Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 5.1 (Dio treci)

Transcript

1 Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 5. Dio treci) Prije rijesavanja zadataka prisjetimo se bitnih stvari koje ce nas pratiti tijekom njihovog promatranja. Tvrdnja: Osnovni trigonometrijski identiteti) Tvrdnja: Adicijski teoremi) sin x + cos x = tg x = sin x cos x ctg x = cos x sin x Tvrdnja: Formule redukcije sin x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y cos x ± y) = cos x cos y sin x sin y tg x ± y) = ctg x ± y) = tg x ± tg y tg x tg y ctg x ctg y ctg y ± ctg x π ) π ) sin + t = cos t cos + t = sin t π ) π ) sin t = cos t cos t = sin t sin π + t) = sin t cos π + t) = cos t sin π t) = sin t cos π t) = cos t ) ) π π sin + t = cos t cos + t = sin t ) ) π π sin t = cos t cos t = sin t Tvrdnja: Trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta) sin x = sin x cos x cos x = cos x sin x tg x = tg x tg x ctg x = ctg x ctg x

2 Tvrdnja: Sinus i kosinus polovicnog kuta: sin x = ± cos x cos x = ± + cos x Tvrdnja: Transformacija umnoska u zbroj) sin x cos y = [sin x + y) + sin x y)] cos x sin y = [sin x + y) sin x y)] cos x cos y = [cos x + y) + cos x y)] sin x sin y = [cos x y) cos x + y)] Tvrdnja: Transformacija zbroja u umnozak) sin x + sin y = sin x + y sin x sin y = cos x + y cos x + cos y = cos x + y cos x y sin x y cos x y cos x cos y = sin x + y sin x y Prisjetim se jos vrijednosti trigonometrijskih funkcija za istaknute kuteve: Kut sin x cos x tg x ctg x π π π π π π π nedef. 0 nedef. 0 0 nedef. 0 nedef.

3 Zadatak 5: str. 9) ) Rijesi sljedecu jednadzbu: sin 5x = sin x cos x Rjesenje: Dakle pogledamo li danu trigonometrijsku jednadzbu mozemo uociti da ona sadrzi i razlicite trigonometrijske funkcije i razlicite argumente sto nije bas dobar znak. No prisjetimo se da postoji nesto sto se formule pretvorbe umnoska u zbroj, tocnije da vrijedi sljedeci identitet: sin x cos y = [sin x + y) + sin x y)] Taj identitet nam daje ideju da probamo desnu stranu jednadzbe iz umnoska pretvoriti u zbroj te na taj nacin dobiti vise jednakih trigonometrijskih funkcija i/ili argumenata. Racunam: Izmnozim cijelu jednadzbu s : sin 5x = sin x cos x sin 5x = [sin x + x) + sin x x)] sin 5x = [sin 5x + sin x)] sin 5x = [sin 5x + sin x)] / sin 5x = [sin 5x + sin x)] sin 5x = sin 5x + sin x) "Prebacimo" sin 5x s desne na lijevu stranu: sin 5x sin 5x = sin x) sin 5x = sin x) Ovo je jednadzba koja spada pod one koje se svode na osnovne. Napomena: Ova jednadzba je tipa: sin t = sin t, t, t R Njezina rjesenja dobe se na nacin da se rijese sljedece dvije linearne jednadzbe: t = t + kπ, k Z t = π t + kπ, k Z

4 Imajuci na umu gornju napomenu argument s lijeve strane 5x oznacim s t, dok argument s desne strane x oznacim s t : sin 5x = sin x) t t sin t = sin t Prema napomeni tada su rjesenja dana s: t = t + kπ, k Z t = π t + kπ, k Z Vratim natrag umjesto t izraz 5x, te umjesto t izraz x. Usredotocim se za pocetak na prvu jednadzbu: t 5x = t x +kπ, k Z 5x = x + kπ "Prebacim" x na drugu stranu, slijedi: 5x + x = kπ Podijelim cijelu jednadzbu s 6: 6x = kπ 6x = kπ / : 6 Pokratim sto se pokratiti dade: 6x 6 = kπ 6 6x = kπ 6 6 x = kπ Dakle rjesenje prve jednadzbe jest x = kπ, k Z. Rijesimo sada jos drugu jednadzbu: t = π t +kπ, k Z 5x x 5x = π x) + kπ 5x = π + x + kπ

