VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA. Algoritmų teorija. Paskaitų konspektas
|
|
- Σεμέλη Ζάνος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA Algoritmų teorija Paskaitų konspektas Dėstytojas: lekt. dr. Adomas Birštunas Vilnius 2015
2 TURINYS 1. Algoritmo samprata Hilberto tipo teiginių skaičiavimas Dedukcijos teorema... 3 Turinys 3. Sekvencinis skaičiavimas Disjunktų dedukcinė sistema. Rezoliucijų metodas Rezoliucijų metodas Turingo mašinos ir jų variantai Baigtiniai automatai Algoritmų sudėtingumas Porų numeravimas Baigtinumo problema λ-skaičiavimas Primityviai rekursyvios funkcijos Dalinai rekursyvios funkcijos Rekursyviai skaičiosios aibės Ackermann funkcijos Universaliosios funkcijos PAKEITIMAI
3 1. ALGORITMO SAMPRATA 1 Ap. (Algoritmas). (Intuityvus apibrėžimas.) Veiksmų seka, kuri leidžia spręsti vieną ar kitą uždavinį. Pagrindinės algoritmo savybės: žingsnių elementarumas; diskretumas (algoritmas suskirstytas į atskirus žingsnius); determinuotumas (atlikus žingsnį aišku, kokį kitą žingsnį reikia atlikti); masiškumas (skirtas ne vienam uždaviniui, bet jų klasei spręsti). Algoritmo formalizavimo būdai: 1. sukurti idealizuotą matematinę mašiną (Turingo, RAM); 2. apibrėžti rekursyvių funkcijų klasę (Dalinai rekursyvios funkcijos, λ-skaičiavimas). 1 T. (Church tezė) Algoritmiškai apskaičiuojamų funkcijų aibė sutampa su rekursyviųjų funkcijų klase. (Šio teiginio neįmanoma įrodyti.) 2 T. Turingo mašinomis apskaičiuojamų funkcijų aibė sutampa su rekursyviųjų funkcijų klase. 2
4 2. HILBERTO TIPO TEIGINIŲ SKAIČIAVIMAS 2 Ap. (Hilberto tipo teiginių skaičiavimas). Skaičiavimas, kuriame yra aksiomų schemos: A (B A) 1.2. (A (B C)) ((A B) (A C)) (A B) A 2.2. (A B) B 2.3. (A B) ((A C) (A (B C))) A (A B) 3.2. B (A B) 3.3. (A C) ((B C) ((A B) C)) (A B) ( B A) 4.2. A A 4.3. A A ir taisyklė Modus Ponens (MP): prielaidos { A A B (MP), čia A, B, C bet kokios teiginių logikos formulės. išvados { B Sakysime, jog formulė F yra įvykdoma Hilberto tipo teiginių skaičiavime, jeigu galima parašyti tokią formulių seką, kurioje kiekviena formulė yra: arba aksioma, arba gauta pagal MP iš ankstesnių ir kuri (seka) baigiasi formule F. 3 T. Jei formulė yra įrodoma Hilberto tipo teiginių skaičiavime, tai ji yra tapačiai teisinga ir atvirkščiai (jei nėra įrodoma, tai nėra tapačiai teisinga). Sakysime, jog skaičiavimo aksioma yra nepriklausoma, jei ją išmetus iš skaičiavimo, ji nėra išvedama jame. Visos Hilberto teiginių skaičiavimo aksiomos yra nepriklausomos Dedukcijos teorema Sakysime, kad formulė F yra išvedama iš prielaidų A 1, A 2, A 3,..., A n, jei egzistuoja tokia formulių seka, kurioje kiekviena formulė yra: 3
5 arba aksioma, arba prielaida, arba gauta pagal MP iš ankstesnių ir kuri (seka) baigiasi formule F. Žymėjimas: A 1, A 2,..., A n F 4 T. (Dedukcijos teorema) Γ A B Γ, A B, kur A,B bet kokios formulės, Γ baigtinė formulių aibė (gali būti tuščia). Proof Būtinumas Jei Γ A B, tada egzistuoja formulių seka: 1. F 1 2. F 2 i. F i k. F k = A B k+1. A prielaida k+2. B MP iš k ir (k+1). kurioje: aksioma F i = prielaida iš Γ gauta pagal MP iš ankstesnių Γ, A B. Pakankamumas Jei Γ, A B, tai yra tokia formulių seka: 1. F 1 2. F 2 i. F i k. F k = B 4
6 kurioje: F i = aksioma prielaida iš Γ prielaidaa gauta pagal MP iš ankstesnių Sukonstruokime tokią formulių seką (kuri nebūtinai yra išvedimas): 1. A F 1 2. A F 2 i. A F i k. A F k = A B Dabar kiekvieną A F i keičiam tokiu būdu: 1. Jei F i aksioma, tada keičiam į: i.1 F i (A F i ) 1.1 aksioma i.2 F 1 aksioma i.3 A F 1 MP iš (i.1) ir (i.2) 2. Jei F i prielaida iš Γ, tada keičiam į: i.1 F i (A F i ) 1.1 aksioma i.2 F 1 prielaida iš Γ i.3 A F 1 MP iš (i.1) ir (i.2) 3. Jei F i prielaida A, tada A F i = A A. Keičiam A A išvedimu. 4. Tegu A F u yra visos išvestos, kur u < i. F i buvo gauta iš kažkokių F r ir F l (kur r, l < i) pritaikius MP. Taigi mes jau turime išvestas A F r ir A F l. Kadangi F l = F r F i (arba F r = F l F i ), tai: i.1 (A F l {}}{ (F r F i )) ((A F r ) (A F i )) 1.2 aksioma i.2 (A F r ) (A F i ) pagal MP i.3 A F i pagal MP Sakysime, jog skaičiavimas yra pilnas formulių aibės A atžvilgiu, jei formulė A tada ir tik tada, jei ji yra įrodoma skaičiavimu. 5
7 Hilberto tipo teiginių skaičiavimas yra pilnas tapačiai teisingų formulių aibės atžvilgiu. 6
8 3. SEKVENCINIS SKAIČIAVIMAS 3 Ap. (Sekvencija). Tokia išraiška F 1, F 2,..., F }{{ n G } 1, G 2,..., G m, jei n + m > 0. }{{} anticedentas sukcedentas Pastaba. Jei atitinkama sekvencija yra išvedama, tada teiginiai po brūkšnio yra teisingi: F formulė yra tapačiai teisinga. A 1, A 2,..., A n F iš prielaidų seka išvada F. A 1, A 2,..., A n B 1, B 2,..., B m iš prielaidų seka bent viena iš išvadų B 1,..., B m. F formulė yra tapačiai klaidinga. 4 Ap. (Sekvencinis skaičiavimas G). Skaičiavimas su aksioma Γ, A, Γ, A, ir taisyklėmis (Γ, Γ, Γ,,, formulių sekos, A, B formulės): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Γ, A, Γ, Γ, Γ, A, Γ, Γ, A, Γ, A, Γ, Γ, Γ, A, B, Γ, Γ, A B, Γ, A, Γ, Γ, B, Γ, Γ, A B, Γ, Γ, Γ, A, Γ, Γ, B, Γ, Γ, A B, Γ, A, B, Γ, Γ, A B, Γ, Γ, A, Γ, B, Γ, Γ, A B, Γ, Γ, A, Γ, B, Γ, Γ, A B, Γ, 7
9 Sakysime, kad sekvencija F 1,..., F n G 1,..., G m yra išvedame skaičiavime G, jei galime sukonstruoti tokį medį (grafą), kurio visose viršūnėse yra sekvencijos, šaknyje yra pradinė sekvencija F 1,..., F n G 1,..., G m ir kiekvienai viršūnei teisinga: jei viršūnės N, kurioje yra sekvencija S, vaike(-uose) N 1 (ir N 2 ) yra sekvencija(-os) S 1 (ir S 2 ), tai sekvencija S yra gauta iš sekvencijos(-jų) S 1 (ir S 2 ) pagal kažkurią taisyklę, ir kurio (medžio) visuose lapuose yra aksiomos. Sakysime, kad taisyklė yra apverčiama, jei teisinga: jei taisyklės išvada išvedama, tai išvedamos ir visos taisyklės prielaidos. Visos sekvencinio skaičiavimo G taisyklės yra apverčiamos. Jei išvedant gautas lapas, kuriame nėra nei vienos formulės su kokia nors operacija ir jis nėra aksioma, tai reiškia, kad: 1. sekvencija yra neišvedama, arba 2. išvedime buvo panaudota neapverčiama taisyklė. 5 T. Formulė F yra tapačiai teisinga tada ir tik tada, kai sekvenciniame skaičiavime G išvedama sekvencija F. 8
10 4. DISJUNKTŲ DEDUKCINĖ SISTEMA. REZOLIUCIJŲ METODAS 5 Ap. (Disjunktas). Literų disjunkcija. Litera yra kintamasis arba kintamasis su neigimu. 6 Ap. (Atkirtos taisyklė (AT)). C p C D p D, kur p litera, o C, C, D, D disjunktai. C C D D 7 Ap. (S C). Sakysime, kad disjunktas C yra išvedamas iš disjunktų aibės S, jei galima parašyti tokią disjunktų seką, kur kiekvienas disjunktas: arba iš aibės S, arba gautas pagal atkirtos taisyklę iš jau parašytų ir kuri (seka) baigiasi disjunktu C. 8 Ap. (Prieštaringa formulių aibė). Sakysime, kad formulių aibė S yra prieštaringa, jei su bet kokia interpretacija ν bent viena formulė iš aibės S yra klaidinga. Pastaba. Jei S nėra prieštaringa, tai S įvykdoma. 6 T. Jei iš disjunktų aibės S išvedamas disjunktas C ir disjunktas C nėra įvykdomas (tapačiai klaidingas), tai S prieštaringa. Proof (Prieštaros būdu.) Tarkime S C ir C nėra įvykdomas, bet aibė S nėra prieštaringa. Jei aibė S nėra prieštaringa, tai yra tokia interpretacija ν, su kuria visi aibės S disjunktai bus teisingi: D (D S) : ν(d) = 1 Parodysime, jog visi iš aibės S išvedami disjunktai yra teisingi su ta pačia interpretacija ν. Įrodymas matematinės indukcijos metodu, pagal išvedimo ilgį l: 1. Jei l = 1, tai D 1 S = ν(d 1 ) = 1, nes visi aibės S disjunktai yra teisingi su interpretacija ν. 2. Tarkime, kad i (i < m), ν(d i ) = Panagrinėkime ν(d m ): Jei D m S, tai ν(d m ) = 1. 9
