SK skmo.sk. 66. ročník Matematickej olympiády 2016/2017 Riešenia úloh domáceho kola kategórie B
|
|
- Δίδυμος Ράγκος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 66. ročník Matematickej olympiády 2016/2017 Riešenia úloh domáceho kola kategórie B 1. Každému vrcholu pravidelného 66-uholníka priradíme jedno z čísel 1 alebo 1. Ku každej úsečke spájajúcej dva jeho vrcholy (strane či uhlopriečke) potom pripíšeme súčin čísel v jej krajných bodoch a všetky čísla pri jednotlivých úsečkách sčítame. Určte najmenšiu možnú a najmenšiu nezápornú hodnotu takéhoto súčtu. (Pavel Calábek) Riešenie. Predpokladajme, že niektorým k vrcholom (0 k 66) pravidelného 66- -uholníka je priradené číslo 1 a ostatným 66 k vrcholom číslo 1. Ku každej úsečke spájajúcej dva vrcholy s číslami 1 pripíšeme podľa podmienok úlohy číslo 1. Takých úsečiek je spolu 1 2k(k 1). Podobne aj ku každej úsečke, ktorej oba krajné body majú priradené číslo 1, pripíšeme číslo 1. Takých úsečiek je spolu 1 2 (66 k)(65 k). Napokon každej zo zvyšných úsečiek (a tých je k(66 k)) pripíšeme číslo 1. Hodnota S súčtu všetkých čísel pripísaných k jednotlivým úsečkám (stranám či uhlopriečkam uvažovaného 66-uholníka) je teda k(k 1) (66 k)(65 k) S = = 2k k = = 2(k 33) k(66 k) = Vidíme, že vždy platí S 33, pričom rovnosť zrejme nastane pre k = 33. Teraz zistíme, pre ktoré k (0 k 66) je splnená nerovnosť S 0. Budú to práve tie k, pre ktoré platí k 33 33/2 > 4, takže pre nezáporné hodnoty S bude určite platiť S = 17. Rovnosť nastane, keď bude k 33 = 5, čiže k {28, 38}. Záver. Skúmaný výraz nadobúda najmenšiu hodnotu S = 33 pre k = 33. Najmenšia možná nezáporná hodnota skúmaného súčtu je S = 17 pre k = 28 či k = 38. N1. Určte najmenšiu celočíselnú hodnotu výrazu U = x 3 + 5, pričom x je ľubovoľné reálne číslo. [Najmenšia celočíselná hodnota výrazu U je 3 (pre x = či pre x = ).] N2. Určte najmenšiu hodnotu výrazu V = 3x 2 + 4x + 5, pričom x je ľubovoľné reálne číslo, a nájdite tiež jeho najmenšiu celočíselnú hodnotu. [Najmenšia možná hodnota výrazu V je 11 3, je dosiahnutá pre x = 2. Najmenšia celočíselná hodnota skúmaného výrazu 3 je V = 4 a je dosiahnutá pre x = 1 či x = 1 3.] N3. Každému vrcholu pravidelného 63-uholníka priradíme jedno z čísel 1 alebo 1. Ku každej jeho strane pripíšeme súčin čísel v jej vrcholoch a všetky čísla pri jednotlivých stranách sčítame. Nájdite najmenšiu možnú nezápornú hodnotu takého súčtu. [63 B I 1] D1. Nech pre x i { 1, 1} platí x 1 x 2 + x 2 x x n 1 x n + x n x 1 = 0. Dokážte, že n je párne číslo. [Každý z n sčítancov v danom súčte je rovný buď 1, alebo 1. Jedna polovica z nich musí byť preto rovná 1 a druhá 1. Číslo n je teda nutne párne.] 2. Určte všetky dvojice (a, b) reálnych parametrov, pre ktoré má sústava rovníc x + y = a, 2 y x = b 1
2 práve tri riešenia v obore reálnych čísel, a pre každú z nich tieto riešenia určte. (Jaroslav Švrček) Riešenie. Namiesto bežného algebraického postupu dáme prednosť grafickej metóde riešenia danej sústavy rovníc. Za tým účelom ju prepíšeme na tvar y = x + a, x = = 2 y b. Z grafov oboch týchto závislostí medzi premennými x a y (pri pevných číslach a a b), ktorých príklady (pre zvolené a, b) sú vykreslené 1 na obr. 1, vidíme (s ohľadom na uhly, ktoré zvierajú dotyčné polpriamky so súradnicovými osami), že v prípade, keď obe čísla a, b sú nekladné, nemá zadaná sústava rovníc žiadne riešenie s výnimkou prípadu a = b = 0, keď je riešenie jediné (x = y = 0). y x = 2 y b a O b x y = x + a Obr. 1 Ďalej vidíme, že v prípade a > 0, b 0 má sústava nanajvýš dve riešenia, rovnako ako v prípade a 0, b > 0. 2 Napokon vo zvyšnom prípade a > 0, b > 0 nie je ťažké usúdiť, že sústava bude mať práve tri riešenia jedine vtedy, keď grafy oboch závislostí budú mať jednu zo vzájomných polôh znázornených na obrázkoch 2 a 3. Na nich sú y y a=k a=k b= 2k O k 4k x b= k O k 3k x k 2k 3k Obr. 2 Obr. 3 vyjadrené aj zodpovedajúce čísla a a b pomocou kladného parametra k. Tri spoločné 1 Keď budeme meniť hodnoty parametrov a a b, budú sa oba grafy posúvať v smere príslušnej súradnicovej osi. Predstava týchto dvoch (navzájom nezávislých) pohybov nás oprávňuje k záverom o možných vzájomných polohách oboch grafov, a ďalej ich v tomto riešení uvádzame bez ďalšieho vysvetľovania. 2 Pre každý z oboch prípadov sami nakreslite situácie, keď sústava má 0, 1, alebo 2 riešenia. 2
