ČÍSLO 1 ROČNÍK 28 malynar.strom.sk
|
|
- Φιλύρη Πολωνα Δυοβουνιώτης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ČÍSLO 1 ROČNÍK 28 malynar.strom.sk
2 2 Ahojte! Dni plné oddychu, zábavy, kúpania a ničnerobenia sa skončili a znova je tu september. Prináša so sebou začiatok školského roka a povinností, ale nesmúťte. Znamená to aj nové zážitky, vedomosti, kamarátov a nový časopis so super príbehom a príkladmi. Tých najlepších z vás potom bude za odmenu v zime čakať skvelé sústredenie. Preto neváhajte a začnite s počítaním už dnes. Prajeme vám veľa šťastia a dobrých nápadov! Vaši milovaní vedúci a Ako bolo Tábor mladých matematikov Aj tento rok sa stretlo vyše 30 účastníkov na Tábore mladých matematikov, ktorý sa tento rok konal v Penzióne pod Sitnom. Po príchode na miesto sme prešli rekvalifikačným kurzom, ktorý z nás spravil podnikateľov, ako sa patrí. Prešli sme od základov, akými sú marketing či reklama, k pokročilejším dôležitostiam, ako napríklad reputácia a dobré meno medzi obyvateľmi. Po týchto začiatkoch sme mohli konečne plnohodnotne rozvíjať naše firmy a venovať sa vlastným patentom. Vtom sme však prišli na to, že náš blahodarca, Lord Cashington, si patentoval presne ten istý nápad vždy deň vopred, čím nás absolútne vyšachoval. Keďže sme chceli zachrániť naše firmy, museli sme prísť na to, v čom je problém. Po zistení, že Lord Cashington má doma portál, ktorým sa pozerá do budúcnosti, sme sa rozhodli ho zlikvidovať. Bola to tŕnistá cesta, museli sme prejsť cez Cashingtonovu ochranku a jeho trezor. Avšak nás nič nezastavilo, zariadili sme, aby sa Cashington prepadol svojím portálom a už nikdy nevrátil, a spokojne sme mohli rozvíjať naše firmy aj naďalej. Okrem prednášok a seminárov na zaujímavé matematické i nematematické témy sme zažili kopec zaujímavých hier a športov. Nezabudnuteľnými ostanú všetky zážitky spojené najmä s kamarátmi, s ktorými sa uvidíme zase raz až o rok, a už teraz sa na to tešíme.
3 1 2018/ Pravidlá súťaže Priebeh Korešpondenčný matematický seminár je súťaž pre žiakov štvrtého až šiesteho ročníka základných škôl, resp. prímy na osemročnom gymnáziu. Zapojiť sa môžu aj mladší. prebieha korešpondenčnou formou počas zimnej aj letnej časti dostaneš po dve série po 6 úloh, ktoré vyjdú naraz v septembri a vo februári. Riešenia tých úloh, ktoré sa ti podarí vyriešiť, a tých, kde prídeš aspoň na časť riešenia, pošli do uvedeného termínu na našu adresu, alebo ich nahraj pod svojím profilom na našej webovej stránke. My ich opravíme, obodujeme a zostavíme poradie všetkých riešiteľov. Opravené riešenia úloh spolu s ďalším číslom časopisu, v ktorom nájdeš správne riešenia a poradie, dostaneš do školy alebo ich nájdeš na našej webovej stránke. A ak sa budeš snažiť a skončíš medzi najlepšími, môžeš sa tešiť na 6-dňové sústredenie v peknom prostredí nabité zaujímavým programom, športom, hrami, matikou a skvelými kamarátmi. Registrácia Korešpondenčný matematický seminár je jednou z aktivít národného projektu IT Akadémia vzdelávanie pre 21. storočie (itakademia.sk). Skôr, ako odošleš prvé príklady (poštou, alebo elektronicky), je preto potrebné, aby si sa na túto aktivitu prihlásil. Ak si sa zapojil do niektorej z našich aktivít v rámci národného projektu, tak už máš konto na portáli registracia.itakademia.sk. V takomto prípade stačí, ak sa prihlásiš na aktivitu Korešpondenčný matematický seminár MALYNÁR na tomto portáli. Ak ešte nie si registrovaný v projekte, vyplň nám kontaktné údaje v dotazníku, ktorý nájdeš na stránke seminára, a my ti konto vytvoríme. Registrácia je povinná, ak chceš, aby tvoje riešenia boli opravené. Vďaka tomu, že seminár je jednou z aktivít projektu, sú všetky aktivity v rámci neho pre teba bezplatné, a tak, ak sa budeš snažiť, budeš sa môcť zúčastniť sústredenia v Danišovciach bezplatne a pre najlepších troch riešiteľov sú pripravené knižné poukážky. S registráciou nech ti pomôžu rodičia alebo učiteľ v škole. V prípade, že máš ty alebo majú tvoji rodičia, resp. učitelia akékoľvek otázky k registrácii, neváhajte nás kontaktovať om na sutaze@itakademia.sk. Prihlásenie Prihlásenie do semestra prebieha online, na našej webovej stránke malynar.strom.sk. Ak si novým riešiteľom alebo ešte nemáš vytvorený účet, zaregistruj sa a vyplň povinné údaje v užívateľskom profile. Tieto údaje potrebujeme, aby sme sa s tebou mohli skontaktovať aj v čase, keď nie si v škole (prázdniny...), v prípade pozývania na sústredenie a tiež, aby sme ťa mohli uverejniť v poradí riešiteľov aktuálnej
4 4 časti semináru. Na tejto stránke nájdeš takisto svoje opravené a obodované riešenia, ak si ich poslal elektronicky. Prihláška (vyplnenie profilu) je povinná pre všetkých riešiteľov. Bodovanie Za správne vyriešenú úlohu získaš 9 bodov, za čiastočne správne alebo neúplné riešenie primerane menej. Do celkového poradia sa započítavajú body za: šiestaci a príma: všetky vyriešené úlohy, piataci: päť najlepšie vyriešených úloh plus minimum z týchto piatich úloh, štvrtáci: päť najlepšie vyriešených úloh plus maximum z týchto piatich úloh. Tretiaci a mladší budú hodnotení rovnako ako štvrtáci. Príklad Traja bratia, šiestak Vlado, piatak Jaro a štvrták Marcel, vyriešili všetky úlohy úplne rovnako (zhodou náhod, že) za 3, 2, 4, 1, 5 a 4 body. Vlado potom získal = 19 bodov, Jaro ( ) + 2 = 20 bodov a Marcel ( ) + 5 = 23 bodov. Jasné, nie? Riešenia po termíne Ak svoje riešenie pošleš po termíne odovzdania, riešenie ti opravíme len v prípade, že nám bude doručené do štyroch dní od termínu série. V tomto prípade ti za oneskorenie strhneme body. Body sa strhávajú nasledovne, podľa dĺžky omeškania: do 24 hodín: 2/3 bodov zaokrúhlené nahor, viac ako 24 hodín a do štyroch dní: 1/2 bodov zaokrúhlená nahor, viac ako štyri dni: riešenie neopravujeme. Vo výnimočných prípadoch môžeme body za riešenie neznížiť. Odpisovanie Body sa, samozrejme, bez výnimky strhávajú aj za odpisovanie. Pri odpisovaní rozlišujeme podobné riešenia (počet bodov delíme počtom zúčastnených a zaokrúhlime nadol) a takmer kópie, ktoré ostávajú bez bodu. Ak (náhodou) nájdete úlohu riešenú v literatúre, uveďte názov, autora a stranu, inak riskujete stratu bodov za odpisovanie (je však potrebné napísať aj samotné riešenie). Ako písať riešenie Úlohy rieš samostatne, neodpisuj ani nikomu nedávaj odpisovať, pretože za to budeme strhávať body. Výsledok úlohy, aj keď je správny, nestačí. Tvoje riešenie
5 1 2018/ musí obsahovať podrobný myšlienkový postup vysvetlenie, ako si pri riešení úlohy postupoval. Slovami rozhodne nešetri. Riešenie každej úlohy píš na samostatný papier formátu A4, ak je na viacerých listoch, zopni ich. Texty zadaní odpisovať nemusíš. Každé riešenie musí mať v hlavičke tvoje meno, triedu, školu a číslo úlohy. Riešenia posielaj na adresu: Združenie STROM, PF UPJŠ Jesenná 5, Košice. Pod odosielateľa uveď výrazne. Riešenia môžeš taktiež nahrávať pomocou založeného účtu na našej webovej stránke malynar.strom.sk. Všetky riešenia môžeš odovzdávať do 20:00. Dbaj na presné dodržanie termínu odovzdania, či už budeš riešenia posielať poštou, či nahrávať na našej stránke (za oneskorenie ti budeme strhávať body). V prípade technických problémov na našej strane posielajte riešenia na ovú adresu riesenia@strom.sk s predmetom vo formáte PDF (každý príklad v samostatnom súbore) najneskôr v deň termínu série do 20:00. Riešenia budú prijaté a opravené len v prípade, že tvoj profil je kompletne vyplnený. (Pozor na to, že maximálna veľkosť mailu je 10MB.) Webová stránka Ak máš nejaké otázky na nás alebo k zadaniam, tak neváhaj navštíviť naše webové stránky. Pri každom príklade je diskusia, ktorá slúži na to, aby si sa mohol opýtať na nejasnosti ohľadom zadaní. Ak ťa zaujíma niečo o našom seminári (či už tomto alebo o tých pre starších) alebo by si len chcel pokecať s kamarátmi či zorganizovať nejakú akciu, tak sa neboj a zapoj sa do debaty na našom webe. Ďalšia možnosť, ako nás kontaktovať, je mailom na adresu malynar@strom.sk.
