KLASIƒNI NAUƒNI SPISI GEOMETRISKA ISPITIVANJA IZ TEORIJE PARALELNIH LINIJA. N. I. LOBAƒEVSKOG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "KLASIƒNI NAUƒNI SPISI GEOMETRISKA ISPITIVANJA IZ TEORIJE PARALELNIH LINIJA. N. I. LOBAƒEVSKOG"

Transcript

1 S R P S K K M I J N U K KLSIƒNI NUƒNI SPISI KNJIG III MTMTIƒKI INSTITUT KNJIG 3 GOMTRISK ISPITIVNJ IZ TORIJ PRLLNIH LINIJ O N. I. LOƒVSKOG Preveo RNISLV PTRONIJVI RUGO, PRO IRNO IZNJ O G R 1951

2 Na²ao sam u geometriji izvesne nesavr²enosti, koje drºim za razlog ²to ova nauka, ukoliko nije analiza, da sada nije mogla u initi ni koraka napred iz onog stanja u kom nam ju je uklid ostavio. U ta nesavr²enstva ra unam nejasnost prvih pojmova o geometriskim koli inama, na in na koji se zami²lja merenje njihovo, i naposletku vaºnu prazninu u teoriji paralelnih, koji nisu bili u stanju do sada da ispune napori matemati ara. Poku²aji Leºandrovi nisu ni ega dodali ovoj teoriji, po²to je on bio primoran, da ostavi jedan strogi put, da skrene jednim sporednim putem i da pribegne pomo nim stavovima, iju nuºnu aksiomati nost bezrazloºno ho e da utvrdi. Prvi moj poku²aj o osnovama geometrije objavio sam u Kazanskom Vesniku" za 1829 god. U nadi da sam odgovorio svim zahtevima, zanimao sam se dalje izradom te nauke u celini, i objavio sam moj rad u pojedinim deovima u U enim zapiscima kazanskog Univerziteta" za god 1836, 1837, 1838 pod naslovom Novi osnovi geometrije sa potpunom teorijom paralelnih". Moºda obim ovog poslednjeg rada smeta mojim zemljacima da se bave jednim takvim predmetom koji je izgubio svoj interes posle Leºandra. li drºim, da ta teorija paralelnih nije smela izgubiti paºnju geometara, i stoga sam nameran da ovde izloºim ono ²to je bitno u mojim istraºivanjima, prime uju i unapred, da nasuprot mi²ljenju Leºandrovom sve ostale nesavr²enosti, na pr. denicija prave linije, ovde nemaju mesta, i bez ikakvog su uticaja na teoriju paralelnih. a ne bih zamarao itaoce mnoºinom takvih stavova, iji dokazi ne pri injavaju nikakve te²ko e, ja u ovde unapred izloºiti samo one, ije je znanje potrbno za ono ²ta sleduje. 1. Prava linija poklapa se sama sa sobom u svima poloºajima. Pod ovim podrazumevam, da prava linija pri obrtanju povr²ine ne menja svoje mesto, ako prolazi kroz dve nepokretne ta ke u povr²ini. 2. ve prave linije mogu se se i u dvema ta kama. 3. Kad se prava linija dovoljno produºi u oba pravca, ona mora pre i svaku granicu, i deli, prema tome, jednu ograni enu ravan na dva dela. 4. ve prave linije, koje su upravne na istoj tre oj, ne seku se, pa makoliko se produºile. 5. Jedna prava linija uvek se e drugu, ako s jedne strane njene prelazi na drugu. 6. Unakrsni uglovi, kod kojih su strane jednoga produºenja strana drugoga, jednaki su. Ovo vaºi kako za ravne pravoliniske uglove, tako i za ravne povr²inske uglove. 7. ve prave linije ne mogu se se i, ako ih tre a preseca pod istim uglovima. 1

3 8. U pravoliniskom trouglu leºe naspram jednakih uglova jednake strane i obratno. 9. U pravoliniskom touglu leºi prema ve oj strani i ve i ugao. U pravouglom trouglu hipotenuza je ve a od svake katete i uglovi, koji leºe na njoj, o²tri su. 10. Pravoliniski trougli su kongruentni, ako imaju jednake jednu stranu i dva ugla, ili dve strane i zahva eni ugao, ili dve strane i ugao prema najve oj strani ili ako su sve tri strane jednake. 11. ko je jedna prava linija upravna na drugim dvema koje nisu s njom u istoj ravni, onda je ona upravna na svima pravim linijama, koje se mogu povu i kroz zajedni ku ta ku preseka u ravni drugih dveju. 12. Presek kugle i ravni je krug. 13. Prava linija, koja je upravna na preseku dveju upravnih ravni a leºi u jednoj od njih, upravna je na drugoj ravni. 14. U sfernom trouglu leºe naspram jednakih strana jednaki uglovi i obrnuto. 15. Sferni trouglovi su kongruentni, ako imaju jednake dve strane i njima zahva eni ugao, ili jednu stranu i uglove na njoj. Odavde ostali stavovi sleduju sa njihovim obja²njenjima i dokazima. 16. Sve prave linije, koje polaze u jednoj ravni iz jedne ta ke, mogu se u odnosu na jednu datu pravu liniju u istoj ravni podeliti u dve klase, i to u linije koje se seku i linije koje se ne seku. Grani na linija izmežu jedne i druge klase tih linija naziva se paralelnom datoj liniji. Neka je iz ta ke (g. 1) na liniju spu²tena upravna, na koju je opet povu ena upravna. U pravom uglu ili e se sve prave linije, koje polaze iz ta ke, se i sa linijom, kao, na pr., F,ili se neke od njih sli no upravnoj, ne e se i sa linijom. U neizvesnosti, da li je upravna jedina linija, koja se ne se e sa, mi emo pretpostaviti, da je mogu no da ima jo² drugih linija, na pr. G, koje se ne seku sa, ma koliko bile produºene. Pri prelazu od linija F, koje se seku, ka linijama G, koje se ne seku, moramo nai i na jednu liniju H, koja je paralelna sa, na jednu grani nu liniju, na ijoj se jednoj strani nijedna od linija G ne se e sa, dok se na drugoj strani svaka prava linija F se e sa linijom. 2

4 K G H F H K Fig. 1 Ugao H izmežu paralelne H i upravne naziva se paralelnim uglom (ugao paralelizma) i njega emo ovde obeleºavati Π(p) za = p. ko je Π(p) prav ugao, onda e produºenje upravne biti takože paralelno produºenju linije. Uz to emo jo² primetiti, da u odnosu na etiri prava ugla, koja u ta ki ine upravne i i njihova produºenja i, svaka prava linija, koja polazi iz ta ke, ili sama, ili bar u svome produºenju, leºi u jednome od dva prava ugla, ²to se nalaze naspram, tako da osim paralelne sve ostale, ako se s obe strane dovoljno produºe, moraju se i liniju. ko je Π(p) < 1 2π onda e na drugoj strani upravne a pod istim uglom K = Π(p) leºati jo² jedna linija K paralelna sa produºenjem linije, tako da kod ove pretpostavke moramo razlikovati jo² stranu paralelizma. Sve ostale linije ili njihova produºenja, u okviru dva prava ugla ²to leºe naspram, spadaju u linije koje se seku, ako u okviru ugla HK = 2Π(p) leºe izmežu paralelnih; naprotiv one spadaju u linije G koje se ne seku, ako se nalaze na drugoj strani paralelnih H i K u otvoru uglova H = 1 2 π Π(p), K = 1 2π Π(p) izmežu paralelnih i upravne na. Na drugoj strani upravne bi e na sli an na in produºenja H i K takože paralelna sa ; ostale linije spadaju u uglu K H u linije koje se seku, a u uglovima K, H u linije koje se ne seku. Prema tome pri pretpostavci Π(p) = 1 2π linije mogu samo ili linije koje se seku ili paralelne; ako se pak pretpostavi da je Π(p) < 1 2π onda se moraju dopustiti dve paralelne, jedna na jednoj druga na drugoj strani; osim toga moraju se ostale linije razlikovati u linije koje se ne seku i u linije koje se seku. U obema pretpostavkama oznaka paralelizma je u tome, ²to linija pri najmanjem odstupanju na onoj strani, na kojoj se nalazi paralelna, postaje linijom koja se se e, tako da, ako ja H paralelno sa svaka linija F se e ma kako mali bio ugao HF. 3