3 body oboch grafov sú na oboch obrázkoch vyznačené prázdnymi krúžkami; ich súradnice (x, y), ktoré ľahko dopočítame, sú potom hľadanými trojicami riešení zadanej sústavy. Záver. Daná sústava rovníc má práve tri riešenia pre každú dvojicu parametrov (a, b) = = (k, 2k) a pre každú dvojicu parametrov (a, b) = (k, k), pričom k je ľubovoľné kladné reálne číslo. V prvom prípade má daná sústava riešenie (0, k), ( 4 3 k, 1 3k) a (4k, 3k). V druhom prípade má daná sústava riešenie ( k, 0), ( 1 3 k, 2 3k) a (3k, 2k). Iné riešenie. I keď je predchádzajúca grafická metóda riešenia z hľadiska matematickej exaktnosti plnohodnotná a podané riešenie možno tak oprávnene hodnotiť ako úplné, uveďme pre porovnanie aj prácnejší algebraický postup. Ako zvyčajne sa zbavíme absolútnych hodnôt v zadaných rovniciach rozlíšením štyroch prípadov a v každom z nich zodpovedajúcu sústavu dvoch lineárnych rovníc rutinným postupom najskôr vyriešime v celom obore R (nehľadiac teda zatiaľ na podmienky vymedzujúce daný prípad): (1) x 0, y 0: x 1 = 1 3 (2a b), y 1 = 1 3 (a + b), (2) x 0, y < 0: x 2 = 2a + b, y 2 = a b, (3) x < 0, y 0: x 3 = 2a + b, y 3 = a + b, (4) x < 0, y < 0: x 4 = 1 3 ( 2a b), y 4 = 1 3 (a b). Keďže jednotlivé prípady (1) (4) sa navzájom vylučujú, je našou úlohou zistiť, pre aké dvojice (a, b) práve tri z nájdených dvojíc (x i, y i ) spĺňajú príslušnú podmienku, ktorá daný prípad vymedzuje. Kvôli prehľadnosti ďalšieho výkladu uveďme, že najskôr vysvetlíme, prečo nevyhovujú jednotlivé situácie a < 0, b < 0, a = 0, b = 0 (stačí vždy ukázať dva z prípadov (1) (4), ktoré sú vylúčené), a potom sa budeme venovať zvyšnej situácii, keď platí a > 0 a zároveň b > 0. Ak je a < 0, z rovnice x + y = a vyplýva y < 0, čo vylučuje prípady (1) a (3). Ak je b < 0, z rovnice 2 y x = b vyplýva x > 0, čo vylučuje prípady (3) a (4). V situácii, keď a = 0, vypíšeme pre jednotlivé prípady podmienky na číslo b, za ktorých dvojica (x i, y i ) vymedzujúcej podmienke vyhovuje: (1): b = 0, (2): b > 0, (3): b, (4): b > 0. Vidíme, že sústava má nanajvýš dve riešenia. Podobné podmienky na číslo a v situácii b = 0 vyzerajú takto: (1): a 0, (2): a > 0, (3): a, (4): a, preto aj teraz má sústava nanajvýš dve riešenia. V poslednej situácii, keď platí a > 0 a b > 0, najskôr vypíšeme, ktoré z hodnôt x i a y i majú príslušné znamienka automaticky: y 1 > 0, x 2 > 0, y 2 < 0, x 4 < 0. (To mimochodom znamená, že dvojica (x 2, y 2 ) je vždy riešením). O príslušnosti znamienok ostatných hodnôt x i a y i zrejme rozhoduje, ako veľké je (kladné) číslo b v porovnaní s (kladnými) číslami a a 2a (pre ktoré platí a < 2a). Možné porovnania teraz rozlíšime a pri každom z nich vypíšeme, ktoré z prípadov (1) (4) vedú k riešeniu: 3
4 (i) b < a: vyhovujú prípady (1) a (2). (ii) b = a: vyhovujú prípady (1), (2) a (3). (iii) a < b < 2a: vyhovujú prípady (1), (2), (3), (4). (iv) b = 2a: vyhovujú prípady (1), (2) a (4). (v) 2a < b: vyhovujú prípady (2) a (4). Zisťujeme tak, že zadaná sústava rovníc má práve tri riešenia jedine vtedy, keď platí b = a > 0 alebo b = 2a > 0; výpis týchto riešení dostaneme zo vzorcov pre hodnoty x i a y i. Ak dosadíme b = a do príslušných z nich, dostaneme v prvom prípade trojicu riešení (x 1, y 1 ) = ( 1 3 a, 2 3 a), (x 2, y 2 ) = (3a, 2a), (x 3, y 3 ) = ( a, 0); pre druhý prípad dostaneme podobným dosadením b = 2a trojicu (x 1, y 1 ) = (0, a), (x 2, y 2 ) = (4a, 3a), (x 4, y 4 ) = ( 4 3 a, 1 3 a). N1. V karteziánskej sústave súradníc Oxy znázornite množinu všetkých bodov v rovine, ktorých súradnice [x, y] vyhovujú rovnostiam a) x y = 1, b) x+ y = 2, c) x + y = 3, d) x+y + x y = 4, e) x+1 1 = y, f) y = x 1. N2. Určte všetky hodnoty reálneho parametra a, pre ktoré má sústava rovníc x + y = 1, x 2y = a. riešenie v obore reálnych čísel. Uveďte diskusiu vzhľadom na parameter a. [Z grafov oboch vzťahov vyplýva, že daná sústava rovníc má riešenie pre každé a 2; 2. Pre a = 2 a a = 2 má sústava práve jedno riešenie, postupne (0; 1) a (0; 1). Pre každé a ( 2; 2) má daná sústava práve dve riešenia.] D1. V obore reálnych čísel vyriešte sústavu rovníc s neznámymi x, y ax + y = 1, x + y = a, pričom a je reálny parameter. Uveďte diskusiu vzhľadom na parameter a. [16 C II 4] D2. Použitím grafickej metódy a ďalej potom výpočtom určte všetky reálne riešenia sústavy rovníc x + y 1 = 1, pričom p je reálny parameter. [13 A II 3] x 1 + y = p, 3. Na kružnici k sú zvolené body A, B, C, D, E (v tomto poradí) tak, že platí AB = = CD = DE. Dokážte, že ťažiská trojuholníkov ABD, ACD a BDE ležia na kružnici sústrednej s kružnicou k. (Tomáš Jurík) Riešenie. Vzhľadom na podmienky úlohy je CBD = ADB = EAD, pretože všetky tri uvažované uhly vytínajú na kružnici k zhodné tetivy. Keďže CBD = = ADB, je AD BC. Tetivový štvoruholník ABCD je teda rovnoramenný lichobežník či pravouholník, v ktorom sú (zhodné) trojuholníky DAB a ADC súmerne združené podľa spoločnej osi o 1 strán AD, BC. Tá však prechádza stredom O kružnice k. V uvedenej súmernosti si 4
