STATISTIKOS PRAKTINIAI DARBAI
|
|
|
- Λυσιστράτος Αλεβιζόπουλος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 VILNIAUS PEDAGOGINIS UNIVERSITETAS L. GRINIUVIENË STATISTIKOS PRAKTINIAI DARBAI (metodë medþaga) Vlus, 00
2 UDK 3 Gr 403 Recezetas prof. R. Jauðkevèus ISBN X Vlaus pedagogs uverstetas
3 TURINYS PRATARMĖ...4. STATISTINIŲ DUOMENŲ TVARKYMAS...5. IMTIES SKAITINIŲ CHARAKTERISTIKŲ SKAIČIAVIMAS CHI-KVADRATO KRITERIJAUS TAIKYMAS KORELIACINĖ - REGRESINĖ ANALIZĖ DINAMIKOS EILUTĖS...35 PRAKTINIŲ DARBŲ UŽDUOTYS...4 PRATIMAI...7 PRIEDAI...76 LITERATŪRA
4 PRATARMË Ðs metods darbas yra skrtas Vlaus pedagogo uversteto geografjos specalybës studetams. Jame patekt statstkos pradmeys. Jau vdurëje mokykloje suspaþástama su paprasèausu duomeø sstemmu. Ðame darbe daugau agrëjamos trys temos: statstø duomeø grupavmas tervalas r tolmess to grupavmo paaudojmas (χ krterjaus takymas), korelacë-regresë aalzë be damkos (lako) elutës. Pradþoje trumpa patektos ka kuros rekomedacjos, teora fakta r pavyzdþa. Ta turëtø padët eakvazdkams atlkt praktus darbus. Ðuolaka skaèuokla tur statstkos reþmà, todël vsus skaèavmus esuku atlkt r be tokos galgos techkos kap komputers. Iðsamesëms studjoms rekomeduoèau 000 metas ðëjusas kygas: V. Èekaavèaus r G. Murausko Statstka r jos takyma, be R. Jauðkevèaus Statstkos ávadas. 4
5 . STATISTINIØ DUOMENØ TVARKYMAS Tarkme, kad atlkus kekybo poþymo stebëjmus, gauta mts x, x,..., x. Jegu skrtgø poþymo rekðmø yra edaug, yra sudaroma daþø letelë : Požymo rekšmė x x x x k Dažs k Èa prmoje elutëje yra suraðytos skrtgos poþymo rekðmës x, ðdëstytos ddëjaèa tvarka, o atroje elutëje - tø rekðmø daþa,,,...,k. Be to, k. Je ddels, o paskartojaèø rekðmø yra maþa, statsta duomeys yra skrstom á tervalus. Tuo tkslu suradamos maþausa (x m ) r ddþausa (x max ) poþymo rekðmës. Tada vsas tervalas [x m, x max ] þgsu h yra skadomas á k maþesø veodo lgo tervalø taðkas t, t,...,t k+. Dalo tervalo lgá h galma parkt takat formulæ: xmax xm h. (.) + 3,3 lg Je ð aksto þoma, á kek tervalø (tarkme, m), orma suskrstyt, tada xmax xm h. (.) m Sudaroma daþø letelë, kuroje urodom dala tervala [t, t + ), daþa, satyka daþa r ormuot satyka daþa,,,..., k h. Itervalas [ t, t + ) Dažs [ t,t ) [ t,t 3 ) Satyks dažs Normuotas satyks dažs h h h [ t ) k, t k + k k k h. letelë 5
6 Taðka t,,,...,k parekam tap: t t t t 3 L x k + t t m t, + h, + h, k + h x max. Galma uþ t, parkt r ktokà rekðmæ, maþesæ uþ x m, taèau turëtø bût tekamos elygybës h h x m t < r t k xmax < +. Pagal. letelës duomes brëþamas grafkas. Taðka t,t,...,t k+ atdedam x-ø aðyje, o x ormuot satyka daþa, h x xk,..., y-ø aðyje. Kekveame dalame tervale [t h h, t + ),,,...,k yra brëþamas h ploèo r h aukðèo staèakamps. Gautas grafkas vadamas hstograma. J vazdþa parodo poþymo rekðmø passkrstymà daluose tervaluose. Kuo daugau duomeø yra tervale, tuo aukðtess yra staèakamps.. pavyzdys. Duota mts 6.0 5,6 5,5 4,3 4,67 3,73 5,85 5,46 6,57 6,0 5,45 4,50 4,8 5,6 4,99 5,73 4,7 5,99 4,4 4,58 4,6 4,37 5,30 5,94 4,3 3,66 5,9 6,99 3,00 7, 5,8 5,9 4,9 4,03 3,78 6,87,43 7,35 4,04 3,5 4,56 4,69 5,9 4,4 4,89 4,34 4,77 5,9 5,86 3, 4,34 4,5 4,5 5,67 4,89,9 5,83 5,5 3,6 6,40 3,64 6,3 5,98 6,88 5,57 4,07 4,40 6,3 6,43 6,4 6,54 3,7 6,83 4,65 5,79 5,55 6,07 5,9 4,46 3,06 3,53 3,63 5,0 5,65 5,40 7,65 3,95 4,47 6,69 4, 5,77 5,74 5,76 4,4 4, 6,50 5,00 4,70 5,0 4,99 5,0 5,3 4,94 4,96 4,78 4,80 5,6 5,06 6
7 Èa 08, x max 7,65, x m,43. Þgso h parkmu paaudosme formulæ (.). Kadag 7,65,43 5, 0,673, + 3,3 lg08 7,755 ta pasrekame h 0,68. Suradame tervalo [,43 ; 7,65] daljmo taðkus: t t t t t t t t t ,43,,43 + 0,68 3, 3,+ 0,68 3,79 3,79 + 0,68 4,47 4, ,5 5,5 + 0,68 5,83 5,83 + 0,68 6,5 6,5+ 0,68 7,9 7,9 + 0,68 7,87 > 7,65 Kadag 7,87-7,65 0, < 0,68/, ta þgss h parktas tkama. Norëdam surast daþus, parodaèus, kek mtes rekðmø pateka á kurá tervalà, kekveà poþymo rekðmæ prskrame tervalu, paþymëdam taðku arba brûkðelu. Ka duomeø daug, patogu formuot deðmtes rekðmø blokus X, arba pekø rekðmø blokus. Mûsø atveju [,43; 3,) Vadas, 4, [3,; 3,79) X - 0, [3,79; 4,47) X - 3 9, [4,47; 5,5) X X - 4 6, [5,5; 5,83) X X - 4, [5,83; 6,5) X - 5 7, [6,5; 7,9) - 7 7, [7,9; 7,87) - 8 3, Poþymo rekðmæ, kur sutampa su daljmo taðku, prskrame tam tervalu, kuro pradþos taðkas sutampa su ta rekðme. Pvz., 5,83 prskrame tervalu [5,83; 6,5). 7
8 Po to, suradus r h, uþpldome letelæ. Naudga letelëje turët dar veà skltá, kuroje áraðom dalø tervalø vduro taðka z, radam pagal formulæ t + t+ z.. letelë Itervalas [ ) ; + t t Itervalo vduro taškas z Dažs Satyks dažs Normuotas satyks dažs h [,43 ; 3, ),77 4 0,037 0,054 [3, ; 3,79 ) 3,45 0 0,09 0,36 [3,79 ; 4,47 ) 4,3 9 0,76 0,59 [4,47 ; 5,5 ) 4,8 6 0,4 0,354 [5,5 ; 5,83 ) 5,49 0,04 0,300 [5,83 ; 6,5 ) 6,7 7 0,57 0,3 [6,5 ; 7,9 ) 6,85 7 0,065 0,095 [7,9 ; 7,87 ) 7,53 3 0,08 0,04 Pagal gautus duomes brëþame hstogramà (. pav.). 0,4 0,35 0,3 0,5 0, 0,5 0, 0,05 0 [0;,43) [,43; 3,) [3,; 3,79) [3,79; 4,47) [4,47; 5,5) [5,5; 5,83) [5,83; 6,57) [6,57; 7,9) [7,9; 7,87) 8
9 . pavyzdys. Duota mts 0,9 8,9 8,5 4,6 4,8,,0 4,5,5,6 7,0 3, 3, 8, 0,3 5,7 6,9 0,8 3,8,5 6,3,9,9 0,6 0,8 7,3 4,5,6,4 3,9 5, 7,4 9,0,7 5, 5,0 0,0 9,9 6,6 3,4 30,3 7,7,3 8, 6,0 6,0 3, 5,4, 4, 7,9 3,7,8 0,,7 Sudarysme daþø letelæ r ubrëðme hstogramà. Ðame pavyzdyje 55, x m 0,0, x max 4,6. Kadag duotos tk 55 poþymo rekðmës, ta ðà mtá grupuosme á 5 tervalus. Vadas, 4,6 0,0 h 8,3. 5 Pasrekame dalo tervalo lgá h 8,4. Apskaèuotàjà h rekðmæ ðek tek paddome dël dvejø preþasèø. Prma, mtes elemeta tetur tk veà þeklà po kablelo, todël etkslga h mt su dvem þeklas po kablelo. Atra, suapvalus pagal apvalmo tasykles, r paëmus maþesæ h rekðmæ egu apskaèuotoj, gal paaðkët, kad paskuts tervalas praplëstas daugau egu h/. Tag, ðuo atveju daljmo taðka yra: t t t t t t ,0, 8,4, 6,8, 5,, 33,6, 4,0. Radame daþus: [0,0 ; 8,4 ) 3, [8,4 ; 6,8 ) 3, [6,8 ; 5, ) 3 7, [5, ; 33,6 ) 4, [33,6 ; 4,0 ) 5 ; 55. 9
10 Uþpldome letelæ:.3 letelë Itervalas [ ) ; + t t Vduro taškas z Dažs Satyks dažs Norm.satyks dažs [0,0 ; 8,4 ) 4, 3 0,58 0,069 [8,4 ;6,8 ),6 3 0,4 0,08 [6,8 ; 5, ),0 7 0,3 0,05 [5, ; 33,6 ) 9,4 0,04 0,004 [33,6 ; 4,0 ) 37,8 0,0 0,00 h Nagrëjamos mtes hstograma pavazduota. pav. 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,0 0,0 0 8,4 6,8 5, 33, pav.
11 .3 pavyzdys. Duota mts 7, 6,50 3,0 4,49 4,40 4,40 7,96 3,73 7,04 6,7 5,87 3,76 5,87 5,87 7,74 4,4 8,67 9,3 8,6 4,54 7,98 9,36 3,08 5, 9,38 3,7 6,59 7,79 5,06 3,9 8,6 8,64 6,59 6,53 4,9 3,00 5,8 6,50 9,38 4,50 5,3 6,55 4,64 7,6 4,5 5,84 9,37 7,90 3,7 6,83 9,4 3,7 7,07 8,60 7, 5,5 8,66 7, 3,77 9,4 6,55 8,63 5,8 8,6 5,4 0,00 6,5 6,53 4,8 6,60 8,69 0,00 3,08 5,84 7,93 0,00 5,84 9,35 8,3 8,7 Sudarysme ðos mtes daþø letelæ r ubrëðme hstogramà. Èa 80, x m 3,0; x max 0,0. Kadag x max x m 0 3 7, ta pasrekame h. Ðoje mtyje duomeys prasdeda uo trjø, o 7 yra svekas skaèus, todël patogu skrstyt á tervalus, kurø gala yra svek skaèa, be to, 80 mtes elemetø skrstat á 7 tervalus, á kekveà tervalà, vdutðka mat, gal paklût daugau kap 0 poþymo rekðmø..4.letelë Itervalas [ t ; t + ) Vduro taškas z Dažs Satyks dažs Norm.satyks dažs [ 3 ; 4 ) 3,5 0,375 0,375 [ 4 ; 5 ) 4,5 0 0,50 0,50 [ 5 ; 6 ) 5,5 3 0,65 0,65 [ 6 ; 7 ) 6,5 0,500 0,500 [ 7 ; 8 ) 7,5 0,500 0,500 [ 8 ; 9 ) 8,5 0,375 0,375 [ 9 ; 0] 9,5 0,375 0,375 h