11 Jei D m S, tai D m gautas iš kažkokių D a ir D b pagal atkirtos taisyklę. Pagal matematinės indukcijos prielaidą ν(d a ) = ν(d b ) = 1, nes a, b < m. Kadangi D a D b (AT) D m tai D a = D a p ir D b = D b p, o D m = D a D b. Jei ν(p) = 1, tai ν(d b ) = 1(, nes ν(d b p) = 1) = ν(d m) = ν(d b D a) = 1. Jei ν( p) = 1, tai ν(d a) = 1(, nes ν(d a p) = 1) = ν(d m ) = ν(d b D a) = 1. Naudodami matematinę indukciją gavome, kad visi išvedami disjunktai yra teisingi su interpretacija ν. Tada ir ν(c) = 1 = prieštara, nes disjunktas C nėra įvykdomas. Tuščias disjunktas nėra įvykdomas (yra tapačiai klaidingas). Žymėjimas: tuščias disjunktas. Jei iš aibės S, tai aibė S prieštaringa. 7 T. Jei disjunktų aibė S yra prieštaringa, tai iš jos galima išvesti tuščią disjunktą S. Proof (Matematinės indukcijos būdu pagal skirtingų kintamųjų kiekį n aibėje S.) Bazė Jei n = 1, tai aibė S gali būti: {p}, { p}, {p, p}. }{{} nėra prieštaringos S = {p, p} prieštaringa aibė: 1. p (iš S) 2. p (iš S) 3. (pagal AT iš 1 ir 2) Jei aibėje S yra vienas kintamasis, tai jai (aibei S) teisinga: jei S prieštaringa, tai iš jos išvedama. Prielaida Tarkime, jei aibėje yra n < m skirtingų kintamųjų, tai jei S prieštaringa, tai S. Indukcinis žingsnis Tegu disjunktų aibė S turi n = m skirtingų kintamųjų. Padalinkime aibės S disjunktus į 3 aibes (grupes): S p priklauso tie aibės S disjunktai, kurie neturi literos p. S + p S p priklauso tie aibės S disjunktai, kurie turi literą p (be neigimo). priklauso tie aibės S disjunktai, kurie turi literą p (su neigimu). 10
12 Tada: S = S p S + p S p. Nagrinėkime aibę S = S p at(s + p, S p ), kur at(s + p, S p ) yra disjunktų aibė, kuri yra gauta pritaikius AT visiems disjunktams iš aibių S + p ir S p pagal kintamąjį p. Tegu: tada S + p = {C 1 p, C 2 p,..., C v p} ir S p = {D 1 p, D 2 p,..., D r p} at(s p +, Sp ) = {C 1 D 1, C 1 D 2,..., C 1 D r C 2 D 1, C 2 D 2,..., C 2 D r C v D 1, C v D 2,..., C v D r } Aibėje S yra < m kintamųjų (nes nėra p), todėl aibei S galioja prielaida: jei S prieštaringa = S. Parodysime, jog S ir S arba abi kartu įvykdomos, arba neįvykdomos: 1. Jei S įvykdoma, tai ν : ν(d) = 1, D (D S). Taip pat ir visi disjunktai iš aibės S p yra įvykdomi su ta pačia interpretacija ν, nes S p S. Taip pat visi disjunktai iš aibės at(s p +, Sp ) yra įvykdomi su interpretacija ν, nes jie yra išvesti iš aibės S pritaikius AT (žr. 6 teiginio įrodymą). Taigi su ν teisingi visi aibės S disjunktai, tai yra S įvykdoma. 2. Jei S įvykdoma, tai yra interpretacija ν, su kuria visi aibės S disjunktai yra teisingi. Kadangi aibėje S nėra kintamojo p, tai interpretacija ν jam nepriskiria nei 0, nei 1. Papildome interpretaciją ν apibrėždami ar kintamasis p yra teisingas ar klaidingas, taip kad su interpretacija ν visi aibės S disjunktai būtų teisingi Jei yra toks i (i = 1, 2,..., v), su kuriuo ν(c i ) = 0, tada apibrėžiame ν(p) = 1, tada ν(c 1 p) = ν(c 2 p) = = ν(c v p) = 1 Kadangi visi aibės at(s p +, Sp ) disjunktai yra teisingi su interpretacija ν, tai ν(c i D 1 ) = = ν(c i D r ) = 1, bet ν(c i ) = 0, todėl ν(d 1 ) = ν(d 2 ) = = ν(d r ) = 1 = ν(d 1 p) = = ν(d r p) = 1 Gavome, kad su ν visi S p +, Sp ir S p yra teisingi = S įvykdoma Jei nėra tokio i (i = 1, 2,..., v), su kuriuo ν(c i ) = 0, tada ν(c 1 ) = ν(c 2 ) = = ν(c v ) = 1, tada ir ν(c 1 p) = ν(c 2 p) = = ν(c v p) = 1. Apibrėžkime ν(p) = 0, tada ν(d 1 p) = ν(d 2 p) = = ν(d r p) = 1. Gavome, kad su ν visi S p +, Sp ir S p yra teisingi = S įvykdoma. Gavome, kad jeigu S įvykdoma, tai ir S yra įvykdoma. Aibėje S yra < m kintamųjų, todėl jei S prieštaringa, tai S (prielaida). S prieštaringa tada ir tik tada, kai S prieštaringa, todėl jei S prieštaringa, tai iš S galima išvesti. 11
13 Išvada: S S prieštaringa Rezoliucijų metodas Jei norime patikrinti ar iš prielaidų A 1, A 2,..., A n seka išvada F : A 1, A 2,..., A n F aibė B = {A 1, A 2,..., A n, F } prieštaringa disjunktų aibė (gauta paverčiant B aibės elementus į NKF) S = {D 1, D 2,..., D m } prieštaringa S pagal disjunktų dedukcinę sistemą. 12
14 5. TURINGO MAŠINOS IR JŲ VARIANTAI 9 Ap. (Determinuota vienajuostė Turingo mašina). Ketvertas < Σ, Q, F, δ >, kur: Σ baigtinė aibė abėcėlė. (Jei nepaminėta kitaip: Σ = {0, 1, b}.) Q baigtinė aibė būsenų aibė. (Q = {q 0, q 1,..., q n }, kur q 0 pradinė būsena.) F galutinių būsenų aibė (F Q). δ perėjimų funkcija. (δ : Q Σ Q Σ {K, N, D}) 10 Ap. (Apibrėžta TM). Sakysime, jog TM su pradiniais duomenimis X yra apibrėžta, jei pradžioje į duomenų juostą įrašius žodį X, TM po baigtinio žingsnių kiekio patenka į vieną iš galutinių būsenų. 11 Ap. (Turingo mašina apskaičiuoja funkciją). Sakysime, kad TM M apskaičiuoja funkciją f(x 1, x 2,..., x n ), jei egzistuoja toks kodavimas abėcėlės Σ simboliais cod(x 1, x 2,..., x n ) = x, kuriam teisinga: 1. jei f(x 1, x 2,..., x n ) = y (funkcija apibrėžta), tada TM M su pradiniais duomenimis cod(x 1, x 2,..., x n ) yra apibrėžta ir baigus darbą, į dešinę nuo skaitymo galvutės yra žodis cod(y); 2. jei f(x 1, x 2,..., x n ) neapibrėžta, tada TM M su pradiniais duomenimis cod(x 1, x 2,..., x n ) irgi yra neapibrėžta. 12 Ap. (Determinuota m-juostė TM). Ketvertas < Σ, Q, F, δ >, kur: Σ baigtinė aibė abėcėlė. Q baigtinė būsenų aibė. F galutinių būsenų aibė. (F Q) δ perėjimų funkcija: δ : Q Σ } Σ {{ Σ } m Q Σ } Σ {{ Σ } {K, D, N} {K, D, N} {K, D, N} }{{} m m 13 Ap. (Nedeterminuota Turingo mašina). Turingo mašina, kurios perėjimų funkcija yra daugiareikšmė. 13
15 5.1. Baigtiniai automatai 14 Ap. (Baigtinis automatas). Vienajuostė determinuota Turiningo mašina, kurios perėjimų funkcija yra δ(q i, a) = (q j, a, D) ir kuri (TM) baigia darbą tada, kai pasiekia pirmąją tuščią ląstelę. 15 Ap. (Baigtinio automato kalba). Aibė žodžių, su kuriais automatas baigia darbą vienoje iš galutinių būsenų. 8 T. Baigtinė aibė yra baigtinio automato kalba. 9 T. Baigtinio automato kalbos A papildinys Ā irgi yra baigtinio automato kalba. 10 T. Jei A 1 ir A 2 yra baigtinio automato kalbos, tai ir A 1 A 2, bei A 1 A 2 yra baigtinio automato kalbos. Proof Grafų G 1 ir G 2 Dekarto sandauga yra grafas, kurio viršūnės yra visos įmanomos poros (q i, q j ), kur q i yra G 1 viršūnė, o q j G 2 viršūnė. Iš viršūnės (q i, q j ) eis briauna į viršūnę (q k, q l ) su simboliu a, jei grafe G 1 eina briauna iš viršūnės q i į viršūnę q k su simboliu a ir grafe G 2 eina briauna iš viršūnės q j į viršūnę q l su simboliu a. F A B visos viršūnės (q i, q j ), kur q i F A arba q j F B. F A B visos viršūnės (q i, q j ), kur q i F A ir q j F B. Baigtinis automatas, kurio perėjimų funkcija vaizduojama grafu G 1 G 2, pradinė būsena yra (q 0, q 0 ) ir kurio galutinių būsenų aibė yra F A B, turės kalbą A 1 A 2. Atitinkamai, baigtinis automatas, kurio galutinių būsenų aibė yra F A B, turės kalbą A 1 A T. Baigtinių automatų kalbų 1. konkatenacija := {uv : u A 1, v A 2 }, kur A 1, A 2 automato kalbos; 2. iteracija := {u 1 u 2... u k : u i A, i = 1, 2,..., k}, kur A automato kalba; 3. atspindys := {a 1 a 2... a n : a n a n 1... a 1 A}, kur A automato kalba irgi yra baigtinių automatų kalbos Algoritmų sudėtingumas Žymėjimas: i(v) žodžio v ilgis; t(v) žingsnių kiekis, kurį atlieka TM, jei pradinių duomenų juostoje yra žodis v. 14
16 s(v) panaudotų ląstelių kiekis, kurį sunaudojo TM, jei pradinių duomenų juostoje buvo žodis v. 16 Ap. (Turingo mašinos M sudėtingumas laiko atžvilgiu). Funkcija: T M (n) = max{t(v) : i(v) = n}. 17 Ap. (Turingo mašinos M sudėtingumas atminties atžvilgiu). Funkcija: S M (n) = max{s(v) : i(v) = n}. 18 Ap. (Turingo mašinos kalba). Žodžių, su kuriais TM baigia darbą galutinėje būsenoje, aibė. 19 Ap. (Problema (aibė) išsprendžiama su TM). Sakysime, jog problema (aibė) A yra išsprendžiama su Turingo mašina, jei yra tokia Turingo mašina, kurios kalba yra A. Sakysime, kad TM sudėtingumas atminties atžvilgiu yra f(n), jei c (c > 0) : S M (n) = cf(n), n. Sakysime, kad TM sudėtingumas laiko atžvilgiu yra f(n), jei c (c > 0) : T M (n) = cf(n), n. 20 Ap. (Sudėtingumo klasės). DT IME(f(n)) sudėtingumo klasė, kuriai priklauso visi uždaviniai, kuriems egzistuoja juos sprendžianti daugiajuostė determinuota TM, kurios sudėtingumas laiko atžvilgiu yra f(n). N T IM E(f(n)) sudėtingumo klasė, kuriai priklauso visi uždaviniai, kuriems egzisutoja juos sprendžianti daugiajuostė nedeterminuota TM, kurios sudėtingumas laiko atžvilgiu yra f(n). DSP ACE(f(n)) sudėtingumo klasė, kuriai priklauso visi uždaviniai, kuriems egzistuoja juos sprendžianti daugiajuostė determinuota TM, kurios sudėtingumas atminties atžvilgiu yra f(n). N SP ACE(f(n)) sudėtingumo klasė, kuriai priklauso visi uždaviniai, kuriems egzsituoja juos sprendžianti daugiajuostė nedeterminuota TM, kurios sudėtingumas atminties atžvilgiu yra f(n). 21 Ap. (Sudėtingumo klasės). L = DSP ACE(log n) NL = NSP ACE(log n) P = DT IME(n k ), kur k konstanta. NP = NT IME(n k ), kur k konstanta. P SP ACE = DSP ACE(n k ), kur k konstanta. EXP = DT IME(2 nk ), kur k konstanta. 12 T. L NL P NP P SP ACE EXP ir NL P SP ACE ir P EXP. 15