6 6 Pár dobrých rád Tu je zopár tipov a trikov, o ktorých si myslíme, že ti v budúcnosti pomôžu. Základom je pochopiť zadanie Ak si už niekoľkýkrát čítaš zadanie, no stále si nevieš rady, máš tieto možnosti: Opýtaj sa svojich rodičov. Ver alebo nie, väčšinou ti dokážu pomôcť s pochopením zadania. Opýtaj sa nás. Nájdi príklad na našej stránke a v sekcii Diskusia sa nás môžeš opýtať. Vždy ti radi pomôžeme. Skúšať, skúšať, skúšať Možno to znie prekvapivo, pretože vetu Skúšal som a vyšlo mi, alebo Prišiel som na to skúšaním, vidíme v tvojom riešení obvykle neradi. Dosadiť si nejaké čísla ale nie je vôbec zlý začiatok. Takéto skúšanie (dosadzovanie) rôznych hodnôt, až kým nenarazíš na správny výsledok, však nie je matematický postup, ktorý by sme hodnotili veľkým bodovým ziskom. Je to spôsob, ktorý je tu pre teba, aby ti ukázal, odkiaľ približne fúka vietor, ak na začiatku nevieš, ako príklad vyriešiť. Kresliť, kresliť, kresliť Kto nerád kreslí? Ak si príklad nakreslíš, môže ti to veľmi pomôcť. Nie vždy je ľahké si úlohu predstaviť. Bude sa ti jednoduchšie rozmýšľať, ak to, čo máš napísané v zadaní, uvidíš na obrázku priamo pred sebou. Kreslenie ti ukáže nové spôsoby, ako sa na príklad dá pozrieť. Pozrimeže, na niečo som asi prišiel! Dôležité je vysvetliť, čo to vlastne je, prečo to tak funguje, a v neposlednom rade názorne ukázať, ako si prišiel na to, že je to pravda. Ak to vieš vysvetliť aj po matematickej stránke, tak je to obrovské plus. Tak sa totiž rodí 9-bodové riešenie. Všetko si skontroluj Našiel som výsledok, o ktorom si myslím, že je správny, a mám aj postup. Dokonca viem vysvetliť, ako som naň prišiel. To si už skoro hotový. Teraz však prichádza dôležitá časť! Všetko si skontroluj, logická či numerická chyba ostane vždy chybou, ak ju prehliadneš. Daj si tiež pozor, aby si aj napriek správnemu riešeniu nakoniec neodpovedal na inú otázku, než na ktorú sme sa v zadaní pýtali. Ak sme ti napísali, že z tvojho riešenia nám nie je jasné, ako si postupoval, neber to tak, že sme ťa pochopiť nechceli. Riešeniam spravidla rozumieme, no plný počet dostane len ten, kto dokáže vysvetliť, prečo je správne.
7 1 2018/ Zadania 1. série úloh zimného semestra Riešenia pošlite najneskôr do 22. októbra 2018 Nezabudni si vytvoriť či aktualizovať profil na malynar.strom.sk. Alex, poď na večeru! Nemôžem, mám dôležitú prácu. Zase márniš čas s tou plechovou bedňou?! Mama nahnevane zvýšila hlas na svojho syna. Alex je talentovaný malý chlapec s potenciálom vedca. Mami, veď si robím domáce úlohy, zaklamal Alex. Ale pravda bola iná. Nebolo to prvýkrát, čo musel hľadať výhovorky, aby sa mohol tajne venovať svojmu výtvoru. Nemal žiadneho súrodenca ani veľa kamarátov, a tak vznikol Andy Roid. Jeho robot. Celé to začalo pred štyrmi rokmi a postupom času sa z obyčajnej kôpky plechu stal nielen produkt umelej inteligencie, ale aj jeho verný priateľ a ochranca. Venoval mu veľa času a energie, avšak jeho rodičia ho v tejto aktivite nepodporovali a nechceli, aby zbytočne mrhal svojím talentom. Namiesto toho sa naňho spoliehali, že o pár rokov zdedí rodinný podnik a bude pokračovať v ich šľapajách. No to aj dúfam, zakričala naňho mama z prvého poschodia. V skutočnosti znova vylepšoval svojho robota. Akurát mu vymieňal jeho pokazený čip. Úloha 1 Čip je v tvare obdĺžnika a skladá sa zo sivých jednotkových štvorcov. Tento obdĺžnik je po obvode kompletne ohraničený vrstvou bielych jednotkových štvorcov. Štvorce sa dotýkajú vždy celou stranou a vrstva má šírku jedného štvorca. Obrázok ukazuje obdĺžnik, ktorý sa skladá z 12 vnútorných a 18 vonkajších. a) Nakreslite taký obdĺžnik, ktorý sa skladá zo 6 vnútorných a 14 vonkajších štvorcov. b) Rozhodnite, či existuje obdĺžnik, ktorý sa skladá zo 6 vnútorných a 16 vonkajších štvorcov. c) Máme obdĺžnik, ktorý je tvorený 20 vonkajšími štvorcami. Zistite všetky možné počty vnútorných štvorcov, ktoré môžu tvoriť daný obdĺžnik. d) Dokážte, že existuje práve jeden obdĺžnik tvorený 42 vnútornými štvorcami taký, že počet príslušných vonkajších štvorcov nie je násobkom 5. Svoju prácu dokončil a zišiel dolu. Odložil si si ten nový kód, však? opýtala sa mama. Prednedávnom si dali zabezpečiť vchodové dvere kódom, ktorý mal chrániť
8 8 Andyho pred vonkajším svetom. Robot bol natoľko inteligentný, že kľúče už nestačili. Áno, dokonca som si ho zašifroval, aby naň nikto iný neprišiel. Kód je hocijaké dzivé číslo. Úloha 2 Dzivé číslo je také štvorciferné číslo, ktorého: súčet prvých dvoch číslic je rovnaký ako súčet posledných dvoch číslic, súčet krajných dvoch číslic je rovnaký ako vnútorných dvoch číslic. Zistite, koľko je dzivých čísel, a nezabudnite odôvodniť, že sú to všetky. Štvorciferné číslo nemôže mať na mieste tisícov nulu. Papierik so šifrou však ostal len tak pohodený na stole. Alex sa večere takmer ani nedotkol a ponáhľal sa dokončiť výmenu čipu. Kam si sa vybral? spýtala sa mama, no Alex ju ignoroval. To robiť nemal. Uvedomil si to vo chvíli, keď počul mamin hysterický krik. Už jej praskli nervy, skôr či neskôr to muselo prísť. Rodičia nepodporovali jeho záľubu a nepripisovali jej dôležitosť. Prekážalo im, že sa nevenoval viac budúcnosti, ktorú mu oni vnucovali. Namiesto toho trávil čas len s niečím umelým a nereálnym. Jej krik bol natoľko hlasný, že ho započul aj Andy. Ostré slová, ktoré mama vypúšťala z úst, ho zasiahli pri srdci, ktoré ani nemal. Jeho podstatou bolo chrániť Alexa. Zhodnotil situáciu a rozhodol sa, že najlepším riešením bude, ak odíde a už nikdy sa nevráti. Jediná vec, na ktorej Andymu záležalo, bolo Alexovo šťastie, ktoré mohlo byť ohrozené jeho prítomnosťou. Pobalil si skrutky a náhradné diely, naposledy sa zahľadel na Alexovu izbu, v ktorej prežil celý svoj život. Pri dverách si spomenul, že vchod je zakódovaný, no vtom sa mu vybavil papierik so šifrou na Alexovom stole. Vďaka nadobudnutým znalostiam prišiel na spôsob, ako odomknúť vchod, a nenápadne sa vykradol von. Medzitým sa atmosféra doma mierne zlepšila, aj napriek tomu bol Alex nesvoj a ani si nevšimol, že mu v izbe niečo chýba. Zrazu mu zavolal spolužiak, že už sú zverejnené výsledky zo súťaže v robotike, ktorej sa nedávno zúčastnil. Úloha 3 Finále súťaže o najlepšieho robota sa zúčastnili Alex, Laura a Tom. Každý z 22 porotcov pridelil finalistom 1, 2 alebo 3 body každému iný počet. 