5 17. Prava linija zadrºava oznaku paralelizma u svim svojim ta kama. Neka je paralelna sa, na kojoj ja upravna. Mi emo posmatrati dve ta ke, koje su uzete proizvoljno na liniji i njenom produºenju na drugoj strani upravne. Neka ta ka leºi na onoj strani uprane, na kojoj se smatra da je paralelno sa. Neka se iz ta ke spusti upravna K na, zatim neka se povu e F tak da pada u okvir ugla K. Neka se ta ke i F spoje jednom pravom linijom, ije prouºenje mora se i po drugi put (stav 2.), to ce ona morati se i negde u H (stav 3.). F F K K H G G Fig. 2 Neka je sada ta ka na produºenju linije i K upravna na produºenju linije, neka se povu e linija F pod tako malim uglom F da se e negde u F, zatim, neka se pod istim ugom sa povu e iz jo² linija F, cije e produºenje se i u G (16. stav). Na taj na in dobija se trougao G u koji ulazi poduºenje linije F ; po²to ova linija ne se e po drugi put, ali ne moºe se i ni G jer je ugao G = G (7. stav), to e ona morati se i negde u G. Ma od kojih ta aka, dakle, polazile linije F i F i ma kako malo odstupale od linije, one e ipak se i, sa kojom je paralelna. 18. ve su linije uvek uzajamno paralelne. Neka je G upravna na (g. 3), sa kojom je paralelna, neka se iz povu e linija pod ma kakvim o²trim uglom sa, i neka se iz spusti upravna F na, pa e se dobiti pravougli trougao F, u kome je hipotenuza ve a od katete F (9-ti stav). Na inimo F = G, pa e linije i F do i u poloºaj linija K i GH, tako da je ugao K = F, prema tome mora K se i liniju negde u K (16-ti stav), im postaje trougao K, u kome se upravna GH se e sa linijom K u L (3- i stav) i time odrežuje daljinu L ta ke preseka linija i na liniji od ta ke. 4

6 G F L K H Fig. 3 Odavde sleduje, da e uvek se i, ma kako mali bio ugao, prema tome je paralelno sa (16-ti stav). 19. U pravolinijskom trouglu suma njegova tri ugla ne moºe biti ve a od dva prava. Pretpostavimo da je u trouglu (g. 4) suma njegova tri ugla π + α, izaberimo u slu aju nejednakosti strana najmanju, prepolovimo je u, povucimo iz kroz liniju, i na inimo produºenje njeno jednakim sa, zatim sopojimo ta ku pravom linijom sa ta kom. U kongruentnim je trouglima i ugao = i = (6-ti i 10-ti stav); Fig. 4 odavde sleduje, da i u trouglu suma njegova tri ugla mora biti jednaka π+α, osim toga najmanji ugao (9-ti stav) trougla pre²ao je u novi trougao, pri emu je razlomljen u dva dela i. Produºuju i na ovaj na in, time ²to emo uvek prepolovljavati stranu koja leºi naspram najmanjeg ugla, na posletku moramo do i do jednog trougla, u kome je zbir njegova tri ugla π + α, ali u kome se nalaze dva ugla, od kojih je svaki po svojoj apsolutnoj veli ini manji od 1 2α; po²to pak tre i ugao ne moºe biti ve i od π, to α mora biti ili nula ili negativno. 20. ko je ma u kome pravoliniskom trouglu suma njegova tri ugla jednaka dva prava, onda je to slu aj i u svakom drugom truglu. Neka je u pravoliniskom trouglu (g. 5) suma njegova tri ugla = π, tada moraju bar dva njegova ugla i biti o²tri. 5

7 p q Fig. 5 Spustimo li iz temena tre eg ugla na suprotnu stranu upravnu p, ta e upravna rastaviti trougao u dva pravougla, u kojima e suma tri morati takože iznositi π, da nebi u jednome od njih bila ve a od π a u drugom manja od π. Na taj na in dobija se jedan pravougli trougao, ije su katete p i q, a odatle jedan etvorougao, ije su suprotne strane jednake a strane p i q, koje su jedna pored druge, upravne (g. 6). p q q q q p p q p p Fig. 6 Ponavljanjem ovoga etvorougla moºe se sastaviti sli an etvorougao sa stranama np i q, i naposletku etvorougao sa stranama, koje su upavne jedna na drugoj, tako da je = np, = mq, = np, = mq, gde su m i n proizvoljni celi brojevi. Takav etvorougao podeljen je dijegonalom u dva kongruentna pravougla trougla i, u kojima je suma njihova tri ugla = π. rojevi n i m mogu se uzeti tako veliki, da pravougli trougao (g. 7), ije su katete = np, = mq, sadrºi u sebi jedan drugi dati trougao, im se pravi uglovi poklope. 6

8 Fig. 7 ko se povu e linija, dobi e se uz to pravougli trougli, od kojih sve po dva ²to sleduju jedan za drugim imju jednu zajednicku stranu. Trougao postaje spajanjem trouglova i, u kojima suma tri ugla ne moºe biti ve a od π; ona prema tome mora bit jednaka π, da bi ova suma mogla u sloºenom trouglu iznositi π. Na isti na in sastoji se trougao iz trouglova i, prema tome mora u suma njegova tri ugla iznosit π, i to mora uop²te biti slu aj u svakom trouglu, po²to se svaki da rastaviti u dva pravougla trougla. Odavde sleduje, da su dopu²tene samo dve pretpostavke: ili je suma tri ugla u svim pravolinskim trouglima jednaka π, ili je ova suma u svima manja od π. 21. Iz jedne date ta ke moºe se uvek povu i jedna pava linija tako, da ona sa datom pravom zaklapa neodreženo mali ugao. Neka se iz date ta ke (g. 8) spusti upravna na datu pravu, neka se uzme na prizvoljna ta ka, povu e linija, na ini = i povu e. ko je u pravouglom trouglu ugao = α, onda mora u ravnokrakom trouglu ugao bit ili jednak ili manji od 1 2 α (stav 8,20). Fig. 8 7

9 Produºuju i na taj na in do i e se naposletku do jednog takvog ugla, koji je manji nego ma koji dati. 22. ko su dve upravne na istoj pravoj liniji mežu sobom paralelne, onda je suma triju uglova u pravoliniskim trouglima jdnaka π Neka su linije i (g. 9) paralelne mežu sobom i upravne na. Povucimo iz linije i F prema ta kama i F, koje su uzete na liniji u prizvoljnim odstojanjima F > od ta ke. F Fig. 9 ko pretpostavimo, da je u pravouglome trouglu suma njegova tri ugla jednaka π α, u trouglu F jdnaka π β, onda e ona u trouglu F morati biti jednaka π α β, gde α i β ne mogu biti negativni. ko je dakle ugao F = a, F = b, onda je α + β = a b; ako u inimo da se linija F udaljava sve vi²e od upravne, moºe se ugao a izmežu F i paralelne u initi proizvoljno malim, tako isto da se ugao b smanjiti, prema tome, uglovi α i β ne mogu imati drugu veli inu do α = 0 i β = 0. Prema tome, ili je u svim pravoliniskim trouglima suma njihova tri ugla π i u isto doba paralelan ugao Π(p) = 1 2π za svaku liniju p, ili je ova suma za sve trougle < π pa prema tome i Π(p) < 1 2 π. Prva pretpostavka sluºi za podlogu obi ne geometrije i ravne geometrije. ruga se pretpostavka moºe takože dopustiti a da se ne dože u rezultatima ni do kakve protivre nosti, i ini osnov jedne nove geometriske doktrine, koju sam nazvao imaginarnom geometrijom", i koju nameravam ovde da izloºim do izvoženja jedna ina, koje postoje izmežu strana i uglova kod pravoliniskih i sfernih touglova. 23. Za svaki dati ugao α moºe se na i jedna linija p, tako da je Π(p) = α. Neka su i (g. 10) dve prave linije, koje u ta ki preseka sklapaju o²ta ugao α; uzimamo na proizvoljno ta ku, iz ove spustimo upravnu na, 8