12 Nagrëjamos mtes hstograma pavazduota.3 pav. 0,8 0,6 0,4 0, 0, 0,08 0,06 0,04 0, pav.
13 . IMTIES SKAITINIØ CHARAKTERISTIKØ SKAIÈIAVIMAS Imtes x, x,..., x vdurks x yra apbrëþamas lygybe x x. (.) Jegu statsta duomeys patekt daþø letelëje r, ta k x x. (.) Sugrupuotø tervalas duomeø vdurks x gal bût skaèuojamas apytksla pagal formulæ k x z. (.3) Èa z yra - tojo tervalo [t ; t + ) vduro taðkas : z t + t +,,,3,..., k. Medaa. Je poþymo rekðmø yra sutvarkytos ddëjmo tvarka r suumeruotos uo k, ta medaa (þymma Me) yra + k - toj rekðmë, ka elygs skaèus. Ka - lygs skaèus, medaa yra tarp - tosos r + - tosos rekðmës r ëra vearekðmðka apbrëþta. Je eurodyta ktap, jà galma mt lygà ðø dvejø rekðmø artmetam vdurku. Moda (þymma Mo) yra toka poþymo rekðmë, kuros daþs yra ddþausas. Pavyzdþu, mtes, duotos daþø letelëje x moda Mo4. O ðta orëdam surast medaà, turëtume paraðyt varjacæ elutæ,,,,,4,4,4,4,4,4,4,4,6,6,6,8,0,0,0. Pagal apbrëþmà bûtø Me4. Ktas pavyzdys. Sugrupuota mts 3
14 x tur dv modas, Mo r Mo4, es tø rekðmø daþa yra ddþaus, be to, veod. Sugrupuotø tervalas duomeø modà galma rast pagal formulæ: M0 0 x 0 + h ( ) + ( ). 3 (.4) Èa x 0 - modos tervalo pradþa, h - dalo tervalo lgs,,, 3 - daþa tervalø: - eaèo preð modos tervalà, - modos tervalo, 3 - eaèo po modos tervalo. Modos tervalu lakomas tervalas, kuro daþs yra ddþausas. Kvartla. Jegu medaa padalja duomes á dv dals, ta kvartlø paskrts - dalyt duomes á ketvrèus. Prmass kvartls Q yra duomeø tervalo [x m ; Me] medaa, o treèass kvartls Q 3 - tervalo [Me; x max ] medaa. Kvartls Q yra pat medaa Me.. 50% poþymo rekðmø 50% poþymo rekðmø Vdurks, medaa, kvartla yra skatës mtes charakterstkos, kuras dar galma bûtø pavadt padëtes charakterstkoms, es jos apbûda stebëto poþymo rekðmø padëtá realøjø skaèø aðyje. Sklados charakterstkos. Svarbausos sklados charakterstkos yra mtes plots R x max - x m, mtes dspersja s r vduts kvadrats uokryps s. Imtes dspersja s apbrëþama lygybe 4 ( x x) s. (.5) Ka duomeys uþraðyt daþø letelëje, k ( x x) s. (.6) Sugrupavus duomes tervalas, galma takyt apytkslæ s skaèavmo formulæ: k ( z x) s. (.7) Vduts kvadrats uokryps s yra apbrëþamas lygybe x m 5% Q 5% Me 5 % Q 3 5% xmax ( ) x x s. (.8)
15 Ta kvadratë ðaks ð dspersjos. Imtes dspersja r vduts kvadrats uokryps apbûda stebëto poþymo rekðmø ðsskladymà ape vdurká. Kuo daugau rekðmø yra tol uo vdurko, tuo ddesë dspersja. Dspersjos skaèavmo formulæ (.5) galma pertvarkyt tap: s ( ) x x x + () x ( x x) x xx + () x x xx + () x x () x Pavyzdys. Apskaèuokme. pavyzdþo duomeø vdurká x, dspersjà s r vdutá kvadratá uokrypá s pagal. letelës duomes, audodam formules (.3) r (.7)., , , , ,49 + 6, , ,53 3 x 08 5,05; s + (,77 5,05) 4 + ( 3,45 5,05) 0 + ( 4,3 5,05) 9 + ( 4,8 5,05) ( 5,49 5,05) + ( 6,7 5,05) 7 + ( 6,85 5,05) 7 + ( 7,53 5,05).; s,, Skaèuojat pagal mtes vdurko r dspersjos apbrëþmo formules (.) r (.5) bûtø gauta: x 5,04, s,9 r s,09. Tag, audojat apytksles formules, gavome, kad x skaèavmo paklada yra 0,0, s skaèavmo paklada yra 0,0, s skaèavmo paklada yra 0,0. Jos susdaro dël to, kad kekveo tervalo rekðmës sutapatamos su to tervalo vduro taðku. Skaèuojat x, s be s patarta atsþvelgt á apytkslo skaèavmo rekomedacjas. Je statsta duomeys ëra tkslûs skaèa (ypaè ka je yra matavmo rezultata), ta x rekðmæ reka suapvalt po kablelo palekat tek deðmtaø skatmeø, kek jø tur statsta duomeys. Tas pat pasakyta r ape vduto kvadrato uokrypo s galutæ rekðmæ. O skaèuojat tarpus rezultatus reka mt veu deðmtau skatmeu daugau, egu jø turëjo prada duomeys. 5
16 3. CHI-KVADRATO KRITERIJAUS TAIKYMAS Paagrësme ch-kvadrato (χ ) krterjaus takymà, ustatat stebëto poþymo rekðmø suderamumà su spëjama teoro skrsto tako fukcja. Lygdam gautà hstogramà pagal formà su þomoms ð teorjos tako fukcjoms, galme suformuluot hpotezæ ape stebëto poþymo teorá skrstá. Pvz.: "stebëto poþymo skrstys yra ormaluss". Èa ðkyla klausmas: ar suderam statsta duomeys su suformuluota hpoteze. Krterja, kure takom tokoms hpotezëms tkrt, vadam suderamumo krterjas. Veas ð jø - χ krterjus, ktap dar vadamas Prsoo krterjum. χ krterjaus statstka yra toka: k ( p ) χ. (3.) p Èa - mtes dyds, - daþs tervale [t, t + ), k - tervalø skaèus (þr.. letelæ); p - tkmybës stebëto poþymo rekðmëms patekt á tervalà [t, t + ), ka þoma hpotetë tako fukcja p(x). Daþa tako fukcja p(x) prklauso uo veo ar daugau parametrø, kure paprasta bûa eþom. Tokas atvejas eþom parametra yra keèam jø áverèas, gauamas audojat tkmybø teorjoje þomus áverèø radmo metodus. Dyds χ, apbrëþtas formule (3.), yra k p atstkts dyds, kuro skrstys, ka r pakakama ddels, yra apytksla lygus χ skrstu su r k--s lasvës lapsø. Èa k yra tervalø skaèus, o s yra lygus skaèu hpotetës tako fukcjos parametrø, áverttø pagal statstus duomes. Suformulavus kokreèà hpotezæ, apskaèuojama pagal (3.) χ rekðmë, kur paþymma χ sk, r suradamas lasvës lapsø skaèus r. Tada pasrekama pakakama maþa tkmybë α, vadama rekðmgumo lygmeu. J tur bût toka, kad bûtø { χ > χ } α P. (3.) kr χ kr rekðmë pagal surastà r r pasrktà α, suradama ð statstø letelø (toka yra -oj predo letelë). Palygus χ sk r χ kr, daroma vea ð ðø ðvadø: ) je χ >, ta hpotezë atmetama; sk χ kr ) je χ sk χ kr, ta sakoma, kad statsta duomeys epreðtarauja hpoteze. 3. pavyzdys. Remdames. pavyzdþo r duomems, patkrsme hpotezæ: "stebëto poþymo skrstys yra ormaluss". Normalojo skrsto tako fukcja prklauso uo parametrø a r σ. Ið teorjos yra þoma, 6
17 kad jø áverèa, gaut pagal statstus duomes yra toke: a áverts yra x, o σ áverts yra s. Vadas, mûsø atveju a reka pakest skaèum 5,05, o σ -,. Je suformuluota ormalojo skrsto hpotezë yra tesga, ta tervale [t ; t + ),,,...,k tkmybë p skaèuojama pagal formulæ p t Φ + x t Φ s x s Èa Φ(x) yra Laplaso fukcja: (3.) x t x e () Φ dt (3.3) π Ta ormalojo skrsto su vdurku, lygu ulu r dspersja, lyga veetu, passkrstymo fukcja. Jos rekðmës radamos statstëse letelëse, kuros yra kekveoje tkmybø teorjos kygoje. Daþa yra audojamos letelës e (3.3) formule apbrëþtos fukcjos, o fukcjos Φ (x), tap pat vadamos Laplaso fukcja: Φ * π () x e x 0 t dt. (3.4) Naudojats fukcjos Φ (x) letelëms ( o toka yra -oj predo letelë), Φ(x) rekðmës radamos tap: Φ ( x) 0,5 Φ ( x), () x 0,5 + Φ (). x Φ Norëdam apskaèuot χ sk pagal formulæ (3.) turme surast tkmybes p (3. formulë). Kadag tur bût p t, ta eðkodam argumetø rekðmø x,,,..., k +, s pakeèame t r t k+ rekðmes, mdam attkama r + : t x ; s t t t 3 4 x 3, 5,05,76; s, x 3,79 5,05,5; s, x 4,47 5,05 0,53; s, 7
18 t t t t t x 5,5 5,05 0,09; s, x 5,83 5,05 0,7; s, x 6,5 5,05,33; s, x 7,9 5,05,95; s, x +. s -oje predo letelëje suradame fukcjos Φ(x) rekðmes tuose taðkuose: Φ Φ Φ Φ ( ) 0; (,76) (,5) ( 0,53) ( 0,09) ( 0,7) (,33) (,95) ( ). Φ Φ Φ Φ Φ + 0,039; 0,5; 0,98; 0,5 + 0,0359 0,5359; 0,76; 0,908; 0,9744; Pagal formulæ (3.) radame tkmybes p p p p p p p p , ,039; 0,98-0,5 0,730; 0,5-0,039 0,0859; 0,5359-0,98 0,378; 0,76-0,5359 0,5; 0,908-0,76 0,47; 0,9744-0,908 0,066; - 0,9744 0,056. 8
19 Tolmesems skaèavmams patogu sudaryt tokà letelæ: [ ) t ( ; ; t + 3,) [3, 3,79) [3,79; 4,47) [4,47; 5,5) [5,5; 5,83) [5,83; 6,5) [6,5; 7,9) letelë [7,9; + ) p 0,039 0,0859 0,730 0,378 0,5 0,47 0,066 0,056 p 4,3 9,8 8,68 5,68 4,3 5,89 7,5,76 χ krterjø rekomeduojama takyt tada, ka p 5. Jegu yra tervalø, kuruose p < 5, je sujugam, o tkmybës r daþa sudedam. Ðame pavyzdyje toke tervala yra prmas r paskuts. Todël prmàjá sujugame su atruoju, o paskutá su preðpaskutuoju. Gausme 3. letelæ. 3. letelë. [ ) t ( ; ; t + 3,79) [3,79; 4,47) [4,47; 5,5) [5,5; 5,83) [5,83; 6,5) [6,5; + ) p 0,5 0,730 0,378 0,5 0,47 0,098 p 3,5 8,68 5,68 4,3 5,89 9,9 Ja audodames, apskaèuojame χ sk + χ sk (formulë (3.): ( 4 3,5) ( 9 8,68) ( 6 5,68) ( 4,3) ( 7 5,89) ( 0 9,9) 5,89 3, ,9 8,68 + 0,37. 5,68 + 4,3 + Normalojo skrsto atveju lasvës lapsø skaèus r yra radamas pagal formulæ rk-3, es buvo ávertt du parametra: a r σ.. pavyzdþo duomeys buvo sugrupuot á 8 tervalus, taèau po sujugmo lko 6 tervala, vadas, r Pasrekame tkmybæ α 0,05. Su toka tkmybe hpotezë bûtø atmesta, ors ð tkrøjø j tesga. -oje predo letelëje pagal r 3 r α 0.05 radame χ 7, 8. kr 9
20 Iðvada. Kadag 0,37<7,8, ta statsta duomeys epreðtarauja hpoteze, kad, stebëto poþymo skrstys yra ormaluss. 3. pavyzdys. Remdames. pavyzdþo duomems patkrsme hpotezæ: "stebëto poþymo skrstys yra ekspoets". Ekspoeto skrsto tako fukcja p(x) yra toka (èa m > 0): 0, ka x < 0 p() x mx. me, ka x 0 Je hpotezë tesga, patekmo á tervalà [t.t + ) tkmybë p yra skaèuojama pagal formulæ p,,,..., mt e mt + e k. Ið teorjos yra þoma, kad parametro rekðmë yra dyds, atvrkðèas vdurku, todël vertame tap: m 0,. x 9,85 Vadas, p p p p p e e e e e 0, 0 0,84,68,5 3,36 e e e e e 0, 8,4,68,5 3,36 e 0,84 0,5683, 0,437 0,864 0,453, 0,864 0,0805 0,059, 0,0805 0,0347 0,0458, 0, ,0347. p Èa paskutæ tkmybæ tap pat koreguojame tap, kad bûtø Sudarome letelæ. 3.3.letelë [t ; t + ) [0.0; 8.4) [8.4; 6.8) [6.8; 5.) [5.; 33.6) [33.6; + ) p 3,6 3,49 5,8,5,9 0 Apskaèuojame χ sk : ( 3 3,6) ( 3 3,49) ( 0 0,5) χ sk + + 0,044. 3,6 3,49 0,5
21 Lasvës lapsø skaèus r k- 3- (es pagal statstus duomes ávertamas tk veas parametras). Pasrekame α 0,05. -oje predo leteleje radame, kad χ sk 3,84. Iðvada. Kadag 0,044<3,84, ta statsta duomeys epreðtarauja hpoteze, kad stebëto poþymo skrstys yra ekspoets. 3.3 Pavyzdys. Remdames.3 pavyzdþo duomems patkrsme hpotezæ: "stebëto poþymo skrstys yra tolygus". Je hpotezë tesga, ta tkmybë p, su kura patekama á tervalà [t ; t + ), lyg dalo tervalo lgo h r vso rekðmø tervalo lgo 0-37 satyku, t. y. p 0,486,,,3,4,5,6,7. Vadas, p 80 0,486,43. 7 Tada χ sk 3 (,43) ( 0,43) ( 3,43) (,43),43 +,43 +,43 +,43 0,50 Lasvës lapsø skaèus r 7-34 (pagal statstus duomes ustatom tervalo gala a 3, b 0). Pasrekame α 0,05. Letelëse radame χ kr 9,49. Kadag 0,50 < 9,49, ta statsta duomeys epreðtarauja hpoteze.
