OSNOVE OPTIKE, OPTIČKIH POMAGALA I UREDJAJA

Transcript

1 Teorija aberacija Pod aberacijama se podrazumevaju nedostaci optičkog sistema da formira lik koji odgovara idealnom liku. Postoje dva načina na koji se mogu opisati ti nedostaci. Prvi način je korišćenje koncepta zraka, a drugi je korišćenje koncepta talasnog fronta. Kada se koriste zraci, pod aberacijama se podrazumevaju razlike stvarnog od idealnog lika. Idealni lik dobija se pod pretpostavkom, da svi zraci koji izlaze iz jedne tačke predmeta, moraju da se ponovo susretnu u jednoj tački lika. Stvarni lik dobija se proračunom hoda zraka kroz optički sistem. Kada se koriste talasni frontovi, pod aberacijama se podrazumevaju odstupanja realnog talasnog fronta u tački lika od sfernog talasnog fronta. Kod idealnih optičkih sistema sferni talasni front koji polazi iz tačke predmeta, po prolasku kroz optički sistem ne deformiše se, već i dalje ostaje sferni talasni front. Kod realnih optičkih sistema sferni talasni front koji polazi iz tačke predmeta, prilikom prolaska kroz optički sistem deformiše se zbog prisustva aberacija i u tački lika ima oblik koji odstupa od sfere. Za paraksijalne zrake (zrake bliske optičkoj osi) aberacije su male i mogu biti zanemarene. MeĎutim, za sve ostale zrake koji se nalaze na konačnoj udaljenosti od optičke ose i pod konačnim uglom u odnosu na optičku osu, aberacije postaju značajne jer dosta iskrivljuju lik. Osnovni uzrok aberacija je u tome, što su sočiva formirana od sfernih površina koje ne prelamaju zrake na isti način, kao što je pretpostavljeno u paraksijalnoj aproksimaciji. Ovakve aberacije nazvane su geometrijske. Drugi uzrok aberacija je povezan sa disperzijom svetlosti. Pošto indeks prelamanja zraka zavisi od talasne duţine svetlosti, to i karakteristike optičkih sistema takoďe zavise od talasne duţine. Zbog toga zraci koji su emitovani iz iste tačke predmeta, a imaju različite talasne duţine po prolasku kroz optički sistem, ne konvergiraju u istu tačku lika, čak iako su svaki za sebe idealni. Ovakve aberacije se zovu hromatske aberacije. Za potrebe projektovanja optičkih sistema aberacije se mogu podeliti u dve grupe: monohromatske, ili geometrijske i hromatske. Monohromatske aberacije nastaju zato što su sočiva formirana od sfernih površina koje ne prelamaju zrake na isti način, kao što je pretpostavljeno u paraksijalnoj aproksimaciji. Uzrok hromatskih aberacija leţi u disperziji svetlosti, odnosno u zavisnosti osnovnih karakteristika optičkog sistema od talasne duţine. U praksi, aberacije se nikad ne javljaju kao izdvojene pojedinačne aberacije, već uvek kao kombinacija aberacija. Sistem klasifikovanja aberacija veoma olakšava njihovu analizu i daje dobar opis kvaliteta lika optičkog sistema. U optici su uobičajena dva načina prikazivanja razlike realnog zraka od idealnog zraka. Prvi način odgovara ugaonim zračnim aberacijama, a drugi poprečnim zračnim aberacijama. Na slici 8. prikazani su glavni zrak koji prolazi kroz centar izlazne pupile, realni zrak i idealni zrak koji polaze iz tačke ( x, y ) na referentnoj sferi. Uglovi i sa slike 6.1 predstavljaju komponente ugaone zračne aberacije. 1

2 Slika 6.1. Komponente ugaone zračne aberacije Komponente ugaone zračne aberacije su 1 W, n x 1 W, n y gde su komponenta ugaone aberacije duţ x ose, komponenta ugaone aberacije duţ y ose. U jednačinama (6.1) promenjen je znak za uglove i u odnosu na standardno označavanje u analitičkoj geometriji. To je uraďeno da bi se bilo u saglasnosti sa standardnom konvencijom o znacima u optici, prema kojoj pozitivna talasna aberacija nastaje kada se talasni front nalazi ispred referentne sfere. Ugaona zračna aberacija je pozitivna, ako su W x ili W y pozitivni. Na osnovu ovih konvencija sabirno sočivo će u normalnim uslovima imati pozitivne aberacije. Neka su O i O koordinatne ose u predelu lika, paralelne sa x i y osama na izlaznoj pupili, kao što je prikazano na slici 6.. Neka je tačka O centar referentne sfere. Kada bi optički sistem bio idealan, zrak iz tačke P na talasnom frontu prodirao bi ravan lika (ravan ) u tački O. Pošto je optički sistem realan, to će zrak iz tačke P na talasnom frontu prodirati ravan lika u tački O 1. Rastojanje izmeďu tačaka O 1 i O predstavlja poprečnu zračnu aberaciju. To je drugi način predstavljanja zračnih aberacija. Uobičajeno je da se komponente poprečne zračne aberacije računaju kao projekcija poprečne zračne aberacije na koordinate i. (6.1)

3 Slika 6.. Komponente poprečne zračne aberacije Na osnovu jednačina (6.1) za male nagibe zraka u odnosu na z osu dobija se R W, n x R W, n y komponenta poprečne zračne aberacije na osu u ravni lika, paralelna sa x osom u ravni izlazne pupile, komponenta poprečne zračne aberacije na osu u ravni lika, paralelna sa y osom u ravni izlazne pupile, R radijus krivine referentne sfere S. Jednačine (6.) definišu zavisnost komponenti poprečne zračne aberacije u zavisnosti od talasne aberacije. Vaţno je, još jednom, naglasiti da su koordinate x i y koordinate tačke preseka zraka sa referentnom sferom, a ne sa ravni izlazne pupile. Potrebno je, takoďe, naglasiti da su u iznetom razmatranju prilikom proračuna ugaonih i poprečnih zračnih aberacija učinjene dve aproksimacije: prva za kosinuse pravca, gde su zanemareni kvadrati parcijalnih izvoda talasne aberacije W. Druga aproksimacija je u jednačini (6.), gde je zanemaren nagib zraka PO 1 u odnosu na glavni zrak koji se prostire duţ z ose. 6.1 Ocena kvaliteta lika Pošto su definisani rezolucija optičkog sistema sa jedne strane i način proračuna aberacija sa druge strane, moguće je pristupiti tumačenju rezultata proračuna aberacija. Glavno pitanje koje treba da postavlja svaki projektant optičkih sistema je: koji efekat ima zadana vrednost aberacija na performanse optičkog sistema?. Iz prethodnog izlaganja, vidi se da proračun hoda zraka daje nekompletnu sliku karakteristika lika koji formira optički sistem. Iz dosadašnjeg razmatranja, vidi se da je lik tačkastog predmeta Airyjev disk. On je difrakcioni oblik konačnih dimenzija, a ne tačka, kao što se dobija na osnovu (6.) 3

4 geometrijske optike. U ovom razmatranju, posmatraće se optički sistemi kod kojih su aberacije koje izazivaju deformacije talasnog fronta manje od jedne do dve talasne duţine. U tom slučaju, moguće je razmatrati način na koji aberacije utiču na raspodelu energije u difrakcionom liku. Za takve optičke sisteme aberacije su dovoljno male i glavni uticaj na kvalitet lika ima difrakcija. Zato se takvi optički sistemi zovu difrakcijom ograničeni optički sistemi. Za velike iznose aberacija, kod kojih su deformacije talasnog fronta veće od dve talasne duţine, proračun hoda zraka i aberacija daju sasvim adekvatan opis performansi optičkog sistema. Tu su aberacije znatno veće od difrakcionih efekata i zbog toga se difrakcioni efekti mogu zanemariti. Takvi optički sistemi se nazivaju aberacijama ograničeni optički sistemi Sferna aberacija Opšta definicija sferne aberacije mogla bi da bude promena ţiţne duţine sa aperturom. Sferna aberacija se definiše, prema MILSTD114A (Optički izrazi i definicije), kao simetrična optička greška sočiva i sfernih ogledala, kod kojih se osni zraci na izlasku iz optičkog sistema ne spajaju u tački paraksijalne ţiţe, već formiraju kruţnu mrlju. Glavni uzrok sferne aberacije je, da ugao izmeďu upadnog zraka (koji je paralelan sa optičkom osom) i normale na sfernu površinu, nije isti na svim visinama, već se povećava. Zraci koji dolaze na sfernu površinu na većim visinama, obrazuju sa normalom veći upadni ugao, od zraka koji dolaze na tu sfernu površinu na manjim visinama. Isti zaključak vaţi i posle prelamanja zraka na sfernoj površini. Zraci koji su došli na sfernu površinu na većim visinama, prelamaju se pod većim uglom i seku optičku osu, pre zraka koji su došli na tu sfernu površinu na manjim visinama. Paraksijalni zraci dolaze na sfernu površinu beskonačno blizu optičkoj osi i zato oni najdalje seku optičku osu. Uobičajeno je da se za fokalne sisteme računa poduţna i poprečna sferna aberacija, koje se izraţavaju u duţinskim merama. Kod afokalnih sistema, računa se jedinstvena sferna aberacija, koja se izraţava u ugaonoj meri Podužna sferna aberacija fokalnih sistema Poduţna sferna aberacija se definiše kao rastojanje po optičkoj osi, izmeďu tačke preseka osnog zraka i tačke preseka paraksijalnog zraka (paraksijalne ţiţe) s s, (6.3) s 0 s poduţna sferna aberacija, s zadnje temeno rastojanje, dobijeno hodom osnog zraka, s 0 zadnje temeno rastojanje, dobijeno hodom paraksijalnog zraka. Proračun osnog zraka vrši se za referentnu (osnovnu) talasnu duţinu. Kada se vrši proračun optičkih sistema koji rade u vidljivoj oblasti spektra, to je obično Fraunhoferova d linija spektra. Grafički prikaz poduţne sferne aberacije dat je na slici 6.3: 4

