Ана Савић Амела Зековић MATEMAТИКА 1 ПРИРУЧНИК ЗА ЛАБОРАТОРИЈСКЕ ВЕЖБЕ

Transcript

1 Ана Савић Амела Зековић MATEMAТИКА 1 ПРИРУЧНИК ЗА ЛАБОРАТОРИЈСКЕ ВЕЖБЕ ПРВО ИЗДАЊЕ Висока школа електротехнике и рачунарства струковних студија Београд, 010.

2 Др Ана Савић Дипл. инж. Амела Зековић Математика 1, приручник за лабораторијске вежбе Рецензенти: Др Слободан Обрадовић, доцент, Факултет за компјутерске науке у Београду Мр Зоран Мишковић, предавач Високе школе електротехнике и рачунарства у Београду Насловна страна: струк. инж. Ненад Толић Издавач Висока школа електротехнике и рачунарства, Војводе Степе 83, Београд Наставно веће Високе школе електротехнике и рачунарства одобрило је издавање и коришћење овог приручника у настави.

3 Студент Број индекса Школска година Евиденција израде вежби Вежба број Датум Овера Напомена Датум Овера Бодови Одбрана вежби

4

5 Предговор Овај приручник је намењен студентима прве године Високе школе електротехнике и рачунарства у Београду, за предмете Математика 1, на смеровима Аутоматика и системи управљања возилима, Електроника и телекомуникације и Рачунарска техника, и Инжењерска математика на смеровима Аудио и видео технологије, Нове рачунарске технологије, Нове енергетске технологије и Електронско пословање. Лабораторијске вежбе су реализоване помоћу софтвера OCTAVE и MAXIMA. Оба програма су слободни програми (free software). ОCTAVE је део GNU Project-а. ОCTAVE је језик намењен нумеричким израчунавањима. Програм садржи командну линију за обављање линеарних и нелинеарних нумеричких израчунавања. Како ОCTAVE не садржи графички интерфејс, за рад са овим програмом смо користили његову надоградњу QTOCTAVE. MAXIMA је компјутерски алгебарски систем, који омогућава симболичко решавање математичких проблема. Како рад у програму MAXIMA захтева писање у командној линији ми ћемо користити WXMAXIMA, програм који представља графички интерфејс за софтвер MAXIMA. Приручник садржи 1 лабораторијских вежби. Првих осам вежби је реализовано коришћењем програма ОCTAVE, док су последење четири урађене у програму MAXIMA. Обрађене области обухватају комплексне бројеве, матрице и операције са матрицама, системе једначина, изводе и примену извода, граничне вредности, интеграле. Аутори се захваљују рецезентима др Слободану Обрадовићу и мр Зорану Мишковићу на корисним предлозима и сугестијама који су допринели квалитету овог приручника. Поред највеће пажње током формирања и писања овог приручника могуће је да су се поткрале грешке. Аутори ће бити захвални свим читаоцима који укажу на њих или дају предлоге и сугестије. Београд, 010. Аутори

6 САДРЖАЈ 1. Bежба 1 Увод у QtOctave 1.1. Основни прозор софтверског пакета qtоctave 1.. Помоћ у раду 1.3. Променљиве 1.4. Аритметички оператори 1.5. Релацијски оператори 1.6. Логички оператори 1.7. Основне функције 1.8. Излазни формат. Bежба Комплексни бројеви.1. Комплексни бројеви у алгебарском и тригонометријском облику.. Операције са комплексним бројевима 3. Bежба 3 Графика 3.1. Графичко представљање функција 3.. Графици са више функција 3.3. Подешавање изгледа графика 3.4. Подешавање изгледа графика помоћу графичког интерфејса 4. Bежба 4 Матрице - дефиниција 4.1. Теоријске основе матрица 4.. Запис матрица у програму Оctave 4.3. Запис вектора у програму Оctave 4.4. Одређивање димензија матрица 4.5. Издвајање елемената матрице 4.6. Предефинисане матрице 4.7. Транспоновање матрице 4.8. Детерминанта матрице 4.9. Ранг матрице 5. Bежба 5 Матрице - операције 5.1. Теоријске основе операција са матрицама 5.. Сабирање и одузимање матрица 5.3. Множење матрице 5.4. Инверзна матрица 5.5. Матричне једначине 5.6. Операције над појединачним елементима матрице

7 6. Bежба 6 Управљање током програма 6.1. Увод 6.. Разгранати алгоритми 6.3. Циклични алгоритми 7. Bежба 7 М документи 7.1 Командни документи 7. Функцијски документи 8. Bежба 8 Једначине и системи једначина 8.1. Сређивање полинома 8.. Операције са полиномима 8.3. Решавање једначина са једном променљивом 8.4. Теоријске основе решавања система линеарних једначина 8.5. Крамерова метода у програму Оctave 8.6. Матрична метода у програму Оctave 9. Bежба 9 Симболичка математика у програму Maxima 9.1. Увод у програм Maxima 9.. Симболички изрази 9.3. Решавање једначина 9.4. Решавање система једначина 9.5. Цртање графика криве симболичког израза 10. Bежба 10 Гранична вредност и извод функције Теоријске основе извода 10.. Гранична вредност функције Извод функције Примене извода - одређивање екстремних и превојних тачака 11. Bежба 11 Примене извода - Тејлорова формула Теоријске основе Тејлорове формуле 11.. Маклоренов полином Тејлоров полином 1. Bежба 1 Интеграли 1.1. Теоријске основе интеграла 1.. Неодређени интеграл 1.3. Одређени интеграл 1.4. Несвојствени интеграл 13. Списак команди и функција (OCTAVE, MAXIMA) 14. Литература

8

9 Вежба 1 Увод у QtOctave ЦИЉ ВЕЖБЕ Упознавање студената са софтверским пакетима ОCTAVE и QTOCTAVE. Студенти уче основни изглед прозора, његове делове, начинe добијања помоћи при раду у програму, ако и основне аритметичке, логичке и релацијске операторе који ће им омогућити даљи рад у овом програму ОСНОВНИ ПРОЗОР СОФТВЕРСКОГ ПАКЕТА QTОCTAVE ОCTAVE је слободан програм. То значи да је дозвољено, без новчане надоканаде, користити програм, дистрибуирати, копирати, изучавати и мењати. ОCTAVE је део GNU Project-а. ОCTAVE је језик намењен нумеричким израчунавањима. ОCTAVE садржи командну линију за обављање линеарних и нелинеарних нумеричких израчунавања. Иако име програма ОCTAVE асоцира на музику, заправо је програм ОCTAVE добио име по професору Octave Levenspiel, који је био професор једног од аутора програма. Прву верзију програма написали су James Rawlings и John Ekerdt. Како ОCTAVE не садржи графички интерфејс, за рад са овим програмом ћемо користити његову надоградњу QTOCTAVE. QTOCTAVE нуди конформнији за рад у програму ОCTAVE. Инсталација за ОCTAVE и његову надоградњу QTOCTAVE могу се бесплатно преузети са интернета. Када су програми инсталирани, покретањем софтвера QTOCTAVE појављује је основни прозор програма који изгледа као на следећој слици. Основни прозор софтвера QTOCTAVE, се састоји из неколико делова: Variable List, Navigator и Command Line. Variable List даје листу дефинисаних променљивих. На листи се приказују, њихова имена, величина и тип променљиве. Navigator омогућава повезивање, проналажење и отварање докумената. 1

10 Command Line је део који ћемо највише користити. Овај део служи за унос команди. Резултат извршавања команди се приказује сукцесивно у делу прозора који започиње са >>>. Овај део прозора се назива Terminal. За брисање претходног рада, тј. његовог приказа на Terminal-у користи се иконица. У оквиру командне линије могуће је унети више наредби, раздвајајући их зарезима. Притискањем стралица на горе и на доле на тастатури, могуће је у оквиру командне линије изабрати неку од преходно написаних команди. 1.. ПОМОЋ У РАДУ Наредбом help обезбеђена је помоћ и информације током рада. То је велика погодност за кориснике јер је тешко меморисати велики број функција које су дефинисане. Ако откуцамо help у простор предвиђен за командну линију (Command Line) и притиснемо тастер Enter у оквиру дела Terminal ће се појавити објашњење.

11 ПРИМЕР 1: Откуцати следеће наредбе help sin и help *. Видети шта се добија на екрану. >>> help sin `sin' is a built-in function -- Mapping Function: sin (X) Compute the sine for each element of X in radians. See also: asin, sind, sinh >>> help * Multiplication operator. See also `.*' Additional help for built-in functions and operators is available in the on-line version of the manual. Use the command `doc <topic>' to search the manual index. Help and information about Octave is also available on the WWW at and via the help@octave.org mailing list ПРОМЕНЉИВЕ ОCTAVE омогућава дефинисање променљивих којима се може мањеати нумеричка вредност током рада. Променљива има своју вредност и своје име. Уколико се некој променљивој не додели име ОCTAVE је означава као ans. Додељивање вредности променљивој се врши помоћу знака =. Име променљиве је низ знакова који обавезно почиње са словом, за којим могу да следе слова, цифре и знак _. ОCTAVE прави разлику између великих слова, тј. a и A би биле две различите променљиве. Вредност променљиве се може дефинисати преко: - конкретне нумеричке вредности - низа знакова под апострофима (знаковна променљива) - математичког израза - других променљивих. Променљиве дефинисане у ОCTAVE се памте као матрице, односно дводимензионални низови бројева. Под скаларом се подразумева матрица типа 1 1, док вектори представљају матрице са једном врстом или једном колоном. Имена матрица обично се пишу великим словима, док имена скалара и вектора малим словима. ПРИМЕР : Дефинисати променљиве a = 1 и b = a + 1. (Променљиве, као и наредбе се у програму ОCTAVE дефинишу у пољу Command Line. Приликом исписивања програм и за наредбе и за променљиве исписује на почетку реда >>>.) 3

12 >>> a=1 a = 1 >>> b=a+1 b = ПРИМЕР 3: Написати променљиву која има вредност 'krug'. >>> 'krug' ans = krug Неке променљиве су већ предефинисане у програму ОCTAVE. Ове променљиве заједно са њиховим објашњењем дате су у следећој табели. ans Вредност израза када није придружен променљивој i, j Имагинарна јединица, 1 pi e Inf NaN π = e = , или резултат 1/0 (Infinity) Није број, или резултат 0/0 (Not a Number) 1.4. АРИТМЕТИЧКИ ОПЕРАТОРИ Аритметички изрази се формирају коришћењем аритметичких операција за које у програму ОCTAVE користимо симболе дате у следећој табели. + САБИРАЊЕ - ОДУЗИМАЊЕ * МНОЖЕЊЕ / ДЕЉЕЊЕ ^ СТЕПЕНОВАЊЕ ПРИМЕР 4: Израчунати вредност израза

13 >>> 3+* ans = 7 ПРИМЕР 5: Израчунати вредност израза 1 x = >>> x=+(*4-1/4) x = ПРИМЕР 6: Израчунати вредност израза y = 3x, ако је >>> x=3^; >>>y=3*x y = 7 x = 3. Ако не желимо да се резултат или међурезултат одмах прикаже на екрану, на крају наредбе унесе се знак ;. Ово се често користи у раду када нас међурезултати не интересују. На овај начин се убрзава рад на рачунару, јер се елиминише исписивање великог броја, често непотребних међурезултата. ПРИМЕР 7: Израчунати вредност израза 6 7 z =. + 4 >>> z=6*7/(+4) z = РЕЛАЦИЈСКИ ОПЕРАТОРИ Релацијски оператори су бинарни оператори и користе се за поређење израза. Резултат поређења је тачно (true) у ознаци 1 или нетачно (false) у ознаци 0. < МАЊЕ <= МАЊЕ ИЛИ ЈЕДНАКО > ВЕЋЕ >= ВЕЋЕ ИЛИ ЈЕДНАКО = = ЈЕДНАКО 5