22 4. KORELIACINË - REGRESINË ANALIZË Korelacja - ta statstë prklausomybë, eturt greþto fukco ryðo. Sakoma, kad korelacja seja du poþymus, je veas prklauso uo kto poþymo r uo daugelo atstktø veksø. Todël korelacja pasreðka tk "mat vdutðka". Paagrëkme pavyzdá. Buvo trta grûdø kultûrø derlgumo (ct/ha) r savkaos (Lt) prklausomybë. Gaut toke duomeys: (9;5) (9;7) (7;8) (;8) (3;7) (;7) (5;) (0;6) (7;7) (7;8) (0;7) (0;6) (;5) (3;5) (9;3) (;3) (3;) (7;5) (9;4) (0;7) (0;3) (9;8) (;6) (4;3) (0;7) (4;6) (0;3) (0;8) (9;6) (0;5) (;5) (3;3) (5;9) (;3) (;4) (4;3) (3;3) (6;) (6;0) (7;6) (9;6) (;3) (3;4) (4;3) (6;3) (5;) (7;9) (9;5) (;4) (3;4) (5;3) (7;0) (;6) (;6) (5;4) (8;6) (9;5) (;3) (4;4) (6;4) (5;) (;4) (;3) (4;3) (0;5) (;4) (0;4) (;3) (3;3) (7;) Matome, kad derlgumas kta uo 5 k 6 ct/ha, o savkaa uo k ltø. Pavazduokme duomes taðkas koordaèø plokðtumoje (4. pav.). Ið grafko vazdþa matyt. kad esat derlgumu, pvz., 0 ct/ha, savkaa gal bût 3, 4, 5, 6, 7 r 8 Lt. Kta vertus, savkaà 3 Lt attka derlgumas uo 9 k 6 ct/ha pav. Tap pat pastebma prklausomybës tedecja - ddëjat derlgumu savkaa maþëja. Kekvea derlgumo rekðme apskaèuokme vdutæ savkaà. Gausme tokà letelæ:
23 4. letelë Derlgumas Vdutė savkaa 9,3 0 7,57 6,5 6,6 6,78 4,37 4,7 3,8 3,67,75 3 Pagal jà ubrëþta I lauþtë (4. pav.) jau labau ðryðka tà savkaos maþëjmo tedecjà I lauþtë 4. pav Suskrstykme tervalas atskra derlgumo rekðmes x, savkaos rekðmes y r sudarykme korelacæ letelæ 4. letelë Y X Ik Apskaèavæ vdutes y rekðmes kekveam x rekðmø tervalu, gausme taðkus (4; 9,5), (8; 7,75), (0; 6,), (; 4,89), (4; 4,6), (6; 3,4), kure dar labau paryðkta y prklausomybæ uo x (II-j lauþtë) (4.3 pav.) 3
24 II lauþtë 4.3 pav. Statstkoje korelacë prklausomybë yra reðkama regresjos lygtms. Paprasèausos prklausomybës formos yra: tesë, reðkama lygtm y x ax + b, b atvrkðtë - y x a +,. x kvadratë - y x ax + bx + c, b lapsë - y ax, rodklë - x x y x ab. Parametra a, b, c apskaèuojam maþausø kvadratø metodu pagal statstus duomes. Tesës prklausomybës stprumà charakterzuoja korelacjos koefcetas r, apskaèuojamas pagal formulæ xy x y r s x s. (4.) y Èa x x, y j y ; (4.) s x ( x x), s ( y y) y j ; (4.3) xy, j x y j. (4.4) Korelacjos koefceto rekðmës teka elygybæ r. Kuo r rekðmë artmesë veetu, tuo stpresë yra tesë korelacja. 4
25 Pavyzdþa: 4.. pavyzdys. Duota mts (,77; 4,96) (,87; 5,) (,00; 5,57) (,04; 5,68) (,4; 5,95) (,34; 6,48) (,40; 6,80) (,60; 7,07) (,67; 7,36) (,77; 7,60) (,80; 7,90) (,90; 8,00) (3,04; 8,35) (3,7; 8,70) (3,4; 8,90) Jà pavazduojame taðkas koordaèø plokðtumoje. Gauame tokà sklados dagramà: 4.4 pav. Apskaèuojame vdurkus r vdutus kvadratus uokrypus:,77 +,87 + +,04 +,4 +,34 +,4 +,6 +,67 +,77 +,8 +,9 + 3,04 + 3,7 + 3,4 x 5,5;,77 4,96 +,87 5, ,4 8,9 xy 8,5; 5 4,96 + 5, + 5,57 + 5,68 + 5,95 + 6,48 + 6,8 + 7,07 + 7,36 + 7,6 + 7, ,35 + 8,7 + 8,9 y 5 04,54 5 6,97; 5
26 s 6,566 6,3504 0,56; s x s 50,45 48,5809,5336; s y x 0,464; y,38. Takydam formulæ (4.), apskaèuojame korelacjos koefcetà: 8,5 7,5644 r 0,464,38 0,548 0,954. 0,5744 Kadag r 0,954, ta yra stpr tesë korelacja, vadas, regresjos krevë bus tesë. Tesës regresjos lygts yra toka: ( x x) s y y x y r. (4.5) sx J ðreðka y prklausomybæ uo x. Áraðæ apskaèuotas rekðmes á (4.5), gauame, kad,38 y x 6,97 0,954 ( x,5). 0,464 Ið èa y x,545x + 0,556. (4.6) Nubrëþkme ðà tesæ kartu su sklados dagrama, (4.5 pav.) 4.5 pav. Pastaba. Kap jau mëta, tesë prklausomybë reðkama regresjos lygtm y x ax + b, Jos parametra a r b apskaèuojam maþausø kvadratø metodu. Tam reka spræst lygèø sstemà 6
27 7 + +, y b x a y x x b x a kurà ðspredæ gauame, kad x y s s r x x y x y x a ; ax y b. Áraðæ a r b rekðmes á lygtá b ax y x +, gausme (4.5) lygtá. 4. pavyzdys. 4. pavyzdys. 4. pavyzdys. 4. pavyzdys. 4. pavyzdys. Duota mts, kurà sudaro poþymø X r Y poros (x,y): Áraðæ á (4.8), gauame sstemà Rasme regresjos lygtá, ðreðkaèà y prklausomybæ uo x. Ðø duomeø sklados dagrama pavazduota 4.6 pav. 4.6 pav. X 0,3 0,5 0,6 0,8 0,9,,,5,7,9,0,,4 Y -,33 0 0,4 0,7 0,8,,,3,5,4,5,7,5
28 Ieðkome regresjos lygtes pavdalo b y x a +. (4.7) x Nort surast a r b maþausø kvadratø metodu, reka spræst lygèø sstemà a + b y x y a + b x x x Pagal duomes radame, kad (4.8) ,0966; x x y x,8435; 0,356. y 0,90538; Áraðæ á (4.8), gauame sstemà a +,0966b 0,90538,0966a +,8435b 0,3566 Jà ðspredæ gauame, kad a,99, b-0,996 Vadas, regresjos lygts yra 0, 996 y x,99 x Norëdam ástkt, kap gautoj regresjos lygts attka duomes, sudarome fukcjos 0,996 y,99 rekðmø letelæ x x 0,3 0,6 0,9,,5,8,,4 y -,39 0,33 0,884,6,37,438,57,576 8 Per ðuos taðkus brëþame krevæ kartu su sklados dagrama.
29 4.7 pav. Turt daug duomeø, je grupuojam r sudaroma korelacë letelë. Jegu paskartojaèø porø edaug, grupuojama tervalas (þr. 4. letelæ). Jegu skrtgø porø edaug, letelëje urodomos skrtgos x rekðmës x, x,...,x m, skrtgos y rekðmës y, y,...,y, ðdëstytos ddëjaèa tvarka r porø (x ;y j ) daþa j (4.3 letelë): 4.3. letelë X Y y y, y x x M M M M x m m m m Sumuodam letelës elutëje esaèus daþus, gauame x rekðmø daþus x, sumuodam stulpeluose - y rekðmø daþus y. Tag, suraðus daþus, korelacëje letelëje 4.3 j prdedama dar vea elutë r veas stulpels r gauama 4.4 letelë. 9
30 4.4 letelë. X Y y y, y x x x x x M M M M x m m m m x m y y y y Paskutame stulpelyje r paskutëje elutëje yra poþymø rekðmø skrsta pagal kekveà poþymá atskra. Tur bût x... m y + y + + x + x y. Vdurka x, y r xy skaèuojam pagal formules: x x xy m j m x y j Dspersjos s s x y m j x, y j j, x y. s x r x y j j s y - pagal formules ( x x), ( y y). (4.8) (4.9) 30
31 4.3. pavyzdys. Duota sugrupuota mts Y X Rasme regresjos lygtá. Sudarome ktà korelacæ letelæ papldydam jà dar vea elute r stulpelu: Y x X y letelë. Apskaèuojame pagal formules (4.8) r (4.9) vdurkus uokrypus s x, s y : x, y r r xy vdutus kvadratus x 38, 38; y 80, ; xy ,957; 70 3
32 s x 30,47; s s x y ( 5 38) + ( 9 38) 6 + ( 33 38) + ( 4 38) 30 + ( 45 38) + ( 50 38) s x 70 5,50; ( 65 80) + ( 76 80) 7 + ( 86 80) 9 + ( 95 80) 70 9,648. Apskaèuojame korelacjos koefcetà 93,0857; 3006, ,043 r 0,6. 5,50 9,648 53,57 Áraðæ gautàsas rekðmes á (4.5) formulæ, suradame tesës regresjos lygtá: 9,648 y x 80 0,6 ( x 38). 5,50 Jà pertvarkæ gauame, kad y x,084x +, pavyzdys. Duota mts X 4,7 4,3 4,40 4,49 4,63 4,73 4,73 4,80 4,87 Y 9,88 30,93 30,39 3,85 3,90 33,50 34,00 34,0 34,48 X 4,90 5,00 5,0 5, 5,30 5,40 5,50 5,63 5,65 Y 36,3 35,60 36,80 36,83 37,0 38,0 38,80 39,45 39,70 X 5,67 5,85 5,90 6,00 6,5 6,0 6,5 6,8 6,40 Y 39,7 40,80 4,0 4,90 4,70 43,0 43,0 43,60 43,70 X 6,50 6,80 6,70 6,75 6,80 6,90 7,05 7,08 7,0 Y 45,5 45,80 46,70 46,70 46,90 47,80 48,40 48,90 49,50 X 7,0 7,0 7,30 7,35 7,50 7,60 7,68 7,80 7,85 Y 49,50 50,0 50,80 5,50 5,0 5,80 5,84 53,70 54,0 X 8,00 8,0 8,5 8,0 8,7 8,37 8,40 8,45 8,65 Y 55,00 55,0 56,50 56,50 56,78 57,40 58,0 58,40 59,40 3 X 8,70 8,80 8,90 8,90 9,00 9,7 Y 59,40 60,0 60,90 6,70 6,0 6,68 Èa 60.
