Maturitné úlohy. Matematiky. Pre gymnázium

Transcript

1 Jozef Vozár Maturitné úlohy Z Matematiky Pre gymnázium I. (Úlohy s výberom odpovede)

2 OBSAH ÚVOD K ÚVODU... 4 ÚVOD ZÁKLADY MATEMATIKY Logika a množiny... 6 Požiadavky na vedomosti a zručnosti Čísla, premenné a výrazy... 1 Požiadavky na vedomosti a zručnosti Teória čísel... 0 Požiadavky na vedomosti a zručnosti Rovnice, nerovnice a ich sústavy... 1 Požiadavky na vedomosti a zručnosti... 1 Žiak vie FUNKCIE Funkcia a jej vlastnosti, postupnosti Požiadavky na vedomosti a zručnosti Lineárna a kvadratická funkcia, aritmetická postupnosť Požiadavky na vedomosti a zručnosti Mnohočleny a mocninové funkcie, lineárna lomená funkcia... 5 Požiadavky na vedomosti a zručnosti Logaritmické a exponenciálne funkcie, geometrická postupnosť Požiadavky na vedomosti a zručnosti Goniometrické funkcie Požiadavky na vedomosti a zručnosti Limita a derivácia, geometrický rad Požiadavky na vedomosti a zručnosti Integrálny počet Požiadavky na vedomosti a zručnosti PLANIMETRIA Základné rovinné útvary Požiadavky na vedomosti a zručnosti Analytická geometria v rovine

3 Požiadavky na vedomosti a zručnosti Množiny bodov daných vlastností a ich analytické vyjadrenie Požiadavky na vedomosti a zručnosti Zhodné a podobné zobrazenia... 1 Požiadavky na vedomosti a zručnosti Konštrukčné úlohy Požiadavky na vedomosti a zručnosti STEREOMETRIA Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Požiadavky na vedomosti a zručnosti Súradnicová sústava v priestore, vektory, analytická metóda Požiadavky na vedomosti a zručnosti Lineárne útvary v priestore - polohové úlohy Požiadavky na vedomosti a zručnosti Lineárne útvary v priestore - metrické úlohy Požiadavky na vedomosti a zručnosti Telesá Požiadavky na vedomosti a zručnosti KOMBINATORIKA, PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA Kombinatorika a pravdepodobnosť Požiadavky na vedomosti a zručnosti Štatistika Požiadavky na vedomosti a zručnosti

4 ÚVOD K ÚVODU Táto zbierka vznikla ako pomôcka pre učiteľa matematiky strednej školy s maturitou ako pomôcka pre prípravvu študentov maturitného ročníka na externú časť maturitnej skúšky. Spracovaná je na úroveň vedomostí, ktoré by mal mať maturant gymnázia v úrovni A. Ako základ boli zobraté cieľové poţiadavky na maturitnú skúšku z matematiky zverejnené ŠPÚ, ktoré v nezmenenej podobe uvádzam na začiatku kaţdej kapitoly. Ku kaţdej časti uvedených cieľových poţiadaviek je uvedených niekoľko úloh s voľbou odpovede, kde sú pouţité úlohy z predchádzajúcich Monitorov, predchádzajúcich ročníkov maturitných skúšok a samozrejme mnoţstvo úloh, ktoré sú vytvorené autorom a jeho kolegami. K niektorým kapitolám je ich viac, v niektorých je menej, to podľa toho s akou frekvenciou sa v externých častiach maturitnej skúšky vyskytovali. Niektoré oblasti sa v externej časti nevyskytujú vôbec, sú však v zbierke uvedené, lebo môţu slúţiť aj na cvičenie. V niektorých kapitolách by zaradenie takýchto úloh bolo príliš násilné i keď moţné. Tam však, kde cieľom kapitoly je naučiť niektorým zručnostiam nepočítavého charakteru napr. rysovanie by som ani úlohy s výberom odpovede ani nezaraďoval. ÚVOD Cieľové poţiadavky z matematiky, rozdelené vo väčšine kapitol na časti Obsah, Poţiadavky na vedomosti a zručnosti a Príklady. Text v jednotlivých častiach, ktorý nie je vytlačený tučne, je určený pre základnú úroveň. Pre vyššiu úroveň je určený celý text, vrátane častí vytlačených tučne (teda rozdiel medzi základnou a vyššou úrovňou predstavujú práve tučne vytlačené časti). Obyčajnou kurzívou sú vytlačené odvolávky, vysvetlivky a komentáre. V kaţdej kapitole sú v odseku Obsah (rozdelenom spravidla na menšie časti s názvami Pojmy a Vlastnosti a vzťahy) vymenované termíny a vzťahy (vzorce, postupy, tvrdenia), ktoré má ţiak ovládať. Toto ovládanie v prípade pojmov znamená, ţe ţiak - rozumie zadaniam úloh, v ktorých sa tieto pojmy vyskytujú, - vie ich správne pouţiť pri formuláciách svojich odpovedí, - vie ich stručne opísať (definovať). - V prípade vlastností a vzťahov ovládaním rozumieme ţiakovu schopnosť vybaviť si tieto vzťahy v mysli (bez toho, aby mu bolo potrebné pripomínať konkrétnu podobu uvedeného vzťahu, postupu či tvrdenia) a pouţiť ich pri riešení danej úlohy (pričom spôsob tohto pouţitia špecifikuje časť Poţiadavky na vedomosti a zručnosti, o ktorej hovoríme niţšie). Kvôli prehľadnosti neuvádzame úplné znenie jednotlivých vzťahov so všetkými predpokladmi a podmienkami, ale len takú ich podobu, z ktorej je jasné, aké tvrdenie máme na mysli.

5 Pokiaľ sa v zadaniach úloh alebo otázok, ktoré má ţiak riešiť alebo zodpovedať, vyskytnú pojmy, ktoré nie sú uvedené v časti Obsah, bude potrebné ich v texte zadania vysvetliť. Rovnako tak v prípade, ţe zadanie vyţaduje pouţitie postupu alebo vzťahu, ktorý nie je zahrnutý do časti Obsah, musí byť ţiakovi k dispozícii opis poţadovaného postupu alebo vzťahu (tento opis však nemusí byť súčasťou zadania, môţe byť napríklad uvedený vo vzorčekovníku, ktorý bude priloţený k celému súboru zadaní). Výnimku z tohto pravidla predstavuje situácia, keď riešením úlohy má byť objavenie alebo odvodenie takého vzťahu, ktorý nebol uvedený v odseku Vlastnosti a vzťahy. Časť Poţiadavky na vedomosti a zručnosti opisuje v kaţdej kapitole činnosti, ktoré má byť ţiak schopný správne realizovať. V texte pouţívanú formuláciu ţiak vie... pritom chápeme v zmysle ţiak má vedieť... ; podobne formulácia... pokiaľ (ak) ţiak vie... znamená... ak je v týchto cieľových poţiadavkách uvedené, ţe ţiak má vedieť.... Teda napríklad text ţiak vie nájsť všetky riešenia nerovnice f ( x) a, pokiaľ vie riešiť rovnicu f ( x) a a súčasne vie načrtnúť graf funkcie f (ktorý čitateľ nájde v kapitole 1.4) treba chápať tak, ţe na inom mieste týchto cieľových poţiadaviek je špecifikované, grafy ktorých funkcií f má ţiak vedieť načrtnúť a pre ktoré funkcie f má ţiak vedieť riešiť rovnicu f ( x) a. Podobnú úlohu plní odvolávka pozri... ; napríklad v texte ţiak vie nájsť definičný obor danej funkcie (pozri 1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy) táto odvolávka upozorňuje, ţe stupeň náročnosti, na ktorom má ţiak zvládnuť určovanie definičného oboru funkcie, je daný náročnosťou rovníc a nerovníc, ktoré pri tom musí vyriešiť, pričom táto náročnosť je opísaná v časti 1.4. Odvolávka pozri tieţ... upozorňuje čitateľa, ţe uvedený pojem alebo činnosť sa vyskytuje aj na inom mieste tohto textu. Ţiak by mal byť schopný riešiť úlohy komplexného charakteru, teda úlohy, ktorých riešenie vyţaduje spojenie neveľkého počtu činností opísaných v týchto cieľových poţiadavkách (pritom nevylučujeme spájanie činností opísaných v rôznych kapitolách); napr. pri riešení klasickej slovnej úlohy by mal ţiak zvládnuť formuláciu príslušného problému v reči matematiky, jeho vyriešenie prístupnými matematickými prostriedkami a formuláciu odpovede opäť v reči pôvodného slovného zadania. Jednotlivé činnosti uvedené v časti Poţiadavky na vedomosti a zručnosti predstavujú teda len akési tehličky či základné stavebné kamene, pričom riešenie jedného konkrétneho zadania môţe vyţadovať i pouţitie a spojenie viacerých takýchto tehličiek. V snahe o ucelenosť jednotlivých kapitol uvádzame tie pojmy a zručnosti, ktoré súvisia s viacerými kapitolami, v kaţdej z nich. Z toho istého dôvodu sú do textu zaradené i niektoré pojmy, vzťahy a činnosti, ktoré sú obsahom učiva základnej školy. 5

6 1. ZÁKLADY MATEMATIKY 1.1 Logika a množiny Obsah Pojmy: výrok, axióma, definícia, úsudok, hypotéza, tvrdenie, pravdivostná hodnota, logické spojky, negácia, konjunkcia, disjunkcia, implikácia, ekvivalencia, vyplýva, je ekvivalentné, kvantifikátor (existenčný, všeobecný, aspoň, najviac, práve), priamy a nepriamy dôkaz, dôkaz sporom, matematická indukcia, mnoţina, prvky mnoţiny, podmnoţina, nadmnoţina, prienik, zjednotenie a rozdiel mnoţín, Vennove diagramy, disjunktné mnoţiny, prázdna mnoţina, doplnok mnoţiny, konečná a nekonečná mnoţina. Vlastnosti a vzťahy: Implikácia (výrok) A B je ekvivalentná s implikáciou (výrokom) B A (výrok z A vyplýva B platí práve vtedy, keď platí výrok, z negácie B vyplýva negácia A), výroky A, B sú ekvivalentné, ak platia obe implikácie A B, B A, negácia konjunkcie (disjunkcie) je disjunkcia (konjunkcia) negácií, implikácia a b je nepravdivá práve vtedy, keď je pravdivý výrok a a nepravdivý výrok b, pravdivosť zloţených výrokov a negácie ( tabuľka pravdivostných hodnôt ), negácia výroku x M platí V(x) je x M, pre ktoré neplatí V(x), negácia výroku x M, pre ktoré platí V(x) je x M neplatí V(x), A = B práve vtedy, keď súčasne platí A B, B A, pre počty prvkov zjednotenia dvoch mnoţín platí operácie zjednotenie a prienik sú asociatívne a komutatívne, ( A B) A B, ( A B) A B. Požiadavky na vedomosti a zručnosti A B A B A B, Ţiak vie rozlíšiť pouţívanie logických spojok a kvantifikátorov vo vyjadrovaní sa v beţnom ţivote na jednej strane a v rovine zákonov, nariadení, zmlúv, návodov, matematiky na strane druhej, zapisovať zložené a kvantifikované výroky, relácie a operácie s množinami pomocou dohodnutých značiek a jednotlivých výrokov, resp. množín, zistiť pravdivostnú hodnotu zloţeného výroku (vytvoreného pomocou negácie, konjunkcie, disjunkcie, implikácie, ekvivalencie) z pravdivostných hodnôt jednotlivých zloţiek (teda napísať pre danú situáciu príslušný riadok tabuľky pravdivostných hodnôt ), v jednoduchých prípadoch rozhodnúť, či je výrok negáciou daného výroku, vytvoriť negáciu zloţeného výroku (nie len pomocou nie je pravda, ţe ), v jednoduchých prípadoch zapísať a určiť mnoţinu vymenovaním jej prvkov, charakteristickou vlastnosťou alebo množinovými operáciami, v jednoduchých prípadoch rozhodnúť o konečnosti či nekonečnosti danej mnoţiny, opísať základné druhy dôkazov (priamy, nepriamy, sporom, matematickou indukciou) a dokumentovať ich príkladmi,

7 použiť základné druhy dôkazov pri dokazovaní jednoduchých tvrdení o celých číslach (pozri 1.3 Teória čísel), určiť zjednotenie, prienik a rozdiel mnoţín i doplnok mnoţiny A (ak A je podmnoţinou B) vzhľadom na mnoţinu B (intervaly pozri v 1. Čísla, premenné a výrazy), pouţiť vzorec pre počet prvkov zjednotenia mnoţín pri hľadaní počtu prvkov týchto mnoţín, resp. ich prieniku alebo zjednotenia, pri riešení úloh o mnoţinách pouţiť ako pomôcku Vennove diagramy (pre 4 mnoţiny). Príklady: 1. Nedôverčiví novinári Majiteľ istej firmy sa chválil: O kaţdom svojom zamestnancovi môţem zodpovedne vyhlásiť, ţe ak u nás pracuje viac ako štyri roky, má plat aspoň korún. Novinári mu neverili a vybrali sa medzi zamestnancov. Prvý novinár našiel pracovníka, ktorý vo firme pracuje tri roky a má plat korún. Druhý novinár našiel pracovníka, ktorý vo firme pracuje dva roky a má plat 1000 korún. Tretí novinár našiel pracovníka, ktorý vo firme pracuje päť rokov a má plat korún. Ktorý z novinárov môţe na základe uvedeného zistenia tvrdiť, ţe majiteľ firmy nehovoril pravdu? a) ani jeden b) iba prvý c) iba druhý a tretí d) iba tretí e) všetci traja. Slová Označme T mnoţinu trojslabičných slov, S mnoţinu šesťpísmenových slov a A mnoţinu slov obsahujúcich písmeno A. Ktoré z uvedených slov patrí do mnoţiny ( T S) A? a) JAMKA b) VIETOR c) MONITOR d) BUNKA e) KLAVÍR 3. Vývoj nezamestnanosti Na základe grafu na obrázku urobil redaktor v televíznej besede tri závery: 1. V roku 1996 bola nezamestnanosť dvakrát vyššia ako v roku Medziročný nárast nezamestnanosti má od roku 1995 neustále klesajúcu tendenciu. 3. Počet nezamestnaných prvýkrát prekročil magickú hranicu 1 milión obyvateľov v roku Ktorý z týchto záverov bol správny? a) iba druhý b) iba prvý a druhý c) iba prvý a tretí d) iba druhý a tretí e) všetky tri 7

8 4. Konečné a nekonečné množiny Nech K 1, K sú ľubovoľné dve konečné mnoţiny a M nech je ľubovoľná nekonečná mnoţina. Ktoré z uvedených tvrdení je potom nepravdivé? a) K 1 K je konečná mnoţina. b) K 1 K je konečná mnoţina. c) M K 1 je nekonečná mnoţina. d) M K 1 je nekonečná mnoţina. e) M - K 1 je nekonečná mnoţina. 5. Brigádnik Istý študent sa obhajoval: Nie je pravda, ţe som sa na brigáde zúčastnil najviac trikrát. Zo študentových slov vyplýva, ţe sa na brigáde a) zúčastnil vţdy. b) zúčastnil aspoň štyrikrát. c) zúčastnil aspoň trikrát. d) najviac trikrát nezúčastnil. e) nezúčastnil nikdy. 6. Koláče Mama sa chystá piecť koláče. Ostatní členovia rodiny vyslovili tieto ţelania: Otec: Upeč makovník alebo orechovník. Syn: Ak upečieš orechovník, tak upeč aj makovník alebo buchty. Dcéra: Ak upečieš buchty aj makovník, tak nepeč orechovník. Mama napokon upiekla len orechovník. Komu splnila ţelanie? a) Len otcovi a dcére. b) Len otcovi a synovi. c) Len synovi a dcére. d) Otcovi, synovi aj dcére. e) Ani otcovi, ani synovi, ani dcére. 7. Novinová správa V tlači sa objavila správa: Vlani kaţdý študent maturoval aspoň z jedného cudzieho jazyka. Na druhý deň v novinách priznali, ţe došlo k omylu a správa nebola pravdivá. Z toho moţno usúdiť, ţe vlani a) kaţdý študent maturoval z viacerých cudzích jazykov. b) niektorí študenti maturovali práve z jedného cudzieho jazyka. c) niektorí študenti maturovali z viac ako dvoch cudzích jazykov. d) niektorí študenti nematurovali z cudzieho jazyka. e) ţiadny študent nematuroval z cudzieho jazyka. 8. Nech p,q,r sú ľubovoľné výroky. Potom výrok popísaný formulou: ( p q) r je pravdivý práve vtedy keď: p,q, sú pravdivé a r je nepravdivý p,r sú pravdivé a q je nepravdivý q,r sú pravdivé a p je nepravdivý q,r sú nepravdivé a p je pravdivý p,r sú nepravdivé a q je pravdivý 8

9 9. Nech p,q,r sú ľubovoľné výroky. Potom výrok popísaný formulou: ( p q) r je nepravdivý práve vtedy keď: p,q sú pravdivé a r nie je pravdivý p,r pravdivé a q nepravdivý q,r pravdivé a p nepravdivý p,q nepravdivé a r pravdivý všetky tri výroky sú nepravdivé 10. Nech p,q,r sú ľubovoľné výroky. Potom výrok popísaný formulou: p q r je nepravdivý p,q sú pravdivé a r nie je pravdivý p pravdivé a q,r nepravdivý q,r pravdivé a p nepravdivý p,q nepravdivé a r pravdivý všetky tri výroky sú pravdivé 11. Negáciou výroku : Prišli práve traja návštevníci, je výrok a. Prišli práve traja návštevníci b. Prišli aspoň štyria návštevníci c. Prišli najviac traja návštevníci, alebo aspoň štyria d. Prišli najviac traja návštevníci. e. Tento výrok sa nedá negovať 1. Nech K 1, K sú ľubovoľné dve konečné mnoţiny a M nech je ľubovoľná nekonečná mnoţina. Ktoré z uvedených tvrdení je potom nepravdivé? a. K 1 K je konečná mnoţina. b. K 1 K je konečná mnoţina. c. M K 1 je nekonečná mnoţina. d. M K 1 je nekonečná mnoţina. e. M - K 1 je nekonečná mnoţina. 13. Označme T mnoţinu dvojslabičných slov, S mnoţinu šesťpísmenových slov a A mnoţinu slov obsahujúcich písmeno O. Ktoré z uvedených slov patrí do mnoţiny ( T S) A? a. JAMKA b. VIETOR c. MONITOR d. BUNKA e. KLAVÍR 14. Pomocou Vennového diagramu zjednodušte zápis mnoţiny ( M N) N 9

10 a. M b. prázdna mnoţina c. základná mnoţina d. N e. ţiadna z ostatných moţností nie je správna 15. Dané sú výrokové formy A(x): x < 30, B(x): x > 5,, kde x sú prirodzené čísla Oborom pravdivosti výrokovej formy A(x) B(x) je : A. {3,4,5} B. prázdna mnoţina C. {1,,3,4,5} D. N E. ţiadna z ostatných moţností nie je správna 16. Dané sú výrokové formy A(x): x < 30, B(x): x > 5,, kde x sú prirodzené čísla Oborom pravdivosti výrokovej formy A(x) B(x) je : a. x > 3 b. prázdna mnoţina c. {1, } d. N\{1, } e. ţiadna z ostatných moţností nie je správna 17. Negáciou výroku Nikto nepodal protest je výrok f. Kaţdý podal protest g. Aspoň jeden nepodal protest h. Niekto podal protest i. Najviac jeden podal protest j. ţiadna z ostatných moţností nie je správna 18. Mama sa chystá piecť koláče. Ostatní členovia rodiny vyslovili tieto ţelania: Otec: Upeč makovník alebo orechovník. Syn: Ak upečieš orechovník, tak upeč aj makovník alebo buchty. Dcéra: Ak upečieš buchty aj makovník, tak nepeč orechovník. Mama napokon upiekla len orechovník. Komu splnila ţelanie? A. Len otcovi a dcére. B. Len otcovi a synovi. C. Len synovi a dcére. D. Otcovi, synovi aj dcére. E. Ani otcovi, ani synovi, ani dcére. 19. Nech p,q,r sú ľubovoľné výroky. Potom výrok popísaný formulou: ( p q) r je pravdivý práve vtedy keď: A. p,q, sú pravdivé a r je nepravdivý 10

11 B. p,r sú pravdivé a q je nepravdivý C. q,r sú pravdivé a p je nepravdivý D. q,r sú nepravdivé a p je pravdivý E. p,r sú nepravdivé a q je pravdivý 0. Nech p,q,r sú ľubovoľné výroky. Potom výrok popísaný formulou: ( p q) r je nepravdivý práve vtedy keď: A. p,q sú pravdivé a r nie je pravdivý B. p,r pravdivé a q nepravdivý C. q,r pravdivé a p nepravdivý D. p,q nepravdivé a r pravdivý E. všetky tri výroky sú nepravdivé 1. Nech p,q,r sú ľubovoľné výroky. Potom výrok popísaný formulou: p q r je nepravdivý A. p,q sú pravdivé a r nie je pravdivý B. p pravdivé a q,r nepravdivý C. q,r pravdivé a p nepravdivý D. p,q nepravdivé a r pravdivý E. všetky tri výroky sú pravdivé. Negáciou výroku : Prišli práve traja návštevníci, je výrok A. Prišli práve traja návštevníci B. Prišli aspoň štyria návštevníci C. Prišli najviac traja návštevníci, alebo aspoň štyria D. Prišli najviac traja návštevníci. E. Tento výrok sa nedá negovať 3. Nech K 1, K sú ľubovoľné dve konečné mnoţiny a M nech je ľubovoľná nekonečná mnoţina. Ktoré z uvedených tvrdení je potom nepravdivé? A. K 1 K je konečná mnoţina. B. K 1 K je konečná mnoţina. C. M K 1 je nekonečná mnoţina. D. M K 1 je nekonečná mnoţina. E. M - K 1 je nekonečná mnoţina. 4. Označme T mnoţinu dvojslabičných slov, S mnoţinu šesťpísmenových slov a A mnoţinu slov obsahujúcich písmeno O. Ktoré z uvedených slov patrí do mnoţiny ( T S) A? A. JAMKA B. VIETOR C. MONITOR D. BUNKA 11

12 E. KLAVÍR 5. Pomocou Vennového diagramu zjednodušte zápis mnoţiny ( M N) N A. M B. prázdna mnoţina C. základná mnoţina D. N E. ţiadna z ostatných moţností nie je správna 6. Dané sú výrokové formy A(x): x < 30, B(x): x > 5,, kde x sú prirodzené čísla Oborom pravdivosti výrokovej formy A(x) B(x) je : A. {3,4,5} B. prázdna mnoţina C. {1,,3,4,5} D. N E. ţiadna z ostatných moţností nie je správna 7. Dané sú výrokové formy A(x): x < 30, B(x): x > 5,, kde x sú prirodzené čísla Oborom pravdivosti výrokovej formy A(x) B(x) je : A. x > 3 B. prázdna mnoţina C. {1, } D. N\{1, } E. ţiadna z ostatných moţností nie je správna 8. Negáciou výroku Nikto nepodal protest je výrok A. Kaţdý podal protest B. Aspoň jeden nepodal protest C. Niekto podal protest D. Najviac jeden podal protest E. ţiadna z ostatných moţností nie je správna 1. Čísla, premenné a výrazy Obsah Pojmy: konštanta, premenná, výraz, obor definície výrazu, rovnosť výrazov, hodnota výrazu, mnohočlen, stupeň mnohočlena, doplnenie do štvorca (pre kvadratický mnohočlen), člen mnohočlena, vynímanie pred zátvorku, úprava na súčin, krátenie výrazu, prirodzené (N), celé (Z), nezápor-né N 0, záporné ( Z ), racionálne (Q), iracionálne (I), reálne (R) čísla, n ciferné číslo, zlomky (čitateľ, menova- 1

13 teľ, spoločný menovateľ, základný tvar zlomku, zloţený zlomok, hlavná zlomková čiara), desatinný rozvoj (konečný, nekonečný a periodický), číslo e, číslo, nekonečno, číselná os, znázorňovanie čísel, komutatívny, asociatívny a distributívny zákon, odmocnina (druhá), n-tá odmocnina, mocnina (s prirodzeným, celočíselným, racionálnym exponentom), exponent a základ mocniny, základ logaritmu, absolútna hodnota čísla, úmera (priama a nepriama), pomer, percento, promile, základ (pre počítanie s percentami), faktoriál, kombinačné číslo, desiatková a dvojková sústava, dekadický a dvojkový zápis, interval (uzavretý, otvorený, ohraničený, neohraničený). Vlastnosti a vzťahy: x y ( x y ).( x y ), x xy y x y, ax bx c a( x x1 ).( x x ), kde x 1, x sú korene rovnice ax bx c 0 ( a 0 ), x y x y x y xy x 1 a a. a, ( a ) a, a x, x x x 0 ( ab) a b, c 1, a,b 0, c 0, x, y Z, resp. a x, y Q, m n nm n x x, a a, m n m n x x,. n y n xy, x pre x, y 0, m,n N, x a je vzdialenosť obrazov čísel x a a na číselnej osi, sin cos 1, cos sin, sin cos, sin( ) sin, cos( ) cos, sin( ) sin, cos( ) cos, sin sin. cos, cos cos sin, tan sin cos, x a b x log log x b, a a x pre a 0, a 1, x 0; log a x log a y log a ( xy), a y log ( x ) y log x pre a 0, a 1, x 0; a a log a s log r s pre a, s, r 0, r, a 1, log r a x log a x log a y log a pre a 0, a 1, x, y 0 ; y n!= n, pre prirodzené čísla n, 0!=1, n n! pre prirodzené čísla n a nezáporné celé čísla k nie väčšie ako n, k k!( n k )! práve racionálne čísla majú desatinný periodický rozvoj, R Q I, Q I {}, Z N Z {0}, N Z Q R. Požiadavky na vedomosti a zručnosti Ţiak vie: (čísla) zaokrúhľovať čísla, upraviť reálne číslo na tvar n a. 10, kde n je celé číslo a a číslo z intervalu 1, 10, vypočítať absolútnu hodnotu reálneho čísla, zapísať vzdialenosť na číselnej osi pomocou absolútnej hodnoty, znázorňovať čísla na číselnú os, porovnávať čísla na číselnej osi, odčítať čísla z číselnej osi, 13