14 <> РАЗЛИЧИТО ПРИМЕР 8: Израчунати вредност израза 5<3. >>> 5<3 ans = 0 ПРИМЕР 9: Израчунати вредност израза ( 5 = 10) > ( 7 = 8). >>> (5*==10)> (7==8) ans = ЛОГИЧКИ ОПЕРАТОРИ Ознаке за логичке операције у програму ОCTAVE дате су у следећој табели. ~ ЛОГИЧКО НЕ & ЛОГИЧКО И ЛОГИЧКО ИЛИ Вредности које се добијају извођењем логичких операција дате су у следећој табели. А B ~А А&В А B ОСНОВНЕ ФУНКЦИЈЕ Функције се позивају тако што се иза имена функције у малој загради наведе аргумент функције. Функције се пишу малим словима. Неке од елементарних функција које су уграђене у ОCTAVE можемо видети у следећој табели. 6

15 abs() АПСОЛУТНА ВРЕДНОСТ sqrt() КВАДРАТНИ КОРЕН sin() СИНУС cos() КОСИНУС tan() ТАНГЕНС cot() КОТАНГЕНС exp() ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНА ФУНКЦИЈА log() ЛОГАРИТАМ ОСНОВЕ Е log10() ЛОГАРИТАМ ОСНОВЕ 10 ПРИМЕР 10: Израчунати >>> sin(pi/3) ans = sin π. 3 ПРИМЕР 11: Израчунати >>> exp(4) ans = e. ПРИМЕР 1: За x = 5и y = 7 израчунати вредност израза z = ln y + x. >>> x=5; >>> y=7; >>> log(y)+sqrt(x) ans = Приметимо да вредности променљивих x и y нису приказане на екрану, јер се иза променљивих налази знак ;. ПРИМЕР 13: Израчунати вредност израза z = log10 x + y, за вредности променљивих x и y задатих у предходном примеру. >>> # x i y su vrednosti promenljivih iz prethodnog primera >>> z=log10(x)+abs(y) z =

16 Ознаке # или % се користе за писање коментара ИЗЛАЗНИ ФОРМАТ Излазни облик приказивања резултата може се контролисати наредбом format. Ова команда утиче само на приказ на екрану, а не на то како се нешто израчунава или смешта у меморију. Постоје различити излазни формати: format short, format long, format long e, format short e, format rat. Ако није дефинисан неки други формат подразумевани формат је format short, стандардни формат са 5 значајних цифара. ПРИМЕР 14: Број π приказати користећи различите формате. >>> format short, pi ans = >>> format long, pi ans = >>> format long e, pi ans = e+000 >>> format short e, pi ans = e+000 >>> format rat, pi ans = 355/113 ЗАДАЦИ: Следећи број са којим будемо радили биће у последњем формату који смо користили. Да би се вратили у уобичајени format short, довољно је откуцати само наредбу format. 1. Утврдити шта је веће π e ili. За x = 0, израчунати 5 x и x. x e π? 3. Наћи вредност израза 8 + 5sin( π ). 4. Дефинисати променљиве a, b, c, dкао a = 18., b = 6.4, 5. За c = a / b, d = 0.5( cb + a) и израчунати π = 5 ( a + d ) a + b d +. c abc x проверити да ли важи једнакост cos ( x) = 1 1+ tg ( x). 8

17 6. Коришћењем различитих излазних формата написати број 3. 9

18 Вежба Комплексни бројеви ЦИЉ ВЕЖБЕ Упознавање студената са алгебарским и тригонометријским обликом комплексних бројева. Студенти кроз примера савладавају представљање комплексних бројева у оба облика у софтверском пакету QTOCTAVE. Такође, представљене су основне операције са комплексним бројевима и дати су примери..1. КОМПЛЕКСНИ БРОЈЕВИ У АЛГЕБАРСКОМ И ТРИГОНОМЕТРИЈСКОМ ОБЛИКУ Имагинарна јединица је дефинисана као стална величина. Користи се уобичајена ознака i = 1 или j = 1. >>> sqrt(-1) ans = 0 + 1i Комплексни бројеви се могу дефинисати на више начина: 1. z = x + iy алгебарски облик, где је x реални, а y имагинарни део комплексног броја. iϕ. w = re експоненцијални облик, где је r модуо, a ϕ аргумент комплексног бројa. 3. z r( cosϕ + i sinϕ) = тригонометријски облик где је x = r cosϕ и y = r sinϕ. r је модуо, а ϕ је аргумент комплексног броја y r = x + y, tgϕ =. x ПРИМЕР 1: Написати број z = + 3i. 9

19 >>> z=+3*i z = + 3i >>> z=+3i z = + 3i Једино када се дефинише комплексни број, могуће је изоставити оператор * множења. У свим осталим случајевима оператор множења се обавезно пише. 6 ПРИМЕР : Написати број w = 3e. >>> w=3*exp(i*pi/6) w = i iπ Модуо, аргумент, реални, имагинарни део комплексног броја и конјуговано комплексни број добијају се коришћењем наредби: аbs( ) angle( ) real( ) imag( ) conj( ) МОДУО КОМПЛЕКСНОГ БРОЈА АРГУМЕНТ КОМПЛЕКСНОГ БРОЈА РЕАЛНИ ДЕО КОМПЛЕКСНОГ БРОЈА ИМАГИНАРНИ ДЕО КОМПЛЕКСНОГ БРОЈА КОНЈУГОВАНО КОМПЛЕКСНИ БРОЈ ПРИМЕР 3: Одредити реални и имагинарни део комплексног броја z = 3 i. 1 >>> z1=3-i z1 = 3 - i >>> real(z1) ans = 3 >>> imag(z1) ans = - ПРИМЕР 4: Одредити модуо и аргумент комплексног броја Вредности доделити променљивим r и fi. z = 3i. + >>> z=+3i 10

20 z = + 3i >>> r=abs(z) r = >>> fi=angle(z) fi = ПРИМЕР 5: Одредити конјуговано комплексне бројеве за бројеве z 3 = + i и z = i. >>> z3=+i z3 = + 1i >>> conj(z3) ans = - 1i 4 >>> z4=-i z4 = - i >>> conj(z4) ans = + i ПРИМЕР 6: За комплексни број z5 = + i одредити модуо и аргумент. На основу познатих величина представити број у тригонометријском облику. Проверити једнакост броја z 5 у тригонометријском и алгебарском облику. >>> z5=+i z5 = + i >>> r=abs(z5) r =.884 >>> fi=angle(z5) fi = >>> z5trig=r*(cos(fi)+i*sin(fi)) z5trig = i >>> z5==z5trig ans = 1 ПРИМЕР 7: Одредити комплексни број ако је модуо тог броја r = и π аргумент ϕ =, помоћу тригнометријског и експоненцијалног облика. 4 11

21 >>> r=sqrt() r = >>> fi=pi/4 fi = >>> # Pomocu trigonometrijskog oblika >>> z=r*(cos(fi)+i*sin(fi)) z = i >>> # Pomocu eksponencijalnog oblika >>> z=r*exp(i*fi) z = i.. ОПЕРАЦИЈЕ СА КОМПЛЕКСНИМ БРОЈЕВИМА Комплексни бројеви у алгебарском облику могу се сабирати, одузимати, множити, делити и степеновати. ПРИМЕР 8: Израчунати z1 + z; z1 z; z1 z и z = 3i. z z 1 ако је z = 1+ i 1 и >>> z1=1+i z1 = 1 + 1i >>> z=-3i z = - 3i >>> z1+z ans = 3 - i >>> z1-z ans = i >>> z1*z ans = 5-1i >>> z1/z ans = i У тригонометријском облику комплексни бројеви могу да се множе, деле, степенују и коренују. Ако су дати бројеви z r ( cosϕ i sin ϕ ), z r ( cosϕ i sinϕ ) = + = +, онда

22 ( cos( ϕ ϕ ) sin ( ϕ ϕ )) z z = r r + + i z z r = + r 1 1 ( cos ( ϕ1 ϕ ) i sin ( ϕ1 ϕ )) За степеновање комплексних бројева користи се Моаврова формула и имамо n n z = r cos nϕ + isin nϕ, ( ) а кореновање рачунамо као n ϕ + kπ ϕ + kπ zk = r cos + i sin, k = 0,1,, K, n 1. n n 6 ПРИМЕР 9: Одредити z помоћу Моаврове формуле ако је задат π π комплексни број z = cos + i sin 3 3. >>> r=sqrt() r = >>> fi=pi/3 fi = >>> z_na6=r^6*(cos(6*fi)+i*sin(6*fi)) z_na6 = e e-015i ПРИМЕР 10: Одредити 3 z помоћу Моаврове формуле, ако је задат π π комплексни број z = cos + i sin 3 3 >>> r=sqrt() r = >>> fi=pi/3 fi = >>> k1=0 k1 = 0 >>> k=1 k = 1 >>> k3= k3 = >>> z1=r^(1/3)*(cos((fi+*k1*pi)/3)+i*sin((fi+*k1*pi)/3)) 13

23 z1 = i >>> z=r^(1/3)*(cos((fi+*k*pi)/3)+i*sin((fi+*k*pi)/3)) z = i >>> z3=r^(1/3)*(cos((fi+*k3*pi)/3)+i*sin((fi+*k3*pi)/3)) z3 = i ПРИМЕР 11: Одредити знајући да је >>> z1=1+i z1 = 1 + 1i >>> z=+i z = + 1i >>> z=z1*z z = 1 + 3i >>> r=abs(z) r = >>> fi=angle(z) fi = z 1 = 1+ i и z = + i 10 z помоћу Моаврове формуле ако је z z1 z. >>> z_na10=r^10*(cos(10*fi)+i*sin(10*fi)) z_na10 = 9.971e e+003i =, ЗАДАЦИ: ( 100 ) ( ) ( ) i 1. Израчунати z, ако је z =. 1 i 96 i 1+ i z1 + z1z. Ако је z1 = 1+ i и z = 3 i израчунати вредност израза. z z 3. Ако је z = 1+ i 3 израчунати 1 5 z користећи Моаврову формулу. 4. Ако је z = 1+ i 3 израчунати 4 z помоћу Моаврове формуле. 14

24 Вежба 3 Графика ЦИЉ ВЕЖБЕ Кроз примере и задатке студенти савладају основе креирања графика у софтверском пакету QTOCTAVE. Студенти уче цртање функција, скалирање графика, означвање графика, као и представљање више функција на једној слици што омогућава њихово поређење ГРАФИЧКО ПРЕДСТАВЉАЊЕ ФУНКЦИЈА Најједноставнији начин за графичко представљање, са линеарном поделом на осама, је коришћењем наредбе plot. Приликом цртања отвара се графички прозор за који важе иста правила као код Windows прозора. Основна наредба за цртање графика има облик: plot(x,y). Аргументи x и y су вектори, који морају имати исти број елемената. Вектори се дефинишу као: - низ бројева раздвојених зарезом у угластим заградама, - форма почетна вредност:корак:крајња вредност. Уколико се изостави вредност за корак његова подразумевана вредност је 1, - помоћу наредбе linspace(почетна вредност, крајња вредност, број чланова). Приликом множења или дељења вектора уместо оператора * и / користе се. * и./ да би се операције извршавале по члановима векотора. Када је график нацртан и када је отворен прозор графика могућа су додатна подешавања једнаставним кликом одговарајућег тастера на тастатури: - G укључује и искључује грид на слици - M укључује и искључује приказ координата са слике - R укључује и искључује лењир на графику. ПРИМЕР 1: Нацртати вектор y = [ 1,4,6,7,13,6 ]. 15

25 >>> y=[1,4,6,7,13,6]; >>> plot(y) Из овог примера можемо видети да је ОCTAVE за вредности независно променљиве x узео редни број елемента, а њихове слике, су вредности вектора y, тј. тачке нацртаног графика имају координате ( 1,1),(,4),(3,6),(4,7),(5,13) и ( 6,6). ПРИМЕР : Нацртати векторe датe координатама = [ 1,4,6,7,13 ] y = [ 1,,6,10,5 ]. >>> x=[1,4,6,7,13] x = >>> y=[-1,,6,10,5] y = >>> plot(x,y) x и