33 Sugrupuokme duomes tervalas r sudarykme korelacæ letelæ. Tuo tkslu suradame x m r x max be y max r y m r jø skrtumus: x m 4,7, y m 9,88 x max 9,7, y max 6,68. Kadag x max - x m 9,7-4,7 5, ta x-o rekðmes patogu skrstyt á 5 tervalus. y max - y m 6,68-9,88 3,8, ta y-o rekðmes suskrstysme á 4 tervalus. Dalø tervalø lga: 9,7 4,7 6,68 9,88 h x ; hy 8,. 5 4 x-o rekðmø tervala r jø vduro taðka: [4,7; 5,7) 4,67, [5,7; 6,7) 5,67, [6,7; 7,7) 6,67, [7,7-8,7) 7,67, [8,7; 9,7] 8,67, y-o rekðmø tevala r jø vduro taðka: [9,88; 38,08) 33,98, [38,08; 46,8) 4,8, [46,8; 54,48) 50,38, [54,48; 6,68] 58,58. Uþpldome korelacæ letelæ, uþregstruodam kekveos poros prklausomybæ urodytems tervalams: 4.6 letelë. Y [9,88; 38,08) [38,08; 46,8) [46,8; 54,48) [54,48; 6,68] x X 33,98 4,8 50,38 58,58 [4,7; 5,7) 4,67 [5,7; 6,7) 5, [6,7; 7,7) 6, [7,7; 8,7) 3 7, [8,7-9,7] 8,67 y
34 Skaèuojame vdurkus, vdutus kvadratus uokrypus be korelacjos koefcetà: 4,67 + 5,67 + 6,67 + 7, ,67 x 6,7; 60 33, , , ,58 5 y 46,55; 60 4,67 33,98 + 5,67 33, ,67 4, ,67 4,8 6 xy ,67 50, ,67 50, ,67 58, ,67 58, ,783; 60 s,9475; s,396; s x y 8,734; s x y 9,04; 34,783 6,7 46,55 r,396 9,04,967,6 0,948. Tesës regresjos lygts yra y x 9,04 46,55 0,948,396 arba 6,396x + 5,9. y x ( x 6,7) 34
35 5. DINAMIKOS EILUTËS Damkos elute (lako elute) yra vadama veo koko ors poþymo rekðmø seka, sudaryta ð to poþymo rekðmø, gautø veas po kto eaèas lako t mometas arba lako perodas: Lakas t t t 3 t Požymo rekšmė y y y 3 y (5.) Je t t cost.,,,...,, ta damkos elutë vadama plàja. Preðgu atveju - eplàja. Vea atskra pamta poþymo rekðmë vadama damkos lygu. Damkos elutë gal bût duota letele (5.) arba grafku. Braþat grafkà, x-ø aðyje atdedamas lakas, y-ø aðyje - damkos lygs. Pavyzdys. Atvykusø ð uþseo ðalø (ðskyrus NVS ðals) á Letuvà gyvetojø skaèaus ploj damkos elutë yra toka: Meta Atvykusø gyvetojø sk Pavazduosme ðuos duomes grafðka: pav. 35
36 Prklausoma uo to, koks yra damkos lygø pobûds lako poþûru (ar ta yra duomeys tam tkru lako mometu, ar per tam tkrà lako tarpà), damkos elutës yra skrstomos á mometes elutes r tervales elutes. Damkos lygø atþvlgu skrstomos á absoluèø dydþø, satykø dydþø, vdurkø elutes. Aukðèau patekto pavyzdþo damkos elutë yra absoluèø dydþø tervalë elutë. Paprasèausos damkos eluèø charakterstkos. Paprasèausos charakterstkos - ta damkos eluèø rodkla, apbûdatys damkos lygø ktmà. Daþausa yra skaèuojam ðe rodkla: absolutus paddëjmas, ddëmo koefcetas, ddëjmo tempas, tempo paddëjmas. Absolutus paddëjmas y y y,,..., parodo kelas veetas paskeèa damkos lygs per lakotarpá uo t - k t. y Ddëjmo koefcetas K,,..., parodo kek kartø esamass lygs y y yra ddess uþ praëjusá y -. Ddëjmo tempas T K 00% parodo kek procetø sudaro esamass lygs praëjusojo atþvlgu. Tempo paddëjmas T T 00% parodo kelas procetas paskeèa damkos lygs p per agrëjamà lakotarpá. Atsþvelgat á tyrmø tkslà, ðos charakterstkos gal bût skaèuojamos veo kuro ors lygo, vadamo pastova baze, aþvlgu. Jegu pastova baze mamams prmass damkos lygs y, ta y y y, y K,,...,. y Vso lakotarpo damkà apbûda vduta dydþa: vduts lygs, vduts absolutus paddëjmas, vduts ddëjmo koefcetas. Itervalø eluèø vduts lygs y apbrëþamas lygybe y y, (5.) o mometø eluèø - lygybe 36
37 y + y y y y + (5.3) Mometø eluèø vduts lygs dar yra vadamas chroologu vdurku. Formulæ (5.3) galma takyt tk tada, ka mometë elutë yra ploj. Vduts absolutus paddëjmas - ta absoluèø paddëjmø artmets vdurks: y (5.4) Vduts ddëjmo koefcetas K yra skaèuojamas kap geometrs K,,..., vdurks y (je K y ): K K 3 K K (5.5) Damkos eluèø ðlygmas. Nagrëjat damkos elutes, stegamas surast damkos lygø ktmo tedecjà (je toka yra), kadag ta tedecja yra uþslëpta dël atstktø damkos lygø svyravmø. Pagrde ktmo tedecja paryðkt gal bût takom ávarûs metoda. Paprasèausas ð jø, kurs gal bût takomas absoluèø dydþø tervalëms elutëms yra elutës lygø perskaèavmas lgesems lakotarpams. Je pradës elutës duomeø lakotarpa yra mëesa, galma perskaèuot ketvrèams, pusmeèams arba metams. Ktas metodas - ta slekamøjø vdurkø metodas, kuro esmë yra ta, kad prada elutës lyga yra pakeèam elygo skaèaus gretmø lygø vdurkas, t. y. y yra keèamas y + y + y+ y sl., 3 ka slekamajam vdurku skaèuot mamas trejø metø pagrdas, arba y + y + y + y+ + y+ y sl., 5 ka slekamajam vdurku skaèuot mamas pekerø metø pagrdas. Takat ðá metodà, praradama dals formacjos, es ëra kuo pakest kraðtø elutës lygø, taèau pat damkos elutë yra ðlygama. Pavyzdys. Letuvos komercø bakø prmtø termuotø dëlø (ml. ltø) m. duomeys. 37
38 Mėesa Iðlygsme ðà elutæ pakesdam jos lygus pekerø mëesø slekamasas vdurkas. Mėesa ,6 38, 38,8 39,0 38,8 38,4 38,0 37,4 37,0 36, ,4 37,6 37,8 39,0 40,0 40,8 40,8 40, 39,6 39,0 Pradës r ðlygtos elutës grafka pavazduot 5. pav. 5. pav. Tolese damkos eluèø aalze audojam jau ðlygt duomeys. Veas ð damkos eluèø modelø yra toks: () t + z() t + ε() t y( t) f (4.6) Èa f(t) - pagrdë y ktmo tedecja, vadama tredu, z(t) - sezoë kompoetë, ε(t) - atstkta uokrypa. Nustaèus ðas kompoetes, galma progozuot y ktmà etolmoje atetyje. Tredas, usakats pagrdæ damkos lygø ktmo tedecjà, yra radamas audojat regresæ aalzæ. Paprasèausø tredø tpa yra: 38
39 y at + b, y a b b y a +, y a t t y at + bt + c. t b,, Parametra a, b, c radam maþausø kvadratø metodu Tess tredas, pavyzdþu, takomas tada, ka absolutûs paddëjma maþa skras veas uo kto, o rodkls - ka ddëjmo koefceta maþa skras veas uo kto. Vertat tredà, ávedamos sàlygës t rekðmës. Pvz., agrëjama tervalë damkos elutë, kuros lako tervala yra metø ketvrèa: 996 m 997 m I ketv. II ketv. III ketv. IV ketv. I ketv. II ketv. III ketv. IV ketv. Attkamos sàlygës lako t rekðmës gal bût parktos tap: arba Rastà regresjos lygtá (tredo fukcjà) galma prtakyt: ) gaut ðlygtoms rekðmëms, attkaèoms ustatytà tedecjà, ) gaut eþomoms poþymo rekðmëms agrëjamo lako tervalo rbose, 3) progoze. Progozë slekamojo vdurko metodu Progozës tkslas - ustatyt bûsmus damkos elutës lygus etolmoje atetyje. Damkos elutëms, eturèoms e ryðkaus tredo, e sezoës kompoetës, gal bût progozuojama slekamojo vdurko metodu. Slekamass vdurks, kurá þymësme x sl., dabar skaèuojamas paskutø rekðmø sumà daljat ð. Paagrëkme pavyzdá. Letuvos statstkos metraðtyje 998 patekt toke ape durpø gavybos Letuvoje duomeys (tûkst. toø):
40 Skaèuokme progozæ 3 metø slekamojo vdurko pagrdu. Prmø trejø metø vdurks yra x sl ,3 3 Vadas, 404,3 tûkst. toø durpø gavyba bûtø progozuojama 994 metas. Uþfksuota 994 m. rekðmë yra 4, tag, progozës paklada bûtø 4-404,3 6, slekamass vdurks yra x sl Ta 995 metø progozë bûtø 30, o paklada Ir t.t. Apskaèuosme vdutæ kvadratæ pakladà. Tuo tkslu paraku sudaryt letelæ: 5. letelë Meta y rekšmė Progozė Paklada Paklados kvadratas ,3 6,7 44, Ið vso: 365,89 365,89 Vdutë kvadratë paklada 84, 5. 4 Jegu slekamàjá vdurká skaèuotume dvejø metø pagrdu, gautume tokus rezultatus: 40
41 5. letelë Meta y rekšmė Progozė Paklada Paklados kvadrats ,5 36,5 863, ,5-58,5 34, Ið vso 3309,5 3309,5 Ðuo atveju vdutë kvadratë paklada yra 668, 3. J þyma ddesë uþ 5 vdutæ kvadratæ pakladà, kur gauta slekamàjá vdurká skaèuojat trejø metø pagrdu. Ið to spredþame, kad trejø metø slekamass vdurks duoda progozæ, gerau attkaèà realus duomes. Todël progozuojamà 998 metams durpø gavybos keká, gerau mt lygø paskutø trejø metø vdurku, t.y. 46 tûkstaèus toø. Kekveu atveju parkmo krterjus yra toks - je slekamass vdurks davë palygt gerà progozæ praetyje, ta js bus geras r atetyje. Tag, slekamojo vdurko lgs yra parekamas pagal vdutæ kvadratæ pakladà. 4
42 PRAKTINIØ DARBØ UÞDUOTYS. Statstø duomeø tvarkymas r skatø charakterstkø skaèavmas. Sugrupuokte duomes tervalas, ubrëþkte hstogramà. Apskaèuokte mtes vdurká, dspersjà r vdutá kvadratá uokrypá
43 ,8 40,4 50,4 49,6 44,4 44,4 45,4 47, 43,8 50,6 46,4 45, 45,8 4,4 4,4 45,0 47, 50, 48, 44, 46,3 49,6 44, 46, 50,4 53,6 53, 46, 49,4 50, 4,0 5,4 44, 45, 48, 49, 47,6 40,8 47,4 5, 53,8 45,4 43,8 48,8 39,0 48,0 50,8 4,6 47, 46, 48, 47, 53, 46, 49, 43,0 45, 48,8 45,6 4,6 43,8 50,4 43,8 50, 44,6 45,8 40,4 46, 49, 48,0 4, 49, 43,4 46,4 4,6 43, 38,6 44, 45,8 44, 50, 46,4 44,5 4, 48,8 53,4 5,0 46,6 45,4 44,4 54,0 49,4 46,4 48, 44,0 5,4 44,4 4,6 45,3.5 8,6 7, 3,7 8,5 9,4 6,3 33,0 30, 30,7 9, 8,9 8,6 9,6 9,5 3,3 30,3 9, 30, 9,8 8,6 30, 8,4 7,6 9,6 7,6 6,3 30,3 9, 30,4 6,6 30,3 7,6 3,6 3,3 7,6 8,6 7, 3,9 8,6 9,6 3, 30, 3, 30, 3,9 8, 9, 3, 7, 6,6 8,0 3, 7, 3,5 3,9 3,5 33,0 9,4 6,6 8,6 3, 8,6 8,6 8,6 7,0 3,4 9,6 30,6 8,6 9, 3, 30,5 8,6 30, 7,6 9, 9, 9,6 30,6 8,6 8,0 8,8 3,7 3,3 8,6 30,6 7,3 6,6 9,5 9,0 8,0 9,0 9,4 30, 7,9 8,8 9,5 8,5 9,8 9, 43