17 5.3. Porų numeravimas Σ=0 Σ=1 Σ=2 {}}{{}}{{}}{ (0; 0), (0; 1), (1; 0), (0; 2), (1; 1), (2; 0), (0; 3), (1; 2),... }{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{} Ap. (Poros numeris Kantaro numeracijoje). Funkcija α 2 (x, y). Kairiojo nario funkcija yra π 1 2(n), o dešiniojo π 2 2(n), kur n yra porai priskirtas numeris. 13 T. Poros (x; y) numeris: Pastaba. π 1 2(n) = n 1 2 α 2 (x, y) = (x + y)2 + 3x + y 2 [ ] [ 8n + 1] + 1 [ [ 8n + 1] 1] 2 23 Ap. (Kantaro funkcijos). α n (x 1, x 2,..., x n ) rinkinio x 1, x 2,..., x n numeris Kantaro numeracijoje. π i n(k) K-ojo rinkinio iš n elementų i-asis narys. Pastaba. Kantaro funkcijos rekurentinė išraiška: >>> def alpha(*numbers):... if len(numbers) == 2:... x, y = numbers α 2 (x, y) = (x+y)2 +3y+x 2 α n (x 1, x 2,..., x n ) = α 2 (x 1, α n 1 (x 2, x 3,..., x n ))... return ((x+y)**2 + 3*x + y)/2... elif len(numbers) > 2:... return alpha(numbers[0], alpha(*numbers[1:]))... else:... raise Exception('Netinkamas argumentų kiekis!') >>> alpha(1,0,1,2) Pvz. Šis pavyzdys iliustruoja kaip į kiekvieną n-argumentų funkciją galima žiūrėti kaip į 1- argumento funkciją, kur argumentas yra atitinkamo rinkinio numeris. Šiuo atveju f(x, y) yra 2 argumentų funkcija, o ją atitinkanti vieno argumento funkcija yra g(z) (iš esmės abi jos skaičiuoja tą patį). f(x, y) = 3x + y g(z) = 3π 1 2(z) + π 2 2(z) f(x, y) = g(α 2 (x, y)) = 3x + y 16
18 5.4. Baigtinumo problema 24 Ap. (Standartinė TM). Tokia TM, kuri: 1. vienajuostė determinuota; 2. Σ = {0, 1, b}; 3. kai baigia darbą būdama galutinėje būsenoje, juostoje yra tik atsakymas, ir skaitymo galvutė žiūri į pirmąjį iš kairės netuščią simbolį; 4. F = T. Kiekvienai TM egzistuoja standartinė TM, kuri skaičiuoja tą pačią funkciją. 15 T. Standartinių TM aibė yra skaiti. Pastaba. Visas standartines TM galima sunumeruoti: Turingo mašina: T 0, T 1, T 2, T 3, T 4,... Jos skaičiuojama funkcija: φ 0 (x), φ 1 (x), φ 2 (x), φ 3 (x), φ 4 (x), Ap. (Baigtinumo problema). Ar yra toks algoritmas, kuris N skaičių porai (m, n) pasakytų, ar TM su numeriu m (T m ) ir pradiniais duomenimis n baigia darbą, ar ne. 16 T. Baigtinumo problema neišsprendžiama. Proof (Prieštaros būdu.) Tarkime, jog egzistuoja toks algoritmas, kuris porai (m; n) pasako, ar TM T m su duomenimis n yra apibrėžta, ar ne. Tada egzistuoja tokia algoritmiškai apskaičiuojama funkcija: 1, jei φ x (y) < (apibrėžta), g(α 2 (x, y)) = 0, jei φ x (y) = (neapibrėžta). Tada yra TM, kuri apskaičiuoja funkciją g(z). Tada yra TM, kuri apskaičiuoja funkciją: 1, jei g(α 2 (x, x)) = 0, f(x) =, jei g(α 2 (x, x)) = 1. TM skaičiuojančią g(z) pažymėkime M 1. M 1 : Q 1 būsenų aibė; F 1 galutinių būsenų aibė. Sukonstruokime TM M 2 skaičiuojančią f(x): Kai M 1 baigia darbą, tai galimi du variantai: 17
19 1. TM yra galutinėje būsenoje q F F 1 ir juostoje yra vienintelis simbolis 1, į kurį ir žiūri skaitymo galvutė. 2. TM yra galutinėje būsenoje q F F 1 ir juostoje yra vienintelis simbolis 0, į kurį ir žiūri skaitymo galvutė. TM M 2 tokia pati, kaip ir M 1, tik Q 2 = Q 1 {q }, F 2 = {q }, q F nėra galutinė būsena ir: δ(q F, 0) = (q, 1, N) f(x) apibrėžta; δ(q F, 1) = (q F, 1, N) f(x) neapibrėžta. Kadangi yra TM (M 2 ), kuri apskaičiuoja funkciją f(x), tai yra toks numeris l, kad T l = M 2. T l apskaičiuoja φ l (x), todėl f(x) = φ l (x). Panagrinėkime φ l (l): 1. Jei φ l (l) <, tai g(α 2 (l, l)) = 1 = f(l) = = φ l (l) = ; 2. Jei φ l (l) =, tai g(α 2 (l, l)) = 0 = f(l) = 1 = φ l (l) <. Gauname prieštarą, todėl neegzistuoja toks algoritmas, kuris porai (m; n) pasakytų, ar TM T m su pradiniais duomenis n baigia darbą, ar ne. 26 Ap. (Aibės charakteringoji funkcija). Aibės A charakteringoji funkcija yra: 1, jei x A χ A (x) = 0, jei x A 27 Ap. (Rekursyvi aibė). Sakysime, kad aibė yra rekursyvi, jei jos charakteringoji funkcija yra visur apibrėžta rekursyvi funkcija. Pastaba. (Rice teorema.) Jei aibė X yra vieno argumento dalinai rekursyvių funkcijų aibė ir nesutampa nei su, nei su visa vieno argumento dalinai rekursyvių funkcijų aibe (yra poaibis), tai aibė A = {x : φ x X} nėra rekursyvi. 2 Pvz. X funkcijų, kurios visada grąžina 1 aibė: X = {f(x) = 1}. Tada A = {x : φ x X} nėra rekursyvi = nėra algoritmo, kuris pasakytu ar x A. 18
20 6. λ-skaičiavimas 28 Ap. (λ skaičiavimo termas). Jei u kintamasis, tai u yra termas. Jei E 1 ir E 2 yra termai, tai ir (E 1 E 2 ) yra termas. Jei E yra termas, o x kintamasis, tai ir λx.e irgi yra termas. Pastaba. Kintamuosius žymime mažosiomis raidėmis. Pastaba. Skliaustai būtini: (xy)z x(yz)! Kintamojo įeitis terme yra jo pasitaikymas jame. 3 Pvz. Jei turime termą: (λx.((yz)(λz.((zx)y)))(x(λy.(xy)))), tai: (λ }{{} x.((yz)(λz.((z 1 sunumeruotos yra kintamojo x įeitys. }{{} x 2 )y)))( x }{{} 3 (λy.( x }{{} 4 y)))), Kintamojo įeitis x yra suvaržyta, jei patenka į λx. veikimo sritį. Kitaip x įeitis yra laisva. Pastaba. λx.e terme λx. veikimo sritis yra termas E. Pastaba. λx.xu = (λx.x)u λx.(xu) Termai E 1 ir E 2 yra α-ekvivalentūs, jei E 2 yra gautas iš E 1, jame visas laisvas kažkurio kintamojo x įeitis pakeitus nauju kintamuoju. Termas λx.e 1 yra α-ekvivalentus termui λy.e 2, jei termas E 2 yra gautas iš termo E 1, jame visas laisvas x įeitis pakeitus nauju kintamuoju y. 29 Ap. (Redeksas ir jo santrauka). Termas pavidalo (λx.e)y, kur E ir Y yra termai, vadinamas redeksu. Redekso (λx.e)y santrauka yra termas E[ Y / x ] termas E, kuriame visos laisvos kintamojo x įeitys yra pakeistos termu Y. 4 Pvz. Redekso (λx. (ux)) (zz) santrauka yra termas u(zz). }{{}}{{} E Y 5 Pvz. Redekso (λx.((ux)(λx.(xy))))(zz) santrauka yra termas (u(zz))(λx.(xy)). 30 Ap. (β-redukcija). λ-skaičiavimo termo E β-redukcija vadinama termų seka E 1 E 2 E 3 E 4 E k, kur E 1 = E, ir E i+1 yra gautas iš E i jame pirmąjį iš kairės redeksą pakeitus jo santrauka. 19
21 31 Ap. (Normalinis termas). Termas, kuriame nėra redeksų. Termas yra nenormalizuojamas, jeigu jo β-redukcija yra begalinė. 32 Ap.. λ-skaičiavimo loginės konstantos yra λx.λy.y ir λx.λy.x. }{{}}{{} klaidinga teisinga Žymėjimas: λx.λy.y = 0 ir λx.λy.x = Ap.. λ-skaičiavimo natūrinis skaičius k yra λf.λx.(f k x), kur f k x = f(f(... f(f x)... )). }{{} k kartų Žymėjimas: Skaičius 2 žymimas 2 = λf.λx(f 2 x) = λf.λx(f(fx)) 6 Pvz. (x1)1 = (x(λx.λy.x))(λf.λx.(fx)) 34 Ap.. Sakysime, kad termas E apibrėžia dalinę funkciją f(x 1, x 2,..., x n ), jei: jei f(k 1, K 2,..., K n ) = K, tai termas (... ((EK 1 )K 2 )... )K n redukuojamas (β-redukcijoje) į termą K; jei f(k 1, K 2,..., K n ) =, tai termas (... ((EK 1 )K 2 )... )K n yra neredukuojamas. 17 T. Kiekvienai algoritmiškai apskaičiuojamai funkcijai egzistuoja ją apibrėžiantis termas. 20