3 body získal súťažiaci za prvé miesto, 2 body za druhé miesto a 1 bod za tretie miesto. Alex získal rovnako veľa prvých a tretích miest. Druhých miest mal o štyri viac než prvých. Laura a Tom získali rovnako veľa prvých miest, avšak druhých miest mala Laura dvakrát viac než Tom. Kto vyhral finále? Koľko získal bodov? Keď išiel oznámiť Andymu výsledok, zistil, že ho nevie nikde nájsť. Prehľadal každý kút domu a premkol ho strach o svojho najlepšieho kamaráta. Príčinu tušil. Jediný dôvod, prečo by bol Andy odišiel, bol v záujme jeho dobra a ochrany. Nezostávalo mu nič iné, než sa vydať ho hľadať. Vonku naňho číhalo veľké nebezpečenstvo. Andy
9 1 2018/ to však ešte netušil. Jediným riešením preňho bolo vrátiť sa tam, odkiaľ prišiel. Na šrotovisko. V pivnici blikalo svetlo. Zúfalstvo v miestnosti bolo cítiť viac ako ostrý zápach veveričieho trusu, ktorý slúžil ako organické hnojivo pre jeho mäsožravé rastliny. Dr. Haselnuss posedával na nízkej stoličke oproti zapratanému písaciemu stolu a rozmýšľal, čo ďalej so svojím životom. Neúspešne sa o to pokúšal posledných 5 rokov. Kedysi slávny a uznávaný vedec Dr. Haselnuss, dnes už len beznádejná troska s veveričkou v tmavej pivnici s večne pokazenou žiarovkou, ktorú sa ani neunúval vymeniť. Už dlhšie sa pohrával s myšlienkou začať odznova. Rozhodol sa vyhodiť všetky haraburdy, ktoré mu pripomínali jeho neúspech a nikdy nefungovali tak, ako mali. A to aj spravil. Nasadol na bicykel, pripevnil si k nemu zhrdzavený vozík plný všetkých vecí, ktorých sa chcel zbaviť, a vydal sa na šrotovisko. Keď dorazil, bicykel si oprel o vysoký železný plot, vybral veci z vozíka a pobral sa smerom k obrovským kopám kovového odpadu. Postupne vyhadzoval jeden nepodarený výtvor za druhým a snažil sa potlačiť smútok, ktorý sa každým krokom zväčšoval. Vtom niečo zbadal. Niečo zvláštne. Zvedavosť ho poháňala vpred, až kým nestál priamo pred ním. Andy sa skleslo prechádzal pomedzi vraky kedysi fungujúcich vecí. Vedel, že jeho osud je rovnaký, a už ho prijal. No niečo ho zastavilo. Vysoký, nie veľmi sympaticky vyzerajúci pán mu blokoval cestu. Zrazu sa nebezpečne začal blížiť. Vzápätí cítil, že prestáva fungovať, a čip poháňajúci jeho konštrukciu sa ocitol vo vrecku neznámeho. V pivnici blikalo svetlo. Zúfalstvo v miestnosti bolo cítiť viac ako predtým. Vyzeráš veľmi schopne, no ešte si ťa musím otestovať, Andy začul akýsi hlas vychádzajúci z tmy. Z nej vyšiel už známy Dr. Haselnuss. Podával mu akýsi hárok papiera a zákerne sa usmial. Hra sa môže začať. Úloha 4 Máme tabuľku s výrezom v tvare obráteného Z (obrázok), ktorá má túto vlastnosť: keď zakrúžkujeme ľubovoľných päť čísel tak, že v každom stĺpci aj v každom riadku je zakrúžkované práve jedno, a sčítame ich, vždy dostaneme rovnaký súčet. Doplňte čísla na prázdne (biele) miesta. Nájdite všetky riešenia.
10 Andymu taká ľahká úloha, samozrejme, nerobila žiaden problém a zvládol to za krátky čas. Vidím, že s tebou sa mi bude pracovať dobre, konštatoval Dr. Haselnuss. Ďalej pokračoval: keďže odteraz so mnou prakticky bývaš, mal by si si pozrieť okolie. Andy sa pobral za doktorom. Prišli k veľkým kovovým dverám, ktoré sa po hlasnom buchnutí pod váhou tela doktora otvorili. Zrazu ho zaslepili ostré lúče slnka, ktoré ho po náhlej zmene prostredia zaskočili. Výhľad, ktorý naňho čakal, bol príjemne prekvapivý. Stál na veľkej presklenej terase a hľadel na krásne ligotavé more a malé ostrovčeky črtajúce sa v diaľke. Rozmýšľal, ako ďaleko sa môže nachádzať od šrotoviska, odkiaľ ho doktor uniesol. Prišli loďou? Alebo lietadlom? Vtom si všimol dlhé mosty spájajúce ostrovčeky. No z ostrova, na ktorom boli, neviedol žiaden most. A vtedy sa Andy zamyslel. Úloha 5 Niekoľko ostrovov je pospájaných mostami, pričom medzi dvomi ostrovmi vedie najviac jeden most. Navyše, z rôznych ostrovov vychádza rôzny počet mostov (ak z nejakého ostrova vychádza jeden most, z ostatných ostrovov musí vychádzať 0 mostov alebo aspoň 2 mosty). Dokážte, že bez ohľadu na to, ako sú ostrovy poprepájané, tak nie je možné splniť dané podmienky. a) Riešte pre prípad, že ostrovov je 7. b) Riešte pre prípad, že ostrovov je viac ako 7 nájdite všeobecné riešenie pre všetky také počty. Keďže už trochu poznáš okolie, môžem ti ukázať miesto kde budeš, mať najlepší výhľad, navrhol doktor. Andy nevedel, kde je, ani, čo bude ďalej, ale bol rád, že sa k nemu doktor správal priateľsky. Nasledoval ho po točitom schodisku na strechu budovy, kde na zemi zbadal čiary usporiadané do geometrických útvarov. Doktor mu to hneď objasnil: Sám si prišiel na to, že na ostrov nevedú žiadne mosty. Jediný spôsob, akým sa tu dá dostať, je helikoptérou, ktorá má heliport práve na tejto streche.
