Др Душан Дамиан MATLAB. (Скрипте) Београд, 2015.

Transcript

1 Др Душан Дамиан ML Скрипте Београд

2 Матлаб УВОД Име Матлаб је настало као спој скраћеница од Mt Loto У овом програмском језику матрице су основни градивни елемент за даљи рад Скаларне величине се одређују као матрице или као дијагоналне матрице У Матлабу се могу радити и основни нумерички прорачуни Ознаке за основне рачунске операције су уобичајне Често се користи наредба cle ll којом се бришу претходно унесени подаци Z Сабрати матрице А и В ако је: >> =[ - ; - ; -]; >> =[ ; ;- -]; >> C=+ C = Mатрице могу да се записују у угластим заградама или позиционирањем елемената Z Одредити матрицу С= А*В ако је: >> =[ - - -]; >> =[ ; ;- ];

3 >> C=*; >> C C = -8 - Број елемената једнодимензионе матрице p одређује се наредбом: legth p >> p = [ 6-7]; >> legthp s Димензије матрице А одређују се наредбом sze >> cle ll >> =[ ; ]; >> [m]=sze m = = Z Одредити транспоноване матрице А и В ако је: Апостоф ' код матрице одређује њену транспоновану матрицу >> =[ - ; - ; -]; >> =[ ; ;- ]; >> ' ' s = s = - Наредбом еуеk добијају се јединичне матрице реда k Z Формирати јединичне матрице АВС петог трећег и другог реда >> cle ll >> = ee=eec=ee

4 = = C = Нула матрица од m-редова и -колона добија се наредбом zeosm Ове zeosm матрице могу добро да послуже код интерполационих полинома Матрица од m-редова и -колона чији су елементи јединице добија се наредбом oesm Z Одредити осно-симетричну матрицу матрице А где је оса симетрије права која је паралелна вектору колоне и геометриски полови матрицу А ако је: Ако помножимо матрицу А са косо-симетричном јединичном матрицом добићемо тражену симетричну матрицу >> cle ll >> =[ ; 6 7 8;9 ;9 ] >> =[ ]; >> M=* M =

5 Z 6 Одредити осно симетричну матрицу задате матрице А где је оса симетрије права која је паралелна вектору врсте и геометриски полови матрицу А: >> cle ll >> =[ ; 6 7 8;9 ;9 ] >> =[ ]; >> * s = Z 7 Одредити централно симетричну матрицу задате матрице А где је центар симетрије средиште матрице А: >> cle ll >> =[ ; 6 7 8;9 ;9 ]; >> =[ ; ; ; ]; >> S=** S = Z 8 За задату матрицу одредити А одредити А

6 одредити матрицу квадрата њених чланова одредити матрицу кубова њених чланова сваки члан матрице увећати за --- >> =[ - ; - ; -]; >> =^ = >> =^ = >> =^ = 9 >> =^ = >> =+ = На основу интерних правила квадрати чланова матрице А задају се наредбом А^ а сабирање сваког члана матрице А са бројем се врши наредбом А+ што је у матричном рачуну нешто као сабирање баба и жаба

7 Систем линеарних једначина Једначина са непознатих: облика где коефицијенти нису сви истовремено нуле је линеарна алгебарска једначина Њена лева страна представља линеарну форму Скуп решења ове једначине је скуп свих уређених -торки бројева идентички задовољавају који ту једначину Конјункција једначина: m m m m је систем од m линеарних алгебарских једначина са непознатих Он је нехомоген ако слободни чланови нису сви једнаки нули а хомоген је ако су сви слободни чланови једнаки нули Скуп решења система је скуп свих уређених -торки бројева које те једначине идентички задовољавају Ако систем има решења каже се да је решив сагласан могућ или конзистентан Уколико систем има само једно решење онда је то јединствено решење система Ако систем има више решења уводи се појам општег решења Ако систем нема решења каже се да је нерешив немогућ несагласан противуречан или неконзистентан Два система линеарних једначина су еквивалентна ако је свако решење првог система истовремено и решење другог система и ако је свако решење другог истовремено и решење првог система Из следећа два важна правила решавања обичне једначине са једном непознатом: - Ако левој и десној страни додамо исти број нова једначина је еквивалентна полазној - Ако леву и десну страну једначине помножимо бројем који је различит од нуле нова једначина је еквивалентна полазној произилазе правила за системе линеарних једначина