22 7. PRIMITYVIAI REKURSYVIOS FUNKCIJOS Kompozicijos operatorius: sakysime, kad funkcija f(x 1, x 2,..., x n ) yra gauta iš funkcijų g i (x 1, x 2,..., x n ) (i = 1, 2, 3,..., m) ir funkcijos h(x 1, x 2,..., x m ), jei f(x 1, x 2,..., x n ) = h(g 1 (x 1,..., x n ),..., g m (x 1,..., x n )). 35 Ap.. Sakysime, jog funkcija f(x 1, x 2,..., x n ) yra gauta pagal primityviosios rekursijos operatorių iš g(x 1, x 2,..., x n 1 ) ir h(x 1, x 2,..., x n, x n+1 ), jei teisinga: f(x 1, x 2,..., x n 1, 0) = g(x 1, x 2,..., x n 1 ) ir f(x 1, x 2,..., x n 1, y + 1) = h(x 1, x 2,..., x n 1, y, f(x 1, x 2,..., x n 1, y)) 36 Ap. (Primityviai rekursyvių funkcijų aibė (PR)). Primityviai rekursyvių funkcijų aibė sutampa su aibe, kuriai priklauso bazinės funkcijos: 0, s(x) = x + 1, pr i m(x 1, x 2,..., x m ) = x i ir kuri yra uždara kompozicijos ir primityviosios rekursijos operatorių atžvilgiu. Visos PR funkcijos yra apibrėžtos su visais natūraliaisiais skaičiais. Sakysime, kad N skaičių poaibis yra primityviai rekursyvus, jei jo charakteringoji funkcija priklauso PR. 18 T. Kantaro funkcijos α n (x 1, x 2,..., x n ) ir π i n(k) yra primityviai rekursyvios. 19 T. Jei funkcija g(x 1, x 2,..., x n ) PR, tai ir funkcija f(x 1, x 2,..., x n ) = x n i=0 g(x 1, x 2,..., x n ) PR 20 T. Jei f i (x 1, x 2,..., x n ) PR ir α j (x 1, x 2,..., x n ) PR (i = 1, 2,..., s, s+1; j = 1, 2,..., s), tada ir funkcija: f 1 (x 1, x 2,..., x n ), jei α 1 (x 1, x 2,..., x n ) = 0, f 2 (x 1, x 2,..., x n ), jei α 2 (x 1, x 2,..., x n ) = 0, h(x 1, x 2,..., x n ) = yra primityviai rekursyvi. f s (x 1, x 2,..., x n ), jei α s (x 1, x 2,..., x n ) = 0, f s+1 (x 1, x 2,..., x n ), kitu atveju Pastaba. Su bet kuriuo rinkiniu (x 1, x 2,..., x n ) ne daugiau nei viena α i (x 1, x 2,..., x n ) (i = 1, 2,..., s) gali būti lygi Ap. (Iteracijos operatorius). Sakysime, kad funkcija f(x) yra gauta pagal iteracijos operatorių iš funkcijos g(x), jei teisinga: f(0) = 0 f(y + 1) = g(f(y)) 21
23 21 T. Visų vieno argumento PR funkcijų aibė sutampa su aibe, kuriai priklauso funkcijos s(x) = x+1, q(x) = x [ x] 2 ir kuri yra uždara kompozicijos, sudėties ir iteracijos operatorių atžvilgiu Dalinai rekursyvios funkcijos 38 Ap. (Minimizacijos operatorius). Sakysime, kad funkcija f(x 1, x 2,..., x n ) gauta pagal minimizacijos operatorių iš funkcijos g(x 1, x 2,..., x n ), jei: f(x 1, x 2,..., x n ) = µ y (g(x 1, x 2,..., x n 1, y) = x n ), tai yra pati mažiausia natūrali y reikšmė, kuriai teisinga g(x 1, x 2,..., x n 1, y) = x n. 39 Ap. (Dalinai rekursyvių funkcijų aibė (DR)). Dalinai rekursyvių funkcijų aibė sutampa su aibe, kuriai priklauso bazinės funkcijos 0, s(x) = x + 1, prn(x i 1, x 2,..., x n ) = x i ir kuri yra uždara kompozicijos, primityviosios rekursijos ir minimizacijos operatorių atžvilgiu. Pastaba. Jei f(x 1, x 2,..., x n ) = µ y (g(x 1, x 2,..., x n 1, y) = x n ), tai f(x 1, x 2,..., x n ) reikšmė apskaičiuojama remiantis tokiu algoritmu: for (y = 0; g(x 1, x 2,..., x n 1, y) x n ; y++); y, jei pavyko rasti y arba f(x 1, x 2,..., x n ) =, jei y neegzistuoja, arba skaičiuojant buvo gauta neapibrėžtis. 40 Ap. (Bendrųjų rekursyviųjų funkcijų aibė (BR)). Aibė sudaryta iš visų DR funkcijų, kurios yra apibrėžtos su visais natūraliaisiais argumentais. 22 T. PR BR DR Pastaba. Žinomos primityviai rekursyvios funkcijos: bazinės funkcijos: 0, s(x) = x + 1, prn(x i 1, x 2,..., x n ) = x i ; vieno argumento PR funkcijų bazinės funkcijos: s(x) = x + 1, [ ] 2 q(x) = x x ; 22
24 kitos žinomos PR funkcijos: 1, jei x > 0 sg(x) =, 0, jei x = 0 0, jei x > 0 sg(x) =, 1, jei x = 0 x y, jei x > y x y =, 0, kitu atveju x + y, x y, x y, [x/y]. Pastaba. Žinomos dalinai rekursyvios funkcijos: dalinis skirtumas: x y, jei x y x y =, kitu atveju, dalinė dalyba: x/y, jei x dalosi iš y x/y =, kitu atveju, dalinė šaknis: x, jei x yra natūralaus skaičiaus kvadratas x =., kitu atveju 7 Pvz. Tarkime, kad turime funkciją g(x, y, z) = (s(z) x) sg(y z). Iš jos, pritaikę minimizacijos operatorių, galime gauti funkciją: f (x 1, x 2, x 3 ) = µ y (g(x 1, x 2, y) = x 3 ) = µ y ((s(y) x 1 ) sg(x 2 y) = x 3 ). Dabar galime apibrėžti naują funkciją f(x, y): f(x, y) = f (x, y, x) = µ z ((s(z) x) sg(y z) = x). 23
25 Apskaičiuokime f(1, 3): 1. Įsistatome reikšmes: f(1, 3) = µ z ((s(z) 1) sg(3 z) = 1). 2. Tikriname z = 0: (s(0) 1) sg(3 0) = (1 1) sg(3) = 0 1 = Tikriname z = 1: (s(1) 1) sg(3 1) = (2 1) sg(2) = 1 1 = 1 Taigi gavome, kad f(1, 3) = Rekursyviai skaičiosios aibės 41 Ap. (Rekursyviai skaiti aibė). Aibė A yra rekursyviai skaiti, jei sutampa su kažkurios DR funkcijos apibrėžimo sritimi. 42 Ap. (Rekursyviai skaiti aibė). Netuščia aibė A yra rekursyviai skaiti, jei sutampa su kažkurios PR funkcijos reikšmių sritimi. 43 Ap. (Rekursyviai skaiti aibė). Aibė A yra rekursyviai skaiti, jei tokia PR funkcija f(a, x), kad lygtis f(a, x) = 0 turi sprendinį tada ir tik tada, kai a A. 23 T. Visi trys (41, 42 ir 43) rekursyvios aibės apibrėžimai yra ekvivalentūs netuščios aibės atžvilgiu. Proof (Dalinis 42 = 41, 42 = 43 ir 43 = 42) (42 = 41) Tarkime, kad aibė A yra rekursyviai skaiti, nes PR funkcija h(x) tokia, kad A sutampa su h reikšmių sritimi (42 ap.): A = {h(0), h(1), h(2), h(3),... }. Imkime funkciją f(x) = µ y (h(y) = x). Ji yra dalinai rekursyvi, nes yra gauta pagal minimizacijos operatorių iš dalinai rekursyvios funkcijos h( PR DR). Jei a A, tai i(i N), kad h(i) = a = f(a) = µ y (h(y) = a) < apibrėžta. Jei a A, tai j(j N) : h(j) a = f(a) = µ y (h(y) = a) = neapibrėžta. Aibė A sutampa su funkcijos f(x) apibrėžimo sritimi ir f(x) DR = 41 ap. 24
26 (42 = 43) Tarkime, jog aibė A sutampa su PR funkcijos h(x) reikšmių sritimi (42 ap.). Tai yra: A = {h(0), h(1), h(2), h(3),... }. Imkime funkciją f(a, x) = h(x) a. f(a, x) PR, nes gauta iš PR funkcijų pritaikius kompozicijos operatorių. Lygtis f(a, x) = 0 yra h(x) a = 0. Jei a A, tai toks i, kad h(i) = a = h(x) a = 0, turi sprendinį x = i. Jei a A, tai j(j N) : h(j) a = h(x) a > 0 lygtis neturi sprendinių. Lygtis f(a, x) = 0, turi sprendinį tada ir tik tada, kai a A = 43 ap. (43 = 42) Tarkime, jog a A tada ir tik tada, kai lygtis f(a, x) = 0, kur f(a, x) PR, turi sprendinį. Imkime funkciją h(t) = π2(t) 1 sg(f(π2(t), 1 π2(t))) 2 + d sg(f(π2(t), 1 π2(t))), 2 kur d bet koks aibės A elementas. h(t) PR, nes gauta iš žinomų PR funkcijų pritaikius kompozicijos operatorių. Parodysime, kad h(t) reikšmių sritis sutampa su aibe A: Jei a A, tai lygtis f(a, x) = 0 turi sprendinį x = u. Pažymėkime t = α 2 (a, u). Tada h(t) = h(α 2 (a, u)) = a sg(f(a, u) ) + d sg(f(a, u) ) }{{}}{{} =0 =0 = a sg(0) + d sg(0) = a Jei t = α 2 (a, v), kad f(a, v) 0, tai h(t) = h(α 2 (a, v)) = a sg(f(a, v) ) + d sg(f(a, v) ) }{{}}{{} >0 >0 = a 0 + d 1 = d Gavome, kad h(t) su bet kokiu t įgyja reikšmę A ir h(t) įgyja visas reikšmes iš aibės A. Kadangi h(t) reikšmių sritis yra aibė A ir h(t) PR, tai gavome 42 apibrėžimą. Pastaba. Rekursyvių ir rekursyviai skaičių aibių skirtumas: 25
27 A rekursyvi, jei (Funkcija visur apibrėžta.) A rekursyviai skaiti, jei 1, jei a A χ A (a) = 0, jei a A 1, jei a A χ A (a) =, jei a A BR DR (Funkcija ne visur apibrėžta.) Rekursyviai skaičių aibių savybės: 1. Rekursyvi aibė A yra ir rekursyviai skaiti: 1, jei a A χ A (a) =, 0, jei a A tada aibė A sutampa su DR funkcijos f(a) = χ A (a) 1 apibrėžimo sritimi. Pagal 41 apibrėžimą A yra rekursyviai skaiti. 2. Baigtinė aibė yra ir rekursyvi ir rekursyviai skaiti: A = {a 1, a 2,..., a n } baigtinė aibė. Tada, jos charakteringoji funkcija: χ A (a) = sg( a a 1 ) + sg( a a 2 ) sg( a a n ). 24 T. Jeigu aibė A yra rekursyviai skaiti, bet A nėra rekursyvi, tai jos papildinys A nėra nei rekursyvi, nei rekursyviai skaiti aibė. Proof 1. Tarkime, kad A yra rekursyviai skaiti. 2. Tada pagal 42 apibrėžimą yra PR funkcija g(x), tokia kad A = {g(0), g(1), g(2),... } 3. Kadangi aibė A yra rekursyviai skaiti (duota), tai pagal 42 apibrėžimą yra PR funkcija f(x) tokia, kad A = {f(0), f(1), f(2),... }. 4. Panagrinėkime funkciją h(x) = µ z ( f(z) x g(z) x = 0). h(x) yra BR, nes gauta iš PR funkcijų taikant kompozicijos, bei minimizacijos operatorius ir yra apibrėžta su visais x (x N), nes A A = N. 26
