Metódy vol nej optimalizácie
|
|
- Ῥούθ Κυπραίος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/34
2 Motivácia k metódam vol nej optimalizácie p. 2/34
3 Metódy na riešenie úloh typu min f 0 (x) x K R n (MP) kde K = {x R n f i (x) 0,i I, h j (x) = 0,j J}, sú založené na postupnom riešení úloh na vol ný extrém min f(x) x R n (U1) 1. Metódy využívajúce vlastnosti Lagrangeovej funkcie 2. Bariérové metódy / metódy vnútorného bodu p. 3/34
4 METÓDY VYUŽÍVAJÚCE VLASTNOSTI LAGRANGEOVEJ FUNKCIE Lagrangeova funkcia a Lagrangeove multiplikátory pre úlohu (U3) min f 0 (x) x K 3 (U3) kde K 3 = {x f i (x) 0, i = 1,...,m} Lagrangeova funkcia: L : R n R m + R, L(x,u) = f 0 (x)+ m i=1 u if i (x) u 0- Lagrangeove premenné Pre x K 3 a u 0 L(x,u) f 0 (x) p. 4/34
5 METÓDY VYUŽÍVAJÚCE VLASTNOSTI LAGRANGEOVEJ FUNKCIE Vektor Lagrangeovych multiplikátorov Nech ˆx K 3 je optimálnym riešením úlohy (U3). Vektor û 0 m nazveme vektorom Lagrangeových multiplikátorov prináležiacim optimálnemu riešeniu ˆx, ak pre Lagrangeovu funkciu platí: x R n : f 0 (ˆx) L(x,û). p. 5/34
6 METÓDY VYUŽÍVAJÚCE VLASTNOSTI LAGRANGEOVEJ FUNKCIE Nech ˆx K 3 je optimálnym riešením úlohy (U3) a û 0 m je príslušný vektor Lagrangeových multiplikátorov. Potom platia nasledujúce vzt ahy: 1. f 0 (ˆx) = L(ˆx,û), 2. Dôsledok: û i f i (ˆx) = 0, i = 1,2,...,m. Vektor Lagrangeovych multiplikátorov û 0 je teda taký špeciálny vektor, že vol né minimum funkcie L(x, û) je zároveň optimálnym riešením ˆx úlohy (U3). p. 6/34
7 METÓDY VYUŽÍVAJÚCE VLASTNOSTI LAGRANGEOVEJ FUNKCIE Vektor Lagrangeových multiplikátorov nemusí vždy existovat! Jeho existenica závisí od spôsobu vyjadrenia množiny prípustných riešení: min f 0 (x) = x x K 3, K 3 = R + = {x f 1 (x) 0} Optimálne riešenie: ˆx = 0,f 0 (ˆx) = 0. Ak f 1 (x) = x, tak û = 1. Ak f 1 (x) = (min{0,x}) 2, tak vektor Lagrangeovych multiplikátorov neexistuje { x x 0 L(x,u) = x+ux 2 x 0 p. 7/34
8 METÓDY VYUŽÍVAJÚCE VLASTNOSTI LAGRANGEOVEJ FUNKCIE Súvis so sedlovým bodom Lagrangeovej funkcie: Definícia sedlového bodu: Majme dve neprázdne množiny X R n, Y R m a na nich definovanú funkciuφ : X Y R. Bod(x 0,y 0 ) X Y nazývame sedlovým bodom funkcie Φ, ak platia nasledovné dve nerovnosti: x X, y Y : Φ(x 0,y) Φ(x 0,y 0 ) Φ(x,y 0 ). p. 8/34
9 METÓDY VYUŽÍVAJÚCE VLASTNOSTI LAGRANGEOVEJ FUNKCIE Funkcia Φ(x,y) = x 2 y 2 má sedlový bod (x 0,y 0 ) = (0,0) y x 0 2 p. 9/34
10 METÓDY VYUŽÍVAJÚCE VLASTNOSTI LAGRANGEOVEJ FUNKCIE Veta: Bod ˆx je optimálne riešenie úlohy min f 0 (x) f i (x) 0, i = 1,2,...,m (U3) a û 0 je vektor Lagrangeových multiplikátorov prináležiaci k bodu ˆx bod (ˆx,û) je sedlový bod Lagrangeovej funkcie t. j. platí x R n, u R m + : L(ˆx,u) L(ˆx,û) L(x,û). p. 10/34
11 METÓDY VYUŽÍVAJÚCE VLASTNOSTI LAGRANGEOVEJ FUNKCIE Ako prvý využil Hugh Everett III - Generalized Lagrange Multiplier Method for Solving Problems of Optimum Allocation of Resources, Operations Research, Vol. 11, No. 3, May-June 1963, pp p. 11/34
12 METÓDY VYUŽÍVAJÚCE VLASTNOSTI LAGRANGEOVEJ FUNKCIE Everett si uvedomil, že vyriešením konkrétnej úlohy na vol ný extrém získa riešenie úlohy na viazaný extrém so špecifickými ohraničeniami. Everettova veta: Nech u k 0 a predpokladajme, že x k X minimalizuje funkciu L(x,u k ) na X (otvorená množina). Potom x k je optimálnym riešením úlohy min f 0 (x) f i (x) f i (x k ), i = 1,2,...,m Everettova metóda: V k-tej iterácii sa počíta vol né minimum funkcie L(x,u k ), vektor u k sa pomocou získaného minima upresňuje na u k+1, atd. Hlavná nevýhoda: minimum funkcie L(x,u k ) nemusí vždy existovat p. 12/34