44 .6,6 3,3,83,4,79,50,68,98,36 3,0,54,0 3,36,55,54,47 3,4 3,7,4,57,44 3,40,68,65 3,09,9,0,5,38 3,0 3,03,69 3,5,84,8,65,78,54,4,94,88 3,04,86,80 3,0,3 3,6,34,79 3,06,54,49 3,04,75,78 3,3 3,38 3,95,0,68,57,5,7 3,0,47,5,64 3,3,3 3,7 3,04,37,59,53 3,3,6,3 4,7,60,4,8,69,8,3 3,66,49,4,4 3,5,4,74,97,7,56 3,8 3,75,79,08,8, ,8 40,6 34, 40, 4, 36, 3,6 38,0 34, 34,4 34,8 36,4 36,3 3,0 43,8 38, 33,8 3, 40, 44,0 30,4 35, 39,6 4,4 35,4 37, 40,4 39, 36,4 39,4 40,4 35,8 39,4 34, 33,8 43, 33,8 33,4 34,6 36,4 39,6 3,4 34, 35, 38,8 36, 40, 36,4 3, 38, 34,4 3,4 36, 38, 9,0 39, 34,6 3,6 38,8 34,0 34,4 35,0 40,4 39, 38,0 33,0 35,8 33, 43,4 4,4 35,4 37, 43,6 37,6 40,8 35, 30,4 8,6 4,0 34,4 37, 40, 43, 30,8 3,6 38,8 36, 34, 36,6 3,6 33,8 38, 36, 37,4 37, 35,6 39, 35,8 35,4 35,3.8 54,5 55,4 50,5 5,4 53,4 5,7 5,8 50,4 54, 50,8 53,7 50,7 50,3 54,4 5, 50,3 5, 5,8 5,8 5, 5,8 5,5 54,4 5,5 5,3 5,4 57,3 56, 57, 50,9 5,9 5,6 53,6 59,6 56, 58,7 50,8 57,5 49,8 50,4 58,5 57,3 50,6 50,3 57, 49,4 54,9 53,4 5, 5,9 50,9 54,8 59,9 54,8 5,5 54,0 49,6 53,7 49,9 50, 50, 50,3 53, 54,5 55,5 53, 5, 5,0 53,7 5,3 44
45 56,5 5,0 53,7 53,4 50,5 5,6 53,7 48, 54,5 54,3 55, 53,0 5,6 53,0 50,7 53, 56, 53,4 5,8 5,6 53,8 55,9 53,5 5,5 53,7 54, 5,6 5, 5,9 5,5.9 33,8 3,9 3,7 3,5 38,3 30,5 9,8 35,7 34,9 33,5 35,3 30,5 3,0 3, 37,0 34,4 9,9 3, 7,4 35, 30,4 9,7 33,5 3,8 30,3 9,5 3,6 33,5 3,6 33,4 30,9 33,4 3, 9,4 9,9 34,3 34,0 3,8 3,6 3,0 3,9 3,8 3,0 35,6 36,7 3,0 35,0 9,5 9,9 33, 3, 30,3 30,4 38, 9, 33,9 3,7 30,7 33, 33,6 3,9 3,9 36,9 30,3 34,5 9, 3,4 3,8 35,6 3,0 30, 3, 35,4 36,5 33,0 33, 30,4 7,5 3,5 3, 33,5 3,8 36,9 9, 3,7 9,4 33, 34,4 3,5 3,5 30,7 3,8 30,3 30,3 3,4 9,7 3,7 33,8 3,9 3,
46 ,9 63,6 67,0 60, 68,6 64,0 63,8 68,9 67,3 66,9 6,8 64,4 63, 60,8 69,3 6,0 66,9 65,3 60,0 66,9 6,3 6,3 6,3 60,9 65,8 68, 6, 6, 63,0 68,7 64,0 66,5 60,3 66,4 63,9 63,8 6,4 6,4 6, 6,0 68,9 66,5 60,7 65, 60, 68, 65,4 65, 69, 65, 66,7 69,5 68,0 60,4 65,6 66,6 65,0 60, 6, 6,3 6,6 60,7 66,3 67,5 69,0 64,0 67, 64,7 68,9 60,7 69,9 60, 63, 63, 68,3 63,9 63,9 68,8 65,4 60, 68,0 68,6 6,5 6,6 6, 60,3 6,7 64,5 65,4 60,7 65,3 68, 68,7 69,9 6,4 60,3 60,9 65,5 65,0 63,
47 .4 79,0 36,6 70,9, 86,6 40,0 38, 89, 73,9 69,9 8,4 44,0 3,0 8,7 93,8 0,9 69, 53, 0, 69,5 3,5 3, 3, 9, 56, 8,6,7,7 30,9 87,4 40,7 65,0 3,9 64,3 39, 38,3 4, 4,0,7 0,9 89,4 65,0 7,7 5,3,4 8, 54,3 5, 9, 5,7 67,6 95,9 80,5 4, 56, 66,9 50,9,3, 3,3 6,0 7, 63,5 75, 90,5 40,8 7,3 47,3 89,3 7,8 99, 60, 3,5 83,5 39,3 39,9 88,9 54,5, 3,5 80,5 86, 5,5 6,0,3 3,9 7,7 45,8 54,3 7,5 53,7 8,3 87,0 99,4 4,7 3,6 9,0 55,3 50,8 30,7.5 70,9 3, 39,0 98,9 76,9 70,0 47,9 3,7 7,9 77,5 8,6,3 6, 80,6 5,6 90,6 85,7 7,3 63,4 58,7 50,3 57,8 9,9 88, 9,8 85,7 7,3 40,6 34,3 90,0 70,7 7, 5,9 97, 34,6 96,7 4, 54,5 55, 70, 0,0 55,5 7,8 9,4 73,5 9,7 3, 4,4 53,3 6,8 8,3,7,3 4,6 37,0 5,6 86,8 98,0 55, 8,5 44,8 5,4 3,6 43, 9,7 0,3 38, 65,0 96,0 9,7 49,3 36,0 9,0 68,6 79, 0,5 7,9 55,6 80, 43,4 0,0 7,4 43,7 7, 33,3 67, 45,9 56,9 9,6 30,8 9,5 0,3 44,6 5,9 97,7 49, 3,5 6,,0 70,0.6 7, 35,6 8,9 34,7 98, 59,7 33,5 9,6 3,7 6, 70,9 30,9,0 53,3 7,7 38,3 8,3 94,7 79,6 3,9 56,9,7 48, 6,9 96,7 5,7 9,9 3,8 8,8 34,4 9,4 5,5 86,9 78,8 7,0 34,3 89,7 63, 53,8 37,9 7,8 75, 9, 7,8 56,0 49,5 38,8 93,6 55,0 65,3 3,4,9 74,0 3,3 7,7 50, 53, 4, 54,4 5, 78,9 6, 7,6 7,6 48,9 6,0 99,0 77,0 7, 39,0 47
48 99,0 8,9 83,7 5,3 8, 90,9 9,,3 3,5,5 65,5 6,6 9,7 84,7 49,0 8,6 58,6 48,7 0,5 7,4 65,3 3,7 4,8 86,5 90,0 70,8 30,0 90,3 77, 56, ,8 65,8 66,3 67,6 68,5 60,6 6,6 68,3 69,9 60,3 69, 6,5 69, 6, 67, 69,5 66,0 6,0 65,7 66,3 68,5 60,6 64,8 68,3 60,3 66,5 66,8 66,3 65,0 60,7 48
49 6, 6,7 66,6 6,8 69, 66,9 65,0 64,5 6,3 6,7 68,8 64,7 65,7 64,6 6,0 6, 60,3 63,9 65,8 68,9 6,5 6,7 60,0 63,0 67,9 69,0 63,8 63, 63,6 6,0 69, 6, 67,0 63,3 65,7 6,8 69, 64,7 63, 60,3 66,0 69,3 63,8 67,5 68, 69,4 64,7 67,5 6,6 63,5 60,4 65,6 69,3 66,9 66,3 64, 6,4 6,3 65, 67, 64, 67,5 64, 63,6 6,4 64,4 68,4 6, 6,7 63,3.0,5 7,8 5,9, 0, 5,6 8,5,6 6,5 3,3 6,6 3,3,4, 4,8 5,4 5,4 4,5 9,7, 9,6 0,3, 6,6 8,9 4,7 7,5 8, 4,7,8 0,6 6,5 8,5,6 0, 6,0 4,,4 4,8,5 7,4 3,8 0,4 8,3,9 0, 9,5 0, 7,4 9,0, 8,7 0,3,6 4,4 5,8 3,8,3 7,4,6 0,3 4,4 6, 7,,4 4,4 6, 3,3 9,7 6,0 8,3 3,4 9,7 6,0 6,3,4,7 4,4 7,5 6,8 3,3 4,4 0,4 4,8 9,3, 3,0 4,0 3,6 5,8,0 8, 7,3 8,4 8,5 9,5 3,4 7, 6,3 5,4. 54,8 5,3 5,8 5, 59,0 59, 53, 55,7 5,5 58,4 55,4 56, 59,4 56,6 5,9 58,7 5,0 54,3 50,0 5,7 54, 56,4 57,8 59,7 53,8 58,0 56, 54,4 5,7 59, 53,0 5, 56,3 56,8 57,7 57,6 5, 55,6 59,3 54,3 59, 5, 5,4 5,9 58,3 5, 5,8 5,7 53,6 54,9 5,9 57,4 50,9 53, 5, 5, 58,9 56,3 55,5 57,4 5,7 50,6 59,6 50,8 56, 54,6 55,9 57,8 57,4 5, 50,9 57,5 53,8 58,8 5,7 5,4 56,0 59,3 55,9 57, 57,4 5,6 58,7 50,8 58,5 56,5 50,4 54,5 55,6 50,9 53,6 54,9 53, 5,3 54,6 58,0 55,0 55, 5,3 59,9 49
50 . 70,0 74,5 74,4 7,7 8,0 85,9 74,3 79,7 74,8 80,4 79,3 84,3 84,4 8,4 7,7 83,3 76,6 84,0 7,3 73, 74, 78,0 84,6 77,0 83, 83,8 77,9 7,8 75, 8,9 8,7 7, 7,7 8,3 8, 77,9 79, 7, 77,9 83,8 77,6 76,0 78, 80,8 85,4 84,3 80, 7,9 75, 77,8 8, 76,5 7,7 70, 7, 79,8 76,0 70, 8,3 8, 79,6 7,8 74,4 7,3 74,3 80,0 75,7 7, 79,0 79,5 78,5 77,4 8, 77,0 8,7 73,9 7,0 83,4 78,4 74,3 79,8 77,3 79, 80,8 83, 75,6 80,9 79,6 7,0 73,5.3 9,3 45,9 57,4, 86,9 4, 45,6 49,9 49,8 46,9 87,0 33, 65,5 69,7 36, 3,0 4,6 37,7 68,6 78,8 4, 7,8 39,8 5,9 66, 3, 35,6 0,5 73,0 80,8 59,6 7,3 63,0 49,6 4, 7,5 68,4 74,5 4,6 37,4 60,3 87, 5,4 84,9 54,8 60,7,,0 53,5 3, 7,6 46,7 74,3 79,4 4, 46,3 65,6 0,6 33,9, 57,8 30,3 3,6 50,6 65, 74,5 4,6 37,3 58,7 5, 75,9 45,9 56,0 88,3 3,7 53,3 7,3 9,7 84,6 77,9 57,8 3, 9,4 46,6 73, 8,3 7,0 35, 6,6 7,7,4 4,3 59,0 58,8 5,8 4,8 4, 68,8 8,7 3,
51 ,0,8 0,8 4,0,9 0,3,0,7 0,3,4 5,,9 0,8 0,0,3 0,4 5, 3,3 0,7 4,7 0,3 0,0 3,0,5 3, 0,8 0,7,,3,5 0,8 0,0,4,0 5,9 0,,7,6,7 3,0 4,9 0,4 0,7,,0,7 0,3 0,0 3,4 5,4 0,8,6,7,4 0,9 0,4,4 0,9 3,,6 0,4 3,6 0,4 0,5,6,0,,6,5 0, 0,7 3,7 4,3,9 0,9 0,5,7,4 3,0 0,5 3,6,8 0,5,.7,38 0,86 4,80 3,53,79 0,5 0,3 0,00,3 3,64 0,94,4,,05 0,96,9 0,0,4 4,96, 6,98 4,38 3,44,9, 0,78,85 0,4 5,7 3, 3,59,89 0,87,8,56 0,85 0,56,54 6,35 0,77 5
52 ,0,67 3,63 0,74, 0,75,98 0,4 0,69 0,95 5,8 3,38,79,47 0,04 0,35,65 4,7,43 0,7 4,,8 0,34,4,34,09 3,3 5,7,40,46 4,47 3,76,7 0,73 0,99,3 3,30,9 0,68 0,3,47,79.8,0 3,93 0,54,37,75 0,5 4,07,85,,8 7,74 0,95,57,4,75 0,9 5,09 3,43 5,0,08 0,4,74 6,5 0,5,9 4,55 6,36,73,3 3,4,38 3,85 5,46 5,38 3,30 3,9 7,55 0,98 0,55 0,58,4,86,68 5,73,09,5,5 3,43 0,03 0, 7,76 5,48 0,3,00,00,7,49 3,3 0,57 0,0 4,43 4,9,33,6 0,40 0,56 3,83 6,58 4,54 0,03 0,07 0,06,83 0,4 0,43,9 0,76,40 0,86 0,0 0, 0,65.9,3,0 0, 0,4 3,7,6,0,7,5,6 3,6,9 0,3 0,5 0,8 0,3,9 5,0,0,5 5,0 4,8,8, 0,5 0, 0, 0,7 4,7 3,4,8,6 0,0 0,4,,3 0,8 0,6 5,8 5,3 3,3,9 3,6,4,4 0,8 0,6 0,4,6 4,4 4,4 0,,,8,,7 0,4 0,,7 4, 3, 0,8 0,6 0,9,5 0,6 3, 0,4 0,7,4 0,6,4 3, 0, 0,5 0, 0,8 0,6,8,7.30,7,0 0,6 0,6,4,9 3,5 0,9,5 5, 4, 3,7 3,7,3,4,6,5 0,8 0,8 0,4 0,8,8,0,5, 3,6 4,,8 3,3 5,3 4, 0,8,5,7 3, 3,3 5,9,,6, 5
53 0,3 0,7,7,7 3,6,4 0, 0,7 0,6 0,5 4,5 3,4,,9,8,8 3,4 3,0,4 0,5 0,9 0,4,7,9,6,3 0,9 0,3 0,9 4,5 3,5,8, 0,9 0,8 0,6 0,8,0 0,3 0,0. Ch - kvadrato krterjaus takymas Naudodam χ krterjø, patkrkte hpotezæ ape stebëto poþymo skrstá. Duomeys ð prmosos uþduotes. 3. Korelacë prklausomybë Pavazduokte duomes grafðka. Sudarykte korelacæ letelæ. Apskaèuokte korelacjos koefcetà. Raskte regresjos lygtá. Nr. x y x y x y x y x y x y Nr. x y
54 x y x y x y x y x y Nr. 3 x y x y x y x y x y x y
55 Nr. 4 x y x y x y x y x y x y Nr. 5 x y x y x y x y x y
56 x y Nr. 6 x y x y x y x y x y x y Nr. 7 x y x y x y x y
57 x y x y Nr. 8 x y x y x y x y x y x y Nr. 9 x y x y x y
58 x y x y x y Nr.0 x y x y x y x y x y x y Nr. x y x y
59 x y x y x y x y Nr. x y x y x y x y x y x y Nr.3 x y
2 laboratorinis darbas. TIKIMYBINIAI MODELIAI
laboratorns darbas laboratorns darbas. TIKIMYBINIAI MODELIAI DARBO TIKSLAS - šstudjuot atstktnų dydžų r vektorų skrstnus, skrstno (passkrstymo) funkcją, tanko funkcją, skatnes charakterstkas r jų savybes.