5 tak zodpovedajú aj ťažiská K a L oboch zhodných trojuholníkov DAB a ADC (obr. 4). Os úsečky KL teda prechádza stredom O kružnice k. Navyše oba body K a L sú rôzne, pretože zodpovedajúce si ťažnice z (rôznych) vrcholov B a C sa pretínajú v strede spoločnej strany AD oboch zhodných trojuholníkov, zatiaľ čo ťažiská sú vnútornými bodmi oboch úsečiek. D E k M L C o 2 O K o 1 A B Obr. 4 Analogicky dokážeme, že aj ABDE je rovnoramenný lichobežník či pravouholník. Pre ťažiská K, M zhodných trojuholníkov DAB a BED preto platí, že aj os úsečky KM prechádza stredom O kružnice k. Odtiaľ OL = OK = OM > 0 (body K a L sú rôzne), takže ťažiská všetkých troch uvažovaných trojuholníkov ležia na kružnici sústrednej s k. Tým je dôkaz ukončený. N1. Dokážte tvrdenie: Ramená dvoch uhlov, ktorých vrcholy ležia na jednej kružnici, vytínajú na tejto kružnici zhodné tetivy práve vtedy, keď sú oba uhly zhodné. [Využite vzťah medzi obvodovým a stredovým uhlom.] N2. Os vnútorného uhla pri vrchole C v trojuholníku ABC pretína jemu opísanú kružnicu v bode, ktorý je stredom toho jej oblúka, ktorý neobsahuje bod C. Dokážte. [Využite výsledok predošlého tvrdenia.] N3. Daný je tetivový päťuholník ABCDE, v ktorom AE = AB a BC = DE. Dokážte, že priesečníky výšok (ortocentrá) trojuholníkov BCD, CDE a bod A sú vrcholmi rovnoramenného trojuholníka. [Dokážte, že BCDE je rovnoramenný lichobežník či pravouholník, a využite osovú súmernosť daného päťuholníka podľa spoločnej osi úsečiek BE a CD.] 4. Nájdite všetky osemciferné čísla so štyrmi neznámymi nepárnymi ciframi vyznačenými hviezdičkami, ktoré sú deliteľné číslom (Jaromír Šimša) Riešenie. Keďže = , hľadáme práve tie čísla n = a2b0c1d6 s nepárnymi ciframi a, b, c a d, ktoré sú zároveň deliteľné číslami 32 = 2 5, 9 = 3 2 a 7. Číslo n = a2b0c1d6 je deliteľné číslom 32 práve vtedy, keď je číslom 32 deliteľné jeho posledné päťčíslie 0c1d6 = 1 000c d + 6 = 32(31c + 3) + 8(c + d + 1) + 2(d + 1). 5
6 Podľa deliteľnosti ôsmimi vidíme, že číslo d + 1 musí byť deliteľné štyrmi, a tak je buď d = 3, alebo d = 7. V prípade d = 3 je naše päťčíslie rovné 32(31c + 3) + 8(c + 5), takže je deliteľné 32 práve vtedy, keď je číslo c+5 deliteľné 4, teda c {3, 7}. V prípade d = 7 je však ono päťčíslie rovné 32(31c + 3) + 8(c + 10), takže nie je deliteľné 32, pretože c je nepárna cifra, a tak je číslo c + 10 nepárne, čiže číslo 8(c + 10) nie je deliteľné 32. Podmienku deliteľnosti číslom 32 tak spĺňajú práve tie n, ktoré za dvojicu nepárnych cifier (c, d) majú (3, 3) alebo (7, 3). Číslo n = a2b0c1d6 je deliteľné deviatimi práve vtedy, keď je číslom 9 deliteľný jeho ciferný súčet a b c d + 6 = a + b + c + d + 9. Z toho dostaneme možné hodnoty súčtu a+b pre obe už určené dvojice (c, d). Vezmeme pritom navyše do úvahy, že súčet a + b musí byť číslo párne, pretože obe cifry a a b sú nepárne. Pre prvú dvojicu (c, d) = (3, 3) tak vychádza a + b = 12, teda {a, b} = {3, 9} alebo {5, 7}. Pre druhú dvojicu (c, d) = (7, 3) dostaneme a + b = 8, teda buď {a, b} = = {1, 7}, alebo {a, b} = {3, 5}. Prichádzame k záveru, že iba osem čísel požadovaného tvaru je deliteľných oboma číslami 32 a 9. Jedná sa o čísla , , , , , , , Deliteľnosť posledným činiteľom 7 tak ostáva posúdiť iba pri týchto ôsmich kandidátoch na riešenie našej úlohy. Je jednoduché sa presvedčiť, že iba prvé a posledné z vypísaných čísel sú deliteľné siedmimi. Možno to spraviť rýchlo priamym delením (ak máme po ruke kalkulačku), alebo namiesto toho využiť menej známe kritérium deliteľnosti siedmimi, podľa ktorého akékoľvek osemciferné číslo a 7 a 6 a 5 a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 = a 0 +a a a a a a a dáva po delení siedmimi taký istý zvyšok ako súčet s = a 0 + 3a 1 + 2a 2 + 6a 3 + 4a 4 + 5a 5 + a 6 + 3a 7. (Koeficient pri každej cifre a k je rovný zvyšku po delení siedmimi prislúchajúcej mocniny 10 k.) Odpoveď. Vyhovujú práve dve čísla a N1. Známe kritériá deliteľnosti číslami 2, 4 a 8 zovšeobecnite na kritérium deliteľnosti číslom 2 k pre ľubovoľné prirodzené číslo k: Celé číslo zapísané v desiatkovej sústave je deliteľné číslom 2 k práve vtedy, keď je také jeho posledné k-číslie. [Rozdiel čísla a jeho posledného k-číslia je číslo, ktorého zápis končí k nulami, takže je deliteľné číslom 10 k, a teda aj číslom 2 k. To znamená, že akékoľvek číslo a jeho posledné k-číslie dávajú po delení číslom 2 k vždy taký istý zvyšok.] N2. Pripomeňte si známy poznatok, že dané prirodzené číslo a jeho ciferný súčet dávajú rovnaké zvyšky ako po delení tromi, tak po delení deviatimi. Platí to aj po delení číslom 3 3 = 27? [Neplatí, napríklad číslom 27 je deliteľné samo číslo 27, avšak jeho ciferný súčet = 9 číslom 27 deliteľný nie je. Neplatí ani opačná implikácia: napríklad číslo s ciferným súčtom 27 týmto číslom deliteľné nie je.] 6