13 METÓDY VYUŽÍVAJÚCE VLASTNOSTI LAGRANGEOVEJ FUNKCIE Rozšírené Lagrangeove funkcie Po Everettovom článku - záujem o jednoduchšie úlohy: min f 0 (x) h i (x) = 0, i = 1,2,...,m (U2) Klasická Lagrangeova funkcia: L : R n R m R, L(x,u) = f(x)+ m i=1 u ih i (x) Hestenes a Powell - rozšírená Lagrangeova funkcia : H(x,y) = L(x,y)+ α 2 m h i (x) 2, α > 0 i=1 p. 13/34
14 METÓDY VYUŽÍVAJÚCE VLASTNOSTI LAGRANGEOVEJ FUNKCIE Magnus R. Hestenes a Michael J. D. Powell p. 14/34
15 METÓDY VYUŽÍVAJÚCE VLASTNOSTI LAGRANGEOVEJ FUNKCIE Nech ˆx K 2 = {x h i (x) = 0, i = 1,...,m} je optimálnym riešením úlohy (U2). Vektor ŷ R m nazveme vektorom Hestenesovych multiplikátorov prináležiacich optimálnemu riešeniu ˆx ak pre Hestenesovu funkciu platí: x : f 0 (ˆx) H(x,ŷ). Tiež platí: Bod ˆx je optimálne riešenie úlohy (U2) a ŷ R m je vektor Hestenesovych multiplikátorov prináležiaci k ˆx práve vtedy, ked bod (ˆx,ŷ) je sedlový bod Hestenesovej funkcie H(x,y). p. 15/34
16 METÓDY VYUŽÍVAJÚCE VLASTNOSTI LAGRANGEOVEJ FUNKCIE V čom je Hestenesova rozšírená funkcia lepšia ako klasická Lagrangeova funkcia? Za istých predpokladov: Pre dostatočne vel ké α má funkcia H(x,ȳ) = L(x,ȳ)+ α 2 m h i (x) 2 i=1 minimum ȳ Ak x je stacionárnym bodom H(x, ȳ), tak x je stacionárnym bodom L(x, z) pre z : z i = ȳ i +αh i ( x). Pre optimálne ˆx platí û = ŷ p. 16/34
17 METÓDY VYUŽÍVAJÚCE VLASTNOSTI LAGRANGEOVEJ FUNKCIE Algoritmus Hestenesovej metódy: V k-tej iterácii: Daný je vektor multiplikátorov y k a penalizačný parameter α k Nájde sa vol né minimum x k Hestenesovej funkcie H(x,y k ) so štartovacím bodom x k 1, t.j. x k := argminh(x,y k ). Multiplikátor sa vylepšuje podl a pravidla: y k+1 i = y k i +α k h i (x k ). Zvolí sa nový penalizačný parameter α k+1 α k a proces sa opakuje. p. 17/34
18 METÓDY VYUŽÍVAJÚCE VLASTNOSTI LAGRANGEOVEJ FUNKCIE T. Rockafellar adaptoval Hestenesovu funkciu na úlohu min f 0 (x) f i (x) 0, i = 1,2,...,m (U3) Pomocou doplnkových premenných upravil ohraničenia f i (x) 0 na h i (x,z i ) = f i (x)+z 2 i = 0. Úlohu (U3) previedol na klasickú úlohu na vol ný extrém (U2), definoval príslušnú Hestenesovu funkciu H(x,y,z). Eliminoval doplnkové premenné z i a definoval tzv. Rockafellarovu funkciu R(x,y) = min z R mh(x,y,z) p. 18/34
19 METÓDY VYUŽÍVAJÚCE VLASTNOSTI LAGRANGEOVEJ FUNKCIE Podobne ako v prípade Hestenesovej funkcie sa definuje pojem Rockafellarovych multiplikátorov a odvodí sa iteračné pravidlo pre ich aproximáciu Algoritmus Rockafellarovej metódy: V k-tej iterácii: Daný je vektor multiplikátorov y k 0 a penalizačný parameter α k Nájde sa vol né minimum x k Rockafellarovej funkcie R(x,y k ) so štartovacím bodom x k 1. Multiplikátor sa vylepšuje podl a pravidla: y k+1 i = max[0,y k i +α k f i (x k )]. Zvolí sa nový penalizačný parameter α k+1 α k a proces sa opakuje. p. 19/34
20 BARIÉROVÉ METÓDY , Fiacco & McCormick - Sequential Unconstrained Minimization Technique - SUMT Úloha konvexného programovania min f 0 (x) f i (x) 0, i = 1,2,...,m (U3) kde f 0,f 1,...,f m sú konvexné Predpoklady: f i sú diferencovatel né existuje optimálne riešenie úloy (U3) K 0 3 = {x f i (x) < 0,i = 1,...,m} p. 20/34