5 "Prebacim" x na drugu stranu, slijedi: 5x x = π + kπ Podijelim cijelu jednadzbu s : x = π + kπ Pokratim sto se pokratiti dade: x = π + kπ / : x = π + kπ x = π + kπ x = π + kπ Dakle rjesenje druge jednadzbe jest x = π + kπ, k Z. Pocetna trigonometrijska jednadzba ima ukupno dva rjesenja i to x = kπ, k Z i x = π + kπ, k Z. % Zadatak 6: str. 9) ) Rijesi sljedecu jednadzbu: sin x + 9 cos x = 7 Napomena: Ovo je linearna trigonometrijska jednadzba koja se rijesava uz pomoc univerzalne zamjene. Naime vrijedi: tg x sin x = + tg x tg x cos x = + tg x Uvodjenjem supstitucije t = tg x jednadzba se svodi na algebarsku. 5

6 tg x Rjesenje: Dakle imajuci na umu napomenu zamijenit cemo sin x s + tg x te cos x s tg x + tg x. Dakle dana jednadzba poprima sljedeci oblik: tg x + tg x + 9 tg x + tg x = 7 Uvedem supstituciju k = tg x pa jednadzba prelazi u algebarsku: k k k + k = 7 Pomnozim cijelu jednadzbu s + k. Problem se moze javiti ako je + k jednako 0 no to je nemoguce jer je k uvijek pozitivan, ako pozitivnom broju dodamo on ce sigurno biti veci od 0. Racunam: Rijesimo se zagrada: k k k + k = 7 / + k ) k + k + k + 9 k + k + k = 7 + k ) k + 9 k ) = 7 + k ) k + 9 9k = 7 + 7k "Prebacimo" sve na desnu stranu kako bi dobili pozitivan vodeci koeficijent kod kvadratne jednadzbe: 0 = 7 + 7k + 9k 9 kt Sredimo dobiveni izraz: 0 = 6k k Zamijenimo starne jednakosti kako bi jednadzba poprimila standardni oblik: 6k k = 0 Izraz po kojem izracunavam rjesenja kvadratnih jednadzbi jest: k, k = b ± b ac a Nadalje ispisem koeficijente dane kvadratne jednadbe: a = 6 6

7 b = c = Uvrstim ispisane koeficijente u gornji izraz te racunam: k, k = ) ± ) 6 ) 6 k, k = ± k, k = ± k, k = ± Dakle jedno rijesenje dane kvadratne jednadzbe jest: k = 8 = Dok je drugo rijesenje dane kvadratne jednadzbe: k = + = = = 6 = I time smo rijesili nasu jednadzbu s time da smo dobili dva rjesenja i to: k = k = No da bih dobio konacno rjesenje pocetne jednadzbe moram jos vratiti supstituciju. Vrijedi: k = tg x Na taj nacin dobijem dvije osnovne trigonometrijske jednadzbe: = tg x = tg x Usredotocimo se za pocetak na prvu od dvije trigonometrijske jednadzbe: = tg x 7

8 Zamijenim lijevu i desnu stranu jednadzbe da poprimi standardni oblik: Uvodim supstituciju t = x : tg x = tg x = t tg t = Nas glavni zadatak postaje odrediti za koje je kuteve t vrijednost funkcije tg jednaka. U tu svrhu pogledajmo sljedecu sliku: Dakle tangense citamo na pravcu okomitom na os x kroz tocku 0, ) na osi x. Ucrtamo tocku na tom pravcu tako da se pomaknemo za prema dolje od osi x na tom pravcu. Povucemo prvac kroz ucrtanu tocku na tom pravcu te kroz ishodiste. Zatim pogledamo sjeciste tog pravca i brojevne kruznice, to su tocke Et ) i Et ). Kako po definciiji tangensa znamo da je to upravo y koordinata tocke na pravcu okomitom na os x kroz tocku 0, ) na osi x dobivene kao sjeciste pravca koji prolazi ishodistem i tockom pridruzenom broju t, odnosno t, vidimo da ce tocke dobivene kao sjeciste pravca kroz ishodiste i tocke pridruzene brojevima t i t i pravca okomitog na os x kroz tocku 0, ) na osi x imati y koordinate jednake, odnosno tangensi brojeva t i t bit ce jednaki upravo. Dakle zadatak nam je otkiriti koji su to brojevi. Promotrimo li tablicu na dnu prve stranice dokumenta, mozemo uociti da se u njoj ne nalazi u retku u kojem su ispisane vrijednosti tangensa, niti bilo kakav slican broj. U takvim slucajevima kada je vrjednost funkcije tangens razlicita od bilo koje vrijednosti u tablici te vrijednosti suprotne onoj u tablici broj iz tablice s negativnim predznakom) kazemo da je rjesenje jednadzbe na intervalu [0, π] jednako: t = arctg ) 8

