Cercetarea prin sondajul II Note de curs prelegere master data 24 oct.2013

Transcript

1 Cercetarea pr sodajul II ote de curs prelegere master data 4 oct.13 al.sac-mau Dstrbuta ormala.oct.13 Dstrbuta ormala Cea ma mportata dstrbute cotua : umeroase varable aleatoare pot f adecvat modelate daca sut ormal dstrbute. Multe dstrbut pot f apromate prtr-o dstrbute ormala. Dstrbuta ormala este patra de temele a ferete statstce..oct

2 Legea ormală (Gauss-Laplace) Ua d potezele fudametale sodajul statstc este ormaltatea (aparteeţa la legea Gauss-Laplace) a caracterzăr vestgate este ecesar să dscutăm despre această lege statstcă. Modelul Gauss-Laplace uzual, d puct de vedere matematc repreztă o repartţe statstcă deftă de fucţa de repartte ude F 1 ; ; ep μr, σ, R d.oct.13 4 Respectv f fucta de frecveta 1 ep sau fucţa de destate a repartte varable aleatoare X X mărmea fzcă măsurată ş care reprezetată grafc are becuoscuta formă de clopot (aşa-umtul clopot al lu Gauss ) Se şte că o fucţe de destate trebue să îdeplească următoarele cerţe: () f, D ş () f d 1 ude D este domeul de defţe al varable X, î D cazul ostru dreapta reală, R..oct.13 5 Scurt storc legea ormala (1) Orgea acestu model o găsm î lucrarea Dalog despre cele două ssteme fudametale ale lum a lu Galleo GALILEI ( ), î care el îş epue părerle refertoare la măsurarea dstaţelor dtre dferte corpur cereşt: Galle cosdera că: erorle îtâmplătoare sut evtable î observaţle obţute cu dverse mjloace de măsurare erorle mc au şase ma mar de aparţe decât cele mar sau foarte mar măsurărle td să se dstrbue apromatv egal la stâga ş la dreapta ue valor de referţă majortatea valorlor observate td să se grupeze ( să se acuască ) î jurul aceste valor de referţă.oct.13 6

3 ( ) Repartţa ormală apare de fapt petru prma oară î 1733 îtr-o lucrare a lu Abraham de MOIVRE ( ), matematca cuoscut ma curâd pr formula Movre refertoare la umerele complee Aba odată cu lucrărle lu Carl Fredrch GAUSS ( ) ş cele ale lu Perre Smo, Marqus de LAPLACE ( ) se pu î lumă propretăţle ş mportaţa deosebtă a aceste leg statstce ca descrptor ţal al comportăr erorlor de observaţe (Gauss, 189 î Theora Motus Corpum Caelestum Laplace (181/1811 î Theore aaltque des Probabltes d 181) arată rolul teoretc (ş practc) ecepţoal jucat de legea ormală pr aşa-umta TEOREMĂ LIMITĂ CETRALĂ..oct.13 7 Cateva propretat ale leg ormale grafcul fucţe are u sgur mamum petru s două fleu de abscse parametr descrptor ş au semfcaţa mede ş dspersa teoretce: M ; var tervalul 3, 3 coţe apromatv 99,73% d valorle mărm X..oct.13 8 Varabla U / se umeste varabla ormală stadard (sau stadardzată) ş are fucţa de destate respectv de repartţe F f 1 u ep / u u varabla U are meda O ş dspersa 1. 1 u Aceste fucţ au fost tabelate ţal de către Laplace. e t / dt.oct

4 Grafce ale leg ormale.oct.13 1.oct Eror verfcarea potezelor statstce (Hypothess testg errors) Eror î procesul de verfcare a potezelor statstce: H / H1 Eroare de geul îtâ: poteza H se respge, câd ea este adevărată. Eroare de geul al dolea: poteza H1 se admte, câd ea este falsă. Probabltăţle de a f comse cele două tpur de eror sut: probabltatea eror de geul îtâ rsc de geul I ş respectv probabltatea eror de geul al dolea-rsc de geul II..oct