21 BARIÉROVÉ METÓDY Myšlienka metódy Úlohu (U3) možno ekvivalentne formulovat ako (U1): min f 0 (x)+ m i=1 I(f i(x)) x R n (U1) kde I : R R je indikátorová funkcia definovaná ako: I(t) = { 0 t 0 t > 0 Avšak účelová funkcia v (U1) nie je diferencovatel ná, štandardné metódy vol nej optimalizácie sa nedajú aplikovat p. 21/34
22 BARIÉROVÉ METÓDY Myšlienka metódy Funkcia I sa aproximuje vhodnou diferencovatel nou funkciou parametrizovanou kladným parametrom r > 0, ktorý určuje presnost aproximácie Bariérové funkcie: B : (,0) R Fiacco-McCormickova bariéra: B r (t) = r t, logaritmická bariéra: B r (t) = rln( t) Čím menšia je hodnota parametra r, tým lepšia je aproximácia. p. 22/34
23 BARIÉROVÉ METÓDY Myšlienka metódy Aproximácie funkcie I logaritmickou bariérovou funkciou pre hodnoty r = 8,4,2,1, 1 2, 1 4. p. 23/34
24 BARIÉROVÉ METÓDY Myšlienka metódy Vo všeobecnosti má bariérová funkcia B : (,0) R nasledovné vlastnosti: lim B(t) = +, t 0 t < 0 : B (t) > 0, t < 0 : B (t) > 0. p. 24/34
25 BARIÉROVÉ METÓDY Účelovú funkciu v úlohe (U1) f 0 (x)+ m i=1 I(f i(x)) môžno teraz nahradit tzv. parametrizovanou transformačnou funkciou T r : K 0 3 R, T r (x) = f 0 (x)+ m B r (f i (x)) i=1 kde r > 0 je parameter, K otvorená množina. Transformačná funkcia T r je teda súčtom Pôvodnej účelovej funkcie f 0 a tzv. bariéry m i=1 B r(f i (x)) p. 25/34
26 BARIÉROVÉ METÓDY Logaritmická bariéra pre ohraničenie (x 1,x 2 ) 0. p. 26/34
27 BARIÉROVÉ METÓDY Úloha na vol ný extrém min T r (x) x K 0 3 (U1) je len aproximáciou pôvodnej úlohy min f 0 (x)+ m i=1 I(f i(x)) x R n (U1) pre zmenšujúcu sa hodnotu parametra r > 0 sa úlohy stále viac podobajú. bez ohl adu na hodnotu parametra r > 0, hodnota funkcie T r (x) prudko rastie pre f i (x) 0 - na hranici vytvára funkcia bariéru Za daných predpokladov je funkcia T r (x) konvexná. p. 27/34
28 BARIÉROVÉ METÓDY Teoreticky: mohli by sme zvolit malú hodnotu parametra r, napr. r = 10 9 a hl adat aproximáciu minima pôvodnej úlohy (U3) ako minimum funkcie T r (x). Bariérová vlastnost spôsobuje, že hl adanie minima takejto funkcie je výpočtovo náročné - potrebujeme dobrý štartovací bod. Vol né minimá x(r) funkcie T r (x) konvergujú pre zmenšujúcu sa hodnotu parametra r k optimálnemu rieše niu pôvodnej funkcie - t. j. lim r 0+ x(r) = ˆx V praxi: rieši sa postupnost úloh (U1) r Min{T r (x) x K 0 3} pre zmenšujúcu sa hodnotu parametra r > 0. p. 28/34
29 BARIÉROVÉ METÓDY Algoritmus: Vstup: x 0 - štartovací bod r 1 - pošciatočná hodnota parametra α - faktor redukcie k-ta iterácia: Nájdeme minimum funkcie T rk (x) na K 0 3 (nejakou) metódou vol néj optimalizácie so štartovacím bodom x(r k 1 ) - x(r k ) = argmin{t rk (x) x K 0 3}. Ak x(r k ) je dobrou aproximáciou optimálneho riešenia ˆx - koniec. Inak: r k+1 = αr k p. 29/34
30 BARIÉROVÉ METÓDY Veta: (Fiacco & McCormick) Nech f 0,f 1,...,f m sú diferencovatel né funkcie, K 0 3, nech α je množina S α = {x K 3 f 0 (x) α} ohraničená a transformačná funkcia T r (x) je rýdzo konvexná. Potom pre l ubovolné r > 0 má funkcia T r (x) práve jedno minimum x(r) a platí: 1. lim T r (x(r)) = f 0 (ˆx), r lim f 0 (x(r)) = f 0 (ˆx), r 0 + lim r 0 + m B r (f i (x(r))) = 0. i=1 p. 30/34