8 При следећим трансформацијама система настаје еквивалентан ситем: Међусобна замена било које две једначине Множење било које једначине бројем различитим од нуле Било која једначина се помножи неким бројем и дода другој једначини Систем једначина m m m m може да се запише у матричном облику X где је : m m m матрица система матрица слободних чланова X матрица непознатих Ако се матрици А допише на крају матрица слободних чланова добија се проширена матрица p m m m m Код линеарног система једначина имамо систем линеарних форми Ранг матрице је број независних форми који одређује та матрица тај систем Линеарни квадратни систем:

9 има једнак број једначина и непознатих Матрица система је X је матрица непознатих матрица слободних чланова Матрично записан систем линеарних једначина је X па се решење налази као X У програму Матлаб наредба за формирање оваквог решења се записује као X v * Z 9 Решити систем једначина 8 z 9 6 z -- >> =[ - - ; -8 ; - -]; >> =[-9-6 -]'; >> X=v* X = Стабилност решења система линеарних једначина види се при малим променама коефицијената-чланова матрице А а да су тада и незнатне промене решења система Када су чланови система приближно тачни са

10 неком грешком показатељ стабилности је cod ако је cod близу броја један онда је систем стабилан За нестабилне системе cod За сингуларне матрице А cod Матлаб садржи програм lsolve за троугаоне декомпозиције матрице система =LU и на основу њeга се постиже побољшано решавање линеарног система Системи једначина како линеарних тако и нелинеарних могу да се реше аутоматски наредбом solvef f f Z Решити систем једначинаако је = -- >> cle ll >> sms >> =; >> f=+-; >> f=+*-*; >> []=solveff = = Z Решити систем једначина -- >> cle ll >> sms >> f=^+^-; >> f=+*-; >> []=solveff = = х=7/ у= / Z Решити систем једначина а 8 8 б

11 У овом задатку - из књиге Увод у нумеричку анализу професора Добрила Тошића илуструје се стабилност система Мала промена коефицијената система довела је до велике промене код решења а >> cle ll >> sms >> []=solve'*-*-8''*-*-8' =: =- б >> cle ll >> sms >> []=solve'*-*-8''*-*-79996' =6: = Полиноми Полином променљиве х је израз облика: P где су коефицијенти полинома: комплексни бројеви Два полинома су једнака ако су им једнаки коефицијенти Полином P може да се представи: P Полином P је реалан ако су сви његови коефицијенти реални бројеви Чланови полинома P полинома је P су Најстарији члан Полином у Матлаб-у се задаје преко својих коефицијената у опадајућем низу На пример:

12 7 p [ 7] p [ ] 8 p [ 8] Сабирање два полинома у Матлабу као и у алгебри рачуна се помоћу њихових коефицијената Z Сабрати полиноме 6 и >> p = [ - - ]; >> p = [ - ]; >> p = p+p p = - -6 Множење два полинома у Матлабу рачуна се помоћу наредбе c = cov Где су и вектори коефицијената полинома На пример помножити 6 и >> = [ - - ]; >> = [ - ]; >> c=cov c = Дељење полинома u и v где је q полиномни резултат а остатак у Матлабу врши се помоћу наредбе [q ] = decovu v Z Одредити количник полинома u и v: u 9 v >> cle ll >> u = [ -9 -]; >> v=[ -]; >> [q ] = decovu v q =