28 jei x A, tada z : f(z) = x = f(z) x = 0, jei x A = x A, tada z : g(z) = x = g(z) x = Jei x A, tada h(x) = z, kad f(z) = x. Jei x A, tada h(x) = z, kad g(z) = x ir f(z) x. 6. Tada aibės A charakteringoji funkcija būtų: χ A (x) = sg( f(h(x)) x ) sg( f(z) x ), kur f(z) = x, jei x A =, sg( f(z) x ), kur f(z) x, jei x A sg(0), jei x A =, sg(y + 1), jei x A Čia su y + 1 norėta pasakyti, kad tai kažkas > 0. Taip ir bus, jei y yra bet koks natūralusis skaičius. 1, jei x A =. 0, jei x A 7. χ A (x) BR, nes gauta iš BR ir PR funkcijų pritaikius kompozicijos operatorių. 8. Kadangi χ A (x) BR, tai A rekursyvi = prieštara = A nėra rekursyviai skaiti aibė Ackermann funkcijos. Ackerman funkcijos yra: B 0 (a, x) = a + x B 1 (a, x) = a x B 2 (a, x) = a x B n (a, x + 1) = B n 1 (a, B n (a, x)) B n (a, 0) = 1, kai n 2 Jos yra visur apibrėžtos ir algoritmiškai apskaičiuojamos funkcijos, todėl yra bendrai rekursyvios funkcijos. 27
29 Ackermann funkcijos variantas, kai a = 2, yra funkcija A(n, x) = B n (2, x). Jam teisingos lygybės ir nelygybės: 1. A(n + 1, x + 1) = B n+1 (2, x + 1) = B n (2, B n+1 (2, x)) = A(n, A(n + 1, x)) 2. A(0, x) = x A(1, 0) = 0 4. A(n, 0) = 1, kai n 2 5. A(n, x) 2 x, kai n 2 ir x 1 6. A(n + 1, x) > A(n, x), kai n, x 2 7. A(n, x + 1) > A(n, x), kai n, x 2 8. A(n + 1, x) A(n, x + 1), kai n, x 2 44 Ap. (Mažoruojanti funkcija). Sakysime, kad funkcija f(x) yra mažoruojama 1 funkcijos h(x), jei yra toks n 0 N, kad f(x) < h(x) su visais x > n T. Jei f(x) yra vieno argumento PR funkcija, tai egzistuoja toks n (n N), kad f(x) < A(n, x), kai x > T. Egzistuoja tokios funkcijos, kurios yra bendrai rekursyvios, bet nėra primityviai rekursyvios. Proof Parodysime, kad funkcija h(x) = A(x, x) yra BR, bet nėra PR. h(x) BR, nes ji yra visur apibrėžta, algoritmiškai apskaičiuojama funkcija. Įrodysim, kad h(x) mažoruoja bet kokią PR vieno argumento funkciją. Tegu f(x) PR. Iš 25 teiginio: n (n N), kad f(x) < A(n, x), kai x > 2. Tuomet f(n + x) < A(n, n + x) < A(n + x, n + x) = h(n + x) = n 0 (n 0 N), kad f(x) < h(x), kai x > n 0 = f(x) yra mažoruojama funkcijos h(x). Kadangi bet kokia vieno argumento primityviai rekursyvi funkcija yra mažoruojama funkcijos h(x), tai funkcija h(x) PR. 1 Žr. DLKŽ. 28
30 7.4. Universaliosios funkcijos 45 Ap. (Universalioji funkcija). Tarkime, kad A yra kuri nors n argumentų funkcijų aibė. Funkciją F (x 0, x 1,..., x n ) vadinsime aibės A universaliąja, jei A = {F (0, x 1, x 2,..., x n ), F (1, x 1, x 2,..., x n ), F (2, x 1, x 2,..., x n ),... }, tai yra, jei F (i, x 1, x 2,..., x n ) A (i = 0, 1, 2,... ) ir nesvarbu, kokia būtų f(x 1, x 2,..., x n ) A, atsiras bent vienas toks natūralusis skaičius i, kad f(x 1, x 2,..., x n ) = F (i, x 1, x 2,..., x n ). 27 T. 1. Visų n argumentų PR funkcijų universalioji F (i, x 1, x 2,..., x n ) PR. 2. Visų n argumentų BR funkcijų universalioji F (i, x 1, x 2,..., x n ) BR. Proof 1. Tegu F (i, x 1, x 2,..., x n ) PR. Imkime funkciją g(x 1, x 2,..., x n ) = F (x 1, x 1, x 2,..., x n )+ 1. g(x 1, x 2,..., x n ) PR, nes gauta iš PR funkcijų F (i, x 1, x 2,..., x n ) ir (x + y) pritaikius kompozicijos operatorių. Kadangi g(x 1, x 2,..., x n ) yra n argumentų PR funkcija, tai j (j N) toks, kad F (j, x 1, x 2,..., x n ) = g(x 1, x 2,..., x n ). Tuomet paimkime x 1 = x 2 = = x n = j, tada F (j, j, j,..., j) = g(j, j,..., j) = F (j, j, j,..., j) + 1 = F (j, j, j,..., j) neapibrėžta = prieštara, nes visos PR funkcijos yra apibrėžtos su visais argumentais, todėl mūsų prielaida, jog F (i, x 0, x 1,..., x n ) PR yra neteisinga. 2. Tegu F (i, x 1, x 2,..., x n ) BR. Imkime funkciją g(x 1, x 2,..., x n ) = F (x 1, x 1, x 2,..., x n )+ 1. g(x 1, x 2,..., x n ) BR, nes gauta iš BR funkcijų F (i, x 1, x 2,..., x n ) ir (x + y) pritaikius kompozicijos operatorių. Kadangi g(x 1, x 2,..., x n ) yra n argumentų BR funkcija, tai j (j N) toks, kad F (j, x 1, x 2,..., x n ) = g(x 1, x 2,..., x n ). Tuomet paimkime x 1 = x 2 = = x n = j, tada F (j, j, j,..., j) = g(j, j,..., j) = F (j, j, j,..., j) + 1 = F (j, j, j,..., j) neapibrėžta = prieštara, nes visos BR funkcijos yra apibrėžtos su visais argumentais, todėl mūsų prielaida, jog F (i, x 0, x 1,..., x n ) BR yra neteisinga. 28 T. Visų vieno argumento PR funkcijų aibei egzistuoja universalioji funkcija, kuri yra BR. Proof Pagal 21 teiginį visas vieno argumento PR funkcijas galime išreikšti per bazines s(x), q(x) ir sudėties, kompozicijos, bei iteracijos operatorius. Remiantis išraiška per s(x) ir q(x), visoms PR vieno argumento funkcijoms suteiksime numerius tokiu būdu: 29
31 n(s(x)) = 1 n(q(x)) = 3 Jei n(f(x)) = a ir n(g(x)) = b, tai h(x) = f(x) + g(x) = n(h(x)) = 2 3 a 5 b h(x) = f(g(x)) = n(h(x)) = 4 3 a 5 b h(x) = f(x) I = n(h(x)) = 8 3 a Tarkime, turime funkciją f n (x), kurios numeris yra n. Pažymėkime F (n, x) = f n (x). Tada: f a (x) + f b (x), jei n = 2 3 a 5 b f a (f b (x)), jei n = 4 3 a 5 b f a (f n (x 1)), jei n = 8 3 a ir x > 0 F (n, x) = 0, jei n = 8 3 a ir x = 0 s(x), jei n = 1 q(x), jei n = 3 F (n, x) yra algoritmiškai apskaičiuojama. Tada visų vieno argumento PR universalioji yra: F (n, x), jei n kažkurios funkcijos numeris D(n, x) =. 0, kitu atveju D(n, x) BR, nes yra algoritmiškai apskaičiuojama ir visur apibrėžta. 29 T. Visų n argumentų PR funkcijų universalioji yra funkcija: D n+1 (x 0, x 1, x 2,..., x n ) = D(x 0, α n (x 1, x 2,..., x n )) 46 Ap.. DR n argumentų funkcijos grafikas yra taškų, sudarytų iš (n + 1) elemento, aibė: G = {(x 1, x 2,..., x n, y) : f(x 1, x 2,..., x n ) = y} 30
32 PAKEITIMAI d1c7c2e7bbc0c819cba92a03b60662aedf Vytautas Astrauskas :39: c4be5f50afda2a368fda677afb63eef6b87382 Vytautas Astrauskas :38: a d0b4b111595d4ee4f5f79b2a822e Vytautas Astrauskas :16: f0fec6a1ce78a20cb06f83c6e5daf56c0e Vytautas Astrauskas :03: c a27c45a27ffa7c80a4b8f63b76fb99 Vytautas Astrauskas :45: Smulkus pataisymas. Smulkūs formatavimo pataisymai. Pataisymai pagal lekt. dr. Adomo Birštuno pastabas. Pridėtas pakeitimų sąrašas. Atnaujintas šablonas. 31
Matematika 1 4 dalis
Matematika 1 4 dalis Analizinės geometrijos elementai. Tiesės plokštumoje lygtis (bendroji, kryptinė,...). Taško atstumas nuo tiesės. Kampas tarp dviejų tiesių. Plokščiosios kreivės lygtis Plokščiosios
Διαβάστε περισσότεραX galioja nelygyb f ( x1) f ( x2)
Monotonin s funkcijos Tegul turime funkciją f : A R, A R. Apibr žimas. Funkcija y = f ( x) vadinama monotoniškai did jančia (maž jančia) aib je X A, jei x1< x2 iš X galioja nelygyb f ( x1) f ( x2) ( f
Διαβάστε περισσότεραĮžanginių paskaitų medžiaga iš knygos
MATEMATINĖ LOGIKA Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos Aleksandras Krylovas. Diskrečioji matematika: vadovėlis aukštųjų mokyklų studentams. Vilnius: Technika, 2009. 320 p. ISBN 978-9955-28-450-5 1 Teiginio
Διαβάστε περισσότεραMATEMATINĖ LOGIKA. Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos
MATEMATINĖ LOGIKA Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos Aleksandras Krylovas. Diskrečioji matematika: vadovėlis aukštųjų mokyklų studentams. Vilnius: Technika, 2009. 320 p. ISBN 978-9955-28-450-5 Teiginio
Διαβάστε περισσότεραAlgoritmai. Vytautas Kazakevičius
Algoritmai Vytautas Kazakevičius September 2, 27 2 Turinys Baigtiniai automatai 5. DBA.................................. 5.. Abėcėlė............................ 5..2 Automatai..........................
Διαβάστε περισσότεραMatematinė logika. 1 skyrius Propozicinės formulės. žodį, Graikiškas žodis logos (λóγoς) reiškia
1 skyrius Matematinė logika Graikiškas žodis logos (λóγoς) reiškia mintį, žodį, protą, sąvoką. Logika arba formalioji logika nagrinėja teisingo mąstymo dėsnius ir formas, kai samprotavimų turinys nėra
Διαβάστε περισσότεραVilniaus universitetas. Edmundas Gaigalas A L G E B R O S UŽDUOTYS IR REKOMENDACIJOS
Vilniaus universitetas Edmundas Gaigalas A L G E B R O S UŽDUOTYS IR REKOMENDACIJOS Vilnius 1992 T U R I N Y S 1. Vektorinė erdvė............................................. 3 2. Matricos rangas.............................................