31 BARIÉROVÉ METÓDY Fiacco & McCormick: dokázali konvergenciu presných riešení pre vel mi všeobecné konvexné úlohy snaha riešit každý transformačnú úlohu čo najpresnejšie aplikované na neštrukturované úlohy bez analýzy duálnych vlastností numerické problémy pri impementácii záujem o SUMT zanikol p. 31/34
32 BARIÉROVÉ METÓDY Renesancia SUMT Klee & Minty - simplexová metóda nie je (v najhoršom priípade) polynomiálna Narendra Karmarkar - projektívny algoritmus na riešenie úloh LP ukázalo sa že Karmarkarov algoritmus úzko súvisí s logaritmickou bariérovou metódou p. 32/34
33 BARIÉROVÉ METÓDY Nové prístupy: SUMT metódy vnútorného bodu (MVB) MVB boli najskôr analyzované na úlohách s najjednoduchšou štruktúrou - LP, neskôr aplikované na zložitejšie úlohy; používa sa len logaritmická bariéra - vd aka dobrým analytickým vlastnostiam; transformačné úlohy na vol ný extrém sa riešia modifikovanou Newtonovou metódou; ústredným pojmom sa stala centrálna trajektória C = {x(r) K 0 3 r > 0}, krivka riešení transformačných úloh; vlastnosti centrálnej trajektórie sa analyzovali a využiívali na navrhovanie algoritmov; p. 33/34
34 BARIÉROVÉ METÓDY podarilo sa určit okolie centrálnej trajektórie, kde bola garantovaná kvadratická konvergencia Newtonovej metódy - algoritmy vol ne sledujú centrálnu trajektóriu pri aplikovaní MVB na zložitejšie konvexné úlohy vznikali problémy s analýzou Newtonovej metódy Nesterov & Nemirovski - Interior Point Polynomial Time Algorithms in Convex programming, SIAM vznik vových odvetví optimalizácie - kónické programovanie p. 34/34
Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότεραMetódy vol nej optimalizácie
Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/52 Metódy minimalizácie funkcie jednej premennej Metódy minimalizácie funkcie jednej premennej p. 2/52 Metódy minimalizácie funkcie jednej
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότεραNelineárne optimalizačné modely a metódy
Nelineárne optimalizačné modely a metódy Téma prednášky č. 8 Metódy transformujúce úlohu naviazaný extrém na úlohu na voľný extrém Prof. Ing. Michal Fendek, CSc. Katedra operačného výskumu a ekonometrie
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότεραMetódy vol nej optimalizácie
Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/28 Motivácia k metódam vol nej optimalizácie APLIKÁCIE p. 2/28 II 1. PRÍKLAD: Lineárna regresia - metóda najmenších štvorcov Na základe dostupných
Διαβάστε περισσότεραEkvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότερα7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
Διαβάστε περισσότεραMini minimaliz acia an BUˇ Koˇ sice 2011
Mini minimalizácia Ján BUŠA Košice 2011 RECENZOVALI: Prof. RNDr. Noname, CSc. Doc. RNDr. Emanname, PhD. Prvé vydanie Za odbornú stránku učebného textu zodpovedá autor. Rukopis neprešiel redakčnou ani jazykovou
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότεραFakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky Univerzity Komenského v Bratislave
Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky Univerzity Komenského v Bratislave Diplomová práca Michal Šoška Bratislava, 2003 Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky Univerzity Komenského v Bratislave Ekonomická
Διαβάστε περισσότεραΒασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.
Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Κλασικές Τεχνικές Βελτιστοποίησης Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 2 η /2017 Μαθηματική Βελτιστοποίηση Η «Μαθηματική
Διαβάστε περισσότεραGramatická indukcia a jej využitie
a jej využitie KAI FMFI UK 29. Marec 2010 a jej využitie Prehľad Teória formálnych jazykov 1 Teória formálnych jazykov 2 3 a jej využitie Na počiatku bolo slovo. A slovo... a jej využitie Definícia (Slovo)
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY VLASTNOSTI HODNOTOVEJ FUNKCIE ÚLOHY PARAMETRICKÉHO KVADRATICKÉHO PROGRAMOVANIA A ICH VYUŽITIE V OPTIMALIZÁCII PORTFÓLIA DIPLOMOVÁ
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραReálna funkcia reálnej premennej
(ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od
Διαβάστε περισσότεραTechnická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II. Zbierka riešených a neriešených úloh
Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II Zbierka riešených a neriešených úloh Anna Grinčová Jana Petrillová Košice 06 Technická univerzita v Košiciach Fakulta
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότεραM6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy Zbierka úloh
Blanka Baculíková Ivan Daňo Numerické metódy Zbierka úloh Strana 1 z 37 Predhovor 3 1 Nelineárne rovnice 4 2 Sústavy lineárnych rovníc 7 3 Sústavy nelineárnych rovníc 1 4 Interpolačné polynómy 14 5 Aproximácia
Διαβάστε περισσότεραMIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
Διαβάστε περισσότεραFunkcie - základné pojmy
Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny
Διαβάστε περισσότερα7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy matematiky I
Prednáška č. 7 Numerické metódy matematiky I Riešenie sústav lineárnych rovníc ( pokračovanie ) Prednáška č. 7 OBSAH 1. Metóda singulárneho rozkladu (SVD) Úvod SVD štvorcovej matice SVD pre menej rovníc
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY MINIMAXNÉ OPTIMÁLNE NÁVRHY REGRESNÝCH EXPERIMENTOV DIPLOMOVÁ PRÁCA 2014 Bc. Gabriel GROMAN UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE
Διαβάστε περισσότεραAproximačné algoritmy. (7. októbra 2010) DRAFT
R. Královič Aproximačné algoritmy (7. októbra 2010) ii Obsah 1 Úvod 1 1.1 Algoritmy a zložitosť........................... 1 1.2 Lineárne programovanie......................... 1 1.3 Použité vzťahy..............................
Διαβάστε περισσότεραObyčajné diferenciálne rovnice
(ÚMV/MAN3b/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 14.3.2013 Úvod patria k najdôležitejším a najviac prepracovaným matematickým disciplínam. Nielen v minulosti, ale aj v súčastnosti predstavujú
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Διαβάστε περισσότεραSpojitosť a limity trochu inak
Spojitosť a limity trochu inak Štefan Tkačik Abstrakt Spojitosť funkcie alebo oblastí je základným stavebným kameňom matematickej analýzy. Pochopenie jej podstaty uľahčí chápanie diferenciálneho a integrálneho
Διαβάστε περισσότεραRiešenie sústavy lineárnych rovníc. Priame metódy.
Riešenie sústavy lineárnych rovníc. Priame metódy. Ing. Gabriel Okša, CSc. Matematický ústav Slovenská akadémia vied Bratislava Stavebná fakulta STU G. Okša: Priame metódy 1/16 Obsah 1 Základy 2 Systémy
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότεραMotivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
Διαβάστε περισσότεραNUMERICKÁ MATEMATIKA. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ. Fakulta elektrotechniky a informatiky
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ NUMERICKÁ MATEMATIKA Fakulta elektrotechniky a informatiky Štefan Berežný Táto publikácia vznikla za finančnej podpory
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8
Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................
Διαβάστε περισσότεραPrednáška Fourierove rady. Matematická analýza pre fyzikov IV. Jozef Kise lák
Prednáška 6 6.1. Fourierove rady Základná myšlienka: Nech x Haφ 1,φ 2,...,φ n,... je ortonormálny systém v H, dá sa tento prvok rozvinút do radu x=c 1 φ 1 + c 2 φ 2 +...,c n φ n +...? Ako nájdeme c i,
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium
Imrich Pokorný Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Strana 1 z 48 1 Nepresnosť numerického riešenia úloh 4 1.1 Zdroje chýb a ich klasifikácia................... 4 1.2 Základné pojmy odhadu
Διαβάστε περισσότεραBANACHOVE A HILBERTOVE PRIESTORY
BANACHOVE A HILBERTOVE PRIESTORY 1. ZÁKLADNÉ POJMY Normovaným lineárnym priestorom (NLP) nazývame lineárny (= vektorový) priestor X nad telesom IK, na ktorom je daná nezáporná reálna funkcia : X IR + (norma)
Διαβάστε περισσότεραMargita Vajsáblová. ρ priemetňa, s smer premietania. Súradnicová sústava (O, x, y, z ) (O a, x a, y a, z a )
Mrgit Váblová Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 101 Zákldné pom v onometrii Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 102 Definíci 1: onometri e rovnobežné premietnie bodov Ε 3 polu prvouhlým úrdnicovým
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika. Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER
Numerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER Košice 2006 RECENZOVALI: Prof. RNDr. Jozef Doboš, CSc. Doc. RNDr. Vladimír Penjak, CSc. Prvé vydanie Za
Διαβάστε περισσότεραSpojité rozdelenia pravdepodobnosti. Pomôcka k predmetu PaŠ. RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 26. marca Domovská stránka. Titulná strana.