14 pre konkrétne n všeobecne zapísať n ciferné číslo, na pribliţný výpočet číselných výrazov a hodnôt funkcií (vrátane log a ) pouţívať kalkulačku, pričom vie - upravovať číselné výrazy na tvar vhodný pre výpočet na kalkulačke, - zvoliť vhodný postup, aby mu vyšiel čo najpresnejší výsledok (napr. pri pribliţnom výpočte 0! ), 10! 10! pomocou kalkulačky zistiť ostrý uhol, ktorý má danú goniometrickú hodnotu, porovnať dve reálne čísla na úrovni presnosti kalkulačky, vyjadriť zjednotenie, prienik a rozdiel konečného počtu intervalov pomocou najmenšieho počtu navzájom disjunktných intervalov, jednoprvkových mnoţín a prázdnej mnoţiny, (výrazy) určiť hodnotu výrazu (dosadiť) ručne alebo pomocou kalkulačky, určiť obor definície výrazu (pozri 1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy), odstrániť absolútnu hodnotu rozlišovaním vhodných prípadov (t.j. V ( x) V( x) pre x, pre ktoré V (x) 0 a V ( x) V( x) pre x, pre ktoré V (x) 0 ), doplniť kvadratický trojčlen do štvorca (pozri tieţ. Lineárna a kvadratická funkcia, aritmetická postupnosť), upravovať mnohočlen na súčin vynímaním pred zátvorku a pouţitím vzťahov pre rozklady výrazov x y, x xy y, ax bx c, pouţiť pri úpravách výrazov (číselných alebo výrazov s premennými) rovnosti uvedené v časti Vlastnosti a vzťahy, roznásobovanie, vynímanie pred zátvorku, krátenie, úpravu zloţeného zlomku na jednoduchý, (práca s premennou) pouţívať percentá a úmeru, nahradiť premennú vo výraze novým výrazom (substitúcia, pozri tieţ 1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy), pri priamo závislých veličinách vie vyjadriť jednu pomocou druhej (pozri tieţ.1 Funkcia a jej vlastnosti, postupnosti), vyjadriť neznámu zo vzorca (pozri.1 Funkcia a jej vlastnosti, postupnosti), zapísať slovný text algebraicky (matematizácia), - zapísať vzťahy (v jednoduchom texte) pomocou premenných, čísel, rovností a nerovností - zapísať, vyjadriť beţné závislosti v geometrii, - v jednoduchých prípadoch odvodiť zo známych vzťahov niektoré nové vzťahy, riešiť kontextové (slovné) úlohy vedúce k rovniciam a nerovniciam (pozri 1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy) a hľadaniu extrémov funkcií (pozri.6 Limita a derivácia, geometrický rad) a interpretovať získané riešenia v jazyku pôvodného zadania. Príklady: 1. Priemerná mzda Štátny podnik MONITOREX má dva úseky. V úseku výroby pracuje 100 zamestnancov a ich priemerná mzda je 9600 Sk. V úseku odbytu pracuje dvakrát toľko ľudí ako v úseku výroby a ich priemerná mzda je 1000 Sk. Aká je priemerná mzda všetkých pracovníkov MONITOREXu? 14

15 a) b) c) d) e) Nepriamo úmerné veličiny O dvoch premenných veličinách a, b sa meraniami zistilo, ţe jedna je nepriamo úmerná druhej. Ktorý z nasledujúcich vzťahov môţe vyjadrovať ich závislosť? a) a b = - 0,6 b) a = 13b c) a = b d) a = b - 3 e) a.b = 1,8 3. Cestovné lístky Silvia sa venuje d dní v mesiaci tréningu gymnastiky. Z domu na tréning aj z tréningu domov cestuje vţdy autobusom. Lístok na jednu cestu stojí 1 korún, mesačný cestovný lístok stojí m korún. V akom vzťahu musia byť hodnoty m a d, aby bolo pre Silviu výhodnejšie kúpiť si mesačný lístok neţ pouţívať jednorazové cestovné lístky? a) m>4d b) m> d 4 d c) m<1d d) m<4d e) m< 4 4. Fajčiari 0% všetkých predčasných úmrtí majú na svedomí srdcovo-cievne choroby. 40% obetí týchto chorôb tvoria nefajčiari. Koľko percent predčasných úmrtí tvoria fajčiari, ktorí zomreli na srdcovocievne choroby? a) 8% b) 1% c) 0% d) 40% e) 60% 5. Teploty V Európe sa teplota vzduchu udáva v stupňoch Celzia, v USA v stupňoch Fahrenheita. Keď Európan pricestuje do USA a chce rozumieť predpovedi počasia, musí pouţiť na prevod teplôt vzorec 5. f 3 c =, kde c je teplota v C a f je teplota v F. Aký vzorec na prevod teplôt by mali pouţívať Američania, keď pricestujú do 9 Európy? 9c 9. c 3 a) f = - 3 b) f = c 3 c) f = 5 9. c d) f = c e) f = Hmotnosť častice Elementárna častica A má hmotnosť g. Častica B je 00 krát ťaţšia. Jej hmotnosť je teda a) g. b) g. c) g. d).10-6 g. e) g. 15

16 7. Kruhová rýchlosť Pre veľkosť kruhovej rýchlosti v, ktorou sa pohybuje umelá druţica okolo Zeme, platí vzťah v =. M Z neho pre výšku h nad povrchom Zeme platí h v. M a) h =. b) h = κ.m 6378.v. M v. c) h = v v. M 6378 v d) h =. e) h =. v. M v. 8. Test Test na prijímacích skúškach obsahuje u úloh. Pätina z nich sa hodnotí jedným bodom, t úloh je trojbodových, zvyšné úlohy sú dvojbodové. Aký maximálny počet bodov sa dá získať z testu? 1 a). u 3. t. u t c). u 3. t.. u t e). u 3.. t.. u t b). u 3. t. u t d). u 3. u t.. u t Prospech študentov Na kruhovom diagrame je znázornené, koľko percent študentov školy prospelo na konci školského roka s vyznamenaním, koľko prospelo veľmi dobre, koľko prospelo a koľko neprospelo. Pribliţne koľko percent ţiakov prospelo s vyznamenaním? a) 40 % b) 33 % c) 5 % d) 1 % e) 6 % 10. Väčšie číslo Koľkokrát je číslo 1,8.10 a+1 väčšie ako číslo 7,.10 a-? a) 50 krát b) a 1 krát c).10 a krát d) - krát e) krát 11. Odmena zamestnancov Graf znázorňuje, ako boli v istom podniku so 10 zamestnancami rozdelené odmeny. Koľko zamestnancov malo odmenu niţšiu ako bola priemerná odmena v podniku? 16

17 a) 8 b) 9 c) 37 d) 57 e) Nepriama úmernosť Ak sú dve veličiny nepriamo úmerné, potom musí byť konštantný a) ich súčet. b) ich súčin. c) ich rozdiel. d) ich podiel. e) súčin ich algoritmov. 13. Vyjadrenie funkcie Ak predpis funkcie f: y = y = 1 1 tg x, pričom x tg x ;, vyjadríme pomocou t = cos x, dostaneme 1 t a) 1 t t. b) t. c) 1 t. d) 1 t. e) t Vzťah V prvej sýpke bolo uskladnených x ton obilia, v druhej sýpke trikrát menej. Z prvej sýpky sa denne expedovalo 8 ton obilia, z druhej sýpky štyrikrát menej. Za d dní bolo v obidvoch sýpkach rovnaké mnoţstvo obilia. Aký je vzťah medzi x a d? a) x = 8d b) x = 9d c) x = 1d d) x = d 9 d e) x = Rozpočet Na schválenie rozpočtu nadácie sú podľa jej stanov potrebné hlasy aspoň troch pätín členov správnej rady. Na zasadnutie správnej rady sa však dostavili iba štyri pätiny jej členov. Najmenej aká časť prítomných členov správnej rady musí návrh rozpočtu posporiť, aby bol schválený v súlade so stanovami nadácie? a) 5 4 b) 4 3 c) 10 7 d) e) Študenti Stĺpcový aj kruhový diagram na obrázku znázorňujú počty študentov istej strednej školy, prijatých na jednotlivé druhy vysokých škôl. Ktorá časť kruhového diagramu zodpovedá počtu študentov prijatých na techniku? a) časť A b) časť B c) časť C d) časť D e) časť E 17

18 17. Prváci Na istú fakultu sa vlani prihlásilo p dievčat a štyrikrát toľko chlapcov. Po prijímacích skúškach sa na fakultu dostala štvrtina z dievčat a polovica z chlapcov. Koľko študentov prijali do 1. ročníka tejto fakulty? a) 4 9 p b) 3 p c) 4 5 p d) 4 3 p e) 8 5 p 18. Kapacita kondenzátorov Pre veľkosť výslednej kapacity C dvoch sériovo zapojených kondenzátorov s kapacitami C 1, C platí vzťah. Potom pre kapacitu C 1 platí C C C 1 a) C 1 = d) C 1 = C C. C. C b) C 1 = C. C. C C e) C 1 = C C. c) C 1 = C. C C. C. C C C. C. C C 19. Priama úmernosť Veličina V je priamo úmerná veličine t. Pre t = 7 je V = 98. Potom V moţno vyjadriť pomocou t vzťahom a)v = t. b)v = 14t. c)v = 14 1 t. d)v = 7t e)v= 7 t ? = 3001 a) 501 b) 1000 c) 1001 d) 100 e) 1. Kopírovací stroj Náš kopírovací stroj zväčšuje najviac - krát. Ak chceme napríklad zväčšiť obrázok s rozmermi 15 cm x 15 cm na veľkosť 30 cm x 30 cm, musíme to urobiť na dvakrát: v prvom kroku získame obrázok s rozmermi 15. cm x 15. cm a ten sa v druhom kroku zväčší na poţadovanú veľkosť 30 cm x 30 cm. Najmenej koľkokrát musíme pouţiť kopírovací stroj, ak chceme obrázok s rozmermi 5 cm x 5 cm zväčšiť na 40 cm x 40 cm? a) 4-krát b) 5-krát c) 6-krát d) 7-krát e) 8-krát 18

19 . Prieskum Istá agentúra uskutočnila prieskum o počte detí na vzorke 1000 rodín. Graf znázorňuje zistené relatívne početnosti rodín s jednotlivými počtami detí. Aký bol priemerný počet detí v tejto vzorke 1000 rodín? a) 1 b) 1,84 c) 1,94 d) e),5 3. Mol Ak 1 mol látky obsahuje pribliţne 6, častíc, potom 100 molov látky obsahuje pribliţne a) 6, častíc. b) 6, častíc. c) 6, častíc. d) 6, častíc. e) 6, častíc. 4. Cena vizitiek Firma VIZIT, s.r.o. stanovuje cenu za výrobu sady vizitiek podľa vzťahu C = p, kde C je cena v korunách, 60 (Sk) je základný poplatok a p je objednaný počet kusov vizitiek. Od budúceho mesiaca plánuje firma zvýšiť základný poplatok o pätinu a cenu za kaţdý zhotovený kus o pätinu zníţiť. Podľa akého vzťahu bude firma po úprave stanovovať cenu? a) C = ,8p b) C = ,5p c) C = 7 + 0,8p d) C = 7 + 3,5p e) C = 7 + 3,p 5. Úprava výrazu 1 1 Výraz x moţno pre všetky čísla x 1 1 x R 0; 1 upraviť na tvar a) x 1 b) x + 1 c) x 1 d) x + 1 e) 1 6. Stužková slávnosť Keby sa na stuţkovej slávnosti zúčastnilo všetkých z ţiakov triedy, musel by kaţdý z nich na prenájom miestnosti prispieť sumou k korún. Štyria ţiaci sa však na stuţkovej nebudú môcť zúčastniť, pretoţe odišli študovať do zahraničia. Akou sumou musí kaţdý zo zvyšných ţiakov triedy prispieť na prenájom miestnosti? a) z 4 k b) z 4 z. k c) z. k z 4 d) z 4.k z e) k z 4 19

20 1.3 Teória čísel Obsah Pojmy: deliteľ, násobok, deliteľnosť, najväčší spoločný deliteľ (NSD), najmenší spoločný násobok (NSN), Euklidov algoritmus, prvočíslo, zloţené číslo, nesúdeliteľné čísla, zvyšok, prvočíselný rozklad, prvočiniteľ. Vlastnosti a vzťahy: Znaky deliteľnosti: - posledná cifra:, 5, 10, - posledné dve cifry: 4, 5, 50, - posledné tri cifry: 8, - súčet všetkých cifier: 3, 9. Ak sú čísla s, t deliteľné číslom M, tak aj číslo s t je deliteľné číslom M. Ak je číslo s deliteľné prvočíslom M aj prvočíslom K, tak je deliteľné aj číslom Výpočet NSD pomocou delenia so zvyškom (Euklidov algoritmus). Jednoznačnosť prvočíselného rozkladu. Prvočísel je nekonečne veľa. Požiadavky na vedomosti a zručnosti K M. Ţiak vie zistiť bez delenia, či je dané číslo deliteľné niektorým z čísel uvedených v znakoch deliteľnosti, sformulovať a použiť kritériá deliteľnosti niektorými zloženými číslami, ktoré sú súčinom nesúdeliteľných čísel uvedených v znakoch deliteľnosti (napr. 6, 1, 15), nájsť NSN, NSD daných čísel, použiť Euklidov algoritmus, v jednoduchých prípadoch zistiť, či je číslo (buď konkrétne alebo určené pomocou najviac 1 parametra) prvočíslo, nájsť celočíselné riešenia úloh, v ktorých moţno jednoduchou úvahou určiť vhodnú konečnú mnoţinu, ktorá hľadané riešenia musí obsahovať (riešenia úlohy potom nájde preverením jednotlivých prvkov získanej konečnej mnoţiny), pri riešení jednoduchých úloh vyuţiť pravidelnosť rozloţenia násobkov celých čísel na číselnej osi, použiť základné druhy dôkazov pri dokazovaní jednoduchých tvrdení o celých číslach.. Príklady: 1. Vhodné číslice Keď nahradíme hviezdičku v čísle 5 * vhodnou číslicou, dostaneme číslo deliteľné troma. Existuje niekoľko číslic. Aký je ich súčet? a) 15 b) 13 c) 10 d) 7 e). Vhodná číslica Existuje jediná číslica, ktorej doplnením na miesta dvoch hviezdičiek v čísle 34567*76543* vznikne číslo, ktoré je deliteľné 36 timi. Ktorá z uvedených mnoţín obsahuje túto číslicu? 0

21 a) 0, 1 b), 3 c) 4, 5 d) 6, 7 e) 8, Rovnice, nerovnice a ich sústavy Obsah Pojmy: rovnica, nerovnica, sústava rovníc, sústava nerovníc a ich riešenie, koeficient, koreň, koreňový činiteľ, diskriminant, doplnenie do štvorca, úprava na súčin, substitúcia, kontrola (skúška) riešenia, (ekvivalentné a neekvivalentné) úpravy rovnice a nerovnice, lineárny, kvadratický člen, koeficient pri lineárnom (kvadratickom) člene. Vlastnosti a vzťahy: diskriminant kvadratickej rovnice ax bx c 0 D = b 4ac, b D riešením kvadratickej rovnice ax bx c 0 sú x1,, a vzťah medzi diskriminantom a počtom (navzájom rôznych) koreňov kvadratickej rovnice, ax bx c a( x x1 ).( x x), kde x 1, x sú korene rovnice ax bx c 0 ( a 0), ak x 1, x sú korene kvadratickej rovnice x bx c 0, tak x1. x c, x1 x b, vzťah medzi znamienkom súčinu dvoch výrazov a znamienkom jednotlivých činiteľov. Požiadavky na vedomosti a zručnosti Ţiak vie (rovnice) nájsť všetky riešenia lineárnej rovnice ax b 0 a kvadratickej rovnice ax bx c 0, pričom pozná vzťah medzi koreňmi kvadratickej rovnice, jej koeficientmi a koreňovými činiteľmi, počtom riešení, nájsť všetky riešenia, resp. všetky riešenia leţiace v danom intervale I (ak sa nedá presne, tak pribliţne s pomocou kalkulačky), rovnice f ( x) A, kde A R a f je funkcia - a x, x b, - x a, log x ( a Q, b je kladné číslo rôzne od 1), b - sin x, cos x, tgx, a vie určiť, koľko riešení má uvedená rovnica (v závislosti od čísla A, čísel a, b, c, resp. intervalu I, pouţitím danej substitúcie y (x) upraviť rovnicu zapísanú v tvare f ( ( x)) A na tvar f ( y) A, špeciálne vie nájsť všetky riešenia (resp. všetky riešenia leţiace v danom intervale) rovníc - f ( ax b) a x A, kde f je funkcia x, b, log x, sin x, cos x, - f ( ax bx c) A, kde f je funkcia a x, b x b, log x, x, - af ( x) bf ( x) c 0, kde f lineárna, kvadratická funkcia alebo funkcia sin x, cos x, nájsť všetky riešenia (resp. všetky riešenia leţiace v danom intervale) rovníc zapísaných v tvare f ( x) g( x) 0, kde pokiaľ vie riešiť rovnice f(x)=0, g(x)=0, nájsť všetky riešenia (resp. všetky riešenia leţiace v danom intervale) rovníc, ktorých riešenie moţno upraviť na niektorý z predchádzajúcich tvarov - pouţitím úprav jednotlivých strán rovnice, vyuţívajúcich úpravy výrazov a základné vlastnosti funkcií (pozri 1. Čísla, premenné a výrazy, Funkcie), - pripočítaním (špeciálne odpočítaním) a vynásobením (špeciálne vydelením) obidvoch strán rovnice výrazom, umocnením (špeciálne odmocnením) obidvoch strán rovnice, b 1

22 - odstránením absolútnej hodnoty v prípade rovníc s jednou absolútnou hodnotou (rozlišovaním dvoch vhodných prípadov), resp. jednoduchých rovníc s dvoma absolútnymi hodnotami (rozlišovaním 3 4 vhodných prípadov), pričom vie rozhodnúť - či pouţitá úprava zachová alebo či môţe zmeniť mnoţinu riešení danej rovnice, - ktoré z koreňov rovnice, ktorá vznikla uvedenými úpravami, sú aj koreňmi pôvodnej rovnice, resp. - pri pouţití postupov, ktoré mohli mnoţinu potenciálnych koreňov zmenšiť - o ktorých číslach ešte treba zistiť, či sú koreňmi pôvodnej rovnice, na základe vlastností funkcie f (monotónnosť, periodičnosť, súmernosti grafu) - určiť vzťah medzi číslami x a y, pre ktoré platí f ( x) f ( y), kde f je funkcia x a x, b, log x, x a, sin x, cos x (na základe toho vie riešenie rovnice v tvare f ( g( x)) f ( h( x)) nahradiť riešením rovnice (alebo rovníc) zapísaných uţ len pomocou funkcií g a h), riešiť kontextové (slovné) úlohy vedúce k rovniciam a interpretovať získané riešenia v jazyku pôvodného zadania, (sústavy rovníc) opísať a geometricky interpretovať mnoţinu všetkých riešení jednej a dvoch lineárnych rovníc s alebo 3 neznámymi (pozri 3. Analytická geometria v rovine, 4. Súradnicová sústava v priestore, vektory, analytická metóda), nájsť mnoţinu všetkých riešení sústavy 1 3 lineárnych rovníc s 1, resp. 1 3 neznámymi, a to aj v prípadoch, keď táto sústava má nekonečne veľa riešení (a tieto riešenia aj zapísať) alebo nemá riešenia, nájsť všetky riešenia sústavy rovníc s neznámymi, ktorú moţno jednoducho upraviť na tvar y f (x) g ( x, y) 0 (resp. x f (y) g ( x, y) 0 ), pokiaľ vie riešiť rovnicu g ( x, f ( x)) 0 (resp. g ( f ( y), y) 0 ), upravovať sústavy rovníc pouţitím - úprav jednotlivých strán rovnice, vyuţívajúcich úpravy výrazov a základné vlastnosti elementárnych funkcií (pozri 1. Čísla, premenné a výrazy, Funkcie), - pripočítania (špeciálne odpočítania) a vynásobenia (špeciálne vydelenia) obidvoch strán rovnice výrazom, pričom vie rozhodnúť, - či pouţitá úprava zachová alebo či môţe zmeniť mnoţinu riešení danej sústavy, - ktoré z riešení sústavy, ktorá vznikla uvedenými úpravami, sú aj riešeniami pôvodnej sústavy, resp. - pri pouţití postupov, ktoré mohli mnoţinu potenciálnych riešení zmenšiť - o ktorých číslach ešte treba zistiť, či sú riešeniami pôvodnej sústavy, nahradiť riešenie sústav typu f ( x, y ).h( x, y ) 0 g( x, y ) 0 riešením dvojice sústav f ( x, y) 0 g( x, y) 0, h ( x, y) 0 g( x, y) 0, správne použiť nahradenie jednej rovnice sústavy súčtom vhodných násobkov jednotlivých rovníc tejto sústavy, a to aj v prípade nelineárnych sústav, (nerovnice a ich sústavy) nájsť mnoţinu všetkých riešení nerovnice - f ( x) L, kde L je reálne číslo, je jeden zo znakov nerovnosti,,, a f je niektorá z funkcií ( ax b), x b, log x, x a, resp. mnoţinu všetkých riešení tejto nerovnice leţiacich v danom intervale, b - f ( x) L, kde f je niektorá z funkcií sin x, cos x, tg x a x je prvkom daného ohraničeného intervalu, b

23 - f ( x) g( x) 0 a f ( x) g( x) 0, pokiaľ vie riešiť nerovnice f ( x) 0, g( x) 0, kde je znak nerovnosti, pri riešení a úpravách nerovníc správne pouţiť - vynásobenie obidvoch strán nerovnice kladným alebo záporným číslom, - pripočítanie výrazu k obidvom stranám nerovnice, - vynásobenie nerovnice výrazom ax b, ax bx a c, x, nájsť všetky riešenia nerovníc, ktorých riešenie moţno uvedenými postupmi nahradiť riešením nerovníc uvedených v predchádzajúcej odráţke, na základe poznatkov o monotónnosti exponenciálnych a logaritmických funkcií nahradiť riešenie nerovnice f ( g( x)) f ( h( x)), kde je znak nerovnosti a f je logaritmická alebo exponenciálna funkcia, riešením nerovnice g ( x) h( x), riešiť sústavu nerovníc s jednou neznámou v prípadoch, keď vie vyriešiť samostatne kaţdú z daných nerovníc ( pozri tieţ prieniky a zjednotenia intervalov v 1. Čísla, premenné a výrazy), vyznačiť na x ovej osi riešenie nerovnice f ( x ) g( x ), pokiaľ vie načrtnúť grafy funkcií y = f(x), y = g(x), v rovine opísať a geometricky interpretovať mnoţinu všetkých riešení jednej nerovnice s dvoma neznámymi x, y, ktorú moţno zapísať v tvare - y f (x) alebo x f (y) (kde je znak nerovnosti) v tých prípadoch, kedy vie načrtnúť graf funkcie y f (x), resp. x f (y), - ax by c 0, - ax bx ay dy m 0, - f ( x, y ) 0, ak vie načrtnúť krivku f ( x, y ) 0 ( pozri tieţ 3.3 Mnoţiny bodov daných vlastností a ich analytické vyjadrenie), riešiť kontextové (slovné) úlohy vedúce k nerovniciam a interpretovať získané riešenia v jazyku pôvodného zadania. Príklady: 1. Navzájom opačné nerovnice Učiteľ riešil na tabuľu nerovnicu x 3 +>x. Správne mu vyšlo, ţe mnoţinou všetkých jej riešení v obore reálnych čísel je interval 1 ;. Vzápätí vyvolal Katku a dal jej nájsť všetky reálne riešenia opačnej nerovnice x 3 + x. Bez toho, aby nerovnicu riešila, Katka ľahko zistila, ţe mnoţinou všetkých jej riešení je interval a) ; 1 b) ; 1 c) ; 1 d) ; 1 e) 1 ; 1. Filmy a fotografie Za vyvolanie dvoch filmov a 45 fotografií sme zaplatili 30 korún. Za vyvolanie troch filmov a 70 fotografií sme zaplatili 355 korún. Koľko zaplatíme za vyvolanie štyroch filmov a 100 fotografií? a) 500 korún b) 510 korún c) 55 korún d) 540 korún e) 550 korún 3. Nerovnica Nech M je mnoţina všetkých riešení nerovnice x <x v obore reálnych čísel. Potom 3

24 a)m=ө b)m= ; 1 c)m= 0 ; 1 d)m= 1 ; 1 e)m= ; 0 1; 4. Súčet koreňov Súčet všetkých koreňov rovnice (x + 1).(x + 1).(1 x) = 0 je a)- 3 b)- 1 c)0 d) 1 e) 3 5. Absolútna hodnota Koľko riešení má v obore reálnych čísel rovnica x 1. x 9 = 15,8? (Návod: skúste si načrtnúť graf funkcie y = x 1. x 9.) a) Ani jedno. b) Jedno. c) Dve. d) Tri. e) Štyri. 6. Prienik intervalov Istej nerovnici vyhovujú všetky čísla, ktoré sú z intervalu 4 ; 7 a súčastne nie sú z intervalu 1 ;1. Riešením tejto nerovnice sú teda všetky čísla z mnoţiny a) 7 ; 1. b) 1 ; 7. c) 4 ; 1. d) 4 ; 1. e) 4 ;1 7; Nerovnica Nech P je mnoţina všetkých riešení nerovnice x 5x + 6 v mnoţine reálnych čísel. Potom a) P = ; 1 6;. b) P = 6 ; 1. c) P = 3 ;. d) P = ; 3. e) P = 1 ; Súčet Pre tri reálne čísla x, y, z platí: x + y + z = 3 x + 3z = x + z = 3. Akú hodnotu má súčet x + y + z? a) 8 b) 0 c) 18 d) -0 e) Korene rovnice Koľko koreňov má rovnica cos x = 1 + 5sin x v intervale 5 0 ;? a) Ani jeden. b) Jeden. c) Dva. d) Tri. e) Štyri. 4

25 10. Grafické riešenie sústavy nerovníc Na ktorom z obrázkov môţe vyšrafovaná oblasť predstavovať tú časť roviny, ktorá je grafickým riešením sústavy nerovníc y - 0 x y x + 0? 11. Daná je nerovnica v mnoţine R x 3x + 4 < 0 Počet celých koreňov nerovnice je: a) 0 b) 1 c) d) 3 e) 4 1. Daná je nerovnica v R x +x > 0 Súčet celých koreňov nerovnice je : a) -1 b) 0 c) 1 d) e) Daná je nerovnica v R 6x 7x + >= 0 Počet celých koreňov nerovnice je: 5

26 a) 0 b) 1 c) d) 3 e) Daná je nerovnica v R 5x 8x 4 < 0 Súčet celých koreňov nerovnice je: a) 45 b) 50 c) -1 d) 5 e) Daná je nerovnica v R x -5x + 4 < 0 Súčet celých koreňov nerovnice je: a) 5 b) -5 c) 7 d) 0 e) 16. Daná je nerovnica v R x 8x + 15 >= 0 Ktoré celé číslo nie je koreňom nerovnice: a) 4 b) 1 c) 3 d) -1 d) Daná je rovnica v R x = 3 x 4 Ktoré prirodzené číslo je koreňom rovnice: a) 5 b) 1 c) 0 d) -3 d) Daná je nerovnica v R 3x 5 <= x

27 Koľko celých čísel je koreňmi nerovnice: a) 17 b) 18 c) 19 d) 0 e) ţiadne 19. Daná je nerovnica v R x + x >= 4 Koľko celých čísel nie je koreňom nerovnice: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 0. Daná je rovnica v R 5 x - x 3 = (x + 1) Koľko koreňov má rovnica: a) 0 b) 1 c) d) 3 e) 4 1. Daná je nerovnica v R x 6 - x >= 3 Koľko kladných celých čísel je koreňom nerovnice: a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11. Daná je nerovnica v R 1 x + 3x < 11 Koľko kladných celých čísel je koreňom nerovnice: a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 3 Daná je nerovnica v R 7

28 5 x 1-3 x > 5 Koľko kladných celých čísel nie je koreňom nerovnice: a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 4. Daná je rovnica v R log x + 3log x 4 = 0 Počet prirodzených koreňov rovnice je: a) 1 b) c) 3 d) 4 e) 5 5. Daná je rovnica v R Log 3 (x + 1) + log 3 (x + 3) = 1 Počet celých koreňov rovnice je : a) 1 b) 3 c) 5 d) 6 e) 8 6. Daná je rovnica v R log 3 ( 3 x 8) = 7 log ( x) 7 Počet koreňov rovnice je: a) 1 b) 3 c) 5 d) 6 e) 8 7. Daná je rovnica v R (x + 1) log(x + 1) = 100(x + 1) Súčet koreňov rovnice je:.. a) 98,1 b) 3 c) 54, d) 6 e) 81,8 8. Daná je rovnica v R 8