11 1 2018/ Úloha 6 Strecha má tvar štvorca ABCD. Heliport je v tvare sivého trojuholníka. Akú časť plochy strechy tvorí heliport? Úlohu riešte bez použitia rysovacích pomôcok a merania vzdialeností. D C A B O chvíľu mi ty a tvoje n-čatá pomôžete ovládnuť svet!!! zašepkal si doktor popod fúz. Alex už strácal nádej. Celý dom prehľadal trikrát, no nikde robota nenašiel. Alexove obavy sa potvrdili. Mohlo to znamenať len jediné. Andy ušiel a momentálne naňho vonku mohlo číhať nebezpečenstvo. Alebo predstavoval Andy nebezpečenstvo pre ostatných?
12 12 Robotická hrozba Zadania 2. série úloh zimného semestra Riešenia pošlite najneskôr do 19. novembra 2018 V minulosti úspešný vedec Dr. Haselnuss predstavuje obrovskú hrozbu pre nás všetkých. Tento šialenec sa pokúša pomocou novovyvinutého stroja na klonovanie vytvoriť si obrovskú armádu robotov, ktorí mu majú pomôcť ovládnuť svet a podmaniť si všetkých. Ak ho nezastavíme včas, môže to viesť k najväčšej katastrofe v histórii ľudstva. Úryvok z magazínu Mínus 8 týždňov, Táto správa bleskovou rýchlosťou obletela celý svet. Dr. Haselnuss sa zo dňa na deň stal najznámejším a najobávanejším vedcom dnešnej doby. Správa sa pochopiteľne dostala aj k Alexovi. Nakoľko je Alex nesmierne inteligentný, hneď si spojil súvislosti a došlo mu, že Andyho útek neovplyvňoval len jeho, ale všetkých ľudí na svete. Snažil sa zistiť čím viac informácií o momentálnej situácii, takže celé hodiny trávil sledovaním správ. Poväčšine nenašiel nič zaujímavé, kým nenarazil na jednu konkrétnu reportáž. Nachádzali sa v nej zábery odhaľujúce veľkosť jeho armády na ovládnutie sveta. Úloha 1 Štyri roboty sa nachádzajú na priamke a predstavujú body P, Q, R a S v nejakom poradí. Vieme, že dĺžky úsečiek P Q, QR, RS a SP sú jednotlivo 13, 11, 14 a 12. Aké je poradie bodov na priamke a aká je vzdialenosť medzi bodmi, ktoré sú od seba najvzdialenejšie? V tom okamihu vedel, že musí rýchlo konať. Uvedomil si, že všetky doterajšie udalosti pramenili z hádky s mamou a jeho nedbalosti, keď zabudol kus papiera na stole, a to mohlo teraz spôsobiť globálnu katastrofu. Cítil sa vinný a musel to napraviť. Takýto problém môže vyriešiť len jedna vec. Stroj času. Vtom si spomenul na článok z nedôveryhodnej internetovej stránky o lese, v ktorom sa údajne nachádza vec potrebná na záchranu. Veľa možností mu už neostávalo, a tak sa to rozhodol nájsť stoj čo stoj. Jediný problém bol v tom, že nevedel, aký je les veľký, a, kde sa časostroj nachádza. Úloha 2 Les má podobu štvorcovej tabuľky o rozmeroch n n, ktorá je vyplnená všetkými číslami od 1 po n n tak, že čísla v každom riadku, každom stĺpci a aj na oboch hlavných uhlopriečkach majú rôzne súčty. Aká najmenšia tabuľka sa dá zostrojiť? Prečo sa menšia už zostrojiť nedá? (Ak ste sa s tým ešte nestretli, tak n označuje
13 1 2018/ nejaké neznáme číslo. Ak by bolo napr. n = 4, tak ide o tabuľku so 4 riadkami a 4 stĺpcami, kde nájdeme čísla od 1 do 4 4, teda do 16.) Po hodinách predierania sa hustým krovím víťazoslávne objavil to, čo hľadal. Držal sa motta kto hľadá, ten nájde. V húštinách sa nachádza bludisko, v ktorom sú umiestnené portály na rôzne účely. Bol celkom stratený, a tak sa potešil, keď stretol piatich strážcov bludiska, z ktorých nie všetci boli dôveryhodní a niektorí mu klamali. Úloha 3 V obávanom bludisku sa nachádza portál pod jedným z polí α (alfa), β (beta), γ (gama), δ (delta), ω (omega). Každé pole sa nachádza na inom mieste (viď obrázok). Len pod jedným poľom sa nachádza portál a môžeme sa dostať len pod jedno zvolené pole. V okolí obávaného bludiska sa pohybovalo 5 strážcov, každý o portáli tvrdil niečo iné. Postupne títo piati ľudia povedali: 1. Na najkratšej ceste za portálom sa musíš aspoň štyrikrát otočiť doprava. 2. Portál sa nachádza v riadku označenom písmenom zapisujúcim spoluhlásku. 3. Na najkratšej ceste za portálom musíš prejsť aspoň cez 15 políčok. 4. Portál sa nachádza na políčku, ktoré je v stĺpci označenom párnym číslom. 5. Na najkratšej ceste za portálom sa musíš aspoň štyrikrát otočiť doľava. Niektorí z nich však nehovorili pravdu. Ak by sme však vedeli, koľko z nich klamalo, dokázali by sme jednoznačne určiť, pod ktorým poľom sa portál nachádza. Pod ktorým? Do bludiska vchádzame otočení tým smerom, ktorým sme prišli. Na každom políčku sa vieme otočiť najviac jedenkrát, pričom otáčaním doprava resp. doľava myslíme otočenie o práve jednu štvrtinu kružnice. A B C D E F G H α β γ ω δ
14 14 Zatiaľ čo sa Alex snažil zvrátiť zlý vývoj prítomnosti, v sídle Dr. Haselnussa sa konali kruté zápasy medzi robotmi za účelom selekcie slabších kusov, pri ktorých nastala chyba pri klonovaní. Súboje prebiehali nasledovne. Úloha 4 Hráč A a Hráč B majú na papieri napísaných 100 jednotiek oddelených medzerami. Hráč A začína a s Hráčom B sa ťah po ťahu striedajú. Každý hráč musí v každom ťahu umiestniť medzi nejaké dve susedné jednotky znamienko plus alebo znamienko krát. Po vyplnení všetkých medzier ostane na papieri príklad, ktorého výsledok je buď párny, alebo nepárny. Ak je párny, vyhráva Hráč A, ak je nepárny, vyhráva Hráč B. Jeden z hráčov dokáže hrať tak, aby vždy vyhral, a to bez ohľadu na súperove ťahy. Ktorý z hráčov to je a prečo? Alex sa zrazu ocitol na mieste, ktoré nikdy pred tým nevidel. Poobzeral sa okolo seba a bol veľmi zmätený. Všade naokolo boli farebné balóny, stužky, trblietavé konfety. Zacítil vôňu koláčov, najmä čokoládovej torty. Počul prenikavý krik detí a celé miesto pôsobilo veľmi rušným dojmom. Všetko navôkol naznačovalo, že práve prebieha detská narodeninová oslava. V strede miestnosti sa nachádzal veľký kruhový stôl, na ktorom boli položené menovky. V momente, keď si ho všimol, si k nemu začali sadať ľudia. Úloha 5 Okolo okrúhleho stola je v pravidelných rozostupoch rozostavených pätnásť stoličiek. Na stole sú kartičky s menami pätnástich hostí. Hostia si všimli kartičky, keď si už sadli. A tak sa stalo, že nikto nesedel pred svojou vlastnou kartičkou. Dokážte, že je možné otočiť stôl tak, aby aspoň dvaja hostia sedeli na správnych miestach. Edukačné okienko V tomto ročníku Malynáru predstavujeme novinku okienka, v ktorých vás na niekoľkých riešených príkladoch zoznámime so zložitejšími, no užitočnými úvahami. Cieľom tohto okienka je naučiť vás niečo nové. Niečo, čo vás v škole buď nenaučia vôbec, alebo naučia až vo vyšších ročníkoch, aj napriek tomu, že to viete hravo zvládnuť už teraz. Veríme, že vám okienko rozšíri matematický rozhľad a pomôže vám aj v riešení šiestej úlohy druhej série. Predstavte si situáciu, v ktorej sa balíte na sústredenie Malynáru. Skriňu máte plnú tričiek, no zbaliť si chcete len zopár. Ešte neviete, v akom poradí ich budete nosiť, a tiež vám je jedno, v akom poradí ich dáte do tašky. Jednoducho si chcete vybrať nejakú skupinu tričiek a zbaliť ich. Koľkými spôsobmi to však viete vykonať?