Διαβάστε περισσότεραDviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės
Dviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės Dalinės išvestinės Tarkime, kad dviejų kintamųjų funkcija (, )yra apibrėžta srityje, o taškas 0 ( 0, 0 )yra vidinis srities taškas. Jei fiksuosime argumento
Διαβάστε περισσότεραTemos. Intervalinės statistinės eilutės sudarymas. Santykinių dažnių histogramos brėžimas. Imties skaitinių charakteristikų skaičiavimas
Pirmasis uždavinys Temos. Intervalinės statistinės eilutės sudarymas. Santykinių dažnių histogramos brėžimas. Imties skaitinių charakteristikų skaičiavimas Uždavinio formulavimas a) Žinoma n = 50 tiriamo
Διαβάστε περισσότεραModalumo logikos S4 kai kurios išsprendžiamos klasės
VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS INFORMATIKOS KATEDRA Magistro baigiamasis darbas Modalumo logikos S4 kai kurios išsprendžiamos klasės Some Decidable Classes of Modal Logic
Διαβάστε περισσότεραMatematinės analizės konspektai
Matematinės analizės konspektai (be įrodymų) Marius Gedminas pagal V. Mackevičiaus paskaitas 998 m. rudens semestras (I kursas) Realieji skaičiai Apibrėžimas. Uždarųjų intervalų seka [a n, b n ], n =,
Διαβάστε περισσότεραATSITIKTINIAI PROCESAI. Alfredas Račkauskas. (paskaitų konspektas 2014[1] )
ATSITIKTINIAI PROCESAI (paskaitų konspektas 2014[1] ) Alfredas Račkauskas Vilniaus universitetas Matematikos ir Informatikos fakultetas Ekonometrinės analizės katedra Vilnius, 2014 Iš dalies rėmė Projektas
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 3 dalis
Matematika 1 3 dalis Vektorių algebros elementai. Vektorių veiksmai. Vektorių skaliarinės, vektorinės ir mišriosios sandaugos ir jų savybės. Vektoriai Vektoriumi vadinama kryptinė atkarpa. Jei taškas A
Διαβάστε περισσότεραI dalis KLAUSIMŲ SU PASIRENKAMUOJU ATSAKYMU TEISINGI ATSAKYMAI
008 M. FIZIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija Kiekvieno I dalies klausimo teisingas atsakymas vertinamas tašku. I dalis KLAUSIMŲ SU PASIRENKAMUOJU ATSAKYMU TEISINGI
Διαβάστε περισσότεραAIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS
AIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS Aibės sąvoka ir pavyzdžiai Atskirų objektų rinkiniai, grupės, sistemos, kompleksai matematikoje vadinami aibėmis. Šie atskiri objektai vadinami aibės elementais. Kai elementas
Διαβάστε περισσότεραDiskrečioji matematika
VILNIAUS UNIVERSITETAS Gintaras Skersys Julius Andrikonis Diskrečioji matematika Pratybų medžiaga Versija: 28 m. sausio 22 d. Vilnius, 27 Turinys Turinys 2 Teiginiai. Loginės operacijos. Loginės formulės
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARIOJI TEORIJA
ELEMENTARIOJI TEORIJA Pirmosios kombinatorikos þinios siekia senàsias Rytø ðalis, kuriose mokëta suskaièiuoti këlinius bei derinius ir sudarinëti magiðkuosius kvadratus, ypaè populiarius viduramþiais.
Διαβάστε περισσότερα4.3. Minimalaus dengiančio medžio radimas
SKYRIUS. ALGORITMAI GRAFUOSE.. Minimalaus dengiančio medžio radimas Šiame skyriuje susipažinsime su minimaliu dengiančiu medžių radimo algoritmais. Pirmiausia sudarysime dvi taisykles, leidžiančias pasirinkti
Διαβάστε περισσότερα1 Tada teigini Ne visi šie vaikinai yra studentai galima išreikšti formule. 2 Ta pati teigini galima užrašyti ir taip. 3 Formulė U&B C reiškia, kad
45 DISKREČIOJI MATEMATIKA. LOGIKA. PAVYZDŽIAI Raidėmis U, B ir C pažymėti teiginiai: U = Vitas yra studentas ; B = Skirmantas yra studentas ; C = Jonas yra studentas. 1 Tada teigini Ne visi šie vaikinai
Διαβάστε περισσότεραIV. FUNKCIJOS RIBA. atvira. intervala. Apibrėžimas Sakysime, kad skaičius b yra funkcijos y = f(x) riba taške x 0, jei bet kokiam,
41 Funkcijos riba IV FUNKCIJOS RIBA Taško x X aplinka vadiname bet koki atvira intervala, kuriam priklauso taškas x Taško x 0, 2t ilgio aplinka žymėsime tokiu būdu: V t (x 0 ) = ([x 0 t, x 0 + t) Sakykime,
Διαβάστε περισσότεραSpecialieji analizės skyriai
Specialieji analizės skyriai. Trigonometrinės Furje eilutės Moksle ir technikoje dažnai susiduriame su periodiniais reiškiniais, apibūdinamais periodinėmis laiko funkcijomis: f(t). 2 Paprasčiausia periodinė
Διαβάστε περισσότεραDISKREČIOJI MATEMATIKA
VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS INFORMATIKOS KATEDRA Valdas Diči ūnas Gintaras Skersys DISKREČIOJI MATEMATIKA Mokymo priemonė Vilnius 2003 Įvadas Išvertus iš lotynu kalbos
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIJOS. veiksmu šioje erdvėje apibrėžkime dar viena. a = {a 1,..., a n } ir b = {b 1,... b n } skaliarine sandauga
VII DAUGELIO KINTAMU JU FUNKCIJOS 71 Bendrosios sa vokos Iki šiol mes nagrinėjome funkcijas, apibrėžtas realiu skaičiu aibėje Nagrinėsime funkcijas, kurios apibrėžtos vektorinėse erdvėse Tarkime, kad R
Διαβάστε περισσότερα2008 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija
008 M MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA 008 m matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 7 uždavinių atsakymai I variantas Užd
Διαβάστε περισσότερα2015 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija. I dalis
PATVIRTINTA Ncionlinio egzminų centro direktorius 0 m. birželio d. įskymu Nr. (..)-V-7 0 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pgrindinė sesij I dlis Užd. Nr. 4 7
Διαβάστε περισσότερα2009 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 1 6 uždavinių atsakymai
M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriaus -6- įsakymu Nr. (..)-V-8 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO
Διαβάστε περισσότεραElektronų ir skylučių statistika puslaidininkiuose
lktroų ir skylučių statistika puslaidiikiuos Laisvų laidumo lktroų gracija, t.y. lktroų prėjimas į laidumo juostą, gali vykti kaip iš dooriių lygmų, taip ir iš valtiės juostos. Gracijos procsas visuomt
Διαβάστε περισσότεραSpecialieji analizės skyriai
Specialieji analizės skyriai. Specialieji analizės skyriai Kompleksinio kinamojo funkcijų teorija Furje eilutės ir Furje integralai Operacinis skaičiavimas Lauko teorijos elementai. 2 Kompleksinio kintamojo
Διαβάστε περισσότεραVIII. FRAKTALINĖ DIMENSIJA. 8.1 Fraktalinės dimensijos samprata. Ar baigtinis Norvegijos sienos ilgis?
VIII FRAKTALINĖ DIMENSIJA 81 Fraktalinės dimensijos samprata Ar baigtinis Norvegijos sienos ilgis? Tarkime, kad duota atkarpa, kurios ilgis lygus 1 Padalykime šia atkarpa n lygiu daliu Akivaizdu, kad kiekvienos
Διαβάστε περισσότερα1.4. Rungės ir Kuto metodas
.4. RUNGĖS IR KUTO METODAS.4. Rungės ir Kuto metodas.4.. Prediktoriaus-korektoriaus metodas Palyginkime išreikštinį ir simetrinį Eulerio metodus. Pirmojo iš jų pagrindinis privalumas tas, kad išreikštinio
Διαβάστε περισσότεραTEORIJA. RINKTINIAI MATEMATIKOS SKYRIAI (Informatikos spec., 2 srautas, magistrantūra, 1 semestras) PROGRAMA. su skaidžia savybe skaičiu
GRAFU TEORIJA RINKTINIAI MATEMATIKOS SKYRIAI (Informatikos spec, 2 srautas, magistrantūra, 1 semestras) PROGRAMA 1 Pagrindinės sa vokos, pavyzdžiai Grafu veiksmai 2 Grafo parametru sa ryšiai 3 Jungiantysis
Διαβάστε περισσότεραVilius Stakėnas. Kodavimo teorija. Paskaitu. kursas
Vilius Stakėnas Kodavimo teorija Paskaitu kursas 2002 2 I vadas Informacija perduodama kanalais, kurie kartais iškraipo informacija Tarsime, kad tie iškraipymai yra atsitiktiniai, t y nėra nei sistemingi,
Διαβάστε περισσότεραFDMGEO4: Antros eilės kreivės I
FDMGEO4: Antros eilės kreivės I Kęstutis Karčiauskas Matematikos ir Informatikos fakultetas 1 Koordinačių sistemos transformacija Antrosios eilės kreivių lgtis prastinsime keisdami (transformuodami) koordinačių
Διαβάστε περισσότερα1 Įvadas Neišspręstos problemos Dalumas Dalyba su liekana Dalumo požymiai... 3
Skaičių teorija paskaitų konspektas Paulius Šarka, Jonas Šiurys 1 Įvadas 1 1.1 Neišspręstos problemos.............................. 1 2 Dalumas 2 2.1 Dalyba su liekana.................................
Διαβάστε περισσότεραeksponentinės generuojančios funkcijos 9. Grafu
DISKREČIOJI MATEMATIKA (2 semestras) KOMBINATORIKOS IR GRAFU TEORIJOS PRADMENYS PROGRAMA I KOMBINATORIKA 1 Matematinės indukcijos ir Dirichlė principai 2 Dauginimo taisyklė,,skaičiuok dukart principas
Διαβάστε περισσότερα2.5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS
.5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS 5.. Pirmoji Bolcao Koši teorema. Jei fucija f tolydi itervale [a;b], itervalo galuose įgyja priešigų želų reišmes, tai egzistuoja tos tašas cc, ( ab ; ), uriame
Διαβάστε περισσότεραPaprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS
Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Diferencialinių lygčių ir skaičiavimo matematikos katedra Naugarduko g. 24, LT-3225 Vilnius,
Διαβάστε περισσότεραPaprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS
Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Diferencialinių lgčių ir skaičiavimo matematikos katedra Naugarduko g. 24, LT-3225 Vilnius,
Διαβάστε περισσότεραVilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas Informatikos katedra. Gintaras Skersys. Mokymo priemonė
Vilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas Informatikos katedra Gintaras Skersys Klaidas taisančių kodų teorija Mokymo priemonė Vilnius 2005 I dalis Pagrindinės savokos 1 Įvadas Panagrinėkime
Διαβάστε περισσότεραI.4. Laisvasis kūnų kritimas
I4 Laisvasis kūnų kitimas Laisvuoju kitimu vadinamas judėjimas, kuiuo judėtų kūnas veikiamas tik sunkio jėos, nepaisant oo pasipiešinimo Kūnui laisvai kintant iš nedidelio aukščio h (dau mažesnio už Žemės
Διαβάστε περισσότεραANALIZINĖ GEOMETRIJA III skyrius (Medžiaga virtualiajam kursui)
ngelė aškienė NLIZINĖ GEMETRIJ III skrius (Medžiaga virtualiajam kursui) III skrius. TIESĖS IR PLKŠTUMS... 5. Tiesės lgts... 5.. Tiesės [M, a r ] vektorinė lgtis... 5.. Tiesės [M, a r ] parametrinės lgts...