10 M G H K F Fig. 10 na inimo =, podignimo u upravnu i produºim tako dok ne dožemo do jedne upravne, koja se vi²e ne se e sa. Ovo mora nuºnim na inom jednom biti, jer ako je u trouglu suma sva tri ugla jednaka π α, onda e ona u trouglu biti jednaka π 2α, u trouglu manja od π 2α, u trouglu manja od π 2α (2. stav), i tako dalje, dok naposeltku ne postane negativnom i time ne pokaºe nemogu nost obrazovanja trougla. Upravna moºe biti identi na sa upravnom, od koje po ev sve linije bliºe ta ki seku ; u svakom slu aju mora egzistirati jedna takva upravna pri prelazu od linija koje seku linijama koje ne seku. Povucmo sada iz ta ke F liniju F H, koja sa F G zaklapa o²tri ugao HF G, i to na onoj strani na kojoj se nalazi ta ka. Iz ma koje ta ke H linije F H spustimo na upravnu HK, ije e produºenje, prema tome, morati se i negde u, i na taj na in posta e trougao K, u koji ulazi produºenje linije F H, koji stoga mora se i hipotenuzu negde u M. Po²to je ugao GF H proizvoljan i moºe se u initi proizvoljno malim, tp je F G paralelno sa i F = p (16-ti i 18-ti stav). Lako se uviža, da sa smanjivanjem linije p raste ugao α i da se za p = 0 pribliºuje vrednosti 1 2π; sa ra² enjem linije p smanuje se ugao α i pribliºuje se sve vi²e 0 za p =. Po²to je sasvim svejedno, koji e se ugao podrazumevati pod znakom Π(p), ako se linija p izrazi sa negativnim brojem, to emo uzeti da je Π(p) + Π(p) = π jedna ina, koja treba da vaºi za sve vrednosti od p, kako pozitivne tako i negativne i za p = ²to se paralelne linije vi²e produºuju na strani njihovog paralelizma, tim se vi²e pribliºavaju jedna drugoj. Neka su na liniji (g. 11) podignute dve upravne = i njihove krajnje ta ke i spojene jednom pravom linijom; 9

11 F G Fig. 11 tada e etvorougao u i imati dva prava, u i pak dva o²tra ugla (22. stav), koji su mežusobno jednaki, o emu se lako moºemo uveriti ako etvorougao poloºimo tako na samog sebe, da linija padne na a linija na. Prepolovimo i podignimo u ta ki polovljenja upravnu F na, koja mora u isto doba biti upravna i na, po²to su etvorougli F i F poklapaju kada se tako poloºe jedan na drugi, da linija F ostane u itom poloºaju. Prema tome, linija ne moºe biti paralelna sa, ve e paralelna sa ovom poslednjom za ta ku, naime linija G, skrenuti na onu stranu na kojoj je (16. stav) i otse i od upravne deo G <. Po²to je ta ka proizvoljna u liniji G, to iz toga sleduje, da se linija G, ²to vi²e produºuje, tim vi²e pribliºuje liniji. 10

12 25. ve prave linije, koje su paralelne sa tre om, paralelne su i mežu sobom. Najpre emo uzeti, da tri linije,, F (g.12) leºe u jednoj ravni. ko su dve od njih, po redu i, paralelne sa krajnjom F, onda su i i paralelne mežu sobom. a bi ovo dokazali, spustimo iz ma koje ta ke krajnje linije na drugu liniju F upravnu, koja e srednju liniju se i negde u ta ki (3- i stav) pod uglom < 1 2π na strani linije F paralelne sa linijom (22-ti stav). Upravna G spu²tena iz iste ta ke na mora se nalaziti u otvoru o²trog ugla G (9-ti stav), a svaka druga linija H povu ena iz u okviru ugla mora se i liniju F paralelnu sa negde u H, ma kako mali bio ugao H, prema tome e u trouglu H se i liniju H negde u K, po²to je nemogu no da se se e sa F. ko bi H polazilo iz ta ke u okviru ugla G, ona bi morala se i produºenje linije izmežu ta aka i G u trouglu G. Odavde slduje, da su i paralelne (16. i 18. stav). F M H L K G Fig. 12 ko se uzme, da su obe krajnje linije i F paralelne srednjoj, onda e svaka linija K povu ena iz ta ke u okviru ugla se i liniju nege u tacki K, makako mali bio ugao K. Uzmio na prduºenju od K ma koju ta ku L i spojimo je linijom L sa ta kom, koja mora se i F negde u M, ime postaje trougao M. Produºenje linije L u okviru trougla M ne moºe se i ni ni M po drugi put, prema tome su i F uzajamno paralelne. Neka sada paralelne i (g. 13) leºe u dve ravni, ciji je presek linija F. Spustimo iz makoje ta ke na ovoj poslednjoj upravnu na jednu od paralelnih, na pr. na, zatim spustimo iz, podnoºje ta ke upravne, jdnu novu upravnu na drugu paralelnu i spojimo krajnje ta ke i tih upravnih linijom. 11

13 G H F Fig. 13 Ugao mora biti o²tar (22-gi stav), prema tome pa² e upravna G, spu²tena iz na, u ta ku G na onu stranu od, na kojoj se smatra da su linije i paralelne. Svaka linija H, ma kako odstupala od F, pripada sa linijom jednoj ravni, koja ravan paralelnih i mora se i duº neke linije. Ova poslednja linija se e negde i to u istoj ta ki H, zajedni koj svim trima ravnima, kroz koju nuºnim na inom prolazi i linija H: prema tome je F paralelno sa. Na sli an na in dâ se dokazati i paralelizam linija F i. Prema tome, pretpostavka, da je linija F paralelna sa jednom od druge dve i, koje su mežu sobom paralelne, ne zna i ni²ta drugo do to, da se F ima smatrati kao presek onih ravni, u kojima leºe dve paralelne,. Prema tome, dve su linije paralelne mežu sobom kad su paralelne sa tre om i onda kad leºe u razli itim ravnima. Poslednji stav moºe se i ovako izraziti: tri se ravni seku u linijama, koje su sve mežusobom paralelne, im se petpostavi paralelizam dveju od ovih. 26. Trougli, koji na povr²ini kugle leºe naspram drugog, jednaki su po povr²ini. Pod suprotnim trouglima ovde podrazumevamo trougle, koje slaaju preseci kugline povr²ine sa tri ravni na obe strane sredi²ta; stoga u takvim trouglima strane i uglovi imaju suprotan pravac. U suprotnom su trouglovi i (g. 14), (gde se jedan od njih ima da smatra da je predstavljen u obrnutom poloºaju), strane =, =, =, tako isto jednaki su i odgovaraju i uglovi u ta kama,, uglovima u drugome trouglu u ta kama,,.zamislimo jednu ravan poloºenu kroz ta ke,, i upravnu spu²tenu na nju iz sredi²ta kugle, ija e produºenja na obe strane se i suprotne trougle u ta kama i kugline povr²ine. 12

14 Fig. 14 Otstojanje ta ke od ta aka,, merena na sferi lucima najve ih krugova, moraju biti jednaka (12. stav) kako mežu sobom tako i sa otstojanjima,, u drugom trouglu (6. stav), prema tome su ravnokraki trougli oko ta aka i u oba sferna trougla i kongruentni. a bismo uop²te mogli suditi o jednakosti dveju povr²ina, slede i stav uzimam za osnovu toga suženja: dve su povr²ine jednake, ako postaju spajanjem ili odvajanjem jednakih delova. 27. Trostrani rogalj jednak je polovini sume povr²inskih uglova manje jednom pravom. U sfenom trouglu (g 15.), u kome je svaka strana < π, ozna imo uglove sa,,, produºimo stranu tako da postane jedan ceo krug, koji e kuglu podeliti na dva jednaka dela. Fig. 15 Produºimo u onoj polovini, u kojoj se nalazi trougao, i druge dve strane njegove kroz njihovu zajedni ku ta ku preseka toliko, da se one seku sa krugom u i. Na taj na in bi e ta polovina kugle podeljena u etiri trougla,,,, ije veli ine neka su P, X, Y, Z.Jasno je da su ovde 13