29 1 + log (x 1) = log (x 1) 4 Počet celých koreňov rovnice je: a) 1 b) 3 c) 5 d) 6 e) 8 9. Daná je rovnica v R 3x 7 - x 1 = Súčet koreňov rovnice je: a) b) 3 c) 5 d) 6 e) Daná je rovnica v R x 3x - 4 = 0 Súčet koreňov rovnice je:.. a) -3 b) 3 c) -5 d) 6 e) Daná je rovnica v R s neznámou x a reálnym parametrom m (m )x + (m )x + = 0 Pre koľko celých parametrov m nemá rovnica reálne korene: a) b) 3 c) 5 d) 6 e) 8 3. Daná je rovnica v R log x log x = 0 Súčet koreňov rovnice je: a) 1010 b) 1003 c) 1005 d) 6 e) 8 9

30 33. Daná je rovnica v R 7 x 13.9 x 13.3 x+1 7 = 0 Súčet koreňov rovnice je: a) 3 b) 1 c) 5 d) 6 e) Daná je rovnica v R 64.9 x 84.1 x x = 0 Súčet koreňov rovnice je: a) 3 b) 1 c) 5 d) 6 e) Daná je nerovnica v R 4 x <= x Počet celých koreňov nerovnice je: a) 1 b) 3 c) 5 d) 6 e) Daná je nerovnica v R x > x Počet nezáporných koreňov nerovnice je: a) 1 b) 3 c) 5 d) 6 e) Daná je nerovnica v R 30

31 9 x.3 x < 3 Počet nezáporných koreňov nerovnice je: a) 1 b) 3 c) 5 d) 6 e) Daná je nerovnica v R 4 -x+1/ 7. -x 4 < 0 Počet záporných celých koreňov nerovnice je: a) 1 b) 3 c) 5 d) 6 e) Daná je nerovnica v R log 1/ (x x 1) > log 1/ (x +3) Počet celých koreňov nerovnice je: a) 0 b) 3 c) 5 d) 6 e) Daná je nerovnica v R log (1 + log 1/9 x log 9 x ) <1 Počet celých koreňov nerovnice je: a) b) 3 c) 5 d) 6 e) 8. FUNKCIE.1 Funkcia a jej vlastnosti, postupnosti Obsah 31

32 Pojmy: premenná (veličina), daná premenná je funkciou inej premennej, funkcia, postupnosť, argument, funkčná hodnota, (n-tý) člen postupnosti, definičný obor a obor hodnôt funkcie, graf funkcie, rastúca, klesajúca, monotónna funkcia (postupnosť), maximum (minimum) funkcie (postupnosti), lokálne maximum a minimum funkcie, zhora (zdola) ohraničená funkcia (postupnosť), ohraničená funkcia (postupnosť), horné (dolné) ohraničenie; konštantná, prostá, inverzná, zloţená, periodická funkcia; rekurentý vzťah, postupnosť daná rekurentne. Vlastnosti a vzťahy: rastúca (klesajúca) funkcia je prostá, k prostej funkcii existuje inverzná funkcia, 1 graf inverznej funkcie f je súmerný s grafom funkcie f podľa priamky y x, f f 1 ( x ) x. Požiadavky na vedomosti a zručnosti Ţiak vie v jednoduchých prípadoch rozhodnúť, či niektorá z dvoch daných premenných veličín je funkciou druhej z nich, a túto závislosť vyjadriť, ak je to moţné urobiť pomocou predpisov funkcií, ktoré pozná, z daného grafu funkcie - určiť pribliţne - jej extrémy, - intervaly, na ktorých rastie (klesá), - zistiť, či je zdola (zhora) ohraničená, nájsť definičný obor danej funkcie, resp. rozhodnúť, či dané číslo patrí do definičného oboru danej funkcie (pozri 1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy), rozhodnúť, či dané číslo patrí do oboru hodnôt danej funkcie (pozri 1.4 Rovnice a nerovnice), nájsť funkčnú hodnotu funkcie v danom bode, určiť jej priesečníky so súradnicovými osami, nájsť priesečníky grafov dvoch funkcií (pozri 1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy), v prípade konštantnej funkcie a funkcií ax b, ax bx ax b c,, cx d tg x - určiť na danom intervale ich obor hodnôt, - určiť intervaly, na ktorých sú tieto funkcie rastúce, resp. klesajúce, - načrtnúť ich grafy, a x, - nájsť ich najväčšie, resp. najmenšie hodnoty na danom intervale a, b, x a, log x, sin x, cos x, - rozhodnúť, ktoré z nich sú na danom intervale I - prosté, - zhora (zdola) ohraničené, určiť na danom intervale obor hodnôt funkcií tvaru f ( ax b), kde f je niektorá z funkcií x a, log x, sin x, cos x, tg x, a načrtnúť grafy funkcií - ax b, ax b cx d, - a f ( x), f ( a x), f ( x), f ( x), ak pozná graf funkcie f, a opísať, ako vznikne uvedený graf z grafu funkcie f, načrtnúť graf inverznej funkcie 1 f, ak pozná graf prostej funkcie f, a a x, 3

33 nájsť inverzné funkcie k funkciám ax b a x - ax b,, x, a, log a x, cx d - ax bx c na vhodnom intervale, - c f ( ax b) d, kde f je niektorá z funkcií a x, x a, log a x, v jednoduchých prípadoch rozhodnúť o existencii riešenia rovnice f (x) 0 (resp. f ( x) a ), pokiaľ vie načrtnúť graf funkcie f, graficky znázorniť na číselnej osi mnoţinu riešení nerovnice f ( x ) a, kde * je jeden zo symbolov,,,, pokiaľ vie načrtnúť graf funkcie f, nájsť všetky riešenia nerovnice f ( x) a, pokiaľ vie riešiť rovnicu f ( x) a a súčasne vie načrtnúť graf funkcie f, použiť dané (alebo žiakom objavené) rekurentné vzťahy pri riešení jednoduchých úloh (pozri 5.1 Kombinatorika a pravdepodobnosť), vypočítať hodnotu daného člena postupnosti danej jednoduchým rekurentným vzťahom, v jednoduchých prípadoch rozhodnúť, či dve postupnosti, z ktorých jedna je daná rekurentne a druhá explicitne, sú rovnaké, v jednoduchých prípadoch rozhodnúť o raste, resp. klesaní postupnosti. Príklady: 1. Periodická funkcia Tabuľka zachytáva funkčné hodnoty istej funkcie f pre niektoré hodnoty premennej x. O funkcii f vieme, ţe je periodická s periódou 1. Bez toho, aby ste zisťovali, o akú funkciu ide, určite jej hodnotu v čísle x = 9. X F(x) ? a) -1 b) 9 c) 10 d) 13 e) 16 N. Ktoré z uvedených tvr-. Vlastnosti postupnosti Postupnosť a n je definovaná vzťahom a n 1 n = 8n 11 pre kaţdé n dení o tejto postupnosti je pravdivé? a) Niektoré členy postupnosti sú párne čísla. b) a 100 = 811 c) Postupnosť a n je klesajúca. n 1 d) a n = 8.a n-1 11 pre kaţdé n. e) Postupnosť a n je zdola ohraničená. n 1 3. Pravda nepravda Na obrázku je graf funkcie g: y = x - 1. Ktoré z tvrdení o funkcii g je nepravdivé? a) Funkcia g je párna. 33

34 b) Funkcia g nie je ohraničená. c) Funkcia g je prostá. d) Definičným oborom funkcie g sú všetky reálne čísla. e) V obore x = 0 nadobúda funkcia g minimum. 4. Definičný obor Nech D je definičný obor funkcie y = x x 4. Potom a) D = ; ;. b) D = ;. c) D = 0 ;. d) D = ;. e) D = R Rekurentná postupnosť Postupnosť a n spĺňa rekurentný vzťah a n 1 n+1 = a n n + 5. Ak a 6 = 9, tak a 4 = a) 5. b) 1. c) 19. d) 17. e) Inverzné funkcie Na ktorom z obrázkov sú znázornené grafy dvoch navzájom inverzných funkcií f a g? 7. Zložená funkcia Zloţením vonkajšej funkcie f: y = 3x x + 7 a vnútornej funkcie h: y = x 1 vznikne funkcia a) y = 3x 3 5x + 7. b) y = 3x 8x + 1. c) y = 3x 8x + 8. d) y = 3x x + 6. e) y = 3x x ? Na ktorom z obrázkov je znázornený graf funkcie s definičným oborom 5 ; 8 a s oborom hodnôt 6 ; 4? 34

35 9. Riešenie nerovnice x 9 Nech M je mnoţina všetkých riešení nerovnice 0 x 4 v obore reálnych čísel. Potom a) M = (-;). b) M = ;. c) M = ; ;. d) M = ; ;. e) M = Ө. 10. Nerovnica x Nech P je mnoţina všetkých riešení nerovnice 0 x 3 v mnoţine reálnych čísel. Potom a) P = 3 ;. b) P = R 3. c) P = R. d) P = 3 ;. e) P = ; 3 0;. 11. Obor hodnôt Nech H je obor hodnôt funkcie f: y = - 3.cos x 1. Potom a) H = 3 ;. b) H = ; 3. c) H = 4 ;. d) H = ; 4. e) H = ; Inverzná funkcia Ku ktorej z uvedených funkcií neexistuje inverzná funkcia? x 1 a) f 1 : y = x 1; x R b) f : y = ; x R 0 x d) f 4 : y = log (x + 4);x 0 ; e) f 5 : y = x ; x R c) f 3 : y = 3x 3 + 1; x R 13. Kladné hodnoty funkcie Nech P je mnoţina všetkých reálnych čísel x, pre ktoré nadobúda funkcia y = hodnoty. Potom x x x 3 1 kladné 35

36 a) P = R 1; 3. b) P = 3 ;. c) P = 3 ;. d) P = ; 1 3;. e) P = 1 ; 3.. Lineárna a kvadratická funkcia, aritmetická postupnosť Obsah Pojmy: lineárna a kvadratická funkcia, aritmetická postupnosť, smernica priamky, diferencia aritmetickej postupnosti, dotyčnica paraboly, vrchol paraboly. Vlastnosti a vzťahy: grafom lineárnej (kvadratickej) funkcie je priamka (parabola), lineárna (kvadratická) funkcia je jednoznačne určená funkčnými hodnotami v (3) bodoch, vzťah medzi koeficientom pri lineárnom člene a rastom, resp. klesaním lineárnej funkcie, vzťah medzi diferenciou aritmetickej postupnosti a jej rastom, resp. klesaním, kvadratická funkcia má na R jediný globálny extrém, minimum v prípade kladného koeficientu pri kvadratickom člene, maximum v opačnom prípade, parabola (t.j. graf kvadratickej funkcie) je súmerný podľa rovnobeţky s osou y, prechádzajúcej vrcholom paraboly. Požiadavky na vedomosti a zručnosti Ţiak vie (pozri tieţ.1 Funkcia a jej vlastnosti) riešiť lineárne a kvadratické rovnice a nerovnice (pozri 1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy), špeciálne vie nájsť priesečníky grafov lineárnych (resp. kvadratických) funkcií alebo lineárnej a kvadratickej funkcie, nájsť predpis lineárnej (alebo konštantnej) funkcie, ak pozná - hodnoty v bodoch, - hodnotu v 1 bode a smernicu grafu tejto funkcie, nájsť predpis kvadratickej funkcie, ak pozná - jej hodnoty v 3 vhodne zvolených bodoch, - vrchol jej grafu a hodnotu v ďalšom bode, nájsť intervaly, na ktorých je daná lineárna alebo kvadratická funkcia rastúca, resp. klesajúca, nájsť - pokiaľ existuje - najväčšiu a najmenšiu hodnotu kvadratickej a lineárnej funkcie na danom intervale, špeciálne vie nájsť vrchol grafu kvadratickej funkcie, ak pozná jej predpis, upraviť (napríklad rozlišovaním prípadov pri odstraňovaní absolútnej hodnoty) predpis funkcie tvaru f ( x) ax b rx s, resp. f ( x) ax bx c rx s na predpisy dvoch lineárnych, resp. kvadratických funkcií na vhodných intervaloch, nájsť dotyčnicu kvadratickej funkcie v danom bode jej grafu (pozri.6 Limita a derivácia, geometrický rad), určiť hodnotu ľubovoľného člena aritmetickej postupnosti, ak pozná - jeden jej člen a diferenciu, - dva rôzne členy, pre aritmetickú postupnosť (danú explicitne) napísať zodpovedajúci rekurentný vzťah, nájsť súčet n (pre konkrétne aj všeobecné n) za sebou nasledujúcich členov danej aritmetickej postupnosti. Príklady: 36

37 1. Vrchol paraboly Aké súradnice má vrchol V paraboly y = x + 4x + 1? a) V ; 3 b) V 3 ; c) V ; 13 d) V ; 3 e) V ; 3. Obrázok Časť grafu znázornená na obrázku patrí funkcii a) y = -x +. b) y = - 1 x -. c) y = -x -. d) y = x -. e) y = x Parabola Grafom ktorej z uvedených funkcií je parabola s vrcholom v bode ; 7? a) y = x - 4x + 7 b) y = x - 4x + 11 c) y = x - x + 7 d) y = x + 4x 5 e) y = x + 4x Štadión V rohu štadióna tvoria počty sedadiel v jednotlivých radoch aritmetickú postupnosť. Vo štvrtom rade je 10 sedadiel, v dvanástom rade je 6 sedadiel. Koľko sedadiel je v dvadsiatom štvrtom rade? a) 36 b) 40 c) 50 d) 5 e) Ktorá z nasledujúcich postupností je aritmetická: a) 10, 8, 6, 4,,... b), -,, -,,... c) 0,1,,0,1,,... d) 1,1,,3,5,8... e),,,,,, Ak viete, ţe v aritmetickej postupnosti prvý člen je tri a desiaty je 39, určte jej diferenciu: a) 3 b) 3,6 c) = a) 35 b) 350 c) n = a)( n+1-1)/ b) n c) n+1 9. Z troch postupností, definovaných na mnoţine všetkých 37

38 prirodzených čísel a určených svojím n-tým členom, vyberte tú, ktorá je ohraničená: a) 3n + 5 b) - 3n c) 1/( - 3n) 10. K tomu, aby bola postupnosť konvergentná (aby mala limitu), stačí, aby bola a) rastúca b) rastúca a ohraničená c) ohraničená 11. Vypočítajte a) 1 b) c) 0 1. Ktorý z nasledujúcich nekonečných radov nemá súčet (nie je konvergentný)? a)1 + 1/ + 1/4 + 1/ b) ,1 + 0, c) Súradnice vrcholu Aké súradnice má vrchol paraboly y = x + 8x + 19? a) 4 ; 3 b) 0 ; 19 c) 4 ; 19 d) 8 ; 19 e) 4 ; Priesečník V tabuľke sú uvedené dve hodnoty lineárnej funkcie f. V ktorom z bodov pretína graf tejto funkcie os y? a) 0 ; 55 b) 55 ; 0 c) 0 ; 44 d) 44 ; 0 e) 0 ; 50 x -4 1 f(x) Rozmnožovanie baktérií Štyria vedci skúmali rozmnoţovanie rôznych druhov baktérií. Kaţdé ráno o 8.00 hod. zisťovali počty baktérií v skúmavkách. Tu sú ich výpovede o tom, čo pozorovali: Vedec 1: Počet baktérií A v skúmavke kaţdý deň klesne o 5 % oproti počtu z posledného merania. Vedec : Počet baktérií B v skúmavke sa kaţdý deň zväčší o Vedec 3: Počet baktérií C v skúmavke sa kaţdý deň zväčší na jeden a pol násobok. Vedec 4: Počet baktérií D v skúmavke sa kaţdý deň zmenší o tretinu oproti počtu z posledného merania. Ak by všetci štyria vedci kaţdé ráno zapisovali počty jednotlivých typov baktérií v skúmavkách, koľkí z nich by tak dostali aritmetickú postupnosť? a) Štyria. b) Traja. c) Dvaja. d) Jeden. e) Ani jeden. 16. Priamka AC Graf kvadratickej funkcie f: y = x + bx + c, prechádza bodmi A,B,C podľa obrázku. Priamka AC má rovnicu: 38

39 a) y = - x 8 b) y = x 8 c) y = x + 8 d) y = - x + 8 e) y = - x - 4 C x B A Rovnica priamky Graf kvadratickej funkcie f: y = x + bx + c, prechádza bodmi A,B,C podľa obrázku. Priamka AC má rovnicu: a) y = - 4x 8 b) y = 4x 8 c) y = 4x + 8 d) y = - 4x + 8 e) y = - x 4 C x B 4 A Graf kvadratickej funkcie f: y = - x + bx + c, prechádza bodmi A,B,C podľa obrázku. Priamka AC má rovnicu: a) y = - x 6 b) y = x 6 c) y = x + 6 d) y = - x + 6 B C x e) y = - x 3 A Rovnica AC Graf kvadratickej funkcie f: y = - x + bx + c, prechádza bodmi A,B,C podľa obrázku. Priamka AC má rovnicu: 39

40 a) y = - 7x 8 b) y = 7x 8 c) y = 7x + 8 d) y = - 7x + 8 e) y = - x 4 B 4 C x 0. Obsah trojuholníka Vypočítajte obsah trojuholníka, ktorého tri vrcholy sú vrchol a priesečníky grafu funkcie f: y = x² - 8x + 7 s osou x. a) 7 b) 7 c) 15 d) 1 e) Trojuholník Vypočítajte obsah trojuholníka, ktorého tri vrcholy sú vrchol a priesečníky grafu funkcie f: y = x² - 6x 7 s osou x. a) 64 b) 18 c) 15 d) 55 e) 18. Obsah Vypočítajte obsah trojuholníka, ktorého tri vrcholy sú vrchol a priesečníky grafu funkcie f: y = x² - 9 s osou x. a) 7 b) 54 c) 7 d) 55 e) 18 A Obsah trojuholníka Vypočítajte obsah trojuholníka, ktorého tri vrcholy sú vrchol a priesečníky grafu funkcie f: y = x² + 6x + 5 s osou x. a) 8 b) 4 c) 8 d) 5 e) Zase trojuholník? Vypočítajte obsah trojuholníka, ktorého tri vrcholy sú vrchol a priesečníky grafu funkcie f: y = x² + 8x +1 s osou x. a) 8 b) 4 c) 8 d) 5 e) Trojuholník Vypočítajte obsah trojuholníka, ktorého tri vrcholy sú vrchol a priesečníky grafu funkcie f: y = x² - 8x + 1 s osou x. 40

41 a) 8 b) 4 c) 8 d) 5 e) Obsah Vypočítajte obsah trojuholníka, ktorého tri vrcholy sú vrchol a priesečníky grafu funkcie f: y = x² - 6x + 5 s osou x. a) 8 b) 4 c) 8 d) 5 e) Obsah trojuholníka Vypočítajte obsah trojuholníka, ktorého tri vrcholy sú vrchol a priesečníky grafu funkcie f: y = x² - 8x s osou x. a) 64 b) 18 c) 64 d) 58 e) Trojuholník Vypočítajte obsah trojuholníka, ktorého tri vrcholy sú vrchol a priesečníky grafu funkcie f: y = x² + 6x s osou x. a) 7 b) 54 c) - 7 d) 5 e) Obsah trojuholníka Vypočítajte obsah trojuholníka, ktorého tri vrcholy sú vrchol a priesečníky grafu funkcie f: y = x² + x - 3 s osou x. a) 8 b) 4 c) - 8 d) 5 e)

42 Na obrázku je graf funkcie: a) f: y = x 6x + 5 b) f: y = x 6x - 5 c) f: y = x + 6x + 5 d) f: y =-x 6x + 5 e) ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna 3. Na obrázku je graf funkcie: a) f: y = x 6x + 5 b) f: y = x 6x - 5 c) f: y = x + 6x + 5 d) f: y = x 6x + 5 e) ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna 4. 4

43 Na obrázku je graf funkcie: a) f: y = -x 6x + 5 b) f: y = -x 6x - 5 c) f: y = -x + 6x + 5 d) f: y = x 6x + 5 e) ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna 5. Na obrázku je graf funkcie: a) f: y = x b) f: y = x 1 + c) f: y = x d) f: y = x - 1 e) ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna 43

44 6. Na obrázku je graf funkcie: a) f: y = -x + 5x - 4 b) f: y = - x 5x - 4 c) f: y = -x + 5x + 4 d) f: y = x 5x + 4 e) ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna 7. Na obrázku je graf funkcie: a) f: y = -x + 5x b) f: y = - x 5x c) f: y = -x + 5x

45 d) f: y = x 5x + 4 e) ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna 8. Na obrázku je graf funkcie: a) f: y = x + 5x b) f: y = x 5x c) f: y = x + 5x + 4 d) f: y = x 5x + 4 e) ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna 9. Na obrázku je graf funkcie: a) f: y = x + 5x b) f: y = x 5x c) f: y = x + 5x + 4 d) f: y = x 5x + 4 e) ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna 45

46 30. Na obrázku je graf funkcie: a) f: y = x + 1 b) f: y = x 1 c) f: y = x + 1 d) f: y = x - 1 e) ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna 46

47 31. Graf kvadratickej funkcie f: y = - x 7 + bx + c, prechádza bodmi A,B,C podľa obrázku. Priamka AC má rovnicu: A: y = - 7x - 8 B: y = 7x - 8 C: y = 7x + 8 D: y = - 7x + 8 E: y = - x - 4 B 4 C x 3. A -8 Na obrázku je graf funkcie: 33. a) f: y = - x b) f: y = - x 1 - c) f: y = - x d) f: y = x - 1 e) ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna A 10 Graf kvadratickej funkcie f: y = x + bx + c, prechábodmi A,B,C podľa obrázku. Priamka AC má rov- A: y = - x + 10 B: y = x + 10 C: y = x - 10 B C x dza nicu: 47

48 D: y = - x 10 E: y = - x Graf kvadratickej funkcie f: y = x + bx + c, prechádza bodmi A,B,C podľa obrázku. Priamka AC má rovnicu: A: y = - x + 1 B: y = x + 1 C: y = x - 1 D: y = - x 1 E: y = - x + 6 A 8 B C x 35. Graf kvadratickej funkcie f: y = x + bx + c, prechádza bodmi A,B,C podľa obrázku. Priamka AC má rovnicu: A: y = - x - 8 B: y = x - 8 C: y = x + 8 D: y = - x + 8 E: y = - x - 4 C x B 36. Graf kvadratickej funkcie f: y = x + bx + c, prechádza bodmi A,B,C podľa obrázku. Priamka AC má rovnicu: A -8 A: y = - x - 8 B: y = x - 8 C: y = x + 8 D: y = - x + 8 E: y = - x - 4 C x B A -8 48

49 37. Graf kvadratickej funkcie f: y = x 4 + bx + c, prechádza bodmi A,B,C podľa obrázku. Priamka AC má rovnicu: A: y = - 4x - 8 B: y = 4x - 8 C: y = 4x + 8 D: y = - 4x + 8 C x B 4 E: y = - x - 4 A Graf kvadratickej funkcie f: y = - x + bx + c, prechádza bodmi A,B,C podľa obrázku. Priamka AC má rovnicu: A: y = - x - 6 B: y = x - 6 C: y = x + 6 D: y = - x + 6 B C x E: y = - x - 3 A Graf kvadratickej funkcie f: y = - x 7 + bx + c, prechádza A,B,C podľa obrázku. Priamka AC má rovnicu: bodmi A: y = - 7x - 8 B: y = 7x - 8 B 4 C x 49 A -8

50 C: y = 7x + 8 D: y = - 7x + 8 E: y = - x Vypočítajte obsah trojuholníka, ktorého tri vrcholy sú : vrchol a priesečníky grafu funkcie f: y = x²+ (-8,00)x + (7,00) s osou x. A: 7 B: - 7 C: 15 D: 1 E: Vypočítajte obsah trojuholníka, ktorého tri vrcholy sú : vrchol a priesečníky grafu funkcie f: y = x²+ (-6,00)x + (-7,00) s osou x. A: 64 B: 18 C: 15 D: 55 E: Vypočítajte obsah trojuholníka, ktorého tri vrcholy sú : vrchol a priesečníky grafu funkcie f: y = x²+ (0,00)x + (-9,00) s osou x. A: 7 B: 54 C: -7 D: 55 E: 18 50

51 43. Vypočítajte obsah trojuholníka, ktorého tri vrcholy sú : vrchol a priesečníky grafu funkcie f: y = x²+ (6,00)x + (5,00) s osou x. A: 8 B: 4 C: -8 D: 5 E: Vypočítajte obsah trojuholníka, ktorého tri vrcholy sú : vrchol a priesečníky grafu funkcie f: y = x²+ (8,00)x + (1,00) s osou x. A: 8 B: 4 C: -8 D: 5 E: Vypočítajte obsah trojuholníka, ktorého tri vrcholy sú : vrchol a priesečníky grafu funkcie f: y = x²+ (-8,00)x + (1,00) s osou x. A: 8 B: 4 C: -8 D: 5 E: Vypočítajte obsah trojuholníka, ktorého tri vrcholy sú : vrchol a priesečníky grafu funkcie f: y = x²+ (-6,00)x + (5,00) s osou x. A: 8 B: 4 C: -8 D: 5 E: 18 51

52 47. Vypočítajte obsah trojuholníka, ktorého tri vrcholy sú : vrchol a priesečníky grafu funkcie f: y = x²+ (-8,00)x + (0,00) s osou x. A: 64 B: 18 C: -64 D: 58 E: Vypočítajte obsah trojuholníka, ktorého tri vrcholy sú : vrchol a priesečníky grafu funkcie f: y = x²+ (6,00)x + (0,00) s osou x. A: 7 B: 54 C: -7 D: 5 E: Vypočítajte obsah trojuholníka, ktorého tri vrcholy sú : vrchol a priesečníky grafu funkcie f: y = x²+ (,00)x + (-3,00) s osou x. A: 8 B: 4 C: -8 D: 5 E: 18.3 Mnohočleny a mocninové funkcie, lineárna lomená funkcia Obsah Pojmy: mocnina, n-tá odmocnina, mocnina s prirodzeným, celočíselným, racionálnym exponentom, polynóm, mnohočlen, mocninová funkcia, koeficient pri n-tej mocnine (v polynomickej funkcii), exponent, lineárna lomená funkcia, asymptoty grafu lineárnej lomenej funkcie. Vlastnosti a vzťahy: polynóm stupňa n má najviac n rôznych reálnych koreňov, r s r s r s rs 1 r r r r x x x, x x, x, ( xy) x y, r, s Z, resp. r, s Q, r x m n nm n x x, m n m n x x, n n x. y xy, pre x, y 0, m,n N, 5

53 polynóm nepárneho stupňa má aspoň 1 reálny koreň. Požiadavky na vedomosti a zručnosti Ţiak vie (pozri tieţ.1 Funkcia a jej vlastnosti) pouţiť rovnosti z časti Vlastnosti a vzťahy pri úpravách výrazov (pozri 1. Čísla, premenné, výrazy), riešiť rovnice a nerovnice s polynomickými, mocninovými a lineárnymi lomenými funkciami (pozri 1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy), schematicky načrtnúť a porovnať grafy funkcií n y x pre rôzne hodnoty n Z na intervaloch, 1, 1, 0, 0, 1, 1,, vypočítať deriváciu a integrál polynomickej funkcie a mocniny s reálnym exponentom (pozri.6 Limita a derivácia, geometrický rad,.7 Integrálny počet), na základe výpočtu derivácie načrtnúť graf polynomickej funkcie, zistiť, kde je rastúca, resp. klesajúca (ak vie vyriešiť nerovnice f (x) 0, pozri 1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy), a na základe znamienok funkčných hodnôt v bodoch lokálnych extrémov zistiť počet priesečníkov tohto grafu s osou x, nájsť rovnice asymptot grafu lineárnej lomenej funkcie, nájsť intervaly, na ktorých je lineárna lomená funkcia rastúca, resp. klesajúca a nájsť k nej inverznú funkciu, opísať vlastnosti n - funkcií f ( x) x, kde n Z, polynomických funkcií a lineárnej lomenej funkcie pre hodnoty x zväčšujúce sa do alebo do, n - funkcií f ( x) x, kde n Z, pre hodnoty x blízke 0, ax b d - lineárnej lomenej funkcie f ( x) pre hodnoty x blízke číslu cx d c (pozri tieţ.6 Limita a derivácia, geometrický rad). Príklady: 1. Rovnica 49 Rovnica 14 x x 0 v mnoţine reálnych čísel a) nemá ţiadne korene. b) má jediný koreň, pričom tento koreň je kladný. c) má jediný koreň, pričom tento koreň je záporný. d) má práve dva rôzne korene, pričom obidva sú kladné. e) má práve dva korene, z ktorých jeden je kladný a jeden je záporný.. Obsah kruhu Vypočítajte obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy a spoločnými bodmi grafu funkcie f: y = (x - 1)³ - 1 so súradnicovými osami. a) 4,43 b) 4 c) 8 d) 8,86 e) 18 53

