Αφορμή: Το ερώτημα Γ2 από το ΘΕΜΑ Γ των Πανελλαδικών Εξετάσεων 2018 στα Μαθηματικά Προσανατολισμού των ΓΕΛ.

Transcript

1 . Μαθηματική μοντελοοίηση Αοκλίνουσα σκέψη Αρόσμενες ααντήσεις Δημιουργικές διαδρομές Αφορμή: Το ερώτημα Γ αό το ΘΕΜΑ Γ των Πανελλαδικών Εξετάσεων 018 στα Μαθηματικά Προσανατολισμού των ΓΕΛ. ΘΕΜΑ Γ Έχουμε ένα σύρμα μήκους 8 m, το οοίο κόβουμε σε δυο τμήματα. Με το ένα αό αυτά, μήκους x m, κατασκευάζουμε τετράγωνο και με το άλλο κύκλο. Γ Γ. Να αοδείξετε ότι το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων ελαχιστοοιείται, όταν η λευρά του τετραγώνου ισούται με τη διάμετρο του κύκλου. Γ Δημήτριος Σαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

2 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ τάξης ΓΕΛ Δημήτριος Σαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών, Φθιώτιδας και Ευρυτανίας

3 Εισαγωγή - Αφορμή ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 11 ΙΟΥΝΙΟΥ 018 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Γ Έχουμε ένα σύρμα μήκους 8 m, το οοίο κόβουμε σε δυο τμήματα. Με το ένα αό αυτά, μήκους x m, κατασκευάζουμε τετράγωνο και με το άλλο κύκλο. Γ1. Να αοδείξετε ότι το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων σε τετραγωνικά μέτρα, συναρτήσει του x, είναι: ( )x 6x 56 Ε(x), x (0,8) Γ. Να αοδείξετε ότι το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων ελαχιστοοιείται, όταν η λευρά του τετραγώνου ισούται με τη διάμετρο του κύκλου. Γ3. Να αοδείξετε ότι υάρχει ένας μόνο τρόος με τον οοίο μορεί να κοεί το σύρμα μήκους 8 m, ώστε το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων να ισούται με 5 m. Σχόλια Το αραάνω θέμα είναι ένα κλασικό ρόβλημα μαθηματικής μοντελοοίησης, ου αρόμοιό του, με κάοιες αραλλαγές, υάρχει στα σχολικά βιβλία. Είναι ραγματικά ένα ολύ όμορφο ρόβλημα. Το ερώτημα (Γ1) σε ροδιαθέτει να ααντήσεις στα ερωτήματα (Γ) και (Γ3) με χρήση Μαθηματικής Ανάλυσης και της σχετικής θεωρίας. Υάρχουν όμως και άλλοι τρόοι αντιμετώισης χρησιμοοιώντας στοιχειώδη μαθηματικά. Στην αρούσα εργασία εστιάζουμε αοκλειστικά στο ερώτημα (Γ) και δίνουμε ααντήσεις χρησιμοοιώντας μαθηματικά ου διδάσκονται σε μικρότερες τάξεις, ακόμη και στην Γ τάξη Γυμνασίου. Αομονώσαμε λοιόν το ερώτημα (Γ), εαναδιατυώσαμε το ρόβλημα και το αντιμετωίσαμε ανεξάρτητα αό το ερώτημα (Γ1).

