 п3 п4 п5 п6 г1 г2 г3 г4 г5 г6 Могућности се множе а информациjе се сабираjу и зато jе информациjа логаритам броjа (jеднаковероватних) могућности 5. Зато што се информациjе сабираjу оне би могле бити компоненте n-торки скупа C n над скупом комплексних броjева, под условом да их можемо разумети и као логаритме комплексних (имагинарних) броjева. Знамо да нуле полиномске функциjе y = f(x) могу бити и комплексни броjеви, али да тада оне не представљаjу тачке пресека апсцисе и графа функциjе. Упркос такве мањкавости ми нећемо рећи да jедначина f(x) = 0 нема и тих нереалних решења, а онда поготово можемо прихватити и нереалну информациjу. Држећи се тих проверених форми, прошируjемо поjам неизвесности и информациjе на комплексне броjеве. Информациjа коjа jе реалан броj jе реална. Случаjност jе реална ако се реализуjе у реалну информациjу. Што се тиче физикалног, реално jе оно што jе у комуникациjи са реалним. Према томе, информациjа и неизвесност могу бити тако нереалне да нису контрадикторне, а са друге стране, између нереалног и реалног нема до сада непремостивих граница. Дефинициjа За z C пишемо ln z = ln z + i arg(z). За комплексни броj z = x + iy, где x, y R, на слици комплексне равни 3.1 модул jе дужина z = x 2 + y 2, а аргумент jе угао arg z = arctg y x у радиjанима. Модул z = ρ jе растоjање од исходишта до тачке коjа представља дати комплексни броj, а аргумент arg(z) = α jе угао између апсцисе и радиjус вектора тог броjа. Отуда: 5 в. доказ теореме у књизи [1]. z = ρe iα = ρ(cos α + i sin α). (4.1) Растко Вуковић 179

180 Логаритам комплексног броjа jе 6 периодична функциjа са основним периодом 2π. То jе комплексна информациjа. Збир коњуговано комплексних информациjа jе реалан броj коjи називамо информациjом. Релациjу (4.1) можемо написати и у облику z = e ln z +i arg(z) = e ln z [cos arg(z) + i sin arg(z)], (4.2) где jе ρ = exp(ln z ) и α = arg(z), из чега се види да jе аргумент множен имагинарном jединицом имагинарна информациjа. Комплексан броj од коjег узимамо логаритам jе броj комплексних могућности, случаjних исхода. Комплексне могућности се такође периодично понављаjу, са периодом 2π. Производ коњуговано комплексних могућности jе реалан броj коjи називамо броjем могућности. Када на оваj начин пишемо информациjе коjе генеришу нашу садашњост и време уопште, онда све поjаве коjе доводе до информациjа морамо сматрати периодичним. Тиме само потврђуjемо Луj де Броjеву 7 хипотезу (данас прихваћену тезу) о таласноj природи све материjе, па према томе можемо наставити са овом. Jош увек говоримо само о равноправним могућностима, jер за њих веруjемо да су довољно честа поjава да вреде труда. Броj могућности jе обрнуто пропорционалан вероватноћи. Више кугли у лото бубњу смањуjе вероватноћу извлачења jедне, тако да jе производ броjа кугли и вероватноће jедне - jедан. Према томе, ако jе L = ln z комплексна информациjа, онда jе комплексан броj могућности z = exp(l), а комплексна вероватноћа ψ = z 1 = exp( L). Информациjа коjа jе реална, рецимо I = L + L, представљаће реалан броj могућности zz = exp(i) односно реалну вероватноћу ψ ψ = exp( I). Ако за реалну информациjу узмемо половину коњуговано комплексних (аритметичку средину), или неки трећи збир, свеjедно ће реална вероватноћа бити производ (не нпр. корен производа) коњуговано комплексних вероватноћа. То jе у складу са Борновом 8 правилом вероватноће. Примери скупа C n уређених n-торки над скупом комплексних броjева су низови комплексних информациjа (L 1, L 2,..., L N ), али и низови вероватноћа (ψ 1, ψ 2,..., ψ n ). То показуjе универзалност алгебре коjа, чини се, обезвређуjе снагу њене примене у конкретноj физици. Да смо рецимо открили ове репрезентациjе, а да не познаjемо данашњу физику микро-света, ми се не бисмо могли убедити да оне говоре о некоj физичкоj реалности. Са друге стране, ако успоставимо jаче везе између реалних физичких поjава и ових репрезентациjа, онда jе рушење физичке теориjе утолико више рушење саме алгебре. То jе она веза између математике и науке због коjе кажемо: наука jе тачно онолико тачна колико користи математику. При томе се претпоставља да су математичке истине неспорне, апсолутно тачне. Наиме, доказ Талесове теореме (7. век п.н.е.) или Питагорине теореме (6-5. век п.н.е.), jеднако jе тачан данас као и онда. Математички докази због своjе многовековне старости не губе на своjоj убедљивости, они нас развоjем математике само убеђуjу их jе немогуће оспоравати. Насупрот све шароликости и слоjевитости истина коjима смо окружени у политици, праву, наукама, нико никада ниjе успео да неку математичку истину доведе у контрадикциjу са неком другом математичком истином. У том смислу треба разумети изjаву: Ако се физика не слаже са овом репрезентациjом алгебре, утолико горе за физику. 6 сводећи угао α α + 2kπ на основни интервал 7 Louis de Broglie ( ), француски физичар. 8 Max Born ( ), немачки физичар и математичар. Растко Вуковић 180

181 4.2 Норма вектора Различити су начини да се произвољан дати векторски простор нормира и да му се уведе метрика. Ипак, сви ти начини имаjу неколико заjедничких особина. Дефинициjа Векторски простор комутативне групе (X, +) над телом Φ jе нормиран ако постоjи ненегативна функциjа дефинисана за свако x X коjу називамо норма од x и означавамо са x, таква да jе: 1. 0 = 0 и x > 0 за x 0; 2. λx = λ x за свако λ Φ; 3. x + y x + y. У нормиран простор метрика се уводи са d(x, y) = x y. Комплетан нормиран векторски простор назива се Банахов 9. То jе простор са метриком коjом се може израчунати дужина (сваког) вектора као и удаљеност између вектора, а комплетан jе у смислу да (сваки) Кошиjев низ вектора има граничну вредност. Кошиjев jе низ чиjи су узастопни елементи произвољно близу за довољно велике индексе елемената. На пример, векторски простор C n чиjи вектори су уређене n-торке комплексних броjева z = (ζ 1, ζ 2,..., ζ n ), може се нормирати са z p = ( ζ 1 p + ζ 2 p + + ζ n p ) 1/p, (4.3) где jе p 1 произвољан реалан броj. Особине норме 1. и 2. тривиjално важе, а 3. следи из Минковскиjеве неjедначине. За p = 2 добиjамо уобичаjену дужину вектора у Еуклидском простору. Oва норма прелази у kада p. Пример Доказати Кошиjеву неjеднакост z = max 1 k n ζ k (4.4) за произвољне a k, b k R. n ( k=1 2 a k b k ) n ( k=1 a 2 n k ) ( b 2 k ), (4.5) k=1 Доказ. За произвољно λ R дефинишемо функциjу f R R са f(λ) = n k=1 (a k + λb k ) 2. Биће увек f(λ) 0, jер су квадрати реалних броjева ненегативни. Отуда: f(λ) = f(λ) = n k=1 n k=1 (a 2 k + 2λa kb k + λ 2 b 2 k ) 0, a 2 k + 2λ n k=1 9 Stefan Banach ( ), пољски математичар. a k b k + λ 2 n k=1 b 2 k 0, Растко Вуковић 181

182 а то jе квадратна неjедначина по λ чиjа дискриминанта ниjе већа од нуле. Зато: n 4 ( а отуда тражена неjеднакост. k=1 2 a k b k ) 4 ( k=1 a 2 n k ) ( b 2 k ) 0, k=1 Ово jе доказ оног што знамо из скаларног производа вектора x = (x 1, x 2,..., x n ) и y = (y 1, y 2,..., y n ) у Декартовим правоуглим системима са n N димензиjа: x y = x 1 y 1 + x 2 y x n y n, x y = x y cos ϕ, x = x x x2 n, (4.6) где jе ϕ = (x, y) угао између датих вектора. Из cos ϕ 1 следи (4.5). Са друге стране, тачке x, y и исходиште координатног система O су темена троугла за коjи из геометриjе знамо да важи неjеднакост троугла. Ту неjеднакост алгебарски доказуjемо у следећем примеру. Пример Доказати неjеднакост Минковског за p = 2 n k=1 (a k + b k ) 2 n a 2 n k + b 2 k, (4.7) k=1 k=1 за произвољне a k, b k R, користећи Кошиjеву неjеднакост (4.5). Доказ. Квадрирамо биноме и преуређуjемо: n k=1 (a k + b k ) 2 = n k=1 користимо Кошиjеву неjеднакост: n k=1 a 2 k + 2 n k=1 (a 2 k + 2a kb k + b 2 n k ) = a 2 k n b 2 n k + k=1 па коренуjемо (почетни и краjњи израз). k=1 a 2 k + 2 n k=1 b 2 k = n k=1 k=1 a k b k + a 2 k + n k=1 Да кореновање и квадрирање позитивних броjева чува неjеднакост, такође се може доказати алгебарски. Погледаjмо то у следећем примеру. Пример Доказати да важи еквиваленциjа ако jе a, b R, a > 0, b > 0. Доказ. Потребан услов. Из a < b множећи са a и b добиjамо: због транзитивности релациjе поретка. n k=1 b 2 k b 2 k = a < b a 2 < b 2 (4.8) a 2 < ab ab < b 2 a 2 < b 2, Растко Вуковић 182 2,

183 Довољан услов. Из a 2 < b 2 следи b 2 a 2 > 0, па: (b a)(b + a) > 0, а отуда a < b. (b a)(b + a)(b + a) 1 > 0 (b + a) 1, (b + a > 0) b a > 0, Квантна физика данас користи норму вектора (4.3) само за p = 2, али ћемо због потпуности доказати и коректност те норме за општи случаj p 1. Прва теорема jе Jангова 10 неjеднакост, друга jе Холдерова 11, а трећа Минковског 12. Slika 4.1: Конвексна функциjа. Потсетимо се да су логаритамска и експоненциjална функциjа инверзне, прва jе конкавна а друга конвексна. Затим приметимо да за конвексне функциjе y = f(x) на интервалу [a, b] важи неjеднакост ( x 1, x 2 [a, b])( t [0, 1]) f[tx 1 + (1 t)x 2 ] tf(x 1 ) + (1 t)f(x 2 ), (4.9) при чему за стриктно конвексне функциjе важи строга неjеднакост. Наиме, координате тачака на слици 4.1 су A(x 1, f(x 1 )), B(x 2, f(x 2 )), C(tx 1 + (1 t)x 2, tf(x 1 ) + (1 t)f(x 2 )) и D(x, f(x), али jе ордината тачке D мања од C. Теорема (Jангова неjеднакост). За позитивне реалне броjеве a, b, p, q важи при чему важи jеднакост акко b = a p 1. 1 p + 1 ap = 1 ab q p + bq q, (4.10) 10 William Henry Young ( ), енглески математичар. 11 Otto Ludwig Hölder ( ), немачки математичар. 12 Hermann Minkowski ( ), немачко-пољско-jевреjски математичар. Растко Вуковић 183

184 Доказ. Користимо особине природног логаритма: ab = exp[ln(ab)] = exp(ln a + ln b) = exp ( 1 p p ln a + 1 q ln b) = q = exp [ 1 p ln(ap ) + 1 q ln(bq )] 1 p exp[ln(ap )] + 1 q exp[ln(bq )] = ap q + bq q. Експоненциjална функциjа y = exp(x) jе строго конвексна. Теорема (Холдерова неjеднакост). Ако су x k, y k коначни или бесконачни али конвергентни низови реалних броjева, за дато p > 1 и q R такво да jе 1/p + 1/q = 1 и важи неjеднакост где се сабира по (свим) индексима k. x k p <, y k q <, x k y k ( x k p ) 1/p ( y k q ) 1/q, (4.11) Доказ. Прво претпоставимо да jе x k p = y k q = 1 и применимо Jангову неjеднакост: x k y k 1 p x k p + 1 q y k q, x k y k 1 p x k p + 1 q y k q = 1 p + 1 q = 1. Затим, претпоставимо да дати редови конвергираjу али не jединици, па формираjмо нове низове: a k = x k ( x k p ) 1/p, b k = y k ( y k q ) 1/q, чиjи одговараjући збирови jесу jединице. Из претходне неjеднакости добиjамо: a k b k = а затим тражену Холдерову (4.11). x k y k ( x k p ) 1/p ( y k q 1, ) 1/q Занимљиво поопштење Холдерове неjеднакости може се видети на саjту Van Khea 13. Друга поопштења иду у правцу Лебегових интеграла, из коjих следи одговараjућа (4.3) норма вектора у облику интеграла. Теорема (Неjеднакост Минковског). Ако су x k, y k коначни или бесконачни али конвергентни низови реалних броjева и за дато p > 1 jе тада важи неjеднакост где се сабира по индексима k. x k p <, y k p <, ( x k + y k p ) 1/p ( x n p ) 1/p + ( y k p ) 1/p, (4.12) 13 Растко Вуковић 184

185 Доказ. Нека jе z k = x k + y k, имамо: z k p = x k + y k p = x k + y k z k p 1 x k z k p 1 + y k z k p 1, z k p x k z k p 1 + y k z k p 1, z k p ( z k qp q ) 1/q [( x k p ) 1/p + ( y k p ) 1/p ], 1/p + 1/q = 1. Примењена jе Холдерова неjеднакост, а приметимо да jе qp q = p и. Oтуда тражена неjеднакост Минковског (4.12). Обе неjеднакости, Холдерова и Минковског, имаjу своjе интегралне облике коjима се може потврдити исправност дефинициjа норме ˆ x = ( x(t) p 1/p dt) D (4.13) диференциjабилних и интеграбилних функциjа дате вариjабле t на датом домену D. Оваj континуални, као и дискретни случаj норме (4.3), за квантну механику су интересантни само са параметром p = 2. Када векторски простор над скупом комплексних броjева чине вектори x над скупом комплексних броjева, сваку од норми (4.3) и (4.13) пишемо кратко x 2 = x x, у првом случаjу подразумеваjући сабирање одговараjућих компоненти по датом правилу, у другом интегралење на одговараjућем домену: ˆ x 2 = x k x k, x 2 = x (t)x(t) dt. (4.14) Када радимо са векторским простором чиjи логаритми су комплексне информациjе, због (4.1), ове норме представљаjу вероватноће. Вектори су периодичне функциjе, а оно што они представљаjу су случаjне таласне поjаве коjе се подвргаваjу законима вероватноће. Квантна физика ради само са таквим просторима. Отуда свака од норми (4.14) у квантноj механици, када описуjе извесну (сигурну) поjаву, има вредност jедан. Посебно, стационарна честица представљена са (1.54) не мора бити схваћена као решење неке jедначине (Шредингерове), већ jе довољно рећи да jе то функциjа ψ(x) = A exp(ikx) коjа представља комплексну вероватноћу догађаjа чиjу комплексну информациjу ikx имамо на месту x. Све док поjедини вектори представљаjу вероватноће независних (дисjунктних) случаjних догађаjа, дотле важе правила из дефинициjе То су правила за сабирање комплексних вероватноћа. Другим речима, квантна механика репрезентуjе векторски простор вероватноћа независних случаjних догађаjа. Честице, групе честица и уопште независни случаjни догађаjи, у смислу независности у оквиру теориjе вероватноће, су квантна стања коjе представљаjу ти вектори квантне физике коjе уобичаjено називамо таласним функциjама. Због принципа вероватноће (наjвероватниjе се догађа наjчешће) и зато што jе информациjа (негативан логаритам вероватноће) већег броjа мања, они догађаjи коjи носе више информациjе - ређе се догађаjу. Зато што jе природа шкрта са давањем информациjа, квантно стање чува информациjу, све док на њега не делуjе неко друго стање или сила и не изнуди му одавање те информациjе. Не комуницира све са свачим, али и у евентуалноj размени информациjа, квантно стање настоjи очувати своjе претходне количине. D Растко Вуковић 185

186 4.3 Линеарне операциjе Линеарни споj или линеарна комбинациjа вектора x 1, x 2,..., x n X jе x = λ 1 x 1 + λ 2 x λ n x n = n λ k x k X, (4.15) k=1 где су λ 1, λ 2,..., λ n Φ скалари. Кажемо да су вектори (x k ) линеарно независни или кратко независни, ако важи релациjа (x = 0) ( k) λ k = 0, (4.16) иначе су линеарно зависни. Када су вектори линеарно зависни, тада jе бар jедан скалар (λ k ) различит од нуле, рецимо λ 1. Делењем (4.16) са λ 1 0 добиjамо x 1 = ( λ 2 λ 1 ) x ( λ n λ 1 ) x n, (4.17) што значи да jе x 1 линеарни споj вектора x 2,..., x n. Отуда следећа дефинициjа. Дефинициjа Ако jе S скуп вектора чиjа линеарна комбинациjа, вектора било коjег његовог подскупа са било коjим одговараjућим низом скалара, може бити jеднака нули само ако су сви ти скалари нуле, онда кажемо да jе S линеарно независан скуп вектора. На пример, ако су a 1 < a 2 < < a n реални броjеви, тада су у простору реалних непрекидних функциjа над комплексним броjевима вектори x k = exp(a k t) линеарно независни. Наиме, из n k=1 λ kx k = 0 следи n k=1 λ k exp(a k t) = 0, а након делења са exp(a n t) и када t добиjамо λ n = 0. Затим слично добиjамо λ n 1 = 0, затим λ n 2 = 0 и даље редом све до λ 1 = 0. Други пример линеарно независних вектора су функциjе z k = x k exp(ib k t), где су x k вектори из претходног примера, сви b k су реални броjеви, а i = 1 имагинарна jединица. Слично претходном, опет из λ k z k = 0 следи λ k = 0 за свако k. Такође, вектори z k = exp(c k t) где су c k = a k + ib k комплексни броjеви да c 1 < c 2 < < c n, чине линеарно независан скуп ако реални параметар t може узимати неограничене вредности. Отуда су независни и вектори квантних стања 14 ψ k (x) = A k e ikx. Дакле, квантна стања чине независни вектори простора квантне механике, са друге стране то су честицеталаси, групе таквих честица или њихове особине, а онда то су и комплексне вероватноће независних случаjних догађаjа. Дефинициjа Непразан скуп X 0 X jе потпростор векторског простора X, ако jе X 0 векторски простор с обзиром на операциjе коjе су дефинисане у X. Нул-вектор и цели простор X тривиjални су примери потпростора. Нетривиjални потпростори су правац или равнина коjи садрже исходиште 3-дим простора. Скуп свих полинома степена не већег од n N jе нетривиjални потпростор скупа свих полинома. Скуп свих полинома jе потпростор скупа свих функциjа. 14 Литература физике ретко тумачи квантно стање. Растко Вуковић 186

187 Пресек X 0 = X 1 X 2 два потпростора X 1, X 2 X такође jе потпростор. Наиме, из x 1, x 2 X 0 за све λ 1, λ 2 Φ и x 0 = λ 1 x 1 + λ 2 x 2 следи x 0 X 1 и x 0 X 2, затим x 0 X 0. Отуда, сваком непразном скупу S X придружен jе jединствен потпростор L(S) коjи има jедно од следеће две особине: 1. L(S) jе пресек свих потпростора коjи садрже скуп S; 2. L(S) садржи све линеарне комбинациjе елемената скупа S и само њих. За потпростор L(S) X кажемо да jе разапетог скупом вектора S X. Дефинициjа Скуп коjи се састоjи од линеарно независних елемената простора X и коjи разапиње простор X назива се алгебарска или Хамелова база простора X. Броj елемената базе простора назива се димензиjа простора X и означава dim(x). Према броjу димензиjа, ове апстрактне просторе делимо на коначно и бесконачно димензионалне. Коначно димензионални простори се могу проучавати без било каквих даљих ограничења и они су предмет алгебре. Математичка дисциплина коjа се бави бесконачно димензионалним просторима, са додатним претпоставкама о простору X, назива се функционална анализа. Теорема У коначно димензионалном простору X постоjи база. Било коjе две базе простора X имаjу jеднак броj елемената. Доказ. Како jе X коначно димензионалан, то постоjи бар jедан коначан скуп S коjи разапиње X. То jе скуп од коначно од нуле различитих линеарно независних елемената, рецимо e 1, e 2,..., e n. Вектори e k образуjу базу, па X има бар jедну коначну базу. Нека jе S = {e } произвољна база у X. Ако jе e 1 S онда су вектори e 1, e 1, e 2,..., e n линеарно зависни и разапињу X. Идући слева удесно избацимо први вектор тог низа коjи jе зависан од претходних. Добиjамо нови низ e 1, e k 1,..., e kn 1 са n елемената коjи разапиње X. Ако jе e 2 S /{e 1 } тада низ e 2, e 1, e k 1, e k2,..., e kn 1 разапиње X и вектори тога низа су линеарно зависни. Поново избацимо први слева вектор зависан од претходних и добиjамо низ са два примована вектора и n 2 непримована, коjи разапиње X. Поновимо таj поступак све док се може. Ако S има више од n елемената, онда након m n корака добиjамо низ e m, e m 1,..., e 2, e 1 коjи разапиње X. Али тада постоjи e S коjи jе линеаран споj вектора e 1, e 2,..., e m, а то jе супротно претпоставци да jе S база. Према томе, S не може имати више од n вектора, тj. свака база у X има коначно много елемената. Ако jе пак n броj елемената у скупу S онда jе n n, па ће из истих разлога (тада jе n коначно) бити n n. Дакле, n = n = dim(x). Нека су X 1, X 2 X два потпростора и нека jе S = X 1 X 2. Размотримо потпростор L(X 1, X 2 ) = L(S) одређен скупом S. Сваки елеменат x L(X 1, X 2 ) има облик x = x 1 +x 2 где x 1 X 1 и x 2 X 2, али и обрнуто, сваки елеменат тог облика jе у потпростору коjег разапиње S. Потпростор L(X 1, X 2 ) = {x 1 + x 2 x 1 X 1, x 2 X 2 } (4.18) називамо збиром потпростора X 1 и X 2, и означавамо X 1 + X 2. Уопште, ако jе X 1, X 2,..., X n,... коначан, преброjив или непреброjив низ потпростора X, онда k X k означава простор разапет скупом S = k X k. Тада jе x k X k акко постоjи коначан скуп од нуле различитих вектора x k X k, таквих да jе x = k x k. Обрнуто, ако су X 1 и X 2 потпростори и Y = X 1 +X 2 онда кажемо да jе Y растављен на збир два потпростора X 1 и X 2. Ако jе приказ произвољног елемента y = x 1 + y 2 Y Растко Вуковић 187