5 vel de îcredere (Cofdece level) Valoarea P = ( 1 ) a probabltăţ asocate uu terval de îcredere. Prob = ( 1 ) poate f eprmat î procete [ ( 1 ) 1]. vel (prag) de îcredere ( ) (Cofdece level or sgfcace level) Terme folost petru a dca probabltatea eror de geul îtâ ( ). Som: vel de semfcaţe. vel de semfcaţe (Sgface level) Valoarea dată a lmte superoare a probabltăţ de eroare de tpul I. velul de semfcaţe se otează cu..oct Test statstc (Statstcal test) Procedura statstcă pr care se decde dacă poteza ulă poate f respsă î favoarea poteze alteratve sau u Î geeral, u test prea apror o aumtă poteză, care trebue verfcată (de eemplu, poteza de depedeţă a observaţlor, poteza de ormaltate etc.). Testele pot f costrute cu ajutorul mede artmetce ş cu ajutorul altor varable aleatoare de sodaj, acestea umdu-se de regulă statstc deczoale ale testulu statstc.oct Testarea ormaltăţ Verfcarea faptulu că datele epermetale obţute sut repartzate după legea Gauss-Laplace se poate face î ma multe modur, ş aume: algebrc (utlzâd dcator de eşatoaj cu propretăţle lor specfce î cazul leg ormale); grafc (folosd aşa-umtele hârt sau reţele de tp probablst) aaltc (utlzâd procedee statstce specale aşa umtele teste de cocordaţă )..oct

6 Testul h-pătrat - testul (Ch-squared test) Testul statstc î care, petru valdarea poteze ule, statstca utlzată presupue esteţa repartţe. Testul este aplcat, de eemplu, la următoarele probleme: a. testul de egaltate ître varata ue populaţ ormale ş o valoare specfcată, statstca testulu avâd la bază varata eşatoulu; b. comparaţa ître efectvele teoretce ş cele observate; c. î valdarea ue leg de repartţe, ca de pldă cea ormală. O formă clască de costrure a regu crtce a testulu este următoarea: Fe X o varablă care poate lua valorle 1,,, m, cu probabltăţle p1, p,, pm. Fe 1,,,m frecveţele de aparţe a valorlor 1,,, m, îtr-u eşato de volum. Reguea crtcă a testulu petru verfcarea poteze p1 = p = = pm se costrueşte pe baza dcatorulu statstc de forma: ( p ) p 1 care petru are repartţa cu 1 grade de lbertate..oct Dstrbut de esatoare 1.Itroducere I practca, parametr ue populat u se calculeaza deoarece populatle sut foarte mar Decat sa se vestgheze treaga populate, se a u esato, se calculeaza o statstca legata de u parameteru de teres, s se realzeaza o fereta. Dstrbuta de esatoare a statstc este u strumet care e arata cat de apropata este statstca de parametru.oct Dstrbuta de esatoare a mede U eemplu: U zar este arucat de foarte multe or. Fe X umarul orcare arucar. Probabltatea de dstrbute a lu X este: p() 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 M(X) = 1(1/6) + (1/6) + 3(1/6)+ = 3.5 V(X) = (1-3.5) + (-3.5) +. =.9.oct

7 Presupuem ca dorm sa estmam d meda uu esato de dmesue =. Care este dstrbuta pe care o urmeaza? Esato Mede Esato Mea Esato Mede 1 1, ,1 5 5,1 3 1, 1,5 14 3,,5 6 5, 3,5 3 1,3 15 3, , ,4,5 16 3,4 3,5 8 5,4 4,5 5 1, , , ,6 3,5 18 3,6 4,5 3 5,6 5,5 7,1 1,5 19 4,1,5 31 6,1 3,5 8, 4, 3 3 6, 4 9,3,5 1 4,3 3,5 33 6,3 4,5 1,4 3 4, ,4 5 11,5 3,5 3 4,5 4,5 35 6,5 5,5 1, , ,6 6.oct /36 5/36 4/36 3/36 /36 Esato Mede Esato Mede Esato Mede 1 1, ,1 5 5,1 3 1, 1,5 14 3,,5 6 5, 3,5 3 1,3 15 3, , ,4,5 16 3,4 3,5 8 5,4 4,5 5 1, , , ,6 3,5 18 3,6 4,5 3 5,6 5,5 7 otam,1 1,5 : 19 4,1 s,5 31 6,1 3,5 8, 4, 3 3 6, 4 9,3,5 1 4,3 3,5 33 6,3 4,5 1,4 3 4, ,4 5 11,5 3,5 3 4,5 4,5 35 6,5 5,5 1, , ,6 6 M( ) =1.(1/36)+ 1.5(/36)+.=3.5 V(X) = ( ) (1/36)+ ( ) (/36)... = / oct.13 Dstrbuta de esatoare a mede esatoulu 3. Daca 1.. este ormala, este ormala. daca X u este ormala - X( medu) este apromatv ormala petr u volum alesatoulu sufcet de mare.oct

8 Termologe Meda populaţe vestgate X X 1 Meda de eşato (de selecţe) estmator petru meda populaţe vestgate Dspersa populaţe vestgate Dspersa de eşato (de selecţe) estmator petru dspersa populaţe vestgate ( X X ) 1 S 1 X X X.oct.13 X 1 1 X ( X X ) Iterval de îcredere dublă egaltate probablstă ce apare î urma fereţe statstce Erorle specfce cercetărlor pr sodaj 1. Eroarea datorată fereţe statstce probablste (Z) Medle de selecţe se dstrbue ormal. Meda medlor de selecţe este char meda populaţe vestgate. Urmare a dstrbuţe ormale, î fucţe de velul de probabltate stablt, valoarea lu Z se culege d tabele.. Eroarea mede de reprezetatvtate ( ). Folosd programul Ecel: =ORMSIV( ) Depde de: volumul eşatoulu dspersa populaţe vestgate tpul de selecţe folost (cu revere/ fără revere) metoda de eşatoare folostă (SAS, SS, cluster etc.) 3 3. Eroarea lmtă sau mam admsblă ( ) Îtotdeaua ître cele tre tpur de eror estă relaţa: Z.oct.13 Sodajul aleator smplu cu revere 1. Itervalul de îcredere petru meda artmetcă X X X. Eroarea lmtă sau mam admsblă Z 3. Eroarea mede de reprezetatvtate dacă >3 atuc: S vom avea: S 4. Stablrea volumulu eşatoulu 4 S Z S Z rezultă:.oct.13 8

9 Sodajul aleator smplu fără revere 1. Itervalul de îcredere petru meda artmetcă 5 X X X. Eroarea lmtă sau mam admsblă 3. Eroarea mede de reprezetatvtate 1 (factor de corecţe) S 1 Z dacă >3 atuc: vom avea: 4. Stablrea volumulu eşatoulu.oct.13 rezultă: Z S S 1 Z S Z S Sodajul stratfcat Repartzarea volumulu eşatoulu pe stratur (grupe) Să presupuem că avem u eşato de volum utăţ statstce dtr-o populaţe de utăţ statstce grupate î r grupe (stratur) după o aumtă varablă: repartzarea egală Î fecare dtre cele r grupe se repartza câte /r utăţ statstce repartzarea proporţoală Î fecare dtre cele r grupe se repartza utăţle statstce proporţoal cu poderle y celor r grupe. Formula petru poder: y Formula de repartzare: y repartzarea optmă Î fecare dtre cele r grupe se repartza utăţle statstce proporţoal cu poderle y celor r grupe ş ţâd cot ş de mărmea dsperse d terorul fecăre grupe. * * y y.oct.13 Formula petru poder: Formula de repartzare: S 6 S Aplcaţe (1) Petru a cuoaşte velul medu al producţe zlce obţute de agajaţ ue frme, s-a etras aleator, proporţoal ş erepetat u eşato de 1 de agajaţ ce repreztă 1% d umărul total de agajaţ a frme. Î prealabl agajaţ au fost împărţt, î fucţe de vechme, î tre grupe: I) agajaţ cu vechme ma mcă de 5 a; II) agajaţ cu vechme ître 5 ş 1 a ş III) agajaţ cu vechme ma mare de 1 a. S-au cules formaţle, s-au efectuat prelucrărle ş s-au obţut următoarele rezultate:.oct

