ΔΙΑΛΕΞΗ 11 Συνδυασμός περιστροφής και στρωμάτωσης (Quasi-geostrophic dynamics in stratified fluids)

Transcript

1 ΙΑΛΕΞΗ Συνδυασμός πειστοφής και στωμάτωσης (Qus-eosrophc dnmcs n sred luds) Πειεχόμενα: Qus-eosrophc dnmcs Broclnc ossb wves Broclnc nsbl

2 eulbrum dens surce osclln dens surce << << ) ( ) ( ) ( ) ( -plne The bsc srcon persss v A u u d dv u A v v d du V V w v u w v u Qus-Geosroph

3 Θεωώντας ότι η κύια δυναμική του συστήματος καθοίζεται από τη γεωστοφική ισοοπία (μικές ταχύτητες σε μεγάλες χονικές κλίμακες μικοί αιθμοί ossb και Emn και << ) u v Αντικαθιστώντας στις εξισώσεις κίνησης: 3 3 A u w A v w V V b b b ) ( w v u

4 A v A u V V Geosrophc Aeosrophc και από την εξίσωση συνέχειας: A w V εξίσωση διατήησης της μάζας: d d w ) ( όπου ()

5 w () A V () και () Qus-Geosrophc Euon or: on-lner moon Connuousl sred lud -plne Qus-eosprophc oenl Vorc euon Χησιμοποιώντας την υδοστατική εξίσωση

6 Για να το αποδώσουμς σε πιο συμπαγή μοφή μποούμε να γάουμε την με τη μοφή ευματοσυνάτησης (sremuncon): w v u w v u A V wh u v elve Vorc lner Vorc Vercl Srechn e o chne o oenl Vorc Advecon o oenl Vorc Dsspon o oenl Vorc

7 A V wh L ~ elve Vorc ~ L Vercl Srechn ~ Vercl Srechn elve Vorc L Bu Burer umber << L (we srcon): Srechn domnes (κοντά στη αοτοπική λύση) >> L (sron srcon): elve vorc domnes (τα στώματα συμπειφέονται σαν ανεξάτητα ) Bu~ ~ ~ ~ L L Πολύ μικότεες κλίμακες από την αοτοπική πείπτωση

8 lner wves n sred luds Ξεκινώντας από us-eosrophc euon (και απλουστεύοντας την εξίσωση για απλότητα της λύσης): A V wh elble dsspon Lner soluons Consn srcon Wve soluon : ) )cos( ( ) ( l ω l d d ω

9 Η ασική εξίσωση με τις οιακές συνθήκες καθοίζουν ένα eenvlue problem που επιδέχεται λύσεις της μοφής: ) cos( ) ( m A Και η εξίσωση () δίνει τη σχέση διασποάς: l d d ω () m l ω d d w nd d d w w η η m l με α την eenuncon και m την eenvlue.

10 Αντικαθιστώντας στη δεύτεη οιακή συνθήκη: n( m ) m m n(m) m m For we srcon smll n( m ) n( m ) m m A hs lm : ω l Broropc mode

11 d n( m ) d m (ες επίσης τα σημεία τομής στο ποηγούμενο διάγαμμα) m n π n n 3... Eernl D Inernl D ω l nπ nπ Amosphere Ocen.s m s 3 s m s E I 3m m E I m 8m

12 Zonl phse veloc: ω l c e e < ce < c n ω l nπ Onl weswrd phse veloc. Group veloc cn be posve or neve bu n < cn l < ωnπ ω c > < c on-dspersve lm / ( nπ ) /

13 Θεωώντας l (onl onl componen o wve moon) και επίπεδο υθό/έδαφος: Acos( m)cos( ω) Η γεωστοφική συνιστώσα A cos( m)cos( ω) δεν μποεί να συμμετέχει στη διάδοση του κύματος A m sn( m)cos( ω) αφού w και δεν ευθύνεται για την ανύωση/καταύθυση των ισόπυκνων (διαδικασία ανταλλαγής κινητικής και Aω u coscos δυναμικής ενέγειας) m ω A v cos( m)sn( ω) w Amω sn( m)sn( ω)