15 P + X =, P + Z =. Veli ina sfernog trougla Y jednaka je veli ini suprotnog ugla, koji ima zajedni ku stranu sa trouglom P i iji tre i ugao leºi na krajnjoj ta ki onog pre nika kugle koji polazi od i prolazi kroz sredi²te njeno (26-ti stav). Odavde sleduje, da je P + Y = i, po²to je P + X + Y + Z = π, imamo takože: P = 1 2 ( + + π). o istog zaklju ka moºe se do i i drugim putem, oslanjaju i se samo na gornji stav o jednakosti povr²ina (26. stav). U sfernom trouglu (g. 16) prepolovimo strane i, poloºimo kroz sredi²nje ta ke i jedan najve i krug i spustimo na ovaj iz ta aka,, upravne F, H i G. ko upravna iz i H pada izmežu i, onda e trougao H biti jednak F i H jdnak G (6. i 15. stav), iz ega sleduje da je povr²ina etvorougla F G (26. stav). F H G F Fig. 16 Fig. 17 ko se ta ka H poklapa sa sredi²njom ta kom strane (g. 17), onda e postojati samo dva jednaka pravougla trougla F i, ijom se izmenom mesta dokazuje jednakost povr²ina trougla i etvorougla F. ko naposletku ta ka H pada van trougla (g. 18) i upravna G ide kroz trougao, onda emo pre i od trougla etvorouglu F G ako dodamo trougao F = H, pa zatim oduzmemo trougao G = H. ko u etvorouglu F G zamislimo kroz ta ke i G, kao i kroz ta ke F i poloºene najve e krugove, luci njihovi izmežu G i F bi e jednaki (15. stav), prema tome, bi e kongruentni trougli F i G (15. stav) i ugao F jednak uglu G. 14

16 G H F Fig. 18 Odavde sleduje, da je u svima prethodnim slu aevima suma sva tri ugla u sfernom trouglu jednaka sumi oba jednaka ugla u etvorouglu koji nisu pravi. Prema tome, moºe se svakom sfernom trouglu, u kome je suma njegova tri ugla S, na i etvorougao s istom povr²inom, u kome se nalaze dva prava ugla i dve jednake upravne strane i u kome je svaka od druga dva ugla jednaka 1 2 S Neka je sada (g. 19) sferni etvorougao, u kome su strane = upravne na i uglovi u i svaki 1 2 S. F H G Fig. 19 Produºimo strane i tako da se one seku u i produºimo ih dalje od, na inimo = F i spustimo na produºenje linije upravnu F G. eo luk G prepolovmo i spojimo sredisnju tacku H lucima najve eg kruga sa i F. Trougli F G i kongruentni su (15. stav), prema tome je F G = =. Trougli H i HGF takože su kongruentni, jer su pravougli i imaju jednake katete, prema tome, H i HF pripadaju jednom krugu, luk HF jednak je π, F takože je = π, ugao H = HF = 1 2 S H = 1 2 S HF G = 1 2 HF F G = 1 2 S H π S. Prema tome je: ugao HF = 1 2 (S π), ili, ²to je isto: jednak veli ini ise ka 15

17 HF. Veli ina ovog jednaka je opet etvorouglu, ²to se lako vidi ako se od jednog preže na drugi dodaju i najpre trougao F G i H a zatim oduzimaju i trougle i HF G, koji su im jednaki. Prema tome je 1 2 (S π) veli ina etvorougla i u isto doba veli ina sfernog trougla, u kome je suma sva tri ugla jednaka S. 28. ko se tri ravni seku u paralelnim linijama, suma njihova tri povr²inska ugla iznosi dva prava. Neka su,, (g. 20) tri paralelne linije koje postaju presecanjem triju ravni (25. stav). Uzmimo na njima tri proizvoljne ta ke,, i zamislimo kroz njih poloºenu jednu ravan, koja e prema tome se i ravni paralelnih u pravim linijama,,. alje poloºimo kroz liniju i ma koju ta ku na liniji jo² jednu ravan, iji e preseci sa ravnima paralelnih,, i, biti linije i, i iji emo nagib prema tre oj ravni paralelnih i ozna iti sa w (u g. 2' sa w1 i w2). r q p n l m r p q Fig. 20 Uglove izmežu ravni, u kojima se nalaze paralelne linije, ozna i emo sa X, Y Z na linijama, i (g. 2'); naposletku neka su linearni uglovi = a, = b, = c. Zamislimo oko kao sredi²ta opisanu jednu kuglinu povr²inu, na kojoj prseci njeni sa pravama, i odrežuju sferni trougao, ije strane neka su p, q, r a povr²ina α, a iji su uglovi: w naspram srane q, X naspram strane r i prema tome π + 2α w X naspram strane p (27. stav). Na isti na in seku,, kuglinu povr²inu oko sredi²ta i odrežuju trougao veli ine β sa stranama p, q, r i uglovima: w naspram q, Z naspram r i prema tome pi + 2β w Z naspram p. Naposletku preseci kugline povr²ine oko sa linijama,, odrežuju sferni trougao, ije su strane l, m, n a suprotni uglovi w + Z 2β, w + X 2α i Y, ija je povr²ina, prema tome, δ = 1 2 (X + Y + Z π) α β + w. 16

18 r q p w1 X n b l c y a m r Z p q w2 Fig. 2' Kad w opada opadaju i povr²ine trouglova α i β tako, da uglu δ mogu se strane l i m smanjiti takože do u beskona nost (21. stav), prema tome moºe se trougao δ jednom od svojih strana l ili m poloºiti na najve i krug kugle koliko se ho e puta a da time polovina kugle ne bude ispunjena, prema tome δ i² ezava u isto doba sa w; iz ega sleduje da je nuºnim na inom X + Y + Z = π. 29. U pravolinijskom trouglu ili se upravne podignute u sredinama strana ne seku ili se sve tri seku u jednoj ta ki. Pretpostavimo da se u trouglu (g. 21) dve upravne i F, podignute na stranama i u njihovim sredi²nim ta kama i F, seku u ta ki, i povucimo u okviru uglova trouglovih linije,,. F G Fig. 21 U kongruentnim je trouglima i (10. stav) =, tako isto sleduje da je i = ; trougao je, prema tome, ravnokrak i upravna spu²tena iz temena na osnovicu pa² e u njenu sredi²nu ta ku G. okaz ostaje isti i kada ta ka preseka upravnih i F leºi u liniji ili kad pada van trougla. U slu aju, dakle, kad se pretpostavi da se dve od ovih upravnih ne seku, ne moºe se ni tre a sa njima se i. 17

19 30. Upravne podignute u sredinama strana pravoliniskog trougla moraju sve tri biti paralelne, ako se pretpostavi paralelizam dveju od njih. Neka su u trouglu (g 22.) linije, F G, HK upravne na stranama u njihovim sredi²njim ta kama, F, H. F L H M P G K Fig. 22 Mi emo najpre pretpostaviti, da su upravne i F G paralelne, da one liniju seku u LM, i da se upravna HK nalazi izmežu njih. U okviru ugla L povucimo proizvoljno pravu liniju LG, koja e morati F G se i negde u G ma kako mali bio ugao otstupanja GL (16. stav). Po²to se u trouglu LGM upravna HK ne moºe se i sa MG (29. stav), ona mora se i LG negde u P, odakle sleduje, da HK mora biti paralelna sa (16. stav) i MG (18. i 25. stav). ko se stavi strana = 2a, = 2b, = 2c i uglovi suprotni ovim stranama ozna e sa,, onda imamo u gornjem slu aju = Π(b) Π(c), = Π(a) Π(c), = Π(a) Π(b), o emu se lako uveravamo pomo u linija,,, koje su iz ta aka,, povu ene paralelno upravnoj HK i koje su, prema tome, paralelne i sa druge dve upravne i F G (23. i 25. stav). Neka su sada upravne HK i F G mežu sobom paralelne, tre a upravna tada ih ne e se i (29. stav), prema tome, ona je ili paralelna sa njima ili se e. Poslednja pretpostavka ne zna i drugo do da je ugao > Π(a) + Π(b). Smanji li se ovaj ugao tako, da postane jednak Π(a) + Π(b), ²to e biti ako se liniji dâ nov poloºaj Q (g. 23), Q 18