Spojité rozdelenia pravdepodobnosti Pomôcka k predmetu PaŠ Strana z 7 RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 6. marca 3 Zoznam obrázkov Rovnomerné rozdelenie Ro (a, b). Definícia.........................................
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika
Numerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER Strana 1 z 262 Košice 2006 RECENZOVALI: Prof. RNDr. Jozef Doboš, CSc. Doc. RNDr. Vladimír Penjak, CSc. Strana
Διαβάστε περισσότεραMatematická analýza pre fyzikov IV.
119 Dodatok - klasické riešenia PDR 8.1. Parciálne diferenciálne rovnice Príklady parciálnych diferenciálnych rovníc: Lalpaceova rovnica u = 0 Helmholtzova rovnica u = λu n Lineárna transportná rovnica
Διαβάστε περισσότεραLineárne programovanie
Technická univerzita Fakulta elektrotechniky a informatiky Košice Lineárne programovanie Vysokoškolská učebnica Košice 2012 Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky Katedra
Διαβάστε περισσότεραTomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Διαβάστε περισσότεραG. Monoszová, Analytická geometria 2 - Kapitola III
text obsahuje znenia viet, ktoré budeme dokazovat na prednáškach text je doplnený aj o množstvo poznámok, ich ciel om je dopomôct študentom k lepšiemu pochopeniu pojmov aj súvislostí medzi nimi text je
Διαβάστε περισσότεραx x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy matematiky I
Prednáša č. 2 Numericé metódy matematiy I Riešenie nelineárnych rovníc Prednáša č. 2 OBSAH 1. Opaovanie 2. Niečo z funcionálnej analýzy 3. Úvod 4. Separácia oreňov a určenie počiatočnej aproximácie 5.
Διαβάστε περισσότεραPevné ložiská. Voľné ložiská
SUPPORTS D EXTREMITES DE PRECISION - SUPPORT UNIT FOR BALLSCREWS LOŽISKA PRE GULIČKOVÉ SKRUTKY A TRAPÉZOVÉ SKRUTKY Výber správnej podpory konca uličkovej skrutky či trapézovej skrutky je dôležité pre správnu
Διαβάστε περισσότεραVLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b
VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR Michal Zajac Vlastné čísla a vlastné vektory Pripomeňme najprv, že lineárny operátor T : L L je vzhl adom na bázu B = {b 1, b 2,, b n } lineárneho priestoru L určený
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICKÁ ANALÝZA 1
UNIVERZITA PAVLA JOZEFA ŠAFÁRIKA V KOŠICIACH Prírodovedecká fakulta Ústav matematických vied Božena Mihalíková, Ján Ohriska MATEMATICKÁ ANALÝZA Vysokoškolský učebný text Košice, 202 202 doc. RNDr. Božena
Διαβάστε περισσότεραZáklady matematickej štatistiky
1. Náhodný výber, výberové momenty a odhad parametrov Katedra Matematických metód Fakulta Riadenia a Informatiky Žilinská Univerzita v Žiline 6. mája 2015 1 Náhodný výber 2 Výberové momenty 3 Odhady parametrov
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2013/2014 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/27
Διαβάστε περισσότερα4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti
4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti Výroková funkcia (forma) ϕ ( x) je formálny výraz (formula), ktorý obsahuje znak x, pričom x berieme z nejakej množiny M. Ak za x zvolíme
Διαβάστε περισσότεραTECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA 1. Funkcia jednej premennej a jej diferenciálny počet
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA časťa Funkcia jednej premennej a jej diferenciáln počet Dušan Knežo, Miriam Andrejiová, Zuzana Kimáková 200 RECENZOVALI: prof. RNDr. Jozef
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické substitúcie
Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať
Διαβάστε περισσότεραMetódy numerickej matematiky I
Úvodná prednáška Metódy numerickej matematiky I Prednášky: Doc. Mgr. Jozef Kristek, PhD. F1-207 Úvodná prednáška OBSAH 1. Úvod, sylabus, priebeh, hodnotenie 2. Zdroje a typy chýb 3. Definície chýb 4. Zaokrúhľovanie,
Διαβάστε περισσότεραKATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita
132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:
Διαβάστε περισσότεραFakulta matematiky, fyziky a informatiky. Univerzita Komenského. Contents I. Úvod do problematiky numeriky 2
NUMERICKÁ MATEMATIKA ročník Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Univerzita Komenského Contents I Úvod do problematiky numeriky II Počítačová realizácia reálnych čísel 3 III Diferenčný počet 5 IV CORDIC
Διαβάστε περισσότεραviacrozmerných a nekonečnorozmerných priestoroch. A ako nasvedčuje jej názov, pôjde o rovnice nelineárne.