188 jеднозначан, тако да су x 1 X 1 и x 2 X 2 jеднозначно одређени вектором y, онда се збир назива директан збир и означава са X 1 X 2. Простор базе са n N елемената означавамо X n чиме се наглашава његова димензиjа. За простор коjи се састоjи само од нула-вектора кажемо да jе димензиjе нула. Може се доказати да из X n = X p X q следи n = p + q и обрнуто. Такође, ако су (e 1,..., e p ) и (e 1,..., e q) базе редом у X p и X q, тада jе (e 1,..., e p, e 1,..., e q) база у X n. Простор X q назива се директни комплемент простора X p у односу на X n. Директни комплемент X n p ниjе jеднозначно одређен потпростором X p. На пример, у еуклидском 3-дим простору E 3 потпростор E 2 jе равнина коjу разапињу неки вектори e 1 и e 2. Било коjи вектор e 3 коjи не лежи у тоj равнини jе комплемент E 2. Уопште, сваки систем линеарно независних вектора коначно димензионалног простора може се допунити до базе тог простора. Сваки потпростор коначно димензионалног простора има бар jедан директан комплемент. Ови закључци се лако преносе на бесконачно димензионалне просторе функционалне анализе. Slika 4.2: Експеримент са два отвора. Размотримо ово на познатом експерименту са два мала отвора приказаном на слици 4.2. Фотони, електрони или неке треће честице-таласи полазе од извора кроз jедан отвор коjи их усмерава ка препреци два отвора иза коjе стоjи екран на коjем се мери фреквенциjа (укупна енергиjа) пристиглих честица. На повшини тог приjемника изглед екрана поjавиће се пруге са различитим измереним количинама честица, што jе последица интерференциjе након проласка честица кроз оба отвора. Када jе jедан од два отвора затворен и честице пролазе само кроз онаj други, тада нема интерференциjе и нема пруга различитих интензитета на екрану. Такође, сваки успешан покушаj мерења кроз коjи од отвора jе честица прошла завршава губитком интерференциjе и пруга на екрану. Међутим, интерференциjа се jавља и када кроз два отвора пролази jедна по jедна честица-талас пуштана са задршком. Растко Вуковић 188

189 Сада оваj експеримент посматраjмо као репрезентациjу векторског простора. Могли бисмо за модел такве репрезентациjа посматрати векторе неизвесност-информациjа посебно првог и другог отвора на застору, редом L 1 и L 2, али нећемо 15. Користити ћемо експоненциjалне вредности тих вектора, ψ 1 = exp(l 1 ) и ψ 2 = exp(l 2 ), са коjима ради данашња физика. Такве векторе овде називамо комплексним вероватноћама 16, а они су заправо типични у савременоj квантноj механици, коjу бисмо комотно могли називати Борнова репрезентациjа алудираjући на векторе вероватноћа. Slika 4.3: Интерференциjа кроз два отвора. Већ смо видели да вектори квантних стања представљаjу независне векторе општег, апстрактног векторског простора. Ови ψ 1 и ψ 2 разапињу различите 1-дим векторске просторе, са збирним вектором ψ = ψ 1 + ψ 2 коjи припада 2-дим простору, директном збиру тих потпростора. Вектори су комплексне функциjе аргумената коjе углавном можемо бирати произвољно, али се у овом случаjу обично узима x - удаљеност тачке од средишта екрана. Комплексна функциjа ψ тада мери комплексну вероватноћу поjаве честице на удаљености x од центра екрана, а она одговара збирном интензитету енергиjа на датим позициjама, као на слици 4.3. Производ коњуговано комплексних функциjа ψ = ψ(x) jе реална вероватноћа: Pr(x) = ψ (x)ψ(x) = [ψ 1 (x) + ψ 2 (x)] [ψ 1 (x) + ψ 2 (x)], Pr(x) = ψ 1ψ 1 + ψ 1ψ 2 + ψ 2ψ 1 + ψ 2ψ 2. (4.19) Када jе jедан од отвора затворен, тада нема неизвесности око проласка кроз отворе, па из претходног, редом за ψ 1 = 0 и ψ 2 = 0, добиjамо: Pr 1 (x) = ψ 2ψ 2, Pr 2 (x) = ψ 1ψ 1, (4.20) где смо узели да jе први односно други отвор затворен. Вероватноће за оба отвора и за само jедан од њих отворен су различите функциjе, па и њихове реализациjе временом постаjу видљиво различите, а отуда разлике на екранима. Када би само први отвор био затворен, а затим само други, укупна реална вероватноћа била би 15 Мислим да данашња физика jош ниjе открила ту могућност. 16 Израз комплексна вероватноћа jе измишљен у овоj књизи. Pr 3 (x) = ψ 1ψ 1 + ψ 2ψ 2, (4.21) Растко Вуковић 189

190 збир вероватноћа независних случаjних догађаjа, а то опет ниjе Pr(x) из (4.19). У описаноj репрезентациjи векторских простора радимо са стационарним, ванвременским стањима, па за резултат (4.19) уопште ниjе битно када честице крећу од извора ка екрану. То jе оно што нас данас збуњуjе у квантноj механици. Пуштаjући jедну по jедну честицу, сваку следећу након извесног интервала времена, оне пролазе кроз два отвора коначно правећи увек исту шару на екрану у складу са формулом (4.19). Свака од честица интерферира са осталима буквално не марећи за наше схватање поретка прошлост-садашњост-будућност. Друго што нас данас збуњуjе настаjе из чињенице да jе ψ функциjа вероватноће дефинисана неизвесношћу-информациjом L. Борнова вероватноћа Pr = ψ ψ = ψ 2 ниjе нешто што се може посматрати одвоjено од L, па да рецимо триком извучемо информациjу а при томе не изазовемо промене на вероватноћи. За ову интерпретациjу и према томе за наведене резултате, свако добиjање информациjе о проласку честице кроз поjедини од отвора еквивалентан jе. Свеjедно jе да ли ћемо просто затворити jедан од отвора, или ћемо ту иформациjу добити лукавиjе. Слични збуњуjући феномени догађаjу се са сваком честицом стално око нас, само што ми то нисмо могли или нисмо хтели да приметимо. На пример, размотримо фотон коjи jе напустио електрон (догађаj A), а коjи због тога може сићи са више на нижу љуску атома (догађаj B). Ако таj фотон никада не доспе до друге честице да са њом размени информациjу (кажемо ступи у интеракциjу), онда електрон никада неће сићи на нижу љуску. Тада нидге у прошлости датог фотона нема догађаjа A нити jе он узрок догађаjа B. Сви закони одржања су очувани и нигде ниjе нарушен било коjи закон физике. Фотон остаjе виртуелан. Међутим, ако фотон након напуштања електрона размени информациjу са неком другом честицом (догађаj C), већ самим чином размене (комуникациjе) он се идентификовао, после чега више нема повратка на његово претходно стање потпуне неизвесности (анонимности), због чега се он разоткрива на начин да се у његовоj прошлости поjављуjу догађаjи A и B. За електрон и поменуту честицу, као и за све остале честице за коjе су те две реалне, фотон постаjе реалан. Рећи ћемо да jе виртуелна она честица коjа би могла имати али нема довољно интеракциjа да би постала реална 17. То jе већ помињано у секциjи (1.9). Овде нагласимо да важи и обрнуто, свака реална честица би могла бити виртуелна када би имала мањак интеракциjа. Интеракциjа честицу разоткрива у односу на њену околину, уопште на прошлост, садашњост и будућност те околине чинећи честицу реалном. То jе чин размене информациjа, коjи jе сам по себи информациjа. Како за информациjу (неизвесност плус информациjу) важи закон одржања, она обjављена остаjе. Међутим, да би информациjа била обjављена мора бити потврђена и на извору и на приjемнику. Док год има само jедну од ове две потврде, честица jе виртуелна, да би тек са обе постала реална. Фантастична ствар ове васионе хаоса jе управо у томе што материjа има три врсте облика: непостоjећи, виртуелан и реалан. Ти облици прелазе jедан у други држећи се закона одржања, осталих закона физике, закона теориjе вероватноће и осталих закона математике. Зато jе тежак проблем да се овакво гледање на виртуелне честице оспори. Ово обjашњење изгледа скоро као званично, али оно то ниjе. Мале разлике у делу две теориjе нису гаранциjа њиховог већег неслагања, нити неконтрадикторности неке од њих. Међутим, за разлику од интерпретациjа, не постоjе градациjе тачног То ниjе савремена дефинициjа виртуелне честице. 18 Свака поливалентна логика се може свести на бинарну. Растко Вуковић 190

191 4.4 Линеарни оператори За неки оператор Ã кажемо да jе линеаран ако за сваки пар функциjа f, g и скалар λ важи: Ã(f + g) = Ã(f) + Ã(g), Ã(λf) = λã(f). (4.22) То jе општа дефинициjа коjа важи и у случаjу векторских простора. Дефинициjа Нека су X и Y векторски простори над телом Φ. Оператор Â X Y називамо линеарним оператором ако jе Â дефинисано на X и вреди за све x 1, x 2 X и све α 1, α 2 Φ. Â(α 1 x 1 + α 2 x 2 ) = α 1 Â(x 1 ) + α 2 Â(x 2 ), (4.23) За операторе у наставку текста подразумеваћемо да су линеарни (нагласићемо другачиjе) и ради jедноставности уместо Ã(x) писаћемо Ãx па и Ax, осим када би то довело до забуне. То поготово jер jе на пример броj (рецимо 5) линеарни оператор, што следи из 5(α 1 x 1 + α 2 x 2 ) = α 1 5x 1 + α 2 5x 2. Линеарни оператор jе и диференцирање (по t), jер jе t (αx + βy) = α t x + β t y за свако x, y X и свако α, β Φ. Пример Показати да jе оператор ˆR ϕ ротациjе система (2.45) линеаран. Решење. Полазећи од (2.45) израчунавамо редом: ˆR ϕ (au + bv) = ( cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ ) [a (u x ) + b ( v x )] = u y v y cos ϕ sin ϕ = ( sin ϕ cos ϕ ) (au x + bv x ) au y + bv y = ( (au x + bv x ) cos ϕ (au y + bv y ) sin ϕ (au x + bv x ) sin ϕ + (au y + bv y ) cos ϕ ) = ( au x cos ϕ au x sin ϕ au y sin ϕ + au y cos ϕ ) + (av x cos ϕ av x sin ϕ av y sin ϕ + av y cos ϕ ) cos ϕ sin ϕ = a ( sin ϕ cos ϕ ) (u x ) + a ( cos ϕ u y sin ϕ sin ϕ cos ϕ ) (v x ), v y за све скаларе a, b и све векторе u, v дате равни. ˆR ϕ (au + bv) = a ˆR ϕ u + b ˆR ϕ v, (4.24) Теорема Нека jе e 1,..., e n база у простору X. Ако су Ã и B два линеарна оператора са X на простор Y и Ãe k = Be k за све k = 1,..., n, онда jе Ã = B. За произвољне векторе v 1,..., v n из Y постоjи jедан и само jедан линеарни оператор Ã са X у Y такав да jе v k = Ãe k за све k = 1,..., n. Доказ. Први део теореме jе очигледан, jер jе: Ãx = Ã n k=1 λ k e k = n λ k Ãe k = k=1 n k=1 λ k Bek = B n k=1 λ k e k = Bx. Растко Вуковић 191

192 За доказ другог дела, нека jе Ã оператор коjи вектор x = n k=1 λ ke k пресликава у вектор Ãx = n k=1 λ kv k. Тада он вектор пресликава у вектор Ã(αx + βy) = αx + βy = α n k=1 n k=1 λ k e k + β k=1 (αλ k + βµ k )v k = α µ k e k = (αλ k + βµ k )e k k=1 n k=1 λ k v k + β n k=1 µ k v k = αãx + βãy. Овако дефинисан оператор jе линеаран и Ãe k = v k, па jе егзистенциjа тог оператора доказана, а jеднозначност следи из првог дела теореме. Тиме jе доказана и егзистенциjа линеарних оператора са X на Y. Линеарне комбинациjе базних векториа e 1,..., e n простора X дефинишу све остале векторе тог простора, укључуjући и сваку другу базу тог простора. Нека су вектори e k дефинисани системом линарних jедначина: e 1 = a 11e 1 + a 12 e a 1n e n, e 2 = a 21e 1 + a 22 e a 2n e n, (4.25)..., e n = a n1 e 1 + a n2 e a nn e n, где су сви коефициjенти a ij Φ константе. Детерминанта овог система jе броj a 11 a a 1n a D = 21 a a 2n... a n1 a n2... a nn (4.26) коjи дефинише облик решења линеарног система jедначина. Када jе D 0, тада jе дати систем регуларан и има само jедно решење. Низови вектора e k и e k се обострано jеднозначно дефинишу. Они оба представљаjу (различите) базе истог простора X. Можемо рећи да систем jедначина трансформише базу (e k ) у базу (e k ) и то писати матрично: e 1 a 11 a a 1n e 1 e 2 a = 21 a a 2n e 2, (4.27) a n1 a n2... a nn односно кратко e n e n ê = Âê, (4.28) Када даље, базу (e k ) линеарним системом сличним (4.25) трансформишемо у трећу базу (e k ), имаћемо: што можемо писати: e n k = j=1 b kj e j = n j=1 e n k = ki n b kj ( a ji e i ) = b kj a ji e i, i=1 c ki e i, c ki = n j=1 n n j=1 i=1 b kj a ji, (4.29) Растко Вуковић 192

193 односно матрично Ĉ = ˆBÂ, чиме jе дефинисано и матрично множење. На начин као у примеру може се показати да jе множење вектора матрицом линеарни оператор коjи таj вектор трансформише у други. Лако се доказуjе да jе производ матрица (када jе могућ) такође линеарни оператор, коjи се може разумети као композициjа пресликавања. Оригинали и слике су при таквим пресликавањима изоморфне (в. даље). Множење матрица jе асоциjативно али ниjе комутативно. У случаjу да jе детерминанта (4.26) нула, D = 0 а бар jедан од вектора e k ниjе нула, тада из линеарне алгебре знамо да систем (4.25) нема решења, што би овде значило контрадикциjу са претходним теоремама. Нема довољно вектора (e k ) да би се добили вектори (e k ), односно простори коjе разапињу ти вектори нису jеднаке димензиjе. У случаjу да jе наведена детерминанта нула, D = 0 а сви вектори e k су нуле, тада систем (4.25) има тривиjално решење e 1 = = e n = 0. Међутим, тада постоjи и кренел или jезгро 19, коjи се назива и нулти простор оператора Â, дефинисан са ker(â) = {ê ê X, Âê = 0}, (4.30) коjи jе такође линеаран оператор. Са теоремом и оператори квантне механике добиjаjу дубљи смисао. Ако два оператора jеднако дjелуjу они су jеднаки, а са друге стране могуће jе обострано jеднозначно пресликавање са апстрактног на конкретно. Jедноставан пример тога jе оператор положаjа x. Слично важи и за други основни оператор квантне механике, оператор импулса p = i, коjи jе такође jе линеаран. Набла оператор (2.80), односно градиjент (2.213) увек показуjе смер наjвећег пораста функциjе на коjу делуjе, па оператор импулса коjи делуjе на вероватноће показуjе наjвероватниjи смер. Дакле, у правоуглим Декартовим координатама, резултат деловања тог оператора на таласну функциjу ψ = ψ(x, y, z), коjу овде називамо комплексном вероватноћом, jе вектор pψ = i ψ = i ( x + y + z )ψ, (4.31) коjи показуjе правац и смер наjвероватниjег (комплексног, случаjног) квантног стања. Употреба оператора p као физичког импулса у складу jе са: 1. принципом вероватноће и 2. изоморфизмом. 1. Квантни систем (честица) се креће увек ка наjвероватниjем могућем стању. То признаjемо прихватаjући (4.31) за импулс. Тамо где честица не скреће тамо су за њу мање вероватна стања. На путањи честице су за њу максималне ентропиjе, ван тог пута оне су релативно мање. Како у микро тако и у макро-свету. Тело у инерциjалном систему мируjе или се креће jеднолико праволиниjски, jер би свако друго кретање за њега било прелажење у мање вероватно стање. Тело се креће по геодезицима гравитационог поља, jер су за њега то путање наjвероватниjих стања. Као што jе и очекивано, ово jе потврда хипотеза са почетка књиге. 2. Свака (алгебарска) тврдња о простору X приликом изоморфизма прелази у одговараjућу тврдњу о простору Y. Иначе, за два векторска простора X и Y над истим телом Φ кажемо да су изоморфни ако постоjи биjекциjа 20 B X Y, звана изоморфизам, са своjством да jе 19 енг. kernel - jезгро 20 биjекциjа - има инверзну функциjу B(α 1 x 1 + α 2 y) = α 1 B(x 1 ) + α 2 B(x 2 ), (4.32) Растко Вуковић 193

194 за свако x 1, x 2 X и за свако α 1, α 2 Φ. Приметимо да jе изоморфизам линеарно пресликавање, те да набла оператор (4.31) доводи до изоморфизма апстрактног простора комплексних вероватноћа ψ и физичког, материjалног. Тиме правдамо давање физичких своjстава (неизвесности) имагинарним вредностима вероватноће или информациjе. Посебно, узаjамно коњуговани простори вектора ψ и ψ су изоморфни. Потсетимо се jош неколико особина изоморфизама, jер се оне лако преводе на особине линеарних оператора. Из B(0) = B(0 + 0) = B(0) + B(0) следи да B преводи нулу у нулу, а зато што jе биjекциjа из B(x) = 0 следи x = 0. Затим, ако су e 1,..., e n линеарно независни вектори у X онда су B(e 1 ),..., B(e n ) линеарно независни у Y, jер из α k B(e k ) = 0 следи B( α k e k ) = 0, а отуда α k e k = 0, што повлачи α k = 0 за свако k. Дакле, ако jе X коначно димензионалан простор, такав jе и Y, и dim X = dim Y. Изоморфизам jе релациjа еквиваленциjе, jер jе рефлексиван, симетричан и транзитиван, редом: R. X jе изоморфно са X; S. ако jе X изоморфно са Y онда jе и Y изоморфно са X; T. ако jе X изоморфно са Y и Y изоморфно са Z, онда jе X изоморфно са Z. Следе упуте читаоцу, за доказе еквиваленциjе, истим редом. Рефлексивност jе очигледна, jер jе идентитет X X такође изоморфизам. Симетриjа следи из биjекциjе изоморфизма. Транзитивност из композициjе пресликавања: B 1 (B 2 (αx + βy)) = B 1 (αb 2 (x) + βb 2 (y)) = αb 1 (B 2 (x)) + βb 1 (B 2 (y)). (4.33) Отуда следећа теорема. Теорема Свака два n-димензионална простора X n и Y n међусобно су изоморфна. Другим речима, димензиjа n одређуjе (карактерише) векторски простор с тачношћу до изоморфизма. То обjашњава ону чудну сличност материjе, простора и времена. Зато што природа тежи стањима веће слободе (принцип ентропиjе), сведоци смо сталне производње информациjе. Тако настаjе наша садашњост и време. Међутим, заjедно са временом, из момента у моменат настаjу и простор и материjа коjе су чудно стално нове репродукциjе старих правила игре. Та правила игре су закони реалне природе, прошлости и садашњости, коjи су изоморфни оностраним законима jош увек нереализоване неизвесности. Због велике сличности резултата овде нам могу лако промаћи велике разлике у старом и новом тумачењу узрока. Демонстрираћу то на примеру оператора (4.31) и добро познатог Комптоновог 21 ефекта. Сматра се да jе Комптон своjим експериментом године дао наjубедљивиjу потврду честичне природе радиjациjе. Расипаjући X-зраке слободних фотона, он jе открио да су таласне дужине λ расуте радиjациjе веће од таласне дужине λ упадне радиjациjе, приказане на слици 4.4. Научна заjедница jе мишљења да се то може обjаснити само претпоставком да се X-зраке фотона понашаjу као честице. Упадни фотон (γ) долази са леве стране на датоj слици, са енергиjом E γ = hν и импулсом p γ = hν/c. Он се судара са електроном (e ) коjи до тада мируjе (са импулсом p e = 0). Након судара, фотон скреће за угао θ и одлази са импулсом p γ = hν /c, док се електрон одбиjа (у правцу стрелице) са импулсом p e. Из закона одржања енергиjе и импулса следи, редом: E γ + E e = E γ + E e, p γ + p e = p γ + p e, 21 Arthur Compton ( ), амерички физичар. Растко Вуковић 194

195 hc λ + m ec 2 = hc λ + (p ec) 2 + (m e c 2 ) 2, p 2 e = p 2 γ + p 2 γ 2p γ p γ cos θ, { (p ec) 2 = ( hc λ )2 + ( hc λ ) 2 + ( 1 λ 1 λ )2hcm e c 2 2h2 c 2 λλ, (p ec) 2 = ( hc λ )2 + ( hc λ ) 2 2h2 c 2 cos θ λλ. Упоређивањем два добиjена резултата налазимо λ = λ λ = h (1 cos θ), (4.34) m e c а то jе промена таласне дужине расутог фотона у односу на упадну. Она се назива Комптонова промена. Slika 4.4: Комптонов ефекат. Када jе θ = 0, тада jе λ = 0, што значи да нема промене таласне дужине фотона и нема промене енергиjе фотона, па ниjе било судара нити електрона на тоj путањи. Када jе θ = 180, тада се долазећи фотон рефлектуjе назад, промена таласне дужине jе максимална и њоj одговара максимална енергиjа коjу електрон може стећи таквим сударом. Какве везе има описани Комптонов ефекат са принципом вероватноће? Импулс фотона, изоморфан (4.31), иде смером наjвећих вероватноћа. Како jе вероватноћа налажења фотона на датом месту већа када jе његова таласна дужина краћа, то и прелазак на мање вероватна стања фотона прати повећање његове таласне дужине. Та промена на путању (релативно) мање вероватних стања праћена jе сударом или деjством неке силе, jер jе промена хода по путањи наjвећих вероватноћа могућа само на таj не-спонтани начин. Према принципу ентропиjе, фотон и електрон се одбиjаjу jер између њих настаjе простор смањене ентропиjе (4.1). Чињеница да се фотон и електрон судараjу и одбиjаjу значи да они могу комуницирати. Разменом информациjе, простор коjи jе преноси (привремено) губи на неизвесности чиме губи део ентропиjе. Наjповољниjа ентропиjа, логаритам броjа распореда W 0 наjповољниjег распоређивања, на правцу комуникациjе између честица постаjе мања, те обе скрећу ка простору веће ентропиjе. Растко Вуковић 195