20 Fig. 23 i duºina tre e strane Q ozna i sa 2c, onda mora ugao Q u ta ki, koji je postao ve i, prema onome ²to je gore dokazano, biti jednak Π(a) Π(c ) > Π(a) Π(c) odakle sleduju c > c (23. stav). li u trouglu Q uglovi u i Q su jednaki, prema tome mora u trouglu Q ugao kod Q biti ve i od ugla u ta ki, prema tome je > Q (9. stav); ²to zna i da je c > c. 31. Grani nom linijom (oriciklom) nazivamo onu krivu liniju u ravni, kod koje su sve upravne podignute u sredi²njim ta kama tetiva mežusobno paralelne. U saglasnosti sa ovom denicijom moºemo proizvoženje grani ne linije zamisliti na taj na in, ²to emo na datoj pravi iz jedne od njenih ta aka povla iti pod raznim uglovima = Π(a) tetive = 2a; H L G K F Fig. 24 kraj jedne takve tetive leºa e na grani noj liniji, ije ta ke moºemo postpeno odrediti na taj na in. Upravna na tetivi u njenoj sredini bi e paralelna sa linijom, koju emo nazvati osom grani ne linije.isto tako bi e i svaka druga upravna podignuta u sredi²njoj ta ki ma koje tetive H paralelna sa, prema tome, ova osobina mora pripadati i svakoj drugoj upravnoj KL uop²te, koja je podignuta u sredi²njoj ta ki K ma koje tetive, koja je povu ena izmežu makojih ta aka i H na grani noj liniji (30. stav). Takve upravne moraju se dakle takože bez razlike kao i nazvati osama grani ne linije. 32. Krug, iji polupre nik raste, prelazi u grani nu liniju. Neka je (g. 25) tetiva grani ne linije, povucimo iz njenih krajnjih ta aka: i dve ose i, koje e, prema tome, sklapati sa tetivom dva jednaka ugla = = α (31. stav). 19

21 F α β γ Fig. 25 Na jednoj od ovih osa uzmimo ma gde ta ku za sredi²te jednog kuga i povucimo luk F od po etne ta ke ose do njegove ta ke preseka F sa drugom osom. Polupre nik F kruga, koji odgovara ta ki F, sklapa e na jednoj strani sa tetivom F ugao F = β a na drugoj strani sa osom ugao F = γ. Izlazi da je ugao izmežu obe tetive F = α β < β + γ α (22. stav), odakle sleduje: α β < 1 2γ. Po²to se pak ugao γ smanjuje do nule kako kretanjem sredi²ta u pravcu, pri emu F ostaje nepromenjeno (21. stav), tako i pribliºavanjem ta ke F ta ki, pri emu sredi²te koje ostaje u svome poloºaju (22. stav), to sleduje, da takvim smanjivanjem ugla γ i² ezava i ugao α β, odnosno uzajamni nagib tetiva i F, pa prema tome i odstojanje ta ke na grani noj liniji od ta ke F na krugu. Prema tome moºe se grani na linija nazvati krugom sa beskona no velikim polupre nikom. 33. Neka su = = x (g. 26), dve linije paralelne mežu sobom na strani idu i od ka, ose grani nih lukova (lukova na dvema grani nim linijama) = s, = s, tada je s = se x, gde je e nezavisno od lukova s, s i prave x, koja predstavlja odstojanje luka s od s. a bismo ovo dokazali pretpostavimo, da je odnos luka s prema luku s jednak odnosu dva cela broja n i m. Izmežu osa, povucimo tre u osu,koja e na taj na in otsecati od luka deo = t i od luka na istoj strani deo = t. S S Fig

22 Neka je odnos izmežu t i s jednak odnosu dva cela broja p i q, tako da je s = n m s, t = p q s. Podelimo sada s osama u nq jednakih delova tako, da e takvih delova biti nq na s i np na t. Kako ovi jednaki delovi na s i t odgovaraju tako isto jednakim delovima na s t imamo: t t = s s. Ma gde dakle uzeli luke t i t izmežu osa i, uvek e njihov odnos ostati isti, dokle god otsojanje njihovo ostaje isto. ko se stoga za x = 1 stavi s = es onda e za svako x morati biti s = se x. Po²to je e nepoznat broj a podleºi samo usovu e > 1 i po²to se dalje jedinica duºine za x moºe uzeti proizvoljno, to je moºemo radi ra unskog upro² avanja tako izabrati, da se pod e razume osnova Neperovih logaritama. Jo² se ovde moºe primetiti, da je za x =, s = 0, prema tome, ne samo ²to se smanjuje otstojanje izmežu dve paralelne (24. stav), nego ono naposletku sasvim i² ezava pri produºenju paralelnih na strani paralelizma. Paralelne linije imaju dakle karakter asimptota. 34. Grani na povr²ina(orisfera) naziva se ona povr²ina koja postaje obrtanjem grani ne linije oko jedne od njenih osa, koja e zajedno sa svima ostalima osama granicne linije biti osa i grani ne povr²ine. Tetiva sklapa jednake uglove sa osama povu enim kroz njene krajne ta ke, pa ma gde da se uzmu na grani noj povr²ini ove dve krajne ta ke. Neka su,, (g. 27) tri ta ke na grani noj povr²ini, osa obrtanja, i dve druge ose, prema tome i tetive koje sa osama sklapaju jednake uglove =, = (31. stav); ose, povu ene kroz krajne ta ke tre e tetive takože su paralelne i leºe u jednoj ravni (25. stav). Upravna podignuta u sredini tetive i u ravni paralelnih, mora biti paralelna sa osama,, i upravnom. Ugao izmežu ravni,u kojoj su paralelne i, i ravni trougla ozna i emo sa Π(a), gde a moºe biti pozitivno, negativno ili nula. ko je a pozitivno, povucimo F = a, u trouglu i ravni njegovoj, upravno na tetivu iz njene sredi²nje ta ke ; ako je a negativan broj, F se mora povu i van trougla na drugoj strani tetive ; ako je a = 0, ta ka F poklapa se sa ta kom. 21

23 K F G F G Fig. 27 U svim ovim slu ajevima postaju dva kongruentna pravougla trougla F i F, prema tome je F = F. Podignimo sada u F liniju F F upravno na ravan trougla. Po²to je ugao F = Π(a), F = a, to je F F paralelno sa i linijom, sa kojom leºi u jednoj istoj ravni, koja je upravna na ravni trougla. Zamislimo sada da je u ravni paralelnih, F F podignuta na F upravna K, ta e upravna stajati upravno i na ravni trougla (13. stav) i na liniji koja leºi u toj ravni (11. stav), prema tome mora, koja je upravna na K i, biti u isto doba upravna i na F (11. stav). Trougli F i F su kongruentni, po²to su pravougli i imaju jednake katete, prema tome je F = F = F. Upravna spu²tena iz temena F ravnokrakog trougla F na osnovicu prolazi kroz njenu sredi²nju ta ku G; ravan poloºena kroz ovu upravnu F G i liniju F F mora biti upravna na ravni trougla i se i ravan paralelnih, (25. stav); po²to je pak G upravno na F G, pa prema tome u isto doba i na G, to je i ugao G = G (23. stav). Odavde sleduje, da se svaka osa moºe smatrati za obrnutu osu grani ne povr²ine. Glavnom ravni naziva emo svaku ravan koja je poloºena kroz jednu osu grani ne povr²ine. Prema tome, svaka glavna ravan se e grani nu povr²inu u grani noj liniji, dok je za svaki drugi poloºaj presecaju e ravni ovaj presek krug. Tri glavne ravni, koje se uzajamno seku, sklapaju mežu sobom uglove ija je suma π (28. stav). Ove emo uglove smatrati za uglove grani nog trougla, ije su strane luci grani nih linja, koje su preseci grani ne povr²ine sa onim trima glavnim ravnima. Kod grani nih trouglova postoji dakle ista zavisnost izmežu uglova i strana, kava se dokazuje u obi noj geometriji za pravolinijske trougle. 22

24 35. U slede em ozna ava emo veli inu linije jednim pismenom sa dodatim akcentom, na pr. x, da bismo izrazili, da njena veli ina stoji u jednom odnosu sa veli inom druge linije, koja je obeleºena istim znakom x bez akcenata, koji je izraºen jedna inom Π(x) + Π(x ) = 1 2 π. Neka je sada (g. 28)jedan pravoliniski trougao, u kome je hipotenuza = c, katete = b, = a, a suprotni uglovi = Π(α), = Π(β). Podignimo u ta ki upravnu,na ravan trougla i iz ta aka i povucimo i paralelno sa. Ravni, u kojima leºe ove tri paralelne, sklapaju mežu sobom uglove: Π(α) na ivici, prav ugao na ivici (11. i 13. stav), prema tome Π(α ), na ivici (28. stav). Preseci linija,, sa povr²inom kugle, koja je opisana oko ta ke kao sredi²ta, odrežuju sferni trougao, u kome je strana mn = Π(c), kn = Π(β), mk = Π(α) a suprotni uglovi Π(b), Π(α ), 1 2 π. p O3 r c a q b Fig. 28 Prema tome egzistencija jednog pravoliniskog trougla sa stranama a, b, c, i suprotnim uglovima Π(α), Π(β), 1 2π povla i sa sobom egzistenciju jednog sfernog trougla (g. 29) sa stranama Π(c), Π(β), Π(a) i suprotnim uglovima Π(β), Π(a ), 1 2π. li i obrnuto, egzistencija datog sfernog trougla uslovljava egzistenciju jednog novog pravoliniskog trougla, ije su strane a, α, β a suprotni uglovi Π(b ), Π(c), 1 2 π. 23