54 3. Graf Na ktorom z obrázkov je časť grafu funkcie y = 3 x? 4. Obsah Vypočítajte obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy a spoločnými bodmi grafu funkcie f: y = (x - )³ - so súradnicovými osami. a) 8,85 b) 4 c) - 8 d) 17,7 e) Kruh Vypočítajte obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy a spoločnými bodmi grafu funkcie f: y = (x + 1)³ + 1 so súradnicovými osami. a) 4,43 b) 4 c) - 8 d) 8,86 e) 1,8 6. Obsah kruhu? Vypočítajte obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy a spoločnými bodmi grafu funkcie f: y = (x + )³ + so súradnicovými osami. a) 8,85 b) 17,6 c) - 8 d) 8,86 e) 1,8 7. Obsah Vypočítajte obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy a spoločnými bodmi grafu funkcie f: y = (x + 5)³ + 5 so súradnicovými osami. a),14 b) 17,8 c) - 8,8 d) 8,86 e) 1,84 8. Kruh Vypočítajte obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy a spoločnými bodmi grafu funkcie f: y = (x + 4)³ + 4 so súradnicovými osami. 54

55 a) 17,71 b) 35 c) - 8,8 d) 8,86 e) 8,7 9. Kruhový obsah Vypočítajte obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy a spoločnými bodmi grafu funkcie f: y = (x + 3)³ + 3 so súradnicovými osami. a) 13,8 b) 6,56 c) - 8,8 d) 1,84 e) 8,7 10. Obsah kruhu Vypočítajte obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy a spoločnými bodmi grafu funkcie f: y = (x - 3)³ - 3 so súradnicovými osami. a) 13,8 b) 6,56 c) - 8,8 d) 1,84 e) 8,7 11. Kruh Vypočítajte obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy a spoločnými bodmi grafu funkcie f: y = (x - 4)³ - 4 so súradnicovými osami. a) 17,71 b) 35, c) - 35, d) 1,84 e) 8,7 1. Obsah Vypočítajte obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy a spoločnými bodmi grafu funkcie f: y = (x - 5)³ - 5 so súradnicovými osami. a),14 b) 35, c) - 35, d) 44,8 e) 8,7 13. Obsah trojuholníka Obsah trojuholníka, ktorého vrcholy sú extrémy funkcie f: y = (x - 4) 4-16 je a) 3 b) 64 c) - 3 d) 58 e) Obsah cez extrémy Obsah trojuholníka, ktorého vrcholy sú extrémy funkcie f: y = (x - ) 4-1 je a) 16 b) 3 c) - 3 d) 5 e) Extrémy a obsah Obsah trojuholníka, ktorého vrcholy sú extrémy funkcie f: y = (x + 1) 4-1 je a) 1 b) d)- 3 d) 5 e) Obsah a extrémy Obsah trojuholníka, ktorého vrcholy sú extrémy funkcie f: y = (x - ) 4-16 je a) 3 b) 5 c) - 3 d) 5 e) 0 55

56 17. Extrémy + obsah Obsah trojuholníka, ktorého vrcholy sú extrémy funkcie f: y = (x - ) 4-81 je a) 43 b) 486 c) - 3 d) 5 e) Obsah + extrémy Obsah trojuholníka, ktorého vrcholy sú extrémy funkcie f: y = (x - 1) 4-16 je a) 3 b) 64 c) - 3 d) 5 e) Obsah trojuholníka Obsah trojuholníka, ktorého vrcholy sú extrémy funkcie f: y = (x - 1) 4-1 je a) 1 b) c) - 3 d) 5 e) 0 0. Extrémy Obsah trojuholníka, ktorého vrcholy sú extrémy funkcie f: y = (x - 4)³ - 1 je a) 1 b) c) - 3 d) 5 e) 0 1. Obsah Obsah trojuholníka, ktorého vrcholy sú extrémy funkcie f: y = (x - 4) 4-81 je a) 43 b) 486 c) - 3 d) 5 e) 0. Obsah trojuholníka Obsah trojuholníka, ktorého vrcholy sú extrémy funkcie f: y = (x - 3) 4-16 je a) 3 b) 64 c) - 3 d) 5 e) 0 3. Obsah trojuholníka cez extrémy Obsah trojuholníka, ktorého vrcholy sú extrémy funkcie f: y = (x - 3) 4-81 je a) 43 b) 486 c) 3 d) 5 e) 0 4. Obsah kruhu Obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy a priesečníkmi grafu funkcie f so súradnicovými osami f: y = (x - 3) 5-3 je a) 13,8 b) 6,56 c) 17 d) 34 e) 0 5. Kruh Obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy a priesečníkmi grafu funkcie f so súradnicovými osami f: y = (x - 1) 5-1 je: a) 4,43 b) 6,56 c) 17 d) 34 e) 0 6. Kruhový obsah 56

57 Obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy a priesečníkmi grafu funkcie f so súradnicovými osami f: y = (x - ) 5 - je: a) 8,85 b) 6,56 c) 17 d) 34 e) 0 7. Obsah Obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy a priesečníkmi grafu funkcie f so súradnicovými osami f: y = (x - 4) 5-4 je: a) 8,85 b) 6,56 c) 17 d) 34 e) 0 8. Kruh Obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy a priesečníkmi grafu funkcie f so súradnicovými osami f: y = (x - 5) 5-5 je: a),14 b) 44,8 c) 17 d) 34 e) 0 9. Obsah kruhu? Obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy a priesečníkmi grafu funkcie f so súradnicovými osami f: y = (x + 1)³ + 1) je: a) 4,43 b)8,86 c) 17 d) 34 e) Kruhový obsah? Obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy a priesečníkmi grafu funkcie f so súradnicovými osami f: y = (x + ) 5 + je: a) 8,85 b) 17,7 c) 17 d) 34 e) Obsah Obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy a priesečníkmi grafu funkcie f so súradnicovými osami f: y = (x + 3) je: a) 13,8 b) 6,56 c) 17 d) 34 e) 0 3. Kruh Obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy a priesečníkmi grafu funkcie f so súradnicovými osami f: y = (x + 4)³ + 4 je: a) 17,71 b) 35,41 c) 17 d) 34 e) Obsah Obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy a priesečníkmi grafu funkcie f so súradnicovými osami f: y = (x + 5)³ + 5, je: a),14 b)44,8 c) 17 d) 34 e)

58 Vypočítajte obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy a spoločnými bodmi grafu funkcie f: y = (x - 1,00)³ - 1,00 so súradnicovými osami A: 4,43 B: 4 C: -8 D: 8,86 E: Vypočítajte obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy a spoločnými bodmi grafu funkcie f: y = (x -,00)³ -,00 so súradnicovými osami A: 8,85 B: 4 C: -8 D: 17,7 E: Vypočítajte obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy a spoločnými bodmi grafu funkcie f: y = (x - (-1,00))³ - (-1,00) so súradnicovými osami A: 4,43 B: 4 C: -8D: 8,86 E: 1,8 37. Vypočítajte obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy a spoločnými bodmi grafu funkcie f: y = (x - (-,00))³ - (-,00) so súradnicovými osami A: 8,85 B: 17,6 C: -8 D: 8,86 E: 1,

59 Vypočítajte obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy a spoločnými bodmi grafu funkcie f: y = (x - (-5,00))³ - (-5,00) so súradnicovými osami A:,14 B: 17,644,8 C: -8,8 D: 8,86 E: 1, Vypočítajte obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy a spoločnými bodmi grafu funkcie f: y = (x - (-4,00))³ - (-4,00) so súradnicovými osami A: 17,71 B: 35 C: -8,8 D: 8,86 E: 8,7 40. Vypočítajte obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy a spoločnými bodmi grafu funkcie f: y = (x - (-3,00))³ - (-3,00) so súradnicovými osami A: 13,8 B: 6,56 C: -8,8 D: 1.84 E: 8,7 41. Vypočítajte obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy a spoločnými bodmi grafu funkcie f: y = (x - (3,00))³ - (3,00) so súradnicovými osami A: 13,8 B: 6,56 C: -8,8 D: 1.84 E: 8,7 59

60 4. Vypočítajte obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy a spoločnými bodmi grafu funkcie f: y = (x - (4,00))³ - (4,00) so súradnicovými osami A: 17,71 B: 35, C: -35, D: 1.84 E: 8,7 43. Vypočítajte obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy a spoločnými bodmi grafu funkcie f: y = (x - (5,00))³ - (5,00) so súradnicovými osami A:,14 B: 35, C: -35, D: 44,8 E: 8,7 44. Obsah trojuholníka, ktorého vrcholy sú extrémy funkcie f: y = (x - (4,00)) 4 - (16,00) A: 3 B: 64 C: -3 D: 58 E: Obsah trojuholníka, ktorého vrcholy sú extrémy funkcie f: y = (x - (,00)) 4 - (1,00) A: 16 B: 3 C: -3 D: 5 E:

61 Obsah trojuholníka, ktorého vrcholy sú extrémy funkcie f: y = (x - (-1,00)) 4 - (1,00) A: 1 B: C: -3 D: 5 E: Obsah trojuholníka, ktorého vrcholy sú extrémy funkcie f: y = (x - (,00)) 4 - (16,00) A: 3 B: C: -3 D: 5 E: Obsah trojuholníka, ktorého vrcholy sú extrémy funkcie f: y = (x - (,00)) 4 - (81,00) A: 43 B: 486 C: -3 D: 5 E: Obsah trojuholníka, ktorého vrcholy sú extrémy funkcie f: y = (x - (1,00)) 4 - (16,00) A: 3 B: 64 C: -3 D: 5 E: Obsah trojuholníka, ktorého vrcholy sú extrémy funkcie f: y = (x - (1,00)) 4 - (1,00) A: 1 B: C: -3 D: 5 E: 0 61

62 51. Obsah trojuholníka, ktorého vrcholy sú extrémy funkcie f: y = (x - (4,00))³ - (1,00) A: 1 B: C: -3 D: 5 E: 0 5. Obsah trojuholníka, ktorého vrcholy sú extrémy funkcie f: y = (x - (4,00)) 4 - (81,00) A: 43 B: 486 C: -3 D: 5 E: Obsah trojuholníka, ktorého vrcholy sú extrémy funkcie f: y = (x - (3,00)) 4 - (16,00) A: 3 B: 64 C: -3 D: 5 E: Obsah trojuholníka, ktorého vrcholy sú extrémy funkcie f: y = (x - (3,00)) 4 - (81,00) A: 43 B: 486 6

63 C: -3 D: 5 E: Obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy a priesečníkmi grafu funkcie f so súradnicovými osami f: y = (x - (3,00)) 5 - (3,00) je A: 13,8 B: 6,56 C: 17 D: 34 E: Obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy a priesečníkmi grafu funkcie f so súradnicovými osami f: y = (x - 1,00) 5-1,00 je: A: 4,43 B: 6,56 C: 17 D: 34 E: 0 63

64 57. Obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy a priesečníkmi grafu funkcie f so súradnicovými osami f: y = (x -,00) 5 -,00 je: A: 8,85 B: 6,56 C: 17 D: 34 E: Obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy a priesečníkmi grafu funkcie f so súradnicovými osami f: y = (x - 4,00) 5-4,00 je: A: 8,85 B: 6,56 C: 17 D: 34 E: Obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy a priesečníkmi grafu funkcie f so súradnicovými osami 64

65 f: y = (x - 5,00) 5-5,00 je: A:,14 B: 44,8 C: 17 D: 34 E: Obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy a priesečníkmi grafu funkcie f so súradnicovými osami f: y = (x - (-1,00))³ - (-1,00) je: A: 4,43 B: 8,86 C: 17 D: 34 E: Obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy a priesečníkmi grafu funkcie f so súradnicovými osami f: y = (x - (-,00)) 5 - (-,00) je: A: 8,85 65

66 B: 17,7 C: 17 D: 34 E: 0 6. Obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy a priesečníkmi grafu funkcie f so súradnicovými osami f: y = (x - (-3,00)) 5 - (-3,00) je: A: 13,8 B: 6,56 C: 17 D: 34 E: Obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy a priesečníkmi grafu funkcie f so súradnicovými osami f: y = (x - (-4,00))³ - (-4,00) je: A: 17,71 B: 35,41 C: 17 D: 34 66

67 E: Obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy a priesečníkmi grafu funkcie f so súradnicovými osami f: y = (x - (-5,00))³ - (-5,00) je: A:,14 B: 44,8 C: 17 D: 34 E: 0.4 Logaritmické a exponenciálne funkcie, geometrická postupnosť Obsah Pojmy: exponenciálna a logaritmická funkcia, základ exponenciálnej a logaritmickej funkcie, číslo e, logaritmus, prirodzený logaritmus, geometrická postupnosť, kvocient geometrickej postupnosti. Vlastnosti a vzťahy: r s r s r s rs a a. a, ( a ) a pre a 0, a 1, r, s R, x 1 a x, a x a b x log b pre a 0, a 1, b 0, x R, a r log a r log a s log a ( rs), log a r log a s log a pre a 0, a 1, r, s 0, s s log ( r ) s log r pre a 0, a 1, r 0, s R, a a log a s log r s pre a, s, r 0, a, r 1, log r a log a x x a pre a 0, a 1, x 0. Požiadavky na vedomosti a zručnosti Ţiak vie (pozri tieţ.1 Funkcia a jej vlastnosti) (exponenciálna funkcia) 67

68 pouţiť rovnosti uvedené v časti Vlastnosti a vzťahy pri úprave výrazov (pozri 1. Čísla, premenné, výrazy), riešiť exponenciálne rovnice a nerovnice (pozri 1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy), x rozhodnúť o raste, resp. klesaní funkcie a v závislosti od čísla a a vie načrtnúť graf tejto funkcie s vyznačením jeho význačných bodov (t.j. (0,1), (1,a)), x rozhodnúť o ohraničenosti zhora, resp. zdola funkcie a na danom intervale, vyjadriť n tý člen geometrickej postupnosti (pre konkrétne aj všeobecné n) pomocou jej prvého (alebo iného neţ n tého) člena a kvocientu q, nájsť súčet n za sebou nasledujúcich členov geometrickej postupnosti (pre konkrétne aj všeobecné n), rozhodnúť o raste, resp. klesaní geometrickej postupnosti v závislosti od jej prvého člena a kvocientu, x opísať správanie sa funkcií f ( x) a, kde a 1, pre hodnoty x zväčšujúce sa do alebo (pozri tieţ.6 Limita a derivácia, geometrický rad), (logaritmická funkcia) pouţiť rovnosti uvedené v časti Vlastnosti a vzťahy pri úpravách výrazov (pozri 1. Čísla, premenné, výrazy), riešiť logaritmické rovnice a nerovnice (pozri 1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy), rozhodnúť o raste, resp. klesaní funkcie log x v závislosti od čísla a a vie načrtnúť graf tejto funk- a cie s vyznačením jeho význačných bodov (t.j. 1, 0, a, 1 ), rozhodnúť o ohraničenosti zhora, resp. zdola logaritmickej funkcie na danom intervale, vyriešiť jednoduché príklady na výpočet úrokov, opísať správanie sa funkcií f ( x) log a x, kde a 1, pre hodnoty x zväčšujúce sa do alebo blížiace sa k 0 (pozri tieţ.6 Limita a derivácia, geometrický rad). Príklady: 1. Exponenciálna rovnica Rovnica 4 x = 8 má jediné reálne riešenie. V ktorom z uvedených intervalov sa nachádza? a) 1; 1, b) 1, ; 1, 4 c) 1,4;1, 6 d) 1,6;1, 8 e) 1,8;. Logaritmus Ak platí a = log b, potom a) b =.10 a. b) a = (b) 10. c) b = (a) 10. d) a = 100 b. e) b = 100 a. 3. Logaritmy Ak a = log, b = log 7, c = log 49, potom b a a) c =. b) c = a b. c) c = b.b. d) c = b a. e) c = b a. a 68

69 4. Geometrická postupnosť O geometrickej postupnosti kladných reálnych čísel b n n 1 Čomu sa rovná b 8? vieme, ţe b 1 +b = 30, b 9 = 16 1.b7. 1 a) 56 1 b) 64 5 c) 19 d) 0 e) Krivka Krivka na obrázku môţe predstavovať časť grafu funkcie a) y = 6 x + 1. b) y = 1 x + 1. c) y = log 6 x d) y = log 6 1 x + 1. e) y = log6 (x + 1). 6. Riešenie nerovnice Nech P je mnoţina všetkých riešení nerovnice 3 + log 0,5 x > 0 v obore reálnych čísel. Potom a)p = ;. b)p = 0 ; 8. c)p = ; d)p = 8 ;. e)p= ; Kladné riešenia Mnoţinou všetkých kladných riešení nerovnice x 0 > x 5 je interval a) (3 885 ; ). b) (3 5 ; ). c) (3 60 ; ). d) (0;3 60 ). e) (0;3 5 ). 8. Kladné funkčné hodnoty Ak M je mnoţina všetkých x R, pre ktoré nadobúda logaritmická funkcia f: y = log 0, (4x 1) kladné funkčné hodnoty, tak M = a) (0;0,5). b) (0,5;0,5). c) (0,5; ). d) (0,3; ). e) (0,5; ). 9. Dekadický logaritmus Dekadický logaritmus čísla 0, sa rovná 6núl 1 1 a) 7. b). c) -. d) 6. e) Polčas rozpadu Nuklid uhlíka 14 C má polčas rozpadu 5560 rokov. Za tento čas sa rozpadne polovica daného mnoţstva uhlíka 14 C, za ďalších 5560 rokov sa rozpadne polovica zvyšného mnoţstva atď. Aká časť pôvodného mnoţstva uhlíka 14 C zostane po rokoch? 1 a) 64 1 b) 3 c) 16 1 d) 8 1 e)

70 11. Koreň Rovnica 9 x-3 1 = má v mnoţine reálnych čísel jediný koreň, ktorý leţí v intervale 81 a) ; 1. b) 1 ;0. c) 0 ;1. d) 1 ;. e) ;3. 1. Logaritmus Ak platí log T = log p +.log r, tak a) T = p + q r b) T = pq r c) T = pq r d) T = p + q r e) T = pq r 13. Postupnosť V istej geometrickej postupnosti je 10. člen 9 krát väčší ako 8. člen. Koľkokrát je v tejto postupnosti 8. člen väčší ako 4. člen? a) 18 krát b) 7 krát c) 36 krát d) 54 krát e) 81 krát 14. Množina M Nech M je mnoţina všetkých reálnych čísel x, pre ktoré platí log(x + 3) = log x + log 3. Potom a) M = 3 ;. b) M je jednoprvková mnoţina. c) M = 0 ;. d) M je prázdna mnoţina. e) M = 3 ;. 15. Súčet členov postupnosti Rozdiel medzi štvrtým a prvým členom istej geometrickej postupnosti je 5. Súčet prvých troch členov postupnosti je 6. Potom súčet prvých šiestich členov tejto postupnosti je a) 4 b) 486 c) 78 d) 960 e)

71 Na obrázku je graf funkcie: a) f: y = x-1 - b) f: y = x-1 + c) f: y = x+1 - d) f: y = x-1-1 e) ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna 17. Na obrázku je graf funkcie: a) f: y = x-1 - b) f: y = x

72 c) f: y = x+1 - d) f: y = x-1-1 e) ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna 18. Na obrázku je graf funkcie: a) f: y = 1/ x-1 - b) f: y = 1/ x-1 + c) f: y = 1/ x+1 - d) f: y = 1/ x-1-1 e) ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna 19. Na obrázku je graf funkcie: a) f: y = log(x 1) - b) f: y = log(x 1) + c) f: y = log(x + 1) - d) f: y = log(x + 1) + 7

73 e) ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna 0. Na obrázku je graf funkcie: a) f: y = log(x 1) - b) f: y = log(x 1) + 73

74 c) f: y = log(x + 1) - d) f: y = log(x + 1) + e) ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna 1. Na obrázku je graf funkcie: a) f: y = - (log(x 1) ) b) f: y = -( log(x 1) + ) c) f: y = -( log(x + 1) ) d) f: y = -(log(x + 1) + ) e) ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna. 74

75 Na obrázku je graf funkcie: a) f: y =log 0,5 (x 1) b) f: y = log 0,5 (x + 1) c) f: y = log 0,5 (x + 1) + d) f: y = log 0,5 (x 1) + e) ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna 3. 75

76 Na obrázku je graf funkcie: a) f: y = - (log 0,5 (x 1) ) b) f: y = - (log 0,5 (x + 1) ) c) f: y = - (log 0,5 (x + 1) + ) d) f: y = - (log 0,5 (x 1) + ) e) ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna 4. Na obrázku je graf funkcie: a) f: y = (log 0,5 (x 1)) b) f: y = (log 0,5 (x + 1)) c) f: y = (log 0,5 (x + 1) + ) d) f: y = (log 0,5 (x 1) + ) e) ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna 76

77 5. Na obrázku je graf funkcie: a) f: y = - (log 0,5 (x 1)) b) f: y = - (log 0,5 (x + 1)) c) f: y = - (log 0,5 (x + 1) + ) d) f: y = - (log 0,5 (x 1) + ) e) ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna.5 Goniometrické funkcie Obsah Pojmy: π, goniometrická funkcia, sínus, kosínus, tangens, (najmenšia) perióda. Vlastnosti a vzťahy: hodnoty goniometrických funkcií pre uhly 0,,,,, vzorce pre sínus a kosínus dvojnásobného uhla, sin tg, sin cos 1, cos sin, sin cos, sin( ) sin, cos cos( ) cos, sin( x) sin x, cos( x) cosx, tg( x) = tg(x), sin sin cos, cos cos sin, graf funkcie kosínus vznikne posunutím grafu funkcie sínus, periodickosť a najmenšie periódy jednotlivých goniometrických funkcií, osi a stredy súmerností grafov goniometrických funkcií. 77

78 Požiadavky na vedomosti a zručnosti Ţiak vie (pozri tieţ.1 Funkcia a jej vlastnosti) pouţiť rovnosti uvedené v časti Vlastnosti a vzťahy pri úprave goniometrických výrazov (pozri 1. Čísla, premenné, výrazy), nájsť pomocou kalkulačky riešenie rovnice f ( x) a, kde f je goniometrická funkcia, a to aj v prípade, ţe na kalkulačne niektoré goniometrické alebo inverzné goniometrické funkcie nie sú (pozri tieţ 1. Čísla, premenné, výrazy), riešiť goniometrické rovnice a nerovnice (pozri 1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy), vyjadriť hodnoty goniometrických funkcií pre uhly 0, ako pomery strán pravouhlého trojuholníka, pouţiť goniometrické funkcie pri výpočte prvkov pravouhlého trojuholníka (pozri tieţ 3.1 Základné rovinné útvary), vyjadriť (na základe znalosti súmerností a periodičnosti grafov goniometrických funkcií) sin,cos, tg α pre R ako sínus, kosínus alebo tangens vhodného uhla 0,, nájsť hodnoty všetkých goniometrických funkcií pre daný argument, ak pre tento argument pozná hodnotu aspoň jednej z nich, načrtnúť grafy funkcií sin, cos, tg, určiť hodnoty v bodoch 0,,,,, určiť najmenšie periódy týchto grafov a ich osi a stredy súmernosti, určiť podintervaly daného ohraničeného intervalu, na ktorých sú funkcie sin, cos, tg rastúce, resp. klesajúce, rozhodnúť o ohraničenosti funkcie tg x na danom intervale, načrtnúť grafy funkcií k ( f ( x)), f ( kx), f ( ax b), kde k, a, b R a f je niektorá z goniometrických funkcií, určiť priesečníky týchto funkcií s x ovou osou a ich periódu a v prípade f ( x) sin x alebo f ( x) cos x aj najmenšie a najväčšie hodnoty. Príklady: 1. Graf funkcie Na obrázku je časť grafu funkcie a) y =.sin x + b) y =.sin 4 x + 4 c) y =.cos x + d) y =.cos x e) y =.cos x +. Sínus Na ktorom z nasledujúcich obrázkov je časť grafu funkcie y = sin x, pre x 3 ;? 78

79 3. Obsah obdĺžníka x Na obrázku je časť grafu funkcie y = 3. cos. Aký obsah má vyfarbený obdĺţnik? a) 3 π b) 6 π c) 1 π d) 18 π e) 4 π 4. Kosínus Na obrázku je časť grafu funkcie a) y = - sin x +. b) y = cos x +. c) y = cos x + 1. d) y = 3cos x. e)y = - 3sin x. 5. Graf Na obrázku je časť grafu funkcie a) y = + sin x. b) y = + cos x c) y = 3 + sin x d) y = 3 + cos x e) y = 3.cos x 6. Graf funkcie kosínus Na ktorom z obrázkov by mohla byť časť grafu funkcie y = cos x? 79

80 7. Riešenie rovnice Rovnica sin x - 3 cos x = 0 má v intervale (0;π) jediné riešenie. Ktorá z uvedených mnoţín obsahuje toto riešenie? a) ; 6 4 ; 3 b) ; 4 1 ; 3 c) ; 6 1 ; d) ; 4 ; 3 e) ; 4 ; 3 8. Rovnica Rovnica sin x + 3 cos x = 0 má v intervale 3 ; 4 jediné riešenie. Ktorá z uvedených mnoţín obsahuje toto riešenie? a) ; 6 10 ; 3 b) ; 4 11 ; 3 c) ; 6 13 ; 3 d) ; 7 ; 3 e) ; 4 14 ;

81 Na obrázku je graf funkcie: a) f: y = sin( x π/4) 1/ b) f: y = sin( x + π/4) 1/ c) f: y = sin( x π/4) + 1/ d) f: y = sin( x + π/4) + 1/ e) ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna

82 Na obrázku je graf funkcie: a) f: y = -( sin( x π/4) ) b) f: y = -(sin( x + π/4) 1/) c) f: y = -(sin( x π/4) + 1/) d) f: y = -(sin( x + π/4) + ) e) ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna 11. Na obrázku je graf funkcie: a) f: y = ( sin( x π/4) ) b) f: y = (sin( x + π/4) 1/) c) f: y = (sin( x π/4) + 1/) d) f: y = (sin( x + π/4) + ) e) ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna 8

83 1. Na obrázku je graf funkcie: a) f: y = - ( sin( x π/4) ) b) f: y = - (sin( x + π/4) 1/) c) f: y = - (sin( x π/4) + 1/) d) f: y = - (sin( x + π/4) + ) e) ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna

84 Na obrázku je graf funkcie: a) f: y = - (cos( x π/4) ) b) f: y = - (cos( x + π/4) 1/) c) f: y = - (cos( x π/4) + 1/) d) f: y = - (cos( x + π/4) + ) e) ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna

85 Na obrázku je graf funkcie: a) f: y = (cos( x π/4) ) b) f: y = (cos( x + π/4) 1/) c) f: y = (cos( x π/4) + 1/) d) f: y = (cos( x + π/4) + ) e) ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna 15. Na obrázku je graf funkcie: a) f: y = (cos( x π/4) ) b) f: y =(cos( x + π/4) 1/) c) f: y = (cos( x π/4) + 1/) d) f: y = (cos( x + π/4) + ) e) ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna 85

86 16. Na obrázku je graf funkcie: a) f: y = - (cos( x π/4) ) b) f: y = - (cos( x + π/4) 1/) c) f: y = - (cos( x π/4) + 1/) d) f: y = - (cos( x + π/4) + ) e) ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna

87 Na obrázku je graf funkcie: a) f: y = tg( x π/4) b) f: y = tg( x + π/4) c) f: y = tg( x π/) d) f: y = tg( x + π/) e) ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna

88 Na obrázku je graf funkcie: a) f: y = - tg( x π/4) b) f: y = - tg( x + π/4) c) f: y = - tg( x π/) d) f: y = - tg( x + π/) e) ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna 19. Na obrázku je graf funkcie: a) f: y = tg( x π/4) b) f: y = tg( x + π/4) c) f: y = tg( x π/) d) f: y = tg( x + π/) e) ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna 88

89 0. Na obrázku je graf funkcie: a) f: y = - tg( x π/4) b) f: y = - tg( x + π/4) c) f: y = - tg( x π/) d) f: y = - tg( x + π/) e) ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna 1. 89

90 Na obrázku je graf funkcie: a) f: y = - cotg( x π/4) b) f: y = - cotg( x + π/4) c) f: y = - cotg( x π/) d) f: y = - cotg( x + π/) e) ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna. 90

91 Na obrázku je graf funkcie: a) f: y = cotg( x π/4) b) f: y = cotg( x + π/4) c) f: y = cotg( x π/) d) f: y = cotg( x + π/) e) ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna 3. 91

92 Na obrázku je graf funkcie: a) f: y = cotg( x π/4) b) f: y = cotg( x + π/4) c) f: y = cotg( x π/) d) f: y = cotg( x + π/) e) ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna 4. Na obrázku je graf funkcie: a) f: y = -cotg( x π/4) b) f: y = -cotg( x + π/4) c) f: y = -cotg( x π/) d) f: y = -cotg( x + π/) e) ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna 9

93 .6 Limita a derivácia, geometrický rad Obsah Pojmy: limita postupnosti a funkcie, nevlastná limita, spojitá funkcia, derivácia funkcie, dotyčnica ku grafu funkcie v danom bode, stacionárny bod funkcie, druhá derivácia funkcie, geometrický rad, kvocient geometrického radu, konvergentný a divergentný geometrický rad. Vlastnosti a vzťahy: 1 n limn 0, limn q n 0 pre q 1, n a aq 1 q pre q 1, n 0 geometrický rad n n aq (kde a 0 ) diverguje pre q 1, 0 derivácia funkcie f v bode a je smernicou dotyčnice ku grafu funkcie f v bode a, f ( a), ak má funkcia f v každom bode intervalu I kladnú deriváciu, tak je na I rastúca, vzťah medzi existenciou maxima (minima) funkcie a nulovosťou jej derivácie. Požiadavky na vedomosti a zručnosti Ţiak vie opísať jednoduché limitné procesy (napr. výpočet plochy pod grafom funkcie f ( x) x na inter- vale 0, 1 na základe explicitného vyjadrenia pre súčet 1 n, výpočet smernice dotyčnice ku grafu funkcie y f ( x ) v danom bode tohto grafu), vypočítať deriváciu polynomickej funkcie a mocninových funkcií a nájsť v danom bode rovnicu dotyčnice k týmto funkciám, na základe výpočtu derivácie nájsť intervaly, na ktorých polynomická funkcia rastie, resp. klesá a načrtnúť jej graf (pokiaľ vie riešiť nerovnice f (x) 0, pozri 1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy), na základe znamienok funkčných hodnôt v bodoch lokálnych extrémov zistiť počet priesečníkov tohto grafu s osou x, v prípade jednoduchých slovných úloh na extrémy nájsť predpis funkcie, ktorej extrém treba nájsť, použitím derivácií nájsť v jednoduchých prípadoch extrémy funkcií na uzavretom ohraničenom intervale, opísať správanie sa - polynómov pre x a x, ax b d - lineárnej lomenej funkcie y pre x a x, x, cx d c n - funkcií y x, kde n N, y log x pre hodnoty x blížiace sa k 0, - funkcie y tan x pre hodnoty x blížiace sa k, rozhodnúť, či je daný geometrický rad konvergentný, nájsť súčet konvergentného geometrického radu. Príklady: a 93

94 1. Internet Analytici skúmali, ako sa vyvíja počet počítačov pripojených na Internet. Zistili, ţe v Slovutánii ich počet z roka na rok rastie ako geometrická postupnosť. Tabuľka obsahuje údaje z rokov 1997, 1998 a Ak sa trend nezmení, pribliţne aký počet počítačov bude v Slovutánii pripojených na Internet v roku 000? ? a) b) c) d) e) Prvá derivácia Na obrázku je časť grafu funkcie y = f(x). Prvá derivácia funkcie f je a) v bode x = -1 nulová, v bode x = 3 kladná, v bode x = 5 kladná b) v bode x = -1 nulová, v bode x = 3 kladná, v bode x = 5 záporná c) v bode x = -1 kladná, v bode x = 3 kladná, v bode x = 5 záporná d) v bode x = -1 nulová, v bode x = 3 záporná, v bode x = 5 kladná e) v bode x = -1 záporná, v bode x = 3 nulová, v bode x = 5 kladná 3. Dotyčnica V ktorom z uvedených bodov má graf funkcie f: y = 3x + x + 1 dotyčnicu rovnobeţnú s priamkou y = 4x? a) 1 ; b) 1 ; 6 c) ; 10 d) ; 9 e) 0 ; 1.7 Integrálny počet Obsah Pojmy: neurčitý integrál, integračná premenná, integračná konštanta, plocha ohraničená grafmi funkcií, (Riemannov) určitý integrál, Newtonov-Leibnizov vzorec. Vlastnosti a vzťahy: 94

95 Newtonov-Leibnizov vzorec pre výpočet určitého integrálu (tj. vzťah medzi primitívnou funkciou k funkcii f a integrálom a b f ( x) dx ), špeciálne vzťah medzi veľkosťou plochy ohraničenej grafom nezápornej funkcie f a primitívnou funkciou k tejto funkcii, ak F ( x) f ( x) aj G ( x) f ( x), tak F a G sa líšia o konštantu (integračná konštanta) Požiadavky na vedomosti a zručnosti Ţiak vie na základe znalostí derivácií funkcií nájsť f ( x) dx, ak f je polynóm alebo niektorá z funkcií r ( ax b) a pre tieto funkcie vie použitím Newtonovho Leibnizovho vzorca vypočítať a b f ( x) dx, v jednoduchých prípadoch pomocou integrálu vyjadriť veľkosť plochy x, y R, x [ a, b] f ( x) y g( x), resp. plochy ohraničenej grafmi dvoch spojitých funkcií (ak vie nájsť priesečníky týchto dvoch funkcií, pozri 1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy), opísať limitné procesy používané pri výpočte veľkosti plôch (napr. vypĺňanie, ohraničovanie zhora a zdola). Príklady: 1. Obsah útvaru Aký obsah má vyšrafovaný útvar na obrázku, ohraničený osou x, priamkou x = 4 a grafom funkcie f : y = cos x? a) d) b) 1 e) - c) 3 1 a) S =. Obsah obrazca Pre obsah S vyšrafovaného obrazca ohraničeného parabolami y = x a y = - x + 4x platí x x dx 0 d) S = 4xdx. b) S =. 4 x dx 0 x. e) S = 0 4xdx. c) S = x 4x dx 0. 95

96 3. PLANIMETRIA 3. 1 Základné rovinné útvary Obsah Pojmy: a) Lineárne útvary. Bod, priamka, polpriamka, úsečka, stred úsečky, deliaci pomer, polrovina, rovnobeţné a rôznobeţné priamky, uhol (ostrý, pravý, tupý, konvexný, priamy a nekonvexný uhol), susedné, vrcholové, súhlasné a striedavé uhly, os úsečky, os uhla, uhol dvoch priamok, kolmé priamky, kolmica, vzdialenosť (dvoch bodov, bodu od priamky, rovnobeţných priamok). b) Kruţnica a kruh. Stred, polomer (ako číslo i ako úsečka), priemer, tetiva, kruţnicový oblúk, dotyčnica, sečnica a nesečnica, stredový a obvodový uhol, obvod kruhu a dĺţka kruţnicového oblúka, kruhový výsek a odsek, medzikruţie, obsah kruhu a kruhového výseku, spoločné (vonkajšie, vnútorné) dotyčnice dvoch kružníc. c) Trojuholník. Trojuholník (ostrouhlý, pravouhlý, tupouhlý, rovnoramenný a rovnostranný trojuholník), vrchol, strana (ako vzdialenosť, ako úsečka), výška (ako vzdialenosť, ako úsečka i ako priamka), uhol, ťaţnica, ťaţisko, stredná priečka, kruţnica trojuholníku opísaná, kruţnica do trojuholníka vpísaná, obvod a plošný obsah trojuholníka, trojuholníková nerovnosť, Pytagorova veta, Euklidove vety, sínusová a kosínusová veta. d) Štvoruholníky a mnohouholníky. Vrchol, strana (ako vzdialenosť, ako úsečka), uhlopriečka, uhol, konvexný štvoruholník, rovnobeţník, kosoštvorec, obdĺţnik, štvorec, lichobeţník, rovnoramenný lichobeţník, základňa a rameno lichobeţníka, výška rovnobeţníka a lichobeţníka, plošný obsah rovnobeţníka a lichobeţníka, konvexné, nekonvexné a pravidelné mnohouholníky, obsah mnohouholníka. Vlastnosti a vzťahy: a) Lineárne útvary Súhlasné uhly pri dvoch rovnobeţkách sú rovnaké, striedavé uhly pri dvoch rovnobeţkách sú rovnaké, súčet susedných uhlov je 180, vrcholové uhly sú rovnaké. b) Trojuholník Trojuholníková nerovnosť, súčet uhlov trojuholníka, oproti väčšej (rovnakej) strane leţí väčší (rovnaký) uhol, oproti rovnakým stranám leţia rovnaké uhly, delenie ťaţníc ťaţiskom, priesečník osí strán je stred opísanej kruţnice, priesečník osí uhlov je stred vpísanej kruţnice, vyjadrenie obsahu trojuholníka pomocou - dĺţky strany a k nej príslušnej výšky, - dvoch strán a sínusu uhla týmito stranami zovretého, Pytagorova veta, goniometria pravouhlého trojuholníka (pozri.5. Goniometrické funkcie), vyjadrenie kosínusov uhlov trojuholníka pomocou dĺţok strán (kosínusová veta),

97 a b c =r, kde r je polomer opísanej kružnice (sínusová veta), sin sin sin vyjadrenie polomeru vpísanej kružnice pomocou jeho obsahu a obvodu, zhodné a podobné trojuholníky, vety o zhodnosti (sss, sus, usu, Ssu) a podobnosti (sss, sus, uu) trojuholníkov, Euklidove vety, vzťah medzi pomerom podobnosti dvoch trojuholníkov a - dĺţkami odpovedajúcich si úsečiek, - veľkosťami odpovedajúcich si uhlov, - ich plošnými obsahmi. c) Kruţnica a kruh Kruţnica je jednoznačne určená stredom a polomerom, resp. tromi svojimi bodmi, ţiadne tri body kruţnice neleţia na priamke, kolmosť dotyčnice k príslušnému polomeru kruţnice, Talesova veta, vzťah medzi stredovým uhlom a obvodovými uhlami príslušnými k danej tetive, závislosť vzájomnej polohy kruţnice a priamky na polomere kruţnice a vzdialenosti jej stredu od priamky, dotykový bod dvoch kruţníc leţí na spojnici stredov kruţníc, závislosť vzájomnej polohy dvoch kruţníc od vzdialenosti stredov kruţníc a ich polomerov, vzťahy pre výpočet obvodu a obsahu kruhu, dĺţku kruţnicového oblúka a obsahu kruhového výseku. d) Štvoruholníky a mnohouholníky Rovnobeţnosť a rovnaká veľkosť protiľahlých strán rovnobeţníka, rozpoľovanie uhlopriečok v rovnobeţníku, rovnosť protiľahlých vnútorných uhlov v rovnobeţníku, súčet susedných uhlov rovnobeţníka, súčet vnútorných uhlov lichobeţníka priľahlých k jeho ramenu, uhlopriečky kosoštvorca sú na seba kolmé a rozpoľujú vnútorné uhly, zhodnosť uhlopriečok obdĺţnika a štvorca, súčet vnútorných uhlov konvexného n-uholníka, rovnobeţník je stredovo súmerný, obdĺţnik a štvorec sú súmerné podľa osí strán, kosoštvorec je súmerný podľa uhlopriečok, rovnoramenný lichobeţník je súmerný podľa osi základní, pravidelnému n-uholníku sa dá vpísať a opísať kruţnica, v rovnoramennom lichobeţníku sú rovnaké uhlopriečky a rovnaké uhly pri základni, obsah rovnobeţníka vyjadrený pomocou strany a príslušnej výšky, resp. pomocou susedných strán a uhla medzi nimi, obsah lichobeţníka vyjadrený pomocou výšky a veľkosti základní. Požiadavky na vedomosti a zručnosti Ţiak vie pribliţne vypočítať obvod a obsah narysovaných trojuholníkov, n-uholníkov, kruhov a ich častí, vypočítať v trojuholníku, jednoznačne určenom jeho stranami, resp. stranami a uhlami, zvyšné strany a uhly, dĺţky ťaţníc, výšok, polomer vpísanej a opísanej kružnice, obvod a obsah, rozhodnúť, či sú dva trojuholníky zhodné alebo podobné, vlastnosti zhodnosti a podobnosti pouţiť vo výpočtoch a dôvodeniach, vypočítať obvod a obsah kruhu a kruhového výseku, 97

98 rozhodnúť o vzájomnej polohe - priamky a kruţnice, - dvoch kruţníc, ak pozná ich polomery a vzdialenosť stredov, vypočítať plošný obsah rovnobeţníka, lichobeţníka, resp. rozkladom na trojuholníky aj obsah iných mnohouholníkov, vypočítať uhol medzi uhlopriečkami, resp. medzi uhlopriečkou a stranou, v pravidelnom mnohouholníku. Príklady: 1. Prútkari Dvaja prútkari hľadali na lúke pred chatou vodu. Prvý vyrazil od chaty smerom na východ a po 400 metroch zahol na sever. Po ďalších 500 metroch mu prútik ukázal, ţe sa nachádza nad bohatým zdrojom vodu. Druhý prútkar vyrazil z chaty na západ a po 100 metroch zahol na juh. Ktorá z uvedených hodnôt je najbliţšie ku vzdušnej vzdialenosti miest, na ktorých prútkari našli vodu? a) 150 b) 175 c) 1300 d) 135 e)1350. Súčiastka Z kusa plechu tvaru polkruhu sa vyrába súčiastka vyrezaním menšieho polkruhu s obsahom dm. Vyrezaný polkruh má dvakrát menšie rozmery ako pôvodný plechový polkruh. Koľko dm plechu tvorí finálnu súčiastku? (Súčiastka je na obrázku tmavá.) a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 1 3. Lichobežník Na obrázku je trojuholník ABC so strednou priečkou EF. Ak obsah lichobeţníka ABFE je 4 cm, potom obsah trojuholníka EFC je a) 5 cm b) 6 cm c) 7 cm d) 8 cm e) 1 cm 4. Stúpanie Cesta z údolného parkoviska ku chate v priesmyku je dlhá 10 km, je priama a rovnomerne stúpa pod uhlom 7. Výškový rozdiel v medzi chatou a parkoviskom moţno vypočítať zo vzťahu a) v = 10.sin 7 b) v = 10.cos 7 c) v = 10.tg7 d) v = 10 sin 7 e) v = 10 cos7 5. Maľovanie Miestnosť s rozmermi 5m x 4m, výškou,4 m, s jedným oknom s rozmermi 1m x 1, m a s jednými dverami s rozmermi 1m x m treba vymaľovať. Koľko by stálo vymaľovanie stien a stropu, ak jeden meter štvorcový maľovky stojí 0 korún? a)800 korún b)864 korún c)100 korún d)164 korún e)1600 korún 98

99 6. Opísaná kružnica Na obrázku je rovnostranný trojuholník ABC. Vrcholy A, B leţia na osi x a vrchol C má súradnice 0 ; 3. Akú rovnicu má kruţnica opísaná tomuto trojuholníku? a) x + (y 1) = 4 b) x + (y + 1) = 4 c) (x 1) + y = 4 d) (x + 1) + y = 4 e) x + (y + 1) = 7. Uhly Akú veľkosť má uhol φ ma obrázku? a) 30 b) 35 c) 40 d) 45 e) Trojuholník Trojuholník ABC má dĺţky strán AB = 6 cm, BC = 7 cm a CA = 8 cm. Potom kosínus najväčšieho uhla v tomto trojuholníku má hodnotu a) b) c) 3 17 d) e) Stúpanie schodištia Pod akým uhlom (zaokrúhlenom na desatiny stupňa) stúpa schodište, ktorého schody sú 8 cm široké a 15 cm vysoké? a) 61,8 b) 57,6 c) 43,5 d) 3,4 e) 8, 10. Polomer opísanej kružnice Trojuholník ABC má strany s dĺţkami AB = 11 cm, BC = 7 cm a AC = 8 cm, D je päta výšky na stranu AB. Aký polomer má kruţnica opísaná trojuholníku DBC? a) 8 cm b) 7 cm c) 5,5 cm d) 4 cm e) 3,5 cm 11. Desaťuholník Daný je pravidelný desaťuholník so stranou s = cm. Ktoré z uvedených čísel najpresnejšie udáva jeho obsah? a) 3,90 cm b) 31,84 cm c) 30,78 cm d) 0 cm e) 9,51 cm 99

100 1. Obsah medzikružia Rovnostrannému trojuholníku sme vpísali aj opísali kruţnicu. Ak r je polomer vpísanej kruţnice, potom pre obsah S medzikruţia platí a) S = 3πr. b) S = 5 r. c) S = πr. d) S = 3 r. e) S = πr. 13. Uhol dotyčníc Bod V je vzdialený 5 cm od stredy kruţnice k, ktorá má polomer 10 cm. Bodom V môţeme viesť dve dotyčnice ku kruţnici k. Akú veľkosť (s presnosťou na stotiny stupňa) má uhol α, ktorý zvierajú tieto dotyčnice? a) α = 13,84 b) α = 66,4 c) α = 47,16 d) α = 43,60 e) α = 3, Koryto rieky Na obrázku je prierez regulovaným korytom rieky. Na jednom brehu je ukazovateľ výšky hladiny rieky. Ako ďaleko od seba sú nakreslené rysky označujúce výšku hladiny m a 5 m? a) 6 m b) 3 3 m c) 3 3 m d) 3 m e) 3 m 15. Obvod pozemku Na obrázku je pozemok v tvare štvoruholníka s rozmermi AB = 40 m, BC = 30 m, CD = 10 m. Aký obvod má tento pozemok? a) 0 m b) 30 m c) 310 m d) 30 m e) 370 m 16. Reflektor V športovej hale tvaru polgule s priemerom 00 m bol na strope vo výške 60 m nad podlahou upevnený reflektor. Reflektor bol zle upevnený a spadol. Ako ďaleko od stredu haly dopadol? a) 40 m b) 60 m c) 65 m d) 80 m e) 85m 17. Let lietadla Lietadlo, ktoré malo pôvodne letieť priamočiaro z Bratislavy do Paríţa vzdialeného 800 km, sa pri štarte muselo kvôli zlému počasiu odchýliť od priameho kurzu o 60. Aţ po 300 km mohol pilot lietadlo nasmerovať priamo na Paríţ. O koľko kilometrov sa takto predĺţila dráha letu? a) O 61 km. b) O 173 km. c) O 00 km. d) O 4 km. e) O 570 km. 18. Najväčší uhol Označme γ veľkosť najväčšieho uhla trojuholníka ABC, ktorého strany majú dĺţky a = 4 cm, b = 5 cm a c = 7 cm. Potom platí a) 135 ; 180. b) 90 ; 135. c) 60 ; 90. d) 30 ; 60. e) 0 ;

101 19. Stred kružnice Do uhla veľkosti 60 chceme vpísať kruţnicu s polomerom 5 cm. Ako ďaleko od vrcholu uhla musí byť stred kruţnice? 10 a) 10 3 cm b) 10 cm c) cm d) 3 3 cm e) 5 cm 0. Uhly Na obrázku sú dve rovnobeţné priamky p, q a priamka r, ktorá je s nimi rôznobeţná, ale nie je na ne kolmá. Pre uhly α, β na obrázku platí a) sin α = sin β a súčasne cos α = - cos β. b) sin α = sin β a súčasne cos α = cos β. c) cos α = cos β a súčasne sin α = - sin β. d) tg α = tg β a súčasne sin α = - sin β. e) tg α = tg β a súčasne cos α = - cos β. 1. Všeobecný trojuholník Na obrázku je všeobecný trojuholník ABC. Body P, Q, R sú stredy jeho strán. Potom pre dĺţky úsečiek AS, ST a TR platí AS : ST : TR = a) 3 : 1 : b) 4 : 1 : c) 4 : 1 : 3 d) 5 : 1 : 3 e) 5 : : 3. Stredový uhol Do kruţnice k so stredom S sú vpísané dva trojuholníky (pozri obr.). Aká je veľkosť uhla α? a) 30 b) 40 c) 45 d) 50 e) Analytická geometria v rovine Obsah Pojmy: (karteziánska) súradnicová sústava na priamke (číselná os) a v rovine, súradnice bodu, všeobecná rovnica priamky, smernica priamky, smernicový tvar rovnice priamky, rovnica kruţnice; vektor, umiestenie vektora, súradnice vektora, vektor opačný k danému vektoru, nulový vektor, súčet a rozdiel dvoch vektorov, násobok vektora číslom, dĺžka vektora, skalárny súčin vektorov, parametrické rovnice priamky, smerový a normálový vektor priamky. Vlastnosti a vzťahy: vyjadrenie vzdialenosti dvoch bodov pomocou ich súradníc, vzťah medzi smernicami dvoch rovnobeţných, resp. kolmých priamok, 101

102 vzťah medzi koeficientmi všeobecných rovníc dvoch rovnobeţných, resp. kolmých priamok, aspoň jeden vzťah alebo postup pre výpočet - uhla dvoch priamok (napr. pomocou skalárneho súčinu, kosínusovej vety alebo smerníc), - vzdialenosti bodu od priamky, geometrická interpretácia súčtu dvoch vektorov a násobku vektora reálnym číslom a ich vyjadrenie pomocou súradníc daných vektorov, body A, B a C ležia na jednej priamke, ak jeden z vektorov B A a C A je násobkom druhého vzťah medzi smerovými vektormi dvoch rovnobežných priamok, vzdialenosť dvoch bodov ako dĺžka vektora, kolmosť dvoch priamok a jej vzťah so skalárnym súčinom ich smerových vektorov, vyjadrenie skalárneho súčinu vektorov pomocou dĺžok vektorov a kosínusu ich uhla (resp. vyjadrenie kosínusu uhla dvoch vektorov pomocou ich skalárneho súčinu a ich dĺžok), vyjadrenie skalárneho súčinu vektorov pomocou ich súradníc, vzťah medzi koeficientmi všeobecnej rovnice priamky a normálovým vektorom priamky. Požiadavky na vedomosti a zručnosti Ţiak vie zostrojiť (v danej súradnicovej sústave) obrazy bodov, ak pozná ich súradnice, a určiť súra d- nice daných bodov, vypočítať súradnice stredu úsečky, resp. bodu, ktorý úsečku rozdeľuje v danom pomere, napísať analytické vyjadrenie priamky (pozri tieţ 3.3 Množiny bodov daných vlastností a ich analytické vyjadrenie a 3.4 Zhodné a podobné zobrazenia) - prechádzajúcej dvoma danými bodmi, - daným bodom rovnobeţne s danou priamkou, - prechádzajúcej daným bodom kolmo na danú priamku, určiť vzájomnú polohu dvoch priamok (ak sú dané ich rovnice) a nájsť súradnice ich prípadného priesečníka, vypočítať - vzdialenosť bodov, - vzdialenosť bodu od priamky, - vzdialenosť dvoch rovnobeţných priamok, - obsah trojuholníka určeného jeho vrcholmi, - uhol dvoch priamok, napísať rovnicu kruţnice (pozri tiež 3.3 Množiny bodov daných vlastností a ich analytické vyjadrenie a 3.4 Zhodné a podobné zobrazenia) - ak pozná jej stred a polomer, - v tvare x ax y by c 0, ak pozná tri body, ktorými kruţnica prechádza, určiť z rovnice kruţnice jej stred a polomer, opísať v súradnicovej sústave pomocou rovníc a nerovníc úsečku, kružnicu a jej časti, polrovinu a kruh, rozhodnúť o vzájomnej polohe - priamky a kruţnice, - dvoch kruţníc, ak pozná ich rovnice, napísať rovnicu dotyčníc kružnice z daného bodu, resp. rovnobežných s daným smerom, pri riešení planimetrických úloh používať analytickú metódu, t.j. vie - vhodne si zvoliť súradnicovú sústavu a algebraicky spracovať zadanie, - pomocou vedomostí z algebry a poznatkoch o vektoroch algebraicky vyriešiť úlohu, 10

103 - algebraický výsledok preložiť do geometrického kontextu úlohy Príklady: 1. Spoločné body Označme A, B spoločné body grafu funkcie y = (x ) so súradnicovými osami. Rovnica priamky p, ktorá prechádza bodmi A, B je a)y = -x + b)y = x + 4 c)y = -x + 4 d)y = x 4 e)y = -x - 4. Uhol V rovine s pravouhlou súradnicovou sústavou, je daná priamka p, ktorej všeobecná rovnica je 4x + 3y + 11 = 0. Ak α je ostrý uhol, ktorý táto priamka zviera s osou x, potom tg α = 11 a) - 3 b) c) d) 4 3 e) Mimobežky? Priamka p má parametrické vyjadrenie x = 1 + t, y = t, z = -t, t R, priamka q má parametrické vyjadrenie x = r, y = 3 4r, z = 1 + r, r R. Priamky p, q sú a) mimobeţné, ale nie kolmé. b) mimobeţné kolmé. c) rôznobeţné, ale nie kolmé. d) rôznobeţné kolmé. e) rovnobeţné. 4. Číslo p Ako treba zvoliť číslo p R, aby body A 4 ; p, B 3 ;, C 1 ; 14 leţali na jednej priamke? a) p = 10 b) p = 1 c) p = d) p = e) p = Kružnica Na ktorom z obrázkov je znázornená kruţnica daná rovnicou x + y + x = 0? 103