14 Broropc mode s Broclnc mode Βόειο ημισφαίιο ( >) Ζωνική διάδοση (l) m π

15 orml Modes Η κατακόυφη δομή πειγάφεται από την eenuncon n () που ονομάζεται norml mode. Η ταχύτητα διάδοσης κάθε norml mode δίνεται από την αντίστοιχη phse veloc. Όσο μεγαλύτεο το n (μεγαλύτεο norml mode) τόσο μικότεη ενέγεια διαδίδεται από τα modes. Στον ωκεανό οι παατηήσεις δείχνουν ότι τα δύο πώτα modes (broropc nd rs broclnc) μεταφέουν το 8% με 9% της ενέγειας. Για πολύ μικά και l (μεγάλα μήκη κύματος): c n ω n π

16 Broclnc Insbl Formulon: Chrne (97) [Connuous srcon - -plne] Ed (99) ) [Connuous srcon - -plne] hllps (95) [Two-ler ssem - -plne] edlos (963 96) [Connuous srcon -plne rbrr sher] Brclon (96) [Inluence o rcon] Orlns (968; 969) [Boom slope] Orlns nd Co (973) Gll e l. (97) nd obnson nd McWllms (97)

17 The Ed (99) roblem Invscd (A V ) -plne () Consn srcon (cons.) Fl boom d ld Men low: unorm n he horonl consn sher n he vercl: u v ( ) wh

18 wh w v u Απαλοίφοντας το και χησιμοποιώντας τις σχέσεις για τις μέσες τιμές:

19 l ω ep ) ( Soluon: l d d ω Για να μηδενιστεί η παάταση αυτή λύση: where ) snh( ) cosh( ) ( l l m m B m A Boundr condons (l boom rd ld) w nd : d d w ω nd A m B ω m m m A ) coh( (no perurbon) ω

20 ω ω είναι παγματική όταν m. 399 m coh( m ) m Όταν m είναι μικότεο από αυτή την τιμή η διακύμανση είτε αποσένυται είτε αυξάνεται εκθετικά (nsbl) Χησιμοποιώντας τη σχέση για το m και τον οιζόντιο κυματαιθμό ( l ) / η αναγκαία συνθήκη για αοκλινική αστάθεια γίνεται: <.399 λ >.69 or λ π /.69 ιατααχές με μήκος κύματος μεγαλύτεο από.69 της (αοκλινικής) ακτίνας αποδιαμόφωσης ossb μποεί να ποκαλέσουν αστάθεια. Μέγιστη διατααχή (m(im(ω))) για λ3.9 Η διατααχή επίσης διαδίδεται γιατί e(ω)/ με ταχύτητα /

21 Ένα παάδειγμα: Αν έχουμε μια διατααχή d με τη μοφή μετατόπισης στη διέυθυνση τότε η γαμμική σχέση για τη διατααχή d είναι χησιμοποιώντας v d d u ω παίνουμε b( ) v d b( )ep( l ω Η αναλογία επιφανειακής μετατώπισης και μετατόπισης στο υθό επομένως δίνεται από τη σχέση: ω cosh( m ) snh( m ) b( ) m b() ω Για μήκος κύματος της γηγοότεα αυξανόμενης αστάθειας (.66 l m.66 ω/.5.93) b( ).67.7 ep(.66π ) b() η διατααχή στο υθό υστεεί αυτής στην επιφάνεια κατά 7.8 ο

22 The hllps (95) roblem Invscd (A V ) / / w η w 3 w / -plne ( ) Two-ler ssem ( Η Η ) Fl boom d ld Men low: u u v v or or ( ) wh Boundr condons nd : w 3 &

23 Dscren: 3 d d Οι εξισώσεις στα δύο στώματα λοιπόν είναι: wh wh

24 / w v u Οι ασικές παάμετοι του συστήματος: Λόγω υδοστατικής ισοοπίας: η η Η ασική κατάσταση του συστήματος: >> >> so we vn lnere.