15 1 2018/ Návodová úloha 1. V skrini máme sedem rôznych tričiek. Koľkými rôznymi spôsobmi z nich vieme zvoliť trojicu tričiek? Na poradí tričiek v trojici nám nezáleží. Odporúčame vám skúsiť si najprv úlohu vyriešiť samostatne a až potom si prečítať jej riešenie. Riešenie návodovej úlohy 1. Hoci nám na konečnom poradí tričiek nezáleží, jedno tričko zo skrine vyberieme predsa len ako prvé toto tričko vieme zvoliť siedmimi spôsobmi, pretože tričiek v skrini je na začiatku práve sedem. Druhé tričko, ktoré vyberieme, volíme zo zvyšku, čiže zo šiestich tričiek. Prvú dvojicu tričiek teda vieme vybrať 7 6 = 42 rôznymi spôsobmi. Prečo sme medzi sedmičku a šestku vložili krát? Pretože šesť možností výberu druhého trička máme pre každé zo siedmich tričiek prvého výberu. Pozrime sa na tretie tričko, ktoré volíme zo zvyšných piatich v skrini. Už asi tušíte, že trojicu tričiek s ohľadom na poradie vieme vybrať = 210 spôsobmi. Dôvod je opäť rovnaký päť možností výberu tretieho trička existuje pre každú zo štyridsiatich dvoch dvojíc a možností je preto = 42 5 = 210. To však stále nie je výsledok! V zadaní totiž stojí, že na poradí tričiek nám nezáleží. V našich 210 možnostiach ale na poradí záležalo. Ak by sme, napríklad, mali v skrini zelené, modré a červené tričko, poradia vyberania tričiek (1. zelené, 2. červené, 3. modré) a (1. červené, 2. zelené, 3. modré) sú v 210 možnostiach započítané ako dve rôzne možnosti, hoci predstavujú tú istú trojicu farieb. Každá trojica tričiek je teda medzi možnosťami započítaná viackrát raz za každé poradie, čo sa v trojici dá vytvoriť. V tomto kroku riešenia preto musíme spočítať, koľkými spôsobmi vieme zoradiť tri rôzne predmety v trojici. Na prvom mieste poradia môže stáť ľubovoľný z troch predmetov a pre každý z nich na druhom mieste dva predmety. Na tretie miesto nám ostáva zvyšný člen trojice pre každú z dvojíc predmetov na prvých dvoch miestach tak máme len jednu možnosť pre tretí predmet. Rovnakou myšlienkou ako pri výbere tričiek tak zistíme, že tri predmety vieme zoradiť = 6 spôsobmi. Ostáva si uvedomiť, že všetkých šesť rôznych poradí pre každú trojicu máme započítaných v našich 210 spôsoboch. Ak sa pýtame len na počet trojíc a nie počet zoradených trojíc, bude ich len 210 : 6 = 35, čo je nami hľadaný výsledok. Z úlohy vám je zrejme jasné, že tento spôsob je univerzálny a dá sa použiť na každý príklad, kde vyberáme nejaké predmety zo širšej ponuky a nezaujíma nás ich poradie. Výhodou nášho postupu je to, že nemusíme vypisovať všetky možnosti, čo môže byť pri vysokých počtoch možností nepríjemné. Ak by sme sa pýtali napríklad, koľkými spôsobmi vieme vybrať nejakú štvoricu guľôčok z vrecka s deviatimi guľôčkami, keď nám na poradí nezáleží, postup by bol podobný:
16 16 Najprv sa zamyslíme, koľko by bolo možností výberu štvorice, keby nám na poradí guľôčok záležalo = Teraz sa zamyslíme, koľkými spôsobmi sa dajú zoradiť štyri guľôčky = 24. Nakoniec si uvedomíme, že každá nezoradená štvorica guľôčok je medzi 3024 možnosťami započítaná práve raz za každý spôsob jej zoradenia. Štvoríc preto existuje 3024 : 24 = 126. Takýto počet možností by sa nám vypisoval len veľmi ťažko. Hľadanie počtu kombinácií je kľúčové aj pre ďalšiu úlohu, aj keď to na prvý pohľad možno tak nevyzerá. Návodová úloha 2. Heslo od počítača je štvorciferné číslo tvaru ABCD. O hesle vieme, že pre súčet jeho cifier platí A + B + C + D = 6 a cifra nemôže byť nula. Koľko rôznych hesiel vyhovuje podmienkam? Odporúčame vám skúsiť si najprv úlohu vyriešiť samostatne a až potom si prečítať jej riešenie. Riešenie návodovej úlohy 2. Ukážeme si užitočný a silný spôsob, ako sa dá k úlohe pristupovať. Nakreslime si do riadku 6 hviezdičiek tie predstavujú súčet cifier. Teraz si zvolíme tri rôzne medzery medzi hviezdičkami a umiestnime do nich prepážku. Čo sme práve dostali, je jedno z hľadaných hesiel, akurát v ňom máme hviezdičky namiesto cifier. Počet hviezdičiek, ktoré oddeľujú dve po sebe idúce prepážky, prípadne kraje radu hviezdiček, predstavujú číslicu hesla. Napríklad umiestnenie prepážok zodpovedá heslu Uvedomme si dve veci: 1. Každé vyhovujúce heslo sa dá nejako vytvoriť vložením prepážok medzi hviezdičky. 2. Každá voľba troch rôznych medzier na priehradky vedie k nejakému heslu. Súčet cifier bude vždy 6, lebo to je nemenný počet hviezdičiek, a medzi ciframi nebude nula na to, aby sa vyskytla v hesle nula, by sme museli vložiť dve prepážky do jednej medzery, čo sme si však zakázali tým, že vyberáme tri rôzne medzery. Zvyšok úlohy je už jednoduchý. Vieme, že počet vyhovujúcich hesiel je rovný počtu rôznych trojíc medzier, do ktorých vieme vložiť prepážku. Je nám pri tom zrejmé, že na poradí vkladania prepážok nezáleží ide len o výsledné umiestnenie. Medzi šiestimi hviezdičkami je medzier päť ostáva nám teda zrátať, koľkými spôsobmi vieme zvoliť trojicu medzier z piatich. To sme sa ale naučili v prvej návodovej úlohe hľadaný počet je (5 4 3) : (3 2 1) = 10. Vyhovujúcich hesiel existuje 10. K podobnému riešeniu nie je potrebné dané možnosti vypisovať, my ich však aj tak uvádzame, no je to len pre lepšiu názornosť.