196 4.5 Унитарни простори Унитарни простор jе векторски простор X над телом Φ = C са дефинисаним скаларним производом (коjи називамо и унутрашњи производ или тачка производ ) вектора v 1, v 2 X, означен са v 1, v 2 C, са следећим особинама 22 : 1. v 1, v 2 = v 2, v 1 - хермитско коњуговање; 2. v 1, λv 2 = λ v 1, v 2, за све λ C; 3. v, v 1 + v 2 = v, v 1 + v, v 2, за све v X; 4. ако v 0 тада v, v > 0. Унитарни простор не мора бити коначне димензиjе. Аналогно еуклидском, у унитарном простору се може дефинисати ортогоналност v 1 v 2 са v 1, v 2 = 0, а затим се може дефинисати и ортонормиран систем вектора. У коначно димензионалном случаjу увек постоjи ортонормирана база. Унитарни векторски простор се нормира са u = u, u, (4.35) jер функциjа u u, u испуњава све услове дефинициjе У даљем тексту са горњим индексом звездицом означавамо коњуговање, како броjа тако и матрице или оператора. Комплексном броjу z = x + iy са реалним броjевима x и y, коњугован jе z = x iy. Комплексноj матрици Â = (z jk) коњугована jе транспонована са коњугованим коефициjентима Â = (zkj ), дакле као што jе наведено у (3.129). Такво коњуговање матрице се често назива хермитско и означава и са Â. Пример Показати да за скаларни производ вектора из X над C важи: i. λu, v = λ u, v ; ii. u + v, w = u, w + v, w ; iii. u, v 2 u, u v, v ; за све u, v, w X и сваки λ C. Доказ. Тврђења 1. и 2. лако доказуjемо. Тврђење 3. jе Кошиjева неjеднакост (4.5). Када jе Φ = R, тада радимо са реалним векторским простором када коњуговање не мења вредности компоненти вектора. У складу са нашим хипотезама, реални векторски простори имаjу предност у ситуациjама мањег значаjа неизвесности. То jе углавном макро-свет због доминациjе закона великих броjева, али то су и нека апстрахована места случаjних догађаjа. У правоуглом Декартовим систему Oxyz векторе представљамо са ориjентисаним дужима од исходишта до дате тачке, рецимо: a = OA = a x e x + a y e y + a z e z, b = OB = b x e x + b y e y + b z e z, где су e x, e y и e z jединични вектори (ортови) апсцисе, ординате и апликате. Тада: a, b = a b = a x b x + a y b y + a z b z = a b cos ϕ, (4.36) где jе ϕ = (a, b) угао између вектора, а a и b су њихови интензитети. Посебно jе a = a, a = 22 Особине су мало подешене према квантноj механици. a 2 x + a 2 y + a 2 z, (4.37) Растко Вуковић 196

197 интензитет вектора a. За разлику од уобичаjене примене на веома познате ствари, покушаjмо сада овом скаларном производу прићи са jедне необичне стране. То су, наравно, хипотезе у хипотези. У књизи Информациjа перцепциjе, в. [1], ради анализе друштвених система и колониjа живих бића уведена jе формула l = i h. (4.38) Слобода l просечне jединке дате групе jеднака jе скаларном производу вектора i њене интелигенциjе и хиjерархиjе h њеног окружења. Реалан броj l jе количина могућности перцепциjа помоћу чула и других начина опажања jединке, па jе то информациjа коjа поопштава Шенонову 23. Као што знамо, Шенонова информациjа jе средња вредност (математичко очекивање) Хартлиjевих: I = P 1 I 1 + P 2 I P n I n, (4.39) где jе P k расподела вероватноћа (збир свих P k jе jедан), а I k су Хартлиjеве информациjе (1.1) поjединих догађаjа. Погледаjмо сада да (4.38) можемо схватити и као поопштење Лагранжове функциjе деjства L. Вероватноћа P k jе реалан броj од нуле до jединице, придружен k-том случаjном догађаjу. Нули одговара немогућ, jединици сигуран догађаj. Што jе таj броj већи, веће су и шансе да се дати догађаj реализуjе, а то jе суштина принципа вероватноће. Са друге стране, Хартлиjева информациjа, I k = ln P k, jе позитиван реалан броj од нула до бесконачно, коjи jе утолико већи што jе вероватноћа P k мања. Дакле, већоj вероватноћи одговара мања информациjа, као и мање деjство 24. Такође, принципи вероватноће и деjства су jеднако универзални. Вероватноћа, информациjа и деjство се добро прате и у другим примерима. Када jе више случаjних догађаjа, више jе могућности, па jе већа информациjа у одабиру jедне од њих и насупрот томе мања jе вероватноћа. У Шеноновоj формули (4.39) са просечном већом информациjом иду мање поjедине вероватноће и обрнуто. У jош сложениjоj ситуациjи, када користимо формулу (4.38), мање слободна jединка jе она коjа има мање опциjа, чиjе понашање jе предвидљивиjе. Тада такође можемо рећи да у њеном понашању има мање колебања. Из претходног призилази да би принцип наjмањег деjства о коjем сада говоримо могао бити онаj исти Лагранжиjан L коjи jе одавно познат физици и коjи смо овде више пута помињали. Тада би одjедном много тога постало jасниjе. Деjство (2.31) jе Лагранжиjан L = m 0 c 2 1 v 2 /c 2 специjалне теориjе релативности, увек негативан броj, утолико мањи што jе брзина већа, тако да jе у мировању наjмањи. Приметили смо, када jе Лагранжиjан наjмањи, информациjа jе наjмања а вероватноћа наjвећа. Према томе, Лагранжиjан специjалне теориjе релативности jе у складу са принципом вероватноће и посебно са нашом основном претпоставком да тамо где време спориjе пролази има мање информациjе и више вероватноће. Лагранжова функциjа L се дефинише и као разлика кинетичке E k и потенциjалне E p енергиjе датог тела. Опет, тело у мировању у гравитационом пољу има негативан броj L = E k E p, утолико већи што jе гравитациона сила слабиjа, а наjвећи када те силе уопште нема. Тело jе у стању наjмање информациjе а наjвеће вероватноће када 23 Claude Shannon ( ), амерички математичар и електро-инжењер. 24 Зато инсистирам на разликовању ентропиjе од информациjе. Растко Вуковић 197

198 jе у инерциjалном кретању у гравитационом пољу, тj. у слободном паду. Оно не може спонтано да се заустави jер би тада прешло у стање мање вероватноће и стање мање ентропиjе (1.12) и из истог разлога не може да пређе у суседно стање слободног пада (по другоj путањи). Следећа основна и такође добро позната особина деjства, Лагранжове функциjе L, jесте да оно има физичку димензиjу производа импулса и положаjа, односно производа енергиjе и времена. Оно jе скаларни производ 4-вектора импулса и вектора догађаjа у простор-времену Минковског. Зато не изненађуjе да за поопштену информациjу овде узимамо L = ln ψ, (4.40) где jе ψ поопштена (комплексна) вероватноћа, чиjи коњуговано комплексни производи даjу реалну вероватноћу ψ 2 = ψ ψ. Као што видимо, ово jе у складу са квантном механиком, а са друге стране обећава и склад са са формулом (4.38) односно њеним поопштењем и на неживи свет. При томе, Лагранжиjан интерпретирамо као слободу l. Како jе та слобода израз присутних могућности, за очекивати jе да тамо где доминираjу случаjности буде увек l 0, па према томе да оба вектора: 1. интелигенциjе i и 2. хиjерархиjе h, нису нуле. 1. Да интелигенциjа честице (рецимо електрона) ниjе нула jесте чудно, али ниjе неприхватљиво. Наиме, ако веруjемо да су нам све особине коjе имамо дошле из материjе из коjе смо грађени, онда ћемо лако прихватити и да неке наjситниjе честице мораjу имати сваку од тих особина макар у малим порциjама. Штавише, за сваку честицу биће i 0, када под њеном интелигенциjом подразумевамо њену способност бирања, на начин реализациjе случаjности. 2. Према Ремзиjевоj 25 теореми 1930, нулта хиjерархиjа jе немогућа. То jе jедна од последица Дирихлеовог 26 принципа, да у случаjу када пакуjемо више куглица у мање кутиjа бар у некоj од кутиjа мора бити више од jедне куглице. Не доказуjем, само парафразирам. Ма колико се трудили да напишемо књигу бесмислених речи, увек jе могуће дуж неке вертикале или хоризонтале текста пронаћи унапред дати израз, само ако jе књига довољно велика. Ма како се насумично груписали облаци на небу, они ће пре или касниjе формирати неки нама од раниjе познат лик. Отуда h 0. Ако jе Φ = C, тада радимо са комплексним векторским простором када коњуговање мења вредност вектора. Еуклидски простор са комплексним коефициjентима, са произвољним па и бесконачним броjем димензиjа, са структуром коjа дозвољава дефинисање скаларног производа и коjи jе комплетан (постоjе потребне граничне вредности), назива се Хилбертов 27. Хилбертови простори су основа квантне механике. У Хилбертовом простору, Декартов систем Oxyz има комплексне коефициjенте, па ориjентисане дужи a и b уместо (4.36) даjу Према овоj дефинициjи, интензитет вектора jе a, b = a b = a xb x + a yb y + a zb z. (4.41) a = a, a = a xa x + a ya y + a za z, (4.42) односно a 2 = a x 2 + a y 2 + a z 2. Лако jе проверити да овакво множење заиста испуњава услове скаларног производа. Векторе са комплексним коефициjентима разликуjемо од самих комплексних броjева, али има великих сличности. 25 Frank P. Ramsey ( ), британски филозоф, математичар и економист. 26 Peter Gustav Dirichlet ( ), немачки математичар. 27 David Hilbert ( ), немачки математичар. Растко Вуковић 198

199 Према теореми 3.1.4, за комплексне броjеве z 1 = x 1 + iy 1 и z 2 = x 2 + iy 2 скаларни производ z = z 1 z 2 jе сваки од следећих: 1. z = (x 1 x 2 + y 1 y 2 ) + i(x 1 y 2 x 2 y 1 ), 2. z = R(z) + ii(z), 3. z = z 1 z 2 cos β + i z 1 z 2 sin β, 4. z = ρe iβ, (4.43) где jе R(z) реални део броjа z, I(z) имагинарни део, β = (z 1 Oz 2 ) jе угао између датих броjева, а модул производа jе ρ = z = z 1 z 2. Према томе jе z1 z 2 jеднако z2 z 1 ако и само ако су тачке O, z 1 и z 2 колинеарне, односно ( α R) z 2 = αz 1. Иако jе уобичаjено множење комплексних броjева комутативно (z 1 z 2 = z 2 z 1 ), њихово скаларно множење ниjе (z1 z 2 z2 z 1). Скаларни производ у Хилбертовом простору у општем случаjу ниjе комутативан. Зато разликуjемо вектор колону од њему коњугованог вектора ретка. Први jе матрица типа 3 1, други jе матрица типа 1 3, па за (4.41) имамо: док jе a, b = a b = (a x a y a z) a b = a x a y a z b x b y b z = a xb x + a yb y + a zb z, (4.44) a x b (b x b y b x a x b y a x b z z) = a y b x a y b y a y b z. (4.45) a z b x a z b y a z b z Први производ (4.44) jе скалар, други (4.45) jе матрица типа 3 3. Из овог примера видимо и зашто jе a, b = b, a. Пример Показати да се из дефинициjе (4.41) може добити: где jе ϕ угао између датих вектора. R a, b = a b cos ϕ, I a, b = a b sin ϕ, (4.46) Решење. Врхови датих вектора су тачке A(a x, a y, a z ) и B(b x, b y, b z ) са комплексним координатама, а исходиште система jе тачка O(0, 0, 0). Према косинусноj теореми за троугао OAB имамо AB 2 = OA 2 + OB 2 2 OA OB cos ϕ, b a 2 = a 2 + b 2 2 a b cos ϕ, (a xb x + a x b x) + (a yb y + a y b y) + (a zb z + a z b z) = 2 a b cos ϕ, R(a xb x ) + R(a yb y ) + R(a zb z ) = a b cos ϕ, R(a xb x + a yb y + a zb z ) = a b cos ϕ, а отуда прва тражена jеднакост. Компонента ξ {x, y, z} вектора v {a, b} jе v ξ = v ξ1 + iv ξ2. Тако: 2 sin 2 ϕ = 1 cos 2 R a, b ϕ = 1 ( a b ) = a 2 b 2 (R a, b ) 2 a 2 b 2, Растко Вуковић 199

200 a 2 b 2 sin 2 ϕ = a 2 b 2 (R a, b ) 2 = (a 2 ξ1 + a2 ξ2 ) (b 2 ξ1 + b2 ξ2 ) (a ξ1 b ξ1 + a ξ2 b ξ2 ) 2 ξ ξ ξ = [(a 2 ξ1 b2 ξ1 + a2 ξ1 b2 ξ2 + a2 ξ2 b2 ξ1 + a2 ξ2 b2 ξ2 ) (a2 ξ1 b2 ξ1 + 2a ξ1b ξ1 a ξ2 b ξ2 + a 2 ξ2 b2 ξ2 )] ξ = (a 2 ξ1 b2 ξ2 + a2 ξ2 b2 ξ1 2a ξ1b ξ1 a ξ2 b ξ2 ) = (a ξ1 b ξ2 a ξ2 b ξ1 ) 2, ξ а отуда друга тражена jеднакост. a b sin ϕ = (a ξ1 b ξ2 a ξ2 b ξ1 ) 2, ξ Наведени пример показуjе на коjи начин се комплексна раван може поопштавати ка унитарном простору 28. Доследно демонстрациjи из примера поопштавамо и сваку од jеднакости (4.43), добиjамо: ξ 1. a, b = ξ (a ξ1 b ξ2 + b ξ1 b ξ2 ) + i ξ (a ξ1 b ξ2 a ξ2 b ξ1 ), 2. a, b = R a, b + ii a, b, 3. a, b = a b cos ϕ + i a b sin ϕ, 4. a, b = ρe iϕ, (4.47) где jе R a, b реални део скаларног производа, I a, b имагинарни део, ϕ = (a, b) jе поопштени угао између датих вектора, а модул производа jе ρ = a, b = a b. У простору X n над C скаларни производ вектора x = (x 1,..., x n ) и y = (y 1,..., y n ) са компононтама x k = x k1 + ix k2 и y k = y k1 + iy k2, за k = 1, 2,..., n и j = 1, 2 реалним x kj, y kj и позитивним константама α k R +, можемо дефинисати и са: x, y = α 1 x 1y 1 + α 2 x 2y α n x ny n (4.48) = α k (x k1 ix k2 )(y k1 + iy k2 ) k = [α k (x k1 y k1 + x k2 y k2 ) + iα k (x k1 y k2 x k2 y k1 )] k = k α k (x k1 y k1 + x k2 y k2 ) + i α k (x k1 y k2 x k2 y k1 ) k = R x, y + ii x, y. Интензитет вектора jе x = x, x, па добиjамо: x 2 = x, x = R x, x + ii x, x = R x, x (4.49) = α k (x 2 k1 + x2 k2 ) = α 1 x α 2 x α n x n 2. Угао ϕ између два вектора опет се може дефинисати помоћу три тачке O, x и y, и са наведеним интензитетима дефинисати троугао. Затим се добиjаjу jеднакости аналогне (4.47). Ако jе свако α k = 1 и n = 3, оваj случаj се своди на (4.41). Када n, у Хилбертовом простору ови низови и њихови збирови конвергираjу. Вектори постаjу непрекидне функциjе, а скаларни производи прелазе у одговараjуће интеграле. Особине попут (4.43) остаjу аналогне, а сличности са еуклидским просторима обећаваjу. Надамо се да из исте неизвесности настаjу време, простор и материjа. 28 Обрађуjем ово детаљно jер не могу да нешто слично нађем у литератури. Растко Вуковић 200

201 4.6 Базе простора Видели смо да векторски простори имаjу базе (теорема 4.3.4) и да било коjе две базе истог простора имаjу исти броj елемената. Овде ћемо разматрати начине приказивања датог вектора различитим базама и везе међу тим начинима. Видећемо да су оператори за прелазак из jедног у други начин приказивања истог вектора такође линеарни. Они на различите начине формираjу нове векторске просторе изоморфне са датим. Када jе скуп вектора e = {e 1,..., e n } база векторског простора X над телом Φ, тада се сваки вектор x X може написати у облику x = n k=1 ξ ke k где су ξ k Φ скалари. Ти скалари су координате вектора x, jеднозначно одређене датим вектором, коjе образуjу матрицу ξ 1 ˆx(e) =. (4.50) Ово jе вектор координата ξ k коjи означавамо и са ˆξ = ˆx(e) и третирамо као контравариjантни тензор. Ипак, не користимо тензорско писање индекса. Придруживање x ˆξ jе изоморфизам простора X и простора ˆΞ матрица колона са елементима из Φ. Узмемо ли неку другу базу e = {e 1,..., e n} истом ће вектору у том простору припадати неке друге координате ξ 1,..., ξ n, тако да jе x = То пишемо матрично x = êˆξ = ê ˆξ, или детаљниjе: ξ n n n ξ k e k = ξ k e k. (4.51) k=1 k=1 ξ 1 x = (e 1... e n ) = (e 1... e n ), (4.52) ξ n а то значи да су вектори базе ковариjантни, што знамо и из тензорског рачуна. Два система скалара ˆξ = ˆx(e) и ˆξ = ˆx(e ) представљаjу исти вектор, па се поставља питање везе између њих. Те задатке детаљно решаваjу алгебра и функционална анализа, прва у коначно, друга у бесконачно димензионалним просторима. Кажемо да линеарни оператор A X Y има инверзан оператор A 1 Y X ако постоjи пресликавање A 1 такво да jе ξ 1 ξ n A 1 (Ax) = x, (4.53) за свако x X. Тада су оба A и A 1 биjекциjе и можемо писати Y = A(X). Приметимо да ова дефинициjа обухвата и случаj Y = X, када оператор пресликава дати простор у самог себе. Теорема Инверзан оператор линеарног оператора jе линеаран. Доказ. Ако A има A 1, тада поред (4.52) важи и A(A 1 y) = AA 1 y = y, за свако y Y. За произвољна два вектора y 1, y 2 Y и произвољне скаларе λ 1, λ 2 Φ налазимо: а то jе и требало доказати. A 1 (λ 1 y 1 + λ 2 y 2 ) = A 1 (λ 1 AA 1 y 1 + λ 2 AA 1 y 2 ) = A 1 A(λ 1 A 1 y 1 + λ 2 A 1 y 2 ) = λ 1 A 1 (y 1 ) + λ 2 A 1 (y 2 ), Растко Вуковић 201

202 Потсетимо се опет система линеарних jедначина (4.25), коjи пресликава векторе базе e у векторе базе e истог простора X. Аналогно регуларном систему jедначина, коjи има jединствено решење, за оператор кажемо да jе регуларан ако преводи базу у базу. Нека jе A jедан такав оператор. Тада: e k = Ae k = Са друге стране, за x X важи: x = n j=1 ξ j e j = n k=1 n j=1 ξ k e k = n k=1 n j=1 ξ j = Доследно ознакама (4.50) пишемо: (ξ j α kj e j, k = 1,..., n. (4.54) n k=1 ξ k n j=1 n n j=1 k=1 α kj e j = ξ k α kj)e j = 0, ξ k α kje j, n α kj ξ k, j = 1,..., n. (4.55) k=1 ˆx(e) = Â(e)ˆx(e ), ˆx(e ) = [Â(e)] 1ˆx(e), x X, (4.56) односно ˆξ = ˆξ, када jе ê = êâ. Укратко, координате вектора трансформише инверзни оператор од оног за базе. Базни вектори-матрице су ковариjантни (ретци), координатни су контравариjантни (колоне). Пример У простору полинома по t до другог степена, прву базу чине вектори e 1 = 1, e 2 = t и e 3 = t 2, а другу базу e 1 = 1 t, e 2 = t + t2 и e 3 = 1 t2. Приказати вектор x(e) = 4 5t + 3t 2 из прве у другоj бази, у бази e. Решење. Из датих услова формирамо jедначине за базе (e = Ae): e 1 = Ae 1 = e 1 e 2 e 2 = Ae 2 = e 2 + e 3 e 3 = Ae 3 = e 1 e 3, (e 1 e 2 e 3 ) = (e 1 e 2 e 3 ) чиме су дефинисане матрице трансформациjе ( 1 =  1  = Î):  =  1 = Дати вектор има координате (ˆξ =  1 ˆξ): 4 6 ˆξ = ˆx(e) = 5, ˆξ =  1 ˆξ = ˆx(e ) = 1, 3 2 одакле x(e ) = 6 (1 t) + 1 (t + t 2 ) 2 (1 t 2 ). Растко Вуковић 202

203 Ако матрица  трансформише базу ê у ê, а матрица ˆB трансформише базу ê у ê, то (матрично) пишемо ê = êâ и ê = ê ˆB = ê  ˆB, где због асоциjативности матричног множења нису потребне заграде. Према томе, матрица Ĉ =  ˆB директно преводи базу ê у базу ê. Помоћу (4.52) даље добиjамо êˆξ = ê ˆξ, ê ˆξ = ê ˆB ˆξ = êâ ˆB ˆξ, па ˆξ =  ˆB ˆξ, ˆξ = ˆB 1  1 ˆξ. (4.57) Другу jеднакост добиjамо из прве множењем слева 29. Отуда, за инверзне матрице (када оне постоjе) важи jеднакост ( ˆB) 1 = ˆB 1  1, (4.58) а слична важи и за операторе. Потсетимо се, регуларном називамо матрицу коjа има инверзну матрицу. Она базу трансформише у базу са jеднаким броjем димензиjа, односно она jе матрица регуларног система линеарних jедначина (оног коjи има jединствено решење). Према томе, само квадратне матрице могу бити регуларне, али и такве само онда када им детерминанта ниjе нула. Jедначином Ae k = n j=1 α kje j за k = 1,..., n оператору A придружуjемо матрицу Â(e) = (α kj ). Колону по колону те матрице чине координате вектора Ae k у бази e. У бази e истог простора тако добиjамо матрицу Â(e ). Потражимо сада везу између ових матрица коjе у различитим базама припадаjу истом оператору A. Узмимо линеаран оператор A тако да jе e k = T e k за k = 1,..., n. Линеарни израз y = Dx преласком на базу e постаjе η k = j α kj ξ j, или матрично ŷ(e) = ˆD(e)ˆx(e). Иста jедначина y = Dx у бази e постаjе ŷ(e ) = ˆD(e)ˆx(e ), па како jе ẑ(e) = Â(e)ẑ(e ) за сваки вектор z X, добиjамо Â(e)ŷ(e ) = ˆD(e)Â(e)ˆx(e ). Из претходног сада следи Â(e) ˆD(e ) = ˆD(e)Â(e), а отуда ˆD(e ) = [Â(e)] 1 ˆD(e) Â(e), (4.59) што представља матрицу ˆD произвољног оператора D у новоj бази e, помоћу матрице тога оператора у староj бази e и матрице оператора  коjи стару базу преводи у нову. Аналогна jедначина важиће за одговараjуће операторе. Пример Описати деривирање помоћу (4.59), користећи пример Решење. Са D означимо оператор деривирања у датом простору. Тада jе D(1, t, t 2 ) = (0, 1, 2t), De 1 = 0, De 2 = e 1, De 3 = 2e 2, D(e) = 0 0 2, где k-та колона представља k-ти базни вектор. Затим: 29 Матрично множење ниjе комутативно D(e ) = [Â(e)] 1D(e)Â(e) = = , Растко Вуковић 203