Διαβάστε περισσότεραLIETUVOS JAUNŲ J Ų MATEMATIKŲ MOKYKLA
LIETUVOS JAUNŲ J Ų MATEMATIKŲ MOKYKLA tema. APSKRITIMŲ GEOMETRIJA (00 0) Teorinę medžiagą parengė bei antrąją užduotį sudarė Vilniaus pedagoginio universiteto docentas Edmundas Mazėtis. Apskritimas tai
Διαβάστε περισσότεραPaprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS
Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Taikomosios matematikos institutas, Diferencialinių lygčių katedra Naugarduko g. 24, LT-3225
Διαβάστε περισσότερα0.1. Bendrosios sąvokos
.1. BENDROSIOS SĄVOKOS 1.1. Bendrosios sąvokos.1.1. Diferencialinės lygtys su mažuoju parametru F ) x n),x n 1),...,x,x,t;ε =, xt;ε) C n T), T [,+ ), < ε ε ) F x n) t;ε),x n 1) t;ε),...,x t;ε),xt;ε),t;ε,
Διαβάστε περισσότερα1. Individualios užduotys:
IV. PAPRASTOSIOS DIFERENCIALINĖS LYGTYS. Individualios užduots: - trumpa teorijos apžvalga, - pavzdžiai, - užduots savarankiškam darbui. Pirmosios eilės diferencialinių lgčių sprendimas.. psl. Antrosios
Διαβάστε περισσότεραTIKIMYBIU TEORIJA HAMLETAS MARK AITIS MYKOLO ROMERIO UNIVERSITETAS 2010
TIKIMYBIU TEORIJA HAMLETAS MARK AITIS MYKOLO ROMERIO UNIVERSITETAS 2010 Tikimybiu teorija nagrin eja atsitiktinius ivykius ir tu ivykiu tikimybes ivykio pasirodymo galimyb es mat, i²reik²t skai iumi p,
Διαβάστε περισσότεραIII. MATRICOS. DETERMINANTAI. 3.1 Matricos A = lentele žymėsime taip:
III MATRICOS DETERMINANTAI Realiu ju skaičiu lentele 3 Matricos a a 2 a n A = a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn vadinsime m n eilės matrica Trumpai šia lentele žymėsime taip: A = a ij ; i =,, m, j =,, n čia
Διαβάστε περισσότεραSpalvos. Šviesa. Šviesos savybės. Grafika ir vizualizavimas. Spalvos. Grafika ir vizualizavimas, VDU, Spalvos 1
Spalvos Grafika ir vizualizavimas Spalvos Šviesa Spalvos Spalvų modeliai Gama koregavimas Šviesa Šviesos savybės Vandens bangos Vaizdas iš šono Vaizdas iš viršaus Vaizdas erdvėje Šviesos bangos Šviesa
Διαβάστε περισσότεραStatistinė termodinamika. Boltzmann o pasiskirstymas
Statistinė termodinamika. Boltzmann o pasiskirstymas DNR molekulių vaizdas DNR struktūros pakitimai. Keičiantis DNR molekulės formai keistųsi ir visos sistemos entropija. Mielėse esančio DNR struktūros
Διαβάστε περισσότερα4.1 Skaliarinė sandauga erdvėje R n Tarkime, kad duota vektorinė erdvė R n. Priminsime, kad šios erdvės elementai yra vektoriai vektoriu
IV DEKARTO KOORDINAČIU SISTEMA VEKTORIAI 41 Skaliarinė sandauga erdvėje R n Tarkime, kad duota vektorinė erdvė R n Priminsime, kad šios erdvės elementai yra vektoriai α = (a 1,, a n ) Be mums jau žinomu
Διαβάστε περισσότεραf(w) f(z) = C f(z) = z z + h z h = h h h 0,h C f(z + h) f(z)
Ω f: Ω C l C z Ω f f(w) f(z) z a w z = h 0,h C f(z + h) f(z) h = l. z f l = f (z) Ω f Ω f Ω H(Ω) n N C f(z) = z n h h 0 h z + h z h = h h C f(z) = z f (z) = f( z) f f: Ω C Ω = { z; z Ω} z, a Ω f (z) f
Διαβάστε περισσότεραRemigijus Leipus. Ekonometrija II. remis
Remigijus Leipus Ekonometrija II http://uosis.mif.vu.lt/ remis Vilnius, 2013 Turinys 1 Trendo ir sezoniškumo vertinimas bei eliminavimas 4 1.1 Trendo komponentės vertinimas ir eliminavimas........ 4 1.2
Διαβάστε περισσότερα5 paskaita. 5.1 Kompaktiškosios aibės Sąvokos
5 pskit 5.1 Kompktiškosios ibės 5.1.1 Sąvokos Iš mtemtinės nlizės kurso žinome dvi svrbis prėžtu reliu ju skičiu ibiu svybes. Pirmoji Bolcno-Vejerštrso teorem: bet kuri beglinė prėžt reliu ju skičiu ibė
Διαβάστε περισσότερα2 laboratorinis darbas. TIKIMYBINIAI MODELIAI
laboratorns darbas laboratorns darbas. TIKIMYBINIAI MODELIAI DARBO TIKSLAS - šstudjuot atstktnų dydžų r vektorų skrstnus, skrstno (passkrstymo) funkcją, tanko funkcją, skatnes charakterstkas r jų savybes.
Διαβάστε περισσότεραMatematinės analizės egzamino klausimai MIF 1 kursas, Bioinformatika, 1 semestras,
MIF kurss, Bioinformtik, semestrs, 29 6 Tolydžios tške ir intervle funkciju pibrėžimi Teorem Jei f C[, ], f() = A , ti egzistuoj toks c [, ], kd f(c) = 2 Konverguojnčios ir diverguojnčios eikutės
Διαβάστε περισσότεραStanislovas NORGĖLA MATEMATINĖ LOGIKA
Stanislovas NORGĖLA MATEMATINĖ LOGIKA Vilnius, 2004 1 ISBN - Recenzavo: dr. R.Alonderis, doc. hab.dr. R.Pliuškevičius, dr. J.Sakalauskaitė 2 TURINYS I ι vadas...5 1. Aibės ir grafai...7 1.1 Skaičiosios
Διαβάστε περισσότεραEkonometrija. Trendas ir sezoninė laiko eilutės komponentė
Ekonometrija. Trendas ir sezoninė laiko eilutės komponentė dėst. T. Rekašius, 2012 m. lapkričio 19 d. 1 Duomenys Visi trečiam laboratoriniam darbui reikalingi duomenys yra tekstinio formato failuose http://fmf.vgtu.lt/~trekasius/destymas/2012/ekomet_lab3_xx.dat,
Διαβάστε περισσότεραDISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 2
DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 2 Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2010 m. vasario 23 d. Santrauka Antras laboratorinis darbas skirtas išmokti sudarinėti daugialypės
Διαβάστε περισσότεραAnalizės uždavinynas. Vytautas Kazakevičius m. lapkričio 1 d.
Analizės uždavinynas Vytautas Kazakevičius m. lapkričio d. ii Vienmatė analizė Faktorialai, binominiai koeficientai. Jei a R, n, k N {}, tai k! = 3 k, (k + )!! = 3 5 (k + ), (k)!! = 4 6 (k); a a(a ) (a
Διαβάστε περισσότεραTEORIJOS PRADMENYS PROGRAMA
DISKREČIOJI MATEMATIKA (2 semestras) KOMBINATORIKOS IR GRAFU TEORIJOS PRADMENYS PROGRAMA I KOMBINATORIKA 1 Matematinės inducijos principas 2 Dauginimo taisylė 3 Gretiniai, ėliniai ir deriniai 4 Kartotiniai
Διαβάστε περισσότεραArenijaus (Arrhenius) teorija
Rūgštys ir bazės Arenijaus (Arrhenius) teorija Rūgštis: Bazė: H 2 O HCl(d) H + (aq) + Cl - (aq) H 2 O NaOH(k) Na + (aq) + OH - (aq) Tuomet neutralizacijos reakcija: Na + (aq) + OH - (aq) + H + (aq) + Cl
Διαβάστε περισσότεραĮvadas į laboratorinius darbus
M A T E M A T I N Ė S T A T I S T I K A Įvadas į laboratorinius darbus Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2005 m. rugsėjo 26 d. Reziumė Laboratorinis darbas skirtas susipažinti su MS Excel priemonėmis
Διαβάστε περισσότεραEKONOMETRIJA 1 (Regresinė analizė)
EKONOMETRIJA 1 Regresinė analizė Kontrolinis Sudarė M.Radavičius 004 05 15 Kai kurių užduočių sprendimai KOMENTARAS. Kai kuriems uždaviniams tik nusakytos sprendimų gairės, kai kurie iš jų suskaidyti į
Διαβάστε περισσότεραMÉTHODES ET EXERCICES
J.-M. MONIER I G. HABERER I C. LARDON MATHS PCSI PTSI MÉTHODES ET EXERCICES 4 e édition Création graphique de la couverture : Hokus Pokus Créations Dunod, 2018 11 rue Paul Bert, 92240 Malakoff www.dunod.com
Διαβάστε περισσότεραKADETAS (VII ir VIII klasės)
ADETAS (VII ir VIII klasės) 1. E 10 000 Galima tikrinti atsakymus. adangi vidutinė kainasumažėjo, tai brangiausia papūga kainavo daugiau kaip 6000 litų. Vadinasi, parduotoji papūga kainavo daugiau kaip
Διαβάστε περισσότερα0.1. Bendrosios sąvokos
0.1. BENDROSIOS SĄVOKOS 1 0.1. Bendrosios sąvokos 0.1.1. Diferencialinės lygtys su mažuoju parametru F ) x n),x n 1),...,x,x,t;ε = 0, xt;ε) C n T), T [0,+ ), 0 < ε ε 0 ) F x n) t;ε),x n 1) t;ε),...,x t;ε),xt;ε),t;ε
Διαβάστε περισσότεραDISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 1
DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 1 Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2010 m. vasario 9 d. Santrauka Pirmas laboratorinis darbas skirtas išmokti generuoti nesudėtingus
Διαβάστε περισσότεραPNEUMATIKA - vožtuvai
Mini vožtuvai - serija VME 1 - Tipas: 3/2, NC, NO, monostabilūs - Valdymas: Mechaninis ir rankinis - Nominalus debitas (kai 6 barai, Δp = 1 baras): 60 l/min. - Prijungimai: Kištukinės jungtys ø 4 žarnoms
Διαβάστε περισσότερα1951 {0, 1} N = N \ {0} n m M n, m N F x i = (x i 1,..., xi m) x j = (x 1 j,..., xn j ) i j M M i j x i j m n M M M M T f : F m F f(m) f M (f(x 1 1,..., x1 m),..., f(x n 1,..., xn m)) T R F M R M R x
Διαβάστε περισσότεραTaikomieji optimizavimo metodai
Taikomieji optimizavimo metodai 1 LITERATŪRA A. Apynis. Optimizavimo metodai. V., 2005 G. Dzemyda, V. Šaltenis, V. Tiešis. Optimizavimo metodai, V., 2007 V. Būda, M. Sapagovas. Skaitiniai metodai : algoritmai,
Διαβάστε περισσότεραSIGNALAI TELEKOMUNIKACIJŲ SISTEMOSE
VILNIAUS UNIVERSITETAS Kietojo kūno elektronikos katedra SIGNALAI TELEKOMUNIKACIJŲ SISTEMOSE Mokymo priemonė Parengė A. Poškus 4 Turinys. ĮVADAS..... Telekomunikaijų sistemos struktūrinė shema. Pagrindinės
Διαβάστε περισσότεραAtsitiktinių paklaidų įvertinimas
4.4.4. tsitiktinių paklaidų įvertinimas tsitiktinės paklaidos įvertinamos nurodant du dydžius: pasikliaujamąjį intervalą ir pasikliaujamąją tikimybę. tsitiktinių paklaidų atveju, griežtai tariant, nėra
Διαβάστε περισσότεραLaboratorinis darbas Nr. 2
M A T E M A T I N Ė S T A T I S T I K A Laboratorinis darbas Nr. 2 Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2005 m. spalio 23 d. Reziumė Antras laboratorinis darbas skirtas išmokti generuoti tikimybinių skirstinių
Διαβάστε περισσότερα1 iš 15 RIBOTO NAUDOJIMO
iš 5 PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriau 00-06-08 įakymu Nr. 6.-S- 00 m. matematiko valtybinio brando egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė eija 8 uždavinių atakymai Užd. Nr. 5 6 7
Διαβάστε περισσότεραDirbtiniai neuroniniai tinklai
Dirbtiniai neuroniniai tinklai Š. Raudžio paskaitų konspektas Marius Gedminas 2003 m. pavasaris (VU MIF informatikos magistrantūros studijų 2 semestras) Šis konspektas rinktas LATEXu Š. Raudžio paskaitų
Διαβάστε περισσότεραPav1 Žingsnio perdavimo funkcija gali būti paskaičiuota integruojant VIPF. Paskaičiavus VIPF FFT gaunamo amplitudinė_dažninė ch_ka.