9 Napomena: Napominjem da je dovoljno odrediti samo t zbog prirode trigonometrijske funkcije tangens! To je ilustrirano na sljedecoj slici: No kako znamo da je tangens trigonometrijska funkcija cije se vrijednosti ponavljaju nakon svakih π, sva rjesenja dobivene jednadzbe su zapravo: t = arctg ) + kπ, k Z Vratimo supstituciju t = x : Pomnozim izraz s : x = arctg ) + kπ x = arctg ) + kπ / x = arctg x = arctg ) + kπ ) + kπ Dakle rjesenje prve jednadzbe jest x = arctg ) + kπ, k Z. Nadalje promotrimo drugu trigonometrijsku jednadzbu: = tg x Zamijenim lijevu i desnu stranu jednadzbe da poprimi standardni oblik: tg x = 9

10 Uvodim supstituciju t = x : tg x = t tg t = Nas glavni zadatak postaje odrediti za koje je kuteve t vrijednost funkcije tg jednaka. U tu svrhu pogledajmo sljedecu sliku: Dakle tangense citamo na pravcu okomitom na os x kroz tocku 0, ) na osi x. Ucrtamo tocku na tom pravcu tako da se pomaknemo za prema gore od osi x na tom pravcu. Povucemo prvac kroz ucrtanu tocku na tom pravcu te kroz ishodiste. Zatim pogledamo sjeciste tog pravca i brojevne kruznice, to su tocke Et ) i Et ). Kako po definciiji tangensa znamo da je to upravo y koordinata tocke na pravcu okomitom na os x kroz tocku 0, ) na osi x dobivene kao sjeciste pravca koji prolazi ishodistem i tockom pridruzenom broju t, odnosno t, vidimo da ce tocke dobivene kao sjeciste pravca kroz ishodiste i tocke pridruzene brojevima t i t i pravca okomitog na os x kroz tocku 0, ) na osi x imati y koordinate jednake, odnosno tangensi brojeva t i t bit ce jednaki upravo. Dakle zadatak nam je otkiriti koji su to brojevi. Promotrimo li tablicu na dnu prve stranice dokumenta, mozemo uociti da se u njoj ne nalazi u retku u kojem su ispisane vrijednosti tangensa, niti bilo kakav slican broj. U takvim slucajevima kada je vrjednost funkcije tangens razlicita od bilo koje vrijednosti u tablici te vrijednosti suprotne onoj u tablici broj iz tablice s negativnim predznakom) kazemo da je rjesenje jednadzbe na intervalu [0, π] jednako: To je ilustrirano na sljedecoj slici: t = arctg 0

11 Napomena: Napominjem da je dovoljno odrediti samo t zbog prirode trigonometrijske funkcije tangens! No kako znamo da je tangens trigonometrijska funkcija cije se vrijednosti ponavljaju nakon svakih π, sva rjesenja dobivene jednadzbe su zapravo: t = arctg + kπ, k Z Vratimo supstituciju t = x : Pomnozim izraz s : x = arctg + kπ x = arctg + kπ / x = arctg + kπ x = arctg + kπ Dakle rjesenje druge jednadzbe jest x = arctg + kπ, k Z. Pocetna trigonometrijska jednadzba ima ukupno dva rjesenja i to x = arctg ) + kπ, k Z i x = arctg + kπ, k Z. % Zadatak 8: str. 9) ) Rijesi sljedecu jednadzbu: sin x + cos x) = cos x

12 Rjesenje: Za pocetak raspisemo lijevu stranu po identitetu za kvadrat binoma a + b) = a + ab + b. Slijedi: sin x + sin x cos x + cos x = cos x Prisjetimo se da vrijedi osnovni trigonometrijski identitet sin x + cos x =. Imajuci to na umu jednadzba poprima sljedeci oblik: Pokratimo sto se pokratiti dade: sin x + cos x + sin x cos x = cos x + sin x cos x = cos x + sin x cos x = cos x Prisjetimo se da vrijedi identitet za kosinus dvostrukog kuta, odnosno cos x = cos x sin x. Primjenim li to na jednadzbu ona poprima sljedeci oblik: sin x cos x = cos x sin x ) "Prebacim" cos x sin x ) na lijevu stranu, slijedi: sin x cos x + cos x sin x = 0 Sredim malo poredak sumanada u dobivenoj trigonometrijskoj jednadzbi: sin x + sin x cos x + cos x = 0 Promotrim li sto sam dobio mogu zakljuciti da je zapravo dobivena homogena trigonometrijska jednadzba koju cemo rijesiti tako da za pocetak cijelu jednadzbu podijelimo s cos x, slijedi: sin x cos x Pokratim sto se pokratiti dade: sin x + sin x cos x + cos x = 0 / : cos x sin x cos x sin x cos x + cos x + cos x cos x = 0 sin x + cos x cos x cos x + cos x cos x = 0 sin x cos x + sin x cos x + = 0 Prema identitetu ab a ) n b n = sredim prvi clan sume, pri tome imam na umu da b za trigonometrijsku funkciju tangensa vrijedi identitet tg x = sin x cos x. Racunam: ) sin x + sin x + = 0 cos x cos x tg x tg x