5 Osni zrak Paraksijalni zrak Slika 6.3. Poduţna sferna aberacija s Zadnje temeno rastojanje, dobijeno hodom osnog zraka, računa se po formuli M s Z Y, (6.4) L Z z koordinata (duţ optičke ose) izlaznog zraka, Y y koordinata izlaznog zraka, M kosinus pravca izlaznog zraka duţ z ose, L kosinus pravca izlaznog zraka duţ y ose. Zadnje temeno rastojanje, dobijeno hodom paraksijalnog zraka, računa se na osnovu sledećih jednačina: osnovna jednačina paraksijalne optike (prelamanje zraka na površini) sj n s j j n n j1 j1 n r j j, (6.5) s rastojanje prelomljenog zraka od j -te površine optičkog sistema, j s j rastojanje upadnog zraka od j -te površine optičkog sistema, r j radijus krivine za j -tu površinu optičkog sistema, n j indeks prelamanja optičke sredine ispred j -te površine optičkog sistema, n j1 indeks prelamanja optičke sredine iza j -te površine optičkog sistema, odnosno ispred j 1 površine optičkog sistema; jednačina prelaza sa jedne površine na drugu površinu s j1 sj d j, (6.6) s rastojanje upadnog zraka od j 1 površine optičkog sistema, j1 d rastojanje izmeďu j -te i j 1 površine optičkog sistema. j 5

6 Poduţna sferohromatska aberacija je poduţna sferna aberacija za najmanju i najveću talasnu duţinu sa kojom se radi. To su obično Fraunhoferove F i C linije spektra, ako se radi sa vidljivim područjem spektra. Poduţna sferohromatska aberacija je definisana formulama s s min max s min s max s, 0 s, 0 s min, s max poduţna sferohromatska aberacija za najmanju i najveću talasnu duţinu, s min,s max zadnje temeno rastojanje, proračunato hodom osnog zraka za najmanju i najveću talasnu duţinu. Poduţna hromatska aberacija moţe se definisati kao razlika izmeďu poduţnih sfernih aberacija za najmanju i najveću talasnu duţinu (6.7) s s min s max, (6.8) gde je s poduţna hromatska aberacija. U stranoj literaturi moţe se naći da se poduţna hromatska aberacija naziva aksijalna hromatska aberacija Poprečna sferna aberacija fokalnih sistema Poprečna sferna aberacija se definiše kao vertikalno rastojanje od optičke ose, do preseka osnih zraka sa ravni paraksijalnog lika L l s, (6.9) M gde je l poprečna sferna aberacija. Grafički prikaz poprečne sferne aberacije dat je na slici 6.4: Osni zrak Paraksijalna ravan lika Paraksijalni zrak l Slika 6.4. Poprečna sferna aberacija Poprečna sferohromatska aberacija je poprečna sferna aberacija za najmanju i najveću talasnu duţinu sa kojom se radi. To su obično Fraunhoferove F i C linije spektra, ako se radi sa vidljivim područjem spektra. Poprečna sferna aberacija je definisana sledećim formulama 6

7 l l max min s s max min L M L M max max min min,, (6.10) l min, l max poprečna sferohromatska aberacija za najmanju i najveću talasnu duţinu, L min,l max kosinusi pravca izlaznog zraka duţ y ose, za najmanju i najveću talasnu duţinu, M min,m max kosinusi pravca izlaznog zraka duţ z ose, za najmanju i najveću talasnu duţinu. Poprečna hromatska aberacija moţe se definisati kao razlika izmeďu poprečnih sfernih aberacija za najmanju u najveću talasnu duţinu l l min l max, (6.11) gde je l poprečna hromatska aberacija Sferna aberacija afokalnih sistema Kod afokalnih sistema, sferna aberacija se računa kao ugao (u stepenima), pod kojim zrak izlazi iz teleskopskog sistema za referentnu (osnovnu) talasnu duţinu, koja je obično Fraunhoferova d linija spektra, ako se radi sa vidljivim područjem spektra u, (6.1) u d gde je u sferna aberacija afokalnog sistema, i u d ugao (u stepenima) pod kojim zrak izlazi sa zadnje površine teleskopskog sistema, za Fraunhoferovu d liniju spektra. Sferohromatska aberacija je sferna aberacija za najmanju i najveću talasnu duţinu sa kojom se radi. To su obično Fraunhoferove F i C linije spektra, ako se radi sa vidljivim područjem spektra u u min max u min u max,, (6.13) u min, u max sferohromatizam za najmanju i najveću talasnu duţinu, umin,u max ugao pod kojim zraci izlaze sa zadnje površine teleskopskog sistema, za najmanju i najveću talasnu duţinu. Hromatska promena sferne aberacije, moţe se definisati kao razlika izmeďu sfernih aberacija za najmanju i najveću talasnu duţinu u u min u max, (6.14) gde je u hromatska aberacija. 7

8 Korekcija sferne i hromatske aberacije Optički sistemi, koji imaju korigovanu sfernu i hromatsku aberaciju, zovu se ahromatski optički sistemi. Sferna aberacija je osnovna aberacija koja mora da se koriguje za svaki optički sistem. Drugim rečima, sferna aberacija mora da se prvo koriguje i tek, ako ima još slobodnih promenljivih konstruktivnih parametara, mogu se korigovati ostale aberacije. Najjednostavniji optički sistem sa sfernim površinama, kod koga se moţe korigovati sferna aberacija je slepljeni duble, koji se sastoji iz sabirnog i rasipnog sočiva. Sferna aberacija se moţe korigovati samo za odreďene osne zrake, a ne za sve osne zrake koji ulaze u optički sistem. Obično se vrši korekcija sferne aberacije za osni zrak koji ulazi po ivici ulazne pupile (marginalni zrak). Za ostale osne zrake uvek postoji zaostala sferna aberacija, koja se često naziva zonalna sferna aberacija. Zaostala sferna aberacija se najčešće grafički prikazuje tako, što se na apscisi nanosi poduţna ili poprečna sferna aberacija, a na ordinati visina ulaznog otvora. Krive za sfernu aberaciju prikazane su na slici 9.3. Grafik na slici 6.5 a, odgovara optičkom sistemu sa podkorigovanom sfernom aberacijom. Poduţna sferna aberacija ima oblik parabole, a poprečna sferna aberacija ima oblik kubne parabole. Vrednosti poduţne i poprečne sferne aberacije se povećavaju sa povećavanjem visine ulaznog otvora. Grafik na slici 6.5 b, odgovara optičkom sistemu sa korigovanom sfernom aberacijom za marginalni zrak. Vrednosti poduţne i poprečne sferne aberacije se prvo povećavaju, sa povećavanjem visine ulaznog otvora, a zatim opadaju, i anuliraju se za vrednost maksimalne visine ulaznog otvora. Grafik na slici 6.5 c, odgovara optičkom sistemu sa nadkorigovanom sfernom aberacijom. Vrednosti poduţne i poprečne sferne aberacije se prvo povećavaju, sa povećavanjem visine ulaznog otvora, a zatim opadaju i anuliraju se za vrednost visine, koja je manja od vrednosti maksimalne visine ulaznog otvora. Hromatska aberacija se koriguje odgovarajućim izborom stakala iz kataloga proizvoďača stakla. Za korekciju hromatske aberacije, potrebno je da se ima optički sistem sa najmanje dva elementa, od kojih je jedan napravljen od crown stakla, a drugi od flint stakla. Znači, duble je najjednostavniji optički sistem, koji se moţe korigovati za sfernu i hromatsku aberaciju. Slika 6.5. Grafički prikaz poduţne i poprečne sferne aberacije 8

9 Na slici 6.6, dat je prikaz dijagrama poduţne sferne aberacije za tri talasne duţine, koji su nacrtani u zavisnosti od visine prolaska zraka kroz ulaznu pupilu. Tri talasne duţine su, kao što je uobičajeno: srednja, minimalna i maksimalna talasna duţina, za deo spektra sa kojim se radi. Slika 6.6. Hromatska promena poduţne sferne aberacije Sa slike 6.6, vidi se da je izvršena korekcija sferne aberacije za osnovnu (srednju) talasnu duţinu, za marginalni zrak. To je osnovni uslov, i to uvek mora da se uradi. Korekcija hromatske aberacije je izvršena za zrak na optičkoj osi. Ovo rešenje nije najbolje rešenje, jer hromatska aberacija se povećava sa porastom visine zraka na ulaznoj pupili i dostiţe maksimalnu vrednost za marginalni zrak. Ovakav optički sistem je potrebno dodatno optimizovati, da bi se dobila korekcija kako poduţne sferne aberacije, tako i hromatske aberacije, odnosno korekcija poduţne sferohromatske aberacije. Dijagram korigovane poduţne sferohromatske aberacije dat je na slici 6.7. Slika 6.7. Dijagram korigovane poduţne sferohromatske aberacije 6. Koma Koma kao član razvijenog oblika talasne aberacije u stepeni red data je jednačinama: 3 W, A c cos (6.15) W, A c 9

10 W talasna aberacija, normalizovane polarne koordinate tačke na izlaznoj pupili, normalizovane pravougaone koordinate tačke na izlaznoj pupili A c koeficijent kome Odgovarajuće poprečne zračne aberacije u paraksijalnoj ravni lika u odnosu na paraksijalnu tačku lika izraţene preko polarnih koordinata su: F A c cos (6.16) F A c sin i preko pravougaonih koordinata su F A c F A c gde je F fokalni odnos. (6.17) Slika 6.8. Šematski prikaz aberacije koma Talasna aberacija je definisana jednačinom W, A c (6.18) Za meridionalne zrake 01, 0 talasna aberacije je W 3,0A c (6.19) Za sagitalne zrake 0,0 1 talasna aberacija je W0, 0 (6.0) Poprečna zračna aberacija za meridionalne zrake je 6FA c (6.1) Poprečna zračna aberacija za sagitalne zrake je FA c (6.) 10