Nelineárna analýza 1. Úvod Na začiatok by bolo načim ako-tak vymedzit, čím sa nelineárna analýza zaoberá. Čitatel by už mal však mat dostatok skúseností, aby vedel, že je to dost t ažké u l ubovol nej
Διαβάστε περισσότερα24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Διαβάστε περισσότεραPríklady na precvičovanie Fourierove rady
Príklady na precvičovanie Fourierove rady Ďalším významným typom funkcionálnych radov sú trigonometrické rady, pri ktorých sú jednotlivé členy trigonometrickými funkciami. Konkrétne, jedná sa o rady tvaru
Διαβάστε περισσότεραPREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz
KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)
Διαβάστε περισσότεραPriamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
Διαβάστε περισσότεραNumerická lineárna algebra. Zobrazenie
Numerická lineárna algebra. Zobrazenie reálnych čísiel v počítači Ing. Gabriel Okša, CSc. Matematický ústav Slovenská akadémia vied Bratislava Stavebná fakulta STU G. Okša: Reálne čísla v počítači 1/16
Διαβάστε περισσότεραLineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus
1. prednáška Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus Matematickým základom kvantovej mechaniky je teória Hilbertových
Διαβάστε περισσότεραVektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich
Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:
Διαβάστε περισσότεραmnožiny F G = {t1, t2,, tn} T a pre ľubovoľný valec C so základňou B1, B2,, Bn v bodoch t1, t2,, tn, takou, že pre t G - F je Bt = E, platí PF(C) = PG
STOCHASTICKÝ PROCES Definícia stochastického procesu Definícia 1 Nech (Ω, F, P) je pravdepodobnostný priestor a nech T je podmnožina R. Pre každé t T nech X(t, ω) je náhodná premenná definovaná na pravdepodobnostnom
Διαβάστε περισσότεραDIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c)
Prírodovedecká fakulta Univerzity P. J. Šafárika v Košiciach Božena Mihalíková, Ivan Mojsej Strana 1 z 43 DIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c) 1 Obyčajné diferenciálne rovnice 3 1.1 Úlohy
Διαβάστε περισσότεραPodnikateľ 90 Mobilný telefón Cena 95 % 50 % 25 %
Podnikateľ 90 Samsung S5230 Samsung C3530 Nokia C5 Samsung Shark Slider S3550 Samsung Xcover 271 T-Mobile Pulse Mini Sony Ericsson ZYLO Sony Ericsson Cedar LG GM360 Viewty Snap Nokia C3 Sony Ericsson ZYLO
Διαβάστε περισσότεραDefinícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.
Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [
Διαβάστε περισσότεραAutomaty a formálne jazyky
Automaty a formálne jazyky Podľa prednášok prof. RNDr. Viliama Gefferta, DrSc., PrírF UPJŠ Dňa 8. februára 2005 zostavil Róbert Novotný, r.novotny@szm.sk. Typeset by LATEX. Illustrations by jpicedit. Úvodné
Διαβάστε περισσότεραSimplex Crossover for Real-coded Genetic Algolithms
Technical Papers GA Simplex Crossover for Real-coded Genetic Algolithms 47 Takahide Higuchi Shigeyoshi Tsutsui Masayuki Yamamura Interdisciplinary Graduate school of Science and Engineering, Tokyo Institute
Διαβάστε περισσότεραEinsteinove rovnice. obrázkový úvod do Všeobecnej teórie relativity. Pavol Ševera. Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky
Einsteinove rovnice obrázkový úvod do Všeobecnej teórie relativity Pavol Ševera Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky (Pseudo)historický úvod Gravitácia / Elektromagnetizmus (Pseudo)historický
Διαβάστε περισσότεραPodmienenost problému a stabilita algoritmu
Podmienenost problému a stabilita algoritmu Ing. Gabriel Okša, CSc. Matematický ústav Slovenská akadémia vied Bratislava Stavebná fakulta STU G. Okša: Podmienenost a stabilita 1/19 Obsah 1 Vektorové a
Διαβάστε περισσότεραCieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej transformácie,
Kapitola Riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie, keď charakteritická rovnica má rôzne
Διαβάστε περισσότεραZadanie projektov z Optimálneho riadenia 1, r. 2016/17
Zadanie projektov z Optimálneho riadenia 1, r. 2016/17 Výber témy: Každá dvojica si vyberie ľubovoľnú tému z poskytnutých piatich tém. Zvolenú tému zapíše na hárok zavesený na stene medzi M267 a M268 do
Διαβάστε περισσότεραFaculty of Mathematics, Physics and Informatics Comenius University Bratislava. NumDif
Numerické riešenie diferenciálnych rovníc Jela Babušíková Faculty of Mathematics, Physics and Informatics Comenius University Bratislava Klasifikácia diferenciálnych rovníc: obyčajné - počiatočná a okrajová
Διαβάστε περισσότεραAlgorithms to solve Unit Commitment Problem
Algorhms to solve Un Commment Problem Takayuki SHIINA The electric power industry is undergoing restructuring and deregulation. This paper reviews mathematical programming models for the un commment. The
Διαβάστε περισσότερα7. Dokážte, že z každej nekonečnej množiny môžeme vydeliť spočítateľnú podmnožinu.
Teória množín To, že medzi množinami A, B existuje bijektívne zobrazenie, budeme symbolicky označovať A B alebo A B. Vtedy hovoríme, že množiny A, B sú ekvivalentné. Hovoríme tiež, že také množiny A, B
Διαβάστε περισσότεραNumerické experimentovanie s novou parametrickou triedou kvázinewtonovských formúl.
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Numerické experimentovanie s novou parametrickou triedou kvázinewtonovských formúl. Diplomová práca Bc. Matúš Stanovský Bratislava
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότερα1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy
1. Rovnice, nerovnice a ich sústavy Osah Pojmy: rovnica, nerovnica, sústava rovníc, sústava nerovníc a ich riešenie, koeficient, koreň, koreňový činiteľ, diskriminant, doplnenie do štvorca, úprava na súčin,
Διαβάστε περισσότεραEulerovské grafy. Príklad Daný graf nie je eulerovský, ale obsahuje eulerovskú cestu (a, ab, b, bc, c, cd, d, da, a, ac, c, ce, e, ed, d, db).
Eulerovské grafy Denícia Nech G = (V, E) je graf. Uzavretý ah v G sa nazýva eulerovská kruºnica, ak obsahuje v²etky hrany G. Otvorený ah obsahujúci v²etky hrany grafu sa nazýva eulerovská cesta. Graf sa
Διαβάστε περισσότεραHydromechanika II. Viskózna kvapalina Povrchové napätie Kapilárne javy. Doplnkové materiály k prednáškam z Fyziky I pre EF Dušan PUDIŠ (2013)
Hyomechanika II Viskózna kvaaina Povchové naäie Kaiáne javy Donkové maeiáy k enáškam z yziky I e E Dušan PUDIŠ (013 Lamináne vs. Tubuenné úenie Pi úení eánej kvaainy ôsobia mezi voma susenými vsvami i
Διαβάστε περισσότεραKompilátory. Cvičenie 6: LLVM. Peter Kostolányi. 21. novembra 2017
Kompilátory Cvičenie 6: LLVM Peter Kostolányi 21. novembra 2017 LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov Pôvodne Low Level Virtual Machine
Διαβάστε περισσότεραΤύπος TAYLOR. f : [a, b] R f (n 1) (x) συνεχής x [a, b] f (n) (x) x (a, b) ξ μεταξύ x και x 0. (x x 0 ) k k! f(x) = f (k) (x 0 ) + R n (x)
Τύπος TAYLOR f : [a, b] R f (n 1) (x) συνεχής x [a, b] f (n) (x) x (a, b) f(x) = ξ μεταξύ x και x 0 n 1 (x x 0 ) k f (k) (x 0 ) + R n (x) R n (x) = (x ξ)n p (x x 0 ) p p(n 1)! f (n) (ξ) υπόλοιπο Sclömlich-Roche
Διαβάστε περισσότερα23. Zhodné zobrazenia
23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:
Διαβάστε περισσότεραVýroky, hypotézy, axiómy, definície a matematické vety
Výroky, hypotézy, axiómy, definície a matematické vety Výrok je každá oznamovacia veta (tvrdenie), o ktorej má zmysel uvažovať, či je pravdivá alebo nepravdivá. Výroky označujeme pomocou symbolov: A, B,
Διαβάστε περισσότερα