Įvadas į filtrus Skaitmeniniai filtrai, tai viena iš svarbiausių siganalų apdorojimo dalių. Kadangi skaitmeniniai filtrai turi nepalyginamai daugiau pranašumų nei analoginiai filtrai, tai nulėmė jų populiarumą.
Διαβάστε περισσότεραRinktiniai informacijos saugos skyriai. 3. Kriptografija ir kriptografijos protokolai: Klasikinė kriptografija
Rinktiniai informacijos saugos skyriai 3. Kriptografija ir kriptografijos protokolai: Klasikinė kriptografija Paskaitos tikslai Šioje temoje nagrinėjami klausimai: Perstatų šifrai Keitinių šifrai Vienos
Διαβάστε περισσότεραII dalis Teisingas atsakymas į kiekvieną II dalies klausimą vertinamas 1 tašku g/mol
PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriaus 05 m. birželio 8 d. įsakymu Nr. (.3.)-V-73 05 M. CHEMIJOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA. Pagrindinė sesija I dalis Teisingas
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα
x + = 0 N = {,, 3....}, Z Q, b, b N c, d c, d N + b = c, b = d. N = =. < > P n P (n) P () n = P (n) P (n + ) n n + P (n) n P (n) n P n P (n) P (m) P (n) n m P (n + ) P (n) n m P n P (n) P () P (), P (),...,
Διαβάστε περισσότερα5 klasė. - užduotys apie varniuką.
5 klasė - užduotys apie varniuką. 1. Varniukas iš plastilino lipdė raides ir iš jų sudėliojo užrašą: VARNIUKO OLIMPIADA. Vienodas raides jis lipdė iš tos pačios spalvos plastelino, o skirtingas raides
Διαβάστε περισσότεραV skyrius ĮVAIRŪS PALŪKANŲ APSKAIČIAVIMO KLAUSIMAI
V skyrius ĮVAIRŪS PALŪKANŲ APSKAIČIAVIMO KLAUSIMAI Uždirbtų palūkanų suma priklauso ne tik nuo palūkanų normos dydžio, bet ir nuo palūkanų kapitalizavimo dažnio Metinė palūkanų norma nevisada atspindi
Διαβάστε περισσότεραIII.Termodinamikos pagrindai
III.ermodinamikos pagrindai III.. Dujų plėtimosi darbas egu dujos yra cilindre su nesvariu judančiu stūmokliu, kurio plotas lygus S, ir jas veikia tik išorinis slėgis p. Pradinius dujų parametrus pažymėkime
Διαβάστε περισσότεραPraeita paskaita. Grafika ir vizualizavimas Atkirtimai dvimatėje erdvėje. Praeita paskaita. 2D Transformacijos. Grafika ir vizualizavimas, VDU, 2010
Praeita paskaita Grafika ir vizualizavimas Atkirtimai dvimatėje erdvėje Atkarpos Tiesės lgtis = mx+ b kur m krpties koeficientas, o b aukštis, kuriame tiesė kerta ašį Susikirtimo taško apskaičiavimui sulginamos
Διαβάστε περισσότερα4 laboratorinis darbas. PARAMETRŲ ĮVERČIAI IR STATISTINĖS HIPOTEZĖS
PARAMETRŲ ĮVERČIAI IR STATISTINĖS HIPOTEZĖS DARBO TIKSLAS - išstudijuoti parametrų taškiių ir itervaliių įverčių radimo, parametriių ir eparametriių hipotezių tikriimo uždaviius ir jų taikymą Teorijos
Διαβάστε περισσότερα1. Pirštu atspaudu atpažinimas
1. Pirštu atspaudu atpažinimas 1. I vadas 2. Piršto atspaudu taikymai 3. Pirminis apdorojimas 4. Požymiu išskyrimas 5. Požymiu šablonu palyginimas 6. Praktinis darbas Page 1 of 21 7. Literatūra I vadas
Διαβάστε περισσότερα1. Įvadas į sistemas ir signalus. 1. Signalas, duomenys, informacija ir žinios
. Įvadas į sistemas ir signalus. Signalas, duomenys, informacija ir žinios Žodis signalas yra kilęs iš lotyniško žodžio signum ženklas. Signalas tai yra tai kas yra naudojama žiniai perduoti. Signalas
Διαβάστε περισσότεραMONTE KARLO METODAS. Gediminas Stepanauskas IVADAS Sistemos Modeliai Modeliavimas ir Monte-Karlo metodas...
MONTE KARLO METODAS Gediminas Stepanauskas 2008 Turinys 1 IVADAS 4 1.1 Sistemos.............................. 4 1.2 Modeliai.............................. 5 1.3 Modeliavimas ir Monte-Karlo metodas.............
Διαβάστε περισσότερα1 TIES ES IR PLOK TUMOS
G E O M E T R I J A Gediminas STEPANAUSKAS 1 TIES ES IR PLOK TUMOS 11 Plok²tumos ir ties es plok²tumoje normalin es lygtys 111 Vektorin e forma Plok²tumos α padetis koordina iu sistemos Oxyz atºvilgiu
Διαβάστε περισσότεραFRANKO IR HERCO BANDYMAS
VILNIAUS UNIVERSITETAS Kietojo kūno elektronikos katedra Atomo ir branduolio fizikos laboratorija Laboratorinis darbas Nr. FRANKO IR HERCO BANDYMAS Parengė A. Poškus 013-08-31 Turinys Darbo tikslas 1.
Διαβάστε περισσότεραDonatas Surgailis Finansų matematika
Donatas Surgailis Finansų matematika Paskaitų konspektas Vilnius 2015 vasario 9 ii Turinys 1 Įvadas 1 2 Finansų rinka 3 2.1 Finansų rinkos struktūra................................. 3 2.2 Opcionai..........................................
Διαβάστε περισσότεραW ISR i = 5 15 ISR i + 4 15 ISR i 1 + 3 15 ISR i 2 + 2 15 ISR i 3 + 1 15 ISR i 4 W ISR W ISR ) E T hreshold = (1 Ẽ Ẽ + IQR (E) Ẽ IQR(E) E T hreshold = 0.99 e 1 N N i=1 (E i) + 0.01 Ẽ h(t) = H(y )(t)
Διαβάστε περισσότερα06 Geometrin e optika 1
06 Geometrinė optika 1 0.1. EIKONALO LYGTIS 3 Geometrinėje optikoje įvedama šviesos spindulio sąvoka. Tai leidžia Eikonalo lygtis, kuri išvedama iš banginės lygties monochromatinei bangai - Helmholtco
Διαβάστε περισσότεραAPRAŠOMOJI STATISTIKA
STATISTIKA FILOLOGAMS 4 paskaita APRAŠOMOJI STATISTIKA Pagrindinės sąvokos Statistika keliareikšmė sąvoka. Skirtinos bent jau šios ryškios bei kartu skirtingos reikšmės: a) tokia duomenų apie valstybę,
Διαβάστε περισσότεραEUROPOS CENTRINIS BANKAS
2005 12 13 C 316/25 EUROPOS CENTRINIS BANKAS EUROPOS CENTRINIO BANKO NUOMONĖ 2005 m. gruodžio 1 d. dėl pasiūlymo dėl Tarybos reglamento, iš dalies keičiančio Reglamentą (EB) Nr. 974/98 dėl euro įvedimo
Διαβάστε περισσότερα1. Klasifikavimo su mokytoju metodai
1. Klasifikavimo su mokytoju metodai Klasifikacijos uždavinys yra atpažinimo uždavinys, kurio esmė pagal pateiktus objekto (vaizdo, garso, asmens, proceso) skaitinius duomenis priskirti ji kokiai nors
Διαβάστε περισσότεραdoc. dr. Jurgita Dabulytė-Bagdonavičienė Taikomosios matematikos katedra, KTU 2011/2012 m.m. 2011/2012 Matematinė logika
doc. dr. Jurgita Dabulytė-Bagdonavičienė Taikomosios matematikos katedra, KTU m.m. 1/31 doc. dr. Jurgita Dabulytė-Bagdonavičienė Taikomosios matematikos katedra Studentų 50-326 a tel. 300313 FMF dekanatas
Διαβάστε περισσότεραB G [0; 1) S S # S y 1 ; y 3 0 t 20 y 2 ; y 4 0 t 20 y 1 y 2 h n t: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 1; 3: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 2; 4: r = 10 5 ; a = 10 6 t = 20
Διαβάστε περισσότεραSkalbimo mašina Vartotojo vadovas Πλυντήριο Ρούχων Εγχειρίδιο Χρήστη Mosógép Használati útmutató Automatická pračka Používateľská príručka
WMB 71032 PTM Skalbimo mašina Vartotojo vadovas Πλυντήριο Ρούχων Εγχειρίδιο Χρήστη Mosógép Használati útmutató utomatická pračka Používateľská príručka Dokumentu Nr 2820522945_LT / 06-07-12.(16:34) 1 Svarbūs
Διαβάστε περισσότεραŠVIESOS SKLIDIMAS IZOTROPINĖSE TERPĖSE
ŠVIESOS SKLIDIMAS IZOTROPIĖSE TERPĖSE 43 2.7. SPIDULIUOTĖS IR KŪO SPALVOS Spinduliuotės ir kūno optiniam apibūdinimui naudojama spalvos sąvoka. Spalvos reiškinys yra nepaprastas. Kad suprasti spalvos esmę,
Διαβάστε περισσότεραVilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas. Algirdas Ma iulis. Duomenu tyrimas. Paskaitu konspektas
Vilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas Algirdas Ma iulis Duomenu tyrimas Paskaitu konspektas 2011 Turinys Ivadas 5 1 Pagrindines tikimybiu teorijos ir informacijos teorijos s vokos
Διαβάστε περισσότερα