104 4. Priamka p Na obrázku sú dve rovnobeţné priamky p, q. Ktorou z uvedených rovníc je daná priamka p? 3 a) y = x 10 b) y = x 15 c) y = x d) y = x 15 e) y = x Rovnica kružnice Rovnicou kruţnice, ktorá prechádza stredom súradnicovej sústavy a spoločnými bodmi grafu funkcie f: y = (x - 5)³ - 5 so súradnicovými osami je: a) (x -,5)² + (x -,5)² = 50 b) (x -,5)² - (x -,5)² = 50 c) (x -,5)² + (x +,5)² = 50 d) (x +,5)² + (x -,5)² = 50 e) (x -,5)² + (x -,5)² = Kružnica Rovnicou kruţnice, ktorá prechádza stredom súradnicovej sústavy a spoločnými bodmi grafu funkcie f: y = (x - 4)³ - 4 so súradnicovými osami je: a) (x - )² + (x - )² = 3 b) (x - )² + (x + )² = 3 c) (x + )² + (x - )² = 3 d) (x - )² - (x - )² = 3 e) (x - )² + (x - )² = Rovnica Rovnicou kruţnice, ktorá prechádza stredom súradnicovej sústavy a spoločnými bodmi grafu funkcie f: y = (x - 3)³ - 3 so súradnicovými osami je: a) (x -1,5)² + (x - 1,5)² = 18 b) (x - 1,5)² + (x - 1,5)² = 5 c) (x - 1,5)² - (x - 1,5)² = 18 d) (x - 1,5)² + (x -,5)² = 18 e) (x + 1,5)² + (x - 1,5)² = Kružnica? Rovnicou kruţnice, ktorá prechádza stredom súradnicovej sústavy a spoločnými bodmi grafu funkcie f: y = (x + 3)³ + 3 so súradnicovými osami je: a) (x - 1,5)² + (x - 1,5)² = 18 b) (x - 1,5)² + (x + 1,5)² = 18 c) (x + 1,5)² + (x - 1,5)² = 18 d) (x - 1,5)² + (x -,5)² = 18 e) (x + 1,5)² - (x - 1,5)² = Kružnicová rovnica Rovnicou kruţnice, ktorá prechádza stredom súradnicovej sústavy a spoločnými bodmi grafu funkcie f: y = (x + 4)³ + 4 so súradnicovými osami je: a) (x - )² + (x - )² = 3 b) (x - 1,5)² + (x + 1,5)² = 18 c) (x - )² + (x - 3)² = 3 d) (x + )² + (x - )² = 3 e) (x - )² - (x - )² =

105 10. Rovnica kružnice Rovnicou kruţnice, ktorá prechádza stredom súradnicovej sústavy a spoločnými bodmi grafu funkcie f: y = (x + 5)³ + 5 so súradnicovými osami je: a) (x -,5)² + (x -,5)² = 50 b) (x - 1,5)² + (x + 1,5)² = 18 c) (x - )² + (x - 3)² = 3 d) (x -,5)² - (x -,5)² = 50 e) (x - )² - (x - )² = Kružnica Rovnicou kruţnice, ktorá prechádza stredom súradnicovej sústavy a spoločnými bodmi grafu funkcie f: y = (x + )³ + ) so súradnicovými osami je: a) (x - 1)² + (x - 1)² = 8 b) (x - 1,5)² + (x + 1,5)² = 18 c) (x - )² + (x - 3)² = 3 d) (x - 1)² - (x - 1)² = 8 e) (x - )² - (x - )² = Rovnica Rovnicou kruţnice, ktorá prechádza stredom súradnicovej sústavy a spoločnými bodmi grafu funkcie f: y = (x - )³ - so súradnicovými osami je: a) (x - 1)² + (x - 1)² = 8 b) (x - 1,5)² + (x + 1,5)² = 18 c) (x - )² + (x - 3)² = 3 d) (x - 1)² - (x - 1)² = 8 e) (x - )² - (x - )² = Kružnica? Rovnicou kruţnice, ktorá prechádza stredom súradnicovej sústavy a spoločnými bodmi grafu funkcie f: y = (x - 1)³ - 1 so súradnicovými osami je: a) (x - 0,5)² + (x - 0,5)² = b) (x - 1,5)² + (x + 1,5)² = 18 c) (x - )² + (x - 3)² = 3 d) (x - 1)² - (x - 1)² = 8 e) (x - )² - (x - )² = Rovnica kružnice Rovnica kruţnice, ktorá prechádza stredom súradnicovej sústavy a priesečníkmi grafu funkcie f so súradnicovými osami f: y = (x +5)³ + 5 je: a) (x +,5)² + (x +,5))² = 50 b) (x -,5)² + (x +,5)² = 50 c) (x +,5)² - (x -,5)² = 50 d) (x +,5)² + (x +,5)² = 50 e) (x +,5)² - (x +,5)² = Rovnica Rovnica kruţnice, ktorá prechádza stredom súradnicovej sústavy a priesečníkmi grafu funkcie f so súradnicovými osami f: y = (x + 4)³ + 4 je: a) (x + )² + (x + )² = 3 b) (x - )² + (x + )² = 3 c) (x + )² + (x - )² = 3 d) (x + )² - (x + )² = 3 e) (x + )² + (x + )² = Kružnica Rovnica kruţnice, ktorá prechádza stredom súradnicovej sústavy a priesečníkmi grafu funkcie f so súradnicovými osami f: y = (x + 3)³ + 3 je: a) (x + 1,5)² + (x + 1,5)² = 18 b) (x - 1,5)² + (x + 1,5)² = 18 c) (x + 1,5)² + (x - 1,5)² = 18 d) (x + 1,5)² - (x + 1,5)² = 18 e) (x + 1,5)² + (x + 1,5)² = 9 105

106 17. Kružnicová rovnica Rovnica kruţnice, ktorá prechádza stredom súradnicovej sústavy a priesečníkmi grafu funkcie f so súradnicovými osami f: y = (x + )³ + je: a) (x + 1)² + (x + 1)² = 8 b) (x - 1)² + (x + 1)² = 8 c) (x + 1)² + (x - 1)² = 8 d) (x + 1)² - (x + 1)² = 8 e) (x + 1)² + (x + 1)² = Rovnica kružnice Rovnica kruţnice, ktorá prechádza stredom súradnicovej sústavy a priesečníkmi grafu funkcie f so súradnicovými osami f: y = (x + 1)³ + 1 je: a) (x + 0,5)² + (x + 0,5)² = b) (x - 0,5)² + (x + 0,5)² = c) (x + 0,5)² + (x - 0,5)² = d) (x + 0,5)² - (x + 0,5)² = e) (x + 0,5)² + (x + 0,5)² = Kružnica Rovnica kruţnice, ktorá prechádza stredom súradnicovej sústavy a priesečníkmi grafu funkcie f so súradnicovými osami f: y = (x - 5,00)³ - 5,00 je: A: (x-,50)² + (x -,50)² = 50 B: (x +,50)² + (x -,50)² = 50 C: (x-,50)² + (x +,50)² = 50 D: (x-,50)² - (x -,50)² = 50 E: (x-,50)² + (x -,50)² = Rovnicou kruţnice, ktorá prechádza stredom súradnicovej sústavy a spoločnými bodmi grafu funkcie f: y = (x - (4,00))³ - (4,00) so súradnicovými osami je: A: (x-,00)² + (x -,00)² = 3 B: (x-,00)² + (x +,00)² = 3 C: (x +,00)² + (x -,00)² = 3 D: (x-,00)² - (x -,00)² = 3 106

107 E: (x-,00)² + (x -,00)² = Rovnicou kruţnice, ktorá prechádza stredom súradnicovej sústavy a spoločnými bodmi grafu funkcie f: y = (x - (3,00))³ - (3,00) so súradnicovými osami je: A: (x-1,50)² + (x - 1,50)² = 18 B: (x-1,50)² + (x - 1,50)² = 5 C: (x-1,50)² - (x - 1,50)² = 18 D: (x-1,50)² + (x -,50)² = 18 E: (x+1,50)² + (x - 1,50)² = 18. Rovnicou kruţnice, ktorá prechádza stredom súradnicovej sústavy a spoločnými bodmi grafu funkcie f: y = (x - (-3,00))³ - (-3,00) so súradnicovými osami je: A: (x-1,50)² + (x - 1,50)² = 18 B: (x-1,50)² + (x + 1,50)² = 18 C: (x+1,50)² + (x - 1,50)² = 18 D: (x-1,50)² + (x -,50)² = 18 E: (x+1,50)² - (x - 1,50)² = Rovnicou kruţnice, ktorá prechádza stredom súradnicovej sústavy a spoločnými bodmi grafu funkcie f: y = (x - (-4,00))³ - (-4,00) 107

108 so súradnicovými osami je: A: (x-,00)² + (x -,00)² = 3 B: (x-1,50)² + (x + 1,50)² = 18 C: (x-,00)² + (x - 3,00)² = 3 D: (x+,00)² + (x -,00)² = 3 E: (x-,00)² - (x -,00)² = Rovnicou kruţnice, ktorá prechádza stredom súradnicovej sústavy a spoločnými bodmi grafu funkcie f: y = (x - (-5,00))³ - (-5,00) so súradnicovými osami je: A: (x-,50)² + (x -,50)² = 50 B: (x-1,50)² + (x + 1,50)² = 18 C: (x-,00)² + (x - 3,00)² = 3 D: (x-,50)² - (x -,50)² = 50 E: (x-,00)² - (x -,00)² = Rovnicou kruţnice, ktorá prechádza stredom súradnicovej sústavy a spoločnými bodmi grafu funkcie f: y = (x - (-,00))³ - (-,00) so súradnicovými osami je: A: (x-1,00)² + (x - 1,00)² = 8 B: (x-1,50)² + (x + 1,50)² = 18 C: (x-,00)² + (x - 3,00)² = 3 D: (x-1,00)² - (x - 1,00)² = 8 108

109 E: (x-,00)² - (x -,00)² = Rovnicou kruţnice, ktorá prechádza stredom súradnicovej sústavy a spoločnými bodmi grafu funkcie f: y = (x -,00)³ -,00 so súradnicovými osami je: A: (x-1,00)² + (x - 1,00)² = 8 B: (x-1,50)² + (x + 1,50)² = 18 C: (x-,00)² + (x - 3,00)² = 3 D: (x-1,00)² - (x - 1,00)² = 8 E: (x-,00)² - (x -,00)² = Rovnicou kruţnice, ktorá prechádza stredom súradnicovej sústavy a spoločnými bodmi grafu funkcie f: y = (x - 1,00)³ - 1,00 so súradnicovými osami je: A: (x-0,50)² + (x - 0,50)² = B: (x-1,50)² + (x + 1,50)² = 18 C: (x-,00)² + (x - 3,00)² = 3 D: (x-1,00)² - (x - 1,00)² = 8 E: (x-,00)² - (x -,00)² = Dané sú body v trojrozmernom priestore A[1;;3] B[4;8;5] 109

110 Parametrická rovnica priamky AB je : a): b) p: x = 1 +4t y = + 6t z = 3 + t,tεr p: x = 1 + 3t y = + 7t z = 3 + t,tεr c) p: x = 1 + 3t y = + 6t z = 3 + 3t,tεR d) p: x = 1-3t y = + 6t z = 3 + t,tεr e) p: x = 1 + 3t y = + 6t z = 3 - t,tεr 9. Dané sú dva body v dvojrozmernom priestore A[;1] B[3;4] Parametrická rovnica priamky AB je : p: x = + 1t a) b) y = 1 + 3t,tεR p: x = + 1t y = 1 + 3t,tεR c) p: x = + 1t y = 1 + 3t,tεR d) p: x = + 1t y = 1 + 3t,tεR e) p: x = + 1t y = 1 + 3t,tεR 110

111 30. Dané sú dva body v dvojrozmernom priestore A[;5] B[3;4] Všeobecná rovnica priamky AB je: a) x + y - 7 = 0 b) x - y - 7 = 0 c) x + y + 7 = 0 d) x - y - 7 = 0 e) x + y - 8 = Dané sú tri body v dvojrozmernom priestore A[1;4] B[4;8] C[8;4] Obvod trojuholníka ABC má veľkosť: a) 17,65685 (1+4* () ) b) 15,3 c) 18,5 d) e) taký trojuholník neexistuje 3. Dané sú tri body v dvojrozmernom priestore A[;4] B[5;8] C[9;4] Obsah trojuholníka ABC má veľkosť: 111

112 a) 14 b) 15 c) 17 d) 13 e) to nie je trojuholník 33. Dané sú tri body v dvojrozmernom priestore A[3;5] B[6;9] C[10;5] Veľkosť uhla ACB v stupňoch je : a) 45 b) 38 c) 90 d),5 e) Dané sú dva body v dvojrozmernom priestore A[-;5] B[3;-3] Parametrická rovnica priamky AB je : a) p: x = - + 5t y = t,tεR b) p: x = - + 5t y = t,tεR c) p: x = - + 5t y = t,tεR d) p: x = - + 5t y = t,tεR e) p: x = - + 5t y = t,tεR

113 Dané sú dva body v dvojrozmernom priestore A[-;5] B[3;-3] Všeobecná rovnica priamky AB je: a) p: 8x + 5y + -9 = 0 b) p: 8x + 5y + -9 = 0 c) p: 8x + 5y + -9 = 0 d) p: 8x + 5y + -9 = 0 e) p: 8x + 5y + -9 = Dané sú tri body v dvojrozmernom priestore A[-;7] B[1;11] C[5;7] Výška na stranu b trojuholníka ABC má dĺţku: 37. a) 4 b) 5 c) 6 d) 3 e) 7 Dané sú tri body v dvojrozmernom priestore A[1;4] B[4;8] C[8;4] Obvod trojuholníka ABC má veľkosť: a) 17,65685 (1+4* () ) b) 15,3 c) 14,38 d) 17 e),

114 38. Dané sú tri body v dvojrozmernom priestore A[-1;-3] B[1;11] C[5;-7] Obsah trojuholníka ABC má veľkosť: a) 14 b) 15 c) 16 d) 13 e) Dané sú tri body v dvojrozmernom priestore A[-1;7] B[1;11] C[5;7] Veľkosť uhla ACB v stupňoch je a) 45 b),5 c) 8 d) 90 e) Označme A, B spoločné body grafu funkcie y = (x ) so súradnicovými osami. Rovnica priamky p, ktorá prechádza bodmi A, B je A: y = -x + B: y = x + 4 C: y = -x + 4 D: y = x 4 E: y = -x V rovine s pravouhlou súradnicovou sústavou, je daná priamka p, ktorej všeobecná rovnica je 4x + 3y + 11 = 0. Ak α je ostrý uhol, ktorý táto priamka zviera s osou x, potom tg α = 114

115 11 A: B: - 3 C: D: E: Priamka p má parametrické vyjadrenie x = 1 + t, y = t, z = -t, t R, priamka q má parametrické vyjadrenie x = r, y = 3 4r, z = 1 + r, r R. Priamky p, q sú A: mimobeţné, ale nie kolmé. B: mimobeţné kolmé. C: rôznobeţné, ale nie kolmé. D: rôznobeţné kolmé. E: rovnobeţné. 43. Dané sú body A[1;7;3], C[6;;3], F[6;7;8], H[1;;8]. Pre vektory H-A, F-C platí, ţe ich skalárny súčin je rovný: A: 7 B: 0 C: 1 D: -4 F: Ţiadna z predchádzajúcich odpovedí nie je správna 44. Dané sú body A[1;7;3],E[1;7;8],G[6;;8],H[1;;8]. Pre vektory E-A, H-G platí, ţe: A: sú lineárne závislé B: sú na seba kolmé C: sú rovnobeţné D: majú uhol π/4 E: Ţiadna z predchádzajúcich odpovedí nie je správna 45. Dané sú body B[6;7;3],C[6;;3],D[1;;3],E[1;7;8]. Vektory B-C, D-E majú uhol: A: 0 rad B: Π rad C: π/4 rad D: π/3 rad E: Ţiadna z predchádzajúcich odpovedí nie je správna 46. Dané sú body A[1;7;3],B[6;7;3],C[6;;3],H[1;;8]. Priamky AB, HC sú navzájom A: rovnobeţné B: totoţné C: rôznobeţné 115

116 D: mimobeţné E: Ţiadna z predchádzajúcich odpovedí nie je správna 47. Dané sú body A[1;7;3],B[6;7;3],G[6;;8],H[;;8]. Priamky AB, GH sú navzájom A: rovnobeţné B: totoţné C: rôznobeţné D: mimobeţné E: Ţiadna z predchádzajúcich odpovedí nie je správna 48. Rovnica roviny, ktorá je rovnobeţná s rovinou x + y + z - 6 = 0 a má od začiatku súradnicpvej sústavy vzdialenosť 3, je: A: x + y + y + 3 = 0 B: x + y + y - 3 = 0 C: x + y + y - 3 = 0 D: x + y + y + 5 = 0 E: Ţiadna z predchádzajúcich odpovedí nie je správna 49. Pre odchýlku rovín 3x - y + z - 1 = 0, x + y - 3z + 13 = 0 platí, cos α =: A: B: /7 C: -/7 D: -1/ E: Ţiadna z predchádzajúcich odpovedí nie je správna 50. Rovnica roviny, ktorá prechádza priesečnicou rovín x - y + 1 = 0, x + y + z = 0 a je kolmá na rovinu x + y + z + 3 = 0, je A: 4x - 7y - z + 6 = 0 B: 4x - y - 7z + 6 = 0 C: 4x - 7y + z + 6 = 0 D: 4x - y - 7z + 6 = 0 E: Ţiadna z predchádzajúcich odpovedí nie je správna 51. Vzájomná poloha priamky AB, A[3;0;-1],B[0;;1] a priamky p: x = t, y = 1 - t, z = 3, tεr je: A: mimobeţné B: totoţné C: rôznobeţné a kolmé D: rôznobeţné, ale nie kolmé E: rovnobeţné, rôzne 5. Rovina α: x - y - z + 4 = 0 a priamka p: x =3 + t, y = - t, z = + t, tεr majú uhol: A: 30 B: 60 C: 45 D: 0 E:

117 3.3 Množiny bodov daných vlastností a ich analytické vyjadrenie Požiadavky na vedomosti a zručnosti Ţiak vie geometricky opísať, načrtnúť a nájsť (v danej alebo vhodne zvolenej súradnicovej sústave) analytické vyjadrenie mnoţiny bodov s konštantnou vzdialenosťou od - bodu, - priamky, - kruţnice, geometricky opísať a načrtnúť mnoţiny bodov - z ktorých vidieť danú úsečku pod daným uhlom, - ktoré majú rovnakú vzdialenosť od - dvoch bodov, - dvoch rovnobeţných priamok, - dvoch rôznobeţných priamok, geometricky opísať a načrtnúť mnoţiny bodov, ktoré majú - od daného bodu vzdialenosť menšiu (väčšiu) ako dané kladné číslo, - od danej priamky vzdialenosť menšiu (väčšiu) ako dané kladné číslo, - od jedného bodu väčšiu vzdialenosť ako od druhého bodu, - od jednej danej priamky väčšiu vzdialenosť ako od druhej danej priamky, opísať v jednoduchých prípadoch mnoţinu bodov daných vlastností - pomocou uhlov, častí priamky, kruţnice a kruhu, - pomocou zhodných a podobných zobrazení, - vo vhodne zvolenej súradnicovej sústave analyticky pomocou jednoduchých rovníc a nerovníc, znázorniť mnoţinu bodov x, y, pre ktoré platí - y* f(x), kde * je jeden zo znakov,,, a f je predpis funkcie, ktorej graf vie ţiak znázorniť (pozri.1 Funkcia a jej vlastnosti), - ax + by + c * 0, - ax bx ay dy m 0, - f ( x, y ) 0, ak vie načrtnúť krivku f ( x, y ) 0 a v jednoduchých prípadoch aj mnoţinu bodov x, y, ktorá je opísaná sústavou dvoch z predchádzajúcich nerovníc (pozri tieţ 1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy), tieto mnoţiny bodov pouţiť pri riešení jednoduchých konštrukčných úloh (pozri 3.5 Konštrukčné úlohy). 117

118 Príklady: 1. Napíšte rovnicu paraboly, ktorá má vrchol v začiatku súradnicovej sústavy a ohnisko v bode F= [0;-1]. a) y = 4x b) y = - 4x c) x = - 4y d) x = 4y. Kaţdá parabola, ktorá má vrchol v bode V = [m,n] a os rovnobeţnú s osou x, má rovnicu: a) (x - m) = p(y -n) b) (y -n) = p(x - m) c) (x - m) = p(y - n) alebo (x - m) = - p(y - n) d) (y - n) = p(x - m) alebo (y - n) = - p(x - m) 3. Určte polohu priamky x + y + 5 = 0 vzhľadom na parabolu y = 10x. Daná priamka je a) dotyčnica b) sečnica c) nesečnica d) rovnobeţná s osou paraboly 4. Napíšte rovnicu elipsy so stredom v počiatku súradnicovej sústavy a hlavnou osou leţiacou na osi y, keď a = 5, b = 3. c) 5 x + 9y = 5 d) 5 x + 9y + 5 = 0 5. Napíšte rovnicu kruţnice, ktorá má stred v začiatku súradnicovej sústavy a prechádza bodom A = [ -3; 4 ]. a) x + y = 5 b) x + y = 16 c) x + y = 9 d) x + y = 5 6. Zistite, či rovnica 9x + 5y - 54x - 100y - 44 = 0 je rovnicou elipsy.ak áno, nájdite jej stred, určte polohu osí a veľkosť polosí: a)rovnica nie je rovnicou elipsy b)s = [3;], a = 5, b = 3, a x c)s = [;3], a = 5, b = 3, a x d)s = [-3;-], a = 5, b = 3, a x 7. Ktoré z bodov K = [1;3],L = [3;0],M = [-1;0], N = [1;-3] leţia na elipse 9x - 18x + 4y - 7 = 0? Sú to body: a) K, L, M b) L, M, N c) K, L, M, N d) ani jeden z bodov K, L, M, N 8. Určte a R také, aby priamka 3x + 4y + a = 0 bola dotyčnicou kruţnice x + y = 5. a) a = 5 b) a = -5 c) a = 5 d) a = ± 5 118

119 9. Kruţnica x + y = 9 a elipsa majú práve a) dva spoločné body b) tri spoločné body c) štyri spoločné body d) nula spoločných bodov 10. Priamka y - x = 0 je voči hyperbole 9x - 16y = 144 a)sečnicou, ktorá má s hyperbolou spoločné body b)dotyčnicou c)sečnicou, ktorá má s hyperbolou 1 spoločný bod d)nesečnicou. 11. Rovnicou kruţnice, ktorá prechádza stredom súradnicovej sústavy a spoločnými bodmi grafu funkcie f: y = (x - 5)³ - 5 so súradnicovými osami je: a. (x -,5)² + (x -,5)² = 50 b. (x -,5)² - (x -,5)² = 50 c. (x -,5)² + (x +,5)² = 50 d. (x +,5)² + (x -,5)² = 50 e. (x -,5)² + (x -,5)² = Daná je všeobecná rovnica elipsy E: x² + 9 y² - 6x - 18y + 9 = 0. Napíš kanonickú rovnicu hyperboly H, ktorá má hlavné vrcholy v ohniskách elipsy E a ohniská v hlavných vrcholoch elipsy E. a. (x -1)²/8 - (y - 6)²/9 = 1 b. (x -1)²/8 + (y - 6)²/9 = 1 c. (x -1)²/8 - (y + 6)²/9 = 1 d. (x -1)²/8 - (y - 6)²/9 = 0 e. Ţiadna z predchádzajúcich odpovedí nie je správna 13. Daná je všeobecná rovnica hyperboly H. Napíš kanonickú rovnicu kruţnice K, ktorá má stred v strede hyperboly a prechádza hlavnými vrcholmi hyperboly. H: x² - 9 y² - 6x + 18y + 9 = 0 a. (x - 3)² + (y - 1)² = 9 b. (x - 3)² - (y - 1)² = 9 119

120 c. (x - 3)² + (y - 1)² = 81 d. (x - 3)² + (y + 1)² = 9 e. Ţiadna z ostatných odpovedí nie je správna 14. Daná je všeobecná rovnica hyperboly H. Napíš kanonickú rovnicu kruţnice K, ktorá má stred v strede hyperboly a prechádza ohniskami hyperboly. H: x² - 9 y² - 6x + 18y + 9 = 0 a. (x - 3)² + (y - 1)² = 10 b. (x - 3)² - (y - 1)² = 10 c. (x - 3)² + (y - 1)² = 100 d. (x - 3)² + (y + 1)² = 10 e. Ţiadna z ostatných odpovedí nie je správna 15. Rovnica elipsy, so stredom v začiatku súradnicovej sústavy a osami rovnobeţnými so súradnicovými osami, ktorá prechádza priesečníkmi grafu funkcie so súradnicovými osami je: A: 5x² + 1y² = 5 B: 5x² - 1y² = 5 C: 5x² + 1y² = 5 D: 5x² - 1y² = 5 E: 5x² + 1y² = 5 f: y = (x - 5)³ Rovnica elipsy, so stredom v začiatku súradnicovej sústavy a osami rovnobeţnými so súradnicovými osami, ktorá má ohniská v priesečníkoch grafu funkcie f: y = (x - 5)²

121 so súradnicovou osou x a prechádza priesečníkom tejto funkcie s osou y je: A: 16x² + 41y² = 656 B: 16x² - 41y² = 656 C: 16x² + 41y = 656 D: 16x + 41y² = 656 E: 5x² + 4y² = Rovnicou kruţnice, ktorá prechádza stredom súradnicovej sústavy a spoločnými bodmi grafu funkcie f: y = (x -,00)³ -,00 so súradnicovými osami je: A: (x-1)² + (x - 1)² = 8 B: (x-1,5)² + (x + 1,5)² = 18 C: (x-)² + (x - 3)² = 3 D: (x-1)² - (x - 1)² = 8 E: (x-)² - (x - )² = Kanonická rovnica paraboly P: y² + 10y - 0x + 50 = 0 je: A: (y + 4) = 16(x - ) B: (y + 4) = 16(x + ) C: (y - 4) = 16(x - ) D: (y - 4) = 16(x + ) E: Ţiadna z predchádzajúcich odpovedí nie je správna 19. Napíš stredovú rovnicu kruţnice, ktorá má stred vo vrchole danej paraboly a dotýka sa jej riadiacej priamky P: y² - 4y - 8x + 0 = 0 11

122 A: (x - )² + (y - )² = 4 B: (x + )² + (y - )² = 8 C: (x - )² + (y + )² = 4 D: (x + )² + (y + )² = 8 F: Ţiadna z predchádzajúcich odpovedí nie je správna 0. Napíš stredovú rovnicu kruţnice, ktorá má stred v ohnisku danej paraboly a dotýka sa jej riadiacej priamky P: y² - 4y - 1x + 40 = 0 A: (x - 6)² + (y - )² = 36 B: (x - 6)² + (y + )² = 6 C: (x + 6)² + (y - )² = 36 D: (x + 6)² + (y + )² = 6 Žiadna z predchádzajúcich odpovedí nie je správna 3.4 Zhodné a podobné zobrazenia Obsah Pojmy: zhodné zobrazenie, osová súmernosť, os súmernosti, posunutie, stredová súmernosť, stred súmernosti, otočenie, stred otočenia, orientovaný uhol a jeho veľkosti, uhol otočenia, osovo a stredovo súmerný útvar; rovnoľahlosť, stred a koeficient rovnoľahlosti, samodružný bod, skladanie zobrazení, inverzné zobrazenie. Vlastnosti a vzťahy: stredová súmernosť je jednoznačne určená stredom súmernosti, resp. dvoma odpovedajúcimi si bodmi, osová súmernosť je jednoznačne určená osou súmernosti, resp. dvoma odpovedajúcimi si bodmi, otočenie je jednoznačne určené stredom a uhlom otáčania, posunutie je jednoznačne určené vektorom posunutia, resp. dvoma odpovedajúcimi si bodmi, vzťah medzi orientovaným uhlom a jeho veľkosťami, rovnobeţník je stredovo súmerný, obdĺţnik a štvorec sú súmerné podľa osí strán, kosoštvorec je súmerný podľa uhlopriečok, rovnoramenný lichobeţník je súmerný podľa osi základní, nech A,B sú dva osovo súmerné body podľa priamky p, potom AB je kolmá na p a stred AB leţí na p, priamka a jej obraz v posunutí sú rovnobeţné, rovnoľahlosť je jednoznačne určená stredom a koeficientom rovnoľahlosti, dvoma vhodne zvolenými dvojicami odpovedajúcich bodov 1