25 P(β) {}}{ P(a ) P(α) a c P(a) P(b) 1 π 2 b P(α) 1 2 π P(β) Fig. 29 Prema tome moºe se od a, b, c, α, β pre i na b, a, c, β, α, kao i na a, α, β, b, c. Zamisimo da je kroz ta ku (g. 28) poloºena grani na povr²ina sa osom, povr²ina koja druge dve ose, se e u i, i iji preseci s ravnima paralelnih sklapaju grani ni trougao, ije su strane = p, = q, = r, a suprotni ugovi Π(α), Π(α ), 1 2π, i gde je prema tome (34. stav): p = r sin Π(α), q = r cos Π(α). ko sada spoj date tri ravni rasklopimo duº linije (g. 30) i te ravni razvijemo tako, da one sa svim svojim linijama dožu u jednu ravan, tada e se o evedno luci p, q, r spojiti u jedan luk jedne grani ne linije, koja e prolaziti kroz ta ku i imati za osu. Osim toga nalazi e se na jednoj strani : luci q i p, strana b trougla, koja je u upravna na, osa, koja polazi iz krajne ta ke linije b paralelno sa i ide kroz dodirnu ta ku linija p i q, strana a upravno na u ta ki, i iz krajne ta ke njene osa paralelna s, koja prolazi kroz krajnu tacku luka p. Na drugoj srani od nalazi e se: strana c upravna na u ta ki, i osa paralelna sa, koja polazi iz krajne ta ke linije c i ide kroz krajnu ta ku luka r. d q g e p q r 24

26 Fig. 30 Veli ina linije zavisi od b, i tu emo zavisnost ozna iti sa = f(b). Na isti na in bi e = f(c). ko se sa kao osom opi²e jedna nova grani na linija iz ta ke pa do preseka njenog sa osom i luk ozna i sa t, bi e = f(a); = + = +, prema tome: Osim toga vidimo da je (33. stav) f(c) = f(a) + f(b). t = pe f(b) = r sin Π(α) e f(b). a je mesto u ta ki podignuta upravna u ta ki na ravan trougla linije c i r ostale bi iste, ali luci q i t pretvorili bi se u t i q, prave a i b u b i a i ugao Π(α) u Π(β), prema tome imali bismo q = r sin Π(β) e f(a), odakle sleduje, kad se mesto q stavi njegova vrednost, a kad se mesto α i β stave b i c i dalje mnoºenjem sa e f(b) Odavde sleduje da je i : cos Π(α) = sin Π(β) e f(a), sin Π(b) = sin Π(c) e f(a), sin Π(b) e f(b) = sin Π(c) e f(c). sin Π(a) e f(a) = sin Π(b) e f(b) Po²to su pak prave a i b nezavisne jedna od druge, i osim toga f(b) = 0, Π(b) = π 2 za b = 0, to je za svaku pravu liniju a prema tome: e f(a) = sin Π(a), sin Π(c) = sin Π(a) sin Π(b), sin Π(β) = cos Π(α) sin Π(a). Odavde se jo² dobija izmenom pismena: sin Π(α) = cos Π(β) sin Π(b), 25

27 cos Π(b) = cos Π(c) cos Π(α), cos Π(α) = cos Π(c) cos Π(β). ko se u sfernom pravouglom trouglu (g. 29) strane Π(c), Π(β), Π(α) ozna e pismenima a, b, c a suprotni ugovi Π(b), Π(α ) pismenima,, onda e nažene jedna ine dobiti formu onih jedna ina, koje se, kao ²to je poznato, izvode u sfernoj triginometriji za pravougle trougle, naime: sin α = sin c sin, sin b = sin c sin, cos = cos a sin, cos = cos b sin, cos c = cos a cos b, sa kojih se jedna ina moºe pre i na jedna ine za sve sferne trougle uop²te. Prema tome, sferna triginometrija ne zavisi od toga, da li je zbir ugova u pravoliniskome trouglu jednak dvama pravama ili ne. 36. Sada emo ponova posmatrati pravougli pravoliniski trougao (g. 31), u kome su strane a, b, c a suprotni uglovi Π(α), Π(β), 1 2π. Produºimo hipotenuzu c preko ta ke i na inimo = β; u ta ki podignimo upravnu na, koja e prema tome biti paralelna sa, tj. s produºenjem strane a na drugu stranu od ta ke. Iz ta ke povucimo jo² paralelnu sa, koja je u isto doba paralelna i sa (25. stav), sa ega je ugao = Π(c + β), = Π(b) dakle: Π(b) = Π(α) + Π(c + b). ko prenesmo duºinu β na hipotenuzu c iz ta ke, zatim u krajnoj ta ki njenoj (g. 32) podignimo upravnu na u okviru trougla, a iz ta ke povu emo paralelnu P(β) α P( ) P(b) P(c + β) P( ) c b P(β) a β 26

28 Fig. 31 Fig. 32 sa, onda e biti sa svojim produºenjem tre a paralelna P(β) c P(β) a P( ) P(b) c b a β c P(α) P(b) b Fig. 33 Fig. 34 tada je: ugao = Π(b), = Π(c β), prema tome, Π(c β) = Π(α) + Π(β). Ova poslednja jedna ina vaºi i onda kada je c = β ili c < β. ko je c = β (g. 33), onda je upravna podignuta u ta ki na paralelna strani = a sa njenim produºenjem, prema tome je Π(α) + Π(b) = 1 2π, dok je takože Π(c β) = 1 2π (23. stav). ko je c < β, kraj od β pada na drugu stranu ta ke u (g. 34) na produºenje hipotenuze. Na podignuta upravna iz bi e i ovde paralelna strani = a sa njenim produºenjem. Ovde je ugao = Π(β c), prema tome, Π(α) + Π(b) = π Π(β c) = Π(c β) (23. stav). Spajanjem obe jedna ine dobija se 2Π(b) = Π(c β) + Π(c + β), odakle sleduje 2Π(α) = Π(c β) Π(c + β), cos Π(b) cos Π(α) = cos[ 1 2 Π(c β) + 1 2Π(c + β)] cos[ 1 2 Π(c β) 1 2Π(c + β)]. Zamenili se ovde vrednost (35. stav) cos Π(b) = cos Π(c), cos Π(α) 27

29 onda se dobija, tan Π(c) = tan 1 2 Π(c β) tan 1 Π(c + β). 2 Po²to je ovde β proizvoljan broj, jer se ugao Πβ, koji se nalazi na jednoj π strani od c moºe uzeti proizvoljno izmežu granica 0 i 2, prema tome β izmežu granica 0 i, to emo zaklju iti, ako stavimo redom β = c, 2c, 3c itd., da je za svaki pozitivan broj n tan n 1 2 Π(c) = tan 1 2 Π(nc). ko se n smatra odnos dveju linija x i c i ako se pretpostavi da je cot 1 2 Π(c) = ec, onda se nalazi za svaku liniju x op²te, pa bilo da je ona pozitivna ili negativna tan 1 2 Π(x) = e x, gde e moºe biti svaki mogu ni broj ve i od jedan, po²to je za x =, Π(x) = 0. Po²to je proizvoljna linija kojom se mere linije, to se pod e moºe podrazumevati i osnova Naperovih lagaritama. 37. Od gore naženjih jedna ina (35. stav) dovoljno je poznavati slede e dve sin Π(c) = sin Π(a) sin Π(b), sin Π(α) = sin Π(b) cos Π(β), ako se pri tome ova poslednja primeni na obe katete a i b, pa da se njihovim spajanjem izvedu ostale dve (35. stav) bez dvosmislenosti algebarskih znakova, po²to su ovde svi uglovi o²tri. Na sli an na in dolazi se do slede ih dveju jedna ina tan Π(c) = sinπ(α) tan Π(α), (1) cos Π(α) = cos Π(c) cos Π(β). (2) Sad emo posmatrati jedan pravoliniski trougao ije su strane a, b, c, (g. 35) a suprotni uglovi,,. ko su i o²tri uglovi, upravna p spu²tena iz temena ugla u trouglu pada na stranu c i deli je u dva dela, i to u deo x na strani ugla i c x na strani ugla. 28