204 D(e ) = За x(e) = 4 5t + 3t 2 имамо y = Dx = 5 + 6t, односно: 5 ŷ(e) = 6, ŷ(e ) = ˆD(e )ˆx(e ) = = , ŷ(e ) = 11 2 (1 t) (t + t2 ) (1 t2 ), што директним сређивањем израза даjе исто y = 5 + 6t. У квантноj механици, Дираковом нотациjом бра-кет, ковариjантне векторе ретке стања ψ означавамо левом заградом ψ, а контравариjантне десном ψ, тако да jе производ редом леве и десне заграде скалар ψ ψ = ψ ψ. Попут (4.45), производ обрнутим редоследом jе матрица. Свака честица има сопствену вредност угловног импулса (ангуларног момента) коjи називамо спин коjи jе константа дате честице. Спин може имати два смера коjа често означавамо предзнаком + или - и читамо горе или доле. Како честица може имати само таква два спина, апстрактни простор њених спинова над телом комплексних броjева има два базна вектора. Пример Два стања спина су вектори + и коjи чине базу. Нека jе дат оператор A особинама: Наћи матрицу оператора. Решење. Пишемо матрично: A + = 1 2 i, A = 1 i +. (4.60) 2 (1 0) Â = 2 (0 i), (0 1) Â = (i 0), 2 где jе ˆσ 2 Паулиjева матрица (3.3). ( ) Â = i (0 2 i 0 ), Â = 2 ˆσ 2, Идеjа о спину честица настала jе након експеримената Стерна 30 и Герлаха године, приказаног на слици 4.5. Они су користили атоме сребра (Ag) коjи имаjу 47 електрона, од коjих 46 формираjу сферно симетрично распоређен набоj а 47. електрон заузима 5. орбиту. Када jе сребро у основном стању, укупни орбитални моменат (угловни импулс) би му требао бити нула (l = 0). У том експерименту, зрака атома сребра пролази кроз неjеднако магнетно поље ориjентациjе z осе. Према Шредингеровоj таласноj теориjи, ако би атоми имали неки ангуларни моменат l, зрака сребра би се Растко Вуковић 204

205 Slika 4.5: Експеримент Стерна и Герлаха. требала расцепити, а управо то се и догађа. Исти резултат jе потврђен и у случаjу атома водоника у основном стању (l = 0), где се раздваjање не очекуjе. Да би решили ову загонетку, Уленбек и Гоудсмит 32 су године постулирали да поред орбитног угловног момента, електрон има и унутрашњи ангуларни моменат, коjи за разлику од орбитног нема ништа са просторним степенима слободе. По аналогиjи са кретањем Земље, коjа има кретање по орбити око Сунца и унутрашњу ротациjу или спин око своjе осе, електрон или свака друга честица имаjу неку врсту таквог унутрашњег кретања. Додаjе се, електрон и сличне мале честице немаjу унутрашњу структуру, па спин као њихов унутрашњи степен слободе остаjе тек апстрактан квантно механички концепт. За разлику од орбитног угловног момента, спин се не може описати помоћу оператора диференцирања. У скаду са обjашњењем формуле (4.38) за неживи свет, попут интелигенциjе електрона, овде би могли покушати разумети и спин електрона. Материjа од коjе смо грађени, овако или онако требала би имати бар у неким траговима (малим квантима) своjства коjа ми имамо. Унутрашња ротациjа зврка, жироскопа или Земље око своjе осе, неће се сама зауставити, кажемо: због закона одржања ротационог импулса. Али чиме обjаснити таj закон одржања? Ниjе речено одакле он долази и зашто важи и тамо где понестаjе смисла нашем макроскопском схватању окретања. То су наравно спекулациjе, додатак интуитивном разумевању кванта спин. Званично данас, спин jе квантни броj s = n 2, где jе n цели позитиван броj. За честице су дозвољене вредности спина s све редом 0, 1 2, 1, 3 2, 2,..., при чему оне са полу-целим броjем 1 2, 3 2, 5 2,... називамо фермиони, а оне са целим 0, 1, 2,... бозони. Оне се добиjаjу сабирањем основних вектора спина, попут сабирања вектора обичног (праволиниjског) импулса. Може се доказати да за фермионе важи Ферми-Диракова статистика 33 и Паулиjев принцип искључења 34, а да за бозоне важи Бозе-Аjнштаjнова статистика 35 и да они заузимаjу симетрична стања због чега се њихови исти квантни броjеви узаjамно не искључуjу. Ова друга статистика повезуjе квантну механику и специjалну релативност. 30 Otto Stern ( ), немачки физичар. 31 Walter Gerlach ( ), немачки физичар. 32 Uhlenbeck, G.E.; Goudsmith, S. (1925). "Ersetzung der Hypothese vom unmechanischen Zwang durch eine, Cambridge University Press. pp ISBN Fermi Dirac statistics: 34 Pauli exclusion principle: 35 Bose Einstein statistics: Растко Вуковић 205

206 4.7 Адjунговање Функционал jе функциjа дефинисана на векторском простору X с вредностима у скупу скалара Φ. Ако функционал преводи линеарни споj вектора у одговараjући споj скалара, онда се он зове линеарни функционал, а такве ћемо убудуће подразумевати. Са друге стране, скуп свих линеарних функционала дефинисаних на датом простору с уобичаjеним сабирањем и множењем са скаларом постаjе векторски простор. Таj простор означавамо са X и зовемо адjунгован или дуалан простор простора X. Када je e 1,..., e n база у X, тада се вектор x X може писати x = k e k ξ k. Отуда, за произвољан функционал y X, када су познати скалари ηk = y (e k ): y (x) = y ( e k ξ k ) = n k=1 y (x) = n y (e k )ξ k = k=1 n ηk ξ k, k=1 n ηk ξ k. (4.61) k=1 Према томе, деловање линеарног функционала y на произвољан вектор x jе потпуно познато, ако jе познато његово деловање на базу. То jе његов општи облик. Обрнуто, ако су η k дати скалари онда jе релациjом (4.61) у бази e k потпуно и jеднозначно дефинисан линеарни функционал y на X. Броj y (x) називамо канонским производом вектора y X и вектора x X. Скалари η k су координате ковариjантног вектора η док су скалари ξ k координате контравариjантног ξ. Зато jе матрица првог редак ˆη, а другог колона ˆξ тако да jе њихов производ скалар (функционал и коњуговање пишемо слично, y и y ): ξ 1 y (x) = ˆη ˆξ = (η 1... ηn ) = η1ξ ηnξ n Φ. (4.62) Аналогно множењу базних вектора e k са координатама ξ k. Релациjа (4.61) потсећа на скаларни производ два вектора, осим што се њоме множе вектори различитих простора. Ипак, због изоморфизма можемо користити исту или бар сличну ознаку ξ n y (x) = y x. (4.63) Потсећам да смо због jедноставности у претходном тексту за сва коњуговања користили исту ознаку - звездицу горе. Тако смо писали коњуговање оператора, матрица, скалара, иако су оне различите структуре. На пример, коњуговање матрице Â = (a jk) писали смо Â = (a jk ) = (a kj ), мада jе у текстовима физике уобичаjено Â = (ā kj ). То ћемо наставити и даље, осим у посебним случаjевима коjих ће у наставку бити више. Линеарни оператор T X Φ, чиjи простор-слика jе скалар Банаховог простора 36, назива се функционела. Само у посебним случаjевима ћемо наглашавати разлику између функционала и функционеле. Адjунгован оператору T jе оператор T коjи jе дефинисан са T y x = y T x, (4.64) за све векторе x, y X. Према томе, T jе коњугован оператору T. 36 Нормиран, комплетан простор назива се Банахов. Растко Вуковић 206

207 За дато T, оператор T jе jединствен. Поред тога, лако се види да су тачне jеднакости: T y x = y T x, (T ) = T, (λt ) = λt, (T + S) = T + S, (4.65) где цртом изнад броjа означавамо коњуговање броjа. Прва jеднакост, горе лево следи из T y x = x T y = T x y = y T x. Друга следи из (T ) y x = y T x = T y x, према дефинициjи адjунговања. Адитивност следи из (T + S) y x = y (T + S)x = y T x + y T x = T y x + S y x = (T + S )y x а отуда (T + S) = T + S. Квантна физика користи исти поjам адjунговања (4.64) као и математика. Док она избегава теоретисања и прецизности са теоремама на начин математике, физика се са много рутина и детаља бави начинима означавања. Ради комплетности овог текста, ми ћемо се осврнути и на неке од тих конвенциjа. Jедначину (4.64) коjа дефинише адjунговање, у физици пишемо у облику A x y = x Ay. (4.66) Оператору A jе адjунгован A, овде исто што и A. Производ A x лево има исту вредност као производ Ay десно и то важи за све векторе x и y датог простора. На пример, нека у простору са две димензиjе имамо: Тада jе матрица Â адjунгована матрици Â, jер jе: Â ( ξ 1 ξ 2 ) = ( 0 ξ 1 ), Â ( ξ 1 ξ 2 ) = ( ξ 2 0 ). (4.67) { A x y = (0, x 1 )( y 1 y 2 ) = x 1 y 2 x Ay = (x 1, x 2 )( y 2 0 ) = x 1 y 2. Први и други резултат су jеднаки. Неке важне особине адjунговања се jеднако користе и у физици и у математици. На пример, увек постоjи A, затим (A+B) = A +B, (λa) = λa, (A ) = A, (AB) = B A. Ево доказа овог последњег: x (AB)y = x A(By) = A x By = B (A x) y, па jе (AB) = B A, jер jе множење оператора асоциjативно, иако ниjе комутативно. Знамо да транспоновање матрице значи замену колона врстама (и врста колонама). Адjунговање 37 матрице значи њено транспоновање и коњуговање свих њених елемената. На пример, матрица колона ŷ се транспоновањем преводу у матрицу врсту ŷ τ, чиjе елементе коњугуjемо па пишемо ŷ односно y 1 x 1 y x = = (ȳ 1... ȳ n ) x 1 = ȳ 1 x ȳ n x n, y n x n што даjе исте вредности као (4.62). На таj начин добиjамо: x n y Ax = y (Ax) = (A y) x = A y x. 37 Адjунговање се назива и хермитско коњуговање. Растко Вуковић 207

208 Jеднако радимо и са другим матрицама. Израз y A x пишемо x 1 (ȳ 1... ȳ n ) a a 1n..., a n1... a nn x n а затим ŷ (ˆx) = (ŷ Â)ˆx = ( ŷ) ˆx = A y x. Отуда jеднакости: y A x = A y x = y Ax, (4.68) коjе физичари често користе. Доследно претходном примеру, jе:  = ( ),  = ( ), а затим (4.67). То jе био кратки осврт на основне ознаке, на начин квантне физике. Пошто овде никада не транспонуjемо матрицу са комплексним коефициjентима да би jе множили а да jе при томе и не коњугуjемо, ниjе нам потребна толика разноврсност у ознакама. Коњуговање броjа пишемо jедноставно (2 + 3i) = 2 3i, као што подразумевамо ( 1 + i 2 3i 4 + 5i 2 + i ) = ( 1 i 4 5i 2 + 3i 2 i ). Из приложеног налазимо да ли jе A броj, матрица или оператор. У наставку се враћамо на опште особине векторских простора (X или Y ) над телом скалара (Φ) да би посветили мало више пажње онима са бесконачном базом. То су простори са бесконачно много димензиjа коjе проучава реална односно комплексна функционална анализа, зависно од тога да ли су скалари реални или комплексни броjеви. Сада jе потребна мало већа прецизност у неким случаjевима у коjима нам то за алгебарске просторе (коначно димензионалне) ниjе било битно. Дефинициjа Оператор A X Y jе: адитиван ако jе A(x 1 + x 2 ) = Ax 1 + Ax 2 за свако x 1, x 2 X; хомоген ако jе A(λx) = λax за свако x X и свако λ Φ; линеаран ако jе A(λ 1 x 1 + λ 2 y 2 ) = λ 1 Ax 1 + λ 2 Ax 2 за све x 1, x 2 X, λ 1, λ 2 Φ. Оператор jе линеаран када jе и адитиван и хомоген. То jе очигледно. Мало су тежи докази следећих тврђења коjе зато наводим као леме (мале теореме). Лема За адитиван оператор важи A(0) = 0 и A( x) = A(x). Доказ. Из A(x) = A(x + 0) = A(x) + A(0) следи A(0) = 0. Из 0 = A(0) = A(x x) = A(x) + A( x) следи A( x) = A(x). Следећа особина адитивних (линеарнх) оператора омогућава да и они представљени непрекидним функциjама могу описивати дискретне поjаве квантне механике. Лема Ако jе адитивни оператор непрекидан у jедноj тачки простора, он jе непрекидан на читавом простору. Растко Вуковић 208

209 Доказ. Нека jе x 0 X тачка у коjоj jе адитивни оператор A непрекидан. Нека jе x X произвољна тачка и нека jе (x n ) низ тачака у X коjи конвергира ка x. Због претростављене непрекидности у тачки x 0 биће: lim A(x n x + x 0 ) = Ax 0, n lim (Ax n Ax + Ax 0 ) = Ax 0, n lim Ax n = Ax, n што значи да jе оператор A непрекидан у тачки x. Познато нам jе да релациjа поретка има особине рефлексивности, антисиметриjе и транзитивности. Тако, за свако x, y, z R и релациjу важи: R. x x; A. (x y y x) x = y; T. (x y y z) x z. За скуп снабдевен овом релациjом кажемо да jе уређен. Броj m jе маjоранта односно миноранта дела уређеног скупа ако jе редом x m односно m x за свако x тог дела скупа. Маjоранта односно миноранта коjа припада датом делу уређеног скупа назива се максимум односно минимум тог дела скупа. Наjмања од маjоранти односно наjвећа од миноранти коjа не припада датом делу уређеног скупа, ако таква постоjи, назива се редом супремум односно инфимум датог дела скупа. За подскуп S, део неког уређеног скупа, уз поменуте називе користимо следеће ознаке: max S - максимум, min S - минимум, sup S - супремум, inf S - инфимум. Ако постоjе они су у поретку: inf S min S x max S sup S ( x S). Дефинициjа Линеарни оператор A X Y jе ограничен ако постоjи ненегативан броj M R + такав да jе Ax M x за свако x X. Инфимум броjева M за коjе важи ова неjеднакост називамо нормом оператора A и означавамо са A. Дакле, оператор A jе ограничен ако има коначну норму A, када за свако x X важи Ax A x. Теорема Ако jе оператор A хомоген, за његову норму важи: A = Ax sup = sup Ax = sup Ax. x X/{0} x x 1 x =1 Доказ. Дефинициjу ограничености оператора пишимо Ax x M, x 0. Инфимум броjева M jе супремум броjева на левоj страни, затим због хомогености, имамо: Ax A = sup = sup 1 x X/{0} x x X/{0} x Ax = sup A ( x x X/{0} x ). За свако x X/{0} jе норма вектора x/ x = 1, па jе A = sup Ax, x =1 Растко Вуковић 209

210 чиме jе доказан трећи израз. За тачке x X за коjе jе x 1 имамо: а очигледно важи и обрнуто. Отуда други. sup Ax A = sup Ax, x 1 x =1 Теорема Линеарни оператор A X Y jе непрекидан акко jе ограничен. Доказ. Ако jе оператор A ограничен, биће: Ax n Ax 0 = A(x n x 0 ) A x n x 0, па из x n x 0 следи његова непрекидност у произвољноj тачки x 0. Ако оператор A ниjе ограничен на читавом простору X, из претходне теореме следи да он ниjе ограничен ни на jединичноj сфери x = 1. Тада постоjи низ тачака (x n ) са x = 1 да Ax n δ n, па низ y n = x n δ n 0, док jе ( n) Ay n 1. Дакле, A ниjе непрекидан оператор у тачки x 0, па на основу леме он не може бити непрекидан ни у jедноj другоj тачки. Према овоj и следећоj теореми, оператор коjи ради са вероватноћама, са вредностима ограниченим на броjеве од нуле до jедан, мора бити непрекидан. Они други оператори коjи раде са бесконачним (периодичним) опсегом су дискретни. Теорема Потребан и довољан услов да линеаран оператор A X Y буде ограничен jесте да сваки ограничен скуп из X пресликава у ограничен скуп у Y. Доказ. Услов jе потребан. Ако jе оператор ограничен и S неки ограничен скуп: A < +, ( x S) x M, ( x S) Ax A x M A. Услов jе довољан. Ако jе K jединична затворена кугла у X, тада jе њена слика AK ограничен скуп у Y. Дакле, постоjи броj M > 0 такав да jе Ax M за свако x K. Нека jе x 0 произвољна тачка у X. Тада jе x/ x K, па jе: A x M Ax M x. x Последица очигледно важи и за x = 0. Отуда ограниченост оператора A. Посебан случаj линеарних оператора A X Y су функционеле (Y = Φ). Са друге стране, свакоj физичкоj опсервабли (динамичкоj вариjабли коjа се може мерити) придружен jе неки оператор коjи делуjе на комплексну вероватноћу, таласну функциjу. У томе jе значаj ових теорема. Растко Вуковић 210

211 4.8 Инвариjантни потпростор Дат су векторски простор X над телом C и линеарни оператор A X X. Потпростор X 0 X називамо инвариjантним за оператор A, ако за свако x 0 X 0 повлачи Ax 0 X 0, тj. ако jе AX 0 X 0. Тривиjалан инвариjантан протпростор jе нула-вектор. Инвариjантан потпростор оператора A X X чине решења jедначине Ax = λx, x X, λ Φ, (4.69) где нас занимаjу само нетривиjални случаjеви x 0. Сваки броj λ C за коjи ова jедначина има нетривиjално решење назива се своjствена или сопствена вредност (eigenvalue) оператора A, а само решење x назива се сопствени вектор (eigenfunction) оператора A коjи одговара сопственоj вредности λ. Због R C, сопствене вредности оператора A могу бити и реални броjеви. Горњу jедначину пишемо у облику (λi A)x = 0, (4.70) где jе I jединични елеменат. За нетривиjална решења, x 0, оператор A λ = λi A jе сингуларан, односно не постоjи иверзна функциjа R λ = A 1 λ, коjа се назива резолвента, за такво λ. Матрице придружене векторима jедначину (4.70) трансформишу у хомогени систем jедначина чиjа детерминанта jе нула. Она тада има и нетривиjална решења. Тачка λ комплексне равнине C jе регуларна тачка оператора A, ако jе λi A регуларан оператор (ниjе сингуларан). Скуп свих регуларних тачака оператора A означимо са ρ(a). Скуп свих тачака λ ρ(a) називамо спектар оператора A и означавамо га са σ(a). За тачку λ σ(a) кажемо да припада спектру оператора A. За такве тачке R λ = (λi A) 1 не постоjи. Када jе дати простор X димензиjе n, за дати оператор A X X не може бити више од n линеарно независних елемената у низу I, A, A 2,..., што значи да jе тада потпуно одређен природни броj m такав да су вектори I, A,..., A m 1 (4.71) независни у датом простору, али да су вектори I, A,..., A m 1, A n линеарно зависни. Ово последње значи да постоjе броjеви µ 1,..., µ m 1 C такви да jе A m = µ 1 A m µ m 1 A + µ m I. (4.72) Из независности вектора скупа(4.71) следи да су броjеви µ 1,..., µ m jеднозначно одређени са A. Отуда jе и полином µ(λ) = λ m µ 1 λ m 1 µ m 1 λ µ m (4.73) jеднозначно одређен елементом A. Према томе, тражење сопствених вредности датог оператора, односно нетривиjалних решења jедначине (4.69), своди се на тражење нула полинома (4.73). Приметимо да квадратна матрица Â реда k N над датим телом (C), зато што садржи низ од n = k 2 броjева, наизглед може да образуjе векторски простор димензиjе n. Међутим, она поништава полином димензиjе m k, што значи да матрица ниjе n-торка независних, индивидуалних броjева, већ jе колектив. Ипак, у скупу свих нетривиjалних полинома коjе A поништава, полином (4.72) jе наjмањи могући, а то има jош jедну важну, следећу последицу. Растко Вуковић 211

212 Теорема Полином µ(λ) jе дивизор сваког полинома коjег A поништава. Доказ. Претпоставимо да jе P (λ) полином и да jе P (A) = 0. Делењем полинома P (λ) са µ(λ) добиjамо P (λ) = P 1 (λ)µ(λ) + Q(λ), где jе P 1 (λ) полином и Q(λ) остатак при делењу, тj. степен полинома Q мањи jе од m. Али тада jе P (A) = P 1 (A)µ(A) + Q(A) што са P (A) = µ(a) = 0 повлачи Q(A) = 0. Како jе степен полинома Q(A) мањи од m то jе Q(λ) = 0, тj. µ(λ) jе дивизор од P (λ). Зато полином (4.73) називамо минимални полином елемента A, а jедначину µ(a) = 0 минималном jедначином елемента A. Теорема Минимални полином оператора A у коначно димензионалном простору jе jединствен. Доказ. Када би A имало два различита минимална полинома, онда би то значило да се вектор A m може на два различита начина приказати као линеарни споj независних вектора из скупа (4.71), што jе немогуће. Знамо да jе A 1 инверзан или реципрочан елеменат елемента A ако jе A 1 A = AA 1 = I. (4.74) Елеменат A коjи поседуjе реципрочан елеменат назива се регуларан или инвертибилан. Ако A ниjе инвертибилно кажемо да jе сингуларно. Инвертибилан jе на пример I, сингуларан jе 0. Теорема Ако jе A инвертибилно, онда jе у минималном полиному (4.73) слободни члан различит од нуле и Доказ. Из µ m 0 и (4.72) следи: а отуда тврђење теореме. A 1 = 1 µ m (A m 1 µ 1 A m 2 µ m 1 ). (4.75) [ 1 µ m (A m 1 µ 1 A m 2 µ m 1 I] A = I, У уџбенику линеарне алгебре [14] (пример 4.2) можете наћи детаљно решавање следећег задатка, сопствених вектора и вредности матрица. Пример Одредити сопствене вредности и одговараjуће сопствене векторе: Â = 1 3 1, ˆB = 1 1 1, Ĉ = Решење. Jедначина (4.70) овде постаjе матрична (λî Â)v = 0. Она представља хомогени систем линеарних jедначина коjи поред тривиjалног v = (0, 0, 0) мора имати и друга решења. Отуда det(λî Â) = 0 и даље: λ λ λ 3 = 0, Растко Вуковић 212