26 Из овог примера можемо видети да је ОCTAVE за вредности независно променљиве x узео елементe вектора x, а њихове слике, су вредности вектора y. Наредба plot се користи и за цртање функција једне променљиве. У овом случају мора унапред да се дефинише домен променљиве x у коме ће функција бити нацртана. ПРИМЕР 3: Нацртати функцију 0,3. x y = e у домену x [ 1,1], са кораком >>> x=-1:0.3:1 x = >>> y=exp(x) y = >>> plot(x,y) За цртање графика функција можемо да користимо и наредбу fplot. Нареба има облик: fplot(f(x), [xmin,xmax]), где је f ( ) x je функција коју цртамо, x je вектор чији је први елемент xmin, а последњи елемент xmax. У наредби fplot функција се пише под наводницима ' f '. ПРИМЕР 4: Нацртати функцију = x 9 >>> y='x^-9'; fplot(y,[-3,3]) y у домену [ 3,3] x. 17

27 0 x ГРАФИЦИ СА ВИШЕ ФУНКЦИЈА У оквиру једног прозора могуће је нацрати више функција. Облик наредбе plot(x,y) тада има облик: plot(x1,y1, x,y, x3,y3...). ПРИМЕР 5: У истом координатном систему нацртати функције и y = e x, у домену [ 1,1] >>> x=-1:0.1:1; >>> y1=*x; >>> y=*exp(x); >>> plot(x,y1,x,y) x, са кораком 0.1. y = x

28 Други начин да се нацрта више функција у оквиру истог прозора је коришћењем наредбе subplot. Наредба subplot(m, n, p) формира више графика на екрану тако што се прозор подели на m n делова, а график се црта у p -том делу екрана. ПРИМЕР 6: Користећи наредбу subplot нацртати функције: y x, x 1,1 y = xe x, x 0,1 ; = [ ]; [ ] =, [, ]; y cos x, x [ π, π ] y x x >>> x1=-1:1:1; y1=x1; >>>x=0:0.5:1; y=x.*exp(x); >>>x3=-:.1:; y3=x3.^; >>>x4=-pi:pi/16:pi; y4=cos(x4); >>>subplot(,,1),plot(x1,y1) >>>subplot(,,),plot(x,y) >>>subplot(,,3),plot(x3,y3) >>>subplot(,,4),plot(x4,y4) = ПОДЕШАВАЊЕ ИЗГЛЕДА ГРАФИКА Наредбом plot у софтверском пакету ОCTAVE у могућности смо да бирамо избор облика и боје линија којом се приказује функција. Проширена нареба има облик plot( x,y,'врста линије, 'боја'). 19

29 СИМБОЛ ЛИНИЈЕ ОПИС. ТАЧКА о КРУГ х Х-ЗНАК + ПЛУС * ЗВЕЗДА - ПУНА ЛИНИЈА -. ТАЧКА ЦРТА СИМБОЛ БОЈЕ m s r g b k w БОЈА ЉУБИЧАСТА ЦИЈАН ЦРВЕНА ЗЕЛЕНА ПЛАВА ЦРНА БЕЛА sin( x) =, у домену x [ 1,1] ПРИМЕР 7: Нацртати функцију y x кораком 0.1. Функцију нацртати црвеном бојом и звездицама. >>>x=-1:0.1:1; >>>y=sin(x)./x; >>>plot(x,y,'*r'), са

30 ОCTAVE нуди могућности означавања оса и писање различитог текста у оквиру графика. ОЗНАКА title xlabel ylabel grid ОПИС НАЗИВ ГРАФИКА НАЗИВ X ОСЕ НАЗИВ Y ОСЕ ЦРТАЊЕ ЛИНИЈА МРЕЖЕ Текст у предходним наредбама пише се у загради под наводницима. Наредба hold on задржава слику на екрану. Ова наредба омогућава цртање више функција на истој слици. За искључивање ове опције користи се наредба hold off. ПРИМЕР 8: Нацртати функцију y = cos x на домену x [ π, π ] и користећи наредбе из табеле обележити слику. >>> y='cos(x)' y = cos(x) >>> fplot(y,[-*pi,*pi]) >>> title('kosinusna funkcija') >>> xlabel('x osa') >>> ylabel('y osa') 1 Kosinusna funkcija cos(x) 0.5 y osa x osa 1

31 Осе x и y аутоматски се постављају на основу минималне и максималне вредности координата. Уколико желимо да сами поставимо границе на осама користимо наредбу axis која има форму: axis([xmin,xmax,ymin,ymax]). ПРИМЕР 9: Нацртати функцију y = sin x за -π x π, а затим поставити да домен по x оси буде -π x π, а по y оси буде,. >>> x=-*pi:pi/16:*pi; >>> y=sin(x); >>> plot(x,y),grid >>> plot(x,y) >>> % Zatvoriti prethodni grafik >>> axis([-pi,pi,-,])

32 3.4. ПОДЕШАВАЊЕ ИЗГЛЕДА ГРАФИКА ПОМОЋУ ГРАФИЧКОГ ИНТЕРФЕЈСА Подешавање изгледа графика и додавање текста на график у софтвереском пакету ОCTAVE може се поред писања кода, вршити и помоћу графичког интерфејса. x ПРИМЕР 10: Нацртати функције y1 = ln( x) x и y = e за 100 вредности x у опсегу од -1 до 1. График описати текстом помоћу графичког интерфејса. >>> x=linspace(-1,1,100); >>> y1=log(x).*x; >>> y=exp(x); >>> plot(x,y1) >>> hold on >>> plot(x,y, '-g') Када је график нацртан можемо га означавати коришћењем графичког интергејса. Из главног менија програма изабрати Plot, а затим из падајућег менија Title and labels. Начин попуњавања је приказан на следећој слици. Након попуњавања потврди се избор, а онда се на графику могу видети направљене измене. 3

33 3 Funkcije.5 y osa x osa ЗАДАЦИ: 1. Нацртати функције y = sin x и y = cos x у домену 0,π.. Нацртати функцију описати је текстом. y x x = у произвољном домену и 3. Користећи наредбу subplot нацртати следеће функције: 3 y1 = x ; y = x ; y3 = sin( x) x ; y 4 = x за x [ 0,1], са кораком 0, x 5. Нацртати функцију y = 3.5 cos(6x) у домену x [-,4] са кораком 0,01. 4

34 Вежба 4 Матрице - дефиниција ЦИЉ ВЕЖБЕ У вежби су дефинисане матрице и начин формирања матрица у софтверском пакету ОCTAVE. Дати су различити записи матрица у програму. Обрађене су основне функције софтвера ОCTAVE за рад са матрицама, које дају димензије матрице, њену детерминанту и одређују транспоновану матрицу ТЕОРИЈСКЕ ОСНОВЕ МАТРИЦА Матрицa je правоугаонa шемa са m n елемената распоређених у m врста и n колона: a11 a1 A = am1 a a a 1 m a1n a n amn Матрице се означавају великим словима латинице: A, B, C,... Произвољни елемент матрице a ij припада i -тој врсти и j -тој колони, па матрицу можемо означити као [ a ]. За матрицу са m врста и n колона кажемо да има димензију m n. ij Две матрице A = [ a ij ] m n и B = [ b ij ] m n су једнаке, тј. A = B ако и само ако је: ( ) m n a = b, i, j, i = 1,,, m ; j = 1,,, n. ij ij Матрица врсте је матрица код које је [ a ] m = 1, n > 1, тј. [ aij ] 1 n = [ a11 a1 a1n ]. Матрица колоне је матрица код које је m > 1, n = 1, тј. ij m n 5

35 [ a ij ] m 1 = a a a 11 1 m1. Нула матрица је она матрица чији су сви елементи једнаки нула. Квадратна матрица је матрица код које је број врста једнак броју колона. Елементи a11, a,..., a nn леже на главној дијагонали, док елементи a1 n, an 1,..., an 1 припадају споредној дијагонали квадратне матрице. Квадратна матрица у којој су сви елементи ван главне дијагонале нула, а елементи на главној дијагонали нису сви нула, назива се дијагонална матрица. a a ann Јединична матрица је дијагонална матрица код које је a11 = a = a nn = 1и означава се словом I. Транспонована матрица матрице A = [ a ij ] m n је матрица добијена заменом места свих врста одговарајућим колонама или T T обрнуто.обележава се са A и износи A = [ a ji ] n m. Свакој квадратној матрици придружујемо реални број који зовемо детерминанта. Детерминаната је квадратна шема бројева од n n елемената распоређених у n врста и n колона. ( A) D = det = a a a n a a a 1 n a a a n1 n nn. Детерминанта је број, за разлику од матрице која је само шема произвољних елемената. a = a назива се детерминанта првог реда. Број Број a a a 11 1 a 1 = a a a a назива се детерминанта другог реда

36 Број a a a a a a 1 3 a a a назива се детерминанта трећег реда. 4.. ЗАПИС МАТРИЦА У ПРОГРАМУ ОCTAVE Једна од основних намена програма ОCTAVE је рад са матрицама. Уколико матрица има само једну колону или само један ред онда ћемо такву матрицу звати вектор. У ОCTAVE се скалари посматрају као матрице чије су димензије 1x1. Постоји неколико начина за дефинисање матрице у програму ОCTAVE: - експлицитно дефинисање листе елемената матрице, - коришћењем већ дефинисане матрице или - генерисањем матрице коришћењем уграђених функција. Приликом дефинисање листе елемената матрице поштују се следећа правила: - елементи једног реда се раздвајају зарезом или размаком - крај реда се означава са ; - цела листа је ограничена угластим заградама, []. ПРИМЕР 1: Дефинисaти мaтрицу 1 3 A = >>> А=[1,,3;4,8,9] А = Други начин записа матрице је дата у наставку текста. >>> А=[1 3;4 8 9] А = Дат је пример матрице А, која је дефинисана уз помоћ набрајања листе симбола. Ова матрица има димензије x3, односно има реда и 3 колоне. ПРИМЕР : Дефинисати дијагоналну матрицу B чији су елементи на главној дијагонали,3, 1. 7

37 >>> B=[,0,0;0,3,0;0,0,-1] B = i i ПРИМЕР 3: Унети матрицу Z = 3+ 7i 4 + 8i, тако што прво уносимо реалне, а затим имагинарне делове задатих комплексних бројева. >>> A=[-1, ; 3, 4] A = >>> B=[5, -6; 7, 8] B = >>> Z=A+B*i Z = i - 6i 3 + 7i 4 + 8i ПРИМЕР 4: Унети матрицу Z из претходног примера тако што елементе матрице уносимо као комплексне бројеве. >>> Z=[-1+5*i, -6*i ; 3+7*i, 4+8*i] Z = i - 6i 3 + 7i 4 + 8i 4.3. ЗАПИС ВЕКТОРА У ПРОГРАМУ ОCTAVE Уколико је матрица једнодимензионална (матрица врста или матрица колона), такву матрицу ћемо звати вектор. Дефинисање вектора је могуће и коришћењем знака :. Форма оваквог дефинисања вектора је <први елемент вектора> : <инкремент> : <број који је већи или једнак последњој вредности добијеној инкрементирањем>. 8

38 Уколико се изостави инкремент, његова подразумевана вредност је 1. Други начин дефинисања вектора је помоћу наредбе: linespace(a,b,k), где a представња почетну вредност, b крајњу вредност, а број елемената је k. ПРИМЕР 5: Дефинисaти вектор V [ ] дефинисање вектора. >>> V1=1:5 V1 = >>> V1=linspace(1,5,5) V1 = =, користећи оба начина за ПРИМЕР 6: Дефинисaти векторе V = [ ] и [ ] користећи инкрементирање. >>> V=1::9 V = >>> v3=100:-7:7 v3 = V 3 = , ПРИМЕР 7: Дефинисaти векторе V 4 који има 6 елемената који се налазе у опсегу од 0 до 50. >>> V4=linspace(10,50,6) V4 = ОДРЕЂИВАЊЕ ДИМЕНЗИЈА МАТРИЦА Димензије матрице одређују се наредбама: size(a) 9

39 и [m,n]=size(a). Наредба за израчунавање дужине вектора је: length(v). 1 0 ПРИМЕР 8: Дефинисaти мaтрицу A = Одредити димензије ове матрице користећи наредбу size(a). >>> A=[1,-,0;4,8,-1] A = >>> size(a) ans = 3 ПРИМЕР 9: Одредити димензије матрице A (из претходног примера) користећи наредбу [m,n]=size(a). >>> A A = >>> [m,n]=size(a) m = n = 3 ПРИМЕР 10: Одредити дужину вектора V, чији се елементи крећу од 1 до 0 са кораком 3. >>> V=1:3:0 V = >>> length(v) ans = 7 30