10 Aplcaţe () I) î prma grupă de vechme, ce 5 de agajaţ au produs î mede 15 bucăţ pe z cu o dsperse de 1; II) î a doua grupă de vechme, ce 5 de agajaţ au produs î mede bucăţ pe z, cu u coefcet de varaţe de %; III) î a trea grupă, dtre ce 5 de agajaţ ce ma mulţ au produs 7 de bucăţ, meda artmetcă a fost de 5 bucăţ ar coefcetul de asmetre (Pearso) a îregstrat o valoare de -,33;.oct.13 8 Aplcaţe (3) Cu o probabltate de 95,45% (Z=) se cere: a) Să se stablească lmtele ître care se va îcadra producţa mede la velul îtreg frme b) Să se stablească u terval de îcredere petru producţa totală a fabrc îtr-o z c) Să se determe volumul oulu eşato dacă dorm să reducem eroarea lmtă de 1,5 or ş să se repartzeze optm pe grupe (stratur).oct.13 9 Aplcaţe (4) Sstematzarea formaţe dspoble =1 agajaţ =1%* =1 agajaţ P=95,45% Z= Grupa de vechme I (vechme sub 5 a) I =5 agajaţ I 15 buc S I=1.oct

11 Aplcaţe (5) Grupa de vechme II (vechme ître 5 ş 1 a) II =5 agajaţ CV II SII II 1 % II buc % CV II S II 4 buc S II=16 1 Grupa de vechme III (vechme peste 1 a) III =5 agajaţ Mo=7 bucăţ III 5 buc C as =-, Cas III,333 IIIMoIII SIII.oct.13 57,333 SIII S III =6 bucăţ S III=36 Aplcaţe (6) Tabel 1. Iformaţle calculate ş sstematzate coloaa 1 repreztă împărţrea ţală (proporţoală a eşatoulu pe stratur/ grupe) coloaa repreztă valoarea mede petru fecare strat/ grupă coloaa 3 repreztă dspersa d terorul fecăru strat/ grupă.oct.13 3 Cerţe Aplcaţe (7) a) Iterval de îcredere petru meda îtreg populaţ D teore tervalul de îcredere este: X X X eroarea mede de reprezetatvtate petru u sodaj aleator stratfcat fără revere: S j j buc. 1 j s j j j eroarea lmtă: Z S 1.oct

12 Aplcaţe (8) Eroare mede de reprezetatvtate va f: S 1 Eroarea lmtă va f: 1 1, Z,4464,84858 Itervalul de îcredere petru meda populaţe geerale va f:,85 X,85 19,15 X, Î cocluze, utlzâd u sodaj stratfcat fără revere, cu o probabltate de 95,45% putem garata că producţa mede la velul îtreg frme va f cuprsă ître 19,15 ş,85 bucăţ..oct.13 Aplcaţe (9) b) Iterval de îcredere petru producţa totală a frme îtr-o z. Avem terval de îcredere petru producţa mede mede: 19,15 X,85 Dacă îmulţm dubla egaltate cu volumul populaţe () vom obţe terval de îcredere petru producţa totală a frme îtr-o z: 19,15 X, Î cocluze, utlzâd u sodaj stratfcat fără revere, cu o probabltate de 95,45% putem garata că producţa totală frme îtr-o z va f cuprsă ître 1915 ş 85 bucăţ..oct Aplcaţe (1) c) Să se calculeze volumul oulu eşato dacă dorm să reducem eroarea lmtă de 1,5 or. Să se repartzeze optm pe stratur rezultatul obţut. oua eroare lmtă va f: ',84858, ,5 1,5 Volumul oulu eşato se va calcula: ' ' Z S Z S, agajat.oct

13 Aplcaţe (11) Repartzarea optmă pe stratur a eşatoulu D euţ se preczează că ţal repartzarea a fost proporţoală. Rezultă că ţal î fecare strat au fost selectaţ 1% d umărul de agajaţ a stratulu resptv. Se calculează uşor coloaa 4 d tabelul 1 ( j ). Se calculează poderle optme de repartzare (coloaa 6 d tabelul 1) * y S S Se repartzează optm volumul oulu eşato pe stratur (coloaa 7 d tabelul 1) cu ajutorul formule: * y.oct