7. Geometriniai plokščiųjų figūrų rodikliai
7. Geometra plokščųjų fgūrų rodkla 7.. Bedrosos žos 7. tekstas 7.. Pagrdės sąvokos Geometras vadam pjūvo (plokščosos fgūros) rodkla, kure prklauso uo pjūvo matmeų, formos e oretacjos r kekška įverta jo
Veikiančių masių dėsnis. Pagrindiniai ir nepagrindiniai krūvininkai
kačų masų dėss. Pagrda r agrda krūvka Pusausvyrosos lktroų r skylučų koctracjos šsgmusam usladkyj gzstuoja vu mtu, r galma, avyzdžu, rast jų sadaugą:, s r. B to turėjom, kad. Kadag abjų lygčų dšosos usės
Temos. Intervalinės statistinės eilutės sudarymas. Santykinių dažnių histogramos brėžimas. Imties skaitinių charakteristikų skaičiavimas
Pirmasis uždavinys Temos. Intervalinės statistinės eilutės sudarymas. Santykinių dažnių histogramos brėžimas. Imties skaitinių charakteristikų skaičiavimas Uždavinio formulavimas a) Žinoma n = 50 tiriamo
d 2 y dt 2 xdy dt + d2 x
y t t ysin y d y + d y y t z + y ty yz yz t z y + t + y + y + t y + t + y + + 4 y 4 + t t + 5 t Ae cos + Be sin 5t + 7 5 y + t / m_nadjafikhah@iustacir http://webpagesiustacir/m_nadjafikhah/courses/ode/fa5pdf
Fotodiodas. Puslaidinikis fotodiodas
Fotododas Fotododas vdo fotoefekto įregys kečats švesą į elektrą. Fotododa šrast jau sea r jų vekmo rca arašyt daugelyje vadovėlų. Dabar remsmės A. Krotkaus Pusladkų otoelektrokos sstemos r retasa. Vsa
NEAPIBRöŽTIES SKAIČIAVIMO PROCEDŪRA
NEAPIBRöŽTIES SKAIČIAVIMO PROCEDŪRA MATAVIMO NEAPIBRöŽTIS- parametras, susetas su matavmo rezultatu r charakterzuojants skladą rekšmų, gautų matavmo procese, kuros gal būt pagrįsta prskrtos matuojamajam.
4 laboratorinis darbas. PARAMETRŲ ĮVERČIAI IR STATISTINĖS HIPOTEZĖS
PARAMETRŲ ĮVERČIAI IR STATISTINĖS HIPOTEZĖS DARBO TIKSLAS - išstudijuoti parametrų taškiių ir itervaliių įverčių radimo, parametriių ir eparametriių hipotezių tikriimo uždaviius ir jų taikymą Teorijos
Matematika 1 4 dalis
Matematika 1 4 dalis Analizinės geometrijos elementai. Tiesės plokštumoje lygtis (bendroji, kryptinė,...). Taško atstumas nuo tiesės. Kampas tarp dviejų tiesių. Plokščiosios kreivės lygtis Plokščiosios
F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2
F (x) = kx x k F = F (x) U(0) U(x) = x F = kx 0 F (x )dx U(x) = U(0) + 1 2 kx2 x U(0) = 0 U(x) = 1 2 kx2 U(x) x 0 = 0 x 1 U(x) U(0) + U (0) x + 1 2 U (0) x 2 U (0) = 0 U(x) U(0) + 1 2 U (0) x 2 U(0) =
Elektronų ir skylučių statistika puslaidininkiuose
lktroų ir skylučių statistika puslaidiikiuos Laisvų laidumo lktroų gracija, t.y. lktroų prėjimas į laidumo juostą, gali vykti kaip iš dooriių lygmų, taip ir iš valtiės juostos. Gracijos procsas visuomt
Papildomo ugdymo mokykla Fizikos olimpas. Mechanika Dinamika (II dalis) (Paskaitų konspektas) 2009 m. kovo d. Prof.
Papldoo ugdyo okykla Fzkos olpas Mechanka Dnaka (II dals) (Paskatų konspektas) 9 kovo 1-18 d Prof Edundas Kuokšts Planas Ketojo kūno asės centras Statka Pagrndnė sukaojo judėjo lygts Judeso keko (pulso)
P P Ó P. r r t r r r s 1. r r ó t t ó rr r rr r rí st s t s. Pr s t P r s rr. r t r s s s é 3 ñ
P P Ó P r r t r r r s 1 r r ó t t ó rr r rr r rí st s t s Pr s t P r s rr r t r s s s é 3 ñ í sé 3 ñ 3 é1 r P P Ó P str r r r t é t r r r s 1 t r P r s rr 1 1 s t r r ó s r s st rr t s r t s rr s r q s
Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα
x + = 0 N = {,, 3....}, Z Q, b, b N c, d c, d N + b = c, b = d. N = =. < > P n P (n) P () n = P (n) P (n + ) n n + P (n) n P (n) n P n P (n) P (m) P (n) n m P (n + ) P (n) n m P n P (n) P () P (), P (),...,
III. Darbas ir energija
III. Dabas enegja III.. Knetnė enegja. III.. Dabas. III. 3. Konsevatyvos jėgos (potencalnės). III.4. Potencnė enegja šonų jėgų lauke. III.5. Enegjos tvemės dėsns mechankoje. III.6. Enegjos dspacja. III..
Κεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι...1
6. ιανυσµατικοί χώροι Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι ιανυσµατικοί χώροι... 6. ιανυσµατικοί χώροι... 6. Υποχώροι...7 6. Γραµµικοί συνδυασµοί... 6. Γραµµική ανεξαρτησία...9 6.5 Άθροισµα και ευθύ
X galioja nelygyb f ( x1) f ( x2)
Monotonin s funkcijos Tegul turime funkciją f : A R, A R. Apibr žimas. Funkcija y = f ( x) vadinama monotoniškai did jančia (maž jančia) aib je X A, jei x1< x2 iš X galioja nelygyb f ( x1) f ( x2) ( f
d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n 1
d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n1 x dx = 1 2 b2 1 2 a2 a b b x 2 dx = 1 a 3 b3 1 3 a3 b x n dx = 1 a n +1 bn +1 1 n +1 an +1 d dx d dx f (x) = 0 f (ax) = a f (ax) lim d dx f (ax) = lim 0 =
Answers - Worksheet A ALGEBRA PMT. 1 a = 7 b = 11 c = 1 3. e = 0.1 f = 0.3 g = 2 h = 10 i = 3 j = d = k = 3 1. = 1 or 0.5 l =
C ALGEBRA Answers - Worksheet A a 7 b c d e 0. f 0. g h 0 i j k 6 8 or 0. l or 8 a 7 b 0 c 7 d 6 e f g 6 h 8 8 i 6 j k 6 l a 9 b c d 9 7 e 00 0 f 8 9 a b 7 7 c 6 d 9 e 6 6 f 6 8 g 9 h 0 0 i j 6 7 7 k 9
2.5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS
.5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS 5.. Pirmoji Bolcao Koši teorema. Jei fucija f tolydi itervale [a;b], itervalo galuose įgyja priešigų želų reišmes, tai egzistuoja tos tašas cc, ( ab ; ), uriame
ŠILUMOS PERDAVIMO PER PASTATŲ ATITVARAS SKAIČIAVIMO METODAI I. BENDROSIOS NUOSTATOS
ŠILMOS PEDVIMO PE PSTTŲ TITVS SKIČIVIMO METODI I. BENDOSIOS NOSTTOS ST 2.05.01:2005 1 predas 1. Šame eglamento prede patekt šlumos perdavmo per attvaras skačavmo metoda. II. NOODOS 2. Šame eglamento prede
r r t r r t t r t P s r t r P s r s r r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t
r t t r t ts r3 s r r t r r t t r t P s r t r P s r s r P s r 1 s r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r 2s s r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r t r 3 s3 Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t r r r rs
L A TEX 2ε. mathematica 5.2
Διδασκων: Τσαπογας Γεωργιος Διαφορικη Γεωμετρια Προχειρες Σημειωσεις Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών Σάμος Εαρινό Εξάμηνο 2005 στοιχεοθεσια : Ξενιτιδης Κλεανθης L A TEX 2ε σχεδια : Dia mathematica
I dalis KLAUSIMŲ SU PASIRENKAMUOJU ATSAKYMU TEISINGI ATSAKYMAI
008 M. FIZIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija Kiekvieno I dalies klausimo teisingas atsakymas vertinamas tašku. I dalis KLAUSIMŲ SU PASIRENKAMUOJU ATSAKYMU TEISINGI
W ISR i = 5 15 ISR i + 4 15 ISR i 1 + 3 15 ISR i 2 + 2 15 ISR i 3 + 1 15 ISR i 4 W ISR W ISR ) E T hreshold = (1 Ẽ Ẽ + IQR (E) Ẽ IQR(E) E T hreshold = 0.99 e 1 N N i=1 (E i) + 0.01 Ẽ h(t) = H(y )(t)
Déformation et quantification par groupoïde des variétés toriques
Défomation et uantification pa goupoïde de vaiété toiue Fédéic Cadet To cite thi veion: Fédéic Cadet. Défomation et uantification pa goupoïde de vaiété toiue. Mathématiue [math]. Univeité d Oléan, 200.
Kreivių tipai. Neparametrinės kreivės. Grafika ir vizualizavimas Kreivės. Grafika ir vizualizavimas, VDU, Kreivės 1
Grafka r vzualzavas, VDU, Krevų pa Grafka r vzualzavas Krevės Neparaerės Nešrekšės agl. plc Išrekšės agl. eplc Kūgės krevės araerės Kubės krevės Ierpolavo būdu gauaos krevės Dals esės krevės Lagražo krevės
Ax = b. 7x = 21. x = 21 7 = 3.
3 s st 3 r 3 t r 3 3 t s st t 3t s 3 3 r 3 3 st t t r 3 s t t r r r t st t rr 3t r t 3 3 rt3 3 t 3 3 r st 3 t 3 tr 3 r t3 t 3 s st t Ax = b. s t 3 t 3 3 r r t n r A tr 3 rr t 3 t n ts b 3 t t r r t x 3
Laboratorinis darbas Nr. 2
M A T E M A T I N Ė S T A T I S T I K A Laboratorinis darbas Nr. 2 Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2005 m. spalio 23 d. Reziumė Antras laboratorinis darbas skirtas išmokti generuoti tikimybinių skirstinių
(2), ,. 1).