123 dve rovnoľahlé priamky sú rovnobežné, každé dve nerovnaké rovnobežné úsečky sú rovnoľahlé (dvoma spôsobmi), každé dve kružnice s rôznym polomerom sú si podobné (sú rovnoľahlé), vonkajšie (vnútorné) spoločné dotyčnice dvoch kružníc sa pretínajú v strede rovnoľahlosti, vzťah medzi pomerom podobnosti dvoch útvarov a - dĺţkami zodpovedajúcich si úsečiek, - veľkosťami zodpovedajúcich si uhlov, - ich plošnými obsahmi. Požiadavky na vedomosti a zručnosti Ţiak vie zobraziť daný útvar v danom zhodnom alebo podobnom zobrazení, rozhodnúť, či je daný útvar osovo (stredovo) súmerný, napísať súradnice bodu (rovnicu priamky, úsečky, kružnice alebo jej časti), ktorý je obrazom daného bodu (danej priamky, úsečky, kružnice alebo jej časti), - v súmernosti podľa začiatku súradnej sústavy, resp. podľa daného stredu, - v súmernosti podľa niektorej súradnej osi, alebo podľa priamky rovnobežnej so súradnou osou, alebo podľa priamky y = x (pozri tieţ inverznú funkciu v.1 Funkcia a jej vlastnosti, postupnosti), - v posunutí, opísať zobrazenie, ktoré vznikne zložením dvoch osových súmerností, určiť inverzné zobrazenie k danému zhodnému alebo podobnému zobrazeniu, zostrojiť - stredy rovnoľahlosti dvoch daných kružníc, - obraz daného útvaru v danom zhodnom zobrazení alebo v rovnoľahlosti, resp. útvar podobný s daným útvarom, pri danom pomere podobnosti, zhodné zobrazenia a rovnoľahlosť (resp. podobnosť) použiť - v konštrukčných úlohách (pozri 3.5 Konštrukčné úlohy), - pri zisťovaní množiny bodov daných vlastností (pozri 3.3 Mnoţiny bodov daných vlastností a ich analytické vyjadrenie). Príklady: 1. Podobný trojuholník Na obrázku je rovnoramenný trojuholník ABC so základňou AB = 8 cm a ramenom BC = 10 cm. Na ramene AC leţí bod D. Trojuholník ABC je podobný s trojuholníkom DAB. Potom AD = a) 6,4 cm. b) 6 cm. c) 5 cm. d) 3,6 cm. e) cm.. Osová súmernosť Ak zostrojíme obraz grafu funkcie y = x+3 v osovej súmernosti podľa osi o: x = 0, dostaneme graf funkcie a) y = x-3. b) y = -x+3. c) y = -x-3. d) y = log (x + 3). e) y = log x Rotácia trojuholníka 13

124 V ktorom z nasledujúcich prípadov vznikne rotáciou trojuholníka okolo osi o rotačný kuţeľ? 4. Osemuholník Nech o je počet osí súmernosti osemuholníka a nech s je počet stredov súmernosti zoho istého osemuholníka. Akú najväčšiu hodnotu môţe nadobudnúť súčet o + s? a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) Konštrukčné úlohy Obsah Pojmy: rozbor, náčrt, konštrukcia, postup konštrukcie. Požiadavky na vedomosti a zručnosti Ţiak vie zdôvodniť postup konštrukcie, t. j. urobiť rozbor jednoduchých konštrukčných úloh, pričom vie pouţiť - nasledujúce základné konštrukcie (na ktoré sa môţe pri opise postupu zloţitejších konštrukčných úloh odvolávať bez toho, aby ich podrobne rozpisoval): - rovnobeţku s danou priamkou daným bodom, - rovnobeţku s danou priamkou v predpísanej vzdialenosti, - os úsečky, os uhla, - priamku, ktorá prechádza daným bodom a zviera s danou priamkou daný uhol, - ab úsečku dĺţky (pomocou podobnosti), c ab (pomocou Euklidových viet), kde a, b, c sú dĺţky narysovaných úsečiek, - rozdeliť úsečku v danom pomere, - trojuholník určený: - tromi stranami, - dvoma stranami a uhlom, - dvoma uhlami a stranou, - kruţnicu - trojuholníku opísanú, - do trojuholníka vpísanú, - dotyčnicu kruţnice 14

125 - v danom bode kruţnice, - z daného bodu leţiaceho mimo kruţnice, - rovnobeţnú s danou priamkou, - stredy rovnoľahlosti dvoch kružníc a spoločné dotyčnice dvoch kružníc, - obraz daného bodu, úsečky, priamky, kruţnice a jej častí v danom zhodnom zobrazení, resp. v rovnoľahlosti (pozri 3. 4 Zhodné a podobné zobrazenia), - mnoţiny bodov daných vlastností, - vhodné zhodné zobrazenie alebo rovnoľahlosť, resp. podobnosť, pri kreslení náčrtu pri rozbore úlohy rozlíšiť jednotlivé moţnosti zadania (napr. výška leţí v trojuholníku a výška je mimo trojuholníka ), na základe vykonaného (daného) rozboru napísať postup konštrukcie, uskutočniť konštrukciu danú popisom, rozhodnúť (aj na základe pomocných výpočtov) o medzných hodnotách vstupných údajov, určiť počet riešení v prípade číselne zadaných úloh. 15

126 4. STEREOMETRIA 4.1 Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Obsah Pojmy: premietanie (voľné rovnobeţné premietanie), priemet priestorového útvaru do roviny. Vlastnosti a vzťahy : voľné rovnobeţné premietanie zachováva deliaci pomer a rovnobeţnosť. Požiadavky na vedomosti a zručnosti Ţiak vie pouţiť vlastnosti voľného rovnobeţného premietania pri zobrazovaní kocky, pravidelných hranolov a pravidelných ihlanov. 4. Súradnicová sústava v priestore, vektory, analytická metóda Obsah Pojmy: (karteziánska) sústava súradníc v priestore, bod a jeho súradnice, vzdialenosť bodov, vektor, umiestenie vektora, súradnice vektora, opačný vektor, nulový vektor, súčet a rozdiel dvoch vektorov, násobok vektora číslom, smerové vektory (priamky a roviny), parametrické rovnice priamky a roviny, skalárny súčin vektorov, dĺžka vektora, kolmosť a uhol dvoch vektorov, normálový vektor roviny, všeobecná rovnica roviny. Vlastnosti a vzťahy: body A, B a C ležia na jednej priamke, ak jeden z vektorov B A, C A je násobkom druhého, body A, B, C a D ležia v jednej rovine, ak jeden z vektorov B A, C A, D A je lineárnou kombináciou (súčtom násobkov) ostatných, vyjadrenie vzdialenosti dvoch bodov pomocou ich súradníc, súradnice a geometrická interpretácia súčtu a rozdielu dvoch vektorov a násobku vektora reálnym číslom, vyjadrenie skalárneho súčinu vektorov pomocou dĺžok vektorov a kosínusu ich uhla (resp. vyjadrenie kosínusu uhla dvoch vektorov pomocou ich skalárneho súčinu a ich dĺžok), vyjadrenie skalárneho súčinu vektorov pomocou ich súradníc, vzťah medzi kolmosťou vektorov a ich skalárnym súčinom, vzťah medzi koeficientmi všeobecnej rovnice roviny a normálovým vektorom roviny. Požiadavky na vedomosti a zručnosti Ţiak vie zostrojiť (v danej súradnicovej sústave) obrazy bodov, ak pozná ich súradnice, a určiť súradnice daných bodov (pozri tiež 4.3 Lineárne útvary v priestore polohové úlohy a 4.4 Lineárne útvary v priestore metrické úlohy), zostrojiť lineárnu kombináciu (súčet násobkov) daných vektorov a vie nájsť jej súradnice, určiť súradnice stredu úsečky a súradnice bodu, ktorý delí danú úsečku v danom pomere, určiť analytické vyjadrenie (pozri tiež 4.3 Lineárne útvary v priestore polohové úlohy)

127 - priamky určenej dvoma bodmi, bodom a smerovým vektorom, - roviny určenej troma bodmi, priamkou a bodom, dvoma priamkami, bodom a normálovým vektorom, rozložiť vektor na súčet násobkov daných vektorov, z parametrických rovníc roviny určiť jej všeobecnú rovnicu a naopak, vhodnou voľbou súradnicovej sústavy algebraizovať geometrický problém, špeciálne vo vhodne zvolenej súradnicovej sústave opísať vrcholy daného kvádra, geometricky interpretovať výsledok získaný algebraickými prostriedkami. Príklady : 1. Vektory Ktorý z vektorov a, b, c, d, e na obrázku musíme pripočítať k vektorom v 1 a v, aby súčtom všetkých troch vektorov bol nulový vektor? a) vektor a b) vektor b c) vektor c d) vektor d e) vektor e. Najkratšia strana V rovine sú dané tri body A 3 ; 5, B 3 ; 3, C 8 ; 5. Pribliţne akú dĺţku má najkratšia strana trojuholníka ABC? a) 8 b) 9,4 c) 10 d) 11 e) 13,6 3. Uhlopriečka štvorca Štvorec KLMN má stred v bode S 0 ; 0. Vrchol K má súradnice ;. Akú dĺţku má uhlopriečka štvorca KLMN? a) 16 b) 8 c) 4 d) 4 e) 4. Krajný bod úsečky Krajný bod A úsečky AB má súradnice 30 ; 90, stred úsečky AB má súradnice 50 ; 70. Potom súradnice druhého krajného bodu B sú a) 80 ; 0. b) 10 ; 50. c) 130 ; 50. d) 10 ; 80. e) 110 ; Prvý kvadrant Nech M je mnoţina všetkých takých bodov X 0 ;0 sa rovná dvojnásobku ich x-ovej súradnice. Potom M je x a) polpriamka y = 3x ; x 0. b) polpriamka y = 3; x 0. 3 c) polpriamka y = 0; x 0. d) parabolický oblúk x = 3y ; y 0. e) parabolický oblúk y = 3x ; x 0. x; y prvého kvadrantu, ktorých vzdialenosť od bodu 17

128 6. Vektor CA Označme Y stred strany BC rovnobeţníka ABCD. Potom vektor CA moţno vyjadriť v tvare a) CA =.CY + AB b) CA = AB +.YC c) CA =AB.YC d) CA =.YC AB e) CA =.CY - AB 7. Obsah štvorca Aký obsah má štvorec ABCD, ktorého vrcholy A a C majú súradnice A 4 ; 7 a C ; 3? a) 9 b) 0 c) 13 d) 10 e) 8 8. Dané sú vektory c = [3;4;-5] a d = [-6;y;10]. Určte y také, aby vektory c, d boli navzájom kolmé. a) y = -8 b) y = - c) y = 8 d) y = 17 9.Rozhodnite, či body A = [4;5;1],B = [;3;4],C = [6;0;-] ležia na jednej priamke a) ležia b) neležia 10.Určte rovnicu roviny, ktorá prechádza bodom A = [6;0;4] a je kolmá na priamku BC, kde B = [;5;3], C = [3;1;4]. a) x - 4y +z +10 = 0 b) 5x - 4y +z + 34 = 0 c) x - 4y + z - 10 = 0 d) 5x - 4y +z - 34 = 0 11.Dané sú body A,B a priamka p, A = [3;-1],B = [4;9], p x - 4y +19 = 0. Zistite polohu bodov A,B vzhľadom na priamku p. a) A p, B p b) A polr pb c) A polr pb d) A p, B p 1.Z nasledujúcich vektorov vyberte ten, ktorého veľkosť nie je 13: a) [0;0;13] b) [3;4;1] c) [13;13;13] 13.Analytické vyjadrenie polroviny, ktorej hraničná priamka prechádza bodmi A = [1;0], B = [0;1] a ktorá obsahuje počiatok súradnicovej sústavy, je: a) x + y b) x + y c) x - y V rovnici priamky 3x + 4ay - = 0 určte koeficient a taký, aby táto priamka prechádzala priesečníkom priamok x -y +1 = 0, x + y + 5 = 0. a) a = b) a = 0 c) a = - d) a = 1 15.Dané sú body A = [3;;7],B = [4;1;6], C = [4;1;7]. Určte odchýlku vektorov B - A a C - A. a) cos = b) cos = c) cos = 18

129 d) cos = 16.Dané sú body A = [ 3; ;-5 ], B = [ 3+ ;0;-3 ], K = [3+ ;0;-5], L = [3+ ;0;-4]. Určte odchýlku priamok AB, KL. a) = 60 b) = 10 c) = 45 d) = Určte vzdialenosť m rovnobežných rovín daných rovnicami 11x - y - 10z + 15 = 0, 11x - y - 10z + 14 = 0. a) m = 1 b) roviny nie sú rovnobežné c) m = 1/ d) m = 1/ Lineárne útvary v priestore - polohové úlohy Obsah Pojmy: bod, priamka a rovina v priestore, rovnobeţné, rôznobeţné a mimobeţné priamky, rovnobeţnosť a rôznobeţnosť priamky a roviny, rovnobeţné a rôznobeţné roviny, priesečnica dvoch rovín, rez telesa rovinou, súmernosť podľa bodu. Vlastnosti a vzťahy: rovnobeţné (rôznobeţné) priamky leţia v jednej rovine, mimobeţné priamky neleţia v jednej rovine, rovnobežné priamky majú rovnaké smerové vektory, rovnobežné roviny majú rovnaké normálové vektory, smerový vektor priamky rovnobežnej s rovinou je aj smerovým vektorom roviny, priesečnice roviny s dvoma rovnobeţnými rovinami sú rovnobeţné, priamky (roviny) súmerné podľa bodu sú rovnobežné. Požiadavky na vedomosti a zručnosti Ţiak vie opísať moţnosti pre vzájomné polohy ľubovolných dvoch lineárnych útvarov, rozhodnúť o vzájomnej polohe dvoch lineárnych útvarov daných súradnicami bodov, rovnicami priamok a rovín, alebo pomocou ich obrazu vo volnom rovnobeţnom premietaní, určiť súradnice spoločného bodu alebo rovnicu spoločnej priamky použitím analytickej metódy alebo voľného rovnobežného premietania, súradnicami určiť bod, ktorý je súmerný k danému bodu podľa daného bodu, parametrickými rovnicami opísať priamku, ktorá je súmerná k danej priamke podľa daného bodu, rovnicou opísať rovinu - prechádzajúcu daným bodom rovnobežne s danou rovinou, 19

130 - súmernú s danou rovinou podľa daného bodu, zostrojiť vo voľnom rovnobeţnom priemete jednoduchého telesa (kocky, resp. hranola) priesečník priamky (určenej bodmi leţiacimi v rovinách stien kocky, resp. hranola) s rovinou steny daného telesa, zostrojiť rovinný rez kocky, kvádra, pravidelného hranola a pravidelných ihlanov rovinou určenou tromi bodmi leţiacimi v rovinách stien, z ktorých aspoň dva leţia v tej istej stene daného telesa. Príklady: 1. Najvzdialenejší bod Bod K je stredom hrany CD kocky ABCDEFGH, bod L je stredom jej hrany BF. Ktorý z uvedených bodov má od roviny EKG najväčšiu vzdialenosť? (Návod: predstavte si kocku pri pohľade zo smeru kolmého na rovinu BFHD.) a) A b) H c) L d) D e) F. Rovnica kružnice Daná je kruţnica k: x + y + 4x = 0. Akú rovnicu má kruţnica so stredom v bode S 1 ; 3 a s rovnakým polomerom ako kruţnica k? a) (x 1) + (y 3) = 4 b) (x 1) + (y + 3) = 4 c) (x 1) + (y + 3) = d) (x + 1) + (y 3) = e) (x + 1) + (y 3) = 4 3. Štvorboký ihlan Daný je pravidelný štvorboký ihlan ABCDV. Koľko hrán tohto ihlana lena priamkach mimobeţných s priamkou AD? ţí a) Ani jedna. b) Jedna. c) Dve. d) Tri. e) Štyri. 4. Mnohosten Aký mnohosten vznikne odrezaním štvorstenov EBGF a ACHD z kocky ABCDEFGH? a) štvorsten b) šesťsten c) osemsten d) desaťsten e) dvanásťsten 5. Dané sú body A [;7;4] B [5;7;4] C [5;3;4] Pre vektory B-A, B-C platí, ţe ich skalárny súčin je rovný: A. 7 B. 0 C. 1 D

131 E. Ţiadna z predchádzajúcich odpovedí nie je správna 6. Dané sú body A [;7;4] B [5;7;4] C [5;3;4] V [3,5;5;4]. Pre vektory C-A, V-B platí, ţe: A. sú lineárne závislé B. sú na seba kolmé C. sú rovnobeţné D. majú uhol π/4 E. Ţiadna z predchádzajúcich odpovedí nie je správna 7. Dané sú body A [;7;4] B [6;3;4] C [4;5;4] D [4;5;4] Vektory B-A, D-C majú uhol: A. 0 rad B. Π rad C. π/ rad D. π/3 rad E. Ţiadna z predchádzajúcich odpovedí nie je správna 8. Dané sú body A [;7;4] B [6;7;4] C [6;3;4] D [4;5;4] Priamky AB, DC sú navzájom A. rovnobeţné B. totoţné C. rôznobeţné D. mimobeţné E. Ţiadna z predchádzajúcich odpovedí nie je správna 9. Dané sú body A[;7;4], B[6;7;4],C[6;3;4],D[;3;4] Priamky AB, GH sú navzájom A. rovnobeţné B. totoţné C. rôznobeţné D. mimobeţné 131

132 E. Ţiadna z predchádzajúcich odpovedí nie je správna 10. Rovnica roviny, ktorá je rovnobeţná s rovinou x + y + z - 6 = 0 a prechádza bodom A[;3;4] sústavy vzdialenosť 3, je: A. x + y + z - 18 = 0 B. x + 3y + 4z - 3 = 0 C. 3x + 3y + 3z - 3 = 0 D. 5x + 5y + 5z + 5 = 0 E. Ţiadna z predchádzajúcich odpovedí nie je správna 11. Pre odchýlku rovín x - y + z - 1 = 0, x + y + 1z + 13 = 0 platí, cos α =: A. B. 0 C. -/7 D. -1/ E. Ţiadna z predchádzajúcich odpovedí nie je správna 1. Rovnica roviny, ktorá prechádza priesečnicou rovín x - y + 1 = 0, x + y + z = 0 a je kolmá na rovinu x + y + z + 3 = 0, je A. 4x + 7y - z + 6 = 0 B. 4x + y - 7z + 6 = 0 C. 4x + 7y + z + 6 = 0 D. 4x + y + 7z + 6 = 0 E. Ţiadna z predchádzajúcich odpovedí nie je správna 13. Vzájomná poloha priamky AB, A[3;-5;3],B[0;;1] a priamky p: x = t, y = 1 - t, z = 3, tεr je: A. mimobeţné B. totoţné C. rôznobeţné a kolmé D. rôznobeţné, ale nie kolmé E. rovnobeţné, rôzne 14. Rovina α: x + y + z + 4 = 0 a priamka p: x =3 + t, y = + t, z = - t, tεr majú uhol: A. 30 B. 60 C. 45 D. 0 E Lineárne útvary v priestore - metrické úlohy Obsah Pojmy: uhol dvoch priamok, kolmosť priamok a rovín, priamka kolmá k rovine, uhol dvoch rovín, kolmý priemet bodu a priamky do roviny, vzdialenosť dvoch lineárnych útvarov (dvoch bodov, bodu od roviny, bodu od priamky, vzdialenosť rovnobeţných a mimobežných priamok, priamky a roviny s ňou 13

133 rovnobeţnej, vzdialenosť rovnobeţných rovín), uhol priamky s rovinou, súmernosť bodov podľa priamky a roviny. Vlastnosti a vzťahy: vyjadrenie uhla dvoch priamok pomocou ich smerových vektorov, vzťah medzi uhlom dvoch rovín a uhlom ich normálových vektorov, vzorec alebo postup výpočtu vzdialenosti bodu od roviny, určenie uhla (špeciálne kolmosti) priamky a roviny pomocou smerového vektora priamky a normálového vektora roviny, ak je priamka kolmá na dve rôznobežné priamky roviny, tak je kolmá na rovinu. Požiadavky na vedomosti a zručnosti Ţiak vie na zobrazených telesách označiť - úsečky, ktorých skutočná veľkosť predstavuje vzdialenosť daných lineárnych útvarov, - uhly, ktorých skutočná veľkosť predstavuje uhol daných lineárnych útvarov, vypočítať, alebo v jednoduchých prípadoch graficky určiť (t.j. narysovať v skutočnej veľkosti) - uhol (špeciálne pravý), - vzdialenosť lineárnych útvarov daných svojimi rovnicami alebo obrazom vo voľnom rovnobežnom premietaní, súradnicami určiť bod, - ktorý je kolmým priemetom daného bodu do danej roviny, - súmerný k danému bodu podľa danej roviny. Príklady: 1. Priamka kolmá na rovinu Kocka ABCDEFGH na obrázku má dĺţku hrany 1. Jej telesová uhlopriečka DF je kolmá na rovinu a) x y + z = 0 b) x + y z + = 0 c) x y z = 0 d) x + y + z = 0 e) x y + z = 0. Najmenšia vzdialenosť V rovine je daný bod M 4 ; 8 a kruţnica k: (x 1) + (y 4) = 9. Aká najmenšia môţe byť vzdialenosť medzi bodom M a bodom kruţnice k? a) 1 b) c) 4 d) 7 e) Bod Ktorý z uvedených bodov leţí na priamke p: x y + 6 = 0 a súčastne je rovnako vzdialený od obidvoch súradnicových osí? a) A 3 ; 3 b) B ; c) C ; 4 d) D 8 ; 8 e) E 4 ; 5 4. Priamka q Priamka q kolmá na priamku p: x + y + 4 = 0 a prechádzajúca bodom ; 3 má rovnicu 133

134 a) x y + 1 = 0. b) x y + 7 = 0. c) x y + 8 = 0. d) x y + 1 = 0. e) x + y + 1 = Dané sú 3 body v trojrozmernom priestore A[5;7;3] B[1;5;3] C[6;;8] Parametrická rovnica roviny ABC je:. a) α: x = 5-4t + 1s x = 7 + -t + -5s x = 3 + 0t + 5s b) α: x = 5 + 4t + 1s x = 7 + -t + -5s x = 3 + 0t + 5s c) α: x = 5 + 4t - 1s x = 7 + -t + -5s x = 3 + 0t + 5s d) α: x = t + 1s x = 7 -t -5s x = 3 + 0t - 5s e) α: x = t + 1s x = 7 + t + -5s x = 3 + 0t + 5s t,sεr t,sεr t,sεr t,sεr t,sεr 6. Dané sú 3 body v trojrozmernom priestore A[3;7;3] B[1;4;3] C[6;;5] Všeobecná rovnica roviny ABC je:. 134

135 A) -6x + 4y + 19z -67 = 0 b) -6x + 4y + 19z -67 = 0 c) 6x + 4y + 19z -67 = 0 d) -6x - 4y + 19z -67 = 0 e) -6x + 4y + 19z + 67 = 0 7. Dané sú tri body v dvojrozmernom priestore A[;3] B[5;7] C[9;3] Výška na stranu b trojuholníka ABC má dĺţku:. f) 4 b) 6 c) 8 d) 5 e) 4 8. Dané sú body v trojrozmernom priestore A[-1;3;5] B[3;-5;1] C[4;-8;-4] Parametrická rovnica priamky AB je : a) p: x = t y = t z = t,tεR b) p: x = t y = 3 + 8t z = 5 + 4t,tεR c) p: x = t y = t z = 5-4t,tεR d) p: x = t y = 3 + 8t z = t,tεR e) p: x = t 135

136 y = t z = t,tεR 9. Dané sú 3 body v trojrozmernom priestore A[-3;7;3] B[1;;3] C[-5;;5] Parametrická rovnica roviny ABC je: a) α: x = t + -s x = t + -5s x = 3 + 0t + s b) α: x = t + -s x = t + -5s x = 3 + 0t + s c) α: x = t + -s x = t + -5s x = 3 + 0t + s d) α: x = t + -s x = t + -5s x = 3 + 0t + s e) α: x = t + -s x = t + -5s x = 3 + 0t + s t,sεr t,sεr t,sεr t,sεr t,sεr 10. Dané sú 3 body v trojrozmernom priestore A[-3;7;3] B[1;;3] C[-5;;5] Všeobecná rovnica roviny ABC je a) -5x -4y -15z + 58 = 0 136

137 b) -5x -4y -15z + 58 = 0 c) -5x + 4y + -15z + 58 = 0 d) 5x -4y + -15z + 58 = 0 e) -5x -4y + -15z - 58 = Dané sú roviny φ: x + 3y + z + 5 = 0 ε: 4x + -6y + 5z + = 0 Veľkosť uhla rovín v radiánoch je: a) 1, (90 ) b) 0, (45 ) c) 3,14159 (180 ) d) 0 (0 ) e) nemá zmysel 1. Dané sú roviny φ: x + y + 5 = 0 ε: 4x + = 0 Veľkosť uhla rovín v stupňoch je: 13. a) 45 b) 90 c) 135 d) 0 e) 7,5 Dané sú roviny φ: x + y + z + 5 = 0 ε: 4x + y + z + = 0 Veľkosť uhla rovín v stupňoch je: a) 8,1551 b) 45 c) 90 d),5 e) Daná je priamka p a rovina φ p: x = +3t 137

138 y = +t z = +t tεr φ: x + y + z + 5 = 0 Uhol priamky a roviny v stupňoch je: a) 78,5785 b) 45 c) 0 d) 90 e) 3, Daná je priamka p a rovina φ p: x = 1+-3t y = +1t z = 3+t tεr φ: x + y + z + 5 = 0 Uhol priamky a roviny v stupňoch je: a) 0 b) 45 c) 3,4 d) 90 e) Daná je priamka p a rovina φ p: x = -3+t y = 1+4t z = +6t tεr φ: 3x + y + 4z + 5 = 0 Uhol priamky a roviny v stupňoch je: a) 70,55374 b) 37,34581 c) 0 d) 4 e) 7, Dané sú priamky p,q v E 3 138

139 p: x = +3t y = +t z = +t tεr q: x = 1+3l y = +5l z = 3+4l lεr Uhol priamok p,q v stupňoch je: a),16635 b),5 c) 45 d) 65,3458 e) 90 Obsah 4.5 Telesá Pojmy: teleso, mnohosten, vrchol, hrana, stena, kocka, sieť kocky, hranol, kolmý a pravidelný hranol, kváder, rovnobeţnosten, ihlan, zrezaný ihlan, štvorsten, pravidelný štvorsten, podstava, výšky v štvorstene, pravidelné mnohosteny, guľa a jej časti, valec, kuţeľ, objemy a povrchy telies a ich častí. Vlastnosti a vzťahy: vzorce pre výpočty objemov a povrchov telies a ich častí. Požiadavky na vedomosti a zručnosti Ţiak vie rozhodnúť, či daná sieť je sieťou telesa daného obrazom vo voľnom rovnobeţnom premietaní, načrtnúť sieť telesa daného obrazom vo voľnom rovnobeţnom premietaní, riešiť úlohy, ktorých súčasťou je výpočet objemu, resp. povrchu kocky, kvádra, pravidelného kolmého hranola, rovnobežnostena, pravidelného ihlana, (aj zrezaného), gule a jej častí, valca, kuţeľa a telies zložených z týchto telies a vie pri tom nájsť a aktívne pouţiť vzorce pre výpočet objemov a povrchov telies potrebné pre vyriešenie úlohy. Príklady: 1. Hranol Pravidelný 10-boký hranol má a) 10 vrcholov a 10 hrán b) 10 vrcholov a 30 hrán c) 0 vrcholov a 10 hrán d) 0 vrcholov a 0 hrán e) 0 vrcholov a 30 hrán. Strecha Strecha rodinného domu zobrazená na obrázku má tvar pravidelného štvorbokého ihlana s výškou 3m. Koľko m 139