13 = Функцијом polsmа можемо векторски запис полинома а да вратимо у уобичајен алгебарски начин Функцијоа polsmа креира симболички израз за полином описан вектором а >> cle ll >> = [ - - ]; >> S = polsm S =*^6 + *^ - *^ - *^ + Вредност полинома за одређену вредност променљиве х добија се простим задавањем променљиве и учитавањем полинома: >> cle ll >> =; >> = * ^ + 6 * ^ - 7 * + = или за исти полином да добијемо вредност полинома кад је х= >> cle ll >> =; >> = * ^ + 6 * ^ - 7 * + = Постоје и друге могућности за израчунавање вредности полинома Наредбом = polvlp израчунава се вредност полинома >> cle ll >> p = [ 6-7]; >> =; >> = polvlp = За изводе и интеграле полинома постоје већ уграђене функције Матлаба За извод полинома f је наредба dfff а за израчунавање интеграла полинома f је наредба tf И за друге функције за симболичко диференцирање и интеграљење могу да се користе ове наредбе Променљива се декларише на почетку програма са sms

14 Z Одредити извод D и интеграл I полинома >> cle ll >> sms >> f = ^+*^; >> D=dfff I=tf f D =8*^ + *^ I =^*8* + / За одређене интеграле користи се иста наредба интеграла и tf где су границе Z 6 Израчунати одређени интеграл О полинома f у границама cle ll sms f = ^+*^; O=tf O =8/ За несвојствене интеграле са позитивном бесконачном границом користи се: tfаf Z 7 Израчунати несвојствени интеграл d cle ll sms f = /^; >> tff s =/ Лагранжов интерполациони полином За две задате тачке M M интерполациони полином је првог степена: уствари непознате и одређују се из система једначина:

15 За три задате тачке M M M интерполациони полином је другог степена: Коефицијенти и одређују се из система једначина: За - задатих тачака M M M интерполациони полином - степена je: Коефицијенти одређују се из система једначинана основу Крамеровог правила:

16 Коефицијенти интерполационог полинома могу да се добију и помоћу матричног рачуна: За задатих тачака M M M интерполациони полином - степена je: Непознати коефицијенти из једначина одређују се матрично M W W M где су матрице МW W M Пошто постоји у Матлабу већ готов програм за Лагранжов интерполациони полином њега ћемо користити Z 8 За девет задатих тачкака =[ ]; =[ ] одредити интерполациони полином и представити график полиномне функције

17 cle ll =[ ]; =[ ]; p=::9; p=polvlpp; plot'o'pp lel'';lel'y' Y Сплајн интерполација За задатих тачака M M M интерполациони полином - степена je: Овако одређени полиноми осцилују између тачака M M M Да би зе избегле те осцилације користи се сплајн метода Најчешће коришћен сплајн је трећег степена чија је следећа дефиниција: На подели сегмрнта ] реална сплајн функција S [ задовољава да су њен први и други извод непрекидне функције да пролази кроз тачке M M M -као интерполациони полином он мора да пролази кроз задате тачкедок за апроксимативне полиноме то није обавезно На сваком подинтервалу ] Sх је полином трећег степена [ j j Z 9 За =[ ]; дванаест мерних временских интервала број возила који у раскрсници се кретао право је: у=[ ] У Матлабу одредити график кубног сплајн интерполационог полинома

18 6 8 cle ll =[ ]; =[ ]; =[::]; = sple; plot'o' График функције Наредбом plot'o' цртали смо полиномну функцију За израчунавање у-вектора коришћен је кубни интерполациони сплајн полином Суседне тачке у Матлабу спајају се дужима Од густине тих тачака наше око региструје различите криве Z Нацртати изломљену линијутако да суседне тачке буду спојене дужима: ;;; cle ll = :; =[ ]; plot

19 Z Нацртати изломљену линијукоја спаја суседне тачке дужима Вредности за х су [ ] а координате у-налазе се функцијом случајних бројева -- cle ll = :; = d; >> = >> plot поново копирани програм у Матлабу даје следећи график функције cle ll = :; = d; >> = >> plot

20 Наредба у Матлабу којом целобројна псеудослучајна променљива N симулира бацања коцкице: N=fd*6+ cle ll N=fd*6+ N = 6 Z Помоћу псеудослучајних бројева симулирати бацање коцке сто пута cle ll >> M=fd*6+ Z Помоћу псеудослучајних бројева симулирати бацање две коцкице 6 пута Регистровати добијене бројеве и њихов збир и одступање збира од броја 7 cle ll N=fd6*6+;M=fd6*6+; >> N N = >> M M = 6 6