13 tg x + tg x + = 0 Uvedemo li supstituciju k = tg x jednadzba prelazi u algebarsku, tocnije kvadratnu jednadzbu: k + k + = 0 Izraz po kojem izracunavam rjesenja kvadratnih jednadzbi jest: k, k = b ± b ac a Nadalje ispisem koeficijente dane kvadratne jednadbe: a = b = c = Uvrstim ispisane koeficijente u gornji izraz te racunam: k, k = ± ) ) k, k = ± + k, k = ± 8 k, k = ± k, k = ± ) Dakle jedno rijesenje dane kvadratne jednadzbe jest: k = ) ) k = k = k = + Dok je drugo rijesenje dane kvadratne jednadzbe: k = + )

14 + ) k = k = + k = I time smo rijesili nasu jednadzbu s time da smo dobili dva rjesenja i to: k = + k = No da bih dobio konacno rjesenje pocetne jednadzbe moram jos vratiti supstituciju. Vrijedi: k = tg x Na taj nacin dobijem dvije osnovne trigonometrijske jednadzbe: + = tg x = tg x Usredotocimo se za pocetak na prvu od dvije trigonometrijske jednadzbe: + = tg x Zamijenim lijevu i desnu stranu jednadzbe da poprimi standardni oblik: tg x = + Nas glavni zadatak postaje odrediti za koje je kuteve t vrijednost funkcije tg jednaka +. U tu svrhu pogledajmo sljedecu sliku: Dakle tangense citamo na pravcu okomitom na os x kroz tocku 0, ) na osi x. Ucrtamo tocku + na tom pravcu tako da se pomaknemo za + prema gore od osi x na tom pravcu. Povucemo prvac kroz ucrtanu tocku na tom pravcu te kroz ishodiste. Zatim pogledamo sjeciste tog pravca i brojevne kruznice, to

15 su tocke Et ) i Et ). Kako po definciiji tangensa znamo da je to upravo y koordinata tocke na pravcu okomitom na os x kroz tocku 0, ) na osi x dobivene kao sjeciste pravca koji prolazi ishodistem i tockom pridruzenom broju t, odnosno t, vidimo da ce tocke dobivene kao sjeciste pravca kroz ishodiste i tocke pridruzene brojevima t i t i pravca okomitog na os x kroz tocku 0, ) na osi x imati y koordinate jednake +, odnosno tangensi brojeva t i t bit ce jednaki upravo +. Dakle zadatak nam je otkiriti koji su to brojevi. Promotrimo li tablicu na dnu prve stranice dokumenta, mozemo uociti da se u njoj ne nalazi + u retku u kojem su ispisane vrijednosti tangensa, niti bilo kakav slican broj. U takvim slucajevima kada je vrjednost funkcije tangens razlicita od bilo koje vrijednosti u tablici te vrijednosti suprotne onoj u tablici broj iz tablice s negativnim predznakom) kazemo da je rjesenje jednadzbe na intervalu [0, π] jednako: t = arctg + ) To je ilustrirano na sljedecoj slici: Napomena: Napominjem da je dovoljno odrediti samo t zbog prirode trigonometrijske funkcije tangens! No kako znamo da je tangens trigonometrijska funkcija cije se vrijednosti ponavljaju nakon svakih π, sva rjesenja dobivene jednadzbe su zapravo: x = arctg + ) + kπ, k Z Nadalje rijesimo drugu trigonometrijsku jednadzbu: = tg x Zamijenim lijevu i desnu stranu jednadzbe da poprimi standardni oblik: tg x = Nas glavni zadatak postaje odrediti za koje je kuteve t vrijednost funkcije tg jednaka. U tu svrhu pogledajmo sljedecu sliku: 5