7 D1. Dokážte, že o deliteľnosti siedmimi akéhokoľvek čísla N zapísaného v desiatkovej sústave možno rozhodovať pomocou kódu takto: Šesťciferné číslo N = = a 5 a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 dáva po delení siedmimi taký istý zvyšok ako súčet s = 1a 0 + 3a 1 + 2a 2 + 6a 3 + 4a 4 + 5a 5 (cifry vypisujeme odzadu a pred ne ako koeficienty pripisujeme jednotlivé cifry onoho kódu). Ak má číslo N menej ako šesť cifier, napíšeme príslušný kratší súčet, ak má číslo N naopak viac ako šesť cifier, kódové cifry opakujeme s periódou 6, teda s = a 0 + 3a 1 + 2a 2 + 6a 3 + 4a 4 + 5a 5 + a 6 + 3a 7 + 2a 8 + 6a D2. Dokážte, že pre každé celé číslo n je číslo, ktoré dostaneme, keď zapíšeme 3 n jednotiek za sebou, násobkom čísla 3 n. [Použite matematickú indukciu: pre n = 1 (aj pre n = 2) tvrdenie zrejme platí (použite ciferný súčet). Pri druhom indukčnom kroku si všimnite, že číslo z 3 n+1 jednotiek je násobkom čísla z 3 n jednotiek, pritom príslušný podiel je číslo tvaru , teda číslo deliteľné tromi (má totiž ciferný súčet 3).] 5. Daný je pravouhlý trojuholník ABC s preponou AB. Označme D pätu jeho výšky z vrcholu C a M, N priesečníky osí uhlov ADC, BDC so stranami AC, BC. Dokážte, že platí 2 AM BN = MN 2. (Jaroslav Švrček) Riešenie. Osi DM a DN pravých uhlov pri vrchole D spolu s výškou CD rozdeľujú priamy uhol pri vrchole D na štyri zhodné uhly veľkosti 45. Zároveň vidíme, že uhol MDN je pravý, takže body C, M, D, N ležia na Tálesovej kružnici s priemerom MN. Ak označíme zvyčajným spôsobom uhly pri vrcholoch A a B trojuholníka ABC, je zároveň ACD = 90 α = β a BCD = 90 β = α (obr. 5). Z toho vyplýva podobnosť trojuholníkov CDM BDN a ADM CDN, takže MD ND = CM BN Porovnaním pravých strán dostaneme a MD ND = AM CN. AM BN = CM CN. (1) β C α N M α A D β B Obr. 5 7
8 Keďže obvodové uhly nad tetivami CM a CN sú zhodné, je CM = CN. Použitím Pytagorovej vety v pravouhlom (rovnoramennom) trojuholníku CM N tak dostaneme 2 CM 2 = CM 2 + CN 2 = MN 2 a dosadením do rovnosti (1) vyjde Tým je tvrdenie úlohy dokázané. 2 AM BN = 2 CM CN = 2 CM 2 = MN 2. Poznámka. Ukážeme ešte jeden spôsob odvodenia kľúčovej rovnosti (1). Pravouhlé trojuholníky ACD a CBD sú podobné, pretože BCD = 90 ACD = CAD. To však znamená, že osi DM a DN oboch vnútorných uhlov z vrcholu D, ktoré si v tejto podobnosti zodpovedajú, delia protiľahlé strany v rovnakom pomere. Platí teda AM : CM = CN : BN, t. j. AM BN = CM CN. N1. Zopakujte si základné vlastnosti a vzťahy medzi obvodovým, stredovým a úsekovým uhlom a ďalej metódy (postupy), ako ukázať, že štyri a viac bodov leží na jednej kružnici. [Možno doporučiť o. i. časopis Matematika Fyzika Informatika (mfi.upol.cz), roč. 24, č. 5, článok Čtyři body na kružnici.] N2. Dokážte, že tetivy jednej kružnice prislúchajúce zhodným obvodovým uhlom sú zhodné. [Použite sínusovú vetu.] N3. Daný je pravouhlý trojuholník ABC, v ktorom D označuje pätu výšky z vrcholu C na jeho preponu AB. Ďalej nech K, L sú body na jeho odvesnách postupne BC, AC, pre ktoré platí 2 BK = CK a 2 CL = AL. Dokážte, že body K, C, L a D ležia na jednej kružnici. [Využite podobnosť pravouhlých trojuholníkov ADC a CDB, z ktorej potom vyplýva aj podobnosť trojuholníkov CLD a BKD.] D1. Daný je pravouhlý trojuholník ABC s preponou AB. Označme D pätu výšky z vrcholu C. Nech Q, R a P sú postupne stredy úsečiek AD, BD a CD. Dokážte, že platí [65 CPS juniorov T1] AP B + QCR = Určte všetky reálne čísla r také, že nerovnosť a 3 + ab + b 3 a 2 + b 2 platí pre všetky dvojice reálnych čísel a, b, ktoré sú väčšie alebo rovné r. (Ján Mazák) Riešenie. Keďže a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 ab + b 2 ), môžeme danú nerovnosť prepísať na ekvivalentný tvar (a + b 1)(a 2 ab + b 2 ) 0. (1) Vzhľadom na to, že pre ľubovoľné reálne čísla a, b platí a 2 ab + b 2 = (a 1 2 b) b2 0 (s rovnosťou práve vtedy, keď a = b = 0), je nerovnosť (1) splnená práve vtedy, keď a + b 1 alebo a = b = 0. Z podmienky a+b 1 tak vyplýva, že nerovnosť (1) je zaručene splnená pre všetky dvojice reálnych čísel a, b, ktoré sú väčšie alebo rovné 1 2, takže požadovanú vlastnosť má každé r 1 2. Nemá ju však žiadne r < 1 2, pretože k takému r možno zvoliť kladné čísla a = b = max(r, 1 3 ), ktoré sú síce väčšie alebo rovné r, avšak nerovnosť (1) nespĺňajú, lebo pre ne neplatí ani a + b 1, ani a = b = 0. Záver. Danej úlohe vyhovujú práve všetky reálne čísla r