213 (λ 6) λ λ 3 4 λ λ = 0, (λ 6)(λ 2 + 3) 12( λ 1) 4λ = 0, λ 3 6λ + 11λ 6 = 0, (λ 1)(λ 2)(λ 3) = 0, па су сопствене вредности λ 1 = 1, λ 2 = 2 и λ 3 = 3. За одређивање сопственог вектора v 1 коjи одговара сопственоj вредности λ 1 = 1 решавамо систем jедначина: x 1 y 1 z 1 = λ 1 λ λ λ 1 3 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1, = 0, у коjем су само две (било коjе) од три jедначина независне. Компоненте x 1 и y 1 изразимо помоћу z 1, добиjамо x 1 = z 1, y 1 = 1 2 z 1, z 1 C. Jединични вектор u 1 = ( 2/3, 1/3, 2/3) jе сопствени вектор матрице Â коjи одговара њеноj сопственоj врености λ 1 = 1. Приметимо да jе сваки вектор облика v 1 = z 1 u 1 за произвољан комплексни броj z 1 такође сопствени вектор исте матрице са истом сопственом вредношћу, тако да важи jедначина (4.69), сада писана Âv 1 = λ 1 v 1. Слично добиjамо преостала два сопствена вектора: v 2 = ( 7z 2 /8, 3z 2 /8, z 2 ), v 3 = ( z 3, z 3 /3, z 3 ), z 2, z 3 C, коjи одговараjу сопственим вредностима λ 2 = 2 и λ 3 = 3 матрице Â. Jедначина det(λî ˆB) = 0 своди се на λ 3 + 3λ 2 4 = 0, са двоструким решењем λ 1 = λ 2 = 2 и λ 3 = 1. То су сопствене вредности матрице ˆB. Спектар jе двочлан скуп { 2, 1}. Сопствени вектор за сопствену вредност 2 води до jедначине 2Î ˆB = 0 коjа даjе x 1 + y 1 + z 1 = 0. Отуда x 1 = y 1 z 1, са произвољним y 1, z 1 C. Прва два сопствена вектора коjи одговараjу сопственоj вредности λ 1 = λ 2 = 2 су ( 1, 1, 0) τ и ( 1, 0, 1) τ, они разапињу сопствени потпростор 1 1 v = α 1 + β 0, α, β C. 0 1 За λ 3 = 1 соппствени вектор матрице ˆB jе (1, 1, 1) τ. Матрица Ĉ има троструку сопствену вредност λ 1 = λ 2 = λ 3 = 2 коjоj одговараjу само два независна сопствена вектора (3, 1, 0) τ и ( 2, 0, 1) τ. Лако се доказуjе да jе скуп свих регуларних елемената коначно димензионалног простора група. Ако су два коначно димензионална простора изоморфна, онда су и припадне групе регуларних елемената тих простора такође изоморфне. Са друге стране и сопствени вектори датог оператора чине групу. Према томе, линеарни оператор дели векторски простор на две групе, регуларних и сингуларних елемената, од коjих jе квантноj механици нарочито интересантна ова друга, коjа представља обсервабле. Растко Вуковић 213

214 Особине квантних стања су димензиjе апстрактних простора квантне механике. Стварни броj тих физичких димензиjа увек jе коначан, а како из алгебре знамо да су оператори на коначно димензионалним просторима непрекидни, они су тиме и потпуно непрекидни (сваки ограничен скуп пресликаваjу у релативно компактан скуп). Чак и када те просторе апроксимирамо бесконачно димензионим, они ограничене скупове пресликаваjу у ограничене скупове па, према последњим теоремема претходне секциjе, опет радимо са непрекидним линеарним операторима. Зато су оператори квантне механике непрекидни. Квантна механика ради са просторима случаjних догађаjа придруженим векторима коjе овде називамо комплексним вероватноћама. Ти вектори су у физици познате таласне функциjе ψ. Када бисмо радили са векторским простором одговараjућих (комплексних) информациjа L = ln ψ, били би кодомени пресликавања неограничени, jер су такви логаритми комплексних броjева. Те неограничене векторске просторе 38 квантна физика jош увек ниjе открила. Осврнимо се сада и на неке изразе и методе функционалне анализе, простора блиских коначно димензионалним. Нека jе X нормиран бесконачно димензиони векторски простор на скупу скалара C и нека jе A X X линеаран оператор. Све комплексне броjеве λ C поделимо у класе према томе да ли постоjи или не ограничен оператор R λ = (λi A) 1, тзв. резолвента, или такав не постоjи. Броj λ припада резолвентном скупу ρ(a) оператора A ако jе скуп A λ X = (λi A)X свуда густ 39 у X и ако A λ има ограничен инверзан оператор (R λ = A 1 λ ). Броj λ припада континуалном спектру σ c (A) оператора A, ако jе скуп A λ X свуда густ у X и ако A λ има инверзан оператор, али jе оваj неограничен. Броj λ припада резидуалном спектру σ r (A) оператора A, ако jе скуп A λ X ниjе свуда густ у X и ако A λ има инверзан оператор (ограничен или неограничен). Броj λ припада дискретном спектру σ d (A) оператора A, ако оператор A λ нема инверзан оператор (без обзира какав jе скуп A λ X). Приметимо да се наведени услови међусобно искључjуjу, те да су скупови комплексних броjева ρ(a), σ c (A), σ r (A) и σ d (A) дисjунктни 40. Посебно, скуп σ(a) = σ c (A) σ r (A) σ d (A) (4.76) jе спектар оператора A. Решења jедначине (4.69), тj. Ax = λx, су вектори x коjе називамо сопственим (карактеристичним) векторима оператора A коjима одговараjу сопствене (карактеристичне) вредности λ. Како jе за постоjање инверзног оператора λi A потребно и довољно да важи импликациjа (λx A)x = 0 x = 0, то дискретни спектар оператора A образуjу баш његове сопствене вредности. У коначно димензионалном простору ако постоjи R λ = (λi A) 1, другим речима ако jе A λ = λi A биjекциjа (обострано jеднозначно пресликавање) са X на X, онда због линеарности и A λ пресликава X на X. Линеарни оператор на коначно димензионалном простору jе непрекидан, па и потпуно непрекидан. Зато оператор A λ тамо или има ограничен инверзан оператор, или га уопште нема. Комплексан броj λ или припада резолвентном скупу или дискретном спектру оператора A (континуални и резидуални 38 Функционална анализа проучава и неограничене кодомене. 39 Свуда густ - између свака два постоjи бесконачно много њих. 40 Дисjунктни - скупови без заjедничких елемената. Растко Вуковић 214

215 спектар од A су празни). Напротив, у бесконачно димензионалном простору ниjедна од компонената спектра (континуални, резидуални, дискретни део) не мора да буде празна. Пример Када jе A X X потпуно непрекидан оператор, показати да комплексан броj λ 0 припада или резолвентном скупу или дискретном спектру тог оператора. Само нула може припадати континуалном или резидуалном спектру. Упутство. Посматраjте систем линеарних jедначина: (1 a 11 )ξ 1 a 12 ξ 2 a 1k ξ n = η 1 a 21 )ξ 1 + (1 a 12 )ξ 2 a 2n ξ k = η 2... a n1 ξ 1 a n2 ξ 2 + (1 a nn )ξ k = η n, (4.77) коjи коjи се може краће писати у облику n j=1 (δ jk a jk )ξ j = η j, k = 1, 2,..., n, (4.78) односно (I A)x = y, где су вектори x = (ξ k ) и y = (η k ), при чему jе δ kk = 1 и δ jk = 0 када j k, а A X X jе потпуно непрекидан линеарни оператор. Присетите се познатог става (Фредхолмова алтернатива 41 ): jедначина x Ax = y има решење за свако y X, акко jедначина x Ax = 0 има jедино тривиjално решење. Ако jе A X X потпуно неперкидан оператор и B X X ограничен оператор, лако jе доказати да су AB и BA потпуно непрекидни оператори. То ћемо употребити у следећоj теореми. Теорема Нека jе A X X потпуно непрекидан оператор и ρ > 0. Тада A има само коначно много линеарно независних сопствених вектора коjи одговараjу оним сопственим вредностима λ коjе су по апсолутноj вредности веће од ρ. Доказ. Претпоставимо супротно, да A има бесконачно много линеарно независних сопствених вектора x k (k = 1, 2, 3,... ) таквих да jе Ax k = λ k x k и λ k > ρ > 0. Уочимо потпростор X 1 X коjи разапињу вектори x n. На X 1 оператор A има ограничен инверзан оператор. Наиме, вектори облика x = a 1 x 1 +a 2 x 2 + +a n x n образуjу свуда густ скуп у X 1. За ове векторе jе Ax = a 1 λ 1 x 1 + a 2 λ 2 x a n λ n x n, па за њих, због A 1 (Ax) = x, важи а отуда A 1 x = a 1 λ 1 x 1 + a 2 λ 2 x a n λ n x n, A 1 x 1 ρ x. Оваj A 1 се може непрекидно проширити на X 1 без повећања норме, jер jе скуп x коjи га дефинише свуда густ у X 1. Како jе A потпуно непрекидан оператор на X, он jе такав и на X 1. Међутим, потпуно непрекидан оператор не може имати ограничен инверзан оператор у бесконачно димензионалном простору. Отуда контрадикциjа, па jе теорема доказана. 41 Fredholm alternative: Растко Вуковић 215

216 4.9 Унитарни оператори У даљем тексту посматрамо унитарни простор X над телом Φ, коjе ће углавном бити скуп комплексних броjева C. То значи да jе сваком уређеном пару вектора x, y из X придружен скалар x, y из Φ, коjи можемо писати и на Дираков бра-кет начин x y, као што jе урађено уз функционелу (4.63) и даље. Приметимо да у општем случаjу, линеарни оператор A у том простору води у неjеднакост Ax Ay x y. На пример, за оператор Ax = ax множења скаларом a C таквим да jе a 1. Дефинициjа Оператор U X X за коjи вреди Ux Uy = x y за све x, y X, назива се унитарни оператор. Идентична функциjа jе тривиjални унитарни оператор. Jедноставан унитарни оператор су и ротациjе, jер не мењаjу дужину нити угао између вектора, па према томе нити скаларни производ. Слична ротациjама су и множења броjем e iϕ C, коjа су такође унитарни оператори. Фуриjеве трансформациjе функциjе f R C коjе се дефинишу са ˆ ˆf(ξ) = f(x)e 2πixξ dx, ξ R, (4.79) су унитарни оператори. Теорема Унитарни оператор jе линеаран. Доказ. Треба показати да jе U(αx + βy) = αux + βuy, (4.80) за све α, β C и све x, y X. Означимо са K(U) кодомен, подручjе вредности оператора U, а са L(U) потпростор коjега K(U) разапиње. Тада jе вектор v = U(αx + βy) αu(x) βu(y) L(U). За произвољно z X скаларни производ v z jе: U(αx + βy αu(x) βu(y) U(z) = = U(αx + βy) U(z) α U(x) U(z) β U(y) U(z) = αx + βy z α x z β y z = 0. Према томе, вектор v jе окомит на потпростор L(U), па jе окомит и на самог себе, тj. он исчезава. Отуда (4.80). Ова теорема важи како за коначно тако и за бесконачно димензионалне просторе. Међутим, у коначно димензионалним просторима X биће K(U) = X. Наиме, за базу e 1,..., e n из X, вектори Ue 1,..., Ue n линеарно су независни, jер повлачи да за свако x X мора бити n k=1 n α k Ue k = 0 k=1 α k Ue k Ux = α k e k x = 0. n k=1 Растко Вуковић 216

217 Отуда n k=1 α ke k = 0, што повлачи α 1 = = α n = 0 а затим и линеарну независност вектора Ue 1,..., Ue n. Како унитарни оператор пресликава X на X, постоjи и инверзни оператор U 1. На начин овог доказа, да унитаран оператор пресликава X на X (сурjекциjом), можемо показати и да jе скуп свих унитарних оператора са X на X мултипликативна група. Такође, видимо зашто се та група у реланим просторима (Φ = R) често назива групом ортогогоналних оператора. Из квантне физике нам jе позната поопштена, тачкаста дистрибуциjа: δ(x) = { +, x = 0 0, x 0 ˆ δ(x) dx = 1, (4.81) коjа се назива Диракова делта. Она у строгом математичком смислу ниjе функциjа, већ означава место (x) на коjем се са (великом) извесношћу налази дата тачка. Зато пишемо y x = δ(y x), (4.82) када вероватноћа да jе x = y износи jедан, тj. Pr(x = y) = 1. Међутим, Диракова делта има добро дефинисану Фуриjеову трансформациjу ˆδ(ξ) = ˆ e 2πixξ δ(x) dx = 1. (4.83) Она спада у тзв. Шварцове функциjе, чиjи се изводи нагло мењаjу. За произвољну Шварцову функциjу ϕ са Фуриjеовом трансформациjом ˆϕ, важи ˆδ ϕ = δ ˆϕ, ϕ, (4.84) па jе већ због тога ˆδ = 1. Jедноставан пример употребе Диракове делте и његове нотациjе можемо посматрати на деловању оператора транслациjе T a. То jе линеарна трансформациjа коjа сопствено стање (eigenstate) позициjе x преводи у стање транслирано (увећано) за вектор a: T a x x + a. (4.85) Оператор T a jе унитаран, а његова коњугована вредност jе транслациjа за супротни вектор a. Наиме, скаларни производ старог и новог стања jе: y T a x = y T a x = y x + a = = δ(( y + a) x) = δ( y ( x a)) = y a x = T a y x, одакле T a = T a, што овде пишемо Ta = T a. Након транслациjе напред и назад за исти вектор a добиjа се почетно стање, jер jе T at a x = x, па jе T a = Ta 1, што значи да jе оператор транслациjе унитаран. На оваj начин видимо да сваки оператор коjи jе унитаран мора бити себи инверзан, али и обрнуто, сваки оператор коjи jе сам себи инверзан jе унитаран. Како jе Ux Ux = U x x = U 2 x 2, из дефинициjе следи U 2 = 1, а отуда U = e iφ, φ R, (4.86) Растко Вуковић 217

218 што значи да jе сваки унитарни оператор нека ротациjа (за угао φ). Аналогна унитарноj jе у геометриjи изометриjска трансформациjа или изометриjа, што значи промена коjа не мења удаљеност између две произвољне тачке. Из основа геометриjе знамо да се свака изометриjа може свести на ротациjе. Транслациjа jе изометриjа, па оваj резултат не изненађуjе. Непосредно из (4.86), за оператор транслациjе можемо писати T a = e i K a, K = K, (4.87) где jе K неки хермитски оператор. До истог долазимо и овако: 1 = T at a = e i K a e i K a = e i( K K) a, K = K, што значи да jе K хермитски оператор. Вратимо се сада опет на деловање унитарних оператора на векторе базе. Ако jе e 1,..., e n ортонормирана база у X и U унитарни оператор, онда jе Ue j Ue k = e j e k = δ jk = { 1, j = k 0, j k. (4.88) Унитаран оператор преводи ортонормирану базу простора у ортонормирану базу. Важи и обрнуто, за било коjе две ортонормиране базе e 1,..., e n и e 1,..., e n простора X постоjи унитарни оператор U такав да jе e k = Ue k редом за k = 1,..., n. Наиме, придружимо наведени унитарни оператор вектору: x = n n ξ k e k Ux = ξ k e k. k=1 k=1 Приметимо да jе таj оператор заиста унитаран: n Ux Uy = ξ j e j j=1 n k=1 η k e k = n ξ j η k e j e k = j,k=1 n ξ j η k δ jk = j,k=1 n ξ k η k = x y, k=1 за све x, y X. Jош су општиjа следећа тврђења, овде наведена као примери, чиjе доказе можете пронаћи у уџбенику (више) линеарне алгебре. Пример Нека су x 1,..., x n и x 1,..., x n две n-торке вектора из истог унитарног простора X димензиjе n. Ако jе x j x k = x j x k, j, k = 1,..., n, (4.89) тада постоjи бар jедан унитарни оператор U да jе x k = Ux k, k = 1,..., n. Услов (4.89) се може писати мало другачиjе за даље поопштавање. Вектори x k и x k придружуjу се jедан другоме преко индекса k. Дефинишимо функциjу x k = φ(x k) и скуп S = {x 1,..., x n }, да ту релациjу можемо писати у облику x y = φ(x) φ(y), x, y S. (4.90) Претходни став прераста у тврђење да постоjи унитарни оператор у X, коjи се путем φ подудара на S. Растко Вуковић 218

219 Пример Нека су X и Y унитарни простори над истим телом Φ, а S X и G Y подскупови такви да постоjи реципрочно jеднозначно пресликавање (биjекциjа) φ са S на G са своjством (4.90). Тада постоjи линеарни оператор U са кодомена K(S) на кодомен K(G), sa svojstvom и Ux = φ(x), x S. x y = Ux Uy, x, y K(S), Знамо да у n димензионалном векторском простору X n увек постоjи база, скуп од n линеарно независних вектора, да jе сваки вектор тог простора неки линеарни споj базних вектора. Таj базни скуп се увек може заменити с ортонорминраним скупом коjи jе и даље нека база простора X n. У алгебри, наjпопуларниjи од таквих jе следећи тзв. Грам-Шмитов поступак ортогонализациjе 42. Нека jе E = {x 1, x 2,..., x n,... } коначан или преброjив низ вектора неког унитарног простора X и нека jе L(E) потпростор разапет (скуп свих линеарних комбинациjа вектора датог скупа) тим скупом. Формирамо низ детерминанти y 1 = x 1, y 2 = x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 2 x 1 1, y x 2 x 1 x 3 = x 2 x 1 x 2 x 2 x 2,... (4.91) 2 x 3 x 1 x 3 x 2 x 3 где jе y k вектор коjи се добиjе развиjањем k-те детерминанте по последњоj колони. Од неког тренутка, у n-том кораку, све даље детерминанте су нуле. Добиjена n-торка вектора (y k ) jе тражена ортогонална база потпростора L(E) коjу треба нормирати. Пример У реалном простору X 3 са скаларним производом треба ортонормирати векторе x y = ξ 1 η 1 + ξ 2 η 2 + ξ 3 η 3, x 1 = e 1 + e 2 + e 3, x 2 = e 1 + e 2 e 3, x 1 = e 1 e 2 + e 3, помоћу Грам-Шмитовог поступка. Решење. Формирамо низ детерминанти (4.91): y 1 = x 1, y 2 = x 1 x 1 x 1 x 2 x 1 x 2 = 3 x 1 1 x 2 = x 1 + 3x 2, x 1 x 1 x 1 x 2 x x 1 y 3 = x 2 x 1 x 2 x 2 x 2 = 1 3 x 2 = 4x 1 + 4x 2 + 8x 3. x 3 x 1 x 3 x 2 x x 3 Отуда ортогонални вектори: y 1 = e 1 + e 2 + e 3, y 2 = 2e 1 + 2e 2 4e 3, y 3 = 8e 1 8e 2. Израчунавамо норме y 1 = 3, y 2 = 2 6 и y 3 = 4 2, па налазимо одговараjуће jединичне векторе e k = y k/ y k, редом за k = 1, 2, 3: То jе тражена ортонормирана база. e 1 = e 1 + e 2 + e 3 3, e 2 = e 1 + e 2 2e 3 6, e 3 = e 1 e Gram Schmidt process: Растко Вуковић 219

220 Пример Векторе x 1, x 2, x 3 X 3 из прошлог примера ортонормираjмо истим поступком, али када jе скаларни производ x y = ξ 1 η 1 + 2ξ 2 η 2 + 3ξ 3 η 3. Решење. Након израчунавања детерминанти (4.91) сада добиjамо: y 1 = x 1, y 2 = 6x 2, y 3 = 12( x 1 + 2x 2 + 3x 3 ), y 1 = e 1 + e 2 + e 3, y 2 = 6(e 1 + e 2 e 3 ), y 3 = 24(2e 1 e 2 ), То jе тражена ортонормирана база. e 1 = e 1 + e 2 + e 3 3, e 2 = e 1 + e 2 e 3 6, e 3 = 2e 1 e 2 6. Грам-Шмитов поступак добиjања окомитих вектора из скупа датих вектора може се употребити и у другачиjим задацима, као у следећем примеру. Пример Вектор a = 2e 1 e 2 +3e 3 приказати као линеарни споj вектора x 1, x 2, x 3 из примера Решење. Како jе вектор x 1 x 1 x 1 x 2 x 1 x 3 x x 1 x x = 2 x 1 x 2 x 2 x 2 x 3 x x = 2 x 3 x 1 x 3 x 2 x 3 x 3 x x 3 a x 1 a x 2 a x 3 a a окомит на векторе x 1, x 2, x 3, тj. на базу простора, то jе x = 0. Отуда, развиjањем детерминанте по последњоj колони, добиjамо a = x x x 3. Уз доказ исправности Грам-Шмитовог поступка формирања ортонормиране базе простора, коjе можете потражити у уџбеницима више алгебре, долази jош неколико занимљивих теорема, од коjих jе можда наjважниjа следећа. Ако jе Y коначно димензионалан потпростор унитарног простора X онда се сваки вектор x X може на jединствен начин писати у облику x = y + z, (4.92) где jе y Y и z Y. То jе jедноставниjа верзиjа познате теореме о проjекциjи, коjа се у уџбеницима исказуjе и доказуjе на различите начине. На краjу погледаjмо попис назива оператора коjи се често користе у унитарним 43 просторима. Сваки од ових оператора jе линеарно пресликавање (X X): N jе нормалан, ако комутира са са своjим адjунгованим (N N = NN ); U jе унитаран, ако jе U U = I; H jе хермитски, ако jе H = H; ; K jе антихермитски, ако jе K = K. Исте називе користимо за одговараjуће матрице, репрезентациjе наведених оператора. Нормални оператори су толико важни и карактеристични пратиоци унитарних простора, да можемо рећи да jе теориjа унитарних простора заправо теориjа нормалних оператора 44. Када jе X реалан простор, уместо речи хермитски често се употребљава реч симетричан, уместо антихермитски антисиметричан или кососиметричан, уместо унитаран ортогоналан. 43 Унитаран простор - снабдевеним скаларним производом. 44 То jе цитат из књиге [13]. Растко Вуковић 220

221 4.10 Квантни простори Материjа коjа нас окружуjе, супстанца наше васионе, састоjи се од реализованих и нереализованих случаjних догађаjа. Према томе, случаjне догађаjе разврставамо у две класе, у класу реалних и класу нереалних. Реалан догађаj jе онаj коjи комуницира (размењуjе информациjе) са неким од реалних догађаjа и зато jе у реду рећи да он тада постаjе реализациjа случаjног догађаjа. Реализациjа случаjних догађаjа jе процес трансформациjе неизвесности у информациjу, за коjи важе принципи вероватноће и током коjег jе укупна количина неизвесности и информациjе стално иста. Нећемо рећи математички принципи и физичка количина, jер те поjмове у савременоj теориjи тек треба допуњавати. Супстанца овде ниjе само оно што jе и у класичном смислу, односно ниjе само оно што jе реално. Зато што jе интеракциjа размена информациjа са реалним, морамо под материjом подразумевати и нереализоване делови васионе од коjих настаjе информациjа. То значи да нереално морамо поделити у наjмање две класе. Прва класа нереалних су немогући догађаjи, коjи не могу комуцирати са реалним. Друга класа су виртуелни догађаjи, коjи би могли комуницирати са реалним, али нису. Међутим, комуникациjа нереализованих ниjе комуникациjа правом смислу, jер ниjе размена информациjа. Ако постоjе узаjамно зависни случаjни догађаjи, онда постоjе и интеракциjе без размене информациjе. Приметимо да исказ реалним догађаjима сматрамо само оне коjи су у интеракциjи са другим догађаjима коjе сматрамо реалним, дели васиону у односу на посматрача на овострану и онострану, што само на први поглед звучи бесмислено. Друго, свака размена информациjа jе нека интеракциjа, али ниjе и обрнуто. Неке интеракциjе иду без размене информациjе. Оба дела наше васионе, реални и виртуелни, покриваjу функциjе коjе овде називамо комплексним вероватноћама. Комплексне вероватноће су у квантноj механици познате таласне функциjе ψ = ψ(r, t), са доменом у реалном простор-времену (положаj r у тренутку t) и кодоменом у скупу комплексних броjева. Оне за дато квантно стање чине векторски простор. Дакле, квантни простор чине вектори коjи су комплексне вероватноће случаjних догађаjа, а случаjни догађаjи су jедна или више честице, особине честица и стања честица. Према дефинициjи простора комплексних функциjа ψ, квантни простори су снабдевени скаларним производом 45 ψ 1 ψ 2, са нормом ψ = ψ ψ. Функциjе ψ су експоненциjалне функциjе комплексних информациjа L. Другим речима, информациjе су (негативни) логаритми вероватноћа. Комплексни логаритми имаjу неограничене аргументе тако да су њихове експоненциjалне вредности периодичне функциjе. Како су све функциjе ψ периодичне, то су таква и квантна стања (jедна или више честица, особине честица и стања честица). Посебно, у реду jе сваку честицу сматрати и таласом. Поред тога, збир коњуговано комплексних броjева L + L jе реална информациjа, па jе доследно томе производ коњуговано комплексних броjева ψ 2 = ψ ψ реална вероватноћа. Дакле, у реду jе подржати да норма вектора комплексне вероватноће ниjе исто што и вероватноћа реалног догађаjа. То такође има своjе последице. На слици 4.6 видимо три троугла (са углом γ наспрам странице c). Први троугао jе тупоугли (γ 1 > 180 ), други jе правоугли (γ 2 = 90 ), трећи оштроугли (γ 3 < 90 ). За странице троуглова важи неjеднакост троугла (c < a + b): свака jе страница троугла 45 в. секциjу 4.5 Унитарни простори Растко Вуковић 221