16 Dakle tangense citamo na pravcu okomitom na os x kroz tocku 0, ) na osi x. Ucrtamo tocku na tom pravcu tako da se pomaknemo za prema dolje od osi x na tom pravcu. Povucemo prvac kroz ucrtanu tocku na tom pravcu te kroz ishodiste. Zatim pogledamo sjeciste tog pravca i brojevne kruznice, to su tocke Et ) i Et ). Kako po definciiji tangensa znamo da je to upravo y koordinata tocke na pravcu okomitom na os x kroz tocku 0, ) na osi x dobivene kao sjeciste pravca koji prolazi ishodistem i tockom pridruzenom broju t, odnosno t, vidimo da ce tocke dobivene kao sjeciste pravca kroz ishodiste i tocke pridruzene brojevima t i t i pravca okomitog na os x kroz tocku 0, ) na osi x imati y koordinate jednake, odnosno tangensi brojeva t i t bit ce jednaki upravo. Dakle zadatak nam je otkiriti koji su to brojevi. Promotrimo li tablicu na dnu prve stranice dokumenta, mozemo uociti da se u njoj ne nalazi u retku u kojem su ispisane vrijednosti tangensa, niti bilo kakav slican broj. U takvim slucajevima kada je vrjednost funkcije tangens razlicita od bilo koje vrijednosti u tablici te vrijednosti suprotne onoj u tablici broj iz tablice s negativnim predznakom) kazemo da je rjesenje jednadzbe na intervalu [0, π] jednako: t = arctg ) To je ilustrirano na sljedecoj slici: 6

17 Napomena: Napominjem da je dovoljno odrediti samo t zbog prirode trigonometrijske funkcije tangens! No kako znamo da je tangens trigonometrijska funkcija cije se vrijednosti ponavljaju nakon svakih π, sva rjesenja dobivene jednadzbe su zapravo: x = arctg ) + kπ, k Z Pocetna trigonometrijska jednadzba ima ukupno dva rjesenja i to x = arctg + ) + kπ, k Z i x = arctg ) + kπ, k Z. % Zadatak 9: str. 9) ) Rijesi sljedecu jednadzbu: cos x sin x = sin x Rjesenje: Izraz na lijevoj strani rastavim po identitetu za razliku kvadrata a b = a b) a + b), slijedi: cos x x sin = sin x cos x x ) sin cos x + x ) sin = sin x Prisjetimo se da vrijedi temeljni trigonometrijski identitet, tocnije sin x + cos x =. U nasem slucaju to znaci da vrijedi cos x + x sin =. Primjenim li tu cinjenicu na jednadzbu ona poprima sljedeci oblik: cos x x ) sin cos x + x ) sin = sin x }{{ } cos x sin x = sin x Nadalje prisjetimo se da vrijedi identitet za kosinus dvostrukog kuta, odnosno cos x = cos x sin x, u nasem slucaju to znaci da vrijedi cos x x sin = cos x ) = cos x. Slijedi: cos x x sin = sin x }{{ } cos x cos x = sin x 7

18 Umjesto da ovu jednadzbu rijesimo rastavljanjem na faktore pokusajmo je rijesiti na malo alternativniji i mozebitno brzi nacin. Ideja jest svesto ovu jednadzbu na oblik sin ax + b) = sin cx + d) a, b, c, d R. Postavlja se pitanje kako to postici, no odgovor je ociti. Svaki puta kada smo htjeli mijenjati vrstu trigonometrijske funkcije u trigonometrijskoj jednadzbi koristili smo formule redukcije, pa cemo to uciniti i ovaj put. Prisjetim se da vrijedi: π ) sin x = cos x Primjenim li to na dobivenu trigonometrijsku jednadzbu ona poprima sljedeci oblik: cos }{{ x } = sin x sin π x) π ) sin x = sin x Ovo je jednadzba koja spada pod one koje se svode na osnovne. Napomena: Ova jednadzba je tipa: sin t = sin t, t, t R Njezina rjesenja dobe se na nacin da se rijese sljedece dvije linearne jednadzbe: t = t + kπ, k Z t = π t + kπ, k Z Imajuci na umu gornju napomenu argument s lijeve strane π x oznacim s t, dok argument s desne strane x oznacim s t : π ) sin x = sin x) t t sin t = sin t Prema napomeni tada su rjesenja dana s: t = t + kπ, k Z t = π t + kπ, k Z Vratim natrag umjesto t izraz π x, te umjesto t izraz x. Usredotocim se za pocetak na prvu jednadzbu: t = t +kπ, k Z π x x 8