11 Slika 6.9. Promena talasne aberacije i poprečne zračne aberacije u funkciji od koordinata izlazne pupile za meridionalne i sagitalne zrake Talasna aberacije je normalizovana na koeficijent kome A c Poprečna zračna aberacija je normalizovana na proizvod fokalnog odnosa i koeficijenta kome F A c Na slici 6.10 prestavljena je fotografija lika tačke, posmatrane kroz optički sistem sa različitim veličinama kome. Slika Lik tačke posmatran kroz optički sistem sa različitim vrednostima kome Preuzeto iz [15] Interferogrami zabeleţeni Twyman Greenovim interferometrom. Posmatra se optički sistem koji ima samo komu. 11

12 Slika Na slici su prikazana dva interferograma dobijena za različite poloţaje formiranja lika predmeta (paraksijalna ravan lika, ravan lika sa minimalnom promenom aberacije) Koma se javlja kod širokih snopova, koji ulaze u optički sistem pod uglom vidnog polja. Kao posledica kome, simetrija snopa zraka je narušena. Zbog narušene simetrije snopa zraka, zraci u ravni lika formiraju mrlju, koja ima karakterističan oblik kapljice. Koma je uzrokovana činjenicom, da su glavne ravni sfernih sočiva zakrivljene površi koje se prostorno definišu, a mogu se smatrati ravnim površinama samo za paraksijalnu oblast. Posledica toga je da koma raste sa porastom numeričke aperture, odnosno relativnog otvora optičkog sistema. Koma se moţe redukovati dodavanjem novih prelomnih površina, tj. povećanjem broja prelomnih površina optičkog sistema, ili pogodnim izborom mesta (poloţaja) aperturne dijafragme optičkog sistema. Za proračun kome koriste se glavni zrak i kosi zraci koje se nalaze iznad i ispod glavnog zraka (gornji i donji zrak). Koma se, kod fokalnih sistema, moţe predstaviti kao promena poprečnog uvećanja, tj. promena veličine lika sa promenom aperture. Koma se moţe definisati kao vertikalno rastojanje od glavnog zraka, do preseka sa gornjim i donjim kosim zrakom K l l g d lgl, (6.3) K koma, l g, l d veličina lika koji se dobija proračunom hoda gornjeg ili donjeg kosog zraka, l gl veličina lika koji se dobija proračunom hoda glavnog zraka. Koma se, kod teleskopskih sistema, definiše kao ugao, koji zaklapaju glavni zrak i gornji, odnosno donji kosi zrak g d K gl, (6.4) 1

13 x a -x m OSNOVE OPTIKE, OPTIČKIH POMAGALA I UREDJAJA, ugao vidnog polja, koji se dobija proračunom hoda gornjeg ili donjeg g d kosog zraka, gl ugao vidnog polja, koji se dobija proračunom hoda glavnog zraka Astigmatizam i krivina polja Astigmatizam se, za presek sa uglom 0, javlja u obliku promene ţiţne duţine i promene krivine talasnog fronta, dok za presek sa uglom ne postoji nikakva aberacija. To znači da talasni front ima dve različite glavne krivine. Ravan y z, tj. ravan koja sadrţi glavni zrak i osu simetrije optičkog sistema, zove se meridionalna ravan, a normalna ravan kroz glavni zrak, tj. ravan x z, zove se sagitalna ravan. Zbog osne simetrije optičkog sistema obično je dovoljno da se sagleda samo meridionalna ravan. Kod astigmatizma, potrebno je uzeti u obzir i meridionalnu i sagitalnu ravan, jer se sagitalna ravan menja sa nagibom glavnog zraka. Na slici 6.1, dat je šematski prikaz astigmatizma. B s S 1 B B m B a M 1 m S M -s -x s A A s B -m Slika 6.1. Astigmatizam Da bi se dobro razumeo astigmatizam, potrebno je pratiti formiranje sledećih likova vanosne tačke B: paraksijalnog lika u tački B, meridionalnog lika u tački B m, odnosno meridionalnoj fokali M 1 M, sagitalnog lika u tački B s, odnosno sagitalnoj fokali S1 S, najboljeg lika u tački B a, jer je tu lik najoštriji, odnosno, tu se nalazi krug najmanje nejasnoće. Na slici 6.1, korišćene su sledeće oznake: 13

14 A A optička osa; B B glavni zrak pod uglom u odnosu na optičku osu; mm meridionalna ravan; s s sagitalna ravan; A lik osne tačke A, dobijen hodom paraksijalnog zraka; B lik vanosne tačke B, dobijen hodom paraksijalnog zraka; B m lik vanosne tačke B, dobijen hodom elementarnih astigmatskih zraka u meridionalnoj ravni. Tačka B m je tačka preseka svih zraka koji se prostiru u meridionalnoj ravni, sa glavnim zrakom; B s lik vanosne tačke B, dobijen hodom elementarnih astigmatskih zraka u sagitalnoj ravni. Tačka B s je tačka preseka svih zraka koji se prostiru u sagitalnoj ravni, sa glavnim zrakom; M 1 M meridionalna fokala koja je lik vanosne tačke B, dobijen hodom elementarnih astigmatskih zraka u sagitalnoj ravni. Meridionalnu fokalu formiraju zraci koji se prostiru u sagitalnoj ravni i nisu dovoljno konvergirali da bi se skupili u tački B m, već su rasporeďeni po duţi M 1 M, po kojoj prodiru ravan u kojoj se nalazi tačka B m ; S1 S sagitalna fokala koja je lik vanosne tačke B, dobijen hodom elementarnih astigmatskih zraka u meridionalnoj ravni. Sagitalnu fokalu formiraju zraci koji se prostiru u meridionalnoj ravni, a pošto su već konvergirali u tački B m, sada divergiraju i rasporeďeni su po duţi S1 S, koja prodire ravan u kojoj se nalazi tačka B s ; B a tačka, odnosno ravan najboljeg lika vanosne tačke B. Zraci koji se prostiru u meridionalnoj i sagitalnoj ravni formiraju kruţnu mrlju u kojoj se nalazi lik najboljeg kvaliteta; x s rastojanje izmeďu sagitalne fokale i ravni paraksijalnog lika; x m rastojanje izmeďu meridionalne fokale i ravni paraksijalnog lika; x a rastojanje izmeďu sagitalne i meridionalne fokale. Glavni zrak bilo kojeg osnog, beskonačno uskog snopa zraka, prolazi kroz centar krivine optičke površine, pa su zato veličine radijusa krivine u meridionalnoj (m m) i sagitalnoj (ss) ravni jednake, ( rm rs ). Za beskonačno uske snopove zraka koji polaze iz vanosne tačke B, uslovi prostiranja biće različiti u meridionalnoj i sagitalnoj ravni. Glavni zrak, oko koga su drugi zraci simetrično rasporeďeni, ne prolazi kroz centar krivine optičke površine, u opštem slučaju, pa će osvetljeni element optičke površine imati različite radijuse krivine ( rm rs ), u meridionalnoj (m m) i sagitalnoj (ss) ravni. Izlazni talasni oblik, koji odgovara elementarnom kosom snopu zraka, više nije sferni, već je deformisan. Zraci koji putuju u meridionalnoj i sagitalnoj ravni, sastaju se sa glavnim zrakom u tačkama B m i B s u prostoru lika, na rastojanjima xm i xs od ravni paraksijalnog lika B. Svi zraci, koji su pošli iz vanosne tačke predmeta B i prostirali se u meridionalnoj ravni, skupljaju se u tački B m. Zraci, koji su pošli iz iste tačke B i prostirali se u sagitalnoj ravni, 14

15 formiraju horizontalnu duţ umesto tačke, kao što predviďa paraksijalna teorija. Isto vaţi i za ravan lika koji sadrţi tačku B s, u kojoj se skupljaju svi zraci koji su pošli iz vanosne tačke predmeta B i prostirali se u sagitalnoj ravni. Zraci, koji su pošli iz iste tačke B i prostirali se u meridionalnoj ravni, formiraju vertikalnu duţ. Ovaj fenomen, odnosno nedostatak optičkog sistema, zbog koga se lik vanosne tačke formira kao dve uzajamno normalne linije, koje leţe u ravnima na različitom rastojanju od ravni paraksijalnog lika, zove se astigmatizam. Na slici 6.13, prestavljena je fotografija koja prikazuje poloţaj meridionalne i sagitalne fokale pomoću dva fluorescentna ekrana. Slika Poloţaj meridionalne i sagitalne fokale Preuzeto iz [15] Na slici 6.14, prestavljena je fotografija koja prikazuje likove tačke koje stvara optički sistem sa različitim veličinama astigmatizma. Fotografija je uraďena na mestu kruga najmanje nejasnoće, tj. na sredini rastojanja izmeďu meridionalne i sagitalne fokale. Slika Lik tačke za optički sistem sa različitim veličinama astigmatizma Preuzeto iz [15] Astigmatizam izraţen kao talasna aberacija definisan je jednačinom W b 3 cos, (6.5a) ako se koriste polarne koordinate, odnosno W b 3 y, (8.5b) ako se koriste pravougaone koordinate. Formule za prelaţenje sa polarnih koordinata na pravougaone koordinate su 15

16 x tan y x y., (6.6) Meridionalna ravan odgovara preseku sa uglom 0, a sagitalna ravan odgovara preseku sa uglom. Na osnovu jednačine (6.), za poprečne zračne aberacije dobija se 0, b3 R cos, (6.7) što znači da svi zraci prolaze kroz segment na osi, izmeďu tačaka b 3 Rmax, mereno od koordinatnog početka, gde je max maksimalna vrednost za prečnik izlazne pupile (slika 6.15). Slika Astigmatske fokale Ako se izabere novi poloţaj ţiţe, pomeren za rastojanje b 3 R prema talasnom frontu, što je ekvivalentno oduzimanju člana b 3 od talasne aberacije W, tada je astigmatizam kao talasna aberacija definisan jednačinom W b 3 sin, (6.8a) ako se koriste polarne koordinate, odnosno W b 3 x, (6.8b) ako se koriste pravougaone koordinate. Komponente poprečne zračne aberacije, jednačina (6.), su b 0. 3 R sin, (6.9) U ovom slučaju, svi zraci se rasporeďuju na segmentu ose, izmeďu tačaka b 3 Rmax, mereno od koordinatnog početka. Znači, svi zraci sa talasnog fronta se skupljaju u dve linije pod uglom od 90, tj. u sagitalnu i meridionalnu fokalu. Na slici 6.16, prikazani su oblici koje formiraju zraci sa talasnog fronta za različite poloţaje ţiţe. Na sredini izmeďu meridionalne i sagitalne fokale, zraci formiraju kruţni oblik, koji se često zove krug najmanje nejasnoće. 16

17 Najčešće se usvaja da se ravan najboljeg lika nalazi na sredini izmeďu sagitalne i meridionalne fokale. Slika Različiti oblici lika koji formiraju zraci za različite poloţaje ravni lika Duţina astigmatskih fokala i rastojanje izmeďu njih povećava se sa kvadratom ugla vidnog polja. Uobičajeno je da se astigmatizam, odnosno zavisnost astigmatskih fokala od kvadrata vidnog polja, koja je prikazana petim članom u razvijenom obliku talasne aberacije, sagledava zajedno sa sledećim članom u razvijenom obliku talasne aberacije. To je član b 4, a aberacija koja odgovara tom članu zove se krivina polja. Ako se član b 4 uporedi sa članom a 1, moţe se videti da on znači promenu ţiţnog rastojanja snopa zraka. Ţiţno rastojanje se menja sa kvadratom ugla vidnog polja, pa će zbog toga ţiţna ravan biti zakrivljena. Promena u poloţaju ţiţne ravni iznosi b4 R. Ova promena ţiţne ravni dogaďa se u prostoru na rastojanju R od ose optičkog sistema. Na 1 osnovu iznetih činjenica, dobija se da je poluprečnik krivine polja. Šematski prikaz 4b4 aberacije krivina polja dat je na slici Slika Krivina polja Ako su i astigmatizam i krivina polja prisutni u optičkom sistemu, tada meridionalna i sagitalna fokala leţe na zakrivljenim površinama, kao što je prikazano na slici 8.7, a poloţaj najboljeg lika se nalazi izmeďu njih. 17

18 Slika Astigmatizam i krivina polja prikazani zajedno. Meridionalna i sagitalna fokala leţe na površinama lika sa različitim krivinama Pogodno je da krivina polja i astigmatizam budu različitog znaka. To znači da u slučaju pozitivne krivine polja astigmatizam bude negativan, tako da površina najboljeg lika bude ravna, kao što je prikazano na slici Slika Sagitalna i meridionalna fokala leţe na površinama sa suprotnim krivinama pa je površina najboljeg lika ravna Iako u prisustvu astigmatizma nije moguće formirati oštar lik, linije paralelne sa meridionalnom fokalom, biće oštro prikazane na površini lika koja sadrţi meridionalnu fokalu. TakoĎe, linije koje se radijalno šire u odnosu na optičku osu, videće se jasno na površini lika koja sadrţi sagitalnu fokalu. Kao najbolji primer za to moţe se uzeti točak sa paocima i posmatrati njegov lik u meridionalnoj i sagitalnoj fokali, kao što je prikazano na slici 6.0. Slika 6.0. Astigmatski likovi a) predmet centriran u odnosu na optičku osu b) lik na meridionalnoj fokali 18

19 c) lik na sagitalnoj fokali Kao što se sa slike 6.0 vidi, krugovi koji su koncentrični sa optičkom osom, vide se oštro u ravni lika koja sadrţi meridionalnu fokalu, dok linije koje se radijalno šire u odnosu na optičku osu, vide se oštro u ravni lika koja sadrţi sagitalnu fokalu. Da bi se definisao astigmatizam, potrebno je posmatrati prostiranje zraka kroz optički sistem, u dve uzajamno normalne ravni. Te ravni su meridionalna i sagitalna ravan. Zraci po izlasku iz optičkog sistema se ponašaju kako bi se očekivalo. Oni se ne seku ni u jednoj tački, niti se seku u ravni paraksijalnog lika. Zraci po izlasku iz optičkog sistema, obrazuju lik u obliku dve duţi, koje se nalaze na odreďenom meďusobnom rastojanju i pod uglom od Te duţi se nazivaju meridionalna i sagitalna fokala. Za odreďivanje astigmatizma optičkog sistema, koristi se hod astigmatskih zraka. Astigmatski zraci se mogu definisati kao zraci veoma bliski glavnom zraku i koji se nalaze u meridionalnoj i sagitalnoj ravni. Sam proračun se vrši po YoungAbbeovim jednačinama elementarnog astigmatskog zraka, u meridionalnoj i sagitalnoj ravni, koje glase: za meridionalnu ravan n cos t za sagitalnu ravan m n cos t n n n cos n cos t t r s s m n cos n cos r, (6.30), (6.31) t m rastojanja duţ astigmatskog zraka u meridionalnoj ravni, u prostoru predmeta, od tačke na optičkoj osi, do tačke na prelomnoj površini, t m rastojanje duţ astigmatskog zraka u meridionalnoj ravni, u prostoru lika, od tačke na prelomnoj površini, do tačke lika u meridionalnoj ravni, n indeks prelamanja optičke sredine, pre prelomnne površine, n indeks prelamanja optičke sredine, posle prelomnne površine, ugao izmeďu astigmatskog zraka i normale na prelomnu površinu, u prostoru predmeta, ugao izmeďu astigmatskog zraka i normale na prelomnu površinu, u prostoru lika, t s rastojanje duţ astigmatskog zraka u sagitalnoj ravni, u prostoru predmeta, od tačke na optičkoj osi, do tačke na prelomnoj površini, t s rastojanje duţ astigmatskog zraka u sagitalnoj ravni, u prostoru lika, od tačke na prelomnoj površini, do tačke lika u sagitalnoj ravni. Jednačine prelaza, sa jedne površine na drugu površinu optičkog sistema, glase: za meridionalnu ravan ~ t t d, (6.3) m m k 19

20 za sagitalnu ravan ~ t t d, (6.33) s s k gde je d ~ k kosa debljina, odnosno rastojanje izmeďu dve površine, mereno duţ astigmatskog zraka. Da bi se na računaru mogle koristiti jednačine (6.3) i (6.33), potrebno ih je rešiti po promenljivima t i t : za meridionalnu ravan t m za sagitalnu ravan t s m s n cos n t m cos, (6.34) n cos cos n r 1. (6.35) n n cos cos n n t r s Prilikom proračuna astigmatizma kod fokalnih sistema, definišu se projekcije sagitalne i meridionalne fokale na optičku osu: Projekcija meridionalne fokale x t cos x s0, (6.36) m m t Projekcija sagitalne fokale x t cos x s0, (6.37) s s t t m rastojanje duţ astigmatskog zraka u meridionalnoj ravni, koja se dobija proračunom hoda astigmatskog zraka kroz ceo optički sistem, prelomni ugao zraka na izlasku iz optičkog sistema, koji se dobija proračunom hoda glavnog zraka, x t x koordinata presečne tačke glavnog zraka sa poslednjom prelomnom površinom, s 0 zadnje temeno rastojanje, koje se dobija proračunom hoda paraksijalnog zraka, t s rastojanje duţ astigmatskog zraka u sagitalnoj ravni, koja se dobija proračunom hoda astigmatskog zraka kroz ceo optički sistem. Sam astigmatizam se definiše kao: kod fokalnih sistema (sistema tipa objektiv) 0

21 xa xs xm, (6.38) gde je x a astigmatizam za fokalne sisteme, kod afokalnih sistema (teleskopskih sistema) 1 A t , (6.39) t s m gde je A astigmatizam za afokalne sisteme. Za afokalne sisteme astigmatizam se izraţava u dioptrijama. 6.. Krivina polja Krivina polja je usko povezana sa astigmatizmom i uvek se zajedno obraďuju. Meridionalna i sagitalna fokala se formiraju na različitim rastojanjima od ravni paraksijalnog lika i njihov poloţaj zavisi od ugla vidnog polja. Ako se spoje sva mesta formiranja fokala dobijaju se dve krive, koje predstavljaju promenu poloţaja meridionalne i sagitalne fokale, sa promenom ugla vidnog polja. Kriva koja se dobija kao aritmetička sredina ove dve krive naziva se krivina polja. Fizička suština aberacije krivina polja je u tome, da ravan lik, posle projektovanja kroz optički sistem, neće više biti ravan, već će biti zakrivljen. To znači, ako se predmet nalazio u ravni, lik više neće biti u ravni, već u prostoru (paraboloid). Krivina polja za fokalne sisteme se moţe definisati kao aritmetička sredina projekcija sagitalne i meridionalne fokale na optičku osu x x x s m k, (6.40) gde je x k krivina polja za fokalne sisteme. Krivina polja za teleskopske sisteme, računa se po formuli (9.31) i izraţava se u dioptrijama: 1 1 Kr 500, (6.41) t t m s gde je Kr krivina polja za teleskopske sisteme. Optički sistem, koji je korigovan na astigmatizam i krivinu polja za odreďeni ugao vidnog polja i sa zaostalim aberacijama, koje imaju vrednosti u granicama tolerancije, naziva se anastigmatski optički sistem Korekcija astigmatizma i krivine polja Na slici 9.6, dat je dijagram projekcija meridionalne i sagitalne fokale na optičku osu, u funkciji od ugla vidnog polja, za različite slučajeve korekcije optičkog sistema na astigmatizam i krivinu vidnog polja. Sa slike 6.1, vidi se da slučaj a) predstavlja dijagram sistema sa nekorigovanim astigmatizmom i krivinom polja. Projekcije meridionalne i sagitalne fokale imaju konačne vrednosti i kriva izmeďu njih predstavlja krivinu polja x k. Slučaj b) predstavlja dijagram projekcija 1

22 meridionalne i sagitalne fokale na optičku osu, za slučaj korekcije krivine polja. Budući da je krivina polja aritmetička sredina projekcija meridionalne i sagitalne fokale na optičku osu, to se korekcija krivine polja moţe postići ako su ove projekcije fokala jednake po veličini, a suprotnog znaka. Naravno, tada je astigmatizam nekorigovan, jer on predstavlja razliku projekcija fokala na optičku osu, pa zbog suprotnog znaka projekcija fokala dolazi do njihovog sabiranja, umesto oduzimanja. Slučaj c) predstavlja dijagram projekcija meridionalne i sagitalne fokale na optičku osu, kod optičkog sistema koji je korigovan za krivinu polja, za sve uglove vidnog polja i za astigmatizam, za jedan ugao vidnog polja koji je blizak maksimalnom uglu vidnog polja. Vrednosti astigmatizma za ostale uglove vidnog polja su dovoljno male i nalaze se u okviru tolerantnih granica. Korekcija krivine polja uraďena je na isti način kao i u slučaju b), a to znači da su projekcije sagitalne i meridionalne fokale na optičku osu jednake po veličini, a suprotnog znaka. Slika 6.1. Dijagram korekcije astigmatizma i krivine vidnog polja a) optički sistem sa nekorigovanim astigmatizmom i krivinom polja, b) optički sistem sa korigovanom krivinom polja i nekorigovanim astigmatizmom, c) optički sistem sa korigovanim astigmatizmom i krivinom polja. Istovremena korekcija astigmatizma i krivine polja, jedan je od najteţih problema koji se postavlja pred projektantom optičkih sistema. Strogo gledajući problem je nerešiv, jer je teorijski nemoguće dobiti odličan lik, u celom vidnom polju. MeĎutim, uvek postoji teţnja da se realan lik što više pribliţi idealnom liku. Za ovo je vrlo vaţna imaginacija projektanta optičkih sistema, uz sva neophodna teoretska znanja i iskustvo. Problemi na koje se nailazi prilikom istovremene korekcije atigmatizma i krivine polja, su sledeći: nije dobro ostvariti anastigmatizam, a da se pri tome razruši aplanatizam; praktično, nikada se ne moţe uticati samo na jednu aberaciju (astigmatizam ili krivinu polja), a da druga aberacija ostane nedirnuta; hromatska promena površine fokala povećava veličinu difuzione mrlje i smanjuje jasnoću fokalnih linija, jer su one na ivicama obojene. Vrlo je teško da se utiče na ove promene, jer su hromatski parametri iskorišćeni da se kompenzira hromatska promena sferne aberacije.

23 Jasno je da istovremena korekcija astigmatizma i krivine polja nije moguća, pa se prema tome mora traţiti kompromis, a on zavisi od tipa instrumenata za koje je optički sistem namenjen, odnosno, od predmeta i prijemnika. Objektivi se upotrebljavaju kod instrumenata, gde je potrebno formirati realan lik predmeta, npr. kod foto aparata. U opštem slučaju, predmet i površina na kojoj se formira lik (film) su ravni. U ovom slučaju, potrebno je anulirati krivinu vidnog polja, tako da difuziona mrlja ima minimalnu površinu u ravni lika, odnosno, da se ravan lika nalazi na jednakim udaljenjima od površine fokala. Ako je moguće napraviti prijemnik koji ima sfernu površinu, dobija se daleko bolji lik, jer se moţe anulirati astigmatizam, a sferna površina prijemnika se poklapa sa krivinom polja. Tipični primer ovakvog sistema je ekran u bioskopima. Optimalna korekcija kod teleskopskih sistema zavisi od oka posmatrača. Ako posmatrač ima normalnu akomodaciju oka, dobro je anulirati astigmatizam. Tada sve tačke lika imaju maksimalnu jasnoću, ali se nalaze na raznim udaljenostima, u zavisnosti od njihovog poloţaja na površini lika. Pošto posmatrač moţe da akomodira svoje oko, on će postići da se oko prilagodi na oblast koju posmatra. Posmatrač će imati utisak da se lik nalazi na sfernoj površini i biće jasan u svim tačkama. MeĎutim, ako je krivina polja jaka, akomodacija oka neće biti istovremena, pa je potrebno smanjiti krivinu polja, zadrţavajući odreďenu vrednost astigmatizma. Ako posmatrač nema normalnu akomodaciju oka, onda je bolje korigovati krivinu polja, jer će, u tom slučaju, difuzione mrlje svih tačaka u polju biti na jednakoj daljini. Posmatrač će konstatovati da se jasnoća smanjuje od centra prema ivici vidnog polja usled zaostalosti astigmatizma Distorzija Distorzija u odnosu na sve druge aberacije ima sasvim posebne osobine. Ona ne izaziva nejasnoću slike predmeta. Ako su u sistemu korigovane sve ostale aberacije, a ostala samo čista distorzija, slike svih tačaka predmeta biće takoďe jasne tačke. Distorzija izaziva deformisanost slike predmeta u geometrijskom smislu. Distorzija nastaje zbog nepotpunog ispunjavanja poznatog zakona geometrijske optike, da je poprečno uvećanje za par spregnutih i na optičku osu normalnih ravni, konstanta. Neispunjenje ovog zakona dovodi do deformacije slike predmeta. Do promene poprečnog uvećanja dolazi sa pomeranjem tačke od ose, ka periferiji. Distorzija kao aberacija ima osobinu da je simetrična u odnosu na optičku osu. Grafički prikaz distorzije dat je na slici 9.7, na kojoj su prikazana tri moguća slučaja distorzije. 3

24 D B C D B C D C A A A (a) (b) (c) Slika 6.. Distorzija Prvi slučaj, prikazan na slici 6.a, je kada poprečno uvećanje ostaje konstantno pri udaljavanju od optičke ose. Tu je korigovana distorzija i takvi optički sistemi se zovu ortoskopski sistemi. Drugi slučaj, prikazan na slici 6.b, je kada poprečno uvećanje raste pri udaljavanju od optičke ose. U ovom slučaju raste i distorzija, pa se zato kaţe da je distorzija pozitivna. Treći slučaj, prikazan na slici 6.c, je kada se poprečno uvećanje smanjuje pri udaljavanju od optičke ose. U tom slučaju smanjuje se i distorzija, pa se zato kaţe da je distorzija negativna. Distorzija se kod fokalnih sistema, računa kao razlika izmeďu veličine realnog lika koga formira glavni zrak i veličine paraksijalnog lika. Obično se izraţava u procentima kao l l 0 D 100, (6.4) l D distorzija, l 0 veličina paraksijalnog lika, 0 l veličina lika koju formira glavni zrak. Kod fokalnih sistema, veličina paraksijalnog lika predmeta u beskonačnosti, dobija se kao l tan, (6.43) 0 f f ţiţna duţina fokalnog sistema, ugao vidnog polja fokalnog sistema. Kod fokalnih sistema, veličina paraksijalnog lika predmeta na konačnom rastojanju, dobija se kao y visina predmeta, y l 0 f tan f, (6.44) t s 4

25 t rastojanje ulazne pupile od prve prelomne površine sistema, s rastojanje predmeta od prve prelomne površine sistema, t s - rastojanje izmeďu predmeta i ulazne pupile. Distorzija se kod afokalnih sistema, računa po formuli tan tan tan 0 D, (6.45) 0 ugao vidnog polja na izlasku iz optičkog sistema, dobijen hodom glavnog zraka, 0 prividni ugao vidnog polja na izlasku iz optičkog sistema, dobijen hodom paraksijalnog zraka. Optički sistemi sa korigovanom distorzijom i ostalim aberacijama u okviru tolerantnih granica zovu se ortoskopski sistemi. Na slici 9.8, prikazan je dijagram promene distorzije sa povećanjem ugla vidnog polja. Na ovoj slici, prikazan je dijagram distorzije za nekorigovani optički sistem. Slika 6.3. Dijagram distorzije 6.3 Difrakcioni efekti Čak iako se pretpostavi da beskonačno mali tačkasti izvor svetlosti je moguć, nijedan optički sistem ne moţe da napravi pravi tačkasti lik, i pored pretpostavke da je savršeno napravljen i da su sve aberacije korigovane. Ova nemogućnost formiranja tačkastog lika je rezultat činjenice, da se svetlost stvarno ne prostire pomoću zrakova, koji se predstavljaju pomoću pravih linija, već se prostire kao talas. Jedna od osnovnih talasnih pojava koja se javlja pri prostiranju talasa je skretanje oko ivica, ili prepreka, za mali, ali konačan ugao. Ova pojava je poznata kao difrakcija. Prema Huygensovom principu prostiranja svetlosnih talasa, svaka tačka na talasnom frontu moţe se smatrati za izvor novih sfernih talasa. Ovi talasi se pojačavaju, ili interferiraju meďu sobom i prave novi talasani front. Kada je polazni talasni front beskonačno veliki, tada novi talas predstavlja anvelopu svih novih sfernih talasa u pravcu prostiranja. Druga krajnost je, kada je 5

26 talasni front ograničen na veoma malu veličinu (recimo reda polovine talsne duţine) pomoću aperture. Tada novi talasni front postaje sferni talas oko aperture. Na slici 6.4, prikazan je ravan talasni front koji upada na prorez AC, koji se nalazi ispred idealnog sočiva. U ţiţnoj ravni sočiva nalazi se ekran. Slika 6.4. Difrakcioni efekat na sočivu Ţelimo da odredimo prirodu osvetljenja na ekranu. Pošto je pretpostavljeno da je sočivo sa slike idealno, optičke duţine puteva AE, BE i CE su jednake i talasi iz svih tačaka dolaze u fazi u tačku E, pojačavajući se pri tome, stvarajući jasno osvetljenu oblast. Za talase koji polaze sa ravnog talasa u smeru ugla, optičke duţine puteva su različite. Putanja AF se razlikuje od putanje CF, za rastojanje CD. Osvetljenost u tački F, biće zbir doprinosa svih segmenata proreza, kada se uzmu u obzir faze svakog talasa. Moţe se pokazati da, kada je duţina CD jednaka celobrojnom proizvodu talasnih duţina, intenzitet osvetljenosti u tački F je nula. Objašnjenje je sledeće: Ako je rastojanje CD jednako talasnoj duţini, tada je rastojanje BG jednako polovini talasne duţine. Kada su talasi fazno pomereni za pola talasne duţine, oni se poništavaju. To je slučaj sa talasima iz tačke A i B. TakoĎe, talasi iz tačaka neposredno ispod A i B se poništavaju i tako, celim putem duţ proreza. Ako je rastojanje CD jednako N talasnih duţina, tada se prorez deli na N delova (umesto samo na dva dela) i primenjuje se isto zaključivanje. Znači, tamna zona u tački F se javlja kada je N sin, (6.46) T ugao koji talasni front zauzima sa optičkom osom, N bilo koji ceo broj, talasna duţina svetlosti, T širina proreza. Osvetljenost na ravni EF je serija svetlih i tamnih zona. Centralna svetla zona je intenzivnija, a ostale zone sa svake strane su manje intenzivno svetle. Matematički pristup odreďivanju intenziteta osvetljenosti na ekranu, je integracija po aperturi, kombinovana sa odgovarajućom tehnikom sabiranja talasa, koji nisu ni u fazi ni u kontrafazi. Na ovaj način, moguće je odrediti intenzitet osvetljenosti na ekranu, samo za pravougaone i kruţne aperture, kao i za proreze. Za pravougaonu aperturu, intenzitet osvetljenosti na ekranu je dat jednačinom 6

27 sin m1 sin m T1 sin 1 T sin I I 0, m1, m, (6.47) m m 1 I intenzitet osvetljenosti u proizvoljnoj tački ekrana, I intenzitet osvetljenosti u centru ekrana, 0 T 1,T dimenzije pravougaone aperture,, uglovi skretanja koji odgovaraju dimenzijama pravougaone aperture. 1 Kada je apertura kruţna, intenzitet osvetljenosti je dat jednačinom v J 1 I y, v n a v y, R J 1 v Besselova funkcija prvog reda, v difrakciona jedinica, y poprečno rastojanje mereno od centra difrakcionog oblika, a poluprečnik izlazne pupile, R radijus referentne sfere, n indeks prelamanja u prostoru lika, talasna duţina svetlosti. Besselova funkcija J n x je rešenje Besselove diferencijalne jednačine x x x x n J x 0 (6.48) d J n djn x n, (6.49) dx dx J n x Besselova funkcija n tog reda, x zavisna promenljiva, n parametar koji odreďuje red Besselove funkcije. Rešenje Besselove diferencijalne jednačine izraţava se kao stepeni red m0 mn m x 1 J n x. (6.50) m! n m! Besselova funkcija prvog reda je definisana sledećom jednačinom m0 m1 m x 1 J 1 x, (6.51) m! 1 m! 7

28 ili u razvijenom obliku x x x x J 1 x. (6.5) 1!!! 3! 3! 4! Besselova funkcija prvog reda za realne vrednosti promenljive ima oblik sličan funkciji f x sinx, sa amplitudom koja se postepeno smanjuje. Interesantno je primetiti da se Besselova funkcija prvog reda računa u zavisnosti od jedne bezdimenzionalne veličine, koja se zove difrakciona jedinica. Sagledavajući formulu koja definiše difrakcionu jedinicu, jednačina (6.48), i sliku 6.5, moţe se zaključiti da se u osnovi difrakcione jedinice nalazi Lagrange Helmholtzova invarijanta. To omogućava da promenljiva ima istu vrednost i u prostoru predmeta i u prostoru lika. Izlazna pupila a Centar referentne sfere R Slika 6.5. Definicija difrakcione jedinice Iz teorije o talasnim aberacijama poznato je da se centar referentne sfere nalazi u ravni lika, koja je ţiţna ravan ako se predmet nalazi u besonačnosti. Na slici 6.5, definisan je ugao σ kao ugao pod kojim se vidi izlazna pupila iz centra referentne sfere. Za male veličine uglova vaţi relacija a, (6.53) R pa na osnovu toga formula za difrakcionu jedinicu postaje v n y. (6.54) Vaţno je uočiti da je poprečno rastojanje, mereno od centra difrakcionog oblika ( y ), normalno na radijus referentne sfere. Za kruţnu aperturu, obrazac osvetljenosti se sastoji od centralne svetle tačke, okruţene koncentričnim krugovima, naizmenično svetlim i tamnim, čiji intenzitet veoma brzo opada. Ovaj obrazac osvetljenosti je poznat kao Airyjev disk. On je prikazan na slici 6.6, na kojoj je data fotografija difrakcionog lika tačkastog predmeta u slučaju kruţne aperture. 8

29 Slika 6.6. Difrakcioni lik tačkastog predmeta u slučaju kruţne apertura (Airyjev disk) Preuzeto iz [15] Rešavanjem Besselove funkcije I reda intenzitet osvetljenosti ima nultu vrednost za vrednosti v 3.83, 7.0,10.17,. Ove vrednosti, izraţene u difrakcionim jedinicama, definišu veličinu poluprečnika prstena na Airyjevom disku. Maksimum intenziteta osvetljenosti difrakcionog oblika nalazi se u centru Airyjevog diska. Ako se ţele proračunati poloţaji ostalih maksimuma intenziteta osvetljenosti, potrebno je rešiti Besselovu funkciju I reda. Njenim rešavanjem dobijaju se vrednosti y 5.13, 8.4,11.6,. Ovim vrednostima, izraţenim u difrakcionim jedinicama, odgovaraju maksimumi intenziteta osvetljenosti koji imaju 1.75%, 0.416%, 0.160%,... intenziteta osvetljenosti maksimuma u centru Airyjevog diska. Vaţno je primetiti da je 84% energije Airyjevog diska koncentrisano u centralnoj tački. Intenzitet osvetljenosti u centralnoj tački je skoro 60 puta veći od prvog svetlog kruga. Uobičajeno je da se mogu primetiti samo centralna tačka i prva dva svetla kruga. Ostali krugovi imaju previše slab intenzitet da bi se mogli primetiti. Prikaz dijagrama intenziteta osvetljenosti za Airyjev disk dat je na slici

30 Slika 6.7. Dijagram intenziteta osvetljenosti za Airyjev disk Preuzeto iz [] Treba imati na umu, da se prikazani intenzitet osvetljenosti, odnosno raspodela energije, odnosi na idealni optički sistem. U prisustvu aberacija, oblik difrakcione mrlje biće drugačiji. Ovde će biti prikazana serija od 4 fotografije Airyjevog diska, koje predstavljaju lik tačkastog predmeta, za različite poloţaje ravni lika, kada je prisutna sferna aberacija. Na slici 10.5, prikazan je Airyjev disk za poloţaj ravni lika na mestu paraksijalne ţiţe i za dobro korigovan optički sistem, koji ima zanemarljive aberacije. Ovaj oblik Airyjevog diska, posluţiće za poreďenje sa oblicima Airyjevog diska, u slučaju kada je prisutna sferna aberacija. Slika 6.8. Airyjev disk za ravan lik u paraksijalnoj ţiţi za optički sistem sa zanemarljivo malim aberacijama Preuzeto iz [15] Na slici 6.9, data je fotografija Airyjevog diska na malom rastojanju od ravni paraksijalne ţiţe, za optički sistem sa sfernom aberacijom. Sa fotografije se jasno vidi da se svetlosna energija, koja je bila koncentrisana u centralnoj svetloj tački, sada širi na nekoliko koncentričnih krugova. To znači da se veličina lika tačkastog predmeta povećala sa centralne svetle tačke na nekoliko koncentričnih krugova. Zbog povećanja lika tačkastog predmeta koncentracija energije je smanjena. 30

31 Slika 6.9. Airyjev disk za lik na malom rastojanju od paraksijalne ţiţe za optički sistem sa sfernom aberacijom Preuzeto iz [15] Na slici 6.30, data je fotografija Airyjevog diska za lik koji se nalazi na sredini izmeďu ravni paraksijalne ţiţe i ravni marginalne ţiţe, za optički sistem koji ima sfernu aberaciju. Sa fotografije se moţe videti dalje širenje svetlosne energije prema perifernim koncentričnim krugovima. Zbog daljeg povećanja lika tačkastog predmeta, dolazi do daljeg smanjenja koncentracije svetlosne energije u centralnoj svetloj tački. Slika Airyjev disk za lik na sredini rastojanja izmeďu ravni paraksijalne ţiţe i ravni marginalne ţiţe za optički sistem sa sfernom aberacijom Preuzeto iz [15] Na slici 6.31, data je fotografija Airyjevog diska za lik koji se nalazi neposredno pored marginalne ţiţne ravni, za optički sistem koji ima sfernu aberaciju. Sa fotografije se vidi da se sva svetlosna energija pomerila iz centra Airyjevog diska, ka periferiji. Koncentrični krugovi na periferiji su svetli, dok su koncentrični krugovi u centru tamni. U ovom slučaju, veličina lika tačkastog predmeta je najveća, a intenzitet osvetljenosti u centru je minimalan. 31

32 Slika Airyjev disk za lik u neposrednoj blizini marginalne ţiţe, za optički sistem sa sfernom aberacijom Preuzeto iz [15] 6.4 Rezolucija optičkih sistema Svaki optički sistem ima granicu u svojim performansama zbog prisustva difrakcije. Ta granica se opisuje pomoću rezolucije optičkog sistema. Rezolucija optičkog sistema se često uzima kao jedan od parametara kvaliteta optičkog sistema. Pod rezolucijom optičkog sistema podrazumeva se mogućnost optičkog sistema da prikaţe lik dve bliske tačke predmeta kao dve razdvojene tačke, a ne kao jedna tačku. Prilikom definisanja kriterijuma za rezoluciju optičkih sistema koriste se sledeće pretpostavke: optički sistem je bez aberacija, ulazna i izlazna pupila su kruţnog oblika, dve tačke predmeta posmatraju se monohromatskom svetlošću talasne duţine, likovi tačaka predmeta predstavljaju Airyjeve diskove. Bitno je pretpostaviti da su dve tačke predmeta osvetljene monohromatskom nekoherentnom svetlošću, jer se tada izbegavaju interferencioni efekti. U opštem slučaju, intenzitet osvetljenosti kombinovanog lika predstavlja zbir intenziteta osvetljenosti dva Airyjeva diska koja se nalaze na odreďenom rastojanju. U definisanju rezolucije optičkog sistema polazi se od difrakcione jedinice, izraţene jednačinom (6.54). Kako se rezolucija optičkog sistema obično izraţava u ugaonim jedinicama, to se jednačina (10.8) transformiše u v 1 n D k D, (6.55) rezolucija optičkog sistema, D prečnik ulazne pupile, k koeficijent. Postoje tri kriterijuma za definisanje rezolucije optičkog sistema. Prvi kriterijum definisao je Lord Rayleigh i po njemu se dve tačke razlaţu ako se maksimum intenziteta osvetljenosti Airyjevog diska prve tačke poklapa sa prvim minimumom intenziteta osvetljenosti Airyjevog diska druge tačke. Na osnovu difrakcione teorije, rastojanje izmeďu maksimuma intenziteta 3

33 osvetljenosti Airyjevih diskova za dve tačke je 3.83 difrakcione jedinice. Rayleighjev kriterijum rezolucije optičkog sistema prikazan je na slici 6.3. I 100 b 50 a Slika 6.3. Rayleighjev kriterijum rezolucije optičkog sistema Sumiranjem ordinata intenziteta osvetljenosti dobija se sedlasta kriva. Minimum sedla se nalazi na b.5% od visine maksimalnog intenziteta osvetljenosti. Razlika u visini od.5% je jasno vidljiva, tako da ljudsko oko bez problema uočava likove dve tačke kao dve odvojene tačke. Rayleighjev kriterijum se numerički moţe izraziti ako se potrebne vrednosti uvrste u jednačinu (6.55) 1.. (6.56) D Potrebno je naglasiti da je rezolucija optičkog sistema direktno proporcionalna talasnoj duţini, a obrnuto proporcionalna prečniku aperture optičkog sistema. Treba primetiti da ţiţna duţina optičkog sistema ne utiče na rezoluciju. Da bi se došlo do praktične formule za rezoluciju optičkih sistema koja bi se lako mogla koristiti, potrebno je ubaciti srednju talasnu duţinu bele svetlosti ( 550nm) i dobijeni ugao prevesti iz radijana u lučne sekunde. Posle tih transformacija Rayleighjev kriterijum rezolucije optičkog sistema postaje 138, (6.57) D gde se rezolucija optičkog sistema (ψ) izraţava u lučnim sekundama a prečnik ulazne pupile (D) u milimetrima. Drugi kriterijum je astronomski kriterijum. Posmatranjem dvojnih zvezda astronomi su ustanovili sledeći kriterijum. Dve tačke su vidljive ako su maksimumi intenziteta Airyjevih diskova tako bliski, da se minimum sedla nalazi na b 5% od visine maksimalnog intenziteta osvetljenosti. Ova vrednost je izabrana jer minimalan kontrast koje ljudsko oko moţe da uoči je 5%. U ovom slučaju, rastojanje izmeďu dva maksimuma intenziteta osvetljenosti Airyjevog diska iznosi 3.3 difrakcione jedinice. Astronomski kriterijum rezolucije optičkog sistema prikazan je na slici v 33

34 I 100 b 50 a Slika Astronomski kriterijum rezolucije optičkog sistema Praktične formule za astronomski kriterijum rezolucije optičkog sistema su odnosno 1.05, (6.58) D 10. (6.59) D Sve vrednosti se izraţavaju na isti način kao i kod Rayleighjevog kriterijuma rezolucije optičkog sistema. Ako se u jednačini (6.59) uvrsti D mm, koliki je minimalan prečnik zenice ljudskog oka, dolazi se do veličine rezolucije ljudskog oka 60. Treći kriterijum je Sparrowov kriterijum rezolucije optičkog sistema. Po Sparowovom kriterijumu, rezolucije optičkog sistema dve tačke su vidljive ako su maksimumi intenziteta Airyjevih diskova tako bliski, da nema udubljenja sedla, tj. da je b 0%. U literaturi, Sparrowov kriterijum se naziva i apsolutni kriterijum. U ovom slučaju, rastojanje izmeďu dva maksimuma intenziteta osvetljenosti Airyjevog diska iznosi 3.0 difrakcionih jedinica. Sparrowov kriterijum rezolucije optičkog sistema prikazan je na slici I 100 v 50 a 0 3 v Slika Sparowov kriterijum rezolucije optičkog sistema Praktične formule za Sparowov kriterijum rezolucije optičkog sistema su 34

35 odnosno 0.95, (6.60) D 108. (6.61) D Vaţno je primetiti da astronomski i Sparowov kriterijum rezolucije optičkog sistema moţe se primeniti samo na optičke sisteme koji su specijalno izraďeni, ili čak unikati (kao što su astronomski teleskopi). Realni optički sistemi koji se koriste u svakodnevnoj upotrebi imaju zaostale aberacije, nedostatke prilikom izrade i montaţe. Zbog toga je američki biro za standarde (ASA American standard association) utvrdio sledeću praktičnu formulu za proračun rezolucije optičkog sistema 140. (6.6) D Interesantno je primetiti da je ova formula veoma bliska Rayleighjevom kriterijumu za rezoluciju optičkog sistema. Na slici 6.35, prikazana je fotografija dva tačkasta izvora nekoherentne svetlosti, koji se nalaze na granici rezolucije. Slika Dva tačkasta izvora nekoherentne svetlosti koji se nalaze na granici rezolucije Preuzeto iz [15] Na slici 6.36, prikazana je fotografija dva tačkasta izvora nekoherentne svetlosti, koji se jasno razlaţu kao dva posebna izvora svetlosti. 35

36 Slika Dva tačkasta izvora svetlosti koji se jasno razlaţu Preuzeto iz [15] U dosadašnjem razmatranju, predmet je predstavljen u vidu svetlih tačaka. MeĎutim, mnogo je pogodnije da se predmet predstavlja kao niz paralelnih linija kao što je prikazano na slici Na slici 6.37, prikazan je standardni test za ocenu rezolucije optičkog sistema. Test se sastoji iz vertikalnih i horizontalnih linija koje su naizmenično tamne i svetle. 6.5 Aberacione tolerancije Slika Test za odreďivanje rezolucije optičkih sistema Vaţno je primetiti da reč tolerancija u izrazu aberacione tolerancije, nema isto značenje kao u mašinstvu. U klasičnom mašinstvu, kada se preďu zadate tolerancije, delovi odjednom prestaju da se uklapaju, ili funkcionišu. U optici, reč tolerancija ima drugo značenje. Bitno je zapaziti da bilo koja količina aberacija degradira lik, veća količina aberacija jednostavno degradira lik više. Zato bi bilo tačnije da se aberacione tolerancije nazovu dozvoljenim vrednostima aberacija. U ovom poglavlju, razmotriće se samo difrakcijom ograničeni optički sistemi. To znači da će se razmotriti samo uticaj malih aberacija na difrakcioni lik tačkastog predmeta (Airyjev disk). U prethodnom poglavlju je naglašeno da se pod malim aberacijama podrazumevaju aberacije koje izazivaju deformaciju talasnog fronta, manju od jedne do dve talasne duţine. Prvu sistematsku analizu uticaja malih aberacija na Airyjev disk uradio je nemački fizičar Strehl, godine. On je razmotrao smanjenje intenziteta osvetljenosti u centru Airyjevog diska usled dejstva aberacija. On je formirao odnos intenziteta osvetljenosti u centru Airyjevog diska usled dejstva aberacija i intenziteta osvetljenosti u centru Airyjevog diska bez prisustva aberacija. U literaturi, taj odnos je poznat kao Strehlov odnos. Strehl je pokazao da Strehlov odnos za dobro korigovani optički sistem treba da bude veći ili jednak 0.8. Strehlov odnos se definiše sledećom jednačinom 36

37 4 S 1 W x, y dxdy W x y dxdy A A, (6.63) A A, S Strehlov odnos, A površina izlazne pupile, W x, y talasna aberacija kao funkcija koordinata izlazne pupile. Integrali u jednačini (6.63) se mogu numerički sračunati. Da bi se olakšao proračun, talasnu aberaciju treba izraziti preko polarnih koordinata, kao što je prikazano u Glavi 8. Interesantno je primetiti da izraz u velikoj zagradi u jednačini (6.63) predstavlja varijaciju talasne aberacije. Na osnovu Strehlovih razmatranja moţe se doći do Rayleighovog kriterijuma. Rayleighjev kriterijum, ili granica, dozvoljava da odstupanje stvarnog talasnog fronta u odnosu na referentnu sferu, povučenu iz izabrane tačke lika, bude najviše ¼ talasne duţine. Jedna Rayleighova granica odgovara vrednosti Sthrelovog odnosa od 0.8. Kada je razlika stvarnog talasnog fronta i referentne sfere manja od ¼ talasne duţine, tada se lik predmeta koji formira optički sistem moţe smatrati, sa zadovoljavajućom tačnošću, za idealan. Na osnovu ovog razmatranja, moguće je dati još jednu definiciju paraksijalne aproksimacije. Paraksijalna aproksimacija vaţi za oblast, gde odstupanje stvarnog talasnog fronta od referentne sfere, nije veće od četvrtine talasne duţine. To znači, da svi viši članovi razvijenog oblika talasne aberacije, koji su zanemareni u definisanju paraksijalne aproksimacije, doprinose najviše sa 4, u razlici stvarnog talasnog fronta i referentne sfere. Na ovaj način, paraksijalna aproksimacija dobija svoju fizičku suštinu i prestaje da bude samo matematička idealizacija stvarnosti. Zbog pogodnosti, uvodi se pojam jedne Rayleighjeve granice, koji je definisan kao razlika od ¼ talasne duţine izmeďu talasnog fronta i referentne sfere. Poznato je, da lik tačkastog predmeta koji stvara idealni optički sistem je difrakcioni oblik, koji sadrţi 84% energije u centralnom disku, a ostalih 16% energije je rasporeďeno u koncentričnim krugovima difrakcionog oblika. Kada je talasna aberacija manja od dve Rayleighjeve granice (½ talasne duţine), veličina centralnog diska je u suštini nepromenjena, ali je primetno pomeranje koncentracije energije iz centralnog diska, ka koncentričnim krugovima. Raspodela energije za različite vrednosti Rayleighjeve granice, odnosno talasne aberacije, prikazana je u Tabeli 6.1. Tabela 6.1. Raspodela energije u difrakcionom obliku lika tačkastog predmeta Preuzeto iz [] Rayleighjeve granica OPD Sthrelov odnos % energije u disku % energije u koncentričnim krugovima idealni optički sistem % 16% ¼ % 17% ½ % 0% % 3% Iz tabele 6.1, vidi se da aberacije koje odgovaraju jednoj Rayleighovoj granici izazivaju male, ali primetne promene karakteristika lika. Za većinu optičkih sistema vaţi stav, da ako su aberacije korigovane, odnosno samanjene na nivo jedne Rayleighjeve granice, tada će performanse 37