40 4.5. ИЗДВАЈАЊЕ ЕЛЕМЕНАТА МАТРИЦЕ Пошто је матрица генерисана могуће је приступање појединим елементима матрице или њеним деловима. Тако, уколико је дата матрица A, за приступање елементу у i -том реду и j -тој колони се користи наредба A(i,j) ПРИМЕР 11: Издвојити елемент мaтрице A = 3 4 9, који се нaлaзи 7 1 у 1. врсти и 3. колони, кaо и елемент из 3. врсте и. колоне. >>> A=[5,8,6;3,4,9;7,1,] A = >>> A(1,3) ans = 6 >>> A(3,) ans = 1 За приступање делу матрице се користи синтакса A(r1:r, k1:k), где r1:r говори да се издвајају елементи од r1 до r реда, али тако да се налазе од k1 до k колоне. ПРИМЕР 1: Издвојити елементе мaтрице A који се нaлaзе у 1. и. врсти и. и 3. колони, кaо и елементе који се нaлaзе у. врсти и. и 3. колони. >>> A(1:,:3) ans = >>> A(,:3) ans = 4 9 За издвајање свих редова или свих колона довољно је ставити знак :, док се за издвајање последњег реда или последње колоне може се користити end. 31

41 ПРИМЕР 13: Издвојити елементе мaтрице A који се нaлaзе у. колони, кaо и елементе који се нaлaзе у 3. врсти. Искористити чињеницу да је за ову матрицу 3. врста последња врста. >>> A(:,) ans = >>> A(end,:) ans = ПРЕДЕФИНИСАНЕ МАТРИЦЕ За генерисање матрице могу се користити и уграђене функције у програму ОCTAVE, као што су magic, eye, ones и zeros. У овом случају је потребно само дефинисати димензије матрице. Функција magic(n) генерише Дирерову квадратну матрицу димензије n. Ова матрица има особину да су суме по колонама, редовима и дијагоналама исте. ПРИМЕР 14: Формирати Дирерову матрицу димензија 3 3. >>> magic(3) ans = Наредба eye дајe јединичну матрицу. Наредба eye(n) eye(m,n) eye(size(a)) Опис Јединична матрица димензија nxn Јединична матрица димензија mxn Јединична матрица димензија дате матрице А ПРИМЕР 15: Одредити јединичну матрицу димензија дате матрице A. 3

42 >>> A=[1,,3;,0,1;-1,-,-3] A = >>> X=eye(size(A)) X = Diagonal Matrix Наредба ones дајe матрицу чији су сви елементи јединице. Наредба ones(n) ones(m,n) ones(size(a)) Опис Матрица димензије nxn чији су сви елементи јединице Матрица димензије mxn чији су сви елементи јединице Матрица димензије дате матрице А чији су сви елементи јединице ПРИМЕР 16: Нaпрaвити мaтрицу којa сaдржи све јединице димензијa 3и мaтрицу којa сaдржи све јединице димензијa 3. >>> ones(,3) ans = >>> ones(3,) ans = Наредба zeros дајe матрицу чији су сви елементи нуле. Наредба Опис 33

43 zeros(n) zeros(m,n) zeros(size(a)) Матрица димензије nxn чији су сви елементи нуле Матрица димензије mxn чији су сви елементи нуле Матрица димензија дате матрице А чији су сви елементи нуле ПРИМЕР 17: Формирати нула матрицу димензија 4. >>> zeros(,4) ans = ТРАНСПОНОВАЊЕ МАТРИЦЕ Транспоновање матрица са реалним коефицијентима, је замена врста и колона. У програму ОCTAVE транспоновање матрица се врши помоћу оператора '. Транспоновања матрица чији су елементи комплексни бројеви, врши се тако што се транспонује матрица и истовремено коњугује сваки њен елемент. 1 3 ПРИМЕР 18: Транспоновати матрицу A = >>> A=[1,,3;4,5,6] A = >>> A' ans = ПРИМЕР 19: Транспоновати скалар a = 5 и вектор V = [,5,8]. >>> a' ans = 5 >>> V=[,5,8] V = 34

44 5 8 >>> V' ans = 5 8 ПРИМЕР 0: Транспоновати матрицу >>> Z=[1+i,+i;3+3i,4+4i] Z = 1 + 1i + i 3 + 3i 4 + 4i >>> Z' ans = 1-1i 3-3i - i 4-4i Z 1+ i + i = 3+ 3i 4 + 4i ДЕТЕРМИНАНТА МАТРИЦЕ Детерминанта квадратне матрице је број који се у програму ОCTAVE израчунава помоћу наредбе det. ПРИМЕР 1: Израчунати детерминанту квадратне матрице 1 A = 3 4. >>> A=[1,;3,4] A = >>> DET=det(A) DET = - ПРИМЕР : На исти начин се одређује детерминанта комплексне матрице. Нађимо детерминанту матрице Z из примера 0. >>> Z 35

45 Z = 1 + 1i + i 3 + 3i 4 + 4i >>> det(z) ans = 0-4i 4.9. РАНГ МАТРИЦЕ Ранг матрице одређује се помоћу оператора rank. ПРИМЕР 3: Наћи ранг матрице 1 A = 3 4. >>> A A = >>> rank(a) ans = ЗАДАЦИ: 1. Дати су елементи π, e, 6. Формирати матрицу A која има димензије 3 x 3, а чију прву врсту чине дати бројеви, другу врсту њихови синуси, а трећу врсту квадратни корени датих бројева.. Користећи матрицу А одредити: а) члан на месту 1. врста, 3. колона, б) другу врсту матрице А, в) последњу колону матрице, г) елементе који припадају 1. и врсти и и 3 колони. 3. Користећи матрицу А одредити: а) детерминанту матрице A, б) транспоновану матрицу матрице A, в) ранг матрице A. 4. Формирати следеће векторе: а) вектор са 10 елемената у опсегу од 1 до 55, б) вектор чији се елементи крећу од 50 до 0. 36

46 Вежба 5 Матрице - операције ЦИЉ ВЕЖБЕ У вежби су дефинисане операције са матрицама теоријски и дат је начин реализације операција у софтверском пакету ОCTAVE. Кроз примере и задатке обрађено је сабирање, одузимање и множење матрица, као и решавање матричних једначина. Објашњено је одређивање инверзне матрице и дата реализација у програму ТЕОРИЈСКЕ ОСНОВЕ ОПЕРАЦИЈА СА МАТРИЦАМА Основне операције са матрицама су:сабирање, одузимање и множење. Збир матрица A = a ij ] m n [ и B = [ b ij ] m n, је матрица C = [ c ij ] m n ако и само ако је a + b = c ( i = 1,,, m ; j = 1,,, n) ij ij ij. Збир матрица различитих димензија није дефинисан. Операција сабирања матрица има следеће особине: A + B = B + A, комутативност; A + B + C = A + B + C, асоцијативност. ( ) ( ) Производ броја λ R и матрице димензија облика: = [ ] је матрица истих A a ij m n λ A = λ[ a ] = [ λa ]. ij m n ij m n Операција множења матрице бројем има следеће особине: λ A = Aλ, комутативност; αβ A = α β A α β, асоцијативност; ( ) ( ) ;, 0 ( α + β ) A = α A + β A, дистрибутивност с обзиром на збир бројева; ( A B) A B α + = α + α, дистрибутивност с обзиром на збир матрица. Производ A B матрица A = [ a ] и B = [ b ] је матрица C, чији се елементи c ij формирају по закону: ik m p kj p n 37

47 p c = a b ( i = 1,, m ; j = 1,, n). ij ik kj k = 1 Матрица C има онолико врста колико их има матрица A и онолико колона колико их има матрица B. Дакле елемент c ij матрице C који се налази у пресеку i -те врсте и j -те колоне, образује се тако што се елементи i -те врсте матрице A помноже одговарајућим елементима j -те колоне матрице B и добијени производи саберу. Операција множења матрица има следеће особине: A B C = A B C, асоцијативност; ( ) ( ) A B B A, не важи закон комутације; A I = I A = A. Инверзна матрица дате квадратне матрице A је матрица 1 1 својство A A = A A = I, где је I јединична матрица. 1 A која има За квадратну матрицу A кажемо да је регуларна ако је det A 0, а сингуларна ако је det A = 0. Адјунгована матрица матрице A у ознаци adja је транспонована матрица матрице кофактора матрице A. A11 A1 An 1 A1 A A n adj A =. A1 n A n Ann Инверзна матрица квадратне регуларне матрице A је матрица 1 adja A =. deta Инверзна матрица се користи за решавање матричних једначина. На пример, за решавање једначине XA = B, заправо је потребно израчунати X = BA 1 (множење са десна), или за једначину AX = B, 1 X = A B (множење са лева),. 5.. САБИРАЊЕ И ОДУЗИМАЊЕ МАТРИЦА Сабирање и одузимање матрица врши се тако што се сабирају, односно одузимају одговарајући елементи матрица. Том приликом морамо водити 38

48 рачуна да матрице буду истих димензија. Иста правила важе и код вектора. За сабирање и одузимање матрица у програму ОCTAVE користимо операторе + и. ПРИМЕР 1: Наћи збир матрица 1 A = 3 и 1 B = 1. >>> A=[,1;3,] A = 1 3 >>> B=[1,-;1,] B = 1-1 >>> A+B ans = Сабирање и одузимање је изводљиво и у случају када је један чинилац скалар. Такав израз ОCTAVE тумачи тако што сваком елементу матрице додаје или од њега одузима назначени скалар. ПРИМЕР : Од дате матрице А одузети скалар 1. >>> A A = 1 3 >>> A-1 ans =

49 ПРИМЕР 3: Наћи збир матрица A + B и збир B + A, ако је 1 и B = 1. Проверити да ли важи закон комутативности. 1 1 A = >>> A=[-1,1;,] A = -1 1 >>> B=[1,-;1,] B = 1-1 >>> z1=a+b z1 = >>> z=b+a z = >>> #Vazi zakon komutativnosti posto su z1 i z jednaki 5.3. МНОЖЕЊЕ МАТРИЦЕ Множење матрица скаларом и матрично множење се у програму ОCTAVE обавља коришћењем оператора *. ПРИМЕР 4: Ако је k = 5 и >>> k=5 k = 5 >>> A=[-1,1;,] A = A =, одредити матрицу k A. 40

50 >>> k*a ans = ПРИМЕР 5: Наћи матрицу C = A B, ако су дате матрице 1 и B = 1.. >>> A=[,1;3,] A = 1 3 >>> B=[1,-;1,] B = 1-1 >>> C=*A-B C = A = 3 ПРИМЕР 6: Наћи производе A B и B A, при чему са матрице дефинисане у претходном примеру. Упоредити резултате. >>> A,B A = 1 3 B = 1-1 >>> A*B ans =

51 >>> B*A ans = >>> # Proizvodi se razlikuju ПРИМЕР 7: Дат је полином ( ) 1 1 A = , наћи P ( A ). >>> A=[1,1,;1,3,1;4,1,1] A = >>> Pa=*A*A+3*A+5*eye(3) Pa = P x = x + 3x + 5 и матрица 5.4. ИНВЕРЗНА МАТРИЦА У програму ОCTAVE инверзна матрица наредбе inv(a). 1 A, одређује се коришћењем ПРИМЕР 8: Наћи инверзну матрицу матрице 1 A = 3 1. >>> A=[,-1;-3,1]; >>> inv(a) ans =