222 мања од збира остале две. Али, она не важи за квадрате страница: c 2 1 > a b 2 1, c 2 2 = a b 2 2, c 2 3 < a b 2 3. (4.93) Сличне девиjациjе показаће реалне вероватноће ψ 2 коjе су квадрати норми вектора ψ, у односу на норме ψ. Slika 4.6: Тупоугли, правоугли и оштроугли троугао. Скаларне производе jе формално могуће увести на различите начине, али у складу са схватањем реалности, избор скаларог производа одређуjе мерење. Сви догађаjи коjе можемо потврдити у неком експерименту, мерењем, за нас су реални, jер су у интеракциjи са нечим реалним. Наиме, мерење jе такође интеракциjа, а интеракциjа jе у свету реалног исто што и размена информациjа. Посматрање васионе као места реализациjе случаjних догађаjа отвара могућност jош jедне врсте репрезентациjа апстрактних простора у квантноj физици. То су (jош увек неоткривени) простори комплексних информациjа. Вектори (L) таквог простора били би неограничени, jер су неограничени аргументи логаритама комплексних броjева, што би према теоремама функционалне анализе значило да су им оператори дискретни 46. Са друге стране, вектори (ψ) квантних простора коjима се овде бавимо, ограничени су и зато су им оператори непрекидни. Интуитивно осећамо да разни случаjни догађаjи могу произвести разне последице. Нећу jеднако покиснути ако у згради отворим кишобран па прошетам по киши, као када прво прошетам по киши а затим уђем у зграду и отворим кишобран. Уопште, поjава прво догађаjа S 1 за коjим следи догађаj S 2 може (али не мора) имати другачиjе последице од поjаве прво догађаjа S 2 а затим S 1. То нас доводи до некомутативности оператора. За дате операторе A и B се може десити неки вектор ψ такав да буде ABψ BAψ, када пишемо AB BA и кажемо да су ти оператори не-комутативни. Величину комутативности оператора A и B меримо комутатором тих оператора: [A, B] = AB BA. (4.94) Из (не) комутативности линеарних оператора следи иста особина њихових матрица. Ево неких познатих особина комутатора линеарних оператора, коjе се често користе у квантноj механици: 1. [A,A] = 0, 2. [A,B] + [B,A] = 0, 3. [A,B+C] = [A,B] + [A,C], 4. [A+B,C] = [A,C]+[B,C], 5. [A,BC]= [A,B]C + B[A,C], 6. [AB,C]=[A,C]B+A[B,C], 7. [A,[B,C]]+[C,[A,B]]+[B,[C,A]]]=0, (4.95) За пример, доказуjемо 6. [AB, C] = (AB)C C(AB) = 46 в. теорему 4.7.7, претходну и сличне = ABC CAB + ACB ACB Растко Вуковић 222

223 = (AC CA)B + A(BC CB) = [A, C]B + A[B, C]. Слично се доказуjу и остале. Читаоцу препуштам да докаже и jеднакост [ j A j, k B k ] = [A j, B k ], (4.96) j,k да jе комутатор збирова jеднак збиру комутатора. Оператори мењаjу вероватноће догађаjа. На пример, густина вероватноће налажења материjалне тачке на апсциси одређена jе комплексном функциjом ψ. Густине ψ 2 приказане ординатама требале би имати облик Гаусовог звона 47, а оператор 48 положаjа x ψ xψ преместиће то Гаусово звоно, са позициjе 1 на позициjу x апсцисе. Приметимо да деловање оператора на вероватноће има исто значење као њихово деловање на саме догађаjе, реалне и виртуелне, при чему они виртуелни, док год су такви (нереални), остаjу нама неухватљиви. Према томе, оператори поред тога што се у реалном држе закона физике (рецимо закона одржања), ствараjу реалност. Подсетимо се сада математичке расподеле вероватноће. За дисjунктне догађаjе ω 1, ω 2,..., ω n са вероватноћама 49 p k = Pr(ω k ) важи jеднакост n k=1 p k = 1. Слично важи и за расподеле променљиве x по вредностима x 1, x 2,..., x n, где p k = Pr(x = x k ) ниjе импулс већ jе вероватноћа да случаjна променљива x узме вредности x k. Пишемо ( x 1 x 2... x n p 1 p 2... p n ), Средња вредност ове дискретне расподеле jе n p k = 1. (4.97) k=1 µ(x) = x 1 p 1 + x 2 p x n p n = n x k p k. (4.98) k=1 Броj µ = µ(x) називамо математичко очекивање дате случаjне вариjабле. квадратно одступање од очекивања µ jе вариjанса Средње var(x) = n k=1 (x k µ) 2 p k, (4.99) чиjи корен jе дисперзиjа, ознаке σ(x). Када n, прелазимо на апроксимациjу непрекидним функциjама, па очекивање и вариjанса постаjу: ˆ ˆ µ(x) = xρ(x) dω, var(x) = (x µ) 2 ρ(x) dω, (4.100) Ω где jе ρ(x) густина вероватноће, а интеграли се по целом (Ω) простору случаjних догађаjа. Тада расподелу називамо континуалном. Збир свих вероватноћа дискретне расподеле jе jедан, као и интеграл континуалне густине по целом простору. Када ове одреднице из теориjе вероватноће примењуjемо на величине из квантне механике узећемо у обзир да радимо са унитарним простором вектора ψ над телом комплексних броjева. Како год да jе дефинисан, скаларни производ ψ 1 ψ 2 треба 47 Gaussian function: 48 Тилда изнад слова оператора, за разлику од шешира (енг. hat) за матрицу. 49 енг. Probability - вероватноћа Ω Растко Вуковић 223

224 одржати своj основни смисао, мере интеракциjе између вектора ψ 1 и ψ 2, али тако баждарене да у случаjу ψ 1 = ψ 2 = ψ таj производ постаjе вероватноћа ψ 2 коjу требамо моћи препознати у математичкоj теориjи и мерењем. Прва особина скаларног производа, ψ 1 ψ 2 = ψ 2 ψ 1, значи да jе резултат реалан броj, те да ово множење изражава реалне интеракциjе. Друга, ψ 1 λψ 2 = λ ψ 1 ψ 2, говори о могућности одржања реалности интеракциjе када се прва вероватноћа множи одговараjућим броjем, а друга са трећом, ψ ψ 1 +ψ 2 = ψ ψ 1 + ψ ψ 2, говори о одржању количине догађаjа односно њихових вероватноћа. Четврта особина, ψ 0 ψ ψ > 0, каже да чим има комплексне вероватноће има и реалне. Тестираjмо исправност ових интерпретациjа на примеру Прва jеднакост, λψ 1 ψ 2 = λ ψ 1 ψ 2, каже да реална интеракциjа ψ 1 ψ 2 може престати бити реална, ако се нека (овде прва) од две вероватноће множи неодговараjућим броjем. Али и обрнуто. Ta са другом jеднакошћу, ψ 1 + ψ 2 ψ = ψ 1 ψ + ψ 2 ψ, потврђуjе претходни налаз о одржању количина, али сада и у односу на прве учеснике множења (мерења). Када трећу релациjу логаритмуjемо, ψ 1 ψ 2 2 ψ 1 ψ 1 ψ 2 ψ 2, добиjамо: ln ψ 1 ψ 2 2 ln ψ 1 ψ 1 ψ 2 ψ 2, ln ψ 1 ψ ( ln ψ 1 ψ 1 ln ψ 2 ψ 2 ), L (L 1 + L 2 ). (4.101) Размењена информациjа интеракциjом L 12 ниjе мања од аритметичке средине информациjа L 1 и L 2 поjединих квантних система коjи учествуjу у интеракциjи. При томе, важи неjеднакост када год се ради о различитим системима. Само jе интерпретациjа последњег од резултата необична, али jе и она прихватљива. Просто речено, формула (4.101) значи да интеракциjа (за нас) ниjе мање информативна од просечног учесника (а ако су учесници различити онда jе сигурно већа). Неjеднакост би могла да поjасни однос реалног и виртуелног догађања, да омогући виртуелном догађаjу (у интеракциjи са реалним) да се реализуjе. Даље особине квантног простора, посебно скаларног производа таласних функциjа, тражимо у независним догађаjима чиjе вероватноће се множе. Размотримо то на примеру бацања новчића и коцке. Вероватноћа да падне писмо при бацању новчића jе 1 2, а вероватноћа да падне шестица при бацању коцке jе 1 6, па вероватноћа да при истовременом бацању новчића и коцке падну писмо и шестица износи = 1 12, ако су ова два бацања независни догађаjи. Аналогно, ако су ψ 1 и ψ 2 комплексне вероватноће два независна квантна догађаjа, онда jе вероватноћа њихове интеракциjе скаларни производ ψ 1 ψ 2. Када тако поопштавамо вероватноћу пара независних догађаjа, доследно jе сматрати да само резултати из скупа реалних броjева представљаjу реалне вероватноће. Посебно, ψ ψ = ψ 2 била би сопствена вероватноћа. Вратимо се сада на непрекидне функциjе за коjе смо рекли да су главни оператори квантних простора, што се односи и на вероватноће ψ. Ради jедноставности, посматраjмо само jедну димензиjу физичког простора. На домену x (a, b) R и кодомену неком подскупу скупа C интеграбилних функциjа, израз ψ 1 ψ 2 = ˆ b a ψ 1ψ 2 dx. (4.102) Растко Вуковић 224

225 jе добро дефинисан скаларни производ функциjа ψ 1 = ψ 1 (x, t) и ψ 2 = ψ 2 (x, t). Као скаларан производ, он jе мера вероватноће интеракциjе односно комуникациjе између два квантна система са вероватноћама ψ 1 = ψ 1 (x, t) и ψ 2 = ψ 2 (x, t). Тако се дефинишу функционал (4.63) и функционела. Према (4.64), за оператор A кажемо 50 да jе адjунгован оператору A када за све таласне функциjе ψ 1 и ψ 2 важи: A ψ 1 ψ 2 = ψ 1 Aψ 2, ˆ b a (A ψ 1 ) ψ 2 dx = што jе тачно ако jе (A ψ 1 ) ψ 2 = ψ1 Aψ 2. Поопштаваjући (4.100), за очекивање оператора A узимамо: ψ Aψ = ˆ b a ˆ b a ψ Aψ dx, ψ 2 = ψ 1(Aψ 2 ) dx, (4.103) ˆ b a ψ ψ dx = 1. (4.104) Пишемо и A = ψ A ψ = ψ Aψ. Све опсервабле представљамо на оваj начин. Како су опсервабле реалне (добиjене су мерењем), мора бити A = A, односно ˆ b a ψ Aψ dx = (Aψ) ψ dx, (4.105) а оператор A коjи испуњава такав услов назива се хермитски. За хермитски оператор уопште важи ˆ b a ψ 1Aψ 2 dx = ˆ b a (Aψ 1 ) ψ 2 dx, (4.106) за било коjа два вектора, тj. функциjе ψ 1 и ψ 2, датог простора. Како jе ψ = ψ(x, t) вероватноћа догађаjа на месту x у тренутку t, то се очекивање догађаjа на датом месту у датом тренутку дефинише са x = ψ x ψ = ˆ ψ xψ dx. (4.107) У складу са претходним обjашњењем реалности, оваj интеграл jе просечна вредност позициjе x коjа би се могла очекивати из великог броjа мерења. У складу са нашом интуициjом, оваj броj би могао бити и просечна вредност позициjе великог броjа честица описаних истом таласном функциjом ψ. На пример, очекивање полупречника електрона у основном стању водониковог атома jе просечна вредност коjу добиjамо мерењима великог броjа водоникових атома 51. Оператор импулса (4.31), посматран само дуж апсцисе биће p x = i x и имаће средњу вредност p x = ψ p x ψ = ˆ ψ p x ψ dx. (4.108) Како jе енергиjа слободне честице E = p2 2m, очекивање енергиjе дуж x-осе jе за слободну честицу. E x = ψ E x ψ = 50 Уместо уобичаjеног A пишемо A. 51 Цитат из уџбеника квантне механике [15]. ˆ ψ 2 2 ψ dx, (4.109) 2m x2 Растко Вуковић 225

226 4.11 Опсервабле Опсервабла jе динамичка вариjабла коjа се може мерити. У квантноj механици свакоj динамичкоj вариjабли (позициjи, импулсу, енергиjи) придружен jе хермитски оператор, Ã, коjи делуjе на таласне функциjе ψ (комплексне вероватноће) са сопственим вектором ψ a коме одговара могућа 52 сопствена вредност a динамичке вариjабле, тако да важи jедначина Ãψ a = aψ a. (4.110) Тада, средња вредност (по сопственим векторима) износи: ˆ ˆ ˆ Ã = ψ aãψ a dx = ψaaψ a dx = a ψaψ a = a ψ a 2, (4.111) тj. Ã = a када су таласне функциjе нормиране на jединицу. Налажење дате вариjабле у датом стању, сопственом вектору ψ a, jе сигуран догађаj када jе ψ a 2 = 1. Приметимо, ако сопствена вредност a не би била реалан броj (већ комплексан), онда опсервабла коjу она представља не би била реална, не би била мерљива. Обрнуто, ако jе опсервабла мерљива, тада jе a R па jе оператор Ã хермитски. Себи коњугован оператор, Ã = Ã, jе такође хермитски. Пример Показати да jе средња вредност квадрата себи коњугованог оператора позитиван броj. Решење. Означимо са dx инфинитезимални елеменат простора X. У изразу Ã2 X = ψ Ã 2 ψ dx X ψ ψ dx називник jе позитиван броj. Када jе простор нормиран тада jе X ψ ψ dx = ψ 2 = 1. Из дефинициjе себи коњугованог оператора Ã следи: ˆ X ˆ ψ ÃÃψ dx = X ˆ (Ãψ) (Ãψ) dx = Ãψ 2 dx > 0, тj. Ã2 > 0, а то jе и требало показати. У случаjу да jе таласна функциа комбинациjа сопствених стања, рецимо тако да jе: тада jе очекивана вредност датог (хермитског) оператора: ˆ Ã = ψ Ãψ dx = ψ = λ 1 ψ 1 + λ 2 ψ 2, (4.112) Ãψ 1 = a 1 ψ 1, Ãψ 2 = a 2 ψ 2, (4.113) ˆ = (λ 1 ψ 1 + λ 2 ψ 2 ) Ã(λ 1 ψ 1 + λ 2 ψ 2 ) 52 Jедан сопствени вектор датог оператора може имати више сопствених вредности. Растко Вуковић 226

227 = a 1 λ 1 2 ˆ Природа времена ˆ = (λ 1ψ1 + λ 2ψ2)(λ 1 a 1 ψ 1 + λ 2 a 2 ψ 2 ) ˆ ˆ ˆ ψ1ψ 1 dx + a 2 λ 1λ 2 ψ1ψ 2 dx + a 1 λ 2λ 1 ψ2ψ 1 dx + a 2 λ 2 2 ψ 2ψ 2 dx. Према томе, када су вектори ψ 1, ψ 2 ортонормирани (узаjамно окомити и jединичних норми), биће Ã = a 1 λ a 2 λ 2 2, (4.114) Међутим, сопствени вектори хермитског оператора увек могу бити ортонормирани. Покажимо да су (различити) сопствени вектори ψ 1 и ψ 2 хермитског оператора Ã узаjамно окомити. Нека важи (4.113). На два начина израчунавамо (сопствене вредности су реалне): ψ 2 Ãψ 1 = a 1 ψ 2 ψ 1, ψ 2 Aψ 1 = Aψ 2 ψ 1 = a 2 ψ 2 ψ 1, и одузимамо добиjене jеднакости Jедно решење ове jедначине jе (a 2 a 1 ) ψ 2 ψ 1 = 0. (4.115) ψ 2 ψ 1 = 0, a 1 a 2. (4.116) Дакле, различите сопствене функциjе хермитског оператора Ã су ортогоналне, ако су им сопствене вредности различите. За друго решење jедначине (4.115), тзв. случаj дегенерациjе када су сопствене вредности jеднаке, можемо претпоставити да jе ψ 2 ψ 1 реалан броj (увек се могу наместити фазе да то буде). Пошто било коjа линеарна комбинациjа ψ 1 и ψ 2 има исту сопствену вредност, свеjедно нам jе коjу ћемо узети. Међутим, ми циљамо на оне коjе су узаjамно ортогоналне, на пример: ψ + = 1 2 (ψ 1 + ψ 2 ), ψ = 1 2 (ψ 1 ψ 2 ). (4.117) За њих налазимо: ψ + ψ = 1 2 (1 ψ 1 ψ 2 + ψ 2 ψ 1 1) = 0, jер jе скаларни производ реалан броj (оператор jе хермитски). Дакле, постоjе ортогоналне сопствене функциjе чак и у случаjу jеднаких сопственх вредности (дегенерациjе). Даље се jедноставно наставља рад као да jе сваки пар сопствених вектора хермитског оператора ортогоналан. Нормирање постижемо преласком ψ ψ/ ψ. Према томе, увек можемо имати (4.114). Резимираjмо. Очекивање оператора Ã дато jе изразом ˆ Ã = ψ Ãψ dx, (4.118) као у случаjу оператора координате (4.107). Вредности физичких опсервабли (положаjа, енергиjе, густине,... ) мораjу бити реалне, па Ã мора бити реално. То значи да jе Ã = Ã, а оператори коjи задовољаваjу таj услов, односно (4.106), називаjу се хермитским. Пример Показати да су сопствене вредности хермитског оператора реалне. Растко Вуковић 227

228 Решење. Покажимо то на начин сличан (4.111): ˆ ˆ ψ aãψ a dx = ψ a (Ãψ a) dx, ˆ a ψ aψ a dx = a ˆ ˆ (a a ) ψ a 2 = 0, ψ a ψ a dx, па како jе ψ a 2 > 0, мора бити или a = a или ψ a = 0. прихватљива за сопствену, a jе реалан броj. Пошто нула функциjа ниjе Пример Сопствени вектори хермитског оператора су ортогонални. Решење. Покажимо то на начин сличан (4.115): ˆ ˆ ψ aãψ b dx = ψ b (Ãψ a) dx, ˆ b ψ aψ b dx = a ˆ ˆ (b a) ψ aψ b = 0, ψ b ψ a dx, jер jе a = a показано у претходном примеру. Када jе b a, биће ψ aψ b dx = 0. У случаjу дегенерациjе (више од jедне сопствене функциjе са истом сопственом вредношћу), ми бирамо сопствене функциjе тако да буду ортогоналне. Рецимо, ако jе Ãψ a = aψ a и Ãψ b = aψ b, тражимо ψ c = ψ b + λψ a тако да буде: ˆ ψ aψ c dx = 0, ˆ ˆ ψ a(ψ b + λψ a ) dx = 0, ˆ ψaψ b dx + λ ˆ λ = ˆ ψaψ b dx/ ψ aψ a dx = 0, ψ aψ a dx. Тада су ψ a и ψ c ортогоналне сопствене фукциjе датог хермитског оператора. То jе заправо почетак Грам-Шмитовог поступа ортогонализациjе (4.91), коjи се даље може користити у jош сложениjим случаjевима. Слично (4.112), свака таласна функциjа ψ се може писати као линеарна комбинациjа ортонормираних сопствених функциjа ψ 1, ψ 2,... било коjег оператора ψ = λ 1 ψ 1 + λ 2 ψ , (4.119) тако да jе, слично (4.114), очекивана вредност опсервабле коjу она представља Ã = k a k λ k 2. (4.120) Растко Вуковић 228

229 То jе принцип суперпозициjе коjи jе основа свих разлика између квантне и класичне механике. Чињеница да честицу описуjемо таласима чиjе се амплитуде (вероватноће) могу додавати и комбиновати у мешана стања jе нешто што нема аналогиjу у класичноj механици. Пример Показати да jе ψ = exp(ikx), i = 1, k = const. сопствена функциjа са сопственом вредношћу p = k, = h 2π, оператора импулса p x = i x. Решење. То следи из pψ = pψ, а затим: и упоређивањем. i x eikx = ke ikx, Како вредности p = k немаjу ограничења, то сопствених вредности и сопствених функциjа ψ = exp(ikx) има онолико колико и комплексних броjева k. За реалне броjеве k и exp(ikx), exp( ikx), exp(kx), exp( kx) су такође сопствена стања p x. Узимањем парциjалних извода се лако проверавауjу и следећа тврђења. Када су k ξ за ξ {x, y, z} у правоуглим Декартовим координатама, сопствене вредности оператора p ξ, где су вектори k = (k x, k y, k z ) и r = (x, y, z), тада jе таласна функциjа ψ(x, y, z) = exp( ik r) сопствена функциjа сваког тих оператора. Функциjе sin(k x x), sin(k y y) и sin(k z z) су сопствена стања оператора p 2 = p 2 x + p 2 y + p 2 z са сопственом вредношћу 2 (kx 2 + ky 2 + kz). 2 Функциjа ψ = exp(ik r) jе сопствена функциjа оператора p 2 = p 2 x + p 2 y + p 2 z. То су задачићи познати са курса квантне механике 53. За следећу групу примера узмимо експеримент Стерна и Герлаха на слици 4.5. Рецимо да знамо да z компонента спина честице износи S z = 1 2. Квантном систему придружимо стање S z = 1 2, или jош jедноставниjе писано +. На сличан начин придружуjемо стање компоненти z спина са измереном вредношћу 1 2. Приметимо да се два наведена стања узаjамно искључуjу. Дакле, она представљаjу узаjамно дисjунктне случаjне догађаjе, па им вероватноће можемо просто сабирати. Друга напомена. Опсервабла jе мерљива величина, али сам чин мерења може да ненаруши или да наруши стање коjе се мери. У случаjу експеримента Стерн-Герлаха, мерење након мерења даће опет исти резултат, што значи да ће стање преживети интеракциjе мерења. Насупрот томе, мерење коjе би броjало фотоне у неком резонатору мења мерено стање, тако да показуjе све мањи и мањи броj преосталих фотона. Ако jе атом припремљен у неком произвољном почетном стању S, тада ће скаларни производ показати вероватноћу налажења тог у неком другом стању S : S S = S + + S + S S, (4.121) што након краћења даjе S = + + S + S, (4.122) а то значи да свако стање спина атома може бити интерпретирано као вектор изражен линеарном комбинациjом стања ±. Ова два стања чине потпуну и ортонормирану базу одговараjућег система. 53 На студиjу математике у Београду давних 80, мени jе то био изборни 3-семестрални предмет код проф. Федора Хебута и асистента проф. Игора Ивановића. Растко Вуковић 229