21 >> P=N+M 6 P = >> S=P-7 S = Z За у интервалу [-] при кораку нацртати синусоиду cle ll = -::; = s; plot Z За х од - до кораком у координатном систему нацртати Гаусову криву e cle ll = -::; = ep-^; plot

22 Наредбом s - одређује се домен кордината Наредба s[-7 7 7] одређује да је на оси х: 7 7 а на оси у: 7 Z 6 За х од - до кораком у координатном систему нацртати криву e cost cle ll t=-*p:p/:p; =ep*cost; plott s[-7 7 7] Z 7 За представљање површи у три димензије користи се наредба mesh За раван у=х написати програм за њену илустрацију у аксонометрији тродимензионалног простора =-7::7; =; [XY]=meshgd; >> meshxy

23 Криве линије у тродимензионалном простору представљају се наредбом plot Z 8 Задате су тачке у Декартовој равни 7 Поставити параболу c тако да збир растојања вертикална одстојања од тачака до параболе буде минималан c c c c c c c c c c X c Где је c X X X X X X Решење са четири децимале - -

24 X c >> =[ ; ;9 ;6 ;9 7 ]; >> =[;;;;]; >> C='*; >> Y=vC; >> X=Y*'* X = Програмски циклус остварује се почетком циклуса са командом fo инкрементом који одређује број циклуса радним наредбама и крајем циклуса са командом ed Z 9 Написати програм за рачунање збира првих 7 природних бројева: cle ll >> z=; >> fo =:7 z=z+; ed >> z 7 z = 8 Z Написати програм за рачунање! cle ll =put'upst : '; =[::]; fkt=pod; fptf'fktojel:! = %8 \'fkt; Upst : Fktojel:! = Z Одредити чланове Hj=/+j- Хилбертове матрице х

25 --- cle ll fo =: fo j=: Hj=/+j-; ed ed >> H H = Z Одредити десет првих чланова низа cle ll fo =: =^+; z=; ed >> z z = = Линеарно програмирање У МL-у могу се решавати проблеми оптимизације: Z Одредити вектор f = 6 при условима: који минимизира функцију f = [-; -; -6]; = [ -

26 ]; = [; ; ]; l = zeos; >> [fvletflgoutputlmd] = lpogf[][]l; Optmzto temted >> lmdeqllmdlowe = s = s = Z Одредити вектор : cle ll >> f = -[ ]; = [ ; ]; = [;]; eq = [ ]; eq = []; l = [;;]; =lpogfeqeql Optmzto temted = m f = + + =

27 Логичке функције На основу теорије минтерма и макстерма логички изрази се представљају помоћу променљивих и операција сабирања множења и инвертовања : Комбинаторна таблица за импликацију Z=~X Y X=[ ]'; Y=[ ]'; Z=~X Y : Матлабу је: cle ll >> X=[ ]'; Y=[ ]'; >> Z=~X Y; >> [XYZ] s = Z Доказати да је израз таутологија cle ll =[ ]'; =[ ]'; C=[ ]'; D=[ ]'; >> ~ == ~; >> M=~ == ~; >> [CDM] s =

28 За слике у покрету користи се нардба M = move - пример покретања синусоиде: t=::*p; M = move6; % ezevsje posto fo j=:6 plottst+j/ M:j = getfme; ed movem Z-трансформације Име овим трансформацијама дао је творац Фази логике Задехрођен 9 - Из примене ове трансформације издвајамо њено коришћење код диференцних једначина Код пројектовања капациета саобраћајног тока ради се са једначинама у којима је јединица стандард ауто Те једначине се често записују као диференцне једначине Исто кад су у питању сигналимрежа семафора користе се диференцне једначине У Матлабу постоје готови програми за примену Z-трансформација Z 6 Представити графички првих четрдесет чланова низа х =9 cle ll N=; =9; =:N-'; =^; stem'k'lel'' ttle'z 9^'