9 N1. Dokážte, že pre každé nepárne číslo n a pre ľubovoľné reálne čísla a, b platí a n + b n = (a + b)(a n 1 a n 2 b +... ab n 2 + b n 1 ). N2. Znázornite v karteziánskej sústave súradníc všetky body, ktorých súradnice x, y vyhovujú vzťahom a) (x y 1) (2x + y 1), b) (min(x, y) r) (max(x, y) R), pričom r < R sú dané reálne čísla. N3. Dokážte, že pre ľubovoľné kladné reálne čísla a, b, c platí 1 a 2 ab + b b 2 bc + c c 2 ca + a 2 1 a b c 2. Určte, kedy nastáva rovnosť. [64 B I 6] Slovenská komisia MO, KMANM FMFI UK, Mlynská dolina, Bratislava Autori: Recenzenti: Redakčná úprava: Patrik Bak, Vojtech Bálint, Leo Boček, Pavel Calábek, Šárka Gergelitsová, Karel Horák, Radek Horenský, Tomáš Jurík, Aleš Kobza, Ján Mazák, Peter Novotný, Martin Panák, Michal Rolínek, Jaromír Šimša, Jaroslav Švrček, Josef Tkadlec, Jaroslav Zhouf Patrik Bak, Vojtech Bálint, Tomáš Jurík, Ján Mazák, Peter Novotný Ján Mazák, Peter Novotný Vydal: IUVENTA Slovenský inštitút mládeže, Bratislava 2016
Obvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότερα7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότεραMatematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότεραTomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Διαβάστε περισσότεραDeliteľnosť a znaky deliteľnosti
Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Διαβάστε περισσότερα23. Zhodné zobrazenia
23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICKÁ OLYMPIÁDA
S MATEMATICÁ OLYMPIÁDA skmo.sk 2008/2009 58. ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh IMO. Nech n je kladné celé číslo a a,..., a k (k 2) sú navzájom rôzne celé čísla z množiny {,..., n} také, že n
Διαβάστε περισσότεραSK skmo.sk. 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh domáceho kola kategórie A
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh domáceho kola kategórie A 1. Číslo n je súčinom troch (nie nutne rôznych) prvočísel. Keď zväčšíme každé z nich
Διαβάστε περισσότεραSK skmo.sk. 2009/ ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie A
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/2010 59. ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie A 1. V obore reálnych čísel riešte sústavu rovníc x2 y = z 1, y2 z = x 1, z2 x = y 1. (Radek Horenský) Riešenie.
Διαβάστε περισσότεραMIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότερα1. Trojuholník - definícia
1. Trojuholník - definícia Trojuholník ABC sa nazýva množina takých bodov, ktoré ležia súčasne v polrovinách ABC, BCA a CAB, kde body A, B, C sú body neležiace na jednej priamke.. Označenie základných
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah rovinných útvarov
Obvod a obsah rovinných útvarov Z topologického hľadiska bod môže byť vnútorný, hraničný a vonkajší vzhľadom na nejaký rovinný útvar. D. Bod je vnútorný, ak môžeme nájsť taký polomer r, že kruh so stredom
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické funkcie
Goniometrické funkcie Oblúková miera Goniometrické funkcie sú funkcie, ktoré sa používajú pri meraní uhlov (Goniometria Meranie Uhla). Pri týchto funkciách sa uvažuje o veľkostiach uhlov udaných v oblúkovej
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότερα24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické substitúcie
Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότεραJán Buša Štefan Schrötter
Ján Buša Štefan Schrötter 1 KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1 1.1 Pojem komplexného čísla Väčšine z nás je známe, že druhá mocnina ľubovoľného reálneho čísla nemôže byť záporná (ináč povedané: pre každé x R je x 0). Ako
Διαβάστε περισσότεραEkvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότερα16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh
16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh Kružnica k so stredom S a polomerom r nazývame množinou všetkých bodov X v rovine, ktoré majú od pevného bodu S konštantnú vzdialenosť /SX/ = r, kde r (patri)
Διαβάστε περισσότεραTechnická univerzita v Košiciach. Zbierka riešených a neriešených úloh. z matematiky. pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach
Technická univerzita v Košiciach Zbierka riešených a neriešených úloh z matematiky pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach Martin Bača Ján Buša Andrea Feňovčíková Zuzana Kimáková Denisa Olekšáková Štefan
Διαβάστε περισσότερα9 Planimetria. identifikovať rovinné geometrické útvary a ich vlastnosti, vysvetliť podstatu merania obvodu a obsahu rovinných útvarov,
9 Planimetria Ciele Preštudovanie tejto kapitoly vám lepšie umožní: identifikovať rovinné geometrické útvary a ich vlastnosti, vysvetliť podstatu merania obvodu a obsahu rovinných útvarov, používať jednotky
Διαβάστε περισσότεραMocniny : 1. časť. A forma. B forma. 1. Kontrolná práca z matematiky 8. ročník
1. Kontrolná práca z matematiky 8. ročník Mocniny : 1. časť 1. Vypočítajte pomocou tabuliek : a) 100 ; 876 ; 15,89 ; 1, ; 0,065 ; b) 5600 ; 16 ; 0,9 ;,64 ; 1,4 ; c) 1,5 ; 170 ; 0,01 ; 148 0, 56 ; 64, 5
Διαβάστε περισσότεραstereometria - študuje geometrické útvary v priestore.