140 nej krytiny je potrebných na pokrytie strechy? a) 80 m b) 96 m c) 11 m d) 144 m e) 19 m 3. Odrezané štvorsteny Štvorsten ACHF vznikol z kocky ABCDEFGH s hranou dlhou 6 cm odrezaním štyroch štvorstenov, zhodných so štvorstenom EAFH. Aký je objem štvorstena ACHF? a) 7 cm 3 b) 108 cm 3 c) 135 cm 3 d) 144 cm 3 e) 16 cm 3 4. Teleso ABCK Daná je kocka ABCDEFGH s hranou dĺţky 1. Bod K je vnútorným bodom hrany EF. Aký objem má teleso ABCK? a) 6 1 b) 4 1 c) 3 1 d) 1 e) Objem telesa ABCK sa z uvedených údajov nedá určiť. 5. Moderná socha Na obrázku je moderná socha, ktorá vznikla vyrezaním kvádra z kusu kameňa, ktorý mal tvar kocky. Objem kamennej kocky bol 51 dm 3. Aký povrch má socha? a) 30 dm b) 336 dm c) 384 dm d) 468 dm e) Bez ďalších údajov nemoţno povrch sochy určiť. 6. Ťažidlo Duté sklenené ťaţidlo na spisy má tvar pravidelného ihlana so štvorcovou podstavou. Podstava ťaţidla má rozmery 6 cm x 6 cm, výška ťaţidla je 6 cm. Hrúbku skla zanedbávame. Keď ťaţidlo stojí na svojej štvorcovej podstave, je presne do polovice svojej výšky naplnené farebnou tekutinou. Koľko cm 3 tekutiny obsahuje? a) 189 cm 3 b) 63 cm 3 c) 60 cm 3 d) 54 cm 3 e) 36 cm 3 7. Kolaloka Nápoj Kolaloka plnia v závode do plechoviek v tvare valca s priemerom podstavy 8 cm a výškou 9 cm. Z prieskumu trhu vyplynulo, ţe lepšie by sa predávali plechovky s polovičným objemom a priemerom podstavy 6 cm. Akú výšku majú mať nové plechovky? a) 6,75 cm b) 7 cm c) 8 cm d) 10,5 cm e) 1 cm 8. Telesová uhlopriečka Ktorý z uvedených vzťahov správne vyjadruje závislosť povrchu kocky S od dĺţky u telesovej uhlopriečky? 140

141 a) S = 6.u b) S =. u c) S = 3.u d) S = 3.u e) S =.u 9. Objem Ak guľa s polomerom r má objem 8 m 3, potom guľa s polomerom r má objem a) 16 m 3. b) 4 m 3. c) 64 m 3. d) 96 m 3. e) 18 m Hranol Koľko vrcholov a koľko stien má hranol s 33 hranami? a) 11 vrcholov a 13 stien b) 11 vrcholov a 33 stien c) 13 vrcholov a stien d) vrcholov a stien e) vrcholov a 13 stien Ihlan 11. Urči povrch pravidelného štvorbokého ihlana, keď je daný jeho objem V = 10 a uhol bočnej steny s rovinou podstavy je α = a) 00,7 b) c) d) e) 1. Urči objem pravidelného osembokého ihlana, ktorého výška v = 100 a uhol bočnej hrany s rovinou podstavy je α = 60. (314300) a) b) c) d) e) 13. Podstava kolmého ihlana je obdĺţnik s obsahom P = 180; súčet obsahov bočných stien je 384 a objem ihlana V = 70. Urči rozmery telesa. (18; 10) a) b) c) d) e) 14. Pravidelný štvorboký ihlan ABCDV má dĺţky hrán: AB=10, AV=13. Urči povrch. a) b) c) d) e) 15. Pravidelný štvorboký ihlan ABCDV má obsah podstavy rovný 16 a objem rovný 16/3. Aká je dĺţka hrany AV? a) b) c) d) e) 16. Pravidelný trojbojý ihlan ABCV má dĺţky hrán: AB=6, AV=5. Jeho povrch je a) b) c) d) e) 17. Ihlan ABCDV má dĺţky strán: AB=4, AV=7. Aká je jeho výška? a) b) c) d) e) Zrezaný ihlan 18. Jama má tvar pravidelného zrezaného štvorbokého ihlana. Hrany podstáv majú dĺţky a 1 =14m, a =10m. bočné steny majú sklon 45. Koľko m 3 zeminy sa vykopalo? (; 90,7) 141

142 a) b) c) d) e) 19. Pravidelný šesťboký zrezaný ihlan má podstavné hrany a 1 =65, a =5 a bočnú hranu b=85. Vypočítaj objem telesa. a) b) c) d) e) 0. Zrezaný pravidelný štvorboký ihlan má objem V = 181cm 3, výšku v = 7cm a obsah dolnej základne je o 81 cm väčší ako obsah hornej základne. Urči obsah hornej základne. a) 144 b) c) d) e) Kuţeľ 1. Urči objem telesa, ktoré vznikne rotáciou trojuholníka okolo strany a, keď je dané: b = 5, α = 78, γ = 48. a) ( 5;15;5;1) b) c) d) e). Rotačný kuţeľ má výšku v = 6; jeho plášť má číselne toľko m, koľko m 3 jeho objem. Urči uhol φ pri vrchole v osovom reze kuţeľa. () a) 60 b) c) d) e) 3. Urči objem šikmého kuţeľa, ktorého podstava má polomer r = 10, najdlhšia strana zviera s rovinou podstavy uhol α = 4 10, najkratšia strana uhol β = (137; 331) a) b) c) d) e) 4. Kuţeľ má objem 34. Ak polomer podstavy zmenšíme na jeho polovicu a výšku zväčšíme na jej dvojnásobok, objem nového kuţeľa bude a) b) c) d) e) Zrezaný kuţeľ 5. Povrch zrezaného rotačného kuţeľa so stranou s = 13 cm je S = 510π cm. Urči polomery podstáv, keď ich rozdiel dĺţok je 10cm. () a) 15; 5 b) c) d) e) 6. Rotačný kuţeľ rozdeľ rovinou rovnobeţnou s podstavou na dve časti s rovnakým povrchom. a) b) c) d) e) 7. Zrezaný rotačný kuţeľ má podstavy s polomermi r 1 = 8 cm, r = 4 cm a výšku v = 5 cm.aký je objem kuţeľa, z ktorého zrezaný kuţeľ vznikol? a) 670, b) c) d) e) 14

143 5. KOMBINATORIKA, PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA 5.1 Kombinatorika a pravdepodobnosť Obsah Pojmy: (kombinatorické) pravidlo súčtu, (kombinatorické) pravidlo súčinu, permutácie, variácie a variácie s opakovaním, kombinácie, faktoriál, kombinačné číslo, Pascalov trojuholník, binomická veta, pravdepodobnosť, doplnková pravdepodobnosť, geometrická pravdepodobnosť, náhodný jav, nezávislé javy. Vlastnosti a vzťahy: n! = n, 0! = 1, n n! n n!, C k ( n), V k ( n), P n n!, k k!( n k)! k ( n k)! n k n n k, n k k n n 1 k binomická veta, pre pravdepodobnosť P udalosti A platí 0 P ( A) 1, P ( A) P( A ) 1, kde A je doplnková udalosť k udalosti A, pravdepodobnosť istej udalosti je 1, P ( A B) P( A) P( B), ak A, B sú nezávislé javy. Požiadavky na vedomosti a zručnosti 1 1, Ţiak vie riešiť jednoduché kombinatorické úlohy - vypisovaním všetkých moţností, pričom - vie vytvoriť systém (strom logických moţností) na vypisovanie všetkých moţností (ak sa v tomto strome vyskytujú niektoré moţnosti viackrát, vie určiť násobnosť ich výskytu), - dokáţe objaviť podstatu daného systému a pokračovať vo vypisovaní všetkých moţností, - na základe vytvoreného systému vypisovania všetkých moţností určiť (pri väčšom počte moţnosti algebraickým spracovaním) počet všetkých moţností, - pouţítím kombinatorického pravidla súčtu a súčinu, - vyuţitím vzorcov pre počet kombinácií, variácií, variácií s opakovaním a permutácií, - použitím rekurentného prístupu, pouţiť pri úprave výrazov rovnosti uvedené v časti Vlastnosti a vzťahy (pozri 1.4 Čísla, premenné, výrazy), pre konkrétne n a k nájsť koeficient pri mocnine a k b n k v mnohočlene ( a n b), rozhodnúť - o závislosti javov A, B, ak pozná P ( A), P( B) a P ( A B), - v jednoduchých prípadoch o správnosti pouţitia rovnosti P ( A B) P( A) P( B), riešiť úlohy na pravdepodobnosť, zaloţené na

144 - hľadaní pomeru všetkých priaznivých a všetkých moţností, resp. všetkých nepriaznivých a všetkých priaznivých moţností, ak vie tieto počty určiť riešením jednoduchých kombinatorických úloh, - doplnkovej pravdepodobnosti, - využití geometrickej pravdepodobnosti Príklady: Kombinatorika 1. Koľko 5-miestnych čísel bez opakovania moţno zostaviť z číslic: 0, 1, 3, 4, 7? a) 96 b) 95 c) 97 d) 18 e) 1. Koľko párnych 5-miestnych čísel bez opakovania? a) 3 b) 33 c) 34 d) 10 e) Koľko 6-miestnych čísel bez opakovania moţno zostaviť z číslic: 1,, 3, 4, 5, 6, ak sa čísla majú začínať číslicou 4 a) 10 b) 40 c) 4 d) 4 e) Koľko 6-miestnych čísel bez opakovania moţno zostaviť z číslic: 1,, 3, 4, 5, 6, ak sa čísla majú začínať číslicou 4 alebo 5? a) 40 b) 10 c) 4 d) 4 e) Koľko jedno- aţ 4-miestnych čísel moţno zostaviť z číslic: 0,, 4, 6? a) 49 b) 50 c) 58 d) 1 e) 4 6. Koľko je všetkých trojciferných prirodzených čísel? a) 900 b) 500 c) 100 d) 800 e) Koľko prvkov máme daných, keď variácií tretej triedy utvorených z prvkov je 5-krát viac neţ variácií druhej triedy? a) 7 b) 49 c) 9 d) 34 e) 5 8. Koľko prvkov dá 3 0 variácií druhej triedy? a) 180 b) 9 c) 18 d) 56 e) Keď sa zväčší počet prvkov o 1, zväčší sa počet kombinácií tretej triedy o 1. Koľko je daných prvkov? a) 7 b) 6 c) 8 d) 5 e) 9 144

145 10. Koľko prvkov treba vziať, aby počet variácií 3.triedy utvorených z týchto prvkov bez opakovania sa rovnal počtu kombinácií 3.triedy zväčšenému o 5-násobok počtu prvkov? a) 4 b) 5 c) 3 d) 6 e) 11. Koľko prvkov dá o 441 kombinácií 3.triedy s opakovaním viac neţ bez opakovania? a) 1 b) c) 19 d) 0 e) Koľko rôznych signálov moţno utvoriť z piatich zástaviek rôznych farieb, ak vedľa seba stoja tri zástavky(trikolóry) a) 60 b) 54 c) 38 d) 48 e) Koľko rôznych signálov moţno utvoriť z piatich zástaviek rôznych farieb, ak vedľa seba stoja zástavky(bikolóry)? a) 0 b) 30 c) 18 d) 6 e) Koľkými spôsobmi moţno odmeniť 1.,. a 3. cenou 13 účastníkov športovej súťaţe? a) 1716 b) 1534 c) 3 d)13 e) Koľkými priamkami moţno spojiť 10 bodov, keď tri z nich leţia na jednej priamke? a) 43 b) 10 c) 100 d) 1 e) V koľkých bodoch sa pretína 9 priamok, z ktorých sú 4 navzájom rovnobeţné? a) 30 b) 3 c) 34 d) 36 e) V triede je 18 chlapcov a 14 dievčat. Koľkorakým spôsobom moţno zvoliť do triedneho výboru 3 zástupcov, ak to majú byť samí chlapci a) 4896 b) 448 c) 10 d) 18 e) V triede je 18 chlapcov a 14 dievčat. Koľkorakým spôsobom moţno zvoliť do triedneho výboru 3 zástupcov, ak to majú byť samé dievčatá a) 184 b) 109 c) 18 d) 10 e) 3 145

146 18. V triede je 18 chlapcov a 14 dievčat. Koľkorakým spôsobom moţno zvoliť do triedneho výboru 3 zástupcov, ak to majú byť chlapci a jedno dievča? 19. a) 484 b) 14 c) 18 d) 10 e) 3 0. Učiteľ má 0 geometrických a 30 aritmetických príkladov. Na úlohu má vybrať 1 geometrický a aritmetické. Koľko má moţností zostaviť rôzne úlohy? a) b)8700 c) 3 d) 50 e) Na maturitnom večierku je 4chlapcov a 15 dievčat. Koľko rôznych párov môţu vytvoriť? a) 360 b) 4 c) 15 d) 180 e) 39. Koľkými spôsobmi môţeme usadiť za stôl 5 hostí? a) 10 b) 5 c) 0 d) 40 e) V lavici sedí 5 ţiakov, z ktorých dvaja sú kamaráti. Koľkými spôsobmi ich môţeme posadiť, aby kamaráti sedeli vedľa seba? a) 48 b) 4 c) 5 d) 7 e) 1 4. V obchode majú 9 druhov pohľadníc. Koľkými spôsobmi moţno kúpiť 14? a) b) 14 c) 500 d) 94 e) 3 5. Na poličke treba zostaviť vedľa seba 3 zelené, červené a ţlté hrnčeky, koľko rôznych spôsobov rozostavenia môţe vzniknúť? a) 10 b) 30 c) 40 d) 7 e) 4 6. Na poličke treba zostaviť vedľa seba 3 zelené, červené a ţlté hrnčeky, koľko rôznych spôsobov rozostavenia môţe vzniknúť, ak hrnčeky rovnakej farby stoja vedľa seba? a) 6 b) 5 c)7 d) 56 e) Chcete zasadiť 6 okrasných stromčekov vedľa seba. Máte k dispozícií stromčeky A, B, C, D, E, F rôzneho druhu. Tri stromčeky musia byť zasadené za pravom okraji poradí A, B, C. urči koľkorakým spôsobom to moţno urobiť, keď všetky zasadené stromčeky sú rôzne a) 6 b) 5 c) 8 d) 56 e)

147 8. Zamestnávate 10 pracovníkov. Vytvárate štvorčlenné pracovné skupiny. Štyria pracovníci chcú pracovať v tej istej skupine. Zistite, koľkými spôsobmi môţete skupiny vytvoriť, ak poţiadavku 4 pracovníkov nerešpektujete. a) 10 b) 105 c) 40 d) 18 e) Zamestnávate 10 pracovníkov. Vytvárate štvorčlenné pracovné skupiny. Štyria pracovníci chcú pracovať v tej istej skupine. Zistite, koľkými spôsobmi môţete skupiny vytvoriť, ak poţiadavku 4 pracovníkov rešpektujete. a) 16 b) 14 c) 1 d) 4 e) Chcete zasadiť 6 okrasných stromov. Máte k dispozícií 8 rôznych typov stromov. Dva stromy A,B musia byť zasadené na ľavom okraji. Koľkorakými spôsobmi to môţete urobiť, ak všetky zasadené stromčeky musia byť rôzne? a) 10 b) 40 c)16 d) 3 e) V aleji chcete zasadiť 4 okrasné stromy rôzneho typu z piatich druhov A, B, C, D, E. Zistite, koľkorakým spôsobom to môţete urobiť. a) 10 b) 40 c) 16 d) 3 e) V aleji chcete zasadiť 4 okrasné stromy rôzneho typu z piatich druhov A, B, C, D, E. Zistite, koľkorakým spôsobom to môţete urobiť, ak strom A je na ľavom okraji a) 4 b) 1 c) 10 d) 40 e) Koľko 4-ciferných čísel s rôznymi ciframi moţno zostaviť z cifier 0,1,,3,4,5,6? a) 70 b) 360 c) 10 d) 40 e) Koľkými spôsobmi môţete zostaviť 5-členné basketbalové druţstvo chlapcov, ak máte k dispozícií 7 chlapcov a 8 dievčat? a) 1 b) 4 c) 36 d)15 e) Koľkými spôsobmi môţete zostaviť 5-členné basketbalové druţstvo dievčat, ak máte k dispozícií 7 chlapcov a 8 dievčat? a) 56 b) 4 c) 36 d) 15 e) Koľkými spôsobmi môţete zostaviť 5-členné basketbalové druţstvo5-členné druţstvo s dvomi chlapcami a tromi dievčatami, ak máte k dispozícií 7 chlapcov a 8 dievčat? 147

148 a) 1176 b) 33 c) 36 d) 15 e) Koľko rôznych 5-ciferných čísel moţno napísať z číslic 1,,3,4,5 tak, aby sa kaţdá číslica vyskytovala len raz? a) 10 b) 40 c) 36 d) 15 e) Koľko rôznych 5-ciferných čísel deliteľných štyrmi moţno napísať z číslic 1,,3,4,5 tak, aby sa kaţdá číslica vyskytovala len raz? a) 4 b) 36 c) 5 d) 5 e) Koľko rôznych 5-miestnych čísel moţno zostaviť z číslic 3,4,4,4,? a) 0 b) 4 c) 5 d) 5 e) Koľkými spôsobmi moţno rozdať 3 kariet dvom hráčom tak, aby kaţdý dostal práve dve esá?) a) b) 3 c)64 d) 18 e) Koľkými spôsobmi moţno zostaviť druţstvo obsahujúce troch chlapcov a tri dievčatá z triedy, v ktorej je 15 chlapcov a 10 dievčat? a) b) 5 c) 5 d) 18 e) V rade sedí 5 dievčat, medzi nimi sú dve sestry. Koľkokrát môţeme dievčatá presadiť, aby sestry sedeli vedľa seba? a) 48 b) 5 c) 7 d) 18 e) Súčet kombinácií tretej triedy z "n" prvkov a druhej triedy z "n" prvkov je 15-násobkom čísla "n-1". Vypočítaj n. a) 9 b) 8 c) 6 d) 4 e) Pomer variácií "k"-tej triedy a kombinácií "k"-tej triedy z "n" prvkov je 10. Vypočítaj "k". a) 5 b) 4 c) 6 d) 1 e) 10 Nájdi počet všetkých trojciferných prirodzených čísel, ktoré sa dajú zostaviť z číslic 1,,3,4 a pre ktoré platí súčasne ešte táto podmienka: v kaţdom čísle sa kaţdá číslica vyskytuje najviac raz a) 4 b) 5 c) 900 d) 18 e)

149 45. Nájdi počet všetkých trojciferných prirodzených čísel, ktoré sa dajú zostaviť z číslic 1,,3,4 a pre ktoré platí súčasne ešte táto podmienka: na mieste "jednotiek" je jedna z číslic 1,3,4, na mieste "stovák" číslica 4 alebo. a) 10 b) 0 c) 30 d) 50 e) Do školskej rady zvolili sedem ţiakov. Koľkými spôsobmi sa dá z nich vybrať predseda, podpredseda, tajomník a pokladník? a) 840 b) 40 c) 10 d) 18 e) Koľko dvojjazyčných slovníkov treba vydať, aby sa zabezpečila moţnosť priameho prekladu ľubovoľného z piatich jazykov do ktoréhokoľvek iného z nich? a) 0 b) 5 c) 17 d) 34 e) Koľko je takých prirodzených štvorciferných čísel, v ktorých sa kaţdá z cifier 3,4,5,6 vyskytuje práve raz? a) 4 b) 1 c) 4 d) 1 e) Zisti, koľko je párnych prirodzených čísel, v ktorých zápise sa vyskytujú iba cifry, 3, 4, 5, a pritom kaţdá najviac raz. a) 3 b) 4 c) 1 d) 1 e) Koľko je nepárnych prirodzených čísel, v ktorých sa vyskytujú iba cifry, 3, 4, 5, a to kaţdá najviac raz? a) 3 b) 4 c) 1 d) 1 e) Koľko prirodzených čísel väčších ako 5000 moţno utvoriť z cifier 1, 3, 5, 7, ak naviac poţadujeme, aby sa ani jedna cifra neopakovala? a) 1 b) 3 c) 4 d) 1 e) Zisti, koľko je 8-ciferných prirodzených čísel, ktoré majú všetky cifry navzájom rôzne. a) b) 164 c) 8 d) 56 e) Zisti, koľko rozličných 6-ciferných čísel sa dá zostaviť s cifier,3, ak sa má v kaţdom z nich cifra vyskytovať 4-krát a cifra 3 dvakrát. a) 15 b) 6 c) 7 d) e)

150 53. Osem študentov má pripravené ubytovanie na internáte v troch izbách - dve sú 3-posteľové, jedna -posteľová. Koľko je spôsobov rozdelenia študentov do jednotlivých izieb? a) 560 b) 8 c) 14 d) 80 e) V rýchlikovej vlakovej súprave sú dva batoţinové vozne, jeden jedálensky vozeň, štyri lôţkové vozne a tri leţadlové vozne. Koľkými spôsobmi moţno zoradiť vozne súpravy? (1 600) a) 1600 b) 10 c) 80 d) 16 e) Uchádzač o prijatie na vysokú školu musí urobiť 4 skúšky. Za kaţdú úspešne urobenú skúšku dostane, 3 alebo 4 body; na prijatie stačí dosiahnuť 13 bodov. Koľkými spôsobmi môţe uchádzač urobiť skúšku, aby bol prijatý? a) 31 b) 13 c) 6 d)6 e) V osudí je 35 lístkov označených číslami 1 aţ 35. Postupne z nich vytiahneme päť, ale lístky do osudia nevraciame späť. pritom záleţí na poradí vytiahnutých čísel. Urči počet všetkých pätíc čísel, ktoré sa môţu vytiahnuť. ( ) a) b) 35 c) 5 d) e) Koľko je takých trojciferných prirodzených čísel, ktoré sa dajú zapísať iba pouţitím cifier, 4, 6, 8? a) 64 b) 3 c) 16 d) 18 e) Koľko je takých trojciferných prirodzených čísel, ktoré sa dajú zapísať iba pouţitím cifier, 4, 6, 8 a majú všetky cifry navzájom rôzne? a) 4 b) 4 c) 1 d) 16 e) Koľko je takých šesťciferných čísel, ktoré moţno zostaviť z číslic 0, 1,, 9? a) b) 45 c) 90 d) 18 e) Koľko z týchto čísel má všetky cifry navzájom rôzne? a) b) 45 c) 90 d) 18 e) Zo siedmich ţiakov treba vybrať štyroch, ktorí budú na brannom cvičení zastávať funkciu hliadky. Koľkými spôsobmi ich moţno vybrať? a) 35 b) 70 c) 11 d) 7 e) 4 150

151 6. Koľko je 6-ciferných prirodzených čísel, ktoré moţno zostaviť z cifier 1, 3, 6, 9? a) 4096 b) 048 c) 6 d)11 e) Zisti, koľko ešpézetiek by sa dalo zostaviť za týchto predpokladov: prvú časť tvorí skupina dvoch alebo troch písmen (k dispozícií máme 8 písmen) a druhú časť tvorí 4-členná skupina číslic. a) b) 8 c) 16 d) e) Na tanečný večierok príde 1 dievčat a 15 chlapcov. Koľkými spôsobmi z nich moţno vybrať 4 tanečné páry? a) b) 1 c) 15 d) 7 e) Pravdepodobnosť 1. Parádivá Eva Eva si vţdy oblieka blúzku so sukňou alebo pulóver s nohavicami. Má štyri bläzky a sedem sukní, pričom kaţdá sukňa sa jej hodí ku všetkým blúzkam Má tri pulóvre a dvoje nohavice, pričom kaţdé nohavice sa jej hodia ku všetkým pulóvrom. Koľkými rôznymi spôsobmi sa Eva môţe obliecť? a) 16 b) 8 c) 34 d) 55 e) 168. Miss Matura Do finále súťaţe Miss Matura postúpilo 6 maturantiek, medzi nimi aj Lucia. Porota určí poradie na všetkých šiestich miestach, pričom ţiadne dve kandidátky neobsadia rovnaké miesto. Koľko existuje takých výsledných poradí finalistiek, v ktorých sa Lucia umiestni na niektorom z prvých troch miest? a) 3! b) 5! c) 5.3! d) 3.5! e)5!.3! 3. Dve družstvá Desať dievčat a dvaja chlapci sa chcú rozdeliť na dve šesťčlenné volejbalové druţstvá tak, aby v kaţdom druţstve bol jeden chlapec. Koľkými rôznymi spôsobmi to môţu spraviť? a) 1 6 b) 10 5 c) d) e) Tri udalosti Nech m je pravdepodobnosť, ţe keď hodíme 5 korunových mincí, všetky dopadnú znakom nahor. Nech k je pravdepodobnosť, ţe keď hodíme dve beţné hracie kocky, padne na oboch šestka. Nech c je pravdepodobnosť, ţe keď náhodne zvolíme dvojciferné číslo, bude mať rôzne číslice. Potom platí: a) m>k>c b) m>c>k c) c>k>m d) k>c>m e) k>m>c 151

152 5. Parlament S pripomienkami k prerokúvanému zákonu chcú v parlamente okrem poslancov Klima a Lacha vystúpiť ešte ďalší štyria poslanci. Predsedajúci schôdze určil náhodne poradie diskutujúcich. Aká je pravdepodobnosť, ţe poslanec Klimo vystúpi ihneď po poslancovi Lachovi? a) 1 1 b) 6 1 c) 4 1 d) 3 1 e) 1 6. Cestovné lístky Koľko rôznych kombinácií môţeme nastaviť na dierkovači cestovných lístkov, ak dierkovač vydierkuje štyri alebo päť z číslic 1 aţ 9? a) 16 b) 5 c) 880 d) e) Chlapec alebo dievča? Predpokladajme, ţe pravdepodobnosť narodenia chlapca aj dievčaťa v rodine je rovnaká. Aká je pravdepodobnosť, ţe v rodine s piatimi deťmi je najmladšie aj najstaršie dieťa chlapec? a) 8 1 b) 4 1 c) 5 d) 1 e) 3 8. Baktérie V skúmavke bolo večer 6 15 baktérií. Pridaním antibiotík sa do rána ich počet o tretinu zmenšil. Koľko baktérií zostalo v skúmavke? a) b) c) d) 6 10 e) Falošná kocka Pre istú falošnú kocku platí, ţe číslo 6 na nej padá dvakrát častejšie ako číslo 1 a číslo 1 na nej padá dvakrát častejšie ako kaţdé zo zvyšných štyroch čísel. Aká je pravdepodobnosť, ţe po hode touto kockou padne na nej číslo 6? a) 3 1 b) 4 1 c) 9 4 d) 5 e) Zahraničný zájazd Na zahraničný zájazd cestuje v autobuse 46 cestujúcich, z toho 6 muţov a 0 ţien. Colníci chcú podrobiť dôkladnej osobnej prehliadke 5 náhodne vybraných muţov a 5 náhodne vybraných ţien z autobusu. Koľkými spôsobmi môţu vybrať týchto 10 cestujúcich? a) 6! 5! 0! 5! b) 6! 0!. 5! 5! 46 c) 10 d) e) Trojciferné čísla 15