230 Даље настављамо придружуjући опсервабли S z хермитски оператор, матрицу Ŝz, такву да jе Ŝz ± = ± 1 2 ±, што у бази ( +, ) даjе: Ŝ z = ( + Ŝz + + Ŝz Ŝz + Ŝz ) = 2 ( ), (4.123) односно Ŝz = 2 ˆσ 3, где jе ˆσ 3 Паулиjева матрица из (3.3). На оваj начин конструишемо хермитски оператор коjи представља посебну опсерваблу. Уопште, квантно мерење формализуjемо узимаjући ортонормирану базу ψ k, или ознаке вектора ψ k, за k = 1,..., n, и у тоj бази пишемо произвољан вектор у облику ψ = a 1 ψ a n ψ n, (4.124) при чему су базом jеднозначно одређени коефициjенти a k C. Резултат мерења jе нека величина λ k (то jе реалан броj коjи прочитамо из мерног уређаjа) са вероватноћом a k 2. Чином мерења, квантни систем спадне (колабира) на стање ψ k. Низ броjева λ k само jе начин саопштавања резултата мерења у k-ом исходу, али са коjим можемо конструисати хермитску матрицу n  = λ k ψ k ψ k. (4.125) k=1 У бази ψ k, ово jе диjагонална матрица са броjевима λ k на диjагонали. На пример, желимо да измеримо неки кjубит 54 у бази +,, са мерним резултатима +1 и 1 редом. Одговараjуће мерење опсервабле jе матрица: ˆM = (+1) ( 1) = 1/2 1/2 1/2 1/2 = ( ) ( 1/2 1/2 1/2 1/2 ), ˆM = ( ). (4.126) Из конструкциjе се види да ˆM има сопствене векторе +, са сопственим вредностима 1 и 1. То jе поступак коjим смо добили и (4.123), при чему овде кjубит тамо значи спин, овде имамо прву, тамо трећу Паулиjеву матрицу. Уопште, кjубити су двочлана стања квантног система. То могу бити два стања електрона у атому водоника, 0 - основним стањем и 1 - побуђеним. Електрон може бити у jедном од та два стања, или у њиховоj суперпозициjи (линеарноj комбинациjи). Стања кjубита се могу писати као вектори ( α β ) C2, или у Дираковоj нотациjи: ψ = α 0 + β 1, α 2 + β 2 = 1, α, β C. (4.127) Линеарна суперпозициjа ψ изражава сва могућа стања електрона, а мерење издваjа jедно конкретно када добиjамо jедан класичан бит информациjе, 0 или 1. Наjпростиjе мерење jе у основноj бази, са исходом 0 вероватноће α 2, а 1 вероватноће β 2. Мерење мења стање кjубита и оставља га у измереном стању. Понављање мерења не даjе додатну информациjу, jер jе претходна неизвесност квантног стања неповратно смањена. 54 енг. qubit - квантна информациjа од jедног бита Растко Вуковић 230

231 4.12 Квантна спрегнутост Квантна спергнутост или уплетеност (енг. entanglement) званично jе физички феномен коjи се дешава када пар или група честица интерагуjу на начин да квантно стање поjедине честице не може бити описано независно од осталих, чак и када су те честице међусобно веома удаљене, те се квантни систем мора описивати само као целина АПР парадокс Спрегнути аспект квантних система jе откривен у раду [16] Аjнштаjна, Подолског и Розена из године: Можемо ли квантно-механички опис физичке реалности сматрати комплетним? Таj рад jе заправо био покушаj рушења темеља квантне механике, коjи се временом (експериметима) окренуо у нешто друго. Аутори АПР су посматрали два квантна система. Сопствене вредности a 1, a 2, a 3,... неке физичке величине A коjе се односе на први систем и одговараjуће сопствене функциjе другог u 1 (x 1 ), u 2 (x 1 ), u 3 (x 1 ),..., где x 1 стоjи за вариjабле коjе описуjу први систем. Тада се Ψ коjу сматрамо функциjом од x 1, може писати Ψ(x 1, x 2 ) = ψ k (x 2 )u k (x 1 ), (4.128) k где x 2 стоjи за вариjабле употребљене за опис другог квантног система. Овде су ψ k (x 2 ) коефициjенти развоjа функциjе Ψ у ред ортогоналних функциjа u k (x 1 ). Нека jе A величина коjа jе мерена и добиjена вредност jе a k. Закључуjемо да jе након мерења први систем остао у стању са таласном функциjом u k (x 1 ), а да jе други систем остао у стању са таласном функциjом ψ k (x 2 ). То jе процес редукциjе таласног пакета: таласни пакет дат бесконачним редом (4.128) jе редукован на jедан сабирак ψ k (x 2 )u k (x 1 ). Међутим, скуп функциjа u k (x) одређен jе избором физичке величине A. Ако, уместо ове изаберемо другу величину, рецимо B, са сопственим вредностима b 1, b 2, b 3,... и сопственим функциjама v 1 (x 1 ), v 2 (x 1 ), v 3 (x 1 ),..., уместо претходног имамо развоj Ψ(x 1, x 2 ) = ϕ j (x 2 )v j (x 1 ), (4.129) j где су ϕ j нови коефициjенти. Ако сада меримо величину B и нађемо вредност b j, закључићемо да након мерења први систем остаjе у стању датом са v j (x 1 ) а други систем у стању датом са ϕ j (x 2 ). Према томе, у два различита мерења првог система, други може бити остављен у стању са две различите таласне функциjе. Са друге стране, како у време мерења два система више не размењуjу деjства, то не постоjи реална промена другог система узрокована деjством првог, пишу аутори поменутог рада. То сматраjу просто последицом онога што називамо одсуством преноса информациjе између два система. Испада да jе тада могуће доделити две различите таласне функциjе (ψ k и ϕ j ) истоj реалности (другом систему након интеракциjе са првим). Даље се може десити, наводе, да су две таласне функциjе, ψ k и ϕ j, сопствене функциjе два некомутативна оператора физичких величина редом P и Q, импулса и положаjа. Они затим изводе 55 данас добро познату релациjу ˆP ˆQ ˆQ ˆP = h/2πi, (4.130) 55 в. Неодређеност III - Квантна спрегнутост, 17. jуни 2016, Растко Вуковић 231

232 коjа jе заправо Хаjзенбергова релациjа неодређености положаjа и импулса, писана помоћу оператора. У могућности да ψ k и ϕ j буду сопствене функциjе два некомутативна оператора коjи одговараjу физичким величинама, аутори АПР виде парадокс. Ометање опажања jедне величине због опажања друге постаjе недопустиво парадоксално, сматраjу, када су та два опажања тако удаљени догађаjи да нити информациjа брзином светлости не би могла стићи од jедног до другог. Због лакоће коjом алгебра квантне механике дозвољава сличне закључке, аутори АПР у самоj основи те теориjе виде контрадикциjу из коjе се може изаћи: jер jе квантна механика некомплетна теориjа са локално скривеним вариjаблама. Аjштаjн jе снажно заступао идеjу локалности, да су интеракциjе међу честицама или уопште физичким поjавама могуће само ако су праћене просторно-временским преносом неког деjства или информациjе, од jедне до друге. Таj пренос не може бити бржи од брзине светлости, а евентуално тренутно деjство на даљину ругаjући се називао jе сабласним (енг. spooky action at a distance). Обjашњаваjући своj реализам рекао jе: Веруjем да jе Месец тамо где jе чак и док га не гледам, а за своjе разумевање непотпуности квантне механике Аjнштаjн jе смислио следећи пример са рукавицама. Замислимо да раздвоjимо пар рукавица и да их ставимо у две идентичне кутиjе коjе затим помешамо. Jедну кутиjу пошаљемо далеко далеко а другу донесемо кући. Ми не знамо коjа jе рукавица у кутиjи код куће, лева или десна, све док jе не отворимо. Међутим, када отворимо ту кутиjу, истог тренутка сазнаjемо и коjа jе рукавица у оноj другоj кутиjи, ма како она тада била удаљена од нас. Таква нека нама непозната веза међу подсистемима мора да постоjи у спрегнутом квантном систему, сматрао jе Аjнштаjн. Неочекивано, али Аjнштаjнов пример са рукавицама открива нам и управо супротне, стохастичке особине квантних поjава. Рецимо, следеће поопштење тог примера даjе увид у закон одржања укупне количине неизвесности и информациjе затвореног система, коjи смо овде више пута помињали. Претпоставимо да имамо десет означених али иначе идентичних кутиjа са по jедном лоптом. Не знамо коjа jе лопта у коjоj кутиjи. Вероватноћа да jе посебна jедна (од десет) лопти у првоj кутиjи jе Пре отварања те кутиjе имамо неизвесност количине ln 10, а чином отварања сва та неизвесност постаjе информациjа исте количине. Затим jе вероватноћа неке посебне лопте у следећоj кутиjи 1 9, са неизвесношћу пре односно информациjом након отварања друге кутиjе ln 9. Настављаjући оваj поступак отварања до претпоследње кутиjе (у последњоj нема неизвесности), приметићемо да jе збир свих информациjа ln 10 + ln ln 2 = ln( ) = ln(10!). Броj десет факториjел, тj. 10! = jе броj свих пермутациjа лопти по кутиjама у почетном распореду. Логаритам тог броjа ln 10! jе неизвесност са почетка отварања коjа се на краjу трансформисала у тачно jеднаку количину информациjе. Нити треба сумњати у обjективност случаjности у микро-свету, нити да природа следи наведену законитост математичке теориjе информациjе. Напротив, можемо сматрати да због истих разлога долази до квантне спрегнутости. Када се реализуjе неизвесност, она прелази у информациjу, а због одржања збира њих две, реализациjа случаjности утиче на вероватноће нереализованих. То jе разлог промена других особина датог квантног система због мерења jедне од њих. Овакво тумачење квантне спрегнутости ниjе сасвим jеднако званичном. То нарочито долази до изражаjа са последицама коjе су скоро па непосредне за приметити, да не Растко Вуковић 232

233 кажем тривиjалне. Наиме, необичност Аjнштаjновог сабласног феномена деловања на даљину долази и од уобичаjеног схватања времена као логичног тока ствари. Насупрот томе, квантноj спрегнутости потребна jе местимична временска недоследност. Временски след догађаjа A па B, у горњем опису спрегнутости, не може имати исту снагу логике као импликациjа A B. Оно што ствара нашу садашњост jе насумична производња информациjе, а оно што произведену информациjу чува у облику наше прошлости jе (ограничен) закон одржања информациjе и ништа више. Нема гаранциjе да се неки прошли догађаj A неће променити због будућег B, да би слабиjи закон одржања (саме) информациjе пропустио jачи закон одржања импулса 56. Невероватну квантну спрегнутости, овако тумачену можемо препознати у разним иначе познатим и признатим налазима квантне механике. На пример, погледаjте сада опет обjашњење експеримента са два отвора уз слику 4.2. Следећи пример, наравно, су Хаjзенбергове релациjе неодређености Релациjе неодређености Хаjзенберг 57 jе открио своjе релациjе неодређености мало пре године, а затим jе формулисао и принцип неодређености такође назван по њему. Хаjзенбергово откриће jе данас темељ квантне механике. У наjпознатиjем облику принцип каже да ниjе могуће нешто измерити без ремећења. Рецимо, покушаваjући мерити позициjу честице, ми морамо насумице мењати брзину честице. У класичноj механици честица увек има одређени положаj (x) и количину кретања (p), коjу називамо и импулс, мерено дуж апсцисе (x-осе): p = mv, v = x t, (4.131) где jе m маса честице, v jе брзина коjом честица пређе пут дужине x за протекло време t. За разлику од материjалне честице, талас у класичноj механици не може имати одређени положаj и количину кретања. Што се положаjа таласа тиче, он jе наjпрецизниjе одређен до износа таласне дужине, а што се тиче количине кретања, та величина jедва да има смисла, као што нема смисла некаква маса таласа. Физичког смисла има само ток, кажемо и флукс, количине кретања и енергиjе. У физици веома малих честица, наjмање међу њима су кванти коjи имаjу двоjну нарав, честичну и таласну. Те две нарави jеднозначно повезуjу Де Брољеве 58 релациjе из године: p = h/λ, (4.132) где jе h = 6, J s Планкова константа. Таласна дужина микро-честице (Де Брољева таласна дужина) jеднака jе односу Планкове константе и интензитета њеног импулса. Ову формулу су експериментално потвдили Девисон и Џермер године када су доказали дифракциjу електрона на кристалима. Према хипотези Де Броља иста формула важи и у макро-свету али тада даjе занемарљиве, немерљиве таласне дужине. На пример, пушчано зрно масе 50 g и брзине 662 m/s имаће Де Брољеву таласну дужину λ = m. 56 в. секциjу 1.6 Таласи материjе 57 Werner Heisenberg ( ), немачки теориjски физичар. 58 Louis de Broglie ( ), француски физичар. Растко Вуковић 233

234 Планк jе године открио да хармониjски осцилатор мења енергиjу само у одређеним оброцима, у квантима енергиjе E = h ν (4.133) где jе E израчена енергиjа, ν фреквенциjа осцилатора, а h = 6, Js Планкова константа. За таласно кретање важи jеднакост λν = v (4.134) где jе λ таласна дужина а v брзина таласа. Ова jеднакост важи и за таласе светлости у вакууму чиjа брзина jе c = 2, m/s. Из Аjнштаjнове релациjе коjа повезуjе енергиjу са масом m добиjамо релативистичку масу фотона (честице светлости) и количину кретања E = m c 2 (4.135) m = hν c 2 (4.136) p = mc = hν c = h λ (4.137) односно импулс фотона. Придруживање таласне дужине у последње две релациjе била jе идеjа Де Броља. Ово jе формула коjа важи за сва електромагнетна зрачења, редом од радио-таласа преко микро-таласа, инфрацрвених, видљиве светлости, ултравиолетних, затим x-зрака па до гама-зрака. Ове последње (γ-зраке), означаваjу електромагнетну радиjациjу из jезгара као део радиоактивног процеса. Енергиjа нуклеарне радиjациjе jе екстремно висока jер настаjе интензивним деловањем jаке нулеарне и електромагнетне силе, па им jе таласна дужина екстремно мала. Због своjе мале таласне дужине γ-зраке су веома згодно средство посматрања прецизних микроскопа. Фотон гама-зраке jе заправо исто што и х-зраке, jер су оба електромагнетно зрачење. Различити називи се користе jедноставно да би назначили различито порекло ових таласа. Типичне фреквенциjе гама-зрака су ν > Hz а типичне таласне дужине λ < m. Кванти њихове енергиjе су E > 1 MeV. Мерећи положаj електрона, када га гађамо γ-зраком, ми покрећемо процес размене информациjе 59 честица учесница. Одузимаjући информациjу о положаjу електрона, смањуjемо му неодређеност места, повећавамо вероватноћу његовог положаjа. Губитак за електрон jе за нас (апаратуру) добитак. Током мерења положаjа електрон предаjе део своjе информациjе о положаjу, чинећи таj положаj извесниjим. Када би предао сву информациjу о себи, он би тада и престао да постоjи као посебна честица. Са друге стране, да електрон приликом оваквог мерења не би сасвим нестао (преточио се у предате информациjе), он jе морао преузимати информациjе од апаратуре. При томе jе битно шта са чиме може комуницирати. Мерења тзв. Хаjзенберговим микроскопом, на слици 4.7, коjа су резиме разних анализа, показуjу да електрон тада добиjа информациjу о импулсу. Та jе размена усклађена са губитком информациjе положаjа и обрнута описаноj. Jедноставно речено, положаj и импулс електрона су тако Растко Вуковић 234

235 Slika 4.7: Судар гама зраке γ и електрона e. спрегнути да му описаним мерењем не можемо одузети jедно а да он од нас не украде оно друго. На поменутоj слици приказан jе Хаjзенбергов микроскоп коjим се помоћу гама-зраке γ утврђуjе положаj z електрона e. Улазећа гама-зрака (одозго кривудава зелена) се након судара 60 са електроном расипа (црвена) под углом θ. Из класичне оптике следи да jе тачност одређивања позициjе електрона ограничена таласном дужином долазеће светлости. Према релациjи (4.132) или λp = h, биће z p z = h, (4.138) gde je z неодређеност положаjа (апликате) електрона а p z неодређеност његовог импулса (такође дуж z-осе). Приметимо да се претходно тумачење и ово званично мало разликуjу. Разлика долази од употребе информациjе у претходном, због чега резултат (4.138) можемо схватити и као укупну количину информациjе и неизвесности у електрону, за коjу важи претходно поменути закон одржања. Иначе, неодређености z и p z су подцењене, па на десноj страни (4.138) стављамо = h/2π = 1, 055 Js. Прецизним мерењем (в. [18]) показуjе се да на десноj страни ове jеднакости може стаjати и мањи броj. Када микроскоп поставимо дуж различитих координатних оса (Декартовог система Oxyz), добиjамо Хаjзенбергове релациjе неодређености по координатама: x p x 2, y p y 2, z p z 2, (4.139) где су наведене одговараjуће неодређености положаjа и импулса у правцима оса апсцисе, ординате и апликате. За мешовите производе нема таквог ограничења, па jе на пример x p y 0. Вектори неодређености положаjа и импулса електрона били би: 59 Моj опис, jош увек незваничан. 60 Званичан опис. r = ( x, y, z), p = ( p x, p y, p z ), (4.140) Растко Вуковић 235

236 тако да претходне релациjе можемо писати помоћу скаларног производа: r p 3 2. (4.141) Знамо да се вектори положаjа и импулса могу проширити за jош по jедну координату, на 4-димензионални простор-време инерциjалних система теориjе релативности, а тиме се продужава и њихов скаларни производ. Ево како се то може извести. Изаберимо смер апсцисе (x-осе). Како jе сила (F ) промена количине кретања (p) током времена (t), добиjамо редом: p = F t, F x t 2, E t 2, где jе E = F x неодређеност енергиjе ( E jе рад силе F на путу x) а t jе расположиво време за мерење енергиjе. На таj начин налазимо и четврту релациjу неодређености Отуда t E 2. (4.142) x p x + y p y + z p z + t E 2. (4.143) Ово се може интерпретирати и као скаларни производ вектора са четири компоненте, а затим и као врста (поопштене Шенонове) информациjе. Међутим, том врстом информациjе се овде не бавимо. Пример Електрон се креће дуж апсцисе. Ако jе неодређеност положаjа електрона 1 µm, колика се чини грешка при одређивању његове брзине? Решење. Из масе електрона m = 9, kg, неодређености његовог положаjа x = 1 µm = 10 6 m и релациjе неодређености x p 2 следи: jер jе p = m v. v 2m x = 1, J s 2 9, kg 10 6 = 57, 967 m s 1 m Пример Електрон се креће кроз маглену комору остављаjући траг ширине 0,3 милиметра. Колика jе наjмања неодређеност његове брзине? Решење. Из x = 0, 3 mm = 0, m, масе m = 9, kg и x p 2, добиjамо неодређеност брзине електрона: v = 0, 19m/s 2m x jер jе p = m v као и у претходном примеру. Пример Колико траjе стање система чиjа енергиjа jе неодређена за 80 GeV? Колики би приближно пут за то време прешла честица коjа се креће брзином блиском брзини светлости? Решење. Из E = 80 GeV = 1, J и релациjе E t 2 следи: t 2 E = 1, J s 2 1, J = 4, s. Отуда jе пређени пут x = c t = m/s 4, s 1, m. Растко Вуковић 236

237 Принцип неодређености Видели смо да помоћу бра-кет вектора очекивану вредност линеарног оператора Ã у квантном простору, можемо писати Ã = ψ Ã ψ. (4.144) Када имамо и други линеарни оператор B коjи не комутира са првим, њихов комутатор не исчезава [Ã, B] = Ã B BÃ 0, (4.145) што потврђуjемо егзистенциjом неког вектора ψ таквог да [Ã, B]ψ 0. неодређености положаjа, дефинишимо оператор Аналогно Ã Ã ψ Ã ψ. (4.146) Други сабирак jе броj Ã. За дати вектор ψ, разлика Ã ψ представља одступање резултата Ã ψ од средње вредности Ã ψ, па се само Ã схвата као одступање оператора Ã од своjе средње вредности. Производ ових разлика два оператора jе Ã B = 1 2 [ Ã, B] { Ã, B}, (4.147) где су изрази: [Ã, B] = Ã B BÃ, {Ã, B} = Ã B + BÃ (4.148) комутатор и антикомутатор. Комутатор два хермитска оператора jе анти-хермитски, jер jе (уместо T пишемо T ): [Ã, B] = (Ã B BÃ) = B Ã Ã B = BÃ Ã B = [Ã, B]. Слично, антикомутатор два хермитска оператора jе хермитски. Проверите, сопствене вредности хермитског оператора су реалне, анти-хермитског имагинарне. Вариjанса (4.99), овде jе очекивање квадрата оператора Ã: ( Ã)2 = (Ã Ã )2 = Ã2 2Ã Ã + Ã 2 = Ã2 2 Ã Ã + Ã 2, ( Ã)2 = Ã2 Ã 2. (4.149) Приметимо да из Ã ψ = a ψ следи ψ Ã ψ = a ψ ψ = a2, а са друге стране да jе и ( ψ Ã ψ )2 = a 2, па jе Â = 0. Сопствено стање оператора Â има одређену вредност чиjе статистичко расипање (вариjанса) jе нула. Сада можемо доказивати Хаjзенбергову неjеднакост за било коjа два линеарна оператора Ã и B ( A) 2 ( B) [A, B] 2. (4.150) Она се назива Хаjзенберговим принципом неодређености. Пример Доказати (4.150) помоћу Кошииjеве неjеднакости. Растко Вуковић 237