Geometria Geometria (z gréckych slov Geo = zem a metro = miera, t.j. zememeračstvo) je disciplína matematiky prvýkrát spopularizovaná medzi starovekými grékmi Tálesom (okolo 624-547 pred Kr.), ktorý sa
Διαβάστε περισσότεραPriamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
Διαβάστε περισσότερα4 Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti
Reálna unkcia reálnej premennej a jej vlastnosti Táto kapitola je venovaná štúdiu reálnej unkcie jednej reálnej premennej. Pojem unkcie patrí medzi základné pojmy v matematike. Je to vlastne matematický
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότερα4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti
4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti Výroková funkcia (forma) ϕ ( x) je formálny výraz (formula), ktorý obsahuje znak x, pričom x berieme z nejakej množiny M. Ak za x zvolíme
Διαβάστε περισσότερα2007/ ročník MO Riešenia úloh domácej časti I. kola kategórie C
007/008 57. ročník MO Riešenia úloh domácej časti I. kola kategórie C. Určte najmenšie prirodzené číslo n, pre ktoré aj čísla n, n, 5 5n sú prirodzené. (Jaroslav Švrček) Riešenie. Vysvetlíme, prečo prvočíselný
Διαβάστε περισσότεραMONITOR 9 (2007) riešenia úloh testu z matematiky
MONITOR 9 (007) riešenia úloh testu z matematiky Autormi nasledujúcich riešení sú pracovníci spoločnosti EXAM testing Nejde teda o oficiálne riešenia, ktoré môže vydať ia Štátny pedagogický ústav (wwwstatpedusk)
Διαβάστε περισσότεραPríklady na precvičovanie Fourierove rady
Príklady na precvičovanie Fourierove rady Ďalším významným typom funkcionálnych radov sú trigonometrické rady, pri ktorých sú jednotlivé členy trigonometrickými funkciami. Konkrétne, jedná sa o rady tvaru
Διαβάστε περισσότεραx x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Διαβάστε περισσότεραZobrazenia v rovine. Každé zhodné zobrazenie v rovine je prosté a existuje k nemu inverzné zobrazenie.
Zobrazenia v rovine Zobrazením Z z množiny A do množiny B nazývame predpis, ktorý každému prvku x množiny A priraďuje práve jeden prvok y množiny B. Zobrazenie v rovine priraďuje každému bodu X danej roviny
Διαβάστε περισσότεραFunkcie - základné pojmy
Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8
Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................
Διαβάστε περισσότεραSúradnicová sústava (karteziánska)
Súradnicová sústava (karteziánska) = sú to na seba kolmé priamky (osi) prechádzajúce jedným bodom, na všetkých osiach sú jednotky rovnakej dĺžky-karteziánska sústava zavedieme ju nasledovne 1. zvolíme
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότεραTREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT. k predmetu Matematika pre
TREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT k predmetu Matematika pre 2. ročník SOŠ v Strážskom, študijný odbor 3760 6 00 prevádzka a ekonomika dopravy Operačný program: Vzdelávanie Programové obdobie:
Διαβάστε περισσότεραVzorové riešenia 3. kola letnej série 2008/2009
Vzorové riešenia 3. kola letnej série 00/009 Príklad č. 1 (opravovali Peťo, Juro): Zo zadania vieme, že gulička sa zastavila na čísle deliteľnom tromi, čiže to číslo je násobkom čísla tri. Teraz si vypíšeme
Διαβάστε περισσότεραSúčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =.
Súčtové vzorce Súčtové vzorce sú goniometrické hodnoty súčtov a rozdielov dvoch uhlov Sem patria aj goniometrické hodnoty dvojnásobného a polovičného uhla a pridám aj súčet a rozdiel goniometrických funkcií
Διαβάστε περισσότεραZákladné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií
Ma-Go-2-T List Základné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií RNDr. Marián Macko U: Predstav si, že ti zadám hodnotu jednej z goniometrických funkcií. Napríklad sin x = 0,6. Vedel by si určiť
Διαβάστε περισσότεραIntegrovanie racionálnych funkcií
Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie
Διαβάστε περισσότεραZÁKLADY ELEMENTÁRNEJ GEOMETRIE
UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED ZÁKLADY ELEMENTÁRNEJ GEOMETRIE ŠEDIVÝ ONDREJ VALLO DUŠAN Vydané v Nitre 2009 Fakultou prírodných vied Univerzity Konštantína Filozofa v Nitre s finančnou
Διαβάστε περισσότεραPovrch a objem ihlana
Povrch a objem ihlana D. Daný je mnohouholník (riadiaci alebo určujúci útvar) a jeden bod (vrchol), ktorý neleží v rovine mnohouholníka. Ak hraničnými bodmi mnohouholníka (stranami) vedieme polpriamky
Διαβάστε περισσότερα3. prednáška. Komplexné čísla
3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické funkcie ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku
Ma-Go-01-T List 1 Goniometrické funkcie ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku RNDr. Marián Macko U: Pojem goniometrické funkcie v preklade z gréčtiny znamená funkcie merajúce uhly. Dajú sa použiť v pravouhlom
Διαβάστε περισσότεραVzorové riešenia 3. kola zimnej série 2014/2015
riesky@riesky.sk Riešky matematický korešpondenčný seminár Vzorové riešenia. kola zimnej série 04/05 Príklad č. (opravovali Tete, Zuzka): Riešenie: Keďže číslo má byť deliteľné piatimi, musí končiť cifrou
Διαβάστε περισσότεραZhodné zobrazenia (izometria)
Zobrazenie A, B R R (zobrazenie v rovine) usporiadaná dvojica bodov dva body v danom poradí (záleží na poradí) zápis: [a; b] alebo (a; b) karteziánsky (kartézsky) súčin množín množina všetkých usporiadaných
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah nepravidelného a pravidelného mnohouholníka
Obvod a obsah nepravidelného a pravidelného mnohouholníka Ak máme nepravidelný mnohouholník, tak skúsime ho rozdeliť na útvary, ktorým vieme vypočítať obsah z daných údajov najvšeobecnejší spôsob: rozdeliť
Διαβάστε περισσότερα1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy
1. Rovnice, nerovnice a ich sústavy Osah Pojmy: rovnica, nerovnica, sústava rovníc, sústava nerovníc a ich riešenie, koeficient, koreň, koreňový činiteľ, diskriminant, doplnenie do štvorca, úprava na súčin,
Διαβάστε περισσότεραRiešenia. Základy matematiky. 1. a) A = { 4; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3}, b) B = {4; 9; 16}, c) C = {2; 3; 5},
Riešenia Základy matematiky 1. a) A = { ; ; ; 1; 0; 1; ; }, b) B = {; 9; 16}, c) C = {; ; 5}, d) D = { 1}, e) E =.. B, C, D, F (A neobsahuje prvok 1, E obsahuje navyše prvok 1, G neobsahuje prvok 1)..