178/1 L I ( ) ( ) 2019/1111 25 2019,, ( ), 81 3,,, ( 1 ), ( 2 ),, : (1) 15 2014 ( ). 2201/2003. ( 3 ) ( ). 2201/2003,..,,. (2),..,,, 25 1980, («1980»),.,,. ( 1 ) 18 2018 ( C 458 19.12.2018,. 499) 14 2019
B G [0; 1) S S # S y 1 ; y 3 0 t 20 y 2 ; y 4 0 t 20 y 1 y 2 h n t: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 1; 3: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 2; 4: r = 10 5 ; a = 10 6 t = 20
Discontinuous Hermite Collocation and Diagonally Implicit RK3 for a Brain Tumour Invasion Model
1 Discontinuous Hermite Collocation and Diagonally Implicit RK3 for a Brain Tumour Invasion Model John E. Athanasakis Applied Mathematics & Computers Laboratory Technical University of Crete Chania 73100,
Henrikas CESIULIS Vytautas SKUČ AS ELEKTROLITŲ TIRPALAI. Enciklopedinis žinynas
Henrkas CESIULIS Vytautas SKUČ AS ELEKTROLITŲ TIRPALAI Encklopedns žnynas Vlnaus unversteto ledykla 000 Encklopednį žnyną apsvarstė r rekomendavo spauda Vlnaus Unversteto chemjos fakulteto fzknės chemjos
P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r
r s s s t t P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r t t s st ä r t str t st t tt2 t s s t st
A31. Aluminium heat exchanger A31
Aluminium heat exchanger A A Before using the heat exchanger, carefully read the document entitled GENERAL OPERATING INSTRUCTIONS FOR HEAT EXCHANGER USE 98SAE7EN - 9-5-8 A V-V Dimensions ± 5 5 L MAX 99
Α. Η ΜΕΛΙΣΣΟΚΟΜΙΑ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑΔΑ
ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΡΟΤΡΟΦΙΑΣ ΚΑΙ ΜΕΛΙΣΣΟΚΟΜΙΑΣ Πασχάλης Χαριζάνης Α. Η ΜΕΛΙΣΣΟΚΟΜΙΑ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑΔΑ 1. Κερί Σύμφωνα με την Εθνική Στατιστική Υπηρεσία της Ελλάδος η παραγωγή κεριού για
Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033
Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische
ibemo Kazakhstan Republic of Kazakhstan, West Kazakhstan Oblast, Aksai, Pramzone, BKKS office complex Phone: ; Fax:
iii) x + ye 2xy 2xy dy
ΕΚΠΑ - Τμήμα Μαθηματικών Διαφορικές Εξισώσεις Ι Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Παραδόσεις Ε. Κόττα-Αθανασιάδου Ασκήσεις (Είναι οι ασκήσεις που αφήνονται για «λύση στο σπίτι» στις παραδόσεις της διδάσκουσας.
1.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ
. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ Έστω ότι με Κ συμβολίζουμε ένα οποιοδήποτε σώμα, όταν με την έννοια «σώμα» αναφερόμαστε σε ένα σύνολο, όπως για παράδειγμα το των πραγματικών αριθμών, το των μιγαδικών αριθμών, το
a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)
Su optimalių sprendinių paieškos situacijose, kurios nėra pilnai bei griežtai apibrėžtos, problemomis matematika susidūrė dar gerokai anksčiau, negu
Su otmalų srendnų aešos stuacose, uros nėra lna be grežta abrėžtos, roblemoms matemata susdūrė dar geroa ansčau, negu L. Zadeh aselbė dfuznės matematos dėas r radėo urt negrežtosos matematos formalzuotą
1951 {0, 1} N = N \ {0} n m M n, m N F x i = (x i 1,..., xi m) x j = (x 1 j,..., xn j ) i j M M i j x i j m n M M M M T f : F m F f(m) f M (f(x 1 1,..., x1 m),..., f(x n 1,..., xn m)) T R F M R M R x
Z L L L N b d g 5 * " # $ % $ ' $ % % % ) * + *, - %. / / + 3 / / / / + * 4 / / 1 " 5 % / 6, 7 # * $ 8 2. / / % 1 9 ; < ; = ; ; >? 8 3 " #
Z L L L N b d g 5 * " # $ % $ ' $ % % % ) * + *, - %. / 0 1 2 / + 3 / / 1 2 3 / / + * 4 / / 1 " 5 % / 6, 7 # * $ 8 2. / / % 1 9 ; < ; = ; ; >? 8 3 " # $ % $ ' $ % ) * % @ + * 1 A B C D E D F 9 O O D H
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Γενικό ποσοστό συμμετοχής στην αγορά εργασίας πληθυσμού χρονών - σύνολο
πληθυσμού 15-64 χρονών - σύνολο Περιγραφή δείκτη και πηγή πληροφοριών Το γενικό ποσοστό συμμετοχής στην αγορά εργασίας πληθυσμού 15-64 χρονών υπολογίζεται με τη διαίρεση του αριθμού του οικονομικά ενεργού
Το άτομο του Υδρογόνου
Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες
Vol. 37 ( 2017 ) No. 3. J. of Math. (PRC) : A : (2017) k=1. ,, f. f + u = f φ, x 1. x n : ( ).
Vol. 37 ( 2017 ) No. 3 J. of Math. (PRC) R N - R N - 1, 2 (1., 100029) (2., 430072) : R N., R N, R N -. : ; ; R N ; MR(2010) : 58K40 : O192 : A : 0255-7797(2017)03-0467-07 1. [6], Mather f : (R n, 0) R
0.1. Bendrosios sąvokos
0.1. BENDROSIOS SĄVOKOS 1 0.1. Bendrosios sąvokos 0.1.1. Diferencialinės lygtys su mažuoju parametru F ) x n),x n 1),...,x,x,t;ε = 0, xt;ε) C n T), T [0,+ ), 0 < ε ε 0 ) F x n) t;ε),x n 1) t;ε),...,x t;ε),xt;ε),t;ε
Γενικό ποσοστό απασχόλησης ισοδύναμου πλήρως απασχολούμενου πληθυσμού - σύνολο
απασχολούμενου πληθυσμού - σύνολο Περιγραφή δείκτη και πηγή πληροφοριών Το γενικό ποσοστό απασχόλησης ισοδύναμου πλήρως απασχολούμενου πληθυσμού υπολογίζεται με τη διαίρεση του αριθμού του ισοδύναμου πλήρως
(G) = 4 1 (G) = 3 (G) = 6 6 W G G C = {K 2,i i = 1, 2,...} (C[, 2]) (C[, 2]) {u 1, u 2, u 3 } {u 2, u 3, u 4 } {u 3, u 4, u 5 } {u 3, u 4, u 6 } G u v G (G) = 2 O 1 O 2, O 3, O 4, O 5, O 6, O 7 O 8, O
Γενικός ρυθμός μεταβολής οικονομικά ενεργού πληθυσμού χρονών - σύνολο
15-64 χρονών - σύνολο Περιγραφή δείκτη και πηγή πληροφοριών Ο γενικός ρυθμός μεταβολής οικονομικά ενεργού πληθυσμού 15-64 χρονών υπολογίζεται με τη διαίρεση της ετήσιας αύξησης του οικονομικά ενεργού πληθυσμού
Συμβούλιο της Ευρωπαϊκής Ένωσης Βρυξέλλες, 7 Μαρτίου 2017 (OR. en)
Συμβούλιο της Ευρωπαϊκής Ένωσης Βρυξέλλες, 7 Μαρτίου 2017 (OR. en) 7057/17 ADD 1 TRANS 97 ΔΙΑΒΙΒΑΣΤΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Αποστολέας: Ημερομηνία Παραλαβής: Αποδέκτης: Για τον Γενικό Γραμματέα της Ευρωπαϊκής Επιτροπής,
ITU-R SA (2010/01)! " # $% & '( ) * +,
(010/01)! " # $% & '( ) * +, SA ii.. (IPR) (ITU-T/ITU-R/ISO/IEC).ITU-R 1 1 http://www.itu.int/itu-r/go/patents/en. (http://www.itu.int/publ/r-rec/en ) () ( ) BO BR BS BT F M P RA S RS SA SF SM SNG TF V
24o YNE PIO I O O IA 24th INTERNATIONAL CONFERENCE OF PHILOSOPHY
IE NH ETAIPEIA E HNIKH I O O IA 5, 17456 - H H YMMETOXH N 1 (N μ 29/02/2012 ) (.,,,,.): KATOIKIA : TH E NO TH E NO KATOIKIA : KINHTO TH E NO: NA META X TO : μ YNE PO AKPOATH KAI YNE PO PO O OY YNO EYEI
SOLUTIONS TO MATH38181 EXTREME VALUES AND FINANCIAL RISK EXAM
SOLUTIONS TO MATH38181 EXTREME VALUES AND FINANCIAL RISK EXAM Solutions to Question 1 a) The cumulative distribution function of T conditional on N n is Pr (T t N n) Pr (max (X 1,..., X N ) t N n) Pr (max
Ποσοστό απασχόλησης στον τριτογενή τομέα του πληθυσμού χρονών - σύνολο
Ποσοστό απασχόλησης στον τριτογενή τομέα του πληθυσμού 15-64 χρονών - σύνολο Περιγραφή δείκτη και πηγή πληροφοριών Το ποσοστό απασχόλησης στον τριτογενή τομέα του πληθυσμού 15-64 χρονών υπολογίζεται με
ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση
ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 10, 12 Μαρτίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Παρεμβολή 2. Παράσταση και υπολογισμός του πολυωνύμου παρεμβολής
C 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1,
1 1., BD 1 B 1 1 D 1, E F B 1 D 1. B = a, D = b, 1 = c. a, b, c : (1) 1 ; () BD 1 ; () F; D 1 F 1 (4) EF. : (1) B = D, D c b 1 E a B 1 1 = 1, B1 1 = B + B + 1, 1 = a + b + c. () BD 1 = BD + DD 1, BD =
a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)
Ποσοστό μακροχρόνιας ανεργίας (διάρκεια 12+ μήνες) οικονομικά ενεργού πληθυσμού 15+ χρονών - σύνολο
οικονομικά ενεργού πληθυσμού 15+ χρονών - σύνολο Περιγραφή δείκτη και πηγή πληροφοριών Το ποσοστό μακροχρόνιας ανεργίας (διάρκεια 12+ μήνες) οικονομικά ενεργού πληθυσμού 15+ χρονών υπολογίζεται με τη διαίρεση
Iterativne metode - vježbe
Iterativne metode - vježbe 5. Numeričke metode za ODJ Zvonimir Bujanović Prirodoslovno-matematički fakultet - Matematički odjel 21. studenog 2010. Sadržaj 1 Eulerove metode (forward i backward). Trapezna
MATEMATINĖS STATISTIKOS PRADMENYS. STATISTINIŲ DUOMENŲ ANALIZĖ NAUDOJANT MS EXCEL
EduardasVaria MATEMATINĖ TATITIKO PRADMENY. TATITINIŲ DUOMENŲ ANALIZĖ NAUDOJANT M ECEL METODINIAI NURODYMAI NEAKIVAIZDININKAM 007 T u r i y s Įvadas... 3 Geeraliė aibė ir itis... 4 3 Duoeų grupavias...
ΤΙΜΟΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΑΝΤΑΝΑΚΛΑΣΤΙΚΕΣ ΜΕΜΒΡΑΝΕΣ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΠΡΟΙΟΝ ΕΓΓΥΗΣΗ ΚΩΔΙΚΟΣ ΧΡΩΜΑΤΑ ΡΟΛΟΥ. 3290 Λευκό 3271 Κίτρινο. 3279 Καφέ. 3870 Λευκό 3881 Κίτρινο
ΑΝΤΑΝΑΚΛΑΣΤΙΚΕΣ ΜΕΜΒΡΑΝΕΣ ΠΡΟΙΟΝ ΕΓΓΥΗΣΗ ΚΩΔΙΚΟΣ ΧΡΩΜΑΤΑ ΤΥΠΟΥ Ι 3290 Λευκό 3271 Κίτρινο Πλάτος:0,91 ή 1,22 m 7 3272 Κόκκινο 3275 Μπλε ENGINEER 3277 Πράσινο GRADE ΤΜ 3279 Καφέ ΤΥΠΟΥ ΙΙ 3870 Λευκό 3881
(x y) = (X = x Y = y) = (Y = y) (x y) = f X,Y (x, y) x f X
X, Y f X,Y x, y X x, Y y f X Y x y X x Y y X x, Y y Y y f X,Y x, y f Y y f X Y x y x y X Y f X,Y x, y f X Y x y f X,Y x, y f Y y x y X : Ω R Y : Ω E X < y Y Y y 0 X Y y x R x f X Y x y gy X Y gy gy : Ω
DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 2
DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 2 Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2010 m. vasario 23 d. Santrauka Antras laboratorinis darbas skirtas išmokti sudarinėti daugialypės
Μερίδιο εργοδοτουμένων με μερική ή / και προσωρινή απασχόληση στον εργοδοτούμενο πληθυσμό 15+ χρονών - σύνολο
Μερίδιο εργοδοτουμένων με μερική ή / και προσωρινή απασχόληση στον εργοδοτούμενο πληθυσμό 15+ χρονών - σύνολο Περιγραφή δείκτη και πηγή πληροφοριών Το μερίδιο εργοδοτουμένων με μερική ή/και προσωρινή απασχόληση
SOLUTIONS TO MATH38181 EXTREME VALUES AND FINANCIAL RISK EXAM
SOLUTIONS TO MATH38181 EXTREME VALUES AND FINANCIAL RISK EXAM Solutions to Question 1 a) The cumulative distribution function of T conditional on N n is Pr T t N n) Pr max X 1,..., X N ) t N n) Pr max
Dinamika krutog tijela ( ) Gibanje krutog tijela. Gibanje krutog tijela. Pojmovi: C. Složeno gibanje. A. Translacijsko gibanje krutog tijela. 14.