25 Απαλοίφοντας το και χησιμοποιώντας τις σχέσεις για τη ασική κατάσταση: l e ω όπου τα είναι άγνωστες συνατήσεις που δίνουν την κατακόυφη δομή των διατααχών. Αν η συχνότητα ω είναι μιγαδικός αιθμός με Im(ω)> η διατααχή θα αναπτύσσεται πολύ γήγοα με το χόνο δημιουγώντας (αοκλινική) αστάθεια.

26 c c Αντικαθιστώντας τη λύση: όπου l c ω Ποσθέτοντας και αφαιώντας τις πααπάνω εξισώσεις: [ ] c c B A Broropc mode Broclnc mode

27 For non-rvl soluons (AB): de c c c c Λύση: c ± c είναι παγματική εφόσον:

28 Ευστάθεια για:.8 or.5 m Συνθήκη για ευστάθεια: Επομένως -eec είναι παάγοντας ευστάθειας! Λύνοντας ως πος Κ τη σχέση για αστάθεια: Αστάθεια παατηείται στην πειοχή των κυματαιθμών: / / < <

29 Τα ασταθή κύματα όχι μόνο αναπτύσσονται στο χόνο αλλά και διαδίδονται με: e{} c ζωνική ταχύτητα που ισούται με τη μέση οή μείον τη (πος τα δυτικά) ταχύτητα των πλανητικών κυμάτων. Το hreshold του για αοκλινική αστάθεια στο -plne είναι ακετά ηλό: Στην κατάσταση αυτή ο κυματαιθμός είναι / ( / ). 8 λ 7.7 και το μήκος κύματος: Καθώς το αυξάνεται αυτό το μήκος κύματος δεν είναι η γηγοότεα αυξανόμενη αστάθεια έπειδή ο υθμός ανάπτυξης της αστάθειας σχετίζεται με το Im(c) που είναι c. Για να απλουστεύσουμε την ανάλυση θα μελετήσουμε την πείπτωση -plne (). Στην πείπτωση αυτή m / και κυματαιθμοί </ ικανοποιούν τη συνθήκη για αστάθεια ή λ > π 3. ή το μήκος κύματος να είναι 6.83 της ακτίνας ossb που οίσαμε πααπάνω.

30 Στο -plne τα ασταθή κύματα έχουν: c c r c c r F( κ) κ( κ) c κ F( κ) κ ( κ ) κ κ χησιμοποιώντας την πώτη εξίσωση των Α και Β και c ( F( κ )) c ( F( κ )) B A F Η πιο γήγοα αναπτυσσόμενη αστάθεια εμφανίζεται στη μέγιστη τιμή του όταν κ και κ λ 9.76 κ F(κ)

31 Ένα παάδειγμα: Αν έχουμε μια διατααχή d με τη μοφή μετατόπισης στη διέυθυνση τότε η γαμμική σχέση για τη διατααχή d είναι χησιμοποιώντας παίνουμε d d v u v D c ( lω ) Η αναλογία μετατώπισης στα δύο στώματα επομένως δίνεται από τη σχέση: D D c c A B F A B F d D e cos o o ( 9 ) sn( 9 ) η μετατόπιση στο κατώτεο στώμα υστεεί αυτής στο επιφανειακό κατά 9 ο ενώ η διαφοά φάσης στο πεδίο διατααχών της πίεσης A B F cos A B F o o ( 66 ) sn( 66 ) οπότε οι κουφές/κοιλίες στο ανώτεο στώμα υστεούν κατά 66 ο.

32

33 L Ψ Ψ Ψ Αν L>> ή L<< ο ένας όος γίνεται κυιαχος εμποδίζοντας εξάπλωση διατααχής. Αν L και έχουν κοντινές τιμές θα υπάχει κάποια πειοχή τιμών που θα επιτέπει ανάπτυξη Βαοκλινικής Αστάθειας.

34 pper ler Lower ler.v. Ψ.V. Ψ.V. Ψ osn-becers 9