52 ПРИМЕР 9: Наћи инверзну матрицу, матрице 1 3 S = >>> S=[1 3 ; ; 7 8 9]; >>> inv(s) ans =.513e e e e e e e e e+015 >>>warning: inverse: matrix singular to machine precision, rcond = e- 018 Како је матрица S сингуларна (детерминанта матрице је једнака нули), инверзна матрица не постоји МАТРИЧНЕ ЈЕДНАЧИНЕ У матричном рачуну операција дељења није дефинисана, али у програму ОCTAVE оператор за дељење се може користити приликом решавања матричних једначина. Оператор \ означава множење инверзном матрицом са лева, а / означава множење инверзном матрицом са десна. Нека је А квадратна регуларна матрица, тада у програму ОCTAVE важи A B = A 1 1 \ B и B / A = B A. Резултати се добијају директно, без рачунања инверзне матрице. Поступак множења са инверзном матрицом даје исти резултат. ПРИМЕР 10: Решити матричну једначину : XA = B, где је 3 A = и 1 1 >>> A=[,,3;1,-1,0;-1,,1]; >>> B=[-1,0,;0,1,-3]; >>> X=B*inv(A) X = >>> X=B/A 1 0 B =

53 X = ПРИМЕР 11: Решити матричну једначину : AX = B где је A = 1 1 1, B 0 = >>> A=[1,,0;1,1,1;0,1,3]; >>> B=[1,;0,;1,0]; >>> X=inv(A)*B X = >>> X=A\B X = ПРИМЕР 1: Решити матричну једначину : A X + X B = 0, ако је A = 0 1 и B = Како је: A X + X B = 0 A X + X = B ( A + I ) X = B 1 = ( A + I ) B X следи решење. >>> A=[1,4,;0,,1;3,1,1]; >>> B=[1,0,1;,1,;0,3,0]; >>> X=(A+eye(3))\B X = , 44

54 ОПЕРАЦИЈЕ НАД ПОЈЕДИНАЧНИМ ЕЛЕМЕНТИМА МАТРИЦЕ Операције сабирања, одузимања и множења скаларом се како математички тако и у програму извршавају над појединачним елементима матрице. Међутим, множење матрица се не врши на исти начин. Ипак, постоји начин да се у програму ОCTAVE и множење обавља над појединачним елементима матрице, по систему 1. елемент са првим,. са другим... У овом случају се користи оператор. *. Операција над појединачним члановима матрице за дељењe и степеновање је такође доступна коришћењем. / и. ^. ПРИМЕР 13: Уочити разлику између множења * и.* >>> A=[1 ; 3]; B=[1 0; 3]; >>> A*B ans = >>> A.*B ans = ПРИМЕР 14: Генерисати вектор X са 4 елемента у опсегу [,4] израчунати елементе вектора појединачним елементима. >>> X=linspace(,4,4) X = >>> Y=X.^-*X Y = , а затим Y = X X користећи операције над 45

55 ЗАДАЦИ: ( A ) 1. Израчунати T 1 + A 4 + det A, ако је 1 4 A = Израчунати производ матрица A = и B = 1, матричним рачуном и над појединачним елементима матрице. 3. Решити матричну једначину A = Израчунати ( A + I )( A I ) ако је XA X = T + A ако је 1 A = Дефинисати векторе X = [ 4 6 8] и Y = [ ] Израчунати Z + X + Y појединачним елементима. Y 3 = X помоћу операција над 46

56 Вежба 6 Управљање током програма ЦИЉ ВЕЖБЕ Циљ вежбе је разумевање појма простог, разгранатог и сложеног алгоритма. Кроз примере и задатке за самостално решавање студенти уче да пишу алгоритмe са оваквом структуром у програму ОCTAVE и на тај начин се оспособљавају да реше сложеније проблеме УВОД Рачунарски програм је низ наредби. Када је програм једноставан наредбе се извршавају једна за другом, по редоследу како су написане. Међутим, постоје сложени програми када се наредбе не морају тако извршавати. ОCTAVE има више наредби које омогућавaју кориснику да управља током програма. То су наредбе: if, switch, for, while, else, break, error, РАЗГРАНАТИ АЛГОРИТМИ Линијске алгоритамске шеме су оне шеме код који се сваки алгоритамски корак извршава једанпут у току извршавања алгоритма. У случају да се наредбе извршавају највише једанпут, такве алгоритме називамо разгранати. За разгранате алгоритме користе се наредбе if и switch. Наредба if се користи за условно извршавање програма. Приликом извршавања програма прво се долази на исказ if. Ако је условни израз у исказу if тачан, програм извршава команде које непосредно следе, све до исказа end. Ако је условни исказ нетачан, програм прескаче команде између if и end и наставља да извршава команде иза исказа end. Облик разгранатог алгоритма са једним блоком: if исказ наредбе end. 47

57 Облик разгранатог алгоритма са два блока: if исказ наредбе 1 else наредбе end. 48

58 Облик разгранатог алгоритма са вишеструким гранањем: if исказ 1 наредбе 1 elseif исказ наредбе else наредбе 3 end. За уношење вредности променљиве може да се користи наредба input. Наредба има облик: ime promenljive=input ( tekst ). За исписивање излазних резултата користи се наредба disp. Наредба има облик: disp( tekst ). ПРИМЕР 1: За унапред задату вредност променљиве x израчунати вредност израза y, тако да, ако је x < следи да је y = x, за x = је y =, иначе је y = 4x. 49

59 >>> x=input('x=') x= 3 x = 3 >>> if x< >>> y=-*x >>> elseif x== >>> y= >>> else >>> y=4*x >>> end y = 1 ПРИМЕР : За унапред задате вредности променљивих a и b написати програм тако да се променљивој c додељује мања вредност од задате две. Уколико су вредности променљивих a и b једнаке потребно је да се исписује текст са обавештењем да је дошло до грешке. >>> a=input('a=') a= 1 a = 1 >>> b=input('b=') b= 3 b = 3 >>> if a<b >>> c=a >>> elseif b<a >>> c=b >>> else >>> disp('dogodila se greska') >>> end c = 1 Наредба switch се користи за условно извршавање програма. Приликом извршавања програма прво се долази на наредбу switch и израз који иде уз њу. Вредност добијена овим изразом одређује који сет наредби ће бити извршен. Уколико не постоји случај који садржи вредност израза извршавају се наредбе после резервисане речи otherwise. По извршењу наредби код прелази на наредбу end. 50

60 switch израз case вредност израза1 низ наредби case вредност израза низ наредби... otherwise низ наредби end ПРИМЕР 3: За унапред задату вредност променљиве a написати програм тако да се зависно од вредности променљиве програм исписује који је то дан у недељи. >>> a=input('a=') a= 6 a = 6 >>> switch a >>> case 1 >>> disp('ponedeljak') >>> case >>> disp('utorak') >>> case 3 >>> disp('sreda') >>> case 4 >>> disp('cetvratak') >>> case 5 >>> disp('petak') >>> case 6 >>> disp('subota') >>> case 7 >>> disp('nedelja') >>> otherwise >>> disp('ne postoji dan sa tim rednim brojem') >>> end 51

61 6.3. ЦИКЛИЧНИ АЛГОРИТМИ Цикличне алгоритамске шеме су оне шеме у којима се један или више алгоритамских корака може извршавати више од једнпут у току извршавања алгоритма. Ови кораци чине циклус. Уколико је услов испуњен излази се из циклуса, у супротном циклус се понавља. Услов за излазак из циклуса зове се излазни критеријум циклуса. For петља омогућава понављање дела програма задати број пута. Завршава се командом end. Облик петље: for променљива=израз наредбе end ПРИМЕР 4: За све вредности променљиве x { 1,,3,4,5,6} израчунати вредност функције y = sin x. >>> for x=1:5 >>> y (x)=sin(*x); >>> end >>> y y = While петља користи се за понављање скупа наредби докле год је неки услов тачан и када није познат број пролаза кроз петљу унапред. Услов је обично неко поређење у коме се користе релацијски логички оператори. Облик петље: while израз наредбе end ПРИМЕР 5: Израчунавати вредности променљиве x, по закону x = x, догод је x 15. Почетна вредност променљиве x је 1. >>> x=1; >>> while x <=15 >>> x >>> x=*x; >>> end x = 1 5

62 x = x = 4 x = 8 Део програма између while и end извршава се све док је израз који следи после while истинит. ПРИМЕР 6: Нека је s = Решити неједначину s < 1,5. 3 n >>> n=; >>> s=0; >>> while s<1.5 >>> s >>> n >>> s=s+1/n; >>> n=n+1; >>> end s = 0 n = s = n = 3 s = n = 4 s = n = 5 s = n = 6 s = n = 7 ПРИМЕР 7: Написати алгоритам за израчунавање суме S = n i= 1 i!, где n уноси корисник. Користити само једну петљу за израчунавање факторијела и збира. Није потребно приказивање међурезултата. >>> n=input('n=') n= 4 53

63 n = 4 >>> s=0; >>> i=1; >>> pomf=1; >>> while i<=n >>> s=s+pomf; >>> i=i+1; >>> pomf=pomf*i; >>> end >>> s s = 33 ЗАДАЦИ: 1. Написати код који за унете вредност променљивих a, b и c враћа најмањи од њих користећи разгранати алгоритам.. Написати програм који одређује збир π π π π s = sin + sin + sin +...sin За бројеве од 1 до 1000 формирати две суме и то тако да прва садржи само парне бројеве, а дуга само непарне. 4. Написати алгоритам за израчунавање производа уноси корисник. Користити само један циклус. n 1 P = i!, где n i= 1 54

64 Вежба 7 М документи ЦИЉ ВЕЖБЕ Циљ ове вежбе је дање упознавање са радом у програму ОCTAVE. Студенти кроз примере уче писање командних и функцијских докумената. Писање докумената различитог типа помоћиће студентима у решавању сложенијих проблема УВОД Недостатак извршавања наредби у командном прозору (OCTAVE TERMINAL) је губљење унетих података и свих добијених резултата након завршетка рада у ОCTAVE. Зато се намеће потреба за формирањем докумената (фајлова) у које се могу сместити програми, нумерички резултати, графици, структуре, a који ће остати трајно сачувани и по потреби бити позивани од стране корисника. Команде се упишу у фајлове, сниме и затим покрену. Покретањем таквог фајла команде се извршавају редом којим су наведене. M фајлови су специфичност програма ОCTAVE. То су фајлови који садрже текст у ASCII коду и у имену имају екстензију.m. Постоје две врсте М фајлова: командни (script) и функцијски (function). 7.. KOMАНДНИ ДОКУМЕНТИ Командни или скрипт документ представља низ OCTAVE команди снимљених као засебан програм, које се извршавају када се фајл позове. Формирање фајлова врши се коришћењем едитора текста који се у OCTAVE програмском пакету покреће тако што се из менија View командног прозора бира команда Dock Tools, а затим опција Editor. Други начин да се отвори Editor је кликом на иконицу. 55

65 Тада се отвара нов прозор за писање програма. Команде се пишу ред по ред. OCTAVE аутоматски додељује број новом реду када се притисне тастер Enter. Скрипт фајл мора бити снимљен да би се могао покренути. То се ради наредбом Save As из менија File Editor-a, после чега бира се место где ће се снимити фајл и име под којим се снима. Правила за имена су иста као и за имена променљивих (почињу словом, могу садржати цифре и имају највише 63 знака). Имена скрипт фајлова не могу бити имена OCTAVE команди или имена променљивих које дефинишете. Програм се извршава укуцавањем имена фајла без екстензије и притиском на тастер Enter или кликом на иконицу. Промена између Editor-a и Octave Terminal-a где ће бити прикзан резултат извршавање документа врши се помоћу падајућег менија приказаног на следећој слици. 56

66 ПРИМЕР 1: Написати фајл за одређивање збира квадрата првих двадесет природних бројева и сачувати фајл под именом zbirkvadrata. #Ime ovog dokumenta je zbirkvadrata s=0; for i=1:0 s=s+i^; end s >>> #Rezultat izvrsavanja je prikazan na Terminalu >>> zbirkvadrata s = 870 Сваки пут када нам је потребан овај резултат, довољно је само откуцати реч zbirkvadrata, под којим смо упамтили овај фајл и притиснути тастер Enter. Као резултат добијамо: Уколико желимо да променимо вредности у фајлу, морамо га отворити, променити жељене вредности и поново снимити овако измењени фајл. ПРИМЕР : Изменити фајл под именом zbirkvadrata. тако да број сабирака буде произвољан. Вредност променљиве унети наредбом input. #Ime ovog dokumenta je zbirkvadrata s=0; x=input('unesi broj željenih sabiraka, x=') for i=1:x s=s+i^; end s >>> #Rezultat izvrsavanja je prikazan na Terminalu >>>Unesi broj željenih sabiraka, x= 10 x = 10 s =