Pojmo:. Vektor se F (transacja). oment se (rotacja) Dnamka krutog tjea. do. oment tromost masa. Rad krutog tjea A 5. Knetka energja k 6. oment kona gbanja 7. u momenta kone gbanja momenta se f ( ) Gbanje
v w = v = pr w v = v cos(v,w) = v w
Íö Ú Ò ÔÖ Ø Ô Ö ÔÖ ØÝ Ô Ð Ùö Ú ÒÝÒ ÝÖ Ð ÓØ Ó µ º ºÃÐ ØÒ Ë ÓÖÒ Þ ÔÓ ÒÐ Ø Ó ÓÑ ØÖ ½ ÁÞ Ø Ð ØÚÓ Æ Ù Å Ú º ÖÙ µº Ã Ø Ùö Ú Ò ÝÖ Ú Ø ÒÅ ØØÔ»»ÛÛÛºÑ ºÚÙºÐØ» Ø ÖÓ» ¾» л Ò Ó» ÓÑ ÙÞ º ØÑ ½ Î ØÓÖ Ð Ö ÒÅ Ö Ú ØÓÖ ÒÅ
γ 1 6 M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.2 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.05 F 2 2 λ τ M = 6000 M = 10000 M = 15000 M = 6000 M = 10000 M = 15000 1 6 τ = 36 1 6 τ = 102 1 6 M = 5000
HONDA. Έτος κατασκευής
Accord + Coupe IV 2.0 16V (CB3) F20A2-A3 81 110 01/90-09/93 0800-0175 11,00 2.0 16V (CB3) F20A6 66 90 01/90-09/93 0800-0175 11,00 2.0i 16V (CB3-CC9) F20A8 98 133 01/90-09/93 0802-9205M 237,40 2.0i 16V
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ιδάσκων : Ε. Στεφανόπουλος 12 ιουνιου 2017
Πανεπιστηµιο Πατρων Πολυτεχνικη Σχολη Τµηµα Μηχανικων Η/Υ & Πληροφορικης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ιδάσκων : Ε. Στεφανόπουλος 12 ιουνιου 217 Θ1. Θεωρούµε την συνάρτηση f(x, y, z) = 1 + x 2 + 2y 2 z. (αʹ) Να ϐρεθεί
Θέματα Στατιστικής στη γλώσσα R
Θέματα Στατιστικής στη γλώσσα R Ποσότητες οδηγοί και τα ποσοστιαία σημεία των αντίστοιχων κατανομών Ν(0,1) Student s t X 2, F Διαστήματα εμπιστοσύνης-έλεγχοι Υποθέσεων ένα δείγμα για τη μέση τιμή κανονικής
0.1. Bendrosios sąvokos
.1. BENDROSIOS SĄVOKOS 1.1. Bendrosios sąvokos.1.1. Diferencialinės lygtys su mažuoju parametru F ) x n),x n 1),...,x,x,t;ε =, xt;ε) C n T), T [,+ ), < ε ε ) F x n) t;ε),x n 1) t;ε),...,x t;ε),xt;ε),t;ε,
ΖΩΓΡΑΦΙΖΩ ΤΗΝ ΕΥΡΩΠΗ. Συμβούλιο της Ευρωπαϊκής Ένωσης
ΖΩΓΡΑΦΙΖΩ ΤΗΝ ΕΥΡΩΠΗ Συμβούλιο της Ευρωπαϊκής Ένωσης 2013 Η παρούσα έκδοση εκπονήθηκε από τη Γενική Γραμματεία του Συμβουλίου, παρέχεται δε αποκλειστικά και μόνο προς ενημέρωση. Τα θεσμικά όργανα της ΕΕ
Microscopie photothermique et endommagement laser
Microscopie photothermique et endommagement laser Annelise During To cite this version: Annelise During. Microscopie photothermique et endommagement laser. Physique Atomique [physics.atom-ph]. Université
Teor imov r. ta matem. statist. Vip. 94, 2016, stor
eor imov r. ta matem. statist. Vip. 94, 6, stor. 93 5 Abstract. e article is devoted to models of financial markets wit stocastic volatility, wic is defined by a functional of Ornstein-Ulenbeck process
Περιεχόμενα. A(x 1, x 2 )
Περιεχόμενα A(x 1, x 2 7 Ολοκληρώματα της Μαγνητοϋδροδυναμικής και Μαγνητοϋδροδυναμικά Κύματα Σχήμα 7.1: Οι τριδιάστατες ελικοειδείς μαγνητικές γραμμές στις οποίες εφάπτεται το διάνυσμα του μαγνητικού
Matematika 1 3 dalis
Matematika 1 3 dalis Vektorių algebros elementai. Vektorių veiksmai. Vektorių skaliarinės, vektorinės ir mišriosios sandaugos ir jų savybės. Vektoriai Vektoriumi vadinama kryptinė atkarpa. Jei taškas A
Γραφικά με Η/Υ Αποκοπή
Γραφικά με Η/Υ Αποκοπή Βασικές λειτουργίες απεικόνισης μετατροπή των φυσικών συντεταγμένων, ενός αντικειμένου, σε συντεταγμένες της συσκευής απεικόνισης (δημιουργία μετασχηματισμού απεικόνισης) αφαίρεση
ΑΣΥΡΜΑΤΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΣΥΡΜΑΤΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Εισαγωγή στα Η/Μ Κύματα Αθανάσιος Κανάτας Καθηγητής Παν/μίου Πειραιώς Ιδιότητες των μέσων
jqa=mêççìåíë=^âíáéåöéëéääëåü~ñí= =p~~êäêωåâéå= =déêã~åó
L09 cloj=klk=tsvjmosopa jqa=mêççìåíë=^âíáéåöéëéääëåü~ñí= =p~~êäêωåâéå= =déêã~åó 4 16 27 38 49 60 71 82 93 P Éå Ñê ÇÉ áí dbq=ql=hklt=vlro=^mmif^k`b mo pbkq^qflk=ab=slqob=^mm^obfi ibokbk=pfb=feo=dboûq=hbkkbk
22o YNE PIO I O O IA 22nd INTERNATIONAL CONFERENCE OF PHILOSOPHY
IE NH ETAIPEIA E HNIKH I O O IA 5, 17456 - TEL: +30210 9956955, +30210 7277545, +30210 7277548 FAX: +30210 9923281, +30210 7248979 website: http://www.hri.org/iagp/, http://www.iagp.gr E-mail: kboud714@ppp.uoa.gr
2011 Ð 5 ACTA MATHEMATICAE APPLICATAE SINICA May, ( MR(2000) ß Â 49J20; 47H10; 91A10
À 34 À 3 Ù Ú ß Vol. 34 No. 3 2011 Ð 5 ACTA MATHEMATICAE APPLICATAE SINICA May, 2011 Á É ÔÅ Ky Fan Ë ÍÒ ÇÙÚ ( ¾±» À ¾ 100044) (Ø À Ø 550025) (Email: dingtaopeng@126.com) Ü Ö Ë»«Æ Đ ĐÄ Ï Þ Å Ky Fan Â Ï Ò¹Ë
5 Ι ^ο 3 X X X. go > 'α. ο. o f Ο > = S 3. > 3 w»a. *= < ^> ^ o,2 l g f ^ 2-3 ο. χ χ. > ω. m > ο ο ο - * * ^r 2 =>^ 3^ =5 b Ο? UJ. > ο ο.
728!. -θ-cr " -;. '. UW -,2 =*- Os Os rsi Tf co co Os r4 Ι. C Ι m. Ι? U Ι. Ι os ν ) ϋ. Q- o,2 l g f 2-2 CT= ν**? 1? «δ - * * 5 Ι -ΐ j s a* " 'g cn" w *" " 1 cog 'S=o " 1= 2 5 ν s/ O / 0Q Ε!θ Ρ h o."o.
Radio détection des rayons cosmiques d ultra-haute énergie : mise en oeuvre et analyse des données d un réseau de stations autonomes.
Radio détection des rayons cosmiques d ultra-haute énergie : mise en oeuvre et analyse des données d un réseau de stations autonomes. Diego Torres Machado To cite this version: Diego Torres Machado. Radio
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. Απειροστικός Λογισµός Ι. ιδάσκων : Α. Μουχτάρης. Απειροστικός Λογισµός Ι - 3η Σειρά Ασκήσεων
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών Απειροστικός Λογισµός Ι ιδάσκων : Α. Μουχτάρης Απειροστικός Λογισµός Ι - η Σειρά Ασκήσεων Ασκηση.. Ανάπτυξη σε µερικά κλάσµατα Αφου ο ϐαθµός του αριθµητή
Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.
Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),
ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Φυσική Γ Λυκείου ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ. Επιμέλεια: ΘΕΟΛΟΓΟΣ ΤΣΙΑΡΔΑΚΛΗΣ
ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Φυσική Γ Λυκείου Επιμέλεια: ΘΕΟΛΟΓΟΣ ΤΣΙΑΡΔΑΚΛΗΣ e-mail: info@iliaskos.gr www.iliaskos.gr - f= f= f t+ 0 ) max
ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 2/2012
ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Έστω r rx, y, z, I a, b συνάρτηση C τάξης και r r r x y z Nα αποδείξετε ότι: d dr r (α) r r, I r r r d dr d r (β) r r, I dr (γ) Αν r 0, για κάθε I κάθε I d (δ)
Η γεωργία στην ΕΕ απαντώντας στην πρόκληση των κλιματικών αλλαγών
Ευρωπαϊκή Επιτροπή Γε ν ι κ ή Δ ι ε ύ θ υ ν σ η Γε ω ρ γ ί α ς κ α ι Αγ ρ ο τ ι κ ή ς Α ν ά π τ υ ξ η ς Ευρωπαϊκή Επιτροπή Γεωργία και αγροτική ανάπτυξη Για περισσότερες πληροφορίες 200 Rue de la Loi,
Vers un assistant à la preuve en langue naturelle
Vers un assistant à la preuve en langue naturelle Thévenon Patrick To cite this version: Thévenon Patrick. Vers un assistant à la preuve en langue naturelle. Autre [cs.oh]. Université de Savoie, 2006.
( x! x 0 ) 2 + ( y! y 0 ) 2
ΦΥΣ 145 Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Φυσική 6 η Εργασία Επιστροφή: 28/4/13 Yπενθύµιση: Οι εργασίες πρέπει να επιστρέφονται µε e-mail που θα στέλνετε από το πανεπιστηµιακό σας λογαριασµό το αργότερο µέχρι
Απόδειξη. Η ιδιότητα(vi) του ορισμού δεν ισχύει στην πράξη αυτή. Πράγματι, έχουμε. 1 (x, y, z) =(1 x, 1 y, 2 1 z) =(x, y, 2z)
1 ιανυσματικοί χώροι Άσκηση 1.1 Στο σύνολο R 3 όλων των διατεταγμένων τριάδων διατηρούμε την πρόσθεση, που ορίσαμε στο αντίστοιχο παράδειγμα, και ορίζουμε εξωτερικό πολλαπλασιασμό με τη σχέση λ(a 1,a 2,a
10 20 X i a i (i, j) a ij (i, j, k) X x ijk j :j i i: R I J R K L IK JL a 11 a 12... a 1J a 21 a 22... a 2J = a I1 a I2... a IJ = [ 1 1 1 2 1 3... J L 1 J L ] R I K R J K IJ K = [ 1 1 2 2... K
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΙΙ ΔΗΜΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ. Πόλη: ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗ Ταχ. κώδικας: Χώρα: Ελλάδα 681 00 ΕΛΛΑΔΑ-GR Σημείο(-α) επαφής: Τεχνική Υπηρεσία
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΙΙ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΕΝΩΣΗ Δημοσίευση στο συμπλήρωμα της Επίσημης Εφημερίδας της Ευρωπαϊκής Ένωσης 2, rue Mercier, L-2985 Luxembourg Φαξ: (352) 29 29 42 670 Ηλεκτρονικό ταχυδρομείο: mp-ojs@opoce.cec.eu.int
VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA. Algoritmų teorija. Paskaitų konspektas
VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA Algoritmų teorija Paskaitų konspektas Dėstytojas: lekt. dr. Adomas Birštunas Vilnius 2015 TURINYS 1. Algoritmo samprata...
m i N 1 F i = j i F ij + F x
N m i i = 1,..., N m i Fi x N 1 F ij, j = 1, 2,... i 1, i + 1,..., N m i F i = j i F ij + F x i mi Fi j Fj i mj O P i = F i = j i F ij + F x i, i = 1,..., N P = i F i = N F ij + i j i N i F x i, i = 1,...,
ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 31 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 22 Φεβρουαρίου 2014
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 6165-617784 - Fax: 64105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou)