Calculul valorilor şi vectorilor proprii
|
|
- Ἰοκάστη Ζυγομαλάς
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Capitolul 4 Calculul valorilor şi vectorilor proprii Valorile şi vectorii proprii joacă un rol fundamental în descrierea matematică a unor categorii foarte largi de procese tehnice, economice, biologice etc. Astfel, proprietăţi esenţiale (cum este, e.g. stabilitatea) ale modelelor matematice cunoscute sub denumirea de sisteme dinamice se exprimă în raport cu valorile proprii ale unor matrice. În acest context, calculul cât mai eficient şi mai exact al valorilor şi vectorilor proprii se impune cu necesitate. Cadrul cel mai natural de abordare a problemei este cel al matricelor complexe, în care caz valorile şi vectorii proprii sunt, în general, numere complexe, respectiv vectori complecşi. Totuşi, majoritatea problemelor tehnice conduc la necesitatea calculului valorilor şi vectorilor proprii pentru matrice reale. Deşi valorile proprii şi vectorii proprii asociaţi ai unei matrice reale pot fi numere complexe, respectiv vectori complecşi, calculul cu numere complexe este sensibil mai puţin eficient şi, din acest motiv, în cazul datelor iniţiale reale, dezvoltările procedurale vor urmări utilizarea, practic exclusivă, a calculului cu numere reale. 4.1 Formularea problemei Valori şi vectori proprii Valorileşi vectoriipropriipentru o matricepătratăa IC n n sunt noţiuni introduse în capitolul 1 în contextul prezentării unor algoritmi de calcul elementari (secţiunea 1.10). Problema determinării valorilor şi vectorilor proprii poate fi apreciată ca fiind simplă numai pentru matrice cu structură triunghiulară, caz care a şi fost tratat în capitolul menţionat (v. algoritmul 1.23). Cu riscul de a ne repeta, reluăm câteva definiţii şi rezultate fundamentale introduse în 1.10 cu dezvoltările corespunzătoare necesare abordării problemei în cazul general.
2 210 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII Definiţia 4.1 Fie o matrice A IC n n. Un număr λ IC se numeşte valoare proprie a matricei A, dacă există un vector nenul x IC n astfel încât Ax = λx. (4.1) Un vector x 0 care satisface (4.1) se numeşte vector propriu al matricei A asociat valorii proprii λ. Valorile proprii ale matricei A IC n n, conform teoremei 1.13, sunt zerourile polinomului caracteristic p(λ) = det(λi n A), (4.2) care este un polinom de gradul n cu coeficienţi complecşi 1. În consecinţă, orice matrice A IC n n are exact n valori proprii complexe, nu neapărat distincte. Dacă matricea este reală, atunci polinomul caracteristic are coeficienţii reali şi valorile propriicomplexe apar înperechi complex-conjugate 2. Dacă x = u+iv IC n cu u, v IR n, este un vector propriu asociat valorii proprii λ = α+iβ, α, β IR, β 0, a unei matrice reale, atunci x = u iv este un vector propriu asociat valorii proprii λ = α iβ (verificaţi!). Ordinuldemultiplicitate n i alrădăciniiλ i apolinomuluicaracteristicsenumeşte multiplicitate algebrică a valorii proprii respective. Dacă n i = 1 valoarea proprie λ i se numeşte simplă. Mulţimea λ(a) = {λ 1,λ 2,...,λ n } = {λ IC det(λi A) = 0} (4.3) a valorilor proprii ale unei matrice A IC n n se numeşte spectrul matricei A, iar numărul real nenegativ ρ(a) = max( λ 1, λ 2,..., λ n ) (4.4) se numeşte raza spectrală a matricei A. Deci, în planul complex IC, valorile proprii ale unei matrice A sunt situate în discul închis de rază ρ(a) cu centrul în origine. Se poate arăta imediat că valorile proprii ale unei matrice A IC n n satisfac relaţiile n λ i = i=1 n i=1 a ii def = tr(a), n λ i = det(a), (4.5) unde tr(a) este, prin definiţie, urma matricei A. În particular, o matrice este singulară dacă şi numai dacă are (cel puţin) o valoare proprie nulă. Vectorii proprii introduşi prin definiţia 4.1 sunt denumiţi uneori vectori proprii la dreapta ai matricei A şi satisfac sistemul liniar omogen singular i=1 (λi n A)x = 0. (4.6) Deci, fiecărei valori proprii îi corespunde cel puţin un vector propriu. Vectorii proprii asociaţi valorilor proprii distincte sunt liniar independenţi. 1 Ecuaţia p(λ) = 0 se numeşte ecuaţie caracteristică a matricei A. 2 O mulţime de numere (reale şi complexe) în care numerele complexe apar în perechi complexconjugate va fi numită în continuare mulţime simetrică.
3 4.1. FORMULAREA PROBLEMEI 211 În acest context, vectorii proprii la stânga sunt vectorii nenuli y IC n ce satisfac condiţia y H A = λy H, (4.7) unde H reprezintă operatorul cumulat de transpunere şi conjugare. Aplicând operatorul H relaţiei (4.7) obţinem A H y = λy, (4.8) i.e. vectorii proprii la stânga ai matricei A asociaţi valorii proprii λ sunt vectori proprii (la dreapta) ai matricei A H asociaţi valorii proprii λ λ(a H ). De aici rezultă λ(a H ) = λ(a), (4.9) adică valorile proprii ale matricei A H sunt conjugatele valorilor proprii ale matricei A. Întrucât det(λi n A) = det(λi n A T ) matricele A şi A T au acelaşi polinom caracteristic şi, deci, aceleaşi valori proprii dar vectorii proprii, în general, diferă. Cum un vector propriu y al matricei A T asociat valorii proprii λ satisface A T y = λy sau y T A = λy T vectorii proprii reali ai matricei A T sunt vectori proprii la stânga ai matricei A. Dacă x i este un vector propriu al matricei A asociat valorii proprii λ i, vectorul y i = αx i este, de asemenea, un vector propriu al matricei A asociat aceleiaşi valori proprii λ i, oricare ar fi α IC, α 0. Mai mult, este clar că mulţimea vectorilor proprii asociaţi unei valori proprii λ i împreună cu vectorul nul din IC n formează subspaţiul liniar V i = Ker(λ i I n A) IC n numit subspaţiul propriu asociat valorii proprii λ i. Dimensiunea ν i = dimv i a subspaţiului propriu, i.e. numărul de vectori proprii liniar independenţi asociaţi lui λ i, se numeşte multiplicitate geometrică a valorii proprii λ i. Este evident că ν i n i. (4.10) Subspaţii invariante Subspaţiile proprii sunt subspaţii A-invariante în sensul definiţiei următoare (v. şi 1.10). Definiţia 4.2 Fie o matrice A IC n n. Un subspaţiu liniar V IC n se numeşte subspaţiu invariant al matricei A sau, pe scurt, subspaţiu A-invariant dacă AV V i.e. Ax V, x V. (4.11) Cum IR n IC n, pot exista subspaţii A-invariante în IR n pentru matrice A complexe. De asemenea, pentru matrice A reale pot exista subspaţii A-invariante care nu sunt în IR n. Dintre proprietăţile subspaţiilor A-invariante amintim următoarele.
4 212 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII Propoziţia 4.1 Fie matricea A IC n n. 1. Dacă x 1, x 2,...,x p sunt vectori proprii ai matricei A, atunci subspaţiul S = Im[x 1 x 2... x p ] IC n este A-invariant. 2. Dacă S este un subspaţiu A-invariant cu dims = p şi coloanele matricei (monice) V = [v 1 v 2... v p ] IC n p formează o bază a lui S, atunci există o matrice B IC p p astfel încât AV = VB. (4.12) Mai mult, avem λ(b) λ(a). (4.13) (Matricea B se numeşte restricţia matricei A la subspaţiul A-invariant S şi se notează B = A S.) În particular, orice subspaţiu A-invariant nenul (i.e. p 1) conţine un vector propriu al matricei A. Reciproc, dacă are loc o relaţie de forma (4.12), atunci ImV este un subspaţiu A-invariant. 3 Complementul ortogonal T = S în IC n al subspaţiului A-invariant S este un subspaţiu A H -invariant. În cazul real un subspaţiu A-invariant generat de vectori proprii reali este, evident, real. Dacă x 1,2 = v 1 ± iv 2, v 1, v 2 IR n, sunt vectori proprii asociaţi unei perechi de valori proprii complex conjugate λ 1,2 = α ± iβ, α, β IR, β 0, atunci vectorii v 1, v 2 sunt liniar independenţi şi S = Im[v 1 v 2 ] este un subspaţiu A-invariant. Mai mult, dacă are loc o relaţie de forma (4.12), unde coloanele lui V IR n p formează o bază a unui subspaţiu A-invariant S IR n, atunci restricţia B IR p p a lui A la S satisface (4.13) cu λ(b) o mulţime simetrică. În sfârşit, complementul ortogonal T = S în IR n al subspaţiului A-invariant real S este un subspaţiu A T -invariant. Demonstraţie. Proprietatea 1 este evidentă. Pentru a arăta 2 să observăm că Av j S, de unde rezultă Av j = Vb j, j = 1 : p, i.e. (4.12) este adevărată. Dacă z IC p este un vector propriu al matricei B, i.e. Bz = µz, asociat valorii proprii µ λ(b), atunci din (4.12) avem AVz = µvz. Cum z 0 iar V este monică, rezultă y = Vz 0, i.e. y este un vector propriu al lui A conţinut în S. În consecinţă, S conţine un vector propriu al matricei A şi avem µ λ(a), deci (4.13) este adevărată. Acum, dacă are loc o relaţie de forma (4.12), atunci AVz = VBz = Vw ImV, z IC p, i.e. ImV este A-invariant. 3. Fie x S, y T doi vectori arbitrari. Atunci Ax S şi, deci, y H Ax = (A H y) H x = 0. Cum x S este arbitrar, rezultă A H y S, respectiv A H y T, i.e. T este A H -invariant. În cazul real, din A(v 1 ±iv 2 ) = (α±iβ)(v 1 ±iv 2 ) rezultă { [ ] Av1 = αv 1 βv 2 α β, i.e. AV = VB cu B =. (4.14) Av 2 = βv 1 +αv 2 β α Dacă v 1, v 2 sunt liniar dependenţi, atunci v 2 = γv 1 cu γ 0 şi din (4.14) rezultă β(1 + γ 2 )v 1 = 0. Cum β 0, obţinem v 1 = 0, de unde v 2 = 0 şi x 1,2 = 0, ceea ce contrazice definiţia vectorilor proprii. Celelalte afirmaţii se demonstrează similar cazului complex.
5 4.1. FORMULAREA PROBLEMEI 213 Exemplul 4.1 Se consideră matricea A = 1 6 care are polinomul caracteristic p(λ) = det(λi 3 A) = λ 3 4λ 2 +6λ 4 şi valorile proprii λ 1 = 2, λ 2,3 = 1±i. Vectorii def x 1 = v 1 = 1 1 2, x 2,3 def = v 2 ±iv 3 = ±i sunt vectori proprii ai matricei A asociaţi valorilor proprii λ 1 şi, respectiv, λ 2,3. Fie V 1 = v 1 şi V 23 = [v 2 v 3 ]. Avem următoarele relaţii de tipul (4.12) (verificaţi!): [ ] 1 1 AV 1 = V 1 B 1 cu B 1 = 2, AV 23 = V 23 B 23 cu B 23 = 1 1 şi, prin urmare, S 1 = ImV 1 şi S 23 = ImV 23 (vezi fig.4.1) sunt subspaţii A-invariante, 3 IR S 3 1 =ImV 1 S 23 =ImV 23 v 1 v 2 0 v Fig. 4.1: Vectori proprii şi subspaţii A-invariante pentru matricea A din exemplul 4.1. iar B 1 = A S 1 şi B 23 = A S 23 sunt restricţii ale matricei A la cele două subspaţii (sunt aceste restricţii unic determinate?). Propunem cititorului să calculeze complementele ortogonale înir 3 ale celordouă subspaţii şi săverificecă acestesubspaţii sunt A T -invariante. Problema de calcul care face obiectul acestui capitol este determinarea valorilor şi vectorilor proprii ai unei matrice date. Deşi pentru calculul unei valori proprii
6 214 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII sau al unui grup de valori proprii pot fi utilizate tehnici specifice, ne vom concentra demersul nostru, în principal, asupra problema de calcul al întregului spectru. Problema calculului vectorilor proprii va fi tratată în subsidiar, ţinând seama şi de faptul că în multe aplicaţii calculul explicit al vectorilor proprii poate fi (şi este bine să fie) evitat Matrice asemenea Urmând metodologia generală de reducere a unei probleme de calcul la alte probleme mai simple, utilizată şi în capitolele precedente, suntem interesaţi să evidenţiem transformările matriceale care conservă spectrul unei matrice date. Aşa cum s-a specificat şi în 1.10, valorile proprii sunt conservate de transformările de asemănare definite mai jos. Definiţia 4.3 Două matrice A,B IC n n se numesc asemenea dacă există o matrice nesingulară T IC n n astfel încât B = T 1 AT. (4.15) Dacă matricea de transformare T este unitară, atunci matricele A şi B se numesc unitar asemenea. În cazul real, dacă matricea de transformare T este ortogonală, matricele A şi B se numesc ortogonal asemenea. Într-adevăr,conformteoremei1.14,dacămatriceleA,B IC n n satisfacorelaţie de forma (4.15), i.e. sunt asemenea, atunci ele au acelaşi spectru 3 λ(a) = λ(b) (4.16) şi dacă x este un vector propriu al matricei A asociat valorii proprii λ λ(a), atunci vectorul y = T 1 x (4.17) este un vector propriu al matricei B, asociat aceleiaşi valori proprii. În dezvoltările din această lucrare vom insista asupra cazului generic al matricelor de ordin n care admit un set (complet) de n vectori proprii liniar independenţi. Aşa cum s-a demonstrat în teorema 1.15, în acest caz, utilizând în (4.15) ca matrice de transformare T = X, unde X este o matrice având drept coloane n vectori proprii liniar independenţi ai matricei A, obţinem o matrice diagonală: X 1 AX = Λ = diag(λ 1,λ 2,...,λ j,...,λ n ) IC n n. (4.18) Astfel de matrice se numesc diagonalizabile (peste IC). Dacă o matrice n n are n valori proprii distincte, atunci este diagonalizabilă dar reciproca nu este, în general, adevărată 4. 3 De remarcat faptul că transformările uzuale cum ar fi multiplicările cu matrice (la stânga sau la dreapta) alterează spectrul matricei date. În particular, operaţiile elementare cu linii sau coloane, inclusiv permutările, pot modifica valorile şi vectorii proprii. 4 O matrice cu toate valorile proprii simple (i.e. distincte) se numeşte cu spectru simplu, iar matricele care admit seturi complete de vectori proprii liniar independenţi sunt cunoscute sub denumirea de matrice simple. În acest din urmă caz multiplicităţile algebrice ale valorilor proprii distincte coincid cu multiplicităţile lor geometrice. Evident, matricele cu spectru simplu sunt simple dar nu şi reciproc.
7 4.1. FORMULAREA PROBLEMEI 215 În cazul general, structura fină a unei matrice, care poate fi dezvăluită prin transformări de asemănare corespunzătoare, este dată de aşa numita formă canonică Jordan. Deşi forma canonică Jordan joacă un rol esenţial în analiza matriceală, conţinând maximum de informaţie structurală privitor la o matrice dată, totuşi rolul ei în calculul numeric este mult diminuat de sensibilitatea structurii Jordan la perturbaţii numerice în elementele matricei iniţiale, perturbaţii inerente în calcule efectuate pe un calculator datorită reprezentării informaţiei numerice în virgulă mobilă. Acesta este motivul pentru care în toate dezvoltările numerice se preferă o structură mult mai robustă şi anume forma Schur reală sau complexă prezentată într-una din secţiunile următoare Valorile proprii ale matricelor simetrice şi hermitice Prezentăm în continuare câteva rezultate referitoare la valorile şi vectorii proprii pentru matricele hermitice (simetrice). Matricele hermitice (simetrice) se întâlnesc în numeroase aplicaţii şi prezintă particularităţi remarcabile. Definiţia 4.4 Fie A IC n n. Matricea A se numeşte normală dacă A H A = AA H. (4.19) În cazul real, matricea A IR n n este normală dacă A T A = AA T. (4.20) În acest context reamintim că matricea A se numeşte hermitică dacă A H = A şi simetrică dacă A T = A. De asemenea, o matrice A IC n n se numeşte unitară dacă A H A = I n şi ortogonală dacă A T A = I n. Se constată imediat că matricele hermitice şi cele unitare sunt matrice normale. Matricele hermitice au proprietatea că elementele simetrice faţă de diagonala principală sunt complex conjugate, i.e. a ij = ā ji, i,j 1 : n, deci elementele diagonale ale matricelor hermitice sunt reale. O matrice hermitică reală este simetrică. O matrice unitară reală este ortogonală. Prin urmare matricele reale simetrice sau ortogonale sunt normale. Există [ matrice ] normale care nu sunt nici simetrice nici 1 1 ortogonale, de exemplu A =. 1 1 Prezentăm în continuare câteva rezultate fundamentale, urmând ca aspectele specifice legate de calculul efectiv al valorilor şi vectorilor proprii pentru matrice hermitice (simetrice) să fie date în două secţiuni distincte ( 4.8 şi 4.9), iar cele legate de condiţionare şi stabilitate în 4.10 şi Teorema 4.1 O matrice n n complexă A este normală dacă şi numai dacă admite un set complet de n vectori proprii ortogonali, adică există o matrice unitară Q IC n n ale cărei coloane sunt vectori proprii ai matricei A astfel încât Q H AQ = Λ = diag(λ 1,λ 2,...,λ n ) IC n n. (4.21) 5 Algoritmii de reducere la forma canonică Jordan, prezentaţi în unele lucrări de matematică (vezi, e.g. [XVI]) nu prezintă interes practic decât în contextul unor medii de calcul exact. Pentru detalii privitoare la aspectele numerice şi algoritmice ale calculului formei canonice Jordan, vezi secţiunea 4.7.
8 216 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII Altfel spus, matricele normale sunt matricele unitar diagonalizabile (peste IC). În cazul real, matricea A este normală dacă şi numai dacă satisface aceleaşi condiţii, i.e. este unitar diagonalizabilă. Demonstraţie. Presupunem că matricea A este normală. Demonstrăm mai întâi următorul rezultat preliminar. Lema 4.1 Dacă S este un subspaţiu simultan A-invariant şi A H -invariant, atunci A şi A H admit un vector propriu comun x conţinut în S 6. Dacă Ax = λx atunci A H x = λx. Subspaţiul S fiind A-invariant, în conformitate cu propoziţia 4.1, punctul 2, există un vector propriu x al matricei A (i.e. care satisface Ax = λx, x 0) conţinut în S. Din (4.19) rezultă imediat că A(A H ) k = (A H ) k A. Deci A(A H ) k x = λ(a H ) k x, k = 0,1,2,..., i.e. y k = (A H ) k x 0 sunt vectori proprii ai matricei A asociaţi aceleiaşi valori proprii λ. Cum subspaţiul S este şi A H -invariant rezultă că toţi vectorii y k sunt conţinuţi în S. Fie p întregul pentru care y 0,y 1,...,y p 1 sunt liniar independenţi, iar y p este o combinaţie liniară a acestora. Atunci, subspaţiul S = ImY S, unde Y = [y 0 y 1... y p 1 ] este A-invariant (conform propoziţiei 4.1, punctul 1 ) şi, fiind generat de vectori proprii asociaţi aceleiaşi valori proprii, orice vector nenul din S este vector propriu al lui A. Pe de altă parte, S este şi A H -invariant întrucât x = Yu S avem A H x = A H Yu = Yv S. În consecinţă, conform propoziţiei 4.1, 2, există o matrice B astfel încât A H Y = YB, de unde rezultă A H Yz = YBz = µyz pentru orice vector propriu z al ei asociat valorii proprii µ λ(b). Prin urmare, notând x = Yz avem A H x = µx cu µ λ(b) λ(a H ). Altfel spus, există un vector propriu al matricei A H conţinut în S. Cum toţi vectorii nenuli din S sunt vectori proprii ai lui A, am arătat că matriceanormalăaşimatriceaa H au(cel puţin) un vectorpropriucomunconţinut în S, deci şi în S. Mai mult, din Ax = λx şi A H x = µx cu acelaşi x 0, avem λ x 2 = λx H x = x H Ax = (A H x) H x = (µx) H x = µ x 2, de unde rezultă µ = λ. Demonstraţia lemei este completă. Vom construi acum un set complet de vectori proprii ortogonali ai matricei normale A. Pasul 1. Spaţiul IC n fiind simultan A- şi A H -invariant, conform lemei de mai sus matricele A şi A H admit un vector propriu comun x 1 care poate fi normat: Ax 1 = λ 1 x 1, A H x 1 = λ 1 x 1, x 1 = 1. Subspaţiul S 1 = Im[x 1 ] este simultan A-invariant şi A H -invariant. Conform propoziţiei 4.1, 3 complementul său ortogonal T 1 = S 1 în ICn este, de asemenea, simultan A- şi A H -invariant. În consecinţă matricele A şi A H admit un vector propriu (normat) comun x 2 T 1, i.e. ortogonal cu x 1 : Ax 2 = λ 2 x 2, A H x 2 = λ 2 x 2, x 2 = 1, x 2 x 1. 6 Un rezultat mai general este următorul: două matrice care comută admit un vector propriu comun (v. exerciţiul 4.7).
9 4.1. FORMULAREA PROBLEMEI 217 Pasul k. Presupunem că am construit un set de k < n vectori proprii ortogonali x 1, x 2,...,x k ai matricei normale A (şi, simultan, ai matricei A H ). Subspaţiul S k = Im[x 1 x 2... x k ] este simultan A-invariant şi A H -invariant. Cu aceleaşi argumente, complementul său ortogonal T k = S k în ICn este, de asemenea, simultan A- şi A H -invariant. În consecinţă, matricele A şi AH admit un vector propriu(normat) comun x k+1 T 1, i.e. ortogonal cu x 1, x 2,...,x k : Ax k+1 = λ k+1 x k+1, A H x k+1 = λ k+1 x k+1, x k+1 = 1, x k+1 S k. Procesul recurent de construcţie a vectorilor proprii ortogonali conduce după k = = n 1 paşi la determinarea unui set ortogonal complet de vectori proprii ai matricei A şi, simultan, ai matricei A H. Notând cu Q matricea vectorilor proprii, implicaţia directă este demonstrată. Reciproc, presupunem că matricea A admite un set complet de vectori proprii ortogonali x i, i 1 : n, respectiv o matrice unitară Q def = X = [x 1 x 2 x n ] de vectori proprii. Avem de unde rezultă X H AX = Λ = diag(λ 1,λ 2,...,λ n ) IC n n, X H A H X = Λ. Din ultimele două relaţii avem Λ Λ = ΛΛ = X H AA H X = X H A H AX, i.e. AA H = = A H A şi teorema este complet demonstrată. Observaţia 4.1 Demonstraţia prezentată mai sus evidenţiază, printre altele, următoarele proprietăţi suplimentare ale matricelor normale: 1 Dacă A este normală, atunci matricele A şi A H au aceiaşi vectori proprii. 2 Dacă S este un subspaţiu A-invariant, atunci şi complementul său ortogonal în IC n este A-invariant. Teorema 4.2 O matrice n n complexă A este hermitică dacă şi numai dacă admite un set complet de n vectori proprii ortogonali şi toate valorile proprii sunt reale adică există o matrice unitară Q, ale cărei coloane sunt vectori proprii, astfel încât Q H AQ = Λ = diag(λ 1,λ 2,...,λ n ) IR n n. (4.22) Altfel spus, matricele hermitice sunt matricele unitar diagonalizabile cu spectru real. În cazul real matricea A este simetrică dacă şi numai dacă admite un set complet de n vectori proprii ortogonali reali şi toate valorile proprii sunt reale adică există o matrice ortogonală Q, ale cărei coloane sunt vectori proprii, astfel încât Q T AQ = Λ = diag(λ 1,λ 2,...,λ n ) IR n n, (4.23) i.e. matricele reale simetrice 7 sunt matricele ortogonal diagonalizabile cu spectru real. 7 Matricele complexe simetrice sunt matrice cu multe proprietăţi esenţial diferite de cele ale matricelor hermitice sau ale matricelor reale simetrice (vezi [I], [II] şi exerciţiul 4.31).
10 218 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII Demonstraţie. Matricele hermitice fiind normale, conform teoremei precedente sunt unitar diagonalizabile, i.e. are loc (4.21). Acum, din A H = A rezultă că Λ H = Λ, i.e. spectrul este real. În cazul realaceastaare drept consecinţă faptul că vectorii proprii sunt reali. Reciproc, din (4.22) rezultă Λ H = Λ, i.e. Q H AQ = Q H A H Q, de unde obţinem A H = A. Faptul că matricele hermitice (în cazul real, simetrice) au spectrul real şi sunt unitar(ortogonal) diagonalizabile are implicaţii majore asupra tehnicilor de calcul al valorilor proprii, asigurând o complexitate relativ redusă a algoritmilor şi o precizie ridicată a rezultatelor. Pentru dezvoltarea algoritmilor de calcul se vor dovedi utile rezultatele prezentate în continuare. Formularea rezultatelor şi demonstraţiile vor fi prezentate pentru matricele hermitice, particularizarea pentru matricele reale simetrice (care se reduce, în esenţă, la înlocuirea mulţimii IC cu mulţimea IR şi a operatorului hermitic H cu operatorul de transpunere T ) fiind lăsată în sarcina cititorului. Fie matricea hermitică A IC n n şi funcţia reală de n variabile complexe µ : IC\{0} IR definită de µ(x) = xh Ax x H. Vom fi interesaţi de extremele funcţiei x µ. Pentru determinarea acestora, observăm mai întâi că µ(x) = µ(αx) pentru toţi α nenuli din IC. În consecinţă, este suficient să ne rezumăm la vectorii x de normă euclidiană unitară, i.e. să considerăm funcţia µ : S IR, x µ(x) = x H Ax, (4.24) unde S = { x IC n x 2 = x H x = 1 } (4.25) estesferaderazăunitarădinic n. Vomconsideracăspectrulλ(A) = {λ 1,λ 2,...,λ n } al matricei A este ordonat descrescător, i.e. λ 1 λ 2... λ n, (4.26) şi fie q j IC n, j = 1 : n un set complet de vectori proprii, de normă euclidiană unitară, ai matricei A, asociaţi valorilor proprii λ j. Vom nota Q = [ ] q 1 q 2 q n, Q k = Q(:,1 : k), Q k = Q(:,k +1 : n). (4.27) Avem următorul rezultat. Teorema 4.3 Valorile extreme absolute ale funcţiei µ definite în (4.24), (4.25) sunt date de M = max x S xh Ax = λ 1, m = min x S xh Ax = λ n. (4.28) Mai mult, dacă W k = ImQ k este subspaţiul A-invariant asociat valorilor proprii λ j, j = k +1 : n, atunci max x H Ax = λ k+1. (4.29) x S W k
11 4.1. FORMULAREA PROBLEMEI 219 Demonstraţie. Conform teoremei 4.2, matricea Q este unitară, A = QΛQ H unde Λ = diag(λ 1,λ 2,...,λ n ) şi, prin urmare, µ(x) = x H Ax = y H Λy = n λ k y (k) 2, y = Q H x = [y (1) y (2) y (n) ] T. k=1 (4.30) Cum vectorii x şi y din (4.30) se află într-o relaţie biunivocă, iar transformările unitare conservă norma euclidiană, rezultă că extremele funcţiei µ coincid cu extremele funcţiei ν : S IR, ν(y) = y H Λy. Din faptul că vectorii y sunt de normă unitară, i.e. n j=1 y(j) 2 = 1, rezultă ν(y) = λ 1 n n 1 (λ 1 λ j ) y (j) 2 = (λ j λ n ) y (j) 2 +λ n. (4.31) j=2 Întrucât sumele din relaţia (4.31) sunt, datorită (4.26), nenegative, iar valoarea nulă a acestor sume se poate realiza, e.g. pentru y (j) = 0, j = 2 : n în primul caz şi j = 1 : n 1 în cel de al doilea, avem egalităţile (4.28). Dacă valorile proprii maximă, respectiv minimă, sunt simple, atunci valorile extreme ale funcţiei ν se ating pentru vectorii y de forma y 1 = [y (1) 0 0] T = e iθ1 e 1, respectiv y n = [0 0 y (n) ] T = e iθn e n, cu θ 1, θ n IR. Prin urmare, cele două extreme ale funcţiei µ se ating pentru vectorii x de forma x 1 = e iθ1 q 1 şi, respectiv x n = e iθn q n. Dacă λ 1 are multiplicitatea s, iar λ n multiplicitatea t, atunci maximul se atinge pentru orice vector x de normă unitară din V s = ImQ s, i.e. subspaţiul A-invariant asociat valorilor proprii λ j, j = 1 : s, iar minimul se atinge pentru orice vector de normă unitară din W n t. Pentru cea de a doua parte a teoremei, dacă x W k = V k atunci xh Q k = 0 şi y = Q H x = [0 0 y (k+1) y (n) ] T. Prin urmare, µ(x) = ν(y) = λ k+1 n j=k+2 j=1 de unde, cu aceleaşi argumente ca mai sus, se obţine (4.29). (λ k+1 λ j ) y (j) 2, (4.32) Rezultatul următor prezintă o interesantă caracterizare minimax a valorilor proprii ale unei matrice hermitice (în cazul real, simetrice) şi este util prin consecinţele sale. Notăm, generic, cu V subspaţiile liniare ale spaţiului IC n şi cu W = V complementele lor ortogonale în IC n. De asemenea, vom nota cu V S = V S şi, respectiv, W S = W S, mulţimile vectorilor de normă euclidiană unitară din V şi W. Teorema 4.4 (Courant Fisher) Dacă matricea hermitică A IC n n are valorile proprii ordonate ca în (4.26) atunci pentru toţi k 1 : n avem λ k = max dimv = k min x H Ax = min x V S dimv = k max x H Ax 8. (4.33) x W S 8 Întrucât oricărui subspaţiu n k dimensional din IC n îi corespunde un complement ortogonal k dimensional, ultimul termen al egalităţilor (4.33) poate fi scris şi în forma λ k = = min dimv = n k max x VS x H Ax.
12 220 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII Demonstraţie. Fie V un subspaţiu arbitrar de dimensiune k şi v j, j = 1 : k, o bază a lui V. Fie, de asemenea, w j, j = 1 : n k, o bază a lui W. Notăm cu V IC k, respectiv W IC n k, matricele vectorilor care formează bazele celor două subspaţii complementare. Conform teoremei precedente λ n x H Ax λ 1 (4.34) pentru toţi x din S, i.e. funcţia µ este mărginită pe compactul V S şi, în consecinţă, îşi atinge marginile pe această mulţime. La fel ca în demonstraţia teoremei precedente, fie y = Q H x, unde Q este o matrice unitară de vectori proprii, ordonaţi conform (4.26). Avem, evident, y = x şi x = Qy V dacă şi numai dacă este ortogonal pe W, i.e. W H x = W H Qy = 0. (4.35) [ ] Întrucât W este monică, factorizarea QR a matricei W = Q H W = Q R are 0 matriceasuperior triunghiularăr IC (n k) (n k) nesingulară. În consecinţă, (4.35) devine [ R H 0 ] QH y = 0. (4.36) Notând z def = Q H y relaţia (4.36) impune z(1 : n k) = 0. Notând, încă o dată, u def = z(n k +1 : n) IC k şi ţinând seama de faptul că transformările unitare conservă norma euclidiană, din (4.35), (4.36) rezultă că x = Qy = Q Qz = ˆQu, unde ˆQ = Q Q(:,n k+1 : n), aparţine mulţimii V S dacă şi numai dacă u = 1, fără nici o altă restricţie asupra lui u. Acum, putem alege u astfel încât y(1 : k 1) = 0. Într-adevăr, y = Q(:,n k+1: n)u şi orice soluţie normată(i.e. de normă euclidiană unitară)asistemuluisubdeterminat ˆQ(1 : k 1,,n k+1 : n)u = 0asigurăsatisfacerea acestei condiţii. Cu această alegere a lui u, pentru vectorul corespunzător x din V S, avem n µ(x) = x H Ax = y H Λy = λ k (λ k λ j ) y (j) 2 λ k, (4.37) j=k+1 unde am ţinut seama de faptul că n j=k y(j) 2 = y 2 = 1 şi de ordonarea descrescătoare a valorilor proprii. Natural, din (4.37) rezultă min x H Ax λ k (4.38) x V S şi, cum subspaţiul V, de dimensiune k, era arbitrar, inegalitatea (4.38) are loc în toate subspaţiile de aceeaşi dimensiune sau, altfel spus, max dimv = k min x H Ax λ k. (4.39) x V S Rămâne să arătăm că această margine este atinsă efectiv. Aceasta se întâmplă în subspaţiul A-invariant asociat primelor k valori proprii din secvenţa (4.26). Întradevăr, fie V = ImQ k şi x = Q k z cu z = 1. Rezultă x = 1, i.e. x V S şi k 1 µ(x) = x H Ax = (λ j λ k ) z (j) 2 +λ k λ k, (4.40) j=1
13 4.1. FORMULAREA PROBLEMEI 221 de unde, în acest subspaţiu, min x H Ax λ k (4.41) x V S egalitatea obţinându-se pentru z = [0 0 1] T. Prima egalitate din (4.33) este demonstrată. Demonstraţia celei de a doua egalităţi (4.33) urmează aceleaşi idei. Întrucât dimw = n k, există un vector x W S astfel încât vectorul y = Q H x are componentele k+1 : n nule (demonstraţi!). Pentru această alegere a lui x avem o relaţie de forma (4.40) de unde rezultă k 1 µ(x) = x H Ax = y H Λy = (λ j λ k ) y (j) 2 +λ k λ k, (4.42) j=1 max x H Ax λ k. (4.43) x W S Cum subspaţiul (n k)-dimensional W a fost arbitrar, rezultă că inegalitatea (4.43) are loc în toate subspaţiile de această dimensiune sau, altfel spus, min dimv = k max x H Ax λ k. (4.44) x W S Adăugând faptul că marginea din (4.44) se atinge efectiv în subspaţiul W = ImQ k, cea de a doua egalitate (4.33), şi o dată cu ea întreaga teoremă, sunt complet demonstrate. Teorema Courant Fisher este importantă, în contextul calculatoriu al acestei lucrări, prin consecinţele sale, dintre care câteva sunt prezentate în continuare. Notăm A [k] def = A(1:k,1:k) submatricele lider principale de ordinul k ale matricei hermitice A IC n n, care sunt la rândul lor, evident, hermitice. Presupunem că spectrele λ(a [k] ) = {λ [k] 1,λ[k] 2,...,λ[k] k } (evident, reale) ale submatricelor lider principale sunt, şi ele, ordonate descrescător, i.e. λ [k] 1 λ [k] 2... λ [k] k. (4.45) Teorema 4.5 (Teorema de separare) Valorile proprii ale submatricelor lider principale de ordinul k ale unei matrice hermitice separă valorile proprii ale submatricelor lider principale de ordinul k +1, i.e. λ [k+1] 1 λ [k] 1 λ [k+1] 2 λ [k] 2... λ [k] k 1 λ[k+1] k λ [k] k λ[k+1] k+1, (4.46) pentru toţi k 1 : n 1. Demonstraţie. Este suficient să considerăm cazul k = n 1. Pentru simplificarea notaţiilor, fie λ def i = λ [n 1] i, i = 1 : n 1. Cu aceste notaţii, este suficient să dovedim inegalităţile λ i λ i λ i+1, i = 1 : n 1. (4.47)
14 222 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII Avem, evident, x H A [n 1] x = [ x H 0 ] [ x A 0 ], x IC n 1. (4.48) Pe această bază, între mulţimile M i = { µ IR µ = max x WS x H Ax, W IC n, dimw = n i }, (4.49) M i ={ µ IR µ =max x WS x H A [n 1] x, W IC n 1, dimw = n 1 i }, (4.50) există relaţiile M i M i M i+1, (4.51) de unde rezultă minm i+1 minm i minm i, (4.52) inegalităţi care, în baza teoremei Courant-Fisher, sunt echivalente cu (4.47). Teorema este demonstrată. O relaţie dintre valorile proprii a două matrice hermitice şi valorile proprii ale sumei lor, utilă în aprecierea influenţei perturbaţiilor numerice hermitice, este dată în teorema următoare. Teorema 4.6 Dacă matricele hermitice A,E IC n n au spectrele ordonate descrescător, atunci, cu notaţii evidente, avem pentru toţi k 1 : n. λ k (A)+λ 1 (E) λ k (A+E) λ k (A)+λ n (E) (4.53) Demonstraţie. Conform teoremei Courant-Fisher λ k (A+E) = min dimv = k max x H (A+E)x x W S min dimv = k ( x max x H Ax+ max x H Ex) W S x W S min dimv = k ( x max x H Ax+λ 1 (E)) = λ k (A)+λ 1 (E). (4.54) W S Pentru a demonstra a doua inegalitate (4.53) avem, similar, λ k (A+E) = max dimv = k min x H (A+E)x x V S max dimv = k ( min x V S x H Ax+ min x V S x H Ex) max dimv = k ( x min x H Ax+λ n (E)) = λ k (A)+λ n (E). V S (4.55) Teorema este demonstrată. În sfârşit, cu notaţiile utilizate în teorema 4.8, formulăm următorul rezultat util, de asemenea, în evaluarea influenţelor perturbaţiilor numerice asupra valorilor proprii ale matricelor hermitice.
15 4.1. FORMULAREA PROBLEMEI 223 Teorema 4.7 (Wielandt Hoffmann) Dacă matricele A,E IC n n sunt hermitice, atunci n (λ j (A+E) λ j (A)) 2 E 2 F, (4.56) i 1 j=1 e ij 2 = n i=1 λ2 i (E) este norma Fro- unde E F = benius a matricei E. j=1 n i=1 e ii 2 +2 n i=2 Demonstraţie. Pentru demonstraţie se poate consulta [ IV]. Un rezultat remarcabil, de o factură aparte, se referă la inerţia unei matrice. Inerţia unei matrice hermitice A IC n n se defineşte prin tripletul (n,n 0,n + ) unde n este numărul valorilor proprii negative, n 0 este numărul valorilor proprii nule şi, respectiv, n + este numărul valorilor proprii pozitive ale matricei A. De asemenea, se spune că două matrice (hermitice) A,B IC n n sunt congruente dacă există o matrice nesingulară T IC n n astfel încât B = T H AT. Rezultatul, datorat lui Sylvester, are următorul enunţ. Teorema 4.8 Două matrice hermitice congruente au aceeaşi inerţie. Demonstraţie. Fie A IC n n hermitică, B = T H AT cu T nesingulară şi λ k (A) o valoare proprie nenulă a matricei A. Presupunem că spectrele matricelor A şi B sunt ordonate descrescător. Conform teoremei Courant-Fisher avem λ k (B) = max dimv = k min x H Bx min x H Bx = min xh Bx x V S x ṼS x Ṽ x H x, (4.57) unde Ṽ este orice subspaţiu particular de dimensiune k, iar Ṽ = Ṽ \ {0}. Considerând Ṽ = ImT 1 Q k, cu Q k definit în (4.27), avem x Ṽ dacă şi numai dacă x = T 1 Q k z cu z ICk, z 0. Pe de altă parte, matricea R def = TT H este hermitică, pozitiv definită (i.e. x H Rx > 0, x 0) şi, prin urmare, are spectrul real şi pozitiv (demonstraţi!) aceleaşi proprietăţi avându-le şi matricea R 1 = T H T 1. Cu aceste precizări, pentru toţi x Ṽ, avem { x H Bx = x H T H QΛ A Q H Tx = z H diag(λ 1 (A),λ 2 (A),...,λ k (A))z x H x = z H Q H k R 1 Q k z,, (4.58) de unde, ţinând seama de ordonarea valorilor proprii, rezultă Cu aceste inegalităţi, din (4.57), obţinem x H Bx λ k (A)z H z λ min (R 1 )z H z x H x λ max (R 1 )z H z. λ k (B) λ k(a) λ max (R 1 ), dacă λ k(a) > 0 λ k (B) λ k(a) λ min (R 1 ), dacă λ k(a) < 0. (4.59) (4.60)
16 224 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII Schimbând rolul matricelor A şi B, cu un raţionament analog obţinem următoarele corespondente ale relaţiilor (4.60) { λk (B) λ max (R)λ k (A), dacă λ k (A) > 0 (4.61) λ k (B) λ min (R)λ k (A), dacă λ k (A) < 0. În concluzie, în toate cazurile, αλ k (A) λ k (B) βλ k (A) cu α > 0, β > 0, i.e. λ k (A) şi λ k (B) au acelaşi semn. Rezultă că A şi B au aceeaşi inerţie. În contextul acestui paragraf este natural să introducem matricele antihermitice, respectiv antisimetrice în cazul real. Definiţia 4.5 Matricea A IC n n se numeşte antihermitică dacă A H = A. (4.62) În cazul real, matricea A IR n n se numeşte antisimetrică dacă A T = A. (4.63) O matrice antihermitică are elementele diagonale pur imaginare. Este uşor de observat că dacă matricea complexă A este antihermitică, atunci matricea B = ia este hermitică. În consecinţă, A este unitar diagonalizabilă şi are toate valorile proprii pur imaginare. Matricele antihermitice sunt normale. În cazul real, o matrice antisimetrică are elementele diagonale nule. Dacă A este antisimetrică, atunci B = ia este o matrice complexă hermitică. Rezultă că A este unitar diagonalizabilă şi are toate valorile proprii pur imaginare. Cum, în această situaţie, valorile proprii apar în perechi complex conjugate rezultă că o matrice antisimetrică de ordin impar are, în mod necesar, o valoare proprie nulă, i.e. este singulară. Evident, o matrice antisimetrică este normală. Ultimul rezultat pe care îl prezentăm se referă la valorile şi vectorii proprii pentru matricele unitare şi ortogonale. Teorema 4.9 O matrice n n complexă A este unitară dacă şi numai dacă admite un set complet de n vectori proprii ortogonali şi toate valorile proprii sunt de modul unitar, adică este unitar diagonalizabilă cu spectru unitar, respectiv există o matrice unitară Q IC n n astfel încât Q H AQ = Λ = diag(λ 1,λ 2,...,λ n ) cu λ i = 1, λ i. (4.64) În cazul real matricea A este ortogonală dacă şi numai satisface aceleaşi condiţii, i.e. este unitar diagonalizabilă cu spectru unitar. Demonstraţie. O matrice unitară A IC n n fiind normală, conform teoremei 4.1, este unitar diagonalizabilă, i.e. există o matrice unitară Q IC n n astfel încât Q H AQ = Λ = diag(λ 1,λ 2,...,λ n ), de unde rezultă A = QΛQ H. În plus, din A H A = I n obţinem ΛΛ = I n, i.e. λj λ j = λ j 2 = 1, de unde rezultă λ j = 1, j = 1 : n. Deci toate valorile proprii sunt de modul unitar, i.e. pot fi scrise sub forma λ j = e iθj, cu θ j IR, j = 1 : n. Reciproc, dacă avem Q H AQ = Λ, cu Q
17 4.1. FORMULAREA PROBLEMEI 225 unitară şi Λ diagonală cu elementele diagonale de modul unitar, atunci prin calcul direct rezultă imediat A H A = I n, i.e. A este unitară. În cazul real demonstraţia este identică cu singura menţiune suplimentară că alături de orice valoare proprie complexă λ j = e iθj IC\IR apare şi conjugata ei λ j = e iθj. Observaţia 4.2 Este simplu de constatat că dacă o matrice complexă A este normală, hermitică sau unitară, atunci orice matrice B unitar asemenea cu A are aceleaşi proprietăţi. Similar, în cazul real, proprietăţile de normalitate, simetrie şi ortogonalitate sunt conservate de transformările ortogonale de asemănare. Această invarianţă explică utilizarea exclusivă a transformărilor unitare (ortogonale) în demersul calculatoriu legat de valorile şi vectorii proprii. Încheiem acest paragraf cu precizarea că principala proprietate comună a celor trei tipuri de matrice menţionate mai sus, indusă de proprietatea de normalitate, constă în faptul că toate admit seturi complete de vectori proprii ortogonali, fapt care le conferă o perfectă condiţionare a spectrelor de valori proprii (v. 4.10) Localizarea valorilor proprii În finalul acestei secţiuni introductive vom prezenta câteva rezultate privitoare la localizarea valorilor proprii în planul complex, rezultate utile atât prin ele însele cât şi în contextul stabilirii iniţializărilor pentru diverse metode iterative de calcul sau al analizei sensibilităţii valorilor proprii la perturbaţii în matricea dată. Unele din cele mai cunoscute rezultate în această privinţă sunt oferite de teoremele următoare. Teorema 4.10 Oricare ar fi matricea A IC n n şi o familie arbitrară de norme consistente avem ρ(a) A. (4.65) Demonstraţie. Din proprietatea de consistenţă a familiei de norme pentru orice λ λ(a) şi vector propriu asociat x cu x = 1 avem λ = λx = Ax A x = A, de unde rezultă (4.65) 9. Teorema 4.11 (Gershgorin) Valorile proprii ale unei matrice A IC n n sunt situate în domeniul D din planul complex definit de D = n D i, (4.66) i=1 9 Există şi un rezultat, datorat lui Householder (v. exerciţiul 4.32), care arată că pentru orice ε > 0 există o normă consistentă astfel încât A ρ(a) + ε, relaţie care, împreună cu (4.65), permite aproximarea oricât de bună a razei spectrale a unei matrice cu ajutorul unei norme a acesteia. Din păcate, această normă este o normă specială care depinde de A şi ε, astfel că rezultatul menţionat are o valoare în primul rând teoretică.
18 226 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII unde D i sunt discurile numite discuri Gershgorin. D i = {z IC z a ii n a ij }, i = 1 : n, (4.67) j=1 j i Demonstraţie. Fie x un vector propriu asociat valorii proprii λ λ(a). Atunci linia i a relaţiei Ax = λx se scrie (λ a ii )x i = n a ij x j, (4.68) de unde rezultă λ a ii x i n j=1 a ij x j. Alegând linia i astfel încât x i = j i = max k=1:n ( x k ) 0, rezultă λ a ii j=1 j i n a ij x j n x i a ij, (4.69) j=1 j i j=1 j i i.e. λ D i. Dacă o linie a matricei A are elementele extradiagonale nule, atunci elementul diagonal este o valoare proprie a matricei A, iar discul Gershgorin corespunzător liniei respective se reduce la punctul {a ii }. De asemenea, se poate arăta [I] că dacă m discuri Gershgorin formează o mulţime disjunctă de mulţimea celorlalte n m discuri, atunci exact m valori proprii se găsesc situate în reuniunea celor m discuri. În particular, un disc disjunct de celelalte conţine exact o valoare proprie 10. Imλ Imλ λ 2 λ 2 λ 1 Reλ λ 1 Reλ λ 3 λ 3 a) b) Fig. 4.2: Utilizarea discurilor Gershgorin pe linii (a) şi pe coloane (b) pentru localizarea valorilor proprii ai matricei din exemplul Discurile Gershgorin (4.67) ar putea fi denumite discuri-linie întrucât sunt construite cu ajutorul liniilor matricei date. Cum transpusa matricei are acelaşi spectru, aplicând teorema 4.11 matricei transpuse obţinem o localizare a valorilor proprii în reuniunea discurilor Gershgorin definite pe coloane. Evident, o localizare mai bună se obţine intersectând cele două domenii.
19 4.2. FORMA SCHUR 227 Exemplul 4.2 Considerăm matricea A = pentru care cele trei discuri Gershgorinsunt D 1 de centru 1 şi rază1, D 2 de centru 5 şirază1şid 3 decentru-1şirază2(v. fig. 4.2), iarvalorilepropriisuntλ 1 = , λ 2,3 = ± i. Raza spectrală este deci ρ(a) = , inferioară e.g. normei A F = Teorema lui Gershgorin este utilă, de exemplu, pentru deciziile de neglijare a elementelor extradiagonale la o precizie fixată a valorilor proprii calculate în tehnicile de diagonalizare iterativă prin transformări de asemănare. Generalizări ale teoremei 4.11 fac obiectul exerciţiilor 4.40 şi Alte rezultate privind localizarea valorilor proprii se pot găsi în [I], [II]. 4.2 Forma Schur Transformările de asemănare unitare, respectiv ortogonale în cazul real, prezintă marele avantaj de a conserva condiţionarea spectrului de valori proprii ale unei matrice date (v. 4.10). De aceea vom fi interesaţi în utilizarea lor exclusivă pentru determinarea valorilor proprii. Pe de altă parte, structurile canonice, cum este formajordan, nuse pot obţine, îngeneral, prin astfelde transformări 11. Rezultatul principal al acestui paragraf arată că orice matrice este unitar asemenea cu o matrice triunghiulară, numită forma Schur. În acest fel este posibilă evidenţierea valorilor proprii ale unei matrice (elementele diagonale ale formei sale Schur), utilizând o secvenţă de transformări unitare de asemănare Forma Schur (complexă) Calculul valorilor proprii ale unei matrice este intim legat de calculul vectorilor proprii asociaţi. Dacă λ λ(a) este cunoscută, atunci vectorul propriu asociat este o soluţie nenulă a unui sistem liniar omogen. Dacă se cunoaşte un vector propriu x al matricei A, atunci valoarea proprie asociată poate fi calculată cu relaţia x H Ax x H x = xh λx x H x = λ (4.70) care, pentru x de normă euclidiană unitară, i.e. x = 1, devine λ = x H Ax. (4.71) Întrucât valorile proprii sunt rădăcinile unei ecuaţii algebrice, calculul lor pentru matrice de ordin superior lui patru, în absenţa cunoaşterii vectorilor proprii, este 11 Matricele normale, care sunt unitar diagonalizabile (v. teorema 4.10), nu constituie un caz generic.
20 228 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII în mod necesar un proces (iterativ) infinit, aceeaşi situaţie apărând şi la calculul vectorilor proprii fără a se cunoaşte valorile proprii asociate. De aceea, una din ideile aflate la baza asigurării eficienţei tehnicilor de calcul a valorilor şi vectorilor proprii este exploatarea rezultatelor parţiale prin reducerea corespunzătoare a dimensiunii problemei. În sprijinul aplicării acestei idei vin următoarele rezultate. Propoziţia 4.2 Fie A IC n n şi X IC n un subspaţiu A-invariant p-dimensional dat printr-o bază ortogonală x 1, x 2,..., x p. Atunci există o matrice unitară Q IC n n cu Q(:,j) = x j, j = 1:p, astfel încât [ ] Q H S11 S AQ = 12, (4.72) 0 S 22 cu S 11 IC p p. În cazul real, i.e. A IR n n şi X IR n, matricea Q poate fi reală (i.e. ortogonală), iar matricea reală Q T AQ are structura (4.72). Demonstraţie. Fie Q(:,1:p) = X def = [x 1 x 2 x p ] şi Y IC n (n p) o bază ortogonală a complementului ortogonal Y = X al lui X în IC n. Atunci matricea Q = [X Y ] este unitară. Conform propoziţiei 4.1, punctul 2, există o matrice S 11 IC p p cu λ(s 11 ) λ(a) astfel încât AX = XS 11, i.e. X H AX = S 11. În plus Y H AX = Y H XS 11 = 0. În consecinţă avem [ ] S=Q H X H AQ= Y H A [ X Y ] [ ] [ ] X = H AX X H AY S11 S Y H AX Y H = 12 AY 0 S 22 (4.73) unde, evident, S 12 = X H AY, S 22 = Y H AY. q.e.d. În cazul real, conform aceleiaşi propoziţii 4.1, toate subspaţiile implicate în demonstraţia de mai sus sunt în IR n, iar matricea Q este ortogonală. Evident, în acest caz spectrul matricei S 11 este o submulţime simetrică a spectrului matricei A. Demonstraţia este completă. Observaţia 4.3 Calculul matricei unitare de asemănare Q este condiţionat esenţial de cunoaşterea unei baze V = [v 1 v 2 v p ] a subspaţiului A-invariant X. În acest caz, construcţia unei baze ortogonale X a lui X şi a unei completări ortogonale Y se poate face după recomandările din capitolul 3. Concret, dacă [ ] R1 V = Q 0 este factorizarea QR (complexă) a matricei V, unde Q IC n n este unitară, iar R 1 IC p p este nesingulară, atunci X = Q(:,1 : p), Y = Q(:,p +1 : n) sunt cele două baze ortogonale căutate, iar Q este matricea de transformare unitară de asemănare din (4.72). Pentru p = 1 baza V a subspaţiului A-invariant din propoziţia 4.2 se reduce la un vector propriu x de normă unitară asociat valorii proprii λ. În acest caz propoziţia 4.2 se particularizează în următoarea lemă.
21 4.2. FORMA SCHUR 229 Lema 4.2 (Deflaţie unitară) Fie A IC n n şi λ λ(a). Atunci există o matrice unitară Q IC n n astfel încât [ ] λ Q H S12 AQ =. (4.74) 0 S 22 Conform observaţiei 4.3, matricea de transformare poate fi Q = U H 1, unde U 1 este reflectorul (complex) care anulează elementele 2 : n ale vectorului propriu x asociat valorii proprii λ. Aplicarea consecventă a lemei 4.2 ne conduce la următorul rezultat important. Teorema 4.12 (Forma Schur) Oricare ar fi matricea A IC n n există o matrice unitară Q IC n n astfel încât matricea Q H AQ = S, (4.75) este superior triunghiulară. Elementele diagonale ale matricei S sunt valorile proprii ale matricei A şi pot fi dispuse în orice ordine predeterminată. Matricea S se numeşte forma Schur (FS) a matricei A, iar coloanele matricei de transformare Q se numesc vectori Schur ai matricei A asociaţi formei Schur S. Demonstraţie. Pasul 1. Conform lemei 4.2, dacă λ 1 λ(a), atunci există o matrice unitară Q 1 astfel încât S 1 = Q H 1 AQ 1 = λ 1 S (1) 12 0 S (1), 22 realizându-se o deflaţie în prima coloană. Pasul k. Presupunem că în primii k 1 paşi am realizat triangularizarea în primele k 1 coloane prin transformări unitare de asemănare S k 1 = Q H k 1... Q H 2 Q H 1 AQ 1 Q 2... Q k 1 = S(k 1) 11 S (k 1) 12 0 S (k 1) 22, unde S (k 1) 11 IC (k 1) (k 1) este superior triunghiulară. Vom aplica lema 4.2 pentru a realiza deflaţia în coloana k. Pentru aceasta, dacă λ k λ(s (k 1) 22 ), atunci există o matrice unitară Q k astfel încât Q H k S(k 1) 22 Q k = [ λk Ŝ (k) 12 0 S (k) 22 ]. Acum, matricea [ Ik 1 0 Q k = 0 Qk ] IC n n
22 230 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII este unitară şi S k = Q H k S k 1 Q k = [ (k) S 11 S (k) 12 0 S (k) 22 este superior triunghiulară în primele k coloane. Procesul de triangularizare prin transformări unitare de asemănare, iniţiat conform pasului 1 şi continuat conform celor prezentate la pasul k, produce după n 1 paşi matricea superior triunghiulară unde matricea S = Q H AQ, Q = Q 1 Q 2... Q n 1, (4.76) este unitară ca produs de matrice unitare. Evident, ordinea elementelor diagonale ale matricei S poate fi aleasă în mod arbitrar prin selectarea corespunzătoare a vectorilor proprii în aplicarea lemei 4.2. Demonstraţia este completă. Încheiem paragraful subliniind faptul că orice matrice pătrată este unitar asemenea cu o matrice superior triunghiulară. Dacă matricea A este reală, dar are şi valori proprii complexe, atunci forma Schur S este complexă ca şi matricea de transformare Q. În acest caz se spune că S este forma Schur complexă (FSC) a matricei A. ] Forma Schur reală În majoritatea aplicaţiilor în care este necesar calculul valorilor proprii, matricea are elementele reale. În aceste situaţii este mult mai eficientă utilizarea unei aritmetici reale. Pentru aceasta, perechile de valori proprii complexe şi perechile de vectori proprii asociaţi(care, după cum s-a mai precizat, pot fi consideraţi, la rândul lor, sub forma unor vectori complex conjugaţi) trebuie şi pot fi tratate în mod unitar, într-o aritmetică reală, prin intermediul unor blocuri matriceale 2 2, respectiv al unor subspaţii A-invariante reale. Corespondentul formei Schur din cazul complex devine o matrice cvasi-superior triunghiulară în care perechile de valori proprii complex conjugate sunt evidenţiate prin blocuri diagonale 2 2, numită forma Schur reală. În acest context vom formula şi, în măsura încare apar aspecte noi, vom demonstra corespondentele reale ale lemei 4.2 şi teoremei Lema 4.3 (Deflaţie ortogonală) Fie A IR n n. a) Dacă λ λ(a) IR, atunci există o matrice ortogonală Q IR n n astfel încât [ ] Q T λ S12 AQ =. (4.77) 0 S 22 b) Dacă λ 1,2 = α±iβ λ(a), β 0, atunci există o matrice ortogonală Q IR n n astfel încât [ ] Q T S11 S AQ = 12, (4.78) 0 S 22
23 4.2. FORMA SCHUR 231 unde S 11 IR 2 2, cu λ(s 11 ) = {λ 1,λ 2 }. (4.79) Demonstraţie. Prima parte a lemei se demonstrează la fel cu lema 4.2 considerând o matrice ortogonală Q a cărei primă coloană este un vector propriu de normă euclidiană unitară asociat valorii proprii λ. Pentru a doua parte a lemei considerăm vectorii proprii x 1,2 = v 1 ± iv 2 asociaţi valorilor proprii complex conjugate λ 1,2 şi Y = [y 1 y 2 ] IR n 2 o bază ortogonală a subspaţiului liniar A-invariant S = ImV, unde V = [v 1 v 2 ] IR n 2 şi Z IR n (n 2) o bază ortogonală a complementului ortogonal T = S a lui S în IR n 12. Evident, matricea Q = [Y Z] este ortogonală. Pe de altă parte, întrucât vectorii v 1 şi v 2 sunt liniar independenţi (vezi propoziţia 4.1), există o matrice nesingulară P[ IR 2 2 astfel ] încât V = YP. În consecinţă, α β din (4.14) avem AV = VB cu B =. Rezultă β α unde şi, deci, A 1 = Q T AQ = AY = AVP 1 = VBP 1 = YS 11, [ α β S 11 = P β α [ ] Y T Z T A [ Y Z ] [ Y = T AY Y T AZ 0 Z T AZ ] P 1. (4.80) ] = [ ] S11 S 12, 0 S 22 (4.81) punându-se în evidenţă blocul diagonal de ordinul 2 real S 11 având valorile proprii complexe λ 1,2. Calculul matricei ortogonale de asemănare Q din lema de mai sus este condiţionat esenţial de cunoaşterea unui vector propriu (real) x asociat valorii proprii reale evidenţiate respectiv a parţii reale si a celei imaginare a unui vector propriu asociat unei valori proprii complexe. Altfel spus, posibilitatea deflaţiei este condiţionată de cunoaşterea subspaţiului A-invariant corespunzător. Procedând ca în demonstraţia teoremei 4.12, i.e. efectuând deflaţia matricei A pentru valorile proprii reale, respectiv pentru perechile de valori proprii complexe, prin aplicarea sistematică a lemei de mai sus, până la epuizarea întregului spectru şi cumulând transformările ortogonale parţiale, obţinem următorul rezultat important. Teorema 4.13 (Forma Schurreală) Oricare ar fi matricea reală A IR n n, există o matrice ortogonală Q IR n n astfel încât S 11 S 12 S 1p Q T AQ = S = 0 S 22 S 2p, (4.82) 0 0 S pp 12 Pentru construcţia acestor baze vezi observaţia 4.3.
2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραSpatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă
Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραEsalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
Διαβάστε περισσότεραSeminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0
Rezolvari ale unor probleme propuse "Matematica const în a dovedi ceea ce este evident în cel mai puµin evident mod." George Polya P/Seminar Valori si vectori proprii : Solutie: ( ) a) A = Valorile proprii:
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραLectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραMETODE NUMERICE: Laborator #7 Calculul valorilor proprii si vectorilor proprii prin metodele puterii. Metoda Householder
METODE NUMERICE: Laborator #7 Calculul valorilor proprii si vectorilor proprii prin metodele puterii. Metoda Householder Titulari curs: Florin Pop, George-Pantelimon Popescu Responsabil Laborator: Alexandru
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραCursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Διαβάστε περισσότεραCURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.
Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραMatrice. Determinanti. Sisteme liniare
Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice
Διαβάστε περισσότεραOrice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).
Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραAlgebră liniară CAPITOLUL 3
Algebră liniară CAPITOLUL 3 TRANSFORĂRI LINIARE 3.. Definiţia transformării liniare Definiţia 3... Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp comutativ K. O funcţie u: V W se numeşte transformare
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραCURS 5 Spaţii liniare. Spaţiul liniar R n
CURS 5 Spaţii liniare. Spaţiul liniar R n A. Arusoaie arusoaie.andreea@gmail.com andreea.arusoaie@info.uaic.ro Facultatea de Informatică, Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 30 Octombrie 2017 Structura
Διαβάστε περισσότεραEDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Διαβάστε περισσότεραLucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.
Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότερα1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...
1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale
Διαβάστε περισσότεραCURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi
Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială
Διαβάστε περισσότεραConice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
Διαβάστε περισσότεραO generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013
O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 Marius Tărnăuceanu 1 Aprilie 2013 Abstract În această lucrare vom prezenta un rezultat ce extinde Problema
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραCriterii de comutativitate a grupurilor
Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key
Διαβάστε περισσότεραNicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI
Nicolae Cotfas ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Introducere Pe parcursul acestei cărţi ne propunem să prezentăm într-un mod cât mai accesibil noţiuni si rezultate de bază
Διαβάστε περισσότεραPrincipiul Inductiei Matematice.
Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei
Διαβάστε περισσότεραCriptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Διαβάστε περισσότερα2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότερα1.4 Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială. Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial După cum s-a văzut deja, într-un spaţiu vectorial V avem mai multe baze, iar un vector x V va avea câte un sistem
Διαβάστε περισσότεραz a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραVectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.
liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia
Διαβάστε περισσότεραCalculul valorilor proprii
Laborator 5 Calculul valorilor proprii 5.1 Valori şi vectori proprii Definiţia 5.1 Fie A C n n. Un vector x C n n este un vector propriu al matricei A, asociat valorii proprii λ C, dacă sunt satisfăcute
Διαβάστε περισσότερα2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice...
Geometrie Afină Contents 1 Spaţii vectoriale 3 1.1 Spaţii vectoriale peste un corp K........................ 3 1.2 Exemple de spaţii vectoriale........................... 4 1.3 Dependenţă liniară de vectori..........................
Διαβάστε περισσότερα3. Vectori şi valori proprii
Valori şi vectori proprii 7 Vectori şi valori proprii n Reamintim că dacă A este o matrice pătratică atunci un vector x R se numeşte vector propriu în raport cu A dacă x şi există un număr λ (real sau
Διαβάστε περισσότεραCONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότεραProgresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.
Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a
Διαβάστε περισσότεραPROBLEME DE VALORI ŞI VECTORI PROPRII
9 PROBLEME DE VALORI ŞI VECTORI PROPRII 81 Introducere Problema de valori proprii a unui operator liniar A: Ax = λx x vector propriu, λ valoare proprie În reprezentarea unei baze din < n problemă matricială
Διαβάστε περισσότεραSala: Octombrie 2014 SEMINAR 1: ALGEBRĂ. este un Q-spaţiu vectorial, faţă de operaţiile uzuale de adunare şi înmulţire cu un număr raţional.
Sala: Octombrie 24 SEMINAR : ALGEBRĂ Conf univ dr: Dragoş-Pătru Covei Programul de studii: CE, IE, SPE Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat distribuit
Διαβάστε περισσότεραSpaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian.
Spaţii vectoriale 1. Spaţii vectoriale. Definiţii şi proprietăţi de bază În continuare prin corp vom înţelege corp comutativ. Dacă nu se precizează altceva, se vor folosi notaţiile standard pentru elementele
Διαβάστε περισσότεραAlgebră liniară CAPITOLUL 1
Algebră liniară CAPITOLUL SPAŢII VECTORIALE FINIT DIMENSIONALE. Definiţia spaţiilor vectoriale Pentru a introduce noţiunea de spaţiu vectorial avem nevoie de noţiunea de corp comutativ de caracteristică
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραEcuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)
Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.
Διαβάστε περισσότεραMatrici şi sisteme de ecuaţii liniare
Matrici şi sisteme de ecuaţii liniare 1. Matrici şi determinanţi Reamintim aici câteva proprietăţi ale matricilor şi determinanţilor. Definiţia 1.1. Fie K un corp (comutativ) şi m, n N. O funcţie A : {1,...,
Διαβάστε περισσότεραGheorghe PROCOPIUC PROBLEME DE ALGEBRĂ LINIARĂ GEOMETRIE
Gheorghe PROCOPIUC PROBLEME DE ALGEBRĂ LINIARĂ ŞI GEOMETRIE IAŞI, 005 CUPRINS 1 MATRICE ŞI SISTEME ALGEBRICE LINIARE 5 1.1 Matrice şi determinanţi.......................... 5 1. Sisteme de ecuaţii algebrice
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότερα8 Intervale de încredere
8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată
Διαβάστε περισσότεραSala: 2103 Octombrie 2014 CURS 1: ALGEBRĂ. Fie K corp comutativ cu elementul neutru la înmulţire notat prin 1 iar 0 la adunare.
Sala: 2103 Octombrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 1: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.
Διαβάστε περισσότεραLucian Maticiuc CURS I II. 1 Matrice şi determinanţi. Sisteme de ecuaţii liniare. 1.1 Matrice şi determinanţi
Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC http://mathettituiasiro/maticiuc/ CURS I II Matrice şi determinanţi Sisteme de ecuaţii
Διαβάστε περισσότεραAriadna Lucia Pletea Adrian Corduneanu Mircea Lupan LECŢII DE ALGEBRĂ LINIARĂ
Ariadna Lucia Pletea Adrian Corduneanu Mircea Lupan LECŢII DE ALGEBRĂ LINIARĂ IASI, 005 1 Cuprins Capitolul 1 1.1. Matrice şi determinanţi...5 1.1.1. Determinantul unei matrice pătratice...8 1.1.. Matricea
Διαβάστε περισσότεραToate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.
Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea
Διαβάστε περισσότερα* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1
FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016
16-17 ianuarie 2016 Problema 1. Se consideră graful G = pk n (p, n N, p 2, n 3). Unul din vârfurile lui G se uneşte cu câte un vârf din fiecare graf complet care nu-l conţine, obţinându-se un graf conex
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011
Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)
Διαβάστε περισσότεραRĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,
REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Διαβάστε περισσότεραMARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Διαβάστε περισσότεραGeometrie computationala 2. Preliminarii geometrice
Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,
Διαβάστε περισσότεραIon CRĂCIUN CAPITOLE DE MATEMATICI SPECIALE EDITURA PIM
Ion CRĂCIUN CAPITOLE DE MATEMATICI SPECIALE EDITURA PIM IAŞI 2007 2 Cuprins 1 Ecuaţii diferenţiale liniare de ordin superior 7 1.1 Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul n cu coeficienţi variabili 7 1.2
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότεραCursul de recuperare Algebra. v n. daca in schimb exista coecienti λ 1, λ 2,..., λ n nu toti nuli care satisfac relatia (1), de exemplu λ i 0 = A =
Matrice, determinanti Un punct de vedere liniar independent "A judeca matematic nu înseamn a gândi losoc, a judeca losoc nu înseamn a liber, a gândi liber nu înseamn a losof " Blaise Pascal Liniar independenta:
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE ANALITICĂ. Mihai-Sorin Stupariu
GEOMETRIE ANALITICĂ Mihai-Sorin Stupariu Sem. al II-lea, 007-008 Cuprins 1 Elemente de algebră liniară 3 1.1 Spaţii vectoriale. Definiţie. Exemple................ 3 1. Combinaţii liniare. Baze şi repere..................
Διαβάστε περισσότεραEcuatii trigonometrice
Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos
Διαβάστε περισσότεραExemplu de lucrare de licenţă
Universitatea,, Aurel Vlaicu din Arad Facultatea de Ştiinţe Exacte Specializarea Informatică Lucrare de licenţă Exemplu de lucrare de licenţă Absolvent: Ion Ionescu Coordonator: Prof. dr. Octavian Cira
Διαβάστε περισσότεραf(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +
Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,
Διαβάστε περισσότεραLectia III Produsul scalar a doi vectori liberi
Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:
Διαβάστε περισσότεραSisteme liniare - metode directe
Sisteme liniare - metode directe Radu T. Trîmbiţaş 27 martie 2016 1 Eliminare gaussiană Să considerăm sistemul liniar cu n ecuaţii şi n necunoscute Ax = b, (1) unde A K n n, b K n 1 sunt date, iar x K
Διαβάστε περισσότεραCalculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală
Laborator 3 Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală 3.1 Tema Înţelegerea conceptului de funcţie de matrice şi însuşirea principalelor metode şi algoritmi de calcul al funcţilor de matrice.
Διαβάστε περισσότεραAdriana-Ioana Lefter DIFERENŢIALE) Anul I, Facultatea de Chimie Note de curs
Adriana-Ioana Lefter MATEMATICĂ (ALGEBRĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE) Anul I, Facultatea de Chimie Note de curs Cuprins Partea 1 ALGEBRĂ 1 Capitolul 1 Matrice şi determinanţi 3 11 Corpuri 3 12 Matrice 4 13
Διαβάστε περισσότεραFuncţii Ciudate. Beniamin Bogoşel
Funcţii Ciudate Beniamin Bogoşel Scopul acestui articol este construcţia unor funcţii neobişnuite din punct de vedere intuitiv, care au anumite proprietăţi interesante. Construcţia acestor funcţii se face
Διαβάστε περισσότερα, m ecuańii, n necunoscute;
Sisteme liniare NotaŃii: a ij coeficienńi, i necunoscute, b i termeni liberi, i0{1,,..., n}, j0{1,,..., m}; a11 1 + a1 +... + a1 nn = b1 a11 + a +... + an n = b (S), m ecuańii, n necunoscute;... am11 +
Διαβάστε περισσότεραLectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi
Orientarea spatiului E 3 Denitia produsului vectorial. Proprietati Rezolvari de ecuatii vectoriale Schimbari de baze ortonormate in spatiu Aplicatii Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi Oana
Διαβάστε περισσότεραVladimir BALAN. Algebră Liniară, Geometrie Analitică, şi Elemente de Geometrie Diferenţială. Student Web Copy. = Bucureşti 2011 =
Vladimir BALAN Algebră Liniară, Geometrie Analitică, şi Elemente de Geometrie Diferenţială = Bucureşti 2011 = Prefaţă Acest material include noţiunile, rezultatele teoretice de bază, precum şi probleme
Διαβάστε περισσότερα