238 Решење. У израз iii. примера ставимо u = Ã ψ и v = B ψ. Добиjамо: u u v v u v 2, ( Ã)2 ( B) 2 Ã B 2. Операторе пишемо у базама где су они диjагонални, а онда развиjамо ψ по базним векторима коjи диjагонализираjу оператор, па израчунамо збир. Када напишемо Ã B као збир два сабирка од коjих jе jедан чисто реалан а други чисто имагинаран, на начин (4.147), излази да jе Ã B 2 = 1 4 [Ã, B] {Ã, ˆB} 2. Како су обадва сабирка на десноj страни jеднакости ненегативни, следи неjеднакост (4.150), а то jе оно што jе требало доказати. Рекли смо да нас некомутативност оператора не изненађуjе. На пример, коначна грађевина неће бити иста када се прво озида спрат па постави кров као када се прво постави кров па зида спрат. Овде некомутативност оператора над векторима, вероватноћама ψ, наглашава jедну занимљиву особину неизвесности. Деjство на jедан аспект квантног стања може му променити неки други, али без преноса информациjе. Дакле, ниjе тачно оно распрострањено мишљење у физци данас да jе свака интеракциjа неки пренос информациjе и обрнуто. Пример Показати да за оператор положаjа и импулса важи: ( x) 2 ( p) 2 2, (4.151) Решење. Оператори положаjа и импулса су x = x и p = i x. важи [ x, p]ψ = i x x ψ + i x (xψ) = +i ψ, За њихов комутатор а отуда [ x, p] = i. Релациjа (4.150) постаjе (4.151), независно од ψ. Чак нам и ниjе потребна квантна механика да на начин из примера изведемо релациjе неодређености (4.143). У класичноj механици jе енергиjа E динамичка вариjабла, попут положаjа x, што значи да Хамилтониjан H(x, E; p, t) = H 0 (x, p; t) E може зависити само од времена t, као и од импулса p. Хамилтонове jедначине кретања: { q = H/ p, ṗ = H/ q, Ė = H/ t, ṫ = H/ E, (4.152) нам кажу да су, заиста, енергиjа E и време t канонски коњуговане вариjабле 61 попут положаjа q и импулса p. 61 Енергиjа jе импулс у правцу времена: energy-is-actually-the-momentum-in-the-direction-of-time Растко Вуковић 238

239 4.13 Белов допринос Две децениjе након открића АПР парадокса, поjавио се Белов 62 рад: О Аjнштаjн- Подолски-Розен парадоксу (в. [17]). То jе заправо теорема у коjоj се на само четири странице утврђуjе да: Ниjе могућа физичка теориjа локалних скривених вариjабли коjа би могла репродуковати сва предвиђања квантне механике. Главна претпоставка коjу jе Бел у том раду оспорио била jе Аjнштаjнова претпоставка (из 1949.): да су просторно раздвоjени системи независни. Своj доказ jе поделио у три дела Белова теорема 1. Формулациjа. Нека jе дат пар спрегнутих честица (Alice & Bob) са спином σ 1 и σ 2 коjи могу узети по jедну од вредности ± 1 2. То могу бити два електрона испаљена из истог извора у два супротна смера, као на слици Мерење (рецимо Стерн- Герлаховим магнетима) њихове компоненте спина еквивалентно jе скаларном производу σ u = ±1, где jе σ { σ 1, σ 2 } а u jе неки jединични вектор. Ако jе за прву честицу оваj производ +1 онда jе за другу 1 и обрнуто. Slika 4.8: Два електрона испаљена из истог извора. Према Аjнштаjновоj претпоставци (независност просторно одвоjених система), ако се два мерења обаве када су честице на великоj удаљености, ориjентациjа jедног спина неће утицати на ориjентациjу другог. Ако мерећи jедан можемо предвидети резултат другог спина, то ће друго мерење бити предефинисано. Како инициjална квантно механичка таласна функциjа не одређуjе резултат поjединог мерења, таj ће нам вишак дефинисаности пружити додатне податке о датом стању. Нека су поменуте спецификациjе за комплетирање изражене групом параметара λ. Небитно jе да ли λ представља jедну или више вариjабли, или чак скуп функциjа, и да ли су те вариjабле дискретне или континуалне. Резултат A мерења σ 1 a одређен jе jединичним вектором a и λ, а резултат B мерења σ 2 b на исти начин одређен jе вектором b и λ, при чему jе: 62 John Stewart Bell ( ), ирски физичар. 63 Wikipedia: Bell s theorem A( a, λ) = ±1, B( b, λ) = ±1. (4.153) Растко Вуковић 239

240 Главна Аjнштаjнова претпоставка jе да jе резултат B за честицу 2, не зависи од поставке a магнета за честицу 1, нити A зависи од b. Ако jе ρ(λ) вероватноћа дистрибуциjе λ тада средња вредност (математичко очекивање) производа две компоненте σ 1 a и σ 2 b износи ˆ P ( a, b) = ρ(λ)a( a, λ)b( b, λ) dλ. (4.154) То би морало бити jеднако очекиваноj вредности квантне механике, за синглет стање (када jе збир свих спинова нула) σ 1 a σ 2 b = a b. (4.155) Али, показаће се да jе то немогуће. Можда се чини згодниjа формулациjа у коjоj се скривене вариjабле раздваjаjу у два скупа, при чему A зависи од jедног а B од другог, али приметимо да jе таj начин садржан у наведеном, jер λ стоjи за било коjи броj вариjабли, а зависности A и B немаjу ограничење. Онако како Аjнштаjн замишља комплетну физичку теориjу, скривене вариjабле имаjу динамичко значење закона кретања. Наше λ се тада може сматрати као почетна вредност тих вариjабли у неком датом почетном тренутку. 2. Обjашњење. Доказ главног резултата jе сасвим jедноставан. Пре него што га видимо, требаjу нам нека разjашњења. Прво, немамо тешкоћа у давању скривеноj вариjабли вредност измереног спина jедне честице. Претпоставимо да имамо честицу са спином пола (у чистом стању спина) означеном jединичним вектором p. Нека скривена вариjабла буде рецимо неки jединични вектор λ са униформном дистрибуциjом вероватноће по хемисфери λ p > 0. Нека резутат мерења компоненте σ a буде sign( λ a ), (4.156) где jе a неки jединични вектор коjи зависи од a, вектор p ће успут бити одређен, а функциjа sign() даjе вредност +1 или -1 зависно од знака аргумента. То заправо оставља резултат неодређеним када jе λ a = 0, пошто jе тада вероватноћа нула он нас и не занима. Узимање просека по λ даjе σ a = 1 2θ π, (4.157) где jе θ угао између a и p. Претпоставимо да се a добиjа из a ротациjом према p све док 1 2θ = cos θ, (4.158) π где jе θ угао између a и p. Тада имамо жељени резултат σ a = cos θ. (4.159) Тако у овом jедноставном случаjу нема тешкоћа да се резултат сваког мерења одреди помоћу jедне екстра вариjабле и да статистичко понашање квантне механике дође до изражаjа jер jе вредност те вариjабле непозната. Растко Вуковић 240

241 Друго, нема тешкоћа у добиjању (4.154) и (4.155): { P ( a, a) = P ( a, a) = 1, P ( a, b) = 0 a b = 0. (4.160) На пример, нека λ буде вектор λ, са униформном вероватноћом дистрибуциjе у свим правцима и узмимо: { A( a, λ) = sign( a λ), B( a, b) = sign( b λ). (4.161) Отуда P ( a, b) = θ, (4.162) π где jе θ угао између a и b, а за (4.162) важе особине (4.160). Ради поређења, размотримо резултат jедне модификоване теориjе 64 у коjоj jе чисто синглет стање током времена замењено неком изотропном мешавином стања, са функциjом корелациjе 1 3 a b. (4.163) Можда jе теже у експерименту разликовати (4.162) од (4.155) него (4.163) од (4.155). За разлику од (4.155), функциjа (4.162) ниjе стационарна у минималноj вредности -1 (када jе θ = 0). Видећемо да jе то карактеристика функциjа типа (4.154). Треће, нема тешкоћа у репродуковању квантно механичке корелациjе (4.155) ако jе резултатима A и B дозвољено да зависе од b и a редом, као и од a и b. На пример, заменимо a у (4.161) са a, добиjеним ротациjом a према b све док 1 2 π θ = cos θ, (4.164) где jе θ угао између a и b. Међутим, за дате вредности скривених вариjабли, резултат мерења jедним магнетом зависи од поставке другог магнета, а то jе управо оно што желимо да избегнемо. 3. Контрадикциjа. Сада ћемо доказати главни резултат. Зато што jе ρ нормализована расподела вероватноћа ˆ ρ(λ) dλ = 1, (4.165) а због особина (4.153), P у (4.154) не може бити мање од -1. Оно може достићи -1 за a = b само када jе A( a, λ) = B( a, λ) (4.166) осим ако скуп тачака λ има вероватноћу нула. Са тиме, (4.154) можемо писати ˆ P ( a, b) = ρ(λ)a( a, λ)a( b, λ) dλ. (4.167) Отуда за неки други jединични вектор c имамо ˆ P ( a, b) P ( a, c) = ρ(λ)[a( a, λ)a( b, λ) A( a, λ)a( c, λ)] dλ = 64 D. Bohm, Y. Aharonov, Phys. Rev. 108, 1070(1957). Растко Вуковић 241

242 ˆ = ρ(λ)a( a, λ)a( b, λ)[a( b, λ)a( c, λ) 1] dλ, па користећи (4.153) налазимо ˆ P ( a, b) P ( a, c [1 A( b, λ)a( c, λ)] dλ. (4.168) Други сабирак на десноj страни jе P ( b, c), одакле 1 + P ( b, c) P ( a, b) P ( a, c). (4.169) Ако P ниjе константа, десна страна jе уопште реда b c за мале b c. Тако P ( b, c) не може бити стационарно за минималну вредност ( 1 када b = c) и не може бити jеднако квантно механичкоj вредности (4.155). Нити може квантно механичка корелациjа (4.155) бити узета произвољно блиско са обликом (4.154). Формални доказ овог тврђења се може извести на следећи начин. Ми не бисмо бринули за неуспех апроксимирања изолованих тачака, па уместо (4.154) и (4.155) размотримо функциjе: P ( a, b), a b, (4.170) где црта изнад означава независну средњу вредност функциjа испод по векторима a и b унутар датих малих углова. Претпоставимо да за све те векторе важи ограничење разлике P ( a, b) + a b ɛ. (4.171) Затим ћемо показати да ɛ не може бити произвољан мали броj. Претпоставимо да jе за све a и b a b a b δ. (4.172) Тада из (4.171) следи Из (4.154) имамо P ( a, b) + a b ɛ + δ. (4.173) ˆ P ( a, b) = ρ(λ)ā( a, λ) B( b, λ) dλ, (4.174) где jе Ā( a, λ) 1, B( b, λ) 1. (4.175) Из претходне две, за a = b следи ˆ ρ(λ)[ā( b, λ) B( b, λ) + 1] dλ ɛ + δ. (4.176) Опет из претходне ˆ P ( a, b) P ( a, c) = ρ(λ)[ā( a, λ) B( b, λ) Ā( a, λ) B( c, λ)] dλ ˆ = ρ(λ)ā( a, λ) B( b, λ)[1 + Ā( b, λ) B( c, λ)] dλ ˆ ρ(λ)ā( a, λ) B( c, λ)[1 + Ā( b, λ) B( b, λ)] dλ. Растко Вуковић 242

243 Користећи (4.175) добиjамо ˆ P ( a, b) P ( a, c) ρ(λ)[1 + Ā( b, λ) B( c, λ)] dλ+ ˆ + ρ(λ)[1 + Ā( b, λ) B( b, λ)] dλ. Затим из (4.174) и (4.176) добиjамо P ( a, b) P ( a, c) 1 + P ( b, c) + ɛ + δ. Коначно, користећи (4.173) налазимо a c a b 2(ɛ + δ) 1 b c + 2(ɛ + δ), или 4(ɛ + δ) a c a b + b c 1. (4.177) Узмимо на пример a c = 0, a b = b c = 2/2, тада jе 4(ɛ + δ) 2 1. За мало δ, броj ɛ не може бити произвољно мали. Према томе, очекивана вредност квантне механике не може бити представљена, било тачно било произвољно близу, у облику (4.154). То jе садржаj Беловог рада, за коjи он на краjу примећуjе да се може лако генералисати. За бар jедно квантно механичко стање у синглет (спрегнутом) стању у комбинованим потпросторима, статистичко предвиђање квантне механике ниjе компактибилно са одвоjеним одређивањима. То jе jедна интерпретациjа Беловог резултата, да (спрегнути) квантни систем ниjе прост збир (своjих) делова, на начин како смо навикли сабирати делове макросвета. На пример, замислимо да имамо затамљен магични квадрат са целим броjевима у пољима и да сваки пут када осветлимо броjеве у произвољном али само jедном ретку видимо броjеве са збиром непарним броjем, али када осветлимо произвољну колону установимо да jе збир њених броjева паран. Откривање свих редака одjедном (или свих колона) jе немогуће, jер би такав магични квадрат био контрадиторан и зато не би могао постоjати као интегрална статична целина. Контрадициjе нема ако претпоставимо да осветљавање само jедног ретка мења остале. Слично томе, мерење jедне компоненте квантног система мења другу, наша интеракциjа са jедним делом мења резултат евентуалне интеракциjе са другим. Напомињем jош jедном, квантни систем jе спрегнут када промена jедног његовог дела мења и неки други његов део. Друго, квантни систем jе спрегнут када jе узимање информациjе из jедног његовог аспекта тако jединствено да након узимања следеће систем не остаjе у истом стању као када бисмо узимања истих информациjа чинили обрнутим редоследом. Такође, поремећаj унутар спрегнутог квантног система може се преносити директно путем преноса неизвесности, без претходне реализациjе неизвесности у информациjу и затим преноса информациjе. Делом друга, а у потпуности последња од ових примедби су новост за физику. Растко Вуковић 243

244 Белова неjеднакост Дата jе група обjеката са три различите особине: A, B и C. Ради лакшег праћења текста, замислите да jе то група ученика у разреду са особинама: (A) да су мушкарци, (B) да су вишљи од 170 cm и (C) да имаjу плаве очи. Докажимо сада релациjу коjу ћемо називати Белова неjеднакост 65 : No(A, B) + No(B, C) No(A, C). (4.178) Другим речима, броj особа коjе имаjу особину A а немаjу B плус броj особа коjе имаjу особину B а немаjу C већи jе или jеднако броjу особа коjе имаjу особину A а немаjу C. Пример Доказати Белову неjеднакост помоћу скупова. Slika 4.9: Венов диjаграм пресека скупова A, B и C. Доказ. На слици 4.9 видимо Венов диjаграм, при чему + значи униjу скупова, а S комплемент. Скуп A B jе шрафиран плаво, скуп B C црвено. Лако видимо да jе (A B) + (B C) (A C), а одатле (4.178). Пример Доказати неjеднакост (4.178) алгебарски. Доказ. Приметимо да jе No(A, B, C) + No( A, B, C) 0, jер радимо само са особинама коjе имаjу позитивне вредности или их уопште немаjу. Додаjмо на обе стране те неjеднакости и резултат jе тражена неjеднакост. No(A, B, C) + No(A, B, C) = No(A, C) Дакле, наведена неjеднакост jе увек тачна; немогуће jе замислити пример коjи би jе нарушио (покушаjте!). Шта онда рећи за мерења спина спрегнутих честица након коjих би се неjеднакост (4.178) показала нетачна? Ако не желимо да сумњамо у логику математике, онда долазимо до закључка да се током мерења мењаjу особине A, B и C датог скупа. Као када би, док ми броjимо ученике у разреду они кришом улазили и излазили па и мењали своjу висину и боjу очиjу. 65 Department of Physics University of Toronto: Bell s Theorem, by David M. Harrison, Растко Вуковић 244

245 Хаjзенберг jе jедном приликом, коментаришући експеримент са двоструким отвором рекао: Путања електрона настаjе зато што jе посматрамо. Експерименти са спином и Беловом неjеднакошћу 66 су заиста рађени и они су редовно показивали нарушавање те неjеднакости. Први такав експеримент обjавили су Клаусер, Хорне, Шимони и Холт године користећи парове фотона. Затим су следили експерименти на паровима електрона, протона, опет фотона и jонизованих атома. Чињеница да jе Белова неjеднакост нарушавана, чак и у случаjевима веома удаљених честица, указуjе да природа можда не поштуjе принцип локалности и да дозвољава тренутно деjство на великом простору. Покушаjмо сада разумети примену горње неjеднакости на честицама и њиховим спиновима. Нема принципиjелне разлике када се у оваквим експериментима користе фотони са спином ±1, уместо електрона чиjи jе спин ± 1 2. У првом случаjу за детекциjу спина користе се кристали коjи поларизуjу светлост, у другом магнети. Нека у нашем случаjу то буде млаз електрона са особинама: A - спин електрона jе усмерен на горе (0 ); B - у односу на горе спин jе под углом 45 ; C - спин електрона jе хоризонталан усмерен ка десно (90 ). Белову неjеднакост сада читамо: Бр( спин-горе, косо-доле) + Бр(косо-горе, спин-лево) Бр(спин-горе, спин-лево), где jе Бр броj измерених, изброjаних електрона са особином у загради. Први броj, Бр(спин-горе, косо-доле), представља узастопно мерење вертикалног спина а затим диjагоналног ка доле. Међу равномерно мешаним електронима полапола биће их са спином вертикално горе односно доле, а исто тако одсто биће их са спином косо горе и косо доле. Slika 4.10: Узастопни пролазак електрона кроз два филтера. Међутим, узастопно мерење горњег и косог спина представљаће проблем. Од електрона коjи прођу први филтер горе, неће 50 одсто, већ ће 85 одсто проћи други филтер косо-горе (слика 4.10), па ће (након проласка првог филтера) само 15 одсто проћи филтер косо-доле. Дакле, мерењем би за први броj добиjали само 15% од свих електрона из снопа. Мерење спина-горе неповратно мења броj електрона са спином косо-доле, а слично се догађа и са остала два броjа из Белове неjеднакости. Показуjе се да jе то последица Хаjзенберговог принципа неодређености и да таj утицаj може да наруши Белову неjеднакост. Замислимо сада другачиjи сноп електрона, као на слици 4.11, емитованих из радиоактивне супстанце чиjи jе укупни спин нула. Тада би требало да сваки електрон коjи се креће у десно од извора, а коjи има спин горе гарантовано буде удружен са електроном 66 наравно, рађени су експерименти и на другачиjим моделима Растко Вуковић 245

246 Slika 4.11: Електрони испаљени у два различита смера. са спином доле на левоj страни од извора. Такође, електрон коjи се креће лево од извора а на коjем jе измерен спин косо-горе биће у пару са електроном десно од извора са спином косо-доле. Тако бисмо надмудрили Хаjзенбергове релациjе неодређености, што значи да мерење неће потврдити наша очекивања Динамичка зависност Мерење и у овом случаjу нарушава Белову неjеднакост, али нам сада доноси и нови закључак. Не само да чин препознавања особина неких честица мења остале из датог система, већ се та промена дешава и нелокално, као да постоjи нека тренутна интеракциjа на већем простору. Чудни резултати ових мерења се могу обjашњавати неком врстом динамичке зависности, сличноj оноj (статичноj) нама познатоj из теориjе вероватноће. Први пример. Исходи бацања два фер новчића су независни ако су након бацања првог као и другог вероватноће да падне Писмо односно Глава jеднаке: Тада имамо четири jеднако вероватна исхода: Pr(Π) = Pr(Γ) = 1 2. (4.179) { Pr(Π, Π) = 1 4, Pr(Π, Γ) = 1 4, Pr(Γ, Π) = 1 4, Pr(Γ, Γ) = 1 4, (4.180) коjи би се у експерименту поjавивали сваки са око 25 одсто случаjева. Други пример. Замислимо да су прво и друго бацање новчића у некоj корелациjи (нпр. као пол и висина студената), односно да су узаjамно зависни догађаjи. Рецимо екстремно, сваки пут када у првом бацању падне Писмо да у другоме падне Глава и обрнуто, након што би пала Глава да обавезно падне Писмо. Тада бисмо имали следеће вероватноће исхода: { Pr(Π, Π) = 0, Pr(Π, Γ) = 1 2, Pr(Γ, Π) = 1 2, Pr(Γ, Γ) = 0. (4.181) Мешовити догађаjи ПГ и ГП би се дешавали у 50 одсто случаjева сваки, док се исти догађаjи ПП и ГГ не би дешавали уопште. Када напишемо таласне функциjе φ Π и φ Γ коjе представљаjу стања Писмо и Глава у првом бацању новчића, а ϕ Π и ϕ Γ у другом бацању, онда ће у првом и другом примеру укупна стања система бити: Растко Вуковић 246

247 Први пример: φ Π ϕ Π + φ Π ϕ Γ + φ Γ ϕ Π + φ Γ ϕ Γ - независност, Други пример: φ Π ϕ Γ + φ Γ ϕ Π - зависност. Приметимо да се стање независног система може писати и у облику растављеном на факторе (φ Π + φ Γ )(ϕ Π + ϕ Γ ), док зависног не може. Знамо да jе мерење размена информациjе између делова физичког система и експериментатора, односно његове опреме. У квантноj механици посебно, мерење значаjно мења стање система, што jе последица одузимања укупне информациjе 67 подсистему а коjе тада постаjе релативно велико. Слика 4.12 jе ишла уз прилог британског портала 68 када jе 26. октобра године група физичара Делфт Универзитета технологиjе у Холандиjи низом експеримената потврдила квантну спрегнутост, тачниjе: сабласно деjство на даљину. Они су постављали два диjаманта на супротним странама камуса, удаљена око 1,3 километара, излажући их снажним микроталасним зрачењима. Тако су електрони држани у диjамантскоj клопци да би емитовали фотоне низ оптичка влакна ка инструменту за бележење, коjи се налазио на jеднакоj удаљености од оба диjаманта. Када би фотони интераговали, покренули би спрегнутост између електрона коjи их производе. Након 245 проба током 18 дана, ови истраживачи су дошли до закључка да jе та врста спрегнутости потврђена. Њоj jе претходила дуга сериjа сличних тестова рађена од краjа 70 у различитим лабораториjама света, али увек са различитим сумњама. Slika 4.12: Квантна спрегнутост. Обjаснићу jош jедном механизам одузимања информациjе из система мерењем 69. Мерећи дату особину квантног система ми добиjамо информациjу (о њоj), што значи да систем остаjе са мањком информациjе, мањком неизвесности и вишком вероватноће 70. То даље значи да се остатак система боље изjашњава, да се његове особине сада могу поjављивати са већим вероватноћама. А то нас доводи до оне горе поменуте реченице коjу jе много пре изговорио Хаjзенберг, да се систем дефинише процесом мерења. Ови општи закључци важе и за спрегнуте квантне системе. Спрегнути системи, попут горе наведеног у другом примеру, чиjи су подсистеми (прво и друго бацање новчића) екстремно зависни, има боље повезане, боље уређене делове, а зато и предвидљивиjе исходе од неспрегнутог. Због већих вероватноћа, спрегнути систем jе мање информативан. Након мерења, за исту одузету информациjу спрегнутом систему прео- 67 Претпоставка jе да информациjа не може настати из ничега, нити нестати у ништа. 68 Unexplained: 69 таквих описа баш и нема у литератури (осим у моjим списима) 70 Радимо само са Хартлиjевом информациjом ln p, где jе p вероватноћа. Растко Вуковић 247