19 π x = x + kπ "Prebacim" x s desne na lijevu stranu kao i π x x = π + kπ s lijeve na desnu stranu, slijedi: Podijelim cijelu jednadzbu s : x = π + kπ x = π + kπ / : ) π x = Pokratim sto se pokratiti dade: x = π + kπ kπ x = π 6 kπ Dakle rjesenje prve jednadzbe jest x = π 6 + kπ, k Z. Napomena: Promjena predznaka ispred kπ Rijesimo sada jos drugu jednadzbu: t = π t +kπ, k Z π x x π x = π x + kπ 5x = π + x + kπ "Prebacim" x s desne na lijevu stranu kao i π nije greska, to se smije uciniti! s lijeve na desnu stranu, slijedi: x + x = π π + kπ Svedem sumu na desnoj strani na zajednicki nazivnik kako bih je zbrojio: x = π π + kπ = π π 9 + kπ

20 x = π + kπ Dakle rjesenje druge jednadzbe jest x = π + kπ, k Z. Pocetna trigonometrijska jednadzba ima ukupno dva rjesenja i to x = π 6 + kπ, k Z i x = π + kπ, k Z. % Zadatak 0: str. 9) ) Rijesi sljedecu jednadzbu: cos 5x cos x = cos 6x cos x Rjesenje: Dakle da bih rijesio ovu jednadzbu prisjetim se da postoje formule pretvorbe umnoska u sumu, kao recimo: cos x cos y = [cos x + y) + cos x y)] Primjenim li tu formulu na lijevu i desnu stranu dane jednadzbe onda prelazi u sljedeci oblik: [cos 5x + x) + cos 5x x)] = [cos 6x + x) + cos 6x x)] cos 6x + cos x) = cos 8x + cos x) Pomnozim cijelu jednadzbu s : cos 6x + cos x) = cos 8x + cos x) / cos 6x + cos x) = cos 8x + cos x) cos 6x + cos x = cos 8x + cos x Pokratim sto se pokratiti dade: cos 6x + cos x = cos 8x + cos x cos 6x = cos 8x Ovo je jednadzba koja spada pod one koje se svode na osnovne. 0

21 Napomena: Ova jednadzba je tipa: cos t = cos t, t, t R Njezina rjesenja dobe se na nacin da se rijese sljedece dvije linearne jednadzbe: t = t + kπ, k Z t = t + kπ, k Z Imajuci na umu gornju napomenu argument s lijeve strane 6x oznacim s t, dok argument s desne strane 8x oznacim s t : cos 6x = cos 8x) t t sin t = sin t Prema napomeni tada su rjesenja dana s: t = t + kπ, k Z t = t + kπ, k Z Vratim natrag umjesto t izraz 6x, te umjesto t izraz x. Usredotocim se za pocetak na prvu jednadzbu: t 6x = t 8x +kπ, k Z 6x = 8x + kπ "Prebacim" 8x s desne na lijevu stranu, slijedi: Podijelim cijelu jednadzbu s : Pokratim sto se pokratiti dade: 6x 8x = kπ x = kπ x = kπ / : ) x = kπ x = kπ x = kπ x = kπ Dakle rjesenje prve jednadzbe jest x = kπ, k Z.

22 Napomena: Promjena predznaka ispred kπ nije greska, to se smije uciniti! Rijesimo sada jos drugu jednadzbu: t 6x = π t 8x +kπ, k Z 6x = 8x) + kπ 6x = 8x + kπ "Prebacim" 8x s desne na lijevu stranu, slijedi: 6x + 8x = kπ Podijelim cijelu jednadzbu s : x = kπ x = kπ / : Pokratim sto se pokratiti dade: x = kπ x = kπ 7 x = kπ 7 Dakle rjesenje druge jednadzbe jest x = kπ 7, k Z. Pocetna trigonometrijska jednadzba ima ukupno dva rjesenja i to x = kπ, k Z i x = kπ 7, k Z. % I za kraj jedan zadatak samo i iskljucivo u svrhu demonstracije! [ ] Zadatak : str. 9) ) Rijesi sustav jednadzbi: cos x + cos y = 7 x y = 5π 6

23 Rjesenje: Dakle ovaj sustav pokusat cemo rijesiti na isti nacin kao i obican sustav dvije linearne jednadzbe s dvije nepoznanice. To znaci da prvo preko druge jednadzbe y prikazem pomocu x. Racunam: cos x + cos y = 7 x y = 5π 6 Uvrstim taj izraz u prvu jednadzbu: y = x 5π 6 cos x + cos x 5π 6 Prisjetim se adicijskog teorema za kosinus: ) = 7 cos x y) = cos x cos y + sin x sin y Primjenim ga na drugi sumand u jedandzbi, slijedi: [ cos x + cos x 5π )] = 7 6 [ cos x + cos x cos 5π 6 + sin x sin 5π ] = 7 6 Prisjetim se da vrijedi sin 5π 6 = te cos 5π 6 =. Imajuci to na umu racunam dalje: [ cos x + cos x ) + sin x ] = 7 Primjenim identite za racunanje kvadrata binoma a + b) = a + ab + b, slijedi: ) ) cos x + cos x + cos x ) sin x + sin x = 7 Pokratim sto se pokratiti dade: cos x + cos x + ) cos x + ) cos x cos x + cos x ) sin x cos x + sin x cos x + ) sin x = 7 ) sin x = 7 sin x cos x + sin x = 7