67 Сваки пут када нам је потребан збир квадрата произвољно много бројева, довољно је само откуцати реч zbirkvadrata, под којом смо упамтили овај фајл и унети број жељених сабирака ФУНКЦИЈСКИ ДОКУМЕНТИ Функцијски фајл омогућава кориснику програма OCTAVE да ствара нове функције. Функцијски фајлови се пишу и уређују исто као и скрипт фајлови. Основна особина функцијског фајла је да има улаз и излаз. Функцијски фајлови морају у првој линији да садрже наредбу function. Наредба има облик: function [ излазни аргументи y1, y, ] = ime funkcije (улазни аргументи x1, x, ), function ime funkcije (x1, x, ), или function [y1, y, ] = ime funkcije. После овога израза следи низ OCTAVE команди и израза. ПРИМЕР 3: Формирати функцијски фајл у коме се дефинише нова x функција f ( x) = log и запамтимо га под именом FL. x + 1 # Ove je funkcijski fajl # Ime ovog fajla je FL function y=fl(x) y=log10(x/(x+1)); end Ако желимо да израчунамо вредност ове функције, довољно је да позовемо функцију FL и дефинишемо вредност променљиве, на пример x = 1. >>>error: `x' undefined near line 4 column 9 error: evaluating argument list element number 1 error: evaluating argument list element number 1 FL.m at line 4, column 58

68 # Terminal javlja gresku zato sto jos uvek ne zna vrednost za x >>> FL(1) ans = ПРИМЕР 4: Формирати функцијски фајл у коме се дефинише функција x x 1 ( ) f x = e + под именом FEI, а да се вредност независно променљиве унеси коришћењем наредбе input. # Ove je funkcijski fajl # Ime ovog fajla je FEI function y=fei x=input('uneti vrednost za x, x=') y=exp(x/(x+1)); end Позивањем функције FEI и одговором на постављено питање добићемо решење. >>> FEI Uneti vrednost za x, x= x = ans = ПРИМЕР 5: Формирати функцијски фајл под именом ime којим се одређује број слова у неком имену. % Funkcijski fajl ime kojim se odreñuje broj slova u imenu function br(x) x=input('unesi svoje ime:','s') % oznaka 's' u naredbi označava da se unose stringovi n=length(x); disp(['broj slova u imenu je ',numstr(n)]) >>> ime unesi svoje ime: marko x = marko broj slova u imenu je 5 59

69 У наредби disp, текст се састоји од два дела. Први део је текст (string), а други резултат програма за n - број који мора да се наредбом numstr пребаци у знак (string). ПРИМЕР 6: Формирати функцијски фајл под именом KOMPL, који за два произвољна комплексна броја одређује њихове модуле и аргументе. # Ime ovog funkcijskog fajla je KOMPL function [r1,r,fi1,fi]= KOMPL(z1,z) z1=input('unesi prvi kompleksni broj, z1='); z=input('unesi drugi kompleksni broj, z='); r1=abs(z1) r=abs(z) fi1=angle(z1) fi=angle(z) end KOMPL >>>Unesi prvi kompleksni broj, z1= 1+i Unesi drugi kompleksni broj, z= 1+3i r1 = r = fi1 = fi = Користећи формиране фајлове можемо формирати нове функцијске фајлове. ПРИМЕР 7 : Формирати функцијски фајл који ако је улазна величина већа од нуле рачуна збир бројева од 1 до тог броја, а ако је мања од нуле рачуна суму логаритама за основу 10 од 1 до тог броја. Уколико је улазна величина једнака нули резултат је нула. function y=rac(x) if x>0 s=0; for i=1:x s=s+i; 60

70 end y=s elseif x<0 m=0; for i=1:x m=m+log10(i); end y=m else y=0 end RAC(5) y = 15 ЗАДАЦИ : 1. Направити скрипт фајл за цртање функције y = cos x, на интервалу [ 0, π ] Нека је a n = Написати функцијски фајл којим се 3 n одређује сума за произвољно n. 3. Формирати функцијски фајл под именом име којим свако уноси своје име и презиме, пребројава број слова и ако је тај број мањи од 15 одређује модуо и аргумент комплексног броја z = 1+ 3i, а ако је већи од 15 израчунава суму кубова првих 30 природних бројева. 4. Направите функцијски фајл који рачуна реална решења једначине ax + bx + c = 0. Коефцијенте a,b,c уноси корисник, дискриминанта се рачуна по формули d = b 4ac. Aкo je: d > 0 приказује поруку Једначина има решења и израчунава x 1и x. d = 0 приказује поруку Једначина има 1 решење и израчунава га. d < 0 приказује поруку Једначина нема решење. Напомена: решења се рачунају по формули x 1, b ± b 4ac =. a 61

71 6

72 Вежба 8 Једначине и системи једначина ЦИЉ ВЕЖБЕ У овој вежби студенти помоћу програма ОCTAVE проналазе корене полинома. Уче да сабирају, одузимају, множе и деле полиноме користећи функције програма. Кроз теоријску основу и практичне примере приказане су и Кремерова и матрична метода решавања система једначина СРЕЂИВАЊЕ ПОЛИНОМА За дефинисање полинома у програму се користе вектори, чији су елементи коефицијенти полинома. Први елемент вектора је коефицијент уз највиши степен члана полинома, други је коефицијент уз члан са једним степеном ниже... За израчунавање решења, корена, односно нула полинома користи сенаредба roots. Наредба има облик r = roots (p), r je вектор који садржи решења полинома, а p вектор који садржи коефицијенте полинома. ПРИМЕР 1: Одредити нуле полинома x 5x + 6 = 0. >>> p=[1-5 6]; >>> r=roots(p) r = 3 Са друге стране, када су позната решења полинома, помоћу наредбе poly могу се одредити коефицијенти полинома, односно написати полином. Наредба има облик p=poly (r), 63

73 r је вектор који садржи решења полинома, а pје вектор који садржи коефицијенте полинома. ПРИМЕР : Одредити полином чија су решења x = и x = 3. >>> r=[ 3]; >>> p=poly(r) p = Дакле, тражени полином је x 5x + 6. Вредност полинома у тачки x може се израчунати помоћу функције polyval. Наредба има облик: polyval (p,x), где је p вектор који садржи коефицијенте полинома, а x је број, променљива којој је додељена вредност или израз који се може рачунати. ПРИМЕР 3: За полином: x = x 1.1x x x 71.95x нацртати график полином за 1.5 x f ( ) 88 израчунати ( 9) >>> p=[ ] p = >>> polyval(p,9) ans = >>> x=-1.5:0.1:6.7; >>> y=polyval(p,x); >>> plot(x,y) f и

74 8.. ОПЕРАЦИЈЕ СА ПОЛИНОМИМА Полиноми се сабирају и одузимају тако што се саберу, односно одузму коефицијенти полинома (одговарајућих монома). p1 x = 3x x 4x + 6 и 3 ПРИМЕР 4: Сабрати полиноме ( ) 4 3 p ( x) = x + x x x >>> p1=[ ]; >>> p=[ ]; >>> p=[0 p1]+p p = Како полиноми нису истог степена краћи вектор се мора допунити нулама да би био исте величине као дужи вектор. Полиноми се множе помоћу наредбе conv. Наредба има облик c=conv (a,b), c је вектор коефицијената полинома резултата, а a и b су вектори коефицијента полинома који се множе. ПРИМЕР 4 : Помножити полиноме p 1 и p. >>> c=conv(p1,p) c = Дакле, решење је полином x + 4x 9x + 3x + 49x 3x x + 6 Полиноми се деле помоћу наредбе deconv. Наредба има облик [q,r]=deconv (a,b), q је вектор коефицијената полинома количника, r вектор коефицијената полинома остатка, a је вектор коефицијента полинома бројиоца, bје вектор коефицијента полинома имениоца. p1 x = x + 9x + 7x 6 и ПРИМЕР 5: Поделити полиноме ( ) 3 p ( x) = x +. 3 >>> p1=[ 9 7-6]; 65

75 >>> p=[1 3]; >>> [q r]=deconv(p1,p) q = 3 - r = Добијамо да је количник полином x 3x +, без остатка РЕШАВАЊЕ ЈЕДНАЧИНА СА ЈЕДНОМ ПРОМЕНЉИВОМ Једначина са једном променљивом има облик f ( x ) = 0. За израчунавање нула функције користи се наредба fzero. Наредба има облик x=fzero('funkcija',x 0 ), x је скаларна вредност. Функција се уноси у облику знаковног низа (string). Функција се претходно може дефинисати у функцијском фајлу, а име функције се задаје у облику знаковног низа. x 0 је вредност променљиве x у близини места где функција пресеца x осу. x 0 може бити скалар чија је вредност блиска тачки пресека функције са x осом или вектор са два елемента чије су вредности тачке на супротним странама решења. Ако има више решења свако се израчунава за себе. Почетно решење x 0 се може одредити графичким путем. Функција fzero проналази само решења у којима функција пресеца x осу. x ПРИМЕР 6: Наћи решења једначине xe = 0. Приближна решења одређујемо графички. >>> fplot('x*exp(-x)-0.',[0 8]);grid 66

76 0. x.*exp(-x) Са слике читамо да су приближна решења 0,3 и, ТЕОРИЈСКЕ ОСНОВЕ РЕШАВАЊА СИСТЕМА ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА КРЕМЕРОВОМ И МАТРИЧНОМ МЕТОДОМ За решавање система од n линеарних једначина са n непознатих могу да се користе разне методе: Гаусова, Крамерова, матрична. Основе Кремерове методе су дате у наставку текста. Дат је систем од n једначина са n променљивих: a x + a x + + a x = b n n 1 a x + a x + + a x = b 1 1 n n a x + a x + + a x = b Уочимо следеће детерминанте: n1 1 n nn n n,,. D = a a a a k 1n a a a a 1 k n a a a a n1 n nk nn детерминанта система. a a b a n a a b a Dk = 1 n a a b a n1 n n nn детерминанта која одговара непознатој x k ; k = 1, n. Крамерово правило: 67

77 Ако је детерминанта система D 0, тада систем има јединствено решење. Dk xk =, k = 1,,, n. D Ако је детерминанта система D = 0, а бар једна од детерминанти Dk 0, k = 1,,, n, систем нема решења. Ако је детерминанта система D = 0, и све детерминанте D k = 0, k = 1,,, n, систем је неодређен и ако има решења може их имати само бесконачно много. Основе матричне методе дате су у наставку текста. Дат је систем од n једначина са n променљивих: a x + a x + + a x = b n n 1 a x + a x + + a x = b 1 1 n n a x + a x + + a x = b n1 1 n nn n n Систем се може написати у матричном облику као: AX,,. = B, где је a11 a1 a1 n x1 b1 a1 a a n x b A =, X =, B =. a a a x b n1 m nn n n Под претпоставком да је матрица A регуларна, тј. да јој је детерминанта 1 различита од нуле, систем има јединствено решење X = A B КРАМЕРОВА МЕТОДА У ПРОГРАМУ ОCTAVE ПРИМЕР 7 : Креирати фајл Cramer за решавање система линеарних алгебарских једначина користећи Крамерово правило. % Novi fajl pod imenom Cramer %Rešavanje sistema AX=B- Cramerovim pravilom % m,n su dimenzije matrice A % samo kvadratni sistemi se mogu rešavati ovom metodom function X=Cramer(A,B) %odreñivanje dimenzija matrice A 68

78 [m,n]=size(a); if m ~= n, error('matrica nije kvadratna'), end if det(a)==0, error('matrica je singularna'), end for j=1:n, C=A; C(:,j)=B; X(j)=det(C)/det(A); end X=X'; ПРИМЕР 8: Користећи креирани фајл Cramer решити систем једначина x 4y z = 0 x + y + z = 6 3x + 6y = 6 >>> A=[ -4-1 ; -1 ; 3 6 0]; >>> B=[0 ; 6 ; 6]; >>> Cramer(A,B) ans = 0 4 ПРИМЕР 9 : Користећи креирани фајл Cramer решити систем једначина x + 3y + z = 1 x + 3y z = 1. x 6y + z = 3 >>> A1=[- 3 1;1 3 -;1-6 1]; >>> B1=[1;1;3]; >>> Cramer(A1,B1) >>>error: Matrica je singularna 8.6. МАТРИЧНА МЕТОДА У ПРОГРАМУ ОCTAVE 69