Διαβάστε περισσότεραTest. Matematika. Forma A. Štátny pedagogický ústav, Bratislava NUPSESO. a.s.
Test Matematika Forma A Štátny pedagogický ústav, Bratislava Ò NUPSESO a.s. 1. Koľkokrát je väčší najmenší spoločný násobok čísel 84 a 16 ako ich najväčší spoločný deliteľ. A. B. 3 C. 6 D.1. Koľko záporných
Διαβάστε περισσότεραMotivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότερα3. Striedavé prúdy. Sínusoida
. Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa
Διαβάστε περισσότεραP Y T A G O R I Á D A
30 P Y T A G O R I Á D A Súťažné úlohy a riešenia celoštátneho kola Kategórie P6 - P8 30. ročník Školský rok 2008/2009 BRATISLAVA, 2009 Súťažné úlohy celoslovenského kola. Školský rok 2008/2009. Kategória
Διαβάστε περισσότεραDefinícia funkcie sínus a kosínus
a-go-0-t List Definícia funkcie sínus a kosínus RNDr. arián acko U: Dnešnú podobu goniometrickým funkciám dal až v 8. storočí Leonard Euler. Skúmal ich hodnot ako čísla, nie ako úsečk, ako sa to robilo
Διαβάστε περισσότεραDefinícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.
Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότεραM6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické nerovnice
Ma-Go--T List Goniometrické nerovnice RNDr. Marián Macko U: Problematiku, ktorej sa budeme venovať, začneme úlohou. Máme určiť definičný obor funkcie f zadanej predpisom = sin. Máš predstavu, s čím táto
Διαβάστε περισσότεραMaturita z matematiky T E S T Y
RNr. Mário oroš Maturita z matematiky príprava na prijímacie skúšky na vysokú školu T E S T Y Všetky práva sú vyhradené. Nijaká časť tejto knihy sa nesmie reprodukovať mechanicky, elektronicky, fotokopírovaním
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice riešené substitúciou
Ma-Go-10-T List 1 Goniometrické rovnice riešené substitúciou RNDr. Marián Macko U: Okrem základných goniometrických rovníc, ktorým sme sa už venovali, existujú aj zložitejšie goniometrické rovnice. Metódy
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICKÁ ANALÝZA 1
UNIVERZITA PAVLA JOZEFA ŠAFÁRIKA V KOŠICIACH Prírodovedecká fakulta Ústav matematických vied Božena Mihalíková, Ján Ohriska MATEMATICKÁ ANALÝZA Vysokoškolský učebný text Košice, 202 202 doc. RNDr. Božena
Διαβάστε περισσότεραÚpravy výrazov na daný tvar
DSZŠM Úpravy výrazov na daný tvar. a) Ktoré z nasledujúcich výrazov nie sú druhou mocninou dvojčlena?, 9, 0, b) Zmeňte v nich koeficient pri lineárnom člene tak, aby sa stali druhou mocninou dvojčlena.
Διαβάστε περισσότερα2. Aký obsah má vyfarbený útvar? Dĺţka strany štvorca je 3 m.
Dĺžka kružnice, obsah kruhu 1. Na obrázku je kruţnica vpísaná do štvorca so stranou 4cm a štyri kruţnicové oblúky so stredmi vo vrcholoch štvorca. ký obsah má vyfarbený útvar? 4 + π cm 16 - π cm 8π 16
Διαβάστε περισσότεραVektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich
Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:
Διαβάστε περισσότεραKontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť.
Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Ktoré fyzikálne jednotky zodpovedajú sústave SI: a) Dĺžka, čas,
Διαβάστε περισσότεραMetodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 26130130051 číslo zmluvy: OPV/24/2011 Metodicko pedagogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH
Διαβάστε περισσότεραNajviac na koľko častí sa dá tromi priamkami rozdeliť medzikružie?
Náboj 01 Vzorové riešenia Úloha 1 J. Ak hranu kocky zväčšíme o 100%, tak o koľko percent sa zväčší jej objem? Výsledok. 700% Návod. Zväčšiť hranu a o 100% je to isté ako ju zdvojnásobiť na a. Objem pôvodnej
Διαβάστε περισσότεραFakulta riadenia a informatiky Žilinskej univerzity
Poznámka k úlohám o funkciách: Ak nie je uvedené inak, je definičným oborom funkcie množina všetkých reálnych čísel, pre ktoré výraz definujúci funkciu má zmysel. 0 Ktorá z nasledujúcich funkcií nie je
Διαβάστε περισσότερα!! " &' ': " /.., c #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",...(.