29 z Z 7 Одредити Z-трансформацију низа α =/ в α = s-* α = cos* а cle ll sms z zts/^ s =z/z - / б cle ll sms z ztscos* s =z*z - cos/z^ - *cos*z + в cle ll sms z ztss-* s =-z*s//z^ - *cos/*z + Z 8 Одредити инверзну Z-трансформацију за: z/z - / z/z-*z+*z- z/z - / cle ll sms z ztsz/z - / s =/^ z/z-*z+*z- cle ll sms z ztsz/z-*z+*z- s =-^/96 + ^/6 - /6

30 Наредба zpl приказује полове и нуле Z-трансформације наредба oots приказује вредност полова док наредба oots приказује вредност нула Z 9 Одредити полове и нуле израза Xz= =[ -68 ]; =[ ]; oots oots s = s = Z Koришћењем Z-трансформације решити диференцну једначину Применом Z-трансформације на дату једначину следи релација z X z z z zx z z X z решење по Х је: z z X z z z Решење проблема се добија применом инверзне Z-трансформације 7 Метод Монте-Карло Z Koришћењем генератора псеудослучајних бројева за случајних бројева одредити интеграл d cle ll >> N=sumd* N = >> N=sumd* N =

31 >> N=sumd* N = >> N=sumd* N = >> N=sumd* N = 999 >> N=sumd* N = 998 >> N=sumd* N = >> N=sumd* N = Метода најмањих квадрата Ако је дат скуп тачака M у координатном систему и желимо да кроз тај скуп тачака поставимо неку линију тако да одступања буду минимална то можемо да урадимо методом најмањих квадрата која је још позната и као Гаусова метода најмањих квадрата Ако кроз облак тачака постављамо праву одређена ако су познате вредности и алгебарски та права је

32 Гаусовом методом најмањих квадрата праву одређујемо тако да збир квадрата одстојања тачака до праве по вертикали буде минималан У овом примеру имамо пет задатих тачака Повучене су дужи које илуструју пет вертикалних растојања до нацртане праве Нека је дат скуп тачака M у координатном систему и желимо да кроз тај скуп тачака поставимо праву линију тако да збир квадрата одстојања тачака до праве по вертикали буде минималан: M M M M

33 d S f d S f d d d d За изналажење оптималног решења користи се техника парцијалних извода: Потребан услов да функција има минимум или максимум је f f f f f Две добијене релације из којих се одређују коефицијенти и су f f Ове једначине могу се још боље прилагодити за практичан рад тј То је систем нормалних једначина који помоћу оператора сигме може да се запише:

34 За израчунате вредности и добија се права линија која се често назива линијом регресије у од х Кроз скуп тачака постављамо разне криве квадрата буду минимална Најчешће апроксимиране криве су: M у координатном систему можемо да линије тако да одступања методом најмањих -хипербола -експоненцијална крива -полиномна крива c -модификована експоненцијална крива c - логистичка крива Метод којим се одређују непознати коефицијенти код ових апроксимативних кривих исти је као код одређивања линије регресије Гаусовом методом Z Нека је дато шест тачака M 6 у координатној равни Одредити праву која је најбоља апроксимација линеарне функције са аспекта методе најмањих квадрата M 6 9 : Ако хоћемо да добијемо праву линију регресије х од у користимо:

35 M : M 6 Z Нека је дато осам тачака у координатној равни Одредити праву која је најбоља апроксимација у смислу да је збир растојања задатих тачака до праве минималан За облак тачака у координатном систему права регресије има корелацију грешку једнаку минималном збиру квадрата вертикалних одступања тачака облака до праве Инверзан проблем је тражење минимума збира хоризонталних одступања тачака облака до праве c d На пример превођење текста са енглеског на руски и сад обрнуто са руског на енглески даје карактеристике квалитета превода Уколико се регресионе праве поклапају зависност је функционална - све тачке припадају једној функцији