79 ПРИМЕР 10 : Решити систем једначина матричном методом x + 3y + z = 1 x + 3y z = 1. x 6y + z = 3 A=[- 3 1;1 3 -;1-6 -1] A = >>> B=[1;1;3] B = >>> X=inv (A)*B X = ПРИМЕР 11: Решити систем једначина матричном методом и користећи креирани фајл Cramer. Упоредити овако добијена решења. x + 3y + z = 11 3x + 5y + z = 19 x + y + 3z = 14 >>> M=[, 3, 1 ; 3, 5, ; 1,, 3]; >>> N=[11 ; 19 ; 14]; >>> X1=inv(M)*N X1 = >>> X=Cramer(M,N) X = 70

80 ЗАДАЦИ: 1. Решити једначину x x + 1 = 0 користећи наредбу fzero. 4. Написати скрипт фајл којим се за унете полиноме: p x = x + 3x + x 1x 3x + 7x + и ( ) ( x) = x 6x + x 3x 5 q, одређује производ, количник и нуле (корени) збира полинома Нацртати график полинома y = 0.0x 0.75x + 1.5x у опсегу 6 x Решити систем једначина: x + 3y z = 1 x y + z = 3 x + z = 7 матричном методом и користећи креирани фајл Cramer. Упоредити овако добијена решења. 71

81 7

82 Вежба 9 Симболичка математика у програму Maxima ЦИЉ ВЕЖБЕ Упознавање студената са решавањем симболичких проблема у софтверском пакету MAXIMA, кроз примере и задатке за самостално решавање. Коришћење симболичке математике ће даље омогућити решавање проблема из области интеграла и извода 9.1. УВОД У ПРОГРАМ MAXIMA MAXIMA је компјутерски алгебарски систем, који омогућава симболичко решавање математичких проблема. Како рад у програму MAXIMA захтева писање у командној линији ми ћемо користити WXMAXIMA, програм који представља графички интерфејс за софтвер MAXIMA. Када су програми инсталирани, покретањем софтвера WXMAXIMA појављује је основни прозор програма који изгледа као на следећој слици. Алгебарски оператори који се користе у програму MAXIMA су исти као у програму ОCTAVE. Крај команде се у програму MAXIMA обележава са ;, при чему се тада резултат извршавања приказује на екрану. У случају завршавања команде са знаком $, резултат извршавања се не приказује. Када је потребно извршити команду притисну се тастери SHIFT-ENTER. Коментар у програму MAXIMA се пише под дуплим знацима навода. MAXIMA аутоматски означава све линије кода. Свака од ознака почиње са знако %, затим следи i за улазне команде или о за излазне. Све командне линије се аутоматски, од стране програма и нумеришу. Ове ознаке се користе у даљем раду. Када желимо да извршимо неку операцију на изразу позивамо се на његову ознаку. За последњу улазну линију може се користити и скраћена ознака, само знак %. 73

83 Додељивање вредности променљивој се врши помоћу знака :. Додељивање вредности функцији се врши помоћу знака : =. 9.. СИМБОЛИЧКИ ИЗРАЗИ Симболички објекти могу бити променљиве (којој није додељена нумеричка вредност), бројеви или изрази састављени од симболичких променљивих и бројева. ПРИМЕР 1: Написати симболички израз f = ax + bx + c. (%i1) (%о1) f:a*x^+b*x+c; a*x^+b*x+c ПРИМЕР : Израчунати вредност израза y = + b за a = 3 и b = 4. a Прво узети да су а и b симболичке променљиве, а затим их задати као нумеричке вредности. (%i ) (%o) (%i 3) (%o3) 8/3 (%i 4) y(a,b):=/a+sqrt(b); y(a,b):=/a+sqrt(b) y(3,4); float(%); 74

84 (%o4) Наредба float омогућава претварање броја у децимални запис. Као аргумент ове наредбе у претходном примеру коришћен је знак %, што значи да се односи на претходну команду РЕШАВАЊЕ ЈЕДНАЧИНА Решавање једначина и система једначина врши се наредбом solve. Наредба има облик : solve(jednačina, promenljiva ). ПРИМЕР 3: Решити једначину x 5 = 0 (%i 5) (%o5) solve(*x-5=0, x); [x=5/] Једначина садржи једну улазну симболичку променљиву x, а решење је број. ПРИМЕР 4: Решити једначину ax bx c + + = 0. (%i 6) solve(a*x^ + b*x + c = 0, x); (%o6) Једначина садржи више улазних симболичких променљивих x, a, b, c, а решење је симболичка променљива у функцији улазних параметара a, b, c РЕШАВАЊЕ СИСТЕМА ЈЕДНАЧИНА Наредба за решавање система линеарних једначина има облик : linsolve([jednačina 1, jednačina,...], [promenljiva1 promenljiva,...,]). Наредба за решавање алгебарског система једначина има облик : algsys ([jednačina 1, jednačina,...], [promenljiva1 promenljiva,...,]). 75

85 Наредба за брисање свих претходно дефинисаних променљивих jе remvalue(all);. Ову наредбу користимо ако желимо да нека променљива има нову вредност и више не користи претодно дефинисану. ПРИМЕР 5: Решити систем једначина x + 5y = 3и x y = 4. linsolve([x+5*y=3, *x-y=4], [x,y]); Како је систем сагласан и има једнозначно решење, ми га видимо на екрану као пар бројева. ПРИМЕР 6: Решити систем једначина x + 5yz = 3и x y = 4. remvalue(all); [y,x] linsolve([x+5*y*z=3, *x-y=4], [x,y]); Напомена: Како је систем сагласан, а има бесконачно много решења, ми решење видимо на екрану као симболичку променљиву изражену у функцији променљиве z. ПРИМЕР 7: Одредити пресек круга x + y = 41и праве y x 1 = 0. algsys([x1^+y1^=41, y1-x1=1], [x1,y1]); 9.5. ЦРТАЊЕ ГРАФИКА КРИВЕ СИМБОЛИЧКОГ ИЗРАЗА Цртање графика симболичког израза у програму MAXIMA се ради коришћењем наредбе wxplotd. Наредба има облик : wxplotd ([jednačina 1, jednačina ], [x, xmin,xmax], [y, ymin,ymax]);. ПРИМЕР 8: Проверити графички решење претходног примера. wxplotd([sqrt(41-x^),-sqrt(41-x^),x+1], [x,-10,10],[y,-10,10]), 76

86 wxplot_size=[400,400]; Наредба wxplot_size је додата у код да би график који се добија има облик квадрата, а не стандардног правоугоаника који функција генерише. ПРИМЕР 9: Нацртати график функције y = x + x + 1. Подесити макисмалне и минималне вредности тако да је су приказани нуле и теме параболе. wxplotd([x^+*x+1], [x,-5,5],[y,0,10]); 77

87 ПРИМЕР 9: Нацртати график функција интервалу ( 0, 4π ) по x оси. y = cos x и y = sin x, на wxplotd([sin(x),cos(x)], [x,0,4*%pi],[y,-1.5,1.5]); Обатити пажњу како је написана константа pi у претходном примеру. Коришћен је знак % непосредно пре уграђене константе. ЗАДАЦИ: 1. Решити једначину. Решити једначину x ax x = bx = Решити систем једначина x y 1 = 0 и x + y + 4 = 0. x 4. Нацртати функцију y = e + 1у различитим доменима. 5. Испитати узајамни положај круга x а) x + y 4 = 0, б) x + y 1 = 0, + y = 1и правих в) x + y = 0. Водити рачуна да се једначина круга као и једначине праве приликом графичког решавања морају представити као функције од x. Задатак урадити рачунски и графички. 78

88 Вежба 10 Гранична вредност и извод функције ЦИЉ ВЕЖБЕ Упознавање студената са наредбама за одређивање граничних вредности и извода функција у софтверском пакету MAXIMA, кроз примере и задатке за самостално решавање. Обрађени су изводи првог и вишег реда. Дата је примена извода на испитивање функције ТЕОРИЈСКЕ ОСНОВЕ ИЗВОДА Нека је функција f ( x ) дефинисана у околини тачке x. Произвољну малу величину x називамо прираштај аргумента x. Када се независна променљива, аргумент, промени од x до x + x, тада f x + x, тј. за величину се вредност функције промени од f ( x ) до ( ) y = f ( x) = f ( x + x) f ( x), која се назива прираштај функције. Ако постоји гранична вредност x 0 x 0 тада кажемо да је f ( x) f ( x ) у датој тачки x. ( + ) ( ) y f x x f x lim = lim = y = f x x x ( ) први извод функције или извод функције Поступак налажења извода назива се диференцирањем. Ако је f ( x) коначна вредност, тада кажемо да је функција диференцијабилна у датој тачки x. Ако су функције f ( x ) и g ( x ) диференцијабилне у тачки x, тада је: ( C f ( x )) C f ( x), ( C const. ) = = ; 79

89 ( f ( x) g ( x )) f ( x) g ( x) ± = ± ; ( f ( x) g ( x )) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) = + ; f ( x) f ( x) g ( x) g ( x) f ( x) =, ( g ( x) 0). g ( x) g ( x). Нека је f ( x ) диференцијабилна функција, тј. постоји њен извод f ( x) Ако постоји извод функције извода f ( x) извод функције f ( x ) и обележава са f ( x) ( 4 дефинишу f ( x), f ) ( x ), извод., он се дефинише као други. На сличан начин се 10.. ГРАНИЧНА ВРЕДНОСТ ФУНКЦИЈЕ Наредбом limit рачуна се гранична вредност симболички задате функције. Наредба има облик limit(f,promenljiva, a), где је f функција, a вредност којој тежи независно променљива x. ПРИМЕР 1: Наћи граничну вредност функције lim x 1 x x 1 + x 3. (%i1) (x^-1)/(x^+*x-3); (%о1) (%i ) limit(%, x, 1); (%o) Други начин одређивања граничне вредности је коришћењем менија програма MAXIMA. Из менија Calculus потребно је изабрати Find Limit... Бирањем ове наредбе отвара се прозор, где је потребно попунити податке, као за нередбу limit. Исправно попуњен прозор за претходни пример дат је на следећој слици. Потврђивањем уноса програм аутоматски генерише решење. 80

90 ПРИМЕР : Наћи граничну вредност функције lim x x x 1 + x 3. limit(%о1, x, inf); 1 Да би се претходни пример решио користећи мени програма, потребно је попунити прозор као на претходној слици, а за вредност којој тежи променљива кликнути на ознаку Special и за бесконачност изабрати Infinity. Прозор је приказан на наредној слици ИЗВОД ФУНКЦИЈЕ Наредбом diff добија се извод симболички задате функције. Наредба има облик 81

91 diff(f,promenljiva) diff(f,,promenljiva n) први извод функције, n-ти извод функције. ПРИМЕР 3: Наћи први извод функције 3 y = x sin x. diff(x^3*sin(x),x); Други начин одређивања граничне вредности је коришћењем менија програма MAXIMA. Из менија Calculus потребно је изабрати Differentiate. Бирањем ове наредбе отвара се прозор, где је потребно попунити податке, као за нередбу diff. Исправно попуњен прозор за претходни пример дат је на следећој слици. Потврђивањем уноса програм аутоматски генерише решење. ПРИМЕР 4: Наћи други извод задате функције. x^3*sin(x); diff(%,x,); ПРИМЕНЕ ИЗВОДА - ОДРЕЂИВАЊЕ ЕКСТРЕМНИХ И ПРЕВОЈНИХ ТАЧАКА Екстремне вредности функције добијамо као нуле првог извода функције, а превојне тачке као нуле другог извода функције. ПРИМЕР 5: Одредити екстремне и превојне тачке функције. Нацртати функцију. x y = e (3x x ). 8