24 Svedem prva dva clana sume na lijevoj strani na zajednicki nazivnik kako bi ih zbrojio: cos x + cos x sin x cos x + sin x = 7 7 cos x sin x cos x + sin x = 7 Prisjetim se da 7 mogu prikazati kao 7, slijedi: 7 cos x sin x cos x + sin x = 7 Nadalje prisjetim se da vrijedi temeljni trigonometrijski identitet sin x + cos x =. Broj na desnoj strani jednadzbe sada zamijenim s sin x + cos x. Jedandzba prelazi u sljedeci oblik: 7 cos x 7 cos x Pokratim sto se pokratiti dade: sin x cos x + sin x = 7 sin x + cos x ) sin x cos x + sin x = 7 sin x + 7 cos x 7 cos x sin x cos x + sin x = 7 sin x + 7 cos x sin x cos x + sin x = 7 sin x "Prebacim" 7 sin x s desne na lijevu stranu jednadzbe: sin x cos x + sin x 7 sin x = 0 sin x cos x 6 sin x = 0 Pokratim sto se pokratiti dade: sin x cos x 6 sin x = 0 sin x cos x sin x = 0 Cijelu jednadzbu pomknozim s : sin x cos x sin x = 0 /

25 sin x cos x sin x = 0 sin x cos x sin x = 0 Nadalje ovdje je kljucno primjetiti da mogu prikazati kao ). Imajuci to na umu racunam dalje: sin x cos x ) sin x = 0 Sredim drugi izraz po sljedecem identitetu a n b n = ab) n. Dakel vrijedi: sin x cos x sin x ) = 0 Izlucim sin x: sin x cos x ) sin x = 0 Sada znam da ako je umnozak neka dva broja jednak 0, tada je ili prvi od ta dva broja jednak 0 ili je onaj drugi jednak 0. Primjenim li tu cinjenicu u nasem slucaju mora vrijediti: sin x = 0 ili cos x sin x = 0 Dakle sredimo li te dvije trigonometrijske jednadzbe dobijemo: sin x = 0 / : ili cos x sin x = 0 sin x = 0 ili cos x sin x = 0 sin x = 0 ili cos x sin x = 0 I time smo dobili dvije nove trigonometrijske jednadzbe koje lako rijesavamo: sin x = 0 cos x sin x = 0 Za pocetak rijesavam prvu trigonometrijsku jednadzbu: sin t = 0 Glavni zadatak postaje odrediti za koje je kuteve t vrijednost funkcije sin jednaka 0. U tu svrhu pogledajmo sljedecu sliku: 5

26 Dakle sinuse citamo na osi y, kako se 0 nalazi tocno u ishodistu ucrtamo tocku tocno u ishodistu koordinatnog sustava. Povucemo okomicu na os y kroz tu tocku. Zatim pogledamo sjeciste tog pravca i brojevne kruznice, to su tocke Et ) i Et ). Kako po definciiji sinusa znamo da je to upravo y koordinata tocke na brojevnoj kruznici pridruzene nekom broju, vidimo da ce tocke pridruzene brojevima t i t imati y koordinate jednake 0, odnosno sinusi brojeva t i t bit ce jednaki upravo 0. Dakle zadatak nam je otkiriti koji su to brojevi. Promotrimo li sliku danu malo prije mozemo lako zakljuciti da sinusi kuteva 0 i π moraju biti jednaki 0. To znaci da ocito t mora biti jednak 0, odnosno t mora biti jednak π. To je ilustrirano na sljedecoj slici: Dakle mozemo zakljuciti da su rjesenja jednadzbe na intervalu [0, π] jednaka: t = 0 t = π No kako znamo da je sinus trigonometrijska funkcija cije se vrijednosti ponavljaju nakon svakih π, sva rjesenja dobivene jednadzbe su zapravo: x = 0 + kπ = kπ, k Z x = π + kπ, k Z Rijesavajuci prvu trigonometrijsku jednadzbu dobili smo dva rjesenja i to x = kπ, k Z i x = π + kπ, k Z. To rjesenje mozemo skraceno pisati kao x = kπ, k Z. Nadalje preostaje mi jos rijesiti drugu trigonometrijsku jednadzbu: cos x sin x = 0 Ovu jednadzbu rijesit cemo tako da prvo cos x s lijeve strane "prebacimo" na desnu stranu: sin x = cos x Najprije podijelimo cijelu jednadzbu s cos x: sin x = cos x / : cos x) 6