38 optičkog sistema biti odlične. U tom slučaju, teško će se razlikovati performanse realnog optičkog sistema od teorijskih (idealnih) performansi. Mali broj optičkih sistema ima tako dobro korigovane aberacije. Najčešće se korekcija aberacija do jedne Rayleighjeve granice, vrši samo za mikroskope i velike astronomske teleskope. Optički sistemi u vojnim primenama, obično nisu tako dobro aberaciono korigovani. 6.6 Spot dijagram Kada su aberacije nekoliko puta veće od Rayleighjeve granice, tada se rezultati geometrijskog hoda zraka mogu koristiti, sa dovoljnom tačnošću, za proračun lika tačkastog predmeta. Ova procena kvaliteta lika se vrši tako, što se ulazna pupila optičkog sistema deli na veliki broj jednakih površina, i zrak se propušta kroz centar svake površine. Pretpostavka je da je ulazna pupila kruţnog oblika i da se zbog osne simetrije, mogu propuštati zraci samo kroz polovinu kruţne ulazne pupile. Ulazna pupila se deli na odreďeni broj koncentričnih prstenova. Obično se koristi od 7 do 10 koncentričnih krugova. Što je veći broj koncentričnih krugova, dobija se veća tačnost u proračunima, ali je potrebno duţe vreme zbog povećanog broja zraka koji moraju da se proračunaju. Svaki koncentrični krug se deli na segmente jednake površine, kao što je prikazano na slici Slika Raspored zraka na ulaznoj pupili za proračun spot dijagrama Sa slike 6.34, vidi se da je ukupni broj zraka, čiji je hod potrebno proračunati za spot dijagram, kvadrat broja koncentričnih krugova za n 1 n 1, za n n 1 3 4, za n 3 n za n 4 n , za n 5 n Presek svakog zraka, koji je prošao kroz optički sistem sa izabranom ravni lika, crta se i dobija se izgled tačkastog lika. Budući da svaki zrak predstavlja jednaki deo ukupne energije lika, 38

39 gustina zraka u ravni lika je mera energetske gustine. Ovakav dijagram se često naziva spot dijagram. 6.7 Optička prenosna funkcija Optički sistemi imaju zadatak da izvrše prenos informacija pomoću elektromagnetnih talasa i projektovanja lika posmatranog predmeta. Sposobnost optičkih sistema da prenesu raspodelu svetlosnog intenziteta sa ravni predmeta na ravan lika, moţe se opisati pomoću optičke prenosne funkcije (OTF). Ako se zna raspodela svetlosne energije u prostoru predmeta, moţe se rekonstruisati odgovarajuća raspodela svetlosne energije u ravni lika, pod pretpostavkom da se poznaje optička prenosna funkcija. Prenosne funkcije se koriste u svim granama nauke, gde su izlazni podaci na neki način povezani sa ulaznim (audio oprema, vibracije, seizmologija,...). Optička prenosna funkcija sadrţi kompleksne informacije o uticaju aberacija i difrakcije na proces preslikavanja predmeta. OTF se moţe definisati kao OTF ( iptf) MTF e, (6.64) OTF optička prenosna funkcija, MTF modulaciona prenosna funkcija, PTF fazna prenosna funkcija. Sa fizikalnog stanovišta veći značaj ima modulaciona prenosna funkcija, koja prikazuje kolika je relativna kontrastna osetljivost optičkog sistema. Fazna prenosna funkcija odreďuje pomak lika u odnosu na optičku osu za vanosne svetlosne zrake i od manjeg je značaja. Modulaciona prenosna funkcija prikazuje kolika je relativna kontrasna osetljivost, odnosno predstavlja odnos relativnih kontrasta u ravni lika ( k 1 ) i ravni predmeta ( k 0 ) k k 1 MTF. (6.65) 0 Relativna kontrastna osetljivost u ravni lika i predmeta, usko je povezana sa rezolucijom koja se uobičajeno specificira u linijskim parovima po milimetru (lp/mm). Linijski par je jedan ciklus svetlih i tamnih pruga podjednake širine, koji imaju jedinični kontrast. Kontrast se definiše kao Max Min Kontrast, (6.66) Max Min gde je Max maksimum intenziteta koji lik stvara (belo), a Min je minimum intenziteta koji lik stvara (crno). Znači, modulaciona prenosna funkcija koja se daje u zavisnosti od prostorne frekvencije, merene u lp/mm, predstavlja je mapiranje kontrasta, mereno u procentima. Mapiranje modulacione prenosne funkcije se uobičajeno normalizuje na vrednost 1 za nultu prostornu frekvenciju (sve je belo ili sve je crno). Na slici 10.16, dat je karakterističan prikaz zavisnosti modulacione prenosne funkcije i fazne prenosne funkcije od prostorne frekvencije. Sa slike se moţe videti da su modulaciona prenosna funkcija i fazna prenosna funkcija komplementarne funkcije. Na optičkoj osi, modulaciona prenosna funkcija je najveća, a sa porastom prostorne frekfencije ona opada. Fazna prenosna funkcija je na optičkoj osi najmanja, a sa porastom frekfencije ona raste. 39

40 Slika Zavisnost MTF i PTF od prostorne frekvencije Modulaciona prenosna funkcija (MTF) na niskim frekfencijama omogućava kontrast za velike objekte, dok MTF na visokim frekfencijama omogućava kontrast za male objekte. Rezolucija optičkog sistema je najmanja veličina modulacije lika koju sistem moţe detektovati, što je prikazano na slici 6.40a. Rezolucija je usko povezana sa kontrastom na visokim frekfencijama. Uobičajeno je da se rezolucija optičkog sistema poklapa sa minimalnim kontrastom koji se moţe izmeriti, a to je 5% do 10%. Optički sistem je kvalitetniji ukoliko ima veću rezoluciju i veću modulaciju lika ( k 1 ), što je prikazano na slici 6.40b. MeĎutim, ako jedan optički sistem ima visoku rezoluciju (slika. 6.40c-), a drugi optički sistem daje bolji kontrast za niţe frekvencije testa (slika 6.40c-1), onda je teško reći koji je optički sistem bolji. k i a) granica razlaganja k i b) 1 k i c) 1 minimalni nivo detekcije f [lp/mm] f [lp/mm] Slika Različiti slučajevi MTF Da bi detaljnije objasnili uticaj veličine kontrasta i rezolucije na kvalitet lika optičkog sistema, biće prikazana fotografija snimljena sa dva različita objektiva. Prvi je imao viši kontrast i niţu rezoluciju (objektiv-1), a drugi višu rezoluciju i nizak kontrast (objektiv-). Sama fotografija sluţi za ocenu objektiva na niţim frekfencijama, dok je za ocenu objektiva na višim frekfencijama ubačena deset puta uvećana test slika, za rezoluciju 60 lp/mm. Na slici 6.41, prikazana je fotografija snimljena sa oba objektiva i dijagram modulacione prenosne funkcije za svaki objektiv. Objektiv sa dobrim kontrastom, odnosno višim vrednostima MTF, na niskim i srednjim učestanostima (do 30 lp/mm) omogućava formiranje jasnog lika. Objektiv sa niskim vrednostima MTF, na niskim i srednjim frekfencijama formira lik, koji se vidi kao kroz izmaglicu. Većina posmatrača bi takav lik ocenila kao nedovoljno oštar lik. f [lp/mm] 40

41 Slika Uticaj MTF na kvalitet lika Na slici 6.41 u gornjem levom delu nalazi se fotografija koja je snimljena sa objektivom-1, a u donjem desnom delu nalazi se fotografija koja je snimljena sa objektivom-. Sa slike se vidi da je objektiv-1 formirao jasniju fotografiju, ali nije uspeo da prikaţe deset puta uvećanu test sliku za rezoluciju 60 lp/mm. Objektiv- je formirao manje jasnu fotografiju, ali je zato jasno prikazao deset puta uvećanu test sliku za rezoluciju 60 lp/mm Proračun optičke prenosne funkcije Optička prenosna funkcija sadrţi informacije o uticaju aberacija i difrakcije na proces prenosa svetlosne energije kroz optički sistem i formiranja lika. Da bi projektant optičkih sistema najefikasnije mogao da proračuna optičku prenosnu funkciju potrebno je da zna da li je optički sistem difrakcijom ograničen ili aberacijam ograničen. Za difrakcijom ograničene optičke sisteme kod kojih difrakcija igra značajniju ulogu od aberacija potrebno je proračunati difrakcionu optičku prenosnu funkciju. Za aberacijama ograničene optičke sisteme kod kojih su aberacije znatno veće od difrakcije koja se tada moţe i zanemariti, potrebno je proračunati geometrijsku aproksimaciju optičke prenosne funkcije. U ovom poglavlju prvo će se pokazati osnovi proračuna geometrijske aproksimacije optičke prenosne funkcije a zatim i osnovi proračuna difrakcione optičke prenosne funkcije. Iz definicije optičke prenosne funkcije, jednačina (6.64), vidi se da ona predstavlja kompleksni broj izraţen u eksponencijalnom obliku. Modulaciona prenosna funkcija (MTF) predstavlja 41