92 y(x):=exp(x)*(3*x-*x^) $ IZRACUNAVANJE EKSTREMA $ Odedjivanje prvog izvoda funkcije $ diff(y(x),x,1); Nule prvog izvoda solve(%); y(-3/); float(%); y(1); %e float(%); IZRACUNAVANJE PREVOJNIH TACAKA $ Odedjivanje drugog izvoda funkcije $ diff(y(x),x,); Nule drugog izvoda solve(%); float(%); [x= ,x= , ^x=0.0] 83

93 y(-.85); y(0.35); CRTANJE GRAFIKA $ wxplotd(y(x), [x,-5,5],[y,-5,5]); ЗАДАЦИ: x 1. Израчунати lim x x 1. x. Израчунати lim x 1 x Наћи први извод функције 4. Наћи трећи извод функције x y = xe. y = x n e x. 5. Одредити екстреме и превојне тачке функције функцију. x y =. Нацртати x 84

94 Вежба 11 Примена извода Тејлорова формула ЦИЉ ВЕЖБЕ Студенти кроз теоријски приказ и практичну реализацију у софтверском пакету MAXIMA савладавају Тејлорову формулу. Кроз примере и задатке представљени су Тејлорови полиноми жељеног ред и у околини жељене тачке ТЕОРИЈСКЕ ОСНОВЕ ТЕЈЛОРОВЕ ФОРМУЛЕ Ако je функција f ( x ) у некој околини тачке a n пута диференцијабилна тада је: f x = P x + R x, где је полином ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '( )( ) ( )( ) n 1 1 n ( n ) ( )( ) n Pn x = f a + f a x a + f a x a + + f a x a, n! а грешка је: 1 ( ) ( ) ( ) n+ 1 ( n+ 1 R ) n x = x a f ( c), c ( x, a ) или c ( a, x ) n + 1! Ако се узме да је c = a + θ ( x a), где је 0 < 1 1 R x = x a f a + x a n ( ) ( ) ( ) ( ) n+ 1 ( n+ 1) θ ( ) n + 1! Ово је Лагранжеов облик грешке. Полином Pn ( x) се назива Тејлоров полином у тачки a... < θ, грешка има облик За случај када је тачка a = 0 добија се Маклоренов развој: 1 1 ( n ( ) ( ) ( ) ( ) ) n 1 ( n ( 0) ) n f x = f + f x + f x + + f x + f ( θ x) x. n! 1! Маклоренови развоји неких важнијих функција: ( n + ) 85

95 e x n k θ x x x x e n+ 1 x. = = + 1!! k! 1! k= 0 k = 1 ( n + ) k n k ( 1) cos ( ) ( k ) ( n + ) k n+ 1 k ( 1) cosθ x ( ) ( k ) ( n + ) 3 5 n 1 x x 1 x θ x n+ 1 sin x = x + = 1 + x. 3! 5! 1! 1! x x x cos x = 1 + = 1 +! 4!!! 4 n n+ x. k = 0 n α α α α α n 1 n+ 1 x x x x x x. 1 k n + 1 α k ( 1+ ) = = + ( 1+ θ ) k= 0 n n+ 1 k k k + 1 x ( ) ( ) n+ k= 0 1 = 1 x + x = 1 x x 1+ ( θ x) 11.. МАКЛОРЕНОВ ПОЛИНОМ Наредбом taylor у софтверском пакету MAXIMA одређује се Маклоренов полином којим се апроксимира дата функција. Наредба има облик taylor(funkcija, promenljiva, 0, n), одређује се Маклоренов полином n-тог степена којим се апроксимира дата функција. ПРИМЕР 1: Одредити Маклоренов полином петог степена функције x y = e. taylor(exp(-x), x, 0, 5); Други начин одређивања Маклореновог полинома је коришћењем менија програма MAXIMA. Из менија Calculus потребно је изабрати Get Series.... Бирањем ове наредбе отвара се прозор, где је потребно попунити податке, као за нередбу taylor. Исправно попуњен прозор за претходни пример дат је на следећој слици. У пољу Expression уноси се функција, или се ставља ознака функције унесена у основном прозору. Поље Variable садржи име променљиве. 86

96 Point одређује вредност тачке у чијој околини се полином одређује. У случају Маклореновог полинома ова вредност је нула. Ред полинома се смешта у поље Depth. Потврђивањем уноса програм аутоматски генерише решење. ПРИМЕР : Одредити Маклоренове полиноме првог, трећег и једанаестог степена функције y = sin x и графички их представити. y1:taylor(sin(x), x, 0, 1); x+... y:taylor(sin(x), x, 0, 3); y3:taylor(sin(x), x, 0, 11); "Crtanje polinoma"$ wxplotd([y1,y,y3], [x,-5,5],[y,-,], [style,[lines,1],[lines,],[lines,3]]); 87

97 У претходном примеру наредба за цртање садржи и део [style,[lines,1],[lines,],[lines,3]]. Овај део служи за додељивање дебљине линији, па се тако у претходном изразу првој линиј додељује дебљина 1 (подразумеавана вредност), другој дебљина и трећој дебљина 3. ПРИМЕР 3: Одредити Маклоренове полиноме првог, трећег и петог степена функције f ( x) = ln(1 + x) и графички их представити. y1:taylor(log(1+x), x, 0, 1)$ y:taylor(log(1+x), x, 0, 3)$ y3:taylor(log(1+x), x, 0, 5)$ "Crtanje polinoma"$ wxplotd([y1,y,y3], [x,-,],[y,-,], [style,[lines,1],[lines,],[lines,3]]); 88

98 11.3. ТЕЈЛОРОВ ПОЛИНОМ Наредбом taylor у софтверском пакету MAXIMA одређује се Тејлоров полином којим се апроксимира дата функција. Наредба има облик taylor(funkcija, promenljiva, a, n), одређује се Тејлоров полином n-тог степена у околини тачке а којим се апроксимира дата функција. ПРИМЕР 4: Одредити Тејлоров полином четвртог степена функције π y = sin x у околини тачке x =. taylor(sin(x), x, %pi/, 4); 1 ПРИМЕР 5: Развити у Тејлорову формулу функцију f ( x) = x + 1 по степенима x +, односно у околини тачке a =, полиномом другог степена. taylor(1/(x+1), x, -, ); 89

99 ПРИМЕР 6: Развити у Тејлорову формулу функцију f ( x) = x по степенима x 1, до шестог степена. taylor(sqrt(x), x, 1, 6); ЗАДАЦИ: 1. Одредити Маклоренов полином десетог степена функције y = cos( x).. Функцију f ( x) ln(1 + x + x ) = развити у Маклоренов полином другог и четвртог степена и нацртати слику. 3. Функцију f ( x) ln ( 1 sin x) шестог степена и нацртати слику. = + развити у Маклоренов полином f x = x + 1 по 4. Развити у Тејлорову формулу функцију ( ) степенима x + 3, до петог степена. 5. Развити у Тејлорову формулу функцију f ( x) ln ( x) = по степенима 1 x, до петог степена. Упоредити овај полином са Маклореновим полиномом из премера 3. 90

100 Вежба 1 Интеграли ЦИЉ ВЕЖБЕ Упознавање студената нумеричким и симболичким израчунавањима интеграла у програму MAXIMA. Теоријски и практично обрађени су неодређени и одређени интеграли. Практична обрада подразумева коришћење уграђених команди програма MAXIMA за решавање интеграла ТЕОРИЈСКЕ ОСНОВЕ ИНТЕГРАЛА Нека је функција f ( x ) дефинисана на интервалу ( a, b). Функција F ( x ) зове се примитивна или првобитна функција функције f ( x ) акко је F ( x) = f ( x) или df ( x) = f ( x) dx. Ако је F ( x ) примитивна функција функције f ( x ) на интервалу ( a, b), тада је и било која функција облика F ( x) + C такође примитивна функција функције f ( x ), при чему је C произвољна константа. ( F ( x) C ) f ( x) + =. Скуп свих примитивних функција функције f ( x ) на интервалу ( a, b) зове се неодређени интеграл и обележава се: f ( x)dx односно f ( x ) d x = F ( x ) + C. Функција f ( x ) зове се подинтегралана функција, а сам поступак интегрирање. Ознаку за интеграл, као скраћеницу од латинске речи integralis кoја значи потпун, увео је Лајбниц. Ознака представља модификовано слово S које представља збир и потиче из дефиниције одређеног интеграла. Нека је функција f ( x ) дефинисана и ограничена на интервалу [, ] a b. 91

101 Криволинијски трапез представља фигуру ограничену осом Ox, f x, правама x = a и x = b. непрекидном ненегативном функцијом ( ) Oсновица криволинијског трапеза je интервал [ a, b ]. Поделимо интервал [ a, b ] на n произвољних делова тачкама a = x < x < x < x = b. 0 1 n 1 n Нека је x1 x0 = x1, x x1 = x,, xn xn 1 = xn У сваком интервалу xi xi 1 = xi, i = 1,, n изаберимо произвољну тачку ξ i и формирајмо производе xi f ( ξi ). Овај производ представља површину било ког правоугаоника страница и ( ) xi y = f ( x) f ξ. i a x 0 f ( ξ 1 ) b= x = n ξ 1 Уочимо збир површина свих овако добијених правоугаоника. ( ξ ) ( ξ ) ( ξ ) ( ξ ) S = f x + f x + + f x = f x n 1 1 n n i i i= 1 Ако постоји гранична вредност lim x 1 n ( ξ ) S = lim f x = I n i i max xi 0 max xi 0 n n i = 1 независно од поделе интервала [ a, b ] на n делова и избора тачака ξ i, број I, границу интегралних сума, називамо одређеним интегралом a, b и симболички га обележавамо: функције f ( x ) на интервалу [ ] b = a n ( ) I f x dx Функцију ( ) f x зовемо подинтегралном функцијом или интеграндом. Број a зовемо доњом, а број b горњом границом интеграла. 9

102 1.. НЕОДРЕЂЕНИ ИНТЕГРАЛ Наредбом integrate израчунава се неодређени интеграл симболички задатe функције. Наредба има облик: integrate (funkcija, promenljiva). 3x + 5 ПРИМЕР 1 : Израчунати интеграл dx. x + x + integrate((3*x+5)/(x^+*x+), x); Други начин одређивања неодређеног интеграла је коришћењем менија програма MAXIMA. Из менија Calculus потребно је изабрати Integrate... Бирањем ове наредбе отвара се прозор, где је потребно попунити податке, као за нередбу integrate. Исправно попуњен прозор за претходни пример дат је на следећој слици. У пољу Expression уноси се функција, или се ставља ознака функције из основног прозора коју програм аутоматски генерише (на пример %о1). Поље Variable садржи име променљиве. 3 ПРИМЕР : Израчунати интеграл ( 5x + 3x 5 x + 9)dx. integrate((5*x^3 + 3*x^ -5*(sqrt(x)) +9), x); 93

103 ПРИМЕР 3 : Израчунати интеграл x x x dx x + 3. integrate((x*sqrt(x) + x^(1/3)) / x, x); 1.3. ОДРЕЂЕНИ ИНТЕГРАЛ b Одређени интеграл f ( x) dx израчунавамо наредбом a integrate (funkcija, promenljiva, а, b), где су а и b границе интеграције. 3x + 3x + 1 ПРИМЕР 4: Израчунати dx. x( x 1)( x ) 3 integrate((3*x^+3*x+1)/x*(x-1)*(x-), x,, 3); float(%); Други начин одређивања неодређеног интеграла је коришћењем менија програма MAXIMA. Из менија Calculus потребно је изабрати Integrate... За разлику од рачунања неодређеног интеграла, овде је потребно чекирати поље Definite integration и унети вредности у поља From (доња граница интеграције) и To (горња граница интеграције). Исправно попуњен прозор за претходни пример дат је на следећој слици. По потврђивању уноса, програм генерише наредбу integrate и извршава је. 94

104 7 dx ПРИМЕР 5 : Израчунати интеграл 3. 8 x 1/x^(1/3); integrate(%, x, 8, 7); ПРИМЕР 6 : Израчунати интеграл b x e + 1 dx x e 1. a f:(exp(*x)+1)/(exp(*x)-1); integrate(f, x, a, b); "Is "b-a" positive, negative, or zero? p; "Is "b" positive, negative, or zero? p; "Is "a" positive, negative, or zero? p; integrate(f, x, a, b); 95