30 b p a x c x Fig. 35 Na taj na in postaju dva pravougla trougla, za koje se primenom jedna ine (1) dobija: tan Π(a) = sin tan Π(p), tan Π(b) = sin tan Π(p), jedna ine koje ostaju nepromenjene i kad je jedan od uglova, b a p c c x c Fig. 36 Fig. 37 na pr. prav ili tup (g. 37). Prema tome imamo uop²te za svaki ugao sin tan Π(a) = sin tan Π(b). (3) Za trougao sa o²trim uglovima,, (g. 35) imamo jo² i (2-ga jedna ina): cos Π(x) = cos cos Π(b), cos Π(c x) = cos cos Π(a), jedna ine koje se odnose i na trougle u kojima je jedan od uglova ili prav ili tup. Na primer, mora se za = 1 2π (g. 36) uzeti da je x = c, tada prva jedna ina prelazi u gore naženu (2-gu jedna inu), a druga je sama 29

31 sobm data. Za > 1 2π (g. 37) prva jedna ina ostaje nepromenjena, a mesto druge moramo pisati odgovaraju u: cos Π(x c) = cos(π ) cos Π(a), ali je cos Π(x c) = cos Π(c x) (23. stav) a i cos(π ) = cos. ko je prav ili tup ugao onda se mora mesto x i c x staviti c x i x, da bi se ovaj slu aj sveo na preža²nji. a bismo eliminisali x iz obe jedna ine, primeti emo da je (36. stav) cos Π(c x) = 1 tan2 1 2Π(c x) 1 + tan 2 1 2Π(c x) = 1 e2x 2c 1 + e 2x 2c = 1 tan2 1 2 Π(c) cot2 1 2 Π(x) 1 + tan Π(c) cot2 1 2 Π(x) = cos Π(c) cos Π(x) 1 cos Π(c) cos Π(x). ko se ovde zameni izraz za cos Π(x), cos Π(c x) dobija se : odakle sleduje i naposletku: cos Π(c) = cos Π(a) cos Π(b) = cos Π(a) cos + cos Π(b) cos 1 + cos Π(a) cos Π(b) cos cos, cos Π(c) = cos cos 1 cos cos Π(b) cos Π(c), sin 2 Π(c) = [1 cos cos Π(c) cos Π(a)] [1 cos cos Π(b) cos Π(c)]. Na sli an na in mora biti i: sin 2 Π(a) = [1 cos cos Π(a) cos Π(b)] [1 cos cos Π(c) cos Π(a)]. (4) sin 2 Π(b) = [1 cos cos Π(b) cos Π(c)] [1 cos cos Π(a) cos Π(b)] Iz ove tri jedna ine nalazi se jo²: sin 2 Π(b) sin 2 Π(c) sin 2 Π(a) = [1 cos cos Π(b) cos Π(c)]. Odavde sleduje bez dvosmislenosti znakova: cos cos Π(b) cos Π(c) + sin Π(b) sin Π(c) sin Π(a) = 1. (5) 30

32 ko se ovde zameni vrednost od sin Π(c) u saglasnosti sa jedna inom (3), dobija se sin Π(c) = sin tan Π(a) cos Π(c) sin cos Π(c) = cos Π(a) sin sin sin Π(b) + cos sin cos Π(a) cos Π(b), ili ako se ovaj izraz za cos Π(c) zameni u jedna ini (4), cot sin sin Π(b) + cos = liminacijom sin Π(b) pomo u jedna ine (3) izlazi: cos Π(a) cos cos = 1 sin sin Π(a), cos Π(b) sin Jedna ina (6) daje, mežutim, promenom pismena cos Π(a) cos Π(b) Iz poslednje dve jedna ine sleduje: = cot b sin sin Π(a) + cos. cos + cos cos = cos Π(b) cos Π(a). (6) sin sin sin Π(a). (7) Sve etiri jedna ine za zavisnost strana a, b, c u pravoliniskom trouglu bi e prema tome [identi ne sa (3), (5), (6), (7)]: (8) sin tan Π(a) = sin tan Π(b), sin Π(b) sin Π(c) cos cos Π(b) cos Π(c) + sin Π(a) = 1, cos Π(b) cos sin sin Π(b) + cos = cos Π(a), cos + cos cos = sin sin sin Π(a). ko su srane a, b, c, trougla vrlo male, moºemo se zadovoljiti pribliºnim vrednostima (36. stav) cot Π(a) = a, sin Π(a) = a 1 2 a2, cos Π(a) = a, i na sli an na in i za druge strane b i c. Jedna ine (8) prelaze za takve trougle u slede e: b sin = a sin, 31

33 a 2 = b 2 + c 2 2bc cos, a sin( + c) = b sin, cos + cos( + c) = 0. Prve dve od ovih jedna ina pretpostavlja obi na geometrija; iz druge dve sleduju, uzimaju i u pomo prve dve, zaklju ak: + + = π. Prema tome, imaginarna geometrija prelazi u obi nu kad se pretpostavi, da su strane pravolinisog trougla vrlo male. O merenju krivih linija, ravnih gura, povr²ina i zapremina tela, kao i o primeni imaginarne geometrije na analizu, objavio sam nekoliko ispitivanja u U enim zapisnicima Univerziteta kazanskog". Jedna ine (8) pruºaju ve same sobom dovoljnu podlogu, da se pretpostavka imaginarne geometrije moºe smatrati za mogu nu. Prema tome, astronomska posmatranja su jedino sredstvo, da bi se moglo suditi o ta nost prora una obicne geometrije. Ova se ta nost prostire vrlo daleko, kao ²to sam to pokazao jednom od svojih rasprava, tako da, na pr. u trouglima, ije su strane jo² pristupa ne na²im merenjima, zbir njihova tri ugla nije razli an od dva prava za stoti deo jedne sekunde. Jo² je vredno ista i, da one etiri jedna ine (8) ravne geometrije prelaze u jedna ine za sferne trougle, ako se mesto strana a, b, c stavi: a 1, b 1, c 1, ali sa ovom promenom mora se o evidno staviti i da je: sin Π(a) = 1 cos a, cos Π(a) = 1 tan a, tan Π(a) = 1 sin a 1, i na sli an na in i za strane b i c. Na taj na in prelazi se od jedna ina (8) na slede e: sin sin = sin sin a, cos a = cos b cos c + sin b sin c cos, cot sin + cos cos b = sin b cot a, cos = cos a sin sin cos cos. 32

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Sli cnost trouglova i Talesova teorema

Sli cnost trouglova i Talesova teorema Sli cnost trouglova i Talesova teorema Denicija. Dva trougla ABC i A B C su sli cna ako su im sva tri ugla redom podudarna a i ako su im odgovaraju ce stranice proporcionalne tj. a = b b = c c. Stav 1.

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Planimetrija. Sličnost trouglova. GF 000 Dužine stranica trougla su 5cm, cm i 8cm. Dužina najduže stranice njemu sličnog

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R.

Matematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R. Matematika 4 zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 26. jun 25.. Izra unati I(α, β) = 2. Izra unati R ln (α 2 +x 2 ) β 2 +x 2 dx za α, β R. sin x i= (x2 +a i 2 ) dx, gde su a i

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije Prvi razred A kategorija

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije Prvi razred A kategorija 18.02006. Prvi razred A kategorija Dokazati da kruжnica koja sadrжi dva temena i ortocentar trougla ima isti polupreqnik kao i kruжnica opisana oko tog trougla. Na i najve i prirodan broj koji je maƭi

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar

TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar Doc. dr Stanko ori email: cstanko@grf.bg.ac.rs Graževinski fakultet Univerzitet u Beogradu k. god. 2018/19 Sadrºaj 1 Poloºaj krutog tela u prostoru

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x. 4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Analitička geometrija 1. Tačka 1. MF000 Neka su A(1, 1) i B(,11) tačke u koordinatnoj ravni Oxy. Ako tačka S deli duž AB

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Sadrºaj. 1 Vektorska algebra 1. 2 Analiti ka geometrija 2. 3 Analiti ka geometrija u ravni 3

Sadrºaj. 1 Vektorska algebra 1. 2 Analiti ka geometrija 2. 3 Analiti ka geometrija u ravni 3 Sadrºaj Sadrºaj i 1 Vektorska algebra 1 2 Analiti ka geometrija 2 3 Analiti ka geometrija u ravni 3 4 Analiti ka geometrija u prostoru 4 4.1 Ravan u prostoru......................... 5 4.2 Udaljenost ta

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar

TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar Prof. dr Stanko Br i Prof. dr Rastislav Mandi Doc. dr Stanko ori email: cstanko@grf.bg.ac.rs Graževinski fakultet Univerzitet u Beogradu k. god.