27 sin x cos x = cos x cos x sin x cos x = Napomena: Tu se postavlja pitanje zasto smo dijelili s cos x usprkos prijasnoj napomeni da se to ne smije opcenito ciniti. Ovdje se radilo zapravo o specijalnoj jednadzbi i to homogenoj linearnoj trigonometrijskoj jednadzbi koja je opcenito oblika: a sin x + b cos x = 0 a, b R Kada se pojavi jednadzba ovakovog oblika pri cemu se pojavljuje i funkcija sinus i kosinus dopusteno je dijeljenje s cos ili sin funkcijom. Moja preporuka jest da se dijeli s funkcijom cos. Nadalje cijelu jednadzbu podijelim s : sin x cos x = / : sin x cos x = sin x cos x = Prisjetim se da za trigonometrijsku fukciju tangens vrijedi sljedeci identitet tg x = sin x. Imajuci to na umu jednadzba poprima sljedeci oblik: cos x sin x = } cos {{ x } tg x tg x = Nas glavni zadatak postaje odrediti za koje je kuteve t vrijednost funkcije tg jednaka. U tu svrhu pogledajmo sljedecu sliku: 7

28 Dakle tangense citamo na pravcu okomitom na os x kroz tocku 0, ) na osi x. Ucrtamo tocku na tom pravcu tako da se pomaknemo za prema gore od osi x na tom pravcu. Povucemo prvac kroz ucrtanu tocku na tom pravcu te kroz ishodiste. Zatim pogledamo sjeciste tog pravca i brojevne kruznice, to su tocke Et ) i Et ). Kako po definciiji tangensa znamo da je to upravo y koordinata tocke na pravcu okomitom na os x kroz tocku 0, ) na osi x dobivene kao sjeciste pravca koji prolazi ishodistem i tockom pridruzenom broju t, odnosno t, vidimo da ce tocke dobivene kao sjeciste pravca kroz ishodiste i tocke pridruzene brojevima t i t i pravca okomitog na os x kroz tocku 0, ) na osi x imati y koordinate jednake, odnosno tangensi brojeva t i t bit ce jednaki upravo. Dakle zadatak nam je otkiriti koji su to brojevi. Posluzimo se tablicom na dnu prve stranice dokumenta, te iscitamo da je tangens kuta π jednak. Dakle uocimo da tada t mora biti jednak π. Podsjecam da zbog prirode 6 trigonometrijske funkcije tangens ne trebamo odrediti t. To je ilustrirano na sljedecoj slici: Dakle mozemo zakljuciti da je rjesenje jednadzbe na intervalu [0, π] jednako: t = π 6 Napomena: Napominjem da je dovoljno odrediti samo t zbog prirode trigonometrijske funkcije tangens! No kako znamo da je tangens trigonometrijska funkcija cije se vrijednosti ponavljaju nakon svakih π, sva rjesenja prve jednadzbe su zapravo: t = π 6 + kπ, k Z Rijesavajuci drugu trigonometrijsku jednadzbu dobili smo jedno rjesenje i to x = π + kπ, k Z. Dakle pocetna trigonometrijska jednadzba ima ukupno 6 8

29 dva rjesenja i to x = kπ, k Z i x = π + kπ, k Z. Preostaje jos odrediti 6 cemu su onda jednaki y. No kako znamo da smo iz druge jednadzbe y izrazili pomocu x sljedecim izrazom: y = x 5π 6 Sada lako mozemo odrediti cemu y moraju biti jednaki. Racunam: y = x 5π 6 ili y = x 5π 6 Uvrstim kπ umjesto x i π 6 + kπ umjesto x. Slijedi: y = kπ 5π 6 ili y = π 6 + kπ 5π 6 y = 5π 6 + kπ ili y π = + kπ 6 y = 5π 6 + kπ, k Z ili y = π + kπ, k Z Dakle sustav jednadzbi ima dva kao rijesenje sljedeca dva uredjena para: x, y ) = kπ, 5π6 ) + kπ, k Z Time je zadatak rijesen! x, y ) = ) π 6 + kπ, π + kπ, k Z % 9