..,.. 00 !!.6 7 " 57 +: #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",.....(. 8.. &' ': " /..,... :, 00. c. " *+ ' * ' * +' * - * «/'» ' - &, $%' * *& 300.65 «, + *'». 3000400- -00 3-00.6, 006 3 4.!"#"$
Διαβάστε περισσότεραPlanárne a rovinné grafy
Planárne a rovinné grafy Definícia Graf G sa nazýva planárny, ak existuje jeho nakreslenie D, v ktorom sa žiadne dve hrany nepretínajú. D sa potom nazýva rovinný graf. Planárne a rovinné grafy Definícia
Διαβάστε περισσότεραRIEŠENIE WHEATSONOVHO MOSTÍKA
SNÁ PMYSLNÁ ŠKOL LKONKÁ V PŠŤNO KOMPLXNÁ PÁ Č. / ŠN WSONOVO MOSÍK Piešťany, október 00 utor : Marek eteš. Komplexná práca č. / Strana č. / Obsah:. eoretický rozbor Wheatsonovho mostíka. eoretický rozbor
Διαβάστε περισσότεραRiešenie rovníc s aplikáciou na elektrické obvody
Zadanie č.1 Riešenie rovníc s aplikáciou na elektrické obvody Nasledujúce uvedené poznatky z oblasti riešenia elektrických obvodov pomocou metódy slučkových prúdov a uzlových napätí je potrebné využiť
Διαβάστε περισσότεραLineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus
1. prednáška Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus Matematickým základom kvantovej mechaniky je teória Hilbertových
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Διαβάστε περισσότερα7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Διαβάστε περισσότεραVzorové riešenia 2. série zimnej časti KMS 2010/2011
Vzorové riešenia 2. série zimnej časti KMS 2010/2011 Úloha č. 1: Ondrík nakreslil do roviny dva červené trojuholníky. Tieto trojuholníky vytvorili spolu jeden červený n-uholník. Zistite všetky možné hodnoty
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE. Funkcia základné pojmy. Graf funkcie
FUNKCIE Funkcia základné pojm. Graf funkcie V prai sa často stretávame so skúmaním závislosti veľkosti niektorých veličín od veľkosti iných veličín, napríklad dĺžka kružnice l závisí od jej priemeru d
Διαβάστε περισσότεραZlomky sčítanie, odčítanie. A forma. B forma. 1. Kontrolná práca z matematiky 7. ročník. 1. Vypočítajte : = d) ( ) Vypočítajte : a) 5 + =
1. Kontrolná práca z matematiky 7. ročník Zlomky sčítanie, odčítanie 1. Vypočítajte : 6 2 5 7 2 2 2 a) + + = c) + = 7 3 21 9 3 3 9 3 5 1 1 + + 1 = d) ( ) 5 + 3,7 + 1 4 15 6 = 2. Vypočítajte : a) 1 5 5
Διαβάστε περισσότερα9 Planimetria. 9.1 Uhol. Matematický kufrík
Matematický kufrík 89 9 Planimetria 9.1 Uhol Pojem uhol patrí k najzákladnejším pojmom geometrie. Uhol môžeme definovať niekoľkými rôznymi spôsobmi, z ktorých má každý svoje opodstatnenie. Jedna zo základných
Διαβάστε περισσότεραZBIERKA ÚLOH Z GEOMETRIE - ZOBRAZENIA
ZBIERKA ÚLOH Z GEOMETRIE - ZOBRAZENIA 1. Afinné zobrazenia Definícia. Zobrazenie F z afinného priestoru A n do A m, ktoré zobrazuje každú trojicu nekolineárnych bodov do jedného bodu alebo do trojice bodov,
Διαβάστε περισσότεραTematický výchovno - vzdelávací plán. Cvičenia z matematiky. pre 9. ročník
výchovno vzdelávací plán Cvičenia z matematiky pre 9. ročník Počet hodín : 1 hod. týždenne Plán bol vypracovaný podľa: ŠVP pre 2. stupeň ZŠ ISCED 2 Plán vypracoval/a: Mgr. Viera Obložinská Školský rok:
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy matematiky I
Prednáška č. 7 Numerické metódy matematiky I Riešenie sústav lineárnych rovníc ( pokračovanie ) Prednáška č. 7 OBSAH 1. Metóda singulárneho rozkladu (SVD) Úvod SVD štvorcovej matice SVD pre menej rovníc
Διαβάστε περισσότερα1. Komplexné čísla. Doteraz ste pracovali s číslami, ktoré pochádzali z nasledovných množín:
1. Komplexné čísla Po preštudovaní danej kapitoly by ste mali byť shopní: poznať použitie a význam komplexnýh čísel v elektrikýh obvodoh rozumieť pojmom reálna a imaginárna časť, imaginárna jednotka, veľkosť,
Διαβάστε περισσότεραPREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz
KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)
Διαβάστε περισσότεραSTRIEDAVÝ PRÚD - PRÍKLADY
STRIEDAVÝ PRÚD - PRÍKLADY Príklad0: V sieti je frekvencia 50 Hz. Vypočítajte periódu. T = = = 0,02 s = 20 ms f 50 Hz Príklad02: Elektromotor sa otočí 50x za sekundu. Koľko otáčok má za minútu? 50 Hz =
Διαβάστε περισσότεραtretej odmocniny ( x ), mocniny čísla 10, n-tá mocnina ľubovoľného čísla (a n ) pre konkrétne hodnoty n, n je prirodzené číslo.
Mocniny a odmocniny, zápis veľkých čísel Školský vzdelávací program matematika 9. ročník 1. Obsah vzdelávania učebného predmetu v 9. ročníku (rozšírený počet hodín ) Tematický celok Témy Druhá a tretia
Διαβάστε περισσότεραChí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky
Chí kvadrát test dobrej zhody Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Test dobrej zhody I. Chceme overiť, či naše dáta pochádzajú z konkrétneho pravdep.
Διαβάστε περισσότερα