Διαβάστε περισσότερα

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II 1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

Tehnologija bušenja II

Tehnologija bušenja II INŽENJERSTVO NAFTE I GASA Tehnologija bušenja II 1. Vežba V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 1 of 44 Algebra i trigonometrija V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 2 of 44 Jednačine Pitanje: Ako je a = 3b

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

OTPORNOST MATERIJALA

OTPORNOST MATERIJALA 3/8/03 OTPORNOST ATERIJALA Naponi ANALIZA NAPONA Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa) Pa=N/m Pa=0 6 Pa GPa=0 9 Pa F (N) kn/cm =0 Pa N/mm =Pa Jedinična površina (m ) U tečnostima pritisak jedinica bar=0

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

I Pismeni ispit iz matematike 1 I

I Pismeni ispit iz matematike 1 I I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA.   Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

Analitička geometrija

Analitička geometrija 1 Analitička geometrija Neka su dati vektori a = a 1 i + a j + a 3 k = (a 1, a, a 3 ), b = b 1 i + b j + b 3 k = (b 1, b, b 3 ) i c = c 1 i + c j + c 3 k = (c 1, c, c 3 ). Skalarni proizvod vektora a i

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

Konstruktivni zadaci. Uvod

Konstruktivni zadaci. Uvod Svaki konstruktivni zadatak ima četri dijela: 1. Analiza 2. Konstrukcija 3. Dokaz 4. Diskusija Konstruktivni zadaci Uvod U analizi pretpostavimo da je zadatak riješen, i na osnovu slike (skice) rješenja,

Διαβάστε περισσότερα

1. APSOLUTNA GEOMETRIJA

1. APSOLUTNA GEOMETRIJA 1. APSOLUTNA GEOMETRIJA Euklidska geometrija izvedena sintetičkim metodom zasniva se na aksiomama koje su podeljene u pet grupa i to: aksiome rasporeda, aksiome incidencije, aksiome podudarnosti, aksiome

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske nejednačine

Trigonometrijske nejednačine Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 1

ELEMENTARNA MATEMATIKA 1 Na kolokviju nije dozvoljeno koristiti ni²ta osim pribora za pisanje. Zadatak 1. Ispitajte odnos skupova: C \ (A B) i (A C) (C \ B). Rje²enje: Neka je x C \ (A B). Tada imamo x C i x / A B = (A B) \ (A

Διαβάστε περισσότερα

Aksiome podudarnosti

Aksiome podudarnosti Aksiome podudarnosti Postoji pet aksioma podudarnosti (tri aksiome podudarnosti za duži + dvije aksiome podudarnosti za uglove) III 1 Za svaku polupravu a sa početnom tačkom A i za svaku duž AB, postoji

Διαβάστε περισσότερα

Sistem sučeljnih sila

Sistem sučeljnih sila Sistm sučljnih sila Gomtrijski i analitički način slaganja sila, projkcija sil na osu i na ravan, uslovi ravnotž Sistm sučljnih sila Za sistm sila s kaž da j sučljni ukoliko sil imaju zajdničku napadnu

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

O trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš

O trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš O trouglu mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš O trouglu 2 O TROUGLU Trougao je nezaobilazna tema kako osnovne tako i srednje škole. O trouglu se skoro sve zna. Navodimo te činjenice.

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA. KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa

Διαβάστε περισσότερα

Aksiomatsko zasnivanje euklidske geometrije

Aksiomatsko zasnivanje euklidske geometrije Aksiomatsko zasnivanje euklidske geometrije 1. Postoji jedna i samo jedna prava koja sadrži dve razne tačke A i B. 2. Postoji jedna i samo jedna ravan koja sadrži tri nekolinearne tačke A, B, C. 3. Ako

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar

TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar Prof. dr Stanko Br i Prof. dr Rastislav Mandi Doc. dr Stanko ori email: cstanko@grf.bg.ac.rs Graževinski fakultet Univerzitet u Beogradu k. god.

Διαβάστε περισσότερα

wwwmatematiranjecom TRIGONOMETRIJSKI KRUG Uglovi mogu da se mere u stepenima i radijanima Sa pojmom stepena smo se upoznali još u osnovnoj školi i ako se sećate, njega smo podelili na minute i sekunde(

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar

TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar Prof. dr Stanko Br i Prof. dr Rastislav Mandi Doc. dr Stanko ori email: cstanko@grf.bg.ac.rs Graževinski fakultet Univerzitet u Beogradu k. god.

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana.

Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 2 Dokazati da se visine trougla seku u jednoj tački ortocentar. 1 Dvostruki vektorski proizvod Važi

Διαβάστε περισσότερα

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz predmeta Euklidska geometrija 1

Pismeni ispit iz predmeta Euklidska geometrija 1 Univerzitet u Zenici Pedagoški fakultet Odsjek: Matematika i informatika Zenica, 27.01.2010. Pismeni ispit iz predmeta Euklidska geometrija 1 Zadatak br. 1 a) U oštrouglom trouglu ABC (AC < BC) visina

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija 18.1200 Prvi razred A kategorija Neka je K sredixte teжixne duжi CC 1 trougla ABC ineka je AK BC = {M}. Na i odnos CM : MB. Na i sve proste brojeve p, q i r, kao i sve prirodne brojeve n, takve da vaжi

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. f(x + 1) x f(x) + 1.

Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. f(x + 1) x f(x) + 1. 09.0200 Prvi razred A kategorija Ako je n prirodan broj, dokazati da 3n 2 + 3n + 7 nije kub nijednog prirodnog broja. U trouglu ABC je ABC = 60. Neka su D i E redom preseqne taqke simetrala uglova CAB

Διαβάστε περισσότερα

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... } VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,

Διαβάστε περισσότερα

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove. Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1

Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1 Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +

Διαβάστε περισσότερα

Teorem 1.8 Svaki prirodan broj n > 1 moºe se prikazati kao umnoºak prostih brojeva (s jednim ili vi²e faktora).

Teorem 1.8 Svaki prirodan broj n > 1 moºe se prikazati kao umnoºak prostih brojeva (s jednim ili vi²e faktora). UVOD U TEORIJU BROJEVA Drugo predavanje - 10.10.2013. Prosti brojevi Denicija 1.4. Prirodan broj p > 1 zove se prost ako nema niti jednog djelitelja d takvog da je 1 < d < p. Ako prirodan broj a > 1 nije

Διαβάστε περισσότερα

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka 1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Tangentna ravan i normala površi

1.1 Tangentna ravan i normala površi Površi. Tangentna ravan i normala površi Zadatak Data je površ r(u, v) = (u cos v, u sin v, a 2 u 2 ), a = const. Ispitati o kojoj se površi radi i odrediti u i v linije. Zadatak 2 Data je površ r(u, v)

Διαβάστε περισσότερα

Sadrºaj. 1 Vektorska algebra 1. 2 Analiti ka geometrija 2. 3 Analiti ka geometrija u ravni 3. 4 Analiti ka geometrija u prostoru 4

Sadrºaj. 1 Vektorska algebra 1. 2 Analiti ka geometrija 2. 3 Analiti ka geometrija u ravni 3. 4 Analiti ka geometrija u prostoru 4 Sadrºaj Sadrºaj i 1 Vektorska algebra 1 2 Analiti ka geometrija 2 3 Analiti ka geometrija u ravni 3 4 Analiti ka geometrija u prostoru 4 5 Ispitivanje jedna ina drugog reda u R 2 5 5.1 Krive sa centrom.........................

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK

SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK. Rši sism jdnačina: d 7 d d d Ršnj: Ša j idja kod ovih zadaaka? Jdnu od jdnačina difrniramo, o js nađmo izvod l jdnačin i u zamnimo drugu jdnačinu.

Διαβάστε περισσότερα