17 1 2018/ Pre záujemcov, ktorí by chceli vedieť ešte viac, uvedieme aj to, že táto metóda počítania sa nazýva Bars & Stars, čo sa z angličtiny dá preložiť ako prepážky a hviezdičky. Veríme, že svoje nové vedomosti poľahky uplatníte v poslednej úlohe. Potreboval sa čo najrýchlejšie dostať z oslavy, vydať sa hľadať svojho robotického priateľa a v konečnom dôsledku zachrániť svet. Oslava bola v plnom prúde. Rozhliadol sa po miestnosti a uvidel dievča približne v jeho veku. Pôsobila sympaticky a hneď spozorovala, že je akýsi zmätený. Prihovorila sa mu, z jeho úst však nevychádzali slová, ale akési čudesné zhluky písmen, ktoré sa na ľudskú reč vôbec nepodobali. Úloha 6 Koľko rôznych sedempísmenových slov vieme vytvoriť z písmen A, B, C, D? Slovo je ľubovoľný zhluk abecedne zoradených písmen a slová sú rovnaké len vtedy, ak sa zhodujú písmená na všetkých ich pozíciách. Po chvíli tento hendikep spôsobený cestovaním v čase zmizol a Alex sa bez problémov opýtal Adriany, ako sa čo najrýchlejšie dostane von. Rátal s tým, že Adriana pozná príbeh strateného robota, boli toho predsa plné noviny. Neuvedomil si, že súčasnosť je minulosť a papierik s kódom stále leží na stole, robot pokojne čaká v izbe na Alexa, Dr. Haselnuss znudene dumá nad svojím životom v pivnici a svet sa ani náhodou nerúti do záhuby. Jeho novú kamarátku dôležitá úloha zachrániť ľudstvo nadchla a s radosťou sa podujala na pomoc. Spoločne sa náhlili k dverám, vykročili v ústrety dobrodružstvu a vydali sa na strastiplnú cestu zachrániť svet pred robotickou inváziou. Ak sa im to nepodarí, budúcnosť bude ešte horšia, ako mala pôvodne byť... Autori úloh: Florián Hatala, Roman Staňo, Jakub Genči, Daniel Onduš
18 18 Názov: Internet: Organizátor: korešpondenčný matematický seminár Číslo 1 September 2018 Zimný semester 28. ročníka malynar.strom.sk malynar@strom.sk Univerzita Pavla Jozefa Šafárika v Košiciach, Prírodovedecká fakulta, Šrobárova 2, Košice Združenie STROM, Jesenná 5, Košice Organizačný poriadok korešpondenčných matematických seminárov Malynár, Matik, STROM je zaregistrovaný na Ministerstve školstva, vedy, výskumu a športu Slovenskej republiky pod číslom 2017/13750:2-10B0.
Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότερα7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραTomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότεραŽivot vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R
Život vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R Ako nadprirodzené stretnutie s murárikom červenokrídlym naformátovalo môj profesijný i súkromný život... Osudové stretnutie s murárikom
Διαβάστε περισσότερα,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,
Farba skupiny: zelená Označenie úlohy:,zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Úloha: Zistiť, ako závisí účinnosť zohrievania vody na indukčnom variči od priemeru použitého hrnca. Hypotéza: Účinnosť
Διαβάστε περισσότεραEkvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότεραPravdivostná hodnota negácie výroku A je opačná ako pravdivostná hodnota výroku A.
7. Negácie výrokov Negácie jednoduchých výrokov tvoríme tak, že vytvoríme tvrdenie, ktoré popiera pôvodný výrok. Najčastejšie negujeme prísudok alebo použijeme vetu Nie je pravda, že.... Výrok A: Prší.
Διαβάστε περισσότεραDeliteľnosť a znaky deliteľnosti
Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότεραChí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky
Chí kvadrát test dobrej zhody Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Test dobrej zhody I. Chceme overiť, či naše dáta pochádzajú z konkrétneho pravdep.
Διαβάστε περισσότεραPriamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
Διαβάστε περισσότεραMIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραMONITOR 9 (2007) riešenia úloh testu z matematiky
MONITOR 9 (007) riešenia úloh testu z matematiky Autormi nasledujúcich riešení sú pracovníci spoločnosti EXAM testing Nejde teda o oficiálne riešenia, ktoré môže vydať ia Štátny pedagogický ústav (wwwstatpedusk)
Διαβάστε περισσότεραVzorové riešenia 3. kola zimnej série 2014/2015
riesky@riesky.sk Riešky matematický korešpondenčný seminár Vzorové riešenia. kola zimnej série 04/05 Príklad č. (opravovali Tete, Zuzka): Riešenie: Keďže číslo má byť deliteľné piatimi, musí končiť cifrou
Διαβάστε περισσότεραPRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm
PRUŽINY PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY VIAC AKO 200 RUHOV SKRUTNÝCH PRUŽÍN PRIEMER ROTU d = 0,4-6,3 mm èíslo 3.0 22.8.2008 8:28:57 22.8.2008 8:28:58 PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY TECHNICKÉ PARAMETRE h d L S Legenda
Διαβάστε περισσότερα4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti
4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti Výroková funkcia (forma) ϕ ( x) je formálny výraz (formula), ktorý obsahuje znak x, pričom x berieme z nejakej množiny M. Ak za x zvolíme
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
Διαβάστε περισσότεραTEST Z MATEMATIKY. Prijímacie skúšky na školský rok 2017/2018
TEST Z MATEMATIKY Prijímacie skúšky na školský rok 2017/2018 Milí žiaci, máte pred sebou test z matematiky ku prijímacím skúškam. Budete ho riešiť na dvojhárok. Najprv na nalepený štítok dvojhárku napíšte
Διαβάστε περισσότερα24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Διαβάστε περισσότεραAerobTec Altis Micro
AerobTec Altis Micro Záznamový / súťažný výškomer s telemetriou Výrobca: AerobTec, s.r.o. Pionierska 15 831 02 Bratislava www.aerobtec.com info@aerobtec.com Obsah 1.Vlastnosti... 3 2.Úvod... 3 3.Princíp
Διαβάστε περισσότεραOhraničenosť funkcie
VaFu05-T List Ohraničenosť funkcie RNDr. Beáta Vavrinčíková U: V bežnom živote sa často stretávame s funkciami, ktorých hodnot sú určitým spôsobom obmedzené buď na celom definičnom obore D alebo len na
Διαβάστε περισσότερα23. Zhodné zobrazenia
23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότεραM6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
Διαβάστε περισσότεραMetodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 26130130051 číslo zmluvy: OPV/24/2011 Metodicko pedagogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH
Διαβάστε περισσότεραLogaritmus operácie s logaritmami, dekadický a prirodzený logaritmus
KrAv11-T List 1 Logaritmus operácie s logaritmami, dekadický a prirodzený logaritmus RNDr. Jana Krajčiová, PhD. U: Najprv si zopakujme, ako znie definícia logaritmu. Ž: Ja si pamätám, že logaritmus súvisí
Διαβάστε περισσότεραZrýchľovanie vesmíru. Zrýchľovanie vesmíru. o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili
Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru
Διαβάστε περισσότερα3. Striedavé prúdy. Sínusoida
. Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa
Διαβάστε περισσότεραx x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Διαβάστε περισσότεραPríklady na precvičovanie Fourierove rady
Príklady na precvičovanie Fourierove rady Ďalším významným typom funkcionálnych radov sú trigonometrické rady, pri ktorých sú jednotlivé členy trigonometrickými funkciami. Konkrétne, jedná sa o rady tvaru
Διαβάστε περισσότερα1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2
1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2 Rozdiel LMT medzi dvoma miestami sa rovná rozdielu ich zemepisných dĺžok. Pre prevod miestnych časov platí, že
Διαβάστε περισσότεραGramatická indukcia a jej využitie
a jej využitie KAI FMFI UK 29. Marec 2010 a jej využitie Prehľad Teória formálnych jazykov 1 Teória formálnych jazykov 2 3 a jej využitie Na počiatku bolo slovo. A slovo... a jej využitie Definícia (Slovo)
Διαβάστε περισσότεραVzorové riešenia 3. kola letnej série 2008/2009
Vzorové riešenia 3. kola letnej série 00/009 Príklad č. 1 (opravovali Peťo, Juro): Zo zadania vieme, že gulička sa zastavila na čísle deliteľnom tromi, čiže to číslo je násobkom čísla tri. Teraz si vypíšeme
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické substitúcie
Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať
Διαβάστε περισσότεραAnalýza údajov. W bozóny.
Analýza údajov W bozóny http://www.physicsmasterclasses.org/index.php 1 Identifikácia častíc https://kjende.web.cern.ch/kjende/sl/wpath_teilchenid1.htm 2 Identifikácia častíc Cvičenie 1 Na web stránke
Διαβάστε περισσότεραDefinícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.
Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE
Διαβάστε περισσότεραVLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b
VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR Michal Zajac Vlastné čísla a vlastné vektory Pripomeňme najprv, že lineárny operátor T : L L je vzhl adom na bázu B = {b 1, b 2,, b n } lineárneho priestoru L určený
Διαβάστε περισσότεραÚlohy 1. kola letnej časti Termín odoslania riešení tejto série je pondelok 25. jún 2018.
PRASK IV. ročník, 2017/18 Katedra základov a vyučovania informatiky FMFI UK, Mlynská Dolina, 842 48 Bratislava Úlohy 1. kola letnej časti Termín odoslania riešení tejto série je pondelok 25. jún 2018.
Διαβάστε περισσότερα3. prednáška. Komplexné čísla
3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8
Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................
Διαβάστε περισσότεραLR(0) syntaktické analyzátory. doc. RNDr. Ľubomír Dedera
LR0) syntaktické analyzátory doc. RNDr. Ľubomír Dedera Učebné otázky LR0) automat a jeho konštrukcia Konštrukcia tabuliek ACION a GOO LR0) syntaktického analyzátora LR0) syntaktický analyzátor Sám osebe
Διαβάστε περισσότεραZložené funkcie a substitúcia
3. kapitola Zložené funkcie a substitúcia Doteraz sme sa pri funkciách stretli len so závislosťami medzi dvoma premennými. Napríklad vzťah y=x 2 nám hovoril, ako závisí premenná y od premennej x. V praxi
Διαβάστε περισσότεραPlanárne a rovinné grafy
Planárne a rovinné grafy Definícia Graf G sa nazýva planárny, ak existuje jeho nakreslenie D, v ktorom sa žiadne dve hrany nepretínajú. D sa potom nazýva rovinný graf. Planárne a rovinné grafy Definícia
Διαβάστε περισσότεραSK skmo.sk. 66. ročník Matematickej olympiády 2016/2017 Riešenia úloh domáceho kola kategórie B
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 66. ročník Matematickej olympiády 2016/2017 Riešenia úloh domáceho kola kategórie B 1. Každému vrcholu pravidelného 66-uholníka priradíme jedno z čísel 1 alebo 1. Ku každej
Διαβάστε περισσότεραRozsah hodnotenia a spôsob výpočtu energetickej účinnosti rozvodu tepla
Rozsah hodnotenia a spôsob výpočtu energetickej účinnosti príloha č. 7 k vyhláške č. 428/2010 Názov prevádzkovateľa verejného : Spravbytkomfort a.s. Prešov Adresa: IČO: Volgogradská 88, 080 01 Prešov 31718523
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICKÁ OLYMPIÁDA
S MATEMATICÁ OLYMPIÁDA skmo.sk 2008/2009 58. ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh IMO. Nech n je kladné celé číslo a a,..., a k (k 2) sú navzájom rôzne celé čísla z množiny {,..., n} také, že n
Διαβάστε περισσότεραKompilátory. Cvičenie 6: LLVM. Peter Kostolányi. 21. novembra 2017
Kompilátory Cvičenie 6: LLVM Peter Kostolányi 21. novembra 2017 LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov Pôvodne Low Level Virtual Machine
Διαβάστε περισσότεραC. Kontaktný fasádny zatepľovací systém
C. Kontaktný fasádny zatepľovací systém C.1. Tepelná izolácia penový polystyrén C.2. Tepelná izolácia minerálne dosky alebo lamely C.3. Tepelná izolácia extrudovaný polystyrén C.4. Tepelná izolácia penový
Διαβάστε περισσότεραNajviac na koľko častí sa dá tromi priamkami rozdeliť medzikružie?
Náboj 01 Vzorové riešenia Úloha 1 J. Ak hranu kocky zväčšíme o 100%, tak o koľko percent sa zväčší jej objem? Výsledok. 700% Návod. Zväčšiť hranu a o 100% je to isté ako ju zdvojnásobiť na a. Objem pôvodnej
Διαβάστε περισσότεραObyčajné diferenciálne rovnice
(ÚMV/MAN3b/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 14.3.2013 Úvod patria k najdôležitejším a najviac prepracovaným matematickým disciplínam. Nielen v minulosti, ale aj v súčastnosti predstavujú
Διαβάστε περισσότεραKATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita
132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:
Διαβάστε περισσότερα6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH
6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH 6. Otázky Definujte pojem produkčná funkcia. Definujte pojem marginálny produkt. 6. Produkčná funkcia a marginálny produkt Definícia 6. Ak v ekonomickom procese počet
Διαβάστε περισσότεραTest. Matematika. Forma A. Štátny pedagogický ústav, Bratislava NUPSESO. a.s.
Test Matematika Forma A Štátny pedagogický ústav, Bratislava Ò NUPSESO a.s. 1. Koľkokrát je väčší najmenší spoločný násobok čísel 84 a 16 ako ich najväčší spoločný deliteľ. A. B. 3 C. 6 D.1. Koľko záporných
Διαβάστε περισσότεραZADANIE 1_ ÚLOHA 3_Všeobecná rovinná silová sústava ZADANIE 1 _ ÚLOHA 3
ZDNIE _ ÚLOH 3_Všeobecná rovinná silová sústv ZDNIE _ ÚLOH 3 ÚLOH 3.: Vypočítjte veľkosti rekcií vo väzbách nosník zťženého podľ obrázku 3.. Veľkosti známych síl, momentov dĺžkové rozmery sú uvedené v
Διαβάστε περισσότεραSK skmo.sk. 2009/ ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie A
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/2010 59. ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie A 1. V obore reálnych čísel riešte sústavu rovníc x2 y = z 1, y2 z = x 1, z2 x = y 1. (Radek Horenský) Riešenie.
Διαβάστε περισσότεραJKPo10-T List 1. Nekonečné rady. Mgr. Jana Králiková
JKPo0-T List Nekonečné rady Mgr. Jana Králiková U: Ernest Hemingway povedal: Najľahší spôsob ako stratiť dôveru a úctu mladých je dávať im nekonečné rady. Ž: Poskytnete mi nekonečné rady o nekonečných
Διαβάστε περισσότεραPodnikateľ 90 Mobilný telefón Cena 95 % 50 % 25 %
Podnikateľ 90 Samsung S5230 Samsung C3530 Nokia C5 Samsung Shark Slider S3550 Samsung Xcover 271 T-Mobile Pulse Mini Sony Ericsson ZYLO Sony Ericsson Cedar LG GM360 Viewty Snap Nokia C3 Sony Ericsson ZYLO
Διαβάστε περισσότεραZískať nejaké body v tejto úlohe je ľahké: stačí vygenerovať všetky trojice a usporiadať ich podľa súčtu:
A-I-1 Trojice Získať nejaké body v tejto úlohe je ľahké: stačí vygenerovať všetky trojice a usporiadať ich podľa súčtu: vector sucty; for (int p=0; p
Διαβάστε περισσότεραAko sa hravo naučiť počtu derivačnému
Škola pre Mimoriadne Nadané Deti a Gymnázium, Teplická 7, 8 0 Bratislava Anino BELAN Ako sa hravo naučiť počtu derivačnému učebný text pre septimu osemročného gymnázia BRATISLAVA 06 Obsah Ako zachytiť
Διαβάστε περισσότεραMargita Vajsáblová. ρ priemetňa, s smer premietania. Súradnicová sústava (O, x, y, z ) (O a, x a, y a, z a )
Mrgit Váblová Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 101 Zákldné pom v onometrii Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 102 Definíci 1: onometri e rovnobežné premietnie bodov Ε 3 polu prvouhlým úrdnicovým
Διαβάστε περισσότεραKategória P 6 1. Vypíšte nepárne číslice nachádzajúce sa vo výsledku príkladu: 2,2. 2,02. 2,002 = 2. Vypočítajte a napíšte výsledok:
Kategória P 6 1. Vypíšte nepárne číslice nachádzajúce sa vo výsledku príkladu: 2,2. 2,02. 2,002 = 2. Vypočítajte a napíšte výsledok: 5. 5 1. 5 1. 5 1. 5 1. 5 5 = ( ( ( ( ( ))))) 3. Zo štyroch kartičiek,
Διαβάστε περισσότερα16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh
16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh Kružnica k so stredom S a polomerom r nazývame množinou všetkých bodov X v rovine, ktoré majú od pevného bodu S konštantnú vzdialenosť /SX/ = r, kde r (patri)
Διαβάστε περισσότεραP Y T A G O R I Á D A
30 P Y T A G O R I Á D A Súťažné úlohy a riešenia celoštátneho kola Kategórie P6 - P8 30. ročník Školský rok 2008/2009 BRATISLAVA, 2009 Súťažné úlohy celoslovenského kola. Školský rok 2008/2009. Kategória
Διαβάστε περισσότεραMotivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy matematiky I
Prednáška č. 7 Numerické metódy matematiky I Riešenie sústav lineárnych rovníc ( pokračovanie ) Prednáška č. 7 OBSAH 1. Metóda singulárneho rozkladu (SVD) Úvod SVD štvorcovej matice SVD pre menej rovníc
Διαβάστε περισσότεραSpojitosť a limity trochu inak
Spojitosť a limity trochu inak Štefan Tkačik Abstrakt Spojitosť funkcie alebo oblastí je základným stavebným kameňom matematickej analýzy. Pochopenie jej podstaty uľahčí chápanie diferenciálneho a integrálneho
Διαβάστε περισσότεραMichal Forišek: Early beta verzia skrípt z ADŠ
Časová zložitosť Michal Forišek: Early beta verzia skrípt z ADŠ Laický pohľad skutočne môže naznačovať, že efektívne algoritmy vôbec nepotrebujeme. Veď predsa každý rok sa výrobcovia počítačov predbiehajú
Διαβάστε περισσότεραKontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť.
Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Ktoré fyzikálne jednotky zodpovedajú sústave SI: a) Dĺžka, čas,
Διαβάστε περισσότεραLineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus
1. prednáška Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus Matematickým základom kvantovej mechaniky je teória Hilbertových
Διαβάστε περισσότερα2007/ ročník MO Riešenia úloh domácej časti I. kola kategórie C
007/008 57. ročník MO Riešenia úloh domácej časti I. kola kategórie C. Určte najmenšie prirodzené číslo n, pre ktoré aj čísla n, n, 5 5n sú prirodzené. (Jaroslav Švrček) Riešenie. Vysvetlíme, prečo prvočíselný
Διαβάστε περισσότεραNávrh vzduchotesnosti pre detaily napojení
Výpočet lineárneho stratového súčiniteľa tepelného mosta vzťahujúceho sa k vonkajším rozmerom: Ψ e podľa STN EN ISO 10211 Návrh vzduchotesnosti pre detaily napojení Objednávateľ: Ing. Natália Voltmannová
Διαβάστε περισσότερα1. Komplexné čísla. Doteraz ste pracovali s číslami, ktoré pochádzali z nasledovných množín:
1. Komplexné čísla Po preštudovaní danej kapitoly by ste mali byť shopní: poznať použitie a význam komplexnýh čísel v elektrikýh obvodoh rozumieť pojmom reálna a imaginárna časť, imaginárna jednotka, veľkosť,
Διαβάστε περισσότεραFunkcie - základné pojmy
Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny
Διαβάστε περισσότεραKódovanie a dekódovanie
Kódovanie a deovanie 1 Je daná množina B={0,1,2} Zostrojte množinu B* všetkých možných slov dĺžky dva 2 Je daná zdrojová abeceda A={α,β,ϕ,τ} Navrhnite príklady aspoň dvoch prostých ovaní týchto zdrojových
Διαβάστε περισσότεραZÁVEREČNÁ SKÚŠKA NA KONCI ZÁKLADNÉHO VZDELÁVANIA A VÝCHOVY. školský rok 2014/2015 TEST MATEMATIKA POKYNY PRE PRÁCU
ZÁVEREČNÁ SKÚŠKA NA KONCI ZÁKLADNÉHO VZDELÁVANIA A VÝCHOVY školský rok 2014/2015 TEST MATEMATIKA POKYNY PRE PRÁCU V teste, ktorý máš vyriešiť, je 20 úloh. Na prácu je určených 120 minút. Úlohy nemusíš
Διαβάστε περισσότεραMožnosti rozhodovacích agentov hrajúcich hracie karty. Bakalárska práca. Juraj Barič. Univerzita FMFI KI Informatika. Vedúci bc.
Možnosti rozhodovacích agentov hrajúcich hracie karty Bakalárska práca Juraj Barič Univerzita FMFI KI 9.2.1 Informatika Vedúci bc. práce: doc. RNDr. Mária Markošová, PhD. Bratislava 2009 Čestne prehlasujem,
Διαβάστε περισσότεραZateplite fasádu! Zabezpečte, aby Vám neuniklo teplo cez fasádu
Zateplite fasádu! Zabezpečte, aby Vám neuniklo teplo cez fasádu Austrotherm GrPS 70 F Austrotherm GrPS 70 F Reflex Austrotherm Resolution Fasáda Austrotherm XPS TOP P Austrotherm XPS Premium 30 SF Austrotherm
Διαβάστε περισσότεραUČEBNÉ TEXTY. Pracovný zošit č.2. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Elektrotechnické merania. Ing. Alžbeta Kršňáková
Stredná priemyselná škola dopravná, Sokolská 911/94, 960 01 Zvolen Kód ITMS projektu: 26110130667 Názov projektu: Zvyšovanie flexibility absolventov v oblasti dopravy UČEBNÉ TEXTY Pracovný zošit č.2 Vzdelávacia
Διαβάστε περισσότερα1. Trojuholník - definícia
1. Trojuholník - definícia Trojuholník ABC sa nazýva množina takých bodov, ktoré ležia súčasne v polrovinách ABC, BCA a CAB, kde body A, B, C sú body neležiace na jednej priamke.. Označenie základných
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium
Imrich Pokorný Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Strana 1 z 48 1 Nepresnosť numerického riešenia úloh 4 1.1 Zdroje chýb a ich klasifikácia................... 4 1.2 Základné pojmy odhadu
Διαβάστε περισσότεραOdporníky. 1. Príklad1. TESLA TR
Odporníky Úloha cvičenia: 1.Zistite technické údaje odporníkov pomocou katalógov 2.Zistite menovitú hodnotu odporníkov označených farebným kódom Schématická značka: 1. Príklad1. TESLA TR 163 200 ±1% L
Διαβάστε περισσότεραČLOVEK A PRÍRODA. (neúplný) experimentálny učebný text
ČLOVEK A PRÍRODA Zem náš domov (neúplný) experimentálny učebný text V Z D E L Á V A C I A O B L A S Ť Č L O V E K A P R Í R O D A tematický celok Zem náš domov Martin Mojžiš, František Kundracik, Alexandra
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah rovinných útvarov
Obvod a obsah rovinných útvarov Z topologického hľadiska bod môže byť vnútorný, hraničný a vonkajší vzhľadom na nejaký rovinný útvar. D. Bod je vnútorný, ak môžeme nájsť taký polomer r, že kruh so stredom
Διαβάστε περισσότερα18. kapitola. Ako navariť z vody
18. kapitola Ako navariť z vody Slovným spojením navariť z vody sa zvyknú myslieť dve rôzne veci. Buď to, že niekto niečo tvrdí, ale nevie to poriadne vyargumentovať, alebo to, že niekto začal s málom
Διαβάστε περισσότεραHASLIM112V, HASLIM123V, HASLIM136V HASLIM112Z, HASLIM123Z, HASLIM136Z HASLIM112S, HASLIM123S, HASLIM136S
PROUKTOVÝ LIST HKL SLIM č. sklad. karty / obj. číslo: HSLIM112V, HSLIM123V, HSLIM136V HSLIM112Z, HSLIM123Z, HSLIM136Z HSLIM112S, HSLIM123S, HSLIM136S fakturačný názov výrobku: HKL SLIMv 1,2kW HKL SLIMv
Διαβάστε περισσότερα