36 Што је мањи угао између регресионих правих јача је линеарна веза између х и у Угао између регресионих правих одређује коефицијент корелације- ] [ и Коришћењем матричног рачуна олакшава се рад код методе најмањих квадрата На пример ако имамо низ тачака M у координатној равни и треба одредити праву која је најбоља апроксимација у смислу да је збир квадрата растојања задатих тачака до праве минималан За тачке M кад би припадале правој важило би: или ако су матрице А Х и В: X Тада овај систем једначина може матрично да се запише А Х = В X X Нека је

37 m L L R R X X m m Т Скуп свих решења проблема L m нека је описан са m { L m R S тада је х из скупа решења тада и само тада ако вреди следећа релација ортогоналности Доказ Претпоставимо да задовољава једначину где је за R m Ако означимо e тада је e и e e e e e e e e e Израз је најмањи када је e e Претпоставимо да је минимум e e али да не задовољава једначину тј z Нека је z z z z z z што противуречи претпоставци Z Нека је дато десет тачака M у координатној равни Одредити праву која је најбоља апроксимација линеарне функције са аспекта методе најмањих квадрата Помоћу Матлаба дати приказ у кординатном систему ове регресије Одредити степен корелације регресија је функција у овом случају линеарна а корелација је одступање од ове праве - грешка а : M

38 б M : R а cle ll =[ ]; =[ ]; plot'*'; =[' oes]; ='; LS='*\'*; k=ls; l=ls; LS=k*+l; plot'*'ls''; б M : cle ll =[ ]; =[ ]; plot'*'; =[' oes]; =';

39 LS='*\'*; k=ls >> k = 7 >> l=ls l = 6 >> LS=k*+l; >> plot'*'ls''; Z За задате тачке 8 6 наћи квадратни трином који је најближи овим тачкама тј такав да је збир квадрата растојања по вертикалама минималан За ову регресиону параболу дати графички приказ у координатном систему R cle ll =[ 8 ]'; =[ ]; LS=\; q=om*ls/om =[ 6]'; plot'*' hold =::6; =LS*^+LS*+LS;

40 plot'' Емпиријски подаци брзине путничког возила са инструменталне табле и са- GPS-а регресиона права и коефицијент корелације cle ll =[ ]; =[ ]; plot'*' cle ll >> =[ ]; >> =[ ]; >> plot'*'; >> =[' oes]; ='; LS='*\'*; k=ls; l=ls; LS=k*+l; plot'*'ls''

41 R = cocoef R = 98 LS- s = Colums though Colums 6 though Графичко представљање помоћу наредбе plot =[ ]; =[--6]; plot ezplot'* + ^ - ^ - '

42 = ezplot'* + ^ - ^ - '[--] = Z 6 Задате су тачке у Декартовој равни 676 Поставити параболу параболе буде минималан Решење Mtl c =[ ; ;9 ;6 ;9 7 ]; >> =[;6;;;6]; >> C='*; >> Y=vC; >> X=Y*'* тако да збир растојања од тачака до X =

43 Видно поље саобраћајног знака вертикалне сигнализације Где је -висина стуба на коме се налази «табла висине а» +=висина стуба са знаком х - растојање светла возила до стуба θ - је угао под којим се види «табла знак» ух - је промена угла θ у функцији растојања х растојање возила до знака Адициона формула - тригонометрија tg tg tg tg tg tg Замена: tg tg tg Сређивање tg tg tg -одређује промену угла видног поља табле саобраћајног знака у зависности од растојања возила За: а= =; =6= ;== у програмском језику ML претстављени су графици функције визуелизације ezplot'/^+'

44 / = ::; >> =6*/^+6*; >> plot 8 6 = ::; =*/^+7*; >> plot

45 Ако се семафор поставља на конзоли изнад пута онда доња ивица семафора d : <d < = ::; >> =*/^+6*; >> =*/^+6*; >> =*/^+7*; >> plot'*''g*''*'

46 Површина испод функције даје квалитет видног поља за m P m m m m P m m m m P m m m m P m m m