4 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ τάξης ΓΕΛ Το ρόβλημα Έχουμε ένα σύρμα μήκους 8 m, το οοίο κόβουμε σε δυο τμήματα. Με το ένα αό αυτά κατασκευάζουμε τετράγωνο και με το άλλο κύκλο. Να αοδείξετε ότι το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων ελαχιστοοιείται, όταν η λευρά του τετραγώνου ισούται με τη διάμετρο του κύκλου. Βασικές μεταβλητές: Η λευρά α του τετραγώνου και η ακτίνα ρ του κύκλου Έστω Π η ερίμετρος του τετραγώνου με λευρά α και L το μήκος του κύκλου με ακτίνα ρ, σε μέτρα. Είναι Π α και L ρ. Ισχύουν: 0 Π 8 0 α 8 0 α 0 L 8 0 ρ 8 0 ρ ΠL 8 α ρ 8 α ρ Το άθροισμα Ε των εμβαδών των δυο σχημάτων, σε τετραγωνικά μέτρα, είναι: Ε α ρ Θα αοδείξουμε ότι το άθροισμα Ε των εμβαδών ελαχιστοοιείται, μόνο όταν α ❶ ος τρόος Ισχύει: α ρ 8 ρ α ρ α Για το άθροισμα Ε των εμβαδών των δυο σχημάτων έχουμε: Ε α ρ α α α α α α α Η τιμή του αραάνω τριωνύμου ως ρος α γίνεται ελάχιστη όταν: 8 α 8 α 8 Τότε όμως: ρ α ( ) ❷ ος τρόος Ισχύει: α ρ 8 α ρ α ρ Για το άθροισμα Ε των εμβαδών των δυο σχημάτων έχουμε: ρ.

5 Δημ. Σαθάρας - Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών 3 Ε α ρ ρ ρ 8ρ ρ ρ ( ) ρ ρ Η τιμή του αραάνω τριωνύμου ως ρος ρ γίνεται ελάχιστη όταν: ρ ( ) ρ 8 Τότε όμως: α ρ ( ) ❸ ος τρόος Ισχύουν α ρ και (α ρ) 0. Εομένως: (α ρ) (α ρ) 0 α αρ ρ α αρ ρ ( )α ( )ρ α ρ Ε Το άθροισμα Ε των εμβαδών γίνεται ελάχιστο όταν ισχύει η ισότητα, δηλαδή μόνο όταν: ❹ ος τρόος (α ρ) 0 α ρ Για το άθροισμα Ε των εμβαδών των δυο σχημάτων έχουμε: Ε α ρ ( )(α ρ ) α α ρ ρ α αρ αρ α ρ ρ (α ρ) (α ρ) (α ρ) Η αραάνω αράσταση γίνεται ελάχιστη μόνο όταν: (α ρ) 0 α ρ

6 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ τάξης ΓΕΛ ❺ ος τρόος Στο βιβλίο μαθηματικών της Γ τάξης Γυμνασίου και συγκεκριμένα στην εφαρμογή 7 της σελίδας 7, αοδεικνύεται η ταυτότητα Lagrange. Δηλαδή αοδεικνύεται ότι: (α β )(x y ) (αx βy) (αy βx) Αν εφαρμόσουμε την ταυτότητα για α α, β ρ, x και y έχουμε: (α ρ )( ) (α ρ) ( α ρ) ( )Ε (α ρ) Το άθροισμα Ε των εμβαδών γίνεται ελάχιστο μόνο όταν: ❻ ος τρόος (α ρ) 0 α ρ Ε (α ρ) Στο βιβλίο μαθηματικών ροσανατολισμού της Β τάξης Λυκείου και συγκεκριμένα στην εφαρμογή 1 της σελίδας, αοδεικνύεται ότι: αν α και β είναι δυο διανύσματα του ειέδου τότε: α β α β Η ισότητα ισχύει μόνο όταν α β, δηλαδή μόνο όταν det(α,β) 0. Θεωρούμε τα διανύσματα: α (α, ρ) και β (, ). Με βάση το αραάνω έχουμε: α β α β α ρ α ρ (α ρ )( ) (α ρ) ( )Ε Ε Το άθροισμα Ε των εμβαδών γίνεται ελάχιστο όταν ισχύει η ισότητα, δηλαδή μόνο όταν: Παρατηρήσεις Το ελάχιστο άθροισμα των εμβαδών είναι: Αυτό συμβαίνει μόνο όταν: α ρ det(α,β) 0 0 α ρ 0 α ρ Εmin, m 8 α ρ 1,1 m

7 Δημ. Σαθάρας - Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών 5